ДЛЯ ВУЗОВ
Г. Н. Разоренов Э.А. Бахрамов Ю.Ф. Титов
СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ЛЕТАТЕЛЬНЫМИ АППАРАТАМИ
•МАШИНОСТРОЕНИЕ*
ДЛЯ ВУЗОВ
Г.Н. Разоренов, Э.А. Бахрамов, Ю.Ф. Титов
СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ЛЕТАТЕЛЬНЫМИ АППАРАТАМИ (БАЛЛИСТИЧЕСКИМИ РАКЕТАМИ НИХ ГОЛОВНЫМИ ЧАСТЯМИ)
Под редакцией доктора технических наук профессора ЕН. Разоренова
Допущено Миниаперстваи образования Российской Федерации в качестве учебника для студентов высших учебных заведений, обучающихся ио специальности ^Системы управления летательными аппаратами» направления подготовки дипломированных специалистов «Системы управления движением и навигациям
МОСКВА
«МАШИНОСТРОЕНИЕ» 2003
УДК 692.7.016
ББК 39.67
Р17
Рецензент: Кафедра системного анализа и управления полетом МАИ
Разоренов Г.Н. и др.
Р17 Системы управления летательными аппаратами (баллистическими ракетами и их головными частями): Учебник для вузов / Г.Н. Разоренов, Э.А. Бахрамов, Ю.Ф. Титов; Под ред. Г.Н. Разоренова. М.: Машиностроение, 2003. 584 с.: ил.
Изложены научно-теоретические и методологические основы инерциального управления полетом баллистических ракет (БР) и их головных частей (ГЧ). Рассмотрены общие принципы управления полетом и построения бортовых систем управления БР и ГЧ, теоретические основы инерциальной навигации и алгоритмы решения навигационной задачи в платформенных и бесплатформенных инерциальных навигационных системах, методы терминального наведения БР. Отражен современный уровень развития теории и практики управления баллистическими ракетами, включая методы управления движением ступеней разведения элементов боевого оснащения БР и методы наведения ГЧ на заключительном этапе полета у цели.
ББК 39.67
© Г.Н. Разоренов, Э А. Бахрамов, Ю.Ф. Титов, 2003.
ISBN 5-217-03144-1	© Издательство "Машиностроение", 2003.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Современная техника управления различными объектами и процессами достигла весьма высокого уровня совершенства. Особенно наглядны достижения в области построения систем управления подвижными объектами - летательными аппаратами различных классов л различного назначения, морскими судами, наземными транспортными средствами. Наряду с этим созданы и быстро развиваются системы управления сложными многофункциональными объектами большого масштаба, примерами которых могут служить отдельные отрасли экономики государств, единые системы энергоснабжения крупных регионов, такие крупномасштабные системы военного назначения, как территориальные системы ПРО и ПВО, системы боевого управления стратегическими ядерными силами и ряд других.
Достигнутые успехи являются следствием технологического совершенства и высокого уровня развития элементной базы систем управления, электроники и средств автоматики, средств получения, передачи и переработки информации, цифровых вычислительных средств, а также следствием того, что к настоящему времени создан .мошный теоретический фундамент построения систем управления в виде обшей теории управления.
Современная теория управления представляет собой совокупность универсальных методов анализа и синтеза управляемых систем и опирается на хорошо разработанный математический аппарат, включающий в себя как классические математические дисциплины (теорию дифференциальных уравнений, вариационное исчисление, общую и линейную алгебру, теорию вероятностей, теорию функций комплексного пере.менного).так и математическиетеорнн, сформировавшиеся под влиянием задач, выдвинутых практикой в рамках самой теории управления (теорию устойчивости систем и процессов управления, теорию оптимальных процессов управления, теорию фильтрации и статистического оценивания, теорию игр).
В настоящем учебнике, посвященном вопросам управления полетом баллистических ракет н их головных частей, не преследуется цель изложения основ общей теории управления, для ознакомления с которыми следует воспользоваться специальной учебной и монографической литературой. Однако при изложении конкретных вопросов построения систем управления БР и ГЧ мы будем систематически обращаться к общетеоретическим и математическим методам теории управления, а также опираться на те положения этой теории, которые образуют концептуально-теоретический базис решения прикладных задач управления. К числу таких положений в первую очередь относятся
3
система понятии общей теории управления, общие принципы построения и функционирования систем управления движением, методы и алгоритмы управления подвижными объектами.
Область инженернойдеятельности.относящаясякпостроению систем управления баллистическими ракетами, достаточно специфична. Ее специфика определяется тем обстоятельством, что баллистическим ракетам как объектам управления присущи ярко выраженные особенности. отличающие их от летательных аппаратов других классов. Это определяет целый ряд особенностей как применяемых методов управления, так и технического облика и принципов построения самих систем управления. Вместе с тем эта область, как и смежные области, связанные с построением систем управления летательными аппаратами других классов, исключительно наукоемка. Теоретический фундамент данной области инженерной деятельности составляют не только общая теория автоматического управления, но и богатый арсенал методов, методик, теоретических положений, представляющих собой результат теоретического осмысления в обобщения практического опыта построения СУ баллистических ракет, накопленного за более чем полувековую историю их развития.
Эти обстоятельства позволяют утверждать, что в настоящее время сформировалась и существует как самостоятельный раздел науки об управлении теория управления движением баллистических ракет и их головных частей, имеющая собственный объект в предмет исследования и обладающая характерными для нее методами решения задач управления.
Многие вопросы теории и практики управления движением и построения СУ баллистическими ракетами нашли достаточное отражение в многочисленных публикациях. Однако эти публикации имеют разрозненный характер. В связи с этим ощущается потребность в методическом обобщении накопленного практического опыта и в систематизированном изложении основ теории управления движением БР и ГЧ с единых позиций. Именно эту цель преследует данный учебник.
Замысел и принцип отбора материала, вошедшего в учебник, требуют пояснений. Вполне понятно, что отразить в одной книге с достаточной полнотой всю проблематику управления движением и построения бортовых СУ летательных аппаратов даже одного отдельного класса практически невозможно. Поэтому авторы сосредоточили свое внимание на тех вопросах, которые играют определяющую роль в формировании облика систем управления движением ЛА рассматриваемого класса - баллистических ракет, ступеней разведения, боевых блоков. Такими, по мнению авторов, являются вопросы программирования
4
ойиэ/сеиня (задача наведения) и инфор.мацаопнО‘навигационно?о обеспечения управления (задача навигации). Проблема обеспечения устойчивости движения (задача стабилизации), рассматриваемая в учебнике лишь на концептуальном уровне, не обладает столь ярко выраженной спецификой и решается универсальными методами теории автоматического регулирования, применимыми в равной степени как к ракетам различных типов (баллистические, зенитные, крылатые), гак и к самолетам. Таким образом, вопросы построения систем стабилизации движения БР. методы п алгоритмы управления в системах стабилизации, как и вопросы приборно-аппаратурной реализации бортовых СУ, остались вне рамок данного учебника.
Материал учебника строится по следующему плану. В первом разделе, играющем роль развернутого введения, рассматриваются концептуальные основы теории управления движением БР и ГЧ. Изложение начинается с анализа общих принципов построения СУ, характерных для все! о класса задач управления движением объектов различных типов. Предварительно внимание читателя обращается на ряд исходных понятий теории управления, играющих ключевую роль в формировании ее научного языка и используемых при рассмотрении любых вопросов управления.Затем на основсанализа особенностей баллистических ракет и ГЧ как объектов управления рассматриваются частные принципы построения СУ и вытекающие из этих принципов методы и алгоритмы управления движением. При этом определяются такие важнейшие функции системы управления, как навигация, наведение, стабилизация и описываются информационные и управляющие связи .между ее подсистемами.
Последующие раздеты посвящены детальному рассмотрению наведения и навигации применительно к управлению полетом баллистических ракет, управляемых боевых блоков и ступеней разведения.
Специальное внимание в книге уделено вопросам терминологии. Это вызвано тем, что, несмотря на достаточно обширную литературу справочного и энциклопедического характера, отдельные понятия теории управления не имеют общепринятых определений, а некоторые термины, применяемые в инженерной практике, некорректны и противоречивы. Все подобные случаи сопровождаются в тексте книги соответствующим комментарием, а вновь вводимые определения и формулировки специально оговариваются.
Книга написана Ю.Ф. Титовым (гл. 2,3, 2.4), Э.А. Бахрамовым (пп. 4.3.1,4,3.2) и Т.Н. Разореновым (остальной текст, общее редактирование). В пп. 3.6.2,4.2.4,4.3.4 использованы материалы, предоставленные В. И. Бородовским. а в п. 3.4.4 - материалы, предоставленные А.В. Зайцевым и Г./7. Ковальчуком.
5
СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ
АУТ	-	активный участок траектории,
ББ	~	боевой блок,
БИНС	-	беспиатформенная инерциальная навигационная система,
БО	-	боевое оснащение,
БР	-	баллистическая ракета,
БРК	-	боевой ракетный комплекс,
БС	-	боковая стабилизация,
БЦВМ	-	бортовая цифровая вычислительная машина,
ГСП	-	гиростабилизированная платформа,
ГЧ	-	головная часть,
ДУ	-	двигательная установка
ДПП	-	датчик первичной информации,
ДУС	-	датчик угловой скорости,
ЖРД	-	жидкостной ракетн ый двигатель,
ИНС	-	инерциальная навигационная система,
КИП	"	командно-измерительные приборы,
КСП ПРО -	комплекс средств преодоления ПРО,
Л.Ц	-	ложная цель,
НИС	-	навигационно-измерительная система,
НС	-	нормальная стабилизация,
НЗ	-	навигационная задача,
НЦВК - наземный цифровой вычислительный комплекс, ОУ	-	объект управления,
П.3	-	полетное задание,
ПРО	-	противоракетная оборона,
ПУТ	-	пассивный участок траектории,
РГЧ	-	разделяющаяся головная часть,
РДТТ	-	ракетный двигатель на твердом топливе,
РКС	-	регулятор кажущейся скорости,
СБУ	-	система боевого управления,
СИ	~	система наведения,
СР	-	ступень разведения,
ССД	-	система стабилизации движения,
СУ	-	система управления,
СУД	-	система управления движением,
СУС	-	система угловой стабилизации,
СУОС	-	система успокоения, ориентации и стабилизации,
УББ - управляемый боевой блок, ЭБО - элемент (элементы) боевого оснащения ракеты.
б
РАЗДЕЛ1
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О СИСТЕМАХ УПРАВЛЕНИЯ РАКЕТ И ИХ ГОЛОВНЫХ ЧАСТЕЙ
ГЛАВА 1,1
ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ УПРАВЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЕМ МАТЕРИАЛЬНЫХ ОБ7эЕКТОВ И ПОСТРОЕНИЯ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ПОЛЕТОМ ЛА
1.1.1.	Исходные понятия теории управления
К числу основных общеупотребительных понятий теории управления, играющих определяющую роль в формировании ее научного языка, относятся следующие понятия:
•	объект управления:
•	математическая модель объекта управления;
•	состояние объекта управления;
♦	цель управления;
•	управляющие воздействия (коротко-управления);
•	возмущающие воздействия (коротко - возмущения);
*	информация;
♦	устойчивость;
•	управляемость;
•	наблюдаемость:
•	качество управления, показатели качества процессов и систем управления.
Данные понятия подробно описаны в литературе по теории управления. Тем не менее мы считаем целесообразным дать краткий обзор этих понятий, чтобы подчеркнуть их роль и место в той теории, основы которой рассматриваютсяв настоящей книге. Приводимые ниже формулировки не претендуют на роль строгих определений и раскрывают содержание перечисленных понятий на описательном уровне. Назначение этих формулировок состоит в том, чтобы уточнить смысл, который будет вкладываться в рассматриваемые понятия в последующем изложении, отразить существующие между ними связи и аналогии, а также ввести и уточнить сопутствующую терминологию.
7
Объект управления. Понятия "объект управления", "управляющее воздействие" на объект управления и "цель управления'1 взаимосвязаны и не могут быть определены независимо друг от друга. Это обстоятельство находит отражение в определении объекта управления как такого материального объекта, который подвергается воздействию, направленному на достижение некоторой цели.
Акт целенаправленного воздействия на объект управления называется управлением, а если это воздействие является длящимся во времени, то -процессом управления.
По признаку наличия или отсутствия управления все материальные объекты могут быть подразделены на два класса - управляемые и неуправляемые объекты. Далее термины "объект управления" и "управляемый объект" используются как синонимы.
Наряду с управляемыми и неуправляемыми объектами рассматриваются также управляемые и неуправляемые процессы, при этом под процессом понимается изменение состояния объекта во времени.
Отмстим, что все управляемые объекты подразделяются на объекты искусственного происхождения(технические)инаобъекты естественного происхождения (биологические). К последним принадлежат все виды животных, а также человек.
Математическая модель объекта управления. Понятие .математической модели чрезвычайно общо и выходит далеко за рамки теории управления, Данное понятие означает, что некоторому материальному объекту, обладающему определенными физическими свойствами, ставится в соответствие его формализованный образ в виде математического объекта, поддающегося описанию в рамках той или иной формальноматематической теории (теории множеств, теории графов, теории дифференциальных уравнений, теории игр ит.д.). Выбор математической модели диктуется задачами проводимых исследований и, как правило, неоднозначен. При этом к математической модели часто предъявляют противоречивые требования адекватности, точности, простоты, наглядности и др. Поэтому окончательный выбор модели есть обычно результат компромисса и во многом зависит от опыта и искусства исследователя.
Втеорпиуправленпя подвижными объектами наибольшее практическое применение нашли модели в виде систем дифференциальных уравнений, разрабатываемые в рамках теоретической и прикладной механики и имеющие смысл уравнений движения. Обыкновенными дифференциальными уравнениями описываются многие физические и электрические процессы, поэтому модели этого типа являются основными в теории автоматического управления. Наряду с этим широкое
8
применение имеют модели в виде дифференциальных уравнений в частных производных.
Разработка математической модели объекта управления начинается с его схематизации, состоящей в том. что реальному физическому объекту (или классу таких объектов) ставится в соответствие его идеализированный образ, наделенный более простыми геометрическими и физическими свойствами и поддающийся описанию в рамках соответствующего класса математических моделей. При этом конкретизируется и формализуется понятие состояния объекта управления, осуществляется выбор подходящей совокупности независимых параметров, играющих роль параметров состояния.
Одновременно со схематизацией объекта управления осуществляется схематизация внешней среды, являющейся источником силового или иного воздействия на объект управления. При этом соответствующие воздействия формализуются в рамках разрабатываемой математической модели. Аналогичная процедура схематизации и формализации осуществляется по отношению к управляющим и возмущающим воздействиям.
Состояние объекта управления. Понятие состояния относится как к управляемым, так и к неуправляемым объектам и процессам. В зависимости от вида и свойств рассматриваемых объектов это понятие может иметь как качественное содержание (например, агрегатное состояние вещества), так и количественное выражение. В последнем случае состояние определяется совокупностью независимых величин, называемых параметрами состояния, которые могут принимать тс или иные числовые значения. Число этих величин должно быть достаточным для того, чтобы однозначно и исчерпывающим образом описать изучаемый объект.
Для иллюстрации понятия состояния приведем следующий пример. Рассмотрим процесс вращательно-поступательного движения летательного аппарата как твердого тела. Как известно из механики, в общем случае твердое тело имеет шесть степеней свободы (три степени свободы вращательного и три степени свободы поступательного движения), а само движение описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений 12-го порядка, где в качестве переменных (зависимых от времени, ио независимых друг от друга) используются координаты центра масс тела, компоненты его вектора скорости, параметры ориентации (например, углы Эйлера) и компоненты вектора угловой скорости. При известных силах и моментах, приложенных к телу, данная система дифференциальных уравнений замкнута, причем знания значений указанных 12 величин в некоторый момент времени достаточно для полного описания последующего движения. Таким образом, данные
9
величины могут рассматриваться в качестве параметров состояния летательного аппарата в процессе его движения.
При изугении других процессов и явлений (тепловых, электрических, химических) в зависимости от свойств этих процессов к сущности изучаемых явлений в качестве параметров состояния могут рассматриваться давление.температура, напряжение и сила электрического тока и другие необходимые величины.
Систему обыкновенных дифференциальных уравнений, моделирующих изучаемый процесс, принято записывать в так называемой нормальной форме Коши, при этом в общем случае она имеет следующий стандартный вид:
*i = Zi(G *„)»
*2 =Л('. Хр *«)•
(1.1)
\ =/п0» Х|> •••> «Л где время t является независимой переменной, величины л’р ..., хп -зависимые от времени переменные, величины jc,...х„ - первые
производнысотсоотвегствуюших переменных по времени. В этом случае величины л-(.,.... хп и являются параметрами состояния того объекта, поведение которого описывается системой уравнений (1.1).
Объект, состояние которого можно описать конечным числом параметров, называется конечномерным. Наряду с этим существуют процессы и объекты, состояние которых не может быть описано конечным набором числовых величин и которые по этой причине принято называть бесконечномерными. Поведение бесконечномерных объектов описывается, как правило, дифференциальными уравнениями в частных производных. Примерами подобных процессов могут служить колебания ущругих тел (Отержней, мембран, элементов конструкции Л А), колебания св ободных поверхностей жидкостей (например, компонентов топлива в банах ракет и других ЛА), процессы теплопередачи, диффузии и т.п. В этих: случаях состояние процесса или объекта описывается с помощью функций состояния. В приведенных выше примерах ими являются функции, которые определяют форму тел в процессе упругих колебаний, фюрму свободной поверхности жидкостей, форму изотермической поверхности в процессах теплопередачи и т.д.
С понятие;» состояния объекта управления тесно связано более общее понятие про.странства состояний, которое является математическим
10
обобщением общеизвестного представления о трехмерном физическом пространстве и распространяет понятиекоординаты точки в трехмерном пространстве на более общее понятие фазовой координаты. Для конечномерных объектов, поведение которых описывается дифференциальными уравнениями вида (1.1), пространство состояний мыслится как п-мсрное координатное пространство, где все величины л,..г„
полностью равноправны независимо от их физического смысла и физической размерности. При этом параметры состояния рассматриваемого объекта называют фазовыми координатами объекта, а пространство состояний - фазовым пространством. В зависимости от прикладного содержания решаемых задач это пространство может наделяться специальными свойствами и приобретать структуру линейного, метрического, топологического, евклидова пространств. Для бесконечномерных объектов, поведение которых описывается дифференциальными уравнениями в частных производных, пространство состояний образуется совокупностью функций, являющихся решениями соответствующих дифференциальных уравнений и является бесконечномерным (в том смысле, что в нем отсутствует конечномерный базис). По этой причине данное пространство не может рассматриваться как координатное и термин "фазовое пространство” к йену неприменим. Тем не менее, оно, как и конечномерное пространство, может быть при необходимое* ти наделено свойствами линейного, метрического или евклидова пространства.
Цель управления. Понятие цели управления является ключевым в теории управления, поскольку любой управляемый процесс подчинен некоторой цели. Цель управления определяется функциональным предназначением объекта управления и заключается в изменении желаемым образом его состояния.
Если объект многофункционапен.то цель управления неедпнетвенна. Кроме того, наряду с главной конечной целью управления могут существовать частные промежуточные цели, при этом в процессе управления приоритеты целей могут изменяться.
Управляющие воздействия. Управляющими называются воздействия на объект управления, поддающиеся желаемому изменению и направленные на достижение цели управления. В зависимости от физических свойств объекта управления управляющие воздействия могут быть силовыми, тепловыми, электрическими и др. Для ЛА основным видом управляющих воздействий являются силы и моменты, формируемые с помощью органов управления. Математическая формализация управляющих воздействий осуществляется одновременно с формализацией объекта управления в рамках разработки его математической модели. Как правило.управляюшие воздействия поддаются параметризации,т.е.
11
выражаются в виде функций нескольких независимых величин, называемых параметрами управления. Физический смысл параметров управления даже для одного и того же объекта управления может быть различным, при этом выбортехили иных величин в качестве параметров управления определяется главным образом соображениями удобства анализа и решения соответствующих задач управления. Для летательных аппаратов в качестве параметров управления рассматриваются угловые или линейные отклонения органов управления от их нейтрального положения, величина силы тяги двигательной установки, углы пространственной ориентации вектора тяги, параметры ориентации самого ЛА и другие величины.
В математической модели объекта управления, записываемой в виде системы дифференциальных уравнений, параметры управления включаются в правые части этих уравнений как совокупность нескольких независимых величин:
= /,(/, Хр •••> хп\ Up ..., um),
*2	-»V» Ы1> •••> «ж)»
(1.2)
= Л(«>	’••» х*> ы1» ••••
где Ирнж~ параметры управления.
Важным обстоятельством, учитываемым при формализации управляющих воздействий, является ограниченность их максимальных значений, что определяется как условиями функционирования объектов управления,так и их конструктивными особенностямн.Этн ограничения формализуются в виде допустимых пределов изменения параметров управления и записываются в виде неравенств:
Uj i Uj £ Uj, J = I.nt.
(1.3)
Другим видом ограничений являются ограничения, связанные с конечностью энергетических ресурсов, требуемых для реализации управления. Для ЛА типичным ограничением этого вида является конечность запаса топлива, чем определяется конечность времени рабогы двигательной установки и ограниченность интервала времени, в течение которого может бы гь реализован процесс управления.
12
Возмущающие воздействия. Возмущающими называются такие воздействия на объект управления, которые влияют на изменение его состояния и вызваны отклонениями характеристик внешней среды, в которой функционирует объект управления, и характеристик самого объекта управления от средних значений этих характеристик, принимаемых при разработке его математической модели в качестве номинальных (нормальных) значений. Возмущающие воздействия называются внешними, если они вызваны отклонениями характеристик внешней среды,и внутренними, если они определяются отклонениями характеристик объекта управления.
Главной причиной, вынуждающей выделять возмущающие воздействия в особый класс воздействий и препятствую щей непосредственному их учету в общей модели объекта управления, является их случайный характер. Данное обстоятельство требует применения специальных методов учета возмущающих воздействий и оценки их влияния на процесс управления.
При разработке математической модели объекта управления и среды его функционирования возмущающие воздействия параметризуются и выражаются в виде функций конечного числа возмущающих параметров, являющихся случайными величинами,©законах распределения которых имеется полная или частичная информация. При этом в большинстве случаев возмущающиепараметрыимеютвполнеконкретныйфизический смысл (например, отклонения от номинальных значений характеристик объекта управления - массы летательного аппарата, его моментов инерции, тяги двигательной установки, аэродинамических характеристик; отклонения от средних значений параметров атмосферы -плотности, давления,температуры и пр.). В других случаях параметризация возмущающих воздействий, являющихся случайными функциями, можетосушествляться формально в рамках общего метода канонических разложений случайных функций, разработанного акад В.С. Пугачевым [32]. Включение возмущающих параметров в правые части дифференциальных уравнений, задающих математическую модель объекта управления, приводит к более общей по сравнению с (1.2) модели, которую запишем в следующем формализованном виде:
~/|(G	%а > И|» •••> Чи’ 5|» •••• У»
^2 ° ,vl »•••> ul> •••’ Km’» *4» •••» У»	(U)
< =/«('•	*»; «t» •••>	•••• у»
13
где через £j,.... обозначены возмущающие параметры, а через х! -возмущенные значения параметров состояния. Связь между моделями (1.2) и (1.4) заключается в том. что если в (1.4) возмущающие параметры положить равными их средним значениям (математическим ожиданиям), то модели (1.2) я (1.4) становятся тождественными.
Стандартная (но не единственная из существующих) методология учета влияния возмущении на процесс управления заключается в том, что рассматриваемая задача (например, задача синтеза системы управления) решается в рамках модели вида (1.2) без учета возмущений, а затем с помощью модели (1.4) производится опенка влияния возмущений на характеристики качества процесса управления существующими для этого методами (например, методами линейной теории возмущений, методом статистических испытаний и др.), после чего в случае необходимости в полученное ранее решение вводятся соответствующие коррективы. Наряду с этим разработаны и широко применяются методы непосредственного учета действия возмущений п других факторов случайного характера в рамках процедур стохастического синтеза законов управления и систем управления в целом (см. [25.39]).
Информация. Понятие информации является общеупотребительных! в теории управления, теории связи, теории статистических решений и собственно в теории информации, причем в зависимости от области применения в это понятие вкладывается различный смысл. Для последующего изложения нам будет достаточно иметь интуитивно ясное представление об информации как о совокупности сведений относительно характеристик объекта управления и среды его функционирования, необходимых хчя реализации процесса управления и выраженных в количественной форме.
В теории статистических решений различают априорную (неопытную) и апостериорную (поспеопытиую) информацию. Воспользуемся этой терминологией, понимая подаприорной информацией всю совокупность исходных данных, которые известны до начала реализации процесса управления. Под апостериорной информацией будем понимать данные, получаемые в ходе процесса управления путем наблюдений и измерений. Плаче эту информацию можно назвать измерительной. Источником такой информации служит измерительная система, включающая совокупность датчиков первичной информации и средства обработки и преобразования информации к виду, удобному для использования в процессе управления. Основное назначение измерительной системы состоит в получении информации о текущих параметрах состояния объекта управления, которая необходима при выработке управляющих воздействий на объект управления. В более общем случае могут
14
осуществляться измерения некоторых возмущающих воздействий, а также тех характеристик объекта управления, которые изменяются в процессе управления.
Математическая модель измерительной системы записывается в виде функциональных связей между определяемыми параметрами (ими прежде всего являются параметры состояния объекта) и измеряемыми параметрами, значения которых фиксируются на выходе измерительной системы и образуют измерительную информацию. Обозначив измеряемые параметры через ур ...,ук, указанные функциональные связи выразим следующим образом:
?! = Ф]0. *!> •... Ля)»
У2 = Ф2& Х1.....
(1.5)
Ук =	*|» •••» -V
Данная модель является идеализированной, поскольку не учитывает внутренние возмущения измерительной системы, называемые в теории связи и передачи информации шумами. Основными составляющими шумов являются погрешности измерений, а также помехи в каналах преобразования и передачи информации. Модель измерительной системы с учетом аддитивных шумов может быть записана в виде
= 4>i(G *i.	х„) * 11,(0,
Уг = 4>2<г>	•••> хл) ’ М>»
(1.6)
У* = Фх(0 *1> •••> *„) + РкО)»
где шумы р4(0 представляют собой случайные функции пли случайные величины, законы распределения которых обычно полагаются известными, и сведения о них включаются в состав априорной информации.
Устойчивость. Понятие устойчивости является весьма общим п широко используется как в теории управления, так и во многих других научных дисциплинах. В зависимости от особенностей изучаемых объектов и задач исследований различают устойчивость по Ляпунову, устойчивость по Лагранжу, устойчивость по Пуассону, а также
15
используют различные частные варианты этих понятий (структурная и параметрическая устойчивость, устойчивость в малом, в большом и в целом, абсолютная устойчивость).
В теории управления наибольшее применение получило фундаментальное понятие асимптотической устойчивости по А..М. Ляпунову, определяемое как такое свойство исследуемой динамической системы (объекта или процесса), при котором достаточно малые изменения начальных условий функционирования системы и достаточно малые возмущения не приводят с течением времени к неограниченно большим отклонениям параметров состояния системы от их номинальных значений, а при исчезновении возмущений система возвращается к исходному невозмущенному состоянию. Устойчивость является важнейшим требованием, которому должна удовлетворять любая управляемая система, так как в случае неустойчивости успешное выполнение ею своего функционального предназначения и достижение цели управления становится, как правило, невозможным.
В теории управления существует богатый арсенал методов и алгоритмов исследования устойчивости, основой для которых послужили две группы методов, разработанных первоначально А.М. Ляпуновым и известных в литературе как первый и второй методы Ляпунова (см. [22]).
Первый метод Ляпунова, прямо или косвенно связанный с анализом корней характеристических уравнений соответствующих линейных или линеаризованных дифференциальных моделей управляемых систем, получил наибольшее развитие и применение в виде разнообразных критериев устойчивости. В частности, в практике синтеза управляемых систем широко используются как алгебраические, гак и частотные критерии устойчивости, основанные на применении операторного метода интегральных преобразований Фурье и Лапласа. Второй метод Ляпуноза, обладающий наибольшей степенью общности и пригодный для исследования широкого класса нелинейных систем, основан на применении аппарата так называемых функций Ляпунова, процедуры построения которых представляют собой отдельную проблему, общих методов решения которой до настоящего времени не найдено,
Отметим, что устойчивость является качественным, видовым свойством исследуемой системы и по своему первоначальному определению не нуждается в количественной опенке. Однако в настоящее время зтехнических приложениях, в том числе и в теории управления, широкое применение получили характеристики степени устойчивости, называемые запасами устойчивости и имеющие соответствующее количественное выражение.
16
Управляемость. Свойство управляемости наряду со свойствами > ст < »йчивост»I и наб;подаем ости от носится к числу качественных видовых hoiicTB объекта управления. Этим свойством характеризуется способность объекта управления изменять свое состояние в тех или иных пределах под действием управлений. У реальных технических объектов пределы изменения их состояния под действием управлений всегда ограничены в фазовом пространстве, при этом любому начальному состоянию объекта управления соответствует некоторая область фазового пространства, недостижимая изданного начальногосостоянпя при любых возможных управлениях. В связи с этим очевидно, что задачи управления .могут ставиться и решаться только в пределах областей достижимости.
Исследование управляемости объекта управления сводится к анализу i: построению областей управляемости и достижимости, размеры и конфигурация которых определяются ограничениями на управление и лруктурными свойствами самого объекта управления, отраженными в е!о .математической модели.
Простейшая методика анализа структурной управляемости (т.с. без учета ограничений ла управление) состоит в применении известных критериев управляемости Р. Калмана, сформулированных применительно к линейным моделям объекта управления. При этом задача анализа хправлясмости является содержательной только з том случае, когда число параметров управления меньше числа параметров состояния, поскольку в случае их равенства очевиден вывод о полной структурной управляемости объекта управления. Однако для реальных объектов, в частности, летательных аппаратов, число независимых параметров управления обычно меньше числа подлежащих управляемому изменению параметров состояния, поэтому задача анализа структурной управляемости таких объектов и построения областей достижимости неявляется тривиальной.
В общем случае нелинейной модели вида(1.2) и с учетом ограничений на управление данная задача представляет собой весьма сложную задачу качественной теории дифференциальных уравнений и общих аналитических методов ее решения не существует. Поэтому построение областей достижимости осуществляется главным образом численными методами с учетом случайного характера действующих на объект управления возмущений.
В динамике полета летательных аппаратов находит широкое применение также другая, отличная от кал.мановской трактовка свойства управляемости, которая может быть охарактеризована термином "д! и:тмкческая управляемость". Динамическая управляемость ЛА тесно связана с его устойчивостью. Подробнее оба свойства управляемости рассматриваются ниже в п. 1.2.5 и 1.2.6.
17
Наблюдаемость. Понятие наблюдаемости характеризует качественное видовое свойство измерительной системы, рассматриваемой в совокупности с объектом управления в качестве источника информации о состоянии объекта управления. Свойством наблюдаемости определяются возможности измерительной системы по полному или частичному воспроизведению информации о состоянии объекта управления путем наблюдения значений измеряемых параметров в условиях отсутствия шумов измерений.
В тех случаях, когда существует принципиальная возможность однозначного определения параметров состояния по измерениям,объект управления называется полностью наблюдаемым. Если же определению поддастся только часть параметров состояния, то объект управления наблюдаем не полностью. В этом случае требуется специальный анализ возможности решения рассматриваемой задачи управления в условиях неполной наблюдаемости и при необходимости - видоизменение измерительной системы.
Вопрос о наблюдаемости решается сравнительно просто, когда число измеряемых параметров равно числу определяемых параметров состояния и сводится к выяснению возможности однозначной разрешимости системы алгебраических уравнений (1.5) относительно неизвестных л-,. ...,.vw. Если жечисло измеряемых параметров меньше числа определяемых параметров, то для решения вопроса о наблюдаемости требуется совместный анализ моделей (1.5) и (1.2). С этой целью применяются известные методики, включая критерии Р. Калмана для линейных систем, а также обобщение этих критериев на класс нелинейных систем (см. [14]. [33]).
Отметим, что для класса линейных моделей понятия наблюдаемости и управляемости в математическом плане весьма близки, что находит свое выражение в алгебраической тождественности формулировок критериев наблюдаемости и управляемости. Это обстоятельство послужило в свое время Р. Калману основанием для того, чтобы ввести эти понятия в теорию управления как алгебраически двойственные. Однако для нелинейных моделей подобная двойственность не имеет места. По этой причине методики анализа свойств наблюдаемости и управляемости различаются для нелинейных систем коренным образом.
Качество управления, показатели качества управления. Качество является категорией общефилософского уровня и не поддается универсальному формально-логическому определению. Это понятие конкретизируется и наполняется различным смысловым содержанием в зависимости от области его применения (наука, искусство, военное дело, сфера материального производства и т.д.).
18
в т,хнике качество понимается как свойств отражающих степень соответствия тсхническо аюШ11Х. скстечь своему функпионалыю-иелсвомулредиазн ...зей качества, ся коздесиенному выражению с помошио”S£ler,
В тюри,, управления «сполыуется большое «л° "° качеств, характеризующая свойства управляемых пр и совершенства применяемых методов управления “ в иеяо,. Оеиоиимми из з™х показатеш^«^"°РИя ,характ:ризуют управляемую систему с точки f*	* 0ЧН0Сти
поставленной челн управления. К ним относятс	• тнос.
управления, задаваемые как в детерминирование . «поа3дение, тной Фэрме. показатели уровня энергетичесю^ 3^плИва. потребная по1рг04Ь1йрасходзнсрги11,потреоныйрасходмассь1т	_	н
харакгвр11с?„Ческая скорость, показатель ^Х^еТсистХУидр. управление, определяющий быстродеиствпеуправ.	упргвпяемУ1о
Не ьеньшую роль играют показатели.	^Хть свои
систем) как динамический объект, способный у -	.. В03Мущенпй.
функции при измененииусловий его применения идм^в.ш воз ушей ВажиеЦшимн из таких показателей являются запасы устойчивости, также .‘.арактеристики качества переходных пронес .	ак
К показателям качества, характеризующим управляем) ю^систелу^Лр^ объект производства и эксплуатации, относятся н показателей раооты н ряд других показателей. Задача^оце	етстВУЮЩ„мп
выход!,г за рамки теории управления и'Я® я °° испытаний методами на стадии технического проектирования промышленного образца.	«««мателн качества
При решении различных вопросов УПР^СН’ * нДма их влияния могут Играть различную роль в зависимост» °™ так назь1ваеМые на получаемое решение. В частности, если з Д	то эти показатели
требуемые значения некоторых п0^а^^Ч^0ВЛ’етВорять искомое играю? роль ограничении, которым должно уд Р обеспечить решенце₽ Например, синтезированная точность управления не хуже заданной, иметь зап у можетиграть нпжезцдапных и т.д. В другой случаяхерсшен„с задачп?при роль Критерия оптимизации, когда ищется так р ^кстоемальное котором соответствующий показатель "Рин гпоавленне может (макси:,шьное пли минимальное) значение. Напр	рЛ Р
определяться из условия минимумазнергетическихзатрат.максимщ.ьно го бысфодействия и т.п. Очевидно, что в зависимости от содер^^ постановки задачи многие из перечисленных выше	в любом
играть как роль ограничения, так и роль критерия опт	в пешеини
из 3TH.v случаев показатель качества играет активную роль в решении
19
задачи. Наряду с этим некоторые показатели качества .могут играть и чисто пассивную рольв видесвободных параметров задачи, подлежащих определению после ее решения. Однако и в этих случаях они полностью сохраняют свое значение как объективные характеристики свойств рассматриваемой системы и степени ее технического совершенства.
Итак, нами проанализированы некоторые основные понятия теории управления. Приведенный выше перечень понятий, разумеется, далеко не полон и мы будем его наращивать по мере изложения последующего материала. Однако именно эти понятия образуют гот необходимый минимум, без которого не обходится рассмотрение практически любого вопроса управления. С помощью этих понятий формулируется ряд общих принципов теории управления, к рассмотрению которых мы и перейдем.
1.1.2.	Роль и место принципов как основополагающих концептуальных положений в науке и технике
В естествознании и в философии термином принцип (от лат. princeps-первый, основной, главный) обозначают исходное концептуальное положение теории, учения, науки, а в технике этим термином характеризуют основные особенности, определяющие сущность построения и функционирования приборов, механизмов и машин.
Степень общности того или иного принципа, его роль и место в познавательной и производительной деятельности человека, теоретическое и практическое значение могут быть весьма различными. В некоторых наиболее общих случаях принципы формулируются как основополагающие законы конкретной области науки. Например, в физике (в обшей теории относительности) хорошо известны принцип постоянства скорости света в различных системах отсчета и принцип эквивалентности инертной и тяжелой масс. В силу своей общности и фундаментальности эти принципы не поддаются теоретическому доказательству на основе каких-либо более общих утверждений (которых вданномслучаепростонесуществует),но справедливость их можетбыть проверена экспериментальным путем в пределах точности измерений, достижимой на современном уровне развития техники. Основанием для постулирования этих принципов в качестве законов природы служит непротиворечивость их опытным фактам.
В других случаях принципы содержат строго доказуемые утверждения, на основе которых затем развиваются соответствующие методологические подходы к исследованию тех или иных процессов и явлений. Примером принципов подобного рода могут служить принципы аналитической динамики (принцип наименьшего действия, принцип
20
наименьшего принуждения, принцип Гамильтона и др.), доказательство которых основано на законах Ньютона.
Вместе с тем существуют принципы, суть которых составляет некая основополагающая идея, предназначенная для того, чтобы руководствоваться ею при изучении определенного круга явлений. Подобные принципы нс требуют экспериментальной проверки или теоретического доказательства, однако целесообразность их применения подтверждается достигаемыми при этом результатами. К числу подобных принципов относится известный в общей теории систем принцип декомпозиция, рассматриваемый ниже применительно к вопросам построения систем .правления. Этот принцип тюсдставляет собой методологическую установку, формирующую характер мышления исследователя и общее направление его деятельности при анализе а синтезе сложных систем.
Наконец, в технике мы видим многочисленные примеры того, как разнообразным техническим устройствам присущи одни и те же особенности их построения и функционирования, имеющие общий характер и являющиеся выражением обшей идеи или некоторого общего физического свойства, что может рассматриваться в качестве общего принципа построения и функционирования целых классов подобных устройств. Так. в технике реактивного движения (ракегы разнообразных зилов, реактивные самолеты, суда с водометными двигателями) реализован общий принцип реактивного движения, состоящий в создании движущей силы в виде реакции потока отбрасываемых от аппарата частиц массы. Пришит ниершшлыюй итзнгацни, подробно анализируемый во втором разделе данной книги, лежит в основе построения систем измерения параметров движения разнообразных подвижных объектов (включая морские суда, самолеты, сухопутные средства передвижения) и является основным в навигационных системах баллистических ракет. В теории и практике автоматического управления широко применяется принцип обрат пой связи, являющийся основополагающим принципом построения и функционирования любой управляемой системы как в технике, так и в живой природе.
Приведенные примерь: иллюстрируют то обстоятельство, что при всем разнообразии сгепенн общности, уровня научно-логической мотивации и содержательного смысла тех или иных положений, которые определяются как некоторые принципы, роль их в конкретной науке или области техники весьма важна. Наряду с первичными понятиями,определениями, постулатами к законами принципы фор.миру>сгконцептуаяьные основы любой пауки, состанляют ее научный и методологический фундамент. Формулирование принципов позволяет систематизировать знание о предмете и помс/ает специалисту, работающему в соответствующей
21
области науки и техники, уверенно ориентироваться в сфере своей деятельности и успешно решать поставленные задачи.
В качестве наиболее общих исходных принципов теории управления движением и построения соответствующих систем управления далее рассматриваются принцип обратной связи, принципы управления начальным» текущим в конечным состоянием объекта управления, а также принцип декомпозиции, включающий такие варианты его реализации, как принцип управления по схеме "наведение-стабилизация" и принцип независимого (развязанного) управления.
1.1.3.	Принцип обратной связи
Идея обратной связи при построении систем автоматического управления подсказана человеку самой природой, где в действиях любого живого организма, зверя, птицы, носящих целенаправленным характер (поиск и добывание пиши, вскармливание потомства, защита от естественных врагов и т.п.), наблюдается одна и та же устойчивая совокупность причинно-следственных связей, определяющих механизм целенаправленного поведения: наличие цели управления (ощущаемой рефлекторно на уровне инстинкта), получение информации о собственном состоянии и положении относительно окружающей среды (воспринимаемой через органы чувств), выработка с учетом этой информации сигналов управления (в виде биотоков мозга у высших животных или импульсов возбуждения нервных волокон у низших), реализация управляющих воздействий (через мышцы, конечности). Целенаправленные действия человека подчинены той же цепочке связей с тем только отличием, что цель управления воспринимается человеком осознанно. Разрыв этой цепочки в любом ее звене нарушает процесс управления и целенаправленные действия (по крайней мере, с прежней эффективностью) становятся невозможными.
Система автоматического управления любым техническим объектом реализует аналогичную цепь причинно-следственных и информационных связей. На рис. 1.1 изображена схема подобной системы, включающая функциональные элементы (звенья) и связывающие их каналы передачи сигналов информации и управления.
Как видно из приведенной схемы, информация о параметрах состояния объекта управления получается с помощью измерительного устройства (аналог органов чувств) и используется затем в устройство выработки команд управления ("мозг" системы управления). Далее команды управления воздействуют на исполнительное устройство ("мышцы"), которое в свою очередь приводит в действие органы управления ("конечности") объекта управления. На данной схеме через
22
Рис. 1.1. Блок-схема САУ собраний связью
А’(0 обозначены параметры состояния объекта управления в его фазовом пространстве, К(г) - результаты измерений параметров состояния, U(i) -команды управления, 6(0 - перемещение органов управления, приводящее к изменению силового или иного управляющего воздействия на объект управления,^/) - воздействия на объект управления со стороны внешней среды, имеющие характер случайных возмущений.
В соответствии с общепринятой терминологией звенья I. 2 и 4 образуют управляющий объект (называемый в теории автоматического регулирования регулятором), а совокупность управляющего объекта и объекта управления составляет систему автоматического управления (САУ) пли, для краткости, систему управления. Объект управления играет роль одного из се звеньев. Под входной информацией понимаются данные, необходимые для обеспечения целенаправленного функционирования системы управления в конкретных условиях ее использования. Эти данные могутвключать информацию о цели управления (параметры Ц), данные о начальном состоянии объекта управления (параметры <¥0), данные, задающие режим работы устройства выработки команд управления (в том числе и алгоритмы управления), а также другую необходимую информацию.
Характерной особенностью системы управления, схема которой приведена на рис. 1.1, является наличие в ней замкнутого контура прохождения сигналов, соединяющего звенья I, 2.3 и 4. Такая система управления называется замкнутой илн системой с обратной связью. Обратная связь реализуется здесь через измерительное устройство и служит для передачи информации с выхода системы управления на ее вход, позволяя осуществлять выработку команд управления с учетом реального состояния объекта управления, которое формируется при совместном влиянии управляющих и возмущающих воздействий. Данная обратная связь называется главной. Наряду с этим может использоваться
23
так называемая местная обратная связь, которой охватываются отдельные звенья САУ или совокупность звеньев.
Если в системе управления замкнутый контур прохождения сигналов отсутствует, то такая система называется разомкнутой или системой без обратной связи. Разомкнутые системы автоматического управления нашли применение прежде всего в тех областях техники, где по условиям функционирования объекта управления влиянием внешних воздействий (возмущений) можно пренебречь. Примерами таких систем являются станки с программным управлением в обрабатывающей промышленности, автоматические роботы-манипуляторы, применяемые на автосбороч-ных заводах, и другие подобные системы. Управление в них вырабатывается в соответствии с заданной программой и не корректируется в процессе работы системы управления в зависимости от получаемого результата. Таким САУ получили название разомкнутых систем программного управления.
Более сложным вариантом разомкнутых САУ являются такие, где имеется возможность измерения возмущений, воздействующих на объект управления, с последующим учетом этой информации при выработке команд управления (рис. 1.2).
Соответствующая коррекция команд управления по информации о величине действующих возмущений обеспечивает компенсацию возмущений. По этой причине такие системы получили название систем компенсации. Несмотря на наличие измерительного устройства, замкнутый контур прохождения сигналов в системах компенсации отсутствует, т.е. это системы без обратной связи. В чистом виде системы компенсации используются не часто, что объясняется главным образом трудностью прямого измерения действующих на объект возмущений. Поэтому более распространенными являются комбинированные замкнутые системы управления, где наряду с основным замкнутым контуром управления имеетсяразомкнутый контур компенсации одного или нескольких возмущающих воздействий.
Рис. 1.2. Блок-схема САУ с контуром компенсации
24
Системы автоматического управления с обратной связью получили преимущественное развитие и применение в тех областях техники, где стоят задачи управления сложными динамическими объектами, функционирующими в условиях значительных возмущающих воздействий. Такими объектами в первую очередь являются летательные аппараты, морские суда и другие подвижные объекты. Наряду с этим и в огромном большинстве относительно простых САУ использование обратных связей является необходимым условием обеспечения требуемого качества функционирования систем управления по таким показателям, как точность, запасы устойчивости, длительность переходных процессов, величина перерегулирования и др.
Анализ накопленного к настоящему времени опыта создания разнообразных систем управления позволяет утверждать, что идея обратной связи играет фундаментальную роль в теории и практике управления. Тем самым, принцип обратной связи следует рассматривать в качестве основополагающей концепции построения и функционирования управляемых систем как в технике, так и в живой природе. В соответствии с этой концепцией управляющие воздействия на объект управления вырабатываются с учетом его состояния, обусловленного совместным влиянием возмущающих и предшествующих управляющих воздействий. Коротко суть принципа обратной связи может быть, следуя Р. Веллману, сформулирована следующим образом; управление есть функция состояния. Характеризуя значение принципа обратной связи для теории и практики управления, Р. Калман называет его "великим открытием, составившим основу всей автоматики" ([15], с. 58).
Как видно из содержания принципа обратной связи, его практическая реализация предусматривает использование информации о состоянии объекта управления, которая может быть получена путем наблюдений и измерений. В системах управления подвижными объектами для получения такой информации служат бортовые, наземные или комбинированные навигационно-измерительные системы (НИС). Уровень совершенства соответствующей измерительной системы, объем и качество получаемой измерительной информации являются важнейшими факторами, определяющими качество функционирования систем управления с обратной связью.
1.1.4.	Принципы целенаправленного воздействия на состояние объекта при управлении его движением
Рассмотрим конкретный класс подвижных объектов, объединенных обшим термином летательный аппарат, понимая под летательным аппаратом любое техническое устройство, предназначенное для
25
совершения полета, т.е. движения над поверхностью Земли в воздушной среде или за пределами земном атмосферы.
Подразделение всего множества летательных аппаратов на различные виды по ряду классификационных признаков представлено в табл. 1.1. Из этой таблицы видно, что существует большое разнообразие технических устройств, которые в соответствии с данным выше определением могут быть отнесены к классу летат ельных аппаратов. Эти технические устройства могут существенно отличаться друг от друга своим функциональным предназначением, конструктивным обликом, способами создания силового воздействия, необходимого для обеспечения полета, наличием или отсутствием двигательной установки, типом самов двигательной установки и т.д. Однако независимо от вида и особенностей ЛА полет его всегда подчинен определенной цели, коротко говоря,целенаправлен.
В теории полета принято различать два основных способа обеспечения целенаправленности полета. Эти способы вытекают из известного положения механики,согласно которому движениелюбого материального тела определяется начальными условиями и силами, действующими на тело в процессе движения. В соответствии с этим первый способ обеспечения целенаправленности полета состоит в предании телу необходимых начальных условий, при этом в процессе последующего движения действующие на тело силы изменяются естественным образом.
До появления баллистических ракет в наиболее выраженном виде данный способ был реализован в ствольной артиллерии, где желаемая траектория полета артиллерийского снаряда при стрельбе по заданной цели обеспечивалась выставкой ствола орудия в требуемое положение по азимуту и углу возвышения, а также сообщением снаряду требуемой начальной скорости, определяемой массой порохового заряда. Перечисленные величины, а также координаты орудия образуют в данном случае совокупность начальных параметров состояния артиллерийского снаряда как объекта управления, которыми определяется траектория его последующего полета.
Сам полет реализуется в данном случае по принципу бросания и получил в теории полета название баллистического. С позиций теории управления можно сказать, что целенаправленность баллистического полета обеспечивается управлением начальным состоянием объекта управления.
Второй способ обеспечения целенаправленности полета состоит в том, что в процессе движения часть сил, действующих на ЛА (такие силы называют управляющими), изменяются требуемым образом, что приводит к желаемому изменению траектории полета. Полет этого типа в отличие от баллистического называют управляемым и его иеленаправ-
26
Легче воздух»
и
| ЛЕТАТЕЛЬНЫЕ АППАРАТЫ
Свободные |
Моторные (с двигателем)	1	Безмоторные (без двигателя)
Дирижабли
Аэростаты наблюдения
Газо наполненные аэростаты
Аэростаты шцшждеких		Тепловые аэростаты
		
Привязные шары-зонды		Свободные шлры*зонды
Ракеты
Неуправл	ясмые	|	Управ	щяеыые |
Коммерческого н научного назначения
Военного назначения
luaiuya 1.1
Тяжелее воздух*
Моторные (с двигателем)
Свободные
J Безмоторные
(без двигателя)
Воздушные змеи
Самолеты
Планеры. парашютные системы "
боевые различных типол
Ракеты-носители ИСЗ и КА
Крылатые разлитых типов
Сигнальные
Осветительные I
Пирси с.хиические
Буксируемые планеры
Привязные космические зонды
Вертолеты
Планирующие бомбы
Дсследовательскпс ракеты-зонды
Самолетные различных типов
Зенитные ПВО и ПРО
I Баллистические L
Активные ИСЗ, КА (маневрирующие)
Пассивные ИСЗ, КА (неманеврн-рующне)
Артиллерийские снаряды, мины ~
Головные части баллистических ракет
Неуправляемые
Управляемые
^баллистического типа |
| Аэробаллнстмчсскнс [
| Планирующие |
ленность обеспечивается управлением текущим состоянием объекта управления.
К числу летательных аппаратов, в процессе управления которыми реализуются оба способа обеспечения целенаправленности полета, относигсябаллистическаяракега.отличительнойособснностыокоторой является то известное обстоятельство, что полет се включает две фазы --фазу полета с работающе»"! двигательной установкой (управляемый полет) и фазу полета с выключенной двигательной установкой (баллистический полет).
Полет управляемой головной части баллистической ракеты включает три фазы - фазу управляемого полета в составе ракеты-носителя, фазу свободногобаллистпческого полета на атмосферном участке траектории после отделения от ракеты-носителя и фазу управляемого полета на участке снижения в атмосфере при подлете к пели. Здесь, как видим, целенаправленность полета управляемой ГЧ обеспечивается сначала по способу управления ее начальным состоянием на момент отделения от ракеты-носителя, а на заключительном этапе полета - по способу управления ее текущим состоянием.
Анализ рассмотренных способов реализации целенаправленного полета с точки зрения механики показывает, что они поддаются обобщению до уровня достаточно общих принципов управления движением, которые назовем принципом управления начальным состоянием объекта управления и принципом управления текущим состоянием объекта управления. К названным принципам управления движением целесообразно добавить еще одни принцип, который назовем принципом управления конечным (терминальным) состоянием объекта управления.
Данный принцип управления реализуется на практике в тех случаях, когда конечная цель управления состоит в обеспечении некоторых требуемых значений параметров состояния объекта управления в конечный (терминальный) момент времени, определяемый как момент достижения поставленной цели управления. При этом цель управления может быть достигнута при различных начальных и промежуточных состояниях объекта управления. Например, самолет должен прибыть в аэропорт назначения, головная часть баллистической ракеты должна попасть в заданную точку цели, космически»"! аппарат должен быть выведен на орбиту с заданными параметрами.
На первый взгляд может показаться, что применительно к летательным аппаратам принцип управления конечным состоянием ничем существенным не отличается от первых двух принципов и сводится к одному из них, поскольку достижение конечной цели управления обеспечивается либо реализацией соответствующих начальных условий
28
объекта управления (если он принадлежит к классу баллистических объектов), либо путем управления его текущим состоянием. Подобный вывод будет справедлив, если задачу достижения конечной цели управления рассматривать в качестве единственной функции системы управления. Однако следует принять во внимание, что летательный аппарат представляет собой сложный динамический объект, на систему управления которого возлагается ряд функций, направленных на достижение частных целей управления.
Важнейшей из этих функции является обеспечение устойчивого полету ЛА в условиях действия возмущений, что следует рассматривать а качестве самостоятельной цели управления. Примером другой частной цели управления может служить требование по преодолению самолетом или головной частью баллистической ракеты рубежей ПВО или ПРО путем соответствующего маневрирования в зоне функционирования средств перехвата. В обоих рассмотренных случаях задача управления текущим состоянием объекта управления сохраняет самостоятельное; значение» нетождествена задаче управления его конечным состоянием.
Таким образом, в тех случаях, когда перечисленные выше принципы управления относятся к различным функциям, выполняемым системой управления, они являются полностью независимыми. В дальнейшем данный вопрос получит подробное и детальное освещение при рассмотрении таких функций системы управления, как наведение и стабилизация.
1.1.5.	Принцип декомпозиции (разделения) сложных задач в совокупность задач .меньшей сложности
Принцип декомпозиции является основным принципом системного подхода, развиваемым в общей теории систем (см. [36]). В своем наиболее общем виде этот принцип представляет собой методологическую концепцию, которой целесообразно руководствоваться при анализе сложных объектов и систем, а также при решении сложных комплексных задач. Содержание данной концепции состоит в том, что при исследова. нии сложного объекта в первую очередь выявляется его внутренняя структура, характер связей между образующими его частями или элементами, чтобы по возможности свести исходную задачу исследования объекта к совокупности частных задач исследования его составных частей.
Принцип декомпозиции как способ упрощения задач известен с давних времен. По поводу данного принципа Р. Декарт в своем философском произведении "Рассуждение о методе", опубликованном в 1637 г., писал так: "Расчлените каждую изучаемую вами задачу на
29
столько частей, на сколько сможете и на сколько это потребуется вам, чтобы их было легко решать" (Р. Декарт. Избранные произведения, М., 1950. с. 272).
Сам по себе принцип декомпозиции не содержит готовых рецептов решения тех или иных задач и его прикладная ценность выявляется в каждой конкретной ситуации по-разному в зависимости от особенностей и специфики решаемых задач, а также от умения исследователя эти особенности вскрыть и правильно ими воспользоваться. Таким образом, искусство владения принципом декомпозиции можно было бы коротко определить как "искусство упрощать".
Многочисленные примеры практического применения принципа декомпозиции можно найти в математике, механике, физике, во многих прикладных науках. Наибольшего эффекта от применения принципа декомпозиции удается получить в тех случаях, когда рассматриваемая сложная задача расчленяется в совокупность полностью независимых задач меньшей сложности, решаемых независимо одна от другой. В других случаях рассматриваемая задача может быть расчленена на частично независимые задачи, решаемые последовательно, что также упрощает процедуру решения исходной задачи. В математике реализация принципа декомпозиции связана, как правило, с использованием приема замены переменных, поэтому неудивительна та роль, которая отводится в этой науке поискам рациональных методов преобразований математических моделей и выражений. Преобразования, по выражению Р. Веллмана, "образуют сердцевину математики" ([4], с. 12).
Менее строгий, но также широко применяемый прием декомпозиции состоит в искусственном упрощении математических моделей, что позволяет ослабить или полностью исключить связи между некоторыми ее частями и создать тем самым предпосылки для разделения рассматриваемой задачи на независимые части. Широко применяемая методика изучения сложных процессов путем применения двух групп моделей -возмущенного и невозмущенного движения - также представляет собой по существу особый прием декомпозиции, сводящий исходную задачу к двум последовательно решаемым задачам, первая из которых состоит в исследовании закономерностей невозмущенного движения, а вторая - в последующем учете действия возмущений.
В теории управления принцип декомпозиции нашел широкое и разностороннее применение. Мы рассмотрим два типичных варианта реализации этого принципа, играющих определяющую роль при формировании облика систем управления подвижными объектами практически любых классов. Первый из этих вариантов состоит в разделении общей задачи управления движением на две задачи, которые назовем задачами наведения и стабилизации. Далее мы будем называть
30
его принципом управления но схеме "наведение - стабилизация". Второй из рассмотренных ниже вариантов декомпозиции исходной задачи управления известен в теории управления как принцип независимого (развязанного) управления.
1.1.6.	Принцип управления по схеме "наведение - стабилизация"
Реализацию рассматриваемого принципа нетрудно проследить в системах управления любыми подвижными объектами, цель управления которыми состоит в перемещении объекта из некоторой начальной точки пространства в заданную конечную (терминальную) точку. Суть данного принципа управления заключается в разделении обшей задачи управления движением на две взаимосвязанные задачи - задачу програм мирова-ния движения центра масс объекта управления (задачу наведения) и задачу отработки найденных программ управления в процессе движения путем соответствующего воздействия на органы управления (задачу стабилизации движения).
Задача программирования движения состоит в определении закона движения центра масс объекта управления из условия достижения конечной цели управления. Закон движения может выражаться в различной форме. Для летательных аппаратов закон движения задается чаще всего в опосредованной форме в виде программ изменения во времени (или в функции другой подходящей переменной, например, скорости, пройденного пути) тех величин, которыми определяется управляющее силовое воздействие на объект управления, формирующее требуемую траекторию его движения. Такими величинами являются углы тангажа и рыскания баллистической ракеты, определяющие направление вектора тяги двигательной установки, углы атаки и скольжения планирующего летательного аппарата, определяющие величину и направление вектора полной аэродинамической силы и т.д. Закон движения может задаваться также в виде программ изменения во времени тех фазовых координат объекта управления, которые непосредственно описывают движение его центра масс до момента достижения заданного терминального состояния (ими могут быть координаты объекта в физическом пространстве, компоненты его векторов скорости или ускорения). Наконец, закон движения может выражаться в так называемой замкнутой форме в виде явных функциональных зависимостей тех или иных параметров управления (роль таких парамезров могут играть перечисленные выше угловые величины или другие подходящие переменные) от текущих фазовых координат объекта управления и заданного терминального состояния. В литературе подобные зависимос-
31
ти получили название законов управления в замкнутой форме ил коротко, законов управления.
Независимо от формы выражения все перечисленные выше вариан 1 задания закона движения обьектауправления имеют общее содержа:»»! состоящее в решении задачи программирования такого желаемого ил как говорят, такого требуемого движения объекта управления, nj котором обеспечивается достижение поставленной цели управлени Поэтому' далее все возможные варианты задания подобных законе движения будем называть программами управления движением центр масс объекта управления или, коротко, программами управления.
В зависимости от класса подвижных объектов задача прмраммиров: ния движения имеет соответствующую специфику и носит различие название. Так, при управлении движением морских и воздушных суде эта задача называется задачей прокладки курса или маршрута движент и ее решение возлагается на специального члена экипажа - штурман; В системах автоматического управления движением ракет и други летательных аппаратов данная задача называется задачей наведения ее решение возлагается на соответствующую часть ooiueii систем; управления, называемую системой наведения.
На баллистических ракетах, у которых процесс управления прерывает ся до окончания движения (т.е. до момента достижения ракетой или е головной частью заданной цели), задача наведения приобретае дополнительную специфику, состоящую в том, что кроме програм» управления движением должен быть определен момент прерывали управления и выработана соответствующая команда на выключена двигательной установки и отделение головной части. В более обще! случае в задачу наведения включается также выработка команд н разделение ступеней ракеты, запуск и выключение двигательны. установок, отделение сбрасываемых элементов конструкции (например головного обтекателя), отделение элементов боевого оснащения ракеп (боевых блоков разделяющейся головной части, ложных целей и др.). 1 отличие от программ управления все эти команды управления являютс. разовыми и подаются непосредственно на устройства управлени: запуском и выключением двигательных установок и на соот ветствующи элементы автоматики, приводящие в действие системы разделен»: ступеней ракеты, отделения сбрасываемых элементов конструкции i боевого оснащения.
Отметим, что задача выработки разовых команд наведенш характерна не только для баллистических ракет. Например, пр» осуществлении прицельного бомбометания сборта сам Олега-бом ба рди ровшика член его экипажа, отвечающий за решение задач наведенш (штурман-бомбардир), не только задает программу полета на осеней
32
курсе при выходе в зону бомбометания (высоту, скорость, направление полета), но также с помощью прицельных устройств определяет момент сброса бомбовой нагрузки и подает необходимую команду. Аналогичные разовые команды наведения подаются при пуске с борта самолета-носителя управляемых и неуправляемых ракет, при управлении моментом подрыва боевого заряда зенитной ракеты в ходе ее сближения с целью и т.п.
Рассмотрим теперь вторую часть общей задачи управления движением, состоящую в реализации программ управления путем выработки команд, подаваемых на органы управления движущегося объекта. На морских судах зга задача возлагается на рулевого, управляющего рулем и двигательной установкой судна (машиной) с целью обеспечения движения судна по заданному курсу и парирования действующих на судно возмущений (волнение, ветер, морские течения и пр.). На воздушных судах (самолетах, вертолетах, дирижаблях) данная задача возлагается на пилота, функции которого аналогичны функциям рулевого. При управлении движением в автоматическом режиме задача отработки программ управления и обеспечения устойчивости движения возлагается на соответствующую часть общей системы управления, называемую на морских судах авторулевым, а в авиации - автопилотом. На ракетах эту часть системы управления принято называть системой стабилизации движения, хотя термин "автопилот" используется в зарубежной литературе применительно и к ракетам.
Системы стабилизации движения строятся и функционируют как замкнутые системы автоматического регулирования, целью управления в которых является сведение к нулю рассогласования между заданным значением входной величины, изменяющейся по некоторому закону (такой входной величиной и является программа управления, формируемая системой наведения), и измеренными значениями соответствующего параметра движения. Выходом системы стабилизации являются команды управления, подаваемые на силовые приводы (рулевые машины), которые в свою очередь приводят в действие органы управления ЛА (рули), в результате чего формируется необходимое силовое воздействие на ЛА.
Рассмотрим схему системы управления, функционирующей по принципу "наведение - стабилизация", изображенную на рис. 1.3. В отличие от схемы на рис. 1.1 в данном случае устройство выработки команд управления состоит из двух функционально связанных устройств, предназначенных для выработки команд наведения и стабилизации. Совместно с соответствующими исполнительными органами и объектом управления данные устройства образуют две функциональные подсистемы системы управления - системы наведения к стабилизации.
33
Рис. IJ. Блок-схема САУ е подсистемами наведения и стабилизации
На данной схеме через Un?(t') обозначены программы управления, формируемые системой наведения; У^Г), Уу.')-фактические значения соответствующих параметров движения, определяемые с помощью измерительной системы; - разовые команды наведения; г/ -моменты исполнения разовых команд; &U(i) - команды управления, подаваемые с выхода системы стабилизации на рулевые машины; б(г) -отклонения органов управления.
Отметим, что использованный выше термин 'система стабилизации" не вполне соответствует классификации систем регулирования, сложившейся в общей теории автоматического управления, где в качестве классификационного признака рассматривается вид задающего управляющего воздействия на входе системы. В частности, в теории автоматического регулирования системой стабилизации называют лишь такую систему управления, в которой задающее управляющее воздействие является постоянной величиной. Если же задающее воздействие непостоянно, то в зависимости от того, является ли это воздействие известной функцией времени или произвольной функцией, вид которой заранее не определен, систему автоматического регулирования относят к классу систем программного регулирования или к классу следящих систем (см. [27]).
Программы управления, реализуемые в СУ подвижными объектами и играющие роль задающих управляющих воздействий, весьма разнообразны и могут быть как постоянными величинами, так и функциями времени или функциями параметров движения Л А. Во многих
34
случаях конкретный их вид заранее неизвестен. Тем не менее в теории систем управления летательных аппаратов и, в частности, ракет принято использовать единый термин "система стабилизации‘ вне зависимости от вида и характера программ управления.
Разделение обшей задачи управления на задачи наведения и стабилизации применимо не только для управления поступательным, но и вращательным движением. В последнем случае задача наведения состоит в определении требуемых программ изменения параметров вращательного движения (параметров ориентации или угловой скорости), а задача стабилизации - в отработке найденных программ с помощью органов управления.
Из изложенного в пп. 1.1.3 и 1.1.6 можно сделать следующие принципиальные выводы.
1.	На систему управления любым подвижным объектом возлагаются три основные функции:
•	функция получения навигационно-измерительной информации;
•	функция наведения, заключающаяся в программировании движения объекта управления и выработке разовых команд наведения из условия достижения конечной цели управления;
•	функция стабилизации движения, заключающаяся в отработке программ управления, сформированных в -ходе решения задачи наведения, и в обеспечении устойчивости движения в условиях действия на объект управления комплекса внешних и внутренних возмущений.
2.	В соответствии с перечисленными функциями система управления подвижным объектом можег быть разделена на три взаимосвязанные функциональные подсистемы: навигационно-измерительную систему (НИС), систему наведения (СН) и систему стабилизации движения (ССД).
Связи между перечисленными подсистемами отражает схема на рис. 1.3.
1.1.7. Принцип независимого (развязанного) управления
Принцип независимого управления относится к проблеме построения систем управления сложными .многоконтурными и многофункциональными объектами, которые описываются большим числом параметров состояния и имеют несколько независимых параметров управления. Сигналы, информации и управления в такой системе управления являются многомерными и включают несколько независимых компонент.
Поскольку в такой системе имеется несколько замкнутых контуров управления, данная система является многоконтурной, причем ввиду того, что между отдельными контурами существуют перекрестные связи, возможно вредное влияние одних контуров управления на другие, что
35
может ухудшить качество системы управления в целом или даже сделать ее неработоспособной.
Идея принципа независимого (развязанного) управления была впервые выдвинута отечественным ученым И. Вознесенским и опубликована им в 1938 г. (см. [8]). Суть названного принципа состоит в том, что систему управления сложным многосвязным объектом со многими параметрами управления следует по возможности строить в виде совокупности независимых подсистем, каждая из которых имеет .меньшее число парам етров управления (желательно единственный) и не оказывает влияния на функционирование смежных подсистем. Данное обстоятельство упрощает, как правило, задачу синтеза системы управления в целом и повышает ее качество по таким показателям, как запасы устойчивости, точность и быстродействие.
Принцип независимого управления может быть реализован на практике не всегда, а только в тех случаях, когда для этого имеются необходимые предпосылки как в части динамических свойств объекта управления, так и по содержанию самих задач управления. При построении систем управления полетом такие предпосылки чаше всего возникают благодаря возможности представления движения ЛА в виде суперпозиции (независимого сложения) нескольких более простых движений. Так, принятый в механике фундаментальный подход к описанию движения твердого тела, в соответствии с которым сложное врашательно-поступательное движение тела представляется как комбинация поступательного движения его центра масс и вращения тела вокруг центра масс (при этом во многих случаях эти движения либо слабо влияют друг на друга, либо даже полностью независимы), позволяет разделять задачу управления полетом на задачу управления поступательным движением ЛА и задачу управления его вращательным движением.
Далее, движение центра масс тела можно при определенных условиях разделить на три движения в трех взаимно-перпендикулярных плоскостях - продольной, боковой и поперечной. При малых отклонениях движения центра масс ЛА от программной траектории эти три движения оказываются практически независимыми, что, в частности, позволяет строить систему стабилизации движения центра масс в виде трех независимых каналов продольной, боковой и нормальной стабилизации. Аналогичным образом в случае малости отклонений параметров ориентации ЛА (например, углов Эйлера) от их программных значений вращательное движение ЛА можно разделить на три практически независимых вращения вокруг соответствующих осей. Это обстоятельство позволяет построить систему угловой стабилизации ЛА (решающую задачу обеспечения вращательного движения ЛА по
36
заданной программе) в виде трех независимых каналов (подробнее см. [17]).
Подведем некоторый итог. Выше рассмотрены наиболее общие принципы управления, играющие основополагающую роль в теории СУ летательных аппаратов. Эти принципы сформулированы в обобщенной форме на концептуальном уровне. При дальнейшем изложении материала данной книги они будут многократно проиллюстрированы я наполнены конкретным содержанием применительно к задачам построения систем управления баллистических ракет. Вместе с тем, они будут дополнены рядом других принципиальных положений, имеющих более частный характер и относящихся к вопросам построения и функционирования отдельных подсистем общей системы управления БР.
Для обоснованного применения общих приниплов управления к решению практических задач построения систем управления баллистических ракет и головных частей баллистических ракет необходим детальный учет особенностей ЛА этих типов как объектов управления. При этом во внимание должны быть приняты такие факторы, оказывающие существенное влияние на облик и структуру системы управления, как функционально-целевое предназначение БР и ГЧ, условия их применения, способы создания управляющих сил и моментов, схемы органов управления, динамические свойства и другие их особенности. Данные вопросы отражены в материале главы 1.2. Далее в главе 1.3 на основе проведенного анализа особенностей БР и ГЧ как объектов управления рассматриваются важнейшие функции систем управления ЛА этих типов и дается дальнейшая конкретизация принципов их построения.
Глава 1.2
БАЛЛИСТИЧЕСКАЯ РАКЕТА И ЕЕ ГОЛОВНАЯ ЧАСТЬ КАК ОБЪЕКТЫ УПРАВЛЕНИЯ
1.2.1.	Особенности баллистических ракет, траектории их полета, конструктивные схемы
Общая характеристика баллистических ракет
Ракетная техника прошла большой путь становления и развития, начиная от первых примитивных метательных устройств, появившихся в Китае в 9-12 вв. после изобретения там пороха и приводимых в движение реактивной силой, создаваемой струей образующихся при горении пороха газов (так называемых "китайских стрел"), до современных высокоэффективных управляемых и неуправляемых ракет различных типов и различного предназначения. В настоящее время ракеты образуют обширный класс летательных аппаратов, предназначенных для использования не только в военных, но и в научно-исследовательских и коммерческих целях. Общим отличительным признаком, характеризующим летательные аппараты этого класса, является применение на них ракетного двигателя, для работы которого не требуется кислород окружающего воздуха и сама воздушная среда, что позволяет ракетному двигателю с равным успехом развивать тягу как в земной атмосфере, так и за ее пределами, используя запас вещества и источники энергии, имеющиеся на борту летательного аппарата. Таким образом, ракету можно было бы определить как летательный аппарат, который реализует принцип реактивного движения и, в отличие от других типов ЛА, не нуждается для осуществления полета в наличии атмосферы.
Данное определение следует принимать с некоторой оговоркой, поскольку оно не распространяется на так называемыекрылатые ракеты, которые снабжены воздушно-реактивным двигателем и полет которых подобен полету реактивного самолета. В соответствии с ранее применявшейся терминологией такие летательные аппараты определялись как самолеты-снаряды или беспилотные самолеты.
По виду используемого источника энергии ракетные двигатели подразделяются на химические, ядерные и электрические, при этом преимущественное применение в настоящее время получили химические ракетные двигатели, в которых химическая энергия ракетного топлива преобразуется непосредственно в кинетическую энергию продуктов его
38
сгорания, свободно истекающих из сопла двигателя, чем и создается реактивная тяга.
В зависимости от агрегатного состояния топлива химические ракетные двигатели подразделяются на жидкостные (ЖРД), твердотопливные (РД'ГГ) и ракетные двигатели на гибридном топливе. В последних компоненты топлива могут находиться в других агрегатных состояниях (например, з газообразном или желеобразном состоянии).
Наибольшее развитие в технике получили твердотопливные и жидкостные двигатели, причем топливо жидкостных двигателей чаше всего является двухкомпонентным и включает горючее и окислитель, что требует их раздельного хранения на борту ЛА. Наряду с этим существуют жидкостные двигатели (обычно небольшой тяги) на .монотопливе. В качестве монотоплива могут применяться окись этилена, перекись водорода и другие вещества, способные разлагаться в присутствии катализатора в высокотемпературную газовую смесь. Твердое топливо также по существу является двух- или даже многокомпонентным, однако в отличие от жидкостей компоненты твердого топлива не требуют содержания в различных емкостях (баках), а находятся в виде смеси в одной обшей емкости, представляющей собой одновременно камеру сгорания ракетного двигателя.
По типу ракетного двигателя сами ракеты также подразделяются на твердот опливные и жидкостные, чем определяются не только существенные конструктивные отличия ракет этих двух типов и особенности их практического применения, ио и некоторые особенности построения и функционирования их систем управления.
Среди большого разнообразия созданных к настоящему времени ракет особое место принадлежит баллистическим ракетам, которые далеко превосходят ракеты других видов по стартовой массе, массе полезной нагрузки, дальности действия, скорости полета и по ряду других показателен.
Баллистическая ракета предназначена для пуска с поверхности Земли по цели, также расположенной на земной поверхности. Поэтому баллистические ракеты относят к классу ракет "земля - земля" или, используя более точную терминологию, к классу ракет "поверхность -поверхность". Последнее подразумевает, что точки пуска ракеты, как и точки цели, могут находиться не только на суше, но и па море.
В зависимости от местоположения точки пуска баллистические ракеты могут быть наземного или морского базирования. Ракеты морского базирования в настоящее время размешаются, главным образом, на подводных лодках, причем пуски ракет могут осуществляться как из надводного положения, так и из-под воды. Ракеты наземного базирования подразделяются, в свою очередь, на два типа - стационарного и
39
мобильного базирования. В первом случае ракеты размещаются в шахтных пусковых установках. Во втором случае ракеты размещаются на подвижных платформах, что позволяет периодически менять район их дислокации и положение точки пуска. В настоящее время распространение получили так называемые грунтовые ракетные комплексы, в которых ракеты располагаются на тягачах с колесным или гусеничным шасси, пригодных для перемещения по бездорожью, а также железнодорожные ракетные комплексы, в которых ракеты размещаются на железнодорожных платформах. В принципе, возможно размещение ракет и на плавучих платформах, способных перемещаться по рекам и внутренним водоемам. При этом в любом случае пуски баллистических ракет возможны только после остановки транспортного средства, поэтому независимо от вида базирования можно считать, что в момент пуска точка старта баллистической ракеты относительно земной поверхности не перемешается*.
Точка цели баллистической ракеты также неподвижна на земной поверхности. В этом плане можно констатировать, что в отличие от ракет, запускаемых с движущихся объектов (самолетов, вертолетов, космических аппаратов, движущихся танков, морских судов) по перемещающимся в пространстве целям, баллистические ракеты предназначены для стрельбы из неподвижной точки по неподвижной цели. Это обстоятельство является весьма существенным, поскольку именно оно определяет ряд характерных особенностей, присущих как траекториям полета баллистических ракет и их конструктивному облику, так и принципам построения их систем управления по сравнению с ракетами других типов. В частности, неподвижность цели означает, что ее координаты,определенные с требуемой точностью до момента пуска ракеты, в дальнейшем не меняются. Поэтому в процессе управления полетов баллистической ракеты нет необходимости получать оперативную информацию о характере движения цели, как это требуется при управлении полетом зенитных ракет, ракет класса "воздух - воздух", других ракет, предназначенных для стрельбы по подвижным наземным, воздушным или морским целям. На борту баллистической ракеты достаточно иметь измерительную систему, предназначенную для определения только параметров движения самой ракеты. Отсутствие принципиальной необходимости иметь каналы передачи информации о движении других объектов позволяет в информационном плане
В 1970-х гг. в США исследовалась зозможноезь воздушного базирования баллистических ракет, был осуществлен экспериментальный пуск ракеты "Минитмен" с самолета Однако в дальнейшем данный вид базирования БР не получил практического применения.
40
построить систему управления баллистической ракетой как полностью автономную и основанную, как это будет подробно рассмотрено далее, на инерциальном принципе измерения параметров движения.
Данное свойство неподвижности точек старта и цели, характерное для баллистических ракет, нуждается в следующем пояснении. Как сказано выше, неподвижность этих точек понимается в смысле неизменности их положения относительно земной поверхности. Однако при рассмотрении движения в абсолютно*! пространстве точки земной поверхности не являются неподвижными, а совершают сложное движение, главной учитываемой составляющей которого является суточное вращение Земли вокруг своей оси. Вместе со всеми точками земной поверхности точки старта и цели также перемешаются в абсолютном пространстве. В этом плане можно утверждать, что пуск баллистической ракеты производится с подвижного основания (движущейся в абсолютном пространстве поверхности Земли) по подвижной цели. Тем ке менее, в информационном плане задача управления движением баллистической ракеты полностью сохраняет указанную выше особенность, поскольку закон движения цели как точки земной поверхности известен с высокой точностью и полностью определяется ее координатами, вследствие чего при управлении полетом ракеты нет необходимости следить за движением цели и производить измерения ее новых координат. Ввиду возможности высокоточного прогноза положения цели на любой момент времени стрельба баллистической ракетой осуществляется по упрежденному положению цели, т.е. по точке пространства, в которой окажется цель к моменту подлета ракеты пли се головной части. При этом учет движения цели и расчет положения упрежденной точки проводятся различными способами в зависимости от выбранного закона управления полетом ракеты.
Точное знание положения цели позволяет организовать движение ракеты, предназначенной для ее поражения, по принципу бросания, когда полет ракеты включает две фазы-фазу ускоренного движения на участке разгона с работающим ракетным двигателем (активный полет) и фазу свободного полета по инерции (пассивный или баллистический полет). Именно поэтому такие ракеты получили название баллистических.
Принцип бросания реализован, как известно, в разнообразных метательных устройствах, применяемых в военном деле с древнейших времен (праща, лук, арбалет, баллиста), а после изобретения пороха-в стрелковом оружии и в ствольной артиллерии. В наше время этот принцип нашел новое воплощение в баллистических ракетах. Близость формы траекторий баллистических ракет и артиллерийских снарядов, а также общность упомянутого способа организации их движения позволяют рассматривать баллистическую ракету как техническое
41
устройство, которое на новом качественном уровне реализует идею стрельбы, воплощенную в артиллерийском орудии. При всем различии пространственно-временных характеристик движения соответствующие аналогии здесь вполне очевидны. Действительно, весьма непродолжительному (доли секунды) разгону артиллеринекого снаряда на коротком (несколько метров) участке пути в стволе артиллерийского орудия под действием давления пороховых газов соответствует значительно более продолжительный (до нескольких минут) разгон ракеты на значительно более протяженном участке пути (до 150-350 км) при полете с работающим ракетным двигателем до практически полного израсходования запаса топлива. В обоих случаях как артиллерийскому снаряду, так и ракете (ее головной части) сообщается начальная скорость, достаточная для последующего свободного полета по баллистической траектории на заданную дальность.
В зависимости от дальности стрельбы баллистические ракеты подразделяются натри вида - ракеты малой дальности, предназначенные для поражения целей на расстоянии до 500-1000 км. ракеты средней дальности, способные поражать цели на расстоянии до 4-5 тыс. км, и ракеты большой дальности или межконтинентальные ракеты (МКР) с дальностью действия до 12-14 тыс. км. На всех современных ракетах средней и большой дальности боевой заряд размешается в отделяемой от корпуса ракеты головной части (ГЧ), которая предназначена для обеспечения надежной доставки боевого заряда к цели в условиях значительных механических и тепловых воздействий, возникающих при движении ГЧ в атмосфере при подлете к цели. В связи с этим фаза активного полета баллистических ракет большой и средней дальности завершается не только выключением двигательной установки, но и отделением головной части, которая и осуществляет последующий полет к цели по баллистической траектории.
Траектории полета баллистических ракет
В соответствии с двумя фазами полета БР ее траектория состоит из двух основных участков - так называемого активного участка траектории (АУТ) и пассивного участка траектории (ПУТ). На рис. 1.4 эти участки изображены кривыми О-Ок и Ок-Ц. при этом точки О, Ок и Ц представляют собой точку пуска БР, точку окончания АУТ и точку падения ракеты (ее головной части) на поверхность Земли. На этом же рисунке буквой Ц' показано положение цели на момент пуска БР. а пунктирной линией - пространственное перемещение цели вследствие осевого вращения Земли за время полета БР от точки пуска до точки падения. Таким образом, точка Ц есть спрогнозированное на момент
42
Рис. 1.4. Траектория БР в пространстве Рис. 1.5. Траектория БР в плоскости пуска прилета ракеты (её головной части) положение точки цели в абсолютном пространстве.
По своей форме траектории полета баллистических ракет являются практически плоскими кривыми, соединяющими точку старта ракеты и точку падения ее головной части. Они мало отклоняются от плоскости, называемой плоскостью пуска. В первом приближении можно считать, что пространственная ориентация плоскости пуска определяется тем, что она содержит точку старта ракеты, спрогнозированное на момент прилета ГЧ положение точки цели и центр Земли (точки О, Ц и А на рис. 1.4).
На рис. 1.5 изображена траектория полета баллистической ракеты и ее головной части в плоскости пуска. Здесь же показана условная Гранина земной атмосферы, проходящая на высоте 100 км (иногда эту высоту принимают равной 90 км). Смысл данной границы состоите том, что на высоте свыше 100 км влияние атмосферы иа движение ракет и их головных частей ввиду малой плотности пренебрежимо мало и при расчете движения указанных объектов может не учитываться.
Ввиду того, что пуски баллистических ракет осуществляются, как правило, из вертикального положения (исключение могут составлять ракеты малой дальности, пуск которых возможен из наклонного
43
положения по направляющим), траектория активного полета включает короткий {длиной 20-30 м) участок вертикального полета, после которого происходит постепенный разворот ракеты в сторону цели и траектория плавно искривляется. В точке Ок {конец АУТ) происходит выключение двигательной установки с обнулением тяги (с этой целью возможно применение тормозных двигателей) и отделение толовноз) части, которая продолжает полет к цели. Отработавшая ракета (се последняя ступень) после отделения головной части совершает неуправляемый полет и после входа в плотные слои атмосферы, как правило, разрушается, не достигая района цели. Под дальностью полета баллистической ракеты (дальностью стрельбы) подразумевают полное расстояние от точки старта ракеты до точки падения ГЧ. Это расстояние может быть оценено как длина дуги большого круга на поверхности сферической Земли, соединяющей две указанные точки. Наряду с линейной дальностью широко используют понятие угловой дальности как величины центрального утла со сторонами АО л АЦ (см. рис. 1.5). Очевидно, что указанные дальности связаны зависимостью L = Я3т], где R3 - средний радиус Земли (R3 = 6371 км).
Траектория полета головной части состоит из двух основных участков - внеатмосферного (от точки отделения ГЧ до точки входа в атмосферу на ее границе) и атмосферного (от точки зхода в атмосферу до точки падения). На внеатмосферном участке форма траектории близка к эллиптической (для модели центрального поля притяжения без учета сопротивления атмосферы траектория является точно эллиптической), а на атмосферном участке вследствие тормозящего влияния атмосферы заметно отклоняется от эллиптической траектории, особенно начиная с высоты 30-40 км.
Внеатмосферный участок траектории полета головной части является наиболее протяженным, при этом угловая дальность и' (см. рис. 1.5) составляет 90-95 % полной угловой дальности. Аналогичным образом и время полета ГЧ на внеатмосферном участке траектории составляет 85-90 % полного времени полета от момента старта ракеты до момента падения ГЧ.Угловая дальность rf и время попета определяются высотой точки отделения ГЧ (или радиусом гк). величиной скорости и углом бросания. При оценочных расчетах этих величин достаточную точность дает теория эллиптического движения ГЧ.
На рис 1.6 приведены графики зависимости дальности полета ГЧ от начальных условий гк. К. и 6К. полученные по формулам эллиптической теории при упрощающем предположении, что точки и О,' расположены и?, одной высоте. Безразмерный параметр Аг в приведенной на данном рисунке формуле представляет собой отношение начальной скорости Г
44
Рис. 1.6. Дальность полета ГЧ
к так называемой круговой (первой космической) скорости на данной высоте Ик.р. Графики построены для случая, когда радиус точки Ок равен R3 = 6371 км, при этом 1’кр = 7,9 км/с. Наклонная прямая линия на данном рисунке, соединяющая точки максимума кривых постоянной начальной скорости, соответствует оптимальным углам бросания, обеспечивающим максимум дальности полета при фиксированной начальной скорости.
На рис 1.7 и 1.8 приведены аналогичные графические зависимости, позволяющие получить оценки времени полета ГЧ по эллиптической траектории и максимальной высоты полета ГЧ (графики на рис. 1.6-1.8 заимствованы из [23]). Использование приведенных зависимостей позволяет определить, что, например, при дальности стрельбы 10 тыс. км (т| = 90°) оптимальный угол бросания равен 22,5°,потребная начальная скорость головной части на момент отделения от ракеты составляет 7,1 км/с, время полета ГЧ равно 35 мин, а максимальная высота сс полета равна 1300 км.
Конструктивные схемы баллистических ракет
Конструктивные схемы баллистических ракет отличаются значптель-ным .многообразием и зависят от ряда факторов, среди которых важнейшими являются:
•	дальность действия;
•	тип полезной нагрузки (моноблочная головная часть, содержащая один боевой заряд, или разделяющая ГЧ с несколькими боевыми блоками);
•	тип двигательных установок (ЖРД или РДТТ);
•	вид и тип базирования (наземный или морской, стационарный или мобильный).
45
Ракеты малой дальности являются одноступенчатыми, а ракеты средней и большой дальности - многоступенчатыми (как правило, двух-и трехступенчатыми). Многоступенчатой или составной ракетой называется ракета, включающая несколько ракетных блоков, каждый из которых снабжен двигательной установкой и имеет запас топлива. Отдельный ракетный блок играет, по существу, роль ускорителя, который в процессе своей работы обеспечивает приращение скорости полезной нагрузке и отделяется в полете после выработки запаса топлива. Под ступенью ракеты понимается та ее часть, которая состоит из неотделнвшихся ракетных блоков и остальных элементов конструкции, включая полезную нагрузку. При этом первой ступенью называют саму ракету, второй ступенью - ту ее часть, которая остается после отделения первого отработавшего ракетного блока, и т.д.
46
Число ступеней ракеты (оно совпадает с числом входящих в ее состав ракетных блоков) определяется дальностью действия. типом применяемых двигательных установок (ЖРД. РДТТ), удельной тягой ракетных двигателей (зависящей, прежде всего, от вида ракетного топлива), а также относительной массой полезной нагрузки тт = тга/т0,представ
Рис. 1.9. Завис1|мос1ьдхлы1ости1 BepjoroiLHiHiioii БР от числа степеней к от|и>сигелы1ой массы полезной нагрузки
ляющей собой коэффициент, характеризующий отношение массы полезной нагрузки к начальной стартовой массе ракеты. Данная величина представляет собой важнейший показатель, определяющий энергомассовое совершенство ракеты.
На рис. 1,9 приведены графики, иллюстрирующие зависимость дальности действия твердотопливной ракеты от числа ступеней н относительной массы полезной нагрузки (заимствованы из книги (4)1). Графики построены для значения удельной тяги ДУ. равной 300 с, что характерно для современных РДТТ. Данные графики показывают, что при указанной величине удельной тяги и при достаточно высоких значениях коэффициента тт (в пределах 0,03-0,04) достижение
межконтинентальной дальности порядка 10 тыс. км возможно только с помощью трехступенчатых ракет.
Приведенные данные поясняют то обстоятельство, что все современные межконтинентальные баллистические ракеты с двигателями на твердом топливе являются трехступенчатыми. Известные образцы твердотопливных ракет средней дальности являются двухступенчатыми.
Па рис. 1.10 показана схема трехступеичатой твердотопливной ракеты США "MX", а на рис. 1.11 - схема размещения трехступенчатой твердотопливной ракеты "Минитмен" в шахтной пусковой установке.
Ракеты с ЖРД имеют более высокие значения удельной тят по сравнению с ракетами на твердом топливе. Например, для широко известных компонентов топлива, включающих четырехокнсь азота (окислитель) и несимметричный диметилгидразин (горючее), применяемых на ракете США ”Титан-2", а также на ряде отечественных ракет, удельная тяга двигателей вторых ступеней, работающих за пределами
47
Рис. 1.10. Ракета MX:
/ - РДТТ уводи головного Об!ека:е.1я'(ГО); 2- ГО: .? -боевые блоки (10 шт ); 4 -блок рачвгдення РГЧ: ? -двигатель блока ратведеиия: 6 - РДТТ разгонного блока третьей ступени; * - РДТТ разгонного блока второй ступени; Л-складываюшееся сопло: 9 - РДТТ разгонного блока первой ступени
Рис. 1.11. Ракета "Минитмен'* в шахте:
1 - БР, 2 - шахтное сооружение; 3 - подвижная крыша; 4 - наземные сооружения; 5 — электромеханический привод; 6 - люк оборудования. 7 - амортизированная площадка для оборудования; Л - источники электропитания и кондиционеры: 9 -аппаратура управления; 70-опорное кольцо системы амортизации: 11 - упругие элементы
атмосферы, достигает величины 340 с. Благодаря этому обстоятельству. а также тому, что относительная масса конструкции жидкостных двигателей меньше соответствующего показателя твердотопливных двигателей, ракеты с ЖРД, способные достичь больших межконтинентальных дальностей (до ! 2-14 тыс. км), являются двухступенчатыми.
Головная часть БР может быть либо моноблочной, либо разделяющейся (РГЧ). Разделяющаяся головная часть содержит несколько боевых блоков, отделяемых от ракеты одновременно или последовательно и предназначенных для поражения как одной обшей цели, так и нескольких индивидуальных целей ([7], с. 433). На всех современных БР. независимо от типа головной части, размешаются ложные пели и другие средства преодоления и подавления ПРО, получившие наименование комплекса средств преодоления противоракетной обороны (КПС ПРО). Для
48
формирования заданных траекторий полета боевых блоков РГЧ и элементов КСП ПРО применяется специальный ракетный блок, называемый ступенью разведения или боевой ступенью ([7], с 57).
Замечание по терминологии. В последующем изложении термин "боевой блок" (ББ) применяется только в тех случаях, когда необходимо сразить его принадлежность к разделяющейся головной части ракеты или подчеркнуть его особые свойства - управляемый боевой блок, маневрирующий боевой блок. В остальных случаях применяется традиционный термин головная часть (ГЧ). При этом подразумевается, что речь идет о моноблочной головной части, содержащей боевой заряд, отделяемой от ракеты в конце АУТ и совершающей последующий баллистический полет вплоть до момента встречи с целью.
1.2.2.	Среда полета, силы и моменты, воздействующие на БР и ГЧ
Среда полета
Под средой полета понимаются окружающие летательный аппарат материальные тела и физические поля, являющиеся в совокупности источниками силового, теплового и много воздействия на ЛА, его системы и аппаратуру. В соответствии с этим в качестве основных элементов среды полета рассматривают атмосферу, гравитационное и .магнитное поля Земли, гравитационные поля Солнца, Луны и планет, излучения Солнца - световое и корпускулярное ("солнечный ветер"), электромагнитное и др. Полнота и степень учета тех или иных факторов среды определяется классом ЛА, особенностями траекторий их движения, целями и задачами управления полетом.
При описании и исследовании условий и закономерностей движения БР и ГЧ в качестве элементов среды полета достаточно рассматривать атмосферу и гравитационное поле Земли. Атмосфера является источни-ком силового воздействия на ЛА в виде аэродинамических сил и моментов, а также источником теплового воздействия (нагрев корпуса БР и ГЧ в процессе их движения, обгар и унос теплозащитного покрытия ГЧ). Гравитационное поле Земли является источником силового воздействия в виде силы притяжения Земли. Силой притяжения Солнца, Луны и гем более планет при описании движения ракет и ГЧ допустимо полностью пренебречь ввиду их исключительно малого воздействия на движение этих объектов относительно Земли. Причиной этого является относительно небольшое расстояние, на которое удаляются БР и ГЧ от поверхности Земли, а также сравнительно короткие интервалы времени движения. Другие упомянутые факторы среды также не оказывают сколько-нибудь заметного влияния на полет БР и ГЧ.
49
В данном разделе нас будет интересовать только силовое воздействие на БР и ГЧ, детальный учет которого необходим при формировании математических моделей движения этих объектов. Тепловые режимы являются предметом исследования и учета на этапе проектирования и выбора элементов конструкции. При управлении полетом какие-либо сложные модели тепловых процессов, как правило, не применяются, однако информация о допустимых тепловых режимах, как и допустимых уровнях силового воздействия, при которых гарантируется сохранение работоспособности конструкции летательного аппарата, учитывается в обязательном порядке в видеограничений на допустимые кинематические параметры движения ЛА в процессе управления.
Всю совокупность сил и моментов, воздействующих на БР и ГЧ в полете, можно в зависимости от их физической природы подразделить на три группы:
•	сила притяжения Земли;
•	аэродинамические силы и .моменты (включая силы и моменты, создаваемые аэродинамическими органами управления);
•	сила тяги двигательной установки и .моменты, создаваемые газодинамическими органами управления.
Поскольку силы и моменты, создаваемые органами управления, зависят от конструктивных схем этих органов, целесообразно рассмотреть их отдельно (см. и. 1.2.3).
Математические зависимости для расчета действующих на ЛА сил и моментов подробно рассмотрены в литературе по динамике и баллистике ракет, Тем не менее для полноты проводимого ниже анализа и удобства ссылок далее приводятся наиболее употребительные формульные выражения для сил и моментов, учитываемых в уравнениях движения БР и ГЧ.
Сила притяжения Зелии
Расчет силы гравитационного притяжения, действующей со стороны Земли на любой материальный объект, основан на применении моделей ее гравитационного поля, параметры которого определяются размерами и формой Земли, а также распределением слагающих ее масс. Исчерпывающей характеристикой гравитационного поля Земли (как и любого другого небесного тела) является, как известно, модель гравитационного потенциала, называемого также силовой функцией. Гравитационный потенциал выражается в виде функции от прямоугольных или сферических координат в относительной геоцентрической системе координат:
U = U(x, у, z), U = 1/(г, <р, А).	(1.7)
50
Знание гравитационного потенциала позволяет легко рассчитать силу притяжения, действующую на материальную точку массы /н, по формуле
В = MgradLr(x, у, 2),	(1.8)
где grade/- градиент функции U; х, у, z - координаты рассматриваемой точки.
Сила притяжения, действующая на тело конечных размеров, представляет собой геометрическую сумму сил притяжения, приложенных к слагающим тело элементарным массам, поэтому данная сила .может быть выражена следующим интегралом:
В = Jffp(x, у, 2)gradudr, v
где р - массовая плотность тела; х, у, z - координаты элементарной массы. Однако при определении силы притяжения, действующей на ЛА, в вычислении интеграла (1.9) нет необходимости. Ввиду малости геометрических размеров ЛА изменением гравитационного потенциала в пределах области пространства, ограниченной корпусом ЛА, можно пренебречь. Другими словами, гравитационное поле в пределах этой области пространства можно полагать однородным. Это допущение позволяет записать формулу (1.9) в виде
В = Afgradl/(x, у, z),	(1.10)
где Л/ - масса ЛА; х, у, z - координаты его центра масс. Таким образом, при расчете силы притяжения, действующей со стороны Земли на ЛА, последний допустимо полагать материальной точкой.
Аэродинамические силы
Аэродинамические силы, действующие на летательный аппарат при полете в воздушной среде, есть результат силового механического взаимодействия корпуса ЛА с набегающим воздушным потоком. Это взаимодействие приводит к появлению сил трения и нормального давления, распределенных по корпусу ЛА. Равнодействующую указанных сил называют полной аэродинамической силой R, причем полагают, что эта сила приложена в точке, называемой центром давления, который определяется как точка пересечения вектора R с продольной осью летательного аппарата. При описании движения ЛА действующие на
51
Flic. 1.12. Скоростная к связанная системы координат
него силы приводят в соответствии с правилами механики к его центру масс, при этом распределенные по корпусу ЛА силы трения и силы нормального давления приводят к упомянутой выше результирующей силе R, а также к результирующему моменту М, называемому полным аэродинамическим моментом.
При расчете силы R и момента А? их принято расклады
вать на составляющие по осям прямоугольных систем координат, начало которых совпадает с центром масс ЛА. С этой целью наиболее употребительны связанная и скоростная (называемая также поточной) системы координат.
Разложение полной аэродинамической силы по осям скоростной
системы координат дает выражение
К =	Z%>	О-Ю
где ёХг, ёуг, - орты соответствующих осей. Поскольку атмосфера тормозит движение ЛА, сила Л' всегда отрицательна. Поэтому чаше рассматривают положительную величину Q = -А', которую называют силой лобового сопротивления. Величины Fit Z называют соответственно подъемной и боковой силами. Разложение полной аэродинамической силы по осям связанной системы координат дает выражение, аналогичное ОН):
= -^1% *	+ ^1е2,>	(112)
где величины .V(. называют осевой, нормальной и поперечной силами. Как нетрудно увидеть из рис. 1.12, связи между проекциями полной аэродинамической силы на оси скоростной и связанной систем координат выражаются следующим образом:
Q = -Z|cosacosp - /(Sinacosp - ZjSinp,
52
Y = Arsine + ^cosa,
(1.13)
Z = -A'jCosasinP + y(sinasinP + ZtcosP,
где аир- углы атаки и скольжения.
Аэродинамическиесилызависят отряда факторов: формы иразмсров летательного аппарата, скорости его движения в воздушной среде, пространственной ориентации ЛА относительно набегающего воздушного потока (т.е. от углов атаки и скольжения), параметров воздушной среды (плотности,температуры, вязкости). Определение аэродинамических сил представляет собой весьма непростую задачу, для решения которой привлекается весь арсенал методовтеоретической и экспериментальной аэродинамики. При этом вся сложность расчета аэродинамических сил сводится к определению так называемых аэродинамических коэффициентов, которые отражают влияние формы летательного аппарата на величину аэродинамических сил. После того, как аэродинамические коэффициенты определены, расчет аэродинамических сил не представляет проблему и осуществляется по следующим весьма простым формулам, широко используемым в баллистике ракет и динамике полета ЛА:
Q = CxqS, Y = CyqS, Z = C,qSf
1 , О
A', = CXiqS, Kj = C^qS, Z, = C^qSs, q = ypv*,
где p - плотность воздуха, v - относительная скорость JIA, q - скоростной напор, S-характерная площадь (для ракет - площадь наибольшего поперечного сечения или площадь миделя), Сх, Су, С. н Сх , Су, С -безразмерные аэродинамические коэффициенты, связи между которыми описываются выражениями, аналогичными (1.13).
Для конкретного летательного аппарата аэродинамические коэффициенты не остаются постоянными величинами, но зависят от углов атаки и скольжения, а также от так называемых критериев аэродинамического подобия - чисел Маха и Рейнольдса. Эти числа определяются по формулам
М = -, Re =	(1.15)
a	av
53
где я-скорость распространения звука, зависящая главным образом от температуры воздуха (широко известна приближенная формула этой зависимости в виде а = 20 /Г, где Т- абсолютная температура), v -кинематический коэффициент вязкости воздуха, d - характерный линейный размер ЛА (для ракеты - ее длина).
В общем случае зависимости аэродинамических коэффициентов от чисел М и Re весьма сложны, поэтому при высокоточных расчетах движения ЛА их представляют не в аналитической форме, а в виде достаточно подробных таблиц. В тех же случаях, когда допустима меньшая точность задания аэродинамических коэффициентов, их аппроксимируют отрезками рядов Тейлора по углам атаки и скольжения,
Сх = Сх° * Ла2 ♦ В₽г,	(1.16)
Су = С/а, Сг = -ф.	(1.17)
Указанные зависимости справедливы в диапазоне изменения углов а и р до ±30°. Поскольку ракеты и головные части являются, как правило, аэродинамически симметричными, то для них справедливо равенство С“ » cf.
При небольших углах атаки и скольжения можно пренебречь зависимостью коэффициента С„ от этих углов и полагать Сл. = Сд. .
На рис. 1.13 показан характерный график зависимости коэффициента Сх от числа Маха. Из этого графика видно, что наибольшее изменение
данный коэффициент претерпевает в районе трансзвуковых скоростей, тогда как при больших сверхзвуковых скоростях изменение этого коэффициента с увеличением числа М относительно невелико. Это обстоятельство позволяет принимать допущение о постоянстве коэффициента силы лобового сопротивления при расчете движения
Рис. 1.13. Зависимость коэффициента Сх от числаМ
летательных аппаратов со скоростями, соответствующими числам М = 2-3 и более, что, например, характерно для головных частей ракет при полете их на нисходящем атмосферном участке траектории.
Наряду с коэффициентами Сх и Су нередко рассматривается безразмерный параметр, представ-
54
ляюший собой отношение этих величин и называемый аэродинамическим качеством ЛА:
£
1с =
(1.18)
Нетрудно видеть, что аэродинамическое качество показывает, во сколько раз подъемная сила превышает силу лобового сопротивления. Аэродинамическое качество является
функцией чисел М И Re, а так- pHCt jj4. Зависимость аэродинамического качес-же существенным образом тва от угла атаки
зависит от угла атаки. Типич-
ный характер этой зависимос-
ти показан на рис. 1.14, из которого видно, что при небольших углах атаки эта зависимость близка к линейной, а при дальнейшем увеличении
угла атаки аэродинамическое качество достигает максимального значения knax при некотором значении аорР после чего наблюдается уменьшение качества с увеличением угла атаки. При так называемом критическом значении угла атаки наступает срыв потока, обтекающего ЛА, и дальнейший устойчивый полет становится невозможным.
Максимальное аэродинамическое качество ктах является важнейшей характеристикой, определяющей аэродинамическое совершенство ЛА. Значение этой характеристики различно для различных типов ЛА и зависит как от аэродинамической формы ЛА, так и от условий полета. Так, у головных частей ракет при полете в атмосфере с большой сверхзвуковой скоростью величина &тах колеблется в пределах от 0,5 до 3-4 единиц в зависимости от аэродинамической формы ГЧ. У крылатых ЛА самолетной схемы при сверхзвуковых скоростях полета А'тах = 8-10. Наибольшая величина максимального аэродинамического качества достигается у лучших конструкций спортивных планеров, предназначенных для совершения длительного парящего полета на небольших дозвуковых скоростях, и может составлять 40-45 единиц.
А эродинамические моменты
Полный аэродинамический момент состоит из двух слагаемых -статического аэродинамического момента и демпфирующего момента (называемого также тушащим моментом):
55
Рис. 1.15. Положение центра масс и центра давления ЛА
М = л7ст * Ма. (119)
Статический аэродинамический момент есть результат приведения полной аэродинамической силы.приложенной в центре давления, к центру масс летательного аппарата. В соответствии с правилами механики этот момент определяется как векторное произведение
Л/Ст = рхЯ,
(1.20)
где р - радиус-вектор центра давления.
Полагая для определенности, что центр давления располагается позади центра масс летательного аппарата (см. рис. 1.15), вектор р выразим следующим образом:
Р = ~(^ - /,)%.	(1.21)
В последнем выражении !dn ls- расстояния центра давления и центра масс от коска летательного аппарата.
Найдем проекции статического аэродинамического момента на оси связанной системы координат. Учитывая, что центр давления лежит на продольной оси ЛА и момент осевой силы Д'] равен нулю, получаем:
л/х7 = о, Л47 = -?](/,-О,	(1.22)
При малых углах атаки и скольжения данные выражения могут быть линеаризованы. С учетом формул (1.17) получаем:
Ч? = -ф(^ - IJqS,
(1.23)
Данные выражения принято записывать в более компактной форме:
М" = -mv₽P, = -т°а, Л	.vir ’	*|	*1	’
(1.24)
56
где/n^ и - коэффициенты статического аэродинамического момента.
Обратим внимание читателя назнак ''минус' в правых частях формул (1.24). Этот знак показывает, что при расположении центра давления позади центра масс момент действует в сторону уменьшения угла атаки, также как момент действует в сторону уменьшения угла рыскания. Иначе говоря, статический аэродинамический момент действует в сторону уменьшения отклонения продольной оси ЛА от вектора скорости и поэтому является стабилизирующим.
Такие ЛА называются статически устойчивыми. В частности, головные части БР всегда конструируются как статически устойчивые ЛА, что обеспечивает самостабилизанию ГЧ по углам атаки и скольжения и устойчивый полет при движении в плотных слоях атмосферы. При расположении центра давления впереди центра масс знак в правых частях формул (1.24) меняется на обратный. В этом случае статический аэродинамический момент действует в сторону увеличения отклонения продольной оси ЛА от вектора скорости и поэтому является опрокидывающим. Такие ЛА называются статически неустойчивыми. Если центр давления совпадает с центром масс ЛА, статический аэродинамический момент равен нулю. Такие ЛА называются статически нейтральными. Баллистическиеракетыявляются обычно статически неустойчивыми ЛА и их устойчивый полет на атмосферном участке траектории обеспечивается работой системы угловой стабилизации.
Рассмотрим демпфирующий момент и его составляющие по осям связанной системы координат. Этот момент возникает в случае, когда при поступательном движении в воздушной среде летательный аппарат совершает также вращательное или колебательное движение вокруг центра масс. Следствием этого является изменение условий обтекания корпуса ЛА набегающим воздушным потоком и перераспределение местных аэродинамических сил, приводящее к возникновению дополнительно аэродинамического момента, называемого демпфирующим.
Демпфирующий момент всегда направлен в сторону, противоположную направлению вращения ЛА, поэтому уменьшает угловую скорость вращения иде.мпфируетколебательноедвижение ЛА вокругцентра масс. Как показывает опыт, демпфирующий момент в широком диапазоне условий движения пропорционален угловой скорости ЛА, поэтому его проекции на оси связанной системы координат могут быть выражены следующим образом:
Л/д = -т“о, , л = -/и “о , М,д = -т“ат ,	(1.25)
Л|	ж, л,’ у,	У, >, ’ I,	Z, л,»	'>
57
где qt, oV(, - проекции вектора угловой скорости ЛА на оси связанной системы координат, а коэффициенты т“, т“, тУ определяются формой и размерами ЛА и зависят от скорости н высоты полета. Выражения для этих зависимостей приводятся в руководствах по аэродинамике ЛА (см. [16, 29]).
Сила тяги ракетного двигателя
Как отмечалось выше, отличительной особенностью ракетного двигателя является то, что в нем непосредственным образом воплощен принцип создания реактивной силы в виде реакции газовой струи, истекающей из сопла двигательной установки. Строго говоря, реактивный принцип создания силы тяги характерен не только для ракетного двигателя, но и для других силовых установок, где в том или ином виде использована сила отдачи, т.е. реакции отбрасываемых частиц массы. Например, воздушный винт самолетного двигателя создает тягу, отбрасывая назад массу воздуха. Аналогичным образом лодка с гребцом и веслами или теплоход с гребным винтом движутся под действием силы реакции массы воды, отбрасываемой в сторону, противоположную направлению движения. Однако в перечисленных случаях сила тяги создается с помощью промежуточного устройства, называемого движителем и предназначенного для приведения в движение отбрасываемые массы (воздушный винту самолета, гребной винт у теплохода, весла у лодки с гребцом). При этом движитель приводится в действие собственной силовой установкой (двигателем). В ракетном двигателе такого промежуточного устройства нет и содержащийся в ракетном топливе запас химической энергии преобразуется непосредственно в потенциальную энергию газообразных продуктов его сгорания, находящихся под высоким давлением в камере сгорания, а затем в процессе истечения и расширения продуктов сгорания через сопло двигательной установки - в кинетическую энергию истекающей газовой струи. Возникающая при этом реактивная сила образует тягу ракетного двигателя. Сила тяги ракетного двигателя определяется формулой
Р = \m\Wg * (pg - Ph)S0.	(1.26)
В данном выражении первый член представляет собой так называемую реактивную силу Мещерского. Она равна произведению массового секундного расхода истекающих газов (величина |гй|_) на скорость истечения lVa. Второй член характеризует составляющую силы тяги, которая определяется разностью статических давлений на срезе сопла
58
(ра - давление в истекающей газовой струе на срезе сопла,- атмосферное давление на высоте Л над уровнем моря), умноженной на площадь выходного сечения сопла Sa.
Формула (1.26) показывает, что при постоянном массовом секундном расходекомпонентов топлива |гй| тяга ракетного двигателя увеличивается с увеличением высоты полета ракеты и достигает своего максимального значения за пределами атмосферы. Это значение называется тягой двигателя в пустоте,
+ PaSa>	(1.27)
а величинардЗ'д называется высотнойдобавкой тяги и составляет обычно 5-10 % от величины полной тяги ДУ.
Общее выражение (1.26) часто записывают в виде
Р = |»W3> W, = W + ^-22*2^,	(1.28)
И I
где величина 1И3 называется эффективной скоростью истечения.
Тяга жидкостного двигателя может измениться в широких пределах путем увеличения или уменьшения массового секундного расхода компонентов топлива, поступающих в камеру сгорания, т.е. величины | т | в формуле (1.26). Режим увеличенного расхода компонентов топлива по сравнению с его номинальным значением и, соответственно, повышенной тяги называется форсированием ДУ. Режим уменьшенного расхода компонентов топлива и пониженной тяги называется дросселированием ДУ. На жидкостных ракетах изменение тяги ДУ при полете на АУТ применяется главным образом для регулирования скорости полета и осуществляется по командам от системы управления в канале РКС.
Регулирование тяги твердотопливных ДУ, особенно большой тяги, представляет собой сложную техническую проблему. В настоящее время твердотопливные ДУ с регулируемой тягой применяются только ма последней ступени БР, предназначенной для разведения боевых блоков разделяющихся головных частей и ложных целей. На маршевых ступенях твердотопливных БР применяются двигатели нерегулируемой тяги, вследствие чего на таких ракетах скорость полета на АУТ не регулируется.
Наряду стягой важной характеристикой ракетного двигателя является удельная тяга, представляющая собой отношение тяги двигателя к весовому секундному расходу топлива:
59
В соответствии с формулой (1.28) удельная тяга может быть выражена также следующим образом:
И-'
Лд = -1-	(1.30)
ёо
Удельная тяга является показателем экономичности и энергетической эффективности ракетного двигателя. Она определяется главным образом скоростью истечения газов из сопла двигательной установки. Эта скорость, как показано в теории ракетных двигателей, зависит в основном от теплотворной способности ракетного топлива и от отношения давлений в камере сгорания и на срезе сопла, т.е. от так называемой степени расширения газов.
1.2.3. Управляющие силы и моменты. Органы управления
Способы управления действующими на ЛА силами
Полет любого летательного аппарата с точки зрения механики может, как известно, рассматриваться в виде совокупности двух движений -поступательного движения центра масс ЛА под действием приложенных сил и вращения ЛА вокруг центра масс под действием приложенных моментов. Для того чтобы полет был целенаправленным, необходимо изменять желаемым образом хотя бы часть приложенных к аппарату сил и моментов. Такие силы и моменты получили название управляющих.
Проанализируем рассмотренные выше силы, действующие на ЛА (силу притяжения,силу тяги двигательной установки, аэродинамические силы), с целью выявления возможностей изменения этих сил желаемым образом как по величине, так и по направлению в интересах управления поступательным движением центра масс ЛА. Нетрудно видеть, что одни из этих сил могут использоваться в качестве управляющих, а другие -нет.
Обратимся сначала к силе гравитационного притяжения. Для летательных аппаратов всех существующих типов, геометрические размеры которых столь невелики, что в пределах области пространства, ограниченной корпусом ЛА, изменение напряженности гравитационного поля пренебрежимо мало, величина и направление силы притяжения при известной модели гравитационного поля однозначно определяется
60
только положением центра масс ЛА в пространстве. По этой причине на существующих типах ЛА сила притяжения не может служить в качестве управляющей силы. Возможность реального применения силы притяжения для управления движением может появиться лишь в отдаленной перспективе при создании космических объектов больших геометрических размеров. Примером подобных объектов может служить исследуемый в
настоящее время проект космической системы, отдельные
Рис. 1.16. Углы тангажа и рыскания ракеты
части которой соединены гибкими нитями (тросами). Такие объекты получили название
орбитальных тросовых систем
(см. [12j). Протяженность их может достигать 100 км. Для таких объектов
суммарная сила притяжения зависит от взаимного расположения слагающих его масс и может быть изменена путем изменения геометрических размеров всей системы. Последнее достигается сматыванием или разматыванием соединительных тросов. Эти возможности, однако, не имеют отношения к ЛА существующих типов, применительно к которым сила притяжения, как сказано, не может быть использована в качестве силы, управляющей движением ЛА.
Рассмотрим силу тяги двигательной установки. На ракете (на каждой ее ступени) может размещаться несколько ракетных двигателей, в том числе и малой тяги. Нас сейчас будет интересовать сила тяги основного ракетного двигателя, называемого маршевым. Вектор тяги маршевого двигателя ориентирован, как правило, вдоль продольной оси ракеты и проходит через ее центр масс (возможные отклонения силы тяги от этого направления для создания управляющих .моментов здесь пока не рассматриваются). Сила тяги маршевого двигателя является основной управляющей силой, с помощью которой обеспечивается управление движением центра масс ракеты. Управление этой силон состоит в изменении направления вектора тяги, что достигается поворотом корпуса всей ракеты в требуемое положение по углам тангажа и рыскания (рис. 1.16).
61
Рис. 1.17. Управление векюром тяги ДУ на Рис. 1.18. Управление результирующим вертолете	вектором тяги на КА
На твердотопливных ракетах возможность управлять вектором тяги состоит только в изменении желаемым образом его направления. На жидкостных ракетах, как отмечалось ранее, в дополнение к этому существует возможность изменения в определенных пределах также и величины тяги путем форсирования или дросселирования двигателя. Таким образом, можно сказать, что на жидкостных ракетах вектор тяги двигательной установки управляем полностью как по направлению, так и по величине.
Способ управления вектором тяги двигательной установки путем пространственных поворотов всего управляемого объекта в соответствч -юшее угловое положение характерен не только для большинства видов летательных аппаратов (включая ракеты, самолеты, дирижабли и др.), но и для многих других подвижных объектов (например, морских судов). Однако данный способ управления вектором тяги является далеко не единственным. Существуют летательные аппараты, в которых управление вектором тяги не требует изменения ориентации корпуса ЛА. Так, иаправлениетяги воздушного винта у вертолета изменяется отклонением оси вращения винта относительно корпуса вертолета (см. рис. 1.17). Возможны и другие схемы управления вектором тяги без изменения угловой ориентации объекта управления. Такне схемы применяются, в частности, на тех космических аппаратах, где по условиям их функционирования требуется иа протяжении длительного времени поддерживать заданную угловую ориентацию КА в пространстве (это могут быть спутники связи и наблюдения, орбитальные обсерватории и т.п.).Одна из таких схем в виде двигательной установки с шестью сопловыми блоками,ориентированными потрем взаимно-перпендикулярным осям, проходящим через центр масс КА, приведена на рис. 1.18. Как нетрудно видеть, управление результирующим вектором тяги Р достигается здесь
62
соответствующим изменением тяги каждого из шести сопловых блоков без изменения ориентации КА.
Рассмотрим аэродинамические силы, действующие на ЛА при его полете в атмосфере. Как видно из выражений (1.17), подъемная сила непосредственным образом зависит от угла атаки, причем при смене знака этого угла подъемная сила также меняет свой знак. Для управления подъемной силон с целью изменения направления движения ЛА в плоскости полета (для чего необходимо сообщить ЛА ускорение в направлении, перпендикулярном вектору скорости) следует отклонять продольную ось аппарата от направления вектора скорости в ту или иную сторону по углу атаки. Аналогичным образом обстоит дело с боковой силой, с помощью которой можно управлять движением ЛА в направлении, перпендикулярном плоскости полета. Для изменения этой силы следует отклонять продольную ось аппарата от направления вектора скорости на соответствующий угол скольжения.
Отметим, что движение, совершаемое летательным аппаратом под действием боковой силы, образованной углом скольжения, называется ' плоский разворот", поскольку происходит при нулевом угле крена. Для крылатых аппаратов (самолетов, крылатых ракет, головных частей самолетной схемы) этот способ совершения маневра в боковом направлении нерационален, так как не полностью использует аэродинамические возможности ЛА. Более эффективен так называемый "координированный разворот" с использованием подъемной силы, которая на крылатых аппаратах при равных углах атаки и скольжения существенно больше боковой силы. Координированный разворот осуществляется поворотом крылатого аппарата вокруг продольной оси по углу крена с одновременным отклонением продольной оси на некоторый угол атаки. Вследствие этого сила, действующая на летательный аппарат в направлении бокового движения, возникает как проекция подъемной силы на это направление.
Итак, подъемная и боковая аэродинамические силы относятся к числу управляющих сил, причем управление ими достигается пространственными поворотами ЛА в соответствующее угловое положение относительно вектора скорости.
Проанализируем силу лобового сопротивления. Вопрос управления этой силой с целью изменения продольного движения ЛА путем уменьшения или увеличения скорости полета (т.е. торможения или ускорения ЛА) тесно связан со специфическими особенностями ЛА и самой необходимостью управления продольным движением с помощью аэродинамических сил. Эта необходимость существует далеко не всегда. Поскольку сила лобового сопротивления направлена в сторону, противоположную направлению движения, то эта сила по своей
63
физической природе является тормозящей и препятствующей движению. Аэродинамическая форма ЛА выбирается всегда таким образом, чтобы сила лобового сопротивления была по возможности минимальной. Поэтому потребность управления этой силой возникает только тогда, когда существует необходимость увеличить силу лобового сопротивления с целью уменьшения скорости полета.
При управлении полетом баллистических ракет и головных частей необходимости в изменении силы лобового сопротивления не возникает и поэтому на этих ЛА никаких средств, предназначенных для управления этой силон, не применяется. Тем не менее на некоторых ЛА, главным образом в авиации, потребность в управлении силой лобового сопротивления существует. При этом изменение этой силы обеспечивается не столько за счет увеличения или уменьшения угла атаки, от которого эта сила зависит в соответствии с выражением (1,16), сколько за счет изменения аэродинамической формы ЛА, что приводит к изменению коэффициента силы лобового сопротивления. Простейший способ изменения аэродинамической формы состоит в применении тормозных щитков на самолете. Такие щитки устанавливаются обычно в хвостовой части фюзеляжа и раскрываются в виде лепестков навстречу потоку воздуха, если требуется обеспечить интенсивное уменьшение скорости в ходе воздушного боя или при посадке.
Приведенные примеры показывают, что в принципиальном плане силу лобового сопротивления также следует отнести к категории управляющих сил, с помощью которых обеспечивается формирование требуемых траекторий движения летательных аппаратов.
Подведем некоторый итог. Приведенный обзор позволяет выделить следующие характерные способы формирования силового управляющего воздействия на ЛА, применимые в авиации и ракетно-космической технике.
Способ 1. Управление действующими на ЛА силами путем изменения пространственной угловой ориентации корпуса ЛА. а также путем изменения величины тяги бортовой двигательной установки.
Способ 2. Управление действующими на ЛА силами путем поворота вектора тяги ДУ относительно корпуса ЛА без изменения пространственной ориентации самого ЛА.
Способ 3. Управление действующими на ЛА силами путем изменения формы и размеров ЛА.
Сопоставительный анализ конструктивных схем созданных к настоящему времени летательных аппаратов различных типов и предназначения показывает, что первый из перечисленных выше способов управления действующими на ЛА силами является наиболее универсальным и чаще всего применяется на практике. В конструктивных
64
схемах баллистических ракет и головных частей этот способ является основным. Отметим при этом, что у баллистических ракет аэродинамические силы играют вспомогательную роль в управлении движением, поскольку существенны лишь при полете 1-й ступени ракеты на атмосферном участке траектории. При полете 2-й и 3-й ступеней ракеты, происходящем за пределами атмосферы, единственной управляющей силой является сила тяги двигательной установки. Что же касается головных частей, то применение на них ракетных двигателей с целью управления поступательным движением, как правило, нерационально. Поэтому управление движением головных частей осуществляется преимущественно с помощью аэродинамических сил.
Итак, для управления действующими силами путем изменения пространственной угловой ориентации корпуса ЛА необходимо осуществлять повороты ЛА в требуемое угловое положение, а также обеспечивать последующее удержание ЛА в этом положении. Обе эти задачи требуют для своего решения управления вращательным движением ЛА вокруг центра масс, что возможно путем приложения к ЛА управляющих моментов. Для создания управляющих моментов на летательных аппаратах используют специальные устройства, называемые органами управления. Органы управления, имеющие вид аэродинамических поверхностей, называют рулями.
Способы создания управляющих моментов
Применяемые на летательных аппаратах способы создания управляющих моментов можно подразделить на две группы - силовые и бессиловые (моментные). Силовые способы, как это отражено в их названии, основаны на известном положении механики, состоящем в том, что момент, приложенный к материальному телу, может быть образован с помощью силы, не проходящей через его центр масс. В соответствии с этим можно выделить следующие способы создания управляющих моментов.
Способ 1. Изменение направления силы тяги двигательной установки относительно корпуса ЛА таким образом, чтобы образовался требуемый эксцентриситет тяги.
Способ 2. Создание дополнительных сил, действующих на ЛА.
Способ 3. Изменение положения центра масс ЛА.
Бессиловые способы состоят в применении вращающихся масс, помещенных в корпус ЛА. Суть одного из этих способов проиллюстрирована на рис. 1.19.
65
Рис. 1.19. Бессиловой способ соиаиия управляющего момента на КА
Если приложить к внутренней массе >п. закрепленной в корпус .ПА в виде ротора, момент М, в результате ротор придет во вращение вокруг оси Ар то на внешнюю массу (корпус ЛА) будет действовать момент противоположного
знака, что приведет к вращению корпуса ЛА в противоположном направлении. Таким образом, для создания момента, действующего на корпус ЛА, здесь использованы инертные свойства массы. Более эффективным является использование инертных свойств быстровращающихся масс. С этой целью могут применяться гироскопические устройства в виде силовых гироскопических стабилизаторов, с помощью которых управляющие моменты создаются за счет гироскопических эффектов. Бессиловые способы создания управляющих моментов находят применение главным образом на космических аппаратах, поэтому далее эти способы рассматриваться не будут.
Органы управления, нашедшие применение на ракетах и головных частях, реализуют один из перечисленных силовых способов создания управляющих моментов. Те из них, которые создают управляющие моменты без изменения положения центра масс ЛА, принято подразделять на два вида в зависимости от физической природы сил, создающих
управляющие моменты, - газодинамические и аэродинамические. Г азоди намические органы управления создают моменты с использованием силы тяги ракетных двигателей (как основного, так и дополнительных, называемых рулевыми), а также с помощью силы тяги газоструйных сопел, В аэродинамических органах управления используются дополнительные аэродинамические силы, создаваемые на ЛА либо с помощью отклоняемых поверхностей аэродинамических рулей, либо путем отклонения частей корпуса (носка, кормовой части ЛА).
Управляющие моменты, как и другие моменты, действующие на ЛА, принято рассматривать в проекциях на оси связанной системы координат. При этом проекция управляющего момента на продельную ось ЛА называется моментом крена, проекция управляющего момента на поперечную ось ЛА - моментом рыскания, а проекция на боковую ось - моментом тангажа. Эти названия связаны с тем, что при действии перечисленных моментов ЛА приходит во вращение вокругсоответству-
бб
юших осей, отклоняясь от первоначального положения по углам крена, рыскания и тангажа.
Функционирование любого органа управления предполагает угло-вые или линейные перемещения либо самого органа управления, либо приводящего его в действие исполнительного элемента от нейтрального положения в прямом или противоположном направлении.Сформулируем общее правило знаков, определяющее знак отклонения органа управления от нейтрального положения. Это правило состоит в следующем: отклонение органа управления от нейтрального положения считается положительным, если при этом образуется отрицательный управляющий момент. Соответственно, отклонение считается отрицательным, если оно приводит к появлению положительного управляющего момента. Знак самого управляющего момента определяется по общепринятому правилу механики: проекция момента, приложенная к материальномутелу, на направление, определяемое единичным вектором ё,считается положительной, если она вызывает вращение тела вокруг данного вектора против часовой стрелки при условии, что это вращение наблюдается со стороны положительного направления вектора ё.
Перейдем к рассмотрению наиболее типичных схем органов управления ракет и головных частей.
Газодинамические органы управления
Схема 1 (четырехкамерная двигательная установка).
Данная схема является типичной для первых ступеней баллистических ракет на жидких компонентах топлива. Двигательная установка представляет собой либо связку из четырех автономных двигателей, либо двигатель с четырьмя камерами сгорания, при этом каждый автономный двигатель или каждая камера сгорания могут поворачиваться вокруг оси, лежащей в плоскости кормового среза ракеты, чем достигается отклонение вектора тяги камеры сгорания от направления, параллельного продольной осн ракеты.
Предположим, что камеры сгорания установлены по так называемой крестообразной схеме в полуплоскостях I-IV, как это показано на рнс. 1.20. При такой схеме для создания момента по оси Z( (момента тангажа) необходимо отклонять камеры сгорания, расположенные в полуплоскостях II и IV, а для создания момента по оси У| (момента рыскания) необходимо отклонять две другие камеры сгорания. Отклонение любой камеры сгорания от нейтрального положения создает момент по оси A', (момент крена).
67
Направления отклонения камер сгорания на положительные углы, при которых создаются отрицательные моменты тангажа и рыскания, показаны на рис. 1.20 стрелками; здесь же изображены проекции тяги каждой камеры сгорания на оси К( и Z, связанной системы координат. Полагая, что расстояние между осями камер сгорания и продольной осью ракеты равно Л, а расстояние между плоскостью качения камер сгорания и центром масс ракеты равно d, найдем выражения для управляющих моментов:
Л/Л( = -(sin6[ + sin62 - sinS3 - sinS4)PA;
Myt = ~(sin6, * sin63)Prf;	(1.31)
W1( = ~(sinS2 + sinS4)Prf,
где P- величина силы тяги каждой камеры.
Ввиду того, что тяга маршевых двигателей ракет весьма значительна, для создания управляющих моментов достаточно отклонять камеры сгорания на углы не более 3-5’. Малость этих углов позволяет записать выражения (1.31) в линеаризованном виде:
Рис. 1.20. Крестообразная схема расположения камер сгорания ДУ
Рис. 1.21. Иксообразная схема расположения камер сгорания ДУ
68
= -(б, - б2 - б3 - 64)Рй,
М* = “(Sj +	(132)
Ч, = ~(52 -
Введем среднее значение углов отклонения органов управления по каналам тангажа, рыскания и крена (собственного вращения):
v|(6i + a3). бвр = 7(б>т^"^~^	0-И)
£	X	*т
и перепишем предыдущие выражения следующим образом:
4, = -<V Ч, = -<6р>	=	(134)
где введены коэффициенты управляющих моментов, очевидным образом зависящие от тяги двигателя и геометрических параметров Л и d. При полете ракеты на активном участке траектории коэффициент т* изменяется только за счет возможного изменения тяги двигательной установки, тогда как коэффициенты т* и изменяются в более широких пределах из-за изменения положения центра масс ракеты вследствие выработки запаса топлива.
Вполне понятно, что при симметричном расположении камер сгорания двигательной установки коэффициенты т* и т, равны между собой.
Рассмотренная выше крестообразная схема расположения камер сгорания при повороте ее на 45э превращается в иксообразную схему, в которой моменты тангажа и рыскания создаются согласованным отклонением всех четырех камер сгорания. На рис. 1.21 показана схема отклонения камер при создании момента тангажа. Если предположить, что все камеры сгорания отклонены на одинаковый угол, то, как нетрудно видеть, развиваемый при этом момент тангажа больше в Д раз, чем при отклонении на тот же угол двух камер сгорания в крестообразной схеме. Аналогичный вывод справедлив и для .момента рыскания. Это означает, что коэффициенты моментов тангажа и рыскания, фигурирующие в выражениях (134), при переходе к иксо-образной схеме увеличиваются в у*2 раз. Таким образом, иксообразная схема более эффективна, так как для создания некоторого момента тангажа или рыскания эта схема требует иеныиих углов отклонения
69
камер сгорания или. как говорят, меньшего расхода рулен.
На практике для реализации этой схемы применяют разворот ракеты вокруг ее продольной оси в требуемое положение. Этот разворот осуществляется непосредственно в полете сразу же посте выхода ракеты из пускового устройства.
Обратим внимание на важное свойство суперпозиции (независимого сложения) команд управления, поступающих на органы управления при отработке требуемых моментов.
Рис. 1.22. Схема расположения камер сгорания рулевого двигателя
Этой свойство, присущее равным образом как крестообразной, так и иксообразиой схемам размещения камер сгорания, является следствием линейности зависимостей (1.32), описывающих связи между моментами иугламн отклонения камер сгорания. Свойство суперпозиции выражается в том, что при одновременной отработке органами управления команд на отклонение камер сгорания на углы б,, бр н 5вр для создания требуемых моментов результирующий угол отклонения каждой камеры сгорания образуется как алгебраическая сумма углов бг. бр и &зр с учетом их знаков. При этом управляющие моменты, развиваемые по всем трем осям, формируются независимо друг от друга.
Схема 2 (четырехкамерный рулевой двигатель).
Данная схема в принципиальном плане эквивалентна предыдущей. Отличие состоит в том, что двигательная установка является комбинированной и включает основной двигатель большой тяги, у и анов-ленный на ракете неподвижно, и дополнительный двигатель меньшей тяги с отклоняемыми камерами сгорания (см. рис. {.22). Такой
двигатель называется рулевым. Подобные схемы нашли наибольшее применение во вторых степенях жидкостных ракет. Ввиду того, что тяга рулевого двигателя обычно невелика, утлы отклонения камер сгорания здесь существенно больше, чем в предыдущей схеме, и могут достигать Д45°. '
Схема 3 (газовые рули).
Газовые рули представляют собой выполненные из жаропрочного материала профилированные пластины, установленные попарно в двух взаимно-перпендикулярных плоскостях иа срезе сопла ракетного двигателя в потоке истекающих из сопла газов. При отклонении газового
70
руля от нейтрального положения обтекание его потоком газов становится несимметричным, вследствие чего возникает поперечная газодинамическая сила, приложенная в центре давления руля, а также происходит отклонение газового потока от оси сопла. Оба эти явления приводят к появлению управляющего момента. Дифференциальное отклонение всех четырех рулей на углы 5Т, 6р, 5вр подобно тому, как это происходит в рассмотренных вышесхемах, обеспечивает формирование управляющих моментов по всем трем осям ракеты:
(1-35)
Коэффициенты моментов определяются здесь геометрическими характеристиками сопла двигательной установки и газовых рулей, а также скоростным напором истекающих газов. В Процессе работы двигательной установки эти коэффициенты уменьшаются по абсолютной величине вследствие обгара газовых рулей под действием высокотемпературного газового потока.
Подобно органам управления, рассмотренным вьице, газовые рули могут быть размещены относительно основной плоскости симметрии ракеты по крестообразной или иксообразной схеме. Сделанный выше вывод о большей эффективности иксообразной схемы полностью справедлив и в данном случае.
Газовые рули впервые применены в качестве органов управления на первой баллистической ракете И-2, созданной в Германии в 40-х годах, а также применялись на ряде других жидкостных ракет первых поколений. В настоящее время газовые рули используются на ракетах с твердотопливными двигателями, где применение поворотных сопел нерационально по конструктивно-технологическим соображениям.
Схема 4 (ракетный двигатель с отклоняемым соплом).
Данная схема позволяет созда-	Y1
вать моменты тангажа и рыскания	_	✓
путем отклонения сопла двига-
тельной установки (т.е. вектора	'С&'х /
тяги ДУ) в двух взаимно-перпендикулярных плоскостях (рис. 1.23). Тот же результат достигается
установкой всего ракетного двига- z теля или его камеры сгорания в
кардановом подвесе. При отклоне- Р"0, ,,2Х Ракетный двигатель с отклоняемым
соплом
71
Рис. 1.25. Схема размещения струйных рулей на ГЧ
Рис. 1.24. Схемы управления вектором тяги РДТТ: а - дефлектор тяги: й - вдув газа
нин вектора тяги ДУ от продольной оси ракеты на углы 5Т и 5р возникают моменты тангажа и рыскания:
ЛГ = -Prfcos6Tsin6pl М = -Prfsinfij.	(1.36)
Линеаризация этих выражений, допустимая вследствие малости углов 5Т и 5р, приводит к рассмотренным выше выражениям (1.34). Поскольку данная схема не позволяет создать момент крена, то с этой целью используется дополнительный орган управления в виде двух пар газоструйных рулей, установленной в кормовой части ракеты.
Схема 5 (отклонение вектора тяги от оси сопла ДУЭ.
Рассматриваемая схема реализуется на практике в нескольких вариантах и имеет различное конструктивное воплощение. На рисунке 1.24 проиллюстрированы два типичных варианта этой схемы -применение сопловых насадков (дефлекторов тяги) и вдув газа (впрыск жидкости) в закритическую часть сопла. В обоих случаях для создания момента крена требуется дополнительный орган управления. Подобные способы создания управляющих моментов применяются на твердотопливных ДУ, где, как уже было сказано выше, использование поворотных сопел нерационально.
Схема б (газоструйные рули).
Органы управления в виде газоструйных сопел используются на тех объектах, где управляющие моменты сравнительно невелики: в системах ориентации космических аппаратов, а также головных частей ракет при полете на внеатмосферном участке траектории. В последнем случае сопловые блоки струйных рулей размещаются на днище головной части в двух взаимно-перпендикулярных плоскостях (рис. !.25). Для создания
72
управлягощих моментов по всем трем осям необходимо задействовать соответствующую комбинацию сопел, работающих, как правило, в импульсном режиме.
Аэродинамические органы управления
Схема 1 (крестообразное оперение с аэродинамическими рулями).
На баллистических ракетах аэродинамические рули применяются редко и только на первых ступенях. Они размещаются вдоль задних кромок неподвижных аэродинамических поверхностей (килей, стабилизаторов), устанавливаемых в кормовой части ракеты с целью повышения запаса статической устойчивости. Выражения для управляющих моментов, развиваемых с помощью аэродинамических рулей, записываются в форме(1.35). Существенный недостаток аэродинамических рулей, как и всех других аэродинамических органов управления, состоит в том, что их эффективность (показателем которой являются коэффициенты моментов) существенным образом определяется условиями полета, именно величиной скоростного напора. По этой причине аэродинамические рули играют на баллистических ракетах лишь вспомогательную роль и применяются только в комбинации с газодинамическими органами управления.
Схема 2 (аэродинамические рули самолетной схемы).
Аэродинамические органы управления данного вида применяются на самолетах, крылатых ракетах и на других летательных аппаратах самолетной схемы, в частности, на планирующих головных частях ракет. Органы управления включают два элерона, размещенных на задних кромках несущих аэродинамических поверхностей (крыльях), и руль направления, расположенный на вертикальном стабилизаторе. С помощью элеронов создаются моменты тангажа и крена, а с помощью руля направления - момент рыскания.
Схема 3 (отклоняемая часть корпуса ЛА).
Органы управления данного вида характерны для головных частей баллистических ракет, предназначенных для полета в атмосфере с большими сверхзвуковыми скоростями в условиях интенсивного теплового воздействия со стороны набегающего воздушного потока, сопровождающегося обгаром и уносом теплозащитного покрытия. Эти условия, а также особенности функционально-целевого предназначения головных частей как средств доставки боевого заряда к цели, диктуют необходимость использования наиболее простых аэродинамических форм головных частей (в виде тел вращения) и применения на них таких органов управления, которые при высокой эффективности наименьшим образом искажают аэродинамическую форму головной части и надежно
73
Рис. 1.26. ГЧ с отклоняемым носком
защищены от теплового и эрозионного воздействия набегающего воздушного потока.
Этим требованиям в наилучшей степени отвечают органы управления в виде отклоняемого носка или отклоняемой
кормовой части (юбки). На рис. 1.26 показана схема создания момента
тангажа с помощью отклоняемого носка, при отклонении которого на угол 6Т на поверхности носка появляется местный угол атаки и дополнительная подъемная сила, создающая момент тангажа. При отклонении носка в боковой плоскости на угол бр возникает момент рыскания. Аналогичным образом формируются управляющие моменты с помощью отклоняемой юбки. Выражения для моментов тангажа и рыскания в обоих случаях записываются в форме, аналогичной (1.34) и (1.35), через соответствующие коэффициенты моментов.
Эти коэффициенты определяются аэродинамической формой ГЧ, формой и размерами отклоняемой части корпуса ГЧ и пропорциональны скоростному напору набегающего воздушного потока.
Поскольку отклонением носка или юбки невозможно создать момент крена, то в данном случае необходимо иметь дополнительный орган управления, в качестве которого могут использоваться либо струйные рули, установленные наднище ГЧ, либо пара аэродинамических рулей в виде поворотных аэродинамических поверхностей, размещенных на боковой поверхности ГЧ симметрично относительно ее продольной оси.
Органы управления положением центра масс
В большинстве рассмотренных выше схем газодинамических органов управления ракеты моменты тангажа и рыскания создаются путем отклонения вектора тяги ДУ от продольной оси ракеты, вследствие чего образуется эксцентриситет тяги. Тот же результат может быть достигнут смещением центра масс ракеты от ее продольной осн в поперечном направлении.
Схема I (качающаяся головная часть ракеты).
Поперечные смещения центра масс можно обеспечить путем угловых отклонений передней части корпуса ракеты (например, головной части с приборным отсеком). С этой целью отклоняемая часть корпуса может быть соединена с основной частью ракеты при помощи четырех гидроцилиндров с подвижными штоками (рис. 1.27). Путем согласованных перемещений штоков головная часть отклоняется в двух взаимно-
74
перпендикулярных плоскостях. Следствием такого отклонения является смещение центра масс подвижной части корпуса от продольной оси и соответственно поперечное смешение центра масс всей ракеты, Появившийся в результате эксцентриситет тяги вы
Рис. 1.27. Ракета с качающейся головной частью
зове! появление моментов тангажа п рыскания.
Подобная схема особенно целесообразна на твердотопливных ракетах, так как исключает необходимость управления вектором тяги твердотопливной двигательной установки.
Слелю 2 (перемещающиеся массы).
Поперечное смещение цен гра масс ракеты может быть достигнуто путем соответствующих перемещений тех или иных масс внутри ее
корпуса.
Один из вариантов такой схемы предусматривает размещение внутри топливного бака жидкостной ракеты полой емкости, соединенной со стенками бака гидроцилиндрами и имеющей возможность перемещаться в двух взаимно-перпендикулярных направлениях. Смешение этой емкости с г продольной оси ракеты вызывает перемещения вытесняемой массы топлива в противоположном направлении и соответствующее изменение положения центра масс ракеты.
Параметры управления
В заключение рассмотрения управляющих сил и моментов введем важное понятие параметров управления. Под параметрами управления будем понимать совокупность независимых величин, с помощью которых при заданных характеристиках ЛА и известных характеристиках среды полета однозначно задаются значения управляющих сил и моментов. Вид параметров управления и их физический смысл определяются реализованными на ЛА способами создания управляющих сил и моментов, конструктивными схемами органов управления, а также соображениями удобства оперирования величинами, выбранными в качестве параметров управления.
Как отмечалось выше, на баллистических ракетах и головных частях реализован способ управления действующими силами путем изменения пространственной угловой ориентации корпуса ЛА. Поэтому в данном случае в качестве параметров управления могут рассматриваться параметры ориентации ЛА. в частности - угловые величины.
75
Так, на ракете основной управляющей силой является тяга ДУ. Поскольку вектор тяги направлен по продольной оси ракеты, то в качестве параметров управления удобно рассматривать углы тангажа и рыскания, определяющие ориентацию продольной оси ракеты относительно осей абсолютной стартовой системы координат. Для ракеты с регулируемой тягой ДУ третьим независимым параметром управления, определяющим модуль тяги, может служить величина массового секундного расхода топлива [т|, входящая в соответствии с формулой (1.26) в выражение для силы тяги.
Заметим, что углы тангажа и рыскания однозначно определяют в процессе полета ракеты углы атаки и скольжения и, следовательно, аэродинамические силы. Поэтому эти углы полностью описывают силовое управляющее воздействие на ракету, зависящее от ее угловой ориентации.
В тех случаях, когда управление движением ЛА осуществляется только с помощью аэродинамических сил (в частности, при управлении полетом головных частей), применение в качестве параметров управления углов тангажа и рыскания оказывается менее удобным. В этих случаях в качестве параметров управления, однозначно задающих величины действующих аэродинамических сил, могут использоваться либо углы атаки и скольжения (для ЛА с поперечной аэродинамической симметрией), либо углы атаки и крена (для ЛА самолетной схемы).
Обратимся к управляющим моментам. Несмотря на широкое разнообразие схем органов управления, применяемых на ракетах и головных частях для создания управляющих моментов, большинство этих схем описывается выражениями вида (1.34), определяющими зависимости управляющих моментов от углов отклонения органов управления от их нейтрального положения. Именно эти углы и целесообразно рассматривать как соответствующие параметры управления. Таким образом, далее под параметрами управления при формировании управляющих моментов будем понимать углы отклонения органов управления по каналам тангажа, рыскания и вращения дт, V 6“Р'
1.2.4. Структура уравнений движения БР и ГЧ в схеме твердого тела переменной массы
Виды схематизаций БР и ГЧ в качестве объектов управления
Баллистическая ракета представляет собой сложный динамический объект переменного состава и переменной конфигурации, характеристики которого существенным образом изменяются в процессе полета.
76
Главной особенностью ракеты, оказывающей определяющее влияние на закономерности ее полета, является переменность массы вследствие выработки запаса топлива и сброса отделяемых элементов конструкции. Наряду с уменьшением обшей массы ракеты происходит также перераспределение масс внутри ее корпуса за счет понижения уровня компонентов топлива в топливных баках жидкостной ракеты или за счет изменения геометрической конфигурации заряда твердого топлива в процессе его выгорания на твердотопливной ракете. Следствием этого является перемещение центра масс ракеты относительно ее корпуса и существенные изменения моментов инерции.
Другая важнейшая особенность ракеты как объекта управления состоит в том, что ее корпус не является абсолютно жесткой конструкцией, поэтому в процессе полета возникают взаимные поперечные смещения частей ракеты, имеющей колебательный характер. Такие упругие колебания корпуса характерны как для жидкостных, так и для твердотопливных ракет, хотя спектры частот собственных колебаний, зависящие от распределения масс ракеты и жесткости ее конструкции, могут существенно различаться. На жидкостных ракетах, кроме того, возможны колебания (плескание) компонентов топлива в топливных баках. Оба эти обстоятельства приводят к появлению дополнительных сил, воздействующих на корпус ракеты с переменной частотой и интенсивностью. Еше одним источником дополнительного силового воздействия на ракету являются кориолисовы силы инерции, возникающие вследствие поступательного движения масс топлива относительно корпуса ракеты при одновременном вращательном или колебательном движении ракеты вокруг ее центра масс. При этом силы инерции создаются массами жидких компонентов топлива, движущихся в баках и трубопроводах, а также массами газообразных продуктов сгорания ракетного топлива, движущихся с большой скоростью относительно стенок камеры сгорания и сопла ракетного двигателя.
Все перечисленные факторы оказывают влияние на физический процесс управляемого движения ракеты как материальной системы, однако степень и характер этого влияния весьма различны, поэтому при разработке математических моделей, предназначенных для решения тех или иных задач анализа движения и синтеза систем управления ракет, выделяют главные определяющие факторы, учет которых соответствует существу и специфике решаемых задач, при этом другие факторы отбрасываются как второстепенные и несущественные.
В частности, учет упругости корпуса ракеты и подвижности (колебательности) ее жидкого наполнения обязателен в математических моделях, с помощью которых осуществляют синтез систем угловой стабилизации, предназначенных для обеспечения заданной простран
77
ственной ориентации ракеты в полете и удержания параметров колебательных процессов в допустимых пределах. Однако в математических моделях, используемых для решения других задач (исследование динамики движения ракет в установившихся режимах, расчет траекторий, выбор программ поступательно-вращательного движения, синтез алгоритмов наведения и др.), эти факторы допустимо полностью игнорировать, поскольку в условиях эффективно функционирующей системы угловой стабилизации остаточные колебательные явления, вызванные упругостью корпуса и подвижностью жидкого наполнения ракеты, незначительны и могут не приниматься во внимание. В этих случаях ракета рассматривается как твердое тело переменной массы.
Схематизация ракеты (или другого летательного аппарата) в виде твердого тела переменной массы предполагает, что корпус ракеты является абсолютно жестким, а явление плескания топлива в баках (если ракета жидкостная) полностью отсутствует. При этом как масса, так и распределение масс внутри ракеты могут изменяться вследствие выработки запаса топлива, что влечет изменение моментов инерции и положения центра масс ракеты.
По сравнению с баллистической ракетой ее головная часть является более простым динамическим объектом. Она имеет весьма жесткую недеформируеиую конструкцию и не содержит жидкого наполнения, способного влиять на динамику ее вращательно-поступательного движения. Изменение массы ГЧ возможно только вследствие обгара и уноса теплозащитного покрытия при полете на нисходящем атмосферном участке траектории на небольшом временном интервале в диапазоне высот от 20-25 км. Поэтому на остальных участках траектории ГЧ рассматривается в виде твердого тела постоянной массы.
В отдельных случаях допустимо использовать простейшие схематизации БР и ГЧ в виде материальных точек (переменной или постоянной массы). Например, допущение о том, что головная часть представляет собой материальную точку, вполне правомерно при расчете траекторий движения ГЧ на внеатмосферном участке полета. Это же допущение часто распространяется и на атмосферный участок полета, когда уравнения движения ГЧ записываются в предположении, что в течение всего времени движения углы атаки и скольжения сохраняются нулевыми.
Обратим внимание читателя на то обстоятельство, что схематизация ЛА в виде материальной точки весьма условна и ее исследует понимать буквально как возможность пренебречь геометрическими размерами ЛА ввиду их малости по сравнению, например, с размерами Земли или расстоянием от центра Земли до ЛА. Логические предпосылки для такой схематизации состоят в другом. Они появляются в тех случаях, когда уравнения движения центра масс ЛА оказываются замкнутыми и не
78
зависящими от уравнений вращательного движения. В этом случае уравнения движения центра масс ЛА можно рассматривать и решать отдельно от уравнений вращательного движения и интерпретировать их как уравнения движения материальной точки, перенося эту интерпретацию насам ЛА. Условность такой интерпретации становится особенно очевидной, когда материальной точке, схематизирующей Л.А, наряду с конечной массой приписываются и другие характеристики (аэродинамические коэффициенты, конечная площадь миделева сечения и др ).
Математическое описание движения летательных аппаратов как магериальных объектов осуществляется методами классической (нерелятнвистской) механики и основано на фундаментальных законах I [. Н ьютона, а также на вытекающих из этих законов основных теоремах механики об изменении количества движения материальной системы и изменении ее кинетического момента. При составлении уравнений движения ЛА в схеме твердого тела следуют общепринятому в механике подходу, состоящему в том, что движение тела рассматривается как совокупность двух движений - поступательного движения центра масс вращательного движения тела вокруг центра масс. Соответственно, общая система уравнений врашательно-поступательного движения ЛА состоит из двухгрупп уравнений: уравнений, описывающих поступательное движение центра масс ЛА, и уравнении, описывающих вращение ЛА вокруг его центра масс.
Структура уравнений движения центра масс ракеты
Как извесгно из теоретической механики, центр масс материальной системы, находящейся под действием некоторой совокупности сил, движется также, как двигалась бы материальная точка равной массы под действием той же совокупности сил. Основное уравнение динамики движения центра масс материальной системы записывается в форме 2-го закона Ньютона, сформулированного, как известно, для системы (тела) постоянной массы. Однако уравнение движения тела переменной массы имеет некоторые особенности.
Впервые эти особенности были исследованы механиком И.В. Мещерским в его известном труде "Динамика точки переменной массы", опубликованном в 1897 г. Главный результат, полученный Мещерским и имеющий отношение к рассматриваемому вопросу, состоит в том. что основное уравнение динамики движения тела переменной массы может быть записано в форме 2-го закона Ньютона, если к действующим на тело силам добавить дополнительные силы, возникающие вследствие отбрасывания (или присоединения) частиц массы с некоторой относительной скоростью. В этой измененной форме 2-н закон Ньютона
79
получил название уравнения Мещерского, а упомянутые выше дополнительные силы - реактивных сил Мещерского.
При описании движения ракет, переменность массы которых связана сработой ракетного двигателя, реактивная сила Мещерского включается в качестве основной составляющей в выражение для силы тяги ракетного двигателя. Поэтому применительно к ракете уравнение Мещерского по форме не отличается от уравнения, выражающего 2-й закон Ньютона, при условии, что сила тяги ракетного двигателя включена в число остальных действующих на ракету внешних сил, а под массой ракеты понимается ее текущее мгновенное значение. В векторных обозначениях и по отношению к инерциальной системе отсчета это уравнение имеет вид:
ma = P+R + B.	(1.37)
Здесь т - текущая масса ракеты, а - абсолютное ускорение ее центра масс, / -сила тяги ракетного двигателя (в случае одновременной работы нескольких двигательных установок В - сумма их тяг), R - полная аэродинамическая сила, В - сила притяжения Земли.
В уравнении (1.37) не нашли отражение кориолисовы силы инерции, возможность появления которых упомянутавыше. Кроме того, неучтено возможное перемещение центра масс ракеты относительно ее корпуса с некоторой скоростью. На практике эти факторы оказывают, как правило, незначительное влияние на движение ракет, поэтому в большинстве случаев ими допустимо полностью пренебречь. Если же возникает необходимость учета действия этих факторов, то следует воспользоваться более полными уравнениями движения, приведенными в литературе по динамике ракет.
Пусть Йа и г - абсолютная скорость ракеты и радиус-вектор, определяющий положение центра масс ракеты в инерциальной системе отсчета. С учетом введенных обозначений перепишем уравнение (1.37) в виде системы двух векторных уравнений:
dV -	-	-
т—- = Р + R + В,	(1.38)
dt
(1.39)
80
Первое уравнение описывает закон изменения скорости ракеты под действием приложенных сил и называется динамическим уравнением движения. Второе уравнение описывает закон изменения положения центра масс ракеты в зависимости от скорости ее движения и называется кинематическим уравнением движения, К этим уравнениям следует добавить еще одно дифференциальное уравнение, описывающее изменение массы ракеты вследствие выработки запаса топлива:
dm dt
(1.40)
где |й| - массовый секундный расход топлива, который может изменяться в процессе полета ракеты по некоторому закону. Нетрудно видеть, что из приведенных уравнений в качестве частного случая вытекают уравнения движения ГЧна пассивном участке траектории. Так, если исключить из динамического уравнения (1.38) силу тяги ДУ и полную аэродинамическую силу, то будет получено уравнение
(1.41)
dVtt ~ т—i = В, dt
которое совместно с уравнением (1.39) описывает движение ГЧ на внеатмосферном участке траектории (при этом следует положить | = = 0 и т = const). Если же восстановить в уравнении (1.41) полную аэродинамическую силу, то будет получено уравнение, описывающее движение центра масс ГЧ на атмосферном участке траектории.
При описании движения ракет и ГЧ наряду с инерциальными системами отсчета широко используются также неннерциальные системы отсчета. При этом структура уравнений движения в целом сохраняется, однако в правой части динамического уравнения появляются дополнительные члены, называемые фиктивными силами инерции. Пусть, например, движение ракеты рассматривается в относительной геоцентрической системе координат, врашаюшейся вместе с Землей с угловой скоростью Q3. Для записи соответствующих уравнений движения в качестве исходных используются уравнения (1.38) и (1.39). Представим абсолютное ускорение ракеты в виде суммы
~ аотя + °ПСр + flKOp’
(1.42)
где слагаемые в правой части есть относительное, переносное и кориолисово ускорения, причем в соответствии с известными правилами
81
.механики эти ускорения выражаются следующим образом через относительную скорость V н угловую скорость
(	док - _	dV а°т ~	dt	'	(1.43)
°аер = Й, х (б, х 7),	(1.44)
д-кср = 2(5, У Й).	(1.45)
Заметим, что в правой части формулы (1.43) в соответствии с определением относительного ускорения фигурирует локальная производная относительной скорости V по времени.
С учетом приведенных выражений динамическое уравнение (1.38) примет следующий вид:
ml = р + Ц + В - та - та	(146)
1 dt )	пер
Силу притяжения В и силу инерции переносного движения -manrp, вызванную вращением Земли, часто объединяют в сумму, называемую силой тяжести G и записывают уравнение (1.46) в виде
лох
—	= Р + R + G - 2гн(б. X Й),	(1.47)
de )
где в правой части присутствует кориолисова сила инерции.
Кинематическое уравнениедвижения центра масс ракеты в неинерциальной системе отсчета записывается в виде
(1.48)
где в левой части данного дифференциального уравнения в соответствии с определением относительной скорости стоит локальная производная вектора 7 по времени.
Проектирование правых и левых частей векторных уравнений (1.38) и (1.39) или (1.47) и (1.48) на оси соответствующих систем координат
82
позволяет получить уравнения движения центра масс ракеты в скалярной форме. Различные варианты записи этих уравнений в прямоугольных, сферических и цилиндрических координатах производятся в литературе по баллистике и динамике ракет (см., например, [1], [19], [20] и др.).
Важнейшей особенностью приведенных уравнений управляемого движения ракеты является их незамкнутостъ, так как в правых частях динамических уравнений (1.38) и (1.47) присутствуют свободные параметры. Этими свободными параметрами являются параметры управления, которыми и определяется возможность управления действующими силами.
Для иллюстрации свойства незамкнутости уравнений движения конкретным примером рассмотрим один из упрощенных вариантов уравнений движения, описывающих полет ракеты за пределами земной атмосферы при допущении, что поле силы притяжения Земли является центральным. Проектируя правые и левые части уравнений (1.38) и (1.39) на оси абсолютной стартовой системы координат, получим следующую систему дифференциальных уравнений (индекс "а" в обозначении абсолютной скорости здесь опущен):
Ьй| 77,	v
Vx = --------cosft.cos^. - ba—,
т	г3
у т	г’
.	1 th IW.	z
У. = - ----------cosO.sini|/. - b0—
* tn	г3
* =	(1.49)
i =
tn = -	|.
83
В данных уравнениях использовано выражение (1.28) для силы тяги ракетного двигателя в пустоте, через 01 и ф| обозначены углы тангажа и рыскания, R3 - радиус Земли, г- расстояние от центра Земли до ракеты.
Параметрами управления здесь являются углы тангажа и рыскания, а также секундный расход массы |гй|. В совокупности эти параметры определяют величину и направление тяги ДУ, представляющей собой управляющую силу.
Для замыкания дифференциальных уравнении, описывающих управляемый полет ракеты, необходимо доопределить параметры управления. Доопределение состоит в том, что выбираются так называемые программы управления, т.е. такие законы изменения параметров управления во времени, при которых обеспечивается полет ракеты по желаемой (гак называемой, требуемой) траектории. Принципы формирования программ управления и реализации их в полете с помощью системы управления рассматриваются в последующих разделах.
Если в уравнениях (1.49) положить |/й| = 0 (подразумевается, что тяга ДУ обнулена), то получим уравнения движения на внеатмосферном пассивном участке траектории:
vx = А—. * = vx> т 1
•	У + ^5
И, = -Z>0^—у= vy,	(1.50)
г3
г3
Данные уравнения описывают движение ГЧ в рамках так называемой кеплеровой схемы. Это название отражает то обстоятельство, что в небесной механике уравнения (1.50) определяют законы движения небесных тел, известные как законы Кеплера.
Очевидно, что система дифференциальных уравнении (1.50)замкнута. Это означает, что движение центра масс летательного аппарата не зависит от его вращательного движения, а сам ЛА может рассматриваться в качестве материальной точки единичной массы. Замечательная особенность уравнений движения в центральном поле состоит в том, что они поддаются интегрированию в общем аналитическом виде. Полная
84
система интегралов данных уравнений хорошо известна в небесной механике и в теории полета ЛА (интегралы площадей и энергии, интеграл Лапласа, уравнение Кеплера). На основе этих интегралов получают конечные аналитические зависимости (см. [3], |30]). известные как формулы кеплеровой теории, позволяющие рассчитать траекторию ЛА и параметры его движения (скорость, высоту, дальность и время полета), вычислить баллистические производные и решить многие другие задачи теории полета. Формулы кеплеровой теории находят широкое применение в алгоритмах управления движением ракет, головных частей и космических аппаратов.
Уравнения вращательного движения ракеты
Уравнения вращательного движения ЛА как твердого тела состоят подобно уравнениям движения центра масс из двух групп уравнений -динамических и кинематических. Динамические уравнения описывают изменение угловой скорости тела под действием приложенных моментов. Кинематические уравнения описывают изменение пространственной ориентации тела вследствие его вращения с угловой скоростью, закон изменения которой определяется динамическими уравнениями.
При составлении динамических уравнений вращательного движения исходят из уравнения, отражающего формулировку общей теоремы механики об изменении момента количества движения (кинетического момента) материальной системы:
= SJWp	(1.51)
где К - вектор кинетического момента, DAfj - сумма приложенных моментов. Применительно к материальной системе переменной массы данное уравнение сохраняет свой вид. если к приложенным моментам добавляют моменты отреактивных сил, которые при описании движения ракет учитываются как моменты, создаваемые газодинамическими органами управления. В отдельных случаях рассматриваются также кориолисовы моменты, возникающие при движении масс внутри корпуса ракеты (движение топлива по трубопроводам и газообразных продуктов его сгорания через сопло двигательной установки). В большинстве случаев эти моменты, как правило, существенно меньше управляющих моментов, поэтому их не включают в число основных действующих факторов, однако при необходимости учитывают в качестве возмущений.
Итак, полагая, что на ракету в общем случае действуют аэродинамические моменты (включая статический аэродинамический момент и
85
демпфирующий момент), а также моменты от органов управления, запишем уравнение (1.51) в виде:
= Vе1 > М а - Л/у.	(1.52)
dt
Вектор кинетического момента твердого тела выражается, как известно, через его моменты инерции, которые вычисляются в связанной системе координат. С другой стороны, и действующие моменты удобно выражать в проекциях на связанные оси. Поэтому динамические уравнения вращательного движения также записываются з этой системе координат. Связанная система координат не является инерциальной и вместе с ЛА вращается с абсолютной угловом скоростью й. Поэтому для
вычисления проекций полной производной — на связанные оси следует dt
выразить ее как сумму локальной и вращательной производных:
+ (йк^),	(1.53)
после чего уравнение (1.52) приобретает вид:
= -(5хК) - Мя - Мя + л7у.	(154)
Л )
Проектируя обе части уравнения (1.54) на оси связанной системы координат и учитывая формулы (1.24), (1.25) и (134) для действующих моментов, получаем динамические уравнения вращательного движения, которысв механике получили название динамических уравнений Эйлера.
Приведем один из наиболее употребительных, вариантов этих уравнений, записанных в предположении, что оси связанной системы координат являются главными центральными осями инерции ЛА:
dK _ dK
Л^х! ~	“ ЛI) t Шг1 “ mxl°xl ~ mxl\p>
= <Л| " Al^xl^l ’	- ОТМр>	О’55)
ЛА. = (Л> -	- m*ia ~ т^г\ ~ ^15т-
86
Здесь wxl, ы_j - компоненты вектора абсолютной угловой скорости ЛА в проекциях насвязанныеоси;Уг1,7..1,Л| - осевые моменты инерции ЛА.
Данные уравнения весьма точно описывают динамику вращательного движения ЛА в виде твердого тела постоянной массы, в частности, головной части. Эти уравнения могут быть применены также к исследованию вращательного движения ракеты на активном участке траектории с переменными моментами инерции, изменение которых во времени обусловлено выработкой запаса топлива. Однако в приведенном виде уравнения (1.55) являются приближенными, так как в них опущены члены, учитывающие скорости изменения моментов инерции, т.е. величины Jxi, JtJ.
Кинематические уравнения могут быть записаны в различной форме в зависимости от того, какие параметры выбраны для описания пространственной ориентации ЛА как твердого тела. В механике известны и находят широкое применение различные совокупности параметров ориентации: угловые величины (классические углы Эйлера или другие совокупности трех независимых углов), элементы матриц направляющих косинусов, параметры Родрига-Гамильтона, являющиеся компонентами квантернионов. Обзор перечисленных параметров ориентации и вывод соответствующих кинематических уравнений дан в Приложении 3. На практике выбор тех или иных параметров ориентации осуществляется в зависимости от особенностей объектов управления и специфики решаемых задач.
При записи уравнений движения ракет в качестве параметров ориентации чаще всего используются так называемые самолетные углы-углы тангажа, рыскания и вращения. Это объясняется тем, что именно в зтих параметрах удобно задавать программы управления движением ракет на АУТ. В указанных переменных кинематические уравнения имеют вид:
О, = t^jsinyj * co^coSYp
Ф1 = —^-(©„jCOSY, - w^sinyj),	(1.56)
cos и,
?i =	- tgfrjC^^osY) - co^sinY]).
Эти уравнения носят название кинематических уравнений Эйлера.
87
Итак, полная система уравнений вращательного движения ЛА включает шесть уравнений (1.55) и (1.56). В общем случае эта система уравнений является незамкнутой. Незамкнутость данных уравнений определяется прежде всего тем, что в правых частях динамических уравнений присутствуют свободные переменные бвр, бр, бт, играющие роль параметров управления при формировании управляющих моментов. В процессе полета значения этих параметров вырабатываются системой стабилизации движения ЛА в виде команд управления, поступающих на вход рулевых органов.
Другой причиной незамкнутости рассматриваемых уравнений вращательного движения является то обстоятельство, что коэффициенты аэродинамических моментов зависят от скорости и высоты полета, а эти величины определяются уравнениями движения центра масс ЛА. Поэтому даже в том случае, когда рассматривается свободный неуправляемый полет ЛА (например, движение неуправляемой ГЧ на атмосферном участке траектории), уравнения движения центра масс и уравнения вращательного движения являются взаимно-зависимыми и не могут решаться раздельно.
Полная независимость уравнений поступательного и вращательного движений имеет место только при описании свободного движения ГЧ или других отделившихся от ракеты элементов на внеатмосферном участке траектории. В этом случае динамические уравнения не содержат моментов сил и имеют следующий вид:
= (/и ~
= ^1 " 7xi)“xi“zi.	(1.57)
= (Л| " А'!)Шх1а’гГ
Совместно с кинематическими уравнениями (1.56) уравнения (1.57) образуют замкнутую систему дифференциальных уравнений и могут исследоваться независимо от уравнений поступательного движения. Эти уравнения, как известно из механики, интегрируются в эллиптических функциях и описывают движение твердого тела, получившее в механике название движения Эйлера-Пу ансо.
Для ракет и головных частей, обладающих, как правило, осевой динамической симметрией (выражающейся в равенстве двух моментов инерции, = /.^.динамическиеуравненняупрощаются и приобретают вид:
88
Л]«х1 = о,
= (“S1 “ Л I ) wx J °! I » Л1^г1 = <Л1 “ /yl)0*!0^! 
(1.58)
Уравнения (1.56) и (1.58) интегрируются в элементарных функциях и описывают вращательное движение твердого тела, известное в механике как регулярная прецессия. Применительно к головной части данное движение характерно тем, что в случае, когда при отделении ГЧ от ракеты ей сообщается начальная угловая скорость, произвольным образом ориентированная относительно связанных осей, то последующее вращательное движение представляет собой наложение двух движений -вращения ГЧ вокруг продольной оси с постоянной угловой скоростью (это очевидно из первого динамического уравнения (1.58)) и движения самой продольной оси ГЧ с постоянной угловой скоростью по круговой конической поверхности вокруг вектора кинетического момента К, ориентация которого неизменна в абсолютном пространстве. Если же при отделении от ракеты сообщаемая головной части начальная угловая скорость ориентирована вдоль продольной оси ГЧ, то начальная ориентация продольной оси сохраняется неизменной в течении всего времени последующего движения ГЧ на внеатмосферном участке траектории. Это свойство движения находит широкое применение на практике с целью обеспечения входа ГЧ в плотные слои атмосферы с нулевыми углами атаки и скольжения и с заданной угловой скоростью осевого вращения, что благоприятно сказывается на динамических режимах ее последующего движения и уменьшает отклонения точек падения ГЧ от точки прицеливания, вызванные динамикой движения в атмосфере.
1.2.5. Управляемость БР и ГЧ
Свойство управляемости является важным качественным свойством объекта управления и характеризует его способность изменения параметров движения в тех или иных пределах под действием допустимых управлений. Это свойство определяется динамикой объекта управления, нашедшей отражение в уравнениях его движения, видом и структурой управляющих связей, а также характером ограничений на управления.
В теории и практике построения систем управления ЛА и других подвижных объектов нашли применение две основные трактовки понятия
89
"управляемость", различающиеся по своему смысловому содержанию и характеру задач управления, решаемых с помощью названного понятия.
В соответствии с первой из этих трактовок, исторически более ранней, под управляемостью понимается способность летательного аппарата достаточно быстрого реагирования на отклонения органов управления с целью парирования внезапно появившихся возмущений или интенсив* кого изменения скорости и высоты полета, других параметров траектории. направления движения. Свойство управляемости в указанном смысле может быть названо "динамической управляемостью", так как оно непосредственно определяет динамику переходных процессов, возникающих при перекладках органов управления. Характеристики динамической управляемости используются в первую очередь для анализа устойчивости ЛА и синтеза систем стабилизации его движения. Применительно к задачам построения автопилотов характеристики динамической управляемости самолетов и ЛА некоторых других типов подробно рассмотрены в известной монографии И.В. Остославского и И.В. Стражевой[29].
Вторая трактовка свойства управляемости соответствует системе понятий, введенных в науку об управлении Р. Налманом в 1961 г. в рамках разработанных им положений, получивших название теории управляемости и наблюдаемости линейных динамических систем (см. [14], [15]}. В дальнейшем эти положения были существенно расширены и дополнены другими авторами, распространены на некоторые виды нелинейных систем и ныне образуют самостоятельную часть современной общей теории управления. Свойство управляемости в калмановском понимании характеризует способность объекта управления изменять параметры своего движения в фазовом пространстве в интересах решения задачи управления его конечным (терминальным) состоянием. Для отличия отрассмотренного выше свойства динамической управляемости данное свойство может быть названо "терминальной управляемостью". Свойство терминальной управляемости играет определяющую роль при анализе размеров и конфигурации областей управляемости и достижимости в задачах терминального управления, при синтезе оптимальных программ управления движением и законов управления с обратной связью, а также при решении задач наведения.
В последующем изложении основное внимание уделяется анализу свойств управляемости БР и ГЧ в указанном выше калмановском смысле. Для удобства читателя в Приложении 1 приводятся первичные сведения по теории управляемости, включая понятия областей управляемости и достижимости, а также примеры их построения, что необходимо для проводимого ниже исследования свойств управляемости БР и ГЧ при ограничениях на управления. Рекомендуем читателю ознакомиться с
90
содержанием данного приложения перед изучением основного материала. Далее в п. 1.2.6 приводятся определения и дается краткий анализ наиболее важных характеристик динамической управляемости БР и ГЧ: маневренности, поворотливости и стабилизируемости.
Управляемость поступательного движения БР
При движении БР основной управляющей силой является сила тяги ДУ. Аэродинамические силы играютв управлении движением вспомогательную роль, а при полете за пределами атмосферы эти силы отсутствуют. Кроме того, условия полета в атмосфере накладывают специфические ограничения на допустимые управления. В связи с этим исследование управляемости проведем в два этапа, рассмотрев первоначально движение БР за пределами атмосферы. Примем также во внимание, что при решении принципиальных вопросов управляемости допустимо пренебречь зависимостью силы притяжения Земли от координат ракеты и принять тем самым модель однородного гравитационного поля с постоянным ускорением g0. Воспользуемся уравнениями движения центра масс ракеты в проекциях на оси абсолютной стартовой системы координат, которые аналогичны уравнениям (1.49) и в соответствии с принятыми допущениями имеют вид:
. _ | w | и, cos^ C0S1k
х «1(0	1	'
|/ft:V . А
——smo, - g0, m(0
|/й|
И, = --------- COS 6. 51Пф.,
1	««(О	’	1
* =
/ = vy,
* - Vv
(1-59)
91
t m(t) = /н0 - J|m(r)fdx. о
Параметрами управления являются в данном случае углы тангажа и рыскания, а также величина массового секундного расхода компонентов топлива, определяющая величину силы тяги ДУ. Пределы изменения этих величин подчинены следующим естественным ограничениям:
0 s ti. < 2л, 0 £ ф, < 2ir, 0 i |tn| s wna„-• 1 • '	(1.60)
Время Туправляемого движения ракеты определяется величиной | th | и запасом топлива;
r рщ(0|Л = mronj. 0	(1.61)
Наряду с величинами Орф, и |/й| в качестве параметров управления могут рассматриваться проекции вектора тяги на осп стартовой системы координат:
Рх = | гй| Lr3cos6)cos4’1,
Py- |m11/,sinti,,	(1.62)
Р. = -|т| 17э cos f>] sin ф, или компоненты вектора кажущегося ускорения:
PPP И’ = ——, w = —w = 	— . m(0 y m(t)	m(t)	(1.63)
Параметры (1.62) и (1.63) подчинены следующим собственным ограничениям:
0 s Px2 + P2 1- P2 £. (P*1**)2,	(1.64)
y z WO)	(1.65)
92
Дополнительные ограничения будут введены ниже. Рассмотрим управляемость БР для нескольких вариантов ограничении на параметры управления.
Вариант /. Пусть единственным ограничением на параметры управления является ограниченность тяги ДУ, которая в соответствии с неравенством (1.64) может принимать любые значения в пределах от нуля до своего максимального значения. Ограничения на ориентацию вектора тяги не накладываются. Подобная свобода выбора направления тяги ДУ при решении задач управления характерна для ступени разведения БР, предназначенной для формирования боевых порядков боевых блоков разделяющейся головной части.
Для того чтобы привести уравнения движения к стандартному виду, переобозначим фазовые координаты и параметры управления:
х, = х, х2 = у, х3 = z, х4 = Vx, х5 = Vr, х6 = Vz,
Ч = «з-
Учтем также то обстоятельство, что присутствие в правой части второго уравнения (1.59) слагаемого g0. не зависящего от параметров управления, не влияет на выводы об управляемости системы. Поэтому ускорение g0 может не приниматься во внимание и уравнения движения (1.59) принимают вид:
*	1 = х4,
*	2 = х5>
*	3 = х6,
*4 = «1 >
х5 = иг,
*6 = из-
(1.66)
Уменьшим размеры области допустимых значений параметров управления, положив в правой части неравенства (1.65) m(t) =
ртах \
< то )
О s и* + и2 + из £
= Г1.
Данная область представляет собой шар радиуса г в пространстве параметров управления. Осуществим дальнейшее уменьшение этой области, заменив шар вписанным в него кубом. В результате приходим к трем независимым ограничениям по параметрам управления uj.
93
-к z U,(I) a, k = -^-, J= 1,2,3, t e (0, 7], T = -^.(1.67)
3	41
Приступим теперь к анализу управляемости поступательного движения БР,воспользовавшись материалами Приложения 1 .Поскольку каждая из независимых подсистем 2-го порядка, входящих в состав уравнений (1.66). идентична рассмотренной в Приложении 1 системе (П 1.44) с ограничениями (П 1.45), то выводы об условиях управляемости этой системы непосредственно переносятся иа рассматриваемую нами модель управляемого движения БР. Таким образом, поступательное движение БР, описываемое уравнениями (1.59) с ограничениями на управления (1.60) и (1.61), является полностью локально управляемым в 6-мерном фазовом пространстве. Конфигурация областей достижимости и управляемости для каждой пары параметров {x, Kr), {у, У }, {г, К,} при ограничениях (1.67) и без учета гравитационного ускорения остается той же самой, что и на рисунке П1.1. Учет действия гравитационного ускорения в рамках модели однородного поля изменяет конфигурацию этих областей только для параметров {у,	не изменяя общего вывода
о локальной управляемости системы в целом.
Полученное заключение о полной локальной управляемости системы (1.59) с ограничениями (1.64) или (1.67) показывает, что с помощью ступени разведения, оснащенной ДУ с регулируемой тягой, на возможные направления которой не наложено ограничений, могут быть реализованы любые (в пределах области достижимости БР) начальные условия движения боевых блоков РГЧ, что, в свою очередь, позволяет формировать любые боевые порядки ББ в районе целей, принадлежащих области достижимости ББ.
Вариант 2. Рассмотрим движение ракеты на атмосферном участке траектории. Управляющая сила представляет собой в данном случае сумму силы тяги ДУ и полной аэродинамической силы:
Т = Р + R,	(1.68)
при этом кроме естественного ограничения на модуль управляющей силы существуют жесткие ограничения на допустимые значения составляющих полной аэродинамической силы - подъемной силы Y и боковой силы Z, превышение которых может привести либо к потере устойчивости ракеты под действием опрокидывающего аэродинамического момента, либо к ее разрушению под действием недопустимо большой поперечной силы.
Учитывая, что углы атаки и скольжения при полете БР на атмосферном участке АУТ не превышают нескольких градусов, запишем
94
след'’юшие выражения для проекций силы Т на оси скоростной системы координат при условии малости этих углов:
тх - р - Q,
(1.69)
ту = (р + c;qs)a,	(1.70)
Тг = -(Р + С,М)Р.	(1.71)
При полете на АУТ сила Тх всегда положительна, поэтому ограничения на силы Тх. Т и Т, нмеют’вид:
0 < Т71 s Тх i Т™,	(1.72)
s Ту s Т™,	(1.73)
-Т™ i Тг s Т™.	(1.74)
Покажем, что при ограничении (1.72) ракета неполностью управляема по параметрам продольного движения. Действительно, продольное движенмеракеты по направлению оси.хч, скоростной системы координат, совпадающей по направлению с вектором скорости, может быть описано следующей системой уравнений 2-го порядка:
(\ Т «1 = — .
(1-75)
В соответствии с неравенством (1.72) ограничения на параметр управления имеют вид:
О < кх s и, s fc2.
(1.76)
Управляемость системы вида (1.75) с ограничением (1.76) исследована в Приложении 1, конфигурация областей достижимости и управляемости показана на рис. П1.2. Таким образом, может быть сделан вывод о неполной локалы toil управляемости БР в условиях движения на атмосфер-
95
ном участке АУТ. Неполная управляемость заключается в данном случае в невозможности изменить знак продольного ускорения и продольной скорости. Наряду с этим имеется возможность изменять скорость ракеты в некоторых ограниченных пределах, определяемых размерами областей локальной управляемости, путем изменения тяги ДУ. Это позволяет осуществлять регулирование скорости продольного движения ракеты в интересах решения задачи наведения.
Заметим, что нормальная и боковая управляющие силы Т и Т. не стеснены односторонними ограничениями и имеют возможность менять знак путем изменения знака углов атаки и скольжения. В силу этого движение БР по нормали к траектории и в боковом направлении полностью локально управляемо.
Вариант 3. Предположим, что ракета оснащена твердотопливной ДУ с нерегулируемой тягой. В этом случае продольная сила Тх может быть изменена только за счет силы лобового сопротивления, зависящей от углов атаки и скольжения. Однако при малых изменениях этих углов сила Q изменяется незначительно и, кроме того, не может быть изменена независимо от подъемной силы Y и боковой силы Z, также зависящих от углов атаки и скольжения. Поэтому практически можно считать, что продольная сила не поддается управляемому изменению, вследствие чего ракета является в рассматриваемом случае локально неуправляемой по параметрам продольного движения.
Как будет показано в разделе III, свойство локальной неуправляемости БР по параметрам продольного движения оказывает непосредственное влияние на решение задачи наведения, так как не позволяет включать в число программ управления ракетой программу продольной скорости или продольного ускорения.
Что же касается двух других управляющих сил, нормальной и боковой, то они поддаются эффективному управлению и при использовании ДУ нерегулируемой тяги. Действительно, как видно из выражений (1.70) и (1.71), эти силы поддаются независимому изменению путем изменения углов атаки и скольжения. Вследствие этого даже при использовании твердотопливной ДУ ракета сохраняет свойство полной локальной управляемости по параметрам нормального и бокового движения, что позволяет включать в состав программ наведения программы нормальной и боковой скорости.
Свойство неполной управляемости БР с двигателем нерегулируемой тяги оказывает влияние на постановку и решение задач наведения БР и ГЧ также с другой точки зрения - в июне ограничения общего числа независимых терминальных условий наведения.
Проанализируем данный вопрос подробнее. Как будет показано в п. 3.2.1, при решении задач наведения ЛА терминальные условия,
96
характеризующие цель управления, подразделяются на финитное условие (условие окончания движения) и условия попадания. В случае полной управляемости поступательного движения максимальное количество независимых условий попадания равно шести - размерности фазового пространства параметров поступательного движения. При неполной \ правилен ости размерность области достижимости меньше размерности фазового пространства и совпадает с рангом матрицы управляемости (см. Приложение 1). Как показано выше, ракета с нерегулируемой тягой неуправляема по параметрам продольного движения, следовательно, размерность ее области достижимости равна четырем. Отсюда вытекает общий вывод: при управлении выведением ГЧ с. помощью ракеты с нерегулируемой тягой максимальное число независимых терминальных условий наведения не может превышать четырех (без учета финитного условия).
Как будет видно из раздела III, данное обстоятельство не препятствует решению практических задач наведения БР с неуправляемыми ББ.так как количество терминальных условий попадания принимается равным либо двум (в функциональном методе наведения), либо трем (в методе наведения по требуемой скорости).
Для сравнения отметим, что при выведении орбитальных космических аппаратов с помощью ракет-носителей число независимых терминальных условий наведения может быть равно шести. В этом случае необходимо применение жндкотоплквной ракеты-носителя либо оснащение твердотопливной ракеты доразгонным блоком с регулируемой тягой.
Управляемость поступательного движения ГЧ
Рассмотрим управляемую головную часть БР с аэродинамическими органами управления. Управляющей силой в данном случае является полная аэродинамическая сила, величина и направление которой определяются аэродинамическими характеристиками ГЧ, величиной скоростного напора и параметрами ориентации ГЧ.
Для определенности будем считать, что ГЧ обладает аэродинамической симметрией и снабжена органом управления в виде отклоняемой юбки, при отклонении которой в двух взаимно-перпендикулярных направлениях по углам 6Т и бр развиваются соответствующие управляющие моменты. Вследствие статической устойчивости ГЧ полет ее может осуществляться при установившихся значениях углов атаки и скольжения, определяемых из балансировочных зависимостей:
97
ni.s.
------ в ₽
(1.77)
m21
При малых значениях углов атаки и скольжения проекции полной аэродинамической силы на оси скоростной системы координат имеют вид:
Rx = ~Q = CxqS,
Ry = Y = CyqSa,	(1.78)
Rz = Z = -C/?Sp, при этом сила лобового сопротивления при изменении углов атаки и скольжения от нуля до ± 15° вменяется (в сторону ее увеличения) не более чем на 1,5-2 %, тогда как подъемная и боковая силы изменяются пропорционально углам атаки и скольжения. Соответствующие им управляющие ускорения в зависимости от аэродинамических характеристик к скоростного напора могут достигать весьма больших величин (подробнее см. п. 1.2.7).
Проведенный выше анализ показывает, что схема действия на ГЧ аэродинамических управляющих сил аналогична по характеру ограничений схеме действия управляющих сил на ракету в случае оснащения ее ДУ нерегулируемой тяги, поэтому полученные выше выводы о характере управляемости ракеты в данных условиях полностью распространяются на ГЧ. Вследствие этого ГЧ с аэродинамическими органами управления неуправляема по параметрам продольного движения, а размерность ее области достижимости равна четырем. Таким образом, при наведении управляемых ББ возможна реализация не более чем четырех независимых терминальных условий попадания.
В качестве примера обратимся к задаче наведения управляемого ББ по методутребуемых ускорений,рассмотренной нижев п. 3.7,5. В данном методе наведения задаются именно четыре терминальных условия попадания - две координаты точки цели и два угла, определяющие направление вектора терминальной скорости в точке цели. При этом в качестве финитного условия наведения используется равенство текущей высоты полета ГЧ заданной высоте точки цели.
Управляемость вращательного движения БР и ГЧ
Воспользуемся общими уравнения вращательного движения ЛА в форме кинематических и динамических уравнений Эйлера:
98
fr] = (j^jSinYj + (o.icosy,,
Ф| = —Ц—<^1 C0SYi " “ziS'nY,). COS и ।
Yi = “xi " tgM^iCOSY! - wrIsinY[),
(1.79)
& ^>5 J. p /!

Фазовыми координатами являются здесь углы тангажа, рыскания и вращения и проекции вектора угловой скорости на оси связанной системы координат. Параметрами управления являются углы отклонения органов управления по каналам тангажа, рыскания и вращения. Далее в качестве параметров управления будем рассматривать величины
«< = уЧр. «2 = 94’	= 77SP’	с1-80’’
которые вследствие ограниченности углов отклонения органов управления подчинены ограничениям вида:
-к{ s «, s 1'], -к2 i и2 i к2, -кг s u3 i к2.	(1.81)
Уравнения (1.79) нелинейны, что препятствует непосредственному применению к ним методов анализа управляемости линейных систем. Кроме того, эти уравнения незамкнуты, так как в правые части второго и третьего динамических уравнений входят составляющие статического аэродинамического момента, определяемые углами атаки и скольжения, которые в свою очередь зависят от вектора линейной скорости ЛА. Далее
99
будем считать, что управляющие моменты достаточно велики для компенсации статического аэродинамического момента с таким запасом, чтобы сохранялся двусторонний характер ограничении вида (1.81) для оставшейся части управляющих моментов. При этом допущении составляющие статического аэродинамического момента не влияют на решение вопроса структурной управляемости и могут не приниматься во внимание.
С целью приведения нелинейных уравнений (1.79) к линейному виду воспользуемся стандартным приемом линеаризации нелинейных уравнений в окрестности некоторого опорного движения с последующим замораживанием коэффициентов линеаризованных уравнений. Ввиду того что управления входят в динамические уравнения линейно, в качестве опорного может быть выбрано некоторое свободное вращательное движение ЛА, описываемое функциями временно^ (г),	(t),
ft® (О, Ф1(0. Y°(0- В результате линеаризации исходных уравнений (1.79) будут получены линейные дифференциальные уравнения в отклонениях вида
Дх -г Ви,
(1.82)

где dFIdx - матрица коэффициентов, полученная дифференцированием правых частей исходных уравнений по соответствующим фазовым координатам, а матрица В имеет следующую блочную структуру:
В =
(1.83)
где Е - единичная матрица 3-го порядка.
Благодаря данному виду матрицы управлений для последующего применения критерия управляемости Калмана нет необходимости выписывать в явном виде полную систему линеаризованных уравнений (1.82). Вместо этого достаточно записать выражения для элементов матрицы А12, образующих блок коэффициентов, входящих в матрицу dF/dx:
100
(1.84)
Действительно, матрицауправляемости,построенная с помощью матриц (1.83) и (1-84), имеет следующую блочную структуру:
О : Л1г
£ : А2г
G =
(1.85)
и ее ранг максимален (равен шести) в случае невырожденности матрицы Я12*
Данная матрица, полученная дифференцированием правых частей кинематических уравнений Эйлера по компонентам вектора угловой скорости, имеет вид:
	0	sinY]	cosy]	
•^12 =	0	cosy) COSft]	siny, COS ft]	(1.86)
	1	-tgft, COSY!	tgftfSiny]	
и ее определитель отличен от нуля,
|л,,| =
cosfrj
(1.87)
Таким образом, по критерию Калмана вращательное движение ЛА, описываемое уравнениями (1.79) при независимых ограничениях на параметры управления вида (1.81), локально управляемо в окрестности любого начального состояния объекта управления.
Данный вывод характеризует принципиальную управляемость системы (1.79) в некоторой достаточно малой области фазового пространства, размеры которой не определены. Для более детального исследования условий управляемости требуется построение областей достижимости, что ввиду нелинейного характера уравнений (1.79) может быть осуществлено в общем случае лишь численными методами. При этом, как показывает опыт решения разнообразных задач управления
101
вращательным движением ЛЛ. выбором необходимых пределов изменения допустимых управлений, описываемых неравенствами (1.81), и требуемого интервала времени управляемого движения размеры областей достижимости могут быть сделаны достаточными для решения любых встречающихся на практике задач управления вращательным движением, включая задачи наведения и стабилизации движения БР на АУТ, задачи ориентации управляемых ГЧ на внеатмосферном и в атмосферном участках траектории. Ввиду этого вращательное движение БР и ГЧ с тремя независимыми параметрами управления и независимыми ограничениями на область допустимых управлений будем определять далее как полностью управляемое во всем фазовом пространстве.
1.2.6. Маневренность, поворотливость и стабилизируе.мость БР и ГЧ
Маневренностью называется способность ЛА изменять направление своего движения под действием управляющих сил. Степень маневренности в плоскости полета и в боковом направлении может быть охарактеризована величинами нормальной и поперечной управляющих сил, определяемых выражениями (1.70) и (1.71). Эти силы создаются путем отклонения продольной оси ЛА от направления вектора скорости на углы атаки и скольжения, при этом возникают нормальное и поперечное ускорения ау н а., что и приводит к соответствующему искривлению траектории полета.
Наряду с величинами Ту, Т.. ау и а. в качестве характеристик маневренности удобно рассматривать безразмерные величины -нормальную и поперечную перегрузки:
(Р + С?М)а (Р 4 ф5)Р
м = -------1, п. ---------------i-----.	(;.з8)
nig0	'	mg0
Выше отмечалось, что при полете на атмосферном участке траектории управляющие силы не должны превышать некоторых предельно допустимых значений, определяемых условием сохранения механической прочности ракеты. Эти предельные значения сил очевидным образом трансформируются в соответствующие предельно допустимые перегрузки и п. и. в силу выражений (1.88). в предельно допустимые значения углов атаки и скольжения, которые должны учитываться при выборе траектории полета в ходе решения задачи наведения (подробнее см. ниже и. 3.2.2).
Рассмотрим характеристики маневренности ступени разведения, предназначенной для формирования боевых порядков элементов боевого оснащения БР. Поскольку полет ступени разведения происходит
102
за пределами атмосферы, где скоростной напор равен нулю, то аэродинамические составляющие управляющих сил в выражениях (1.70> н (1.71) отсутствуют, а углы атаки и скольжения не ограничены. Поэтому путем у.-ловы.^ поворотов ступеней разведения можно обеспечить любую желаемую ориентацию вектора тягл ДУ относительно первоначальной траектории.
В частности, для создания нормальной управляющей силы нужного знака достаточно повернуть ступень разведения на 90° (или -90°) по углу атаки, как это показано на рис. 1.28. Соответственно, для создания поперечной управляющей силы достаточ
Рис. 1.28. Угловые развороты ступени разведения
но повернуть ступень разведения на
90° по углу рыскания. В обоих случаях мерой интенсивности маневра может служить величина осевой перегрузки, развиваемой за счет силы тяги ДУ:
Л
ni£o
(189)
Поскольку повороты ступени разведения на указанные углы требуют определенного времени,то быстрот а маневра по изменению траектории полета будет зависеть не только от располагаемой величины осевой перегрузки, но и от способности ступени разведения осуществлять достаточно быстрые повороты в требуемое положение. Это качество JIA определяется как поворотливость.
Поворотливостью называется способность ЛА поворачиваться вокруг центра масс под действием управляющих моментов. При полете на внеатмосферном участке траектории поворотливость ЛА может быть охарактеризована величинами управляющих моментов Л//, Л/Д Л/Д формируемых органами управления. Предельные значения этих моментов достигаются при перемещении органов управления в предельно допустимое положение (как принято говорить, в положение "до упора").
103
Наглядными характеристиками поворотливости являются также угловые ускорения, которые приобретают ЛА под действием управляющих моментов:

(1-90)
По предельным значениям угловых ускорений нетрудно оценить время, требующееся для поворота ЛА в заданное положение.
При полете на атмосферном участке, где углы атаки и скольжения ограничены, наряду с характеристиками поворотливости (1.90) широко применяются балансировочные зависимости и коэффициенты балансировки. Поясним названные понятия.
Балансировочную зависимость по углу атаки получают из уравнения вращательного движения ЛА вокруг поперечной оси Zj. Предположим, что вращение вокруг осей л-j и _>»[ отсутствует - о = 0) и справедливы равенства ег> = а, = а, которые выполняются точно на прямолинейных участках траектории и приближенно - на криволинейных участках. С учетом сделанных предположений третье динамическое уравнение (1.55) примет вид:
Jz,5 -	+	= -т’5т-	(1 91)
На относительно коротких интервалах движения коэффициенты уравнения (1.91) можно считать постоянными. Тогда при условии т‘ > > 0 и бт = const данное уравнение описывает процесс затухающих колебаний ЛА по углу атаки, при котором угол а стремится к своему установившемуся значению, а угловая скорость а и угловое ускорение & уменьшаются до нуля. Рассмотрев аналогичное уравнение вращательного движения по углу рыскания, получим в итоге две зависимости, с помощью которых могут быть найдены установившиеся значения углов атаки и скольжения:
s	&
т,	т„
« = —;8t« Р = —?8Р.	(1.92)
Данные зависимости соответствуют условиям статического равновесия ЛА при совместном действии управляющих моментов и статического
104
аэродинамического момента, т.е. условиям их балансировки. Поэтому зависимости(1.92)называютбам/спровочншш. Отношениекоэффициен-тов моментов в балансировочных зависимостях называюткоэффициентами балансировки:
t	к
т.	т.
кя = ^., к. = ->1 а	а ₽	S
(1.93)
Балансировочные зависимости позволяют найти предельные значения углов атаки и скольжения при предельных перемещениях органов управления (в положение до ' упора"). Коэффициенты балансировки служат характеристиками поворотливости ЛА - чем больше значение этих коэффициентов, гем выше поворотливость ЛА. Сопоставляя выражения (1.92) и (1.88), нетрудно убедиться, что поворотливость ЛА на атмосферном участкетраектории, рассматриваемая в указанном выше смысле, непосредственно влияет на маневренность ЛА.
Стабилизируе.мостью называется способность ЛА сохранять устойчивое угловое положение в процессе полета при неизменном положении органов управления. Способность устойчивого стабилизированного полета присуща ЛА лишь при движении в атмосфере, где управляющий момент, вызванный отклонением органа управления по каналу тангажа или рыскания, может быть уравновешен статическим аэродинамическим моментом.
Необходимо подчеркнуть, что в данном случае речь идет о способности ЛА к самостабилизации движения без участия системы управления. Последнее обстоятельство и отражено в приведенном выше определении условием неизменности положения органа управления. При этом момент, вызванный отклонением органа управления, является по сути возмущающим.
Отметим также, что осесимметричные ЛА, у которых проекция статического аэродинамического момента на продольную ось равна нулю, не обладают свойством стабнлизируемости по углу крена. Поэтому обеспечение устойчивого углового положения таких ЛА по крену (к ним относятся БР и управляемые ББ) невозможно без участия системы управления.
Рассматриваемое нами свойство стабнлизируемости иначе называется свойством статической устойчивости ЛА. Как отмечалось в п. 1.2.2, статическая устойчивость характеризуется знаком "минус" в правых частях формул (1.23) для проекций статического аэродинамического момента или, что эквивалентно, знаком "плюс" в выражениях для коэффициентов этого момента:
105
- с;^ - 1,)}S,	 Cfa -	(1.94:
Аппарат статически устойчив (m* > 0,	> 0) в случае, когда Zj>Zv,T.e
центр давления расположен позади центра масс ЛА (см. рис. 1.15) и статически неустойчив (т‘ < 0,	< 0), когда Zj <
Характеристикой степени стабилизируемости ЛА может служить запас апатической устойчивости, определяющий в абсолютных или относительных единицах (в процентах) расстояние между центром давления и центром масс ЛА:
Z~ = ''-^-100 %,	(1.95)
где / - длина ЛА. При увеличении запаса статической устойчивости коэффициенты т* и т* увеличиваются. Из уравнения (1.91) видно, что увеличение этих коэффициентов приводит к более интенсивному затуханию колебаний по углам атаки и скольжения, возникающих при перекладках органа управления по каналам тангажа и рыскания на углы 5.f и 5р. Таким образом, с увеличением запаса статической устойчивости стабилизируем ость ЛА повышается.
Сопоставим теперь формулы (1.93 и 1,94). Это сопоставление показывает, что коэффициенты балансировки ЛА обратно пропорциональны запасу статической устойчивости. Следовательно, свойства стабилизируемости и поворотливости качественно противоположны -сувеличением запаса статической устойчивости и степени стабилизируе-мостн поворотливость ЛА ухудшается, а при уменьшении запаса статической устойчивости поворотливость улучшается.
В заключение отметим, что боевые блоки БР всегда конструируются как статически устойчивые, чем обеспечивается их самостабилизация по углам атаки и скольжения при полете в атмосфере. Требуемый запас статической устойчивости досппаегся выбором рациональной аэродинамической формы (чаше всего в виде затупленного конуса) и соответствующей центровкой ББ. Для повышения запаса статической устойчивости возможно размещение в носовой части корпуса ББ балластного груза, что позволяет сместить центр масс ББ ближе к носовой части.
Баллистические ракеты имеют, как правило, весьма простую аэродинамическую форму в виде цилиндра с носовым конусом. У тел такой формы центр давления располагается вблизи носовой части, поэтому БР статически неустойчивы. Вследствие этого статический
106
аэродинамический момент является опрокидывающим и устойчивый стабилизированный полет ракеты невозможен без участия системы управления (именно, системы угловой стабилизации).
1.2.7. Маневренность управляемых боевых блоков
Проанализируем введенные выше характеристики маневренности применительно к управляемым боевым блокам, способным совершать маневры уклонения от средств перехвата системы ПРО на атмосферном участке траектории.Такие боевые блоки называются маневрирующими ([7],е. 276).
1 ia рис. 1.29 показаны возможные траектории маневра ББ в плоскости стрельбы. Траектория баллистического полета ББ (попадающая траектория при отсутствии маневра) обозначена на рисунке цифрой 1. Для изменения траектории полета необходимо отклонить орган управления ББ (например, кормовую юбку или носовую часть, как это показано на рис. 1.26) на некоторый угол по каналу тангажа. Установившееся после завершения переходного колебательного процесса значение угла атаки определяется балансировочной зависимостью (1.92). Появившаяся вследствие этого подъемная сила вызовет отклонение траектории последующего движения ББ от баллистической траектории. При положительном угле атаки траектория маневра называется шбрирующей (обозначена цифрой 2). а при отрицательном угле атаки -пикирующей (обозначена цифрой 3). Оба названные термина заимствова
ны из авиации. В точках О{ и управления наугол 6Т противоположного знака. Вследствие этого угол атаки и подъемная сила изменяют знак и ББ с траектории кабрирования переходит на траекторию пикирования (в точке др или с траектории пикирования на траекторию кабрирования (в точке О2). В более сложных случаях траектория маневра может содержать несколько чередующихся участков кабрирования н пикирования, а также пересекать баллистическую траекторию в одной или нескольких точках.
Маневр ББ в боковой плоскости осуществляется аналогичным образом отклонением органа управления
происходит перекладка органа
Рис. 1.29. Траектории маневра УББ
107
ha угол 6p по каналу рыскания. Возникающее вследствие этог отклонение продольной оси ББ по углу скольжения вызовет появлени боковой аэродинамической силы н соответствующие изменены траектории полета в боковом направлении.
Далее ограничимся рассмотрением маневров в плоскости стрельбь Маневренность ББ будем оценивать величиной нормальной перегрузи вызванной действием подъемной силы,
= Сл,ад8
(1.9<
Цель последующего анализа заключается в том, чтобы оценит возможныепредельныезначения нормальной перегрузки, которые могу быть реализованы на маневрирующих ББ, и проанализироват зависимость этих предельных значений от условий полета (высоть скорости) и характеристик ББ - баллистического коэффициента ох аэродинамического качества к(а):
т
С Са
*(«) = 7* =	(1.96
В дальнейшем полагаем, что аэродинамическое качество являете линейной функцией угла атаки, как это выражено формулой (1.98; Данное допущение справедливо с достаточной точностью при |<х| <: 30'
Продольная перегрузка ББ, вызванная действием силы лобовог Сопротивления, определяется формулой
С учетом формул (1.96) и (1.99) нормальная перегрузка выражаете через продольную перегрузку и аэродинамическое качество:
п? = А:(а)лх.	(1.10С
Таким образом, нормальная перегрузка в момент начала маневр определяется продольной перегрузкой, действующей на ББ в этот момен
108
времени, и аэродинамическим качеством ББ. Следовательно, вопрос оценки максимальных значений нормальной перегрузки сводится к определению располагаемых значений продольной перегрузки, действующей на ББ при полете по баллистической траектории с нулевыми углами атаки и скольжения. Поскольку при а = р = О продольная перегрузка пх и осевая перегрузка совпадают (см. формулу (1.13)), в дальнейшем величину убудем называть осевой перегрузкой.
Обратимся к уравнениям, описывающим движение центра масс ББ с нулевым углом атаки на атмосферном участке траектории в плоскости стрельбы:
Р’ = - — + gsin0, т
0 = —cos0 - —cosO, г V
f - Ksin0,
(1.101)
V
<р = —COS0.
г
Для последующего анализа воспользуемся приближенными аналитическими зависимостями, получаемыми путем интегрирования уравнений (1.101) при некоторых упрощающих допущениях. Подобные приближенные зависимости широко использовались во многих работах, посвященных исследованию баллистического спуска в атмосфере Земли и планет (см., например, [43], с. 155). Итак, примем следующие допущения:
1.	Пренебрежем ускорением силы притяжения g в первом уравнении (1.101), полагая, что сила лобового сопротивления на интересующем нас участке полета существенно больше силы притяжения.
2.	Учитывая, что угол наклона траектории 0 при полете ББ по баллистической траектории меняется незначительно, полагаем его постоянным и равным начальному значению на высоте входа ББ в атмосферу, 8 = 0ВХ. Заметим, что здесь и далее угол 0 отрицателен.
3.	Полагаем, что плотность атмосферы изменяется по экспоненциальному закону,
109
h
P = Po*
(1.102)
где p0 - плотность на уровне моря при А = 0; р0 = 1,225 кг/м3; Ам -постоянная величина (масштабная высота). В диапазоне высот от 0 до 100 км масштабную высоту можно полагать равной 7,11 км (см. [10], с. 37).
С учетом принятых допущений первое и третье уравнения (1.101) могут быть записаны в виде:
А/ _ CxSq _ ру2 dt ~ ~ т °х 2 ’ (1.103)
— = P'sinO, dt
где вместо радиуса г рассматривается высота Л. С использованием выражения (1.102) эти уравнения интегрируются аналитически. Действительно, переходя к переменной Л, получаем:
dV = _ *ЧРо С'Ъ dh 2sin0BX
(1.104)
После разделения переменных и интегрирования полученного уравнения с начальными условиями для высоты входа в атмосферу (И(Л8Х) = Квх, р(Ли) = 0) получаем:
dV =	°хРо
И	2sin0BJt
е dh,
In V =
>'.х
одЛм 2sin0BX
Р(Л)
pW
= А1Р(Й),
(1.105)
И = 1Z„/I₽W.
Здесь для сокращения записи введено обозначение
НО
(1.106)
к - , 1 2sin9BX ’
где ввиду 0|1Х < 0 коэффициент отрицателен.
Таким образом, в соответствии с формулой (1.105) текущая скорость полета ББ по баллистической траектории выражается в виде функции плотности атмосферы и косвенно, через зависимость (1.102), в виде функции высоты полета. Эго позволяет найти зависимость осевой перегрузки от высоты полета:
(1.107)
„ж = ^рИе».РО> 2?0
Определим высоту,где осевая перегрузка максимальна. Дифференцируя зависимость (1.107) по р и приравнивая производную нулю, получаем уравнение, из которого находим значение плотности на данной высоте:
„„ sin9„ р(6(п““)) ------(1.108)
Теперь с помощью формулы (1.102) находим высо ту максимальной перегрузки, а с помощью формулы (1.107) - и само значение максимальной осевой перегрузки:
Л(л““) = -Лм1п
sin9Bz '
Ро°х^ц,
(1.109)
^х^9вх ^gohu
(1.110)
В последнем выражении е - основание натуральных логарифмов.
Из формулы (1.109) следует, что высота, где достигается максимальная осевая перегрузка, не зависит от скорости входа в атмосферу, а формула (1.110) показывает, что значение максимальной осевой перегрузки не зависит от баллистического коэффициента и определяется только параметрами входа в атмосферу Квх, 0ВХ.
Применим полученные зависимости для оценки характеристик маневренности ББ. Рассмотрим несколько значений баллистического коэффициента ББ. Как отмечается в [42], совершенствование средств
111
Рис. 1.30. Зависимости осевой перегрузки от высоты при Квх = 7,2 км/с. 0„ = -23*
боевого оснащения БР идет по пути уменьшения баллистического коэффициента боевых блоков, так как ББ с малым значением ох испытывают меньшее аэродинамическое сопротивление, быстрее проходят атмосферу, имеют более высокую скорость у цели и меньшее атмосферное рассеивание. Значение ог = 0,1 •! О-3 м2/кг соответствует современному уровню развития ББ (см. [42], с. 71).
На рис. 1,30 приведены графики, показывающие изменение осевой перегрузки ББ в зависимости от высоты полета для типичных условий входа ББ в атмосферу (Ивх = 7,2 км/с, 0ВХ = - 23°). Максимальное значение осевой перегрузки при данных условиях входа = 53,4. Располагаемое значение нормальной перегрузки, характеризующее маневренность ББ, зависит от аэродинамического качества ББ. Так, например. ББ с параметрами A'(ct) = 1, ах = 0,Н0-3 м2/кг обладает способностью совершать маневры уклонения с нормальной перегрузкой, максимальное значение которой равно 53,4 ед и достигается на высоте 5,7 км. Маневр с меньшим значением нормальной перегрузки может осуществляться в диапазоне высот, который нетрудно определить из графиков. Пустьтребуемый уровень нормальной перегрузки составляет, например, п* = 40. Из графиков видно, что ББ с от = 0,1-10-3 м2/кг способен совершать маневр с нормальной перегрузкой не менее 40 ед в диапазоне высот от 12 до 1 км, а ББ с тем же аэродинамическим
112
1’ис. 1.31. Зависимости осевой перегрузки от высоты при Гвх = 7,2 км/с, 0вх = -30’
качеством исог = 0,3'Ю-3 м2/кг - в диапазоне высот от 20 до 9 км. Увеличение аэродинамического качества вдвое позволяет осуществлять в том же диапазоне высот маневр с нормальной перегрузкой не менее 80 ед, а максимальное значение нормальной перегрузки увеличивается до 106,8 ед.
На рис. 1.31 приведены аналогичные графические зависимости при угле входа 0ВХ = -30° и тон же скорости входа. Сопоставление данных, приведенных на рис. 1.30 и 1.31, показывает, что увеличение угла входа повышает маневренные возможности ББ (максимальная осевая перегрузка увеличивается до	= 68,4, чем обеспечивается соответству-
ющее увеличение максимального значения располагаемой нормальной перегрузки), а диапазон высот маневра с нормальной перегрузкой не ниже заданной расширяется. Уменьшение баллистического коэффициента при неизменном аэродинамическом качестве не изменяет предельных маневренных возможностей ББ, однако смещает высотный диапазон маневра с заданным уровнем нормальной перегрузки в сторону меньших высот.
В заключение отметим, что данные выводы получены по приближенным аналитическим зависимостям, точность которых составляет 10-15%. Более достоверная оценка свойств маневренности ББ может быть получена путем непосредственного численного моделирования полета ББ по достаточно полным уравнениям движения с применением более точной модели атмосферы.
113
Глава 1.3
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ РАКЕТ И ГЧ
1.3.1.	Определение системы управления
Рассмотрим содержание понятия система управления. Несмотря на кажущуюся очевидность, данное понятие нс однозначно и в него может вкладываться различный смысл в зависимости от того, в каком контексте оно применяется - в прикладном пли теоретическом. Остановимся на данном вопросе подробнее.
В соответствии с системой понятий и терминологией, принятыми в современной теории управления, при анализе управляемых процессов выделяются и рассматриваются два основных объекта - объект управления и объект, предназначенный дня осуществления управления, т.е. для выработки и реализации управляющих воздействий. Его называют управляющим объектом. В теории автоматического регулирования управляющий объект принято называть регулятором. Система, состоящая из объекта управления и управляющего объекта, называется системой управления (см. [40], стр. 8). Именно в таком смысле понятие "система управления" было охарактеризовано в п. 1.1.3 при анализе содержания принципа обратной связи.
На структурной схеме, приведенной в п. 1.1.3 (см. рис. 1.1), управляющий объект представлен совокупностью устройств трех видов -измерительного устройства, устройства выработки команд управления и исполнительного устройства. Поскольку в данном случае управляющий объект образован несколькими устройствами (подсистемами), предназначенными для выполнения отдельных его функций, то управляющий объект может быть назван управляющей системой (см. [40], стр. 23). Следовательно, систему управления можно определить как систему, состоящую из объекта управления и управляющей системы. Объект управления, входящий в состав системы управления, играегроль одного из ее звеньев.
Включение объекта управления в состав системы управления в качестве ее звена является основополагающим методологическим принципом теории управления, широко применяемым при решении различных вопросов анализа и синтеза систем управления. Данный принцип есть выражение того объективного обстоятельства, что свойства и качество процессов управления (устойчивость, точность и др.) существенным образом зависят как от свойств управляющего объекта
114
(регулятора), так и от динамических свойств самого объекта управления, отражаемых его математической моделью.
Наряду с этим на практике находит применение иная, более узкая трактовка термина "система управления", в соответствии с которой под системой управления понимается комплекс аппаратных средств, предназначенных для выработки команд управления и реализации управляющих воздействий на объект управления. В данном случае понятие "система управления" отождествляется с упомянутыми выше понятиями "управляющий объект" или "управляющая система".
Исходя из указанной трактовки термина "система управления", формулируется определение этого понятия применительно к интересующим нас объектам управления - баллистическим ракетам.
Система управления баллистической ракетой - комплекс приборов, устройств и агрегатов, предназначенных для контроля состояния, поддержания боевой готовности, подготовки, пуска и управления полетом БР с целью поражения объектов противника с заданной эффективностью ((7), с. 486).
В состав системы управления включаются следующие приборы, устройства и агрегаты:
•	комплекс командно-измерительных приборов инерциальной навигационной системы;
•	бортовой цифровой вычислительный комплекс;
•	комплекс преобразующей, коммутационной и распределительной аппаратуры;
•	устройства ввода и хранения данных полетного задания на пуск;
•	бортовые источники электропитания СУ;
•	силовые приводы с необходимыми источниками энергии, предназначенные для приведения в действие органов управления ракетой;
•	исполнительные устройства электро-, пневмо- и пироавтоматики;
•	бортовая кабельная сеть.
Таким образом, в соответствии с данным определением система управления представляет собой одну из функциональных подсистем более сложного технического объекта, каким является сама ракета, и находится в одном ряду с другими функциональными подсистемами БР, к числу которых относятся двигательные установки с собственной автоматикой регулирования режимов их работы, система автоматики боевых блоков, система телеизмерений с соответствующей регистрирующей и радиопередающей аппаратурой и др. Если же рассматривать БР как составную часть ракетного комплекса, то в этом случае бортовая СУ должна рассматриваться как часть общей системы управления РК, находящейся в одном ряду с такими смежными системами, как система прицеливания и система боевого управления.
115
Подведем итог сказанному. В теории управления систему управления любым техническим объектом принято определять как надсистему по отношению к объекту управления, который в этом случае выступает в роли отдельного звена системы управления, взаимодействующего с управляющей системой по принципу обратной связи. Это определение применяется при решении вопросов анализа и синтеза систем управления методами теории управления. В сфере же практического использования управляемых систем понятие системы управления отождествляется с понятием управляющей системы. При этом система управления рассматривается как функциональная подсистема соответствующего управляемого объекта, который является надсистемой по отношению к системе управления.
В последующем изложении в пределах данной главы термин "система управления БР" применяется в указанном прикладном смысле в соответствии с вышеприведенным определением.
1.3.2.	Функции системы управления и решаемые ею задачи
Функции, выполняемые системой управления, и характер решаемых ею задач определяется функциональным предназначением БР как средства доставки боевого заряда к цели, а также требованиями, предъявляемыми к данному типу ракетного оружия по показателям его боевой эффективности и эксплуатационным характеристикам.
На ракетах первых поколений функции системы управления были сравнительно немногочисленны и сводились в основном к управлению полетом БР на активном участке траектории с целью выведения единственной неуправляемой головной части на траекторию движения к цели, В дополнение к этой главной функции на СУ возлагались функции управления подготовкой и проведением пуска ракеты, а также контроля выполнения ряда наиболее ответственных операций с целью выдачи команды на прекращение пускав случае отказа соответствующей системы или агрегата (открытие защитного устройства шахтной ПУ, наддув топливных баков, запуск и выход на режим полной тяги ДУ первой ступени и др.).
Системы управления ракет первых поколений, основанные на существовавшей в тот период элементной базе измерительных систем и средств автоматики, строились на аналоговых электромеханических элементах и простых счстно-решаюших устройствах, что препятствовало применению сложных и более эффективных алгоритмов управления и расширению возможностей системы управления по составу и качеству решаемых ею задач. Характеристики боевой эффективности ракет первых поколений также были относительно невысокими. Так, точность
116
стрельбы первой межконтинентальной ракеты США "Атлас", принятой на вооружение в 1959 г., составляла величину порядка 3 км (по предельному отклонению точек падения головной части от точки прицеливания). Время подготовки установленной на пусковом устройстве ракеты к пуску составляло десятки минут с учетом времени заправки ее компонентами топлива. В случае необходимости смены точки прицеливания при пуске по незапланированной цели требовалось несколько часов для расчета нового полетного задания, ввода его данных в аппаратуру системы управления и переприцеливания ракеты.
Последовавший затем период быстрою развития ракетной техники привел к существенному повышению эффективности ракетных комплексов и расширению их боевых возможностей, что в значительной степени было достигнуто за счет совершенствования систем управления, усложнения возлагаемых на них функций и повышения качества решаемых задач. Достигнутый уровень совершенства боевых ракетных комплексов может быть проиллюстрирован следующими показателями (приводимые данные по ракетам США заимствованы из [24, 42J).
I.	Точность стрельбы при пусках на дальность 10 тыс. км составляет для ракеты США "MX" величину порядка 300 м (по предельному отклонению). Точность стрельбы ракеты "Першинг-2", оснащенной управляемой головной частью с коррекцией навигационной информации по радиолокационным изображениям местности в районе цели, оценивается величиной порядка 50 м. Хотя ракета "Першинг-2" относится к классу ракет средней дальности и снята с вооружения в соответствии с договором между США и Россией о взаимном уничтожении ядериых ракет средней дальности, созданный научно-технический задел достаточен для оснащения аналогичными управляемыми головными частями межконтинентальных ракет с соответствующим повышением точности стрельбы.
2.	Боеготовность современных ракетных комплексов стационарного базирования не превышает нескольких десятков секунд. Так, время между получением команды на пуск и началом движения ракеты в пусковом устройстве составляет 30 с для ракеты "MX", время готовности системы управления составляет 20 с.
3.	Постоянная готовность ракеты к пуску в течение, периода эксплуатации, общая расчетная продолжительность которого достигает 15-20 лет, обеспечивается в настоящее время непрерывно на интервале времени до 3-х лет с относительно небольшими перерывами для проведения регламента технического обслуживания и устранения неисправностей. Коэффициент технической готовности современных боевых ракетных комплексов (определяемый как отношение числа ракет,
117
находящихся в боеготовом состоянии, к общему числу ракет в группировке) превышает 0,95.
4.	Оснащение современных баллистических ракет разделяющимися головными частями с индивидуальным наведением боевых блоков позволяет поражать в одном пуске до 10 целей, удаленных друг от друга на сотни километров (ракета "MX"). Применение в сочетании с РГЧ комплекса средств противодействия системам ПРО (ложные цели, станции активных помех, дипольные отражатели и другие элементы) существенно повышает возможность преодоления боевыми блоками средств ПРО.
5.	Высокая гибкость боевого применения обеспечивается возможностью быстрой смены плановых полетных заданий и переприцеливания на внеплановые цели. Так, в памяти СУ ракеты "Мннптмён-2" хранятся восемьплановыхполетныхзаданий. ракеты "Минитмент-З",оснащенной РГЧ с тремя боевыми блоками, - четыре полетных задания для каждого боевого блока. При необходимости проведения пуска по неплановой цели расчет нового полетного задания осуществляется вычислительной системой, размещенной на командном пункте управления пуском, за время не более 25 мин. Для ракеты "MX", оснащенной РГЧ с десятью боевыми блоками, время расчета нового полетного задания по целеуказаниям,переданным по каналам боевого управления (втом числе с воздушного пункта управления), оценивается несколькими минутами.
Обеспечение перечисленных качественных показателей ракетных комплексов стало возможным, как это уже отмечалось выше, во многом благодаря совершенствованию элементной базы систем управления, усложнению возлагаемых на них функций и расширению состава решаемых задач. Этапным в развитии систем управления ракетных комплексов явился переходит чисто аналоговых к аналого-цифровым системам управления, основным функциональным элементом которых служит цифровой вычислительный комплекс, включающий бортовую цифровую вычислительную машину (БЦВМ) и наземный цифровой вычислительный комплекс (НЦВК), функционирующие в тесном взаимодействии. Применение БЦВМ позволило использовать более сложные и эффективные алгоритмы управления движением ракет и ступеней разведения боевых блоков РГЧ, по-новому решать задачи расчета полетных заданий на пуск, возложить на ЦВК комплекс задач управления техническим состоянием РК в процессе боевого дежурства и контроля систем, агрегатов и аппаратуры как самой СУ. так и РК в целом.
Роль и место современной системы управления в обеспечении качественных характеристик ракетных комплексов определяется следующими се основными функциями.
118
I.	Управление движением ракеты на всех этапах активного участка полета и управление движением ступени разведения РГЧ при формировании заданных боевых порядков боевых блоков и элементов КСП ПРО. функциональную часть общей СУ ракеты, выполняющую данную функцию управления, будем далее называть системой управления движением (СУД) ракеты.
2.	Управление процессом расходования запасов компонентов топлива на ракетах с ЖРД с целью одновременной выработки компонентов топлива (горючего и окислителя) к моменту выключения ДУ каждой ступени, чем достигается полная реализация энергетических ресурсов ракеты п исключается самовыключение ДУ вследствие преждевременной выработки одного из компонентов. Данная функция управления возлагается на соответствующую функциональную подсистему общей СУ ракеты, называемую системой опорожнения баков (СОБ) или системой управления расходованием топлива (СУРТ).
3.	Управление подготовкой и проведением пуска ракеты в соответствии с циклограммой пуска и выдача на командный пункт управления отчетов о выполнении операций.
4.	Управление функционированием таких обеспечивающих систем ракеты и ракетного комплекса, как система электроснабжения БРК, система бортового электропитания, система термостатировання приборного отсека ракеты или отдельных узлов и приборов СУ, система обеспечения температурно-влажностного режима транспортно-пускового контейнера ракеты и др.
5.	Контроль технического состояния аппаратуры СУ. систем и агрегатов ракеты и РК в целом в процессе боевого дежурства с оценкой выявленных неисправностей и формированием донесений о результатах проверок на командные пункты.
6.	Контроль состояния командно-измерительных приборов (КИП) и осуществление периодических калибровок КИП с целью определения оценок их текущих параметров и инструментальных погрешностей для последующего учета полученных данных в алгоритмах обработки навигационно-измерительной информации.
7.	Контроль параметров движения ракеты и параметров работы двигательных установок в процессе полета на АУТ с целью выдачи команды в систему самоликвидации, называемую системой аварийного подрыва ракеты (АПР), в случае выхода контролируемых параметров за допустимые пределы, определяемые условиями безопасности пуска ракеты.
8.	Хранение рассчитанных плановых полетных заданий или целеуказаний и ввод их в аппаратуру СУ при смене плана боевою
119
применения. Расчет или дорасчет непланового полетного задания по целеуказаниям, поступающим из высших звеньев управления,
9.	Информационное взаимодействие со смежными системами управления и информационного обеспечения: системой боевого управления и связи (СБУ), системой прицеливания, системой наземной навигации на подвижных РК. системой управления автоматикой боевых блоков, системой телеизмерений при проведении полигонных пусков.
Задачи, решаемые системой управления, определяются возложенными на СУ функциями. Они могут быть подразделены на три группы.
1.	Задачи управления, связанные с выполнением перечисленных выше функций управления 1-4.
Среди данных задач управления важнейшей является задача управления движением ракеты на АУТ, включающая две основные части - задачу наведения и задачу стабилизации движения.
2.	Задачи контроля, определяемые функциями 5-7.
3.	Задачи навигационного и информационного обеспечения процессов управления и контроля.
К задачам последней группы относится прежде всего задача навигационного обеспечения управления движением ракеты (задача навигации). Эта задача заключается в определении параметров вращательно-поступательного движения ракеты на АУТ с помощью бортового навигационно-измерительного комплекса, основу которого составляет комплекс командно-измерительных приборов. Родственные по содержанию измерительно-информационные задачи возникают во всех каналах управления и контроля, где необходимая информация получается с помощью измерительных средств и соответствующей датчиковой аппаратуры.
К группе задач информационного обеспечения процессов управления ракетой относится ряд задач, решение которых возлагается как на бортовую СУ, так и на смежные системы ракетного комплекса. Важнейшей из них является задача расчета или дорасчета полетного задания на пуск, которая может решаться вычислительным комплексом СУ ракеты в соответствии с целеуказаниями, переданными по каналам СБУ.
Среди других задач информационного обеспечения пусков ракет следует упомянуть задачу подготовки исходных геодезических данных и задачу прицеливания, Обе эти задачи характерны именно для баллистических ракет, поскольку на ракетах этого типа применяются инерциальные навигационно-измерительные системы. Как показано в разделе II, для решения навигационной задачи в инерциальных навигационных системах (ИНС) требуется информация о начальных условиях движения объекта управления, которая может быть получена
120
только с помощью независимой измерительной системы. Кроме того, должна быть известна начальная ориентация измерительного базиса ИНС, материализованного осями чувствительности инерциальных измерительных приборов. Оба эти обстоятельства приводят к необходимости решения названных выше задач подготовки исходных геодезических данных и прицеливания. Указанные задачи выходят за рамки задач, возлагаемых непосредственно на систему управления ракетой, и решаются с помощью смежных систем - системы прицеливания, средств астрономо-геодезического обеспечения пусков ракет и системы наземной навигации, применяемой на мобильных РК.
Задача подготовки исходных геодезических данных заключается в определении координат точки пуска БР (широты, долготы, высоты над общеземным эллипсоидом), величины ускорения силы тяжести в точке пуска, а также угловых величии, характеризующих уклонение отвеса от нормали и поверхности общеземного эллипсоида, которыми однозначно определяется направление отвеса (т.е. направление вектора силы тяжести) в точке пуска. Данные о направлении отвеса совместно с данными от системы прицеливания позволяют задавать начальную ориентацию измерительного базиса ИНС. Данные о координатах точки пуска используются для расчета полетного задания н при решении навигационной задачи в полете. Знание величины ускорения силы тяжести необходимо для осуществления калибровок измерителей ИНС.
Для ракет стационарного базирования задача подготовки исходных геодезических данных решается заблаговременно до постановки ракет на боевое дежурство средствами астрономо-геодезического обеспечения пусков ракет путем проведения соответствующих астрогеодезических и гравиметрических измерений. Для ракет мобильного базирования данная задача возлагается на систему наземной навигации подвижного ракетного комплекса (на ракетных комплексах морского базирования - на систему морской навигации).
Рассмотрим содержание задачи прицеливания. В зависимости от варианта построения ИНС эта задача заключается либо в определении предстартовой ориентации осей инерциального измерительного блока для последующего учета полученной информации в алгоритмах решения навигационной задачи, либо в осуществлении физической выставки инерциального измерительного блока в заданное угловое положение. На ракетах первых поколений задача прицеливания решалась путем вертикализации ракеты и разворота ее по азимуту в направлении пуска. На ракетах, где инерциальный измерительный блок размещен на гиростабилизнрованной платформе (ГСП), задача предстартовой выставки измерительного блока решается путем горизонтирования ГСП, что осуществляется с помощью измерительных приборов, входящих в
121
состав самого инерциального измерительного олока, и путем последующего разворота ГСП в заданное азимутальное направление по информации от автономной измерительной системы, которая и называется системой прицеливания. Основная задача системы прицеливания состоит в определении исходной азимутальной ориентации инерциального измерительного блока относительно некоторого базового направления, ориентация которого на земной поверхности известна с высокой точностью. В системах прицеливания стационарных РК базовые направления задаются на стартовой позиции нарами геодезических вех и материализуются осями оптических визирных устройств. В системах прицеливания мобильных РК базовые направления материализуются осями автоматических гирокомпасов (АГК).
В перспективных ИНС возможно применение самоориеитирующнхся гиростабилизаторов гирокомпасного типа, что позволит осуществлять азимутальное ориентирование инерциального измерительного блока без применения автономных систем прицеливания. В этом случае функция начальной выставки измерителей ИНС,т.е. функция прицеливания, будет целиком возложена на систему управления ракеты.
Как видно из вышеизложенного, функции, возлагаемые на СУ современных ракет, и решаемых ими задачи весьма многочисленны ио составу и разнообразны по содержанию. Этим определяется то обстоятельство, что современные СУ представляют собой достаточно сложные управляющие комплексы, имеющие разветвленную иерархическую структуру и включающие в свой состав большое число различных устройств, приборов и агрегатов. В целом система управления ракетного комплекса содержит две основные функциональные компоненты -бортовую часть СУ (называемую бортовой системой управления) и наземную часть СУ.$,о момента пуска обе названные компоненты СУ функционируют как единый информационно-управляющий комплекс, решающий все задачи управления и контроля, связанные с обеспечением боевого дежурства, подготовки и проведения пуска. Бортовая система управления функционирует в полете как полностью независимая часть системы управления, обеспечивая решение задач управления движением ракеты и функционированием ее бортовых систем. Главной функциональной подсистемой бортовой системы управления является система управления движением, к более подробному анализу которой мы и перейдем.
1.3.3. Принципы построения систем управления движением БР
Принципы построения систем управления движением баллистических ракет вытекают из общих принципов управления движением летательных аппаратов, сформулированных выше в главе 1.1. В соответствии
122
с принципом обратной связи, предусматривающим наличие в контуре управления средств получения измерительной информации о состоянии объекта управления, а также принципом управления по схеме "наведение-стабилизация", на систему управления движением БР возлагаются три главных функции - функция получения навигационно-измерительной информации, функция наведения и функция стабилизации движения. Этим функциям системы управления соответствуют три функциональные подсистемы СУД, называемые навигационно-измерительной системой (НИС), системой наведения (СИ) н системой стабилизации движения (ССД).
Следует отметить, что хотя перечисленные функции системы управления имеют четкое и однозначное содержание, подразделение обшей системы управления движением ракеты на названные выше подсистемы несколько условно, так как некоторые приборы и агрегаты СУ участвуют в выполнении нескольких ее функций. Одним из таких приборов является бортовая ЦВМ, которая реализует алгоритмы решения всех основных задач СУ, в том числе алгоритмы обработки навигационно-измерительной информации, алгоритмы наведения и стабилизации. Тем не менее подразделение СУ ракеты на указанные подсистемы удобно в методическом плане и является в настоящее время общепринятым применительно к разнообразным типам ЛА.
В дальнейшем под функциональной подсистемой СУ будем понимать совокупность тех приборов и агрегатов общей СУ ракеты, которые участвуют в выполнении данной конкретной функции. При зтом не исключается, что отдельные приборы или агрегаты могут входить в состав нескольких функциональных подсистем СУ.
Перейдем к анализу названных подсистем СУД и частных принципов их построения, определяемых функциональным предназначением БР как средства доставки боевого заряда к цели на поверхности Земли, а также особенностями БР как объекта управления. Основные из этих особенностей рассмотрены выше в главе 1.2 и состоят в следующем.
1.	Неподвижность точки цели на поверхности Земли.
2.	Наличие двух фаз полета - фазы активного палета БР с работающей двигателыюГ! установкой и фазы пассивного полета ГЧ (или неуправляемых боевых блоков РГЧ) к цели.
3.	Относительно короткий интервал времени управляемого полета (до 3-4 мин при выведении моноблочной ГЧ или до 15-20 мин с учетом участка разведения боевых блоков РГЧ).
4.	Формирование требуемого силового управляющего воздействия, необходимого для изменения траектории полета БР. путем изменения
123
пространственной ориентации корпуса ракеты по углам тангажа и рыскания, чем достигается требуемое направление вектора тяги двигательной установки.
5.	Обеспечение требуемой угловой ориентации корпуса ракеты с помощью управляющих моментов, формируемых путем отклонения органов управления ракеты по каналам тангажа, рыскания и вращения.
6.	Возможность изменения (регулирования) тяги маршевых двигательных установок только на ракетах с ЖРД, широкое применение твердотопливных ДУ нерегулируемой тяги.
7.	Неполная управляемость твердотопливных ракет по параметрам продольного движения.
8.	Высокий уровень внешних и внутренних возмущающих воздействий, приводящих к существенному отклонению массово-инерционных и динамических характеристик ракеты, а также действующих сил и моментов от их номинальных значений.
9.	Изгибные деформации корпуса БР колебательного характера, что в сочетании с явлением "плескания" компонентов топлива в баках ракет с ЖРД оказывает существенное влияние на устойчивость полета БР.
10.	Статическая неустойчивость БР.
Рассмотрим в свете этих особенностей перечисленные выше функциональные подсистемы СУД н принципы их построения.
Навигационно-измершпельная система и принципы ее построения
Назначение информационно-измерительной системы состоит в получении информации о движении объекта управления, достаточной для успешного функционирования системы управления и достижения поставленной цели управления. На ракетах, предназначенных для стрельбы по подвижной цели, навигационно-измерительная система должна обеспечить получение информации не только о движении самой ракеты, но и о движении цели или информации о параметрах относительного движения ракеты и цели. Именно такого рода информация используется в радиокомандных системах наведения зенитных ракет, а также в системах самонаведения ракет на подвижные цели.
В рассматриваемом случае точка цели, назначенная для поражения баллистической ракетой, неподвижна на поверхности земли, а ее координаты известны с высокой точностью, поэтому для решения поставленной задачи управления достаточно информации только о параметрах движения самой ракеты. Указанное обстоятельство определяет целесообразность построения навигационно-измерительной
124
системы БР на основе принципа инерциальной навигации, состоящего в получении всей необходимой первичной информации о движении объекта управления с помощью инерциальных датчиков и гироскопических приборов с последующим решением основного уравнения инерциальной навигации с целью определения координат и абсолютной скорости объекта управления.
Инерциальные навигационные системы (ИНС) получили в настоящее время широкое распространение и применяются на подвижных объектах различного назначения (морские суда, подводные лодки, самолеты, крылатые ракеты большой дальности), однако только в сочетании с навигационными системами других типов, что позволяет осуществлять периодическую коррекцию инерциальной навигационной информации. Необходимость такой коррекции вызвана тем, что погрешности инерциальной навигации, образующиеся в результате решения упомянутого выше основного уравнения инерциальной навигации, быстро возрастают с течением времени. Кроме того, при длительном периоде функционирования системы существенное влияние на точность навигации оказывает неконтролируемый дрейф (уход) гироскопических усзройств, предназначенных для поддержания заданной пространственной ориентации осей чувствительности измерителей ИНС.
На баллистических ракетах управляемое движение, как было отмечено выше, относительно непродолжительно, поэтому именно на БР удается реализовать принцип инерциальной навигации в чистом виде без привлечения вспомогательных или дублирующих навигационных систем. Целесообразность применения инерциальных навигационных систем на баллистических ракетах определяется следующими положительными качествами ИНС:
•	высокая точность навигационных определений на небольших интервалах времени, достаточных для решения задач управления полетом БР;
•	полная независимость (автономность) от условий внешней среды и внешних источников информации;
•	скрытность работы вследствие отсутствия каких-либо излучений;
•	высокая помехозащищенность от средств воздействия противника;
•	высокая надежность при продолжительном ресурсе работы;
» малый вес и габариты, малое энергопотребление.
В литературе системы управления ракет, в которых реализован принцип инерциальной навигации, получили название инерциальных СУ. Наряду с этим широкое распространение имеет термин автономные инерциальные СУ или, коротко, автономные СУ, отражающий упомянутое свойство независимости функционирования инерциальных навигационных систем от условий внешней среды и от внешних
125
источников информации. Соответственно, неавтономными называют! такие СУ, в которых реализованы другие принципы навигации и/, инерциальная навигационная система применяется в сочетании с други\ системами, предназначенными для коррекции инерциальной навигацио! ной информации (радиокорректируемые инерциальные СУ, астроинерщ альные СУ и др.).
Дальнейший более подробный анализ принципа инерциально навигации, сведения об инерциальных навигационных системах алгоритмах решения задачи инерциальной навигации содержится разделе И.
Система наведения и принципы ее построения
Системой наведения называется функциональная подсистема СУД предназначенная для формирования программ управления движение! центра масс БР на АУТ и выработки разовых команд управления и условна достижения конечной цели управления движением БР -выведение моноблочной ГЧ или боевых блоков РГЧ на попадающие траектории, проходящие через заданные точки прицеливания.
В качестве дополнительных или промежуточных целей, достижснш которых может быть возложено на систему наведения, являются построение заданных боевых порядков боевых блоков и КСП ПРО совершение баллистической ракетой защитного противоракетного маневра на АУТ, обеспечение падения отработавших ракетных блоков головного обтекателя и других сбрасываемых элементов конструкции ракеты в заданные районы отчуждения н др.
Система наведения, являясь составной частью системы управления движением, связана каналами передачи информации и команд управления как со смежными подсистемами СУД, так и непосредственно с исполнительными устройствами ракеты. Входной информацией для системы наведения служат данные о параметрах движения ракеты, получаемые в полете от навигационно-измерительной системы, а также данные полетного задания на пуск, содержащие формализованную информацию о координатах точки пуска, координатах точек целей и другие сведения, необходимые для решения задач наведения и настройки аппаратуры СН.
Выходом системы наведения являются сформированные ею программы управления движением ракеты и разовые команды управления, в состав которых входят команды па отделение от последней ступени ракеты или от ступени разведения средств ее боевого оснащения (моноблочной ГЧ, боевых блоков РГЧ, элементов КСП ПРО), команды
126
на разделение ступеней, запуск и выключение двигательных установок, команды на отделение сбрасываемых элементов конструкции и т.д.
Программы управления движением являются входной командной информацией для системы стабилизации и играют по отношению к этой системе роль входных задающих воздействий, необходимых для последующей выработки системой стабилизации команд управления, подаваемых через исполнительные устройства на органы управления ракетой.
Разовые команды управления полаются непосредственно на исполнительные устройства, приводящие в действие узлы запуска и выключения ДУ, а также механизмы разделения ступеней ракеты, отделения элементов ее боевого оснащения и сбрасываемых элементов конструкции. В качестве исполнительных устройств однократного действия применяются элементы нироавтоматики (иирозапалы, лпрозамки, пироотсекатели), а в качестве устройств многократного действия, необходимых, например, для обеспечения повторных включений и выключений двигательной установки ступени разведения, - элементы электропневмоавтоматики.
Разовые команды управления на отделение моноблочной ГЧ пли боевых блоков РГЧ, которые должны быть выведены на своп попадающие траектории с высокой точностью, формируются с использованием информации о текущих параметрах ракеты и ступени разведения п являются командами замкнутого управления, т.е. управления по принципу обратной связи.
Программы управления движением ракеты могут формироваться как ио принципу разомкнутого управления, так и по принципу обратной связи. Это определяется тем, какой принцип программирования движения положен в основу задания программ управления. В теории управления движением БР принято различать два основных принципа программирования движения - принцип предварительного и принцип текущего программирования движения.
Принцип предварительного программирования движения заключается в том, что программы управления определяются до момента пуска ракеты, вводятся в аппаратуру СУ в составе данных полетного задания на пуск и в процессе полета ракеты на АУТ не изменяются и нс корректируются. Таким образом, данные программы являются в соответствии со способом своего задания программами разомкнутого управления. Функция системы наведения при управлении движением БР но заранее заданным программам сводится к выдаче упомянутых выше разовых команд управления.
Данный принцип программирования движения широко применялся на ракетах ряда поколений, в том числена самых ранних образцах ракет
127
с СУ, построенных на чисто аналоговых элементах бет применена бортовой ЦВМ. Функция системы наведения состояла в выда<-единственной команды на отделение моноблочной ГЧ по признак обнуления текущего промаха отточки прицеливания, оцениваемого п направлению линии естественной дальности. По этой причине з системой наведения на этих ракетах закрепился термин автома управления дальностью (АУД). В настоящее время данный терми является устаревшим и к СУ ракет последних поколений он неприменил
Принцип текущего программирования движения (называемый так» принципом непрерывного программирования) состоит в том, чт программы управления определяются непосредственно в процессе полет на основе информации о текущих параметрах движения ракеты и данны полетного задания, содержащих информацию о координатах точки пуск и координатах точек прицеливания. Данные программы являютс программами замкнутого управления, так как формируются по приь пипу обратной связи.
Сопоставительный анализ названных принципов программировани движения, приведенный далее в разделе Ill, показывает, что обош принципам присущ» свои достоинства и недостатки, поэтому вывод безусловных преимуществах одного из этих принципов переддругим бы бы неправомерен. Важным достоинством принципа предварительное программирования движения является то обстоятельство, что ег применение позволяет сравнительно просто учесть многочисленны ограничения на допустимые параметры движения ракеты на атмосфер ном участке траектории и на участках разделения ступеней, а такж сформировать программы оптимального управления (например программы максимальной дальности полета). Однако управлению п< разомкнутым программам присущ очевидный недостаток, заключающий ся в то.м, что внешние и внутренние возмущения, оказывающие влняни на полет ракеты на АУТ, остаются нескомпенсированными. Kai следствие, в реальных условиях полета параметры движения ракеть могут значительно отличаться от номинальных значений, что усложняв задачу высокоточного выведения средств боевого оснащения ракеты н; попадающие траектории. Для компенсации указанного недостатка управляемое движение приходится охватывать дополнительным! обратными связями в виде контуров стабилизации движения центра мае ракеты относительно номинальной траектории. Это усложняет систем; управления движением.
Достоинством принципа текущего программирования движения, т.е управления позамкнутым программам, является компенсация действую щих на ракету' возмущений непосредственно в контуре программирова
128
ния движения, что упрошаетзадачу высокоточного выведения элементов боевого оснащения ракеты на попадающие траектории.
С целью наиболее полной реализации достоинств обоих принципов программирования целесообразно их комплексное применение. Так, управление полетом первой и второй ступеней может осуществляться по предварительно заданным программам, а управление полетом третьей ступени ракеты и ступени разведения РГЧ - по принципу текущего программирования. Именно такой способ совместного применения двух принципов программирования реализован в СУ ряда современных ракет.
Рассмотрим вопрос о возможном составе и форме задания программ управления. Данный вопрос имеет непосредственное отношение не только к системе наведения ракеты, но и к системе стабилизации движения, на которую возложена функция отработки программ управления и обеспечения устойчивого полета ракеты на активном участке траектории.
Как сказано выше, требуемое силовое управляющее воздействие на ракету, необходимое для обеспечения полета по заданной траектории, формируется путем придания корпусу ракеты соответствующей ориентации по углам тангажа и рыскания, чем достигается требуемое направление вектора тяги ДУ. Это обстоятельство предопределяет целесообразность задания программы движения БР в виде функций изменения во времени углов тангажа и рыскания. При таком задании программ управления наряду с решением задачи наведения решается и вторая часть общей задачи управления движением - обеспечение устойчивого полета ракеты на АУТ, так как при отработке программ тангажа и рыскания системой стабилизации на параметры углового движения ракеты накладываются непосредственные управляющие связи.
Наряду с управляющими связями по углам тангажа и рыскания в общем случае накладывается также управляющая связь и по углу собственного вращения ракеты (по углу крена) в виде программы изменения угла крена. Поддержание требуемой ориентации ракеты по углу крена необходимо, в частности, для обеспечения заданной ориентации плоскостей стабилизации ракеты и се органов управления, что упрощает алгоритмы стабилизации движения по углам тангажа и рыскания. С этой целью после выхода ракеты из пускового устройства осуществляется ее программное вращение вокруг продольной оси до совмещения плоскости стабилизации по углу тангажа с плоскостью пуска, а затем программное значение угла крена полагается постоянным.
Таким образом, во всех вариантах построения системы управления и независимо от реализуемых методов наведения на параметры углового Движения ракеты накладывается полная совокупность управляющих
129
связей, количество которых определяется числом степеней свобод твердого тела и равна трем.
При наведении по принципу предварительного программирован! движения для уменьшения отклонений параметров движения ракеты i их номинальных значений и соответствующего сужения труб) возмущенных траекторий на ракету, как было сказано выше, накладыв ются дополнительные управляющие связи. Эти связи выражаются в ви. программ управления, определяющих закон движения центра .ма ракеты на АУТ. Полное количество управляющих связен здесь, как и а вращательного движения, равно трем - по числу степенен свобод поступательного движения.
Программы управления движением центра масс задаются, кг правило, в виде трех составляющих программной скорости ракеты 1 АУТ и. в зависимости от принятых алгоритмов управления, выражают< в действительных или кажущихся параметрах движения. Например, одном из вариантов построения системы управления, рассмотренном [19], данные программы управления задаются в виде трех составляющг вектора кажущейся скорости ракеты в проекциях на продольную о< ракеты, па нормаль к продольной оси ракеты и на бинормаль (боков; составляющая скорости). В сочетании с программами углов ого движенг данные программы образуют полную совокупность управляющих связе: накладываемых на параметры вращательно-поступательного движенк ракеты.
Отработка данных программ управления, за исключением программ продольной скорости, осуществляется системой стабилизации движем и с помощью рулевых органов ракеты. Озработка программы продольно скорости осуществляется контуром регулирования тяги ДУ. На ракета в РДТТ регулирование тяги ДУ маршевых ступеней не применяете; поэтому на таких ракетах управление продольной скоростью невозмои но. Количество управляющих связей и соответствующих програм управления сокращается в этом случае до пяти. В отдельных случая может быть исключена также управляющая связь по нормально скорости.
Дальнейшие сведения по принципам и методам наведения содержите в разделе III.
Система стабилизации и принципы ее построения
Системой стабилизации называется функциональная подсистема СУ1 предназначенная для отработки программ управления движением раксп и обеспечения устойчивого иолега. Система стабилизации строится ка: замкнутая многоканальная система автоматического регулирования, цел
130
которой состоит в сведении к нулю рассогласований между программными значениями параметров движения ракеты и их текущими измеренными значениями при соблюдении требований, предъявляемых к системе стабилизации по точности регулирования и запасам устойчивости.
Часть системы стабилизации, решающая задачу отработки программ углового движения ракеты, называется системой угловой стабилизации (СУС). В соответствии с принципом независимого (развязанного) управления СУС строится в виде совокупности трех независимых каналов, называемых каналами стабилизации движения по углам тангажа, рыскания и крена. Исполнительными элементами СУС являются рулевые органы управления, формирующие необходимое силовое воздействие на ракету путем отклонения их на углы бт (канал тангажа), б (канал рыскания) и бпр (канал крена или собственного вращения). Независимость всех трех каналов угловой стабилизации обеспечивается динамическими свойствами объекта управления, выражающимися в независимости уравнений вращательного движения ракеты по углам тангажа, рыскания и крена при их малых отклонениях от программных значений, а также принципом суперпозиции (независимого сложения) команд управления при их отработке рулевыми органами.
Вторая часть системы стабилизации носит название системы стабилизации движения центра масс ракеты (ССЦМ). Данная часть системы стабилизации включает в общем случае три канала стабилизации движения центра масс ракеты в продольном направлении (по величине скорости продольного движения), в направлении нормали (по нормальной составляющей вектора скорости) и в направлении бинормали (по боковой составляющей вектора скорости). Канал стабилизации продольного движения получил название регулятора кажущейся скорости (РКС). Два других канала носят названия каналов нормальной стабилизации (НС) и боковой стабилизации (БС).
Исполнительным органом для РКС служит двигательная установка ракеты, поэтому данный канал строится и функционирует как полностью независимый от других каналов стабилизации. Каналы НС и стабилизации движения по углу тангажа имеют общин исполнительный рулевой орган, формирующий силовоеуправляющеевоздействие на ракету путем отклонения рулевого органа на угол бг по каналу тангажа. Вследствие этого процессы стабилизации вращательного движения ракеты по углу тангажа и сс поступательного движения по нормали к траектории динамически связаны между собой. Аналогичным образом связаны каналы БС и стабилизации движения по углу рыскания, поскольку эти каналы имеют общий рулевой орган, формирующий силовое управляющее воздействие на ракету путем отклонения рулевого органа на угол &р по каналу рыскания. Эти связи отражены схемой на рис. 1.32, где
131
Рис. 132. Подразделение системы стабилизации БР на подсистемы и каналы
показано подразделение системы стабилизации ракеты на ее подсистем; и каналы.
Замечание. Как видно из вышеизложенного, система стабилизаци движения центра масс ракеты не является в отличие от системы углово стабилизации обязательной частью системы управления движением. Эт система вводится в состав общей системы управления движением в то: случае, когда наведение осуществляется по принципу предварительног программирования движения и имеет целью сужение трубки возмущеь ных траекторий полета ракеты на АУТ, что необходимо для высокого1 кого выведения элементов боевого оснащения ракеты на попадающи траектории. Указанное обстоятельство послужило основанием для топ чтобы в ряде публикаций, где затрагиваются вопросы структуры СУ Б1 рассматривать ССЦМ в качестве составной части системы наведения [' 19.20]. В связи с этим целесообразно еще раз подчеркнуть, что подразде ление единой системы управления движением подвижного объекта н функциональные подсистемы достаточно условно и вытекает и подразделения общей задачи управления движением на относителыг независимые самостоятельные подзадачи, для решения которы разработаны соответствующие методы теории управления. В этом план задачи стабилизации движения как вращательного, так и поступательно го, являются родственными н решаются едиными методами теори; автоматического регулирования. Приведенное соображение, а такж тесная динамическая взаимосвязь, существующая между СУС и CCIJN на баллистических ракетах, являются, по нашему мнению, основаниям!
132
цля того, чтобы рассматривать их как части общей системы стабилизации движения ракеты, функционально независимой от системы наведения.
Дальнейшие сведения о системах стабилизации ракет, методах синтеза систем стабилизации, сведения о законах и алгоритмах управления в системах стабилизации читатель найдет в соответствующей учебной и монографической литературе (2, II, 17, 27].
1.3.4.	Принципы построения систем управления боевых блоков
Оснащение баллистических ракет управляемыми боевыми блоками (УББ) преследует две главные цели - повышение точности стрельбы путем коррекции траектории движения при подлете к точке прицеливания и повышение вероятности преодоления ПРО за счет совершения боевым блоком маневров уклонения от средств перехвата.
К числу наиболее характерных вариантов построения УББ можно отнести УББ следующих типов:
•	баллистического,
♦	планирующего,
•	аэробаллистического.
Основным видовым признаком перечисленных УББ является форма траектории их полета после отделения от ракеты-носителя (см. рис. 1.33).
Примером УББ баллистического типа может служить управляемый боевой блок ракеты США "Першинг-2". Траектория его полета близка к траектории обычной неуправляемой ГЧ. Отличия проявляются только па атмосферном участке при подлете к цели, где ББ может совершать запланированные маневры уклонения от перехвата, а также маневры, обеспечивающие работу системы коррекции навигационной информации
1*ис. 1.33. Траектории УББ:
о - баллистического типа;» - планирующего типа: в - «робат.-шстического типа
133
(например, формирование непродолжительного участка горизонтального полета, необходимого для функционирования системы навигации по каргам местности).
Траектория УББ планирующего типа существенно отличается от баллистической траектории на своем основном, маршевом, участке, который проходит в верхних слоях атмосферы, где УББ совершает длительный планирующий полет.
Траектория аэрооаллистического УББ является рикошетирующей и содержит чередующиеся участки баллистического и планирующего полета, чем обеспечивается наиболее полное использование кинетической энергии, накопленной УББ на АУТ, для достижения возможно большей дальности полета.
Принципы построения систем управления движением управляемых ББ в целом совпадают с принципами построения СУ БР. Отличия заключаются в следующем.
Навигационно-измерительная система. Важной отличительной особенностью УББ как объекта управления по сравнению с БР, определяющей облик навигационно-измерительной системы, является го, что полное время полета УББ и. следовательно, функционирования бортовой СУ весьма значительно и существенно превышает время полета БР на АУ Г. Это обстоятельство приводит к заметному увеличению Погрешностей инерциальной навигации по сравнению с аналогичными Погрешностям и, характерными для НИС БР. Поэтому в отличие от СУ БР, где реализован чисто инерциальный принцип получения навигационной информации, рациональным принципом построения НИС УББ является сочетание инерциальной навигационной системы с дополнительной системой навигационных определений.
Измерительный блок инерциальной НИС может быть реализован как Ь платформенном, так и в бесплатформенном вариантах (см. разд. П). Для СУ УББ наиболее целесообразным является применение бесплатфор-Мснной инерциальной навигационной системы (БИНС), которая обладает такими преимуществами перед платформенными ИНС, как Меньший вес и габариты, а также высокий уровень стойкости к механическим нагрузкам. Последнее обстоятельство особенно важно для У'ББ, способных совершать интенсивные маневры уклонения от перехват с поперечными перегрузками до 150 - 200 ед.
Инерциальная навигационная система является основным источником информации о параметрах поступательного н вращательного движения УЪБ на всех участках полета, а в случае отказа дополнительной навигационной системы -- единственным источником этой информации.
Дополнительная навигационная система УББ предназначена для получения уточненной навигационной информации о параметрах
134
оступательного движения на заключительном этапе подлета к цели, чет этой информации позволяет не только скомпенсировать накопление погрешности инерциальной навигации, но и существенно повысить эчноггь поражения цели по сравнению с неуправляемыми ББ.
В качестве дополнительной навигационной системы могут быть римепены системы радионавигации по геофизическим полям (рэдиовы-угомерная рельефометрическая система, система навигации по здиолокационным картам местности и др.), спутниковые радионавига-ионныесистемы. Возможно применение астроинерциальных навнгаци-иных систем, а также систем навигации и наведения по сигнальным зрактеристикам цели. Системы последнего типа обладают наибольшей этенциальной точностью и позволяют в перспективе обеспечить эакгически нулевое отклонение точки падения УББ от точки прицеливала.
Система наведения. Функции системы наведения УББ совпадают с «алогичными функциями системы наведения БР и состоят в определении зограмм управления движением из условия попадания УББ в заданную зчку прицеливания. Системой наведения могут формироваться также иовые команды управления (команды на сброс ложных целей, команда 1 подрыв боевого заряда при его высотном срабатывании и др.).
Программы управления движением УББ формируются, как правило, виде программных значений углов тангажа и рыскания или в виде зограммных значений углов атаки и скольжения. В обоих случаях эти эограммы являются входной информацией для системы угловой абилизации УББ.
Заметим, что на УББ баллистического типа угловая стабилизация по (нгажу и рысканию при полете на атмосферном участке траектории эжет обеспечиваться только за счет динамических свойств самого УББ. зладающего статической устойчивостью. В этом случае команды ведения выражаются в виде требуемых значений углов отклонения зганов управления и подаются в виде команд управления непосред-венно на вход исполнительных устройств, приводящих в действие зганы управления.
Система стабилизации. Как и СУ БР, система стабилизации движением ББ может включать две части - систему угловой стабилизации и ктему стабилизации движения центра масс. В зависимости от типа и змструктивного облика УББ, а также применяемых методов наведения ктема стабилизации движения центра масс УББ может отсутствовать, «нако система угловой стабилизации необходима во всех случаях. В 'личие от БР на систему угловой стабилизации УББ возлагается более ирокий круг задач, основными из которых являются следующие:
135
•	задача успокоения, т.е. парирования возмущений по параметрам вращательного движения, имеющих место при отделении УББ от ракеты-носителя;
•	задача ориентации, т.е. обеспечение требуемого углового положения УББ на интервалах навигационных определений, при сбросе ложных целей и др.;
•	задача стабилизации параметров вращательного движения.
В соответствии с перечисленными задачами система угловой стабилизации УББ получила более общее название как система успокоения, ориентации и стабилизации (СУОС).
Исполнительными органами СУОС на внеатмосферном участке траектории являются,как правило, газоструйные рули, обеспечивающие формирование управляющих моментов по каналам тангажа, рыскания и вращения. На атмосферном участке траектории применяются аэродинамические органы управления в сочетании, при необходимости, с газоструйными рулями. Как отмечалось выше, на атмосферном участке траектории стабилизации УББ по углам тангажа и рыскания может осуществляться только за счет свойства статической устойчивости УББ. В этом случае система угловой стабилизации сводится к одному каналу стабилизации - по углу собственного вращения.
1.3.5. Показатели качесгва систем управления
Система управления БР является одной из важнейших функциональных подсистем ракетного комплекса, оказывающей определяющее влияние на его характеристики. Поэтому показатели качества системы управления должны рассматриваться и оцениваться в неразрывной связи с показателями качества, свойствами и характеристиками ракетного комплекса в целом.
В соответствии с общими положениями теории эффективности ракетных систем (см. [41]) к числу основных характеристик боевых ракетных комплексов, целевое предназначение которых как систем ракетного вооружения заключается в нанесении ущерба противнику в ходе боевых действий путем поражения запланированных целей, относятся:
•	показатели эффективности РК;
•	эксплуатационные характеристики;
•	стоимость.
Рассмотрим кратко эти характеристики.
ЭффективностьРКявляется комплексным свойством, определяющим боевые возможности ракетного оружия, и характеризуется рядом числовых показателей. Основными из них являются:
136
•	вероятность поражения заданной точечной или площадной пели;
« досягаемость ракет, характеризуемая диапазоном дальностей в пределах от минимальной Lmjn до максимальной Lmax. достижимых с заданной вероятностью;
•	размеры зоны возможного расположения группы целей, поражаемых в одном пуске ракетой с разделяющейся головной частью;
•	боеготовность РК, характеризуемая временем от момента прихода команды па пуск, переданной по каналам системы боевого управления, до момента начала движения ракеты в пусковом устройстве;
•	возможность и оперативность переприцеливаиия ракет, характеризуемая количеством плановых полетных заданий, хранимых в памяти системы управления РК, и временем, требуемым для расчета нового полетного задания при пуске по неплановой цели в соответствии с целеуказаниями, переданными по каналам СБУ.
Наиболее значимым показателем эффективности РК является вероятность поражения цели. Этот показатель зависит от ряда факторов, определяемых как свойствами самого РК,так и условиями его боевого применения. Влияние этих факторов на вероятность поражения цели также может быть выражено в вероятностной форме. Поскольку рассматриваемые ниже факторы независимы в вероятностном смысле, то вероятность поражения цели определяется как произведение соответствующих вероятностей:
? ~ Луаа’Люнета’Лк’Л1Р0’"Лели'	(1.111)
Рассмотрим составляющие, входящисв формулу (1.111).
ВеличинаРпусК£ есть вероятность того, что при поступлении команды на пуск ракетный комплекс находится в боеготовом состоянии и все операции по проведению пуска осуществляются без сбоев и отказов. Данная величина представляет собой характеристику надежности ракетного комплекса, которая определяется степенью безотказности систем и агрегатов РК, а также эффективностью средств выявления и устранения неисправностей РК в процессе боевого дежурства.
Вероятность Рполсга аналогична по своему смыслу вероятности Риуска и характеризует надежность ракеты, ее систем в агрегатов при полете на активном участке траектории, включая этап отделения элементов боевого оснащения.
Величина Рх есть вероятность того, что ракетный комплекс, все его системы, в том числе и сама ракета, сохраняют работоспособность в условиях воздействия средств поражения противника. Данная величина характеризует свойство живучести ракетного комплекса. При оценке живучести рассматриваются различные виды воздействия на РК и ракету,
137
включая воздействия ударной волны наземного ядерного взрыва и проникающей радиации на ракету, находящуюся в защищенной шахтной пусковой установке, воздействия поражающих факторов высотных ядсрных взрывов (электромагнитного излучения, нейтронного потока, рентгеновского излучения и др.) на системы и агрегаты ракеты при полете на АУТ. При оценке живучести подвижных ракетных комплексов учитывается возможность воздействия на РК не только ядерных,.но и обычных видов вооружения - авиации, крылатых ракет с неядерным боевым оснащением и др. На свойство живучести подвижного РК существенное влияние оказывают характеристики его мобильности, возможности по обеспечению скрытности передислокации, эффективность средств маскировки.
Отметим, что применительно к аппаратуре системы управления БР свойство ее живучести в условиях воздействия поражающих факторов ядерных взрывов (ПФ Я В) принято называть радиационной стойкостью или стойкостью к воздействию ПФ ЯВ. Соответствующая вероятность Рст может рассматриваться в качестве независимой составляющей суммарной характеристики Рж,
Величина Рцро в формуле (1.111) представляет собой вероятность преодоления ракетой и ее боевыми блоками системы противоракетной обороны противника. Вероятность / ^РО также по существу характеризует свойство живучести РК в условиях воздействия средств поражения системы ПРО (к которым относятся противоракеты, зенитно-загради-тельные средства наземного эшелона ПРО, лазерное, пучковое и кинетическое оружие космического эшелона ПРО). Однако поскольку обеспечение живучести РК в условиях преодоления системы ПРО представляет собой отдельную проблему, решаемую путем применения специальных мер противодействия (использование ложных целей, средств активного и пассивного противодействия радиолокационным системах! ПРО, применение маневрирующих боевых блоков), вероятность Рпр0 принято рассматривать как самостоятельную составляющую в формуле (1.111) и оценивать независимо от вероятности Р.х.
Величина Рца111 есть вероятность поражения боевым блоком (или несколькими боевыми блоками) типовой точечной или площадной цели при условии успешной доставки ББ к цели. Данная величина в свою очередь зависит от ряда факторов: мощности боевого заряда ББ, степени защищенности цели (например, шахтной пусковой установки МБР противника), принятым законом поражения цели, а также от характеристик точности попадания ББ в цель (называемых также характеристиками рассеивания точек падения ББ в районе цели). Например, при координатно-ступенчатом законе поражения цели величина Рцеп„ может быть определена следующим выражением, приведенным в [41]:
138
= f fG^L>	BB)dbL-dhB, (I.H2)
где AL и AS - отклонения точки падения ББ от точки прицеливания по дальности и в боковом направлении; G(AL. AZ?) - принятый закон поражения, параметры которого зависят от мощности боевого заряда ББ и от защищенности цели; f{&L, йВ) - плотность вероятностей совместного распределения случайных величин AL и АВ, определяемая законом распределения точек падения ББ. Функция плотностиJ(BL. АВ) и составляющие рассеивания точек падения ББ. которые существенным образом зависят от характеристик системы управления БР, будут подробно проанализированы ниже.
Подчеркнем еще раз. что такие характеристики эффективности РК, как вероятность поражения цели, досягаемость, размеры зоны поражаемых целей зависят не только от свойств самого РК, но и от условий его боевого применения. Поэтому названные характеристики оцениваются и анализируются по отношению к некоторым типовым условиям применения БР, к которым относятся типовые условия пусков ракет, типовые варианты конфигурации и степени защищенности целей, типовые варианты воздействия поражающих факторов ядерныч взрывов на ПУ и ракету, типовые модели ПРО противника и т.д,
Основными эксплуатационными характеристиками РК являются следующие:
♦	гарантийный срок службы РК. т.е. период времени, в течение которого гарантируется сохранение ракетным комплексом способности к боевому применению при соблюдении заданных условий его эксплуатации;
•	частота и периодичность регламентов технического обслуживания систем и агрегатов РК, предусматривающих понижение степени боевой готовности ракетного комплекса;
•	ремонтопригодность элементов ракетного комплекса, степень автоматизации и безопасности работ по техническому обслуживанию комплекса в процессе эксплуатации;
•	условия транспортировки элементов РК (в частности, ракеты) шоссейным и железнодорожным транспортом, требования к транспортным средствам и др.
Стоимость РК определяет затраты трудовых и материальных ресурсов иа его создание и эксплуатацию. Стоимость является важнейшим показателем, учитываемым при создании новых ракетных комплексов, и при прочих равных условиях (таких, как степень совершенства и подготовленности базы промышленного производства, уровень научно-технического и производственного задела н пр.) находится в прямой
139
зависимости от требуемого уровня эффективности вновь создаваемых РК. При ограниченных материальных ресурсах облики характеристики вновь создаваемых РК оптимизируются по так называемому критерию "эффективность - стоимость", что позволяет найти приемлемый компромисс между показателями эффективности РК (которые, очевидно, ложны быть по возможности выше) и его стоимостью.
Анализ перечисленных характеристик ракетного комплекса показывает, что они в том или иной степени зависят от соответствующих свойств системы управления РК, поэтому качество системы управления может быть охарактеризовано совокупностью аналогичных по своему смыслу показателей. Среди этих показателей главенствующая роль отводится тем, которые оказывают непосредственное влияние на основной показатель эффективности РК как системы оружия -вероятность поражения цели. Этими важнейшими показателями качества СУ являются характеристики точности, надежности, стойкости к воздействию ПФ ЯВ.
Свойства надежности и стойкости системы управления определяются принципами приборно-аппаратурной реализации и конструктивными схемами, положенными в основу се построения, а также качеством и уровнем совершенства используемой элементной базы. Вопросы обеспечения требуемых значений характеристик надежности исгойкости СУ представляют собой предмет самостоятельного анализа и выходят за рамки настоящего учебника.
Проблематика обеспечения требуемых значений характеристик точности СУ БР и РК в целом также исключительно наукоемка в многогранна. Прежде всего она тесно связана с вопросами обеспечения точности навигационно-измерительных систем БР. что определяется схемно-конструктивными решениями, положенными в основу построения приборов, предназначенных для получения первичной навигационной информации, а также регистрирующей и преобразующей аппаратуры. Па точность системы управления существенное влияние оказывают принципы построения системы наведения и стабилизации, применяемые методы и алгоритмы управления, а также методы и алгоритмы обработки и преобразования навигационной информации. Отдельную проблему представляют собой вопросы априорной оценки и обоснования характеристик точности СУ на этапе создания РК, з также вопросы оценки этих характеристик экспериментальными методами на этапе летных полигонных испытаний и принятия РК на вооружение.
В настоящем учебнике вопросы точности анализируются на качественном уровне при рассмотрении теоретических основ построения функциональных подсистем СУ БР-системы инерциальной навигации, систем наведения п стабилизации. Для анализа затрагиваемых ниже
140
вопросов нам понадобятся некоторые общие понятия и определения, касающиеся состава характеристик точности и формы их количественного выражения, а также основных составляющих рассеивания баллистических ракет. Перейдем к рассмотрению этих понятий и определений.
Характеристики точности попадания БР
При пусках баллистических ракет на всех этапах полета на ракету и ее головную часть действует множество возмущающих факторов, вследствие чего действительная траектория полета отличается от номинальной (расчетной) траектории, а точка падения ГЧ не совпадает с точкой прицеливания. Образующийся промах называется отклонением точки падения ГЧ отточки прицеливания, а само явление отклонений точек падения ГЧ от точки прицеливания в результате действия возмущении принято называть рассеиванием точек падения.
По своей физической природе и закономерностям проявления рассеивание точек падения ГЧ при пусках баллистических ракет аналогично рассеиванию точек попадания при артиллерийской стрельбе, при прицельном бомбометании, при стрельбе из всех видов стрелкового оружия, при пусках управляемых и неуправляемых ракет различных типов.
Отклонения точек падения ГЧ принято рассматривать в целевой прямоугольной системе координат, начало которой совмещено с точкой прицеливания (в качестве такой системы координат чаще всего используется известная d баллистике естественная система координат) и описывать координатами ДГ и БВ. Ввиду случайного характера действующих на БР и ГЧ возмущений величины Д£ и ДВ также случайны, что требует для исследования закономерностей их поведения применения методов теории вероятностей.
Как известно из теории вероятностей, исчерпывающей характеристикой системы случайных величин является закон их совместного распределения. В рассматриваемом случае нас интересует закон совместного распределения случайных величин ДЬ и ДВ. Опыт м ногоч целенных экспериментальных пусков МБР различных поколений, как и исключительно богатый опыт артиллерийских стрельб и применения других видов оружия, показывает, что закон распределения отклонений точек попадания при стрельбе близок к нормальному (гауссовскому) закону. Это обстоятельство служит экспериментальным обоснованием применимости допущения о нормальности закона распределения точек падения ГЧ как при теоретическом анализе характеристик точности БР, так и при оценке этих характеристик по результатам опытных пусков БР при летных испытаниях.
141
Следует подчеркнуть, что допущение о применимости нормального закона распределения к описанию закономерностей рассеивания при стрельбе основано не только па опытных данных, но имеет также теоретическое обоснование в виде так называемой центральной предельной теоремыЛ.М. Ляпунова, принадлежащей к числу важнейших предельных теорем в теории вероятностей (см. [6]). Суть данной теоремы заключается в утверждении, что закон распределения суммы независимых случайных величин (каждая из которых может иметь произвольный неизвестный нам закон распределения, но не оказывает на рассматриваемую сумму доминирующего влияния по сравнению с остальными слагаемыми) тем меньше отличается от нормального, чем больше слагаемых образуют данную случайную величину. Применительно к теории рассеивания при стрельбе это означает, что чем большее количество различных случайных факторов оказывает влияние на конечный результат - отклонение точки попадания от цели, тем ближе закон распределения данного отклонения к нормальному.
Итак, примем допущение о нормальности закона распределения случайных отклонений AL и кВ. Плотность вероятностей при нормальном законе выражается известной формулой
/(ДВ, ДВ) =
1	1 (AL-mJ2
----------- exp --------------- - г2 2(1-г2) al
2r(&L-mL)(bB-тв) (ДВ - тв)2
W	и2в
(1.113)
Как видно из данного выражения, нормальный закон распределения описывается пятью параметрами mL, csL. ав, г. Параметры и тв представляют собой математические ожидания случайных величин &.L и ДВ; параметры aL и ав - среднеквадратические отклонения (СКО) этих величин; параметр г - коэффициент корреляции величин Д£ и ДВ.
Функция двух переменных ДДВ, ДВ) геометрически представляет собой двумерную поверхность и имеет вид холма, называемого иногга "палаткой Гаусса", вершина которого находится над точкой плоскосг с координатами mL и тв (рис. 1.34). Сечения этой поверхности плоскос’р.’ ми, параллельными плоскости координатных осей ДА и ДВ, имеют вид эллипсов, называемых эллипсами равной плотности. Часть плоскости, ограниченная эллипсом равной плотности, называется эллипсом рассеивания. Оси эллипса рассеивания называют главными осями рассеивания. Центры всех эллипсов рассеивания находятся в точке с координатами пц и>пв (рис. 1.35), а оси эллипсов повернуты относитель-
142
Гис. 134, Ллишость нормального раснрсделс- Р«с. 135. Эллипсы рассеивания инн двух величин
но координатных осей целевой системы координат на угол, значение которого определяется формулой
1 2ro.oB
a = -arctg------(1.114)
°в ~ °L
Таким образом, несовпадение направлений главных осей рассеивания с направлениями координатных осей обусловлено коррелированностыо отклонений AL и ДВ. В случае некоррелированности этих отклонений, что характеризуется нулевым коэффициентом корреляции, г - 0, угол а равен нулю и осн эллипсов рассеивания параллельны координатным осям.
Как показывает опыт многочисленных экспериментальных пусков БР. отклонения точек падения Д/. и ДВ. определяемые в естественной целевой системе координат, слабо коррелированы между собой (коэффициент корреляции мал), поэтому коррелированностыо данных отклонений можно пренебречь и полагать г - 0. В этом случае формула (I 113) упрощается и принимает вид:
/(AL, ДВ) =----!---ехр
(AL - mJ2 _ (ДД-мд)21
2 Од	2 Од	।
а нормальный закон распределения описывается четырьмя параметрами 'Н/./Нд.ОдИ Од.
Параметры niL и Щд определяют координаты точки, которую называют центром группирования точек падения ГЧ при пусках по
143
данной цели. Э го название отражает то очевидное обстоятельство, что при нормальном законе распределения плотность точек падения в окрестности центра эллипсов рассеивания выше, чем в окрестности других точек плоскости.
Прежде чем продолжить анализ параметров распределения, описываемого формулой (1.115), сделаем несколько замечаний относительно смысла этих параметров и применяемой по отношению к ним терминологии. В соответствии с определениями, приведенными в Военном энциклопедическом словаре РВСН (см. [7]), данные параметры рассматриваются в качестве совокупности показателей, характеризующих точность доставки ББ к цели. При этом математические ожидания и »1д, определяющие координаты центра группирования точек падения ББ, называются характеристиками точности (или меткости) стрельбы, а среднеквадратические отклонения Од и определяющие степень разброса точек падения ББ относительно центра группирования, называются характеристиками кучности стрельбы. Термин "характеристики рассеивания" используется как синоним термина "характеристики кучности".
Следует, однако, подчеркнуть, что при оценке качества самой БР и ее системы управления данная совокупность параметров является избыточной, поскольку значения параметров и тв полагаются в этом случае нулевыми и исключаются из рассмотрения. Основанием для этого служат следующие соображения.
Как отмечалось выше, причиной случайных отклонений точек падения ГЧ от точки цели является действие случайных возмущений, влияющих на полет БР и ГЧ. При этом несовпадение центра группирования с точкой цели возможно в том случае, если среди возмущающих факторов имеются такие, влияние которых на отклонение точек падения носит односторонне-систематический характер, вследствие чего случайные отклонения точек падения приобретают ненулевую систематическую составляющую. Например, подобное влияние на отклонение точек падения ГЧ БР могут оказывать господствующие в районе точки цели вегры, скорость и направление которых носят систематический характер, вследствие чего среднегодовые значения этих параметров отличны от нуля.
На практике определение параметров распределения отклонений точек падения проводят в два этапа. На первом этапе (этап априорного оценивания) эти параметры определяются путем математического моделирования действия всех учитываемых возмущающих факторов. При этом факторы, в действии которых обнаруживается систематический характер, подвергаются отдельному анализу, по результатам которого влияние выявленных систематических составляющих учитывается либо
144
в алгоритмах системы управления, либо в алгоритмах расчета полетного задания на пуск. В результате этих мер систематические составляющие в отклонениях AL и АВ исключаются, вследствие чего параметры mL и ту становятся нулевыми. На втором этапе (этап апостериорного оценивания) параметры распределения отклонений точек падения определяются по результатам экспериментальных пусков ракет с применением соответствующих методик статистического оценивания и проверки статистических гипотез. В результате получаются статистические оценки rfiL и rfiB параметров mL и тв. В случае значимых отклонений оценок >tiL и Лв от нуля делается вывод о наличии одного или нескольких неучзениых на этапе априорного оценивания возмущающих факторов, оказывающих систематическое влияние на отклонения точек падения ГЧ отточки прицеливания. После этого проводятся детальные исследования по выявлению таких факторов с целью учета нх действия методами, принятыми на этапе априорного оценивания. В отдельных случаях, когда выявить физический источник возмущающего воздействия, имеющего систематический характер, не удается, возможно введение эмпирических поправок в алгоритмы расчета полетного задания на пуск. Например, точка прицеливания может быть перенесена в точку с координатами {-/й£, в результате чего центр группирования совмещается с фактической точкой цели.
Для полноты проводимого анализа следует отметить, что существуют факторы, приводящие к значительным совмещениям координат центра группирования, однако действие зтих факторов не может быть учтено изложенными выше методами. Важнейшим из таких факторов является неточность задания координат целей (см. схему на рис. 1.38). При полигонных испытаниях этот фактор, разумеется, отсутствует, однако координаты реальных боевых целей всегда определяются с некоторой погрешностью, которая по отношению к каждой отдельно взятой цели имеет характер систематической погрешности, вследствие чего приводит к смещению центра группирования от точки цели. Однако подобные смещения, порожденные погрешностями средств разведки целей, ие связаны с качественными показателями собственно БР и ее системы управления и не могут рассматриваться как характеристики точности БР и СУ.
Итак, учтя приведенные выше соображения, в дальнейшем будем полагать параметры и тв нулевыми. В этом случае происходит дальнейшее упрощение формулы (1.115), в результате которого закон распределения отклонений точек падения приобретает простейший так называемый канонический вид:
145
f(AL, ЬВ) = —1— exp 2™l°b 2oJ 2a‘
L,	if
(1.116;
Как видим, в данном случае закон распределения описывается вссгс двумя параметрами - среднеквадратическими отклонениями пс дальности и в боковом направлении, aL и ад. Значения этих параметре! и примем в качестве системы величин,.характеризующих рассеивание БР. При этом термин "точность БР" также будем относить к CKO oz и св. и таким образом термины "характеристики рассеивания БР" и "характеристики точности БР" будем в дальнейшем использовать как синонимы. Заметим, что аналогичного понимания содержания термина "точность БР" придерживаются и авторы монографии [42].
Продолжим анализ характеристик точности. Наряду со среднеквадратическими отклонениями и ов для характеристики точности применяются также другие показатели, выражающиеся через CKO aL и Од. К их числу относятся вероятные отклонения, предельные отклонения, круговое вероятное отклонение. Рассмотрим эти характеристики.
Понятие вероятного отклонения широко применяется в теории артиллерийской стрельбы. Это понятие первоначально вводится для одной случайной величины, распределенной по нормальному закону. На рис. 1.36 изображена кривая Гаусса для случайной величины х с математическим ожиданием тх и СКО ог По определению, вероятным отклонением Ех называется половина длины интервала, симметричного относительно центра группирования с координатой тх, вероятность попадания в который равна 0,5.
Связь вероятного отклонения Ех со среднеквадратическнм отклонением ох принято выражать в виде
Рис. 1.36. Вероятное отклонение нормальной случайной величины
Ех = р^ах, (1.117) где коэффициент р представляет собой аргумент функции Лапласа, при котором она принимает значение 0,5 (см. [6], стр. 119). Исходя из последнего условия определяется значение этого коэффициента, р = = 0,4769.
Возвращаясь к двумерному распределению (1.116), введем вероятные отклонения для
146
случайных величин &L и ДВ:
EL = pj2oL, Ев = р^2ов.	(1.118)
Если в выражении (1.116) осуществить замену величин Од и ав на EL и Ев, то будет получено видоизмененное выражение для нормального закона, которое наиболее часто применяется в теории стрельбы:
/(Д£, ДВ) = -£-ехр -р2	+
*eleb	El
ЕВ*
El.
(1.119)
Введем далее параметр к и рассмотрим эллипс рассеивания Вк, уравнение которого имеет вид:
Д£2 ДВ2	,2 ДЬ2 . ДВ2	,
~Г +	= к *	=	(1.120)
Ев (kEi) (кЕв>
Параметр к представляет собой отношение полуосей эллипса рассеивания к вероятным отклонениям. Среди эллипсов рассеивания, получаемых при различных значениях параметра к, особую роль в теории стрельбы играет полный эллипс рассеивания» который получается при к = 4. Иначе говоря, полуоси полного эллипса рассеивания равны учетверенным вероятным отклонениям.
Полный эллипс рассеивания характерен тем, что охватывает практически все возможные положения точек попадания при стрельбе, так как вероятность попадания в полный эллипс рассеивания равна 0,9737 (данная величина приводится здесь с точностью до четырех значащих цифр). Соответственно, вероятность того, что точка попадания выйдет за пределы полного эллипса рассеивания, равна 0,0263. Эта величина может считаться достаточно малой и на практике ею часто пренебрегают, полагая, что все возможные точки попадания не выходят за пределы полного эллипса рассеивания.
Заметим, что для расчета указанных здесь вероятностей достаточно воспользоваться приведенной в [6] формулой, определяющей вероятность попадания в произвольный эллипс рассеивания:
Рк = 1 - e"(t₽)2.
(1.121)
Полагая в данной формуле к = 4 и р = 0,4769, получаем указанные выше цифры.
147
Величины полуосей полного эллипса рассеивания получилр наименование предельных отклонений. Обозначим предельны! отклонения но дальности и в боковом направлении Д£п и Д2?п. Выразнк предельные отклонения через CKO aL и ов. С учетом формулы (1.118; имеем:
ДБп = 4££ = 4Р/2а£ » 2,6978о£, Д5п = 2,б978ол.	(1.122;
На практике принято использовать более округленные цифры и полагать,
ДЬП = 2.7aL, ЛВа = 2,7
(1.123)
Величины (1.123), определяющие предельные отклонения точек падения ГЧ отточки прицеливания при условии, что центр группирования совпадает с точкой цели, являются наряду с о£ и од общепринятыми характеристиками точности (или рассеивания) БР. Эллипс рассеивания с полуосями, равными предельным отклонениям Д£п и ДВН, называют эллипсом предельных отклонении. Заметим, что поскольку величины (1.123) несколько превышают величины (1.122), то, строго говоря, эллипс предельных отклонений больше полного эллипса рассеивания и вероятность попадания в эллипс предельных отклонений, равная 0,9739, несколько превышает приведенную выше вероятность попадания в полный эллипс рассеивания, равную 0,9737.
Наряду с эллипсом предельных отклонений используется также
Рис. 1.37. Эллипс и прямоугольник предельных отклонений
прямоугольник предельных отклонении, стороны которого равны удвоенным предельным отклонениям ALn и Д5П. На рис. 1.37 показаны прямоугольник предельных отклонений и вписанный в него эллипс предельных отклонений.
Вероятность попадания в прямоугольник предельных отклонений нетрудно вычислить как произведение вероятностей независимого попадания величин Д£ и ДВ на соответствующие интервалы предельных отклонений {-ДЬП, ДЬП) и {-ДВГ1,ДВП} (напомним, что независимость случайных величин ДД и Д5 следует из их некоррелированности и нормальности). Вероятности попадания случайных величин ДЬ и Д£
148
на соответствующие нм интервалы предельных отклонений одинаковы и равны 0,9930 (что нетрудно определить с помощью таблиц приведенной функции Лапласа, см. [6]). Следовательно, вероятность попадания в прямоугольник предельных отклонений равна Рп = 0,99302 = 0,9860.
Прямоугольник предельных отклонений чаше всего используется ори оценке экспериментальных пусков, а также учебно-боевых пусков ракет, уже принятых на вооружение. В частности, критерием успешности учебно-боевого пуска ракеты по полигонной трассе является попадание точки падения ГЧ в прямоугольник предельных отклонений, размеры которого должны соответствовать геофизическим условиям пуска по полигонной трассе (т.е. широте и азимуту пуска, дальности полета).
В заключение отметим, что в качестве характеристики точности МБР используется также круговое вероятное отклонение, представляющее собой радиус круга, вероятность попадания в который равна 0,5. В частном случае кругового распределения точек падения ГЧ (для которого выполняется равенство = ав) величина КВО равна 1, 177 oL. Этот коэффициент нетрудно рассчитать с помощью формулы (1.121). Зависимости, позволяющие рассчитать КВО для случая различающихся СКО Од и од, приведены в монографии [42].
Достоинством КВО как характеристики точности БР является то, что вместо совокупности двух величии (предельных отклонений AZ... и ДД,,) достаточно рассматривать одну величину. Однако КВО может быть применено только какхарактеристика общего (суммарного) рассеивания БР. При анализе составляющих рассеивания использование КВО неудобно, так как в случае различающихся СКО ог и ав. что является типичной ситуацией для БР, этот показатель нс позволяет получить простые и наглядные зависимости, выражаюшиесуммарносрассеивание БР через составляющие рассеивания. Применение же двух характеристик (предельных отклонений Д£п и ДВП) позволяет достаточно просто и вмесгестем математически корректно разделить суммарное рассеивание БРна составляющие и, в частности, выделить составляющую, характеризующую вклад погрешностей системы управления в общее рассеивание БР. Этим объясняется то обстоятельство, что описание точности БР совокупностью двух величин Д£(1 и АВГ| получило широкое распространение па практике.
Составляющие рассеивания БР
При оценке и анализе характеристик рассеивания БР важно установить вклад той или иной группы возмущающих факторов или отдельной функциональной подсистемы РК (в частности, системы
149
управления) в рассеивание БР. С этой целью суммарные характеристик рассеивания разделяют на составляющие.
Теоретической предпосылкой для такого разделения служит гипотез о независимом влиянии рассматриваемых групп возмущающи факторов на рассеивание, вследствие чего суммарные характеристик, рассеивания могут быть разделены на независимые составляющие.
В дальнейшем выделяемые для анализа причины рассеивани; определяющие действие конкретных групп возмущающих факторов, также влияние на рассеивание основных функциональных и обеспечиваю щих систем РК, будем называть факторами рассеивания. Итак, предполо жим, что рассматривается Л' факторов, которые в совокупност) охватывают все возможные причины рассеивания БР. В соответствш с этим случайные отклонения ДА и ДЛ могут быть представлены в вид следующих сумм, образованных составляющими отклонений:
Л’	М
ДЛ = У Д£., ДЛ = ЕДВ,, /и	м
(1-124)
где отклонения Д2,-н Д2^ вызваны действиему-го фактора рассеивания
Гииотсза о независимости рассматриваемых факторов означает, чтс случайные величины ДЛу в сумме ДЬ (как и случайные величины Д^-т сумме ДВ) также взаимно независимы, вследствие чего дисперсии г математические ожидания суммарных отклонений Д£ и Д2? выражаются как суммы дисперсий и математических ожиданий соответствующих слагаемых в формулах (1.125);
, лг	N
= £<>	(1-125)
Л’
mI. =	тВ ~ 1тВГ
J'l	>•!
(1.126)
Здесь через Пц, ав^ и mLj, обозначены CKO и математические ожидания случайных величин и ДВ;-(отметим, что выражения (1.126) справедливы, как известно, и для взаимно зависимых величин ДЛу и Д-S)).
Из формул (1,125) вытекают аналогичные формулы для предельных отклонений:
Ч2“ £д4 двп2=£двя2.
(1.127)
150
Pirc, i .38. Составляющие рассеивания БР
Таким образом, выражения (1.126) и (1.127) показывают, что суммарные характеристики рассеивания разделены на составляющие по числу анализируемых факторов рассеивания, причем вкладj'-го фактора в суммарное рассеивание оценивается предельными отклонениями 6Lnj-и hBnj, а также математическими ожиданиями	которые в общем
случае для отдельных составляющих могут быть отличными от нуля.
Разделение характеристик рассеивания на составляющие имеет большое практическое значение, так как позволяет оценить влияние на точность попадания БР каждого фактора в отдельности и на основе этого разработать наиболее рациональные меры по уменьшению рассеивания и повышению точности попадания БР. Глубина и степень детализации факторов рассеивания определяются задачами проводимых исследований. Например, на этапе априорного оценивания характеристик точности используются наиболее полные модели возмущенного полета БР и ГЧ, наиболее полные модели функционирования системы управления и Других систем РК, поэтому количество отдельно рассматриваемых факторов рассеивания может достигать нескольких сотен. На этапе апостериорного оценивания характеристик точности по результатам экспериментальных пусков ракет глубина такой детализации значитель
151
но меньше к определяется главным образом задачей оценк соответствия реальных характеристик точности их требуемым значениял заданным для РК данного типа.
Приведенная выше схема составляющих рассеивания (см. рис. 1.3S отражает первый, наименее детализированный уровень выделенн факторов рассеивания. Проведем краткий анализ этих факторов ; соответствующих им составляющих рассеивания.
Как видно из данной схемы, суммарные характеристики рассеивани принято подразделять на две основные составляющие, зависящие о-действия двух групп физически разнородных и независимых факторов
Первая составляющая, называемая техническим рассеиванием, теенс связана с конструктивно-технологическими особенностями построени: БР и отражает влияние на рассеивание всей совокупности внешних i внутренних возмущающих факторов, сопровождающих полет БР и Г1. (ББ) и функционирование всех ее систем п агрегатов. При дальнейшей детализации техническое рассеивание разделяют на четыре составляю, щие, соответствующие четырем относительно независимым фактораи рассеивания. Этими факторами являются (см. рис. 1.38):
•	погрешности системы управления БР,
•	погрешности системы прицеливания,
•	погрешности системы разведения и отделения ББ,
•	атмосферное рассеивание ББ.
Среди перечисленных факторов основной вклад в рассеивание вносят погрешности системы управления, которые принято подразделять на инструментальные и методические погрешности. Соответственно, рассеивание, обусловленное погрешностями системы управления, разделяют на инструментальную и методическую составляющие.
К инструментальным погрешностям СУ БР относятся погрешности комплексов измерительных приборов инерциально-навигационной системы, включающие погрешности получения первичной навигационной информации с помощью датчиков ИНС, погрешности привязки измерительного базиса ИНС к осям навигационной системы координат, обусловленные погрешностями начальной выставки измерителей ИНС и погрешностями, вызванными неконтролируемым дрейфом ГСП в полете вследствие уходов гироблоков системы стабилизации ГСП, погрешности предстартовых калибровок измерителей ИНС и целый ряд других погрешностей.
Методическими называют погрешности, обусловленные особенностями методов и алгоритмов управления, реализуемых СУ БР. Основными источниками методических погрешностей являются допускаемые на этапе разработки алгоритмов управления упрощения математических моделей полета БР и ГЧ и моделей внешних возмущающих воздействий,
152
упрощения самих алгоритмов управления в системах наведения и стабилизации, погрешности алгоритмов численного решения навигационной задачи. На величину методической погрешности оказывают влияние характеристики применяемой БЦВМ (производительность, рязрядность, объем памяти).
Следует отмстить, что разделение рассеивания БР. вызванного погрешностями системы управления, на инструментальную и методическую составляющие несколько условно, так как некоторые методические погрешности управления косвенным образом зависят от инструментальных погрешностей. Например, как это видно из материала гл. 3.4, методическая погрешность управления отделением ГЧ в функциональном методе наведения определяется не только видом баллистической управляющей функции, но и точностью системы стабилизации, которая, в свою очередь, зависит от инструментальных погрешностей датчиков ИНС. Тем не менее в целом на фоне всей совокупности первичных факторов рассеивания инструментальная и методическая составляющие рассеивания могут считаться приблизительно независимыми. Оценка и анализ этих составляющих рассеивания позволяют обоснованно судить о степени качества программно-алгоритмического обеспечения процессов управления полетом БР и ГЧ и о качестве инструментально-измерительной части СУ.
В табл. 1.2 приведены данные, иллюстрирующие относительный вклад отдельных составляющих в суммарное техническое рассеивание БР. Эти данные приближенно соответствуют характеристикам рассеивания ракеты США MX при пусках на дальность 10 тыс. км. Величины отклонений (в метрах) для каждого рассматриваемого фактора рассеивания даны здесь на уровне предельных отклонений по дальности и в боковом направлении. Характеристики суммарного технического рассеивания в соответствии с выражениями (1.127) получены по формулам:
(1.128)
Таблица 1.2
Фактор рассеивания			J
Инструментальная погрешность СУ	210	150	1
Методическая погрешность СУ	70	60	2
153
Фактор рассеивания		Мп,	J
Погрешности системы прицеливания	40	120	3
Погрешности систем разведения и отделения боевых блоков	50	50	4
Атмосферное рассеивание ББ	120	80	5
Суммарное техническое рассеивание	260	220	Г
Просуммировав данные, соответствующие инструментальной i методической погрешности СУ, получим величины предельны: отклонений, характеризующие точность системы управления:
Д£* = 221м, ДВпсу=162м.
Как видим, погрешности системы управления вносят основной вклад в техническое рассеивание БР.
Достаточно подробный анализ других составляющих рассеивания, упомянутых в схеме на рис. 1.38, содержится в монографии [42]. Там же приведены эмпирические зависимости, показывающие динамику уменьшения основных составляющих рассеивания по годам принятия РК на вооружение на примере ракет США нескольких поколений.
Подведем краткий итог
1.	Основными показателями качества системы управления, оказывающими определяющее влияние на эффективность РК, являются точность, надежность, стойкость к воздействию поражающих факторов _ЯВ.
2.	Характеристиками точности попадания БР (называемыми также характеристиками рассеивания) являются величины предельных отклонений точек падения ГЧ от точки прицеливания по дальности и в боковом направлении, определяемые в естественной целевой системе координат при допущении о нормальности закона распределения отклонений точек падения ГЧ, некоррелированности отклонений точек падения по дальности и в боковом направлении и незначимое™ смещения центра группирования точек падения от точки прицеливания.
3.	Характеристики суммарного рассеивания БР подразделяются на две основные составляющие, называемые техническим рассеиванием БР и рассеиванием, вызванным погрешностями геодезического и навигационного обеспечения пусков БР.
154
4,	Точность СУ БР определяется как условно независимая часть технического рассеивания БР и характеризуется величинами предельных отклонений точек падения ГЧ по дальности и в боковом направлении, зызвавиых двумя основными факторами - инструментальной и методической составляющими рассеивания.
Литература к разделу I
I.	Аплазов Р.Ф., Лавров С.С., Мишин В.П. Баллистика управляемых ракет дальнего действия. М.: Наука. 1966. 306с.
2.	Айзенберг Я.Е., Сухорсбрый В.Г. Проектирование систем стабилизации носителей космических аппаратов. М.: Машиностроение. 1986. 224 с.
3.	Балк М.Б. Элементы динамики космического полета. М.: Паука, 1965. 340 с.
4.	Бсллмаи Р. Введение в теорию матриц. Пер. с англ. М.: Наука, 1969. 367 с.
5.	Бортовые терминальные системы управления: Принципы построения и элементы теории / Попрел. Б.Н. Петрова. М.: Машиностроение, 1983. 200с.
6.	Ветцель Е.С. Теория вероятностей. М.: Ф.-М.. 1962. 564 с.
7.	Военный энциклопедический словарь ракетных войск стратептчеекого назначения. М.: Изд. Большая российская энциклопедия, 1999. 632 с.
8.	Вознесенский И.Н. О регулировании машин с большим числом регулируемых параметров И Автоматика и телемеханика. 1938. № 4. С. 65-78.
9.	Геофизические условия полета. I. Математические модели гравитационного поля Земли ' В Г. Кузнецов, В.Г. Л угии и др. М.: ВАД. 1993. 115 с.
10.	Геофизические условия полета- Ч. 2. Математические модели атмосферы Земли / А.Н. Андреев, С.А. Елисейкин и др. М.: ВАД, 1993. 111 с.
11.	Динамика систем управления ракет с БЦВМ / Под ред. М.С. Хитрика и С.М. Федорова. М.: Машиностроение, 1976. 272 с.
12.	Иванов В.А., Ситарский Ю.С. Динамика полета системы гибко связанных космических объектов. М,: Машиностроение, 1986. 244 с.
13.	Ишлииский А .Ю. Инерциальное управление баллистическими ракетами. М.: Наука, 1968.142 с.
14.	Налман Р. Об обшей теории систем управления: Труды 1 Конгресса ИФАК но автоматическому регулированию. М.: АН СССР. 1961. Т. 2. С. 521-547.
15.	Кхтман Р., Фалб П., Арбиб М, Очерки по математической теории систем. Пер. с англ. М.: Мир. 1971.400 с.
16.	Краснов Н.Ф. Аэродинамика. М.: Высшая школа, 1980. Ч. I. 496 с. Ч. И. 416 с.
I7-	Кузовков Н.Т. Системы стабилизации летательных аппаратов (баллистических и те.штных ракет). М.: Машиностроение. 1976. 304 с.
18.	Лебедев А.А.. Бобровников В.Т., Красильщиков М.Н., Малышев В.В. Статистическая динамика управляемого полета. М.: Машиностроение. 1978. 240 с.
19.	Лебедев А.А., Герасюта Н.Ф. Баллистика ракет. М.: Мапшнострпепие, 1970 244 с.
20.	Лебедев А.А., Чернобровкин Л.С. Динамика полета беспилотных летательных аппаратов. М.: Машиностроение. 1978. 6’6 с.
21.	Летов А.М. Динамика полета и управленье. М.: Науки, 1959. 359 е.
22.	Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения! Себр. сеч. Т. 2. М.-Л.: ЛИ СССР. 1956.
23.	Мнртнп Дж. Вход в атмосферу. Пер. с англ. М.: Мир. I960. 320 с.
155
24.	Межконтинентальные баллистические ракегы СССР (РФ) и США / Под ред. Е.Б. Волкова. М.: РВСН, 1996. 376 с.
25.	Методы классической и современной теории управления, в 3-Х томах / Под ред. Н.Д. Егупона и К.А. Пупкова. М.: Изд. МГТУ им Н.Э. Баумана, 2000.
26.	Мещерский И.В. Работы по механике тел переменной массы. М.-Л.: Гостехнздат, 1952. 178 с.
27.	Основы автоматического регулирования / Под ред. В.В. Солодовникова. М.: Машгиз. 1954.1117 с.
28.	Основы проектирования летательных аппаратов / Под ред. В.П. Мишина. М.: Машиностроение, 1985. ЗбО с.
29.	Осгославскнй И.В., СтражеваИ.В. Динамика полета. Устойчивость и управляемость летательных аппаратов. М.; Машиностроение, 1965.467 с.
30.	ПогореловД.А.Теорнякеплеровых движений летательных аипаоатов.М.: Физматгиз, i960. 96 с.
31.	Понтрягин Л.С.. Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мишеико Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М .: Наука. 1969. 384 с.
32.	Пугачев В.С. Теория случайных функций. М.: Фнзматшз, 1962. 883 с.
33.	Разоренов Г.Н. Введение в теорию оценивания состояния динамических систем по измерениям. М.: Изд. МО СССР, 1981. 272 с.
34.	Разоренов Г.Н. Введение в теорию оптимального управления динамическими системами. М.: Ичд. МО СССР, 1991. 278 с.
35.	Разыграев А.П. Основы управления полетом космических аппаратов. М.: Машиностроение, 1990. 475 с.
36.	Садовский В.Н. Основы общей теории систем. М.: Наука, 1974. 280 с.
37.	Сихарулидзе Ю.Г. Баллистика летательных аппаратов. М.: Наука, 1982. 359 с.
38.	Справочник по теории автоматического управления / Под ред. А.А. Красовского. М.: Наука, 1987.712 с.
39.	Статистическая динамика и оптимизация управления летательных аппаратов / Под ред. А.А. Лебедева. М.: Машиностроение. 1985. 279 с.
40.	Теория управления. Терминология: Сборник рекомендуемых терминов. Вып. 107. М : Наука, 1988. 56 с.
41.	Технические основы эффективности ракетных систем I Под ред. Е.Б Волкова. М.: Машиностроение. 1939. 256 с.
42.	Точность межконтинентальных баллистических ракег / Пол рел. Л.И. Волкова. М.: Машиностроение. 1996. 304 с.
43.	Управление космическими летательными аппаратами / Под ред. К. Леондеса. Пер. с англ, М.: Машиностроение. 1967. 324 с.
РАЗДЕЛИ
ИНЕРЦИАЛЬНЫЕ НАВИГАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ БР И ГЧ
ВВЕДЕНИЕ
Как уже отмечалось выше, необходимым условием успешного решения задачи управления движением любого подвижного объекта, будь то наземноетранспортноесредство, морское судно или летательный аппарат, является возможность непрерывного или периодического получения информации о текущих параметрах движения объекта: координатах, скорости, параметрах угловой ориентации и угловой скорости, на основании чего осуществляется выработка управляющих команд, обеспечивающих достижение поставленной цели управления.
При всем разнообразим технических средств, предназначенных для получения такой информации, задачи определения параметров движения подвижных объектов близки по своему содержанию и образуют класс задач, получивших название задач навигации.
Термин "навигация" в своем первоначальном значении в переводе с латинского, navigatio, означает мореплавание (navis - морское судно, корабль, navigator - мореплаватель). Поскольку многие идеи й принципы определения местоположения движущихся объектов получили свое первоначальное развитие именно в связи с задачами мореплавания и судовождения, то постепенно термин "навигация" приобрел смысл искусства судовождения, а навигатором стали называть морского специалиста, владеющего этим искусством. В настоящее время это название вышло из употребления и заменено синонимом "штурман", применяемым на флоте и в авиации.
Что же касается термина "навигация", то он воспринят современной теорией управления и наполнился новым содержанием. В самом широком смысле этого слова, под навигацией понимается весь комплекс вопросов, связанных с получением информации о движении объекта управления, начиная с принципов построения измерительных приборов и заканчивая алгоритмами обработки навигационной информации.
Содержание понятия "задача навигации" требует некоторых уточнений. Чаще всего под собственно задачей навигации (или задачей навигации в узком смысле этого слова) понимают задачу определения координат и скорости подвижного объекта, т.е. параметров его поступательного движения. При этом задачу определения пространствен-
157
кого углового положения объекта управления и, при необходимости, ег угловой скорости называют задачей ориентации. Однако ввиду того, чт эти задачи родственны и нередко алгоритмически связаны между собо! их можно объединить в одну общую задачу определения параметр© вращательно-поступательного движения объекта управления. Дале термин "задача навигации’’ будем понимать именно в таком широко! смысле, выделяя при необходимости те части этой задачи, которы состоят в определении параметров поступательного или вращатсльног движения.
Для практического решения задач навигации создаются навигацион ные системы, представляющие собой комплекс технических средств предназначенных для получения первичной навигационной информацит ее обработки и преобразованию к виду, удобному для последующей решения задач управления.
Среди большого разнообразия существующих навигационных систем особое место принадлежит инерциальным навигационным система* (ИНС). Наиболее широкое применение ИНС получили на объекта: ракетно-космической техники, особенно на баллистических ракетах, гд они являются единственным источником навигационной информацш и применяются без привлечения каких-либо корректирующих ил1 дублирующих средств.
В данном учебнике, посвященном теоретическим основам построен!!! СУ баллистических ракет, ИНС рассматривается как одна из функцио нальных подсистем СУ, предназначенная для обеспечения навигационно! информацией смежных подсистем - наведения и стабилизации. В связ* с этим из всего комплекса вопросов, относящихся к проблематию построения и функционирования ИНС, выделены и рассмотрены дв< группы вопросов:
•	теоретические основы построения ИНС и самого принципе инерциальной навигации;
•	алгоритмы решения навигационной задачи в различных вариантах построения ИНС (в платформенном для БР и в бесплатформенном для ГЧ).
Смежные вопросы, такие, как варианты комплексирования и приборный состав ИНС, изложены в том объеме, насколько это необходимо для характеристики структуры алгоритмов решения навигационной задачи в различных схемах измерений.
Теоретические основы принципа инерциальной навигации рассмотрены в данном учебнике в более широком плане, чем в существующей литературе по теории инерциальной навигации. Особое внимание уделено таким фундаментальным положениям механики и физики, как принципы относительности Галилея и Эйнштейна, постулат равенства
158
инертной и гравитационной масс, принцип эквивалентности силы веса п сил инерции, которыми определяются важнейшие свойства принципа инерциальной навигации.
Нетрадиционным является изложение вопроса о материальном носителе навигационной информации в ИНС, в качестве которого рассматриваются поля сил инерции, существующие в движущихся телах. В известных руководствах по теории инерциальной навигации данный вопрос по существу игнорируется, что можно объяснить гем, что само понятие сил инерции, причины и условия их возникновения, а также вопрос о реальности или фиктивности этих сил до сих пор не получили законченного освещения в механике. Дискусснонность вопроса о силах инерции нашла отражение в публикациях таких авторитетных ученых, как академиков А.10. Ишлинского (см. [9]) и Л.И. Седова (см. [14]),
В данном учебнике в качестве носителя навигационной информации в инерциальных системах рассматриваются так называемые ньютоновы силы инерции, которые возникают как силы противодействия приложенным к телу силам, вызвавшим его ускоренное движение. Прямым следствием совместного действия приложенных к телу внешних сил и сил инерции являются внутренние и поверхностные деформации ускоренно движущихся тел, а также сопутствующие этим деформациям напряжения. Аналогичные по своей природе деформации и напряжения возникают во вращающихся телах. Указанные деформации могут служить признаком наличия сил инерции и мерой их величины. Действие инерциальных измерительных приборов и основано либо на измерении величины деформации упругого подвеса чувствительного элемента в виде инертной массы, находящейся в поле ньютоновых сил инерции, либо на измерении величины восстанавливающей силы, требующейся для исключения деформации подвеса.
Другие известныев механике силы инерции, названные А.Ю. Ишлин-ским даламберовыми и эйлеровыми, появляются в уравнениях динамики при описании движения в неинерциальных системах отсчета путем формального присвоения наименования силы дополнительным членам ’тих уравнений, которые имеют размерности сил, но не являются реальными силами, приложенными к движущемуся телу. Эти силы получили название фиктивных сил инерции.
Обзор исходных положений механики и физики, а также анализ полей ньютоновых сил инерции в движущихся телах вынесен в Приложение 2. Рекомендуем читателю ознакомиться с содержанием данного приложения перед изучением материала главы 2.1.
159
Глава 2.1
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНЕРЦИАЛЬНОЙ НАВИГАЦИИ
2.1.1.	Классификация навигационных систем, применяемых при управлении подвижными объектами
Навигационные системы принято классифицировать в соответствш с характером и физическими свойствами материального носителе навигационной информации в этих системах. По своей пространственно геометрической конфигурации носители навигационной информациг могут быть подразделены на навигационные точки, навигационные линии, навигационные направления. навигационные поверхности и навигационные поля.
В качестве навигационных точек используются различные ориентиры на местности, маяки, небесные светила (звезды, планеты, Солнце), положение которых известно с требуемой точностью.
Навигационными линиями на поверхности Земли могут служить русла рек, береговые линии морей и океанов, линия видимого горизонта. В космической навигации в качестве навигационных линий используются края видимых дисков Земли, Луны и планет.
Навигационные направления могут задаваться парами навигационных точек, а также могут быть материализованы осями измерительных приборов, ориентированных известным образом в пространстве. Простейшим таким прибором является магнитный компас, стрелка которого ориентируется вдоль силовой линии магнитного поля Земли. Навигационными направлениями могут служить оптические оси геодезических приборов, задающие опорные направления при ориентировании на местности, оси гироскопических приборов, которые стабилизированы либо в абсолютном пространстве, либо относительно Земли. Примером прибора первого типа является гиростабилизироваиная платформа, а примером прибора второго типа - гирокомпас, ось которого ориентируется в плоскости земного меридиана и в отличие от стрелки магнитного компаса, показывающей направление на геомагнитный полюс, задает направление на географический полюс Земли.
В качестве навигационных поверхностей могут использоваться водные поверхности морей и оксанов, поверхность земной суши, а в космической навигации - поверхности планет.
В отличие от навигационных точек, линий и поверхностей навигационные поля трехмерны и имеют пространственно-протяженную структуру. Различают естественные физические поля и поля искусственного
160
происхождения. Естественные физические поля Земли называют геофизическими полями. Ими являются гравитационное и магнитное поля, атмосфера и поле рельефа земной поверхности.
К естественным полям относится также поле сил инерции, возникающее в любом теле при его ускоренном движении или вращении. Информационные свойства полей сил инерции лежат в основе принципа инерациальной навигации (см. Приложение 2).
Навигационные поля искусственного происхождения образуются с помощью источников электромагнитного излучения, формируемого в различных диапазонах длин волн (в оптическом диапазоне, в радиодиапазоне, в инфракрасном или тепловом диапазоне), а также с помощью источников акустических (звуковых) колебаний, распространяющихся в воздушной или в водной средах.
Наиболее информативными являются радионавигационные поля, образуемые сетью наземных радионавигационных пунктов (радиомаяков) и спутниковыми навигационными системами. В настоящее время созданы спутниковые навигационные системы глобального масштаба, форм ирующие в окрестности Земли сплошное радионавигационное поле ("Navstar" в США, ГЛОНАСС в России). Подобные системы позволяют любому потребителю навигационной информации, от пешехода до космического корабля, определять с высокой точностью свои координаты и скорость движения.
Наряду с полями излучений в системах навигации используются поля отраженных сигналов. Такие системы получили название локационных (радиолокационные, акустические локационные системы и др.).
В соответствии с физическими свойствами носителей навигационной информации навигационные системы могут быть подразделены на следующие классы:
•	системы навигации по наземным ориентирам,
•	системы астронавигации.
•	системы радионавигации,
•	радиолокационные навигационные системы,
•	акустические навигационные системы,
•	тепловизионные навигационные системы,
•	системы .магнитной навигации,
•	рельефомстрические навигационные системы,
•	инерциальные навигационные системы.
Данная классификация пе является исчерпывающей. Кроме того, на практике перечисленные системы могут использоваться в различных комбинациях друг с другом. Так, широкое применение нашли астроинер-ниальные и радиоинерциальные навигационные системы. Перспектив
ным видом навигационных систем являются инерциальные системы, реализующие градиентно-гравитационный метод навигации (см. п. 2.1.6).
2.1.2.	Содержание принципа инерциальной навигации, его достоинства и недостатки
Принцип инерциальной навигации по своей сущности достаточно прост и состоит в возможности наблюдать факт ускоренного движения объекта навигации и измерять параметры этого движения в абсолютном (инерциальном) пространстве с помощью размещенных на объекте измерительных приборов, чувствительным элементом которых является инерционная масса, укрепленная в корпусе прибора на упругом подвесе и имеющая возможность смещаться из своего нейтрального положения вследствие ускоренного движения объекта навигации. Поскольку
смещения чувствительного элемента вызваны его инерционностью, то подобные измерительные приборы, как и сам принцип навигации,
получили название инерциальных.
Простейшая схема такого прибора, называемого пружинным акселерометром (измерителем ускорений), изображена на рис. 2.1. Чувствительным элементом здесь служит небольшое тело (грузик), соединенное пружиной с корпусом прибора. Сам прибор закреплен на объекте навигации. При движении объекта с ускорением на пружину со стороны грузика действует сила его инерции, пропорциональная абсолютному ускорению грузика.
Под действием упомянутой силы инерции пружина деформируется (сжимается или растягивается) и по величине смещения грузика, которая может быть измерена, нетрудно определить ускорение объекта навигации. Для этого необходимо знать параметры прибора (массу
грузика, жесткость пружины) характеристикой.
рис. 2.1. Схема пружинного акселерометра
I-d’-
или располагать его тарировочной
Несмотря на то что пружинные акселерометры не нашли широкого распространения вследствие ряда свойственных им недостатков и в бортовых навигационных системах применяются приборы, основанные на других принципах их конструктивного исполнения(маятниковые и струнные акселерометры, гироскопические интеграторы ускорений и др.), схема пружинного акселсро-
162
метра является наиболее удобной для анализа сущности инерциального принципа получения информации в ИНС. Ниже в п. 2.1.3 мы вернемся к этой схеме с целью анализа уравнения измерении в инерциальных измерительных приборах.
Измерительные приборы, содержащие чувствительный элементв виде инерционной .массы, используются главным образом для определения параметров поступательного движения объектов - ускорения, скорости, пройденного пути. По этой причине их называют также датчиками линейных перемещений. Как будет показано, датчики линейных перемещений могут быть применены и для определения параметров вращательного движения - угловой скорости и углового ускорения. Наряду с этим в системах инерциальной навигации находят широкое применение разнообразные гироскопические измерительные приборы, чувствительным элементом которых является быстро вращающаяся масса - гироскоп. Действие гироскопических приборов основано на использовании инерционных свойств вращающегося тела, проявляющихся в закономерностях его прецессионно-нутационного движения .
Гироскопические измерительные приборы применяют в качестве датчиков угловых перемещений для определения параметров угловой пространственной ориентации объекта навигации, а также компонент вектора его угловой скорости. Кроме того, с помощью гироскопических приборов осуществляется требуемая пространственная ориентация и стабилизация осей чувствительности датчиков линейных перемещений. С этой целью применяются гироскопические стабилизаторы направлений, в том числе гиростабилизированные платформы.
В настоящее время инерциальные навигационные системы достигли высокого уровня совершенства. На баллистических ракетах эти системы являются единственным источником навигационной информации. Данное обстоятельство обусловлено рядом преимуществ технического и оперативно-тактического характера, которыми обладают ИНС в сравнении с другими средствами и способами навигации. К числу этих преимуществ относятся:
‘ полная автономность ИНС, т.е. независимость их работы от окружающей среды и внешних источников информации,
♦ абсолютная скрытность работы ИНС ввиду отсутствия каких-либо излучений, поддающихся фиксации средствами наблюдения противника, * высокая помехозащищенность по отношению к средствам радиоэлектронного противодействия,
В настоящее время термин “гироскоп" относят также к приборам, содержащим чувствительный элемент в виде инерционной массы, совершающей высокочастотные колебания. Примером подобных приборов являются вибрационный гироскоп, волновой тзердотельный гироскоп и др. Кроме того, к гироскопам относят также приборы, основанные на иных физических принципах работы, например, лазерные гироскопы.
fi-
163
•	высокая точность навигационных определений на относителы небольших интервалах времени работы ИНС,
•	малое электропотребление, малый вес и габариты,
•	высокая надежность, значительный ресурс непрерывной работы режиме боевого дежурства.
Вместе с тем принципу инерциальной навигации свойственн некоторые характерные для него недостатки, которых лишены друп методы навигации.
Главный из этих недостатков заключается в том, что инерциальнь измерительные приборы не позволяют путем непосредственна измерений определять действительные параметры движения объект навигации-координаты, скорость, ускорение. Вследствие того что пот сил инерции,являющееся носителем навигационной информации в ИН( не зависит от ускорения силы притяжения (см. Приложение 2), инерш альные измерительные приборы способны зафиксировать только ту част полного ускорения объекта навигации, которая определяется действие всех приложенных к нему внешних сил, исключая силу гравитационно! притяжения. Эта часть полного ускорения называется кажущимс ускорением (или псевдоускорением). У ракет кажущееся ускоренг определяется выражением
v =	<2.1
т	'
где Р-тяга ДУ, R - полная аэродинамическая сила, т - масса ракеть
В инерциальных измерительных приборах интегрирующего тип измеряются первый и второй интегралы от кажущегося ускорения кажущаяся скорость (или псевдоскорость) и кажущийся путь (ил псевдопуть). Перечисленные величины получили название кажущихс параметров движения (или псевдопараметров).
Для нахождения действительных параметров движения объект навигации по измерениям кажущихся параметров движения влияни ускорения силы притяжения необходимо учесть расчетным путем помощью модели гравитационного поля. Исходным уравнением дл решения данной задачи служит уравнение связи между полньн ускорением объекта навигации и его двумя составляющими- кажущимс ускорением и ускорением силы гравитационного притяжения:
а = W + g.	(2.2
Это уравнение носит название основного уравнения инерциально\ навигации.
164
Характерной особенностью основного уравнения инерциальной навигации является свойство его неустойчивости (см. п. 2.1.5). Это свойство проявляется в том, что при интегрировании данного уравнения погрешности расчета действительных параметров движения объекта навигации быстро возрастают с течением времени, что вынуждает осуществлять периодическую коррекцию инерциальной навигационной информации с помощью других навигационных систем. Лишь на баллистических ракетах, управляемый полет которых сравнительно непродолжителен, погрешности определения действительных параметров движения остаются в допустимых пределах, что позволяет применять ИНС без использования корректирующих навигационных систем.
Еще одной особенностью принципа инерциальной навигации является невозможность определения начальных параметров движения объекта навигации (начальной скорости, начального положения) по показаниям инерциальных измерительных приборов. Как показано в Приложении 2, это обстоятельство, как и невозможность непосредственного измерения действительных параметров движения, объясняется действием одних и тех же физических законов, нашедших свое отражение в формулировке принципа относительности Галилея-Эйнштейна.
Таким образом, основные недостатки принципа инерциальной навигации могут быть сформулированы следующим образом:
•	невозможность определения с помощью измерительных приборов ИНС начального положения и начальной скорости объекта навигации,
•	невозможность определения путем прямых измерений действительных параметров движения объекта навигации,
•	необходимость использования достаточно точной модели гравитационного поля Земли, требующейся для решения основного уравнения инерциальной навигации,
•	неустойчивость основного уравнения инерциальной навигации, приводящая к быстрому возрастанию погрешностей расчета действительных параметров движения объекта навигации, что делает невозможным применение ИНС в течение продолжительного периода их работы без использования корректирующих навигационных систем.
2.1.3. Уравнение измерений инерциального датчика линейных перемещений
Проанализируем работу инерциального датчика линейных перемещений, размещенного на борту объекта навигации. Воспользуемся схемой пружинного акселерометра. Под уравнением измерений понимается функциональная связь между параметрами движения объекта навигации и измеряемым параметром датчика-величиной деформации
165
Рис.2.2. Схема сил,действующих на чувствительный элемент пружинного акселерометра
Рис. 2.3. Схема размещения акселерометра на ЛА
упругого подвеса. Для вывода уравнения измерений будем исходить г уравнения динамики, описывающего движение чувствительного элемент (ЧЭ) датчика в абсолютном пространстве. Предварительно уточни схему действующих на чувствительный элемент сил, предположив, чт ЧЭ в виде инерционной массы (грузика) помещен в цилиндр, заполне! ный вязкой жидкостью. В этом случае со стороны подвеса на Ч! действуют три силы - сила упругости пружины сила вязкого трени /тр (обе эти силы направлены по оси цилиндра) и перпендикулярн направленная к ним сила N, действующая на ЧЭ со стороны стено цилиндра (см. рис. 2.2). Примем допущения, что сила упругости пружин! удовлетворяет закону Гука и пропорциональна смещению чувствительнс го элемента из его нейтрального положения,
F°p = -£,б,	(2.2
а сила вязкого трения пропорциональна скорости перемещения ЧЭ цилиндре:
F* = -кгЪ.	(2.4
Кроме этих сил на ЧЭ действует также сила притяжения Земли,
ВГ - mgr,	(2.5
166
гд.ет - масса 43,gr-ускорение силы притяжения, соответствующее той точке пространства, где в данный момент находится чувствительный элемент.
Рассмотрим схему размещения прибора на борту объекта навигации, изображенную на рис. 2.3. Здесь векторы риг определяют нейтральное и смещенное положения ЧЭ прибора относительно центра масс объекта, вектор 6 направлен по оси прибора и описывает смещение ЧЭ из его нейтрального положения.
Предположим, что объект навигации движется с ускорением а и совершает вращательное движение с угловой скоростью сэ и угловым ускорением 6. Учитывая, что линейное ускорение ЧЭ в абсолютном пространстве складывается из ускорения центра масс объекта и ускорения ЧЭ относительно центра масс, уравнение движения ЧЭ запишем в виде
(2.6)
Выразим полную производную —- через локальную и вращательные А2
производные:
--- = Г + 2ых/ + (Ьхг + ых(шхг). dt1
(2-7)
Воспользуемся равенством г = р + б и учтем то обстоятельство, что радиус-вектор р, определяющий нейтральное положение ЧЭ, неизменен в связанных осях, т.е. справедливы равенства А = ₽ = 0. С учетом этого выражение (2.7) перепишем в виде
d2r = ---- = о +
dt2
2(|)хб * Лхр + сЬхб + ох(охр) + Ох(й)хб).
(2.8)
В реальных конструкциях акселерометров смещение б чувствительного элемента из его нейтрального положения весьма мало, поэтому этой величиной в правой части выражения (2.8) можно пренебречь, что приводит выражение (2.8) к следующему виду:
d^T *	•
---- = б + 2<охб + сЬхр + (вх(сохр). dt1
(2.9)
167
Выразим полное ускорение объекта как сумму кажущегося ускорения и ускорения силы притяжения Земли,
а = Й' + gt,	(2.10)
где gs ~ гравитационное ускорение центра масс объекта. Выразим гравитационное ускорение ЧЭ через ускорение gt и градиентную матриц) ускорения силы притяжения Земли (см. Приложение 2):
Яг = ^ + Гг-	(2.1 г
С учетом малости величины 6 данное выражение перепишем в виде
Sr = Sj +	(2.12
Воспользовавшись формулами (2.9), (2.10) и (2.12), преобразуем уравнение (2.6):
JK+g+6 + 2ux6+cbxp+c>x(uxp) = — (Fnp+F’?+AT)+g >Г.р.	(2.13
т
Обратим внимание читателя на то, что гравитационное ускорени объекта навигации gt в данном уравнении сокращается.
Спроектируем правую и левую части уравнения (2.13) на ос чувствительности акселерометра, т.е. на направление возможноп смещения ЧЭ из его нейтрального положения, определяемое векторо! б. Учтем при этом формулы (2.3) и (2.4), а также то, что проекци кориолисова ускорения 2ыхй и силы N на эту ось равны нулю. Члень содержащие величину б и ее производные, перенесем в левую часть этот уравнения, а остальные члены - в правую часть. В результате получае: уравнение измерений акселерометра:
k	Jc
б * —5 + —5 = -fy, - (<bxp)4 - [ьэх(сохр)]5 + (Г,р)6.	(2.1‘
m	tn
Индексом "б” в правой части этого уравнения помечены проекци соответствующих векторов на ось чувствительности акселерометра.
Проведем анализ данного уравнения измерений. Прежде всег отметим, что в рассматриваемом уравнении отсутствует гравитационна составляющая полного ускорения объекта навигации и, следователь^ данный измерительный прибор позволяет получить информацию толы<
168
0 кажущихся параметрах его поступательного движения. Теоретические предпосылки указанного обстоятельства рассмотрены в Приложении 2.
Члены, стоящие в правой части уравнения измерений, представляют собой удельные силы инерции, действующие со стороны чувствительного элемента на его подвес. Здесь, как видим, в качестве составляющих присутствуют все четыре вида сил инерции, рассмотренных в Приложении 2: сила инерции поступательного движения с кажущимся ускорением тангенциальная и центробежная силы инерции, вызванные вращательным движением объекта навигации, и градиентно-гравитационная сила инерции. Вследствие этого измеряемый параметр б в общем случае содержит информацию о кажущемся ускорении объекта навигации, параметрах его вращательного движения (угловой скорости и угловом ускорении), а также о градиенте ускорения силы притяжения в направлении оси чувствительности акселерометра. Таким образом, используя показания нескольких акселерометров, определенным образом расположенных на объекте навигации, можно найти кажущееся ускорение объекта навигации, параметры его вращательного движения, а также, при необходимости, элементы градиентной матрицы ускорения силы притяжения Земли. Этот наиболее общий вариант навигационной задачи будет рассмотрен в п. 2.2.4.
Рассмотрим частный вариант навигационной задачи, когда показания акселерометров используются для определения параметров поступательного движения. Для упрощения последующего анализа предположим, что акселерометры расположены вблизи центра масс объекта н вследствие малости величины р в уравнении измерений можно пренебречь членами, зависящими от параметров вращательного движения и градиентов ускорения сипы притяжения. Таким образом, уравнение измерений приобретает следующий вид:
к	к
I + _2& + _1б = -И7..	(2.15)
т	т
Уравнение (2.15) представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка. Рассмотрим частные варианты этого уравнения, которые получаются при различных значениях параметров к} и к2.
Вариант 1. Предположим, что вязкой жидкости в приборе нет (к2 -- 0), а колебания чувствительной массы демпфируются специальным устройством, так что й = 0. Уравнение измерений приобретает вид:
(2.16)
169
В данном случае показания прибора пропорциональны проекции кажущегося ускорения объекта на ось чувствительности. Такой измерительный прибор называется истинным акселерометром или датчиком перегрузок. В соответствии с терминологией, предложенной акад. А.Ю. Ишлинским, используют также название ньютонометр. Данное наименование наилучшим образом отражает сущность действия этого прибора, в котором смещения чувствительного элемента в виде инерционной массы пропорциональны действующей на подвес ньютоновой силе инерции.
Для измерения полного вектора ускорения необходимо иметь на борту объекта навигации три ньютонометра, расположенные таким образом, чтобы их оси чувствительности были некомпланарны.
Вариант2. Предположим, что упругий подвесе приборе отсутствует (к{ = 0), а вязкость жидкости настолько велика, что членом 6 в уравнении
Jb >
измерений по сравнению с членом —б можно пренебречь. Тогда т
уравнение измерений приобретает следующий вид:
(2.17) к2
Интегрируя данное уравнение с нулевыми начальными условиями, получаем:
5 = -JI	(2.18)
* о	*2
В данном случае показания прибора пропорциональны проекции приращения кажущейся скорости объекта на ось чувствительности прибора. Такой измерительный прибор называют интегрирующим акселерометром (интегратором перегрузок) или импулъсометром в соответствии с терминологией акад. А.Ю. Ишлинского.
Как и в предыдущем случае, для измерения полного вектора кажущейся скорости необходимо иметь на борту объекта навигации три импульсометра с некомпланарными осями чувствительности.
Вариант 3. Предположим, что прибор не содержит ни пружины, ни вязкой жидкости (fc| = кг = 0). В этом случае уравнение измерений имеет вид;
170
5 = -F76.	(2.19)
Интегрируя это уравнение с нулевыми начальными условиями, получаем:
/ ч
6 =	= -Ss.	(2.20)
о о
В данном случае показания прибора равны проекции кажущегося перемещения объекта навигации (кажущегося пути) на ось чувствительности прибора. Такой прибор получил название дважды интегрирующего акселерометра. Его можно назвать также измерителем пройденного расстояния (измерителем пути).
Проведенный анализ показывает принципиальную возможность определения с помощью инерциальных измерителей кажущихся параметров движения объекта навигации - кажущегося ускорения, приращений кажущейся скорости и кажущегося пути. Методы и алгоритмы использования этой информации для определения действительных параметров движения объекта навигации путем решения основного уравнения инерциальной навигации будут рассмотрены в гл. 2.3.
Рассмотренные варианты уравнений измерений относились к случаю, когда влиянием на показания измерителей вращательным движением объекта навигации и градиентов ускорения силы притяжения допустимо пренебречь. В тех же случаях, когда эти факторы оказывают существенное влияние на точность решения навигационной задачи, необходимо использовать более полные уравнения измерений. Рассмотрим для примера уравнение измерений ньютонометра:
5 =	+ (“хр)4 + [ых(о>хр)]д - (T,p)J.	(2.21)
Для решения навигационной задачи из показаний ньютонометров должна быть выделена информация о кажущемся ускорении объекта навигации. Это может быть осуществлено различными способами в зависимости от вида и состава измерителей, применяемых в данном варианте ИНС. Например, если в состав ИНС входят гироскопические измерители углового положения объекта навигаци или датчики угловых скоростей, то информация о параметрах углового движения объекта навигации становится известной независимо от показаний ньютонометров и может быть учтена в уравнении измерений. Влияние градиентов ускорения силы притяжения на показания ньютонометров может быть
171
учтено с помощью модели гравитационного поля и с использованием информации о текущем положении объекта навигации. Таким образом в данном случае измеренное значение кажущегося ускорения может быть определено из выражения
= Ль - (йхр)4 - [ох(шхр)]& - (Г,р)Л.	(2.22)
nt
Другой подход к решению данной задачи состоит в том, чтобы использовать несколько акселерометров и определять по их показаниям как компоненты вектора кажущегося ускорения, так и параметры вращательного движения. Этот подход, основанный на применении измерительного блока, включающего 10 или 12 акселерометров, анализируется в п. 2.2.4.
В заключение сделаем следующее замечание по поводу рассмотренных схем акселерометров. Данные схемы наглядно демонстрируют сущность инерциального принципа измерений параметров движения объекта навигации, однако они мало пригодны для воплощения в реальных конструкциях измерительных приборов. Главный недостаток этих схем -малый диапазон измерений. Указанный недостаток особенно нагляден у измерителя кажущегося пути, где величина измеряемого пройденного расстояния не превышает максимального смещения чувствительного элемента из его нейтрального положения, т.е. размеров самого прибора. Диапазоны измерений ньютонометра и импульсометра также малы. В принципе, они могут быть расширены путем увеличения коэффициентов A'l и к2, однако чувствительность приборов и точность измерений при этом уменьшаются.
Вследствие указанного недостатка измерительные приборы, в которых реализуются рассмотренные схемы их построения, применяю гея только в тех случаях, когда требуемый диапазон измерений невелик. Например, в гравиметрии при измерениях ускорения силы тяжести на земной поверхности применяются пружинныегравиметры, конструктивные схемы которых аналогичны схеме пружинного акселерометра.
В системах управления ЛА, где диапазон изменения измеряемых параметров достаточно велик, применяются инерциальные измерительные приборы, основанные на других принципах их конструктивного построения. Например, для измерения ускорения чащевсего используются маятниковые и струнные акселерометры. Для измерения приращений кажущейся скорости и кажущегося пути применяются приборы гироскопического типа (так называемый тяжелый или интегрирующий гироскоп, дважды интегрирующий гироскоп), имеющие нео1раничен-ный диапазон измерений.
172
На рис. 2.4 показана принципиальная схема маятникового акселерометра. Чувствительный элемент акселерометра выполнен в виде физического маятника массой т, имеющего возможность поворачиваться вокруг оси X. Измерительное устройство включает датчик угла (ДУ), усилитель обратной связи, датчик момента (ДМ) и счетчик импульсов на выходе прибора. При движении объекта с кажущимся
Рис. 2.4. Схема маятникового акселерометра
ускорением его проекция IK на ось У (ось чувствительности акселерометра) вызывает появление момента силы
инерции F = -гп , действующего на подвес, вследствие чего маятник поворачивается на малый угол р, измеряемый датчиком угла. Полученная информация преобразуется в сигнал управления и, а после усилителя обратной связи - в ток коррекциипротекающий по обмоткам датчика момента и создающий момент, уравновешивающий момент силы инерции. Ток i преобразуется в последовательность импульсов, поступающих в цифровое вычислительное устройство. Частота следования импульсов пропорциональна ускорению Й^.а количество импульсов за время / пропорционально приращению кажущейся скорости П'. за это время.
2.1.4. Основное уравнение инерциальной навигации
Как сказано выше, навигационные приборы, реализующие инерциальный принцип получения информации, позволяют измерять лишь кажущиеся параметры поступательного движения объекта навигации. Для определения действительных параметров движения необходимо решить основное уравнение инерциальной навигации, которое выражает действительное ускорение объекта навигации как сумму кажущегося ускорения и ускорения еилы притяжения. Запишем данное уравнение в виде
173
^ = W + g(r), dt1
(2.2;
где г - радиус-вектор центра масс объекта навигации в выбранно
инерциальной системе отсчета; W - вектор кажущегося ускорения;# вектор ускорения силы притяжения, определяемый моделью гравитащ онного поля.
Уравнение (2.23) представляет собой векторное дифференциально уравнение второго порядка. Перепишем его в виде системы дву векторных дифференциальных уравнений первого порядка:
+ g(r).
dt	(2.24
= у dt
Для определения текущих параметров движения объекта, ег< координат и скорости, необходимо интегрировать уравнение (2.24) t начальными условиями Йо и Го. Запишем результат решения уравненир (2.24) символически с помощью операторов интегрирования следующих образом:
» .	t
V = Йо н- fWdz + fg(r)dr,
,, I	(2.25]
Г = Го * ?о(1 ~ to) * f f Wfodt + I fg(r)dTdt. 't> 'o	'o
В тех случаях, когда в качестве измерителей используются интегрирующие акселерометры, что позволяет непосредственно измерять значения кажущейся скорости и кажущегося пути, уравнения (2.25) принимают вид:
174
+ lV(t) ♦ fg(r)dt,
_	,	(2.26)
Г = ГО + ко(/ - /0) + S(t) + /fg(f)drdt.
'6 ‘a
Однако и в этом случае нельзя обойтись без процедуры численного интегрирования уравнений (2.24), так как для расчета ускорения силы притяжения необходимо знать текущее положение объекта навигации.
Рассмотрим состав информации, необходимой для решения задачи инерциальной навигации. Эту информацию принято подразделять на три вида: исходную, начальную и первичную.
Исходная информация включает совокупность сведений, которые остаются неизменными в течение всего цикла решения навигационной задачи и во всех условиях применения объекта навигации. Для баллистических ракет исходная информация остается неизменной независимо от условий пуска ракет данного типа. В состав исходной информации входят:
•	системы координат, в которых описываются начальные, промежуточные и конечные данные решения навигационной задачи,
•	принятая для данного типа ракет модель геопотенциала,
•	алгоритмы интегрирования основного уравнения инерциальной навигации и решения навигационной задачи в целом.
Среди систем координат, используемых при решении навигационной задачи, выделим: основную инерциальную систему координат, в которой записывается основное уравнение инерциальной навигации; измерительную систему координат, связанную с осями чувствительности измерительных приборов; геоцентрическую относительную систему координат, в которой задается модель гравитационного поля Земли, навигационную систему координат, в которой получается решение навигационной задачи.
Исходная информация является частью так называемой консервативной информации, входящей в состав программно-алгоритмического обеспечения системы управления БР.
Начальная информация включает сведения о начальном положении и начальной скорости объекта навигации, а также сведения о начальной ориентации осей чувствительности измерителей ИНС в основной инерциальной системе координат. Для баллистических ракет, в том числе для ракет мобильного базирования, начальную информацию получают с помощью средств астрономо-геодезического обеспечения пусков ракет, систем наземной навигации и прицеливания.
175
Первичная информация (называемая также измерительной иифор нацией) представляет собой результаты измерений текущих параметре! движения объекта навигации, фиксируемые на выходе измерителей ИНС и преобразованные к виду, пригодному для использования в алгоритма; решения навигационной задачи.
Рассмотрим основные погрешности решения задачи инерциально! навигации. Источники этих погрешностей содержатся во всех перечислен ных выше видах информации, требующейся для решения навигационной задачи. К ним относятся:
•	погрешности модели гравитационного поля Земли,
•	погрешности алгоритмов численного интегрирования основной: уравнения инерциальной навигации,
•	погрешности определения начальных условий движения объекте навигации,
•	погрешности определения начальной ориентации осей чувствительности измерителей ИНС,
•	погрешности измерителей ИНС и приборов, обеспечивающих стабилизацию осей чувствительности измерителен ИНС в инерциальном пространстве.
Погрешности первых двух видов относятся к категории методических погрешностей, а остальные - к категории инструментальных погрешностей. Полная оценка влияния этих погрешностей на точность решения навигационной задачи осуществляется методами статистического моделирования с использованием реальных алгоритмов интегрирования основного уравнения инерциальной навигации.
2.1.5.	Свойство неустойчивости основного уравнения инерциальной навигации
Характерной особенностью самого принципа инерциальной навигации является то, что малость перечисленных выше погрешностей не гарантирует высокую точность решения навигационной задачи. Причина этого заключается в неустойчивости основного уравнения инерциальной навигации, вследствие чего при интегрировании этого уравнения происходит усиление влияния этих по!решностен на точность решения навигационной задачи с коэффициентом усиления, возрастающим с течением времени по экспоненциальному закону. В результате погрешности решения навигационной задачи за относительно короткий промежуток времени могут достичь недопустимо больших значений.
Проверим факт неустойчивости основного уравнения инерциальной навигации по отношению к погрешностям задания начальных условий, исключив пока из рассмотрения другие упомянутые выше погрешности.
176
В данном случае проверяемое нами свойство неустойчивости полностью соответствует классическим определениям А.М. Ляпунова свойств устойчивости и неустойчивости систем обыкновенных дифференциальных уравнений по начальным условиям. Поскольку уравнение (2.23) нелинейно, воспользуемся известным способом анализа устойчивости нелинейных дифференциальных уравнений, предусматривающим переход от исходной системы нелинейных уравнений к линейным уравнениям в вариациях.
Для получения интересующего нас вывода достаточно воспользоваться моделью центрального гравитационного поля Земли. В этом случае уравнение (2.23) в проекциях на оси абсолютной геоцентрической системы координат записывается в виде следующей системы уравнений:
х г3
У -
Z = W- ^z,
’ г3
(2.27)
где т:0 - постоянная притяжения. Полагая далее, что кажущиеся ускорения измеряются без погрешностей, запишем дифференциальные уравнения для отклонений 6x,6y,6z от номинального (невозмущенного) решения системы (2.27), соответствующего нулевым погрешностям задания начальных условий движения. Линеаризовав правые части уравнений (2.27) в окрестности номинального решения, получим следующую систему дифференциальных уравнений (2.28) в вариациях:
1д, _	- 3xblx * t
Г5	Г3	Т3
.... Злоух л0(г2 - Зу2) Злоу?
= -------Ьх-----“-----------оу + -------oz,
г3	г3	Г3
.. Зл02х 3ir0zy 710(г2 - 3z2) 6 2 = ------бх * -------бу----------------02.
г3	г5	Г3
Коэффициенты данной системы уравнении переменны, однако их можно "заморозить", приняв следующее допущение. Будем рассматривать
177
решение задачи навигации применительно к баллистическим ракетам, траектории которых лежат в области пространства, размерами которой но сравнению с радиусом Земли можно пренебречь.
В соответствии с этим в данных уравнениях положим: г = 7?ч, у = R3, х = z = 0. Если считать, что высота и протяженность траекторий полета БР на АУТ не превосходят 500 км, то данное допущение вносит погрешность в значения коэффициентов системы (2.28) величиной не более 2%. Для последующего качественного анализа решений уравнений (2.28) такая погрешность вполне допустима. С учетом указанных допущений система уравнений (2.28) примет вид:
+ ы2бх = О, бу - 2 о2 бу = 0, 5/ ч- ш2бг = 0,
(2.29)
где величина ы есть — » 1,2415-10"3 рад/с.
N Д1
Линейные уравнения (2.29) с постоянными коэффициентами легко интегрируются. Первое и третье уравнения идентичны и их решения представляют собой гармонические колебания с периодом Т= —;
6x(z) - 6x0cosG)/ ♦ — б Г since/, со 4
8z(/) » 6z0cosq/ + — &V, sin co/.
(2.30)
В данном случае период Т» 84,4 мин и представляет собой известный в теории инерциальных и гироскопических систем период Шулера.
Решение второго уравнения системы (2.29) имеет вид:
I 5Л„



С использованием гиперболических функций его можно выразить следующим образом:
178
бу (О = 6y0chV2wf + —— sh/ZcoL У2о>
(2.31)
Выражения (2.30) и (2.31) показывают, что погрешности решения основного уравнения инерциальной навигации, вызванные погрешностями задания начальных условий движения, имеют существенно различный вид по координатам х и z, т.е. в горизонтальной плоскости, и по координате у, т.е. по высоте полета. Погрешности бх и бг имеют колебательный характер, а погрешность бу с течением времени возрастает. При этом погрешности задания начальных условий движения бу0 и 67^ влияют на погрешность определения высоты полета с коэффициентами усиления = ch >/2ut и к2 = sh возрастающими с течением времени по экспоненциальному закону. Так, при г = 5 мин А, = = 1,14, к2 = 0,55; при t = 30 мин А, = к2 = 11,8; при /=120 мин кх=к2-= 154331.
Погрешность определения вертикальной скорости описывается выражением, получаемым дифференцированием зависимости (2.31):
bVy = J2ci6yoshj2tot + б Vy<chj2<i>t.
(2.32)
Отсюда видно, что погрешности задания начальных условий движения влияют на погрешность определения вертикальной скорости с теми же коэффициентами усиления.
Проанализируем влияние погрешностей измерений на погрешности решения основного уравнения инерциальной навигации. При наличии погрешностей измерений 61^, б^ и уравнения (2.29) примут вид:
бх + ы2бх = бЙ^, б/ - 2ш2бу = б
bz + <i>26z = bWz.
(2.33)
Если для простоты предположить, что погрешности измерений постоянны, а погрешности начальных условий отсутствуют, то решения уравнений (2.33) имеют вид:
179
6РЙ бх(/) = -------(1 - COSCO/),
(О2
5 У (О = -^f(ch/2<0/ - 1), 2 со2
(2.34)
6z(r) = ----(1 - COSCO/).
со2
Полученные выражения показывают, что погрешности решения основного уравнения инерциальной навигации, вызванные постоянными погрешностями измерений, имеют характер гармонических колебаний по параметрам движения в горизонтальной плоскости, а по высоте и вертикальной скорости возрастают по экспоненциальному закону. Очевидно, что данный вывод можно было бы получить и не решая уравнений (2.33). Действительно, накопленная к некоторому моменту времени погрешность в определении высоты или вертикальной скорости, вызванная любой причиной (в том числе погрешностями измерений, погрешностями модели гравитационного поля, погрешностями численного интегрирования уравнений инерциальной навигации), действует начиная с этого момента как погрешность в начальных условиях движения, в результате чего в дальнейшем происходит экспоненциальный рост погрешностей решения уравнений навигации по высоте и вертикальной скорости.
Результаты проведенного анализа позволяют сделать вывод о неустойчивости основного уравнения инерциальной навигации по высоте полета. Явление быстрого возрастания погрешностей инерциальной навигации ограничивает допустимое время работы ИНС без коррекции навигационной информации.
Причиной неустойчивости уравнений навигации является структура модели гравитационного поля, наглядно отражаемая градиентной матрицей (П2.28), приведенной в Приложении 2:
180
Данная матрица показывает, что градиент гравитационного ускорения по высоте положителен, тогда как в горизонтальной плоскости градиент отрицателен. Вследствие этого начальная положительная погрешность в определении высоты полета приводит к заниженному расчетному значению гравитационного ускорения и, в силу уравнений навигации, - к завышенному значению вертикальной скорости. На последующих циклах численного интегрирования уравнений навигации эта зависимость сохраняется, что и приводит к монотонному возрастанию погрешностей навигации по высоте.
Данное явление можно устранить, если отказаться от использования модели гравитационного поля, а величину гравитационного ускорения, необходимого для решения уравнений навигации, определять в процессе полета по измеренным значениям элементов градиентной матрицы. Именно эта идея лежит в основе градиентно-гравитационного метода навигации, рассматриваемого ниже.
2.1.6.	Градиентно-гравитационный метод навигации
Рассматриваемый метод навигации представляет собой естественное развитие и усовершенствование классического принципа инерциальной навигации. Данный метод предусматривает проведение измерений не только кажущихся параметров движения объекта навигации, но и элементов градиентной матрицы гравитационного поля, что позволяет определять текущие значения ускорения силы притяжения без использования высокоточной модели
гравитационного поля.
Теоретическую основу градиентно-гравитационного метода навигации образуют уравнения, включающие основное уравнение инерциальной навигации и уравнение для расчета гравитационного ускорения. Рассмотрим вывод данного уравнения.
Напомним.что гравитационное поле Земли, порожденное совокупностью образующих ее масс, неизменно в связанной с Землей системе координат, однако в абсолютном пространстве оно нестационар
Рис. 2.5. Относительная и абсолютная геоцентрические системы координат
181
но вследствие осевого вращения Земли. Далее будут использоваться две системы координат-абсолютная геоцентрическая, которая принимается в качестве основной инерциальной системы координат для решения задачи навигации, и относительная геоцентрическая система координат (см. рис. 2.5). Матрица перехода от относительной к абсолютной геоцентрической системе координат имеет вид (2.35), где - угловая скорость вращения Земли,
cos о,/ 0 sinw,/
а, г
О 1 о -since,/ 0 cosca,/
(2.35)
Далее будем использовать следующие обозначения. Через gr и ga обозначим векторы-столбцы, образованные проекциями вектора гравитационного ускорения на оси относительной и абсолютной систем координат. Аналогичный смысл имеют обозначения гг, га и vr, va, где г -радиус-вектор центра масс объекта навигации и v - его абсолютная скорость. Перечисленные величины связаны между собой соотношениями:
Перейдем к выводу интересующего нас уравнения. Дифференцируя по времени обе части равенства (2.36), получаем:
: . .
at
(2.39)
где точкой обозначена операция локального (поэлементного) дифференцирования матрицы Аа ги вектора-столбцаgr. Исходя из функциональной зависимости gr = gr(rr), производную gr выразим следующим образом:
182
Обратимся далее к равенству (2,37) и продифференцируем локально обе его части:
\	(2.41)
Выражение (2.39) преобразуем с помощью формул (2.36), (2.40) и (2.41) к следующему виду:
+	(2.42)
ui	or?
Градиентная матрица гравитационного поля при переходе от относительной системы координат к абсолютной преобразуется по формуле:
3St . sSr .т
= a’r (L43)
С учетом данной формулы выражение (2.42) принимает вид:
+	(2.44)
Выразим локальную производную через полную производную с помощью известной формулы
<*txr.	(2.45)
Учтем, что полная производная вектора г есть абсолютная скорость объекта навигации v. Проектируя обе части равенства (2.45) на оси абсолютной системы координат, получаем:
V» = 4 *	(2.46)
где Qa - матрица вращений,
183
О 0 <i>3
(2.47)
Матрицу А^т выразим с помощью уравнения Пуассона (см. Приложение 3, формула (ПЗ.ЗО)):
4,г =	<2-48)
Уравнение (2.44) с учетом выражений (2.46) и (2.48) приобретает вид:
dg.	dg
+	(2.49)
Таким образом, вывод уравнения для расчета ускорения силы притяжения завершен. Объединяя это уравнение с основным уравнением инерциальной навигации, получаем общую систему уравнений градиентно-гравитационного метода навигации:
(2.50)
= Q g + ^i(v - n r ). dt i8i dr** * J
В состав начальной информации для решения уравнений (2.50) входят начальные условия движения объекта навигации v,0), г,4 и начальное значение ускорения силы притяжения Земли
Первичная измерительная информация включает результаты измерений компонент вектора кажущегося ускорения и элементов
Эр
градиентной матрицы —-. Поскольку градиентная матрица симмстрич-
на, для ее определения по результатам измерений достаточно найти шесть величин
184
а^и	&и д2и &и
дх2> dyf dz*’ K9V 9Лаг/ (2,51)
Примем также во внимание, что потенциальная функция U удовлетворяет уравнению Лапласа в относительной геоцентрической системе координат,
82П . д2Ц + d2U дхг2 ду2 dz2
(2.52)
Это уравнение, как нетрудно проверить, остается справедливым при любых подобных преобразованиях градиентной матрицы вида:
г« = AJ^A^>	(2-53)
дгг
где А/ г - ортогональная матрица. В частности, уравнение Лапласа справедливо и в абсолютной геоцентрической системе координат:
d2U &U х d2U
9>?	3z2
(2.54)
Таким образом, при определении элементов градиентной матрицы по измерениям достаточно найти пять величин -три ее внедиагональных элемента и два диагональных элемента, после чего третий диагональный элемент может быть найден из уравнения Лапласа.
Для измерения элементов градиентной матрицы могут применяться как специальные измерительные приборы - градиентометры, так и обычные датчики ИНС. Одна из возможных схем измерений на основе блока из 12 ньютонометров рассмотрена ниже в п. 2.2.4.
Практическая реализация градиентно-гравитационного метода навигации сдерживается в настоящее время недостаточной точностью существующих измерителей, которая должна быть повышена не менее, чем на два порядка.
Глава 2.2
СХЕМЫ ПОСТРОЕНИЯ ИНЕРЦИАЛЬНЫХ НАВИГАЦИОННЫХ СИСТЕМ
2.2.1.	Общая характеристика и классификация ИНС
Инерциальные навигационные системы различаются как составом датчиков первичной навигационной информации, так и схемами построения инерциального измерительного блока. Рассмотрим типичные варианты ИНС, применяемых в СУ баллистических ракет и головных частей.
Всю совокупность датчиков первичной информации ИНС разделим на две группы - датчики первичной информации поступательного движения объекта навигации (ДПИ-П) и датчики первичной информации вращательного движения (ДПИ-В). Свяжем с осями чувствительности измерительных приборов, входящих в состав датчиков первичной информации ДПИ-П и ДПИ-В, измерительные базисы, которые будем называть измерительными базисами поступательного и вращательного движения. Начала обоих измерительных базисов перемещаются вместе с объектом навигации в инерциальном пространстве.
Оси измерительного базиса поступательного движения свяжем с осями чувствительности акселерометров, которые в общем случае взаимнонеортогональны и поэтому измерительный базис косоугольный (рис. 2.6).
В зависимости от конструктивно-кинематической схемы инерциального измерительного блока ориентация осей измерительного базиса поступательного движения может сохраняться неизменной в инерциальном пространстве в течение всего времени функционирования ИНС (т.е. в течение
Рис. 2.6. Измерительный базис ДПИ-П
Я всего времени полета БР или
ГЧ) или изменяться вследствие вращательного движения объекта навигации.
В первом случае измерительный базис псевдоинерциа-лен, так как ориентация его
186
осей неизменна в инерциальном пространстве, а начало движется произвольным образом вместе с объектом навигации. ИНС, в которых измерительный базис поступательного движения псевдоинерциален. получили наименование ИНС с физическим моделированием инерциального базиса.
Во втором случае измерительный базис совершает произвольное врашательное движение и неинерциален. Его текущая ориентация относительно основной инерциальной системы координат определяется в процессе решения навигационной задачи. По этой причине подобные ИНС получили наименование ИНС с математическим моделированием инерциального базиса.
В зависимости от вида датчиков ДПИ-П (акселерометры-ньютонометры, однократно или дважды интегрирующие акселерометры) первичной информацией о поступательном движении объекта навигации являются компоненты вектора кажущегося ускорения, а также векторов кажущейся скорости и кажущегося пути:
t	I
Ш ^(0 = s, = i = 1,2,3.	(2.55)
'о	*0
Варианты конструктивного исполнения датчиков ДПИ-П (маятниковые и струнные акселерометры, гироинтеграторы линейных ускорений и др.) подробно рассмотрены в учебной и монографической литературе (см. [7,11 ]) и мы на них не останавливаемся.
Для стабилизации осей чувствительности датчиков ДПИ-П применяются одноосные, двуосные и трехосные гиростабилизаторы, чувствительными элементами в которых служаттрехосные или двуосные гироскопы. На баллистических ракетах наибольшее распространение получили трехосные гиростабилизаторы (ТГС), называемые гиростаби-лизированными платформами (ГСП).
Инерциальные навигационные системы, у которых основным элементом инерциального измерительного блока служит ГСП, получили наименование платформенных. ИНС, в составе которых отсутствует трехосный гиростабилизатор, получили наименование бесплатформен-ных (БИНС). Платформенные ИНС относятся к классу ИНС с физическим моделированием инерциального базиса. Бесплатфориенныс ИНС в зависимости от схемы их построения могут относиться как к классу ИНС с физическим моделированием инерциального базиса, так и классу ИНС с математическим моделированием инерциального базиса.
Рассмотрим возможныевиды информации о вращательном движении объекта навигации. В зависимости от вида датчиков ДПИ-В первичной
187
информацией о вращательном движении являются компоненты векторов углового ускорения и угловой скорости в проекциях на оси измерительного базиса вращательного движения (см, рис. 2.7), а также интегралы от угловой скорости, имеющие смысл угловых величин:
*,(0, wz(0. а,(0 "	I = 1,2,3.	(2.56)
'о
Для измерения угловых ускорений могут применяться либо специальные датчики угловых ускорений негироскопического типа (см. [7]), либо компоненты вектора углового ускорения могут определяться по показаниям нескольких акселерометров-ньютонометров. Компоненты вектора угловой скорости определяются с помощью измерительных приборов, получивших общее наименование датчиков угловых скоростей (ДУС). В качестве ДУС применяются двухстепенные гироскопы различного конструктивного исполнения, а также измерительные приборы, основанные на других принципах построения чувствительного элемента (вибрационный и твердотельный гироскопы, лазерные гироскопы, оптические датчики угловой скорости и др.).
Для измерения угловых величин используются гироскопические интеграторы угловой скорости, трехстепенные гироскопы, а также гироскопические стабилизаторы. Поскольку трехстепенные гироскопы позволяют измерить две независимые угловые величины, для получения полной информации об угловом движении объекта навигации требуются два трехстепенных гироскопа с некомпланарными осями вращения их роторов. Та же информация может быть получена с помощью трех одноосных гиростабилизаторов, двух двухосных гиростабилн-заторов (при этом один измерительный канал является избыточным) либо с помощью одного трехосного гиростабилизатора.
Рассмотрим классификацию ИНС по способу начальной (предстартовой) выставки осей чувствительности измерителей. Задачу начальной вы
Рнс. 2.7. Измерительный базис ДПИ-В
188
ставки осей чувствительности измерителей ИНС принято называть задачей начальной выставки ИНС. Решение дайной задачи представляет собой важный этап подготовки ИНС к работе, а информация об ориентации осей чувствительности измерителей является составной частью начальной информации, необходимой для решения навигационной задачи.
По способу начальной выставки ИНС можно разделить на три вида: ИНС с физической выставкой, ИНС с аналитической выставкой и ИНС с комбинированным способом выставки.
Способ физической выставки предусматривает непосредственную выставку осей чувствительности измерителей ИНС перед началом движения объекта навигации в требуемое положение. На баллистических ракетах с ИНС платформенного типа эта задача решается путем горизонтирования ГСП перпендикулярно направлению отвеса в точке старта и разворота ее в заданное азимутальное направление пуска БР по информации от системы прицеливания. При этом акселерометры с переменной ориентацией осей чувствительности выставляются в требуемое положение относительно платформы.
Способ аналитической выставки не требует физической выставки измерителей (исключая акскелеромстры с переменной ориентацией осей чувствительности) и заключается в определении начальной ориентации всего инерциального измерительного блока относительно исходных базовых направлений, ориентация которых известна с высокой точностью. Способ аналитической выставки особенно актуален для бесплатформенных ИНС, у которых физическая выставка инерциального измерительного блока затруднена и нерациональна по конструктивнотехнологическим соображениям.
Комбинированный способ выставки содержит элементы обоих рассмотренных выше способов выставки - физической и аналитической. Например, в платформенных ИНС может быть осуществлено предстартовое горизонтирование ГСП без последующего азимутального разворота в плоскость пуска БР. При этом фактическая азимутальная ориентация ГСП измеряется с помощью средств системы прицеливания и эти данные используются затем в алгоритмах решения навигационной задачи. Такой комбинированный способ выставки эквивалентен по точности способу физической выставки, однако обладает тем преимуществом, что в случае поступления целеуказаний непосредственно перед пуском ракеты сокращает время подготовки системы управления к пуску за счет исключения операции азимутального разворота ГСП.
2.2.2.	Платформенные ИНС
В настоящее время преимущественное применение в системах управления баллистических ракет получили ИНС платформенного типа. Основным элементом инерциального измерительного блока платформен
189
ной ИНС служит гиростабилиэированная платформа, чем и определяются главные достоинства ИНС платформенного типа. К числу этих достоинств относятся:
•	простота алгоритмов решения навигационной задачи при физическом моделировании инерциального базиса;
•возможность реализации методов наведения и стабилизации ракет как в действительных параметрах движения, определяемых в результате решения навигационной задачи, так и в кажущихся параметрах без решения навигационной задачи;
•	высокая точность получения первичной навигационной информации от акселерометров, размещенных на стабилизированной платформе;
•	относительная простота и высокая точность начальной выставки измерителей ИНС;
•	возможность реализации способов автономной начальной выставки ИНС без применения сложных систем прицеливания;
•	относительная простота предстартовых калибровок измерителей ИНС по информации о величине ускорения силы тяжести в точке старта.
Наибольшее распространение имеют в настоящее время платформенные ИНС с ГСП карданного (рамочного) типа. Как известно, в зависимости от взаимного расположения элементов карданова подвеса и платформы ГСП подразделяются на два вида - с наружным и внутренним подвесом. В существующих ГСП преимущественное применение нашла схема с наружным подвесом.
На рис. 2.8 показана схема трехосной гиростабилизированной платформы (изображена в виде сферы). Через Ха, Yn, Zn обозначены оси платформенной системы координат. Соединение ГСП с объектом навигации осуществляется через ось наружной рамы карданова подвеса (ось Н). Оси внутренней и промежуточной рам подвеса обозначены на рис. 2.8 как ось В и ось П. На каждой оси подвеса установлены датчики углов поворота элементов подвеса (датчики команд ДК( 2 3) и двигатели стабилизации (ДС! 21з). Система стабилизации ГСП' содержит три однотипных канала’ чувствительными элементами которых являются двухстепенные гироскопы Г(, Г,, Г3. Сигналы с датчиков углов прецессии гироскопов через усилители обратной связи (на рисунке не показаны) подаются на двигатели стабилизации, чем обеспечивается поддержание заданной пространственной ориентации ГСП. На стабилизированной платформе устанавливаются три измерителя кажущегося ускорения, в данном случае - маятниковые акселерометры. На рис. 2.8 показаны два акселерометра/^ нАг, оси чувствительности которых параллельны осям
и ^п-
Совокупность трехосного гиростабилизатора с установленными на нем гироскопами, акселерометрами и другими чувствительными
190
Рис. 2.8. Схема трехосной гаростабилизнрованной платформы
элементами, а на осях подвеса-датчиками углов поворота рам подвеса, называется инерциальным измерительным блоком платформенной ИНС. Первичной навигационной информацией, регистрируемой на выходе инерциального измерительного блока, являются в данном случае компоненты вектора кажущегося ускорения объекта навигации
и углы поворота ГСП в осях подвеса 0ПЛ, фпл, упл.
Типичные схемы размещения акселерометров на ГСП показаны на рис. 2.9. На рис. 2.9, а показана простейшая схема размещения акселерометров, осн чувствительности которых образуют ортогональный измерительный базис. На рис. 2.9, б показана схема, в которой оси чувствительности двух акселерометров ориентируются под углами Л и ц к плоскости стартового горизонта и лежатв плоскости пуска. Значения углов Лир зависят от условий пуска, главным образом от дальности стрельбы, и определяются соотношениями, рассмотренными в гл. 3.4, На
191
Рис. 2.9. Схемы размещения акселерометров на ГСП
рис. 2.9, в показана схема, где используются только два акселерометра. В данной схеме ось чувствительности одного акселерометра перпендикулярна плоскости пуска, а ось чувствительности второго акселерометра находится в плоскости пуска и образует угол Р(/) с плоскостью стартового горизонта. Данный угол установки может изменяться в процессе полета по программе, вид которой рассмотрен в гл. 3.4.
На рис. 2.10 показан общий случай размещения акселерометров, оси чувствительности которых образуют косоугольный измерительный базис. Ориентация осей чувствительности характеризуется углами и Р,-. Значения этих углов определяются для заданных условий пуска методами статического моделирования работы ИНС и являются оптимальными по критерию минимальности рассеивания боевых
Рис. 2.10. Углы ориентации акселерометров на ГСП
блоков БР.
Гиростабилизированная платформа, выполняя функцию стабилизации осей чувствительности измерителей параметров поступательного движения, является наряду с этим прецизионным углоизмерительным прибором, с помощью которого определяются параметры угловой ориентации объекта навигации. Измеряемыми величинами являются в данном случае углы поворота рамок ГСП в осях ее подвеса. При произвольных угловых эволюциях объекта навигации измерительный базис трехосной ГСП неортогонален, а при достижении критических
192
угловых положений, соответствующих явлению складывания рамок, базис вырождается. Это обстоятельство затрудняет применение трехосных ГСП на объектах с большим диапазоном изменения параметров ориентации, как, например, на ступенях разведения элементов боевого оснащения БР.
Для исключения данного недостатка применяются четырехосные ГСП, имеющие дополнительную рамку карданова подвеса, однако более эффективным техническим решением являются бескарданные сферические ГСП. Примером бескарданной ГСП является гиростабилизированная платформа плавающего типа АИГС, использованная в навигационном комплексе ракеты ’MX".
Преимуществами бескарданных ГСП является отсутствие эффекта складывания рамок, возможность осуществления аналитической выставки измерителей и автономного прицеливания ИНС, упрощение процедуры калибровок измерителей, лучшие массово-габаритные характеристики.
Измерительный базис вращательного движения бескарданных ГСП всегда ортогонален, что является дополнительным фактором, упрощающим решение навигационной задачи.
2.2.3.	Бесплатформенкые ИНС
В зависимости от конструктивно-кинематической схемы инерциального измерительного блока бесплатформенные ИНС подразделяются на БИНС с физическим и математическим моделированием инерциального базиса. Примером БИНС первого типа может служить инерциальный измерительный блок, в составе которого имеются три двухосных гиростабилизатора с размещенными на них тремя акселерометрами. Поскольку двухосный стабилизатор обеспечивает стабилизацию оси чувствительности установленного на нем акселерометра по двум углам, то оси трех таких акселерометров материализуют инерциальный измерительный базис, что и служит основанием отнести рассматриваемый вариант инерциального измерительного блока к типу БИНС с физическим моделированием инерциального базиса.
В целом БИНС с физическим моделированием инерциального базиса не обладают сколько-нибудь существенными преимуществами перед ИНС, имеющими в своем составе ГСП. Поэтому основное внимание в настоящее время уделяется разработке БИНС с математическим моделированием инерциального базиса.
Главные преимущества БИНС перед ИНС платформенного типа заключаются в возможности существенно уменьшить массу и габариты инерциального измерительного блока, повысить его стойкость к
7 - 7674
193
механическим нагрузкам. Эти качества БИНС особенно важны для построения систем управления перспективными малогабаритными маневрирующими блоками БР. где требуемый уровень перегрузок при совершении маневров уклонения от средств перехвата достигает 200-250 ед.
Область применения БИНС нс ограничивается объектами ракетно-космической техники и непрерывно расширяется. В настоящее время инерциальные навигационные системы, построенные по бесплатфор-ценному принципу, применяются в авиации, на морских судах и подводных лодках, в навигационных комплексах наземных транспортных средств, в различных видах малогабаритного управляемого оружия. При этом проблемными вопросами практического применения БИНС являются вопросы аналитической выставки и прицеливания, предстартовых калибровок измерителей, защиты БИНС от вибрационных нагрузок и др. Актуальными остаются вопросы разработки эффективных алгоритмов решения навигационной задачи в БИНС.
Рассмотрим схемы построения БИНС с математическим моделированием инерциального базиса. В данном случае измерители БИНСсжестко фиксированными осями чувствительности объединяются в единый инерциальный измерительный блок, который размещается неподвижно в корпусе объекта навигации. Таким образом, оси чувствительности вращаются в инерциальном пространстве вместе с объектом навигации, вследствие чего измерительный базис неинерциален.
По составу датчиков первичной измерительной информации БИНС подразделяются на три вида:
•	инерциально-гироскопические;
•	чисто гироскопические;
•	чисто инерциальные.
В инерциально-гироскопических БИНС в качестве датчиков первичной измерительной информации поступательного движения (ДПИ-П) используются инерциальные измерители - пыотонометры. однократно и дважды интегрирующие акселерометры. В качестве датчиков первичной измерительной информации вращательного движения (ДПИ-В) используются датчики угловых скоростей или одноосные гиростабилизаторы. Измерительные базисы поступательного и вращательного движения выбираются обычно ортогональными. Будем для простоты считать их совпадающими с осями связанной с объектом системы координат (рис. 2.11).
При построении инерциального измерительного блока на основе трех ньютонометров и трех датчиков угловых скоростей первичная измерительная информация включает три проекции вектора кажущегося
194
ускорения на оси связанной системы координат и три проекции вектора угловой скорости на те же оси:
%. %. <%•	(2-57)
Для решения навигационной задачи необходимо осуществлять совместное интегрирование основного уравнения инерциальной навигации с известными начальными условиями v0, г0 и кинематических уравнений вращательного движения (см. Приложение 3) с соответствующими начальными условиями, определяющими начальную ориентацию объекта навигации.
При построении инерциального измерительного блока на основе ньютонометров и одноосных гиростабилизаторов первичная информация включает проекции вектора кажущегося ускорения и интегралы от проекций вектора угловой скорости на оси измерительного базиса;
, и;,
*1	>1	*1
'	*	‘	(2.58)
«! = f “2 = /Ч/т’ аз = [
<0	{й	Ь
В данной схеме измерений угловые величины а,- не позволяют непосредственно определить текущую ориентацию объекта навигации, так как не обеспечивают привязку к инерциальному базису. Для осуществления такой привязки следует путем дифференцирования сигналов а(- определять компоненты вектора угловой скорости и решать
Гис. 2.11. Измерительный базис БИНС
кинематические уравнения вращательного движения с соответствующими начальными условиями.
В чисто гироскопических БИНС в качестве датчиков ДПИ-П используются гироскопические интеграторы ускорений, а в качестве датчиков ДПИ-В - датчики угловой скорости или одноосные гиростабилизаторы. Состав первичной измерительной информации в этом случае отличается от (2.57) и (2.58) только тем, что вместо проекций вектора кажущегося ускорения первичной информа
195
цией о поступательном движении объекта навигации служат проекции вектора кажущейся скорости на оси измерительного базиса.
В чисто инерциальных БИНС в качестве датчиков ДПИ-П и ДПИ-В используются измерители инерциального типа. Инерциальный измерительный блок такой БИНС может включать три ньютонометра и три датчика угловых ускорений. Состав первичной измерительной информации имеет вид:
*i* >t ч xi >i 2i
При решении навигационной задачи интегрирование кинематических уравнений вращательного движения должно сопровождаться интегрированием угловых ускорений с целью определения компонент вектора угловой скорости.
2.2.4. Схема БИНС акселерометрического типа
Проанализируем еще одну схему измерений, реализующую вариант чисто инерциальной БИНС и основанную на применении только акселерометров-ньютонометров. Данная схема измерений, рассмотренная в монографии [1], представляет интерес как возможность получения всей информации о вращательно-поступательном движении объекта навигации чисто инерциальными методами без применения гироскопических приборов. Наряду с этим в рамках данной схемы измерений могут определяться также элементы градиентной матрицы гравитационного поля. Таким образом, данный вариант БИНС может быть применен для практической реализации градиентно-гравитационного метода навигации.
Как станет ясно из последующего изложения, вся первичная информация, необходимая для определения вращательно-поступательного движения объекта навигации и элементов градиентной матрицы, может быть получена с помощью показаний 12 акселерометров. Схема размещения акселерометров относительно осей связанной системы координат приведена на рис. 2.12. Согласно этой схеме, акселерометры объединены в четырегруппы. Чувствительные элементы акселерометров каждой группы находятся в точках <?,, О2, О3, О4, расстояния между которыми вдоль координатных осей одинаковы и равны rfj. Осн чувствительности акселерометров ориентированы по координатным осям и их направления показаны на рис. 2.12 стрелками.
196
Расстояние между первой группой акселерометров и центром масс бъекта обозначим d0. Таким образом, векторы р{, характеризующие сложения чувствительных элементов акселерометров, имеют следующий ид:
Pi = {^o’O’Q}’ Pi = т ’ О’ > Рз =	® * P4=^o»0>^j^’ (2.60)
Перейдем к записи уравнений связи измеряемых параметров с араметрами движения объекта навигации. Воспользуемся уравнением измерений акселерометра (2.21). Под измеряемым параметром будем понимать не величину смещения чувствительного элемента 6, а произве-
’ис. 2.12. Измерительный блок БИНС с 12 жсслсромстрами
Л. _
дение а—. Эти величины в т
соответствии с выбранной ориентацией осей чувствительности акселерометров обозначим п‘, п‘, п‘, i = 1,2,3,4, где I - номер группы акселерометров.
Для вычисления проекций векторных произведений ы х р( и w х (о х р,) на оси чувствительности акселерометров
найдем предварительно проекции этих величин на оси связанной системы <оордннат. С этой целью воспользуемся известным правилом представления векторных произведений с помощью определителей:
(2-61)
=	~ “г.Ри.) + fc(%P^r%Pte1)>
гДе /,у, к-орты координатных осей.
Двойное векторное произведение ы х (ы х р() может быть выражено аналогичным образом путем повторного применения указанного правила:
197
<0Х ((ОХ Р/) =j[wj,i(QXiP/>. - Q>tptei)	ЛМ -
" J [“г, <<% Р(у, -	Р/х,) “ “г, Ч, Pfr, " <% % В +	(2.(
<-*К,(<%рЬ1 -ЧА.)" “Л.%
Для записи проекций вектора на оси чувствительное акселерометров введем следующие обозначения для элементов градие тной матрицы в проекциях на оси связанной системы координат:
Г<‘) „ х J	дги	8ги	дги Зх/ 5х19^ 9*i3zi д2и	в2 и	д2и dytdxi	Зу(2	5-’'19г| д2и	д2и	д2и dzidxl дг}ду} дг2	(2.6.
Исходя из принятой схемы размещения измерителей, а также учитыва выражения (2.60)-(2.63), запишем следующие уравнения связи измеряс мых параметров с параметрами вращательно-поступательного дви жения объекта навигации:
1	тir	J 2	2 1 З2 V ,
Ж1	Х1 °\ >1	*1 /	□	2 °
и
= -(К - tfnd> - (/«со ш + - ——dn'. ?!	"у, н0шг| и0~х1и>| aXjSy’j °
(2.64,
и? = - Wz + d06„ - cLv. ьг + X]	Г, о ?! о *| Х|
а2и , -----«о-3^32, 0
198
< =	* (d0 +	+ <) + ~(4> * dy,
dXj
\	- Ч * <№{ - (do - d^ % + -^- (d0 + </,);	(2.65)
= -*,/ (V - « * №,,<•',' — V,* 4). OXj vZj
nJ = -W + d^z - d,u>x or <• djc? + £ ) + — d0 + -^-d,;
x' *	1 ’	1 *' *	°\ * l'l Эх2 0 дх[ду] 1
«>•, = -	- d0% - do<\<*>,.+	“>)	: (2.66)
nz=-Wr, ~d.w -+ d0Gi -d0Q, ы -d.to w + - -	d0 + —  di.
’•	’ 1 *• 0/1 0 *	1 * *' a^,azj ° ay,^, 1
nJ = - Ik - d.u + dQ[(^ + (0* ) - d.Qx qz + — dQ +	;
*!	*! I /I 01 * M 1 X! Z, 2 о 3X|5Z| P
4	.i.	. .	, .	,	j	cP'U j d*U , .
nv =-U\ + a. u>„ - anw, - aou_ gi - d^,, ш, +----a0 +----a.;
*	* 1 * 0 ’ 0 x> y* 0 * *• a^ajj ° dytd2, 1
(2.67)
n.4 = - Ik + dow * dJ<0x + G)* )- d0co w + S ^-d0 +	•
•I	0 >, Ц *1	0 Xl Z, gXid^ 0	d22 I
Получена система из 12 алгебраических уравнений, путем решения которой может быть найдена интересующая нас первичная измерительная информация - компоненты вектора кажущегося ускорения, параметры вращательного движения объекта навигации, а также, при необходимости, элементы градиентной матрицы. Преобразуем эти Уравнения к более удобному виду. Прежде всего исключим из уравнений (2.65)-(2.67) компоненты вектора кажущегося ускорения Ik^, Ik^, lk2]
199
путем почленного вычитания из них соответствующих уравнений (2.64). Введем следующие обозначения для разностей показаний акселерометров, ориентированных вдоль одноименных осей:
*	„ f	_	„ Н I	:	_	I i	i	I	_	и !	_	О O n
Л- “	пг	-	пг , пи	-	пи	-	М„ ,	И,	“И.	-	п.	11 =	2, .5,4).
*1	*1	*1 /|	/1	>1	Ч	г1	ъ	v	7
В результате вместо уравнений (2.65) - (2.67) будем иметь равносильные им уравнения:
/
Л 12 = J. G)2 +
*1 "I
(2.68)
/
И13 = d. d>, xl 1 ll
\
О, Ш, *1 /1
d2t/[.
(2.69)
I* J
л„ = a. -<ou - o>_ <o, *i 1	*i г1
d*u ' + ----
(2.70)
200
Разрешим полученную систему из девяти уравнений относительно |ичин	, <4, и*,	, о q , о w . Кроме того, с
нощью зависимостей (2.66) выразим из уравнений (2.64) компоненты :тора кажущегося ускорения. В результате получаем следующую :тему из 12 уравнений;
= ^ 2 _ Vi I
Х' d, *' d. '

1 2rf,
(2.72)

w2
«4 = — k’3
11	2d,' x‘
I I 12 _ „13 ---- -zi_ 1- n„ 2rf, ' x‘ *
, ?U.
% I - 2 ’ dx.
(O2
12
'* Zlj ay,2’
(2.73)
201
W» «, *1 J'l
— К’ *
2d, \ х‘ *
S2U dz, ‘
1
2d,
j:| + Ju • эх,а>’,’
ш w = —— |-их14
* 11	2d,\ х>
о1 U dx,Sz
(2.74)

дги
Л-
1 I н 131 -----л., - п, 2d, \ >' г' ' dy,dz,
Для удобства анализа данные уравнения разбиты на четыре подсистемы в соответствии с видом получаемой первичной измерительной информации, содержащейся в левых частях этих уравнений.
Рассмотрим сначала уравнения (2.71) и (2.72). Эти уравнения показывают, что с помощью рассматриваемой совокупности акселерометров может быть получена первичная информация о векторе кажущегося ускорения центра масс объекта навигации и о векторе его углового ускорения. Нетрудно видеть, что этой информации достаточно дли полного решения навигационной задачи по определению параметров вр>ащательно-поступательного движения объекта навигации. Действительно, на основе данных о векторе кажущегося ускорения путем решения основного уравнения инерциальной навигации (при использовании модели гравитационного поля и знании начальных условий движения) могут быть определены действительные параметры поступательного движения объекта - координаты и составляющие вектора скорости. Параллельным интегрированием с соответствующими начальными условиями угловых ускорений может быть определен вектор угловой скюрости объекта:
= М'о) +
1
20)2
<>,,(') =	(0 * 2^ f (-< *	;	(2.75)
?5
^W1 J *0
Рассчитываемые по этим зависимостям компоненты вектора угловой copocni должны быть использованы для одновременного интегрирована кинематических уравнении вращательного движения (например, инематических уравнений Эйлера для угловых величин), что позволяет пределить параметры ориентации объекта и полностью решить ассматриваемую навигационную задачу.
Как видно из уравнений (2.71), для получения информации о ажущемся ускорении используются показания тести акселерометров. 1ми являются акселерометры первой и второй группы. Из уравнений 1.72) следует, что для получения информации об угловом ускорении ребуются показания девяти акселерометров. В это число входят кселерометры первой группы, а также по два акселерометра из стальных групп (именно, акселерометры л?’, п*, п^, л?, п^, л^). В целом ля решения задачи навигации требуются показания десяти акселеромет-юв, так как к девяти предыдущим добавляется акселерометр пх. Таким >бразом, в данном случае акселерометры и п* являются лишними.
Примечательной и весьма полезной особенностью уравнений (2.71) I (2.72) является то, что они не зависят от элементов градиентной <азрицы. Это обстоятельство упрощает алгоритм решения навнгацион-юй задачи. Кроме того, данные уравнения показывают, что в качестве пмерителей в рассматриваемой задаче могут быть использованы не олько акселерометры-ньютонометры, но также интегрирующие жселсромегры-пмпульсометры. Структура правых частей уравнений .2.71) и (2.72) остается в этом случае без изменений, при этом по '•оказаниям нмпульсометров будут непосредственно определяться .‘оставляющие векторов кажущейся скорости и угловой скорости объекта навигации.
Обратимся к уравнениям (2.73) и (2.74). В зависимости от особенностей решаемой навигационной задачи эти уравнения могут быть применены по-разному. В том случае, когда элементы градиентной матрицы, присутствующие в правых частях этих уравнений, определяются при решении навигационной задачи расчетным путем по модели
203
гравитационного поля (или этими величинами ввиду их малости пренебрегают), данные уравнения могут быть использованы в алгоритме решения навигационной задачи в сочетании с уравнениями (2.72). Достоинством этих уравнений по сравнению с уравнениями (2.72) является то, что с их помощью удается получить информацию непосредственно об угловой скорости. Однако ввиду того, что компоненты вектора угловой скорости определяются по уравнениям (2.73) и (2.74) лишь с точностью до знака, полностью заменить уравнения (2.72) они не могут. Тем не менее, возможно применение комбинаций из этих уравнений. Например, одну из таких комбинаций образуют первое уравнение из (2.72) и два первых уравнения из (2.74). Путем интегрирования углового ускорения <ЬЛ| будет определена компонента угловой скорости после чего две другие компоненты <эУ| и могут быть найдены непосредственно из уравнений (2.74). Возможны и другие эквивалентные комбинации. Легко видеть, что во всех подобных вариантах используются показания той же совокупности из десяти акселерометров. Однако применение импульсометров в этой схеме решения навигационной задачи оказывается уже невозможным.
В заключение рассмотрим наиболее общий вариант навигационной задачи, когда элементы градиентной матрицы определяются по измерениям наряду с параметрами движения объекта навигации. Это позволяет реализовать градиентно-гравитационный метод навигации. В данном случае для получения первичной навигационной информации необходимы показания всех 12 акселерометров и используются все 12 уравнений (2.71) - (2.74). Элементы градиентной матрицы находятся из уравнений (2.73) и (2.74):
д2и
а2
1	-и12
2d, I *'
I

,2	1 /12 . „13	„14
о, ------1п„ + п„ - п.
1	2d ' 1	Г|
а2 и дх1ду1
[< ♦ <);
=	ь>„
Х1 /1
(2.76)
204
д2и dxldzl
ov co.
+ n
121
*i Г
d2U dyidzl
co co
>1 Л
1 114
2rf]' y'
+ n

Компоненты вектора угловой скорости, присутствующие в правых зстях уравнений (2.76), определяются путем интегрирования уравнений 1.72).
Заметим, что в соответствии с выражением (2.76), элементы градиен-ной матрицы находятся по результатам измерений в связанной системе оординат, а в уравнениях градиентно-гравитационного метода авигации (2.50) эти величины должны быть известны в абсолютной гоцентрическойсистемекоординат.Для пересчета измеренных значений пементов градиентной матрицы в абсолютную геоцентрическую систему оординат достаточно воспользоваться формулой
(2-77)
де Аа |-матрица перехода от связанной системы координат к абсо-:ютнои геоцентрической. Данная матрица находится по текущим качениям параметров ориентации объекта навигации, которые шределяются в процессе решения навигационной задачи.
Уравнение Лапласа, справедливое в любой прямоугольной системе юордннат, может быть учтено в алгоритме решения навигационной адачи в качестве дополнительного условия связи, которому должны 'довлетворять определяемые по результатам измерений диагональные 'лементы градиентной матрицы.
Глава 2.3
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ НАВИГАЦИИ В ПЛАТФОРМЕННЫХ ИНЕРЦИАЛЬНЫХ НАВИГАЦИОННЫХ СИСТЕМАХ
2.3.1.	Схемы интегрирования основного уравнения инерциальной навигации
Решение навигационной задачи заключается в определении параметров движения центра масс и ориентации ЛА относительно инерциальной (базовой) системы координат. В процессе решения используется навигационная информация, которая различается на первичную, исходную и начальную (см. п. 2.1.4).
Реализация решения навигационной задачи при определении параметров движения центра масс ЛА связана с операциями не над векторными, а над скалярными величинами. В связи с этим для формирования навигационного алгоритма следует осуществить замену основного уравнения инерциальной навигации на систему скалярных уравнений. При этом необходимо учитывать ориентацию осей чувствительности акселерометров и преобразование первичной информации в инерциальную систему координат.
Уравнение инерциальной навигации (2.23) запишем в виде
= ^(0 - g[r(t), Г],
at	(2.78)
dl
Необходимые для управления ЛА скорость Г (г) и вектор положения центра масс г(г) определяются интегрированием уравнений (2.78):
Й(0 = Йо + [{и>(/) glFO),
(2.79)
206
г (О = rQ + у V(t)dt.	(2.80)
«о
Особенность алгоритма интегрирования уравнений инерциальной пвигации заключается в том, что искомые навигационные параметры Й(г) с г(:) определяются в инерциальной системе координат (например, в юсолютной геоцентрической системе), а модель гравитационного поля, «пользуемая для расчета вектора гравитационного ускорения, задается з относительной геоцентрической системе координат. В связи с этим в соде интегрирования уравнения (2.78) по текущим координатам ЛА в абсолютной системе координат необходимо находить относительные координаты ЛА, по которым может быть рассчитано гравитационное ускорение в относительной системе координат, которое затем необходимо пересчитать в абсолютную геоцентрическую систему координат.
Данные преобразования удобно выразить в матричной форме. С этой целью далее под г и g будем понимать вектор-столбцы, образование проекциями данных векторов на оси абсолютной геоцентрической системы координат, а через р и gr обозначим вектор-столбцы, образованные проекциями тех же векторов на оси относительной системы координат. Введенныевектор-столбцы связаны следующими матричными равенствами:
8 = </')•£,(₽).	(2.81)
Р =	(2.82)
Здесь через 4а f(r) обозначена матрица перехода от относительной кабсолютной геоцентрической системе координат (см. выражение (2,35)). Заметим,что ввиду ортогональности матрицы Да /г) обратная матрица 4,"(г) может быть выражена как транспонированная матрица 4,’,(г).
Блок-схема алгоритма решения задачи инерциальной навигации имеет вид, приведенный на рис. 2.13. Контур обратной связи в данной схеме реализует алгоритм расчета гравитационного ускорения в абсолютной геоцентрической системе координат.
Для интегрирования уравнений (2.79), (2.80) необходимо принять конкретную модель потенциала поля тяготения. Использование той или иной модели гравитационного поля зависит от необходимой точности решения иавигациоппойзадачи. Рассмотрим типпчпыссхемы ингегриро-
207
Рис. 2.13. Блок-схема алгоритма решения уравнений навигации
вания основного навигационного уравнения в зависимости от принятой модели гравитационного поля.
В баллистике и в алгоритмах управления движением БР широкое распространение получила модель так называемого нормального гравитационного поля Земли, учитывающая три первых члена разложения геопотенциала в ряд по сферическим функциям (см. [15]):
g	= —	- — —(5sin2<p	- 1) + 5—| —sin4q>	- — sin2<?	+ — j	,
' r2 2 r4	rA 8	8	8/
gu = 3^sin<p - ^sin2<p - I sinep,	(2.83)
r4 r° \	4 )
у/
Ф = arccos-^, r =	* УД + Z^,
где g,, gu - составляющие вектора g вдоль радиуса-вектора положения центра масс ЛА и угловой скорости вращения Земли, Ьо, Ь-,, Ь4 -геопостоянные.
Модель нормального гравитационного поля Земли не зависит от географической долготы и обладает симметрией относительной оси вращения Земли. Вследствие этого ускорение силы притяжения может рассчитываться по координатам ЛА в абсолютной геоцентрической системе координат:
(2.84)
208
Отличия реального гравитационного поля Земли от модели рмального гравитационного поля (2.83) называются аномалиями авнгацнонного поля. В баллистике ракет поле аномалий принято датировать полем притяжения, создаваемым системой точечных масс, определенных определенным образом в теле Земли. В зависимости от ебуемой точности решения навигационной задачи при управлении летом ракет для моделирования поля аномалий применяются системы, !разованные большим числом точечных масс (до нескольких сотен).
Учет влияния точечных масс в алгоритме решения навигационной дачи осуществляется путем коррекции выражений для составляющих кторагравитационного ускорения с помощью следующих зависимостей м. [6]):
”	- X,) у0 3^гаХ
м Р13	г3 г-’
-^.(^-Г,.)	Ко	3Ynx
й
* MT,(Zn ~	Zo	3Zv
V **	» u га.*
»	i	e
(2.85)
ic Л/Т(, Xj, Ylt Zt - i-я точечная масса и ее координаты в системе 'rA7arraZra; Pi = ^„-аГ,)г + (Г„-y,)2+(Z„-Z(V ~ расстояние между Л	л
ентром масс ЛА и (-Й точечной массой: А"о=-У Af Ха Y0=-VAfY-i-i 1	‘
x=z„yo+y„yo+z„z0. f«(
Первое слагаемое зависимости (2.85) учитывает влиянием! точечной |ассы как локального центра притяжения на ускорение земного яготения, действующего на ЛА; второе и третье - совместное влияние равитационного поля Земли и точечных масс. Значения координат Xt, Z; точечных масс Л/т, а также величин Л'о, Уо. Zc не зависят от раектории полета и записываются в ПЗУ БЦВМ.
Алгоритм вычисления вектора g(г), учитывающий влияние точечных iacc. имеет вид:
209
(2.86)
Таким образом, схемы интегрирования уравнения инерциальной навигации ЛА в платформенных ИНС с физическим моделированием инерциального базиса в зависимости от принятой модели поля гравитации отличаются составом и структурой алгоритмов, обеспечивающих расчет вектора ускорения силы притяжения в системе координат, в которой задано поле гравитации, и преобразование вычисленного вектора в абсолютную геоцен грическую систему координат. Независимо от модели поля гравитации определение навигационных параметров Й(/) и F(f) состоит в выполнении операций первого и второго интегрирования уравнения навигации при наличии первичной информации о кажущемся
ускорении W(i) и начальных условиях Йо и Го.
Вычисленные значения навигационных параметров Й(г) и г(г) в абсолютной геоцентрической системе координат пересчитываются в стартовую систему координат, моделируемую на объекте управления осями ГСП.
Определение ориентации ракеты в инерциальной системы координат осуществляется путем расчета углов тангажа, рыскания и вращения с использованием алгоритмов предварительной обработки информации и первичной информации с датчиков углов в осях карданова подвеса ГСП.
2.3.2.	Алгоритм интегрирования основного уравнения навигации
В процессе решения основного уравнения навигации определяются действительные параметры движения Й(:) и r(t), учитывающие влияние изменения ускорения силы притяжения на движение ракеты.
Для шагового процесса определения действительной скорости Й(0 уравнение (2.79) может быть представлено в виде
V[kTa] - Й[(к - 1)TJ + ДИ'[кГи] + bVg[kTs], (2.87) где ДВф;Тм] - приращение кажущейся скорости ракеты за период дискретности Г(:
210
ДВф:Гя] = F^TJ - W - 1)rj;	(2.88)
Й [fcrj - приращение скорости ракеты из-за действия ускорения силы 1итяжения за период дискретности Тн:
к Г,
{ gdt.	(2.89)
(fc-l)T„
Из уравнения (2.87) следует, что основной проблемой определения щигационных параметров является вычисление ускорения силы гнтяжения g н величины приращения скорости ракеты д FjfcTJ. пособы представления вектора g и интеграла (2.89) характеризуют его щечную структуру, влияют на время вычислительного процесса и >чность определения составляющей скорости ракеты дй [fcTJ.
В целях упрощения определения приращения скорости ракеты ЙГ[А:ТЯ] можно осуществить линеаризацию ускорения силы притяжения а периоде Тн. Тогда справедлива зависимость:
=g[(* - 1)Г„] + g,TH.	(2.90)
Используя формулу трапеций, алгоритм определения ДЙХ1А'ТН] на ериоде Гн запишем в виде
Т
= у да - DTJ + g[kTB)]}.	(2.91)
Для определения величины ДЙДйТД необходимо вычислить вектор [fc7'K] по зависимости (2,90) и, следовательно, использовать алгоритм ычисления производной gt. Для использования этого алгоритма и альнейшего упрощения решения задачи навигации вектор g линеаризу-тся на интервале времени от ((.' - 2)Т}| до кТп (рис. 2.14),
В этом случае:
gTfcTj = де - i)Ta] - да - 2)тв] - g[(fc - inj} =
(2-92)
= 2g[(fe - 1) TJ - g[(fc - 2)Ta).
211
Тогда алгоритм (2.91) перепишется в виде
ДЙДЛТ,] = Ь- 1)Та] - g[(k - 2)TJ).	(2.93)
Рис. 2.14» Линейная аппроксимация ускорения силы притяжения
Алгоритм (2.93) позволяет вычислить интегральную составляющую AZJfcrj с использованием информации о значении вектора g в двух предыдущих моментах времени (к - 2)ТН и (к - 1)ГН, Таким образом, алгоритм определения действительной скорости ракеты можно переписать в виде
K[fcTa]=	DTJ+Дri>[fcrBb-^{3£[(fc- 1)Гв]-Л(*-2) гя1}. (2.94)
Для шагового процесса определения действительного радиус-вектора положения центра масс ракеты уравнение (2.80) может быть записано в виде
*г,
F[fcTJ = r[(fc - 1)ТВ1 + f	(2.95)
(fc-f)r,
Принимая линейный закон изменения действительной скорости на интервале времени от (к - 1)Г(| до кТн и используя формулу трапеции, алгоритм определения радиус-вектора положения центра масс можно переписать в виде
F[fcTHl = r[(fc - 1)ТВ] + ^{И[ЛТа] * Й[(к - 1)ТЯ]}.	(2.96)
Схемы интегрирования кажущегося ускорения определяются видом первичной информации. Информация с акселерометров-импульсомет-ров (однократно интегрирующих датчиков кажущегося ускорения) формируется в виде приращений по трем измерительным каналам, что
212
1зволяет определить вектор прирашения кажущейся скорости:
дй^т;] = f w(t)dt.	<2-97)
(к-иг.
Таким образом, в процессе интегрирования основного уравнения (вигации первичная информация с акселерометров в виде прирашения окущейся скорости Д JFJfcTJ обеспечивает формирование алгоритма 1ределения действительной скорости (2.94).
Для подготовки вектора f к решению навигационной задачи в гедующий период дискретности необходимо произвести коррекцию .(численной ранее величины #[&ГН] п0 алгоритму (2.92) и определить гочненное значение:
glfcTJ = grad^TJ},	(2.98)
гс U - принятая для решения навигационной задачи потенциальная ункция, описывающая гравитационное поле Земли.
Система формул (2.94), (2.96), (2.98) представляет собой алгоритм ешения навигационной задачи при использовании метода трапеций для целенного интегрирования основного навигационного уравнения.
Рассмотренный способ решения навигационной задачи характеризует-я методическими ошибками, связанными с принятой моделью поля равитации, линеаризацией ускорения силы земного притяжения на оседних периодах дискретности и использования метода трапеций в ходе исленного интегрирования уравнения навигации. Инструментальные огромности акселерометров, "уход" ГСП также приводят к ошибкам определении абсолютной скорости центра масс объекта управления : его положения в абсолютной системе координат. Наконец, важно тметнть нарастание ошибок определения навигационных параметров течением времени вследствие неустойчивости уравнения навигации. 1оэтому использование рациональной структуры алгоритмов определены действительных параметров движения с необходимой точностью и (рименение высокоточных измерителей являются важнейшими оставляющими направления повышения точности инерциальной системы навигации в целом. Обновление начальных условий в иавигани-)нной системе по дополнительной информации о параметрах движения юзволяет снизить влияние временного интервала интегрирования /равнения навигации на ошибку определения навигационных парамет
213
ров. Для этой цели целесообразно использовать корректируемые навигационные системы.
2.3.3.	Алгоритмы предварительной обработки информации
Алгоритмы предварительной обработки информации в системе инерциальной навигации с ГСП применяются в целях повышения точности определения действительной скорости и положения центра масс ракеты в абсолютной системе координат, преобразования вычисленных значений навигационных параметров в стартовую (гироскопическую) систему координат, а также определения углов тангажа, рыскания и вращения по информации с датчиков, расположенных на ГСП.
Для уменьшения ошибок измерений кажущегося ускорения используется обработка первичной информации, полученной с нескольких измерителей, наклонная ориентация осей чувствительности акселерометров относительно стартовой (гироскопической) инерциальной системы координат, моделируемой ГСП, а также фильтрация помех, наводимых упругими колебаниями корпуса ракеты и колебаниями топлива ракеты с ЖРД.
Обработка первичной информации, получаемой с нескольких акселерометров, предполагает использование трех одинаковых по конструкции чувст внтельных элементов, погрешности которых являются независимыми случайными величинами, и состоит в определении среднего арифметического значения всех показаний.
В этом случае среднее значение кажущегося ускорения равно:
Й'/ср =	(2-99)
где i = 1,2,3 - номер направления оси чувствительности акселерометра; j = 1, 2,3 - номер акселерометра, измеряющего кажущееся ускорение в г-.м направлении.
Ошибка измерения уменьшается за счет того, что дисперсия среднего арифметического значения уменьшается по сравнению с дисперсией каждого измерителя пропорционально числу измерений. Поэтому = = /ИЗ
Для упрощения вычислений среднего значения кажущегося ускорения используется алгоритм логического сравнения:
214
tf'iep =
\Vlt, если	s	№n	s	или	JK/3	s	И',	s	И'2;
И'/2, если	&n	s	&12	s	tf'j	или	F7n	s	lKj2	s	tf'n;	(2.100)
Hzi31 если	И', ।	s	И'(3	s	И',2	или	Wn	s	lVi3	s	IP',.
В этом случае при тех же условиях 2>/ = Dt/2,25.
Использование алгоритма (2.100) приводит к необходимости рименения алгоритма сравнения сигналов от измерителей с целью сключения неисправных, показания которых отличаются от остальных а величину, более допустимой.
Наклонная ориентация осей чувствительности акселерометров в лоскости пуска обеспечивает уменьшение инструментальной погрешнос-и измерителей за счет изменения знака составляющей кажущегося скорения, что способствует снижению интегрального значения озмущения. Существуют оптимальные значения углов ориентации осей увствнтельности акселерометров в плоскости пуска а и р, гарантирую-ше достижение наибольшего эффекта по уменьшению инстру-:ентальнон погрешности. Для решения навигационной задачи еобходимо. кажущиеся ускорения и Му, измеренные вдоль а, р
аправлений, преобразовать в абсолютную геоцентрическую систему оординатОрА'га^г^га-Преобразование ускорений и Й'р в систему
)(Л'гаУга2га осуществляется предварительным пересчетом навигацион-ы.х параметров в стартовую (гироскопическую) инерциальную систему оординат OXYZ. за-
.аваемую ГСП рис. 2.15). Для реше-г11 я этой задачи пред-тави.м проекции век-ор а кажущегося уско->ения на направлена а и р в виде суммы фоекцпй составляю-цих ускорения &х и
на эти же направ-юния:
Рис. 2.15. Направления осей чувствительности акселерометров
215
& =	+ &r. = IK cos a + FKsina;
а	Ла	la	A	4	'
(2.101)
= WXp + Wr(> = H^cosp + IPySinp.
Решая систему уравнений (2.101), получим:
l^.sinP - IK sin a
г|л — д *_________P_____•
x sin(P - a)
(2.102)
. _ -(P.cosp + l^cosg
Y sin(p - a)
Алгоритм определения кажущегося ускорения в стартовой системе координат можно записать в виде
		sinp	sin a	Л -1.		
wx		sin(P - a)	sin(P -	«)		
^Y	=	cosp	cos a		0	X'f
Wz		sin(P - a)	sin(P -	a)		
		0	0		1	Y
(2.103)
где - боковая составляющая кажущегося ускорения, измеренная акселерометром вдоль у направления.
Алгоритм определения углов тангажа, рыскания и вращения (и, ф, <р) имеет вид:
t = (0| - 90°)со8ф, - tysintpj + 90’;
ф = -i|)Isin&Icosq>l -I- 57,3cos01sin<pI;
(2.104)
Ф = cpjSinO, + ф(со5&|.
где Оьфрф.- углы ориентации ракеты, измеряемые датчиками команд ГСП.
Необходимость использования выражений (2.104) как алгоритма преобразования координат с датчиков команд ГСП определяется несовпадением осей стабилизации платформы с осями симметрии ракеты в процессе полета.
216
Глава 2.4
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ НАВИГАЦИИ В БЕСПЛАТФОРМЕННЫХ ИНЕРЦИАЛЬНЫХ НАВИГАЦИОННЫХ СИСТЕМАХ
,4.1. Особенности задачи навигации в бесплатформенных ИНС
Бесплатформенные системы относятся к инерциальным системам политического типа, их чувствительные элементы (датчики угловой корости, акселерометры) жестко связаны с объектом. При этом все нерциальные измерения осуществляются в связанной с ЛА системе оординат, а параметры движения в базовой системе координат пределяются реализацией навигационных алгоритмов в БЦВМ. )тсутствие ГСП в бесплатформенных системах управления ЛА ведет уменьшению массы, габаритов, энергопотребления, стоимости системы авигации, повышению надежности, уменьшению уходов гироскопичес-их устройств. Однако эти системы при их разработке создают ряд роблем, главные из которых состоят в высоких требованиях к увствительным элементам по точности измерений в условиях действую-иих возмущений при жестком креплении датчиков на объекте и точности 1ачальной выставки, диапазону измеряемых величин, а также возрастами) объема вычислений, выполняемых БЦВМ. Появление и совершенствование новых типов чувствительных элементов и прежде всего 1азерных гироскопов, динамически настраиваемых гироскопов, ироскопов с неконтактным подвесом ротора, наличие акселерометров, >бладающнх высокой точностью и широким динамическим диапазоном, 5урноеразвитие средств вычислительной техники создают благоприятные перспективы для практического применения БИНС.
Отсутствие ГСП в БИНС приводит к необходимости расчета параметров ориентации в БЦВМ по соответствующим кинематическим /равнениям. В практике решения навигационных задач нашли применение следующие параметры ориентации (см. Приложение 3):
•	углы Эйлера;
•	матрица направляющих косинусов;
•	параметры Родрига-Гамильтона;
*	параметры Кейли-Клейна.
Все параметры ориентации в информационном отношении эквивалентны и их нетрудно пересчитать из одной совокупности в другую. Отличие состоит главным образом в удобстве их использования при интегрирова
217
нии соответствующих кинематических уравнений (уравнений Эйлера, Пуассона, уравнений для параметров Родрига-Гамильтоиа).
Необходимость интегрирования кинематических уравнений вращательного движения с целью определения параметров ориентации ЛА является источником дополнительных погрешностей решения навигационной задачи в БИНС. Кроме того, на погрешности навигации оказывает влияние выбор системы координат, в которой осуществляется интегрирование уравнений навигации.
Как сказано выше, вся первичная измерительная информация в БИНС получается в связанной (приборной) системе координат, вращающейся вместе с ЛА с угловой скоростью й. Далее эту систему координат будем обозначать буквой Е. Результатом решения навигационной задачи являются навигационные параметры Й(г) и F(f), рассматриваемые в абсолютной стартовой системе координат. Относительно этой же системы координат определяются параметры ориентации ЛА. Данную систему координат будем обозначать буквой /.
Интегрирование основного уравнения инерциальной навигации возможно как в системе координат I, так и в системе координат Е. В первом варианте решения навигационной задачи необходимо осущест-
влять пересчет вектора кажущегося ускорения W, измеренного в системе координат Е, в абсолютную систему координат I. Во втором варианте все вычисления навигационных параметров осуществляются в приборной относительной системе координат Е, после чего осуществляется пересчет действительных параметров движения V(t) и F(t) в систему координат I.
Рассмотрим схемы и алгоритмы решения основного уравнения навигации для указанных выше вариантов и проанализируем эффективность данных вариантов интегрирования с точки зрения ожидаемых погрешностей решения навигационной задачи.
2.4.2.	Схемы и алгоритмы интегрирования уравнений навигации в инерциальной системе координат
Спроектируем уравнения (2.78) на осн инерциальной системы координат I Получим скалярные уравнения:
= К - Ко ?kl ~ ^кГ
(к = 1,2,3).
(2.105)
218
Рассмотрим возможные схемы и алгоритмы интегрирования ювного навигационного уравнения в инерциальн ой системе координат основе использования параметров Родрига-Гамлильтона и направляли* косинусов.
При использовании параметров Родрига-Га<мильтона уравнения 105) целесообразно представить в виде соотношений для кватернио-в[3]:
Ъ = Pf 4
(2.106)
= И? +	4 W,
RI = Г1/‘ 4 W 4 Г3!к> pi = Pi/»4 PuJ4 дА GI = M 4 ?2lJ ~ Suk,
(2.107)
e V[t R{, P{, G[- кватернионы-отображения векторов Й, r, W и g на знс 7.
Равенства (2.106) получаются обычным естественным путем, как в учае использования векторов. Полезность такой записи уравнений (вигации определяется тем, что, используя алгебру кватернионов, 1ается формализовать получение навигационных алгоритмов при феделении ориентации объекта управления тараметрами Родрп--Гамильтона. После интегрирования первого уравнения (2.106) имеем алее полагаем /0 = 0):
ie
rz = V? + Wt cp
W; = f Pjdi, Cj = f Gjdt. о	о
(2.108)
(2.109)
Уравнение для определения координаты R{ зшишется в виде
= R? 4
о
(2.110)
219
Скорость (2.10S) и положение (2.110) являются действительными навигационными параметрами движения центра масс объекта управления.
Взаимное положение базисов I и Е определим кватернионом Л. Значение данного кватерниона в любой момент времени может быть получено, если известна первичная информация об абсолютной угловой скорости вращения базиса Е и начальная информация о взаимном положении базисов I и £, определяемая кватернионом Лф. Пусть измерительный трехгранник датчиков угловых скоростей совпадает с базисом Е. В этом случае первичная информация может быть получена в виде трех составляющих вектора угловой скорости о>2£, ы3£, образующих кватернион w£. Значение кватернионаЛ(/) получается путем интегрирования кинематических уравнений:
2Л = A»w£.	(2.111)
Первичная информация о кажущемся ускорении, получаемая от акселерометров, установленных жестко в осях базиса Е, будет формироваться в виде трех составляющих вектора кажущегося ускорения PiE, Р2Е, PiE, образующих кватернион РЕ. Величина кватерниона Pt может быть вычислена по кватернионам Л и РЕ в соответствии с равенством перепроектирования, обеспечивающего переход от базиса Е к базису I:
Р, = Л°РЕ°Л,	(2.112)
где Л - кватернион, сопряженный данному кватерниону Л.
Вычисленная величина Р,(^) далее используется для решения навигационной задачи в соответствии с соотношениями (2.108) и (2.110). Блок-схема решения навигационной задачи представлена на рис. 2.16. Подученные в результате решения параметры ориентации (параметры Родрига-Гамильтона) определяют положение навигационной системы координат / относительно базиса Е; вектор положения н скорости определяется в инерциальном базисе I. По структуре алгоритм интегрирования в инерциальном базисе полностью соответствует алгоритму решения навигационной задачи при размещении акселерометров на ГСП. Особенность состоит в наличии блока алгоритмов определения ориентации объекта управления и преобразования кажущегося ускорения. Рассмотренный вариант интегрирования имеет существенный недостаток, состоящий в необходимости пересчета быстроменяю-щейся величины РЕ- в инерциальную систему координат с помощью равенства перепроектирования (2.112), где параметры кватерниона Л
220
ic. 2.16. Блок-схема алгоритма решения уравнений навигации в инерциальном базисе с именением кватернионов
:кажены погрешностями интегрирования кинематического уравнения .111). При последующем интегрировании величины погрешности, 1есенныеалгоритмом преобразования,накапливаются пропорциональ-> времени интегрирования. Поэтому целесообразнее сначала провести
’нс. 2.17. Блок-схема алгоритма решения уравнений навигации в инерциальном базисе с 'рнмененнсм направляющих косинусов
221
операции интегрирования величины а затем осуществить преобразование кажущейся скорости И'£ по алгоритму (2.112).
Блок-схема алгоритма БИНС, использующего в качестве параметров ориентации направляющие косинусы, представлена на рис. 2.17. Оператором алгоритма пересчета вектора кажущегося ускорения в инерциальную систему координат в этой схеме является матрица направляющих косинусов j(i), определяемая при интегрировании кинематических уравнений Пуассона. На блок-схеме, кроме того, показана процедура формирования вектора ускорения силы земного притяжения g;(r, i), имеющая место в процессе решения основного навигационного уравнения, независимо от используемых параметров ориентации ЛА.
2.4.3.	Схемы и алгоритмы интегрирования уравнений навигации в связанной системе координат
При интегрировании уравнений навигации в относительной связанной системе координат необходимо учесть, что данная система координат не является инерциальной и вращается с угловой скоростью <3. С этой целью воспользуемся известными соотношениями, выражающими полную производную вектора в виде суммы локальной и вращательной производных и запишем с помощью этих соотношений следующие формулы для абсолютного ускорения и абсолютной скорости объекта навигации:
dV dt
r \ док dV
< dt ;
[ЙхИ.
(2.113)
d7 _ { rff ] dt \ dt J
+ [Sxr]-
I dF]лск
Здесь — и —	- относительное ускорение и относительная
\ di J \ di )
скорость объекта навигации. Это позволяет записать уравнения навигации (2.78) следующим образом:
222
= FT 4 g[F(f), /) + [Йх5], dt '	(2.114)
.слагая, что переход от базиса / к базису Е задается кватернионом Л, зпишем следующие соотношения для отображения перечисленных ниже зкторных величин:
Re = A®2?Z»A, GE - A®GZ»A, РЕ - K'Pfh.
(2.115) WE =	СЕ = A®CZ®A, VE = Л’^’Л.
' учетом выражений (2.113) справедливо следующее равенство:
VE = Л»Й7®Л + VE*uE.	(2.116)
Подставим значение производной Р) в полученное равенство:
= K°(Gt + Pt)*k + VExuE = Ge * РЕ -	(2.117)
Данное соотношение определяет алгоритм первого интегрирования J связанных осях (связанной системе координат), его можно представить з интегральной форме:
УЕ =	4	+ РЕ + (Ггх<о£)]Л.	(2.118)
о
Алгоритм второго интегрирования, определяющий положение объекта, выражается аналогичным образом:
Ае = Л«К;®Л + R£xti>E = VE 4 RExaE.
В интегральной форме этот алгоритм примет вид:
Р-Е =	+	+ (Jl£xw£)]rfr.	(2.119)
О
223
Рис. 2.18. Блок-схема алгоритма решения уравнений навигации в подвижном базисе с применением кватернионов
Полученные в результате интегрирования величины VE и RE определяют навигационные параметры в связанном базисе Е. Для определения навигационных параметров в инерциальном базисе необходимо использовать соотношения перепроектирования. Тогда
=	Rr = Л«КЕ»Л.	(2.120)
Схема интегрирования в связанной системе координат содержит алгоритмы решения кинематического уравнения (2.111), алгоритмы интегрирования (2.118), (2.119). Блок-схема такого интегрирования представлена на рис. 2.18.
Следует заметить, что в представленной схеме интегрирования информация о гравитационном поле также задается в проекциях на связанный базис, т.е. в виде кватерниона GE. Анализ алгоритма интегрирования основного навигационного уравнения в связанных осях показывает, что в целом вычисления по сравнению с интегрированием в инерциальном базисе оказываются более громоздкими, так как в этой схеме информация о вращении объекта управления используется не только в впдекватернионов Л, которые также необходимо рассчитывать, но и в виде непосредственного использования вектора угловой скорости JIA S. Тем не менее, в целом этот подход обеспечивает более точный результат.
224
Имеется возможность по-другому организовать процесс первого гегрирования, а именно - использовать разделение действительной >рости на кажущуюся и скорость свободного движения и определять 1ствительную скорость Рр по зависимости, аналогичной (2.108). Для ждой из них имеем соотношения перепроектирования (2.115). ;фференцируя первое из них, получим
WE = AoR'.A + WE*u>E.
Учитывая равенство Рг = ГР), запишем последнее выражение в виде
- PF + R^XCOr., £> £> £ £'
куда после интегрирования получаем
= Ид + [1РЕ *	(2.121)
о
Аналогичным образом для скорости свободного движения имеем:
С£ =	+ C£xq£ = A°GzeA + С£хо£ = GE + С£х«>£.
И тогда в интегральной форме:
С£ - СЕ +• j"[GE + (C£xu>£)]dt.	(2.122)
о
Очевидно, что равенства (2.121) и (2.122) вместе эквивалентны •отношению первого интегрирования (2.118). Однако тот факт, что ггегрнрованне кажущейся скорости и скорости свободного движения эгут быть выполнены раздельно, дает возможность каждое интегриро-|ние выполнить как в связанном, так и в инерциальном базисе.
Таким образом, действительная скорость может быть определена при пользовании любого алгоритма интегрирования суммированием окущейся скорости и скорости свободного движения в одном базисе:
Рг= И^+ Cz= JFz+A»C£oA=Ao И'£оА+С/=До(И7£+С£)оА;
РЕ= WE4- СЕ= WE+K°Cl°b.=K'' И'/А+С£=А<>(И'+ С;)»Л.
225
Схемы интегрирования основного навигационного уравнения в БИНС в связанных осях, для которой параметрами ориентации ЛА являются направляющие косинусы, аналогичны рассмотренным выше вариантам интегрирования при использовании параметров Родри-га-Гамнльтона,
При алгоритмизации задачи и ее численного решения в любой схеме интегрирования необходимо осуществить переход к скалярным величинам и соотношениям. В этом смысле катернионные равенства уже являются алгоритмическими соотношениями и поэтому дают выигрыш по времени при их реализации в БЦВМ.
Основное навигационное уравнение в БИНС интегрируется с использованием традиционных численных методов, применяемых в платформенных СУ с учетом особенностей интегрирования кажущегося ускорения и ускорения силы притяжения, рассмотренных в гл. 2.3. Алгоритм определения кажущейся скорости в БИНС учитывает необходимость установления связи между приращением кажущейся скорости ДИ-}Л в инерциальном базисе и приращением кажущейся скорости ДИЛ£П в связанном базисе в момент времени /п. Используя формулу преобразования, можно получить данное соотношение для пошагового процесса интегрирования в виде
=An-i’A^eA,-1.	(2.123)
где А,.,, А,., - значения кватернионов в момент времени гл_(.
Тогда алгоритм интегрирования кажущегося ускорения в инерциальном базисе запишется следующим образом:
wIn = «'/Л-. *	(2.124)
где H'/n, Wln_[ - кажущаяся скорость в инерциальном базисе в момент времени tn и соответственно.
Алгоритм определения кажущейся скорости в связанном базисе может быть найден таким образом. По аналогии с (2.115) имеем:
(2-125)
Умножая соотношение (2.124) справа на Д„ = A.n_{°Nn, а слева - на сопряженное значение AR = Л,вАя_|, получим:
226
A„°FF, °Л = Л ° ИЛ - «Л + Л’ДИЛ »Л . Д In Я	Л вЯ I Л	Л	in п
Тогда
WEn = ^K°K-\aWh-\a\,a^n '
[ЛИ
WEn =	+ ДИг,-!)^.	(2.126)
де N„, ft, - значения кватернионов на интервале времени 0 s т s tn-«утри шага.
1.4.4. Ошибки и схемная реализация интегрирования кинематических 'равнений
Кинематические уравнения являются автономными уравнениями, не >ависящими от основного навигационного уравнения. Поэтому решение синематических уравнений может быть реализовано независимо от зсновного навигационного уравнения, если известно угловое движение :вязанного базиса относительно инерциального, получаемое как первичная информация отдатчиков угловой скорости БИНС. Ошибки зеализации решения кинематических уравнений определяют точность математического моделирования инерциального базиса на ЛА и преобразования навигационных параметров в инерциальную систему <оординат. Точность решения кинематических уравнений определяется погрешностями первичной информации об угловой скорости ЛА и погрешностями схем и методов интегрирования. Первичную информа-дию можно разделить на информацию, получаемую аналитически 'например, при моделировании БИНС), и информацию, получаемую с пом ощью датчиков угловой скорости. В первом случае велич ина угловой скорости может быть задана как функция времени или получена в результате решения системы дифференциальных уравнений, описывающих вращательное движение объекта управления. Для аналитически заданной первичной информации могут использоваться традиционные численные методы интегрирования. Точность используемого численного метода может быть также определена известными методами. Поэтому задача интегрирования кинематических уравнений в этом случае не отличается от любых других задач численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Во втором случае угловая скорость ЛА измеряется датчиками угловой скорости. По виду
227
измеренной информации датчики угловой скорости могут быть разделены на датчики, измеряющие проекции вектора угловой скорости на их оси чувствительности, и на однократно интегрирующие датчики, сигналы которых соответствуют проинтегрированным значениям проекций угловой скорости:
в<г = /Чг^> /=1,2,3,	(2.127)
о
имеющие размерность углов и называемые квазикоординатами углового положения или проекциями угла кажущегося поворота. Таким образом, когда первичная информация измеряется, ее ошибками являются инструментальные ошибки датчика угловой скорости. Так, для гироскопического датчика угловой скорости инструментальные погрешности характеризуются систематическими и случайными составляющими ухода, ошибками масштабного коэффициента, нелинейностью выходной характеристики, ошибками квантования выходной информации и т.п. По аналогии с этими ошибками для гироскопических датчиков угловой скорости определяются или сводятся к подобным ошибки датчиков первичной информации, использующих другие физические принципы (лазерные и волоконно-оптические измерители угловой скорости, волновые твердотельные гироскопы и т.п.). Методические ошибки решения кинематических уравнений возникают за счет ошибок алгоритма и схемной реализации задачи. Так, в цифровых схемах интегрирования возникают погрешности, обусловленные использованием приближенного численного алгоритма интегрирования.
Уравнение ошибок кинематических уравнений можно получить обычным методом вариации. Так, для кинематических уравнений (2.112) уравнение ошибок имеет вид:
26Л =	+ Лв&ш£.	(2.128)
Величина Ьи>Е есть ошибка первичной информации, представленная в кватернионном (операторном) виде. Полагается, что эта ошибка задается тремя компонентами ошибок ДУС, оси чувствительности которых расположены в базисе Е (связанном с объектом управления). Очевидно, что три компоненты ошибки первичной информации могут определять ошибку как вектор, который может быть спроектирован на инерциальный координатный базис. Уравнение (2.128) дтя переменной ошибки положения 6Л является неоднородным дифференциальным
228
[инейным уравнением с переменными коэффициентами. Соотвстствую-цее однородное уравнение имеет вид:
26Л = бЛ*о£.	(2.129)
Таким образом, однородное уравнение ошибок подобно исходному гинематическому уравнению. Согласно теореме об общем решении :инематического уравнения, решение уравнения (2.129) может быть юлучено из любого частного решения уравнения (2.111). Если Л(г) -)ешение уравнения (2.111), то A^Afr) - решение того же уравнения с циничными начальными условиями. Поэтому решение (2.129) запишется в виде
6Л(/) = бЛдоДо’ЛСг).	(2.130)
Для определения частного решения неоднородного уравнения (2.128) ложно воспользоваться методом вариации произвольных постоянных в данном случае постоянной 6ЛО). Будем искать это решение в виде
6Л(/) = С^Л^ЛО).
Подставляя данное выражение в уравнение (2.128), получаем
2 £(/)«^<>4(0 2 C(t) = C(l) оЛ^оЛС) * с^+Лобс^.
Тогда с учетом зависимости (2.111) имеем:
= л°бслг.
Введем обозначения = Л’бй>£ и М = °Л. Тогда полученное выше зыражение перепишется в виде = N.
Умножим справа данное уравнение на М~1. Получим
2дО)оЛ/оЛ/-‘ = АМИ’1 =
|Л/|
Так как А? = Л,ол и норма iMl = 1, то
229
C(i) = бЛо - 1 jA(T)«6U^A(T)rff «Ao-
(2.131)
о

Тогда окончательно:
6Л(Г) = бЛо’АооЛО)
уЛ(т)Обй)£»Л(т)</Т «Лд
о
или
бЛ(г) = бЛ0оЛ0«Л(/) * |j'dw/</T’A0,	(2.132)
О
где6й)/=Ло&1>£=Л -величина ошибки первичной информации в проекции на инерциальный базис I.
Анализ решения (2,132) показывает, что если ошибка первичной информации определяется (возникает) в связанном базисе, то ее накопление происходит в том случае, когда существуют ее систематические составляющие в инерциальной системе координат. Именно эта величина ошибки накапливается (интегрируется) и определяет уход вычислительного базиса I. Тот факт, что на величину ухода построенного положения инерциальной системы координат влияет не непосредственно ошибка бь>£, а ее проекция используется на практике для компенсации систематической составляющей ухода. В качестве примера можно привести такой подход: траекторию движения ЛА разбивают на два интервала. На втором интервале датчики угловой скорости разворачивают на 180°. Поэтому систематическая составляющая ухода в связанном с измерителями базисе изменяет в инерциальной системе координат направление на противоположное, чем и достигается малость значения
Г
интеграла ^бсау/г на всей траектории движения. Начальная ошибка 6ЛО о
сохраняется, проектируясь при движении на неподвижную систему координат.
Вид первичной информации, характер ее физического представления (аналоговый или дискретный сигнал) во многом определяет приборную реализацию схемы интегрирования кинематических уравнений.
230
'нс. 2.19. Схема интегрирования кинематических уравнений на аналоговых элементах
Если первичная информация формируется от ДУС с аналоговыми ыходнымисигналами, соответствующими измеряемой угловой скорости, 1 используется аналоговая схема интегрирования кинематических •равнений (рис. 2.19), включающая аналоговые моделирующие устрой-:тва, выполняющих умножение и сложение переменных, то периодичес-;ая погрешность будет определяться точностью работы ее элементов, {роме того, на точность решения, естественно, оказывают влияние ошибки получения (измерения) первичной информации.
Рассмотрим влияние систематической составляющей ошибки ДУС равной величине "смещения" выходной характеристики зрибора. Для инженерных оценок можно воспользоваться оценкой по 'верхней" границе ошибки, используя кватернион малого поворота ДЛ; сак кватернион ошибки в инерциальных осях. Нетрудно убедиться, что Щриацин положения истинного А и вычисленного Л положений базисов /довлетворяют зависимости:
Л = ДЛ;»А.	(2.133)
231
Величина кватерниона малого поворота определяется выражением
ДА, = 1 - уДбр	(2.134)
где Д0у- вектор малого поворота в инерциальных осях. Векторы ДО; и Дб^связаны между собой обычным соотношением перепроектирования:
Д9/ = Л»Д0£»Л.	(2.135)
Задача состоите определении уравнения для вектора Д0/. Продифференцируем зависимость (2.134). Получим
2ДЛ; = Дёр	(2.136)
С другой стороны, исходя из физического содержания рассматриваемой задачи,ясно,что:
Д0; = Л»со£»Л - ДоЛ£оЛ = Л=6й>£°Л,	(2.137)
где Д£ - кватернион истинной угловой скорости связанного базиса Е.
Тогда равенство (2.136) перепишем в виде 2AAZ = A»8w£»A. Подставим
(2.133) в данное выражение. Получим 2дЛ, = ДА;»Ле6и£оЛ. Так как
Л = А, ТО 2AAZ = AAf»A<>6 w£<>A ИЛИ 2AAj » ДА/<>Л»8а>£<>Л.
Тогда с учетом выражения (2.136) зависимость для вектора ДО/ находится как равенство перепроектирования кватерниона ошибки угловой скорости в виде
Дёг = Л°5ы£°Л.	(2.138)
Решением этого уравнения является вектор малого поворота:
Д0, = Д0® + JA(?)«8o£«A(t)</t,	(2.139)
о
определяющий отклонение вычисленного инерциального базиса от его 232
.•тинного положения. Положив начальное значение вектора малого эворота Д©5 = 0 и используя оценку по ’’верхней” границе ошибки, :репишем зависимость (2.139) в виде
Д©7 = ^Л(т)в<о0<>Л(т)<7т s у|Л(т)»ш0=Л(т)|</т о	с
hi
г
= “о*- (“о = о
(2.140)
Из этого следует, что систематическая составляющая ошибки УС Qo с течением времени приводит к возрастанию отклонения мчислснного положения инерциального базиса от истинного. Очевидно, го для каждого конкретного движения имеется возможность оценки зкой ошибки и более точным образом.
Рассмотрим влияние ошибки масштабного коэффициента ДУ С. Пусть
бь>£ = 5<*>£,
(2.141)
де £ - малая величина, характеризующая ошибку масштабного оэффициента.
В случае плоского вращения с неизменным направлением вектора гловой скорости кватернионыА и g)£ коллинеарны друг другу. Поэтому шибка (2.141) запишется в виде
t	t
= рь>£«/т = SfadT, Д9, = £9£.	(2.142)
о	о
Таким образом, ошибка Дб/пропорциональна углу поворота0£. При озвращении в исходное положение (0£ - 0) ошибка исчезает. Заметим, |то этот вывод справедлив только для плоского вращения. Можно оказать, что, например, для случая конического движения ЛА ошибка шсштабного коэффициента ДУ С накапливается. При этом установлено, по возвращение объекта управления к начальному положению >существляется с ошибкой, отличной от нуля (см. [4]).
233
Рассмотрим цифровую схему интегрирования при непрерывном аналоговом сигнале от ДУС. пропорциональном угловой скорости, и преобразуемым в цифровой с помощью аналого-цифрового преобразователя (рис. 2.20). Получаемая цифро-
Рис. 2.20. Блок-схема интегрирования кинематических уравнений при аналоговом сигнале от ДУС
вая информация используется в БЦВМ при решении кинематического уравнения. В этой схеме интегрирования кинематических уравнений могут быть существенно уменьшены ошибки выполнения арифметических операций. Однако данная схема, независимо от точности численного
метода, будет содержать ошибку’квантования первичной информации. Если разрядность преобразователя равна Л\ то ошибка в один дискрет преобразователя £ = ытах2-Л. Очевидно, что необходимо обеспечить выполнение условия |5w£| s е. Тогда оценка точности по преобразованию аналоговой информации от ДУС в цифровую может быть осуществлена по зависимости, аналогичной (2.140).
Эта оценка имеет смысл "ухода", определяемого величиной г. Для БИНС характерным является требование достаточно большого
диапазона измерений при реально достижимых точностях преобразователя (10-16 разрядов). Для этих условий с - 10“'-10-4 град/с, что свидетельствует о низкой точности этого варианта интегрирования кинематических уравнений. Достаточно отметить, что уход ГСП составляет -10”2 угл. мин/мин. Этим объясняется отсутствие практической реализации такой схемы интегрирования кинематических уравнений.
Однократно интегрирующие ДУС оказались наиболее применяемыми датчиками первичной информации для БИНС [13]. В этих датчиках процесс квантования информации совмещается с процессом ее накопления, т.е. "первичного интегрирования". При этом удается получить требуемую точность в смысле обеспечения предельно малой для данного класса ДУС составляющей ухода, которая оказывается не зависящей от процесса квантования. Выше обращалось внимание, что измерители такого рода определяют величины квазикоординат (2.127) 0[£., i = 1, 2,3. С величинами квазикоординат осуществляется операция квантования (преобразования) непрерывной информации в дискретную. При этом на выходе датчика формируется сигнал [01£], являющийся целой частью 01£.;
[6(£] = П&, nfy £ в1£ < (п, + 1)£(,
(2.143)
где/г(— целое число квантов величиной е(, укладывающихся в квазикоординатах 01£.
234
Выходной сигнал одно-:ратно интегрирующих {УС представляет собой ременную последова-сльность квантов - код -янтарных импульсов. Зхема интегрирования
Рис. 2.21. Блок-схема интегрирования кинематических уравнений с интегрирующим ДУС
гинематических уравне-
1ин для этого случая представлена на рис. 2,21. Первичная информация скапливается на реверсивных счетчиках, которые опрашиваются БЦВМ 1ерез интервал времени, равный шагу интегрирования. По считанному шелу импульсов в соответствии с (2.127) восстанавливается приращение свазикоординат на шаге. Приращение определяется с точностью до юличины кванта. Однако "неучтенная’1 таким образом составляющая триращения не накапливается при интегрировании, а ’попадает" в следующий шаг интегрирования. Такая схема реализации решения <ннематпческих уравнений является наиболее предпочтительной для ВИНС.
Наконец, возможен вариант использования гибридной схемы интегрирования кинематических уравнений, представленной нарис, 2.22. В этой схеме датчик первичной информации имеет непрерывный аналоговый выходной сигнал, пропорциональный угловой скорости. Цикл интегрирования в целях повышения точности выполняется в два
этапа: первичное интегрирование осуществляется аналоговым интегрирующим устройством; затем информация квантуется и дальнейшее интегрирование производится в БЦВМ.
В данной схеме первый этап интегрирования выполняется при малых значениях угловых рассогласований. Если кватернион первичного интегрированияЛ(г) мал,то Л(т) = {1, , Л2, Л3),где малые величины (I = 1, 2, 3). В этом случае кинематическое уравнение существенно упрощается и преобразуется в систему трех скалярных уравнений вида:
2*1 - Ш1Е	“ ^Зы2£1
2A.J = <j>2E +	~
(2.144)
2Xj - a>JE * AjUjjj - 12ь>1£
или в векторной форме 21 = u>c + X х ьзЕ. Прн достижении углом поворота некоторого порога А, + А* * А3 = ?, где с - величина кванта интегрирования, выполняется второй этап интегрирования - операция
235
Рис. 2.22. Схема аналого-цифрового интегрирования кинематических уравнений
"шага" решения в БЦВМ. При этом определяется величина кватерниона Л(т) по компонентам Л,, Л2, на выходе аналого-цифрового преобразователя АЦП. Например, величина кватерниона Л(т) представляется в виде Л(т) = {Г, А,, Л2, Х3}. где Г = I - ^с2. Осуществляется цикл решения кинематических уравнений в БЦВМ по алгоритму
Л(/ + *) = Л(0°Л(т)	(2.145)
и производится "сброс" аналоговых интеграторов в нуль. Соотношение (2.145) можно рассматривать как универсальное соотношение интегрирования кинематических уравнений. Физический смысл этого алгоритма .может быть понятен, если обратиться к процедуре вывода кинематических уравнений. Известно, что кватернион Л(г т Дг) есть произведение кватернионов Л(г) и ДЛ(Дг):
Л(/ + Дг) = Л(0»ДЛ(Д0,	(2.146)
где ДЛ(Д0 - кватернион бесконечно малого поворота.
236
Оценим влияние дискрета преобразования величин в цифру на чность реализации кинематических уравнений. Если N- разрядность ДП, то вектор л(т) будет определяться с точностью до величины бс = ;-2“Л и поэтому ошибка
бол = беоол.	(2.147)
Используя соотношение (2.140) для оценки погрешности интегрирова-я "сверху", имеем:
I
Д0/ = беры^с/Г или Д67 = 9Ee-2~N,	(2.148)
о
Как показывают расчеты [4J, на точность реализации не влияет число згов. Выбором величины кванта е при заданной размерности )еобразователя ошибку можно сделать как угодно малой. Так, .пример, при любом угловом движении ЛА 0£ s 2л. Пусть А = 10. Тогда Э(- = 2л'2-,0-е и поэтому для обеспечения точности Д0(- = 1" необходимо :пользовать квант интегрирования г не более 3'; при N = 16 - не более
Таким образом, анализ различных схем интегрирования кинемати-!ских уравнений показал существенное влияние вида первичной «формации как на возможность использования известных численных гтодов интегрирования, когда первичная информация формируется в галитическом виде, так и непосредственно на практическую реализацию ИНС, определяемой прежде всего точностными характеристиками ДУС разрядностью преобразующих устройств. Наибольшее влияние на либку определения инерциального базиса оказывают систематические эгрешности ДУС, обуславливающие накопление "ухода" базиса с гчением времени, Наиболее предпочтительной схемой интегрирования анематических уравнений является схема, использующая однократно нтегрирующие ДУС. где процесс квантования информации совмещается процессом первичного интегрирования и поэтому составляющая ухода не зависит от процедуры квантования.
.4.5. Приближенное и численное интегрирование кинематических равнений
Для интегрирования кинематических уравнений вращательного вижения могут применяться универсальные методы интегрирования истем обыкновенных дифференциальных уравнений (например, метод 'унге-Кутта).
237
Наряду с этим актуальной является проблема разработки специальных методов интегрирования кинематических уравнений с целью получения более экономичных и точных вычислительных процедур. При этом учитываются как особенности структуры кинематических уравнений, так и особенности представления первичной информации о параметрах вращательного движения ЛА в БИНС.
Одно из направлений построения специальных методов интегрирова-ния кинематических уравнений основано на свойстве линейности уравнений Пуассона и кинематических уравнений в параметрах Родрига-Гамильтона. Свойство линейности позволяет найти частное решение кинематических уравнений с помощью нормированной матрицы фундаментальных решений, называемой матрицантом и вычисляемой методом последовательных приближений Пикара (см. [5]).
Рассмотрим сущность данного метода применительно к задаче численного интегрирования кинематических уравнений Пуассона:
Л = ЛП,	(2.149)
где А - матрица направляющих косинусов: Q - кососимметрическая матрица угловой скорости 5 (матрица вращений):
°	~Ш3£
(2.150)
Уравнение (2.149) необходимо интегрировать с начальным условием Я(г0) = Ло. Как известно из теории линейных дифференциальных уравнений, общее решение системы (2.149) может быть выражено с помощью матрицы фундаментальных решений. Можно показать, что решением уравнения(2.149) является ортогональная матрица направляющих косинусов, удовлетворяющая условию:
Л(/) = СТ(0,
(2.151)
где С - постоянная матрица. Частное решение, соответствующее начальному условию Ао, имеет вид:
Л(0 = ЛоТ-'СоЖО.	(2.152)
Матрица i0) = Чг"1(г0)Чг(т) представляет собой нормированную фундаментальную матрицу и называется матрицантом исходной сис-
238
мы (2.149). Нетрудно видеть, что матрицантудовлетворяет уравнению .149),
Л? = MQ,
(2.153)
является решением данного уравнения при единичном начальном :ловии A/(z0) = Е.
Таким образом, задача нахождения искомого решения уравнения уассона по формуле (2.152) сводится к задаче вычисления матрицанта. дя определения матрицы М можно воспользоваться методом последова-гльных приближений (методом Пикара)
Йк = A/fc.tQ,	(2.154)
де к - номер приближенного решения. При этом
Мк = Е + '[M^QQQdt, h
(2.155)
>ткуда следует, что нулевое приближение А/о = Е,
Г
icpuoe приближение Af, • Е *
iTopoe приближение М2 = Е +	Cl(i')di' и т.д.
Таким образом, для Мк получаем ряд, состоящий из £+1 слагаемых, i'lpn к - ряд бесконечен:
М = Е + [Widi1 + npQ(r)dt" УйО')Л' +
(2.156)
и сходится абсолютно и равномерно: М = limA/t.
i—
Ограничиваясь конечным числом членов ряда, можно получить приближенную формулу для расчета матрицы М. Из (2.156) видно, что матрицант А/ может быть вычислен с ошибкой по двум причинам: во-первых, из-за принимаемого при расчетах ограничения числового ряда и, во-вторых, приближенного представления матрицы D(r). Если положить постоянным значение матрицы угловой скорости Q(z) на шаге
239
интегрирования h, то решение уравнения Пуассона примет вид:
Л(0 = Я0(е0А),.л,	(2.157)
где М =	матрицант, выраженный в виде матричной экспоненты
[5].
Представляя матрицант через ряд Маклорена, получим
M(h) = (еа%к = Е + Qh +	+ ... + к - «. (2.15L)
Остаточный член ряда (2.158) в форме Лагранжа имеет внд:
Н = (Q^'_eQe* 0 < 8 < 1. к (к ♦ 1)!
Для приближенной оценки остаточного члена ряда ограничимся линейным приближением в разложении матричной степени
‘ (а7“0!ПЙ>-	(2J60)
Считая, что ошибка 5Ак, вызваннаяусечением ряда (2.158), пропорциональна величине остаточного члена Нк и времени работы граб БИНС, получим
ЪАк = 1А	(2.161)
h
В табл. 1 приведены результаты расчета ошибки 6ЛА. в зависимости от периода дискретности h, времени работы системы гра6 и среднего значения угловой скорости Qcp при к = I, 2 и 3.
Из табл. 1 следует, что уменьшение шага интегрирования на порядок приводит к аналогичному уменьшению величины ошибки 5Ак. Данная ошибка, линейно зависящая от времени работы БИНС, в пределах исследуемого времени полета ЛА (50-300 с) изменяется примерно на порядок. С увеличением числа слагаемых ряда величина ошибки существенно уменьшается.
На величину ошибки дА оказывает влияние переменность угловой скорости на периоде Л. Для повышения точности решения навигационной задачи целесообразно учесть изменение матрицы Q на шаге дискретности.
240
гой целью могут использоваться интерполяционный и экстраполяци-1ый алгоритмы.
Таблица 1
Пер = 0,1 %
	II о И	^раб 50 с п - 0,03 с	/раб = 300 с h = 0,1 с	1-аЗ = 300 С й = 0.03 с
ЬА,	0,25-10’1	0,08-10-’	1,5-IO"1	0.45-10-'
н,	0,5-10‘3	0,15-10-’	0,5-10-’	0,15-10-’
^Аг	0,08-10-’	0,08-10-*	0,5-10-’	0,45-10“
	0,167-10-’	0,15-10'*	0,167-10-’	0,15-Ю’*
&А}	0,2-10'*	0,06-10-’	1,26-10'*	0,33-10-’
	0,42-10-*	0,11-10-’	0,42-IO’*	0,11-10-’
Воспользуемся рядом Тейлора в моменты времени r„_2, fn_[, tn для писи интерполяционного алгоритма при <t <tn\
ft ~ t
Q_(') =	+ 0,-10 - ^-1) + Йл-|------— + •••	(2.162)
Hvz Л*1	Л“|'	Л“1* Я" I	' z
экстраполяционного алгоритма при tn < г < 1л+1:
0,(0 = + Йл(/ - гл) «- пл^4г- + -	(2,1б3)
Выражая производные через конечные разности
а _ Ч, ~ 4,-1 _ 21. " h й ’
а _	A,-. ~	4,-: _	4 ~ 24-i	* 4,-2 _
л’' ' h ‘ й2 “	й2’
1е 7Л(« = !, 2) - конечные разности, получим:
241
V. v, , 0.(0 - О.-, *	- ...
(2.164)
V.
0,(0 = ол 4 т' + Л
А,.
2йг
(2.165)
Подставив (2.164) и (2.165) в ряд (2.158) и удерживая только первые разности, находим выражение для матрицанта при i = h для интерполяционной формы:
Л/И(О = Е ♦ |(Qe + олЧ)
h2
- ,n - Q Q .), I* X Л-1 n n Л-i
(2.166)
и для экстраполяционной формы:
M,(t) = Е + й|
’	(	2
/>д( ЗЦ,-Ч,-,У 2 I 2	;
(2.167)
h2
—(Qnft, t - Q, A). I x я it — I	“ i Я y
Аналогичным образом могут быть получены алгоритмы, учитывающие вторые разности. Сравнение интерполяционного и экстраполяционного алгоритмов показывает, что в БИНС предпочтителен экстраполяционный алгоритм (см. [4]).
В приведенных выше алгоритмах в качестве исходной информации используются значения угловой скорости. Решение существенно упрощается, если первичная информация получается в виде квазикоординат с помощью однократно интегрирующих ДУС. Для этого случая выражение (2.127) можно записать в виде
(2.168)
На основании формулы трапеции значения интеграла (2.168) соответственно равны
242
в = -(□ + Q ,), л 2 'п * л-1'1
(2.169)
®л-1 = уЧ-i * ал-2)-	(2.170)
Выразим кососимметрические матрицы £1П и □„_] через квазикоорди-ггы. Так как по формуле трапеций на интервале [z^, U интегрируемая ункция заменяется линейной, то справедливо выражение
Сложив уравнения (2.169) и (2.170), получим
®п +	= у^л + 2^л-| +	(2.172)
С учетом (2.171) значение
0 Г 0 , о.-. ’	(2.173)
Подставляя (2.173) в выражение (2.169), получим зависимость для прсделения
зел - 9„ , °" = ~	•	(2.174)
In
Подставляя последние две формулы в (2.166) и (2.167), запишем 1атрицант ориентации А/ при интегральной информации об угловой корости для интерполяционного алгоритма:
МЖ(Л) = Е + ел ♦ 1ел2 ♦ ±(9,9,,., - 9л.!9л)	(2.175)
1, соответственно, для экстраполяционного алгоритма
Ч(А)=г-20л-ел.14(2©я-9л_|)2+±(©леи.1-ел_1е,). (2.17б) £	IX
243
Аналогичные по структуре решения можно получить и для кинематических уравнений в параметрах Родрига-Гамильтона. Так, интегрируя кинематическое уравнение (2.111), получим
А (О = А ('о) * |jA(f')’w£(z')*'.	(2.177)
Для отыскания приближенного решения уравнений (2.177) воспользуемся, как и в предыдущем случае, численным методом интегрирования и кватернионным аналогом матрнцанта. Пусть решение (2.177) имеет вид:
A(f) = A(t0)»N(t).	(2.178)
Подставляя (2.178) в уравнение (2.177), находим
АЧО = 1 + |yAr(f')e“£C')^'-	(2.179)
'в
Кватернион N(t) удовлетворяет кинематическому уравнению (2.177) с начальным условием А'(/о) = 1. В самом деле, при t = z0 iV(t0) = 1 и A(z) = = Л(/0). Следовательно, при отыскании решения уравнения (2.177) в виде (2.178) задача сводится к определению кватерниона N(f). Для построения алгоритма численного интегрирования положим в соотношении (2.178):
t0	=	.,	t = г,	с	= t ।	+ Л,
U И-1 ’	П ’	л П~I '
где Л - шаг интегрирования.
Тогда решение (2.178) перепишется в виде
Ae = An_j^„.	(2.180)
В данной формуле приняты обозначения Л„ = A(zn); Nn = Запишем решение кинематического уравнения (2.180) в текущий момент времени / = гп-1 + т "внутри" шага:
Л (0 = Л(гя_! + т) = A(ze.,)«A(T) = Ля_,оЛг(т), (2.181)
где Лп_| - решение на /г-1 шаге; Л(г) = N(t) - решение "внутри" шага. Начальное значение А'(т) также принимается равным единице.
244
С учетом того что кватернион N(r) удовлетворяет тому же кинемати-кому уравнению, решение (2.179) может быть записано в интегральной зме в том же виде:
У(т) = 1 + 1уЛ0')о«£(т')Л'.	(2.182)
о
Первое приближение решения интегрального уравнения (2.182) имеет i:
^(т) = 1 * L о
(2.183)
Второе приближение после подставки (2.183) в (2.182) запишется в де
(2.184)
В общем случае при учете последующих слагаемых матрпцант будет )едставлен рядом:
У(т) = 1
(2.185)
Зависимость (2.185) может быть использована при построении «ленных методов для любого вида первичной информации об угловой юрости о)£. Рассмотрим случай получения первичной информации на :нове измерений. Заметим, что, как и при интегрировании кинематичес-« уравнений Пуассона, решение (2.185) существенно упрощается, если ервичная информация получается в виде квазикоординат. Тогда ервичная информация на n-шаге представляет собой первую разность того вектора, взятую "назад":
245
ve„ = 0£(Q - 0г(Гя.,) = f»£(f')d'.
'.-I
Запишем (2.185). заменив в нем интегралы от угловой скорости через введенные выше квазикоординаты:
Лф) = 1 ’	* |/э£’«£л ♦
О
(2.186)


Тогда задача сводится к отысканию функции Ы£<т) по данным измерений на интервале интегрирования. Для построения решения на шаге интегрирования необходимо на основе измеренных значений квазикоординат©^. = ©fOp построить приближенноезначение функции 0Е(г). Аппроксимируем функцию 0Е интерполяционным полиномом, опираясь на измеренные значения 0£А. в узлах интерполяции tk. В качестве интерполяционных полиномов можно использовать ряд Тейлора, интерполяционную формулу Ньютона и др. Воспользуемся в данной задаче интерполяционной формулой Ньютона и проанализируем варианты численных методов интегрирования кинематического уравнения. Особенность интерполяционной формулы Ньютона состоит в том. что интерполяция выполняется "внутри" шага Л, т.е. на интервале [/*._], Q.] по получении последнего значения 0£А = 0£<^.) по формуле
e/£(/fc - h + th) = eiEk -	+ (LzJ}Lv2QiEk ♦ ...
(2.187)
... *	.- n ~-->?пв.Ек + R„,
nl
где 0|£ - значения квазикоординаты no осям базиса E. i = 1, 2, 3; t -безразмерное время внутри шага, t =	0 s t < 1; Л - шаг решения, г>. =
п
-	+ Л;	“ разности, взятые "назад", п = 1,2,3,4...; Rn - остаточ-
ный член.
Процедура получения и геометрический смысл второго слагаемого (2.187) показаны на рис. 2.23, откуда видно, что
+ •) =	- г),
fl
246
;е

1И
VO
^Ж-i+ О = Q,Ek+ (” - нУ—7г n
оэтому окончательно
Таким образом, знание квазикоординаты .£<^1 + т) при учете толь-э второго слагаемого на-эдится при аппроксима-ин функции ©/£(0 на шаге итерирования h линей-ой зависимостью, что при-эдит к ошибке 60/£(т) = 0l£(t)- ©^(т). Уточнение <ачения е(£(т)осуществля-гся учетом последующих загаемых ряда (2.187). Ис-
ользуя эту формулу, представим интерполяционный полином в виде яда по степеням т, подставив в последний безразмерное время
0,
e,
’) = ^Ek * 4rve^-
Рис. 2.23. Линейная аппроксимация квазикоординат


ь
‘ h
^lE^k-^^'^IEk-l^T
л

-_VS0
51 ,Ek ’
_2 I	i	c r
— —V	74в/£к +—V 0fEfc + - +
hz 2! iEk 4! tEk 5! tEk

*1Е)с*"$^&1Ек
(2.188)
.4
—v4e,₽t+—v5e,£. p|4! £fc 5! E
<——&е{Ек*... h5 51 iEk
247
Величина угловой скорости на этом же шаге получается как производная:
WIE Q^~~h^,Ek	8|
- J-V»©
20 lEk
2	g	|2
р^е,к.1т<е)ИД7’е1а...р
(2.189)
,3
-^Ek*-750^*- + ——VS0iEk+-6 iEk g IEk J £ s 24 Ek
Подставляя (2.188) и (2.189) в соотношение (2.186) и учитывая члены до четвертого порядка малости включительно, получим следующее выражение для решения Л(г) в момент т = Л:
Nfc(A)=!l-l(V0£fc)4-L^0£Jt)^ О	1и
х I—L(V0 v*_L(720 )*+±
24 Ек 32 Ек 24
|70£*Х
±-(ve£fc-v2e£fc) -
(2.190)
+—70еьх?30-^+ —ve-.xv4©^*...
48 Ек Е 144 Е Е
При получении данного соотношения кватернионные произведения были заменены на операции векторного и скалярного умножений. Оставляя в полученной формуле члены соответствующего порядка малости, можно получить алгоритмы численных методов первого, второго и третьего порядков:
Nk(h) = 1 + lv0£t;
(2.191)
248
= i + -|ve£fc - l(ve£fc)2-, X	о
Nk(h) = i ♦ lve£fc 1 - ^(ve£fc)2 Z	Z4
" l^9^2 *
(2.192)
(2.193)
.Алгоритмы численных методов определения ориентации ЛА через фаметры Родрига-Гамнльтона на основе использования магрицанта >едставляют собой рекуррентные соотношения различного порядка, пользование которых в БЦВМ является предпочтительным с точки ения быстродействия по сравнению с обычными численными методами.
4.6. Методы коррекции решений в процессе интегрирования тематических уравнений
Как отмечалось выше, элементы матрицы направляющих косинусов параметры Родрига-Гамильтона представляют собой совокупности юыточных параметров ориентации, которые подчинены естественным :ловиям связи. Для матрицы направляющих косинусов данные условия )язи определяются свойством ее ортогональности, а для параметров одрига-Гамильтона - свойством равенства нормы кватерниона, писывающего вращение твердого тела, единице.
При интегрировании кинематических уравнений вследствиедействия огрешностей, сопровождающих процесс решения этих уравнении югрешности метода интегрирования, погрешности измерений эмпонеит вектора угловой скорости, погрешности, связанные с вантованием информации в БЦВМ, и др.), указанные условия связи арушаются, т.е. матрица направляющих косинусов теряет свойство ртогональности, а кватернион вращения - свойство его Нормированное-H. В связи с этим возникает проблема коррекции получаемых решений утем ортогонализации матрицы направляющих косинусов и нор-нровки кватерниона вращения.
Рассмотрим сначала вопрос коррекции матрицы направляющих осинусов. Пусть Л (г) - матрица направляющих косинусов, искаженная огрешностями интегрирования уравнений Пуассона. Наиболее потребительный способ ортогонализации матрицы А заключается в том, то данная матрица заменяется такой ортогональной матрицей X, оторая наиболее близка к матрице А по критерию минимума суммы
249
квадратов разностей одноименных элементов матриц Л и Х\
f = ££Ц/ “ ау)2 - min-
(2.194)
Заметим, что в приведенном выражении использовано понятие, евклидовой нормы матрицы (см. [12]), поэтому данное выражение может быть записано в виде
f - IX - А |2 - min.
(2.195)
Будем предполагать, что матрица A(t) остается невырожденной в процессе интегрирования уравнений Пуассона, когда ортогональная матрица X, удовлетворяющая условию минимальности (2.194), определяется следующей формулой (см. Приложение 3):
X = (Л Т)-'(Л ТЛ)1/2.
(2.196)
Для вычисления квадратного корня из симметрической матрицы АТА (ввиду невырожденности матрицы А матрица АТА положительно определена и имеет положительные собственные значения) достаточно привести матрицу АТА к диагональному виду:
D = $Т(ЛТЯ)£,
(2.197)
где S - ортогональная матрица, определяемая с помощью известных вычислительных процедур приведения симметрических матриц к диагональному виду.
Если через di обозначить диагональные элементы матрицы D (ими. очевидно, являются собственные значения матрицы ЛТЛ), то матрица Z>1/2 определяется как диагональная матрица с элементами Jdt. Учитывая изложенное, формулу (2.196) перепишем в виде
X = (4T)-‘SDinST.
(2.198)
Таким образом, в ходе интегрирования уравнений Пуассона целесообразно осуществлять контроль ортогональности матрицы А путем вычисления следующего показателя неортогональности:
Д = 1А 'А - £1,, Д г О
(2.199)
250
ipw достижении величиной Д заданного порогового значения Ддоп рректировать матрицу Я по формуле (2.198).
Вопрос коррекции нормы кватерниона при интегрировании нематических уравнений может решаться аналогичным образом. При эм достаточно производить контроль нормы кватерниона и при дчимом отклонении нормы от единицы, |Л| - I г г10", осуществлять ррекцию кватерниона по обычной формуле его нормирования:
д(л> = _А_, |Л| = Aj + Л2 * Л2 + X2,	(2 200)
vUi
е Л(я) - нормированный кватернион.
Заметим, что формула (2.200) вытекает из формулы (2.196), если под понимать вектор-столбец, образованный компонентами кватерниона , Л(, Л2, Х3. Таким образом, можно утверждать, что нормированный ;атернион наиболее близок к корректируемому кватерниону по эитерию минимума суммы квадратов разностей их одноименных эмпонент.
Существуют также иные подходы к задаче коррекции кватерниона эи интегрировании кинематических уравнений. В работе [3] изложен юсоб преобразования кинематических уравнений к виду, при котором эсспечивается асимптотическая близость нормы кватерниона к единице зависимо от погрешностей интегрирования кинематических уравнений, ассмотрим содержание этого способа.
Обозначим а = VlKi и запишем выражение (2.200) в виде
Л = аЛ<л>.	(2.201)
[родиффренцировав (2.201) по времени, получим
Л = kAW сЛ(,). кватернион удовлетворяет уравнению	(2.202)
Лм = IaWow.. 2	£	(2.203)
2 учетом (2.201) и (2.203) уравнение (2.202) принимает вид:
Л = —Л + — Л°й>
а 2	1
(2.204)
251
Обозначим - =Дг). Тогда окончательно имеем: а
А =/(0Л +	(2.205)
Уравнение (2.205) эквивалентно (2.203) в том смысле, что результат нормировки решения уравнения (2.205) удовлетворяет уравнению (2.203). Теперь можно выбрать функциюДО таким образом, чтобы обеспечить асимптотическое свойство нормирования кватерниона, т.е. | а| = а - 1.
Функцию ДО при этом можно выбрать различными способами, например,принять
/(г) = -fc(a - 1)	(2.206)
или
/(0 = -к(аг - 1).	(2.207)
Рассмотрим первый вариант. Будем интегрировать уравнение (2.205) в виде
А =	- к(а - 1)Л.	(2.208)
Необходимо выяснить, как в процессе решения уравнения (2.208) будет изменяться а. Для модуля Л имеем дифференциальное уравнение:
= -fc(a - 1).	(2.209)
Интегрируя это уравнение, получаем
/-7^77	ш^-1 -	= -к,.
£«(« - 1) « %
Разрешив последнее выражение относительно а. имеем:
а - 1 -
*
(2.210)
откуда следует, что при i - •» а - 1.
252
Рассмотрим второй вариант выбора функции /(г). В этом случае мнение для кватерниона интегрируется в виде
д =	- к(а2 - 1)Л.	(2.211)
Для модуля Л дифференциальное уравнение имеет вид:
- = -к(а2 - 1), а
суда после интегрирования данного уравнения получаем
(2.212)
Из данного выражения следует, что при t - ® а - 1 вдвое быстрее, м в первом случае.
Литература к разделу II
1.	Андреев В.Д.Теория инерциальной навигации. Автономные системы. М.: Наука, 1966. ) с.
2.	Баллистика и навигация ракет/ Под ред. А.А. Дмитриевского. М.: Машиностроение, 35.312 с.
3.	Бранен В.И., Шмыглевскнй И.П. Применение кватернионов в задачах ориентации :рдого тела. М.: Наука, 1973.320 с.
4.	Бранен В.Н.,111мыглевскийИ.П. Ввел ениев теорию бесплатформенныхинерииальных впгаиионных систем. М.: Наука, 1992. 280 с.
5.	Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967. 576 с.
6.	Геофизические условия полета. Ч. I. Математические модели гравитационного поля млн / В.Г. Кузнецов и др. М.: Изд. ВАД. 1993.112 с.
7.	Гореиштейн И.А., Шульман И.А. Инерциальные навигационные системы. М.: ашнностроенне, 1970. 230 с.
8.	Ишлинский А.Ю, Инерциальное ^правление баллистическими ракетами. М : Наука, 68.142 с.
9.	Ишлинский А.Ю. Механика относительного движения н силы инерции. М.: Наука. 81. 191 с.
10.	Инерциальные системы управления / Под ред. Д. Питтмана. М.. Воениздат, 1964. <4 с.
11.	Командно-измерительные приборы ! Под ред. Б.И. Назарова. М.: Изд. МО СССР, *87. 638 с.
12.	Ланкастер П.Теория матриц. М.: Наука, 1978. 280 с.
13.	Рнвкин С.С., Берман З.М.. Окои И.М. Определение параметров ориентации объекта «платформенной инерциальной системой. СПб.'.ГНЦРФ-ЦНИИ "Электроприбор”, 1966. 56 с.
14.	Седов Л.И. Об основных моделях в механике. М.: Изд. МГУ, 1992. 152 с.
15,	Теория полета. Ч. И / Под ред. Д.А. Погорелова. М.: Изд. МО СССР, 1974. 502 с.
16.	Хлебников Г.А. Начальная выставка инерциальных навигационных систем. М.: Изд. 10 СССР, 1994. 395 с.
253
РАЗДЕЛИ!
МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ НАВЕДЕНИЯ БАЛЛИСТИЧЕСКИХ РАКЕТ И ГЧ
ВВЕДЕНИЕ
Наведение является одной из важнейших функций системы управления движением любого летательного аппарата и заключается в формировании программ управления движением ЛА из условия достижения конечной цели управления. В общем случае в задачу наведения включается также выработка разовых команд управления на сброс отделяемых элементов конструкции ЛА, на отделение элементов боевого оснащения баллистических ракет (моноблочной головной части или боевых блоков разделяющейся ГЧ, элементов КСП ПРО), на сброс бомбовой нагрузки бомбардировщика при прицельном бомбометании, на пуск управляемых или неуправляемых ракет с борта самолета-носителя и т.п.
На начальном этапе развития управляемых ракет понятие "наведение" относилось главным образом к ракетам, предназначенным для стрельбы по подвижным целям (зенитные ракеты, ракеты класса "воздух - воздух" и др.), причем это понятие охватывало практически весь комплекс вопросов управления движением, включая получение навигационной информации о взаимном движении ракеты и цели. Вследствие этого системы наведения нередко классифицировались в соответствии с принципом получения навигационной информации и подразделялись на радиокомандные системы наведения, системы теленаведения, системы самонаведения и т.д. Для таких ракет были разработаны эффективные методы наведения, не утратившие своего значения до настоящего времени (наведение по кривой погони, наведение по методу параллельного сближения, наведение в упрежденную точку встречи с целью и др., см [1]).
В дальнейшем понятие наведения стали относить также к задачам управления движением баллистических ракет, космических ракет-носителей, пилотируемых и автоматических КА. Поскольку полет ЛА перечисленных типов является, как правило, двухфазным’, т.е. включает
Полет баллистического ЛА может быть и многофазным, т.е. включать несколько чередующихся участков активного и баллистического полета. Примером могут служить ракеты-носители с доразгонным блоком для выведения высокоорбитальных ИСЗ, многие типы орбитальных и межплаиенткых КА.
254
5у управляемого полета с работающей двигательной установкой асток активного полета) и фазу свободного или пассивного полета ллнстический участок), то такие ЛА принято объединять общим )мином баллистические ЛА.
Именно для баллистических ЛА оказалось целесообразным вычленить зственно задачу наведения из всего комплекса задач управления иженнсм, поскольку для ЛА данного типа эта задача обладает ибольшей методической самостоятельностью. В отечественной тературе эта идея вычленения задачи наведения в самостоятельную сть общей задачи управления в наиболее четком виде впервые ражена в монографии В.Д. Могилевского [11}. В настоящее время коплен богатый опыт решения задач наведения баллистических ракет, равняемых ГЧ БР и других типов баллистических ЛА, созданы и авизованы на практике эффективные методы наведения. Данное стоятельство позволяет говорить о создании основ теории наведения ллистических ЛА как части общей теории управления движением, яучно-методологический фундамент данной теории образуют методы ггимального управления (включая принцип максимума Л.С. Понтряги-i и принцип динамического программирования Р. Веллмана), методы рминального управления, методы решения краевых задач управления, своей прикладной части теория наведения опирается на методы шамики, баллистики и теории полета ракет и КА.
В настоящем разделе рассматриваются как общие вопросы решения дач наведения, так и конкретные методы и алгоритмы наведения БР ГЧ. Из всего многообразия разработанных методов, которые нашли сражение в учебной, монографической литературе и в периодической гчати, выделены и рассмотрены: методы наведения по предварительно •данным программам управления, метод требуемой скорости в двух его сиовных вариантах (методы наведения по текущей и конечной эебуемой скорости), метод требуемых ускорений. Выбор этой группы етодов объясняется тем, что названные методы наиболее полно азработаны в теоретическом плане и широко апробированы на рактике. Данные методы хорошо иллюстрируют богатство идей и азнообразие подходов к решению задач наведения баллистических ЛА.
Ограниченный объем книги не позволил рассмотреть ряд новых нтересных направлений развития теории наведения. Одно из этих вправлений основано на принципах инвариантности управляемых истем, разрабатываемых в теории управления, начиная с пионерских •аботГ.В. Шипанова (см. [21]). Рекомендуем читателю самостоятельно •знакомиться с основными идеями инвариантного управления и •рименением их к задачам наведения по работам [7], [16], [20].
255
Глава 3.1
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА МЕТОДОВ НАВЕДЕНИЯ БР И ГЧ
3.1.1. Исходные понятия и определения
Рассматриваемые ниже понятия теории наведения являются общими для широкого класса баллистических объектов - баллистических ракет, управляемых головных частей, ступеней разведения боевых блоков РГЧ и др. Охарактеризуем эти понятия применительно к задаче наведения баллистической ракеты, оснащенной неуправляемой моноблочной головной частью.
Напомним, что в соответствии с изложенным в разд. I задача управления полетом БР состоит в выведении ГЧ на попадающую траекторию (т.е. траекторию свободного баллистического полета, проходящую через заданную точку цели) и обеспечении устойчивого полета БР на участке выведения. При этом в соответствии с общими принципами управления движением задача управления полетом БР рассматривается как совокупность двух взаимосвязанных задач-задачи наведения, заключающейся в формировании системой наведения программ управления движением БР на АУТ и выработки разовой команды на отделение ГЧ, при которых обеспечивается выведение ГЧ на попадающую траекторию, и задачи стабилизации, заключающейся в отработке сформированных системой наведения программ управления в каналах системы стабилизации, функционирующих как замкнутые системы автоматического регулирования. Полагается, что вся информация о текущих параметрах движения ракеты, необходимая для функционирования систем наведения и стабилизации, получается с помощью инерциальной измерительной системы, принципы построения которой рассмотрены в разд. И.
Перейдем к определению основных исходных понятий теории наведения. Прежде всего определим понятия программа управления, метод и алгоритм наведения.
В соответствии с изложенным в п. 1.1.6 программами у правления бу лсм называть математические зависимости, определяющие желаемый (требуемый) закон движения ЛА, при котором обеспечивается достижение поставленной цели управления. Как будет видно из последующего изложения, программы управления движением БР и ГЧ могут иметь различный вид и выражаться как в форме задания требуемого закона
256
(з.менения параметров управления, так и в форме задания требуемого акона изменения параметров движения ЛА.
Под методом наведения будем понимать руководящую идею, формулированную в виде некоторого правила, в соответствии с юторым осуществляется выработка программ управления движением I разовых команд наведения (в частности, команды на отделение ГЧ). Хинное правило, выраженное в замкнутой математической форме, юигодиой для практической реализации в бортовой СУ, будем называть алгоритмом наведения.
Всю совокупность методов наведения БР принято подразделять на 1ве группы в зависимости от содержания принципа формирования фограмм управления движением (или, короче, принципа программиро-шния движения), реализуемого данным методом. Различают принципы предварительного и текущего программирования движения.
Принцип предварительного программирования движения заключается » том, что, как это видно из его названия, программы управления Ьормируются заблаговременно, до пуска БР, и в процессе полета не вменяются и не корректируются. Такие программы определяются дтя юминальных (расчетных) условий полета БР и являются по своему ;мыслу программами разомкнутого управления, так как обратная связь ю текущим параметрам движения в формировании программ управления не участвует.
Программы разомкнутого управления называются также жесткими пи временными программами, так как они выражаются в виде функций текущего времени полета, отсчитываемого от момента пуска ракеты. Характерной особенностью жестких программ управления является то, 1то они задают один и тог же закон движения ракеты вне зависимости зт возмущений, действующих на ракету в условиях реального полета. Принято говорить, что программы управления данного типа программируют движение по жесткой траектории, хотя реальная траектория может сильно отличаться от программной траектории вследствие зеиствия возмущений, поэтому данный термин не следует понимать Зукеально.
В рамках принципа предварительного программирования движения могут формироваться так называемые гибкие или параметрические программы. Независимой переменной в таких программах является не время. а гот или иной параметр движения ракеты. Чаше всего в качестве такого параметра выбирается проекция вектора кажущейся скорости ракеты на ее продольную ось или на вертикальную ось стартовой системы координат. Гибкие программы в номинальных условиях полета 'т.е. без учета действия возмущений) тождественны жестким программам в том смысле, что задают тот же закон движения. Отличие гибких
257
программ от жестких проявляется в реальных условиях полета вследствие их зависимости от текущих параметров движения, подверженных влиянию возмущении. Поэтому закон движения ракеты, заданный параметрической программой, видоизменяется в реальных условиях полета в зависимости от уровня и характера возмущений. Принято говорить, что полет ракеты при применении параметрических программ осуществляется по гибкой траектории.
Преимущество гибких программ управления по сравнению с жесткими программами заключается в том, что их применение позволяет определенным образом сузить трубку возмущенных траекторий полета ракеты.Это облегчает решениезадачи учета ограничений надопусгимые параметры движения БР и ГЧ, а также, при известных условиях, уменьшает методические ошибки наведения.
Разовые команды наведения, формируемые в рамках принципа предварительного программирования движения, подразделяются, как и программы управления, на два типа команд. Будем называть их программно-временными и функциональными командами. Моменты выдачи программно-временных команд определяются до пуска ракеты и жестко фиксированы во времени независимо от условий реального возмущенного полета. Эти команды являются командами разомкнутого управления. Совместно с другими временными командами они объединяются в циклограмму подготовки и проведения пуска ракеты.
Функциональные команды управления формируются по принципу обратной связи и являются командами замкнутого управления. Выдача этих команд осуществляется по признаку достижения некоторой управляющей функцией своего заданного значения, определяемого условиями пуска. Типичным примером функциональной команды наведения является команда на отделение ГЧ, формируемая с помощью баллистической управляющей функции, варианты построения которой рассмотрены в гл. 3.4. Моменты выдачи функциональных команд наведения зависят от текущих параметров движения ракеты и в реальных условиях полета отличаются от своих номинальных значений вследствие действия возмущений.
В связи с вышеизложенным обратим внимание читателя на следующее обстоятельство. В ряде учебников, где затрагиваются вопросы построения СУ БР, встречается утверждение, что команды на разделение ступеней ракеты, а также команда на отделение ГЧ, которая формируется с помощью баллистической управляющей функции, являются командами разомкнутого управления и вырабатываются без использования обратной связи ([1], с. 200; [10], с. 53). Это утверждение неправомерно и противоречит самой сути принципа обратной связи - выработке управляющих воздействий по информации о реальном состоянии объекта
258
равления, получаемой от измерительной системы. В частности, при равлении отделением ГЧ значения баллистической управляющей нкиии вычисляются в полете по текущей навигационно-измерительной [формации (см., например, формулы (3.112), (3.132) и др.), т.е. команда . отделение ГЧ формируется непосредственно в контуре обратной связи относится по определению к категории команд замкнутого управления.
Команды на отделение отработавших ракетных блоков и разделение упеней ракеты являются командами разомкнутого управления, если лдача этих команд в полете производится в заранее предопределенные эменты времени в соответствии с циклограммой пуска ракеты. Если г эти команды формируются с помощью некоторой управляющей .нкиии, то их следует отнести к категории команд замкнутого давления. Например, команда на отсечку тяги ДУ отработавшего 1кетиого блока и отделение его от ракеты может формироваться по шзнаку окончания компонентов топлива по информации от размешае-з1.х в баках датчиков уровня. На твердотопливных ракетах признаком игорания заряда топлива служит понижение давления в камере сгорания !же определенного значения, поэтому команда на разделение ступеней 1кеты может вырабатываться по информации о давлении в камере орания. В обоих случаях команда на разделение ступеней формируется э измерительной информации о состоянии ракеты и является, 1едовательно, командой замкнутого управления.
Принцип текущего программирования движения заключается в том, го программы управления определяются непосредственно в полете и ормируются по принципу обратной связи, т.е. являются программами [мкнутого управления. Разовые команды наведения вырабатываются этом случае так же, как команды замкнутого управления, и зляются, таким образом, функциональными командами.
Принцип текущего программирования охватывает множество пличных методов наведения как баллистических ЛА, так и летательных тпаратов других типов. К числу этих методов относятся рассматривае-ые ниже методы наведения по требуемой скорости и требуемым зкорениям.
В некоторых литературных источниках программы управления, ормирусмые при текущем программировании движения, получили азвание свободных программ управления, а сам принцип текущего рограммирования - принципа наведения по свободным траекториям. .анные термины достаточно условны и их следует принимать с пределенными оговорками. Действительно, по своему смыслу любая рограмма управления является, как зто отмечается далее в п. 3.1.2, правляюшей связью, стесняющей свободу движения ЛА, причем сама га связь не свободна. Тем не менее, термин "свободная" программа веден в технический лексикон как антитеза терминов "жесткая" и
259
"гибкая" программа и его следует понимать в том смысле, что„программа замкнутого управления обладает значительной свободой изменения'»' зависимости от уровня действующих в полете возмущении. В отличие от этого жесткая программа инвариантна к возмущениям, а гибкая программа, хотя и изменяется в условиях реального полета, деформируется только во временной области (подробнее см. п. 3.3.5).
Аналогичное замечание относится и к выражению "наведение по свободным траекториям". Данный термин отражаетто обстоятельство, что при наведении по замкнутым программам управления реальная траектория полета может весьма заметно отличаться от номинальной (невозмущенной) траектории, что. однако, не препятствует успешному решению задачи управления конечным (терминальным) состоянием объекта управления. В отличие от этого при наведении по разомкнутым программам требуется, как правило, принятие дополнительных мер по удержанию возмущений траектории полета в окрестности номинальной траектории, что и находит отражение в выражении "наведение по жестким траекториям'.
Сделаем еще несколько замечании терминологического характера. Методы наведения БР, реализующие принцип предварительного программирования движения (как с жесткими, так и с гибкими программами), получили в отечественной литературе наименование функциональных методов наведения [19]. Это название отражает то обстоятельство, что при наведении по заранее заданным программам на бортовую систему наведения возглагается единственная задача -выработка функциональной разовой команды на отделение ГЧ (или группы таких команд при управлении разведением боевых блоков РГЧ). В свою очередь, методы наведения, реализующие принцип текущего программирования движения (например, метод требуемой скорости), получили наименование терминальных методов, т.е. решающих задачу управления конечным или терминальным состоянием объекта управления.
Данная терминология также не вполне адекватно отражает сущность решаемых задач управления. Действительно, задача выработки функциональной разовой команды на отделение ГЧ обусловлена не принятым методом наведения, а особенностью БР как объекта управления, заключающейся в двухфазности ее полета. Эта задача решается в рамках любого метода наведения, различаясь лишь алгоритмически (см. формулы (3.114), (3.185), (3.236)). С другой стороны, понятие "терминальный метод” принято связывать с задачей управления конечным (терминальным) состоянием объекта управления независимо ст того, какой принцип положен в основу программирования движения и по
260
каким программам осуществляется наведение - по разомкнутым или замкнутым (см. (3], [13]).
В связи с изложенным выскажем предложение по возможному уточнению терминологии, применяемой при классификации методов наведения БР. В основу такой классификации целесообразно положить не принципы программирования движения и не вид применяемых программ управления (разомкнутые или замкнутые), а изложенные в гл. 1.1 общие принципы управления движением, в частности, принципы управления начальным и конечным состоянием объекта управления. В соответствии с этим методы наведения БР можно разделить иа две группы. К первой группе отнесем методы наведения, в которых цель управления определяется как формирование таких граничных условий движения БР, при которых обеспечивается выведение ГЧ на одну из попадающих траекторий (см. ниже ф-лы (3.41) - (3.44)). Методы наведения первой группы могут быть названы граничными методами наведения. В свою очередь, терминальными методами наведения назовем такие методы, в которых цель управления определяется непосредственно в виде терминальных условий попадания ГЧ в точку цели. В этом случае зависимости вида (3.41) - (3.44) или их аппроксимации не используются.
Введенный нами термин "граничный метод наведения" правильнее отражает содержание задачи управления, состоящей в достижении заданных граничных условий движения БР, и поэтому предпочтительнее термина "функциональный метод наведения". Учитывая, однако, что вновь введенный термин не является общепринятым, тогда как выражение "функциональный метод наведения" прочно вошло в технический лексикон, в последующем изложении (гл. 3.3 и 3.4) мы применяем оба названных термина и используем их как синонимы.
Что касается выражения "терминальный метод наведения", то в изложенном выше понимании оно полностью согласуется со сложившейся терминологией. К группе терминальных методов наведения относятся рассматриваемые в гл. 3.5 и 3.6 методы наведения по текущей и конечной требуемой скорости, а также изложенный в гл. 3.7 метод наведения ББ по требуемым ускорениям независимо от того, какие программы требуемых ускорений применяются-замкнутые или разомкнутые.
3.1.2. Виды и состав программ управления при наведении
При анализе возможных видов и состава программ управления при наведении баллистических ЛА удобно интерпретировать программы управления как некоторые связи (назовем их управляющие связи), которым подчинены фазовые координаты ЛА и которые стесняют
261
свободу его движения. Такая интерпретация полностью соответствует известному в механике понятию геометрических и кинематических связей и позволяет легко ответить на вопрос о максимальном числе взаимно-независимых программ управления, которые могут быть использованы при управлении полетом ЛА.
Действительно, если рассматривать ЛА как твердое тело переменной массы, то при известном законе расходования массы такое тело имеет шесть степеней свободы: три степени свободы вращательного и три степени свободы поступательного движения. Таким образом, в общем случае движение ЛА может быть подчинено шести независимым управляющим связям, т.е. максимальное число взаимно-независимых програм.м управления равно шести.
Проанализируем состав и форму задания программ управления полетом БР на АУТ. С этой целью воспользуемся приведенными ниже уравнениями движения ракеты в проекциях на оси абсолютной стартовой системы координат.
У = i =
V»
. Р
V = —cosO.cosik * — -g_, т	т
(3.1)
р	R
Г =rsin6+_>i-^ ' т	т >
р	Л,
Vz = — cosfysinty + — -gt. tn	m
В данных уравнениях через Р обозначена сила тяги ДУ; &t и фj - углы тангажа и рыскания; Rx, R}„ Rz - проекции полной аэродинамической силы и gx, gr g. - проекции ускорения силы притяжения Земли на оси стартовой системы координат. Поскольку нас сейчас интересует только структура уравнений (3.1), нет необходимости выписывать явные выражения для зависимостей полной аэродинамической силы и ускорения силы притяжения Земли от параметров движения. Отметим только, что величины Rv R>a R. зависят от высоты и относительной скорости полета, углов тангажа и рыскания, а также углов атаки и
262
сольжения. Величины gx, gy, g, зависят от координат и текущего эемени.
Предположим, что для некоторых условий стрельбы, определяемых ^ординатами точки пуска и координатами цели, методами баллистики зесчитана требуемая траектория полета ракеты на АУТ, обеспечиваю-;ая выведение ГЧ на траекторию попадания в цель. Найденный закон зижения центра масс ракеты может быть выражен в виде функций л(г), Д с(г). Поскольку данные функции одназначно определяют с помощью перации дифференцирования составляющие вектора скорости, а при овторном дифференцировании - составляющие вектора ускорения, то 1кон движения может быть выражен также в виде функций Гх(0> ^(0, ',(0 или функций ax(l), ay(f), ' Рассмотрим возможные варианты задания программ управления, вторыми определяется найденный закон движения ракеты на АУТ. С дной стороны, программы управления могут быть заданы в виде ункций изменения во времени углов тангажа и рыскания, входящих зно в правые части уравнений (1.1) в качестве параметров управления определяющих направление вектора тяги ДУ. В качестве параметров правление могут использоваться также углы атаки и скольжения, оторыми в номинальных условиях движения углы тангажа и рыскания пределяются однозначно.
С другой стороны, роль программ управления могут с успехом ыполнять приведенные выше функции, которыми требуемый закон вижения ракеты выражается в явной форме непосредственно через араметры движения. Таким образом, имеем, по крайней мере, пять ариантов задания программных функций, определяющих закон вижения ракеты на АУТ:
0,(0 “ о? (0, Ф,(О = Ф?(О,	(3.2)
а(0	= e«*(0,	р(0 =	(3.3)
л(0 =	y(t) =	^(0,	z(t) = z^l),	(3.4)
их(г) =	Г/0 =	j>°P(r),	Fx(0 =	i°P(0,	(3.5)
M0 = a!°₽(0,	e/0 =	Л')»	M0 =	(3.6)
263
Для номинальных условий полета все приведенные варианты программ задают одно и то же движение ракеты и в этом смысле они взаимно тождественны. В условиях возмущенного движения взаимная тождественность программ (3.4), (3.5) и (3.6) сохраняется, однако они не тождественны программам (3.2) и (3.3), которые, в свою очередь, не тождественны друг другу. Рассматривая приведенные программы управления как управляющие связи, можно констатировать, что связи (3.2), наложенные на вращательные движения ракеты, влияют в силу уравнений движения (3.1) на параметры ее поступательного движения, однако не полностью стесняют свободу поступательного движения БР. Действительно, уравнения (3.1) показывают, что вследствие действия возмущений (таких, как отклонения от номинальных значений массы ракеты и ее аэродинамических характеристик, тяги ДУ, вариации параметров атмосферы, ветер) реальное ускорение ракеты будет отличаться от программного ускорения даже при условии точной реализации программных значений углов тангажа и рыскания. Это вызывает соответствующие отклонения скорости и координат ракеты от их номинальных программных значений. Вследствие этого в реальных условиях движение ракеты будет происходить в так называемой трубке возмущенных траекторий, размеры которой определяются уровнем действующих возмущений.
Поставим следующий вопрос: какая из сравниваемых совокупностей функций (3.2) - (3.6) более целесообразна для практической реализации в СУ БР в качестве программ управления?
Если рассматривать данный вопрос только в рамках задачи наведения, то предпочтение следовало бы отдать функциям (3.6), так как в случае их точной отработки с помощью системы стабилизации будет обеспечен полет ракеты по программной траектории при действии любых возможных возмущений (исключая возмущения начальных условий движения). Однако если обратиться к проблеме стабилизации движения, то можно заключить, что даже при точной отработке программных функций (3.6) устойчивый полет ракеты не гарантируется.
Действительно, явление потери устойчивости ракеты в полете выражается в факте неконтролируемого изменения ее пространственной ориентации, вследствие чего возможно опрокидывание ракеты и последующее разрушение. Следовательно, для обеспечения устойчивого полета в условиях действия различных возмущающих моментов (в том числе аэродинамического опрокидывающего момента, вызванного статической неустойчивостью ракеты, динамических моментов, порожденных упругими колебаниями корпуса ракеты и подвижностью ее жидкого наполнения, моментов от эксцентриситетов тяги ДУ и т.д.) необходимо осуществлять контроль и коррекцию ориентации ракеты
264
в пространстве с целью удержания угловых параметров движения в допустимых пределах. Однако при использовании программ управления вида (3.6) угловые параметры движения ракеты будут определяться только требованием парирования силового возмущающего воздействия, оказывающего влияние на движение центра масс ракеты, причем в силу случайного характера этого воздействия потребные значения углов тангажа и рыскания, скорости изменения этих углов и угловые ускорения также будут изменяться случайным образом вне зависимости от характера действия возмущающих моментов. В этих условиях устойчивый полет ракеты невозможен.
В свете изложенного программы управления, заданные в угловых величинах, имеют неоспоримое преимущество перед программами вида (3.4), (3.5) и (3^),так как обеспечивают решение обеих основных задач управления - наведения и стабилизации движения.
Полученный нами вывод может быть обобщен и сформулирован в виде следующего принципиального положения: при решении задач наведения в число программ управления, задающих закон движения ракеты на А УТ, во всех случаях должны быть включены программные функции, определяющие требуемую пространственную ориентацию ракеты, что необходимо для обеспечения ее устойчивого полета.
Данный вывод относится не только к баллистическим ракетам, но и к ЛА других типов, обладающим статической неустойчивостью и сложной динамикой колебательных процессов.
На баллистических ракетах с платформенными ИНС в качестве параметров ориентации наиболее удобны углы тангажа и рыскания, так как именно эти параметры поддаются непосредственным измерениям в узлах подвеса ГСП, благодаря чему отработка программ тангажа и рыскания осуществляется в контуре системы стабилизации путем сведения к нулю рассогласования между измеренными значениями этих углов и их программными значениями. По сравнению с углами тангажа и рыскания углы атаки и скольжения менее удобны для программирования движения БР, так как они не поддаются непосредственным измерениям и могут быть определены только расчетным путем по текущей навигационной информации. Кроме того, эти углы зависят не только от ориентации ракеты, но и направления ее вектора скорости, вследствие чего возмущения скорости полета ракеты могли бы оказывать влияние на устойчивость ее полета.
К программам изменения углов тангажа и рыскания должна быть добавлена также программа движения ракеты по углу крена. Угол крена не входит в явном виде в уравнение движения центра масс ракеты, обладающей осевой симметрией, и поэтому не оказывает непосредственного влияния на формирование управляющих сил. Однако поддержание
265
Рис. 3.1. Сопровождающий трехгранник траектории движения
заданного значения угла крена необходимо по другим причинам, в частности, для обеспечения требуемой схемы ориентации органов управления ракеты в полете (например, крестообразной или иксообразной). Поскольку на большей части траектории полета БР угол крена постоянен, в дальнейшем для простоты будем полагать его равным нулю. Таким образом, в общем случае в состав программ управления движением БР должны быть включены программы углов тангажа, рыскания и крена:
0?(0. «О, 7?(0 = 0.	(3.7)
В соответствии с этим при полете БР на АУТ должна обеспечиваться ее угловая стабилизация не только по углам тангажа и рыскания, но и по углу крена.
Программы (3.7) образуют полную совокупность управляющих связей, определяющих вращательное движение объекта управления, однако, как сказано выше, неполностью стесняют свободу поступательного движения, вследствие чего в реальных условиях полет ракеты происходит в трубке возмущенных траекторий. При наведении БР по предварительно заданным программам весьма желательно уменьшить размеры трубки возмущенных траекторий в интересах повышения точности стрельбы. С этой целью программы (3.7) дополняются программными функциями, непосредственно определяющими закон движения центра масс ракеты.
Проанализируем возможный состав и форму задания дополнительных программ управления. В качестве таких программ могут быть использованы рассмотренные выше функции (3.4), (3.5) пли (3.6), которыми описываются изменения радиус-вектора центра масс ракеты, вектора ее скорости и вектора ускорения. Форму выражения данных функций можно упростить, если спроектировать векторы F, v и а на оси скоростной системы координат, определяемой сопровождающим трехгранником траектории движения. Сопровождающий трехгранник показан на рис. 3.1 единичными векторами т. п, Ь, направленными
266
•ответственно по касательной к траектории, по главной нормали и нормали. Поскольку при предварительном программировании жжения программная траектория ракеты выбирается обычно в виде эивой, лежащей в плоскости пуска, то векторы ? и л также лежат в тоскости пуска, а вектор Ъ ей перпендикулярен, Заметим, что вектор т •впадает по направлению с вектором скорости v.
Спроектируем векторы гv и а на оси сопровождающего трехгранни-1. приняв во внимание, что при плоской программной траектории роекции этих векторов на бинормаль равны нулю, и, кроме того, роекция вектора скорости на главную нормаль также равна нулю:
7^(0: г^О),	, r?(t) = 0,	(3.8)
<”(0, v7(f) в 0, if(0 . 0,	(3.9)
a^(t): a^d), ^(0. <(') * 0.	(3.10)
Связи между данными функциями описываются следующими ифференииальными выражениями:
vt = v = rt - \гя, v„ = г„ т = 0,
at = fr, a„ = 6vv,
де &v - угол скоростного тангажа. Эти выражения нетрудно получить, ели учесть, что сопровождающий трехгранник вращается вокруг •«нормали с угловой скоростью и воспользоваться известной формулой механики, выражающей полную производную вектора в виде уммы локальной и вращательной производных.
Функции (3.8)-(3.10) задают один и тотжезакон движения. Поэтому иобая из этих совокупностей функций может быть использована в качестве программ управления. На практике предпочтение отдается функциям (3.9), выражающим программы управления в скоростных •араметрах движения. Достоинством этой совокупности функций звляется наибольшая простота хранения в памяти бортовой СУ, так как зве функции тождественно равны нулю.
Объединяя программы управления вращательным движением ракеты с программами управления движением ее центра масс, полу
267
чаем совокупность программ, реализующих полный состав управляющих связей:
а °> г?(0 3 °.
(3.11)
<*(')» v?0 s 0, v?(0 в 0.
В данном случае программные значения угла рыскания равны нулю, что определяется условием программирования движения ракеты в плоскости пуска.
Отметим, что при данном составе программ управления бортовая СУ должна включать полную шестиканальную систему стабилизации, состоящую из системы угловой стабилизации (образованной каналами стабилизации движения по углам тангажа, рыскания и крена) и системы стабилизации движения центра масс (образованную каналами стабилизации продольной, нормальной и боковой скорости). Именно этому варианту программирования движения ракеты в наибольшей степени соответствует термин "наведение по жесткой траектории", так как совместная работа шести каналов стабилизации обеспечивает удержание ракеты вблизи расчетной траектории в реальных условиях полета при действии возмущений.
Программы управления движением центра масс ракеты могут быть выражены и в кажущихся параметрах. Это обстоятельство упрощает алгоритмы системы стабилизации, так как в данном случае не требуется определять действительные параметры движения ракеты путем решения основного уравнения инерциальной навигации и сигналы обратной связи в соответствующих каналах стабилизации могут формироваться непосредственно по показаниям инерциальных измерителей - ньютонометров и импульсометров. В частности, программы управления могут быть заданы в виде программ изменения кажущейся скорости ракеты в проекциях на оси связанной системы координат. В этом случае полный состав управляющих связей выражается следующими программами управления (см. [9]):
0?(0, Ф?(0 = 0, У?(0 = 0,
(3-12) ^(0, ^(0 в 0, W*(t) = 0.
На ракетах с РДТГ вследствие невозможности регулирования тяги ДУ программа продольной скорости не применяется. С целью частичной компенсации отсутствия управляющей связи по продольному движению и некоторого уменьшения отклонений реальной траектории от
268
щипальной, вызванных таким возмущающим фактором, как разброс ini твердотопливной ДУ, применяется параметрическая программа щгажа. В результате образуется следующий (неполный) состав зравляющих связей:
С(^). ФГ(0 5 о, у?(0 * о,
(3.13) = о, в;7(о = о.
Рассмотренные варианты задания программ управления характерны ля наведения по принципу предварительного программирования вижения, т.е. по разомкнутым программам. Как будет показано в гл. 3.4, етодические ошибки наведения по разомкнутым программам пределяются видом управляющей функции, с помощью которой ырабатывается разовая функциональная команда на отделение ГЧ, а акже размерами трубки возмущенных траекторий движения ракеты на ,УТ, которые зависят от состава программ управления и точности истемы стабилизации. Последнее обстоятельство объясняет стремление асширить состав управляющих связей при наведении по разомкнутым :рограм.мам за счет использования программ управления движением ;ентра масс ракеты.
При наведении по принципу текущего программирования движения |рограммы управления являются замкнутыми, чем обеспечивается юмпенсация возмущений непосредственно в контуре программирована движения. Вследствие этого отпадает необходимость в программах 'правления движением центра масс ракеты и программы управления задаются только для параметров углового движения:
<ТО> ЧТО> ^(0 » о.	(3.14)
В данном случае программы управления формируются по принципу обратной связи, поэтому независимой переменной в этих программах :лужит не время, а вектор х - ir, vl текущих параметров движения ракет ы.
Методы и алгоритмы формирования программ управления вида (3.14) рассмотрены в гл. 3.5 н 3.6.
Задание программы управления в углах тангажа н рыскания характерно для задач наведения баллистических ракет, где основной управляющей силой служит тяга двигательной установки. При наведении управляемых боевых блоков на атмосферном участке траектории управление осуществляется с помощью аэродинамических сил. В этих
269
случаях удобнее задавать программы управления в тех угловых величинах, которыми определяются аэродинамические управляющие силы (в частности, подъемная и боковая силы). В зависимости от аэродинамической схемы УББ этими углами являются углы атаки и скольжения либо пространственный угол атаки и угол крена. Таким образом, при управлении УББ возможны следующие варианты задания программ управления:
а^(х), р-Чх). Y?(0 = 0;	(3.15)
аЧ>(£)> pnp(z) в 0> Y4>(-j_	(3.16)
Методы и алгоритмы формирования программ управления вида (3.15) и (3.16) рассмотрены в гл. 3.7.
В заключение отметим, что в отдельных случаях программы управления могут задаваться непосредственно в углах отклонений органов управления ЛА.
Например, при управлении движением на переходных участках траектории,где необходимо осуществить интенсивный угловой разворот ЛА (в частности, при угловых маневрах ступеней разведения), программные значения углов тангажа и рыскания могут изменяться ступенчато, однако переходные процессы в каналах системы угловой стабилизации вследствие их конечной длительности могут не удовлетворять требованиям по быстродействию. В этих условиях целесообразно выразить программу управления в виде соответствующего ступенчатого отклонения органа управления и осуществлять на переходных участках траектории непосредственную перекладку органа управления по заданной программе, чем будет обеспечено повышение быстродействия управления.
В качестве другого примера рассмотрим управляемое движение статически устойчивого осесимметричного УББ на атмосферном участке траектории. При значительных запасах статической устойчивости переходными колебательными процессами, возникающими при перекладках аэродинамических рулей, можно пренебречь и выразить потребные значения углов отклонения рулей через программные значения углов атаки и скольжения с помощью балансировочных зависимостей. В этом случае программы управления приобретают следующий вид:
W), б^(х), Y^(t) в 0,	(3.17)
270
где бт и 5р - отклонения аэродинамических рулей по каналам тангажа н рыскания (см. гл. 3.7).
3.1.3,	Показатели качества методов наведения
Вопрос объективной оценки свойств того или иного метода наведения, его достоинств н недостатков, степени пригодности для управления движением ЛА конкретного типа имеет очевидное прикладное значение. Особенно актуален этот вопрос в случае, когда производится сравнение нескольких методов между собой с целью выбора одного из них, обладающего лучшей совокупностью свойств. Для сравнительной оценки различных методов применяют следующие показатели качества методов наведения:
•	методические погрешности наведения:
•	показатели оптимальности управления при наведении;
•	трудоемкость расчета полетного задания на пуск;
•	трудоемкость реализации метода и алгоритмов наведения в бортовой системе управления.
Рассмотрим содержание и дадим краткую характеристику этих показателей.
Методические погрешности наведения. В соответствии с общими определениями, данными в п. 1.3.5, под методическими погрешностями метода наведения понимается условно независимая часть общего суммарного рассеивания ракеты, определяемая методом наведения и оцениваемая среднеквадратичными отклонениями точек падения ГЧ по дальности и в боковом направлении отточки прицеливания. Методические погрешности наведения порождаются погрешностями математических моделей, описывающих полет БР и ГЧ, погрешностями моделей среды полета (атмосферы, гравитационного поля Земли), допускаемыми упрощениями математических зависимостей, применяемых при расчетах программ управления и управляющих функций в алгоритмах выработки разовых команд наведения.
Оценка методических погрешностей осуществляется для типовых условий пуска БР с применением численных методов моделирования полета БР и ГЧ и методов статистического моделирования действия случайных возмущающих факторов.
Показатели оптимальности управления при наведении. В теории управления оптимальность является важнейшим свойством, определяющим качество управления. Данное свойство оценивается по признаку экстремальности (максимальности или минимальности) некоторой критериальной функции, играющей роль показателя оптимальности. Ввиду того что при управлении движением ракет метод наведения
271
однозначно определяет закон управления и форму траекторий полета, свойство оптимальности метода наведения тождественно оптимальности закона управления и оптимальности соответствующих траектории полета. Оптимальность управления при наведении БР чаше всего оценивается по энергетическому критерию, который может выражаться в различной форме: как требование минимальности запаса топлива, необходимого для выведения заданной полезной нагрузки при пусках на заданную дальность; как требование минимальности времени полета ракеты на АУТ при тех же ограничениях; как требование максимальности дальности полета при заданном запасе топлива и заданной массе полезной нагрузки и др. (см. [15]).
Вопрос оценки показателен оптимальности метода наведения наиболее просто решается для принципа предварительного программирования движения, так как в этом случае выбор программ управления осуществляется по критериям оптимизации, вследствие чего программы управления оптимальны по своему определению. В других методах наведения вопрос оценки степени оптимальности управления (т.е. степени близости программ управления, формируемых данным методом, к оптимальным программам) представляет собой самостоятельную задачу. решаемую, если это возможно, аналитически либо методом численного моделирования. В качестве количественного показателя, характеризующего степень оптимальности управления, может служить величина приращения критериальной функции по отношению к ее экстремальному значению для типовых условий стрельбы (например, величина требуемого дополнительного запаса топлива, дополнительное время полета на АУТ, потери дальности полета по отношению к предельно достижимой дальности и т.п.).
Трудоемкость расчета полетного задания на пуск. Состав данных полетного задания во многом определяется методом наведения, поэтому трудоемкость расчета ПЗ может рассматриваться в качестве одного из показателей качества метода наведения. Наиболее употребительной мерой трудоемкости расчета ПЗ служит время, затрачиваемое на проведение расчетов всех данных для настройки системы наведения ракеты перед пуском по заданной цели. Данное время зависит не только от метода наведения, но и от производительности применяемых вычислительных средств, поэтому при сравнении различных методов наведения это время должно определяться по отношению к имеющемуся или типовому составу вычислительных средств.
Для ракет стационарного базирования с закрепленными точками прицеливания расчет полетного задания проводится заблаговременно, поэтому и данном случае время расчета полетного задания не является критическим показателем для оценки качества метода наведения. Однако
272
д ракет мобильного базирования, у которых расчет полетного задания ушествляется заново при изменении координат точки пуска, время счета (или пересчета) полетного задания непосредственно влияет на еративность подготовки ракеты к пуску и поэтому является важной рактсристикок качества метода наведения,
Трудоемкость реализации метода и алгоритмов наведения в бортовой < До эпохи появления борговых ЦВМ показатель трудоемкости ртовой реализации алгоритмов наведения относился к числу наиболее птических показателей качества метода наведения, так как системы равнения баллистических ракет строились на элементах аналоговой чинки, что препятствовало применению сколько-нибудь сложных горитмов наведения.
С появлением бортовых ЦВМ открылась возможность применения >лее совершенных методов наведения, которые позволили за счет ложнения бортовых алгоритмов уменьшить методические погрешности шедения и повысить оперативность расчета полетного задания. В стоящее время трудоемкость бортовой реализации алгоритмов шедения характеризуется потребными ресурсами бортовой ЦВМ бъемом памяти оперативного запоминающего устройства, количеством зпфметических операций, выполняемых в цикле наведения, требуемым мстродействиеи БЦВМ и др.).
Как видно из приведенных определений, перечислеиныекачсственные эказателп методов наведения могут быть выражены в количественной орме, однако дня этого требуется достаточно сложное моделирование пгорнтмов функционирования системы управления с учетом реальных лрактеристик наземного и бортового цифровых вычислительных омплсксов РК. применяемых для решения задач расчета полетных зданий и управления полетом. В последующем изложении мы ограни-имся качественной оценкой этих показателей для определения остоинств и недостатков рассматриваемых ниже методов наведения и х сопоставительного анализа.
Глава 3.2
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ЗАДАЧ НАВЕДЕНИЯ
3.2.1. Граничные и терминальные условия наведения. Финитное условие и условия попадания
Формулирование и постановка любой задачи наведения начинается с описания и формализации условий, которым должны удовлетворять программы управления и параметры траекторий ЛА в начале и в конце управляемого движения. Эти условия называются начальными и концевыми условиями наведения. Начальные условия определяют параметры движения ЛА (положение, скорость) и другие необходимые величины на момент начала управляемого движения. Концевые условия наведения характеризуют конечную цель управления и определяют значения параметров движения ЛА на момент окончания движения. Концевые условия называют также терминальными условиями (от лат. terminus - пограничный, конечный, предельный).
Понятия концевых и терминальных условий используются как синонимы в задачах наведения ЛА, у которых управление движением продолжается вплоть до момента достижения конечной цели управления. Однако при наведении баллистических ракет, управление движением которых заканчивается в момент обнуления тяги ДУ и отделения ГЧ, целесообразно различать концевые условия наведения, характеризующие попадание ГЧ в заданную точку прицеливания и определяемые на момент встречи ГЧ с целью, и концевые условия наведения БР на момент окончания АУТ. Поэтому в дальнейшем понятие терминальных условий наведения БР мы будем связывать с моментом достижения ГЧ назначенной точки цели, а под концевыми условиями наведения понимать зависимости, которыми определяются параметры движения БР на момент отделения ГЧ. Впредь эти зависимости будем называть граничными условиями наведения БР. Как будет показано ниже, граничные условия описывают множество попадающих траекторий ГЧ, каждая из которых удовлетворяет заданным терминальным условиям.
По своему математическому содержанию задачи определения программ управления, решаемые при заданных начальных и концевых условиях наведения, относятся к классу краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, какими являются уравнения движения. Поэтому начальные и концевые условия наведения будем объединять общим термином краевых условий. В зависимости от постановки задачи наведения краевые условия могут относиться к
274
азличным этапам полета и соот-етствеиио формулироваться по-азному. Например, при определе-;ии программ управления БР роль раевых условий могут выполнять :ак граничные условия на момент отделения ГЧ, так и терминальные словия на момент встречи ГЧ с 1елью. При определении программ управления движением ’правляемых ББ в состав краевых словнн могут включаться началь-
Рис. 3.2. Прямоугольная геоцентрическая и географическая системы коорлннат
ше условия движения на момент ггделения от ракеты-носителя или ia момент входа в плотные слои ггмосферы и терминальные усло-гия на момент встречи с целью.
Перейдем к более подробному описанию начальных, граничных и герминальных условий наведения БР.
Начальными условиями наведения являются координаты и скорость эакеты на момент пуска. При пуске ракеты с неподвижного основания
;е начальная скорость совпадает со скоростью переносного движения, вызванного осевым вращением Земли. Эта скорость однозначно определяется координатами точки пуска. Ими могут быть координаты в прямоугольной геоцентрической или в географической системах координат (рис. 3.2):
хо> >’о» го>
Го, Фо. Ао,
(3.18)
(3.19)
а также любая подходящая совокупность из трех независимых величин.
Терминальные условия наведения характеризуют, как сказано выше, конечную цель управления - попадание ГЧ в заданную точку прицеливания. Поэтому терминальные условия в любом случае содержат координаты точки прицеливания. Кроме того, в их число могут включаться другие величины, отражающие дополнительные требования к попадающей траектории.
Принципиальной особенностью терминальных условий наведения является то, что они должны содержать условия двух видов - условие
275
встречи (называемое также финитным условием) и условия попадания. Условие встречи служит признаком окончания процесса движения. Условия попадания определяют достижение цели управления на момент выполнения условия встречи. По своему определению условие встречи всегда выполнимо, тогда как условия попадания могут оказаться и невыполненными, что приведет к промаху по терминальным условиям. По величине промаха можно судить о степени достижения цели управления.
Проанализируем возможные варианты задания условия встречи н условий попадания. Предположим, что кроме координат точки прицеливания задается полное время полета ГЧ, отсчитываемое от момента пуска ракеты, и в состав терминальных условий наведения включаются четыре величины:
Т, хц, уц1 дц.	(3.20)
В данном случае условие встречи может быть сформулировано как требование достижения текущим временем полета его заданного значения.
t = Г.	(3.21)
Если теперь выразить траекторию движения ГЧ в виде функций изменения во времени ее текущих координат
х = x(t), у = у(/), z = z(t),
то промах по терминальным условиям на момент выполнения условия встречи будет определяться выражениями:
МЛ = х(Т) - хц, АХО = ЯЛ " >'д>	= г(Т) - гц.
В соответствии с этим условия попадания выражаются тремя равенствами;
х(Т) = хц, у{Т) = уц. z(T) = z4	(3.22)
или эквивалентными им условиями нулевого промаха:
Дх(Л = 0, Ду(Л = 0, Дг(П = 0.	(3.23)
Однако в общем случае при наведении БР и ГЧ полное время полета,
276
как правило, не фиксируется и момент достижения головной частью точки цели для различных попадающих траекторий различен. Поэтому условие встречи должно быть сформулировано иным образом с помощью имеющихся терминальных условий. С этой целью зададим координаты точки прицеливания в географической системе координат,
гп» Фц> Al»
(3.24)
и выразим попадающую траекторию в параметрической форме, где роль независимой переменной играет не время, а один из параметров движения. В качестве такого параметра наиболее удобно использовать текущий радиус траектории, тогда параметрическое выражение траектории ГЧ в географических координатах имеет вид:
Ф = ф(г), Л = Л (г).
(3.25)
Поскольку при движении ГЧ по любой попадающей траектории равенство г = гп будет обязательно обеспечено в некоторый момент времени (что ясно из физической картины движения), то данное равенство и может служить признаком окончания движения, т.е. условие встречи формулируется в данном случае в виде
r(f) = гп.
(3.26)
В соответствии с этим условия попадания записываются в виде двух равенств:
Ф(гц) = Фц» Л(гц) =
(3.27)
или в виде эквивалентных им равенств, выражающих условия нулевого промаха по координатам ф и Л на момент выполнения условия встречи:
ДФ(гц) = 0, ДЛ(гц) = 0.
(3.28)
Отметим, что условие встречи, записанное в виде равенства (3.26) или в другой эквивалентной форме (например, как равенство текущей высоты полета ее заданному значению), является универсальным для любой комбинации терминальных условий и наиболее часто употребляется в задачах наведения БР и ГЧ. В тех же случаях, когда в число терминальных условий включается полное время полета ГЧ, условие встречи может задаваться как в виде равенства (3.26), так и в виде равенства (3.21). При
277
Рис. 33. Азимут и сферическая дальность точки цели
Рис. 3.4. Целевая естественная система координат
выборе одного из этих равенств в качестве условия встречи другое играет роль условия попадания и промах оценивается по соответствующему параметру (т.е. либо по полному времени полета, либо по высоте).
Условия попадания (3.28) также имеют различную форму выражения в зависимости от того, в каких переменных заданы координаты точки цели. Так, положение цели может задаваться ее азимутом Л и сферической дальностью L, определяемой как длина дуги большого круга радиуса гц. соединяющей точки пуска и цели (рис. 3.3). В этом случае промах будет определяться величинами:
ЛА = А - Лц, AL = L - La>
(3.29)
а условия попадания - как равенства нулю этих величин. Заметим, что при * ,-ц в качестве точки 0 для отсчета дальности следует рассматривать проекцию точки пуска на сферу радиуса ru.
Отклонения точек падения ГЧ отточки цели удобно определять также в целевой естественной системе координат (см. рис. 3.4). Начало данной системы координат совмещено с точкой цели, оси L и В лежат в плоскости местного горизонта, при этом ось L ориентирована по касательной к так называемой линии естественной дальности (кривая А на рис. 3.4). В данном случае промах характеризуется величинами ЛЬ и ЛВ, представляющими собой отклонения точек падения ГЧ от точки
278
yin по дальности и в боковом направлении, а условия попадания в цель зределяются как равенства нулю указанных отклонений:
Д£(ЯЦ) = 0; ДВ(ЯЦ) = 0.	(3.30)
з,метим, что при использовании данной системы координат условие :тречи формулируется как условие равенства текущей высоты полета : значению в точке цели,
ЯО) = на.	(3.31)
Рассмотрим дополнительные требования, которые могут быть редъявлены к попадающим траекториям ГЧ. Одним из таких требова-ий, как указывалось, является заданность полного времени полета ГЧ. оответствующее терминальное условие запишем как условие попадания:
Т(ЯЦ) = Тт.	(3.32)
Необходимость обеспечения заданного времени полета ГЧ существует бычно в тех условиях, когда требуется согласовать моменты прилета ескольких ГЧ к одной цели или к нескольким близкорасположенным елям.
Другим дополнительным требованием к попадающим траекториям вляется заданность угла входа ГЧ в плотные слои атмосферы:
“ 0.Т.	(3.33)
1анноетребование преследует цель сузить трубку возможных траекторий эижения ГЧ на атмосферном участке траектории и уменьшить тем амым рассеивание точек падения ГЧ, а также возможный разброс 'Ысоты срабатывания боевого заряда ГЧ при высотном подрыве.
Условия попадания (3.32) и (3.33) запишем в эквивалентной форме :ак условия нулевого промаха по параметрам Т и 0ВХ на моменты щшолнения соответствующих условий встречи:
АТ(ЯЦ) = О;	(3.34)
Д0«х(^х) = °-	(3.35)
Итак, далее будем рассматривать терминальные условия вида (3.30), 3.34) и (3.35), которые типичны для задач наведения БР. При этом все
279
последующие рассуждения, проводимые в данной главе, полностью применимы и к-другим вариантам задания терминальных условий.
Перейдем к рассмотрению граничных условий наведения. Данные условия, как сказано, относятся к моменту отделения ГЧ от ракеты и представляют собой функциональные связи между параметрами движения ракеты в момент окончания АУТ (назовем их граничными параметрами движения ракеты) и терминальными условиями наведения. Тем самым граничные условия наведения могут рассматриваться как математические зависимости, описывающие множество возможных траекторий движения ГЧ, каждая из которых удовлетворяет заданным терминальным условиям.
Обозначим момент отделения ГЧ от ракеты через гк, а через гк и vx -радиус-вектор и вектор абсолютной скорости ГЧ в этот момент. Для удобства последующих выкладок введем наряду с этим единые обозначения для параметров движения ракеты и ГЧ: <?, (/ = 1,.... 6), где <7|, <7,1 <7з ” координаты центра масс ракеты или ГЧ, а <?4, q$, q6 -компоненты вектора абсолютной скорости в выбранной прямоугольной системе координат. Тогда начальными условиями движения ГЧ, однозначно определяющими заданные терминальные условия наведения, являются семь скалярных величин q^,.... q^, /г, где
1...6-	(3.36)
Функциональные связи начальных условий движения ГЧ и терминальных условий наведения выразим следующим образом:
Д2, = S^qto...		(3.37)
ЬВ = S2(q®,..	.. О;	(3.38)
А 9.x =		(3.39)
		(3.40)
при этом условия попадания характеризуются нулевым промахом по соответствующим терминальным условиям:
280
W’.......U	=	0;	(3.41)
S2(qf>...?6W,	0	=	0;	(3.42)
S3(q?}...qf,	0	=	0;	(3.43)
S4(qfx>.....^.Q	=	0.	(3.44)
Данные зависимости описывают множества возможных начальных словий движения ГЧ, при которых обеспечивается выполнение эответствующих терминальных условий наведения. Отметим, что запись гих зависимостей в виде явных формульных выражений возможна лишь ля некоторых частных типов моделей движения ГЧ без учета сопротив-ения атмосферы на нисходящем участке траектории. К числу таких юделей относятся: простейшая модель параболического движения однородном гравитационном поле, кеплерова модель эллиптического вижения в центральном гравитационном поле, модель Кислика-Винтн иперэллиптвческого движения в поле земного сфероида. При использо-ании других более полных моделей движения ГЧ формульных ыражений для зависимостей (3.41) - (3.44) не существует. Как будет шдио из дальнейшего изложения, данное обстоятельство усложняет >ешение задач наведения, вынуждая прибегать к аппроксимации 'помянутыхзависимостейили применять для раскрытия этих зависимостей процедуры численного интегрирования уравнений движения.
Заметим, что время входит в выражение (3.37) - (3.44) как опосредо-1аино через зависимости (3.36). так и в явном виде, что вызвано пиянием осевого вращения Земли на терминальные условия наведения зри описании движения в абсолютных параметрах.
Как известно из баллистики ракет, в случае описания движения в относительной системе координат, связанной с Землей, время не входит явным образом в выражения (3.37) - (3.39) и в этом смысле данные выражения упрощаются. Однако ввиду того, что в инерциальных СУ первичная навигационная информация получается, как известно, в параметрах абсолютного движения, решение задач наведения удобнее рассматривать не в относительных, а в абсолютных параметрах движения.
Продолжим анализ выражений (3.41)- (3.44). Нетрудно видеть, что по отношению к дифференциальным уравнениям движения ГЧ на пассивном участке траектории, которые мы запишем в виде
281
4t - fMi, ft» 0» ?C—	Ь.-.б,	(3.45)
\ ™ )
выражения (3.41) - (3.44) представляют собой первые интегралы движения, постоянные вдоль каждой фазовой траектории с начальными условиями qj^, i = I,6 для любого текущего момента времени. В связи в этим наряду с выражениями (3.41) - (3.44), где индекс "к" относится к моменту окончания АУТ и началу свободного движения ГЧ, целесообразно рассматривать выражения
...» q6, 0 = 0;	(3.46)
ЗДр ft. 0 = 0:	(3.47)
, ft» 0 = 0;	(3.48)
ft, t) = 0,	(3.49)
справедливые для любого последующего момента г г вплоть до момента окончания движения ГЧ и встречи ее с целью.
Как известно из теории дифференциальных уравнений, если некоторая функция является первым интегралом для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, то ее полная производная по времени, вычисленная в силу этих дифференциальных уравнении, тождественно обращается в нуль. Таким образом, функции S;,..., S4 удовлетворяют следующим тождествам:
6 dS,	3S.
L +	= °’ О’ = 1 • •••» 4)-	(3.50)
i-j dqt	dt
Первые интегралы имеют наглядную геометрическую интерпретацию в виде интегральн ых поверхностей в фазовом пространстве, обладающих тем свойством, что каждая фазовая траектория, для которой справедлив данный интеграл, целиком лежит на указанной поверхности. Воспользуемся этой геометрической интерпретацией. Фазовые траектории движения будем рассматривать в так называемом расширенном фазовом пространстве, включив в число фазовых координат и время. В нашем
282
Рис. 3.5. Интегральная поверхность граничного условия Д£ = 0 и фазовые траектории пассивного полета
пучае расширенное фазовое ространство является семи-1ерным с координатами .....
6. г
На рис. 3.5 условно показа-:ы координатные оси расши-1внного фазового простран-тва и фрагмент интегральной юверхности (3.46) с лежащими ia ней фазовыми траекториями 'Ч. Если считать, что точка 1 соответствует началу сво-5одного движения ГЧ в момент к, а точка В — моменту Т ктречи с целью, то интеграль-1ая кривая, соединяющая точен .4 и В, представляет собой разовую траекторию ГЧ на
:оответствующе.м интервале времени. Положение точки В на интегральной поверхности определяется финитным условием. Если принять, что фазовая координата есть радиус траектории движения, то точка В должна лежать в плоскости, определяемой равенством </1 = ги (ем. рис. 3.5), где указанная плоскость обозначена So. Другим начальным условиям движения ГЧ (точка .4,) соответствует другая интегральная кривая, при этом конечная точка также лежит в плоскости So, определяемой финитным условием.
В последующем изложении вместо термина "поверхность", характеризующего двумерный геометрический образ в трехмерном пространстве, будем использовать принятый в многомерной геометрии термин "гиперповерхность", характеризующий (н- 1)-мерный образ в /г-.мерном пространстве. В соответствии с этим выражение (3.46) геометрически может быть интерпретировано как 6-мерная гиперповерхность граничных условий наведения БР в 7-мерном фазовом пространстве. Любая комбинация граничных параметров движения БР (и соответственно начальных условий движения ГЧ), которая характеризуется точкой на данной гиперповерхности, определяет фазовую траекторию ГЧ. удовлетворяющую терминальному условию ДА = 0.
Другим терминальным условиям соответствуют свои собственные гиперповерхности граничных условий, описываемые выражениями (3.47) - (3.49). При этом фазовая траектория ГЧ, удовлетворяющая двум
283
Рис. 3.6. Интегральные поверхности граничных условий ДД - 0 и ДВ = О
ii более терминальным, условиям наведения, расположена на пересечении соответствующих гиперповерхностей.
Это обстоятельство проиллюстрировано рис. 3.6, где показаны две гиперповерхности граничных условии наведения, определяемые терминальными условиями ДЛ = О, ДЗ = = U. а также фазовая траектория ГЧ (кривая Л - В) на интервале времени or момента tK отделения ГЧ от БР до момента Г встречи с целью.
В заключение отметим, что
пересечение двух гиперповерхностей в фазовом пространстве следует интерпретировать как гиперповерхность с меньшим на единицу числом измерений. Поэтому пересечение трех гиперповерхностей граничных условий наведения представляет собой четырехмерную гиперповерхность, а пересечение четырех гиперповерхностей представляет собой трехмерную гиперповерхность. Если предположить, что число независимых граничных условий наведения увеличено до шести, то им соответствует одномерный геометрический образ, который в данном случае представляет собой единственную фазовую траекторию ГЧ, удовлетворяющую шести независимым терминальным условиям наведения.
3.2.2.	Ограничения на параметры движения БР и ГЧ при наведении
При решении задач наведения необходимо учитывать, что на параметры движения БР и ГЧ накладываются ряд ограничений, определяемых особенностямитраекторий полета БР и ГЧ, требованиями сохранения механической прочности и тепловой ст ойкости корпуса БР и ГЧ при полете на атмосферном участке траектории, требованиями безударного отделения отработавших ступеней ракеты и безимиульсного отделения элементов ее боевого оснащения и др. Основные из существующих ограничений подробно проанализированы в литературе по баллистике ракет (см. [8], [17]). Рассмотрим типичные примеры ограничений и виды их математической формализации.
284
1.	Ограничения, связанные с особенностями траекторий полета БР, юдятся главным образом к требованиям вертикального старта БР и родолжительности участка вертикального полета не менее заданной, ти требования могут быть выражены следующим образом:
<^(0 = 90\ ф?(0 = 0, z е[0,гв],	(3.51)
ае /в - заданная продолжительность участка вертикального полета.
2.	Ограничения, связанные с необходимостью сохранения механичес-ой прочности ракеты, могут выражаться различным образом. Чаше сего эти ограничения задаются в виде предельно допустимых значений оперечной и боковой перегрузок. В соответствии с этими ограничения-1И кажущиеся ускорения ракеты в поперечном и в боковом направлениях .олжны удовлетворять следующим неравенствам:
ЗД 4.1 ^0<|а-	(3.52)
Ограничения на величину перегрузок, вызванных действием □родинамических сил, могут задаваться в виде предельно допустимых мачений скоростного напора и допустимых значений углов атаки и жольжения при полете в зоне действия максимального скоростного lanopa:
руг 2
s ддап, |а| s а“оп, |р| s р=оп.
(3.53)
Связь между параметрами q, а, р и действующими перегрузками выражается известными зависимостями:
Cj'tfS-a	c^-qS-$
V = -*----------, nrI = --------------
ffigo	mg0
(3.54)
откуда видно, что ограничения по перегрузкам могут быть выражены так же, как ограничения на произведения скоростного напора и углов атаки и скольжения:
ру2
-—а
2
д £12 р
х™
(3.55)
285
3.	Ограничения, связанные с и еобходимостью обеспечения безударного разделения ступеней ракеты и безимпульсного отделения головной части, задаются в виде требования постоянства углов ориентации ракеты на участках разделения или, что эквивалентно, равенства нулю производных этих углов:
(3.56)
где i - номер участка разделения.
При разделении ступеней ракеты на атмосферном участке траектории желательно исключить появление поперечной и боковой аэродинамических сил. С этой целью программные значения углов атаки и скольжения на участках разделения задаются нулевыми,
«°Р(г) в 0, Р>(0 s 0, t е [tB/, rj,	(3.57)
где t„, I* - моменты времени начала и конца участка разделения; t -номер отделяемой ступени.
4.	Ограничения, отражающие требования сохранения механической прочности, обеспечения приемлемых тепловых режимов и условий срабатывания автоматики головной части, задаются в виде области допустимых параметров входа ГЧ в атмосферу. В качестве таких параметров рассматриваются скорость Квх и угол наклона траектории к плоскости местного горизонта 0ВХ на высоте Нвх = 90*100 км. Примерный вид области допустимых параметров входа ГЧ в атмосферу изображен на рис. 3.7. Данная область ограничена отрезками прямых
Рис. 3.7. Область допустимых параметров входа ГЧ в атмосферу
линий, при этом верхняя граница области (отрезок 1-2) соответствует предельно допустимым перегрузкам, действующим на ГЧ при полете на атмосферном участке траектории, а нижняя граница (отрезок 4-3) - предельно допустимым интегральным тепловым потокам и предельно допустимой величине уноса теплозащитного покрытия.
Приведенные примеры показывают, что все ограничения можно подразде-
286
ь на два вида - ограничения на параметры движения центра масс БР 'Ч и ограничения на угловые параметры движения. Поскольку в ачах наведения угловые параметры движения играют роль параметров явления, то соответствующие ограничения относятся к ограничениям параметры управления.
В дальнейшем совокупность ограничений на параметры движения iTpa масс БР и ГЧ будем записывать в следующем формализованном де:
?(0 е efap ...» 96)«	(3.58)
; через Q q6) обозначена область допустимых значений раметров движения, удовлетворяющих всем имеющимся ограничениям, .иную область назовем трубкой допустимых траекторий движения. Ограничения на параметры управления будем записывать в виде
w(r) е U(ul...uj,	(3.59)
е через U (мр .... wK) обозначена область допустимых значений ла-метров управления, удовлетворяющих соответствующим ограниче-1ЯМ.
Программы управления БР и ГЧ, удовлетворяющие ограничениям .58) и (3.59), будем называть допустимыми программами управления.
2.3. Условия оптимальности программ управления
При наведении ЛА программы управления всегда стеснены ограниче-зями типа (3.58) и (3.59), однако внутри допустимых областей Q (qр.... ,) и U (i<t.и*) существует достаточно широкая свобода выбора про-
)амм управления, удовлетворяющих заданным краевым условиям введения. Вполне понятно, что для практической реализации целесооб-азно выбрать такие программы управления, которые являются в том пи ином смысле лучшими среди множества других допустимых рограмм. Такие лучшие программы называются оптимальными. Тем 1мы.м задача выбора программ приобретает смысл задачи оптимального правления.
Для того чтобы сравнить между собой различные программы правления с целью выбора лучших программ, используют показатели ачества, имеющие тот или иной физический смысл. С точки зрения (атематической показатели качества представляют собой некоторые >ункционалы. определяющие правило, в соответствии с которым каждой
287
совокупности программ управления (или каждой фазовой траектории, определяемой данными программами управления), ставится в соответствие числовое значение показателя качества. Данные функционалы носят название критериальных функций. Оптимальное управление выбирается из условия максимума или минимума критериальной функции, что и представляет собой критерий оптимальности управления.
Все многообразие критериев оптимальности управления, встречающихся как в задачах управления движением ЛА, так и в теории автоматического управления вообще, может быть подразделено на два класса критериев - детерминированных и стохастических (или вероятностных). Соответственно любая задача оптимального управления может быть отнесена либо к классу детерминированных задач управления, либо к классу стохастических задач управления.
В детерминированных задачах оптимального управления программы управления определяются для номинальных (певозмущениых) условий движения ЛА без учета действия случайных факторов. Типичными критериями оптимальности управления в таких задачах являются критерий быстродействия и энергетический критерий. Частными вариантами последнего являются критерии минимума потребного расхода топлива, максимума доставляемой к цели полезной нагрузки, .максимума достижимой дальности при заданном запасе топлива и др. В некоторых случаях критерий быстродействия и энергетический критерий оказываются тождественными. Например, при постоянном массовом секундном расходе компонентов топлива ракеты минимизация продолжительности активного участка полета эквивалентна минимизации потребного запаса топлива.
В стохастических задачах оптимального управления программы управления определяются для возмущенных условий движения и с учетом действия ряда дополнительных факторов, имеющих случайный характер. Критерий оптимальности в стохастических задачах имеет вероятностный смысл и чаще всего формулируется либо как максимум вероятности достижения поставленной цели управления, либо как минимум средних потерь на управление при достижении поставленной цели (см. [13]).
В задачах наведения баллистических ракет наибольшее практическое значение имеют программы управления, оптимальные в смысле детерминированного критерия максимальной дальности пуска либо стохастического критерия наибольшей точности попадания. Соответствующие npoi-раммы управления получили названия программ макааюльной дальности и программ наибольшей точности. Последние программы называются также программами минимального рассеивания
288
Математически условиетого, что программы управления определены критерию максимальной дальности пуска, может быть выражено гдукниим образом;
и(ф = Arg max L.	& б0)
иная запись означает, что максимизация дальности пуска осуществля--я в области допустимых траекторий движения и в области допустимых раметров управления, т.е. с учетом ограничений вида (3.58) и (3.59). ловие того, что программы управления определены по критерию ибольшей точности, выражается следующим образом:
u(i) = Arg min R,	(3 6))
e под R понимается некоторая характеристика точности стрельбы iiipiiMep, круговое вероятное отклонение точек падения ГЧ от точки ицеливания либо полусумма предельных отклонений точек падения I от точки прицеливания по дальности и в боковом направлении).
В задачах наведения управляемых боевых блоков программы равления определяются как по критериям (3.60) и (3.61), так и по итериям других типов. Например, управление движением ББ в зоне иствия системы ПРО целесообразно осуществлять из условия жсимума вероятности преодоления средств ПРО, т.е. по критерию вида:
u(f) = ArgmaxPnpo.
Q.u
(3.62)
2.4. Типовая постановка задачи наведения
Основным содержанием задачи наведения является определение зограмм управления, т.е. закона изменения во времени параметров фавления, определяющих требуемую траекторию ЛА при заданных Паевых условиях наведения и при соблюдении других условий задачи, оскольку чаще всего программы управления определяются по жтериям оптимизации, задача наведения представляет собой типич-/ю задачу оптимального управления, постановка которой включает (сдующие основные элементы.
Дано: 1) Математическая модель объекта управления (уравнения зижения):
д ~	41 м)> 9 е • и е >	(3.63)
289
где q- ч-мерный вектор параметров состояния объекта управления' и - ш-мерпый вектор параметров управления; Л'1 и R”1 фазовое пространство и пространство управлений.
2) Начальные условия наведения:
9('о) = <7о> <1о с- Л,	(3.64)
где Л-область возможных начальных состояний объекта управления. 3) Концевые условия поведения:
St(q, t) = 0, i = 1..к,	(3.65)
4)	Сйраннчения на параметры состояния:
g(»)eQ .	(3.66)
где Q- область допустимых значений параметров состояния.
5)	Ограничения на параметры управления:
«(О e V,	(3.67)
где U- область допустимых значений параметров управления.
6)	Критерий оптимальности управления:
и °р‘ (0 = Arg extr F(q, и),
где F- заданная критериальная функция, определяемая физическим смыслом условия оптимальности управления.
Требуется. Найгн оптимальное управление пор'(/). соответствующую ему фазовую траекторию объекта управления момент ik реализации концевых условии наведения и конечное состояние объекта управления <ук.
Данная постановка задачи иллюстрируется рис. 3.8, где показаны области R и О, фрагмент гиперповерхности концевых условий наведения S. представляющей собой пересечение гиперповерхностей St, а также
Рис. 3.8. Область лнпкетнмых фэювых траекторий
290
эазовая траектория объекта управления, соответствующая искомому .птимальному управлению.
Рассмотренная постановка задачи описывает класс детерминирован-II,IX задач оптимального управления, где программы управления шреде.чяются для номинальных невозмущенных условий движения.
При решении задачи оптимального управления по стохастическому гритершо в ее постановку включаются данные, характеризующие действие случайных факторов. R частности, используется математическая юдель объекта управления с учетом действия возмущений:
q q, п, О, К е R'.	(3.69)
ле - /-мерный вектор случайных воздействий, законы распределения юторых (либо их некоторые характеристики, в частности, первые и 1торые моменты) полагаются известными и также включаются в [остановку задачи. При необходимости в постановкезадачи учитывают-:я дополнительные данные, отражающие конкретные особенности решаемой задачи. Например, при оптимизации управления по критерию 3.62) постановка задачи должна содержать сведения о модели системы 1РО, включая данные о составе и характеристиках средств наблюдения I перехвата, законах наведения противоракет, законах поражения и т.д.
Для практического решения задач оптимального управления ^пользуются методы классического вариационного исчисления, принцип лаксимума Л.С. Понтрягина, принцип динамического программировала Р. Веллмана, а также методы и алгоритмы численного решения фаевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Иля решения задач оптимального управления с критерием вида (3.62) требуется привлечение аппарата теории игр.
Приведенная постановка задачи наведения характерна для принципа тредварительного программирования движения, когда определяются зрограммы разомкнутого управления. При наведении по принципу секущего программирования движения задача существенно усложняется, так как превращается в задачу синтеза оптимального закона -'Правления. Общие методы решения подобных задач разработаны в «стоящее время только для линейных или линеаризованных моделей движения. Линейность модели позволяет найти явную функциональную зависимость программы разомкнутого оптимального управления от -тачальных условий и, заменив вектор начального состояния его текущим значением, получить замкнутый оптимальный закон управления (см. [2, 5, 4], а также материал п. 4.3.4).
291
Для нелинейных моделей движения общих регулярных методов синтеза замкнутых оптимальных законов управления не существует. Поэтому на практике такие задачи решаются, как правило, в два этапа. На первом этапе, исходя из эвристических соображений и учитывая физический или геометрический смысл рассматриваемой задачи наведения, конструируется замкнутый алгоритм управления, удовлетворяющий только краевым условиям наведения. После этого на втором этапе решения задачи оцениваются показатели качества управления и при необходимости в найденный закон управления вносятся коррективы с целью улучшения его показателей качества. Аналогичным образом решается вопрос учета ограничений на параметры состояния объекта управления и на управляющие воздействия. Именно такая процедура двухэтапного решения задачи синтеза замкнутого квазиоптимального закона управления отчетливо просматривается на примере метода наведения по требуемой скорости, излагаемого ниже в гл. 3.5.
Отметим в заключение, что общая формулировка задач наведения баллистических ЛА включает также задачу формирования разовых команд управления, которые, как указывалось в гл. 3.1, могут быть программно-временными или функциональными. Задача определения моментов выдачи программно-временных команд решается либо в рамках сформулированной выше задачи оптимизации одновременно с определением программ управления, либо в ходе решения задачи расчета полетного задания на пуск. Что же касается функциональных разовых команд управления, в частности команды на выключение ДУ последней ступени ракеты и отделение ГЧ, то задача формирования этих команд ставится и решается по-разному в зависимости от применяемого метода управления.Способы и алгоритмы решения этой задачи рассматриваются далее в гл. 3.4-3.6.
Глава 3.3
ПРОГРАММЫ УПРАВЛЕНИЯ В ФУНКЦИОНАЛЬНОМ (ГРАНИЧНОМ) МЕТОДЕ НАВЕДЕНИЯ
1.3.1. Содержание вопроса
В данной главе рассматриваются некоторые методы определения зрограмм управления при наведении по принципу предварительного трограммирования движения, получившему условное наименование руикционального метода наведения. Основное внимание уделяется зрограмме угла тангажа, которая играет определяющую роль в общей совокупности программ управления движением БР на АУТ. Данная роль программы угла тангажа объясняется следующими обстоятельствами. Как показано в гл. 3.1, максимальное количество программ управления движением БР при полном числе управляющих связей равно шести, причем в состав программ управления входят три программы для угловых параметров движения (углов тангажа, рыскания и крена) и три программы, задающие закон движения центра масс (программы продольной, нормальной и боковой скоростей). Однако для номинала ных условий движения программы скоростей однозначно определяются программами углового движения. Поэтому задача нахождения программ управления движением БР при любом их составе сводится к задаче определения только программ углового движения. Среди них программа угла крена определяется требованиями, не связанными непосредственно с решением задач наведения, так как для типичных конструктивных схем БР, обладающих осевой симметрией, угол крена не является параметром, влияющим на формирование силового управляющего воздействия на БР. Что же касается угла рыскания, то, как известно из баллистики ракет, рациональными являются траектории полета, лежащие в плоскости пуска. Поэтому в тех случаях, когда отсутствуют специальные требования по совершению ракетой запланированного бокового маневра на АУТ (например, с целью уклонения от средств перехвата), программные значения угла рыскания принимаются тождественно равными нулю на всем интервале движения БР. Таким образом, задача определения программ управления движением БР на АУТ сводится по существу к задаче определения программы угла тангажа.
На практике наибольшее значение имеют два варианта данной задачи, состоящие в определении программы угла тангажа максимальной Дальности и программы утла тангажа минимального рассеивания. Особенности обоих вариантов данной задачи и методы ее решения
293
подробно рассмотрены в ряде руководств по баллистике ракет, где показано, что вследствие многочисленных ограничений на допустимые параметры движения БР на АУТ (особенно на его атмосферном участке) эта задача не поддается точному аналитическому решению методами вариационного исчисления и теории оптимального управления. По этой причине на практике используются методы приближенного решения данной задачи (так называемые инженерные методики). Точное оптимальное решение может быть получено лишь для простых моделей движения без учета ограничений. Такне упрощенные варианты задачи оптимизации угла тангажа максимальной дальности рассмотрены в пи. 33.2 и 333. Ценность получаемых здесь результатов заключается в том, что найденные программы могут рассматриваться в качестве первого приближения для решения задачи в более полной постановке с учетом ограничений. Кроме того, для участков полета второй и третьей ступеней за пределами атмосферы приближенное решение, полученное в рамках упрошенных схем полета (даже для модели однородного гравитационного поля), настолько близко к точному, что в ряде случаев может быть принято в качестве окончательного решения задачи.
33.2. Простейшие оптимальные программы угла тангажа БР
Рассмотрим полет БР за пределами атмосферы. Примем для активного участка траектории модель однородного гравитационного поля, однако при этом будем полагать, что на пассивном участке траектории модель гравитационного ноля остается произвольной и адекватной реальным условиям полета (рис. 3.9). Уравнения движения БР на АУТ имеют вид:
х = V, V = — cos'&j, т
У = Vy, = — sinft,-gc. m
В данных уравнениях ft, - угол тангажа, рассматриваемый в качестве параметра управления; Р - тяга ДУ. полагаемая постоянной или изменяющейся по известному закону; т - текущая масса ракеты, также изменяющаяся по известному закону.
Предположим, что начальные условия движения ракеты в момент времени заданы:
Л(,о) = -*о> A'Oq) =J'oi К(fa) * ^хс1 у Оз) =	•	(3.71)
294
ис. 3.9. Схема полета БР для модели инородного поля
Предположим также, что заданы начальная масса ракеты /н0 и запас топлива mv а полет ракеты на АУТ осуществляется до полного израсходования запаса топлива. Заметим,что при известном законе изменения массы ракеты и заданных величинах т0 и тТ известен момент окончания АУТ и конечная масса ракеты
ш(гж) = тх. (3.72)
В качестве критериальной функции рассмотрим полную дальность полета ракеты от ее начального положения до точки падения на поверхности Земли и выразим ее в виде
jytiKiuii! параметров движения ракеты в момент гк:
L = £(хк,уж,Ихх,Г?1),	(3.73)
де конкретный вид функциональной зависимости (3.73) определяется юделью гравитационного поля на ПУТ и влиянием атмосферы на [исходящем участке траектории. Относительно этих факторов никаких прощающих предположений не делается.
Поставим задачу определения программы угла тангажа, обеспечиваю-цен достижение максимальной дальности при условии полной [ыработки запаса топлива, и применим для ее решения принцип шкспмума Л.С. Понтрягина.
Напомним, что методология применения принципа максимума зредусматриваег следующую последовательность действий при решении [адач оптимального управления:
i.	Введение сопряженных переменных (неопределенных множителей Ъгранжа), соответствующих фазовым координатам оптимизируемой динамической системы.
2.	Запись функции Гамильтона (гамильтониана задачи). Если выразить модель динамической системы в формализованном виде:
<=1..«
(3.74)
и черезPj обозначить сопряженные переменные, то гамильтониан имеет вид:
295
н = £й/Дд,и).	(3.75)
м
3.	Составление дифференциальных уравнений для сопряженных переменных по формулам:
А "	‘	(3-76)
4.	Запись краевых условий для сопряженных переменных с учетом заданных краевых условий для фазовых координат и вида критериальной функции.
5.	Определение оптимального управления из условия экстремума гамильтониана (максимума, если решается задача на минимум критериальной функции, или минимума, если решается задача на максимум критериальной функции),
и°р‘(0 = ArgextrH(f,p,g,u)	(3 77)
при условии, что переменные р( и удовлетворяют дифференциальным уравнениям (3.74) и (3.76) и соответствующим краевым условиям.
Следуя данной методологии, введем сопряженные переменныерр..., и запишем функцию Н:
р
н = Р\ vx+Pivy-+/>4sintti) -Р^о-	(3.78)
Дифференциальные уравнения для сопряженных переменных имеютвид:
р, = 0,	= О, Рз = -Р|, т>4 » -pv	(3.79)
Правила записи краевых условий для сопряженных переменных изложены в руководствах по применению принципа максимума (см. [15]). В соответствии с этими правилами начальные условия для всех сопряженных переменных на момент/э остаются не определенными, так как все фазовые координаты на этот момент времени фиксированы. С другой стороны, на момент /к все фазовые координаты свободны и ограничения на них отсутствуют, поэтому концевые условия для сопряженных переменных на этот момент времени записываются как частные производные от критериальной функции по соответствующим фазовым координатам на момент /к, взятые с обратным знаком:
296
Перейдем к определению оптимальной программы угла тангажа из словня минимума гамильтониана. Ввиду того, что ограничения на юпустимые значения угла тангажа по постановке задачи отсутствуют, цы определения точек экстремума функции Н можно воспользоваться [еобходимым условием экстремума. Дифференцируя Н по б, и приравни-(ая производную нулю, получаем уравнение:
-PjsinOj +p4cosO( и 0,
откуда вытекает следующее выражение для оптимальной программы утла гангажа:
IgO^ =	(3.81)
Рз
Как видим, искомая функция изменения угла тангажа выражается через сопряженные переменные р3 и р4. Для определения закона изменения данных переменных обратимся к уравнениям (3.79), которые легко интегрируются:
Pl = Cl> Pi = С2» Рз = “С|' + еЗ> Pi = "е2^*е4-
Далее можно определить постоянные интегрирования, воспользовавшись краевыми условиями (3.80):
_ 3L _3L 3L dL ,	_ 3L 3L t
Ci~~dXl’C1~~dy^C3~ dVxt~3xz* 4" 3Vyx dy^
После этого переменныеp3 и p4 выражаются следующим образом:
/л 3L , . ч 3L
МО =
эуу*
Возвращаясь к выражению (3.81), получаем, что оптимальная программа угла тангажа имеет вид:
297
(3.82)
Формула (3.82) определяет лишь общий вид. структуру оптимальной программы тангажа, однако не дает окончательного выражения для угла тангажа в виде функции времени, так как значения входящих в эту формулу баллистических производных зависят от параметров движения ракеты в момент и, следовательно, от самой программы тангажа. Раскрыть эту взаимную зависимость программы тангажа и баллистических производных можно только методом последовательных приближении. Например, задаваясь некоторой начальной функцией угла тангажа, интегрируют с этой функцией уравнения движения ракеты до момента fk, определяют получившуюся дальность и соответствующие ей значения баллистических производных, после чего'корректируют программу тангажа по формуле (3.82). Этот процесс повторяется до тех пор, пока не будет достигнута достаточная точность совпадения правой и левой частей выражения (3.82) при соблюдении всех других условий задачи.
Полу ним теперь частный вид программы угла тангажа, предположив, что движение на пассивном участке траектории происходит также в однородном гравитационном поле без учета сопротивления атмосферы, а точка падения лежит на оси А’(см. Рнс- 3.9), т.е. принимается модель плоской Земли. Эти предположения допустимы, если дальность полета ракеты невелика. Уравнения движения на ПУТ получим из (3.70), положив в них Р = 0:
х = Vx, = V,.	= 0, Vy = -gQ.
Данные уравнения легко интегрируются:
У = У г.*	~
Здесь хк, jK, И - параметры движения на момент начала пассивного полета, г - время движения от момента (к. Если Т- полное время пассивного полета до момента падения, то полная дальность полета от начала движения определяется по формуле
298
L^+V^T,
(3.83)
где время находится из условия y(t) = 0, т.е. из уравнения:
(3.84)
Исключая время Гиз уравнений (3.83) и (3.84), получим выражение для дальности полета через параметры движения на момент /к:
L = +	+ АА + 2*<Л )•	(3.85)
Рассчитаем далее баллистические производные:
9L = j 9L =
(3.86)
°'хх oQ
SL s yJf'„*^lyn*2Si>yJ
аГ>-
Подставив найденные выражения в формулу (3.82), получим оптимальную программу тангажа для условий полета в однородном гравитационном поле как на активном, так и на пассивном участках траектории:
tg^‘ =	.
(3.87)
Каквидно из данного выражения, оптимальным является постоянный угол тангажа. Несмотря на то, что этот вывод полу чен при существенных упрощениях модели движения, в реальных условиях при полете третьей ступени БР угол тангажа принимается, как правило, близким к постоянному.
299
Проанализируем еще два варианта задачи оптимизации угла тангажа для модели однородного поля, предположив, что в число терминальных условий наведения включается не только дальность полета, но также дополнительное условие - полное время полета или угол наклона траектории в точке падения ГЧ.
Рассмотрим сначала в качестве дополнительного условия наведения полное время полета:
где zK - фиксированное по постановке задачи время полета БР на ЛУГ, определяемое запасом топлива, а Т - время пассивного полета, определяемое для модели однородного поля формулой
т =	+ \^А + 2г0ух).	(3 88)
50
В данном варианте задачи краевые условия для сопряженных переменных в отличие от (3.80) принимают вид:
где Л - неопределенный множитель Лагранжа (правила записи краевых условий для сопряженных переменных см. в [15]).
По аналогии с (3.82) формула для оптимальной программы угла тангажа имеет следующий вид:
tg^p‘ =
эл) ж
дхх дхх1 *
BL . Л ЭГ
BL +ВТ
Подставляя сюда выражения для частных производных, после соответствующих упрощений получаем
300
(3.89)
Таким образом, включение в состав терминальных условий наведения олного времени полетане изменяет полученное выше заключение о том, то для модели однородного поля оптимальным является постоянный гол тангажа. Данный вывод будет использован ниже в гл. 3.5 при нализе оптимальности метода наведения по требуемой скорости.
Рассмотрим теперь в качестве дополнительного условия наведения •гол наклона траектории в точке падения ГЧ,
tg ет =

Зыразим данное условие через параметры движения БР на момент экончания АУТ, приняв во внимание, что для модели однородного поля ^=VXK,V>{7}=V^-g0T-.
Vyx~b>T-CVXK-<L
(3.90)
Здесь время Топределяется формулой (3.88).
Краевые условия для сопряженных переменных и формула для оптимальной программы тангажа имеют вид:
,, ч 3L /, ч 3L , . дТ
°'ух \	УХ}
dL . дТ I,, dL +, , „ dT tg(yOP‘ _ \ &У*^yx \^yxt

301
Проведя упрощение приведенной формулы, окончательно получаем
= “===
1 -Х-^- (г -/)-> Т-ХС у 4 *	'
г хк/__________
t^-t^T-XC
(3.91)
Как видим, в общем случае тангенс оптимального угла тангажа выражается дробно-линейной функцией времени. В частном случае при Л = 0 формула (3.91) превращается в (3.87). Очевидно, что данный случай имеет место, если угол наклона траектории в точке падения ГЧ положить равным значению, которое получается в исходной задаче оптимизации угла тангажа без предварительного задания параметра 0Т.
3.3.3. Оптимальная программа управления полетом БР
Рассмотрим задачу оптимизации программы угла тангажа в более общей постановке. Предположим, что требуется определить также наивыгоднейшую программу изменения тяги двигательной установки из условия достижения максимальной дальности полета. Снова для простоты примем модель однородного гравитационного поля, распространив зту модель и на пассивный участок траектории. Поскольку тяга ДУ пропорциональна массовому секундному расходу топлива, примем данную величину в качестве параметра управления и дополним систему уравнений (3.70) уравнением, описывающим закон изменения текущей массы ракеты:
> уг 0
х = И , V_ = нстН cos ft,, m
, w В
J> = У V = -^±Sin6,-g0> m = -p, r r nt
(3.92)
где h'||CT—постоянная скорость истечения, p - массовый секундный расход топлива, на величину которого наложено ограничение вида:
0*₽*₽п«-
(3.93)
Полагаем, что в момент /0 заданы начальные условия движения (5.53) и масса ракеты ш0. Концевые условия отнесем к моменту падения ГЧ на поверхность Земли и запишем их в виде:
302
ЯП = 0.
m(7) = mx.
(3.94)
(3.95)
Эти условия означают, что точка падения лежит на оси X (см. рис. 3.9) и конечная масса ракеты задана (т.е. задан запас топлива). Критериальная функция (полная дальность полета) имеет вид:
L = х(7).	(3.96)
Таким образом, задача состоит в определении оптимальной программы угла тангажа 6^‘(г) и оптимальной программы расходования топлива Р7'(0 из условия достижения максимальной
дальности полета.
Введем сопряженные переменныерх,...,р5 и запишем гамильтониан задачи:
H-P^p2Vy^
——Oncost), +p4sin0() -ps tn
(3.97)
-p^
Уравнения для сопряженных переменных имеют вид:
Pi = 0. А = °» Рз = ~Pt> Ра = ~Р2>
w	(3.98)
Ps = -^(PjeosOj+^sinOf). т
Краевые условия для сопряженных переменных на момент /0 не определены, так как фазовые координаты и масса ракеты на этот момент фиксированы.
На момент Т значения сопряженных переменных р2 и р5 остаются неопределенными (так как координата у и масса ракеты /ина этот момент времени фиксированы), а значения других сопряженных переменных равны частным производным от критериальной функции (3.96), взятым с обратным знаком:
Pi(T) = -1, р3(7) = 0, р4(Т) = 0.	(3.99)
Исследуем гамильтониан на минимум по переменным р и О,. Введем следующее обозначение:
и»
Н, = —— (p3cos&,+p4sin&,)-р5.	(3.100)
tn
Из условия минимума гамильтониана вытекает следующий закон изменения параметра р:
303
0 =
₽^> н,<0,
О, Я(>0.
(3.101)
Как видим, закон изменения параметра 0 определяется знаком функции Я], которая, таким образом, играет роль функции переключения управления. Если бы в данной задаче существовали интервалы времени, на которых функция тождественно обращается в пуль, то на таких интервалах закон изменения параметра 0 не мог бы быть определен однозначно (случай особых управлений). Однако ниже мы проверим, что такие интервалы времени отсутствуют, поэтому выражение (3.101) может быть доопределено следующим образом:

Ptnax> Ъ<0,
0,
(3.102)
Как видно из данного выражения, при полете на максимальную дальность тяга двигательной установки либо максимальна, либо нулевая. Режимы промежуточной тяги отсутствуют.
Оптимальная программа угла тангажа находится из условия минимальности функции на тех участках полета, где 0 = 0mav и определяется выражением, аналогичным (3.81):
tg»ipt = — •	(3.103)
Рз
Для определения сопряженных переменныхр3 ир4 следует обратиться к дифференциальным уравнениям (3.98). Интегрируя первые четыре уравнения и учитывая краевые условия (3.99), находим:
рДО = q. Pi(i) = t-T, p4(r) = ct(T-1).	(З.Ю4)
Подставляя найденные значения р- и р4 в (3.103), получаем
tgC' = -Гр	(3.105)
Каквидим, оптимальный угол тангажа постоянен на интервале полета с ненулевой тягой. Этот вывод соответствует ранее полученной формуле (3.87). На интервале полета с нулевой тягой угол тангажа, как следует из выражения (3.97), произволен.
304
Выясним возможное число переключений тяги двигательной а.човки, для чего следует установить количество нулей функции еключения. Это можно сделать путем анализа производной функции Продифференцируем выражение (3.100) по переменной г с учетом .внения (3.98) для производной ps и выражений (3.104) и (3.105). В ультате получаем
Й = ц>ясг 1 '	« cosd,pt'
Как видим, производная функция переключения всегда положительна, л ому сама функция переключения меняет знак не более одного раза интервале управления и. следовательно, при полете на максимальную 1ьность тяга двигательной установки переключается не более одного ja. Это переключение (из режима максимальной тяги на нулевую тягу) оисходит в момент полной выработки имеющегося запаса топлива. . положительности производной Нх вытекает также вывод об .утсгвии интервалов времени, где функция переключения тождественно рашается в нуль (так как на таких интервалах ее производная Я, также лжна быть тождественно равной нулю). Поэтому в данной задаче обые управления отсутствуют и закон изменения параметров р и &( .позначно определяется выражениями (3.102) и (3.105).
3.4. Программы угла тангажа БР с учетом ограничений на параметры щження
Как показано в [10], [17], рациональным подходом к определению ттпмальных программ угла тангажа с учетом комплекса ограничений i параметры движения БР и ГЧ является применение метода параметри-:ской оптимизации, при котором оптимальная программа определяется 1 множестве (семействе) программ, выраженных в виде зависимостей г одного, двух или трех параметров. В соответствии с этим рассматрива-тся одно-, двух- или трехпарамегрическое семейства программ.
Однопараметрическое семейство программ используется для дноступенчатых ракет с траекториями активного полета, целиком ежащими в плотных слоях атмосферы. Траектория полета разделяется а три участка: участок вертикального полета, продолжительность оторого гв определяется условием безопасного старта; участок ачального разворота ракеты по углу тангажа для отклонения раектории от вертикали (при этом появляется отрицательный угол таки), заканчивающийся в момент q при дозвуковых скоростях полета
305
1’ие. 3.10. О.лкопараметрпчсскос семейство программ м'.тд тангажа
(Л/ < 0,8), и участок последующего полета с нулевым углом атаки. Значение угла тангажа в момент (обозначим его 00 однозначно определяет все параметры движения в конце работы первой ступени ракеты, в то.м числе и угол бросания 0К. Таким образом, угол тангажа &! играет роль параметра, соответствующим выбором которого обеспечивается достижение максимальной дальности. Как видим, задача оптимального управления сводится здесь к задаче на экстремум функции одной переменной (зависимости дальности стрельбы от угла &,) и может быть решена любым численным методом однопараметрической оптимизации.
Семейство однопараметрических программ тангажа при различных значениях угла 0, в момент z1 показано на рис. 3.10.
Отметим, что полет с нулевым углом атаки на интервале времени от /| до »к обеспечивает минимальные поперечные аэродинамические нагрузки на корпус ракеты и минимальный интегральный тепловой поток, чем достигается сохранение механической и тепловой прочности ракеты. При этом поворот вектора скорости ракеты на угол 0К обеспечивается за счет силы гравитационного притяжения, вследствие чего участок полета с нулевым углом атаки носит название участка гравитационного разворота вектора скорости.
На рис. 3.11 показано двухпараметрическое семейство программ угла тангажа, которые могут применяться как для одноступенчатых, так и для двухступенчатых ракет.
306
В дополнение к ранее рассмотренному параметру 0[ здесь вводится раметр От - угол тангажа в момент !>, непосредственно предшествую-!н разделён ню ступеней, после чего угол тангажа остается постоянным, низменность угла тангажа на участке разделения ступеней уменьшает змущения и облегчает разделение ступеней. В момент заканчивается асток гравитационного разворота вектора скорости и последующий »лет происходит с монотонно возрастающим углом атаки. Эго >стоятельство не приводит к возрастанию аэродинамических нагрузок, к как полет второй ступени происходит за пределами атмосферы, зухпара.четрическое семейство программ тангажа имеет дополнительно степень свободы по сравнению с однопараметрическим, поэтому >зволяетдостичь большую дальность пуска при со,хранении допустимо- уровня нагрузок на ракету и обеспечение безопасного разделения упеней.
Трехпарамегрическое семейство программ тангажа применяется на tyx- и трехступеичатых ракетах. Это семейство показано на рис. 3.12. двум первым параметрам управления ft] и 02 здесь добавляется третий 1раметр - угол тангажа 03 в момент z3. Этот момент выбирается так, обы скачок по углу тангажа с б, до 63 начинался через несколько кунд после разделения первой и второй ступеней, а вращение ракеты :уществлялось с допустимой угловой скоростью й“п, величина которой 1ределяется прочностью ракеты и обычно не превышает 10-20град/с. аличнс трех оптимизируемых параметров позволяет увеличить 1льность пуска по сравнению с двухпараметрическими программами эн выполнении ограничений на параметры движения.
307
diet df
Рис. 3.12. Трехпараметрическое семейство программ угла тангажа
Программа угла тангажа максимальной дальности применяется при пусках на предельную дальность, величина которой зависит от широты и азимута пуска. При пусках на промежуточную дальность появляющийся избыток энергетики может быть использован либо для увеличения полезной нагрузки путем оснащения ракеты более тяжелой ГЧ, либо для уменьшения рассеивания ГЧ. В связи с этим для заданных условий пуска или для заданного диапазона дальностей может быть определена программа угла тангажа минимального рассеивания. Структура программы минимального рассеивания остается в целом идентичной структуре рассмотренных программ максимальнойдальности. Основное отличие состоит в том, что программы минимального рассеивания, формируют более крутые траектории полета БР и ГЧ, характеризуемые большими углами бросания в момент окончания АУТ и большими углами входа ГЧ в атмосферу.
3.3.5. Гибкие (параметрические) программы угла тангажа
Рассмотренные программы угла тангажа выражаются в виде функций времени, поэтому они носят название временных или жестких программ. Термин жесткая программа отражает то обстоятельство, что закон изменения некоторого параметра, формируемый соответствующей временной программой, остается в реальных условиях полета тем же самым вне зависимости от состава и уровня возмущений.
Гибкими являются программы, в которых закон изменения во времени запрограммированного параметра видоизменяется в зависимости от реальных условий полета. Данное свойство программы достигается тем,
308
с. 3.13. Связь между временной и параметрической программами угла з ангажа
о в качестве независимой переменной в таких программах используется время, а один из параметров движения, монотонно возрастающий в юцессе полета ракеты. В качестве такого параметра чаще всего пользуется либо проекция кажущейся скорости ракеты на ее продоль-'ю ось. либо составляющая кажущейся скорости в проекции на ртикальную ось стартовой системы координат. Подобные программы щучили название параметрических.
Связь между временной и соответствующей ей параметрической юграммами тангажа иллюстрируется графиками на рис. 3.13.
Эти графики показывают, что, располагая временной программой .игажа (rt(t) (кривая Л) и программой изменения кажущейся скорости
(кривая В), нетрудно выразить программу тангажа в виде функции Граметра И',(кривая С). Соответствие, которое необходимо установить ежду точками названных кривых, показано на рис. 3.13 стрелками. При [работке параметрической программы в полете формирование текущего шчення угла тангажа осуществляется по текущим измеренным шчениям параметра И'.
Для номинальных условий полета обе программы тождественны и [дают один и тот же закон изменения угла тангажа во времени. В . .'ловиях реального полета параметрическая программа видоизменяет 1кон изменения угла тангажа во времени под влиянием возмущений, ействительно, предположим, что вследствие повышенной тяги ДУ сальный закон изменения кажущейся скорости И-', отличен от
309
Рис. 3.14. Трубки возмущенных траекторий БР при временибй и параметрической программами угла тангажа
номинального (кривая В' на рис. 3.13). В этих условиях параметрическая программа формирует отличный от номинального закон изменения угла тангажа во времени (кривая А'). При этом вследствие более интенсивного разворота ракеты по углу тангажа реальная траектория полетаотклоняется от номинальной траектории в меньшей степени, чем при использовании временной программы. В случае пониженной тяги ДУ параметрическая программа обеспечивает соответственно менее интенсивный
разворот ракеты по углу тангажа. При этом реальная траектория полета, как и в предыдущем случае, отклоняется от номинальной траектории в меньшей степени, чем при использовании временной программы.
В целом параметрические программы угла тангажа изменяют конфигурацию трубки возмущенных траекторий ракеты в окрестности расчетного момента отделения ГЧ таким образом, как это показано на рис. 3.14. Здесь буквой А обозначена область возможных параметров движения при временнбй программе, а буквой А' - область возможных параметров движения при параметрической программе угла тангажа. Как видим, при параметрической программе поперечные размеры трубки возмущенных траекторий уменьшаются, а отклонения параметров продольного движения в окрестности расчетного момента г* отделения
ГЧ увеличиваются.
Гибкие программы тангажа получили практическое применение на твердотопливных ракетах с нерегулируемой тягой двигательных установок. Описанный вышехарактер деформации трубки возмущенных траекторий позволяет при прочих равных условиях уменьшить методические ошибки наведения.
Глава 3.4
УПРАВЛЕНИЕ ОТДЕЛЕНИЕМ ГЧ В ФУНКЦИОНАЛЬНОМ (ГРАНИЧНОМ) МЕТОДЕ НАВЕДЕНИЯ
3.4.1. Содержание задачи управления и подходы к ее решению
В методе наведения по предварительно заданным программам управления предполагается, что все программы определены до пуска ракеты и информация об этих программах введена в составе данных полетного задания в бортовую систему управления. На ракетах с аналоговой СУ данная информация используется для настройки соответствующих программно-временной механизмов, а на ракетах с цифровой СУ вводится в виде цифровых кодов непосредственно в устройства памяти бортовой ЦВМ. Ввиду того, что все программы управления определены до пуска, функция бортовой системы наведения сводится к выработке разовой команды на отделение ГЧ. Точность расчета и исполнения данной команды непосредственно влияет на основную характеристику боевой эффективности ракеты - точность попадания ГЧ в цель.
Рассмотрим содержаниезадачи формирования команды на отделение ГЧ из условия последующего ее попадания в заданную точку прицеливания. Как отмечалось в п. 3.2.1, условием попадания в точку прицеливания является выполнение концевых условий наведения (3.37) и (3.38), чем обеспечивается нулевой промах ГЧ по дальности, ДА = 0, и в боковом направлении, AS = 0. Дополнительные требования к попадающей
траектории, определяющие полное время полета ГЧ и угол входа в атмосферу, будут рассматриваться в главах 3.5 и 3.6.
Данная задача наведения проиллюстрирована на рис. 3.15. Здесь показана гиперповерхность концевого условия ДА = 0, а также кривая А, представляющая собой пересечение гиперповерхностей концевых условий ДА = 0 и Д5 = = 0. Сама гиперповерхность концевого условия AS = 0 для упрощения рис. 3.15 не показана (ср. с рис. 3.6).
Рис. 3.15. Номинальная и возмущенные фазовые траектории БР
311
Фазовая траектория 1 представляет собой номинальную (расчетную) траекторию движения ракеты, заканчивающуюся на кривой Л в точке ^.соответствующей расчетному моменту времени отделения ГЧ.
Реальные траектории ракеты всегда отличаются от номинальной траектории вследствие действия комплекса случайных возмущений п погрешностей системы стабилизации движения, отрабатывающей заданные программы управления. Таким образом, задача системы наведения заключается в том, чтобы в процессе полета ракеты по любой из возможных возмущенных траекторий (кривые 2 на рис. 3.15) определить момент iK выполнения условий Д£ = 0 и ДВ = 0, который и является моментом выдачи команды на отделение ГЧ.
Важнейшей особенностью данной задачи, которая становится ясной непосредственно из анализа рис. 3.15, является то, что в общем случае траектории возмущенного полета при наведении по разомкнутым программам управления не пересекают кривую .4, соответствующую одновременному выполнению условий Д£ = 0 н ДВ = 0. Вследствие этого общую задачу наведения приходится разделять на две частные задачи -задачу реализации условия ДВ = 0, называемую задачей управления дальностью полета, и задачу реализации условия Д2? = 0, называемую задачей управления боковым отклонением. Соответственно, систему наведения принято подразделять на два канала - канал управления дальностью полета и канал управления боковым отклонением, называемый также каналом управления направлением полета.
Порядок решения названных частных задач может быть выбран различным, при этом необходимо учитывать существенно различный характер изменения величины ожидаемого текущего промаха по дальности и в боковом направлении в процессе полета ракеты. Ожидаемый текущий промах по дальности при любых условиях полета является монотонно возрастающей функцией времени в окрестности расчетного момента времени при движении как по номинальной, так и по любой возмущенной траектории (рис. 3.16).
Характер изменения ожидаемого текущего промаха в боковом направлении существенно иной (см. рис. 3.17). В номинальных условиях движения промах ДВ также является монотонной функцией времени в окрестности расчетного момента времени г/, при этом в зависимости от азимута и дальности пуска величина ДВ может быть как возрастающей, так и убывающей функцией времени, что определяется влиянием на величину бокового промаха вращения Земли. В возмущенных условиях
312
с. 3.16. Ожидаемый текущий промах ио 1ЫЮСТИ
Рис, 3.17. Ожидаемый текущий промах в Соковом направлении
лета ожидаемый текущий промах &B(t) приобретает колебательный рактер и является случайной функцией времени вследствие случайного рактера возмущений и погрешностей системы стабилизации бокового ижения.
Ввиду изложенных обстоятельств наиболее целесообразным является зеледовательный двухэтапный порядок решения частных задач шедения, при котором на первом этапе наведения обеспечивается фавлениетекущей величиной бокового промаха ДВ(г) с целью сведения о к возможно малому значению (теоретически к нулю) вблизи кидаемого момента времени отделения ГЧ и дальнейшего поддержания ‘ого малого значения вплоть до момента реализации условия AL = О торой этап наведения), когда и будет сформирована команда на сделение ГЧ.
Данный порядок решения общей задачи наведения относится к 1учаю, когда двигательная установка последней ступени ракеты имеет 1ел отсечки тяги. Поэтому момент отделения ГЧ, синхронизированный моментом обнуления тяги ДУ, определяется как момент реализации онцевого условия наведения ДГ = 0. На ряде твердотопливных ракет зел отсечки тяги отсутствует и работа ДУ продолжается до полного зрасходования запаса топлива, признаком чего служит начало спада авления в камере сгорания. Па таких ракетах первый и второй этапы аведения дополняются третьим этапом, в ходе которого управление вижением строится таким образом, чтобы обеспечить выполнение словий ДГ = О, ДВ = 0 в любой последующий момент времени вплоть о полного израсходования запаса топлива последней ступени ракеты, огда и будет подана команда на отделение ГЧ. Геометрический смысл
313
управления на данном этапе наведения состоит в том, чтобы удержать фазовую траекторию ракеты на пересечении гиперповерхностей условий
= б, ДВ = О до момента израсходования запаса топлива.
Вернемся к сформулированной задаче наведения и рассмотрим ее применительно к ракетам, ДУ которых имеет узел отсечки тяги. Теоретические основы методов решения названных выше задач управления дальностью полета и боковым отклонением баллистических ракет изложены в монографиях [9], [10], а также в ряде других руководств по баллистике и теории управления ракет, где показано, что универсальным подходом к решению данных задач наведения является построение оаллиапических управляющих функций.'нгзыъг^ык также управляющими функционалами. Текущие значения баллистических управляющих функций зависят от параметров движения ракеты и могут быть вычислены по информации от бортовой навигационно-измерительной системы. Достижение баллистической управляющей функцией своего заданного значения, определяемого условиями пуска ракеты и вводимого в составе данных полетного задания в бортовую систему управления, является признаком выполнения соответствующего условия наведения, по которому формируется команда на отделение ГЧ либо осуществляется переход к следующему этапу наведения.
Способы построения управляющих функционалов рассмотрим сначала для задачи управления дальностью полета, а затем для задачи управления боковым отклонением.
3.4.2. Функционалы управления дальностью полета
Концевое условие наведения при управлении дальностью полета задается в виде равенства
(3.106)
или в виде эквивалентного равенства
..q6,f)-L,a = 0, (Д£ = 0).	(3.107)
Одним из теоретически возможных функционалов управления дальностью является сама текущая дальность полета, выраженная через текущие фазовые координаты ракеты,
4 =	..?6,г).	(3.108)
Здесь под текущей дальностью понимается полная дальность полета
314
Рис. 3.18. Заданная и текущая дальности полета
ГЧ до точки падения, которая получилась бы, если прервать активный полет и отделить ГЧ в текущий момент времени t (рис. 3.18).
Из физической картины движения ракеты на АУТ при заданных программах управления, которые выбраны из условия достижения заданной точки цели, ясно, что текущая дальность полета монотонно возрастает с течением времени, поэтому при полете ракеты по любой из допустимых возмущенных траекторий обязательно наступит момент времени /к (отличный в общем случае от расчетного момента /’), в который текущая дальность станет равной ее заданному значению. Если теперь отделить ГЧ в данный момент времени, то промах по дальности будет нулевым, что и требуется по условиям попадания ГЧ в цель.
Несмотря на внешнюю простоту данного способа управления, практическое применение функционала управления дальностью вида (3.108) является проблемой, не получившей удовлетворительного разрешения до настоящего времени. Суть этой проблемы заключается в том, что, как отмечалось в п. 3.2.1, в аналитическом виде функция дальности может быть выражена лишь для некоторых частных типов моделей движения ГЧ, погрешности которых не удовлетворяют современным требованиям к точности наведения. Использование более полных моделей движения требует осуществлять расчет текущей дальности полета ГЧ прямым интегрированием уравнений движения ГЧ от текущего момента г до точки падения. Если учесть, что допустимое запаздывание в расчете текущей дальности, определяемое допустимым промахом по дальности, вызванным этим запаздыванием, не должно превышать сотых долей секунды, то станет очевидной сложность решения этой задачи даже с использованием современных быстродействующих бортовых ЦВМ.
Универсальный способ разрешения указанной проблемы состоит в аппроксимации функции (3.108) путем разложения этой функции в отрезок ряда Тейлора с удержанием либо только линейных, либо линейных и квадратичных членов. Этот способ открывает возможность получения целого семейства функционалов уравнения, различающихся
315
степенью сложности их приборной реализации и точностью аппроксимации исходной функции (3.108).
Итак, разложим функцию дальности в ряд Тейлора в окрестности номинальных (расчетных) значений параметров движения в’«9((<1’)1 взятых на расчетный момент времени t* отделения ГЧ;
ДЬ = £•(?,..-Ц-Д?/(г) + -^(/ - /₽) + Д2Ь.
дд? dt>	'
В данном выражении использовано обозначение
Д?,(0 = ?Х0’9(₽. i = 1 6,	(3.110)
где <?/() - текущие параметры движения при полете ракеты по одной из возмущенных траекторий; Д,£,-сумма последующих нелинейных членов ряда Тейлора.
Линейную часть разложения обозначим Д1]. Вернемся к исходным обозначениям параметров движения в абсолютной стартовой системе координат и, учтя равенства (3.110), запишем величину ДЛ, в виде:
Д£( = -2L[x(0 - х/1 + JL[y(Z) - л₽] + J£[2(0 - 21P] +
ду?
+	- и,₽] +	(3п
аг,р	-„р >	-г	v>.inj
v г хк	v г ух
+ -9L[r,(/) - Г/J -	- г/),
ак/	э//
Частные производные в полученном выражении определены по параметрам номинального движения на расчетный момент времени г/ отделения ГЧ и начала баллистического полета, вследствие чего носят название баллистических производных.
Воспользуемся выражением (3.111) для формирования команды на отделение ГЧ, определив искомый момент времени из уравнения ДЬ[(гк) = = 0. В этом случае исходное условие наведения Д2. = 0 будет выполнено с точностью, определяемой величиной Д2Л, которая при малых отклонениях действительных параметров движения от их номинальных значений есть величина второго порядка малости. Таким образом,
316
ражение (3.111) может рассматриваться в качестве функционала равнения дальностью, имеющего значительно более простое ражение, чем текущая дальность полета и значение которого может ;числяться с высоким быстродействием с помощью бортовой ЦВМ. йствнтелыю, значения баллистических производных и расчетных раметров движения, входящие в выражение (3.111), представляют бой постоянные величины, определяемые перед пуском и вводимые оставе данных полетного задания в бортовую систему управления. Для счета текущих значений величины ДД](/) в процессе полета остается спользоваться значениями текущих параметров движения, получасах с помощью навигационно-измерительной системы, и произвести сложные вычисления по формуле (3.111).
Очевидно, что данное упрощение задачи наведения достигнуто за счет 1есения в ее решение методической ошибки, вызванной заменой ходкого уравнения Д£ = О уравнением = 0, г.е. изменением метода 1счета времени отделения ГЧ. В рассматриваемом случае методическая пибка есть величина Д,£, которой непосредственно определяется личина промаха, образующегося в результате замены уравнения Д£ = О уравнением Д£[ = 0.
Заметим, что данная методическая ошибка представляет собой [учайную величину, так как определяется случайным характером шствующих возмущений и случайными погрешностями системы габилизации движения. Определение параметров распределения этой 1учайной величины (математического ожидания, предельных отклоне-ий) представляет собой самостоятельную задачу, решаемую статистичес-имн методами.
Геометрический смысл проведенной линеаризации функции (3.108) роиллюстрирован на рис. 3.19. Уравнение ДЬ] = 0 линейно относитель-о фазовых координат и времени, поэтому оно является уравнением иперплоскости, касательной к гиперповерхности концевого условия L = 0. На рис. 3.19 эта плоскость изображена в виде отрезка прямой. 1з рисунка видно, что максимальное значение методической ошибки Д2Д пределяется размерами трубки возмущенных траекторий движения •акеты.
Вернемся к анализу уравнения Д£] = 0. Данное уравнение может быть ыражено в иной форме, эквивалентной исходной, но более удобной для >еализации в бортовой СУ. Сгруппируем в выражении (3.111) члены, одержащие текущие параметры движения, и обозначим полученную умму JL\
317
г » -9La.W + ZL(t) + J4z(f) + ду* дг>
— Ух(1) + — УМ + — УМ * — I. дУх\ дУ> аг/ аг/
(3.112)
Оставшиеся члены выражения (3.111) образуют аналогичную сумму, где вместо текущих параметров движения фигурируют их расчетные значения. Обозначим эту сумму :
rt _ аь р дх.
3L р + 8L ,р 8ук₽ Х
oz, »^р । az, [ 8Z. oL р
_ 'хх _ 'ук „ "zx ~	„ X 
аг/ аг/ а и/ аг/
(3.113)
Функция JLi, линейно зависящая от параметров движения и времени,
получила в теории управления название линейного функционала управления дальностью. Величина J/(, определяемая формулой (3.113),
является постоянной величиной для конкретных условий пуска и носит название настроечного значения данного функционала. Эта величина вводится в бортовую СУ в составе данных полетного задания. В процессе полета текущее значение функционала (3.112), вычисляемое по информа-
Рис. 3.19. Линейная аппроксимация граничного условия ДД = О
ции о параметрах движения, получаемой с помощью навигационно-измерительной / системы, сравнивается с на- ? строенным значением (3.113). Команда на отделение ГЧ формируется в момент выполнения равенства:
4/0 = 4г (3.114)
Уравнение (3.114) носит название уравнения управления дальностью.
318
Обратим внимание читателя иа важное свойство монотонного грастания значений функции (3.112) по времени полета, чем и еснечивается достижение равенства (3.114) в некоторый момент емеии. Свойство монотонности (возрастания или убывания) должно пь присуще любому функционалу управления дальностью для ализуемости уравнения управления и единственности получаемого шения.
Вернемся к выражению (3.109) и выпишем квадратичные члены зложения. Для сокращения записи введем обозначение t = <;7. С учетом пго получим следующее выражение:
7 т	* 7	7 д2
AL = £	Дд,(/) + 1 £ £ -^-Д?((г)Д? (г) т д L. (3 ! 15)
'•« dq?	2/.IM Sqfdq*
смму линейных и квадратичные членов разложения обозначим Д£7:
Д£, = £ -^Д9((0 < 1 £ £ _^_Д?Д/)Д? (г).	(3_, 16)
В полученном выражении наряду с баллистическими производными ервого порядка присутствуют баллистические производные второго эрядка. значения которых также определяются по параметрам оминального движения на расчетный момент . Заметим, что ввиду ерестановочности операций двойного дифференцирования функции L о параметрам движения qt исправедливы равенства:
ог£	. .	,	,	,
-г-7- =	1’7 =	(З.Н7)
'Го означает, что среди 49 частных производных второго порядка, ходящих в выражение (3.116). различными являются лишь 28 прлизвод-ых, что сокращает объем соответствующих вычислений по их пределению.
Приравняв функцию Д£, нулю, получим уравнение, из которого южет быть определен момент времени отделения ГЧ. При этом исходное тловие наведения Д£ = 0 будет выполнено с методической ошибкой Д2£. величина которой меньше методической погрешности линейного Ьуикциояала JL . Геометрически уравнение Д£2 ~ 0 описывает в засширенном фазовом просгранствегиперповсрхность второго порядка.
319
Рис. 3.20. Квадратичная аппроксимация граничного условия ДД = 0
которая точнее аппроксимирует гиперповерхность концевого условия наведения ДЬ = 0, чем касательная гиперплоскость, соответствующая уравнению = 0 (см. рис. 3.20).
Уравнение AL, = 0 можно преобразовать к эквивалентной форме подобно тому, как это сделано выше по отношению к уравнению = 0. В частности, если воспользоваться ранее полученным выражением (3.112) для линейного функционала то. объединяя функционал JL с квадратичными членами разложения (3.115), получаем квадратичный функционал
управления дальностью вида:
। 7 7 д2г
\ 4 S S 4ттЬ,«) - ,,£1(3.!! 8)
Установочное значение данного функционала есть величина Jf, определяемая формулой (3.113), а уравнение управления имеет вид:
На практике получили применение упрошенные варианты функционала (3. 118), в которых сохранены лишь те квадратичные члены, которые оказывают наибольшее влияние на точность наведения. К их числу относятся слагаемые, зависящие от параметров продольного движения (главным образом от компонент скорости и К ), а также от времени.
В заключение сделаем несколько общих замечаний относительно применимости рассмотренных функционалов JL> и JL . Линейный функционал управления JL^ и его частные варианты (см. п. 3.4.3) нашли широкое применение в системах управления ракете регулируемой тягой. На таких ракетах используется шестиканальная система стабилизации движения, включающая канал стабилизации продольного движения (РКС). Это позволяет обеспечить достаточно малые отклонения
320
!ствительных параметров движения от их номинальных значений, пые размеры трубки возмущенных траекторий и, следовательно, статочно малые значения методической ошибки наведения Д2£, иемлемые с точки зрения точности попадания ГЧ в цель.
На твердотопливных ракетах с нерегулируемой тягой канал РКС гутствует, а отклонениетяги двигательной установки от номинального щения достигает 10-15 %. Это обстоятельство приводит к существен-м отклонениям возмущенных параметров движения от их номиналь-х значений, вследствие чего методическая ошибка Д2£ становится лриемлемо большой. По этой причине в СУ твердотопливных ракет лучили применение нелинейные функционалы вида (3.118), а также экие программы угла тангажа. Как отмечалось в п. 3.3.5, при юльзовании гибких программ происходит перераспределение уровня смущений между различными параметрами движения, что позволяет дцествить дальнейшее сокращение количества членов, удерживаемых зункционале (3.118).
1.3. Функционалы управления дальностью полета гажушихся параметрах
Рассмотренные выше функционалы управления дальностью ражаются через действительные параметры движения. В инерциальных вигационно-измерительных системах первичная навигационная формация получается в кажущихся параметрах движения, поэтому для ределения действительных параметров должна решаться навигацион-я задача путем интегрирования основного уравнения инерциальной вигации. Решение подобной задачи в реальном масштабе времени с обходимой точностью возможно только с использованием достаточно ютродействующей бортовой ЦВМ.
На ракетах ранних поколений бортовая ЦВМ отсутствовала и все обходимые для управления вычисления осуществлялись с помощью алоговых электромеханических устройств. Поскольку вычислитель-«е возможности подобных устройств весьма ограничены, актуальным гл вопросразработки функционалов управления, позволяющих решать дачи управления в кажущихся параметрах движения при минимальном 'Личестве вычислительных операций. В связи с этим был разработан д достаточно эффективных функционалов управления, нашедших ирокое применение в СУ баллистических ракет ряда поколений, а также .кет-носителей космических аппаратов.
С появлением бортовых ЦВМ возможности по применению более ожных алгоритмов управления резко расширились, однако функциона-t управления в кажущихся параметрах не потеряли своего значения.
321
Основным аргументом в пользу их использования даже при наличии высокопроизводительной ЦВМ является простота приборно-алгоритми* ческой реализации, что способствует повышению надежности применяемых программ и алгоритмов, а также СУ в целом.
Перейдем к рассмотрению функционалов управления дальностью в кажущихся параметрах. Воспользуемся выражением (3.111)длялинейной части отклонения точки падения ГЧ по дальности и проведем над ним ряд последовательных упрощений и преобразований. Прежде всего учтем, что значения баллистических производных, входящих в выражение (3.110» существенно различны. Действительно, для типовых условий полета на дальность 10 тыс. км баллистические производные имеют следующий порядок (см. [10], [18]):
— = 1 - 2, — = 5000 - 6000 с,
= 2 - 10, — = 1500 - 2500 с,
= 0,1 - 0,5, — = 100 - 200 с.
9zr	а к
Как видим, баллистические производные по параметрам бокового движения существенно меньше соответствующих производных по параметрам продольного движения. Вследствие этого члены, зависящие отпараметров бокового движения, вносятсравнительно незначительный вклад в выражение (3.111) и ими допустимо пренебречь, привнеся тем самым некоторую дополнительную методическую ошибку управления дальностью.
Обратим внимание читателя на то обстоятельство, что отмеченный выше эффект малости баллистических производных по параметрам бокового движения обусловлен согласованным применением двух систем координат: естественной целевой системы координат, в которой описываются отклонения точек падения ГЧ от точки прицеливания, и абсолютной стартовой системы координат, в которой описываются текущие параметры движения ракеты. Как будет видно далее в п. 3.4.4, применение этих же систем координат обеспечивает эффект малости баллистических производных от бокового отклонения точки падения ГЧ от точки прицеливания по параметрам продольного движения, что позволяет осуществлять соответствующие упрощения функционалов
322
влсния боковым отклонением. Использование систем координате i ориентацией осей не обеспечивало бы эффекта малости одних истических производных по сравнению с другими и не позволило простить функционалы управления.
[так, запишем выражение для отклонения в упрощенном виде;
дг = —Дл(1) + — Ду (О * — ДИх(г) +
ахх₽ э7/
+ _^_дг (/) + —д/.
(3.120)
ведем дальнейшее преобразование полученного выражения, за-
ib полные вариации параметров кеиия изохронными вариациями. ичие между полными и изохрон-и вариациями видно из рис. 3.21. хронной вариацией парата движения называется откло-ie величины этого параметра от номинального значения в теку-момент времени г. Полная вариа-параметра движения q-t представ-собой разность между значением о параметра в момент гк, форми-тый с помощью некоторого функ-нала управления дальностью, и 1ением этого же параметра в инальном движении на расчетный
Рис. 3.21. Ладные и юохреиные вариации параметров движения
ент //. Таким образом, имеем по определению:
W) = ?,(') " *’(*).	(3.121)
" 4i (!?)•
(3.122)
/становии связь между полными и изохронными вариациями на тент 1к. Если предположить, что при движении по номинальной истории команда на отделение ГЧ и обнуление тяги ДУ в момент тж₽
323
не подается, то к моменту /к параметр др примет значение ^р(гк). Тогда изохронная вариация этого параметра на момент гк есть
\4t(Q = W ‘ Л)-	(3.123)
Из выражений (3.122) и (3.123) имеем зависимость:
А^(гж) = M(Q + ('«) - ?1Р(О-	(3.124)
Полагая приращение времени Дгк = гк- гхр малой величиной, представим разность qftfj - цЩ?) линейным членом ее разложения в ряд Тейлора:
чК^ ~ М ~~
С учетом данного равенства связь полных и изохронных производных вариаций параметров движения выражается следующим образом:
Д?,(О = М&) * 470/) АГК.	(3.125)
Вернемся к выражению (3.120) и рассмотрим его значение на момент tK, определяемый из уравнения Д£((тк) = 0. Осуществим замену полных вариаций параметров движения в выражении Д!^) изохронными вариациями по формуле (3.125). В результате получаем следующее выражение:
дад =	<	w+
V (t ) + -^-rv(tp') + —Vp(tp) + ,r.p '	a p rxVK7	(3.126)
dxp	dyp
+ _0ь.м(ГР) + _aLj>p(/P) + JL д
9tPP
Данное выражение подвергнем дальнейшим преобразованиям, перейдя от действительных ускорений к кажущимся ускорениям по формулам:
* gx, Г, =
(3.127)
324
де и & - компоненты вектора кажущегося ускорения; gx н gy -гомпоненты вектора гравитационного ускорения. После подстановки голучаем:
Д£,(/к) =	* -^Д,у(0 + -^-^x(tK) ♦
ЗИЛ
—	+ JLikp^P) дг
ЗУ*	дП
♦ -^Д,г/Гк) *
— И₽(гх₽) +	+ -^-gx₽(r/) * —gz₽(rp) + Агж.
Чр аЛ” эих₽ ак;г агкр
(3.128)
Выражение во второй квадратной скобке есть полная производная зальности полетало времени,вычисленная на момент начала пассивного /часгка полета при расчетных параметрах движения. Поскольку функция тальности является первым интегралом для уравнений пассивного полета, данная производная тождественно равна нулю.
Изохронные вариации действительных параметров движения связаны с изохронными вариациями кажущихся параметров и соответствующими компонентами вектора гравитационного ускорения зависимостями, вытекающими из формул (3.127):
V, - дА . дл, Д,1>, = дЛ, * i,gr.
д,и, - д,1Их ♦ ь,г, - д,»; • )д,г,л. о	о	(3.129)
М = b,Sx + у у b(gxd~dx, Д,у = b'Sy 4- у у b,gydidx, 0 0	0 0
где и И'. - компоненты вектора кажущейся скорости; Sr и Sv -компоненты вектора кажущегося пути.
Сделаем упрощающее допущение, что возмущенные траектории лежат в достаточно малой окрестности номинальной траектории, вследствие чего изохронные вариации составляющих вектора гравитационного ускорения малы и интегральными членами в формулах (3.129) можно пренебречь, внеся тем самым в получаемое ниже уравнение управления
325
дополнительную методическую ошибку. С учетом этого допущения выражение (3.128) примет вид:
Д£,(/к) = -^Sx(tJ ♦	♦ -*L[AfWx(tJ +
(3.130)
* ^ЛР(ГХР)ДГХ] ♦ ^L[Afirz(rK) + ^Р(ГХР)Д/Х].
С У к
Нетрудно видеть, что выражения в квадратных скобках есть полные вариации параметров движения. С учетом этого имеем:
Л£1('к) = —Л5Х^) « -^ДЛЮ * алхр эЛр
(3.131)
* —[»№) - ^(г/)] ♦ ^-lWy(fx) - Wy(tx)}.
ЭГХ₽	эг;х
Сгруппируем в выражении (3.131) члены, зависящие от момента времени /к, и рассмотрим полученную сумму как функцию текущего момента времени. Обозначим данную сумму через /^(0:
/ (f) =	♦ -Zk-w,® ♦ -^да«) * -^дА(0-(3.132)
ЭГ/Х Эх/	ду* 1	}
Очевидно, что полученное выражение может рассматриваться в качестве линейного функционала управления дальностью полета, выраженного через кажущиеся параметры движения. Установочное значение данного функционала равно:
Л* = JL w^) +	FF₽O/),	(здзз)
3FP	Э7/х	17
а уравнение управления, соответствующее условию ДД ;(/к) = 0, имеет вид:
= Л’-	(3.134)
Этим уравнением и определяется момент выдачи команды на отделение ГЧ.
326
Анализ функционала управления (3.132) показывает, что для его злнзацин в бортовой СУ необходимо использовать показания двух «ерителей кажущейся скорости (двух импульсометров), неподвижно гановленных на гиростабилизированной платформе таким образом, эбы осн их чувствительности были ориентированы вдоль осей Гс и JVC солютной стартовой системы координат. Для получения изохронных клонений составляющих вектора кажущегося пути 6^(1) и ^y{t) мазания импульсометров должны однократно интегрироваться с целью лучения текущих составляющих вектора кажущегося пути, из которых лжны вычитаться расчетные значения этих составляющих. Таким разом, в память бортовой СУ перед пуском ракеты наряду с установоч-iM значением функционала должны быть введены программные ачения компонент вектора кажущегося пути $’(;) и Sp(t).
Функционал (3.132) может быть выражен в следующей эквивалентной >рме, где изохронные отклонения компонент вектора кажущегося пути писаны в виде интегралов от составляющих изохронных отклонений (мпонент вектора кажущейся скорости:
4(0 = — «'ж» + — и$(о <
г	,	(3-135)
<•— f[^x(O- »У’(т)Мт+-^- Пи^)- и;р(т)Ь/т. о	дУко
Данное выражение более рационально, поскольку при вычислении :кущего значения функционала интегрироваться должны не компоненты .‘ктора кажущейся скорости, изменяющиеся при полете ракеты в ироких пределах, а только их отклонения от составляющих расчетных 1ачений И^(г) и И^(г). Таким образом, в данном случае перед пуском 1кеты в память бортовой СУ должны быть введены не функции Sp(t) 5/(f), а функции FKf (г) и .
Функционалы (3.132) и (3.135) можно подвергнуть дальнейшим реобразованиям, в результате которых уменьшается количество пераций интегрирования показаний измерительных приборов и экращается объем данных полетного задания. Это может быть остигнуто, если ориентировать измерители не вдоль осей Ус и Хс, а под екоторыми углами к плоскости стартового горизонта, определяемыми словиями пуска. Рассмотрим содержание таких преобразований.
327
Возьмем сумму первых двух слагаемых выражения (3.132) и покажем, что для ее вычисления достаточно показаний не двух, а одного импульсометра, установленного под некоторым углом X к плоскости стартового горизонта. Действительно, данную сумму можно интерпретировать как скалярное произведение двух векторов - вектора кажущейся скорости W с компонентами и W и вектора, образованного баллистическими производными и Обозначим этот вектор
L. Таким образом, справедливо равенство:
(3.1ЭД
Из векторной алгебры известно, что скалярное произведение двух векторов может быть выражено как произведение модуля одного из них на величину проекции второго вектора на направление, определяемое первым вектором (рис. 3.22). Следовательно, скалярное произведение (3.136) может быть записано в виде:
L-W = |£|-И;(0,	(3.137)
' 8L Р * Г ЭЬ Р
(3.138)
где IFa(0 - проекция вектора кажущейся скорости на направление вектора L. Это направление получило название "А-направления". Значение угла X определяется формулой
А = arctgl /~^-
(3.139)
Аналогичным образом преобразуется сумма двух других слагаемых функционала (3.132):
W') + — Дг5(() = М-Д 5(0, ах/	дур
(3.140)
328
3.22. Проекция кажущейся скорости на аправление
Рис. 3.23. Проекция изохронной вариации кажущегося пути на р-направление
е М - вектор, образованный баллистическими производными — и Выражение (3.140) запишем в виде:
/ оу/
M-TTs = |л7|-Д5м(0,	(3.141)
(3.142)
;е Д^/) - проекция вектора изохронного отклонения кажущегося пути t направление вектора М, ориентированного под углом р к плоскости артового горизонта (рис. 3.23). Данное направление получило название .-направления". Значение угла ц определяется формулой
.( dL 1эь\
р = arctgl--/---- .
[dy’ldx*]
(3.143)
С учетом формул (3.137) н (3.141) функционал (3.135) преобразуется виду:
4, = KI *х(') * |М|/(ИДО -	(3.144)
о
становочное значение данного функционала равно:
329
% = |L| •*№*).	(3.145)
Выражения (3.144) и (3.145) можно разделить на коэффициент |L|, отчего уравнение управления не изменится. В итоге приходим к классической формуле линейного функционала управления дальностью, получившего название "Л-д-функиионапа"
+р/[и;м - »;’(<)]л, о
(3.146)
(3.147)
(3.148)
(3.149)
1Ы
Установочное значение данного функционала равно
= w’(&, а уравнение управления имеет вид:
Л-Л) = Лр-д.
Таким образом, для вычислений текущего значения функционала (3.146) необходимы показания двух измерителей кажущейся скорости, расположенных на ГСП под углами Л и д к плоскости стартового горизонта. Первый измеритель позволяет непосредственно получить величину И\(0, а показания второго измерителя 1^(0 после вычитания из них расчетных значений скорости ^(г) должны быть однократно проинтегрированы. Перед пуском ракеты в память бортовой СУ должно быть введено установочное значение функционала (3.149). величина коэффициента р, данные об углах Лир, под которыми должны быть выставлены оси чувствительности измерителей перед пуском, а также программные значения функции скорости
Другой классический вариант функционала управления дальностью в кажущихся параметрах предусматривает использование показаний единственного измерителя с переменной ориентацией оси чувствительности. Для получения этого функционала используем функционал (3.144) и преобразуем его, выразив проекции кажущейся скорости через соответствующие проекции кажущегося ускорения:
330
W'*<0 = [	= j й;<с)Л,	(3.150)
о	0
тустив в выражении (3.144) слагаемое, зависящее от расчетной орости ^’(т) (его мы перенесем в установочное значение данного /нкционала), перепишем данное выражение в виде
ji( = J(£4F)dT + jj(M-W)dxdK,	(ЗЛ51)
0	0 0
[е в круглых скобках записаны скалярные произведения соответ-•вующих векторов. Используя формулу интегрирования по частям, зеобразуем второй интеграл в выражении (3.151) к виду:
jj(M-W}dxdK = f(t - t)(M’W0dx,	(3152)
0 0	о
те переменные t и с подчинены неравенству t > х. Объединив слагаемые формуле (3.151) под общим знаком интеграла, получим
7^ = [[L + (f - x)M]W(x)dx. о
(3.153)
Введем в рассмотрение вектор В:
Я = £+0-т)Л7,	(3.154)
>риентированный под углом р к 1ЛОСКОСТН стартового горизонта рис. 3.24).Учитывая ранее введенные определения векторов L и Й, нетруд-« видеть, что справедливы следующие выражения:
Рис. 3.24. Вектор В и р-направленне
331
Вх =	+ (г - т)—,
д Z,p	дхх
В =	+ (t - т)-^,
еил₽	элр
Й =	в},
р = arctg
— + (Г - t)JL. ду?
JL. + (/ - т)_^_ ЭКГ’	дх*
(-V155)
(3.156)
(3.157)
С использованием введенных обозначений функционал (3.135) записывается в виде
I
= f\B(t,z)\^(t,^.	(3.158)
о
Как видим, для вычисления текущего значения данного функционала необходимо измерять проекцию вектора кажущегося ускорения на Р-йаправление, умножать результат измерения на переменный коэффициент |2?(г, т)| и интегрировать полученное произведение от момента пуска ракеты.
Сложность решения дайной задачи состоит в том, что время входит в выражения для коэффициента |5(г, т)| и угла р дважды в виде переменных t и т, связанных условием i > т. Вследствие этого необходимо было бы измерять величину (Рр при всевозможных сочетаниях переменных г, т и хранить в памяти СУ большой объем информации, необходимой для вычисления выражения (3.158).
Решение задачи можно существенно упростить, если заменить в функционале (3.158) текущее значение 1 расчетным значением Обоснование допустимости такой замены дано в монографии [9], где показано, что методическая ошибка управления дальностью, вызванная указанной заменой, представляет собой величину второго порядка
332
малости по отношению к вариации времени отделения ГЧ. Итак, запишем функционал управления дальностью в виде:
4(0 = j !*('/»	(3.159)
о
1*0/.-01 =
агЛ дх*
(3.160)
+ а* -
„ агр эу/
р = arctg—j---------—.	(3.161)
Jk. ♦ (,р -аи₽	ах/
Установочное значение данного функционала есть и уравнение управления имеет вид:
4,0k) = Лр	(3.162)
Для реализации данного функционала управления дальностью достаточно иметь единственный измеритель кажущегося ускорения (ньютонометр), ось чувствительности которого ориентирована под углом Р к плоскости стартового горизонта, изменяющемся с течением времени по программе, определяемой формулой (3.161). Результаты измерений должны умножаться на переменный во времени коэффициент, текущие значения которого определяются формулой (3.160), и полученное произведение должно быть однократно проинтегрировано от момента пуска ракеты. Перед пуском в бортовую СУ должны быть введены значения баллистических производных и установочное значение функционала.
В заключение рассмотрим вариант дальнейшего упрощения функционала (3.159). Анализ выражений (3.160) и (3.161) показывает, что вследствие непродолжительности полета ракеты коэффициент |В| и угол р изменяются в небольших пределах, отличаясь в конце АУТ не более чем на 20-25 % от своих начальных значений. Это позволяет в конкретных условиях пуска полагать величины \В | и 0 постоянными и
333
равными их средним значениям, |2?ср| и Вследствие этого постоянный коэффициент |В 411 может быть вынесен за знак интеграла и опущен как не влияющий на уравнение управления. В результате функционал приобретает простейший вид:
4, = ^0»	(3.163)
где 1Ур(/) - проекция кажущейся скорости ракеты на постоянное р-направлеиие.
Установочное значение функционала есть расчетное значение кажущейся скорости в проекции на p-направление Wf. Перед пуском ракеты в бортовую СУ должен быть введен минимальный объем информации: установочное значение функционала и значение угла р. На практике угол 0 принимается постоянным для некоторого диапазона дальностей. В этом случае при настройке автомата управления дальностью требуется ввести в бортовую СУ единственную величину -установочное значение функционала.
Несмотря на чрезвычайную простоту, функционал (3.163) имеет приемлемый уровень методической ошибки управления дальностью и был реализован на некоторых жидкостных баллистических ракетах дальностью действия до 11 тыс. км, оснащенных двигателями с регулируемой тягой и системой РКС.
3.4.4.	Задача управления боковым отклонением точки падения ГЧ от точки прицеливания
Как отмечалось в п. 3.4.1, рациональным способом решения общей задачи наведения, заключающейся в формировании команды на отделение ГЧ в момент одновременного выполнения концевых условий наведения Д£ = 0 и ДВ = О, является двухэтапный порядок решения соответствующих частных задач наведения.
Первый этап наведения заключается в управлении текущей величиной бокового отклонения Д3(г) таким образом, чтобы вблизи ожидаемого момента времени отделения ГЧ обеспечить достаточно малое значение этой величины, приемлемое с точки зрения точности попадания ГЧ в цель. Второй этап наведения состоит в формировании команды на отделение ГЧ с помощью функционалов управления дальностью.
Прежде чем рассматривать вопрос управления величиной бокового отклонения, получим выражения для расчета данной величины. С этой целью обратимся к концевому условию наведения ДВ = 0 и аппроксимируем величину Д5 в окрестности расчетного момента отделения ГЧ
334
езком ряда Тейлора:
дя(о = £—д^(о * —а - /’) * д2я. (3.164) аг/
При малых отклонениях текущих параметров движения ракеты от их летных значений на момент времени г/ слагаемое Д2В представляет >ой величину второго порядка малости. Линейную часть разложения 164) обозначим ДВ](г) и воспользуемся ею в качестве оценки величины <ового отклонения. В исходных обозначениях для параметров !жения ракеты в абсолютной стартовой системе координат величина [ имеет вид:
МО = —НО - */] * -^[у(0 - лЛ + -—НО -	+
Эл/	Эу/	Эг/
^*хх	v*yX
< -Ц-РХО - Г/J + а» [/ - //]. эр/	э//
Геометрический смысл аппроксимации исходного условия наведения i = 0 приближенным линейным уравнением ДВ( = 0 состоит, очевидно, гом, что гиперповерхность ДВ = 0 заменяется касательной плоскостью.
Проанализируем особенности выражения (3.165) в случае описания клонения ДВ в естественной целевой системе координат. Прежде всего, ) самому определению естественной системы координат, где ось жового отклонения перпендикулярна линии естественной дальности, ЗВ
юизводная = 0, поэтому последний член в выражении (3.165)
гчезаег. Учтем далее, что другие слагаемые в данном выражении имеют шичный порядок малости, что определяется различиями в значениях аллистических производных.
Действительно, для типичных условий полета на дальность 10тыс. км аллистические производные имеют следующий порядок (см. [18]):
335
— = 0,02 - 0,04, — = 20 - 40 с,
Зхх	Э71ж
— = 0,05 - 1,00, — = 60 - 100 с,
Эл	эгл
— - 0,5 - 1,50, — = 800 - 1500 с.
&к	д7г
(3.166)
Как видим, баллистические производные от бокового отклонения в точке падения ГЧ по параметрам продольного движения существенно меньше одноименных производных по параметрам бокового движения. Вследствие этого боковое отклонение точки падения ГЧ определяется в основном отклонениями параметров бокового движения (т.е. координатой z и боковой скоростью V.) от их расчетных значений и в меньшей степени - отклонениями параметров продольного движения. Поэтому в выражении для ZLBj(z) можно выделить основную и дополнительные части:
АВД = *!в«(0 * ^доп(0.
(3.167)
^.О«(0 = ^1X0 -	* ^,(0 - 7>],	(3.168)
Д*1аоп(0 =	+ —АХО *
Эх/ Эр/
+ -^дих(0 ♦ -^-дг (0.
дУр	ЭИР
(3.169)
Преобразуем формулы (3.168) и (3.169), перейдя в них от действительных к кажущимся параметрам движения, что вносит незначительную методическую ошибку. Кроме того, учтем, что программное значение боковой кажущейся скорости равно нулю, т.е.
1Р/(0 — 0, 5/(0 ’ 0.	(3.170)
В результате получаем следующие выражения для основной и дополни-
336
ной частей бокового отклонения:
= ^«) <• ^%(0.	(3.171)
v К _v
Д WO =	* -^as,(0 *
э^р ду?
(3.172)
♦ _^_д^х(о - -^-ди;(/). акр	аир
wrxx	vryr
Выражение (3.171), а также сумма величин (3.171) н (3.172) получили ;анпе функционалов управления боковым отклонением точки падения Их называют также функционалами управления направлением ета. Как видно из предыдущего материала, функционалы управления ьностью используются в так называемом "ждущем" режиме и меняются для выработки однократной команды на отделение ГЧ. зкционапы управления боковым отклонением применяются в осредственном управляющем режиме либо для расчета текущих ректирующих поправок в программы управления движением ракеты, о в качестве сигнала обратной связи в канале стабилизации бокового :жения БР й АУТ.
Перейдем к анализу задачи обеспечения малой величины бокового лонения Д5|(гк) на момент формирования команды на отделение ГЧ. практике применяются несколько способов решения данной задачи, личающихся величиной методической ошибки управления.
Первый наиболее простой способ заключается в том, что решение 1ачи обеспечения малой величины A5|(fK) целиком возлагается на :тему боковой стабилизации ракеты, функция которой состоит в .‘спечении малых значений параметров бокового движения И'.(0 и ipouecce полета БР на АУТ. В этом случае функционалы (3.171) и 167) не играют активной роли в управлении движением БР и в решении 1ачи управления. Величина ДВ1осн(гк) служит только для оценки годической ошибки наведения, вызванной погрешностями системы
Соответственно, величина ABUon(/K) служит для оценки методичес-й ошибки наведения, вызванной погрешностями систем НС и РКС. С целью уменьшения методической ошибки наведения Д51осн(гк) нкционал (3.171) может использоваться в управляющем режиме в честве сигнала обратной связи в канале БС. Эффективность данной ;ры по уменьшению указанной методической ошибки определяется
337
Рис. 3.25. К расчету поправки Дijr, в программу угла рыскания
путем моделирования динамики процессов стабилизации бокового движения БР на АУТ.
В тех случаях, когда методическая погрешность управления боковым отклонением, образующаяся за счет погрешностей систем стабилизации бокового и продольного движений, является неприемлемо большой, функционалы (3.167) и (3.171) применяются для расчета корректирующих поправок в программы управле-
ния движением по углам тангажа и рыскания с целью уменьшения величины бокового отклонения. В этом случае, очевидно, эти функционалы являются в прямом смысле
управляющими и играют активную роль в решении задач наведения.
Рассмотрим способ внесения корректирующей поправки в программу угла рыскания с целью компенсации основной составляющей бокового отклонения точки падения ГЧ. Будем полагать, что в процессе полета ракеты по информации от навигационно-измерительной системы рассчитывается текущее значение величины ДВ1осн(0 поформуле(3.171). Вблизи ожидаемого момента отделения ГЧ данная величина является достаточно точной оценкой прогнозируемого бокового промаха на момент гк. Обозначим эту величину . Для сведения величины ДВ^ к нулю внесем корректирующую поправку в программное значение угла рыскания, что приведет к появлению дополнительного силового управляющего воздействия в боковой плоскости и к соответствующему изменению параметров бокового движения. Обозначим поправку Аф, и будем полагать, что на интервале времени коррекции [q, + Дг], предшествующем ожидаемому моменту времени гк, эта поправка постоянна. Учтем, что полет последней ступени ракеты осуществляется за пределами атмосферы, где вектор кажущегося ускорения, создаваемого только за счет силы тяги ДУ, ориентирован вдоль продольной оси ракеты. Примем также во внимание, что программное значение угла рыскания равно нулю. Вследствие этого ориентация вектора кажущегося ускорения на интервале [/,, /] + Аг] определяется углами ftj’’ и Дф, (рис. 3.25).
Изменение параметров бокового движения, вызванное появлением угла Дф(, определяется следующими выражениями:
338
J,*4t
ДИ^ = - j FP'OJcosfr^’smAilr^-r = -созб^Дф, JF^Ar, (3.173) 'i
Д$г = -cosO^Ai|r|^cp—, 2
(3.174)
Fp’*7 - среднее на интервале [r(, f[ + Дг] значение кажущегося зрения.
Подставив полученные выражения (3.173) и (3.174) в формулу (3.171) эиравняв результат величине прогнозируемого промаха, получаем ейное уравнение для расчета поправки ДфР Данная поправка равна:
ДФ1 = --------------------
+ ^соз^Дг
2 эг/1
(3.175)
Как видно из формулы (3.175), величина поправки Дф[ уменьшается «сличением интервала времени Дг, в течение которого осуществляется «етс измененным углом рыскания. Очевидно, что обе эти величины гжны находиться в некоторых допустимых пределах, определяемых «амикой переходных процессов системы БС.
Момент Z] начала внесения коррекции в программу угла рыскания гжен определяться непосредственно в полете, для чего необходимо -ществлять прогноз момента tK выдачи команды на отделение ГЧ. Для »го целесообразно использовать текущие значения функционала завлення дальностью. Интервал времени, оставшийся до момента гк, жет быть с достаточной точностью оценен по формуле
Jj -
(3.176)
е - расчетное значение производной функционала управления льностью на момент г/. Заметим, что вследствие .малого влияния раметров бокового движения на управление дальностью полета есение поправки в программу угла рыскания не приведет к сушествен-му изменению момента 1К, поэтому интервал времени Дг, рассчитан
339
ный на момент начала коррекции, не претерпит заметного изменения в процессе последующего движения с измененной программой рыскания.
Внесение поправки в программу угла рыскания может быть использовано не только для компенсации основной составляющей бокового отклонения, но также для компенсации дополнительной составляющей Д2?1доп(г). Необходимость компенсации дополнительной составляющей бокового отклонения возникает на ракетах с нерегулируемой тягой, где вследствие отсутствия канала РКС вариации параметров продольного движения весьма значительны и дополнительная составляющая бокового отклонения сравнима по величине с основной составляющей. Для компенсации обеих составляющих бокового отклонения в формулу (3.175) для расчета корректирующей поправки достаточно подставить величину суммарного прогнозируемого промаха
3.4.5.	Общая характеристика свойств функционального (граничного) метода наведения
В предыдущих гл. 3.1.3.3 и 3.4 достаточно подробно рассмотрены все аспекты функционального метода наведения, включая состав и форму задания программ управления, методы определения программ, виды функционалов управления отделением ГЧ. Подведем краткий итог изложенного с целью обобщающей оценки содержания функционального метода наведения и его основных свойств.
1.	Функциональный метод наведения типичен для баллистических ракет, особенностью которых является двухфазность полета и неподвижность точки прицеливания на земной поверхности. Основу метода составляет принцип предварительного (предстартового) программирования движения ракеты в неподвижной в абсолютном пространстве плоскости пуска, содержащей точку старта БР и спрогнозированное на момент прилета ГЧ положение точки цели. Вследствие того, что программы управления определяются заблаговременно, функция бортовой системы наведения сводится к формированию разовой функциональной команды управления выключением ДУ последней ступени ракеты и отделением ГЧ (или группы таких команд на ракетах с РГЧ).
2.	Программирование движения БР в неподвижной плоскости пуска предопределяет возможность разделения задачи наведения надвезадачн: задачу управления дальностью полета и задачу управления боковым отклонением точки падения ГЧ от точки прицеливания. Первая задача решается с помощью функционалов управления дальностью в канале
340
эавления, который на ракетах ранних поколений с аналоговыми СУ (ывался автоматом управления дальностью (АУД). Решение второй [ачи в простейшем случае целиком возлагается на систему боковой |билизации.
3.	Форма задания программ управления в функциональном методе ведения, при которой программы нормальной и боковой скорости кдественно равны нулю,тесно связанасо схемой построения бортовой ерциальной навигационной системы и схемой предстартовой выставки иерителей платформенных ИНС. В соответствии с этой схемой оси вствительности измерителей параметров продольного движения •югонометров или импульсометров) ориентируются в плоскости пуска, >сь чувствительности измерителя параметров бокового движения ей рлендикулярна. Требуемая ориентация осей чувствительности мерителем ИНС обеспечивается путем предстартового горизонтнрова-я ГСП и азимутального разворота ее вокруг вертикальной оси в оскость пуска по командам от систем прицеливания и приведения ГСП.
4.	Ввиду того что в функциональном методе наведения программы равления рассчитываются перед пуском в рамках соответствующих гтимизационных задач по критериям оптимальности (по критерию 1ксимума дальности полета при пусках на предельную дальность или шимума рассеивания при пусках на промежуточные дальности), жкцнональный метод наведения оптимален.
5.	Метод предварительного расчета программ управления позволяет 1есть все возможные ограничения как на параметры движения БР и ГЧ, к и на параметры управления. Вследствие этого функциональный метод шедения универсален в том смысле, что пригоден до управления жжением БР на всех участках траектории от момента пуска до момента сончания АУТ.
6.	Другим достоинством функционального метода наведения является эостота бортовых алгоритмов, поскольку задача наведения сводится расчету текущих значений функционалов управления дальностью либо действительных, либо в кажущихся параметрах движения. В последнем зучае исключается необходимость численного интегрирования сновного уравнения инерциальной навигации. Это позволило рименять функциональный метод наведения на ракетах нескольких околений с аналоговыми СУ без использования БЦВМ.
7.	Главным недостатком функционального метода является непос-едственная зависимость методических ошибок наведения от величины тклоиений параметров движения ракеты от их номинальных значений конце АУТ, что является следствием разо.мкнутости программ правления. Именно это обстоятельство объясняет необходимость ведения в состав бортовой СУ грехканальной системы стабилизации
341
движения центра масс ракеты, включающей канал нормальной стабилизации (НС), канал боковой стабилизации (БС) и канал продольной стабилизации (РКС), применимый на ракетах с ЖРД.
8.	Разомкнутость программ управления в функциональном методе является причиной еще одного недостатка этого метода, заключающегося в невозможности одновременной реализации двух и более граничных условий наведения. Данное обстоятельство вынуждает осуществлять раздельное управление дальностью полета и боковым отклонением точки падения ГЧ отточки прицеливания, что усложняет задачу управления и приводит к дополнительным ошибкам наведения.
9.	Для функционального метода наведения характерна высокая трудоемкость расчета данных полетного задания - азимута пуска и установочного значения функционала управления дальностью (на ракетах с РГЧ установочные значения функционалов управления должны быть рассчитаны для всех ББ). Погрешности этих расчетов должны быть минимальны, так как непосредственно влияют на точность наведения. Данные обстоятельства затрудняют решение задачи оперативного перепрнцелнвания ракеты при пуске по неплановой цели, а также применение этого метода на мобильных ракетных комплексах, где необходимо производить пуски ракет с любой точки маршрута боевого патрулирования.
Глава 3.5
НАВ ЕДЕНИЕ ПО МЕТОДУ ТЕКУЩЕЙ ТРЕБУЕМОЙ СКОРОСТИ
Введение
Метод требуемой скорости реализует принцип текущего программи->вания движения, при котором программы управления замкнуты и ,считываются непосредственно в процессе полета. Поскольку шятие требуемой скорости относится к баллистическому участку »лета, метод требуемой скорости как нельзя лучше подходит для .ведения баллистических ракет. Он может быть применен также 1Я наведения ЛА других типов, имеющих фазу пассивного полета ->смических ракет-носителей, космических аппаратов, совершающих гжорбитальные или межпланетные перелеты, и др. Метод непригоден 1я наведения ЛА, у которых управляемый полет продолжается до эменга встречи с целью (зенитных ракет, ракет класса'воздух-воздух" "воздух-поверхность", крылатых ракет).
Идея метода требуемой скорости была высказана впервые в 50-х >дах. С тех пор этот метод получил интенсивное развитие и известен нескольких различных вариантах. Значительный вклад в разработку iHHoro метода внесен американскими специалистами под руководством . Бэттина. В США этот метод разрабатывался первоначально в зрианте так называемой Q-системы, а затем в измененном виде рнменялся в системе управления КК "Аполлон" (см. [5], (6]). Алгоритми-еская простота метода Q-системы позволила реализовать его в налоговых СУ без применения БЦВМ на баллистических ракетах ервых поколений "Тор" и "Поларис". Однако это достоинство Q-истемы в значительной мере обесценивалось существенным недостат-ом, заключающимся в чрезвычайной трудоемкости задачи подготовки энных на пуск и большом объеме полетного задания, что усложняло рименение названного метода для ракет мобильного базирования.
С появлением БЦВМ открылась возможность существенного идоизменения алгоритмического содержания метода требуемой корости и значительного упрощения задачи расчета полетного задания. )то позволило решить проблему эффективного применения данного 1етода наведения на мобильных ракетных комплексах, способных >существлять пуски ракете любой точки маршрута боевого патрулирова-шя.
343
Изложение теоретических основ метода требуемой скорости осуществляется ниже в следующем порядке. В настоящей главе основное внимание уделяется исходным понятиям метода требуемой скорости и его особенностям в варианте Q-системы. Этот вариант является по существу методом наведения по текущей требуемой скорости, что и нашло отражение в названии данной главы. Хотя сам по себе вариант Q-системы в настоящее время следует считать устаревшим, изложение-его основ не потеряло методического значения для уяснения особенностей метода требуемой скорости и его основных качеств.
В гл. 3.6 излагается одна из современных модификаций метода, свободная от недостатков метода Q-системы. Поскольку сущностью модификации является переход от наведения по текущей требуемой скорости к наведению по требуемой скорости, спрогнозированной на момент отделения ГЧ, данная модификация названа методом конечной требуемой скорости.
3.5.1. Сущность метода текущей требуемой скорости
Рассмотрим общую задачу наведения БР, состоящую в определении программ управления движением по углам тангажа и рыскания, а также момента отделения ГЧ из условия выведения ГЧ на попадающую траекторию, проходящую через заданную точку прицеливания. Терминальные условия наведения определим стандартным образом как условия нулевого промаха точки падения ГЧ от точки прицеливания, заданные равенствами:
ДЬ(гц) = 0, ДЯ(гц) = 0	(3.180)
на момент выполнения финитного условия:
r(t) - гц.	(3.181)
Основным понятием, играющим ключевую роль в рассматриваемом методе, является понятие требуемой скорости. Определим это понятие. Рассмотрим произвольный момент времени 1 движения БР на АУТ. Текущие положения и скорость ракеты обозначим Г(0 и v(0 (рис. 3.26). Вполне понятно, что если
Рис. 3.26. К определению требуемой
344
(улить тягу ДУ и отделить ГЧ в момент t, то будет реализована .олстиая траектория ГЧ (кривая У, рис. 3.26).
Назовем требуемой скоростью У* такую скорость в момент г при [ном положении г(г), при которой в случае обнуления тяги ДУ и [еления ГЧ в рассматриваемый момент времени траектория последую-го движения была бы попадающей (кривая 2, рис. 3.26).
Требуемая скорость определяется двумя условиями (3.180) неоднознач-Действительно, из физической картины движения ясно, что цествует семейство попадающих траекторий, начинающихся в данной [ке пространства и проходящих через заданную точку прицеливания, ответственно, существует множество различных векторов требуемой )рости. Для определения единственного вектора требуемой скорости збходимо предъявить к попадающей траектории дополнительное гбование, расширив тем самым состав условий наведения. Как сказано ;. 3.2.1, в качестве таких дополнительных условий чаше всего задается бо полное время полета ГЧ до точки падения,
Г(гц) = Тзад,	(3.182)
бо угол входа ГЧ в плотные слои атмосферы,
W = 
(3.183)
Таким образом, условия попадания (3.180) совместно с одним из волнительных условий (3.182) или (3.183) однозначно определяют 'ебуемую скорость в любой точке траектории движения БР.
По своему определению требуемая скорость является функцией [ординатрассматриваемой точки пространства.т.е. вектора г. Кроме >го, вследствие перемещения точки прицеливания в абсолютном зостранстве из-за вращения Земли требуемая скорость явным образом [висит от текущего времени. Можно заметить также, что явная [висимость требуемой скорости от времени имеет место при задании .•рминального условия (3.182), если даже вращение Земли не принимать э внимание. В дальнейшем полагаем, что в общем случае требуемая сорость является функцией координат и времени Р1? = У* (г, t).
Предположим, что имеется возможность рассчитывать текущее чачение требуемой скорости на борту ракеты в реальном масштабе ремени. Рассмотрим разность требуемой скорости и текущей скорости акеты. Назовем эту разность требуемым приращением скорости:
дртр = ртр _	(3.184)
345
Требуемое приращение скорости Д Й17 показывает, какое дополнительное приращение скорости надо сообщить ракете для достижения момента отделения ГЧ, Таким образом, дальнейшее управление движением ракеты, т.е. выбор программных углов тангажа и рыскания, определяющих направление вектора тяги ДУ, должно осуществляться таким образом, чтобы обеспечить набор недостающей скорости Д Й17, а отсечку тяги ДУ и отделение ГЧ следует провести в момент обнуления вектора ДЙ17. На практике требование равенства нулю модуля требуемого приращения скорости заменяют неравенством:
|ДЙ1р| е,	(3.185)
где с - заранее выбранная малая величина, определяемая допустимой методической погрешностью наведения.
Как видим, идея наведения является по своей сути достаточно простой. Однако ее практическая реализация сталкивается с серьезной трудностью, связанной с необходимостью рассчитывать текущие значения требуемой скорости в реальном масштабе времени, прн этом допустимое запаздывание в определении требуемой скорости не должно превышать сотых долей секунды. Если учесть, что для расчета требуемой скорости необходимо решить соответствующую краевую задачу для системы дифференциальных уравнений, описывающих полет ГЧ на пассивном участке траектории с учетом движения в атмосфере,то станет очевидной трудность решения этой задачи за время, не превышающее допустимое запаздывание в расчете требуемой скорости, даже с применением высокопроизводительных бортовых ЦВМ.
Эту трудность удалось преодолеть в варианте метода, получившем в американской литературе название Q-системы. Рассмотрим сущность данного варианта метода требуемой скорости.
3.5.2. Метод требуемой скорости в варианте Q-систсмы
В последующем изложении термин "требуемое приращение скорости" заменим более коротким выражением дополнительная скорость и скорость дй17 будем обозначать как Йа.
Основу метода Q-системы составляет следующее дифференциальное уравнение для дополнительной скорости:
346
dY -	-
(3.186)
W - кажущееся ускорение ракеты за счет силы тяги ДУ; 0 -цратная матрица третьего порядка, образованная частными изводными от компонент вектора текущей требуемой скорости по рдинатам текущей точки пространства:
б =
	а к*	аг*	аг*
	dx	а>>	dz
ай* _	эру	аг*	dVK
dr	dx	ау	dz
	а и?	ат?	а к*
	ах	aj'	az
(3.187)
Как отмечается в [6], выбор алгоритма метода буквы Q для обозначе-i матрицы частных производных (3.187) предопределил название темы наведения, основанной на применении уравнения (3.186), как :истемы.
Проверим справедливость уравнения (3.186) при движении ракеты внеатмосферном участке траектории. Рассмотрим полную производ-о от требуемой скорости по времени. С учетом явной зависимости дуемой скорости от 7 и t эта производная выражается следующим разом:
dv* = аР dt dr dt dt
(3.188)
и с учетом обозначения (3.187)
- Q — + dt ~ dt dt '
частности, при движении ракеты на АУТ имеем:
347
dt	dt ’
(3.190)
где K(r) - текущая скорость ракеты, удовлетворяющая уравнению движения вида:
=	(3.191)
dt
где g - ускорение силы гравитационного притяжения.
С другой стороны, при движении ГЧ на ПУТ ее текущая скорость является по определению требуемой скоростью в каждый текущий момент времени, т.е. для пассивного участка справедливо уравнение:
= g,	(3.192)
а уравнение (3.190) для случая движения на ПУТ принимает вид:
=	+	(3.193)
Приравнивая правые части в выражениях (3.192) н (3.193), приходим к равенству:
— д ггТР grn, + 22__=g.	(3.194)
dt
Рассмотрим теперь выражения (3.190), (3.191) и (3.194) в один и тот же текущий момент времени. Вычитая почленно уравнение (3.191) из уравнения (3.190), получаем
dt	dt
Исключим теперь из последнего уравнения гравитационное ускорение с помощью формулы (3.194). В результате приходим к уравнению;
348
—i = QV - и> - QV^,	(3.195)
dt
уда вытекает доказываемое уравнение (3.186).
Проанализируем уравнение (3.186), представляющее собой линейное |ференциальное уравнение относительно вектора дополнительной рости. Данное уравнение позволяет рассчитывать текущие значения гора дополнительной скорости, причем без нахождения самой 5уемой скорости. Для этого следует интегрировать данное уравнение гальном масштабе времени с соответствующим начальным условием г0), определяемым начальными и терминальными условиями едения. Для интегрирования уравнения необходимо располагать ультатамн измерений вектора кажущегося ускорения ракеты и формацией о значениях элементов матрицы Q в текущих точках екторииданжения. Ввиду практической невозможности рассчитывать менты матрицы Q непосредственно в ходе полета ракеты данная :ача должна быть решена заблаговременно перед пуском ракеты и (ные об элементах матрицы Q должны быть введены в память этовой СУ в составе полетного задания.
Интересная особенность уравнения (3.186) состоит в том, что оно не (ержит вектора гравитационного ускорения. Это создает обманчивое :чатление независимости задачи расчета дополнительной скорости модели гравитационного поля. На самом деле информация о модели гвитационного поля отражена в элементах матрицы Q.
Другой важной особенностью уравнения (3.186) является то, что хотя стор дополнительной скорости определен в действительных парамет-с движения, для решения данного уравнения нужна информация только кажущемся ускорении ракеты. Таким образом, метод требуемой эрости в варианте 2-системы не нуждается в нахождении денствитель-tx параметров движения и в интегрировании основного уравнения ерциальнон навигации.
Обратимся теперь непосредственно к задаче наведения, решаемой с мощью уравнения (3.186). Рассмотрим вопрос определения програм-1ых углов тангажа и рыскания. Поскольку данными углами определя-гея направление вектора кажущегося ускорения W, то вопрос сводится определению направления этого вектора.
Очевидно, что вектор W следует направить так, чтобы обеспечивалось «еньшение модуля дополнительной скорости и сведение ее к нулю, словием уменьшения модуля дополнительной скорости является
349
отрицательность его производной:
»> < 0, р" = — |К,| . д I д dt I дН
(3.196)
Установим связь между величиной и направлением вектора ВЛ Предварительно заметим, что справедливо выражение:
(3.197)
где в числителе стоит скалярное произведение соответствующих Л.
векторов. Подставим в формулу (3.197) выражение для Ип из уравнения
(3.186). В результате получим
Йа = 6-ея - W-ea.
(3.198)
В последнем выражении вектор ёд есть единичный орг вектора Ид. Кроме того, введено обозначение:
b = ~QVa.
(3.199)
Выражение (3.198) показывает, что отрицательность модуля дополнительной скорости будетобеспечепа.если выполнено неравенство
W-e > Ъ- ё, А	Д'
(3.200)
т.е. если проекция вектора W на направление вектора дополнительной скорости превышает проекцию на это направление вектора Ь.
Неравенство (3.200) проиллюстрировано на рнс. 3.27, где показано, что допустимые направления вектора Wy при которых выполнено условие (3.196), ограничены углом ASB.
Среди допустимых направлений вектора W целесообразно выбрать энергетически оптимальное по критерию минимума расхода топлива при
350
U7. Допустимые направления ускоре-	Рис. 3.28. Ориентация ускорения W при
управлении по векторному произведению
W
авлении движением ракеты на АУТ или, что эквивалентно, по терию минимума времени, погребного на сведение модуля дополнн-ьной скорости к нулю. С этой целью авторами метода требуемой
рости предложено выбирать направление вектора W таким образом,
бы вектор Кя был противоположен по направлению вектору Йд с. 3.28). Поскольку данное условие может быть сформулировано как действо нулю векторного произведения:
Й х Й = 0,	(3 2°1)
д д ’
_	W
э американской литературе способ определения направления вектора условия (3.201) получил название "управление по векторному прошению”.
i.3. Анализ оптимальности управления при наведении
методу требуемой скорости
Как показывает анализ, управление по векторному произведению не ляется строго оптимальным порасходу топливам даетлишь некоторое иближение к энергетически оптимальному управлению. Однако для
351
модели движения в однородном поле данное управление строго оптимально при условии, что в качестве дополнительного терминального условия наведения задано полное время попета ГЧ. Проверка данного обстоятельства может быть проведена путем следующих несложных выкладок (см. [6]).
Рассчитаем матрицу Q для случая движения БР и ГЧ в однородном гравитационном поле при терминальных условиях наведения (3.180) и (3.182). Связь между текущими параметрами движения, терминальными условиями и компонентами вектора требуемой скорости описывается выражениями:
= X < ^(Т - /);
Уа = У - Г’(Г - о - if (Г - О2;	(3.202)
2Ц = Z + К’(Т - г),
где Т-заданное время полета. В соответствии с общей формулой (3.187) получаем, что матрица Q имеет следующий вид:
Q = -
—— Е, Т- t
(3.203)
где Е - единичная матрица 3-го порядка.
Как видим, в данном случае матрица Q пропорциональна единичной матрице, поэтому вектор Ь направлен по вектору дополнительной
_	X
скорости Иа, вследствие чего и вектор И', определяемый условием (3.201), также направлен по вектору дополнительной скорости. Покажем, что такое направление вектора W оптимально по условию минимума расхода топлива при наведении БР.
С этой целью обратимся к уравнению (3.186) и умножим его обе части скалярно на вектор Йя. В результате с учетом (3.203) получим
Л Т - t я ' я1
(3.204)
Перепишем это выражение в виде
352
(T-	= 2ГД2 - 2(17-КД)(Т - г)
I проинтегрируем обе части данного равенства от текущего момента зремени до конца АУТ, т.е. до момента обнуления дополнительной гкорости:
».	'‘г
[(Т- t)d^ = Д2И2
2(П>-ЙД)(Г- Орт.
(3.205)
Интеграл слева вычислим по частям н с учетом Кл(гж) = 0 получим
I*
f(T - t)dV2 = -(т- 1)Г32 f V-dx.	(3.206)
*t	г
Далее из выражений (3.205) и (3.206) получаем равенство:
(Т - оИа2 = Д2(Г - /)([/• Уа) - И2рт.	(3.207)
t
Слева в (3.207) стоит величина, не зависящая от закона изменения направления вектора ЙС Поэтому интервал интегрирования справа будет минимален (и, следовательно, будет минимален расход топлива) при .максимальности подынтегрального выражения,т.е. в случае, если вектор W-’ направлен по вектору дополнительной скорости. Но именно это направление вектора W обеспечивается, как это было показано, управлением по векторному произведению при движении в однородном поле.
В дополнение к сказанному отметим, что в рассматриваемых условиях движения направление векторов W и Йа остается неизменным в течение всего времени полета на АУТ и совпадает с направлением вектора требуемой скорости в начальный момент времени, когда начальная скорость ракеты равна нулю. Следовательно, при движении в однородном поле метод наведения формирует программу управления с постоянным углом тангажа, что согласуется с полученным в п. 3.3.2
353
заключением, что оптимальный угол тангажа при наведении в однородном поле при дополнительном краевом условии Т = Гзад постоянен.
Заметим, что этот вывод справедлив только при использовании в качестве дополнительного терминального условия наведения полного времени полета, вследствие чего матрица Q имеет вид (3.203). Читатель может проверить самостоятельно, что при терминальном условии (3.183) матрица Q для модели однородного поля имеет более сложный вид, неднагональна и несимметрична. Вследствие этого направление вектора Ь отлично от направления вектора дополнительной скорости и проведенные выше рассуждения несправедливы.
Итак, в общем случае управление по векторному произведению не является оптимальным по расходу топлива. Энергетические показатели данного метода управления можно улучшить путем введения в алгоритм метода специального параметра управления, с помощью которого можно
воздействовать на направление вектора W (см. [5]). Рассмотрим способ введения параметра управления и одновременно получим выражение для расчета требуемого направления вектора W.
Обозначим параметр управления у и введем его как коэффициент при векторе Ь. Выбором параметра управления в пределах от 0 до 1 можно соответствующим образом изменять длину вектора Ь. Таким образом, производную вектора дополнительной скорости будем определять по формуле
ай г д
dt
---w* -fb.
(3.208)
Через ё# обозначим единичный орт вектора W. Исходное уравнение для определения вектора ё*. имеет в соответствии с формулой (3.201) вид:
ёя х (уй - We#) = 0.	(3.209)
Разрешим данное уравнение относительно вектора ё#. С этой целью умножим его векторно слева на ёд,
ед х ед х (уЬ - ИТ^) = 0,	(3.210)
и преобразуем двойное векторное произведение по известной формуле
354
a x (Z> x c) = b(5‘c) - c(a-b\ :рывая скобки в (3.210), получаем
(3.211)
у[ёд(ёд-Ь) - 2>] - ^[ёа(ёа-ёа.)-ё^ - О,
=
(3.212)
—Ь +
(«л'М - ^-{ё^Ъ)ёл.
Зля исключения из последнего уравнения произведения ёд-ёц, ожим это уравнение скалярно на вектор
1 °	+	(3.213)
>ме того, умножим уравнение (3.212) скалярно на вектор Ь:
(ё^-b) = — Ь2 + (ёя-ё^)(ё -Ь) - -^-(ё-Ь)2. W	W
зставим найденное выражение в (3.213), в результате чего получим
1 = ~Т~2Ьг * &2	Й7
.уда находим
(vM
1 - -4(*2 - (ёа-6)2Г
(3.214)
.‘сь перед радикалом следует братьтак как ёд* > 0. Из формул 212) и (3.214) получаем:
г* = -r<Y6	Р ед) •
W
(3.215)
Р = ^\V2 - у2[62 - (ея-Ь)2] - у(ёя-Ь).
355
Таким образом, получены явные выражения для расчета единичного вектора ew, определяющего направление вектора тяги ДУ и продольной оси ракеты. Определив компоненты вектора ё# в абсолютной стартовой системе координат, нетрудно рассчитать далее программные значения углов тангажа и рыскания. Очевидно, что при у = 0 получаем управление, при котором продольная ось ракеты направляется непосредственно по вектору дополнительном скорости, а при у = 1 - исходное управление без коррекции модуля вектора Ь. Оптимальное по критерию минимума расхода топлива значение параметра у определяется путем моделирования процесса управления для заданных условии пуска. Расчеты показывают, что при пусках на дальность 10 тыс. км у » 0,4, причем оптимум в диапазоне от 0 до 1 весьма пологий.
Итак, нами рассмотрены обе части задачи наведения по методу требуемой скорости в варианте ^системы. При этом наведение осуществляется следующим образом:
-	программные значения углов тангажа и рыскания определяются в процессе полета по ориентации вектора ё№, определяемого выражением (3.215), где it-' - измеренное значение модуля вектора кажущегося ускорения;
-	момент обнуления тяги ДУ и отделения ГЧ определяется условием равенства нулю модуля дополнительной скорости пли, точнее, условием (3.185) малости этой величины.
Обращает на себя внимание исключительная простота алгоритма выработки команды на отделение ГЧ. В отличие от метода наведения, рассмотренного в предыдущей главе, здесь не возникает проблема раздельного управления дальностью и направлением полета. Более того, обеспечивается одновременная реализация трех терминальных условий наведения.
3.5.4. Свойство симметрии матрицы Q
Для практического применения рассмотренного метода наведения необходимо провести заблаговременный расчет элементов матрицы Q. В связи с этим в [6] отмечается, что матрица Q обладает свойством симметричности. Данное свойство может быть использовано для контроля правильности расчета этой матрицы численными методами. Симметричность матрицы Q может быть установлена с помощью следующего дифференциального уравнения, которому удовлетворяет данная матрица для условий движения на ПУТ при произвольной модели гравитационного поля, но без учета сопротивления атмосферы:
356
-£*G-Q2,	(3.216)
G - матрица градиентов гравитационного поля,
G =	(3.217)
dr
Проверим справедливость уравнения (3.216). Воспользуемся внением (3.194) и продифференцируем обе части этого уравнения тным образом по вектору положения. В результате получаем
dr	дт 8t
реставляя операции дифференцирования во втором слагаемом и чожая уравнение на Й’?, получаем
-4(6^)-= GV\	(3 218)
dr	dt	'
я вычисления левого слагаемого в полученном уравнении запишем ражепиедля полной производной огпропзведения Q - повремени:
4(2^) = 4(2	Й”* + У* * Q^—.	(3.219)
at	dr	at	dt
С другой стороны, прямым дифференцированием данного произведе-я получаем
— (ек1”) =	+ Q^^-.	(3.220)
dt	dt	dt
ггем теперь равенство (3.193) и перепишем последнее уравнение едуюшим образом:
±{qv^) =
dt	dt	dt
(3.221)
357
Приравнивая правые части уравнений (3.219) и (3.221), получаем
(С К^) Й11* =	~	р*?
dr	dt	dt
(3.222)
Подставим найденное выражение в (3.218) и получим равенство:
+ Q2pTP =	(3.223)
at
Данное равенство остается справедливым, если сократить его на ненулевой вектор Й4*, в результате чего приходим к доказываемому уравнению (3.216).
В статье Р. Бэттина [6] приведена тождественная форма записи уравнения (3.216) в виде следующего дифференциального уравнения Риккати для обратной матрицы Q’1:
+ Q-'GQ-1 = Е,	(3.224)
dt
где Е-единичная матрица 3-го порядка. Для проверки эквивалентности уравнении (3.216) и (3.224) умножим обе части уравнения (3.216) слева и справа на обратную матрицу Q'1:
б'^б'1 = Q-'GQ-1 - Е.	(3.225)
Дифференцируя тождество б 'б = £. убеждаемся в справедливости равенства:
б’^б’1 =	(3.226)
at	dt
Из формул (3.225) и (3.226) вытекает уравнение (3.224).
Свойство симметрии матрицы Q при фиксации полного времени полета, т.е. при терминальном условии (3.182), определяется структурой дифференциального уравнения (3.224) и краевых условий, которым должна удовлетворять матрица б • Действительно, градиентная матрица G симметрична для любой модели гравитационного поля и поэтому уравнение (3.224) совпадает с транспонированным. Кроме того,
358
вечный момент времени матрица Q' 1(Т) = 0, т.е. является симметрич-. Поэтому матрица (Г1, как и матрица Q, симметрична.
При терминальном условии (3.183) матрица Q, хотя и удовлетворяет впению (3.216), не является симметричной. В этом можно убедиться jpocroii модели однородного поля,
5. Общая характеристика свойств метода наведения секущей требуемой скорости
1. Метод наведения по текущей требуемой скорости применим для явления движением ЛА, имеющих фазу пассивного полета. Данный од формирует замкнутые программы управления, в связи с чем для ичия его от функционального метода наведения по разомкнутым •граммам получил в отечественной литературеназвание терминально-иетода наведения.
2. Ввиду замкнутости программ управления метод не требует жесткой билизании движения БР вблизи номинальной траектории. Это «ощает систему управления за счет исключения систем НС, БС и РКС. 3. Данному методу наведения свойственна исключительная простота оритма выработки команды на прерывание АУТ и отделение ювной части БР по признаку обнуления модуля требуемого прираще-i скорости. При этом обеспечивается одновременная реализация трех 'минальных условий наведения ГЧ (двух координат точки цели и юлпительного условия наведения в виде полного времени полета или ia входа ГЧ в атмосферу), что позволяет формировать траектории ГЧ олее широким спектром свойств по сравнению с функциональным годом наведения.
4. Энергетические показатели метода требуемой скорости зависят от 1овий его применения. При наведении на безатмосферном участке лектории метод близок к оптимальному по критерию минимума -'хода топлива. Однако с учетом условий движения БР в атмосфере на чальном этапе полета энергетические показатели данного метода ведения существенно хуже соответствующих показателей метода ведения по принципу предварительного программирования движения. 5. Метод требуемой скорости не позволяет учесть специальные ебовапия к траекториям полета ракет (в частности, требование этикальности начального участка полета БР), атакже многочисленные раничеиия на параметры движения в атмосфере. В зтом смысле метод ебуемой скорости не универсален, вследствие чего при наведении ллнстических ракет целесообразно его применение в комбинации с годом предварительного программирования движения. Управление летом БР на участках работы первой и второй ступеней целесообразно уществлять по жестким или гибким программам управления,
359
позволяющим учесть все ограничения на параметры движения н сформировать оптимальные траектории выведения, а к управлению по методу требуемой скорости переходить на участке полета последней ступени БР или ступени разведения.
6.	Методические ошибки метода требуемой скорости слабо зависят от размеров трубки возмущенных траекторий движения БР на АУТ и определяются главным образом погрешностями расчета вектора требуемого приращения скорости. При применении этого метода наведения в комбинации с методом управления по жестким или гибким программам возможные отклонения параметров возмущенного движения БР от их номинальных значений, накопившиеся к моменту начала наведения по требуемой скорости, воспринимаются системой наведения как возмущения начальных условий и компенсируются в контуре обратной связи на завершающем этапе полета при формировании программ замкнутого управления. Вследствие этого указанные отклонения не влияют на методические ошибки наведения.
7.	В варианте g-системы бортовая реализация алгоритмов метода текущей требуемой скорости достаточно проста и сводится к интегрированию уравнения наведения (3.186). При этом, как было сказано в п. 3.5.2, нетребуется решать навигационную задачу, связанную с интегрированием основного уравнения инерциальной навигации. Простота бортовых алгоритмов позволила в свое время реализовать этот метод на ряде ракет США с аналоговыми СУ без применения БЦВМ. Блок-схема бортовой системы наведения на аналоговых элементах приведена в [6].
8.	Существенным недосгатком метода наведения в варианте Q-системы является сложность расчета элементов матрицы Q, что затрудняет применение этого метода на ракетах мобильного базирования, так как для обеспечения пусков ракет с любой точки маршрута боевого патрулирования РК и оперативного расчета полетного задания требуются мощныевысокопроизводительныеЦВМ. В противном случае пуски ракет должны проводиться с заранее назначенных пунктов, для которых полетные задания рассчитываются заблаговременно.
9.	Друт им недосгатком данного метода наведения является большой объем полетного задания, содержащего информацию об элементах матрицы Q, и, соответственно, большой объем информации, хранимой в бортовой СУ. Для уменьшения объема указанной информации применяется аппроксимация элементов матрицы Q полиномами, а для ракет небольшой дальности - константами, что. однако, приводит к существенным методическим ошибкам наведения. Так, по данным статьи [6], при пусках на дальность 2800 км методические ошибки наведения в случае аппроксимации элементов матрицы Q константами оцениваются величиной порядка 1,85 км,
360
Глава 3.6
НАВЕДЕНИЕ ПО МЕТОДУ КОНЕЧНОЙ ТРЕБУЕМОЙ СКОРОСТИ
1. Сущность метода наведения
Метод наведения по конечной требуемой скорости представляет собой оизменение (модификацию) метода текущей требуемой скорости. 1ь модификации заключается в том, чтобы преодолеть главное зуднение, препятствующее практической реализации метода текущей буемой скорости, - необходимость высокоточного определения буемой скорости в реальном масштабе времени с минимальным аэдываппем,которое не должно превышать сотых долей секунды. Заметим, что сама по себе задача расчета требуемой скорости Й (г,/) 1 заданных терминальных условиях наведения и известных r,t не вставляет алгоритмической проблемы. Эта задача относится к классу ювых задач баллистики и может успешно решаться таким эффектив-м методом, как метод Гаусса - Ньютона, который известен также под шаннем метода стрельб (см. [15]). Проблема состоит в том, что данная шча должна решаться бортовой ЦВМ за время, не превышающее пустимое запаздывание в расчете текущего значения требуемой зрости. Это предъявляет весьма высокие требова! шя к быстродействию (ВМ.
В рассмотренном выше методе 2-наведения указанная проблема еодолена благодаря тому, что вычисления по определению требуемого иращения скорости сведены к интегрированию уравнения (3.186), нако при этом возникает необходимость проведения громоздких 'сдварительных расчетов элементов матрицы Qc последующим вводом шпаратуруСУ большого объема информации. Кроме того, табличное дание элементов этой матрицы или аппроксимация их полиномами >рождает методические ошибки наведения, весьма существенные для 1кет большой дальности.
Излагаемая ниже модификация метода требуемой скорости свободна г недостатков метода 2'иавеДения- Сущность этой модификации 1ключается в том, что требуемое приращение скорости ракеты ютносится не с текущей требуемой скоростью, а с требуемой скоростью, пределеннон на момент 1К окончания АУТ. Назовем эту скорость энечной требуемой скоростью. Как будет видно из дальнейшего зложения.для высокоточного наведения но методу конечной требуемой <орости потребуется осуществлять периодический прогноз ожидаемого
361
значения конечной требуемой скорости и проводить его уточнение (коррекцию), т.е. решать ту же самую краевую баллистическую задачу, о которой было сказано выше. Однако поскольку зга скорость определена на момент окончания АУГ, появляется интервал времени Дг = = tK -1, достаточный для того, чтобы в процессе полета ракеты на АУТ многократно с некоторым периодом Т решать задачу коррекции конечной требуемой скорости с помощью БЦВМ умеренного быстродействия.
Приступим к изложению сущности метода конечной требуемой скорости. Будем рассматривать этот метод применительно к внеатмосферному участку полета ракеты на АУТ. В этом случае, как известно,
вектор кажущегося ускорения ракеты И' совпадает по направлению с вектором тяги ДУ, а программные значения углов тангажа и рыскания
однозначно определяются направлением вектора JV. Предположим, что для заданных условий пуска ракеты определены расчетные значения параметров ее движения г/ и Й/ на расчетный момент tр окончания АУТ, при которых обеспечиваются заданные терминальные условия наведения (условия нулевого промаха по дальности и в боковом направлении, AZ. = О, Д2? = 0, а также третье терминальное условие, вид которого мы конкретизируем ниже в п. 3.6.2).
Рассмотрим разность скоростей:
= Йр-Й(О,	(3.227)
где И(/) - текущая скорость ракеты. Назовем величину д У требуемым приращением скорости. Как и в методе текущей требуемой скорости, управление полетом ракеты,т.е. выбор направления вектора кажущегося
ускорения W и, соответственно, программных значений углов тангажа и рыскания будем осуществлять таким образом, чтобы свести к нулю требуемое приращение скорости, а отсечку тяги ДУ и отделение ГЧ проведем в момент обнуления вектора Д Г
Для практической реализации метода наведения необходимо выбрать соответствующий закон управления, которым определяется текущая
ориентация вектора W. Рассмотрим данный вопрос сначала для номинальных условий полета, а затем для условий реального полета при действии возмущений.
Как сказано выше, метод конечной требуемой скорости предполагает предварительное определение поминальных параметров движения ракеты
362
i Рг₽ на расчетный момент окончания АУТ. Очевидно, что для этого хует задаться некоторыми программами изменения углов тангажа и жания. Назовем их априорными программами управления и значим oJLp и +iLp. Примем, что эти программы выбираются в классе тоянных программ:
С₽в*|.	(3.228)
Нетрудно видеть, что при трех терминальных условиях наведения >граммпая траектория ракетына АУТ однозначно определяется тремя гаметрами управления - углами	и временем г/ (при
;анных начальных условиях движения на момент /0, известных >актеристиках ракеты и среды полета).
Исходя из уравнений движения на АУТ
Й = 1Й+ g(f),
(3.229)
разим текущую и конечную скорости ракеты следующим образом:
Й(() » Й(0 + jTT(T)dT +Jg(F)dT, h	‘о
(3.230)
r P
V* =	+ f &(№ * fg(r)fr.	(3.231)
f0	r0
Из данных соотношений вытекает следующее выражение для текущего ачения требуемого приращения скорости:
(3.232)
шишем формулу (3.232) в виде
363
= ди;р(/)+д£р, tzt0,	(3.233)
где ДЙ'Дф - приращение кажущейся скорости за время полета от момента / до //; Ag/ - гравитационная составляющая общего приращения скорости.
Назовем величину дГЙ/(/) требуемым приращением кажущейся скорости. По аналогии с выражением (3.227) требуемое приращение кажущейся скорости можно выразить следующим образом:
А (Й/ (I) = 1Й/ - IV(i), 1Ц,	(3.234)
где Й'р - расчетное значение кажущейся скорости ракеты на момент /ж₽; W(t) - текущая кажущаяся скорость.
Итак, для решения задачи наведения следует выбрать закон управления, которым определяется текущая ориентация вектора кажущегося ускорения ЙЛ Примем во внимание, что вследствие допущения о постоянстве априорных программ управления вектор А Й;р(г) сохраняет неизменным свое направление при любом t е [г0, zj и
коллинеарен вектору W. Это обстоятельство показывает, что правило управления при наведении по методу конечной требуемой скорости может быть сформулировано следующим образом: при управлении
полетом ракеты на АУТ вектор кажущегося ускорения W следует ориентировать по направлению вектора требуемого приращения кажущейся скорости,
(3.235)
Несмотря на внешнюю тривиальность данного вывода, полученного для поминальных условий наведения, правило управления (3.235) обеспечивает, как это будет показано далее, решение задачи наведения и в условиях возмущенного полета.
Таким образом, вместо требуемого приращения действительной скорости АЙ^О) далее будем рассматривать требуемое приращение кажущейся скорости ДГЙ/О). В связи с этим и правило выработки команды на отсечку тяги ДУ целесообразно сформулировать либо как
364
эвие обнуления вектора Д W*(г), либо как условие минимизации его 1уля:'
Д W? (zK) = 0 либо IД W? (t) I - min.	(3.236)
Если ввести обозначение rK = t + т0СТ, где г0СГ-время, оставшееся от ущего момента t до конца АУТ, то определение момента tK из условия ’36) равносильно определению величины zocr как времени, необходимо для набора требуемого приращения кажущейся скорости ДЙ^О)
счет ускорения Ж, развиваемого под действием тяги двигательной -ановки. Такое определение момента tK будет использовано ниже в -оритмах прогнозирования параметров движения ракеты на момент эичання АУТ.
Правило непрерывного управления (3.235) и правило выработки зовой команды на отсечку тяги ДУ (3.236) обеспечивают точное дениезадачи наведения в номинальных условиях полета. Действнтель-, момент обнуления требуемого приращения кажущейся скорости впадает с расчетным моментом г/, при этом из условия Д И3’/(г) - 0 при // вытекают предельные равенства 4^(0- О, 4g,p- 0. Программы равления, определяемые по текущей ориентации вектора 4^/(0, стояины и совпадают с априорными программами (3.228), а конечные раметры движения ракеты совпадают с их расчетными значениями.
Замечание. Допущение (3.228) о постоянстве априорных программ фавления играете приведенных рассуждениях существенную роль, гак iK именно оно обеспечивает совпадение времени окончания АУТ и щечных параметров движения ракеты при наведении с их расчетными 1ачениями. Далее это допущение будет преобразовано в требование зстоянства углов тангажа и рыскания в алгоритмах прогнозирования зраметров движения ракеты на АУТ.
Перейдем к анализу наведения в условиях возмущенного полета, (хранив формулировки закона управления (3.235) и правила выработки эманды на отсечку тяги ДУ (3.236). Основными возмущающими акторами при полете ракеты на внеатмосферной части АУТ являются «центриситет вектора тяги и отклонения модуля тяги от номинала, .вставляющие на твердотопливных ракетах величину порядка 5-10 %, полне понятно, что управление, которое обеспечивает набор требуемого риращения кажущейся скорости, рассчитанного для номинальных словий, не гарантирует решение задачи наведения при действии
365
возмущений. В частности, момент отсечки тяги гх', определенный из условия (3.236), не совпадет с расчетным моментом г/, вследствие чего параметры движения 7* и на момент гк' не будут соответствовать условиям попадания в цель, что приведет к промаху.
Данный промах можно свести к достаточно малой величине (теоретически к нулю), если в процессе полета ракеты на АУТ осуществлять периодический прогноз момента отсечки тяги rt' и параметров движения ракеты 7*, У^ па момент гг', прогнозировать ожидаемый промах по терминальным условиям наведения и корректировать конечную скорость ракеты так, чтобы компенсировать ожидаемый промах, сведя его к нулю.
Обозначим корректирующую поправку в конечную скорость д Йк'. Таким образом, после коррекции конечной скорости она становится равной требуемой скорости для параметров г/, гг!:
М4Ч) -	(3.237)
Используем поправку Д Ук для коррекции конечного значения кажущейся скорости:
й7(<) =	<3.238)
Тем самым будет скорректировано и требуемое приращение кажущейся скорости:
Д W^(t) = Д W*(f) + Д У*.	(3.239)
Дальнейшее управление полетом ракеты будем осуществлять в соответствии с выражениями (3.235) и (3.236), где вместо д Й'/(/) следует использовать скорректированную величину Д Й^'О). Однако однократная коррекция конечной скорости лишь уменьшает прогнозируемый промах, но не сводит его к нулю. Причинами этого являются возмущения, действующие на оставшейся части АУТ, а также импульсный характер коррекции конечной кажущейся скорости, что приведет к отличию прогнозируемого момента отсечки тяги, определяемого условием Д (0 = 0, от гх' и к отличиям конечных параметров движения ракеты
366
ix предыдущих значений, для которых рассчитывалась поправка рости ДИК. Для уменьшения промаха до приемлемой величины цедуру коррекции конечной скорости следует повторять в процессе ета ракеты на АУТ многократно с некоторым периодом Т. Вследствие го метод наведения по своей алгоритмической сути приобретает актер процесса итеративного уточнения концевых параметров жения ракеты и момента отсечки тяги ДУ, при которых обеспсчивает-1улевой промах по терминальным условиям наведения, а алгоритмы ода имеют циклически повторяющуюся структуру.
По функциональному содержанию алгоритмы метода наведения >бпо подразделить на две части, которые назовем контуром коррекции <онтуром наведения. В контуре коррекции, функционирующем отчески с периодом Т, проводятся расчеты по прогнозированию заметров движения ракеты на прогнозируемый момент окончания 'Т и решается краевая задача по определению корректирующей зравки Д в требуемое приращение кажущейся скорости (здесь j-мер цикла коррекции).
Процесспоследовательного уточнения конечной кажущейся скорости ©ответственно, требуемого приращения кажущейся скорости выразим дующими соотношениями:
+	й;(1) = W^,j = 1,2,...,и; (3.240)
д й^о) = а	+ a v®,j = 1,2,(3.241)
Расчеты по прогнозированию параметров движения ракеты ключаются в интегрировании уравнений (3.229) на интервале
е tj- момент начала очередного цикла коррекции, - прогнознруе->|й момент окончания АУТ. В качестве начальных условий прннимают-параметры r(ty, Pty), значения которых получаются по информации ’ навигационно-измерительной системы. Интервал времени - г„ :тавшийся до конца АУТ, оценивается по величине требуемого шращення кажущейся скорости Д Й^^). Программные значения углов шгажа и рыскания на интервале прогноза полагаются постоянными равными своим значениям, найденным на момент начала текущего шла коррекции по ориентации вектора Д Й^О,). Тем самым алгоритм иклического прогнозирования движения ракеты на оставшейся части
367
АУТ и коррекции конечной требуемой скорости замкнут контуром обратной связи по действительным параметрам движения, что обеспечи-ваеткомпенсашподействующих возмущений исходимость итерационного процесса уточнений концевых параметров движения ракеты к таким их значениям, при которых обеспечивается реализация заданных терминальных условий наведения с требуемой точностью.
В контуре наведения с малым периодом, кратным такту работы БЦВМ, производится расчет программных значений углов тангажа и рыскания по текущей ориентации вектора требуемого приращения кажущейся скорости Д Параллельно с этим проверяется условие
|Д £ с, при выполнении которого начинается выполнение команды на отсечку тяги ДУ и отделение ГЧ.
В заключение остановимся на качественных показателях метода наведения. Рассмотрим методические ошибки метода и свойства его оптимальности.
Методические ошибки определяются погрешностями прогнозирования параметров движения ракеты на момент окончания АУТ (назовем их погрешностями прогноза АУТ) и погрешностями решения краевой задачи по уточнению конечной требуемой скорости (назовем их погрешностями коррекции конечной скорости). Погрешности прогноза АУТ определяются погрешностями модели гравитационного поля в уравнениях движения ракеты на АУТ, погрешностями метода численного интегрирования уравнений движения на интервале прогнозирования и влиянием возмущений. Ввиду циклической повторяемости процедуры прогноза АУТ с использованием действительных значений текущих параметров движения ракеты влияние перечисленных факторов проявляется лишь в течение небольшого интервала времени, непосредственно предшествующего отделению ГЧ, длительность которого не превышает продолжительности цикла коррекции Г. При уменьшении периода Г погрешности прогноза уменьшаются и в пределе при Т - О также стремятся к нулю.
На практике величина Тограничена снизу показателями быстродействия применяемой БЦВМ и определяется временем, необходимым для проведения всех расчетов по прогнозированию движения ракеты и решения краевой задачи по уточнению конечной требуемой скорости в течениеодного цикла коррекции. Как показываютрезультагы моделирования, при Т~ 1-2 с методические ошибки метода наведения, вызванные погрешностями прогноза АУТ и конечностью периода Г, оцениваются промахом отточки прицеливания величиной не более нескольких метров. Указанного периода Тдостаточно для реализации алгоритмов метода наведения с помощью БЦВМ умеренного быстродействия.
368
1стодическиеошибкиметоданаведеиия,определяемыепогрешностя-оррекции конечной скорости, непосредственно зависят от точности магических моделей движения ГЧ на ПУТ (в частности, от точности ;ли гравитационного геопотенциала в уравнениях движения на тмосферной части ПУТ и от точности модели атмосферы в тениях движения на атмосферном участке ПУТ). Кроме того, эти бкн зависят от точности применяемых методов численного .трирования уравнений движения. Ввиду отсутствия в методе дения механизма компенсации названных погрешностей единствен-способом уменьшения этой части методических ошибок наведения 1ется повышение точности моделей движения ГЧ на ПУТ.
Летод конечной требуемой скорости при его применении на .тмосферной части ПУТ квазиоптимален, так как реализует жтории выведения, близкие к оптимальным по энергетическому терто минимума расхода массы ракеты при пусках на заданную шость. Действительно, в соответствии с правилом управления (3.235) мииальных условиях полета метод формирует постоянные програм-управления по углам тангажа и рыскания, которые близки к пмальным на завершающем этапе полета ракеты на АУТ (см. п. 3.2.2). еальных условиях полета при действии возмущений программы явления, формируемые методом наведения, не являются строго тоянными,- однако ввиду относительной малости возмущений их ичия от постоянных программ незначительны.
При применении метода конечной требуемой скорости на всем участке «едения, включая участок полета в атмосфере, формируемые им «граммы управления заметно отличаются от оптимальных. Кроме о, в этом случае возникает проблема учета многочисленных аничений на допустимые траектории выведения (см. п. 3.3.2). В связи :им метод наведения по конечной требумой скорости целесообразно «менять в сочетании с методом наведения по предварительно .анным программам управления. Именно управление полетом первой торой ступеней ракеты осуществлять по предварительно заданным эграммам, а к управлению по методу конечной требуемой скорости зеходить при полете третьей ступени и ступени разведения.
Отметим также, что расчет данных полетного задания для метода нечной требуемой скорости сопоставим по объему с функциональным годом наведения и сводится к определению установочного значения нечной кажущейся скорости W*. Однако в отличие от функционально-метода, где требуется высокая точность расчета установочного ачения функционала управления дальностью и других данных ПЗ, таиовочное значение конечной кажущейся скорости может быть
369
определено приближенно с невысокой точностью, так как затем это значение многократно корректируется в процессе полета ракеты в рамках самого алгоритма наведения.
3.6.2.	Алгоритмы метода наведения
Рассмотрим последовательно алгоритмы контура коррекции конечной кажущейся скорости и алгоритмы контура наведения.
Алгоритмы контура коррекции
Задачу расчета корректирующей поправки в значение конечной кажущейся скорости удобно подразделить на следующие частныезадачи:
•	прогноз времени окончания АУТ;
•	расчет параметров движения ракеты на прогнозируемый момент окончания АУТ;
•	расчет прогнозируемых значений терминальных параметров наведения н определение нх отклонений от своих заданных значений (определение невязок терминальных условий наведения);
•	расчет корректирующей поправки в значение конечной кажущейся скорости.
Ввиду того что расчеты, проводимые в каждом цикле коррекции, идентичны, рассмотрим алгоритмы этих расчетов применительно к произвольномуу-му циклу коррекции.начинающемуся в момент/у. Далее для упрощения обозначений индекс "j"опустим и будем обозначать tj = -1.
Параметры движения ракеты на момент окончания АУТ выразим следующими соотношениями:
(зад
_  йж = и(0*/(й'+й)сй,
t
где гост - время, оставшееся от текущего момента t до момента tK окончания АУТ.
Примем следующие допущения в алгоритмах прогноза АУТ:
1. Вектор g гравитационного ускорения соответствует модели центрального гравитационного поля. Погрешность расчета параметров движения, вызванная этим допущением, уменьшается по мере уменьше-
370
•ост на последующих циклах коррекции конечной скорости и, >вясь пренебрежимо малой величиной на последнем цикле екции, не приводит к сколько-нибудь заметной методической ешности наведения.
Направление вектора тяги ДУ и, соответственно, вектора шегося ускорения W неизменны на интервале цикла коррекции и челяется направлением вектора требуемого приращения кажущейся зсти. определенной на момент начала j-того цикла коррекции, т.е. авлением вектора	Далее для упрощения обозначений
гаем А = A WK.
Эффективная скорость истечения газов из ракетного двигателя i/c гается известной величиной, постоянной в течение всего времени та ракеты па АУТ. Массовый секундный расход топлива th гается постоянным на интервале цикла коррекции. Обратим кише читателя на то, что в последующих выкладках величина th цательиа.
1з принятых допущений вытекают следующие выражения:
W = W-P°, Р° = const,
№ =
tifu, mfr)'
(3.243)
т (т) = т О) + rii (г - t),
Рй - орт вектора тяги Р; т - "ускоренное" время, используемое в :стве аргумента в алгоритмах прогноза АУТ.
1рогноз времени окончания АУТ сводится к определению интервала лени /оСГ, необходимого для набора требуемого приращения ущейся скорости Д1Кк. Исходя из выражений (3.243) и воспользовав-ь экспоненциальной формой формулы Циолковского,
= m(0*cxp
(3.244)
учим следующее выражение для интервала времени /еет:
t = ----------*------—
ocr т
371
В полученном выражении точные значения текущей массы ракеты m(t) и секундного расхода т не известны вследствие случайного характера действующих возмущений, однако их отношение может быть в соответствии с выражением (3.243) вычислено по формуле
m(t) _ »е
Л ’
где Гк-оценка модуля текущего кажущегося ускорения, получаемая по информации от навигационно-измерительной системы. Таким образом, получаем следующую формулу для расчета величины гост:
i
1 - exp

(3.245)
Перейдем к алгоритмам расчета параметров движения ракеты на прогнозируемый момент окончания ЛУТ tK = t + /ост. Численное интегрирование уравнений движения ракеты на АУТ целесообразно производить с переменным шагом, определяемым таким образом, чтобы иа каждом шаге кажущаяся скорость ракеты изменялась на одну и ту же величину:
ДИ' = -1-ди;, " и х
(3.246)
где число шагов интегрирования л выбирается в зависимости от величины модуля приращения кажущейся скорости ДН'к. Так, при ДИ-'К = = 2000 м/с достаточно положить » = 5-6.
Обозначим через Д/, (f = 1,..., л) текущий шаг интегрирования. В соответствии с выражением (3.245) величина Дг^ определяется формулой

Дг( =
-ехр
i =	
(3.247)
Покажем, что последовательные значения связаны между собой рекуррентным соотношением:
372
Д/м = Д<(ехр -------, i = 1....л.	(3.248)
\ Ме )
Тействительно, из формулы (3.244) следует рекуррентное соотношение последовательных значений массы ракеты;

i =
ГП) = »1;_|вхр
уда вытекает соответствующее рекуррентное соотношение для прений:
= ^,.,ехр
ди;)
(3.249)
i =
скольку в соответствии с формулой (3.247) справедливо равенство:
и. .
Дг. - — 1 - ехр К
ди; «с
(3.250)
из формул (3.247), (3.249) и (3.250) вытекает равенство;
Мн _ м ’
суда с учетом (3.249) следует рекуррентное соотношение (3.248).
Таким образом, для определения начального шага Д/, следует спользоваться формулой (3.247) при i = 1, а последующие шаги могут ределяться по рекуррентным соотношениям (3.248).
После определения шагов Дг,-осуществляется численное иитегрирова-е уравнений (3.242) для определения параметров движения ракеты гк
на прогнозируемый момент окончания АУТ. Для этого достаточно пользовать простые методы численного интегрирования типа метода шера и его модификаций. В случае применения, например, метода апсций для интегрирования скоростей и метода прямоугольников для сгегрирования ускорений справедливы следующие соотношения:
373
'/ = '(.|+д'р
4(Й-Г
vt =	'= 1 ••••«•
В результате при i = п будут получены значения параметров движения ракеты в конце АУТ:
М„Л) = МоЛи).
(3.251)
которые используются затем как начальные условия при интегрировании уравнений движения ГЧ иа ПУТ. Методическая ошибка, обусловленная указанными простыми методами интегрирования, уменьшается по мере уменьшения интервала /ос.. на последующих циклах прогноза АУТ до пренебрежимо .малой величины.
Прогноз движения центра масс ГЧ на безатмосферном участке ПУТ производится путем численного интегрирования вускоренпом масштабе времени в БЦВМ уравнений движения вида
г = V.
(3.252)
V = g(M>,
и. начиная с высоты /1ах 80 км, уравнений движения центра масс ГЧ на атмосферном участке ПУТ вида
г = К,
(3.253)
V =
где - кажущееся ускорение, обусловленное действием силы лобового сопротивления (в предположении, ч го при движении в атмосфере углы атаки п скольжения ГЧ равны нулю).
Для расчета вектора гравитационного ускорения g в уравнениях (3.252) используется наиболее полная модель геопотенциала, доступная для хранения и памяти бортовой СУ и приемлемая по уровню быстродействия БЦВМ. При этом основная часть геопотенциала задается моделью
374
лального гравитационного поля (см. выражения (2.83) » гл. 2.3), а : аномалий моделируется системой точечных масс.
. уравнениях движения ГЧ на атмосферной части ПУТ не требуется ь высокая точность расчета вектора g и в качестве модели геоиотен-ia достаточно использовать модель нормального гравитационного г Однако при этом должна быть применена достаточно точная щь параметров атмосферы, погрешности которой вносят существеп-вкладв погрешности расчета движения ГЧ на атмосферной части Г. С этой целью используются модели "локальной" и "сезонной" эсферы, отражающие отличия среднестатистических значений гметров атмосферы в районе точки цели (плотности, давления, )ости звука и скорости ветра) от их средних значений, задаваемых елью стандартной атмосферы.
1ля минимизации вычислительных ошибок интегрирование шений (3.252) и (3.253) должно осуществляться достаточно точным здо.м, например методом Рунге - Кутта четвертого порядка.
Интегрирование уравнений движения ГЧ на ПУТ заканчивается в ент выполнения финитного условия наведения - равенства текущей оты полета ГЧ над поверхностью общеземного эллипсоида ее шному значению, соответствующему заданной точке прицеливания:
h(t) = h5W.
(3.254)
:ле этого определяется прогнозируемый промах точки падения ГЧ очки прицеливания по дальности и боковому отклонению. Для этого ут быть использованы зависимости вида:

rn - радиус-вектор ГЧ на момент выполнения финитного условия 54), найденный по результатам интегрирования уравнений движения на ПУТ; гц - радиус-вектор точки прицеливания; L°, В0 - ор гы осей свой системы координат.
В качестве третьего дополнительного терминального условия •едения,задание которого необходимо для однозначного определения 1ечной требуемой скорости, могут быть использованы такие >аметры, как полное время полета ГЧ, угол входа ГЧ в плотные слон юсферы и др. Выбор того или иного параметра определяется бованиями, предъявляемыми к траекториям ГЧ в конкретной задаче
375
наведения (см. п, 3.2.1), Далее в качестве дополнительного условия наведения рассматривается тангенс угла наклона траектории (угла бросания) на момент tK отделения ГЧ от носителя:
tg0K = tg0’« [ tg0K =
(3.255)
Задание условия наведения (3.255) преследует ту же цель, что и стабилизация угла входа ГЧ в атмосферу - уменьшение атмосферного рассеивания точек падения ГЧ путем сужения трубки возмущенных траекторий движения в атмосфере. Преимущество условия наведения (3.255) по сравнению с условием заданности угла входа ГЧ в атмосферу заключается в упрощении выражений для частных производных (см. формулы (3.259)), используемых в алгоритме коррекции конечной скорости.
Невязка, соответствующая условию наведения (3.255), определяется на момент окончания АУТ по компонентам вектора скорости Й/
Atg0K = 'лк
Объединим величины AL, ДВ и Alg9K в вектор невязок терминальных условий наведения:
Д = (Д L.AB.AtgS*).	(3.256)
Для расчета корректирующей поправки Д Йж в конечную кажущуюся скорость остается решить так называемое уравнение коррекции, которое в рассматриваемой задаче имеет вид:
д + -2^дЙ>: = 0. DV,
(3.257)
Здесь -^2- - матрица частных производных компонент векторного D/t
функционала Q* (L,Bltg01,)) характеризующего регулируемые терминальные параметры (дальность, боковое отклонение, угол бросания) по компонентам вектора скорости Йг в конце АУТ. Обозначим элементы этой матрицы следующим образом:
376

DQ =
DV.
(3.258)
(tgOK)r, (Wr,
менты последней строки этой матрицы вычисляются аналитически 'Мощью простых выражений, вытекающих из (3.255):
(Wr г>
dtg8r = 1
(3.259)
Расчет остальных элементов матрицы (3,258) может производиться личными способами. Универсальным способом расчета производных :яется численный метод конечных разностей, однако в условиях (ной задачи он требует многократного интегрирования уравнений 1жения (в частности, для расчета элементов первых двух строк грицы (3.258) методом двусторонних разностей потребуется шесть раз ^интегрировать уравнения движения ГЧ на ПУТ с различными сальными условиями). Более рациональным является применение вощенных моделей движения ГЧ на ПУТ, для которых расчет «энных производных может осуществляться по конечным аналитичес-ч зависимостям.Такой моделью является модель кеплерова движения 1 на ПУТ, получаемая, как известно, в предположении, что гравитаци-ное поле на всем интервале движения ГЧ является центральным, а противление атмосферы не учитывается.
Вернемся к уравнению коррекции (3.257) и запишем его в скалярной рмекак систему трех алгебраических уравнений стремя неизвестными
ДИр ДИ.:
377
Ll;-a + Lr -Д Vy + Ly-A vz + ДL = 0,
By -Д И * By -Д V 4- By-L ДД = 0, ‘	‘	(3.260)
-2к.дг +-1_-ДИ+Д1ё0 = о.
V1	VyK	У
XK	>K
Если d качестве целевой системы координат использовать естественную баллистическую систему координат, то в такой системе координат производные Ll :, ВГх и Ву}. относительно малы п ими можно пренебречь. Разрешая с учетом этого обстоятельства уравнения (3.260), получаем выражения:
AVX =
V
Ч	.	(3.261)
° \	' XK
диг =	,
'	*r.
Поправка скорости Д FKW, рассчитанная с помощью выражений (3.261) п (3.262) в текущем у-м цикле коррекции конечной кажущейся скорости, используется далее для уточнения требуемого приращения кажущейся скорости на момент начала очередного (J +• 1)-го цикла по формуле (3.241). Вычисления на последующих циклах коррекции повторяются по описанной схеме, начиная с вычисления /осг по формуле (3.245).
Замечание. Поправка скорости ДЙ,М рассчитывается по линейным уравнениям коррекции (3.257), поэтому компенсирует лишь часть невязки Д, рассчитанной в у-м цикле коррекции. Обозначим ее Дй. Точная компенсация невязки Дм требует реализации процесса итеративного уточнения поправки скорости ДЙ^, в ходе которого расчеты по
378
еделению невязки, матрицы частных производных и поправки di;
рости повторяются несколько раз с уточненными значениями 1ечной скорости, найденными на предыдущих итерациях. Процесс анчивается по критерию малости изменения нормы невязки Дм в ледовательных итерациях. Однако в рассматриваемой задаче ;едения достаточно ограничиться одной итерацией в каждом цикле >рекции требуемой скорости, так как итеративный характер уточнений 1СЧН0Й скорости обеспечивается циклической повторяемостью данных вычислений в рамках самого алгоритма наведения. При этом решности расчета матрицы частных производных (3.258), обусловлен-г применением кеплеровой модели движения и занулением ее малых ментов, отражаются лишь на скорости сходимости итерационного эцесса уточнения конечной скорости и при достаточном числе циклов эрекции не влияют на методические ошибки наведения.
Алгоритмы контура наведения
В контуре наведения (см. п. 3.6.1) производится расчет программных пений углов тангажа и рыскания по ориентации вектора требуемого вращения кажущейся скорости A FKKW(O и определяется момент отсечки 'и ДУ по признаку малости модуля вектора Д в этот момент гмени. Здесь и далее под t понимается текущее время полета ракеты АУТ. Поскольку Д представляет собой кажущуюся скорость, горую остается набрать до момента окончания АУТ, обозначим эту шчину ДЙ^О). Полагая, что продольная ось ракеты совпадает с правлением вектора тяги, запишем следующие выражения для ограммных углов тангажа л рыскания:
W 1°
07(г) = arctg-—-S2-,
(3.263) fW 1°
Ф7(О = arctg-----------.
[^•cos^O) 4- [^I’-sin^O)
этих формулах фигурируют компоненты орта вектора скорости
379
Выдача команды на отсечку тяги ДУ может производиться, как сказано выше, по признаку малости модуля скорости Д FKo„(0. Однако для минимизации динамической ошибки наведения, вызванной эффектом "перекоса" тяги ДУ на момент отделения ГЧ, выдачу данной команды целесообразнее производить в момент обнуления следующей функции окончания наведения:
* =
(3.264)
Здесь ~ значение вектора И^г), зафиксированное в БЦВМ при первом нарушении условия > t^, где - малая окрестность момента tK. По построению функция Ф принимает нулевое значение либо тогда, когда вектор становится равным нулю (что соответствует отсутствию динамической ошибки наведения, связанной с выдачей команды на отсечку тяги), либо тогда, когда модуль этого вектора становится минимальным (что соответствует минимальной ошибке наведения, обусловленной "перекосом" тяги ДУ).
Время гост, остающееся до указанного момента отсечки тяги, оценивается по формуле
t =-*
OCT f ф
(3.265)
в которой оценка Ф скорости изменения функции окончания наведения вычисляется по алгоритму:
f Ф/-Ф, । ф = _1___!zl
Т
(3.266)
где Ф? Ф4_, - два смежных по времени значения функции Ф, а Т- период ее вычисления в БЦВМ.
Далее оценка (3.265) преобразуется к виду, удобному для реализации в таймере БЦВМ:
l‘<J = ent
380
ь Дт - дискретность таймера, a ent - операция вычисления целой и.
1араметр [гост] "заряжается” в таймер, который отсчитывает целое :о [z0CT] временных интервалов по окончании чего выдаетразовую анду на исполнительное устройство отсечки тяги.
I. Общая характеристика свойств метода наведения по конечной уемой скорости
. По своей сущности методы наведения по текущей и конечной >уемой скорости родственны и являются вариантами одного и того етода. Поэтому вес характерные свойства метода текущей требуемой юсти, перечисленные выше в пп. 1- 6 заключительной части гл. 3.5, сущи в равной мере и методу конечной требуемой скорости. Однако аритмическое содержание обоих методов существенно различно.
!. Бортовые алгоритмы метода конечной требуемой скорости гаточно трудоемки, поскольку предусматривают периодический гноз точки падения ГЧ и решение краевой задачи с целью коррекции ечной требуемой скорости. Для решения задачи прогноза точки ения ГЧ необходима информация о действительных текущих аметрах движения ракеты на АУТ, что в свою очередь требует ;ения навигационной задачи с интегрированием основного уравнения рциальной навигации. Таким образом, реализация алгоритмов метода едения возможна только с применением высокопроизводительной товой ЦВМ.
3. Методические ошибки метода конечной требуемой скорости сделаются главным образом погрешностями модели гравитационного потенциала на участках полета БР и ГЧ, погрешностями модели жения ГЧ на атмосферном участке траектории, а также зависят от тельностн интервала коррекции конечной требуемой скорости. Для ;ньшения этой части методической ошибки наведения следует .•иьшать длительность интервала коррекции, что, однако, требует тветствующего повышения быстродействия БЦВМ.
4. Высокая трудоемкость бортовых алгоритмов метода конечной буемой скорости можетрассматрнваться как недостаток этого метода сравнению с методом текущей требуемой скорости в варианте шстсмы. Однако этот недостаток компенсируется относительной >стотой расчета полетного задания. Действительно, в данном случае 1овной задачей при расчете полетного задания является определение чения конечной требуемой скорости на расчетный момент отделения и азимута пуска. По своему содержанию эта задача близка к той, горая решается в функциональном методе наведения при расчете
381
установочного значения функционала управления дальностью и также азимута пуска. Хотя в обоих случаях приходится решать краевую баллистическую задачу, трудоемкость ее существенно меньше, чем задачи расчета и аппроксимации элементов матрицы Q. Следует также учесть, что если в функциональном методе наведения требуется высокая точность расчета установочного значения функционала управления дальностью, то установочное значение конечной требуемой скорости достаточно определить приближенно, так как это значение будет затем уточнено и скорректировано в рамках самого алгоритма наведения. Таким образом, трудоемкость подготовки данных полетного задания в методе конечной требуемой скорости меньше, чем в функциональном методе наведения, что делает этот метод более эффективным при использовании на БР мобильного базирования.
Глава 3.7
НАВЕДЕНИЕ ПО МЕТОДУ ТРЕБУЕМЫХ УСКОРЕНИЙ
1. Содержание метода
Метод требуемых ускорений реализует концепцию управления, :ованную на решении обратной задачи динамики. Напомним, что лшязядлчлдинамикизаключаетсяв нахождении движения материала о объекта под действием приложенных к нему сил, закон изменения орых полагается заданным. Обратная задача динамики состоите том, >бы найти закон изменения приложенных к объекту сил, при котором лизуется заданное движение объекта. Именно так ставится и решается ;ача управления в рассматриваемом случае - по выбранному из ювйй задачи желаемому закону движения объекта, выраженному в ie программы изменения его ускорения, с помощью динамических 1внений движения находятся такие управляющие силы, которые jместно с другими действующими на объект силами реализуют 1анное движение объекта.
Теоретические основы принципов построения алгоритмов управления < решение обраткой задачи динамики развиты в работах академика 4. Петрова и его сотрудников (см., например, [12]). Прикладные текты метода требуемых ускорений отражены во многих публикациях, еди которых выделим монографию А.П. Батенко [2], в которой на остых примерах ряда задач управления подвижными объектами скрыты как сущность метода требуемых ускорений, так и его жнейшне особенности.
Содержание метода требуемых ускорений рассмотрим применительно .'ледующей математической модели объекта управления, заданной в де совокупности кинематических и динамических уравнений движения:
*1 =
*2 =7(*|> Хг, й) + I,
.е .ri - вектор положения объекта управления; х2 - вектор его скорости; . - ускорение объекта, определяемое приложенными к нему силами, >еди которых управляющие силы определяются ^-мерным вектором храметров управления й; I - вектор случайных возмущений.
383
В дальнейшем через х будем обозначать вектор фазовых координат объекта управления, образованный векторами х, и х2,х = (хр х2).
Учтем также, что в общем случае параметры управления подчинены ограничениям в виде двусторонних неравенств:
i Uj i J - 1,...»к.	(3.268)
Полагаем, что задача управления состоит в переводе объекта из заданного начального состояния х0 = {х10, х^}, соответствующего начальному моменту времени г0 = 0, в конечное состояние хх = = {х1г, х2ж)за время Т, которое в зависимости от постановки задачи может быть как фиксированным, так и свободным. Кроме того, к траектории управляемого движения может быть предъявлено то или иное требование оптимальности из условия максимума или минимума некоторой критериальной функции J(x, £)•
Решение данной задачи управления по методу требуемых ускорений состоит из двух этапов. На первом этапе находится желаемая (назовем ее требуемой) траектория движения объекта управления в фазовом пространстве,удовлетворяющая заданным краевым условиям, критерию оптимальности и ограничениям на управление. Требуемую траекторию движения, определяемую законом изменения параметров х, и х2, обозначим следующим образом:
^(О = Ф|(*о> xt, 6,
(3.269) х^О) • <р2(х0, хк, О-
Очевидно, что в силу кинематических уравнений движения здесь справедливо равенство
^(0 = ^(0-	(3.270)
Продифференцировав вектор х2п>(0 по времени, получим закон изменения ускорения объекта, соответствующий требуемой траектории его движения:
Л’со =	/).	(«’')
at
384
Функцию x?(t) назовем программой требуемых ускорений объекта авления.
На втором этапе решения задачи необходимо найти значения аметров управления u(z), формирующих такие управляющие силы, । которых обеспечивается программное изменение требуемых ореиий и движение объекта по траектории, ведущей в заданную точку
Рассмотрим возможные способы определения искомых значений >аметров управления. Обратимся к динамическим уравнениям нкения и подставим в левую часть этих уравнений требуемое орение.асилы.зависящиеотположения и скорости объекта, выразим ез параметры требуемого движения. В результате получим уравнения i определения параметров управления. Очевидно, что точная лизация программной траектории может быть обеспечена только в 1 случае, если параметры управления удовлетворяют динамическим мнениям, в которых учтено действие возмущений:
х^, й(0] + 5(f).	(3.272)
Ясно, однако, что нахождение параметров й из уравнений (3.272) юзможно ввиду того, что возмущения 5 априори неизвестны и, как явило, не поддаются непосредственным измерениям. Вместо этого жет быть измерено действительное ускорение объекта и поставлена ;ача определения управления u(t) по информации о разности
ограммпого и действительного ускорения объекта, Дх2 =	-
“•KJM
•2	•
.Алгоритм определения управления й(/) по информации о величине Дх2 пишем условно в виде следующего оператора:
«0 = FJa4(:)1.	(3.273)
Построение алгоритмов управления вида (3.273), обеспечивающих статочно точную реализацию программной траектории, в принципе зможно, однако на практике такие алгоритмы нерациональны,так как •едъявляют чрезмерно жесткие требования к системе управления, 'торая должна обеспечить движение объекта управления по номиналь-'й траектории при любых действующих на объект возмущениях. Эти 'ебоваиия можно ослабить, если требуемые значения параметров
385
управления определять из условия не точной, а приближенной реализации программной траектории. Один из возможных подходов к построению замкнутых алгоритмов управления вида (3.273), обеспечивающих асимптотическое приближение текущего состояния управления к заданной концевой точке хх, рассмотрен в [12].
В практике управления подвижными объектами получил распространение другой подходи определению параметров управления, основанный на решении динамических уравнений невозмущенного движения объекта управления:
*2(о. «юь	<3-274)
Векторное уравнение (3.274) называется определяющим уравнением. Как видим, здесь в отличие от (3.272) возмущения опущены. Алгоритм решения определяющего уравнения запишем в виде следующего оператора:
«(О = ^[#7(0, *(/)].	(3.275)
Учет действия возмущений осуществляется косвенным образом путем непрерывного или периодического пересчета требуемой траектории движения и программы требуемых ускорений по информации о действительных параметрах движения, получаемой от навигационно-измерительной системы. В этом случаетребуем ос движение определяется зависимостями
(x(t), хк, /),
(3.276)
Х?(‘) = <Р2(*(0э Хг, 0,
а программа требуемых ускорений выражением
^(О = -^(x(t), хк, I).
(3.277)
Отметим, что при расчете параметров управления, определяющих требуемые значения управляющих сил, значения других действующих наобъектсил рассчитываются по параметрам действительного движения объекта в текущий момент времени. Это обстоятельство отражено в формулах (3.275) - (3.277), где в правых частях присутствуют значения параметров движения объекта x(t), полученные в результате измерений.
386
с. 3.29. Блок-схема алгоритма наведения по требуемым ускорениям
Таким образом, имеем замкнутый закон управления, формируемый ) принципу обратной связи и обеспечивающий перевод объекта 1равления в заданное конечное состояние за конечное время (рис. 3.29).
При непрерывном пересчете программы требуемых ускорений без паздывания и отсутствия погрешностей измерений метод обеспечивает »чиое достижение заданного конечного состояния. При периодическом .•ресчетс программы ускорений появляется методическая ошибка давления, величина которой определяется длительностью периода гресчета программы и уровнем действующих возмущений.
Нами рассмотрена общая схема метода требуемых ускорений, роанализируем особенности его практического применения. Ключевой эоблемой данного метода является выбор рациональной процедуры тределения программы требуемых ускорений. Вообще говоря, эту щачу можно поставить и решить так, как это делается в функциональ-эм методе наведения в рамках принципа предварительного программи-звания движения, т.е. по полным уравнениям движения с учетом граничений на управления и требования оптимальности. Однако этот □дход к решению задачи не позволяет сформировать замкнутые законы правления, так как непрерывный пересчет программ требуемых гкорений в реальном масштабе времени по полным уравнениям внження является невыполнимой проблемой при ограниченном ыстродействии бортового вычислителя. По этой причине на практике рименяются упрощенные или формальные модели движения.
Наиболее простым решение данной задачи оказывается в том случае, огда программытребуемыхускоренийзадаются степенными полинома-:и. Замкнутые законы управления выражаются при этом чрезвычайно ростыми зависимостями (см, ниже формулу (3.280) и материал п. 3.7.2). )днако применение формальных моделей в виде степенных полиномов ыдвигает на первы й план вопрос о реализуемости программ управления
387
при имеющихся ограничениях на управляющие воздействия. Для решения данного вопроса необходимо построение областей управляемости и достижимости (см. Приложение 2), в пределах которых могут решаться задачи наведения по синтезированным программам. В конечном счете реализуемость программ управления обеспечивается путем соответствующего сужения области терминальных состояний объекта управления, достижимых из заданного начального состояния.
Отдельного исследования требует также вопрос об оптимальности программ управления, получаемых с помощью формальных моделей. Мы вернемся к этому вопросу в н. 3.7.3.
Итак, в последующем изложении метод требуемых ускорений рассматривается применительно к заданию программ управления степенными полиномами. Анализ основных свойств программ управления приводится главным образом по материалам монографии [2]. В качестве примера практического применения метода требуемых ускорений в п. 3.7.5 рассматривается алгоритм наведения аэродинамически управляемого блока БР на атмосферном участке траектории (см. [8]).
3.7.2.	Варианты задания программ требуемых ускорений
степенными полиномами
Предположим, что рассматривается полностью управляемый подвижный объект, имеющий три независимых параметра управления. В этом случае программы требуемых ускорений должны быть заданы для каждой компоненты вектора ускорений.
Обозначим через х, у, z координаты объекта, через Ит, V, Vt -компоненты вектора скорости и через ах, ау, а, - компоненты вектора ускорений. Поскольку структура программ требуемых ускорений для всех параметров, как правило, идентична, рассмотрим ее на примере параметра^. Будем предполагать, что на момент времени г0 = 0 известны начальные условия движения объекта л0, Vxo, заданы момент времени Т окончания процесса управления и определенные на этот момент времени терминальные условия наведения, которые мы объединим в вектор qk. Конкретные варианты терминальных условий будут рассмотрены ниже.
Зададим программу требуемых ускорений в виде линейной комбинации степенных функций времени:
/
а? (О = с0 + С| t + ... + cKt*, a?(t) = c,t1
(3.278)
388
коэффициенты ci определяются по начальным и терминальным ювиям наведения:
= f,(x0, Vx0, qt, 7), i = 0,1,..., к.	(3.279)
трудно видеть, что для однозначного определения коэффициентов ct юходимо, чтобы степень полинома (3.278) была на единицу меньше :ла независимых терминальных условий наведения.
В дальнейшем программы управления, заданные в виде степенного липома (3.278), где коэффициенты определены по начальным и финальным условиям, будем называть программами разомкнутого давления (коротко-разомкнутыми программами). Наряду с этим будем .-сматривать также программы замкнутого управления (или, короче, ^кнутыспрограммы). Программы замкнутого управления получаются программ разомкнутого управления, если осуществлять непрерывное новление (пересчет) коэффициентов полинома (3.278) по текущей зигационной информации. Формально это означает, что в выражениях г коэффициентов q начальные условия движения следует заменить их сущими значениями л(г), Кч(г), а время Т, определяющее длительность равляемого процесса, должно быть заменено на интервал времени, гающийся до момента достижения цели управления, т.е. на Т-1. Ввиду го, что в данном случае текущий момент времени г рассматривается рмально в качестве момента начала движения, в полиноме (3.278) здует положить t = 0 и, таким образом, программа замкнутого равления определяется единственным коэффициентом полинома 278) - коэффициентом с0:
^(0 = c0(x(t)> МО. T-t).	(3.280)
В номинальных условиях движения при отсутствии возмущений и грешностей измерений разомкнутые и замкнутые программы ждествснны в том смысле, что задают движение объекта по одной и й же фазовой траектории. Это обстоятельство будет проиллюстрирова-иижс на ряде примеров. Различия между разомкнутыми и замкнутыми •ограммамн проявляются в условиях возмущенного движения, •зомкиутые программы при действии возмущений приводят к тодической ошибке наведения, величина которой определяется ительностыо процесса управления и уровнем возмущений. Замкнутые юграммы формируются по принципу обратной связи, что обеспечивает Ществеиное уменьшение методической ошибки наведения.
389
Перейдем к рассмотрению конкретных вариантов программ требуемых ускорений, определяемых соответствующими вариантами задания терминальных условий наведения.
1.	Пусть задается конечная скорость Ихк= Иг(7). Значение координаты .V в момент 7 не фиксируется. В данном случае имеем единственное терминальное условие и программа требуемых ускорений выбирается в виде константы,
= с0.	(3.281)
Для определения коэффициента с0 проинтегрируем уравнение движения X - с0 с начальным условием 7х0:
МО = Vxa +	(3.282)
Используя заданное терминальное условие, получаем
К = V + с Т,
’ лк г хо	»
у - у	(3.283)
Л _ хк хо о - т 
Запишем выражение для программы замкнутого управления. Для этого в формуле (3.283) заменим Ух0 на Kt(f) и Т на Т-1. В результате получим
К - V frt
«7(0 =	-	(3-284)
Проверим тождественность программ управления (3.281) и (3.284). Запишем дифференциальное уравнение программного движения X = = «7 (0 в виде
dV
(Т - г) —- ♦ Vx = Идк.	(3.285)
dt
Для интегрирования этого уравнения приведем его к уравнению с постоянными коэффициентами, сделав замену независимой переменной по формуле Т-1 - е'!:
390
dV, dz
V = V . X XX
Общее решение данного уравнения имеет вид:
гх = в^ + v„.
Определим постоянную интегрирования по начальному условию иГ = 0(е': = Т):В0=1(Гхо- Ихх).
>дставив найденное значение Во в предыдущую формулу и сделав ратную замену независимой переменной, найдем частное решение авнения (3.285), которое полностью совпадает с формулой (3.282):
г г -
У = V +	----£2f.
X	Хо	tpt
Таким образом, тождественность программ управления (3.281) и 284)установлена.
Вернемся к программе замкнутого управления (3.284) и проанализиру-ее поведение в окрестности терминальной точки. В пределе при I - Т слитель и знаменатель функции (3.284) обращаются в нуль, т.е. •рмально имеем неопределенность вида
lima^ = —. t-т О
При теоретически точной реализации программы (3.284) эта определенность разрешается в силу выбранного закона управления в терминальной точке требуемое ускорение равно с0. что видно из тановленной выше тождественности программ (3.281) и (3.284).
Тем не менее, наличие в выражении (3.284) знаменателя 7' - г, ремящегося к нулю при приближении к терминальной точке, является обенностью данного закона управления,затрудняющей его практичес->е применение. Действительно, в реальных условиях значения параметра f(0, определяемого в контуре обратной связи по измерениям, искажены )грешностями измерений. Поэтому как в самой терминальной точке, к и в ее окрестности разность - Кт(г) отлична от нуля, вследствие то требуемое ускорение неограниченно возрастает при i - Т и ановится нереализуемым при ограниченных управляющих воздействи-; на объект управления.
391
Способы устранения указанной особенности будут рассмотрены в п. 3.7.3.
2.	Пусть задается координата хк = x(t), а конечная скорость объекта свободна. Как и в предыдущем случае, программа требуемых ускорений имеет вид константы:
(3.287)
а* (0 = ‘о-	(3.286)
Для определения коэффициента с0 проинтегрируем уравнение (3.282) с начальным условием х0:
*(') = хо +	+ |со'2«
и воспользуемся заданным терминальным условием:
“ х0 + ^хо + ус0^2.
Отсюда находим
_ 2(хх - xj _ 0 ‘ т1 ~ Т '
Получим выражениедля программы замкнутого управления,заменив в формуле (3.288) параметры х0 и Ит0 их текущими значениями, а величину Т на Т-г.
(3.288)
_ 2[xg - x(Q] 2ИДО
х ° (Г-О2
(3.289)
Проверим тождественность программ управления (3.286) и (3.289). Дифференциальное уравнение программного движения X - a?(t) запишем в виде
(Г " Г)2^т * 2(Т " °	+	= 2х*-	(3.290)
Сделаем, как и выше, замену переменной T-t = е1 и учтем следующие равенства:
392
dx г dx d2x 2z d2x x J, dx
Л dz dt2 dz2 dz
В результате уравнение (3.290) приводится к уравнению с постоянны-коэффициентами
Общее решение данного уравнения имеет вид:
х = Дое'г +	> хЕ.	(3.291)
Постоянные интегрирования определяются по начальным условиям и Кто при е~г = Т.
осле подстановки найденных значений Во и В} в (3.291) и обратного грехода к переменной /, убеждаемся, что закон изменения координаты определяемой формулой (3.291), тождественен выражению (3.287), где эстоянная с0 определена формулой (3.288).
Программе замкнутого управления (3.289) свойственна та же собенность, которой обладает программа (3.284) - обращение «Менатепа в нуль при t - Т. Вследствие этого в реальных условиях рограммноеускорение(3.289)неограниченно возрастает при приближе-ии объекта к терминальной точке и становится нереализуемым прн граничениях на управления.
Указанной особенностью обладают все другие рассматриваемые ниже рограммы замкнутого управления.
3. Зададим два терминальных условия наведения - координату хк =  х(Т) и скорость = УХ(Т). В этом случае программа требуемых скорений представляет собой линейную функцию времени:
<(0 = Со + М.	(3.292)
Интегрируя дифференциальное уравнение X = с0 + c{t с начальными 'словиями л0 и Kt0, получаем
393
^х(0 = Кг О	Сй‘ + ТС1,2«	~ ХО + KtO* + тС0,г + ’7Cl^i'
Z	Zb
Воспользовавшись заданными терминальным и условиями, запишем два уравнения для определения коэффициентов с0 и г(,
= Кео * 4е'7'2’ х‘ = Л'о + V + ~с0Г- * 7*1 Т3, L	L	Q
откуда находим:
_б(хх-х0) 2(Илк + 2Их0)
с° Тг	Г
(3.293) = 12(хк - х0) б(И„ т Гх0)
1	тз	Т1
Программа замкнутого управления получается путем замены в выражении для коэффициента с0 начальных условий текущими значениями соответствующих параметров движения и Тна Т-г.
а - 6[Л* ~ *(')]	2^44Гх(0
(T-t? т-t
(3.294)
Проверку тождественности программ управления (3.292) и (3.294) предоставляем читателю в качестве упражнения.
4. Увеличим количество терминальных условий наведения. В дополнение к параметрам и Кук фиксируем ускорение в конечный момент времени, arK = ov(7). В частном случае пХ|С = 0, что обеспечит плавное торможение объекта управления при приближении к терминальной точке. Запишем программу требуемых ускорений в виде квадратичной функции времени:
«7(0 = с0 «• С| г - с2с2.	(3.295)
Проинтегрировав дифференциальное уравнение X = с0 + ctt + c2t2 с начальными условиями л0, lzv0 и учтя заданные терминальные условия, получим три уравнения для определения коэффициентов е0,С| и с2:
ахк ~ *0 + С|	с2 Т3 г
394

* W* l<iT> 4	4 _Цт<,
2	0	12
куда находим:
_ I2(xt - x0) 6(rxc - Vx0)
C°	т
48(x - x0)	2(15Ихк + 9Их0)	6a„
c, = - - - -—	+	— ---------- -------,
36(xK - x0) _ 12(2 7xg <• Их0) + 6aXK
Заменив в формуле для с0 начальные условия текущими параметрами зижения и время Г на Г -1, получим выражение для программы 1мкиутого управления:
(3.297)
Сопоставим программы (3.297) н (3.294). По своему определению обе ни обеспечивают достижение заданных терминальных условии аведеиня хк н Идк, однако программа (3.297) формирует иной закон зменения ускорения. Так, при ахк = 0 ускорение по программе (3.297) а начальной стадии процесса управления больше, чем по программе 3.294),а на завершающей стадии меньше. Выбором величины aw можно оздействовать на величину требуемого ускорения на всем интервале введения. Такая возможность представляет практический интерес при правлении объектами, у которых допустимые пределы изменения 'правляющих сил изменяются в процессе движения. Типичным примером >бъектов такого класса являются летательные аппараты с аэродинами-(ескими органами управления, у которых максимальные значения /правляющих сил изменяются в широких пределах в зависимости от жоростн и высоты полета (управляемые боевые блоки баллистических эакет. зенитные ракеты и т.д.). Осуществляя в процессе управления
395 .
такими объектами переход от одной программы управления к другой простым изменением коэффициентов в формуле (3.297), можно обеспечить реализуемость требуемых ускорении в более широком диапазоне начальных и концевых условий наведения, чем при использовании одной программы (3.294).
Нетрудно заметить, что путем дальнейшего расширения состава терминальных условий наведения можно получить целое семейство программ управления, обеспечивающих решение исходной задачи наведения, но задающих другие законы изменения требуемых ускорений. Продолжим рассмотрение программ этого семейства.
5. Расширим состав терминальных условий наведения, включив в их число наряду с параметрами лк, и дгк значение производной ускорения в терминальной точке. = 4Д7). В этом случае программа ускорений задается в виде полинома третьей степени:
= с0 + c,t » сг12 + с3т3.	(3.298)
Опуская соотношения для определения коэффициентов ct, запишем выражение для программы замкнутого управления:
<’*(') =
20[х, - х(0] (Т - т)2
12ИХК 8ГЛ0 .
Т - t
т - t .
-^-7-^. (3.299)
Если в состав терминальных условий включить также вторую производную ускорения, « ах(7), то программу разомкнутого управления следует задать полиномом четвертой степени:
- с0 + С]! * c2l2 + c3t3 + c4i4,	(3.300)
а программа замкнутого управления будет иметь следующий вид:
a^(t) - ЗО[Х* ' Т(Г)1	20	* 10	,
(T-t)2	T-t
(3.301)
* ба^ - (Т - Г)«„ - —
Итак, нами получено семейство программ управления, обеспечивающих достижение заданных терминальных условий наведения ,тк 11 Читатель обратил внимание, что в то время как программы разомкнутого управления описываются полиномами различной степени, программы
396
минутого управления имеют одинаковую структуру. Если принять ограмму управления (3.301) в качестве основной, то другие программы 294), (3.297) и (3.299) получаются из нее простым изменением эффициентов. В данное семейство естественным образом включается зрограмма (3.289), обеспечивающая наведение при нефиксированной печной скорости.
Заметим в заключение, что коэффициенты первых двух членов осмотренных программ замкнутого управления можно выразить общей >рмулой:
а,p_(2+3^fc2)[xK-x(t)] _ (fc+fc2) 1)^(0 (T-z)2	T-t
le к - степень полинома, задающего программу разомкнутого давления. Число к + 1 совпадает с количеством терминальных условий ведения, в состав которых входят концевые значения координаты х всех ее производных до к-го порядка включительно. Отметим, что ормула (3.302) справедлива только для частного случая, когда .корснис и его последующие производные полагаются равными нулю терминальной точке.
Предоставляем читателю в качестве упражнения проверить, что рограмма (3.302) обеспечивает достижение терминальных условий аведения хк и VXK при любом целом числе к.
Дополнительное замечание. Рассмотрим вопрос о целесообразности ключения в состав терминальных условий наведения ускорения аХК и о производных еще с одной точки зрения. В приведенной выше ормулировке задачи наведения время управления Т полагается иксироваиным и играет роль финитного условия. Однако во многих адачах наведения ЛА (например, в рассматриваемой ниже задаче аведения управляемого ББ) время управления не постоянно и изменяется ри действии возмущений. Вследствие этого на момент реализации шиитного условия (например, на момент достижения заданного качения высоты полета ББ) образуется погрешность времени управления 7’. Данная погрешность приводит к соответствующим погрешностям введения бхк и ЬУХК, которые следует отнести к классу методических югрешностей наведения.
Связь погрешностей бхк и 5ИДК с погрешностью 6Т может быть .ыражена следующими зависимостями, вытекающими из формулы 3.278):
397
бхк = У кбТ + — аЛТг <- —<Lk8TJ + ... 4-К ХК.	XX	**
1
(к + 2)!
fl«8Tfc*i
5Гк = <гк8Т + —d кбТ2 т —3t6T3 т ... 4- ----?--Атк",
Хк хк	J, Хк	J] Хк	(£ + [)| хк
где к - степень полинома, задающего программу разомкнутого управления; в® - производная степени к от ускорения на момент Т. Анализ приведенных зависимостей показывает следующее:
1. Для уменьшения погрешностей наведения б.тк и бИа, вызванных погрешностью времени управления 6Т, следует включить в состав терминальных условий наведения значения ускорения и ряда его производных, положив их равными нулю.
2. Ввиду того, что при задании программы управления полиномом степени к в состав терминальных условий наведения могут быть включены производные от ускорения только до степени к-2 включительно, значения минимально достижимых методических погрешностей наведения отличны от нуля и определяются зависимостями:
8xkmin = Г1кбГ+ --------?----л(к'о&7,/[4 +
к л (к + 1)! хк
1
{к 4- 2)!
($ЪТк'г,
ЪУ™ = -La?'nbTk + -------------------?-----а$ЬТк*1.
хк *! лк	(к 4- 1)! хк
Таким образом, для дальнейшего уменьшения указанных методических погрешностей следует повышать степень полинома, задающего программу управления. Аналогичным образом, при применении программ замкнутого управления, описываемых общей формулой (3.302), где терминальные значения ускорения и его производных уже приняты равными нулю, следует увеличивать значение параметра к.
3.7.3. Анализ оптимальности программ управления
Рассмотрим вопрос об оптимальности программ управления, заданных степенными полиномами. В качестве критерия оптимальности примем требование минимальности среднеинтегральной величины требуемого ускорения на интервале управления.
398
I т
J	(3-303)
2 о
итернальная функция (3.303) представляет собой общеупотребитель-о меру энергетических затрат на управление (см. [4]).
Для решения поставленного вопроса найдем энергетически оптималь-е программы управления и сравним их с программами, приведенными ше в п. 3.7.2. С этой целью сформулируем следующую задачу тимизацни управления. Рассмотрим модель объекта управления в виде ;темы уравнений второго порядка:
* = Vx, Vx = и,	(3.304)
г управлением является ускорение объекта. Найдем оптимальное равлснне Hopt(z), удовлетворяющее требованию минимальности теграла
/ =	(3.305)
2 о
обеспечивающее перевод объекта управления из заданного начального стояния x0, Kv0 в терминальное состояние лк, J'XK за фиксированное (ем я Т.
Для применения стандартной процедуры принципа максимума онтрягина сведем поставленную задачу оптимизации управления с (тегральной критериальной функцией (задача Лагранжа) к задаче ттимизации управления с критериальной функцией неинтегрального ща (задача Майера). С этой целью введем дополнительную фазовую ‘ременную:
*з = ,	(3.306)
2 о
зовпетворяющую дифференциальному уравнению = -lu2 и
анальному условию х3(/0) = 0. В результате критериальная функция римет вид J = х3(7) = хзк.
впишем далее гамильтониан и систему дифференциальных уравнений ля сопряженных переменных:
399
Н = Pl^x + P2U + |рз“2-
Р) = о, Р2 = -р}, р3 = 0.
Интегрируя эти уравнения, получаем их общее решение:
Pl = с1» Pi = “с1* * С2> Рз ~ CJ'
Из необходимого условия экстремума гамильтониана, — = 0. находим
Эи выражение для оптимального управления:
р, c,t - с->
«ор'(0 = __2 3 ------i	(3.307)
Рз сз
Дальнейшая конкретизация вида функции (3.307) зависит от значений констант Ср с, и с3, которые определяются по краевым условиям для сопряженных переменных и краевым условиям для фазовых координат. Правила записи краевых условий для сопряженных переменных даны в [15].
В рассматриваемом случае краевые условия для всех сопряженных переменных в начальный момент времени не определены, так как фазовые координаты .г, J'v и по условиям задачи в этот момент фиксированы. Фазовая координата в терминальный момент времени свободна, поэтому для сопряженной переменном р3 может быть записано краевое условиеРу(Т) = —— = -1. Следовательно, с3 = -I и выражение
(3.307) принимает вид:
uopt0) = -с,г т с,.	(3.308)
Далее рассмотрим три варианта задачи управления, различающиеся характером задания терминальных условий наведения.
Вариант I. Терминальная координата дк свободна, терминальная скорость фиксирована.
В данном случае для сопряженной переменной р( имеем краевое условиер](7) = —— -- 0, откуда с} = 0. Из (3.308) следует постоянство оптимального управления, i/opt(r) =	‘1Т0 совпадает с программой
400
[вления (3.281), принятой для данного варианта задания терминаль-условий наведения. Отсюда вытекает заключение об оптимальности риммы разомкнутого управления, определяемой выражениями 11), (3.283), и оптимальности соответствующей ей программы гнутого управления (3.284).
вариант 2. Терминальная координата.хк фиксирована,терминальная юсть Кгк свободна.
1 этом случае для сопряженной переменной р2 имеем краевое условие ) = —— - 0, откуда -cj Т+ с2 = = ci Т. Оптимальное управление
)8) принимает вид;
и°₽'(0 = Cj(T - г).	(3.309)
•егрпруя уравнение £ = cf(T - г) и определяя постоянную с, по альным условиям д‘о и Кд0, получаем
1 Т2 Т2
(3.310)
:им образом оптимальные программы разомкнутого и замкнутого авления имеют соответственно вид:
З^о Т2
(Т - 0»
(3.311)
opt -	- *0)1
" (T-t)2 T-t
(3.312)
Сравнивая зти выражения с формулами (3.286) и (3.289), приходим плводу, что полученная выше для тех же терминальных условий эграмма разомкнутого управления, определяемая выражениями 186), (3.288), и соответствующая ей программа замкнутого управления 189) не оптимальны, так как отличаются от оптимальных программ 511)и(3.312).
Интересно отметить, что в начальный момент времени оптимальная ограмма (3.312) задает большее ускорение, чем программа (3.289), яако в последующие моменты времени требуемое ускорение уменыпа-:я. а в терминальной точке обращается в нуль, что видно из формулы 311). В результате среднеинтегральная величина требуемого ускорения,
401
определяемая по формуле (3.312), оказывается меньше, чем ускорения определяемого формулой (3.289).
Вариант 3. Фиксированы оба терминальных условия наведения координата Л'к и скорость
В данном случае краевые условия для сопряженных переменных р( и р-, не определены, вследствие чего оптимальное управление выражается линейной функцией времени (3.308). Это совпадает с программой требуемых ускорений (3.292). Отсюда вытекает заключение, что программа разомкнутого управления, определяемая формулами (3.292), (3.293). и соответствующая ей программа замкнутого управления (3.294) оптимальны, Вполне понятно, что из оптимальности программы (3.294) следует вывод о неопгимхзьности других программ управления (3.297), (3.299) и (3.301), полученных для тех же терминальных условий хк и И
Итак, проведенный анализ позволил сделать однозначный выводов оптимальности или неоптимальности каждой из рассмотренных в п. 3.7.2 программ управления. Попутно получен еще один вариант программ управления (формулы (3.311) и (3.312)), оптимальных по энергетическому критерию.
В заключение отметим, что примененный нами критерий оптимальности, имеющий физический смысл минимума энергетических затрат на управление, актуален главным образом в том случае, когда управляющей силой является тяга двигательной установки. Оптимизация управления в этих условиях приводит к более экономному расходованию запаса топлива.
При движении головной части на атмосферном участке траектории управление осуществляется с помощью аэродинамических сил, формируемых за счет запаса механической энергии, накопленной ГЧ на участке выведения. В этом случае свойство оптимальности программ управления косвенным образом соответствует требованию экономного расходования накопленной энергии движения, что может быть полезным для формирования траекторий специального вида (см. ниже рис. 3.35).
При использовании других критериев оптимизации с критериальными функциями,отличными ог(З.ЗОЗ), вопрос об оптимальности рассмотренных в л. 3.7.2 программ управления, заданных степенными полиномами, должен исследоваться заново.
3.7.4. Некоторые вопросы практического применения метода требуемых ускорений
1. Как отмечалось выше, разомкнутым программам управления присуща методическая ошибка наведения, определяемая длительностью интераала управляемого движения и уровнем возмущений. Для того
402
3t уменьшить методическую ошибку до приемлемой величины, эаммы разомкнутого управления применяются только при условии одического пересчета их коэффициентов по текущей навигационной рмации с некоторым периодом Д Т. В данном случае обратная связь чается в формирование программ управления, но не непрерывно, программах замкнутого управления, апериодически. В зависимости одержания конкретной задачи управления величина ДТ может няться в пределах от десятка секунд до долей секунды.
Программам замкнутого управления свойственна общая особен-ь, заключающаяся в том, что в реальных условиях их применения раммные значения ускорений могут неограниченно возрастать при лижении к терминальной точке.
ассмотрим некоторые способы устранения указанной особенности, [ервый способ заключается в том, что в некоторый момент Т-Д 71, шествующий расчетному моменту Т прибытия в терминальную у, программа замкнутого управления заменяется программой мкнутого управления, коэффициенты которой вычисляются по метрам движения на момент Г - ДГ. Величина ДТ должна быть делена заблаговременно из условия реализуемости программных рений при имеющихся ограничениях на управляющие воздействия, торой способ состоит в том, что программа замкнутого управления мпруется по терминальной точке, вынесенной вдоль фазовой .ктории невозмущенного движения за пределы интервала [0, 7] и игаемой в момент Т+- АТ. Проиллюстрируем этот способ на примере смотренной выше задачи управления с двумя терминальными >виями и программой ускорений (3.292). Зададим величину АТ и еделим из дифференциального уравнения Л = с0 + c3t измененные аинальные параметры^  хх - Дхх, = Ихх •+
Fj0 + c0(T+A7) + lq(T*A7)2. X
V *о + ДТ) *	Д7)2 +	Д7)3,
Z	о
коэффициенты с0 Hq определены по исходным концевым условиям, анном случае программа замкнутого управления (3.294) приобретает дующий вид:
403
a rt = 6[jgK - x(Q] _ 2[VX^ 2Гх(0]
(Т-ДТ-/)2	T-&T-1
(3.313)
Задача управления по-прежнему считается выполненной в момент t = Т, при этом знаменатель в формуле (3.303) в нуль нс обращается.
Очевидно, что обоим рассмотренным способам присуща методическая погрешность управления. Некоторые другие приемы устранения особенности программ замкнутого управления читатель найдет в [2].
3. Рассмотрим классзадач управления, в которых время Тдостижения цели управления не задается и является сводными параметром. Данное обстоятельство препятствует непосредственному применению рассмотренных выше программ управления. Возможны различные способы преодоления этой трудности. Одним из них является исключение времени Т из алгоритмов управления путем его определения по краевым условиям. Проиллюстрируем сущность данного способа па примере задачи управления с двумя краевыми условиями дк и Зададим программу ускорений в виде константы. a?(t) = с0, и определим коэффициент с0 и время Гиз краевых условий с помощью уравнений:
лк = хо + Ух0Т+±саТ2,
откуда найдем:
= Ухк - т _	~ хо)
С°~ 2(хс - ,х0) ’	"	И,,'
Программа замкнутого управления имеет вид:
(3.314)
, J/2 _ JZ2(A «7(0-4-^-------(3.315)
2 хк - .г (г)
Как видим, данная программа незавиепт явным образом от времени, хотя и опа не лишена особенности в терминальной точке, где знаменатель обращается в нуль.
Недостатком данного способа является то, что время Г определено здесь по формальной модели движения X =	учета действитель-
ной динамики объекта управления, что может привести к чрезмерно большим требуемым ускорениям, не поддающимся реализации с помощью располагаемых управляющих сил. Поэтому на практике чаше применяют другой подход, предусматривающий непрерывный или
404
;ериодический прогноз времени движения, остающегося до момента юстижения терминальной точки, по полным или упрощенным равнениям движения. Примером подобного решения задачи является ьтгорптм прогноза, рассматриваемый в п. 3.7.5.
4. Другим препятствием к непосредственному применению метода ,-ребусмых ускорений может являться свойство неполной управляемости ;съекта управления. Свойство неполной управляемости присуще, как 5ыло показано в гл. 1.2, твердотопливным БР, а также управляемым Зоевым блокам с аэродинамическими органами управления. У этих зоъекгов управляющие силы определяются двумя параметрами .правления - углами тангажа и рыскания для БР и углами атаки и жольжеиня (или углами атаки и крена) для ББ. Таким образом в шределяющем уравнении (3.274) вектор й двумерный, а вектор ,скерений. присутствующий в левой части этого уравнения, - трехмерный.
Ясно, что задание программ требуемых ускорений для всех трех компонент вектора ускорений приводит в этих условиях к нереализуемым программам, так как продольное движение указанных объектов неуправляемо. В данных обстоятельствах необходимо найти такую совокупность переменных, описывающих движение объекта, при которых происходит разделение параметров движения на управляемые и неуправляемые, после чего программы требуемых ускорений следует задавать только для управляемых параметров движения. Примером подобного решения задачи является рассматриваемый ниже алгоритм наведения управляемого боевого блока БР [8].
3.7.5. Наведение управляемого боевого блока по методу’ требуемых ускорений
Рассмотрим задачу наведения управляемого ББ на атмосферном участке траектории. Управляющей силой является в данном случае полная аэродинамическая сила, изменяемая по величине и направлению путем придания корпусу ББ соответствующей пространственной ориентации с помощью управляющих моментов, создаваемых аэродинамическими или газодинамическими органами управления.
Далее для определенности рассматриваются две схемы аэродинамических органов управления. Первая схема предполагает, что управляющие моменты создаются путем отклонения хвостовой части корпуса ББ (управляющей юбки) из своего нейтрального положения на некоторые углы в двух взаимно-перпендикулярных плоскостях. При этом продольная ось ББ отклоняется от его вектора скорости на Углы атаки и скольжения, значения которых определяются балансировочными зависимостями. Это приводит к соответствующему изменению
405
подъемной и боковой аэродинамических сил. Таким образом, в данной схемев качестве параметров управления при наведении будем рассматривать углы атаки и скольжения (см. рис. 3.32).
Вторая схема относится к ББ с аэродинамической формой самолетного типа. Управляющие моменты создаются рулем направления и элеронами. Управление полной аэродинамической силой осуществляется путем координированного разворота корпуса ББ вокруг ее продольной оси на угол крена и отклонением продольной оси от вектора скорости на пространственный угол атаки. Эти углы и будем рассматривать в качестве параметров управления в данной схеме (см. рис. 3.33).
Математцчеекал модель объекта управления
Воспользуемся известными уравнениями движения в проекциях на оси полускоростной системы координат, приведенными в [10]. Применяемые для записи уравнений прямоугольные системы координат и углы, определяющие их взаимную ориентацию, показаны на рис. 3.30,3.31,3.32 ч 3.33. Положение центра масс ББ задается радиусом г и углами л и <р (географические долгота и широта), определяющими взаимную ориентацию осей относительной геоцентрической .4.Vri'_Zr и местной географической OlX.Y.Z{ систем координат. Вектор относительной скорости описывается модулем скорости К в углами ф и 0 (курсовой угол и угол бросания), определяющими взаимную ориентацию осей местной географической и полускоростной 5Л’ПСГПСИПС систем координат. Взаимная ориентация осей полускоростной и связанной системы координат S.Yj Y^Zi определяются углами атаки а и скольжения р (первая схема органов управления) либо пространственным углом атаки апр и углом крена у (вторая схема).
Кинематические и динамические уравнения движения ББ имеют вид:
г = Fsin0, ip = — созфсозО, X = СО5ФСО5^.	(3.316)
Г	Г СОЗф
406
Рис. 3.30. Гмие1причмк-ая и местная географическая системы координат
Рис. 331. Г еографическая и полускоростная системы координат
V =-----g.siad - g(cosipcostpcosO + sin<psin0),
m
0 = —— — cos 9 - — (-cos<pcosi|tsin0 + sin<pcos0) + mV V V
+ —cos0 - 2<o3cos<psini|»,
m Hcos0
Su costpsinilj	V.	. . a
+-------z—x + —tg<psini|/cos6 +
V cosO	r
+ Iwjcoscpcosiptge - sintp).
Здесь w3 - угловая скорость вращения Земли, gr и gu - проекции Ускорения силы притяжения Земли на радиус-вектор г и вектор ; Д', К Z-составляющие полной аэродинамической силы в проекциях на оси полускоростной системы координат.
Для первой схемы органов управления эти составляющие определим выражениями:
407
Рис. 3.32. Параметры управления: а - угол атаки, р - угол рыскания
Рис. 3.33. Параметры управления: апр - пространственный угол атаки, у -угол собственного вращения
X=-CxS^, Y=C°aS^-, Z = -C?ps-^,	(3.318)
X	л»	л»
гдеСЛ, С*> С? - аэродинамические коэффициенты.
Для второй схемы органов управления примем выражения:
X=-CS^, y=C“a°PS£^-cosy, Z=Cvaa^S^-siny. (3.319) 2 r 2	y 2
Заметим, что выражения (3.318) и (3.319) справедливы при допущении об относительной малости углов атаки и скольжения. При этом квадратической зависимостью силы лобового сопротивления Q = -X от этих углов мы пренебрегаем.
Ограничения на параметры управления запишем в виде неравенств |а| ; а1031, |РН ₽““ |<хор| s а““.	(3.320)
Данные неравенства косвенным образом задают ограничения на величину управляющих сил У' и Z, зависящих как от параметров управления, так и от скоростного напора, т.е. от высоты и скорости полета. Ограничения на допустимые значения угла крена не накладываются.
Особенностью рассматриваемого объекта управления является его неполная управляемость: в то время как подъемная и боковая силы К и Z могут изменять знак при изменении знаков углов аир (или углов а р и у), сила лобового сопротивления слабо зависит от углов атаки и
408
скольжения и не меняет знак в процессе движения. Вследствие этого параметры продольного движения ББ (скорость К и ускорение Z) неуправляемы.
Формулировка задачи наведения
Полагаем, что цель управления состоит в попадании ББ в заданную точку прицеливания, положение которой определим координатами ru, <р 2.ц. Время Т прибытия ББ в заданную точку не фиксируется и определяется финитным условием:
г(Т) = гп.	(3.321)
Условия попадания запишем в виде равенств:
= <Ра. >-(га) =	(3.322)
Вследствие неполной управляемости ББ формирование его попадающих траекторий при наведении возможно только за счет изменения его движения в плоскости, нормальной к вектору скорости. Это движение ББ управляемо. Для того чтобы ввести удобные переменные для параметров управляемого движения, доопределим условия задачи, задав направление вектора скорости ББ в точке цели. Данное направление назовем линией пикирования ББ на цель и зададим двумя углами фи и 0Ц. Эти углы задаются в географической системе координат, определенной на момент окончания движения, когда ее начало совпадает с точкой прицеливания. Для отличия от текущей географической системы координат OrYt YlZl обозначим ее ЦА'ТУ'ТИТ и назовем терминальной географической системой координат.
Таким образом, в дополнение к двум терминальным условиям (3.322) задаются еще два терминальных условия - углы фц и би, определяющие желаемое направление вектора скорости ББ в точке цели.
Введя линию пикирования ББ и задав тем самым ориентацию нормальной к ней плоскости, в которой движение ББ управляемо, мы получаем возможность определить переменные для управляемого Движения и выразить терминальные условия наведения в этих переменных. Предварительно введем целевую прямоугольную систему координат ЦА’ц}’ц2ц, ось Л'ц которой направлена по линии пикирования, с которой свяжем единичный вектор ось Кц лежит в плоскости векторов и ёт, а ось дополняет оси .Vu и до правой тройки (рис. 3.34). Через ёя и ёь обозначим единичные векторы, направленные по осям Кц и Zu.
409
Рис. 3.34. Целевая система координат
Плоскость векторов ёт и ёж> содержащую линию пнкнрова-ния, назовем плоскостью пикирования, а плоскость векторов ёжн ёА - картшоюй плоскостью.
Рассмотрим далее вектор
Дг(0 = r(t) - Гд (3,323) и спроектируем его на картинную плоскость. Обозначим данную проекцию р, Вектор р характеризует положение в
картинной плоскости точки
S' - проекции центра масс ББ на эту плоскость (см. рис. 3.34). Данный
вектор однозначно описывается своими проекциями на оси Кц и Zu. Выразим эти проекции как скалярные произведения вектора ДГ и
единичных векторов и еА:
р„ = Дг(0-ел, рА = Дг(0-ёА.
(3.324)
Введем следующие обозначения для производных от переменных р„ и р^по времени:
Ря =	к*?,»	(3.325)
Й„ = пп,	ГА=аА.	(3.326)
Нетрудно убедиться в справедливости равенств
Vn = ?'ё„,	Vb = V-ebt	(3.327)
V„ = «Л»	К = а-ёъ.	(3-328)
где V и 5-скорость и ускорение ББ. Отсюда следует, что пространственному движению центра масс ББ (точка *5), описываемому дифференциальными уравнениями (3.316) и (3.317), соответствует движение его проекции (точка S') в картинной плоскости, описываемое дифференциальными
410
^равнениями (3,325) и (3.326). В окрестности точки цели это движение полностью управляемо.
Воспользуемся величинами рп, р^, Кя и Гь как новыми переменными. С их помощью терминальные условия наведения записываются в виде следующих равенств:
Р„(7) = Ра СО = 0,	(3.329)
К„(7) = ИДУ) = 0.	(3.330)
Равенства (3.329) соответствуют требованию попадания ББ в точку прицеливания, а равенства (З.ЗЗО)-требованию направленности вектора конечной скорости ББ по заданной линии пикирования.
Из уравнений (3.326) следует, что для решения задачи наведения необходимо управлять проекциями вектора ускорений ББ на оси Уи и Zu целевой системы координат, поэтому для применения метода требуемых ускорений следует задавать две программы требуемых ускорений а? и .
Программы требуемых ускорений
Воспользуемся приведенными в п. 3.7.2 формулами для программ требуемых ускорений, выраженных в виде функций времени. Время Т прибытия ББ в точку цели, которое условиями задачи не задано, определим путем прогноза движения ББ отего текущего положения г(г) на момент / до момента выполнения финитного условия (3.321). Для того чтобы можно было осуществлять непрерывный прогноз времени 7’в реальном масштабе времени, примем простейшую модель прямолинейного движения ББ с постоянной скоростью Й(0- Выразим проекцию вектора скорости Й(г) на направление вектора Дг(г) через скалярное произведение этих векторов:
р _ Йг)-ДГ(0 4г " |ДГ|
Разделив длину вектора ДГ на величину скорости Ид7. получим следующее выражение для времени движения ББ до точки цели:
411
(3.331)
г -1 =	—
I V(t) Ar(O|
Погрешность прогноза времени 7по формуле (3.331) уменьшается по мере приближения к точке прицеливания и в пределе равна нулю.
Перейдем к записи программ требуемых ускорений. Как видно из уравнений (3.325). (3.326) и терминальных условий (3.329). (3.330), программы требуемых ускорений имеют одинаковую структуру. При наведении ББ могут быть применены программы как замкнутого, так и разомкнутого управления с периодическим пересчетом коэффициентов по текущей навигационной информации.
Запишем выражения для простейших программ разомкнутого управления, задаваемых полиномами второй степени. Через ДГ обозначим период пересчета коэффициентов программ и через - моменты пересчета. Полагаем, что прогноз времени движения осуществляется циклически с тем же периодом ДТ. Через Г,-обозначим оценку времени Т, получаемую в z-м цикле прогноза времени движения по формуле (3.331):
I Аг(г,)12 йад-дг^)’
= 0, 1....... N.
(3.332)
В соответствии с формулами (3.292) и (3.293) программы разомкнутого управления имеют вид:
бРв<0	+	i2pBa,) + 6f„(q	t,
(г, - /()2	(Г( - Г()2	
		(3.333)
»,Л	6pft(Q 2ГД0		t,
(Г, - tt}2 Т, -	[<т{ -i,)3 (Гг-'/Л	
гае i е [z1+1. z(], | - ti = ДТ, f = 0. 1,..., Лг.
Программы замкнутого управления запишем в виде семейства программ, имея в виду возможность изменения программ управления в процессе наведения ББ. В соответствии с формулой (3.302) получаем;
412
«frt _ J2 + 3fc * Р)р„(О	2ft* 1П„(0
n ’ (T - o2	T - t ’
(3.334)
a^(t) = J2+ ik + k^p^ _ 2(fc~ WO b ~	(T-t)2	’ T- t
Ввиду того что при снижении ББ в атмосфере скоростной напор возрастает, имеется возможность реализовать большие требуемые ускорения по мере приближения ББ к точке прицеливания. Поэтому в процессе управления значение параметра к в (3.334) может ступенчато увеличиваться от начального значения к = 1 при полете на большой высоте до достаточно больших значений, определяемых условием реализуемости текущих требуемых ускорений при полете на средних высотах. На завершающем этапе подлета к цели значение параметра к снова целесообразно уменьшить до к = 1 и применить один из рассмотренных в п.3.7.4 способов устранения особенности программ замкнутого управления, чтобы обеспечить реализуемость требуемых ускорений в окрестности цели.
Запись определяющих уравнений
Для нахождения явных выражений для параметров управления следует записать определяющие уравнения, получаемые подстановкой в левые части динамических уравнений движения программ требуемых ускорений. В рассматриваемом случае программы а? и а™ заданы в проекциях на оси Гц и Zu целевой системы координат, поэтому правые части динамических уравнений также необходимо спроектировать на зти оси.
Предварительно упростим динамические уравнения (3.317), сохранив в правых частяхэтихуравнеяийтолько члены,содержащие аэродинамические силы и радиальную составляющую силы притяжения Земли. Полученные в результате данного упрощения уравнения запишем в форме, где слева стоят проекции ускорения на оси полускоростной системы координат:
413
ах = — - gsinO, т
Y
a =------gcosG,
z m
(3.335)
При записи левых частей этих уравнении учтены равенства ах - И, ау -- Гё, а. = - ИсозО ф.
Заметим, что погрешности модели движения, связанные с ее упрощением, проявляются в реальных условиях наведения в виде дополнительных возмущений, парирование которых обеспечивается замкнутостью программ управления. Это же замечание относится к возможным отличиям аэродинамических сил от принятых выше модельных зависимостей (3.318) и (3.319). При использовании разомкнутых программ данные погрешности моделей приводят к дополнительной методической погрешности наведения.
Объединим правые части динамических уравнений (3.335) в вектор-столбец;
— - gsin0 tn
— - gcos0 т
Z
т
(3.336)
Для нахождения проекций этого вектора на оси целевой системы координат воспользуемся матрицей перехода от полускоростной к целевой системе координат:
Д = <,ц7.	(3.337)
Матрица Япс ц может быть вычислена как произведение следующих матриц:
ЛпС,и = л11Я(фп,	<рд)Ч.г(Л« ф)» 4с.ХФ. о).	(3.338)
414
где Я]К. ;(Ф- 9) - матрица перехода от полускоростной к местной географической системе координат;
Лг г(а, ч>)- матрица перехода от местной географической к геоцентрической системе координат;
Jr Т(\Р Ф[.) ~ матрица перехода от геоцентрической к терминальной {^графической системе координат;
•т'т, цСФм- ~ матрица перехода от терминальной географической к целевой системе координат.
Для упрощения проводимых ниже выражений для параметров \правления примем во внимание, что протяженность траектории ББ на участке наведения мала по сравнению с радиусом Земли, поэтому текущие географические координаты ББ мало отличаются от географических координат точки прицеливания. Пренебрежем этими отличиями в произведении матриц Лг т(Аи, <рц) и Г(А, ф). вследствие чего данное произведение становится равным единичной матрице.
Матрица Л(1с Дф, 0) имеет вил:
cos 6 cos ф -sinOcosty sintp sin0 cos 6	0
-cosQsin^ sin8sini|/ созф
(3.339)
а матрица /1г11 получается изданной матрицы ее транспонированием и последующей подстановкой ф - фц, 0 - 0Ц.
Перемножая матрицы .4, u и Дг.с получаем следующие выражения для элементов матрицы Апс |{, которые .мы обозначим йр;
<z,i = со5 0со50цсоз(ф - фц) + sin0sin0a,
ai2 = -sin 8 cos Ва cos (ф - фа) * cos0sin0a,
an = cos0asinty - фа),
а21 = -cosGsin6acos(y - фа) * sin0cos8u,
д2, = sin0sin8ccos(ili - фа) со$0со«0ц,	(3.340)
415
с23 = -sin9asin(4z - %),
°3i = _cos0sin(4i - фц),
a3, = sinesinfty - tya),
a3i = cos(i|r - Фа).
Умножая вектор-столбец (3.336) на матрицу Jnc ц и приравнивая вторую и третью компоненты вектора /ц требуемым ускорениям а? и а?, получаем два определяющих уравнения:
‘ ‘ -гсо!0-
а
п> ь
Х_ т
a3t
а32
33'
(3.341)
Y т
Z — а
т
Решение определяющих уравнений для первой схемы органов управления ББ
Подставляя в (3.341) выражения (3.318) для аэродинамических сил, получаем два линейных уравнения для определения параметров управления а и р. Решение этих уравнений запишем в следующем виде, обозначив через Q силу лобового сопротивления. Q = -.¥. и через q-скоростнон напор:
т /\азз ~Л°2з c^qS	О
т /|дзз ~/га22 cf-qS	D
(3.342)
‘ а? * ~ап + gcos0a,/2 = а^ + Q-an, т	tn
416
D = cos0cos0ocos(»p - фц) + sin0sin0a.	(3.343)
Данные формулы совместно с приведенными выше выражениями для программ требуемых ускорений полностью описывают алгоритм наведения ББ по методу требуемых ускорении.
Рассмотрим варианты упрощения алгоритма наведения. При движении ББ вблизи плоскости пикирования текущий курсовой угол ф(0 можно считать совпадающим с углом фц. Полагая в формулах (3.342) и (3.343) ф = фц, получаем:
т а? + geos 0ц c*-qS cos(0 " &ц)
Р = "
+ Stg(0 - 0 ),
(3.344)
Наконец, на завершающем этапе наведения, когда направление вектора скорости ББ близко к заданному направлению пикирования, в алгоритме наведения можно положить ф = фц, 6 = 6,,, в результате чего получаем следующие выражения для параметров управления:
а =	—(а? + gcosS ),
Р =
cf-qS
(3345)
У статически устойчивых ББ стабилизация по углам атаки и скольжения может обеспечиваться только с помощью статических аэродинамических моментов без применения системы угловой стабилизации. При больших запасах устойчивости можно пренебречь переходными колебательными процессами по углам атаки и скольжения, возникающими при перекладках рулевых органов, и выразить программы управления непосредственно в углах отклонений рулевых органов с помощью балансировочных зависимостей:
(3.346)
11.
417
В данном случае для рассматриваемой схемы органов управления ГЧ бт и бр - углы отклонений управляющей юбки по каналам тангажа и рыскания; т‘ и т* - коэффициенты статических аэродинамических моментов; и - коэффициенты управляющих моментов. Значения углов атаки и скольжения в формулах (3.346) определяются выражениями (3.342), (3.344) или (3.345).
Решение определяющего уравнения для второй схемы органов управления ББ
Подставим в (3.341) выражения (3.319) для аэродинамических сил и получим два уравнения для определения параметров управления апр и у. Разрешая эти уравнения, приходим к следующим выражениям для параметров управления: •
т fia33 fia23 c*-qS flcosY
(3.347)
Назавершающем этапе наведения, когда справедливы приближенные равенства ф = фц и 0 = 0Ц, формулы (3.347) принимают следующий простой вид:
ащ> = т	+
c*-qS	C°SY
(3.348)
Y = arctg-2—.
°?
При данной схемеуправляющих органов управление координированным разворотом корпуса ББ по углам атаки и крена требует применения двухканальной системы угловой стабилизации, поэтому, в отличие от предыдущей схемы, выразить программы управления непосредственно в углах отклонений рулевых органов оказывается невозможным.
418
Моделирование процесса наведения
Ниже приводятся данные, иллюстрирующие динамику наведения гипотетического УББ по методу требуемых ускорений. При моделировании были приняты следующие характеристики УББ: т = 500 кг, S = 1 м2, Сх = 0,1, С* = 0,3, атах = 30°. Этим данным соответствуют значения баллистического коэффициента ov = 0.2-10-3 м2/кг и максимального аэродинамического качества Лтах = 1,57. В качестве номинальной траектории полета УББ рассматривалась траектория баллистического спуска с начальными условиями: Яо = 30 км, Ио = 6,5 км/с, 90 = -23°. Время полета (с высоты 30 км) Т= 20 с, скорость у цели Иц = 975 м/с, угол наклона траектории в точке цели 9Ц = -26,2°.
Моделирование наведения осуществлялось при двух вариантах задания направления линии пикирования, 0„° = -16°, 0® = -36°, и при различных значениях параметра к в программах управления (3.334). При этом полагалось фц = 0, т.е. наведение моделировалось в плоскости номинальной траектории.
В первом варианте (9Ц = -16°) траектория у цели является более пологой, чем при баллистическом спуске, поэтому в процессе наведения УББ совершает маневр типа "пикирование- кабрирование", а во втором варианте (9Ц = -36°) траектория у цели более крутая и УББ совершает маневр типа "кабрирование-пикирование" (см. рис. 1.29). При этом на участке пикирования поперечная перегрузка отрицательна, а на участке кабрирования - положительна.
Некоторыерезультаты моделирования отражены в приводимой ниже таблице, где даны значения параметра к, скорости УББ у цели, времени полета с высоты 30 км и значения максимальных поперечных перегрузок на первом и втором этапах маневра (обозначены и соответственно).
	к	Гц, м/с	Т,с		”,11
-16е	I	661	24,0	-12,2	8,2
	2	607	25,1	-18,5	15,9
	3	538	26,1	-23,1	24,8
-36’	I	1368	17,6	16,5	-16,5
	2	1467	17,1	22,0	-31,0
	3	1507	16,9	27,5	-44,5
14*
419
Результаты моделирования показывают, что в рамках рассмотренного метода наведения могут быть реализованы маневры уклонения УББ от средств перехвата системы ПРО. Выбор вида и интенсивности маневра достигается выбором соответствующих значений параметра к, угла 0 , и при необходимости совершения маневра в боковой плоскости - угла
3.7.6.	Итоговая оценка свойств метода требуемых ускорений
1.	Метод требуемых ускорений является весьма универсальным методом наведения, что позволяет использовать его для управления движением ЛА различных типов, включая управляемые ББ, спускаемые аппараты, ракеты-носители КА и др. В [2] приведены примеры применения данного метода при управлении полетом вертолетов, самолетов вертикального взлета и посадки, а также других объектов, включая поезда метрополитена и радиолокаторы.
2.	Методу требуемых ускорений свойственна простота формирования программ разомкнутого и замкнутого управления. Метод не предъявляет высоких требований к быстродействию бортовой ЦВМ, не требует проведения сложных расчетов при подготовке данных полетного задания.
3.	Метод требуемых ускорений является гибким инструментом управления движением, поскольку позволяет формировать траектории нужного профиля. В качестве примера рассмотрим задачу формирования траектории управляемой ББ, включающей участок горизонтального полега для проведения сеансов навигационных определений по картам местности. Для реализации требуемой траектории достаточно выбрать несколько опорных точек (точки А, В, С, D на рис. 3.35), для каждой из которых задать три координаты и два угла, определяющие желаемую
Рис. 3.35. Выбор опорных точек наведения УББ при формировании траектории заданного профиля
420
ориентацию вектора скорости. Управление движением ББ будет заключаться в последовательном наведении на очередную точку траектории по алгоритмам, приведенным в п. 3.7.5. Перестройка алгоритмов наведения осуществляется простым изменением терминальных условий наведения.
-1. В качестве определенного недостатка метода требуемых ускорений, сужающим область его применения, отметим то обстоятельство, что терминальные условия наведения в данном методе должны задаваться в виде точки в фазовом пространстве. При управлении движением БР концевые условия наведения задаются в виде многообразий (3.41) - (3.44). Выделение какой-то одной точки на этих многообразиях с целью безусловно точной реализации выбранных концевых условий при наведении нерационально, так как предъявляет неоправданно жесткие требования к допустимым траекториям движения БР на АУТ. Дополнительные трудности применения метода требуемых ускорении связаны с неполной управляемостью твердотопливных ракет и тем, что время полета БР на АУТ является свободным параметром. В этих условиях метод требуемой скорости обладает безусловными преимуществами перед методом требуемых ускорений, так как обеспечивает высокоточное решение задачи наведения БР с учетом всех особенностей объекта управления.
Литература к разделу Ш
1.	Баллистика и ниви1'аиия ракет / Под ред. А А. Дмитриевского. М.: Машиностроение. 1985. 310 с.
2.	Батенко А.П. Управление конечным состоянием движущихся объектов. М.: Сов. разно. 1977, 256 с
3.	Бородовскнй В.Н. Управление конечными параметрами движения летательных аппаратов ракетной и космической техники, Проектирование процессов и систем управления. М,: Изд. МО РФ, 1999, ’50 с.
4.	Брайсон А.. ХОЮ-ШИ. Прикладная теория оптимального управления. М : Мир 1972, 5JJ с.
5.	Бэттин Р.Х. Замкнутые И универсальные методы управления КА //ЭИ "Астронавтика и ракетодинамнка". Т. 6, № 19, 1968. С. 26-65.
6.	Бэпнн Р.Х. Развитие методов наведения в космосе// Аэрокосмическая техника. Т. I. №3, 1983. С. 145-161.
7.	Беличенко В.В. О вариационном методев проблеме инвариантности управляемых систем // Автоматика И телемеханика. 4, 1972. С. 22-34.
8.	Горченко ЛД. Метод терминального наведения по требуемому ускорению аэродинамически управляемых летательных аппаратов//Журнал "Полет", М.: Машиностроение. №6, 1999. С. 21-24.
9.	Ишлинский А.Ю. Инерциальное управление баллистическими ракетами. М,: Havxa, 1968,142 с.
10.	Лебедев А.Д., Герасюта Н.Ф. Баллистика ракет. М.: Машиностроение, 1970, 244 с.
421
11	Могилевский В.Д. Наведение баллистических летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1976. 208 с.
12.	Петров Б.Н.. Крутько П.Д. Конструирование алгоритмов управления полетом па основе решения об ратных задач динамики// Изи. АН СССР, сер. "Техническая кибернетика* 1981. №2. С. 162-170, Лё 3. С. 161-172.
13.	Петров Б.Н., Портнов - Соколов Ю.П., Андриенко А.Я., Иванов В.П. Бортовые терминальные системы управления. М.: Машиностроение. 1983, 200 с.
14.	Под ред. Бородовсксго В.Н.. Киселева Л.Н., Трукова Ю.В. Сб. докладов межд. иау'шо-тех;|. конф. "Системы и комплексы автоматического управления в космонавтике и народном хозяйстве", посвяшеннон 90-летию со дня рожд. акад Н.А Пилюгина, М.; Гоптн-6. 1999.
15.	Разоренов Г.Н. Введение в теорию оптимального управления динамическими системами. М.: Изд. МО СССР, 1991, 278 с.
16.	Розонозр Л.И. Вариационный подход к проблеме инвариантности систем автоматического управления //Автоматика и телемеханика. 1963, № 6. С. 744-756, Ns 7. С. 861-870.
17.	Сихарулидзе Ю.Г. Баллистика летательных аппаратов. М.: Наука. 1982, 352 с.
18.	Теория полета/Под ред. Д.А. Погорелова. М.: Изд. МО СССР, 19’4. Ч. 1. 361 с. Ч. 2, 502 с.
19.	Точность межконтинентальных баллистических ракет / Под ред. Л.И. Волкова, М.: Машиностроение. 1996.302 с.
20.	Хрусталев М.М. Методы теории инвариантности в задачах синтеза законов герминального управления летательными аппаратами. М.: Изд. МАИ, 1987, 50 с.
21.	Шипапов Г.В. Теория и методы регулирования автоматических регуляторов // Автоматика И телемеханика. 1939. № 1. С. 47-66.
РАЗДЕЛ IV
МЕТОДЫ УПРАВЛЕНИЯ ПОЛЕТОМ СТУПЕНИ РАЗВЕДЕНИЯ
Глава 4.1
ХАРАКТЕРИСТИКА ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ ПОЛЕТОМ СТУПЕНИ РАЗВЕДЕНИЯ
4.1.1. Состав боевого оснащения баллистических ракет
Баллистические ракеты первых поколений имели одну отделяемую головную часть, представляющую собой оснащенный боевым зарядом боевой блок (ББ), предназначенный для поражения одной цели. Ввиду специфических особенностей, присущих головным частям (ГЧ) баллистических ракет (полет на большой высоте за пределами атмосферы. малое время движения на атмосферном участке, большая скорость подпета к цели), они были практически неуязвимы со стороны существующих в тот период средств ПВО. Однако с середины 60-х годов ситуация стала изменяться. Быстрый прогресс в области создания средств противоракетной обороны (ПРО) потребовал принятия соответствующих мер, призванных нейтрализовать возрастающие возможности средств обороны и не допустить снижения боевой эффективности ракетного оружия.
Среди этих мер, наряду с совершенствованием самих головных частей (уменьшение эффективной поверхности рассеивания отраженного от ГЧ радиосигнала для затруднения обнаружения ГЧ радиолокационными средствами ПРО, увеличение скорости движения у цели путем уменьшения баллистического коэффициента и др.), важная роль была отведена оснащению ракет средствами активного и пассивного противодействия системе ПРО. Совокупность этих средств получила название комплекса средств преодоления (КСП) противоракетной обороны, который включал станции активных помех, предназначенные для создания радиопомех и подавления радиолокационных средств ПРО, различного рода ложные цели (ЛЦ) и другие специальные элементы.
Ложные цели являются средством пассивного противодействия системе ПРО и их назначение состоит в том, чтобы путем увеличения общего числа целей, наблюдаемых радиолокационными средствами ПРО в ходе отражения ракетного удара, максимальным образом затруднить
423
обороняющейся стороне распознавание боевых блоков на фоне ложных целей, уменьшить резерв времени на принятие решения о пуске противоракет, а также вынудить систему ПРО расходовать часть своих противоракет на уничтожение ЛЦ. Для успешной имитации ББ ложные цели должны обладать близкими к ним характеристиками отраженных радиосигналов, а траектории ЛЦ не должны иметь баллистические признаки, по которым можно было бы осуществить оперативную селекцию (от лат. selectio- выбор, отбор) боевых блоков на фонеЛЦ.
По своим конструктивно-баллистическим характеристикам и, как следствие, времени существования на траекториях полета ложные цели подразделяются на легкие (ЛЛЦ), средние (СЛЦ) и тяжелые (ТЛЦ). Легкая ЛЦ в простейшем варианте представляет собой наполненный газом баллон, который формой, размерами и сигнальными характеристиками имитирует боевой блок. Легкие ЛЦ выполняют свои функции только на внеатмосферном участке полета и разрушаются при входе в верхние слои атмосферы. Тяжелые ЛЦ имеют большую по сравнению с ЛЛЦ массу, но главное их отличие состоит в том, что они обладают баллистическим коэффициентом, близким к баллистическомукоэффици-енту реальных боевых блоков, а также являются более стойкими к разрушающему действию атмосферы, что позволяет ТЛЦ сопровождать боевые блоки на значительной части атмосферного участка траектории. СЛЦ занимают по своим характеристикам промежуточное положение.
Кроме ложных целей и станций активных помех в состав КСП ПРО могут включаться также дипольные отражатели, сбрасываемые в большом количестве одновременно с отделением ББ и предназначенные для создания пассивных радиопомех средствам распознавания ББ среди ЛЦ ([12]. с. 85).
Приблизительно в одно время с началом оснащения баллистических ракет КСП ПРО появились первые образцы разделяющихся головных частей (РГЧ), которые к настоящему времени достигли высокой степени совершенства. В отличие от ГЧ традиционного типа (получивших название моноблочных), разделяющаяся ГЧ представляет собой совокупность нескольких ББ, каждый из которых может наводиться на свою собственную цель. На ракетах последних поколении количество ББ достигает 10 единиц [7].
Оснащение баллистических ракет разделяющимися ГЧ было обусловлено рядом факторов.
Во-первых, применение разделяющих ГЧ является относительно недорогим способом резкого увеличения как общего количества доставляемых к целям боевых зарядов, так и количества поражаемых целей без увеличения численности находящихся на боевом дежурстве баллистических ракет наземного и морского базирования.
424
Во-вторых, разделяющиеся ГЧ существенно расширяют боевые возможности и повышают эффективность ракетного оружия, так как могут поражать в одном пуске до 10 целей, удаленных друг от друга на значительное расстояние.
В-третьих, увеличение числа ББ, выводимых одной ракетой, естественным образом повышает вероятность преодоления системы ПРО. Например, если предположить, что система ПРО способна уничтожить каждую цель с вероятностью 0.9, то вероятность преодоления ПРО хотя бы одним блоком РГЧ, состоящем из 1(1 ББ, возрастает по сравнению с моноблочной ГЧ более чем в 6 раз (с 0,1 до 0,65).
Эти и другие факторы обусловили быстрый прогресс в области совершенствования РГЧ и применения их на баллистических ракетах как наземного, так и морского базирования.
Боевые блоки РГЧ и размещаемый на ракете КСП ПРО принято объединять общим термином "боевое оснащение" (БО) баллистической ракеты. Отдельные боевые блоки, ложные цели, средства активного противодействия будем далее называть элементами боевого оснащения (ЭБО). На ракетах, оснащаемых первыми образцами КСП ПРО и РГЧ с небольшим числом боевых блоков, ложные цели и боевые блоки отделялись непосредственно от последней ступени ракеты. В последующем, в связи с увеличением числа ББ и усложнением задач их наведения, функции выведения боевых блоков на свои попадающие траектории были возложены на специальную ступень разведения, имеющую собственную двигательную установку. Система управления ступени разведения является, как правило, общей .для ракеты в целом и решает весь комплекс задач управления полетом от момента пуска до отделения всех боевых блоков. Наряду с термином "ступень разведения" нашли применение и другие названия - ступень наведения, боевая ступень.
4.1.2. Боевые порядки элементов боевого оснащения
Термин "боевой порядок" является общепринятым в военном деле (боевые порядки групп самолетов, танков, пехоты в наступательном или оборонительном бою). На флоте нашел применение термин "ордер”, что в переводе с английского (order) и означает строй, порядок. Под боевым порядком применительно к ракетному оружию будем понимать взаимное пространственно-временное расположение элементов боевого оснащения ракет на траекториях их полета.
Рассмотрим наиболее характерные типы боевых порядков элементов боевого оснащения баллистических ракет и предъявляемые к ним требования, вытекающие из необходимости решения двух основных
425
в
Рис. 4.1. Типы боевых порядков
задач, возлагаемых па РГЧ и КСП ПРО -- поражение целей различной конфигурации и преодоление системы ПРО.
1.	Боевой порядок "цепочка"
Для элементов РГЧ боевой порядок "цепочка1 применяется в случае, когда несколько ББ направляются на одну малоразмерную цель. Исходя из требования взаимного непораження двух и более ББ или подрыве боевого заряда одного из них, естественно потребовать, чтобы подлет ББ к цели осуществлялся последовательно с некоторым временным интервалом. Минимально допустимое расстояние между соседними ББ в "цепочке" должно определяться не только требованием взаимного непораження, но и удовлетворять условию невозможности одновременно поражения двух ББ одной противоракетной. Таким образом, при подлете ББ к цели конфигурация боевого порядка "цепочка" имеет вид, изображенный на рис. 4.1, а
2.	Боевой порядок "все на одной высоте" (изовысотный)
Боевой порядок данного типа применяется, когда несколько ББ предназначаются для поражения площадной цели или нескольких целей, расположенных на сравнительно небольшом удалении друг от друга.
В этом случае целесообразно потребовать, чтобы прилет ББ к целям был близок по времени, что создает наибольшие трудности для ПРО по перехвату группы ББ, одновременно входящих в зону действия ее огневых средств. Подрыв боевых зарядов ББ в зависимости от типа поражаемых целей может быть как наземным, так и высотным (иначе его называют воздушным). В последнем случае все ББ в момент подрыва боевых зарядов будут находиться на одинаковой высоте над иоверхнос-
426
тью земли, что и выражено термином "изовысотный” боевой порядок. Конфигурация боевого порядка этого типа представлена на рнс. 4.1, б.
3.	Боевой порядок "высотно-синхронизированный "
Боевой порядок данного типа отличается от предыдущего тем, что моменты времени прилета ББ к целям могут быть различными, но выбираются так, чтобы сохранялись минимально допустимые расстояния между соседними ББ. определяемые условиями взаимного непораження и невозможности поражения двух ББ одной противоракетой. Таким образом, в некоторый момент времени, например в момент достижения одним из ББ точки цели, все другие ББ должны находиться на строго определенной для каждого из них высоте.
4,	Боевой порядок "синхронизированные цепочки"
Рассмотрим вариант применения РГЧ, когда вся совокупность ББ подразделяется на несколько групп, направляемых на индивидуальные цели, расположенные в относительной близости друг от друга. В этом случае группа ББ, направляемая в общую цель, образует боевой порядок "цепочка", а прилет к целям ББ различных групп синхронизируется (см. рис. 4.1, в).
5.	Боевой порядок "несвязанные цепочки"
Боевой порядок данного типа отличается от предыдущего тем, что различные цепочки не синхронизируются по времени прилета ББ к цели. Этот тип БП характерен для такого варианта применения РГЧ, когда ББ направляются на цели, расположенные на максимально большом удалении друг от друга в пределах области достижимости ступени разведения.
При разведении элементов РГЧ по различным целям, удаленным друг от друга на значительное расстояние, на первый план выступает проблема экономного расходования энергетических ресурсов ступени разведения, запас которых определяется располагаемой характеристической скоростью, набираемой за счет работы ее двигательной установки. Требование одновременности прилета ББ в различные цели или высотной синхронизации при этом снимается. В простейшем случае, когда в каждую цель направляется по одному ББ, данный боевой порядок является аналогом "рассыпного строя” при действиях группы самолетов, танков или кораблей, в котором каждая боевая единица решает свою собственную боевую задачу независимо от других.
Рассмотренные боевые порядки относились к боевым блокам, но их конфигурации полностью сохраняют свой вид при использовании ложных целей. Основной принцип включения ложных целей в боевые порядки ББ состоит в том, чтобы максимально затруднить распознавание боевых блоков (равно как и ложных целей) по траекторным признакам.
427
При этом предполагается, что средства ПРО, наблюдая полет группы целей средствами дальнего обнаружения, осуществляют прогнозирование (или, как принято говорить, пролонгирование, от лат. prolongo -продлевать, продолжать) траектории их последующего движения и ожидаемых точек падения, на основе чего производится ранжировка наблюдаемых целей по степени угрозы обороняемым объектам. Так очевидно, что если прогнозированная точка падения некоторого элемента боевого порядка находится в непосредственной близости от обороняемого объекта, то этот элементе высокой степенью достоверности может быть идентифицирован как ББ, подлежащий уничтожению огневыми средствами ПРО, Для затруднения селекции боевых блоков на фоне ложных целей по признаку близости прогнозируемой точки падения к обороняемому объекту ложные цели включают в боевой порядок "цепочка". Этот тип боевого порядка яляется основным для прикрытия боевых блоков ложными целями как для ракет с моноблочными, так и с разделяющимися головными частями.
Разумеется, в непосредственной близости от точек падения ББ в диапазоне высот 20-30 км боевые порядки ложных целей ввиду селектирующих свойств атмосферы разрушаются (легкие ЛЦ, как отмечалось выше, прекращают свое существование на значительно большей высоте). Поэтому, говоря о боевом порядке ЛЦ в районе точек падения ББ, имеют в виду его пролонгированную конфигурацию, характер которой не должен содержать признаков, позволяющих средствам наблюдения ПРО осуществить селекцию ББ и ЛЦ на дальних внеатмосферных рубежах перехвата.
Вопрос исключения возможности селекции ББ и ЛЦ по траекторным (баллистическим) признакам не исчерпывается выбором соответствующей конфигурации боевых порядков. Одним из демаскирующих признаков может оказаться порядковый номер ББ в цепочке,если такая информация станет известна обороняющейся стороне. Для исключения этого признака следует обеспечить случайный порядок взаимного расположения ББ и ЛЦ в различных цепочках. Другим демаскирующим признаком могут служить траекторные параметры ступени разведения, которая сопровождает боевые порядки элементов БО на внеатмосферном участке траектории и движение которой также наблюдается радиолокационными средствами ПРО. Поэтому сразу после разведения целесообразно осуществить увод ступени разведения от боевых порядков элементов БО путем придания ей некоторого приращения скорости, величина и направление которого должны быть случайными и не повторяться на различных ракетах, участвующих в нанесении группового ракетного удара.
428
Анализ условий боевого применения и задач, стоящих перед разделяющей ГЧ, позволяют сформулировать общие требования, которым должен удовлетворять боевой порядок:
*	поражение произвольно расположенных целей в заданном районе;
•	определенная последовательность и время подхода боевых блоков к заданным целям;
•	взаимное расположение боевых блоков на траекториях их полета, исключающее поражение одной противоракетной двух и бо.чее боевых блоков;
•	подрыв в районе цели боевого заряда одного боевого блока не должен приводить к поражению остальных боевых блоков.
В качестве дополнительного может быть предъявлено требование придания боевому блоку при его отделении от ступени разведения специальной угловой ориентации с последующей продольной закруткой ББ с некоторой угловой скоростью. Такая закрутка ББ сохраняет его ориентацию на внеатмосферном участке полета и обеспечивает нулевые углы атаки и скольжения при входе боевого блока в плотные слои атмосферы, что приводит к уменьшению атмосферного рассеивания ББ.
4.1,3. Конструктивные схемы ступени разведения и способы построения боевых порядков
Рассмотренные выше конфигурации боевых порядков элементов боевого оснащения ракет показывают, что для их построения необходимо осуществить выведение каждого элемента на свою собственную траекторию свободного полета или, как принято говорить, осуществить разведение элементов боевого оснащения. Данная задача и возлагается на ступень разведения, которая в ходе специального маневрирования, включающего чередующиеся участкиуг.товыхразворотов и поступательного движения с набором скорости, должна сообщить каждому элементу БО необходимые начальные условия движения (координаты, скорость) на момент отделения от ступени разведения. При этом боевые блоки должны быть с высокой точностью выведены на попадающие траектории, проходящие через точки прицеливания.
Маневры, которые должна выполнить ступень разведения при построении боевого порядка, определяются как видом боевого порядка, так и конструктивной схемой самой ступени разведения.
На рис. 4.2 представлена классификация конструктивных схем ступени разведения и способов построения боевых порядков. Связи, изображенные на рисунке, указывают на возможные сочетания при формировании
429
Классификационный признак
Расположение ДУ СР
Порядок отделения ББ
Режим работы ДУ СР
Схема управления угловым движением СР
Рис. 4.2. Конструктивные схемы ступени разведения
общей схемы разведения. В основу классификации положены четыре классификационных признака:
•	расположение двигательной установки ступени разведения по отношению к размещению боевых блоков: "тянущая” или "толкающая" конструкция СР;
•	порядок отделения боевых блоков: одновременное или последовательное отделение;
•	режим работы двигательной установки боевой ступени: непрерывный или дискретный, с постоянным или управляемым уровнем тяги;
•	схема управления угловым движением БС: смешанная или моментная.
Дадим краткую характеристику указанных классификационных признаков.
1.	Расположение двигательной установки ступени разведения ("толкающая" или "тянущая" схема)
Толкающая схема расположения ДУ ступени разведения представляет собой развитие традиционной схемы компоновки последней ступени БР с моноблочной ГЧ, когда ДУ размещается в хвостовой части ступени. В этом случае отделение ГЧ происходит по следующей схеме.
По предварительной команде на отделение обнуляется тяга маршевого двигателя и набор недостающей скорости БР осуществляется в режиме "дотягивания" при работающем рулевом двигателе меньшей тяги. Затем
430
a
б
в
Рис. 43. Толкающая схема отделения ББ
по главной команде на отделение ГЧ обнуляется тяга рулевого двигателя, разрываются механические связи ГЧ с последней ступенью и для обеспечения безударного и безимпульсного отделения ГЧ включаются двигатели противотяги (тормозные ДУ). В результате последняя ступень приобретает тормозной импульс скорости и в своем последующем движении отстает от отделившейся ГЧ.
При отделении боевых блоков разделяющейся ГЧ данная схема расположения ДУ ступени разведения предполагает многократные включения и выключения маршевого, рулевого и тормозных ДУ в процессе выведения боевых блоков на свои попадающие траектории (рис. 4.3).
Тянущая схема расположения ДУ ступени разведения характерна тем, что двигательная установка размещается в передней части ступени разведения, а боевые блоки - в хвостовой части. Данная схема создания силы тяги ДУ получается из предыдущей, если по предварительной команде на отделение ББ одновременно с обнулением тяги маршевого двигателя произвести угловой разворот ступени разведения на 180°, а режим последующего "дотягивания" осуществлять с помощью рулевого двигателя, сопла которого также разворачиваются на 180° (рис. 4.4). Отделение ББ в данной схеме осуществляется по команде на разрыв механических связей ББ со ступенью разведения, после чего ступень разведения безударно и безимпульсно "оставляет" боевой блок при работающем рулевом двигателе, продолжая набор скорости и опережая в своем последующем движении отставший боевой блок.
На практике применение чисто толкающей или чисто тянущей схемы нерационально, поскольку обеим схемам присущи свои недостатки. Главный недостаток толкающей схемы заключается в сложной динамике отделения ББ от ступени разведения, чем затрудняется безнмпульсное отделение ББ. Недостатком тянущей схемы является то, что набор скорости ступени разведения перед отделением очередного ББ осуществляется сдвигателем меньшей тяги, что затягивает процесс разведения. Поэтому, как правило, обе названные схемы применяются комплексно.
431
Рис. 4.4. Тянущая схема отделения ББ
Например, ступень разведения может быть оснащена многосопловой двигательной установкой, что позволяет осуществлять переход от толкающей схемы к тянущей н наоборот путем задействования соответствующей комбинации сопловых блоков.
2.	Порядок отделения ББ (одновременное или последовательное отделение)
Выведение боевых блоков на попадающие траектории при их одновременном отделении от ступени разведения может быть осуществлено двумя основными способами. Первый способ предусматривает практически мгновенное сообщение каждому отделяемому ББ соответствующего приращения скорости, в результате чего блок выводится
Рис. 4.5. Схемы одновременного отделения ББ
432
а свою попадающую траекторию. Приращения скорости могут формироваться с помощью механических толкателей или пороховых зарядов. Однако таким способом можно одновременно отделить лишь дза-трн блока. Второй способ предполагает модульное построение ступени разведения, когда каждый ББ оснащается индивидуальной ДУ с запасом топлива, что позволяет существенно увеличить сообщаемое ББ приращение скорости. Очевидно, что данный способ конструктивно более сложен, однако позволяет расширить район возможного расположения целен, поражаемых одной РГЧ. Оба способа одновременного отделения ББ проиллюстрированы на рис. 4.5.
Последовательное отделение ББ осуществляется с помощью бортовой ДУ ступени разделения (см. рис. 4.3 и 4.4). Способ последовательного отделения универсален в том смысле, что позволяет произвести разделение РГЧ с любым числом боевых блоков. Однако существенным недостатком этого способа является значительная продолжительность процесса построения боевых порядков ББ и ЛЦ, что повышает вероятность уничтожения ступени разведения с неотделившимися блоками средствами дальнего перехвата системы ПРО.
3.	Режим pauoi ы ДУ ступени разведения (непрерывный или дискретный)
Режимы работы ДУ непосредственно связаны со схемой ес размещения (толкающая или тянущая) и с принятым способом отделения ББ (одновременное или последовательное отделение). Режим непрерывной работы ДУ характерен для тянущей схемы при последовательном отделении ББ, тогда как дискретный режим (с периодическими включениями и выключениями ДУ) характерен для толкающей схемы.
4.	Схема управления угловым движением СР (смешанная или .моментная)
Названные схемы управления угловым движением ступени разведения проиллюстрированы на рис. 4.6.
Смешанная схема управления угловым движением (с отклоняемыми Двигателями пли соплами) аналогична конструкции, применяемой на ракетах, где, как известно, управление движением центра масс осуществляется через управление угловым движением. Отклонение управляющего двигателя ступени разведения от ее продольной оси для создания управляющего момента по тангажу или рысканию приводит к одновременному появлению пары сил с моментом и поперечной составляющей силы тяги (сила р2 на рис. 4.6), линия действия которой проходит через Центр масс СР. В этом случае вращательное движение ступени разведения непосредственно связано с ее продольным движением. Учитывая, что при
433
Рис. 4.6. Смешанная и моментная схемы управления
последовательном разведении ББ углы разворота СР достигают 180’, данная конструктивная схема заметно усложняет задачу управления движением ступени разведения.
Конструкция СР, реализующая управление угловым движением по моментной схеме, формирует управляющий момент в виде пары сил и позволяет "развязать" угловое и продольное движение ступени разведения, сделав их независимыми. Это обстоятельство заметно упрощает решение задач управления движением ступени разведения при построении боевых порядков. Однако практическая реализация моментной схемы управления угловым движением более сложна по сравнению со смешанной схемой.
Особенности методов и алгоритмов управления угловым движением ступени разведения в смешанной и моментной схемах рассматриваются в гл. 4.S.
Глава 4.2
БД МИСТИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ БОЕВЫХ ПОРЯДКОВ ЭЛЕМЕНТОВ БОЕВОГО ОСНАЩЕНИЯ
4.2.1.	Анализ задачи построения боевых порядков в схеме импульсного разведения
I Гроведе.м анализ исходных баллистических принципов формирования боевых порядков ЭБО, что послужит основой для последующего рассмотрения вопросов управления движением ступени разведения.
Поскольку конфигурации боевых порядков характеризуют ся главным образом параметрами относительного движения элементов, то с целью определения этих параметров удобно выделить некоторый элемент, траекторию движения которого будем рассматривать в качестве опорной. Для определенности можно считать, что таким элементом является первый боевой блок, направляемый в некоторую точку цели II с заданными координатами, траектория которого полностью определена его начальными условиями движения и Кв. заданными на момент отделения от ступени разведения.
Для описания интересующих нас конфигураций боевых порядков достаточно каждому /-му элементу БП поставить в соответствие три параметра - относительные координаты его точки падения на поверхность Земли, рассматриваемые по отношению к точке падения опорного элемента, и разность моментов времени прилета /-го и опорного элементов в соответствующие точки падения. Координаты точек падения будем рассматривать в прямоугольной целевой системе координат, связанной с точкой цели Ц опорного элемента. В качестве такой системы примем для определенности естественную системе координат. Напомним, что оси L и В естественной системы координат лежат в плоскости, касательной к поверхности общеземною эллипсоида в зочке Ц, причем ось L направлена по касательной к линии естественной дальности в этой точке (рис. 4.7).
Терминальные условия наведения /-го элемента зададим следующим образом. В качестве финитного условия наведения будем рассматривать условие равенства текущей высоты полета ББ ее заданному значению в точке цели:
Я,(/) = Ни, i = 1, 2, ..., п.	(4.1)
435
В качестве условий попадания рассмотрим три величины: относительные координаты ALf и 6Bi точки цели /-го элемента и разность моментов времени прилета /-го и опорного элемента, определенные на момент выполнения финитного условия:
А5,(ЯВ) = AB™,
(4.2)
ДТ,(ЯВ) = ЛГ/" / = 1, 2, .... п.
Итак, с помощью величин ДА, ДВ и ДГ может быть полностью охарактеризован боевой порядок, который образуют любые два элемента боевого оснащения в районе цели. Так, например, боевой порядок "цепочка" задается условиями ДА = ДВ = О, ДТ 4 0. Требуемая величина Д71, определяющая интервал времени между прилетом рассматриваемых элементов в точку цели, будет определяться минимально допустимым расстоянием между соседними элементами в "цепочке" и средней скоростью движения элементов на рассматриваемой высоте.
Для "нзовысотиого" боевого порядка определяющим является условие ДТ = 0, тогда как координаты ДА и Дй могут быть произвольными, но не равными нулю одновременно.
В основу первоначального решения задачи разведения положим предположениеоб импульсном характере управления. Суть импульсного управления состоит в допущении, что разведение ЭБО на траектории их последующего движения осуществляется путем мгновенного сообщения отделяемому элементу требуемого приращения скорости Д Й,, однозначно
определяемого терминальными условиями попадания (4.2).
Кинематический смысл схемы импульсного разведения проиллюстрирован на рис. 4.8, где изображены траектории двух элементов - тра-
Рис. 4.7. Целевая система координат
ектория первого элемента, которая проходит через заданную точку цели Ц и является опорной, и траектория второго элемента,
г7('> начальная скорость которого Ио отличается отначальной скорости первого элемента Йо на приращение скорости Д Йо(”. Очевидно, что величина и направление приращения скорости д Ц*'* полностью
436
определяют пространственно-временные .характеристики последующего относительно движения обоих Цементов и, в частности, интересующие нас параметры ДЛ, ДЯ л Д7’.
Допущение о мгновенности сообщения отделяемому элементу требуемого приращения скорости является на первый взгляд весьма ipvobiM. однако оно практически полностью правомерно по отношению}; ложным целям, так как ввиду малой массы ЛЦ и.х отделение от ступени разведения может быть осуществлено путем отстрела с помощью небольших пороховых зарядов, время срабатывания которых составляет доли секунды. Поэтому при построении боевых порядков ложных целей, отстреливаемых
Рис. 4.8. Схема импульсного отделения
одновременно с отделением при-
крываемого ими боевого блока, схема импульсного разведения дает вполне приемлемую точность решения задачи.
В отличие от ложных пелен приращение скорости боевому блоку сообщается путем разгона всей ступени разведения, что требует значител ьно большего времени, в течение которого изменяется не только скорость, но и положение ступени разведения в пространстве. Следовательно, принимая схему импульсного разведения в данных условиях, мы пренебрегаем изменением координат ступени разведения в процессе формирования боевых порядков элементов боевого оснащения, а также длительностью этого процесса, внося тем самым определенную погрешность в получаемые результаты.
Тем не менее схема импульсного разведения является хорошим первым приближением к более точному решению задачи. В рамках этой схемы при дополнительном допущении об относительной малости требуемых приращений скорости удается получить весьма простые зависимости для их расчета, имеющие наглядный физический и геометрический смысл. При выводе этих зависимостей широко используются понятия градиентных и инвариантных направлений, смысл которых будет раскрыт ниже.
Проведем качественныйанализвопроса построений боевых порядков элементов БО в схеме импульсного разведения. Воспользуемся хорошо известным в баллистике понятием годографа требуемых скоростей,
437
соответствующих одинаковой дальности полета. Для простоту ограничимся схемой плоского движения. Напомним, что годограф требуемых скоростей однозначно определяется двумя точками - точкой начала свободного движения л точкой цели и представляет собой кривую, на которой лежат концы векторов начальной скорости попадающих траекторий.
Проанализируем.каким образом следует выбрать направление приращения скорости, чтобы обеспечить построение боевого порядка ' цепочка1', когда траекто-
рии всех элементов проходят через п „	общую точку цели. На рис. 4.9
нии Соевого порядка "цепочка"	изооражен годо) раф требуемых
скоростей и попадающие траектории трех элементов. Средняя из них выбрана в качестве опорной. Нижняя траектория является более пологой и время движения по ней меньше, чем по опорной траектории, 7’, < Тй.
Верхняя траектория более крутая и Т2 > TQ. Таким образом, все три элемента образуют в районе цели боевой порядок ''цепочка" и приходят в точку цели последовательно с интервалами времени ДТ", = То - Г( и Д7'2 = Г, - Го, определяемыми приращениями скорости Д Йоа) и Д Й0Р). Из
рисунка видно, что при малых приращениях скорости векторы д Йв<0
и Д Йо(:| лежат практически на одной прямой, представляющей собой касательную к годографу требуемых скоростей, проведенную в точке, на которой лежит конец вектора Ко. В данном случае эта касательная задает известное направление баллистической вертикали. Ниже мы воспользуемся этим понятием для более общего случая пространственного движения.
Перейдем к вопросу построения изовысотного боевого порядка. На рис. 4.10 изображены две цели, соответствующие им годографы требуемых скоростей и две попадающие траектории. В данном случае
438
Рис. 4.10. Приращения скорости при nocipoe- Рис. 4.11. Минимальное требуемое приращении изозысапкио боевого порядка	ние скорости
приращение скорости Д Ио(|) должно быть выбрано так. чтобы время движения по обеим попадающим траекториям было одинаковым. Ясно, что траектория второго элемента, проходящая через точку Ц,, должна быть более пологой.
В заключение рассмотрим случай, когда требование синхронности прилета элементов в точки и Ц-> снимается и вместо него ставится условие минимальности требуемого приращения скорости. Нетрудно видеть, что в этом случае приращение скорости должно быть ориентировано по направлению кратчайшего расстояния между годографами Г. и Г-. г.е. по нормали к годографу Гj в точке, где лежит конец вектора Ио (рис. 4.11).
Эю направление ортогонально упомянутому выше направлению баллистической вертикали и лежит в плоскости баллистического горизонта, точное определение которой требует рассмотрения пространственного движения элементов и будет сформулировано ниже.
Итак, мы провели предварительный качественный анализ вопроса построения боевых порядков элементов боевого оснащения в схеме плоского движения. Перейдем к выводу количественных соотношений По определению требуемых приращений скорости в общем случае пространственного движения.
439
4.2.2.	Требуемые приращения скорости в задаче построения боевых порядков
Сформулируем задачу об определении величины и направления требуемого прирашения скорости Д V, отвечающего заданным терминальным условиям Д£, Д Г, Д5. Условимся рассматривать кинематические параметры движения ступени разведения и компоненты вектора скорости д Й, которые обозначим Д Г'х, Д V и Д И.. в абсолютной стартовой системе координат.
Целесообразность выбора именно этой системы координат в качестве исходной объясняется тем, что программы движения ступени разведения, как и самой ракеты-носителя, наиболее удобно задавать в виде программных углов тангажа, рыскания и вращения в платформенной гироскопической системе координат, имеющей ту же ориентацию осей, что и абсолютная стартовая система координат.
Для последующего анализа нам потребуются функциональные зависимости между компонентами вектора приращения скорости ДИХ, Д1\„ ДИ. и соответствующими этим приращениям величинами Д£, ДГ, ДВ: С этой целью рассмотрим сначала более общие зависимости вида:
L'/WJ- T-~f2<Vxev,^ В(4-3)
выражающие дальность, время полета и боковое отклонение ББ как функции начальной скорости при неизменном положении ступени разведения на момент отделения опорного элемента. Приняв очевидное допущение об относительной малости величины приращения скорости ДЙ по сравнению с начальной скоростью ББ, линеаризуем соотношения (4.3):
&В =
2^.д их+-^-Д И, + —Д И . д г аг у а и ‘
Выражения (4.4) связывают компоненты вектора прирашения скорости с соответствующими отклонениям и Д£, Д Т, ДВ через баллистические производные, которые могут быть рассчитаны с достаточно
440
высокой точностью по параметрам опорной траектории. Обратим внимание читателя на то, что относительно как опорной траектории, так и рассматриваемых баллистических производных мы не делаем никаких упрощающих предположений. В частности, при расчете баллистических производных учитывается осевое вращение Земли, наличие атмосферного участка траектории и при необходимости нецентральное™ поля притяжения Земли. Таким образом, погрешности выражений (4.4) определяются только неучстом нелинейных членов разложения в ряд Тейлора. Выражения (4.4) являются исходными для решения сформулированной выше задачи - определения вектора требуемого приращения скорости дй, соответствующего заданным величинам Д£, ДТ, ДВ.
В дальнейшем будем различать два варианта задания величин Д£, ДТ, дВ. В первом варианте задаются все три указанные величины, среди которых одна или две могутбыть нулевыми. Этот вариант соответствует задачам построения боевого порядка "цепочка" (когда принимается ДА = = ДВ - 0) и "изовысотного" боевого порядка (когда ДГ= 0. а средн величин ДА и ДВ хотя бы одна отлична от нуля). Этот же вариант охватывает и более общий случай, когда путем соответствующего задания величин ДА, ДВ и ДТ можно обеспечить построение боевых порядков иных конфигураций. В дальнейшем этот вариант задачи построения БП будем называть трехпараметрическим вариантом задания терминальных условий попадания.
Во втором варианте будем считать, что при заданных отклонениях ДА и ДВ величина ДТзаранее не определена, однако предъявляется требование минимальности модуля приращения скорости ДЙ. Этот вариант, как отмечалось выше, актуален в случае, когда необходимо экономное расходование энергетических ресурсов ступени разведения, чтобы обеспечить разведение ББ по целям, удаленным друг от друга на максимальные расстояния, определяемые запасом топлива ступени разведения, Этот вариант задачи построения БП будем называть двухпараметрическим вариантом задания терминальных условий попадания.
Перейдем к записи соотношений для расчета требуемых приращений скорости
Требуемые приращения скорости в трехпараметрическом варианте задания терминальных условий попадания ЭБО
Итак, полагаем, что заданы отклонения ДА. Д7’, ДВ. Требуется найти величины Д1\. А К и ДГ':, определяющие модуль и ориентацию приращения скорости ДЙ. Алгебраически данная задача является
441
элементарно простой, так как состоит в решении трех уравнений (4.41 с тремя неизвестными. Это решение легко может быть получено любым алгебраическим или численным методом. Тем не менее алгебраическое решение не полностью отвечает целям нашего анализа, поскольку оставляет в стороне геометрическое содержание рассматриваемой задачи Однако именно геометрическая интерпретация позволяет провести более глубокий качественный анализ задачи, приводит к удобным выражениям для расчета требуемого приращения скорости при любых краевых условиях ДЛ, ДТ, ав и в конечном счете упрощает расчет программ управления движением ступени разведения, что особенно важно при большом числе элементов боевого оснащения.
С цепью анализа геометрического содержания исследуемой задачи наряду со скалярными величинами, фигурирующими в уравнениях (4.4), рассмотрим ряд векторных величин. Прежде всего,объединим баллистические производные в следующие 3-мерные вектор-столбцы:
Векторы (4.5) имеют вполне определенный геометрический смысл как градиентные направления соответствующих (нефункциональных поверхностей в пространстве скоростей. Одна из таких поверхностей была рассмотрена выше для случая плоского движения в виде годографа требуемых скоростей. В случае пространственного движения годограф требуемых скоростей описывается более сложной зависимостью видаЬ = = Z (f. У,.v,) (см- формулы (4.3)) и при фиксированном значении L , соответствующем дальности полета по опорной траектории, может быть изображен в 3-мерном пространстве в виде некоторой поверхности. Вектор 1.у представляет собой нормаль к этой поверхности в точке, соответствующей вектору скорости г0, и направлен в сторону возрастания дальности полета. Аналогичным образом существуют изофункцпо* наль.чые поверхности,соответствующиедвум другим зависимостям (4.3).
Векторы Ly, Tt. и By. в общем случае взаимно неортогональны и образуют в 3-мерном пространстве косоугольный базис. НормирУеМ
442
данные векторы и рассмотрим соответствующие им единичные векторы
где через £г, Тги Вгздссь и далее обозначаются модули этих векторов;
+ >
7> = /Т’тл	+X’	(4 7)
Br =
Косоугольную систему координат, образованную единичными векторами X. ё и р, назовем исходной баллистической системой координат (см. рис. 4.12).
С помощью введенных векторов Lv, fr и Ву правые части уравнении (4.4) можно выразить в виде следующих скалярных произведений:
Д£ = £Г-ДЙ, ДТ = ТуДК,	(4.8)
Л В = 5Г'ДЙ.
Полученнысвыраження позволяют провести следующий несложный анализ влияния ориентации приращения скорости ДЙ на отклонения ДД. Д'Г и ДВ. Прежде всею,очевидно, что если ориентировать вектор ДЙ по нормали к одному из введенных выше градиентных направлений, то отклонение соответствующего параметра будет равным нулю. Такое направление называется инвариантным по отношению к данному
Рис. 4.12. Исходная баллистическая система координат
443
параметру. Напротив, отклонение некоторого параметра окажется максимальным, если вектор ДЙ направить вдоль соответствующего градиентного направления. Данное обстоятельство позволяет ответить на вопрос о том, какой является "цена" единичного приращения скорости с точки зрения возможности получения максимального отклонения параметров.
Так, в случае параллельности векторов ДЙ и Lv имеем:
Д£““ = £/ДЙ = LybV,
где для определенности будем считать ЛР’= 1 м/с. Аналогичным образом получаем
ДТ““ = Ту-1 м/с, ДБ““ = 5г-1м/с.
Нетрудно решить обратную задачу, определив минимально необходимую величину приращения скорости, требуемого для обеспечения заданных отклонений AL, ДТи Д5:
д ргТшл в ДТ д prtoin ____ ДТ д min _ ДВ
Ь т * Г *т» ’ В D ' Lt у	L у	Dy
Ниже в качестве примера приведены значения баллистических производных, рассчитанные для условий стрельбы на дальность 10 тыс. км и заимствованные из [5]:
= 5800 с, Ту* = 2с2/и,	= 40 с,
Lr = 2400с, Ту = 0,5с2/м, Ву = 100с,	(4.9)
LVt = 200с, Ту, = 0,1 с2/м, By' = 1200с.
Модули векторов Lv, Ту и By в данном случае равны:
Ly = 6280с, Ту = 2,06 с2/м, By = 1204с.
Отсюда видно, что с помощью приращения скорости Д Р' = 1 м/с могут быть обеспечены следующие максимальные значения отклонений:
Д£““ = 6280 м, ДТ““ = 2,06 с, ДЛт" = 1204 м.
444
Во избежание недоразумений еще раз обратим внимание читателя на 0 что здесь речь идет о максимально возможных отклонениях, которые мог\тбыть обеспечены лишь порознь при указанных выше специальных ориентациях единичного вектора ДЙ.
Перейдем к записи общих выражений, позволяющих определить величину п ориентацию вектора ДИ при произвольных терминальных условиях ДЬ, ДГи ДВ. Обратимся к системе уравнений (4.4) и запишем ее в матричном виде:
ДЬ
ДГ
ДВ
= ЛГ
Д7,
(4.Ю)
где элементами матрицы Л/ являются соответствующие баллистические производные. Если будет найдена обратная матрица АГ1, то решение системы уравнений (4.10) записывается известным образом:
4^'		дь	
ди,	= ЛГ"1	дт	(4.11)
		дв	
Найдем выражения для элементов матрицы ЛГ1. Поскольку сейчас пас интересует не матричная, а векторная форма записи искомого решения для ДЙ, представим матрицу ЛГ в блочном виде как совокупность вектор-строк:
М =
В данном случае строки матрицы Л/ выражены через столбцы (4.5) с помощью операции транспонирования (данная операция обозначена значком ”т"). Искомую обратную матрицу также представим в блочном В1|Де как совокупность неизвестных пока вектор-столбцов: ЛГ4 = [в sbiс].
445
По определению обратной матрицы искомые векторы должны удовлетворять следующим равенствам, где использована векторная форма записи скалярных произведений:
Lr~a =	I,	Ту-а	=	0,	Ву-а	=	О,
Ly-b =	0,	fy’b	=	1,	Byb	=	0,
Ly'C =	0,	Тус	=	0,	Ву'С	-	I.
Нетрудно видеть, что этим равенством удовлетворяют векторы а, ъ, с, определяемые следующими векторными произведениями:
д - —(Тух By), b = —(S;zxLp), с = — (Ly'x Ту).	(4.12)
/С|	Ку	*
где fc|, к2 я A'j - нормировочные коэффициенты. В частности, коэффициент /q определяется из условия Lya = 1, что дает после умножения а слева
на
Ly’a = Ly--^-(fyxBy) и = LyifyxBy).
*1
Из последнего выражения видно, что к^ есть смешанное произведение векторов Ly, Ту и Ву и поэтому равен определителю матрицы М. Легко видеть, что коэффициенты к2 и А3 также равны определителю матрицы М. Изложенное позволяет записать следующее векторное выражение для требуемого прирашения скорости ДЙ, соответствующего заданным краевым условиям AL, ДТи ДБ:
Д»7 = ЛИЛ-* ^г)л£ + (ЯРх £И)ДТ+ (Lyx Ту)ДВ]. (4.13) |М|
Приведем также иную, более компактную форму записи выражения (4.13). введя единичные векторы 5,7 и р, определяемые выражениями:
_	ТуХ В у _ ByXiry —	Lry X Ту	.
а = -|-> _ j, V =	Р =	4-	(4-14)
|BrxLr| |Lkx 7*r|
446
Можно проверить, что с учетом единичных векторов (4.6) и (4.14) формула (4.13) принимает следующий вид:
.J) &L — ДУ — Д5 п Д Г = —-----а +	—-v + — ------р,
(A-S)LK ^Ту (р.р)Вг	(
При записи данном формулы мы учли, что определитель матрицы М, представляющий собой смешанное произведение векторов L,,, Ту и Bv, может быть представлен как скалярное произведение векторов L,, и Г(,х£,„т.е.
|М| = Lr (frx BJ ~ Ly |f(, х
Аналогичным образом справедливы следующие равенства
]Л/] “ Ту*{ВуХ LP.) = Ту -L-pjwj
|W| = Br (Lrx fj = By r(Jp-p.
Векторы a,b и с трехмерного пространства, определенные выражениями (4.12), образуют по отношению к векторам Lr. f,.. Bt, так называемый двойственный базис (понятие двойственного базиса см. в {6]). Поэтому
систему координат , оси которой ориентированы вдоль единичных векторов йл J. назовем двойственной баллистической системой киороинат (рис. 4.13).
Проанализируем с помощью этой системы координат и формулы (4.15) различные варианты построения боевых порядков.
Вариант 1. Построение боевого порядка "цепочка". Для определенности предположим, что речь идет о боевом порядке,образован-
Рис. 4.13, Двойсгвслизя баллисычсская сиггеча координат
447
ном одним боевым блоком и несколькими ложными цепями. Данный боевой порядок характеризуется условиями Д£,- = LBt - 0 (т.е. условиями прохождения пролонгированных траекторий ложных цепей через точку прицеливания боевого блока). Из формулы (4.15) видно, что приращения скорости ДЙ(, i = 1, 2.н, сообщаемые ложным целям, должны быть
ориентированы по направлению вектора v.
Направление, задаваемое вектором v, называется баллистической вертикалью (другие названия - баллистическая нейтраль, останавливающее направление). В соответствии с формулой (4.14) баллистическая вертикаль перпендикулярна плоскости, содержащей векторы и ву. Данная плоскость называется плоскостью баллистического горизонта.
Для того чтобы взаимные расстояния между элементами боевого порядка "цепочка" были одинаковыми, приращения скорости ДЙ, должны быть кратными некоторому минимальному приращению ДЙ“”, соответствующему интервалу времени Д Тприбытия последовательных элементов БП в точку прицеливания (ДЙ( = МЙ“, i = 1,2,...,н). Если при этом желательно, чтобы боевой блок находился на первом месте в боевом порядке и приходил в точку прицеливания первым, интервалы времени должны быть положительными и приращения скорости, сообщаемые ложным целям, должны быть ориентированы в положительном направлении вектора v (при условии, что скалярное произведение (?-v) положительно). Если боевой блок должен замыкать боевой порядок, то интервалы времени берутся отрицательными и направления приращений скорости меняются на противоположные.
При построении нескольких ББ в боевом порядок "цепочка" принцип формирования приращений скорости по величине и по направлению остается тем же самым.
Вариант 2. Построение нескольких боевых блоков в изовысотный боевой порядок. Данный боевой порядок характеризуется условием Д7}= = 0 (условием одновременности прилета ББ к целям) и величинами Д£,. ДВ,-, определяющими координаты Лй цели в системе координат, связанной с опорной целью.
Из условия ДТ) = 0 видно, что приращения скорости, сообщаемые боевым блокам, ортогональны градиентному направлению т и лежат в плоскости векторов а и р. Данный вывод вытекает и из формулы (4.15). В частном случае при Д£ = 0 приращение скорости должно быть ориентировано по направлению вектора р, а при ДВ = 0 - по направлению вектора а.
448
Требуемые приращения скорости в двухпараметрическом варианте задания Терминальных условий попадания ЭБО.
Напомним, что данный вариантзадачи формирования боевых поряд-ков отличается от предыдущего тем, что задаются величины Д£, ДВ и предъявляется дополнительное требование минимальности искомого приращения скорости. В данном случае мы имеем задачу на условный экстремум, где искомое решение должно удовлетворять требованию минимальности модуля скорости,т.е. величины ДИ = ^ДИгг +ДИуг* ди/, при двух условиях связи, наложенных на компоненты вектора ДЙ терминальными условиями Д£, ДЛ:
Д£ =
>
(4.16)
&в =	дг
dVr х дК, у д?г •
Другими словами, здесь речь идет об определении такого решения двух уравнений (4.16) с тремя неизвестными, евклидова норма которого минимальна. Подобные задачи хорошо известны в линейной алгебре и их решение получается с помощью псевдообратной матрицы (см. {11]). Для записи искомого решения обозначим через Лг матрицу коэффициентов системы уравнений (4.16):
L у Lv L.. ’>
BV;
(4.17)
В рассматриваемом случае матрицей, псевдообратной по отношению к матрице N, является матрица У4 = jVt(jVjVt)_|.
Таким образом, компоненты искомого вектора требуемого приращения скорости определяются следующим матричным выражением:
N'tNNy'
ди.
IXL
ЬВ
(4.18)
Полезно сопоставитьэтотрезультатсвыражением (4.11),представля
449
ющим собой алгебраическое решение задачи по определению приращения скорости в ее предыдущем варианте.
Далее нас будет интересовать также векторная форма записи решения рассматриваемой задачи, аналогичная выражениям (4.13) и (4.15). Проще всего эту форму записи получить с помощью выражения (4.13). С этой целью учтем, что геометрически требование минимальности модуля вектора скорости означает, что этот вектор должен лежать в плоскости баллистического горизонта и, следовательно, должен быть ортогонален баллистической вертикали. Добавим данное условие ортогональности к уравнениям (4.16) и получим тем самым систему трех алгебраических уравнений с тремя неизвестными, которую по аналогии с (4.8) запишем в следующем виде:
AL = L/ДЙ,
О = v-AK,	(4.19)
ДВ = 5/ДЙ.
Сопоставление систем уравнений (4.8) и (4.19) показывает, что решение рассматриваемой нами задачи может быть получено с помощью формулы (4.13), где вектор следует заменить на вектор v, а второе слагаемое, содержащее множитель АГ, опустить. В итоге получаем следующую формулу, представляющую собой векторный аналог матричного выражения (4.18):
Д V = _ 1 _ .[(vxBr)AL-h(Lrx v)ABJ.	2Q)
|Brx Lr|
При записи этой формулы было учтено, что определитель матрицы системы алгебраических уравнений (4.19) может быть выражен как скалярное произведение векторов и v,T.e. равен |вгх£г|.
Формулу (4.20) можно записать в ином виде, если заменить векторы Lf, и Вг соответствующими им единичными векторами Лир:
ДЙ = р-^[(ухй)ВгД£ + (Лху)£гДВ]. к Z. р|
(4.21)
Если, наконец, ввести единичные векторы X' = v х р, fi' = X х v и учесть равенства
450
|fir X Lr| = BrLr|p x I| = BrLrsini|r = ByLy\l\ -cos2i|r = ByLy^\ - (A-p)2,
где ф - угол между векторами Л и р, то формула (4.21) приобретает следующий вид:
(4.22)
Геометрический смысл единичных векторов Л' и р' проиллюстрирован на рис. 4.14. Эти векторы лежат в плоскости баллистического горизонта, причем вектор А' ортогонален вектору р, а вектор р'
ортогонален вектору А.
Систему координат, оси которой ориентированы по единичным векторам A', v и р', назовем основной баллистической системой
координат.
Именно эта система координат используется при построении боевых порядков ББ и ЛЦ, когда каждый ББ направляется на индивидуальную цель с координатами ДД(- и ДБ. Как видно из формулы (4.22), приращения скорости, сообщаемые боевым блокам, лежат в плоскости баллистического горизонта. В тех случаях, когда при отделении очередного боевого блока необходимо обеспечить нулевое боковое отклонение ДВ = О, требуемое приращение скорости следует направить параллельно вектору
Л'. Аналогичным образом, при необходимости обеспечить заданное боковое отклонение при нулевой величине ДД = О требуемое приращение скорости следует направить параллельно вектору р'. Отстрел совокупности ложных целей, предназначенных для прикрытия отделяемого ББ, производится по направлению баллистической вертикали в момент окончания набора ступенью разведения соответствующего
Рис. 4.14. Основная баллистическая система
координат
приращения скорости.
15*
451
При всей внешней простоте выражения (4.22) этой формуле свойственны определенные неудобства при ее реализации в алгоритмах управления движением ступени разведения, связанные с необходимостью предварительного расчета векторов А' и р' с помошью операции двойного векторного умножения исходных векторов X и р.так как
А' = (р х А) х р —!—, р' = А х (р х А) —!—. sinijr	sirup
Очевидно, что эти неудобства являются следствием взаимной неортогональности исходных градиентных направлений Lr и Вг. Действительно, если бы эти направления были взаимно ортогональны, то вектор А' совпал бы с вектором А, а вектор ц' - с вектором р. В этом случае формула (4.22) приобрела бы наиболее простой вид:
ДЬт ДВ-
VV (4И)
Ниже показывается, что существует способ ортогонализации градиентных направлений Lv и Bt.. Этот способ использует го обстоятельство, что ортогональные преобразования осей L и В целевой системы координат изменяют взаимную ориентацию векторов Lv и Вг, поэтому соответствующим выбором угла поворота осей L и В можно обеспечить ортогональность векторов L(. и Bv.
4.2.3.	Ортогонализация градиентных направлений и осей основной баллистической системы координат
Итак, предположим, что оси L н В целевой системы координат подвергнуты ортогональному преобразованию с углом а, как это показано на рис. 4.15.
При таком преобразовании новые координаты точки Ц|. которые мы обозначим Д1' и АВ', связаны со старыми координатами AL и АВ известными линейными зависимостями:
AL' = AL cosa - ABsina,
(4.24)
АВ! = ALsina +ДДсоза.
452
Очевидно, что изменение ориентации осей целевой системы координат приведет к изменению соответствующих баллистических производных, т.е. к изменению векторов градиентных направлении. Измененные векторы градиентных направлений обозначим L.'. и в/.. Проверим, что "новые'1 и "старые11 градиентные направления связаны формулами преобразований, аналогичными (4.24):
Рис. 4.15. Преобразование осей целевой
системы координат
L.. = L,,cos а - В,,sin.а, г	г	(4.25)
By = Lesina + Bycosct.
Для этой проверки достаточно привести следующую цепочку равенств, учтя равенства (4.24):
Г' дк' SAL' ад£ д&В . г В • к.. - —— = —— = —— cos а------------sin а = Lrcosa -Brsina.
д V д V dV dV
Второе равенство (4.25) проверяется аналогично.
Воспользовавшись теперь выражениями(4.25)1 найдем такое значение угла а, при котором векторы Lfl и By будут ортогональны. С этой целью приравняем нулю скалярное произведение этих векторов:
к у ‘Bv = к у sin a cos а - В у sin q cos a + (LrВ и) (cos2 a - sin2 a) = 0.
Переходя здесь к тригонометрическим функциям удвоенного угла и разрешая получаемое уравнение относительно а, находим:
В качестве примера, иллюстрирующего изложенный прием ортогонализации градиентных направлений и Bf„ рассмотрим баллистические
453
производные (4.9). Нетрудно убедиться, что в данном случае векторы Ly и Bv неортогональны и угол между ними ф = 84,6е. Требуемый угол поворота осей целевой системы координат, вычисленный по формуле (4.26), равен а = -1,07е. В новой системе координат баллистические производные, пересчитанные с помощью выражений (4.25), принимают следующие значения:
= 5799 с, Lr' = 2401 с, = 222с,
By* = -69 с, By = 55 с, Вуг - 1196с.
Таким образом, найденные градиентные направления ортогональны и поэтому расчет требуемых приращений скоростей при разведении боевых блоков может осуществляться по формуле (4.23), где заданные координаты целей должны быть предварительно пересчитаны с помощью выражений (4.24) в новую целевую систему координат.
4.2.4.	Учет переменности баллистических производных и ориентации осей баллистических систем координат при построении боевых порядков
В описанной выше схеме импульсного разведения элементов боевого оснащения баллистические производные полагались постоянными. Эта схема, как отмечалось, дает удовлетворительную точность решения задачи разведения при малом времени, затрачиваемом на сообщение отделяемому элементу требуемого приращения скорости, в частности, при отделении ложных целей. Однако при разведении боевых блоков необходимые приращения скорости набираются путем разгона всей ступени разведения, вследствие чего изменяются координаты и время отделения очередного ББ. По этой причине изменяются также баллистические производные и ориентация осей баллистических систем координат.
Рассмотрим вывод соотношений, с помощью которых может производиться оперативный пересчет баллистических производных и направлений осей баллистических систем координат, соответствующих положению и скорости ступени разведения на момент отделения очередного ББ. Зависимости баллистических производных от текущих параметров движения ступени разведения, которые далее обозначаются вектором q, выразим следующим образом:
454
Lq = L?[?(r),r], Tq = f?[?(r),r], Bq = Bqlq®,t\. (4.27)
Заметим, что здесь мы рассматриваем полную совокупность баллистических производных, включающую как скоростные, так и координатные производные.
Изменение вектора параметров состояния q(f) ступени разведения в процессе ее движения описывается следующей системой дифференциальных уравнений в абсолютной стартовой системе координат:
Л = Vx, Vx = gx*#x,
У=Уу, Vy=gy+#y,	(4.28)
vz, vz = gz + *z.
Запишем уравнения (4.28) в векторной форме:
9 = /(?>“)>	(4-29)
где q = {г, Й} - вектор параметров состояния; й = W - вектор управления (кажущееся ускорение СР). Вектор-функцию правых частей уравнения (4.29) представим в виде двух слагаемых:
7(?,й) =Л©+Л(й),	(4.30)
где/с(7)= И” Vi'8x>gr>S$ зависит только от параметров состояния и не зависит от силы тяги; Д (й) = [О, О, О, &х, &, ^2]т зависит только от силы тяги.
Приступим к записи дифференциальных уравнений для баллистических производных, образующих вектор Lq (для Т и Bq все последующие выкладки и результаты идентичны). Продифференцировав Lq по времени, получаем
dLq dL dq dt

dL r—	— 1 dL
= -т/Л(9)+Л(й)
dq 1	J dt
(4.31)
где —± - матрица баллистических производных второго порядка. а9
455
Заметим, что здесь и далее мы придерживаемся правил записи результатов дифференцирования по векторному аргументу, в соответствии с которыми результат дифференцирования скаляра по вектору-столбцу записывается в виде вектора-строки, а при повторном дифференцировании (вектора по вектору) вектор-строка транспонируется в вектор-столбец (см. [10]). При этом подразумевается, что - векторы-столбцы.
В соответствии со сказанным справедливы следующие выражения:
Si) т _ BL аЛ, _ д гт _ d2L
dq) dqT' dq dq 1 dqdqT’
Продолжим вывод интересующих нас соотношений. Найдем
этого запишем выражение для полной производной по времени от текущей дальности:
L =	= £’[/($) +Л(Й)] + ^.	П-33)
’ at 1	4 at
На траектории пассивного полета Д(й) = 0 и производная от дальности равна:
(4.34)
Поскольку в этом случае дальность является первым интегралом уравнений движения, то L = 0 и из (4.34) получаем

(4.33)
Продифференцируем обе части равенства (4.35) по q с учетом правила векторного дифференцирования "столбец по столбцу":
456
Э (	_ £Т^/е 7т 97^
dq\ dt)	1 dq . с dq
(4.36)
Изменяя слева в (4.36) порядок дифференцирования по q и t, транспортируя обе части этого выражения и учитывая при этом симметричность матрицы баллистических производных второго порядка, получаем:
sl,	aZV- 9L„ -
__4 _ _ J с I т_q_ ,f
dt	dq ) 1 dq c
(4.37)
Исключим теперь частную производную —ч- с помощью выражения dt
(4.37) из (4.31). В итоге получаем следующее дифференциальное уравнение для вектора баллистических производных L
(4'38)
4 dq) 4 dq
„	9Л
С учетом приведенного выше выражения для /с(7) матрицы и dq
имеют следующий вид (для сокращения записи представлены в
k dq) блочном виде):
ЭЛ 9 <7
(4.39)
где -г- - симметрическая матрица градиентов гравитационного поля,
аг
Перепишем уравнение (4.38) с учетом (4.39) в скалярной форме, выделив интересующие нас дифференциальные уравнения для скоростных производных:
457
L = -L + -rfz
’ эк2
&L ,nz -t- d2L -riz dVxdVy y dVxdVz z’
Lv, ~ Ly +
d2L • + — • FT + -	• Wz,
dVydVx x dV2 y 9VydVz z
j **	' У	j ~
(4.40)


--W 4-  ^.-»FK 4-
SVzdVx y dVz5Vy y dVf -
Дифференциальные уравнения (4.40) можно проинтегрировать аналитически, приняв допущение о постоянстве координатных баллистических производных Lx, Ly, Lz и скоростных баллистических производных второго порядка на интервале времени управляемого движения ступени разведения. В результате получаем конечные соотношения, описывающие изменение скоростных баллистических производных первого порядка:
Э2£
Ly (t)=Ly (0 - Lx(t - 0 + и; + ЭК*
д*ь	—ди;
dvxdvy у svxdvz
air
Lry(f) = Ly (t^ -Ly(t-t^ +	Wx 4-
z 7	c r ua Vr
У *
+	—&.wz
dVy У dVy5Vz z
(4.41)
- Lz(f - 0 ♦ ^fpr-Д Wx 4-
	--Д Wy 4- —-Д w,
SVzdVy y dV2 z
где Д ДИ^, ДИ^ - компоненты вектора кажущейся скорости ступени разведения, набранной на интервале времени t - t0. Заметим, что все баллистические производные первого и второго порядка в правой части
458
выражений (4.41) вычислены на момент t0 начала процесса разведения.
Выражения для баллистических производных Ту и Ву получаются из (4.41) простой заменой соответствующих обозначений.
Таким образом, с помощью приведенных соотношений может осуществляться пересчет баллистических производных и коррекция ориентации осей баллистических систем координат в процессе разведения, что позволяет существенно повысить точность решения задачи разведения по сравнению с импульсной схемой.
Глава 43
АЛГОРИТМЫ УПРАВЛЕНИЯ ПОЛЕТОМ СТУПЕНИ РАЗВЕДЕНИЯ ПРИ ПОСТРОЕНИИ БОЕВЫХ ПОРЯДКОВ
4.3.1.	Общая характеристика управляемого движения ступени разведения
Как было сказано ранее в гл. 4.1, основная целевая задача управления полетом ступени разведения заключается в выведении боевых блоков и элементов КСП ПРО на требуемые траектории их полета, определяемые условиями попадания ББ в назначенные точки цели и условиями формирования заданных конфигураций боевых порядков элементов боевого оснащения. Для формализации этой обшей целевой задачи и выделения частных задач управления целесообразно проанализировать особенности управляемого движения СР, определить обший характер маневров, совершаемых СР в ходе построения боевых порядков, а также вскрыть основные характерные особенности, присущие СР как объекту управления.
Типовые маневры СР при построении боевых порядков
Типовые маневры ступени разведения удобно проанализировать на конкретном примере построения боевого порядка ББ и ЛЦ. Предположим для определенности, что боевое оснащение некоторой ракеты состоит из трех боевых блоков и нескольких ЛЦ. а ДУ ступени разведения реализует "тянущую" схему отделения ББ. При этом отделение ББ происходит в направлении продольной оси ступени разведения, а отстрел ложных целей - в про-
ння
тивоположном направлении (рис. 4.16). Предположим также, что отстрел ЛЦ осуществляется с помощью тарированных пороховых зарядов, величины которых выбраны таким образом, чтобы сообщить <-й ЛЦ приращение скорости ДЙ(, величина которого определена из условия обеспечения заданного расстояния между соседними элементами боевого порядка типа" цеп очка". При мем,
460
что разведение ББ производится подзум целям, лежащим в плоскости пуска БР, причем на первую цель направляются два блока без ЛЦ, а на вторую цель - один блок с ЛЦ.
Ориентация ступени разведения на момент начала разведения показана на рис. 4.16. Здесь же показаны вектор Йо начальной скорости СР. соответствующей попадающей траектории, проходящей через первую цель, вектор градиентного направления дальности Lr, вектор v, определяющий направление баллистической вертикали. Поскольку направление вектора начальной скорости ступени разведения близко, как правило, к оптимальному направлению при стрельбе на заданную дальность, то направления векторов и совпадают.
Для построения заданного боевого порядка и высокоточного выведения ББ на попадающие траектории ступень разведения должна выполнить следующие маневры:
•	разворот вокруг поперечной оси Zj на угол -90°, в результате которого ступень разведения будет сориснирована своей продольной осью вдоль баллистической вертикали (v-направления);
•	отделение первого ББ;
•	поступательное движение в v-направленин под действием тяги двигательной установки до набора i фирашения скорости, определяемого заданным интервалом времени между моментами прихода первого и второго ББ в общую точку цели;
•	отделение второго ББ;
•	обратный разворот на +90°, в результате которого ступень разведения ориентируется продольной осью в плоскости баллистического горизонта;
•	поступательное движение в плоскости баллистического горизонта до набора приращения скорости, требуемого для выведения третьего ББ на попадающую траекторию;
•	разворот на 90° (со знаком или в зависимости от желаемого положения третьего ББ среди ложных целей в боевом порядке "цепочка";
•	отстрел части ЛЦ в v-направлении и отделение третьего ББ;
•	обратный разворот на 180° и отстрел оставшейся части ЛЦ для окончательного формирования боевого порядка.
Приведенная схема маневрирования в данных условиях разведения не единственно возможна. Например, отделение ББ может происходить при поступательном движении ступени разведения не в v-направлении, а в плоскости баллистического горизонта. Тогда в рассмотренном нами случае маневры СР начинаются с отделения первого ББ в исходной
461
ориентации СР, а затем следует угловой разворот в 7-направление и последующие маневры по описанной схеме.
К маневрированию ступени разведения при построении боевых порядков может предъявляться дополнительное требование, связанное с необходимостью обеспечения заданной угловой ориентации боевых блоков на момент отделения от СР. В частности, для уменьшения атмосферного рассеивания ББ при движении его в атмосфере целесообразно стабилизировать продольную ось ББ по направлению вектора скорости Й„ при входе его в атмосферу, для чего сразу после отделения осуществляется продольная закрутка ББ с некоторой угловой скоростью ([12], с. 203). С этой целью в момент отделения ББ ступень разведения должна быть ориентирована продольной осью по направлению вектора Йи (рис. 4.17).
Рассмотренные варианты маневрирования ступени разведения показывают, что ее движение складывается из двух основных типов движений - поступательного движения с набором скорости и угловых разворотов. Поступательное движение может происходить вдоль 7-направления, в плоскости баллистического горизонта, а также, как это отмечалось в п. 3.2.2, в плоскости векторов аир двойственной баллистической системы координат при построении изовысотного боевого порядка. Среди названных типов движений некоторые маневры получили специальные названия: "боевой разворот", "прямой разворот", маневр "змейка".
Маневр "боевой разворот" представляет собой вращательное движение ступени разведения, в ходе которого ее продольная ось переводится из плоскости баллистического горизонта в 7-направление.
Маневр "прямой разворот" представляет собой вращательное
Рис. 4.17. Положение ступени разведения при отделении ББ с продольной закруткой
движение ступени разведения в обратном направлении.
Маневр "змейка" представляет собой участок вращательно-поступательного движения ступени разведения при построении нескольких ББ в боевой порядок "цепочка" при дополнительном требовании ориентации продольных осей всех ББ в направлении вектора Йи. В этом случае в начале
462
маневра ступень разведения занимает положение, показанное на рис. 4.17, после чего осуществляется угловой разворот СР в v-направление, последующее движение в v-направлении с набором приращения скорости, величина которого определяется требуемым интервалом времени прихода соседних ББ в точку цели, и завершающий разворот в исходное положение. Таким образом, построение нескольких ББ в боевой порядок "цепочка" при соблюдении требования обеспечения заданной угловой ориентации продольной оси каждого ББ по направлению вектора скорости осуществляется путем выполнения ряда последовательных маневров типа "змейка".
Особенности ступени разведения как объекта управления
Назовем несколько характерных особенностей ступени разведения, которые играют существенную роль при постановке и решении задач управления ее поступательным и вращательным движением.
1.	Прежде всего следует отметить, что полет СР происходит на участке траектории после отделения от ракеты-носителя на большой высоте, где сопротивление атмосферы пренебрежимо мало. Это обстоятельство упрощает математические модели поступательного и вращательного движения СР за счет исключения аэродинамических сил и моментов.
2.	В отличие от ракеты-носителя, которая вследствие большого удлинения представляет собой деформируемое тело, подверженное изгибным колебаниям, ступень, разведения может рассматриваться как жесткое недеформируемое тело. В этом отношении СР является более простым динамическим объектом. Однако вследствие того, что диапазон угловых разворотов ступени разведения весьма велик и достигает 180°, динамические и кинематические уравнения вращательного движения не могут быть в общем случае упрощены путем их линеаризации. Поэтому в большинстве случаев задачи управления должны ставиться и решаться в рамках полных нелинейных уравнений вращательного движения. Соответственно, ступень разведения должна рассматриваться как сложный многосвязный нелинейный динамический объекте переменной массой и переменными моментами инерции, описываемый системой нелинейных дифференциальных уравнений 6-го порядка. Изменение массы и моментов инерции СР происходит как плавно и непрерывно на участках работы двигательной установки, так и скачкообразно при отделении боевых блоков и других элементов боевого оснащения.
3.	Существенное влияние на характеристики СР как объекта управления оказывает схема создания управляющих моментов, которая,
463
как сказано в п. 4.1.3, может быть смешанной или моментной. Моментная схема позволяет полностью "развязать” вращательное и поступательное движение на участках угловых разворотов, что упрощает задачи управления. Смешанная схема (например, схема создания управляющих моментов поворотными соплами ДУ) приводит к появлению в процессе углового движения СР дополнительных сил, вызывающих соответствующее поступательное движение СР в боковой или в поперечной плоскости. Это движение иногда характеризуется как боковой "занос" ступени разведения в процессе угловых разворотов. Данное обстоятельство усложняет задачи управления. Ниже в п. 4.3.4 рассматривается пример построения алгоритмов управления вращательно-поступательным движением ступени разведения в смешанной схеме создания управляющих моментов.
4.	Другими факторами, влияющими на решение задач управления движением СР, являются наличие или отсутствие узла отсечки тяги ДУ, возможность регулирования тяги ДУ или ее ступенчатого изменения, варианты сочетания "толкающей" и "тянущей” схемы разведения ББ и др. Учет этих факторов осуществляется в рамках детального проектирования алгоритмов управления ступенью разведения.
Общие принципы управления полетом СР и требования к алгоритмам управления
Принципы управления полетом ступени разведения и структура системы управления соответствуют в целом тем положениям, которые были изложены в предыдущих разделах учебника применительно к ракетам. Назовем важнейшие из них.
1.	Пришит разделения общей задачи управления движением на задачи наведения и стабилизации, в соответствии с которым осуществляется предварительное или текущее программирование движения объекта управления с последующей отработкой найденных программ управления в контуре системы угловой стабилизации. При этом задаче программирования движения ступени разведения присущи важные особенности, суть которых состоит в следующем.
Программа управления движением ступени разведения формируется, как правило, предварительно, исходя из заданной совокупности целей и заданных конфигураций боевых порядков элементов боевого оснащения, назначенных для данной ракеты. Основным требованием, предъявляемым к программе управления разведением, является ее реализуемость по энергетике.т.е. по критерию достаточности имеющего-
464
я запаса топлива ступени разведения для выполнения данной програм-1Ы. Определение программы управления разведением (или, коротко, :рограммы разведения) осуществляется в рамках соответствующей птимизационной задачи. Особенность этой задачи заключается в том, iTO она принадлежит к классу задач дискретного программирования и ребует специальных методов решения. Постановка данной задачи и характеристика методов ее решения даются далее в п. 4.3.5.
2.	Применение принципов разомкнутого и замкнутого управления, в .оответствии с которыми управление движением ступени разведения на фо.межуточных этапах полета может осуществляться по разомкнутым зрограммам управления, а на финишных участках (в частности, на этапе отделения боевых блоков при их высокоточном выведении на попадающие траектории) - по замкнутым программам управления. Наряду с этим управление типовыми маневрами СР также может осуществляться по замкнутым программам.
3.	Построение навигационно-измерительной системы ступени разведения по принципу инерциальной навигации на основе применения инерциально-измерительного блока платформенного типа. На современных ракетах инерциально-измерительный блок, как и остальные основные элементы системы управления, являются едиными для ракеты и ступени разведения. Это предъявляет дополнительные требования к гнростабилизированной платформе по диапазону допустимых углов прокачки, так как диапазон изменения углов ориентации ступени разведения весьма велик. В тех случаях, когда построение ступени разведения осуществляется по модульному принципу, каждый отделяемый ББ должен оснащаться индивидуальной системой управления. В этих условиях целесообразнопостроение инерциально-измерительного блока каждого ББ в бесплатформенном варианте.
Другие принципы управления и построения алгоритмов решения конкретных задач управления носят более частный характер и отражены в последующих пунктах данной главы.
В заключение остановимся кратко на общих требованиях, предъявляемых калгоритмам управления разведением. Основными из них являются требование обеспечения высокой точности выведения боевых блоков на попадающие траектории и требование оптимальности применяемых методов и алгоритмов управления. Последнее требование вытекает из необходимости обеспечения реализуемости программ управления разведением по энергетическому критерию, о чем было сказано выше. Ввиду того что на отдельных участках движения (например, на участках
465
угловых разворотов при моментальной схеме создания управляющих воздействий) энергетический критерий и критерий быстродействия эквивалентны, управление вращательным движением ступени разведения может синтезироваться по критерию быстродействия.
4.3.2. Алгоритм управления переориентацией ступени
разведения, оптимальный по быстродействию
Из предыдущего материала видно, что одной из задач, решаемых системой управления ступени разведения при построении боевого порядка, является разворот вектора тяги в пространстве, что достигается угловым разворотом ступени разведения.
Сформулируем задачу оптимального управления переориентацией ступени разведения, реализующей управление угловым движением по моментной схеме.
Заданы:
•	математическая модель углового движения ступени разведения, которое описывается известными динамическими и кинематическими уравнениями Эйлера [(1.55), (П3.2)]:
4l“xl ~ (/yl " hl^yl^zt + ^4x1 >
4^1 = «z> ~ 4|)<*>zl<1>xl +
41<4| = (4. ”	%>! + ^4zl’
Y = wxi - tgfr(<^,c0SY - <x>z|siny);
(4.42) Ь - <i> ,sinY + wzlcosy;
Ф = —1—(«.cosy - «zl siny), cosft y
где= A/ynpj. + Mbi,i=xl,yl,zl - сумма управляющего и возмущающего моментов;
•	некоторое начальное состояние: у(г0) = у0; б(г0) = 60; ф(/0) = ф0; 5(/0) = 0;
466
•	требуемое (конечное) состояние: у(/к) = ук; б(/к) = бк; ф(/к) = фк; ы(/к) = 0;
•	ограничения на управление: Л7упр/ Мт, которые определяются ограничениями на угол отклонения и угловую скорость управляющих органов СР |б| s бтах, |61 s 6^.
Требуется: найти управляющий момент 2Й [6/0], обеспечивающий переориентацию СР оптимальный по критерию максимального быстро-
действия Т* = minpft.
й_'
Введенное в постановку задачи ограничение на скорость разворота рулевых органов СР связано с тем, что углы их разворота велики, в связи с чем необходим учет их динамики.
Имея в виду особенности ступени разведения как объекта управления, связанные с неоднократным отделением боевых блоков и возможным существенным разбросом тяговых характеристик ее ДУ, сформулированная задача представляет собой задачу оптимизации пространственных разворотов несимметричного твердого тела с переменными массовоинерционными характеристиками в условиях действия возмущений и относится к классу задач терминального управления на максимум быстродействия существенно нелинейным, многосвязным объектом высокого порядка. Очевидная сложность данной задачи, затрудняющая получение решения в исходной постановке, приводит к необходимости применения методов еерешения, позволяющих получить квазиоптималь-ные алгоритмы пространственных разворотов ступени разведения.
Один из наиболее часто применяемых методов решения подобных задач, в частности приуправлении космическими аппаратами, основывается на известной из механики теории конечных поворотов, по которой любой пространственный разворот тела эквивалентен плоскому повороту относительно некоторой неподвижной оси - оси Эйлера.
Рассмотрим применение указанного подхода к сформулированной выше задаче [9].
Для этого запишем первые три уравнения системы (4.42) в векторноматричной форме:
75 = 5x7*5 + Л/Е.	0-43)
Учитывая, что обычно A7W » Мь, и принимая в качестве управляющего момента MY = A7W + 5x7*5, получим уравнение:
467
/о = Л/у.
(4.44)
Построим на базе осп Эйлера ортогональную систему координат птТ и. спроектировав на ее оси уравнение (4.44), получим уравнения:
о и0; й = иа-, Р = «р,	(4,45)
где о = ш-л, а = й т, р = <37,
и = /“'Л/у’й; и. =	ut =
о	г ’ а	Г’р	г
Следует обратить внимание па тот факт, что в последней строчке в выражениях для управляющего ускорения, в отличие от уравнения (4.44), тензор инерции не представляет собой диагональную матрицу.
Так как процесс переориентации должен удовлетворять требованию максимального быстродействия, то вектор управляющего ускорения й = = {п0, иа, Up} должен быть колинеареи осн Эйлера и, как известно из теории оптимального управления, .максимален по величине. Однако реализовать такое ускорение в реальной системе очень сложно из-за неточногознания тензора инерции, отличия характеристик двигательной установки от расчетных, различных технических погрешностей, что приводит к прецессии мгновенной оси вращения и появлению угловых ускорений в плоскости, перпендикулярной оси Эйлера.
Если выбрать структуру управляющего момента в виде
= л7о ♦ Mkg - м„ ♦ а7„
где л70 - момент, обеспечивающий разворот СР относительно оси Эйлера;
- момент, компенсирующий гироскопический момент;
М„. М, - моменты, стабилизирующие мгновенную ось вращения СР относительно оси Эйлера (замечания относительно формирования компенсирующего и стабилизирующих моментов приведены ниже), то разворотСР будет происходить относительно стабилизированной оси конечного поворота.
Тогда задача управления переориентацией ступени разведения может быть сформулирована следующим образом: требуется найти такой приведенный управляющий момент и„', который обеспечивает разворот
468
ступени разведения из произвольного начального состояния с(г0) = о0, д(г0) = 0 в заданное конечное о(гк) = ок, а(гк) = 0 за минимальное время Г при ограничениях на управление |w0| < UG> |u0| £ ku, которые следуют из ограничений на угол отклонения и угловую скорость управляющих органов (без учета ограничения на угловую скорость ступени разведения).
При определении управляющего момента М* необходимо решить ряд самостоятельных задач, среди которых следует выделить;
*	определение ориентации оси п в связанной системе координат и расчет требуемого угла переориентации;
•	определение максимального момента относительно оси л;
•	распределение управления между управляющими органами:
•	определение ограничений на параметры управления;
*	разработка собственно алгоритма углового разворота. Рассмотрим сущность перечисленных задач.
Построение опорного базиса и расчет конечного угла поворота
Для определения ориентации оси конечного поворота л удобно использовать аппарат алгебры кватернионов (см.Приложенне 3), поскольку векторная часть кватерниона определяет ось конечного поворота.
Пусть Т = {tj, l2, f3| - инерциальная, а Ё = {х,, у,, Zj} - связанная системы координат с соответствующими ортами. Переход от инерциальной к связанной системе координат осуществляется с помощью трех последовательных поворотов на углы ф, 0, у. Этот переход может быть
задан кватернионом Л = cos Д + лsin —, где о -угол конечного поворота,
а п - ось конечного поворота.
Для нормированного кватерниона Л = Ло + /jAj + М, + i3X-, Ао = cos Д,
Л
где «г, п^, п? - направляющие
косинусы оси п. Связь между параметрами Родрига - Гамильтона и самолетными углами задается выражениями (П3.73):
, Ф	й	у	. ф . & . 7
= cos—cos—cos— - sin—sin—sin—;
0	2	2	2	2	2	2
469
, ф	0 • Y	. ф . О	Y
Л, = cos—cos—sin— + sm—sm—cos—;
1	2	2	2	2	2	2
(4.46)
A, = sin —cos—cos— + cos—sin—sin —;
2	2	2	2	2	2	2
A3 = cos—sin — cos— - sin—cos—sin— . 3	2	2	2	2	2	2
Пусть A - текущий кватернион, а Л/тр - требуемый кватернион, вычисляемые по формулам (4.46). Оба кватерниона заданы в базисе 7. Совершим два последовательных поворота, задаваемых кватернионами Л и <7Л;, таким образом, чтобы 4A(®A = М^, откуда 4AZ = Л/^Л, где ° -операция умножения, а Л = Ао - qAj - /2А2 - /3А3 - сопряженный кватернион.
Кватернион 4Л/ задан в базисе 7 и не является собственным кватернионом преобразования. Для того чтобы найти требуемые параметры Родрига - Гамильтона, необходимо найти отображение кватерниона <7AZ на базис Ё:
dAP - A°dAt°A = А°М°А°А = A°Af.
Перемножая кватернионы А°М^ по формулам умножения кватернионов (М.^ = р0 + ijp, + i>2 + /3ц3):
4Aq = ^ойо + ^|И| + ^2^2 +
4А( = Л0Ц] - Л|Ц0 А2р3 + А3р2;
4А2 = А0р2 - А2ц0 - А3р, + А|Ц3;
4А3 = А0р3 - XjPo - Xjp2 + А2р, ,
получаем кватернион рассогласования dA£, который определяет величину конечного угла поворота и направляющие косинусы оси
470
конечного поворота п в связанной системе координат:
= 2*arccosdA0;
</Л2	d\^
д/1-^ j\-d% i/l-dfi
При построении опорного базиса nlm задание ориентации осей I и т в плоскости перпендикулярной оси Эйлера принципиального значения не имеет. Поэтому вначале определяется наименьшая проекция вектора п на базисz,. В зависимости оттого, какой орт будет наименьшим, получаем три варианта расчета направления Т.
Пусть а-п = min(X]H, у{п, 2|«),тогда Г = ахп и т = лхГс соответствующими направляющим косинусами.
Определение наибольшего момента относительно заданного направления
При разработке и проектировании компоновочных схем ступеней разведения и их ДУ необходимы оценки предельных значений управляющего момента, создаваемого органами управления. Знание области допустимых значений управляющего момента отражает потенциальные возможности системы переориентации. Конфигурация области располагаемых моментов существенно зависит от силовой схемы ступени разведения и конструкции ее двигательной установки.
Как правило, число управляющих органов СР избыточно (больше трех) по отношению к каналам управления угловым движением, поэтому распределение управляющего воздействия между ними должно производиться с минимумом энергозатрат.
Для ступени разведения обычной схемы с четырьмя отклоняющимися рулевыми двигателями составляющие управляющего момента вычисляются по формулам (1.31):
Мупрх1 =	+ sin62 - sin63 - sin64);
Mynpyi = (sin6i + sin63);
(4.47) ^ynpzi = -™zl(sinS2 + sin64);
471
шх1 = р-т_, ту1 = /»., - ^р(/р - лт), |б,| s бт(, гдер - тяга двигателя,
/р- плечи управляющих сил в каналах крена и тангажа (рыскания), лт - координата центра масс СР.
Если ввести обозначения; н(- ~ sin5(, |ц-| » ит. ит - sin6,„, i = L4, то выражения (4.47) примут вид:
А1упрх1 =	* ц2 - “з - “Д
^упрл = -	<«t + “з);
с областью задания G = {«: |uf | s. ит, i - М}.
Задача состоит в отыскании = тахи<с£(й), L(u) = л7}1!р-л при условии = 0 и сводится к задаче линейного программирования.
Определение ограничений на параметры управления
Учитывая принятое в уравнениях углового движения ступени разведения (4.44) выражение для управляющего момента, необходимо определить ограничения на параметры управления.
Определение ограничения на величину максимального управляющего углового ускорения иа необходимо проводить в условиях задачи оптимального по быстродействию разворота ступени разведения относительно оси Эйлера.
Без учета ограничений на параметры движения в рассматриваемой задаче принцип максимума Л.С. Понтрягина дает известную структуру алгоритма управления движением в виде = f(o, d)t/0 [3]. где управляющая функция F(a, д) = {1,-1} Таким образом,задача сводится к определению максимально допустимого значения параметра t/n.
При оптимальном развороте ступени разведения относительно оси Эйлера для принятой выше математической модели (4.45) справедливы следующие соотношения:
472
и'а-п = F(a, д)ийп‘, ы = on; о2 = 2(J0|o|.	(4.48)
Последнее выражение соответствует оптимальной фазовой траекто-1И, заканчивающейся в точке {at, (at = 0) фазовой плоскости лзворота ступени разведения.
Из выражения для управляющего момента з7г (см. формулы (4.44)) счетом уравнений (4.43). (4.44) получим
Мул? = F(p, d)U0In - o2/nxn.
Поскольку наибольшее значение гироскопического момента остигается в моменты переключения управления, вычислим вектор момент попадания изображающей точки на линию переключения:
= ий{1п - jol/nxn) = Уот*;
= Uo(rln - |о|7пхи) = UQnl-.
Из ортогональности векторов In и /лхп векторы и при >линаковой длине имеют в базисе	различную ориентацию,
.арактеризуемую ортами п" » —; л" = —, которые связаны т +	т *
—	2 In
оотиошеиием п~ = п'-------, где тм = пГ = т'. Если М* и И' -
tn	tn	tn
максимальные величины модуля вектора управляющего момента Л/>Т1р з направлениях л ’ и л" соответственно, то искомый параметр равен меньшему из двух чисел:
Uo = min<
М* tn„
М’ т
Учет влияния ограничения |а| s на величину UQ можно легко осуществить, используя приведенную выше связь (4.48) между ап и 170 при известных максимальных углах разворотов.
Для обеспечения одновременного окончания процесса ориентации во всех каналах управления необходимо выбрать значение параметра
473
ки= й, которое может быть определено из следующих соображений.
Управляющий момент, обеспечивающий разворот относительно оси Эйлера, в проекциях на оси xlylzl для F(a, d) = 1, х = Ш можно представить в виде = иа{1)^ i = -Хр Ур Zp С другой стороны, A/oi(0=P^Xr) = PA(0.
Приравнивая правые части двух последних формул и дифференцируя их по времени, получаем: рД(0 = й4(г)х(  ЛДОх*-
Откуда при заданном справедлива система неравенств: |Ar„xf| s з IP/fijuxJ, i = ^рУр z,, что дает следующую формулу для определения искомой характеристики, как наименьшего из трех чисел: ки =
= пип/

X/
Параметры управляющей функции и0(г) и ки обеспечивают одновременное окончание процесса ориентации во всех каналах управления и позволяют определить минимально возможное время выхода управляю-и0 щих органов на заданный уровень в виде соотношения с = —.
к.
Терминальный алгоритм управления переориентацией
Как уже указывалось, задача управления переориентацией ступени разведения относится к классу задач на максимальное быстродействие, а ее решение может быть получено с помощью принципа максимума Л.С. Понтрягина.
Рассмотрим сформулированную выше задачу плоского разворота ступени разведения относительно эйлеровой оси с принятыми ранее ограничениями угла и угловой скорости отклонения рулевых органов, что соответствует ограничениям по модулю приведенного управляющего момента и скорости его нарастания:
l“J S lfcu I S кит‘
В предположении о том, что максимально допустимая угловая скорость в процессе разворота не достигается, оптимальный алгоритм углового разворота в сформулированной задаче характеризуется следующими соотношениями [3]:
474
kut	-	t0	z	t	<	tt',
Uo	-	<.	t	<	t2-
Uo~kut “*	^2	<	^3’
“ Ц»	-•	Z3	;
-U^kut - t < rx; °	-	1	* tK-
(4.49)
Моменты переключения управления tt определяются следующим образом. Первое переключение определяется выражением = t0 + т, иа
т = —. Второе переключение определяется путем прогноза конечного к.
угла разворота. Интегрируя первое уравнение системы (4.42) для трех последних выражений управляющей функции, получаем выражения для прогноза угла поворота на момент tK:
a(t2 + 2т) = a(t2) + 2о(/2)т + |t/0T2;
o(G) = d0i) + uo<f ~ h* 2т)2>
(4.50)
а(»з) = °('г + т) + д(12 + т)0 - h - т) +	- h - т);
°(О = °(G) + й0з)т "
Отсюда момент второго переключения г2 определяется из условия равенства прогнозируемого угла разворота требуемому o(zK) = о^. Момент третьего переключения определяется равенством /3 = t2 + 2т, а момент четвертого переключения определяется из условия равенства нулю угловой скорости в момент 1К:
+ o(G) = °-
475
Рис. 4.18. Изменение параметров управления и движения СР при переориентации
Изменение параметров управления и движения в процессе переориентации представлены на рис. 4.18, где 1^(0 = F(p, д) - управляющий сигнал, формируемый системой управления СР, «„*(/) - управляющее ускорение, d(t) и o(z) - угловая скорость и угол разворота ступени разведения в функции времени.
Таким образом, реализуется оптимальная программа управления разворотом ступени разведения относительно оси конечного поворота.
В реальных условиях полета разомкнутый контур управления не обеспечивает требуемых точностных характеристик из-за действия возмущающих факторов, особенно при реализации расчетного значения углового ускорения 1/0. Последнее наиболее характерно для ступени разведения с твердотопливной ДУ, отклонение тяги которой может достигать десятков процентов.
Учитывая характер возмущающих факторов, представляющих собой неизменяемые за время одного разворота некоторые случайные величины, может быть реализован способ построения контура управления на основе принципов дуального управления [13], заключающийся в использовании результатов идентификации объекта управления или его элементов в процессе управляемого движения. Для этого в данном случае при формировании функции переключения можно использовать оценки развиваемого системой углового ускорения на участках разгона #0Р
476
и торможения #0T. Тогда моменты переключения определяются из решения системы уравнений прогноза конечного состояния (4.50) с подстановкой вместо расчетного значения Uo его оценок.
Последний подход к формировани ю управления ступенью разведения фактически реализует известный принцип управления по возмущению.
Для обеспечения устойчивости процессов переориентации ступени разведения и повышения точности выполнения краевых условий разворота необходимо осуществлять, как уже отмечалось, стабилизацию действительной оси вращения и компенсацию гироскопических моментов.
Для стабилизации мгновенной оси вращения относительно оси Эйлера могут быть использованы моменты следующей структуры (см. выражения к уравнениям (4.45)):
л7,(0 = «,(/)//; Л/и(/) =
где «/(/), um(t) формируются по управляющим сигналам стабилизации; Т, т- орты, лежащие в плоскости перпендикулярной оси Эйлера. Компенсация воздействия гироскопических моментов может быть осуществлена с использованием первого члена в правой части уравнения (4.43) так же, как и его проекций в уравнениях (4.42), на основе соответствующей информации.
В заключение подчеркнем, что система управления угловым движением ступени разведения при реализации оптимальных алгоритмов разворота по достижении некоторой заданной точности разворота должна переходить на высокоточные замкнутые алгоритмы терминального управления, гарантирующие в условиях действия возмущений требуемые характеристики движения.
4.3.3. Алгоритмы замкнутого терминального управления вращательным движением ступени разведения
Рассматриваемые ниже алгоритмы управления изложены в монографии [1] применительно к задачам ориентации КА. Эти алгоритмы могут быть применены для управления движением ступени разведения на участках угловых разворотов в тех случаях, когда управляющие воздействия формируются по моментной схеме.
Сформулируем постановку задачи управления. Пусть начальное угловое положение ступени разведения задано углами тангажа, рыскания и вращения в системе координат, ориентация которой соответствует положению осей связанной системы координат СР на момент окончания
477
маневра. Таким образом, терминальные значения параметров ориентации СР на момент окончания маневра нулевые:
0(/к) = О, ф(*к) = 0. y(Q = 0.	(4.51)
Компоненты вектора угловой скорости СР на момент начала маневра могут быть произвольны, в терминальный момент времени угловая скорость СР должна быть равна нулю:
Wj(zr) = 0, о2(/к) = 0, й>3(Гк) = 0.	(4.52)
Заметим, что здесь и далее для сокращения обозначений проекции вектора угловой скорости и управляющих моментов на оси Xp Ур Z( связанной системы координат обозначаются wp w2, °з» М*, Л//, М/, а моменты инерции ступени разведения 7Р12,1у
Замкнутый закон управления вращательным движением ступени разведения выразим в виде функциональных зависимостей требуемых значений управляющих моментов от параметров ориентации СР и компонентов вектора ее угловой скорости.
Анализ рассматриваемых ниже законов управления начнем с частного случая задачи управления, когда начальные углы 0, ф, у, как и угловая скорость, достаточно малы и близки к нулевым терминальным значениям (4.51) и (4.52). В этом случае текущие значения этих параметров также остаются в процессе маневра достаточно малыми. Обозначим малые значения указанных параметров как ДО, Дф, Ду, До>р До>2, Д“з-
Предположение о малости параметров вращательного движения позволяет в динамических уравнениях Эйлера (1.55) пренебречь произведениями угловых скоростей, а в кинематических уравнениях Эйлера (П3.2) пренебречь произведениями угловых скоростей на синусы малых углов, положив косинусы малых углов равными единице. В результате динамические и кинематические уравнения распадаются на независимые уравнения, описывающие три независимых вращения СР вокруг связанных осей:
Му
Д6, = ----, Ду = Дев,,
А
Л7У
Д<1>2 = --, Дф = Дй>2,
А
(4.53)
(4.54)
478
Ml
Д63 = ---, Дй = До3.	(4.55)
h
Закон управления вращательным движением СР в рассматриваемом частном случае выразим следующим образом через текущие параметры движения:
Ml = -Л, Дй>(-fc, Ду,
Л/2У = -А2До2-А2Дф,
(4.56)
Ml = -А3Дсо3-А3Д&, где kj- параметры закона управления (коэффициенты усиления).
Проверим, что процесс управления вращением ступени разведения с законом (4.56) обладает свойством терминальной устойчивости, т.е. свойством асимптотической сходимости текущих параметров движения к их терминальным значениям (4.51) и (4.52). Проверку данного свойства закона управления достаточно провести для одного канала вращения, например,вокруг оси У,.
Рассмотрим уравнения (4.53). С учетом первого уравнения (4.56) запишем следующее дифференциальное уравнение второго порядка, описывающее изменение угла крена в процессе управления:
А,	к,
Ду + —Ду + —Ду = 0.
А	Л
(4.57)
Продифференцировав обе части (4.57), получаем аналогичное уравнение второго порядка, описывающее изменение угловой скорости:
Дй>(
А. к, + —Дй> + —Дсо.
Л '
= 0.
(4-58)
Коэффициенты дифференциальных уравнений второго порядка(4.57) и (4.58) положительны, что, как известно из теории устойчивости линейных систем, гарантирует устойчивость управления в рассматриваемом случае, т.е. асимптотическую сходимость параметров Ду, Ды к нулю:
Ду(/)-0, Awt(z)-0, (f-“).
(4-59)
Поскольку структура уравнений (4.54) и (4.55), как и законов управления вращательным движением вокруг осей У, и Z,, аналогична,
479
данный вывод распространяется также на параметры движения вокруг этих осей.
Итак, нами получен вывод о терминальной устойчивости закона управления (4.56) для частного случая, когда угловые параметры и компоненты вектора угловой скорости полагаются малыми величинами. Как показано в [1], данный закон управления можно распространить на общий случай движения, если выразить закон управления не в угловых величинах, а в компонентах кватерниона вращения. С этой целью воспользуемся формулами (П3.73), связывающими углы Эйлера с параметрами Хо, Х2, (см. Приложение 3).
В соответствии с” формулами (П3.73) при малых углах Эйлера справедливы следующие приближенные зависимости:
%<. I, ^«Аду, Х2«1дф, А3«1дб.	(4.60)
С помощью полученных приближенных зависимостей преобразуем закон управления (4.56) к следующему виду, где предположение о малости параметров вращательного движения уже не делается:
- fc[ XjXj,
Af/ = -AjCi)2-fc2A0A2,	(4.61)
= -Л3со3 - fc3X0A3.
Замечательным свойством закона управления (4.61) является терминальная устойчивость управления при произвольных значениях параметров движения.
Ввиду важности данного свойства закона управления (4.61) приведем его доказательство, воспользовавшись для этого вторым методом Ляпунова. Функция Ляпунова в рассматриваемой задаче устойчивости вводится следующим образом (см. [1]):
L = К* W,
V = + + W =	(4.62)
Как известно, функция Ляпунова должна обладать двумя свойствами - обращаться в терминальной точке в нуль и быть знакопостоянной
480
в остальных точках фазового пространства. В данном случае нулевым терминальным значениям угловых параметров соответствуют, как это следует из формул (ПЗ. 73), следующие значения компонентов кватерниона вращения:
W = I. М'к) = W = W = 0.
(4.63)
Отсюда с учетом (4.52) вытекает равенство нулю функции Ляпунова в терминальной точке. В остальных точках фазового пространства Функция Ляпунова знакопостоянна (положительна).
Для вывода об устойчивости закона управления (4.61) остается проанализировать знак производной по времени функции Ляпунова, вычисленной в силу динамических и кинематических уравнений вращательного движения. Для удобства читателя приведем здесь соответствующие уравнения вращательного движения. Динамические уравнения (1.55) запишем в виде:
Zj	" (Zj — Zj)О2чзj =
(V Л)°1°3 = М2>
(4.64)
/3th3"(A“/2)Ul°2 = М3-
Кинематические уравнения в компонентах кватерниона приведены в Приложении 3, формулы (П3.80). В данном случае нет необходимости использовать всю совокупность кинематических уравнений, так как с учетом свойства нормированиости кватерниона вращения (Aq + aJ + + Aj + Aj = 1) слагаемое Vв выражении (4.62) может быть преобразовано к виду
К= 1-А*.
(4.65)
Таким образом, при вычислении производной Р достаточно использовать кинематическое уравнение для Ао;
о —“ ^2^2 ~ ^з°з •
(4.66)
16 - 7674
481
Вычисляя производную L с учетом уравнений (4.64) и (4.66), получаем з	зз
L = Хо £	+ 7,со, <Ь| -t-72(o2d>2 i-73co3d>3 -Ао £ А(б>у + £ 6>(Л7/. (4.67)
/•О	Г-1	1-1
После подстановки в (4.67) выражений для управляющих моментов (4.61) имеем
L = Хо £	- £ hrf - Хо £	(4.68)
;-1	/•!	/-1
Для устойчивости управления производная L при положительной функции L должна быть отрицательна. В данном случае отрицательность L обеспечивается при к{ = 1:
£ = -£й,<о*<0.	(4.69)
1-1
Таким образом, с учетом данного условия закон управления (4.61) приобретает вид:
Л7^ = “Л| tOj XqXj ,
Л/2 = -A2q2-X0A2,	(4.70)
Л73 ~ XqAj.
Закон управления (4.70) может быть записан в более общем виде, если ввести дополнительный коэффициент усиления, единый для всех трех каналов управления:
М] = -/»]<>! -kX0Xf,
= -h2^2~	С4-71)
М3 ~ -к3и>3 - кХйХу.
Для проверки терминальной устойчивости закона управления (4.71) достаточно соответствующим образом скорректировать функцию Ляпунова, положив L = ЛИ+ W, где Ии И7определяются формулами (4.62).
482
Покажем, что закон управления (4.71) может быть выражен не только в компонентах кватерниона вращения, но и в направляющих косинусах. Это потребует в процессе управления определять текущие значения параметров ориентации ступени разведения путем интегрирования не кинематических уравнений (П3.80), а кинематических уравнений Пуассона (ПЗ.ЗО).
С помощью таблицы (П3.66), выражающей связи между элементами матрицы направляющих косинусов и компонентами кватерниона, нетрудно получить следующие зависимости:
в32~в23 = 4Л0^1>
аи~а31 = 4Х0Л2>	(4.72)
°2i ~ai2 ~
С использованием данных выражений закон управления (4.71) в направляющих косинусах примет следующий вид:
= -Л, о, -fc(a32-a23),
Л/2 = -h2u>2 - fc(cI3 - а}]),	(4.73)
Л/Зу = -й3ы3-к(а21-а12).
Терминальная устойчивость управления с законом (4.73) вытекает из предыдущего.
В заключение охарактеризуем общие свойства рассмотренных алгоритмов управления вращательным движением ступени разведения.
1.	Законы управления (4.71) и (4.73) обеспечивают лишь асимптотическую сходимость параметров вращательного движения ступени разведения к заданным терминальным условиям управления (4.51) и (4.52). Однако на практике время управления конечно, так как задачауправления терминальным состоянием объекта управления ставится и решается с конечной точностью, определяемой допустимыми отклонениями параметров движения от их терминальных значений:
|Ду(/г)|^е, |Aip(/K)|<:e, [Дб(Гк)|ле,	(4.74)
lAwJQIsi, |Ди2(гж)| g б, |Aw3(rt)| * 6.	(4.75)
Таким образом, процесс управления заканчивается в момент tK одновременного выполнения неравенств (4.74) и (4.75).
.. 1Ь»
483
2.	При приближении к терминальной точке управляющие моменты, как это видно из (4.71) и (4.73), уменьшаются, что затягивает процесс управления. Для повышения быстродействия управления следует увеличивать значения коэффициентов усиления Л,, Л2> Л3 и к по мере приближения к терминальной точке при условии сохранения ограничений на максимально допустимые значения управляющих моментов.
3.	Законы управления (4.71) и (4.73) не оптимальны по быстродействию. В этом смысле они уступают по эффективности алгоритму управления вращательным движением, рассмотренному выше в п. 4.3.2. Однако достоинством этих законов управления является их замкнутость, алгоритмическая простота и отсутствие особенностей в окрестности терминальной точки. Последнее свойство связано с тем, что время окончания процесса управления заранее не фиксируется и определяется условиями (4.74) и (4.75).
4.3.4. Алгоритмы замкнутого терминального управления вращательнопоступательным движением ступени разведения
Как отмечалось выше, типовые маневры ступени разведения при построении боевых порядков ББиЛЦ состоят из ряда последовательных участков управляемого вращательного и поступательного движений. Эти виды движений являются независимыми, если конструктивно-силовая схема СР позволяет реализовать моментную схему управления вращательным движением. В случае же смешанной конструктивно-силовой схемы СР вращательное и поступательное движения взаимно зависимы, поэтому алгоритмы управления должны учитывать данное обстоятельство.
Ниже рассматривается методика построения алгоритмов замкнутого терминального управления вращательно-поступательным движением ступени разведения и приводятся примеры применения этой методики к задачам управления маневрами типа "змейка" и "боевой разворот". Основу этой методики составляет достаточно общая процедура конструирования алгоритмов терминального управления применительно к линейным или линеаризованным моделям объекта управления как с постоянными, так и с переменными коэффициентами.
Основы методики построения линейных алгоритмов терминального управления
Рассмотрим линейную модель объекта управления следующего стандартного вида:
484
х = A(t)x + B(t)u, xeR^ueR",
(4.76)
Предположим, что объект управления полностью управляем в соответствии с критерием управляемости Калмана (см. Приложение 1). Сформулируем следующуюзадачутерминального управления: требуется найти замкнутый закон управления вида:
и =
(4.77)
обеспечивающий перевод объекта управления из заданного начального состояния x(t0) = хов заданное терминальное состояние x(tK) = хк за время T=tK-t0.
Для решения рассматриваемой задачи удобно воспользоваться формулой Коши, выражающей в интегральной форме связь начального и терминального состояний линейной системы (4.76):
х(/к) = Ф(/к,/0)х0 + |Ф(1,.,т)В(т)и(т)4т. 'о
(4-78)
Здесь переходная матрица Ф(/, т) представляется, как известно, следующим образом:
Ф(/,т) = Т(0-Т-'(т),
(4-79)
где Т(0 - матрица фундаментальных решений однородной системы уравнений
i = A(t)x.
(4.80)
Найдем сначала программу разомкнутого управления и = u(t), решающую рассматриваемую задачу терминального управления. Выразим искомое управление в виде
u(t) = Вт(1)Фт(1к,1)с, ceRn,
(4.81)
где вектор с определим из начальных и терминальных условий. Подставляя выражение (4.81) в формулу Коши, получаем
16 - 7674
485
= Ф(<хЛ0)х01- j Ф(гх,т)Л(т)В 'QV^dvc.	(4.82)
«о
Введем обозначение
3 f $(rx>*)B(i)B т(т)Фт(1х,х)с1х.	(4.83)
Здесь У(1К, г0) так называемая матрица достижимости (см. Приложение 1). Ввиду полной управляемости системы (4.76) эта матрица невырождена и поэтому существует обратная матрица Г"1^, i0). Вследствие этого вектор с находится как решение системы линейных алгебраических уравнений (4.82):
с = К’1 (Гг1 Го)фск - Ф (tx, Zq) xj.	(4.84)
После этого окончательно находим искомое управление:
«(О = В rW*T(/t.z) И-1(/с,Го)[хг -Ф^Л^Хо].	(4.85)
Теперь замкнутый закон управления вида (4.77) нетрудно получить из (4.85), если текущее состояние х(/) рассматривать в качестве начального состояния на момент t и заменить в (4.85) х0 на х(г) и г0 на t:
u(t,x(t)) = ВЧО^дИ-’^д^-Ф^ОхО)]. (4.86)
Замечание. Из приведенных выкладок видно, что управление (4.81) конструируется с таким расчетом, чтобы, воспользовавшись свойством управляемости системы (4.76), найти вектор с из системы алгебраических уравнений (4.82) с невырожденной матрицей И(гк, (0). На первый взгляд может показаться, что зга конструкция носит слишком частный характер, так как существуют и другие, отличные от (4.85) и (4.86), законы управления. Покажем, что выражение (4.81) естественным образом вытекает из решения соответствующей оптимизационной задачи и управление (4.81) оптимально по критерию минимума среднеинтегральных затрат на управление, выражаемых следующей функцией:
486
J = j-fu^(z)u(z)dz.
(4.87)
Для проверки указанного обстоятельства сформулируем следующую задачу оптимального управления для системы (4.76): найти управление, оптимальное по критерию минимума функции (4.87) и обеспечивающее перевод системы (4.76) из начального состояния л0 в терминальное состояние лк за заданное время Т- iK- f0.
Воспользуемся процедурой принципа максимума Понтрягина. Сведем поставленную задачу оптимизации управления с интегральной критериальной функцией (4.87) (задача Лагранжа) к задаче оптимизации управления с критериальной функцией неинтегрального типа (задача Майера). С этой целью введем дополнительную фазовую переменную
\.i =
(4.88)
начальному условию л'я*.[(/0) = 0. В результате критериальная функция примет вид j = х\+ ](fK).
Введем вектор-столбец сопряженных переменных р размерности п и дополнительную сопряженную переменную />л+1, соответствующую фазовой переменной л;^,. Запишем выражение для гамильтониана и дифференциальные уравнения для сопряженных переменных:
Я « p\4(i)x^p^B(i)u^pn^u,
(4-89)
Рт = ~ = ~P^(t)t р = А'®р, дх
(4.90)
(4.91)
В соответствии с постановкой задачи начальное и терминальное состояния объекта управления заданы, поэтому краевые условия для вектора сопряженных переменных р отсутствуют. Фазовая координата л,г| в момент г свободна, следовательно, для сопряженной переменной
487
рГ|_| имеется краевое условие:
Л..А) = -——— •- "!•
Отсюда с учетом уравнения (4.91) заключаем, чтоpri+1Е -1. Подставим это значение в (4.89).
Найдем выражение для оптимального управления из условия максимальности гамильтониана. Ввиду того, что ограничений на управления по постановке задачи нет, можно воспользоваться необходимым условием экстремума функции Н. Приравнивая нулю производную от Н по и и транспонируя получаемое матричное уравнение, находим искомое управление:
=pTB(t)-ur = 0. и =	(4.92)
ди
Здесь р(Г) удовлетворяет сопряженной системе дифференциальных уравнений (4.90). Нетрудно теперь проверить, что если Т(г) - фундаментальная матрица решений однородной системы (4.80), то [Ч/7(г)]_| -фундаментальная матрица решении сопряженной системы (4.90), а матрица Фт(гк, 0 = [’Р’г(/)]-!-'Р(гк.) - нормированная фундаментальная матрица решений сопряженной системы, удовлетворяющая краевому условию Ф(^к. гк) = Е. Таким образом, общее решение сопряженной системы может быть записано в виде:
p(i) = ФЧ/^Ос.	(4.94)
Подставляя данное выражение в (4.92), убеждаемся, что найденное оптимальное управление выражается формулой, совпадающей с (4.81). Тем самым оптимальность рассмотренных выше законов управления (4.81), (4.85) и (4.86) доказана.
В тех случаях, когда компоненты вектора управлений имеют различный физический смысл и различные физические размерности, меру среднеинтегральных затратна управление следует выразить более общей формулой:
J =	(4.95)
'о
где R - симметричная положительно определенная весовая матрица, в частном случае диагональная.
488
Повторив вышеприведенные выкладки, можно убедиться, что с учетом весовой матрицы управление (4.85) следует записать в виде
«(О = Я’1Я
(4.96)
W с»
Аналогичным образом трансформируется выражение для замкнутого закона управления (4.86).
Рассмотрим теперь более общую постановку задачи управления для системы (4.76). Предположим, что терминальные условия заданы не только для вектора состояний, по и для вектора управлений:
x(zj = хс,	ultj = и*, uteRm.	(4.97)
При управлении полетом ступени разведения последнее условие актуально в том случае, когда к концу процесса управления требуется обеспечить заданные значения параметров управления, например, нейтральное положение сопел управляющей двигательной установки.
Для реализации расширенных терминальных условий управления «97) необходимо увеличить соответствующим образом число степеней свободы управляющих воздействий. Действительно, в соответствия с формулой (4.81) число степеней свободы вектора управляющих воздействий определяется размерностью вектора с и равно числу линейно независимых столбцов матрицы 5т(т)Фт(тк, /). В условиях полной управляемости это число равно п. Добавим к матрице 2?т(г)Фт(гк, 0 еще т столбцов, которые совместно со столбцами этой матрицы должны образоватьлииейно независимую совокупность. Эти столбцы объединим в квадратную матрицу F\i) порядка т и вектор управляющих воздействий запишем следующим образом:
и(1~) = ДЧОФ1^., ’ F(z)-c>.	(4.98)
где размерности векторов с( и г, равны н и т соответственно. Подставим выражение (4.98) в формулу Коши (4.78):
489
= Ф('г, '0)*0 * /[Ф(гк, т)5(т)5Ч-)ФЧ^>	-
(4.99)
+ рФ(/х, t)B(t)F(t)Bt]-c2.
Учтем, кроме того, заданность конечного значения вектора управлений и с помощью (4.98) запишем соответствующее уравнение связи (с учетом того, что Ф(гк, гк) = Е):
ик =	* Е(/х)-с2.	(4.100)
Таким образом, соотношения (4.99) и (4.100) образуют систему из п + + nt линейных алгебраических уравнений для определения векторов с( и с,. Общую матрицу полученной системы алгебраических уравнений обозначим Р(гк» г0) и запишем ее в следующем блочном виде
P(fx, Q =
\	1 lt
[Ф^, е)В(1)Вт(х)Фтик, т)</т!]Ф(гх, т)В(т)Е(т)</т
’»	I »с
---------------------------------4-----------------------
В'(!х)	। F(tx)
(4.101)
Данная матрица невырождена при соблюдении упомянутого выше условия линейной независимости совокупности п + т столбцов, образующих матрицы Вт(/)Фт(гк, t) и F(t). Поэтому существует обратная матрица V '(tx, г0) и решение системы линейных алгебраических уравнений (4.99) - (4.100) может быть записано следующим образом:
!^-Ф(гк, z0)-^i
= Р'Ч, Q--------------
(4.102)
После подстановки найденных значений векторов с । и с, в формулу (4.98) получаем искомое управление, обеспечивающее реализацию терминальных условий (4.97):
490
Хк-Ф(гк. f0).x0
u(0 = [2Г(г)фт(г£, 0^(0] и-
(4.103)
Замкнутый закон управления нетрудно получить, рассматривая, как и выше, текущее состояниел(0 в качестве начального на момент г и заменяя в формуле (4.103) .г0 на .г(/) и /0 на i:
хк-Ф(гк, z)x(0
= [Вг(')Фг(г£> 'PW4. /)•
, (4.104)
В данном случае управления (4.103) и (4.104) уже не являются оптимальными в смысле рассмотренного выше критерия.
В заключение обратим внимание читателя на следующее обстоятельство. Получеиыенамизамкнутыезаконы терминального управления (4.86) и (4.104) имеют особенность в терминальной точке, аналогичную 1 ой, которая свойственна алгоритмам замкнутого управления по методу требуемых ускорении (см. п. 3.7.2). Рассмотрим этот вопрос на примере закона управления (4.86). проанализировав характер изменения элементов матрицы Р“‘((к, г) и текущей невязки терминальных условий управления, определяемой разностью
6(г) = хк - Ф(гк, 0-л(0-
(4.105)
В номинальных условиях управления при отсутс твии возмущений невязка 6(г) стремится к нулю при / - Вместе с тем элементы матрицы J-'(rKi ') также стремятся к нулю при г - гк, а элементы обратной матрицы стремятся к бесконечности. Таким образом, для компонент вектора управлений характерна неопределенность в терминальной точке типа произведения бесконечности на нуль;
и (г) - ®-0, (г - Q, j = 1,2,.,.,ni.
(4.106)
Эта неопределенность разрешается в силу закона разомкнутого управления (4.85), который тождественен порожденному им закону замкнутого управления (4.861, поэтому в терминальной точке управления а;(гк) принимают вполне конкретные конечные значения.
491
В реальных условиях управления при действии возмущений ситуация меняется. В частности, наличие неконтролируемых погрешностей решения навигационной задачи по определению текущего состояния д-(г) приводит к тому, что в окрестности терминальной точки вектор б остается отличным от нуля при i - /к. Вследствие этого управления u(t) могут в соответствии с (4.106) принимать неограниченно большие значения вблизи терминальной точки п становятся нереализуемыми при имеющихся ограничениях на допустимые пределы их изменения. Поэтому при практическом применении законов управления (4.S6) и (4.104) следует принимать меры по устранению указанной особенности. Наиболее простой способ решения данной проблемы заключается в том. чтобы при приближении к терминальной точке осуществлять переход от замкнутого закона управления к соответствующему ему разомкнутому закону в некоторый заранее установленный момент времени г" = /к - А/. Эта мера исключает неограниченное возрастание управляющих воздействий, хотя и приводит к появлению методической погрешности управления, величина которой определяется интервалом времени Az и уровнем действующих возмущений. Момент/* выбирается путем предварительного математического моделирования процесса управления с учетом действия возмущений и ограничений на величину управляющих воздействий,
Перейдем к примерам практического применения изложенной методики построения замкнутых законов управления применительно к типовым маневрам ступени разведения. Рассмотрим смешанную схему создания управляющих моментов, при которой происходит явление "заноса" центра масс ступени разведения при управлении ее угловым движением. Поскольку изложенная выше методика построения законов управления предусматривает использование линейных моделей, воспользуемся линеаризованными уравнениями вращательно-поступательного движения ступени разведения.
Получение линеаризованных уравнений врагиательно-поступашельного движения ступени разведения
Предположим, что управляющий момент СР создается с помощью пары синхронно отклоняемых сопел ДУ. расположенных симметрично относительно ее продольной осп (рис. 4,19). Поскольку далее рассматриваются маневры типа "змейка" и "боевой разворот", запишем уравнения движения центра масс СР в плоскости маневра, образованной единичными векторами ). и 7, с которыми связаны осн х, у прямоугольной системы координат:
492
Гис. 4.19. К выводу у равнений движении л уцени разведения
Л = Й' = -cos(& -б), т
у = & ГГ = £sin(© * 5), т
(4.107)
i ле Р - суммарная тяга ДУ.
Уравнения врашателызого движения по углу тангажа имеют вид:
Р(х - .r„)sin6
О = со, 6 =-----------------------
(4.108)
где Й - угол тангажа, о - угловая скорость. л\ и .vc - координаты центра масс СР н оси поворота сопел ДУ; Z - поперечный момент инерции СР.
В дальнейшем изменением массы и момента инерции пренебрегаем. Введем следующие обозначения:
_Р т
(4.109)
Р(хг - \) . --------— = о. /. ‘I
Линеаризованные уравнения врашательно-поступателыюго движения имеют вид:
493
Дх = Аи\, Д1ЙГ = -flsin(fra 4- 5И)(Д& + Д5),
(4.110) Д/ = Д1^, ДЙ; = acos(0B би)(ДС t Дд),
Дб = Дсо, Д6 = бсоз5яДб.	(4.111)
В качестве опорного примем поступательное движение, совершаемое ступенью разведения вдоль направления баллистической вертикали при построении боевого порядка "цепочка", т.е. при (?и = -90’, б|( = 0. В этом случае линеаризованные уравнения (4.110) и (4,111) принимают вид:
дх = ди;, дй; = а(де + дб),
д/ = ди;, Д^ = 0,	(4.112)
ДО = Дев, Д<Ь = ЬДД.
Воспользуемся полученными уравнениями для построения рассматриваемых ниже алгоритмов управления.
Алгоритм управления маневром типа "змейка ”
Как отмечалось в п. 4.3.1. .маневр данного типа реализуется в тех случаях, когда требуется обеспечить последовательное отделение двух или более ББ, образующих боевой порядок "цепочка", при дополнительном условии ориентации продольной оси ступени разведения и отделяемых ББ в направлении, параллельном вектору скорости ББ при входе в атмосферу. Соблюдение данного условия необходимо для осуществления продольной закрутки ББ после отделения от СР и обеспечения тем самым стабилизированного входа ББ в атмосферу с нулевыми углами атаки и скольжения с целью уменьшения атмосферного рассеивания.
При совершении маневра типа 'змейка" в данной схеме создания управляющего момента происходит "занос" центра масс ступени разведения вдоль оси х в плоскости баллистического горизонта и появляется приращение скорости СР в этом направлении, которое к концу маневра должно быть обнулено. Уравнения движения СР запишем в виде:
494
Д^ = а(Д& + Д6),
Д& = Ди,
ДсЬ = 6Дд.
(4,113)
Поскольку изменением координаты х в процессе маневра можно пренебречь, соответствующее уравнение в системе (4.113) опущено.
Начальные к терминальные условия управления при совершении маневра типа "змейка" зададим следующим образом:
Д^(Го) = О, Д&(г0) = Д(Г, До>(То) = 0,
(4.114)
ЛЙ/хОк) = °.	= д&‘>	= °-
В дальнейшем полагаем т0 = 0, iK = Т. Момент Токончания маневра определяется временем набора заданного приращения скорости ступени разведения вдоль баллистической вертикали при построении боевого порядка"цепочка":
m
(4.115)
Перейдемкзаписи замкнутого закона управления, воспользовавшись его общим выражением (4.86). В рассматриваемом случае система уравнений (4.113) линейна с постоянными коэффициентами и матрицы А и В имеют вид:
О а О
О 0 1
ООО
а
(4.116)
b
Найдем переходную матрицу Ф(7;;). Для линейной системы с постоянными коэффициентами матрица фундаментальных решении и переходная матрица выражаются с помощью матричной экспоненты:
495
i|r(t) = eAl = E + At + —A2t2 + ...
(4.П7)
Ф(Т, t) = ф(7)4>-’(0 = ел(ГЛ
"Учитывая последующие степени матрицы А,
ki3,
и полагая для сокращения обозначений Т-1 = т, получаем
Ф(Т, 0 =	1 ат —ат2 2 0 1 т	, Ф(Т, i)B =	а + —айт2 2 Ьх	(4.118)
	0 0	1		b	
Вычислим далее матрицы V(T, т) и V~l(T, т), перейдя к переменной интегрирования т:
т	т
V(T, т) = p>(T, /)ЛЛТФТ(7’, t)dt = уФ(т)ЛЛтФт(г)^т, t	о
К(Т,т) =	2 . а26т3 а2Ь2-^ ! охт+	+	 ' з 20	; айт2+ а£>2т4	i 2	8	!	а£>т2+ а£>2т4	1 2	8	! Aid	; 3	1 1	6 Aid 2	,(4.119)
	1	Aid !	Z>2t	
	б	!	2	!		
496
Рис. 4.20. Процесс управления маневром типа "змейка"
	720	360	60 _ 720
	а262т5	а*2?	ab2t3 ab3ts
	360	192	360 _ 36
К-1(Г,т)=	а£>2т4	Ь2?3	63т4 Рт2
	60 _ 720	360 _ 36	720 _ 120 . 9
	ab 2т3 ab3^5	Р? Рт2	Рт5 b3t3 b2t
Окончательно в соответствии с общим выражением (4.86) замкнутый закон терминального управления маневром типа "змейка" принимает следующий вид (после обратной подстановки т = Т- /):
Дб  ------——ДИС-------Д0+
ab(T-t)3 b(T-i)2
(4.120)
,	60	9 А 24 АМ
----------------- До--------Ди .
b 2 (Т- О3 6(Г-/)]	b(T-t)2
Здесь, как сказано, время маневра определяется выражением (4.115). Для более точного определения этого времени следует учесть переменность массы ступени разведения и определять время Т по формуле Циолковского при условии постоянства удельного расхода топлива.
На рис. 4.20 представлен иллюстративный пример моделирования процесса управления в соответствии с законом (4.121) при Т= 5 с, ДО =
497
= 45°. Параметры СР были приняты следующими:« = 10 м/с", b = 35 м/с2. Как видно из приведенных графиков, алгоритм управления обеспечивает реализацию терминальных условий управления и обнуление приращения скорости "заноса" к концу маневра.
Алгоритм управления маневром типа "ooeeot'i piueopom"
Маневр данного типа представляет собой вращательно-поступательное движение ступени разведения, при котором ее продольная ось переводится из плоскости баллистического горизонта в положение, параллельное баллистической вертикали.
Воспользуемся приведенными вышелпнеарнзованными уравнениями вращательно-поступательного движения (4.113). Терминальные условия управления при совершении маневра "боевой разворот" задаются следующим образом:
Д1Кх(Гк) = 0, 4ft(Q = 0, До(Гг) = 0, Дб(гк.) = 0.	(4.121)
В данном случае в состав терминальных условий управления включено требование равенства угла 6 (угла отклонения поворотных сопел управляющей ДУ) заданному значению. В частности, при 6(/к) = = 0 вектор тяги ДУ на момент окончания маневра будет ориентирован по продольной оси СР, а управляющий момент будет равен нулю, Это обеспечит наиболее благоприятные условия отделения ББ от ступени разведения.
Для получения замкнутого закона управления воспользуемся общим выражением (4.104). Необходимо сначала выбрать матрицу ЛО порядка т, столбцы которой должны быть линейно независимыми со столбцами матрицы ВТФТ(/К, г). В рассматриваемой задаче имеем единственный параметр управления (угол б), поэтому т = 1 и матрица /?тФ'\гк. О, согласно выражению (4.118), записывается в виде строки (с учетом ранее принятых обозначений tK = Т, T-t = г):
В’ФЧТ.г) = а
1
— abt1 : Ь~ : Ь I.
2	]
(4.122)
Таким образом, Г(г) в данном случае представляет собой скалярную функцию, которая совместно с функциями а +	и b должна
образовать линейно независимую совокупность функций. Естественно в качестве такой функции выбрать ближайшую по порядку степенную функцию г3. Вычислим теперь матрицу V(T, t):
498
Й(Г,/) =
в цт> { f(7) :
В\Т) = [с О Ь], F(7) = О,
г
QBFdt =
+ —abx5 2
Ьх4
Ьх3
Таким образом, с учетом выражения (4.119) имеем:
	2 а2Ьх3 аЧУ ах*			 3	20	abx2 ab2x4 2	8	1 6	ах11 abx6 4	12
	аЬхг аЬ2х4	Ь2х3	i b2x2	bx3
			—	
Р(М)=	2	8	з	!	2	
	, ab2x3 abx*		Aid	! Ь2х	bx'
	б	2		4
	с	0	1 ь	0
499
	-2880 J	1800	! 480(6 -6т2) ;	60
	flW[	д62т4	i д63т5	}	дбт2
	збо !	-240	i 72(6т2-5) [	-12
Г1(т;о=	д62т4 1 1	62т3	!	б3?	; 1	1	6т
	2880 *	-1800	1 480(6 т2—6) ]	6т2-60
	д63т5 [	63т4	! 64x5 !	62т2
	1200 ;	-720	] 60(36т2-20);	-20
	. abz6 }	bts	; ьг^ ;	т3
Перемножим теперь матрицы, входящие в формулу (4.104), и с учетом того, что в данном случае к(/к) = Дбк, получим замкнутый закон управления маневром "боевой разворот":
	Д5 		L2L-Д1У	ДО - д6(7’-/)3	6 (Г-/)3 (4.123) 12	120	. А. 		До - До„. b(T-t) 62(Т-/)3]
На рис. 4.21 показаны результаты моделирования управления маневром в соответствии с законом (4.123) при следующих начальных
условиях:	ДИ^Оо) = 5 м/с> д&Оо) =	д“>('о) = °-
Рис. 4.21. Процесс управления маневром "Боевой разворот"
500
Моделирование проводилось при характеристиках СР, указанных выше. Терминальное значение угла Дб полагалось равным нулю. Как видно из графиков, закон управления (4.123) обеспечивает реализацию заданных терминальных условий движения и параметра управления.
4.3.5. Задача оптимизации маршрута обхода целей
Оснащение баллистических ракет разделяющимися головными частями с большим числом боевых блоков, предназначенных для поражения соответствующего количества индивидуальных целей, выдвинуло новую для ракетной техники задачу управления - определение наилучшей последовательности разведения ББ по совокупности целей, назначенных для поражения данной ракетой. Суть этой задачи состоит
в следующем.
Предположим, что за некоторой ракетой, оснащенной РГЧ с п боевыми блоками, закрепляется группа из п целей, расположенных в некотором районе земной поверхности, не выходящем за пределы области досягаемости данной ракеты. Предположим также, что
конструктивная схема ступени разведения предполагает последовательное отделение боевых блоков, при этом порядок отделения ББ от ступени разведения задан. Тем самым боевые блоки занумерованы в порядке их отделения от ступени разведения. Возможная последовательность направления отделяемых ББ на индивидуальные цели проиллюстрирована на рис. 4.22, где первый отделяемый ББ направляется в цель Ц(, второй - в цель Ц2 и т.д. Стрелки, соединяющие пары целей, показывают последовательность направления отделяемых ББ на индивидуальные цели. Таким образом, ломаная на рис. 4.22, образованная совокупностью направленных отрезков, представляет собой графическое изображение последовательности направления отделяемых ББ на соответствующие им цели.
Иначе эта последовательность называется маршрутом обхода целей или маршрутом
501
разведения. Термины "обход", "маршрут обхода" заимствованы из теории решения так называемых "задач о коммивояжере", о которых будет сказано ниже. Применительно к рассматриваемой задаче ломаную на рис. 4.22 можно трактовать как условное изображение "маршрута" движения ступени разведения, состоящего из ряда последовательных участков, каждый из которых заканчивается отделением очередного ББ направляемого в i-ю цель.
Очевидно, что при заданной последовательности отделения ББ от ступени разведения существуют различные варианты целераспределения ББ, т.е. различные варианты закрепления за каждым ББ индивидуальной цели. Соответственно, существуют различные маршруты обхода целей.
Нетрудно определить, что общее количество различных маршрутов разведения при направлении п боевых блоков на индивидуальные цели равно и!. Действительно, если для первого отделяемого от ступени разведения ББ возможны п вариантов закрепления его за п целями, то для второго ББ возможны п - 1 вариантов закрепления его за оставшимися после закрепления первого ББ л- 1 целя ми, для третьего ББ возможны п - 2 вариантов закрепления его за п - 2 целями, оставшимися после закрепления первых двух ББ, и т.д., чем и определяется общее число различных вариантов:
и! = «•(« - >)-(« - 2) ... 2-1.	(4.124)
Среди возможных вариантов необходимо выбрать единственный маршрут, лучший в смысле некоторого критерия оптимальности. Этот лучший маршрут и подлежит реализации в ходе планируемого пуска ракеты. На практике возможно применение двух основных критериев оптимальности - критерия минимума времени разведения (критерия быстродействия) и критерия минимума расхода массы (запаса топлива) ступени разведения. Последний критерий называется также энергетическим. Рассмотрим практические ситуации, когда целесообразно применение одного из названных критериев оптимальности.
Оптимизация маршрута обхода целей по критерию быстродействия
Критериальной функцией в данном случае является интервал времени между моментом отделения ступени разведения от ракеты-носителя и моментом отделения последнего ББ от ступени разведения. Этим интервалом времени определяется время разведения.
Выбор маршрута разведения по критерию быстродействия целесообразен в тех случаях когда существует опасность поражения ступени разведения средствами дальнего перехвата системы ПРО непосредственно
502
в процессе построения боевых порядков. В этих условиях желательно сократить время разведения до минимально достижимого уровня, уменьшив тем самым вероятность уничтожения СР с неотделившимися ББ средствами ПРО.
Оптимизация маршрута обхода целей по энергетическому критерию
Задача оптимизации маршрута обхода целей по энергетическому критерию обладает по своему содержанию существенной особенностью по сравнению с задачей оптимизации по критерию быстродействия. Эта особенность состоит в том, что целью решения задачи является не нахождение маршрута, строго оптимального по энергетике, а лишь маршрута, реализуемого по энергетике. При этом найденный маршрут может и не быть оптимальным. Поясним указанное обстоятельство.
Выбор маршрута разведения по энергетическому критерию осуществляется в интересах решения задачи досягаемости. Названная задача заключается в том, чтобы найти такой маршрут разведения, при котором гарантировалась бы досягаемость целей, назначенных для поражения данной ракетой. Условием досягаемости является достаточность имеющегося запаса топлива ступени разведения для реализации данного маршрута. Маршрут разведения считается реализуемым по энергетике, если расход топлива ступени разведения, требующийся для осуществления этого маршрута, не превышает имеющегося на ступени разведения запаса топлива. Задача досягаемости полагается решенной, если найден некоторый маршрут, реализуемый по энергетике. При этом совершенно не обязательно, чтобы найденный маршрут был строго оптимален по энергетике, т.е. требовал для своей реализации минимального расхода топлива в данных условиях разведения, поскольку сама по себе экономия топлива ступени разведения в процессе пуска ракеты не имеет практического смысла. Однако на практике возможны ситуации, когда условию реализуемости удовлетворяют лишь маршруты, весьма близкие по требуемому расходу топлива к оптимальному, либо этому условию удовлетворяет лишь единственный маршрут, являющийся строго оптимальным по расходу топлива. Поскольку заранее невозможно предопределить, каким окажется решение конкретной задачи досягаемости и будет ли найденный маршрут строго оптимальным по энергетике, или он будет неоптимальным, но реализуемым, задача определения маршрута обхода по энергетическому критерию в любом случае ставится и решается как оптимизационная задача.
В случае, если при решении задачи досягаемости выяснится, что оптимальный маршрут также нереализуем (т.е. требует большего суммарного расхода топлива, чем имеющийся запас топлива ступени
503
разведения),то рассматриваемая совокупность целей является недосягаемой и пуск данной ракеты по этой группе целей считается невозможным. В этих условиях, очевидно, потребуется видоизменить конфигурацию целей, назначенных для поражения данной ракетой.
В связи со сказанным отметим следующие обстоятельства.
1.	Энергетический критерий и критерий быстродействия в общем случае не эквивалентны и оптимизация маршрутов разведения по этим двум критериям приводит к различным результатам, т.е. маршрут, оптимальный по энергетике, может не быть оптимальным по быстродействию и наоборот. Неэквивалентность данных критериев определяется многими факторами: переменностью тяги ДУ ступени разведения; изменением массово-инерционных характеристик ступени разведения в процессе построения боевых порядков как вследствие выработки топлива, так и вследствие отделения ББ; переменностью поля баллистических производных и др.
2.	При решении практических задач выбора маршрутов разведения энергетический критерий обладает приоритетом перед критерием быстродействия, так как выбираемый маршрут должен быть безусловно реализуемым по энергетике. Поэтому маршрут, оптимальный по быстродействию, должен выбираться лишь из числа реализуемых. Таким образом, задача выбора маршрутов разведения должна решаться в два этапа: сначала по энергетическому критерию, а затем, при необходимости, по критерию быстродействия.
3.	Досягаемость или недосягаемость ракетой, оснащенной РГЧ, группы назначенных для поражения целей определяется двумя основными факторами - энергетикой ступени разведения и качеством алгоритмов управления, оцениваемому также по энергетическому критерию. Поэтому алгоритмы управления вращательно-поступательным движением ступени разведения должны быть либо оптимальными по энергетическому критерию, либо быть близкими к оптимальным.
4.	На практике выбор совокупности целей, назначаемых для поражения данной ракетой, осуществляется не произвольно, а из условия их принадлежности некоторому ограниченному району, не выходящему за пределы так называемого располагаемого прямоугольника разведения боевых блоков данной ракеты ([2], с. 418). Располагаемый прямоугольник разведения определяется при проектировании ракеты и ступени разведения для некоторых типовых условий пуска ракеты (дальность, азимут) и для типовых конфигурации целей. Однако в реальных условиях возможны конфигурации целей, отличные от типовых, которые хотя и принадлежат располагаемому прямоугольнику разведения, могут быть недосягаемыми при некоторых маршрутах разведепия. Таким образом, маршрут,удовлетворяющийусловиюдосягаемостисовокупностей целей,
504
имеющих нетиповые конфигурации, может быть найден только в процессе решения задачи оптимизации разведения по энергетическому критерию.
Проведем теперь более подробный анализ содержания задачи оптимизации маршрутов разведения и охарактеризуем методы ее решения. Постановка данной задачи заключается в следующем:
Дано-. 1. Конструктивные и энергетические характеристики ракеты и ступени разведения заданы.
2.	Заданы алгоритмы управления движением ступени разведения на всех этапах маневрирования при построении боевых порядков.
3.	Заданы координаты точки пуска ракеты и координаты точек целей, число которых полагаем равным числу боевых блоков РГЧ.
4.	Задан критерий оптимизации (энергетический критерий или критерий быстродействия).
Требуется: Найти маршрут разведения, оптимальный в смысле заданного критерия.
Из постановки задачи ясно, что одним из возможных способов ее решения может быть полный перебор всех вариантов решения задачи, общее число которых конечно и определяется формулой (4.124). Схема решения задачи выглядит в этом случае следующим образом.
Все возможные варианты маршрутов разведения упорядочиваются таким образом, при котором каждому варианту соответствует одна конкретная перестановка из п чисел, общее количество которых равно л!. Таким образом, каждая перестановка из п чисел определяет номера целей, в которые направляются боевые блоки в порядке их отделения от ступени разведения, и тем самым-маршрут разведения. Упорядоченные варианты нумеруются от 1 до У = л!. После этого каждомуу-му варианту решения задачи (т.е. у-му маршруту разведения, где у = 1,2,..., N) должна быть поставлена в соответствие "цена варианта" в виде значения критериальной функции, принятой при решении данной оптимизационной задачи - суммарный расход топлива ступени разведения или время разведения. Вариант с минимальной "ценой" является оптимальным и представляет собой решение поставленной задачи.
При внешней простоте данный подход к решению задачи чрезвычайно трудоемок. Действительно, для определения "цены" каждого анализируемого варианта маршрута разведения необходимо провести полное математическое моделирование процесса разведения ББ и построения боевых порядков всех элементов боевого оснащения, включая ложные цели, отделение которых влияет на программу разведения. В общем случае моделирование процесса разведения требует интегрирования уравнений вращательно-поступательного движения ступени разведения, проведения расчетов баллистических производных и ориентации осей
505
баллистических систем координат с учетом их переменности в процессе разведения, интегрирования уравнений движения ББ на ПУТ вплоть до момента попадания в цели и т.д. Если даже просчет одного варианта потребует незначительных затрат времени, суммарные затраты времени на просчет всех вариантов могут оказаться чрезмерными.
Для иллюстрации этого обстоятельства приведем следующий пример. Если число ББ и соответствующих им целей равно 10, то общее количество различных маршрутов разведения составляете данном случае 10! = 3 628 800. Предположим, что моделирование процесса разведения ББ в одном варианте и определение его "цены" требует 1 с машинного времени. В этом случае перебор всех вариантов потребует 1008 ч машинного времени.
Из этого примера видно, что проблема сокращения потребных затрат времени на решение задачи оптимизации маршрутов разведения весьма актуальна даже в условиях применения современных высокоэффективных ЦВМ. Актуальность названной проблемы еще более взрастает в связи с тем, что на современных ракетных комплексах задача оценки досягаемости и выбора оптимальных маршрутов разведения может решаться как заблаговременно, так и оперативно по информации о целеуказаниях, переданных на пусковую установку по каналам системы боевого управления [12]. Требование оперативности боевого применения ракетных комплексов накладывает наиболее жесткие временные ограничения на решение задачи оптимизации маршрутов разведения.
Проблема сокращения общих затрат времени на рассматриваемую задачу оптимизации решается по ряду направлений. Одно из этих направлений заключается в разработке и применении упрощенных моделей движения ступени разведения, что позволяет сократить время на моделирование разведения и определение "цены" анализируемого варианта. Другое направление состоит в применении более эффективных в вычислительном отношении процедур поиска оптимального решения по сравнению с методом полного перебора. Остановимся на данном направлении подробнее.
В математическом плане рассматриваемая задача относится к классу задач целочисленного или дискретного программирования, характерная особенность которых заключается в конечности множества допустимых вариантов решения задачи, на котором проводится оптимизация. Классическим примером задачи целочисленного программирования является так называемая "задача о коммивояжере" ([4], с. 39). Данная задача состоит в следующем.
Коммивояжер (торговый агент по доставке товара клиентам) должен посетить п населенных пунктов, перемещаясь последовательно от одного пункта к другому по маршруту, оптимальному по некоторому критерию.
506
В качестве критерия оптимизации может рассматриваться минимум расстояния, пройденного при движении поданному маршруту, минимум платы за проезд и т.д. Задача о коммивояжере заключается в поиске оптимального маршрута.
Существуют различные варианты задачи о коммивояжере, различающиеся правилом назначения "цены" маршрута, а также видом маршрута (замкнутый или разомкнутый). В простейшем варианте"цена" перехода из одного пункта в другой фиксирована и не зависит от маршрута движения. Например, расстояния между пунктами постоянны и не зависят от порядка их посещения. Такую задачу называют задачей с постоянной метрикой. Более сложным вариантом является задача с переменной метрикой, когда "цена" перехода из пункта в пункт зависит от маршрута движения на предыдущем этапе. Например, плата за проезд может уменьшаться по мере того, как коммивояжер оставляет часть товара на предыдущих остановках. Определяемый маршрут является по постановке задачи замкнутым, если коммивояжер должен возвратиться в исходный пункт начала движения, и незамкнутым, если требование возвращения в исходный пункт не ставится.
Нетрудно видеть, что задача выбора оптимального маршрута разведения ББ структурно тождественна задаче о коммивояжере, чем и объясняются терминологическиезаимствования, о которых упоминалось выше {маршрут разведения, обход целей ступенью разведения и др.). При этом в данном случае мы имеем дело с задачей о коммивояжере с незамкнутым маршрутом и с переменной метрикой. Последнее обстоятельство определяется тем, что затраты топлива ступени разведения при переходе от одной цели к другой зависят не только от расстояния между этими целями на земной поверхности, но и от предыстории движения. В частности, уменьшение массы ступени разведения по мере отделения ББ повышает эффективность расходования топлива СР на сообщение ей заданного приращения скорости при переходе к последующей цели вследствие увеличения кажущегося ускорения СР при той же тяге ДУ. С другой стороны, уменьшение скоростных баллистических производных по мере движения СР по траектории приводит к увеличению потребных приращений скорости при переходе СР на последующие цели, что вызывает соответствующее увеличение потребного расхода топлива по сравнению с предыдущими этапами разведения. Хотя данные факторы частично уравновешивают друг друга, полной взаимной их компенсации не происходит. Переменность метрики означает, что "цена" каждого участка маршрута разведения при переходе от одной точки цели к другой не может быть установлена заранее и включена в постановку оптимизационной задачи, а должна определяться непосредственно в ходе ее решения.
507
Итак, задача оптимизации маршрутов разведения может быть интерпретирована как задача о коммивояжере с переменной метрикой и незамкнутым маршрутом. В теории целочисленного программирования разработаны и применяются ряд методов решения задач подобного типа, которыегак или иначе сводятся к частичному перебору анализируемых вариантов, что по сравнению с полным перебором дает экономию вычислительных затрат. Наиболее эффективным среди них является метод "ветвей и границ'', представляющий собой метод направленного перебора возможных вариантов решения задачи (см. [3,7J). Наряду с этим в практике оптимизации маршрутов разведения находят применение упрошенные методы частичного перебора, которые существенно сокращают число анализируемых вариантов, хотя позволяют получить лишь квазиоптимальное решение, т.е. решение, близкое в некоторой степени к оптимальному. Основу этих методов составляет идея просмотра и опенки возможных вариантов маршрутов разведения на несколько шагов вперед. Рассмотрим содержание одного из этих методов при просмотре вариантов маршрутов разведения на три шага вперед (так называемая "трехшаговая стратегии" просмотра вариантов).
Примем для определенности, что задается совокупность из 10 целей. Процедура реализации метода начинается с. того, что одна из целей выбирается в качестве исходной точки маршрута обхода. Далее рассматривается первый шаг маршрута обхода, ведущий в одну из оставшихся 9 целей. Для каждого варианта первого шага математическим моделированием движения ступени разведения на интервале перехода от первой ко второй цели определяются потребные запасы топлива, представляющие собой "цену1 первого шага. Послеэтого рассмагривает-ся второй шаг маршрута разведения, ведущий в одну из оставшихся 8 целей, и аналогичным образом определяется "цена" каждого второго шага. Наконец, для каждой из 8 целей, являющихся конечной точкой двухшагового маршрута, рассматривается трет ий шаг, ведущий в одну из 7 оставшихся целей, и определяется цена" каждого третьего шага. Суммированием "цены" каждых последовательных шагов определяется "цена" образованного ими трех шагового полмаршрута обхода четырех целей. Общее количество просмотренных таким образом грехшаговых подмаршрутов равно, очевидно, 9<8>:7 - 5(К Для каждого из них находится "цена" подмаршрута н по критерию минимума "цены" находится оптимальный подмаршрут. у которого начальная, промежуточные и конечная точки однозначно определены.
Далее аналогичным образом рассматриваются и оцениваются трехшаговые подмаршруты, начинающиеся в конечной точке предыдущего подмаршрута. Общее количество просматриваемых вариантов на этом этапе решения задачи равно 6--.5х4 = 120. Наконец, третий трехшаговый
508
оптимальный подмаршрут определяется в результате просмотра 3.<2* 1 = = 6 вариантов. Последовательное соединение трех оптимальных подмаршрутов образует полный маршрут обхода целей. Общее количество просмотренных вариантов составляет 630. Если теперь учесть, что в качестве начальной точки маршрута может быть выбрана любая из 10 целей, то общее количество подлежащих оцениванию вариантов составит б 300. В результате подобного решения задачи вероятнее всег о будет найден лишь квазиоптнмальный маршрут, однако ебшее число просмотренных вариантов сокращается по сравнению с полным перебором в 576 раз.
На практике "трехшаговая стратегия'1 просмотра вариантов дает в большинстве случаев удовлетворительную точность решения задачи, т.е. обеспечивает получение квазиоптимального маршрута, "цена" которого достаточно близка к ес минимальному значению, соответствующему оптимальному маршруту.
Количество вариантов, анализируемых в процессе решения задачи, может быть еше более сокращено, если применить "двухшаговую стратегию" с глубиной просмотра вариантов не на три, а на два шага вперед. Нетрудно определить, что ".двухшаговая стратегия" требует просмотра 1400 вариантов. Наконец, "одношаговая стратегия" требует просмотра лишь 440 вариантов. Данная простейшая стратегия частичного перебора вариантов получила также название "стратегии ближайшей точки", так как переход от одной точки маршрута к другой осуществляется по критерию минимальности "цены'1 текущего шага. Применительно к задаче коммивояжера это означает, что переход от одного пункта маршрута к другому производится по признаку минимальности расстояния между этими пунктами.
При оперативном решении задачи досягаемости можег оказаться целесообразным последовательное применение названных выше стратегий поиска, поскольку в данном случае лет необходимости находить оптимальный маршрут обхода целей, а достаточно найти хотя бы один маршрут, удовлетворяющий условию досягаемости по энергетике. Таким образом, решение задачи может начинаться в рамках "одношаговой стратегии" просмотра вариантов. Если маршрут, удовлетворяющий условию досягаемости, будет найден, то решение задачи заканчивается. В противном случае следует перейт и к "дв> хшаго-вой стратегии”, при этом вариант].;, просмотренные на предыдущем .этапе решения задачи, могут быть исключены. Таким образом, второй этап решения задачи потребует просмотра 960 вариантов. Если решение задачи не будет найдено и на этом этапе, следует перейти к"грехшаговой стратегии", исключив из анализа ранее просмотренные варианты. На третьем этапе решения задачи потребуется просмотреть 4 900 вариантов.
509
Если маршрут, удовлетворяющий условию досягаемости целей, не будет найден и в рамках "трехшаговой стратегии", то следует либо принять заключение о недосягаемости данной совокупности целей, либо продолжить поиск, применив более эффективные методы, например, метод "ветвей и границ", при котором производится направленный перебор вариантов решения задачи.
Литература к разделу IV
>. Бранен Б.Н., Шмыглевский И.П. Применение кватернионов в задачах ориентации твердого тела. М.: Наука, 1978.320 с.
2.	Военный энциклопедический словарь ракетных войск стратегического назначения. М.: Изд. Большая Российская энциклопедия, 1999.632 с.
3.	Иванов В.А., Фалдин Н.В. Теория оптимальных систем автоматического управления. М.: Наука, 1981. 331 с.
4.	Корбут А.А., Финкельштейн Ю.Ю. Дискретное программирование. М.: Наука, 1969. 368 с.
5.	Лебедев А.А., Герасгата Н.Ф. Баллистика ракет. М.: Машиностроение, 1970. 244 с.
6.	Математическая энциклопедия. Т. 2. М.: Изд. Советская энциклопедия, 1979. 1103 с.
7.	Межконтинентальные баллистические ракеты СССР (РФ) и США / Под ред. Е.Б. Волкова. М.: РВСН, 1996. 376 с.
8.	Мину М. Математическое программирование. Теория и алгоритмы, пер. с фр. М.: Наука, 1990. 488 с.
9.	Основы теории полета космических аппаратов / Под ред. Г.С. Нариманова и М.К. Тихонравова. М.: Машиностроение, 1972. 607 с.
10.	Разоренов Г.Н. Формулы векторно-матричного дифференцирования. М.: Изд. МО СССР, 1988. 36 с.
11.	Стренг Г. Линейная алгебра и ее применения, пер. с англ. М.: Мир, 1980.454 с.
12.	Точность межконтинентальных баллистических ракет / Под ред. Л.И. Волкова. М.: Машиностроение, 1996. 304 с.
13.	Фельдбаум А.А. Основы теории оптимальных автоматических систем. М.: Наука, 1966.623 с.
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ УПРАВЛЯЕМОСТИ
П1.1. Содержание задачи управляемости
Свойство управляемости характеризует способность объекта управления изменять свое состояние в тех или иных пределах под действием управлений. У реальных объектов пределы возможного изменения состояния с помощью допустимых управлений всегда ограничены, поэтому задачи управления могут ставиться и решаться только с учетом этих ограничений. Исследование управляемости и заключается в установлении возможных пределов изменения состояния объектов управления. В рамках этого исследования выделяют две основные задачи - задачу анализа структурной управляемости объекта управления и задачу построения областей управляемости и достижимости.
Свойство структурной управляемости заключается в принципиальной возможности независимого влияния управляющих воздействий на все параметры состояния объекта управления и определяется структурой его математической модели. Задача анализа структурной управляемости решается с помощью известных критериев Калмана для класса линейных систем и их обобщений на нелинейные системы. На этом этапе исследования ограничения на управления не учитываются. После установления структурной управляемости анализируемого объекта (полной или неполной) переходят к построению областей управляемости и достижимости с учетом ограничений на управления.
Обе названные выше задачи актуальны применительно к рассматриваемым нами объектам управления БР и ГЧ. Хотя уравнения движения БР и ГЧ являются нелинейными, для анализа принципиальных вопросов управляемости этих объектов достаточно воспользоваться результатами теории управляемости линейных динамических систем.
Рассмотрим математическую модель объекта управления в виде системы линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, которая в матричных обозначениях имеет следующий стандартный вид:
* = A(t)x + B(t)u, xeRn, ueRm.	(П1.1)
Здесь х- «-мерный вектор-столбец параметров состояния объекта управления; и -/«-мерный вектор-столбец параметров управления; Rn и
511
Rm-фазовое пространство и пространство управлений динамической системы (П. 1.1); А(/) и В(г) - матрицы размера ихп и пхт соответственно.
Параметры управления Uj, образующие столбец и, предполагаются взаимно независимыми,что выражается условием максимальности ранга матрицы В:
ранг В = т.
(П1.2)
Кроме того, параметры управления подчинены ограничениям, отражающим ограниченность ресурсов управления у реальных систем. Типичными являются следующие ограничения:
-kjsu^skj, J =	(П1.3)
О ikj, j =
( m V2 l«(t)KP, M= ; U-i )
Ли(т)|«/т M\
(П1.4)
(П1.5)
(П1.6)
T.
(Ш.7)
Неравенства (П1.3) и (П1.4) отражают ограниченность пределов отклонения органов управления ЛА и ограниченность массового секундного расхода топлива ДУ, неравенства (П1.5) - ограниченность модуля управляющих сил (силы тяги ДУ или полной аэродинамической силы), неравенства (П1.6) и (П1.7) - ограниченность запаса топлива и конечность интервала времени управления.
Задача управления системой (П1.1) заключается в переводе ее из некоторого начального состояния в заданное конечное (терминальное) состояние за ограниченное время. Связь между начальным и конечным состояниями может быть выражена известной формулой Коши:
512
лг(Гк) = Ф(/к,/о)л:(/о) + уФ(/хл)В(т)и(т)</т,	(П1.8)
'о
где Ф(г, т) - переходная матрица состояний, выражающаяся через матрицу фундаментальных решений Ч^т) однородной системы дифференциальных уравнений:
х = A(t)x,	(П1.9)
Ф(Г.-с) = ф(0Ф'*(т).	(ШЛО)
Слагаемое Ф(гк, ^0)л(г0) в формуле Коши определяет свободное движение системы при отсутствии управляющих воздействий. Слагаемое, зависящее от управлений, представляет собой вынужденное движение. Очевидно, что перевод системы (П1.1) в заданное терминальное состояние может быть достигнут как выбором необходимых начальных условий, т.е. путем обеспечения требуемого свободного движения, так и выбором соответствующих управляющих воздействий. Свойство управляемости связывается с возможностью желаемого изменения состояния системы именно за счет вынужденной составляющей движения.
Введем следующие определения.
Областью управляемости Q(t0, tK) системы (П1.1) называется множество состояний x(tQ) g Rn, для каждого из которых существует допустимое управление, обеспечивающее перевод системы (П1.1) в состояние х(гк) = 0 (т.е. в начало координат фазового пространства) за время T=tK-tQ.
Состояния g Q(t0, называются управляемыми состояниями.
Областью достижимости R(t0, tK) системы (П1.1) называется множество состояний x(tK) g Rn, для каждого из которых существует допустимое управление, обеспечивающее перевод системы (П1.1) из начала координат фазового пространства в состояние х(/к) за время Т= ^0’
Состояния x(rK) g R(t0, tK) называются достижимыми состояниями.
Из формулы Коши вытекают следующие выражения для управляемых и достижимых состояний:
*('о) = -[ФЦоЛВфиЮб-с,	(П1.11)
'о
513
x(ZK) 9 у*Ф(Гк>-с)5(т)и(т)</-с,	(П1.12)
•о
откуда видно, что управляемое и достижимое состояния, соответствующие одному и тому же допустимому управлению, связаны формулой
х(0 = -Ф(/0,/к)х(гк).	(П1.13)
Аналогичная формула связывает области управляемости и достижимости:
6(w<) = -Фоо»ил(/о,гк).	(ni.i4)
В частном случае, когда матрицы А и В постоянны (система (П1.1) стационарна), матрица фундаментальных решений однородной системы уравнений выражается с помощью матричной экспоненты:
ф(т) = еАх,	(П1.15)
которая определяется как сумма степенного ряда,
еАт = Е + Я-с + -1л2-с2 + ^-Я3?...+	(П1.16)
В этом случае формула Коши и формулы (П1.13) и (П1.14) записываются следующим образом (в предположении г0 = 0, tK = 7):
т
х(Т) = еАТх(0) + £еА<г~х)'Ви(т)<1т,	(П1.17)
о
х(0) = -е'АГ-х(Т),	(П1.18)
6(7) = -e~AT‘R(T).	(П1.19)
Как будет видно из приводимых ниже примеров, в общем случае при наличии ограничений на управления области управляемости и достижимости не совпадают. Это означает, что некоторое управляемое состояние может оказаться недостижимым, а некоторое достижимое состояние-
514
неуправляемым. Однако при отсутствии ограничений на управления области управляемости и достижимости совпадают.
П1.2. Задача анализа структурной управляемости
Задача анализа структурной управляемости рассматривается при отсутствии ограничений на параметры управления и интервал времени процесса управления. Задача заключается в выяснении того, существуют ли в фазовом пространстве системы неуправляемые и недостижимые состояния. При этом система (П 1.1) называется полностью управляемой, если любое ее состояние* g Rn является управляемым и достижимым при некоторых конечных г0 и /к. Соответственно, система называется неполностью управляемой, если неуправляемые и недостижимые состояния существуют.
Данная задача решается, как известно, с помощью критериев управляемости Калмана. Приведем формулировки этих критериев.
Критерий полной управляемости. Система (П1.1) является полностью управляемой в фазовом пространстве Rn (т.е. Q(t0,	= Rn) в том и
только в том случае, если невырождена матрица управляемости. определяемая выражением:
= ^(f^B^B^x^^dx,	(П1.20)
•о
* 0.	(П1.21)
Соответственно, если матрица (П1.20) вырождена, система (П1.1) называется неполностью управляемой. В этом случае в Rn существует линейное подпространство неуправляемых состояний размерности d = =п -к, гдеЛ-ранг матрицы управляемости (П1.20). Число dназывается дефектом управляемости системы (ПI. I).
Закон управления и(х), при котором система (П1.1) в случае ее полной управляемости переводится из произвольного начального состояния *(г0) в начало координат фазового пространства, записывается с учетом формулы (П 1.11) следующим образом:
и(т) =	(П1.22)
откуда непосредственно вытекает достаточность условия полной управляемости (П1.21), при котором существует обратная матрица
515
B-‘(r0, U- Доказательство необходимости этого условия см. в [3].
Критерий полной достижимости. Система (П1.1) является полностью достижимой в фазовом пространстве Rn (т.е. 2?(f0, rK) = R’*) в том и только в том случае, если невырождена матрица достижимости, определяемая выражением:
VM = /Ф(гк,т)Л(г)Лт(т)Фт(<к,т)с/т,	Щ1.23)
detF(z0,/K) * 0.	(ГН.24)
Если матрица (П1.23) вырождена, то в Rn существует линейное подпространство недостижимых состояний размерности d = п -к, где к - ранг матрицы достижимости (П1.23).
Закон управления и(т), при котором система (П1.1) в случае выполнения условия (П1.24) переводится из начала координат фазового пространства в произвольное конечное состояние х(гк) записывается с учетом формулы (П 1.12) в виде
и(т) =	(П1.25)
Нетрудно убедиться, что условия полной управляемости и полной достижимости эквивалентны, т.е. из условия (П1.21) вытекает полная достижимость, а из условия (П1.24) - полная управляемость. Данное заключение следует из факта равенства рангов матриц управляемости и достижимости. В справедливости указанного факта нетрудно убедиться, представив матрицы управляемости и достижимости в следующем виде:
= ¥(r0)W(/0,rK)Y-,(/o).	(П1.26)
V(t0, Q = Y (Q M(t0, Q ¥-‘ (Q,	(П1.27)
где матрица M(tQ, tK) определяется выражением:
W,) = ^Т-«(т)Д(т)Дт(т)[У'(т)ГЛ.	(П1.28)
Г0
516
Поскольку матрица фундаментальных решений ¥(?) невырождена при всех т, из формул (П1.26) и (П1.27) вытекает равенство рангов матриц управляемости, достижимости и матрицы Л/(г0, tK):
рангРК(г0,гк) = рангГ(г0,гк) = рангЛ/(г0,/к). (П1.29)
Таким образом, может быть сформулирован единый критерий полной управляемости и полной достижимости системы (П1.1) как условие невырожденности матрицы Л/(Г0, Гк). Наряду с этим можно дать иную формулировку данного критерия, более удобную в приложениях. Для этого следуетучесть, что матрица Л/(/о, гк) может быть интерпретирована как матрица Грама, записанная для строк матрицы Y“*(t)2?(t).
Поясним, что в общем случае матрица Грама представляет собой квадратную симметрическую матрицу л-го порядка, образованную попарными скалярными произведениями некоторой совокупности из п элементов линейного пространства. Ранг матрицы Грама равен максимальному числу линейно независимых элементов из рассматриваемой совокупности. Данное утверждение известно как критерий Грама линейной независимости векторов и функций (см. [4], с. 225).
Матрица 'Г"*(т)В(т) может рассматриваться как совокупность ее строк, каждая из которых представляет собой вектор-функцию времени:
Y-'(t)B(t) =
(П1.30)
<р„СО
для которых скалярные произведения определяются формулой:
(ф/СО’ф/*)) = {фЛ^’ф}^)^» Ц = !>2.........”•	(П1.31)
•о
Как видим, матрица Л/(г0, Гк) образована попарными скалярными произведениями (П 1.31) и поэтому является матрицей Грама для строк матрицы Y“*(t)B(t). В соответствии с критерием Грама ранг матрицы Л/(/о, /к) равен максимальному числу линейно независимых строк матрицы г (т)В(т). Указанное обстоятельство с учетом равенства (П1.29) позволяет сформулировать следующий единый критерий полной управляемости и полной достижимости.
517
•	Система (П1.1) полностью управляема и полностью достижима в фазовом пространстве Rn в том и только в том случае, если строки матрицы	число которых равно п, линейно независимы.
•	В случае, когда максимальное число линейно независимых строк матрицы Чн(т)В(т) меньше п и равно к, система (П1.1) нс полностью управляема и не полностью достижима, при этом неуправляемые и недостижимые состояния образуют в Rn линейное подпространство размерности d = п -к.
В заключение приведем известную формулировку критерия Калмана управляемости линейной стационарной системы. В данном случае матрицы А и В постоянны, поэтому матрица Ч/_1(т).В выражается с помощью матричной экспоненты следующим образом:
= е~л'-В = В-АВт + ±А2Вт2 + ...	(П1.32)
Ввиду линейной независимости совокупности степенных функций 1 ,-т, — т2
2
и т.д. число линейно независимых строк матрицы Т~1(т)Всовпадаете рангом следующей блочной матрицы управляемости стационарной системы.
G = [В i AB : А2В i...	(П1.33)
Поэтому справедлив следующий критерий полной управляемости и полной достижимости линейной стационарной системы.
•	Система вида (П 1.1) с постоянными матрицами А и В полностью управляема и полностью достижима в фазовом пространстве Rn в том и только в том случае, если ранг матрицы управляемости (П1.33) совпадает с размерностью фазового пространства:
рангб = п.	(П1.34)
•	В случае выполнения данного равенства любое состояние системы управляемо и достижимо как по отношению к началу координат, так и по отношению к любой другой точке фазового пространства.
Необходимым и достаточным условием неполной управляемости и неполной достижимости системы (П1.1) с постоянными матрицами А и В является неполнота ранга матрицы управляемости:
рангб = к<п.	(П1.35)
518
Случай неполной управляемости и неполной достижимости представляет особый интерес, так как в этом случае на задачи управления состоянием системы (Ш.1) накладываются жесткие ограничения. Структур ное свойство неполной управляемости и неполной достижимости становится особенно наглядным, если осуществить преобразование модели (П1.1) с помощью линейной невырожденной замены переменных к так называемому каноническому виду, при котором параметры состояния, выраженные в новых переменных, разделяются на две группы параметров - управляемые н полностью неуправляемые. Рассмотрим данный вопрос подробнее.
П1.3. Канонический вид линейной динамической системы
Ограничимся анализом стационарной системы вида (П1.1). Предположим, что данная система ненаблюдаема и справедливо условие (П1.35). Приведение данной системы к каноническому виду заключается в том, что осуществляется замена фазовых переменных, которая выражается следующим матричным равенством:
£ = Sx,
(П1.36)
гдеS-квадратная невырожденная матрица. Способ построения данной матрицы состоит в том, что в качестве первых к столбцов этой матрицы достаточно выбрать к любых линейно независимых столбцов матрицы управляемости, а остальные столбцы выбираются произвольно при соблюдении единственного условия невырожденности матрицы 5. После замены переменных модель (П1.1) преобразуется к виду
X = SAS'1 Х + SBu,
н после введения матриц Л = SAS~', B = SB - к стандартному виду:
х = Ах + Ви.
(П1.37)
Принципиальная особенность модели (П1.37) в канонических переменных состоит в том, что благодаря условию (П1.35) и способу выбора матрицы 5 новые матрицы Л и В имеют характерную блочную структуру:
519
A =
где нулевые блоки расположены в последних л-t строках матриц Л и В. Вследствие этого при разделении вектора а на два подвектора и х2, состоящие из it и п -к компонент, модель (П1.37) записывается в виде двух систем уравнений:
+ Л]2^2 + Btu,	(П1.38)
А = ^22^2-	(П1.39)
Здесь вторая система не зависит от первой системы, не содержит параметров управления и замкнута. Вследствие этого закон изменения компонент вектора х2, определяемый в силу уравнений (П1.39) только динамикой свободного движения системы (П1.37) и начальными условиями, не поддается управляемому воздействию. Это и означает, что параметры состояния, образующие вектор £2, полностью неуправляемы. В частном случае нулевых начальных условий вектор х2 остается тождественно равным нулю и управляющие воздействия не способны "сдвинуть" объект управления из его начального состояния по параметрам Я2.
Подсистема (П1.38) в силу условия (П1.35) полностью управляема в /.--мерном подпространстве параметров, образующих компоненты вектора Л2. Свободная составляющая Л12£2, присутствующая в правой части уравнения (П1.38), не влияет в силу линейности модели на свойства управляемости этой подсистемы.
Доказательство представимости модели (П1.1) в случае ее неполной управляемости в виде двух подсистем (П1.38) и (П1.39) дано в [2].
Таким образом, канонический вид модели динамической системы показывает, что управляемыми являются лишь такие состояния системы, которые описываются векторами вида
520
а неуправляемые состояния описываются векторами вида

=
1де Afj и Л?2 - линейные подпространства фазового пространства системы размерностей Лип- А' соответственно. В силу этого любой вектор состояния может быть представлен в виде суммы:
.-? = х’<»-х<2>,	(П1.40)
а само фазовое пространство объекта управления представлено в виде прямой суммы подпространств Л?, и Jit:
Rn = Л^еЛ^.
(П1.41)
Поскольку свойства управляемости и неуправляемости состояний линейных систем инвариантны относительно линейных невырожденных преобразований параметров состояния, то представления вида (П1.40) и (П1.41) справедливы и для исходной модели (П1.1).
Таким образом, если динамическая система (П1.1) не полностью управляема и ранг матрицы управляемости равен к, то пространство состояний системы разложимо в прямую сумму подпространств и А/2 размерностей к и п -к соответственно.
Rn --М^Мг,	(П1.42)
а любой вектор состояния может быть выражен в виде суммы векторов:
х =	х2еЛ/2>	(П1.43)
где состояние Xj управляемо, а состояние х2 полностью неуправляемо. При этом подпространство Л/, совпадает с линейной оболочкой
- 7674
521
столбцов матрицы управляемости, а А/? представляет собой дополнение A/j до Rn.
Нетрудно убедиться, что подпространство Af (является одновременно областью достижимости из начала координат, а при ненулевом начальном состоянии х(с0) область достижимости представляет собой множество таких состояний х(\), для которых справедливо равенство х(/к) = х(/0) + х1.гдех1 е Л/(. Другими словами, взаимно достижимыми состояниями пространства R” являются только такие состояния х(г0) и x(zK), разность которых принадлежит подпространству Только для таких пар состояний и могут решаться задачи управления.
П1.4. Задача построения областей управляемости и достижимости
Рассмотрим вопрос о построении областей управляемости и достижимости при ограничениях на управления. Поскольку данные области существуют только в подпространстве управляемых состояний объекта управления, далее полагаем, что система (П1.1) обладает свойством полной структурной управляемости, а управляющие воздействия подчинены одному или нескольким ограничениям вида (П1.3) - (Ш.7).
Для линейных систем конфигурация областей управляемости и достижимости весьма подробно исследована в [5], где показано, что в общем случае данные области представляют собой замкнутые множества, размеры которых увеличиваются с увеличением времени 1К. Характерной особенност ью задач построения областей управляемости и достижимости является то обстоятельство, что эти задачи принадлежат к классу задач оптимального управления, так как граничные точки указанных областей достигаются на управлении, оптимальном в смысле некоторого критерия, вид которого определяется характером ограничений на параметры управления. Поскольку области управляемости и достижимости связаны выражением (III. 14), то достаточно построить одну из этих областей, а затем с помошью отображения (П1.14) найти другую область. При этом задача построения области достижимости оказывается, как правило, проще задачи построения области управляемости, так как в первом случае необходимо решить более простую задачу оптимизации управления с фиксированным левым концом траектории управляемого движения, исходящей из начала координат, и свободным правым концом, который должен лежать на границе искомой области достижимости.
Далее задачи построения областей управляемости и достижимости будем рассматривать на примере простейшей системы второго порядка с одним параметром управления:
522
Рис. П. 1.1. Области достижимости и управляемости при ограничениях на управление (П1.45)
•<1 = х, х2 = и ’
(П1.44)
Данная система полностью управляема в пространстве R2, что следует из критерия Кал.мана (П1.34):
1
G = I
ранг G = 2.
Несмотря на простоту модели (П1.44), анализ ее областей управляемости и достижимости позволяет (как это показано в гл. 1.2) сформулировать содержательные выводы об условиях управляемости БР и ГЧ.
Рассмотрим область достижимости системы (П1.44) при ограничениях на управление вида (П1.3) и (П1.7):
re [О,Т\.	(П1.45)
Область достижимости при данных ограничениях изображена на рис, П1.1, а. Анализ задачи построения области достижимости при ограничениях (П1.45) показывает, что граничные точки этой области достижимы при управлении, оптимальном по быстродействию. Из теории оптимального управления известно, что для линейной системы 2-го порядка (П1.44) оптимальным по быстродействию является максимальное по модулю релейное управление с одним переключением.
523
В соответствии с этим граничные точки области, лежащие на кривой С, достигаются на управлении
О т s , з Т,
»(') »
-к,
г, 6 [О,Г],
а точки кривой D достигаются на управлении
“(") =
-А,
+Л,
О s т s t2, l2 & т Т,
h е [0,7].
Здесь /[ и моменты времени переключения управления. Угловые точки А и В достигаются на предельном управлении соответствующего знака. Кривые С и D представляют собой отрезки парабол, уравнения которых при произвольных к и Т имеют вид:
С : Л ] = Тхг +
кТ2 2
/	2
*
4
,	/ р
кТ2	X,
D\ х, = Тхг-^- + - Т- — .
1	2	2	4 к)
На рис. П1.1, б показана область управляемости рассматриваемой системы. Соответствие между граничными точками обеих областей устанавливается формулой (ГН. 19). где матрица е~л вычисляется по формуле (ГН. 16):
e.--iT =
1 -Т
0 1
(П1.46)
Направления движения системы по фазовым траекториям при соответствующих управлениях показаны на рис. П1.1 стрелками.
Анализ областей управляемости и достижимости позволяет вскрыть следующие важные свойства управляемости системы в рассматриваемом случае.
I. Области управляемости и достижимости охватывают начало координат фазового пространства при любых значениях параметров к и Т. Данное свойство системы (ГН.44) с ограничениями (П1.45) характеризуется как полная локальная управляемость.
524
Рис. П.1.2. Области достижимости и управляемости при ограничениях на управление (П1.47)
2. При увеличении значений параметров к и Т размеры областей управляемости и достижимости увеличиваются. Для любого сколь угодно малого значения параметра к размеры области управляемости могут быть неограниченно увеличены за счет увеличения времени управления Т. При отсутствии ограничения либо на величину параметра управления, либо на время управления область достижимости совпадает с фазовым пространством системы. В этом случае рассматриваемая система является глобально управляемой.
Рассмотрим теперь области достижимости системы (П1,44) при ограничениях на управление
Os u(t)ik, tktT.	(Ш.47)
Область достижимости изображена на рис. П1.2, я. Угловая точка Л достигается здесь, как и в предыдущем примере, на предельном управлении и = +к. Управление, обеспечивающее достижение других граничных точек, как и в предыдущем случае, ступенчато и оптимально по быстродействию.
Для правой границы области (кривая С) управление имеет вид:
«(г)
к,
0,
О S X £ Гр
Г[ s т s Т.
Для левой границы области (кривая D) управление имеет вид:
525
о
«(') =
О s t s: r2,
к, 12шГ.
Это управление обеспечивает достижение точек кривой D за время Т. Кривые D и С представляют собой отрезки парабол, уравнения которых имеют вид:
£>: х. = —х,2; С: х. = Гх,—— х22. 1 2к 2	1	2 2fc 2
На рис. П1.2, о показана область управляемости. Соответствие между граничными точками обеих областей устанавливается по формуле (П 1.19) с матрицей (П1.46).
Характерной особенностью областей управляемости и достижимости системы (П1.44) с ограничениями (П1.47) является то, что при любых значениях величин к и Т эти области не охватывают начало координат. Следовательно, для любого состояния х(0) е R~ существует континуум сколь угодно близких к нему состояний, недостижимых из х(0). Данная ситуация аналогична той, которая имеет место для системы, не полностью управляемой по критерию Калмана, поэтому система (П1.44) с ограничениями (П1.47) характеризуется как не полностью локально управляемая.
Очевидно, что причиной неполной управляемости является первое ограничение (П 1.47), исключающее возможность смены знака управления. Вследствие этого управление разгоняет систему в сторону увеличения значений фазовых координат Xj и л, и не способно затормозить движение и повернуть его вспять в сторону уменьшения фазовых координат. Ввиду того, что в данном случае области управляемости и достижимости имеют единственную общую точку (начало координат), взаимно управляемые и взаимно достижимые состояния отсутствуют.
В заключение рассмотрим области достижимости и управляемости для системы (Г11.-4) при ограничении на управление:
0</c1^«(0sA-2, tksT,	(Г11.48)
где в отличие от ограничения (П 1.47) управление строго больше нуля. Область достижимости при!\ =0.5;А'2= 1. Т- 2 показана на рис. П 1.3,#. Данная область ограничена слева фазовой траекторией, соответствующей максимальному управлению и - к2 (кривая D). Правая граница области состоит из двух частей: фазовой траектории, соответствующей минимальному управлению и - (кривая В) и кривой С. точки которой
526
Рис. П13. Области достижимости и управляемости при ограничениях на управление (П1.48)
достижимы за время Тна ступенчатом управлении:
О s т , (| s ts Т.
Точки кривой Е, лежащей внутри области достижимости (показана пунктирной линией), также достижимы за время Т на управлении:
fcj, 0 £ т £ t2, и(т) =
к2, t2 s т Т.
Все остальные точки области достижимы за время, меньшее Т.
Область управляемости при тех же значениях параметров к-, и Т показана на рис. П1.3. г5. Связь между точками кривых Е и С на рис. П 1.3, а и точками кривых £' и С' на рис. П! .3, б, соответствующим состояниям системы, достижимым и управляемым при i = Г, устанавливается по формуле (П 1.19) с .матрицей (П1.46). Связь между точками кривых В и D в области достижимости и точками кривых В’ и D' в области управляемости устанавливается той же формулой с матрицей е~4‘, где I < Т- время достижения соответствующего состояния.
Нетрудно видеть, что при уменьшении значения ограничения области достижимости и управляемости деформируется таким образом, что точки Гн F' приближаются к началу координат, а кривые D и Е (как и кривые С и £>’) сливаются друг с другом. В пределе при А | - 0 области
527
достижимости и управляемости принимают вид. изображенный на рис. П1.2.
Дальнейшие сведения по теории управляемости линейных и нелинейных систем читатель найдет в специальной литературе.
Литература к Приложению 1
I.	Kajivtaii Р. Об обшей теории систем управления. Труды [ Международного конгресса ИФАК. М.-.АНСССР, 1961.Т.2. С. 521.
2.	Kalman R. Canonical structure of linear dynamical systems. Proc. Nat. Acad. Sic. USA. 1962. V. 48. Гё 4. P. 596.
3.	Колман P., Фолб П., Арбиб M. Очерки по математической теории систем. М.' Мир, 1971.400 с
4.	Гашмахер Ф.Р. Теория матриц. Наука. 1967. 375 с.
5.	ФормальскнйА.М. Управляемость и устойчивость систем ограниченными ресурсами. М.: Наука. 1974. 368 с.
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
ОБЗОР ИСХОДНЫХ ПОЛОЖЕНИЙ МЕХАНИКИ И ФИЗИКИ, ЛЕЖАЩИХ В ОСНОВЕ ПРИНЦИПА ИНЕРЦИАЛЬНОЙ
НАВИГАЦИИ
П2.1. Инертность материальных тел. Законы И. Ньютона
Всеобщим фундаментальным свойством материи является свойство ее инертности. Это свойство, называемое также инерцией, инерционностью (от лат. inertia - бездействие, лень, вялость), проявляется в том, что все изменения установившегося состояния материальных объектов как покоя, так и движения, возможны только в результате некоторого воздействия со стороны других материальных тел, причем эти изменения происходят не мгновенно, а имеют некоторую продолжительность во времени, некоторую длительность.
Свойство инертности присуще как материальным телам, так и физическим полям. Принцип инерциальной навигации основан на инертных свойствах материи, проявляющихся в закономерностях поступательного и вращательного движения материальных тел.
Основой для изучения этих закономерностей служат фундаментальные законы Ньютона, описывающие движение материальных тел в рамках классической (нерелятивистской) механики. Законы Ньютона выполняются с высокой точностью при малых по сравнению со скоростью света скоростях движения. Поскольку в современной ракетно-космической технике скорости полета любых летательных аппаратов составляют не более 4‘10-3 % от скорости света, влиянием на закономерности их движения релятивистских эффектов (например, изменением массы в зависимости от скорости движения) можно полностью пренебречь и таким образом применять законы Ньютона без учета поправок на релятивистские эффекты.
Для удобства последующих ссылок приведем формулировки законов Ньютона. Как известно, первый закон Ньютона, называемый законом движения по инерции, заключается в том, что тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, если на него не действуют внешние силы или равнодействующая внешних сил равна нулю.
Второй закон Ньютона относится к случаю, когда на движущееся тело действуют внешние силы. Этим законом устанавливается количественное соотношение между равнодействующей внешних сил, массой тела и его ускорением в абсолютном пространстве. Данное соотношение
529
называется основным уравнением динамики:
та = F.	(П2.1)
Третий закон Ньютона, называемый законом равенства действия и противодействия, утверждает, что если одно тело действует на другое с некоторой силой, то первое тело испытывает силу противодействия, которая равна по величине и противоположна по направлению действующей силе.
Напомним, что первый и второй законы Ньютона справедливы при условии, что движение происходит в абсолютном (или инерциальном) пространстве. Система прямоугольных, координат, задающая базис в инерциальном пространстве, называется инерциальной или абсолютной. Определяющим свойством инерциальной системы координат является то, что в ней справедлив закон движения по инерции.
При описании движения тел в пределах Солнечной системы в качестве исходной инерциальной системы координат рассматривается прямоугольная система координат, начало которой совмещено с центром Солнца и оси сохраняют неизменной свою ориентацию относительно удаленных звезд, перемещением которых по небесной сфере можно пренебречь. Любая другая прямоугольная система координат, начало которой покоится или движется равномерно и прямолинейно относительно исходной инерциальной системы координат и оси которой сохраняют неизменными свои направления в пространстве, также является инерциальной, так как в ней справедлив закон движения по инерции.
При описании движения ракет и других ЛА, совершающих полет в окрестности Земли, допустимо полагать, что центр Земли .движется равномерно и прямолинейно в абсолютном пространстве (т.е. орбитальным движением Земли вокруг Солнца допустимо пренебречь), вследствие чего в качестве инерциальных могут использоваться неврашающиеся системы координат, начало которых совмещено с центром Земли.
Отметим, что используемое в релятивистской механике понятие система отсчета предполагает задание некоторой системы координат и связанных с ней часов для измерения времени в этой системе координат. Однако поскольку в классической механике время полагается абсолютным, течение которого одинаково в любых системах координат, движущихся произвольным образом друг относительно друга, то понятия системы координат и системы отсчета могут рассматриваться как синонимы.
530
П2.2. Принцип относительности Галилея
Принцип относительности Галилея утверждает, что законы Ньютона не меняют своих формулировок при переходе от одной инерциальной системы координат к другой. Следовательно, все механические явления протекают во всех инерциальных системах координат совершенно одинаково и в этом смысле все инерциальные системы координат равноправны. Наблюдая за механическими явлениями, протекающими в некоторой инерциальной системе координат, невозможно отличить эту систему координат от другой инерциальной системы координат и установить, покоится ли она в абсолютном пространстве или движется равномерно и прямолинейно с некоторой скоростью.
Из принципа относительности Галилея вытекает следующий практический вывод, имеющий непосредственноеотношениек принципу инерциальной навигации: по показаниям любых измерительных приборов, действие которых основано на наблюдении за механическими процессами, протекающими внутри объекта навигации (в том числе по показаниям инерциальных измерительных приборов) начальное положение и начальную скорость объекта навигации определить невозможно.
Действительно, поскольку по показаниям упомянутых приборов невозможно установить, покоится ли система координат, выбранная для описания движения данного объекта навигации, или движется с некоторой постоянной скоростью, то начальное положение и начальная скорость объекта навигации не могут быть определены.
Таким образом, для определения начального положения и начальной скорости объекта навигации необходимо использовать другие источники информации (средства ориентирования на местности, систем ы астро- или радионавигации и т.п.).
П2.3. Постулат равенства инертной и гравитационной массы тела. Принцип относительности Эйнштейна
Постулат равенства инертной и гравитационной массы играет фундаментальную роль в современной физике и является одним из исходных положений общей теории относительности (см. [9]). Он также имеет непосредственное отношение к принципу инерциальной навигации.
Поясним понятия инертной и гравитационной (ее также называют тяжелой) масс тела. Для определенности рассмотрим уравнение движения ракеты, на которую в общем случае действуют сила тяги ДУ, аэродинамические силы и сила притяжения Земли:
531
тяа = Р + R + В.	(П2.2)
Выразим силу притяжения в виде произведения массы ракеты на ускорение свободного падения, величина которого в данной точке пространства определяется гравитационным потенциалом:
В - tnTg, g = gradU.	(П2.3)
С учетом этого перепишем уравнение (П2.2) в виде
т “а = Р R + т rg.	(П2.4)
Массы, присутствующие в левой и правой частях этого уравнения, имеют различный физический смысл. Это различие отражено нами с помощью верхних индексов "и’’ и ”г". Масса тл в левой части этого уравнения является по второму закону Ньютона количественной мерой инертности тела и называется инертной массой. Масса шг определяет величину силы притяжения, действующей на ракету со стороны Земли в соответствии с законом всемирного притяжения. Эту массу принято называть гравитационной массой. Данные массы характеризуют различные свойства материального тела и поэтому могут отличаться одна от другой.
Вопрос о равенстве или различии инертной и гравитационной масс принадлежит к числу важнейших вопросов физики и решается экспериментальным путем. Как известно, первые такие эксперименты проводились еще Галилеем (опыты по определению времени падения различных тел с Пизанской башни) и Ньютоном (опыты с крутильным маятником). Проведенные к настоящему времени тщательные измерения (опыты Этвеша и др.) подтвердили равенство этих масс с точностью до 10-10 %. В то же время опытных фактов, противоречащих равенству инертной и гравитационной масс, не обнаружено. Эти обстоятельства послужили основанием для того, чтобы признать утверждение о равенстве обеих масс справедливым и рассматривать его в качестве фундаментального свойства материи. В современной физике данное положение играет роль постулата.
В механике равенство инертной и гравитационной масс тела служит основанием для того, чтобы во всех вопросах динамики не делать между ними различия и рассматривать одну единую массу тела. Воспользуемся этим обстоятельством и разделим обе части уравнения (П2.4) на массу ракеты:
532
a =	+ g.	(П2.5)
m
Данное уравнение показывает, что полное ускорение тела (в данном случае ракеты) может быть представлено как сумма ускорения, вызванного действием поверхностных сил (к ним относится тяга ДУ и аэродинамические силы), и ускорения силы притяжения, которая является массовой,лгм как действует непосредственно на все элементарные массы, слагающие данное тело.
Из уравнения (П2.5) вытекает вывод о том, что в однородном гравитационном поле (или в локально однородном гравитационном поле) все тела имеют одинаковое гравитационное ускорение. Если рассматривать движение тел в локально однородном гравитационном поле относительно системы координат, оси которой неизменно ориентированы в пространстве, а начало движется с ускорением свободного падения g, то законы Ньютона полностью сохранят свои формулировки. Таким образом, хотя данная система координат движется с ускорением, она обладает всеми свойствами инерциальной системы координат. В связи с этим подобные системы координат получили наименование локально инерциальных.
Неизменность формулировок законов Ньютона в локально инерциальных системах координат означает, что принцип относительности Галилея может быть распространен и на эти системы координат. В физике принцип относительности Галилея, распространенный на локально инерциальные системы координат, обобщается на все физические процессы и явления. В таком обобщенном виде данный принцип получил название принципа относительности Эйнштейна. Согласно этому принципу не только механические, но и все физические процессы и явления протекают совершенно одинаково как в инерциальных, так и в локально инерциальных системах координат.
Из принципа относительности Эйнштейна вытекает следующий практический вывод: с помощью инерциальных измерительных приборов, а также с помощью других приборов, действие которых основано на наблюдении любых физических процессов и явлений, протекающих внутри объекта навигации, невозможно определить не только начальное положение и начальную скорость объекта навигации, но и величину его гравитационного ускорения.
К вопросу о невозможности определить величину гравитационного ускорения с помошью инерциальных измерительных приборов мы вернемся в п. П2.5 при анализе полей сил инерции.
533
П2.4. Силы инерции. Реальные и фиктивные силы инерции
В понятие "силы инерции" в литературе по механике, в том числе изданной за последние 10-15 лет, вкладывается различный и в ряде случаев противоречивый смысл. Отсутствует единая точка зрения на вопрос о реальности или фиктивности сил инерции, условия их появления и исчезновения, возможность измерения их величины, влияние сил инерции на работу механизмов, машин и прочность их конструкции и т.д. Многообразна применяемая терминология (ньютоновы силы инерции, эйлеровы и даламберовы силы инерции, центробежные и кориолисовы силы инерции ит.п.). Кардинальные различия в понимании сущности сил инерции отчетливо видны иа примере изданий, перечисленных в списке литературы.
Споры о природе сил инерции имеют давнюю историю. Так, в 1937-1938 гг. в нашей стране среди специалистов по механике проводилась широкая дискуссия по данному вопросу (см. [1]. с. 355-358). Аналогичная дискуссия состоялась на рубеже XIX-XX вв. Тем не менее до настоящего времени единой точки зрения на силы инерции нет, что препятствует правильному пониманию ряда фундаментальных положений механики и физики, в том числе и физической сущности принципа инерциальной навигации.
Последующее изложение основано на представлении о силах инерции как проявлении инертных свойств материальных тел при их ускоренном движении в абсолютном пространстве, о чем вполне определенно говорится И. Ньютоном в его сочинении "Математические начала натуральной философии". Обоснованием реального существования сил инерции является третий закон Ньютона, который объясняет появление этих сил как сил противодействия тем телам п тем внешним силам, которые вызвали ускоренное движение тела. В дальнейшем эти силы будем называть ньютоновыми силами инерции, следуя терминологии, предложенной проф. С. Хайкнным (см. [8]). Именно ньютоновы силы
Рис. П2.1. Взаимодействующие тела н сила инерции
инерции являются носителем информации о движении тел в инерциальных навигационных системах.
Поясним понятие ньютоновой силы инерции на примере взаимодействия двух тел, в результате которого одному из тел сообщается ускоренное движение и появляются силы инерции (рис. П2.1). При анализе такого
534
взаимодействия необходимо четко различать ускоряемое тело, движение которого изучается, и ускоряющее тело (или тела), действие которого вызвало ускоренное движение рассматриваемого тела.
Ньютонова сила инерции представляет собой силу противодействия, которую испытывает ускоряющее тело. Эта сила порождена инертностью ускоряемого тела и равна произведению массы этого тела на его абсолютное ускорение, взятое с обратным знаком,
Fm = -та.	(П2.6)
На рис. П2.1 показаны два взаимодействующих тела, связанные друг с другом невесомым упругим стержнем в виде пружины.
Рассмотрим тело А в качестве ускоряемого. Движение его описывается уравнением (П2.1), где сила F вызвана действием ускоряющего тела В. Ньютонова сила инерции Fm равна по величине и противоположна по направлению силе Fit приложена к ускоряющему телу В через соединяющий оба тела стержень. Очевидно, что в данном случае в качестве ускоряемого можно рассматривать и тело В. Тогда ускоряющее тело .4 будет, в свою очередь, испытывать действие ньютоновой силы инерции как силы противодействия со стороны тела В. Силы инерции в обоих случаях численно равны силе упругости пружины, связывающей тела А и В. Зная коэффициент жесткости пружины, по величине ее деформации (растяжению или сжатию) можно судить о величине этих сил, а при известной массе ускоряемого тела - о величине его ускорения.
Как отмечает проф. ЕЛ. Николаи со ссылкой на Л. Эйлера (см. [5J), понятие "сила инерции" было впервые введено в науку И. Кеплером, который обозначал этим термином "присущую всякому телу силу сопротивления всему тому, что стремится изменить его состояние движения". Такого же понимания придерживался И. Ньютон, который характеризовал эту силу как "врожденную силу материи’' (см. [6]).
Подчеркнем еше раз. что рассматриваемые нами ньютоновы силы инерции связаны с ускоренным движением тел в инерциальных системах координат. Это положение коренным образом отличается от утверждений, встречающихся в ряде публикаций. Например, в учебнике [4] содержится утверждение, что "силы инерции существуют только в неинерциальных системах координат, а использование понятия сил инерции при анализе движений в инерциальных системах координат является ошибочным" (с. 394). Предоставляем читателю судить о степени правомочности подобных утверждений.
Перейдем к краткому анализу других встречающихся в механике сил инерции, которые следует отнести к категории фиктивных, т.е. реально
535
не существующих. Эти силы получили общее наименование эйлеровых и даламберовых.
Эйлеровы силы инерции появляются в уравнениях динамики при описании движения в относительных системах координат (т.е. в неинерциальных системах отсчета). Как известно, при переходе к относительным системам координат только третий закон Ньютона остается без изменения, тогда как первый и второй законы теряют свою силу. В частности, основное уравнение динамики в относительной системе координат имеет вид, отличный от формулировки второго закона Ньютона. Действительно, выразим абсолютное ускорение тела как сумму относительного, переносного и кориолисова ускорений:
« = ^0™ + «вер+^оР-	(П2.7)
Тогда основное уравнение динамики при описании движения в относительной системе координат примет вид;
"^оти = -Г ~ /ИЙпф " т5юр-	(П2.8)
В правой части этого уравнения кроме действующей на тело силы присутствуют два дополнительных члена. Чтобы придать уравнению (П2.8) вид второго закона Ньютона (что совершенно не обязательно, так как никак не влияет на методику решения задач механики), принято условно интерпретировать данные члены как дополнительные силы, действующие на движущееся тело. Эти силы получили наименование силы инерции переносного движения и кориолисовой силы инерции:
=-™Пф.	(П2.9)
А.Ю. Ишлниский предложил объединить эти силы общим наименованием эйлеровых сил инерции (см. [2]). Очевидно, что данные силы не являются реальными. Чтобы подчеркнуть это обстоятельство, во многих руководствах по механике их принято называть фиктивными силами инерции.
Рассмотрим различие между фиктивными силами (П2.9) и реальными ньютоновыми силами инерции, которые также могут выражаться формулами вида (П2.9). Действительно, с учетом выражения (П2.7) ньютонова сила инерции (П2.6) может быть представлена как сумма трех составляющих:
= -maora - та^ - та[с?.	(П2.10)
536
Как видим, здесь второе и третье слагаемые выражаются теми же формулами, что и эйлеровы силы инерции (П2.9). Однако ньютонова сила инерции, как и все ее составляющие, вполне реальна. Здесь нет никакого противоречия: эйлеровы силы инерции полагаются приложенными к ускоряемому телу, чего на самом деле нет, тогда как ньютонова сила инериии и ее составляющие приложены к ускоряющему телу и оказывают на него вполне реальное физическое воздействие.
Даламберова сила инерции появляется в формулировке принципа Даламбера, который применяется для решения задач динамики при наличии геометрических связей. С помощью этого принципа задача динамики сводится к эквивалентной ей задаче статики, что позволяет применять для решения задач динамики методы, разработанные для задач статики (например, метод возможных перемещений). Уравнение движения тела при наличии связей запишем в виде
ma = F + N,	(П2.11)
где N - неизвестная по условиям задачи сила реакции связей. При применении принципа Даламбера полагается, что на движущееся тело кроме сил F и N действует еше одна сила
= -та,	(П2.12)
называемая даламберовой силой инерции. Таким образом, уравнение динамики (П2.11) формально интерпретируется как уравнение статического равновесия тела, когда сумма приложенных к нему сил равна нулю:
=	(П2.13)
Как видим, даламберова сила инерции (112.12) совпадает по величине и по направлению с ньютоновой силой инерции (TI2.6). Различие между ними состоит в том, что даламберова сила инерции условно понимается как дополнительная сила, приложенная к движущемуся телу, чего на самом деле нет. По этой причине даламберову силу следует отнести к хатсгории фиктивных сил инерции.
П2.5. Поля сил инерции в движущихся телах
В системах инерциальной навигации материальным носителем навигационной информации служит поле ньютоновых сил инерции, возникающее в любом теле при его ускоренном движении или вращении.
537
Поясним смысл, который вкладывается в понятие поля сил инерции.
Как известно, в механике и в физике общее понятие поля силы находит широкое применение. В качестве примера достаточно упомянуть поле силы гравитационного притяжения, которое понимается как область пространства в окрестности притягивающего тела, обладающая тем свойством, что на любое пробное тело в виде точечной массы, помещенное в некоторую точку данной области, действует сила притяжения, равная по величине и направлению произведению массы пробного тела на ускорение силы притяжения, зависящее от координат данной точки пространства. При этом ускорение силы притяжения можно рассматривать как удельную силу притяжения, т.е. как силу, соответствующую единичной массе.
Ньютоновы силы инерции являются, как отмечалось выше, силами противодействия со стороны ускоренно движущихся тел и приложены к телам, вызвавшим это движение. Поэтому при анализе сил инерции, возникающих внутри движущихся тел, необходимо мысленно выделить некоторую часть тела и рассматривать ее движение как результат действия других частей этого тела, которые и испытывают соответствующее противодействие. Полагая выделенную часть точечной массой, сопоставим каждой точкедвижущегося тела силу инерции, порожденную этой массой. Такое соответствие и определяет поле сил инерции.
Перейдем к анализу полей сил инерции для ряда характерных случаев движения. Воспользуемся известным в механике принципом суперпозиции (независимого сложения) сил и вызванных ими движений. Данный принцип позволяет рассматривать поле сил инерции в общем случае вращательно-поступательного движения тела как сумму независимых полей, порожденных этими движениями в отдельности. В соответствии с этим рассмотрим поля сил инерции при поступательном и вращательном движении. Кроме того, проанализируем отдельно два случая поступательного движения: под действием только поверхностных сил (для ракет, как сказано, такими силами являются тяга ДУ и аэродинамические силы) и под действием силы гравитационного притяжения, относящейся к категории сил, называемых массовыми. Ту часть полного ускорения тела, которое вызвано действием поверхностных сил, будем далее обозначать как ЙЛ Для ракет данное ускорение определяется выражением:
yfz - Р * R	(П2.14)
т
538
Данное ускорение получило наименование кажущегося. Смысл такого наименование будет разъяснен в последующем изложении.
Поле ст инерции в поступательном движении под действием поверхностных ст
Рассмотрим полетракетысускорением IF под действием только силы тяги ДУ. Силу тяги можно считать сосредоточенной силой, приложенной к ракете в ее хвостовой части (рис. П2.2). Расчленим мысленно ракету по сечению а - а на две части Л и В с массами л/, и /и, соответственно. По отношению к части А часть В является внешним телом, действующим на А с силой Pt. Со стороны части А на часть В действует сила противодействия-ньютонова сила инерции Р(. Если воспользоваться уравнением движения (П2.14), то нетрудно найти обе силы:
Р. = ———Р, F. = -Р, = -т{Ф. т1 + т2
(П2.15)
Совместное действие силы Р, и силы инерции Р] приводит к появлению в рассматриваемом сечении внутренних напряжений и деформаций сжатия корпуса ракеты. Очевидно, что сила инерции и сопутствующие ей внутренние напряжения и деформации сжатия увеличиваются при перемещении данного сечения к хвостовой части ракеты и достигают максимальных значений в узлах крепления двигательной установки.
11111
Рис. П2.2. Поле силы инерции в поступательном движении
539
Рис. П2.3. Положение выделенного элемент
Рассмотрим удельные силы инерции. Разделив силу Ft на массу/»|, получим
/уд = -FF. на
(П2.16)
Из данного выражения видно, что удельные силы инерции во всех точках ракеты одинаковы и равны ее ускорению, взятому с обратным знаком. Таким образом, поле удельных сил инерции однородно.
Действие на движущееся тело аэродинамических сил проявляется в целом сходным образом. Отличие состоит в том, что сила лобового сопротивления является силой, тормозящей движение. Поэтому направление сил инерции меняется по сравнению с предыдущим случаем на противоположное, а вызванные ими внутренние напряжения максимальны в районе носовой части ракеты.
При совместном действии силы тяги ДУ и аэродинамических сил поле удельных сил инерции также однородно, а сами удельные силы инерции определяются формулой, аналогичной (П2.16):
(П2.17)
т
Поля сил инерции при вращательном движении
Рассмотрим тело, совершающее вращательное движение вокруг своего центра масс с угловой скоростью 5 и угловым ускорением о. Выделим элементД' с массой/» и определим его положение вектором р (рис. П2.3). В соответствии с общей формулой (П2.6) сила инерции, действующая на остальную часть тела, равна Fm • -та, где а - абсолютное ускорение точки S'. Для вычисления данного ускорения воспользуемся известным в механике правилом дифференцирования векторов во вращающихся системах координат:
540
Рис. П2.4. Поле центробежных сил инерции Рис. П2.5. Папе тангенциальных сил инерции
_	(П2.18)
а = р •* 2<i>xp * шх(мхр) + ыхр.
Здесь точкой обозначена операция локального дифференцирования в связанной с телом системе координат, вращающейся с угловой скоростью 5. Поскольку положение точки 5' в теле неизменно,
справедливы равенства р = р = 0. С учетом этого абсолютное линейное ускорение точки S' выражается следующим образом:
а = йх(йхр) + сохр.	(П2.19)
Данное ускорение есть сумма двух составляющих,которыеобозначим ар и а,. Составляющая а₽ = йх(ыхр) называется осестремительным ускорением. Оно направлено к мгновенной оси вращения тела. Составляющая й, ’ охр называется тангенциальным ускорением. Это
ускорение перпендикулярно плоскости, содержащей векторы он р.
Ускорениям ар и ах соответствуют силы инерции
Fpra = -mwx(wxp), F™ = -znwxp
и удельные силы инерции
541
Fp3® = -йх(йхр), Fj^ = -шхр.	(П2.20)
Силы инерции Гр>3 направлены от мгновенной оси вращения тела к его периферии. Эти силы принято называть центробежными. Совместное действие центробежных сил инерции вызывает деформации растяжения тела. На рис. П2.4 показаны эпюры центробежных сил инерции в плоскости, перпендикулярной вектору угловой скорости. В данном случае поле удельных сил инерции неоднородно и является центральным полем. Эпюры тангенциальных сил инерции Г/я показаны на рис. П2.5 в плоскости, перпендикулярной вектору углового ускорения. Эти силы приводят к деформациям скручивания тела. Поле данных сил инерции также неоднородно.
Поле сил инерции при поступательном движении в однородном гравитационном поле
Рассмотрим силы инерции, возникающие в теле при его свободном движении в поле силы гравитационного притяжения. Пренебрежем неоднородностью гравитационного поля в пределах области пространства, ограниченной размерами движущегося тела. Другими словами, примем допущение о локальной однородности гравитационного поля.
Принятое допущение означает, что ускорения всех элементарных масс, слагающих рассматриваемое тело, одинаковы по величине и по направлению и равны ускорению gt, соответствующему той точке пространства, где в данный момент находится центр масс тела (см. рис. П2.6).
Из допущения о равенстве ускорений всех слагающих тело элементарных масс следует, что тело можно мысленно расчленить на любое количество несвязанных между собой частей, движение которых не изменится от того, изолированы они друг от друга или составляют единое целое. Поскольку отдельные части тела не оказывают силового воздействия друг на друга, то силы инерции и поле сил инерции в таком теле отсутствует. Внутренних напряжений в теле также нет.
Очевидно, что любой инерциальный измерительный прибор, размещенный на борту ЛА, совершающего свободный полет в локально однородном гравитационном поле, не зафиксирует какого-либо движения. Например, упругий подвес пружинного акселерометра будет находиться в недеформированном состоянии, а его чувствительный элемент-в нейтральном положении. Измеренное значение ускорения
542
Рис. П.2.6. Тело в однородном гравнтаиион- Рнс- П2.7. Тело в неоднородном гравитационном поле	ном поле
окажется равным нулю, хотя на самом деле ЛА движется с ускорением g,,
Нетрудно убедиться, что полученные здесь выводы являются прямым следствием постулата о равенстве инертной и гравитационной масс тела. Поле сил инерции при поступательном движении в неоднородном гравитационном поле
Рассмотрим более общий случай движения, когда допущение о локальной однородности гравитационного поля не делается. В этом случае ускорения силы притяжения, действующей на слагающие тело массы, различны и определяются формулой:
St =	17Ц,	(П2.21)
где U- потенциал силы притяжения, г, - вектор, задающий положение элементарной массы (рис. П2.7).
Если тело мысленно расчленить на массы /п,-, то движение этих масс происходило бы с различными ускорениями gf. Однако поскольку эти массы составляют единое целое, они движутся с одинаковым ускорением1
1 Заметим, что ускорение g, по-прежнему приписывается центру масс тела, хотя фактически равнодействующая всех сил притяжения, действующих на слагающие тело элементарные массы, приложена в точке, не совпадающей с центром масс тела Однако что отличие весьма мало и им можно пренебречь,
543
gt. При этом на элементарные массы, расположенные дальше от центра Земли и ускорение силы притяжения у которых меньше, со стороны других частей тела действуют дополнительные ускоряющие силы, а на элементарные массы, расположенные ближе к центру Земли и ускорение силы притяжения у которых больше, со стороны остальных частей тела действуют дополнительные тормозящие силы. Силами, им противодействующими, являются силы инерции. Следовательно, в теле, совершающем свободное движение в неоднородном поле силы притяжения, существует поле сил инерции.
Запишем формулы для расчета удельных сил инерции. Очевидно, что удельная сила инерции, действующая на тело со стороны единичной массы nij, есть разность ускорений gt и gt:
F£ = gt- gs-	(П2.22)
Воспользуемся разложением ускорения gf в ряд Тейлора в окрестности центра масс тела, сохранив в разложении только линейные члены.
g, = g, + Р/ = S, 4 Г,р(.
(П2.23)
Из формул (П2.22) и (П2.23) получаем
Fg = Г,рг	(П2.24)
В данных выражениях через ГЛ. обозначена градиентная матрица поля силы притяжения. Элементы этой матрицы представляют собой вторые частные производные от потенциала силы притяжения по координатам, определяющим положение центра масс тела в пространстве,
а2 и дх2	д2и дхду	д2и дхдг
д2и	&U	д2и
		
дудх	ау2	дудг
о2 U	d2U	d2U
		
dzdx	дгду	dz2
(П2.25)
Ввиду перестановочности операций повторного дифференцирования функции U = U(x, у, г} по переменным х, у и z градиентная матрица
544
симметрична. Ее строки (или, что то же самое, столбцы) есть градиенты ускорения силы притяжения по координатным осям, чем и объясняется название этой матрицы.
Таким образом, силы инерции, определяемые выражением (П2.24), обязаны своим происхождением градиентам ускорения силы притяжения. Поэтому назовем их градиентно-гравитационными силами инерции.
Важной особенностью поля градиентно-гравитационных сил инерции является независимость от величины гравитационного ускорения g,. Из этого следует, что инерциальные измерительные приборы не позволяют получить информацию о величине гравитационного ускорения не только при допущении о локальной однородности гравитационного поля, но и в реальных условиях движения в неоднородном гравитационном поле.
Проиллюстрируем конфигурацию поля градиентно-гравитационных сил инерции на примере сферического тела, находящегося в центральном поле силы притяжения Земли. В этом случае гравитационный потенциал имеет вид:
"о
^х2 + у2 + Z2
(П2.26)
где .г, у, z - координаты центра масс тела в геоцентрической системе координат. Проведя дифференцирование функции (П2.26) по формулам (П2.25), получим следующее выражение для градиентной матрицы:
ir0(r2-3x2) Зяоху	Зяохя
“	r5	fi
Г _	(П2.27)
rs	rs	r5
3*ozx	3it0zy	*0(r2-3z2)
r5	rs	rs
Выберем ориентацию осей геоцентрической системы координат так, чтобы ось Yпроходила через центр масс тела (рис. П2.8). В этом случае справедливы равенства у = г, х = г = 0 и выражение (П2.27) упрощается:
545
Ряс. П2Л. Сферическое тело & поле притяжения Земли
Рис. П2.9. Поле градиентно-гравитационных сил ннериии ия поверхности сферического тела
(П2.28)
Рассмотрим произвольную точку на поверхности данного сферического тела и зададим ее положение вектором р » {рх1 р/( рг}. В соответствии с формулой (П2.24) получим следующее выражение, описывающее поле градиентно-гравитационных сил инерции на поверхности сферического тела:
(П2.29)
*о
Эпюра данных сил инерции представляет собой эллипсоид. На рис. П2.9 показано сечение этого эллипсоида в плоскости осей и
546
Оценим порядок градиентно-гравитационных сил инерции. Как видно из выражения (П2.29), максимальная удельная сила инерции на поверхности сферического тела определяется следующей формулой:
-max =
г
где вектор р коллинеарен вектору Г. Положим |Г| = Я, в учтем, что
— = Из формулы (П2.30) получаем
Л,2
|*2“1 *
откуда видно, что максимальная удельная градиентно-гравитационная сила инерции во столько раз меньше ускорения gn, во сколько максимальный размер тела меньше половины радиуса Земли. Если, например, положить р = 30 м. то |	| * 10-5g0.
Как видим, градиенты ускорения силы притяжения Земли и порожденные ими силы инерции весьма малы. Поэтому в уравнениях работы инерциальных измерительных приборов влиянием на их показания градиентов ускорения силы притяжения обычно пренебрегают. С другой стороны, при достаточно точных измерителях может быть поставлен вопрос об измерении градиентов ускорения силы притяжения. Для этого .могут быть использованы как обычные датчики инерциальных систем, так и специальные измерители, называемые градиентометрами. Информация об измеренных значениях градиентов ускорения силы притяжения в перспективе найдет применение в градиентно-гравитационном методе навигации, сущность которого рассматривается в гл. 2.1.
В заключение сделаем следующее замечание. Из рис. П2.9 видно, что градиентно-гравитационные силы инерции приводят к деформациям растяжения тела в направлении радиуса Гик деформациям сжатия в поперечных направлениях. У тел небольших размеров, таких как летательные аппараты, эти деформации и сопутствующие нм внутренние напряжения ничтожно малы. Они совершенно не опасны для прочности летательного аппарата. Однако у тел планетарных масштабов градиентно-гравитационные силы могут стать достаточными для их разрушения. В качестве примера сошлемся на известную в космологии гипотезу, согласно которой имеющийся в Солнечной системе между орбитами Марса и Юпитера пояс астероидов представляет собой остатки некогда существовавшей планеты Фаэтон, разрушенной вследствие космической катастрофы. По одной из версий причиной разрушения
547
планеты Фаэтон могло послужить постороннее космическое тело с сильным гравитационным полем, пролетевшее вблизи этой планеты. В результате планета Фаэтон была разрушена градиентно-гравитационными силами инерции, возникшими в ее теле.
Отметим также, что градиентно-гравитационные силы инерции, возникающие в теле и на поверхности Земли под действием гравитационных полей Луны и, в меньшей степени. Солнца, служат причиной изменений (поднятий и понижений) уровня водных масс морей и океанов, характер которых можно уяснить из рис. П2.9. Вследствие осевого вращения Земли эти изменения являются периодическими и наблюдаются в виде приливов и отливов.
П2.6. Поле силы веса. Эквивалентность полей силы веса и ньютоновой силы инерции
Функционирование инерциальных измерительных приборов начинается обычно до момента начала движения объекта навигации (в частности, до момента пуска ракеты). В связи с этим целесообразно проанализировать поля сняв телах, покоящихся на поверхности Земли.
Рассмотрим для определенности ракету, установленную на пусковом устройстве (рис. П2.10). Единственными внешними силами, действующими на ракету, являются сила притяжения Земли и сила реакции опоры*. Сила притяжения Земли создает в теле ракеты поле градиентногравитационных сил инерции, которое рассмотрено выше. Для дальнейшего анализа наличие этих сил несущественно и ими можно пренебречь. Остается рассмотреть действие реакции опоры.
Очевидно, что реакция опоры N равна по величине и противоположна по направлению силе веса G, т.е. той силе, с которой тело, находящееся на поверхности Земли, оказывает давление на опору. Напомним, что силу веса принято выражать как произведение массы тела на ускорение силы тяжести, которое представляет собой сумму ускорения силы притяжения и центробежного ускорения, вызванного осевым вращением Земли.
Рекомендуем читателю в качестве упражнения найти реакцию опоры и силу веса ракеты, которая полагается приложенной к опоре н равна лс величине и противоположна по направлению реакции опоры. Для этого надо воспользоваться формулой (П2.11), где сила Г в данном случае есть сила притяжения Земли, и учесть, что ракета, участвуя вместе с опороЛ в суточном врашенни Земли с угловой скоростью Q, движется з абсолютном пространстве: ускорением а = Ох(Охр),направленнымкоси вращения Земли(р -радиус-вектор опоры, прозеденный из центра Земли). Очевидно, что э общем случае сила веса не равна силе притяжения, однако на полюсах Земли, где а = 0, сила веса численно равна силе притяжения, хотя эта силы нетождественны друг другу. так как приложены к разным телам: сила веса приложена к споре, а сила притяжения - к ракете
548
Рис. П2.10. Поле силы веся
Ускорение силы тяжести зависит от координат точек земной поверхности, однако для последующего анализа этим обстоятельством можно пренебречь и воспользоваться средним значением ускорения силы тяжести g0. Таким образом, справедливы равенства:
У=-0, |ff| = mg0.	(П2.31)
Расчленим мысленно ракету' по сечению а - а на две части А и В, как это сделано на рис. П2.2. В этом сечении существуют две равные и противоположно направленные силы Nt и (7,. Сила <7, есть та сила, с которой верхняя часть А давит на нижнюю часть и представляет собой силу веса верхней части. Сила есть соответствующая ей сила противодействия. Поскольку каждому сечению соответствует своя сила веса, то, следовательно, внутри тела, находящегося на поверхности Земли, существует поле силы веса. Поле удельных сил веса однородно и определяется ускорением силы тяжести:
Gya = g0.	(П2.32)
Сопоставим теперь рисунки П2.2 и П2.10. По своему действию на нижнюю часть ракеты сила веса совершенно идентична силе инерции Fj. Наблюдая внутренние эффекты действия этих сил в виде деформаций элементов конструкции ракеты, невозможно отличить силу веса от силы
549
инерции. Применяя любые измерительные приборы, установленные внутри ракеты, невозможно определить, покоится ли она на поверхности
Земли или совершает полет с ускорением W - под действием силы тяги ДУ, равной 2V. Инерциальные измерительные приборы, установленные на ракете, зафиксируют не состояние ее покоя, а состояние кажущегося движения вертикально вверх с ускорением, равным по величине и противоположны м по направлению ускорению силы тяжести.
Приведенные рассуждения иллюстрируют одно из основных положений современной физики - принцип эквивалентности поля силы веса и поля ньютоновой силы инерции. В литературе этот принцип чаще называется принципом эквивалентности сил тяжести и сил инерции, хотя применение термина "сила тяжести” в данном контексте не вполне корректно*.
Принцип эквивалентности является прямым следствием постулата о равенстве инертной и гравитационной масс. Этот принцип позволяет обобщить понятие веса тела и применять данное понятие не только к телам, покоящимся на земной поверхности, но и к телам, находящимся в движении. Это обобщение связано с понятиями кажущегося веса и перегрузки.
П2.7. Весомость. Перегрузка. Невесомость
Понятие весомости связывается с наличием в теле, находящемся на поверхности Земли, поля силы веса. Поскольку поле силы веса эквивалентно полю силы инерции, то понятие весомости можно обобщить на движущиеся тела и понимать под весомостью такое состояние, когда в теле существует либо поле силы веса, либо поле силы инерции. Весомость, связанную с наличием поля сил инерции, называют кажущейся
‘ Некорректность заключается в той, что понятия "сила веса” и "сила тяжести”, вообще говоря, различны, так как сила веса полагается приложенной к опоре, на которой тело покоится, а сила тяжести - к самому телу, в том числе и движущемуся над земной поверхностью ([3]. с. 20,83-84). Поскольку по определению сила тяжести есть сумма силы притяжения Земли и центробежной силы инерции переносного движения, определяемого вращением системы координат, связанной с Землей, то в соответствии с изложенным в п. П2.4 центробежная сила ннерини в данном случае фиктивна, так как полагается приложенной к движущемуся телу, чего на самом деле нет. Поэтому эквивалентности такой "они тяжести" реальной ньютоновой силе инерции не может быть. Только в том случае, когда понятие "сила тяжести" отождествляется с понятием "силавеса” н полагается, что сила тяжести приложена не к телу, а к опоре, на которой это тело покоится, утверждение об эквивалентности сил тяжести и ньютоновых сил инерции становится вполне корректным.
550
весомостью. Ньютонову силу инерции, с которой движущееся тело действует на ускоряющие его тела, называют кажущимся весом.
В зависимости от величины сил инерции кажущийся вес может быть как больше, так и меньше обычного веса тела. Кажущийся вес принято выражать в единицах обычного веса с помощью числового показателя, называемого перегрузкой.Этот показатель удобно ввести через удельные силы инерции.
Перегрузкой называется отношение удельной силы инерции в рассматриваемой точке тела к средней величине удельной силы веса, т.е. к ускорению g0:
jTj-Д
й=-^-.	(П2.33)
Поскольку в общем случае удельная сила инерции рассматривается как векторная величина, то и перегрузка вводится как вектор, проекция которого на некоторое направление позволяет охарактеризовать величину кажущегося веса в этом направлении.
Для ракеты, находящейся в поступательном движении, удельные силы инерции выражаются формулой (П2.17), поэтому в данном случае перегрузка может быть выражена одной из следующих формул:
и =	, п = Н.	(П2.34)
mg0	gti
Рассмотрим понятие невесомости, которым определяют такое состояние тела, при котором нет весомости, т.е. в теле отсутствуют как поле силы веса, так и поле сил инерции. Перегрузка во всех частях тела, находящегося в состоянии невесомости, равна нулю.
Из проведенного выше анализа полей сил инерции ясно, что реально состояние невесомости может существовать только в том случае, когда тело не вращается и совершает свободное поступательное движение в гравитационном поле, а размеры тела столь невелики, что градиентногравитационные силы инерции пренебрежимо малы. В состоянии невесомости находятся ИСЗ и КА, совершающие пассивный орбитальный полет, головные части ракет при движении на внеатмосферном участке траектории. Состояние невесомости испытывают космонавты в космическом корабле при полете с выключенной двигательной установкой или при выходе в открытый космос. Аналогичное состояние испытывают парашютисты в первые секунды свободного падения с
551
нераскрытым парашютом, когда сила сопротивления воздуха еще невелика.
Заключение
Подытожим выводы из общих положений механики и физики, лежащих в основе принципа инерциальной навигации.
1.	Материальным носителем навигационной информации в инерциальных навигационных системах служит поле ньютоновых сил инерции, существующих при движении тел в абсолютном (инерциальном) пространстве.
2.	Поле ньютоновых сил инерции не зависит от ускорения свободного падения и определяется ускорением поступательного движения объекта навигации под действием поверхностных сил (т.е. кажущимся ускорением), параметрами его вращательного движения (угловой скоростью и угловым ускорением), а также градиентами ускорения силы притяжения.
3.	С помощью инерциальных измерительных приборов может быть получена информация о кажущихся параметрах поступательного движения объекта навигации (кажущемся ускорении, кажущейся скорости) и о действительных параметрах его вращательного движения (угловой скорости, угловом ускорении). В случае применения высокоточных измерителей возможно определение градиентов ускорения силы притяжения.
4.	Инерциальные измерительные приборы не позволяют измерять действительные параметры поступательного движения объекта навигации (действительное ускорение, действительную скорость).
5.	Инерциальные измерительные приборы не позволяют измерять начальное положение и начальную скорость объекта навигации.
6.	Инерциальные измерительные приборы не позволяют измерять величину ускорения силы притяжения Земли вне точек земной поверхности.
7.	При измерениях на поверхности Земли инерциальные измерительные приборы позволяют определять ускорение силы тяжести. В случае отсутствия данных о начальном положении и начальной скорости объекта навигации измерительная информация об ускорении силы тяжести неотличима от информации об ускоренном движении объекта навигации под действием поверхностных сил.
Литература к Приложению 2
I. Боголюбов А.Н. История механики машин. Киев: Наукова думка. 1964. 462 с.
2. Ишлинский А.Ю. Механика относи тельного движения н силы инерции, М.; Наука, 1981.191 с.
552
Лебедев А.А., Герасюта Н.Ф. Баллистика ракет. М.: Машиностроение, 1970.244 с. Матвеев А.Н. Механика И теория относительности. М.: Высшая школа, 1976. 416 с. Николаи ЕЛ. О начале Даламбера и о силах инерции IВ кн, "Труды по механике". ИТТЛ, 1955. С. 406-418.
Ньютон И. Математические начала натуральной философии, пер. с лат. / См. Крылов. Собрание трудов. Т. VII. М.-Л., 1936.
Седов А.И. О силах инерции/ В кн. "Об основных моделях в механике". М.: Изд. МГУ, С. 6-17.
ХайкннС.Э. Силы инерции и невесомость, М,: Наука, 1967.
Эйнштейн А., Инфельд Л. Эволюция физики, пер. с англ./См. А.Эйнштейн. Собрание ;ых трудов. Т. 4, М.: Наука, J967.
- 7674
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
ПАРАМЕТРЫ ОРИЕНТАЦИИ ЛА. КИНЕМАТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
Введение
В механике и в теории управления применяются следующие совокупности параметров для описания ориентации и вращательного движения твердого тела:
•	угловые параметры,
•	элементы матриц направляющих косинусов,
•	параметры Родрига - Гамильтона,
•	параметры Кейли - Клейна.
Каждой из этих совокупностей параметров присущи свои достоинства и недостатки.
Описание ориентации тела в угловых параметрах требует минимального числа переменных - трех углов, что совпадает с числом степеней свободы твердого тела во вращательном движении. Однако любая система угловых величин при определенных их значениях вырождается, вследствие чего решения кинематических уравнений вращательного движения в окрестности этих особых точек неустойчиво, а в самой особой точке правые части этих уравнений обращаются в бесконечность. Кроме того, интегрирование кинематических уравнений в угловых переменных требует вычисления тригонометрических функций, что предъявляет дополнительные требования к быстродействию бортовой ЦВМ.
Применение в качестве параметров ориентации направляющих косинусов приводит к избыточному числу переменных - девяти элементам матрицы направляющих косинусов, которые подчинены шести условиям связи. Эти параметры не вырождаются при любых положениях твердого тела. Хотя независимых параметров здесь также три, при решении кинематических уравнений требуется интегрировать систему их девяти дифференциальных уравнений. Данный недостаток кинематических уравнений в направляющих косинусах компенсируется их линейностью и отсутствием особых точек, что позволяет применять эффективные методы интегрирования линейных дифференциальных уравнений.
Параметры Родрига - Гамильтона представляют собой систему из четырех параметров, подчиненных одному условию связи. Эти параметры также не вырождаются при любых положениях тела, а
554
кинематические уравнения вращательного движения содержат только четыре дифференциальных уравнения, которые линейны и не имеют особых точек. Таким образом, с точки зрения удобства решения кинематических уравнений параметры Родрига-Гамильтона обладают безусловными преимуществами перед угловыми параметрами и направляющими косинусами. Однако в тех случаях, когда алгоритмы управления требуют применения угловых параметров ориентации или направляющих косинусов, вычислениеэтих величин через предварительно найденные параметры Родрига - Гамильтона может оказаться менее предпочтительным способом решения задачи, чем непосредственное их определение путем интегрирования соответствующих кинематических уравнений.
В настоящем Приложении содержится краткий обзор перечисленных параметров ориентации и дан вывод кинематических уравнений. Поскольку параметры Кейли - Клейна алгебраически эквивалентны параметрам Родрига - Гамильтона и приводят к аналогичным по структуре кинематическим уравнениям, названные параметры здесь не рассматриваются. Определение этих параметров читатель может найти в монографии [1].
П3.1. Угловые параметры ориентации
Среди систем угловых величин наиоольшее применение получили: • классические углы Эйлера (прецессии, нутации, вращения),
•	корабельные углы Крылова (курса, дифферента, крена),
•	самолетные углы (рыскания, тангажа, крена).
Все угловые величины принято объединять общим названием углов Эйлера. Перечисленные системы углов различаются только схемой их введения и приводят к одинаковым по структуре кинематическим уравнениям.
Рассмотрим самолетные углы, употребляемые при описании вращательного движения летательных аппаратов. Схема введения этих углов показана, на рис. П3.1. Здесь через OXcaYcaZa
Рис. ПЗЛ. Самолетные углы (рыскания, тангажа, вращения)
555
обозначены оси инерциальной системы координат, в качестве которой применена абсолютная стартовая система координат; SXt YlZl - оси связанной с объектом системы координат; ф, 0, у - углы рыскания, тангажа и крена. Схема введения углов определяется последовательностью поворотов осей подвижной системы координат 5А'|У1И1 из начального положения, совпадающего с осями OX^Y^Z^. Первый поворот осуществляется вокруг оси Уса на угол ф, второй поворот на угол & вокруг оси Z', третий поворот на угол у вокруг оси Угловые скорости указанных поворотов изображены на рис. П3.1 векторами
У-
Рассмотрим вращательное движение объекта с угловой скоростью S. Кинематические уравнения вращательного движения устанавливают
связь между производными углов ф, Ь, у и проекциями вектора 5 на оси подвижной системы координат. Обозначим эти проекции аХ1, а . Для вывода кинематических уравнений выразим величины wX|l а^, aJ( через проекции векторов f, Б, у на одноименные оси. Из рис. П3.1 имеем:
аХ| = у + ijfsmfr,
= Osmy + фсояйсозу,
(П3.1)
aXj = ftcosy - ipcosfrstay.
Разрешая данные уравнения относительно производных ф, Ь, у, получаем кинематические уравнения Эйлера:
у = аХ( - IgD^cosy - w^siny),
fr = a stay + aI(Cosy,
(П3.2)
ф = —1—(a cosy - ы stay), cos ft 1	1
556
Данные уравнения нелинейны и имеют особенность при 0 = -^ ± ±Атг,А- = О, 1....
Для сравнения на рис. П3.2 показана схема классических углов Эйлера. Здесь первый поворот подвижной системы координат осуществляется вокруг оси на угол прецессии р, второй поворот вокруг оси Y' на угол нутации 0, третий поворот вокруг оси на угол собственного вращения <р. Кинематические уравнения Эйлера имеют в данном случае следующий вид:
Рис. ПЗ.З. Классические углы Эйлера (нута-иии, прецессии, вращения)
ф = Ь>Ж1 - CtgQ (u^sin tp * Q^COSip),
0 = оэ^созф - tocsin ср,
(ПЗ.З)
n =
-L(Q sin9 * u cos<p). smO 1	’
Эти уравнения имеют особенность при 0 = ±кт., к - 0,1....
Преимущество самолетных углов при описании вращательного движения ЛА заключается в том, что в случае малых отклонений ЛА на углы ДО, Ду от начального положения, определяемого углами vjro = = Оо = ?о = 0, уравнения (П3.2) не вырождаются и превращаются в уравнения:
Ду = со., Д1Л = со„, ДО = со , ‘	т л’	ч
(П3.4)
описывающие три независимых вращения относительно трех осей. В отличие от этого первое и третье уравнения (ПЗ.З) вырождаются при 0О = 0, что создает неудобства применения классических углов Эйлера для описания вращательного движения ЛА.
557
П3.2. Параметры ориентации в виде элементов матриц направляющих косинусов
В дальнейшем для удобства обозначений будем полагать, что с осями инерциальной неподвижной системы координат связан ортогональный базис I, заданный единичными векторами /], /2 <з> а с осями подвижной (вращающейся) системы координат связан ортогональный базис Е, заданный единичными векторами е2,
Рассмотрим матрицу направляющих косинусов, определяющих ориентацию осей подвижного базиса Е относительно осей неподвижного базиса I. Матрицу направляющих косинусов будем называть также матрицей ориентации. По определению матрица направляющих косинусов имеет вид:
cos(ij, е,) cos(ip е2) cos(i], е3) cos(i2, et) cos(f2, e2) cos(i2, e3) cos(i3, Cj) cos(i3, e2) cos(i3, e3)
(П3.5)
С помощью матрицы /Q £ устанавливается связь между проекциями произвольного вектора г на базисы / и Е по формуле
Г1 ~ ^1,ЕГЕ-
(П3.6)
Здесь через гЕ и г{ обозначены вектор-столбцы, образованные проекциями вектора г на оси подвижного и неподвижного базисов:
(П3.7)
Таким образом, матрица Аг Е может рассматриваться как матрица линейного преобразования, связывающего компоненты вектора г в двух различных базисах.
Рассмотрим базисы Et и Ег и применим формулу (П3.6) для проекций вектора Г на базисы I, Е} и Е2:
558
*1 ~	?Е, ~ ^Ei.E^E^
(П3.8)
rI ~ ^l,Ef^Ef,EtrEt> Г1 ~ ^1,Е1ГЕ1‘
Из последнего равенства получаем
^Д£2 = ^/.E^Et.Ei»	(П3.9)
что выражает известное свойство перемножения матриц последовательных линейных преобразований.
Воспользуемся формулой (П3.9) для вычисления матрицы направляющих косинусов для схемы самолетных углов. Эту матрицу нетрудно вычислить как произведение матриц А^, А^Ау, описывающих последовательные повороты подвижного базиса Е на углы ф, © и у:
^i,E = Л^’А^’А*,	(П3.10)
созф 0 sini|>
cos© -sin© О
О 1
-sinijr О
At = sin© cos© О
О 0	1
1 0	0
0 cosy -sinу
0 sin у cosy
Данные матрицы определяются общей формулой (П3.5) для последовательных поворотов подвижного базиса. Перемножая эти матрицы по формуле (П3.10), получаем матрицу Аг Е:
I.E
cos© с os ф sinipsiny-sinftcosij/cosY sin©	cos© cosy
-cos©sini|; cosi|rsiny+sinftsini|;cosY
simjfcosy-sin© costysiny
-cos© sin у cosip cosy-sin©sim|;siny
(ПЗ.П)
Проверим известный факт, что матрица направляющих косинусов ортогональна. Из формулы (П3.6) вытекает формула обратного преобразования:
559
Ге ~ ^/.еГг-
(П3.12)
Обозначим обратную матрицу Л2'| как А£ , и перепишем формулу (П3.12):
Ге ~
По смыслу своего определения матрица А Е j имеет вид:
cos(e,, <',) cos(ep f2) cos (ер /3) cos(e2, f,) cos(e2, f2) cos(e2, i3) cos(e3, /,) cos(e3, i2) cos(e3, i3)
(П3.13)
(П3.14)
Сравнивая выражения (П3.5) и (П3.14), убеждаемся, что матрица АЕ f получается транспонированием матрицы At Е, т.е. справедливо равенство Это равенство перепишем следующим образом:

(П3.15)
где Е- единичная матрица. Таким образом, матрица Аг Еудовлетворяет равенству (ПЗ. 15), которым и определяется свойство ее ортогональности (см. [2]). Очевидно, что матрица обратного преобразования АЕ у также ортогональна.
Матричному условию ортогональности (П3.15) соответствуют скалярные условия ортогональности. Для записи этих условий обозначим элементы матрицы At Е через a{j.
дп д12 д13 д21 ап «23 д31 а32 а33
(П3.16)
Из равенства (П3.15) вытекают следующие равенства для элементов матрицы А/ Е:
£ а* = 1, i = 1, 2, 3,
(П3.17)
560
3
£	= 0, i, к = I, 2, 3; i * к.	(П3.18)
у-i
Если интерпретировать строки матрицы Е как векторы, то равенства (ПЗ. 17) означают нормированное™ этих векторов, а равенства (П3.18)-их попарную ортогональность. Из шести равенств (ПЗ. 18) независимыми являются только три равенства, так что в целом условия ортогональности (ПЗ. 17) и (ПЗ. 18) определяют шесть независимых условий связи, которым подчинены элементы матрицы направляющих косинусов.
Из равенства (П3.15) следует, что определитель матрицы направляющих косинусов Aj ^равен единице. Однако это условие связи не является независимым и вытекает из равенств (П3.17), (П3.18).
Матричное условие ортогональности (П3.15) матрицы А{ Е может быть записано так же в эквивалентной форме, как А А; Е = Е, откуда вытекают равенства:
з ,
Л aij = Ь J = Ь 2, 3,
(П3.19)
Е = 0, у, к = 1, 2, 3; J # к.	(П3.20)
1-1
Если интерпретировать столбцы матрицы А{ Е как векторы, то равенства (ПЗ. 19) означают нормированное™ этих векторов, а равенства (П3.20) - их попарную ортогональность. Таким образом, строки и столбцы ортогональной матрицы образуют системы ортонормированных векторов. При этом равенства (ПЗ. 19), (П3.20) являются следствием равенств (П3.17), (П3.18) и поэтому не накладывают дополнительных условий связи на элементы матрицы направляющих косинусов.
При вращении объекта с некоторой угловой скоростью й элементы матриц направляющих косинусов А{ Е и АЕ 7 изменяются. Составим дифференциальные уравнения для элементов этих матриц. С этой целью воспользуемся матричным равенством (П3.6). Будем считать, что вектор г постоянен и, следовательно, его полная производная по времени равна нулю. Продифференцируем обе части выражения (ПЗ.б) по времени и с учетом постоянства вектора г получим
О ~ ^I.E^E + ^i.E^E
(П3.21)
561
Здесь гЕ есть локальная производная вектора г в подвижном базисе. Для вычисления этой производной воспользуемся формулой связи между полной и локальной производными вектора г:
— = г + (ыхг).
(П3.22)
Запишем векторноеравенство (Ш.22) в проекциях на оси подвижного базиса Е, С учетом равенства = 0 получим
ГЕ ~ ~(.^ЕЯГе)'
(П3.23)
Найдем проекции векторного произведения (<3£хГ£) на осн подвижного базиса, воспользовавшись известной формулой представления векторного произведения с помощью определителя:
	в1 е2	ез	
йЕ*гЕ = det	*i ei	%	
	Г. *1	*1	V	
“	~ Ч/<,) +	“ "«ЛЛ
(П3.24)
Представим компоненты матричной форме:
векторного произведения (П3.24) в
г.
(П3.25)
562
Матрицу в правой части этой записи обозначим Qp
П£
О -Ч] % 0
(П3.26)
Матрица носит название .матрицы вращений В данном случае она выражена через проекции вектора угловой скорости на оси подвижного базиса. Теперь векторное равенство (П3.23) можег быть записано в матричном виде:
4 = -Q£F£.	(П3.27)
Возвращаясь к выражению (П3.21), перепишем его с учетом (П3.27):
^!.ЕГЕ ~ А; £&£?£
В последнем уравнении Alz матрица невырождена, поэтому это уравнение можно сократить на ненулевой вектор гЕ\
S - Af gQg.	(По.28)
Итак, нами получено дифференциальное уравнение, описывающее изменение матрицы направляющих косинусов .47 Е при вращении тела с угловой скоростью ё. Здесь под £ понимается матрица, образованная производными се одноименных элементов:
dI2 d13 d22 rf23 rfJ2 d33
(П3.29)
Из матричного дифференциального уравнения (П3.28) нетрудно получить соответствующие дифференциальные уравнения для элементов матрицы А/ £. Для удобства сопоставления получаемых ниже кинематических уравнений с кинематическими уравнениями Эйлера (П3.2) далее компоненты вектора угловой скорости в проекциях на оси подвижного базиса обозначаются wx,	, иг. Перемножая матрицы Aj£ и Qr и
563
приравнивая одноименные элементы правой и левой частей выражения (П3.28), получаем:
dn = а12С1>1( -	d2l =
~	+ а13°Х|’ ЛП ~ ~Д21°1| + а2Ь*\'
d13 = а1}ц>у> ~ а12ь>Х), djj = a2Io>( - <*22^,
(ПЗ.ЗО)
= а32шгл ~ «33®/,*
d32 = ~а21ыг} + °33®»t»
d3J - a3i% “
Дифференциальные уравнения (ПЗ.ЗО), как и матричное уравнение (П3.28), носят название кинематических уравнений Пуассона.
В отличие от кинематических уравнений Эйлера уравнения Пуассона линейны и не имеют особенностей. Они подчинены шести условиям связи, которыми определяется свойство ортогональности матрицы направляющих косинусов.
Из дифференциального уравнения (П3.28) для матрицы А1Е нетрудно получить аналогичное уравнение для матрицы АЕ!. Воспользуемся тем, что матрица А ^равна транспонированной матрице/! г Е. Транспонируя матричное уравнение (П3.28), получаем
А ' = лт л 1
л1,£ иЕлГ,Е'
Учтем здесь свойство кососимметричности матрицы вращений, qJ = = -QE, после чего уравнение Пуассона для матрицы АЕ ;запишется в виде
^Е,1 ~ ~^Е^Е,Г	(П3.31)
Отсюданетруднополучитьскалярныедифференциальные уравнения для элементов матрицы Л £ 7, аналогичные уравнениям (ПЗ.ЗО).
564
Матрица вращения может быть выражена и через проекции вектора угловой скорости на оси неподвижного базиса:
О/ =
О
U, О '1 '|
0
(П3.32)
В этом случае уравнения Пуассона для матриц Аг Е и А £; примут вид:
^1,£ ~ ^1^1,£'
(ПЗ.ЗЗ)
^E,i =	(П3.34)
Эти уравнения можно получить, если учесть, что матрица вращений при переходе от подвижного базиса к неподвижному преобразуется по формуле
Qy = Ag'jQEA£j.	(П3.35)
Доказательство формул (ПЗ.ЗЗ) - (П3.35) предоставляется читателю.
На практике наибольшее употребление получили уравнения Пуассона (П3.28) и (ПЗ.ЗО), где матрица вращений выражена через проекции вектора угловой скорости на оси подвижного базиса, так как в БИНС компоненты вектора угловой скорости измеряются с помощью ДУС в связанных осях.
Проанализируем свойства решений уравнений Пуассона. Проверим, что при теоретически точном решении этих уравнений свойство ортогональности матриц направляющих косинусов сохраняется. Для этого рассмотрим матрицу тр » и запишем дифференциальное уравнение, которому она удовлетворяет:

С учетом уравнения Пуассона (П3.28) далее имеем:
Ф =	~ ^/.E^E^J.E ~ О’	(П3.36)
565
Полученное уравнение ф ~ 0 показывает, что матрица ф постоянна, ф = С. Эго означает, что если при решении уравнений Пуассона матрица Яд £<Г0) в начальный момент времени ортогональна, т.е. ф(г0) = Е, то в последующие моменты ф(г) = Е, т.е, матрица Af сохраняет свойство ортогональности. Таким образом, уравнение (П3.36) означает, что условия связи (ПЗЛ7), (ПЗ. 18), которым подчинены элементы матрицы направляющих косинусов, представляют собой первые интегралы уравнений Пуассона.
При решении уравнений Пуассона матрица А1Е может терять свойство ортогональности вследствие погрешностей численного интегрирования. В связи с этим применяется процедура исправления элементов матрицы направляющих косинусов с целью ее ортогонализации. Данная процедура предусматривает определение такой ортогональной матрицы, которая наиболее близка к матрице А{ Е по критерию минимума суммы квадратов разностей одноименных элементов этих матриц. Найдем выражение для указанной матрицы.
В дальнейшем матрицу, искаженную ошибками численного интегрирования уравнений Пуассона, будем обозначать/!, а искомую матрицу обозначим через X, По постановке задачи матрица Л'ортогональна,
XrX = Е,	(П3.37)
и удовлетворяет требованию минимальности величины
/= ЕХЦ, " *у)2-	(П3.38)
Для определения матрицы X необходимо решить задачу на экстремум функции (П3.38) при условии (П3.37). Скалярную функцию f выразим в матричной форме:
/= Sp(A - Х)(А - ХУ,	(П3.39)
где Sp означает след (сумму диагональных элементов) соответствующей матрицы. Решим данную задачу на условный экстремум, воспользовавшись методом неопределенных множителей. Запишем функцию Лагранжа:
566
L = Sp (A - А')(Л - XT * брХ(.ГтА' - £),
где A - матрица неопределенных множителей. Данная матрица симметрична, так как матрицы А'ГЛ' и Е симметричны.
Запишем далее необходимое условие экстремума функции L:
2k = -2(А - XT < 2А’АГТ = О,
ЗА
воспользовавшись правилами дифференцирования скалярных функций по матричному аргументу (см. [5]).Транспонируя полученное выражение и опуская множитель 2, имеем:
-А + X * XX = О, А = Х(Е > Л).	(П3.40)
Умножим последнее равенство на .Тги учтем условие ортогональности (П3.37). Из полученного уравнения выразим матрицу Л':
Х\4 = Е + X, АТХ*Е + Х, X = (Агу1(Е * л).	(П3.41)
Подставляя найденное значение Л' в (П3.40), находим матрицу Е + А:
А = (А ГУ1(Е + А)\ А М = (Е + X)2, Е < X = (А ~А)\ (ПЗ’42)
Послеэтого из (П3.41) подучаем окончательное выражение для искомой матрицы А':
X = (А ГУ'(А ТЛ)2.	(П3.43)
Наряду с этим матрица X выражается также следующими формулами, вывод которых предоставляется читателю в качестве упражнения:
X = А(А ТА)\ X = (АА т)’2А, X ~ (АА тТ(А т)'1.	(ПЗ’44)
Применение формул (П3.43) и (П3.44) требует извлечения квадратного корня из матриц ,4Т.4 и ААГ. Рассмотрим данный вопрос на примере матрицы АТА. Данная матрица симметрична и невырождена, откуда следует ее положительная определенность. Для извлечения квадратного корня из этой матрицы следует привести ее к диагональному виду по
567
формуле
D = S M TAS,	(П3.45)
где 5 - матрица ортогонального преобразования, обеспечивающего диагонализацию матрицы АТА. Алгоритмы вычисления матрицы S приведены, например, в [2]. Матрица D имеет вид
D =
h о
О zf22 О о
о о , d33.
где с/„- > 0 ввиду положительной определенности матрицы АТА.
Квадратный корень из матрицы D представляет собой матрицу D1:
2
где перед радикалами следует взять знак Тогда матрица (А ТЛ)2 определяется выражением:
_1 1
(А ’А)1 = SDJST.
(П3.46)
ПЗ.З. Параметры Родрига - Гамильтона
Параметры Родрига - Гамильтона представляют собой компоненты кватерниона, описывающего вращение твердого тела. Дадим определение кватерниона и рассмотрим некоторые его свойства. Под кватернионом понимается гиперкомплексное число вида
X = Ад + A|Z[ X2i2 + Aj/j
(П3.47)
где Ао, Ар Х2, А3-действительные числа; z’,, i2> <3 - мнимые единицы, для которых определены следующие правила умножения:
568
= - I, i2°^2 = “1» ^3*G = “1»
Hl = "»?»! = h> h’b “ "Из = »h Hi = "Из = »r
(П3.48)
(П3.49)
Здесь значок означает операцию кватернионного умножения. В соответствии с (П3.48) квадраты мнимых единиц равны -I, а формулы (П3.49) показывают, что попарные произведения мнимых единиц образуются по правилам перемножения базисных векторов трехмерного пространства.
Числа Ао, Л|, А2, А3 называются компонентами кватерниона. Мнимые единицы /|, i2, /3 можно интерпретировать как орты трехмерного пространства. В этом случае кватернион представим в виде суммы скалярной и векторной частей:
Ло = sqalA, AJ, ♦ A2i2 + А3«3 = vectA.
Таким образом, любой вектор трехмерного пространства может рассматриваться как кватернион с нулевой скалярной частью.
Сложение и вычитание кватернионов производится покомпонентно по правилам сложения и вычитания обычных комплексных чисел. Перемножение двух кватернионов производится почленно с учетом формул (П3.48) н (П3.49). Если Ли Л/-два кватерниона, то их произведение может быть записано следующим образом:
А<>Л/=А0р0-А|р1-А2ц2-А3р3+А0(р1/1+р2?2+р313) +
+	Ц+Aji2+А3 i3)+
»i h
A( A2
P. Pl
^з
Рз
(П3.50)
Ввиду некоммутативное™ перемножения мнимых единиц умножение кватернионов также некоммутативно, т.е. произведение двух кватернионов зависит от порядка сомножителей, если только их векторные части не пропорциональны.
Определим понятия сопряженного кватерниона и нормы кватерниона. Кватернионом, сопряженным данному кватерниону (П3.47), называется
569
кватернион, определяемый выражением
X = Хо - Х(/, - X2i2 - Vj.	(П3.51)
Из формулы умножения кватернионов вытекает, что если .¥ = Х“Д/, то Л' = А?»Х,т.е. сопряженное произведение двух кватернионов равно произведению их сопряженных значений, взятых в обратном порядке.
Рассмотрим произведение кватернионов X и X. Поскольку векторные части кватернионов X и X отличаются только знаком, их произведение коммутативно. Это произведение называется нормой кватерниона Л и обозначается как |Х|,
|Х| = Х»Х = А<>А.	(П3.52)
Из формулы умножения (П3.50) следует, что
1 Х| = X* + X* + X* * А*.	(Г13.53)
Нетрудно убедиться, что |ХоЛЛ = | А|-|| АЛ, т.е. норма произведения кватернионов равна произведению их норм. Величина |Х| = vTM называется модулем кватерниона. Кватернион, норма которого равна единице, называется нормированным.
Деление кватернионов определяется с помощью операции обращения. Кватернионом, обратным данному кватерниону X, называется кватернион X"1 = А/Ш, для которого выполняется равенство:
ДоХ"1 = ХН»Х = 1.
(П3.54)
Для нормированных кватернионов обратный кватернион совпадает с сопряженным.
Рассмотрим тригонометрическую форму записи кватернионов. Любой кватернион (П3.47) может быть представлен в виде
X = |Х| (cos6 + 5in0),
(П3.55)
~ А, /. + Ха/,*** А,/\	А.	уА, + А,»А«
где ? =  1 1 V 3 X. cos0=—; sin0=4-J—1—1.
|Х| |Л|
Формула (П3.55) обобщает известную формулу представления обычного комплексного числа в тригонометрической форме.
570
Перейдем к вопросу применения кватернионов для описания вращения твердого тела. Предварительно напомним, что в соответствии с известной теоремой Эйлера любое вращение твердого тела может быть выражено как поворот тела вокруг неподвижной оси, проходящей через центр вращения, на некоторый угол (см, [4]). Упомянутую ось называют осью эйлерова поворота.
Основанием для применения кватернионов к описанию вращения твердого тела служит следующая фундаментальная теорема.
Теорема П3.1. Пусть тело совершает конечный поворот вокруг некоторой оси на угол 0, при этом некоторый вектор г, неизменно связанный с телом, изменяет свою ориентацию относительно инерциального базиса и переходит в вектор г'. Утверждается, что данный поворот тела может быть описан нормированным кватернионом:
,	0	7.0
Л = cos— + Esin —, 2	2
(П3.56)
где единичный вектор ? направлен по оси эйлерова поворота, а соответствие между векторами Г и г' выражается следующей формулой ортогонального преобразования
г' -
(П3.57)
Доказательство теоремы приведено в [I].
Рассмотримдвапоследовательных поворота,описываемых кватернионами А и Л/, при этом
г" =
(П3.58)
Из формул (П3.57) и (П3.58) получаем
Гм = Л/оДог’оД.оЛЗ’,
(П3.59)
т.е. вращение Л и последующее вращение М эквивалентны одному вращению N, определяемому формулой
У = Л/оА.
(П3.60)
В общем случае последовательность вращений А,, А2,.... Лл эквивалентна одному вращению Ая»Ап_|О...эА2вА1.
571
Формула (П3.57) устанавливает соответствие между двумя векторами? и г' при преобразовании вращения. Однако с ее помощью можно установить соответствие между проекциями одного и того же вектора на базисы 1иЕ. При поворотах тела орты q, е2, связанного базиса Е переходят из начального положения, которое можно полагать совпадающим с ортами ip »2» ‘з неподвижного базиса I, в новое положение. Очевидно, что ортогональное преобразование (П3.57) определяет соответствие между одноименными ортами базисов I и Е по формуле (П3.57):
ек = Л»/х»Х, к = 1, 2, 3.	(П3.61)
Если теперь гг и гЕ - вектор-столбцы вида (П3.7), то формулу преобразования (П3.57) можно записать в виде
r2 =	(П3.62)
где векторы ?2 и гЕ следует записать как кватернионы, выраженные в неподвижном базисе:
+ 7е =	+ гч'г +	(П3.63)
Компоненты кватерниона вращения (П3.56) можно записать в следующем виде:
, 6г _ . 0	,	-.0.	_ . 0
*о = cos—, X, -Sjsmy, Х2 = ?2sm-,	= 52sin-,	(П3.64)
где ?р - проекции единичного вектора 5 на оси базиса I.
Нетрудно видеть, что эти проекции равны соответствующим проекциям вектора f на оси базиса Е, поскольку поворот тела есть вращение базиса Е вокруг оси поворота, заданной вектором f. Таким образом, компоненты кватерниона вращения одинаковы в исходном и преобразованном базисах. Эго обстоятельство учтено в следующем определении.
Определение. Компоненты кватерниона вращения в базисе, преобразуемом этим кватернионом по формулам (П3.61) и заданные в форме (П3.64), называются параметрами Родрига - Гамильтона. Параметры Родрига - Гамильтона подчинены условию связи:
572
Л* + Л, + Л* <- Л3 = 1,	(П3.65)
определяемому свойством нормированное™ кватерниона вращения.
Итак, кватернион, компонентами которого являются параметры Родрига - Гамильтона, имеют равные компоненты в двух системах координатвследствиетого, что именно этим кватернионом определяется переход от одной системы координат к другой. Такой кватернион называется собственным кватернионом преобразования вращения. Ниже мы воспользуемся этим понятием.
Сравнение формул (П3.6) н (П3.62) показывает, что они описывают одно и то же ортогональное преобразование, выраженное в матричной и в кватернионной форме. Отсюда нетрудно установить связь между элементами матрицы направляющих косинусов Aj Е и параметрами Родрига - Гамильтона. С этой целью воспользуемся формулами (П3.47) и (П3.63), перемножим кватернионы гЕ и Л по формуле (П3.62) и приравняем компоненты произведения одноименным компонентам кватерниона гг. В результате будут получены соотношения между проекциями^, г/? г(> и проекциями^, г,, г,,. Записав эти соотношения в матричной форме (П3.6), получим искомую связь, выражающую элементы матрицы направляющих косинусов Aj Е через параметры Родрига - Гамильтона:
(П3.66)
Найденные соотношения можно обратить и выразить параметры Родрига - Гамильтона через элементы матрицы направляющих косинусов. Воспользовавшись обозначениями д^лля элементов матрицы А1Е, получаем:
ан + а11 + азз = ЗА0 _ Л( - Л2 - Л2 = 4Л0 - I;
1 - 4.	* gn * аД2 * азз.
° "	2
(П3.67)
573
х = ±gM a»- X = ±.g”." X, = ±--21-" g|2
1 4Xo 2	4A0	3	4A0
Полученные выражения двузначны, так как наряду с кватернионом (П3.56) то же самое вращение описывает кватернион
J A i — I А
-X = cos it - — I + (-^)sin| я - —
(П3.68)
задающий вращение на угол 2п~ 9 вокруг оси т.е. в обратную сторону.
Установим связь между параметрами Родрига-Гамильтона и углами Эйлера. Для этого надо записать кватернионы, выражающие последовательные повороты подвижного базиса на углы Эйлера и путем их перемножения найти кватернион результирующего поворота. Рассмотрим самолетные углы и обозначим через ль, X кватернионы последовательных поворотов. В соответствии с (ПЗ.оО) кватернион результирующего поворота определяется формулой
X = А^Х^А*.
(П3.69)
Однако вычисление компонент кватерниона Л по формуле (П3.69) неудобно, так как компоненты второго поворота Х5 надо выражать через орты неподвижного базиса с учетом предыдущего поворота на угол ф, а компоненты третьего поворота Аудолжны быть выражены через углы ф и ft Вычисления можно упростить, если применить собственные кватернионы преобразований вращения. Обозначим собственные кватернионы звездочкой и воспользуемся следующей теоремой, доказательство которой дано в [I].
Teope.ua П3.2. Пусть Л* и М - собственные кватернионы двух последовательных поворотов. Тогда кватернион результирующего поворота N определяется путем перемножения кватернионов Л и Л/*, причем в отличие от формулы (П3.60) сомножители берутся в обратном порядке:
N =
(П3.70)
В соответствии с данной теоремой формула (П3.69) примет вид:
А = XjoAjoA*.
(П3.71)
574
Удобство применения формулы (П3.71) заключается в том, что собственныекватернионывыражаются через проекции вектора поворота на базис, преобразуемый этим кватернионом, путем формального совмещения единичных векторов /2, неподвижного базиса с ортами базиса, преобразуемого этим кватернионом.
Обратимся к рис. П3.1 и отождествим оси инерциальной системы координат с неподвижным базисом /, а оси связанной системы координат-с подвижным базисом Е. В соответствии с общей формулой (П3.56) собственные кватернионы, описывающие повороты на углы ф, Ь, у, имеют вид:
ф , . ф .. ft . . ft .» V , . V
At=cos-x+f2sm-x, Xj=cos-+ijsin-, X^cos-Uqsin-*-. (П3.72) X	£»	£	L	t L
Перемножим кватернионы (П3.72) по формуле (П3.71) и приравняем компоненты произведения одноименным компонентам кватерниона результирующего поворота X = Ло + Хр^ + A2t2 +• А3<3. В итоге получим следующие формулы, выражающие параметры Родрига - Гамильтона через самолетные углы:
,	ф	О	Y	• ф . ft . у
Ал = cos — cos — cos — - sin—sin— sin—,
°	2	2	2	2	2	2
. Ф ft . у . ф . О v X, = cos—cos—sin— + sin—sin—cos—, '	2	2	2	2	2	2
Ф	ft	Y	ф . ft . Y
= sin—cos— cos— + cos—sin—sin—, 2	2	2	2	2	2
(П3.73)
, Ф • ft Y . Ф 0 . V X, = cos—sin—cos— - sin—cos—sin —.
3	2	2	2	2	2	2
Перейдем к выводу кинематических уравнений вращательного движения твердого тела в параметрах Родрига - Гамильтона. Пусть кватернион X описывает движение подвижного базиса Е относительно неподвижного базиса 1с угловой скоростью 3. Рассмотрим собственные кватернионы Л*(/) и Х*(Г + Д1) двух последовательных положений базиса Е в моменты 1 и t + Дп Через ДХ (г) обозначим кватернион малого поворота за время Дг Таким образом, в соответствии с теоремой П3.2
575
справедливо равенство:
A’(z + Д/) = Г(г)одг(г).	(П3.74)
Найдем выражение для кватерниона ДА . Вследствие малости Дг ось поворота мало отличается от направления вектора е = а угол 1«1
поворота мал, поэтому можно принять cos-^- = 1, sin-^ = ycoAr. Таким образом, в соответствии с формулой (П3.56) кватернион малого поворота выражается формулой
со — = 1 - —шЕД/, 2	2 Е
(П3.75)
где и>Е-кватернион-отображение вектора о на базис Е, выражающийся следующим образом:
+ <о,}з3.	(П3.76)
Из формул (П3.74) и (П3.75) имеем
W 4	= 1
Дг	2 Е
Переходя здесь к пределу при Д t - 0, получаем кинематические уравнения вращательного движения, выраженные в кватернионной форме:
~	(П3.77)
где — - производная кватерниона А = А*, получаемая как результат его
dt
покомпонентного дифференцирования в неподвижном базисе:
— =	+ Mi 4 ^2*2 4 ^з'з-	(П3.78)
Если вектор угловой скорости 5 выразить в проекциях на оси неподвижного базиса I, то кинематические уравнения вращательного движения тела будут иметь вид:
576
= у®/’*.	(П3.79)
Формулу (П3.79) можно получить, если для проектирования кватернионов использовать общий базис/и воспользоваться формулой перемножения (П3.60).
В заключение запишем кинематические уравнения вращательного движения тела непосредственно в параметрах Родрига - Гамильтона. При этом, как и в уравнениях (П3.2) и (ПЗ.ЗО), компоненты вектора угловой скорости в проекциях на оси подвижного базиса обозначим	,
Приравнивая покомпонентно правую и левую части выражения (П3.77) с учетом формул (П3.76) и (П3.78), получаем
2А0 =	~
2Х, = АоыХ| +
(П3.80)
2А2 = AqW^ + A3c*>Xi -
2A.j = АоыХ| +	- Х2оХ).
Как видим, кинематические уравнения вращательного движения в параметрах Родрига - Гамильтона линейны и не имеют особых точек. Они подчинены одному условию связи (П3.65), определяемому свойством нормированное™ кватерниона вращения. Аналогичные уравнения для случая проектирования вектора угловой скорости на оси неподвижного базиса нетрудно получить из (П3.79).
Литература к Приложению 3
1.	Браней Б.НМ Шмыглевский И.П. Применение кватернионов в задачах ориентации твердого тела. М.; Наука, 1978.320 с.
2.	Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1969. 367 с.
3.	Кантор ИЛ., Солодовников А.С. Гнперкомплексные числа. М.: Наука, 1973. 144 с.
4.	Парс Л. А. Аналитическая динамика. М.: Наука. 1971.636 с.
5.	Разоренов Г.Н. Формулы векторио-матричиого дифференцирования. М.; Изд. МО СССР. 1988. 36 с.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие........................................................   3
Список сокращений.................................................... 6
РАЗДЕЛ I ОБЩИЕ СВЕДЕНИЕ О СИСТЕМАХ УПРАВЛЕНИЯ РАКЕТ И ГОЛОВНЫХ ЧАСТЕЙ
Глава!.!. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ УПРАВЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЕМ И ПОСТРОЕНИЯ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ПОЛЕТОМ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ ............................................... 7
1.1.1.	Исходные понятия теории управления..................... 7
1.1.2.	Роль н место принципов как основополагающих концептульных положений в науке н технике ................................. 20
М.З. Принцип обратной связи.................................. 22
1.1.4.	Принципы целенаправленного воздействия на состояние объекта при управлении его движением................................. 25
1.1.5.	Принцип декомпозиции (разделения) сложных задач в совокупность задач меньшей сложности ..................................... 29
1.1.6.	Принцип управления по схеме "наведение-стабилизация" . 31
1.1.7.	Принцип независимого (развязанного) управления........ 35
Глава 1.2. БАЛЛИСТИЧЕСКАЯ РАКЕТА И ЕЕ ГОЛОВНАЯ ЧАСТЬ КАК ОБЪЕКТЫ УПРАВЛЕНИЯ ............................................. 38
1.2.1.	Особенности баллистических ракет, траектории их полета, конструктивные схемы......................................... 38
1.2.2.	Среда полгта, силы и моменты, воздействующие на БР и ГЧ. 49
1.2.3.	Управляющие силы и моменты. Органы	управления......... 60
1.2.4.	Структура уравнений движения БР и ГЧ в схеме твердого тела переменной массы ............................................ 76
1.2.5.	Управляемость БР и ГЧ................................. 89
1.2.6.	Маневренность, поворотливость и стабнлизнруемость БР и ГЧ .... 102
1.2.7.	Маневренность управляемых боевых блоков ............. 107
Глава 1.3. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ РАКЕТ И ГЧ......................................................... 114
1.3.1.	Определение системы управления ...................... 114
1.3.2.	Функции систем управлениям решаемые ею задачи ....... 116
1.3.3	Принципы построения систем управления движением БР.... 122
1.3.4.	Принципы построения систем управления боевых блоков . 133
578
1.3.5.	Показатели качества систем управления............ 136
ЛИТЕРАТУРА К РАЗДЕЛУ I........................................ 155
РАЗДЕЛ II
ИНЕРЦИАЛЬНЫЕ НАВИГАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ БАЛЛИСТИЧЕСКИХ РАКЕТ И ГОЛОВНЫХ ЧАСТЕЙ
ВВЕДЕНИЕ ..................................................... 157
Г л а в а 2.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНЕРЦИАЛЬНОЙ НАВИГАЦИИ...................................................... 160
2.1.1.	Классификация навигационных систем, применяемых при управлении подвижными объектами .................... 160
2.1,2	Содержание принципа инерциальной навигации, его достоинства и недостатки ........................................... 152
2.1.3.	Уравнение измерений инерциального датчика линейных перемещений............................................. 165
2.1.4.	Основное уравнение инерциальной навигации....... 173
2.1.5.	Свойство неустойчивости основного уравнения инерциальной навигации .............................................. 176
2.1.6.	Градиентно-гравитационный метод навигации ......  181
Глава 2.2. СХЕМЫ ПОСТРОЕНИЯ ИНЕРЦИАЛЬНЫХ
НАВИГАЦИОННЫХ СИСТЕМ ................................... 186
2.2.1.	Общая характеристика и классификация ИНС......... 186
2.2.2.	Платформенные ИНС ............................... 184
2.2.3.	Бесплатфориенные ИНС............................. 193
2	2.4 Схема БИНС акселерометрического типа .......... 195
Глава 2.3. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ НАВИГАЦИИ
В	ПЛАТФОРМЕННЫХ ИНС.................................. 206
2.3.1.	Схемы интегрирования основного уравнения инерциальной навигации .............................................. 206
2.3.2.	Алгоритмы интегрирования уравнений навигации .... 210
2.3.3	Алгоритмы предварительной обработки информации ... 214
Глава 2.4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ НАВИГАЦИИ В
БЕСПЛАТФОРМЕННЫХ ИНС .................................. 217
2.4.1.	Особенности задачи навигации в бесплатформснпых ИНС.217
2.4.2.	Схема и алгоритмы интегрирования уравнений навигации в инерциальной системе координат........................ 218
2.4.3.	Схема и алгоритмы интегрирования уравнений навигации в связанной системе координат........................... 222
2.4.4.	Ошибки и схемная реализация интегрирования кинематических уравнений .............................................. 227
579
2.4.5.	Приближенное и численное интегрирование кинематических уравнений .............................................. 237
2.4.6.	Методы коррекции решений в процессе интегрирования кинематических уравнений ............................... 249
ЛИТЕРАТУРА К РАЗДЕЛУ 11 .......................................... 253
РАЗДЕЛ 111
МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ НАВЕДЕНИЯ БАЛЛИСТИЧЕСКИХ РАКЕТ И ГЧ
ВВЕДЕНИЕ	...................................................... 254
Г л ав а 3.1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА МЕТОДОВ НАВЕДЕНИЯ БР И ГЧ	...................................................... 256
3.1.1.	Исходные понятия и определения...................... 256
3.1.2.	Виды и состав программ управления при наведении..... 261
3.1.3.	Показатели качества методов наведения............... 271
Глава 3.2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ЗАДАЧ НАВЕДЕНИЯ........... 274
3.2.1.	Граничные н терминальные условия наведения. Финитное условие и условия попадания .................................... 274
3.2.2.	Ограничения на параметры движения БР и ГЧ........... 284
3.2.3.	Условия оптимальности программ управления .......... 287
3.2.4	Типовая постановка задачи наведения ................. 289
Глава 3.3. ПРОГРАММЫ УПРАВЛЕНИЯ В ФУНКЦИОНАЛЬНОМ (ГРАНИЧНОМ) МЕТОДЕ НАВЕДЕНИЯ ................................. 293
3.3.1.	Содержание вопроса ................................. 293
3.3.2	Простейшие оптимальные программы угла тангажа БР..... 294
3.3.3.	Оптимальная программа управления полетом БР ........ 302
3.3.4.	Программы угла тангажа БР с учетом ограничений иа параметры движения................................................ 305
3.3.5.	Гибкие (параметрические) программы угла тангажа..... 308
Глава 3.4. УПРАВЛЕНИЕ ОТДЕЛЕНИЕМ ГЧ В ФУНКЦИОНАЛЬНОМ (ГРАНИЧНОМ) МЕТОДЕ НАВЕДЕНИЯ ................................. 311
3.4.1.	Содержание задачи управления и подходы к ее решению. 311
3.4.2.	Функционалы управления дальностью полета............ 314
3.4.3.	Функционалы управления дальностью полета в кажущихся параметрах ............................................. 321
3.4.4.	Задача управления боковым отклонением точки падения ГЧ от точки прицеливания .................................. 334
3.4.5.	Общая характеристика свойств функционального (граничного) метода наведения ....................................... 340
580
Глава 3.5. НАВЕДЕНИЕ ПО МЕТОДУ ТЕКУЩЕЙ ТРЕБУЕМОЙ СКОРОСТИ .......................................................   343
ВВЕДЕНИЕ ......................................................... 343
3.5.1.	Сущность метода текущей требуемой скорости ......... 344
3.5.2.	Метол требуемой скорости в варианте Q-системы ...... 346
3.5.3.	Анализ оптимальности управления при наведении по методу требуемой скорости ...................................... 351
3.5.4.	Свойство симметрии матрицы Q ......................  356
3.5.5.	Общая характеристика свойств метода наведения по текущей требуемой скорости ...................................... 359
Глава З.б. НАВЕДЕНИЕ ПО МЕТОДУ КОНЕЧНОЙ ТРЕБУЕМОЙ СКОРОСТИ................................................. 361
3.6.1.	Сущность метода наведения .......................... 361
3.6.2.	Алгоритмы метода наведения.......................... 370
3.6.3.	Общая характеристика свойств метода наведения по конечной требуемой скорости ...................................... 381
Глава 3.7. НАВЕДЕНИЕ ПО МЕТОДУ ТРЕБУЕМЫХ УСКОРЕНИЙ ............... 383
3.7.1.	Содержание метода .................................. 383
3.7.2.	Варианты задания программ требуемых ускорений степенными полиномами .............................................. 38S
3.7.3.	Анализ оптимальности программ управления ........... 398
3.7.4.	Некоторые вопросы практического применения метода требуемых ускорений ............................................... 402
3.7.5.	Наведение управляемого боевого блока по истоду требуемых ускорений  .............................................. 405
3.7.6.	Итоговая оценка свойств метода требуемых ускорений . 420
ЛИТЕРАТУРА К РАЗДЕЛУ III.......................................... 421
РАЗДЕЛ IV МЕТОДЫ УПРАВЛЕНИЯ ПОЛЕТОМ СТУПЕНИ РАЗВЕДЕНИЯ
Г л а в а 4.1. ХАРАКТЕРИСТИКА ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ ПОЛЕТОМ СТУПЕНИ РАЗВЕДЕНИЯ ............................................. 423
4.1.1.	Состав боевого оснащения баллистических ракет ...... 423
4,1.2.	Боевые порядки элементов боевого оснащения ......... 425
4,1.3.	Конструктивные схемы ступени разведения и способы построения боевых порядков.......................................... 429
Глава 4.2. БАЛЛИСТИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ БОЕВЫХ ПОРЯДКОВ ЭЛЕМЕНТОВ БОЕВОГО ОСНАЩЕНИЯ ........................... 435
4.2.1.	Анализ задачи построения боевых порядков в схеме импульсного разведения............................................... 435
581
4.2.2.	Требуемые приращения скорости в задаче построения боевых порядков ..................................................... 440
4.2.3.	Ортогонализация градиентных направлений и осей основной баллистической системы координат.............................. 432
4.2.4.	Учет переменности баллистических производных и ориентации осей баллистических систем координат при построении боевых порядков ..................................................... 454
Глава 4.3. АЛГОРИТМЫ УПРАВЛЕНИЯ ПОЛЕТОМ СТУПЕНИ РАЗВЕДЕНИЯ ПРИ ПОСТРОЕНИИ БОЕВЫХ ПОРЯДКОВ ...................................... 460
4.3.1.	Общая характеристика управляемого движения ступени разведения.................................................... 460
4.3.2.	Алгоритм управления переориентацией ступени разведения, оптимальный по быстродействию ................................ 466
4.3.3.	Алгоритмы замкнутого терминального управления вращательным движением ступени разведения.................................. 477
4.3.4.	Алгоритмы замкнутого терминального управления врашательно-поступательиым движением ступени разведения........ 484
4.3.5.	Задача оптимизации маршрута обхода целей............... 501
ЛИТЕРАТУРА К РАЗДЕЛУ IV.............................................. 510
ПРИЛОЖЕНИЕ J. Необходимые сведения из теории управляемости .......... 511
ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Обзор исходных положений механики и физики, лежащих в основе принципа инерциальной навигации............................. 529
ПРИЛОЖЕНИЕ 3. Параметры ориентации ЛА. Кинематические уравнения вращательного движения............................................... 554
Учебное издание
РАЗОРЕНОВ Геннадий Николаевич БАХРАМОВ Эрнест Атавпч ТИТОВ Юрий Федорович
СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ЛЕТАТЕЛЬНЫМИ АППАРАТАМИ (БАЛЛИСТИЧЕСКИМИ РАКЕТАМИ
И ИХ ГОЛОВНЫМИ ЧАСТЯМИ)
Редактор А.А. Цветкова
Художественный редактор Т.Н. Галицына
Технические редакторы Т.Н. Андреева, С.А. Жиркина
Корректоры Л./Г Сажина, Л. Е. Сонюшкина, 7’А Колганова
Лицензия ИД №05672 от 22 08.01 г.
Сдано в набор 24.06.02.
Бумага офсетная.
Усл. неч. л. 35.77. Тираж ЮОО экз.
Подписано в печать 09.12.02.
Гарнитура "Таймс". Усл. Kp.-orr.35,77.
Формат 6(М8,'1б.
Печать сфсс1ная.
Уч.-иы. л 33.08.
Зака? "6N
ФГУП "Издательство "Машиностроение"
107076, Москва, Стромынский пер., 4
Отпечатано в ГУП ППП "Типография "Наука" РАН, 121099, Москва, Шубинский пер.. 6