/
Author: Измайлов З.А.
Tags: дифференциальные, интегральные и другие функциональные уравнения конечные разности вариационное исчисление функциональный анализ математика
ISBN: 0233—6723
Year: 1985
Text
итоги
НАУКИ
И ТЕХНИКИ
СОВРЕМЕННЫЕ
ПРОБЛЕМЫ
МАТЕМАТИКИ
Фундаментальные
направления
Том 1
ISSN 0233—6723
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ СССР АКАДЕМИЯ НАУК СССР
ПО НАУКЕ И ТЕХНИКЕ
ВСЕСОЮЗНЫЙ ИНСТИТУТ НАУЧНОЙ И ТЕХНИЧЕСКОЙ ИНФОРМАЦИИ
ИТОГИ НАУКИ И ТЕХНИКИ
СЕРИЯ
СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ
МАТЕМАТИКИ
Фундаментальные направления
Том 1
Научный редактор
член-корреспондент АН СССР Р. В. Гамкрелидзе
Серия издается с 1985 г.
МОСКВА 1985
I—7712
Главный редактор информационных изданий ВЙНЙ*ГИ
профессор А. И. Михайлов
РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ
информационных изданий по математике
Главный редактор чл.-корр. АН СССР Р. В. Гамкрелидзе
Члены редколлегии: канд. физ.-матем. наук Д. Л. Келенджеридзе,
канд. физ.-матем. наук М. К. Керимов, академик А. И. Колмогорев,
член-корр. АН СССР Л. Д. Кудрявцев, профессор В. Н. Латышев,
профессор А. В. Малышев, академик С. М. Никольский,
профессор Н. М. Остиану (ученый секретарь редколлегии),
академик Л. С. Понтрягин, доктор физ.-мат. наук Н. X. Розов,
профессор В. К. Саулъев, профессор А.. Г. Свешников
Редакторы-консультанты серии
профессор Н. М. Остиану, академик Л. С. Понтрягин
Научные редакторы серии
А. А. Аграчев, 3. А. Измайлова, В. В. Никулин,
В. П. Сахарова
Научный консультант
Заслуженный деятель культуры М. И. Левштейн
© ВИНИТИ, 1985 ,
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ—!
Редакторы-консультанты
профессор Д. В. Аносов, член-корреспондент АН СССР В. И. Арнольд
1*
Научный редактор тома 3. А. Измайлова
Авторы
Д. В. Аносов» С. X. Арансон, В. И. Арнольд,
И. У. Бронштейн, В. 3. Гринес, Ю. С, Илъяшенко
ОТ РЕДАКЦИОННОЙ КОЛЛЕГИИ
Предлагаемый том является первым в новой серии информа-^
ционного издания Итоги науки и техники «Современные проб*
лемы математики. Фундаментальные направления».
В настоящее время наблюдается сильно возросшая потреб*
ность в математических обзорных .и. справочно-информацион-
ных изданиях. После периода интенсивного «внутреннего» раз-
вития математика за последние десятилетия нашла' глубокие
новые приложения не только в теоретической .физике й ниже;
верных науках, но и в целом ряде других наук, например, в
вычислительной технике и информатике, экономике, теорети-
ческой биологии и медицине. Пришла пора активного исполь;
зования непрофессиональными математиками не только класси-
ческого математического анализа, в частности, теории диф-
ференциальных уравнений и методов их численного решения,
но и топологии, алгебры, Многомерного комплексного анализа,
когомологий, теории особенностей и т. д. Возникла необходи-
мость в широкой математической культуре у специалистов, ак-
тивно использующих математику в своей, научной и практи-
ческой деятельности.
Одним из результатов такой «индустриализации» матема-
тики и явилась резко возросшая потребность в профессиональ-
ных справочных математических изданиях, доступных, однако,
возможно широкому кругу специалистов.
Тома настоящей серии будут содержать сводное изложение
всех основных разделов современной математики и ее прило-
жений, увиденных глазами работающих сейчас математиков в
системе ценностей последних десятилетий. Статьи серии будут
вполне доступны не только специалистам-математикам в смеж-
ных областях, но и физикам, механикам и другим научным ра-
ботникам, профессионально пользующимся математикой в сво-
ей работе и заинтересованным тематикой статьи.
Издание в целом может также послужить широкой базой
для профессоров и преподавателей высших учебных заведений
при разработке программ и лекционных курсов по различным
разделам математики и ее приложений.
Статьи серии будут раскрывать современное состояние и
5-
перспективу развития соответствующих областей математики.
В каждой статье будут охарактеризованы основы предмета с
•современной точки зрения, отражены связи со смежными обла-
стями математики, изложены наиболее фундаментальные ре-
зультаты данной области и даны развернутые мотивировки вво-
димым понятиям и результатам.
Каждая статья одновременно будет нести некоторую нагруз-
ку справочного характера и сопровождаться аннотированным
•библиографическим указателем.
Все издание задумано как единое целое и подбор статей в
каждом томе и их содержание будут учитывать содержание
других томов. Однако одна и та же тема может повторяться,
если она освещается с различных точек зрения.
Тома будут нумероваться сквозной нумерацией по мере вы-
хода в свет, однако по своему содержанию они объединяются
в крупные разделы математики и внутри каждого раздела бу-
дут иметь свою дополнительную нумерацию.
Начальные тома каждого раздела будут преимущественно
посвящены основам предмета, а более специальные темы выне-
сены в последующие тома.
Настоящий том является первым В' разделе «Динамические
•системы». Предполагается, что в ближайшее время появятся
еще 5 или 6 томов, посвященных этому разделу.
УДК 517.91/517.93
I
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
В. И. Арнольд, Ю. С. Илъяшенко
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие . . . . :...............................
Глава 1. Основные понятия...................................
§ 1. Определения . . ...........................
1Л. Поля» направлений и их интегральные кривые ....
1.2. Векторные поля, автономные дифференциальные уравнения, ин
тегральные и фазовые кривые.............................
1.3. Поля направлений и неавтономные дифференциальные урав
нения.................................'.................
1.4. Диффеоморфизмы и фазовые потоки .
1.5. Особые точки ................................*
1.6. Действие диффеоморфизма на векторное поле ....
1.7. Первые интегралы..................................
1.8. Дифференциальные уравнения с комплексным временем
1.9. Голоморфные поля направлений в комплексной области
1.10. Дифференциальные уравнения высших порядков
1.11. Дифференциальные уравнения на многообразии
§ 2. Основные теоремы.....................................
2.1. Теорема о выпрямлении векторного поля .....
2.2. Теорема существования и единственности.............
2.3. Теорема о выпрямлении поля направлений.............
2.4. Приближенное решение дифференциальных уравнений
2.5. Теорема о продолжении .............................
2.6. Теорема о дифференцируемой и аналитической зависимости от
начальных условий и параметров ....:..
2.7. Уравнение в вариациях................. . . .
2.8. Теорема о непрерывной зависимости..................
2.9. Теорема о локальном фазовом потоке . . . > .
2.10. Теорема о первых интегралах.......................
§ 3. Линейные дифференциальные уравнения..................
. 3.1. Экспонента линейного оператора.....................
3.2. Теорема о связи фазовых потоков линейных векторных поле!
и экспонент линейных операторов..........................
3.3. Комплексификация фазового пространства..............
3.4. Седло, узел, фокус, центр...........................
3.5. Формула Лиувилля — Остроградского...................
3.6. Линейные уравнения высших порядков ......
§ 4. Устойчивость....................................4
4.1. Устойчивость по Ляпунову и асимптотическая ....
4.2. Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению
4.3. Функция Ляпунова и функция Четаева.....................
4.4. Особые точки общего положения..........................
И
13
13
13
13
14
14
15
16
16
17
17
18
18
18
18
19
20
20
21
22
22
23
23
23
23
23
24
24
25
25
27
27
27
29
29
29
7
30
§ 5. Циклы..................................................
5.1. Строение фазовых кривых вещественных дифференциальных
уравнений .................................................
5.2. Преобразование монодромии замкнутой фазовой кривой. Пре-
дельные циклы..............................................
5.3. Кратность циклов......................................
5.4. Мультипликаторы.......................................
5.5. Предельные множества и теорема Пуанкаре — Бендиксона
§ 6. Системы с симметриями..................................
6.1. Группа симметрий дифференциального уравнения . . . .
6.2. Факторсистемы.........................................
6.3. Однородные уравнения . . Л ;.......................
6.4. Использование симметрий для понижения порядка
§ 7. Дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно
производной . . ...................................
7.1. Основные понятия: криминанта, интегральные кривые
7.2. Регулярные особые точки...............................
7.3. Сложенные седла, узлы и фокусы........................
7.4. Нормальные формы сложенных особых точек...............
7.5. Сборки................................................
§ 8. Аттракторы.............................................
8.1. Определения > . ....... к s » в ।
8.2. Оценка сверху размерности максимальных аттракторов
8.3. Приложения......................,.....................
Глава. 2. Дифференциальные уравнения на поверхностях . . . .
§ 1. Структурно устойчивые уравнения на окружности и сфере
1.1. Определения...........................................
1.2. Одномерный случай.....................................
1.3. Структурно устойчивые системы на двумерной сфере
§ 2. Дифференциальные уравнения на двумерном торе .
2.1. Двумерный тор,и векторные поля на нем.................
2.2. Преобразование монодромии ..........
2.3. Число вращения........................................
§ 3. Структурно устойчивые дифференциальные уравнения на торе
3.1. Описание структурно устойчивых уравнений..............
3.2. Оценка числа циклов.............................. .
§ 4. Уравнения на торе с иррациональным* числом вращения
4.1. Эквивалентность диффеоморфизма окружности повороту
4.2. Диффеоморфизмы окружности и векторные поля на S3 . }
§ 5. Замечания о числе вращения......................... .
5.1. Число вращения как функция параметров.................
5.2. Семейства уравнений на торе...........................
5.3. Эндоморфизмы окружности ..............................
Глава 3. Особые точки дифференциальных уравнений в многомерном
, вещественном фазовом пространстве -........................
§ 1. Топологическая классификация гиперболических особых * точек
1.1. Теорема ГробманаХартмана..................... . . .
1.2. Классификация линейных систем . . ................
§ 2. Устойчивость по Ляпунову и проблема топологической класси-
фикации . .......................-...............
2.1. О локальных задачах анализа . . .. ................
2.2 Алгебраическая и аналитическая неразрешимость проблемы
устойчивости по Ляпунову....................... . . . .
2.3. Алгебраическая разрешимость до вырождений конечной кораз-
мерности ..................................................
2.4. Топологически нестабилизируе«мые струи . . . • .
§ 3. Формальная классификация ростков векторных полей
3.1. Формальные векторные поля и их эквивалентность
31
31
32
32
34
35
35
35
36
36
38
38
38
39
39
40
41
42
42
43
44
44
44
44
45
45
45
46
47
47 .
47
48
48
48
50
50
50
51
51
51
52
52
52
53
53
54
55
56
57
57
8
3.2. Резонансы. Нормальные формы Пуанкаре — Дюлака и их об-
общения .....................................................
3.3. Приложения теории формальных нормальных форм
3.4. Полиномиальные нормальные формы..........................
§ 4. Инвариантные многообразия и теорема сведения ....
4.1. Теорема Адамара — Перрона................................
4.2. Теорема о центральном многообразии.......................
4.3. Принцип сведения.........................................
§ 5. Критерии устойчивости и топологическая классификация особых
точек в случае вырождений малой коразмерности ....
5.1. Структура критериев......................................
5.2. Топологическая классификация ростков гладких векторных по-
лей до вырождений коразмерности 2 включительно
5.3. Фазовые портреты нормальных форм.........................
5.4. Критерии устойчивости по Ляпунову для вырождений до ко-
размерности 3 включительно...................................
5.5. Диаграмма примыканий....................................
5.6. Теоремы об алгебраической разрешимости ......
§ 6. Гладкая классификация ростков векторных полей ....
6.1. Соотношение формальной и гладкой классификации
6.2. Ростки векторных полей с симметриями . . .
6.3. Квазигиперболичность . л.................................
6.4. Конечно гладкая эквивалентность ростков векторных полей
§ 7. Нормальные формы векторных полей, линейная часть которых —
нильпотентная жорданова клетка.................................
7.1. Центрированные цепочки...................................
7.2. Неубиваемые невязки......................................
7.3. Стандартное представление группы SL(2) и алгебры si (2)
7.4. Продолжение нильпотентного ' оператора до представления
алгебры Ли si (2)............................................
7.5. Окончание доказательства теоремы .'.....................
Глава 4. Особые точки дифференциальных уравнений в многомерном
комплексном фазовом пространстве.................................
§ 1. Л инейные, нормальные формы................................
1.1. Области Пуанкаре и Зигеля. Малые знаменатели . . . .
1.2. Сходимость нормализующих рядов . . .................
1.3. Аналитические теоремы о расходимости нормализующих рядов
1.4. Геометрические теоремы о расходимости нормализующих рядов
§2 . Связь формальной и аналитической классификации . . . .
2.1. Условие А................................................
2.2. Замечание................................................
. § 3. Аналитические инвариантные многообразия...................
3.1. Теорема об инвариантном многообразии ......
3.2. Следствия . . ,..........................................
3.3. Об аналитическом центральном многообразии дифференциаль-
. ных уравнений на плоскости.................................
§ 4. Топологическая классификация особых точек в комплексной об-
ласти .........................................................
4.1. Линейные векторные поля..................................
4.2. 'Нелинейный случай.......................................
Глава 5. Особые точки векторных полей на вещественной и комплекс-
ной плоскости ...................................................
§ 1..Разрешение особенностей.....................................
1.1. Раздутие или a-процесс на плоскости . ..............
1.2. Элементарные особые точки................................
, 1Д Хорошие раздутия........................*.................
, § 2. Гладкая орбитальная классификация элементарных особых точек
на плоскости....................................................
2.1. Таблица нормальных форм: аналитический случай
58
59
60
61
61
62
63
63
63
64
67
63
71
72
72
72
72
73
74
74
74
76
76
77
77
77
78
79
79
80
80
80
81
81
82
83
85
85
85
87
87
88
88
г
9
2.2. Нормальные формы в гладком случае.......................
§ 3. Топологическая классификация сложных особых точек с харак-
теристической траекторией . ..........................
3.1. Основная альтернатива.....................................
3.2. Топологическая классификация дифференциальных уравнений
на плоскости в окрестности особой точки . . ...
3.3. Топологическая конечная определенность. Диаграммы Ньютона
векторных полей..............................................
3.4. Исследование векторных полей по главной части
§ 4. Проблема различения центра и фокуса......................
4.1. Постановка проблемы.....................................
4.2. Алгебраическая неразрешимость.............................
4.3. Центр по линейным членам................................
4.4. Нильпотентная жорданова клетка............................
4.5. Особые точки без исключительных направлений ....
4.6. Общий случай............................................
4.7. Обобщенная первая фокусная величина . . . ...
4.8. Полиномиальные векторные поля...........................
§ 5. Аналитическая классификация элементарных особых точек в ком-
плексной области.........................,....................
5.1. Ростки конформных отображений с тождественной линейной
частью.......................................................
5.2. Классификация резонансных отображений и векторных полей
с нелинейностями общего положения............................
5.3. Продолжение предыдущего: вырожденные элементарные осо-
бые точки ...................................................
5.4. Геометрия аналитических нормальных форм .
5.5. Приложения..............................................
5.6. Добавление об аналитических нормальных формах
§ 6. Орбитальная топологическая классификация элементарных осо-
бых точек на комплексной плоскости . . ’.............
6.1. Нерезонансный случай....................................
6.2. Седловые резонансные векторные поля.....................
6.3. Вырожденные элементарные особые точки...................
Глава 6. Циклы..................................................
§ 1. Преобразование монодромии................................
1.1. Определения.................................*
1.2. Реализация..............................................
§ 2. Локальная теория диффеоморфизмов.........................
2.1. Линейные нормальные формы...............................
2.2. Резонансный случай.....................................
2.3. Инвариантные многообразия ростков диффеоморфизмов
2.4. Инвариантные многообразия цикла.........................
2.5. Раздутия .......................................\
§ 3. Уравнения с периодической правой частью.................
3.1. Нормальная форма линейного уравнения с периодическими
коэффициентами.....................•.........................
3.2. Линейные нормальные формы........................- 4
3.3. Резонансные нормальные формы............................
§ 4. Предельные циклы полиномиальных векторных полей на плос-
кости ........................................................
4.1. Проблема конечности и сложные циклы.....................
4.2. Преобразование монодромии сложного цикла................
4.3. Открытые вопросы........................................
4.4. Одна теорема конечности.................................
4.5. Метод доказательства теоремы Дюлака и ее обобщения
4.6. Полиномиальные векторные поля второй степени ....
§ 5. Предельные циклы систем, близких к гамильтоновым . . • .
5.1. Рождение вещественных предельных циклов.................
88
89
89
90
91
92
93
93
93
94
94
95
96
96
96
97
97
98
99
100
100
101
101
101
101
101
102
102
102
103
104
104
105
106
106
107
108
108
109
109
110
110
111
112
112
112
ИЗ
113
113
10
5.2. Рождение комплексных циклов............................
5.3 Исследование вариации.................<
5.4. Ослабленная проблема Гильберта.........................
5.5. Специальные случаи.................................
§ 6. Полиномиальные дифференциальные уравнения на комплексной
плоскости ....................................................
6.1. Допустимые поля.....................................*.
6.2. Полиномиальные поля....................................
Глава 7. Аналитическая теория дифференциальных уравнений
§ 1. Уравнения без подвижных критических точек................
1.1. Определение...........................................
1.2. Подвижные критические точки уравнения первого порядка
1.3. Уравнения Риккати.....................................
1.4. Уравнения, не разрешенные относительно производной
1.5. Уравнения Пенлеве.....................................
§ 2. Локальная теория линейных уравнений с комплексным временем
2.1. Регулярные и иррегулярные особые точки.................
2.2. Формальная, голоморфная и мероморфная эквивалентность
2.3. Монодромия.............................................
2.4. Формальная теория линейных систем с фуксовой особой точкой
2.5. Формальная теория линейных систем с нефуксовой особой
точкой .....................................................
2.6. Асимптотические ряды и явление Стокса ......
2.7. Аналитическая классификация нерезонансных систем в окрест-
ности иррегулярной особой точки.............................
§ 3. Теория линейных уравнений в целом........................
3.1. Уравнения и системы класса Фукса.......................
3.2. Продолжимость и монодромия.............................
3.3. Теорема Римана — Фукса.................................
3.4. Аналитические функции от матриц........................
3.5. Связь с теорией клейновых групп.................... .
3.6. Интегрируемость в квадратурах..........................
3.7. Замечания о специальных уравнениях.....................
3.8. Группа монодромии уравнения Гаусса.....................
*§ 4. Проблема Римана—Гильберта...............................
4.1. Постановка проблемы....................................
4.2. Проблема Римана — Гильберта для круга..................
4.3. Проблема Римана — Гильберта для сферы..................
4.4. Проблема Римана — Гильберта для фуксовых систем
4.5. Обобщения..............................................
4.6. Векторные расслоения на сфере..........................
4.7. Применения к проблеме Римана — Гильберта...............
4.8. Изомонодромные деформации и уравнения Пенлеве
Литература......................................................
Предметный указатель............................................
114
114
115
116
117
117
117
119
119
119
120
120
121
121
122
122
124
124
125
126
127
128
129
129
130
131
132
132
133
133
134
134
135
135
137
138
138
139
139
140
141
147
ПРЕДИСЛОВИЕ
Этот обзор посвящен, в основном, локальной теории обык-
новенных дифференциальных уравнений. В него не включена
теория бифуркаций; ей будет посвящена отдельная статья. Ме-
тод усреднения излагается в, обзоре В. И. Арнольда, В. В. Коз-
лова, А. И. Нейштадта «Математические аспекты классической
и небесной механики» (т. 3 настоящего издания).
Мы не касаемся спектральной теории дифференциальных
операторов с одной независимой переменной (см., например,
11
[37]); по целям и методам она относится скорее к функцио-
нальному анализу. • Не включены в обзор также теория интег-
ральных преобразований и ее приложения к дифференци-
альным уравнениям. Асимптотической теории дифференци-
альных уравнений посвящен обзор М. В. Федорюка «Асимпто-
тические методы в анализе»; некоторые общие теоремы
асимптотической теории имеются в главе 7. Совсем не за-
тронут вопрос об интегрировании конкретных уравнений; основ-
ным пособием на эту тему является книга Камке (Е. Kamke)
«Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям».
В последние годы произошел резкий подъем активности в
исследовании классических проблем теории дифференциальных
уравнений, связанный с проникновением в эту теорию смежных
дисциплин: алгебры (теория формальных нормальных форм),
алгебраической геометрии (разрешение особенностей), комп-
лексного анализа. Мы старались, по возможности, отразить эти
исследования в предлагаемой статье.
Изложение ведемся с единой точки зрения и с использова-
нием" единой терминологии. Мы начинаем каждую главу с оп-
ределения основных понятий с тем, чтобы сделать наш обзор
доступным и для читателя-неспециалиста. В существующей ли-
тературе отсутствует единая терминология — даже термин «осо-
бая точка» употребляется в различных значениях. Различие в
терминологии и, что еще важнее, в математическом языке при-
водит к тому, что в разных источниках близкие результаты
формулируются совсем по-разному. Для того, чтобы они вос-
принимались как части одного целого, мы зачастую формули-
руем их не в том виде, как в первоисточниках.
Исследование каждой проблемы мы старались начинать с
рассмотрения объектов общего положения; они наиболее про-
сты и одновременно имеют больше всего приложений, по-
скольку чаще всего встречаются. Вырождений высокой кораз-
мерности мы касаемся только в двух случаях: 1) если все вы-
рождения меньшей коразмерности в изучаемой проблеме уже
описаны; 2) если проблема исследуется единообразно для вы-
рождений всех коразмерностей.
Список литературы не претендует на полноту. В него вклю-
чены некоторые учебники, а также монографии общего харак-
тера. Большая часть списка состоит из работ, содержащих
подробное изложение результатов, сформулированных.в обзоре.
Для сокращения списка литературы мы пользовались двойны-
ми ссылками: если работа цитирована в монографии или статье,,
включенной в список литературы, то ссылка на нее имеет вид
[а: Ь] или [а, стр. Ъ]. Первое означает работу [Ь] из списка
литературы в [а]; второе—работу, цитированную’в [а] на
стр. Ь. Знак ▲ указывает конец некоторых формулировок.
В. И. Арнольд, Ю. С. Ильяшенка
12
Глава 1
основные понятия
В этой главе (§§ 1—6) дан краткий обзор основных поня-
тий и результатов общего характера теории обыкновенных
дифференциальных уравнений. Более подробное изложение
можно найти в книгах [7], '[49], 1[51], [61], [63], [64], [93]. Па-
раграфы 7 и 8 носят более специальный характер и содержат
некоторые недавние результаты.
§ 1. Определения
1.1. Поля направлений и их интегральные кривые. Рассмот-
рим вещественное конечномерное линейное пространство V=
= Rn. Полем направлений в области U пространства V назы-
вается соответствие, которое каждой точке xGU сопоставляет
проходящую через х прямую.
Определение. Интегральной кривой поля направлений
называется кривая, которая в каждой своей точке касается на-
правления поля в этой точке.
1.2. Векторные поля, автономные дифференциальные уравне-
ния, интегральные и фазовые кривые. Векторным полем v, за-
данным в области U пространства V, называется соответствие,
сопоставляющее каждой точке xGU приложенный в ней вектор
а(х) пространства V.
Дифференциальным уравнением, соответствующим вектор-
ному полю V, называется уравнение
х=и(х), xGUczV, (1)
точка над буквой обозначает дифференцирование по t:x=
=dx/dtl\
Область U называется фазовым пространством этого урав-
нения, а прямое произведение RXiZ — расширенным фазовым
пространством; здесь R — ось времен (ось t).
Уравнение (1) называют также автономным уравнением
(так как закон эволюции физически автономной, т. е. не взаи-
модействующей с другими системами, физической системы обыч-
но не зависит от времени); неавтономным уравнением назы-
вается уравнение, правая часть которого, зависит также и от t:
x=v(t, х). (2)
• Определение. Решением дифференциального уравне-
ния (2) называется диференцируемое отображение <р: I-+U
*> Точнее, здесь и далее х или dxjdt означает значение производной
отображения t*-+x на стандартном орте оси £
13
интервала Z={/6R, a<.t<b} вещественной оси t (допускаются
а=—со, Ь = + оо) в фазовое пространство, если для любого
тб/ выполняется соотношение
Определение. Интегральной кривой дифференциального
уравнения называется график его решения; фазовой кривой —.
проекция интегральной кривой на фазовое пространство вдоль
оси t.
1.3. Поля направлений и неавтономные дифференциальные
уравнения. Пусть v — зависящее от времени векторное поле,
т. е. отображение, сопоставляющее каждой точке (t, х) некото-
рой области прямого произведения оси времени R и фазового
пространства V вектор фазового пространства (приложенный в
точке х).
Определение. Полем направлений дифференциального
уравнения
x=v(t, х), (/, x)et/c:RxV (2)
называется поле направлений, заданное в области расширенно-
го фазового пространства, где определена правая часть, сле-
дующим правилом: точке (/, х) сопоставляется проходящая че-
рез нее прямая, содержащая вектор (l,v(Z, х)).
Легко доказывается •
Теорема. Интегральными кривыми поля направлений
уравнения (2) являются графики решений этого уравнения и
только они.
Не всякое поле направлений является полем направле-
ний дифференциального уравнения .(2). Например, поле
нулей 1-формы /(х, y)dx+g(x, y)dy=0 определяет (при усло-
вии f2+^2=/=0) поле направлений. Поле нулей формы d(x2+y2)
на плоскости без нуля не является полем направлений уравне-
ния вида (2). ,
1.4. Диффеоморфизмы и фазовые потоки.Диффеоморфизмом
области U на область W называется взаимно однозначное отоб-
ражение, дифференцируемое вместе с обратным. Всюду в даль-
нейшем, если не оговорено противное, дифференцируемость оз-
начает наличие непрерывных производных всех порядков.
Определение. Однопараметрической группой {g‘} диф-.
феоморфизмов области U называется такое отображение g
прямого произведения RXI/ в U-.
g: RxU^U, g(t, x)=g‘x, fGR, xGU,
что
1) g — дифференцируемое отображение,
2) семейство {g'|^R} является однопараметрической груп-
пой преобразований: g'og,=g,+' для любых t, $GR; g°=id.
14
Из 1) и 2) вытекает
3) при каждом /GR отображение g‘: U-+U — диффеомор-
физм.
Фазовым потоком, заданным в области, называется однопа-
раметрическая группа ее дифеоморфизмов.
Определение. Полем фазовой скорости потока {g'}
называется поле скоростей, с которыми поток сдвигает точки
с места: v(x) =dg*x/dt |f_o. Это поле называется также произ-
водящим полем однопараметрической группы {£'}.
Теорема. Движение точки под действием фазового потока,
ф(0=£‘(*о), является решением уравнения (1), заданного по-
лем фазовой Скорости. ,
Обратно, в некоторых случаях (а именно, когда решения
уравнения (1) продолжаются на всю ось времени) можно по-
строить по данному векторному полю v фазовый поток, для
которого v является полем фазовой скорости. Однако это не
всегда так (пример — уравнение х=х2). В этом случае, как,
легко сосчитать, единственно возможный поток дается форму-
лой g‘x=x/(l—tx). Хотя g,+’=gto g’, эта формула не задает
фазового потока на аффинной прямой, а лишь на проективной,
получаемой из оси х добавлением точки оо.
С каждым векторным полем и каждой точкой фазового про-
странства связан локальный фазовый поток: однопараметриче-
ское семейство диффеоморфизмов, определенных в некоторой
окрестности этой точки. Отображения локального фазового по-
тока соответствуют некоторому интервалу оси времен и обла-
дают групповым свойством:
g<+'=g( ° g'; g_t=(g,)_1;
первое равенство справедливо при всех f и s из. некоторой
окрестности нуля и при всех х из некоторой окрестности дан-
ной точки. Поле фазовых скоростей локального фазового по-
тока совпадает с исходным векторным полем в этой окрест-
ности.
Локальные фазовые потоки {g/} и {g2‘} двух векторных
полей в точках х п у топологически эквивалентны (сопряжены),
если существует гомеоморфизм Н окрестностей этих точек, пе-
реводящий х в у и сопрягающий преобразования локальных фа-
зовых потоков: g2°H=H оg{.
1.5. Особые точки.
Определение. Особая точка векторного поля —это точ-
ка, в который вектор поля обращается в нуль. Особая точка
дифференциального уравнения x=v(x)—это особая точка со-
ответствующего векторного поля и.
Пусть f — дифференцируемое отображение области U прост-
ранства R" в область W пространства Rm. Производной отобра-
жения f в точке х0 называется «главная линейная часть»
отображения f в точке х0, точнее — линейный оператор A: Rn->
15
->Rm такой, что
f (*) ~~f (xo) =A (x—x0) + о (x—x0).
Пусть x= (xb ..., x„) и y= (yi,, ym) — координаты в прооб-
разе и образе соответственно. Тогда отображение f записывает-
ся в виде вектор-функции у= (fi(x),..., fm(xi). Это означает,
что Ук° f=fk- Матрица оператора А в координатах х, у — это
якобиева матрица вектор-функции f=(fi,...» fm). Производная
отображения и соответствующая матрица обозначаются одина-
ково:
л=4т А==М $(*<>)•
Дифференцируемое векторное поле—это поле с дифферен-
цируемыми компонентами.
Пусть х0—особая точка дифференцируемого векторного
поля ©, дъ/дх—производная отображения v:x*-*o(x).
Уравнение
х=Ах, А=-^-(х0)
называется линеаризацией уравнения (1) в особой точке х0,
поле Ах — линейной частью поля v в точке Хо, А — оператор
этой линейной части; иногда вместо до/дх пишется о..
Особая точка векторного поля называется невырожденной,
если оператор линейной Части поля в этой точке невырожден.
Особые точки дифференциального уравнения иногда назы-
вают также положениями равновесия. Собственные значения
оператора линеаризации векторного поля в особой точке а
(оператора dvldx(a)) называют иногда собственными значени-
ями особой точки.
1.6. Действие диффеоморфизма на векторное поле;
Определение. При диффеоморфизме f: U-+W векторное
поле v, заданное в области U, переходит в векторное поле о,
заданное в области W по следующему правилу. Пусть движу-
щаяся в U точка <р(0 в момент f=0 выходит из х со ско-
ростью v(x). Тогда точка f(<p(O) выходит из y=f(x) со ско-
ростью V (у).
Это определение корректно (о не зависит от выбора дви-
жения <р). Это показывает, например, теорема о дифференциро-
вани и сложной функции: v (у) = (f»v) (х), y=f(x). Иными слова-
ми, производная отображения f в х переводит вектор поля v в
точке х в вектор поля v в точке f(x).
1.7. Первые интегралы.
Определение. Гладкая функция, постоянная на фазовых
кривых автономного дифференциального уравнения, называет,-
16
ся (не зависящим от времени) первым интегралом этого урав-
нения.
Зависящий от времени первый интеграл (вообще говоря, не-
автономного уравнения) — это функция в расширенном фазо-
вом пространстве, постоянная на интегральных кривых.
Полной системой первых интегралов дифференциального
уравнения (автономного или неавтономного), зависящих или не
зависящих от времени, называется такой набор первых ин-
тегралов, что любой другой первый интеграл является функ-
цией от первых интегралов набора.
Пример. Уравнение х=х, у=у на плоскости не имеет непо-
стоянных (отличных от константы) первых интегралов, не за-
висящих от времени. То же уравнение имеет полную систему
из двух зависящих от времени первых интегралов, а именно
хе~*, уе~*.
1.8. Дифференциальные уравнения с комплексным временем.
Векторное поле, заданное в области пространства Сп, называет-
ся голоморфным, если его компоненты — голоморфные функ-
ции. Аналогично определяется голоморфное отображение £/-*•
-+W, UaCn, WczCm.
Дифференциальным уравнением с комплексным временем
* (или комплексным автономным уравнением) называется урав-
нение вида
4^=t>(z), zet7acn, гес.
Все определения пп. 1.1—1.7 переносятся очевидным обра-‘
зом с вещественных автономных уравнений на комплексные.
1.9. Голоморфные поля направлений в комплексной области.
Голоморфное поле направлений — это соответствие, йоторое
каждой точке некоторой области U пространства Сп сопостав-
ляет проходящую через нее комплексную прямую, аналитически
зависящую от точки. Это значит, что в окрестности каждой
точки области U можно так выбрать голоморфную систему ко-
ординат, что прямая, проходящая через точку U, имеет на-
правляющий вектор (1, V2(z),. .f, vn(z)); функции vs голо-
морфны. Интегральной кривой* голоморфного поля направлений
называется голоморфная кривая, которая во всех своих точках
касается направлений поля, связна и максимальна, то есть не
является собственным подмножеством связной голоморфной
кривой, касающейся во всех своих точках направлений поля.
Пример 1. Поле направлений, задаваемое эйлеровым
векторным полем zid/dz1+z2dldz2, определено на проколотой
плоскости С2\{0}. Его интегральными кривыми являются пря-
мые, проходящие через нуль, с выколотой точкой нуль. Эта
точка, пр определению, не принадлежит интегральным кривым,
поскольку поле направлений не продолжается в нее аналити-
24
2—7712
17
чески. Точка {0} не<принадлежит интегральным кривым, хотя
ее добавление оставляет кривые голоморфными.
Пример 2. Интегральными кривыми поля направлений
dH—Q, где H(z, w) — многочлен, являются линии уровня мно-
гочлена Н без их критических точек. Это — компактные рима-
новы поверхности с выколотыми точками.
Тем самым, интегральные кривые поля направлений в комп-
лексной области топологически могут быть сложнее, чем ве-
щественные интегральные кривые, которые всегда гомеоморфны
прямой R. Отметим, что вещественные фазовые кривые либо
топологически эквивалентны прямой или окружности, либо со-
стоят из одной точки.
1.10. Дифференциальные уравнения высших порядков. Диф-
ференциальное уравнение
x<n>—f (i, х, х, ..., x<"_1)), ЛСбИ1, (3)
сводится к системе вида (2) с помощью замены у=(х,х, ...
..., xt"-’)). Тогда
y=ky+f(t,y)en, <?„=(0, 0, . ..,0,1),
матрица Д — жорданова верхнетреугольная клетка с нулями на ‘
диагонали. Решение уравнения (3) с начальным условием
х(<о) —Уо, x(t0) —У\,..., л5п"1,(/0) —уп-\ — это первая компонен-
та решения соответствующей системы с. начальным условием
у(/о) = (Уо, • • •, Уп-i). Основные теоремы для уравнений высших
порядков выводятся из основных теорем для систем уравнений
первого порядка.
1.11. Дифференциальные уравнения на многообразии. Все
определения предыдущих разделов обобщаются на случай, ког-
да вместо области вещественного или комплексного линейного
пространства рассматривается вещественное или комплексное
многообразие М. Например, автономное дифференциальное
уравнение, задается векторным полем на многообразии (сече-
нием касательного расслоения). Подробности можно найти
в книгах *[7], [24], [47].
§ 2. Основные теоремы
В этом параграфе излагается теорема о выпрямлении век-
торного поля и следствия из нее. Всюду для простоты форму-
лировок требуется гладкость (то есть бесконечная дифференци-
руемость) рассматриваемых векторных полей. Однако всюду,,
кроме п. 2.6, достаточно потребовать только С1 — гладкости
полей; в п. 2.6 необходимые требования гладкости сформули-
рованы явно.
2.1. Теорема о выпрямлении векторного поля.
Основная теорема теории обыкновенных дифференци-
альных уравнений.
18
В достаточно малой окрестности неособой точки, дифференциру-
емое векторное поле диффеоморфно постоянному полю £1==,
= (1, 0,..., 0). Другими словами, в некоторой окрестности не-
особой точки существует диффеоморфизм, переводящий исход-
ное поле в поле
Диффеоморфизм в этой теореме называется выпрямляющим.
Аналогичная теорема верна для голоморфных векторных
полей. Если исходное поле — класса Ст, l^r^oo, то выпрям-
ляющий диффеоморфизм тоже может быть выбран класса О'.
Дальнейшие теоремы этого параграфа являются простыми
следствиями теоремы о выпрямлении векторного поля.
2.2. Теорема существования и единственности.
Теорема. Через каждую точку расширенного фазового
пространства дифференцируемого (голоморфного) векторного
поля проходит одна и только одна интегральная кривая соответ-
ствующего дифференциального уравнения с вещественным
(комплексным) временем.
Теорема. Через каждую точку области, где задано ве-
щественное дифференцируемое или комплексно-аналитическое
поле направлений, проходит одна и только одна интегральная
кривая этого поля.
Теорема становится неверной, если в ее формулировке по-
ле направлений заменить на поле плоскостей. Поле плоско-
стей— это соответствие, сопоставляющее каждой точке об-г
ласти векторного пространства проходящую через нее плоскость.
Интегральная поверхность поля плоскостей — это дифференци-
руемая поверхность, касательное пространство ' к которой в
каждой точке совпадает с плоскостью поля.
Поле плоскостей общего положения размерности 2 или вы-
ше не имеет ни одной интегральной поверхности. Пример: поле
нулей формы dz—ydx bi R3. Достаточные условия существова-
ния интегральных поверхностей доставляет теорема Фробениу-
са [8], [47].
Условие гладкости правой части в предыдущих теоремах
может быть ослаблено.
Определение. Отображение UczRn, IFcrR*"»
удовлетворяет условию Липшица, если существует такая поло-,
жительная константа L, что
|f(xi)—f(x2) |^£|xi—x2j
для всех Xi 6(7, x-fiU.
Теорема. Пусть правая часть уравнения
x—v(t,x) (2>
в некоторой области пространства Rn+1 непрерывна и удовлет-
воряет условию Липшица по х (то есть в каждой плоскости
t=const) с одной и той же константой L. Тогда через каждую
2*
19
точку области U проходит одна и только одна интегральная
кривая уравнения (2).
Если правая часть уравнения (2) только непрерывна, то и
тогда через каждую точку проходит хотя бы одна интегральная
кривая. Однако единственность нарушается, как показывает
пример уравнения х=х1/3 (рис. 1).
2.3. Теорема о выпрямлении поля направлений.
Теорема. Каждая точка области,
где задано вещественно дифференцируе-
/ / мое или комплексно-аналитическое поле
/ / направлений, имеет окрестность, в кото-
рой существует диффеоморфизм (соот-
ветственно, биголоморфное отображе-
ние), переводящий интегральные кри-
\ \ вые векторного поля в параллельные
' ' прямые.
Рис. 1. Нарушение Поле плоскостей размерности выше 1
единственности. выпрямляется не всегда (пример — поле
dz—ydx в R3).
2.4. Приближенное решение дифференциальных уравнений.
а) Интегрирование с помощью степенных ря-
дов.
Решение дифференциального уравнения с аналитической
правой частью можно искать в виде степенного ряда методом
неопределенных коэффициентов. Например, подставляя в х=х
ряд l+ai#+ ..., последовательно находим коэффициенты аг=1,
л2=1/2, ..., ак= l/kl решения с начальным условием х(0) = 1.
б) Ломаные Эйлера.
Ломаные Эйлера состоят из отрезков, возникающих при ап-
проксимации решения линейными функциями на последователь-,
ных малых отрезках времени.
Вместо дифференциального уравнения (2) рассмотрим раз-
ностное
<Ps+i—<Р*=»(4, <р*)Л, tk=t0+kh.
Из этого уравнения и начального условия ф0=х0 последовательно
находятся фь <₽2, •. -, <рд-. Ломаная с вершинами (tk, фл) назы-
вается ломаной Эйлера. На достаточно малом отрезке (Nh^sZa)
ломаные Эйлера равномерно сходятся при /г->0 к интегральной
кривой дифференциального уравнения x—v(t, х), проходящей
через начальную точку (to, хо) (для сходимости достаточна не-
прерывность v).
Большую точность при малом шаге h дают разностные урав-
нения, аппроксимирующйе решения многочленами более высоких
степеней, чем первая. Например, одна из наиболее употребитель-
ных формул метода Рунге—Кутта так задает вершину ломаной
20
(х+й, y+&y\, следующую за (х,у) [13, с. 455]:
Ay=-g (^14~3^2 4~3^з-(-^4),
где
ki—hv^x, у), й2==йтЛх+-|-, у + ф-),
k3=hv ^ + -у-> У— v+^2)» k^hv^x+h, y+ki—£24-£з).
Вычисленное по этой формуле приращение Ду приближает при-
ращение искомого решения с точностью О (Л5).
в) Метод последовательных приближений.
Рассмотрим последовательность отображений
заданных рекуррентно:
t
ф0 (/) = х0, Tjm (0=х0 + J v (т, ф* (т)) dr.
/о
Отображения <pft называются пикаровскими приближениями ре-
шения <р уравнения (2) с начальным условием ф(/о)=Хо. Если
интервал I достаточно мал, то последовательность пикаровских
приближений равномерно сходится к решению <р на интервале
I не медленнее геометрической прогрессии со знаменателем, про-;
порциональным длине интервала. (На самом деле, пикаровские
приближения сходятся быстрее любой прогрессии.)
2.5. Теорема о продолжении.
Определение. Продолжением решения <р дифференци-
ального уравнения называется решение, определенное на боль-
шем интервале оси времени и совпадающее с <р на интервале
опредёления <р. Продолжение называется неограниченным впра-
во (влево), если оно определено на неограниченном вправо
(влево) луче, вещественной оси. Решение продолжается до не-
которого подмножества фазового пространства (или расширен-
ного фазового пространства), если существует такое его продол-
жение, что соответствующая фазовая кривая (интегральная кри-
вая) пересекает указанное множество.
Теорема. Пусть правая часть уравнения (1)
х=о(х), x6C7czRn
дифференцируема и К—компактное замыкание подобласти об-
ласти U, содержащееся в U. Тогда каждое решение уравнения
(1) с начальным условием из К. продолжается вправо (влёвр)
либо до границы множества К, либо неограниченно по времени.'
Решение неавтономного уравнения с начальным условием из
компакта в расширенном фазовом пространстве продолжается
до границы этого компакта.
21
Замечание. Дифференциальные уравнения со сколь угод-
но гладкой правой частью могут иметь решения, не продолжае-
мые на всю ось времени.
Пример. Решение уравнения х—х2 уходит на бесконечность
эа время f=x(0)-1.
2.6. Теорема о дифференцируемой и аналитической зависи-
мости решений от начальных условий и параметров.
Теорема. Рассмотрим семейство дифференциальных урав-
нений
x—v(t, х, a), xGU, UcRn, (а)
заданных в фазовом пространстве U векторными полями v
класса Сг, дифференцируемо (класса Сг) зависящими от пара-
метра а&А, где А — область в вещественно линейном конечно-
мерном пространстве R“. Тогда решение <р уравнения (а) с на-
чальным условием <p(fo) —х дифференцируемо (класса Ст) зави-
сит от t, х, а при достаточно малых |£—f0|, |*—*о|, 1а—<хо| -А
Аналогичная теорема верна для уравнений с комплексным
временем, только U и А являются областями в Сп и С“ соответ-
ственно (а — комплексная размерность пространства парамет-
ров), а вектор-функция v голоморфна в области, принадлежа-
щей прямому произведению СхС/ХА.
2.7. Уравнение в вариациях. Уравнение для первой произ-
водной решения по начальным условиям можно легко выписать
явно. А именно, пусть <р{ — решение уравнения x=v(t,x) с на-
чальным условием ф|(0)=£. Фиксируем £ и положим
X(t\ I •
X(f) —линейный оператор Rn->Rn, зависящий от i. Операторно-
значная функция X удовлетворяет следующему уравнению
в вариациях:
k(t) = A{t)X(t\ А(0=(<?'0/^)|х_фЛ.(((О.
Это—линейное однородное неавтономное уравнение.
Запишем уравнения в вариациях для производной решения по
параметрам. Пусть Фа, g—решение уравнения (а) с начальным
условием Фа,5(0) = |- Фиксируем £=Хо и а=а0 и положим
да |w.
(X,—(Zo
Y (f)—линейный оператор Rs->Rn, зависящий от I. Операторно-
Значная функция У удовлетворяет следующему уравнению в ва-
риациях
• Г(0=А(0Г(0+б(а где А(0=(^/ах)и=Фа,Хо(0,
6 (0=(<?«/da) I, m ,п.
22
Это — линейное неоднородное неавтономное уравнение.
2.8. Теорема о непрерывной зависимости. Если в предыду-
щей теореме зависимость поля v от параметра а лишь непре-
рывная, то тогда и зависимость решения от параметра непре-
рывна.
Зависимость решения от начального условия для уравнения
с дифференцируемой правой частью всегда не только непре-
рывная, но и дифференцируемая.
2.9 Теорема о локальном фазовом потоке. Из теорем сущест-
вования, единственности и дифференцируемой зависимости ре-
шений от начальных условий следует, что дифференцируемое
векторное поле в окрестности любой точки фазового простран-
ства задает локальный фазовый поток
2.10. Теорема о первых интегралах. Автономное уравнение с
дифференцируемой правой частью в некоторой окрестности
каждой неособой точки «-мерного фазового пространства имеет
полную систему из (га—1) функционально независимых и не за-
висящих от времени первых интегралов Л, ..., /п-ь Фазовые
кривые уравнения (1) в этой окрестности задаются системой
/1 = С1, . . . , /д—i = Cn-l.
Для неавтономного уравнения (2) с n-мерным фазовым
пространством существует полная система из п зависящих от
времени локальных функционально независимых первых ин-
тегралов Л,..., Система Ii = C\,..., Zn=cn задает локаль-
ные интегральные кривые уравнения.
§ 3. Линейные дифференциальные уравнения
Линейные автономные уравнения — едва ли не единствен-
ный большой класс дифференциальных уравнений, для кото-
рых имеется полная теория. Эта теория, являющаяся, в сущ-
ности, ветвью линейной алгебры, позволяет полностью решить
все линейные автономные уравнения.
3.1. Экспонента линейного оператора. Пусть V—п-мерное
вещественное или комплексное пространство, наделенное ев-
клидовой или эрмитовой структурой соответственно,. | • | — нор-
ма вектора в этом пространстве.
Нормой линейного оператора А : V->V называется супре-
мум:
|| А ||= sup|Ax|.
|Х|=1
Этот супремум достигается ввиду компактности конечномер-
ной сферы.
Последовательность линейных операторов А*: У->-У сходит-
ся к оператору А : V->V, если ||А*—А||-И) при &->оо.
О пределен и ^.Экспонентой линейного оператора А : V->V
23
называется оператор из V в V:
^=е+л+^+...+4 + ...,
где Е—тождественный оператор: Ех=х.
Эквивалентное определение:
eA=lim(F+4'|ft- ;
ь» I т 4 /
3.2. Теорема о связи фазовых потоков линейных векторных
полей и экспонент линейных операторов.
Теорема. Любая однопараметрическая группа диффео-
морфизмов, состоящая из линейных преобразований g‘: V-*-Vr
имеет вид: g* = eAt, где A,:V-*-V— некоторый линейный опера-
тор (производящий оператор группы). Решение линейного
уравнения х=Ах, x£V с начальным', условием <р(О)=В имеет вид
4>(2) = eMg.
3.3. Комплексификацйя фазового пространства. Комп,- ц
лексификацией вещественного «-мерного линейного про-
странства V называется n-мерное комплексное пространство
СУ, которое строится следующим образом. Точки . пространства
СУ—это пары (В, л), обозначаемые В+*Л> В6У, лбУ. Операции
сложения и умножения на комплексные числа определяются ,
обычным способом.
Комплексификация линейного оператора А:У->У—это опе-
ратор СЛ:СУ ->СУ, действующий по следующему правилу:
cA(B+^)=^+W . ’
Решения линейного автономного уравнения продолжаются (
неограниченно. Далее под решением линейного уравнения по-
нимается решение, определенное на всей оси времени.
Из теоремы п. 3.2 следует, что> пространство решений урав-
нения х—Ах, хбУ, линейно и изоморфно У. Базис в этом про-
странстве называется фундаментальной системой решений.
Переход от уравнения
х=Ах, X&V,
к уравнению
z = cAz, 2бсУ,' (4>
называется кбмплексификацией (время остается вещественным).
Комплексифицированное уравнение (4) относительно z '—x-Y 1
-\-iy эквивалентно системе х—Ах, у= Ау (хбУ, убУ). |
Линейное автономное уравнение с комплексным фазовым 1
24
пространством (например, уравнение (4)) легко решается пере-
ходом к жорданову базису. v .
Пусть go, ...,gy—жорданова цепочка оператора СА с соб-
ственным числом Л, то есть такая последовательность векторов,
что оператор СА—ХЕ (где Л—комплексное число) переводит их
друг в друга:
SoSi’"”
Вектор g;- называется собственным, а остальные векторы цепоч-
ки—присоединенными векторами собственного числа к.
Вектор-функция
2 = ^(go+4rli+...+7jg/)
—решение уравнения z—cAz с начальным условием go.
У каждого комплексного линейного оператора есть базис из-
жордановых цепочек. Поэтому из решений указанного выше
вида можно составить фундаментальную систему решений.
3.4. Седло, узел, фокус, центр.; Невырожденная особая точка
линейного векторного поля на вещественной плоскости бывает
одного из следующих четырех типов: седло, узел, фокус, центр
(рис. 2). Пусть Л1 и %2 — собственные значения соответствую-
щего линейного оператора А, отличные от нуля в силу предпо-
ложения невырожденности. Тогда если Zi Хг<0, особая точка
уравнения
х—Ах
— седло (рис. 2а); если М и Л2 вещественны и одного знака —
узел (рис. 2 6, в, г); если М и %2 невещественны и не чисто
мнимы — фокус (рис. 2д); если %i и Хг чисто мнимы — центр
(рис. 2е). Среди узлов выделяются жордановы узлы1': матрица
А эквивалентна жордановой клетке порядка 2 (рис. 2в), и ди-
критические узлы: матрица А скалярна (рис. 2г). Рисунки
26—2д нарисованы для случая, когда Ке%5>0.
Все эти картинки, кроме последней, сохраняются при малых
возмущениях, как показывают формулируемые в главе 3 тео-
ремы Гробмана—Хартмана (Р. Hartman) и Адамара—Перрона
(J. Hadamard, О. Perron).
3.5. Формула Лиувилля—Остроградского. Пусть оператор-
нозначная функция одного переменного удовлетворяет уравне-
нию
X~A(i)X, t£lcR.
>> Традиционное название этой невырожденной особой точки — «урож-
денный узел».
25
Рис. 2.
а) седло, б) узел, в) жорданов узел, г) дикритический узел,
д) фокус, е) центр.
Тогда определитель IF=detX (называемый определителем
Вронского) удовлетворяет уравнению
W=trA(t)W, (5)
где trA— след оператора А (сумма собственных значений). Из
(5) следует формула для W:
t
W(t) =W (t0) exp J tr A (t) dr.
t 0
Следствие. Обозначим через V(t) евклидов объем обла-
сти glM, в которую переводит область М фазовый' поток век-
торного поля v (заданного в области евклидова пространства).
Тогда
f dlvvdx,
at J
g*M
где dx—евклидов элемент объема.
Из формул (5) и из уравнения в вариациях по начальному
условию (п. 2.7) следует формула для искажения фазового
объема: якобиан UZ (t, х)=det (-^-j равен
t
W (t, x) =exp J (div ,o)o(gtx) dx.
26
В частности, если div v=0, то фазовый поток уравнения
x—v(x) сохраняет объем. Если divu<0 всюду в фазовом про-
странстве, то преобразование фазового потока за положитель-
ное время уменьшает объем. Уравнение называется в этом
случае диссипативным.
3.6. Линейные уравнения высших порядков. Рассмотрим
дифференциальное уравнение
+ai(/) xf"-» + ... +Оп(0Х = О. (6)
Максимальный интервал, на котором все коэффициенты а}
непрерывны, называется интервалом непрерывности коэффици-
ентов уравнения (6). Он определен неоднозначно; например,
•если то существует два интервала непрерывности
коэффициентов: />0 и «0.
Теорема. Все решения уравнения (6), определенные в
некоторой точке интервала непрерывности коэффициентов, про-
должаются до решений, определенных на всем этом интервале.
Пространство решений уравнения (6), определенных на об-
щем интервале непрерывности коэффициентов, линейно и
n-мерно. Базис в этом пространстве называется фундаменталь-
ной системой решений.
Пусть фь ..., <р„ — система решений уравнения (6). Функция
Ф1... Фп
Ф1...%
ф(л— 1) . . . ф(л—1)
называется определителе^ Вронского этой системы.
Формула Лиувилля—Остроградского:
(t
—Л Он (т) dr
о
§ 4. Устойчивость
Здесь приведены простейшие результаты теории устойчиво-
сти; Более подробное обсуждение разных видов устойчивости
см. в [48], [71], 1[42].
4.1. Устойчивость по Ляпунову и асимптотическая.
Определение. Стационарное решение автономного диф-
ференциального уравнения (решение, тождественно равное по-
ложению равновесия) называется устойчивым (по Ляпунову),
если все решения этого уравнения с начальными условиями из
достаточно малой окрестности указанного положения равнове-
сия определены на всей положительной полуоси времени и рав-
номерно по времени сходятся к исследуемому стационарному
27
решению при стремлении начального условия к указанному
положению равновесия.
Определение. Стационарное решение называется
асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову
и, кроме того, все решения, с достаточно близкими к изучаемо-
му положению равновесия начальными условиями, стремятся к
этому положению равновесия при £-»—|-оо.
Замечание 1. Определение устойчивости предусматри-
вает задание в фазовом пространстве некоторой метрики, при
помощи которой определяется равномерная сходимость. Однака
ни устойчивость, ни асимптотическая устойчивость положения
равновесия от этой метрики не зависят.
Замечание 2. Устойчивость (и асимптотическая устой-
чивость) стационарного решения — локальное свойство вектор-
ного поля, задающего дифференциальное уравнение, в изуча-
емом положении равновесия: они не теряются и не приобре-
таются при изменении поля вне окрестности этого положения
равновесия.
Замечание 3. Стремление решений к положению равно-
весия при t-^-co недостаточно для асимптотической устойчиво-
сти, как показывает рис. 3 (и не является локальным свойст-
вом).
a S
Рис. 3. Неустойчивая особая точка, к которой стремятся
все фазовые кривые с началом в ее окрестности.
Замечание 4. Аналогично предыдущему, определяется
устойчивость по Ляпунову любого решения любого дифферен-
циального уравнения (автономного или нет); это — равномер-
ная сходимость решений на полуоси t^Q к рассматриваемому
решению при стремлении начальных значений этих решений
при /=0 к начальному значению изучаемого решения. Равно-
мерная сходимость здесь определяется при помощи некоторой
метрики в фазовом (или расширенном фазовом) пространстве
(или многообразии). В отличие от случая положения равнове-
сия автономной системы, определенная таким образом устойчи-
вость зависит от выбранной метрики. Например, устойчивое
28
решение автономного уравнения с евклидовым фазовым прост-
ранством может сделаться неустойчивым после диффеоморфиз-
ма фазового пространства. Таким образом, устойчивость дви-
жения зависит от координат, при помощи которых движение
описывается.
Аналогичное замечание относится к понятию асимптотиче-
ской устойчивости.
Устойчивость периодического решения автономного уравне-
ния (как и для стационарного решения) — понятие геометриче-
ское, не зависящее от выбора координат или метрики в фазовом
пространстве. (Вообще, такая независимость имеет место вся-
кий раз, когда замыкание фазовой кривой компактно.)
4.2. Теорема Ляпунова об устойчивости по первому прибли-
жению.
Теорема. Если оператор линеаризации дифференцируемо-
го векторного поля v в особой точке имеет собственные значе-
ния только с отрицательной вещественной частью, то эта осо-
бая точка асимптотически устойчива. Если одно из упомянутых
собственных значений имеет положительную вещественную
часть, то эта особая точка не устойчива по Ляпунову.
4.3. Функция Ляпунова и функция Четаева.
Определение. Дифференцируемая функция f называет-
ся функцией Ляпунова для особой точки х0 векторного поля о,
если она удовлетворяет следующим условиям:
Функция f определена в некоторой окрестности точки х0 и
имеет в этой точке строгий локальный минимум.
Производная функции f вдоль векторного поля v в некоторой
окрестности точки х0 неположительна:
Теорема ('[49]). Особая точка дифференцируемого вектор-
ного поля, для которой существует функция Ляпунова, устой-
чива.
Определение. Дифференцируемая функция f называет-
ся функцией Четаева для особой точки х0 векторного поля о,
если она удовлетворяет следующим условиям:
Функция f определена в области W, на границе которой ле-
жит точка х0; та часть границы этой области, которая лежит
строго внутри достаточно малого шара с выколотым центром
х0, является кусочно-гладкой гиперповерхностью класса С1 и в
ее точках векторы поля v направлены внутрь области (рис. 4);
/(х)-И) при х—>-х0, xGlF; f>0 и Д/>0 всюду в W.
Теорема ([71]). Особая точка (^-дифференцируемого
векторного поля, для которой существует функция Четаева,
неустойчива.
4.4. Особые точки общего положения. Оператор А линейной
части векторного поля в особой точке поля общего положения
О Производной функции вдоль векторного поля называется скорость из-
менения функции вдоль фазовых кривых поля: Lvf(x)
29
не имеет собственных значений на мнимой оси. В этом случае
применима теорема Ляпунова об устойчивости по первому-
приближению. В качестве функции Ляпунова (или функции
Четаева) можно взять квадратичную форму. Пусть комплекси-
фицированный оператор имеет базис из собственных векторов.
Если все собственные значения лежат в левой полуплоскости^
то в качестве функции Ляпунова можно взять сумму квадратов,
модулей координат в собственном базисе (ограниченную на
вещественное подпространство).
в J-
Рис. 4. Область определения функции Четае-
ва: тонкие линии изображают поверхности
уровня функции, толстые — границы области
и фазовые кривые поля.
Замечание. Если собственного базиса нет, то для лю-
бого е>0 есть почти собственный базис, в котором матрица
оператора верхнетреугольная и наддиагональные элементы по*
модулю меньше г. При достаточно малом е сумма квадратов
модулей координат в этом базисе — функция Ляпунова. Для
особых точек общего положения собственный базис есть.
Пусть оператор А имеет хотд бы одно собственное значение
в правой полуплоскости. Тогда в качестве функции Четаева
годится та же форма f, рассматриваемая в подходящем конусе
W с вершиной 0 в пространстве R" (рис. 46).
Замечание. Стационарное решение неавтономного урав-
нения x=Ax+f(t, х), xGR", для которого все собственные числа
оператора А лежат строго в левой полуплоскости, асимптоти-
чески устойчиво, если |f(Z, х)|^С|х|2 при всех /^0, |х'|^а.
Стремление решений к нулю при этом экспоненциальное:
|<р(0 | ^Яа(ехр(—af))|<p(O)| при t^O для любого а>0 та-
кого, что все Re%.;<—а.
§ 5. Циклы
В физических системах, закон эволюции которых не меняется
со временем, могут устанавливаться периодические режимы.
Математическое описание этого явления дает теория циклов
(замкнутых фазовых кривых), развитая А. Пуанкаре (Н. Poin-
care) . •
30
5.1. Строение фазовых кривых вещественных дифференци-
альных уравнений.
Теорема. Фазовая кривая вещественного дифференциаль-
ного' уравнения x=v(x) с гладкой правой частью либо состоит
из одной точки, либо диффеоморфна окружности или прямой.
Таким образом, индивидуальная фазовая кривая уравнения
с вещественным временем всегда имеет простую внутреннюю
геометрию; сложным может быть только ее расположение в>
фазовом пространстве.
Фазовая кривая, диффеоморфная окружности, называется
циклом.
5.2. Преобразование монодромии замкнутой фазовой кривой-
Предельные циклы. Предположим, что гладкое векторное поле
имеет замкнутую фазовую кривую (цикл). Выберем на этой
кривой точку и проведем через эту точку трансверсаль к циклу
(гладкую гиперповерхность, то есть поверхность размерности
п—1, если размерность фазового пространства п). Фазовые
кривые, начинающиеся в точках трансверсали, достаточно близ-
ких к исходной точке цикла, возвращаются на трансверсаль.
Сопоставим точке трансверсали (достаточно близкой к исходной
точке цикла) первую точку возвращения выходящей из точки
фазовой кривой на трансверсаль. Определённый таким образом
росток отображения трансверсали на себя (в точке цикла) назы-
вается отображением последования или преобразованием моно-
дромии.
Рис. 5. Преобразование монодро-
мии цикла.
Точка цикла является неподвижной точкой преобразования
монодромии. Преобразование монодромии не зависит от выбора
трансверсали и даже от выбора исходной точки в том смысле,,
что преобразования монодромии, отвечающие разным трансвер-
салям, сопряжены (переводятся одно в другое ростком диффео-
морфизма трансверсалей).
Определение. Предельным циклом автономного диффе-
ренциального уравнения на плоскости называется изолирован-
ная (диффеоморфная окружности) фазовая кривая этого урав-
нения. Иными словами, замкнутая фазовая кривая называет-
31
ся предельным циклом, если соответствующая ей неподвижная
точка преобразования монодромии изолирована.
Окрестность предельного цикла на плоскости состоит из спи-
ралей, наматывающихся на цикл при Л->4~оо или —сю;
асимптотическое поведение фазовых кривых, расположенных
по одну сторону от цикла вблизи его, одинаковое (рис. 6). На
рисунках 6а и 66 изображены предельные циклы общего поло-
жения; картина 6в разрушается малым возмущением (рис. 6г).
Рис. 6. Внизу нарисованы графики преобразований монодромии,
соответствующие предельным циклам наверху:
а) устойчивый цикл, б) неустойчивый, в) полуустойчивый, Картина г) полу-
чается малым возмущением картины в).
5.3. Кратность циклов.
Определение. Кратностью цикла называется локальная
кратность соответствующей ему неподвижной точки преобразо-
вания монодромии.
Если фазовое пространство двумерно, то трансверсаль одно-
мерна, и преобразование монодромии задается функцией одного
переменного, л:>-*Д(х), Д(0)=0. В этом случае кратность—по-
рядок нуля функции Д(х)— х в точке 0.
Кратность отображения Х|->Д(х) в неподвижной точ-
ке 0 пространства R" с координатами (х„ ..., х„) определяется
как
гМ ГТ^сНткЕЦл:!,...,хл]]/(Д1(х)—..., Д„(х)—хп),
где числитель — алгебра формальных степенных рядов, а зна-
менатель— идеал в-ней, порожденный рядами компонент век-
тора Д(х)—х. Подробнее о кратности см., например, [10]п.
5.4. Мультипликаторы.
Определение. Мультипликаторами цикла называются
Аналогично, кратность особой точки 0 векторного поля v опреде-
ляется как кратность неподвижной точки 0 отображения Подробнее
см. [10, с. 212].
32
собственные значения линейной части преобразования моно-
дромии этого цикла в соответствующей циклу неподвижной
точке1’.
Цикл называется невырожденным, если все его мульти-
пликаторы отличны от 1* 2):
Невырожденный цикл сохраняется при малых возмущениях;
возмущенное дифференциальное уравнение по-прежнему имеет
невырожденный цикл, близкий к исходному. Циклы векторных
полей общего положения невырожденные:
Для уравнений (1) на плоскости мультипликатор цикла вы-
числяется по формуле
Х=ехр (div'o)rf/,
v
где цикл у параметризован временем t. Для цикла в Rn пра-
вая часть равна произведению всех мультипликаторов.
Определение. Цикл называется орбитально устойчивым
(по Ляпунову), если для сколь угодно' малой его окрестности
U все положительные полутраектории, начинающиеся в доста-
точно малой окрестности цикла, не выходят из U.
Определение. Цикл называется орбитально асимптоти-
чески устойчивым, если он орбитально устойчив по Ляпунову
и все фазовые кривые с достаточно близким к циклу начальным
условием, неограниченно приближаются к нему при Л->+оо.
Замечание. Асимптотически устойчивым непостоянное
периодическое решение никак не может быть, ибо решения с
начальными условиями В' разных точках цикла не сближаются
при
Если все мультипликаторы цикла по модулю меньше 1, то
он орбитально асимптотически устойчив. Устойчивость следует
из того, что отображение монодромии при |Xj| <1 — сжимаю-
щее при подходящем выборе метрики на трансверсали. Эта
метрика строится так же, как функция Ляпунова вблизи осо-
бой точки, асимптотически устойчивой по первому приближе-
нию. Из сжатия вытекает орбитальная асимптотическая устой-
чивость: близкие фазовые кривые наматываются на цикл как
спирали. Можно доказать, что фаза движения вдоль цикла при
этом стремится к фазе движения одной из точек по циклу.
Отсюда следует равномерная близость (на полуоси
не только фазовой кривой, но и любого решения, отвечающего
близкому к циклу начальному условию, к одному из решений,
описывающих движение по циклу.
Мультипликаторы цикла определяют часто как собственные значения
оператора монодромии (см. ниже п. 3.1, гл. 6) уравнения в вариациях; это
определение отличается от принятого в нашей статье наличием мультипли-
катора 1, .соответствующего собственному вектору, касающемуся цикла.
2) Невырожденный цикл называют иногда грубым.
3—7712
33
5.5. Предельные множества и теорема Пуанкаре — Ьендик-
сона. Расположение фазовых кривых на вещественной плоско-
сти существенно проще, чем в многомерном пространстве
(в теории дифференциальных уравнений «много» значит «три
и более»). Это различие обусловлено тем, что кривая локально
разделяет плоскость и не разделяет пространства.
Определения. 1. Положительной полутраекторией авто-
номного уравнения, называется часть фазовой кривой, соответ-
ствующая положительно ориентированному лучу оси времен:
\Ф+== {ф (0 1*Фо,+<»)},
где ф — решение уравнения.
2. Аналогично определяется отрицательная полутраектория,
3. а-предельным (a-предельным) множеством фазовой
кривой называется пересечение замыканий всех ее положитель-
ных (отрицательных) полутраекторий. Другими словами, © —
предельное множество Q состоит из точек, мимо которых
(или через которые) положительная полутраектория проходит
счетное число раз:
xGQ, если и только если существует последовательность
{/„} такая, что 7п->4-00, <p(Zn)->-x при п—>-оо.
Обозначение мотивируется тем, что а — первая, со — послед-
няя буква греческого алфавита.
Теорема Пуанкаре — Бендиксона (I. Bendixson).
Пусть положительная полутраектория ^-гладкого векторного
поля с изолированными особыми точками на вещественной плос-
кости расположена в ограниченной области. Тогда ©-предель-
ное множество соответствующей фазовой кривой может быть
одного из следующих трех типов: 1) особая точка, 2) цикл
(замкнутая фазовая кривая), 3) объединение особых точек и
фазовых кривых, каждая из которых стремится при /->—|-оо к
одной и при —оо, вообще говоря, к другой особой точке
объединения (рис. 7).
В последнем случае ©-предельное множество может
иметь патологический характер даже для бесконечно гладко-
го векторного поля с конечным числом особых точек: число фа-
зовых кривых, принадлежащих множеству, выходящих из од-
ной особой точки и входящих в нее же, может быть бесконеч-
Рис. 7. ©-предельные множества
34
н-ым (рис. 7г) . Чисто топологические соображения, связанные с
теоремой существования и единственности, этого не запреща-
ют. Однако это невозможно для аналитических векторных по-
лей и для всех гладких полей, не принадлежащих некоторому
исключительному множеству коразмерности бесконечность. Это
следует из теорем о разрешении особенностей (гл. 5). Теоре-
ма Пуанкаре—Бендиксона верна также для уравнений на сфе-<
ре, но не на сфере с ручками (см. гл. 2): замкнутая кривая'
разделяет сферу, но, вообще говоря, не разделяет сферу с руч-
ками (см. [6]). >
§ 6. Системы с симметриями
В этом параграфе излагаются общие соображения, позво-.
ляющие понизить порядок дифференциального уравнения, а
иногда и проинтегрировать его.
6.1. Группа симметрий дифференциального уравнения.
Определение. Диффеоморфизм фазового пространства в
себя называется симметрией заданного на нем векторного поля-
и соответствующего автономного дифференциального уравнения,
если он переводит поле в себя. В этом случае говорят, что поле
инвариантно относительно диффеоморфизма. < >
Определение. Диффеоморфизм расширенного фазового,
пространства на себя называется симметрией поля направлений
(и соответствующего неавтономного уравнения), если он пере-
водит поле в себя (другими словами, поле направлений инва-’
риантно относительно диффеоморфизма).
Все симметрий дифференциального уравнения образуют!
группу с операцией суперпозиции, называемую группой всех
симметрий этого уравнения.
Пример. Все симметрии автономного уравнения х=х, хё*
GR”, образуют в точности полную линейную группу GL(n, R).
6.2. Факторсистемы.
Определение. Рассмотрим гладкое отображение f обла-
сти вещественно-линейного пространства на область меньшей,
размерности. Векторное поле v в прообразе этого отображения1
называется f-опускаемым, если существует такое поле v на
области- образе, которое получается из исходного под действи- ’
ем отображения f. Поле v=f,v определяется равенством:
® (у)=Л (*) ® (*)• где у=f (х);
условие f-опускаемости состоит в том, что вектор v~(y) не за-'
Висит от выбора прообраза точки у. Система у=v (у) называется
факторсистемой для системы x=v(x). Векторное поле, для ко-
торого известна однопараметрическая группа симметрий, часто,
опускаемо. :
3*
35
Пример. Уравнение на плоскости R2, инвариантное отно-
сительно вращений, с использованием комплексной координаты
z—x-\-iy записывается в виде
z=zg(p)> (7)
где p=zz, g:R*T> С—комплекснозначная функция на положи-
тельной полуоси. Векторное поле этой системы /-опускаемо
для отображения /:z>->p. Соответствующая факторсистема имеет
вид
p=2pReg(p).
Уравнение (7) при Reg(0)=0 (центр по линейным членам)
используется в теории устойчивости (§ 5, гл. 3).
Ниже указаны простейшие приложения симметрии к иссле-
дованию и интегрированию уравнений.
6.3. Однородные уравнения.
Определение. Поле направлений называется однород-
ным, если оно инвариантно относительно всех растяжений
gK (х)=е%х, A-6R,
(поле должно быть задано в конусе, инвариантном относительно
растяжений, например^ в R”\{0}). Соответствующее дифферен-
циальное уравнение также называется однородным.
Обозначим через G группу растяжений {g^l^eR} области
i/=Rn\{0}. Факторпространство C//G— это сфера S"-1. Одно-
родному уравнению в Rn\{0} соответствует поле направлений
на сфере Sn-1 — образ поля в U при проектировании 1/->
Любое (возможно с особенностями) поле направлений на
сфере Sn-1 может возникнуть из однородного уравнения в Rn\
\{0}. Поэтому все трудности, возникающие в «глобальной»
теории дифференциальных уравнений на Sn-1, возникают также
в локальной теории дифференциальных уравнений на R”.
6.4. Использование симметрий для понижения порядка. Зна-
ние однопараметрической группы симметрий векторного поля
позволяет на 1 понизить размерность фазового пространства.
Для этого надо рассмотреть многообразие орбит однопарамет-
рической группы симметрий. Локально (в окрестности не не-
подвижной точки группы) эти орбиты — кривые; исходное фа-
зовое пространство расслоено на орбиты; по теореме о выпрям-
лении орбиты становятся параллельными прямыми после
подходящего диффеоморфизма. Пространство орбит имеет раз-
мерность на 1 меньше, чем исходное фазовое пространство.
Векторное поле в исходном фазовом пространстве проекти-
руется на пространство орбит и задает на нем векторное поле.
Дифференциальное уравнение, соответствующее этому полю,
называется факторсистемой. Если факторсистему удается про-
зе
интегрировать, то уравнение, заданное исходным векторным
полем, также легко интегрируется.
В частности, если исходное фазовое пространство двумерно,
то фазовое пространство факторсистемы одномерно. В этом слу-
чае факторсистема интегрируется. Поэтому автономное диффе-
ренциальное уравнение с двумерным фазовым пространством;
для которого известна однопараметрическая группа симметрий,
явно интегрируется в квадратурах. Все приемы элементарного
интегрирования дифференциальных уравнений специальных ти-
пов (с разделяющимися переменными, линейных однородных й
неоднордных, квазиоднородных и т. д.) основаны на том, что
в этих случаях имеются очевидные группы симметрий.
Пример. Группой квазиоднородных растяжений линей-
ного пространства с координатами Xi.хп весов а(,..., а»
называется однопараметрическая группа линейных преобразо-
ваний
g*:(хг,хп)~,еа"‘хп).
Функция в этом пространстве называется квазиоднородной
степени г, если она является собственным вектором действия
квазиоднородных растяжений на пространстве функций с соб-
ственным числом ег‘, т. е. f(g‘x) =er7f (х).
Например, многочлен Samxm квазиодноррден степени г, ес-
ли (пг, а)=г для всех показателей m одночленов, входящих'
в сумму с ненулевыми коэффициентами.
Для квазиоднородности функции при положительных весах’
а{ необходимо и достаточно выполнение тождества Эйлера
^aiXidjldXf—r-f,
означающего, что f — собственный вектор дифференцирования
по направлению эйлерова векторного поля (фазовый поток ко-
торого является группой квазиоднородных растяжений).
Векторное поле называется квазиоднородным степени г,
если каждое из квазиоднородных растяжений группы умножа-,
ет его на е‘г. Векторное поле v = l,vk(x)d/dxk квазиоднородно
степени г тогда и только тогда, когда его компоненты — квази-
однородные функции, степени которых отличаются от степеней,
соответствующих координат на г: deg vk=ak+r, degd/dxk—ak.
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений х=а(х,у)к
у=Ь(х, у), заданную квазиоднородным векторным полем степе-
ни 0 на плоскости с координатами весов degx=a, degy=p.
Орбиты группы имеют вид jc=xoeai, у=уоеК За координату
на факторпространстве (номер орбиты) можно (при х>0, t/>0)
принять и=уа1х^. Факторсистема имеет вид u=f(u). Интегри-
рование системы завершается переходом к координатам (х, и)
в фазовом пространстве.
37
§ 7. Дифференциальные уравнения, не разрешенные
, относительно производной1)
«
- Здесь формулируются основные результаты об особенностях
решений неявных дифференциальных уравнений первого по-
рядка.
, 7.1. Основные понятия: криминанта, интегральные кривые.
Дифференциальным уравнением первого порядка, не разрешен-
ным относительно производной, называется уравнение F(x, у,
р)—0, где p=dy/dx. Для гладкой функции F общего положе-
ния это уравнение задает гладкую поверхность уравнения в
пространстве 1-струй функций у(х). Проектирование поверхно-
сти уравнения на плоскость (х, у) вдоль оси р называется
складыванием. Критические точки складывания называются
особыми точками уравнения.
В окрестности неособой точки уравнение F=0 можно раз-
решить относительно р, т. е. свести к обычному уравнению
dy!dx—v(x, у), по теореме о неявной функции.
s Особые точки уравнения F—0 образуют его криминанту.
Для функции F общего положения криминанта — гладкая кри-
вая. Проекция криминанты на плоскость (х, у) называется
дискриминантной кривой. Для функции F общего положения
дискриминантная кривая имеет особенностями лишь полукуби-
ческие точки возврата и точки трансверсального самопересече-
ния. Отображение складывания над точками возврата имеет
особенность, типа сборка (нормальная форма: (и, v) («3+
t+uv, у)), в остальных точках криминанты — складку ((и, о) >->
(и2, о)).
Пространство 1-струй функций снабжено полем контактных
плоскостей dy—pdx. Контактные плоскости высекают на по-
верхности уравнения поле направлений этого уравнения. Интег-
ральные кривые этого поля называются интегральными кри-
выми уравнения.
' 7.2. Регулярные особые точки. Особая точка уравнения об-
щего положения регулярна, если криминанта в ней не касает-
ся, контактной плоскости.
Два уравнения называются эквивалентными, если одно из
них переходит в другое при диффеоморфизме плоскости (х, у).
Теорема Чибрарио ((М. Cibrario), доказательство см.
в '[8, § 4 ж]). В окрестности регулярной особой точки уравне-
ние эквивалентно уравнению, .р2=х. Эта эквивалентность глад-
кая для гладких уравнений, аналитическая для аналитических.
На рис. 8а ядро производной складывания вертикально,
криминанта — горизонтальна. Проекции частей интегральных
• , ’> Этот параграф написан при участии А. А. Давыдова. Он использует
простейшие понятия теории особенностей и дифференциальной геометрии по-
верхностей в R3. ,
Зв
1
Рис. 8. Особые точки уравнений, не разрешенных относительно производной,
а) регулярная особая точка, б) сложенное седло, в) сложенные узел, г) сложенные
фокус.
кривых с одного листа накрытия изображены сплошными, а с
другого — штриховыми линиями.
7.3. Сложенные седла, узлы и фокусы. Контактная пло-
скость может коснуться поверхности уравнения. Для уравне-
ния общего положения касание происходит в отдельных точках.
Эти точки обязательно лежат на крйминанте. В окрестности
точки касания поле направлений порождается гладким вектор-
ным полем на поверхности уравнения, обращающимся в точке
касания в 0.
Для уравнения общего положения: 1) особая точка порож-
дающего векторного поля — невырожденное седло, узел или
фокус, причем модули обоих собственных чисел узла и седла
различны; 2) собственные векторы линеаризации поля в осо-
бой точке не касаются ни криминанты, ни ядра складывания
(направления оси р).
Особые точки, удовлетворяющие перечисленным условиям
в точке складки, называются сложенным седлом, узлом и фоку-
сом соответственно. Их. интегральные кривые и их проекции
на плоскость (х, у), изображены на рис. 86, в, г (обозначения
те же, что и на рис. 8 а).
7.4. Нормальные формы сложенных особых точек. Инволю-
цией называется диффеоморфизм, квадрат которого — тождест-
39
венное преобразование. Назовем инволюцию плоскости допу-
стимой для векторного поля на плоскости с особой точкой нуль,
если неподвижные точки инволюции образуют проходящую че-
рез нуль кривую, инволюция переводит поле на этой кривой в
противоположное и ни инвариантный, ни антиинвариантный
собственный вектор линеаризации инволюции в нуле
не являются собственными для оператора линейной части
поля в нуле.
Теорема (А. А. Давыдов, 1984). Все инволюции, допусти-
мые для данного векторного поля с особой точкой 0 типа фокус
или седло, либо узел с неравными по модулю собственными чис-
лами, кривые неподвижных точек которых не разделены соб-
ственными векторами оператора линейной части поля в нуле,
локально переводятся друг в друга диффеоморфизмами пло-
скости, оставляющими каждую точку на проходящей через нее
фазовой кривой поля.
Эта теорема и ее следствия верны и в гладком, и в анали-
тическом случае.
Следствие 1. Сложенные седла (узлы, фокусы) эквива-
лентны, если соответствующие (несложенные) особые точки
векторных полей, порождающих поля направлений на поверх-
ностях уравнений, орбитально эквивалентны (т. е. имеют диф-
феоморфные фазовые портреты) °.
Следствие 2. Уравнение общего положения, не разрешен-
ное относительно производной, в окрестности каждой своей
особой точки типа сложенное седло (узел, фокус) эквивалентно
нормальной форме (p+kx)2—y.
Собственные числа линеаризации векторного поля, порождаю-
щего поле направлений уравнения2), нормированные условием
%14-Л2=2, равны 1 ±У 1—8£. Сложенные седла (k>0) все
топологически эквивалентны друг другу: гомеоморфизм плоскости
(х, у) переводит друг в друга проекции семейств их интеграль-
ных кривых. Точно так же топологически одинаковы все сложен-
ные узлы (0<£<1/8) и все сложенные фокусы (£>1/8).
Пример. Сеть асимптотических линий на поверхности об-
щего положения в трехмерном пространстве имеет регулярные
особенности в общих точках параболической кривой и сложен-
ные — в отдельных точках параболической кривой.
7.5. Сборки. Кроме сложенных особых точек, уравнение об-
щего положения, не разрешенное относительно производной,
может иметь еще только один тип нерегулярных особых точек:
сборки складывания. Поле направлений на поверхности урав-
нения в такой точке неособо, но касается криминанты. Крими-
*> Определения орбитальной эквивалентности см. во введении к гл. 3.
*> Эти числа определены с точностью до умножения на одну и ту же не-
нулевую константу, поскольку векторное поле, порождающее данное поле на-
правлений, определено с точностью до умножения на функцию.
40
нанта неособа, но касается ядра проектирования, и дискрими-
нантная кривая имеет точку возврата.
Топологически разных особенностей этого типа бесконечно1
много, но существенно различаются лишь два класса: а и б на
рис. 9. Изображенные здесь проекции интегральных кривых на
плоскость можно вблизи точки сборки описать так (Брюс
(J. Bruce), 1983).
Рис. 9. Особая точка типа сборки складывания.
Рассмотрим ласточкин хвост (рис. 9в), т. е. поверхность в
пространстве с координатами (а, Ь, с), образованную много-
членами z++az2+bz+c, имеющими кратные корни. Плоскости
a=const .высекают на ласточкином хвосте кривые. Чтобы по-
лучить семейство проекций интегральных кривых уравнения об-
щего положения вблизи точки сборки на плоскость, достаточ-
но спроектировать полученные на поверхности ласточкиного-
хвоста кривые на плоскость при помощи субмерсии (отображе-
ния ранга 2) общего положения трехмерного пространства
(а, Ь, с) на плоскость (х, у).
В частности, проекция каждой индивидуальной интегральной
кривой диффеоморфна соответствующему плоскому сечению
ласточкиного хвоста. Например, проекция кривой, проходящей
через точку сборки, имеет особенность порядка 4/3 и локально
диффеоморфна кривой м4=о3.
§ 8. Аттракторы
В нашем обзоре «аттрактор» означает, «притягивающее
множество». В этом параграфе обсуждаются, в основном, оцен-
ки сверху размерности аттракторов.
Предположим, что фазовые кривые эволюционного процесса
неограниченно приближаются при М-+оо к некоторому ком-
пактному множеству М — аттрактору. Наблюдатель, обладаю-
щий прибором ограниченной точности и следящий за эволюцией
состояния вдоль фиксированной фазовой кривой, через некото-
рое время перестает отличать точки этой кривой от точек ат-
трактора. Тем самым, аттрактор содержит естественное «фа-
зовое пространство установившихся режимов». В ряде задач
41
математической физики фазовое пространство бесконечномерно,
а аттрактор — конечномерен (см. п. 8.3). :
8.1. Определения. Область фазового пространства поглоща-
ет, если все положительные полутраектории с началом ,в ней
целиком ей принадлежат. Она глобально поглощает если, кро-
ме того, в нее попадает каждая фазовая точка за конечное
(неотрицательное) время.
Определение. Пусть g*— преобразование за время t
фазового потока дифференциального уравнения
Х = ‘О(Х)
с поглощающей областью В, замыкание которой В компактно.
Тогда множество
м= П g*B
<>о
называется аттрактором^ уравнения (1). Если область В гло-
бально поглощающая, то аттрактор называется максимальным.
Замечание. Аттрактор всегда инвариантен: g*M—M.
Пр и мер. Асимптотически устойчивые особые точки и ор-
битально асимптотически устойчивые циклы являются аттрак-
торами.
Определение. Странным аттрактором, называется ат-
трактор, отличный от конечного объединения подмногообразий
фазового пространства (термин введен в [104], где означал
аттрактор, отличный от точки и цикла).
Замечание. Фазовое пространство установившихся ре-
жимов может быть уже, чем максимальный аттрактор. Напри-
мер, на рис. 3 б изображен фазовый портрет системы, макси-
мальный аттрактор, который — окружность, а все решения стре-
мятся к особой точке.
По-видимому, адекватное математическое определение физи-
чески наблюдаемого аттрактора дает принадлежащее Я. Г. Си-
наю понятие «стохастического аттрактора» [59]. «Стохастиче-
ский аттрактор» необязательно является странным.
8.2. Оценка сверху размерности максимальных аттракторов.
Аттрактор может не быть многообразием. Рассмотрим компакт
в метрическом пространстве. Назовем d-мерным объемом ко-
нечного покрытия компакта шарами сумму d-ых степеней ра-
диусов шаров.
Определение. Хаусдорфова размерность компакта —
это нижняя грань тех d, для которых компакт допускает конеч-
ные покрытия шарами, имеющие сколь угодно малый d-мер-
ный объем.
*> В литературе приняты и другие, не эквивалентные этому, определения
аттрактора.
42
Примеры. 1. Хаусдорфова размерность гладкого подмно-
гообразия евклидова- пространства равна обычной размерности.
2. Хаусдорфова размерность стандартного канторова совер-
шенного множества равна 1о§з2.
Замечание. Хаусдорфова размерность, декартова произ-
ведения двух компактов может быть больше суммы размерно-
стей сомножителей ([31]: В. И. Бахтин [1]).
Определение. Отображение области евклидова прост-
ранства в себя называется k-сжимающим, если оно уменьшает
Jfe-мерные объемы; точнее, если его производное отображение
уменьшает объем любого ^-мерного параллепипеда в касатель-
ном пространстве, и отношение объемов образа и прообраза не
превосходит некоторой не зависящей от точки и параллелепи-
педа константы, меньшей 1.
Теорема ([83]*, [31]). Хаусдорфова размерность компакт-
ного инвариантного множества й-сжимающего диффеоморфизма
•области евклидова пространства в себя не превосходит k.
Пусть система (1) имеет глобально поглощающую область
с компактным замыканием, обозначаемую В, и фазовое прост-
ранство евклидово.
Определение. Система (1) называется k-сжимающей,
•если преобразование фазового потока этой системы за поло-
жительное время является At-сжимающим в области В.
Теорема. Хаусдорфова размерность аттрактора- ^-сжи-
мающей системы не превосходит k.
Сформулируем достаточное условие того, чтобы система (1)
была й-сжимающей. В каждой точке х области В рассмотрим
квадратичную форму
F(x):g-(^(X)|,g), 1&ТХВ.
Пусть %i (х) ... ^Х„(х) — собственные значения этой квадра-
тичной формы.
Лемма. Для того чтобы система (1) была ^-сжимающей,
достаточно выполнения неравенства
Xi(x)+ ... +Х*(х)<0
всюду в компакте Б.
8.3. Приложения. Доказаны бесконечномерные аналоги тео-
рем предыдущего пункта (см. 1[Г1]) и указанную там литера-
туру); они позволяют доказать конечномерность аттракторов
для ряда эволюционных уравнений математической физики.
Например, хаусдорфова размерность аттрактора двумерного
уравнения Навье—Стокса с двоякопериодическими граничными
условиями не превышает Q^lnfR, где 1R — число Рейнольдса
(величина, обратная обезразмеренной вязкости) [11], [31],
(401. Константа С зависит от решетки периодов.
43
Глава 2
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ НА ПОВЕРХНОСТЯХ
Эта глава посвящена дифференциальным, уравнениям на
сфере, а также уравнениям на торе, допускающим преобразова-
ние монодромии. Основное внимание уделено структурной устой-
чивости этих уравнений и теории диффеоморфизмов окружности.
§ 1. Структурно устойчивые уравнения
на окружности и сфере
Согласно идее, восходящей к классикам, дифференциальное
уравнение адекватно описывает физическую реальность, если ка-
чественное поведение его решений мало меняется при малом из-
менении правой части. Действительно, физические параметры,
входящие в уравнение, как правило, известны лишь приблизи-
тельно; если при малом изменении параметров свойства реше-
ний резко меняются, то выводы, сделанные относительно урав-
нения, описывающего модель, могут быть неприменимы к ис-
ходной физической задаче. Одна из попыток формализации
этой точки зрения привела к созданию понятия структурной
устойчивости [4], введенного А. А. Андроновым и Л. С. Понт-
рягиным, развивавшим исследования Пуанкаре по предельным
циклам.
1.1. Определения. Два дифференциальных уравнения назы-
ваются топологически орбитально эквивалентными, если су-
ществует гомеоморфизм фазового пространства первой систе-
мы на фазовое пространство второй, переводящий ориентиро-
ванные фазовые кривые первой системы в ориентированные
фазовые кривые второй.
Пусть М — компактное гладкое многообразие, v — гладкое
векторное поле на М. Система (М, и) называется структурно
устойчивой, если существует такая окрестность поля о в С1-топо-
логии, что всякое векторное поле из этой окрестности задает си-
стему, топологически орбитально эквивалентную исходной, при-
чем гомеоморфизм, осуществляющий эквивалентность, близок
к тождественному.
1.2. Одномерный случай.
Теорема. Векторное поле на окружности задает структур-
но устойчивую систему, если и только если оно имеет лишь не-
вырожденные особые точки (особая точка поля v называется
невырожденной, если линеаризация поля в особой точке — не-
вырожденный оператор). Два векторных поля с невырожденны-
ми особыми точками на окружности топологически орбитально
эквивалентны, если и только если числа особых точек у них
одинаковы. Структурно устойчивые поля образуют в простран-
44
стве всех векторных полей на окружности открытое всюду плот-
ное множество в С1-топологии, а
1.3. Структурно устойчивые системы на двумерной сфере
(i[4], [8]). В пространстве векторных полей на компактном мно-
гообразии открытое всюду плотное множество в С'-топологии
образуют поля, -все особые точки которых гиперболические^
(|[8], гл. 6). В двумерном случае гиперболические особые точки
топологически либо седла, либо узлы. Фазовая кривая, стремя-
щаяся к седлу при t->+оо, называется входящей сепаратрисой
седла, а при /-*•—оо — выходящей.
Теорема. Векторное поле на двумерной сфере структур-
но устойчиво, если и только если выполнены следующие усло-
вия:
1°. Поле имеет конечное число особых точек.
2°. Все особые точки поля гиперболические.
3°. Ни одна выходящая сепаратриса седла не является вхо-
дящей.
4°. Поле имеет конечное число циклов.
5°. Все циклы невырождены.
Замечание. Условия 1° и 4° следуют из трех остальных.
Все пять' условий приведены отдельно, чтобы подчеркнуть, что
они следуют из структурной устойчивости поля.
Теорема. Структурно устойчивые векторные поля обра-
зуют открытое всюду плотное множество в пространстве всех
векторных полей на сфере, наделенном С-топологией.
Замечание. Аналогичные результаты справедливы для
векторных полей на круге, которые не касаются граничной
окружности. Эти два случая легко сводятся друг к другу.
§ 2. Дифференциальные уравнения на двумерном торе
Здесь исследуются дифференциальные уравнения на торе,
допускающие преобразование монодромии.
2.1. Двумерный тор .и векторные поля на нем. Мы будем
рассматривать векторные поля на торе Т2—{(х, t/)mod2n},
для которых первая компонента не равна нулю. Всякое вектор-
ное поле без особых точек и циклов на двумерном торе пре-
вращается после подходящей замены координат в векторное по-
ле с ненулевой первой компонентой (Зигель (С. L. Sie-
gel), см. § 7, [62]). Это, вообще говоря, не так для векторных
полей без особых точек, но с циклами (рис. 10).
Произвольное дифференциальное уравнение на торе может
быть задано в виде
z—v (z), zeR2, г» (z 4-2nei)=v(z 4-2ле2)=® (z),
et=(l,0), е2=(0, 1).
Т. е. вещественные Насти собственных чисел оператора линейной части
доля в особой точке отличны от нуля.
45
Рис. 10. Уравнение на торе без преобразования монодромии. Спра- _ v
ва изображены фазовые кривые на торе, слева — фазовый портрет
соответствующего двоякопериодического поля на плоскости.
Фазовые кривые уравнения, заданного векторным полем с не-
нулевой первой компонентой, совпадают с интегральными кривыми
неавтономного уравнения
£--=/(*>!/), /(х+2я, y)=f(x, у+2л)=/(х, у). |Г(1>
Только такие уравнения на торе рассматриваются ниже.
2.2. Преобразование монодромии. Преобразованием моно-
дромии (или функцией последования) для уравнения (1) назы-
вается отображение оси у на себя, сопоставляющее каждой
точке (0, у) значение при х=2л решения с этим начальным
условием, а также соответствующее отображение окружности
R/2nZ.
Преобразование монодромии А дифференцируемо вместе с
обратным и отличается от тождественного отображения на пе-
риодическую функцию, называемую угловой:
А(у)=у+а(у), а(у+2я)=а(у), (2)
а'(у)>-1.
Определения. 1. Траекторией точки под действием диф-
феоморфизма пространства на себя называется множество, со-
стоящее из этой точки и ее образов под действием всех итера-
ций диффеоморфизма и его обратного.
2. Периодическая точка диффеоморфизма — это такая точ-
ка, траектория которой конечна; эта траектория называется
циклом, а число точек цикла — его периодом.
3. Кратностью цикла с периодом q диффеоморфизма А на-,
зывается кратность любой принадлежащей циклу неподвижной
точки диффеоморфизма Ая (эта кратность одинакова для всех
точек цикла). Цикл невырожден, если соответствующие непо-
движные точки невырождены (не имеют мультипликаторов,
равных!).
Изучение уравнения (1) на торе сводится к изучению соот-
ветствующей функции последования — диффеоморфизма окруж-
ности. Так, например, периодическим, точкам преобразования
46
монодромий соответствуют замкнутые 'интегральные кривые
уравнения на торе, и обратно.
2.3. Число вращения. Пусть А — сохраняющий ориентацию
гомеоморфизм окружности на себя, записанный в виде (2).
Определение. Числом вращения гомеоморфизма А на-
зывается предел
k-*eo я
Теорема. Предел в определении числа вращения сущест-
вует и не зависит от начальной точки у.
Определение. Ч ислом вращения дифференциального
уравнения (1) на торе называется число вращения соответству-
ющего преобразования монодромии.
§ 3. Структурно устойчивые дифференциальные
, уравнения на торе
Здесь исследуются дифференциальные уравнения на торе с
рациональным числом вращения/
3.1. Описание структурно устойчивых уравнений ([8]).
Теорема. Дифференциальное уравнение (1) на торе име-
ет рациональное число вращения, если и только если оно име-
ет замкнутые интегральные кривые (циклы). Если число вра-
щения равно plq (несократимая дробь), то периоды всех цик-
лов равны 2nq (роль времени играет независимая перемен-
ная х).
Теорема. Дифференциальное уравнение (1) на торе
структурно устойчиво, если и только если число вращения ра-
ционально, й все периодические решения невырождены.
Аналогичные утверждения справедливы для сохраняющих
ориентацию диффеоморфизмов окружности.
Определения. 1. Диффеоморфизмы f : М->М и g : М-+-М
топологически (С\ аналитически) эквивалентны; если существу-
ет гомеоморфизм h : (соответственно, диффеоморфизм
класса С* или аналитический), сопрягающий f и g : f=h ogo h~l.
2. Диффеоморифзм многообразия М в себя называется
структурно устойчивым, если любой С'-близкий ему диффео-
морфизм М в себя топологически эквивалентен исходному, и со-
прягающий гомеоморфизм близок к тождественному.
Теорема. Сохраняющий ориентацию диффеоморфизм
окружности структурно устойчив, если и только если числа
вращения рационально и все циклы невырождены. Структурна
устойчивые диффеоморфизмы образуют открытое всюду плот-
ное множество в пространстве всех дважды гладких сохраняю-
щих ориентацию диффеоморфизмов окружности с тополо'
гией С2.
47-
Не следует думать, однако, что «наугад взятый» диффео-
морфизм окружности будет в подавляющем большинстве слу-
чаев иметь рациональное число вращения (см. § 4).
3.2. Оценка числа циклов.
Теорема Якобсона. Диффеоморфизм окружности
у у+а(у), для которого угловая функция а — тригонометри-
ческий многочлен степени п, имеет не более чем 2п циклов с
учетом кратности.
Следствие. Каждый диффеоморфизм из двупараметриче-
ского семейства
fi,a'.y^-y+a+&siny
имеет не более двух циклов.
Замечание. Число вращения_диффеоморфизмов семей-
ства пробегает всю ось; периоды возникающих при этом цик-
лов могут быть сколь угодно большими.
Аналогичная теорема для дифференциальных уравнений на
торе не доказана. Неизвестно даже, существует ли оценка
du , v
сверху на число циклов уравнения = с тригонометри-
ческим многочленом f в правой части через степень многочлена /.
§ 4. Уравнения на торе с иррациональным
числом вращения
Все интегральные кривые стандартного уравнения ^-=©,
•и — иррационально, всюду плотны на торе и, следовательно,
незамкнуты. Ниже исследуется вопрос об эквивалентности диф-
ференциального уравнения с иррациональным числом вращения
на торе и стандартного уравнения. Начнем с диффеоморфиз-
мов окружности.
4.1. Эквивалентность диффеоморфизма окружности пово-
роту.
Теорема Данжуа ((A. Denjoy), [8], [62]). Дважды
гладкий сохраняющий ориентацию диффеоморфизм окружности
с иррациональным числом вращения топологически эквивален-
тен. повороту0.
Для почти всех (по мере Лебега) чисел вращения сопряга-
ющий гомеоморфизм в теореме Данжуа имеет лишь немного
меньшую гладкость, чем исходный, как показывает
» Для гомеоморфизма окружности с иррациональным числом вращения
а- и ©-предельные множества всех траекторий совпадают. Они представляют
собой либо всю окружность (для гомеоморфизмов класса С2), либо канторо-
во совершенное множество (соответствующие примеры построены для го-
меоморфизмов класса С* [62]). В первом случае, как уже указывалось, го-
меоморфизм окружности топологически эквивалентен повороту; полная топо-
логическая классификация гомеоморфизмов окружности во втором случае
получена в [101].
48
Теорема Э р м а н а ((М. R. Hermann) [92]). На вещест-
венной прямой существует множество полной меры такое, .что
Ст — гладкий диффеоморфизм окружности, число вращения
которого принадлежит этому множеству, Сг-2-гладко эквива-
лентен повороту; здесь г — любое натуральное число, большее
2, оо или со, причем оо—2=оо, ©—2=©п.
Условие на иррациональное число вращения (так называ-
емое «условие А» Эрмана), достаточное для принадлежности
р, множеству, указанной/' в теореме, состоит в следующем.
Пусть p=a0+l/(ai + l/(a2+•••))—разложение числа р, в не-
прерывную дробь. Число ц, удовлетворяет условию А, если
lim lim sup ( zj 1и(1 Н-Я/Й ( In (1==0.
В-co n-*<x> yai>B ‘ J /
При дополнительном предположении, что невязка (отличие от
поворота) мала, условие А можно упростить:
Теорема ([9:2]). Пусть число ц удовлетворяет условию
p-f |>С<7-(2+8>
для всех несократимых p/q и некоторых положительных Сие.
Тогда, аналитический диффеоморфизм окружности с числом
вращения у, достаточно близкий к повороту на ц., аналитиче-
ски эквивалентен повороту.. _
Если в. предыдущей теореме е>У5—2, то С°°-диффеомор-
физм окружности с числом вращения у, С°°-эквивалентен пово-
роту для любой, не обязательно малой, угловой функции
(Йоккос (J. С. Yoccoz) [90, с. 814]).
Большинство близких к повороту гладких (аналитических)
диффеоморфизмов окружности vгладко (аналитически) эквива-
лентно повороту. Например, рассмотрим двупараметрическое
семейство у y-{-a-{-zb (у), где Ъ — гладкая 2л-периориче-
ская функция. '•
Доля тех значений параметров (а, е) из прямоугольника
| е|^8о, 0^а^2л, для которых диффеоморфизм гладко неэкви-
валентен повороту, стремится к нулю, когда ео-»-О. В частности,
суммарная площадь всех резонансных языков на рис. 11 в
малой окрестности оси а составляет малую долю площади
окрестности.
В «исключительных» случаях, сопрягающий гомеоморфизм в
теореме. Данжуа может быть не гладким, если даже исходный
диффеоморфизм аналитичен. Это бывает, когда число враще-
ния ненормально близко аппроксимируется рациональными
числами [9:2].
Аналогичные теоремы верны для дифференциальных урав-
нений на торе. Они следуют из предыдущих теорем и замеча-
1> Через С“ обозначается класс аналитических отображений.
24 4—7712 4 9
1 /4 О /и. 1/6 /с.1/3 /С 1/2 и. 2/3 /и. 5/6 /л 1
И m V4..
О 2 ЭГ/в 23Г/3 ЗГ ЧЗГ/З 55Г/3 23Г
Рис. И. Резонансные зоны для семейства диффеоморфизмов окруж>.
ности, ,
ния: дифференциальное уравнение на торе, допускающее пре-
образование монодромии, топологически (Сг-гладко, анали-
тически)' эквивалентно стандартному,1 если и только если
соответствующее преобразование монодромии топологически
(Сг-гладко, аналитически) эквивалентно повороту.
4.2. Диффеоморфизмы окружности и векторные поля на S3.
Данжуа построил пример диффеоморфизма .окружности класса
С1, не эквивалентного повороту окружности и имеющего ирра-
циональное число вращения (см. [62]). Используя этот пример,
Швейцер (Р. Schweitzer) дал отрицательное решение следую-
щей проблемы Зейферта (Н. Seifert).
Верно ли, что всякое векторное поле без особых точек на
S3 имеет цикл?
Теорема ([62]). На трехмерной сфере существует С1-
гл адкое векторное поле без особых точек и циклов.
Недавно построено С2-гладкое поле с тем же свойством
[91]. Можно ли еще повысить гладкость поля в теореме Швей-
цера — неизвестно.
§ 5. Замечания о числе вращения
В этом параграфе число вращения исследуется как функ-
ция параметров; определяются и исследуются «множества вра-
щения» для эндоморфизмов окружности1’.
5.1. Число вращения как функция параметров. Рассмотрим
семейство диффеоморфизмов окружности на себя с парамет-
рами а и е:
^+«+«/(1/), f (у+2л) = f (у). (3)
Определение. Точка (а, е) принадлежит области резо-
нанса m/п, если число вращения отображения (3) равно т/п.
Области резонансов m/п при малых п в случае, когда f (у) =
=sinz/, показаны на рис. 11. Они подходят к линии е=0 узки-
ми языками с острием в точке т]п, «язык» тем уже, чем боль-
ше п.
Теорема ([9]). Пусть f — тригонометрический многочлен
*> Эндоморфизм — однозначное, но необязательно взаимно однозначное,
отображение. __
50
от одной переменной степени р. Тогда ширина области резонан-»
са т/п не превосходит Сег, где г—целая часть дроби . —n/pi
г=—[—п/р].
5.2. Семейства уравнений на торе. Аналогичная теорем®
справедлива, для дифференциальных уравнений на торе
^L=a-j-eF (х, у), F (х+2л, y)=F (х,.у^-2л)=Р (х, у). (4>
Теорема (О. Г. Галкин). Пусть F — тригонометрический
многочлен степени р по у. Тогда ширина области резонанса.
т/п (так называется множество тех (а, е), для которых урав-г
нение (4) имеет число вращения т/п) не превосходит Сгг, где,
г=—[—п/р],
5.3. Эндоморфизмы окружности ([74]). Пусть А — эндомор-»
физм окружности, то. есть А(у) =у+а(у), а(у+2л) ==а(у) < но
условие взаимной однозначности а'>—1 может быть нарушено»1
Определение 1. Множеством вращения эндоморфизма
А окружности на себя называется замыкание ц(А) множества;
{^(А,у) |yGR}, , .
где
Р+(А, y)=lim sup-4r^. ’
й-иоо к
2. Множеством вращения ц,(А, у) называется множество;
всех предельных точек последовательности Ak(y)/k.
Следующая теорема дает описание множеств р(А, у).
Теорема. Пусть А — непрерывное' отображение окруж-
ности на себя степени 1 (то есть такое, как в начале пункта).
Тогда,
1°. Множество р.(А, у) при любом у — это отрезок, принадч
лежащий ц (А);.
2°. Для каждого отрезка а, принадлежащего p.(A), сущест-1
вует такое у, что р,(А, у)-=кт,
, • I
. ‘ Глава 3 i
ОСОБЫЕ ТОЧКИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ :
В МНОГОМЕРНОМ ВЕЩЕСТВЕННОМ ФАЗОВОМ ;
ПРОСТРАНСТВЕ
Локальная теория дифференциальных уравнений . в значив
тельной мере-посвящена классификационным задачам. В зави-
симости от того, какое отношение эквивалентности использует-
ся при классификации, возникает та или иная ветвь теории.
Определение. Два дифференциальных уравнения (или,:
что то же самое —два векторных поля) топологически эквива-
лентны в окрестности особых точек, если существует гомео-
морфизм, переводящий первую особую точку во вторую и
4* 5f
сопрягающий локальные фазовые потоки рассматриваемых
уравнений в этих особых точках. Если сопрягающий гомеомор-
физм гладок класса С* (k — натуральное число или беско-
нечность) или аналитичен, то дифференциальные уравнения
называются Ск-гладко или аналитически эквивалентными.
Определение. Два дифференциальных уравнения (два
векторных поля) орбитально топологически эквивалентны в
окрестности особых точек, если существует гомеоморфизм не-
которой окрестности особой точки одного поля в некоторую
окрестность особой точки другого, переводящий первую особую
точку во вторую и отображающий локальные фазовые кривые
одного уравнения в локальные фазовые кривые другого с сохра-
нением направления движения. Ск-гладко и аналитически ор-
битально эквивалентные уравнения определяются аналогично
тому, как определены С“-гладко и аналитически эквивалент-
ные уравнения.
Эти определения имеют смысл как в вещественной, так и в
комплексной области (время в последнем случае комплексное).
Аналитическую эквивалентность дифференциальных уравнений
естественно изучать в комплексном фазовом пространстве; в
этой главе рассматривается вещественный случай и топологи-
ческая или гладкая классификация. В дальнейшем, если не ого-
ворено противное, «гладкость» означает бесконечную гладкость;
время считается вещественным; а векторные поля -^гладкими.,
§ 1. Топологическая классификация гиперболических
особых точек
В этой главе, наряду с особенностями общего положения,
классифицируются и нетипичные особенности.
Топологический тип дифференциального уравнения в окрест-
ности особой точки общего положения определяется линеариза-
цией поля в точке (теорема 1.1 ниже). Случаи более сложных
особых точек обсуждаются в §§ 2 и 5.
1.1. Теорема Гробмана—Хартмана.
Определение. Особая точка дифференциального урав-
нения называется гиперболической, если ни одно собственное
значение линейной части уравнения в этой точке не лежит на
мнимой оси.
Теорема (1[8], [67]). С!-гладкое векторное поле с гипер-
болической особой точкой в некоторой окрестности этой точки
топологически эквивалентно своей линейной части.
1.2. Классификация линейных систем.
Теорема. Пусть линейный оператор А без собственных
значений на мнимой оси имеет п+ собственных значений в пра-
вой полуплоскости й п~ — в левой. Тогда дифференциальное
уравнение
, х=Ах, xgRn, л=л+4-я-
52
топологически эквивалентно стандартному >
У=У, z= — z, t/6Rn+, zeR"“.
Замечание. Топологическая классификация особых то-
чек линейных систем, даже и не гиперболических, совпадает с
топологической классификацией линейных систем во всем прост-
ранстве R”, заключающейся в следующем.
Теорема ([38]). Два линейных дифференциальных уравне-
ния х=Ах, xGR", и у—By, yGRn, топологически эквивалентны, ес-
ли и только если , числа собственных значений с отрицательной
(соответственно положительной) вещественной частью операто-
ров А и В равны, а ограничения этих операторов на их инва-
риантные подпространства, соответствующие чисто мнимым
собственным значениям, линейно эквивалентны.
§ 2. Устойчивость по Ляпунову и проблема Д
топологической классификации
В этом, параграфе обсуждаются общие подходы к локаль-
ным задачам анализа и приводятся теоремы, которые показы-
вают, что в сильно вырожденных случаях проблема устойчиво^
сти и проблема топологической классификации особых точек в
определенном смысле неразрешймы. Полученные в настоящее
время критерии устойчивости и классификационные теоремы,
применимые в «не слишком вырожденных' случаях», приводятся
в § 5.
2.1. О локальных задачах анализа. Начнем с определения
струй функций и векторных полей. Фиксируем систему коорди-
нат в Rn.
Определение. N-струей гладкой функции в Дочке О
пространства R” называется класс функций, тейлоровские раз-
ложения которых в точке 0 до членов степени N включительно
совпадают.
Тем самым, в фиксированной системе координат JV-струя
функции задается полиномом степени не выше N. Дадим те-
перь другое определение, независимость которого от системы
координат очевидна.
Определение. JV-струя гладкой функции f в точке 6
пространства Rn — это класс всех функций, совпадающих с f
с точностью до o(rN) при r-И) (г — расстояние до нуля); эта
JV-струя обозначается fuv> или joNf.
Это определение эквивалентно предыдущему, для которого,
тем самым, доказана независимость от системы коор-
динат.
Так же определяются JV-струи функций в произвольной
точке х пространства R”; нужно только считать, что г — рас-
53
стояние до х. Аналогично определяются N-струи векторных по-
лей в произвольной точке пространства R”. Подпространство
этого пространства, состоящее .из струй векторных полей с
особой точкой нуль, обозначается JoN(n).
Выбор системы кординат в фазовом пространстве позволяет
быбрать систему координат в пространстве JN(ti): каждой
ЛГ-струе соответствует набор коэффициентов' векторного поли-
нома степени не выше N, являющегося ее представителем. '
• Определение. Струя векторного поля в особой точке
Положительна’ (отрицательна) относительно свойства А, если
все ее представители обладают (не обладают) свойством А.
Струя нейтральна относительно свойства А, если она не поло-
жительна и-не отрицательна.
i Определение. Задача различения векторных полёй, обла-
дающих или не обладающих свойством А, называется алгеб-
раически разрешимой, если
1°. Множества положительных, отрицательных и нейтраль-
ных относительно свойства А JV-струй при каждом N образу-
ют полуалгебраическиё множества1’ в пространстве /х(п).
2°. Коразмерность множества нейтральных TV-струй в про-
странстве JN(n) стремится к бесконечности при N->oo. ▲
Аналитически разрешимые' задачи определяются так же, как
алгебраические разрешимые, только во всех определениях сло-
ъо «алгебраический» заменяется на «аналитический».
В этом параграфе 'в качёс¥вё свойства А рассматривается
устойчивость’по Ляпунову. Вместо «струя векторного поля ‘ в
особой точке положительна (отрицательна, нейтральна) относи-
тельно свойства устойчивости по Ляпунову» будем говорить
ъструя устойчива (неустойчива, нейтральна)-». ' ''
Пример. По теореме Ляпунова об устойчивости по пер-
вому приближению, 1-струя Ах векторного поля в точке О
устойчива, если всё собственные значения оператора А лежат в
левой полуплоскости, неустойчива, если хотя бы одно собствен-
'ное значение лежит в правой полуплоскости, и нейтральна, если
хотя бы одно собственное значение лежит на мнимой оси, а в
правой полуплоскости собственных значений оператора А нет.
Тем самым, множества устойчивых, неустойчивых и нейтраль-
ных 1-струй полуалгебраичны при любой размерности фазового
пространства.
1 2.2. Алгебраическая и аналитическая неразрешимость проб-
лемы устойчивости по Ляпунову. Существует алгебраическое
Подсемейство коразмерности порядка ста в пространстве струй
/5(3), пересечение которого с множеством нейтральных струй
Подмножество вещественного числового пространства называется
полу алгебраическим множеством, если оно является объединением конечного
числа подмножеств, задаваемых конечным числом алгебарических уравнений
Ти неравенств вида- Р>0.
S4
неполуалгебраично. Это доказывает алгебраическую неразре-
шимость проблемы устойчивости по Ляпунову (В. И. Арнольд,
1970, [8, с. 300]).
Э. Э. Шноль и Л. Г. Хазин • [66: 3] обнаружили аналогич-
ное явление в семействе струй малой коразмерности.
Теорема ([66:3]). Подсемейство пространства Jo3(4), со-
стоящее из струй векторных полей в особой точке, линейная
часть которых в этой точке имеет’ Две чисто мнимых пары соб-
ственных значений вида ±td>i, ±ia>2, 3ci)i = <b2, пересекает мно-
жество устойчивых струй по неполуалгебраическому множеству.
Теорема (Г. Г. Хазина, Л. Г. Хазин, 1977). Тем же свой-
ством обладает подсемейство пространства /о3 (4), состоящее из
струй с диагонализируемой линейной частью, собственные зна-
чения которых двукратны и чисто мнимы.
Коразмерности этих подсемейств в соответствующих про-
странствах струй равны 3 и 4 соответственно.
«Можно ожидать, что граница устойчивости, потеряв полу-
алгебраичность и ничем более не сдерживаемая, будет пред-
ставлять патологии на теоретико-множественном уровне. На-
пример,'множество устойчивых струй в конечномерном алгеб-
раическом подмногообразии пространства струй фиксирован-
ного порядка может, вероятно, иметь бесконечное число ком-
понент связности' или'быть всюду плотным йместе со своим до-
полнением». Одна из предсказанных здесь патологий в настоя-
щее время обнаружена. Построено однопараметрическоё алгеб-
раическое семейство в пространстве струй /5(5), пересекающее
множество устойчивых струй по счетному числу интервалов, на-
капливающихся к внутренней точке семейства. Несколько более
слабый результат опубликован. '
Теорема ([28]). Проблема устойчивости по Ляпунову ана-
литически нёразрешима. В частности, множество устойчивых
струй,в пространстве /3(5) не является полуаналитическим.
2.3. Алгебраическая разрешимдсть до. вырождений конечной
коразмерности. Естественным показателем, характеризующим,
насколько далеко удается.провести исследование алгебраичес-
ки неразрешимой локальной задачи, является «коразмерность
вырождения». ,
Определение. Ростком векторного поля в особой точке
называется класс всех векторных полей, совпадающих с ним в
некоторой (зависящей от поля) .окрестности этой точки. Поля
из этого класса называются представителями ростка. Два рост-
ка векторных полей в особых точках х и у называются тополо-
гически (гладко, аналитически, орбитально топологически ...)
эквивалентными, .если они имеют топологически (гладко, анали-
тически, орбитально топологически ...) эквивалентных пред-
ставителей, и сопрягающий гомеоморфизм переводит х в у.
Аналогично определяются ростки диффеоморфизмов в не-
:;55
подвижной точке и их эквивалентность, а также ростки
функций.
Определение. Задача о ростках векторных полей в осо-
бой точке 0 пространства Rn алгебраически разрешима до ко-
размерности k включительно, если для некоторого N существует
последовательность вложенных алгебраических .многообразий
Vo=Jo (n)z)Vi^)V2Z)...^)VkT)Vk+b codimRy;=j,
обладающая следующим свойством. Каждая из разностей
VjWj+i, /=0, распадается на конечное число связных
компонент (стратов); для любых двух ростков, Af-струи ко-
торых принадлежат одному страту, локальная задача имеет
один и тот же ответ .▲
Например, если речь идет о задаче топологической класси-
фикации ростков векторных полей, то все ростки, принадлежа-
щие одному страту, топологически эквивалентны.
Проблема устойчивости по Ляпунову и проблема топологи-
ческой классификации ростков, векторных полей алгебраически
разрешима до коразмерности 2 включительно. Зачастую алгеб-
раическое исследование локальной задачи может быть, продол-
жено, если ограничиться рассмотрением некоторого подмно-
жества W пространства ростков. Задачи, алгебраически разре-
шимые на подмножестве W до коразмерности k включительно,
определяются так же, как и выше, только в предыдущем опре-
делении и codim Vj=/ в W(N\ здесь — множество
TV-струй ростков класса W. Так, задача об устойчивости по
Ляпунову алгебраически разрешима до, коразмерности 3 вклю-
чительно на множестве ростков векторных полей, линейная
часть которых не имеет собственных значений вида ±ia>,
i3ico.
2.4. Топологически нестабилизируемые струи. Фиксируем
систему координат. Af-струя векторного поля называется про-
должением N-струи (M>N), если ее многочлен Тейлора сте-
пени М получается из многочлена Тейлора TV-струи дописыва-
нием старших членов (степени выше N).
Инвариантное определение. ТИ-струя векторного
поля является продолжением N-струи, если M>N и класс век-
торных полей, образующих ТИ-струю, принадлежит классу по-
лей, образующих TV-струю.
Определение. Струя векторного поля в особой точ-
ке называется топологически нестабилизируемой в классе глад-
ких (аналитических) ростков векторных полей, если любая
струя более высокого порядка, являющаяся продолжением
струи Vw),''содержит топологически неэквивалентных в любой
окрестности особой точки гладких (аналитических) представи-
телей. ’
Другими словами, если струя векторного поля топологически
нестабилизируема, то никакая информация о конечном числе
56
старших членов не позволяет нарисовать фазовый портрет этого
поля в окрестности особой точки даже с точностью до гомео-
морфизма.
Теорема Такенса ((F. Takens) [109]). В пространстве
3-струй векторных полей, линейная часть которых имеет одно
нулевое и две пары чисто мнимых собственных значений, су-*
шествует открытое подмножество, состоящее из струй, тополо-
гически дестабилизируемых в классе гладких ростков вектор-
ных полей.
Аналогичный результат для аналитических ростков пока не
•известен.
Коразмерность множества топологически нестабилизируе-
ных струй в теореме Такенса (рассматриваемого как подмно-
жество пространства струй с особой точкой 0) равна трем. То-
пологическая классификация ростков векторных полей, принад-
лежащих некоторому подмножеству коразмерности 6, может
даже иметь числовые модули.
Теорема ([ПО]). В пространстве 5-струй векторных полей,
линейные части которых имеют две пары чисто мнимых собст-
венных значений ±i<oi, ±ico2> 0<(0i<g>2, существует подмного-
образие коразмерности 4 и открытое подмножество на нем, об-
ладающие следующим свойством. Если два ростка векторных
полей в особой точке, 5-струи которых принадлежат упомяну-
тому подмножеству, топологически эквивалентны, то отношения
©1/(02 Для этих ростков совпадают.
§ 3. Формальная классификация ростков
векторных полей
Согласно общему принципу, восходящему к А. Пуанкаре,
для исследования дифференциальных уравнений удобно искать
не решения, а замену, приводящую уравнение к возможно бо-
лее 'простому виду. В этом параграфе обсуждается первый шаг
в этом направлении — исследование действия формальных за-
мен. Всюду ниже ростки векторных полей рассматриваются в
особой точке; часто это не оговаривается специально.
3.1. Формальные векторные, поля и их эквивалентность.
Определения. Ниже Д’—одно из полей R или С,
x=(Xj,..., х„). Формальным рядом Тейлора называется выра-
жение /(x)=2 akXk, Яь&К, ...-x**; никаких требова-
z+
ний сходимости не налагается. С формальными рядами Тейло-
ра можно выполнять те же действия, что и со сходящимися:
сложение, умножение, дифференцирование, подстановка ряда в
ряд (суперпозиция) и т. д. Все эти операции над сходящимися
рядами можно определять как действия над коэффициентами
рядов, не используя сходимости; по тем же формулам эти
57
*
операции определяются в формальном случае. Множество всех
формальных рядов Тейлора от векторной переменной х с ко-
эффициентами в поле К обозначается К[[х]]; f(0)i=5=ao.
Формальным векторным полем с особой точкой 0 назы-
вается выражение я=2 // ‘дх7'» /убЛГЦх]], /(0)=0. Ф°Р~
малъной заменой с неподвижной точкой 0 называется выраже-
ние Н={Ну.(х),...,Нп(х)), HfiK[[х]], Н}(0)=0, detН*(0)0.
Два формальных векторных поля фиф с . особой, точкой
нуль называются формально эквивалентными, если существу-
ет формальная замена Н с неподвижной точкой О.для которой
выполняется соотношение ^-ф=фоН.
ОХ ।
Замечание. Предыдущее соотношение выполняется, ес-
ли поля v и v гладки и диффеоморфизм Н переводит поле о в
поле v (см. п. 1.6, гл. 1).
Замечание. Каждому ростку векторного поля в особой
точке соответствует формальное векторное поле — ряд Тейлора
ростка v, обозначаемый v. Для гладкой или аналитической
эквивалентности ростков векторных полей необходима фор-
мальная эквивалентность соответствующих 'формальных век-
торных рядов Тейлора. Тем самым, гладкой или аналитической
классификации ростков векторных полей предшествует фор-
мальная классификация.
Оказывается, в окрестности особой точки голоморфное век-
торное поле общего положения голоморфно эквивалентно своей
линейной части, но для полей не общего положения дело об-
стоит значительно сложнее.
3.2. Резонансы. Нормальные формы Пуанкаре—Дюлака и
их обобщения. Формальное векторное поле общего положения
в особой точке формально эквивалентно своей линейной части.
Для общности положения линейная часть должна быть нере-
зонансной. • .
Определение Набор X=(Xi,.-.., Xn)GCn называется
резонансным, если одно из чисел набора является целочислен-
ной линейной комбинацией остальных с йеотрицательными
коэффициентами, сумма которых не меньше двух, то есть вы-
полняется соотношение . -
. . l.—(K,k\= 0, , (1)
называемое резонансом. Здесь &GZ”,- |&| =£1+ ... -|-Лп^2,
(1, k) — 'Zkjkj, Z+ — множество целых неотрицательных . чисел,
/б{1, , п}. Линейное векторное поле называется; резонанс-
ным, если спектр соответствующего оператора является резо-
нансным набором, и нерезонансным — в противном случае.
Теорема Пуанкаре ([8]). Формальное векторное поле
с особой точкой нуль и нерезонансной линейной частью фор-
58
мально эквивалентно своей линейной части. Если исходное по-
ле вещественно, то формальная замена тоже может быть
выбрана вещественной.
Наличие резонансов существенно осложняет формальную
классификацию.
Определение. Пусть (zt,..., zn) — координаты, в кото-
рых матрица линейной части формального векторного поля v
имеет жорданову нормальную форму; пусть % — спектр этой
матрицы. Одночлен zhd/dzj называется резонансным членом,
если выполнено резонансное соотношение (1).
Теорема Пуанкаре-Дюлака ((Н. Dulac) [8]).° Фор-
мальное векторное поле с особой точкой нуль и резонансной
линейной частью формально эквивалентно такому полю, линей-
ная часть которого имеет жорданову нормальную форму Jz,
а нелинейные члены резонансны. Это поле имеет вид
w (z) = ^+2 akjZkdldzf,
суммирование ведется по таким парам /, k, что Х,= (Х, k),
X — спектр J. Коэффициенты ак! могут быть комплексными,
даже если исходное поле вещественно.
В случае, когда матрица линейной части поля нильпотентна,
теорема Пуанкаре—Дюлака не дает никаких упрощений.
В этом случае полезна следующая теорема Г. Р. Белицкого
{14].
Теорема. Векторное поле с особой точкой нуль формаль-
но эквивалентно такому полю, линейная часть которого имеет
жорданову нормальную форму Jz, а нелинейная коммутирует2’
с векторным полем J*z (звездочка означает эрмитово сопря- ,
жение (а«)-»-(ая))-
Пример ([109]). Вещественное двукомпонентное векторное
м. /0 1\ ,
поле с линейной частью I g о I х формально эквивалентно полю
(х2+/ (xt) <5 / дхг+g (Xj) д I дх2. Аналогичная задача для произ-
вольной размерности исследуется в § 1.
3.3. Приложения теории формальных нормальных форм.
1. Дифференциальные уравнения с резонансной линейной
частью, записанные в нормальной форме Пуанкаре—Дюлака,
имеют, как правило, богатую группу симметрий и допускают
понижение порядка. Порядок полученного уравнения (так на-
зываемой 'факторсистемы) равен числу линейно независимых
резонансных соотношений на спектр линейной части. В случае,
когда это число равно 1> нормальная форма Пуанкаре—Дюла-
*> Нормальная форма, даваемая этой теоремой, называется нормальной
формой Пуанкаре—Дюлака; она допускает дальнейшие упрощения и по-
этому иногда называется предварительной нормальной формой.
’> Два векторных поля о и w коммутируют, если соответствующие диф-
ференциальные операторы перестановочны: LvLwf=L„Lvf для всех гладких
функций f.
59
ка интегрируется в квадратурах; когда это число больше 1 —
вообще говоря, не интегрируется. Тем самым, приложения тео-
рии нормальных форм к явному интегрированию уравнений
существенны, но жестко ограничены.
2. При исследовании топологически сложных случаев, когда
линейная часть уравнения в особой точке имеет собственные
значения на мнимой оси, очень полезен метод Пуанкаре. Он
применяется для приведения к нормальной форме конечной
струи, то есть конечного числа членов ряда Тейлора векторного
поля в особой точке. После этого старшие члены отбрасывают-
ся, исследуется укороченное уравнение, а затем доказывается,
что старшие члены не меняют качественной картины. С по-
мощью этого метода не только доказываются, но и формули-
руются результаты § 5. Особенно полезен этот метод в теории
бифуркаций (см.1 [8]).
3. Приведение к формальной нормальной форме особенно
эффективно, когда удается уничтожить все члены, кроме ко-
нечного числа. Этот случай всегда имеет место, когда все соб-
ственные числа лежат в одной полуплоскости, не содержащей
точки нуль, а также в некоторых других случаях, которые раз-
бираются в следующем пункте.
3.4. Полиномиальные нормальные формы.
Определение. Будем считать, что формальный степен-
ной ряд имеет нуль порядка N в нуле, если он не содержит чле-
нов степени, меньшей У; пишем ^=о(|х|я-1)- После этого
струи формальных векторных полей определяются так же, как
струи гладких векторных полей.
Определение. Формальное векторное поле называется
формально N-определенным, если все формальные векторные
поля с той же ^V-струей ему формально эквивалентны. Фор-
мальное векторное поле называется формально конечно опре-
деленным, если оно формально ^определено для некоторого N.
Замечания 1. Формально.конечно определенное вектор-
ное поле формально допускает полиномиальную формальную
нормальную форму.
2. Если спектр линейной части формального векторного поля
удовлетворяет лишь конечному числу резонансных соотношений,
то это поле формально конечно определено. Это немедленно
следует из теоремы Пуанкаре—Дюлака.
Определение. Набор %6СП, а также линейное векторное
поле со спектром X, называется k-резонансным, если число об-
разующих аддитивной группы, порожденной множеством век-
торов {r6Z+"| (г, Л) =0} равно k.
Теорема ([95:1], близкая теорема содержится в книге
[18]). Пусть формальное векторное поле v имеет однорезонанс-
ную линейную часть и пусть все резонансные соотно-
шения являются следствиями одного: (г, Х)=0, rGZ+n.
Пусть w(z)=Jz+Zg(u)—нормальная форма Пуанкаре—Дю-
60
лака поля v; здесь Z=diagz, u—zr, g= (gb..., .gn) — вектор-
ный формальный ряд от одного переменного. Тогда следующие
утверждения эквивалентны:
1. Поле v формально конечно определено.
2. (г, g) ^О.А
Замечания 1. Вели равенство (г, g)=Q выполняется для
одной нормальной формы Пуанкаре—Дюлака поля -v, то оно
выполняется и для любой другой. 2. Аналогичная теорема спра-
ведлива для любого однорезонансного поля [95].
Теорема ([95:1]). Формальное векторное поле, спектр
линейной части которого ^-резонансный при k^2, никогда не
является формально конечно определенным.
Из сравнения результатов п. 3.3 и п. 3.4 видно, что свойства
интегрируемости и формальной конечной определенности нор-
мальной формы Пуанкаре—Дюлака оказываются весьма близ-
кими.
§ 4. Инвариантные многообразия и теорема
сведения
Гомеоморфизм, линеаризующий векторное поле в окрестно-
сти гиперболической особой точки, не всегда можно выбрать
гладким. Например, этому препятствует резонансность линей-
ной части. Тем не менее, между уравнением и его линеариза-
цией в особой точке сохраняется значительное сходство, выра-
жаемое формулируемыми ниже теоремами об инвариантных
многообразиях.
4.1. Теорема Адамара—Перрона.
Определение. Инвариантное многообразие векторного
поля и соответствующего дифференциального уравнения — это
такое подмногообразие фазового пространства, которое в каж-
дой своей точке касается вектора поля.
Рассмотрим линейный оператор А: Rn->Rn. Пространство
R” распадается в прямую сумму трех подпространств:
R*=TS®TU©TC
(s— от stable, и.—от unstable, с—от centre). Это разложение
определяется следующим требованием: все три подпространства
в правой части инвариантны относительно оператора А; спектр
ограничения А |г« лежит в открытой левой полуплоскости, огра-
ничения А(г«—в правой и ограничения А|гс—на мнимой оси.
Рассмотрим сначала случай, когда 0 — гиперболическая
особая точка уравнения х=Ах, то есть Гс={0}. Следующая
теорема обобщает результаты Ж. Адамара и О; Перрона и по
традиции называется теоремой Адамара—Перрона. Приводимая
ниже формулировка содержится в книге '[44,], где имеются
ссылки на оригинальные работы. В следующих двух теоремах
•г — натуральное число или бесконечность.
61
Теорема. . Пусть v—Сг-гладкое векторное поле с ги-
перболической особой точкой 0 и линейной частью Ах в нуле,.
Т* и Ти — плоскости, соответствующие оператору А. Тогда диф-
ференциальное уравнение x—v(x) имеет два Сг-гладких инва-
риантных многообразия и Wu, проходящих через 0 .и каса-
ющихся в нуле плоскостей Т* и Ти соответственно. Решения с
начальными условиями на №*(№“) экспоненциально стремятся
к нулю при f->-4-oo —со). называется устойчивым, а
Wu-неустойчивым многообразием особой точки 0.
Следующие две теоремы лежат в основе локальной теории
устойчивости и локальной теории бифуркаций.
4.2. Теорема о центральном многообразии.
Теорема. Пусть v—Сг+1-гладкое векторное поле с осо-
бой точкой 0 и линейной частью Ах, г<.оо. Пусть Та, Ти и Тс—.
плоскости, соответствующие оператору А, как описано в пунк-
те 4.1. Тогда дифференциальное уравнение x—v(x) имеет инва-
риантные многообразия W, Wu и Wc, гладкие класса Сг+1Г
Cr+1 и Сг, проходящие через 0 и касающиеся в нуле плоскостей
Т*, Ти и Тс соответственно. Фазовые кривые этого уравнения на
многообразиях W‘, Wu ведут себя так же, как в теореме Ада-
мара—Перрона; поведение фазовых кривых на многообразии
Wc определяется нелинейными членами.1’
Рис. 12. Устойчивое, неустойчивое и центральное многообразия:
а) линейной системы, б) нелинейной системы.
Многообразия WЧ * * * 8 и Wu в этой теореме по-прежнему назы-
ваются устойчивым и неустойчивым. Если росток v — класса
или аналитичен, то устойчивое и неустойчивое многообразия в-
Ч При тех же условиях уравнение x=v(x) имеет еще два инвариант-
ных многообразия: устойчиво-центральное Wse и неустойчиво-центральное-
Wuc, гладкие класса Сг; первое содержит центральное и устойчивое, вто-
рое— центральное и неустойчивое многообразия. Сг-гладкость этих мно-
гообразий так же, как и центрального, имеет место, вообще говоря, только»
при г<оо.
62
рбеих предыдущих теоремах — класса С“ или аналитичны;
центральное многообразие лишь конечно гладко.
Многообразие Wc в этой теореме называется центральным,
многообразием, плоскость Т'ФТ.и — плоскостью гиперболических
переменных. Следующая теорема утверждает, что при исследо-
вании топологии нелинейного ростка векторного поля важно
только ограничение этого ростка на центральное многообразие,
а гиперболические переменные можно не учитывать.
4.3. Принцип сведения.
Теорема сведения Шошитайшвили ([8]). Пусть
дифференциальное уравнение с дважды гладкой правой частью
имеет особую точку 0 и линейную часть Ах. Пусть Т3, ТипТс —
инвариантные плоскости оператора А, описанные в> п. 4.1. Тог-
да в окрестности точки 0 рассматриваемое уравнение тополо-
гически эквивалентно прямому произведению двух уравнений:
ограничению исходного на центральное многообразие и «стан-
дартного седла»:
- х=— х, у=у, х£Г3, у£Ги.±
Эта теорема применяется как в исследовании индивидуальных
уравнений, так и в исследовании семейств: семейство
x=f(x, е) эквивалентно уравнению x=f(x, е), ё=0. Эти
приложения обсуждаются в § 5 и в [8]. Различные варианты
двух предыдущих теорем были получены В. А. Плиссом и
Хиршем, Пью и Шубом (М. W. Hirsch, С. Pugh, М. Shut)).
Бесконечномерные аналоги теоремы сведения находят приме-
нение в математической физике, в частности, в гидродинамике
вязкой жидкости. Теория инвариантных многообразий обсуж-
дается также в § 3 главы 4 (аналитический случай).
§ 5. Критерии устойчивости и топологическая
' классификация особых точек в случае
вырождений малой коразмерности
В этом параграфе описано топологическое строение ростков
векторных полей во всех вырожденных особых точках, за ис-
ключением некоторого многообразия коразмерности 3, и выпи-
саны соответствующие критерии устойчивости.
5.1. " Структура критериев. Чтобы применить критерии этого
параграфа к фиксированному ростку векторного поля, нужно
1. Определить, к какому из перечисленных ниже классов
принадлежит линейная часть этого ростка и привести к нор-
мальной форме Пуанкаре—Дюлака АГ-струю этого ростка1’;
число N указано в приводимых ниже таблицах.
о в третьей. строке таблицы 4 использована нормальная форма, опи-
санная в примере п. 3.3.
63
2. Приравнять нулю гиперболические переменные. Эти два
шага осуществляют нормализацию У-струи ограничения исход-
ного ростка на соответствующее центральное многообразие.
3. Убедиться, что тейлоровские коэффициенты нормализо-
ванной струи не удовлетворяют требованиям, выделяющим в
пространстве ТУ-струй исключительное многообразие, соответст-
вующее вырождениям высшей коразмерности.
4. Найти в соответствующей таблице класс, которому при-
надлежит нормализованная струя; для этого предварительно
может понадобиться линейная ’замена, например, (х, z) |-’-
•-* (—X, Z) ИЛИ (zi, Z2)‘-’(Z2, Z1).
5.2. Топологическая классификация ростков гладких век-
торных полей до вырождений коразмерности 2 включительно.
Пространство ростков гладких векторных полей в особой
точке 0 пространства Rn, 1-струи которых не принадлежат
некоторому алгебраическому подмногообразию коразмерности
3, распадается на 5 классов, перечисленных ниже в таблице 1.
Эти классы различаются размерностью центрального многооб-
разия Wc или жордановой нормальной формой Л линейной ча-
сти ограничения ростка на Wc.
Таблица, 1
Класс dim Wc Л
1 0
2 Z=^ia>, ££>,£0
2 J-f01 1 ^00 1
1 3 diag(O, I)
w{-1 4 diag(/t, Z2), 0<(0i<(02
Дифференциальное уравнение, соответствующее нормальной
форме Пуанкаре—Дюлака для вещественного векторного поля
в особой точке 0 пространства Rn может быть записано в виде
х.= f (х, z, w), z = g(x, z, w), w = Zt(x, z, w).
Здесь (x, z, «,)6^Rn, x вещественно на Rn, a w=z na Rn.
При этом A(x, z, z)=g(x, z, z). Тем самым уравнение для w
однозначно определяется уравнением для z и ниже не выписы-
вается.
Ниже в таблицах 2—5 приведены дифференциальные урав-
нения, соответствующие нормализованным струям; для кратко-
сти соответствующий столбец называется «нормализованная
€4
Л, По
Рис. 13. Фазовые портреты векторных полей:
а) класса Wi° (случаи I, II, III), б) класса W 2 (случаи I и Jo’> И и Но)» в) класса
, ' П?2:*(а^0).
ЛГ-струя». В выражениях для нормализованных струй опущены,
члены, не влияющие на ответ. Обозначения: г}=х}+1у}, z=
e(zi.....Za), £6{1; 2; 3}, r,= |Zj|, pj=G2, R+ = {xGR|x>0}^
Теорема. Ограничение на центральное многообразие каж-
дого из ростков перечисленных выше классов ITi0,
топологически эквивалентно одному из ростков, ЛГ-струи кото-
рых перечислены в таблице 2," при условии, что нормализован-
ная ЛЛструя исследуемого ростка не принадлежит исключитель-
ному многорбразию; это многообразие и число N также указа-
ны в таблице.
Таблица 2
Топологические нормальные формы
Класс N Нормализованная N- струя Вырождение коразмер- ности 3 Класс топологической эквивалентности
НГО 1 3 Определе- ние Обозначе- ние
I. ^•0;»
и м=о н- Ь>о III \Ь<0 jpOsO
и 5 z=z(Zco+ap+f}p2) <o>0 a=Rea, 6=Rep a=#=o I. а>0 II. а<0 И;‘
I (а=0 u Ь>о II Ь<0 w'2:0
WJ2 2 /=? y=ax* a=0
5—7712
Этот результат для одномерных и двумерных систем был
известен классикам.
Теорема ([109, 87]). Ограничение на центральное многооб-
разие каждого из ростков класса ТГз0,1 или Wt1,1 может быть
после обращения знака (умножения векторного поля на (—1))
топологически эквивалентно одному из ростков, JV-струи кото-
рых перечислены в таблице 3; предполагается, что нормали-
зованная JV-струя исследуемого ростка не принадлежит исклю-
чительному многообразию; это многообразие и число N также
указаны в таблице.
Таблица 3
Топологические нормальные формы
Класс N Нормализованная TV-с тру я Вырождение коразмерности 3 Классы топологической эквивалент- ности
определение обозна- чение
IF0/ 2 X = аг2 4- Ьх2 i = z (iw 4- ах) c==Rea а>0 (*) ab(b—с) = 0 или /с = 0 \Ь—с<0 I. «>0, Ь—с>0, Ь>0 II. «>0, М>0, Ь<0 III. «>0, b—с<0, Ь>0, с>0 IV. «>0, b—c<Qt b<0, с>0 V. а>0, Ь—с<0, д<0, с<0 IF0’^*
3 z = Z (йо 4- <я£р) 2r = (^,z8), Р= (Рх. Р1) (0= (СО1> (02)> 0 < (Ох < ©2 А = Rej^ = /«11«12^ \«21«22 det А = А ^1 = «11 «21 ^2 = «12 «22 «11 «22 (*) «11«22^1^2 = или ГД==О (Мг<0 или Л(Ох = со2 ^6{1;2;3} I. «22<0(**)> ^1#2>0 a) «и>0, *i>0 б) «и>0, $1<0 в) «ц<0, II. di<0(**), &1$2<0 а) «ц>0, «22>0» Д<0 б) «11>0, «22<0, Д<0 в) «ц>0, «22 <0, Д>0 г) «11<0, «22 <0, Д<0 д) «и<0, «22<0, Д>0
Примечание. Всюду в этом параграфе выполнения усло-
вий (^с) можно добиться заменой (х, г)ь*(—х, г) или (zb z2)
(z2, Zi), а неравенств (jfcjfc)—обращением времени. В таб-
лице 3 условия I и II налагаются на все ростки подклассов
1а, 16, 1в и подклассов Па,..., Пд, соответственно.
В последних пяти строках таблицы 3 перечислены все ком-
бинации знаков отличных от нуля величин ап, а22, Д, совмест-
ные с неравенствами ац^а22, bi<0, Ь1&2<0. Действительно,
комбинации —++ и —Ч— отпадают по очевидной причине.
«Комбинация +'++ отпадает потому, что из неравенств ац>0,
«OjjX), bi<0, &2>0 следует а21>ан>0, а12>а2г>-0 и, значит,
Л!<0.
5.3. Фазовые портреты нормальных форм.
1. Все уравнения таблицы 3 интегрируются в квадратурах.
Их удобно исследовать, перейдя к факторсистемам относительно
переменных (х, г) для ростков класса W^1 и относительно
{pt. Р2) Для класса W['f. В первом случае факторсистемы опре-
делены в полуплоскости г>0, во втором—в квадранте р?>0.
Их фазовые портреты изображены на рис. 14а и 146. Пользуясь
а
Лб ле лг ла
б
Тис. 14, а) Фазовые портреты факторсистем, соответствующих
невырожденным уравнениям класса Рис. I и F изобража-
ют фазовые портреты топологически эквивалентных факторси-
^етем при с>0 и с<0 соответственно; разница между ними ска-
зывается при бифуркациях, б) Фазовые портреты факторен-
<стем, соответствующих невырожденным уравнениям класса
5*
67
этими рисунками и предыдущей теоремой, можно получить боль-
шую информацию о поведении фазовых кривых исходного ростка.
Например, объединение 0+- и (h-кривых1’ для подходящего
представителя любого ростка подкласса IV класса гомео-
морфно объединению оси х пространства R3={(x, z)} и конуса
X2—|z|2 = 0 с выколотой точкой нуль.
2. Проблема. Дать (конечно) гладкую классификацию рост-
ков, перечисленных в таблице 3.
5.4. Критерии устойчивости по Ляпунову для вырождений
до коразмерности 3 включительно. Из предыдущей теоремы
легко вытекают критерии устойчивости по Ляпунову до вы-
рожденной коразмерности 2 включительно; в основном, они бы-
ли получены еще Ляпуновым (см. [66] и указанную там лите-
ратуру). В таблице 4 указаны подклассы из таблиц 2 и 3,
Таблица 4
Критерии устойчивости в случае вырождений коразмерности 1 и 2
Класс Устойчивые подклассы Классы ростков, имеющих вырожде- ние коразмерности 3
определение *) обозначение
IT/ ш а = д = 0 , дег0;0,0
II и По а = Ь = 0 ^/;о,о
0 а —0
0 д = 0 ^.zso
w^! 1в, Пд и—II а (получается из Па обращением времени). Явные критерии Г Лц<0 аХ1<0 М22<о ^2<0 [М<о ЛцЛ22 “ 0 А._
см»<о 1д=о At
(01 » ©2 Л»
2(01 = о)2
3(01 = ©з 5 Л5;Я= U Л/ 1
*> Так называются кривые, входящие в 0 при Z-^+°o и со соот-
ветственно. Те и другие вместе называются 0-кривыми.
Ъ В определении класса At нужно потребовать, чтобы ненулевой коэф-
фициент ан был отрицателен, а в определении классов Az—At коэффициен-
ты ац<0, Oj2<0.
68
для представителей которых точка 0 устойчива. В третьем
столбце приведены условия,, означающие вырождения кораз-.
мерности 3 bi задаче об устойчивости. Обозначения те же, что
в таблицах 2 и 3.
Нижеследующие критерии принадлежат многим авторам
(ссылки в [66]). Эти критерии приведены в таблице 5; там,
где удобно, вместо нормализованной струи записана соответ-
ствующая факторсистема. Неустойчивость имеет место для всех
ростков, не удовлетворяющих критериям устойчивости и не
принадлежащих исключительному многообразию., Обозначения
те же, что в таблицах 2 и 3.
Таблица б
Критерии устойчивости в случае вырождений коразмерности 3
. . (для подклассов класса w{‘ г„ указан номер вырождения
из таблицы 4—класс Л7)
Класс*) N Нормализованная струя Критерий устойчивости Вырождение кораз- мерности 4
j^O; 0, 0 4 0 • <•
q 7 Re т<4 -~Re y=0
^;0 4 х=у+х2 (б+сх) у—х* (rf+ех) ! (d<0 {$2+2d<0 (5cd—2£e<0 Линейная частЬ ограничения рост- ка на Wc равна нулю ИЛИ- — d(b*+2d\> - • (bed—2&g)=0
/;0 3 x^br'+dx* I z—tez+axz c=Rea (Ье<0 lrf<0 bcd=Q
'Л,. 5 Pi=Pt (айрг+взР?) pa=pa (^2ipi+e«2ps) (#3<0 l^l^2>0 * или f#3<0 ; (AA<0 #22#3^1^2~0 .'ИЛИ (М2<0 U=o i 1
л. 5 pl“pl (#11PI+#12P2 + + Л(Р))> р2=Р2(#21Р1 + Ч-ЛггРг+^г (p)) /2 и g2—однородные по- линомы второй. степени K<0, /С=Л21/г(л, 1)4- +gt(a, 1), #12 #22 #== = #11 #21 «ааЛмК-О
") Первые 9 классов определены в таблице 4.
Продолжение табл. 5
Класс Нормализованная струя Критерий устойчивости Вырождение кораз- мерности 4
3 Z2 = Z(DZ24-a-2,ipi 0 Im<z»0 или A=diag(±Zojf ±Zco)
Л г 4 Zi=teZi+aziZt 2г2=2/шг24-рг12 0 сф=0 или Jim (Р/сс)=О tRe(p/a)<0
л5 Алгебраических критериев устойчивости не существует.
dimTF‘=3, A=J,= /01 0\ ~ - 001 \000/ 2 h-h.h. II II II ь й й й «* м 0 а=0
dim IF^==4, ' Ая( а) 2 й.й-n- II "в 1 7? “ * м 0 а=0
vg’AA. dim ^«=5, /0 \ Л= А \ А/ 2 'lift Ff ъ N N 0
wf dim We=6, =®diag (to). <0= (о)ц <Dj, Ш1), соу^О 3 z=Z (to+J^p). ^6Нога(С’, С’) Л—Rej^ P“(Pi. Р»> р»). множество главных миноров матрицы А для каждого уравнение не имеет решений со всеми поло- жительными ком- понентами Существует B&fr уравнение Bg=O имеет решение со всеми поло- жительными ком- понентами
Здесь 1—вектор, все компоненты которого1 равны 1; Л — жорданова нор-
мальная «форма линейной части ограничения роста на центральное много-
образие. Знак 0 в столбце «критерий устойчивости» означает, что невырож-
денные струи неустойчивы.
70
Примечание. В последних четырех строках указаны толь-
ко те вырождения коразмерности 4, которые выделяются требо-
ваниями на нелинейные члены. К ним нужно добавить классы,
которые соответствуют дополнительным вырождениям линейной
части и к которым примыкают, в смысле определения 5.5 ниже,
классы Wr6'l>r’, например, класс W' примыкает к клас-
/0 1 0\
cv dlmWZc=3, Л=1 ООО, класс к классу :
3 \0 О О/
dim№c=4, Л—нильпотентная жорданова' клетка порядка 4 и
т. д. В последней строке, а также в строках, соответствующих
классам Ах и А2, к числу дополнительных вырождений линейной
части относятся, в числе прочих, «внутренние резонансы поряд-
ка не выше 5», то есть соотношения вида <Oj=\k, со), 2^ |£| ^5,
^6Z+3; при i#=j.
5.5. Диаграмма примыканий. Опишем примыкания классов
ростков, исследованных на устойчивость в таблицах 4 и 5.
Определение. Пусть А и В — два непересекающихся
класса ростков векторных полей, в особой точке 0. Скажем, что
класс В примыкает к классу А (пишется В-*Л), если для
каждого ростка v класса А существует непрерывная деформа-
ция, выводящая этот росток в класс В. Точнее, существует
непрерывное семейство ростков {o,|f6[0, 1]} такое, что Vo=t>
и »i — росток класса В при всех /е (0, 1].
tv/’*
//\
Я/IXIVVI \ \
w/’e wf W°™ A Wf0’1’1 Wj1 W2I;*e
fS— Wt
Рис. 15. Диаграмма примыканий в задаче об устойчивости по Ляпунову.
Когда определение класса не слишком громоздко, оно зашифровано в обо-
значении. Нижний индекс в обозначении класса указывает размерность
центрального многообразия. Верхние индексы до точки с запятой характе-
ризуют собственные значения линейной части на мнимой оси и соответст-
вующие жордановы блоки. Например, JFV’1—класс векторных полей с
одним нулевым и двумя парами чисто мнимых собственных значений линеа-
ризации. Верхние индексы, после точки с запятой характеризуют нелиней-
ные члены:
звездочка (в обозначении класса коразмерности 2) указывает иа отсутствие
вырождений коразмерности 3, перечисленных в таблицах 2 и 3; число нулей
после запятой указывает на число вырождений в нелинейных членах. Полная
расшифровка обозначений содержится в таблицах 2—5.
71
5.6. Теоремы об алгебраической разрешимости.
Теорема. Проблема устойчивости и проблема топологичес-
кой классификации ростков векторных полей классов IF?, W2 и
-Wi алгебраически разрешима.
Эта теорема использует теорему сведения §, 4; для клас-
са Wf она почти очевидна, а для классов W2 и IF2 следует из
результатов Пуанкаре—Ляпунова (§4, гл. 5), а также [43] (см.
гл. 5).
Теорема (Ю. С. Ильяшенко, 1984). Проблема устойчивости
по Ляпунову для ростков векторных полей класса ТГз’7 и клас-
са Wi'r при дополнительном условии: отношение сох/<о2 иррацио-
нально и фиксировано — алгебраически разрешима до вырож-
дений произвольной коразмерности. Струя ограничения на
центральное многообразие векторного поля каждого из этих
классов, записанная в нормальной форме Пуанкаре—Дюлака
(п. 5.2) в переменных х, z и zb z2 соответственно, устойчива,
если и только если устойчива соответствующая струя фактор^
системы относительно переменных х, г или рь р2.
Проблема. Верна ли аналогичная теорема для задачи о
топологической классификации ростков тех же классов?
§ 6. Гладкая классификация ростков
векторных полей
6.1. Соотношение формальной и гладкой классификации.
Случай общего положения исследован Ченем (К. Т. Chen)
[67:1] .
Теорема. Если, два ростка гладких1 векторных полей в
гиперболической особой точке формально эквивалентны, то они
гладко эквивалентны. ' .
Проблем а. Верна ли-аналогичная теорема для негипер-
болических ростков с однорезонансными линейными Частями?
Такие ростки принадлежат классам W7!0 и W2‘ (п. 5.2).
Предположим дополнительно, что ограничение ростка на цент-
ральное многообразие, записанное" в формальной нормальной
форме,Пуанкаре—Дюлака, имеет ненулевые нелинейные.члены^
В этом случае утвердительный ответ доказан Такенсом1
(F. Takens, 1973) [14:90] для ростков класса W'i0 на прямой
и ростков класса W21 на плоскости. В многомерном случае ут-
вердительный ответ для этих классов получен недавно Г. .Р. Бе-
лицким (частное сообщение).
6.2. Ростки векторных полей с симметриями.
Теорема ([14]). Для каждого ростка гладкого векторного
поля в точке 0 пространства Rn и для каждой евклидовой
72
структуры на Rn существует росток, формально эквивалентный
исходному, имеющий линейную часть Лх, нелинейная часть
которого коммутирует с векторным полем Л*х (>|<: — сопряже-
ние, порожденное выбранной евклидовой структурой) .▲
Рассмотрим на пространстве - с R" эрмитово скалярноё про-
изведение, в котором жорданов базис оператора Л, инвариант-
ный относительно комплексного сопряжения, ортонормирован.
Для применений предыдущей теоремы удобно в качестве евкли-
довой структуры на Rn брать ограничение на R" этого скаляр-
ного произведения.
Следствие 1. Росток гладкого векторного поля класса
W^'1 в точке 0 пространства R" при отсутствии внутренних ре-
зонансов «>2=^®!, &=1,2, ..., 0<(01<®2> формально эквива-
лентен ростку, задающему дифференциальное уравнение вида
z=Z(i®+/(p)), <o = (w1, со2), (2)
где f — росток в нуле гладкой комплекснозначной векторт
функции, Z=diag (zi, 2г).
Следствие 2. Росток гладкого векторного поля класса
W2} на плоскости формально эквивалентен ростку, задающему
дифференциальное уравнение вйда
x=y+x2/(x), y=x2g(x), .
где f и g — ростки гладких в нуле функций.
Для уравнений (2) асимптотика фазовых -кривых, входящих
в нуль, и инвариантных многообразий, проходящих через нуль,
легко исследуется1’. Тем ’ самым, ', импликация «формальная
эквивалентность=>гладкая эквивалентность» содержательна
даже тогда, когда формальная нормальная форма зависит от
бесконечного числа нелинейных членов. ,
6.3. Квазигиперболичность. Импликация «формальная экви-
валентность^ гл адкая эквивалентность», имеет место не толька
для ростков векторных полей с гиперболической линейной
частью (теорема Ченя), но и для так называемых квазигйпер-
болических ростков (см. {14], где,рассмотрены ростки диффео-
морфизмов) . Квазигиперболические ростки . векторных долей
имеют, как и гиперболические, устойчивое и неустойчивое ин-
вариантное множество, но эти множества — необязательно’мно-.
гообразия, и фазовые кривые приближаются к особой .точке по
. * ’ . ’ ' ’ -X
Действительно, уравнение (2). симметрично относительно вращений
|Х| = |ц| = 1, и задает поэтому факторсистему напло-
скости р=(р1, Рг). Исследование 0-кривых исходной системы сводится к
исследованию 0-кривых факторсистемы, методика которого хорошо разра*.
ботана (см. гл. 5).
73
устойчивому множеству не экспоненциально, а лишь степенным
образом: модуль решения убывает как некоторая степень t
при /-*-+<». Решения, фазовые кривые которых лежат на не*
устойчивом множестве, ведут себя аналогично при /->—оо.
6.4. Конечно гладкая эквивалентность ростков векторных
полей. Векторное поле с резонансной линейной частью может
быть, вообще говоря, приведено к линейной нормальной форме
конечно гладкой заменой, только класс гладкости будет ниже
младшей степени резонансных членов. Первый результат в
этом направлении принадлежит Стернбергу (S. Sternberg)
{67 :3]. Различные теоремы, посвященные повышению класса
гладкости сопрягающего диффеоморфизма, получены
В. А. Кондратьевым, В. С. Самоволом '[14:44], Г. Р. Белиц-
ким {14]. Окончательный результат недавно получен Селлом
(G. R. Sell) 1[105].
Теорема. Пусть и — росток векторного поля со спектром
линейной части Х=(Хь..., Х„')бСп, причем (X, k)—Х,=#0 для
любого £eZ+n, 2г^2 |А| s^2W; Rd[(X, k)—Х,]#=0 для любого
£6Z+n, |£|=27V\ Тогда росток v Сх-гладко эквивалентен своей
линейной части. Напротив, росток
не является ^-эквивалентным своей линейной части (резо-
нанс JVXi+АГХ3—Хг=0).
§ 7. Нормальные формы векторных полей,
линейная часть которых —
нильпотентная жорданова клетка
Исследование нормальных форм в случае, когда линейная
часть — нильпотентная жорданова клетка, облегчается теорией
представлений алгебры Ли si (2), каков бы ни был порядок
клетки. В сущности, речь идет о следующей алгебраической за*
даче. Рассмотрим фазовый поток линейного векторного поля,
заданного нильпотентной жордановой клеткой. Эта однопарамет-
рическая группа линейных преобразований действует также на
различных пространствах тензоров, например, на пространстве
векторных полей с коэффициентами в виде однородных многог
членов фиксированной степени. Спрашивается, какова жорда-
нова структура определенных таким образом операторов на
пространствах тензоров?
7.1. Центрированные цепочки. Теория представлений алгеб-
ры si (2) позволяет найти число клеток и сказать кое-что о жбр-
дановом базисе (В. Н. Богаевский, А. Я. Повзнер, А. Б. Гивен-
таль). Занумеруем базисные векторы исходной жордановой
74
клетки размера d+1 целыми числами от —d до +d через 2
(удобство такой нумерации ясно из дальнейшего). Итак, наша
жорданова клетка J действует на базис по правилу
e_d^e_d+^.,..^ed^0. (3)
Соответствующим координатным функциям x_d, ,xd припишем
s качестве весов их номера, degxa=a. Положим deg^-^—) =
== —а. Вес одночлена определяется, как сумма весов сомножи-
телей, например, degxap—pa, deg(xbd/dxd)=b—a(d/dxa’=ea).
Сумме элементов одного веса приписывается тот же вес.
Теорема. Рассмотрим действие группы eJt в векторном
пространстве V и соответствующую ей группу преобразований
н пространстве тензоров L над V. Жордановы цепочки произ-
водящего оператора этой группы в пространстве тензоров
можно выбрать центрированными (такими, что крайние эле-
менты каждой цепочки имеют противоположные веса, и при
движении вдоль каждой цепочки вес каждый раз уменьшается
на 2, как в формуле (3)).
7.2. Неубиваемые невязки. Размерность пространства од-
нородных векторных многочленов степени Л/', входящих в не-
вязку формальной нормальной формы векторного поля с ли-
нейной частью Jx, не превосходит числа жордановых клеток
оператора adJ. Здесь adj — оператор коммутирования с J,
действующий на пространстве L всех однородных векторных
многочленов степени N. В силу предыдущей теоремы число
этих клеток равно числу центрированных цепочек. Размерность
пространства тензоров фиксированного веса нетрудно сосчи-
тать. Поэтому из теоремы (после некоторых вычислений) вы-
текает . .....
Следствие. Векторное поле с нильпотентной линейной
частью, состоящей из одной жордановой клетки порядка п,
формально эквивалентно такому, у которого слагаемые веса ц
с компонентами однородной степени N принадлежат некоторо-
му линейному пространству размерности
——S (
resx_0 х2 (1—хв)гез/=оН-ЛГ
п
П (1—fxft)-1
л-1
где S=,V(n4-l)/2. В частности, все цепочки с фиксирован-
ным N одной четности: если п нечетно, то длины всех цепочек
нечетны; а если п четно, то четность длины цепочки равна чет-
ности N.
Пп. 7.3—7.5 посвящены доказательству теоремы для про-
странства L, определенного в начале п. 7.2.
7.3. Стандартное представление группы SL(2) и алгебры
si (2). Группа линейных преобразований плоскости, сохраняю-
щих площадь (группа SL(2)), естественно действует на прост-
75
ранстве Pm+1 однородных многочленов степейй т от двух пере-
менных. Рассмотрим действия подгрупп гиперболических пово-
ротов («картановской») и сдвигов («борелевской»):
Я* (х, у)=(е‘х, е'*у),- S* (х, у)=(х+ty, у).
При ! действии, гиперболических поворотов одночлены хт,
хт~'у,..., ут умножаются на emt, е<т-2>‘,..., е_.т‘. Поэтому соб-
ственные числа производящего оператора действия картанов-
ской подгруппы (оператора Аи) равны т, т—2,..., —т. За-
нумеруем собственные векторы оператора- Ан соответствующи-
ми собственными значениями.
При сдвиге S* ограничение многочлена на прямую у—уд
сдвигается на y^t. Поэтому производящий оператор А8 действия
борелевской подгруппы сводится к дифференцированию по х
с последующим умножением на у. Значит, этот оператор пере-
водит каждый собственный вектор картановской подгруппы
в следующий (уменьшая -собственное значение производящего
оператора Ая на 2 единицы).
Описанное представление группы SL(2) (и соответствую-
щее ему представление алгебры si (2)) назовем стандартным.
7.4. Продолжение нильпотентного оператора до представ-
ления алгебры Ли si(2)'. Оператор J, действующий в (d+1)-
мерном линейном пространстве V по формуле (3), можно до-
строить до представления в V алгебры Ли si(2) группы сохра-
няющих площадь преобразований плоскости. Для этого доста-
точно перенести -стандартное представление группы SL(2)
(и алгебры si (2)) на пространство V с помощью изоморфизма
С: V->P<i+1, полагая в формулах предыдущего раздела m=d:
Xd Хл~*у л
е-^ d\ ’ e~d^ (d—1)1 ’ •
Этот изоморфизм сопрягает действие оператора J с действием
производящего оператора А8 .борелевской подгруппы, опреде-
ленного, в п. 7.3, а оператор Ав — с оператором Аи: ел —ded,...
..., e_d rfe_d. Полученное представление группы Ли SL (2)
и алгебры Ли si (2) на V назовем ассоциированным с операто-
ром /. Следующая теорема утверждает, что всякое неприводи-
мое представление алгебры si (2) может быть получено анало-
гичным образом. •
Теорема. Каждое .неприводимое представление алгебры
Ли si (2) сопряжено со стандартным.
7.5. Окончание доказательства теоремы. Рассмотрим
пространство L векторных полей на У,* компоненты которых—
однородные многочлены степени Not d-\-\ переменных (или
какое-нибудь другое пространство, тензоров над У). Пусть
J:V —>У—тот же оператор, что и выше. Рассмотрим представ-
ление алгебры si (2) на У, ассоциированное с оператором /и
соответствующее ему представление Т алгебры si (2) на Z-
76
Собственные векторы оператора Т аи, соответствующие произво-
дящему оператору картановской подгруппы—это векторные по-
линомы, состоящие из мономов одного веса,- с собственным зна-
чением равным весу. Разложим предст авление Т на неприводимые;
пусть УтН—пространство одного из неприводимых представле-
ний размерности m +1. По предыдущей теореме неприводимое
представление Т | сопряжено со стандартным. Следователь-
но, собственные векторы ограничения Т ан на Vm+1 образуют
центрированную цепочку vm, .... ©-m, вес векторного по-
линома •оа равен а. Рассмотрим теперь оператор Та$, соот-
ветствующий производящему оператору борелевской под-
группы. Его ограничение на пространство У"1*1 действует по
формуле
(4)
(если нужно, векторы va заменяются на коллинеарные).
Заметим в заключение, что ТА s—это и есть тот производя-
щий оператор, о котором говорится в теореме п. 7.1, а именно,
оператор коммутирования с векторным полем Jx; здесь х —
столбец с компонентами xd,, х~л. Действительно, борелевская
подгруппа {5'} действует на пространстве V по правилу:
х •-* (ехр.Л)х; а на пространстве L по правилу: поле v перехо-
дит в поле 6=eJ't>° Производящий оператор последней
подгруппы — это оператор коммутирования с полем Jx.
Тем самым, (4) — искомая центрированная цепочка опера-
тора ad Л ► .
. Глава 4
ОСОБЫЕ ТОЧКИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
В МНОГОМЕРНОМ КОМПЛЕКСНОМ ФАЗОВОМ
ПРОСТРАНСТВЕ
Локальная теория аналитических дифференциальных урав-
нений позволяет до конца исследовать особенности полей обще-
го положения. Здесь приведены и смежные результаты о вы-
рожденных особенностях.
§ 1. Линейные нормальные формы
Росток аналитического векторного поля общего положения
в особой точке аналитически эквивалентен своей линейной ча-
сти, как показывают сформулированные. ниже теоремы.
1.1. Области Пуанкаре и. Зигеля. Малые знаменатели.
Определение. Набор XGCn принадлежит области Пуан-
каре, если, выпуклая оболочка векторов Xi,..., Хп на комплекс-
77
ной плоскости не содержит, руля, и области Зигеля — в против-
ном случае. Набор ЛбС"—"строго зигелев, если выпуклая обо-
лочка векторов Ль ..., Лп содержит нуль вместе с окрестностью.
Определение. Линейное векторное поле — типа Пуанка-
ре или Зигеля, или строго зигелева типа, если спектр соответ-
ствующего оператора принадлежит области Пуанкаре или Зи-
геля, или строго зигелев.
Набор собственных чисел называется резонансным, если
одно из них является суммой не менее двух собственных чисел
(не обязательно различных).
Формальные замены, приводящие ростки аналитических:
векторных полей с нерезонансной линейной частью к линейной
нормальной форме, называются в этом параграфе нормализу-
ющими рядами; при их вычислении приходится делить на вы-
ражения (Л, k)—kj, (k,j)GJ, где J={(k, j) [kGZ+n,
/е{1,..., n}}; эти выражения обращаются в 0 для резонанс-
ных наборов. Для нерезонансного набора Л множество чисел
{(Л, k)—Л,| (k, j)Gj} имеет предельную точку нуль, если и
только если Л принадлежит области Зигеля. Числа из этого
множества и называются малыми знаменателями; их появление
затрудняет сходимость нормализующих рядов.
1.2. Сходимость нормализующих рядов.
Теорема Пуанкаре ((Н. Poincare), [8], [48]). Росток
аналитического векторного поля с нерезонансной линейной
частью типа Пуанкаре аналитически эквивалентен своей ли-
нейной части.
Теорема Зигеля ((С. L. Siegel), [8]). Для почти всех
(в смысле меры Лебега) наборов собственных чисел линейной
части ростка голоморфного векторного поля в особой точке
росток биголоморфно эквивалентен своей линейной чаЛи.
Почти всегда выполненное условие на собственные числа,
достаточное для голоморфной эквивалентности ростка своей
линейной части, оценивает малые знаменатели снизу через
порядок соответствующего резонанса. Перейдем к точным фор-
мулировкам.
Определение. Набор ЛбСп несоизмерим по А. Д. Брюно,
если существуют такие положительные Сие, что
|(Л,
для всех (k, /)б/,-для которых (Л, k)—^=/=0 (для почти всех
ЛбСп выполняется даже аналогичная оценка с правой частью
С|£|-<"+1>).
Теорема ([18:31]). Росток аналитического векторного по-
ля в особой точке, спектр линейной части которого нерезонан-
сен и несоизмерим по Брюно, биголоморфно эквивалентен своей
линейности части. ,,.
78
В [18:31] эквивалентность линеаризации доказана при еще
более слабом ограничении на %.
Аналогичные теоремы справедливы в случае, когда набор X
резонансный, если росток векторного поля формально эквива-
лентен своей линейной части (например, в случае центра па
линейным членам при наличии формального первого интеграла
х2+*/2+ • • • )• Общие теоремы такого рода содержатся в работах
А. Д. Брюно и В. А. Плисса [18:31]; [14 :54].
1.3. Аналитические теоремы о расходимости нормализующих
рядов.
Если малые знаменатели патологически малы, то нормали-
зующие ряды, как правило, расходятся.
Определение. Набор ХбСп— почти резонансный, если
ряд
ky-X^dldzj
не сходится ни в каком шаре с центром 0.
Теорема ([30]). Пусть набор X—почти резонансный и коэф-
фициенты сходящегося векторного ряда / (z)= fkj^dldzj
j
оцениваются снизу по модулю некоторой геометрической про-
грессией: \fnj\>Cq^. Тогда для почти всех в смысле меры Лебега
комплексных а уравнение
z=(diag%)z+a/(z)
аналитически неэквивалентно линейному в любой окрестности
точки 0.
1.4. Геометрические теоремы о расходимости нормализую-
щих рядов. Геометрической причиной расходимости нормализу-
ющих рядов в случае патологически малых знаменателей слу-
жит явление материализации резонансов; оно состоит в сле-
дующем (см. [8]).
Рассмотрим однопараметрическое семейство векторных по-
лей, линейные части которых при нулевом значении параметра
проходят трансверсально через резонанс (точнее, спектр ли-
нейной части при прохождении параметра через 0 трансвер-
сально пересекает резонансную плоскость). При прохождении
параметра через 0 от координатных-;плоскостей некоторой кар-
ты отделяется аналитическое многообразие, зависящее от па-
раметра семейства1) и инвариантное для уравнения, соответ-
ствующего тому же значению параметра. Топология этого мно-
гообразия определяется , арифметикой резонанса. Наличие
«большого куска» этого многообразия в некоторой окрестности
особой точки препятствует приведению уравнения к линейной
’> Простейший геометрический пример такого рода доставляет семейст-
во многообразий ху—е; при е=0 многообразие семейства совпадает с
объединением координатных осей.
7»
нормальной форме в этой окрестности. Если набор % патологи- t
чески близок счетному числу резонансов, .то в каждой окрест- •'
ностц особой точки уравнение
2=(diagX)z+/(z)
при условии, что Невязка f — общего положения, имеет счетное
число инвариантных многообразий. Каждое йз них- возникает
при материализации одного- из резонансов, близких к Л; взя-
тые вместе, эти многообразия препятствуют сходимости норма-,
лизующих рядов в какой-либо окрестности нуля.
Доказанные на этом пути геометрические теоремы о расхо-
димости [34], i[34:6] предполагают, что малые знаменатели
убывают еще быстрее, чем в предыдущем пункте, а именно, для
некоторого <г>0 при любом С>0 существует &6Z+n, для кото-
рого
0<|(Л,А)-Ху|<С|Л|-‘’1*1.
§ 2. Связь формальной и аналитической
классификации
Здесь обсуждается соотношение между формальной и ана-
литической классификациями ростков векторных полей, спектр
линейной части которых резонансен, но несоизмерим по Брюно.
2.1. Условие А. А. Д. Брюно ![ 18: ЗГ] нашел" необходимое
и достаточное условие для того, чтобы класс, ростков аналити-;
ческих векторных полей, формально эквивалентных ростку с
несоизмеримым по Брюно спектром линейной части,, совпадал с
классом ростков, аналитически эквивалентных этому ростку —
так называемое условие А. Условие А налагается на нелинейные
члены предварительной нормальной формы ростка v в случае,,
когда линейная часть ростка — резонансна. Все формально экви.,
валентные предварительные нормальные формы удовлетворяют
или не удовлетворяют условию А одновременно; поэтому условие
А является условием на сам росток, а не только на его нормаль-
ную форму. Формулировка этого условия громоздка и здесь не
приводится. Отметим в качестве примера, что росток векторного
поля на плоскости с линейной частью рхд/дх—qyd/dy (р и q
натуральные) удовлетворяет условию А, если и только если рос-
ток орбитально аналитически эквивалентен своей линейной час-
ти. Кроме того, условие А автоматически выполнено для всех
ростков с линейной частью типа Пуацкаре. Сходимость норма-
лизующих рядов для этого случая была доказана Дюлаком
(см. [18]). В области Зигеля условие А выполняется редко.
2.2. Замечание. Проблемы гладкой и аналитической класси-
фикации ростков векторных полей в особой точке естественно
распадаются на 3 части.
во
I. Формальная классификация (см. § 3, гл. 3).
II. Изучение связи между формальной и гладкой (или ана-
литической) классификацией.
В нерезонансном <случае формальная нормальная . форма
линейна. Связь классификаций нерезонансных ростков в глад-
ком и в аналитическом варианте описана в § 6 главы 3 и § 1
главы 4. Резонансный случай для голоморфных ростков иссле-
дован так же подробно, как нерезонансный (см. п. 2.1). Ввиду
крайней жесткости условия А, класс формально эквивалентных
аналитических ростков векторных полей с резонансной линей-
ной частью в особой точке, почти никогда не совпадает с клас-
сом аналитически эквивалентных ростков. О гладком случае см.
теорему Ченя и некоторые другие теоремы (§ 6, гл. 3 и § 2,
гл. 6).
III. Получение (полной) системы инвариантов аналитиче-
ской классификации ростков векторных полей1’.
До последнего времени при решении этой задачи ограничи-
вались инвариантами формальной классификации. Затем ис-
следовалась сходимость соответствующих формальных замен.
Если они сходились, проблема была решена, если расходи-
лись— исследование прекращалось. Работы, где были найде-
ны инварианты аналитической, классификации, отличные от
формальных, излагаются в главах 5 и 7.
§ 3. Аналитические цнвариантные многообразия
Аналитических инвариантных многообразий для аналитиче-
ских систем существенно.!меньше, чем гладких. Так, для рост-
ков аналитических векторных полей на R2. со спектром линей-
ной части (1, 0), Х#=0, всегда существует конечно гладкое цент-
ральное многообразие (§ 4, гл. 3), но, как правило, не сущест-
вует аналитического (§ 5,.гл. 5).
Теоремы об аналитическом устойчивом (неустойчивом) ин-
вариантном многообразии сформулированы в § 4 главы 3.
Аналогичные теоремы справедливы для голоморфных вектор-
ных полей [18:31]. Формулируемые ниже теоремы о локаль-
ных инвариантных многообразиях голоморфных векторных по-
лей позволяют находить аналитические инвариантные многооб-
разия, содержащие особую точку вещественно аналитического
поля и не принадлежащие ни устойчивому, ни неустойчивому
многообразию этой точки.
3.1. Теорема об инвариантном многообразии. Рассмотрим
росток аналитического векторного поля в особой точке 0, ли-
нейная часть которого имеет инвариантную плоскость. Иссле-
дуется вопрос, имеет ли росток аналитическое инвариантное
многообразие, касающееся в нуле этой плоскости.
*> Гладкий аналог этой проблемы, насколько нам известно, исследован
только на формальном уровне; исключение составляет результат С. М. Во-
ронина [60, с. 143] и Мартине—Рамиса [99, § 5, гл. IIIJ.
24
6-7712
81
Рассмотрим формальное дифференциальное уравнение
*=Лх+/(х, у), y=My+g(x, у), /(0)=0, g(0)==0,
Л(0)=0, g»(0)=0, X=(Xi, ..-.,хл), {/=({/!, ...ъУт)- I (1>
Определение. Плоскость у=0 называется формальным
инвариантным многообразием уравнения (1), если g(x, 0)=0.
Уравнение x—Ax+f(x, 0) называется ограничением уравнения
(1) на это формальное инвариантное многообразие.
Определение. Скажем, что формальное векторное' поле
принадлежит классу НФИМ (нормальная форма на инвари-
антном многообразии) с линейной частью (Лх, Му), если ему
соответствует уравнение (1), для которого плоскость у = 0 яв-
ляется формальным инвариантным многообразием, а ограниче-
ние уравнения (1) на эту плоскость имеет предварительную
нормальную форму.
Теорема (Ю. Н. Бибиков [77]). Пусть v — росток анали-
тического векторного поля в особой точке, формально эквива-
лентный формальному векторному полю .да класса НФИМ с
линейной частью (Лх, Му), Х= (%ь ..., 1„)—спектр матрицы
Л, и ц=(|Хь..., Цт)—спектр М, причем выполнены следую-
щие условия: .
1°. Отсутствуют «перекрестные резонансы»:
ц.у=#=(Л, k) для всех kGZ+n, |&|^s2, /=1,..., ш.
2°. 1 — резонансный набор без малых знаменателей: 0 —
изолированная точка множества чисел {(Л, k)—Kj\(k, j)GJ}.
3°. Ограничение уравнения (1), соответствующего полю w,
на плоскость у=0, удовлетворяет условию А, (см? [18:31])-.
Тогда росток v аналитически эквивалентен .некоторому
ростку класса НФИМ с линейной частью (Лх, Му).±
Теоремы об инвариантных многообразиях и множествах*
охватывающие и вырожденные системы, анонсированы
А. Д. Брюно [18]: ('[40], [42], [43], [46]), но их доказательства
пока не опубилкованы. :
3.2. Следствия. Аналитичность центрального многообразия.
Определение. Пусть формальное векторное поле запи-
сано в предварительной нормальной форме. Плоскость, на ко-
торой гиперболические переменные обращаются в нуль, назы-
вается формальным центральным многообразием для этого
поля.
Замечание. Если уравнение аналитически эквивалентно-
предварительной нормальной форме, то это определение зада-
ет обычное центральное многообразие. <-
Теорема. Если ограничение предварительной нормальной
формы на формальное центральное многообразие имеет вид
оо
z==iz^akzkzk. zgC, Imaft==0, а0=со^О,
о .
82
или вид х==0, x6R, то центральное многообразие аналитично ц
состоит из замкнутых фазовых кривых (в первом случае), ли-
бо из положений равновесия (во втором).
Это — аналог теоремы Пуанкаре—Ляпунова (§ 4, гл. 5).
Для гладких ростков многообразия неподвижных точек или
замкнутых кривых, вообще говоря, нет.
Обратимые системы. Так называются дифференциальные
уравнения, инвариантные относительно обращения времени.
> Рассмотрим уравнение малых колебаний х+Ах=0, x6R",
матрица А симметрична и положительно определена. Соответ-
ствующее фазовое пространство R2n распадается в прямую сум-
му двумерных инвариантных плоскостей Ly, /=1,..., п. Кажт
дая такая плоскость заполнена замкнутыми фазовыми кривы-
ми, движение по которым происходит с частотой а}, где <»,2>
j=l,..., п, — собственные значения оператора А. Следующая
теорема показывает, что если уравнение малых колебаний
возмутить нелинейными членами так, что полученная система
будет сохраняться при обращении времени, тогда возмущенная
система будет иметь, как и в линейном случае, п однопарамет-
рических семейств замкнутых фазовых кривых; на частоты ©>
налагается слабое ограничение. ,
Теорема. Пусть аналитическая система
х + Ах=Ф(х, х), Ф(0,0)=0, Ф*(0,0)=0 (2)
инвариантна относительно обращения времени, то есть Ф(х,
—р)=Ф(х, р), и пусть матрица А, плоскости L} и частоты
©j — те же, что и выше. Пусть, кроме того, для лю-
бых k&Z, j^l. Тогда в фазовом пространстве R2n системы (2}
существуют п двумерных аналитических поверхностей, касаю-
щихся плоскостей Lj в нуле и заполненных замкнутыми, фазо-
выми кривыми этой системы.
Более сильная теорема доказана в [77]. Обратимые систе-
мы имеют много общих свойств с гамильтоновыми системами1),
3.3. Об аналитическом центральном многообразии диффе-
ренциальных уравнений на плоскости. В этом пункте исследу-
ются дифференциальные уравнения в окрестности особой точки
на плоскости R2, одно собственное значение линейной части ко-
торых равно;нулю, а другое — отлично от нуля:
Х=~ fl (X, у), y=by+f2 (х, у), 3.
0)=0, d/ДО, О)=о, /= 1.; -2.
Уравнения .такого вида всегда имеют бесконечно гладкое;
’> См. V. I. Arnol'd, Reversible systems, in «Nonlinear and Turbulent Pro-
cesses», Acad. Publ. New York, 1984, .1161—1174.
6* 83
Центральное многообразие (эффект двумерности), но, вообще
говоря, не имеют аналитического. Последнее обстоятельство
отмечено Эйлером на примере уравнения
х=х2, у=у—х
(линейной заменой приводимого к виду (3)). Оказывается,
что вопрос о наличии аналитического центрального многообра-
зия уравнения (3) не может быть решен по формальной нор-
мальной форме уравнения в изолированной особой точке 0: в
каждом классе формально эквивалентных уравнений такого ти-
па существуют уравнения как имеющие, так и не имеющие
аналитическое центральное многообразие 1[98]. Для того что-
бы все уравнения вида (3), формально эквивалентные между
•собой,, имели аналитическое центральное многообразие, необ-
ходимо и достаточно, чтобы особая точка 0 этих уравнений
была неизолированной; центральное многообразие в этом слу-
чае состоит из особых точек. Это условие выделяет множество
уравнений коразмерности бесконечность. Между тем, множе-
ство уравнений (3), имеющих аналитическое центральное мно-
гообразие, имеет в классе всех уравнений (3) комплексную ко-
размерность 11[98].
§ 4. Топологическая классификация особых
точек в комплексной области -
Формулируемые ниже теоремы показывают, что в отличие
от вещественного случая топологическая классификация век-
торных полей в комплексном фазовом пространстве недискрет-
на (имеет-непрерывные инварианты) даже для линейных век-
торных полей общего положения.
4.1. Линейные векторные поля.
Определение. Линейное векторное поле в комплексном
фазовом пространстве называется гиперболическим (слабо ги-
перболическим.) • если никакие два собственные значения соот-
ветствующего оператора не имеют вещественного (соответствен-
но, вещественного неположительного) отношения.
Теорема Гукенхеймера (J. Guckenheimer). Ростки
голоморфных векторных полей в особой точке 0 пространства
Ся с гиперболической линейной частью типа Пуанкаре орби-
тально топологически эквивалентны друг другу.
Ситуация резко меняется даже для линейных полей типа
Зигеля.
Теорема (Н. Н. Ладис, Камачо (С. Camacho), Кёйпер
(N. Н. Kuiper), Пэйлис (J. Palis), Ю. С. Ильяшенко, [8,
с. 287]). Диагонализируемые линейные векторные поля, спектр
которых лежит строго внутри области Зигеля, орбитально то-
пологически эквивалентны в некоторой окрестности точки
нуль пространства Сп, если и только если наборы обратных
84
1
величин их собственных значений переходят друг в друга пр^
R-линейном отображении С->С.
Теорема (Ю. С. Ильяшенко, Н. Н. Ладис, [96]). Два стро-
го зигелевых невырожденных линейных векторных поля, имею-
щих нетривиальные жордановы клетки, орбитально топологиче-
ски эквивалентны, если и только если они аффинно эквива-
лентны.
Проблемы. Для получения полной орбитальной тополо-
гической классификации линейных векторных полей в С" ос-
талось разобрать следующие случаи.
1. Линейные векторные поля, спектр которых лежит на гра-
нице области Зигеля.
2. Линейные векторные поля, имеющие нетривиальные жор-
дановы клетки с нулевым собственным значением.
4.2. Нелинейный случай. Росток голоморфного векторного
поля в особой точке топологически (и даже аналитически)
эквивалентен своей линейной части для всех нерезонансных
полей со спектром из области Пуанкаре, а в области Зигеля
для почти всех (в смысле меры Лебега) наборов собственных
значений. Это следует из теоремы Пуанкаре и Зигеля. Однако
росток топологически эквивалентен своей линейной части зача-
стую и тогда, когда теорема Зигеля неприменима: малые зна-
менатели не препятствуют этой эквивалентности.
Шаперон (М. Chaperon) '[90, р. 93] доказал, что если спектр,
линейной части ростка голоморфного векторного поля в осо-
бой точке является слабо гиперболическим набором, тогда
росток топологически эквивалентен своей линейной частя, и
сопрягающий гомеоморфизм можно выбрать удовлетворяющим
условию Гельдера.
Глава 5
ОСОБЫЕ ТОЧКИ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ
НА ВЕЩЕСТВЕННОЙ И КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ
Здесь описан метод разрешения особенностей. Он позволя-
ет заменить сколь угодно вырожденную особую точку вектор-
ного поля на плоскости так называемыми элементарными, ко-
торые хорошо изучены как в вещественной, так и в комплекс-
ной области. Типичные поля не имеют вырожденных особенно-
стей.
§ 1. Разрешение особенностей
В этом параграфе излагаются классическая теорема Беядик-
сона и ее модификации.
1.1. Раздутие или ст-процесс на плоскости. Начнем
с определения полярного раздутия. Пусть гладкое неплоское
в нуле, векторное поле1) v задано в окрестности U особой
точки 0 на плоскости R2. Пусть (г, ф)—точка с полярными
координатами (г, ф). Рассмотрим отображение £7\{0}->R2,
(г, Ф) I—► (г + 1,ф). Область U \{0} перейдет при этом в кольцо
С внутренней границей г=1. Векторное поле, полученное из о
при этом отображении, можно так гладко продолжить в пол-
ную окрестность окружности г=1, что продолженное поле пос-
ле деления на подходящую степень (г—1) будет гладким в
некоторой окрестности окружности г=1, будет иметь лишь ко-
нечное число особых точек на этой окружности и будет непло-
скйм во всех этих точках.
Это построение называется полярным раздутием особой точ-
ки векторного поля, а окружность г=1, возникающая из особой
точки, — вклеенной окружностью.
* Каждая из особых точек, полученных при раздутии, вообще
говоря, проще исходной. Для дальнейшего упрощения получен-
ных точек можно снова применять полярное раздутие. Прежде
чем описывать, какие простейшие точки могут при этом полу-
читься, определим алгебраический вариант раздутия, называ-
емый о-процессом.
Рассмотрим естественное отображение проколотой вещест-
венной плоскости R2\{0} на проективную прямую RP1: каждой
точке проколотой плоскости сопоставляется прямая, соединяю-
щая эту точку с нулем. График этого отображения обозначим
через А1; его замыкание М в прямом произведении R2XRPl
диффеоморфно листу Мёбиуса! Проектирование л: R2 х RP1 ->R2
вдоль второго сомножителя переводит М в R2; полным прооб-
разом нуля при этом отображении является проективная прямая
z^RP1 (называема^ далее вклеенной проективноипрямоиу,
проектирований л: M\Z->R2\{0}—диффеоморфизм.
Лемма. Гладкому неплоскому в нуле векторному полю и,
заданному в окрестности точки.р. плоскости R2, соответствует
гладкое поле направлений а, определённое в. некоторой окрест-
ности вклеенной прямой L на поверхности М всюду, за исклю-
чением конечного числа точек, расположенных на L и называ-
емых особыми. При проектировании л : AlXL->-R2\{0},, поле а.,
переходит в поле, направлений, порожденное полем v. В окрест-
ности каждой особой точки поле а порождается некоторым
гладким векторным полем р, не плоским в особой точке.
Утверждение леммы позволяет продолжать о-процесс по
индукции.
Это построение, в отличие от 'полярного раздутия, дословно
переносится в комплексную область, только вместо R2 и RP1
нужно рассматривать С2 и СР1.
Ч Гладкое, векторное. - поле называется плоским, в некоторой, точ- ,
кё; если оно обращается в нуль в этой точке вместе со всеми'производными.-'
«6
1.2. Элементарные особые точки.
Определение. Особая точка векторного поля на пло-
скости называется элементарной, если хотя бы одно собствен-
ное значение линейной части поля в этой точке отлично от
нуля.
Топологическая классификация изолированных элементар-
ных особых точек на;-рещественной плоскости проста: кроме уз-
лов, седел, фокусов, й центров среди них встречаются еще лишь
седлоузлы (рис. 16).
1.3; Хорошие раздутия. За конечное
число полярных раздутий или ©-процес-
сов вырожденную особую точку вектор-
ного поля на плоскости можно рассы-
пать на конечное число- элементарных
при очень слабых ограничениях на век- -
торное поле.
Теорема Бендиксона ((I. Веп-
dixson) [75], . [84]). Вещественно-ана-.,
литическое векторное поле, заданное в
окрестности вещественно-изолированной
особой точки на плоскости R2, в резуль- рйс 16 Седл0 •
тате конечного числа ©-процессов пере- ‘ 3 '
ходит в аналитическое поле направлений, заданное в окрестно-.
сти вклеенных проективных прямых и имеющее, лишь конечное
число особых точек, каждая из которых элементарна.
Раздутие, описанное в теореме Бендиксона, называется «хо-
рошим раздутием».
Т е о р е ма Зайденберга ((A. Seidenberg) [105]). Хорошее
раздутие существует для голоморфного векторного поля, задан-
ного в окрестности/изолированной особой точки на плоско-,
сти С2. .
Для глаДких векторных полей аналогичная теорема справед-
лива при несколько более жестких ограничениях.
Определение., Векторное поле v удовлетворяет в осо-
бой точце х0 условию Лоясевича, если | о(х) [.убывает не быст-
рее некоторой степени расстояния до; особой точки при стрем-
лении х->-Хо?, то есть |о(х) | ^с[х—х0|₽ для некоторых положи-
тельных сир. ;
Множество ростков векторных поЛей, не удовлетворяющих
условию Лоясевича (S. bojasiewicz),;имеет коразмерность бес-
конечность в пространстве всех ростков. Например, для ко-
нечнократной особой точки* это условие всегда .выполнено;,
с Теорем а Д ю. м о р т ь е f (F. Dumortie’r) i[84], [85]). Хоро-
шее раздутие существует для гладких векторных полей, задан-
ных в окрестности особой точки на плоскости R2, удовлетворя-
ющих условию Лоясевича. Кроме того,* каждое такое поле за
*> В оригинальной работе [84] «хорошее раздутие» удовлетворяет более
жестким требованиям. 1
87
конечное число полярных раздутий можно превратить в глад-
кое векторное поле в плоской области с конечным числом осо-
бых точек, каждая из которых элементарна.
Замечание. В работе [84] дана несколько иная, более
сильная формулировка.
§ 2. Гладкая орбитальная классификация
элементарных особых точек на плоскости
Элементарность особых точек имеет двоякий смысл: 1) слож-
ная особая точка рассыпается на элементарные, как на атомы.
2) Элементарные особые точки '.сравнительно просто устроены
(см. § 2 и § 5). Указанная в заглавии классификация получена
для всех ростков гладких векторных полей, за исключением
подмногообразия коразмерности бесконечность, и, в частности,
для всех ростков аналитических векторных полей с изолирован-
ной особой точкой; она дается следующими двумя теоремами.
2.1. Таблица нормальных форм: аналитический случай.
Теорема. Росток аналитического векторного поля в изоли-
рованной элементарной особой точке на вещественной плоско-
сти гладко орбитально эквивалентен одному из векторных по-
лей, указанных в следующей таблице (здесь и всюду в этой
главе числа р, q и k натуральные, а — вещественное, xeR2, х=
= (х, у), г2—х2+у2, 7 —оператор поворота на л/2, «6{0; 1; —1},
дробь p/q несократима).
Тип особой точки Нормальная форма
1. Поле с нерезонансной ли-
нейной частью
2. Центр по линейным членам
3. Резонансный узел
4. Резонансное седло с отно-
шением собственных чисел
5. Вырожденная элементарная
особая точка
w1 (х) = Лх
w (х) — 1х 4- в (r2k 4- cr*k)x
w (х, у)- 4- (пу 4- &хп)^
= x [1 + & + auz*)]X
д л д
Хдх+Куду’
и » хру4—резонансный йоном
w (x,y)=^x(+xk + ax^)-^+y-^
(знаки + и—независимы)
2.2. Нормальные формы в гладком случае.
Определёйие. Формальным первым интегралом ростка
векторного поля v называется формальный ряд F, для которого
(d, gradF)=0.
Теорема. К таким же, как выше, нормальным формам
приводятся ростки гладких векторных полей в элементарных
особых точках, удовлетворяющие условию Лоясевича и не име-
«3
клцие формального первого интеграла, тейлоровский ряд кото-
рого начинается с положительно определенной квадратичной
формы.
Эти теоремы доказаны по частям в [94], [67], [14:90], [18],
[16], Ц32] и в готовящейся к печати статье Ю. С. Ильяшенко.
§ 3. Топологическая классификация сложных
особых точек с характеристической траекторией
Задача, указанная в заглавии, алгебраически разрешима и
для ее решения имеется простой алгоритм. Всюду в этом пара-
графе речь идет о вещественной плоскости.
3.1. Основная альтернатива.
Определение. Фазовая кривая дифференциального урав-
нения на плоскости называется характеристической траекторией
особой точки, если она входит в эту точку при /->+оо или t->
->—оо, касаясь некоторой прямой.
Определение. Особая точка векторного поля называется
монодромной, если существуют окрестность этой точки и
гладкая дуга1’ с началом в этой точке, трансверсальная полю
всюду вне начала, такие, что поле направлений в окрестности с
выброшенной дугой диффеоморфно стандартному (рис. 17).
Точнее, существует непрерывное отображение замкнутого
прямоугольника на замыкание окрестности особой точки,
диффеоморфно переводящее внутренность прямоугольника
на дополнение окрестности до упомянутой трансверсаль-
ной дуги и преобразующее горизонтальное поле— в исход-
ное; вертикальные стороны прямоугольника оно отображает
на трансверсаль, а нижнюю горизонтальную сторону переводит
в особую точку. Каждая фазовая кривая исходного поля с на-
чалом на трансверсали, достаточно близким к особой точке,
сделав один виток вблизи этой точки, возвращается на ту же
трансверсаль. Отображение, переводящее начальную точку
каждой такой дуги в ее конец (точку первого возвращения на
трансверсаль), называется преобразованием монодромии осо-
бой точки (рис. 17).
Замечание, бб внутренних точках трансверсали преоб-
разование монодромии имеет тот же класс гладкости, что и век-
торное поле, и аналитично вместе с ним. Однако оно может не
продолжаться гладко за начало трансверсали даже для анали-
тического векторного поля.
Легко привести пример гладкого векторного поля, особая
точка которого не имеет характеристической траектории и не
является" монодромной (рис. 18). Однако соответствующее век-
торное поле обязательно будет плоским в особой точке.
П Гладкость дуги в начальной точке означает возможность гладко про-
должить дугу через начало.
89
Рис. 18. Немонодромная. .особая
точка без характеристической
траектории.
Рис. 17. Монодромная особая
точка.
Теорема. Особая точка гладкого векторного . поля на
плоскости, не плоского в этой точке, либо имеет характеристи-
ческую траекторию, либо монодромна.
3.2. Топологическая классификация дифференциальных урав-
нений на плоскости в окрестности особой точки. Как доказано
в [3], окрестность особой точки векторного поля, имеющего
характеристическую траекторию, при необременительных огра-
ничениях на векторное поле распадается в конечное объедине-
ние так называемых гиперболических, параболических и эллип-
тических секторов.
Определение. Стандартным Гиперболическим' (соответ-
ственно, параболическим, эллиптическим) сектором называется
множество Sh (Sp, S.) с векторным полем (vо.) на нем,
причем vh=xdldx—уд/ду, Sh ' ограничено линиями х=0,х=1,
У=0, У=1, xy-lfc (гиперболический сектор); vp=xd[dxj-
А-уд/ду, Sp ограничено линиями х=0, у=0, х2+у2—1 (парабо-
лический сектор); ve=zzdldz, z=x+iy, Se ограничено фазовой
кривой поля v„ расположенной в области х>0, #>0 и попол-
ненной точкой 0 (эллиптический сектор) (рис. 19). ~ .
Рис. 19.
а) Гиперболический сектор, б) параболический
ский сектор.
сектор, в) эллиптиче-
90
Определение. Гиперболическим (эллиптическим, парабо-
лическим) сектором векторного поля v с особой точкой 0 назы-
вается замыкание. S открытого множества, содержащего > нуль
на границе, при условии, что существует гомеоморфизм Sh-*
->-S(Sp->S, ,Se-+S), переводящий фазовые кривые стандартного
поля vh(v9, ve) в фазовые кривые поля v, причем характери-
стические траектории переходят в характеристические.
Теорема 1 ([3]). Пусть некоторая окрестность изолиро-
ванной особой точки гладкого, неплоского векторного поля v с
характеристической траекторией не содержит счетного числа
эллиптических секторов без общих внутренних точек. Тогда
эта особая точка имеет окрестность, распадающуюся в конеч-
ное объединение параболических, эллиптических и гиперболи-
ческих секторов поля и, не имеющих общих внутренних точек.
Из теоремы Дюмортье (п. 1.3) вытекает следующая
Теорема 2. Заключение предыдущей теоремы справед
ливо для особой точки гладкого векторного поля, удовлетворя-
ющего в этой точке условию Лоясевича. В частности, заключе-
ние справедливо для изолированной особой точки аналити-
ческого векторного поля.
Тем самым, патологическая картина со счетным числом эл-
липтических секторов, не запрещенная чисто геометрическими
соображениями (теоремой существования, единственности и
непрерывной зависимости), не возможна в аналитическом слу-
чае. , . '
В книге [3] построен полный набор топологических инвари-
антов векторных полей с ' конечйым числом особых точек на
сфере, удовлетворяющих условиям теоремы 1. В частности, это
дает топологическую классификацию аналитических векторных
полей с изолированными особыми точками на сфере. Проблема
реализации,- io ёсть вопрос о том, какие из перечисленных в
,[3] фазовых портретов фактически реализуются’ для аналити-
ческих векторных полей на сфере, остаётся открытой: неизве-.
стно, могут'ли такие поля иметь счетное число предельных
циклов (см. § 4, гл. 6). ’
3.3/ Топологическая конечная определенность. Диаграммы
Ньютона векторных полей.
- Теорема ([84], [85]). Для каждого ростка гладкого век-
торного поля на плоскости’ удовлетворяющего условию Лоясе-
вича, можно по некоторой конечной струе определить, имеет
ли этот росток характеристическую траекторию или не. имеет.
При наличии характеристической траектории исследуемый ро-
сток имеет конечную струю, все представители которой тополо-.
гически эквивалентны; В этом случае фазовый портрет пред-
ставителя исследуемого ростка можно построить" с точностью
До гомеоморфизма с помощью конечного числа алгебрайчё-'
ских операций над тейлоровскими коэффициентами соответ-
ствующей струи.
91
Это построение проводится следующим образом. Сначала
делается хорошее полярное раздутие. Затем рисуются фазовые
портреты в окрестности полученных при этом элементарных
особых точек. При наличии характеристической траектории это
позволяет построить, с точностью до гомеоморфизма, фазовый
портрет полученного при раздутии векторного поля в окрест-
ности вклеенной кривой (объединения вклеенных окружностей).
Затем полученная картина проектируется в исходную окрест-
ность особой точки с помощью отображения, обратного разду-
тию.
Существенно более быстрый способ исследования, использу-
ющий диаграмму Ньютона и нормальные формы, предложил
А. Д. Брюно [18]; сходный алгоритм запрограммирован
[18:16]. д
Определения. 1. Носителем векторного монома
или х=(х, y)6R2 называется точка k-\-e2 или k-\-ex ре-
шетки Z2; в]=(1,0); е2=(0, 1).
2. Носителем аналитического векторного поля v с особой
точкой нуль на плоскости называется объединение носителей
всех мономов тейлоровского разложения поля v, которые име-
ют ненулевые коэффициенты.
3. Диаграммой Ньютона векторного паля v называется ло-
маная, которая строится следующим образом. Рассмотрим объ-
единение всех квадрантов, вершины. которых расположены в
точках носителя поля v, а стороны сонаправлены со сторонами
первого координатного угла. Граница выпуклой оболочки это-
го множества состоит из двух открытых лучей и ломаной, ни
одно звено которой не параллельно координатным, осям (она
может состоять и из одной точки). Эта ломаная и называется
диаграммой Ньютона поля о.
4. Главной частью векторного поля v ' называется сумма
всех мономов тейлоровского разложения v, показатели kqto-
рых принадлежат диаграмме Ньютона, с их коэфи'циентами.
Скажем, что некоторое свойство выполняется для Г — не-
вырожденных векторных полей, если множество векторных по-
лей с диаграммой Ньютона Г, не обладающих этим свойством,
выделяется конечным числом нетривиальных алгебраических
уравнений на коэффициенты тейлоровского разложения при
мономах, показатели которых принадлежат Г.
3.4. Исследование векторных полей По главной части.. .
Теорема. (Ф. С. Березовская ।[15],). Пусть Г — диаграмма.
Ньютона векторногр поля на плоскости с изолированной осо-
бой точкой Пуль. В пространстве всех аналитических векторных
полей с диаграммой Ньютона Г существует открытое всюду
плотное множество U «Г — невырожденных векторных полей»,
обладающее следующим свойством. Область U распадается
S2
На две: S и ZF. Векторные поля с главной частью в области S
имеют характеристические траектории, а в области ZF — не
имеют; Область S сбстоит из конечного числа связных компо-
нент поля с главной частью в одной и той же компоненте
орбитально топологически эквивалентны в окрестности нуля.
Границы областей ZF и S — полуалгебраические множества.
Замечания 1. Критерии принадлежности к каждой из об-
ластей ZF и 3 сформулированы в виде явных условий на глав-
ные части. Проверка этих условий, громоздкая при счете вруч-
ную, запрограммирована. Запрограммировано также вычисле-
ние главных членов асимптотик характеристических траекторий.
2. Предыдущая теорема ничего не говорит о различении
центра и фокуса. До настоящего времени не известен ответ
даже на следующий вопрос:
Пусть для данной диаграммы Ньютона существуют вектор-
ные поля без характеристических траекторий. Верно ли, что
среди таких полей существует хотя бы одно, имеющее особую
точку типа фокус?
Предполагаемый ответ — положительный.
§ 4. Проблема различения центра и фокуса
В этом параграфе обсуждается одна из старейших проблем
качественной теории дифференциальных уравнений.
4.1. Постановка проблемы. Росток аналитического векторно-
го поля на плоскости имеет особую точку типа центр, если вы-
полнено счетное число условий на нелинейные члены. Поэтому
невозможно указать проверяемый критерий наличия центра в
сколько-нибудь общих бесконечномерных классах уравнений.
Реалистической представляется следующая постановка пробле-
мы. Указать алгоритм, обладающий следующими свойствами.
1. Каждый шаг алгоритма использует лишь конечную струю ис-
следуемого поля и осуществляется с помощью алгебраических
действий и интегрирования. 2. Для всех ростков гладких или
аналитических векторных полей в особой точке на плоскости,
не принадлежащих некоторому исключительному множеству
коразмерности бесконечность в соответствующем функциональ-
ном пространстве, алгоритм останавливается за конечное число
шагов, и в этом случае особая точка является фокусом.
Такой алгоритм найден для классов векторных полей, пере-
численных ниже в пп. 4.3—-4.5. Состояние проблемы центра
для полиномиальных векторных полей фиксированной степени
обсуждается в п. 4.8.
4.2. Алгебраическая неразрешимость. Трудность задачи раз-
личения центра и фокуса в том, что она алгебраически нераз-
решима в смысле определениям. 2.1 главы 3 [8, с. 300]. Неиз-
вестно, является ли эта задача аналитически разрешимой (пред-
93
полагаемый ответ—положительный).. Доказано; что проблема
различения центра и фокуса алгебраически разрешима до ко-
размерности 10 включительно (см. пп. 4.3, 4.4) и неразрешима
до коразмерности 11 (Б. В. Алексеев), Аналитическая разре-
шимость доказана лишь до коразмерности 11 включительно.
Перечислим классы векторных полей, в которых проблема
различения центра и фокуса алгебраически разрешима.
4.3. Центр пр линейным членам.
Теорема. Проблема различения центра и фокуса в.классе
уравнений с линейной частью z=i<oz, а>>0, аналитически раз-
решима.
Это — модификация теоремы А. М. Ляпунова ’[43] и А. Пу-
анкаре [54]. Наметим ее доказательство, поскольку оно исполь-
зует понятия, нужные для дальнейшего.
◄ Пусть V—формальный ряд Тейлора изучаемого поля.
Уравнение
(®, VF)=g(r2) (1>
относительно вещественных формальных рядов F и g от двух
и одного переменного соответственно всегда разрешимо. Су-
ществует единственное решение этого уравнения, для которого
разложение F по степеням z=x+iy и z=x—iy не имеет членов
вида znzn при п>1 и начинается с монома zz. Назовем это ре-
шение отмеченным.
Коэффициенты в разложении g для отмеченного решения
(называемые ляпуновскими фокусными величинами) — это мно-
гочлены от коэффициентов ряда о. Особая точка 0 поля v яв-
ляется центром, если и только если все эти многочлены обра-
щаются в нуль, что и доказывает теорему. ►
Теорема ([43], [54]). Если аналитическое уравнение с ли-
нейной частью z=i(oz, ®>0, имеет формальный первый интег-
рал (то есть существует решение уравнения (1), для которого
g=0, F^const), то поле v имеет центр в точке 0.
Обобщение на многомерный случай см. в п. 3.2, гл. 4.
4.4. Нильпотентная жорданова клетка. Проблема различе-
ния центра и фокуса решена для полей, удовлетворяющих усло-
вию Лоясевича, линейная часть которых — нильпотентная жор-
данова клетка [43], [102]. Решение проводится в два шага.
1. Формальной заменой переменных и умножением на фор-
мальный ряд с ненулевым свободный членом исходное урав-
нение можно привести к виду
• x=y-\-f(x), y=exl, е= 11;
тейлоровские коэффициенты формального ряда /—многочлены
от тейлоровских коэффициентов исходного ряда.
94
2. Теорема. Пусть в предыдущем уравнении
./(Ж)-Х«7(х), 7(0)=<2^0.
Особая точка 0 исходного уравнения монодромна, если и
только если выполнено одно из следующих условий:
е= — 1
1=2п— 1 или
ъ= — 1
l=2n— 1
т=п
,ап?<4т.
Если при этом не имеет места симметрия f(x)=f(—х), тог-
да особая точка 0 исходного уравнения является фокусом,
устойчивым', если младший член, нечетной степени в разложе-
нии f имеет отрицательный. коэффициент, и неустойчивым — в
противном, случае.
Замечание. Отсюда легко следует алгебраическая раз-
решимость проблемы различения центра и фокуса в рассматри-
ваемом классе.
Теорема. Если исходный росток аналитичен,,а построен-
ный выше формальный ряд f не содержит нечетных степеней
(f(x)=f(—х)), то особая точка 0 является центром.
Теоремы этого и предыдущего пунктов показывают, что в
классе векторных полей на плоскости с ненулевой 1-струей
(линейной частью) в особой точке проблема различения центра
и фокуса алгебраически разрешима.
Для гладких ростков с нулевой линейной частью и ненуле-
вой 2-струей'проблема различения центра и фокуса не'возни-
кает. Дело в том, что каждый такой росток, удовлетворяющий
условию Лоясевича, всегда имеет характеристическую траекто-
рию. Пространство ростков с нулевой 2-струей имеет коразмер-
ность 10. В этом пространстве проблема различения центра и
фокуса алгебраически разр!ешима до коразмерности 0 включи-
тельно [48]. Следовательно, в классе всех' ростков векторных
полей в особой точке на плоскости проблема различения алгеб-
раически разрешима до коразмерности 10 включительно.
4.5. Особые точки без исключительных направлений.
Определение. Гладкое векторное поле, заданное в ок-
рестности особой точки и не плоское в этой точке, не имеет
исключительных направлений, если в результате одного по-
лярного раздутия его можно превратить в векторное поле без
особых точек на вклеенной окружности.
Замечание. Исследование окрестности особой точки
без исключительных направлений с помощью полярного раз-
дутия сводится к исследованию окрестности замкнутой фазо-
вой кривой (вклеенной окружности). Оно,', в свою очередь,
сводится к вычислению соответствующего преобразования мо-
95-
нодромии. Если это преобразование нетождественно, то ис-
ходная особая точка — фокус. Тейлоровские коэффициенты
дреобразования монодромии вычисляются рекуррентно через
тейлоровские коэффициенты поля. Однако соответствующие
функции оказываются неалгебраическими, а множества их
нулей — неалгебраическими множествами. Тем самым, алго-
ритм различения центра и фокуса в классе полей без исклю-
чительных направлений существует, но сама задача различе-
ния в этом классе алгебраически неразрешима.
4.6. Общий случай. Алгоритм различения центра и фокуса
в общем случае лишь намечен и состоит в следующем. Особая
точка векторного поля при кратном a-процессе, приводящем к
хорошему раздутию, заменяется «сложным циклом»—объеди-
нением особых точек полученного при раздутии поля направ-
лений, и интегральных кривых, лежащих на вклеенных проек-
тивных прямых и соединяющих эти особые точки. Все особые
точки, полученные при этом, элементарны. Окрестность слож-
ного цикла, содержащего только элементарные особые точки,
изучается методами Дюлака (§ 4, гл. 6), которые позволяют
вычислять асимптотику преобразования монодромии исходной
особой точки. Если какой-нибудь отрезок полученного при этом
асимптотического ряда задает отображение, отличное от тож-
дественного, то исходная особая точка — фокус. Асимптотиче-
ский ряд для преобразования монодромии совпадает с id лишь
для множества векторных полей коразмерности бесконечность.
4.7. Обобщенная первая фокусная величина. .
Теорема ('[32]). Главный член преобразования монодро-
мии для монодромной особой точки гладкого векторного поля,
удовлетворяющего условию Лоясевича, всегда линеен.
Определение. Пусть главный член в предыдущей теоре-
ме есть х !-+ сх. Величина In с называется первой фокусной ве-
личиной соответствующей сложной особой точки.
Замечание. Значение первой фокусной величины зависит
от выбора трансверсали; ее знак зависит только от векторного
поля. Если первая фокусная величина отлична от нуля, то
особая точка — фокус.
Предыдущая теорема так же, как и конкретное вычисление
первой фокусной величины, использует геометрию поверхности,
получаемой из окрестности особой точки при кратном <г-про-
цессе. Эта поверхность представляет собой объединение круго-
вых колец и листов.Мёбиуса.
4.8. Полиномиальные векторные поля. Ниже рассматриваются
только векторные поля, имеющие центр по линейным членам.
Наличие центра для таких полей равносильно обращению в
Нуль всех ляпуновских фокусных величин. Поэтому условие
центра для полиномиального поля степени л задаётся бесконеч-
ным числом алгебраических уравнений на конечное число коэф-
96
фициентов исследуемого полиномиального поля. По теореме
Гильберта о базисе, эта бесконечная система алгебраических
уравнений равносильна конечной. Проблема различения центра
и фокуса для полиномиальных полей степени п состоит в том,
чтобы эту систему вычислить.
Ляпуновские фокусные величины вычисляются по рекуррент-
ным формулам; это вычисление запрограммировано. Нерешенная
часть проблемы состоит в следующем: для каждого п требуется
найти такое N(n), чтобы обращение в нуль первых АГ(п) фокус-
ных величин гарантировало наличие центра. Неизвестно даже,
меньше ли число Af(n) размерности пространства коэффициен-
тов полиномиальных векторных полей степени п.
Неожиданно простой ответ получен Дюлаком (Н. Dulac) при
п=2 <[58 : 9]. Оказывается, АГ(2) =3: при обращении в нуль пер-
вых трех фокусных величин уравнение интегрируется в квад-
ратурах и имеет центр. Для полей /х+/3(х), xGR2, f3— одно-
родный векторный полином степени 3, N=6. Подробное изло-
жение проблемы имеется в книге К. С. Сибирского [58].
§ 5. Аналитическая классификация элементарных
особых точек в комплексной области
Настоящий параграф посвящен орбитальной аналитической
классификации ростков векторных полей в элементарной особой
точке, с резонансной линейной частью. Эта классификация име-
ет функциональные модули. Первым шагом является изучение
ростков одномерных отображений.
5.1. Ростки конформных отображений с тождественной ли-
нейной частью.
Определение. Два ростка f !и g конформных отобра-
жений (С, 0)->(С, 0), называются аналитически эквивалентны-
ми, если существует росток конформного отображения h:
(С, 0)->(С, 0), сопрягающий ростки fag: f=hogok~l.
Обозначим через Л2 пространство ростков f: (С, О)-*(С, 0)
вида
z*-+z-\-az*-\-..., а=^0.
Все ростки класса Л2 с одинаковой 3-струей формально эк-
вивалентны. Однако аналитически неэквивалентных ростков
гораздо больше. По каждому ростку класса Л2 можно постро-
ить класс ростков голоморфных функций (инвариант класси-
фикации); эти инварианты для двух формально эквивалент-
ных ростков совпадают, если и только если соответствующие
ростки аналитически эквивалентны. Опишем «пространство ин-
вариантов». Пусть 0 и оо — точки на сфере Римана. Инвариант
строится с помощью пар ростков конформных отображений
5
7—7712
97
<р=(<р+, ф_); ф+: (С, 0)->(С, 0), <р_: (СР, со)->(СР, оо),
<р+'(0) = 1.
Определение. Две пары <р и ф называются эквивалент-
ными, если существует линейное отображение Л: С->С такое,
что
<р о ф.
Инвариантом является класс эквивалентных пар.
Пространство таких классов называется пространством ин-
вариантов и обозначается через Л42.
Теорема ([21], [32], [88],[89], [97], [72]). 1. Инвариант.
Множеству аналитически эквивалентных ростков класса А2 од-
нозначно соответствует класс эквивалентных пар [<р] из М2
(функциональный инвариант).
2. Эквимодальность и эквивалентность. Два
формально эквивалентных ростка класса Л2 с одинаковым
функциональным инвариантом аналитически эквивалентны.
3. Реализация. Каждый класс пар [<р] из М2 реализует-
ся, как инвариант некоторого отображения класса Л2.
4. Аналитическая зависимость. Если росток клас-
са Л2 аналитически зависит от конечного числа комплексных
параметров, то соответствующий инвариант также аналитически
зависит от этих параметров (аналитическая зависимость класса
пар от параметра означает возможность выбрать по представи-
телю в каждом классе пар так, что получится аналитическое
семейство пар ростков). ▲
5.2. Классификация резонансных отображений и векторных
полей с нелинейностями общего положения. Рассмотрим мно-
жество ростков отображений (С, 0)->(С, 0) с резонансной ли-
нейной частью вида
v = exp(—2ni-yj, zgC, ,(2)
здесь и ниже р и q — взаимно простые натуральные числа. Ро-
сток имеет вид г>->-г-|-агз+1+ ... (здесь ft — итерация
f ° ... ° f(q раз)). Обозначим через Вд класс ростков f вида
(1), для которых в выражении для f9 a#=0:
Теорема (С. М. Воронин, Ю. С. Ильяшенко [32]; [99]).
Для ростков класса Вд справедлива теорема 5.1, в формулиров-
ке которой класс А2 заменен классом Вд.
Рассмотрим множество ростков векторных полей, называ-
емых седловыми резонансными:
‘»(z)=Az + /(z), A=diag(%i, Л2), /(0)=0,
<?//<?z(O)=o, л2/М== — piq, zee2. (3>
Существуют две и только две фазовые кривые уравнения z=
= v(z), голоморфно продолжаемые в точку 0; они касаются ко-
ординатных осей в нуле и по аналогии с вещественным случаем
98
называются сепаратрисами. Рассмотрим положительно ори-
ентированную, обходящую точку 0 петлю на сепаратрисе, каса-
ющейся в нуле оси Oz}. Этой петле соответствует преобразова-
ние монодромии Д,-: (С, 0)->(С, 0) (см. ниже § 1, гл. 6). Ока-
зывается, для поля v вида (3) росток At имеет вид (2). Обозна-
чим через Bq класс ростков седловых резонансных векторных
полей (3), для которых преобразование Д1 — класса Bq.
Определение.' Два ростка v и w голоморфных вектор-
ных полей называются формально орбитально эквивалентными;
если существует формальная замена Н и формальный ряд Т с
ненулевым свободным членом такие, что
Htv = Tw ° Н.
Замечание. В случае, когда ряды Н и Т сходящиеся, это»
равенство влечет орбитальную аналитическую эквивалентность
ростков v и w.
Теорема ([32], [99]). Для ростков класса 5, при p!q=£Ь
(то есть —Х2 в формуле (3)) справедлива теорема 5.1, в.
формулировке которой формальная и аналитическая эквива-
лентность заменена формальной и аналитической орбитальной,
эквивалентностью, а класс Bq — классом Bq.
5.3. Продолжение предыдущего: вырожденные элементар-
ные особые точки. Рассмотрим множество А ростков голо-
морфных векторных полей в вырожденной элементарной осо-
бой точке. Каждый такой росток имеет фазовую кривую, голо-,
•морфно продолжаемую в точку нуль; она касается собствен-'
ного вектора линейной части ростка с ненулевым собственным,
значением. Так же, как и выше, ей соответствует преобразова-
ние монодромии Д: (С, 0)->(С, 0). Оказывается, Д(г)= z-h
+az2+ ... Обозначим через А2 класс ростков, для которых пре-
образование Д — класса Л2. Пространство функциональных ин-
вариантов ростков класса А2 уже, чем Л2 (не все ростки из Л2
реализуются, как преобразования монодромии для ростков.-
класса Л2).
Обозначим через М+ подмножество классов из М2, состоя-,
щих из пар (ф+, <р_), для которых
ф.(2)=2+С
(это — росток голоморфного отображения (СР, оо)-»-(СР, оо)).
Теорема ([98]) .Для ростков класса А2 справедлива тео-
рема 5.1, в формулировке которой формальная эквивалент-
ность заменена на формальную орбитальную эквивалентность^
а классы Л2 и ЛГ2 — классами Л2 и Af+ соответственно.
Замечание. Теоремы последних двух разделов формули-
ровались для ростков с нелинейностями общего положения;-
аналогичные теоремы верны без всяких ограничений на нели-
нейности (нужно только, чтобы рассматриваемые ростки не
7» 99»
были формально или формально орбитально эквивалентны
линейным); излишне также ограничение —12, однако фор-
мулировки становятся более громоздкими.
5.4. Геометрия аналитических нормальных форм. Ростки пе-
речисленных выше классов А2, Л2, Bq, Bq (пп. 5.1—5.3) облада-
ют следующим общим свойством. Каждый из этих ростков име-
ет представителя, аналитически или орбитально аналитически
эквивалентного очень простой нормальной форме, но не в
окрестности особой точки 0, а в области, содержащей 0 на гра-
нице. Упомянутые нормальные формы для ростков векторных
полей класса Bq или А2 выписаны в таблице п. 2.1 (случаи 4 и
5), только нужно считать, что е=1, й=1, абС. Для всех изу-
чаемых ростков можно выбрать пару пересекающихся обла-
стей, покрывающих проколотую окрестность точки 0, в каждой
нз которых росток аналитически (орбитально аналитически)
эквивалентен одной и той же нормальной форме. Возможность
такого выбора обеспечивается теоремами о «секториальной
нормализации» 1[2Г], [94]. Однако сопрягающие голоморфизмы
в этих областях различны. В пересечении областей возникает
функция перехода — биголоморфное отображение, сохраняющее
нормальную форму ростка. Последнее требование очень жест-
ко; оно позволяет описать функцию перехода с помощью пары
ростков (<р+, <р_).
Этот набор — формальная или орбитальная формальная
нормальная форма; пара областей с нулем на гр*анице, в каж-
дой из которых росток уже приведен к упомянутой нормальной
форме, и, наконец, функция перехода — и образует аналитиче-
скую нормальную форму ростка. Зная этот набор, можно мно-
гое сказать о свойствах ростка. Именно на этом пути получены
[теоремы следующего раздела. Аналогичный подход может быть
использован в теории линейных систем с иррегулярной особой
точкой (§ 2, гл. 7).
5.5. Приложения. Функциональные инварианты ростков f, v
и т. д. обозначаются ц/, и т. д.
Теорема (![21], [89]). Росток отображения f класса А2 яв-
ляется n-й степенью ростка g класса А2 (операция — суперпо-
зиция), если и только если инвариант ц/ состоит из ростков
отображений, перестановочных с умножением на все корни
степени п из единицы.
Теорема ([21], [89]). Росток отображения f класса А2
включаем (то есть представим в виде сдвига за время единица
по фазовым кривым голоморфного векторного поля), если и
только если соответствующий функциональный инвариант три-
виален, то есть отображения <р_ и <р+ линейны.
Теорема ('[32]). Росток векторного поля класса Bq анали-
тически эквивалентен своей предварительной нормальной фор-
ме, если и только если соответствующий функциональный ин-
вариант тривиален.
100
Теорема ([98]). Росток v векторного поля класса Az име*
ет аналитическое центральное многообразие (фазовую кривую,
голоморфно продолжаемую в нуль и касающуюся ядра линей-,
Ной. части в нуле), если и только если р,„= (id, <р+).
5.6. Добавление об аналитических нормальных формах,
А. Д- Брюно и П. М. Елизаровым [60, с. 165, 144] анонсиро»
ваны теоремы об аналитических нормальных формах ростков
резонансных векторных полей, подобные теореме Пуанка-
ре—Дюлака.1) Эти теоремы описывают какие мономы тейло-
ровского разложения ростка векторного поля можно убить с
помощью аналитической замены координат. Полученная при
этом нормализованная нелинейность содержит так мало членов,
что два ростка с разными нормализованными нелинейностями
аналитически неэквивалентны.
§ 6. Орбитальная топологическая классификация
элементарных особых точек на комплексной плоскости
6.1. Нерезонансный случай. Росток векторного поля с нере-
зонансной линейной частью на комплексной плоскости либо
аналитически эквивалентен своей линейной части (соответ-
ствующие достаточные условия приведены в § 1 главы 4), либо
даже топологически ей неэквивалентен (В. А. Найшуль).
В первом случае орбитальная топологическая классификация
проста, во втором — почти не исследована.
6.2. Седловые резонансные векторные поля. Как указыва-
лось выше в п. 2.1, голоморфное седловое резонансное вектор-
ное зполе в особой точке на плоскости С2 формально орбиталь-
но эквивалентно полю
z(lH-a*+oK2*)^-+Awg^, к=— u^zp-w4, абС. (3)
Теорема Камачо и Сада ((С. Camacho, Р. Sad) [79]).
Числа р, q и k составляют полный набор топологических инва-
риантов ростка седлового резонансного векторного поля.
6.3. Вырожденные элементарные особые точки. Росток клас-
са А2 формально орбитально эквивалентен ростку
(z2-[-az3)^-+w^, абС, (4)
и имеет функциональный модуль вида (<р_, <р+), где <p+=id+c,
П. М. Елизаровым получена орбитальная топологическая
классификация ростков (4) при любых а, <р_, <р+, за исключе-
нием случая <p_=id, а — иррациональное число, аномально хо-
рошо приближаемое рациональными числами. В частности,
справедлива ’
*) См. также А. Д. Брюно, Докл. АН СССР, 1983, 263, вып. 4, 781—784.
101
* Теорема (П. М. Елизаров, 1983). Пусть росток класса I
Л2 имеет функциональный модуль (Ф_, Ф+), причем ф_=id. Пусть
число а в формуле (4) рационально: a=piq, и отображение
г;ь+уф+(2), v = exp(2nia) формально эквивалентно отображению
•2>-+v2:(l + zft+az2*). Тогда'числа р, q и k образуют полный на-
бор инвариантов орбитальной топологической классификации
ростков, для которых Ф_=1б и a6Q. ▲
Заметим, что число k связано с модулем аналитической
классификации исходного ростка, а не с его формальной орби-
тальной нормальной формой, и не может быть вычислено ни
по какой конечной струе ростка v.
Глава 6
циклы
Эта глава посвящена (предельным) циклам дифференциаль-
ных уравнений в вещественной и комплексной области, а также
общим свойствам полиномиальных дифференциальных уравне-
ний на комплексной плоскости.
§ 1. Преобразование монодромии
Здесь определяется преобразование монодромии, связыва-
ющее циклы дифференциальных уравнений в комплексной об-
ласти с голоморфными отображениями трансверсалей к ним.
1.1. Определения. Фазовая кривая голоморфного векторного
поля — это связное одномерное комплексное многообразие
(имеющее вещественную размерность 2). Фазовое простран-
ство уравнения в окрестности неособой точки расслоено на фа-
’зовые кривые. В целом же фазовые кривые образуют, вообще
’говоря, не расслоение, а лишь слоение.
Слоение с A-мерными листами на n-мерном многообразии —
это разбиение на ^-мерные гладкие вложенные многообразия
(листы слоения) такое, что разбиение некоторой окрестности
даждой точки многообразия на связные компоненты пересече-
ния листов с окрестностью выпрямляемо (диффеоморфно раз-
биению «-мерного куба на плоскости, параллельные ^-мерной
играни).
Слоение называется голоморфным, если многообразие, лис-
ты и выпрямления голоморфные.
Замкнутому пути на листе слоения отвечает росток отобра-
жения трансверсали к листу в исходной точке в себя, называе-
мый мЬнодромией пути. Определяется монодромия так. Вы-
прямление слоения в1 окрестности точки пути определяет диф-
102
1
феоморфизм локальных трансверсалей в точках пути, покрытых
этой окрестностью, переводящий точку листа в точку того же
листа. Переходя от начальной точки пути к конечной по после-
довательности покрывающих путь окрестностей, получаем диф-
феоморфизм локальной трансверсали в исходной точке пути в
себя, переводящий точку каждого листа в точку того же листа
и начальную точку в себя.
Монодромия не зависит от выбора трансверсали: определен-
ные на разных трансверсалях преобразования сопряжены (пе-
реводятся друг в друга диффеоморфизмом трансверсалей).
В сущности, монодромия — отображение в себя локального
многообразия листов вблизи исходной точки пути, и при ее
определении трансверсаль можно было бы не упоминать.
Монодромия пути не меняется при замене пути гомотоп-
ным ему на том же листе путем.
Возникающее представление фундаментальной группы листа
в группу ростков диффеоморфизмов трансверсали называется
группой монодромии (или группой голономии) слоения.
Группа монодромии голоморфного слоения состоит из рост-
ков голоморфных отображений (в смысле естественной комп-
лексной структуры на локальной трансверсали, то есть на ло-
кальном многообразии листов).
При замене исходной точки замкнутого пути на листе дру-
гой точкой того же пути получается преобразование монодро-
мии, сопряженное исходному. Поэтому преобразование моно-
дромии, с точностью до сопряжения, определяется классом сво-
бодной гомотопии замкнутых путей на листе.1’
Определение. Комплексным циклом голоморфного век-
торного поля называется класс свободной гомотопии замкнутых
путей на его фазовой кривой.
Преобразованием монодромии комплексного цикла назы-
вается соответствующее циклу преобразование монодромии сло-
ения на фазовые кривые. Это росток отображения трансверсали
к фазовой кривой в себя. Монодромия комплексного цикла го-
ломорфна и не зависит от выбора трансверсали, начальной точ-
ки и от представителя класса свободной гомотопии путей
(с точностью до биголоморфных сопряжений).
1.2. Реализация. Всякий росток С00-диффеоморфизма (Rn-1,
0)->-(Rn-1,0) может быть, реализован как преобразование мо-
нодромии замкнутой фазовой кривой гладкого векторного поля
на вещественном n-мерном многообразии (но не в Rn; при-
мер — преобразование х1-*—х, x6R).
Теорема ( [34 : 6]). Любой росток аналитического диффео-
морфизма (Сп“1, 0)-*'(С”-1, 0) может‘быть реализован, как
преобразование монодромии, соответствующее комплексному
1> Два замкнутых пути на листе называются свободно гомотопными, если
соответствующие отображения окружности в лист гомотопны.
103
циклу голоморфного векторного поля, заданного в подобласти
пространства Сп.
Доказательство использует результат Сью (Y. Т, Sue, In-
vent. math., 1976, 38, № 1, 89—100): штейново подмногообразие
аналитического многообразия имеет окрестность, также являю-
щуюся многообразием Штейна.
§ 2. Локальная теория диффеоморфизмов
Локальные теории диффеоморфизмов и дифференциальных
уравнений почти идентичны. В этом параграфе дается краткий
обзор первой из упомянутых теорий.
2.1. Линейные нормальные формы. В этом пункте обсуждает-
ся аналитическая, гладкая и топологическая эквивалентность
ростка диффеоморфизма в неподвижной точке своей линейной
части.
Определение. Набор 1= (Л1.........А„)6СП называется
мультипликативно резонансным, если существует целочислен-
ный вектор ш= (mi,..., тп) с неотрицательными компонента-
ми, сумма которых не меньше двух, такой, что для некоторого
/е{1,..., п} выполняется равенство
здесь ... кп п.
Определение. Набор Х6СП принадлежит области Пуан-
каре, если модули чисел набора все меньше единицы или все
больше единицы. Дополнение к области Пуанкаре составляет
область Зигеля.
Теорема. Для почти всех (в смысле меры Лебега) набо-
ров собственных чисел линейной части ростка голоморфного
диффеоморфизма в неподвижной точке росток биголоморфно
эквивалентен своей линейной части (превращается в свою ли-
нейную часть биголоморфной заменой координат в окрестности
неподвижной точки).
Точнее, справедливы следующие теоремы.
1 Теорема Пуанкаре. Росток аналитического диффео-
морфизма в неподвижной точке, спектр линейной части которо-
го принадлежит области Пуанкаре и мультипликативно нерезо-
нансен, биголоморфно эквивалентен своей линейной части.
Определение. Набор %6СП называется набором мульти-
пликативного типа (С, v), если для всех ;G{l,...,n},
6Z+ : |/п|=2т,^2 выполняются неравенства
Теорема Зигеля. Росток аналитического диффеомор-
физма в неподвижной точке, спектр линейной части которого
имеет мультипликативный тип (С, v) для некоторых положи-
104
тельных С и у, биголоморфно эквивалентен своей линейной
части.
Арифметические условия на 1 в теореме Зигеля можно ос-
лабить [18:31]. Аналитические и геометрические теоремы о
расходимости формальных замен, приводящих аналитический
диффеоморфизм к линейной нормальной форме, в случае па-
тологической близости набора А счетному числу резонансов
[34:6] аналогичны сформулированным в § 1 главы 4 теоремам
о векторных полях.
Гладкая теория не налагает таких арифметических требова-
ний на спектр линейной части.
Теорема Стернберга (S. Sternberg). Росток гладко-
го диффеоморфизма в неподвижной точке пространства Rn,
спектр линейной части которого мультипликативно нерезонан-
сен, гладко эквивалентен ростку своей линеаризации в непод-
вижной точке.
Замечание. Вещественно линейный невырожденный опе-
ратор, спектр которого мультипликативно нерезонансен, не име-
ет собственных значений, по модулю равных 1. Тем самым, не-
подвижная точка в теореме Стернберга гиперболическая в
смысле следующего определения.
Определение. Неподвижная точка диффеоморфизма на-
зывается гиперболической, если ни одно из собственных значе-
ний линейной части диффеоморфизма в этой точке не равно по
модулю единице.
Топологическая теория не требует отсутствия резонансов.
Теорема Гробмана-Хартмана ([67]). Росток С1-
гладкого диффеоморфизма в гиперболической неподвижной точ-
ке топологически эквивалентен своей линейной части.
Отображения общего положения гиперболичны и нерезо-
нансны.
2.2. Резонансный случай. В резонансном случае формальная
нормальная форма ростков диффеоморфизмов дается формули-
руемой ниже теоремой Пуанкаре—Дюлака.
Определение. Пусть ......zn— координаты, в которых
матрица линейной части ростка диффеоморфизма в неподвиж-
ной точке имеет жорданову нормальную форму; Zj соответствует
собственному значению А3- (числа Aj необязательно различны).
Одночлен z^d/dz^ называется мультипликативно резонансным
членом, если выполнено резонансное соотношение А3-=Ат.
Теорема Пуанкаре—Дюлака. Формальное отобра-
жение с резонансной линейной частью формально эквивалент-
но такому отображению, линейная часть которого имеет жор-
данову нормальную форму, а нелинейная часть содержит толь-
ко мультипликативно резонансные члены.
В случае, когда спектр линейной части ростка аналитичес-
кого диффеоморфизма в неподвижной точке принадлежит об-
ласти Пуанкаре, росток всегда аналитически эквивалентен сво-
105
ей формальной нормальной форме, описанной в теореме Пуан-
каре—Дюлака.
Формальные ряды, приводящие росток диффеоморфизма из
области Зигеля с резонансной линейной частью к нормальной
форме Пуанкаре—Дюлака, за редкими исключениями расхо-
дятся (теорема А. Д. Брюно [18:31]). В гладком случае
справедлива
Теорема Ченя ([67]). Если два ростка диффеоморфиз-
ма в гиперболической неподвижной точке формально эквива-
лентны, то они гладко эквивалентны.
2.3. Инвариантные многообразия ростков диффеоморфизмов.
Для отображений справедливы: теорема Адам^ара—Перрона,
теорема о центральном многообразии и принцип сведения Шо-
шитайшвили (см. § 4, гл. 3).
Пусть f — диффеоморфизм. Напомним, что через f’, q>0,
обозначается итерация f ° [ °... of (q раз), f~q=(fq)~'1, рас-
сматриваемая там, где она определена.
Определение. Траектория точки р под действием диф-
феоморфизма f—это множество точек fq(p), рассматриваемых
для всех q, для которых эти точки определены.
Рассмотрим невырожденный линейный оператор A: Rn->Rn.
Пространство Rn разлагается в прямую сумму трех' инвариант-
ных подпространств:
R>=Ts©Ta®Tc
(буквы s, и и с обозначают stable, unstable и centre соответ-
ственно, как и в § 4, гл. 3). Это разложение определяется сле-
дующим требованием: спектр ограничения А |г$ (соответственно
А |га, А|гс) лежит внутри (соответственно вне или на) единичной
окружности. Устойчивое инвариантное многообразие ростка
диффеоморфизма Ах +... касается плоскости Ts в нуле,
неустойчивое—Ти, а центральное—плоскости Тс. Теоремы § 4
главы 3 переносятся на отображения, если в их формулировке
векторные поля и дифференциальные уравнения заменить диф-
феоморфизмами, решения — траекториями диффеоморфизмов,
непрерывное время сделать дискретным (заменить t на q).
Роль стандартного седла в дискретном случае играет отобра-
жение
(х, у, и, и)1-* (2х, —2у, и/2, —о/2),
где х, у, и, v — точки четырех подпространств, для' которых
прямая сумма первых двух равна Ти, а двух других Г».
2.4. Инвариантные многообразия цикла. Рассмотрим перио-
дическое решение дифференциального уравнения и фиксируем
некоторую окрестность U соответствующей замкнутой фазовой
кривой у в фазовом пространстве. Пусть Д — соответствующее
этому циклу преобразование монодромии, W8, Wu и Wc—
устойчивое, неустойчивое и центральное многообразия ростка
106
отображения А в неподвижной точке, соответствующей циклу.
Рассмотрим объединение всех дуг фазовых кривых с началом
на W3, каждая дуга рассматривается на максимальном интер-
вале времени, в течение которого она не выходит за пределы
окрестности U. Окрестность U можно выбрать так, что это
объединение образует многообразие, называемое устойчивым
многообразием цикла у. Это многообразие инвариантно отно-
сительно исходного уравнения, и все решения на нем экспонен-
циально приближаются к у при £-> +оо. Аналогично опреде-
ляется неустойчивое многообразие цикла у; оно состоит из дуг
фазовых кривых, экспоненциально приближающихся к у при
—оо. Аналогично определяется и центральное многообразие
цикла у; поведение фазовых кривых на нем зависит не только
ют линейных, но и от нелинейных членов преобразования мо-
нодромии.
Если неподвижная точка ростка преобразования монодро-
.мии Д гиперболическая, то и цикл у называется гиперболичес-
ким. Все циклы уравнения общего положения гиперболические.
Теоремы об инвариантных многообразиях в окрестности
замкнутых фазовых кривых аналитических векторных полей
анонсированы А. Д. Брюно [18:42]. В силу теоремы п. 1.2,
юни переносятся на локальную теорию аналитических диффео-
морфизмов.
2.5. Раздутия. Укажем в заключение один класс ростков
диффеоморфизмов, проблема топологической классификации
которых алгебраически разрешима до вырождений лд)бой ко-
нечной коразмерности. Речь идет о некотором классе ростков*
диффеоморфизмов плоскости в неподвижной точке, для которо-
го проблема одновременно нетривиальна и разрешима. Пере-
числим сначала классы ростков, для которых проблема три-
виальна.
Ростки с гиперболической особой точкой исследуются тео-
ремой Гробмана—Хартмана. Ростки, линейная часть кото-
рых — поворот на угол, не соизмеримый с 2л, являются сжима-
ющими или растягивающими, за исключением множества вы-
рожденных ростков коразмерности бесконечность (в это множе-
ство попадают, впрочем, такие важные классы, как конформ-
ные и сохраняющие площадь отображения, линейная часть ко-
торых в неподвижной точке’ — поворот).
Остаются ростки, линейная часть которых а) поворот на
угол, соизмеримый с 2л, (некоторая степень (итерация) такого
ростка имеет тождественную линейную часть); б) унипотентная
жорданова клетка (oi)•
Определение. Пусть f — диффеоморфизм окрестности
нуля на вещественной плоскости с неподвижной точкой нуль и
с унипотентной (может быть тождественной) линейной частью.
Траектория точки р под действием f называется характеристи-
ка
•Э
ческой, если она входит в точку 0 с определенной касательной. 5
Это значит, что точки /4(р) определены при всех или
з^О, limf’(p)=0 (при q->+<x> или q-^>—оо), и расстояние от I
f>(p) до некоторой прямой I — величина более высокого поряд- I
ка малости, чем> расстояние от f’(p) до нуля. Росток диффео- |
морфизма в неподвижной точке имеет характеристическую тра- 1
екторию, если какой-либо его представитель ее имеет.
Наличие характеристической траектории у ростка диффео-
морфизма, линейная часть которого унипотентна, устанавли-
вается по конечной струе ростка. Топологический тип ростка с
характеристической траекторией определяется с помощью ко-
нечного числа алгебраических действий по конечной струе ме-
тодом разрешения особенностей [86].
§ 3. Уравнения с периодической правой частью
В этом параграфе рассматриваются уравнения с периоди-
ческой правой частью в окрестности постоянного решения, а
именно, уравнения вида
х), тф,0)=0, ‘о(<4-2л, x)=v(t, jc), (I)
х принадлежит окрестности нуля в пространстве V, V = R" или
V=C", t вещественно. Будем считать, что t пробегает окруж-
ность S’ = R/2nZ. Выбор нового времени т и добавление урав-
. нения /=1 (точка — это djdx) превращает исходную систему
в автономную:
x=v(t, х), / = 1, ®(f, 0)=0, t^S1.
Преобразование монодромии полученного автономного уравне-
ния, соответствующее замкнутой фазовой кривой х=0, назы-
вается преобразованием монодромии исходного периодического-
уравнения. Это построение вместе с теоремой о реализации из
§ 1 сводит теорию периодических уравнений к локальной тео-
рии диффеоморфизмов: все эффекты, наблюдаемые в одной
теории, наблюдаются и в другой. Однако вычисление асимп-
тотики преобразования монодромии, как правило, невозможно
без приведения периодического дифференциального уравнения
к нормальной форме. Начнем с изучения линейного случая.
3.1. Нормальная форма линейного уравнения с периодиче-
скими коэффициентами. Рассмотрим уравнение
x=A(t)x, A(i+2a)=A(t), хбСв.
Преобразование монодромии такого уравнения — невырожден-
ный линейный оператор С: С"->-Сп, называемый оператором,
монодромии.
108
Теорема Флоке (G. Floquet). Существует линейная по х
и 2л-периодическая по t замена x=B(t)y, которая переводит
•исходное линейное уравнение в уравнение с постоянными коэф-
фициентами у=Ау, причем С=ехр(2лЛ).
Замечание. Линейное периодическое по t уравнение с
вещественным фазовым пространством может быть приведено
к уравнению с постоянными коэффициентами вещественной ли-
нейной заменой x=B(t)y лишь с вдвое большим периодом по
I, чем правая часть. Причина: невырожденный линейный опе-
ратор имеет комплексный логарифм, вещественный же — не
всегда, но его квадрат имеет вещественный логарифм.
В силу теоремы Флоке, можно добиться заменой перемен-
ных того, что линейная (по х при х=0) часть уравнения (1)
автономна; собственные числа оператора полученного автоном-
ного уравнения называется собственными числами или спектром
периодического уравнения.
3.2. Линейные нормальные формы. Область Пуанкаре для
периодического дифференциального уравнения х=Лх+ ...
определяется условием: все собственные числа линеаризованно-
го уравнения лежат в полуплоскости ReA,<0 (Rel>0).
Определение. Набор 1бСп собственных чисел оператора
Л резонансен для 2п-периодического уравнения х=Лх+ ...,
если выполнено соотношение
m)+ik, mGZ+n, |m|=Sm3^2, keZ,
Теорема Пуанкаре. Периодическое дифференциальное
уравнение, спектр линейной части которого лежит в области
Пуанкаре и не резонансен, приводится в окрестности нулевого
решения к автоно'мной линейной нормальной форме х=Ах би-
голоморфным 2л-периодическим по t преобразованием.
Теорема (![18 : 31]). Биголоморфное приведение к авто-
номной линейной нормальной форме существует для всех урав-
нений, спектр линейной части которых принадлежит некоторому
множеству полной лебеговой меры в пространстве Сп (а именно
множеству таких %, для каждого из которых существуют поло-
жительные С и <т такие, что
|Xj—(Л, tn)— ik\>C- (|m| + |fe|)-’
для всех mGZ+n, feGZ, ’ | m | ^2)., .
3.3. Резонансные нормальные формы. Пусть линейный опе-
ратор Л имеет жорданову нормальную форму, z= (гь ..., гп) —
координаты в жордановом баз’исе; z} соответствует собствен-
ному значению К}. Одночлен Zmeihtdldz} называется резонанс-
ным членом, если выполнено соотношение
Х,= (к, m)+ik.
В резонансном случае периодическое дифференциальное
уравнение с помощью замены, формальной по х и периоди-
109
ческой по t, приводится к виду
y=Jy+w(t, у),
где матрица I имеет жорданову нормальную форму, aw —
формальный ряд Фурье по t и Тейлора по у, состоящий из од-
них резонансных членов.
В локальной теории автономных дифференциальных урав-
нений и диффеоморфизмов любое конечное число членов нор-
мальной формы Пуанкаре—Дюлака вычисляется с помощью^
конечного числа алгебраических действий. Для периодических
дифференциальных уравнений уже вычисление оператора моно-
дромии линеаризованной системы требует решения линейной
системы с периодическими коэффициентами в Rn; при п>1
решение такого уравнения, как правило, не может быть най-
дено с помощью квадратур (см. § 3, гл. 7).
§ 4. Предельные циклы полиномиальных
векторных полей на плоскости
Неизвестно, конечно ли число предельных циклов всякого*
полиномиального векторного поля на вещественной плоскости-
В доказательстве конечности, предложенном Дюлаком [25],
имеется не заполненный пробел [32].
4.1. Проблема конечности и сложные циклы. Пуанкаре-
(Н. Рошсагё) свел проблему конечности к исследованию
окрестности так называемого сложного цикла.
Опредление. Сложным циклом векторного поля на-
зывается объединение конечного числа особых точек и нето-
чечных фазовых кривых этого поля, причем множество особых
точек непусто; решения, соответствующие неточечным фазовым
кривым, стремятся к особым точкам при t-^+co и —оо;.
сложный цикл связен и не может быть стянут по себе ни в ка-
кое свое собственное подмножество.
Замечание. Сложные циклы могут состоять из одной
точки. Сложные' циклы часто возникают из особых точек при
разрешении особенностей. Примеры сложных циклов изобра-
жены на рис. 20.
Рис. 20. Сложный цикл:
а) допускающий и б) не допускающий преобразования монодромии.
ПО
Проблема конечности равносильна следующей:
Может ли счетное число предельных циклов полиномиаль-
ного векторного поля накапливаться к сложному циклу этого
поля?
Предполагаемый ответ — отрицательный, причем не только,
для полиномиальных, но и для аналитических векторных полей.
4.2. Преобразование монодромии сложного цикла. Преобра-
зование монодромии для сложного цикла определяется так
же, как для замкнутой фазовой кривой, только вместо транс-
версали берется полутрансверсаль — гомеоморфный образ
полуинтервала с вершиной на цикле (рис. 20а). Полутранс-
версаль трансверсальна векторному полю в своих внутренних
точках. Не всякий сложный цикл допускает преобразование
монодромии (рис. 206).
Если полутрансверсаль принадлежит аналитической кривой,,
трансверсальной к сложному циклу, то во внутренних точках
этой полутрансверсали преобразование монодромии аналитично;,
однако оно может не продолжаться даже (^-гладко в окрест-
ность вершины. Это связано с природой преобразования моно-
дромии, которое зачастую принадлежит классу «полурегуляр-
ных отображений», введенных Дюлаком.
Определение. Росток отображения f: (R+, 0)->(R+, 0)
называется полурегулярным, если для любого достаточно боль-'
шого натурального N существует такое k, что
k
f (х) = СХv° + 2 Pj 0n •*) xV/ + ° (xN) >
1
где c>0, 0-<v0<vi<; ... <vk^.N, P} — многочлены. Представи-
тель полурегулярного ростка называется полурегулярным.
отображением.
Определение. Росток отображения в точке называется
плоским, если все его производные в ней равны нулю.
Теорема Дюлака ([25]). Полутрансверсаль к сложному
циклу полиномиального векторного поля, допускающему пре-
образование .монодромии, может быть выбрана так, что преоб-
разование монодромии либо плоско, либо обратно плоскому,,
либо полурегулярно.
Обобщение ([32]). Утверждение теоремы Дюлака верно-
для гладких векторных полей, все особые точки которых удов-
летворяют условию Лоясевича. -
Если к сложному циклу векторного поля, удовлетворяюще-
го условию Лоясевича в особых точках, накапливаются замкну-
тые фазовые кривые, то этот сложный цикл допускает преобра-
зование монодромии, а. предельному циклу, расположенному
вблизи сложного цикла, соответствует изолированная неподвиж-
ная точка преобразования монодромии.
Дюлак выводит из своей теоремы существование окрестно-
111
сти сложного цикла, свободной от предельных циклов, при по-
мощи леммы:
Полурегулярное отображение либо тождественно, либо име-
ет изолированную неподвижную точку нуль.
Контрпример: f=x+e-1/xsin(l/x).
Существует аналитическое векторное поле, имеющее слож-
ный цикл, преобразование монодромии которого — тождествен-
ное плюс ненулевой плоский добавок [33].
4.3. Открытые вопросы.
I. Верно ли, что полиномиальное векторное поле на вещест-
венной плоскости имеет лишь конечное число предельных цик-
лов?
II. Верно ли, что особая точка аналитического векторного
поля без характеристических траекторий всегда либо центр,
либо фокус?
Предполагаемые ответы — утвердительные. Утвердитель-
ный ответ на второй вопрос следует из утвердительного ответа
на первый. Второй вопрос выделен, чтобы подчеркнуть, что
положительно решающая его «теорема», широко распростра-
ненная в математической литературе и фольклоре, не доказана.
III. Гипотеза. Для каждого п существует такое N, что
уравнение с полиномиальной правой частью степени п на'пло-
скости не может иметь: а) комплексного предельного цикла,
кратность которого превышает N [95]; б) больше N вещест-
венных предельных циклов (вопрос Гильберта в его 16-й про-
(блеме, не решенный уже при п = 2).
4.4. Одна теорема конечности. При дополнительных ограни-
чениях на векторное поле конечность доказана.
Теорема ([33]). Полиномиальное векторное поле с невы-
рожденными особыми точками на вещественной плоскости
^включая бесконечно удаленные)0 имеет конечное число пре-
дельных циклов.
Полиномиальное поле на плоскости можно заменить здесь
аналитическим векторным полем на замкнутой двумерной по-
верхности.
4.5. Метод доказательства теоремы Дюлака и ее обобщения.
Определение. Сложный цикл называется элементарным,
если все особые точки на нем — элементарные.
Шаг I. Сложный цикл в обобщенной теореме Дюлака за-
меняется элементарным. Это делается с помощью хорошего
раздутия неэлементарных особых точек, существующего по тео-
реме Бендиксона—Дюмортье (§ 1, гл. 5).
Шаг II. Преобразование монодромии элементарного слож-
ного цикла разлагается в суперпозицию определяемых ниже
отображений соответствия.
Отображение соответствия для гиперболического сектора
*> Определение дано ниже в п. 6.1.
112
1
Рис. 21. Отображе-
ние соответствия ги-
перболического секто-
особой точки векторного поля на плоскости — это отображение
вдоль фазовых кривых полутрансверсали, через которую фа-
зовые кривые входят в сектор, на полутрансверсаль, через ко-
торую фазовые кривые выходят из сектора
(рис. 21); вершина полутрансверсали, по
определению, переходит в вершину.
Если элементарный сложный цикл — не-
одноточечный и допускает преобразование
монодромии, то все особые точки на нем
принадлежат классам 1, 4 и 5 из таблицы
п. 2.1 главы 5. Из классификационной тео-
ремы пп. 2.1 и 2.2 главы 5 вытекает
Следствие. Отображение соответст-
вия для гиперболического сектора гладкого
векторного поля на вещественной плоско-
сти с особой точкой, удовлетворяющей
условию Лоясевича, полурегулярно, когда
особая точка невырождена, и имеет вид ехр(—1/ft) или й(—1/
/1п х), когда особая точка вырождена; здесь h — полурегуляр-
ное отображение.
Классификационная теорема сводит доказательство этого
утверждения к случаю, когда векторное поле имеет нормальную
форму, указанную в таблице. В этом случае отображение соот-
ветствия легко вычисляется.
Шаг III. Доказывается, что суперпозиции отображений со-
ответствия, перечисленных в предыдущем следствии, принад-
лежат одному из классов, названных в теореме Дюлака (рост-
ки полурегулярных отображений образуют группу).
4.6. Полиномиальные векторные поля второй степени. Хотя
конечность числа циклов и здесь не доказана, получена неко-
торая информация о форме и расположении предельных циклов
[81 :3]. Например, они всегда выпуклы и каждый из них окру-
жает лишь одну особую точку. Построены квадратичные поля
с четырьмя предельными циклами' [80], [107]. Доказано, что
никакой круг на плоскости R2 не содержит счетного числа пре-
дельных циклов квадратичного векторного поля [81].
§ 5. Предельные циклы систем,
близких к гамильтоновым
В этом параграфе рассматриваются возмущения гамильто-
новых систем на вещественной и комплексной плоскости.
5.1. Рождение вещественных предельных циклов. Пусть век-
торное поле на вещественной плоскости имеет семейство зам-
кнутых фазовых кривых, зависящих от параметра. При возму-
щении такого (в высшей степени вырожденного) поля возни-
8—7712
1В
5
кает, вообще говоря, поле с изолированными невырожденными
циклами.
Пример. Малое возмущение гамильтонова поля:
х=^^--т^А(х,у, е), у= —^-+еВ(х, у, е).
Определение. Цикл у (с), лежащий на линии уровня
Н=с, называется порождающим, если возмущенное урав-
нение имеет при малых |е| непрерывно зависящий от е цикл,
стремящийся к у(с) при е->-0.
Определение. Вариацией (монодромии) называется
функция /(с) = $ (Bdx—Ady) (интеграл по у(с) при 8=0).
Теорема ([52]). Если цикл у (с) порождающий, то /(с)=0.
Обратно, если с — простой нуль вариации, то цикл у (с) —по-
рождающий, и порожденный им цикл возмущенной системы при
малых | е| невырожден и гладко зависит от е.
Доказательство основано на том, что / есть производная
приращения Н вдоль витка фазовой кривой по е при 8 = 0.
5.2. Рождение комплексных циклов. В комплексном случае
рассматривается семейство уравнений ©8 = 0. 1-форма ©8 на
двумерном комплексном многообразии предполагается голо-
морфной и голоморфно зависящей от комплексного (малого)
одномерного параметра е. Невозмущенная форма (отвечающая
е=0) предполагается точной: (>)o=dH, где Яголоморфная
функция. Пусть уравнение ©о=О имеет семейство неодносвяз-
ных интегральных кривых. Роль у (с) играет комплексный цикл,
представленный замкнутым путем на неодносвязной интеграль-
ной кривой формы ©о, путь непрерывно (а кривая голоморфно)
зависит от комплексного параметра 8.
Вариация /—голоморфная функция от с: /(с) = $ ®,
Y(c)
d(O I
©=-^1 о- Так определенную функцию / называют абелевым
интегралом, зависящим от параметра.
Теорема ([50], [27 : 2]). Если комплексный цикл у (с) по-
рождающий, то /(с)=0. Изолированные нули / определяют
порождающие комплексные циклы; порожденные ими циклы
при малых |е| невырождены и голоморфно зависят от е при
8#=0.
Циклы, соответствующие простым нулям I, голоморфно за-
висят ОТ 8 И при 8 = 0.»
5.3. Исследование вариации. В алгебраической . ситуации
проверка изолированности нулей вариации облегчается.
Определение. Многочлен степени п+1 от двух комп-
лексных переменных называется правильным если он имеет п2
критических точек с различными критическими значениями и
114
линии уровня его имеют п+1 различных асимптотических, на-
правлений. •
Многочлен общего положения правилен; критические точки
правильного многочлена невырождены.
В окрестности невырожденной критической точки многочлен:
биголоморфной заменой координат приводится к нормальной
форме /7=x2+y2+const. Исчезающим в критической точке цик-
лом называется цикл на неособой линии уровня функции Н, за-
дающийся в указанной системе координат вещественной окруж-
ностью х2+у2=с, если с вещественно, и окружностью x-\-iy=‘
х—iy=^ce~i,f, <рб[0, 2л], (х, у) б С2, если с комплексно.
Исчезающий цикл на линии уровня Н=с обозначается через;
б (с) (этот цикл определен для с, близких к рассматриваемому
критическому значению, и исчезает, стягиваясь в критическую*
точку, когда с стремится к этому критическому значению функ-
ции Н).
Теорема ('[27]). Пусть Н — правильный многочлен степе-
ни п+1 и (о—1-форма на плоскости с полиномиальными коэф-
фициентами степени не выше п. Если
/(с)=£<о (2>
0(c)
— тождественный нуль (как функция от с), то форма со точна.
Замечание. Итак, в условиях теоремы возмущение се-
мейства линий уровня функции Н, заданное уравнением dH+
+®(о = О, определяет тождественно нулевую вариацию монодро-
мии только в том очевидном случае, когда возмущенные ин-
тегральные кривые — алгебраические, а именно — линии уровня:
близкого к Н многочлена той же степени, что и Н.
5.4. Ослабленная проблема Гильберта. Гильберт в 16-й про-
блеме высказал гипотезу, что число предельных циклов поли-
номиального векторного поля на вещественной плоскости огра-
ничено зависящей лишь от степени поля величиной.
Из гипотезы Гильберта следует ограниченность числа по-
рождающих циклов для полиномиальных возмущений полино-
миальных гамильтоновых полей. В отличие от гипотезы Гиль-
берта, это ее ослабление доказано.
Теорема Варченко ([20]). Существует У(п, т) такое,,
что для любого вещественного многочлена степени п от двух
переменных, для любого непрерывного семейства замкнутых,
связных компонент его линий уровня -у(с) и для любой поли-
номиальной 1-формы (о с компонентами степени не выше т
интеграл со по у(с) либо тождественно по с равен нулю, либо-
имеет не более N(n, т) вещественных нулей (с учетом крат-
ностей) .
Замечания. 1. Конечность числа рождающихся предель-
ных циклов не доказана даже для полиномиальных возмущений
8* П5-
полиномиальных гамильтоновых систем. Дело в том, что пре- ’
дельные циклы могут рождаться не только из замкнутых фазо-
вых кривых, но и вблизи сложных циклов, образованных се-
паратрисами гамильтонова уравнения.
2) В [20], ’[69] можно найти обобщения теоремы на много-
мерный и на комплексный случаи, но доказательства принципи-
ально не дают никакой явной оценки числа N.
5.5. Специальные случаи. Описанные ниже специальные ин-
тегралы возникают при применении теоремы 5.1 к стандартным
уравнениям теории бифуркаций общих динамических систем.
В этих специальных случаях число нулей вариации обычно ока-
зывается равным минимально возможному по соображениям
размерности (своеобразная неколеблемость соответствующего
линейного дифференциального уравнения Пикара—Фукса).
Пример 1. Действительное n-мерное пространство назовем
чебышевским, если ненулевые функции пространства имеют ме-
нее п нулей с учетом кратности.
Обозначим через пространство всех полиномиальных
1-форм вида
ю=Л(х, y)dx+B(x, y)dy,
где А и В — вещественные многочлены степени не выше т.
Теорема (Г. С. Петров, 1984). Пространство интегралов
(2) по исчезающим циклам многочлена Я от форм яв-
ляется чебышевским при любом т. Здесь Н=у2—х3+Зх, исче-
зающие циклы соответствуют интервалу между двумя критиче-
скими значениями: |с|<2. Тем же свойством обладает прост-
ранство функций, полученных аналитическим продолжением
списанных интегралов с интервала |с|<2 в открытую верхнюю
Хили нижнюю) полуплоскость, объединенную с интервалом
|с|<2. Аналогичное утверждение верно для интегралов по ис-
чезающим циклам гамильтонианов Н—у2+хг±х*, Н=у2—хг+
Н-х4 и Н=х3+у3+Хху. А
Доказательства используют явный вид уравнений Пикара—
Фукса для исследуемых интегралов и теорию малочленов
Ц69].
Пример 2. Алгебро-геометрические методы исследования
йулей интегралов, возникающих в теории потери устойчивости
автоколебаний, описаны в [8] (см. указанную там литерату-
ру)-
Пример 3. Исследование потери устойчивости автоколеба-
ний с двумя парами чисто мнимых собственных значений0
упирается в оценку числа нулей интеграла
° А также исследование бифуркаций циклов в обобщенной теории мо-
дели Лотка—Вольтерра (в этой модели рассматриваются векторные поля на
плоскости, касающиеся координатных осей).
116
/(с)=<£ » <i>x=^ydx—axdy, ®2=ху (xdy—ydx)
j XyZ
по замкнутой компоненте линии уровня Н=с функции Н(х, у) =?
=xayfiz'1 в треугольнике х>0, z/>0, z>0, где z=l—х—у, сф=з
= 1, а>0, у>0 (предполагаемое число нулей — один).
§ 6. Полиноминальные дифференциальные уравнения
на комплексной плоскости
Голоморфные векторные поля на комплексной проективной
плоскости исчерпываются полями алгебры Ли проективной
группы, линейными в однородных координатах. Другие поля
направлений с конечным числом особых точек также оказы-
ваются алгебраическими. Они структурно неустойчивы.
6.1. Допустимые поля.
Определение. Допустимым полем направлений на
комплексном многообразий называется поле прямых, голо-
морфное на дополнении к аналитическому подмножеству комп-
лексной коразмерности не меньше 2. Поле направлений полино-
миального векторного поля в С2 продолжается до допустимого
поля направлений в СР2.
Теорема ([29]). Допустимое поле направлений на комп-
лексной проективной плоскости (а также на комплексном про-
ективном пространстве произвольной размерности) в любой аф-
финной окрестности порождается полиномиальным векторным
полем.
Два допустимых поля на комплексном, многообразии называв
ются топологически (аналитически) эквивалентными, если су-
ществует гомеоморфизм (бигбломорфизм) многообразия на себя,*
переводящий интегральные кривые одного поля в интегральные,
кривые другого.
Пусть — конечно-параметрическое семейство допустимых1
полей направлений на СР2. Говорят, что свойством А обладает
типичное поле класса «я£, если множество значений параметров,
которым соответствуют не обладающие этим свойством поля,
имеет нулевую меру Лебега.
Говорят, что свойством А обладает общее по Петровскому—
Ландису поле класса если множество значений параметров,
которым соответствуют не обладающие свойством А поля, нигде
не плотно и не разделяет пространство параметров (дополнение
к этому множеству линейно связно).
6.2. Полиномиальные поля. Рассмотрим допустимые поля
направлений в СР2, отвечающие всем полиномиальным вектор-»
ним полям степени п в фиксированной аффинной карте. Этот
класс допустимых полей и соответствующих им уравнений"
обозначим через зФп. Общее по Петровскому—Ландису поле
класса имеет на бесконечно удаленной прямой, дополняю-
Ш
ацей исходную аффинную карту, (п+1) особую точку; эти осо-
бые точки называются бесконечно удаленными. В окрестности
такой особой точки наше допустимое поле направлений можно
задать как поле направлений векторного поля с невырожденной
особой точкой. Отношение собственных чисел линеаризации
этого поля в особой точке называется характеристическим чис-
лом особой точки (в знаменатель ставится собственное число,
чей собственный вектор направлен вдоль бесконечно удаленной
прямой).
После удаления этих точек бесконечно удаленная прямая
становится интегральной кривой.
Теорема ([70]). Для типичного поля класса з4-п все ин-
тегральные кривые, кроме конечного числа, плотны в СР2.
Для общего по Петровскому—Ландису поля класса
единственная интегральная кривая, гомеоморфная сфере с вы-
колотыми точками, — бесконечно удаленная прямая с выколо-
тыми бесконечно удаленными особыми точками.
Теорема. Если два поля класса с указанным свойст-
вом топологически эквивалентны, то наборы характеристичес-
ких чисел их бесконечно удаленных особых точек R-линейно
эквивалентны (см. [29], [46]). Последнее означает, что сущест-
вует R-линейное преобразование RC->RC, переводящее один
набор в другой.
Замечание. В доказательстве используется обобщение
теоремы Пуанкаре о числах вращения.
Лемма ([46]). Пусть два ростка конформных отображений
(С, 0)->(С, 0), линейные части которых — повороты, топологи-
чески эквивалентны. Тогда углы поворота для обоих ростков
совпадают (с точностью до знака).
Для гладких отображений совпадение не обязательно. Лем-
ма верна для отображений, при которых граница образа лю-
бой достаточно малой окрестности нуля пересекает границу
прообраза.
Для допустимых полей направлений, отвечающих однород-
ным векторным полям в С2 из R-эквивалентности наборов
характеристических чисел бесконечно удаленных особых точек
следует топологическая эквивалентность [39].
Теорема ('[29]). Для почти каждого поля класса су-
ществует такая его окрестность в классе и такая окрест-
ность тождественного гомеоморфизма СР2 в себя, что всякое
поле из первой окрестности, сопряженное с исходным при помо-
щи гомеоморфизма из второй, аффинно эквивалентно исход1-
ному.
Описанное здесь свойство поля называется абсолютной не-
грубостью.
Число комплексных предельных циклов уравнения класса
«я^п (циклов, отвечающих изолированным неподвижным точкам
своей монодромии) не более чем счетно [50].
П8
Теорема ([29]). Почти все уравнения класса «$$п имеют
бесконечное количество комплексных предельных циклов, ко-
торые гомологически независимы (в том смысле, что циклы,
лежащие на одной интегральной кривой, независимы как эле-
менты группы гомологий этой кривой с компактными носите-
лями).
Теорема ([72]). Свойства плотности, абсолютной негрубо-
сти и бесконечности количества гомологически независимых
предельных циклов выполняются для всех полей класса «я£п, ис-
ключая некоторое вещественно-алгебраическое подмногообра-
зие вещественной коразмерности 1 (а не просто множество ме-
ры нуль) в пространстве коэффициентов,.
Замечание. По-видимому, теми же свойствами обладают
почти все допустимые поля направлений в CPd, порожденные
полиномиальными векторными полями степени п>1 в Cd (ср.
[96]).
Глава 7
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИИ
Эта глава посвящена теории уравнений без подвижных
критических точек и линейным уравнениям с комплексным
временем.
§ 1. Уравнения без подвижных критических
точек
Понятие критической точки возникает, когда решения изу-
чаются как функции от выделенной переменной.
1.1. Определение. 1. Пусть F— голоморфная функция в не-
которой области пространства Сп+2. Решением дифференциаль-
ного уравнения
F (z, w, w',..., au(n)) =0 (1)
называется полное аналитическое продолжение ростка голо-
морфной функции z^w(z), удовлетворяющей этому уравнению.
Уравнение (1) называется алгебраическим, если F — полином
ПО W, W1, . . . , ЙУ(П).
Определение 2. Точка ветвления решения называется его
критической точкой.
Определение 3. Дифференциальное уравнение (1) имеет
подвижные критические точки, если критические точки его ре-
шений заполняют некоторую область на оси z; точки этой обла-
сти называются подвижными критическими точками уравнения.
119
1.2. Подвижные критические точки уравнения первого по-
рядка.
Пример. Рассмотрим уравнение с рациональной правой
частью
dw Р (г-, т)
dz Q(z, w) , '
Р и Q —многочлены. Пусть кривая Q=0 проектируется
на область оси z. Тогда все точки оси z, кроме конечного
числа, —подвижные критические для уравнения (2). Действитель-
но, пусть а—неособая точка векторного поля Qd/dz+Рд/dw
и пусть Q(a)=0, Р|г=г(а)^0. Пусть фа—интегральная кривая
уравнения (2), проходящая через точку а. Ограничение г|Фв не-
постоянно; следовательно, при некотором натуральном т функ-
ция t = (z —z (а))Чт является локальным параметром на кривой
Фа в точке а; значит, z(a) — алгебраическая точка ветвления
решения с начальным условием а. Итак, подвижные критичес-
кие точки рассматриваемого уравнения представляют собой
особенности проектирования интегральных кривых на ось z;
сами интегральные кривые голоморфны (особенностей не име-
ют, см. п. 1.9, гл. 1).
Теорема Пенлеве. Все подвижные критические точки
алгебраического уравнения
F(z, w, w') =0 1 (3)
— алгебраические точки ветвления.
Алгебраическое уравнение (3) не может иметь подвижных
критических точек иной природы, чем у уравнения, разобран-
ного в предыдущем примере; на этом основано доказательство
теоремы Пенлеве (Р. Painleve).
1.3. Уравнения Риккати. Оставшаяся часть параграфа по-
священа исследованию уравнений без подвижных критических
точек (см. [1], [22] и указанную там литературу).
Теорема ([22]). Уравнение (2) не имеет подвижных крити-
ческих точек, если и только если это уравнение Риккати-.
Оо (z) w2+aj (z) w + 02 (z).
Действительно, если уравнение (2) не имеет критических
точек, то соответствующее поле направлений аналитическц
продолжается на произведение СхСР1, zee, teiGCP1, и транс-
версально каждому слою {zJxCP1, кроме, может быть, конеч-
ного множества слоев. Поднимем поле д/дг до векторного поля.
v, порождающего наше поле направлений; проектируя v на
слои {zxCP1} вдоль оси z, получим семейство голоморфных,
векторных полей на проективной прямой. Но такие поля зада-
ются полиномами второй степени - ►
12Э
1.4. Уравнения, не разрешенные относительно производной,
фукс (L. Fuchs) нашел условия на алгебраическое уравнение
(3), необходимые и достаточные для того, чтобы оно не имело
подвижных критических точек.
Пусть функция F определена в области ЙХС2, zGQ, (w,p)a
С С2. Поверхность Е уравнения F—0 пополняется «бесконечно
удаленными точками» до замкнутой поверхности Е в йХСР2.
Точки, в которых отображение складывания, проектирующее
поверхность Е на плоскость (z, w) вдоль оси р, не является
локальным диффеоморфизмом, называются, как и в § 7 главы 1,
особыми для уравнения (3). Условия Фукса — явно выписан-
ные ограничения на поведение поверхности уравнения вблизи
бесконечно удаленных и особых точек. Полный список этих усло-
вий содержится в книге [1]; в [22] одно условие пропущено.
Алгебраические уравнения (3) без подвижных критических то-
чек сводятся к уравнениям Риккати или явно- интегрируются
[22], [100]'. Сформулируем в заключение следующую теорему
Мальмквиста (S. Malmquist).
Теорема. Пусть F — полином от трех переменных. Тогда
уравнение (3), имеющее хотя бы одно мероморфное, но не ра-
циональное, решение, не имеет подвижных критических точек.
На языке дифференциальной алгебры теория алгебраических,
уравнений (3) без подвижных критических точек, изложена в
[100]. Доказательство теоремы Мальмквиста1’ и ее обобщений
можно найти в . [26], где приведен обширный список литературы.
1.5. Уравнения Пенлеве. Пенлеве (Р. Painleve) и Гамбье
(В. Gambier) классифицировали уравнения
' w"=R(z, w, w')y
не имеющие подвижных критических точек, при условии, что
функция R рациональна по w и w' с коэффициентами, меро-
морфными по z и определенными в некоторой области й плос-.
кости z. Уравнения, обладающие этим свойством, часто назы-
ваются уравнениями класса Р.
Определение. Рассмотрим два уравнения класса Р.
Пусть правая часть одного определена при zGQb а другого —
при zGQ2. Скажем, что первое уравнение индуцировано из вто-
рого, если существует голоморфное отображение Н: QiXCP1-»-
->й2 СР1, переводящее слои z—const друг в друга, дробно-ли-
нейное на каждом слое {z} X СР1 и переводящее первое уравне-
ние во второе.
Пенлеве и Гамбье нашли такой список из 50 уравнений,
что каждое из уравнений класса Р может быть индуцировано,
из одного из уравнений этого списка [1], [22]. Из этих пятидеся-
ти уравнений 44 интегрируются в квадратурах или приводятся
*) По-видимому, первое, свободное от пробелов.
121
к алгебраическим уравнениям вида (3). Остальные шесть назы.
ваются уравнениями Пенлеве-, перечислим их
I. w"=6®>24-z; II. w"=2w3-rZW-\-a;
III. ?e>'z=w'2w1+eS!(aw2+6)+e2z(cw3+dw1), |&|4-|^1¥=0;
IV. w"=у +-|- w34-4zw2 4-2 (z2—<х) w 4-P®"1?
+vt+sȣ+!),
vi.^_^(±+-l^+_l_)_OT'(l+^_+sL_) +
+ ’(:^V h^+v^+s^]-
Все решения первых четырех уравнений Пенлеве — меро-
морфные функции. Решения пятого уравнения имеют логарифми-
ческие точки ветвления z=0 и z=oo, а шестого: z=0, z=l, z=
•=оо. Недавно обнаружена связь между интегрируемыми уравне-
ниями математической физики и уравнениями класса Р. Так, ес-
ли функция w — решение второго уравнения Пенлеве, то функ-
ция
и (z, t) = f-2/3(w'(z) +w2(z))
является решением уравнения Кортевега-де Фриза. Подробнее
об исследовании уравнений Пенлеве и их приложениях см. [23].
§ 2. Локальная теория линейных уравнений
с комплексным временем
Этот параграф посвящен теории формальных и аналитиче-
ских нормальных форм линейных уравнений и систем. Коэффи-
циенты уравнений — ростки в нуле мероморфных функций с по-
люсом в точке 0. Точка 0 в этом случае называется особой.;
2.1. Регулярные и иррегулярные особые точки.
Определение. Особая точка 0 системы
z—A(t)z, zGCn, > (4)
называется регулярной, если все решения системы в каждом сек-
торе плоскости t с вершиной 0 растут не быстрее некоторой
(отрицательной) степени модуля t, когда t стремится к нулю,
оставаясь внутри сектора1’ (показатель в этой оценке — общий
для всех секторов и всех решений). Особая точка, не являюща-
О Не имеет смысла говорить о скорости роста многозначной функции
при стремлении аргумента к логарифмической точке ветвления, не ограничи-
вая функцию на сектор: функция 1п/ растет как при стремлении t
к нулю вдоль специально выбранной спирали.
122
яся регулярной, называется иррегулярной. Аналогично опре-
деляется регулярность и иррегулярность особой точки 0 для
уравнения
x(n>+ai(/)jc(n-’>+ ... +a„(0x=O. (5)
Примеры. 1. При п=1 регулярность особой точки 0 систе-
мы (4) равносильна простоте полюса А в нуле.
2. Особая точка 0 системы z=(A/t)z, где А — постоянная
матрица, регулярна. Росток фундаментальной матрицы решений
имеет вид X(t) — tA\ по определению, tA=eAiaf. Отметим, что ана-
литическое продолжение этого ростка имеет, вообще говоря, ло-
гарифмическое ветвление в точке 0.
3. Пусть L — многочлен с комплексными коэффициентами.
Уравнение
называется уравнением Эйлера. Пусть ..., кт—корни мно-
гочлена L кратности kx,.. .,km соответственно. Тогда фунда-
ментальная система решений уравнения Эйлера имеет вид
Iх' In t,..., t*' (In t)**-1,..., t(in Очевидно, особая точка
0 этого уравнения регулярна.
Замечание. Уравнение Эйлера превращается в уравнение
с постоянными коэффициентами вида £ х== 0 с помощью
замены t = ех.
Определение. Если матричная функция А в системе (4)
имеет простой полюс в нуле, то особая точка 0 системы (4) на-
зывается фуксовой.
Теорема 1. Фуксова особая точка системы (4) регулярна.
Замечание. Обратное, очевидно, неверно. Действительно,
особая точка 0 уравнения Эйлера порядка п регулярна. Превра-
тим это уравнение в систему (1) с помощью замены z= (х, х,...
..., х(п~1)). Особая точка полученной системы будет регулярной,
а матрица этой системы имеет, вообще говоря, полюс в нуле по-
рядка п.
Теорема 2. Особая точка 0 уравнения (5) (коэффициенты
которого — ростки мероморфных функций в нуле) регулярна,
если и только если все функции tsa} голоморфны в нуле.
Требование голоморфности в нуле функций называется
условием Фукса.
Замечание. Замена z = [x, р)х,..., х) пре-
вращает уравнение (5), удовлетворяющее в точке 0 условию
Фукса, в систему (4) с простым полюсом в нуле. Это показы-
вает, что 1п/—естественное время для уравнений с регулярной
особой точкой.
123
2.2. Формальная, голоморфная и мероморфная эквивалент-
ность'. Всюду ниже через л обозначается проектирование Сх
X Сп->С вдоль второго сомножителя.
Определение.0 Два уравнения (4) называются голо-
морфно (мероморфно) эквивалентными, если существует голо-
морфное (мероморфное с полюсом в точке 0) отображение Вх
ХСП в себя, линейное по г, сохраняющее время't и переводя-
щее одно уравнение в другое. Здесь В — окрестность нуля или
проколотая окрестность нуля соответственно. Другими словами,
существует голоморфное (мероморфное) отображение Н : В-*-
->GL(n, С), называемое сопрягающим и такое, что зам'ёна
(t, z) i-ч- (t, переводит одно уравнение в другое.
Две системы z=A(t)z и w—B(t)w сопряжены отображени-
ем Н, если и только если В—НН~Х+НАН~1.
Определение. Если предыдущее соотношение выполне-
но, как равенство формальных рядов и И — формальный ряд
Тейлора (Лорана) по i с коэффициентами из GL(n, С), то си-
стемы называются формально 0-эквивалентными или формаль-
но -эквивалентными (0 — кольцо ростков голоморфных функ-
ций в нуле, — его поле частных).' Иногда вместо «формаль-
ной 0- или ^"-эквивалентности» будем говорить «формально’
голоморфная» и «формально мероморфная» эквивалентность.
Теорема ([37]). Из формальной 0- или ЯГ-эквивалентно-
сти ростков систем с регулярной особой точкой следует их голо-
морфная (соответственно, мероморфная) эквивалентность, при-
чем сопрягающий формальный ряд сходится.
Для систем с иррегулярной особой точкой это неверно-
2.3. Монодромия. Пусть /о¥=О — произвольная точка, в ко-
торой определена матрица А системы (4). При аналитическом
продолжении над петлей с началом и концом tQ, обходящей
точку 0 один раз в положительном направлении, пространство-
ростков в точке t0 решений системы (4) переходит в себя.
Этот автоморфизм линеен, не зависит от выбора петли, обла-
дающей описанными свойствами, и называется преобразовани-
ем монодромии. Например, для системы z=(A/t)z преобразо-
рание монодромии равно ехр(2ш'Л).
Одно только понятие монодромии позволяет описать реше-
ния системы (4) с регулярной особой точкой.
Теорема. Система (4) с регулярной особой точкой меро-
морфно эквивалентна системе z—(C/t)z, где 2л1С— произволь-
ное значение логарифма преобразования монодромии систе-
мы (4).
< Пусть точка -to — та же, что и выше, X — росток фунда-
ментальной матрицы решений системы (4) в точке t0. Рассмот-
1> Определяемые ниже сопрягающие отображения— это автоморфизмы
тривиального векторного расслоения с одномерной базой В (окрестностью
нуля или проколотой окрестностью нуля) и слоем Ся.
121
1
рим аналитическое продолжение ростка H=Xt~c на проколо-
тую окрестность нуля. Оно, однозначно, поскольку при продол-
жении над петлей, обходящей 0, ростки X и tc умножаются
справа на одну и ту же матрицу преобразования монодромии
T’=exp(2n;iC). Продолжение ростка Н мероморфно'в нуле в си-
лу регулярности особой точки 0. Наконец, Iе — фундаменталь-
ная матрица решений системы z= (C/t)z.^
Две последние теоремы позволяют искать решения линейных
дифференциальных уравнений и систем в окрестности регуляр-
ной особой точки в виде формальных рядов по степеням t и
]п/, не заботясь об их сходимости '[37].
Для уравнений (5) отыскание формальных решений начи-
нается с решения определяющего уравнения. А именно,
уравнение (5) с регулярной особой точкой 0 можно записать
в виде
••• +М0*=0.
где bj—голоморфные функции. Определяющее уравнение
в этом случае имеет вид
Xn+^(0)V-4- ... +мо)=о.
Если корни kj этого уравнения попарно различны, то уравне-
ние (5) имеет фундаментальную систему решений Ф;- (i) t*', где
Ф7—голоморфные функции,. Ф (0) =^0 (см., например, [37]).
2.4. Формальная теория линейных систем с фуксовой особой
точкой. Для формальной классификации линейных систем по-
лезно привлечь, общие методы теории нормальных форм Пуан-
каре (гл. 3). Рассмотрим неавтономную систему
х trz=A(t)z; А (0)#=0; (6)
операторнозначная функция А голоморфна в нуле. Рассмотрим
соответствующую автономную систему, в которой штрих озна-
чает dfdx (т — новое время):
z'=A(t)z, t'=tr.
Фазовые кривые новой системы вне плоскости t=0 совпада-
ют с интегральными кривыми старой. Теорема Пуанкаре—Дю-
лака (п. 3.2, гл. 3) позволяет найти формальную нормализую-
щую замену, сопрягающую автономную систему с ее формаль-
ной нормальной формой, нелинейная часть которой содержит
только резонансные члены. Для систем, линейных по z, эта
теорема может быть усилена: нормальная форма и нормали-
зующая замена линейны по z, причем нормализующая замена
сохраняет время t.
Определение. Набор (Xi,...,Хп)60 — резонансный
для системы (6) с фуксовой особой точкой, если разность ка-
ких-либо двух чисел набора — натуральное число.
125
Теорема. Система i'z=A (f)z с фуксовой особой точкой
и нерезонансным спектром оператора Л(О)=Л, формально
©-эквивалентна, а значит, и голоморфно эквивалентна, стандарт-
ной: tz=kz.
Следствие. В условиях предыдущей теоремы фундамен-
тальная матрица решений системы имеет вид Ф(£)^Л, где Ф:
B->GL(n, С)—голоморфная операторнозначная функция, .В—
некоторая окрестность нуля.
Доказательство теоремы. Пусть (Л^,...,XJ—спектр
оператора Л=Д(0) и особая точка—фуксова, то есть в фор-
муле (6) г=1. Линейная часть соответствующей автономной:
системы имеет тогда собственные значения 1. Одно-
член tkZi является резонансным членом, если и только если:
Предыдущая теорема следует теперь из усиленной
теоремы Пуанкаре—Дюлака. ►
В резонансном случае выражение для фундаментальной
матрицы решений сложнее, но формальная нормальная форма,
линейной системы с регулярной особой точкой всегда интегри-
руется. На этом основан метод Фробениуса, позволяющий ин-
тегрировать уравнение (5) с регулярной особой точкой с по-
мощью рядов [37], независимо от наличия резонансов.
2.5. Формальная теория линейных систем с нефуксовой осо-
бой точкой.
Определение. Набор (1Ь ..., Хп) — резонансный для сис-
темы (6) с нефуксовой особой точкой (г>1), если какие-ни-
будь два числа набора равны, и нерезонансный в противном
случае. Соответственно, система (6) называется резонансной или
нерезонансной.
Теорема. Пусть в системе (6) г>1 и спектр матрицы
А (0) нерезонансен. Тогда эта система формально ©-эквивалент-
на системе
fw=B(t)w, B(t) =diag(&i(0, •.., bn(t)),
здесь матрица В (t) — диагональна с полиномами bf (t) степени
не выше г—1 на диагонали.
Замечание. Последняя система называется формальной
нормальной формой системы (6) или нормализованной систе-
мой; она распадается на одномерные и интегрируется; пусть
J В (t) trr=D (f-1) где С — постоянная диагональная
матрица, a D — диагональная матрица с полиномами от t~l на
диагонали степени не выше г—1.
Следствие. Фундаментальная матрица формальных ре-
шений системы (6) имеет вид Х(/) =//(/) ^сехр£>(/“1), где Н —
формальный операторнозначный ряд Тейлора '[19], ,[37].
Приведем набросок краткого доказательства.
126
4 Заменим систему (6) автономной
~- = A(t)z, £=/'
ат ' ' ’ ат
Пусть ..., —спектр матрицы А(0). Линейная часть рас-
сматриваемой автономной системы имеет спектр .,Х„, 0.
Применим к этой системе теорему Пуанкаре—Дюлака, модифи-
цированную как в предыдущем пункте. Одночлен
является резонансным членом, если и только если Хг = Л;. Сле-
довательно, существует формальная замена (i, Н (t) z)t
которая приводит рассматриваемую автономную систему к виду
dw о... dt
-r= = tr,
ат х ' ат
где В—диагональная матрица с формальными рядами Тейлора
на диагонали. Положим: В (f)—B (t) +/rBi (<)• Тогда фундамен-
тальная матрица решений системы tT'Bd=B(t),w примет вид
TT=eBt</)^c expp(f-1), где. С и D те же, что и выше, В^В^
Замена (t,z)>-*(t,H z), Н~е~ВгН является искомой. ►
Аналогичный результат для резонансных систем дает
Теорема ([73]). Резонансная линейная система (6) с нефук-
совой особой точкой формально мероморфно эквивалентна системе
B(0=B>i+.... (7}
где г<г, операторы DjVi С попарно коммутируют и операторы
Dj диагонализируемы.
Формально мероморфные замены дают в резонансном слу-
чае большие упрощения, чем формально голоморфные. Это свя-
зано с тем, что при формально голоморфных заменах порядок
полюса правой части системы (4) не может измениться, а при
формально мероморфных — может (см. пример п. 2.1 с уравне-
нием Эйдера).
2.6. Асимптотические ряды и явление Стокса. Нормализую-
щие замены,, описанные в предыдущем разделе, зачастую рас-
ходятся. Например, ряд Zkltk является формальным решением
уравнения. #2x-|-(3f—1)Я-х=0 [37]. Однако формальные за-
мены позволяют найти так называемые асимптотические ряды,
приближающие истинные решения в достаточно узких секторах
с вершиной 0.
Определение. Пусть f — голоморфная функция в сек-
тору S с вершиной 0. Ряд называется асимптотическим
Для этой функции, если при любом k k-я частная сумма этого
ряда отличается от f на o(tk) при f->0 в S.
Теорема. В условиях теорем п. 2.5 каждый луч с верши-
ной 0 можно заключить в сектор S такой, что система (6) в
127
произведении SXCn аналитически эквивалентна своей фор-
мальной нормальной форме (7). Более того, существует голо-
морфное отображение Н\ S->GL(n, С), сопрягающее уравнение
с его нормальной формой и такое, что Я— асимптотический ряд
•для Н в секторе S; здесь Н — формальная замена из теорем
пункта 2.5.
Эту теорему можно усилить.
Определение. Лучом раздела, соответствующим паре
(Х<, Xj), называется любой луч с вершиной 0, на котором
Re (Х<—Xj)/1-r—0. ‘
Добавление. В предыдущей теореме в качестве S мож-
но взять любой замкнутый сектор с вершиной 0, удовлетворяю-
щий следующему требованию: ни для какой пары (Х<, Xj) сектор
•S не содержит двух лучей раздела, соответствующих этой паре.
Опишем теперь явление Стокса для систем с нефуксовой
особой точкой 0. Рассмотрим два пересекающихся сектора и
S2 с вершиной в нуле, удовлетворяющих предыдущему требо-
ванию, объединение которых этому требованию не удовлетво-
ряет. Пусть Hs, и Hs, —нормализующие отображения (каки
выше, сохраняющие /), соответствующие секто-
рам Sj и S2; S=SinS2. Функция перехода Hs==Hst°Hs* тоже
сохраняет t и переводит ’ нормализованную систему
в себя. Обозначим через Ls пространство решений нормализо-
ванной системы, определенных в секторе о. Отображение Н$
задает линейный автоморфизм пространства Ls в себя, который
называется оператором Стокса и обозначается С$.
Отметим, что отображение Hs имеет тривиальное асимптоти-
ческое разложение, поскольку асимптотические разложения для
Hs, и-Hs, совпадают: HS~E, то есть Hs—E-\-o(iN) при
<->0в S для любого натурального /V.
2.7. Аналитическая классификация нерезонансных систем в
окрестности иррегулярной особой точки. Рассмотрим класс не-
резонансных систем (6) с нефуксовой особой точкой. Пусть
матрица А (0) диагональна (в нерезонансном случае этого мож-
но добиться линейной заменой переменных). В этом разделе
рассматривается «сильная голоморфная эквивалентность» та-
ких систем: требуется, чтобы сопрягающая замена' отличалась
от тождественной на 0(f) при f->0: Я=Е-|-О(/). В рассматри-
ваемом классе систем операторы Стокса являются инварианта-
ми сильной голоморфной классификации. Опишем, какие опера-
торы могут возникнуть как операторы Стокса. Это описание
облегчается тем, что нормализованная система интегрируется
явно; фиксируем ее.
Каждому сектору S=Si f| S2, Sx и S2—те же, что в п. 2.6, соответ-
ствует оператор Стокса С$ и отображение Hs'.S-+GL(n, С),
Н~Е. Базис в пространстве Ls образуют решения вида ФДО®*
128
,s*aj(i)dIdWj, где a,=t'TbAfja,, bltf))='kj. Отметим, что
a (O«exp[Л/-'(1/(1 -r)+O(i))]/
Отображение Ms и оператор Стокса Cs связаны между
собой следующим образом. Пусть
Тогда Hs(/) d/dwi^a^ (/) ф,- (f).
ПосколькуHS~E,получаем: Сц=\; ty^O^Re^—А7)/1',->-
->—оо при /->0 в S.
Определ ение. Оператор С: Lg-+L8, удовлетворяющий
предыдущим условиям, будем называть допустимым для сек-
тора S и системы (7).
Определение. Пусть круг с центром 0 покрыт конечным
числом секторов Sj с вершиной в центре, ни один из которых не
содержит двух лучей раздела, соответствующих одной и той же
паре (ХрДд). Пусть каждой упорядоченной паре секторов
(S{, Sj) с непустым пересечением Sy сопоставлен оператор Сщ,
допустимый для этого сектора Sy и нормализованной системы
(7), причем CyCj|f=£, С^С^См-Е.. Тогда набор {Су} называет-
ся набором Стокса.
Теорема ([76], [108]). Каждый набор Стокса может быть
реализован, как набор операторов Стокса для некоторой нере-
зонансной системы с иррегулярной особой точкой, формально
эквивалентной заданной нормализованной системе.
Теорема ([108]). Две формально эквивалентные нерезо-
нансные системы с иррегулярной особой точкой и с одинако-
вым набором операторов Стокса голоморфно эквивалентны в
окрестности этой точки.
Аналогичные теоремы справедливы и в резонансном случае,
но относятся уже' к мероморфной классификации, причем по-
строение и описание операторов Стокса проводится ,не столь
явно. На языке когомологий набор Стокса интерпретируется как
1-коцикл так называемого пучка Стокса (G. Stokes) над окруж-
ностью (см. [76]).
Отметим в заключение, что коядро дифференциального опе-
ратора t~Td/dt—A(t), действующего из пространства ростков*
мероморфных вектор-функций в нуле в себя, всегда конечно-
мерно .[76].
§ 3. Теория линейных уравнений в целом
Этот параграф посвящен теории линейных уравнений и сис-
тем с регулярными особыми точками на СР1 и ее приложениям
к теории абелевых интегралов и клейновых групп.
3.1. Уравнения и системы класса Фукса.
Определение. Система z=A(t)z имеет фуксову особую
точку (или неособую точку) на бесконечности, если система,
24 9—7712 ~ 129
полученная из нее заменой т= 1//, имеет "фуксову особую точку
(или неособую точку) в нуле. Аналогично определяется условие
Фукса на бесконечности для уравнения (5)
х(’> -|-ai (t) х^-и +... (f) х=0.
Эквивалентное определение. Система z=A(t)z
или уравнение (5) удовлетворяет условию Фукса на бесконеч-
ности, если матричная функция tA(t) (соответственно, вектор-
функция tai(t),..., tnan(t)), голоморфна на оо.
Замечание. Система z=A(t)z имеет на сфере Римана
лишь фуксовы особые точки, если и только если она имеет вид
(8>
матрицы А/ постоянны.
Уравнение (5) имеет на сфере Римана лишь фуксовы особые
точки, если и только если aj(t)=Pj(t)Q~i (t), где, Q(Z)==
= П(/—a*), degPj<(m—1) J, deg Q=m.
Матрицы А, в системе (8) называются матрицами-вычетами.
Уравнения и системы, описанные в этой теореме, называются
фуксовыми.
3.2. Продолжимость и монодромия. Ниже универсальная
накрывающая над областью Q обозначается й. Возможность
продолжить росток аналитической функции в точке на
универсальную накрывающую Q означает, что этот росток про-
должается над любой кривой yczQ с началом р и результат не
меняется при непрерывной деформации у в Q, сохраняющей,
начало и конец кривой.
Теорема. Каждое решение линейного уравнения или сис-
темы с мероморфными коэффициентами может быть продол-
жено на универсальную накрывающую над областью голоморф-
ности коэффициентов.
Эта теорема является комплексным аналогом теоремы о
продолжении решений линейных уравнений с вещественным
временем на весь интервал непрерывности коэффициентов.
При продолжении решений над петлей, не проходящей че-
рез полюса коэффициентов, пространство ростков решений в
начальной точке петли переходит в себя. Этот автоморфизм ли-
неен и называется преобразованием монодромии. Последова-
тельному обходу петель соответствует произведение преобразо-
ваний монодромии. Возникает гомоморфизм фундаментальной
группы области голоморфности коэффициентов в подгруппу
группы GL(n, С). Этот гомоморфизм называется монодромией
уравнения или системы; оператор, соответствующий петле у,
зависит только от гомотопического класса петли и обозначается
Гт. Образ гомоморфизма называют группой монодромии.
130
3.3. Теорема Римана—Фукса. Решения уравнений класса
фукса продолжаются на универсальную накрывающую над
комплексной осью t с выколотыми полюсами коэффициентов,
задают группу монодромии и регулярны (растут не быстрее не-
которой степени расстояния до особой точки в любом секторе
с вершиной в этой точке). Оказывается, эти свойства присущи
только решениям уравнений класса Фукса..
Теорема ([56]). Пусть росток голоморфной вектор-функ-
ции <р голоморфно продолжается на универсальную накрываю-
щую над сферой Римана с выколотыми точками аь.’..., ат, оо и
определитель Вронского продолженной вектор-функции
(обозначаемой также ф) нигде не обращается в нуль. Пусть
росток ф задает группу монодромии: при продолжении над
каждой петлей, принадлежащей проколотой сфере Римана, ли-
нейное пространство, порожденное компонентами ростка, испы-
тывает линейный автоморфизм. Пусть это продолжение регу-
лярно: когда t стремится к выколотой точке а, оставаясь внут-
ри некоторого сектора с вершиной а, модуль ф(/) растет не
быстрее некоторой степени расстояния до а на сфере Римана.
Тогда существует уравнение класса Фукса, для которого ф—>
росток фундаментальной системы решений.
Следствие 1. Любая алгебраическая функция одного пе-
ременного удовлетворяет уравнению класса Фукса.
< Рассмотрим множество й неособых точек функции; пусть
рбй-произвольная точка. Обозначим через фь . ..,Фт ростки
голоморфных функций в точке р, соответствующие разным
листам алгебраической функции. Выберем среди них максймаль-
ное . .число линейно независимых фь ..., ф„ (п может быть
меньше т; пример: j/T). Росток ф—(фь ...,фп) продолжается
на универсальную накрывающую й и порождает группу моно-
дромии: листы алгебраической функции при продолжении вдоль
петель переставляются. Определитель Вронского вектор-функции
Ф (обозначаемый W) умножается на константу, (равную опре-
делителю преобразования монодромии); поэтому W=0 над
конечным числом точек Р76й; их следует тоже выколоть.
Регулярность алгебраической функции в особых точках дока-
зывается элементарно. Тем самым, можно применить предыду-г
щую теорему. ►
Следствие 2. Абелев интеграл, зависящий от параметра*
рассмотренный в п. 5.2 главы 6, удовлетворяет уравнению клас-
са Фукса . (соответствующее уравнение называется уравнением
Пикара—Фукса).
Докажем это,-полагая, что Н т- правильный многочлен..
Точками ветвления; интеграла являются критические значения
и оо; монодромия описывается теоремой Пикара—ЛефшецЯ
[24]; регулярность доказывается элементарно. ►
9* 131
3.4. Аналитические функции от матриц. И. А. Лаппо-Дани-
левский применил к вычислению групп монодромии линейных
дифференциальных уравнений и к восстановлению уравнения по
группе монодромии теорию аналитических функций от матриц.
Исследования Лаппо—Данилевского относятся в основном
к фуксовым системам. Рассмотрим систему (8). Фиксируем петли
Yi, • • •, Ym с общим началом, каждая из которых обходит (один
раз) ровно один полюс коэффициентов. Соответствующие матри-
цы монодромии Tj—Ty/ порождают всю группу монодромии си-
стемы (8). При фиксированных полюсах а; матрицы монодромии
зависят только от матриц-вычетов А}.
Т е о р е м а 1. Матрицы Tf—целые функции матриц-вычетов А}:
Тj=E 4-2шAj + 2 ам (“) A*Ai + • • • 5
j<n.
справа стоят степенные ряды от некоммутирующих матричных
переменных Ah сходящейся при всех значениях переменных.
Теорема 2. Если матрицы монодромии достаточно близ-
ки к единичной, то существует единственная фуксова система с
заданной монодромией, матрицы—вычеты которой близки к
нулю; они даются формулой
j<n
справа стоят степенные ряды относительно Tj—Е,..., Тт—Е,
сходящиеся в некоторой окрестности нуля.
Эти ряды получаются обращением предыдущих. Теорема 2
является своеобразной теоремой о неявной (для некоммутиру-
ющих переменных). Лаппо-Данилевский вычислил коэффициен-
ты ahh Ьл},... как функции от а [41]; см. также 135].
3.5. Связь с теорией клейновых групп. Пространство рост-
ков мероморфных и голоморфных решений уравнения Риккати
в точке, отличной от полюса коэффициентов и от бесконечности,
изоморфно СР1. При продолжении над петлей, обходящей по-
люса коэффициентов, это пространство переходит в себя и ис-
пытывает дробно-линейное преобразование. Группа всех так по-
строенных преобразований называется группой монодромии
уравнения Риккати. Рассмотрим дифференциальное уравнение
класса Фукса порядка 2. Группа монодромии этого уравне-
ния — подгруппа группы GL(2, С). Отобразим фазовое прост-
ранство С2 на СР1: (zi, гг)1-* (zi:z2). Исходное уравнение
перейдет в уравнение Риккати, его rpyrtna монодромии превра-
тится .в группу монодромии уравнения Риккати. Группа, состо-
ящая из дробно-линейных преобразований СР’-^-СР1, назы-
132
вается клейновой, если существует область, в которой онй
действует дискретно (никакая орбита действия группы не на-
капливается ко внутренней точке области). Каждая клейнова
группа реализуется как группа монодромии для некоторого
уравнения Риккати (это следует из положительного решения
проблемы Римана—Гильберта для фуксовых уравнений, см.
§ 4). Эта связь обогащает обе теории: клейновых групп и диф-
ференциальных уравнений [55]. В частности, деформации
клейновых групп удобно изучать, деформируя коэффициенты
соответствующего уравнения.
3.6. Интегрируемость в квадратурах. Лиувилль (J. Liouvill)
доказал, что линейные уравнения второго порядка, вообще го-
воря, не интегрируются в квадратурах: решения не выражаются
через коэффициенты' с помощью арифметических действий, ре-
шения алгебраических уравнений, потенцирования и интегри-
рования0. В частности, не интегрируется уравнение x-\-tx—Q.
Общая теория интегрируемости в квадратурах линейных
уравнений, и систем построена методами дифференциальной ал-
гебры. С каждым линейным уравнением или системой с рацио-
нальными коэффициентами связывается группа Галуа, разре-
шимость которой отвечает за разрешимость уравнения или сис-
темы (см. {36],’ 1[68]). Сформулируем в заключение следующий
геометрический результат.
Теорема Хованского ([35], [68]). Если группа моно-
дромии фуксовой системы обладает разрешимым нормальным
делителем конечного индекса, то эта система интегрируется в
квадратурах. Если группа монодромии этим свойством не обла-
дает, то система не интегрируется даже в «обобщенных квадра-
турах». Это значит, что юбщее решение системы не выражается
через коэффициенты с помощью решения алгебраических урав-
нений, интегрирования и суперпозиций с целыми функциями
любого числа переменных.
3.7. Замечания о специальных уравнениях. Уравнение вто-
рого порядка класса Фукса с тремя особыми точками на сфе-
ре называется уравнением Римана. , Его коэффициенты
однозначно определяются особыми точками и корнями опреде-
ляющих уравнений, соответствующих этим точкам. Уравнения
второго порядка с большим числом особых точек и уравнения
более высокого порядка этим свойством не обладают. Уравне-
ние Римана с особыми точками 0; 1; оо — это гипергео~
метрическое уравнение Гаусса
t (i — 1) х+[(а+р 4-1) t—у] х +а₽х=0.
Линейные уравнения второго порядка часто встречаются в
математической физике. Большинство из них сводится к част-
Решение алгебраических уравнений не подразумевает решения в ра-
дикалах; считается, что вместе с каждым полиномом известно множество’
его нулей, и вместе с каждой функцией — ее интеграл.
123
рым или, предельным случаям гипергеометрического уравнения.
Например, таковы уравнения
t 12х-\-1х-{-(12—№)х=0, (Беере ля)
x-[-(a—t2)x—Q, {Вебера)
* (I2— l)x+2fx—v(v + l)x=0. (Лежандра)
Общие линейные уравнения второго порядка, коэффициенты
Которых линейны, приводятся к вырожденному гипергеометри-
ческому
’ . tx+(b — t)x—ax=Q.
Все основные обыкновенные дифференциальные уравнения,
встречающиеся s' математической физике, получаются из сле-
дующего уравнения с пятью регулярными особыми точками
(1 <г<4) х+2х/2(t—ar) +х(А +Bt) 3<2/16)/П(/—аг)=0
(теорема Клейна и Бохера (F. Klein, М. Bocher) [1, с. 667]).
3.8. Группа монодромии уравнения Гаусса. Группа монодро-
мии гипергеометрического уравнения с вещественными а, р, у
связана с треугольником, ограниченным дугами окружностей с
(углами лЛ, лр,, л^:А2=(1—у)2, ц2— (у—,а—Р)2, №=(а—р)2.
. Предположим, что А6(0, 1), ц6(0, 1), vG(0, 1). Группа, по-
рожденная отражениями относительно сторон треугольника, со-
держит подгруппу индекса 2, состоящую, из дробно линейных
преобразований; обозначим ее G. Стандартное проектирование
С2\{0}—^СР1 переводит группу монодромии гипергеометриче-
ского .уравнения, удовлетворяющего предыдущим ограничениям,
$ группу G. Если сумма A+p+v меньше 1 (равна 1, больше
1), то эта группа — подгруппа движений плоскости Лобачев-
ского (евклидовой плоскости, сферы Римана). Это позволяет
исследовать вопрос об интегрируемости гипергеометрического
уравнения в алгебраических функциях (Шварц _(Н. Schwarz)
1,‘ё.’530]). Случаи, интегрируемости связаны с треугольниками
с углами (л/2, л/2, л/п) — диэдр, (л/2, л/3, я/3) — тетраэдр,
(л/2, л/3, л/4) —октаэдр, (л/2, л/3, л/5) —икосаэдр. Теоремы о
неразрешимости гипергеометрического уравнения в «обобщен-,
ных квадратурах» следуют из результатов '[68]. .
§ 4. Проблема Римана—Гильберта
! «Показать, что всегда существует, линейное дифференциаль-
ное уравнение фуксова типа с заданными особыми точками и
заданной группой монодромии». В этом состоит 21-я проблема
Гильберта [53]. Она допускает различные обобщения.
134
4.1. Постановка проблемы0. Требуется доказать существо-
вание на сфере Римана '
А. Уравнения класса Фукса.
Б. Системы z=A(t)z с регулярными особыми точками.
В. .Фуксовой системы z='ZAj(t—а5)-1г, имеющих любой на-
перед заданный набор особых точек и заданную группу мо-
нодромии. ,
Проблема В, важная для приложений [57], до сих пор не
решена, вопреки многочисленным утверждениям, распростра-
ненным в литературе ([41], [57], [103, § 85]). Ниже намечено
решение проблемы Б, основанное на идеях Биркгофа и Рёрля
t(H. Rohrl) (оно, очевидно, влечет решение проблемы А), а также
проблемы В при дополнительных ограничениях на группу мо-
нодромии (см. [65:58], [78]).
4.2. Проблема Римана—Гильберта для круга. Если в преды-
дущих проблемах сферу заменить на круг, то они решаются сле-
дующим образом. Строится матричная функция на универсаль-
ной накрывающей над кругом с выколотыми особыми точками,
имеющая заданную группу монодромии и регулярные особые
точки. Затем проверяется, что она удовлетворяет фуксовой сис-
теме уравнений.
Пусть а == (аи .. .,ат)—заданный набор особых точек,
Vi, ...,ут—обходящие их петли с общим началом р (рис. 22),
7\, •••»Тт—соответствующие этим петлям преобразования моно-
дромии. Покроем круг К областями U} с кусочно-гладкой гра-
ницей; каждая область U} содержит ровно одну точку а,6а;
пересечение Uj П U)иЛ имеет кусочно-гладкую границу и одно-
связно, (рис. 22). Для любой пары областей £7сОсС,
содержащих точку1 р,. обозначим через Ga разность О\а, через
<7в—универсальную накрывающую над Ga с базисной точкой р,
через U—содержащую точку р связную компоненту области,
лежащей над U на Оа. >
Определение. Матричная функция X наU} имеет фуксову
главную часть tc с монодромией Т, если Х=Ф{С, Т=ехр2л£С
и Ф—голоморфное отображение ^->GL(n, С) (точнее следует
писать АГ(?)=Ф(Р/)-(Р/)с,где ^<Лх, Р—проектированиеGa-^~Ga;
.однако ниже, для краткости, вместо, ФоР пишется просто Ф).
Матричную функцию X на каждой из ' областей U} будей
искать в виде Ф^С/, где 2nlGj—произвольное значение In Г;,
° Мы не касаемся здесь многочисленных исследований, посвященных
вычислению коэффициентов уравнения по группе монодромии. Обширный
материал по этому вопросу имеется в книге Н. П. Еругина «Проблема Ри-
мана». Минск, 1982 г.
135
u,nu2 u2nus
Рис. 22. Покрытие круга при решении проблемы Римана—Гильберта.
и отображение Ф; :£7; ->ОЬ (/г, С) голоморфно. Условие совпаде-
ния этих выражений на пересечениях U jf\Uj+x имеет вид
Задача об отыскании голоморфных отображений
->GL(n, С), удовлетворяющих предыдущим уравнениям, разре-
шима при любых правых частях со значениями в GL (п, С).
А именно, пусть для простоты т=2. Заметим, что область
Uу Г) однолистно накрывает U} П Uj+X и может быть отож-
дествлена с ней.
Лемма А. Картана ((Н. Cartan) [65:31]). Пусть Ux, U2
и £/1П Z72~ области с кусочно-гладкой границей и пересечение
£71Г|СГ2 связно и односвязно. Тогда для любого голоморфного
отображения F:£/int/2->-GL(n, С) существуют голоморфные
отображения Фу:£7}->ОЬ (п, С) такие, что Ф[’,Ф2=/7 (напомним,
что голоморфность на замкнутом множестве означает голоморф-
ность в окрестности этого множества).
Тем самым, при т,=2 матричная функция на f/iUtA вида
X— <DjtCi \ut существует. Ее особые точки очевидным образом
регулярны. При /п>2 матричная функция X строится аналогич-
но предыдущему индукцией по т.
Лемма. Матричная функция X удовлетворяет линейному
уравнению на Д’ с простыми полюсами
◄хх-1 |^-(^+Ф/с/г*)Ф7,>
Этим заканчивается решение проблемы Римана—Гильберта
для круга.
136
4.3. Проблема Римана—Гильберта для сферы. Без ограни-
чения общности можно считать, что набор а особых точек со-
держит точку со: ,
а = (аи..., ат, со).
Воспользуемся предыдущим результатом. Покроем сферу двумя
кругами К+ и К~ с центрами 0 и оо; круг, К+ содержит все
петли Ут, а пересечение U =К^ПХ~—точку р. Пусть
Y«+iC.U—петля с началом и концом в точке р, обходящая оо
в положительном направлении (рис. 23). Петли уъ—, Ут выбе-
рем так, что петля Yi... ymym+i гомотопна нулю на К а- Тогда
/ mi—(Гт... ТО-1—преобразование монодромии, соответствую-
щее петле ут+1- Пусть 2л/С;—произвольное значение 1пГу,
1»+1. Построим, как в п. 4.2, матричную функцию
X* на с фуксовыми главными частями tc>, / = !,..., т.
Матричную функцию X на универсальной накрывающей над
С\{®1, • • * , ®/П/ о©} будем искать в виде: А'|.+=Ф+А'+,
с Ка
Х|„_=Ф_(1//) т+1,
К со
Рис. 23. Круг К+.
Эта матричная функция существует, если разрешима следую-
щая задача факторизации: Ф^Ф-—F|a, F=X^X~X\U .
Матричные функции Х+ и X- неоднозначны на U, но при
продолжении вдоль петли ут+\ испытывают одинаковое преоб-
разование монодромии, поэтому F—голоморфное отображение
С). Аналогом леммы Картана для этой задачи яв-
ляется
Теорема Биркгрфа ((G. Birkhoff) [78]). Голоморфное
отображение кольца F: f/->GL(n, С) представимо в виде про-
изведения Г=Ф+Ф-, где Ф+: К+—>GL(n, С) — голоморфное
137
отображение круга К* а Ф_: K~-*~GL(n, С)—мероморфное
отображение с полюсом оо.
Этим завершается решение проблемы Б; матрица А искомо-
го уравнения равна ХХ~1, имеет простые полюса в точках aj и
необязательно простой полюс оо, являющийся, впрочем, регу-
лярной особой точкой для уравнения z=A(t)z.
4.4. Проблема Римана—Гильберта для фуксовых систем.
Теорема. Если хотя бы один из операторов Т\........Tmi
Afm+1 = (Тт... Л)-1 диагонализируем, то для любого набора
а= {ai,..., ат} существует фуксова система с полюсами, при-
надлежащими а, и такая, что обходу точки а,- : соответствует
оператор монодромии Т,.
◄Пусть матрицы и Ст+1 диагональны и пусть, как и в
п. 4.3, Л'=Ф_/~С'*+* над К-, Х=%Х* над К?......
Лемма Сов аж a ((A. Souvage), [67]). Мероморфное ото-
бражение Ф_: K-~>GL(n, С) с полюсом оо представимо в .виде
Ф_=РФ/°, где D.—диагональная матрица, Ф — голоморфноё
'отображение A_->-GL (п, С), Р — полиномиальная матрица с
определителем 1.
Применим эту лемму к отображению Ф_ в выражении для X.
Положим: Y=Р~гХ. Матричная функция Y по-прежнему имеет
фуксовы главные части в точках ab..., ат. Кроме того, У|^._=
=ф/о/“ст+1. Матрицы D и Ст+1 диагональны и, следовательно,
коммутируют. Поэтому произведение Ф/О/-С'"+»=Ф/О-С'”+» яв-
ляется фуксовой главной частью. Следовательно, матрица XX-1
имеет простые полюса на всей сфере; проблема В решена. ►
Замечание. Рассуждения этого раздела следуют книге
Племеля (J. Plemelj) [ЮЗ], который дал первое решение
проблемы Римана—Гильберта, и на работу которого ссылались ,
все позднейшие исследователи. Племель проводит предыдущее
рассуждение без формул, фактически передоказывает лемму
Соважа и пользуется перестановочностью матриц D и С^,
не оговаривая этого явно. Для неперестановочных матриц D и
Cm+i рассуждение Племеля не проходит. Например, если т=|,
X=xDxc, = Oj, C=(oq), то матричная функция А(т)==
Х'1 = (о т-1) им661, непростой полюс в нуле.
4.5. Обобщения. В современной литературе линейные систе-
мы дифференциальных .уравнений интерпретируются как связно-
сти в векторных расслоениях. Это позволяет решать проблему
Римана—Гильберта с неклассическим временем '(t Пробегает
произвольную риманову поверхность или многомерно [82]). ,
Приведем некоторые приложения теории векторных расслое- ?
ний на сфере к проблеме Римана—Гильберта; первая половина Д
138 I
л. 4.7 представляет собой перевод на геометрический язык по-
лученных ранее результатов.
4.6. Векторные расслоения на сфере.
Определение. Векторным расслоением ранга п на сфере
Римана называется тройка (Е, л, 5), где Е—(«4-1) -мерное
комплексное многообразие (называемое пространством рас-
слоения) , содержащее сферу S, называемую базой или нулевым
«сечением расслоения; л : E->S — голоморфное отображение,
тождественное на S (ретракция). Каждый слой Ft=nrlt биго-
ломорфно эквивалентен Сп; тем самым на слоях задана линей-
ная структура. Требуется еще, чтобы расслоение было локаль-
но тривиальным: для каждого круга Д’ из S существует биго-
ломорфное отображение Нк: л~1К-^КХСп, переводящее каж-
дый слой Ft в слой {/} X Сп и линейное на каждом слое.
Замечание. Пусть К+ и Кг покрывающие сферу круги с
центрами 0 и оо соответственно, и=КГ(\К~. Функция перехода
(Ял-+)-1 °НК- определяет голоморфное отображение?:!/-*
—»-GL(n, С). Обратно, .каждое такое отображение определяет
голоморфное векторное расслоение над сферой: пространство
Е получается из объединения К*ХСП и К“ХСП склейкой то-
чек (t,z) и (/, F(t)z), t&U, z6Cn; проектирование л порождается
проектированием вдоль второго сомножителя. Построенное век-
торное расслоение на сфере называется ниже расслоением со
оклейкой F.
Определения, а) Два векторных расслоения называются
эквивалентными, если существует биголоморфное отображение
пространства одного расслоения на пространство другого, со-
прягающее проектирования и линейное на каждом слое,
•б) Расслоение называется тривиальным, если оно эквивалентно
прямому произведению сферы на Сп. в) Расслоение называется
прямой суммой линейных, если оно эквивалентно расслоению
*со склейкой F : / f->diag(/d*,..., tdn). г) Детерминантом вектор-
ного расслоения со склейкой F называется расслоение ранга 1
(линейное расслоение) со склейкой det F.
Замечания. 1. Расслоение со склейкой F тривиально, если
fi только если уравнения Е=Ф+-1Ф_ имеет голоморфное реше-
ние
(Ф+, Ф-), Ф+:К*-*ОЬ(я, С), Ф_:/С->СЬ(/г, С).
2. Лемма Соважа (1886 г.) (п. 4.4) означает, что каж-
дое векторное расслоение на сфере эквивалентно прямой сум-
ме линейных.
4.7. Применения к проблеме Римана—Гильберта. Пусть
«1...., ат, оо, 7'1,..., Tm, Тт+1—заданные точки й соответ-
ствующие им преобразования монодромии, Тт^Тт. ..ТХ=Е. Каж-
дый набор фуксовых главных частей (/ — ai)c‘, •• •, (l/0Cm+l’
ехР 2niCj=Tj задает векторное расслоение на сфере с помощью
построений, описанных в пп. 4.2 и 4.3. Из тривиальности этого
139
расслоения следует существование фуксовой системы с задан-
ными полюсами и монодромией. Впрочем, построенное расслое-
ние не всегда тривиально. Существование линейной системы с
регулярными особыми точками следует из существования меро-
морфной тривиализации1’ этого расслоения с полюсом оо. Тео-
рема Биркгофа (п. 4.3) показывает, что такая тривиализация
всегда существует.
Пусть S1 — единичная окружность.
Теорема Шауна (D. Shaun, Topology, 1973, 12, № 4).
В пространстве Z всех ростков голоморфных отображенйй
(C,S*)-»-GL(n, С), задающих аналитические векторные рас-’,
слоения на сфере с тривиальным детерминантом, отображения,
соответствующие нетривиальным расслоениям, образуют собст-
венное аналитическое подмногообразие. Это значит, что в лю-
бом аналитическом конечно параметрическом семействе А
отображений из пространства 3? отображения, соответствующие
нетривиальным расслоениям, образуют замкнутое аналитическое
подмножество; семейство А можно сколь угодно мало проде-
формировать так, что это подмножество станет собственным.
Отсюда, после некоторых вычислений, получается следующая
Теорема (Ю. С. Ильяшенко, 1984). В пространстве (GL(/t
С))"1 существует счетное объединение собственных аналитических
подмногообразий, каждый набор 7\,..., Тт из дополнения к ко-
торому обладает следующим свойством. Для каждого набора
(<-ai)S..., (1/0с^ фуксовых главных частей: exp 2niC/=7’;.,
/п+1
/ = 1,..., /п + 1, . Ti)-1, 2trC/=° существует
фуксова система, фундаментальная матрица решений которой
имеет фуксовы главные части из данного набора.
4.8. Изомонодромные деформации и уравнения Пенлеве.
Пусть коэффициенты линейного дифференциального уравнения
или системы голоморфно зависят от одного комплексного па-
раметра. Такое семейство называется деформацией уравнения.
Деформация называется изомонодромной, если группа моно-
дромии не меняется при изменении параметра. Шлезингер
(L. Schlesinger) нашел условия на деформацию, при которых
она изомонодромна. Для некоторых уравнений второго порядка
условие изомонодромности записывается в виде уравнения
класса Р. Гарнье (R. Garnier) [22, с. -284] показал, что все
уравнения Пенлеве получаются, как условия изомонодромности
'некоторых деформаций линейных уравнений. Недавно обнару-
жены новые связи между уравнениями Пенлеве и изомоно-
дромными деформациями, имеющие приложения в теоретичес-
кой физике [57].
» Т. е. существования репера в каждом слое, голоморфно зависящее.от
tQC и мероморфного по t в точке оо.
140
ЛИТЕРАТУРА
Начнем с аннотации некоторых книг из приводимого ниже списка лите-
ратуры. В учебниках [51], [7], [93] излагаются основы теории обыкновен-
ных дифференциальных уравнений, обсуждаются ее связи с другими обла-
стями математики и приложения к различным разделам естествознания:
/механике, электротехнике, экологии и т. д.
Книги [54] и [43] стоят у истоков качественной теории дифференциаль-
ных уравнений и теории устойчивости; наш обзор в значительной части яв-
ляется продолжением1 исследований, начатых А. Пуанкаре и А. М. Ляпуновым*.
Книги [1], [48], [37], [67], [8] являются монографиями общего характера.
Книги [48], [37], [67] отражают состояние качественной теории дифферен-
циальных уравнений в конце 40-х, 50-х и 60-х годов соответственно. Книги
[1], [22] излагают теорию дифференциальных уравнений в комплексной об-
ласти. В частности, в книге [1] изложена теория интегральных преобразова-
ний и ее приложения к решению линейных уравнений. Основы теории ли-
нейных уравнений с комплексным временем освещены в книгах [37], [67].
Книга [8] содержит обзор современного состояния теории обыкновенных
дифференциальных уравнений. В ней изложены основы метода нормальных
форм Пуанкаре и его приложения к исследованиям последних лет, основы
теории гладких динамических систем, локальная теория бифуркаций.
В книге [2] дано первое систематическое изложение основ качественной
теории дифференциальных уравнений на плоскости: теория автоколебаний
{предельных циклов), разрывных (релаксационных) колебаний, и разобраны
многочисленные приложения к физике и технике.
Явление мягкой и жесткой потери устойчивости («опасные и безопас-
ные границы области устойчивости») исследовано в книге [12], где разобра-
ны также многочисленные приложения.
Книга [3] посвящена геометрической теории дифференциальных урав-
нений на плоскости и сфере. В ней фактически содержится полный набор
топологических инвариантов аналитических векторных полей с изолирован-
ными особыми точками на двумерной сфере.
Книга [18] посвящена методу нормальных форм, разрешению особенно-
стей и их приложениям к исследованию (аналитических дифференциальных
уравнений и к задачам механики. Книга [14] посвящена теории нормаль-
ных форм, в основном для формальных и гладких векторных полей и отобра-
жений. Геометрическое изложение метода разрешения особенностей содер-
жится в книге [85]. Локальная теория инвариантных многообразий изложе-
на в [44], [37], [85]; в [44] она применяется к уравнениям математической
физики.
В книге [45] изложена локальная теория гамильтоновых систем, в ко-
торой из-за наличия инвариантной симплектической структуры возникают
специфические явления, не встречающиеся в дифференциальных уравнениях
общего положения.
Книга [17] посвящена теории возмущений, позволяющей исследовать
системы, близкие к интегрируемым.
В книгах [7],'[47] излагаются основы теории дифференциальных уравне-
ний на многообразиях. Теория Фробениуса изложена в [47]; геометрическое
изложение дано в [8].
Книга [62] посвящена теории слоений, частью которой является теория
дифференциальных уравнений с вещественным и комплексным временем. Она
содержит подробное изложение геометрической теории дифференциальных
уравнений на двумерном и трехмерном торе.
Книга [5f посвящена У-системам — естественному классу дифференциаль-
ных уравнений на многообразиях, обладающих свойством структурной
устойчивости. В этот класс входят, в частности, геодезические потоки на
компактных многообразиях отрицательной кривизны.
Книга [19] посвящена в основном асимптотической теории линейных
дифференциальных уравнений с комплексным временем.
141
Проблема Римана—Гильберта обсуждается в книгах [82], [ЮЗ], [65],.
[57]. Книга [103] посвящена теории Интегральных уравнений, с помощью*
которой было получено первое решение проблемы.
Книга [65] содержит теорию векторных расслоений и ее приложения
к проблеме Римана—Гильберта для уравнений на некомпактных римановых
поверхностях. В книге [57р разрешимость проблемы Римана—Гильберта»
прилагается к теории поля. В книге [82] теория линейных дифференциаль-
ных уравнений изложена на языке связностей в векторных расслоениях; это*
позволяет ставить и решать проблему Римана—Гильберта для уравнений с
многомерным временем.
1. Айне Э. Л., Обыкновенные дифференциальные уравнения. ОНТИ, Харь-
ков, 1939, 719 с.
2. Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э., Теория колебаний. Изд. 2-е.
М.: Физматгиз, 1959, 916 с.
3. —, Леонтович Е. А., Гордон И. И,, Майер А. Г., Качественная теория
динамических систем второго порядка. М.: Наука, 1967, б, 568 с.
4. —, Понтрягин Л. С-, Грубые системы. Докл. АН СССР, 1937, 14, 247—
251
5. Аносов Д. В., Геодезические потоки на замкнутых римановых поверхно-
стях отрицательной кривизны/Тр. Мат. ин-та, 1967, 90, 212 с.
6. —, Гладкие динамические системы. Часть вторая настоящего тома
с. 52—240
,7 . Арнольд В. И., Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука,
1972, 240 с.
8. —, Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных
уравнений. М.: Наука, 1978, 304 с.
9. —, Замечания о теории возмущений для задач типа Матье. Успехи мат.,
наук, 1983, 38, вып. 4, 189—203
10. —, Варченко А. Н., Гусейн—Заде С, М., Особенности дифференцируемых
отображений. М.: Наука, 1982, 304 с.
11. Бабин А. В., Вишик М. И., Аттракторы эволюционных уравнений с ча-
стными производными и оценки их размерности. Успехи мат. наук, 1983,
38, вып. 4, 133—187
12. Баутин Н, Н., Поведение динамических систем вблизи границы области
устойчивости. М.—Л.: Гостехиздат, 1949, 164 с.
13. Бахвалов Н, С., Численные методы. М.: Наука, 1975, 632 с.
14. Белицкий Г. Р., Нормальные формы, инварианты и локальные отобра-
жения. Киев: Наукова думка, 1979, 176 с.
15. Березовская Ф. С., Сложная стационарная точка системы на плоско-
сти: структура окрестности и индекс. Пущино, препринт НИВЦ АН
СССР, 1978, 24 с.
16. Богданов Р. И., Локальные орбитальные нормальные формы векторных
полей на плоскости. Тр. семинара им. И. Г. Петровского, 1979, вып. 5,
51—84
17. Боголюбов Н. И., Митропольский Ю. А., Асимптотические методы в тео-
рии нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974, 504 с.
18. Брюно А. Д., Локальный метод нелинейного анализа дифференциаль-
ных уравнений. М.: Наука, 1979, 256 с.
19. Вазов В., Асимптотические разложения решений обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений. М.: Мир, 1968, 464 с. (Wasow W., Asymptotic
expansions for ordinary differential equations. Wiley, 1963)
20. Варченко A. H., Оценка числа нулей вещественного абелева интеграла,
зависящего от параметра, и предельные циклы. Функц. анализ и его прил.,
1984, 18, вып. 2, 14—25
21. Воронин С. М., Аналитическая классификация ростков конформных ото-
бражений (С, 0)—>-(С, 0) с тождественной линейной частью. Функц. ана-
лиз и его прил., 1981, 15, вып. 1, 1—17
22. Голубев В, В., Лекции по аналитической теории дифференциальных
уравнений. М.—Л.: 1950, 436 с.
142
23. Громак В. И., О решениях второго уравнения Пенлеве. Дифференц.
уравнения, 1982, 18, вып. 5, 753—763
24. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А, Т., Современная геометрия.
М.: Наука, 1979, 760 с.
25. Дюлак А., О предельных циклах. М.: Наука, 1980, 160 с. (Dulac Н. Sur
les cycles limites, Bull. Soc. Math. France, 1923, 5/, 45—188)
26. Еременко А. Э., Мероморфные решения алгебраических дифференциаль-
ных уравнений. Успехи мат. наук, 1982, 37, вып. 4, 53—82
dw Pn(z, w)
27. Ильяшенко Ю. С., Пример уравнений ‘d^=Q"n(z 1 имеющих счетное’
число предельных циклов и сколь угодно большой жанр по Петровско-
му-Ландису. Мат. сб., 1969, 80, вып. 3, 388—404
28. —, Аналитическая неразрешимость проблемы устойчивости и проблемы
топологической классификации особых точек аналитических систем диф-
ференциальных уравнений. Мат. сб., 1976, 99, вып. 2, 162—175
29. —, Топология фазовых портретов аналитических дифференциальных урав-
нений на комплексной проективной плоскости. Тр. семинара им.
И. Г. Петровского, 1978, вып. 4, 83—136
30. —, Расходимость рядов, приводящих аналитическое дифференциальное
уравнение к линейной нормальной форме в особой точке. Функц. ана-
лиз и его прил., 1979, 13, вып. 3, 87—88
31. —, Слабо сжимающие системы и аттракторы галеркинских приближений
уравнения Навье—Стокса на двумерном торе. Успехи механики, 1982, 5Г
вып. 1/2, 31—63
32. —, Особые точки и предельные циклы дифференциальных уравнений на
вещественной и комплексной плоскости. Пущино, препринт, НИВЦ АН
СССР, 1982, 39 с.
33. —, Предельные циклы полиномиальных векторных полей с невырожден-
ными особыми точками на вещественной плоскости. Функц. анализ в
его прил., 1984, 18, вып. 3, 32—42
34. —, Пяртли А. С., Материализация резонансов и расходимость нормали-
зующих рядов для полиномиальных дифференциальных уравнений. Тр.
семинара им. И. Г. Петровского, 1982, вып. 8, 111—127
35. —, Хованский А. Г., Теория Галуа систем дифференциальных уравнений
типа Фукса с малыми коэффициентами. Препринт ИПМ им. М. В. Кел-
дыша, 1974, № 117, 28 с.
36. Капланский И., Введение в дифференцируемую алгебру. М.: ИЛ, 1959,
82 с.
37. Коддигтон 'Э. А., Левинсон Н., Теория обыкновенных дифференциальных
уравнений. М.: ИЛ, 1958, 474 с.
38. Ладис Н. И., Топологическая экви валентность линейных потоков. Диф-
ферент уравнения, 1973, 9, вып. 7, 2123—2135
39. —, Об интегральных кривых комплексного однородного уравнения. Диф-
ференц. уравнения, 1979, 15, вып. 2, 246—251
40. Ладыженская О. А., О конечномерности ограниченных инвариантных
множеств для системы Навье—Стокса и других диссипативных систем.
Зап. науч^ семинаров. Ленинград, отд. Мат. ин-та АН СССР, 1981, ПО,.
57—73'
41. Л anno-Данилевский И. А., Применение функций от матриц^ к теории
линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: АН
СССР, 1957, 456 с.
42. Лефшец С,, Геометрическая теория дифференциальных уравнений.
ИЛ, 1961, 388 с. (Lefschetz S., Differential equations; geometric theory
(2 nd. ed.). Inter science. New York, 1963)
43. Ляпунов A. M., Общая задача об устойчивости движения. М.—Л.: ГТТИ,
1950, 471 с.
44. Марсден Дж., Мак Кракен М., Бифуркация рождения цикла и ее при-
ложения. М.: Мир, 1980, 368 с. (Marsden J. & McCracken М., The Hopf
bifurcation and its applications. Springer, 1976)
143
45. Мозер Ю.> Лекции о гамильтоновых системах. М.: Мир, 1973, 168, с.
(Moser J., Lectures on Hamiltonian systems, Courant Institute of Mathe-
matical Science. N. Y., 1968)
46. Наймулъ В. A.f Топологические инварианты аналитических и сохраняю-
щих площадь отображений и их приложения к аналитическим диффе-
ренциальным уравнениям в С2 и СР2. Тр. .Моск. мат. о-ва, 1982, 44
253—245
47. Нарасимхан Р., Анализ на действительных и комплексных многообра-
зиях. М.: Мир, 1971, 232 с. (Narasimhan R., Analysis on real and comp-
lex manifolds. Universite de Geneve. Switzerland, 11968)
48. Немыцкий В. В., Степанов В. В., Качественная теория дифференциаль-
ных уравнений. М.—Л., 1949, 550 с.
49. Петровский И. Г., Лекции по теории обыкновенных дифференциальных
уравнений. М.: Наука, 1970, 279 с.
dy Р(х,у)
50. —, Ландис Е. М., О числе предельных циклов уравнения = opFf/r
где Р и Q — многочлены 2-й степени. Мат. сб., 1955, 37, вып. 2, 209—
250
51. Понтрягин Л. С., Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Физ-
матгиз, 1961, 312 с.
52. —, О динамических системах, близких к гамильтоновым., ЖЭТФ, 1934,
4, вып. 8, 234—238
53. Проблемы Гильберта. М.: Наука, 1969, 240 с.
54. Пуанкаре А., О кривых, определяемых дифференциальными уравнения-
ми. М.—Л.: ГИТЛ, 1947, 392 с.
55. —, Избранные труды. М.: Наука, 1974, 3, 772 с.
56. Риман P.t Сочинения, 194)8, 543 с.
57. Сато М., Дзимбо М., Мива Т., Голономные квантовые поля. М.: Мир,
1983, 304 с.
58. Сибирский К. С., Алгебраические инварианты дифференциальных уравне-
ний и матриц. Кишинев: Штиинца, 1976, 268 с.
59. Синай Я. Г., Эргодическая теория гладких динамических систем. Т. 2
настоящего издания
60. Совместные заседания семинара им. И. Г. Петровского и Московского
матем. о-ва. 6-я сессия, 18—21 января Г983. Успехи мат. наук, 1983, 38,
вып. 5, 119—174
61. Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений. М.: Гостехиздат,
1959, 468 с.
62. Тимура И. (Tamura I.), Топология слоений. М.: Мир, 1979, 320 с.
63. Трикоми Ф., Дифференциальные уравнения. М.: ИЛ, 1962, 352 с. (Tri-
comi F., Differential equations. Вlackie, 1961)
64. Федорюк M. В., Обыкновенные дифференциальные уравнения: лекции
для студентов второго курса. М.: Наука, 1972, 180 с.
65. Форстер О., Римановы поверхности. М.: Мир, 1980, 248 с.
66. Хазин Л. Г., Шноль Э, Э., Об устойчивости положений равновесия в
критических случаях и случаях, близких к критическим. Прикл. мат. и
мех., 1981, 45, вып. 4, 595—604
67. Хартман Ф., Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир,
1970, 720 с. (Hartman Р. Ordinary differential equations. Wiley, 1964)
68. Хованский А. Г., О представимости функций в квадратурах. Успехи
мат. наук, 1971, 26, вып. 4, 251—252
69. —, Вещественные аналитические многообразия со свойством конечности
и комплексные абелевы интегралы. Функц. анализ и его прил., 1984, 18,
вып. 2, 40—50
70. Худай-Веренов М. О., Об одном свойстве решения одного дифферен-
циального уравнения. Мат. сб., 1962, 56, вып. 3, 301—308
71. Четаев Н. Г., Устойчивость движения. Работы по аналитической меха-
нике. М.: АН СССР, 1962, 536 с.
72. Щербаков А. А., Топологическая и аналитическая сопряженность неком-
мутативных групп ростков конформных отображений и дифференциальные
144
уравнения на комплексной плоскости. Тр. семинара им. И. Г. Петров-
ского, 1984, вып. 12, 270—296
73. Babbit G., Vuradarafan V. S., Formal reduction theory of meromorphic dif-
ferential equations: a group theoretic view. Pacif J. Math., 1983, 109, N 1,
1—80
74. В am on R., Malta I. P., Pacifico M. J., Tokens F., Rotation intervals of
endomorphisms of the circle. Rio de Janeiro, 1983, Preprint, 10 p.
. 75. Bendixson I., Sur les courbes definies par des equation difffcrentielles.
Acta math., 1901, 24, 1—88 (Пер. на рус. яз. первой главы: Успехи мат,
наук, 1941, Р, 191—211)
76. Bertrand D., Travaux recents sur les points singuliers des equations diffe-
rentielles lineaires. Seminair Bourbaki, 31 -t annee N 538. Springer Verlag,
Leet. Notes Math., 1980, 770, 228—243
77. Bibikov Yu. N„ Local theory of nonlinear analytic ordinary differential
equations. Springer Verlag, Leet. Notes Math., 1979, 702, 147 p.
78. Birkhoff G. D., Collected mathematical papers. I. Amer. Math. Soc., 1950,
259—306
79. Camacho C., Sad P.t Topological classification and bifurcations of holo-
morphic flows with resonances in C2. Invent, math., 1982, 67, 447—472
80. Chen L., Wang M., The relative position and number of limit cycles if the
quadratic differential systems. Acta math, sinica, 1979, 22, N 6, 751—758
31. Chicone C., Shafer D. S., Separatrix and limit cycles of quadratic systems
and Dulac’s theorem. Trans., Amer. Math. Soc., 1983, 278, № 2, 585—610
82. Deligne P.t Equations differentielles a points singulieres reguliers. Sprin-
ger Verlag, Leet. Notes Math., 1970, 163, 131 p.
83. Douady A., Oesterle J., Dimension de Hausdorff des attracteurs. C. r.
Acad, sci., 1080, 290, И135—1138
34. Dumortier F., Singularities of vector fields on the plane. J. Different.
Equat., 1977, 23, N 1, 53—106
85. —, Singularities of vector fields. IMP A, Rio de Janeiro, 1978, 191 p.
86. —, Rodrigues P. R., Roussarie R., Germs of diffeomorphisms in the plane.
Springer Verlag, Leet. Notes Math., 1981, 902, 197 p.
87. —, Roussarie R., Germes de diffeomorphismes et de champs de vecteurs
en classe de differentiabilite finie. Grenoble Ann. Inst. Fourier, 1983, 33,
N 1, 195—268
88. Ecalle J., Theorie iterative. Introduction a la thSorie des invariants holo-
morphes. J. math, pures et appl., 1975, 54, 183—258
89. —, Sur les fonctions resurgentes. T. I, II. Orsay, 1981, 1—250, 251—531
90. Geometric dynamics. Springer Verlag, Leet. Notes Math., 1983, 1007,
827 p.
91. Harrison J., A C2 counterexample to the Seifert conjecture. Univ, of Calif.
Berkeley, 1982, 73 p. Preprint.
92. Hermann M. R., Sur la conjugaison differentiable des diffeomorphismes
du cercle a des rotations. Publ. math. Inst, hautes etud. sci., 1979, 49,
5—233
93. Hirsch M. » W., Smale S.t Differential equations, dynamical systems, and
linear algebra. New York, San Francisco, London, Acad. Press, 1974,
358 p.
94. Hukuhara H., Kimura T., Matuda T., Equations differentialles ordinaires
du premier ordre dans le champ complexe. Publ. Math. Soc. of Japan,
1961, 155 p.
95. Ichikawa F., On finit determinity of formal vector fields. Invent, math.,
1982, 70, N 1, 45—52
96. IViaSenko Ju. S.t Global and local aspects of the theory of complex diffe-
rential equations. Helsinki, Proc. Intern. Congr. Math., 1978, 821—826
97. Malgrange B.f Travaux d’Ecalle et de Martinez—Ramis sur les systemes
dynamiques. Semin. Bourbaki, 1981, 582, November, 1—16
98. Martinet J., Ramis J. P., Problemes de modules pour des equation diffe-
10—7712 24 145
rentielles non lineaires du premier ordre. Publ math. Inst, hautes etud.
sei., 1982, 55, 63—164
99. —, —, Classification analytique des equations differentielles non lineaires
4 resonnantes du premier ordre. Ann. Sci. Ecole norm, super., 1983, 16,
N 4, 571—621
100. Matsuda M., First order algebraic differential equation. A differential al-
gebraic approach. Springer Verlag, Leet. Notes Math., 1980, 804, 204 p.
JOI. Merkley M. G.> Homeomorphisms of the cercle without periodic points.
Proc. London Math. Soc., 1970, 20, N 4, 688—698
102. Moussu R., Symmetric et forme normale des centres et foyers degeneres.
Ergod. Th. & Dynam. Syst., 1982, 2, 241—251
103. Plemelj J., Problems in the sense of Riemann and Klein. Inter, publ. New
York—Sydney, 1964, 175 p.
104. Ruelle D.t Takens F., On the nature of turbulence. Communs Math. Phys.,
1971, 20, 167—192 (Пер. на рус. яз. В сб. «Странные аттракторы». М.:
Мир, 1981, 117—151)
105. Seidenberg A., Reduction of singularities of differential equation Ady=
=Bdx. Amer. J. Math., 1968, 90, N 1, 248—269
106. Sell G. R., Smooth linearisation near a fixed point. Preprint IMA, 1983,
N 16, 69 p.
107. Shi Songling, A concrete example of the existence of four limit cycles for
plane quadratic systems. Scientia (Sinica), 1980, 23, N 2, 153—158
108. Sibuya Y., Stokes phenomena. Bull. Amer. Math. Soc., 1977, 83, 1075—
, 1077
109. Takens F., Singularities of vector fields. Publ. Math. Inst, hautes etud. sci.,
1974, 43, 47—100
110. —, Moduli of singularities of vector fields. Topology, 1984, 23, № 1, 67—
70
111. Zehnder E., A simple proof of a generalization of a theorem by C. L; Sie-
gel. Springer Verlag, Leet. Notes Math., 1977, 597, 855—866
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аттрактор 41,42
— странный 42
Вариация монодромии 114
Группа всех симметрий дифферен-
циального уравнения 35
— диффеоморфизмов однопараметри-
ческая 14
— квазиоднородных растяжений 37
— монодромии 103, ГЗО
---слоения 103
---уравнения Риккати 132
Диаграмма Ньютона векторного поля
92i
Диффеоморфизм 14
— выпрямляющий 19
— структурно устойчивый 47
Задача, алгебраически разрешимая
54
*- алгебраически разрешимая до ко-
размерности k включительно 56
аналитически разрешимая 54
Замена формальная 58
Знаменатели малые 78
Инволюция 39
— допустимая 40
Интеграл первый 17
---формальный 88
Комплексификация линейного прост-
ранства 24
Кратность особой точки 32
— отображения в неподвижной точке
32
— цикла 32, 46
Кривая дискриминантная 38
— интегральная 13
---голоморфного поля направле-
ний 17
---дифференциального уравнения
14
---------не разрешенного относи-
тельно производной 38
---поля направлений 13
— фазовая 14
Криминанта 38
Ласточкин хвост 41
Линеаризация дифференциального
уравнения в особой точке 16
Ломаные Эйлера 20
Луч раздела 128
Метод Рунге—Кутта 20
Многообразие инвариантное 61
---формальное 82
— неустойчивое 62, 106
— - устойчивое 62, 106
— центральное 63, 106
Многочлен правильный 114
Множество вращения эндоморфизма
окружности 5*1
— полу алгебраическое 54
— а-предельное 34
— <0-предельное 34
Монодромия пути 102
Мультипликаторы цикла 32
Набор мультипликативно резонанс-
ный 104
— мультипликативного типа (С, v)-
104
— несоизмеримый по Брюно 78
—• резонансный 8, 58, 78, 109
----для системы с нефуксовой осо-
бой точкой 126
-------с фукоовой особой точкой
125
— Стокса 129
— строго зигелев 78
Негрубость абсолютная 118
Норма линейного оператора 23
Область Зигеля 78,1104
— Пуанкаре 77, 104,109 $ J
— резонанса 50 '
Окружность вклеенная 86
Оператор монодромии 108 *.
— Стокса 128
Определитель Вронского 26, 27
Отображение последования 31
— Л-сжимающее 43 • :
Переменные гиперболические 63
Период цикла 46
Поверхность уравнения 38
Поле векторное 13, 35
----голоморфное 17
---- квазиоднородное 37
----линейное гиперболическое (сла-
бо гиперболическое) в комплексном:
фазовом пространстве 84
-------^-резонансное 60
------- резонансное 58
-------строго Зигелева типа 78
-------типа Зигеля 78
-------типа Пуанкаре 78
----опускаемое 35
----плоское в точке 86
----производящее 15
----формально конечно определен-
ное 60
----формальное 58
10*
147;
-----ЛГ-определенное 60
— допустимое 117
— направлений 13» 38
— — голоморфное 17
— — дифференциального уравнения
——-------не разрешенного относи-
- тельно производной 38
однородное 36
— плоскостей 19
-----контактных 33
— производящее 45
— • фазовой скорости потока 15
Лолутраектория отрицательная 34
— положительная 34
Полутрансверсаль 1'1’1 «
Поток фазовый 15
-----локальный 15
Преобразование монодромии 31, 46,
124, 130
-----для сложных циклов >111
- = особой точки 89
Принцип сведения 63
Продолжение решения 21
— //-струи 56
Производная отображения 15
Пространство фазовое 43
-----расширенное 13
— чебышевское 116
<сг-процесс 86
Прямая вклеенная проективная 86
Раздутие полярное 86 *
— хорошее 87
Расслоение векторное на сфере Рима-
на 1139
— — прямая сумма линейных 139
— — тривиальное 139
Расслоения векторные эквивалентные
•139
Резонанс 58
Решение дифференциального уравне-
ния 13, 119
Ростки голоморфных векторных по-
лей, формально орбитально эквива-
лентные 99
~ конформных отображений, анали-
тически эквивалентные 97
Росток векторного поля 55
— диффеоморфизма 55
— отображения плоский 111
-----полурегулярный 111
— функции 56
Ряд асимптотический 127
Сборка 40
Седло 25
— сложенное 39
Сепаратриса седла 45
Симметрия векторного поля 35
148
— дифференциального уравнения 35
— поля направлений 35
Система обратимая 83
— полная первых интегралов 17
— решений фундаментальная 24, 27 *
— структурно устойчивая 44
— фуксова 130
Системы формально -эквивалентные
124
----б?-эквивалентные 124
Складка 38
Складывание поверхности уравнения.
38
Слоение 102
Струя 53
— нейтральная 54
— неустойчивая 54
— топологически нестабилизируемая
56
— устойчивая 54'
Точка критическая 119
------ подвижная 149, 120»
— неподвижная диффеоморфизма ги-
перболическая 105
— особая бесконечно удаленная 118
----векторного поля 15
---------гиперболическая 45
— — дифференциального уравнения
115
----иррегулярная 123
----монодромная 89
----невырожденная 16
----регуЛЯрНая 38,122
— — уравнения, не разрешенного от-
носительно производной 38
----фуксова Г23
—► — элементарная 87
— периодическая диффеоморфизма
46
Траектория диффеоморфизма харак-
теристическая .108
— точки под действием диффеомор-
физма 46,106
— характеристическая 89, 107
Узел 25, 39
— жорданов 25
— сложенный 39
Уравнение автономное 13
— Бесселя 134
— в вариациях 22
— Вебера 134
—• Гаусса гипергеометрическое 133
— диссипативное 27
— дифференциальное 13
----алгебраическое 149
----первого порядка, не разрешен-
ное относительно производной 38
— Лежандра 454
— неавтономное 13 — однородное 36 — определяющее '125 — Риккати'120 — Римана 133 — фуксово 130 — Эйлера 123 Уравнения, голоморфно эквивалент- ные 124 — мером орфно эквивалентные 124 — Пенлеве 122 Условие Липшица 19 — Фукса 123 Устойчивость асимптотическая 28 — по Ляпунову 27 — структурная 44 элементарный Ы2 Цикла неустойчивое многообразие 107 — устойчивое многообразие 107 — центральное многообразие 107 Часть главная векторного поля 92 — линейная векторного поля 16 Число вращения гомеоморфизма ок* ружности 47 —— дифференциального уравнения на торе 47 Член мультипликативно резонансный 105 — резонансный 59, 109 Эквивалентность векторных полей
Факторсистема 35 Фокус 25 — сложенный 39 Формула Лиувилля — Остроградского 25, 27 Функция Ляпунова 29 — квазиоднородная 37 — угловая- 46 — Четаева 29 формальная 58 —• диффеоморфизмов топологическая,. Ск-гладкая, аналитическая 47 — дифференциальных уравнений в окрестности особых точек тополо- гическая, С*-гладкая, аналитиче- ская 51, 52 • — орбиталь* ная 52 голоморфная 124
Центр 25 Цикл 31, 46 — гиперболический 107 — диффеоморфизма 46 — комплексный .103 — невырожденный 33, 46 — орбитально асимптотически устой- вый 33 устойчивый 33 — порождающий 114 — предельный 31 ч сложный 1*10 \ — мероморфная 124 — первого порядка, не разре- шенных относительно производной 38 топологическая орбитальная 44 — локальных фазовых потоков топо* логическая 15 — ростков векторных полей 55 —- формально голоморфная 124 — формально мероморфная 124 Экспонента линейного оператора 23- Явление Стокса 128 :
f
УДК 517.91/517.93
II
ГЛАДКИЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие (Д. В. Аносов)............................. .
Глава 1. Исходные понятия (Д. В. Аносов).........................
§ 1. Понятие динамической системы..............................
1.1. Потоки и каскады . . ............................ .
1.2. Случайные процессы как динамические системы. Символическая
динамика ...................................................
1.3. Траектории, движения, инвариантные множества . . . .
1.4. Обращение и замена времени . . : .' . . . . '•
1.5. Морфизмы динамических систем............................
1.6. Различные замечания.....................................
§ 2. Гладкие динамические системы..............................
2.1. Гладкие потоки..........................................
2.2. Уравнения в вариациях...................................
2.3. Отображение последования . .............................
2.4. Положения равновесия и периодические траектории
2.5. Индекс Морса (морсовский индекс)........................
Глава 2. Элементарная теория (Д. В. Аносов) ......
§ 1. Введение . . . . ..................................
1.1. Содержание главы . . .f ' . . 1....................
1.2. Типичность и грубость , . ...........................
§ 2. Индекс Кронекера — Пуанкаре ч смежные вопросы . . »
2.1. Индекс Кронекера — Пуанкаре .
2.2. Сводка топологических результатов о неподвижных точках
2.3. Индекс Фуллера...........................
2.4. Дзета-функция . . * , . . . . . j
§ 3. Системы Морса — Смейла . ................... .
3.1. Общие сведения о'системах Морса — Смейла . . . .. ,
3.2. Строение фазовых многообразий систем Морса — Смейла
3.3. Существование системы Морса — Смейла с заданными топо-
логическими свойствами порождающего диффеоморфизма или
векторного поля, а также с заданными свойствами • периодиче-
ских траекторий .... ...........................
3.4. Другие вопросы.......................‘..................
Глава 3. Топологическая динамика (Д, В. Аносов, И. . У. Бронштейн)
§ 1. Введение...................................................
§ 2. Аттракторы, наборы Морса, фильтрации и цепная рекуррентность
2.1. Аттракторы и и наборы Морса . . ................*
152
155
156
156
158
162
163
164
165
167
167
169
171
173
177
178
178
178
179
182
182
183
186
188
189
189
193
199
202
204
204
206
206
151
2.2. Цепная рекуррентность....................................20$
2.3. Функции Ляпунова.........................................209
§ 3. Индексы изолированных инвариантных множеств .... 210
3.1. Изолированные инвариантные множества.....................210
3.2. Изолирующие блоки и индексные пары.......................212
3.3. Гомологический и гомотопический индексы..................214
3.4. Индекс Морса — Конли....................................216
§ 4. «Повторяющиеся» движения..................................219
4.1. Неблуждающие точки. Центр..............................219
4.2. Варианты понятия неблуждаемости. Пролонгации .... 221
4.3. Минимальные множества....................................222
4.4. Дистальность и некоторые типы расширений минимальных
множеств...................................................,т 224
§ 5. Расширения динамических систем и неавтономные дифференци-
альные уравнения...............................................225
5.1. Неавтономные дифференциальные уравнения..................225
5.2. Линейные расширения*.....................................227
Глава 4. Потоки на двумерных многообразиях (С. X. Арансон,
В. 3. Гринес).....................................................229
§ 1. Особые траектории.........................................229
§ 2. Число, вращения Пуанкаре. Транзитивные и сингулярные потоки
.на.торе ......................................................232
§ 3. Гомотопический класс вращения. Классификация транзитивных
потоков и нетривиальных минимальных множеств потоков на
поверхностях................................................. 233
§ 4. Типичные свойства потоков на поверхностях.................236
v Литература.................................................... 237
Предметный указатель............................... . . . ‘ . 241
ПРЕДИСЛОВИЕ
Качественная теория обыкновенных дифференциальных урав-
нений (КТДУ) и теория динамических систем (ТДС) возникли
внутри теории дифференциальных уравнений; со временем ТДС
приобрела определенную автономию и сейчас уже может счи-
таться самостоятельным разделом математики, который продол-
жает интенсивно развиваться. Она сохраняет тесную связь с
теорией дифференциальных уравнений, а граница между ними
не особенно отчетлива (к сожалению, в той области, где обе
теории перекрываются, между, ними имеются некоторые разли-
чия в терминологии). В то же время у ТДС установились и бо-
лее новые связи с другими разделами математики, оказываю-
щиеся. даже более существенными для некоторых вопросов
ТДС. Само понятие динамической системы (ДС) со временем
претерпело значительную эволюцию. >
ДС бывают гладкими, топологическими (определение см. в
гл. 1, § 1) и измеримыми. Последние изучаются в эргодической
теории, или метрической теории ДС («метрической» в смысле
меры, а не метрики). Ей посвящен том 2; основной случай в
152
рей — ДС с инвариантной мерой (и свойства ДС рассматрива-
ются, так сказать, по отношению к этой мере)^> Теорию топо-
логических ДС часто называют топологической' динамикой; из
нее здесь, главным образом, излагается то, что представляет
-интерес в связи с теорией гладких ДС, которую иногда назы-
вают дифференциальной динамикой. Эта классификация до-
вольно условна, ибо куда отнести, скажем, метрические свой-
ства гладких ДС? Они отнесены к тому 2 по соображениям
равномерного распределения материала. Точно так же специ-
фическим свойствам ДС, рассматриваемых в аналитической ме-
ханике и близких к ним, посвящен том 3, хотя это гладкие
ДС. .
В статье такого объема, как эта, невозможно осветить все
направления1 теории гладких ДС. Поскольку данная статья в
какой-то степени предшествует статьям по ТДС, помещенным в
других fOMax настоящего издания, в ней было необходимо дать
сводку часто используемых понятий, останавливаясь на различ-
ных оттенках, вариантах определений и терминов и т. п. Это
делается во вводной главе 1 и отчасти в остальных главах.
jB главах 2, 3 рассматриваются различные вопросы, так или
иначе связанные, с топологией (в гл. 2 — с алгебраической то-
пологией, а й гл. 3, кроме ее § 3, — с теоретико-множественной).
Их общая характеристика дается в начале этих глав. Гл. 4
посвящена потокам на поверхностях; эта теория (если не счи-
тать случая грубых систем и потоков на плоскости) мало изве-
стна и нигде не изложена систематически.
После этого естественно было бы перейти к гиперболической
теории, т. е. теории ДС с гиперболическим поведением траек-
торий.1 В 60-х гг. при оформлении теории гладких ДС в само-
стоятельную дисциплину гиперболическая теория сыграла наи-
более заметную роль; сейчас гиперболическая теория продол-
жает развиваться, причем ее понятия, методы-и результаты
используются в некоторых других направлениях. Поэтому неуди-
вительно, что некоторые учебники и обзоры' под названием вро-
де «Теория гладких ДС» посвящены в основном именно гипер-
болической теории; возле нее как бы группируются другие
затрагиваемые в них вопросы (если они вообще имеются). По-
скольку наиболее важные из других направлений отражены в
Других местах настоящего издания (см. ниже), то в насто-
ящей статье, если бы она была в несколько раз больше, гипер-
болическая теория тоже заняла бы центральное положение. Од-
нако многие важные вопросы гиперболической -теории хорошо
изложены'в различных книгах (полу)учебного характера; отча-
сти они затрагиваются в томе 2. Правда, содержание этих
книг и части тома 2 не исчерпывает гиперболической теории и
-тем более смежных с ней вопросов, но ведь при небольшом объ-
еме настоящей статьи в ней было бы невозможно сказать боль-
ше. .Вместо того чтобы предлагать еще одно изложение того
153
же материала, которое неизбежно было бы кратким и формаль-
ным, мне казалось целесообразным подробнее изложить здесь
некоторые другие вопросы, часть которых недостаточно освеще-
на в литературе. Помимо известного самостоятельного значе-
ния, они в значительной степени должны как бы предшество-
вать гиперболической теории. Если это не всегда, необходимо
для ее логического развертывания, то, по крайней мере, полез-
но для ориентации. Возможно, что в будущем тем вопросам
гиперболической теории и смежным вопросам, которые не
вошли в том 2, будет посвящен специальный том.
К материалу данной статьи и к вошедшим в том 2 разде-
лам гиперболической теории примыкают также статьи о нело-
кальных бифуркациях и о применении ТДС к математическим
^вопросам гидродинамики, которые предполагается поместить в
одном из следующих томов. По поводу других направлений в
теории гладких ДС отмечу, что аналитические вопросы, вклю-
чая малые знаменатели, затрагиваются в I статье и в тт. 2, 3,
а вариационные методы и интегрируемые системы —- в томе- 3
(последним предполагается посвятить также отдельный том;
правда, большая часть его будет относиться к уравнениям в
частных производных). Из менее обширных разделов упомяну
о вопросах, связанных с отображениями кольца (том 3; в от-
носящихся сюда исследованиях применяются соображения са-
мого различного характера — аналитические, геометрические,
вариационные) и (еще раз) об эргодических свойствах глад-
ких ДС, где кое-что не связано ни с гиперболичностью, ни с
малыми знаменателями.
Фазовым пространством («местом действия») в теории глад-
ких ДС является гладкое многообразие, обычно отличное от
евклидова пространства R”. Поэтому требуется некоторое зна-
комство с многообразиями. По большей. части достаточно све-
дений общего характера, относящихся, по известному выраже-
нию Ленга (S. Lang), к «ничьей земле, лежащей между тремя
великими дифференциальными теориями — дифференциальной
топологией, дифференциальной геометрией и теорией дифферен-
циальных уравнений». Ключевые слова: многообразие, карта,
касательный вектор, касательное расслоение, векторное поле,
векторное расслоение, гладкое отображение, диффеоморфизм,
риманова метрика,. подмногообразие, трансверсальность. Во
всех современных курсах теории обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений дается геометрическая трактовка автономных
систем в iRn; если читатель привык к ней (и освоился с «ничьей
землей»), то перейти к ДС на многообразиях уже несложно.
Кое-где встречаются уже спецефически топологические поня-
тия: степень отображения и вращение векторного поля, гомо-
логии, фундаментальная группа, накрытия и скольжения, гомо-
топные отображения и гомотопическая эквивалентность, изото-
пии, разложение на ручки. Приводимые формулировки не
154
выходят за рамки этих элементов (но это не относится к доказа-
тельствам). Используемые сведения из теоретико-множествен-
ной топологии фактически не идут дальше полных метрических
пространств и метрических компактов.
Несколько слов об обозначениях. R, R+, С, Z, N — множест-
ва вещественных, неотрицательных вещественных, комплексных,
целых, натуральных (неотрицательных целых) чисел, рассмат-
риваемые с обычными структурами (алгебраические операции,
топология). 5” — n-мерная сфера (иногда «стандартная» —
сфера |х| = 1 в Rn+1, — иногда просто многообразие, гомео-
морфное сфере), D"— «стандартный» n-мерный замкнутый шар
|х|^1 в Rn. Ограничение отображения f :А->В на CczA обоз-
начается через f| С, композиция отображений обозначается
иногда с помощью кружка, иногда без него. 1Л — тождествен-
ное преобразование множества А. ТМ — касательное расслое-
ние гладкого многообразия М, TJA — касательное простран-
ство к М в точке х. Гладкое отображение f: M-+N гладких
многообразий порождает отображение Tf: TM-+TN («касатель-
ное отображение», «дифференциал», «производная»); Tf(x) =
= Tf\TxM. Производная по независимому переменному t («по
времени») обозначается точкой наверху. Черта сверху обозна-
чает замыкание, ® — прямую сумму. Остальные обозначения
вводятся в тексте.
В заключение привожу некоторые литературные указания
по теории гладких ДС. Основные учебники (с преиму-
щественным уклоном в гиперболическую теорию): [2], [261,
[55], [72], '[76]. Обзоры широкого характера: [67],
[77]. В этих книгах и обзорах имеются свёдения по истории рас-
сматриваемых вопросов и довольно обширная библиография.
В качестве источника'можно использовать также «Математи-
ческую энциклопедию» [23]. Статьи из нее цитируются так:
МЭ, «Название статьи». Наконец, теория гладких ДС затра-
гивалась на всех последних международных математических
конгрессах, в трудах которых можно найти соответствующие
доклады, обычно обзорные.
В настоящей же статье библиография невелика, а история
почти не затрагивается. Бывает, что из нескольких работ по
какому-то вопросу цитируется только последняя, где можно
найти сведения о предшествующих работах, быть может, более
важных; таким образом, литературная ссылка часто означает
ссылку на источник литературной информации. (В соответ-
ствии со сказанным, здесь отсутствуют ссылки на классические
работы основоположников ТДС, впрочем, ряд таких ссылок
имеется в статье L)
Д. В. Аносов
155
Глава 1
ИСХОДНЫЕ ПОНЯТИЯ
Д. В. Аносов
§ 1. Понятие динамической* системы
1.1. Потоки и каскады. Мы будем рассматривать ДС двух
типов: потоки и каскады0.
Поток — это однопараметрическая группа или полугруппа
преобразований, действующая в некотором множестве М
(с определенной структурой и определенным образом согласо-
ванная с ней; см. ниже), называемом фазовым пространством
потока. Иными словами, каждому /6R или /6R+ сопоставлено*
отображение g‘: М-*~М и выполняется групповое свойство —
два соотношения
£°=1м, (1>
gt+s—gtgs При всех рассматриваемых t, s. (2}
В порядке, иллюстрации нередко проводят аналогию со стаци-
онарным течением жидкости или газа, где тоже возникает по-
добное семейство преобразований: за время t частица жидко-
сти переходит из точки х в g‘x. Этим и объясняется происхож-
дение названия «поток». Надо отдавать себе отчет в том, что»
«гидродинамическая» аналогия довольно поверхностная: вооб-
ражаемая «фазовая жидкость», «текущая», в фазовом прост-
ранстве, отличается от реальных сплошных сред отсутствием
взаимодействия между соседними частицами.
Каскад отличается от потока тем, что преобразования g*
определены только для №Z или Z.GN. В этом случае вместо, t,
s,... часто используют Л и соседние с ней тбуквы. Запись gk
можно понимать буквально как соответствующую итерацию
отображения g=gl при А>0 или обратного к нему отображе-
ния g-1 при k<0. Название «каскад» дано по контрасту с «по-
током».
Выше упоминалось о структуре в М. Мы будем иметь дел®
со структурами топологического пространства и многообразия
(всегда гладкого, хаусдорфова и со счетной базой, а если не
оговорено противное, то связного и без края). В первом случае
требуется непрерывность g‘x по (t, х) [топологические ДС,
поток, каскад; для последнего все сводится к тому, чтобы g
было гомеоморфизмом, если t пробегает Z, или непрерывным
отображением, если i пробегает N). Во втором случае опреде-
ляются гладкие ДС. Каскад {g*} — гладкий, если все g* —
*> О понятии ДС в более широком смысле см. МЭ, «Динамическая си-
стема», «Топологическая динамическая система», а также т. 2 настоящего
издания.
156
гладкие отображения; это сводится к тому, чтобы g было диф-
феоморфизмом (&6Z) или гладким отображением (&6N). Поток
гладкий, если gfx гладко зависит от (/, х) и
V (Х)== ~dt | t^X
есть гладкое векторное поле на М (поле фазовой скорости).
Оно полностью определяет («порождает») поток: g'xQ при фик-
сированном Хо и переменном t является решением дифференци-
ального уравнения
x=v(x) (3)
с начальным значением х0:
g*xQ=x(t), где x(0=v(x(/)) и х(0) =х0. (4)
(Для Af=Rn см. статью I, гл. 1, §§ 1, 2; для произвольного М —
В приложениях точки М (фазовые точки) часто изображают-
состояния некоторой изолированной (замкнутой) физической
системы или, более абстрактно, сами эти состояния рассматри-
ваются как элементы фазового пространства (т. е. множество
состояний рассматривается как имеющее соответствующую
структуру), а ДС описывает эволюцию системы, т. е. измене-
ние ее состояний со временем: из состояния х система за вре-
мя t переходит в состояние g*x. (В соответствии с этим t в
ТДС называется временем, хотя возможны и такие приложе-
ния, где физический смысл t иной.) Изолированность системы
проявляется в том, что переход из состояния g*x в g‘+tx, отве-
чающий изменению времени от s до s+f, происходит так же,
как если бы он происходил за время от 0 до t, что как раз и
отражено в (2).
Первоначально под ДС понимали изолированную механи-
ческую систему с конечным числом степеней свободы (откуда
и название ДС). Эволюция последней описывается гладким по-
током в фазовом многообразии М (нередко M=Rn, но, скажем,
Для кругового маятника или твердого тела с закрепленной точ-
кой это не так0), т. е. уравнением вида (3). Однако значительная
часть соответствующих геометрических (точнее, кинематиче-
ских) представлений — движение точки в М по фазовой кривой
и т- Д- — не зависит от того, описывает ли уравнение (3) ка-
кую-нибудь механическую систему. Поэтому термин ДС стал
применяться шире, обозначая то, что выше названо гладким
потоком. Как раз тогда же началось применение КТДУ к физи-
ческим системам немеханического характера - (радиотехниче-
ским, экологическим...) и это подтвердило, что необязательно
•^привязываться» к механике. В приложениях часто встречают-
1) Кроме того, может случиться, что поток {g<} задан в Rn, но у него
меется инвариантное многообразие М (т. е. инвариантное множество, см.
являющееся многообразием), и мы интересуемся только ограничением
tg'IAl} нашего потока на М. .
157
ся потоки, но, например, каскады появляются в экологии при
исследовании изменения численности популяции с неперекры-.
вающимися взрослыми поколениями, номера которых играют
роль дискретного времени. Все же в основном значение каска-
дов состоит в том, что они обычно оказываются технически не-
сколько проще потоков, а в то же время принципиальная сто-
рона дела в обоих случаях может быть одинакова, так что-
результаты, полученные для каскадов, нередко удается перене-
сти на потоки — чаще не путём формальной редукции, а пу-
тём некоторого видоизменения доказательств.
При желании тот факт, что некоторый каскад или поток яв-
ляется полугрупповым, можно отменить с помощью приставки*
«полу»: полукаскад, полупоток. В полугрупповом случае гово-
рят также о необратимости, необратимой системе и т. д., а в
групповом — об обратимости и т. д., но в вопросах, близких к
механике, термин «обратимая система» имеет совсем другой:
смысл (см. т. 3).
Замечу, что каскады называют еще ДС с дискретным вре-
менем, или дискретными ДС, а потоки —ДС с непрерывным
временем, или непрерывными ДС, но эти названия представля-
ются двусмысленными. Так, «непрерывными» с равным осно-
ванием могут называться системы с распределенными пара-
метрами, описываемые уравнениями в частных производных1’.
1.2. Случайные процессы как динамические системы. Симво-
лическая динамика. До сих пор речь шла о системе с детер-
минированным изменением состояний (элемент случайности мог
бы при этом войти.только как начальное распределение веро-
ятностей на фазовом пространстве). В теории вероятностей
вводится понятие «случайного процесса», формализующее пред-
ставление о классической (неквантовой) системе, эволюция ко-
торой не является детерминированной, но имеет определенные
вероятностные характеристики. Не воспроизводя полностью со-
ответствующих формулировок, отмечу то, что нужно для ТДС-
В общем случае случайный процесс определяется как семей-
ство измеримых отображений пространства элементарных со-
бытий Q в некоторое измеримое пространство А (фазовое про-
странство^ процесса; точки А называют состояниями процесса) г
параметризованных параметром t («время»), который в нашем
случае пробегает R, R+,Z или N. Нас интересуют стационарные
(в узком смысле) процессы (условие стационарности — аналог
изолированности или автономности). К числу таковых принад-
лежат процессы, которые получаются так: имеются измеримая
’> А когда ДС понимается в широком смысле — как действие некоторой
(полу) группы (см. цитированные выше ст. МЭ), — то указание о «непрерыв-
ности» или «дискретности» времени естественно понимать как относящееся
к топологии этой (полу) группы.
2) О нем специально упоминают, когда оно в каком-то смысле нетри-'
виально. Для часто встречающихся процессов с Числовыми значениями А=
= R со стандартной структурой, и специально говорить' о нем не требуется-
158
ДС {g*} в Q, которая сохраняет меру, задающую вероятность,
и измеримое отображение f: Q-+A; тогда gt(<o)=f(i‘®). Это,
казалось бы, довольно специальный класс стационарных слу-
чайных процессов, но оказывается, что в довольно широких
предположениях стационарный случайный процесс в некотором
смысле эквивалентен процессу такого типа. Прием, осущест-
вляющий эквивалентность, состоит в том, что вместо исходного
пространства элементарных событий берется новое простран-
ство Л4, элементами которого служат реализации (выборочные
функции, траектории) исходного процесса, т. е. функции (®)
со всевозможными со. Пространство реализаций естественным
образом снабжается структурой пространства с нормированной
мерой, за f принимается отображение, сопоставляющее функ-
ции x(t) ее значение при t—0, a g* определяется как сдвиг ар-
гумента функции на t:
(g‘x) (s)=x(t+s),
причем оказывается, что сдвиги сохраняют меру, введенную в
пространстве реализаций. Это — так называемое непосред-
ственное задание случайного процесса. Оно осуществимо всег-
да, но измеримость ДС гарантирована не всегда, а лишь при
определенных (хотя и достаточно широких) предположениях
(строго-говоря, при этом может оказаться нужным «подпра-
вить» исходный процесс g((©), изменив при каждом t его зна-
чения на множестве меры нуль). Впрочем, когда время дискрет-
но, затруднений с измеримостью не возникает. В этом случае
McAz или Д'4; об элементах М тогда чаще говорят как о
двусторонних или односторонних бесконечных последователь-
ностях {хп}, где nGZ, соответственно, nGN.
Итак, стационарные случайные процессы часто сводятся к
измеримым ДС с инвариантной нормированной мерой. (Надо
иметь в виду, что фазовое пространство М этой ДС не совпада-
ет с фазовым пространством А процесса; различен также
смысл слов «траектория», «состояние»:) Для теории вероятно-
стей это, возможно, не очень существенно (хотя применение
эргодической теоремы Биркгофа сразу дает усиленный закон
больших чисел). Зато ТДС получает интересные примеры. Не-
которые ДС вероятностного происхождения рассматриваются в
томе 2. Здесь же нам понадобится топологический аналог одной
такой ДС.
Топологический автоморфизм или топологический двусторон-
ний сдвиг (соответственно, эндоморфизм или односторонний
'Сдвиг) Бернулли ст и получающийся при его итерировании то-
пологический каскад (полукаскад) Бернулли {ст*} действует в
пространстве Q„ бесконечных двусторонних (односторонних)
последовательностей символов из некоторого конечного «алфа-
вита» Л = {аь..., ап], снабженном топологией прямого произ-
ведения бесконечного числа экземпляров А, рассматриваемых с
159>
дискретной топологией. й„,— метрический компакт; из (Различ-
ных метрик на Q„, задающих-эту топологию, наиболее употре-
бительна метрика .
Р ({*.}, {*/<}) =аехр (—pmin{|i|: xt^yt})
с фиксированными а, 0>О. о действует как сдвиг последова-
тельности, элементы которой записаны в порядке возрастания
номеров слева направо, на один шаг налево, причем в односто-
роннем случае элемент, имевший нулевой номер, опускается:
<т({х,}) -{*/}» где Xi'=xi+l.
Этот каскад имеет много нормированных инвариантных мер.
Вот некоторые из них.
Пусть на А задана нормированная мера р, т. е. каждому
приписана вероятность причем Spt = l и при ВсЛ
р(В) = S {pi: atGB}.
В Qn определяется (совместимая с топологией) мера ц — пря-
мое произведение мер р. («Цилиндрическому» множеству
{{х;}: хг,еВь..., XifiB,}, где Вус Л, ,
приписывается мера p(Bi) ... p(Br). С цилиндрических мно-
жеств она стандартным образом продолжается до меры на всех,
борелевских множествах и затем до полной меры.) По отноше-
нию к ц, каскад {о*} может рассматриваться как случайный
процесс с фазовым пространством’ Л, описывающий последова-
тельность независимых испытаний, которые все имеют исходы
а^&А и одно и то же распределение вероятностей р. Этим и объ-
Я.сняется упоминание о Бернулли в названии. Рассматриваемое
вместе с ji отображение а называется метрическим автоморфиз-
мом (эндоморфизмом) Бернулли.
Возможны очевидные обобщения, когда Л — бесконечное
множество, снабженное топологией или мерой, а «время» про-
бегает не Z или N, а другие дискретные (полу) группы. Нам они
не понадобятся.
Следующий по сложности случайный процесс — однородная
цепь Маркова с конечным числом состояний ait ...,ап и диск-
ретным временем. Ее реализации тоже являются двусторонними
или односторонними последовательностями символов из Л, пог
этому непосредственное задание данного случайного процесса
тоже сводится к введению в Qn некоторой нормированной ме-
ры ц, инвариантной относительно а (и согласованной с топо-
логией). Описывать ее построение я не буду (см. т. 2), отмечу
только, что если вероятность перехода из состояния в а,- рав-
на нулю, то множество всех последовательностей, в каждой из
которых хоть один раз а,- идет следом за ai( имеет меру нуль.
Это подсказывает следующий топологический аналог.
160 «
Пусть некоторые пары символов из А объявлены «допусти-
мыми». Всевозможные последовательности {х^}, для которых
при всех i пары (х,-, Хж) допустимы, образуют некоторое зам-
кнутое подмножество й'сйп, которое cr-инвариантно, т. е.
oQ'=Q'. (Оно может оказаться пустым при «неудачном» вы-
боре множества «допустимых» пар; подразумевается, . что
последнее выбрано «удачно», т. е. й'=#0.) Это — важнейший
пример замкнутого о-инвариантного подмножества Йп. Динами-
ческая система в £У, порожденная сдвигом cr|Q', называется
топологической марковской цепью. Множество допустимых пар
можно задать с помощью матрицы B=(&,3), где Ьц=1, если
пара (af, а3) допустима, и Ь,3=0 в противном случае. (Тогда
можно писать йв вместо й'.) Можно также задать его с по-
мощью ориентированного графа с п вершинами — обозначим их
тоже через ., ап, — в котором тогда и только тогда имеет-
ся ориентированное ребро (притом единственное), идущее из
а{ в а,, когда пара (а<, а}) допустима. Вершины графа отвечают
состояниям квазислучайного процесса (приставка «квази» свя-
зана с тем, что в «топологическом» варианте у нас нет понятия
вероятности); состоянию {xj ДС соответствует бесконечный
путь в графе, идущий по ребрам в положительном направле-
нии — из х,: в Х{+ь
Исследование топологических каскадов Бернулли — их ин-
вариантных мер, о-инвариантных замкнутых подмножеств и
т. д. — называется символической динамикой. Точнее, это сим-
волическая динамика в узком смысле слова; в широком же
смысле под символической динамикой понимают применение
символической динамики в узком смысле слова к исследованию
динамических систем (например, гладких систем), которые са-
ми по себе определяются совершенно независимо от йп и а.
Допустим, что мы отмечаем не только сам факт изменения
текущего состояния квазислучайного процесса, — скажем, было
ait стало, aj, — но что этот переход из а* в а3 может происходить
как бы несколькими способами, которые мы различаем. Такая
ситуация описывается с помощью матрицы В = (Ьц), в которой
Ьц равно числу различных способов перехода из. в а3; ее
(ситуацию и матрицу) можно отобразить также с помощью
ориентированного (мульти) графа с вершинами аь ...,ап, в
котором из а»- в а3 ведет Ьц ребер. Состоянию ДС (которая
по-прежнему называется топологической марковской цепью)
по-прежнему соответствует бесконечный путь в графе, идущий
по ориентированным ребрам; отличие от предыдущего случая
состоит в том, что теперь этот путь не определяется заданием
одних только вершин {xj, проходимых при движении по этому
пути, а надо указывать также и проходимые ребра. «Чисто сим-
волическая» формализация сказанного очевидна.
По существу, здесь никакого обобщения нет. Действитель-
но, от топологической марковской цепи в этом смысле можно
24
11—7712
161
перейти к некоторой топологической марковской цепи в перво-
начальном смысле, рассматривая бесконечные последователь-
ности ребер и считая, что пара ребер допустима, если конец
первого ребра совпадает с началом второго. Однако практи-
чески при использовании символической динамики в ТДС не-
редко непосредственно возникают именно такие топологические
марковские цепи, в которых возможно несколько переходов,
между двумя состояниями цепи.
Символической динамике посвящены монографии [1], [14].
Поэтому в томах 1, 2 она почти не рассматривается, хотя часть
приводимых нами результатов (в т. 2) получена с ее помощью.
1.3. Траектории, движения, инвариантные множества. Сле-
дующие несколько определений относятся и к потокам, и к кас-
кадам. Я буду обозначать ДС через {g'}> считая, что t пробе-
гает R, R+, Z или N, а фазовое пространство — через М.
Функцию t'-*-gtx называют движением точки х (и данной
ДС). Для гладкого потока это то же самое, что и решение
дифференциального уравнения (3), но в иной ситуации гово-
рить о решении не приходится (решение чего?). (Фазовая)
траектория данной ДС, точки х или движения t^glx — это об-
раз последнего, т. е. множество {g^}. Для топологического по-
тока это есть некоторая линия, за исключением того случая,
когда х — положение равновесия, т. е. glx=x при всех t. (По-
ложения равновесия называют также точками покоя. В статье
I траектории назывались фазовыми кривыми, что- неупотреби-
тельно в ТДС, а положения равновесия — особыми точками, что
уместно в гладкой ситуации, если иметь в виду, что они явля-
ются нулями векторного поля фазовой скорости и, значит, оно
не задает в них никакого направления.) Родетвенное понятие в
гладком случае — интегральная кривая поля направлений
(I статья, гл. 1, п. 1.1).
В литературе слова «траектория» и «интегральная кривая»
иногда употребляют в иных смыслах, в том числе и в смысле
«движения».
Траектория {gfx} называется периодической, если она яв-
ляется траекторией периодического движения, т. е. если gt+Tx—
—glx при всех t и некотором Т=^0. Все такие Т называют
периодами данного движения и (особенно в случае каскада)
точки х, которую при этом называют периодической точкой
(данной системы и — в случае каскада — отображения g). По
буквальному смыслу слов, периодичность включает и тот слу-
чай, когда g*x не зависит от t\ в случае каскада тогда говорят,
что х есть неподвижная точка (этого каскада и порождающе-
го его отображения), а в случае потока х есть положение рав-
новесия. Но, говоря о периодической траектории потока, часто
подразумевают, что последний случай исключен, а периодичес-
кую траекторию называют замкнутой траекторией, ибо она яв-
ляется замкнутой линией, по крайней мере если g*x непрерыв-
162
но зависит от t. (Что могло бы нарушаться в измеримом слуг
чае, когда впрочем, обычно вообще пренебрегают отдельными
траекториями.) В том же предположении все периоды являются
целочисленными кратными некоторого минимального периода
Го>0; последнее, очевидно, верно и для периодической траек-
тории каскада. Часто под периодом понимают минимальный пе-
риод.
Периодические траектории иногда называют циклами.
Положительная полу траектория—это {g'x, отрица-
тельная полутраектория (мы ее вводим только в обратимом слу-
чае)—это {g‘x, •ro=g<—начальная точка (начало)
обеих полутраекторий, которые исходят из нее или являются
полутраекториями этой точки. (А также и данной системы. При
данном начале Хо полутраектории можно считать, что /о=О,
ибо х можно заменить на Хо-) Для периодических траекторий
(включая положения равновесия потока) полутраектории сов-
падают синими самими, а каждая другая траектория в обрати-
мом случае разбивается любой своей точкой Хо на положитель-
ную и отрицательную полутраектории с начальной точкой х0.
Еще одно общее понятие — инвариантное множество. В груп-
повом случае так называется множество AczM, состоящее из
целых траекторий; иными словами, для него g‘A—A при всех t.
Для каскада {gft, feez} это эквивалентно тому, что g~1A=A, и
тому, что gA=A. В полугрупповом случае можно требовать,
чтобы при всех t было, соответственно,
1) (^)-'А=А; 2) g<A=A; 3) g‘AcA,
причем, для полукаскада {gft} это эквивалентно выполнению
аналогичного соотношения для g.: Используются все три вари-
анта. При необходимости различать их, можно в варианте 1)
говорить о двусторонней инвариантности, 3) — полуинвариант-
ности, положительной инвариантности или инвариантности &
положительном направлении; вариант 2) для каскада фигури-
рует обычно под названием g-инвариантность (ср. с Q' в
п. 1.2). Положительная инвариантность — выполнимость 3) при
всех — имеет очевидный смысл и в групповом случае.
1.4. Обращение и замена времени. В групповом случае, на-
ряду с {gf}, ДС является также и {g-}, где g_‘ = g_t. Можно
сказать, что {g_‘} получается из {g‘} обращением времени.
Если {§*} — гладкий поток с фазовой скоростью v, то {g-'J —
гладкий поток с фазовой скоростью — v.
Имея дело с потоком {g‘}, можно перейти к новому потоку
{Р}, у которого траектории те же, что у {g*}, и движение по
ним происходит в ту же сторону, но, так сказать, с другой ско-
ростью, т.‘е; при переходе к {/*} может измениться время, за
которое проходится та или иная дуга траектории. Говорят, что
{Г} получается из {g‘} с помощью замены времени. Для глад-
5
Н*
163
«их потоков гладкая замена времени состоит в том, что вектор
«фазовой скорости умножается на положительную гладкую ска-
лярную функцию.
1.5. Морфизмы динамических систем. Современный чита-
тель привык, что если имеются объекты, то должны быть и
-морфизмы, в том числе изоморфизмы, причем классификация
относительно последних — одна из естественных задач теории.
Хотя в полном объеме она может оказаться неразрешимой
((к этому, читатель, вероятно, тоже привык), могут быть полез-
~ными частичная классификация, различные инварианты и т. д.
В общем, это верно и в ТДС, хотя в разных ее разделах в
разной степени уделяется явное внимание морфизмам и клас-
сификации. В более абстрактных разделах это делается более
явно, в локальной КТДУ изоморфизмы могут выступать под
видом замен .координат. Морфизмы могут выступать не только
под другими названиями, но и как бы присутствовать неявно.
Так, ограничение динамической системы на инвариантное мно-
жество А в понятном смысле является «подсистемой», а тож-
дественное вложение А в фазовое пространство — мономорфиз-
,мом этих систем. Вот еще несколько определений, связанных
с морфизмами.
Пусть {f'} и {#'} — топологические ДС с фазовыми прост-
ранствами М и N. Непрерывное отображение h: M-+N назы-
вается гомоморфизмом этих ДС (подробнее: гомоморфизмом
, первой ДС во вторую), если hf‘=g‘h при всех /. (Если допу-
скать, чтобы движения били определены не 'при всех t
(пп. 1.6, 2.1), то нужно уточнить, должно ли f'x быть опреде-
лено при всех t, для которых определено g'ftxi) Для (полу) кас-
кадов {/*} и {g*} достаточно требовать, чтобы было hf=gh.
Иногда о гомоморфизме (возможно, только о сюръективном)
говорят, что он осуществляет полусопряжение ДС. Недостаток
этого названия состоит в том, что оно производит впечатление,
будто свойство ДС быть полусопряженными симметрично.
Когда гомоморфизм ft сюръективен (т. е. hM=N), первую
ДС называют (топологическим) расширением ^второй, а вто-
рую — (топологическим) фактором первой (если надо уточ-
нить — расширением, фактором, при отображении ft). Если ft —
сюръективный гомеоморфизм, то его называют изоморфизмом
(этих ДС), а о ДС говорят, что они (топологически) изоморфны
дели (топологически) сопряжены. Для (полу) каскадов {/*} и
в этом случае говорят также, что отображения f и g (топо-
логически) сопряжены. Если рассматриваемые ДС — гладкие,
й — диффеоморфизм, то можно говорить о гладкой сопряжен-
ности (Сг-сопряженности, если ft — диффеоморфизм класса Сг).
Топологические потоки {f‘} и {g‘J с фазовыми простран-
ствами М и N называются (топологически) эквивалентными,
если существует такой (сюръективный) гомеоморфизм ft: Л4—>
-*№, который переводит траектории одного потока в траекто-
164
рии другого с сохранением направления движения по ним.
(В статье I, гл. 2, п. 1.1 топологическая эквивалентность назы-
вается топологической орбитальной эквивалентностью). Иными
словами, первый поток сопряжен с потоком, который получает-,
ся из второго посредством замены времени (п. 1.4). Ради еди-
нообразия некоторых формулировок можно и о каскадах гово-
рить, что они эквивалентны, имея в виду, что они сопряжены..
В теории гладких ДС в одних случаях адекватной оказывает-
ся Сг-сопряженность, где г зависит от конкретной ситуации
(см., например, I статью, гл. 2, § 4; гл. 3, пп. 1.1, 6.4; гл.< 6,
п. 2.1; в I статье часто фигурирует также С00-сопряженность
и С“-сопряженность (аналитическая)), в других — топологиче-
ская эквивалентность.
В эргодической теории тоже имеются понятия, играющие
роль морфизмов (т. 2). Основное из них — метрический изо-*
морфизм ДС с инвариантными мерами. От топологического изо- •
морфизма он отличается тем, что является не гомеоморфизмом,
а изоморфизмом пространств с мерой.
1.6. Различные замечания. Вопросы ТДС и КТДУ так или
иначе связаны с качественной картиной расположения траекто-
рий в фазовом пространстве и качественными свойствами дви-
жений. Речь может идти о качественной картине и поведении
во всем фазовом пространстве (глобальные теория, исследова-
ние, картина...) или в некоторой его части (локальные теория
и т. д.). С оговоркой об условности границ и скорее как отте-
нок можно отметить, что в КТДУ траектории потока как (непа-
раметризованные) кривые играют подчас едва ли не большую
роль, чем движения, а в ТДС, особенно в более абстрактных ее
разделах, основную роль играют движения. В глобальных
вопросах ТДС обычно предполагается, что движение любой фа-
зовой точки определено при всех /6R, R+, Z, N (что и отражено
в п. 1.1), а в КТДУ это считают менее обязательным. Впрочем,
если мы интересуемся только расположением траекторий по-,
тока, а не движением по ним,- то всегда можно произвести та-
кую замену времени (п. 1.4), что каждое движение будет опре-
делено при всех t (однако для каскадов такой «трюк» невозмо-'
жен). Наконец, в локальных вопросах обычно не интересуются
дальнейшей судьбой траекторий, покидающих рассматриваемую
область фазового пространства, и никаких предположений о со-
ответствующих движениях не делают. Формализация такой, си-
туации для потока в терминах движений (что было бы необхо-
димо в негладком случае, где нельзя свести все к заданию в
интересующей нас области поля фазовой скорости) выглядит
несколько громоздко, хотя по существу она и тривиальна; об-1
щий ее характер будет ясен из того, что будет сказано в § 2-
применительно к гладкой ситуации. (Для каскадов же анало-
гичная ситуация формализуется просто: отображение, при ите-
рировании которого получается каскад, определено не всюду, а-
165
только на некотором открытом множестве.) Впрочем, часто
можно считать, что в некоем фазовом пространстве М имеется
«настоящая» ДС в смысле п. 1.1, но изучается только то, что
происходит в некоторой части М. Надо также сказать, что хо-
тя в ТДС, по сравнению с КТДУ, объект исследования значи-
тельно расширен, в более абстрактной ситуации возможности
содержательного изучения локальных вопросов сужаются, так
что локальная теория, если она в чем-то и выходит за рамки
КТДУ, все же остается близка к последней.
Отдельные траектории интересуют КТДУ и ТДС обычно тог-
да, когда их свойства могут в значительной степени влиять на
качественную картину, хотя бы локальную. К числу таких тра-
екторий относятся, в частности, периодические траектории
(включая положения равновесия потоков). Исследование окре-
стностей таких траекторий — «наиболее локальные» разделы
локальной теории, по существу принадлежащие КТДУ. Разделы
локальной теории, относящиеся к областям иных типов, можно
назвать полулокальными. Они новее, сложнее и хуже изучены;
их уже не всегда относят к КТДУ, хотя четкой границы здесь
нет — отчасти это связано просто с традициями различных
школ.
В ТДС большую роль играют различные свойства и сооб-
ражения, так или иначе связанные с компактностью тех или
иных объектов. Ввиду небольшого объема настоящей статьи,
в ней фазовое пространство обычно предполагается метриче-
ским компактом или замкнутым многообразием, вследствие че-
го ряд связанных с компактностью свойств выполняется авто-
матически. При более полном изложении в различных других
случаях пришлось бы иногда предполагать, иногда доказывать
Выполнение каких-то из этих свойств, а иногда разбирать, что
может произойти при их отсутствии.
, Так, при таком изложении часто фигурирует свойство от-
носительной компактности рассматриваемой (полу)траектории
(см., например, I статью, 1 гл., п. 5.5). Пуанкаре назвал.такие
(полу) траектории устойчивыми по Лагранжу. Тогда еще не
было общего понятия компактности, ныне же кажется излиш-
ним сохранять особое (и ничуть не более короткое) название
для данного специального случая.
Иногда бывает целесообразно тем или иным путем перейти
от некомпактного фазового пространства к компактному (воз-
можно, с заменой времени). Например, от R2 иногда удобно
перейти к сфере 52 (одноточечная компактификация), иногда —
к проективной плоскости RP2 или (это эквивалентно) к (по-
лусфере Пуанкаре {12], {20]. Поучительные нетривиальные
примеры компактификации имеются в [13], [70].
С другой стороны, иногда фазовое пространство не является
ни компактным, ни локально компактным. Таковы бесконечно-
мерные функциональные фазовые пространства, с которыми
166
приходится иметь дело при исследовании ДС, описываемых
уравнениями в частных производных или функционально-диф-
ференциальными уравнениями, а также ДС, соответствующих
некоторым (но не всем, ср. с п. 1.2) случайным процессам.
Последний случай является довольно специфическим и за-
трагивается в томе 2. Первый же ближе к КТДУ и теории
гладких ДС. Замечу, что обычно для таких ДС (физически —
систем с распределенными параметрами) выбор подходящего
функционального пространства не самоочевиден, а требование
непрерывности g‘x по (t, х) оказывается слишком ограничи-
тельным и обычно заменяется условием сильной непрерывности
полугруппы {g1}. Хотя при этом фазовое пространство неком-
пактно, наилучшие результаты относятся к тем случаям, когда
движения со временем как бы все более сосредоточиваются
возле некоторого компактного множества; к счастью, такие слу-
чаи действительно встречаются и соответствующие задачи
представляют несомненный интерес (ср. с той ролью, которую
играют вполне непрерывные операторы в теории операторных
уравнений). Впрочем, применение идей и методов КТДУ и
ТДС в этой области, по существу, только начинается. В одном
из следущих томов предполагается поместить статью, посвя-
щенную таким применениям в гидродинамике. Один из относя-
щихся сюда вопросов затронут уже в настоящем томе (статья I,
гл. 1, § 8). Кое-что можно найти в [22] и [58].
§ 2. Гладкие динамические системы
В этом параграфе объясняется, каким образом некоторые
понятия и факты, хорошо известные для гладких ДС в ^. пе-
реносятся на более общий случай гладких ДС на многообра-
зиях. В основном это связано просто с такой перефразировкой,
при которой формулировки оказываются «инвариантными», т. е.
Не зависят от конкретного выбора используемых локальных ко-
ординат, а часто и вообще не требуют обращения к таковым.
2.1. Гладкие потоки. Пусть на многообразии М задано глад-
кое векторное поле v (т. е. каждой точке х&М сопоставлен век-
тор v(x)erjM, в понятном смысле гладко зависящий от х).
Рассмотрим дифференциальное, уравнение (3). Для гладкой
функции x(t) скалярного аргумента t со значениями в М опре-
делена производная х(/)бТ1(/)М. Такая функция является реше-
нием (3), если x(t) =v(x(f)) при всех t из интервала определе-
ния x(t). Как и в случае A4=Rn, с этим связывается наглядное
представление о фазовой точке, движущейся в М (как бы «сре-
ди» неподвижных фазовых точек). Движение происходит таким
образом^ что в каждый момент времени t вектор скорости x(t)
равен вектору v(x(t)), который в нашем поле сопоставлен той,
точке фазового пространства, где в этот момент находится дви-
167
жущаяся точка. Как само понятие решения, так и это кинема-
тическое представление не зависят от локальных координат.
В то же время в терминах локальных координат (3) запи-
сывается как система вида
Xi=Vi(xi,...,xn), i=l....n, (5)
a x(t) представляется некоторым решением этой системы.
Именно, пусть (I/, ф)— карта многообразия М, т. е. UczM —
координатная окрестность и ф : f/->-Rn — координатное отобра-
жение, сопоставляющее точке X&U ее локальные координаты
(хь ...хп). Пока точка x{t) не вышла из U, можно говорить
о ее локальных координатах
•ф(х(0) = (Х1(0,-..,хп(0)-
Этот набор функций Xi(t) есть решение системы (5), в которой
(t>! (хь ..., хп),..., Un(Xi, ..., хп))
суть компоненты вектора v(x) в естественном базисе простран-
ства ТХМ, связанном с картой ({/,ф) (векторы этого базиса
суть d/dxi, если рассматривать касательные векторы как ли-
нейные однородные дифференциальные операторы первого по-
рядка).
Обращение к локальным координатам сразу показывает,
что различные локальные утверждения (о существовании ре-
шений и т. п.) непосредственно переносятся с уравнений в Rn
на уравнения на многообразиях. Если x(t), y(t) —два реше-
ния, причем x(t0) =y(t0-^a), то x(t) и y(t-l-a) совпадают в об-
щей области определения. Это позволяет обычным образом
(ср. со статьей I, гл. 1, п. 2.5) продолжить решение x(t) с на-
чальным значением х(О)=Хо на максимальный интервал су-
ществования решения, который мы обозначим через
7(хо) = (Г(хо), Г(хо))
(где t* могут равняться и ±оо). Продолженное х(/) может
проходить по различным координатным окрестностям и в тер-
минах соответствующих локальных координат описываться раз-
личными наборами функций — решений соответствующих сис-
тем вида (5) (а при повторном попадании в координатную об-
ласть, где x(t) уже находилось за некоторое время до того, оно,
вообще говоря, пройдет по другой кривой, нежели в прошлый
раз). Вводим отображения g* (сдвиг по траекториям на время
/) согласно (4). Вообще говоря, это лишь частичные преобразо-
вания, т. е. область определения g* является лишь частью М
(может быть, пустой). Множество
£>={(*, 06MXR: /6/(х)}
оказывается открытым, а отображение
D-*M (x,t)~g*x (6)
168
— гладким (класса Ст, если vGC. В действительности, глад-
кость несколько различна по t и по х; я не буду останавливать-
ся на этом). Выполняются соотношения (1) и (2), при .
=^AfxR последнее со следующей оговоркой: область определе-
ния левой части (2) содержит область определения правой
части (но необязательно совпадает с ней, хотя это так, если t
и s одного знака), и правая часть является ограничением ле-
вой на последнюю область. Если |£±(х)|<оо, то для любого
компакта КсМ при всех t, достаточно близких к /±(х), будет
g‘x$K. Если траектория {g*x} относительно компактна в М, то
/ (х) = R. В частности, это так, если компактно все М.
Согласно § 1, чтобы говорить о потоке {g‘}, нужно требо-
вать, что Z)=AfxR. Но нередко о потоке говорят и при
#=AfxR. По большей части читателю предоставляется судить,
где можно (хотя бы ценой небольшого изменения текста) до-
пустить такое понимание слова «поток».
Ясно, что диффеоморфизм двух многообразий позволяет
«перенести» гладкий поток, заданный в одном из них, в другое.
Вот несколько более общий факт.
Пусть h:M-*-N—гладкое отображение многообразий, v и
w — гладкие векторные поля на М и N, {/*} и {g(} — опреде-
ляемые ими потоки. Как известно, векторные поля v и w назы-
ваются Л-связанными, если
Th(x) -v(x) =w(x) при всех хбЛ4,
то есть
Th о v=w oft (7)
(в этой записи используется то, что векторные поля v и w яв-
ляются некоторыми отображениями М-*-ТМ, N-+TN). В таком
случае потоки {f(} и {g'} тоже связаны аналогичным соотноше-
нием типа гомоморфизма (п. 1.5)
Л о ft=gt о ft при всех t (8)
(с очевидными оговорками, если для {/*} в (6) D^AfXR).
Обратно, из (8) следует (7).
2.2. Уравнения в вариациях. В случае Л4—Rn, когда исполь-
зуются вс * время одни и те же всюду определенные координа-
ты (Хь ...,хп), хорошо известно следующее утверждение о
дифференцировании решений g*x уравнения (3) по начальным
данным (ср. со статьей I, гл. 1, п. 2.7). Пусть последние гладко
зависят от параметра с, а именно, пусть задана гладкая функ-
ция у (с) со значениями в Rn,‘ причем у(со)=Хо, и рассматрива-
ются решения g‘y(c) системы (3). Тогда вектор
(0 _«£<£>. I , (9)
' ОС I с—с$
по традиции часто называемый вариацией решения x(t) =g*Xo
системы (3),- является решением так называемой системы
Уравнений в вариациях вдоль траектории x(t) — системы
169
dx(t)=v'(x(t))dx(t), (10)
где 6х=-^-бх и v' есть матрица (дщ/ dxj). При этом началь-
ное условие, однозначно выделяющее наше 6х(0 среди прочих
решений системы (10), таково:
бл(0) = ^1. (11)
Рассмотрим теперь гладкий поток {g*} на многообразии М,
ло-прежнему определяемый уравнением (3). Легко видеть, что
отображения Tg* определяют некоторый поток на ТМ. Он как
бы «проектируется» в {g‘} при естественной проекции р: ТМ-*-
—*-М (переводящей ТХМ в х):
Выше фактически речь шла как раз об описании потока {Tgf}
при М = Rn. Действительно, если по-прежнему определить
бх(0 согласно (9) (что, кстати, имеет смысл и при Af^Rn), то
это будет касательный вектор к М в точке g*Xo, причем бх(0 =
= Tgf -бх(0) определяется из (11). Таким образом, дифферен-
циальные уравнения для бх(£)—это как раз и есть задание
потока Tgl посредством соответствующего векторного поля фа-
зовой скорости. В инвариантном виде (пригодном и в случае
М=£№, причем без обращения к локальным координатам)
последнее поле можно описать так. Оно должно быть векторным
полем на ТМ, т. е. некоторым отображением ТМ-*-ТТМ. Оказы-
вается, это есть отображение Tv; здесь v рассматривается как
отображение М-*-ТМ.
В терминах же локальных координат уравнения для потока
{Tg*} имеют, в понятных обозначениях, вид
Xi^Vitx), (12)
Отличие от (10) связано с тем, что вектор ИхЬТМ имеет 2п ко-
ординат (где n=dimM): п координат (хь ...,хп) у точки х=
=рбх на М и еще п координат (dxi,,.., бхп) у вектора бх в
пространстве ТХМ. Классические уравнения в вариациях для
траектории g{x0 потока {g‘} описывают {Tg‘} над этой траек-
торией, а (12) описывает {Tg‘} сразу над всеми траекториями,
попадающими в используемую координатную окрестность.
Класс гладкости потока {Tgf}-Ha 1 меньше, чем у V. При
этом даже в том случае, когда v€C*, из-за специального харак-
тера потока {Tg1} (он в понятном смысле линеен над каждой
траекторией потока {g‘}) он все-таки однозначно определяется
своим полем фазовой скорости Tv, хотя оно и не гладкое.
Известно классическое утверждение, что фазовая скорость
движения является решением соответствующей системы урав-
170
пений в вариациях. Его можно перефразировать в инвариант-
ных терминах так:
7g'(x)-v(x)=v(g'x), (13)
или так:
v(Af) с ГМ—инвариантное многообразие потока {Tg*}. (14)
Для каскада {gft} возникает каскад {Tgft} в ТМ\ ясно, что
он «проектируется» в {gft}, т. е. р °Tgh=gk° р, а в понятном
смысле «линеен» над каждой траекторией {g*x}. Роль уравне-
ний в вариациях для нее играет представление отображения
Tgh(x) в виде композиции
Tgk (gft-1-X>... oTg (gx)°Tg (x).
Общепринятого названия для {Tg*} и {Tgk} нет1’, если не
считать того, что на языке топологической динамики это есть
линейные расширения систем {g,‘} и {g*}. Но имеется много
различных линейных расширений, а нужно название именно
для {Tg*} и {Fg*}. Я рискну назвать их касательными линейны-
ми расширениями. (Или дифференциальными? Но не вариа-
ционными— за этим прилагательным, в отличие от существи-
тельного «вариация», твердо установился специфический смысл,
связанный с вариационным исчисленйем.)
2.3. Отображение последования. Пусть в «-мерном фазовом
многообразии Мп гладкого потока {g1} имеется гиперповерх-
ность V (многообразие коразмерности 1), трансверсальная к
векторному полю фазовой скорости (т. е. последнее нигде не
касается V). Ее называют сечением (а также секущёй поверх-
ностью, трансверсалью (последнее чаще при п=2) и еще —
уже только при л=2 — дугой без контакта). В названии может
еще уточняться, являетсял и сечение (и т. д. локальным или
глобальным — в последнем случае любая траектория пересека-
ет V и V замкнуто как подмножество в М. Сопоставив точке
vGV первую по времени после v точку пересечения траектории
{g'o} с V, если такое пересечение имеется, получим отображе-
ние F некоторого открытого подмножества VocV в V. Иными
словами, Fv—gtMv, где s(v) —время возвращения о на V, т. е.
такое s, что
s>0, g'oGV, g'uQV при 0</<s.
(Может, конечно, случиться, что F нигде не будет определено,
т. е. ни одна траектория не пересекается с V дважды.) Отобра-
жение F называется отображением последования (а также
оператором монодромии й, особенно в иностранной литературе,
отображением Пуанкаре). Оно часто используется как при
> Собственно, они подпадают под общее понятие «первого продолже-
ния» гладкой группы преобразований, восходящее к С. Ли (S. Lie). Но в
ТДС этот термин не был воспринят, и к-тому же «продолжение» легко спу-
тать с «пролонгацией» (ибо этимологически это одно и то же, только на
разных языках), а этот термин имеет совсем другой смысл (гл. 3, п. 4.2)
171
теоретическом исследовании, так и для наглядного представ-
ления результатов вычислений на ЭВМ траекторий системы
3-го порядка.
В последнем (трехмерном) случае, просчитывая решение на
очень длинном отрезке времени, отмечают последовательные
точки пересечения траектории с подходящим сечением V, т. е.
точки Fkv с фиксированным ибУ. Набрав достаточно много та-
ких точек (в типичном численном эксперименте число их мо-
жет быть порядка 100 или 1000), можно по их расположению
судить о поведении траектории Если она лежит на не-
которой инвариантной поверхности, то точки Fkv ложатся на
некоторую кривую; если {g'v} плотно заполняет некоторую об-
ласть, то точки плотно заполняют некоторую область на V;
если g‘v со временем приближается к некоторому множеству
А, подходя сколь угодно близко к любой его точке (т. е. А яв-
ляется ©-предельным множеством этой траектории; см.
статья I, гл. 1, п. 5.5), то точки Ро сгущаются возле множе-
ства Л ПУ и в какой-то степени воспроизводят его строение. Та-
кое представление результатов часто оказывается более удоб-
ным, чем вычерчивание траектории на комплексном чертеже
(проекция на две плоскости) или по аксонометрическому спо-
собу— легко окинуть взглядом сотни или тысячи точек, а та-
кое же количество «витков», которые делает траектория, уходя
от V и снова возвращаясь на V, при любом способе изображе-
ния в сколько-либо сложных случаях выглядит запутанно.'
Отображение последования чаще используется при иссле-
довании (полу)локальных вопросов, чем глобальных, ибо гло-
бальное сечение существует далеко нё всегда, а если и сущест-
вует, то не гарантировано, что Vo=V. «Крайний» пример —
поток
. <15>
в цилиндре Af=S*xR={(x, у)}, где х берется по mod л. Здесь
V=0XR — сечение, для которого Уо=0- Это связано с.неком-
пактностью М.
Можно доказать, что если М замкнуто, то для глобального
сечения Vo=V (отметим, что условие замкнутости V как под-
множества М приводит в этом случае еще к тому, что V — то-
же замкнутое многообразие). Вообще говоря, время возвраще-
ния s(u) непостоянно, но посредством гладкой замены време-
ни можно достичь того, что оно будет постоянным и, скажем,
равным 1. В этом случае М и {g‘} «восстанавливаются» (с точ-
ностью до диффеоморфизма, коммутирующего с g*) по V и -Е
с помощью следующей конструкции, называемой надстройкой
Смейла (S. Smale) над диффеоморфизмом F: V-+V (и каска-
дом {Р}). М получается при отождествлении в прямом произ-
ведении УХ[О, Г] «дна» VX0 и «крышки» VX1, когда (о, 1)
172
г
I
1 отождествляется с (Fv, 0), движение же происходит по «от-
резку» »Х:[0, 1] таким образом, что вторая координата возра-
стает с единичной скоростью, а когда движущаяся точка, по-
падает в положение (о, l) = (Fv, 0), она начинает двигаться по
«отрезку» FvX [0, 1J, и т. д. Данное построение применимо и в
.более общем случае, когда F — гомеоморфизм топологического
пространства V (и даже когда F: — непрерывное отобра-
жение, только тогда {g'} будет полупотоком). В нашем же слу-
яае оно позволяет получить заданные V и F как глобальное
сечение и отображение последования для некоторого гладкого
потока на некотором гладком многообразий. (На первый
взгляд может показаться, что при склеивании могут возникнуть
«изломы». Чтобы убедиться в гладкости, достаточно перефрази-
ровать построение в терминах подходящего отождествления в
HXR.)
Периодическую неавтономную систему (статья I, гл. 6, § 3)
Xi = vt(xb хп, t), i=l.......п, (16)
можно интерпретировать как автономную систему в цилиндре
I^XS1, где S‘ = R/tZ, т —период правых частей (16) по t. Ес-
ли решения (16) определены при всех t, то любая траектория
периодически возвращается на глобальное сечение V=RnX«,
.sGS1, так что в этом случае VQ— V.
В общем случае в пересечении замкнутой траектории L по-
тока {g'} на М с сечением V получается периодическая траек-
тория отображения последования, период т которой никак не
связан с периодом L. В предыдущем примере число тх являет-
ся периодом L (но необязательно минимальным периодом со-
ответствующего решения системы (16)). С другой стороны, в
общем случае для любой точки замкнутой траектории L су-
ществует локальное сечение, пересекающее L только в этой
точке, которая, стало быть, является неподвижной точкой
отображения последования. Ясно, что исследование поведения
траекторий потока в окрестности замкнутой траектории и ис-
следование итераций отображения последования в окрестности
его неподвижной точки или периодической траектории — это
почти один и тот же вопрос.
На примере итераций отображения последования видно,
что иногда целесообразно, отходя от § 1, говорить о каскаде
>{gn}, в котором преобразования gn частичные. Это — аналог
такого понятия потока, при котором допускается, что в (6) £>#=
^AfxR.
2.4. Положения равновесия и периодические траектории.
Переход от Rn к фазовому многообразию Мп не вносит ничего
нового в локальное исследование периодических траекторий,
включая положения равновесия. За исключением того случая,
когда М неориентируемо и рассматривается замкнутая траек-
тория L, обход вдоль которой изменяет ориентацию, такая
173
трактовка даже формально не увеличивает общности, ибо
возле рассматриваемой траектории можно ввести локальные
координаты и считать, что все происходит в R". И даже в.
исключенном случае, когда окрестность L устроена как прямое
произвёдение листа Мебиуса на R"'2, отображение последова-
ния все-таки можно рассматривать как (локальное) преобразо-
вание в Rn-1. Произвол в выборе локальных координат не су-
щественен, ибо интересующие нас определения и результаты
статьи I могут быть сформулированы (если ещё не были там
сформулированы) в таких терминах, которые непосредственно,
без участия координат, применимы к гладкой ДС на М. Для
таких понятий, как устойчивость или инвариантные многообра-
зия, это очевидно, а понятия, связанные с «линейным прибли-
жением», легко перефразировать в терминах {Tg*} и {Tg*},
описанных выше инвариантно.
Например, если х^—положение равновесия потока (3); то ли
нейный поток {Tg'(x0)} в ТХ,М определяется некоторым линей
ным векторным полем в ТХеМ (своим полем фазовой скорости)
Линейный оператор, задающий последнее, обозначим через
v'(x0). В терминах локальных координат он описывается мат-
рицей (dVi(xo)/dx}) (которая, стало быть, в этом случае — когда
v(xo)=0 — может рассматриваться как матрица компонент не-
которого тензора; при v(xo)=/:O это не так). Собственные зна-
чения положения равновесия х0 суть собственные значения
этого оператора (которые берутся с учетом кратности); оно
гиперболично, если все они лежат вне мнимой оси, и невырож-
дено, если все они ^О. Мультипликаторы замкнутой траектории
L={g‘x0} с периодом т суть собственные значения (с учетом
кратности) линейного отображения Tgz(x0)-, они не зависят от
выбора x0GL. Под периодом здесь обычно понимается мини-
мальный период то, но иногда целесообразно рассматривать
и другие периоды; тогда каждому периоду kxo отвечают свои
мультипликаторы — k-e степени тех, которые отвечают то-
В любом случае, ввиду периодичности и (13),
Jrr(^o)-v(xo)=v(xo),
так что всегда имеется один мультипликатор, равный 1; в
статье I он отбрасывается. Собственные значения неподвиж-
ной точки х0 каскада {g*} —это собственные значения опера-
тора Tg(x0), а собственные значения периодической траекто-
рии l={ghx0} с периодом тсуть собственные значения х0 как
неподвижной точки каскада {g™*}; они не зависят от выбора
х0&1. Если у потока имеется сечение V с отображением по-
следования F и замкнутая траектория L пересекает V, то соб-
ственные значения периодической траектории LQV каскада
{F*} суть в то же время и мультипликаторы L, причем у L
имеется еще один «лишний» мультипликатор 1. Замкнутая
траектория потока называется гиперболической (соответствен-
174
но, невырожденной), если у нее нет мультипликаторов, лежа-
щих на единичной окружности (соответственно, равных 1),
кроме одного, а периодическая траектория каскада и каждая
ее периодическая точка гиперболична (невырождена), если у
нее нет собственных значений, лежащих на единичной окруж-
ности (соответственно, равных 1).
Если замкнутая траектория рассматривается как траекто-
рия с периодом £т0, где то — минимальный период, то геомет-
рически можно представить себе, что делается k обходов
вдоль этой траектории. Соответственно можно говорить о k-об-
ходной траектории и писать символически L=L0‘, где Lo —
та же траектория, рассматриваемая с минимальным пе-
риодом (однообходная), a k назвать числом обходов. L можно
также назвать k-кратным повторением Lo (однако от на-
прашивающихся выражений «кратная замкнутая траектория»
и «ее кратность» приходится отказаться, ибо они имеют-
иной смысл — см. статью I, гл. 1, п. 5.3).
Положение равновесия называется изолированным, если,
рно является изолированным нулем векторного поля фазовой
скорости, т. е. если в некоторой его окрестности нет других
положений равновесия. В других случаях периодическая тра-
ектория потока или каскада с периодом т, необязательно ми-
нимальным (а также соответствующая периодическая точка
каскада), называется изолированной, если в некоторой ее окре-
стности нет других периодических траекторий с периодом, близ-
ким к т (для каскада — равным т). Может случиться, что пе-
риодическая траектория является невырожденной или изоли-
рованной как однообходная и не является таковой как.
fe-обходная (гиперболичность же не зависит от числа обходов).
Невырожденная периодическая траектория (включая положе-
ние равновесия потока) является изолированной и (в понятном
смысле) сохраняется при малом возмущении, а если она гипер-
болична, то и после возмущения остается таковой. Малость
здесь понимается в смысле С1.
Утверждения из I статьи об асимптотической устойчивости и
инвариантных многообразиях (гл. 3, п. 4.1 и гл. 6, пп. 2.3, 2.4)
периодических траекторий (включая положения равновесия)
автоматически переносятся на наш случай. Зафиксируем отно-
сящиеся сюда обозначения. Для гиперболической периодиче-
ской (с периодом р) точки х обратимого каскада {g*} ее
устойчивое и неустойчивое многообразия обозначаются через
1Р(х) и Wu(x), а устойчивое и неустойчивое инвариантные-
многообразия периодической траектории L={g‘x} суть
Г» (L)=(glx), W“ (L) =₽UI (glx)
i=0 i=0
(s, и — от stable, unstable. W*(x) и ТГ“(х) совпадают с устой-
чивым и неустойчивым инвариантными многообразиями х как
175-
неподвижной точки отображения gp и строятся сперва локаль-
но, а затем продолжаются посредством действия на них итера-
ций отображений g~p и gp). Аналогично обозначаются (и стро-
ятся) устойчивое и неустойчивое многообразия гиперболиче-
ского положения равновесия потока. Наконец, для гиперболиче-
ской замкнутой траектории L потока {g‘}, имеющей период т,
надо различать: 1) устойчивое и неустойчивое инвариантные
многообразия этой траектории W‘(L), WU(L), обозначаемые
также через W‘(x), IP'(x) при любой x6L; 2) устойчивое и не-
устойчивое многообразия точки хб£, обозначаемые через
W(x), №““(х). Иногда W’(x) называют слабым устойчивым
многообразием точки х, иногда же W‘(x) называют устойчивым
многообразием точки х, a W”(x)—ее сильным устойчивым
многообразием. Независимо от названия,
Ws(L)={y: £)-► 0 при /-><»},
Ц7«(х)={у: p(gty, gzx)->0 при f->oo}
(р— какая-нибудь фиксированная метрика). Правые части этих
соотношений определяют некоторые множества в более общей
ситуации — даже в общем контексте топологической динами-
ки, — но в нашем случае эти множества оказываются инъектив-
но иммерсированными многообразиями, причем касательное
пространство Е“ (х) »TXW“ (х)—это инвариантное простран-
ство оператора Tg”(x), отвечающее мультипликаторам X с
|1|<1, а £’(х) = TxW*(x) —прямая сумма Е“(х) й Rv(x) (где
v, по-прежнему, — фазовая скорость). Ясно, что
g‘Wss (x)=Wss (g‘x), WS(L)— U
0<«т
Если траектория Z3x вполне неустойчива (т. е. асимптотиче-
ски устойчива при —оо), то считаем, что W‘(L)=L,
IFss(x)=x; сказанное выше тривиальным образом остается в
силе и в этом случае. Далее, с очевидными изменениями все
сказанное относится к WU(L), U7““(x); соответствующие каса-
тельные пространства обозначаются через Еи(х), £““(х). Для
положения равновесия х потока или периодической точки х
каскада, №'(х), Wu(x) тоже являются иммерсированными мно-
гообразиями, а касательные пространства
Е’ (х) = TXW (х), £“ (х) = TXW* (х)
также описываются в терминах линейного приближения
{^‘(х)}; если это положение равновесия или траектория этой
периодической точки вполне неустойчивы, то TF’(x)=x, а если
они устойчивы, то Н7“(х)=х. (В этих (традиционных) обозна-
чениях имеется некоторая непоследовательность: многообразие,
обозначенное в случае каскада через №*(х), является аналогом
ТР'(х).)
176
Стоит заметить, что когда размерность фазового многообра-
зия больше двух, возникает много различных типов поведения
траекторий в окрестности замкнутой траектории, и представ-
ляется нецелесообразным говорить в данном случае о «пре-
дельных циклах» (точно так же, как для положений равно-
весия на плоскости не вводят понятия «предельного положения
равновесия»). Асимптотическая устойчивость уже имеет свое
название, а более широкий класс включал бы несколько ка-
чественно отличающихся друг от друга типов поведения, для
объединения которых нет оснований.
2.5. Индекс Морса (морсовский индекс). Индекс Мор-
cal) (М. Morse) определяется для гиперболической периоди-
ческой траектории (включая положение равновесия) как раз-
мерность dim!T“(L). В случае каскада точкам x6L приписы-
вается тот же индекс, что и L. (У некоторых авторов индекс
Морса замкнутой траектории на 1 меньше, чем здесь.) Будем
обозначать индекс Морса через и, и(х), «(L). Для положения
равновесия потока или периодической траектории каскада ин-
декс равен числу соответствующих собственных значений X с
ReX>0 при |Х|>1; для замкнутой траектории потока — увели-
ченному на 1 числу мультипликаторов X с |Х| >1. Хотя форму-
лировки в терминах X определяют некоторое число и в негипер-
болическом случае, оно нам не понадобится.
Сам Морс, как известно, определял индекс критической (ста-
ционарной) точки х гладкой (класса С2) функции f: M->R как
отрицательный индекс инерции «второго дифференциала»
d2f(x), т. е., в терминах локальных координат (х1,..., хп), как
число отрицательных собственных значений матрицы
(d2f(x)/dxidx1). Рассмотрим градиентный поток
х=—gradf(x), (17)
где градиент берется по отношению к какой-нибудь римановой
метрике. (Подробнее, превращение ковариантного вектора df
в контравариантный gradf производится посредством обычного
«жонглирования индексами» — в терминах локальных коорди-
нат i-ая компонента градиента
• (grad/y=2gi;^,
где (gi5) — матрица, обратная к матрице коэффициентов метри-
ческого тензора.) Его положения равновесия — это в точно-
сти критические точки функции f, причем гиперболичность по-
В математике имеется несколько величин и объектов иной природы,
носящих название «индекс» (не считая тех индексов, которые являются знач-
ками при основных буквах). В настоящей статье тоже встречаются индексы
нескольких различных типов, поэтому приходится к слову «индекс» прибав-
лять различные уточняющие слова. Когда же из контекста ясно, о чем идет
речь, можно говорить просто «индекс» (как это нередко и делается в лите-
ратуре) .
12—7712 24
177
ложения равновесия равносильна невырожденности критической
точки (ранг d2f(x) равен размерности М). В последнем случае
индекс Морса точки х как критической точки f совпадает с ее
индексом Морса как положения равновесия (вообще же первый
индекс совпадает с числом, о котором говорилось в конце пре-
дыдущего абзаца).
В вариационном исчислении в целом имеется вариант поня-
тия индекса Морса, относящийся к некоторым множествам кри-
тических точек («невырожденные критические многообразия»).
У нас этому соответствовало бы понятие индекса Морса для
множества периодических траекторий (удовлетворяющего опре-
деленным условиям). Но для ТДС такой вариант является ме-
нее существенным, и я ограничусь приведенным выше простей-
шим и в то же время важнейшим вариантом, относящимся к
отдельным траекториям.
Глава 2
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ
Д. В. Аносов
§ 1. Введение
1.1. Содержание главы. Название этой главы нуждается в
пояснении. Ее содержание элементарно в том смысле, что нигде
(в том числе и в опущенных доказательствах) не приходится
всерьез обсуждать возможности сложного предельного поведе-
ния движений — иногда потому, что рассматриваемые вопросы
не требуют такого обсуждения, а иногда потому, что у рассмат-
риваемых ДС предельное поведение движений является очень
простым. В других же случаях (не рассматриваемых в этой гла-
ве) подобные вопросы приходится затрагивать всерьез.
При первом знакомстве с КТДУ большое впечатление произ-
водит теория Пуанкаре—Бендиксона, устанавливающая возмож-
ные типы предельного поведения траекторий потока на плоско-
сти или двумерной сфере. (В статье I, гл. 1, п. 5.5 рассмотрен
основной случай относительно компактной полутраектории глад-
кого потока с изолированными положениями равновесия. Для
других случаев тоже имеется довольно полное описание; лите-
ратурные ссылки см. в МЭ, «Пуанкаре — Бендиксона теория».)
Невольно думается, что если в этой теории удается столь эф-
фективно использовать теорему Жордана (замкнутая кривая
разбивает плоскость), то использование более мощных тополо-
гических средств должно дать сильные результаты в многомер-
ном случае.
178
Однако особенностью потоков, в двумерном случае является
то, что траектории локально разбивают фазовое . пространство^
Этот факт сохраняется при переходе от сферы к другим замкну-
тым поверхностям; он справедлив также для обратимых каска?
дов на окружности S1. Для соответствующих ДС получается до-
статочно содержательная общая теория (гл.' 4 и статья I, гл. 2,
§§ 2, 4) °. Когда же траектории не разбивают фазового простран-
ства, ситуация, по существу, становится неизмеримо сложнее, и
в общем случае никакая топология помочь не может.
Положение улучшается для определенных сравнительно бо-
лее УЗКИХ КЛаССОВ ДС, ДЛЯ КОТОРЫХ МОЖНО ПОЛУЧИТЬ ДОВОЛЬНО1
полную информацию как о характере фазового портрета, так,
иногда, и о возможной связи последнего с топологией фазового
многообразия. Выделение таких классов ДС неизбежно зависит
от наших знаний, но не является произвольным или случайным.
В рассматриваемой здесь части теории гладких ДС оно тесно
СВЯЗаНО С ОбщИМИ КОНЦеПЦИЯМИ ГрубОСТИ И ТИПИЧНОСТИ, О КОТО-
рых говорится в п. 1.2. Это ^.ает основание полагать, что хотя со
временем могут быть введены и изучены новые классы ДС (бо-
лее широкие или просто иные, чем сейчас), известные сейчас
классы сохранят определенное значение. Простейший из них рас-
сматривается в § 3.
Перед этим в § 2 приводятся немногочисленные результаты
топологического характера, которые не зависят от принадлеж-
ности ДС к этим специальным классам, а относятся к периоди-
ческим траекториям и связаны с некоторыми их локальными
характеристиками. О поведении траекторий других типов они
ничего не говорят, так что доставляемая ими информация Q
фазовом портрете (когда она вообще доставляется) принципи-
ально не является полной. ,(Еще некоторые результаты тополо-
гического характера, тоже не связанные с принадлежностью
ДС упомянутым специальным классам, приведены в § 3 гл. 3.
Они относятся к определенным .инвариантным множествам, не
обязательно являющимся периодическими траекториями или
состоящими из токовых, и тоже касаются только некоторых
сторон фазового портрета.) "
1.2. Типичность и грубость. Рассмотрим всевозможные глад-
кие и обратимые ДС класса С1 на замкнутом n-мерном много-
образии М. (Обратимость каскадов предполагается, главным;'
образом, ради определенности; изменения формулировок для
необратимого случая незначительны и очевидны.) Пространст-
во таких -ДС — это пространство порождающих их векторных
полей класса С1 на 7Й в случае непрерывного времени и С1-
*> В статье I рассматриваются каскады на S1, порожденные гомеомор-
физмами, сохраняющими ориентацию. Если же гомеоморфизм обращает ори-
ентацию, то у него имеется неподвижная точка (точнее, даже две) и, по-
существу, все сводится к более простому случаю итераций гомеоморфизма
отрезка.
12*
179
диффеоморфизмов М-^-М в случае дискретного времени; оба
они снабжаются (^-топологией.
Будем говорить, что некоторое свойство ДС является гру-
бым, исключительным или типичным, если ДС, обладающие
Этим свойством, образуют в пространстве всех ДС класса С1,
соответственно, открытое множество, множество первой катего-
рии (объединение счетного числа нигде не плотных множеств),
множество второй категории. (Последнее понимается в узком
смысле — как множество, дополнительное к множеству первой
категории, т. е. как множество, содержащее плотное во всем
Пространстве множество типа (?в.) О ДС, обладающих исклю-
чительным или типичным свойством, также говорят, что они
исключительны или типичны. (Очевидно, это есть некотора'я
вольность речи, впрочем, вполне допустимая, если из контекста
ясно, по какому признаку выделены эти ДС. С термином «гру-
бость» аналогичная вольность речи недопустима, ибо термин
«грубая система» имеет иной смысл, см. ниже.) В понятном
смысле можно говорить о грубости, исключительности или ти-
пичности той или иной ситуации, того или иного случая. (Во-
преки этимологии, если свойство не типично, это еще не означа-
ет, что оно исключительно.)
Рассматривая ДС класса Ст, l^r^oo,. можно снабдить
пространство всех таких ДС Сг-топологией и соответственно по-
нимать типичность, исключительность и грубость некоторого
свойства в том смысле, как это получается при замене в преды-
дущем абзаце С1 на Сг. Если необходимо уточнить, какое г
имеется в виду, можно говорить о Сг-типичности (типичности в
Классе Сг) и аналогично для исключительности и грубости.
(Сказанное относится и к следующему абзацу.) В данной
статье везде, где не оговорено противное, г=1,— для большин-
ства рассматриваемых здесь вопросов ’ адекватным классом ДС
является класс С1 с соответствующей топологией.
ДС называется грубой или структурно устойчивой, если она
топологически эквивалентна любой достаточно близкой к ней
ДС, причем эта эквивалентность осуществляется гомеоморфиз-
мом достаточно близким к 1м в смысле С°. (Говоря
более формально, для любой окрестности V гомеоморфизма 1м
в пространстве всех гомеоморфизмов с С°-топологией имеется
такая окрестность °U рассматриваемой ДС, что последняя эк-
вивалентна любой ДС из °U посредством некоторого Об-
ращаю внимание, что близость ДС понимается в смысле С,
а близость h к 1м — в смысле С°, и что h осуществляет экви-
валентность, а не сопряжение.) Я не буду специально останав-
ливаться на грубых системах, ибо предполагаю написать о
них отдельный обзор (Труды МИАН, т. 169).
, Идея типичности не относится специфически к ТДС. Она
играет заметную роль во многих разделах математики. Вместо
типичности часто говорят о «случае общего положения». Для
180
случая общего положения картина может оказаться более про-,
стой, чем для каких-то исключительных случаев, в то же время
именно случай общего положения заслуживает первостепенно-
го внимания.
Как известно, когда речь идет о свойствах точек R", то ти-
пичность можно связывать не с категорией, а с мерой Лебега.,
Метрическая и категорная точки зрения во многом сходны, но
не совпадают, вплоть до того, что множество первой категории
может иметь полную меру. В бесконечномерных функциональ-
ных пространствах нет столь же естественной меры, поэтому,
метрический вариант отпадает. Но если рассматривать семей-
ство ДС,.зависящее от конечного числа параметров (Ль...
...,Xn)6Rn, то в этом семействе можно использовать и метри-
ческую точку зрения. Имеются интересные задачи, в которых
проявляется отличие этой точки зрения от категорной ([11].
§11, Л.). Далее, гладкие (того или иного фиксированного
класса гладкости) семейства гладких ДС сами образуют функ-
циональное пространство, и можно применять в этом простран-
стве категорный подход, а в пределах типичного в этом смыс-
ле семейства — метрический. Пока что метрическая точка,
зрения играла роль в вопросах, связанных с. малыми знамена-,
телями (т. 1, статья I; т. 3).
Вопрос о том, типично ли то или иное свойство гладкой ДС,
является четко поставленным вопросом, требующим ответа
«да» или «нет». Некоторые вопросы такого, рода решены, дру-.
гие остаются открытыми. Согласно теореме Купки—Смейла
(I. Kupka, S. Smale), у типичной гладкой ДС все периодические
траектории (включая положения равновесия в случае потока},
гиперболичны и их устойчивые и неустойчивые многообразия
пересекаются только трансверсально. ДС (потоки, каскады) с
такими свойствами называются ДС (потоками, каскадами^
Купки—Смейла', диффеоморфизм, порождающий каскад Куп-,
ки—Смейла, называется диффеоморфизмом Купки—Смейла,
В связи с типичностью, см. п. 3.1 и литературу, цитированную в
предисловии. . , ;
(Отвлекаясь на минуту в сторону, сформулирую часть тео-
ремы Купки—Смейла для необратимых каскадов. В пространст-
стве гладких отображений М на себя, снабженном С1-топологи-
ей, типичны (т. е. образуют множество второй категории)]
отображения, у которых периодические точки не имеют нулевых
собственных значений и являются гиперболическими (в том же
смысле^ что и раньше).)
В более широком плане проблема состоит в том, чтобы,
найти такой набор условий, который выполнялся бы для типич-
ной ДС и в то же время в значительной степени определял бы
ее возможные свойства, делая ситуацию более или менее обо-1
зримой. Такая общая постановка не является столь же четкой^
как выше. Однако несомненно, что эта проблема решена в.
181
Случае малой размерности фазового пространства (п. 3.1) и .не
решена в общем случае.
Как вопросы о типичности тех или иных конкретных свойств,
так и общую проблему можно ставить и в более узких клас-
сах ДС с какими-нибудь специальными свойствами, но этого я
не касаюсь.
' Что касается грубых систем, то основная проблема здесь
состоит в том, чтобы найти необходимые и достаточные усло-
вия грубости в терминах качественных свойств поведения тра-
екторий в фазовом пространстве. Она тоже решена лишь час-
тично.
§ 2. Индекс Кронекера—Пуанкаре
и смежные вопросы
' 2.1. Индекс Кронекера—Пуанкаре. Этот индекс будет опре-
делен для изолированных периодических траекторий1’, включая
положения равновесия потока. Во всех случаях определение
связано с понятием вращения векторного поля v на сфере
Sm-1cRm, не 'обращающегося на ней в нуль, т. е. степени ее
отображения x>->v(x)/|v(x) | в единичную сферу. Отображения
и векторные поля здесь и далее подразумеваются непрерыв-
ными.
Множество неподвижных точек отображения f обозначается
через Fixf. Число элементов множества А обозначается через
#4.
Для положения равновесия х индекс Кронекера (L. Кгопе-
Скег)—Пуанкаре равен вращению поля фазовой скорости на
Малой сфере, охватывающей х (с помощью локальных коорди-
нат поле и сфера переносятся в Rn). В топологии в этом случае
говорят об индексе нуля векторного поля. Индекс ind(a, f) изо-
лированной неподвижной точки а непрерывного отображения f
(необязательно гладкого) равен, в терминах локальных коор-
динат,-индексу соответствующего нуля' поля смещения f(x)—x.
(Топологи часто берут индекс для поля х—f(x); тогда пропа-
дает множитель (—1)" в формуле Лефшеца; см. в) ниже). Ин-
декс периодической (с периодом /) точки а отображения f
равен ind (a, fl). Оказывается, что все -точки f'a имеют такой же
йндекс, так что его можно приписать соответствующей периодй-
ческой траектории. (Это очевидно, если f в точках этой траек-
тории является локальным диффеоморфизмом. В общем случае
можно использовать аппроксимационные соображения, сочетая
*> Определив’ индекс инвариантного множества, состоящего из не-
скольких периодических траекторий, как сумму их индексов, можно затем
с помощью аппроксимационных соображений ввести индекс. Пуанкаре—Кро-
некера для некоторых инвариантных множеств, состоящих из периодических
Траекторий. Здесь это не понадобится, поэтому я не формулирую условйй,
при которых это можно сделать.
182
теорему Купки—Смейла для необратимых каскадов с утверж-
дением а) п. 2.2.) Для замкнутой /-обходной (гл. 1, п. 2.4) тра-
ектории L потока строим локальное сечение в точке xGL и оп-
ределяем indL как ind (х, F1), где F — отображение последо-
\ вания. Во всех рассмотренных случаях доказывается независи-
мость индекса от случайностей построения. При малом (в смыс-
ле С°) возмущении ДС, имеющей траекторию одного из рас-
смотренных типов (положение равновесия и т. д.) с ненулевым
индексом, у возмущенной системы тоже имеется траектория та-
кого же типа, расположенная вблизи исходной и, если речь идет
не о положениях равновесия, с близким (а в случае каскада —
таким же) периодом.
В невырожденном случае (гл. 1, п. 2.4) индекс определяется
по линейному приближению: он равен (—1)*, где i — число ве-
щественных собственных значений (мультипликаторов), кото-
рые в случае положения равновесия меньше 0, а в остальных
случаях меньше 1. Для невырожденного линейного отображе-
ния А векторного пространства V на себя будем писать s(X) =
= 1 или —1 в зависимости от того, сохраняет ли А ориента-
цию V или нет (это не зависит от выбора ориентации V).
Тогда для гиперболической периодической (с периодом /)
точки х каскада {/*} индекс ind(x, f)='(—l)u+nA, где u=u(x)
(индекс Морса, гл. 1, п. 2.5), а A=e(Tf,|£u (х)). Это А называ-
ют типом ориентации точки х и ее траектории. Для замкнутой
траектории L потока с периодом т индекс indL=(—l)u+nA,
где u—u(L), А=«(7£т|£ии(х)). При Д=1 говорят, что L не
закручена, при Д=—1 — что L закручена (twisted); эти на-
звания, как видно, относятся не к L как к кривой в)М, а к век-
торному расслоению над L со слоем £uu(x), указывая,.ориенти-
руемо ли оно («цилиндр») или нет («лист .Мёбиуса»).
С топологической точки зрения, свойства рассматриваемой
периодической точки х обратимого каскада {fft} характеризуют-
ся четверкой (Z, и, А, 6), где б=®(Т/г(х)), а локальные свойства
рассматриваемой замкнутой траектории L потока {g*}—трой-
кой (и, А, б), где d=e(TgT(x)), т. е. б='—1 или 1 в зависимо-
сти- от того, приводит ли обход по L к обращению ориентации
или нет. В случае каскада на ориентируемом М указанное
б зависит от четности или нечетности Z и от того, сохраняет ли
диффеоморфизм f ориентацию М, а последнее зависит только от
гомотопического типа f, так что при известном гомотопическом
типе четверку (1, и, А, б) можно сократить до тройки (/, и, А).
Для замкнутой траектории L потока инвариант б зависит толь-
ко от ориентируемости или неориентируемости М и от гомото-
пического класса L как замкнутой кривой; когда М ориенти-
руемо, (и, А, б) можно сократить до (и, А).
2.2. Сводка топологических результатов о неподвижных точ-
ках. С индексом Кронекера—Пуанкаре связано несколько по-
лезных утверждений, доказываемых в топологии.
183
а) Пусть в компактной области VcRn с гладкой границей
dV задано (непрерывное) векторное поле v с изолированными
нулями, которое нигде на dV не обращается в нуль, так что
определено вращение v на dV. Тогда последнее равно сумме
индексов нулей v в V.
Этот факт часто используется в КТДУ. Так, желая доказать
существование периодического решения у периодической неав-
тономной системы (гл. 1, п. 2.3), рассматривают вращение по-
ля смещения соответствующего отображения последования на
достаточно больших сферах.
Следствием а) является теорема Боля—Брауэра (Р. G. Bohl,
L. Е. J. Brouwer): непрерывное отображение f: D-*-D, где D
гомеоморфноВ”, имеет неподвижную точку. В связи с этим от-
мечу сходную по формулировке (но доказываемую иначе) тео-
рему Браудера (F. Е. Browder):
б) Пусть некоторая замкнутая область £>czRn гомеоморфна
Dn и пусть в большей открытой области JFczRn задано непре-
рывное отображение f: IF->Rn, причем все образы /*(£>) cW
(так что все они определены) и все они, начиная с некоторого,
содержатся строго внутри D. Тогда в D имеется неподвижная
точка отображения f.
В вопросе о периодических решениях периодической неавто-
номной системы эту теорему можно использовать, если систе-
ма диссипативна на бесконечности, т. е. все ее решения со вре-
менем входят в фиксированную ограниченную область и на-
всегда там остаются.
в) Теорема Пуанкаре—Хопфа (Н. Hopf): если векторное
поле на замкнутом многообразии М имеет только изолирован-
ные нули, то сумма их индексов равна х(ЛГ)—эйлеровой ха-
рактеристике М. Если х(Л4)|=О, то на М существует векторное
поле без нулей.
г) Формула Лефшеца (S. Lefschetz). Для (непрерывного)
отображения f : М-*-М, где М — n-мерное замкнутое многообра-
зие, число Лефшеца определяется как
п
м/)=2(-п'5рл*,
i-0
где Sp—след,
R) (1>
— линейное отображение гомологий, индуцированное f. Если
неподвижные точки f изолированные, то сумма их индексов
равна (—l)nZ.(f). Если М односвязно и b(f)=O, то f гомотоп-
но некоторому- отображению без неподвижных точек.
д) Наряду с явными выражениями для сумм индексов, в
а), в), г) неявно содержится не менее важное утверждение о
184
сохранении суммы индексов при непрерывном изменении век-
торного поля или отображения:
Пусть в а), в), г) векторное поле v=v« (соответственно,
отображение f=fe) непрерывно зависит от параметра 0, О<0<1
(т. е. ve(x) или fe(x) непрерывно по (0, х)), причем изолиро-
ванность нулей (соответственно, неподвижных точек) предпола-
гается только при 0=0 и 0=1, а в случае a) ve ни при одном
0 не обращается в нуль нигде на &V. Тогда сумма индексов его
нулей (соответственно, неподвижных точек) — одна и та же при
0 = 0 и 0=1. В частности, если при 0=0 она #=0, то при 0 = 1 у
поля (соответственно, отображения) должны существовать нули
(соответственно, неподвижные точки).
е) Оговорка об односвязности в конце г) существенна. В не-
односвязном случае вводятся следующие уточнения.
Точки х, yGFixf относятся к одному классу Нильсена
(J. Nielsen), если их можно соединить таким путем у, что у и
fy гомотопны как пути с закрепленными концами. Доказывает-
ся, что это действительно определяет разбиение Fixf на классы,
являющиеся замкнутыми подмножествами М, находящимися
на положительном расстоянии друг от друга, так что их конеч-
ное число. Если 4|:Fixf<oo, то инедксом класса Нильсена назы-
вается сумма индексов неподвижных точек из этого класса.
Существенные классы — это классы с ненулевыми индексами;
число Нильсена N(f) равно числу существенных классов. Если
имеется гомотопия 0</^1, причем #Fixf0<oo,
#Fixfi<oo, то N(fo) =N(fi). (Это позволяет определить N(f) и
при #Fixf=oo). На самом деле при гомотопии устанавливается
некоторое биективное соответствие между классами Нильсена
(J. Nielsen) для f0 и fit класс No для fQ соответствует классу
Nt для ft, если какие-нибудь (а тогда и любые) x0&Nq, Xi^Ni
можно соединить таким путем xt, который гомотопен (с закреп-
ленными концами) пути ftxt. (Это соответствие, вообще говоря,
зависит от гомотопии, соединяющей f0 с ft, хотя оно и не ме-
няется, если последняя, в понятном смысле, подвергается не-
прерывной деформации.) Оказывается, что индексы No и Ni
совпадают.
Любое имеет не менее Af(f) неподвижных точек.
Если п^2 или х(М)>0, то для любого f найдется гомотопное
ему g с #Fixg,=AT(g) —N(f). При п=2 и %(М)<0 это верно
для гомеоморфизмов. В предыдущем случае g можно считать
даже гладким; в последнем соответствующий вопрос не выяс-
нен до конца.
К сожалению, числа Нильсена вычисляются гораздо труд-
нее, чем чисто гомологические объекты вроде L(f). В [521 пред-
ложен «абелизированный» вариант теории Нильсена, который*
может оказаться более удобным для вычислений (но переход к
нему связан с некоторой утратой информации). Если М — тор
(произвольной размерности), то W(f) = |L(f)| [431.
185
В топологии имеются варианты г), д), е) не для многообра-
зий, а для конечных полиэдров и отчасти даже еще более об-
щих пространств.
ж) Пусть известно, что sup|L(fft) | =оо. Следует ли отсюда,
что каскад {/*} имеет бесконечное число периодических траек-
торий? Мы вправе считать их изолированными (иначе отг^т
ясен) и попытаться использовать формулу Лефшеца. Тогда воз-
никает вопрос: не может ли случиться, что для некоторой пе-
риодической точки х с минимальным периодом р последова-
тельность
ift=ind(x, fkP)
будет неограниченной? Оказывается, это возможно в непрерыв-
ном случае, но в гладком случае {t\} является ограниченной и
даже периодической [451. Возможно, что последний факт и те
обстоятельства, с которыми он связан, окажутся полезными и
для других целей. Пока что отмечу, что в связи с ним было
предложено использовать ^-индекс однообходной замкнутой
траектории L, определяющийся как среднее (по i) значение
indL* [45].
2.3. Индекс Фуллера. Этот индекс определяется для изоли-
рованной /-обходной замкнутой траектории L потока. Он равен
7* indL, где ind — индекс Кронекера—Пуанкаре <[53]. (Как и в
п. 2.1, я не буду останавливаться на возможности определения
индекса для бесконечных множеств замкнутых траекторий.)
Определение связано с попыткой получить для замкнутых тра-
екторий потоков какие-то аналоги результатов п. 2.2. Следую-
щая теорема Фуллера (F. В. Fuller) является аналогом ключе-
вого утверждения д):
Пусть поток (т.е. поле фазовой скорости) на замкнутом
многообразии М непрерывно зависит от параметра О, О<0<1,
причем при 0 = 0 и 0=1 изолированы все замкнутые траекто-
рии, периоды которых (необязательно минимальные) лежат в
отрезке'Са, ₽], где (а>0, р<оо, и пусть ни при одном 0 поток не
имеет замкнутых траекторий с периодами аир. Тогда сумма
индексов Фуллера периодических траекторий с периодами
тб[а, pi —одна и та же при 0 = 0 и 0=1.
При этом, если мы хотим, чтобы индекс однообходной замк-
нутой траектории совпадал с ее индексом Кронекера—Пуанка-
ре и чтобы было справедливо предыдущее утверждение, то на-
до определять индекс именно’ так, как выше.
Пусть все траектории гладкого потока {f*} на замкнутом
многобразии М периодичны с одним и тем же минимальным
периодом т. Отождествляя для каждой траектории все ее точки
друг с другом, получим в данном случае1’ новое многообразие N
^‘В общем же случае могло бы получиться нехаусдорфово простран-
ство.
186
я проекцию р: С помощью теоремы Фуллера легко до-
казывается следующая теорема Зейферта—Риба (Н. Seifert,
•G. Reeb). Если эйлерова характеристика %(ЛГ) ¥=0, то у любого
потока на М, достаточно близкого (в смысле С°) к {/*} (т. е.
имеющего достаточно близкое поле фазовой скорости), имеется
замкнутая траектория.
Уместно будет, отвлекаясь несколько в сторону, обсудить
возможность напрашивающегося подхода к доказательству
этой теоремы с помощью теории возмущений. Когда возмуще-
ние исходной ДС {/Q мало, движение в возмущенной ДС про-
исходит в основном по замкнутым траекториям потока {/'}, т. е.
по кривым р-1х, x&N, но на это накладывается еще малый по-
леречный снос, который в этих терминах можно описать как
небольшое изменение х. За один оборот вдоль р-1х накапли-
вается некоторый снос, который приближенно можно вычислить
по методу осреднения. При геометрически инвариантной трак-
товке последнего он дает нам некоторое векторное поле v на N,
описывающее средний снос за один оборот. Замкнутые траек-
тории возмущенного потока, имеющие период ~т, будут там,
тде среднего сноса нет, т. е. они расположены возле кривых
р~ха, для которых v(a)=0. (Отсюда ясна роль условия х(Л^)5^
#=0).
Однако это нуждается еще в некотором обосновании. Про-
стейший вариант такового: если возмущение мало в смысле С1, а
а— невырожденное положение равновесия осредненного потока
ла N, то легко доказать, что вблизи р~ха действительно должна
•существовать замкнутая траектория возмущенного потока, за-
мыкающаяся после одного оборота, который она делает возле
,р~ха. Но ведь не исключено, что положения равновесия будут
вырожденными и даже не изолированными. Конечно, такие слу-
чаи тоже можно исследовать па теории возмущений, но априори
не ясно, каким окажется результат такого исследования, удаст-
ся ли единообразно охватить все возникающие здесь варианты
и какие условия придется наложить на малость возмущений.
Словом, теория возмущений, доставляющая в конкретной ситу-
ации эффективные- вычислительные- процедуры, в отношении
качественного исследования общего случая уступает топологи-
ческим соображениям. Теорему Зейферта—Риба можно полу-
чить и с помощью соображений более аналитического характе-
ра, но они отличаются от обычной теории возмущений :[42].
Условие близости потока к {/‘} нельзя отбросить, ибо на
любом Мп с п>2 и x(Af) =0 имеются потоки без замкнутых
'траекторий и положений равновесия [311. Для замкнутых тра-
екторий, как видно, результаты получаются неизбежно более
слабыми, чем для периодических точек (см. еще [371). Причина
этого, в конечном счете, связана с тем, что у замкнутой траек-
тории период может измениться при возмущении, тогда как у
периодической точки он остается неизменным (пока эта точка
187
в понятном смысле сохраняется при возмущении). Из-за этого
для потоков, сколь угодно гладких и сколь угодно гладко за-
висящих от параметра 6, возможны следующие явления, не
имеющие аналогов для каскадов.
1) Поток имеет при 0<6о замкнутую траекторию Le, кото-
рая непрерывно зависит от 0, является изолированной, с нену-
левым индексом, даже гиперболической (так что раз она су-
ществует при каком-то 0, то должна существовать и при близ-
ких 0), но длина которой при 0->0о неограниченно возрастает.
В итоге, при 0->0о эта траектория вместе со своим ин-
дексом как бы «бесследно исчезает в голубом небе»,
откуда и название данного явления: катастрофа голубо-
го неба. (Вероятно, оно первоначально употреблялось в
шутку, но потом укоренилось в качестве стандартного термина.
«Катастрофа»—это просто синоним «бифуркации», т. е. качест-
венного изменения, происходящего при прохождении параметра
через некое «критическое» значение, но в данном случае эмо-
циональный оттенок, связанный с этим словом, в какой-то сте-
пени оправдан.)
2) Поток имеет при О<0<02 замкнутую траекторию Le, при-
чем при 0=016(0, 02) от «дважды пройденной» Le (т. е. от Le2)
ответвляется новая замкнутая траектория Le', которая при
0=02 сливается с «однажды пройденной» Le (так что при
0->02 их минимальные периоды сближаются), после чего обе
траектории исчезают. В своей области определения обе они не-
прерывно зависят от 0; Le как траектория с минимальным пе-
риодом изолирована и имеет ненулевой индекс при 0<02, а
£»'— при 0i<0<02; в некоторой их окрестности других замкну-
тых траекторий нет [35].
(Конечно, если замкнутая траектория исчезает, сливаясь с
положением равновесия или стремясь к «сепаратрисному кон-
туру», состоящему из положений, равновесия и соединяющих
их траекторией, это тоже не, совсем похоже на бифуркации пе-
риодических траекторий каскадов, но само по себе не так уж
сложно.)
2.4. Дзета-функция. Это еще одна характеристика ДС, свя-
занная с периодическими траекториями.
Имея дело с последовательностью чисел а = {aj, можно свя-
зывать с ней какие-нибудь функции. .Например, часто исполь-
зуют производящую функцию но привлекают и функции,
связанные с а иначе. Нам понадобится дзета-функция1’
оо
Ze(f)=exp2 jaitl
Название объясняется аналогией с дзета-функцией в алгебраической
геометрии, которая, в свою очередь, будучи выражена через другую пере-
менную, проявляет аналогию с дзета-функцией Римана (см. МЭ, «Дзета-
функция») .
188
(как видно, числа at считаются заданными при i>l; они долж-
ны расти не быстрее экспоненты).
Когда ai = #Fixf’, пишут Z/(l) и говорят о дзета-функции
отображения f или каскада {/*}. Определение не связано с
гладкой ситуацией; можно также рассматривать ZfIA, где А —
инвариантное множество каскада {/*}. Хотя . определение яв-
ляется общим, фактически дзета-функция рассматривается в
гораздо более конкретных ситуациях. Несложно ее вычислить
для топологического сдвига Бернулли или цепи Маркова; в
других случаях может доказываться, что она определена и,
скажем, является (или не является) рациональной.
Если взять за at сумму индексов Кронекера—Пуанкаре
периодических точек периода i, то получится гомологическая
дзета-функция, которую иногда называют ложной. Она легко
вычисляется с помощью формулы Лефшеца в терминах отобра-
жений (1)'[78].
Сомнительно, чтобы для потоков сколько-нибудь общего
типа можно было определить «хороший» аналог дзета-функции,
хотя в некоторых специальных случаях имеется некий аналог
, (который формально можно перенести и на общий случай, но
не ясно, что это даст) [781.
§ 3. Системы Морса—Смейла
3.1. Общие сведения о системах Морса—Смейла. Гладкая
ДС (поток или каскад) называется системой (потоком, каска-
дом) Морса—Смейла (М. Morse, S. Smale; в этом пункте бу-
дем писать М.—С.), если все ее движения стремятся (в обе сто-
роны по времени) к периодическим траекториям (включая в
число таковых положения равновесия в случае потока), причем
периодических траекторий конечное число, все они гиперболич-
ны и их устойчивые и неустойчивые многообразия пересекаются
только трансверсально. Диффеоморфизм, при итерировании
которого получается каскад М.—С., называется диффеоморфиз-
мом М.—С.
Динамические системы Морса—Смейла с наибольшим осно-
ванием могут считаться системами с «простым» фазовым порт-
ретом'и по этой причине заслуживают внимания.
При малой размерности п фазового многообразия — при
л=:1, 2 для потоков и п=1 для каскадов — системы М—С. игра-
ют особенно важную роль. Результат^!, изложенные в статье I, •
гл.‘ 2, §§ 1, 3, можно сформулировать так: грубые потоки на
S2 и грубые каскады на S1 суть в точности системы М.—С.,
причем они типичны (даже в более сильном смысле, чем в
п. 1.2, — образуют всюду плотное открытое множество). Это
справедливо также для потоков на любых замкнутых поверх-
ностях, т. е. замкнутых двумерных многообразиях (литературу
см. в гл. 4). В данном случае как бы сливаются воедино три
189
идеи— типичность, грубость и простота. Но при больших п
вместо совпадения имеют место строгие включения: системы г~
М.—С. — грубые (и свойство системы быть ДС Морса—Смей-
ла— тоже грубое), но имеются грубые ДС, не являющиеся си-
стемами М.—С. (причем поведение траекторий у них представ-
ляется более «сложным»), а грубые системы не всюду плотны
в пространстве гладких ДС. (Утверждение с «представляется»
не является теоремой, ибо слово «сложное» не является точным-
термином11.)
Для общей ДС устойчивые и неустойчивые многообразия
И7*(х), W“(x) и т. д. являются инъективно иммерсированными
подмногообразиями, но топология подобного многообразия W
может не совпадать с его топологией как подмножества М
(оно даже может быть всюду плотным). В случае систем М.—С„
эти топологии совпадают. Иными словами, для них тождест- 1
венное вложение i: W-*-M является вложением в топологиче-
ском смысле. Можно еще сказать так. Определим для непре-
рывного отображения f: W->M предельное множество Lf как
n{/(VP\/0: KdW компактно},
т. е. как совокупность точек вида limf(x„), где х„->оо в W
(т. е. для любого компакта KczW при достаточно больших п
будет xn$/Q. (Само по себе определение Lt не требует, чтобы
W было одним из наших W"(x) и т. п. или даже, вообще, чтобы
W было многообразием; оно естественно, когда W локально-
компактное, но не компактное топологическое пространство со
счетной базой.) Тогда для нашего i будет Li(\W=0, Lt = W\W.
Кое-где ниже это Lt обозначается через dW (что не противоре-
чит использованию знака д для края в компактном случае).
У градиентного потока ((17), гл. 1) все движения при /->-
->±оо неограниченно приближаются к множеству, образован-
ному положениями равновесия. Если все критические точки
функции f — невырожденные, то поток удовлетворяет услови-
ям из определения систем М.—С., кроме, может быть, условия о
трансверсальности пересечений. Однако и это условие выпол-
няется в типичном случае: потоки М.—-С. образуют открытое
всюду плотное множество в пространстве всех градиентных по-
токов. (В частности, на любом М существует поток М.—G. без
замкнутых траекторий и на любом М существует грубый по-
ток.) Фазовые портреты градиентных потоков М.—С. очень про-
сты.
Пусть х, у — периодические точки системы М.—С. (потока
или каскада) с индексами Морса «(х), и (у), лежащие на раз-
. *> С некоторой точки зрения [1], следует считать «сложными» ДС с по-
ложительной топологической энтропией (о ней см. в т. 2 или МЭ, «Топологи-
ческая энтропия»). В известных примерах грубых ДС, не являющихся ДС
Морса1—Смейла, она положительна, но не доказано, что это обязательно
должно быть так.
190
4
ных траекториях, и Wu(x)(]W‘(y)^0. Тогда из условия о
трансверсальности пересечения следует, что и(х)^и(у) и
dWu(x)^Wu(y), причем если ДС является потоком и у — по-
ложение равновесия, то и(х)>и(у). Точки из ТГ“(х)П^*(У) и
их траектории называются гетероклиническими, если и(х) =
= и(у). При наличии таких точек многообразие Wa(x), подходя,
к у, начинает сильно колебаться, прижимаясь к Wu(y); соот-
ношение dWu(x)T2>Wu(y) при совпадении размерности №“(х)
и Wu(y) уже содержит некоторой теоретико-множественный
элемент, выходящий за рамки наивной геометрии. Из-за этого
фазовый портрет выглядит все-таки не так уж просто. (Правда,
в случае потока при и(х)= и(у) = 1 ничего особенного еще не
происходит. В этом случае х — положение равновесия, ТГ“(х)\
\х состоит из двух траекторий («усов»), а у лежит на асимп-
тотически устойчивой замкнутой траектории L, на которую на-
вивается ус.) Еще хуже, если имеется такая периодическая
точка z, что tFu(x)n^s(z)^=0 и Wu(z)(]Ws(y) =#0, тогда
Ц7“(х)П^*(«/) состоит из бесконечного числа траекторий (а ес-
ли такой z не существует, то из конечного). Если гетероклини-
ческих точек нет, то система М.—С. (поток, каскад, диффеомор-
физм) называется градиентноподобной (-ым). (Терминология,
здесь не вполне установилась, и данный термин может употреб-
ляться и в ином смысле.)
Отвлекаясь на минуту в сторону, отмечу, что еще более-
значительные усложнения фазового портрета встречаются при.
наличии так называемых гомоклинических точек. Трансверсаль-
ная гомоклиническая точка х в гладкой ДС — это точка транс-
версального пересечения IT“(L) и U7"(L) для гиперболической
периодической траектории L. Вся траектория такой точки х со-
стоит из трансверсальных гомоклинических точек и сама назы-
вается, (трансверсальной) гомоклинической траекторией1^
(В случае потока отсюда и из условия, что Wu и W’ трансвер-
сально пересекаются, следует, что
dim WU(L) +dim W(L) >n+l,
’> Траектории, лежащие в (№“(£)("]№•(£))\L, называют также двоя-
коасимптотическими (к L), ибо они стремятся к L при <->±оо.
В этой формулировке не накладывается никаких условий на характер пере-
сечения, так что замкнутая сепаратриса потока на плоскости двоякоасимп-
тотична к соответствующему седлу; его устойчивый и неустойчивый усы:
(«половинки» W‘, Wu) совпадают, а отнюдь не пересекаются трансверсаль-
но. О гомоклинической же точке (или траектории), хотя бы и не трансвер-
сальной, говорят только тогда, когда возле этой точки не происходит по-
добного слияния WU(L) и №'(£). (Фактически нетрансверсальные гомокли-
нические точки пока что рассматривались для каскадов в двумерном случае,,
когда и(Л) = 1, т. е. Wu, W* суть кривые и точные формулировки достаточ-
но очевидны (включая сюда и характеризацию степени «вырожденности» го-
моклинической точки как порядка касания этих кривых), и для потоков в
трехмерном случае, когда использование подходящего сечения возвращает
нас к предыдущему случаю.)
19t
и оттого L должна быть периодической траекторией.) В окрест-
ности замыкания гомоклинической траектории обязательно
имеется нетривиально устроенное гиперболическое множество
(т. 2) и, в частности, бесконечное число периодических траек-
торий. По этой последней причине у систем М.—С. гомоклиниче-
ских точек не бывает. Для периодической траектории L систе-
мы М,—С. TP(L)nTP(L)==L.
В некотором ином отношении любой поток М.—С. {g‘} по-
хож на градиентный: а именно, существует такая гладкая
(класса С") функция f : для которой
1. Критические точки f суть периодические точки потока,
причем положения равновесия суть невырожденные критиче-
ские точки с теми же индексами, а критические точки, лежащие
на замкнутой траектории L, неизбежно вырождены (когда
x&L, то TXL отвечает нулевому собственному значению операто-
ра, задающего квадратичную форму d2f(x)), ио это вырожде-
ние— минимальное (ранг d2f(x) равен п—1).
2. Вне периодических траекторий
v/=«A v)=J|/=o/°gZ<0’
причем возле периодической траектории vf имеет порядок квад-
рата расстояния до этой траектории.
Для каскада М.—С. {§’“} тоже существует функция f класса
С°°, которая имеет критические точки (притом невырожденные
и того же индекса) в периодических точках g и убывает вдоль
всех остальных траекторий, причем возле периодической точ-
ки а разность f(gx)—f(x) имеет порядок квадрата расстояния
до а. Вследствие очевидной аналогии с функциями Ляпунова в
теории устойчивости (статья I, гл. 1, п. 4.3), такую f называют
функцией Ляпунова для системы М.—С. (а также функцией
энергии) [68].
Введем на множестве периодических траекторий системы
М.—С. частичный порядок, полагая, что LZ^L' эквивалентно то-
му, что №“(£)(]№'(£') т. е. либо L—L', либо существу-
ют траектории, идущие от L к L'. Между прочим, можно до-
казать, что
(А) =П{№“(//) :L'<L}.
Оказывается, что — действительно порядок. Конечное час-
тично упорядоченное множество можно очевидным образом
изобразить с помощью графа с ориентированными ребрами
(стрелки направлены «в сторону убывания»), «Разметим»
этот граф, указав для каждой вершины локальные характери-
стики соответствующей периодической траектории (п. 2.1; в
случае потока надо, конечно, указывать, отвечает ли вершина
положению равновесия или замкнутой траектории). Получен-
ный размеченный ориентированный граф назовем фазовой
диаграммой системы М.-С. Ясно, что диаграмма содержит зна-
чительную информацию о ДС. Все же эта информация не яв-
192
ляется исчерпывающей: две системы М.—С. с одинаковой фазо-
вой диаграммой и одним и тем же М могут не быть эквива-
лентными. Поэтому возникают два вопроса:
1) Какие фазовые диаграммы возможны для систем М.—С.
на данном М?
2. Что надо добавить к фазовой диаграмме, чтобы система
М.—С. определялась с точностью до эквивалентности?
Естественно, возможны различные модификации этих вопро-
сов. Например, можно стереть в фазовой диаграмме ребра, т. е.
оставить. от .нее только набор локальных топологических дан-
ных обо веек периодических траекториях (periodic data). При
такой модификации вопроса 1) известно довольно многое
(п. 3.3). Вопрос 2) исследован только для некоторых специ-
альных классов систем М.—С. (п. 3.4 и гл. 4).
3.2. Строение фазовых многообразий, систем Морса—Смей-
ла. С системой М.—С. связаны некоторые разбиения фазового
многообразия Мп, позволяющие связать топологию последнего
со свойствами фазового портрета.
1) Для потока М.—С. на поверхности (замкнутом двумерном
многообразии) М2 фазовый портрет описывается наглядно и
просто: все сводится к разбиению М на ячейки, заполненные
траекториями с однотипным поведением. Эти ячейки суть связ-
ные области, получающиеся по удалении из М особых траекто-
рий — периодических траекторий (включая положения равно-
весия) и сепаратрис седел. Ячейки, ограничивающие их линии
и входящие в их границы положения равновесия могут рас-
сматриваться как связные компоненты пересечений всевозмож-
ных (уже не только одномерных) устойчивых и неустойчивых
многообразий периодических траекторий.. Такое разбиение до-
пускает «финитное» описание, уточняющее фазовую диаграмму;
оказывается, что это описание определяет систему с точностью
до эквивалентности.
Но все это связано с особой простотой двумерного случая
для потоков. В данном случае можно получить вполне содер-
жательную (если, и не >столь исчерпывающую) информацию
о возможных типах- фазовых портретов не только для потоков
М.—С., а и для потоков, имеющих конечное число положений
равновесия и сепаратрис. В таком более общем случае расши-
ряется список особых траекторий и усложняется описание ком-
понент , связности множества,, получающегося по удалении из
М особых траекторий (в частности, эти компоненты уже не
обязательно .области). См. гл. 4.
2) В случае большей размерности (а для каскадов — уже в
размерности 2) разбиение М на связные компоненты пересече-
ний №“(£)Г]Н7‘(2/) становится слишком сложным. Например,
такое пересечение, даже n-мерйое, может иметь бесконечное
число компонент связности. Можно рассмотреть более крупное
13—7712
24
193-
разбиение — на одни только устойчивые или одни неустой-
чивые многообразия.
Собственно, используется (особенно при аккуратной фор-
мализации) не столько само разбиение {№“(£)} (ради опреде-
ленности остановимся на неустойчивых многообразиях), сколь-
ко некоторая связанная с ним фильтрация. Напомню, что-
фильтрация в топологическом пространстве X — это конечная
возрастающая система замкнутых подмножеств
0=/ос/1с...с/г=Х.
В нашем случае начнем с Ао=0. Затем рассмотрим такие L,
что dWu(L)=0, т. е. «(L) = l, если L — замкнутая траектория
потока, и u(L)=0, если L — периодическая траектория каскада
или положение равновесия потока. Эти L суть минимальные
элементы в множестве периодических траекторий с введенным
выше порядком. Говоря более содержательно, они суть стоки,
т. е. асимптотически устойчивые периодические траектории.
Взяв WU(L) сразу для всех таких L или некоторых из них„
получим Ль Если А{ уже построено, то рассмотрим такие L,
что dWu(L)czAt, т. е. все траектории, «исходящие» из L, неог-
раниченно приближаются к Л,. В фазовой диаграмме этим L
отвечают те вершины, которые соединяются ребрами с верши-
нами, отвечающим и периодическим траекториям из Ль Присо-
единив WU(L) с указанными L или некоторыми из них к Л«,
получим Л 1+ь Оказывается, что при таком процессе (вообще
говоря, допускающем известный произвол на каждом шаге)
рано или поздно получится А{=М, так что образуют филь-
трацию М (замкнутость Л{ очевидна). Несмотря на осложне-
ния, возникающие при наличии гетероклинических точек (так,,
Л{ могут не быть локально связными), фильтрация {Л,}
успешно использовалась уже в первой работе в данной области
при доказательстве приводимых ниже неравенств Морса—
Смейла (из-за упомянутых осложнений при этом использова-
лись когомологии Чеха, которые как раз призваны обслужи-
вать «плохие» множества). Поскольку эта фильтрация непо-
средственно связана с поведением траекторий, можно думать,,
что время от времени придется к ней обращаться.
3) Нередко удобно использовать представление фазового-
пространства в другом виде, совпадающее с известным в топо-
логии разложением на ручки или (при наличии замкнутых
траекторий) аналогичное ему. Соответствующая топологическая
теория подробно изложена в литературе (см. МЭ, «Ручек тео-
рия»), поэтому я напомню лишь простейшие сведения из нее
(притом опуская в а) и б) ниже необходимые уточнения, свя-
занные с гладкостью), а после этого укажу, как она модифици-
руется при исследовании систем М.—С.
а) п-мерная ручка Н индекса i гомеоморфна D^D"-* по-
средством характеристического гомеоморфизма h : D‘ х
194
(который считается фиксированным, так что формально ручка
есть пара (Н, h)). При этом
Л(0, 0), ft(D‘xO), Л(0, D"-*), hfWxD’'-*)
называются, соответственно, центром, срединным (или продоль-
ным) диском, секущим (или поперечным) диском, подошвой
ручки.
б) Многообразие (с краем) N' получается из многообразия
(с краем) N приклеиванием (одновременным) нескольких ручек»
«если N'\N является несвязным объединением ручек, подошвы
которых расположены в dN.
в) У ручки индекса 0 нет подошвы, так что ее можно «при-
клеить» и к пустому множеству. В более общем случае ее «при-
клеивание» сводится к несвязному объединению N с этой руч-
кой.
У ручки индекса 1 подошва состоит из двух компонент связ-
ности. Если эти компоненты приклеиваются к различным ком-
понентам N, то последние оказываются в одной компоненте N';.
такое приклеивание приводит к уменьшению числа компонент
связности (у N' сравнительно с N) на 1. Назовем на минуту
такую ручку индекса 1 связывающей. В противном случае при
приклеивании ручки индекса 1 число компонент связности не
изменится, зато появится новый одномерный цикл, идущий
ручке и замыкающийся в той компоненте N, к которой эта руч‘
ка приклеена. Приклеивание ручек большего индекса не влия-
ет на связность и не создает новых одномерных циклов.
г) Разложение многообразия М на ручки — это такая era
фильтрация
0—Мос:М1с...с:Мг=М, (2>
что Л4,- суть гладкие многообразия с краем и Af)+i получается
из М, приклеиванием некоторых ручек.
д) Пусть f; Af->R—функция класса С2, имеющая только
невырожденные критические точки. С ней можно связать такое
разложение на ручки (2), что на дМ{ поле (—grad/) направо
лено строго внутрь Mit а критические точки / в Mt\Mi-i рас-
положены в центрах соответствующих ручек и имеют те же
индексы, что и ручки. Обратно, по разложению на ручки можно
построить функцию /, связанную с этим разложением так, как
сейчас описано.
е)' Пусть / имеет ровно т( критических точек индекса i, а
— i-мерное число Бетти многообразия М; в частности, Ьо-^
это просто число компонент М. Для того, чтобы из т0 ручек
индекса 0 с помощью последующих приклеиваний получить Ьо,
компонент М (которых не может быть больше то), понадо*-
бится т0—Ьо связывающих ручек. Остальные mi—(mQ—b0)
ручек индекса 1 дадут одномерные -циклы, порождающие все
13*
195
Ъдномерные гомологии Af (но, может быть, делающиеся зависи-
мыми при приклеивании ручек индекса 2). Поэтому •
Это—первые два из неравенств Морса
i i
2(-iymH>S(-i)^_/, с3)
. /=0 у-О
в последнем из которых (с i=n) имеет место равенство. Вывод
неравенств (3) связан с учетом влияния приклеивания ручек
не только на связность, т. е. на нульмерные гомологии, а и на
гомологии больших размерностей; технически это может выгля-
деть иначе, но идея, по существу, та же. (3) можно слегка уси-
лить, заменив bt на Ь{ + с(+с{-1, где с( — число i-мерных коэф-
фициентов кручения (c-i = co=cn=0).
Можно считать, что разложение на ручки связано с гради-
ентным потоком ((17) гл. 1) или с аппроксимирующим его по-
током М.—С. С системой М.—С., не имеющей замкнутых траек-
торий ( в том числе с любым каскадом М.—С.), можно связать
.аналогичное разложение на ручки. В случае потока поле фазо-
дой скорости на dMt по-прежнему направлено строго внутрь
Mi, а в случае каскада {g*} этому соответствует то, что gmt
лежит строго внутри М{. Последнее свойство выражают слова-
ми: ДС (или диффеоморфизм) сохраняет фильтрацию (2), или
(2) является фильтрацией для данной ДС (диффеоморфизма).
При этом в нашем случае можно считать, что если периодиче-
ская точка а есть центр ручки Н, то ТГи(а)ПЯ служит
^срединным, a W*(а) (\Н — секущим диском И. В случае
каскада необходимо, чтобы ручки, отвечающие точкам од-
ной периодической траектории, приклеивались одновремен-
но (если мы хотам, чтобы каскад , сохранял фильтрацию,
"что понадобится в п. 3.3. Для неравенств' же (3) достаточно
просто иметь разложение на ручки с таким же числом ручек
каждого индекса i, каково число периодических точек индекса
1). В остальном порядок, в котором приклеиваются ручки, до-
пускает произвол, аналогичный имеющемуся при построений
фильтрации {Л,}: надо только, чтобы при L^L' ручки, соот-
ветствующие точкам L, приклеивались позднее ручек, соответ-
ствующих точкам L'. Построение такого разложения на ручки
и построение функции Ляпунова — это, по существу, одно и
то же.
Если рассматривается поток М.—С., имеющий замкнутые тра-
ектории, то единственное изменение состоит в том, что замкну-
той траектории L соответствует так называемая круглая ручка
Н индекса i — u(L). Она является расслоением над L (т. е.
с топологической точки зрения, над окружностью), гомеоморф-
*196
ным сумме Уитни” Ei®E2 расслоений Ei и Е2 со стандартными,
слоями D1"1 и Dn_<, являющихся подрасслоениями единичных
шаров некоторых векторных расслоений над L (если угодно,’
расслоений со слоями Е““(х), Е**(х)). При этом можно считать,
что характеристический гомеоморфизм h : Ei®E2->-L переводит
слой расслоения Е\ над точкой хб£ в №““(х)ПЯ, а слой Е2 над
х— в й7**(х)П//. Подошва круглой ручки есть h(dEl®E2).
При наличии замкнутых траекторий, неравенства (3) —для.
систем М.—С. они называются неравенствами Морса—Смейла—»
сохраняются со следующими модификациями: под пони-,'
мается сумма числа положений равновесия индекса i и числа
замкнутых траекторий индексов i и i+1; если среди замкнутых
траекторий имеются закрученные или обращающие ориентацию,
то числа Бетти надо брать над полем, характеристики два,-
Если же замкнутых траекторий нет, то неравенства (3) и их,
уточнение (с fej+Cj + c.-i) сохраняются дословно (/п, теперь—.
число периодических точек индекса i).
Обращению времени (гл. 1, п. 1.4) в системе М.—С. соответ*
ствует переход к двойственному разложению на ручки: филь-;
трация ^(2) заменяется фильтрацией
0 =7H\AfrcAf\Afr_jc:... сЛ4\/И1с7И\7И0=Л/. '
Здесь 7И\Л4у получается из Л4\Л4у+1 приклеиванием тех же
ручек, приклеивание которых к М} дает Л4;+1, но только ручка
(или круглая ручка) индекса i теперь рассматривается как ручка
(круглая ручка) индекса п-i (соответственно, п—i +1), потому
что ее подошвой теперь надо считать ту часть ее границы,'
по которой она приклеивается к <?7И\Л4у+1, т. е. h (D4 X dD"4)1
(соответственно, к {Ех®дЕ^). Таким образом, для обычной ручки
D‘ и D"-‘ как бы меняются ролями, что формально может быты
описано путем перехода от (Н, h) к (Я, h'), где h'(х, у) — >
= h(y, х). Аналогично в случае круглой ручки описывается тот
факт, что меняются ролями' Et и Е2.
В отличие от разбиения на {№“(£)}, построение разложения
на ручки содержит элемент произвола. По существу, это. такой,
же произвол, какой имеет место в топологии, когда мы говорим,
что тор есть сфера с ручкой (где именно находится эта руч-.
ка?). Возможно, что из-за этого обращение к ручкам требует
преодоления психологического барьера, хоть и не особенно
трудного.
В этом пункте из теории ручек привлекались только про-
стейшие сведения. Как известно, в ней имеется и намного более-
сложная часть, типичным представителем которой является до-
*> Сумма Уитни (Н. Whitney) двух расслоений р(:Е{-»-В, «==1, 2, с
одной-и той’же базой есть подмножество прямого произведения EiXEt, об-’
разованное точками (еь е2) с Р1в1=р2е2 и понятным образом рассматривае-
мое как расслоение над В.
19?
казательство топологической гипотезы Пуанкаре в размерностях
3^5. Родственный характер носит использование ручек (и дру-
гих разбиений Л4) при исследовании некоторых вопросов следу-
ющего пункта, где я вынужден ограничиться только формули-
ровками некоторых результатов. *
4) Наконец, от разложения М на ручки можно перейти к
некоторому клеточному разбиению К, гомотопически эквива-
лентному М. Исходным является очевидное замечание, что
ручку Я=/г(В‘хО"_<) можно стянуть на ее срединный диск с
помощью гомотопии
<pfft(x, y)=h(x, (1—t)y),
а) Если N' получается из N одновременным приклеиванием
(нескольких ручек Hi....Н, индексов й,..., i„ то, стягивая
Н( на их срединные диски, получаем, что Af' гомотопически эк-
вивалентно некоторому топологическому пространству, получа-
ющемуся приклеиванием к N клеток размерностей й,..., i,.
• б) Если после этого N само деформируется (по себе) в
клеточное разбиение К, то границы клеток, приклеенных к N,
«увлекаются» при этой деформации (говоря более строго, по-
следняя определяет гомотопии соответствующих приклеиваю-
щих отображений) и в итоге определяется приклеивание кле-
ток к К.
; в) Путем дальнейшей гомотопии приклеивающих, отображе-
ний можно добиться, чтобы клетка размерности i, приклеива-
лась к (ij—1)-мерному остову К. Окончательно получается,
что N' гомотопически эквивалентно некоторому клеточному
разбиению К', получающемуся приклеиванием соответствую-
щих клеток к К.
г) Приклеивание круглой ручки индекса i можно заменить
последовательным приклеиванием двух обычных ручек индек-
сов i—1 и i. Геометрически первая из них соответствует слою
^расслоения Ei®E2 над фиксированной точкой L, а вторая —
всей остальной части круглой ручки.
Сочетая все эти соображения применительно к нашему раз-
ложению М на ручки и круглые ручки, приходим к некоторо-
му конечному клеточному разбиению К, клетки которого соот-
ветствуют ручкам и круглым ручкам, согласно указанному [49].
Надо иметь в виду, что связь К с М и ДС нуждается в некото-
ром обсуждении. Ведь гомотопии приклеивающих отображений
определяют К только как «абстрактный» клеточный комплекс
(образно выражаясь, лежащий «где-то в стороне от М»); по-
лучается, правда, еще некоторая гомотопическая эквивалент-
ность М^-К. Обсуждение (в основном для случая потока М.—С.
без замкнутых траекторий, который в некоторых отношениях
(Определенно «лучше» общего случая) см. в [49]. Обращению
времени, т. е. переходу к двойственному разложению на ручки,
соответствует переход к двойственному клеточному разбиению
>98
К. В топологии с этим связано наглядное доказательство двой-
ственности Пуанкаре, поэтому переход к К достаточно подроб-
но разбирается в соответствующей литературе.
3.3. Существование систем Морса—Смейла с заданными то-
пологическими свойствами порождающего диффеоморфизма
или векторного поля, а также с заданными свойствами пери-
одических траекторий.
1) Как указано в 3.1, на любом М существует поток М.—С.
без замкнутых траекторий. Противоположный тип потоков
М.—С. — потоки без положений равновесия. Для их существова-
ния на М необходимо, чтобы эйлерова характеристика %(M) =
=0. С использованием круглых ручек доказывается, что при
л=/=3 это условие и достаточно. Более того, в любом гомотопи-
ческом классе векторных полей на М, не имеющих нулей, су-
ществует поле, определяющее поток М.—С. без положений рав-
новесия [36]. Имеются трехмерные М (с %(Л1)=0), на которых
не существует потоко в М.—С. без положений равновесия [69].
2) Пусть {g‘} — поток М—С. на М. Тогда g1 не является
диффеоморфизмом М.—С., но сколь угодно близко к нему
(в С'-топологии) имеются таковые. Таким образом, на любом
М существуют диффеоморфизмы и каскады М. — С. Но получен-
ные таким путем диффеоморфизмы М.—С. очевидно изотопны
1м. Естественно поставить вопрос о существовании диффеомор-
физмов М.—С. в заданном изотопическом классе У диффеомор-
физмов [18]. Этот вопрос является более сложным. Я скажу
только несколько слов о подходе к его решению и приведу про-
стейшие формулировки.
Для каскада М.—С. {gft}, кроме разложения на ручки и кле-
точного разбиения АГ, рассматривавшихся в 3.2, надо принимать
во внимание действие g на эти объекты. Фильтрацию (2) можно
считать такой, что каждое состоит из ручек HJ,...
..., HJ, отвечающих одной периодической траектории. Тогда
где <т—некоторая перестановка чисел 1, ...,/.
При этом образ срединного диска ручки содержит средин-
ный диск Нац}, а на прообразе последнего отображение гомео-
морфно. Отсюда легко вывести, что в группе С (К) цепей, по-
рожденных клетками К, некоторое гомотопное g клеточное ото-
бражение g' индуцирует отображение g# специального вида:
в любой размерности оно имеет блочно-треугольную матрицу
коэффициентов, каждый блок которой отвечает некоторой пере-
становке части элементов базиса, возможно с изменением знака.
Такие матрицы называются матрицами виртуальных пере-
становок (самому по себе словосочетанию «виртуальная пере-
становка» смысла не придается).
Перейдем к цепям с вещественными коэффициентами. Ото-
бражение g*=g*', индуцируемое g в гомологиях, получается
при ограничении g'# на инвариантное пространство циклов и фак-
199
торизации по инвариантному пространству границ. Значит,
собственные значения g* содержатся среди собственных значе-
ний g и являются корнями из 1.
Итак, для существования в 3 диффеоморфизмов М.—С.
необходимо, чтобы диффеоморфизмы из У индуцировали такие
линейные преобразования гомологий, у которых все собствен-
ные значения суть корни из 1. Оказывается, что если М одно-
связно и n>5, a St удовлетворяет указанному условию, то не-
которые итерации диффеоморфизмов из У изотопны диффео-
морфизмам М.—С.
Сперва доказывается, что некоторая итерация fm=h диф-
феоморфизма допускает следующую «цепную модель».
Существуют такие конечно порожденный свободный цепной
комплекс С={С(}"=0 и его эндоморфизм Ф={Фг}, что матрицы
коэффициентов 4-f суть матрицы виртуальных перестановок,
а пара (С, ф) гомотопически эквивалентна (в том смысле, как
это понимается для цепных комплексов) (С (Д'), А#), где К—
клеточное разбиение М, h' — гомотопное h клеточное отобра-
жение. Затем доказывается, что диффеоморфизм h, допускаю-
щий такую «Цепную модель», изотопен некоторому диффеомор-
физму М.—С. g (при указанных выше условиях на М и при
дополнительном условии, что Ci = Cn-l — 0, выполнение которо-
го можно обеспечить). Как известно, «сложная» часть теории
ручек устанавливает, что при известных условиях заданный ко-
нечно порожденный свободный цепной комплекс С, гомотопиче-
ски эквивалентный С (К), может быть реализован с помощью
некоторого разбиения М на ручки, т. е. С изоморфен C(Ki), где
клеточное разбиение К) получается при стягивании ручек на
срединные диски. Построение же g связано с некоторым допол-
нением к этой теории, посвященным реализации не только цеп-
ного комплекса С, но и заданного эндоморфизма <р: С->С.
Обеспечиваемые при этом построении дополнительные свойства
реализации таковы, что в рассматриваемом случае g оказьь
вается диффеоморфизмом М.—С.
Существуют ли диффеоморфизмы М.—С. в самом St — неяс-
но; соответствующее препятствие описано с использованием
алгебраической Л-теОрии [51]. О неодносвязном случае см.
[64]. В частном случае тора (любой размерности) приведенное
условие является достаточным £59].
3) Можно, далее, поставить вопрос о существовании систем
М.—С. с заданным числом периодических траекторий, причем
последние имеют предписанные локальные топологические
свойства.
Простейший вариант: существует ли на М поток М.—С. без
замкнутых траекторий, имеющий ровно т( положений равно-
весия с индексом Морса i, где mt — заданные числа?
Эквивалентный вопрос: существует, ли на М функция f с невыг
200
рожденными критическими точками, ровно mt из которых имеют,
индекс i? Необходимые условия указаны в п. 3.2. В топологии из-
вестно, что они и достаточны, еслип=2, (это просто) или если
п>5 • и М односвязно (это, фактически, тот же результат из «слож-
ной» части теории ручек, который в ином виде упоминался в 2);
см. также,[77]). Непосредственно [77] или наглядные сообра-
жения при п — 2 дают f с минимальными возможными /п,, а имен-
но, с /n< = b<4-c<+cj-i. Но уже совсем нетрудно изменить f так,
чтобы добавились две новые критические точки индексов i и.
/+1. С помощью таких изменений f, можно от f с минимальны-
ми возможными m.i перейти к f с заданными mt, удовлетворяю-
щими соответствующим неравенствам.
4) Следующий случай — потоки М.—С. без положений рав-
новесия на многообразии нулевой эйлеровой характеристики.
Естественно спросить, существует ли поток такого рода на Мг
имеющий ровно г замкнутых траекторий характеризуемых
в смысле п. 2.1 заданными (и<, Д{) или (и(, Д,-, 64). Из относя-
щихся сюда результатов. [48] приведу лишь один, наиболее про-
стой и законченный, в котором Af=S3. Оказывается, главную
роль играют незакрученные Lt, т. е. (uj( Дг) с Д<=1. Для того
чтобы на S3 существовал поток М.—С. без положений равнове-
сия с ровно а, незакрученными замкнутыми траекториями мор-
совского индекса «=/, 1^/^3, необходимо и достаточно, чтобы
выполнялись неравенства
01^1, Яз^1, <22^01—1, Я2^а3—1- (4)
При этом у потока нет закрученных замкнутых траекторий с
и(А)“1, 3 (это очевидно), а число закрученных траекторий с
«(L) =2 может быть любым.
Неравенства (3) в данном случае сводятся к первым двум
неравенствам (4) и выражают тот тривиальный факт, что сре-
ди периодических траекторий системы М.—С. должны быть
(асимптотически) устойчивые — стоки — и вполне неустойчивые
(т. е. асимптотически устойчивые при М—оо) — источники
(причем на S3 они незакрученные). Неравенство а2>01—1 до-
казывается с помощью рассуждений, аналогичных приведенным
в п. 3.2, 3), е); обратив время, получаем, что а2>аз—1. Доста-
точность условий (4) и утверждение о закрученных L c .u(L) =2
доказываются прямым построением. г •
Как видно, при наличии замкнутых траекторий неравенства
(3) являются слишком грубыми. При их выводе не учитывает-
ся, что приклеивание круглых ручек индексов i и i+1 по-разно-
му влияет на i-мерные гомологии. Для потоков М.—С. без по-
ложений равновесия в [481 получено уточнение .неравенств
М.—С. В уточненных неравенствах фигурируют только не-
закрученные траектории, т. е. они пишутся в терминах и чи-
сел Бетти (обычных) bi. Для односвязного А4П без кручений с
X(Af)=O и п>5 уточненные, неравенства оказываются и
201
достаточными: если числа а^О удовлетворяют этим неравен-
ствам, то на М существует поток М.—С. без положений рав-
новесия, имеющий ровно at замкнутых незакрученных траекто-
рий индекса i и не имеющий замкнутых закрученных траек-
торий.
5) Наконец, можно спросить, существует ли в заданном
изотопическом классе J диффеоморфизмов М. такой диффеомор-
физм М.—С., для которого заданный набор {(Z„ uh Ai)}J_i или
{(It, иь А/, б,)}[=1 служит набором данных обо всех периодических
траекториях? Вопрос исследовался, главным образом, для дву-
мерных ориентируемых М (о многомерном случае см. [50]).
Некоторые необходимые условия очевидны. Среди периодиче-
ских траекторий системы М.—С. должны иметься стоки и ис-
точники; для первых в нашем случае ut=0, Д<=1, для вторых
и(=2, &{=81г, где 8=1 или —1 в зависимости то того, должен
ли диффеоморфизм сохранять или изменять ориентацию. Гомо-
логическая дзета-функция, вычисленная по {(/<, ut, Д<)}, долж-
на совпадать с той, которая определяется по действию диффео-
морфизмов из 3 на гомологиях. Эти условия оказываются до-
статочными, если (в этом случае ориентируемость М не
нужна) или Л4 = Т2 (тор), 8=1. Неожиданные осложнения воз-
никают при 8=—1. Оказывается, что на поверхности рода g
гомеоморфизм, обращающий ориентацию и имеющий более
g+1 периодических траекторий с попарно различными нечет-
ными минимальными периодами, имеет положительную тополо-
гическую энтропию1’ [60], тогда как у систем М.—С. она равна
нулю. Для M=S2, Т2 вопрос выяснен полностью: при в——1
добавляются еще некоторые специфические условия, которые
вместе с предыдущими оказываются и достаточными '[391, [40].
3.4. Другие вопросы. Здесь я остановлюсь на условиях эк-
вивалентности систем М.—С. На эту тему имеется всего не-
сколько работ. В основном они относятся к потокам. О двумер-
ном случае см. в гл. 4. Найдена система данных, однозначно
(с точностью до эквивалентности) характеризующая поток
М.—С. на ориентируемом трехмерном М, если для этого потока
каждое пересечение №“(£)(]№• (2/) с двумерными W* со-
стоит из конечного числа траекторий. (Это эквивалентно тому,
что если L>'L' и u(L) =u(L')—2, то все траектории из WU{L').
стремятся к некоторому стоку.) К сожалению, формулировка
является громоздкой даже при отсутствии замкнутых траекто-
рий [321.
В [27] показано, что если при п>3 поток М.—С. без замк-
нутых траекторий на Мп однозначно определяется своей фазо-
вой диаграммой, то она должна обладать таким свойством:
а) При х>у обязательно и(х) =п или и(у) =0.
*> О ней см. в т. 2 или МЭ, «Топологическая энтропия».
202
Это возможно не на всяком Мп: из существования на М по-
тока М. С. без замкнутых траекторий, удовлетворяющего а),
•следует, что М не имеет кручений в размерностях до п—2
включительно (стало быть, если М ориентируемо, то кручений
вообще нет). Действительно, из а) следует, что’ в клеточном
разбиении К (п. 3.2, 4)) все клетки, кроме одномерных и
л-мерных, определяют циклы в С (К).
Предположим, что на Sn, п^З, существует поток М.—С.
{g*} без замкнутых траекторий, удовлетворяющий а). Оказы-
вается, тогда поток однозначно определяется своей фазовой
диаграммой [28], причем поток и диаграмма имеют некоторые
специальные свойства:
б) и(х) принимает только значения 0, 1, п—1, п (иначе у
Sn имелись бы «лишние» гомологии).
в) Если и(х)=п—1, то dlFu(x) сводится к одному стоку.
Иными словами, существует только одно у с у<.х\ для него
u(z/)=0.. (Ввиду а), при у<х обязательно и(р)=О, а <31Ги(х)
•связно.)
г) Одномерный остов К1 комплекса К (см. п' .3.2, 4)) яв-
ляется связным деревом.
Заметим, что при отсутствии замкнутых траекторий строение
К1 можно полностью восстановить по фазовой диаграмме и что
при этом К1 можно реализовать как подмножество
U {^W:k(P;)= 1}cS<
д) Из г) и из неравенств Морса—Смейла следует, что
число источников (х с и(х)=п) на 1 больше числа У с и(у) =
= «—1. Если такие у имеются, то соответствующие W“(y),
ввиду в), являются (п—1)-мерными сферами, разбивающими
Sn на некоторые области. В каждой из этих областей имеется
ровно один источник х. Часть Р, попадающая внутрь области,
связна и состоит из тех вершин и ребер, которые отвечают z с
z<x и w(z)=0, 1. Помимо данного неравенства, такое z удов-
летворяет только тем неравенствам, которые непосредственно
связаны с К1 (г, отвечающее ребру, больше тех t, которые отве-
чают его вершинам). Если же г лежит на границе области,
т. е. z&PftdWu(y) с некоторым у, и(у)=п—1, то z<y для .всех
таких у и z<x для тех источников х, которые лежат в областях,
ограниченных соответствующими Wu(y). Помимо этих нера-
венств, г удовлетворяет только тем неравенствам, которые
связаны с Л1 (причем г отвечает вершине К1).
е) Поток {g£}, получающийся при обращении времени из
{?'}, и его фазовая диаграмма (очевидным образом получаю-
щаяся из фазовой диаграммы потока {g‘}) тоже удовлетворя-
ют условиям а)—д).
Очевидно, условия г)—е), подобно а)—в), могут быть сфор-
мулированы в терминах одной только фазовой диаграммы, хотя
203
для д) это довольно громоздко. Оказывается, что если задан-
ная фазовая диаграмма (размеченный ориентированный граф,
не предусматривающий замкнутых траекторий) удовлетворяет
условиям а)—е), то она является фазовой диаграммой некото-
рого потока М.—С. на Sn [28].
Глава 3
ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА»
§ 1. Введение
В этой главе рассматриваются топологические ДС (гл. 1,
п. 1.1)—потоки и каскады—в полном метрическом простран-
стве М с метрикой р. Если не оговорено противное, М считает-
ся компактным. В действительности многие определения и ре-
зультаты сохраняют смысл и остаются справедливыми и в ряде
других случаев. Более полные и общие изложения имеются в;
литературе (ссылки см. ниже; см. также МЭ, «Топологичес-
кая динамика», «Топологическая динамическая система»).
До недавнего времени в топологической динамике основное
внимание уделялось изучению движений, обладающих теми или
иными свойствами «повторяемости», и соответствующих клас-
сов инвариантных- множеств. Подразумевалось (хотя и не вы-
сказывалось в столь категорической форме), что поскольку в ком-
пактном случае все движения со временем стремятся к «повто-
ряющимся» (точнее см. в п. 4.1), то именно последние и надо
изучать. Но, скажем, для систем Морса—Смейла «повторяю-
щимися» являются периодические движения, и внутренняя
структура соответствующего инвариантного множества триви-
альна. Обращая же внимание на прочие движения, мы прихо-
дим к содержательной теории (в том числе связывающей свой-
ства «повторяющихся» движений с топологией М, чего из ана-
лиза одних этих движений никак нельзя усмотреть). В конце
концов под влиянием КТДУ и теории гладких ДС в топологи-
ческой динамике тоже стали рассматривать вопросы, выходящие
за рамки прежней тематики. Одновременно (и под тем же вли-
янием) это позволило выделить некоторые грубые свойства ДС,
т. е. свойства, сохраняющиеся при малых возмущениях. Надо
только иметь в виду, что для теории гладких ДС адекватным
является понятие С1-грубого свойства — соответствующие систе-
мы образуют открытое множество в пространстве ДС класса
С* с соответствующей топологией, как и определялось в гл. 2,
п. 1.2 (а иногда и Сг-грубого свойства с г>1—ясно, что это
значит). Для топологических же ДС можно говорить о возму-
» §§ 1, 2, 3 написаны Д. В. Аносовым, §§ 4, 5—И. У. Бронштейном.
204
щениях, малых в смысле С°, и в связи с этим — о s С°-грубых
свойствах. Именно, С°-топология в пространстве топологи-
ческих ДС на М определяется с помощью метрики
Р ({Л.' {£*})=max {р (f‘x, g‘x): 111 < 1, хбМ}.
Многие С1-грубые свойства гладких ДС (например, свойство
быть системой Морса—Смейла) не являются С°-грубыми. Но
если свойство оказывается не только (^-грубым, но и (^-гру-
бым, этот факт заслуживает быть отмеченным. (Мы говорим
только о С°-грубых свойствах, но не о С°-грубых системах —
такого понятия нет. Далее, по аналогии с п. 1.2 гл. 2, можно го-
ворить о С°-типичных свойствах. Литературные ссылки см. в
МЭ, «Общее положение», «Топологическая динамика». Однако
не ясно, насколько это полезно для теории гладких ДС.)
Поскольку эти нетрадиционные для топологической динами-
ки вопросы пока менее известны и хуже представлены в лите-
ратуре, здесь о них говорится подробнее (§§ 2, 3), чем о во-
просах более традиционного характера, относящихся к «повто-
ряющимся» движениям (§4).
В теории ДС заметную (хотя чаще всего вспомогательную)
роль играют расширения (гл. 1, п. 1.5). В настоящей главе
они встречаются в*§§ 4, 5. В § 4 обращение к ним связано с ми-
нимальными множествами — это развитие традиционной тема-
тики. В’гл. 1, п. 2.2 мы.видели, что «инвариантная» и «равно-
мерная по всем траекториям» трактовка уравнений в вариациях
гладкой ДС приводит к расширениям специального типа. Аб-
страгируясь от этого примера, приходим к общему понятию ли-
нейного расширения (§ 5). Очень важным является понятие
гиперболического линейного расширения. Трактовка неавтоном-
ных чдифференциальных уравнений с тонки зрения топологи-
ческой динамики тоже приводит к расширениям, в частности
для линейных систем — к линейным расширениям. Об этом то-
же говорится в § 5.
В заключение о литературе. Первая систематическая раз-
работка вопросов, связанных с «повторяемостью» движений,
была дана Биркгофом (G. D. Birkhoff), которого по этой при-
чине можно считать основателем топологической динамики. Од-
нако Биркгоф рассматривал гладкие ДС.'То, что для вопросов
такого характера это несущественно и что естественно разви-
вать теорию для топологических ДС (вначале только потоков),
отметила группа советских математиков в начале 30-х гг., до-
бавившая в 30-х—40-х гг. значительный новый материал.' Этот
этап отражен в [25], [30]. См. также [41]. О дальнейшем раз-
витии теории минимальных множеств см. '[15], [47], [54], [82].
В [44] она излагается параллельно с эргодической теорией и
обе они сочетаются при анализе примеров алгебраического про-
исхождения. В связи с подобными вопросами, см. также МЭ,
«Дистальная динамическая система», «Квазидискретный
205
спектр», «Нильпоток». В связи с § 2 см. [16], [46], [76], [79],
с § 3 — [46], '[79], с § 5— [16], [19], [24], [34], [75]. В цити-
рованных выше статьях МЭ можно найти указания о темах, ко-
торые здесь не затронуты и даже не упомянуты.
§ 2. Аттракторы, наборы Морса, фильтрации
и цепная рекуррентность
2.1. Аттракторы и наборы Морса. Замкнутое инвариантное'
множество А топологической ДС {g‘} называется аттрактором:
(буквально — «притягивателем»), или асимптотически устойчи-
вым множеством, если оно обладает следующими свойствами:
а) А устойчиво по Ляпунову, т. е. для любой его окрестности
U найдется такая его окрестность V, что любая положительная
полутраектория, начинающаяся в V, целиком содержится в U.
б) Если точка х достаточно близка к А, то p(g‘x, А)-*0 при
t—>оо.
Когда А сводится к положению равновесия, устойчивость ПО'
Ляпунову и асимптотическая устойчивость в точности совпада-г
ют со свойствами, имевшими эти названия в статье I, гл. 1,
п. 4.1. Когда А — замкнутая траектория, (асимптотическая) ус-
тойчивость А совпадает со свойством, которое в статье I, гл.~1,
п. 5.4 называлось орбитальной асимптотической устойчивостью
(в отличие от статьи I, мы здесь говорим только об устойчи-
вости замкнутого инвариантного множества, а не об устойчи-
вости движения. Некоторое различие между этими понятиями
проявляется уже на примере замкнутой траектории и периоди-
ческого движения. Более резко оно проявляется в гиперболи-
ческой теории: аттрактор может состоять из траекторий, кото-
рым отвечают неустойчивые движения). Приведенное определе-
ние аттрактора оказывается эквивалентным данному в статье I,
гл. 1, п. 8.1.
Свойство ДС иметь аттрактор в данном открытом множест-
ве UczM является С°-грубым.
Пусть <о(х) и а(х) —©-предельное и а-предельное множест-
ва траектории точки х (их определение дословно такое же,
как в статье I, гл. 1, п. 5.5). Зоной притяжения, соответственно
отталкивания, множества В назовем
W*(В) = {хвМ : © (х) сВ}, (В) = {х*М : а(х) <=В}
(ср. с W*, в гл. 2. Хотя формально в определении этого не
требуется, W’, IF" будут использоваться только для замкнутых
инвариантных В).
Если А — аттрактор, то А*=Й4\1Г,(А) — репеллер («оттал-
киватель»), т. е. аттрактор для ДС {£-'}, получающейся при
обращении времени (гл. 1,.п. 1.4). Звездочка в этом пункте
будет употребляться только для обозначения репеллера, свя-
занного указанным образом с аттрактором. Пересечение конеч-
206
ного числа аттракторов — аттрактор, конечного числа репелле-
ров — репеллер. Пересечение аттрактора и репеллера назы-
вается множеством Морса (М. Morse).
Конечная упорядоченная (посредством номеров) система
{Ль ..., Л,} попарно непересекающихся замкнутых инвариант-
ных подмножеств называется набором Морса1у, если:
1) Для любого х£М имеются такие i, j, что i^j, a(x)cAit
ф (х) <=Л{.
2) Из a(x)czA.{ и ®(x)czAt- следует, что хбЛ<. (Ср. с набо-
ром периодических траекторий для ДС Морса—Смейса. Как и,
в этом примере, в общем случае набор Морса можно было бы
считать лишь частично упорядоченным.) Так, любая пара (А,
А*), где А — аттрактор, является набором Морса.
Оказывается, что имеется биективное соответствие между
наборами Морса и фильтрациями М (гл. 2, п. 3.2, 2)), состоя-
щими из аттракторов: если 0==AocA1c...cAr=Af— такая
фильтрация, то а если {Ai,.. .,ЛГ}—набор Морса,
то Ai=W7“(AiU • • • UAj). (Полезно разобрать пример ДС
Морса—Смейла с указанными выше Л,.) В частности, набор
Морса состоит из множеств Морса. (Обратно, всякое множество
Морса AftB*, где А, В — аттракторы, содержится в наборе
Морса
{А(~\В, AftB*, А*ПВ, А*ПВ*}.)
Справедливо равенство
АхU ... UAr=n (AjUA/*). (1>
Свойство ДС иметь набор Морса {Ai...Л,} с AtczU(, где
И,аМ — заданные открытые множества, является С°-грубым.
Обобщая (и ослабляя) понятие фильтрации для ДС из гл. 2,
п. 3.2,3), будем говорить, что гомеоморфизм g и каскад {g*}
сохраняет фильтрацию
Ф={М{}, 0 =Afoc:Af1c ... <=МГ—М,
если gMi лежит строго внутри М{. Поток {g*} сохраняет Ф, если,
ее сохраняет каждое g‘ с t>0. Говорят также, что Ф является.
фильтрацией для данной ДС (или гомеоморфизма). С Ф связан
набор Морса
Ai-ng'VWiMW. (2)
Соответствующие AJ=|~|g<Af/. (Здесь t подразумеваются целы-
<>о
ми в случае каскада и вещественными в случае потока.)-
Morse decomposition в англоязычной литературе, но так как никаким
разложением М эта система не является, лучше употреблять нейтральное
<набор>.
207'
Не исключено, конечно, что некоторые Л'{=0; это бывает,
когда при достаточно больших t.
Свойство каскада сохранясь данную фильтрацию Ф яв-
ляется С°-грубым. Поток же {/•*•}, получающийся при малом
возмущении сохраняющего Ф потока, не обязан сохранять Ф —
можно только утверждать, что множества f*Mt будут лежать
строго внутри М{, скажем, при Соответствующие Л{ для
{/'} останутся в пределах малых окрестностей прежних Л,.
2.2. Цепная рекуррентность, e-траекторией (вернее было-бы
сказать е-движением) каскада {g*} называется такая последо-
вательность (конечная или бесконечная) {а}, что р(хь+ь Йхь) <
<е при всех k (для которых это имеет смысл), е-траекториёй
потока {/‘} называется такая параметризованная кривая x(t),
определенная на конечном или бесконечном "интервале времени
и, возможно, разрывная0, что
р(х(/ + т), ^Х(0)<8 (3)
при 0^т^1 и всех t (для которых это имеет смысл). (Выполне-
ния (3) можно было бы требовать при 0^т=^а с каким-нибудь
фиксированным а. Если на минуту принять для такого’ объекта
название «(е,а) -траектория», то утверждение о том/что кон-
кретный выбор а не является, существенным, подробнее рас-
шифровывается так: для любого потока {g*} и любых s, а, b
существует такое б, которое стремится к 0 при е—>0 (и фикси-
рованных a, b, {g‘}) и таково, что (б, а)-траектория являет-
ся (е, Ь) -траекторией.)
Родственное понятие—(б, з)-цепъ. Она состоит из после-
довательности отрезков настоящих траекторий временной дли-
ны >s, причем начало следующего отрезка находится в б-окре-
стности предыдущего. Начало (б, $)-цепи — это начало первого
ее отрезка, конец —конец последнего отрезка (если их конеч-
ное число)
Точка х$М обладает свойством" цепной рекуррентности и
называется цепно рекуррентной, если для любых 8, Т>0 имеет-
Ч Если фазовое пространство является многообразием, то можно огра-
ничится непрерывными е-траекториями, но в общем контексте топологической
динамики это невозможно. Для гладкого потока x=v(x) можно понимать
е-траекторию как гладкую (или кусочно-гладкую) кривую х(/), для которой
|х(/)—v(x(/))|<e при всех t (кроме, возможно, некоторых изолированных
значений, отвечающих разрывам х). Такая е-траектория будет Се-траекто-
рией в предыдущем смысле, где С зависит от v. Если рассматривается огра-
ничение гладкого потока на инвариантное множество Д, не являющееся
многообразием, то возможность подобных модификаций зависит от того, до-
пускается ли, чтобы е-траектория находилась не в самом Д, а только очень
близко к нему, или нет.
2) Ясно, что нечто вроде e-траекторий или (6, s)-цепей можно опреде-
лить в том случае, когда в М вместо метрики имеется равномерная струк-
тура— роль малых е, б тогда играют ее окружения. По существу так и де-
лается в [46], где вначале метризуемость компакта М не предполагается,
только вместо окружений равномерной структуры компакта автор использует
открытые покрытия.
208
ся е-траектория, исходящая из х и снова возвращающаяся в х
через время >Т. Эквивалентное условие: для любых 6, s>0 су-
ществует (б,s)-цепь с началом и концом х. Вместе с х и все
точки ее траектории одновременно обладают или не обладают
этим свойством, так что можно говорить о цепной рекуррентно-
сти траектории. Цепная рекуррентность — самое широкое
(и, значит, самое слабое) из различных свойств «повторяемо-
сти», рассматриваемых в топологической динамике. Говоря опи-
сательно, цепная рекуррентность означает еще даже не «повто-
ряемость» движения, а скорее то, что ДС «не мешает» повто-
ряться «приближенным движениям».
Множество всех цепно рекуррентных точек является зам-
кнутым инвариантным множеством. Будем обозначать его че-
рез 5? или, подробнее, чем 0t({g*}), а для каскада {£*} —так-
же через 01(g). Оказывается, что оно совпадает с пересечением
множеств вида Л1И*, где А пробегает всевозможные аттракто-
ры рассматриваемой ДС, а также (см. (1)) с пересечением мно-
Г
жеств вида UAt, отвечающих всевозможным наборам Морса
/=1
{Л1....Лг}. Таким образом, наборы Морса как бы «аппрок-
симируют сверху» 5?. Для ограничения {g‘ |5?({g1})} ДС {g1}
на 5?({g‘})
(4)
Зависимость 0^({g1}) от {g(} является полунепрерывной свер-
ху в том смысле, как это понимается для многозначных отобра-
жений— если ДС {f'} достаточно близка к {£'}, то множе-
ство 0£({f‘}) находится в малой окрестности множества
0l({gt}) (& не может «резко увеличиться» при малом возму-
щении. «Резко уменьшится» 0к может — достаточно рассмот-
реть пример, когда g‘x=x).
2.3. Функции Ляпунова. Простые примеры показывают, что
вне множества «повторяющихся» движений поведение траекто-
рий напоминает поведение траекторий в градиентной системе.
Однако в общем случае переход от этого наблюдения к точной
формулировке не очевиден и не однозначен.
Будем говорить, что непрерывная функция f: M-+R (короче,
просто «функция») не возрастает вдоль траекторий, если
f(g‘x) ^f(x) при всех х&М, t>0, и что f убывает вдоль траек-
тории L, если f (g‘x) <f (х) при всех x6L, t>0. (Это что-то вро-
де функций Ляпунова, но последнее название резервируется
для более специальных f.)
Рассмотрим сперва всевозможные функции, не возрастаю-
щие вдоль траекторий. Для каждой такой f точки х, для кото-
рых f(g‘x) не зависит от t, образуют замкнутое инвариантное
множество. Возьмем пересечение А таких множеств, отвечаю-
щих всевозможным Д Оно является наименьшим замкнутым
инвариантным множеством, вне которого имеется сходство с гра-
5
14—7712
2)>
диентной системой. Можно показать, что среди рассматрива-
емых f имеется такая, которая убывает вдоль любой траекто-
рии, не лежащей в Л, а само А можно охарактеризовать в иных
терминах, не связанных с невозрастающими функциями [38].
(В этом втором описании А используется некоторая модифика-
ция пролонгаций. О последних см. в п. 4.2.) Однако пока что
это А не использовалось вне узких рамок одного из направле-
ний топологической динамики (занимающегося анализом раз-
личных аспектов понятия устойчивости). Быть может, это свя-
зано с тем, что для целей других направлений оба известных
описания А недостаточно удобны. Вообще говоря, А меньше,
чем 5?, и больше, чем множество неблуждающих точек (п. 4.1).
Поскольку ничего меньшего, чем это А, с помощью функ-
ций, не возрастающих вдоль траекторий, «выловить» нельзя и
поскольку единственное известное «разумно определенное»
большее множество с какой-то «повторяемостью» — это 5?, то
естественно попробовать связать 5? с функциями, не возраста-
ющими вдоль траекторий. Оказывается, 5? действительно «вы-
лавливается» при некотором сужении этого класса функций.
Ограничимся случаем потока. Будем рассматривать функ-
ции, которые убывают на одних траекториях, постоянны на
других и переводят совокупность последних в нигде не плотное
подмножество R. Оказывается, что любая такая функция по-
стоянна на компонентах связности 5? (тем более, на входящих
в 5? траекториях) и что среди таких функций имеется функция
f, которая принимает различные значения на различных компо-
нентах и убывает на каждой траектории, не лежащей в 5?.
Эта f дает максимум того, чего можно достичь при помощи
функций рассматриваемого типа, отчего в [46] она названа
полной функцией Ляпунова. Нетрудно убедиться, что утвержде-
ние о ее существовании включает и утверждение, что 5? «вы-
лавливается» с помощью фильтраций.
Если М связно, то следующие утверждения попарно экви-
валентны: 1) Й=Л1; 2) ДС не имеет собственных (отличных
от 0 и М) аттракторов; 3) если U — непустое открытое мно-
жество и />0, то g*U<fiU (свойство слабой несжимаемости).
В общем случае 5? совпадает с объединением всех тех замкну-
тых инвариантных подмножеств ДсЛ4, ограничение на которых
нашей ДС (т. е. ДС {£'|Л}) обладает свойством слабой не-
сжимаемости [17], однако само этим свойством может не
обладать.
§ 3. Индексы изолированных инвариантных
множеств
3.1. Изолированные инвариантные множества. Инвариант-
ные множества в этом параграфе всегда подразумеваются ком-
пактными, если не оговорено противное. Инвариантное множе-
210
ство А называется изолированным или локально максималь-
ным, если в некоторой его окрестности U нет большего
инвариантного множества (компактного или нет — это здесь не
важно). Иными словами: А совпадает с пересечением всех
любая траектория, целиком содержащаяся в U, лежит в 4.
Говорят, что U — изолирующая окрестность (для) этого А.
Если же основное внимание обращено на 17, а не на А, то U
называют изолирующей окрестностью, не уточняя, (для) какого-
именно А — оно может быть только одно. Не исключается слу-
чай 4 = 0— для U это означает, что в U не содержится цели-
ком ни одной траектории.
Изолированное положение равновесия или замкнутая тра-
ектория потока, периодическая траектория каскада (гл. 1,
п. 2.4) могут не быть изолированными замкнутыми множества-
ми (пример — положение равновесия типа центр). Но если они
гиперболичны, то являются изолированными и как инвариант-
ные множества.
Пересечение конечного числа изолированных инвариантных
множеств является изолированным инвариантным множеством,
а объединение — необязательно. Аттракторы и репеллеры
(а значит и множества Морса, п. 2.1) являются изолированны-
ми инвариантными множествами. Множество цепно рекуррент-
ных точек (п. 2.2) может не быть изолированным. Если 4 —
изолированное инвариантное множество ДС {§*}, то у любой
ДС {/‘}, достаточно близкой к {gf}, имеется изолированное
инвариантное множество, содержащееся в малой окрестности
множества 4.
Целесообразность введения понятия изолированного инва-
риантного множества явствует из того, что они нередко встре-
чаются при исследовании различных вопросов: бегущие вол-
ны, динамические системы с гиперболическим поведением тра-
екторий, задача трех тел, итерации одномерных отображений.
Это еще не значит, что надо пытаться построить некую общую
теорию изолированных инвариантных множеств — скорее наобо-
рот, слишком уж разнообразными могут быть их свойства. Но
четко выделяются две группы вопросов, где можно говорить об
определенных теориях, в названиях которых резонно упомина-
ются изолированные множества. Это теория гиперболических
изолированных множеств (по сравнению со всеми изолирован-
ными множествами, они образуют гораздо более узкий класс)
и «индексная» теория (класс рассматриваемых изолированных
инвариантных множеств никак не ограничивается, но изучает-
ся только некоторая специальная группа свойств).
Индексная теория (пока что?) развита только для потоков.
Поэтому до конца настоящего параграфа речь идет только о
потоках.
«Индексные» соображения позволяют в некоторых случаях
заключать о /существовании изолированного инвариантного мно-
14*
211
жества А в данной области U на основании исследования пове-
дения траекторий только возле границы А. Естественно, внутрен-
нее строение А при этом не определяется. Впрочем, все-таки по-
дучается небольшая информация об А и это может быть
полезным (см. конец п. 3.3); иногда можно кое-что сказать и
о траекториях, стремящихся к А при Z->oo или при /-»—оо.
Индексы, рассматриваемые в настоящем параграфе, су-
щественно отличаются от индексов, рассматривающихся в
гл. 2, § 2, хотя и те, и другие имеют топологическую природу,
зато определенным образом связаны с индексами Морса (гл. 1,
п. 2.5). Кроме того, излагаемую ниже теорию можно считать
развитием другой традиции, тоже давней, но обычно не высту-
павшей на первый план. Уже в КТДУ на плоскости при иссле-
довании положения равновесия а можно использовать сообра-
жения такого типа: если одни траектории «отворачивают» от а
в одну сторону, а другие — в другую, то «между ними» имеет-
ся траектория, идущая в а. Это, по существу, соображение то-
пологической природы, хотя топология здесь тривиальна. В мно-
гомерной ситуации Волю (Р. Bohl), который использовал ана-
логичные соображения, пришлось ради этого доказать ту
самую теорему о неподвижной точке, которая теперь носит его
имя (гл. 2, п. 2.2). Использование этой теоремы у Боля, таким
образом, отличалось от ставших впоследствии более обычными
применений, упомянутых в (п. 2.2, гл. 2). Позднее появился
принцип Важевского (Т. Wazewski), позволяющий на основа-
нии исследования поведения траекторий возле границы U за-
ключать о существовании полутраектории L (а затем и целой
траектории L' — она является предельной для L), целиком ле-
жащей в U 1(33]. Индексы изолированных инвариантных мно-
жеств тоже позволяют делать заключения такого рода. Фор-
мально, в этом отношении они слабее принципа Важевского
)(см. пример в '[46]), но свойственный им более алгебраический
характер делает их более гибкими, а кроме того, может иметь
значение и доставляемая ими дополнительная информация об
‘А и о стремящихся к А траекториях.
3.2. Изолирующие блоки и индексные пары. Здесь мы бу-
дем иметь дело, как правило, не с открытыми, а с компактны-
ми окрестностями. Когда компактное множество N является
изолирующей окрестностью? Очевидно, для этого необходимо
и достаточно, чтобы ни одна граничная точка N (в М) не ле-
жала на траектории, целиком содержащейся в N. Например,
это так, если для любой граничной точки х отрицательная или
положительная полутраектория, начинающаяся в х, сразу вы-
ходит из N (формально: существует такое в=е(х)>0, что
g‘x$N при всех t&(—8, 0) или всех ZG (0, е). В последнем случае
х называется точкой выхода; множество точек выхода обозна-
чим через N+). Такие N называются изолирующими блоками.
212
В литературе встречаются различные определения изолиру-
ющих блоков. Они играли большую роль в первых работах в
данной области, когда рассматривались гладкие потоки. В то
время их определение содержало еще ряд условий, которые ис-
пользовались в различных рассуждениях; было доказано, что
у изолированного инвариантного множества гладкого потока
имеется изолирующая окрестность N', являющаяся изолирую-
щим блоком (с этими дополнительными условиями). При пере-
ходе к топологическим потокам определение пришлось модифи-
цировать, и оно утратило прежнюю элегантность. В конце кон-
цов в общей теории изолирующие блоки были заменены индекс-
ными парами (см. ниже). Однако при приложениях теории к
гладким потокам удобно все-таки пользоваться изолирующими
блоками. Практически, они понимаются в том смысле, как опре-
делено в предыдущем абзаце, причем N является п-мерным
подмногообразием с краем многообразия М, но только край
может иметь «углы».
Например, для седла на плоскости (здесь X, ц>0)
Х=кх+о(|х |+|у|), у= — pt/+o(|x|-r|t/|) (5>
изолирующим блоком N может служить маленький квадрат
|х|, |«/|=^е; ег0 вертикальные стороны образуют N+. Годится
и маленький круг, но квадрат нагляднее.
Пусть N — компактная изолирующая окрестность изолиро-
ванного инвариантного множества А. Пара (упорядоченная)
<Л^ь Л^2> компактных подмножеств АГ называется индексной па-
рой (для Л) относительно N, если А лежит строго внутри JVi\
W2 и:
1) Если положительная полутраектория, начинающаяся в
xeNf, со временем выходит из А\, то одновременно она выходит
и из N. Формально: если g*x&N при то gtx^Ni при
тех же t. («Выход» здесь, стало быть, понимается в более сла-
бом смысле, чем выше.)
2) Если положительная полутраектория, начинающаяся в
xGNi, со временем покидает Xi (или, что ввиду 1) то же самое,
N), то до этого она попадает в («выход из происходит
только через А^») •
Доказывается, что для любого изолированного инвариант-
ного множества А и для любой его компактной изолирующей
окрестности N существует индексная пара А^>- Если N' —
изолирующий блок (для Л), то <.N', N+'> является индексной
парой (для А относительно N'). Другой пример: для седла (5)
можно принять
М={(х, У):|х|, |у|<е};
М—{(х,у):|х|<8,
JV2=|(x, г/):0<1— j
213
В общем случае ^2 служит' как бы некоторым (достаточным
для наших целей) «огрублением» W+', а роль N' как бы рас-
щепляется на две роли, одна из которых (в основном, конт-
роль за тем, насколько близко к А все происходит) отходит к
N, а другая (главная) —к Ni.
3.3. Гомологический и гомотопический индексы. Простран-
ство Ni/ (NiftNz), получающееся из при отождествлении всех
точек друг с другом, называется индексным пространст-
вом для А. Оно рассматривается как пространство с отмечен-
ной точкой (как говорят топологи, «.пунктированное-» прост-
ранство) — роль таковой играет та же точка Хо, которая полу-
чается из Л^1ПЛ^2. Формально это означает, что рассматривается
пара (NJ (Ntf\Nz), Хо) (еще более формально, следовало бы
второй ее член писать в виде {хо}). В том случае когда 7^2=0,
индексное пространство М/0 является дизъюнктным объеди-
нением Af] и одной точки Хо (формальнее: одноточечного про-
странства, а нагляднее: точки, лежащей где-то в стороне от
М). Можно рассматривать это как специальное соглашение о
смысле NJ0, а можно придать определению NJB с Bcz.Ni
такой вид, что при В=0 это получается автоматически.
Оказывается, что все индексные пространства для А имеют
один и тот же гомотопический тип как пунктированные про-
странства. (Для двух таких пространств (X, х0) и (У, уо) это
означает существование таких непрерывных отображений
f: X-+Y, g: У->Х, что gf гомотопно lx, fg гомотопно 1Г). при-
чем при всех рассматриваемых отображениях — f, g и отобра-
жениях Х-*-Х, У->У, возникающих при гомотопиях, — отмечен-
ная точка переходит в отмеченную точку.) Грубо говоря, их го-
мотопическая эквивалентность строится с помощью подходя-
щих сдвигов по траекториям. Это позволяет определить гомо-
топический индекс h(A) как гомотопический тип индексного
пространства и (ко) гомологический индекс — как полную груп-
пу (ко)гомологий индексного пространства по модулю отме-
ченной точки. Последний индекс однозначно определяется h(A),
который и нагляднее, так что я им ограничусь.
Для работы с гомотопическим типом [X] пространства X,
т. е. с множеством пространств, гомотопически эквивалентных
X, вовсе не требуется как-то представлять себе все его элемен-
ты. Зато нередко можно хорошо представить себе некоего до-
статочно просто устроенного представителя Уб[Х); мы как бы
считаем, что наше X непрерывно продеформировано в Y. Ска-
жем, если X гомотопически эквивалентно 5П, то S" естествен-
но брать в качестве этого представителя. Соответствующий го-
мотопический тип обозначается через 2П. (В качестве отмечен-
ной точки годится любая точка 5я.)
В примере (5), стягивая обе вертикальные стороны квад-
рата в одну точку, мы, как легко видеть, получим пространст-
во, гомотопически эквивалентное окружности. Вообще, гипер-
214
болическое положение равновесия с индексом Морса и имеет
гомотопический индекс 2й, (Стоит проследить, как при «=0
«срабатывает» сказанное выше об N\I0).
В некоторых случаях h(A) может выражаться через более
простые гомотопические типы с помощью операций суммы \/
и произведения Д. Последние для гомотопических типов опре-
деляют, производя соответствующие действия над их предста-
вителями, а для последних, т, е. пунктированных пространств,
они определяются так:
(X, x0)V(K, Уо) = (^иП/{хо, у.}
(объединение—дизъюнктное; когда имеют дело с пространства-
ми, а не гомотопическими типами, то чаще говорят о букете, а
не о сумме);
(X, х0)А(Г, Уо) = (X XГ)/((Х X Уо) U(*о XК)).
Эти операции ассоциативны, коммутативны и умножение дистри-
бутивно относительно суммы; гомотопические типы
б= |(х0, х0)Ь 1 =2° = ]({х1» *о},.*о)],
где Х1Д х0, играют роль нуля и единицы. Сумма равна 0 тогда
и только тогда, когда слагаемые равны б.
Если изолированное инвариантное множество А является
дизъюнктным объединением изолированных инвариантных мно-
жеств А{ и А2, то h (A) — h (A^\/h (А2)- Для гиперболической
незакрученной замкнутой траектории L с индексом Морса и > 1
гомотопический индекс равен 2“Х/2“-1. Когда же «(£)=1, то
представителем h(L) может служить (S1 (J х0, х0), где Xo$S‘.
(Это отличается от частного случая предыдущей формулы при
а=1: S’VS0 имеет представителя (S’Ux0, xj, где XigS1.) Для
гиперболической закрученной замкнутой траектории L с индек-
сом Морса и (который неизбежно >2)
A(A) = [RP2]a2“-2,
где RP2 — проективная плоскость; выбор отмеченной точки на
ней безразличен.
Из работ, содержащих применения индексной теории к раз-
личным конкретным задачам, многие посвящены задачам, свя-
занным с бегущими волнами. На примере общего хода рассуж-
дений в некоторых из относящихся сюда работах можно дать
представление о характере этих применений.
Рассматривается некоторая автономная система в Ж". Надо
доказать, что она имеет траекторию, идущую из одного поло-
жения равновесия а в другое Ь. Сами а и b легко исследуются
и оказываются гиперболическими. Довольно легко строится изо-
лирующий блок jV, содержащий а и Ь; оказывается, что
215
[jV7Ar+] = 6. Отсюда следует, что максимальное замкнутое инва-
риантное множество А, содержащееся в N (то самое, для ко-
торого N является изолирующей окрестностью), не сводится
к {а, Ь}—в противном случае получилось бы, что 2°WV
V2“(d)=6. На этом роль индексных соображений кончается.
Дальше, используя уже другие конкретные особенности рас-
сматриваемой системы, доказывается, что траектория, целиком
заключенная в N и отличная от а, Ь, должна идти из а в Ь.
(Дело в том, что внутри N поведение траекторий этой системы
такое же, как в градиентной системе.)
Имеются и другие подходы к задачам такого' типа. Но ин-
дексные методы применялись к задачам такого типа неодно-
кратно и (уже в силу одного только числа таких применений)
некоторые из задач были этими методами решены впервые.
В связи с этим, изложение индексной теории включено в кни-
гу по математическим вопросам теории ударных волн [79].
3.4. Индекс Морса — Конли (Ch. Conley). Рассмотрим род-
ственную задачу, которая тоже в конечном счете связана с бе-
гущими волнами, но обсуждается в [46], так сказать, в абстра-
гированном от своего происхождения виде.
Имеется автономная система в R2, зависящая от парамет-
ра Хб[Хо, XJ. Имеется изолирующий блок N, пригодный при
всех Л и содержащий положения равновесия а и Ь. Последние
при всех 1 гиперболичны с и=1 (седла) и у них ймеются ма-
ленькие изолирующие блоки Na и Nb, тоже пригодные при всех
Л. При Х=Хо и X=Xi никаких других траекторий, целиком лежа-
щих в N, нет, однако инвариантные многообразия Wu(a),
Wu(b) при Х=Хо выходят на dN иначе, чем при X=Xi— один и
тот же ус попадает в различные компоненты N+. (Это утверж-
дение корректно, ибо усы хорошо продолжаются по параметру,
коль скоро положение равновесия остается все время гипер-
болическим.) Используя этот факт вместе с другими свойст-
вами системы, надо доказать, что при некотором к имеется
траектория, идущая из а в Ь.
Роль индексной теории в данном случае состоит в доказа-
тельстве того, что максимальное инвариантное множество Лх,
содержащееся в Л\ не при всех X сводится к {а, Ь}. Как и в
предыдущем примере, то, что траектория, целиком лежащая
в N, должна идти из а в Ь, доказывается на основании других
конкретных особенностей рассматриваемой системы. Схема же
индексного рассуждения такова.
Рассуждая от противного, допустим, что АК= {а, Ь} при всех
X. Сдвиги по траекториям определяют гомотопическую эквива-
лентность
(NalNa^ V(Nb/Nb+)^N/N+,
216
причем она непрерывно зависит от %. Но при Х=А,0 и K==kt
сдвиги по траекториям определяют негомотопные отображения
Na/Na+-+N/N+. (6>
Аккуратная реализация этой схемы требует рассуждений
такого же типа, как и, скажем, при доказательстве того, что
индексные пространства данного А гомотопически эквивалент-
ны, или что h(A) =h(A\)\/h(A2), когда А есть дизъюнктное
объединение Ai и А2. Естественно желать, чтобы результат
этих рассуждений тоже был раз и навсегда зафиксирован в
общей теории в виде некоторой готовой формулировки. Она
должна была бы включать что-то вроде отображения индексов
h (a)-+h (Ах), возникающего при сдвигах по траекториям. Од-
нако для гомотопических типов невозможно разумным образом
определить морфизмы. Дело в том, что если X и У гомотопи-
чески эквивалентны, то этим еще не сказано, какой именно го-
мотопической эквивалентностью X—>У надлежит пользоваться
(эти эквивалентности могут быть негомотопны друг другу, при-
мер: Х= У=5‘).
Выход из положения состоит в том, чтобы брать не произ-
вольные пространства, гомотопически эквивалентные индекс-
ным протранствам, а только сами индексные пространства, и
не произвольные отображения их друг в друга, являющиеся го-
мотопическими эквивалентностями, а только те, которые полу-
чаются с помощью сдвигов по траекториям.
Связной простой системой (connected simple system) назы-
вается такая совокупность пространств и их непрерывных, ото-
бражений друг в друга, что: а) композиции отображений, при-
надлежащих системе, сами принадлежат системе; б) тождест-
венные отображения входящих в систему пространств принад-
лежат системе; в) для любых двух входящих в систему про-
странств X, У множество входящих в систему отображений
X-+Y непусто и состоит из гомотопных друг другу гомотопи-
ческих эквивалентностей. (Короче говоря, система есть кате-
гория топологических пространств и непрерывных отображений,
удовлетворяющая в).) Индекс Морса — Конли (М. Morse,
Ch. Conley) /(А) изолированного инвариантного множества
А — это связная простая система, состоящая из индексных про-
странств для А и отображений индексных пространств, возни-
кающих при сдвигах по траекториям или гомотопных таким
отображениям. (В полной формулировке следует уточнить, как
именно с помощью сдвигов по траекториям определяются ото-
бражения; я это опускаю.) Для индексов Морса — Конли, как
и вообще для связных простых систем, уже можно ввести мор-
физмы и, в частности, понятие гомотопической эквивалентно-
сти. (Как известно, для (ко) гомологий имеется еще один по-
лезный тип отображений — связывающие гомоморфизмы в
точной последовательности пары. Аналогом этой последователь-
15—7712 217
ности в гомотопической топологии является точная последова-
тельность Пуппе. В нашем случае, если А — изолированное ин-
вариантное множество потока {g1} и Ai<=A— аттрактор потока
{£*|Л}, то ПРИ некоторых дополнительных предположениях
строится некий аналог этой последовательности. Я отмечу
только, что первое связывающее отображение с в этой после-
довательности в некотором смысле характеризует поведение
траекторий из А\ЛЬ стремящихся к Ль и близких к ним дуг
траекторий в М.)
В 1(A), вообще говоря, уже не содержится таких простых
представителей, как в Л (А). Поэтому целесообразно сочетать в
рассуждениях различные типы индексов.
Если поток {g?} непрерывно зависит от параметра %, про-
бегающего топологическое пространство Л, то пусть — сово-
купность всех изолированных инвариантных множеств потока
{gV} и —дизъюнктное объединение всех iA, ХЯА. Р* наде-
ляется некоторой топологией, специально приспособленной к
обсуждению продолжения изолированных инвариантных мно-.
жеств по параметру. (Она не совпадает с топологией, которая
на первый взгляд кажется наиболее естественной — топологией
SP как подмножества F(Af)XA, где F(M)— множество всех
замкнутых подмножеств М, снабженное топологией с помощью
метрики Хаусдорфа.) Для любого компакта N<=M пусть
A(A")={Х:А'—изолирующая окрестность для {§/}}
и- при %€Л(ЛГ)—максимальное инвариантное множество
потока {g(}, содержащееся в N. Множества <JN(U) со всевоз-
можными компактными AfcM и открытыми UcA(N) прини-
маются за предбазу топологии в # (их пересечения образуют
ее базу).. рассматриваемое с такой топологией и с естествен-
ной проекцией
' Р’-э-Л
оказывается пучком (тотальным пространством пучка) мно-
жеств над Л.. Если два изолированных инвариантных множест-
ва, рассматриваемые как точки SP, можно соединить непрерыв-
ным путем, то их индексы Морса — Конли оказываются гомото-
пически эквивалентными.
- Как известно, топология в пучках обычно обладает довольна
непривычными свойствами; не составляет исключения и дан-
ный случай. Сверх того, в нем можно констатировать и неко-
торые другие странности. Но они отражают определенные свой-
ства изолированных инвариантных множеств и оттого едва ли
могут считаться какими-то дефектами определения, которых,
может быть, удалось бы избежать при удачной модификации
последнего. Так, отображение
; Л(АГ)^ Х^(Х)
218
непрерывно (сечение пучка), однако с наглядной точки зре-
ния множество ох(Х) может при изменении X изменяться
«скачком». Конкретизируя пример, приведенный в начале дан-
ного пункта, представим себе, что при некотором X один из
усов а идет в b и при этом Лх состоит из а, b и этого уса, а при
других % — только из а,Ь. Если Е — прежняя изолирующая
окрестность, то A(M) = [Xo,Xi] и ow(X)=/lx. По этому поводу
можно сказать, что обсуждаемые нами свойства Лх— вроде
й (Лх) и, в известном смысле, I (Лх) — действительно не меня-
ются с изменением X, хотя Л* изменяется «скачком». Далее,
A (Nа U Nb) = [Хо, XJ, (X)={а, Ь},
так что два непрерывных сечения & совпадают всюду, кроме
одного значения X — топология нехаусдорфова. Однако это
отражает тот факт, что корректное определение продолжения
изолированного инвариантного множества по параметру зави-
сит от выбора изолирующей окрестности.
Теория пп. 3.3, 3.4 может применяться в некоторых случаях,
когда отчасти нарушаются основные свойства потока — нет
единственности траектории, решения определены лишь при
/^0 или даже только при малых /^0. Во всех этих случаях
можно рассматривать совокупность всевозможных решений как
некоторое подмножество Ф в пространстве параметризованных
кривых на М, обладающее свойством локальной положитель-
ной инвариантности относительно сдвигов аргумента: если
фбф, то у ф в Ф имеется такая окрестность t/ (ф) и существует
такое е(ф)>0, что образы £/(ф) при сдвигах аргумента на
/е[0, е(ф)) не выходят из Ф. Что еще более существенно, тот же
прием позволяет рассматривать в рамках данной теории вопро-
сы, относящиеся к некоторым уравнениям с запаздывающими
аргументами, уравнениям с частными производными и интег-
ральным уравнениям. Поэтому в литературе стало обычным ис-
ходить из локально положительно инвариантного Ф.
В связи с материалом настоящего пункта, помимо [46], [79]
и цитированной там литературы, см. [62], [74].
Хотя все те усложнения, с которыми мы сталкивались в
этом пункте, являются мотивированными, все же для большин-
ства приложений пока что достаточно более простых понятий и
результатов._n. -3.3_ В. какой степени .более сложная теория (и
вся ли она) является, плодотворной, судить преждевременно.
Замечу все же, что в ее рамках естественно получают общую
трактовку неравенства Морса—Смейла (гл. 2, п. 3.2) [46].
§ 4. «Повторяющиеся» движения
4.1. Неблужающие точки. Центр. Точка х&М называется
блуждающей, если» имеется такая ее окрестность U и такое.
#о>0, что gtU(\U=0 при всех />/о- Точка, не являющаяся
219
блужающей, называется неблуждающей. Вместе с х и все точ-
ки вида g*x одновременно являются блуждающими или не-
блуждающими, поэтому можно говорить о блуждающей или
неблуждающей траектории. При обращении или замене време-
ни (гл. 1, п. 1.4) свойство точки быть блуждающей или неблуж-
дающей сохраняется.
Совокупность всех неблуждающих точек ДС {g(} обозна-
чается через W№({g*}) (non-wandering), а для каскада
{gft}—также через NW(g). Часто вместо NW пишут Q. Это
замкнутое инвариантное множество; оно содержит все а- и со-
предельные множества всех траекторий (определение см. в
статье I, гл. 1, п. 5.5) и содержится в ({#'}) (п. 2.2), состав-
ляя, вообще говоря, только собственную его часть.
Аналог (4) с заменой 5? на NW не имеет места. В связи с
этим положим
Qi=W ({?'}),..., Qi+1=Mr(te' IQJ),...
йш= n Qi, Q<o+1=NW ({g' I Qw}),...
/«о
(трансфинитная индукция). Этот процесс стабилизируется на
некотором счетном порядковом (трансфинитном) числе а, т. е.
йа'=йо+1= ... Полученное называется центром, ДС {g(}.
Центр оказывается наибольшим замкнутым инвариантным
множеством А, все точки которого являются неблуждающими
для ДС {g‘ |А). По поводу глубины центра, т. е. числа шагов
трансфинитного процесса, необходимого для его достижения,
см. МЭ, «Центр».
Положительная (соответственно, отрицательная) полутра-
ектория называется устойчивой по Пуассону, если она содер-
жится в своем ©-предельном (соответственно, а-предельном)
множестве. Для траектории приходится различать устойчивость
по Пуассону в положительном направлении, т. е. устойчивость
какой-нибудь (и тогда любой) ее положительной полутраекто-
рии, устойчивость по1 Пуассону в отрицательном направлении,
т. е. аналогичное свойство отрицательных полутраекторий, и
просто устойчивость по Пуассону, означающую наличие обоих
этих свойств (при необходимости резче подчеркнуть различие,
можно в последнем случае говорить о двусторонней устойчиво-
сти по Пуассону). Точка х устойчива по Пуассону (в том или
ином направлении или двусторонне), если тем же свойством
обладает ее траектория; иными словами, g*x при М-оо, —оо
или и при t-^-oo, и при —оо проходит сколь угодно близко к
х. Оказывается, что замыкание множества всех устойчивых по
Пуассону точек совпадает с центром.
Пусть U — какая-нибудь окрестность NW. Тогда существу-
ют такие ш, Т>0, что для любого х множество со-
держится в нескольких отрезках длины Т, число которых не
больше т. В этом смысле можно утверждать, что любые дви-
220
жения со временем приближаются к повторяющимся. В более
слабом смысле можно утверждать, что они как бы сосредото-
чиваются возле центра. Именно, для любой окрестности U цент-
ра и любого х доля на отрезке [О, Т] тех t, для которых glx&Ur
стремится к 1 при Т->-оо. (Впрочем, наименьшее замкнутое ин-
вариантное множество, обладающее тем же свойством — мини-
мальный центр притяжения — является, вообще говоря, только-
частью центра [25], [30].)
Рассматривая зависимость NW({g1}) от ДС{§*}, мы стал-
киваемся с возможностью явления, нового по сравнению с си-
туацией для SL (см. конец п. 2.2). Говорят, что ДС {§'} допус-
кает С°=й-взрыв (или 0,-взрыв в С°), если имеется такая ок-
рестность U множества что сколь угодно близко к
{g*} имеется ДС {/'}, Для которой NW ({/*}) <£U. Близость по-
нимается в том смысле, как это принято для топологических
ДС (§ 1), но рассматривая гладкие ДС, можно в понятном
смысле говорить о Сг-&-взрыве. Если NW({gt})=Sl({gt}), To-
te'} не допускает С°-й-взрыва; обратное справедливо, когда
М — замкнутое многообразие [76] (но не в случае произволь-
ного М — примером может служить поток на «восьмерке» с
единственным положением равновесия). Интересный (не только-
сам по себе, но и ввиду своих связей) вопрос — справедливо ли
то же самое для С'-й-взрыва?
4.2. Варианты понятия неблуждаемости. Пролонгации. Точ-
ка xGM называется слабо неблуждающей1' для ДС {g{}
(А. Н. Шарковский), если для любой окрестности U этой точки
и любого числа /0>0 найдутся такое t>t0 и такая ДС {['},
сколь угодно близкая к {#'}, что Множество слабо-
неблуждающих точек обозначим через Wcn. Ясно, что NWa
Если М— многообразие, то АПГСл=^, в общем же
случае это необязательно (как видно из того же примера с
«восьмеркой», что и в конце п. 4.1).
Пролонгацией (буквально — продолжением) точки х по
начальным данным называют множество
D(x)—{y: существуют такие хп-+х, tp>0, что ginxn-^-y}r
.а предельной пролонгацией—меньшее множество D' (х), опре-
деление которого отличается тем, что в нем требуется, чтобы
tn-+ оо. Ясно, что D{x) является объединением D'(х) и поло-
жительной полутраектории точки х, a D' (х) = Г) g*D (х).
О D' (х) говорят также как о пролонгации траектории точки х.
Например, пролонгация устойчивого уса седла а содержит
Wu(a) (пример, приводившийся еще Пуанкаре и Бендиксоном).
Точка х является неблуждающей тогда и только тогда, когда
x&D' (х).
!> В эргодической теории встречается термин «слабо неблуждающее мно-
жество», имеющий иной смысл, см. литературу в МЭ. «Инвариантная мера».
221
Существуют различные модификации пролонгаций. Одна из
них (пролонгация по начальным данным и ДС) получается, если
варьировать не только начальные данные, но и ДС:
Р(х)=(у: существуют такие {/„*}-> {gz}, хп-+х, in>0, что
УпХп->у),
Р' (х)—{аналогично с дополнительным условием
Р’ и Р связаны так же, как D' и D. Слабо неблуждающие
точки —это те точки х, для которых х£Р' (х).
Можно варьировать только ДС (пролонгация по ДС): на
многообразии это совпадает с предыдущим, т. е. с Р. (Авторы,
интересующиеся ДС на многообразиях, могут давать формули-
ровки применительно к этому случаю.)
Помимо затронутых здесь вопросов, пролонгации (как и
«-траектории) использовались в связи с обсуждением в общем
контексте топологической динамики различных аспектов поня-
тия устойчивости. Однако выявленным при этом оттенкам в
теории гладких ДС (пока что?) не приходилось уделять внима-
ния.
4.3. Минимальные множества. Множество AczM называется
минимальным, если оно непустое, замкнутое, инвариантное и
не имеет собственных подмножеств, обладающих этими тремя
свойствами. Всякая ДС (как обычно, с компактным фазовым
пространством) содержит хотя бы одно минимальное множест-
во. Точка хбМ называется рекуррентной (в смысле Биркгофа
(G. D. Birkhoff)), если для любого е>0 найдется такое L>0, что
вся траектория точки х содержится в е-окрестностй любого
своего отрезка временной длины L. Вместе с х и все точки ее
траектории одновременно являются или не являются рекур-
рентными; можно говорить о рекуррентной траектории. Это
свойство сильнее устойчивости по Пуассону. Всякая точка
компактного минимального множества рекуррентна, а если точ-
ка х рекуррентна, то замыкание ее траектории (независимо от
компактности М) является компактным минимальным мно-
жеством. Отсюда видно также, что рекуррентность (сохраняется
при непрерывной замене и обращении времени. (Для мини-
мальности замыкания траектории достаточно и почти рекур-
рентности-. для любой окрестности U точки х множество тех t,
для которых g'xGt/, относительно плотно, т. е. имеется такое
L>0, что в каждом отрезке '[s, s+ZJ имеется хоть одна точка
этого множества. Когда замыкание траектории компактно, то
почти рекуррентность совпадает с рекуррентностью.)
Часто используется другая терминология, предложенная
Готтшалком и Хедлундом (W. Н. Gottschalk, G. A. Hedlund).
Устойчивость по Пуассону они называют рекуррентностью, а
рекуррентность (точнее, почти рекуррентность, но не будем от-
влекаться на уточнения, нужные в некомпактном случае) — поч-
ти периодичностью точки х, или почти периодичностью ДС в
этой точке. Они говорят еще о почти периодичности ДС на тра-
222
ектории точки х— это означает обычную почти периодичность
движения /н-^'х (см. ниже). Такое использование слов «почти
периодичность» непривычно, поэтому для рекуррентности по
Биркгофу был предложен еще термин равномерная рекуррент-
ность.
Функция <р : R-^-Af или <р : Z->Af — почти периодическая, если
для каждого е>0 существует относительно плотное множество
е-почти периодов, т. е. таких т, что р(<р(/+т), <p(f))<e при всех
t. В частности, можно говорить о почти периодическом движе-
нии Почти периодическое движение может перестать
быть таковым после замены времени; поэтому часто встреча-
ющееся выражение «почти периодическая траектория» не сле-
дует понимать буквально — траектория при этом подразуме-
вается параметризованной, т. е. на самом деле речь идет о
движении.
Примеры ДС с почти периодическими движениями получа-
ются с помощью следующей алгебраической конструкции.
Пусть G— топологическая группа, a&G, a(t)—ее однопарамет-
рическая подгруппа. Положим при xGG
g*x=a*x, g‘x=a(/)x. (7)
О полученной ДС в G (каскаде или потоке) говорят, что это ДС
групповых сдвигов (точнее, левых сдвигов. Можно брать и
правые сдвиги). Когда G — метрический компакт, все движе-
ния этой ДС оказываются почти периодическими.
Если подгруппа !,{ак} или {a(f)} плотна в G, то и все траек-
тории будут плотны в G. Группа же, имеющая такую подгруп-
пу, называется монотетической, соответственно соленоидаль-
ной; такая группа, конечно, коммутативна. Нам нужны только
компактные метризуемые коммутативные G. Соленоидальность
такой группы равносильна связности (это имеется в [251), а
монотетичность — тому, что ее группа характеров изоморфна
некоторой счетной подгруппе группы R/Z, рассматриваемой как
абстрактная группа (без топологии).
Если ДС (в полном метрическом пространстве) имеет почти
периодическое движение, то ее ограничение на замыкание
траектории последнего топологически изоморфно (гл. 1, п. 1.5)
некоторой ДС групповых сдвигов (причем соответствующие G и
{а*} или {а(0} имеют указанные выше свойства). Еще одно
эквивалентное свойство такого движения: замыкание А его
траектории компактно и ДС {#'|Л} равностепенно непрерывна
(как семейство преобразований, зависящих от параметра t),
т. е. для любого е>0 существует такое б>0, что при любых
Y6R, хбЛ, уеА из р(х, у) <6 следует p(g‘x, g'z/)<e.
Минимальная ДС — это ДС, у которой фазовое пространст-
во является минимальным множеством. От минимальности 1на-
до отличать топологическую транзитивность. Это свойство со-
стоит в том, что некоторая (но не обязательно каждая) траек-
223
тория имеет М своим ©-предельным множеством. Если М имеет
в каждой своей точке размерность >0 в случае каскада и >1
в случае потока, то топологическая транзитивность эквивалент-
на существованию в М всюду плотной траектории. (Об опреде-
лениях топологической транзитивности, не всегда ‘ эквивалент*
ных, см. МЭ, «Топологическая транзитивность»)
4.4. Дистальность и некоторые типы расширений минималь-
ных множеств. Точки х и у из М называются проксимальными,,
если
inf{p(g*x, gty) :«R} = 0,
и дистальными — в противном случае. (Это свойство пар то-
чек.) ДС называется дистальной, если любые две ее различные
точки дистальны.
ДС групповых сдвигов дистальна. Пример дистальной ДС
иного типа порождается следующим отображением g двумер-
ного тора R2/Z2:
g(x, y) = (x+ct, у+х),
где х, у — циклические координаты на окружности, отсчитыва-
емые по mod 1, а — фиксированное число. Каскад {g*} являет-
ся расширением (гл. 1, п. 1.5) каскада {f*} на окружности, по-
рождаемого отображением f(x)=x+a. Это расширение полу-
чается при отображении h тора на окружность, где й(х, у)=х.
Под действием g расстояние между двумя точками «слоя» h~1x~
расширения (в естественной метрике на слоях) не меняется.
Вообще же каскад {gft} не является равностепенно' непрерыв-
ным и, в частности, не сохраняет метрики на торе. Когда a
иррационально, каскад {g*} минимален. Когда а рационально,,
он не минимален, но все его траектории рекуррентны — одни из:
них периодичны, другие — почти периодичны.
Оказывается, что и в общем случае у дистальной ДС все
траектории рекуррентны. Поэтому при исследовании таких ДС
'естественно сосредоточить внимание на тех случаях, когда они
минимальны. В 1963 г. Фюрстенберг (Н. Furstenberg) доказал,
что каждую минимальную дистальную ДС можно получить из
тривиальной ДС, фазовое пространство которой сводится к
одной точке, с помощью некоторого трансфинитного процесса
расширений, каждое из которых в некотором смысле «изомет-
рично» — соответствующая ДС сохраняет некоторую метрику
на слоях. (Точной формулировки здесь не приводится.) Если
желательна формулировка, не связанная со специальной мет-
рикой, то можно сказать, что каждое расширение является рав-
ностепенно непрерывным в том смысле, как определяется ниже.
Пусть ДС {/'} в М является расширением ДС {g‘} в W от-
носительно отображения h : M-+N. Расширение называется:
1) равностепенно непрерывным, если равностепенно непрерыв-
но семейство отображений
{f‘|A-I«: fGR, ueN}-,
224
2) проксимальным, если любые две точки любого слоя Л-1«
проксимальны; 3) дистальным, если любые две различные
точки любого слоя дистальны; 4) слабо перемешивающим, ес-
ли при «покоординатном» действии {['} на
{(х, у) : х, ytM, hx==hy}
(Г(х, У) — (Гх, Гу)) получается топологически транзитивная
ДС; 5) PI-расширением, если h можно разложить в про-
ективную трансфинитную последовательность расширений пер-
вых двух типов. В том случае, когда N сводится к точке, 1) —
3) сводятся к уже известным нам свойствам ДС, 4) же тогда
означает топологическую транзитивность «декартова квадра-
та» ДС {/'} (т. е. ДС в ЛГхЛГ, получающейся при покоор-
динатном действии {/*}). Название «слабое перемешивание»
объясняется аналогией с эргодической теорией, когда тополо-
гическая транзитивность рассматривается как аналог эргодич-
ности. Известно, что эргодичность декартова квадрата ДС
эквивалентна свойству исходной ДС, которое называется сла-
бым перемешиванием (т. 2, гл. 1, § 3).
Имеет место следующая общая теорема о структуре ми-
нимальных множеств [82].
Пусть {// — минимальная ДС с компактным фазовым прост-
ранством М, являющаяся расширением ДС {gz} (необходимо
минимальной) при отображении h-.M-+N. Тогда существуют
канонически определенные минимальные ДС {/*0» {§*0 с неко"
торыми компактными пространствами М*, N* и гомоморфизмы
h*\M*-+N * такие, что: 1) Аот=оойИ!;
2) т—проксимальное расширение; 3) о—/^/-расширение; 4) h.*—
слабо перемешивающее расширение.
Остается нерешенной задача описания структуры слабо
•перемешивающих расширений. Напомним также старую про-
блему: каким условиям должно удовлетворять пространство
М, чтобы на нем можно было задать минимальный поток?
(В частности, может ли S3 быть минимальным: множеством
потока?)
§ 5. Расширения динамических систем
и неавтономные дифференциальные уравнения
5Л. Неавтономные дифференциальные уравнения. Неавто-
номные системы обыкновенных дифференциальных уравнений
х=и(х, t) (8)
нередко появляются в следующей ситуации. Имеется автоном-
ная система «треугольного» вида
x=v(x, у), y=w(y). (9)
225
Если у (/)—решение системы
!/=w(i/), (10)
ТО
x=V(x, y(/))=u(x, t). (11)
Поток, описываемый системой (9), является расширением по-
тока (10), а (8) с и вида (11) описывает поведение решений
(9), лежащих над одной траекторией потока (10).
При обсуждении уравнений в вариациях (гл. 1, п. 2.2) мы
встретились с аналогичной ситуацией, но только фазовое про-
странство расширения там было не прямым произведением,
как для системы (9), а расслоением.
Наконец, бывает, что система (9) задана безотносительно
к каким-либо расширениям, но с ней можно связать некоторое
расширение так, что она будет описывать движения этого рас-
ширения над некоторой траекторией фактора. Простой при-
мер — интерпретация периодической неавтономной системы
как ДС в цилиндре (гл. 1, п. 2.3). Фактором в данном случае
служит окружность, движение по которой происходит с по-
стоянной скоростью.
Формально, (8) можно превратить в автономную систему
х = и(х,у), yeR, У=1, . (12)
описывающую некоторое расширение над потоком г)=1 на R.
Но это не приводит ни к каким выгодам, ибо у (12) все
траектории некомпактны (t/(/)-»-oo) и ведут себя, грубо го-
воря, как семейство параллельных прямых; применение поня-
тий и результатов ТДС в данном случае бессодержательно.
Иная картина возникает, если фазовое пространство фактора
(«где движется у») компактно, как в примере с периодической
системой. В этом примере фактор является гладким много-
образием. В более общем случае может случится, что (8)
получается описанным образом из некоторого расширения, в
котором фазовое пространство фактора не является много-
образием. Преимущества, связанные с компактностью, могут
перевесить неудобства, связанные с переходом от системы
дифференциальных уравнений к топологическому потоку.
Чтобы не загромождать изложение, опишем основную идею
этого приема на частном, но важном случае, когда система
Х8) — линейная однородная:
x = A(t)x, x6Rn. (13)
Пусть матрица А (/) как функция от t равномерно ограничена
и равномерно непрерывна. Присоединим к (13) всевозможные
системы вида
х= A (i) х,
(14)
226
где матричные функции А суть всевозможные сдвиги А по
времени, т. е. функции вида t-* А (/-Но), и пределы этих
сдвигов в компактно-открытой топологии, т. е. функции вида
t •-’-lim A (t + /*), где подразумевается равномерная сходимость
Л->оо
на конечных отрезках времени. Совокупность всех А естествен-
ным образом оказывается метрическим компактом М, в котором
действует поток сдвигов
(а'Л)(з) = Л(/+$)
(ср. с гл. 1, п. 1.2). Системы же (14) можно рассматривать как
определяющие поток {gz} в TMxR": если x(f)—решение(14) р на-
чальным значением х(0) = х, то g*(A, х) = (<з1А, x(f)). {gz}
является расширением {а'} при отображении (А, х) >-> А, а х-ком-
поненты движений, переходящих при этом отображении в {о'Д}»
изменяются со временем согласно исходной системе (13).
Описанный прием позволяет привлекать к исследованию
систем (14), предельных в описанном смысле для (13), различные
соображения ТДС. (Вначале он применялся к системам (13)
с почти периодическими коэффициентами; в этом случае сходи-
мость можно понимать В другом смысле—как равно-
мерную сходимость на всей оси.)
5.2. Линейные расширения. Пусть (Е, р, В)—n-мерное ве-
щественное векторное расслоение с компактной базой В, в Е
и В заданы ДС {f‘} и {g'}, первая из которых является рас-
ширением второй при проекции р : Е-^В, причем при всех Ь^В
отображение
f* IЕ ь • ~> Е gtb
линейно (здесь Еь=р~хЬ — слой над Ь). Тогда говорят о линей-
ном расширении.
Линейное расширение называется гиперболическим, если
имеются такие векторные подрасслоения Es, Еи и числа rf>Or
а>0, что Е=ES © Е“ (сумма Уитни, см. гл. 2, п. 3.2, 2), под-
строчное примечание) и
| f‘x\<d\ х | e~at при всех x£Es, />0,
| f'tx\<.d\x\e~a-t при всех х$Еа, />0.
Здесь |-|—какая-нибудь риманова метрика в (Е, р, В); ввиду
компактности В, ее конкретный выбор безразличен.
Вот два более слабых условия. Обозначим
E/ = {xe£'6:lim|//x|=0}, E“ = {x^Eb: lim |/zx|=0}
/-►оо /-*—оо
(выбор метрики снова не существенен). Условие
Еь=Еь*-\-Е ьи при всех Ь^В
227
называется условием трансверсальности для линейных
расширений. (Здесь не предполагается, что размерности Ebs
и Еь“ дополнительны.) Если соотношение sup|/zjc|<oo влечет
|х|=0, то говорят, что в линейном расширении отсутствуют
нетривиальные ограниченные движения. Оказывается, что ес-
ли 5?({g'})=B (см. п. 2.2), то линейное расширение гипербо-
лично тогда и только тогда, когда в нем отсутствуют нетри-
виальные ограниченные движения.
Как известно, в теории линейных систем большую роль иг-
рает понятие сопряженной системы. Для (13) сопряженной
является система
|=_Д*(0$, (15)
где звездочкой обозначается сопряженная матрица. Пусть X (/),
S(Z)—матрицанты систем (13), (15), т. е. решения матричных
уравнений
X = A(i)X, %(0) = lR„; 3=-Д*(03, S(0) = lRn,
-так что решения систем (13), (15) с начальными данными
x(0)=x, £(°) = $ суть
х (f) = X(t)x, |(0 = 3(0$. (16)
Полагая (£, х) =2$л, будем рассматривать £ как линейный
однородный функционал от х. Тогда связь систем (13) и
(15) можно охарактеризовать, сказав, что для любых их ре-
шений (16)
($(0, *(0) = ($, x)=const.
Поэтому 8=(Х*)-1, а это можно выразить еще так:
(S(OB, х) = ($, Х-’(Ох) при всех g, х.
Для линейных расширений аналогичную роль играет поня-
тие сопряженного линейного расширения. Пусть исходное рас-
ширение есть, в понятных обозначениях,
р:(Е, tfOWB, {£'})- (17)
Тогда сопряженное расширение
^:(В*,{Л'})->(В,{^}) (18)
имеет своим фазовым пространством сопряженное к Е векторное
расслоение Е* (слой Еь* = (р*)'1Ь является сопряженным к Еь
пространством, т. е. состоит из однородных линейных функ-
ционалов x^(g, х) на Еь\ топология в Е* вводится естественным
образом), а (Д'$, х) = ($, f~‘x) при всех ^Eb*, x&Egtb, t,b.
Следующие пять условий эквивалентны: 1) (17) удовлетво-
ряет условию трансверсальности; 2) (18) не имеет нетривиаль-
ных ограниченных движений; 3) если нелинейное расширение
р:(Д, {<₽'})->(£,{£<}) (19)
228
достаточно близко к (17) в липшицевом смысле, то ДС (17) и
(19) изоморфны посредством некоторого, послойного гомеомор-
физма Е->Е-, 4) существует функция Грина задачи об инва-
риантном сечении; 5) имеется такая непрерывная функция
являющаяся квадратичной формой на слоях Еь*, что
®(/Л)>Ф(Ю при всех |^|=/= 0, />0.
Если линейное расширение (17) удовлетворяет условию транс-
версальности, то множество.
\т={Ь0В-.Е^®Еь-=Еь}
замкнуто, каждое из подмножеств
Л*={/>6 А ({/'}): dim Eb“=k} (k -0, 1, ..., n)
замкнуто, инвариантно и {До, Ли ..., Л„}—набор Морса. Кроме
того, Л ({/*})=Л ({/J}) и расширение (17) гиперболично над
л({/фэЯ(М-
Теория линейных расширений находит приложения в тео-
рии гладких ДС при исследовании вопросов структурной устой-
чивости.. Большой интерес представляет обобщение этой тео-
рии на случай банаховых расширений.
Глава 4
ПОТОКИ НА ДВУМЕРНЫХ МНОГООБРАЗИЯХ
С. X. Арансон, В. 3. Гринес
§ 1. Особые траектории
Пусть М — связное замкнутое ориентируемое или неори-
ентируемое двумерное многообразие (поверхность) рода р и
{&'} — топологический поток на М. Описание его свойств есте-
ственно начать с выделения особых траекторий, характер и
взаимное расположение которых полностью задает качествен-
ную, структуру фазового портрета.
Сепаратрисой называется такая траектория {g'x}, которая
при или /->—оо стремится к некоторому положению рав-
новесия а, причем сколь угодно близко к ней имеются траек-
тории, которые вначале приближаются к а, как бы «идя вдоль
траектории {g(x}», а затем отходят от а на некоторое конеч-
ное расстояние. Формально, последнее означает существование
таких окрестности U точки а, последовательности хп->х и по-
следовательностей чисел s„, tn, что sn—>оо (соответственно,
—оо),
g‘nxnW, tn> sn (in<sn).
24 16—7712 229
Особыми траекториями на Л! назовем следующие траекто-
рии: 1) положения равновесия; 2) сепаратрисы; 3) замкнутые
траектории, для которых отображение последования отлично от
тождественного преобразования; 4) незамкнутые траектории L,
устойчивые по Пуассону (гл. 3, п. 2.1) и обладающие тем
свойством, что для любой точки aGL существуют окрестность
Uba и открытая дуга XcL, ЛЭа, разбивающая U на две полу-
окрестности, в одной из которых нет точек, лежащих на не-
замкнутых устойчивых по Пуассону траекториях.
На сфере, проективной плоскости и бутылке Клейна
(F. Klein) не может быть незамкнутых устойчивых по Пуассону
траекторий [6, 65].
Теорема 1.1. Пусть у {§'} имеется только конечное число
особых траекторий типа 1), 2). Тогда если удалить из М все
особые траектории, то оставшееся, множество распадается на
связные компоненты следующих типов:
1) Компоненты, заполненные незамкнутыми траекториями,
не устойчивыми по Пуассону ни в положительном, ни в отрица-
тельном направлении. Эти компоненты являются плоскими об-
ластями (т. е. гомеоморфны областям на R2), либо односвяз-
ными, либо двусвязными, и все траектории из одной и той же
области имеют одни и те же ©-предельные точки и одни и те
же a-предельные точки (статья I, гл. 1, п. 5.5). Компоненты,
в достижимую изнутри границу (см. МЭ, «Достижимая гранич-
ная точка») которых входят незамкнутые устойчивее по Пуас-
сону полутраектории, всегда односвязны.
2) Компоненты, заполненные замкнутыми траекториями.
Такая компонента есть либо двусвязная область плоского ти-
па, либо совпадает с М, которое тогда является тором.
3) Компоненты, заполненные незамкнутыми устойчивыми
по Пуассону траекториями. Такая компонента либо совпадает
с М, которое тогда является тором, либо представляет собой
связное линейно несвязное множество, являющееся множест-
вом второй категории на своем замыкании. Число таких компо-
нент не больше р, если М ориентируемое, и не больше
(где [ ] —целая часть), если М неориентируемое. См. рис. 1.
(Для Af=S2 см. [3], [12], для ориентируемых М—[21],
неориентируемых — [6], [65], ’[66].)
Для потоков ija сфере с конечным числом особых траекто-
рий определяется схема потока, включающая следующую ин-
формацию: число и характер положений равновесия, число и
взаимное расположение предельных континуумов (в частности,
предельных циклов) и поведение сепаратрис. Это полный топо-
логический инвариант потока на сфере с конечным числом осо-
бых траекторий: два таких потока топологически эквивалентны
тогда и только тогда, когда их схемы в естественном смысле
изоморфны [3], [12].
230
Тип 3)
Рис. 1. Типы компонент <г, возможные на двумерных многообра-
зиях.
Тип 1):
аО односвязная компонента, заполненная незамкнутыми неустойчивыми по-
Пуассону траекториями; а2) двусвязная компонента, заполненная незамк-
нутыми неустойчивыми по Пуассону траекториями; аз) односвязная компо-
нента, в достижимую изнутри границу которой входят незамкнутые устой-
чивые по Пуассону полутраектории.'
Тип 2):
а<) двусвязная компонента, заполненная замкнутыми траекториями; а5) ком-,
понента, являющаяся тором, заполненная замкнутыми траекториями.
Тип 3):
ав) компонента, являющаяся тором, заполненная незамкнутыми устойчивыми
по Пуассону траекториями;' а7) компонента, заполненная незамкнутыми устой-
чивыми по Пуассону траекториями, являющаяся связным линейно несвязным
точечным множеством.
При переходе к другим поверхностям большую роль начи-
нает играть фундаментальная группа. Это относится, главным
образом, к потокам, имеющим незамкнутые устойчивые по Пу-
ассону траектории. Если таковых нет, то для полного качест-
венного описания можно обойтись топологическими инвариан-
тами, аналогичными схеме потока на сфере. В частности, для
потоков Морса—Смейла полным топологическим инвариантом
является различающий граф потока '[73].
24
16*
231
' § 2. Число вращения Пуанкаре.
Транзитивные и сингулярные потоки на торе
Пусть Af=R2/Z2— тор, л : RWM— естественная проекция.
Поток {g‘} естественным образом «поднимается» в R2, т. е. там
однозначно определен накрывающий поток {f(}, являющийся
-расширением потока {§•'} при отображении л. Пусть L — по-
ложительная полутраектория потока {g‘}, l—{(x{t), y(t))}—
любой ее прообраз на R2, являющийся полутраекторией потока
{/*}. Если x2(t) +у2(/)->-оо при М-оо, то существует конечный
или бесконечный предел v(L) =limy(f)/x(0, он не зависит от
t ->оо
выбора I в л-1(£) и называется числом, вращения полутраек-
тории L.
Когда ф(Ь) (т. е. со(х) с x&L, см. гл. 3, п. 2.1) содержит
замкнутую негомотопную нулю траекторию, либо замкнутый
негомотопный нулю сепаратрисный контур (состоящий из по-
ложений равновесия и сепаратрис), то v(L) существует и либо
рационально, либо равно ±оо. Когда a>(L) содержит непери-
одическую устойчивую по Пуассону траекторию, то v(L) су-
ществует и является иррациональным. Если у {g‘} имеется
глобальное сечение (гл. 1, п. 2.3; когда поток всего лишь топо-
логический, то имеется в виду кривая, которую все траектории
пересекают, переходя локально с одной ее стороны на другую),
то -v(L) одно и то же для всех L, когда глобальное сечение го-
мотопно нулевому меридиану, -v (L) mod 1 совпадает с классиче-
ским числом вращения Пуанкаре (статья I, гл. 2) соответству-
ющего отображения последования. В частности, сюда относится
случай топологически транзитивного потока без положений
равновесия.
Теорема 2.1. Для того чтобы два топологически транзи
тивных (гл. 3, конец п. 4.3) потока на торе без положений
равновесия были топологически эквивалентны, необходимо и
достаточно, чтобы их числа вращений v и v были соизмеримы,
т. е. существовала такая целочисленная унимодулярная мат-
/а Ь\
₽вда V? rfj’ что
( 124, 126] ).
Поток на торе называется сингулярным, если у него нет ни
положений равновесия, ни замкнутых траекторий и его мини-
мальное множество (гл. 3, п. 4.1) нигде не плотно на торе. Пол-
ным топологическим инвариантом сингулярных потоков на то-
ре является число вращения (с точностью до соизмеримости),
число компонент и их месторасположение [10]. Сингулярные
потоки на торе имеют гладкость не выше С1 (следствие теоре-
мы Данжуа, см. статью I, гл. 2).
См. также статью I, гл. 2 и МЭ, «Дифференциальные урав-
нения на торе», «Кнезера теорема».
232
§ 3. Гомотопический класс вращения. Классификация Т
транзитивных потоков и нетривиальных
минимальных множеств потоков на поверхностях
Новый прогресс в изучении потоков на ориентируемых по-
верхностях М рода р^2 начался с систематического исследо-
вания асимптотического поведения, прообразов траекторий по-
тока на универсальной накрывающей Л? (являющейся пло-
скостью Лобачевского в реализации Пуанкаре в круге |z]<l
комплексной z-плоскости), т. е. траекторий накрывающего по-
тока. Эта идея в частном случае была высказана А. Вейлем
(A. Weil) в [831 (где, впрочем, в основном развивается ана-
логичный подход для потоков на торе) и в общем виде
Д. В. Аносовым в середине 60-х гг. Основным топологическим
инвариантом, полученным на этом пути, явился гомотопический
класс вращения, обобщающий классическое число вращения
Пуанкаре '[8].
Представим М в виде факторпространства А5/Г, где Г —
дискретная группа дробно-линейных преобразований, изоморф-
ная фундаментальной группе М, и обозначим через л естест-
венную проекцию Каждый элемент убГ, отличный от
тождественного, имеет ровно две неподвижные точки: притяги-
вающую точку у+ и отталкивающую точку у-; они лежат на
.абсолюте |z| — 1. Множество всех неподвижных точек элемен-
тов Г, отличных от тождественного, называется множеством
рациональных точек. Оно счетное и всюду плотное на абсолю-
те. Дополнение к множеству рациональных точек на абсолюте
называется множеством иррациональных точек. (Изложение
основных фактов, связанных с’ этим представлением М, имеет-
ся в i[71].)
Пусть L — положительная полутраектория потока {g‘J на
М. Рассмотрим какой-нибудь ее прообраз I на Л?, т. е. полу-
траекторию [={f‘z} накрывающего потока {/*}, проектирую-
щуюся в L. Согласно Д. В. Аносову, при довольно общих пред-
положениях о {g*} (например, если {g1} имеет только конечное
число положений равновесия) I либо содержится в некоторой
ограниченной области Л? (тогда возможные типы ее предельного
поведения описываются обычной теорией Пуанкаре — Бендик-
сона на плоскости, а значит, то же справедливо и для L), ли-
бо «уходит на бесконечность», т. е. |f*z|->l. Во втором случае
оказывается, что f‘z стремится к некоторой точке абсолюта.
(Некоторое обобщение последнего утверждения см. в [291. Сле-
дует предупредить, что теорема 2 в [29] неверна.) Независимо
от предположений о {g*}, если ®(£) содержит замкнутую
негомотопную нулю траекторию или замкнутый негомотопный
нулю сепаратрисный контур, то I стремится к рациональной
точке абсолюта; если ©(L) содержит непериодическую устойчи-
233
вую по Пуассону траекторию, то I стремится к иррациональной
точке абсолюта £81-
В общем случае обозначим через о (Г) множество предельных
точек для I, принадлежащих абсолюту. Гомотопическим
классом вращения полутраектории L потока {g1} на М назы-
вается множество р (£) = U Y (о (0)- Каждый автоморфизм т
vgr
группы Г единственным образом индуцирует гомеоморфизм т*
абсолюта. Гомотопические классы вращения р(£) и р(£) полу,
траекторий £ и £ потоков {gQ и {§'} на М называются соизме-
римыми, если существует такой автоморфизм т группы Г, что
F(£)=x*(p(£)).
На ориентируемых поверхностях рода р^2 естественным
аналогом топологически транзитивных потоков на торе без
положений равновесия являются топологически транзитивные
потоки, имеющие только конечное число особых траекторий ти-
пов 1), 2) (§ 1) и не имеющие сепаратрис, идущих из одного
положения равновесия в другое. Будем называть такие потоки
потоками класса Т.
Теорема 3.1. Для того чтобы два потока класса Т, задан-
ные на М и не имеющие положений равновесия с двумя сепа-
ратрисами1’, были топологически эквивалентны, необходимо и
достаточно, чтобы существовали две устойчивые по Пуассону
полутраектории сепаратрис этих потоков, имеющие соизмери-
мые гомотопические классы вращения [8].
Основным элементом в использовании гомотопического клас-
са вращения для доказательства теоремы 3.1 и дальнейших рас-
смотрений является построение специальной фундаментальной
области на М (рис. 2). '
Пусть {g*} — топологический поток на М, имеющий нетри-
виальное (отличное от состояния равновесия и замкнутой тра-
ектории) минимальное множество Q.2’ Известно, что Q нигде
не плотно на М. Множество M\Q является объединением ко-
нечного или счетного множества компонент связности, явля-
ющихся областями. Достижимые изнутри этих областей траек-
тории множества Q называются граничными. Пара граничных
траекторий множества Q называется, специальной парой, если
они образуют достижимую изнутри границу односвязной обла-
сти из M\Q. Траектории, входящие в специальную пару, сами
называются специальными.
. ’> Пример такого положения равновесия — начало координат для ло-
кального потока х=х2+у2, у=0 на R2. Входящая (в (О, 0)) сепаратриса —
отрицательная полуось х-ов, выходящая — положительная полуось; вместе
они образуют как бы «приостановленную траекторию». Такие сепаратрисы
не влияют на поведение соседних траекторий и сами, по существу, не зави-
сят от других особенностей фазового портрета.
2) Для потока класса О2 это возможно лишь когда Й=ЛР=тор (Зв).
•(В этом же параграфе род М больше 1.)
234
1
Рис. 2. Специальная фундаментальная область D на М, построенная по
потоку {g*} класса Т на М рода р=2, содержащему два седла Оь Ог. Через
5 обозначена секущая для’потока {g*} на М. Цифрами 1, 2, 3, 4 обозначены
сепаратрисы седла Oi и цифрами 5, 6, 7, 8 — сепаратрисы седла Ог. Теми же
цифрами и буквами на М обозначены прообразы секущей S и прообразы
седел и их сепаратрис, причем' конгруэнтные точки и кривые обозначены для
удобства одними и теми же буквами. Здесь М означает универсальную
накрывающую для М.
Несколько отступая от терминологии гл. 1, п. 1.5, будем
говорить, что минимальные множества й и й потоков {gz}
и {gQ на М топологически эквивалентны, если существует
такой гомеоморфизм ограничение которого на й
осуществляет топологическую эквивалентность ДС {g‘ | й}
и (g* | й} в смысле гл. 1, п. 1.5.
Теорема З.2. Для того чтобы нетривиальные минимальные
множества й, й потоков {gQ, {g*}, не содержащие специальных
траекторий, были топологически эквивалентны, необходимо и
достаточно, чтобы существовали граничные полутраектории
Лей, Лей, имеющие соизмеримые гомотопические классы
вращения [7].
Т е о р е м а 3.3 (о стандартном представителе). Пусть й — не-
235
тривиальное минимальное множество потока {g'}( не содержа-
щее специальных траекторий. Тогда на М существует такой по-
ток {go'}, порождаемый липшицевским векторным полем, что:
1) У {go'} имеется нетривиальное минимальное множество Йо,
траекториями которого являются геодезические линии в метри-
ке постоянной отрицательной кривизны; 2) минимальные мно-
жества й, Йо потоков {g'}, {go'} топологически эквивалентны с
помощью гомеоморфизма, гомотопного тождественному [9].
Все потоки класса Т (с точностью до топологической экви-
валентности) без положений равновесия с двумя сепаратриса-
ми можно получить операцией факторизации из потоков на М„
каждый из которых содержит ровно одно стандартное нетри-
виальное минимальное множество Йо, такое, что М\йо распа-
дается на конечное число односвязных областей.
Решение задачи о классификации потоков класса Т и клас-
сификация нетривиальных минимальных множеств потоков на
М позволяет найти для широкого класса потоков на М полный
топологический инвариант, аналогичный схеме потоков на сфе-
ре, но учитывающий асимптотическое поведение незамкнутых
устойчивых по Пуассону траекторий.
Для слоений с особенностями на поверхностях некоторые
обобщения получены в [63].
§ 4. Типичные свойства потоков
на поверхностях
Основной результат здесь состоит в том, что на замкнутой
поверхности типичны грубые потоки и что таковые являются
потоками Морса—Смейла (гл. 2, § 3). Имеются некоторые
дополнения и уточнения, связанные с различными модифика-
циями понятий грубости и типичности. Грубость в данном слу-
чае совпадает с грубостью, по Пейксото (М. М. Peixoto), опре-
деление которой отличается от определения из гл. 2, п. 1.2 тем,
что гомеоморфизм, сопрягающий невозмущенную систему с
возмущенной, не обязан быть близким к тождественному. Когда
М ориентируема, а также когда она неориентируема и ее род.
р=1, 2, 3, то Сг-грубые системы с г>1 тоже являются система-
ми Морса — Смейла (а стало быть, грубыми в обычном смыс-
ле) и Сг-типичны.
Эти результаты принадлежат в основном Пейксото. Упро-
щенное доказательство, а также некоторые поправки имеются
в [56], [57], [5], [72].
Отвлекаясь на минуту в сторону, отметим, что на незамкну-
тых поверхностях ситуация усложняется. Уже в самом опреде-
лении грубости нужно уточнить, как понимается (^-топология
в пространстве потоков и С°-топология в пространстве гомео-
морфизмов (оказывается, их надо понимать по-разному — пер-
236
ЯВ1
вую как тонкую топологию (топологию Уитни (Н. Whitney)), а
вторую — как компактно-открытую). При некоторых ограни-
чениях на М найдены необходимые и достаточные условия гру-
бости в терминах фазового портрета, но грубые системы уже
не плотны в пространстве (^-потоков, а различные варианты
грубости оказываются неэквивалентными [61].
Вернемся к компактному случаю. Переход от одного гру-
бого потока к другому может (и, если они неэквивалентны, дол-
жен) происходить через негрубые потоки. Простейшими среди
последних являются потоки первой степени негрубости (они
определяются как, в понятном смысле, грубые во множесуве
негрубых). Для ориентируемых М известны необходимые и до-
статочные условия, выделяющие такие потоки [5]. Что же ка-
сается вопроса типичности для негрубых потоков, то имеет
место следующее утверждение.
Теорема 4.1. Пусть £Г(Л1) —пространство всех потоков на
М класса Cr, г^1, снабженное Сг-топологией, a 2rc=£r(Af) —
множество всех негрубых потоков. Пусть М ориентируемо и
г^4. Тогда в 2Г существует плотное подмножество 2/, являю-
щееся иммерсированным (в Sr(M)) Сг-1-подмногообразием ко-
размерности один и такое, что: 1) 2/ содержит все потоки пер-
вой степени негрубости; последние образуют подмногообразие
коразмерности один, вложенное в £Г(Л4); 2) у каждой точки
2/ существует окрестность (во внутренней топологии), состоя-
щая из топологически эквивалентных потоков [80], [81].
ЛИТЕРАТУРА
1. Алексеев В. М., Символическая динамика. (Одиннадцатая математическая
школа, Ч. I) Киев: Ин-т матем. АН УССР, 1976, 210 с.
2. —, Каток А. Б., Кушниренко А, Г., Гладкие динамические системы.—
В кн.: Девятая летняя математическая школа. Киев, Ин-т матем.
АН УССР, 1972, 60—348; 2-е изд. Киев: Наукова думка, 1976-, 50—348
3. Андронов A, А., Леонтович Е. А., Гордон И. И., Майер А. Г., Качествен-
ная трория динамических систем второго порядка. М.: Наука, 1966, 568 с.
4. —, —, —, Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. М.:
Йаука, 1967, 487 с.
5. Арансон С. X., Об отсутствии незамкнутых устойчивых по Пуассону
полутраекторий и траекторий, двоякоасимптотических к двойному пре-
дельному циклу, у динамических систем первой степени негрубости на
ориентируемых двумерных многообразиях. Мат. сб., 1968,76, № 2,214—230
6. -г-, Траектории на неориентируемых двумерных многообразиях. Мат. сб.,
1969, ад № 3, 314—333
7. —, Гринес В. 3., О топологических инвариантах минимальных множеств
динамических систем на двумерных многообразиях. — В сб. «Качественные
методы теории дифференц. уравнений и их прилож.». Горький, Уч. зап.
Горьков, гос. ун-та, 1973, вып. 187, 3—28
237
8. —, —, О некоторых инвариантах динамических систем на двумерных
многообразиях (необходимые и достаточные условия топологической экви-
валентности транзитивных динамических систем). Мат. сб., 1973, 90, № 3,
372—402
9. —, —, О представлении минимальных множеств потоков на двумерных
многообразиях геодезическими линиями. Изв. АН СССР. Сер. мат., 1978,
42, № 1, 104—129
10. —, Жужома Е. В., О топологической классификации сингулярных дина-
мических систем на торе. Изв. вузов. Мат., 1976, № 5, 104—107
11. Арнольд В. И., Дополнительные главы теории обыкновенных дифферен-
циальных уравнений. М.: Наука, 1978, 304 с.
12. Баутин Н. Н., Леонтович Е. А., Методы и приемы качественного исследо-
вания динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1976, 496 с.
13. Богоявленский О. И., Методы качественной теории динамических систем
в астрофизике и газовой динамике. М.: Наука, 1980, 319 с.
14. Боуэн Р., Методы символической динамики. М.: Мир, 1979, 245 с.
15. Бронштейн И. У., Расширения минимальных групп преобразований. Киши-
нев: Штиинца, 1975, 31’1 с.
16. —, Неавтономные динамические системы. Кишинев: Штиинца, 1984,
312 с.
17. Верейкина М. Б., Шарковский А. Н., Множество почти возвращающихся
точек динамической системы. Докл. АН УССР, 1984, сер. А, № 1, 6—9
18. Гладкие динамические системы. М.: Мир, 1977, 256 с.
19. Левитан Б. М., Жиков В. В., Почти-периодические функции и дифферен-
циальные уравнения. М.: МГУ, 1978, 204 с.
20. Лефшец С„ Геометрическая теория дифференциальных уравнений. М.:
ИЛ, 1964, 387 с. (Lefschetz S., Differential equations: Geometric theory.
N. Y.: Interscience publishers, 1957)
21. Майер А. Г., О траекториях на ориентируемых поверхностях. Мат. сб.,
1943, 12, № 1, 71—84
22. Марсден Дж., Мак Кракен М., Бифуркация рождения цикла и ее прило-
жения. М.; Мир, 1980, 368 с. (Marsden J. Е., McCraken М., The Hopf bi-
furcation and its applications. N. Y.: Springer, 1976)
23. Математическая энциклопедия. Под ред. И. М. Виноградова. М.: Совет-
ская энциклопедия, 1977, /; 1152 с; 1979, 2, 1104 с; 1982, 5, 1184 с;
1984, 4, 1216 с.; 1985, 5, 1248 с.
24. Миллионщиков В. М., Линейные системы обыкновенных дифференциаль-
ных -уравнений. — В кн.: «Международный конгресс математиков в Ницце,
1970. Доклады советских математиков» М.: Наука, *1972, 207—211
25. Немыцкий В. В., Степанов В. В., Качественная теория дифференциальных
уравнений. М.—Л.: Гостехиздат, 1949, 550 с.
26. Нитецки 3., Введение в дифференциальную динамику. М.: Мир, 1975,
304 с. f(Nitecki Zb., Differential dynamics. Cambridge (Mass.), London:
MIT Press, 1971)
27. Пилюгин С. Ю., О системах типа Морса — Смейла с одинаковыми фазо-
выми диаграммами. Дифференц. уравнения, 1974, 10, № 5, 816—821
28. —, Фазовые диаграммы, определяющие системы Морса — Смейла без
периодических траекторий на сферах. Дифференц. уравнения, 1978, 14,
№ 2, 245—254
29. Пупко В. И., О несамопересекающихся кривых на замкнутых поверхно-
стях. Докл. АН СССР, 1967, 177, № 2, 272—274
30. Сибирский К. С., Введение в топологическую динамику. Кишинев,
АН МолдССР, 1970, 144 с.
31. Тимура И., Топология слоений. М.: Мир, 1979, 317 с. (Tamura I., Topo-
logy of foliations. Japan: Iwanami Shoten, 1976)
32. Уманский Я. Л., Схема трехмерной динамической системы Морса —
Смейла без замкнутых траекторий. Докл. АН СССР, 1976, 230, № 6,
1286—1289
238
33. Хартман Ф., Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970,
720 с. (Hartman Ph., Ordinary differential equations. N. Y.—London—
Sydney: John Wiley and sons, 1964)
34. Щербаков Б. А., Топологическая динамика и устойчивость по Йуассону
решений дифференциальных уравнений. Кишинев: Штиинца, 1972, 231 с.
35. Alligood К., Mallet-Paret J., Yorke J. A., Families of periodic orbits: local
continuability does not imply global continuability. J. Different. Geom.,
1981, 16, № 3, 483—492
36. Asimov D., Homotopy of nonsingular vector fields to structurally stable
ones. Ann. Math., 1975, 102, № 1, 55—65
37. —, Flaccidity of geometric index for nonsingular vector fields. Comment,
math. Helv., 1977, 52, № 2, 161—175
38. Auslander Generalized recurrence in dynamical systems. — In: Contribu-
tions to differential equations. New York: John Wiley and sons, Inc., 1964,
3, 65—74
39. Batterson S., Orientation reversing Morse-Smale diffeomorphisms on the
torus. Trans. Amer. Math. Soc., 1981, 264, № 1, 29—37
40. —, Handel M., Narasimhan C., Orientation reversing Morse-Smale diffeo-
morphisms of S2. Invent, math., 1981, 64, № 2, 345—356
41. Bhatia N. P., Szego G. P., Stability theory of dynamical systems. B.—
Hdlb. — N. Y.: Springer, 1970, 236 p.
42. Bottkol M., Bifurcation of periodic orbits in manifolds and hamiltonian
systems. J. Different. Equat., 19180, 37, № 1, 12—22
43. Brooks R., Brown R., Pak J., Taylor D., Nielsen numbers of maps of tori.
Proc. Amer. Math. Soc., 1975, 52, 398—400
44. Brown J. R., Ergodic theory and topological dynamics. New York-San
Francisco-London, Acad, press, 1976, 190 p.
45. Chow Sh.-N., Mallet-Paret J., Yorke J. A., A periodic orbit index which is
a bifurcation invariant. — In: Geometric dynamics. Springer, Leet. Notes
Math., 1983, 1007, 109—131
46. Conley Ch., Isolated invariant sets and the Morse index. Conf, board math,
sci. Regional conf. ser. in math. Providence: Amer. Math. Soc., 1978, 38,
90 p.
47. Ellis R., Lectures on topological dynamics. New York. W. A. Benjamin,
Inc., 1969, 211 p.
48. Franks J., The periodic structure of non-singular Morse-Smale flows. Com-
ment. mat. Helv., 1978, 53, № 2, 279—294
49. —, Morse-Smale flows and homotopy theory. Topology, 1979, 18, № 3,
199—215
50 —, Narasimhan C., The periodic behavior of Morse-Smale diffeomorphisms.
’ Invent, math., 1978, 48, № 3, 279—292
51. —, Shub M., The existence of Morse-Smale diffeomorphisms. Topology,
1981, 20, № 3, 273—290
52. Fried D., Periodic points and twisted coefficients. — In: Geometric dynamics.
Springer. Leet. Notes Math., 1983, 1007, 261—293
53. Fuller F. B., An index of fixed point type for periodic orbits. Amer. J.
Math., 1967, 89, № 1, 133—148
54. Glasner S., Proximal flows. Springer, Leet. Notes Math., 1976, 517, 153 p.
55. Guckenheimer J., Moser J., Newhouse^ Sh. E., Dynamical systems. Progress
in math. Boston-Basel-Stuttgart: Birkhauser, 1980, 8, 289 p.
56. Gutierrez C., Smooth nonorientable nontrivial recurrence on two-manifolds.
J. Different. Equat., 1978, 29, .№ 3, 388—395
57 —, Structural stability for flows on the torus with a cross-cap. Trans.
Amer. Math. Soc., 1978, 241, 311—320
58. Hale J., Infinite dimensional dynamical systems. — In: Geometric dynamics.
Springer, Leet. Notes Math., 1983, 1007, 379—400
59 Halpern B., Morse-Smale diffeomorphism on tori. Topology, 1979, 18,
№ 2, 105—111
239
60. Handel M., The entropy of orientation reversing homeomorphisms of surfa-
ces. Topology, 19182, 21, № 3, 291—296
61. Kot us J., Kry ch M., Nitecki Z., Global structural stability of flows on open
surfaces. Mem. Amer. Math. Soc.,. Providence: Amer. Math. Soc., 1982,
57, № 261, 108 p.
62. Kurland H. L., Homotopy invariance of repeller-attractor pairs. II. Conti-
nuation of R—A pairs. J. Different. Equat., 1983, 49, № 2, 281—329
63. Levitt G., Foliations and laminations on hyperbolic surfaces. Topology,
1983, 22, № 2, 119—135
64. Mailer M., Algebraic problem arising from Morse-Smale dynamical sys-
tems.— In: Geometric dynamics. Springer, Leet. Notes, Math., 1983, 1007'
512—521
65. Markley N. G., The Poincare-Bendixson theorem for the Klein bottle. Trans.
Amer. Math. Soc., 1969, 135, 159--165
66. —, On the number of recurrent orbit closures. Proc. Amer. Math. Soc., 1970,.
25, № 2, 4il3—416
67. Markus L., Lectures in differentiable dynamics. Conf, board math. sci..
Regional conf. ser. in math., Providence: Amer. Math. Soc., 1971, № 3, 47 p.
68. Meyer K. R., Energy functions for Morse-Smale systems. Amer. J. Math.,.
1968, 90, № 4, 1031—1040
69. Morgan L, Nonsingular Morse-Smale flows on three-manifolds. Topology,
1979, 18, № 1, 41—53
70. Moser J., Stable and random motions in dynamical systems. Ann. math,
stud. Princeton: Princeton Univ. Press and. Univ, of Tokyo Press, 1973,
77, 198 p.
71. Nielsen J., Uber topologische Abbildungen geschlossener Flachen. Abh. Math..
Semin. Univ. Hamburg, 1924, 5, № 1, 246—260'
72. Palis L. Melo W., Geometric theory of dynamical systems. An introduction..
Springer, 1982, 198 p. (Готовится русский перевод)
73. Peixoto M. M., On the classification of flows on 2-manifolds. — In: Dynami-
cal systems. Proc. symp. Univ, of Bahia, New York-London: Acad, press,
1973, 389—419
74. Rybakowski К- P-, Trajectories joining critical points of nonlinear parabolic’
and hyperbolic partial differential equations. J. Different. Equat., 1984, 51,
№ 2, 182—212
75. Sell G. R., Topological dynamics and ordinary differential equations. New-
York: Van Nostrand Reinhold, 1971, 208 p.
76. Shub M., Stabilite globale des systemes dynamiques. Asterisque, Paris: Soc.
mathem. de France, 1978, 56, 210 p.
77. Smale S., On the structure of manifolds. Amer. J. Math., 1962, 84, № 3,.
387—399 (Пер. на рус. яз: Смейл С., О строении многообразий. Матема-
тика. Сб. пер., 1964, 8, № 4, 95—108)
78. —, Differentiable dynamical systems. Bull. Amer. Math. Soc., 1967, 73, № 6,.
747—817 (Пер. на рус. яз.: Смейл С., Дифференцируемые динамические
системы. Успехи мат. наук, 1970, 25, Кг 1, 113—185)
79. Smoller J., Shock waves and reaction-diffusion equations. New York-
Hdlb-London: Springer, 1983, 581 p.
80. Sotomayor J., Generic one parameter families of vector fields on 2-dimen-
sional manifolds. Publ. math. Inst, hautes etud. sci., 1974, № 43, 5—46
81. Teixeira A., Generic bifurcations in manifolds with boundary. J. Different.
Equat., 1977, 25. № 1, 65—89
82. Veech W. A., Topological dynamics. Bull. Amer. Math. Soc., 1977, 83„
№ 5, 775—830
83. Weil A., Les families de courbes sur le tore. Мат. сб., 1936, 1, № 5„
779—781
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аттрактор 206
Блуждающая точка 2’19
Боля — Брауера теорема 184
Браудера теорема 184
Вариация решения 169
Взрыв (Й-взрыв в Сг, Сг-0-взрыв)
221
Время возвращения 171
Гетероклиническая точка 191
Гладкая сопряженность 164
Глубина центра 220
Гомоклиническая точка, траектория
191
Гомоморфизм динамических систем
164
Гомотопические классы вращения со-
измеримые (несоизмеримые) 234
Гомотопический класс вращения 2'34
Градиентноподобность 4911
Граничные траектории (минимально-
го множества потока на поверхно-
сти) 234
Грубые свойство/систем а 180
Групповое свойство 156
Групповой сдвиг 223
Движение 162
Двоякоасимптотическая траектория
191
Дзета-функция отображения (каска-
да) 189
— гомологическая 189
Дискретное 'время 158
Динамическая система гладкая, топо-
логическая 156
Дистальность 224
Замена времени 163
Замкнутая траектория 162
----гиперболическая, невырожден-
ная 174, 175
---- изолированная 175
----(не)закрученная И83
---- однообходная 175
----/-обходная 175
Зейферта — Риба теорема 187
Зона отталкивания 206
— притяжения 206
Изолирующая окрестность 211
Изолирующий блок 212
Изоморфизм динамических систем 164
Инвариантное множество 163
----изолированное 211
Индекс
— гомотопический 214
— (ко) гомологический 214
— Кронекера— Пуанкаре 182
— Морса <177
— Морса — Конли 217
— Фуллера 186
Ф-индекс 186
Индексная пара 213
Индексное пространство 214
Исключительное свойство 180
Источник 201
Касательное линейное расширение
171
Каскад 156
Катастрофа голубого неба 188
Кратное повторение замкнутой траек-
тории >175
Круглая ручка 196
Купки — Смейла система, поток, кас-
кад, диффеоморфизм 181
— теорема 481
Лефшеца число 184
Линейное расширение 227
---гиперболическое 227
---сопряженное 228
Локальная положительная инвариант-
ность 219
Ляпунова функция
---для системы Морса — Смейла
192
--- полная 210
Матрица виртуальной перестановки
199
Метрический автоморфизм (эндомор-
физм) Бернулли 161
Минимальная динамическая система
223
Минимальное множество 222
Минимальный период 163
Минимальный центр притяжения 221
Множество рациональных (иррацио-
нальных) точек абсолюта 233
Морса множество 207
— набор 207
Морса — Смейла неравенства 197
Морса — Смейла система (поток, кас-
кад, диффеоморфизм) 189
Мультипликаторы замкнутой траекто-
рии 474
Надстройка Смейла 172
Неблуждающая точка, траектория
220
Неподвижная точка 162
Непрерывное время 158
241
Нильсена класс 185
Нильсена число 185
Обратимость 158
Обращение времени 163
Особая траектория 2'30
Отображение последования 171
Первая степень негрубости 237
Период 162
Периодическая точка, траектория 162
-------гиперболическая, изолирован-
ная, невырожденная 174, 175
Периодическое движение 162
Подошва ручки 195
Положение равновесия 162
------ гиперболическое, изолированное,
невырожденное 174, 175
Полусопряженность динамических си-
стем1 164
Поток 156
— класса Т 234
Почти периодичность
---динамической системы на траек-
тории 222, 223'
---точки 222
---функции 223
Почти рекуррентность 222
Произведение пунктированных прост-
ранств 215
Проксимальность 224
Пролонгация
— по динамической системе и началь-
ным данным 222
— по начальным данным1 221
— предельная 221
Пуанкаре — Хопфа теорема 184
Пунктированное пространство 214
Равностепенная непрерывность 223
Разложение на ручки 195
Расширение 164
— дистальное 225
— проксимальное 225
— равностепенно непрерывное 224
— > слабо перемешивающее 225
Р/-расширение 225
Рекуррентность 222
Репеллер 206
Ручка 194
Связная простая система 217
Сепаратриса 229
Сечение 171
— глобальное, локальное 171
Символическая динамика 181
Сингулярный поток на торе 232
Слабо неблуждающая точка 221
Случайный процесс 158
Собственные значения положения
равновесия, неподвижной точки, пе-
242
риодической траектории 174
Сопряженность динамических систем
164
Специальные траектории, специальная
пара траекторий (минимального
множества потока на поверхности)
234
Сток 194
Сумма пунктированных пространств
Схема потока 230'
Тип ориентации .183
Типичное свойство 180
Типичность в классе Сг (^-типич-
ность) 180
Топологическая марковская цепь 161
— транзитивность 223
— эквивалентность 1'64
---минимальных множеств 235
Топологический автоморфизм (двусто-
ронний сдвиг, каскад) Бернулли
161
— эндоморфизм (односторонний
сдвиг) Бернулли 161
Точка выхода 2Г2
Траектория 162
е-траектория 208
Трансверсальности условие для линей-
ных расширений 228
Уравнения в вариациях 169
Устойчивость
— асимптотическая 206
,— по Лагранжу 166
— по Ляпунову 206
— по Пуассону 210
— структурная 180
Фазовая диаграмма системы Морса—
Смейла 192
— скорость 157
— точка 157
— траектория 162
Фазовое пространство 156
— >— случайного процесса 158
Фактор 164
Фильтрация 194
— для системы Морса — Смейла 196
—' для динамической системы 207
Фуллера теорема 186
Функция, не возрастающая на траек-
тории 209
Числа вращения соизмеримые 232
Число вращения 232
Центр динамической системы 220
Цепная рекуррентность 208
Цепь 208
ОГЛАВЛЕНИЕ
(Соответствует рубрике 27.29 Рубрикатора ГАСНТИ)
I. Обыкновенные дифференциальные уравнения (В. И. Арнольд,
Ю. С. Ильяшенко) .............................................. 11
Глава 1. Основные понятия.............................. 13
Глава 2. Дифференциальные уравнения на поверхностях .... 44
Глава 3. Особые точки дифференциальных уравнений в многомер-
ном вещественном фазовом пространстве 51
Глава 4. Особые точки дифференциальных уравнений в многомер-
ном комплексном фазовом пространстве............................77
Глава 5. Особые точки векторных полей на вещественной и комп-
лексной плоскости.....................................• . . 85
Глава 6. Циклы.................................................102
Глава 7. Аналитическая теория дифференциальных уравнений . .. НО
Литература.....................................................141
Предметный указатель...........................................147
II. Гладкие динамические системы.................................151
Глава 1. Исходные понятия (Д. В. Аносов).....................156
Глава 2. Элементарная теория (Д. В. Аносов)...................178
Глава 3. Топологическая динамика (Д. В. Аносов, И. У. Бронштейн) 204
Глава 4. Потоки на двумерных многообразиях (С. X. Арансон,
В. 3. Гринес) ............. 229
Литература.....................................................237
Предметный указатель...........................................241
Технический редактор Я. А. Борисова
Сдано в набор 27.09.84 Подписано в печать 01.04.85 *
Формат бумаги 60X90Vie. Бум. тип. № 1. Литературная гарнитура.
Высокая печать. Усл. печ. л. 15,25 Усл. кр.-отт. 15,44 Уч.-изд. л. 15,86-
Тираж 3500 экз. Заказ 7712 Цена 2 р. 60 к.
Адрес редакции: 125219, Москва, А-219, Балтийская ул., 14. Тел. 155-42-41
Производственно-издательский комбинат ВИНИТИ
140010, Люберцы, 10, Московской обл., Октябрьский просп., 403
Индекс 56847
ИНТ ^«Современные проблемы математики. Фундаментальные направления,
УДК 517.91/517.93
В. И. Арнольд, Ю. С. Ильяшенко, Обыкновенные дифференциальные урав-
нения. I. «Современные проблемы математики. Фундаментальные направле-
ния. Т. 1 (Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР)». М., 1985, 7—149
Статья посвящена, в основном, локальной теории дифференциальных урав-
нений: исследованию особых точек и предельных циклов в вещественной и
комплексной области. Рассматривается также поведение решений в целом на
вещественной и комплексной плоскости и двумерном торе. Изложение со-
держит все необходимые основные понятия и рассчитано на широкий круг
читателей. Библ. 111 найм.
УДК 517.91/517.93
Д. В. Аносов, С. X. Арансон, И. У. Бронштейн, В. 3. Гринес, Гладкие
динамические системы. II. «Современные проблемы математики. Фундамен-
тальные направления. Т. 1 (Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР)». М.,
1985, 151—242
Статья посвящена теории гладких динамических систем, за исключением
вопросов, связанных со сложным предельным поведением траекторий: основ-
ные понятия, различные топологические понятия типа индексов, системы
Морса — Смейла, потоки на поверхностях, примыкающие вопросы топологи-
ческой динамики. Библ. 83 найм.
ОПЕЧАТКИ
«Совр. пробл. мат. Фундаментальные направления». Т. I, 1985 г.
Страница Строка Напечатано Следует читать
16 6 снизу вани и вании
20 6 сверху X X
71 8 "сверху dim Wc dim Wc
106 19 снизу лГ А/Тс
132 16 сверху сходящейся сходящиеся
142 16. сверху 1967, 6, 568 с. 1966, 568 с.
142 22 сверху с. 52—240' 151—240.
170 19 снизу являетсял и сечение является ли сечение
(и т. ,д. (и т. д.)
194 22 сверху отвечающим и отвечающими
221 12 сверху х С°=Й-взрыв С°-Й-взрыв
Зак. 7712