/
Text
В (fell II А Я rfo ЗАУШНАЯ ОРДЕНА ЛЕНИНА АКАДЕМИЯ РККА
имени проф. ЖУКОВСКОГО
М. П. СОЛОВЬЕВ и А. И. АРБУЗОВ
ОСНОВЫ
БОМБОМЕТАНИЯ
Утвержден Всесоюзным комитетом
по делам высшей школы при СНК СССР
л качестве учебника для высших
соенных учебных заведений
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ВОЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
НАРКОМАТА ОБОРОНЫ СОЮЗА ССР
* МОСКВА-1940
Приложение 1
ТАБЛИЦА ВРЕМЕНИ ПАДЕНИЯ БОМБ В ПУСТОТЕ
Н(м) Т0(сек,) Г0(сек.) Щм) Го (сек.)
— — 1 100 15,0 3 100 25,2
— 1 200 15,6 3 200 25,6
5 1,0 1 300 16,3 3 300 25,9
К) 1,4 1 400 16,9 3 400 26,3
15 1,8 1 500 17,5 3 500 26,7
20 2,0 1600 18,1 3600 27,1
25 2,3 1 700 18,6 3 700 27,5
50 3,2 1800 19,2 3 800 27,8
75 3,9 1 900 19,7 3 900 28,2
J00 4,5 2 000 20,2 4 000 28,6
150 5,5 2100 20,7 4100 28,9
200 6,4 2200 21,2 4200 29,3
300 7,8 2 300 21,6 4 300 29,6
400 9,0 2 400 22,1 4 400 30,0
500 10,1 2500 22,6 4 500 30,3
600 11,1 2 600 23,0 4 600 30,6
700 11,9 2 700 23,5 4 700 30,9
800 12,8 2 800 23,9 4 800 31,3
900 13,6 2 900 24,3 4 900 31,6
1 000 14,3 3 000 24,7 5 000 31,9
359
99€
Приложение, 2
УЧЕБНЫЕ БАЛИСТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ
0 = 23,0 сек.
V (км/час) 160 180 200 220
Н(м) Т (сек.) Д(л) VO t Т (сек.) Д(л) S-0 1 Т (сек.) Д (м) 7° Т (сек.) Д(л) 7°
10 1,4 1 1 5,0 1,4 1 6,2 1,4 1 7,5 1.4 2 9,0 9,0 9,0 9,0 9,0 9,0 9,0 9,0 9,0 9,2 9,3 9,5 9,6 9,7 9,8 10,0 10,2 10,3 10,4 10,5 10,6 10,7 10,7 10,9 11,0 11,1 11,2 11,2 11,3 Н.4 11,5
20 2,0 2 5,0 2,0 2 6,2 2,0 3 7,5 2,0 3
30 2,5 3 5,0 2,5 3 6,2 2,5 4 7,5 2,5 5
40 2,9 4 5,0 2,9 4 6,2 2,9 5 7,5 2,9 6
50 3,2 4 5,0 3,2 5 6,2 3,2 7 7,5 3,2 8
60 3,5 5 5,0 3,6 7 6,3 3,5 8 7,5 3,6 10
70 3,8 6 5,0 3,8 8 6,3 3,8 9 7,7 3,8 11
80 4,1 7 5,0 4,1 9 6,3 4,1 11 7,7 4,1 13
90 4,4 8 5,0 4,4 10 6,3 4,4 12 7,7 4,4 14
100 4,6 9 5,2 4,6 11 6,3 4,6 13 7,7 4,6 16
200 6,6 19 5,4 6,6 23 6,6 6,6 28 7,9 6,6 33
300 8,1 29 5,5 8,1 36 6,7 8,1 42 8,1 8'1 50
400 9,4 40 5,7 9,4 48 7,0 9,4 58 8^2 9,4 67
500 600 10,6 11,7 12,7 51 63 5,8 6,0 10,6 11,7 62 76 7,1 7,2 10,6 11,7 72 90 8,3 8,3 10,6 11,7 85 104
700 76 6,2 12,7 92 7,4 12,7 107 8,7 12,8 124
800 13,6 90 6,4 13,7 106 7,6 13,7 124 8,8 13,7 144
900 14,6 102 6,5 14,6 121 7,7 14,6 142 9,0 14,6 164
1 000 15,4 116 6,6 15,4 137 7,7 15,5 160 9,1 15,5 184
1100 16,3 122 6,7 16,3 152 7,8 16,3 178 9,2 16,4 204
1 200 17,1 143 6,8 17,1 168 7,9 17,2 196 9,2 17'2 225
1 300 17,9 157 6,9 17,9 185 8,1 18,0 215 9,3 18,0 246
1 400 18,6 172 7,0 18,7 202 8,2 18,7 234 9,5 18'8 267
1 500 19,4 186 7,1 19,5 219 8,3 19,5 253 9$ 193 289
1 600 20,2 201 7,2 20,2 236 8,4 20,2 273 9,7 20,3 311
1 700 1 800 20,9 21,5 216 231 7,2 7,3 20,9 21,7 253 270 8,5 8,5 21,0 21,7 292 312 9,7 9,8 21,0 21,8 333 355
1 900 22,3 247 7,4 22,4 288 8,6 22,4 332 9,9 223 378
2000 23,0 263 7,5 23,1 306 8,7 23,1 352 10,0 23,2 400
2200 24,4 295 7,6 24,4 342 8,8 24,5 392 10,1 24,6 445
2 400 25,7 327 7,7 25,8 379 9,0 25,8 433 10,2 25,9 490
2600 27,0 360 7,9 27,1 416 9,1 27,1 475 10,3 27,2 535 11,6
2 800 28,3 394 8,0 28,3 453 9,2 28,4 516 10,4 28,4 582 11,7
3 000 29,5 427 8,1 29,6 491 9,3 29,6 558 10,5 29,7 628 11,8
3 200 30,8 460 8,2 30,8 528 9,4 30,9 599 10,6 30,9 673 11,9
3 400 32,0 492 8,2 32,0 565 9,4 32,1 640 10,7 32,2 718 11,9
3600 33,2 524 8,3 33,2 601 9,5 33,3 681 10,7 33,3 764 12,0
3 800 34,3 557 8,3 34,4 638 9,5 34,4 722 10,7 34,5 809 12,0
4000 35,5 590 8,4 35,6 675 9,6 35,6 763 10,8 35,7 855 12,1
4 200 36,6 623 8,4 36,7 712 9,6 36,7 804 10,8 36,8 900 12,1
4400 37,8 656 8,5 37,8 749 9,6 37,9 845 10,9 37,9 945 12,1
4600 38,9 689 8,5 38,9 786 9,7 39,0 886 10,9 39,0 990 12,1
4 800 40,0 720 8,5 40,0 821 9,7 40,1 926 10,9 40,1 1 034 12,1
5 000 41,0 749 8,5 41,1 854 9,7 41,2 964 10,9 41,2 1 076 12,1
5 200 42,1 780 8,5 42,2 888 9,7 42,2 1 002 10,9 42,2 1 119 12,1
5 400 43,1 810 8,5 43,2 922 9,7 43,2 1 039 10,9 43,3 1 161 12,1
5600 44,2 840 8.5 44,2 956 9,7 44,3 1 077 10,9 44,4 1 203 12,1
5 800 45,2 870 8,5 45,3 990 9,7 45,3 1 114 10,9 45,4 1 244 12,1
6000 46,2 900 8,5 46,3 1 024 9,7 46,3 1 151 10,8 46,4 1 285 12,1
6 200 47,2 930 8,5 47,3 1 057 9,7 47,4 1 188 10,8 47,4 1 326 12,1
6 400 48,2 960 8,5 48,3 1 091 9,7 48,3 1 225 10,8 48,4 1 367 12,0
6 600 49,2 990 8,5 49,3 1 124 9,7 49,3 1 262 10,8 49,4 1 407 12,0
6 800 50,2 1 020 8,5 50,2 1 158 9,7 50,3 1 299 10,8 50,4 1 447 12,0
7 000 51,2 1049 8,5 51,2 1 191 9,6 51,4 1 336 10,8 51,3 1 487 12,0
7 200 52,1 1078 8,5 52,2 1 224 9,6 52,2 1 372 10,8 52,3 1 527 12,0
7 400 53,0 1 106 8,5 53,1 1 256 9,6 53,2 1 408 10,8 53,2 1566 11,9
7 600 54,0 1 133 8,5 54,1 1 287 9,6 54,1 1 444 10,8 54,1 1 604 11,9
7 800 54,9 1 160 8,5 55,0 1 318 9,6 55,0 1 479 10,7 55,1 1 642 11,9
8 000 55,8 1 187 8,4 55,9 1 348 9,6 55,9 1 512 10,7 56,0 1 678 11,8
8 200 56,7 1 213 8,4 56,8 1 377 9,5 56,8 1 544 10,7 56,9 1 714 11,8
8 400 57,6 1 239 8,4 57,7 1405 9,5 57,7 1 575 10,6 57,8 1 749 11,8
8 600 58,5 1 264 8,4 58,6 1 433 9,5 58,6 1 606 10,6 58,7 1 783 11,7
8 800 59,4 1 289 8,3 59,4 1 461 9,4 59,5 1 637 10,6 59,5 1 817 11,7
9000 60,2 1 313 8,3 60,3 1 488 9,4 60,4 1 667 10,5 60,4 1 850 11,6
9 200 61,1 1 337 8,3 61,2 1 515 9,3 61,2 1697 10,4 61,2 1 883 11,6
9 400 61,9 1 361 8,2 62,0 1 542 9,3 62,0 1 727 10,4 62,1 1 915 11,5
9600 62,8 1 385 8,2 62.8 1 569 9,3 62,9 1 756 10,4 62,9 1 947 11,5
9800 63,6 1 408 8,2 63,7 1 595 9,2 63,7 1 785 10,3 63,8 1 978 И>4
10000 64,4 1 431 8,1 64,5 1 620 9,2 64,5 1 813 10,3 61,6 2 009 11,4
I
Продолжение
у = 23,0 'сек.
V {км/час} Н(м) 240 260 280 300
Т (сек.) II ’ 1.1 ——II . —
Д(л) 7° Т (сек.) Д {м} 7° Т (сек.) Д(л) 7° Т (сек.) А (Л) 7°
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1 100 1 200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900 2000 2200 2400 1,4 2,0 2,5 2,9 3,2 3,6 3,8 4,1 4,4 4,6 6,6 8,1 9,5 10,7 11,8 12,8 13,7 14,7 15,6 16,4 17,2 18,0 18,8 19,6 20,3 21,1 21,8 22,5 23,2 24,6 26,0 ! 2 4 6 8 9 И 13 15 17 19 38 58 78 98 120 143 165 187 209 232 255 278 ' 302 326 351 375 400 425 450 500 550 1 1 1 10,8 1 Ю,8 10,7 10,7 10,7 10,7 10,7 10,7 10,7 10,7 10,8 11,0 11,1 11,2 11,3 11,5 11,7 11,7 11,8 11,9 12,0 12,1 12,2 12,2 12,3 12,4 12,5 12,6 12,7 12,8 12.9 I 1,4 2,0 2,5 2,9 3,2 3,6 3,8 4,1 4,4 4,6 6,6 8,2 9,5 10,7 11,8 12,8 13,8 14,7 15,6 16,4 17,3 18,1 18,8 19,6 20,4 21,1 21,9 22,6 23,3 24,7 26,0 1 7 9 11 13 15 18 20 22 44 67 90 113 137 162 187 212 236 261 287 313 340 366 393 420 447 474 502 557 612 12,5 12,3 12,3 12,3 12,3 12,3 12,3 12,3 12,3 12,3 12,5 12,6 12,7 12,7 12,8 13,0 13,1 13,2 13,2 13,3 13,4 13,5 13,6 13,7 13,7 13,8 13,9 14,0 14,1 14,2 14,3 1,4 2,0 2,5 2,9 3,2 3,6 3,8 4,1 4,4 4,6 6,6 8,2 9,5 10,7 11,8 12,8 13,8 14,8 15,6 16,5 17,3 18,1 18,9 19,7 20,4 21,2 21,9 22,6 23,3 24,7 26,1 3 5 8 10 13 15 18 20 23 2о 50 76 102 128 155 183 210 237 264 292 321 350 379 408 438 467 497 526 556 615 675 ! 14,3 14,2 14,2 14,2 14,2 14,2 14,2 14,2 14,2 14,2 14,2 14,2 14,3 14,4 14,5 14,6 14,7 14,7 14,8 14,9 15,0 15,1 15,2 15,2 15,3 15,3 15,4 15,5 15,5 15,6 15,7 1,4 2,0 2,5 2,9 3,2 3,6 3,9 4,1 4,4 4,6 6,6 8,2 9,5 10,7 11,8 12,9 13,9 14,8 15,7 16,5 17,4 18,2 18,9 19,7 20,5 21,2 22,0 22,7 23,4 24,8 26,1 . 3 6 9 12 14 17 20 23 26 29 57 86 115 144 174 205 235 265 295 326 357 388 420 452 484 516 548 580 613 677 742 16,3 16,2 16,2 16,2 16,2 16,0 16,0 16,0 16,0 16,0 16,0 16,2 16,2 16,3 16,4 16,4 16,5 16,6 16,6 16,7 16,7 16,8 16,9 16,9 17,0 17,0 17,1 17,1 17,1 17,2 17,3
i
2600 2 800 27,2 28,5 600 651 13,0 13.1 27,3 28,6 666 721 14,4 14,4 27,4 28,6 735 794 15,8 15,8 27,4 28,7 806 871 173 17,3
3 000 29,8 701 13,1 29,8 776 14,5 29,9 854 15,9 29,9 935 17,3
3200 31,0 750 13,2 31,1 830 14,5 31,1 913 15,9 31,2 999 17,4
3400 32,2 800 13,2 32,3 885 14,6 32,3 973 16,0 32,4 1 063 17,4
3600 33,4 850 13,3 33,5 940 14,6 33,5 1 032 16,0 33,6 1 126 17,4
3 800 34,6 900 13,3 34,6 994 14,7 34,7 1 091 16,0 34,8 1 190 17,4
4 000 35,7 950 13,4 35,8 1048 14,7 35,9 1 149 16,0 35,9 1 253 17,4
4200 36,9 1 000 13,4 36,9 1 103 14,7 37,0 1 208 16,0 37,1 1 316 17,4
4400 38,0 1 049 13,4 38,1 1 156 14,7 38,1 1 266 16,0 38,2 1 378 17,4
4 600 39,1 1 098 13,4 39,2 1 209 14,7 39,2 1 323 16,0 39,3 1 440 17,4
4800 40,2 1 146 13,4 40,3 1 261 14,7 40,3 1 380 16,0 40,4 1 501 17,4
5000 41,3 1 193 13,4 41,3 1 312 14,7 41,4 1 435 16,0 41,5 1 561 17,3
5200 42,3 1 240 13,4* 42,4 1363 14,7 42,5 1 491 16,0 42,5 1 621 17,3
5 400 43,4 1 286 13,4 43,4 1 414 14,7 43,5 1546 16,0 43,6 1 680 17,3
5 600 44,4 1 332 13,4 44,5 1464 14,6 44,6 1 600 15,9 44,6 1 738 17,2
5800 45,4 1 378 13,3 45,5 1 514 14,6 45,6 1 654 15,9 45,6 1 796 17,2
6 000 46,4 1 423 13,3 46,5 1564 14,6 46,6 1 707 15,9 46,7 1 853 17,2
6200 47,5 1 468 13,3 47,5 1 613 14,6 47,6 1 760 15,8 47,7 1 909 17,1
6400 48,4 1 513 13,3 48,5 1 661 14,6 48,6 1 812 15,8 48,7 1 964 17,1
6600 49,4 1 557 13,3 49,5 1 709 14,5 49,6 1 863 15,7 49,6 2 019 17,0
6800 50,4 1 600 13,2 50,5 1 756 14,5 50,6 1 913 15,7 50,6 2 073 16,9
7 000 51,4 1 643 13,2 51,4 1802 14,5 51,5 1 963 15,7 51,6 2126 16,9
7 200 52,3 1 685 13,2 52,4 1 847 14,4 52,5 2011 15,6 52,5 2178 16,8
7 400 53,3 1 727 13,1 53,3 1 892 14,4 53,4 2 059 15,5 53,5 2 230 16,8
7600 54,2 1 768 13,1 54,3 1936 14,3 54,3 2 106 15,5 54,4 2 281 16,7
7 800 55,1 1 808 13,1 55,2 1 979 14,2 55,3 2 153 15,4 55,3 2 331 16,6
8000 56,0 1 848 13,0 56,1 2 022 14,2 56,2 2199 15,4 56,2 2 380 16,6
8 200 56,9 1 887 13,0 57,0 2064 14,1 57,1 2 245 15,3 57,2 2 429 16,5
8 400 57,8 1 925 12,9 57,9 2 105 14,1 58,0 2 289 15,2 58,1 2 476 16,4
8 600 58,7 1 963 12,8 58,8 2 146 14,0 58,9 2 333 15,2 58,9 2 523 16,3
8 800 59,6 2 000 12,8 59,7 2 186 13,9 59,7 2 376 15,1 59,8 2 569 16,2
9000 60,5 2 036 12,7 60,5 2225 13,9 60,6 2 418 15,1 60,7 2614 16,2
9 200 61,3 2 072 12,7 61,4 2264 13,8 61,4 2 460 15,0 61,5 2 659 16,2
9 400 62,2 2107 12,7 62,2 2 302 13,7 62,3 2501 14,9 62,4 2 703. 16,1
9600 63,0 2 142 12,6 63,1 2340 13,7 63,1 2 541 14,8 63,2 2 746 16,0
9 800 63,8 2 176 12,5 63,9 2 377 13,7 64,0 2581 14,7 64,0 2 789 15,9
10000 64,6 2 209 12,5 64,7 2 413 13,6 64,8 2619 14,7 64,8 2 830 15,8
Продолжение
У = 23,0 сек.
{км/час) Н(м) 320 Тэ 340 360 380
Т (сек.) д (м) ! Г(сек.)| Ь(м) | 7° Т (сек.) Д(л) 7° 7'(сек.) Д (.«) 7°
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1 100 1 200 1300 1400 1500 1 600 1700 1800 1900 2000 2200 2 400 ! 1,4 2.0 2,5 2,9 3,2 3,6 1 i 3 7 10 13 16 20 18,3 18,3 18,3 18,2 18,2 18,2 1,4 2,0 2,5 2,9 3,3 3,6 1 4 7 11 15 18 22 1 1 20,5 20,3 20,2 20,2 20,2 20,2 1,4 2,0 2,5 2.9 3,3 3,6 4 8 12 17 21 25 22,8 22,7 22,5 22,3 22,3 22,3 1,4 2,1 2,5 2,9 3,3 3,6 ; 5 9 14 18 23 27 25,2 24,8 24,7 24,7 24,5 24,5 24,5 24,3 24,3 24,3 23,8 23,7 23,6 23,5 23,4 23,4 23,4
3,9 4,1 4,4 4,6 6,6 8,2 9,6 10,8 11,9 23 26 29 32 64 96 129 161 194 18,2 18,2 18,0 18,0 17,8 17,8 17,8 17,8 17,9 3,9 4,1 4,4 4,6 6,7 8,2 9,6 10,8 11,9 26 29 33 37 72 108 143 179 215 20,0 20,0 20,0 20,0 20,1 19,8 19,7 19,7 19,7 3,9 4,2 4,4 5,7 6,7 8,2 9,6 10.8 11,9 29 33 37 41 80 120 159 198 237 22,2 22,2 22,2 22,2 21,8 21,7 21,7 21,6 21,6 3,9 4,2 4,4 •4,7 6,7 8,2 9,6 10,8 12,0 32 36 41 45 88 132 174 217 260
12,9 13,9 228 261 18,0 18,1 12,9 13.9 252 288 19,7 19,8 13,0 14 0 277 317 2L6 21,6 13,0 14,0 303 346
14,8 15,7 16,6 17,4 18,2 294 327 360 394 428 18,1 18,1 18,1 18,2 18.2 14,9 15,8 16.6 17,4 18,2 325 361 397 433 470 19,8 19.8 19,8 19,8 19,9 14,9 15,8 16,6 17,5 18,3 356 395 434 474 513 21,6 21,5 21,5 21,5 21,5 14,9 15,8 16,7 17,5 18,3 389 431 473 516 558 23,4 23,3 23,3 23,3 23,2 23,2 23,2 23,2
19,0 19.8 463 497 18,3 18,3 19,0 19,8- 507 544 19,9 19,9 19,1 19,9 553 593 213 21,6 19,1 19,9 601 644
20,5 532 18,4 20,6 582 20,0 20,6 633 21,6 20,7 687
21,3 22,0 22,7 23,4 567 602 637 672 18,4 18,5 18,5 18,6 21,3 22,1 22,8 23,5 619 657 695 732 20,0 20,0 20,1 20,1 21,4 22,1 22,8 23,6 673 714 755 796 21,6 21,6 21,7 21,7 21,4 22,2 22,9 23,6 730 773 817 860 23,2 23,2 23,3 23,3
24,8 741 18,6 24,9 807 1 20,1 24,9 875 21,7 253 945 23,2
26,2 811 18,7 26,2 882 | 20,2 26,3 955 21,7 26,3 1 030 23,2
2600
2800
3000
3 200
3400
3 600
3 800
4 000
4200
4400
4600
4 800
5000
5 200
5400
5 600
5 800
6 000
6 200
6 400
6600
6 800
7 000
7 200
7 400
7 600
7 800
8 000
8200
8 400
8 600
8 800
9000
9 200
9 400
9 600
9800
10 000
27,5 880 18,7. I 27,5 956 20,2 27,6 1034 1 21,7 27,6 1114 i 23,2
28 7 949 18,7 ! 28,8 1 030 20,2 28,9 i из j 21,7 28,9 1 199 23,2
30,0 1 018 18,7 30,1 1 104 20,2 30,1 1 192 21,7 30,2 1 283 23,1
31,2 1 087 18,8 31,3 1178 20,2 31,4 1271 21,7 31,4 1 367 23,1
32,5 1 156 18,8 32,5 1251 20,2 32,6 1349 21,6 32,6 1 450 23,1
33*7 1 224 18,8 33,7 1 324 20,2 33,8 1 427 21,6 33,8 1 533 23,0
34^8 1 292 18,8 34,9 1397 20,2 35,0 1 505 21,6 35,0 1 615 23,0
360 1 360 18,8 36,1 1469 20,2 36,1 1582 21,6 36,2 1 696 23,0
37*1 1 427 18,8 37,2 1541 20,1 37,3 1 658 21,5 37,3 1 777 22,9
38 3 1 494 18,7 38,3 1 612 20,1 38,4 1 733 21,5 38,5 1 857 22,9
39*4 40 5 1 560 1 625 18,7 18,7 39,4 40,5 1 683 1 751 20,1 20,0 39,5 40,6 1 808 1 881 21,4 21,4 39,6 40,7 1 936 2 014 22,8 22,8
41*5 1 689 18,7 41,6 1820 20,0 41,7 1 954 21,3 41,8 2 091 22,7
426 1 753 18,6 42,7 1 888 19,9 42,7 2027 21,3 42,8 2 168 22,7
43*6 44,7 1 816 1 878 18,6 18,5 43,7 44,8 1956 2 022 19,9 19,8 43,8 44,8 2 099 2169 21,2 21,2 43,9 44,9 2 244 2318 22,6 22,5
45J 1 940 18,5 45,8 2 088 19,8 45,9 2 239 21,1 45,9 2 392 22,4
46 7 2 000 18,4 46,8 2152 19,7 46,9 2 307 21.0 47,0 2 464 22,3
47*7 48 7 2 060 2 119 18,4 18,3 47,8 48,8 2216 2278 19,7 19,6 47,9 48,9 2 374 2 440 20,9 20,9 48,0 49,0 2 o35 2 605 22,2 22,2
49 7 2 178 18,3 4^8 2 341 19,5 49,8 2 506 20,8 50,0 2 675 22,1
50J 2 236 18,2 50,8 2 402 19,4 50,8 2 571 20,7 50.9 2 744 22,0
51J 52,6 2 293 2 349 18,1 18,1 51,7 52,7 2 463 2522 19,4 19,3 51,8 52,8 2 635 2 698 20,6 20,5 51,9 52,8 2812 2 878 21,9 21,7
53*6 <54 5 2 404 2 458 18,0 17,9 53,6 . 54,5 2 581 2639 19,2 19,1 53,7 54,6 2 761 2 822 20,5 20,4 53,8 54,7 2 944 3 008 21,7 21,6
55*4 2 512 17,8 i 55,5 2 696 19,1 55,6 2 882 20,3 55,6 3 072 21,5
56*3 2 564 17,8 56,4 2 751 19,0 56,5 2 941 20,2 56,6 3 134 21,4
57*2 2 616 I 17,7 ; 57,3 2 806 18,9 57,4 2999 20,1 57,4 3 195 21,2 л i О
58*1 2 666 17,6 58,2 2 859 18,8 58,3 3055 20,0 58,3 3 254 21,2 HI 1
59*0 2 716 17,5 59,1 2 912 18,7 59,2 3 111 19,9 59,2 3313 21,1
59*9 2 765 17,4 59,9 2964 18,6 60,0 3166 19,7 60,1 3 371 21,0
60*7 2 813 17,3 60,8 3015 18,5 60,9 3 220 19,7 61,0 3 428 20,8 ПЛ "7
61*6 2 861 17,2 61,7 3 065 18,4 61,7 3 273 19,6 61,8 3 484
62*4 2 905 17,2 62,5 3 115 18,3 62,6 3 326 19,5 62,6 3 540 20,6
63,3 2 954 17,1 63,3 3 164 18,2 63,4 3 377 19,4 63,5 3 594 20,5
64Д 2 999 17,0 64,2 3211 18,1 : 64,2 ; 3 428 19,2 64,3 3 648 20,4
64,9 3 042 • 16,9 1 65,0 3 257 18,0 1 65,1 i 3 477 i 19,2 65,1 3 700 20,3 1
21
Продолжение
6 = 23,0 сек.
V (км/час) 400 420 440 460
Н(м) Т (сек.) А (л) Т (сек.) А (л) „О 4 Т (сек.) А(-и) 7° Т (сек.) [ А (.и) 7°
10 1,4 5 27,5 1,4 6 29,8 1,4 6 32,3 1,5 7 34,7
20 2,0 10 27,3 2,1 11 29,7 2,0 12 32,0 2,1 13 34,3
30 2,5 15 27,0 2,5 17 29,5 2,5 18 31,8 2,5 20 34,0
40 2,9 20 26,8 2,9 22 29,3 2,9 24 31,5 2,9 27 33,8
50 3,3 25. .26,8 3,3 28 29,2 3,3 30 31,3 3,3 33 33,7
60 3,6 30 26,7 3,6 33 29,0 3,6 36 31,2 3,6 40 33,5
70 3,9 35 26,7 3,9 39 28,8 3,9 42 31,2 3,9 46 33,3
80 4,2 40 26,6 4,2 44 28,8 4,2 48 31,0 4,2 52 33,2
90 4,4 45 26,5 4,4 49 28,7 4,4 54 30,8 4,4 59 33,2
100 4,7 «50 26,3 4,7 55 28,7 4,7 60 30,8 4,7 65 33,0
200 6,7 *97 25,9 6,7 107 28,2 6,7 116 30,1 6,7 126 32,3
300 8,3 145 25,7 8,3 158 27,7 8,3 171 29,7 8,3 186 31,8
400 9.6 191 25,6 9,7 208 27,5 9,7 226 29,5 9,7 245 31,5
500 10,8 237 25,4 10,9 258 27,3 10,9 280 29,2 10,9 303 31,2
600 12,0 284 25.3 12,0 308 27,2 12,0 334 29,1 12,1 360 31,0
700 13,0 331 25,3 13.1 359 27,2 13,1 388 29,0 13,1 418 30,8
800 14,0 377 25,2 14,1 409 27,1 14,1 441 28,8 14,1 475 30,7
900 15,0 423 25,2 15,0 458 27,0 15,0 494 28,7 15,1 531 30,5
1 000 15,9 468 25,1 15,9 507 26,9 15.9 546 28,7 16,0 586 30,3
1 100 16,7 513 25,0 16,8 555 26,8 16,8 598 28,6 16,8 642 30,2
1200 17.6 559 25,0 17,6 6С4 26,7 17,6 650 28,4 17,7 697 30,2
1300 18,4 604 24,9 18,4 652 26,7 18,5 702 28,3 18,5 752 30,1
1400 19,2 650 24,9 19,2 701 26,6 19.3 753 28,2 19,3 807 29,9
1500 20,0 696 24,9 20,0 750 26,5 20,0 805 28,2 20,1 862 29,9
1600 20,7 742 24.9 20,8 799 26,5 20,8 858 28,2 20,9 918 29,8
1 700 21,5 788 24.9 21,5 848 26.5 21,6 910 28,2 21,6 973 29,8
1800 22,2 834 24,8 22,3 897 26,4 22,3 961 28,1 22,4 1 027 29,7
1900 23,0 880 24,8 23,0 945 26,4 23,0 1 013 28,1 23,1 1 082 29,7
2000 23,7 925 24,8 23,7 994 26,4 23,8 1 064 28,0 23,8 1 136 29,6
2200 25,1 1016 24,8 25,1 1С91 26,3 25,2 1 166 27,9 25,2 1243 29,5
2 400 26,4 1 107 24,8 26,4 1 187 | 1 26,3 | 26,5 1 268 27,8 26,8 1351 29,4
2 600
2 800
3000
3 200
3 400
3 600
3 800
4 000
4200
4400
4 600
4 800
5 000
5 200
5 400
5600
5800.
6 000
6 200
6 400
6 600
6 800
7 000
7 200
7 400
7600
7 800
8 000
8 200
8 400
8 600
8 800
9 000
9 200
9 400
9 600
9 800
10000
27,7 1 197 24,7 27,8 12812 26,2 ।
29,0 1287 24,7 29,0 1377 26,2
30,2 1 376 24,6 30,3 1471 26,1
31,5 1465 24,6 31,6 1 565 26,1
32,7 1 553 24,5 32,8 1 659 25,0
33,9 1 641 24,5 34,0 1 751 25,9
35,1 1 728 24,4 35,2 1 843 25,9
36,3 1 814 24,4 36,3 1933 25,8
37,4 1 900 24,3 37,5 2 024 25,7
38,5 1 984 24,3 38,6 2113 25,6
39,6 2 067 24,2 39,7 2 201 25,6
40,7 2150 24,1 40,8 2 288 25,5
41,8 2 231 24,0 41,9 2 373 25,4
42,9 • 2312 24,0 43,0 2 459 25,3
43,9 2 392 23,9 44,0 2 543 25,2
45,0 2 470 23,8 45,1 2 626 25,1
46,0 2 548 23,7 46,1 2 707 25,0
47,0 2 624 23,6 47,1 2787 24,9
48,0 2 700 23,5 48,1 2 867 24,8
49,0 2 774 23,4 49,1 2 946 24,7
50,0 2 848 23,3 50,1 3023 24,6
51,0 2 920 23,2 51,1 3 099 24,5
52,0 2 992 23,2 52,0 3174 24,4
52,9 3 062 23,0 53,0 3 248 ' 24,2
53.8 3 131 22,9 53.9 3320 24,2
54,8 3 198 22,8 54,9 3 391 24,1
55,7 3 265 22,7 55,8 3 461 23,9
56,6 3 330 22,6 56,7 3 530 23,8
57,5 3 394 22,5 57,6 3 597 23,7
58,4 3 457 22,3 58,5 3 663 23,6
59,3 60,2 3 519 3 580 22,2 22,2 59,4 60,2 3728 3 792 23,4 23,3
61,0 3 640 22,0 61,1 3 855 23,2
61,9 3 699 21,9 62 0 3917 23,1
62,7 3 757 21,8 62,8 3 978 22,9
63,6 3814 21,7 63,6 4 038 22,8
64,4 3 870 21,6 64,5 4 096 22,7
65,2 3 925 21,4 65,3 4153 22,6
27,8 1 369 27,8 27,9 1 457 29,3
29,1 1 469 27,7 29,2 1 563 29,2
30,4 1 568 27,6 30,4 1 668 29,1
31,6 1 668 27,5 31,7 11773 29,0
32,8 1 767 27,5 32,9 1’877 28,9
34,0 1 864 27,4 34,1 1 979 28,8
35,2 36,4 37,5 1 960 27,3 35,3 2 080 28,7
2 056 27,2 36,5 2 181 28,6
2 151 27,1 37,6 2 280 28,5
38,7 2 245 27,0 38,7 2 379 28,4
39,8 2 337 26,9 39,9 2475 28,3
40,9 2 428 26,8 41,0 2 571 28,2
42,0 2 518 26,7 42,0 2 665 28,0
43,0 2 608 26,7 43,1 2 759 27,9
44,1 - 2 696 26,5 44,2 2 852 27,8
45,1 2 783 26,4 45,2 2943 27,7
46,2 2 868 26,3 46,3 3033 27,6
47,2 2 952 26,2 47,4 3 121 27,5 27,3 27,2
48,2 49,2 3 036 3 119 26,1 26,0 48,3 49,3 3 208 3 294
50,2 3 200 25,8 50,2 3 379 27,1
51,1 3 280 25,7 51,2 3 463 27,0
52,1 3 358 25,7 52,2 3 545 26,8
53,1 3 435 25,5 53,1 3 626 26,7
54,0 3511 25,4 54,1 3 705 26,6
54,9 55,9 3 586 3 659 25,2 25,2 55,0 56,0 3 783 3 860 26,5 26,3
56,8 3 731 25,0 56,9 3 935 26,2
57,7 3 802 24,8 57,8 4 009 26,1 25,9
58,6 3 872 24,7 58,6 4 082
59,4 3 940 24,6 59,5 4154 25,7
60,3 4 007 24,5 60,4 4 225 25,7
61,2 62,0 62,9 4 073 4 138 4 201 24,3 24,2 24,1 61,3 62,1 63,0 4 294 4 362 4 428 25,5 25,3 25,2
63,7 4 263 23,9 63,8 4 493 25,1
64,5 4 324 23,8 64,6 4 556 24,9
65,4 4 383 23,7 65,4 4 617 24,7
Приложение з
ГРАФИКИ БАЛИСТИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ
Зависимость величин А, Д, Т, <? и у от 0, Н,
Элементы траектории бомбы А, А, Т, ? и у определяются из балпстических
таблиц по входным данным И, v., и 9.
Если из таблиц взяты значения Л и Г, то величины А, ? и ; вычисля-
ются по формулам:
А^г/оГ-Л; (1)
tg?=A; (2)
tg 7 = • (3)
Если из таблиц взяты значения А и Т, то величины Л, ? и у вычисляются
«по -формулам:
л^оГ-Д; (4)
tg о = —°- -7^ А ; (5)
tg Т = -ff • (6)
Рассмотрим, как изменяются величины А, А, Г, ? и ч при изменении 9,
V и Н.
Зависимость от характеристического времени бомбы 9
Допустим, что Н и va постоянны, а изменяется только характеристическое
время 6. Чем больше характеристическое время бомбы, тем больше сила со-
противления воздуха. С увеличением силы сопротивления воздуха относ
бомбы уменьшается, отставание от самолета и время падения увеличиваются.
Таким образом, при увеличении 6 относ бомбы уменьшается, отставание
увеличивается, время падения бомбы также увеличивается. Из формул (2)
и (6) следует, что угол относа уменьшается, а угол отставания бомбы увели-
чивается.
По данным бадистических таблиц построен график, из которого видно, как
уменьшается относ бомбы с увеличением 6 (рис. 1).
При малых значениях 6 относ бомбы изменяется более резко, чем при
больших значениях О.
Как видно из графика для отставания бомбы А (рис. 2), при малых значе-
ниях 9 отставание бомбы А изменяется более резко, чем при больших значе-
ниях 9.
На рис. 3 приведен график зависимости времени падения бомбы Т от 9.
При малых значениях 9 время падения бомбы Т изменяется более резко, чем
при больших звачениях 9. График зависимости угла относа <р от 9 (рис. 4)
показывает, что изменение угла относа происходит более резко при малых
значениях 9.
368
Рис. 3
24 Основы бомбоме!ания
Н^ООООм
Рис. 4
Зависимость угла отставания 7 от 0 приведена на рис. 5. Из рисунка сле-
дует, что наиболее резкое увеличение i угла отставания наблюдается при
малых значениях ©.
Рис. 5
Зависимость от высоты Н
Если величины 0 и остаются неизменными, а изменяется только высота
полета, то время падения бомбы, а следовательно, относ и отставание бомбы
увеличиваются. Так как относ бомбы увеличивается медленнее, чем высота, то
угод относа бомбы с высотой уменьшается. Что же касается угла отставания,
то здесь нет монотонной зависимости, т. е. постоянного увеличения или по-
стоянного уменьшения угла отставания с высотой.
У бомб с малым временем О угол отставания мал и с высотой изменяется
незначительно.
Рис. 6 иллюстрирует зависимость относа бомбы от Н\ относ бомбы, как
видно из графика, с высотой увеличивается, и это увеличение происходит
более резко на малых высотах.
370
Рис. 6
На рис. 7 приведен график для отставания бомбы. Отставание с высотой
увеличивается — и тем резче, чем меньше высота.
На рис. 8 приведен график для времени падения Т. С увеличением высоты
время падения увеличивается. Наиболее резко изменяется время падения
бомбы на малых высотах.
График вависимости угла относа <р от высоты приведен на рис. 9. Угол
относа изменяется на малых высотах более резко, чем па больших.
Зависимость угла к от Н приведена на рис. 10. На малых высотах угол
отставания изменяется более резко, чем на больших высотах.
24* 371
Рис. 8
Зависимость от начальной скорости бомбы о0
Предположим, что О и Н остаются неизменными и изменяется только ско-
рость самолета Так как при бомбометании с горизонтального полета
начальная скорость бомбы равна скорости самолета, то с ее увеличением относ
бомбы возрастает. При увеличении начальной скорости бомбы увеличивается
также сила сопротивления воздуха, а следовательно, отставание бомбы и
373
время падения также возрастают. Относ бомбы и ее отставание возрастают,
поэтому увеличиваются угол относа <р и угол отставания
Таким образом, с увеличением скорости самолета все элементы траектории
(Д А, Т, <р, т) увеличиваются.
Но данным балистических таблиц построен график для относа А (рис. 11).
Из графика следует, что у бомб с хорошей балистикой относ увеличивается
почти пропорционально скорости; у бомб с большим характеристическим
временем при малых скоростях самолета относ увеличивается более резко.
На рнс. 12 приведен график для отставания А. Из графика следует, чтв
отставание на больших скоростях увеличивается более резко, чем на малых
скоростях.
374
График для времени падения бомбы Т приведен на рис. 13, из которого
видно, что время падения бомбы очень незначительно зависит от скорости
самолета V = ру.
Из графика для угла относа бомбы <р (рис. 14) следует, что на малых ско-
ростях угол относа изменяется более резко.
На рис. 15 приведен график для угла отставания у, из которого видно,
что угол отставания растет почти прямо пропорционально скорости.
373
Полученные результаты сведены в таблицу.
Изменение элементов траектории
Входные данные Элементы траектории Изменение элементов траектории при увеличении
0 Н «0
Относ А Уменьшается Увеличивается Увеличивается
Отставание А Увеличивается Увеличивается Увеличивается
Время падения Т Увеличивается Увеличивается Слабо увеличи- вается
Угол относа а Уменьшается Уменьшается Увеличивается
Угол отстава- ния у Увеличивается Зависимость немонотонная Увеличивается
Приложение 4
ЗНАЧЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ БАЛИСТИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ
для бомбы с 0 — 23,0 сек.
км/час V ~м>сек И (.«) 100 27,8 200 55,5 3<Ю 83,3 400 111,1 500 138,9 600 166,7 700 "194,4
дТ
dv
1 000 0,007 0,007 ! 0,007 0,007 | 0,007 0,007 0,005
2 000 0,007 0,009 I 0,009 0,009 | 0,009 0,009 0,007
3 000 0,007 0,011 0,011 0,011 0,011 0,011 0 009
4 000 0,007 0,011 0,013 0,013 0,013 1 0,013 0,011
5 000 0,007 0,011 0,014 0,014 0,014 0,013 0,011
6 000 0,007 0,011 0,014 0,014 0,014 0,014 0,013
7 000 0,007 0,011 0,014 0,014 0,014 0,014 0,013
8 000 0,007 0,011 0,014 0,014 0,014 0,014 0,01»
9 000 0,007 0,011 0,014 0,014 0,014 0,014 0,013
10 000 0,007 0,011 0,014 0,014 0,014 0014 0,013
11 000 (1,007 0,011 0,014 0,014 0,014 0,014 0,013
12 000 0,007 0,009 0,014 0,014 0,014 0,014 0,013
13 000 0,007 0,007 0,013 0,014 0,014 0,014 0,014
14 000 0,007 0,007 0,013 0,014 0,014 0,014 0,014
15 000 0,007 0,007 0,013 0,014 1 0,014 0,014 0 ,014
сМ
<)v
1 (Х)0 2,9 4,3 5,4 6,8 7,9 9,0 9,7
2 000 6,1 8,3 10,4 12,2 13,7 15,1 16,2
3000 9,7 12,2 14,8 16,9 18,7 20,5 22,0
4 000 13,3 16,2 19,1 21,2 23,4 25,2 26,9-
5 000 16,6 20,2 22,7 25,2 27,7 29,5 31,4
6 000 19,8 23,8 26,3 29,2 31,3 33,5 35,6
7 000 23,0 27,0 29,9 32,4 34,9 37,1 39,3
8 000 26,3 29,9 32,8 35,6 38,2 40,3 42,5
9000 29,4 32,4 35,6 38,5 41,0 43,2 45,7
10 000 32,0 34,9 38,2 40,7 43,6 45.8 48,3
11 000 34,6 37,4 40,3 42,8 45,7 48,3 50,8
12 000 36,4 39,3 42,1 44,7 47,4 50,0 52,6
13 000 38,2 41,0 43,6 46,1 48,8 51,5 54,0
14 000 40,0 42,5 45,0 47,5 50,0 52,6 55,1
15 000 41,4 43,6 46,1 48,6 51,2 53,6 56,1
377
Продолжение
1 000 0,0081 0,0082 0,0083 0,0084 0,0085 0,0086 0,0087
2 000 0,0070 0,0071 0,0071 0,0072 0,0073 0,0074 0,0074
3 000 0,0062 0,0062 0,0063 0,0063 0,0063 0,0064 0,0064
4 000 0,0057 0,0057 0,0057 0,0058 0,0058 0,0058 0,0058
5 000 0,0054 0,0054 0,0054 0,0054 0,0054 0,0054 0,0054
6000 0,0051 0,0051 0,0051 0,0051 0,0051 0,0051 0,0051
7 000 0,0048 0,0048 0,0048 0,0048 0,0048 0,0048 0,0048
8000 0,0045 0,0045 0,0045 0,0045 0,0045 0,0045 0,0045
9 000 0,0043 0,0043 0,0043 0,0043 0,0043 0,0043 0,0043
10 000 0,0041 0,0041 0.0041 0,0041 0,0041 0,0041 0,0041
11000 0,0038 0,0038 0,0038 0,0038 0,0038 0,0038 0,0038
12 000 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036
13 000 0,0034 0,0034 0,0034 0,0034 0,0034 0,0034 0,0034
14 000 0,0033 0,0033 0,0033 0,0033 0,0033 0,0033 0,0033
15 000 0,0033 0,0033 0,0032 0,0032 0,0032 0,0031 0,0031
«*Л
дН
1 000 0,08 0,18 0,31 0,46 0,62 С,80 0,99
2 000 0,09 0,20 0,32 0,45 0,60 0,76 0,92
3 000 0,10 0,21 0,32 0,44 0,58 0,71 0,86
4 000 0,10 0,20 0,31 0,43 0,55 0,67 0,80
5 000 0,10 0,19 0,30 0,41 0,52 0,63 0,75
6 000 0,09 0,19 0,28 0,38 0,48 0,58 0,69
7 000 0,09 0,18 0,26 0,35 0,44 0,54 0,63
8 000 0,08 0,16 0,24 0,32 0,41 0,49 0,58
9 000 0,08 0,15 0,22 0,30 0,37 0,45 0,52
10000 0,07 0,14 0,20 0,27 0,33 0,39 0,46
11000 0,06 0,12 0,18 0,23 0,28 0,34 0,40
12 000 0,05 0,11 0,15 0,20 0,25 0,29 0,34
13000 0,05 0,09 0,14 0,18 0,22 0,25 0,29
14 000 0,04 0,08 0,12 0,16 0,19 0,22 0,25
15000 0,04 0,07 0,10 0,13 0,16 0,19 0,21
37S
Продолжение
и км1час X. м/сек 100 200 300 400 500 600 700
Н (м) 27,8 55,5 83,3 111,1 138,9 166,7 Т94Д
оТ
д'э
1 000 0,36 0,40 0,44 0,48 0,53 0,57 0,60
2 000 1,0 1,0 1,1 1,1 1,1 1,1 1,2
3000 1,6 1,7 1,7 1,7 1,8 1,9 1,9
4 000 2,3 2,4 2,4 2,5 2,5 2,6 2,7
5 000 3,1 3,2 3,2 3,3 3,3 3,3 3,3
6 000 3,8 4,0 4,0 4,0 4,1 4,1 4,1
7000 4,6 4,6 4,7 4,7 4,7 4,7 4,8
8 000 5,2 5,2 5,3 5,3 5,3 5,3 5,5
9 000 5,9 5,9 5,9 6,0 6,0 6,0 6,1
10 000 6,5 6,5 6,5 6,6 6,8 6,8 6,8
11000 7,2 7,2 7,2 7,2 7,3 7,4 7,4
12 000 7,6 7,7 7,7 7,7 7,8 7,8 7,8
13 000 8,0 8,0 8,0 8,0 8,1 8,1 8,1
14000 8,5 8,5 8,5 8,5 8,5 8,5 8,5
15000 8,8 8,9 8,9 9,0 9,0 9,0 9,0
ЛХ
«Ю
1 000 20 60 90 140 200 260 310
2 000 50 120 200 280 360 440 530
3 000 90 190 290 400 520 640 760
4 000 120 240 380 530 690 840 980
5000 150 300 470 660 840 1010 1 190
6 000 180 360 560 770 980 1 190 1 390
7000 210 390 640 880 1 120 1 350 1 570
8 000 240 460 720 980 1250 1 500 1760
9 000 260 520 790 1070 1 370 1 660 1 930
10 000 280 570 870 1 190 1 500 1 800 2090
11000 300 590 910 1240 1 570 1 900 2 220
12 000 310 640 970 1 300 1630 1 960 2 300
13000 330 660 1 000 1340 1680 2 030 2 400
14 0С0 340 680 1030 1 390 1 750 2 ПО 2 480
15000 340 700 1 080 1 450 1 830 2 210 2 590
379
Приложение J
КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
1. Понятие вероятности
Предметом теории вероятностей является методика исчисления вероятно-
стей различных событий.
Событием называется то, что может произойти или не произойти.
Например, сброшенная бомба попала в цель — событие. Сброшенная бомба
не попала в цель — тоже событие.
Достоверным событием называется такое, которое не может не прои
зойти, и невозможным событием считается такое, которое не может прои-
зойти.
Например, событие, заключающееся в том, что сброшенная с самолета бомба
упадет на землю, может считаться достоверным, а то, что она упадет па дру-
гом материке, — событием невозможным.
Условимся обозначать события большими буквами латинского алфавита.
Если не может быть случая, чтобы события А, В, С и т. д. произошли
одновременно, совместно, то эти события называются несовместными.
Например, прн однократном сбрасывании бомбы не может случиться так,
чтобы произошло событие: „бомба попала в цель", и, кроме того, произошло
другое событие: „бомба не попала в цель". Эти события несовместны.
Если не может быть случая, чтобы не произошло ни одного из событий,
то они называются единственно возможными.
Например, при сбрасывании бомбы может быть лишь или попадание, или
промах н никакого третьего события не произойдет. При однократном сбра-
сывании эти события единственно возможны.
Если нет никаких оснований считать, что среди интересующих нас собы-
тий ни одно событие не является более возможным, чем другое, то такие
события называются равновозможными.
Например, сброшенная без прицеливания бомба падает в пределы площади
поля, на котором в шахматном порядке расположены интересующие пас цели.
Если площадь, занимаемая целями, равна свободной площади, то одина-
ково возможно и попадание бомбы в цель и попадание ее в свободную пло-
щадь.
Если известно, что для появления одного из двух несовместных и един-
ственно возможных событий А и В имеется конечное число п единственно
возможных и равновозможных случаев и из внх т случаев благоприятствуют
появлению события Л, ал — т случаев благоприятствуют появлению собы-
тия В, тогда говорят, что событие А имеет вероятность, равную отноше-
т , „ п—т
нию —, а событие В имеет вероятность, равную отношению —-—.
Обозначим эти вероятности такими соотношениями:
ВерМ) = ^.; (1)
Вер {В} = . (2)
Очевидно, число т заключено в пределах:
О < т < п.
Если т = 0, то из формул (1) и (2) следует, что при числе п, отличном
от нуля,
Вер {Л} = 0;
Вер {В} = 1.
380
Таким образом, событие А, не имеющее ни одного благоприятного шанса
(случая), т. е. событие невозможное, имеет вероятность, равную нулю, а собы-
тие В, которое в данном случае не может не произойти, т. е. событие досто-
верное, имеет вероятность, равную единице.
Отсюда следует, что вероятность всякого события £ заключена между ну-
лем и единицей, т. е.
О < Вер {£} 1. (3)
Чем ближе значение вероятности к нулю, тем событие менее веро-
ятно, чем ближе к единице, тем оно более вероятно.
Сформулируем определение вероятности:
Вероятностью появления некоторого события назы-
вается отношение числа благоприятных для появления
данного события случаев к числу всех возможных слу-
чаев. Случаи предполагаются при этом несовместными, единственно возмож-
ными и равиовозможпыми. Благоприятным случаем для данного события
считается такой, при котором данное событие происходит непременно.
Рассмотрим пример на вычисление вероятности.
Пример. В пределах площади поля равномерно распределены цели так,
что на каждые 40 единиц площади приходится 10 единиц площади, занятой
целями, а остальная площадь свободна.
Определить вероятность попадания в цель бомбы, сброшенной без прице-
ливания, в случае ее падения в пределах площади поля.
В данном случае падение бомбы в пределы любого элемента из 40 единиц
площади есть несовместный с другими, единственно возможный и равиовоз-
можный случай. Нас интересует событие Е — попадание бомбы в цель. По
условию задачи, появлению этого события благоприятствуют 10 случаев из 40,
так как лишь 10 единиц площади из 40 заняты целью. Интересующая нас
вероятность будет равна отношению числа случаев, благоприятствующих
появлению события Е, к числу всех возможных случаев, т. е. определится
10
в данном случае отношением -^у, следовательно,
Вер {£'} =4 ,
или
Вер {£} = 0,25.
При решении практических задач часто приходится исчислять вероятность
интересующего нас события через вероятности других событий, для чего
служат теорема сложения вероятностей и теорема умножения вероятностей.
2. Теорема сложения вероятностей
Теорема сложения формулируется так: вероятность того, что произойдет
или событие А, или несовместное с ним событие В, равна сумме их вероят-
ностей, т. е.
Вер {или А или В] = Вер {/4} Вер (S). (4)
Доказательство данного соотношения весьма несложно. Пусть имеется
конечное число п несовместных, едииствеиио возможных и равиовозможных
случаев и из них т случаев благоприятствуют появлению только события А,
a k случаев благоприятствуют появлению только события В.
На основании соотношения (1) имеем:
Вер М) - ;
h
Вер {В} = £.
Какова будет вероятность появления или события А, или события В? Так
как появлению события А благоприятствуют т случаев, а появлению события В
381
благоприятствуют k случаев, то, очевидно, для появления события .или А
или В“ будут т + k благоприятных случаев, а поэтому
Вер {или А или В} = •
Но
т + k _ m k_
п — п "г п ’
т. е.
Вер {или А или В] — Вер {4} + Вер {В},
что и требовалось доказать.
Нетрудно видеть, что эту теорему аналогично.можно доказать и для общего
случая любого числа несовместных событий At, А3... А„ и получить следую-
щее выражение:
Вер {или At или А3... или 4Л) =
= Вер {А} + Вер {Д3} + ... + Вер {4П). (5)
В частности, если события Аи А3 ... Ап есть события несовместные и един-
ственно возможные, то вероятность события .или At, или Л3... или
А„‘ будет всегда равна единице, т. е. достоверности, что вполне очевидно.
Пример. Выше в примере было указано, что 10 из каждых 40 единиц
площади поля заняты целями. Допустим, что эти 10 единиц площади поля
слагаются из площади, занимаемой танками и броневиками противника.
Определить вероятность попадания бомбы в случае ее падения в пределах
площади данного поля или в танк (событие Л), или в броневик (событие В),
если танки занимают 7 единиц площади, а броневики—3 единицы.
7
Вер =
О
Вер {В} = -^;
Вер (или А или В} = .
Вер {или в танк или в броневик} = -i-.
3. Теорема умножения вероятностей
Теорема умножения имеет две формулировки. Первая из них прилагается
только к решению задач о вероятностях независимых событий, и в этом ее
ограниченность. Вторая формулировка охватывает задачи, связанные как
с зависимыми, так и с независимыми событиями, и в этом ее общность.
Событие В является независимым от события А, если
его вероятность не зависит (не изменяется) оттого, про-
изошло ли событие А или ие произошло, или даже неиз-
вестно, произошло ли оно или ие произошло.
Запишем условия независимости события В от события А:
Вер (В) = Верд {В} = Верд {В}. (6)
Символ Верд {В} означает вероятность события В, вычисленную в предпо-
ложении, что событие А произошло, а символ Верд {В} означает вероятность
события В, вычисленную в предноложении, что событие А не произошло.
Для зависимых событий имеем соотношения:
Верд {B}^Bepj {В}, (7)
382
т. е. вероятность события В, вычисленная в предположении, что событие А
произошло, не равна вероятности события В, вычисленной в предположении,
что событие А не произошло.
Рассмотрим формулировки и доказательства теоремы умножения.
Первая формулировка — для независимых событий: вероятность того,
что произойдет совмещение событий, т. е., например, про-
изойдет „и событие Я и событие В”, равна произведению
их вероятностей и, следовательно, определится соотно-
шением:
Вер { и А и В} = Вер {Я) X Вер {В). (8)
Вторая формулировка теоремы умножения: вероятность того, что
произойдет совмещение5 событий А и В, равна произ-
ведению вероятности одного из них на вероятность дру-
гого, вычисленную в предположении, что первое событие
произошло, т. е.
Вер { и А и В} = Вер {Л} X Верл (В). (9}
Перейдем к доказательству соотношения (8) или (9).
* Пусть имеется п несовместных, единствевно возможных и равновозможпых
случаев, из которых т случаев благоприятствуют появлению события ,и А
и В“; к случаев благоприятствуют событию ,Я, но не В*; I случаев благо-
приятствуют событию ,В, но не А“, и п — (т + k + /) случаев благоприят-
ствуют событию „ни А, ни В*.
Очевидно,
Вер { и А и В ) = ~ ; (а)
Вер {Л, ио ие В} = ; (Ь)
Вер {В, но не А } = ; (с)
Вер { ни А, ни В} = --. (d)
Вероятность события „только А* определится т + k случаями:
_ ... т + k
Вер {Я) = —— . (е)
Вероятность события В, вычисляемая в предположении, что событие А
произошло, определится т благоприятными для этого случаями, содержа-
щимися в соотношениях (а) и (Ь), т. е. из т + k возможных; следовательно,
= (f).
Подставляя в выражение (9) правые части соотношений (а), (е) и (f), полу-
чаем тождество:
т т + k т
____________________________—________х _______
п п т + k'
Таким образом, теорема доказана.
Нетрудно видеть, что все приведенные рассуждения можно с успехом при-
ложить к событию Я и получить выражение:
Вер { и Я и В) = Вер {В) X Верд {Я};
383
следовательно,
Вер (Я) X Верд {В} = Вер {В} X Bepfl (Л). (10)
Воспользовавшись настоящим выводом, можно обобщить теорему умноже-
ния и получить выражение для подсчета вероятности совмещения нескольких
событий. В общей форме выражение для подсчета вероятности совмещения
событий А , А2 ... Ап будет иметь вид:
Вер ( и Я, и А., ... и Ап } = Вер (Я^ X Верл> {Я2}... ВерЛ1 Л1 (Я„}. (11)
Следовательно, вероятность совмещения нескольких собы-
тий равна произведению их вероятностей; при этом, если
события зависимые, то вероятность каждого вычисляется
в предположении, что все предыдущие события произо-
ш л и.
Пример 1. Вероятность попасть в цель при каждом отдельном сбрасы-
вании бомбы равна 0,8.
Какова будет вероятность того, что при двукратном сбрасывании бомбы,
при независимом для каждого раза вычислении и построении углов прицели-
вания, оба раза будет попадание в цель?
Здесь требуется определить вероятность события „бомба попадает в цель
и в первый раз и во второй раз". Событие „попадание в цель при втором
сбрасывании" при заданных условиях не зависит от события „попадание бомбы
в цель при первом сбрасывании" или от события „непопадание бомбы в цель
при первом сбрасывании". Значит, эти события независимы, и вероятность
интересующего нас события должка быть подсчитана по формуле (8):
Вер { и Я н В } = Вер {Я} X Вер {В} 1
В нашем случае по условию задачи
Вер {Я} = Вер {В}.
Обозначим эту вероятность символом р, а вероятность двукратного попа-
дания бомбы при двух сбрасываниях — символом р20 (два попадания, нуль
промахов). Тогда задача решится по формуле:
Plfl = Г.
,плп
Р2,о = 0,82 = 0,64.
Пример 2. Вероятность попадания бомбы в пределы площади ноля
равна 0,8.
Какова полная вероятность попадания бомбы в цель, если вероятность по-
падания бомбы в цель в случае падения ее в пределах площади поля
равна 0,25?
Примем, что попадание бомбы в пределы площади поля будет событие Я,
а попадание бомбы в цель — событие В. Очевидно, эти события зависимые,
так как попадание в цель, находящуюся в пределах поля, может получиться
лишь в случае попадания бомбы вообще в пределы поля. Поэтому полная
вероятность попадания бомбы в цель равна вероятности события „попадание
€омбы и в пределы поля и в цель", и эта вероятность может быть подсчитана
по формуле (9) для зависимых событий:
Вер { и Я и В } = Вер Я X Верл {В\ .
В нашем случае
Вер {Я} = 0,8;
Верд {В} = 0,25.
Следовательно, ответ будет:
Вер { и Я и В} = 0,8-0,25 = 0,2.
38-1
4. Вероятность повторения событий
Случай 1. Некоторый опыт идентично повторяется два раза. Вероятность
появления события А прн одном опыте есть pt, вероятность появления про-
тивоположного события В есть р0.
Какие комбинации появления события в этом случае возможны и каковы
их вероятности?
События А и В единственно возможны. Очевидно, возможны В этом случае
следующие четыре комбинации:
1) и в первом опыте появилось событие Л и во втором — Событие Л;
2) в первом опыте появилось событие А, а во втором — событие В;
3) в первом опыте появилось событие В, д во втором — событие Л;
4) в первом опыте появилось событие В и во втором опыте появилось
событие В.
Вероятности этих комбинаций, согласно теореме умножения, будут:
Вер ( и Л и Л} = />,;
Вер { и Л и В} = р{ р();
Вер { и В и Л } = р0 р^;
Вер ( и В и В} = рд.
Подсчитаем вероятность появления или первой, или второй, или третьей,
или четвертой комбинации.
Согласно теореме сложения, имеем:
Вер {или ,и Л и Л“, или „и Л и В", или „и, В и А“, или ,ц В и В‘\ —
= + PlPO+PoP\ + Ро-
Рассматриваемые четыре комбинации в данном случае единственно возможны;
поэтому сумма их вероятностей, как отмечалось выше, равна достоверности,
т. е. единице. Таким образом,
Pi + %PiPo + Pl = 1-
Предположим, что нас интересуют лишь числа появления события Л (или
события В), а порядок появления событий не интересует. С этой точки зрения
в результате двух опытов можно ожидать вообще лишь следующие три
'события:
1) Событие Л.появилось два раза, а событие В не появилось ни одного раза;
обозначим вероятность этого события символом р2о:
/’2,0 = /’?;
* 2) Событие А появилось одни раз н событие В появилось одни раз; вероят-
ность этого пусть будет pti j:
Pi, 1 = 2Р1Ро >
3) событие Л не появилось ин разу, а событие В появилось два раза;
вероятность этого пусть будет р0 2:
Ро, 2 — Ро •
- Первые индексы при р означают возможные в данном случае числа появле-
ния События Л, а вторые — возможные числа появления события В.
Напишем сумму вероятностей этих трех единственно возможных событий:
/’’, о + Pi, 1 + Ро, 2 = Р21 + 2/’1/’о + Ро'
: 25 Осноэы бомбомет«икя * 388
Как видим, вероятность любого интересующего нас события выражается
в данном случае членом разложения бинома Ньютона второй степени:
(Pl + Po)2 = 1.
Рассмотрим этот же случай, но для- трех опытов.
Комбинации в этом случае будут следующие:
1) событие А появилось во всех трех опытах;
2) событие А появилось в первом и втором опытах, а в третьем появилось
событие В;
3) событие А появилось во sfopoM и третьем опытах, а в первом появилось
событие В;
-4) событие А появилось в-первом и третьем опытах, а во втором появилось
событие В;
5) событие В появилось в первом и втором опытах, а событие А появилось
лишь в третьем, опыте;
6) событие В появилось во втором и третьем опытах, а событие А лишь
в первом;
7) событие В появилось в первом и третьем опытах, а событие А лишь
во втором опыте;
8) событие В появилось во всех трех опытах, а собьГтне А не появилось
пн в одном.
Объединяя комбинации 2, 3 и 4, при которых событие А появляется два
раза, а В—один раз, и комбинации 5, 6 и 7, при которых событие А появляется
один раз, а В— два раза, и применяя прежние обозначения для вероятностей,
можем па основании теоремы умножения записать:
/>3, о ~ Bi;
! Р1,1 = 3P2iPq’
P,,2=3Pll&
Ро, з = Ро •
Нетрудно видеть, что сумма этих вероятностей составит разложение бинома
Ньютона третьей степени:
или
о О 2 4
Рз, 0 + В2, I + pti 2 + Во, 3 = Р1 + Зр] Ро + З/J] р0 4- Ро ,
(Pl + Ро)3 = 1-
В данном случае вероятности возможных чисёл появления событий выра-
жаются соответственными членами бинома третьей степени. ,
Рассмотрим более общую задачу о вероятностях при повторности. Пусть
при условиях первой задачи опыт повторяется п конечное число раз. Требуется
определить вероятность появления т раз события А.
О т < п,
В данном случае благоприятными будут все комбинации, при которых
появляется т раз событие А и п— т раз событие В.
Примем, что комбинация, в которой событие А появляется т раз подрял>
будет главной,-«^остальные—побочными.
Главная комбинация будет такова:
АА...А ВВВ...В
т раз п—т раз
аи
Вероятность этой комбинации, согласно теореме умножения, будет:
Вер {Л} X Вер {Л)... Вер (Л) X Вер {В} X Вер (В)... Вер (В);
Pi Pi Pi Ро Ро • Ро
т раз п — т раз
Аналогично вероятность одной из побочных комбинаций будет:
PiPoPiPoPo-- PiPo = PiPo~m’
так как множителей р1 будет тоже т число, как и в главной комбинации.
Разница здесь лишь в том, что они идут ие подряд, а вразбивку.
Вероятность появления т раз события Л будет равна сумме вероятностей
всех комбинаций появления события А, а так как, по доказанному, вероятность
каждой комбинации одинакова, то интересующая нас вероятность будет равна
произведению вероятности комбинаций па их число. Но допустимых комби-
наций в данном случае столько, сколько имеется способов из п случаев по-
лучить т раз событие Л и п — т раз событие В. Поэтому число комбинаций
будет равно известному из алгебры числу сочетаний из п элементов по т — С™.
Интересующая пас вероятность будет:
Рт.п-т^рТр™ (12)
Число сочетаний подсчитывается соотношением:
рШ_______ч!___
" ~ ml (н —/л)! ’
где и!— есть факториал, т. е. произведение всех натуральных (целых и поло-
жительных) чисел, начиная от единицы и кончая данным числом п
(условно принимается, что 0! = 1).
Следует отметить, что сумма вероятностей всех возможных чисел появления
события Л (или В) равна сумме членов бинома степени п (числа повторений)
и,1 как сумма вероятностей единственно возможных событий, равна единице.
так как
п п
'V' „ _ 'V' Гт пт Пп~т •
Рт, п-т ~~ ''п Pl Ро ’
О О
nl
ml (п — т)!
р'?р"~т = 1,
п
’ST' __/п t „ \п
2; Сп Pi Ро —1Р1 + Ро) •
о
(13)
(14)
(15)
Полученные при обобщении выводы позволяют быстро решать некоторые
задачи.
Пример. Вероятность попадания бомбы в цель при одном сбрасывании
3
р = Сбрасывание бомбы повторяется четыре раза в одинаковых условиях.
Какова вероятность того, что из 4 сброшенных бомб 3 бомбы попадут
в цель?
Применяем формулу (12): ,
_ _ Гт пт „п~т
Рт, п-т ~~ <~"п Р1 Рй
В нашем случае п — 4; т — 3; рх = —.
25*
387
В формулу, кроме того, входит вероятность р0. В данном случае это —
вероятность непопадания при одном сбрасывании. •
Так как в результате одного опыта может быть получено лишь одно из
несовместных и единственно возможных событий: попадание или непопадание,
сумма вероятностей которых равна достоверности, т. е. единице, то вероят-
ность непопадания определится разностью:
В нашем случае
Ро = 1 — Pi-
, 3
Ро — 1 — 5
1
Ро = у-
Подставляя в формулу (12) численные значения из примера, имеем:
Рз, 1
3\3 1 .
4/ 4 ’
.3 „ 4! .
4 3! 1! ’
<1 = 4;
_ 27
Рз, 1 - 64 •
Число необходимых повторений. При выполнении бомбардиро-
вочных расчетов часто приходится решать обратную задачу в схеме повтор-
ности, а именно: .определить необходимое число повторений для того, чтобы
с героятностью р можно было утверждать, что интересующее нас событие А
появится хотя бы один раз, если вероятность появления этого события при
одном опыте равна pt, вероятность непоявления равна р0 и невозможно, кроме
появления и непоявления, никакое третье событие*.
Из выражения (14) следует, что вероятность появления события А при п
повторениях хотя бы один раз будет отличаться от достоверности, т. е. от
единицы, на величину вероятности непоявления события А ни одного раза
при всех п повторениях, т. е.
P = l-/tf, - (15')
так как из всех членов бинома рт> 4J=W лишь член р0 п = р$ не удовлетворяет
требованиям нашей задачи (определяет вероятность попадания менее единицы).
В выражении (15'), кроме п, все величины известны. Находим п:
„_lg(l-P)
IgPo ’
Имея в виду, что события А и В единственно возможны, получаем
Ро = I — Pi ,
и выражение (16) примет вид:
(16)
(16')
Пример. Вероятность попадания бомбы в цель при одном сбрасывании
расна 0,3.
388
Определить необходимое число повторений для того, чтобы с вероятностью,
равной 0,92, можно было ожидать хотя бы одного попадания:
1g (1-0,92).
п~ lg(l-0,3) ’
п — 1.
Случай 2. Опыт производится в одних и тех же условиях п раз.
В результате каждого опыта может появиться одно и только одно из k со-
бытий: At, АЯ...АЛ.
Вероятности этих событий соответственно равны pt, р3.. .рь', при этом
л
2й=1-
1
Какова, вероятность того, что событйе Ах произойдет »гх раз, событие А3
к
произойдет т3 и событие Ak произойдет mk раз, причем от, =
1
Аналогично предыдущему, главная благоприятная комбинация будет;
AjAjAj... Ai А3А3... А3...........Ак^к • • '^к, •
rrti раз т3 раз от* раз
( *
Вероятность этой комбинации по теореме умножения будет:
Р^'Р2г--Ркк-
Число всехблагоприятных случаев для появления mi раз события А,, т3 раз по-
явления события А3.nth раз появления события А* равно, очевидно, поли-
номинальному коэфициеиту С™1 ’ т*' •ть ,
Известно, что полиноминальный коэфициеит определяется соотношением:
£>т,, т,... ть _ __________
п nii\, от2! . . . тк\
Обозначим интересующую иас вероятность символом pmj> w,Тогда
по теореме сложения, как и выше, напишется ее формула как член разложе-
ния полинома п-й степени:
рт1. та...тк = С^--‘т*РГ'Р”'---Р%к- (17) '
Сумма членов разложения есть полином в степени
2 m‘---mkp^pf‘p^‘.;. pfk = (pt + р2 + .,’,+ptf1,
mt, ntf-nth
и ата сумма, как сумма вероятностей системы единственно возможных событий»
равна единице:
'j£*lPml, т,. . .nth =
3»
так как
Pt + Рз + ••• + /’* — !•
П.р и ме р. По некоторой цели прицельно сбрасывается при одних и тех же
условиях 10 одинаковых серий бомб. При одном сбрасывании может быть
получено одно и только одно из следующих четырех чисел попаданий: 0, 1, 2
или 3. Вероятности их соответственно равны:
3 1 . 1 . 1
Ро " 20 ’ Р1 ~ 10 ’ Pi ~ 2 ’ Pi~ 4 ’
Какова будет вероятность получить в результате бомбометания два про-
маха, одно одиночное попадание, четыре двойных и три тройных попадания?
' Применяем формулу (17). По условиям примера имеем:
п = 10; т0 = 2; пц — 1; т2 — 4; т3 = 3.
Следовательно, формула (17) примет вид:
„ _ гт0‘ т1’ т1> т> пт<‘ пт1 пт‘
PmQ, та, т„ т, “ Ро Pl Pi Pi ’
т. е.
„ _ f-a, 1, 4, 3„2_ „4-3
Р2, 1,4, 3 — ^10 Р0Р1Р2Р3
Число комбинаций
г-2. 1, 4, 3_101 _ 12600
610 “ 2! 11 41 31 “ Ь
’ ¥
Вероятность каждой комбинации будет:
2 4 з 9 1 ] 1 _ 9
РоР\РчРз -400 • 10 \1б • 64 “ 2816-Ю1 ’
Вероятность интересующего нас события равна:
Р >, 1, 4, з = 0,0396.
5. Закон больших чисел и математическое ожидание
Как было установлено, если в результате некоторого опыта может по-
явиться или не появиться интересующее нас событие и вероятность его по-
явления в отдельном опыте, независимо от других опытов, равна plt а вероят-
ность его непоявления равна р0 и притом Pi + Ро — 1> то вероятность того,
что данное событие при п опытах появится т раз, определяется формулой (12):
Pm, п-т- CnPl Ро .
При решении практических задач часто интересуются вопросом о том, как
изменяется величина вероятности, определяемой формулой (12), при изменении
числа т в йределах от нуля до л. ' z
Для выяснения этого вопроса вычисляют вероятности рт_ п_т для всех зна-
чений т и строят ломаную линию, которая носит название многоугольника
распределения числа появления событий.
Рассмотрим решение этой задачи на примере.
Пример. Вероятность попадания бомбы в цель
Составить многоугольник распределения числа попаданий при девяти опы-
W
Применяем формулу (12):
„ _ I" тп тп п - т
Рт, п т ~ -п Р1 Ро
D 1-3
В нашем случае при pi — имеем поэтому
_ r / 1 / 3 \9~ '«
Рт, 9 — т L9 m, j J \ 4 /
„ — _L_ Г т Ч9 ~
Рт, 9 - т — ~~ 9 6
« Составим таблицу вычислений:
т ° _ 1 2 3 4 5 6 7 8 9
° 9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
З9-"1 19683 6561 2187 729 243 81 27 9 3 1
С” 39-т 19683 59049 78732 61236 30618 10206 2268 324 27 1
р *т, 9—т 1 0,075 0,227 0,300 0,242 0,117 0,038 0,009 0,001 0,001 1 262144
т п 0 0,11 0,22 0,33 0,44 0,55 0,67 0,78 0,89 1,0
Рт, 9—т Р'2,7 0,25 0,76 1,0 0,81 0,39 0,13 0,03 0,004 ->0 -И)
Общий знаменатель для чисел в третьей сверху строке есть
49 = 262144 ;
сумма числителей (сумма чисел в третьей сверху строке) тоже равна этому
числу:
9
2 С9"‘ З9" т= 262144,
о
что и должно быть, так как
“ п
2} п — т ~~ 1 •
о
По данным последних строк таблицы построим многоугольник распределе-
ния (рис. 1).
Из таблицы следует, что вероятность попадания двух бомб в цель в дан-
ном случае является наибольшей.
Событие/ имеющее наибольшую вероятность, принято
называть паи в ер о я тп ейшим.
Следует обратить внимание иа то обстоятельство, что наивероятнейшее
число близко к так называемому математическому ожиданию случайной
величины.
Величина называется случайной, если в результате
опыта она может принять то или иное численное значение.
391
Математическое ожидание числа появления событий МО (/я) определяется
для одного опыта кйк сумма пронзведеняй возможных чисел появления собы-
тия на их вероятности, т. е. соотношением:
MO(m)=S«p„, <18)
Если случайная величина т принимает значение нуля или единицы, то
1
МО (m) = S трт;
о
Следовательно, если при одном опыте событие может лишь или появиться
или не появиться, то математическое ожидание числа появления этого собы
тия численно равно его вероятности.
Прн идентичном повторении опыта п раз математическое ожидание числа
появления событий на основании теоремы сложения* будет равно сумме
математических ожиданий [MOfrn)]. Эту сумму условимся обозначать через а.
Следовательно, для данного случая имеем:
п
я = 2S МО (т).
1
(19)
* Нетрудно видеть, что на математическое ожидание распространяются теоремы сложения
и умножения вероятностей.
392
Если во всех случаях вероятность появления события неизменна, то
п '
2 МО (т) = п • МО (т);
1
поэтому при
МО (m) = pi
имеем
a = npi.
По условиям примера pt = -^- и я = 9; следовательно, МО(т) будет:
9 о 1
а — -г — 2 — .
4 4
Рис. 2
Отсюда следует, что н в данном примере нанвероятнейшее число попада-
ний и математическое ожидание близки между собой. Этот вывод можно про-
следить на каком угодно многоугольнике распределения, в чем можно легко
убедиться.
Следует заметить, что чем большее число повторений п вводится в расчет,
тем более плавным становится многоугольник распределения. Таков, например,
изображенный на рис. 2 многоугольник распределения, вычисленный для усло-
вий приведенного выше примера, но при числе опытов л = 100.
Многоугольник стал иглообразным, и его вершина располагается над зна-
чением —, равным 0,25, т. е. нанвероятнейшее число появления событий
п
п данном случае равно 25. Математическое ожидание, о пределяемое 'ч:о отно-
шением:
МО (m) = «Pi,
393
тоже равно 25, так как при р — -|- н при п — 100
пр = 25.
Из данного примера следует, что прн вычислениях иногда возможно полу-
чить точное равенство:
^наивер ~ пР'
В дальнейшем будем обозначать »гнаивер просто через т.
При выполнении опытов, как правило, получается лишь приближенное
равенство:
т пр ; (20)
следовательно,
Отношение—числа появления наблюдаемого события т
п •
к чи с л у на б люденных опытовп назыв аетс я ч а сто стью и л н
частотой событий.
Иногда частоту появления события называют также статистической
вероятностью. Статистическую вероятность не смдует смешивать с вероят-
ностью математической. Различие следует из определений этих величин.
Однако между ними, помимо различия, существует и зависимость, которая
носит название закона больших чисел.
В приложении к данной задаче закон больших чисел формулируется сле-
дующей теоремой Якова Бернулли:
С вероятностью, сколь угодно близкой к единице, ^ожн о
утверждать, что при достаточно большом числе опытов
статистическая вероятность наблюдаемого события как
угодно м а л о о т л и ч а е т с я от его математической вероят-
ности.
На основании теоремы Я. Бернулли формулу (21) следует заменить соот-
ношением: v
Вер (22)
где г и о —произвольные малые положительные числа, отличные от нуля.
Доказательство соотношения (22) рассмотрим ниже, предварительно выпол-
нив некоторые преобразования.
Теорема Я. Бернулли чрезвычайно важна тем, что па основании ее для
многих явлений и событий, для которых неизвестна и не может быть из-
вестна математическая вероятность, опытом может быть определена частота
появления события — (статистическая вероятность).
При достаточно большом числе опытов эту частоту можно рассматривать
как величину, мало отличающуюся от математической вероятности.
6. Отклонения от математического ожидания случайной
величины
Случайная величина X будет характеризована полностью, если дается ее
многоугольник распределения, т. е. если известны ее возможные значения и их
вероятность. Однако вычисления многоугольников распределения при боль-
ших числах опыта п даже и для схемы бинома очень громоздки. Поэтому
иногда удовлетворяются частичной характеристикой случайной величины по
величинам медианы, математического ожидания и по отклонениям случайной
величины от математического ожидания.
Медианой случайной величины X называется такое число р, которое обла-
дает тем свойством, что одинаково вероятно, окажется ли случайная вели-
чина X меньше или больше, чем у:
Вер {X < р) = Вер {Л > р).
394
В задачах бомбометания медиана часто бывает равна математическому ожи-
данию.
Математическое ожидание а характеризует собой некоторое среднее число,
около которого группируются различные возможные значения случайной ве-
личины. Отклонения от математического ожидания — а| численно характе-
ризуют рассеивания, разброс значений случайной величины около ее сред-
него значения. Это отклонение ие может быть отрицательным. '
Вероятным отклонением случайной величины X назы-
вается число Е, обладающее тем свойством, что является
равновероятным, окажется ли отклонение величины Лот
ее медианы р меньшим или большим, чем Е, т. е.
Вер (|Х - р| < Е} = Вер {|Л — р| > Е}.
(23)
Сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины равна
единице; поэтому для непрерывной величины вероятное отклонение можно
характеризовать соотношениями:
Вер {|Х- р| <Е\ = -|;
Вер {|X-tx|>f}=y.
Вероятное отклонение при решении задач бомбометания играет очень боль-
шую роль. Вычисление его производится обычно через величины среднего
арифметического отклонения Е нли среднего квадратического отклонения £2.
С этими величинами вероятное отклонение связано соотношениями, которые
установим в дальнейшем*.
Среднее арифметическое отклонение величины X определяется соотношением;
А = S Pt I Xi - а |.
(24)
Следовательно, средним арифметическим отклонением Ei
случайной величины называется сумма произведений ее
возможных отклонений от математического ожидания на
соответствующие вероятности.
Среднее квадратическое отклонение определяется формулой:
(25)
из которой следует, что среднее квадратическое отклоне-
ние £3 случайной величины есть корень квадратный нз
Суммы произведений квадратов возможных отклонений
величины от ее математического ожидания на соответ-
ствующие вероятности.
Среднее квадратическое отклонение является одной из важнейших харак-
теристик многоугольника распределения.
При"мер. Определить среднее квадратическое отклонение случайной ве-
личины для одного опыта н для п опытов, если случайная величина в отдель-
ном опыте принимает лишь два значения: 0 и 1, и вероятности ,их соответ-
ственно равны ро и pi.
ъ * Эти соотношения различны для различных законов распределения. Наиболее употребительны
соотношения, получаемые для закона Гаусса,
ж
А. Для одного опыта.
В данном случае формула (25) примет вид:
£) = | *Рт‘>
d—Pit
Е2 = I/ ^{т— Pi)pm,
• О
или ___________________2?
Еа = У(0 —Р1)3Ро + (1 — Р1)аР1;
Ei = )/ р! Ро + Pl Ро = V(Po+ Pl) Р1Рь Х
Так как
Ро + Pi = b
то, следовательно, ___________ ,______
Е2 = V(po+pi) PoPi = V PoPi;
Е2 = VpoPi • (26)
Б. Для п опытов.
В этом случае формула (25) примет вид:
£3 (т) - I/ — «Pi)’ Рт, п-т,
• О
или ______________________
£3 (хл) = |/s (т — «А)2 С™ р?р$~т.
Рассмотрим слагаемые подкоренного выражения:
л п п
^тР1пС^рГрп0-т + 2
-0 0 о
Выше было установлено,, что
л
2с-рГрЗ-'ч=(Р1 + РоЛ
о
Найдем величины интересующих нас слагаемых при условии, что pt + р0 — Ь
Для решения этой задачи проф. Гончаров применил следующий прием.
Напишем аналогичную выражению (15) сумму:
S С ” хтуп ~т— (х + у".
о '
Днференцнруя по х, имеем:
1 л
2/ хт~1у,‘~т = п (х + J)"-1.
о
Умножим обе части равенства на х; тогда получим при х +у= 1:
л
2 тС™хт'уп~т = пх,
'396
или
п
тС^хтуп^= пх(х +у)'1~1 .
о
Полученное диференцируем по х еще раз:
п
2 tr?C™Xm~Xyn~m =п (X +»Л-1 + ПХ(П— 1)(х + >)л“2 =а
о
-П [(х+_У)п-1 +х(П— 1) (x+j)"-2].
Умножим опять иа х и при х + > = 1 получаем:
л
21 от2*?™хотул~я,=== лх (л*+.У).
о
Аналогично получим суммы:
п
о
51»S«Wp’-’» = «p1;
О
53 = S т2С%р? р$~т - пр^ (пр} + р0).
Следовательно,
£| = 3 (т — пр^2 С™р%р%~т = 32 - 5,2ир, -Ь 1£р\,
т. е.
п
4 = S (« — «Р1) С™р?р%~т = прх (ПР1 + р0) - 2л2р? + п2р\,
и окончательно: _____
£'а = /пр1р0. (27)
Доказательство теоремы Я. Бернулли
Используем результаты проведенных преобразований и докажем сформули-
рованную выше теорему Я. Бернулли.
Требуется доказать соотношение:
Вер {I ~ - Pi I < « } >1 - 8,
(а)
которое должно быть справедливым при всех достаточно больших значениях
числа п и при всех сколь угодно малых значениях чисел с и 8.
Из соотношения _
Р = Вер {| Pij < * }
имеем:
Р>1— 8,
337
или
1 - Р < 8.
На основании формулы (15), определяющей вероятность появления события
при повторениях опыта, можно написать:
1-P= V (Ь)
Знак прн сумме показывает, что суммируются только те члены бинома,
которые удовлетворяют данному неравенству прн целых значениях т из про-
межутка 0 < т п.
Сравним сумму выражения (Ь) с суммой вида:
/ т — прЛ1 т п—т
Z \ ей”"} п Р' Pi}
Im I__
Очевидно, что
’Sk' /'От „те „н-те Хи1 (т )lP','? fm „т „п—т
7., CnPl Ро Z, Pl Ро >
1т ы |и I.
так как
1Д
\ гП /
Далее имеем:
1 / W прЛ2 ^,т т п—т Хк' / т ~ ftPi Y х>те „т „п—т
2 . \—ш—) cnPiPo -^zA——) c"pip<> •
е
„ 1
Вынося за знак суммы, получаем:
п п
стртрп-т^ (т - Пр^С” р” р^.
т=0 т~ 0
Но согласно соотношению (27) имеем:
п
2 (т — пр^ pfр^~т прхр0-,
mz=0
следовательно,
п
^2 I — nPi\2 „п~т Р\Р<у
Zl^ en J Сп Pl Ро
т—0
Из предыдущих соотношений следует:
1._р^21£о;
т‘ ’
поэтому
8>
PiPo
IV?
399
При числах л, достаточно больших, это неравенство удовлетворится для
сколь угодно малых величин 8 и е, а следовательно, будет справедливо
соотношение:
1 — Р < Ъ,
что и требовалось доказать. г
7. Предельная формула Пуассона (закон малых чисел)
Если в отдельном опыте событие может произойти или не произойти, то
при п повторениях опыта вероятность того, что данное событие т раз про-
изойдет ил — т раз не произойдет, определяется, как это было выше уста-
новлено, формулой Ньютона:
„ _ -----_ р\,1~т
1'т,п-т (ll — in)l '
где р есть вероятность появления события в одном опыте;
(1 — р) есть вероятность его непоявления.
При больших числах л и т вычисления становятся громоздкими, и при
некоторых условиях формула (12) может быть заменена более простыми при-
ближенными формулами Лапласа и Пуассшна.
Рассмотрим сначала асимптотическую формулу Пуассона.
Формула Пуассона получается при решении следующей задачи: «определить
приближенно вероятность появления, события ровно /я конечное число раз
в предположении, что число повторений л очень велико, а вероятность по-
явления события р в одном опыте очень мала, так что математическое ожи-
дание числа появления события а — пр остается конечным'.
Для получения предельной формулы рассмотрим предел:
-.1 / /7 / Л '
Нш р,„ ,, Нт - -ру - (—) (1 - —)
п--гн /Н| гц _ \ 11 J \ П
П >т п> /> ' ' \ '
Здесь в правой части вероятность заменена ее значением из формулы
математического ожидания.
Далее
,. ill /a \'nf, а \п~т
ml (/г — т)\ \ п J \ п
л! /у а \"/] а \~т ат
пт(п — туА ) \ ~~п ) лг! ’
Рассмотрим отдельные множители этого предела:
1) = « (л —1) (я-2)...(л —/л—1);
л! __ А__________1\ Л_____2\ / _ /л — 1 \ _
(/г — т)\ пт \ п J \ п / ” \ л ) ’
,. п! ,
hm --------------- = 1.
(л — ту. пт
т — конечное
/ а\~т
2) lim (1--------) =1.
т — конечное
*• ' f а \п
3) * Hm (1--} = е~а.
* Известный из математики предел.
Подставляя значения пределов данных множителей, получаем оконча-
тельно:
ат е~а
Нт Рт,п-т=-~^— • <28)
П
Помня об условиях, при которых получена эта формула, в дальнейшем
будем писать ее без знака предела:
ат е~а
Рт. п-т = - mj - (29)
Это н есть предельная формула Пуассона, известная еще как закон Пуас-
сона, или как закон малых чисел. В действительности данная формула, как
это видно из условия и вывода, основывается не на-малых, а на больших
числах повторений п. Малой величиной в данном случае предполагается лишь
вероятность (и число попаданий); поэтому данная формула практически при-
меняется для вычисления вероятностей «редких* явлений, частота появления
которых выражается весьма малыми числами, даже при больших числах
опыта. *
По формуле (28) возможно посчитать вероятность появления только и
только т раз интересующего иас события при п повторениях опыта. Однако
часто интересует другой вопрос, а именно: вопрос о вероятности появления
интересующего нас события в данной серии не менее чем т раз. Данную
вероятность получить весьма просто.
Известно, что
п
рт „ т = 1.
о
Опуская знак предела, можно написать:
1 Далее известно, что вероятности попадания ,не менее” могут быть выра-
жены через вероятности попадания .только”:
не меиее одного Р\, п—\ “1 Ро, п >
не менее двух Р2, п-2 - 1 “ ( Ро, п + Р1, п-1 ) >
не менее т tn Рщ, п—т “ 1 -S Рт—1, п—/п-р •
Следовательно, вероятности ,ие менее” определятся формулами:
(30)
Р2, п-2 =!-(!+ а) е~а , (31)
т „П1—1
р - 1 — е~а 'V а т,п-п (« — !)! ’ < (32)
Пример. Определить необходимую плотность поражения бомбами‘Неко-
торой площади, на которой равномерно распределены танки противника.
Вероятность поражения танка не менее чем одной бомбой должна быть 0,86.
«О
Размер тайка 5 X 2,5 м\ бдмба поражает танк не только при прямом попа-
дании, но и при разрыве не далее 5 м от него.
Применяем формулу (30):
Р., = 1—?e~a.
Здесь неизвестно математическое ожидание а, которое можно выразить
через площадь цели S и через интересующую нас плотность поражения х
соотношением:
а — -/.S.
Поражаемая площадь цели S по условию примера равна (рис. 3):
5 — 2 Si + 3 S2 + 4 S$.
Сообразуясь с условиями и рис. 3,
имеем:
S1 = 52 = 25;
S2 = 2>5 = 12,5;
S3 —= 19,6;
S = 50 + 37,5 + 78,5 = 166 м-,
или
S = 0,0166 га.
Искомая плотность поражения
определится соотношением:
Рис. 3
Необходимо определить математическое ожидание а. Для
руем выражение (30):
1g (!—Р, ^) = —alge.
Следовательно, при д=х5
2,3ig(i
X- s
этого логарифми-
(33)
В нашем случае задано Рх = 0,86 н 5 = 0,0166, поэтому имеем:
2,3 1g 0,14.
0,0166 :
х = 118
бомб .
га
8. Асимптотическая формула и предельная теорема
Лапласа
При помощи асимптотической формулы предельной теоремы Лапласа, так
же как и при помощи полученной выше формулы Пуассона, возможно при-
ближенное вычисление вероятности рт п_т. Различие между этими двумя
• формулами состоит в том, что для применения формулы Пуассона требуется
'большое число повторений и малая вероятность, а для применения аснмптотн-
26 Основы бомбометания 401
Г =
окажется заключенной между а п р,
А
1
)/ л
ческих фермул теоремы Лапласа требуется лишь достаточно большое число
повторений п и числа появления событий тм. п — т того же порядка, что
и п. На величину вероятности в этом случае 'ограничений не накладывается.
Однако значение предельной теоремы Лапласа значительно шире задачи вы-
числения вероятности Рт п^т> что видно из ее формулировки.
Проф. Гончаров так формулировал теорему Лапласа: каковы бы ни были
числа а и р ( —оо<а<р< + оо) при неограниченно возрастающем числе п,
вероятность того, что случайная величина *
т — пр
V 2 npq
стремится к интегралу:
У
а
Следовательно, в виде формулы теорема может быть записана так:
Нт Вер [ а < т< р ) = —( е~~1' di. (34)
I V2npq I /л J
а
Напишем точное значение вероятности неравенства, помещенного в левой
части выражения (34):
Вер {а < Гс р} =
= Вер { пр + а V 2 npq <.in<np + fiV2 npq } ~
Рт.п_л„, (34')
где 2^ Рт п—т означаеА что суммирование выполняется лишь для чисел пг,
заключенных в пределах:
пр + а V '2 npq < т < пр + 2 npq .
Найдем асимптотическую формулу для бинома Ньютона:
п —_________________пт ап~т
Рт.п-т т\(п—тУ ? 4
Логарифмируем данное выражении:
In Ptn.n—fti = 1п (л!) ~~ 1п (wI) — In [(и — m)!J + т In р + (п — tri) In q. (а)
Далее применим асимптотическую формулу Стирлинга для факториала **
п\ = (1 + *л) Уъш
Логарифмируем данную формулу:
1п (и!) = п In (и) — п + -i- In (zz) + In V 2л + ел .
* Случайная величина Т, очевидно, есть не что иное как отклонение от МО (т), поделенное
на )/2 Е,, где — среднее квадратическое отклонение. Величина q — p0 = 1-~р.
** Проф. В. И. С м и р н о в, Курс высшей математики, т. III, ГНТИ, 1934.
402
Так как числа т и п — т по условию увеличиваются неограниченно вместе
с h, то и для них можно применить формулу Стирлинга, т. е. написать:
1п (/и!) = т 1п (/и) — in + -g- In (от) 4- In V 2л"4- zm *; (с)
In [(и — т)Ц = (и - т) In (п — т) — (п — т) + -g- In (п — т) 4- 1п И 2 л 4- .
Подставляя эти значения в выражение (а), получим:-*
lnPm, п-т~1п 1п (я) ~~ т 1п (/,г) — {п — т) 1п {п — т) +
+«1п р 4- (/г — т) In q 4-i Г1п (я) —In (т) — In {п—m)"j — 1п И 2л + &п.
Найдем значение т нз выражения для случайной величины Т, приведенной
в формулировке теоремы:
т _ nt —пр
V 2npq
откуда имеем:
m — пр 4- TV 2npq ,
нли
"=Ч1+7У^)-
Следовательно,
1п (т) = 1п (п) 4- hip + In^l 4- Ту/-^ . ,
Известно, что если
— 1 < Г 1/— < 1,
V пр
то
з
Т2д Г>/2^\Т
пр 3 \пр )
Ограничиваясь двумя членами разложения,
членом **:
напишем ряд с остаточным
н окончательно
1п(т) = 1п(п)4-1пр+Г|/^- ~~ + ^-
Определим также mlnm:
m In m = (пр 4- T V2npq)
Ап («) 4- In р 4- Т л/— — Т2 ) =
\ w ivu ItU /
- пр In (п) 4- пр 1п р 4- TV2pq • Vif-ln (п) + Т V2pq (1пр 4- 1) Vn 4- qT1 4- ел. (d)
* Величины ел или im для каждого выражения отличны друг от друга. Это есть малые числа,
зависящие от п или ш. Они таковы, что, входя слагаемым или множителем в неточное выра-
жение, обращают его в точное.
*• Остаточный член оценен с точностью до — потому, что его надо умножить иа величину m
порядка п. п
26* 403
Аналогично получим: ___
1п(Л-т) = 1п(и) + 1Л9+Г|/^--.Р-^- + ^-, (е)
а также __ _
(« — tri) In (п — tri) — nq In (n) 4- nq In q — TV'2pq Уп In («) —
- Г1/2р7(1п9 + l)/«+pP + г„. (f)
Подставив в выражение (а) результаты преобразований (b), (с), (d), (е)и(()
п произведя необходимые приведения, получим:
inPm,n-m = — 41п («)“ (lnp + |n9) — 1п/2л —(р 4-</) Р 4-
т. е. \ _____
111 Рт, п-т= -|п 2кяРЧ - Т2 + Еп-
Потенцируя, имеем:
1 + е„ -г
Рт’п-т~ у 2^ в '
(35)
Заменяя Т его значением, получим асимптотическую формулу Лапласа
в виде:
1
'1тР/и, п—т~
п-><» 2itnpq
(т—пр)‘
е
Обдетимся к выражению (34'):
Вер (а < Т С {3} — 2 Рт, п-*п'
Подставляя значение рт п_т из формулы (35), получим:
Вер(,<Г<И = 2'-^-^ <30
В данном выражении заменим случайную величину Т переменной tm, опре-
деляемой соотношением;
t -.3^nP.
т У 2npq
Когда т изменяется (увеличивается или уменьшается) на единицу, то
переменная tm изменяется иа величину
д _ w — пр 4-1 т — пр _ 1
У 2npq У 2npq У 2tipq
В выражении (37) можно заменить Т на tm, а — на получим:
У 2npq
Вер {а < tm < ₽} = (1 4- *„) 4 2' е~,1П' Мт.
Уп
Переходя к пределам, можем написать:
Нш Вер {а < 1т < р) = lim (1 4- ел) -L 2' e~tm' МП1.
4(^4
Если фрикция j (/) непрерывна в промежутке (а, р), то справедливо соот-
ношение:
lim 2)/(ОД/= f/Wrf/ (38)
«>"= ОТ J '
и, следовательно, в нашем случае
3
Иш Вер {а < t < р) = -ir f dt.
Утс J
а
Таким образом, теорема доказана,
(39)
9. Интегральный закон распределения. Закон Гаусса
и функция Лапласа
интегралов
пределами,
Правую часть выражения (ТВ) можно представить как разность
с одинаковыми нижними пределами и, в частности, с нижними
равными — оо:
₽
3
-I f
Vr. J
di.
а
В курсах теории вероятностей доказывается:
3
(40)
где е есть малое число, уменьшающееся с возрастанием п.
Выражение (40) можно переписать так:
Вер {Тц 0 — tп (0.
или вообще
= £(/).
(41)
(42)
Выражение (42) называется интегральным законом распределения случай-
ной величины.
Основное свойство интегрального закона заключается в том, что это есть
неубывающая функция аргумента.
Из выражений (39) и (40) следует, что интегральный закон в данном случае
имеет вид:
t
НтЯя(0 = ~= Г е~ Р at. ' (43)
П > <» у к J
— со
Такая форма интегрального закона называется нормальным законом или
законом Гаусса. *
Сформулируем еще раз предельную теорему Лапласа.
Интегральный закон распределения величины откло-
нения от математического ожидания:
т — пр
V 2npq :
в пределе при неограниченном возрастаниип числа опы-
тов стремится к интегральному гауссову закону.
403
Итак, в простейшей форме интегральный закон Гаусса выражается соот-
ношением:
t
F(t) = ~ f е~Р dt. (44)
Vn J
— co
Для непрерывных величин существует производная от интегрального
закона ♦:
которая называется диференциальным законом распределения. В нашем случае
диференциальный закон будет.
/(0 = 1^. (45)
Ул
Это и есть диференциальный закон Гаусса.
Рассмотрим способ вычнслення различных значений интегрального закона:
F{t)=^= J е~рМ.
Ул J
— 00
В такой форме интеграл неудобен для вычислений. Приведем его к удоб-
ному для вычислений виду.
Вычислим вероятность неравенства:
Вер {16| с О-
Согласно определению интегрального закона,
6 -4
Вер {или — ti < t, или t < Л} = Г e~l'dt------1" е~Р dt,
Ул J Ул •'
— м — со
т. е.
Вер {|6| <t] = [ е dt.
Ул J.
—ti
Обозначим:
Вер {|6|<0 = Ф(0;
тогда вообще
t
Ф(О=-Я= f e~?dt. (430
^л J
Этот интеграл носит название функции Лапласа.
Хотя, как известно, интеграл от функции е~1’ в квадратурах не решается,
однако "он может быть приближенно вычислен с любой степенью точности.
Разложив функцию е~? в ряд, получим:
о
» В теории вероятностей величина называется непрерывной в том случае, если ее интеграль-
ный закон имеет производную.
406
Проинтегрировав и поставив пределы, имеем:
Ф (<)---— I t------7— ф sr-г — nj-x
о 2! 5 31 7
+ 4! 9
(44')
Данный ряд сходится для всех значений t.
Практически вычисления ведутся при конечном числе слагаемых ряда N,
п в этом случае формула будет приближенной:
_2. V ^2'п~1
jV (т — 1)! (2т — 1)
т=Л
(44")
По формулам (43') и (44") вычислены значения Ф(Т) для различных t и све-
дены в таблицу (см. приложение 7).
Из рассмотрения ряда (44') следует, что функция Лапласа есть функция
нечетная, т. е. всегда справедливо соотношение:
® (- а - - ф (()
10. Предельная теорема Лапласа-Ляпунова
Предельная теорема Лапласа-Ляпунова' прилагается к решению задач, свя-
занных с повторением такого опыта, в результате которого некоторая случай-
ная величина может принимать одно из некоторого ряда значений.
При бомбардировочном расчете нас интересует данная теорема в приложе-
нии к величинам прерывного типа. Например, возможные чцела попадающих
бомб из серии являются такими случайными величинами прерывного ^па.
Теорема формулируется следующим образом.
Случайная величина X в результате одного опыта может принимать одно
из значений X; с вероятностями р,, т. е. характеризуется многоугольником
Обозначим через А(1), Л<2).. .Х^.. значения случайной величины, по-
лученные в результате опыта соответствующего номера. Все величины Х^
независимы и подчинены одному и тому же закону распределения.
Если обозначить через случайные величины, определяемые равенством:
5<») - х^ + Х® + ... + Х™,
то каковы бы ни были числа аи {3 (— со < а -< £ + со), справедливо предель-
ное соотношение:
!im Вер /а<— = (46)
«>» F | E3V2n j 2
407
где попрежнему
£3
(Xi — ;)2 pi
(47)
(48)
При внимательном рассмотрении соотношения (46) становится очевидным
основное содержание теоремы Лапласа-Ляпунова, а именно: при числе опытов,
стремящемся к бесконечности, отклонение некоторой статистической вели-
чины от ее математического ожидания будет заключено в некоторых пределах,
и вероятность этого отклонения выражается интегралом от закона Гаусса
с пределами интегрирования, равными пределам отклонения. »
Доказательство дайной теоремы является обобщением разобранного выше
доказательства теоремы Лапласа, которая есть частный случай этой более
общей теоремы.
Рассмотрим схему доказательства, не приводя полностью все довольно гро-
моздкие выкладки, которые помещаются в специальных курсах.
Соотношение (46) можно написать так:
{2 ntpCi — nt
а < -------——
Е2У2п
<4 = у[Ф(₽)-Ф(а)],
где nij—число опытов, в которых получена величина Хр
k
= И.
I
(49)
Вероятность ты о, что величины от, примут некоторую систему значений,
определится, как было выше установлено, членом полинома степени п, а именно
по формуле- (17):
„ =________'Л_______ 0"‘k
1'т1,т,...тк т{\ т«\... тк\ И .
Методом, примененным ори выводе теоремы Лапласа, получим;
где
Ур^_рке
(2пп) ~
(50)
mi — npj
Ti = ------—.
£2 Y 2п
(51)
При данной замене имеем:
- nj j.
/:3V2n i
Тогда получим соотношение:
( к 1
(52)
~ Рт2, т,. . . тк ’
408
где 2J' означает, что суммируются лишь те члены полинома, числа /и,- кото-
рых удовлетворяют неравенству левой части. Подставляя значение рт <
нз формулы (50), имеем:
Вер
В дальнейшем путем преобразований получим:
lira Вер <а < 3S TtXi < ЭТ = -U [ е~ ** dt,
« >«= ( I J У л J
или, заменив Г/ его значением из формулы (51), получим окончательно со-
отношение (46), которое приведено в формулировке теоремы Лапласа-Ляпу-
нова:
I 1 1
li!” Вер г <..р".7;г-~ < ? = -у [ф (?) - ® («)1.
I E2V2n I
При решении практических задач приходится делать вычисления при ко-
нечном п числе опытов. В этом случае при п, достаточно большом, ошибка
в вычислениях не будет велика, но соотношение (46) заменяется приближен-
ным равенством вида:
( „и? 1 1
Вер а < < р в ‘ [ф (Р) _ ф (я)].
Е2 У2п *
(53)
11. Статистический многоугольник распределения
Предположим, что ведутся наблюдения над величиной, которая может при-
нимать всевозможные непрерывные значения. По результатам наблюдения
строите? статистический многоугольник распределения, где ординатами явля-
ются частоты появления случайной величины в пределах классового проме-
жутка А. Такая схема применяется, например, при обработке результатов бомбо-
метания.
Распределение случайных величин X, кроме многоугольника, часто характе-
ризуют еще величинами:
Е\п\ и Ем>
есть среднее арифметическое наблюдаемых значений и определяется
формулой:
= (54)
I
данная формула аналогична формуле (18) для вычисления математического
/Я;
ожидания, только вместо вероятности pt стоит частость-^-.
Е^ —статистическое среднее арифметическое отклонение, определяемое
соотношением:
л
Е\п) =S-?I (55)
1 п
409
данная формула аналогична формуле (24). Если разбивка на классы не произ-
водится, то формула примет вид:
п
Е^ = S
I
п
(56)
Е^ — статистическое среднее квадратическое отклонение, определяемое
соотношением:
z (57)
данное выражение аналогично формуле (25). При отсутствии классовой раз-
бивки формула (57) примет вид:
£3
(58)
Эта формула наиболее часто применяется при обработке результатов бомбо-
метания.
Е^ —статистическое срединное отклонение, аналогичное вероятному от-
клонению. £^ определяется как число, которое в данной серии
опытов было столько же раз превзойдено величиной отклонения
от среднего арифметического, сколько и не превзойдено.
Между величинами £^, £^ и £^") существует определенная связь, харак-
теризуемая некоторыми соотношениями вида:
£<"> = = k2E^. (59)
Ниже установим соотношение
£ — = k2E2 (60)
между математическими величинами £„ £а и £. Найденные коэфнциенты
и /г3 применим к статистическим величинам Е^ и Е^.
12. Кривая распределения и ее параметры
В соответствии с рассмотренным выше законом больших чисел (теорема
Я. Бернулли) относительно статистического многоугольника распределения
непрерывной случайной величины можно сформулировать следующий очень
важный вывод:
С вероятностью, сколь угодно близкой к единице (к до-
стоверности), можно утверждать, что при достаточно ма-
лых классовых промежутках и при достаточно большом
числе опытов ступенчатый многоугольник распределе-
ния какугодно мало отличается от истинной кривой рас-
пределения.
Далее, на основании предельной теоремы Лапласа-Ляпунова, возможно
предположить, что при достаточно больших числах опыта кривая закона
Гаусса должна мало отличаться от статистического многоугольника.
Опыт, в частности опыт бомбометания, согласуется с названными теоре-
мами. Поэтому для бомбометания, так же как и для стрельбы, вполне обосно-
вано применение закона Гаусса. ,
Выше отмечалось, что диференциальный закон распределения есть произ-
водная от интегрального закона, т. е. *
Ф (х) = £' (х). (61)
410
Производная функции определяется соотношением:
F1 (х) = lim
A.v->0
F (х -}- Д х) — F (х)
Дх
Но известно, что
F(x + Дх) — Г(х) — Вер {х < X х + Дх};
поэтому
<?(х) = lim Вер (х < X < х + Дх}.
Дх->0 &Х
(62)
• (63)
(64)
Из изложенного можно сформулировать днференцнальный закон:
Днференциальный закон распределения вероятности
случайной величины X представляет собой предел отно-
шения вероятности попадания величины I в промежуток
(х, х + Дх) к длине промежутка Дх, стремящейся к нулю.
Можно еще сказать, что днференцнальный закон есть не что иное как
плотность вероятности (в данном случае линейная). Далее, имея в виду, что
днференцнальный закон есть производная от интегрального закона, а инте-
гральный закон, как выше установлено, есть функция неубывающая, можно
сказать, что днференцнальный закон неотрицателен, что соответствует н физи-
ческой сущности плотности вероятности.
Рассмотрим более подробно днференциальный закон Гаусса. В общей
форме для направления х закон определяется соотношением:
? W = , (65)
V"
Как видно из рис. 4 и из формулы (65), кривая закона Гаусса является
симметричной кривой; поэтому математическое ожидание а величины х со-
впадает с центром рассеивания и с медианой р, т. е.
«--5 = 1*. (66)
Максимум кривой находится в точке х — а; это означает, что центр груп-
пирования, а следовательно, н математическое ожидание величины х является
ее наивероятнейшим значением.
Составим производную <р'(х) и найдем максимум функции q>(x):
= (б7)
V "
411
при х = а
<?' (ж) =0.
Найдем абсциссы точек перегиба кривой (на рис. 4 точки С и С), для чего
возьмем вторую производную:
9" (х) =
В точках, где
[I—2Л2 (х- а)3] е ~h'
у л
1
Л/2 ’
9'' (х) = 0.
(68)
Это и будут абсциссы точки перегиба.
Для установления связи меры точности h со средним арифметическим Е^
и средним квадратичесфш £2 найдем их выражения. Для непрерывных величин
суммы бесконечного
числа слагаемых переходят н интегралы; поэтому
имеем:
При
£i = J | х—а | 9 (.г) dx;
(69)
dx.
(70)
9 (х) = -Дг е
интегрирование дает
следующие результаты:
I х — а 19 (х) dx =
х — а\ e~h‘(х~а? dx.'
Положив h (х—а) — t, имеем:
е р dt —
1 I — ta
Л У я I
1
£1‘ hVb
(71)
Определяем £,:•
+”
(х —a)J9(x)dx = -^r f ।
При h (х — а) — t имеем:
4-» 1 00
£2 в —7= Г & е~? dt — —^-= f Т3 e~pdt.
412
Интегрирование по частям прн и = t н dv — te~pdt дает:
Раскрывая неопределенность по правилу Лопиталя, убеждаемся, что первый
член в скобках равен нулю. Интеграл второго члена есть известный в мате-
матике определенный интеграл Пуассона:
Поэтому имеем:
окончательно
hVI
(72)
Из выражений (68) и (72) следует, что удаление точек перегиба от перпен-
дикуляра, восставленного в центре группирования, равно среднему квадра-
тическому отклонению (см. рис. 4).
Определяя меру точности из выражений (71) и (72), найдем связь между нею,
средним арифметическим и средним квадратическим отклонениями, а именно,
/я V2 Е, '
(73)
Для' того чтобы установить связь между величинами £t, Е2 в Е, найдем
связь вероятного отклонения Е с мерой точности (для закона Гаусса).
По определению вероятное отклонение характеризуется соотношением:
Вер {|х- а | < Е} = , (74)
которое можно записать так:
л
j f(x)dx=~-. (75)
—Е
В случае закона Гаусса имеем:
а+Е
h Г . (76)
l/то J
’ а—Е
Заменим переменные:
h (х - а) = t. (77)
Тогда
(78)
н пределы будут:
прн х — а — Е имеем t = —- Eh; (79)
прн х = а + Е имеем t = Ek. (80)
413
Величину Eh принято обозначать символом р:
р = Eh. (81)
Заменив переменные, получим:
f е~‘гdt = 1. . (82)
_р
В левой части имеется известный нам интеграл Лапласа:
р
Ф(р) = -Лт- f e-f dt. (83)
о
Таким образом, из выражения (83) следует, что величина р есть частное
значение предела интеграла Лапласа для случая, когда отклонение от мате-
матического ожидания равно вероятному отклонению.
Найдем численное значение величины р.
Выше было установлено, что значение функции Лапласа определяется
рядом вида:
2 у (-D”1-1/2ОТ~1
к ; 1/7 (т-1)! (2m —1)
Подставляя вместо t величину р, имеем:
(_1)«-1 !
(m—l)!(2m—1) — 2 '
(84)
Из этого уравнения можно найти величину р с любой степенью точности
в зависимости от принятого в расчете числа членов ряда. Ограничиваясь,
например, шестью членами, получим следующее уравнение одиннадцатой сте-
пени:
1 - - 2 Р3 * * * * * _PL , _р’ Р11
2 |/7 V 3 1 10 42г 216 1320 )'
Решая это уравнение методом последовательного приближения (итерации)
получим
р = 0,476936. (85)
Воспользовавшись соотношениями (73) и (81), установим связь между сред-
ним арифметическим, средним квадратическим и вероятным отклонениями.
Выражая их через меру точности, получим
Е }/« |/2 Е2
откуда
Е = р £f, (86)
Е = р У 2 Е2. (87)
При обработке результатов наблюдений эти формулы заменяют соотно-
шениями статистических величин:
Е^ = р ; (88)
£<") = р /2 Цп>. (89)
414
Следовательно, согласно соотношениям (56) и (57), вероятное отклонение
может быть определено по статистическим материалам следующими форму-
лами:
— 1 ”
Е™ -р^П \
1 £<я) = Р1/2 1/ ~ 3 - £(п))2 •
На практике символы (л) обычно не пишут.
13. Вероятность попадания в отрезок. Приведенная функция
Лапласа
Допустим, что требуется определить вероятность попадания случайной
величины X в пределы отрезка длиной 2А, причем известно, что центр рас-
сеивайия величины X находится в середине отрезка, а величина X подчинена
закону Гаусса.
Представим нашу задачу графически (рис. 5).
Из рис. 5 следует, что интересующая нас вероятность геометрически
изображается площадью фигуры aa'cb'b под кривой распределения и, следо-
вательно, равна разности значений интегрального закона. Найдем величину
этой площади. Для закона Гаусса в общей форме, но при совмещении центра
рассеивания с началом координат можно написать:
л
Вер {| х | < А] = f e~h^‘ dx,
У” —А
или, что то же,
л
Вер {| х I < Я} = f e~,i>x3 dx.
V~ о
Заменим переменные: х = Ez\ тогда dx - Е dz.
Пределы интегрирования будут:
х = 0 и z =0;
х = А и z = А
Т
Обозначим
(90)
(91)
(92)
415
Из. выражения (92) следует, что fi есть размер половины отрезка, выражен-
ный в вероятных отклонениях. Заменив переменные, а также имея в виду
соотношение (81)
р = Eh,
получим
Вер {|Z|<₽} = ^= I e~^dz.
1/" I
Обозначим правую часть данного выражения как функцию предела инте-
грала и напишем;
0(Р) =_2L f e~^dz. (93)
о
Данная функция носит название приведенной функции Лапласа*. Ояа вы-
числяется аналогично предыдущему, т. е. путем почленного интегрирования
ряда подинтегральной функции e~'''z'. В результате интегрирования полу-
чается ряд вида:
й _ 2 (—l)'”'"1 (р?)2”1-1
(m-l)l (2m-l) ' (94)
При практических вычислениях число членов ряда ограничивают, и тогда
получается приближенное значение функции:
N
п /оч ~ 2 (— 1)т~' (р₽)2т-1
.2d (m-l)!(2m—1) ’ '95)
Ряды (94) и (95) сходятся при всех значениях (3. Из сравнения ряда (94)
с рядом (44) функции Лапласа
#(<) =ЛV (-
)' л Zj (т — 1)1(2/п-1)
следует, что справедливо соотношение:
t = р?. (96)
Далее из ряда (94) видно, что приведенная функция Лапласа, так же как
и неприведенная, есть функция нечетная и, следовательно,
. 0(-₽) = -0(₽).
В дальнейшем для упрощения некоторых вычислений воспользуемся этим
свойством функции.
Для приведенной функции Лапласа составлена таблица ее значений (см. при-
ложение 6).
Построим, ступенчатый многоугольник для функции Лапласа. В качестве длины
классового промежутка возьмем вероятное отклонение. Округляя до тысячных
* Проф. Гончаров эту функцию обозначает так:
$(0 = Ф(р7) = -^ f e~'S‘a dt.
У к J
О
По некрторым причинам мы вынуждены отойти от такого обозначения.
416
долей данные таблицы приведенной функции Лапласа и пользуясь соотноше-
нием:
Вер (н£ < Z <{п 1) Ё\ —
1*
^-Вер + 1)£) -у Вер (97)
получи м:
Вер ' 0 < Z < Е\ = 0,25;
Вер ( Е < Z < 2Е] = 0,161;
Вер (2Е <Z <ЗЕ} = 0,067;
Вер {ЗЕ <Z < 4£} = 0,019;
Вер [4£ < Z < 5Е} = 0,003.
Обычно эти данные округляют до сотых и практически полагают не-
возможной ошибку, большую, чем 4 вероятных отклонения. В этом случае
получается ступенчатый многоугольник (рис. 6).
Рис. 6
На основании этого многоугольника часто приближенно вычисляют вели-
чину вероятного отклонения. В тех случаях, когда статистический материал
очень беден и известно лишь несколько значений интересующей нас величины,
выбирается большая из этих величин а и принимается качестве практиче-
ского предела. Четвертая часть этого предела условно принимается в качестве
величины вероятного отклонения:
(98)
14. Сложение законов распределения
Интегральный закон для системы двух случайных величин X и Y, по ана-
логии с интегральным законом для одной величины, определяется соотноше-
нием:
Вер {y<y}=F(-x’y)-
Если величины X и Y непрерывные, то в этом случае существует н днферен-
циальиый закон системы величин:
<?(х,у) = £^(х,у).
(99)
27 Основы бомбометания
417
ДиференциальиыЙ закон распределения в данном случае есть йлотность
вероятности (в данном случае для площади) и определяется соотношением:
. . 1 D (х < X < х -ь Дх'и .....
?(х,у) = 1нп ---Вер) _ . г (ЮО)
д.г -> о н /у < Y < у -I- Ду/
Ду -> О
Связь интегрального закона с диференциальпым можно записать еще так:
Д- у
F (х, у) = J j ? (х,у) dx dy.
— эо — <30
Даниое^выражение следует из соотношения (99) и из определения инте-
грального закона.
Если величины X н Y независимы, то, согласно определению независимости
событий (и величин), справедливо соотношение:
f(x, у)—J\ (х) F2 (у).
Для непрерывных величин данное выражение возможно лишь в том случае,
если
? (V, у) = tpt (х^ <?, (у),
т. е. лишь тогда, когда подинтегральная функция может быть представлена'
как произведение двух функций. Последнее и является признаком независи-
мости данных величин. Например, в случае, когда величины X и Y подчинены
закону Гаусса, аналогично выражению (65) имеем:
' Ф1(х) = Д<Гл’
У л
V п
где, помимо известных, введены обозначения:
k — мера точности для величины У;
Ь — центр группирования для величины Y.
Согласно написанному выше, имеем выражение для диференциального
закона системы:
9 (х, у) = ?! (х) ?2 (у) — ё~ (У~ь)’
ТС
и для интегрального:
х v
F (х, у) = -A j* J e~h2(-x~aY-k,<y~bi‘dxdy,
— 00—00
ИЛИ
х V
Л(х,у) = A f^C^'rfx ± {е-^-ь^у,
Y я J У тс J
— 00 — 00
т. е.
f(x, у) = f t (х) (у).
Рассмотрим задачу о составлении диференциального закона распределе-
ния ф(х) суммы двух случайных величин Z — X + У для случая, когда закон
распределения системы величин ?(х, у) известен.
418
Интегральный закон для этого случая будет!
Вер { Z < z} = J J ср (х. у) dx dy. (а)
x+y<z
Символ x+y<z показыв^т, что двойной интеграл распространен на
нижнюю левую полуплоскость, отсекаемую прямой х + у — г.
Исходя из выражения (а), можно написать:
4- “ г~У
Вер {Z < z ] - | dy ( ср (х, у) dx, (b)
--00 —. QQ
ИЛИ
Вер {Z < z } = J dx J <р (х, у) dy. (с)
— 00 — 00
Для получения дифереяциального закона ф (г) берем производную правой
части вьфаження (Ъ) или (с)*:
+»
Ф (2) = — j dy J ср (х, у) dx;
— 00 — 00
. 4-00 Z V
Г (I Г
Ф(г) J dy - J с? (х, у) dx;
4 — 00 — 00
-I-SO
•Иг) = f ?(г— y,y)dy:
-- - v>
Аналогично можно получить:
ф (?) = | ср (z — х, х) dx,
что одно и то же.
Если величины X и Р независимы, то
9 (X, Z — X) = <Pt (*) 9» (2 — х),
или
’ ф(У> г—У) = 9i (V) ?2(г—у),
и диференциальный закон для суммы X + Y - Z будет, например, таким:
+»
Ф (г) = f <?! ( V) 92 (г — X) dx .
— 00
Предположим, что величины X и Y следуют закону Гаусса; тогда
* . . Л -*• (х - о)*.
9, (х) = е
YTt
, , k -k4v~ ь)1
9-< (У) = -= e
Kn
* Производная по параметру предела интеграла.
27*
419
Следовательно,
Ф(г) = V J e-h^x-a'~ VV-x-W dx.
, -00
ф
Заменяя переменное х соотношением:
, ft2 а — k2 (z — ft)
/ X - X 4- /j2 + k2
получим:
ММ
,(г)=^е-е
— 00
Но
+« _
f , - (У + №) x’d , = .... V ?
J V ft2 + k2'
— 00
Докажем, что это так. Пусть, например,
t = х' у Л2 + k2-,
Vfi2 + ii:-'
Интеграл преобразуется:
Т е_ (Л. + v)dx, _ ’f е-r‘dL
J V h2 + ft2 J
— *0 “00
Ho
-t_ 30
f e ~ ‘‘ dt - V л
как известный из математики удвоенный интеграл Пуассона. Поэтому
Л’ it*'
ф (г) = е ~ а - ,
V'n yh2 + k2
илн, положив
а + Ъ — с
и
' hk - I
у h2 + k2 ~
получим:
<Иг) = ~ е " л . (101)
Vit
Это тоже есть закон Гаусса с мерой точности
I —
~ УК2 + k»
(Ю2)
и центром группирования
с = а 4 b .
420
Выражение меры точности перепишем в виде:
+ (103)
зЛеннв меру точности вероятным отклонением и введя известное соотно-
шение:
получим очень важную формулу:
е
% =£“+£;. (104)
Следовательно, квадрат вероятного отклонения суммы двух случайных
величии в данном случае равен сумме квадратов вероятных отклонений
слагаемых величин.
Задача нахождения закона распределения для суммы независимых величин
условно называется задачей сложения законов распределения этих величин.
Задача сложения законов распределения может быть распространена и на
любое число слагаемых. Важно отметить, что если все случайные величины
независимы и подчинены закону Гаусса, то и сумма их подчинена закону
Гаусса, параметрами которого будут:
1) Л— центр группирования, определяемый соотношением:
Л^аг,
1
где at— центр группирования для величины номера г,
2) Н — мера точности, определяемая формулой:
(Ю5)
' 2L Аг 1
здесь Л;— мера точности для величины номера 1.
Вероятное отклонение в этом случае определяется формулой:
(106)
' ^107)
где £/— вероятное отклонение величины номера i.
Последнее соотношение очень важно для практики, так как лежит в основе
метода вычисления теоретического значения вероятного отклонения некото-
'рой величины, отклонения от которой можно рассматривать как следствие
большого числа независимых (или слабо зависимых) причин, порождающих
ошибки. Если известны вероятные отклонения в величине — сумме от влияния
каждой причины в отдельности, то полное вероятное отклонение подсчиты-
вается по формуле (107).
15. Вероятность попадания в пределы некоторой области.
Соотношения между радиальными ошибками
Вероятность попадания в эллипс и круг и радиальное вероятное
отклонение
Предположим, что нас интересует вероятность попадания в пределы неко-
торой области (D) (рис. 7). Примем для простоты выкладок координаты центра
421
рассеивания для независимых величин х и у равными нулю. Диференциаль-
ный закон Гаусса в этом случае выразится формулой;
= e-^-kV.
В соответствии с определением закона распределения как плотности
вероятности, вероятность попадания в пределы элементарной площадки
dS = dxdy будет dp — у(х,у) dxdy, а вероятность попадания в пределы
области (D) определится двукратным интегралом от функции распределения,
распространенным па область (D), т. е.
р = I" fу (х, у) dx dy, - г (108)
(О)
или для закона Гаусса:
р = e~K‘xi k y’ dxdy. (a)
. U»
Если контур, ограничивающий область
•«Р . (D), позволигрешить интеграл в квад-
ратурах, то возможно точно опреде-
лить вероятность попадания в него.
Нас интересует вероятность попадания
в эллипс и круг.
Пусть уравнение эллипса будет:
h-x2 + k-y2 —
Тогда выражение (а) можно напи-
сать так:
e-^-Wdxdy.
h-.\»-|-*у<Х’
Заменив переменные:
hx = х',
ky - у',
имеем:
< р = — J J е~''dx' dy’.
Перейдем к полярным координатам:
х' = г • cos а;
у[ = г • sin а;
dx’ dy’ = г dr da.
При этом г должно изменяться от нуля до X, а а—от нуля до 2л. Прн такой
замене получим:
2tt X
р — -i-j" j" re ~ rl dr da-,
о 6
X X
р = 2 | е ~ r\ dr — — I е ~ ;
б о
/>=1—е~)2. (109)
422
. Найдем вероятность попадания в эллипс (или в круг), полуосями которого
являются вероятные отклонения Ех и £\„ Такой эллипс называется единичным
эллипсом. Его уравнение будет:
ПЛИ Л2№ k2y- = р'-’,
е <4-1,
где F — — • £ — •v" h ’ v"~ k •
Вероятность попадания в пределы единичного эллипса определится согласно
выражению (109) прн X — р — 0,477:
р
р ,-= 1 _ е~<°'477'’ = 0,203.
В случае кругового рассеивания часто интересуются величиной радиального
вероятного отклонения £. Радиальное вероятное отклонение
есть радиус такого круга, вероятность попасть или не
попасть в который равна половине. Найдем величину радиаль-
ного вероятного отклонения как число, кратное вероятному отклонению по
какому-либо направлению. Для этого вычислим X из условия:
или 1п 2 -- X3; X = |/1пТ=;0,Я32. (НО)
Величина Е определится из уравнения круга при данном значении X: h2x2 + Л2 у2 X3,
или •V2 < у2 ; V
откуда следует: '
Но г т-
следовательно, 5 “ 0,477 £~1,7й£’ зь
или л = (in) С
Таким образом, радиальное вероятное отклонение £ в 1,75 раза больше
вероятного отклонения по данному направлению:
£ = 1,75 Ех\
£ = 1,75 Еу.
423
Среднее арифметическое радиальное отклонение
Среднее арифметическое радиальное отклонение есть математическое ожи-
дание радиальной ошибки г и, следовательно, определится соотношением:
f! = МО (г) х. [ г/(г) dr, (112)
6 *
где /(г) есть днференциальный закон для радиальных ошибок.
Найдем его. Выражение (109) можно рассматривать как интегральный закон
для данного случая. Имея в виду, что X = rh (для круга), получим:
F(r) = 1 - е - ЛМ;
/(г) = Я(г) = 2Л2ге-Л’ла.
Данный закон не является законом Гаусса. ,
Обратимся к нашей задаче и найдем выражение для среднего арифметиче-
ского.
Подставляя значение /(г) в выражение (112), имеем:
2Л’У r2e~ h'r2 dr.
f о
Выполнив интегрирование по частям и заменив интеграл Пауссона его зна-
чением (см. стр. 413), получаем: ___
нли
2^
Среднее квадратическое радиальное отклонение
Среднее квадратическое радиальное отклонение есть математическое ожи-
дание квадрата радиальной ошибки и определяется интегралом:
' £2 = МО (/-2) — J* Г2 ДГ) rfr.
о
Подставляя значение f (г) имеем:
в?2 = 2 h2 F e~h'r2 dr;
следовательно,
или
• с 1 , 1
Сз = у, или h = -g-.
(114)
Соотношения между радиальными ошибками
Согласно полученным результатам имеем следующие соотношения:
У"1п2
1)л = —;
424
2) ft = .
‘D Z' = fZ’
При помощи этих соотношений установим связь между радиальными ошиб-
ками.
Выражение для радиального вероятного отклонения будет:
или с численными значениями коэфициентов:
6 = О,94 6\ = 0,83 £3 = 1,75 К
Выражение для вероятного отклонения но данному направлению через
радиальные ошибки будегг:
или с численными значениями коэфициентов:
Е = 0,534 = 0,477 = 0,58 6-
х Приложение 6
ТАБЛИЦА ЗНАЧЕНИЙ ПРИЦЕЛЕННОЙ ФУНКЦИИ ЛАПЛАСА
К
?? ©(₽)= f e~^dz
У к
О
₽ «(?) Dif. 0 H Otf) Dif. 8 i i 9(₽) Dif. , 6 (?) j Dif.
0,00 0,00000 0,50 1 0,26407 508 506 506 5> '4 503 1,00 0,50000 428 425 424 1,50 0,68833 322 319 317
0,01 0,00538 «JOO 0,51 0,26915 ' 1,01 ! 0,50428 1,51 0,69155 1
0,02 0,03 о.окуб 0,01614 ООо 538 0,52 0,53 0,27421 ; 0,27927 ! 1,02 1 1,03 0,50853 0,51277 । 1Й ! 0,69474 i 0,69791
0,04 0,02152 538 0,54 0,28431 1,04 , 0,51699 420 1,54 0,70106 1 i 313
0,05 0,02690 538 538 537 0,55 0,28934 502 500 499 498 497 1,05 ! 0,52119 418 415 414 412 410 1.55 ; 0,70419 i
0,06 0,03228 0,56 0,29436 i 1,06 | 0,52537 I,,:6 0,70729 Oil* 309 306
0,07 0,03766 0,57 0,29936 ' 1,07 j 0,5’952 1,.j7 0,71038
0,08 0,04303 0,58 0,30435 1,08 1 0,53366 1,58 . 0,71344
0,09 0,04840 OOI 538 < 0,59 о.зоэзз : 1,09 ; 0,53778 1,59 0,71648 301
0,10 0,11 0,12 0,05378 0,05914 536 0,60 0,61 0,31430 : 0,31925 i 495 494 492 491 490 1,10 i 1,11 i 0,54188 0,54595 407 406 403 402 399 1,60 1.61 0,71949 0,72949 300 297 295 293 291
0,06451 OOI 0,62 0,32419 1.12 I 0,55001 1,62 0,72546
0,13 0,14 0,06987 0,07523 ООО 536 536 0,63 0,64 0,32911 0,33402 1,13 i 1,14 1 0,55404 0,55806’ 1,63 1,64 0,72841 0,73134
0,15 0,08059 5оО 0,65 0,33892 1,15 0,56205 397 396 393 391 389 1,65 0,73425 289 286 285 282 280
0,16 0,08594 0,66 0,34380 486 486 483 482 1,16 0,56602 1,66 0,73714
0,17 0,18 0,19 0,09129 0,09663 0,10197 ООО 534 534 534 0,67 0,68 0,69 0,34866 0,35352 0,35835 1,17 1,18 1,19 0,56998 0’57391 0,57782 1,67 1,68 1,69 0.74000 0,74285 0,74567
0(20 0,10731 533 0,70 ] 0,36317 481 1,20 0,58171 387 1,70 0,74847 277
0,21 0,11264 532 0,71 ' 0,36798. 479 478 476 • 474 1,21 0,58558 384 1,71 0,75124 276 274 271 269
0,22 0,11796 0,72 > 0,37277 1,22 0,58942 1,72 0,75400
0,23 0,12328 0,73 ! 0,37755 1,23 0,59325 380 378 1,73 0,75674
0,24 0,12860 531 0,74 0,38231 1,24 j 0,59705 1,74 0,75945
0,25 0,26 0,13391 0,13921 530 530 529 528 527 0,75 0,76 i 0,38705 ! 0,39178 i ; 473 1,25 1,26 0,60083 0,60459 376 • 1,75 1,76 41,76214 0,76481 267 265
0,27 0,14451 0,77 1 0,39649 469 i 468 | 466 1,27 0,60833 372 370 367 1,77 0,76746
0,28 0,14980 0,78 j 0,40118 1,28 0,61205 1,78 0,77009 Zuo 261 258
0,29 0,15508 0,79 : 0,40586 1,29 0,61575 1,79 0,77270
0,30 0,31 0,16035 0,16562 527 0,80 0,81 i 0,41052 | 0,41517 ! 465 1 462 ! 461 459 458 1,30 1,31 0.61942 0,62308 366 363 361 359 356 1,80 1,81 0,77528 0,77785 257
0,32 0,17088 <JZU 0,82 1 0,41979 1,32 0,62671 1,82 0,78039 252 251 248
0,33 * 0,34 0,17614 0,18138 <JZU 524 524 0,83 0,84 1 0,42440 I 0,42899 1,33 1,34 0,63032 0,63391 1.83 1,84 0.78291 0,78542
0,35 0,18662 523 522 522 520 519 0,85 1 0,43357 456 454 452 1,35 0,63747 355 1,85 0,78790
0,36 0,19185 0,86 0,87 i 0,43813 1,36 0,64102 1,86 0,79036
0,37 0,19707 0,44267 1,37 0,64454 1,87 0,79280 242 239 238
0,38 0,20229 0,88 0,44719 1,38 0,648.04 o«jO 1,88 0,79522
0,39 0,20749 0,89 ! 0,45169 449 1,39 0,65152 <346 346 1,89 0,79761
0,40 0,21268 519 0,90 0,45618 1,40 0,65498 343 341 1,90 0,79999
0,41 0,21787 0,91 0,46064 445 1,41 0,65841 1,91 0,80235 Z«5o
0,42 0,22304 517 515 515 ,0,92 0,46509 1,42 0,66182 1,92 0,80469
0,43 0,22821 0,93 0,46952 1,43 0,66521 ЗЗУ 337 335 1,93 0,80700 230 228
0,44 0,23336 0,94 0,47393 439 1,44 0,66858 1,94 0,80930
0,45 0,23851 0,95 0,47832 438 435 1,45 0,67193 1,95 0,81158 225 224 22i
0,46 0,24364 OiO 512 512 510 509 0,96 0,48270 1,46 0,67526 ООО 1,96 0,81383
0,47 0,24876 0,97 0,48705 1,47 0,67856 330 328 326 323 1,97 0,81607
0,48 0,25388 0,98 0,49139 431 430 1,48 0,68184 1,98 0,81828
0,49 0,25898 0,99 0,49570 1,49 0,68510 1,99 0,82048 zzu 218
0,50' 0,26407 1,00 0,50000 1,50 0,68833 2,00 0,82266
Продолжение
3 0(₽) Dif. 6(Ю Dif. Dif. 0(р) Dif.
2,00 0,82266 215 214 212 210 207 2,50 0,90825 199 .3,00 0,95698 69 3,50 0'98176 306
2,01 0,82481 2,51 0,90954 128 3,01 0,95767 68 3,60 0,98482 261
2,02 0,82695 2,52 0,91082 3,02 0,95835 67 3,70 0,98743 219
2,03 0,82907 2,53 0,91208 194 3,03 0,95902 66 3,80 0,98962 0.99147 185
2,04 0,83117 ,2,54 0,91332 124 3,04 0,95968 65 3,90 155
2,05 0,83324 206 204 202 201 198 2,55 0,91456 122 3,05 0,96033 65 4,00 0,99302 0,99431 129
2,06 0,83530 2,56 0,91578 0,91698 120 3,06 0,96098 63 4,10 108
2^07 0,83734 2,57 119 3,07 0,96161 63 4,20 0,99539 88
2,08 0,83936 2,58 0,91817 118 3,08 0,96224 62 4,30 0,99627 73
2,09 0,84137 2,59 0,91935 116 3,09 0,96286 60 4,40 0,99700 60
2,10 0,84335 196 195 193 190 189 2,60 0,92051 115 114 3,10 0,963461 60 4,50 0,99760 48
2,11 0,84531 2,61 0,92166 3,11 0,96406 60 4,60 0,99808 40
2Д2 0,84726 2,62 0,92280 119 3,12 0,96466 58 4,70 ~ 0,99848 31
2,13 0,84919 2,63 0,92392 111 3,13 0,96524 58 4,80 0,99879 26
2,14 0,85109 2,64 0,92503 по- 3,14 0,96582 56 4,90 0,99905 21
2,15 0,85298 2-,65 0,92613 108 3,15 0,96638 56 5,00 0,99926
2,16 0,85486 loo 185 2,66 0,92721 107 3,16 0,96694 55 СО 1,00000
2,17 0,85671 2,67 0,92828 106 3,17 0,96749 55
2Д8 0,85854 loo 182 180 2,68 0,92934 104 3,18 0,96804 53
2,19 0,86036 2,69 0,93038 103 3,19 0,96857 53
2,20 0,86216 178 176 175 172 171 2,70 0,93141 102 3,20 0,96910 52
2'21 0,86394 2,71 0,93243 101 3,21 0,96962 51
2,22 0,86570 2,72 0,93344 99 3,22 9,97013 51
2,23 0,86745 2,73 0,93443 98 3,23 0,97064 50
2,24 0,86917 2,74 0,93541 97 3,24 0,97114 49
2,25 0,87088 170 167 • 166 164 163 2,75 0,93638 3,25 0,97163 /
2,26 0,87258 2,76 0,93734 УО 3,26 0,97211 4о
2,27 0,87425 2,77 0,93828 У4 94 3,27 0,97259 48
2,28 0,87591 2,78 0,93922 3,28 0,97306 4/
2,29 0,87755 2,79 0,94014 У 2 91 3,29 0,97352 40 45
2,30 0,87918 160 159 158 2,80 0,94105 3,30 0,97397
2,31 0,88078 2,81 0,94195 УО 3,31 0,97442 45
2,32 0,88237 2,82 0,94284 3,32 0,97486 44
2,33 0,88395 2,83 0,94371 о/ 3,33 0,97530 44
2,34 0,88550 155 2,84 0,94458 85 3,34 0,97573 45 42
2,35 0,88705 152 151 149 147 146 2,85 0,94543 84 84 82 81 80 3,35 0.97615
2,36 2,37 0,88857 0,89008 2,86 2,87 0,94627 0,94711 3,36 3,37 0,97657 0,97698 42 41
2,38 2,39 0,89157 0,89304 2,88 2,89 0,94793 0,94874 3,38 3,39 0,97738 0,97778 40 40 39
2,40 0,89456 145 143 141 140 138 2,90 0,94954 7Q 3,40 0,97817
2,41 2,42 0,89595 0,89738 2,91 2,92 0,95033 0,95111 78 3,41 3,42 0,97855 0,97893 ОО 38
2,43 0,89879 2,93 0,95187 /О 76 75 3,43 0,97930 о/
2,44 0,90019 2,94 0,95263 3,44 0,97967 о/ 36
2,45 0,90157 136 2,95 0,95338 3,45 0,98003 36 35 Ои
2,46 0,90293 2,96 0,95412 / 4 79 3,46 0,98039
2,47 2,48 0,90428 0,90562 134 132 131 2,97 2,98 0,95485 0,95557 ( о 72 3,47 3,48 0,98074 0,98109
2,49. 0,90694 2,99 0,95628 70 3,49 0,98143 о4 33
2,50 0,90825 3,00 0,95698 3,50 0,98176 1
Приложение 7
ТАБЛИЦА ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ ЛАПЛАСА
t Ф(0 = -- V _ e p dt 0
t Ф« Dif. t Ф(0 Dif. t Ф(0 Dif. t Ф(0 Dif. /
0,00 0,00000 1128 1128 1128 1127 1126 0,55 0,56332 830 820 810 802 792 1,10 0,88021 1,65 0,98038
0,01 0,01128 0,56 0,57162 1,11 0,88353 332 1,66 0,98110 72
0,02 0,03 0,02256 0,03384 ^•0,57 0,58 0,57982 0,58792 1,12 1,13 0,88679 0,88997 326 318 1,67 1,68 0,98181 0,98249 71 68
0,04 0,04511 0,59 0,59594 1,14 0,89308 oil 304 1,69 0,98315 66 64
0,05 0,05637 1125 1 юд 0,60 0,60386 782 773 1,15 0,89612 298 290 1,70 0,98379
0,06 0,06762 0,61 0,61168 1,16 0'89910 1,71 0,98441 62
0,07 0,0/886 1122 МОП 0,62 0,61941 1,17 0,90200 1,72 0,98500 59
0,0$ 0,09008 0,63 0,62705 1,18 0,90484 284 1,73 0>558 58
0,09 \ 0,10128 ' 1118 0,64 0,63459 744 1,19 0,90761 277 270 1,74 0,98613 55 54
0,10 0,11246 111/4 0,65 0,64203 1,20 0,91031 265 1,75 0,98667
0,11 0,12362 111л 0,66 0,64938 / <5<J 725 1,21 0,91296 1,76 0,98719 52
0,12 0,13476 1111 0,67 0,65663 1,22 | 0,91553 257 1,77 0,98769 50
0,13 0,14587 0,15695 /108 0,68 0,66378 110 706 696 1,23 0,91805 252 246 239 1,78 0,98817 48
0,14 1105 • 0,69 0,67084 1,24 0,92051 1,79 0,98864 47 45
0,15 0,16800 1101 1098 1095 1090 1086 0,70 0,67780 687 676 667 658 648 1,25 0,92290 234 227 1,80 0,98909
0,16 0,17 0,17901 0,18999 ,0,71 0,72 0,68467 0,69143 1,26 1,27 0,92524 0,92751 1,81 1,82 0,98952 0,98994 43 42
0,18 0,19 0,20094 0,21184 0,73 /0,74 0,69810 0,70468 1,28 1,29 0,92973 0,93190 222 217 211 1>>3 1,84 0,99035 0,99074 41 39 37
0,20 0,21 0,22270 0,23352 1082 1078 1072 1068 1063 0,75 0,76 0,71116 0,71754 638 628 619 609 600 1,30 1,31 0,93401 0,93606 205 1,85 1,86 0,99111 0,99147 36
0,22 0,23 0,24430 0,25502 0,77 0,78' 0,72382 0,73001 1,32 1,33 .0,93807 0,94002 201 195 lj87 1,88 0/19182 0,99216 35 34
0,24 0,26570 0,79 1 0,73610 1,34 0,94191 189 185 1,89 0,99248
6,25 0,27633 1057 1052 0,80 0,74210 1,35 0,94376 i 180 175 169 165 162 , 1,90 0,99279 30
0,26 0,28690 0,81 * 0,74800 581 1,36 0,94556 1,91 0,99309 29
0,27 0,29742 1046 0,82 0,75381 S71 1,37 0,94731 1,92 0,99338 28
0,28 0,30788 1040 0,83 0,75952 562 1,38 0,94902 1,93 0,99366 26
0,29 0,31828 1035 0,84 0,76514 553 1,39 0,95067 1,94 0,99392 26 1
0,30 0,32863 1028 1022 1015 1008 1002 0,85 0,77067 1,40 0,95229 1,95 0,99418 25
0,31 0,33891 0,86 0,77610 534 i o2o : 515 507 1,41 । 0,95385 lull I 153 ; 148 1,96 0,99443 23
0,32 0,34913 0,87 0,78144 1,42 i 0,95538 1,97 0,99466 23
0,33 0,35928 0,88 0,78669 1,43 ; 0,95686 1,98 0,99489 22
0,34 0,36936 0,89 0,79184 1,44 . 0,95830 144 ! 140 1,99 0,99511 21
0,35 0,37938 995 988 0,90 0,79691 497 489 1,45 j 0,95970 2,00 0,99532 20
0,36 0,38933 0,91 0,80188 1,46 ! 0,96105 J 100 132 i 128 2,01 0,99552 20
0,37 0,39921 980 0,92 0.80677 479 1,47 0,96237 2,02 0,99572 19
0,38 0,40901 973 0,93 0,81156 471 1,48 1,49 0,96365 2,03 0,99591 18
0,39 0,41874 965 0,94 0,81627 462 0,96490 i 1 2X> | 121 2,04 0,99609 17
0,40 0,42839 958 0,95 ! 0,82089 i 453 I 445 1,50 0,96611 i1 117 1 113 1 Hl j 107 1 103 2,05 0,99626 16
0,41 0,43797 0,96 0,82542 1,51 0,96728 2,06 0,99642 16
0,42 0,44747 942 0,97 • j 0,82987 i /iqa 1,52 I 0,96841 2,07- 0/19658 15
0,43 0,45689 934 925 0,98 0,83423 ; 428 i 419 1,53 ! 0,96952 2,08 0,99673 15
0,44 0,46623 0,99 0,83851 1,54 0,97059 2,09 0,99688 14
0,45 0,47548 ' 918 пло 1,00 1 0,84270 1.55 0.97162 i 101 97 2,10 0,99702
0,46 0,48466 1,01 I 0,84681 ; 403 । 394 1 38.7 । 379 1,56 0,97263 00 1,00000
0,47 . 0,49375 kJXJ+S 900 892 883 1,02 1 0,85084 1,57 0,97360
0,48 0,50275 1,03 ! 0,85478 l,5« 0,97455 : 95
0,49 0,51167 1,04 0,85865 1,59 0,97546 91 * 89
0,50 0,52050 874 866 1,05 0,86244 370 363 356 1,60 i 0,97635
0,51 0,52 0,52924 0,53790 1,06 1,07 0,86614 0,86977 1,61 1,62 0,97721 0,97804 86 83
0,53 0,54646 оОО 848 838 1,08 0,87333 1,63 0,97884 80
0,54 0,55494 1,09 0,87680 34/ 341 1,64 0,97962 78 76
0,55 0,56332 1,10 0,88021 1,65 i 0,98038
& i j
УЧЕБНЫЕ ТАБЛИЦЫ БОМБАР
ДИРОВОЧНЫХ РАСЧЕТОВ
Приложение 8
Значения функций:
р=о| 2о ДМ, // • П 1 г. и 8 ! /г) = t 0,495 I 5 I п г , .й - (//; — d)2p v 11т
SJ- 0 е->“’ 2 dz
Ki или К; п ~~ 2 п -- 3 п “ 5 п - 7 п = 9 п Г х 11 fl = 13 п = ; 15 п - 17 п = = 21 п =- 25
/Сдили/Сб (23)
(Ю мин. средн. мин. средн. мин. средн. мин. средн. мни. , средн. МИН. средн. мин. средн. мин. средн. мин. средн. мин. средн. мин. средн.
0,4 о $ 107 107 107 107 107 107 107 1 107 107 107 107
0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 005 107 106 024 105 040 104 050 101 056 098 060 094 063 092 063 088 064 080 063 073
005 107 029 105 050 100 060 093 062 085 062 078 061 070 058 065 052 060 045 046 040 040
004 105 026 102 042 092 045 080 043 069 038 059 033 052 029 045 026 039 021 032 018 028
002 104 023 097 034 083 031 068 027 055 022 046 019 038 016 033 015 028 012 023 010 020
001 102 016 . 093 027 073 021 056 018 043 014 036 014 032 012 027 010 024 027 020 006 017
0,6 о 164 164 164 164 — 164 — 164 164 — 164 — 164 164 164
0,2 0 4 003 162 02ft. 159 044 157 С62 153 075 151 085 146 (.92 142 094 137 097 131 097 121 094 109
022 160 048’ 156 077 149 091 140 095 . 131 095 118 089 106 086 097 078 088 067 070 050 058
0,6 0,8 1,0 030 157 059 150 082 136 083 120 076 102 066 088 057 075 050 064 046 058 036 048 032 040
034 150 059 142 074 122 063 100 054 080 045 067 039 056 034 048 028 042 023 036 020 030
040 152 060 136 066 110 054 085 040 067 032 056 030 047 025 040 023 036 015 029 015 024
0,8 0 020 217 020 217 020 217 020 217 020 217 020 217 020 217 020 217 020 217 020 217 020 217
0,2 027 213 040 212 067 269 089 205 106 200 116 195 122 189 126 181 129 175 128 160 126 144
°>4 0,6 0,8 051 211 074 208 109 199 123 185 128 170 128 156 123 140 116 127 107 115 092 094 079 080
062 208 091 201 115 184 116 160 108 138 095 119 084 102 071 089 (63 078 052 063 044 053
070 204 095 190 106 162 099 134 080 109 069 (!9() 073 0(12 076 055 066 046 058 036 048 029 040
1,0 080 200 102 183 102 146 083 ИЗ 063 089 053 ('47 062 039 054 034 048 024 038 024 032
1,0 0 053 267 053 267 053 267 053 267 053 267 053 267 05.3 267 053 267 053 267 053 267 053 267
0,2 С60 264 072 •263 094 259 116 255 134 2® 148 242 154 234 158 225 16> 217 160 198 156 180
0,4 0,6 0,8 1,0 075 261 101 258 118 247 155 232 160 215 160 195 153 177 144 160 132 145 114 118 099 100
090 258 124 250 150 227 151 200 138 172 129 (90 148 106 127 096 110 086 096 067 078 058 068
103 254 130 237 142 202 132 168 108 136 112 077 095 067 082 060 072 048 060 040 050
114 248 138 226 134 182 140 143 086 111 071 090 061 078 051 068 045 059 034 047 032 040
1,2 0 089 314 089 314 089 314 089 314 089 314 089 314 089 314 089 314 089 314 089 314 089 314
0,2 0,4 098 314 109 313 128 309 148 305 166 295 180 287 188 280 193 270 195 260 192 237 186 216
ПО 314 132 307 168 294 188 276 195 256 195 234 183 211 172 190 160 172 138 140 118 120
0,6 0,8 1,0 124 308 158 298 186 Х50 185 238 170 206 150 176 132 152 116 133 106 117 083 095 072 080
137 304 166 286 178 244 160 200 135 164 ИЗ 136 096 115 084 100 074 089 060 071 050 060
150 296 174 270 169 216 137 170 111 133 091 108 076 092 065 080 057 071 043 057 039 048
1,4 0 126 364 126 364 126 364 126 364 126 364 126 364 126 364 126 364 126 364 126 364 126 364
0,2 0,4 0,6 138 362 146 360 163 367 180 351 196 342 211 333 220 324 226 313 228 302 224 276 218 250
150 360 168 354 201 340 220 320 223 294 224 270 214 245 202 223 . 186 200 160 167 138 140
160 355 190 346 220 314 220 278 200 246 178 206 158 178 140 154 124 136 099 НО 084 092
0,8 174 350 200 329 212 282 188 234 160 190 137 158 116 134 101 116 088 103 072 082 060 070
1,0 186 342 208 313 200 252 163 198 132 155 108 126 092 108 079 094 068 083 053 065 047 056
432
28 Основы бомбометания
433
Продолжение
D=0
Кл нли/Сб (2?) К{ или Kt (ЛЭ п = 2 п = 3 п ~ 5 п = 7 /г = 9
мин. средн. МИН. средн. мин. средн. мин. | средн. мнн. средн.
1,6 0 165 410 165 410 165 410 165 410 165 410
0,2 179 416 188 410 202 404 216 396 230 388
0,4 189 407 205 400 234 385 254 362 259 334
0,6 198 402 222 390 252 356 250 315 230 274
0,8 214 399 235 375 245 322 219 266 188 218
1,0 216 388 240 358 230 288 189 225 153 177
1,8 . 0 206 456 206 456 206 456 206 456 206 456
0,2 222 458 230 456 242 448 252 440 264 432
0,4 230 452 242 446 267 428 284 403 292 376
0,6 236 444 260 434 286 396 284 332 262 308
0,8 251 441 270 415 280 360 248 298 214 244
1,0 254 432 277 398 263 323 215 252 176 199
2,0 0 250 500 250 500 250 500 250 500 250 500
0,2 262 500 269 498 282 493 292 485 302 476
0,4 270 496 283 490 301 470 318 444 323 412
0,6 277 491 298 476 316 436 316 388 293 338
0,8 282 484 305 461 312 398 280 331 240 272
1,0 288 476 310 440 290 357 241 278 196 221
2,2 0 296 538 296 538 296 538 296 538 296 538
0,2 307 542 313 541 322 534 328 524 337 514
0,4 315 537 321 530 336 511 348 482 353 448
0,6 320 530 334 518 350 474 347 424 320 368
0,8 322 524 338 498 344 436 310 362 266 298
1,0 327 518 343 478 322 390 268 305 216 244
2,4 0 338 578 338 578 338 578 338 578 338 578
0,2 347 582 353 582 362 575 369 565 375 554
0,4 352 578 363 571 375 550 382 518 383 484
0,6 360 572 369 556 380 513 378 458 350 400
0,8 360 564 371 538 373 470 340 390 293 325
1,0 366 557 374 516 351 423 295 332 237 265
2,6 0 380 615 380 615 380 615 380 615 380 615
0,2 392 622 394 620 400 612 406 602 410 590
0,4 395 616 400 607 408 588 414 556 416 520
0,6 400 610 406 596 414 546 406 490 379 430
0,8 400 600 408 574 401 503 368 421 318 350
1,0 400 594. 408 553 381 453 323 359 258 287
434
п = з 11 п = -- 13 п = з 15 п = з 17 п = = 21 п = з 25
мин. средн. мин. средн. мин. средн. мин. средн. мин. средн. мнн. средн.
165 410 165 410 165 410 165 410 165 410 165 410
242 380 253 367 260 355 260 343 255 315 248 286
254 307 244 280 230 251 215 220 186 189 158 160
206 235 183 203 160 178 144 157 116 128 098 108
160 180 134 152 114 133 100 118 084 095 070 081
126 144 107 123 092 106 080 094 062 076 055 064
206 456 206 456 206 456 206 456 206 456 206 456
276 422 284 410 289 395 291 380 286 351 276 320
286 343 273 313 256 285 238 260 204 217 178 180
233 265 206 228 183 200 162 176 130 142 110 119
183 202 154 172 134 150 117 132 094 105 080 090
144 163 122 138 106 121 092 106 072 086 063 072
250 500 250 500 250 500 250 500 250 500 250 500
312 464 307 450 322 436 323 420 318 387 307 354
318 379 303 346 286 314 266 284 228 236 197 200
264 294 233 253 207 222 184 196 , 146 158 124 132
203 226 173 192 151 167 132 148 107 119 090 100
162 181 138 155 118 134 103 118 083 095 071 080
296 538 296 538 296 538 296 538 296 538 296 538
344 502 349 489 351 474 353 457 346 420 335 385
349 414 332 379 313 344 290 312 250 260 215 220
286 320 257 278 230 243 204 216 163 174 138 146
227 248 192 210 166 184 146 162 119 130 101 110
179 199 152 170 132 148 114 130 094 104 079 088
338 578 338 578 338 578 338 578 338 578 338 578
378 540 382 526 383 510 384 492 376 453 364 418
377 448 360 410 340 374 317 339 274 283 237 242
316 348 280 303 250 265 225 235 179 190 152 160
250 272 212 231 184 200 160 178 130 143 112 120
198 217 168 184 145 161 125 141 104 114 087 096
380 615 380 615 380 615 380 615 380 615 380 615
413 578 415 562 416 546 416 528 406 490 392 450
405 481 388 442 366 403 340 366 294 305 256 260
344 376 305 326 272 286 241 254 194 206 164 172
270 296 231 248 201 207 175 192 143 154 122 130
214 236 183 200 159 174 137 152 ИЗ 123 095 104
28*
435
Продолжение
КЛили к6 (23) Kt или К/ (К) п = 2 П = 3 п = 5 п = 7 п = 9
МИН. средн. МИН. средн. МИН. средн. МИН. среди, МИН. средн.
2,8 0 420 651 420 651 420 651 420 651 420 651
0,2 428 654 433 654 439 648 443 638 444 626
0,4 432 650 440 643 446 621 447 590 443 554
0,6 434 645 442 629 444 582 435 525 405 462
0,8 437 634 441 609 433 536 395 452 344 377
1,0 437 627 440 587 410 485 350 386 278 309
3,0 0 460 684 460 684 460 684 460 684 460 684
0,2 466 687 470 686 476 680 479 670 480 658
0,4 471 682 476 676 480 654 478 614 471 586
0,6 472 678 477 663 478 615 467 556 435 490
0,8 471 666 473 640 463 568 422 480 368 402
1,0 471 662 471 620 437 515 375 412 300 331
3.2 0 496 716 496 716 496 716 496 716 496 716
0,2 503 718 508 718 514 712 5’6 702 516 690
0,4 50/ 715 514 708 515 6W6 508 655 499 616
0,6 512 710 514 694 508 648 4-8 586 459 520
0,8 508 698 510 672 495 598 459 508 394 3:3
1,0 506 693 505 650 465 545 4о0 437 323 746
3,4 0 534 746 534 746 534 746 334 746 534 74Й
0,2 540 747 544 746 548 714 549 73' 549 721
0,4 542 743 546 736 550 676 5-10 68 1 526 6-16
0,6 548 740 548 722 536 6 >7 5’4 616 4 е 5 548
0,8 540 730 541 701 522 572- 476 418 452
1,0 540 721 534 680 489 775 4.-3 413 315 37 4
3,6 0 568 775 568 775 568 775 568 775 568 775
0,2 572 774 579 772 582 766 582 757 581 747
0,4 577 772 583 765 581 743 570 712 553 674
0,6 580 765 580 750 564 703 540 644 508 576
0,8 575 758 574 730 545 650 500 565 440 476
1,0 574 749 564 708 515 600 445 488 369 396
3,8 0 602 800 602 800 602 800 602 800 602 800
0,2 608 800 611 800 615 792 615 722 613 772
0,4 610 794 614 788 610 768 597 736 580 700
0,6 612 791 612 774 594 730 566 669 532 602
0,8 606 782 602 756 571 682 525 591 463 502
1,0 605 774 593 732 539 628 467 513 390 416
436
п = 11 п = 13 п - 15 п ~ 17 п = 21 п = 25
МИН. средн. МИН, средн. мин. средн. мин. средн. мин. средн. МИН. средн
420 651 420 651 420 651 420 651 420 651 420 651
446 612 448 597 447 580 445 562 434 524 419 482
432 512 415 472 392 432 368 392 318 328 275 278
371 404 330 353 293 309 264 276 211 222 178 187
293 316 250 268 219 233 190 206 155 166 130 140
233 255 200 216 172 187 147 169 123 133 103 112
460 684 460 684 460 684 460 684 460 684 460 684
482 645 480 630 478 613 474 594 460 554 446 512
460 542 441 500 418 458 370 419 339 350 295 298
395 429 351 377 314 330 283 294 226 236 192 200
312 337 271 286 250 21'5 221 166 177 140 150
250 274 214 230 186 201 160 176 133 142 111 121
496 716 496 716 496 716 496 716 496 716 496 716
515 677 512 662 507 644 502 626 488 584 472 542
486 57.5 467 531 443 488 414 446 363 374 316 318
422 457 381 401 340 352 304 313 243 254 205 213
334 360 288 307 250 267 220 236 179 190 151 160
260 292 230 245 200 214 173 188 141 152 119 128
534 746 534 746 534 746 534 746 534 746 534 746
548 7о7 545 690 537 672 530 654 514 614 496 570
510 660 491 559 468 514 438 471 384 397 334 338
445 4«2 400 423 360 372 323 332 258 264 219 227
356 Зч() 307 3?5 267 284 235 250 183 201 160 170
288 311 244 261 213 227 184 200 151 162 127 136
568 775 568 775 568 775 568 775 568 775 568 775
580 735 576 720 567 791 558 682 540 641 520 538
537 632 516 586 490 540 460 498 405 422 353 358
470 510 422 450 380 396 340 353 275 286 232 240
378 4СЗ 325 341 283 300 252 265 203 214 170 180
307 329 260 277 226 241 196 211 160 171 135 144
602 800 602 800 602 800 602 800 602 800 602 800
610 760 603 745 594 727 582 710 564 668 544 624
560 657 540 613 514 567 485 523 426 443 374 376
491 532 445 470 400 417 360 370 290 301 245 254
399 425 345 363 300 316 265 273 213 226 180 190
324 345 275 292 240 254 209 223 170 181 143 152
437
Продолжение
D=o
КЛили к6 (2?) Kj ИЛИ К; (ЛЭ п = 2 п = 3 п = 5 п = 7 п = 9 п = 11 п =- 13 п -- 15 п = 17 л = 21 п = 25
МИН. средн. МИИ. среди.
МИН. среди МИН. среди мин. среди МИН. средн МИН. среди МИИ. средн. МНИ. средн. МИН. средн. МИН. средн.
4,0 0 634 821 634 821 634 821 634 821 634 821 634 821 634 821 634 821 634 821 634 821 695 465 Q1 7 634 821 650 398 267 200 160
0,2 639 822 642 822 646 816 646 806 644 796 638 784 630 770 622 753 612 /35 588 568 391 298 190 150
0,4 642 818 645 813 640 792 625 763 605 726 585 684 563 636 537 592 507 343 448
0,6 642 814 642 800 620 756 590 694 555 628 514 559 466 495 420 439 377 390 306 238 1РП
0,8 640 806 634 782 595 708 548 617 488 526 420 448 364 383 316 333 280 294 226
1,0 636 798 620 756 563 657 490 537 412 438 343 362 290 307 253 267 221 235 179
4,2 0 666 840 666 840 666 840 666 840 666 840 666 840 666 840 666 840 666 840 666 840 720 487 чад 666 590 410 272 201 159 840 674 416 280 210 168
0,2 669 842 670 842 674 837 673 830 670 818 665 805 659 791 648 775 635 758 613
0,4 670 839 673 833 666 814 652 785 630 750 608 708 585 664 588' 618 528 573 468
0,6 672 834 670 820 647 778 616 718 579 654 535 584 486 516 440 460 3 ^8 408 322 249 199
0,8 668 828 659 804 620 732 570 641 509 551 440 467 380 400 332 349 397 309 237
1,0 665 819 647 780 586 678 513 560 433 458 365 380 305 322 268 280 296 246 189
4,4 0 692 860 692 860 692 860 692 860 692 860 692 860 692 860 692 860 692 860 692 860 742 510 348 262 209 692 613 428 285 210 860 698 438 294 220 1 7К
0,2 697 862 700 862 703 856 701 848 698 838 693 816 685 813 673 798 662 780 636
. 0,4 698 859 702 854 694 834 678 8С6 656 772 632 733 607 688 579 643 550 596 488
0,6 697 854 696 840 672 800 636 744 598 678 557 608 510 542 463 482 414 429 339
0,8 697 848 688 826 642 755 592 666 530 577 464 490 399 418 350 365 311 324 249
1,0 693 839 673 802 608 700 536 586 453 480 380 397 320 337 281 293 246 258 199
4,6 0 717 877 717 877 717 877 717 877 717 877 717 877 717 877 717 877 717 877 717 877 717 634 877 721 455 308
- 0,2 0,4 722 899 726 898 728 874 726 866 724 856 717 845 708 833 697 818 686 801 660 533 364 274 218
725 876 730 870 721 853 704 826 680 893 654 753 628 710 600 666 570 619 dUH
0,6 724 872 720 860 696 822 660 764 620 700 578 630 532 562 483 502 436 445 356 220
0,8 721 865 710 844 667 776 615 690 552 596 482 510 419 438 366 380 325 336 26,1 184
1,0 718 857 698 824 630, 725 558 610 473 500 400 415 336 353 295 307 288 270 208
4,8 0 740 894 740 894 740 894 740 894 740 894 740 894 740 894 740 894 740 894 74!) 894 784 551 380 285 228 740 894 742 475 322 240 192
0,2 0,4 0,6 746 750 748 894 892 887 749 752 746 894 886 875 752 743 719 890 870 838 751 721 680 883 844 786 746 703 641 874 814 822 740 675 598 863 775 652 732 649 550 851 732 584 722 620 500 837 688 522 710 591 453 820 640 465 680 527 373 Оио 463 312 230 183
0,8 745 880 735 860 688 797 635 711 572 618 502 530 437 458 384 398 342 354 276
1,0 741 875 720 842 653 747 579 632 495 521 418 435 359 369 309 321 270 282 219
5,0 0 761 907 761 907 761 907 761 907 761 907 761 907 761 907 761 907 761 907 838 663 761 704 546 388 286 907 761 676 482 326 240 907 764
0,2 770 .908 773 908 774 903 773 896 769 888 762 878 753 868 741 854 730 572 494
0,4 774 905 773 900 764 885 747 860 723 833 696 794 669 752 640 710 610 334 251 200
0,6 770 900 766 890 742 856 702 806 660 743 616 676 570 605 520 542 472 484 297 238
0,8 768 896 757 876 711 816 655 732 592 638 520 547 456 476 400 414 355 Зои 191
1,0 763 889 743 859 672 767 599 655 514 542 437 453 369 383 322 334 283 294 229
438
439
Продолжение
D=0
КЛнлнКб Kj или К/ п = 2 п = 3 п = 5 п = 7 п = 9
(2?) W мин. средн. мни. средн. мни. средн. мин. среди. мин. средн.
5,2 0 782 920 782 920 782 920 782 920 782 920
0,2 792 920 794 920 796 916 794 909 789 902
0,4 791 918 792 913 783 899 767 876 743 848
0,6 790 912 788 904 764 872 723 824 681 762
0,8 790 998 780 892 732 834 674 753 611 660
1,0 784 903 763 874 691 786 617 676 533 562
5,4 0 801 930 801 930 801 930 801 930 801 930
0,2 812 931 813 931 816 928 812 922 808 915
0,4 811 928 812 925 802 913 786 892 764 864
0,6 810 924 807 916 784 886 744 842 698 782
0,8 809 921 797 904 750 848 692 770 630 682
1,0 804 916 784 888 711 805 635 696 552 582
5,6 0 819 940 819 940 819 940 819 940 819 940
0,2 831 940 833 940 834 938 831 932 826 926
0,4 830 939 828 936 819 924 804 903 781 879
0,6 828 934 825 927 802 898 760 858 716 803
0,8 827 932 816 916 772 864 713 790 649 700
1,0 823 926 802 900 730 823 652 716 570 602
5,8 0 836 949 836 949 836 949 836 949 836 949
0.2 847 949 849 949 850 946 849 942 842 936
0,4 845 949 846 944 838 934 821 915 800 891
0,6 846 944 842 936 820 910 780 872 735 818
0,8 843 942 832 927 790 878 728 807 664 723
1,0 840 938 820 912 749 839 667 736 589 622
6,0 0 852 956 852 956 852 956 852 956 852 956
0,2 860 956 862 956 864 950 862 948 858 943
0,4 862 955 864 952 856 943 840 924 817 902
0,6 860 952 856 945 835 921 796 883 752 832
0,8 860 950 849 935 805 890 745 825 682 740
1,0 854 945 835 924 766 855 683 754 605 641
6,4 0 880 968 880 968 880 968 880 968 880 968
0,2 883 967 887 966 888 964 887 960 884 956
0,4 884 966 886 964 882 954 870 940 850 922
0,6 886 962 880 959 862 938 830 907 785 862
0,8 884 962 874 951 835 914 778 855 713 775
1,0 880 960 863 941 800 881 713 786 639 675
п = = И п - 13 п - 15 п “ 17 п - 21 п - 25
мин. среди. мин. средн. мин. средн. МИИ. гредн. мин. средн. МИИ. средн.
782 920 782 920 782 920 782 920 782 920 782 920
781 893 772 883 761 871 750 857 723 822 • 694 784
716 813 687 773 658 731 629 684 564 594 500 512
635 696 590 626 540 562 490 502 404 410 340 347
540 570 475 495 416 431 369 381 298 310 252 258
455 470 385 398 337 346 295 306 240 248 200 208
801 930 801 930 801 930 801 930 801 930 801 930
801 906 792 896 782 886 770 872 742 839 714 802
736 830 706 792 676 750 617 7<'3 583 615 518 530
654 718 608 648 560 582 508 520 421 427 355 360
560 588 493 512 434 446 ’ 384 396 310 321 26(1 270
474 488 403 414 350 360 308 318 250 257 208 216
819 940 819 940 819 940 819 940 819 940 819 940
819 918 810 910 800 899 790 886 761 855 733 820
755 846 725 810 694 768 664 723 600 635 535 550
670 736 627 668 578 602 526. 540 437 442 367 374
582 608 511 530 451 464 398 410 322 331 271 280
492 5С6 419 428 364 374 320 330 260 267 217 224
836 949 836 949 836 949 836 949 836 949 836 949
836 928 828 920 819 910 808 898 780 869 751 836
773 861 743 826 712 786 681 746 618 654 553 570
690 755 643 688 594 622 544 558 454 458 382 387
597 630 529 550 468 482 412 426 334 344 283 290
509 523 435 444 379 388 332 342 270 276 226 232
852 956 852 956 852 956 852 956 852 956 852 956
854 938 846 929 835 918 824 907 797 882 768 850
791 875 761 842 730 803 697 760 634 673 569 587
705 773 660 708 612 640 562 578 472 474 394 400
615 650 545 568 485 498 426 440 347 353 292 300
527 541 450 459 392 401 343 353 280 287 235 240
. 880 968 880 968 880 968 880 968 880 968 880 968
882 950 875 943 866 935 856 926 831 904 802 876
822 896 792 866 763 831 732 790 670 708 606 622
738 806 690 745 642 676 594 612 500 505 422 426
647 685 580 604 520 528 458 468 371 378 313 318
560 574 481 489 421 428 370 376 300 306 252 256
Hl
440
Продолжение
D—0
КдпанКб (2?) Ki^mKi (К) п = 2 п = 3 п = 5 п = 7 п — 9
МИН. средн. мин. средн. МИН. средн. МИН. средн. МИН. средн.
6,8 0 903 978 903 978 903 978 903 978 903 978
0,2 0,4 900 975 904 974 908 972 907 969 907 966
908 976 910 974 904 964 892 952 876 936
0,6 908 971 902 968 885 954 858 927 816 886
0,8 1,0 905 973 896 961 863 932 808 890 744 807
902 970 888 955 829 904 743 819 673 713
7,2 0 922 983 922 983 922 983 922 983 922 983
0,2 918 982 922 982 925 981 926 979 926 976
0,4 926 984 926 982 922 976 914 966 898 952
0,6 0,8 1,0 928 978 922 976 907 966 884 944 844 908
924 980 915 971 889 947 835 902 775 837
922 980 909 965 854 923 770 849 703 747
7,6 0 937 988 937 988 937 988 937 988 937 988
0,2 0,4 934 988 938 988 941 985 942 984 942 982
940 990 942 986 939 982 930 976 918 964
0,6 942 985 938 983 926 974 903 957 868 927
0> 1,0 940 987 934 979 908 960 860 922 800 862
939 985 927 975 878 940 800 874 733 778
8,0 0 950 992 950 992 950 992 950 992 950 992
0,2 950 992 953 992 956 991 956 990 954 987
0,4 0,6 953 992 953 988 952 985 944 982 932 974
952 992 952 990 942 981 920 967 888 942
0,8 952 991 948 986 925 970 884 939 826 888
1,0 954 990 940 983 898 954 825 896 760 8С9
9,0 0 972 996 972 996 972 996 972 996 972 996
0,2 972 996 974 996 975 996 975 996 974 996
0,4 976 996 977 997 974 996 966 992 958 988
0,6 978 998 976 997 966 993 950 984 929 969
0,8 975 997 970 994 952 985 923 967 884 932
1,0 977 998 965 994 936 975 880 937 819 873
10,0 0 982 1000 982 1000 982 1000 982 1000 982 1000
0,2 986 1000 988 1000 990 1000 989 1000 987 999
0,4 988 1000 987 1000 986 998 984 996 980 994
0,6 989 999 990 999 983 997 973 994 957 986
0,8 988 1000 986 999 974 994 955 985 922 965
1,0 987 1000 980 996 961 990 926 967 871 920
11 - = и п = 13 п = 15 11 = = 17 п = - 21 п = = 25
мнн. средн. мин. средн. мин. средн. мин. среди. МИИ. среди. мин. средн.
903 978 903 978 903 978 903 978 903 978 903 978
906 962 900 957 891 S50 880 942 856 924 832 900
850 918 824 890 795 857 764 820 700 743 638 658
.770 836 724 777 675 711 626 648 530 539 449 454
680 722 613 638 550 562 490 498 395 404 334 340
592 610 512 520 449 455 397 400 321 324 270 272
922 983 922 983 922 983 922 983 922 983 922 983
924 972 920 968 912 962 902 955 882 938 858 920
877 934 851 913 822 883 790 849 728 774 667 672
798 862 754 810 705 744 657 680 560 563 473 480
708 755 642 670 582 594 520 528 419 428 356 360
623 640 542 550 476 482 420 423 341 344 288 288
937 988 937 988 937 988 937 988 937 988 937 988
940 980 936 976 930 972 922 966 904 954 882 938
900 950 872 931 847 905 818 875 755 807 965 726
826 885 780 837 733 777 683 714 586 598 498 508
738 784 672 703 612 623 550 556 443 450 377 380
654 674 571 582 504 508 445 447 361 362 304 306
950 992 950 992 950 992 950 992 950 992 950 992
951 986 948 983 942 980 936 ' 978 920 968 902 952
916 963 896 948 872 928 843 900 782 834 722 754
850 907 806 861 760 806 710 746 613 628 522 535
763 816 702 736 642 657 578 586 466 475 398 400
683 705 600 612 530 534 470 470 380 382 320 321
972 996 972 996 972 996 972 996 972 996 972 996
973 994 970 992 968 992л ь 964 990 952 985 937 976
974 983 933 974 914 960 4 *893 943 841 892 782 823
900 948 863 914 820 867 772 816 676 700 585 600
828 880 771 806 709 730 644 656 524 536 448 450
750 778 670 688 595 600 528 530 428 428 361 360
982 1С00 982 1000 982 1000 982 1000 982 1000 982 1000
986 998 984 998 982 997 980 996 973 990 964 988
973 991 963 986 950 979 934 970 890 934 837 880
936 973 907 950 872 918 831 875 743 770 651 664
L 878 924 828 867 767 798 702 718 582 593 490 500
•. 805 842 735 760 655 654 584 587 476 475 400 400
443
442
СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИЙ $ и Гю1п
ДЛЯ СЕРИЙ ИЗОБРАЖЕННЫХ СТРОЕВ
Приложений <)
Ki п -2 п =3 п =5 П- =7 п =9
(2g) (К) мин. средн. мин. средн. мин. средн. мин. средн. мин. средн.
0,4 0 096 096 096 096 096
0,2 — 096 — 095 016 094 032 094 042 092
0,4 096 020 095 041 095 052 086 056 080
06 095 019 093 036 085 041 076 040 066
0,8 .— 095 028 090 028 078 030 065 027 054
1,0 — 092 008 086 024 070 022 055 018 044
0,6 0 .— 147 147 147 147 147
0,2 — 144 009 144 032 143 049 140 062 138
0,4 012 143 036 141 065 136 080 129 085 122
0,6 021 142 047 136 070 125 076 112 072 099
0,8 044 165 066 156 080 136 078 114 066 094
1,0 052 163 072 150 078 123 068 098 054 078
0,8 0 002 194 002 194 002 194 002 194 002 194
0,2 013 192 026 191 051 188 072 186 088 182
0,4 034 188 058 187 092 182 108 171 114 160
0,6 047 188 074 182 100 169 106 152 102 135
0,8 056 186 080 176 094 154 092 131 079 108
1,0 063 182 087 158 093 138 081 НО 064 188
1,0 0 031 240 031 240 031 240 031 240 031 240
0,2 040 237 052 238 074 236 095 232 112 228
0,4 056 235 082 233 106 226 136 214 143 201
0,6 071 234 094 228 136 211 140 190 134 166
0,8 084 230 НО 218 124 186 120 168 102 134
1,0 094 226 118 210 124 174 105 140 086 ПО
1,2 0 062 283 062 Й 062 283 062 283 062 283
0,2 074 282 084 283 104 280 123 276 140 270
0,4 086 283 109 278 143 269 165 255 174 245
0,6 099 280 132 272 165 242 170 226 162 199
0,8 112 275 142 263 160 231 151 195 132 162
1,0 126 270 152 250 157 206 134 166 110 132
1,4 0 096 327 096 327 096 327 096 327 096 327
0,2 108 328 116 326 134 324 150 319 167 312
0,4 120 326 140 322 172 311 194 300 203 276
0,6' 131 324 161 316 195 287 201 264 190 232
0,8 145 322 174 304 191 268 179 227 160 186
1,0 155 312 182 292 186 239 154 193 126 154
444
п = =11 п -13 п = 15 п = 17 п =21 п =25
мин. средн. МИИ. средн. мин. средн. мин. среди. мин. средн. мин. среди.
096 096 096 096 096 096
048 090 052 087 056 086 056 083 058 076 058 076
056 074 056 067 055 063 051 058 045 047 040 040
036 058 032 052 030 045 026 038 021 032 018 027
022 046 018 038 014 034 014 030 011 024 010 020
014 036 014 032 012 027 010 024 008 020 006 016
147 147 — 147 147 — 147 __ 147
072 134 078 131 082 128 086 124 088 116 088 105
086 112 085 103 081 094 076 086 066 070 063 059
065 086 058 074 051 С 64 046 058 036 047 032 040
057 077 050 066 043 057 037 051 030 042 025 035
044 064 038 054 031 047 029 042 021 034 020 028
002 194 002 194 002 194 002 194 002 194 002 194
098 178 106 174 111 168 114 162 116 152 116 138
116 148 114 135 ПО 124 103 113 090 094 078 080
093 117 083 102 072 088 064 078* 052 062 044 053
С 68 089 060 076 052 066 044 058 036 047 030 040
053 072 046 062 038 054 034 047 026 038 024 032
031 240 031 240 031 240 031 240 031 240 031 240
126 222 134 216 140 209 144 202 145 188 144 174
146 186 143 170 137 156 128 . 142 112 118 098 100
120 145 108 126 096 110 086 096 068 077 057 066
090 112 076 С95 066 082 049 072 048 060 041 050
071 090 060 078 052 067 046 059 036 048 032 040
062 283 С62 283 062 283 062 283 062 283 062 283
154 264 164 235 170 228 174 222 176 206 173 190
176 222 172 186 150 171 140 156 123 129 108 110
148 174 132 138 108 120 096 106 076 086 064 073
112 134 096 104 , 076 090 067 078 053 065 046 055
090 108 076 085/ 058 074 052 065 040 052 036 044
096 327 096 327 096 327 096 327 096 327 096 327
182 306 192 298 200 290 204 282 204 261 202 240
205 256 200 236 190 216 180 196 153 166 137 140
164 203 158 176 140 153 123 135 099 110 083 093
136 156 116 133 100 116 088 102 071 083 061 070
107 126 091 107 078 093 К 068 082 054 065 047 056
445
Продолжение
0=1,0
К. Ki п = 2
(2?) (АГ) мин. средн.
1,6 0 131 370
0.2 146 373
0,4 155 368
0,6 164 366
0,8 180 362
1,0 184 355
1,8 0 168 413
0,2 182 414
0,4 142 412
0,6 199 406
0,8 212 402
1,0 217 396
2,0 0 206 455
0,2 219 454
0,4 228 452
0,6 235 448
0,8 213 444
1,0 250 436
2,2 0 248 492
0,2 259 494
0,4 268 491
0,6 274 486
0,8 278 483
1,0 284 475
2,4 0 287 521
0,2 297 533
0,4 303 530
0,6 310 526
0,8 313 520
1,0 320 512
2,6 0 326 566
0,2 338 571
0,4 342 567
0,6 345 563
0,8 349 554
1,0 351 550
//=3 п = 5
МИН. средн. МИН. средн.
131 370 131 370
154 372 168 368
172 364 202 352
190 358 224 332
205 346 222 306
212 332 215 275
168 413 168 413
190 413 203 408
206 407 232 394
223 397 254 369
236 384 254 341
244 369 246 306
206 455 206 455
226 453 240 449
242 448 252 433
266 438 282 406
267 426 284 377
276 407 272 338
248 492 248 492
266 493 276 488
276 486 294 472
291 476 313 442
298 462 314 412
306 449 302 372
287 521 287 521
303 532 312 528
314 525 329 508
324 513 343 480
320 499 342 443
336 480 329 405
326 566 326 566
342 569 350 564
349 560 361 544
356 551 374 513
361 534 368 476
366 516 358 436
п =7 п = 9
мин. средн. мнн. средн
131 370 131 370
182 362 197 356
223 336 234 314
230 298 218 264
210 258 187 214
184 220 152 177
168 413 168 413
215 402 228 396
251 374 263 353
260 324 246 296
238 289 213 240
211 247 174 198
206 455 206 455
251 444 261 436
282 412 292 387
289 368 276 326
268 320 240 266
236 272 194 219
248 492 248 492
284 479 294 473
310 449 320 422
318 402 303 356
295 350 264 292
262 298 216 241
287 521 287 521
320 520 328 512
341 484 349 456
348 435 330 386
324 377 280 318
286 326 236 263
326 566 326 566
356 556 362 546
372 520 378 491
374 466 357 416
350 408 312 343
312 354 257 285
// = 11 п—13
МИН. средн. МНИ. средн.
131 370 131 370
211 350 222 340
234 282 228 269
200 230 182 200
158 178 134 152
124 145 106 123
168 413 168 413
241 389 250 385
263 326 256 301
226 260 205 226
180 200 154 171
143 163 121 138
206 455 206 455
272 428 280 417
292 361 283 332
254 287 229 250
204 224 173 191
162 181 137 154
248 492 248 492
303 464 310 454
320 394 310 364
280 313 254 276
225 245 191 209
180 198 151 169
287 521 287 521
334 501 340. 490
348 426 337 395
305 346 278 300
248 268 210 230
198 217 166 184
326 566 326 566
368 536 372 524
374 458 364 426
332 367 300 323
267 280 230 247
214 236 182 200
п .15 средн. //=17
мин. МИН. средн.
131 370 131 370
230 330 233 320
218 246 206 224
160 176 143 156
116 133 102 118
091 106 080 094
168 413 168 413
258 369 262 357
243 276 235 254
182 198 162 176
134 150 118 131
104 120 091 106
206 455 206 455
287 406 292 394
270 305 256 279
205 221 158 196
150 166 141 147
116 134 102 118
248 492 248 492
315 442 320 428
296 334 280 306
228 242 202 216
166 183 147 161
130 146 114 130
287 521 287 521
344 478 348 463
322 363 306 333
249 264 222 234
184 199 161 176
142 160 125 141
326 566 326 566
374 511 376 496
348 391 328 340
269 285 240 254
200 216 176 190
156 173 136 152
// = 21 //=25
мин. средн. МИН. средн
131 370 131 370
234 298 230 272
182 187 156 160
116 127 098 108
083 095 071 080
064 076 054 064
168 413 168 413
262 332 258 307
202 213 177 180
130 142 ПО 120
094 106 081 090
074 086 064 072
206 455 206 455
291 368 285 342
224 234 196 189
147 158 124 133
106 119 092 100
084 095 071 080
248 492 248 492
318 400 312 370
246 258 214 220
162 174 138 146
120 130 102 ПО
094 104 079 088
287 521 287 521
346 431 339 402
268 280 234 241
178 190 152 160
130 142 113 120
104 114 088 096
326 566 326 566
374 465 366 434
290 302 253 259
196 207 165 172
142 154 122 130
112 124 096 104
447
446
Продолжение
0=1,0
Ki п- =2 л = =3 л = =5 п- =7 п- =.9
(2?) {К) ИНН. средн. мин. средн. мнн. средн мин. средн. мнн. средн.
2,8 0 365 602 365 602 365 602 365 602 365 602
0,2 372 604 378 603 386 598 392 590 395 582
0,4 378 600 386 594 396 577 402 552 404 523
0,6 380 596 391 584 402 546 401 500 382 447
0,8 384 • 587 394 568 398 509 375 486 335 369
1,0 386 58 Г 395 548 385 464 339 379 279 307
3,0 0 402 634 402 634 402 634 402 634 402 634
0,2 40'8 636 412 635 421 630 426 623 430 613
0,4 414 . 633 420 628 439 610 431 580 431 .554
0,6 416 630 425 616 434 578 430 529 410 474
0,8 418 620 426 600 426 539 401 465 309 396
1,0 418 616 426 580 410 492 362 402 301 328
3,2 0 438 666 438 ' 666 438 666 438 666 438 666
0,2 444 667 450 668 456 662 460 654 462 645
0,4 450 665 456 659 462 642 460 615 458 584
0,6 453 661 459 648 462 610 452 558 432 502
0,8 450 651 458 631 456 569 427 492 384 419
1,0 452 646 458 612 436 522 386 428 322 351
3,4 0 474 696 474 696 474 696 .474 696 474 696
0,2 478 • 698 4Q3 696 490 691 492 684 494 676
0,4 4С3 694- 4’8 688 494 669 490 644 484 613
0,6 4Ч6 692 491 677 490 633 478 587 458 529
0,8 482 683 488 659 493 596 452 522 407 443
1,0 484 676 485 640 460 550 468 454 343 37?
3,6 0 506 725 506 725 5С6 725 5С6 725 506 725
0,2 510 726 516 723 522 718 524 710 •526 702
0,4 516 722 522 716 524 698 520 672 510 640
0,6 518 718 522 705 518 666 504 615 480 555
0,8 516 711 520 688 505 625 474 548 428 468
1,0 517 704 514 669 484 577 430 478 364 393
3,8 0 540 751 540 751 540 751 540 751 540 751
0,2 545 752 549 751 554 744 558 736 558 728
0,4 549 746 554 742 554 724 547 698 537 666
0,6 550 744 554 730 548 692 530 640 504 581
0,8 548 737 548 714 530 652 498 572 450 492
1,0 546 730 542 694 510 604 452 502 385 414'
448
п- 11 п = 13 п = 15 п = 17 П- =21 п =25
мнн. средн. мнн. средн. мнн. средн. мнн. средн. мнн. средн. мин. средн.
365 602 365 602 365 602 365 602 365 602 365 602
399 570 403 558 405 544 426 530 400 498 392 464
400 488 389 454 373 420 354 384 312 326 272 278
356 395 322 348 288 308 260 274 212 221 178 186
288 313 248 266 218 232 190 205 154 166 132 140
232 254 198 216 170 186 148 164 123 132 104 112
402 634 402 634 402 634 402 634 402 634 402 634
433 602 434 590 434 576 433 560 426 528 416 494
426 518 414 482 398 446 367 410 333 348 292 298
379 420 343 371 308 328 278 290 226 236 192 200
309 334 268 285 232 250 204 220 167 178 142 150
251 272 213 230 182 200 160 176 132 142 112 120
438 666 438 666 438 666 438 666 438 666 438 666
464 634 463 621 462 606 460 591 452 558 442 472
452 548 440 512 422 474 400 436 354 371 312 318
404 446 370 396 334 350 300 312 242 253 204 212
331 357 287 306 249 266 220 234 178 190 153 161
270 291 228 245 196 213 172 188 142 152 120 128
474 696 474 696 474 696 474 696 474 6s6 474 696
495 664 494 650 490 634 486 619 477 586 466 549
476 575 462 538 446 500 422 462 376 394 330 338
426 471 300 416 354 370 318 331 258 268 218 226
352 378 305 324 266 283 236 249 190 200 162 170
288 309 243 260 210 226 183 199 151 162 128 136
506 725 506 725 506 725 506 725 506 725 506 725
526 692 524 679 520 658 514 648 502 613 489 576
491 605 487 565 468 525 445 436 396 416 338 356
450 497 411 442 374 393 337 352 274 286 232 240
374 399 323 343 282 298 252 264 202 214 172 180
306 328 258 276 223 240 195 210 160 170 136 143
540 751 540 751 540 751 540 751 540 751 540 751
556 717 552 704 546 690 540 675 526 640 512 600
524 630 510 592 490 556 467 511 418 438 368 376
471 520 434 463 394 414 356 370 290 300 246 253
394 422 342 362 300 315 255 278 214 226 182 190
324 344 274 292 237 253 ч 210 222 170 180 144 152
29 Основы бомбометания
449
Продолжение
£>=1,0
11 ~ 2 п - 3 п = 5 11 7 п ~ 9
КД Ki
(2?) (К) мин. :редн. мин. :редн. мин. :редн. мин. :редн. мин. :редн.
4,0 0 571 774 571 774 571 774 571 774 571 774
0,2 576 780 581 774 586 769 588 762 588 753
0,4 581 771 585 766 584 748 575 724 562 692
0,6 582 768 585 756 575 730 554 666 526 606
0,8 581 761 580 740 556 677 521 597 473 515
1,0 580 754 570 719 582 630 472 526 406 434
4 9 0 602 796 602 796 602 796 602 796 602 796
0,2 607 797 610 797 615 791 615 785 616 776
0,4 609 793 614 788 612 772 604 746 586 716
0,6 612 790 614 778 600 741 578 689 550 582
0,8 610 784 606 762 580 700 541 620 492 540
1,0 607 776 596 742 555 652 503 548 426 455
4,4 0 629 817 629 817 629 817 629 817 629 817
0,2 636 819 639 818 644 812 644 806 642 797
0,4 638 816 643 816 639 794 628 768 612 739
0,6 640 812 640 798 623 762 597 714 568 656
0,8 640 806 634 786 604 724 563 644 512 564
1,0 636 798 622 765 576 675 516 572 444 480
4,6 0 656 836 656 836 656 836 656 836 656 836
0,2 663 848 668 846 670 833 669 825 668 816
0,4 666 834 665 830 666 814 654 790 636 760
0,6 667 832 660 820 647 785 621 736 590 677
0,8 664 816 652 806 628 745 586 668 533 585
1,0 664 816 650 787 598 698 536 595 466 496
4,8 0 681 854 681 854 681 854 681 854 681 854
0,2 688 855 692 854 694 850 694 844 692 836
0,4 692 853 694 848 690 834 677 808 659 780
0,6 691 850 690 836 672 804 647 754 610 698
0,8 690 843 684 823 650 765 604 689 552 607
1,0 688 836 671 806 620 720 558 617 486 518
5,0 0 707 858 707 858 707 858 707 858 707 858
0,2 714 871 716 870 718 866 718 860 716 853
0,4 717 868 716 864 708 850 700 826 681 800
0,6 715 865 714 854 696 822 664 776 630 718
0,8 714 861 706 841 672 784 624 709 571 627
| 1,0 716 852 694 824 638 740 578 630 504 538
450
11 = 11 п = 13 п = 15 11 = 17 11 = 21 п = 25
мин. средн. мин. средн. мин. средн. мин. средн. мин. средн. мин. средн.
571 774 571 774 571 774 571 774 571 774 571 774
584 742 578 730 573 716 566 700 549 665 536 626
548 656 532 615 512 575 488 534 438 459 386 396
492 546 454 488 414 435 373 389 306 316 258 267
414 444 361 382 316 332 280 293 226 222 193 200
342 362 289 307 250 266 221 235 180 190 152 160
602 796 602 796 602 796 602 796 602 796 602 796
612 766 606 750 599 738 590 723 573 690 557 660
571 680 554 639 533 600 510 558 456 481 404 415
514 569 474 508 433 456 392 408 322 332 271 280
434 474 380 399 333 348 296 308 238 250 204 210
361 380 305 322 257 280 234 246 190 200 160 168
629 817 629 817 629 817 629 817 629 817 629 817
638 782 632 775 624 762 615 746 596 713 579 686
594 704 575 664 553 624 530 582 476 504 422 435
534 592 494 532 454 477 410 428 338 349 284 294
455 485 396 417 350 364 310 322 249 262 213 220
378 398 320 338 280 292 246 258 200 210 168 176
656 836 656 836 656 836 656 836 656 836 656 836
664 807 658 796 650 782 640 767 619 734 600 696
616 724 596 685 574 646 548 605 495 524 439 453
555 613 516 559 473 496 430 444 354 364 299 308
474 505 416 436 364 380 324 336 262 274 223 230
397 415 336 353 293 305 258 270 208 218 177 184
681 854 681 854 681 854 681 854 681 854 681 854
688 826 683 815 674 803 664 787 640 754 620 717
628 746 616 708 592 668 569 626 514 544 456 472
5/3 636 533 574 490 516 448 462 370 380 312 321
492 525 434 456 391 397 340 352 274 286 234 240
414 434 352 368 307 320 270 282 218 228 186 192
707 858 707 858 707 858 707 858 707 858 707 853
712 843 705 833 696 820 686 806 663 774 642 738
658 766 636 728 612 689 588 647 530 564 475 490
593 658 552 595 510 535 466 481 387 394 325 334
510 544 452 473 397 384 354 360 285 297 244 250
432 451 366 384 321 333 282 294 228 238 194 200
29* ' 451
Продолжение
D=l,0
П- = 2 П- =3 П- = 5 =7 п- -9
Кц Ki
(2₽) (К) мин. средн. мин. средн. мин. средн. мин. средн. мин. | средн.
5,2 0 728 884 728 884 728 884 728 884 728 884
0,2 737 886 740. 886 742 883 740 876 738 868
0,4 737 884 738 880 734 866 721 844 702 812
0,6 736 878 736 860 718 838 684 794 648 737
0,8 736 876 729 857 694 803 643 730 588 649
1,0 733 866 716 840 658 758 594 659 524 558
54 0 750 890 750 890 750 890 750 890 750 890
0,2 750 900 760 894 763 896 761 890 759 882
0,4 758 897 760 895 755 880 741 860 722 834
0,6 758 896 757 884 740 864 706 812 668 758
0,8 756 890 748 872 713 820 661 748 607 670
1,0 754 884 736 855 728 778 614 678 542 575
5,6 0 771 908 771 908 771 908 771 908 771 908
0,2 779 911 782 911 783 909 782 903 778 896
0Л 780 910 779 907 774 894 760 874 740 850
0^6 771 908 772 896 755 868 722 828 690 778
0,8 776 903 768 886 731 836 680 767 624 686
1,0 774 900 756 870 696 796 631 698 561 595
5,8 0 790 920 790 920 790 920 790 920 790 920
0,2 798 922 800 922 802 926 802 914 798 908
0,4 798 922 799 918 794 906 780 888 760 864
0,6 797 917 796 908 774 882 742 844 704 794
0,8 796 914 787 898 750 850 696 834 636 708
1,0 794 909 776 883 716 812 646 717 580 614
6,0 0 809 930 809 930 809 930 809 930 809 930
0,2 813 932 816 931 819 927 818 924 815 918
0,4 817 930 818 927 812 916 798 898 779 876
0,6 815 927 814 919 794 894 760 857 721 810
0,8 814 924 806 909 768 865 716 802 660 726
1,0 810 918 794 896 733 826 663 734 598 632
6,4 0 839 946 839 946 839 946 839 946 839 946
0,2 842 948 844 946 847 944 848 940 846 936
0,4 846 946 846 942 841 932 830 918 812 898
0,6 845 942 842 936 824 914 794 882 754 839
0,8 845 941 836 928 798 890 745 832 688 760
1,0 839 938 823 917 766 857 696 766 630 666
4Л2
п- = 11 п = 13 п- = 15 п = 17 п =21 Л =25
мин. средн. мин. средн. мин. средн. мин. средн. мин. | средн. мнн. среди.
728 884 728 884 728 884 728 884 728 884 728 884
732 859 729 850 716 838 707 824 683 793 660 758
679 786 655 748 631 710 606 668 550 585 492 508
610 678 571 614 527 555 483 500 402 410 340 348
529 565 470 492 413 430 368 374 298 310 255 259
450 468 382 399 335 346 294 306 239 248 202 208
750 890 750 890 750 890 750 890 750 890 750 890
754 874 748 864 739 854 728 830 693 810 681 775
698 803 674 768 644 730 624 687 568 607 509 527
630 698 589 636 546 575 500 517 418 426 253 360
547 583 486 508 428 446 381 388 310 320‘ 264 270
469 486 399 413 348 360 306 317 248 257 210 216
771 908 771 908 771 908 771 908 771 908 771 908
774 888 769 879 758 868 748 856 722 826 700 794
718 820 688 785 666 748 590 707 585 621 527 541
647 685 608 655 564 591 516 536 433 442 366 374
567 589 504 527 448 462 396 402 321 332 274 280
486 497 414 428 362 374 318 330 259 266 224 224
790 920 790 920 790 920 790 920 790 920 790 920
793 900 787 892 779 882 768 865 742 842 718 810
736 836 710 801 684 765 657 726 603 645 544 564
665 736 624 673 579 611 532 553 449 458 382 386
583 622 521 546 464 481 411 418 333 344 284 290
503 521 432 443 377 387 330 341 263 276 228 232
809 930 809 930 809 930 809 930 809 930 809 930
812 911 805 902 795 892 785 882 760 857 736 825
756 850 729 818 702 782 674 743 619 662 560 582
681 755 639 693 596 631 549 574 465 474 394 400
600 641 538 564 480 499 426 432 344 357 295 300
520 538 449 460 390 400 342 353 278 287 237 240
839 946 839 946 839 946 839 946 839 946 839 946
842 929 836 921 827 914 817 904 794 881 768 852
787 874 760 844 734 810 706 774 651 697 594 616
712 786 670 728 626 666 534 606 492 504 422 426
630 676 570 599 513 528 454 460 368 379 316 319
552 569 476 488 418 428 368 376 298 305 254 256
453
Окончание
D = 1,0
К; п = 2
(2?) (Ю мин. средн.
6,8 0 866 960
0,2 865 958
0,4 873 959
0,6 871 956
0,8 871 956
1,0 864 952
7,2 0 890 969
0,2 889 968
0,4 896 971
0,6 892 966
0,8 893 967
1,0 888 965
7,6 0 910 978
0,2 908 978
0,4 914 980
0,6 909 976
0,8 912 976
1,0 914 975
8,0 0 926 984
0,2 930 986
0,4 932 985
0,6 930 984
0,8 929 982
1,0 927 981
9,0 0 959 994
0,2 963 994
0,4 960 993
0,6 960 995
0,8 959 994
1,0 960 993
10,0 0 973 998
0,2 977 998
0,4 978 998
0,6 978 998
0,8 978 998
1,0 976 998
/z = 3 п ---.5
МИН, средн. мин. средн.
866 960 866 960
869 958 872 956
872 956 866 946
867 950 850 933
862 942 826 910
850 934 798 882
890 969 890 969
89! 968 894 966
893 968 889 960
890 962 876 949
884 956 854 928
874 949 826 903
910 978 910 978
912 977 914 975
914 976 910 971
908 972 896 960
906 967 879 944
895 962 849 922
926 984 926 984
932 986 933 984
931 982 929 978
928 982 918 970
925 976 899 956
914 972 872 938
959 994 959 994
964 994 966 994
960 992 956 990
959 994 949 988
955 990 936 980
950 987 916 964
973 998 973 998
979 998 980 998
978 998 976 996
979 998 972 994
976 996 962 988
970 996 946 983
п—1 /< = 9
мин. средн.
МИН- средн.
866 960 866 960
872 954 872 950
856 934 840 916
823 905 784 866
775 863 721 792
726 800 660 702
890 969 890 969
894 964 893 961
880 949 866 934
852 925 814 890
804 882 752 820
752 826 688 734
910 978 910 978
914 973 913 971
902 963 889 950
872 940 838 909
832 904 778 845
780 854 716 767
926 984 926 984
932 982 931 980
921 972 908 961
895 952 862 926
856 922 803 870
806 878 741 794
959 994 959 994
964 992 964 992
949 986 940 980
932 976 908 958
903 957 862 920
862 922 801 856
973 998 973 998
980 998 978 996
973 994 968 990
962 988 942 977
939 976 904 952
908 956 852 905
// = 11 л = 13
МИН. средн. мин. среди.
866 960 866 960
870 944 863 938
817 896 792 870
743 816 792 758
664 701 604 632
584 605 507 518
890 969 890 969
890 957 885 952
844 917 820 894
771 845 73! 792
691 742 632 664
614 634 540 548
910 978 910 978
910 968 906 963
870 935 834 914
800 768 758 820
721 772 661 696
643 666 566 578
926 984 926 984
928 977 924 974
891 948 870 932
830 890 783 844
746 802 690 726
672 698 595 608
959 994 959 994
961 990 959 988
926 972 910 961
878 934 842 899
770 866 756 799
735 769 662 680
973 998 973 998
976 995 974 995
959 986 946 979
913 962 890 937
858 911 809 854
788 830 722 750
п — 15 п = 17
МИН. среди. МИН, средн.
866 960 866 960
855 930 845 922
764 840 737 806
657 699 610 640
545 561 487 492
444 454 392 400
890 969 890 969
878 945 869- 938
793 866 765 834
688 732 642 673
575 592 575 520
472 480 415 .423
910 978 910 978
900 958 892 952
822 888 792 860
716 763 670 706
602 622 544 548
498 505 440 446
926 984 926 984
918 970 912 965
846 910 820 884
740 793 696 736
633 652 574 578
525 532 465 470
959 994 959 994
956 986 952 982
889 948 878 928
800 855 755 807
690 728 640 645
590 506 524 530
973 998 973 998
972 994 970 992
933 970 916 958
854 904 814 862
754 789 696 704
650 662 582 586
/< = 21 п = 25
МИИ. средн. МИН. средн.
866 960 866 960
822 902 798 876
680 734 624 651
523 537 448 455
392 409 336 340
318 324 271 272
890 969 890 969
850 920 826 898
709 764 653 678
553 562 472 480
414 428 356 360
338 344 288 288
910 978 910 978
874 937 852 918
736 800 680 723
580 594 496 507
440 451 376 380
358 362 304 305
926 984 926 984
896 953 876 936
762 825 706 752
607 624 521 534
464 475 398 400
376 382 320 320
959 994 959 994
938 976 921 965
816 878 762 818
669 695 583 593
523 538 447 452
426 428 360 360
973 998 973 998
962 986 950 982
872 921 824 872
731 763 646 661
578 594 492 500
476 476 400 480
464
465
ЛИТЕРАТУРА
1. Д. А. В е нт ц е л ь, Б. Н. Окунев, Я. М. Шапиро, Внешняя балле гика,
ч. I, изд. Арт. академии РККА, 1933.
2. То же, ч. II, 1934.
3. То же, ч. III, 1933, таблицы.
4. Е. Агокас, Воздушная артиллерия, ч. I, Бомбометание, Госиздат, 1928,
5. В. Смирнов, Бомбометание, Воениздат, 1938.
6. М. Т и х о н о в, Г. Игнациус и И. Смольянинов, Бомбометание,
Воениздат, 1939.
7. П. А. Гельвих, Стрельба, т. I, изд. Арт. академии РККА, 1934.
8. В. Л. Гончаров, Теория вероятностей, Оборонгиз, 1939.
9. Бернштейн, Теория вероятностей, ГТТИ, 1937.
10. Тор итон Фрай, Теория вероятностей для инженеров, пер. с англ, под
ред. А. Я- Хинчина, ОНТИ, 1934.
11. А. Я. Хннчин, Асимптотические законы теории вероятностей, ОНТИ,
1936.
12. В. Л. Гончаров, Теория интерполирования и приближения функций,
ОНТИ - ГТТИ, 1934.
13. Л. К. Лахтин, Кривые распределения и построение для них интерполя-
ционных формул по способам Пирсона и Брунса, Госиздат.
14. Дж. Скарборо, Численные методы математического анализа, пер.
с англ, под ред. и с доп. Д. Ю. Панова, ГТТИ, 1934.
15. Э. Уиттекер и Г. Р о б и н с о и, Математическая обработка результатов
наблюдений, пер. с англ, под ред. Н. М. Гюнтера, ГТТИ, 1933.
16. Н. Ф. Ку д р я в цев, Аэронавигация, Воениздат, 1938.
17. Молчанов, Курс аэронавигации, ОНТИ, 1937.
18. М о л ч а и о в, Аэрология, ОНТИ, 1934.
19. Бомбардировочные прицелы, Воениздат, 1939.
20. Ру же р он, Бомбардировочная авиация, т. I, пер. с франц., Воениздаг, 1937.
21. То же, т. И, пер. с франц., Воениздат, 1938.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава I. Основные сведения из балистики Стр.
1. Общие сведения о движении бомбы................................ 3
2. Движение центра массы бомбы в пустоте.......................... 3
3. Сила сопротивления воздуха . .................................. 6
Общее выражение для силы сопротивления воздуха......... 6
Коэфициент сопротивления .................................... 6
Ускорение силы сопротивления воздуха .................... 8
Закон сопротивления ......................................... 9
Балистический коэфициент авиабомб........................... 10
Характеристическое время бомбы ............................. 11
Предельная скорость авиабомб................................ 13
4. Движение центра массы бомбы в спокойном возтухе............... 14
Общий характер движения..................................... 14
Основные определения ....................................... 16
Уравнения движения.......................................... 16
5. Приближенные формулы для относа н времени падения б мбы ... 18
Уравнения движения при квадратичном законе сопротивления . , 18
Интегрирование первого уравнения.......................... 20
Интегрирование второго уравнения........................... 21
Интегрирование третьего уравнения.......................... 23
Интегрирование четвертого уравнения ........................ 25
Приближенные формулы........................................ 26
6. Балнстпческие таблицы......................................... 27
Глава II, Прицельная схема
1. Определение относа бомбы при ветре......................... $9
2. Прицельная схема при бомбометании.......................... 33
Случай неподвижной цели.................................. 34
Случай неподвижной цели с выносом точки падения бомбы ... 38
Случай движущейся наземной цели.......................... 40
Случай движущейся наземной цели с выносом точки падения . . 44
Случай движущейся воздушной цели......................... 47
Случай движущейся воздушной цели с выносом точки встречи . . 51
Глава III. Наведение самолета иа цель по направлению
1. Прицеливание при бомбометании................................. 54
Способы наведения самолета на цель.......................... 54
2. Наведение самолета на цель по промеру сноса.......... . . . . 57
457
Стр.
3. Ошибки наведения самолета на цель ио промеру сноса............ 61
4. Наведение самолета на цель по способу кратного угла............ 65
5. Ошибки наведения самолета на цель по способу кратного угла ... 69
Принципиальные ошибки способа ............................ 70
Ошибки от неточности измерения угла 'Г н от неточности разво-
t рота....................................................... 74
6. Синхронный способ наведения самолета на цель................... 75
7. Векторные способы наведения самолета па цель................... 79
Аэронавигационный способ наведения самолета на цель.......... 81
Векторный способ со стабилизированным вектором ветра .... 82
Векторный способ без стабилизации вектора ветра.............. 83
8. Ошибки векторного способа наведения самолета на цель........... 86
Глава IV. Определение момента сбрасывания бомбы
1. Способы определенна момента сбрасывания........................ 89
2. Определение момента сбрасывания по времени пролета базы........ 90
Прицел ST Ас................................................. 92
Прицел АП-2.................................................. 93
Определение момента сбрасывания по расчету времени (база неиз-
вестна) ................................................. 91
Временной принцип, осуществленный в прицеле STAG.......... 97
3. Автоматическая установка угла прицеливания механизмом прицела . 98
Прицел Тайфер ............................................... 99
Прицел Герц-Бойков...........................................100
4. Определение момента сбрасывания измерением перемещения самолета
в течение заданного времени t .................................. 103
Прицел D-4...................................................104
Прицел Герц-Клементи.........................................104
5. Определение момента сбрасывания но скорости сближения с целью . 107
Способ Барр-Мнльна...........................................108
Способ Цейса................................................ 109
Способ Сперри .............................................. 111
Способ, основанный па свойствах логарифмического виита ... 113
6. Векторное построение угла прицеливания.........................115
Глава V. Определение исходных данных для бомбометания
1. Исходные данные для бомбометания...............................118
2. Определение высоты полета......................................118
Определение высоты полета барометрическим способом ......... 118
Высотомер....................................................120
Ошибки высотомера и способы их учета.........................122
3. Определение воздушной скорости самолета........................125
Определение воздушной скорости по давлению воздушного потока . 126
Указатель скорости...........................................127
Ошибки указателя скорости и способы их учета.................128
4. Определение ветра в полете.....................................132
Ошибки в определении нетра...................................133
Определение курса самолета ................................. 136
158
Стр.
Определение угла сноса....................................140
Ветрочет и порядок работы на нем..........................141
5. Определение путевой скорости самолета........................143
Определение путевой скорости векторным способом...........144
Определение путевой скорости непосредственным измерением . . 144
Ошибки в определении путевой скорости.....................145
Глава VI. Ошибки бомбометания
1. Причины ошибок бомбометания..................................151
2. Колебания в высоте и скорости иа горизонтальном полете........153
3. Изменение относа от колебаний в высоте и скорости на горизонтальном
полете...........................................................155
Изменение относа от колебаний в высоте полета.............156
Изменение относа от колебаний величины скорости самолета . . 157
Изменение относа от колебаний направления полета самолета и го-
ризонтальной плоскости....................................157
Изменение относа от колебаний направления полета самолета
в вертикальной плоскости ................................ 158
Численные примеры........................................ . . 160
Изменения относа прн падении бомбы в воздухе ............ 162
Численные примеры.........................................164
1. Влияние бомбардировочной установки иа относ бомбы............166
5. Ошибки в относе от допусков в изготовлении бомб.............166
6. Выводы.......................................................168
7. Ошибки в наводке самолета но дальности......................169
Об ошибках в наводке самолета.............................169
Ошибка в горизонтальной дальности от неточности определения
путевой скорости ........................................ 170
Ошибка в горизонтальной дальности и смещении цели от неточ-
ности определения средней высоты полета ................. 171
Ошибка в горизонтальной дальности и смещении цели от неточ-
ности определения средней воздушной скорости...........174
Ошибка в горизонтальной дальности н смещении цели от неточ-
ности характеристического времени бомбы .............. 175
Численные примеры.........................................177
Выводы....................................................178
8. Ошибки в относе от допущений, принятых при составлении и реше-
нии уравнений движения бомбы ...................................178
Действие промежуточных ветров.............................178
Отклонение бомбы под влиянием вращения Земли............180
Ошибки в относе от допущений, принятых при вычислении балп-
стпчгских таблиц..........................................185
Глава VII. Рассеивание при бомбометании
1. Кучность и меткость бомбардировочного огня...................187
2. Закон распределения попаданий и его параметры................190
3. Обработка результатов бомбометания...........................199
1. Упрощенные способы обработки.................................204
Обработка по радиальным отклонениям.......................205
Обработка по среднему арифметическому и по среднему квадрати- .
ческому отклонениям.......................................206
Метод моментов............................................206
5. Эмпирические формулы для рассеивания.........................214
459
Стр.
Глава VIII. Вероятности поражения целей
1. Вероятность попадания в пределы площади при бомбометании оди-
ночной бомбой....................................................219
2. Вероятность поражения целей..................................227
3. Вероятность поражения маневрирующего корабля.................230
4. Вероятность поражения воздушных целей .......................235
Глава IX. Серийное и групповое серийное бомбометание
I. Способы сбрасывания бомб.....................................240
2. Серийное бомбометание с одиночного самолета..................242
3. Групповое серийное бомбометание..............................245
4. Рассеивание при серийном и групповом серийном бомбометании . . 250
Глава X. Исследование серии и строя
1. Вероятности попадания бомб пз серии......................... 255
Серия одиночных бомб.......................................255
Влияние угла захода па цель на величины вероятностей попада-
ния бомб из серин....................................... 267
Влияние смещения центра серин относительно центра цели . . . 268
Серия неравных залпов......................................271
Серия равных залпов....................................... 274
2. Математическое ожидание числа попадающих бомб из серии .... 276
3. Отклонения числа н процента попаданий от их математического
ожидания........................................................280
4. Число прицеливаний и вероятность минимального результата .... 284
5. Выбор рациональных элементов серин...........................288
Рациональное число бомб в серии и предел числа бомб в серин . 289
Рациональный интервал и предел величины интервала серии . . 292
6. Влияние строя самолетов на серию при групповом серийном бомбо-
метании ........................................................296
7. Исследование строя и соответствие элементов серии н строя .... 297
Глава XI. Бомбардировочный расчет
1. Назначение и содержание бомбардировочного расчета............301
2. Выполнение бомбардировочного расчета при помощи таблиц .... 303
Глава XII. Выполнение бомбометания и бомбардировочные
прицелы
1. Виды бомбометания............................................314
2. Способы бомбометания ........................................314
3. Схема полета на бомбометание ................................315
4. Бомбометание в заранее намеченных условиях...................316
5. Бомбометание в свободных условиях .......................320
6. Бомбометание по расчету времени..............................321
7. Особенности бомбометания ночью ..............................323
8. Особенности бомбометания с малых высот н с бреющего полета . 324
9. Особенности бомбометания с больших высот.....................325
Ю. Бомбардировочный прицел ОПБ-1................................325
460
Стр.
Характеристика прицела......................................325
Оптическая часть прицела....................................326
Механическая часть прицела..................................329
Порядок работы с прицелом.................................334
Выверка прицела.............................................335
11. Бомбардировочный прицел ОПБ-2...............................338
Характеристика прицела......................................338
Принцип работы..............................................338
Введение поправок на отставание, серию и строй..............341
Ошибка в определении момента сбрасывания от неточности визи-
рования при второй встрече луча и цели..........344
Ошибки в построении прицельной схемы..................346
Механизм для бокового наклона луча визирования ............ 350
Постоянная прицела —база с..................................353
Краткое описание прицела ОПБ-2............................ 355
Порядок работы с прицелом...................................356
Проверка исправности прицела.............................. 357
Приложения
Приложение 1. Таблица времени падения бомб в пустоте.................359
Приложение 2. Учебные балистическпе таблицы..........................360
Приложение 3. Графики балистическнх элементов........................368
Приложение 4. Значения производных балистическнх элементов для
бомбы с 9 = 23 сек................................................377
Приложение 5. Краткие сведения из теории вероятностей................380
1. Понятие вероятности..................................380
2. Теорема сложения вероятностей........................381
3. Теорема умножения вероятностей.......................382
4. Вероятность повторения событий ............................385
5. Закон больших чисел и математическое ожидание........390
6. Отклонения от математического ожидания случайной величины 394
7. Предельная формула Пуассона (закон малых чисел)......399
8. Асимптотическая формула и предельная теорема Лапласа . . . 401
9. Интегральный закон распределения. Закон Гаусса и функция
Лапласа..................................................405
10. Предельная теорема Лапласа-Ляпунова...................407
11. Статистический многоугольник распределения ....... 409
12. Кривая распределения и ее параметры...................410
13. Вероятность попадания в отрезок. Приведенная функция
Лапласа......................................................415
14. Сложение законов распределения..............................417
15. Вероятность попадания в пределы некоторой области. Соотно-
шения между радиальными ошибками.............................421
Приложение 6. Таблица значений приведенной функции Лапласа
?
е (?) = Ж: I e^'dz.................426
о
461
Стр.
Приложение 7. Таблица значений функции Лапласа
f
Ф (/) = А е dt..............430
о
Приложение 8. Учебные таблицы бомбардировочных расчетов. Значе-
ния функций $ и ;'min при D = 0.............432
Приложение 9. Средние значения функций $ и Jjmin для серий изобра-
женных строев...............................444
Литература ............................. 456
Редактор Федорова П Д.
Техн, редактор Фрейман Д. Д.
Корректор Хохлов К. С.
Чертежник Насонов А. Ф.
Сдано в производство 9.10.39
Подписано к печати 29.2.4л
Формат бумаги 60x92*/,»
Объем 29 печ. л., 31,8 авт. л.
Уполиом. Главлита № Г--12521
Издательский № 691
Заказ №3100
О печатано во 2-й типографии
I осу дарственного военн. нзл-кп
НКО СССР
им. Клима Ворошилова
(Лениш рад, ул. Геркена, д. I)
К читателям
Издательство просит
прислать отзыв на эту книгу
по адресу: Москва, Орликов пер., 3,
Воениздат
ИСП РАВЛЕН ИЯ
Стр. I i Строка Напечатано Должно быть
7 4 сверху вычислить по формуле: вычислять по формуле: ?sv- 2
105 6 » т тт определит л определит
245 3 в выполнимыми и времен- ными . выполнимыми времен* ними
Основы бомбометания.