вся
ВЫСШАЯ
МАТЕМАТИКА
М.Л. Краснов
А. И. Киселев
Г. И. Макаренко	|^В
Е.В.Шикин	В
В.И.Заляпин	В
Рекомендовано
Министерством образования
Российской Федерации
в качестве учебника для студентов
высших технических учебных заведений
Издание второе
УРСС
Москваа 2003
ББК 22.1Я73
Краснов Михаил Леонтьевич
Киселев Александр Иванович
Макаренко Григорий Иванович
Шикни Евгений Викторович
Заляпин Владимир Ильич
Вся высшая математика: Учебник. Изд. 2-е. — М.: Едиториал УРСС, 2003. Т. 1. — 328 с.
ISBN 5-354-00271-0
Предлагаемый учебник впервые вышел в свет в виде двухтомника сначала на английском и
испанском языках в 1990 году, а затем на французском. Он пользуется большим спросом за рубежом.
В 1999 году книга стала лауреатом конкурса по созданию новых учебников Министерства
образования России.
Этот учебник адресован студентам высших учебных заведений (в первую очередь будущим
инженерам и экономистам) и охватывает практически все разделы математики, но при этом представляет
собой не набор разрозненных глав, а единое целое.
Первый том включает в себя материал по аналитической геометрии, линейной алгебре, некоторым
разделам математического анализа (введение в анализ, дифференциальное исчисление функций одной
переменной).
Издательство «Едиториал УРСС». 117312, г. Москва, пр-т 60-летия Октября, 9.
Лицензия ИД №05175 от 25.06.2001 г. Подписано к печати 19.11.2002 г.
Формат 70 х 100/16. Тираж 5000 экз. Печ. л. 20,5. Зак. № 750
Отпечатано в типографии ИПО «Профиздат». 109044, г. Москва, Крутицкий вал, 18.
ИЗДАТЕЛЬСТВО
УРСС
НАУЧНОЙ И УЧЕБНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
ISBN 5-354-00270-2 (Полное произведение)
ISBN 5-354-00271-0 (Том 1)
E-mail: urss@urss.ru
Каталог изданий
в Internet: http://urss.ru
Тел./факс: 7 (095) 135-44-23
Телефакс: 7 (095) 13^42-46
© Едиториал УРСС, 2002
Все права защищены. Никакая часть настоящей книги не может быть воспроизведена или передана
в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами, будь то электронные или
механические, включая фотокопирование и запись на магнитный носитель, если на то нет письменного
разрешения Издательства.
Оглавление
От издательства....................................................................... 4
Введение в аналитическую геометрию.................................................... 5
Глава I. Элементы векторной алгебры................................................... 14
Глава II. Прямая и плоскость ........................................................ 31
Глава III. Кривые и поверхности второго порядка...................................... 46
Глава IV. Матрицы. Определители. Линейные системы.................................... 75
Глава V. Линейные и евклидовы пространства.......................................... 121
Глава VI. Линейные отображения...................................................... 140
Глава VII. Числовые множества. Числовые последовательности.......................... 168
Глава VII]. Предел и непрерывность функции одной переменной......................... 192
Глава IX. Производные и дифференциалы функции одной переменной...................... 232
Глава X. Дифференциальные теоремы о среднем. Формула Тейлора........................ 265
ГлаваХ!. Исследование функций одной переменной...................................... 284
Приложение. Элементарные функции ................................................... 311
Предметный указатель ........................................................
320
От издательства
Коллектив авторов данной книги хорошо известен не только в нашей стране,
но и во всем мире. Их учебники и задачники переведены на многие языки: англий-
ский, испанский, французский, итальянский, японский, польский, португальский.
Показателем большой популярности произведений этого авторского коллектива за ру-
бежом является причина создания данной книги: правительство одного государства
обратилось именно к этим авторам с заказом на написание учебника для своих студен-
тов инженерно-технических специальностей высших учебных заведений. Результатом
их коллективного творчества стал двухтомник «Курс высшей математики для инжене-
ров», вышедший сначала на английском и испанском языках (1990). а затем на фран-
цузском (1993). Он пользуется большим спросом у иностранных читателей.
В 1999 году эта книга в дополненном и обновленном варианте стала лауреатом
Конкурса по созданию новых учебников Министерства образования России.
Мы рады предложить вашему вниманию первое издание этого учебника на рус-
ском языке. Он адресован студентам высших учебных заведений (в первую очередь
будущим инженерам и экономистам) и охватывает практически все разделы матема-
тики, но при этом представляет собой не набор разрозненных глав, а единое целое.
В книге учтен опыт многолетнего преподавания авторов в высших учебных заведениях
разного профиля и уровня подготовки студентов. Она написана простым, доходчивым
и в то же время современным математическим языком надостаточно строгом уровне.
Отбор материала и способы его изложения строились авторами так, чтобы у чи-
тателя постепенно складывалось цельное представление об основных математических
идеях и методах. Они стремились вложить в руки пользователя простой, но эффек-
тивный инструмент, необходимый для разрешения прикладных задач разного уровня
и разнообразной природы.
Отличительной особенностью книги является большое количество разнообраз-
ных примеров и геометрических иллюстраций. Наличие рисунков позволяет читателю
лучше разобраться в материале, более основательно усвоить соответствующие темы
и разделы.
В конце каждой главы приводятся задачи и упражнения (с ответами) для само-
стоятельного решения.
ВВЕДЕНИЕ
В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ
§1. Прямоугольные декартовы координаты
1.1.	Координатная ось
Пусть на плоскости или в пространстве задана произвольная прямая L. Ясно, что
по этой прямой L мы можем перемешаться в одном из двух противоположных на-
правлений. Выбор любого (одного) из этих направлений будем называть ориен та цией
прямой L.
Определение 1. Прямая с заданной на ней.ориентапией называется осью.
На чертеже ориентация оси указывается стрелкой (рис. 1).
Фиксируем на оси L некоторую точку О и выберем какой-нибудь отрезок а,
положив по определению его длину равной единице (рис. 2).
Пусть М — произвольная точка оси L . Поставим этой точке в соответствие
число ж последуюшемуправилу: х равнорасстояпиюмежлу точками О н М, взятому
со знаком плюс или со знаком минус взависимости оттого, совпадаетли направление
движения от точки О к точке М с заданным направлением или противоположно ему
(рис.З).
а
'	„у
Г О	L ° ML
Рис. 1	Рис. 2	Рис. 3
Определение 2. Ось L с точкой начала отсчета О и масштабным отрезком а называ-
ется координатной осью, а число х, вычисляемое по указанному правилу, называется
координатой точки М.
Обозначение: М(х).
6 Введение в аналитическую геометрию
1.2.	Прямоугольные декартовы координаты на плоскости
Пусть П — произвольная плоскость. Возьмем на ней некоторую точку О и проведем
через эту точку взаимно перпендикулярные прямые и Lj. Зададим на каждой
из прямых L] и Z2 ориентацию и выберем единый масштабный отрезок а. Тогда эти
прямые превратятся в координатные оси с обшей точкой отсчета О (рис. 4).
Назовем одну из координатных осей осью абсцисс (осью Ох), другую — осью ординат
(осью Оу) (рис. 5). Точка О называется началом координат.
Пусть М — произвольная точка плоскости П (рис. 6). Проведем через точку М
прямые, перпендикулярные координатным осям, и поставим ей в соответствие упо-
рядоченную пару чисел (х, у) по следующему правилу:
х — координата точки Мх на оси Ох,
у — координата точки Му на оси Оу.
Числа х и у называются прямоугольными декартовыми координатами точки М;
при этом х называется ее абсциссой, ну — ординатой.
Обозначение: М(х, у).
Чтобы кратко охарактеризовать описанную кон-
струкцию, говорят, что на плоскости П задана прямо-
угольная декартова система координат Оху.
Координатные оси разбивают плоскость на четы-
ре части, называемые четвертями или квадрантами.
На рисунке и в таблице показано, как эти квадранты
нумеруются (рис. 7).
Рис. 7
Замечание. Масштабные отрезки на координатных осях могут быть и разной длины. В этом случае
координатная система называется просто прямоугольной.
1.3.	Прямоугольные декартовы координаты в пространстве
Возьмем в пространстве некоторую точку О и проведем через неетри взаимно перпен-
дикулярные прямые L\, Z2 и k- Выберем на каждой из прямых ориентацию и единый
масштаб.
Прямые L\, L2 и L3 превратятся в координатные оси с общей точкой отсчета О
(рис. 8).
Назовем одну из этих осей осью абсцисс (осью Ох), вторую — осью ординат (осью Оу)
и третью — осьюаппликат (осью Oz) (рис. 9). Точка О называется началом координат.
Пусть М — произвольная точка (рис. 10). Проведем через точку М плоскости,
перпендикулярные координатным осям, и поставим ей в соответствие упорядоченную
тройку чисел (х, у, z) последующему правилу:
х — координата точки Мх на оси Ох,
у — координата точки Му на о си Оу,
z — координата точки Мг на оси Oz.
Числа х, у и z называются прямоугольными декартовыми координатами точки М;
при этом х называется абсциссой точки М, у — ее ординатой, az- аппликатой.
Обозначение: М(х,у, z).
Таким образом, в пространстве введена прямоугольная декартова система коорди-
нат.
Определение. Плоскость, проходя щая через любую пару координатных осей, называется
координатной плоскостью.
Координатных плоскостей три: Оху, Oyz и Oxz. Эти плоскости разбивают
пространство на восемь частей — октантов.
1.4.	Простейшие задачи аналитической геометрии
А. Расстояние между точками
Пусть M\(xi) и М2(х2) — две точки на координатной оси. Тогда расстояние d между
ними вычисляется по формуле
d = d(Mi, М2) = |ж2 - I-
Если на плоскости задана прямоугольнаядекартова система координат Оху,то рас-
стояние d между любыми двумя точками М\ (х\, у}) и Мз(я:2,2/з) вычисляется по сле-
дующей формуле
d = d(M) ,М2) = у/(х2 - х})2 + (у2 - у})2.
< Рассмотрим прямоугольный треугольник ^ММ\М2 (рис. И). По теореме Пи-
фагора
[А^ед2 = [Л^М!2 + \мм2\2.
8------------------------------------------------------------Введение в аналитическую геометрию
Так как расстояние d между точками и М2 равно длине отрезка MjM2, а |М| М | =
|х2 - Ж] |, |ММ2| = |у2 - J/,|э то отсюда получаем, что
d2 = |ж2 - Ж1|2 + 11/2 - 2/1Р-
Замечая, что |ж2 - ж, |2 = (ж2 - Ж|)2 и |у2 - У\|2 = (j/2 - j/j)2, и извлекая из обеих частей
равенства квадратный корень, приходим к требуемой формуле. ►
Замечание. Расстояние между точками Af|(xi, у\, zi) и Af2(x2, у2, гг) в пространстве вычисляется
по следующей формуле
d = d(M 1, М2) = \/(г2 - Т1)2 + (y2 - У1)2 + (z2 - zi)2
(покажите это).
Задача 1. Написать уравнение окружности радиуса г с центром в точке Р(а, Ь).
Пусть М(х, у) — точка окружности (рис. 12). Это означает, что |Л/Р| = г. Заменим |Л/Р| его
выражением
|МР| = У(х - а)2 + (у - Ь)2
и возведем обе части полученного равенства в квадрат:
(х - а)2 + (у- Ь)2 = г2.
Это есть каноническое уравнение окружности радиуса г с центром в точке Р(а, Ь). ►
Задача 2. Пусть F„(-c, 0) и Fn(c,0) — фиксированные точки плоскости, а — заданное число (о >
с 0). Найти условие, которому удовлетворяют координаты х и у точки М, обладающей следующим
свойством: сумма расстояний от точки М до и до F„ равна 2а.
4 Вычислим, расстояния между точками М и F, и между точками М и F„. Имеем
|Л/Гл| = у/(х + с)2 + у2, |Л/ГП| = у/(х-с)2 + у2
(рис. 13). Отсюда
У(ж + с)2 + у2 +	- с)2 + у2 = 2а
Перенесем второй корень в правую часть
У(ж + с)2 + у2 = 2а -	- с)2 + у2.
Возводя обе части в квадрат, после простых преобразований получим
ayj(x — с)2 + у2 = а2 — сх.
С целью дальнейших упрощений вновь возводим обе части в квадрат. В результате приходим
к равенству
/_2	2\_,2 । _2_.2	Л2/~2	2\
(а — с )х iay = а (а —с ).
§ 1. Прямоугольные декартовы координаты
9
Полагая Ь2 = а2 - с2 и деля обе части последнего соотношения на а2Ь2, получаем уравнение
эллипса	____________
т2 У2
я2
(см. главу III). ►
Б. Деление отрезка в данном отношении
Пусть М\(х\,у}) и М2(х2,У2) — различные точки плоскости. Пусть, далее, точка
М(х, у) лежит на отрезке М\М2 и делит его в отношении А] : Аг, т. е.
\М}М\ _ А|
|ММ2| “ а2'
Требуется выразить координаты хну этой точки через координаты концов отрезка
М\М2 и числа А] и А2.
◄ Предположим сначала, что отрезок М}М2 не параллелен оси ординат Оу (рис. 14).
Тогда
|М,М| = |М1ДМХ|
|ММ2| \мхм2,\‘
Так как
\М1хМх\ = |Ж] - ж| и \МхМ2х\ = I® - 221,
то из последних двух соотношений полу-
чаем, что
1^1 ~ Е| _ А|
|® — х21 А2
Точка М лежит .между точками М\ и Mi, поэтому либо Х\ < х < х2, либо >
х > х2. В любом из этих случаев разности X] - х и х — х2 имеют одинаковые
знаки. Это позволяет переписать последнее равенство в следующей форме
X] — х _ А)
х — х2 Аг
Отсюда
А2сс । 4" А । х2
х = —---------------
В случае, когда отрезок М]М2 параллелен оси Оу, х} = х2 = х. Заметим, что тот
же результат дает формула (*),если положить в ней Ж] = х2.
Справедливость формулы
-^22/1 +
У= х  х
доказывается аналогичным рассуждением. ►
Задача 3. Найти координаты центра тяжести М треугольника с вершинами в точках М| (ап, зл),
М2(х2,у2) и Мз(х2,уз).
4 Воспользуемся тем, что центр тяжести треугольника совпадает с точкой пересечения его медиан.
Точка М делит каждую медиану в отношении 2 :
координаты х и у можно найти по формулам
I • х2 + 2 • х'
х = ---------,
1, считая от вершины (рис. 15). Тем самым, ее
I • уз + 2 • у'
У=-----------
10
Введение в аналитическую геометрию
где х' w у — координаты второго конца М' медианы М^М'. Так как М' — середина отрезка M\Mi,
1 -®1 + I -Х2	, I -yi + I -У2
1+1	’ У ~	1+1
Полученные соотношения позволяют выразить координаты х и у
центра тяжести М треугольника &М\М2М-$ через координаты
его вершин:
Х\+Х2+Ху	У1+У2 + У3
X ~	. V = ----------. ь
Замечание. Если точка M(x,y,z) делит отрезок с концами
Уь zi) и М2(х2,у2,22) в отношении А| : Aj, то ее ко-
ординаты вычисляются по формулам
Ajari +А|ЯГз А2У1+А1У2 AjZ]+A]Z2
х — ----------- у —------------- z — ------------.
А| + Aj	А| + Aj	А| + А2
§ 2. Полярные координаты
)
Предположим, что задана точка О, ось L , содержащая точку О, и масштабный отрезок
(эталон длины) (рис. 16).
Пусть М — произвольная точка плоскости, отличная от точки О (рис. 17). Ее
положение на плоскости однозначно определяется двумя числами: расстоянием г
между точками О и М и отсчитываемым против часовой стрелки углом <р между
положительнымлучом оси L и лучом ОМ с началом в точке О. Пару (г, <р) называют
полярными координатами точки М; г — полярный радиус точки М, <р — полярный угол.
Точка О называется полюсом, L — полярной осью.
Ясно, что г>0,0^у?<2тг. Если точка М совпадаете полюсом, то считаем
г = 0; полярны й угол <р в этом случае не определен.
Таким образом, на плоскости можно задать еще одну координатную систему —
полярную.
Прямоугольную декартову систему координат Оху будем называть согласованной
с заданной полярной, если начало координат 0(0, 0) — полюс, ось Ох — полярная
ось, а ось Оу составляете осью Ох угол, равный 4-Тогда
/----- ®	У~
r = y/x2+y2, cosy?=—, sin у? = -
г	г
Рис. 16
Рис. 17
§ 3. Определители 2-го и 3-го порядков------------------------------------------------------11
(рис. 18). В свою очередь
х = г cos <р,у = г sin v?- ]
Пример. Пусть R > 0 — заданное число. Множество точек плоскости,
полярные координаты (г, которых удовлетворяют равенству
г = Л,
является окружностью радиуса Л с центром в полюсе (рис. 19). ►
§3. Определители 2-го и 3-го порядков
Пусть имеем четыречисла а1(, а^, азi, а. 22 (читается — «а-один-один», «а-один-два»,
«а-два-один», «а-два-два»).
Определителем второго порядка называется число
«Н«22 — «12«21-
Обозначение:
«и ai2
«21	«22
= «11 «22 “ «12«21 -
Числа оц, ai2, «21, «22 называются элемента-
ми определителя’, пары элементов ац, а12 и а2\, «22
образуют строки определителя, а пары элементов
ац, 021 и «12, «22 — его столбцы’, пара элементов
«н, «22, образует главную диагональ определителя,
а пара а^,021 — побочную диагональ.
Тем самым, для вычисления определителя вто-
рого порядка нужно из произведения ацО22 элементов главной диагонали вычесть
произведение Oi 2«3i элементов его побочной диагонали (рис. 20).
Пример. Вычислить определитель
4 По правилу (1) имеем
2 Ц = -4+6=^
С определителями второго порядка мы встречаемся уже при отыскании решения
системы двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными
«и® + «122/ = &1,
«21® + апУ = Ь2.
Решая эту систему методом исключения неизвестных при условии, что
		«1 «2	«12 «22	#0,	
находим Ь|«22“Ь2«12	0(2 &2	«22				&2« 11 -	«21 _	«11 Ь] «21	&2
«2у —	- «11«22 - «12«21	«11	«12		И	у «Н«22 “ «12«21	«11	«12
	«21	«22				«21	«22
12 Введение в аналитическую геометрию
Пусть теперьданы девять чисел atJ (г = 1,2, 3; j = 1,2, 3).
Определителем третьего порядка называется число, обозначаемое символом
	«н	«12	«13
А	«21	«22	«23
	«31	«32	«33
и вычисляемое по следующему правилу:
А = «| | «22a33 + «12«23«31 + «21 «32«13 — «|3«22«31 — «2I«12«33 “ «H«23«32-
Первый индекс i элемента а|; указывает номерстроки, в которой
он расположен, а второй индекс j — номер столбца.
Элементы ац, а22, «зз образуют главную диагональ определите-
ля А, элементы а(з, а22, «з| — побочную диагональ.
Чтобы разобраться с распределением знаков в правой части фор-
мулы (2), обратим внимание на следующее: произведение эле-
ментов аца22«зз главной диагонали входит в формулу со своим
знаком, также как и произведение ai2a23a?i и а21 «з2«!з элементов,
расположенных в вершинах треугольников, основания которых па-
раллельны главной диагонали (рис. 21); с другой стороны, произве-
дение «[з«22«31 элементов побочной диагонали, а также произведе-
ния «21«12«зз и «ц«2з«з2 — с противоположным знаком (рис.22).
Такой подход к вычислению определителя третьего порядка называ-
ется правилом треугольника.
(2)
Рис. 21
Рис. 22
Пример. Вычислить определитель
Д =
О -1
4	3
-1	6
4 Применяя правило треугольника, находим
Д = 1 - 4-6+(-1)-2(-1) + 0-3-3-(-1)-3-4-0-2-6-1 .(-1)-3 =
= 24 + 2 + 0+12-0 + 3 = 41. ►
Установим некоторые свойства определителей 3-го порядка, легко проверяемые при
помощи разложений (1) и (2).
Свойство 1. Величина определителя не изменится, если все его строки заменить его
столбцами с теми же номерами
«11	«12	«13
«21	а22	«23
«31	«32	«33
«II	«21	«31
«12	«22	«32
«13	«23	«33
Свойство 2. При перестановке любых двух строк (или любых двух столбцов) определи-
теля он изменяет свой знак на противоположный.
Свойство 3. Общий множитель всех элементов одной строки (или одного столбца) опре-
делителя можно вынести за знак определителя
fcti] ।	kdi2	fe« 13		«11	kai2	«13		«н	«12	«13
«21	«22	«23	=	«21	ka>22	«23	= к	«21	«22	«23
«31	«32	«33		«31	ka,y2	«33		«31	«32	«33
Следующие три свойства определителя вытекают из свойств 1-3. Впрочем, в их спра-
ведливости можно убедиться и непосредственно, пользуясь формулами (1) и (2).
§ 3. Определители 2-го и 3-го порядков
13
Свойство 4. Если определитель имеет две равные строки (или два равных столбца), то
он равен нулю.
Свойство 5, Если все элементы некоторой строки (или некоторого столбца) равны нулю,
то и сам определитель равен нулю.
Свойство 6. Если соответствующие элементы двух строк (или двух столбцов) пропор-
циональны, то определитель равен нулю.
Укажем еще один способ вычисления определителя 3-го порядка
<*11
А = <*21
<*31
<*12
<*22
<*32
<*13
<*23
<*33
М23 —
Минором M{j элемента atJ определителя А называется определитель, получаемый
из данного путем вычеркивания элементов г-й строки и j -го столбца, на пересечении
которыхнаходится этот элемент. Например, минором элемента а2з будетопределитель
<*Н	<*12
<*31 <*з2
Алгебраическим дополнением Aij элемента называется минор Mij этого элемента,
взятый со своим знаком, если сумма i 4- j номеров строки и столбца, на пересечении
которых расположен элемент a{J, есть число четное, и с противоположным знаком,
если это число нечетное: 
Теорема. Определитель равен сумме произведений элементов любой его строки (любого его
столбца) на их алгебраические дополнения, так что имеют место следующие равенства
<=1,2,3;	(3)
А = atiAri + а,2А(2 + а^Ах,
j = 1,2,3.
(4)
— <*п
<*22	<*23
<*32 <*33
— а(2
+ <*13
<*21	<*22
<*31	<*32
А
Ац = (~l)i+W
◄ Покажем, например, что
А = ai (Ли + a [2-412 + ан?! и.
Пользуясь формулой (2), получаем, что
А = <*ц(<*22<*33 — <*32<*2з) + <*12(<*23<*31 ~ <*21<*3з) + <*1з(<*21 <*32 — <*31 <*22) =
<*21	<*23
<*31	<*33
— <*н^п “ <*12-^12 4- а\уМ\з = <*н.4)1 4- a 12-412 4- <*iз-^iз- ►
Правило (3) называется разложением определителя по элементам i-й строки, а пра-
вило (4) — разложением определителя по элементам j -го столбца.
Пример. Вычислить определитель
д =
2
3
4 Раскладывая определитель по элементам 1-ой
д=1-1 f 21-0
0
4
3
6
строки,
получим
= (24 + 3) +0+(2 + 12) = 41. ►
Гпава I
ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
§ 1. Понятия связанного и свободного векторов
Рассмотрим две точки А и В. По соединяющему их отрезку можно перемещаться
в любом из двух противоположных направлений. Если считать, например, точку А
начальной, а точку В конечной, то тогда получаем направленный от резок АВ, в другом
случае — направленный отрезок В А. Направленные отрезки часто называют связан-
ными или закрепленными векторами. На чертеже заданное направление указывается
стрелкой (рис. I).
В случае, когда начальная и конечная точки совпадают, А = В, связанный вектор
называется нулевым.
Определение. Будем говорить, что связанные векторы АВ и CD равны, если середины
отрезков AD и ВС совпадают (рис. 2).
Обозначение: АВ = CD.
Заметим, что в случае, когда точки А, В, С и D не лежат на одной прямой, это
равносильно тому, что четырехугольник ABCD — параллелограмм.
Ясно, что равные связанные векторы имеют равные длины.
Пример. Рассмотрим квадрат и выберем векторы, как указано на рис.3. Векторы АВ и DC равны,
а векторы ВС и DA не равны. ►
Укажем некоторые свойства равных связанных векторов:
1.	Каждый связанный вектор равен самому себе: АВ = АВ.
2.	Если АВ = CD, то и CD = АВ.
$2. Линейные операции над векторами
15
3.	Если А В = CD и CD = EF, то А В = EF (рис. 4).
Пусть АВ — заданный связанный вектор и С - произвольная точка. Ясно, что,
опираясь на определение, всегда можно построить точку D так, чтобы
CD = АВ.
Тем самым, от каждой точки можно отложить связанный вектор, равный исходному
(рис. 5).
Мы будем рассматривать свободные векторы, т. е. такие векторы, начальную точку
которых можно выбирать произвольно, или, что то же самое, которые можно произ-
вольно переносить параллельно самим себе. Ясно, что свободный вектор АВ одно-
значно определяется заданием связанного вектора АВ.
Если в качестве начальных выбирать лишь те точки, которые лежат на прямой,
определяемой заданным (ненулевым) связаннымвектором, то мы приходим к понятию
скользящего вектора (рис. 6).
Рис. 6
Связанные и скользящие векторы широко используются втеоретической механике.
Для обозначения свободных векторов будем пользоваться полужирными строчны-
ми латинскими буквами — а, Ь, с,... ; нулевой вектор обозначается через 0.
Пусть заданы вектор а и точка А. Существует ровно одна точ-
ка В, для которой	В
Л5 = а	•Г"
(рис.7). Операция построения связанного вектора АВ, для кото- рис,7
рого выполняется это равенство, называется откладыванием свободного вектора а от
точки А.
Заметим, что связанные векторы, получаемые в результате описанной операции
откладывания, равны между собой и, значит, имеют одинаковую длину. Это позволяет
ввести длину свободного вектора а, которую мы будем обозначать символом |а|. Длина
нулевого вектора равна нулю. Если а = Ь, то |а| = |Ь|; обратное неверно.
§2. Линейные операции над векторами
2.1. Сложение векторов
Пусть заданы два вектора а и Ь. Возьмем какую-нибудь точку О и отложим от нее
вектор а: О А = а. От полученной точки А отложим вектор Ь: АВ = Ь. Полученный
ь
Рис, 8
16___________________;________________________________Глава I. Элементы векторной алгебры
в результате вектор ОВ называется суммой векторов а и b и обозначается через а 4- b
(рис. 8). Этот способ построения суммы векторов называется правилом треугольника.
Нетрудно заметить, что сложение векторов комму-
тативно, т. е. для любых векторов а и b справедливо
равенство
а 4- b = b 4- а
(рис. 9).
Если отложить векторы а и Ъ от обшей точки О и по-
строить на них как на сторонах параллелограмм, то век-
тор 015, идущий из общего начала О в противоположную вершину параллелограмма,
будет их суммой а 4- b (или b 4- а) (рис. 10). Этот способ построения суммы векторов
называется правилом параллелограмма.
Пусть заданы три вектора, например, а, b и с. Отложим от произвольной точки О
--------► >
вектор а: О А = а; от полученной точки А отложим вектор Ь: АВ = Ь; отточки В —
вектор с: ВС = с (рис. 11). По определению суммы OB = а + b и ОС = (а + Ь) 4- с
(рис. 12). С другой стороны, АС = b + с и, значит, 0(5 = а + (Ь + с) (рис. 13). Тем
самым, для любых векторов а, b и с выполняется равенство
(а + Ь) + с = а + (1) 4- с),
т. е. сложение векторов ассоциативно. Опуская скобки, можно говорить о сумме трех
векторов и записывать ее так:
а 4- b + с.
Рис. 12	Рис. 13
Аналогично определяется сумма любого числа векторов: это есть вектор, который
замыкает ломаную, построенную из заданных векторов. На рис. 14 показано, как
построить сумму семи векторов:
а = а> 4- аг 4- аз 4- ад 4- as 4- аб 4- а?-
$ 2. Линейные операции над векторами 17
Приведенный способ сложения произвольного числа векторов называется прави-
лом замыкающего ломаную.
Пример- Найти сумму векторов, идущих из центра правильного шестиугольника в его вершины.
4 По правилу замыкающего ломаную получаем
Л| + «2 + «3 + «4 + «5 + «6 = О
(рис. 15). ►
2.2. Умножение вектора на число
Определение. Свободные векторы а и b называются коллинеарными, если
определяющие их связанные векторы лежат на параллельных или на со-
впадающих прямых (рис. 16).
Обозначение: а И Ь.
Замечание. И з определения следует, что если хотя бы один из векторов а и b нулевой,
то они коллинеарны.
Рис. 16
Если отложить коллинеарнее векторы а и b от
общей точки О, ОА = а, ОВ = Ь, то точки О,	О	А В
А и В будут лежать на одной прямой. При этом	•	> • х
возможныдва случая: точки А и В располагаются	t	ж
на этой прямой: 1) по одну сторону от точки О, А	О	В
2) по разные стороны (рис. 17). В первом случае	Рис 17
векторы а и b называются одинаково направленны-
ми, а во втором — противоположно направленными.
Если векторы имеют равные длины и одинаково направлены, то они равны.
Пусть а — вектор, А — вещественное число.
Определение. Произведением вектора а на число А называется вектор b такой, что
1) 1Ы = 1А|-|а|;
2) векторы а и b одинаково (соответственно, противоположно) направлены, если
А > 0 (соответственно, А < 0).
Обозначение: b = Аа.
18 Глава I. Элементы векторной алгебры
При А = О положим Аа = О,
Таким образом, векторы а и b = Аа коллинеарны по определению. Верной обрат-
ное: если векторы а (а 0) и b коллинеарны, то можно найти число А такое, что
b = Аа.
Укажем основные свойства этой операции умножения вектора на число:
1.	(А + g)a = Аа +/га,
2.	А(/га) = (A/z)n,
3.	А(а + Ь) — Аа 4- АЬ
(здесь А и /г — любые действительные числа, а и b — произвольные векторы).
Определение. Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором,
илиортом, и обозначается а0 (читается: а с нуликом), |а°| = 1.
Если а И 0, то вектор
Рис. 18
о I и
а = ГТ « = —
есть единичный вектор (орт) направления вектора а (рис. 18).
§3	. Координаты и компоненты вектора
Выберем в пространстве прямоугольную декартову систему координат. Обозначим
через i, j, к единичные векторы (орты) положительных направлений осей Ох, Оу, Oz
(рис. 19). Рассмотрим произвольный вектор а, начало которого лежит в начале коор-
динат О, а конец — в точке А. Проведем черезточку А плоскости, перпендикулярные
осям Ох, Оу и Oz. Эги плоскости пересекут координатные оси в точках Р, Q и R
соответственно. Из рис. 20 видно, что
л = ОР + OQ + OR.	(I)
Векторы OP, OQ и OR коллинеарны соответственно единичным векторам i, j, k,
Рис. 19
Рис. 20
$3. Координаты и компоненты вектора 19
поэтому найдутся числа х, у, z такие, что
ОР — xi, OQ = yj, OR — 2k
и, следовательно,
а =	+ t/j + zk.
(2)
Формула (2) называется разложением вектора а по векторам i, j, к. Указанным
способом всякий вектор может быть разложен по векторам i, j, k.
Векторы i, j, к попарно ортогональны, и их длины равны единице. Тройку •, j, к
называют ортонормированным (координатным) базисом (ортобазисом).
Можно показать, что для каждого вектора а разло-
жение (2) по базису i, j, к единственно, т. е. коэффи-
циенты х, у, z в разложении вектора а по векторам i,
j, к определены однозначно. Эти коэффициенты назы-
ваются координатами вектора а. Они совпадают с ко-
ординатами х, у, z точки А — конца вектора а. Мы
пишем в этом случае
а = {х, у, г}.
Эта запись означает, что свободный вектор а одно-
значно задастся упорядоченной тройкой своих коорди-
нат. Векторы ®i, yj, zk, сумма которых равна вектору
а, называются компонентами вектора а.	Рис. 21
Из вышеизложенного следует, что два вектора а = {ж,, у\, zj и b = {х2, у2, z2}
равны тогда и только тогда, когда соответственно равны их координаты, т. е.
	' ж, = ж2,
а = b <=> <	II II
Радиус-вектором точки М(х, у, z) называется вектор г = xi + t/j + zk, идущий
из начала координат О в точку М (рис. 21).
Линейные операции над векторами в координатах
Пусть имеем два вектора а = {ж,, у\, z}} и b = {ж2,2/2, z2}, так что а = x,i + 2/ij + z,k,
b = x2i + 2/г] + На основании правила сложения векторов имеем
а + b = (ж] i + yj + z,k) + (z2i + 3/2Л + z2k) = (ж, + x2)i + (y\ + t/2)j + (z\ + z2)k,
или, что то же,
а + b = {xj + ж2, у\ + з/2, z\ + z2}
— при сложении векторов их координаты попарно складываются.
Аналогично получаем
а - b = {а?| - а?2,2/1 ~ 2/2, *i - z2}.
Далее,
Аа = Аж,14-Ai/J + Az,k,
ил и, что то же,
Аа = {Аж,, Xyi, Az,}
— при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.
20 Глава I. Элементы векторной алгебры
Пусть а = {а?|, yi, Z|}, b = {а?2, У2, г2) — коллинеарные векторы, причем b # 0.
Тогда а = дЬ, т.е.
2?( = /1X2, yi = ДУ2,
или	______________
а?2 У2 Z2
Обратно, если выполняются соотношения (3), то
а = дЬ, т. е. векторы а и b коллинеарны.
Таким образом, векторы а и b коллинеарны тогда
и только тогда, когда их координаты пропорциональ-
ны.
Пример. Найти координаты вектора М] М2, начало которого на-
ходится вточке М\(х\, у\, zi), а конец — вточке M2(x2>y2>z2)-
4 Из рис. 22 видно, что М\М2 — Г2 - п, где г|, rj — радиус-
векторы точек М\ и М2 соответственно. Поэтому
М\М2 ~ {x2-Xi,y2-y\,z2-zt}
— координаты вектора М1М2 равны разностям одноименных
координат конечной М2 и начальной М। точек этого вектора, в»
§4	. Проекция вектора на ось
Рассмотрим на оси I ненулевой направленный отрезок АВ (рис. 23). Величиной на-
правленного отрезка АВ на оси I называется число, равное длине отрезка АВ, взятой
сознаком «+», если направление отрезка АВ совпадаете направлением оси/, и со зна-
ком «-», если эти направления противоположны.
Рассмотрим теперь произвольный вектор ЛВ, определяемый связанным вектором
АВ. Опуская из его начала и конца перпендикуляры на заданную ось I, построим
на ней направленный отрезок CD (рис. 24).
Определение. Проекцией вектора АВ на ось I называется величина направленного от-
резка CD, построенного указанным выше способом.
§5. Скалярное произведение векторов-------------------------------------------------------------21
Обозначение: ргг АВ = |CD|.
4.1.	Основные свойства проекций
1.	Проекция вектора АВ на какую-либо ось I равна произведению длины вектора
на косинус угла между осью и этим вектором (рис. 25)
рг7 АВ = | Acos а.
2.	Проекция суммы векторов на какую-либо ось I равна сумме проекций векторов
на ту же ось.
Например,
(рис. 26).
pr((a + b + с) = рг/ а + рг/ b + рг, с
§5	. Скалярное произведение векторов
Пусть имеем два вектора а и Ь.
Определение. Скалярным произведением вектора а на вектор b называется число, обо-
значаемое символом (а, Ь) и определяемое равенством
| (a, b) = 1 а1! • }1>| • cos = |а| > |Ь|  cos(aTb), |	(1)
где <р, или в иной записи (а, !>), есть угол между векторами а и b (рис. 27 а).
Заметив, что |b| cos<p есть проекция вектора b на направление вектора а, можем
написать
(а, Ь) = |а|  pr« h
(рис. 27 б) и, аналогично,
(2)
(a,b) = |Ь| • ргьа
22
Глава I. Элементы векторной алгебры
(рис. 27 в), т. е. скалярное произведение двух векторов равно длине
одного из них, помноженной на проекцию на него другого вектора.
В случае, если один из векторов а или b — нулевой, будем считать,
что
(а, Ь) = 0.
5.1.	Свойства скалярного произведения
1.	Скалярное произведение обращается в нуль в том и только в том
случае, когда по крайней мере один из перемножаемых векторов явля-
ется нулевым или когда векторы а и I) ортогональны, а±Ь.
◄ Это следует из формулы (1), определяющей скалярное произведе-
ние. ►
Поскольку направление нулевого вектора не определено, мы мо-
жем его считать ортогональным любому вектору. Поэтому указанное
свойство скалярного произведения можно сформулировать так:
а±Ь (а, Ь) = 0.
Рис. 27
2.	Скалярное произведение коммутативно:
|7а?Ь) = (bfa)k
◄ Справедливость утверждения вытекает из формулы (1), если учесть четность функ-
ции cos <р: cos(-<p) = cos <р. ►
3.	Скалярное произведение обладает распределительным свойством относительно
сл оже и и я:
(а + I), с) = (а, с) + (I), с).
◄ Действительно,
(а + Ь, с) = |с| • рг«.(а + Ь) = |с| • (рг(. а + ргс Ь) =
= |с| • рге а + |с|  ргс b = (а, с) + (Ь, с). ►
4.	Числовой множитель А можно выносить за знак скалярного произведения
(Аа, b) = (а, АЬ) = А(а, Ь).
4 Действительно, пусть А > 0. Тогда
А(а,1>) = A|a||b|-cos(a,b);
(Аа, Ь) = |А| • |а| • |Ь| • cos(Aa, b) = А|а| • |Ь| • cos(a,b),
поскольку при А > 0 углы (а, Ь) и (Аа, Ь) равны
(рис. 28).
Аналогично рассматривается случай А < 0.
При А = 0 свойство 4 очевидно. ►
Рис. 28
Замечание. В обшем случае (м. Ь)с а(1>, <•).
§ 5. Скалярное произведение векторов 23
5.2.	Скалярное произведение векторов, заданных координатами
Пусть векторы а и b заданы своими координатами в ортонормированном базисе i, j, k:
а =	b = {Х2,У2,22}.
Рассмотрим скалярное произведение векторов а и Ь:
(а, Ь) = (янi 4-	4- z}k, х2\ 4- у2j 4- z2k).
Пользуясь распределительным свойством скалярного произведения, находим
(a,b) = X]x2(i, i) 4- !/ix2(j, i) + 2jX2(k, i) 4- xij/2(i, j) 4-
4- У\JfoCL j) 4- *i!/2(M) 4- z i z2(i, k) 4- у i22(j, k) + Z)Z2(k, k).
Учитывая, что
(i, j) = (i, k) = (j, k) = 0, (i, j) = (j, j) = (k, k) = 1,
получаем	___________________________
(a,b) = XjX2+y{y2 + ZjZ2.	(4)
Тоесть, если векторы а и b заданы своими координатами в ортонормированномбазисе,
то их скалярное произведение равно сумме произведений одноименных координат.
Пример. Найти скалярное произведение векторов n = 4i — 2j + k и b = 6i + 3j + 2k.
◄ (a, b) = 4 • 6 + (—2) • 3 + 1 • 2 = 20. ►
Скалярное произведение вектора на себя называется скалярным квадратом:
(а, а) = а2.
Применяя формулу (4) при b =а, найдем
а = х2 4- у] 4- Z|.	(5)
С другой стороны,
а2 = (а, а) = |а|2 • cos 0 = |а|2,
так что из (5) следует, что
|а| = ^/xj 4-у,2 + z] |	(6)
— в ортонормированном базисе длина вектора равна квадратному корню из суммы
квадратов его координат.
5.3.	Косинус угла между векторами. Направляющие косинусы
Согласно определению
(а, Ь) = |а| • |Ь| • cos <р,
где р — угол между векторами а и Ь. Из этой формулы получаем
(°, Ь)	,-X
С05" = ть?	(7)
(предполагается, что векторы а и b — ненулевые).
24 Глава I. Элементы векторной алгебры
Пусть п = {х|, т/i, Z|}, b = {х2, Уз, z2}. Тогда формула (7) примет следующий вид
Х\Х2+У1Уз+2122
COS 9? = —	=.-=•=:-=7--===:.	(8)
У ж? + у2 -ь z2 - yjх\ + у~2 +- zj
Пример. Найти угол между векторами и = {2, -4,4, } и b = {-3, 2,6}.
< Пользуясь формулой (8), находим
-6 - 8 4.24	5
cos V —	---—===== = —. ►
г 74+16 + 16-\/9+ 4+ 36	21
Пусть b = i, т.е. b = {1, 0, 0}. Тогда для всякого вектора а = {xi, yi, zj # О
имеем
или, в координатной записи,
углов, образуемых вектором а с осями координат (рис. 29).
Пример. Найти координаты единичного вектора п°.
◄ По условию |п°| = 1. Пусть п° = xi + yj + zk. Тогда
(n°, i) = х = |п°| • Н • cos(n°, i) = cos а,
(n°, j) == У = cos/3,
(n°, k) = z = cos 7.
Таким образом, координатами единичного вектора являются коси*
нусы углов, образованных этим вектором с осями координат:
п° s I cos а + j cos /3 + k cos 7.
Отсюда получаем
(n0)2 = (n°, n°) = 1 = cos2 о + cos2 0 + cos2 7. ►
Рис. 30
Пример. Пусть единичный вектор п° ортогонален оси z:
п° = xi + yj
(рис. 30). Тогда его координаты х и у соответственно равны
x=cosy>, y = siny>.
Тем самым,
п° = icosy) + jsintp. ►
§6	. Векторное произведение векторов 25
§6	. Векторное произведение векторов
Определение. Векторным произведением вектора а на вектор b называется вектор, обо-
значаемый символом [а, Ь] (или а х Ь), такой, что
I)	длина вектора [а, Ь] равна |а| • ]Ь| • sin , где <р — угол между векторами а и b
(рис. 31);
2)	вектор [а, Ь] перпендикулярен векторам а и Ь,т.е. перпендикулярен плоскости
этих векторов;
3)	вектор [а, Ь] направлен так, что из конца этого вектора кратчайший поворот
от а к b виден происходящим против часовой стрелки (рис. 32).
Иными словами, векторы а, b и [а, Ь] образуют правую тройку векторов, т. е.
расположены так, как большой, указательный и средний пальцы правой руки.
В случае, если векторы а и Ь коллинеарны, будем считать, что [а, Ь] = 0.
По определению длина векторного произведения
|[а,Ь]| = |а| • |b| - sin у	(1)
численно равна площади Sa параллелограмма (рис. 33),
построенногона перемножаемых векторах а и b как на сто-
ронах:	_______________
|[а, b]| = Sa.
Рис. 33
6.1.	Свойства векторного произведения
1.	Векторное произведение равно нулевому вектору тогда и толькотогда, когда по край-
ней мере один из перемножаемых векторов является нулевым или когда эти векторы
коллинеарны (если векторы а и Ь коллинеарны, то угол между ними равен либо О,
либо тг).
<4 Это легко получить из того, что |[а, Ь]| = |а| • |Ь| • sin <р. ►
Если считать нулевой вектор коллинеарным любому вектору, то условие коллине-
арности векторов а и Ь можно выразить так
а || Ь [а, Ь] = 0.
2.	Векторное произведение антикоммутативно, т. е. всегда
[Ь, а] = -[а, Ь].
(2)
26 Глава I. Элементы векторной алгебры
◄ В самом деле, векторы [а, Ь] и [Ь, а] имеют одина-
ковую длину и коллинеарны. Направления же этих
векторов противоположны, так как из конца векто-
ра [а, Ь] кратчайший поворот от а к b будет виден
происходящим против часовой стрелки, а из конца
вектора [Ь, а] — почасовой стрелке (рис.34). ►
3.	Векторное произведение обладает распредели-
тельным свойством по отношению к сложению
[а + Ь, с] = [а, с] + [Ь, с].
4.	Числовой множитель А можно выносить за знак
векторного произведения
[Аа, Ь] = [a, Ab] = А [а, Ь].
6.2.	Векторное произведение векторов, заданных координатами
Пусть векторы а и b заданы своими координатами в базисе i,j, k: а = {xr(, yi, zj,
b = {«2, У2, z2}. Пользуясь распределительным свойством векторного произведения,
находим
[a, b] = [ал i + j/ij + zik, x2i + y2j + z2k] +
= xiz2[i, i] + жiз/2[«, j] + ®i^2[i, k] +
+ 2/1	] + 2/12/2 [j, J) +2/122U, k] +
+ z1ar2[k, i] + z,3/2[k, j] + Z|Z2[k, kJ.
Выпишем векторные произведения координатных ортов (рис. 35):
] = [j, j] = [k, k] = О,
[J] = k,	(J. k] = i,	[k, i] = j,
[JJ] = -k,	[kJ] = -i.	[. k] = -j.
Поэтому для векторного произведения векторов а и b получаем Рис. 35
из формулы (3) следующее выражение
[а, Ь] = х\у2к - x}z2j - У\Х2к + 3/iI 22i + Zix2j - zxу2i =
(4)
= 1(3/122 - yiZ\) +j(x2zt - xtz2) + к(ж\y2 - x2y\).
Формулу (4) можно записать в символической, легко запоминающейся форме, если
воспользоваться определителем 3-го порядка:
I	i	j	k
[a, b] =	a?i	з/i	2j
х2	3/2	z2
(5)
Разлагая этот определитель по элементам 1-й строки, получим (4).
Примеры.
1. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах а = i + j — k, b — 2i + j— k.
§ 7. Смешанное произведение векторов 27
< Искомая площадь So = |[а, Ь]|. Поэтому находим
откуда
j
1
1
к
-1
-1
= i • 0 + j • (-1) + к • (-1) = -j + к;
Sa = vTTT = ?2. ►
2. Найти площадь треугольника О АВ (рис. 36).
◄ Ясно, что площадь треугольника ОАВ равна поло-
вине площади S параллелограмма О АС В. Вычисляя век-
торное произведение [и, 1>| векторов и = О А и b = ОВ,
получаем
Отсюда
[а, Ь] =
i
Х\
х2
j
У2
= (х\у2-х2у{)к.
к
О
О
So = \х{у2-х2у,\ И = -|Х|У2 -®2У||- ►
Замечание. Векторное произведение нс ассоциативно, т. с. равенство [[а, 1>],с] = [а, [»», с]] в общем
случае неверно. Например, при а = i, b = j. <• = j имеем
=	= -I. li.liill = |i.<•! = »
§7. Смешанное произведение векторов
Пусть имеем три вектора а, b и с. Перемножим векторы а и b векторно. В результате
получим вектор [а, Ь]. Умножим его скалярно на вектор с:
({а, bl, с).
Число ([а, Ь], с) называется смешанным произведением векторов а, Ь, с и обозначается
символом (а, Ь, с).
7.1.	Геометрический смысл смешанного произведения
Отложим векторы а, b и сотобшейточки О (рис. 37).
Если все четыре точки О, А, В, С лежат в одной
плоскости (векторы а, b и с называются в этом
случае компланарными), то смешанное произведение
([а, Ь], с) = 0. Это следует из того, что вектор [а, Ь]
перпендикулярен плоскости, в которой лежат векто-
ры а и Ь, а значит, и вектору с.
Если же точки О, А, В, С не лежат в одной плос-
кости (векторы а, b и с некомпланарны), построим
на ребрах О А, ОВ и ОС параллелепипед (рис. 38 а).
По определению векторного произведения имеем
[a, b] = SoC,
Рис. 37
где So — площадь параллелограмма OADB, а с — единичный вектор, перпендику-
лярный векторам а и b и такой, что тройка а, Ь, с — правая, т. е. векторы а, b и с
расположены соответственно как большой, указательный и средний пальцы правой
28 Глава I. Элементы векторной алгебры
руки (рис. 386). Умножая обе части последнегоравенствасправаскалярнонавекторс,
получаем, что
(a, h, с) = ([a, b], с) = S&(z, с) = Sa рге е.
Число ргс с равно высоте h построенно-
го параллелепипеда, взятого со знаком «+»,
если угол <р между векторами сие острый
(тройка а, Ь, с — правая), и со знаком «-»,
если угол <р — тупой (тройка а, Ь, с — ле-
вая), так что
(a, h, с) = ±Sah = ±V.
Тем самым, смешанное произведение век-
торов а, b и с равно объему V параллеле-
пипеда, построенного на этих векторах как
на ребрах, если тройка а, Ь, с — правая,
и — V, если тройка а, Ъ, с — левая.
Исходя из геометрического смысла сме-
шанного произведения, можно заключить,
что, перемножая те же векторы а, b и с
в любом другом порядке, мы всегда будем
получать либо +V, либо —V. Знак произ-
ведения будет зависеть лишь от того, какую
тройку образуют перемножаемые векторы -
с образуют правую тройку, то правыми буд>
правую или левую. Если векторы а, Ь,
также тройки Ь, с, а и с, а, Ь. В то же
время все три тройки h, а, с; а, с, b и с, Ь, а — левые. Тем самым,
(a, h, с) = (Ь, с, а) = (с, а, Ь) = -(Ь, а, с) = -(а, с, Ь) = -(с, Ь, а).
Еще раз подчеркнем, что смешанное произведение векторов равно нулютогда и только
тогда, когда перемножаемые векторы а, Ь, с компланарны:
(а, Ь, с компланарны) <=> (а, Ь, с) = 0.
7.2.	Смешанное произведение в координатах
Пусть векторы а, Ь, с заданы своими координатами в базисе i, j, k:
а = {xi,y\,zi}, h = {x2,y2,z2}, c = {x3,y3,z3}.
Найдем выражение для их смешанного произведения (а, Ь, с). Имеем
i
Xj
ж2
к
[а, Ъ] =
j
У\
У1
Z2
= 1(3/1^2 “ 2/2-21) + j(®2*l ~ ®1*2) + Ь(х}у2 - Х2у\).
Откуда
([а, 1)], с) = х3
У\ zj
У2 zi
~Уз
Х\
z' + z3 Х' у'
Z2	Х2 У2
Х\	У\	Z\
ж2	У1	Z2
	Уз	Z3
§7. Смешанное произведение векторов 29
Итак,
(а, Ь, с)= а?2 у2 z2
— смешанное произведение векторов, заданныхсвоими координатами в базисе i, j, k,
равно определителю третьего порядка, строки которого составлены соответственно
из координат первого, второго и третьего из перемножаемых векторов.
Необходимое и достаточное условие компланарности векторов а = {®i, j/i,zj},
Ь = {^2, У1, *2}, с = {а?з, j/з, zy} запишется в следующем виде
31 У}
з2 У2
зз Уз
z2 = 0.
23
Пример. Проверить, компланарны ли векторы
а = {7,4,6}, Ь = {2,1,1}, с = {19, П, 17}.
4 Рассматриваемые векторы будут компланарны или некомпланарны в зависимости от того, будет
равен нулю или нет определитель
| 7 4 6
Д = , 2 11.
| 19 Л 17
Разлагая его по элементам первой строки, получим
Д = 7- 6- 4'15 + 6- 3 = 0=> векторы а, Ь, с компланарны. ►
7.3.	Двойное векторное произведение
Двойное векторное произведение [а, [Ь, с]] представляет собой вектор, перпендикуляр-
ный к векторам а и [Ь, с]. Поэтому он лежит в плоскости векторов b и с и может быть
разложен по этим векторам. Можно показать, что справедлива формула
[а, [Ь, с]] = Ь(а, с) - с(а, Ь).
Упражнения
1.	Три вектора АВ = с, В(5 = а и = Ь служат сторонами треугольника. Выразить
через а, b и с векторы, совпадающие с медианами AM, BN, СР треугольника.
2.	Каким условием должны быть связаны векторы р и q, чтобы вектор р + q делил угол
между ними пополам? Предполагается, что все три вектора отнесены к общему началу.
3.	Вычислите длину диагоналей параллелограмма, построенного на векторах а = 5р + 2q
и h = р - 3q, если известно, что |р| = 2\/2, |q| = 3 и (рГ<|) = f •
4.	Обозначив через а и Ь стороны ромба, выходящие из общей вершины, докажите, что
диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
5.	Вычислите скалярное произведение векторов а = 4i + 7j + 3k и b = 3i - 5j + k.
6.	Найдите единичный вектор а0, параллельный вектору а = {6, 7, —6}.
7.	Найдите проекцию вектора а = i + j - к на вектор b = 2i - j - 3k.
8.	Найдите косинусугламеждувекторамиЛ^иА&,еслиЛ(-4,0,4),В(-1,6,7),0(1,10,9).
9.	Найдите единичный вектор р°, одновременно перпендикулярный вектору а = {3, 6, 8}
и оси Ох.
10.	Вычислите синус угла между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах
а = 2i + j — k, b = i — 3j + k как на сторонах.
30 Глава I. Элементы векторной алгебры
11,	Вычислите высоту h параллелепипеда, построенного на векторах а = 31 + 2j - 5k,
b = i — j + 4k и с = i — 3j + k, если за основание взят параллелограмм, построенный на векторах
а и Ь.
Ответы
1. АЛ? = с + | или АЙ = вЯ = а + * или вЯ = СР = Ь + | или СР =
2. ||>| = |q|, т. к. диагональ параллелограмма делит его угол пополам лишь в случае, когда
параллелограмм является ромбом. 3. |а + Ь| = 15, |а - Ь| = >/593. 5,-20. 6. а0 = {у,, j
или а0 = {-£, yj, у,}. 7. ргьа =	8. cos^ = 1, <р = 0. 9. р° = ± {0,-3, |}. 10. sinу> =
/248~ «4 h _	49
V 273 • ' '• П ~ Тз23’
Гпава II
ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ
§ 1. Прямая на плоскости
1.1. Нормальное уравнение прямой. Общее уравнение прямой
Зафиксируем на плоскости некоторую точку О. По-
ложение произвольно взятой прямой L на плоскости
будет вполне определено, если задать следующие ве-
личины: расстояние до нее от начальной точки О,
т. е. длину р отрезка ОТ перпендикуляра, опущенно-
го из точки О на эту прямую, и единичный вектор н°,
|n°| = 1, перпендикулярный прямойL и направленный
из начальной точки О к этой прямой (рис. 1).
Когда текущая точка М движется по прямой L,
ее радиус-вектор г меняется так, чтобы
ргпо ОМ = р.
Соотношение (I) выполняется для каждой точки прямой L и нарушается, ес л иточкаМ
лежит вне этой прямой. Тем самым, равенство (1) выражает свойство, присущее всем
точкам прямой L и только им. Иными словами, оно является уравнением этой прямой.
Замечая, что
рг„о ОМ = (г, п°),
перепишем уравнение (1) в следующем виде
(г, п°) - р = 0.	(2)
Уравнение (2) называется нормальным (нормированным)
уравнением прямой в векторной форме. Радиус-вектор г
произвольной точки прямой называется текущим радиу-
сом-вектором прямой.
Введем на плоскости прямоугольную декартову си-
стему координат, поместив ее начало в точку О. Тогда
векторы п° и г можно записать так
п° = {cos <р, sin <р}, г = {х, у}
(рис. 2), и уравнение (2) примет вид
х cos <р + у sin р - р = 0.
(3)
Это нормальное уравнение прямой в координатной форме.
32____________________________________________________-—____Глам II. Прямая и плоскость
Относительно переменных х и у уравнение (3) является уравнением первой
степени. Тем самым, в прямоугольной декартовой системе координат всякая пря-
мая на плоскости определяется уравнением первой степени относительно перемен-
ных х и у. Верно и обратное:
всякое уравнение первой степени относительно переменных хиу определяет на плоскости
прямую.
◄ В самом деле, возьмем уравнение первой степени общего вида относительно пере-
мени ыхжит/	_____________________________
Ах + Ву + С = 0, Л2 + В2>0.	(4)
Умножим каждый член уравнения (4) на один и тот же постоянный множитель р,
рАх + рВу + рС = 0,	(5)
и подберем множитель р так, чтобы уравнение (5) оказалось нормальным уравнением.
Для этого достаточно положить
рА = cos <р, рВ — sin <р, рС = ~р.	(6)
Из формул (6) находим
р2(А2 + В2) = I,
откуда
Из условия
рС= -р
вытекает, что в формуле (7) надо брать знак, противоположный знаку свободного
члена С. Подставив полученное значение р в равенства (6), найдем cos <р, sin <р и р
и, тем самым, преобразуем уравнение (4) к нормальному виду. Так как нормальное
уравнение определяет прямую, то и уравнение (4) определяет прямую. ►
Множитель р, выбираемый по указанному правилу, называют нормирующим мно-
жителем для данного уравнения прямой. Уравнение (4) называется общим уравнением
прямой на плоскости.
Итак, всякое уравнение первой степени относительно переменных х и у опреде-
ляет прямую как множество точек М плоскости, декартовы координаты х и у которых
удовлетворяют этому уравнению.
Условимся называть нормальным вектором прямой L	к П={Я В}
всякий ненулевой (необязательноединичный) вектор, пер-	Ч
пендикулярный этой прямой. Из приведенных выше рас-	\
сужден и й следует, что вектор
, „	т ^^Ах + Ву + С = 0
п = {Л, В}
будет нормальным вектором прямой, заданной уравнени-
ем (4).	Рис3
Таким образом, коэффициенты Л и В при текущих координатах х и у в обшем
уравнении прямой (4) имеют простой геометрический смысл: они являются коорди-
натами нормального вектора п = {Л. В} этой прямой (рис. 3). Все другие нормальные
векторы прямой можно получить, умножая вектор п на произвольное не равное нулю
число.
33
§ 1. Прямая на плоскости__________________
Отметим два интересных частных случая.
а) Если В # 0, то, положив
к=-±
в' в'
получим уравнение прямой с угловым коэффициентом
у — кх + Ь
(рис. 4).
б) Если АВС 0, то, положив
С t С
а =---, Ъ =------,
А	В
1.2. Уравнение прямой на плоскости, проходящей через заданную точку
перпендикулярно заданному направлению
Для того, чтобы найти уравнение прямой L, проходящей
через точку Мо, заданную радиус-вектором
1’0 = {«о, У о},
перпендикулярно вектору
п = {Л, В},
проведем радиус-вектор г = {х, у} в произвольную точ-
ку М этой прямой. Вектор
MqM = г - г0	рис. 6
лежит на прямой L и, значит, перпендикулярен вектору п (рис. 6). Поэтому их ска-
лярное произведение равно нулю
2 Зак.750
(г - г0, п) = О.
(8)
34 Глава II. Прямаяу плоскость
Равенство (8) справедливо для всех точек М прямой L и нарушается, если точка М
не принадлежит этой прямой. Тем самым, уравнение (8) является векторным уравне-
нием искомой прямой.
Выражая скалярное произведение векторов г-го и п через их координаты, получим
уравнение этой же прямой L в координатной форме
Л(я - х0) + В(у - уо) = 0.	(9)
1.3. Расстояние от точки до прямой на плоскости
Расстоянием от точки М* до прямой L называется длина отрезка M*N перпендику-
ляра L1, опушенного из точки М* на эту прямую (рис. 7).
Пусть у*) — заданная точка и
х cos <р + у sin <р - р = 0
— нормальное уравнение прямой L. Тогда расстояние от точки М* до прямой L
можно вычислить по формуле
d = d(M*, L) = |cos у? + у* sin у? - р|.
◄ Пусть г — радиус-вектор произвольной точки М прямой L (рис. 8). Тогда выпол-
нено равенство
(г, п°) = р.
Обозначим через г* радиус-вектор точки АГ. Разность
(г*,п°) -р
равна проекции вектора г* - г на ось Z1, определяемую вектором п°:
(!•*, п°) - р - (г*, п°) - (г, п°) = (г* - г, п°) = ргЛ1(г* - г).
Взяв разность (г*, п°) - р по абсолютной величине, получим, что
|(г‘, п°) - pl = d(M', L),
или, в координатах,
rf(M‘, L) — |ж* cos р + у* sin <р - р|. ►
Если прямая L задана общим уравнением
Ах 4- By 4- С = 0,
то расстояние от точки М* до этой прямой вычисляется по формуле
§2. Плоскость 35
т\ 1Лж* + ВУ* + С1
d(M , L) =------ .	(10)
V Л2 4- В2
1.4.	Угол между двумя прямыми
Пусть L\ и L2 — две прямые, заданные уравнениями
Л[® 4- В|?/ 4- С\ — о,
А2х 4- В2у 4- С2 = 0,
А2, + В? > О,
а!+в22>о
соответственно. Угол <р между прямыми L\ и L2 ра-
вен углу между нормальными векторами щ , В[} и
па = { Л2, В2} этих прямых (рис. 9). Отсюда вытекает, что
cos <р —
(nt, п2)
|п,|•|п2|
Л [ А2 4- В\В2
y/Al + B^Al+Bj
1.5.	Условие перпендикулярности двух прямых на плоскости
В случае перпендикулярности прямых Li и Ь2 их нормальные векторы также перпен-
дикулярны, т.е. справедливо равенство
(п],п2) = 0, или AtA2 +В(В2 = 0
— условие перпендикулярности прямых.
1.6.	Условие параллельности двух прямых на плоскости
В случае параллельности прямых L\ и L2 их нормальные векторы коллинеарны, т.е.
справедливо равенство
ni — Ап2.
Переходя к координатам этих векторов, получаем, что
Л) — АЛ2, В\ — ХВ2,
или
±^51
л2 в2
— условие параллельности прямых.
§	2. Плоскость
К рассмотрению свойств плоскости можно подойти совершено аналогично.
2.1.	Нормальное уравнение плоскости. Общее уравнение плоскости
Зафиксируем в пространстве некоторую точку О. Положение плоскости П в про-
странстве будет вполне определено, если задать следующие величины: расстояние
до нее от начальной точки О, т. е. длину р отрезка ОТ перпендикуляра, опущенного
из точки О на плоскость П, и единичный вектор п°, |п°| = 1, перпендикулярный
плоскости П и направленный из начальной точки О к этой плоскости (рис. 10).
36 Глава II. Прядо и плоскость
Когда текущая точка М движется по плоско-
сти П, ее радиус-вектор г меняется так, что
ргпо ОМ = р.
Соотношение (1) выполняется для каждой точ-
ки плоскости П и нарушается, если точка М лежит
вне этой плоскости. Тем самым, равенство (1) выра-
жает свойство, присущее всем точкам плоскости П
и только им. Иными словами, (1) является уравне-
нием этой плоскости. Замечая, что
ргпо ОМ = (г, п°),
перепишем уравнение (1) в следующем виде
(г, п°) - р = 0.
У равнение (2) называется нормальным (нормированным) уравнением плоскости в вектор-
ной форме. Радиус-вектор г произвольной точки плоскости называется ее текущим
радиус-вектором.
Введем в пространстве прямоугольную декартову систему координат, поместив ее
начало в точку О. Тогда векторы п° и г можно записать так
п° = {cos a, cos/3, cos7}, г = {®, у, z}.
При этом уравнение (2) примет следующий вид
х cos а 4- у cos Р + z cos 7 - р = 0.
(3)
Это нормальное уравнение плоскости в координатной форме.
Особенности нормального уравнения плоскости (3):
1)	сумма квадратов коэффициентов при текущих координатах равна 1,
cos2 а + cos2 fl 4- cos2 7=1;
2)	свободный член (-р) неположителен.
Относительно переменных х, у и z уравнение (3) является уравнением первой
степени, так что в прямоугольной декартовой системе координат всякая плоскость
определяется уравнением первой степени относительно текущих координат х, у и z.
Верно и обратное утверждение:
всякое уравнение первой степени относительно переменных х, у и z определяет плос-
кость.
◄ В самом деле, возьмем уравнение первой степени общего вида относительно пере-
менных х, у и z
Ах + By + Cz-I-D = 0, А2 + В2 + С2 >0.
Умножим каждый член уравнения (4) на один и тот же постоянный множитель р,
рАх + рВу 4- pCz 4- pD = 0,	(5)
§ 2. Плоскость 37
и подберем его так, чтобы уравнение (5) оказалось нормальным уравнением. Для этого
достаточно положить
/M = cosa, /4B = cos/3, дС = со57, дР = -р.	(6)
Из формул (6) находим
д2(Л2 + В2 + С2) = 1,
откуда
д = ± . :	.	(7)
Ул2 + в2 + с2
Из условия
pD = -р О
вытекает, что в формуле (7) надо брать знак, противоположный знаку свободного
члена D. Подставив полученное значение р в равенство (6), найдем cos a, cos /?, cos 7
и р и, тем самым, преобразуем уравнение (4) к нормальному виду. Так как нормальное
уравнение определяет плоскость, то и уравнение (4) также определяет плоскость. ►
Множитель р, выбираемый по указанному правилу, называют нормирующим мно-
жителем для данного уравнения плоскости. Уравнение (4) называется общим уравне-
нием плоскости.
Итак, всякое уравнение первой степени относительно переменных х, у и z опре-
деляет плоскость как множество точек М пространства, декартовы координаты ж, у
и z которых удовлетворяют этому уравнению.
Условимся называть всякий ненулевой (не обязательно единичный) вектор, пер-
пендикулярный плоскости П, нормальным вектором этой плоскости. Из приведенных
выше рассуждений следует, что вектор
п = {А, В, С}
будет нормальным вектором прямой, заданной уравнением (4). Таким образом, коэф-
фициенты А, В и С при текущих координатах х, у и z в общем уравнении плоско-
сти (4) имеют простой геометрический смысл: они являются координатами нормаль-
ного вектора п = {А, В, С} этой плоскости (рис. 11). Все другие нормальные векторы
плоскости можно получить, умножая вектор п на произвольное не равное нулю число.
Отметим интересный частный случай.
38
Глава II. Прямая и плоскость
Если ABCD # 0, то, положив
D	, D	D
а =----, о=-----, с—
А	В	С
получим уравнение плоскости в отрезках
(рис. 12).
2.2.	Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку
перпендикулярно заданному направлению
Для того, чтобы найти уравнение плоскости П, проходящей через точку Mq, заданную
радиус-вектором
|’о М»
перпендикулярно вектору
п = {Л,В,С},
проведем радиус-вектор г = {ж, у, z} в произвольную точку М этой плоскости. Век-
тор
MqM = г - Го
лежит в плоскости П и, значит, перпендикулярен вектору п (рис. 13). Поэтому их
скалярное произведение равно нулю
(8)
(г - Го, п) = 0.
Равенство (8) справедливо для всех точек М плоскости П и нарушается, если точ-
ка М этой плоскости не принадлежит. Тем самым, уравнение (8) является векторным
уравнением искомой плоскости.
Выражая скалярное произведение векторов г-г0 и п через их координаты, получим
уравнение этой же плоскости П в координатной форме
Л(ж - ж0) + В(у - у0) + C(z - zQ) = 0.
(9)
§ 2. Плоскость 39
2.3.	Расстояние от точки до плоскости
Расстоянием от точки М* до плоскости П называется длина отрезка M*N перпенди-
куляра Вх, опущенного из точки М* на эту плоскость (рис. 14).
Пусть М*(х*, у*, z*) — заданная точка и
х cos а + у cos /3 + z cos 7 - р = О
— нормальное уравнение плоскости П. Тогда расстояние от точки М* до плоскости П
можно вычислить по формуле
d = d(M*t П) = cos а 4- у* cos /3 + z* COS7 - р|.
◄ Пусть г — радиус-вектор произвольной точки М плоскости П. Тогда выполнено
равенство
(г, п°) = р.
Обозначим через г* радиус-вектор точки М*. Разность
(г‘,п°)-р
равна проекции вектора г* - г на ось L\ определяемую вектором п°.“
(г*, п°) - р = (г*, п°) - (г, п°) = (г* - г, и °) = ргьх(г* - г).
Взяв разность (г*, п°) - р по абсолютной величине, получим, что
|(г*, п°) - р\ =d(M*,n)
или, в координатах,
d(M*, П) = |®* cos а 4- у* cos(3 + z* cos 7 - р|. ►
Если плоскость П задана общим уравнением
Ах 4- By 4- Cz 4- D = О,
то расстояние отточки М* до этой плоскости вычисляется по формуле
(Ю)
2.4.	Угол между двумя плоскостями
Пусть П] и Щ — две плоскости, зада иные у равнения ми
А]Х 4- В\У 4- C]Z 4- D] = О,	Л] 4- В2 4- С2 > О,
А2Х 4* В2У 4* C2Z 4* D2 — О,	А2 4* В2 4- С2 > О
соответственно. Углом между двумя плоскостями будем называть лю-
бой из двух смежных двугранных углов, образованных этими плос-
костями (рис. 15) (в случае параллельности плоскостей угол меж-
ду ними равен или 0, или тг). Один их этих двугранных углов
равен углу р между нормальными векторами nj = {4i,B], CJ
и иг = {Л2, В2, Сг} этих плоскостей. Отсюда вытекает, что
Рис. 15
cos <р =
(П|,П2)
|П|| • |пг|
А]А2 4- В1В2 4- С1С2
4- В? + С^А\ 4- Вг2 4- С2
40 Глава II. Прямая и плоскость
2.5.	Условие перпендикулярности двух плоскостей
В случае перпендикулярности плоскостей П] и П2 их нормальные векторы также
перпендикулярны, т. е. справедливо равенство
(п),П2) = 0, или Л| А2 + В}В2 + С\Сг = 0
— условие перпендикулярности плоскостей.
2.6.	Условие параллельности двух плоскостей
В случае параллельности плоскостей П[ и П2 их нормальные векторы коллинеарны,
т. е. справедливо равенство
П] = Лп2.
Переходя к координатам этих векторов, получаем, что
Л| = ХА2, -Bi = АВ2, Ci = АС2,
или
Л| _ -Bi _
Л2 В2 С2
— условие параллельности плоскостей.
Г = 1*0 + st.
§3	. Прямая линия в пространстве
3.1.	Уравнения прямой линии
Положение прямой линии в пространстве будет вполне определено, если задать точ-
ку Mq на прямой (при помощи радиус-вектора г0) и ненулевой вектор s, которому
прямая параллельна. Вектор s называют направляющим век-
тором прямой.
Переменной точке М прямой соответствует ее радиус-
вектор ОМ — г. Из рис. 16 получаем
ОМ = ОМ1 + MqM.	(I)
Вектор М0М параллелен вектору s, так что М0М = st
(числовой множитель t (параметр) может принимать любые
сти от положения точки М на прямой). Следовательно, равенство (1) можно записать
так
(2)
Уравнение (2) называется векторным уравнением прямой.
Введем в пространстве прямоугольные декартовы координаты, поместив начало
координат в точку О. Обозначим декартовы координаты точки Mq (координаты век-
тора 1*о) через xq, у0 и zQ, текущие координаты точки М (координаты вектора г)
через х, у и z, а координаты направляющего вектора s через /, т и п. Тогда, записав
векторное уравнение (2) в координатах, получим
х = х0 + It, у = 2/о + mt, z = zq + nt.
(3)
§3. Прямая линия в пространстве 41
Уравнения (3) называются параметрическими уравнениями прямой. Числа I, т, п
называют направляющими коэффициентами этой прямой.
Исключим из уравнений (3) параметр t. Имеем
* - ж0 _ t У~Уо _ t z-z0 = *
I ' т ’ п ’
откуда
У ~Уо z-zq \
—-— =----------=-------.	(4)
I_______771______П
Уравнения (4) называют каноническими уравнениями прямой. В них з?о, Уо и zQ —
координаты точки Мо, лежащей на прямой, а I, т и п — координаты направляющего
вектора прямой (I2 + т2 + п2 > 0). Система уравнений (4) определяет прямую как
линию пересечения двух плоскостей, описываемых, например, уравнениями
ж - жр _ у ~Уо	у — Уо _ z- z0
I	771 ’ т п
3.2.	Уравнения прямой, проходящей через две данные точки
Пусть требуется найти уравнения прямой, проходящей через точки М\(х\, у\, z()
и Mzfo, У2, Z2). Будем искать эти уравнения в канонической форме. Для решения
задачи надо знать координаты одной из точек, лежащих на прямой, и направляю-
щий вектор. За точку на прямой можно взять любую из двух данных, например,
М\(х\, У\, Z|). За направляющий вектор прямой примем вектор
Л/1М2 = {а?2 “ «I ,У2 - 3/1» Z2 - Z] }.
Уравнения искомой прямой —
_ у ~ у\ _ z-z}
Ж2 - X] У2- У\ z2 - Zi ’
Замечание. Если точки и ЛТ2 лежат в плоскости Оху,т.е. Z| = z2 = 0, то уравнения проходящей
через них прямой имеют следующий вид
= 2 = 0.
®2-®1 У2 - J/I
Пример. Найти уравнения прямой, проходящей через точки ЛТ|(1,0, -1) и Mj(3, 1, 1).
4 Пользуясь формулой (5), сразу получаем искомые уравнения
х - 1 у г + 1
2 Т = 2 ' *
3.3. Общие уравнения прямой. Переход к каноническим уравнениям
Всякие две не параллельные между собой и несовпадающие плоскости определяют
прямую как линию их пересечения. Пусть уравнения этих плоскостей суть
Ajx 4- Bty + C|Z 4- Dt = 0, A2X + В2У + Cqz + D2 = 0.
Рассматриваемые совместно,
( А}х + Biy + C\z + Di = 0,
A2X + В2У + C2Z + B2 — 0,
эти уравнения называются общими уравнениями прямой.
42 Глава II. Прямая и плоскость
От общих уравнений прямой (6) можно перейти к ее каноническим уравнениям.
Для этого надо знать какую-нибудь точку прямой и ее направляющий вектор. Коор-
динаты точки прямой найдем из системы (6), выбирая одну из координат произвольно
и решая полученную после этого систему относительно оставшихся двух координат.
Для отыскания направляющего вектора s прямой заметим, что этот вектор, напра-
вленный по линии пересечения данных плоскостей, должен быть перпендикулярен
нормальным векторам П| = {Д|, В\, С|} и пг = {А}, В2, С2} этих плоскостей. Обрат-
но, всякий вектор, перпендикулярный векторам П| и nj, будет параллелен обеим
плоскостям, т. е. параллелен их линии пересечения. Так как векторное произведение
[п 1, п2] перпендикулярно каждому из векторов nj и п2, то в качестве направляющего
вектора прямой можно взять вектор s = [п।, п2].
Пример. Привести к каноническому виду уравнения прямой
Г х - у + z - 3 = О,
(z + y-2z + l=0.
4 1) Находим какую-нибудь точку, принадлежащую прямой (7). Полагая, например, z = 0, приходим
к системе двух уравнений с двумя неизвестными
( х - у = 3,
1 х + у = -1,
откуда х = 1, у = — 2. Итак, 1, —2,0) — точка данной прямой.
2) Нормальный вектор первой плоскости щ = {I. -1,1), второй плоскости — п2 = {I, 1, —2).
3) В качестве направляющего вектора прямой берем вектор
8 = |П|,П2] =
— i + 3j + 2k.
4) Канонические уравнения прямой (7) имеют вид
х - I _ у + 2 _ z
—i	Т“" 2'
3.4. Угол между прямой и плоскостью
Пусть даны прямая
х - х0 _ у - j/о _ z - z0
—т— _ ~™	_ ~	W
I	т п
и плоскость
Ах + By + Cz + D — 0.	(9)
Углом <р между прямой и плоскостью называют наи-
меньший из углов, образованных прямой с ее проек-
цией на плоскость (рис. 17).
Обозначим через а угол между прямой (8) и пер-
пендикуляром к плоскости (9) (рис. 18). Для cos а
получаем выражение
где п — нормальный вектор плоскости (9), as — направляющий вектор прямой (8).
Замечая, что | cos а| = sin <р, находим
|4Z + Вт + Сп|
д/д2 + В2 + С2  а/Р + тп2 +п2
(10)
§3. Прямая линия в пространстве 43
Если прямая (8) параллельна плоскости (9), то направляющий вектор s прямой
перпендикулярен нормальному вектору п плоскости, так что
(n, s) = О,
Al -I- Вт 4- Сп = 0.
или
(11)
Это условие параллельности прямой и плоскости.
Если прямая (8) перпендикулярна плоскости (9), то s || п (векторы s и п парал-
лельны), так что
А _ В _ С
I т п
Это условие перпендикулярности прямой к плоскости.
3.5. Пересечение прямой с плоскостью
Координаты точки пересечения прямой
x-xq _y-yQ _Z~Zp
I т п
с плоскостью
Ах + By + Cz + D = 0	(14)
должны одновременно удовлетворять уравнениям (13) и (14), и, чтобы найти эти
координаты, надо решить эти уравнения совместно, считая ж, у и z неизвестными.
Перейдем от канонических уравнений прямой (13) к параметрическим уравнени-
ям:
x = xq + U, у — Уо + mt, z = zo + nt.	(15)
Подставляя эти выражения для х, у и z в уравнение (14), получим
Ахо 4- Вуо + Czq + D + t(Al 4- Вт + Сп) = О,
откуда
t
Axq + Вуо + Czq + D
---------, А1 4- Вт 4- Сп / 0.
А1 4- Вт 4- Сп
По найденному значению t* из формул (15) получаем координаты искомой точки.
Если
(16)
Al 4- Вт 4- Сп — 0, Axq + Вуо -f- Czq 4- В 0,
(17)
(18)
(19)
44 Глава II. Прямая и плоскость
то прямая (13) параллельна плоскости (14), а точка (жо. Уо, хо), через которую пря-
мая проходит, лежит вне этой плоскости. Следовательно, прямая (13) в этом случае
не имеет с плоскостью (14) ни одной общей точки.
Если Al -I- Вт -I- Сп = 0 и Ах0 + Ву$ + Czq + D = 0, то в силу первого равенства
прямаяпараллельнаплоскости(14),авсилувторогоравенстваточка (ж0, уо, zq) прямой
лежит в этой плоскости. Следовательно, в этом случае вся прямая лежит в этой
плоскости.
Пример. Найти точку пересечения прямой
z-7_y-3_z+l
3 = ~	~
И ПЛОСКОСТИ
2х + у + 7z - 3 = 0.
4 Переходим от канонических уравнений (17) к параметрическим
х = 7 + 3t, y = 3 + t, z — -\-2t.
Подставляем найденные выражения для х, у и z в формулу (18)
6«+14 + / + 3-14/-7-3 = 0
или
—И + 7 = 0,
откуда t = 1. Теперь из (19) находим х = 10, у = 4, z = -3 — координаты точки пересечения прямой
и плоскости, к
Задача. Найти расстояние от точки Af|(zi, yi, Z|) до прямой	•
Упражнения
1.	Написать уравнение плоскости:
а)	параллельной плоскости Oxz и проходящей через точку (2, -5, 3);
б)	проходящей через ось Oz и через точку (-3,1, -2).
2.	Даны две точки 4(1,3, -2) и В(7, -4,4). Через точку В провести плоскость, перпенди-
кулярную отрезку АВ.
3.	Составить уравнение плоскости:
а)	проходящей через точку (-2, 7, 3) параллельно плоскости х — 4у + 5z — I =0;
б)	проходящей через начало координат и перпендикулярной двум плоскостям 2х - у+
5z4-3 = 0nz + 3y — z — 7 = 0.
4.	Найти плоскость, зная, что точка Р(3, -6, 2) служит основанием перпендикуляра, опу-
шенного из начала координат на эту плоскость.
5.	Написать уравнение плоскости, проходящей через начало координат и точки 4(3, -2,1)
иВ(1,4,0).
6.	Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку (а, Ь, с).
7.	Найти угол, образованный прямыми
х — 1 у + 2 z — 5 х у — 3 z +1
3 = 6 = 2 И 2 = 9 = 6~‘
(Углом между прямыми в пространстве называется любой из углов, образованных двумя
прямыми, проведенны ми через произвольную точку пространства параллельно данным.)
8.	Привести к каноническому виду уравнения прямой
2х - Зу - 3z + 9 = 0,
х — 2у + z 4- 3 = 0.
9.	Через точку (2, -5, 3) провести прямую:
а)	параллельную оси Oz;
§ 3. Прямая линия в пространстве 45
б)	параллельную прямой
в)	параллельную прямой
( 2х — у + З2 — 1 = О,
5х + 4у — z — 7 = 0.
10.	Составить уравнения прямой, проходящей через точку (1,-1,0) перпендикулярно
плоскости 2а: — Зу ч- 5г - 7 = 0.
11.	Найти точку пересечения:
а)	прямой	~ и плоскости За: - у + 2z - 5 = 0;
б)	прямой у = *7 = } и плоскости За: - Зу + 2z - 5 = 0.
12.	Через начало координат провести плоскость, перпендикулярную прямой
х + 2 у — 3 _ z — 1
4 = “Г” =
13.	Найти проекцию точки 4(4, -3,1) на плоскость х + 2у - 2- 3 = 0.
14.	Составить уравнение плоскости, проходящей через точку (4, -3, 1) и параллельной
прямым | = 2 = ^и^ = 2^ = ^.
15.	Написатьуравнение плоскости, проходящей через прямую = ^ = параллель-
но прямой	=	.
Ответы
1. а) у + 5 = 0; б) х + Зу = 0. 2. 6х — 1у + 62 — 94 = 0. 3. а) х — 4у + 5z + 15 = 0; б) 2а: — у — z = 0.
4. За:-6у+22-49 = 0,5.4а:-у- 14г = 0. 6. |	|. 7. cos 9? = ||. 8. |	• В качестве
.	-	- f з?_____2 — 0
точки, лежашей на прямой, взята точка (0,0, -3). 9. а)	или s s _ J
L У । э — и,
б)	в)	= ^. 10. *= = >$ = f. 11. а) (2, 3, 1); б) прямая
параллельна плоскости. 12. 4х + 5у — 2z = 0. 13. (5,—1,0). 14. 16а: — 27у + 14г — 159 = 0.
15. 23а:- 1 бу + 102 - 153 = 0.
Гпава III
КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ
ВТОРОГО ПОРЯДКА
§ 1. Преобразование координат на плоскости
Пусть на плоскости заданы две
прямоугольные декартовы сис-
темы координат, Оху и О'х'у'
(рис. 1). Произвольная точка М
относительно одной из этих ко-
ординатных систем определяет-
ся парой чисел х и у, а отно-
сительно другой — парой чисел
х' и у'. Ясно, что между пара-
ми (ж, у) и (х1, у') имеется связь.
Найдем ее.
1.1. Параллельный перенос
Предположим, что соответствующие координатные оси параллельны и сонаправле-
ны, а точки начала отсчета различны. Это означает, что орты координатных осей
соответственно равны (рис. 2).
Рис. 2	Рис. з
Пусть г и г' — радиусы-векторы точки М, т. е.
г = Xi 4- у], г = x'i + y'j,
§ 1. Преобразование координат на плоскости----------------------------------— 47
и а, Р — координаты точки О' относительно системы координат Оху, т. е.
00' = ai + £j.
Так как
г = гЧ 00'
(рис. 3), то
ай 4- yj = (a?'i 4- у j) + («i + 0j),
или
x = x + а, у — у' 4- /3.
1.2. Поворот
Предположим, что координатные оси одной системы координат получаются из коор-
динатных осей другой системы поворотом на угол у?, а начальные точки совпадают
(рис. 4). Координатами единичного вектора i' являются косинусы углов и у - <р,
образованных этим вектором с осями Ох и Оу:
i' = icosy? 4- j sin<p,
а координатами единичного вектора]' служат косинусы углов у? + j и <р:
j = -i sin <р 4- j cos <р
(рис. 5). Так как радиус-векторы г = ай 4- З/j и г' = z'i' 4- у1}1 произвольной точки М
в рассматриваемом случае равны,
ай 4- У} = хл 4- у j',
то, заменяя векторы i' и j' их выражениями, получаем, что
ай 4- yj = a/(i cos у? 4- j sin	4- !/’(“> sin <p 4- j cos y?) =
= (ж' cos - y' sin y?)i 4- (x sin y? 4- y' cos y?)j,
или
x = x cosy? - У* sinyj,
у = x sin<p 4- у cosy?.
Рис. 6
Рис. 4
Рис. 5
48 Глава III, Кривые и поверхности второго порядка
1.3. Зеркальное отражение
В случае, когда оси абсцисс Ох и Ох координатных систем совпадают, а оси ординат
Оу и Оу' направлены противоположно, координаты (х,у) и (х',у') произвольной
точки М связаны равенствами
х' = х, у = -у
(рис. 6).
Справедливо следующее утверждение.
Любое преобразование прямоугольных декартовых координат (с сохранением масштаба)
можно представить в виде последовательного выполнения переноса, поворота и (если
необходимо) зеркального отражения.
§2. Кривые второго порядка
Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат Оху. Мно-
жество точек плоскости, координаты х и у которых удовлетворяют равенству
~F(x, у) = 0, |	(*)
где F(x, у) — некоторая функция двух переменных, называется плоской кривой, или
плоской линией', само равенство (*) называется уравнением данной линии (кривой).
Например, равенство х - у = 0 есть уравнение прямой — биссектрисы первого
и третьего координатных углов (рис. 7). Равенство х2 + у2 - 1 = 0 — уравнение
окружности единичного радиуса с центром в начале координат (рис. 8).
Рассмотрим многочлен второй степени от двух переменных х и у:
F(x, у) = Ах2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Еу + F, А2+В2 + С2> 0.
Уравнение	___________
F(x, у) = 0
будем называть уравнением линии (кривой) второго порядка.
Если линиями первого порядка являются именно прямые и только они, то множе-
ство кривых второго порядка заметно разнообразней. Поэтому исследованию общего
уравнения кривой второго порядка естественно предпослать изучение некоторых част-
ных, но важных случаев.
§3. Эллипс 49
§3. Эллипс
Эллипсом называется кривая, уравнение которой в некоторой прямоугольной декар-
товой системе координат Оху имеет вид
Ж2 у2
а2 + Ь2
где О b > 0.
Система координат Оху, в которой уравнение эл-
липса имеет вид (1), называется канонической (для дан-
ного эллипса); само уравнение (1) называется канони-
ческим уравнением эллипса.
Окружность
х2+!/2 = а2	(2)
является частным случаем эллипса (при а = Ь). Это по-
зволяет несложным способом определить форму элли-
пса: эллипс (1) получается из окружности (2) путем ее
равномерного сжатия'* коси Ох (с коэффициентом ~),
т.е. заменой в уравнении х2 -I- у2 = а2 координаты у
на $у (рис. 9).
Свойства эллипса
1.	Эллипс (1) содержится в прямоугольнике
Р= {(®. У): |®| а, |2/| Ь}.
◄ В этом легко убедиться, заметив, что, если точка
М(х, у) принадлежит эллипсу (1), то (рис. 10)
Точки (±а, 0), (0, ±Ь) называются вершинами эл-
липса.
2.	Координатные оси Ох и Оу канонической системы
являются осями симметрии эллипса, а начало коорди-
Рис. 10
нат О — его центром симметрии. Это означает, что если точка Afo(xo, У о) принадлежит
эллипсу, то точки (~хо,уо), (~х0, -у0) и (а?о, ~Уо) также ему принадлежат (рис. И).
3.	Если эллипс не является окружностью, то координатные оси канонической систе-
мы — единственные оси симметрии.
Положим с = Vа2 - Ъ2. Ясно, что с < а. Точки (-с, 0) и (с, 0) называются
фокусами эллипса, соответственно левым и правым', 2с — фокусное расстояние.
4.	Эллипс есть множество точек, сумма расстояний которых от двух данных точек
(фокусов эллипса) постоянна (равна заданному числу).
Равномерным сжатием окружности к оси Ох с коэффициентом к > 0 называется преобразование,
переводящее произвольную точку М(х, у) окружности в точку М1 (т,	•
◄ Пусть сначала М(ж, у) — произвольная точка эллипса
2	2
ж у
^+Ь2=1’
Вычислим ее расстояния от фокусов эллипса (рис. 12). Имеем
Рл^=у/
Заменяя у2 его выражением
4-4)
\ а )
после несложных преобразований получаем, что
Рл
ft2 \	[с2	| с
1----г ж2 + 2жс+с2-|-Ь2 = \ —х2 + 2сх + а2 = -
a2 J	у а2	1а
Последнее равенство вытекает из того, что |ж| а и | < 1.
Аналогично находим	 
с
рп=а---х,
а
Легко убедиться в том, что
Рл + Рп = 2а.
Доказательство того, что точки, обладающие указанным свойством, принадлежат
эллипсу, было проведено ранее (см. раздел «Простейшие задачи аналитической гео-
метрий» Введения, задача 2). ►
Число
с
е = -
а
называется эксцентриситетом эллипса (I). Ясно, что 0 < е < 1. Эксцентриситет
окружности равен нулю. Прямые
называются директрисами эллипса. У каждого эллипса две директрисы — левая и пра-
вая (рис. 13).
$3. Эллипс
51
5.	Эллипс есть множество точек плоскости, отношение расстояний от которыхдо дан-
ной точки (фокуса эллипса) и доданной прямой (одноименной с фокусом директрисы
эллипса) постоянно (равно эксцентриситету эллипса).
◄ Пусть сначала М(х, у) — произвольная точка эллипса (1). Вычислим расстояния
от нее до правого фокуса идо правой директрисы (рис. 14). Имеем соответственно
, а
рп = а - ex, ап =-----х.
е
Откуда легко получаем требуемое
Рп
— — е.
du
Аналогично проверяется, что
Рл _ а + ех _
dn f + х
Рассмотрим теперь на плоскости точку (с, 0) и прямую х = £ (с = ае). Возь-
мем произвольную точку М(х, у) и вычислим расстояния от нее до выбранной точ-
ки (с, 0) —
У(ж - с)2 + у2
— и до выбранной прямой —
Iа I
— х •
I е I
Потребуем, чтобы
у/{х~с)2 + у1
Тогда	____________
^/(® - с)2 + у2 = \а-ех\.
Возведем обе части последнего соотношения в квадрат и, положив Ь2 = а2 — с2 и учтя
равенство с = ае, после простых преобразований получим
х2 у2
~ + l2 = l-
а1 Ъ1
Тем самым, точка М(х,у) лежит на эллипсе (1). ►
52 Глава III. Кривые и поверхности второго порядка
§4. Гипербола
Гиперболой называется кривая, уравнение которой в некоторой прямоугольной системе
координат Оху имеет вид
Д2 _	_ .
а2 Ъ2 “ ’
(1)
где а > О, b > 0.
Система координат Оху, в которой уравнение гиперболы имеет вид (1), называется
канонической (для данной гиперболы); само уравнение (1) называется каноническим
уравнением гиперболы.
Свойства гиперболы
1.	Гипербола (1) лежит вне полосы |х| < а.
◄ Это вытекает из того, что если точка М(х, у)
лежит на гиперболе, то
х2 у2
и, значит, |®| а (рис. 15). ►
Точки (±а, 0) называются вершинами гиперболы.
2.	Гипербола (1) лежит в вертикальных углах, обра-
зованных прямыми у = ±|х и содержащих точки
оси Ох (рис. 16).
◄ Из неравенства
а?2 у2
а2 > Ь2
вытекает, что если точка М(х, у) лежит на гипер-
боле (1), то
< -|®|. ►
а
Таким образом, гипербола состоит из двух ча-
стей — ветвей гиперболы, левой и правой.
Прямые
х	у	х	у
-+£=0 и --7=0
а	о	а	о
называются асимптотами гиперболы.
3.	На гиперболе лежатточки, сколь угодно далекие
от начала координат 0(0, 0).
4 Пусть, например, точка М(х, у) лежит на гиперболе (1) и |у| = п, где п — произ-
вольное положительное число (рис. 17). Тогда
§4. Гипербола 53
И
|х| = а
У2	«	। ।	а
Г- >	-	Ьу	=	-	П
Ь2	Ь	1£Л	Ъ
2
а + b
П 2Ь
Возьмем в первой четверти дветочки: точку гиперболы
(I) иточкуееасимптоты j-jf = 0 с одинаковой абсциссой
х > а —
М | х,Ь
( &
и N I х, —х
\ а
соответственно — и вычислим расстояние между ними. Имеем
а2
Умножив и разделив полученное выражение на сумму х +
Vx2 - а2 и перейдя затем к пределу при х —♦ 4-оо, получим
ab
d(M,N)=	--- ..
х 4- v аг - а1
Тем самым, установлен следующий факт.
4. Если текущая точка асимптоты неограниченно удаляется
от начала координат, т. е. |х| -+ 4-оо, то на гиперболе мож-
но указать соответствующую ей точку так, чтобы расстояние
между ними стремилось к нулю (рис. 18).
Верно и обратное.
5. Если текущая точка М(х,у) гиперболы
неограниченно удаляется от точки 0(0, 0),
2	2
т. е. х + у —► оо, то ее расстояние до одной
из прямых
х у
- + 7 = °,
а о
стремится к нулю.
6.	Оси канонической координатной систе-
мы являются осями симметрии гиперболы,
а начало координат — ее центром симме-
трии (рис. 19).
Координатные оси канонической сис-
темы — единственные оси симметрии гиперболы.
Положим с = \/ а2 4- Ь2. Ясно, что с > 0. Точки (-с, 0) и (с, 0) называются
фокусами гиперболы; 2с — фокусное расстояние.
7.	Гипербола есть множество точек, абсолютная величина разности расстояний от ко-
торых до двух данныхточек (фокусов гиперболы) постоянна (равна заданному числу).
--т = о
а о
0.
Рис. 19
54 Глава III. Кривые и поверхности второго порядка
◄ Доказательство этого свойства проводится так же, как и доказательство свойства 4
эллипса. Покажем, например, что каждая точка гиперболы обладает указанным свой-
ством. Если М(х, у) — точкагиперболы(1), то расстояния от нее до фокусов соответ-
ственно равны
Рл = у/(х + с)2 + У2 = |а + ~ х
Рп =	- с)2 4- у2 = [а - х
(рис. 20). Так как | > 1, то
Рл =
с
а 4— х,
а
с
—а---х,
а
если х а,
если х -а,
с
а+ - х,
а
с
а---х
а
если х а,
если х —а.
Отсюда нетрудно вычислить, что
Рл Рп —
если х а,
если х -а,
и, значит,
Число
называется эксцентриситетом гиперболы (1). Ясно, что е > 1. Прямые
а	а
х 4- - = 0, х--------=0
е	е
называются директрисами гиперболы (рис. 21). У каждой гиперболы две директрисы —
левая и правая.
Практически также, каки для эллипса, доказывается следующий факт.
§ 5. Парабола 55
8. Гипербола есть множество точек, отношение расстояний от которых до данной
точки (фокуса гиперболы) и до данной прямой (одноименной с фокусом директрисы)
постоянно (равно эксцентриситету гиперболы) (рис. 22).
Гипербола
(2)
называется сопряженной гиперболе (1). Взаимное расположение гипербол (1) и (2)
указано на рис. 23.
Д2 _ у2
а2 Ь2
у2 = 2рх,
§5. Парабола
Параболой называется кривая, уравнение которой в неко- а у
торой прямоугольной декартовой системе координат Оху
имеет вид
(О /
где р > 0 (рис. 24).	j'r
Система координат Оху, в которой уравнение парабо- q
лы имеет вид (1), называется канонической (для данной па- \.
раболы); уравнение (1) называется каноническим уравнением
параболы.
Свойства параболы
1.	Все точки параболы лежатв правой полуплоскости: х 0	Рис 24
(рис. 25). Точка 0(0, 0) лежит на параболе и называется ее вершиной.
2.	На параболе лежат точки, сколь угодно далеко расположенные от начала координат
0(0, 0).
3.	Ось абсцисс канонической координатной системы является (единственной) осью
симметрии параболы (рис. 26).
Ось симметрии параболы называется осью параболы. Число р называется фо-
кальным параметром параболы; точка (^,0) — фокус параболы; прямая х =	—
директриса параболы.
Глава III. Кривые и поверхности второго порядка
4.	Парабола есть множество точек, равноудаленных от данной точки (фокуса парабо-
лы) и от данной прямой (директрисы параболы) (рис. 27).
◄ Пусть точка М(х, у) лежит на параболе (1). Вычислим расстояния от нее до фокуса
— и до директрисы х = -% —
II+ 2Г
Заменяя у2 его выражением 2рх, легко убеждаемся в том, что
2
+ у2
Верно и обратное. Если для некоторой точки М(х, у) расстояния от нее до точки
О) и до прямой х = -1 равны —
то, возводя в квадрат, после простых преобразований получаем, что эта точка лежит
на параболе:
у2 = 2рх. ►
§ 6.	Оптическое свойство кривых второго порядка
6.1.	Касательные к эллипсу и гиперболе
Если кривая задана уравнением
У = 7(®)>
то уравнение касательной к ней, проходящей через точку (хо,Уо), где уо = /(®о)»
можно записать в следующем виде
У - Уо = /'(zo)(z - ®о).	(I)
§6. Оптическое свойство кривых второго порядка
57
Пусть Mq(xq, у о) — точка эллипса
Предположимдляопределенности, что точка Mq лежите первой четверти, т.е. хо > О,
у0 > 0. Тогда часть эллипса, лежащую в первой четверти, можно описать уравнением
У = Ь
Пользуясь формулой (1), получаем уравнение касательной к эллипсу в точке Mq
(х - х0),
а так как точка (х0, Уо) лежит на эллипсе, то
Уо = Ъ
и, значит,
У - Уо = —j— И “ яо).
а2Уо
Полученное соотношение после несложных пре-
образований можно записать так:
ххо m _ (^о,Уо\ _п
а2 + Ь2	у а2 + &2) "°-
Отсюда с учетом тождества
Х1 . Уо _ .
приходим к уравнению
хх0 ууо
а2 + Ь2
(рис. 28). Полученное соотношение является уравнением касательной к эллипсу, про-
ходящей через его точку (хо, Уо), и в общем случае ее произвольного расположения,
т.е. при любых знаках хо и у0.
. Уравнение касательной к гиперболе выводится аналогично и имеет следующий вид
3^0 УУо =
а2 Ъ2
Подчеркнем, что точка (хо, Уо) лежит на гиперболе.
58 Глава III. Кривые и поверхности второго порядка
6.2.	Касательные к параболе
Если кривая задана уравнением
х = 9(у),
то уравнение касательной к ней, проходящей через точку (яо,!/о)> где хо = д(уо),
можно записать в следующем виде
х - х0 = д'{уо) (у - !/о)>	(1)
Пусть Mq(xq, yQ) — точка параболы. Пользуясь формулой (1), получаем уравнение
касательной к параболе
х - х0 = — (у~ Уо),
Р
или
УУо ~Уо+ Рхо - Рх = 0.
Отсюда в силу равенства yl = 2рх0 приходим к уравнению касательной вида
|ууо = р(х + Хо).
Замечание. Сопоставляя канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы с уравнениями
касательных к этим кривым, нетрудно заметить, чтодля получения последних истребуется специальных
вычислений. В самом деле, заменяя у2 на ууо, а х2 на xxq (в случае параболы 2х нужно заменить
на х + ю). приходим к уравнению соответствующей касательной. Еще раз отметим, что сказанное
справедливо лишь в том случае, когда точка (хо, Уо) лежит на кривой.
6.3.	Оптическое свойство эллипса
Пусть Mq — произвольная точка эллипса
X2 у2
- + 77 = Е
а2 Ъ2
Как уже отмечалось, расстояния от нее до фокусов Fn и Fn — фокальные радиусы —
равны соответственно
Рл = |ехо 4- а|, рп = |ех0 - а|.
Проведем через точку Mq касательную к эллипсу,
xxq УУо
а2 + Ь2
и вычислим, на каком расстоянии от этой касательной лежат фокусы Fn(-c, 0) и
Fn(c, 0) (напомним, что для этого следует воспользоваться формулой (10) из §11.1).
Имеем соответственно
*— 15+Ф
где
1
А = "7=	-
X2 и2
— нормирующий м ножитель (рис. 29).
Нетрудно проверить, что
__hn
Рл Рп
§6. Оптическое свойство кривых второго порядка------------------------------59
В самом деле,
hn _ /г I + 11 _ д |еж0 + а| _ д h„
Рл |ехо + а| а |ежо + а| а’ рп
Обратившись к рис. 29, заметим, что вычислен-
ные отношения равны синусам углов, образованных
касательной и фокальными радиусами точки касания.
Из того, что синусы этих углов равны, вытекает равен-
ство и самих углов. Тем самым доказано оптическое
свойство эллипса', касательная к эллипсу образует рав-
ные углы с фокальными радиусами точки касания.
Это свойство называется оптическим по следую-
щей причине: если поместить в один из фокусов элли-
пса с зеркальной «поверхностью» точечный источник
света, то все лучи после отражения от «поверхности» эллипса сойдутся в другом его
фокусе (рис. 30).
|ехо - л| а
Рис. 29
Рис. 30	Рис. 31	Рис. 32
6.4.	Оптическое свойство гиперболы
Устанавливается аналогичными выкладками и заключается в следующем.
Если поместить в один из фокусов гиперболы точечный источник света, то каждый
луч после отражения от зеркальной «поверхности» гиперболы видится исходящим
из другого фокуса (рис. 31).
6.5.	Оптическое свойство параболы
Если в фокус параболы помещен точечный источник света, то все лучи, отраженные
от зеркальной «поверхности» параболы, будут направлены параллельно оси параболы
(рис. 32).
60 Глава III. Кривые и поверхности второго порядка
§ 7.	Классификация кривых второго порядка
7.1.	Многочлены второй степени на плоскости
Теорема. Пусть на плоскости введена прямоугольная декартова система координат Оху
и пусть
f(x,y) = ах2+2bxy + cy2+ 2dx + 2ey + g (а2 4- Ь2 4- с2 > 0)	(1)
—	многочлен второй степени от переменных х и у.
Тогда на плоскости можно построить прямоугольную декартову систему координат
О*XY так, что после замены переменных х и у на переменные X uY исходный многочлен
f(x, у) приведется к многочлену F(X, Y) одного из следующих трех видов:
I.	АХ2	+ by2 + c,	А-в^о:
11.	BY2	+ 2DX,	в-
III.	BY2	+ Е,	B^Q.
◄	1-й шаг. Поворотом координатных осей на подходя-
щим образом выбранный угол всегда можно добиться то-
го, чтобы коэффициент при произведении разноименных
координат обратился в нуль.
Пусть Ь £ 0 (при 6 = 0 этот шаг не нужен). Повернем
оси координат вокругточки О. Эта операция описывается
следующими формулами
х = х' cos (р - у' sin (р,
у = х sin р 4- у cosp.
Рис. 33
При этом координатные оси исходной системы Оху поворачиваются на угол р
(рис. 33).
Заменим переменные ли у в формуле (1) их выражениями (2) через л' и у' и вы-
числим коэффициент 2b' при произведении х'у'. Он равен
2(-a sin р cos р 4- 6(cos2 р - sin2 p) 4- c sin p cos p) = (c - a) sin 2p 4- 2b cos 2p
и обращается в нуль, если
а - с
ctg 2р =	.
2о
Так как полученное уравнение разрешимо относительно р, то указанным преобразо-
ванием всегда можно добиться обращения в нуль нужного коэффициента.
Приступая ко второму этапу преобразования, будем считать, что исходный много-
член f(x,y) уже имеет вид
f(x, у) = ах2 + су2 + 2dx 4- 2ey+g,
где a2 4- с2 > 0. Для определенности положим с / 0 (это не ограничивает общности
наших рассуждений, так как заменой х и у в случае необходимости этого всегда можно
добиться).
§7. Классификация кривых второго порядка 61
2-й шаг. Переносом начала координат можно
достичь дальнейшего упрощения вида многочле-
на f(x,y). Эта операция описывается следую-
щими формулами:
X =х + а,
координатные оси новой системы O’XY полу-
чаются из координатных осей исходной системы
Оху параллельным переносом в точку (-а, -/3)
(рис. 34).
Укажем конкретные значения а и /3. Воз-
можны три случая
I.	а # 0, с # 0. Тогда, полагая
Рис. 34
получаем
F(X, У) = АХ2 + BY2 + С,
где А = а, В = с, С = д - £ - -.
II.	а = 0, d # 0. Тогда, полагая
1
а — —-
2d

получаем, что
F(X, У) = BY2 + 2DX,
где В = с, D = d.
II	I. а = d = 0. Тогда, полагая
е
а = 0, ft =
получаем,что	___________________
Г(Х, У) = BY2 + Е,
где В = с, Е = д -
7.2.	Канонические уравнения кривых второго порядка
Если многочлен второй степени F(X, У) приравнять к нулю, то получим уравнение
линии второго порядка 
F(X, У) = 0.
Рассмотрим каждый из трех полученных выше случаев I, II, III отдельно.
I.	АХ2 + BY2 + С=Ъ,А‘В^Ъ.
Э. А - В > 0. Домножением обеих частей уравнения на - 1 и заменой X на У, а У
на X (в случае необходимости) всегда можно добиться того, чтобы В А > 0.
62_____________________________________________________— Глава III. Кривые и поверхности второго порядка
1. С < 0. Полагая
получим эллипс —
С
В’
2.	С > 0. Полагая
2 С	Л2 —
а = —,	о = —,
А В
получим
(мнимый эллипс)®. На действительной плоскости нет ни одной точки (X, Y), коорди-
наты которой обращали бы это уравнение в тождество.
3.	С = 0. Полагая
получим
Точка (0, 0) является единственной точкой плоскости, координаты которой удовле-
творяют этому уравнению; точку (0,0) можно мыслить как действительную точку
пересечения двух мнимых пересекающихся прямых®.
Г. А В < 0. Домножением обеих частей уравненияизп.1 на -1 и заменой X на Y,
а У на X (в случае необходимости) всегда можно добиться того, чтобы А > 0, В < 0,
С^0.
1.	С < 0. Полагая
2 С 2 С
Ь=-,
А В
X2 Y2
—	а > 0, & > 0.
а2 Ь2
получим гиперболу —
2. С — 0. Полагая
получи м
— пару пересекающихся прямых'.
Название можно объяснить некоторым сходством этого уравнения с уравнением эллипса.
Название можно объяснить некоторым сходством этого у равнения с уравнением пары пересекающихся
прямых.
§ 7. Классификация кривых второго порядка 63
II.	BY2 + 2DX = О, В • D * 0.
Всегда можно добиться того, чтобы В - D < 0 (заменив, в случае необходимости,
X на -X). Полагая
получим параболу	___________________
У2 = 2рХ, р > 0.
III.	BY2 + E = Q,B /0.
Можно считать, что В > 0.
1.	Е < 0. Полагая
получим	___________________
Y2 - с2 = 0, с > 0
— пару параллельных прямых.
2.	Е > 0. Полагая
получим
У2 + с2 - 0, с > 0.
На действительной плоскости нет ни одной точки, координаты которой обращали бы
это уравнение (пары мнимых параллельных прямых)^ в тождество.
3.	Е = 0. Тогда
У2 = 0
—	пара совпадающих прямых.
Чтобы определить тип кривой второго порядка, не обязательно проводить все ука-
занные выше преобразования. Достаточно вычислить знаки некоторых выражений,
составленных из коэффициентов уравнения.
Пусть
ах2 + 2Ьху + су2 + 2dx + 2еу + g — 0
—	уравнение линии второго порядка. Введем следующие обозначения
Числа D и Д не зависят от выбора системы координат на плоскости и называются
инвариантами. Из приводимой таблицы видно, какому сочетанию знаков определи-
телей D и Д соответствует та или иная линия второго порядка.
Задача. Убедитесь в том, что D и Д при рассмотренных преобразованиях системы координат действи-
тельно остаются неизменными.
4) Название можно объяснить некоторым сходством этого уравнения с уравнением пары параллельных
"рямых.
64
Глава III. Кривые и поверхности второго порядка
D	д	Название	Вид	
+	-	Эллипс		
	+	Мнимый эллипс		
	0	Пара мнимых пересекающихся прямых		
				
-	7^0	Гипербола	>	
	0	Пара пересекающихся прямых		
				
0	5*0	Парабола	—	
	0	Пара параллельных прямых		
				
					
				
		Пара мнимых параллельных прямых		
		Пара совпадающих прямых		
				
§9. Некоторые классы поверхностей 65
§8. Поверхности второго порядка
Пусть в пространстве задана прямоугольная декар-
това система координат Oxyz. Множество точек
пространства, координаты х, у и z которых удо-
влетворяют равенству
Е(х, у, z) = 0,	(*)
называется поверхностью; равенство (*) называется
уравнением этой поверхности.
Пример.
х2 + у2 + z2 - а2 = 0 (а > 0)
— уравнение сферы радиуса а с центром в точке (0,0,0)
(рис. 35). >
Рассмотрим многочлен второй степени от трех
переменных х, у и z
F(x, у, z) ~ а\\х2 + 201211/ + 2овггг + а-пу1 +
+ 2а2з1/г + a33z2 + 2ai4a: + 2а^у + амг + а44 = О,
Оц + Ot2\2 + ^3 + ^22 + а23 + &33 >
Уравнение
F(x, у, z) = О
будем называть уравнением поверхности второго порядка.
Исследование общего уравнения поверхностей второго порядка оказывается зна-
чительноболее сложным, чем исследование общего уравнения кривых второго поряд-
ка, требует разработки соответствующего математического аппарата и будет проведено
в конце главы VI.
В оставшихся параграфах этой главы мы сначала остановимся на изучении геоме-
трических свойств некоторых важных классов общих поверхностей; затем используем
их для рассмотрения канонических уравнений основных поверхностей второго поряд-
ка и исследования структуры этих поверхностей.
§9. Некоторые классы поверхностей
9.1.	Поверхности вращения
Рассмотрим на плоскости Oxz кривую 7, заданную уравнением
z — f(x), х О
(рис. 36). При вращении кривой 7 вокруг оси Oz она будет заметать некоторую
поверхность, называемую поверхностью вращения (рис. 37). Найдем уравнение этой
поверхности, т. е. равенство, которому должны удовлетворять координаты точек по-
строенной поверхности и только они.
’ Зак. 750
Рис. 36
Пусть Mq(zo, zq) — произвольная точка
кривой 7. При вращении кривой у вокруг
оси Oz точка будет описывать окруж-
ность, радиус которой равен ее абсциссе х0
(рис. 38). Уравнение этой окружности имеет
вид
Рис. 37
2 ,	2 _ 2
® + У — ®о>
Тем самым, координаты х, у и z0 любой точ-
ки М этой окружности связаны следующим
равенством
В силу произвольности выбора точки М$ на кри-
вой 7 искомое уравнение полученной поверхности
вращения имеет вид
Рис. 38
9.2. Цилиндрические поверхности
Через каждую точку некоторой заданной кри-
вой 7 проведем прямую I параллельно заданной
прямой 10. Множество точек, лежащих на так
построенных прямых, назовем цилиндрической по-
верхностью (рис. 39); кривая у называется напра-
вляющей цилиндрической поверхности, а прямая
I — ее образующей. Найдем уравнение, описываю-
щее цилиндрическую поверхность.
Возьмем произвольную точку О и проведем
через нее плоскость П, перпендикулярную обра-
зующей I. Построим в пространстве прямоугольную координатную систему Oxyz,
взяв за ось Oz прямую, перпендикулярную плоскости П. Тогда плоскость П будет
координатной плоскостью Оху (рис. 40). Плоскость П пересекает цилиндрическую
поверхность по направляющей 70.
Пусть
Г(ж,г/) = 0
§9. Некоторые классы поверхностей 67
— уравнение этой направляющей. Убедимся в том, что последнее соотношение можно
считать уравнением искомой цилиндрической поверхности.
◄ В самом деле, пусть (х, у, z) — точка цилиндрической поверхности (рис. 41). Тогда
точка (х, у, 0) лежит на 7о и, значит, удовлетворяет уравнению
F(x, у) = 0.
Но координаты точки (®, у, z) также обращают это уравнение в тождество. Последнее
обстоятельство и позволяет считать соотношение
F(x, у) = 0
искомым уравнением. ►
Пример. Введем в пространстве прямоугольные декартовы коорди-
наты Олуг. Соотношение
а2 Ь2
является уравнением цилиндрической поверхности (эллиптического
цилиндра) (рис. 42). >	у
Замечание. Уравнение
F(y,z) = 0
описывает цилиндрическую поверхность с образующей, параллель-
ной координатной оси Ох, а уравнение
F(z, г) = 0
— цилиндрическую поверхность с образующей, параллельной
оси Оу.
Рис. 42
9.3. Конические поверхности
Пусть 7 — произвольная кривая и О — точка вне се. Через каждую точку’ кривой 7
и точку О проведем прямую I. Множество точек, лежащих на построенных таким
образом прямых, и азы вается конической поверхностью (рис. 43); кривая 7 — направля-
ющая конической поверхности, I — ее образующая, точка О — вершина.
Рассмотрим функцию
F(x, у, z)
переменных х, у и z. Функция F(x, у, z) называется однородной функцией степени q,
если для любого t > 0 выполняется равенство
F(tx. ty, tz) = tgF(x, у, z).
68 Глава III. Кривые и поверхности второго порядка
Рис. 43
0(0, 0, 0)
Л*о(*о» Уо> &
Рис. 44
Покажем, что есл и F(x, у, z) — однородная функция, то
F(x, y,z) = 0
является уравнением конической поверхности.
◄ В самом деле, пусть
F(xQ, у0, zq) = О,
т. е. точка Мо^о, Уо, го) лежит на этой поверхности. Будем считать, что Хо+Уо+^о > 0.
Проведем через эту точку и точку 0(0,0, 0) (считая, что F(0,0,0) = 0) прямую I
(рис. 44). Ее параметрические уравнения имеют вид
X — tXQ) у = tj/o, Z = tZ().
Подставляя полученные выражения для х, у и z в функцию Г(®, у, z), видим, что
F(x, y,z) = F(txQ, tyQ, tzQ) = t4F(x0, y0, zQ) = 0.
Это означает, что вся прямая I лежит на поверхности, определяемой уравнением
F(i, у, z) = О,
которое, следовательно, и описывает коническую поверхность. ►
Пример. Функция
х2 Z/2 z2
является однородной функцией второй степени:
(tx)l (iy)2	(fz)2	, /г2 w2 z2\	1
F(tx, ty. tz) ~ --J- +	=t ( ^2 +	- p- j = t F(r, y, z).
Значит,
?! + ?d_d=o
о!
— уравнение конической поверхности (конуса второго порядка} (рис. 45). ►
Воспользуемся теперь полученными выше результатами для исследования геоме-
трической формы поверхностей второго порядка.
§10. Эллипсоид. Гиперболоиды. Параболоиды. Цилиндры и конус второго порядка_69
§10. Эллипсоид. Гиперболоиды. Параболоиды.
Цилиндры и конус второго порядка
10.1.	Эллипсоид
Эллипсоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой прямоугольной
декартовой системе координат Oxyz имеет вид
2	-.2
— —
а2	Ъ2 + с2
где а b с > 0. Для того, чтобы выяснить, как выглядит эллипсоид, поступим
следующим образом. Возьмем на плоскости Oxz эллипс
х2 z2
~j Н---2 — 1
а2 с2
и будем вращать его вокруг оси Oz (рис. 46).
— эллипсоид вращения — уже дает представление о том, как устроен эллипсоид общего ви-
да. Чтобы получитьегоуравнение.достаточноравномерносжатьэллипсоид вращения
вдоль оси Оу с коэффициентом ~	1, т. е. заменить в его уравнении у на ^у5^.
10.2.	Гиперболоиды
Вращая гиперболу
вокруг оси Oz (рис. 47), получим поверхность, называемую однополостным гиперболо-
идом вращения. Его уравнение имеет вид
а:2 +у2 _	_ j
___________________________________а2____с2
получается тем же способом, что и в случае эллипсоида вращения.
5) Эллипсоид вращения (♦) можно получить равномерным сжатием сферы x2 + ^2 + z2 = а2 вдоль оси Oz
с коэффициентом £	1 
70
Глава III. Кривые и поверхности второго порядка
Путем равномерного сжатия этой поверхности вдоль оси Оу с коэффициентом
; I получим однополостный гиперболоид общего вида. Его уравнение
Г?	_ I
| аг +	~ I
получается тем же способом, что и в разобранном выше случае эллипсоида.
Путем вращения вокруг оси Oz сопряженной гиперболы
a?2 z2
получим двуполостный гиперболоид вращения (рис. 48). Его уравнение
Путем равномерного сжатия этой поверхности вдоль оси Оу с коэффициентом
;	1 приходим к двуполостному гиперболоиду общего вида. Заменой у на -у получаем
его уравнение
-.2	„2	2
х	у	Z
	1_ 2---— _1
а2----------Ь2-&
§ 10. Эллипсоид. Гиперболоиды. Параболоиды. Цилиндры и конус второго порядка 71
10.3.	Эллиптический параболоид
Врашая параболу
х2 — 2pz
вокруг оси Oz (рис. 49), получаем параболоид вращения. Его уравнение имеет вид
х1 + у1 = 2.pz.
Путем сжатия параболоида вращения вдоль оси Оу с коэффициентом у 2	1
получаем эллиптический параболоид. Его уравнение
Гж2 у2 ~~
| Р <1
получается из уравнения параболоида вращения
я? + у2
— = 2z
Р
путем замены у на У-	>
Если р < 0, то получаем параболоид вида, указанного на рис. 50.
10.4.	Гиперболический параболоид
Гиперболическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некото-
рой прямоугольной декартовой системе координат Oxyz имеет вид
(*)
ж2 у2
— ~ — = 2z,
р я
где р > 0, q > 0. Вид этой поверхности определим, применив так называемый ме-
тод сечений, который заключается в следующем: параллельно координатным плоско-
стям проводятся плоскости, пересекающие исследуемую поверхность, и по изменению
конфигурации возникающих в результате плоских кривых делается вывод о структуре
самой поверхности.
Начнем с сечений плоскостями z = h = const, параллельными координатной
плоскости Оху. При h > 0 получаем гиперболы
х2	у2
--------------*----= 1,
(у/2рй)2 (>/2д7Г)2
72 Глава III. Кривые и поверхности второго порядка
при h < 0 — сопряженные гиперболы
я2	у2
(y/-2ph)2	(y/~2qh)2
а при h = 0 — пару пересекающихся прямых
2	2
»_=0.
(ЛО2 (vS)2
Заметим, что эти прямые являются асимптотами для всех гипербол (т. е. при любом
h 0). Спроектируем получаемые кривые на плоскость Оху. Получим следующую
картину (рис. 51). Уже это рассмотрение позволяет сделать заключение о седлообраз-
ном строении рассматриваемой поверхности (рис. 52).
Рассмотрим теперь сечения плоскостями
y = h.
Заменяя в уравнении поверхности у на h, получаем уравнения парабол
2	/ h2 \
X = 2р \z + —
\ 2PQ J
(рис. 53).
Аналогичная картина возникает при рассечении заданной поверхности плоско-
стями
х = h.
В этом случае также получаются параболы
2	( h2 \
у — -2q z - -— ,
ветви которых направлены вниз (а не вверх, как для сечения плоскостями у = h)
(рис. 54).
Используя последние дватипа сечений, приходим к заключению, что гиперболи-
ческий параболоид можно получить путем параллельного переноса параболы х2 = 2pz
вдоль параболы у2 = -2qz, или наоборот (рис. 55).
$ 10. Эллипсоид. Гиперболоиды. Параболоиды. Цилиндры и конус второго порядка 73
Рис. 53
Рис. 54
Замечание. Методом сечений можно разобраться в строении и всех ранее рассмотренных поверхностей
второго порядка. Однако путем вращения кривых второго порядка и последующего равномерного
сжатия к пониманию их структуры можно прийти проще и значительно быстрее.
представление о котором можно получить либо путем вращения пары пересекающихся
прямых
---=°
а2 с2
вокруг оси Oz и последующего сжатия, либо методом сечений. Конечно, в обоих
случаях получим, что исследуемая поверхность имеет вид, указанный на рис. 59.
74 Глава III. Кривые и поверхности второго порядка
Упражнения
1.	Дана гипербола = 1. Задание:
а)	вычислите координаты фокусов;
б)	вычислите эксцентриситет;
в)	напишите уравнения асимптот и директрис;
г)	напишите уравнение сопряженной гиперболы и вычислите ее эксцентриситет.
2.	Составьте каноническое уравнение параболы, если расстояние от фокуса до вершины
равно 3.
3.	Напишите уравнение касательной к эллипсу = 1 в его точке М(4, 3).
4.	Определите вид и расположение кривой, заданной уравнением:
а)	х2 + 2у + 4х - 4у = 0;	г) ху + х + у = 0;
б)	бху + 8у2 — 12х - 26у +11=0;	д) х2 — 5ху + 4t/2 + х + 2у - 2 = 0;
в)	х2 — 4ху + 4t/2 + 4х - Зу - 7 = 0;	е) 4х2 - 12ху + 9 у2 - 2х + Зу - 2 = 0.
Ответы
1. а) Гл(—5,0), Fn(5,0); б) е = в) у = ±|х, х = ±|; г) £ - £ = -1, е =	2. у2 = 12т.
3. 3x + 4t/-24 = 0. 4. а) эллипс v + Т = 1* центР О*(“2,1), большая ось О'Х параллельна
оси Ох\ б) гипербола *— = 1, центр О'(-1,2), угловой коэффициент вещественной
оси О'Х равен 3; в) парабола Y2 = -j$X, вершина О'(3,2), вектор оси О'Х, направленный
в сторону вогнутости параболы, равен {—2, -1}; г) гиперболас центром О'(—1, 1), асимптоты
параллельны осям координат; д) пара пересекающихся прямых z-tj-l = 0, х-4^ + 2= 0;
е) пара параллельных прямых 2х — Зу + 1 = 0, 2х — Зу — 2 = 0.
Глава IV
МАТРИЦЫ. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ.
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
§ 1. Матрицы
1.1. Терминология и обозначения
Матрицей А. размера тхп называется набор т • п чисел — элементов матрицы
очj (i =	j =	,п),
записанных в виде прямоугольной таблицы
	/ «н	«12	• .	•	«1п \
А =	«21	«22	•	«2п I
	\ «ml	«m2	О^тп /
или
	«и	«12	.	• «In
А =	«21	«22	•	«2п
	- «ml	«m2	• «тп .
Символ otij читается так: «альфа-и-жи».
Набор
«ii,«i2,..., Gin (г - 1, • • • ,т)
называется i-u строкой матрицы А:
(«н а,2	... otin),
а набор
Ollj, ot2j,... ,Olmj (j = l,...,n)
называется j -м столбцом матрицы А:
/ «и \
"2;
X Olmj '
Таким образом, данная матрица А имеет т строк и п столбцов, а элемент a:j распо-
ложен в г-й строке и в j-м столбце матрицы А — в позиции (i, j) (рис. 1). Числа г и j
76 Глава IV. Матрицы. Определители. Линейные системы
определяют расположение элемента в матрице А и являются как бы координатами
этого элемента в прямоугольной таблице А.
Если размер матрицы известен, то часто пишут
кратко
А = («р).
Матрица размера 1 х п называется просто строкой,
а матрица размера т х 1 — столбцом. В случае т — п
матрица
/ «11	«12	• •	«1п
«21	«22	•	•	«2п
\«П1	«п2	• •	• «пп
называется квадратной матрицей порядка п. В част-
ности, квадратной матрицей первого порядка является
одноэлементная матрица А = (оц).
Набор элементов
I «11, «22, • • • , Опп |
образует главную диагональ матрицы А.
Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой, а квадратная
матрица, на главной диагонали которой стоят единицы, а все остальные элементы
равны нулю,
1	0	...	0\
°	1		°	• i2)
О	О	...	I/
называется единичной. Подчеркнем, что для каждого размера т х п существует своя
нулевая матрица, а для каждого числа п — своя единичная матрица порядка п.
Множество всех матриц размера т х п часто обозначают через Япхп  Введенное
обозначение требует дополнительных пояснений (для определенности мы ограничи-
ваемся здесьрассмотрением только матриц, элементами которыхявляются веществен-
ные числа). Множество вещественных чисел принято обозначать через 1R. Отсюда
и символ Япхп (множество матриц размера т х п, элементами которых являются
комплексные числа, принято обозначать так: С^хн, см. главу XXV). С учетом этого
обозначения матрицу (1) можно записать так
А — («ij) € Kfnxn-
Матрицы А — (ctij) и В — называютсяесли они имеют одинаковый
размер и их элементы, находящиеся в одинаковых позициях, совпадают, т. е.
AEHUxn, вея™,.
и
ctij = fiij (i = \,... ,т; j = },... ,п).
Обозначение: А — В.
§ 1. Матрицы_____________________________________________________________________________77
1.2.	Операции над матрицами
Сложение матриц
Пусть А и В — матрицы одного размера:
А — («ij) Kfnxn, В — (.Pij) € Kfnxn-
Суммой матриц А и В называется матрица С =	€ К^хп, элементы которой
вычисляются по формуле
lij = otij + pij (г = 1,..., m; j = 1,..., n).	(3)
Обозначение: С = A + В.
Умножение матрицы на число
Произведением матрицы А = («»>) € Кпхп на число А называется матрица В = (Ду) €
Кпхп, элементы которой вычисляются по формуле
pij = Xaij (i = 1,..., m; j = 1,... , n).	(4)
Обозначение: В = A A.
Запишем эти операции подробнее:
Оц	• • •	Oin \	/ Р\\	...	Р\п \	/	«п	+ Дп • •.	«ш + Р\п
............... j + { ................ j	— { ...................
«ml	• • •	&тп /	\ Дл1	• • 	Ртп /	\	«ml	+ 0т\	• • •	«тп + 0тп
(«11	• • •	«1л	\ (	А«ц	. .	. А«|П \
	 =	I 	 .
«ml	• • •	«тп./ \	Алт1	• •	• Attain /
1.3.	Линейное пространство строк
Рассмотрим введенные операции сложения и умножения на число на множестве ма-
триц размера 1 х п — п-мерных строках.
Пусть
а = («],..., «п) € Rixn, b = (Д,..., рп) € К]хп.
Тогда, согласно формулам (3) и (4),
а + b — («) + Д,..., «п + Рп)
и
Аа = (Ааь ..., Аап).
Правила (5) и (6) обладают легко проверяемыми свойствам и
а + b — b + а,	А(а + Ь) — Аа -1- Ab,
(а + Ь) + с = а + (Ь + с),	(А + д)а = Аа -1- да,
а + О = О + а = а,	А(да) = (Ад)а,
уравнение а + х = 0 однозначно разрешимо для лю- бой строки а	I - а = а
(5)
(6)
(7)
b — А|а, + ... 4- Amam,
78 Глава IV. Матрицы. Определители. Линейные системы
(здесь Аид- произвольные числа; а, Ь, с и х - n-мерные строки^ 0 — нуле-
вая п-мерная строка) и задают на множестве п-строк структуру линейного простран-
ства
Линейная зависимость
Введем важное понятие линейной зависимости. Пусть а,, ...,ат — n-мерные строки.
Строка Ь, определяемая равенством
(8)
называется линейной комбинацией строк аь ..., ат с коэффициентами Аь ...,Ат.
Линейная комбинация (8) называется нетривиальной, если хотя бы одно из чисел
Аь ..., Ат отлично от нуля, и тривиальной, если А) — ... = Ат = 0 (ясно, что в по-
следнем случае b — нулевая строка). Строки называются линейно зависимыми, если
некоторая их нетривиальная линейная комбинация равна нулевой строке 0. Строки
называются линейно независимыми, если нулевой строке равна только их тривиальная
линейная комбинация.
Покажем, что
если строки линейно зависимы, то одна из них является линейной комбинацией остальных.
◄ Пусть строки аь ..., ат линейно зависимы: найдутся числа Аь ..., Ат, не все
равные нулю и такие, что
А13) + ... + Am-i3m_i + Amam = 0.
Пусть, например, Am # 0. Перенесем все слагаемые, кроме последнего, из левой части
формулы в правую,
'	= ^13] — ... — Am_)3m-i,
и, поделив обе части полученного равенства на Ат # 0, придем к тому, что строка ат
является линейной комбинацией остальных строк —
А)	Ат_|
ат = - 3] ...	-	ат_).
''т	''т
Верно и обратное; если одна из строк является линейной комбинацией остальных,
например,
Зщ = Р1 а [ + ... + /zm_)3m_|,
то существует нетривиальная линейная комбинация строк аь ..., am-i, аш
/113| ч-... + /im_|3m_) + ( — 1)3,71 = 0
(коэффициент при ат равен -1 #0), равная нулевой строке. Значит, эти строки
линейно зависимы. ►
Аналогичными свойствами обладает множество JR^xi rn-мерных столбцов.
Общее определение линейного пространства будет рассмотрено в главе V.
£1. Матрицы_____________________________________________________________________________79
Правило сокращенного суммирования
Сумму вида
Of 1 + . . . + Oq
часто удобно записывать так
ч
1=1
(знак сокращенного суммирования принято обозначать прописной греческой бу-
квой Е — «сигма»).
1.4.	Умножение матриц
Пусть А = (а,;.) и В = (Лу) — квадратные матрицы порядка п. Произведением
матрицы А на матрицу В называется матрица
С — (7ij) £ ®nxn>
элементы которой вычисляются по формуле
70 =	+ • • • + oiinPnj (г, j = 1,..., n).
(9)
Обозначение: С = АВ.
Правило (9) можно проиллюстрировать следующей схемой
/ ап ... а1п \ /
\	. Лцн /	\ Рп\
P\j
Pnj
\	/ 7|1
&пп )	\ 7п1
С использованием знака сокращенного суммирования формула (9) записывается так:
п	- А
7ц - 52 (М = Ь• • •> п).
к=1
Порядок матриц-сомножителей существен.
Следующий пример показывает, что, вообще говоря, АВ # ВА.
Пример 1. Пусть
◄ Тогда
дВ /I 0\	0\
АВ “ (о 0 / ’ ВА_ (о 1 J • ►
Аналогичные примеры можно построить для матриц А и В любого порядка.
Пример 2. Пусть А — матрица третьего порядка
«11	«12	«13	\
«21	«22	«23	I	•
«31	«32	«33	/
◄ Покажем, что умножение матрицы А на матрицу
(1 о о \
Р23 = I о 0 1
\0 1 о/
80 Глава IV. Матрицы. Определители. Линейные системы
слева меняет местами 2-ю и 3-ю строки. Имеем
/1	0	0\	/оц	«и	ав \
Р23А =	I 0	0	1 I	•	I аз|	«22	«23 I	=
\О	1	О/	\аз]	«32	«зз/
(1 • «| । + О • Л21 + О  «31
О • а 11 + 0 • «21 + 1 • «31
О • «11 + I • «21 + 0 • аз]
1 • «12 + 0 - «22 + 0 • «32
О • at2 + о • «22 + 1 • «32
О • Q|2 + 1 • «22 + 0 ‘ «32
I • «и 0 • 023 + 0 ' «33 \
О • «13 + 0 • «23 + । ' «33 ) =
О • «|3 + 1 • «23 + 0  «33 /
(«II «12 «13 \
«31 «32 «33 I • ►
«21 «22 «23 /
Аналогично можно убедиться в том, что умножение матрицы А на матрицу Р?з
справа меняет местами 2-й и 3-й столбцы.
Пример 3. Для любой матрицы А выполняются равенства
| |  А = А  I =ГаГ]	(Ю)
где I — единичная матрица.
Пусть, например, А — матрица третьего порядка
Тогда
(«II	«12	«13	\
«21	«22	«23	I	•
«31	«32	«33	/
«н
«21
«31
«12	«13 \	/ ।	О	0\
«22	«23 I	‘	I О	1	0 j	=
«32	«33 /	\ О	О	I /
«II •	1	+ «12	•	0 + «13	• О
«21 ‘	।	+ «22	‘	0 + «23	• О
«31 •	1	+ «32	‘	0 + «33	’ О
«11 • 0 + «12	•	1	+ «13	• О
«21 • 0 + «22	•	1	+ «23	• О
аз] • 0 + «32	•	1	+ «33	• О
«11 • 0	+ «|2 • о	+ Л|3 •	I \
«21 * 0	+ «22 ' 0	+ «23 •	। I	=
«31 • 0	+ «32 • 0	+ «33 •	1 /
(«II «12
«21	«22
«31 «32
Справедливость равенства
«13 \
«23 )
«33 /
= А.
проверяется аналогично, к
Доказанные формулы (10) объясняют название матрицы I.
Умножение матриц обладает следующими свойствами.
А, В, С, D — квадратные матрицы (п -го порядка), то
А.	(АВ)С = А(ВС),
Б. А(В + С) = АВ + AC, (В + C)D = BD + CD.
◄ Докажем, например, первую из формул Б.
Нетрудно видеть, что все три матрицы АВ, АС и А(В -I- С) имеют одинаковый
порядок п. Вычисляя их элементы в позиции (г, j), получаем соответственно
п	п	п
^2otik(dkj,	^2 aik(Pkj + Ъз) (г, j = 1,... ,n).
t=i
Ясно, что
n	n	n
52 <*«*(&/+w) = 52aik^+52 а^кз-
k=]	k=]	k=]
Tребуемое равенство доказано.
§ 1. Матрицы
81
Похожими рассуждениями доказываются и две другие формулы. ►
Замечание. Операцию умножения можно определить и для прямоугольных матриц.
Пусть даны матрицы А = (a,fc) Е Ят»Хп и В =	Тогда элементы 7^
матрицы С = АВ Е Ялх/ вычисляются по формуле
п
7ij = aikPkj (г = 1, - - -, m; j = 1,... ,1).
(Н)
''FT
4x5 -
j . a .
Произведение двух прямоугольных ма- | л т т т ' i 1 m
триц существует не всегда: для того чтобы ‘	~	~
матрицу А можно было умножить на ма- 2 4 х ^*	6x5
трицу В, необходимо, чтобы число столб- Г L г .	1
цов матрицы А совпадало с числом строк
матрицы В (см. формулу (11) и рис. 2).
Для прямоугольных матриц справед-	Рис. 2
ливы формулы (10), А и Б (при условии, разумеется, что соответствующие произ-
ведения имеют смысл).
Пример. Найти произведение матрицы
/9 5\
А= 1 9
\8 6/
на матрицу
4 Прежде всего, проверяем, что число столбцов матрицы А (два) совпадает с числом строк матрицы В
(две). Значит, умножать матрицу А на матрицу В можно.
Вычислим это произведение. Имеем
/9 5\
АВ = I 9 •
\8 6/
0 1 2\
9 4 2 /
9-1 + 51
1 • 1 +9-1
8- 1 + 6-1
90 + 5-9
10 + 9-9
8-0+6-9
91+5-4
11+9-4
8- 1 + 6-4
9-2 + 52
1 -2 + 9-2
8 • 2 + 6 • 2
14 45 29 28 \
10 81 37 20 ) . ►
14 54 32 28 /
1.5.	О порядке суммирования
Сумму Н всех элементов прямоугольной матрицы
0)1 а)2 --• «ш
«21 «22 --• «2п
«ml «m2	- - - «тп
можно вычислить двумя способами:
1-й способ. Найдем суммы элементов каждого столбца
mm	m
X а‘2’ •••’ Ха»»
»=1	»=)	1=1
и сложим полученные числа:
mm	m	п	/ m
# = X + X а‘2 + • • •	+ X	=	X	(X аи
i=l i=l	i=l	j=l	X i=l
82
Глава IV. Матрицы. Определители. Линейные,системы
2-й способ. Найдем суммы элементов каждой строки
Отсюда вытекает, что
1.6.	Транспонирование матрицы
Матрица
«21
«22
«2п
называется транспонированной по отно-
шению к матрице
«н а[2 ... «in
«21 «22 • • • «2п
«ml «m2	• • • «/ня
Обозначение: Ат.
Пример. Транспонировав матрицу
А=Р 2 3
А V 5 6 7 8 2 ’
согласно определению, получим
\4
5\
6
7 I
8 /
Подчеркнем, что элемент матри-
цы Ат, находящийся в позиции (j, г),
совпадает с элементом матрицы А, на-
ходящимся в позиции	Притранс-
Рис. 3
понировании строки матрицы А переходят в столбцы матрицы Ат, а столбцы — в стро-
ки. Таким образом, если у матрицы А т строк и п столбцов, то у транспонированной
матрицы Ат п строк и т столбцов.
§ 1. Матрицы____________________________________________________________________________83
Укажем некоторые свойства операции транспонирования:
1.	(АТ)Т = А.
2.	(А + В)т = Ат + ВТ.
3.	(АА)Т = ААТ.
4.	(АВ)Т = ВТАТ.
1.7.	Элементарные преобразования матрицы
Пусть А и А — произвольные матрицы одинакового размера т х п. Обозначим
последовательные строки матрицы А через
Э],.. •, а*,..., а/,..., ап1
соответственно.
Будем говорить, что матрица А получена из матрицы А
1.	перестановкой двух строк, если ai,..., а,,..., а*,..., ат — последовательные
строки матрицы А;
2.	умножением строки на неравное нулю число ft, если ai,..., /За*,..., а,,..., ат —
последовательные строки матрицы А;
3.	прибавлением к строке матрицы А другой ее строки, умноженной на число у, если
3],..., а*,..., а/ + 7а*,..., ат — последовательные строки матрицы А.
Замечание. Во всех трех типах преобразований отмеченные многоточием строки не претерпевают
никаких изменений.
Преобразования указанных трех типов называются элементарными преобразова-
ниями строк матрицы А. Аналогично определяются элементарные преобразования
столбцов матрицы.
Пример. Матрица
/1 0 9 \
061
\0 1 О/
получена из матрицы
/1 О 9\
А = I О 1 О
\0 6 1 /
перестановкой 2-й и 3-й строк, а матрица
/О ! 9\
100
\6 0 1 /
получена из матрицы А перестановкой 1-го и 2-го столбцов.
Если к 1-й строке матрицы А прибавить 3-ю, умноженную на -2, то получим матрицу
/1 -12 7\
О 1 0 . ►
\0	6	1/
Замечание. Нетрудно увидеть, что если матрица А получена из матрицы А элементарным преобра-
зованием строк любого из трех типов, то и матрицу А можно получить из матрицы А элементарным
преобразованием строк, причем того же типа (либо вновь меняя местами k-ю и l-ю строки, либо
умножая к-ю строку на }/р, либо прибавляя к l-й строке к-ю строку, умноженную на —7).
84 Глава IV. Матрицы. Определители. Линейные системы
Основной процесс
Опишем метод, который позволяет при помощи элементарных преобразований строк
приводить произвольную матрицу к матрице более простого вида.
Пусть А = (aij) G Япхп — ненулевая матрица.
1-й шаг. То, что матрица А — ненулевая, означает, что в ней есть хотя бы один
элемент, не равный нулю. Так как он расположен в какой-то строке, то в матрице
А есть ненулевые строки. Выберем ту из них, в которой первый отличный от нуля
элемент расположен в столбце с наименьшим номером к\ 1. Применив к матрице А
преобразование 1-го типа, переставим эту строку на место первой строки. В результате
этого преобразования матрица А переходит в матрицу
О	...	О	4>,	...
о	...	О	а2*,	• • •	<*2п
О	...	О	OmA,	• • •
(12)
где а\^} # 0.
Покажем теперь, как добиться того, чтобы все элементы к\ -го столбца матри-
цы (12), кроме первого его элемента , оказались равными нулю.
• Если к i-й строке матрицы (12) (i = 2,..., тп) прибавить первую строку, умно-
женную на
а(,)
“i*i
(это преобразование 3-го типа), то в результате получим матрицу, у которой элемент
в позиции (г, Л|) будет равен нулю. Проведя эту операцию с каждой из строк, содер-
жащих ненулевые элементы в к\ -м столбце, приходим к матрице вида
О	...	О	а^	...	а^
О	...	О	0	...	аЙ
6	.О	6	.’"..	аЙ /
(13)
Конец 1-го шага.
В дальнейших преобразованиях первая строка не участвует.
Возможны два случая:
1. Все строки матрицы (13), кроме первой, нулевые. В этом случае считаем процесс
преобразований завершенным.
2. У матрицы (13) есть ненулевые строки, кроме первой.
2-й шаг. Выберем ту из них, в которой первый ненулевой элемент располагается
в столбце с наименьшим номером, например, кг (вследствие специального выбора
строки на первом шаге и выполненных выше преобразований к\ < кг). Применив
к матрице (13) преобразование первого типа, переставим эту строку на место второй
строки. Имеем
/О ... о .......................................
О ... О 0	... О og> ... а®
(14)
§1. Матрицы_____________________________________________________________85
где 0- Прибавляя к г-й строке (t = 3, ..., m) матрицы (14) вторую строку,
умноженную на
далее действуем по той же схеме, и при первом шаге.
Конец 2-го шага.
В общем случае может возн ^кнуть необходимость 3-го и последующих шагов.
Однако суммарное число шагов !не превосходит min(7n, п). Поэтому обязательно
наступит момент, когда процесс преобразований завершится, и мы получим матрицу
следующего ступенчатого вида —
/0 .. 0 ..	. 0 . 0	а(1) Qifci	•••		к 	,				
		0 .	.. 0					
				1 .				
0 .	. 0	0 .	.. 0	0	. 0 ..	1 а(г)		,	(15)
0 ..	. 0	0	. 0	0	. 0 ..	0	. 0	
\ 0 ..	. 0	0 .	.. 0	0 .	. 0 ..	о .	. о /	
где k\ < &2 < ... < кг и
fc, * °, а2к2 * °,	• • • >	0.
Матрица вида (15) называется ступенчатой. Тем самым, доказано следующее утверж-
дение.
Теорема 1. Любую матрицу можно привести к ступенчатой матрице при помощи конеч-
ного числа элементарных преобразований строк (i-го и 3-го типов).
Пример 1. Привести матрицу
/0 0	0 0	0 1 \
а — I 0 0 -2 3 -4 5 I
00	00	00
\0 1	11	11/
к матрице ступенчатого вида.
4 Поменяем местами 1-ю и 4-ю строки матрицы А:
/01	11	1 1\
. . . _ 00 -2 3 -4 5
А=? А| ~	0 0	00	00'
\0 0	00	01/
Поменяем местами 3-ю и 4-ю строки матрицы Af.
0 | 1	1 I ! ! \
0 о] -2 3-4 5
А| =Ф к? —	„	।
0 0	0 0	0 | 1
\ 0 0	00	00/
Матрица А? — ступенчатая. ►
86
Глава IV. Матрицы. Определители. Линейные системы
Пример 2. Привести матрицу
/3-1	3 2	5\
5-3	23	4
1 -3-5 0-7
\7 -5	14	1/
к ступенчатой.
4 Поменяем местами первую и третью строки			
/1 -3	-5	0	-7
«л	5-3	2	3	4
А => Ai _	3	j	3	2	5
\7 -5	1	4	1
1-й шаг. Вычитаем из второй, третьей и четвертой строк первую строку, умноженную соответствен-
но на числа 5, 3 и 7. Тогда
	/1	-3	-5	0	-7
	0	12	27	3	39
А] =» Аг =	0	8	18	2	26
	^0	16	36	4	50
2-й шаг. Для простоты последующих вычислений воспользуемся элементарным преобразованием
строк 2-го типа (хотя они и не использовались в описанном выше процессе, но их применение часто
упрощает вычисления); умножим вторую строку на |, третью — на |, четвертую — на |. Тогда
/1	-3	-5	0	-7	\
А2=>А3= ~о"|	4	9	1	13	.
2	0	4	9	1	13
\ 0	8	18	2	25	/
Вычитаем из третьей и четвертой строк вторую строку, умноженную на 1 и 2 соответственно. Тогда
A3 => А4 —
/ 1	-3-5	0	-7	\
~0~]	4	9	1	13
О	О	О	(Л	О
VO	0	0	0	j	-1	/
3-Й шаг. Замечая, что третья строка нулевая, переставим ее с четвертой. Тогда
А4 => А5 =
/ 1	-3-50	-7 \
"Я	4	9	1	13
0	о	о	Я	-1
\ 0	0	0	0	о	/
Полученная матрица А5 является ступенчатой. ►
Ступенчатую матрицу при помощи элементарных преобразований ее столбцов
можно привести к матрице, имеющей еще более простой вид
(16)
(все элементы матрицы, кроме единиц, стоящих в позициях (1, 1), (2,2), ..., (г, г)
равны нулю).
Путем перестановки в матрице (15) столбцов с номерами к\ , fcj,  • • , кг на места
первого, второго, ..., г-го столбцов соответственно (это преобразования 1-го типа)
получаем трапециевидную матрицу
§ t. Матрицы____________________________________________________________________________87
(17)
где «и 0» «22 О,агг # О.
Пример 2 (продолжение). Например, переставляя 3-й и 5-й столбцы матрицы Aj, получаем, что
Прибавляя к j-му столбцу матрицы (17) первый столбец, умноженный на
“хг4, 3 — 2, . .., п
«Н
(преобразования 3-готипа), получим в результатевсехтаких преобразований матрицу,
первая строка которой содержит только один ненулевой элемент — Sn:
/5ц	.............. J) \
О «22................ а2п
О 0	... OLft ’ • • «гп
\ о о о о о о/
Упрощая аналогично 2-ю, 3-ю,..., г-ю строки, в итоге получим
(18)
К виду (16) матрица (18) приводится элементарными преобразованиями 2-го типа.
Пример 2 (продолжение). Подвергая матрицу А$ таким преобразованиям, приходим к матрице
и, далее,
(10 О О 0\
0 4	000
00-100
00	000/
(100004
0 1 0 0 0 1
001001'
00000/
1.8, Матрицы элементарных преобразований
С элементарными преобразованиями тесно связаны квадратные матрицы — матрицы
элементарных преобразований. Так называются матрицы следующих трех типов.
68__________________________________________________Глава IV. Матрицы. Определители. Линейные системы
1-й тип. Матрицы, получающиеся из единичной матрицы перестановкой любых
двух строк. Например, матрица
получена из единичной матрицы
/ 1
1	О
1
1
перестановкой i-й и j-й строк (в матрице P,j все элементы вне главной диагонали
кроме тех, которые располагаются в позициях (t, j) и (j, г), равны нулю).
2-й тип. Матрицы, получающиеся из единичной заменой диагонального элемента
на произвольное не равное нулю число. Например, матрица
}
/1 \
отличается от единичной матрицы лишь элементом р 0 в позиции (j, j) (в матри-
це Dy все элементы вне главной диагонали равны нулю).
3-й тип. Матрицы, отличающиеся от единичной матрицы лишь одним внедиаго-
нальным элементом.
Например, матрица
§ 1. Матрицы
89
отличается от единичной лишь элементом 7 в позиции (г, j), а матрица
отличается от единичной тоже элементом 7, но в позиции (J, г) (все другие внедиаго-
нальные элементы матриц LtJ и R^, кроме указанных, равны нулю).
Сформулируем основное свойство матриц элементарных преобразований.
Теорема 2. Элементарные преобразования произвольной матрицы равносильны умножению
этой матрицы на матрицы элементарных преобразований:
А. Элементарные преобразования строк матрицы А —
1.	Умножение матрицы А на матрицу Ру слева переставляет строки с номе-
рами i и j.
2.	Умножение матрицы А на матрицу D; слева равносильно умножению j -й строки
матрицы А на число /3.
3.	Прибавление к j-й строке матрицы А ее i-й строки, умноженной на число у,
равносильно умножению матрицы А на матрицу 1_у слева.
Б. Элементарные преобразования столбцов матрицы А —
1.	Умножение матрицы А на матрицу Ру справа переставляет столбцы с номе-
рами i и j.
2.	Умножение матрицы А на матрицу D; справа равносильно умножению j -го столб-
ца матрицы А на число /3.
3.	Прибавление к j -му столбцу матрицы Aeei -го столбца, умноженного на число у,
равносильно умножению матрицы А на матрицу Ry справа.
◄ Для простоты ограничимся случаем т = п = 3.
Пусть А — квадратная матрица
третьего порядка
/ alt ап «и
А = I «21 «22 «23
\ «31	«32	«33
90 Глава IV. Матрицы. Определители. Линейные системы
1. В п. 1.4 («Умножение матриц») было показано (см. пример 2), что при умноже-
нии матрицы А на матрицу
/1 О 0\
Р23 = I 0 0 1 )
\0 I О/
слева получается матрица
(«II «12
«31	«32
«21	«22
«13
«33
«23
а при умножении А на Ргз справа — матрица
(«И	«13	«12	\
«21	«23	«22	I	•
«31	«33	«32	/
Нетрудно заметить, что матрица В отличается от матрицы А порядком строк, а матри-
ца С — порядком столбцов.
Аналогично проверяется справедливость свойства 1 для матриц Pi2 и Ргз -
2. Умножим матрицу А на
/ 1	0	0\
D2 =	10	/3	0	.
\ о	0	1 /
Имеем:
а) при умножении слева
	' 1 0		/ «11	«12	«13 \	( «и	«12	«13
d2a= (	0 /3	°	1 «21	«22	«23 1 =	( /Зо2|	/За22	/З«23
	.0 0	1/	V «31	«32	«33 /	\ «31	«32	«33
б) при умнож<	гниисг	рава						
	/ «и	«12	«13 \	/1	0 0\	/ «и	/3«12	«13
AD2 =	I «21	«22	«23 1	°	/3 0 :	= 1 «21	/За22	«23
	\ «31	«32	«33/	\0	0 1 /	\ «31	/З«32	«33 /
Аналогично проверяется справедливость свойства 2 для матриц D] и D3.
Подобным же образом можно убедиться в справедливости свойства 3. ►
§2. Определители
Свяжем с каждой квадратной матрицей число — определитель матрицы — по следую-
щему правилу.
Будем считать, что определитель матрицы
(«п)
первого порядка равен числу at ।.
Определителем матрицы второго порядка
«н
«21
«12
«22
называется число, равное «ц«22 - «i2«2i•
§2. Определители 91
Обозначение:
detfa" М- \ «21	«22 /	«И «12 «21	«22	= «11 «22 - «12«21-
Определителем матрицы третьего порядка
«11	«12	«13	\
«21 «22 «23 I
«31	«32	«33	/
называется число, равное
«22	«23 _	«12	«13
«32 «33	21 «32	«33
С учетом формулы (1) получаем:
/	ап	а|2	«13 \
det I	«21	«22	«23 I
\	«31	«32	«33	/
«11	«12	«13
«21	«22	«23
«31	«32	«33
+ «31
«12	«13
«22	«23
= «11«22«33 И" «21 «32«13 + «31 «12«23 ~ «11«32«23 “ «21«12«33 “ «31»22«13-
Формулу (2) легче запомнить, если воспользоваться
двумя правилами для построения слагаемых определи-
теля, символически описанными на рисунке 4. На ле-
вом рисунке показано, как выбирать сомножители пер-
вых трех слагаемых определителя, а на правом — трех
последних.
Предположим теперь, что определители матриц, по-
(2)
Рис. 4
рядок которых меньше п, уже введены. Определителем матрицы п-го порядка
«11	«12	• •	«In
«21	«22	• •	«2п
«П1	«п2	• •	• «пп
называется число, равное
D — «и Мп - а21Мг1 + •  • + (-1)П+1«П|МП|.
Здесь Mi\ (г = 1,..., п) — определитель матрицы порядка п - Г.
/ «12	  «ш	\
«22	  «2п
«»-1,2	  «»-1,п
«i+1,2	  «i+1,	п
\ «п2	  «пп	/
(3)
(4)
(5)
Матрица (5) получена из матрицы А путем вычеркивания первого столбца и г-й строки.
Обозначение:
D = det А = |А| =
«и
«1п
(6)
а.
а,
92 Глава IV. Матрицы. Определители. Линейные системы
Формула (4) называется разложением определителя по первому столбцу. Нетрудно
проверить непосредственно, что при п = 2 и п = 3 эта формула дает те же числа, что
и формулы (1) и (2) соответственно. Например, при п = 3 имеем
Р — «ц(«22«зз - <*з2«2з) ~ «2|(«12«зз - оз2О13) + Оз](о]2а2з - «22«1з)-	(7)
Формула (4) допускает сокращенную запись
п
(8)
Пример. Вычислим определитель треугольной матрицы
◄ Имеем
|А| = ГГц
«22 «23
О П33
А =
«II	«12	«13	•	•	«1п
0	«22	«23		•	«2п
0	0	«33		• «Зп
0	0	0 .	• «пп
«33
«2п
«Зп
«Зп
«пп
= «11 «22
«пп
= «11 «22 • • • «пп-
О о
О
Таким образом,
определитель треугольной матрицы (матрицы треугольного вида) равен произведению ее элементов, стоя-
щих на главной диагонали. ►
Обратимся к общей ситуации. Пусть теперь i и j — произвольные числа из на-
бора 1,2,... , п - 1, п. Определитель матрицы порядка п - 1, которая получается
из матрицы А вычеркиванием элементов г-й строки и j -го столбца, называется допол-
нительным минором элемента о|;- и обозначается через Mtj (рис. 5). Таким образом,
Мц — дополнительный минор элемента atl.
Рис. 5
По аналогии с формулой (8) введем числа Dj:
п
Dj = £(-	j = 1, 2.п.
: = 1
(9)
Покажем, что все числа D = D}, D^...., Dn равны между собой.
§2. Определители 93
•4 Для простоты ограничимся рассмотрением случая п = 3. Тогда из формул (9)
при j = 2 получаем
Z?2 = ~«|2-Л^12 + «22^22 — а32^32-	(Ю)
Каждый минор Mi2 (t = 1, 2, 3) является определителем второго порядка —
м «21	«23 М «11	«13 м «II «13	(Ц)
«31	«33	«31	«33	«21	«23	' '
Вычислим определители (11) в соответствии с правилом (1) и, подставляя результаты
М|2 = «21«33 “ «31«23,	Л^22 = «11«33 “ «31«13.	-^32 = «П«23 “ «21«13
в формулу (10), получим, что
£>2 = -«1г(«21«33 - «31 «23) + «22(« 11 «33 ~ «31 «1з) ~ «32(«11 «23 “ «21 «1з)-	(12)
Сравнивая правые части соотношений (7) и (12), убеждаемся в том, что D = D^.
Подобным же образом проверяется равенство D = Dy. ►
Замечание. Равенства D = D\ = ... = Dn в общем случае также доказываются путем сведения
к вычислению определителей меньшего порядка ((п — 1)-го и (п - 2)-го).
Таким образом, доказана формула
п
D = 22(-l)i+>ayMy, >=1,...,п,
1=1
(13)
коротко называемая разложением определителя по j -му столбцу.
Придадим полученному результату несколько иной вид. Число
Ац = (-ГУ^Мц
(14)
называется алгебраическим дополнением элемента в определителе |А|. Заметим,
что алгебраическое дополнение Л, у элемента а:-у зависит только от его позиции (i, j)
в матрице А. При замене элемента а,у матрицы на любое другое число алгебраичес-
кое дополнение Л, у не изменяется. С учетом обозначения (14) формулу (13) можно
записать в следующем виде:
п
D ~	' otijAij ~ ot]jA\j + ... -Ь otnjAfij, j = 1, • • •, л.
i=l
(15)
Тем самым, показано, что
определитель квадратной матрицы равен сумме попарных произведений элементов произ-
вольного столбца на их алгебраические дополнения.
94 Глава IV. Матрицы. Определители. Линейные системы
По аналогии с формулами (9) вводятся числа
>=i
(16)
также равные между собой. Чтобы убедиться в этом, достаточно, поменяв ролями
строки и столбцы, дословно повторить предыдущие рассуждения.
Имеет место следующий замечательный факт.
Теорема 3. Для любого i = 1,..., п
п
D =	(17)
>1
Иными словами, справедливо разложение определителя по i-й строке.
◄ Достаточно убедиться в том, что
Д)=Р.	(18)
Вновь ограничимся случаем п = 3. Согласно правилу (16), имеем
Д| = «|	। - oti2Mi2 + «13-Мв
и далее
Д] = «ц(«22«33 - «23«3г) - а]2(«21 «33 “ «23«31) + «Iз(«21 «32 “ «31 «2г)-
Сравнивая полученный результат с формулой (7), убеждаемся в справедливости тре-
буемого равенства (18). ►
Замечание. В общем случае равенство Д] = D также доказывается путем сведения к вычислению
определителей меньшего порядка ((п— 1)-гои (п - 2)-го).
С учетом обозначения (14) полученный результат можно записать следующим
образом:
п
D - 52«,jAj = «л Al + ... +«,пл,п, i = l,...,n,	(19)
j=i
— определитель квадратной матрицы равен сумме попарных произведений элементов
произвольной строки на их алгебраические дополнения.
Пример. Вычислим определители матриц элементарных преобразований.
4 Раскладывая определитель матрицы Р,;-
I
1
$2. Определители 95
по 1-й строке и затем повторяя эту операцию достаточное число раз (п — 2), придем в результате
к следующей формуле
|₽«|=|? л=->.
Так как матрица Dy элементарных преобразований 2-го типа имеет диагональный вид, то
Ю>1=Д
Для матрицы L,j третьего Типа получаем
|Ly| = 1. ►
2.1. Свойства определителя
1.	Линейность
Пусть в определителе Di-я строка является л инейной комбинацией двух п-строк:
«и ... ain
Х/3} + W ••• Ж + Д7П
Тогда
где определители
D = XD' + p.D\
отличаются от определителя D только г-ми строками.
◄ Чтобы убедиться в справедливости этого свойства, достаточно разложить определи-
тели D, D' и D" по г-й строке. Так как алгебраические дополнения Лу элементов г-й
строки у всех трех определителей одинаковы, то согласно формуле (19) имеем
п	п	п
D = Y)(X/3i + ^i'>A‘i- D' = Y'/3iAij. D" =
2=1	2 = 1
Отсюда следует, что D = XD' + pD". ►
2.	Антисимметричность
Если определитель D получен из определителя D перестановкой двух строк, то
D = -D.
◄ Предположим, что определитель D получен из определителя D перестановкой
первых двух строк:
«21 «22 • . .	«2п
«И «12 ...	«1п
«II «12 ... «|п
«21 «22 ••• «2п
«п!	«п2	• • • «пп
«nl «п2	• • • «пп
96 Глава IV. Матрицы. Определители. Линейные системы
Разложим определитель D по второй строке, а определитель D — по первой строке.
Согласно формуле (17) получим соответственно
D = —О?21-Л^21 + 0^22^22 + • •  + (~ I)2+”<*2nA^2n»
D=	- а-цМи-^ ... + (—I)l+nct2nAf2n-
Нетрудно видеть, что D = —D.
При перестановке любых двух строк определителя D доказательство проводится
аналогично. ►
3.	Транспонирование определителя
При транспонировании матрицы определитель не изменяется
|АТ| = | А|.
Это свойство непосредственно вытекает из доказанной выше теоремы: разложение
определителя |А| по первой строке совпадает с разложением определителя |АТ| по пер-
вому столбцу.
Заметим, чтосвойства 1 и 2 справедливы и для столбцов (это следует из свойства 3).
4.	Определитель произведения квадратных матриц
Определитель произведения квадратных матриц равен произведению определителей
этих матриц, т. е. если А и В — квадратные матрицы одного порядка, то
1АВ| = |А| • |В|.’
Сформулируем свойства определителя, удобные при практических вычислениях.
1.	Определитель матрицы с двумя одинаковыми строками равен нулю.
◄ Всамомделе, при перестановке двух любых строк, согласно свойству 2, определитель
должен изменить знак на противоположный; с другой стороны, при перестановке двух
одинаковых строк определитель не меняется. Значит, D = -D, откуда вытекает, что
D = 0. ►
2.	Умножение строки определителя на число равносильно умножению самого опре-
делителя на это число.
◄ Это вытекает из свойства I при д = 0. ►
3.	Определитель с нулевой строкой равен нулю.
◄ Достаточно разложить определитель по нулевой строке. ►
4.	Определитель, одна из строк которого равна произведению другой его строки на чи-
сло, равен нулю.
◄ В силу свойства 2 множитель можно вынести за знак определителя, после чего
остается определитель с двумя равными строками. ►
5.	Если к строке определителя прибавить другую его строку, умноженную на любое
число, то полученный определитель будет равен исходному.
◄ Полученный определитель согласно свойству 1 равен сумме двух определителей —
исходного и определителя, одна из строк которого равна произведению другой его
строки на число. ►
$3. Вычисление определителя
97
Итог: определится ъне изменится, если к любой его строке прибавитьлинейную комбинацию
других строк определителя.
То же самое справедливо и для столбцов определителя.
Задача. Доказать, что сумма произведений элементов строки определителя на алгебраические допол-
нения соответствующих элементов другой строки определителя равна нулю.
4 Заменим в определителе

элементы k-Я строки соответствующими элементами i-й строки. Получим определитель
«и •••	«1п
с двумя одинаковыми строками — « -й и fc-й. Согласно свойству 1, D = 0.
Раскладывая определитель Ь по к-Я строке, получим требуемое равенство
°Ч +... + OtinAkn = 0 (• 5^ *)
(напомним, что изменение элементов строки определителя не изменяет алгебраических дополнений
этих элементов), ►
§ 3. Вычисление определителя
Прежде чем обратиться к описанию вычисления определителя при помощи элементар-
ных преобразований, отметим, что при преобразованиях первого типа определитель
изменяет знак (свойство I), при преобразованиях второго типа определитель умножа-
ется на то же число (свойство 2), а при преобразованиях третьего типа определитель
нс изменяется.
Пример. Вычислить определитель матрицы
/	2	-5	4	3\
3-4	7	4
4	-10	8	3 
\-3	2	-5	з/
◄ Элемент оц # 0. Не все элементы первого столбца делятся на а п нацело. Чтобы избежать деления
элементов матрицы, умножим 2-ю строку на —2, 3-ю на -1 и четвертую на 2. Получим
	2	-5	4	3
(-2)  (-1) -(2)|А| =	-6 -4	8 10	-14 -8	-8 -3
	-6	4	-10	6
1-й шаг. Прибавляем ко второй, третьей и четвертой строкам первую строку, умноженную соответ-
ственно на 3, 2 и 3. Тогда
4|А| =
4 Зак. 750
2 -5
0 -7
0	0
0 -11
4 3
-2 1
0 3
2 15
98 Глввв IV. Матрицы. Определители. Линейные системы
2-й шаг. Чтобы избежать деления, умножим последнюю строку на -7. Тогда
(-7)-4|А| =
2
О
О
О
-5
-7
О
77
4
-2
О
-14
Прибавляя к четвертой строке вторую строку, умноженную на
-28|А| =
2
О
О
О
-5
-7
О
О
3
1
3 •
-105
ill, получим
3
1
3 •
-94
4
-2
0
-36
3-й шаг. Переставляем третью и четвертую строки:
-28|А| = (-1)
2
О
О
О
-5
-7
О
О
4
-2
-36
О
3
I
-94
3
Вычисляя определитель полученной треугольной матрицы, имеем
-28|А| = (-2) • (-7) • (-36) • 3.
Отсюда окончательно получаем, что
| А| = 54. ►
§4. Обратная матрица
Квадратная матрица называется невырожденной, если определитель этой матрицы
не равен нулю.
Пусть А = (a, j) — невырожденная матрица порядка п. Построим новую квадрат-
ную матрицу В порядка п по следующему правилу: в i -ю строку и j -й столбец матрицы
В — в позицию (i, j) — помещается число, равное алгебраическому дополнению Aji
элементаoiji матрицы А:
I Лп1 \
Aji ---- | *
| ^пп /
}
Матрица В обладает следующим важным свойством:
( |А|	0 \
АВ = BA = I	I = |А| • I.
\	0	IAI )
Докажем, например, равенство
АВ = |А| • I.
◄ Элемент произведения АВ, находящийся в позиции (г, j), вычисляется по форму ле
Л
7»J =	7 aik^jk-
*=1
§4. Обратна* матрица______________________________________________________________99
При i = j получаем разложение определителя матрицы А по i-й строке:
п
7м = OlikAik = |А|,
*=1
При i 5^ j согласно разобранной выше (в § 2) задаче
7,у = 0. ►
Равенство
ВА = [А( • I
обосновывается аналогично.					
Матрица			/	Ад) \	
	А-1 -	±в-	|А| "	 IAI	(2)
		|А|	-41п	•Ann	
			\ |А| ''	'	|А| >	
называется обратной к матрице А.
Из формулы (1) вытекают равенства
АА~'=1, А~'А=1.	(3)
Это означает, что матрицу А-1 можнорассматриватькакрешениесразу двухматричных
уравнений
АХ = I и ХА = I,
где
(®Ц • • •	®1п \
........... I
•Гд! . . . &пп /
— неизвестная матрица.
Покажем, что других общих решений у этих матричных уравнений нет.
◄ Предположим, что для некоторой матрицы С выполняются равенства
АС = I и СА = I.
Умножим обе части каждого из равенств на матрицу А"1: левого — слева, правого —
справа. Получим
А"’(АС) = А“'|, (СА)А“* = 1А“’.	(4)
Пользуясь свойствами операции умножения матриц, преобразуем правые части ра-
венств (4):
А"‘(АС) = (А"'А)С, (СА)А"’ = С(АА~').
В соответствии с формулой (3) и формулами (10) § 1 каждое из равенств (4) дает
требуемое соотношение: С = А"1. ►
4.1.	Метод Жордана
Укажем простой и эффективный способ вычисления обратной матрицы при помощи
элементарных преобразований. Начнем с обоснования метода.
100
Глава IV. Матрицы. Определители. Линейные системы
Теорема 4. Произвольную невырожденную матрицу элементарными преобразованиями
строк можно привести к единичной матрице.
◄ Согласно теореме 1 любую матрицу при помощи элементарных преобразований
строк (1-го и 3-го типов) можно привести к матрице ступенчатого вида. Если исходная
матрица является квадратной и невырожденной, то она преобразуется к матрице,
имеющей треугольный вид
О
О
“in
«2п
л(3)
«Зп
(5)
\ 0	0	0 ... а!Й /
где а(п # 0, а® # 0, а® # 0,..., ай
Покажем это. Элементарные пре-
образования строк матрицы равно-
сильны умножению этой матрицы
слева на соответствующие матрицы
элементарных преобразований (тео-
рема 2). Как показано выше, ма-
трицы элементарных преобразований
невырождены. В силу свойства 4 оп-
ределителя при умножении квадрат-
#0.


ных матриц их определители перем-	Рис $
ножаются. Поэтому при умножении
невырожденной матрицы на любую из матриц элементарных преобразований вновь
получаем невырожденную матрицу. Если ширина хотя бы одной «ступеньки» у по-
лучившейся в результате ступенчатой матрицы была бы больше одного элемента (см.
рис. 6), то ее определитель равнялся бы нулю. Это противоречит предыдущему рассу-
ждению. Тем самым, матрица (5) оказывается невырожденной, т. е.
«!'/ 5* 0,	«2?	°’	«33 £ °’

Элементарными преобразованиями строк 2-го типа полученная матрица (5) при-
водится к следующему виду
/1	«12	«13	•	«Н
0	1	«23	•	«2п
0	0	1 ..	• «Зп
0	0	0	1
(6)
Единичная матрица получается из матрицы (6) элементарными преобразования-
ми третьего типа: последовательно прибавляя к первым п - 1 строкам последнюю,
умноженную соответственно на —ан, -«2П,..., -ап_1п, приводим ее к матрице,
§4. Обратная матрица 101
у которой все элементы n-го столбца, кроме последнего, равны нулю:
1	«12	а!3 ...		0
0	1	«23	• • •	Л2.П-1	0
0	0	1	...	О!3,п-1	0
0	0	0	...	1	0
0	0	0	...	0	1
Аналогичным образом, прибавляя к первым г - 2 строкам полученной матри-
цы (п - 1)-ю строку, умноженную соответственно на -5Jn_j.-ап-2,п-\> придем
к матрице, у которой все элементы последних двух столбцов, кроме расположенных
на главной диагонали, равны нулю, и т. д. Наконец, прибавляя к первой строке вторую,
умноженную на -512, придем к единичной матрице
р . 0\
\0 '
Доказанное утверждение позволяет переформулировать теорему 4 в матричной
форме:
Теорема 5. Длялюбой невырожденной матрицы А можно указать матрицы элементарных
преобразований Qb ..., Qj. такие, что
Qk ... Q|A = I.	(7)
Умножим обе части равенства (7) на матрицу А-1 справа. Получаем, что
Q* ... Qi =А-'.
4.2.	Способ построения обратной матрицы
Пусть А — невырожденная матрица порядка п. Составим расширенную матрицу
(АН)	(8)
размера п х (2п). Если подвергнуть строки этой матрицы элементарным преобразо-
ваниям, соответствующим матрицам Qi,..., Qfc, то на месте матрицы А получится
единичная матрица I, а на месте единичной матрицы I — матрица А-1, обратная А.
Иными словами, элементарными преобразованиями строк матрица (8) преобразуется
в матрицу
(НА-1).
Таким образом, чтобы построить матрицу, обратную заданной квадратной невы-
рожденной матрице А = (atJ ), следует поступать так:
1.	Составить расширенную матрицу
	/ <*||	«12	. •	•	&1п	1	0 ..	. 0
(А 11) =	«21	«22 •	• а2п	0	1 ..	. 0
		«п2 •	* &пп	0	0 ..	1
2.	Элементарными преобразованиями строк расширенной матрицы (А | I) приве-
сти матрицу А к треугольному виду
102	•_________________________________________Глава IV. Матрицы. Определители. Линейные системы
(1 «12 •••	Sin
°....5г"
00	...	1
Д1 012
021 022
01п
02п
0п\ 0п2
0пп
(см. описание основного процесса, положенного в основу доказательства теоремы 1).
3.	Элементарными преобразованиями строк матрицы (А | В) привести матрицу А
к единичной
1 О
0 1
(| I с) ==
0 7и 712
0 721 722
71п
72я
1 7п1 7п2
7пп
0 0
(см. описание сведения матрицы (6) к единичной в теореме 4).
4.	Полученная матрица С является обратной к матрице А:
С = А-1.
Пример. Найти матрицу, обратную матрице
4 Составим расширенную матрицу
( 1	1	1	1	1 0 0 0 \
1	1-1-10100
1-1	1-10010
1-1-1	10001/
1-й шаг. Вычитаем первую строку из всех последующих строк:
/11 1 1					1 0	0	°
В =>	0	0	-2	-2	-1 1	0	0
	0	-2	0	-2	-1 0	1	0
	\ о	-2	-2	0	-1 0	0	1 /
2-й шаг. Элемент ajj = 0. Меняем местами вторую и третью строки, затем вычитаем из четвертой
строки полученную вторую:
	/ 1	1	1	1	1 0	0 0	
В =>	о]	-2	0	-2	-1 0	1 0	
	0	0	-2	-2	-1 1	0 0	
	1 0	0	-2	2	0 0	-1 1	>
3-й шаг. Вычитаем из четвертой строки третью и делим все строки на их диагональные элементы:
		1 1	1 1	1	0	0	0
		0| 1	0 1	'/2	0	-41	0
В =>		0 0	1 1	'/2	-'/2	0	0
		0 0	о| 1	'/4	-’/4	-'/4	'А /
4-й шаг. Вычитаем последнюю строку из первых трех строк:
	а 0	1 1 1 0	0 0	3/4 'А	'/4 'А	'/4 ->А	-'/4 \ ~'/4
в =>		—					
	0	0 1	0	’/4	-'/4	'/4	-'/4
	1 0	0 0	1	->/4	'А	->А	А /
§5. Ранг матрицы___________________________________________________________________________103
5-й шаг. Вычитаем третью строку из первой строки:
	1	1	0	0	J/2	72	0	0
	0	1	0	0	'/4	74	-'/4	-74
В =>					
	0	0	1	0	1/4	-74	74 -74
	к 0	0	0	1	-74	74 -%	'/4 J
6-й шаг. Вычитаем вторую строку из первой строки:					
	/ 1	0	0	0	74	74	74	74 \
	0	1	0	0	74	74 -74 -74
В =>					
	0	0	1	0	74 -74	74 -%
	\ 0	0	0	1	74 -74 -74	74 )
Отсюда следует, что					
				А-'	= !*.►
§5. Ранг матрицы
Выберем в матрице
к строк и к столбцов. Пусть
(ап ...	ан
	
a^jjj . . .	&тп
ii < «2 < • • • < й
— номера выбранных строк и
Ji < h < • • • < 3k
— номера выбранных столбцов. Построим матрицу к-го порядка
/ Q’ljl	a’U2 •	
	a«2j2	•	*	a»2J*
\ aikh	a,W2	aik3k
Определитель Мк этой матрицы
называется минором к-го поряд-
ка матрицы А. Ясно, что у ма-
трицы размера т х п есть ми-
норы, порядок которых равен
1,2,..., min(m, п).
Пример (см. рис. 7). Выберем в ма-
трице А размера 11 х 14 7 строк и 7
столбцов:
1, 3, 4, 6, 8, 9, 10 — номера
выбранных строк;
2, 5, 6, 7, 10, 12, 13 — номера
выбранных столбцов.
Рис. 7
Построим матрицу порядка 7 из элементов, располагающихся одновременно и в отобранных стро-
ках и в отобранных столбцах, сохранив их взаимное расположение. Получим матрицу, схематически
изображенную на рис. 7 справа. Определитель этой матрицы будет минором 7-го порядка исходной
матрицы. ►
104 Глава IV. Матрицы. Определители. Линейные системы
Пусть матрица А ненулевая. Тогда найдется число г такое, что
1) некоторый минор г-го порядка матрицы А отличен от нуля;
2) любой минор порядка з (з > г) матрицы А (если таковой существует) равен
нулю.
Число г называется рангом матрицы А.
Обозначение: rang А.
Ранг нулевой матрицы считаем равным нулю. Таким образом, длялюбой матри-
цы А размера т х п	________________________
0 rang А min(m, п).
Отличный от нуля минор Мг, порядок которого равен рангу матрицы А, называ-
ется базисным минором матрицы А. Строки и столбцы матрицы А, которые содержат
элементы базисного минора, называются базисными.
Теорема 6.
1. Базисные строки матрицы А линейно независимы.
2. Каждая строка матрицы А может быть представлена в виде линейной комбинации
базисных строк.
Аналогичное утверждение справедливо и для базисных столбцов.
◄ Предположим для определенности, чтобазисный минор матрицы А имеет порядок г
и расположен в ее левом верхнем углу:
А =
/	«11	«1г	«1,г+1	••	«In \
«г!	. .	Otrr	«г,г+1	.	arn
«г + 1,1	•	.. ar+\j	«г + 1,г + 1	• «r+l,n
\ «ml	 •	&mr	«т,г+ 1	
(1)
Тогда первые г строк aj,..., аг будут базисными.
1. Покажем, что строки а>,..., аг линейнонезависимы. Будем рассуждать от про-
тивного. Пусть строки ai,..., аг линейно зависимы. Тогда согласно утвержден июп. 3
§ 1 одна из строк является линейной комбинацией остальных. Пусть, например,
аг — Aiai +... 4- Ar_iar_i.
Это означает, что в базисном миноре Мг =
«и
«г!
r-я строка является
линейной комбинацией остальных строк МГ. Отсюда в силу свойства определителя
вытекает равенство МГ = 0, которое противоречит определению базисного минора.
Тем самым, наше предположение о линейной зависимости строк aj,..., аг неверно.
Значит, они линейно независимы.
2. Перейдем к доказательству второго утверждения теоремы. Покажем сначала,
что для любых i и j (I i т, 1 j п) выполняется равенство
	«и •	•	«1Г	alj	
A =	«П •	&ГГ	arj	= 0.
	«il •	Oir	(Xij	
(2)
§5. Ранг матрицы_________________________________________________________105
В самом деле, при t О У определителя Д две одинаковых строки, при j г —
два одинаковых столбца, а в остальных случаях (при i > г и j > г} Д является
минором матрицы А порядка г + 1. Тем самым, он оказывается равным нулю при всех
обстоятельствах.
Зафиксируем i (1 i т) и разложим определитель Д по последнему столбцу.
Имеем
аь Д| + а2]Д2 + ... + arj^r + ацМг = 0.	(3)
Полученное равенство (3) выполняется для любого j (1 j п); при этом числа
Дь ..., Дг от; не зависят. Полагая
Л _ Aj. л __Д1	1 — _
А,-“мг’ Аг~ м,.............. '““м?
перепишем равенство (3) в следующем виде
ctjj = Л]aij + ... + Xrotrj, j = 1,.. •, n,
или, подробно,
= А(.. + Агаг,,
............................................ (4)
= А|О!]п +... + Агогп.
На основании полученных соотношений (4) заключаем, что
а» = А|Э| + ... + Агаг,
Тем самым, t-я строка матрицы А является линейной комбинацией базисных строк
aj,..., аг. Ввиду произвольности выбора i (1 i т) отсюда заключаем, что каждая
строка матрицы является линейной комбинацией базисных. ►
Утверждение. Элементарные преобразования матрицы не увеличивают ее ранга.
◄ Пусть матрица А ранга г получена из матрицы А ранга г элементарным преобразо-
ванием строк 1-го типа. Рассмотрим в матрице А произвольный минор Mt порядка з
и выберем в матрице А минор М, того же порядка з по следующему правилу. Эле-
менты минора Ms расположены в матрице А в тех же строках и в столбцах с теми
же номерами, что и элементы минора Ms в матрице А. Так как преобразование 1-го
типа, переставляя строки матрицы, не изменяет их, то строки миноров Ms и Ms могут
различаться только порядком расположения в минорах. Отсюда вытекает, что либо
М, = +MS, либо Мg — -Mg.
По определению ранга все миноры матрицы А, порядок которых больше г, равны
нулю. Поэтому из полученных равенств вытекает, что любой минор матрицы А по-
рядка з > г равен нулю: Ms = 0. Это означает, что ранг матрицы А не может быть
больше ранга матрицы А: т т.
Похожими рассуждениями можно убедиться в справедливости неравенства
т г
и для случая, когда матрица А получена из матрицы А элементарными преобразова-
ниями строк 2-го и 3-го типов.
Для столбцов доказательство проводится аналогично. ►
Теорема 7. Элементарные преобразования не изменяют ранга матрицы.
106 Глава IV. Матрицы. Определители. Линейные системы >
◄ Достаточно вспомнить, что если матрица А получена из матрицы А элементар-
ным преобразованием, то и матрицу А можно получить из матрицы А элементарным
преобразованием (причем того же типа). С учетом доказанного выше утверждения
из этого факта можно заключить, что и
г т.
Сопоставляя неравенства f О и г г, получаем требуемое
Замечание. Число ненулевых строк ступенчатой матрицы равно ее рангу.
<4 В самом деле, минор порядка г ступенчатой матрицы, элементы которого расположены в ее первых г
строках и в столбцах с номерами к\, к2,..., кг, отличен от нуля,
0
а любой минор порядка в > г содержит нулевую строку и, значит, равен нулю. ►
Тем самым, элементарные преобразования матрицы предоставляют простой и эф-
фективный способ отыскания ранга произвольной матрицы.
Пример. Найти ранг матрицы
/2 -1 3 -2 4\
А= 4 -2 5	17.
\2 -1 1	8 2/
1-й шаг. Вычитая из второй и третьей строк первую строку, умноженную соответственно на 2 и 1,
получим, что
/2 -1	3
rang А = rang о	0-1
\ 0	0-2
-2	4 \
5 -1	•
10 -2 /
2-й шаг. Вычитаем из третьей строки вторую строку, умноженную на 2. Тогда
/2	-1	3-2	4	\
rang А = rang 0	0	-1 5	-1	= 2.	►
< 0	0	0 0	0	/
§6. Система линейных уравнений
6.1. Основные понятия
Пусть дана матрица
/ О]|	...	Д \
А = I ................... I ,
\ ®ml • • • Otmn Pm /
первые п столбцов которой ненулевые. Совокупность соотношений
ОцХ] + .	• + ^In^n — Дь
*ml®l + • •	• ^тп^п = Рт,
(О
(2)
§ 6. Система линейных уравнений 107
где числа Х],... ,хп рассматриваются как величины, подлежащие определению (не-
известные), называется системой т линейных уравнений с п неизвестными, или, ко-
ротко, — линейной системой. Числа ац (г — 1,..., т; j = 1,... ,п) называются
коэффициентами линейной системы (2), а числа fa (i — 1,..., т) — ее свободными
членами.
Решением линейной системы (2) называется упорядоченная совокупность чисел
7),..., 7п, которая при подстановке в каждое уравнение системы (2) вместо совокуп-
ности неизвестных х\,... ,хп обращает его в тождество. Линейная система называет-
ся совместной, если она имеет решение, и несовместной, если решений нет. Решения
7Ь ... ,7П и 7,,..., 7„ системы (2) называются различными, если нарушено хотя бы
одно из равенств
71=7ь 72 = 72, •••, 7n = 7k-
Совместная система называется определенной, если она имеетровно одно решение,
и неопределенной, если она имеет не менее двух различных решений.
Линейная система (2) допускает более компактную (матричную) запись:
(3)
где
/ ан ... aln \	/ А \	/®> \
А = I ............... )	, Ь =	: 1 , X =	: I .	(4)
\	... атп /	\ fan /	\ хп /
Матрица А называется матрицей системы (2), b — столбцом свободных членов, X —
столбцом неизвестных. Исходная матрица
А = (А | Ь)
называется расширенной матрицей системы (2). Решением матричной системы (3)
является столбец Г, элементы которого суть 7ь • • •, 7П:
АХ = Ь,
Теорема 8 (Кронекера—Капелли). Линейная система совместна в том и только в том случае,
если ранг матрицы системы и ранг расширенной матрицы равны.
◄ Пусть линейная система (2) совместна. Этоозначает, что некоторый упорядоченный
набор чисел 7ь 72, • • •, 7» обращает каждое из уравнений этой системы в тождество:
Of1171 + «1272 + •. • + ai„7n = fa,
«ml71 "1“ «т272 + • • • + Otrnnln /Зт.
Полученные соотношения можно понимать так: столбец свободных членов расши-
ренной матрицы А = (А | Ь) является линейной комбинацией ее первых п столбцов,
т. е. столбцов матрицы А. Прибавим к последнему столбцу матрицы А первый стол-
бец, умноженный на -71, затем второй столбец, умноженный на -72,..., и, наконец,
n-й столбец, умноженный на -7П. В результате получим матрицу
А= (А |0).
108 Глам IV. Матрицы. Определители. Линейные системы
Ранг матрицы А совпадает с рангом матрицы А, так как проведенные элементарные
преобразования столбцов 3-го типа не изменяют ранга матрицы (теорема 7). С другой
стороны, ясно, что ранги матриц А = (А | 0) и А также равны. Тем самым,
rang А = rang А = rang А.
Пусть теперь ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы. Так
как А = (А | Ь), то у матриц А и А есть общий базисный минор. Предположим
для определенности, что порядок базисного м инора равен г, и он расположен в левом
верхнем углу обеих матриц. Этого всегда можно добиться путем перестановки урав-
нений и (в случае необходимости) перенумерации неизвестных. Согласно теореме 6
любой столбец матрицы А можно представить в виде линейной комбинации базис-
ных столбцов. В частности, для столбца свободных членов (это последний столбец
матрицы А) имеем
<*П7| +«1272 + .-. +<*1г7г=01»
или
®ml7l "И ^т272 + • • • + Otmr7r — 0т>
Нетрудно видеть, что упорядоченный набор п чисел
7i,72,	••-,7г, О,..., О
обращает каждое из уравнений исходной линейной системы втождество. Это означает,
что система (2) совместна. ►
6.2.	Эквивалентные линейные системы
Совокупность всех решений линейной системы будем называть множеством решений
системы. Две линейные системы с одинаковым числом неизвестных называются
эквивалентными {равносильными), если множества их решений (возможно, пустые)
совпадают. Другими словами, всякое решение одной системы является решением
другой и, обратно, всякое решение второй системы является решением первой, либо
обе системы не имеют решений.
Ясно, что линейная система однозначно задается своей расширенной матрицей.
Возьмемдве матрицы А и А' одного размера т х (n+1) и рассмотрим соответствующие
им линейные системы
«11®1 + ... + аХпхп ~ /3\,	а'иЖ] + ... + а\пхп = р\,
......................... (*) ............................... (*')
"Ь • • • "Ь CtmnXn —	®ml®l 4" • • • 4"	=
Будем говорить, что система (*') получена из системы (*) при помощи элементарных
преобразований, если расширенная матрица А' системы (*') получается из расширен-
ной матрицы А системы (*) элементарными преобразованиями строк.
Теорема 9. Если линейная система (*') получена из линейной системы (*) элементарными
преобразованиями, то системы (*) и (♦') эквивалентны.
§ 6. Система линейных уравнений-------------------------------------------109
4 Предположим сначала, чтосистема (*) совместна. Пусть 71,7П — ее решение.
Покажем, что этот набор при подстановке в каждое из уравнений системы (*') вместо
набора неизвестных x]t... txn обращает его в тождество. Достаточно рассмотреть
только те уравнения, которые подверглись преобразованиям.
Пусть система (*') получена из системы (*) элементарным преобразованием:
1)	первого типа — изменение порядка уравнений в системе не лишает набор
7i,..., 7п возможности обратить каждое из них в тождество;
2)	второго типа — после умножения fc-ro тождества
ajti7i + . • ♦ + ajtn7n = fa
на А 0 получаем соотношение
(Aajti )7i + • • • + (Aa*n)7n = А&,
означающее, что набор 7ь ..., 7п обращает уравнение
(Аа* । )®i + • • • + (Аа*п)а?п = А/3*
в тождество;
3)	третьего типа — выпишем преобразованное уравнение
(ап + рак])х\ + ... + (оцп + ракп)хп = fa + Ufa	(5)
и тождества, полученные из fc-ro и /-го уравнений системы (*):
a*i7i + ••• +akn7n = fa,
аП71 + ••• +аь7п = fa’
Умножим первое из этихтождествна р и, прибавив ко второму, получим тождество
(ап + рак])л + ... + (агп + ракп)уп = fa+ fifa.
Подстановка набора 71 > • • •, 7п в уравнение (5) приводит к тому же результату. Та-
ким образом, в каждом из трех случаев система (*) оказывается совместной, и набор
7i,..., 7П является ее решением — всякое решение системы (*) является решением
системы (*').
Так как система (*) также может быть получена и з системы (*') путем элементарных
преобразований (см. Замечание п. 7§ 1),то, повторяя приведенные выше рассуждения
для систем (*') и (*), убеждаемся в том, что всякое решение системы (*') является
решением системы (*).
В том случае, когда система (*) несовместна, несовместна также и система (*').
В этом легко убедиться, рассуждая от противного: совместность системы (*'), согласно
доказанному выше, неизбежно влечет совместность системы (*), которая по условию
не имеет решений.
Ясно, что если система (*') получена из системы (*) при помощи конечного числа
элементарных преобразований, то эти системы эквивалентны. ►
6.3.	Метод Гаусса
Решить линейную систему — это значит:
1)	выяснить, является ли система совместной или несовместной;
2)	если система совместна, то найти множество ее решений.
Укажем способ решения линейной системы, состоящий в следующем: элемен-
тарными преобразованиями заданная система приводится к системе простого вида,
для которой ответить на поставленные вопросы уже нетрудно.
110 Глава IV. Матрицы. Определители. Линейные.системы
Так как элементарные преобразования системы напрямую связаны с элементар-
ными преобразованиями строк ее расширенной матрицы, будет удобно рассматривать
их одновременно:
QfnX] 4- . . . + а1птп = /?1,
Z?i
/ «н
А= I ....
\ «ml •• • «тп
Как доказано в теореме 1 §1-7, элементарными преобразованиями строк матрицу
А можно привести к ступенчатой
/4’ 4’
14
«ml®! + . . . + &тпХп — 0т>
1п
й(2)
а2п
Рт
А' =
I (г)
I Qrr . . •
«гп
0г
в{г}
Рг±1
О
4
«5?

№
о
О /
Соответственно преобразуется и система (♦).
Если свободный член отличен от нуля, то полученная (а значит, и исходная)
система будет несовместна. В самом деле, (г 4- 1 )-е уравнение имеет следующий вид:
0 • xi + ... + 0 • хп = ^71 °>
и никакой набор чисел 7i,. - •, 7П не может обратить его в тождество.
Обратимся к случаю, когда ДЕ+i = 0- Тогда только первые г строк матрицы А'
будут отличными от нуля. Выпишем соответствующие уравнения. Для простоты
записи будем считать, что
А?2 — 2, • • •, кг = г
(этого можно добиться, временно перенумеровав искомые неизвестные: у\ = Я],
У2 =	, •• • , Ут = хкг,... ). Имеем
aifaii + ajj х2 4- ... +	4- ... 4-	,
а12Х2 + • . • + «2г)д:г 4- • • • + <^2пХп = 02 \	(*')
«J?®r 4-... 4- oQxn = $г),
где aj1/ / 0, о$ / 0,... ,	# 0. Возможны два случая:
1.	Число неизвестных п и число уравнений г в системе (♦') равны, г = п. Тогда
система (*') имеет вид:
aJP®, +а!’2)а:2+ • • • + «^-1^-1 + «& = 01О>
«22®2 + • • • + «S-l^n-l + <*2пХп = ^22\
«n-l.n-!2'*»-' + ап-\,пХп Рп-\ ’
а(п)х _
апп Яп — Рп >
§6. Система линейных уравнений 111
где <4*	0, к = 1,..., п. Из последнего уравнения однозначно определяется значе-
ние неизвестного хп, Подставляя его в предыдущее (п - 1) -е уравнение, находим зна-
чение неизвестного хп~ । и т. д. Наконец, подставляя найденные значения неизвестных
Х2,..., хп в первое уравнение, однозначно определяем значение неизвестного х\.
Таким образом, в рассматриваемом случае (при г = п) система (♦') имеет един-
ственное решение. Это же верно и для системы (*).
2.	Число неизвестных п больше числа уравнений г, п > г. Придадим неизвест-
ным Хг+\,..., хп (их называют свободными) произвольные значения 7r+-1,..., 7П и,
перенося соответствующие слагаемые в правые части уравнений системы, получим
+ • • • +	- oi|^+17r+i - ... -
а{2)х,+ +Л — Z?(2) — а(2)	-Л
«22 х2 > • • • । «2г а'р — ”2	«2,г+1 <r+1	• • - a2n7n,
o$xr = &г) -	- ... - a{rhn.
Как и выше, мы можем последовательно определить значения главных неизвест-
ных хг •, яг_],... ,Х2, х\. Поскольку значения 7г+),..., 7П были выбраны произволь-
но, то в рассматриваемом случае множество решений линейной системы бесконечно.
Пример 1. Решить систему
Зх> - 5xj + 2хз + 4х4 = 2,
7х]-4х2+ хз + Зх4 = 5,
5х । + 7x2 - 4xj - 6х4 = 3.
4 Составим расширенную матрицу системы,
/ 3 -5	2	4 2 \
А =	7 -4	1	3 5,
\ 5	7—4—63/
и приведем ее при помощи элементарных преобразований строк к ступенчатой матрице.
1-й шаг. Чтобы получить элемент в позиции (1,1) равным 1, вычитаем из второй строки удвоенную
первую строку и затем меняем их местами. Тогда
/1	6 -3 -5 1 \
А => ( 3 —5	2	4	2.
\ 5	7—4—63/
Вычитаем из второй и третьей строк первую, умноженную на 3 и 5 соответственно. Получим, что
/1	6-3-5	1 \
А => lol -23	11	19 -I •
\ О I -23	11	19 -2 /
2-й шаг. Вычитаем из третьей строки вторую:
	6	-3	-5
А=>	0	-23	11	19
\ о	0	0	0
Система несовместна, так как rang А = 2, a rang А = 3. ►
Пример 2. Решить систему
2х] + 5x2 ~ 8x3 = 8,
4xj + 3x2 -9хз = 9,
2xt + Зх2 - 5хз = 7,
X) + 8x2 - 7х3 = 12.
112 Глава IV. Матрицы. Определители. Линейные системы
◄ Составим расширенную матрицу системы:
/ 2
\ 1
Прямой ход.
1-й шаг. Переставим первую и четвертую строки. Тогда элемент в позиции (1, I) будет равен 1.
Вычитая затем из всех строк первую строку, умноженную соответственно на 4, 2 и 2, получаем
12
-39
-17
-16
2-й шаг. Во избежание громоздких вычислений вычитаем из второй строки удвоенную третью стро-
ку, а из третьей четвертую. Затем у полученной матрицы вычитаем из второй строки третью:
Вычитая из третьей и четвертой строк вторую строку, умноженную на 2 и 11 соответственно, получаем,
что
/1	8-7	12 \
-2	-4
7	7
28	28 /
3-й шаг. Вычитаем из четвертой строки третью, умноженную на 4. Затем умножаем элементы
третьей строки на |:
Система совместна, так как rang А = rang А = 3, и имеет единственное решение, так как ранг матрицы
равен числу неизвестных.
Таким образом, исходная система эквивалентна системе
X] + 8x2 - 7хз = 12,
—Х2 — 2хз = “4,
хз = 1.
Обратный ход.
Из третьего уравнения сразу видим, что х$ = 1. Подставив это значение хз во второе уравнение,
получаем -хз - 2 = -4, откуда хз = 2. После подстановки найденных значений для х$ и х? в первое
уравнение получаем Х| + 16 - 7 - 12, откуда Х| = 3.
Система имеет единственное решение:
X] = 3, хз = 2, хз = 1. ►
ПримерЗ. Решить систему
Зх| - 2хз + 5хз + 4x4 = 2,
6Х| - 4хз + 4хз + 3X4 = 3,
9х, - 6х2 ч- Зхз + 2x4 = 4.
< Составим расширенную матрицу системы:
/	3	—2	5	4	2	\
А = I	6	-4	4	3	3	)	.
\	9	-6	3	2	4	/
§в. Система линейных уравнений________________________________________________________________113
1-й шаг. Вычитаем из второй и третьей строк первую строку, умноженную на 2 и 3 соответственно;
	3	-2	5	4	2
А =>	0	0	-6	-5	-1
	0	0	— 12	-10	-2
2-й шаг. Вычитаем из третьей строки удвоенную вторую
Система совместна (rangA = rang А = 2)и имеет бесконечное число решений (rang А < 4).
Исходная система эквивалентна системе следующего вида
( ЗТ| - 2x2 + 5z3 4- 4z4 = 2.
I	-6z3 - 5z4 =. -1.
Найдем общее решение системы. Придадим свободным неизвестным Х2 и z4 произвольные значе-
ния 72 и 74 соответственно и, перенося соответствующие слагаемые в правые части уравнений, получил
( 3i[ + 5z3 = 2 + 272 - 474,
.(	6z3 = 1	- 574.
Из последнего уравнения находим
z3 = - (1 — 574), 74 — произвольное.
6
Подставляя выражение для z3 в первое уравнение, получим, что
®1 = уг (7 + 127г + 7д), 72,74 — произвольные.
I о
Общее решение системы имеет вид
= А (7 + 1272 +74), *2=72, 3^3 =7(1-574), «4=74,
I о	О
где 72 и 74 — произвольные числа. Частное решение можно получить из общего, если придать свобод-
ным неизвестным конкретные значения. Например, положив 72 = 1,74 = — 1, получим, что х\ = z3 = 1.
Итак, частное решение системы:
Z| = 1, Х2 = 1, z3 = 1, Z4 = -l.>
6.4.	Правило Крамера
Рассмотрим систему плинейныхуравнений с п неизвестными — квадратную систему
	' ацЖ) -ь.	. 4- а)пж„ = /3),
<	. ап1Ж] + ..	• "Ь	= Рп,
(6)
или, в матричной записи,	_________
АХ = Ь. |	(7)
Если квадратная матрица А невырождена, тосистема (6) совместна и имеет единствен-
ное решение, так как rang А = п.
Умножая обе части равенства (7) слева на матрицу А-', обратную к А, получаем,
что
X = A"'b.
С учетом формулы (2) § 4 для обратной матрицы имеем
114
Глава IV. Матрицы. Определители. Линейныр системы
Проведем необходимые вычисления в правой части и получим, что
1 п
=	52 PkAkj, j=I.........п,
или, подробнее,	Xj — •	ац <*nl	j & • /Зп	<*ln <*nn	, j = 1,
		<*11	<*и	<*ln	
		<*п|	<*nj	<*nn	
п.
(8)
В числителе располагается определитель матрицы, полученной из матрицы А линей-
ной системы путем замены j -го столбца на столбец свободных членов, а в знаменате-
ле — определитель матрицы А.
Важное замечание. Приведенное правило (8) имеет в значительной степени теоретический интерес,
и в практических вычислениях (за исключением квадратныхсистем с двумя или тремя неизвестными)
не применяется ввиду громоздкости.
Замечание. Необходимость вычисления п + 1 определителя n-го порядка сильно увеличивает коли-
чество вычислений по сравнению с методом Гаусса: при непосредственном раскрытии определителей
решение квадратной системы с п неизвестными требует порядка п'.п арифметических операций. Уже
при п = 30 такое число операций для современных ЭВМ недоступно.
Общее числоарифметическихдействий в методе Гаусса имеет порядок
Большинство распространенныхточных методов решения линейны х систем можно рассматривать
как варианты метода Гаусса, различающиеся между собой лишь некоторыми деталями. Количество
арифметических операций для всех таких методов примерно одно и тоже.
Чтобы найти решение линейной системы
АХ = b
с квадратной невырожденной матрицей А, следует поступать так:
1.	Составить расширенную матрицу системы:
(О1) ...	tt|n
.........	
<*nl	• • •	<*nn
/31
/Зп
2.	Элементарными преобразованиями строк расширенной матрицы А привести
матрицу системы к треугольному виду:
	/ 1	5)2	..	<*ln	
(A|b) =	0 1	«2n	/32
	0 0	1	/3n /
3.	Элементарными преобразованиями строк матрицы (А | Ь) привести матрицу А
к единичной:
/ 1 0
0 1
\ 0 0
(II с) =
0 71
0 72
1 7п
§ 6. Система линейных уравнений 115
4.	Записать линейную систему, соответствующую полученной расширенной ма-
трице (I | с):
si	=?|,
Ъ = 72,
7п<
Набор
®1=71,	®2 = 72,	•••,	®n=7n
— решение исходной системы.
6.5.	Однородные линейные системы
Линейная система называется однородной, если все свободные члены системы равны
нулю:	:. ;
ОИЖ! +.	. -Hainan = 0,
+ • •	• + ^mn®n ~ 0"
Основные свойства однородной системы:
1.	Однородная система всегда совместна.
◄ Набор Ж| = 0,..., хп = 0 — нулевое решение, существующее у системы (9) всегда. ►
2.	Если число т уравнений однородной системы меньше числа п неизвестных, то эта
система имеет ненулевые решения.
◄ Согласно сформулированному условию ранг г матрицы системы (9) удовлетворяет
неравенству г т < п. Это позволяет утверждать, что исходная система является
неопределенной (см. п. 1). ►
3.	Сумма решений однородной системы (9) также является ее решением.
-4 Пусть 7i, • • •, 7п и 7н ..., 7п — решения системы (9). Это означает, что
п	п
53 a‘>7j = О И %7> = О
j=i	j=i
для любого i = 1,... ,т.
Так как
п	п	п
52a‘X7j+7i) = 53	+ 53	= °* i = 1.....ш’
j=i	j=l	2=1
то набор
! , И	I II
.........  7п	+ 7п
— сумма решений 7},..., 7„ и 7”,.... 7" — решение однородной системы (9). ►
4.	Произведение решения однородной системы (9) на любое число также является
решением этой системы.
116 Глава IV. Матрицы. Определители. Линейные системы
◄ Пусть 71,..., 7П — решение системы (9):
п
52	= °’ « = 1, • • •, т;
j=i
д — произвольное число. Тогда
п	п
52	= /* 52= °* i = 1 ’ • • • *т-
j=i	>=1
Тем самым, набор /471,...» руп — произведение решения 7 ь ..., 7П начисло ft — реше-
ние системы (9). ►
Часто оказывается удобной матричная запись однородной системы
/ »и ...	а1в \ /	\	/°\
\ Qtmi . . . Qmn / \хп /	\ О /
или, короче,
АХ = 0. |	(10)
Проведем доказательство свойств 3 и 4 в матричной записи.
◄ Доказательство свойства 3.
Пустьстолбцы Г' и Г" —решениясистемы(10): АГ' = Ои АГ" = 0. Тогдастолбец
Г' + Г" также является решением системы (10), так как
А(Г' + Г") = АГ' + АГ" = 0+0 = 0.
Доказательство свойства 4.
Пусть АГ = 0. Вычислим А(//Г), где р— любое число. Имеем
А(//Г) = р. (АГ) = //0 = 0. ►
Свойства 3 и 4 означают, что множество решений однородной системы с есте-
ственными правилами сложения решений и умножения решения на число является
линейным пространством2^.
Познакомимся с одним важным свойством линейного пространства решений од-
нородной системы.
Применив к однородной системе (9) метод Гаусса, приведем ее к следующему виду:
+ Р\2х2 + .. . + Р\гхг + р 1>г +1 хг +! + ... + /31пжп = 0,
Ж2 + ... +Р2тХг + P2,r-f.\Xr + l + ... +/?2n®n =0,
xr + /Зг,г+)жг+! +. .. + prnxn = 0.
Здесь мы считаем для простоты, что неизвестные Ж|,..., хг — главные (напомним,
что этого всегда можно добиться путем временной перенумерации неизвестных).
Общее понятие линейного пространства будет рассмотрено в § 1 главы V.
§ 6. Система линейных уравнений
117
Пустьрангг матрицы системы (11) меньше числа п неизвестных, г < п. Построим
п-т решений системы (11), придавая свободным неизвестным ®r+i,..., хп значения
в соответствии со следующей таблицей
	Яг+1	Яг + 2		®п—1	®п
1	I	0		0	0
2	0	1		0	0
					
п — г — 1	0	0		1	0
п-г	0	0		0	1
Каждому набору значений свободных неизвестных соответствует решение'сис-.
темы (11):
.	/71) \	/712\	/71,п-г-1\	/7),п-г\
Г,=	7г 1 1 0	, Г2 =	7г2 0 1
	0		0
	\ 0 /		\ 0 /
п-г
7г,п-г
о
О
Построенная совокупность решений Г],... , Гп_г линейно независима. Покажем это.
4 Рассмотрим линейную комбинацию
Мг+)Г] + ... + /хпГп_г
Мг + 1711 +	...	+Дп71,п-г \
Мг+17г) +	•••	+Mn7r,n-r
Мг+1
Мг+2
(13)
Мп—)
Мп
Легко заметить, что линейная комбинация (13) равна нулевому столбцу в том и только
в том случае, когда Mr+i = /zr+i =,... = Mn-i = Мп = О- Это означает, что нулево-
му решению системы (11) равна лишь тривиальная линейная комбинация решений
Г.....
В силу доказанных выше свойств 3 и 4 линейная комбинация (13) является реше-
нием системы (11) при любых цг+\,..., Мп 
Покажем, что любое решение
/ \
Рг
^г+1
(14)
\ Мп 7
однородной системы (11) можно представить в виде линейной комбинации вида (13).
118 Глава IV. Матрицы. Определители. Линейные системы
л
◄ Умножая решения Гь ..., Гп-г на /zr+i,..., дп соответственно и складывая, по-
лучим решение системы (11) в виде (13). Сравнивая формулы (13) и (14), нетрудно
убедиться в том, что эти решения имеют одинаковый набор значений свободных не-
известных J<r+i,...»/А» • А так как по заданным значениям свободных неизвестных
главные определяются однозначно, то сами решения совпадают:
Г = /2Г+1Г| + ... + /гпГп-г- ►
Таким образом, построенная совокупность решений Г|,..., Гп_г однородной си-
стемы (9) обладает следующими свойствами:
1. она линейно независима;
2. любое решение системы (9) можно представить в виде линейной комбинации
решений Г),..., Гп-Г-
Определение. Любая совокупность из п - г решений однородной системы (9), удовле-
творяющая условиям 1 и 2, называется фундаментальной системой решений однородной
системы (9).
Пример. Решить систему
' Зх| — 2X2 + 5гз + 4z4 = О,
6i| - 4zj + 4^3 + 3x4 — О,
,	- 6zj + 3z3 + 2X4 = 0.
4 Применив метод Гаусса, получим
( 3z( - 2x2 + 5z3 + 4z4 = 0,
I	— 62:3 — 5z4 = 0
(см. пример 3 п.З). Свободные неизвестные — zj и г4. Составим таблицу
«1

хз

0
0
-5/б
’/18	0
Фундаментальную систему решений образуют решения
1
3
о
W
=
г -	0
Г’- -15 •
\ 18/
Любое решение Г заданной системы можно представить в следующем виде:
(2\	( 1 \
о +" -1° 
0/	\ 18/
где /I и v — произвольные постоянные. ►
Итог. Для того, чтобы описать множество решений однородной системы, достаточно
найти ее фундаментальную систему решений (ФСР), так как всевозможные линейные
сомбинации элементов ФСР и составляют это множество.
Нетрудно заметить, что в таблицу (12) заключена единичная матрица порядка п - г.
§ 6. Система линейных уравнений 119
Замечание 1. Требование (12) на набор Свободных неизвестных не является обйзательнымдля постро-
ения ФСР. Можно поместить в таблицу (12) любую невырожденную матрицу (п — г).-го порядка. .
Замечание 2. Любая однородная линейная система, имеющая ненулевые решения, обладает ФСР.
Упражнения
1. Умножьте матрицу А на матрицу В, если
а) А =
0
1
0
0
В =
2.
а
Умножьте матрицу [ 0 1 Ъ
0
с \
на себя.
1 /
3.
\0
Вычислите произведения АВ и ВА, если
/4
А = (2 -3 0), В= 3
\ 1
4.
Приведите матрицу к матрице ступенчатого вида:
/1
»> J
\ I
1
2
1
2
1
1
3
1
2
1
4/
б)
3
5
\ 31
2
4
6
23
3
5
7
55
4
6
8
42
5.
Вычислите определитель:
О
6.
7.
8.
а)
2
3
I
О
1
2
2
1
О
1
3
2
1
О
б)
1
3
7
31
2
6
13
23
3
8
20
55
4
11
26
42
в)
I
3
5
31
2
4
6
23
3
5
7
55
4
6
9
42
Найдите матрицу, обратную данной:
5 -4
-8	6
1
-2
3
-3
7
2
-1
2
-4
/ 0
»> (:{
\-1
1
0
-1
-1
1
1
0
-1
1
1
о/
Найдите ранг матрицы:
(1
7
10
2
5
8
11
3 \
6
9
12/
/ 1
б) 2
\ 3
4
5
6
7
8
9
10
И
12
в)
1
О
О
-1
1
о
о
0
-1
1
0
о
о
-1
1
Решите систему:
х । 4~ х2 ® з —" 1 ?
2,
а)
Х| - х2 4- х3 = 1,
, —X] 4" х2 — Хз — 1;
( 7Х| - 5х2 - 2х3 - 4х4
б)
' Х| - х2 4- 2х3 =
Х| 4- 2х2 4- Х31 =
< 2Х| - х2 - Хз = -2;
-2,
-Зх( + 2хг +
8,
Хз 4- 2х4 = -3,
2Х| х3 ~
хз - 2х4 = 1,
~*1
хз 4- 2х4 = 1;
{-Зх| 4- хг 4- хз = 0,
5Х] 4- х2 - 2хз = 2,
-2х| - 2х2 4- хз = -3.
120 Глава IV. Матрицы. Определители. Линейные системы
9. Решите систему:
{3®] + 2х2 + х3 = О,
7®| + 6х2 4- 5х3 = О,
5Х| 4- 4х2 4- Зх3 = 0;
Г -х,	+ х3 + 2х4 = О,
I - х2 4- х3 4- 2х4 = О,
б) <
7х( - 5х2 - 2х3 - 4х4 = О,
L 4х] - Зх2 - х3 - 2х4 = 0;
{Xi 4-	4х2	4- 2х3	- Зх5	=	О,
2х| 4-	9х2	4- 5х3	4-	2х4	4- л5	=	О,
Xi 4-	Зх2	4- хз	-	2х4	- 9x5	=	0.
Ответы
о\ «1 Р
о)’бЦ|
1 1
1 0 1
0 2 0’
0 0 2/
14 -1 \
1	0 ; в)
11 -1J
б) Х| = -1, х2 = -1,
(1	2
О -2
О О
О О
(О -I
1 О
-I 1
1 -1
1 2а ад 4- 2с \	/ 8 -12 0\
О 1 2д . 3. АВ = (-1), ВА = 6 -9 0 .
00	1/	\2 -3 О/
. 5. а) -12; б) 5; в) 80. 6. а) -|
1 -1 \
-4	-6
40	35
. 7. а) 2; б) 2; в) 3. 8. а) xi = 1, х2 = 1, х3 = 1;
х3 = 1; в) X] = -1 - 7з 4- 274, х2 = -3 4- 7з + 274, х3 = у3, х4 = 74;
г) система несовместна. 9. а) X! = х3, х2 = -2х3 или х2 j = А I -2 J ; б) xt = х2 = х3 4- 2х4
1	0 /
Гпава V
линейные и евклидовы
ПРОСТРАНСТВА
§ 1. Определение линейного пространства.
Простейшие свойства
Определение. Множество V элементов х, у, z,... называется линейным пространством
(действительным или комплексным), если по некоторому правилу
I. любым двум элементам х и у из V поставлен в соответствие элемент из V,
обозначаемый х + у и называемый суммой элементов х и у;
II. любому элементу х из V и каждому числу а (вещественному или комплекс-
ному) поставлен в соответствие элемент из V, обозначаемый ах и называемый про-
изведением элемента х на число а, и эти правила сложения и умножения на число
удовлетворяют следующим аксиомам:
1.	(х -I- у) -I- z = х + (у + z) (ассоциативность);
2.	х + у = у + х (коммутативность);
3.	во множестве V существует элемент 0 такой, что для любого элемента х из V
выполняется равенство х + 0 = х;
4.	для любого элемента х из V во множестве V существует элемент (-х) такой,
что х + (—х) = 0;
5.	а(х + у) = ах + ау;
6.	(а -I- /3)х = ах + /Зх;
7.	а(/3х) = (а/3)х;
8.	1х = х.
Элемент 0 называется нулевым элементом, а элемент (-х) — противоположным
элементу х.
Элементы х, у, z,... линейного пространства часто называют векторами. Поэто-
му линейное пространство называют также векторным пространством.
Примеры линейных пространств.
1. Совокупность свободных геометрических векторов Vj в пространстве с введенными в §2 главы I
операциями сложения векторов и умножения вектора на число (рис. 1).
Этим же свойством обладают: совокупность V\ векторов на прямой и совокупность Уз векторов
на плоскости.
122 Глава V. Линейные и евклидовы пространства
а)	б)
2. Совокупность упорядоченных наборов О из п действительных чисел.
Операции — сложение и умножение на действительное число — вводятся так:
а) сложение —
«'.....D + O'........'Г) = «' + >'....Г + О;
б) умножение на число —
A«1,...,f) = (A<1,...,Af).
(см. рис. 2, где п — 2).
Обозначение: Rn (n-мерное вещественное координатное пространство).
3. Совокупность всевозможных матриц Rmxn размера m х п с введенными в § 1 главы IV правилами
сложения матриц,
Z ан .	•	ОJn	I +	(0II .	•	/^1п	< «п +Дн	• «In + 01п \
\ «т|	•	у		< Рт1	• 0тп /	\ «т( + 0ml	• «тп + 0тп /
и умножения матрицы на число,
(«и	•••	«in \	/ Аоц	...	Аа|П \
............. = 	 .
«ml	. . .	«шп /	\Аот|	...	Aamft/
В частности, совокупность n-строк, R|xn. и совокупность столбцов высоты т, Жтх ।, являются линей-
ными пространствами.
4. Множество С(—1,1) вещественных функций, непрерывных на интервале (—1, 1), с естественными
операциями сложения функций и умножения функции на число.
Во всех приведенных примерах требования 1-8 проверяются непосредственно.
Простейшие свойства линейных пространств
1.	Нулевой элемент 0 определен однозначно.
◄ Пусть 0| и 02 — нулевые элементы пространства V. Рассмотрим их сумму 0t +02-
Вследствие того, что 02 — нулевой элемент, из аксиомы 3 получаем, что 01 + 02 = 0|,
а так как элемент 0] — также нулевой, то 01 + 02 = 02 + = 02>т. е. 0| = 02- ►
§2. Линейные подпространства 123
2.	Для любого элемента х противоположны Йему элемент (-х) определен однозначно.
◄ Пусть х~ и х_ — элементы, противоположные элементу х. Покажем, что они
равны.
Рассмотрим сумму х_ + х + х“. Пользуясь аксиомой 1 и тем, что элемент х“
противоположен элементу х, получаем:
х_ + х + х“ = х_ + (х + х~) = х_ + 0 = х_.
Аналогично убеждаемся в том, что
х_ + х + х- = (х_ + х) + х“ = 0 + х“ = х~. ►
Нетрудно убедится также в справедливости следующих свойств:
3.	Для любого элемента х выполняется равенство Ох — 0.
4.	Для любого элемента х выполняется равенство -х = (-1)х.
5.	Для любого числа а выполняется равенство а0 = 0.
6.	Из того, что ах = 0, следует, что либо а = 0, либо х = 0.
§2. Линейные подпространства
Непустое подмножество W линейного пространства V называется линейным подпро-
странством пространства V, если для любых элементов х и у из W и любого числа а
выполняются следующие условия:
1.	х + у € W и 2. ах € W.
Иногда говорят: «множество W замкнуто относительноуказанных операций*.
Примеры линейных подпространств.
1.	Множество векторов на плоскости Vj является линейным подпространством линейного простран-
ства Vj.
2.	Совокупность решений однородной системы т линейных уравнений с п неизвестными
образует линейное подпространство линейного пространства Rnxi •
◄ В самом деле, сумма решений однородной системы (♦) является решением этой же системы и про-
изведение решения системы (*) на число также является ее решением, к
3.	Совокупность всех вещественнозначмыл функций, непрерывных на интервале (—1,1) и обращаю-
щихся в нуль при t = 0, образует линейное подпространство линейного пространства С(— 1.1).
◄ Сумма /(0 + g(t) функций /(0 и р(0, обращающихся в нуль при 1 = 0, /(0) = р(0) = 0, и про-
изведение а/(0 функции /(0, обращающейся в нуль при 1 = 0, /(0) = 0, на число а равны нулю
при t = 0. ►
124 Глава V. Линейные и евклидовы пространства
2.1.	Свойства линейного подпространства
1.	Если хj, хд — элементы линейного подпространства W, то любая ихлинейная
комбинация ajXj + ... + aqxq также лежит в W.
2.	Линейное подпространство W само является линейным пространством.
◄ Достаточно убедиться лишь в том, что нулевой элемент 0 и элемент, противопо-
ложный произвольному элементу из W, лежат в W. Указанные векторы получаются
умножением произвольного элемента х G W на 0 и на -1: 0 = Ох, -х = (- 1)х. >
2.2.	Сумма и пересечение линейных подпространств
Пусть V — линейное пространство, W] и W2 —
его линейные подпространства. Суммой W] + W2
линейных подпространств W] и W2 называется со-
вокупность всевозможных элементов х простран-
ства V, которые можно представить в следующем
виде
Х = Х|+Х2,	(1)
где Х| лежит в W], а х2 — в W2. Коротко это можно
записать так:
Ж, + Ж2 = {х = х, + х2 | х, 6 х2 € W2}.
Сумма линейных подпространств W\ и W2 на-
зывается прямой, если для каждого элемента х этой
суммы разложение (1) единственно (рис. 3).
Обозначение: W] ф W2.
Пересечением W\ Г) W2 линейных подпространств W\ и W2 линейного простран-
ства V называется совокупность элементов, которые принадлежат одновременно и ли-
нейному подпространству Wj, и линейному подпространству W2.
2.3.	Свойства пересечения и суммы линейных подпространств
1.	Сумма Wi + W2 является линейным подпространством пространства V.
<4 Возьмем в Wi + W2 два произвольных элемента х и у. По определению суммы
подпространств найдутся элементы хь yi из W\ и х2, у2, из W2 такие, что
х = х,+х2, у = у1+у2.
Это позволяет записать сумму х + у в следующем виде
X + у = (Х| + х2) + (у, + у2) = (Х| + У|) + (х2 + у2).
Так как Xi + yi G W] и х2 + у2 G W2, то сумма х + у лежит в W] + W2.
Аналогично доказывается включение ах € W\ + W2. ►
2.	Пересечение W\ A W2 является линейным подпространством пространства V.
3.	Если нулевой элемент является единственным общим вектором подпространств W\
й W2 линейного пространства V, то их сумма является прямой — W\ ф W2.
2.4.	Линейная оболочка
Линейной оболочкой ЦХ) подмножества X линейного пространства V называется
совокупность всевозможных линейных комбинаций элементов из X,
§3. Линейная зависимость 125
ЦХ) = {у = S aj*j | >9 € X, otj € 1R, 5 = 1,2,...}.
Последнее читается так: «линейная оболочка L(X) состоит из всевозможных элемен-
тов у, представимых в виде линейных комбинаций элементов множества X ».
2.5,	Основные свойства линейной оболочки
1.	Линейная оболочка L(X) содержит само множество X.
2.	L(X) — линейное подпространство пространства V.
◄ Сумма линейных комбинаций элементов множества X и произведение линейной
комбинации элементов на любое число снова являются линейными комбинациями
элементов множества X. ►
3.	L(X) — наименьшее линейное подпространство, содержащее множество X.
Это свойство следует понимать так: если линейное подпространство W содержит
множество X, то W содержит и его линейную оболочку L(X).
◄ Пусть W — линейное подпространство, содержащее заданное множество X. Тогда
произвольная линейная комбинация o^xi + ... + aqxq элементов множества X —
элемент линейной оболочки L(X) — содержится и в подпространстве W. ►
Пример 1. Рассмотрим в линейном пространстве R3 две тройки
£, = (],], 0) и т| = (1, 0, ]) (рис.4). Множество решений урав-
нения
х1 — г2 — х3 = 0	(2)
является линейной оболочкой £(£,,п) троек £, и т|.
◄ Действительно, тройки (1,1,0) и (1,0, 1) образуют фундамен-
тальную систему решений однородного уравнения (2), и значит,
любое решение этого уравнения является их линейной комбина-
цией. к
Пример 2. Рассмотрим в линейном пространстве С(—оо, оо) веще-
ственнозначных функций, непрерывных на всей числовой оси, на-
бор X одночленов 1, х.....хп:
X = {1, х....гп}.	Рис. 4
Линейная оболочка ЦХ) представляет собой совокупность многочленов с вещественными коэффици-
ентами, степени которых не превосходят п. к
Обозначение: Мп = 1(1, х,..., хп).
§3. Линейная зависимость
Определение. Система элементов Xi,... , xg линейного пространства V называется
линейно зависимой, если найдутся числа аь ..., aq, не все равные нулю и такие, что
«|Х| -I-... + aqxq = 0.
(О
Если равенство (1) выполняется только при О| =
Х|,..., хд называется линейно независимой.
= aq = 0, то система элементов
126 Глава V. Линейные и евклидовы пространства
Справедливы следующие утверждения.
Теорема 1. Система элементов х ],..., xf (g > 2) линейно зависима в том и только в том
случае, если хотя бы один из ее элементов можно представить в виде линейной комбинации
остальных.
◄ Предположим сначала, что система элементов Х|,..., х9 линейно зависима. Будем
считать для определенности, что в равенстве (1) отличен от нуля коэффициент ад.
Перенося все слагаемые, кроме последнего, в правую часть, после деления на ад # О
получим, что элемент хд является линейной комбинацией элементов xi,..., х9:
Обратно, если один из элементов равен линейной комбинации остальных,
/3]Х| + . . . + /?9-|Х9_] = Хд,
то, перенося его в левую часть, получим линейную комбинацию
£|Х| + ... + /Зд_|Х9_| + (-1)хд = 0,
в которой есть отличные от нуля коэффициенты (-1 # 0). Значит, система элементов
Хь • •.., xq линейно зависима. ►
Теорема 2. Пусть система элементов Х|,... ,хд линейно независима и у = а\Х\ +
... + otgXg. Тогда коэффициенты «|,..., ад определяются по элементу у единственным
образом.
◄ Пусть
У = /3|Х1 + . . . + 0qXq.
Тогда
О!|Х1 + . . . + OtqXg = 0\Х\ + . . . + /3qXq,
откуда
(«I - ^1)Х| + ... + (ад - /Зд)Хд = 0.
Из линейной независимости элементов X],..., xq вытекает, что а} - 0\ = ... =
= 0 и, значит, а, = Д,..., ад =	. ►.
Теорема 3. Система элементов, содержащая линейно зависимую подсистему, линейно за-
висима.
◄ Пусть первые q элементов системы хь ... , х9,	у—~\
хд+ь... , xm линейно зависимы. Тогда найдется /	\
линейная комбинация этих элементов такая, что /	\
а|Х| +... + а9х9 = 0	/	//	\
и не все коэффициенты «],..., aq равны нулю. До- £_____х_______________д
бавляя элементы ,..., хт с нулевыми множите-
лями, получаем, что и в линейной комбинации	Рис-5
QjXi + ... + agxg + 0xg+( + ... + 0xm = 0
равны нулю не все коэффициенты. ►
Пример. Векторы из Уз линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны (рис. 5). к
§4. Базис. Размерность	. .. ..	127
§4. Базис. Размерность
Упорядоченная система элементов ej,..., еп линейного пространства V называется
базисом этого линейного пространства, если элементы еь ..., еп линейно незави-
симы и каждый элемент из V можно представить в виде их линейной комбинации.
Упорядоченность означает здесь, что каждому эле-
менту приписан определенный (порядковый) номер.
Из одной системы п элементов можно построить п!
упорядоченных систем.
Пример. Пусть а,Ь,с — тройка некомпланарных векторов
из Уз (рис.6). Тогда упорядоченные тройки а, Ь, с; Ь, с, а;
с,а,Ь; Ь, а, с; н,с, Ь и с,Ь,а — различные базисы Vj. к
Пусть с = (ei ... еп) — базис пространства V.
Тогда для любого элемента х из V найдется набор чисел £1,..., £п такой, что
п
х = £'е, + ... + £пеп =
»=|
В силу теоремы 2 числа	— координаты элемента х в базисе с — определены
однозначно.
Посмотрим, что происходит с координатами элементов при простейших действиях
с ними.
Пусть X = £ €’е» и У = £ Тогда
»=1	«=!
х+у=22 £’е«+S ^е»= 52 +^‘)е«
»=1	«=!	«=1
и для любого числа а
ах = а 2? £*е> = У2(а£‘)е>-
»=1 »=|
Таким образом, при сложении элементов их соответствующие координаты скла-
дываются, а при умножении элемента на число все его координаты умножаются на это
число.
Координаты элемента часто удобно записывать в виде столбца. Например,
п
— координатный столбец элемента х =	£*е» в базисе с.
« = !
Разложим произвольную систему элементов Х|,..., х3 по базису с,
п
xi = 22^,...
»=|
п
X? = 2 > ^gei>
«=!
128 Глава V. Линейные и евклидовы пространства
и рассмотрим координатные столбцы элементов хь ..., х9 в этом базисе:
Теорема 4. Система элементов Х],..., х9 линейно зависима тогда и только тогда, когда
линейно зависима система их координатных столбцов в каком-нибудь базисе.
◄ Пусть
AjXi + ... + Xqxq = AfcXfc = 0,
Л=1
причем хотя бы один из коэффициентов А* отличен от нуля. Запишем это подробнее
g / n	v	п , q	v
1>(£«е<)=£(2>«1)е. = е.	(о
*=1 ' 1 = 1	' 1 = 1 '*=1	'
Отсюда в силу единственности разложения элемента по базису вытекает, что
£>б! = о.
Л=1
У? AkS = О,
к=1
или, что тоже,
Таким образом, линейная комбинация координатных столбцов элементов Х|,...,
х9 равна нулевому столбцу (с теми же коэффициентами А।,..., Ag). Это и означает,
что система координатных столбцов линейно зависима.
Если же выполняется равенство (2), то, проводя рассуждения в обратном порядке,
получаем формулу (1).
Тем самым, обращение в нуль некоторой нетривиальной (хотя бы один из коэффи-
циентов отличен от нуля) линейной комбинации элементов линейного пространства
равносильно тому, что нетривиальная линейная комбинация их координатных столб-
цов (с темижс коэффициентами) равна нулевому столбцу. ►
Теорема 5. Пусть базис с линейного пространства V состоит из п элементов. Тогда
всякая система из т элементов, где т > п, линейно зависима.
◄ В силу теоремы 3 достаточно рассмотреть случай т = n + 1.
Пусть Х|,..., хп+| — произвольные элементы пространства V. Разложим каждый
элемент по базису с = (еь ..., еп):
xi — Ciei + • • • +
xn+! £n+1 ^1 + • • • "Ь
§4. Базис. Размерность________________-_______________________________________129
и запишем координаты элементов хь ..., xn+i в виде матрицы, отводя j-й столбец
координатам элемента Xj, j = I,..., п + 1. Получим матрицу из п строк и п + 1
столбцов —
п+1
К= ................. I п
... С>/
Ввиду того, что ранг матрицы К не превосходит числа п ес строк, столбцы матри-
цы К (их п + 1) линейно зависимы. А так как это координатные столбцы элементов
Xi,..., хп+|, то согласно теореме 4 система элементов xIs..., хп+| также линейно
зависима. ►
Следствие. Все базисы линейного пространства V состоят из одинакового числа элемен-
тов.
◄ Пусть базис с состоит из п элементов, а базис с' из п' элементов. В силу только что
доказанной теоремы из линейной независимости системы e'i,..., е„ заключаем, что
п' п. Меняя базисы с и с' местами, в силу этой же теоремы получаем, что п п'.
Тем самым, п = п1. ►
Размерностью линейного пространства V называется число элементов базиса этого
пространства.
Пример 1. Базис координатного пространства R” образуют элементы
ei=(l,0....0,0), е2 =(0,1....0.0). е„ = (0,0,..., 0,1).
4 Система элементов в|, е2,..., ел линейно независима: из равенства
ajei + ... + алел = 0
получаем, что
а। (1,0....0,0) + ... + ал(0,0,..., 0,1) = (а..,а„) = (0,..., 0)
и значит, Д| = ... = ал = 0.
Кроме того, любой элемент £, = ({’,..., {п) из Rn можно записать в виде линейной комбинации
элементов е|,... ,ел:
£,= {’(1,0....0,0) + ... +{"(0,0.....0,1) = ({'....{").
Тем самым, размерность пространства R” равна п. ►
Пример 2. Однородная линейная система
v anil + ... +а|Пхл = 0,
X1 + ... + Qmnxn — 0,
имеющая ненулевые решения, обладает фундаментальной системой решений (ФСР). ФСР является
базисом линейного пространства решений однородной системы. Размерность этого линейного про-
странства равна числу элементов ФСР, т. е. п-г, где г — ранг матрицы коэффициентов однородной
системы, ап — число неизвестных. ►
Пример 3. Размерность линейного пространства Мп многочленов степени не выше п равна п + 1.
4 Так как всякий многочлен P(t) степени не выше п имеет вид
P(t) = ад + а]t + ... + antn,
то достаточно показать линейную независимость элементов ej = 1, ej = I,... , ел+1 = in.
Рассмотрим равенство
Qo • 1 + О] • t + ... + ая • tn =0,	(3)
где t произвольно. Полагая t = 0, получаем, что ао = 0.
5 Зак. 750
130 Глава V. Линейные и евклидовы пространства
Продифференцируем равенство (3) по t:
Q| + 2ait + ... + nant”"1 = 0.
Вновь положив 1 = 0, получим, что а, = 0.
Продолжая этот процесс, последовательно убеждаемся в том, что во = а1 = • • • = ап = 0. Это
. означает, что система элементов е| = 1,..., en+1 = tn линейно независима. Следовательно, искомая
размерность равна п + 1. ►
Линейное пространство, размерность которого равна п, называется п-мерным.
Обозначение: dim V = п.
Соглашение. Далее в этой главе всюду считается, если не оговорено противное, что размерность линей-
ного пространства V равна п.
Ясно, что если W — подпространство n-мерного линейного пространства V, то
dim W п.
Покажем, что в n-мерном линейном пространстве V есть линейные подпростран-
ства любой размерности к п.
◄	Пусть с = (ei ... еп) — базис пространства V. Легко убедиться втом, что линейная
оболочка
Wk = L(e},...,ek)
имеет размерность к. ►
По определению dim{0} = 0.
Теорема 6 (о пополнении базиса). Пустьсистема элементов а।,... , ak линейногопростран-
ства V размерности п линейно независима и к < п. Тогда в пространстве V найдутся
элементы а*+),... , ап такие, что система аь ... , ак, а*+1,... , ап — базис V.
◄	Пусть b — произвольный элемент линейного пространства V. Если система
а I,..., а*, b линейно зависима, то
b = О] Э| + ... + otk &к,	(4)
так как в нетривиальной л инейной комбинации
А|Э| + •.. + Хк^к "Ь дЬ = 0
коэффициент ц 0 вследствие линейной независимости системы ai,..., а*.
Если бы разложение вида (4) можно было бы написать для любого элемента b
пространства V, то исходная система а ।,..., а* была бы базисом согласно определе-
нию. Но в силу условия к < п это невозможно. Поэтому должен существовать элемент
a*+i € V такой, что пополненная система аь..., а*,,а*+| будетлинейно независимой.
Если fc + 1 = п, то эта система — базис пространства V.
Если к + 1 < п, то для системы Э|,..., а*, а*+| следует повторить предыдущие
рассуждения.
Таким способом любую заданную линейно независимую систему элементов можно
достроить до базиса всего пространства V. ►
Пример. Дополнить систему из двух векторов Э| = (1, 2,0, I), aj = (-1,1.1,0) пространства R4
до базиса этого пространства.
Возьмем в пространстве R4 векторы аз = (1,0,0,0) и ад = (0, 1,0,0) и покажем, что система
векторов ai, а^, аз, ад — базис R4.
§5. Замена базиса 131
Ранг матрицы
/	1	2	0	1\
А-	1	1	0
1ООО’
\	0	1	0	0/
строками которой являются координаты векторов а (, az, аз, ад, равен четырем. Это означает, что строки
матрицы А, а, значит, и векторы at, аг, аз, а4 линейно независимы. ►
Подобный подход используется и в общем случае: чтобы дополнить систему к
линейно независимых элементов
ai = (a-ц,... ,ацп), ..., afc = (Qfci,... ,afcn)
до базиса пространства Rn , матрица
Он ...	а1п
Offcl • • •	акп
элементарными преобразованиями строк приводится к трапециевидной форме, а за-
тем дополняется п - к строками вида
(0 ... 1 ... 0)
так, чтобы ранг получаемой матрицы был равен п.
Справедливо следующее утверждение.
Теорема 7. Пусть IV) и ~ линейные подпространства линейного пространства V.
Тогда
dim(Wr1 + W2) + dim^i П W2) = dim + dim W2.
§5. Замена базиса
Пусть с = (ei ... еп) и с' = (е, ... е'п) — базисы линейного пространства V.
Разложим элементы базиса с1 по базису с. Имеем
п
е'1
(1)
Матрица
Эти соотношения удобно записать в матричной форме
(2)
называетсяматрицей перехода от базиса с к базису с'.
132 Глава V. Линейные и евклкдовы'пространстаа
Свойства матрицы перехода
1.	det S # 0.
◄ Доказательство этого свойства проводится от противного.
Из равенства det S = 0 вытекает линейная зависимость столбцов матрицы S. Эти
столбцы являются координатными столбцами элементов е'н..., е„ в базисе е. Поэто-
му (и вследствие теоремы 4) элементы е'1(..., е'п должны быть линейно зависимыми.
Последнее противоречит тому, что с' — базис. Значит, допущение, что det S = 0,
неверно. ►
2.	Если $п и f'1,..., £'п — координаты элемента х в базисах сие' соответ-
ственно, то
(3)
◄ Заменяя в формуле
x = S<‘e> = I?^
»=1	J=1
e'j ихвыражениями (1), получаем, что
Отсюда в силу единственности разложения элемента по базису имеем
<=>.....«•
j=l
Переходя к матричной записи найденных равенств, убеждаемся в справедливости
свойства 2. ►
3. S-1 — матрица перехода от базиса с' к базису с.
◄ Свойство 3 доказывается умножением обеих частей матричного равенства (2) на мат-
рицу S~‘ справа. ►
§ 6. Евклидовы пространства
Вещественное линейное пространство V называется (вещественным) евклидовым про-
странством, если любым двум элементам х и у из V ставится в соответствие число,
обозначаемое через (х, у), такое, что для любых элементов х, у, z и произвольного
вещественного числа а выполняются следующие условия:
t (х.У) = (У. х);
2.	(х-ьу, z) = (х, z)-Ь (у, z);
3.	(ах, у) = а(х, у);
§6. Евклидовы пространства 133
4.	(х, х) 0; причем равенство нулю возможно в том и только в том случае, если
х = 9.
Число (х, у) называется скалярным произведением элементов х и у.
Примеры евклидовых пространств.
1	В пространстве свободных векторов Vj скалярное произведение векторов а и b определяется так:
(a, b) = |a||b| cos(a, b).
2.	Скалярное произведение произвольных элементов £. = (£*.(п)>	Л — (’?>•’’?") из координат-
ного пространства R” можно определить формулой
i=i
3.	Линейное подпространство евклидова пространства само является евклидовым пространством.
Пользуясь определением евклидова пространства, нетрудно доказать следующие
свойства:
1.	(0,х) = О;
2.	(х, ау) = а(х, у);
3.	(х, у + z) = (х, у) + (х, z);
4.	(y^oaXi,	= 52
' t=i	j=\	' i=i j=i
Теорема 8 (неравенство Коши—Буняковского). Для любых двух элементов х и у евклидова
пространства V справедливо неравенство
(х,у)2 (х,х)(у,у).
◄ Если (х, х) = 0, то х = 0.и неравенство выполняется вследствие того, что (0, у) ~ 0.
Обратимся к случаю (х, х) # б. Тогда (х, х) > 0. По определению скалярного
произведения неравенство
(<х-у,«х-у)	0	(1)
справедливо лл я любых элементов х и у из пространства V и любого вещественного
числа t. Запишем неравенство (1) подробнее:
<2(х, х) - 2£(х, у) + (у, у) 0.
Левую часть последнего неравенства можно рассматривать как квадратный трехчлен
относительно t. Из того, что знак этого квадратного трехчлена не изменяется при лю-
бых t, заключаем, что его дискриминант неположителен,
(х,у)2 - (х,х)(у,у) ^0.
Перенося вычитаемое в правую часть, получаем требуемое неравенство. ►
Замечание. Часто доказанное неравенство записывают в равносильной форме,
1(х, У)1 |х| * lyl-
Следует подчеркнуть, что слева в этом неравенстве стоит абсолютная величина (модуль) скалярного
произведения, а в правой части — нормы векторов х и у.
134 Глава V. Линейные и евклидовы пространства
Определение. Длиной (нормой) элемента х называется число |х|, вычисляемое по правилу
|х| ~ ^/(х, х).
Ясно, что |х|	0 для любого х, причем равенство |х] = 0 возможно лишь в случае,
если х = 0.
Рассмотрим цепочку равенств:
|х + у|2 = (х + У, X + у) = (х, х) + 2(х, у) + (у, у) = |х|2 + 2(х, у) + |у|2.
Заменяя второе слагаемое на 2|(х, у)| > 2(х, у) и применяя нера-
венство Коши—Буняковского |(х, у)[	|х| • |у|, получаем, что
|х + у|2 |х|2 + 2|х| • |у| + |у|2 = (|х| + |у|)2.
После извлечения квадратного корня приходим к неравенству тре-
угольника'.	_______________
|х+ У1 |х| + |у|
(рис. 7).
Углом между ненулевыми элементами х и у евклидова пространства называется
число <р, подчиненное следующим двум условиям:
являющееся обобщением известной теоремы Пифагора', квадрат длины суммы орто-
гональных элементов равен сумме квадратов их длин (рис. 8).
Система элементов (],..., называется ортогональной, если (G, (у) = О'при i j,
и ортонормированной, если
Определение. Символ
с __ Г 1, если i = j,
u — (О, если i j,
называют символом Кронекера.
Теорема 9. Ортонормированная система элементов линейно независима.
к
§7. Метод ортогонализации 135
◄ Умножая обе части равенства
aj] + ... + o-jbffc = 0
скалярно на элемент fj, j = 1,..., к, получаем, что
0) “ 0’
И так как (fj, fj) = 1, то otj = 0, j = 1,..., к. ►
§ 7. Метод ортогонализации
Покажем, как, пользуясь заданной системой линейно независимых элементов
fi,... ,fft евклидова пространства Е, построить в нем ортонормированную систему
из к элементов.
◄ Положим g] = f| .
Для того, чтобы элемент
g2 = f2 - Q1g]
был ортогонален элементу gi, необходимо выполнение следующего равенства:
0 = (52,5i) = (fj, gi) “ «i(gi, gi),
откуда
_ (fa, gi)
(gbgl)’
Тем самым, элемент
ортогонален элементу g] (рис. 9а).
Пользуясь построенными элементами g|, g2 и заданным элементом f3, построим
элемент
g3 = G — Plgl — P2g2,
ортогональный как элементу g], так и элементу g2. Для этого коэффициенты и /32
должны удовлетворять следующим условиям:
0 = (5з, 5i) = ft, gi) - £i (gi, gi), 0 = (53,52) = ft, g2) “ Pi(g2, g2),
откуда
= ft,gi) B = ft, ga)
P1 (gbgl)’ P2 (g2,g2)‘
136 Глава V. Линейные и евклидоаы пространства
Таким образом, элемент
йз = G -
(b,g.)	(f3>g2)
(gbgl)81 (g2»g2)82
ортогонален элементам g1 и g2 (рис. 9 б).
Аналогичными рассуждениями можно показать, что элемент
	(fi.gl	(fi, g2)	(Л-.gt-i)	.
gi = f	/ \gl (gbgl)	fe.gl)82 	.	. g»_i, i — 3,..., k, (gi-i.gi-i)
ортогонален элементам g 1, g2, • • >, gi-1 •
Делением каждого элемента g, (г = 1,..., Л)наегодлину^,|,
получаем ортонормированную систему
(рис. 10). >
Базис с = (ei ... еп) евклидова пространства называется
ортонормированным, или ортобазисом, если
-	(ё>, ej) = 6ij (г, j = 1,...,п).
Рис. 10
Суммируя вышеизложенное, получаем следующий результат.
Теорема 10. В любом евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.
Пример. Методом ортогонализации построить ортонормированный базис евклидова пространства Е
по его базису
а, =(1,2,2), а2 = (3,0,3), а3 = (5,1,1).
< Полагаем bt = а( и b2 = а2 - ab|. Для того, чтобы вектор
b2 = а2 — ab|
был ортогонален вектору Ь|, необходимо выполнение неравенства
0 = (a2,b|)-a(b|,bi),
откуда
= (аг, bi) (а2,а() = 9
°" (b(,b,) “(а1>а|)	9
Тем самым,
Ь2 = (3,0,3) - 1-(1.2,2) = (2, -2.1).
Для того, чтобы вектор
Ь3 = а3 - 0bj - ?Ь2
был ортогонален векторам Ь| и Ь2, необходимо выполнение равенств
0 = (аз, bi) - 0(bi, bi), 0 = (аз, Ь2) - -у(Ь2, Ь2),
откуда
(а3,Ь,) _ 9	(а3, Ь2) _ 9
Р (b(,b() 9	7 (b2,b2)	9 L
Тем самым, вектор
Ьз = (5, 1,1)- 1 - (1,2,2)- 1-(2,-2,1) = (2, 1,-2).
Система векторов Ь(, Ь2, Ь3 ортогональна. Поделив каждый вектор на его длину, получим
— ортонормированный базис пространства Е. ►
§8. Ортогональное дополнение 137
При помощи ортонормированного базиса скалярное произведение элементов вы-
числяется особенно просто. Пусть с = (ei ... еп) — ортонормированный базис
пространства Е. Вычислим скалярное произведение элементов х и у, предварительно
разложив их по базису с
1=1	j=l
Имеем
В частности,
Откуда
«=1
§8. Ортогональное дополнение
Пусть W — линейное подпространство евклидова пространства V. Совокупность W1
элементов у пространства V, обладающих свойством
(У, х) = О,
где х — произвольный элемент из W, называется ортогональным дополнением под-
пространства W. Другими словами, ортогональное дополнение W1 состоит из всех
элементов у, ортогональных всем элементам подпространства W.
Свойства ортогонального дополнения
1.	W L — линейное подпространство пространства V.
◄ Пусть элементы у1, у2 лежат в , т. е.
(Уьх) = 0, (у2, х) = О
для любого элемента х из W. Складывая эти равенства и пользуясь свойствами ска-
лярного произведения, получаем, что
(yi +У2, х) = 0
для любого элемента х из W. Это означает, что У1 + Уг € W1.
Из того, что (у, х) = 0 для любого элемента х из W, вытекает равенство (ау, х) =
а(у, х) и, значит, включение ау € W1. ►
2.	У = ЖФЖГ.
138
Глава V. Линейные и евклидовы пространства
Свойство 2 означает, что любой элемент х простран-
ства V можно представить, причем единственным образом,
в виде суммы элементов из W и 1Г1:
X = у + Z. '	(*)
Элемент у € W называется ортогональной проекцией эле-
мента х на линейное подпространство W, а элемент z €
— его ортогональной составляющей (рис. 11).
Покажем, как по заданным элементу х и линейному под-
пространству W найти его ортогональную проекцию у и ор-
тогональную составляющую z.
◄ Можно считать, что в линейном подпространстве W за-
дан ортонормированный базис еь ... , е*. Запишем искомый элемент у в виде линей-
ной комбинации
y = aiei + ... + afcefc.
Подставляя это выражение в формулу (*):
х = а^е, + ... +z
и умножая обе части полученного равенства последовательно на элементы е(,..., е*,
в предположении z ± W приходим к соотношениям
(x,ei) = a1, ..., (х,е*) = а*.
Элементы
у = (х, ei)ej + ... + (х, ek)ek и z = х - у
обладают требуемыми свойствами. ►
Пример. Найти ортогональную проекцию вектора х = (4,2, 3, 5) на линейное подпространство W С R4,
заданное системой уравнений
Х| + Х2 + X} + Х4 = О,
Х| - Х2 - Хз + Х4 = О-
4 Векторы Э| = (1,0,0,-1) и а2 = (0,1,—1,0) образуют фундаментальную систему решений и,
следовательно, базис подпространства W. Кроме того, векторы и а? ортогональны. Для того, чтобы
построить ортонормированный базис подпространства W, достаточно разделить эти векторы на их
длины. В результате получим
е| = (?Т0’“’’;У' е! = (°’72’"75’0)-
Вектор
у = (х,е|)е|+-(х,е2)е2 =	- т;)’(т5’0’0’"7г)+ (т5 " 75 И0’ 75’ "75’ °) =	1’
является ортогональной проекцией вектора х = (4,2,3,5), на подпространство W, а вектор
2 = х-,=(41,21.21,41)
— его ортогональной составляющей. ►
§9. Унитарные пространства
Унитарным пространством называется линейное комплексное пространство U, в ко-
тором каждой упорядоченной паре элементов х и у из 17 ставится в соответствие
число — скалярное произведение (х,у) так, что для любых элементов х, у и z из U
и любого комплексного числа а выполняются следующие соотношения:
§9. Унитарные пространства 139
1.	(у, х) = (х, у) (черта в правой части указывает на операцию комплексного сопря-
жения);
2.	(x + y,z) = (x,z) + (y,z);
3.	(ах, у) = а(х, у);
4.	(х, х) О, причем равенство (х, х) = О возможно лишь в случае, если х = 0.
Пример. В координатном пространстве С”, элементами которого являются всевозможные упорядочен*
ные наборы п комплексных чисел, скалярное произведение можно ввести так
(£,n) =
>=|
где 4 = а1,...,Г). Л = (»>1.ЧП)€С. ►
Упражнения
1.	Найдите линейную оболочку, порождаемую многочленами 1 + t2,t+t2, 1 + t + t2.
2.	Является ли система векторов хj, Хг, х3 пространства R3 линейно зависимой, если:
а)	х, = (1,2, 3), х2 = (4, 5,6), х3 = (7, 8,9);
б)	х, = (1,4,7,10), х2 = (2, 5, 8, 11), xj = (3,6, 9, 12)?
3.	Покажите, что система векторов Х| = (1, 1, 1), х2 = (1, 1, 0), х3 = (0,1, -1) образует
базис линейного пространства R3.
4.	Дополните систему векторов (1,1,0,0), (0,0,1, 1) до базиса линейного пространства R4.
5.	Проверьте, что векторы (2, 2, — 1), (2, — 1,2), (-1, 2, 2) образуют базис линейного про-
странства R3, и найдите координаты вектора х = (3, 3, 3) в этом базисе.
6.	Определите размерность и найдите какой-нибудь базис линейной оболочки, натянутой
на систему векторов х, = (1,2, 2,-1), х2 = (2,3,2,5), х3 = (—1,4,3,-1), х4 = (2,9, 3,5)
из линейного пространства R4.
7.	Найдите угол между векторами (2,-1, 3, -2) и (3, 1,5, 1) евклидова пространства R4.
8.	Примените процесс ортогонализации к системе векторов (1, -2,2), (—1,0, — 1),
(5, -3, —7) пространства R3.
9.	Найдите ортогональную проекцию вектора х на подпространство £ л иней ного простран-
ства R4 и его ортогональную составляющую, если х = (2, —5, 3, 4), а £ натянуто на векторы
(1, 3, 3, 5), (1, 3, -5, -3), (1, -5, 3, -3).
Ответы
1.СовокупностьМг всехмногочленовстепениневыше2. 2.а)да;б)да. 4. Например, (0,1, 0,0),
(0,0,1,0). 5. 1,1,1. 6. 4; X|,x,,xj,x.. 7.1. 8. (1,-j, |), (-j,-j,-|), (j,-1,-j).
9. у = (0, -3, 5, 2), z = (2, -2, -2,2).
Глава VI
ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
§ 1. Определение линейного отображения.
Образ и ядро линейного отображения
Пусть V и W — линейные пространства (либо оба вещественные, либо оба комплекс-
ные). Линейным отображением линейного пространства V в линейное пространство W
называется правило А, согласно которому каждому элементу х из пространства V ста-
вится в соответствие (единственный) элемент у = Ах из пространства W так, что
1. Д(Х] -f-.xi) = ДХ1 + ЛХ2,
2. Д(ах) = аАх.
Эти два требования можно объединить в одно:
Д(а|Х] + СГ2Х2) = а\Ах\ + аг-Ахг-
Обозначение: Д: V —► W.
Примеры линейных отображений.
1.	Пусть V = W = Мп. где Мп — пространство многочленов, сте-
пень которых не выше п. Правило
	...	 к
V == £: м* м*’
______at_____________
согласно которому каждому многочлену из Мп ставится в соответ-
ствие его производная, является линейным отображением (производ-
ная суммы равна сумме производных, постоянный сомножитель мож-
но выносить из-под знака производной).
2.	Правило, по которому каждому элементу х из V ставится в соот-
ветствие элемент Ах из V (А 0 и фиксировано), — преобразование
подобия — является линейным отображением (рис. 1).
3.	Пусть с = (е,еп) — базис пространства V. Поставим
произвольному элементу
х = (’е, +... + £кек + - -. + fen = £<*е.
i=l
в соответствие элемент
к
рх = (1 е, + ... + (кек = £ ^е*
i=i
(здесь k < п фиксировано). Правило Р : V -» V является
линейным отображением и называется отображением проек-
тирования (рис. 2).
§ 1. Определение линейного отображения. Образ и ядро линейного отображения 141
4.	Совокупность Т] тригонометрических многочленов виде
a cos t + Д sin t
образует линейное пространство. Правило
Т> = — : a cost + /3sint н* -asint 4- /3 cos t
at_______________________________
является линейным отображением
Т> : Ti -»Т2.
5.	Пусть А € Rmxn — фиксированная матрица, X — произвольный столбец высоты п. Умножение
столбца X на матрицу А слева является линейным отображением пространства столбцов высоты п
в пространство столбцов высоты т,
X€Rnxi ~AX€Rwx|.
Образом линейного отображения Д: V -+ W называется множество im А всех
элементов из пространства W, обладающих следующим свойством: элемент у лежит
в im А, если в пространстве V найдется элемент х, такой, что Дх = у.
Примеры.
1'. Образом операции дифференцирования Т> ; Мп -» Мп является совокупность многочленов, сто-
пень которых не выше п — 1.
2. Образ отображения подобия совпвдвет со всем пространством V.
3'. Образ отображения проектирования Р : V -» V является подпространством
Wfc = £(ei,...,efc)
пространства V.
4'. Образ операции дифференцирования Т> : Tj -+ Tj совпадает со всем пространством Tj •
Теорема. Образ im А линейного отображения А: V —* W является линейным подпро-
странством пространства W.
◄ Пусть У1 и уг — элементы из im Д. Это означает, что в пространстве V найдутся
элементы X] и хг, такие, что Дх] = У> и Дхг = Уг- Из формулы
А)У] + АгУг = А] Дх] + А2ДХ2 = Д(А]Х] + А2Х2)
вытекает, что произвольная линейная комбинация элементов У) и уг также лежит
в im Д. ►
Размерность образа линейного отображения называется рангом этого линейного
отображения.
Обозначение: rang Д.
Определение. Линейные отображения A:V W и В: V W называются равными,
если для любого элемента х из пространства V выполняется равенство Дх = Вх.
Обозначение: А = В.
Теорема 1 (Построение линейного отображения). Пусть V и W — линейные пространства,
с = (ei,..., еп) — базис пространства V, a fj.......fn — произвольные элементы из про-
странства W. Тогда существует и притом ровно одно линейное отображение
А: V -> W,
для которого
Де* = ffc, k = 1,..., n.	(1)
142____________:__________________________________________Глава VI. Линейные отображения
ж
◄ А. Существование. Разложим произвольный элемент х из пространства V по базису с
этого пространства,
х = 22еке*,
fc=l
и построим отображение А: V —► W по следующему правилу:
п
=	(2)
fc=l
Ясно, что
.Дбц*	ffc, к 1, . • • , 7^.
В линейности отображения А убедимся непосредственно. Пусть
п
у=22??ч.
fc=i
Тогда согласно правилу (2)
п	п	п
Д(Ах + /iy) =	= А 22 Л + 52	= АЛх + Му-
к=1	fc=l	Ь=1
Б. Единственность. Покажем, что требованием (1) линейное отображение А опреде-
ляется однозначно.
Пусть В: V -+ W — линейное отображение и
Ве*. = ffc, к = 1,..., п.
Вычисляя действия А и В на произвольный элемент х из V, убеждаемся в том, что
в обоих случаях результат один и тот же —
лх=^4Ч = 22<‘Ве‘ = е(£Уе‘)=Вх-
fc=l	fc=!	'fc=l '
Значит, отображения А и В совпадают. ►
Таким образом, линейное отображение можно задать его действием только на эле-
менты базиса.
Ядром линейного отображения Д: V —► W называется мно-
жество кег А всех элементов из пространства V, каждый из ко-
торых отображение А переводит в нулевой элемент 0W- про-
странства W.
Примеры.
1". Многочлены нулевой степени образуют ядро операции дифференци-
рования Т>: Мп -* Мп •
2". Ядро отображения подобия состоит из нулевого элемента 0у про-
странства V.
3". Ядром отображения проектирования P:V —> V является линейное
подпространство L(e*+j,..., ея) (рис. 3).
4". Ядро операции дифференцирования Г>.Т2 -+ Т2 состоит из нуля.
б" • Ядром отображения
А. Кпх 1 ‘ Ктх I
является множество решений однородной линейной системы
АХ = 0.
§2. Операции над линейными отображениями 143
Теорема 2. Ядро линейного отображения A:V —> W является линейным подпростран-
ством пространства V.
◄ Из равенств Ах = 0 и Ду = 0^ вытекает, что
Л(Ах + ду) = АЛх + рАу = А0цг + pQw = 0W. ►
Размерность ядра линейного отображения называется дефектом этого отображе-
ния.
Обозначение: defect Л.
Для любого линейного отображения А: V —> W справедливо равенство
(*)
rang А 4- def ect А = dim V.
§ 2. Операции над линейными отображениями
Пусть V и W — линейные пространства и А: V —► W, В: V —► W — линейные ото-
бражения. Суммой линейных отображений А и В называется отображение С: V —> W,
определяемое п о следующему правилу:
Сх = Ах 4- Вх
для любого элемента х из V. Нетрудно убедиться в том, что отображение С является
линейным. В самом деле,
С(Ах + ду) = Д(Ах + ду) + В(Ах 4- ду) = А(Лх 4- Вх) 4- д(Лу 4- #у) == АСх 4- дСу. ►
Обозначение: С = А + В.
Произведением линейного отображения A:V —* W на число а называется отображе-
ние В\ V —» W, определяемое по правилу:
Вх ~ аАх
для любого элемента х из V. Отображение В линейно:
В(Ах 4- ДУ) = аЛ(Ах 4- ДУ) = А(аЛх) 4- д(аЛу) = ХВх 4- дВу. ►
Обозначение: В = а А.
В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением линейных операторов — линейных
отображений, действующих из пространства V в это же пространство V. Среди рас-
смотренных выше примеров отображений линейными операторами являются диффе-
ренцирование, подобиеи проектирование; умножение столбцана квадратную матрицу
также является линейным оператором.
Оператор Z: V —> V, задаваемый правилом Тх = х для любого элемента х из V,
называется тождественным.
Введем операцию умножения линейных операторов. Пусть А; V —* V и В: V —*
V — линейные операторы. Произведением оператора А на оператор В называется
отображение С: V. V, определяемое по правилу
Сх = В(Ах),
где х — произвольный элемент из V. Покажем, что С — линейный оператор:
С(Ах 4- ду) = В(Л(Ах 4- ДУ)) = В(ХАх 4- дЛу) = ХВ(Ах) 4- дВ(Лу) = ХСх 4- дСу. ►
144 Глав» VI. Линейные отображения
Обозначение: С = В А.
Замечание. Порядок сомножителей в произведении линейных операторов является существенным, как
показывает следующий пример.
Пример. Пусть V s R2.
Отображения
А: ({',	, 0); 5:«1, £2) - ((’ + <2,?)
— линейные операторы, действующие из R2 в R2 (рис. 4). Тогда ч
ВЛ: ({', <2) - ({'. 0), АВ: , f2) -	+ <2.0).
Ясно, что при (2 0
Пусть А: V —* V — линейный оператор. Линейный оператор В: V —> V называется
обратным оператору А, если выполнены следующие равенства
BA = AB=I,)	(1)
где Т: V —► V — тождественный оператор.	ч
Теорема 3. Для того, чтобы у линейного оператора А: V -* V был обратный, необходимо
и достаточно, чтобы образ оператора А совпадал со всем пространством,
im А = V.
4 Предположим сначала, что об-
ратный оператор В у заданного
оператора А существует и пока-
жем, что произвольно взятый эле-
мент у из пространства V непре-
менно лежит в йпД. Подействовав
оператором А на элемент х == By,
согласно определению (1), полу-
чим
Дх = Д(Ву) = (ДВ)у = Ту — у.
Значит, элемент у является обра-
зом элемента х = By и, следова-
тельно, лежит в im А. Тем самым,
im А = V.
Пусть теперь образ оператора А
совпадает со всем пространством V:
in* А = V.
Тогда
rang Д = dim V.
Поэтому оператор А переводит базис пространства V снова в базис:
Д:с ~ (еь .. , ,еп) -> f = (fj,..., f„),
где ffc = Де*, к = 1,..., п.
Построим линейный оператор В по следующему правилу
Bfk = ek, к=\,...,п.	(2)
Согласно теореме 1, условием (2) оператор В определяется однозначно.
§ 2. Операции над линейными отображениями 145
Пусть х — произвольный элемент пространства V. Вычислим (ВД)х и (ДВ)х.
Разложим х по базису с. Имеем
к=1
Подействовав на него оператором В А, с учетом формул (2) получаем, что
(ВЛ)х = (ВЛ) (Ё 4‘е») = в(Ё е‘Ле») = Ё <‘В(Ле*) = Ё «‘sf* = Ё 4*е» = х.
4=1	'	4=1	' fc=l	fc=l % fc=l
Аналогично, раскладывая элемент х по базису f,
х = 52 Л’
k=l
и действуя на него оператором ДВ, имеем
(ДВ)х = £ *M(Bffc) = £	= L = х.
fc=l	k = l	k=l
Тем самым,
ВДх = х, ДВх = х
для любого элемента х из V и, значит,
В А = АВ = Z. ►
Замечание. В ходе доказательства этой теоремы мы установили также, что обратный к Л оператор В
определен однозначно.
Для оператора, обратного к А, принято следующее обозначение: Д-1.
Следствие. Линейный оператор Д: V —♦ V обратим (имеет обратный) тогда и только
тогда, когда его ядро тривиально,
кет А = {Оу}.
Справедливость этого утверждения вытекает из теоремы 3 и формулы (♦)§!.
Пример. Линейный оператор
Л:(е*42)-(ЛЬ2)
146 Глава VI. Линейные отображения
осуществляет равномерное сжатие плоскости к оси (с коэффициентом у); обратный оператор
л-1
— равномерное растяжение (с коэффициентом |) (рис. 5). ►
§3. Матрица линейного оператора
Пусть линейный оператор А\ V —> V преобразует элементы базиса с = (еь ..., ей)
пространства V последующему правилу
Ле,-= ^2	= ajei + .,. + a£en,
к=1
Матрица
(<*! •  • \
I ,
а? ... а„ /
)	• •	71 /
столбцами которой являются координаты образов базисных элементов, называется
матрицей линейного оператора А в базисе с.
/о
Пример 1. Матрица D(e) оператора дифференцирования Р : Му Му в базисе ео = I, в| = t,
? Р
ej = j,, е3 - у имеет вид
1 о 0\
О 1 о _
О 0 1
ООО/
Пример 2. Матрица D(c) оператора дифференцирования V : Ту — Ту в базисе ei = cost, е? = sin t
имеет вид
так как
Ре) = V cost = - sin t - -еу — 0 • ei + (-!}• еу,
Pej = Psint = cost = б| = I  б| + 0- er ►
Пусть
у = Лх.
Разложим элементы х и у по базису с:
П	71
х = 52^> y = 52^efe-
i=i	t=i
Координатные столбцы
		
х(с) =	:	7 У(е) =	
	\е/	Un/
элементов х и у в базисе с связаны соотношением
у(с) = Л(с)х(с).
(О
§3. Матрица линейного оператора 147
4 Сравнивая формулы
У = Z
Л=1
и
П	.	п	. / П	.	\	п / "
У = Лх = £(’Ле£ = «Nd = Е(Ё <*?£*) е*,
i-l	»=1	4=1	7	fc=I 4=1	7
в силу единственности разложения элемента у по базису с получаем
= У? Л=1,...,п.
i=i
Записывая полученные п равенств в матричной форме
получаем требуемое равенство (1). ►
Теорема 4. Ранг матрицы А(с) линейного оператора А: V —* V не зависит от выбора
базиса с и равен рангу rang А оператора А.
4 Так как
im А = £(Ле],..., Леп),
то rang А равен максимальному числу линейно независимых элементов в системе
4ej,..., Ле„. В силу теоремы 4 главы V, последнее совпадает с максимальным числом
линейно независимых столбцов матрицы А(с), т. е. с ее рангом.
Таким образом,
rang А(с) = rang А. ►
Легко убедиться в том, что
при сложении линейных операторов их матрицы (вычисленные в одном базисе) складыва-
ются, а при умножении линейного оператора на число его матрица умножается на это
число.
Матрица произведения С = В А операторов А и В равна произведению матриц этих
операторов (относительно одного и того же базиса с):
С(е) = В(е)А(с),
148 Глава VI. Линейные отображения
4 Пусть
Ле< = а*ек, Век = Р^т-
А=1	т»|
Тогда
Се, = ВЛе. = В(Е afe*) = S = S a? (S = £ (£
4=1	7 k=l	k=l 4m=l 7 m=l 4=1	7
Положим	n
?Г = ^Pk<*i,	(3)
fc=i
Тем самым,
C(c) = (тГ).	(4)
Вследствие того, что А(с) = (а*) и В(с) = (/З™), из формул (3) и (4) получаем
С(с) = В(с)А(с). ►
Отсюда, в частности, вытекает, что
матрица оператора Д-1, обратного к А, является обратной к его матрице А.
◄ В самом деле, из соотношений
А~]А = 1, АА~} =1,
определяющих обратный оператор, получаем, что его матрица В удовлетворяет равен-
ствам
BA =1, АВ = I,
и, значит, является обратной к А:
В = А~'.
Теорема 5. Матрицы А = А(е) w А1 = А(с')линейногооператора А: V —» V относительно
базисов с и с1 пространства V связаны равенством
А' = S"*AS,	(5)
где S — матрица перехода от базиса с к базису с'.
◄ Пусть у = Ах. Координатные столбцы элементов х и у относительно базисов с и с1
связаны равенствами
у(с) = Ах(с), у(с') = А'х(е')	(6)
соответственно. Согласно свойству 2 матрицы перехода (§ 5 главы V) имеем
х(е) = Sx(c'), y(c) = Sy(c).	(7)
Заменяя в первом из равенств (6) столбцы х(с) и у(с) их выражениями (7), получаем
Sy(e') = ASx(e').
Пользуясь вторым равенством (6), имеем
SA'x(c') = ASx(c').
§3. Матрица линейного оператора___________:_________________________________149
Отсюда в силу произвольности столбца х(е') получаем, что
SA' = AS.
Так как матрица перехода S невырОждена и, значит, обратима, то умножая обе части
последнего равенства на матрицу S-1 слева приходим к требуемой формуле (5). ►
Следствие. Определитель матрицы линейного оператора не зависит от выбора базиса.
◄	Вычислим определитель матрицы
А(с') = S’’A(c)S.
Имеем
det А(с') = det(S-1A(c)S) = detS"1 • det А(с) • det S = det A(c).
Последнее равенство выполняется в силу того, что
det(S-1) = (det
Таким же свойством обладает и определитель матрицы линейного оператора
A-tl,
где Т — тождественный оператор, at — произвольное число.
◄	Рассмотрим матрицы этого оператора в базисах с и с' соответственно:
А(с) - tl, А(е') - Я, .,
Воспользовавшись равенством (5)
А(с') - tl = S"1 A(c)S - tl = S-1 (A(c) - tl)S
и доказанным выше следствием, получаем, что
х	det(A(e') - tl) = det(A(c) - tl). ►
Пусть A = (aij) — матрица линейного оператора А в каком-нибудь базисе. Функ-
ция
X(t) = det(A- tl)
является многочленом от t и, согласно только что доказанному, не зависит от выбора
базиса. Расписав определитель матрицы А - tl подробнее, получаем, что
Многочлен
X(t) = (—l)ntn 4- 7n-itn 1 4-. • • 4-4-7о
называется характеристическим многочленом линейного оператора А (матрицы А).
Его корни называются характеристическими, или собственными, числами линейного
оператора А (матрицы А).
150 Глава VI. Линейные отображения
§4. Собственные значения и собственные элементы'
Ненулевой элемент х G V называется собственным элементом линейного оператора
А: V —> V, если найдется такое число А — собственное значение линейного операто-
ра Л, что	___________
Лх = Ах.
Пример 1. Всякий многочлен нулевой степени является собственным элементом оператора дифферен-
цирования
d
Ъ=-'Мп-*Мп-,
at
соответствующее собственное значение равно нулю:
d
-(1 =0 = 0-1.>
ас
Пример 2. Оператор дифференцирования
d
V=--.T2-^T2
dt
собственных элементов не имеет.
< Пусть некоторый тригонометрический многочлен a cos t + (3 sin t после дифференцирования перехо-
дит в пропорциональный:
Т>(а cos t + /3 sin t) = A(a cos t + /3 sin t).
Это означает, что
 -a sin t + p cos t — Aa cos t + A/3 sin t
или, что то же,
(А/3 + a) sin t + (Аа - (3) cos t = 0.
Последнее равенство выполняется в том и только в том случае, если
а + Х{3 = 0 и Ха-(3 = 0,
откуда вытекает, что а = /3 = 0 и, значит, многочлен может быть только нулевым. ►
Теорема 6. Вещественное число А является собственным значением линейного операто-
ра А в том и только в том случае, когда это число — корень его характеристического
многочлена: х(А) = 0.
◄ Неоходимость. Пусть А — собственное значение оператора А. Тогда найдется нену-
левой элемент ж, для которого Ах = Ах.
Пусть с = (е 1,..., еп) — базис пространства. Тогда последнее равенство можно
переписать в эквивалентном матричном виде
А(с)х(с) = Ах(с)
или, что то же,
(А(с) - Al)x(c) = 0.	(I)
И этого, что х — собственный элемент, вытекает, что его координатный столбец х(с)
ненулевой. Это означает, что линейная система (1) имеет ненулевое решение. По-
следнее возможно лишь при условии, что
det(A(e)-AI) =0
или, что тоже,
Х(А) = 0-
§4. Собственные значения и собственные элементы 151
Достаточность. Способ построения собственного элемента.
Пусть Л — корень многочлена х(0» т. е.
Х(А) = det(A(c) - Al) = 0.
Рассмотрим однородную линейную систему с матрицей А(с) - AI:
(а] — А)^1 + ... +	= 0,
или, подробнее,
«“€' +	A)f” = 0.
В силу условия (2) эта система имеет ненулевое решение
Построим элемент х по правилу
х = У2 ^е« QV‘
t=i
Координатный столбец х(с) этого элемента удовлетворяет условию
(А(с) - А1)х(с) = 0
или, что тоже,
А(с)х(с) = Ах(с).
Последнее эквивалентно тому, что
Лх = Ах.
(2)
(3)
Следовательно, х — собственный элемент линейного оператора Л, а А — соответству-
ющее ему собственное значение. ►
Замечание. Для нахождения всех собственных элементов, отвечающих заданному собственному значе-
нию А, необходимо построить ФСР системы (3).
Пример 1. Найти собственные векторы линейного оператора
P:V3-*V3,
действующего по правилу
Р : ii + j/j + zk ii + yj
(оператор проектирования) (рис. 6).
◄ Рассмотрим действия линейного оператора Р на базисные векто-
ры. Имеем
Р : i - i, Р : j - j, Р : k - 0.
Запишем матрицу оператора:
1 0 0\
0 10,
ООО/
построим характеристический многочлен
1 - А	0
0	1 -А
0	0
= —А(А - I)2
0
0
152___________________________________________________________________Глава VI. Линейные отображения
и найдем его корни. Имеем А| = 0, Ajj = I. Построим однородные линейные системы с матрицами:
1 0 0\	/00	0\
0101.	00	о
0 0 0/’	\0 0 -1/ •
А = 0	•	А = 1
Получим соответственно:
х	=0,	[0=0,
У	=0,	<0=0,
о	=0;	(-2=0.
Найдем фундаментальные системы решений для каждой из этих систем. Имеем
Таким образом, собственными векторами этого оператора проектирования являются: вектор к
с собственным значением 0 и любой вектор zi + yj (z2 + у2 > 0) с собственным значением 1. ►
Пример 2. Найти собственные элементы линейного оператора дифференцирования Т>, действующего
в пространстве ОД многочленов степени не выше двух:
d	1
Т> = — :а +pt + it2 р + 2yt.
◄ Матрица D заданного оператора в базисе 1, М2 имеет вид
/0 1
D= 0 0 2 1,
\0 0 0/
характеристический многочлен -А2 имеет ровно один корень А = 0. Решением системы
0 = 0'
27 = 0 >
0 = 0,
является набор 1,0,0, которому соответствует многочлен нулевой степени. ►
§5. Сопряженный оператор
В евклидовом п ространстве на д линейными операторами можно ввести еще одно дей-
ствие — операцию сопряжения.
Пусть V — п-мерное евклидово пространство. С каждым линейным оператором
Л: V V,
действующим в этом пространстве; естественно связан другой линейный оператор,
сопряженный данному.
Определение. Линейный оператор
Л*: V -> V
(читается: «а со звездой») называется сопряженным линейному оператору А: V —* V,
если для любых элементов х и у из пространства V выполняется равенство
(Лх, у) = (х, Л*у).	(1)
Линейный оператор Л*, сопряженный данному оператору Л, всегда существует.
§5. Сопряженный оператор------------------------------------------------------- 153
Пусть с = (ei,..., еп) — ортобазис пространства V и А = А(с) = (а^) — матрица
линейного оператора А в этом базисе, т. е,
п
= 5?	, г = 1,..., п.	(2)
г=«
Непосредственными вычислениями можно убедиться в том, что для линейного
оператора А*: V —> V, определяемого по правилу
п
=	< = !.•••.».	О)
у=|
где
/?/ = Ofj, i, j = 1,..., п,
равенство(1) выполненоприлюбых х и у. Напомним,чтосогласнотеореме 1, длятого,
чтобы построить линейный оператор, достаточно задать его действие на базисные
элементы.
Пример. Введем в линейном пространстве М\ многочленов с вещественными коэффициентами степени
не выше первой операцию скалярного умножения по следующему правилу. Пусть
<р(0 = а + bt, = с + dt.
Положим
(ф, Ф) = ас + bd.	(*)
Тем самым, Мi — двумерное евклидово пространство.
Пусть Т> : М\ -+ М\ — оператор дифференцирования: Р(а + bt} = b. Построим сопряженный
оператор D*: Af । -» Af|.
Многочлены 1 и t образуют ортобазис пространства Mt, так как согласно правилу (*) (1, 1) =
(t,t) = 1, (1,0 = 0. Матрица оператора Т> в этом базисе имеет вид
/О 1\
\0 0) ’
т.к. £)(!) = О, T>(t) = 1. Тогда
(? 0°)
— матрица сопряженного оператора Т>*, действующего по правилу:
Т>*(1) = 1, 1>*(0=0.
Для произвольного многочлена ф(0 = a +bt получаем
Т>: а + bt b, Т>* : а + bt >-» at. >
Свойства операции сопряжения
1. У каждого линейногооператорасуществуетровноодин сопряженный емуоператор.
◄ Пусть В и С — операторы, сопряженные заданномуоператору А. Это означает, что
для любых элементов х и у из пространства V выполняются равенства
(Лх, у) = (х, Бу), (Лх,у) = (х,Су).
Отсюда вытекает, что
(х, Бу) = (х,Су)
и, далее,
(х, Бу - Су) = 0.
В силу произвольности выбора элемента х заключаем, что элемент Бу- Су ортогонален
любому элементу пространства V и, в частности, себе самому. Последнее возможно
154 Глава VI. Линейные отображения
лишь в случае, когда Бу - Су = 0 и, значит, Бу = Су. Вследствие того, что у —
произвольный элемент, получаем В — С. ►
2. (аЛ)* = аЛ*, где а — произвольное вещественное число.
Пусть А : V —> V и В : V V — линейные операторы. Тогда
1 (А + ВУ = Л* + Б*;
4.	(АВУ = В'А*\-
5.	(А*У = А.
ч Свойства 2-5 легко вытекают из единственности сопряженного оператора. ►
6.	Пусть с — ортобазис пространства V. Для того, чтобы операторы А: V —> V
и В: V —> V были взаимносопряженными, т. е. выполнялись равенства В = А*,
А = В*, необходимо и достаточно, чтобы их матрицы А = А(с) и В = В(с) получались
одна из другой транспонированием.
Замечание. Подчеркнем, что свойство 6 справедливо только для матриц, построенных в ортонормиро-
ванном базисе. Для произвольного базиса оно неверно.
7.	Если линейный оператор А невырожден, то сопряженный ему оператор Л* также
невырожден и выполняется равенство
(Д-1)’= (Л*)-’.
§ 6. Симметричный оператор
Линейный оператор А называется самосопряженным (или симметричным), если он
совпадает с сопряженным ему оператором Л*, т. е.
Л* = Л.
В силу свойства 6 из предыдущего параграфа матрица са-
мосопряженного оператора в ортобазисе симметрична, т. е.
не изменяется при транспонировании. Поэтому самосо-
пряженный оператор называют также симметричным опе-
ратором.
Пример. Рассмотрим оператор Р ортогонального проектирования
трехмерного евклидова пространства Oxyz на координатную плос-
кость Оху (рис. 7). В ортобазисе i, j, к матрица этого оператора име-
ет следующий вид
I 0 0\
0 10
ООО/
(так как Pi = i, Pj = j, Pk = 0), т. e. является симметричной. Значит,
оператор проектирования Р симметричен. ►
Симметричный оператор обладает рядом замечательных свойств.
§6. Симметричный оператор 155
Свойства симметричного оператора
Первые два вытекают из его определения.
1.	Для того, чтобы линейный оператор А: V —> V был симметричным, необходимо
и достаточно, чтобы для любых элементов х и у из пространства V выполнялось
равенство	_________________
(Лх, у) = (х,Лу).	(6)
2.	Для того, чтобы линейный оператор был симметричен, необходимо и достаточно,
чтобы его матрица в (каком-нибудь) ортонормированном базисе была симметрична.
3.	Характеристический многочлен симметричного оператора (и симметричной мат-
рицы) имеет только вещественные корни.
Напомним, что вещественный корень Л характеристического многочлена линейно-
го оператора А является его собственным значением, т. е. существует ненулевой
элемент х (собственный вектор оператора Л), который оператор А преобразует так:
Лх = Лх.
4.	Собственные элементы симметричного оператора, отвечающие различным соб-
ственным значениям, ортогональны.
◄ Пусть х( и х2 — собственные элементы оператора А,
ЛХ|=Л(Х|, Лхг = Л2хг,
и А] Л2. В силу симметричности оператора имеем
(Лхь х2) = (х|,Лх2).
С другой стороны,
(Лх|,х2) = (AiX|,х2) = A^xi, х2), (х],Лх2) = (хь Л2х2) = Л2(х(,х2).
Из вытекающего отсюда равенства
Л|(х1,х2) =A2(xi,x2)
получаем, что
(А>-Л2)(хьх2) = 0.
Отсюда в сй|у неравенства (А] - Аг) # 0 имеем
(хьХ2) = °- ►
5.	Пусть А: V —> V — симметричный оператор. Тогда в пространстве V существует
ортонормированный базис с = (е|,... ,еп), состоящий из собственных элементов
оператора А:
Ле, = А,е,, i = ],..., п; (е,, е2) = i, j =	. ,п.
В приведенном выше примере таким базисом является тройка i, j, к: векторы i
и j — собственные векторы оператора проектирования Р с собственными значениями,
равными единице, а к — его собственный вектор с нулевым собственным значением.
6.	Пусть Л: V —► V — невырожденный симметричный оператор. Тогда обратны й ему
оператор Л-.1 : V —> V также является симметричным.
Замечание. Все собственные значения невырожденного оператора отличны от нуля. Если А 0 —
собственное значение оператора Л,то | — собственное значение обратного оператора Л-1.
Симметричный оператор называется положительным, если для любого ненулевого
элемента х из пространства V выполняется неравенство (Лх, х) > 0.
156 Глава VI. Линейные отображения
Свойства положительного оператора
1.	Симметричный оператор А: V —> V является положительным в том и только в том
случае, когда все его собственные значения Аь ..., Ап положительны.
2.	Положительный оператор невырожден (обратим).
3.	Оператор, обратный положительному, также положителен.
§7. Квадратичные формы
Пусть А = (а,у) — симметричная матрица порядка п.,	= а^. Выражение
(1)
называется квадратичной формой переменных	. Матрица А называется ма-
трицей этой квадратичной формы.
Примером квадратичной формы двух переменных х v\ у может служить выражение ах2 + 1Ъху + су2,
где а, b и с — некоторые действительные числа; ее матрица
/а
с) ‘ *
Набор чисел	можно рассматривать как координаты элемента п-мерного
евклидова пространства V в некотором фиксированном ортобазисе с = (ei,..., еп)
этого пространства,
х = ^*ei + ... + £ *еп.
Тогда выражение (1) будет представлять собой числовую функцию аргумента х, задан-
ную на всем пространстве V. Эту функцию принято обозначать так: .<У(х,х). Отакой
квадратичной форме
п
•^(х, х) = 52
ij = l
(2)
говорят, что она задана в п-мерном евклидовом пространстве V.
Со всякой квадратичной формой л/(х, х) естественно связана симметричная били-
нейная форма
n
.с/(х,у) =
u=i
(3)
где т/,..., if1 — координаты элемента у в ортобазисе с:
у = r/'ei + . • • +т?"еп.
Замечание. Форма (3) называется билинейной, таккакона линейна по каждому аргументу — и по х,
и по у:
t<?/(a|X| + ai*2,y) = ai<-C/’(X|,y) + a<<?/(x2,y)J
.•У(Х,0|У| +/32у2) = 01иС7(х,У|) +^с/(х,у2)
(здесь Р\ и Pi — произвольные числа).
§ 7, Квадратичные формы 157
Билинейная форма (3) называется симметричной вследствие того, что ее значение
не зависит от порядка аргументов,
j/(y, х) = ^/(х, у).
Вычисляя значения билинейной формы <с/(х, у) на базисных элементах, т. е. по-
лагая х = е*, у = ет, получаем, что
4*(е*,ет) = акт.	(4)
Это означает, что элементы матрицы А квадратичной формы (2) суть значения били-
нейной формы на элементах базиса с.
Примером билинейной формы может служить скалярное произведение векторов n-мерного координат-
ного пространства Rn
(Е,',п) = (7 + ... + eV,
где &«((*,..., (п), и = (fj1,..., r}n) G R”. Соответствующая квадратичная форма
ал)=«')’+•••+(ГЛ
определяет квадрат длины вектора ►
При переходе к другому базису координаты элемента х изменяются. Меняется
и матрица А = А(с) квадратичной формы.
В приложениях часто возникает необходимость приведения квадратичной формы
к наиболее простому виду. Таким видом является диагональный, или нормальный вид.
Будем говорить, что квадратичная форма в базисе с имеет нормальный вид, если все
коэффициенты при произведениях различных координат равны нулю, т. е. = О
при г 7^ j. Тогда
л/(х, х) = aij(f')2 + «Ы£2)2 + • • • + апп(С)2 •
Матрица квадратичной формы в этом базисе имеет диагональный вид:
«22
Теорема 7. Для каждой квадратичной формы, заданной в евклидовом пространстве, мож-
но указать (ортонормированный) базис, в котором ее матрица имеет диагональный вид. .
Ч Чтобы убедиться в справедливости этого утверждения, воспользуемся свойствами
симметричного оператора. Построим линейный оператор А: V —> V так, чтобы его
матрица (cty в базисе с совпадала с матрицей (а^) квадратичной формы в этом же
базисе с, т. е. положим а’ = а,;-. В силу симметричности матрицы («}) оператор Л
симметричен. *
Вычислим (Ах, х). Замечая, что
(Ле., е>) = «] = aij
вследствие ортонормированности базиса с, получаем
(Лх,х) = (л(у2	C^(^i,tj) = 2	= ^(х, х).
\	\в|	Ч * * 7 /=|	/	1=г j=i	u=i
158 Глава VI. Линейные отображения
Тем самым, м ы установили важную связь
s/(x, х) = (Лх, х)	(5)
между квадратичной формой, заданной в евклидовом пространстве V, и действующим
в нем симметричным оператором.
В силу симметричности построенного оператора А в евклидовом пространстве V
существует ортонормированный базис f = (fj,... , fn), состоящий из собственных
элементов оператора А:
Afk — Aj-fj., к = 1,..., п\ (fj., fm) = бьт.
Заметим, что
(Mt, fm) = (Mb fm) = Mto. = { j
Разложим элемент x по базису f,
fc=i
и вновь вычислим (Лх, х). Имеем
(Лх,х)= (д(ЁЛ), Ё 4mfm) = Ё ч‘Г(^ьМ = ЁМч‘)2.
\ 'fc=l ' m=l / Jk,m=l	Jk=l
Отсюда в силу равенства (5) получаем, что
п
•<*(х, х) = 52 А‘(ч‘)г-
Jk=l
Тем самым, матрица A(f) исходной квадратичной формы в базисе f является диаго-
нальной:
Сам диагональный вид квадратичной формы можно (с точностью до порядка сла-
гаемых) записать и не вычисляя элементов базиса f. Достаточно найти собственные
значения линейного оператора Л или, чтотоже самое, собственные значения матрицы
А = (atj) и выписать их с учетом кратности.
Пример. Привести квадратичную форму
.с/(х, х) = 2ху + 2yz + 2xz
к диагональному виду.
4 Запишем матрицу квадратичной формы
О 1 1 \
10 1
110/
и построим ее характеристический многочлен:
-А 1
1 -А
1 1
1
1
-А
= - А3 + ЗА + 2.
§7. Квадратичные формы 159
Приравняв полученное выражение к нулю, найдем его корни: Ai = 2, Ajj = -1. Тем самым,
х) = 2х2 -$2 - г2.
Построение соответствующего ортобазиоа сложнее.
Собственные векторы симметричного оператора А суть собственные векторы матрицы квадратич-
ной формы. Найдем их.
Пусть А = 2. Рассмотрим однородную линейную систему с матрицей
/-2	1	1\
1-21.
\ 1	1-2/
Все решения системы
-2х + у + z = О,
х - 2у + z = О,
х + у - 2z = О
пропорциональны набору (1 1 1 )т.
Пусть А = -1. Однородная линейная система с матрицей
сводится к одному уравнению
х + у + z = О
и имеет два линейно независимых решения. Выберем их так, чтобы они были ортогональны:
(1 -2 I )т, (1 0 -1 )т. Легко убедиться в том, что векторы с найденными координатными столб-
цами попарно ортогональны. Пронормируем их:
Искомый базис построен:
i+j + k ~ i-2j + k - i-k
1=^Г'
Замечание. В качестве пространства V можно взять любое n-мерное евклидово пространство. Однако
в задачах наиболее часто встречается координатное пространство Rn, элементами которого являются
всевозможные упорядоченные наборы действительных чисел — £, = (£*,..., (л), стандартный базис
состоит из наборов (1,0,..., 0,0), (0, I,..., 0. 0),... , (0, 0,..., 1, 0), (0,0...., 0, J), а скалярное
произведение наборов £, = ((1,..., £л) и т) = (т?1,..., г]п) определяется формулой
(£.,И) = (Ч‘ +••• +(V-
Опишем алгоритм, посредством которого для произвольной квадратичной формы,
заданно^ в n-мерном координатном пространстве, строится базис, в котором эта
квадратичная форма имеет диагональный вид.
п
◄ Пусть <<У(х, х) = 52	— заданная квадратичная форма.
1.	Выпишем матрицу квадратичной формы
«11 • • •	«1п
«п! . . .	«пп
2.	Построим характеристический многочлен
«11 - <	• • •	«1п
«П1
«пп
180 Глава VI. Линейные отображения
и найдем его корни (в силу симметричности матрицы все корни вещественны). Запи-
шем их с учетом кратности:
Л|	Лп.
3.	Пусть А — один из этих корней, кратности к. Однородная линейная система
с матрицей
/ «и - X ... а1п \
\ ап j ... otnn ~ А /
имеет ровно к линейно независимых решений (образующих фундаментальную си-
стему решений). Ортонормировав ее, получим к попарно ортогональных решений
единичной длины.
4.	Поступая так с каждым корнем характеристического многочлена, получаем набор
ровно п попарноортогональныхэлементов единичной длины, т.е. ортобазис flt..., fn
пространства Rn.
5.	В построенном ортобазисе f = (fi,...,fB) заданная квадратичная форма имеет
диагональный вид:
.</(х,х) = А,(Ч')2 + ... +W)2,
где
X — 7?'f| + ...
Определение. Квадратичная форма
п
J/(X, X) = £2	(6)
»J=1
называется положительно определенной или знакоположительной, если для любого не-
нулевого элемента х (или, что то же, для любого ненулевого набора 4”) выпол-
няется неравенство
.</(х, х) > 0.
Примером знакоположительной квадратичной формы может служить скалярный квадрат произвольного
вектора £ = ((’,..., (*) координатного пространства:
(£.,д)=а’)2+...+(Г)2.>
После приведения знакоположительной квадратичной формы к диагональному
виду получаем
•с/(х, х) = А](ту1 )2 + ... + Хп(т}п)2,
где А| > 0,..., Ап > 0.
Критерий Сильвестра (знакоположительное™ квадратичной формы). Для того, чтобы квадратич-
ная форма (6) была знакоположительной, необходимо и достаточно, чтобы все миноры ее
матрицы, расположенные в левом верхнем углу, были положительны, т е.
«п:	>о,	«и	«12	>0, ...,	ап .	• «ik	>0, ...,	«и •	• «1п	>0
		«12	«22		«ifc •	• «fcfc		«ш •	«пп	
§7. Квадратичные формы
161
Метод Лагранжа
Существует еще один (простой) метод приведения квадратичной формы к диагональ-
ному виду, удобный, например, при получении ответа на вопрос, является ли квадра-
тичная форма знакоопределенной или нет. Этот метод Лагранжа, нлиметодвыделения
полного квадрата, заключается в следующем.
Пусть
п
i,j=l
— заданная квадратичная форма и 0. Выпишем сначала все слагаемые, содер-
жащие переменную £', и преобразуем их так:
ац(«')2 + 2а|2{'{! + ... +2а1„«'«п =
X	«и	«11	/
Полагая
=е’ + 2н ^+...
«и	«И
^=£*, к = 2,...,п,
получаем,что
п
= ац(7?')2 4- 52
ij=2
Замечая, что выражение
п
,с/|(х,х) = 52 "b’/V
i,j=2
также является квадратичной формой, но уже зависящей от меньшего числа перемен-
ных, вновь выделяем полный квадрат и т. д.
Если от] ] = 0, но отлично от нуля 01ц(2 г п), то применяем тот же прием,
но уже к переменной .
Если все коэффициенты при квадратах неизвестных равны нулю, «и = ... =
«пп = 0, то тогда следует начинать с преобразования координат вида
£l=i)' + T)2,
е=т)к, к = 3,..., П.
В результате проведенного преобразования координат, в частности, получим
2a1!flf! = 2an(’/')2-2«i!(42)!-
Н, тем самым, придем к общему случаю. ►
б Зак. 750
162 Глава VI. Линейные отображения
Пример. Методом Лагранжа привести к диагональному виду квадратичную форму
.с/(х, х) = 2ху 4- 2yz + 2zx.
<4 Введем новые координаты х, у, г:
x = i + y, y = i-y, z = z.
Тогда
.c/(x, x) = 2i2 - 2y2 + 4iz = 2(22 + 2if) - 2y2 = 2(f + z)2 - 2$2 - 222.
Положим £ = £+z, $ = y,2 = zvi получим
s/(x, x) = 2£2 - 202 - 2г2. ►
Замечание. Недостаток метода Лагранжа состоит в том, что при указанных преобразованиях координат
новые координатные оси уже не являются попарно ортогональными.
Существуют и другие способы приведения квадратичной формы к диагональному
виду.
Сравнивая результаты описанных выше двух способов приведения квадратичной
формы 2ху + 2yz + 2zo: к диагональному виду (речь идет о последних двух разо-
бранных примерах), можно заметить, что в них соответственно одинаковы: число
отрицательных коэффициентов и число положительных коэффициентов. Это совпа-
дение не случайно, а является важным свойством квадратичных форм, называемым
законом инерции:
число положительных, число отрицательных и число нулевых коэффициентов при квадра-
тах неизвестных в диагональном виде квадратичной формы всегда одни и те же и не за-
висят от способа приведения квадратичной формы к этому виду.
§ 8. Классификация кривых
и поверхностей второго порядка
Применим описанный выше алгоритм приведения квадратичной формы к диагональ-
ному виду для классификации кривых и поверхностей второго порядка.
А. Кривые
Рассмотрим общее уравнение кривой второго порядка
на плоскости Оху:
ах2 + 2Ьху + су2 + 2dx + 2еу + f = 0, а2 + Ъ2 + с2 > 0.
Построим матрицу квадратичной части ах2+2Ьху+су2 :
(a b\
Ъ с ) '
Найдем корни А] и Аг характеристического многочле-
на и соответствующие им собственные векторы Т и j
(единичные и взаимноортогональные)., Возьмем эти
векторы за орты новых осей Ох и Оу (рис. 8). Переходя к новым координатам х и у,
получим
Х\х2 + Х2у2 + 2dx + 2ёу + f = 0.
Возможны два случая: 1) А]  Аг # 0, 2) А] (или Аг) равно нулю.
§8. Классификация кривых и поверхностей второго порядка---------------------163
В первом случае сдвигом точки начала отсчета
d	ё
Х = х+~, Y = y+~
А]	Л2
добиваемся исчезновения линейных членов (как это описано в п. 1 § 7 главы III)
А;Х2 + А2У2 + /=О.
Далее, как это и делалось в п 2 § 7 главы III, рассматриваем всевозможные сочетания
знаков у коэффициентов А|? А2 и /. В результате получаем: эллипс, гиперболу, пару
пересекающихся прямых, точку, пустое множество.
Во втором случае (положим для определенности А| = О, А2 £ 0) сдвигом начала
отсчета
„	ё
X = ® + a, Y = у + —
а2
от уравнения
А2у2 + 2dx + 2ёу + / = 0
приходим к уравнению 
X2Y2 + 2jx + f = 0.
Если d 0,то, полагая а = ^соответственнополучим
| Х2У2 + 2dX ^0~
(парабола).
Если же d = 0, то взяв а = 0, имеем
А2У2 + / = 0.
В зависимости от знака получаем: пару параллельных прямых, пару совпадающих
прямых, пустое множество.
Замечание. Операция отыскания корней характеристического многочлена квадратичной части урав-
нения кривой и взаимноортогональных единичных собственных векторов, описанная здесь, заменяет
уничтожение произведения разноименных координат путем поворота на подходящий угол (см. § 7
главы III). В случае поверхностей второго порядкадело обстоит сложнее (идлятого, чтобы разобраться
с классификацией до конца, нужный внимание и терпение).
Б. Поверхности
Общее уравнение поверхности второго порядка имеет следующий вид
отца:2 + 2а12а;у + 2а)3дсг + а22у2 + 2а23уг + «зз*2 + 2а}Ах + 2а24у + 2a34z + а44 = 0,
где
+ «?2 + «?3 + а22 + «23 + «33 >
Упростим вид квадратичной части этого уравнения (подчеркнута), пользуясь опи-
санным выше алгоритмом. Построим матрицу
(«и «|2 «1з\
«12 «22 «23 I >
«13	«23	«33 /
164 Глава VI. Линейные отображения
найдем корни Аь А2, Аз характеристического многочлена
ot\\ -1	а\2	«13
<*12	«22 ~ t «23
«13	«23	«33 “ *
и соответствующие им собственные векторы Т, J, к так, чтобы они образовывали
ортонормированную тройку (это всегда возможно). Возьмем векторыТ, j и к за орты
новых координатных осей Ox, Ox, Oz. Производя замену координат, получим
А]Д? + А2у 4~ A3Z + 2«145 4- 2о!24^ "Ь 2«з4^ + «44 = 0.	(♦)
Возможны три случая:
(I) Все три корня А], А2, A3 отличны от нуля.
Путем сдвига начала
v _ ~ . «14	_ «24	„	- , «34
X — х 4* -"—, Y — у 4* —, Z — z 4" —
А|	А2	A3
уравнение (♦) поверхности приводится к следующему виду
I. Х\Х2 4* А2У2 4- XyZ2 4* «44 = 0.
а. «44 # 0.
а) А|, А2 и А3 имеют один и тот же знак, противоположный знаку «44.
Полагая	_	_	_
2	«44	,2	«44	2	«44
а = — ——, Ь =---------, с =-------,
А]	А2	А3
получаем уравнен nt эллипсоида
X2	Y2	Z2
~г	ТГ	—г =
а2	о2	с2
/3) Знаки А( и А2 противоположны знаку а44, а знаки Аз и а44 совпадают.
Полагая	__	_	__
2	«44	,2	а«4	2	«44
a=~v ь=~ъ- С = АГ’
получаем уравнение однополостного гиперболоида
X2 Y2	Z2 _
а2 + Ь2	с2
7) Знаки А] и А2 совпадают со знаком а44, а знаки А3 и а44 противоположны.
Полагая	_	_	_
2	«44	,2	2	®44
“ = V b = v c=’v
получаем уравнение двуполостного гиперболоида
X2 Y2 Z2 _
§8. Классификация кривых и поверхностей второго порядка_______________________________________165
б. а 44 = 0.
а) Если А], Л2 и А3 имеют один и тот же знак, то получаем точку (0, 0, 0).
/3) Если одно из А,- имеет знак, противоположный знаку двух других, то получаем
уравнение конуса второго порядка
(II)	Ровно один корень равен нулю (для определенности А3 = 0).
Полагая	_	_
Х = 2 + ^, У = у + ~, Z = z,
А]	А2
получим	_______________________________
II.	А]Х2 4- А3У + 20134Z 4- ®44 — 0.
а.	о?з4 0. Тогда сдвигом точки начала отсчета
х = X, у = У, z = Z +
2о34
получаем уравнение вида
А)ж 4* А2у 4~ 2&з4'£ = 0.
а) Если А) и А2 одного знака, то, полагая
«34	п	«34	Л
р = _—>0, q = ~— >0
А)	А2
(можно считать, что знак «34 противоположен знаку А] и А2; этого всегда можно
добиться, поменяв в случае необходимости ориентацию оси z на противоположную),
получаем уравнение эллиптического параболоида
ж2 у2
2z=~ + —.
Р Q
/3) Если А)	и	А2 имеют противоположные знаки, то,	положив
«34	_	«34	_
Р=—Г~>О, ?=+—>0,
Ai	А2
получим	уравнение гиперболического параболоида
~	®2 у2
2z ---------
р q
б.	о?з4 = 0. Тогда уравнение поверхности имеет следующий вид
А|Х2 + А2У2 + а44 =0-
Классификация поверхностей с уравнениями такого типа приводится в таблице.
Замечание. Отсутствие третьей координаты (точнее, ее неявное присутствие) приводит к Цилиндричес-
ким поверхностям, направляющими которых являются кривые второго порядка, лежащие вплоскости
Z = 0 и имеющие уравнения вида
А|Х2 + Л2У2 + 5 44 = 0.
166-----------------------------------------------:___________________Глава VI. Линейные отображения
Таблица
А ] • А2 > 0	А| • О!44 > 0	X2 Y2 	h — =1 а2 Ь2	эллиптический цилиндр
А] • А2 > 0	А] • СК44 < 0	X2 Y2 ~а2+~Ь2~	0
Aj - А2 > 0	О!44 = 0	X2 Y2 ~~2	~к2 ~ 0 а2 Ъ2	ось Oz
А] • А2 < 0	«44	0	X2 _ У2 _ I2 ь2 ~	гиперболический цилиндр
А] • А 2 < 0	СИ 44 = 0	а2 ft2	пара пересекающихся плоскостей
(III)	Ровно два корня равны нулю (для определенности Aj = Аз = 0).
Преобразованием координат
Х = х+^-, Y = у, Z = z
А)
приходим к уравнению
III.	A|X 4- 2»24^ + 2a34Z 4- 044 — 0.
a.	а24, g34 # 0- Покажем, что этот случай всегда можно свести к такому: а24	0,
«34 = 0. Преобразованием координат
А _ у _ а24У +	д _	+ «24^
Я* — -А. 9 У —	zs-Z — ----- -
V524 + «34	V524 + «34
уравнение поверхности приводится к следующему виду
А]£ 4- 20$ 4- &44 ~ 0.
где
0 = V"24 + 534- .
Замечание. Преобразование координат, упрощающее вид уравнения, выбирается так. чтобы новая
координатная система вновь была прямоугольной декартовой.
Сдвигом н ачала координат
—-	®44	л
® = у = 2/4-—, z = z
получаем уравнение параболического цилиндра
х2 = 2ру.
§В. Классификация кривых и поверхностей второго порядка
167
б.	а24 = а34 = 0. У равнение
А]^Г 4- O44 = 0
описывает либо пару параллельных плоскостей (А] • а44 < 0), либо пару совпадающих
плоскостей (а44 = 0), либо пустое множество (Aj • а44 > 0).
Упражнения
1.	Проверьте, что оператор А, преобразующий векторы трехмерного евклидова простран-
ства по правилу
Лх = (х, а)а
(а — фиксированный вектор), является линейным.
2.	Найдите образ и ядро линейного оператора А, преобразующего произвольный элемент
х = (х1, х2, х3) пространства R3 по правилу
Лх = (2г1 - х2 - х3, х* - 2х2 4- х3, хх + х2 - 2х3).
Вычислите ранг и дефект этого линейного оператора.
3.	Найдите матрицу оператора дифференцирования в двумерном линейном пространстве,
натянутом на базисные функции <p(f) = ее cosf, ф(0 = е‘ sint.
4.	В базисе 1, t, t2 пространства М2 оператор А задан матрицей
ООП
0 1 0 .
I 0 о/
Найдите матрицу этого оператора в базисе, составленном многочленами 3t2 + 2t, 5t2 + 3t + 1,
It2 + 5t + 3.
5.	Вычислите собственные значения и собственные элементы операторов, заданных матри-
цами:
/ 2 0 \	— 1 - 2 \
а)(о °)’ бЧ2 1 "2 •
\и	\i -1	1/
6.	Найдите сопряженный оператор для поворота евклидовой плоскости на угол |.
7.	Приведите квадратичную форму 2х2 + 5у2 + 2z2 - 4ху — 2xz + 4у z к диагональному виду.
8.	Определите вид поверхности второго порядка, заданной уравнением
а)	1х2 + бу2 + 5z2 - 4xt/ - 4yz - 6х - 24t/ - 18z + 30 = 0;
б)	х2 + 5у2 + z2 + 2ху + 6xz + 2yz - 2х + бу + 2z = 0;
в)	5х2 - у2 + z2 + 4ху + бхг + 2х + 4у + 6z - 8 = 0.
Ответы
2. Базис образа yt = (2, I, 1), у2 = (-1,2, 1); базис ядра 2 = (1,1, 1); ранг равен 2; дефект
у = —j(Y + 75Z; г =	- -j-Y - -^Z. 8.а) эллипсоид + у- + Q = 1; б) однополостный
т2	уг2	у2	у2	«,2	_
гиперболоид -г + п— пп = 1; в) гиперболический параболоид —?----^3- = 2Z.
з	6	Н	тТй
Гпава VII______________________
ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА.
ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
§1	. Множества
Понятие м ножества принадлежит к числу первичных, неопределяемых понятий. У по-
требляя термин «множество», будем понимать под этим любое собрание (совокуп-
ность) определенных и различимых между собой элементов, мыслимое как единое
целое. Например, мы можем говорить о множестве букв на данной странице, о мно-
жестве песчинок на морском берегу, о множестве всех корней уравнения, о множестве
всех четных ч исел и т. д.
Если А — произвольное множество элементов, то утверждение «элемент а при-
надлежит множеству А» символически записывается так: a € А. Запись a € А (или
a £ А) означает, что элемент а не принадлежит множеству А. Если каждый элемент
из множества А входит и в множество В, то мы называем А подмножеством множе-
ства В и пишем А С В. Так, множество всех четных чисел Z'является подмножеством
множества Z всех целых чисел. Заметим, что всегда АСА.
Если А С В и В С А, т.е. если каждый элемент множества А есть также
и элемент В и наоборот, то мы говорим, что множества А и В равны и пишем А = В.
Тем самым множество однозначно определено своими элементами. Пользуясь этим,
мы будем иногда обозначать множество его элементами, заключенными в фигурные
скобки. Так
А = (а), А = (а, &}, А = (а, Ь, с}
суть множества, соответственно состоящие из одного элемента а, двух элементов а
и Ь, трех элементов а, & и с. Часто все элементы множества выписать затруднительно,
или невозможно. В таких случаях невыписанные элементы будем заменять точками:
А = {а, &, с,... }
есть множество, состоящее из элементов а, Ь, с и, может быть, еще некоторых других.
Какие эти другие элементы, обозначенные точками, должно быть указано, например:
множество натуральных чисел {1, 2, 3,..., п,... };
множество квадратов натуральных чисел {1,4, 9,..., п\... };
множество простых чисел {2, 3,5,7,... }.
Если АСВ,ноА54В,тоА называют правильной частью множества В (истин-
ным подмножеством множества В).
Иногда мы не знаем заранее, содержит ли некоторое множество хотя бы один
элемент. Поэтому целесообразно ввести понятие пустого множества, т. е. множества,
§ 2. Действительные числа. Абсолютная величина 169
не содержащего ни одного элемента. Будем обозначать пустое множество с им во л ом 0.
Любое множество содержит пустое множество в качестве подмножества.
Пусть А и В — два множества. Их суммой или объедине-
нием С = A U В называется множество, состоящее из всех тех
и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному
из множеств А и В (рис. 1).
Назовем пересечением множеств А и В множество С =
А П В, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые
принадлежат как множеству А, так и множеству В (рис. 2).
Например, если А = {1,2, 3}, В = {2, 3,4, 5}, то A U В =
{1,2, 3, 4, 5}, АП В = {2,3}.
Аналогично определяются объединение и пересечение
любого числа множеств.
Если А П В = 0, то говорят, что множества А и В не пе-
ресекаются.
Множество называется конечным, если оно состоит из не-
которого натурального числа элементов. Например, конеч-
ным является множество всех жителей данного города, а также
множество всех людей, населяющих планету Земля. Непустое
множество называется бесконечным, если оно не является конечным. Так, множество
N = {1, 2,... } всех натуральных чисел является бесконечным множеством.
Пусть А и В — некоторые множества. Говорят, что между множествами А и В
установлено взаимнооднозначное соответствие, если каждому элементу множества А
поставлен в соответствие один элемент множества В так, что: 1) разным элементам
множества А поставлены в соответствие разные элементы множества В и 2) каждый
элемент множества В поставлен в соответствие некоторому элементу множества А.
Если между двумя конечными множествами А и В удалось установить взаимноодно-
значное соответствие, то множество А и В имеют одинаковое число элементов. Мно-
жества А и В, между которымиможно установить взаимнооднозначное соответствие,
называются эквивалентными.
Обозначение: А ~ В.
Бесконечное множество А называется счетным, если можно установить взаимно-
однозначное соответствие между множеством А и множеством N натуральных чисел,
т. е. если А ~ N. Каждое бесконечное множество содержит счетное подмножество.
§2	. Действительные числа. Абсолютная величина
Числа 1, 2, 3,..., п, п + 1,... называются натуральными числами. Дроби вида
где тип — натуральные числа, а также число 0 называются рациональными числами.
В частности, рациональным будет каждое натуральное и каждое целое отрицательное
число. Любое рациональное число выражается либо конечной, либо бесконечной
периодической десятичной дробью.
Кроме рациональных чисел существуют еще иррациональные числа, которые
выражаются бесконечными непериодическими десятичными дробями. Например,
\/2 = 1,41... , % = 3,14 ... .
170 Глава VII. Числовые множества. Числовые последовательности
Рациональные и иррациональные числа называются действительными (веще-
ственными) числами.
Можно показать, что множество всех рациональных чисел счетно. Множество
всех действительных чисел счетным не является.
Мы будем предполагать, что основные свойства действительных чисел и ариф-
метические действия над ними известны из школьного курса математики.
Определение. Абсолютной величиной (модулем) числа а называется самочисло а, если а —
положительно, и число —а, если а — отрицательно. Абсолютная величина нуля есть
нуль.
Абсолютная величина числа а обозначается символом |а|. Таким образом, по опре-
делению
{а, если а 0,
-а, если а < 0.
Если а > 0, то отношение |я| а эквивалентно отношению
-а х а (проверьте это!).
Для абсолютных величин верны следующие соотношения:
1.	|а • Ь| = |а| • |Ь|;
л I а1 |а| ,
Справедливость этих соотношений вытекает из правила умножения и деления дей-
ствительных чисел и изопределения абсолютной величины.
3. |а + Ь| |а| 4- |Ь|.
◄ Сложив почленно очевидные неравенства
-|а| а |а|,
-|ЬЮ<£1Ы,
получим двойное неравенство
— (|а| + |Ь|) а + Ь |а| + |Ь|,
равносильное неравенству
|а+ Ь| |а| + |Ь|. ►
4. ||а| - |Ь|| |а - Ь|
◄ Так как
|а| = |(а - Ь) + Ь| |а - Ь| + |Ь|,
1®| - 1Ы < |а-Ь|.	(I)
Из неравенства
|Ь| = |(Ь - а) + а| |Ь - а| + |а| = |а - &| + |а|
получаем, что
|а|-|Ь|>-|а-Ь|.	(2)
§3. Числовав ось. Простейшие множества чисел----------------------------------171
Из соотношений (1) и (2) следует
-|а - Ь| |а| - |Ь| |а - Ь|,
что равносильно неравенству
||а| - |Ь|| |а - Ь|. ►
§3	. Числовая ось. Простейшие множества чисел
Действительные числа изображаются точками прямой. Делается это так.
На некоторой прямой (будем счи-	о	и	М
тать ее расположенной горизонтально, ---— •"-*-----------------•------►
рис. 3) выберем положительное напра-	0	а
вление, начало отсчета О и единицу	рис. 3
масштаба и. Для изображения поло-
жительного числа а возьмем на нашей прямой справа от начала О точку на расстоянии
(в принятом масштабе), равном данному числу а; для изображения отрицательного
числа а возьмем точку слева от начала О на расстоянии, равном |а|; числу а = 0 будет
отвечать точка О — начало отсчета. Таким приемом мы устанавливаем взаимноод-
нозначное соответствие между всеми точками прямой и множеством действительных
чисел: каждое действительное число будет изображено одной определенной точкой
прямой, причем каждая точка прямой будет изображением одного определенного дей-
ствительного числа.
Определение. Прямая, для всех точек которой установлено указанное взаимооднознач-
ное соответствие с множеством всех действительных чисел, называется числовой осью
или числовой прямой.
В дальнейшем мы будем обозначать одним и тем же символом х действительное
число х и точку х числовой оси.
Числовая ось позволяет дать наглядное представление о расположении действи-
тельных чисел. Неравенство xj < х2 означает, что точка X) лежит левее точки х2;
двойное неравенство Xi < Ху < х2 означает, чтоточкахз лежит между точками Xi их2.
3.1.	Простейшие множества чисел
Дадим определения простейших числовых множеств, с которыми нам особенно часто
придется иметьлело в дальнейшем.
Для наиболее важных множеств приняты стандартные обозначения. Так напри-
мер, буквами N’, Z, Q, R обозначают соответственно множества натуральных, целых,
рациональных и действительных чисел.
Множество всех действительных чисел х (всех точек числовой оси), удовлетво-
ряющих условию а х Ь, где а < Ь, называется отрезком (сегментом) и обо-
значается [а, &]. Множество всех действительных чисел х, удовлетворяющих условию
а < х < Ъ, называется интервалом и обозначается (а,Ь). Множество всех действитель-
ных чисел х, определяемых неравенствами а х < b, а < х b мы будем обозначать
соответственно [а, Ъ) и (а, &] и употреблять в обоих случаях равносильные термины:
полуинтервал и полуотрезок. Мы будем рассматривать также бесконечные интервалы
и полуинтервалы, вводя несобственные точки (числа) +оо и -оо. Таким образом,
172 Глава VII. Числовые множества. Числовые последовательности
(а, +оо) — множество всех действительных чисел х > а;
[а, +оо) — множество всех действительных чисел х а;
(-оо, Ь) — множество всех действительных чисел х < д;
(-оо, Ь] — множество всех действительных чисел х	д;
(—оо, +оо) — множество К. всех действительных чисел (числовая прямая).
Определение. Окрестностью точки х0 числовой оси называется любой интервал, содер-
жащий точку Xq.
Пусть 6 — положительное число.
Определение, 6-окрестностью точки х0 ___________________________
называется интервал (х0 - 5, х0 + 6), xQ-6 х0 х0 + д
симметричный относительно точки х0	Рис 4
(рис. 4). Это — совокупность всех чи-
сел х, удовлетворяющих неравенству
|г-а:о1<^ или, что то же, х0 - б < х < х0 + б.
Определение. Интервал (х0 - б, xQ + б), из которого выброшена точка х0, иногда
называют проколотой 6-окрестностью точки х0.
Обозначение: (х0 - б, xQ) U (х0, х0 + б).
§4	. Точная верхняя и точная нижняя грани множества
Определение. Множество Е действительных чисел называется ограниченным сверху, если
существует число а такое, что для всякого числа х Е Е выполнено неравенство
х Ь.
Например, множество Е = (-оо, 1] ограничено сверху.
Определение. Множество Е называется ограниченным снизу, если существует число а
такое, что для всякого числа х Е Е выполнено неравенство
а £ х.
Так, множество всех натуральных чисел ограничено снизу.
Определение. Множество Е называется ограниченным, если оно ограничено снизу
и сверху, т. е. если существуют такие числа а и Ь, что для всякого числа х Е Е
имеем
а х Ь.
§4. Точная верхняя и точнав нижняя грани множества 173
Отсюда следует, что множество Е ограничено, если оно содержится в некотором
отрезке [а, Ь].
Множество, не являющееся ограниченным сверху (снизу), называется неограни-
ченным сверху (снизу). Например, множество всех натуральных чисел является неогра-
ниченным сверху (но ограниченным снизу); множество всех отрицательных чисел
является неограниченным снизу (но ограниченным сверху). Множество всех целых
чисел, множество всех рациональных чисел, а также множество всех действительных
чисел являются множествами, не ограниченными как сверху, так и снизу.
Если множество Е ограничено сверху числом Ь, то это число b называют верхней
гранью множества Е. В этом случае любое число Ь', большее Ь, тоже будет верхней
гранью множества Е.
Определение. Число М называется точной верхней гранью множества Е, если
1) для любого х Е Е выполняется неравенство
х М;
2) для любого как угодно малого числа е > 0 найдется число х* G Е такое, что
М - е < х* < М.
Иными словами, точная верхняя грань множества Е есть наименьшая из всех
верхних граней множества Е.
Точная верхняя грань множества Е обозначается
Af = sup£l или M = sup{z)
zEE
(сокращение от латинского слова supremum — наивысший). Для множества Е,
не ограниченного сверху, будем считать по определению точную верхнюю грань рав-
ной +оо и писать
sup.E = +оо.
Если множество Е ограничено снизу числом а, то это число а называют нижней
гранью множества Е. Ясно, что всякое число, меньшее а, тоже будет нижней гранью
множества Е.
Определение. Число т называется точной нижней гранью множества Е, если
1) для любого х Е Е выполняется неравенство
х т;
2) для любого сколь угодно малого числа е > 0 найдется число х* Е Е такое, что
т х* < т + £.
Таким образом, точная нижняя грань множества Е есть наибольшая из нижних
граней этого множества.
Точная нижняя грань множества Е обозначается
т = inf Е или m=inf{a:}
хеЕ
(сокращение от латинского слова intimum — наинизший). Для множества Е, не огра-
ниченного снизу, полагаем
inf Е — -оо.
174 Глава VII. Числовые множества. Числовые последовательности
Примеры.
◄ Если Е — [а, 6], то inf Е = a, sup Е — Ь.
Если Е — (а,Ь), то опять infЕ — a, supE = Ь. В первом случае inf Е и supE принадлежат
множеству Е, во втором — нет.
Для множества
'......................................1....}
12	nJ
имеем inf Е = 0, sup Е = 1. ►
Справедливо следующее утверждение.
Теорема 1. Всякое ограниченное сверху непустое множество действительных чисел имеет
точную верхнюю грань, а всякое ограниченное снизу — точную нижнюю грань.
§5. Логические символы. Логические высказывания
В дальнейшем изложении для сокращения записи и для упрощения построения опре-
делений мы будем пользоваться некоторыми логическими символами и отношениями.
Квантор существования 3 соответствует словам «существует», «существуют», «най-
дется». Квантор общности V соответствует словам «для всякого», «для любого», «для
каждого», «для всех».
Будем называть высказыванием всякое повествовательное предложение, в отноше-
нии которого и меет смысл утверждать, истинно оно ил и ложно. Н апример, высказыва-
ниями являются предложения «Математика есть наука», «2 меньше 3», «6 есть простое
число». Напротив, предложения «Закройте дверь», «Сколько Вам лет?» не являются
высказываниями. Условимся обозначать высказывания буквами а, /3,7 и т. д.
Импликация а => /3 (читается «если а, то /3» или «а влечет за собой /3») означает
высказывание, которое ложно в том и только в том случае, когда а истинно, a fl
ложно. Соотношение «если а, то fl» не следует понимать как отношение основания
и следствия. Напротив, высказывание а => fl истинновсякийраз, когда а есть ложное
высказывание. Иными словами, из неверного суждения следует любое суждение: если
2 х 2 = 5, то существуют ведьмы.
Эквиваленция а fl («а тогда и только тогда, когда fl») означает логическую равно-
сильность высказываний а и fl.
Конъюнкция ctf\fl означает высказывание, составленное и з высказываний а и fl при по-
мощи союза «и» (читается «а и fl»). Конъюнкция a A fl считается истинным выска-
зыванием тогда и только тогда, когда оба высказывания а и fl истинны.
Дизъюнкция av fl означает высказывание, образованное из высказываний а и fl при по-
мощи союза «или» (читается «а или fl»). Дизъюнкция а\//3 считается истинным выска-
зыванием тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из данных высказываний.
Отрицание. Пусть а — некоторое высказывание. Высказывание а называют отрица-
нием высказывания а (читается «а с чертой» или «не а»). Высказывание а истинно,
если а ложно и, наоборот, ложно, если а истинно.
Отрицание некоторогосвойства, содержащего кванторы V, 3 и свойство А, получа-
ется заменой каждого квантора на двойственный (т. е. квантора общности на квантор
существования и наоборот) и заменой свойства А на его отрицание А. При этом, если
/3=>7,то/3=>7<->/ЗА7.
§5. Логические символы. Логические высказывания----,---------------------175
5.1.	Необходимое и достаточное условия
Пусть /3 — некоторое высказывание. Всякое высказывание а, из которого следует /3,
называется достаточным условием для /3. Всякое высказывание а, которое вытекает
из /3, называется необходимым условием для /3.
Например, пусть высказывания а и /3 таковы:
а:	«число х равно нулю»;
/3	: «произведение ху равно нулю».
Тогда а является достаточным условием для /3. Действительно, для того, чтобы про-
изведение ху равнялось нулю, достаточно, чтобы число х было равно нулю. Для того,
чтобы х было равно нулю, необходимо, чтобы произведение ху было равно нулю.
Однако, /3 не является достаточным для а: из того, что произведение ху равно нулю,
не вытекает, что обязательно число х равно нулю.
Теорему: «если истинно высказывание а, то истинно высказывание 0», можно запи-
сатьтак: а /3 и выразить любой из следующих формулировок:
«а	является достаточным условием для /3»;
«/	3 является необходимым условием для а».
Если высказывания а и /3 таковы, что из каждого из них вытекает другое, т.е.
а => /3 и /3 -> а, то говорят, что каждое из высказываний а и /3 является необходимым
и достаточным условием для другого и пишут
а о /3.
Другие употребительные формулировки:
1)	для справедливости а необходимо и достаточно, чтобы имело место /3;
2)	а имеет место в том и только в том случае, если выполняется /3;
3)	а истинно тогда и только тогда, когда истинно /3.
5.2.	Метод математической индукции
Многочисленные примеры убеждают нас в том, что некоторое утверждение может
быть справедливо в целом ряде частных случаев и в то же время быть несправедливым
вообще. Вот один из таких примеров. Подставляя в выражение 991 п2 + 1 вместо п по-
следовательные натуральные числа 1, 2, 3,..., 1О’°, мы будем получать числа, не явля-
ющиеся полными квадратами. Однако делать отсюда вывод, что все числа такого вида
не являются квадратами, было бы преждевременным: существуют п, при которых
число 991n2 -t- 1 есть полный квадрат. Вот наименьшее из таких значений п:
12055735790331359447442538767.
Поэтому естественно возникает следующий вопрос. Имеется утверждение а, за-
висящее от натурального параметра (числа) п и справедливое в нескольких частных
случаях. Как узнать справедливо ли это утверждение вообще (при всех значениях
параметра п)?
Этот вопрос иногда удается решить методом математической индукции (полной
индукции). В основе этого метода лежит принцип математической индукции, заключа-
ющийся в следующем.
Принцип математической индукции. Если
1)	утверждение а(п) справедливо для п - - 1;
2)	из справедливости утверждения а(п) для какого-либо натурального числа п - - к
следует его справедливость для п = к -t- 1,
то утверждение а(п) справедливо для всякого натурального п.
176------------------------------------------Глава VH. Числовые множества. Числовые последовательности
Этот принцип лринимаютв качестве основного положения математического мыш-
ления.
В качестве егопримененияустановим одно неравенство, называемое неравенством
Бернулли: если h > -1, то
(1++ nh, Vn G nJ	(*)
◄ В самом деле, неравенство (*) верно для п = 1. Допустим, что оно доказано
для некоторого натурального п = т > 1, т. е.
(1 + h)m 1 + mh,
и покажем, что оно справедливо при п = т + 1. Умножим обе части последнего
неравенства на 1 + h > 0. Имеем
(l + 7i)m+1 >(l + mh)(J + h) = ] + (т + l)h + mh2.
Отбрасывая справа неотрицательное слагаемое mh2, получим
(l+7i)m+1 > 1 + (тп + l)h,
т. е. неравенство оказывается верным и для т+ 1. Следовательно, согласно принципу
математической индукции, неравенство (*) верно для всякого натурального числа п.
§ 6. Числовая последовательность и ее предел
Если каждому натуральному числу п по некоторому закону поставлено в соответствие
определенное действительное число ап, то говорят, что задана числовая последователь-
ность
Числа at, а2,..., ап,... называются членами последовательности; ап называют общим
членом последовательности. Он содержит закон образования членов последователь-
ности.
Ради сокращения записи последовательность aj, а2,..., ап,... будем обозначать
{а»}”.
Примеры последовательностей:
{1}=.. и......
I п J 2 3 п
{2П} = 2,4,8..2П,... ;
{1} = 1,1,1,..., 1,... ;
()	! i	(_])"+'
[ n2 J ’’ 22’32 ”'” п2
{cos п} = cos 1, cos 2,..., cos n,... .
Введем важное понятие предела числовой последовательности. Число А называ-
ется пределом числовой последовательности {ап}, если для любого как угодно малого
Не следует путать последовательность {an} с множеством {an}. Так, например, последовательность
{5} = 5, 5,..., 5,... , в то время как множество {5} состоит из одного элемента 5.
§6. Числовая последовательность и ее предел 177
положительного числа е существует номер N такой, что все члены последовательно-
сти ап с номерами п> N удовлетворяют неравенству
|ап - А| < е.	(1)
Обозначения:
А = lim ап или ап —> А.
п-*оо	п—*оо
С помощью логических символов определение предела последовательности {ап}
выражается следующим образом:
(lim ап = А) (Че > О 3N: Чп > N => \ап - А\ < с).
'л—*00
Геометрический смысл предела последовательности
Изобразим члены последовательности —•------------------------------------------•—* >»
{ап} точками числовой оси (рис.5). а2	алч2 A aN+i А+г aN а.
Неравенство |an - AJ < е, равносиль-	Рис 5
ноедвойномунеравенству А—с < ап <
А + £, означает, что точка ап находится в £-окрестности точки А.
Таким образом, число А есть предел последовательности {ап}, если какова бы
ни была е-окрестность точки А, найдется такой номер что все точки ап с но-
мерами п > N будут содержаться в этой окрестности точки А, т. е. в интерва-
ле (А - £, А + е); вне этого интервала может оказаться лишь конечное множество
точек данной последовательности.
Определение. Последовательность {ап} называется сходящейся, если она имеет (конеч-
ный) предел, и расходящейся, если она предела не имеет.
Пример 1. Последовательность {ап}, все члены которой равны одному и тому же числу А (стационарная
последовательность), имеет предел, равный этому числу А. ►
Пример 2. Рассмотрим последовательность
с общим членом
п+ 1
ап-------.
п
Очевидно, что при больших п дробь — = 1 + £ мало отличается от единицы. Это дает основание
предполагать, что
п + 1
lim an — lim ---= 1.
П-»Э0	П-»Э0 П
Докажем, что это действительно так. Возьмем произвольное е > 0 и найдем натуральное число N
такое, что при всех значениях n > N будет верно неравенство
К“1| = |^--1| = п <£’	* 1 (2) * * * * 7
Решим неравенство £ < е, считая п неизвестным:
1	1
- < £ => П > -,
П	Е
Если взять в качестве N целое число, большее |, то для всех п > N будет выполняться соотношение
1 1
~ < 77 <£’
n N
а следовательно, и неравенство (2). Согласно определению, это означает, что
7 Зак. 750
178 Глава VII. Числовые множества. Числовые последовательности
Номер N в определении понятия предела, вообще говоря, зависит от е:
N = N(e).
Так, в приведенном примере прие = 0,1 в качестве2V можно взять число 10 (или любое
большее), а при е = 0,01 в качестве N следует брать число, не меньшее, чем 100.
Замечание. Номер N, фигурирующий в определении понятия предела последовательности, определя-
ется заданием числа £ неоднозначно в следующем смысле: если неравенство (1) выполнено при всех
п > Ni, то оно выполнено и при n > N2, где	. Как правило, не возникает необходимости
искать среди этих номеров наименьший.
Сформулируем теорему, которая дает необходимое и достаточное условие суще-
ствования предела последовательности.
Теорема 2 (критерий Коши). Для сходимости последовательности
CL ] у &2, * * * ,	9 • * •
необходимо и достаточно, чтобы для любого числа е > 0 существовал номер N такой,
что для всех п> N и всех m > N было бы верно неравенство
|ап — am| < е.
Последовательность {an}, удовлетворяющая условию Коши, называется фунда-
ментальной.
Теорема 3 (единственность предела последовательности). Последовательность {ап} не может
иметь двух различных пределов.
◄ ПустьПоследовательность {an} име- ______(г. гттчииптпш) (-пп г-
ет пределом число А. Докажем, что	А	В
тогда никакое число В ± А не может	Рис 6
быть пределом {an}. Для этой цели
возьмем ^-окрестности точек А и В столь малыми, чтобы они не пересекались, на-
пример, возьмем
€	3
(рис. 6).
Так как lim ап = А, то вне интервала (А - е, А + е), в частности, в интервале (В -
П—>ОО
е,В+е) может располагаться лишь конечное числоточек из последовательности {an}.
Поэтому число В и не может быть пределом последовательности {an}, ►
Определение. Последовательность {дп} называется ограниченной сверху, если существует
число М такое, что
ап М Vn.
Пример. Последовательность ... - n, -(п - 1),..., -3, -2, —1 ограничена сверху; любой член этой
последовательности меньше нуля. ►
Определение. Последовательность {an} называется ограниченной снизу, если существует
число т такое, что
ап т Vn.
§6. Числовая последовательность и ее предел 179
Пример. Последовательность 1, 2, 3,..., п,... ограничена снизу: любой член этой последовательности
не меньше единицы. ►
Определение. Последовательность {ап} называется ограниченной, если она ограничена
и сверху, и снизу, т. е. если существуют числа т и М такие, что
т ап М Уп.
Геометрически это означает, что все точки, изображающие члены последователь-
ности {ап}, лежат на отрезке [m, М].
Пример. Последовательность {ап} с общим членом ап = ~ ограничена: при всяком п имеем
I < ап 2. ►
Иногда бывает удобнее другое, равносильное определение.
Определение. Последовательность {ап} называется ограниченной, еслисушествуютчис-
ло К > 0 такое, что для любого п выполнено неравенство
|а„| 5$ К.
Сформулируем определение ограниченности последовательности с помощью ло-
гических символов:
(последовательность {ап} ограничена) 4» (ЗК > 0: Vn |ап| К).
Определение неограниченной последовательности получаем из предыдущего заме-
ной квантора существования на квантор общности, квантора общности на квантор
существования и обращения неравенства:
(последовательность {ап} неограничена) <+ (VK > 0 Зп: |ап| > К).
Пример. Последовательность {2п} — неограниченная.
Каково бы ни было число К > 0, найдется п такое, что 2п > К, именно п > logj К. Тем самым,
последовательность {2"} неограничена. ►
Определение. Последовательность {ап} называется бесконечно большой, если для любого
как угодно большого числа М > 0 существует номер N такой, что
|an| > М Vn> N.
Мы пишем в этом случае, что lim = оо.
П—*00
Если последовательность {ап} такова, что
VM > О 3N : Vn > N ап> М (соответственно, ап < -М),
то эту последовательность также называют бесконечно большой и п ищут
lim ап — Н-оо (соответственно, lim ап = -оо).
п—»оо	п—>0®' iCHlu:..
Любая бесконечно большая последовательность является неограниченной. На-
против, неограниченная последовательность {ап} может и не быть бесконечно боль-
шой. Такова,например,последовательность {nsinn^}.
180
Г лава VII. Числовые множества. Числовые последовательности
Теорема 4 (об ограниченности сходящейся последовательности). Всякая сходящаяся последова-
тельность ограничена, т. е. существуют числа т и М такие, что
т ап М
для всех членов данной последовательности.
◄ Пусть lirn ап = А. Возьмем какое
п—оо	» >—	-—►
угодно £ > 0. Тогда найдется такой аыА-е aN+l A aN+2 А + еа2
номер N, что все члены ап с номерами	Рис
п > N будут содержаться в интервале
(А-£, А+£),авнеэтогоинтерваламогутоказатьсятолькоточкиа|, а2,... ,а^ (рис. 7).
Последних конечное множество. Поэтому среди них есть самая левая точка а_, и самая
правая точка а+. Обозначим через т меньшее из двух чисел а- и А - е:
т = min{a_, А - е},
а через М — большее из чисел а+ и А + е:
М = max{a+, А + е}.
Тогда на отрезке [т,М] будут находиться точки a[}a2.........а также интервал
(А - е, А + е), содержащий все точки ап с номерами п N + 1.
Следовательно, отрезок [тп, М] будет содержать все члены данной последователь-
ности {an}, что и означает ее ограниченность. ►
Из теоремы 4 следует, что необходимым условием сходимости последовательности
является ее ограниченность. Однако для сходимости последовательности условие
ограниченности достаточным не является.
Пример. Ограниченная последовательность
1,0,1,0,1,...	(3)
расходится.
< Предположим противное, т.е. что последовательность (3) имеет предел, равный числу А. Тогда
для любого £ > 0, в частности, для £ = должно найтись натуральное число N такое, что
|an - А| < 7 Vn > N.
4
Поскольку члены последовательности (3) равны то единице, то нулю, будут выполняться неравенства
|0-А| = |А|<7 и |1-А|<1 Vn > N,
4	4
откуда легко вытекает, что
1=|(1-Л) + Л|^|1-Л| + |Л|<1 + | = 1
4	4	2
т.е. I < |.
Полученное противоречие свидетельствует о том, что наше допущение о сходимости последова-
тельности (3) неверно. Значит, последовательность (3) предела не имеет, т. е. расходится. ►
§7. Арифметические операции над сходящимися последовательностями 181
§ 7.	Арифметические операции
над сходящимися последовательностями
Теорема 5. Если последовательности {ап} и {&п} сходятся, то сходится и последователь-
ность {ап + причем
lim (an + Ъп) = lim ап + lim bn.	(1)
◄ Пусть lim ап = A, lim Ьп = В. Тогда для любого € > 0 найдется номер JVi такой,
П-400	П—»ОО
что для всех п> N\ будет верно неравенство
|ап-А|<|.	(2)
Аналогично найдется номер Ni такой, что для всех п > Ni будем иметь
- В| < |.	(3)
Положим N = max{ATi, Ni}. Тогда для всякого п > N будут одновременно выпол-
няться неравенства (2) и (3). Поэтому для всех п > N будем иметь
|(ап + Ъп) - (А + В)| = |(ап - А) + (6П - В)| |ап - А| + |ЬП - В| < | + | = е.
Согласно определению, этоозначает, что последовательность {ап +&п} сходится и име-
ет место равенство (1). ►
Теорема остается справедливой для суммы любого конечного числа сходящихся
последовател ьностей.
Похожими рассуждениями доказываются следующие утверждения.
Теорема 6. Если последовательности {ап} и {&п} сходятся, то сходится и последователь-
ность {ап - &п}, причем
lim (ап - bn) = lim ап - lim Ьп.
П-400	П-4ОО	п-юо
Теорема?. Если последовательности {ап} и {&п} сходятся, то сходится и последователь-
ность {ап • &п}, причем
lim (ап  Ъп) = lim ап • lim Ъп.
П—*00	П-400	п—‘00
Теорема 8. Если последовательности {ап} и {&п} сходятся, причем Ьп 0 Vn и lim Ъп / О,
п—»00
то последовательность { ^ } также сходится и
п	lim ап
.. ип п—»00
1»т — = ———.
п->00 Ьп	ПГП Ьп
п—>оо
182 Глава VII. Числовые множества. Числовые последовательности
§8. Монотонные последовательности
Определение. Последовательность {ап} называется неубывающей, если
в2	О-п ап+1  • • 
Последовательность {ап} называется невозрастающей, если
й]	®п + 1	• • • •
Определение. Последовательность {dn} называется монотонной, если она является либо
неубывающей, либо невозрастающей.
Неубывающая последовательность {dn} будет ограниченной, если она ограничена
сверху, т. е. если существует такое число М, что ап М Vn.
◄	В самом деле, в этом случае все члены последовательности лежат на отрез-
ке [в|, М]. ►
Невозрастающая последовательность {ап} будет ограниченной, если она ограничена
снизу, т. е. если существует число m такое, что ап m Vn.
•	4 Все члены последовательности {ап} будут лежать на отрезке [тп, dj. ►
Теорема 9. Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел.
◄	Так как последовательность {ап} ограничена, то множество ее элементов имеет
точную верхнюю и точную нижнюю грани. Пусть М — точная верхняя грань множе-
ства элементов последовательности {dn}. Покажем, что если {ап} — неубывающая
последовательность, то lim ап = М.
п-юо
Согласно определению точной верхней грани, для любого числа е > 0 можно ука-
зать элемент такой, что > М - е и < М. Из этих двух неравенств следует
двойное неравенство 0 М -	< е. Так как {dn} — неубывающая последователь-
ность, то при Vn N верны неравенства
а^.
Отсюда вытекает, что
О М - ап < е,
или
|ап - М| < е Vn > N.
Это означает, что число М есть предел последовательности {ап}.
Аналогично доказывается, что если {dn} — невозрастающая ограниченная после-
довательность и m — точная нижняя грань множества элементов последовательности,
то lim ап = т. ►
П—*00
Замечание. Монотонность не является необходимым условием сходимости последовательности. На-
1—£—| сходится:	== 0.
Из теоремы 9 следует важное свойство стягивающейся системы вложенных отрез-
ков.
§9. Число е 183
Лемма (Кантор). Пусть задана последовательность отрезков
<тп — [лп, Ьп ], п — 1, 2,... ,
вложенных друг в друга, т. е. таких, что ап+\ С ап (п = 1, 2,... ), с длинами, стремя-
щимися к нулю: а„ = Ьп-ап 0 при п —> оо. Тогда существует и притом единственная
точка, принадлежащая всем отрезкам сгп.
Эта лемма выражает замечательное свойство непрерывности множества действи-
тельных чисел или свойство полноты числовой прямой (сплошное, без «дырок», за-
полнение этой прямой действительными числами).
§ 9. Число е
Рассмотрим последовательность {ап} с общим членом
Выпишем несколько ее первых членов:
„	/ Ц2 „ 1	/ 1\3 Л * * * * В * 1 1
й] — 2, Л2 — ( I + т ] — 2 + йз — ( 1 + Z ) — 2 + Т + 7Z
\	2 /	4	\	3)	3	27
Легко видеть, что < (^ < <*з-
Пользуясь формулой бинома Ньютона2^, можно показать, что последовательность
{(1 + н) } монотонно возрастает и ограничена, причем
/ 1 \ п
2 С 1 + - I <3 Vn.
\ п/
Значит, эта последовательность имеет предел, которы й обозначают буквой е,
/	1V
е = lim I 1 + -	.
п—>00 у	П /
Число е иррациональное, е ~ 2,7183 ... . По некоторым соображениям число е
удобно выбрать в качестве основания для системы логарифмов. Логарифмы по осно-
ванию е называются натуральными логарифмами. Натуральный логарифм числа а: > О
обозначается символом In х.
Формулой бинома Ньютона называется формула
/я , 1ЛП _ п п п-1. п(п ~ 0 „п-2.2 ,	, п(п ~ 9 • • • (n ~ k + 0 „п-kflt , Ln
{а + о) —а + — а он------—— а о + ... н------------—---------а о + ... + о ,
где, по определению, fc! = 1 • 2 • 3 • •  к.
В частности, '
(а + ft)2 = а2 + -jj ab + b2 = а2 + 2о6 4- Ь2,	11
(a + b)2 = а3 + ~ a2b + ab2 + 3 ? — ft3 = а3 + 3a2b + lab2 + b3,
т. е. получаем знакомые формулы квадрата суммы и куба суммыдвух слагаемых.
184 Глава VII. Числовые множества. Числовые последовательности
Замечание. Существование предела последовательности {(l + ^) } можно доказать, если воспользо-
ваться неравенством Бернулли.
◄ В самом деле, в силу этого неравенства ап = (1 + |1 + п • = 2, т. е. последовательность {яп}
ограничена снизу. Рассмотрим последовательность {6П}, где
Ясно, что 6П = (1 +	> 2 Vn. Имеем
&п + 1	(£t2)n+2	Пп + 1(п + 2)п+2
(п+1)2"+4-п	_ п' (п+1)2н+4
" (» + 1){|(» +1) - ПК» +1) + Ilf! ’ ” +1 К“ + |)г-11"+!
02	-<п+2	г	,
1 П	1
(n+l)2-lj	П+1	+ (П + I)2 - 1
Применив опять неравенство Бернулли к выражению
получим
Ьп > п / п + 2
Ьпц ' п + 1 \ + (п + I)2 - 1
т.е. Ьп ЬП4].
Таким образом, последовательность {Лп} — невозрастающая и ограниченная снизу и потому имеет
предел. Но тогда существует и предел последовательности {ап}, причем
г	1-	..	.
|jm ал = lim ------------г - Jim Ьп. ►
§10. Комплексные числа и действия над ними
В этом параграфе изложены основные определения и факты, относящиеся к поня-
тию комплексного числа, действиям с комплексными числами и их геометрической
интерпретации.
Комплексным числом называется выражение вида
z = х + iy
(алгебраическая форма записи комплексного числа), где х и у — произвольные действи-
тельные числа, a i — мнимая единица — удовлетворяет условию г2 = -1. Числа х и у
называются соответственно действительной (вещественной) и мнимой частями ком-
плексного числа z = х + iy.
Обозначения: х = Re z, у = Im z.
Комплексное число вида х + г0 отождествляется с действительным числом х.
Комплексные числа z( = X] + iyt и z2 = х2 + iy2 называются равными, z\ = z2,
если xt = х2 и у\ = у2.
Введем алгебраические операции над комплексными числами.
1) Сложение. Суммой z\ + z2 комплексных чисел z\ = Xi + iy} и z2 = х2 + iy2
называется комплексное число
z = z\ + z2 = (а:) + а?2) + х(ух + у2).
(1)
§ 10. Комплексные числа и действия над ними 185
Непосредственно проверяются основные законы сложения — переместительный:
Z| +Z2 = Z2 +гь
и сочетательный:
(*1 + *2) + *з = *1 + (*2 + *з)-
Сложение допускает обратную операцию — вычитание: для любых двух комплекс-
ных чисел Z) и ^2 можно указать такое число z, что Z\ = z + z2. Это комплексное
число z называетсяразнос/пью комплексных чисел z} и z2 и обозначается через Zj -22:
z = z, - = (a?i ~ Дз) + г(у| - у2)>	(2)
2) Умножение. Произведением z\z2 комплексных чисел z} =	4- iy\ и z2 = х2 + iy2
называется комплексное число
Z = Z)Z2 - (XjX2 - У1У2) + »(Ж1У2 + а?2У1)-	(3)
Эту формулу легко запомнить: достаточно при обычном перемножении (Ж1 + iy\)
и (х2 + iy2) учесть, что i2 = -1. Если z} и z2 — действительные числа, то правило (3)
совпадаете обычным.
Несложно проверить, что при таком определении произведения сохраняются ос-
новные законы умножения — переместительный:
I Z\Z2 = Z2Z]T\
сочетательный:
(ZiZ2)z3 = Z;(Z2Z3),
распределительный (относительно сложения):
(Z| +z2)z3 = z}z3 + z2z3.
Умножение допускает обратную операцию — деление: длялюбыхдвухкомплексных
чисел Z] и z2 (z2 0) можно найти такое комплексное число z, что
Z\ = Z2z.	(4).
Комплексное число z называется частным отделения на z2 и обозначаетсячерез .
Укажемформулу для вычисления частного. Пусть
zt — xi+iy\, z2 = x2+iy2, z = x + iy.
Тогда из формулы (4) вытекает, что
Ж] = х2х - у2уу ух = х2у + ху2.	(5)
Полученная система (5) при z2 0 всегда разрешима относительно х и у. Имеем
Х\Х2 + уху2 .х2ух~х{у2 г-х + гу= 2	2	+ г 2	2 . ®2 + У1	Х1 + У 2	(6)
Комплексное число	-	•?
z = х - iy
186 Глава VII. Числовые множества. Числовые последовательности
называется сопряженным комплексному числу z = x+iy. Укажем некоторые свойства
операции сопряжения:	i"	~ + . + —	—	. —	I	. ™	гм IN	|N	IN	I	IN	H II	II	II	II гм	I гм	Im N	1	N 4- In n 1 n N	(7)
10.1. Тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа
Комплексное число z = х + iy изображается на плоскости хОу точкой М с коорди-
натами (х, у) либо вектором, начало которого находится в точке 0(0,0), а коней —
в точке М (х, у) (рис. 8). Такую плоскость будем называть комплексной плоскостью z;
ось Ох — действительной (вещественной) осью, а ось Оу — мнимой осью.
Для определения положения точки М # 0 на координатной плоскости удобно
пользоваться полярными координатами (т, в), где г — длина вектора ОМ, а в — угол
между вектором ОМ и осью Ох (рис. 9). Переходя в алгебраической форме записи
комплексного числа z = х + iy к полярным координатам
x = rcosO, y = rsin0,
получим тригонометрическую форму записи комплексного числа
(8)
Полярный радиус т называется модулем комплексного числа z, а полярный угол 0 —
его аргументом.
Обозначение: г = |z|, в = Arg z.
Модуль комплексного числа определяется однозначно:
(9)
Аргумент комплексного числа 2^0 определен с точностью до слагаемого, кратно-
го 2тг:
(Ю)
где arg z — главное значение аргумента, задаваемое следующими условиями
(П)
z = r(cos0 + i sin в), z£0.
\z\ — \/ж2 + у2 — Vzz 0.
Arg z = arg z + Ikir (k = 0, ±l, ±2,...),
-7r<argz^7r (или 0^arg3<2x)
§ 10. Комплексные чисяа и действия над ними
187
	(	. у arctg -, X	если х	> 0;	
	У тг + arctg-, X	если х	<0,3/ ?	>. 0;
arg z — <	У -я + arctg -, X	если х	< о, у <	со;
	7Г Г	если х	= о,у:	> 0;
	। к |гч I 	У	если х	= 0, у <	со.
(12)
Аргумент комплексного числа z = 0 вообще неопределен, а модуль этого числа равен
нулю.
Два отличных от нуля комплексных числа z} и z2 равны между собой в том и только
в том случае, когда их модули равны, а их аргументы либо равны, либо отличаются
на слагаемое, кратное 2тг:
(13)
где п — целое число.
Пример. Найти модуль и аргумент комплексного числа
п	1t
z = - sin - - i cos -.
о	8
|2i| = |z2|, Arg Z] = Arg z2 + 2irn,
< Имеем
7Г	n
x = - sin — < 0, у = — cos - < 0.
8	8
Главным значением аргумента, согласно (12) будет
{	т\	Г	/г	я"\1	/	Зтг\	Зя-	5я-
arg? = -я + arctg ( ctg - = -тг + arctg tg I - - -	= -it + arctg tg — = -it + — = —
\	о/	I	\z	o/J	\	8/	о	8
Следовательно,
Arg? = -|тг + 2кя, к = 0, ±1, ±2,... ;
8
. ।	/ л 7Г	а 7Г
М = l/sin2 о + C0S Г = 1 ►
Vo	о
Отмеченное выше соответствие между
комплексными числами и векторами на
плоскости придает естественный геометри-
ческий смысл операциям сложения и вычи-
тания комплексных чисел (см. рис. 10, где
изображена сумма и разность комплексных
чисел Z] и z2).
Легко устанавливаются следующие не-
равенства.
Рис. 10
Для простоты письма введем сокращенное
обозначение	,
(14)
cos в + i sin в = ее
(15)
188
Глава VIL Числовые множества. Числовые последовательности
(полный смысл введенного обозначения будет установлен в дальнейшем). Это пбзво-
ляет записать комплексное число (8) в показательной форме
z = те*9.	(16)
Тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа удобны
для выполнения операции умножения и деления комплексных чисел. Если = п е**1
и z2 = т2е’92, то
т^’’9' т^2 = r1r2ef(*,+^\ 1	(17)
В самом деле
Z1Z2 = г! е,9‘ • г2е’в2 = Л (cos 0] + i sin 0j)t2(cos 02 + i sin 02) =
= т )T2 [(cos 0i cos 02 - sin 0j sin 02) + (sin 0t cos 02 + sin 02 cos 0i)] =
= Г]Г2(cos(0t + 02) + i sin(0i + 02)) = rlT2e^e"e2f. ►
Таким образом, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются,
а аргументы складываются:
Izizzl = tai ♦ \z2\, arg(zi*3) =argzi + argz2.	(18)
Так же просто выполняется операция деления комплексных чисел:
fl = Т'е*‘ = z2 r2ei9i r2	(19)
(при г2 0). Из формулы (19) видно, что
	fl 22	*ll	2i = 7—7, arg — - arg Zi - arg z2. tai	z2
Определим операцию возведения комплексного числа z в натуральную степень п:
г” = z • „ L z .
п раз
zn = (те,9)п = тпе,п9 = rn(cos n0 + i sin n0).
(cos 0 + i sin 0)n = cos n0 + i sin n0.
В силу формулы (17) возведение комплексного числа
z = те’9 = t(cos 0 + i sin 0)
в степень п можно производить по правилу
(21)
Из последнего соотношения при т = 1 получается формула Муавра
(22)
Обратная операция — извлечение корня — определяется следующим образом. Ком-
плексное число w называется корнем п-й степени из комплексного числа z, если
(23)
Обозначение: w = tyz.
§ 10. Комплексные числа и действия над ними 189
Покажем, что для любого z 0 корень tyz имеет п различных значений. Подста-
вляя
iff	iv>
z =re , w = pe r
в формулу (23), получаем
„njnv „iff
p e = re
Напомним, что из равенства комплексных чисел выте-
кает равенство их модулей, а аргументы чисел либо со-
впадают, либо различаются на слагаемое, кратное 2п.
Поэтому из соотношения (24) вытекают равенства
рп = г, п<р = в + 2/стг,
или, что тоже,
пг- в + 2&тг
Р = Vr, <f>=-------------
п
(24)
Первое из равенств (25) показывает, что модули
всех корней n-й степени из z одинаковы, а второе —	Рис. JJ
что их аргументы различаются на слагаемое, крат-
ное Отсюда вытекает, что точки на комплексной плоскости, соответствующие
различным значениям корня n-й степени из комплексного числа z # 0, располо-
жены в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса y/\z\
с центром в точке w = 0 (рис. 11).
Придавая в формуле (25) числу к значения 0,1,2,... , n - 1, получим п различных
комплексных чисел
в + 2ттк 0 + 2irk
	h i sin	
n--------------------n
k = Q, — 1,
(26)
или
.9h2irfc
Пример. Найти все значения х/г.
4 Запишем комплексное число г =: в показательной форме
z = : = е 2.
В соответствии с формулами (27) получаем
wfc = е
к = 0,1,2.
Отсюда
тг . . я v3 .1 Vi-
w0 = е «> = cos - + t sin - = — +1- = —-
5tt	. . 5tf	x/3	.1
= cos — +isrn — = --Г- + »r =
о	6	2	2
Зл-.Зтг
= cos — + i sin — —
2	2
w2 = e 1
(27)
fc = 0, l,...,n-l.
Wi = е б
2
(рис. 12). ►
190 Глава VII. Числовые множества. Числовые последовательности
10.2.	Предел последовательности комплексных чисел
Пусть {zn} — последовательность комплексных чисел.
Определение. Комплексное число z называется пределом последовательности {z„}, если
для любого £ > 0 найдется номер N = N(e) такой, что для всех n > 7V выполняется
неравенство
\Zn — z\<£.
Последовательность {zn}, имеющая пределом комплексное число z, называется схо-
дящейся к числу z.
Обозначения: z = lim zn или zn -+ z.
n—»oo	n-»oo
Каждый элемент zn = xn + iyn последовательности {zn} характеризуется парой
действительных чисел хп и уп. Поэтому последовательности комплексных чисел {zn}
соответствуютдвепоследовательности вешественныхчисел {хп} и {уп},составленные
из действительных и из мнимых частей элементов zn последовательности {zn}.
Теорема. Последовательность комплексных чисел {zn} является сходящейся в том и толь-
ко в том случае, когда одновременно сходятся обе последовательности действительных
чисел {жп} и {уп} (zn = хп + гуп).
◄ Пусть последовательность {zn} сходится к числу z. Это означает, что для любого
€ > 0 можно указать номер N, такой, что для всех п N выполняется неравенство
|zn - z\ <€. Так как - х| \zn - z\ и |уп - 3/| \zn - z\ < е, то отсюда следует, что
lim хп = х, lim уп = у.
П—>00	П—>00
Обратно, если lim хп = х и lim уп = у, то тогда для любого £ > 0 найдется номер
П—>00	П—>00
такой,что
1*п-®1<^=, \Уп-у\<^=-
Поэтому
|zn - z\ = |(ln + iyn) - (x + iy) I = yj(xn - x)2 + (yn - y)2 < E.
Тем самым,
lim (xn + iyn) = x + iy.+
П—>00
Доказанное утверждение позволяет переносить на последовательности комплекс-
ных чисел все основные факты, установленные для сходящихся последовательностей
действительных чисел.
Упражнения
1. Докажите, что предел последовательности {^} равен нулю. Для каких значений л будет
выполнено неравенство
1
— < е,
пг
если: а) £ > 0 — любое; б) е = 0,1; в) е = 0,01.
2. Докажите, что предел последовательности {	} равен единице.
§ 10. Комплексные числа и действия над ними 191
Найдите пределы:
- .. (n + 2)г 3. lim 	z—. n-*OO	fl* f»2-n + 5 5. lim —			—. n-oo 2n + 0 tyn2 + 6 - n 7. lim -========—«. . n-X y/n2 + n + j	^n4 + |	л	2n3 — n2 + 1 4. lim ———	-. n-oo n4 -ь I6n + 2 Л	v^2n3 + n — 2 6. lim			. n-oo	n + 1 v'n5 + 1 + v^n2 + 2 8. hm -<7==	.1	 + 3 + ^n3 + 5
(Указание. При отыскании предела отношения двух многочленов относительно п целесообразно пред-
варительно разделить числитель и знаменатель на пр, где р — наивысшая степень многочлена в знаме-
нателе. Этот прием используется и при отыскании предела дробей, содержащих иррациональности.)
Найдите пределы:
_	п!
9. lim	.
п-ж (п + 1)! - п
11.	lim -у(1 + 2 Ч-----F п).
П-»ОО fl*
13.	lim (\/n + 2 — y/nj .
15.	lim (x/n2 + 1 - n) .
П-40О X	'
10. lim (- + - + • • • + —.
n-x \2	4	2n/
14. lim f/n2 - 4n + 5 - nl.
n-*oo \	/
16.	Найдите модуль и главное значение аргумента комплексного числа:
а) 4 + 3»; б) -2 + 2д/3г; в) -7 - i; г) - cos | + i sin |; д) 4 - Зг.
17.	Запишите комплексное число в тригонометрической и показательной форме:
а) -2; б) 2г; в) -г; г) —\fl + гу/2.
18.	Вычислите:
а) (2—2г)7; б) (Л-Зг)6; в) (£i)8.
19> Найдите все значения корня:	_________
а) -УТ; б) у7?; в) r) v'-l + г; д) у/1- 2>/Зг.
Ответы
1. а) и > ^.;б) п > 4; в) п > 10. 3. 1. 4. 0. 5. оо. 6. &2. 7. -1. 8. 0. 9. 0. 10. 1. 11. |. 12. 0.
13. 0. 14. -2. 15. |. 16. а) г = 5, В = arctg б) г = 4, В = у; в) г = 5\/2, В = -аг + arctg |;
г) г=1,В = ~, л) r = 5,B = - arctg |. 17. a) 2(cos г + г sin гт), 2е,1Г; б) 2 (cos | + г sin ,
2е‘г; в) cos (~|) + i sin (-f), 1 • е"‘г; г) 2 (cos у +г sin у), 2е‘^. 18. а) 2|0(1 + г); б) 1728;
в) 1. 19. а) ±1, ±г; б) |(1 + г); в) ± (cos | - г sin , ± (cos у + г sin у); г) -у(1 + г),
xfi (- cos у + г sin	(sin - ii cos ; д) ±(\/3 - г).
Глава VIII
ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ
ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§1. Понятие функции. Способы задания функции
Понятие функции является основным и первоначальным, как и понятие множества.
Пусть X — некоторое множество действительных чисел х. Если каждому х Е X
по некоторому закону поставлено в соответствие определенное действительное чис-
ло у, то говорят, что на множестве X задана функция и пишут
у = f(x) или у = у(х), хСХ.
Введенную таким образом функцию называют числовой. При этом множество X на-
зывают областью определения функции, а независимую переменную х — аргументом.
Для указания функции иногда используют только символ, которым обозначен
закон соответствия, т. е. вместо f(x) пишут просто f.
Таким образом, функция задана, если указаны
1) область определения X;
2) правило/, которое каждому значению х Е X ставит в соответствие определен-
ное число у = f(x) — значение функции, отвечающее этому значению аргумента х.
Функции / и g называют равными, если их области определения совпадают и ра-
венство / (х) = д(х) верно для любого значения аргумента х из их общей области
определения. Так, функции у = х2, -оо < х < ч-оо и у = z2, 0 х 1,не являются
равными; они равны только на отрезке [0, 1].
Примеры функций.
1.	Последовательность {ап} есть функция целочисленного аргумента, определенная на множестве
натуральных чисел, такая, что /(n) = ап (n = 1, 2,...).
2.	Функция у = п! (читается «эн-факториал»). Задана на множестве натуральных чисел: каждому на-
туральному числу п ставится в соответствие произведение всех натуральных чисел от 1 до п включи-
тельно:
| n! = 1 • 2 • 3... п,
причем условно полагают 0! = 1.
3.
{1, если х > О,
О, если х = О,
— I, если х < 0.
Обозначение sign происходит от латинского слова signum — знак. Эта функция определена на всей
числовой прямой -оо < х < +оо; множество ее значений состоит из трех чисел -1,0, 1 (рис. 1).
§ 1. Понятие функции. Способы задания функции 193
4.	у = fj], где [х] обозначает целую часть действительного числа х, т. е. [х] — наибольшее целое
число, не превосходящее х: [х] = п для п х < п + 1, п = 0, ±1, ±2,.... Читается: «игрек равно
антъе икс» (фр. ent/er). Эта функция задана на всей числовой оси, а множество всех ее значений
состоит из целых чисел (рис. 2).
Способы задания функции
1.1. Аналитическое задание функции
Функция у — f(x) называется заданной аналитически, если она определяется с помо-
щью формулы, указывающей, какие действия надо произвести над каждым значени-
ем х, чтобы получить соответствующее значение у. Например, функция
у = , Х ,, -оо < х < +оо,
1 + х2
задана аналитически.
При этом под областью определения функции (если она заранее не указана)
понимается множество всех действительных значений аргумента х, при которых ана-
литическое выражение, определяющее функцию, принимает лишь действительные
и конечные значения. В этом смысле область определения функции называют также
ее областью существования.
Для функции у = V 1 - ж2 областью определения является отрезок -1 х 1.
Для функции у = sin х область определения — вся числовая ось —оо < х < -ьоо.
Заметим, что не всякая формула определяет функцию. Например, формула
у = \/1 - ж2 -ь \/ж2 — 4
никакую функцию не определяет, так как нет ни одного действительного значения х,
при котором имели б ы действительные значения оба написанных выше корня.
Аналитическое задание функции может выглядеть достаточно сложно. В частно-
сти, функция может быть задана различными формулами на различных частях своей
194 Глава VIII. Предел и непрерывность функции одной переменной
области определения. Например, функция может быть опреде-
лена так:
О	х	1;
1 < х	2;
х > 2
(рис.З).
1.2.	Графический способ задания функции
Функция у = /(«) называется заданной графически, если за-
дан ее график, т. е. множество точек (х, /(«)) на плоско-
сти хОу, абсциссы которых принадлежат области определе-
ния функции, а ординаты равны соответствующим значени-
ям функции (рис. 4).
Не для каждой функции ее график можно изобразить
на рисунке. Например, функция Дирихле
1, если х — рациональное,
О, если х — иррациональное,
Рис. 4
не допускает такого изображения. Функция &(х) задана
на всей числовой оси, а множество ее значений состоит из двух чисел 0 и 1.
1.3.	Табличный способ задания функции
Функция называется заданной таблично, если приведена таблица, в которой указаны
численные значения функции для некоторых значений аргумента. При табличном
задании функции ее область определения состоит только из значений х\, х2,... ,хп,
перечисленных в таблице.
§2. Предел функции в точке
Понятие предела функции является центральным в математическом анализе.
Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности Q точки х0, кроме,
быть может, самой точки до-
определение (Коши). Число А называется пределом функции f(x) в точке xq , если для лю-
бого числа € > 0, которое может быть как угодно малым, существует число б > О,
такое, что для всех х 6 Q, х xq, удовлетворяющих условию
|Я? - 2?о| < б,
верно неравенство
1/(») - л| < е.
Обозначение: lim f(x) = А.
х^х0
§ 2. Предел функции в точке 195
С помошьюлогическихсимволовэтоопределение выражается следующим образом
(lim f(x) = л) (Ve > 0 3 6 > 0: Vs, |® - o?ol < 6 => \f(x) - Л| < е).
X—*XQ
Примеры.
1. Пользуясь определением предела функции в точке, показать, что
lim(2z + 3) = 5.
< Функция f(x) = lx + 3 определена всюду, включая точку zo = 1: /(1) = 5. Возьмем любое
€ > 0. Для того, чтобы неравенство [(2z + 3) - 5| < £ имело место, необходимо выполнение следующих
неравенств
|2z — 2| < е =$► 2|z — 1| < г => |z — 1| <
Следовательно, если взять <5 = |, то при |z - 1| < б = | будем иметь |/(z) - 5| < £. Это означает, что
число 5 есть предел функции f(x) = 2z + 3 в точке xq = I. ►
2. Пользуясь определением предела функции, показать, что
< Функция
/(*) =
х* — 4
хг — 2х
не определена в точке zq = 2. Рассмотрим f{x) в некоторой окрестности точки-zq = 2, например,
на интервале (1,5), не содержащем точку х = 0, в которой функция /(z) также не определена. Возь-
мем произвольное число £ > 0 и преобразуем выражение |/(z) - 2| при т # 2 следующим образом
х2 — 4
z2 — 2х
z +	2 I	_ I -ж + 21	_ |z - 2|	_ |z -	2|
2	| | х I |z| z
Для z 6 (1, 5) получаем неравенство
х2 -4	1 |z — 2|
z2 - 2z Р 1 •
Отсюда видно, что если взять б = £, то для всех z 6 (1,5), подчиненных условию
0<|z—2| <б,
будет верно неравенство
Это означает, что число А = 2 является пределом данной функции в точке zq = 2. ►
Дадим геометрическое пояснение поня-
тия предела функции в точке, обратившись
к ее графику (рис. 5). При х < я?0 значения
функции f(x) определяются ординатами то-
чек кривой М) М, при х > а?о — ординатами
точек кривой ММ2. Значение/(ж0) опреде-
ляется ординатой точки N. График данной
функции получается, если взять «хорошую»
кривую М\ММ2 иточкуМ(хо, А) на кривой
заменить точкой N.
Покажем, что в точке xq функция f(x)
имеет предел, равный числу А (ординате
точки М). Возьмем любое (как угодно ма-
лое) число € > 0. Отметим на оси Оу точки
196----------------------------------Глава VIII. Предел и непрерывность функции одной переменной
с ординатами А, А — £, А + £. Обозначим через Р и Q точки пересечения графика
функции у = f(x) с прямыми у = А — £ и у = А + £. Пусть абсциссы этих точек есть
я?о — h], х0 + hi соответственно (h| > 0, hi > 0). Из рисунка видно, что для любого
х xq из интервала («о - h\, xq + hi) значение функции f(x) заключено между А -£
и А + е, т. е. для всех х xq, удовлетворяющих условию
Xq — h[ < X < 2J0 + hi,
верно неравенство
А - £ < f(x) < А + £.
Положим 6 = min {h\, hi}. Тогда интервал (х0 - б, я?о + 5) будет содержаться в ин-
тервале (х0 - h\, xq + hi) и, следовательно, неравенство А - £ < f(x) < А + £ или,
что тоже,
1/(®) -А\<£,
будет выполнено для всех я?, удовлетворяющих условию
О <	- а;0| < 6.
Эго доказывает, что iim f(x) = А.
г—*0
Таким образом, функция у = f(x) имеет предел Л в точке «о, если, какой бы узкой
ни была £-полоска между прямыми у — А-£иу — А + £, найдется такое б > 0, что
для всех х из проколотой 6-окрестности точки я?0 точки графика функции у = f(x)
оказываются внутри указанной £-полоски.
Замечание 1. Величина б зависитот е. 6 = 6(e).
Замечание 2. В определении предела функции в точке xq сама точка xq из рассмотрения исключается.
Таким образом, значение функции в точке xq не влияет на предел функции в этой точке. Более того,
функция может быть даже не определена в точке xq. Поэтому две функции, равные в окрестности
точки Xq, исключая, быть может, саму точку xq (в ней они могут иметь разные значения, одна из них
или обе вместе могут быть не определены), имеют при г -* iq один и тот же предел или обе не имеют
предела. Отсюда, в частности, следует, чтодля отыскания вточке яго предела дроби законно сокращать
эту дробь на равные выражения, обращающиеся в нуль при х = Xq.
Пример 1. Найти lim |.
◄ Функция /(х) = | для всех х # 0 равна единице, а в точке х =
0 не определена. Заменив /(х) на равную ей при х 0 функцию
5(х) = 1, получаем
х
lim - = hm 1 = 1. ►
г->0 X 0
Пример 2. Найти Jim /(х), где
г-»0
/(*)={*’ 1,6 °’
( 1, х = 0
(рис. 6).
◄ Функция д(х) = х2, -оо < х < +оо, совпадает с функцией /(х)
всюду, исключая точку х = 0, и имеет в точке х = 0 предел, равный
нулю: lim д(х) = 0 (покажите это!). Поэтому lim /(х) = 0. ►
г->0	г—0
Задача. Сформулировать с помощью неравенств (на языке £ -6), что означает
О lim/(х) = 5; 2) lim/(х) = 0; 3) lim2/(x) = l; 4) lim^ /(х) = -2.
§3. Теоремы о пределах—____________________________________________________197
Пусть функция /(«) определена в некоторой окрестности П точки я0, кроме, быть
может, самой точки г0.
Определение (Гейне). Число А называется пределом функции f(x) вточке xQ, если длялю-
бой последовательности {хп} значений аргумента х (хп б О, хп Ф aj0), сходящейся
к точке «о > соответствующая последовательность значений функции {/(яп)} сходится
к числу А.
Приведенным определением
удобно пользоваться, когда надо
установить, что функция f(x) не
имеет предела в точке xQ. Для это-
го достаточно найти какую-нибудь
последовательность {/(«„)}> не
имеющую предела, или же указать
две последовательности {/(жп)} и
{/(«„)}, имеющие различные пре-
делы.
Покажем, например, чтофунк-
ция f(x) = sin | (рис. 7), опреде-
ленная всюду, кроме точки х = 0,

1
Рис. 7
не имеет предела вточке х = 0.
◄ Рассмотрим две последовательности {^} и {	сходящиеся к точ-
ке х = 0. Соответствующие последовательности значений функции f(x) сходятся
к разным пределам: последовательность {sin тгтг} сходится к нулю, а последователь-
ность {sin(| + 2птг)} — к единице. Это означает, что функция f(x) = sin | в точ-
ке х = 0 предела не имеет. ►
Замечание. Оба определения предела функции в точке (определение Коши и определение Гейне)
равносильны.
§3. Теоремы о пределах
Теорема 1 (единственность предела). Если функция /(«) имеет предел вточке хо, то этот
предел единственный.
4 Пусть lim f(x) = А. Покажем, что никакое число В / А не может быть пределом
Х~*Х0
функции/ (я) вточке х0. Тот факт, что lim f(x) ф- В спомощьюлогическихсимволов
X-’XQ
формулируется так:
3£>0У5>0Эж, х £ ®о>	(|®~®о1 < ^) A (|/(s) - В| > е).
Воспользовавшись неравенством ||а| - |6|| |а - 6|, получаем
= |(/(х)-Л)-(В-Л)| > ||/(х)-Л|-|В-Л|| = ||В-Л|-|/(г)-4||. (1)
Возьмем е =	> 0. Поскольку lim /(х) = А, для выбранного е > 0 найдется
X~*XQ
6 > 0 такое, что
|/(я) - 4| < еУж, х £ xq, |ж - жо1 < <5-
198 Глава VIII. Предел и непрерывность функции одной переменной
Из соотношения (1) для указанн ых значений х имеем
|/(®)"В|	—2	=€.
Итак, нашлось £ > 0 такое, что каким бы малым ни было 6 > 0, существуют х / я0,
такие, что 0 < |z - zo| < £ и вместе стем |/(z) - Отсюда В # lim /(£).►
Определение. Функция f(x) называется ограниченной в окрестности точки xq, если
существуют числа М > 0 и 6 > 0 такие, что
| f(x) |	М Vx G («о -	+ <5).
Теорема 2 (ограниченность функции, имеющей предел). Если функция f(x) определена в окрест-
ности точки Xq и имеет в точке я?о конечный предел, то она ограничена в некоторой
окрестности этой точки.
◄ Пусть
lim /(«) = А.
X^XQ
Тогда для любого £ > 0, например, для е = 1, найдется такое 6 > 0, что для всех
х xq, удовлетворяющих условию |ж - ж0| < 5, будет верно неравенство
|/(i) -4| < 1.
Замечая, что всегда
получим
< |4|+1.
Положим М = max{|4| + 1, |/(i0)l} • Тогда в каждой точке х интервала («о - <5,
ж0 + 5) будем иметь
1№)1 М.
Это означает, согласно определению, что функция f(x) ограничена в окрестности
точки Жо- ►
Напротив, из ограниченности функции f(x) в окрестности точки х0 не следует
существования предела функции f(x) в точке я?о- Например, функция f(x) = sin |
ограничена в окрестности точки х = 0:
sin —	1 Vx, х £ О,
х
но не имеет предела в точке х — 0.
Сформулируем еще две теоремы, геометрический смысл которых достаточно ясен.
Теорема 3 (переход к пределу в неравенстве). Если f(x) <р(х) для всех х из некоторой
окрестности точки Xq, кроме, быть может, самой точки xQ, и каждая из функций f(x)
и <р(х) в точке х0 имеет предел, то
lim /(ж) lim <р(х)
Ж-»Ж0	2-»®0
(рис. 8).
§4. Предел функции в бесконечности 199
Заметим, что из строгого неравенства /(«) < <р(х)
для функций не обязательно следует строгое неравенство
для их пределов. Если эти пределы существуют, то мы
можем утверждать лишь, что
lim f(x) lim ^(«).
X-*Xq	X—*Xq
Так, например, для функций
v 2	/ \ I 2х\ х # °’
f(x) = x и р(ж)=< j’ ж = ()
выполнено неравенство /(«) < <р(х) Чх, в то время как
lim /(«) — lim <р(х) = 0.
х— >0	х—>0
Теорема 4 (предел промежуточной функции). Если <р(х)
f(x) ^(х) для всех х в некоторой окрестности точ-
ки Xq, кроме, быть может, самой точки xq (рис. 9),
и функции <р(х) и ф(х) в точке «о имеют один и тот
же предел А, то и функция /(«) в точке xq имеет предел,
равный этому же числу А.
§4. Предел функции в бесконечности
Пусть функция f(x) определена либо на всей числовой оси, либо по крайней мере
для всех х, удовлетворяющих условию |aj) > К при некотором К > 0.
Определение. Число А называют пределом функции /(«) при х, стремящемся к бесконеч-
ности, и пишут
lim f(x) — А,
Х~*СЮ
если для любого е > 0 существует число N > 0 такое, чтодля всех х, удовлетворяющих
условию |я?| > N, верно неравенство
|/(х) - Л| < е.
Заменив в этом определении условие |®| > N на х > N или на х < -N соответ-
ственно, получим определения
А — lim f(x) или А = lim /(«).
X—*+ОО	X—* — 00
Из этих определений следует, что
А — lim /(«)
X — 00
тогда и только тогда, когда одновременно А = lim f(x) и А = lim /(ж).
£->+00	£->-00
Тот факт, что А = lim f(x), геометрически означает следующее: какой бы узкой
£-•+00
ни была е-полоска между прямыми у = А- еиу = А + е, найдется такая прямая
200 Глава VIII. Предел и непрерывность функции одной переменной
х = N > 0, что правее нее график функции у = f(x) целиком содержится в указан-
ной е-полоске (рис. 10). В этом случае говорят, что при х —> -ьоо график функции
у = f(x) асимптотически приближается к прямой у = А.
Пример. Функция f(x) ~ опреде-
лена на всей числовой оси и предста-
вляет Собой дробь, у которой числитель
постоянен, а знаменатель неограниченно
возрастает при |г| -» +оо. Естественно
ожидать, что lim ?(z)=0. Покажем это.
г->ос
4 Возьмем любое е > 0, подчиненное
условию 0 < е 1. Чтобы имело место
соотношение
должно выполняться неравенство
-jVt < е или, что то же, х2 + 1 > -,
Z* +1	_____ Ь
откуда |х| >	- 1. Таким образом,
если взять N =	— I, то при |z| > N
будем иметь | р— - о| < е. Это означает, что число А = 0 есть предел данной функции при х —» оо.
Заметим, что подкоренное выражение | - 1	0 лишь для е 1. В случае, когда е > 1. неравен-
ство -г— < е выполняется автоматически для всех х 6 R.
График четной функции у = асимптотически приближается к прямой у = 0 при х -+ ±оо. ►
Задача. Сформулировать с помощью неравенств, что означает
О .Jim, /(®) = -3; 2)Jim*/(a:) = 1; 3) Jim* f(x) = 0.
§5. Бесконечно малые функции
Пусть функция а(х) определена в некоторой окрестности точки xq, кроме, быть мо-
жет, самой точки х0.
Определение. Функция а(х) называется бесконечно малой
функцией (сокращенно б. м. ф.) при х, стремящемся к ж0,
если
lim a(aj) = 0.
X— Xq
Например, функция а(х) = х - 1 является б. м. ф.
приз; —► 1,таккакПт(ж-1) = 0. Графикфункцииу = ж-1
х-»1
изображен на рис. II.
Вообще, функция а(х)=х—х0 является простейшим
примером б. м. ф. при x—*xq .
Принимая вовнимание определение предела функции вточке, определение б. м. ф.
можно сформулировать так.
§ 5. Бесконечно малые функции
201
Определение. Функция а(х) называется бесконечно малой при х —> xq, если для лю-
бого € > 0 существует такое 5 > 0, что для всех х, удовлетворяющих условию
0 < |я - sol < <5, верно неравенство
|а(я)| < €.
Наряду с понятием бесконечно малой функции при х —> хц вводится понятие
бесконечно малой функции при х —► оо, х —* +оо и х —* -оо.
Определение. Функция а(х) называется бесконечно малой при х —► оо, если
lim а(х) — 0.
ж—» 00
Если
lim а(х) = 0 или lim а(х) = О,
х—»+оо	X —<-00
то функция а(х) называется бесконечно малой соответственно при х —► +оо или при
х —> —оо.
Например, функция а(х) =	х £ 0, является бесконечно малой при х —* оо, по-
скольку lim 1 = 0. Функцияа(х) — е~х естьбесконечномалаяфункцияпригг —>+оо,
X—*00
так как lim е~х = 0.
1-> + 00
Вдальнейшем все понятия и теоремы, связанные с пределами функций, мыбудем,
как правило, рассматривать только применительнок случаю предела функции в точке,
предоставляя читателю самому сформулировать соответствующие понятия и доказать
аналогичные теоремы для случаев, когда х —► оо, х —* +оо или х —► -оо.
Свойства бесконечно малых функций
Теорема 5. Если а(х) и /3(ж) — б. м. ф. при х —► xq, то их сумма а(х) + fl(x) есть также
б.м.ф. при х —* XQ.
◄ Возьмем любое е > 0. Так как а(х) — б. м. ф. при х —► то, то найдется <51 > 0 такое,
что для всех х xq, удовлетворяющих условию
|х- Х0| < 5],
верно неравенство
£
М*)| < 2-	(О
По условию 0(х) также б.м.ф. при х —> яо, поэтому найдется 62 > 0, такое, что
для всех х ф яо, удовлетворяющих условию
|х - z0| < <52>
верно неравенство
£
IM < 2-	(2)
Положим 5 = min{<5i, <^2}• Тогда для всех х £ яо, удовлетворяющих условию
|х - lol < 5, будут одновременно верны неравенства (1) и (2). Поэтому
|o(z) + /3(t)|	|a(z)| + |/3(z)| < | + | = € Vx, х ф z0, I® - ®о| < 5-
Это означает, что сумма а(х) + /3(ж) есть б. м. ф. при х —► то • ►
202----------------------------------------Глава VIII, Предел и непрерывность функции одной переменной
Замечание. Теорема остается справедливой для суммы любого конечного числа функций, б. м.
при х -»IQ •
Теорема 6 (произведение б. м. ф. на ограниченную функцию). Если функция а(х) является б.м. ф.
при х —► х0, а функция f(x) ограничена в окрестности точки xq, то произведение
a(x)f(x) естьб.м. ф. при х —► яд.
◄ По условию функция f(x) ограничена в окрестности точки яд. Это означает, что
существуют такие числа <$i > 0 и М > 0, что
|/(я)|^М Уя G (я0 - 5|,Яд
Возьмем любое в > 0. Так как по условию а(я) — б. м.ф. при х —► яд, то найдется
такое <?2 > 0, что для всех х # я0, удовлетворяющих условию |я - яд| < 62, будет верно
неравенство
Ж1 <
Положим 6 = min{5i, <5г}. Тогда для всех
х яд, удовлетворяющих условию
|я — я0| < б, будут одновременно верны не-
равенства
и |а(я)| <
Поэтому
|а(я)/(2г)| = |а(я)| • |/(я)| <	 М =
= £ Уя, X / Яд, |я - ®д| < 6.
Это означает, что произведение а(я)/(я)
есть б. м. ф. при я —► Яд. ►
Пример. Функцию у = a: sin | (рис. 12) можно рассматривать как произведение функций а(х) = х
и /(г) = sin j. Функция а(х) есть б. м. ф. при х -» 0, а функция f(x) = sin | определена всюду,
исключая точку х = 0, и ограничена в любой проколотой окрестности этой точки. Поэтому, в силу
теоремы 6, функция у — х sin | есть б. м. ф. при х —» 0, так что
lim х sin - — 0. ►
z—>0	X
Следствие. Если ot(x) — б.м. ф. при х —> xq, а функция /(я) в точке яд имеет (конечный)
предел, то произведение а(я)/(я) есть б.м. ф. при я —► яд.
Это вытекает из того, что функция, имеющая в точке яд предел, ограничена в про-
колотой окрестности ТОЧКИ Яд.
Лемма. Если функция / (я) в точке яд имеет предел, отличный от нуля, то функция
ограничена в проколотой окрестности точки яд.
§5. Бесконечно малые функции 203
◄ Пусть lim f(x) — А # 0. Тогда для любого е > 0, в частности для е = найдется
Z-X0
<5 > 0 такое, что для всех х, удовлетворяющих условию 0 < |® - ®ol < <5, будет верно
неравенство
Так как |Л - f(x)|	|Л| - |/(х)|, то
Ml “ |/(®)| < у,
откуда
|№)| > у- Ух, х х0, I® - ®01 < <$•
Значит, для указанных значений х определена функция -J-v, причем
J\x)
1 1 . 2
f(x) ~	< Й’
так что у^у ограничена в проколотой окрестности точки xq. ►
Теорема 7. Если а(х) — б.м. ф. при х —► х0, а функция /(х) имеет в точке xq предел,
отличный от нуля, то частное у^у есть б. м. ф. при х —♦ х0.
◄ Представим частное в виде
<*(х) / х 1
7ы=а{х)7&
В силу леммы функция у^у ограничена в проколотой окрестности точки х0 и, следова-
тельно, ®(х) у^у — б. м. ф. при х —► х0 как произведение б. м. ф. на ограниченную. ►
Условие lim f(x) 0 является существенным. Рассмотрим, например, функции
а(х) = х и /(х) = х2, являющиеся б. м. ф. при х —► 0. Частное yyfy =	|, х 0,
очевидно, не является б.м.ф. при х —> 0, так что отношение двух бесконечно малых
функций в общем случае не есть бесконечно малая функция.
Теорема 8 (связь функции, имеющей предел, с ее пределом и бесконечно малой функцией). Пусть
функция /(х) определена в некоторой окрестности точки х0, кроме, может быть, самой
точки xq. Для того, чтобы функция f (х) в точке х0 имела пределом число А, необходимо
и достаточно, чтобы f (х) можно было представить в виде суммы
/(х) = Л ч- а(х),
где а(х) — б. м. ф. при х —► х0.
204 Глава VIII. Предел и непрерывность функции одной переменной
◄ Необходимость. Пусть функция f(x) имеете точке я0 предел, равный числу А,
lim f(x) = А.
г-»хо
Положим
a(x) = f(x)-A	(1)
и докажем, что а(х) —б.м.ф. при х —► яд. Возьмем любое г > 0. Так как по условию
lim f(x) = А,
х~>х0
то для выбранного г > 0 найдется такое б > 0, что для всех х, х / хо, удовлетворяю-
щих условию |я - я0| < верно неравенство
л| < е.
В силу (1) последнее можно записать в виде
|а(х)| < е.
Это означает, что а(х) — б. м. ф. при х —♦ яд.
Достаточность. Пусть функцию f(x) можно представить в виде
/(ж) = А + а(х),	(2)
где А — постоянная, а а(х) — б.м.ф. при х —> х0. Докажем, что функция f(x)
в точке яд имеет предел, равный числу А. Возьмем любое £ > 0. Так как по условию
а(х) — б.м.ф. при х —> я0, то найдется такое б > 0, что для всех я, я / я0,
удовлетворяющих условию |я - яд| < б, будет выполняться неравенство
|а(я)| < е.
Новсилу (2) а(я) = /(я)-Л. Поэтому |/(я)-Л| < в для тех же значений я. Согласно
определению это означает, что Л = lim /(я). ►
X—z0
§6. Арифметические операции над пределами
Пусть функции f (я) и 9?(я) определены в некоторой окрестности точки яд, кроме,
быть может, самой точки яд.
Теорема 9. Если функции /(я) и <р(х) в точке яд имеют пределы, то в этой точке имеют
пределы также их сумма f(x) + <р(х), разность /(я) - <р(х), произведение / (я) • <р(х) и,
при дополнительном условии lim <р(х) 0, частное причем
1)	lim [/(я) ± 9?(я)1 = lim /(я)± lim <р(х);
X—хо	Х-’ХО	X—Хо
2)	lim [/(я)-9?(я)1 = lim f(x)- lim <р.(х)\
Х—Х()	x—XQ	x—i0
, lim /(я)
Г J\Xf X—XO	f .	/ \ /
3)	lim —— = -------—-,	( lim <p(x) £ 0 I.
x—x0 9?(я)	lim <p\x) Vx-»xo	'
X~*XQ
§6. Арифметические операции над пределами 205
Ограничимся доказательством утверждения 2) о пределе произведения.
◄ Пусть Hm f(x) ~ A, lim tp(x) = В. Тогда, согласно теореме 8,
f(x) = А -г а(х), tp(x) = В -г /3(ж),
где а(х) и 0(х) — б. м. ф. при х -> хо. Отсюда
f(x)  tp(x) = [4 -г а(ж)] • [В -г /3(z)j = А - В + Ва(х) + А0(х) + а(х)0(х).
Так как Ва(х), А0(х), а(х)0(х) — б.м.ф. при х  ♦ ж0 (как произведение б.м.ф.
на ограниченную), то и их сумма есть б. м. ф. при х —* xQ.
Таким образом, функция f(x)tp(x) представлена как сумма постоянной АВ
и б.м.ф. при х -* xq. Отсюда на основании теоремы 8 заключаем, что функция
f(x) • tp(x) имеет предел в точке ж0, равный числу АВ‘.
lim f/(z)y?(z)l — А • В — lim /(х) • lim y>(z).
I—XQ	I—то	х—то
Утверждения 1) и 3) доказываются подобным же образом (докажите!). ►
Замечание. Теорема о пределе суммы (произведения) обобщается на случаи любого фиксированного
числа слагаемых (сомножителей), имеющих предел.
Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела.
Задача. Пусть функция f(x) имеет предел в точке zq, а функция ^(z) не имеет предела. Будут ли
существовать пределы
О Jin? 4 PWf * 2 * 4>	‘ Pfr), ?
I-.Z01	J	Z~*Xq I	J
Задача. Пусть lim /(z) / 0, a lim y>(z) не существует. Доказать, что lim |/(z)z) не существует.
X — To	Z-»XQ	Т~*Т0 l	j
Приведем несколько примеров на вычисление пределов функций.
Пример1. Найти lirn
4 Будем рассматривать данную функцию как частное двух функций /(z) = z2 — 4 и р(т) — х ч ],
Каждая из этих функций в точке х ~ 0 имеет предел;
lim /(т) — lim(z2 - 4) — -4;
г—0	z—0
lim p(z) — lim(z + 1) = 1	0.
г~»0	г~»0
Так как предел знаменателя p(z) заданного отношения не равен нулю, то можно воспользоваться тео-
ремой о пределе частного, что дает
2 , lim(z2 - 4)
ljm ~___2 - г~*°_______= —4 ►
г-0 л 1 lim(z-h I)
Пример 2. Найти lim
4 Полагая /(z) — z2 - I, y>(z) — z - 1, имеем lim /(z) =. 0, lim y>(z) — 0, т. e., как говорят, имеет
место неопределенность вида . Пользоваться теоремой о пределе частного нельзя. Для раскрытия
неопределенности поступаем так. В определении предела функции в точке z = 1 сама точка z — 1
из рассмотрения исключается. Заметив это, представим данную функцию в виде
х2 - 1 _ (z - I) (z + 1)
X - I
z - 1
206 Глава VIII. Предел и непрерывность функции одной переменной
откуда, сокращая на х — 1 # 0, получим
х2 — 1
------- =х + 1, х ф 1.
х - 1
Поэтому
х2 — 1
lim--------- lim(x + 1) = 2. ►
х—1 х — 1	г-» I
ПримерЗ. Найти lim —.
◄ Пределы числителя и знаменателя в точке х = 0 равны нулю, т. е. опять имеем неопределенность
вида з. Для ее раскрытия умножим числитель и знаменатель данной дроби на у/l + х2 + 1. При х 0
имеем	______
(vi + г2 - 1)	+®2 + 1)	1 + г2 - 1	_	1
х2 (\/1 + + 1) х1 (y/f+ х2 + Q \/1 + г* + 1
К полученной функции применима теорема о пределе частного, так что
ч/1 Fa;2 -1	1	I	1
lim-----,-----= lim -y===r-----=------—	-----г —	►
i->o х2 х-»о \/1 + г2 + 1 НптД>/1+х2 + 1)	2
Пример 4. Рассмотрим функцию f(x) = sinx2. Она определена на всей числовой оси, четна, ограни-
чена sin х2|	1 Vxj и обращается в нуль при х = ±у/пя, где п = 0, 1, 2,... .
Покажем, что эта функция — не периодическая. Возьмем два соседних нуля функции; пусть это
будут у/пя и ^(п + 1)я. Расстояние между ними равно ^(п + 1)% — у/пя.
Найдем ЛЦпт^ ( ^(п + 1)я - у/пя).
Здесь имеет место неопределенность вида оо — оо. Чтобы ее раскрыть, умножим и разделим
выражение (^(n + 1)я - у/пя) на (^(п + 0* + у/пя). Будем иметь
(поскольку числитель последней дроби постоянен, а знаменатель неограниченно возрастает при п—юс).
Таким образом, расстояние между двумя соседними нулями функции стремится к нулю при п -* оо.
Следовательно, функция sini2 — непериодическая. ►
§7. Бесконечно большие функции.
Их связь с бесконечно малыми функциями
Наряду с понятием бесконечно малых функций вводится понятие бесконечно больших
функций (б. б. ф.).
Пусть функция /(®) определена в некоторой окрестности точки Xq, кроме, быть
может, самой точки до-
определение. Если для любого, как угодно большого, числа М > 0 существует такое
число <5 > 0, что для всех х #	> удовлетворяющих условию
|х - a?ol < б,
выполняется неравенство
!/(*)! > м,
§7. бесконечно большие функции. Их связь с бесконечно малыми функциями 207
то функцию f(x) называют бесконечно большой функцией при х —> х0 и пишут
lim f(x) = оо.
г—*0
При этом говорят также, что f(x) при х —> xq имеет бесконечный предел.
С помощью логических символов определение функции /(х), бесконечно боль-
шой при х —► хо, запишется так
(/(х) - б. б. ф. при х —► Xq) <==>
> 0 25 > 0 Vx, х # х0, |х - xq| < 5 => |/(х)| > Af).
Заменяя в приведенном определении неравенство
|/(х) | > М на /(х) > М или на /(х) < —М соот-
ветственно, получим определение положительной
б.б.ф. /(х),
lim /(х) = +оо,
ж—хо
или отрицательной б. б. ф. /(х),
lim /(х) = -оо.
Х-*Х0
Пример. Функция f(x) = j, определенная для всех х # О
(рис. 13), есть б. б. ф. при 1 — 0.
4 Возьмем любое М > 0, как угодно большое. Неравенство = | j | = щ > М равносильно нера-
венству = |г — 0| < -j-j . Поэтому, если взять 6 =	, то для V®, х # 0, таких, что |® - 0| = |®| <	,
будет верно неравенство |/(®)| = щ > М. Согласно определению это означает, что f(x) = | —
б.б.ф. при х -f 0. ►
Функция /(х) = определенная для всех х / О (рис. 14), при х —► 0 есть
положительная б. б. ф.
Геометрическое пояснение б.б.ф.: функция /(х) является б.б.ф. при х —> хо,
если для любой горизонтальной полосы между прямыми у = -М и у = М, сколь
бы широкой она ни была, можно указать такие две вертикальные прямые х = х0 - б
и х = хо + б, что между этими прямыми часть графика функции у = /(х), х # ас0,
целиком расположена вне этой горизонтальной полосы (рис. 15).
Заметим, что функция /(х) может быть неограниченной в окрестности точки х0
и не быть бесконечно большой при х —► х0. Например, функция /(х) = | sin |
не ограничена в окрестности точки х = 0, по не является б. б. ф. при х —► О (попро-
буйте сделать рисунок).
208 Глава VIII. Предел и непрерывность функции одной переменной
Рис. 15
Определение. Будем говорить, что f(x) есть бесконечно большая функция при х —► оо
и писать
lim /(х) = оо,
X—*00
если для любого числа М > 0, хотя бы и как угодно большого, найдется число п > О
такое, что для всех х, удовлетворяющих условию |х| > N, верно неравенство
|/(*)| > М.
Пример, /(г) = х — б. б.ф. при х —> оо. В самом деле, УМ > О ЭТУ > О, например, N = М, такое,
что Уг, |г| > jV, верно неравенство |/(г)| = И > М. ►
Подобным же образом можно сформулировать определение бесконечно больших
функций при х —► +оо и при х —> -оо.
Между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями существует зави-
симость, которая выражается следующими теоремами.
Теорема 10. Если функция /(х) — бесконечно большая при х —► xq, то функция а(х) =
— бесконечно малая при х —► xq.
4 Возьмем любое, как угодно малое € > 0. Так как по условию функция /(х) —
бесконечно большая при х —► xq, то для любого М > 0, в частности для М =
найдется такое 6 > 0, что при всех значениях х,х^ х0, из условия |х - х0| < 6 будет
следовать неравенство
|/(г)|>М = 1.
Для таких значений х определена функция а(х) = и для нее
!“<*)! = i7^i = -
§ 8. Односторонние пределы функции в точке 209
Итак,
Уе > 0 36 > 0: Ух, х х0, |х - хо| < б => |а(х)| < е.
Это означает, что а(х) = у—у — б. м. ф. при х —»• xq. ►
Аналогично доказывается обратное утверждение.
Теорема 11. Если а(х) — бесконечномалая функция прих —> х0 и в некоторой окрестности
(х0 - б, х0 + 6) точки Xq, кроме, быть может, самой точки xq, а(х) отлична от нуля,
то функция /(х) = ^у — бесконечно большая при х —► xq.
Задача. Сформулировать на языке неравенств, что значит
1) lim f(x) = оо; 2) lim /(г) = +оо;
а-*1	а—
4) lim /(г) = +оо; 5) lim f(x) — +оо;
' ®-»+х	' а-»х 4 ' '
3) lim /(г) = -оо;
а-»0
6) lim /(г) = -оо.
а-4-х
Пример. Рассмотрим дробно-рациональную функцию
аогт+01®*"“' + ... +ат
»W =	+... TV
представляющую собой отношение двух многочленов относительно х степеней тип соответственно,
и исследуем поведение этой функции при х -> оо.
◄ При достаточно больших |х| знаменатель этой дроби отличен от нуля, и рассматриваемое отношение
имеет смысл. Разделив числитель и знаменатель дроби на хп, получим
_ aoiw~n + a i a?w~n~' + ... + awa?~n
Ьо + bi®-1 + ... + bnx~n
Ясно, что при х -» оо знаменатель дроби имеет пределом число Ьо 0. Числитель дроби при т > п
неограниченно возрастает по абсолютной величине; при т = п предел числителя равен коэффициен-
ту ао; при т < п предел числителя равен нулю.
Таким образом,
{оо, т > п;
m = n;
&о
О, т < п. ►
§ 8. Односторонние пределы функции в точке
Пусть функция /(х) определена на интервале (а, х0).
Определение 1. Число А называется пределом функции f (х) вточкех0 слева, если для лю-
бого £ > 0 существует б > 0, такое, что для всех х, удовлетворяющих условию
х0 - 6 < х < х0, верно неравенство
|/(х)-Л| <Е.
В этом случае пишут
А= lim /(х) или А ~ /(х0 - 0).
Пусть функция /(х) определена на интервале (xq, 6).
8 Зак. ?50
210 Глава VIII, Предел и непрерывность функции одной переменной
Определение 2. Число А называют пределом функции f(x) в точке xq справа и пишут
А = lim f(x) или Л = (io + 0),
хо+0
если для любого е > 0 существует такое б > 0, что для всех х, удовлетворяющих
условию хо < х < xq + 6, верно неравенство
|/(х)-4| < £.
Пустьтеперьфункция/(®) определена вдвусторонней
окрестности точки xq , кроме, быть может, самой точки zq
(рис. 16).
Теорема 12. Для того, чтобы функция f(x) имела предел
в точке хо, необходимо и достаточно, чтобы существовали
пределы функции /(z) в точке xq слева и справа и они были
равны между собой. Тогда
/(х0 - 0) = /(®о + 0) = lim /(z).
X —XQ 
4 Пусть lim f(x) = А. Тогда для всякого г > Осуществу-
ет 6 > 0 такое, что для всех х из интервала (xq - 6,xq + 6),х xq, верно неравенство
|/(®)- Л| <е.	(1)
Так как неравенство (1) имеет место как на интервале (zq - 6,яо).таки на интервале
(xq, xq + б), то согласно определению
А = lim f(x) и А = lim f(x).
x~*xq-0	х-^хо+О
Обратно, пусть А = lim f(x) и А = lim /(z). Тогда для любого £ > 0
х-чхо-О	х-*го+0
существуют такие £( > 0 и > 0, что если zq - <51 < z < zq и соответственно zo <
х < х0 4- б2, то |/(а?) - Л| < £. Обозначая через б наименьшее из чисел <51, 62,
получим, что |/(z) - Л( < е для всех х таких, что 0 < |z - zol < 6. Это означает, что
lim f(x) = А. ►
Х-*Х0
Примеры.
1.	Пусть
№) = {u’. Ito (рис. 17).
Здесь
lim f(x) = lim f(x) = 0 => lim f(x) = 0.
г-0-О	x-0+0	'	ar-O
2.	Пусть
/(*) = —Цт->	(рис. 18).
I + e «
Здесь
lim f(x) = 1, lim f(x) = 0 => 3 lim f(x) =
г-0-О J’	z-04 о ' '	a-0	x
3.	Пусть
i
/(г) = е7, i/O (рис. 19).
§9. Непрерывность функции 211
Здесь
lim f(x) = 0, lim f(x) = +оо =$> 3 lim f(x) = 0. ►
x-0-0	x-0+07' ’	a-0
Если функция /(x) задана на отрезке [а, &] или на интервале (а, &), то в точке а
она может иметь только предел справа, э в точке Ь — только слева.
§ 9. Непрерывность функции
Пусть функция /(х) определена в некоторой окрестности Q точки жо.
Определение 1. Функция /(х) называется непрерывной в точке xq, если
1) она имеет предел вточке яо;
2) этот предел равен f(x0) — значению функции f(x) вточке xq,
lim f(x) = f(x0).	(1)
Z—20
Так как ж0 = lim х, то равенству (1) можно придать следующую форму
lim /(х) = /(lim х).
X-4XQ	X — XQ
Следовательно, для непрерывной функции символ lim предельного перехода и сим-
вол / функции можно менять местами.
На языке е — <5 определение непрерывности выглядит так.
Определение2. Функция {(х^азыкаечсянепрерывнойвточкехъ, еслидлялюбогочисла
е > 0 существует число <5 > 0, такое, что для всех х 6 Q', удовлетворяющих условию
- ®ol < <5, выполняется неравенство
|/(х)-/(х0)| < £.	(2)
При этом в общем случае величина <5 зависит как от числа е > 0, так и отточки xq:
6 = (5(е, Xq).
С помощью логических символов определение 2 записывается в виде
(/(х) непрерывна вточке Яо) <=>
S>(Ve >03<5 > 0: tfz 6 П|х- х0| < <5 => |/(х) -/(х0)| < е).
212

Глава VIII. Предел и непрерывность функции одной переменной
Подчеркнем, что теперь (в отличие от предыдущих параграфов) мы не требуем, чтобы
X 0 Xq.
Приведем еще одну формулиров-	q
Ку ПОНЯТИЯ непрерывности функции ---------(шшжг:.
вточке. Пустьфункцияу = /(х) опре-	х° х° +	х
делена в н екоторой окрестности Q точ-	Рис. 20
ки xq (рис. 20). Считая Xq исходной точкой, возьмем другое значение аргумента
х = xq + Дх 6 Q, отличающееся от первоначального значения Xq на некоторую ве-
личину Дх (все равно, положительную или отрицательную), которую будем называть
приращением аргумента. Величину изменения функции
by = /(®o + bx) - /(x0)
(3)
назовем приращением функции J вточке хо, отвечающим приращению Дх аргумента х.
Условие непрерывности функции /(х) в точке Хо
lim /(х) = /(х0)
х—»xq
можно записать так
lim f(x0 + Дх) = /(х0).
Да:-«О
Это равносильнотому, что
lim [/(«о + Ьх) - /(х0)] = 0.
Дх-*0
(4)
Замечая, что f(x0 + Дх) - /(хо) = Ду, равенство (4) можно представить в виде
lim Ду = 0.
Дх-О
Определение 3. Функция у = /(х) называется непрерывной в точке Xq Е П, если прира-
щение Ду функции в этой точке, отвечающее приращению Дх аргумента, стремится
к нулю при Дх -ч. 0.
Пример. Покажем, что функция у = х2 непрерывна во всякой точке ®о числовой оси,
4 В самом деле, для любого приращения Ах в точке хо имеем
Ду = (®о + Д®)2 _ го = 2хоДг + (Дх)2 = (2хо + Дх)Дх,
откуда видно, что величина Ду -* 0 при Ах — 0. ►
В ряде случаев удобно пользоваться следующим определением непрерывности
функции в точке.
Определение 4 (Гейне). Пусть функция f(x) задана на произвольном множестве Е дей-
ствительных чисел и пусть точка хо 6 Е. Функция/(я) называется непрерывной в точ-
ке xq , если для любой последовательности точек {хп}, хп 6 Е, сходящейся к точке xq ,
соответствующая последовательность {/(хп)} значений функции сходится к /(х0).
Пользуясь определением 4, можно показать, что функция Дирихле
{1, если х — рациональное число;
л
0, если х — иррациональное число,
не является непрерывной в любой точке xq Е Ж.
§ 10. Основные элементарные функции. Их непрерывность 213
Все четыре определения непрерывности функции равносильны. В каждом кон-
кретном случае пользуются тем определением, которое оказывается более удобным.
Следующие теоремы выражают локальные свойства функции, непрерывной
в точке.
Теорема 13. Если функция f(x) непрерывна в точке хо и f(x0) > А (соответственно
/(хо) < Л), то существует такое 6 > 0, что f(x)>A (соответственно f(x) < Л)
для всех х из интервала (хо — 6,Xq + <5).
◄ Пусть для определенности f(%o) > А, так что
f(xo) = Л + h,
где h > 0. Возьмем е = В силу непрерывности f(x) в точке xq существует такое
<5 > 0, что для всех х, удовлетворяющих условию - жо| < <5, верно неравенство
',/(*) ~/(*о)| < I ИЛИ
-у <
откуда Vx 6 (хо - 6, xq + д) имеем
h	h h
f(x)> f(x0)-- = A + h--=A+->A.+
Теорема 14 (устойчивость знака непрерывной функции). Если функция f(x) непрерывна в точ-
ке Xq и f(x0)	0, то существует окрестность (х0 — 6,xq + б) точки Xq, в которой
функция f(x) не обращается в нуль и сохраняет один и тот же знак (знак числа /(ж0)).
4 Чтобы убедиться в этом, достаточно в предыдущей теореме взять Л = 0. ►
§ 10.	Основные элементарные функции.
Их непрерывность
Основными элементарными функциями называются следующие функции'^.
1.	Степенная функция
у = ха, где а — любое действительное число; область определения х > 0.
2.	Показательная функция
у = ах, а > 0, а # 1; область определения -оо < х < +оо.
3.	Логарифмическая функция
У = loga а > 0, a 1; область определения х > 0.
Подробнее с основными элементарными функциями можно познакомиться в приложении.
214 Глава VIII. Предел и непрерывность функции одной переменной
4.	Тригонометрические функции
у = sin х;	область определения	-оо < х < +оо;
у = cos х;	область определения	-оо < х < +оо;
у = tg ж;	область определения	х % + пя, п =	0,	±1,.±2,... ;
у = ctg х',	область определения х # птг, п = 0, ±	1,	±2,....
5.	Обратные тригонометрические функции
у = arcsin х;
у = arccos ж;
у = arctg х\
у = arcctg х;
область определения -1 < ® < 1;
область определения -1 < ® < 1;
область определения-оо < х < +оо;
область определения -оо < х < +оо.
Функции, которые получаются из основных с помощью конечного числа ариф-
метических операций, а также операций взятия функции от функции, примененных
конечное число раз, называются элементарными функциями.
Можно показать, что все основные элементарныефункции непрерывны в каждой
точке своих областей определения.
Пример. Покажем, например, непрерывность функции у = cos х, -оо < х < +оо.
Предварительно докажем неравенство	о
| sin х| |х| Ух.
Рассмотрим окружность радикса 1 (рис. 21). Пусть угол АО В имеет
радианную величину х, 0 < х < у, и пусть LAOB = LAOC. Очевидно,
длина отрезка ВС равна 2 sin х ; длина дуги '-ВС равна 2х. Так как длина
дуги больше длины хорды, стягивающей эту дугу, то
2 sin х < 2х и, значит, sin < х.
Для рассматриваемых значений х € (о. у) это неравенство можно запи-
сать в виде | sinx| < |х|. Учитывая, что |sin(-x)| = | -sinx| = |sinx|
и | - х| = |х|, замечаем, что неравенство | sin х| < |х| верно и для х € (-у ,о). Так как sin0 = 0, то
неравенство (1) справедливо для всех х € (-у, у)’ Если же х $ (-у, у), то |х| у > 1, тогда как
| sin х| $ 1 Ух. Следовательно, неравенство
| sin х| |х|
верно для любых х.
Функция у = cos х определена на всей числовой оси. Возьмем любую точку х € 1R. Дадим этому
значению х приращение Дх. Тогда функция у = cosx получит приращение
Отсюда
|Ду| = -2 sin (х + — I sin — =2
(2)
Воспользовавшись тем, что всегда Isin (х + I и Isin ^1 в силу неравенства (1), из (2)
получаем, что
|Ду1^2-1-^ = (Дх|.
Итак
О |Ду| |Дх|
§11. Замечательные пределы 215
(при фиксированном х Ду есть функция от Ах). Отсюда, в силу теоремы о пределе промежуточной
функции, при Дх —* 0 получаем
lim Ду = 0.
Это означает, что функция у = cos х непрерывна в любой точке х числовой оси.
1
§11. Замечательные пределы
11.1.	Первый замечательный предел
Если угол х выражен в радианах, то
(О
sin X
lim------= 1.
г-0 X
◄ Предположим, что угол х заключен в границах 0 < х <
Рассмотрим окружность радиуса 1 и проведем некоторые по-
строения (рис. 22). Из рисунка видно, что
плош. ДОЛЯ < площ. сектора ОАВ < площ. ДОЛС.
Так как указанные площади равны соответственно
1	1	1
-sin х,	-х, -tgx,
то
sin х < х < tg х,
Разделив все члены этого неравенства на sin х > 0, получим
х 1
1 < -----<-------,
sin х cos х
откуда
Неравенство (2) доказано для х Е (0, у), но оно верной для х Е (-£, 0), так как
.	.	sin(-x) sin х
cos(-jr) = cos x, ------- =----.
—x x
Функция у = cos x непрерывна в любой точке х, в частности, в точке х = 0, так
что
lim cos х — cos 0=1.	(3)
х—»0
Таким образом, обе функции <р(х) = cos х и ip(x) = 1 имеют в точке х = 0 предел,
равный единице. По теореме о пределе промежуточной функции из (2) и (3) получаем
sin х
lim-----------------------------------= 1. ►
г-0 х
216 Глава VIII. Предел и непрерывность функции одной переменной
11.2.	Второй замечательный предел
Мы установили выше, что
Положим £ = z. Легко видеть, что z принимает значения 1, |,j,... и z —> О
при п —> оо.
Будем очевидно иметь
1
lim( 1 + z)i = е.
z-*0
Можно показать, что
lim( 1 + х)« = е,
я-О
когда х стремится к нулю произвольным образом, пробегаялюбую последовательность
значений, отличных от нуля.
§ 12. Операции над непрерывными функциями
Теорема 15. Пусть функции f(x) и <р(х) определены в некоторой окрестности точки xq.
Если функции f(x) и <р(х) непрерывны в точке Xq, то непрерывны в точке Xq их сумма
f(x) + <р(х), разность f(x) - <р(х), произведение f(x) • <р(х), а также частное
(при дополнительном условии <р(хо) # 0).
<4 Докажем непрерывность частного функций.
Пустьфункции f(x) и <р(х) непрерывны в точке Xq, причем <р(хо) 0. Всилутео-
ремы об устойчивости знака непрерывной функции существует окрестность точки Xq,
в которой функция <р(х) # 0. Поэтому функция F(x) = определена в некоторой
окрестности точки Хо-Так как lim f(x) = f(xQ), Нт <р(х) = <р(хо) # О,топотеореме
Ж—Я—
о пределе частного имеем
г—z0	*-»«о <р(х) Нт $р(я)
Итак lim F(x) = F(xq), т. е. функция F(xq) = непрерывна вточке х0.
X—tXQ
Остальные утверждения теоремы доказываются аналогично. ►
12.1. Сложная функция. Непрерывность сложной функции
Пусть на некотором множестве Е точек числовой оси задана функция и = <р(х).
Обозначим через Е\ множество значений и, соответствующих значениям х из множе-
ства Е. Пустьдалее на множестве Е\ определена функция у = /(«). Таким образом,
каждому х 6 Е соответствует определенное и G Е\, а этому и 6 Е\, в свою очередь,
соответствует определенное значение у = f(u) (рис. 23). Следовательно, величина у
§ 12. Операции над непрерывными функциями
217
в конечном счете является функцией
от х, определенной на множестве Е.
В этом случае у мы будем называть
сложной функцией от я и обозначать
так:
y=f(u)**f[<p(x)]
Ei
Ei
Рис. 23
У
U =<р(х)
У = /[?(*)]•
Например, если и = sin х, у — еи,
то мы имеем сложную функцию
у = esin *, определенную для всех х.
и
X
Теорема 16 (переход к пределу под знаком
непрерывной функции). Если функция
и = <р(х) в точке xq имеет предел, равный числу А, а функция у = f (и) непрерывна
в точке и = А, то сложная функция у = / [$р(®)] в точке х$ имеет предел, равный
/(Л).
◄ Возьмем любое е > 0. Так как функция /(и) непрерывна в точке и = А, то
для выбранного s > 0 существует такое число 7] > 0, что для всех и, удовлетворяющих
условию
|и —Л|<з?»	(1)
верно неравенство
|/(«)-/(4)| <е.	(2)
По условию А = lim <р(х). Поэтому, каким бы ни было число 7) > 0, найдется такое
Х-* XQ
6 > 0, что для всех х, удовлетворяющих условию
0 < |х - sol < <5>
будет верно неравенство
М®)-Л| < 7}
или, что то же самое,неравенство (1). А из неравенства (1) следует неравенство (2),
которое можно записать в виде
|/[₽(«)] -/(4)|<е.	(4)
Итак, для любого £ > 0 существует 6 > 0 такое, что для всех х, удовлетворяющих
условию
0 < |ж - ®ol < <5,
верно неравенство	i > ,.
|/М*)] “/(Л)| < е.
Согласно определению это означает, что число /(4) есть предел сложной функции
/[^(®)] в точке s0- ►
Таким образом, при выполнении условий теоремы
lim / [$р(я?)] = /(А)
или, что то же	___________________________
lim /[?(«)] = / [lim р(®)]. I
Это соотношение выражает правило перехода к пределу под знаком непрерывной функ-
ции. ►
218 Глава VIII. Предел и непрерывность функции одной переменной
Пример. Показать, что lim 1п^‘— = 1.
х-»0	*
4 Заметим, что = 1п(1 н-х)1^. Функция у = 1п(1 +®)*^ является сложной функцией, соста-
вленной из функций у = In и, u = (1 + х) */*. Так как lim(14-х) = е, и функция у = In и непрерывна
в точке и = е, то на основании теоремы 16 получаем
lim	* + Х) = lim 1п(1 + х) = In [lim(l +i) Н = Ine = 1. ►
х—0	X s-’O	L*-o J
Теорема 17 (непрерывность сложной функции). Если функция и = <р(х) непрерывна в точке Хо,
а функция у = /(«) непрерывна в точке «0 = $р(х0), то сложная функция у = f [$р(я)]
непрерывна в точке Xq.
◄ По условию функция и = <р(х) в точке Xq имеет предел, равный <р(хо) = Uq. Кроме
того, функция у = /(«) непрерывна в точке «о. На основании теоремы 16 о переходе
к пределу под знаком непрерывной функции сложная функция у = / [$р(х)] в точке хо
имеет предел, равный /(«0) = /[^(х0)],
Дт / [р(х)] = f [р(*о)],
что означает непрерывность сложной функции / [р(х)] в точке xq. ►
§ 13. Точки разрыва функции. Их классификация
Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки Xq. Согласно опре-
делению, непрерывность функции f(x) вточке хо выражается соотношением
lim /(х) =/(х0).	(1)
г—*0
Пользуясь односторонними пределами функции, равенство (I) можно заменить рав-
носильным ему двойным равенством
(2)
lim /(х)= lim /(х) = /(х0).
х—'Xq—0	х—»го+О
Таким образом, функция /(х) непрерывна в точке хо тогда и только тогда, когда в этой
точке существуют пределы слева и справа, они равны между собой и равны значению
функции /(я?) вточке я0.
Определение. Если в точке х<> функция f(x) не является непрерывной, то говорят,
что /(х) разрывна в этой точке, и точку хо называют точкой разрыва функции /(х)2\
Точки разрыва функции классифицируются в зависимости от того, как именно
нарушено условие ее непрерывности (2).
Определение. Если в точке х0 функция /(х) имеет предел слева и предел справа и они
равны между собой, ноне равны значению функции в точке х<>,
Если функция f(x) не определена в точке т0 точку xq также называют точкой разрыва функции.
§ 13. Точки разрыва функции. Их классификация 219
lim f(x) = lim f(x) # f(x0),
x-4q-0	г-»го+О
то точка Xq называется точкой устранимого разрыва функции f(x).
Такое название оправдывается тем, что в этом случае до-
статочно изменить значение функции только в одной точ-
ке xq, чтобы получить новую функцию, уже непрерывную
вточке xq. Именно, если f(x) имеет в точке xq устранимый
разрыв, то функция
Г f(x), х £ ят0;
— S цт /(г), X = Xq
непрерывна в точке xq. Мы «устранили» разрыв, изменив
значение функции в одной точке х0.
Пример. Пусть
4 Имеем
lim /(г) = lim f(x) = 0 # 1 = /(0),
Z-.0-0	z-*U+0
так что точка х = 0 есть точка устранимого разрыва для функции
f(x) (рис. 24). Если изменить значение данной функции f в точ-
ке z = 0, положив /(0) = 0, то получим непрерывную в точке х = 0
функцию F(x) = |а?|. ►
Вообще, графиком функции, непрерывной на множе-
стве (xq - <5|, Xq) U (xq, Xq + 62) И ИМвЮЩеЙ В точке Xq
Рис. 25
устранимый разрыв, служит непрерывная кривая, из которой удалена точка с абсцис-
сой Xq (рис. 25).
Подчеркнем,что вточке Xq устранимого разрыва lim f(x) существует.
г-»/о
Если lim f(x) не существует, то точка х0 называется точкой неустранимого раз-
X-HQ
рыва.
Определение. Если в точке Xq функция f(x) имеет конечные пределы слева и справа,
но они разные,
lim f(x) # lim f(x),
x—XQ-0	x-»x0+0
то точка Xq называется точкой разрыва функции f(x) с конечным скачком функции.
(При этом безразлично, совпадает или нет J(xq) с одним изодносторонних пределов.)
Такое название точки разрыва обусловлено тем, что при переходе х через точку х0
значения функции f(x) претерпевают скачок, измеряемый разностью 7(хо + 0) -
/(xq - 0) предельных значений /(а?) вточке Xq справа и слева.
Пример. Пусть f(x) = I 2\^ , /(0) = I (рис. 26).
4 Для данной функции точка х = 0 есть точка разрыва с конечным скачком функции, равным -2:
lim 7(®) = 2, lim f(x) = 0. ►
х-0-0'	х-О+О '
220 Глава VIII. Предел и непрерывность функции одной переменной
Точки устранимого разрыва и точки разрыва с ко-
нечным скачком функции называются точками раз-
рыва первого рода. Каждая точка разрыва 1-го рода
функции f(x) характеризуется тем, что в этой точке
функция f(x) имеет конечный предел как слева, так
и справа.
Все другие точки разрыва функции называются
точками разрыва второго рода. Каждая точка разры-
ва второго рода функции f(x) характеризуется тем,
что в этой точке функция f(x) не имеет конечного
предела по крайней мере с одной стороны — слева
или справа.
Примеры.
1.	Пусть f(x) = 1. х / 0. /(0) = 0.
< Для данной функции точка х = 0 есть точка разрыва второго рода, так как lim f(x) = -оо,
с-,0-0
lim f(x) = +оо. ►
х-О+О
2.	Пусть /(ас) = sin |, х # 0, /(0) = 0.
4 Эта функция в точке х = 0 не имеет ни конечного, ни бесконечного предела как слева, так и справа
(чтобы убедиться в этом, можно воспользоваться определением предела функции по Гейне). Поэтому
для данной функции точке х = 0 является точкой разрыва второго рода. ►
3.	Для функции Дирихле
„ , , fl, если х рациональное;
Я(х) = ( Л
( 0, если х иррациональное^
любая точка хо есть точка разрыва 2-го рода. ►
Будем говорить, что функция f(x) в точке Xq непрерывна справа, если
lim /(я) = /(яо), (/(хо + 0) = /(zo)),
г-*го+О
и непрерывна слева, если
I lim f(x) = f(x0), (f(x0 - 0) = /(®o))-
x—»X(j—О
Функция f(x) называется непрерывной на интервале (а, Ь), если она непрерывна
в каждой точке этого интервала. Множество всех функций, непрерывных на интервале
(а, Ь) обозначают С(а, Ь).
Функция f(x) называется непрерывной на отрезке [а, Ь], если она непрерывна
на интервале (а, Ь) и в точке а непрерывна справа, а в точке Ь — непрерывна слева.
Множество всех таких функций обозначают С[а, bj.
§ 14. Свойства функций, непрерывных на отрезке
Теорема 18 (Больцано—Коши) (о нуле функции). Если функция f(x) непрерывна на отрезке
[а, Ь] и в концах его имеет значения, противоположные по знаку, то f(x) обращается
в нуль по крайней мере в одной точке интервала (а, Ь).
914. Свойства функций, непрерывных ио отрезке_______________________________221
◄ Пусть числа }(а) и f(b) противоположны по знаку. Точка ( = делит отрезок
[а, Ь] пополам. Если /(£) = 0, то теорема верна. Пусть /(£) # 0. Тогда один
из отрезков [а, £] или [ft Ь] будет таким, что в его концах значения функции f(x)
имеют разные знаки. Обозначим этот отрезок через [aj, bj ] и разделим его пополам
точкой ft =	Если /(Ci) = то теорема верна. Пусть # 0. Тогда один
из отрезков	или [ft, bj] будет таким, что в его концах значения функции /(ас)
имеют разные знаки. Обозначим этот отрезок через [aj, dj) и разделим его пополам.
Продолжая этот процесс, мы либо встретим на очередном этапе рассуждений точку
а € (а, Ь), для которой /(а) = 0, и тогда теорема доказана. Либо получим бесконеч-
ную последовательность вложенных друг в друга отрезков, длины которых стремятся
к нулю,
Ь — а
[а, b] D [аь Ь|] D ... D [ая, Ья] D ... , т.е. lim (bn - ап) = lim = 0,
п—»оо	п—»оо 2Г<
и на концах каждого из которых функция /(х) имеет значения разных знаков.
В силу леммы Кантора существует единственная точка а, принадлежащая всем
отрезкам [ая, Ья].
Докажем, что /(а) = 0. Допустим противное: /(а) # 0. Функция f(x) не-
прерывна в точке a G [а, Ь] и, в силу устойчивости знака непрерывной функции,
найдется такой интервал (а - <5, а + 6), в котором f(x) сохраняет знак. Так как
а = lim ап = lim bnt то п можно взять настолько большим, что отрезок [ап, Ьп]
п—»оо	п—оо
будет содержаться в интервале (а - 6. а + <5), и поэтому числа f(an) и f(bn) будут
одного знака. По по построению отрезков [ап, Ьп] при любом п числа /(ап) и f(bn)
противоположны по знаку. Полученное противоречие доказывает, что наше допуще-
ние /(а)	0 неверно. Следовательно /(а) = 0, где а < а < Ь (точка а € [а, Ь],
но не может совпадать ни с точкой а, ни с точкой Ь, так как f(a) / 0, f(b) / 0). ►
Геометрически результат теоремы очевиден.
Если/(а)/(Ь) < 0,тоточки А(а, /(а)) иВ(Ь, /(b))
лежат в разных полуплоскостях, на которые ось Ох
делит плоскость хОу. График непрерывной функ-
ции у = /(х), соединяющий эти точки, обязатель-
но пересечет ось Ох по крайней мере в одной точке
(рис. 27).
Требование непрерывности функции /(х) на
[а, Ь] существенно: функция, имеющая разрыв хотя
бы в одной точке, может перейти от отри цательного
значения к положительному и не обращаясь в нуль.
Так будет, например, с функцией
№) = { j’
-1 х < 0;
00^1
(рис. 28).
Укажем одно из применений доказанной теоремы. Рассмо-
трим многочлен нечетной степени с действительными коэффи-
циентами
r^n+i^) — Доа'2п+1 + Д1Х2п 4-... 4- а^п-ц.
Рис. 27
Ун
1—•
I
I
-1________
! О 1 х
i—4-1
Рис. 28
222 - •_____________________________________Глава VIII. Предел и непрерывность функции одной переменной
riycTjb для определенности а0 > 0- При достаточно больших по дбсолютной вели-
чине отрицательных значениях х знак многочлена Ргп+1(®) будет отрицательным,
а при достаточно больших положительных значениях х — положительным. Так как
многочлен есть всюду непрерывная функция, то найдется некоторая точка, в которой
он необходимо обращается в нуль. Отсюда следует, что
всякий многочлен нечетной степени с действительными коэффициентами имеет по край-
ней мере один действительный корень.
Теоремой 18 можно пользоваться и для приближенного вычисления корня.
Пример. Найдем приближенно корень многочлена Рз(х) = г3 + х - 1.
◄ Это — многочлен нечетной степени и потому заведомо имеет по крайней мере один действительный
корень.
На концах отрезка [0. 1] многочлен Pj(x) принимает значения разных знаков: Рз(0) = -1 < 0,
Рз(1) = I > 0. Следовательно, в интервале (0, 1) имеется корень этого многочлена.
Если взять точку ( = | — середину отрезка [0, 1 ], то получим Рз ( {) = - j <0- Р}( 1) > 0. Значит,
корень находится в интервале 1). Возьмем теперь точку (i = j — середину отрезка Н, . Будем
иметь Р)({) < 0. Рз(|) = 55 > 0, так чт0 корень содержится в интервале (j, Продолжая этот
процесс, мы можем найти все более тесные границы для корня многочлена Рз(х). ►
Теорема 19 (Коши) (о промежуточных значениях непрерывной функции). Пусть функция f(x)
непрерывна на отрезке [а, Ь], причем f(a) = A, f(b) = В. Тогда каким бы ни было
число С, заключенное между числами А и В, на отрезке [а, Ь] найдется по крайней мере
одна точка а такая, что /(а) = С.
Иными словами, непрерывнаяна отрезке [а, Ь] функция принимает все промежу-
точные значения между ее значениями на концах отрезка.
< Пусть, для определенности, А < В. Рассмотрим функцию
tp(x) = f(x) — С,
где А < С < В. Очевидно, функция tp(x) непрерывна на отрезке [а, Ь], причем
на концах этого отрезка принимает значения противоположного знака,
¥>(а) = /(а) -С = 4- С<0,
=/(Ь) - С = В - С > 0.
По теореме 18 в и нтервале (а, Ь) найдется точка а такая, что <р(а) = f(a) - С — 0, т. е.
/(«) = С. ►
Теорема 20 (первая теорема Вейерштрасса). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, Ь],
то она ограничена на нем, т. е. существует такое число К > 0, что для всех х G [а, 6]
верно неравенство
|/(«)|< к-
Замечание. Если функция f(x) непрерывна на интервале (а, Ь) (или на полуинтервале (а, Ь), или
на полуинтервале (а, 6]), то f(x) не обязательно ограничена на нем. Например, функция f(x) = £
непрерывна на полуинтервале (0,1 ], но не ограничена на нем.
§ 14. Свойства функций, непрерывных на отрезке_______________________________________223
Пусть функция f(x) определена и огра-
ничена на некотором множестве Е. Назо-
вем точной верхней гранью М функции /(я?)
на множестве Е точную верхнюю грань
множества значений функции /(я?) на мно-
жестве Е:
М = sup /(я:).
х€Е
Аналогично определяется точная нижняя
грань т функции /(я:) на Е:
т= inf/(я?).
Рис. 29
У"
О
Теорема 21 (вторая теорема Вейерштрасса). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, Ь],
то она достигает на этом отрезке своих точной нижней и верхней граней, т. е. на отрезке
[а, Ь] найдутся такие точки £ и f), что
f(£)=m= inf /(яг),	= M = sup /(я?)
sr€[a,b]	z€le,b]
(рис. 29).
Замечание. Условие непрерывности функции f(x) на отрезке [а, Ь] суще-
ственно: функция f(x) = х непрерывна на интервале (-1,1) и ограничена
на нем, но ее точная верхняя грань sup х = 1 не достигается, т. е. нет
*€(-1.1)
такого г0 € (-1, 1), значение этой функции для которого равно единице.
Другой пример: f(x) = х — fxj на [О, I] (рис. 30). Здесь sup f(x) = 1,
xelo.i]
но он не достигается на отрезке [0, 1]. Это связано с тем, что функция f(x)
разрывна на [0,1].
Назовем точную верхнюю грань наибольшим значением, а точ-
ную нижнюю грань — наименьшим значением функции f(x) наот-
Рис. 30
резке [а, Ь]. Тогда второй теореме Вейерштрасса можно придать следующую форму-
лировку.
Теорема 22. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, Ь], то она на этом отрезке
принимает свои наименьшее и наибольшее значения.
14.1.	Равномерная непрерывность
Пусть функция /(я?) непрерывна на интервале (а, Ь). Тогда в любой точке я?о € (а, Ь)
для любого € > 0 существует такое 6 > 0, что для всех х G (а, Ь), удовлетворяющих
условию |я: - я?0| < 6, верно неравенство |/(я?) - /(xq)| < е. При этом величина 6
зависит как от е, так и от точки я:0: б = б(е, я?о) - Так что при одном и том же е > 0
в разных точках х G (а, Ь) число 6 может оказаться разным и ниоткуда не следует,
что существует единое 6 для всех х G (а, Ь). Требование, чтобы такое 6 — б(е) > 0
существовало, является более сильным, чем требование просто непрерывности функ-
ции /(я?) на интервале (а, Ь).
224
Глава VIII. Предел и непрерывность функции одной переменной
Определение. Функция /(х) называется равномерно непрерывной на интервале (а, Ь),
если для всякого е > 0 существует такое б = б(е) > 0, что для любых точек х' и х"
из интервала (а, Ь), удовлетворяющих условию
|®' - ®м| < б,
верно неравенство
]/(«')-/(®")| < е.
Здесь существенно, что для всякого е > 0 существует б > 0, обеспечивающее
выполнение неравенства |/(х') - /(xw)| < £ сразу для всех ®\ х" из интервала (а, Ь)
при единстве ином условии |х' - х"| < б.
Пример 1. Функция f(x) = х равномерно непрерывна на всей числовой оси. Здесь достаточно взять
d = ►
Ясно, что если функция /(®) равномерно непрерывна на интервале (а, Ь), то она
непрерывна в каждой точке х 6 (а, Ъ). Обратное утверждение неверно.
Пример 2. функция f(x) = sin - непрерывна на интервале (0,1), но не является равномерно непре-
рывной на этом интервале.
◄	Пусть х'п = £, х'п =	. Тогда величина
1^-гп' = |^2^м|=п(2п + 1)
за счет выбора п может быть сделана меньше любого числа 6 > 0, в то время как
Тем самым, существует с > 0 (например, е = |) такое, что при любом б > 0 найдутся точки х'п
и х'п из (0, 1) такие, что lain - а: < 6, но |/(а:к) —	> £- Следовательно, функция f(x) = sin -
не является равномерно непрерывной на интервале (0,1). ►
ПримерЗ. Функция f(x) = непрерывна на интервале (0,1), но не является равномерно непрерывной
на этом интервале.
◄	Пусть х'п = ~, х'п ~ {г > 0 — любое). Тогда величина
при достаточно большом п может быть сделана меньше любого б > 0. Вместе с тем, |/(ain) -
/(ain)| =	> €. Следовательно, функция f(x) = 1 не является равномерно непрерывной на ин-
тервале (0,1). ►
Тем более интересно, что если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, Ь], то она
на этом отрезке обладает свойством равномерной непрерывности.
Теорема 23 (Кантор). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, Ь], то она равномерно
непрерывна на этом отрезке.
915. Сравнение бесконечно малых функций 225
§	15. Сравнение бесконечно малых функций
Пусть а(х) и 0(х) — б.м.ф. при х —» до-
определение 1. Если
.. а(х)
lim —— = О,
x-*xq /3(Х)
то а(х) называется б. м. более высокого порядка, чем 0(х) и пишут а(х) = о(/3(а?)) ,
х —> хо (читается «альфа равно о-малое от бета»). Символ о(/3(х)), х —» а?о, означает
любую б. м. ф., имеющую вточке xq более высокий порядок малости, чем б. м. в этой
точке функция /3(х).
Пример. а(х) = х2, 0(х) =х — б, м. ф. при х -♦ 0. Для них
а(х) х2
lim = Um — = lim х = 0,
»-о /3(х)	х-0 х я-0
так что х2 = о(х), х -* 0. ►
Определение 2. Если
x—xq Р{Х)
то а(®) и /3(х) называют бесконечно малыми функциями одного порядка.
Так, а(х) = 2х, /3(х) = х, х —» 0, — б. м. ф. одного порядка, поскольку
а(х) 2х
lim -ггт = lim — = 2.
х-»о р(х) х-Q х
Определение 3. Говорят, что б. м. при х —> а?0 функции а(х) и /3(х) не сравнимы, если
отношение при х —> xq не имеет предела, ни конечного, ни бесконечного.
Например, б.м. при х —» 0 функции а(х) = я? sin j и /3(х) = х не сравнимы,
поскольку их отношение = sin | не имеет конечного предела в точке х = О
и не является б. б. ф. при х —» 0.
Определение 4. Говорят, что б.м. при х —> 0 функция а(х) имеет порядок малости
т G N относительно основной б. м. при х —» хо функции ш(х) = х - Xq, если
Нт °^Х\т = Д # 0.
X—хо (ж — Яо)
Например, функция О'(х) = 3 sin2 я,б. м. приз > 0, имеет порядок малости тп = 2
относительно б. м. при х —► 0 функции ш(х) = х, так как
3 sin2 х
hm
х-»0 (х)1
226 Глава VIII, Предел и непрерывность функции одной переменной
§16	. Эквивалентные бесконечно малые функции
Определение. Две бесконечно малые при х —> а?о функции а(х) и /3(х) называются
эквивалентными, если предел их отношения в точке xq равен единице:
а(х)
lim -7-4 = 1.
fi(x)
Эквивалентные б. м.ф. представляют частный случай б. м. одного порядка. Экви-
валентность б. м. ф. а(х) и 0(х) обозначается так:
а(х) ~	x—>xq.
Про эквивалентные б. м. ф. а(х) и 0(х) говорят также, что они равны асимптотически
при X —► Xq,
Замечание. Пусть а(х),/3(х) и i(x) — б. м.ф. при х xq. Нетрудно видеть, что
1)	а(х) ~ а(г), х —» го;
2)	если а(х) ~ /?(г), то /?(г) ~ а (г), х -» xq;
3)	если а(х) ~ /3(х), а /3(х) ~ 7(г), то а(х) ~ 7(г), х -♦ го,
так что отношение эквивалентности обладает свойством рефлексивности, симметричности и транзи-
тивности.
Приведем примеры эквивалентных бесконечно малых функций. В свое время мы
установили, что
lim----= 1 => sin х ~ х, х —> 0; Jim----------------= 1 => ln( 1 + х) ~ х, х —*• 0.
х-*0 X	г-0 X
Нетрудно показать, что
tg х
lim----= 1 => tg х ~ х, х —> 0;
г—0 X
, arcsin x
lim---------= 1 => arcsin x ~ x, x 0;
i—0	x
arctg a:
lim--------= 1 => arctg x ~ x, x —> 0.
z—0	x
Докажем, что
lim---------= In a (a > 0, a 1).
x—>0	X
◄ Положим ax - 1 = у. Отсюда ax = 1 + y, x = lnj~-. Ясно, что у —> 0 при х —> 0.
Следовательно,
ах - 1	у	In a
lim---------- lim ——- = lim 77;—- = In a.
x—0	x у—0 |n0+y) у—0 lull+ld
Ina	у
Поэтому ax - 1 ~ x In a, x —> 0. ►
В частности, при a = e получаем
ex - 1
lim--------= 1 => ex - 1 ~ x, x —»• 0.
z-+0 X
_227
§ 16. Эквивалентные бесконечно малые функции__< . .•	:____
Докажем, что
~ 0 +х^-1 . . .	~
lim ------------= р (р € R).
х—»0	X
◄ Положим (1 + х)р -1=г/. Тогда (1 4- х)р — 1 + г/, откуда
р ln( 1 4- ж) = ln( 1 + у).	(1)
Ясно, что у —» 0 при х —> 0. Используя равенство (1), получим
(1 Ч- а?)р — 1 _У_ _ у ' p1n( 1 4-ж).
х х 1п( 14- у). х
Переходя к пределу при х .. (1+»К 11ПТ 	 Z-.0	X Итак,	-» 0 (у —* 0), найдем -1 ..	У 	= lim —			 У-Л 1п(1 4- у)	р1п(1+Д?) lim —г-т	гт- = р. ► а:-*о - : х,	
	(1 4-х)₽ - 1 ~ рх,	х —► 0.	
Таблица эквивалентных бесконечно малых функций (асимптотических равенств)			
	sin х ~ х tg X ~ X arcsin х ~ х arctg х ~ х 1п( 1 4- х) ~ х ах - 1 ~ х In а е -\~х (1 4- х)р - 1 ~ рх t	► х —> 0.	(2)
Определение. Если для функции /(®) можно подобрать числа а и т, а 0, т € N,
такие, что /(®) ~ ахт, х —♦ 0, то говорят, что функция ахт есть главный степенной
член функции /(®) при х —> 0.
।
Правые части написанных выше асимптотических равенств есть главные степен-
ные члены левых частей.
Теорема 24 (замена б.м.ф. эквивалентными). Пусть а(х), Р(х), ot\(x), 0\(х) — бесконечно
малые при х —> т0 функции, причем а(х) ~	0(х) ~ /3\(х). Если в точке xQ отно-
шение имеет конечный или бесконечный предел, то он не изменится при замене а(х)
на ai(x) и 0(х) на 0\(х).
228
Глава VIII. Предел и непрерывность функции одной переменной
(3)
◄ Представим отношение в виде
(а?) _ Qi (а?) ( a(g) 0(а?)
Д1(») а(х) 0(х) 0i(x)’
По условию lim = 1, lim = 1. Если отношение в точке жо имеет
z-»zo а'х' z-*zq	Р\х>
предел А, то, воспользовавшись теоремой о пределе произведения, из (3) будем иметь
Л|(х)	»i(x) а(х) 0(х)
hm —— = lim —— • hm —- • hm = A.
x-xo 0](x) x-*xo Ol\x) X->XO P\X) z—x0P\(x)
Если же — бесконечно большая функция при х ®0>то вся правая часть равен-
ства (3) и, значит, также будет б. б. ф. при х —► ®0. ►
Пример. Вычислить Ит J"”1?,.
r г	х-0
◄ Пользуясь теоремой о замене б. м. ф. им эквивалентными и таблицей (2), получаем
,	- . 2 ®	- а*
.. 1 - cos х 2 sin т	2 • -
hm гтг:—тт = hm —= lim —
х-0 1п(1 + X2)	х-»0 X2 х-0 Х‘
2'
Теорема 25 (условие эквивалентности). Для того, чтобы две бесконечно малые при х —> х0
функции а(х) и /3(я) были эквивалентными, необходимо и достаточно, чтобы их разность
при х -+ Хо была бы б. м. ф. более высокого порядка, чем они сами.
< Необходимость. Пусть а(х) и 0(х) — эквивалентные б. м. ф. при х -+ х0. Докажем,
что их разность
7(х) = а(зс) - 0(х)
(б. м. ф. при х —> Xq) является б. м. более высокого порядка, чем 0(х), а, следователь-
но, и а(х). Действительно, по условию а(х) ~ /3(х), х —> х0, и значит
lim = 1.
z-zo /3(х)
Отсюда
Нт ±1 = lim 2ЦЛ = lim (2^ -1) = 0.
г-»го	Z—X0	х~*хо \0{х)	/
Это означает, что при х —> х0 б. м. ф. у(х) есть б. м. более высокого порядка, чем /3(х).
Достаточность. Пусть разность
7(х) = а(х) - 0(х)
функций а(х) и 0(х), б. м. при х —> х0, есть б. м. ф. более высокого порядка, чем 0(х)
(или а(х)). Докажем,что а(ж) ~ 0(х), х —» х0. По условию
lim
г-го 0{Х)
= 0.
Отсюда
а(х)
hm ——- = lim
*о /3(х)	г-.г0
0(х) +7(х)
/3(ж)
= lim ( 1 +	1 = 1,
z—Z0 \ Р\х) /
что означает эквивалентность б. м. ф. а(х) и @(х) при х -» xQ. ►
Пример. Функции о(х) = х +2х3 и 0(х) = х есть б. м. ф. при х —» 0. Их разность 7(1) = 2х3 при х -♦ 0
является б.м. более высокого порядка, чем а(х) и (3(х). Следовательно, о(х) ~/3(х), х —» 0.
§ 17. Символы О и О (символы Ландау)229
§17. Символы о и О (символы Ландау)
Пусть функции f(x) и <р(х) определены в некоторой окрестности П точки х0, кроме,
быть может, самой точки х0, и пусть в некоторой окрестности По точки х0, х # то,
<р(х)	0 (здесьточка х0 может быть конечной и бесконечной).
Говорят, что f(x) есть о-малое от <р(х) и пишут
/(я?) - о(р(х)), х->х0,
если
lim 44 = 0.
x-lo tp{X)
Соотношение f(x) = о(у?(х)), х —♦ хо, означает таким образом, что функция f(x)
есть бесконечно малая по сравнению с tp(x) при х —► х0. В частности, соотношение
f(x) = о(1), х —• хо, означает,что — бесконечно малая функция при х —► хо.
Примеры.
1.	= о(х), х —» 0.
2. х = о(х2), х —• оо,
вообще
хп — о(х^), х —» +оо, а < [3,
xa=o(x*J), х-*0 + 0, a>fl.
Говорят, что f(x) есть О-большое от <р(х) при х —» х0, х G П, и пишут
f(x) = O(tp(x)), X -» Xq,
если существует число М > 0 и окрестность По точки х0 такие, что
|/(х)[ М • |р(х)| Vx G Qo, x^Xq.
Соотношение /(х) = 0(1), х —» х0, означает, что /(х) ограничена в окрестности
точки Хо.
Примеры.
1.	х = 0(х2) на [1,+оо).
2.	х2 = 0(х) на 1-2,2).
3.	sin х = 0(1), -оо < х < +оо.
Использование знака равенства в рассматриваемой ситуации является чисто услов-
ным, так как некоторые свойства знака равенства не сохраняются. Например, из «ра-
венства»
sin х = 0(1), -оо < х < 4-оо,
не следует, что 0(1) = sin х.
230 Глава VIII. Предел и непрерывность функции одной переменной
Справедливы следующие формулы:
1)о(/(х))+ о(/(х)) =о(/(х)), 2) о(/(х)) • о(р(х)) = о(/(х) • р(х)), 3)о(о(/(х))) = о(/(х)), 4)	о(/(х)) + О(/(х)) = О(/(х)), 5)	о(/(х)) • О(р(х)) = о(/(х) • р(х)), 6)	О(/(я)) • O(p(*)) = О(/(я) • ¥>(х)), 7)	О(о(/(х))) = о(/(х)), о(о(/(х))) = о(/(х)), t	> X “•> Х0.
Напомним, что если
«-««0 9?(х)
то функции f(x) и <р(х) называют эквивалентными или асимптотически равными
ПРИ X —•> Xq И ПИШУТ f(x) ~ tp(x), X —► Xq.
Пользуясь таблицей (2) эквивалентных б. м. ф. и теоремой 25, получаем асимпто-
тические формулы
sin х = х + о(х)
ех = 1 + х + о(а?) I
ln( 1 4- х) = х + о(х) |
(1 + х)° = 1 + ах + о(х) J
Всю группу соотношений /(х) ~ р(х), /(х) = о(^(х)), /(х) = О(р(х)), х -> х0,
называют асимптотическими формулами или асимптотическими оценками.
Упражнения
Найдите пределы:								
_	х 1. lim — x—i	2-2s+l X3-x	2. lim —: x—-1 x2	x2 -1 + 3a? + 2	..	3. lim x- !	x—2 x	+-3зг + 2x 2 — x~ 6	4.	lim г—0	V1 + X2 - 1 X
2-Vx-3	Л	v'l 5. lim—-——6. lim — х->7 a?2-49 Пользуясь эквивалентными б. м _	sin 2х 9. lim	. х-»0 х			+'X2 - I	X + X —й •	'• lim —:——s  x2	x—<x x4 - 3x2 +1 . ф., найдите пределы: sin ax 10. lim	— (a,/3 = const).			8. 11.	lim lim x—0	l + x-2x3 1 14- a:2 +3x3 tg 3a: sin 2a: ’
12. lim х-»0	arcsin 3x X		13.	arctg 2x lim . , . X-O sin 3x		14.	lim	sin 3a: sin 2a:'
15. lim x-»i	1 - x2 sin irx'		16.	ln(l +s2) x™ sin2 3x		17.	lim	In x - 1 x - e
18. lim х-»0	cos X X2		19.	e’2 - 1 lim —r—. s—o Sin2 X		20.	lim x—0	In( 1 — x) esin x _ ] '
	C<1X ^bx			1/1 \				
21. lim x—0	X	(a, b = const).	22.	lim - (eJ - I) г-ос x 4	/				
§ 17. Символы о и О (символы Ландау) 231
Найдите пределы:
23. Um . 24. Нт (яУ*- 25. lim(cosr)^. 26. lim .
«-♦□о \ •+*/	®-го \*~2/	х-о '	1-.эо\21'+1/
Ответы
1.0. 2. -2. 3.	4.0. 5. -±. 6. |. 7.0. 8.-?. 9.2. 10. J. 11. |. 12. 3. 13. }. 14. (положить
тг-х = *)• 15. %. 16. 1. 17. J. 18. - J. 19. 1. 20. -1. 21. а -Ь. 22.1. 23. 1. 24. е9. 25. е'5.26. 0.
Гпава IX_______________________
ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ
ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§1. Производная
Пусть функция у = f(x) определена на интервале (а, Ь). Возьмем какое-нибудь зна-
чение х из этого интервала. Затем возьмем другое новое значение аргумента х 4- Дх,
придав первоначальному значению х приращение Дх, положительное или отрица-
тельное, но такое, чтобы точка х 4- Дх содержалась в интервале (а, Ь). Найдем прира-
щение функции Ду, отвечающее приращению Дх аргумента:
Ду = f(x 4- Дх) - f(x).
Составим разностное отношение приращения функции Ду к соответствующему
приращению Дх / 0 аргумента:
ду = Л£ + М - Л»)
Дх	Дх
При фиксированном х это отношение является функцией от Дх:
— = (р(Дх).
Определение. Если при Дх —► 0 существует предел отношения то этот предел
называется производной от функции у = f(x) в данной точке х и обозначается f'(x)
или у'(х) или у'х.
Таким образом, по определению
х	&У ..	/(х 4-Дх) -/(х) f (х) = lim — = lim 			. Дг—«0 ДХ	Дг-»0	Д®	(1)
Примеры.
1. Пусть у = г2. Тогда в любой точке г для любого Дг имеем
Ду = (г + Дг)2 - г2 = 2гДг + (Дг)2.
Поэтому = 2г + Дг, откуда
д«
lim —— = 2г.
Az-.o Дг
§ 1. Производная 233
Но lim = у'(х). Следовательно, функция у = х2 имеет во всякой точке х производную у' = 2х,
т. е.
(г2)' = 2г.
2. Пусть у = е®. Тогда в любой точке х для любого Дг имеем
Ду = е®+д®-ех = е1(еЛж-1).
Отсюда
.. ДУ .. НеДг-1) х еДг-1 х
lim -— — hm -------------= е lim —---------= е .
Лх~>о шс Az-tO Дг	Дг-*о Дг
Таким образом,
(ех)' = ех Vx.
Замечание. Формулу (I), определяющую прои зводную функции /(г), бывает удобно брать в следующей
эквивалентной форме. Пусть функция /(г) определена в точке го и некоторой ее окрестности. Тогда
№) = Дгпо
f(x)-f(x0)
х-х0
если этот предел существует.
Определение. Будем говорить, что функция f(x) имеет производную на интервале (а, Ь),
если производная f'(x) существует в каждой точке х 6 (а, Ь).
/(*)={
Задача 1. Для функции
г2 sin	х Ф О,
О,	х = О,
пользуясь определением производной, найти /'(0).
Задача 2. Исходя из определения производной, доказать, что если периодическая с периодом Т функ-
ция /(г) имеет производную, то эта производная есть также Т-периодическая функция.
Задача 3. Исходя из определения производной, доказать, что производная четной функции, имеющей
производную, есть функция нечетная, а производная нечетной функции есть функция четная.
1.1.	Геометрический смысл производной
Рассмотрим график функции у = f(x), непрерывной на интервале (а, Ь). Фиксируем
произвольную точку М (х, /(®)) кривой у = f(x). Пусть Р(х + Д®, /(а? 4- Д®)) —
другая точка этой кривой. Проведем секущую МР (рис. 1). Касательной к кривой
у = f(x) вточке М назовем прямую МТ, проходящую через точку М и являющуюся
предельным положением секущей МР при стремлении точки Р к точке М по кривой
(или, что то же, при Дет —♦ 0). Это предельное положение секущей определяется тем,
что угол ТМР стремится к нулю, когдаточка Р стремится к точке М.
Из рисунка видно, что угловой коэффициент кс секущей МР равен
Дг/
kc = tga= —.
Дг
Пусть <р 7^ у — угол, образуемый касательной МТ с осью Ох. Учитывая, что угловой
коэффициент касательной МТ к кривой у = f(x) в точке М есть предел углового
коэффициента секущей МР, когдаточка Р стремится по кривой кточке М (и, значит,
Д® —» 0), получим
tg<,P= lim tga= lim -т— = Um
р-м д*-*о Д® Дг->0
/(® + Д®) - f(x)
Д®
234		 Глава IX.’ Производные и дифференциалы функции одной переменной
Последний предел (если он существует) есть производная f'(x), так что
Л®) = tg <р.
Такимобразом, производная f'(x) функции у = f (ж) есть угловой коэффициент кт
касательной, проведенной к кривой у(ж) = /(ж) в точке с абсциссой ж.
1.2.	Уравнение касательной и нормали к кривой
Пусть имеем кривую, заданную уравнением у = /(ж). Возьмем на этой кривой точку
Afo(®o, /(®о)) и выведем уравнение.касательной к кривой в точке Мо, предполагая,
что существует производная /'(жр) .
Уравнение прямой с угловым коэффициентом к, проходящей через точку
Afo(®о, Уо), выглядит так	'
’ У - Уо - к(х - ж0).
Угловой коэффициент касательной кт — /'(я}о),поэтомууравнение касательной к кри-
вой у = /(ж) в точке Mq имеет вид
У ~ Уо^ / (др)(а - я?б), Уо = /Ы-
Нормалью к кривой в данной ее точке называется прямая, проходящая через эту
точку перпендикулярно касательной к кривой в этой точке. Из определения нор-
мали следует, что ее угловой коэффиц<!ент.А:п связан с угловым коэффициентом кт
касательной соотношением
кп =	т'. е. кп = — (f (®о) 7^ 0)«
кт	J \хо)
Уравнение нормали к кривой у = /(ж) в точке Л/Ь(жо, Уо):
У~Уо = “77777^ “ f'(XQ> * °’
___________/ (а?о)___________________
В случае, когда /'(xq) = 0, уравнение нормали есть ж = жо-
Пример. Написать уравнение касательной и нормали к кривой у = х2 в точке С?(0,0).
§ 1. Производная..........................................................................     235
◄ Имеем f(x) = х1, f\x) = 2х, /'(0) = 0. Поэтому уравнение каса-
тельной:
y-0 = 0-(z-0) или у = 0 (ось Ох);
уравнение нормали;
х = 0 (ось Оу)
(рис. 2). ►
1.3.	Производная с точки зрения механики
ПустьЗ = S(t) — закон прямолинейногодвижения мате-
риальной точки, выражающий путь S, пройденный точкой,
как функцию времени. Обозначим через AS путь, пройден-	Рис. 2
ный точкой за промежуток времени At от момента t до t + At, т. е.
AS = S(t + At)- S(t).
Отношение называется средней скоростью точки за время от t до t+At. Скорость v
в данный момент t определим как предел средней скорости за промежуток времени
от t до t + At, когда At —► 0:
AS
”(t) = lim„ —
Д/-»0 ZAt
Таким образом, скорость v(t) есть производная от пути S = S(t) по времени t:
u(t) = S'(t).
Пример. Точка движется прямолинейно по закону S = t? (S — метры, t — секунды). Найти ее скорость
в момент t = 3.
4 Скорость точки в любой момент времени t
dS „
v =	= 2t.
dt
Отсюда »|	= 6 м/сек. ►
1.4. Правая и левая производные
Введем понятия правой и левой производной функции f(x) в точке х.
Определение. Правой производной f'(x + 0) функции у = /(х) в данной точке х называ-
ется величина
/'(» + 0)=lim^= lim
Дх—0 Дж	Дх-»0+0 Дх
и левой производной f'(x - 0) — величина
г	г &У
f (х - 0) = hm -г— = пт ,
Дг->0 Дж Дх-.0-0 Дх
если указанные пределы существуют.
Пользуясь понятием односторонних пределов функции, получаем: для того чтобы
в точке х существовала производная /'(ж), необходимо и достаточно, чтобы в точке х
функция у = f(x) имела правую и левую производные и эти производные были равны
между собой:	___________________________
/'(х + 0) = /'(х-0) = /'(х).
236 .. ___________________________Глава IX. Производные и дифференциалы функции одной переменной
Следующий пример показывает, что существуют функции, которые имеют в точ-
ке х правую и левую производные, но не имеют производной в этой точке.
Пример. Рассмотрим функцию f(x) = |х|. Для этой функции отношение
/(О + Дх)~/(0) = |Дх|
Дх	Дх
равно 1, если Дх > 0, и равно — I, если Дх < 0. Поэтому функция
/(х) = |х| в точке х = 0 имеет правую производную
/'(0 + 0) = lim = I
7	’ Дх-0 Дх
Дх>0
и левую производную
/'(0-0) = lim - -I,
Дх-о Дг
но они не равны, и значит, в точке х = 0 функция /(х) = |х| не имеет
производной. Геометрически это означает, что в точке 0(0,0) график функции у = |х| (рис. 3) не имеет
касательной, к
Пусть функция /(х) непрерывна в точке xq. Будем говорить, что функция f(x)
имеете точке xq бесконечную производную, равную +оо или -оо, если в этой точке
/'(жо) = lim -— = 4-ос
Дх->0 Д®
или соответственно ___________________________________
J (х0) = lim —- = -оо.
Дх—>0 Дх
Геометрически это означает, что касательная к кривой у = /(х) в точке (хо, /(хо))
перпендикулярна к оси Ох.
Пример. Рассмотрим, например, функцию /(г) -
tyx. Для этой функции при х = 0 имеем
Ду _ /(О + Дх) - /(0) _ ^Дх _	1
Дх	Дх	Дх у^(Дх)2'
Ду
откуда видно, что стремится к +оо при стремле
нии Дх к нулю произвольным образом. Г рафик функ
ции у = tyx в точке 0(0,0) имеет вертикальную ка
сательную х = 0 (ось Оу, рис. 4). ►
Таким образом, если функция у = /(х)
в точке хо имеет конечную производную	Рис. 4
f'(xo), то в точке Мо(хо, /(хо)) график функ-
ции у = /(х) имеет касательную (рис. 5), определяемую уравнением
У ~ /М =	- ®о)-
Определение. Функция у = /(х) называется гладкой на интервале (а, Ь), если она
непрерывна вместе со своей производной на этом интервале. В этом случае кривую,
задаваемую правилом у = /(х), называют гладкой кривой на (а, Ь).
§2. Дифференцируемость функции. Дифференциал функции 237
Если в точке xq функция у = f(x) непрерывна и имеет правую и левую производ-
ные f'(xo + 0) и f'(xQ - 0), причем /'(jc0 + 0) # /'(xq - 0), то в точке Mq(xq, /(®о))
график функции у = f(x) касательной не имеет (кривая не гладкая). Но существуют
две односторонние полукасательные (рис. 6). Точку Mq(x0, /(xq)) называют в этом
случае угловой точкой кривой у = /(сс). Так, точка 0(0,0) есть угловая точка графика
функции у = |ж|.
Если функция у = /(я?) непрерывна в точке а?0» а ее производная в точке х$
бесконечна, то возможны случаи:
1)	/'(®о) = +оо;
2)	/'(®о) = -оо;
3)	/'(®о - 0) = -оо, f\xQ + 0) = +оо;
4)	Л^о - 0) = +оо, f (xQ + 0) = -оо.
На рис. 7 представлены расположения касательной х = xq к графику функции
у = f(x) в точке M0(xQ, /(сс0)) , отвечающие случаям 1)-4). (В случаях 3) и 4) иногда
говорят, что график функции у = f(x) имеет две слившиеся полукасательные.)
§ 2.	Дифференцируемость функции.
Дифференциал функции
Пусть функция у = f(x) определена на интервале (а, Ь). Возьмем некоторое значение
х Е (а, Ь). Дадим х приращение Ля любое, но такое, чтобы х + Лее Е (а, Ъ). Тогда
• 238 Главе IX. Производные и дифференциалы функции одной переменной
функция у = /(х) получит приращение
Лу = /(я + Да?) ~ №).
Определение. Функция у = /(х) называется дифференцируемой в точке х € (а, Ь), если
приращение функции
Ду = f(x + Дх) f(x),
отвечающее приращению Дх аргумента, можно представить в виде
Ду = ДДх + а(Дх)Дх,	(1)
где А — некоторое число, которое не зависит от Дх (но, вообще говоря, зависит от х),
а а(Дх) —> 0 при Дх —» 0.
Пример. Рассмотрим функцию у = г2. Во всякой точке х и при любом Дх имеем
Д2/= (г +Дг)2-г2 =ч2х^Дг+Дх-Дх.
А  а
Отсюда, в силу определения, функция у = х2 дифференцируема в любой точке х, причем А = 2х,
а(Дх) = Дх. к
Следующая теорема выражает необходимое и достаточное условие дифференци-
руемости функции.
Теорема 1. Для того чтобы функция у = /(х) была дифференцируемой в точке х, необхо-
димо и достаточно, чтобы f(x) в этой точке имела конечную производную f'(x).
◄ Необходимость. Пусть функция у = /(х) дифференцируема вточке а?. Докажем, что
в этой точке существует производная f'(x). Действительно, из дифференцируемости
функции у = /(х) в точке х следует, что приращение функции Ду, отвечающее
приращению Дх аргумента, можно представить в виде
Ду = ААх + а(Дх)Дх,
откуда
= А + а(Дх),
Дх
где величина А для данной точки х постоянна (не зависит от Да?), а а(Дх) —♦ 0
при Да? —» 0. По теореме о связи функции, имеющей предел, с ее пределом и беско-
нечно малой функцией, отсюда следует, что
А = lim —- = f (х).
Az-О Дх
Существование производной доказано. Одновременно мы установили, что А = f'(x).
Достаточность. Пусть функция /(х) в точке х имеет конечную производную f'(x).
Докажем, что /(х) в этой точке дифференцируема. Действительно, существование
производной f'(x) означает, что при Дх —> 0 существует предел отношения и что
lim = /(я?).
Ах-»0 Дх
Отсюда, в силу теоремы о связи функции, имеющей предел, с ее пределом и бесконечно
малой функцией, вытекает, что
+ а(Дя?),
§ 2. Дифференцируемость функции. Дифференциал функции 239
где а(Дх) -* 0 при Дх —»• 0, и, значит,
Ду = /'(х)Дх + а(Дх)Дх.	(2)
Так как в правой части формулы (2) величина f'(x) не зависит от Дх, а а(Дх) —> О
при Дх —* 0, то равенство (2) доказывает, что функция у = /(х) дифференцируема
в точке х. ►
Теорема 1 устанавливает, что для функции /(х) дифференцируемостьв данной точ-
ке х и существование конечной производной в этой точке — понятия равносильные.
Поэтому операцию нахождения производной функции называют также дифференци-
рованием этой функции.
В дальнейшем, когда мы говорим, что функция f (х) имеет производную в данной
точке, мы подразумеваем наличие конечной производной, если не оговорено против-
ное.
2.1.	Непрерывность дифференцируемой функции
Теорема 2. Если функция у = /(х) дифференцируема в данной точке х, то она непрерывна
в этой точке.
4 Действительно, если функция у = f(x) дифференцируема в точке х, то прираще-
ние Ду этой функции, отвечающее приращению Дх аргумента, может быть предста-
влено в виде
Ду = 4Дх + а(Дх)Дх,	(3)
где А — постоянная для данной точки х, а а(Дх) —*• 0 при Дх —> 0. Из равенства (3)
следует, что
lim Ду = 0,
AZ-.0
что и означает, согласно определению, непрерывность функции у = /(х) в данной
точке х. ►
Обратное заключение неверно: из непрерывности функции /(х) в некоторой точ-
ке х не следует дифференцируемость функции в этой точке.
Пример. Например, функция /(z) = |z| непрерывна в точке х = 0, но, как мы показали выше (с.236),
не имеет производной в точке х = 0 и потому не является дифференцируемой в этой точке. ►
Приведем еще пример.
Пример. Функция
/(z) = psin7’
(0,
х = 0,
непрерывна на интервале (—оо, -i-oo). Для всех z # 0 она имеет производную, но в точке х = 0 она
не имеет ни правой, ни левой производной, потому что величина
Az sin-г-	1
---т—= s>n —
Az	Az
не имеет предела, как при Az 0 + 0, так и при Az •••♦ 0 - 0. ►
В приведенных примерах производная отсутствует лишь в одной точке. Так и ду-
мали в XVIII и начале XIX в., когда считали, что непрерывная функция может не иметь
производной самое большее в конечном числеточек. Позжебыли построены (Больца-
но, Вейерштрасс, Пеано, Ван дер Варден) примеры непрерывных на отрезке [а, &]
функций, не имеющих производной ни в одной точке отрезка.
240 Глава IX. Производные и дифференциалы функции одной переменной
2.2.	Понятие дифференциала функции
Пусть функция у = f(x) дифференцируема в точке х, т.е. приращение Ду этой
функции, отвечающее приращению Дх аргумента, представимо в виде
Ду = ЛДх 4- а(Дх)Дх,
(4)
где а(Дх) —> 0 при Дх —> 0.
Определение. Если функция у = /(х) дифференцируема в точке х, то часть приращения
функции ЛДх при А / 0 называется дифференциалом функции у = /(х) и обозначается
символом dy или df(x):
dy = ЛДх.
(5)
В случае Л 0 дифференциал функции называют главной линейной частью прира-
щения Ду функции, поскольку при Дх —► 0 величина а(Дх)Дх в равенстве (4) есть
бесконечно малая функция более высокого порядка, чем ЛДх.
В случае, когда Л = 0, считают, что дифференциал dу равен нулю.
В силу теоремы 1 имеем Л — f'(x), так что формула (5) для dy принимает вид
dy = /г(х)Дх.
(6)
Наряду с понятием дифференциала функции вводят понятие дифференциала dx
независимой переменной х, полагая по определению
dx = Дх.
Тогда формулу для дифференциала функции у = /(х) можно записать в более симме-
тричной форме
dy = f'(x) dx.
Отсюда в свою очередь имеем: f'(x) = Это еще одно обозначение производ-
ной (обозначение Лейбница), которую можно рассматривать как дробь — отношение
дифференциала функции dy к дифференциалу аргумента dx.
Введем еше одно понятие. Будем говорить, чтофункция у = /(х) дифференцируема
на интервале (а, Ь), если она дифференцируема в каждой точке этого интервала.
2.3.	Геометрический смысл дифференциала
Пусть имеем кривую, заданную уравнением у = /(х), где /(х) — дифференцируемая
в точке х Е (а,Ь). Проведем касательную к этой кривой в точке Af(x,y) и отме-
тим на кривой еще точку М( с абсциссой х + dx. Как известно, J'(x) есть угловой
коэффициент касательной, т. е. f'(x) = tg <р.
§3. Дифференцирование суммы, произведения и частного 241
Рассмотрим треугольник MPQ (рис. 8). Из рисунка видно, что
PQ = МР 	= f‘(х) dx = dy.
Таким образом, дифференциал dy = /'(xjdx функции у = f(x) есть приращение
ординаты касательной, проведенной к кривой у = }(х) в точке с абсциссой®, при пе-
реходе отточки касания к точке с абсциссой х + dx.
§3. Дифференцирование суммы,
произведения и частного
Если функции и(х) и v(x) имеют производную в точке х, то в этой точке имеют произ-
водную их сумма и(х) 4- v(x), разность и(х) - v(x), произведение и(х) • v(x) и частное
(последнее при дополнительном условии v(x)	0), причем
(и(х) + v(x)Y = и'(х) ± v(x),
(и(х) • v(x)Y = u'(x)u(x) 4- u(x)u'(x),
®)\'	u'(x)u(x) - u(x)u'(x)
ъ) = —* °-
◄ Докажем, например, правило дифференцирования частного. Из дифференцируе-
мости функции v(x) в точке х следует непрерывность v(x) в этой точке, а из условия
v(x) 0 в силу устойчивости знака непрерывной функции вытекает, что и(х4-Дх) / 0
для всех достаточно малых |Дх|. Поэтому отношение
и(х 4- Дх) и 4- Ди
v(x 4- Дх) v + Дv
определено для всех Дх, достаточно малых по абсолютной величине.
Дадим х прирашение Дх. Тогда функция у = получит приращение
и 4-Ди и иДи~иДи
Ди =----------= —---------5
v 4- Ди и и2 4- иДи
9 Зак. 750
242 Г лава IX. Производные и дифференциалы функции одной переменной
откуда
Ду
& Дж Дж	/1\
Дж v* 1 2 3 + v&v
По условию существуют и'(х) = lim £7 и v'(x) — lim ,такчто Av —» О при Дж —► 0.
Дж—‘0	Дж—>0
Что касается величин и и v, тоони дляданной точки ж являются постоянными, причем
и(ж) 0. Таким образом, правая часть равенства (1) имеет предел при Дж —* 0,
равный	Следовательно, существует и предел левой части (1), т. е. существует
lim	= у\х). Переходя в равенстве (1) к пределу при Дж —► 0, получаем
Дж-»0
.	/и(ж)\'	и'(ж) • •ц(ж) - и(ж) • v'(x)
у (1) = J ---------------------------------•
е*-1
Пример. Найти производную функции у =	.
/_ fe’-1Y = (е1 - 1)г • (х2 + 5) - (ег - 1)(х2 4-5/
*У \х2 + 5)	(х2 + 5)2
_ ех(х2 + 5) - (ег - I) • 2х _ (х2 -2х + 5)е* + 2х
~	(х2 + 5)2	“	(Х1 + 5)2	• ►
Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной
(Си(х)У = Си'(х).
Следствие 2. Если функции щ(х), и2(ж), ип(х) (п — конечное) имеют производную
в точке х, то в этой точке имеют производную их сумма и произведение, причем
(«](ж) 4- и2(ж) + ... + ип(ж))' = и'(ж) 4- и'2(ж) 4-... 4- ип(ж),
(нДж) • и2(ж)... ип(ж))' = и'1(ж)м2(ж)... ип(х) 4-
4- ui(ж)и2(ж)и3(ж)... ип(ж) 4-... 4- «1(ж)и2(ж)... ип_](ж) • ип(х).
Задача 1. Что можно сказать о дифференцируемости суммы /(х) + у>(х) в точке х, если в этой точке
функция f(x) дифференцируема, а функция <р(х) не дифференцируема?
Задача 2. Пусть функция f(x) дифференцируема в точке хо и /(®о)	0. а функция у>(х) не диф-
ференцируема в этой точке. Доказать, что произведение /(х) • <р(х) является недифференцируемым
в точке хо.
Задача 3. Пусть функции /(х) и <р(х) не имеют производной в точке xq . Следует ли отсюда, что в этой
точке не имеют производной функции; 1) /(х) 4- <р(х)-, 2) /(х) • у>(х); 3)
(Рассмотреть примеры:
1) /(х) = ]х|, <р(х) = ~[х|, х0 = 0;
2) f(x) = <р(х) = |х|, хо =0;
3) /(х) = <р(х) = |х| + 1, хо = 0.)
§4. Производные некоторых основных элементарных функций 243
§4	. Производные некоторых основных
элементарных функций
4.1.	Производная показательной функции у = ах (а > 0, а 1)
Эта функция определена на всей числовой оси, и потому для всякого х и любого Да?
имеем
Ду = а®+д® - а® = а®(аЛ® - 1).
Отсюда при Да: 0 О
Дг/ гаДх-1 Ду хлД®-1 х ад® - 1
•— = а —-------; lim —— = hm а —------------= а lim —---------~а In а.
Да:	Да:	дх-о Да? Дх-о Да:	Дх-»о Да:
Итак,	________________
(а®)' = а® 1п а.
В частности, если а = е, то 
(е®)' = е®.
4.2.	Производная логарифмической функции у = In х (х > 0)
При любых х > 0 и До?, таких, что х + Да: >0, имеем
Ду — 1п(а? + Да?) - In х = (1 + — ) .
\ % /
Отсюда
Ду 1п(1 + ££) Ду ln(l + ^)	1
-----2_L; 11ГП — = iim _= hm — =
Да:	Да:	Дх-о Да? Дх—о Да:	Дх-о Да: х
Итак,	________________
(In х)' = —.
а:
Известно следующее равенство
logfl х = logo е • In х, (а > 0, а 1),
откуда
(logfl а:)' - log,, е(1п а?)' =	.
х а? In а
Итак,	________________
(Ь& = 7777 I
_______ а: in а |
4.3.	Производная степенной функции у = ха (а — любое действительное число)
Эта функция определена во всяком случае для всех х > 0. Имеем
Ду = (х + До:)“ - ха — ха
244 Глава IX. Производные и дифференциалы функции одной переменной
Отсюда
0 +	-1
	 = х 	.
Дж----------Дж
Учитывая, что (1 + —)а - 1 ~	при Дж —* 0, получим
lim ~ ха lim
Да-.О Дж	Да—>0
Дот
аДа
~ ха lim — ах
Да->0 ДЖ
Итак,
(ж“)' = ах'
4.4.	Производные тригонометрических функций
Рассмотрим функцию у = sin х, -оо < х < +оо. Во всякой точке х и для любого Дж
. . А	„ Дж / Дж
Ду = 5ш(ж + Дж) - sin ж = 2 sin — cos I ж + —
Отсюда
Ду 2 sin / Дж
— = —-—— cos ж + —
Дж Дж \	2
П -у
cos
Да
Дж
Т
sin
Учитывая, что Jim^ —= 1 и что Jinr^ соз(ж 4-	= cos ж в силу непрерывности
функции у = cos ж во всякой точке ж, получаем
Ду ( sm
lim -у— = h m I - -А-• cos
; дх-о \
д»Д"о Дж
cos х.
Итак
Аналогично получаем
(sin ж/ = cos ж.
(1)
(cos х)' = - sin х.
(2)
Пользуясь формулами (1) и (2) и правилом дифференцирования частного, найдем
производную от функции у = tgж.'
(sin ж) COS Ж - 51ПЖ(СО5Ж) 1	,
—-----------------------= —-— = sec ж.
cos2 ж	cos2 ж
Итак,
1	7Г
(tgx)' = —г— = sec2 ж, ж # - +пк, п = 0, ±1, ±2,... .
cos2 ж	2
Аналогично находим
f 1 ,
(сГкж) =	— = - cosec ж, ж птг, п = 0, ±1, ±2,... .
sin2 ж
:ir»2
§5	. Дифференцирование сложной функции 245
§5	. Дифференцирование сложной функции
Теорема 3 (о дифференцировании сложной функции). Если функция и = ip(x) дифференцируема
в точке Xq, а функция у = f(u) дифференцируема в соответствующей точке uq = р(хо),
то сложная функция у = f [у?(х)] дифференцируема в точке хо, причем
{/[?(«)] К Ь=*о= Л«оИ«о)-	(1)
◄ Дадим значению х = хо приращение Дх. Тогда функция и = <р(х) получит
приращение Ди, а это в свою очередь при Ди 0 вызовет приращение Дг/ функции
У = f(u)- По условию функция у = /(и) дифференцируема в точке и0, поэтому
приращение Дг/ этой функции может быть представлено в виде
Дг/ = /'(и0)Ди + а(Ди)Ди,	(2)
где о(Ди) —> 0 при Ди —* 0.
Функция о(Ди) вообще не определена при Ди = 0. Доопределим ее, положив
о(0) = 0. Тогда о(Ди) будет непрерывной при Ди = 0.
Разделив обе части равенства (2) на Дх 0 0, получим
Дг/ , Ди	Ди
Дх Дх Дж
По условию функция и = <р(х) дифференцируема в точке хо и, значит, непрерывна
в этой точке. Поэтому при Дх —> 0 приращение Ди —* 0, что вызывает стремление
к нулю о(Ди). Кроме Того, из этого условия следует, что -> (р'(хо) при Дх —> 0.
Следовательно, правая часть (3) имеет предел при Дх -* 0, равный /'(ио)р'(хо).
Поэтому существует и предел левой части равенства (3) при Дх —» 0, т. е. существует
lim > который есть производная по ж сложной функции у = f [р(ж)1 в точке хо.
Дг—»0
Переходя в равенстве (3) к пределу при Дх —* 0, получим
{/М®)] К L=x0= ЛМЛ®о)«	(4)
Здесь символ f'(uo) означает производную функции /(и) по ее аргументу и (а не х),
вычисленную при значении uq = р(хо) этого аргумента. ►
Равенство (4) можно записать в виде
dy dy du	iii
= или =
Пример 1. Найти производную функции у = еяп х.
Ч Здесь у есть сложная функция аргумента х: у = где и(х) = sin х. Поэтому
Ух = (е“)и • и'х = еи cos х = ei,nx cosz. ►
(5)
Пример 2. Найти производную функции
J/ = ln|z|,
◄ Эта функция определена на всей числовой оси, исключая точку х = 0; четная. Если х > 0, то |х| = х
и In |х| = In г, так что
у = (Inz)' = -, х > 0.
X
Если х < 0, то |i| = -х и In |z| = ln(-z).
246 Глава IX. Производные и дифференциалы функции одной переменной
Представим функцию у = ln(-z) как сложную функцию, положив
j/ = lnu, и = -х.
По правилу дифференцирования сложной функции
так что и для х < О
Таким образом,
(|п|®|)'=1 х^О. ►
Замечание. Теорема может быть обобщена на случай любой конечной цепочки функции. Так, если
У ~ /(«). « = <?(*), * = ^(я), так что у = f j, причем существуют производные /£, <p'z, V’i,
то
Ух = Уи ‘	• Zz.
Инвариантность формы дифференциала
Если у = f(u) — дифференцируемая функция независимой переменной и, то
dy = /(«)	(6)
где дифференциал независимой переменной равен ее произвольному приращению:
du — Ди.
Пусть теперь аргумент и дифференцируемой функции у — f(u) сам является
дифференцируемой функцией и = ip(x) независимой переменной х. В таком случае у
можно рассматривать как сложную функцию у = /[^(®)] аргумента х. Поскольку
аргумент х является независимой переменной, то для сложной функции у = / [^(я)]
дифференциал dy представляется в виде
dy= {/[^(®)]К dx.	(7)
По правилу дифференцирования сложной функции
поэтому формула (7) примет вид
dy = f'(u)<p'(x) dx.
Замечая, что <р’(х) dx = du, получим для dy выражение
dy = f'(u) du,
совпадающее с (6).
Таким образом, дифференциал функции выражается формулой одного и того же
вида как в случае функции от независимой переменной, так и в случае функции
от функции. Это свойство дифференциала называют инвариантностью формы диф-
ференциала.
Следует обратить внимание нато,чтоесли и — независимая переменная,то вфор-
муле дифференциала dy = f'(u) du величина du равна Ди — произвольному прира-
щению независимой переменной; когда же и = <р(х), то du = <р\х) dx есть линейная
часть приращения функции и ~ <р(х), в общем случае неравная &и.
§6. Понятие обратной функции. Производная обратной функции 247
§6. Понятие обратной функции.
Производная обратной функции
Пусть функция у = /(®) задана на отрезке [а, Ь] и пусть множеством значений этой
функции является отрезок [а, 0\ оси Оу. Пусть, далее, каждому у из [о, 0\ соответ-
ствует только одно значение® 6 [а, Ь], для которого = у (рис. 9). Тогда на отрезке
[о, 0\ можно определить функцию х = р(у), ставя в со-
ответствие каждому у 6 [о, fi\ то значение х G [а, Ь],
для которого /(®) = у. Функция х = <р(у) называется
обратной для функции у = f(x).
Если х = (р(у) — обратная функция для у = /(®),
то, очевидно, функция у = /(®) является обратной для
функции х = <р(у). Поэтому функции у = f(x) И X =
(р(у) называют взаимно обратными. Для взаимно обрат-
ных функций имеют место соотношения
/[*>(2/)]=2/,	[/(«)] =®.	(О
Укажем еще один, более конструктивный, подход	рис
к понятию обратной функции. Если уравнение у = /(®),
определяющее у как функцию от х, можно разрешить относительно х так, что каждо-
му значению у соответствует одно определенное значение х, то получим уравнение
х = определяющее х как функцию у. Эта функция х = <р(у) является обратной
по отношению к функции у = f(x).
Примеры.
1. у = Зх на [0,1]; обратная функция х = | на J0, 3].
2. у = ж3, -оо < х < +оо; обратная функция х « tyy,
-00 < у < +00.
обратная функция
2/«
1 - у.
если х — рациональное число,
если х — иррациональное число;
если у — рациональное число,
если у — иррациональное число-
Очевидно, уравнения у = f(x) и х = <р(у) определя-
ют одну и ту же кривую на плоскости хОу.
Если в обоих случаях откладывать значения аргументов на оси абсцисс, а значения
функции на оси ординат, т. е. вместо уравнений у = /(®) и х = <р(у) рассматривать
уравнения у = fix) и у = (р{х), то график функции у = ip(x) будет симметричен
графику функции у = /(®) относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных
углов (рис. 10).
Определение. Функция у = /(®) называется возрастающей на некотором отрезке [а, Ь],
если для любых х i и х2 из отрезка [а, д], удовлетворяющих условию х ; < х2, справед-
ливо неравенство f(x\) < f(x2).
Пример. Такова, например, функция f(x) = х3 на любом отрезке }а, 6]. ►
248 Глава IX. Производные и дифференциалы функции одной переменной
Теорема 4. Если функция у = f(x) непрерывна и возрастает на отрезке [а, Ь], причем
f(a) = a, f(b) = 0, то она имеет обратную функцию х = <р(у), которая определена,
непрерывна и возрастает на отрезке [аг, 0].
Ограничимся геометрическим пояснением теоремы
(рис. 11). Кривая АВ является графиком функции у =
/ (х), непрерывной и возрастающей на [а, Ь]. Из рисунка
видно, что каждому значению у G [л, 0] отвечает одно
значение х G [а, д], для которого f(x) = у. Поэтому
той же кривой АВ величина х выражается как функция у
на [сг, 0\: х = <р(у). Это и есть функция, обратная к у =
f(x). Она на отрезке [сг, /3] непрерывна (ее графиком
является та же непрерывная кривая АВ) и возрастает,
т. к. большему значению аргумента у отвечает большее
значение функции х = <р(у).
Аналогичное утверждение справедливо и для непре-
рывной убывающей на [а, Ь] функции.
6.1.	Производная обратной функции
Теорема 5. Пусть функция у = f(x) непрерывна и возрастает (убывает) в некоторой
окрестности точки Xq и пусть в точке xq существует производная f'(x0)	0. Тогда
обратная функция х ~ ip(y) имеет производную в точке уо = f(x0), причем
(2)
◄ Рассмотрим функцию х = <р(у). Дадим значению у = у о приращение Ду. Тогда
функция х = ip(y) получит некоторое приращение Дх:
Дж = <p(yQ + Ду) - (р(уо).
При этом в силу возрастания (убывания) обратной функции при Ду / 0 обязательно
Дх 0. Поэтому отношение можно представить в виде
Дх 1
Если теперь Ду устремить к нулю, то и Дх будет стремиться к нулю, т. к. обратная
функция х = <р(у) также непрерывна в точке уо.
По условию функция у = /(х) имеет в точке хо производную f'(xo) 0. Следова-
тельно, при Ду —► 0 (когда и Дх -+ 0), предел частного существует и равен
Ал
Из равенства (3) вытекает поэтому, что при Ду	0 существует предел отношения ,
причем
Дх 1
lim — = —-—
Ду-0 Ду f’(x0)
§6. Понятие обратной функции. Производим обратной функции 249
Но предел отношения при Дг/ —» 0 есть производная у’Хз/о) функции х = <р(у)
в точке у = Уо. Таким образом,
(4)
№) = Ж) или х>7.'
Геометрически результаттеоремы достаточно прозра-
чен. Существование производной функции у = /(®)
в точке xq эквивалентно существованию касательной
к графику этой функции в точке ЛГо(®о, /(®о)) • Поэтому,
если существует касательная к кривой у = /(ж) в точке
Wof^o.J/o). не параллельная оси О®, то она будет каса-
тельной и к графику функции х = <р(у) (та же кривая!)
в точке Мо (рис. 12). При этом/'(^о) = tg a, р'(г/о) = tg /5
и, поскольку а+/3 = |, Totg/3 = tg(£-or) = ctg or —
т. e.
v'w = rh
Формулу (4) записывают также в виде
---------------------------------------------------- Рис. 12
= или у'г = 7,’	(5)
Формулы (4) и (5) можно получить совсем просто. Пусть у = f(x) и х = <р(у) —
взаимно обратные дифференцируемые функции. Тогда
[/(х)] = X.
У
Дифференцируя обе части по х и пользуясь правилом дифференцирования сложной
функции, получим

Л/О,
6.2.	Производные обратных тригонометрических функций
1.	Функция у = arcsin® определена на отрезке [-1, 1] (рис. 13) и является обратной
для функции х = sin у на отрезке у Рассмотрим интервал -1 < х < 1.
Функция х = sin у имеет для соответствующих значений у G (- f, f ) положительную
производную Xy = cos у. В таком случае существует также производная у(х, равная,
согласно (5), -т:
ХУ
, 1 _ 1 1 1 _ _1<а;<1
x'y cos у 1 - sin2 у /! — ж2
Корень х/1 ~ х^ берем со знаком «+», т. к. cos у > 0 для у G (-|, 7) 
Итак,	________________________________
(arcsin®)' = -------
(6)
250 Глава IX, Производные и дифференциалы функции одной переменной
Мы исключаем значения х = ±1, поскольку для соответствующих значений у =
производная х'д = cos у равна нулю и правая часть (6) теряет числовой смысл.
2. Функция у = arctg®, -оо < х <
х = tg у, - 5 < у < у. По формуле (5)
'	1 _	1
Ух ~~ t ~	1
2/4/	—--К—
у cos2 у
4-оо (рис. 14) служит обратной для функции
1 _ 1
14- tg2 у 1 4- ®2 ’
Итак
/	U	1
(arctg ж) = ---------г Vrc.
1 J_
(7)
Чтобы найти формулы для производных arccos х и arcctg х, достаточно заметить, что
1Г	1Г
arcsin х + arccos х = —, arctg х + arcctg х = —,
откуда
/	V	1
(arccos x) = —r	,
>/1 -®2
(8)
(arcctg х)' = -
V®.
(9)
§ 7. Производные гиперболических функций
По определению гиперболический синус sh® =	, гиперболический косинус
ch х =	. Отсюда легко находим
/ ех — е х \	/ рх р
(sh®)'=f---------J = ch х, (ch®)'=(----
= sh х.
§8. Логарифмическое дифференцирование 251
ПоопределениюгиперболическийтангенсШ х =	, гиперболический котангенс
cth х =	. Пользуясь правилом дифференцирования частного и тождеством
ch2 х - sh2 х = 1,
получаем
ch2 х - sh2 х
ch2 x
sh2 x - ch2 x
sh2 x
_ 1
ch2 ® ’
1
— Г2 ’ X 0'
sh x
Таблица производных основных элементарных функций
1.	(хау = аха~] (а — любое действительное	число, х >	0);
2.	(loga х)‘ = 7]— (а > 0, а # 1, х	>	0);	3.	(In х)' = |	(х >	0);
4.	(ах)' = ах Ina (a > 0, а / 1);	5.	(ех)' = ех;
6. (sin х)1 = cos х;	7.	(cos х)' = - sin	®;
8* №XY =	(® / у + П7Г, n = 0, ±1, ±2,...);
9. (ctg х)1 = (х ^irn,n = 0, ±1, ±2,...);
10. (arcsin х)1 = /  (-1 < гс < V 1-г2	ci);	и.	(arccos x)' = —U== (-1 < V l-z2	X x <	ci);
12. (arctg х)' =		13.	(arcctgx)' =		
14. (sh х)1 = ch гс;		15.	(ch®)' = sh rr;		
16. (th®)' = -4—; '	'	ch* х		17.	(cth®)' =	(® 7* 0).		
§8. Логарифмическое дифференцирование
При отыскании производной сложной функции иногда бывает удобным следующий
прием, называемый логарифмическим дифференцированием. Пусть требуется найти
производную функции у = f(x) > 0 и пусть функция <р(х) = In f(x) дифференциру-
ется значительно проще. Тогда поступаем так. Беря натуральный логарифм данной
функции, будем иметь
In у = In /(®),
или
\пу = <р(х).	(1)
Дифференцируя обе части (1) по х и учитывая, что у есть функция от х, найдем
У' \
~ = (х),
У
252 Глава (X. Производные и дифференциалы функции одной переменной
откуда у' = у • <р'(х), или ______________________
y^/WQn/tx))7]	(2)
Логарифмическое дифференцирование особенно удобно при дифференцировании
сложной степенно-показательной функции, т. е. функции вида
у = [и(х)]и^ (и(х) > 0, и(х) и v(x) — дифференцируемые функции).
Имеем
In у = v(x) In tt(x).
Дифференцируя обе части последнего равенства, получаем
= v'tx) In и(х) + v(x)
откуда
У'(®)= [и(я)Г(Х) fv'(®)lnt*(®) + v(®) -“гт) •
Пример. Найти производную функции
у = х*, х > 0.	(*)
◄ Беря натуральные логарифмы от обеих частей равенства (*), получаем
In у = X In X,
откуда
— = 1пт+1, j/= y(ln z + 1)
У
или
у' ss г*(1па: + 1). ►
§ 9.	Применение дифференциалов
в приближенных вычислениях
Пусть функция у = f(x) дифференцируема в точке х0, так что приращение функ-
ции Ду, отвечающее приращению Дх аргумента, представимо в виде
йу — f'(x0)Ax + а(Дх)Дх,
где /'(хо)Дх = dy(x0), а(Дх) —> 0 при Дх —> 0.
Если dy(xQ) 0 и, значит, /'(х0) # 0, то
Ду _ а(Дд)
dy + /'(®о) ’
так что при Дх —> 0 бесконечно малые Ду и dy эквивалентны и их разность Ду - dy
есть бесконечно малая более высокого порядка, чем они сами. Поэтому мы можем
брать величину dy в качестве приближенного значения Ду:
Ду « dy.
Такимобразом,если^у(хо) Одо для приближенного вычисления значения функции
в точке х0 + Дх можно пользоваться формулой
/(х0 + Дх) а? /(хо) + /'(хр)Дх,	(1)
причем абсолютная и относительная погрешности будут как угодно малы при доста-
точно малом |Дх|.
§ 10.	Производные высших порядков-----------------------------------------------253
Пусть, например, у =	, (3 G R. Тогда
Ду = /(®о +	- х', dy(x0) = рх^Дх.
При малых значениях |Дж| полагаем
(х0 + Дж)^ « х£ + dy(x0),
или
(х0 + Дх)^ «	+ Р^о 1 Дх.
В частности, при р — j
x/хо + Дх ~ у/хо + —Дх, ж0 > 0.
2v/Xo
Пример. Вычислить приближенно ч/3,9?6.
Полагаем z0 = 4, Дх = -0,004, получим по формуле (2)
\/35% = /4 + (-0,004) » V4 +	(-0,004) = 1,999. ►
(2)
§ 10.	Производные высших порядков
Если функция /(ж) имеет производную f'(x) в каждой точке ж интервала (а, &), то
/'(ж) есть функция от ж, определенная на интервале (а, &). Может оказаться, что
и /'(ж) в точке ж € (а, Ъ) в свою очередь имеет производную, которую называют про-
изводной 2-го порядка функции /(ж) (или второй производной) и обозначают символом
/“(ж) или /<2\ж). Таким образом
Лж) = (/\ж))С
Производные более высоких порядков определяются аналогично. Именно, производ-
ная п-го порядка функции /(ж) есть производная от производной (п - 1)-го порядка
этой функции:
Число п, указывающее порядок производной, заключают в скобки, чтобы не путать
с показателем степени.
Чтобы найти /п\ж), надо сначала найти /’(ж), затем f'(x), взяв производную
от /'(ж), и т. д., пока не получим производную нужного порядка. Таким образом, про-
изводные высшихпорядковвычисляются при помощи уже известных правил и формул
дифференцирования.
Примеры.
1.	Вычислим n-ю производную функции у =. ekx, k = const. Последовательно дифференцируя будем
иметь
y' = kekx, у" = к2екх,... .
По методу математической индукции получаем
(е‘*)(п) = кпекх, n = I, 2.
254 Глава IX. Производные и дифференциалы функции одной переменной
2.	Вычислим n-ю производную функции у = sini. Имеем
»	, / л* \ ff	.	*	[ я
у = COS X = sin ( х + - J , у = — sin х = sin (x 4-	= sin ( X + 2 -
Методом индукции устанавливаем
(sin х/п) ~ sin (х + п Vn € N.
3.	Аналогично получаем формулу
(cos х)М — cos (х 4- п у ) Vn € N.
Множество всех функций f(x), определенных на интервале (а,Ъ) и имеющих
в каждой точке х 6 (а, Ъ) непрерывную производ ную л-го порядка, обозначается
Сп(а, Ь). Функцию f(x), имеющую производную любого порядка в каждой точке
х 6 (а, Ъ), называют бесконечно дифференцируемой на (а, Ь) и пишут /(а?) € *С°°(а, Ь).
Так, функции ех, sin xt cos® бесконечно дифференцируемы на (-оо, +оо).
Замечание. Производные четвертого порядка и выше иногда обозначают римскими цифрами и без
скобок, т. е. пишут
10.1	. Механический смысл второй производной
Пусть S = S(t) — закон прямолинейного движения материальной точки. Тогда, как
известно, S'(t) = v(t) — мгновенная скорость движущейся точки в момент времени t.
В таком случае вторая производная S"(t) равна v'(t), т.е. ускорению a(i) движущейся
точки в момент времени t:
S"(t) = a(t).
10.2	. Производные высших порядков суммы и произведения функций
Если функции и(х) и v(x) имеют производные п-го порядка в точке х, то функции
и(х) ± v(x) и и(х) • v(x) также имеют производные п-го порядка в этой точке, причем
(и(х) ± v(®))(n) = и(п\х) ±	(1)
(и(х)  v(®))(n^ = и{п) • v + —	Ч——- u^n~2^v" + ... +
+ В •„(”-*+О „<»-»>„<*) +. + u„w (2)
Формулы (1) и (2) доказываются по индукции. Для формулы (1) это делается
без труда (проделайте самостоятельно). Остановимся несколько подробнее на выводе
формулы (2). Если у = и(х)  v(x), то
I I .	I
у = U - v + u-v,
у' =u -V + 2и • v + uv",
у" = и" • V -I- Зи" • V* 1 + Зи • v" + uv"1 и т. Д.
Легко подметить закон, по которому построены все эти формулы: правые части их
напоминают разложение степеней бинома (и + v)1, (и + v)2, (и + vy , лишь вместо
§11. Дифференциалы высших порядков 255
степеней и и v стоят порядки производных. Сходство становится еще более полным,
если в полученных формулах вместо и, v писать , № (производные нулевого
порядка). Формула (2) носит название формулы Лейбница.
Пример. Пользуясь формулой Лейбница, найти уОМ') от функции у = х2е*.
j/iooi) =	= (е*)(100,) • х2 +	(e*)<,ow>>(s2)' + 1Q£L-1°22 (exf"\x2f + 0 =
U V
= е*12 + 2002eza; + 1001 • 103ех. ►
Отметим еще полезную формулу. Пусть х = <р(у) и у = f(x) — взаимно обратные
функции и пусть f'(x) Ф 0. Тогда
Далее,
и ________________ ^ ( ' \ __	1 \	\	__ УхХ^ 1 ______ Ухх
Х” dy',J dy \yij dx \yi J dy y? yi (у'г)>'
§11. Дифференциалы высших порядков
Пустьфункция у = f(x) дифференцируема в точке х. Может оказаться, что в точке х
дифференциал dy = f'(x)dx, рассматриваемый как функция х, есть также диффе-
ренцируемая функция. Тогда существует дифференциал от дифференциала данной
функции, который называется дифференциалом второго порядка функции у = f(x)
и обозначается d2y. Таким образом,
d2y = d(dy).
Аналогично определяются дифференциалы более высоких порядков: дифференциа-
лом п-го порядка dny функции у = f(x) называется дифференциал от дифференциала
(п - 1)-го порядка этой функции
d"y = d(d"-'y).
Дифференциал dy естественно называть дифференциалом 1 -го порядка от функции
У = /(*)•
Найдем формулы, выражающие дифференциалы высших порядков. Пусть у =
f(x) есть функция независимой переменной х, имеющая дифференциалы любого
порядка. Тогда
dy = f'(x) dx,
где dx = Дз? есть некоторое приращение независимой переменной х, которое не за-
висит от х. По определению
d2y = d(dy) = d(j'(x) dx).
T. к. здесь f(x)dx рассматривается как функция от х, то множитель dx является
постоянным и его можно вынести за знак дифференциала. Поэтому
d2y = d(j'(x)) dx.
256 Глава IX. Производные и дифференциалы функции одной переменной
Для вычисления d (/'(я)) применим формулу дифференциала первого порядка к функ-
ции Получим
d(j'(x)) = (<f\x))tdx = f"(x) dx.
Следовательно, дифференциал d2y второго порядка функции у = f(x) в точке х, со-
ответствующий тому же дифференциалу dx независимой переменной х, определится
формулой	__________________
d2j/ = f"(x) dx2,
где dx2 обозначает (da:)2.
Пользуясь методом математической индукции, получаем формулу дифференциа-
ла n-го порядка	__________________
d"y = f<-"\x) dx",
где dxn = (dx)n. Отсюда
Пусть теперь у = /(«), где и = у?(я) — функция, дифференцируемая достаточное
число раз. Тогда в силу инвариантности формы первого дифференциала
dy = /*(«) du.
Здесь du = <р'(х) dx в общем случае не является постоянной величиной, поэтому
d2y = d(dy) = d (/'(«) du) = d(f(u))du + f'(u)d(du) = f"(u) du2 4- f(u) d2u. (1)
В случае, когда и — независимая переменная, d2u = 0 и
d2y = f"(u) du2.	(2)
Сравнивая формулы (1) и (2), заключаем, что уже второй дифференциал инвариант-
ностью формы не обладает.
Заметим, что если и == р(х) естьлинейнаяфункцияш,т. е. и = ax+b(a,b = const),
инвариантностьформы сохраняется.
§12. Дифференцирование функции,
заданной параметрически
Введем на плоскости декартову прямоугольную систему координат хОу. Пусть функ-
ции <p(t) и -^(0 непрерывны на отрезке а t Р изменения параметра. Если пара-
метр t рассматривать как время, то указанные функции определяют закон движения
точки М с координатами
® = <р(0,
У = ^(0,
а Р,
на плоскости хОу.
Определение. Множество {М} всех точек плоскости, координаты (гс, у) которых опре-
деляются уравнениям и (1), называют плоской кривой. Говорят в этом случае, что кривая
задана в параметрической форме.
§ 12. Дифференцирование функции, заданной параметрически
257
Рис. 15
Пример. Так, например, окружность радиуса R с центром
в начале координат можно задать в параметрической форме
уравнениями
f х = Л cost, Л
< о . , Q^t<2ir,	(2)
( у = R sin t,
fp/в t — радианная величина угла между осью Ох и радиус-
вектором ОМ, проведенным в точку М (х, у) (рис. 15). ►
Если из системы уравнений (I) исключить пара-
метр t, то останется одно уравнение, содержащее х
и у, и тогда данная кривая будет определяться урав-
нением F(x, у) = 0. Так, есливуравнениях(2)возве-
дем в квадрат левые и правые части и затем получен-
ные уравнения почленно сложим, то параметр t бу-
дет исключен и данная окружность будет выражаться
уже знакомым нам уравнением х2 + у2 = R2. Одна-
ко исключить параметр t не всегда бывает возможно. И тем не менее, для решения
некоторых задач, как, например, для отыскания касательной к кривой, надо уметь
находить производную от у по х и в таких случаях, когда кривая задана в параметри-
ческой форме.
Будем говорить, что функциональная зависимость у от х задана параметрически,
если обе переменные х и у заданы как функции параметра t:
x = y = i/’(t), t €(«,/?).
Рассмотрим вопрос о вычислении производной от у по х в случае параметрического
задания функции.
Пусть функции х = (p(t) и у = V’CO определены и непрерывны на некотором
интервале (а, /3) изменения t. Пусть для функции х = существует обратная
функция t = д(х). Тогда у есть сложная функция от х:
У = [$(*)] •	(3)
Допустим, что функции 9?(t) и ^(i) дифференцируемы в точке t € («,/?), причем
¥>’(0	0> а функция t = д(х) дифференцируема в соответствующей точке а?. Тогда,
согласно правилу дифференцирования сложной функции, будет дифференцируемой
в точке х и функция у = *ф [р(я)], причем
Ух = у'гк
Но по правилу дифференцирования обратной функции
t' = —,
ьх
xt
так что
Ух = yt • —
А
1
ж'
или
dy	п
Формально этот результат получается мгновенно: производную рассматриваем
как дробь и делим числитель и знаменатель на di, что дает
dy	%	^(t)
dx	%	V'(t)'
258 Глава IX. Производные и дифференциалы функции одной переменной
„	( х = Rcost,
Для окружности <	0 < с < 2тг,
( у = Rsini,
dy zz Дс°^ _ ctgi
dx -Rsint
или ~ (пояснить результат геометрически).
Если функции <p(t) и имеют производные Л-го порядка, причем <р'(£) £ 0, то
и функция у — ^[(/(гг)] имеет производную А-го порядка по х.
Производная 2-го порядка от у по х вычисляется так:
d2y	d / dy\	d	dt
dx2	dx \dx/	dt \<p'(t) J dx
= v>W(0-W)H0. 1 = /70^(0 ~ ^(0/'(0
?'2(0	/(0	P'3(0
Таким образом,
„tot.
Ух —	, f
Xt
вообще
где у = /(re) — функция, заданная параметрическими уравнениями re = x(t), у = y(t).
Пример. Найти , если
х = a(t - sin t),
у = e(l - cost).
4 Имеем
dy	asint	t
dx	e(l-cost) ct^2’
далее
d2y _ d /dy\ d / t\ dt d / t\ 1	1	1	1	_	1
dx2 dx \dx I dt 27 dx dt\%2/ — sin2 | 2 a(l-cost) 4asin4 x
dt	2	2
§13. Вектор-функция скалярного аргумента
Пусть материальная точка М движется по некоторой траектории L. Тогда каждо-
му значению времени t соответствует определенная длина и направление радиус-
вектора г этой точки, а также ее скорости v, ускорения w и т. д.
Следовательно, каждый из этих векторов можно рассматривать как некоторую
векторную функцию скалярного аргумента t:
г = г(0, v = v(i), w = w(i).
§13. Вектор-функция скалярного аргумента 259
Определение. Если каждому значению скалярного аргумента t из интервала (а, /3) соот-
ветствует по некоторому закону определенный вектор а, то говорят, что на интервале
(а, /3) задана вектор-функция скалярного аргумента t и пишут
а = а(0.	(1)
Пусть вектор а разложенпо координатным ортам i, j, к некоторой фиксированной
системы координат
а = xi + yj + zk.	(2)
Если а = а(<)естькакая-либовекторнаяфункцияаргумента i,Toeeкоординаты®, у, z
будут также некоторыми (скалярными) функциями этого аргумента:
я = £(<), У = *1(1), z = C(0, а < < </3.	(3)
Обратно, если координаты х, у, z вектора а являются функциями аргумента t, то
функцией аргумента t будет и сам вектор а:
а = £(0i + »?(0j + £(0k.	(4)
Таким образом, задание одной вектор-функции а = а(0 равносильно заданию трех
скалярных функций (3) и обратно.
При измененииаргумента t вектор а(0, вообще говоря, меняет длину и направле-
ние (а в некоторых случаях и точку приложения, как, например, вектор скорости).
Определение. Годографом вектор-функции а(0 называется множество точек, которое
прочерчивает конец вектора а(0 при измененииаргумента t, когда начало вектора
а(0 помещено в фиксированную точку О пространства.
Годограф а(0 есть вообще некоторая кривая L в пространстве (рис. 16). Годогра-
фом радиуса-вектора г движущейся точки будет сама траектория L этой точки.
Уравнение
г = г(0, а < t < (3,
или
г(0 =£(0i + ?/(Oj + C(0k,
называется векторным уравнением кривой L. Уравнения
( я = £(0,
< У = г/(0, се < t < (3,
Ь = 
называются параметрическими уравнениями этой кривой.
Пример. Например, уравнения
{х = R cos t,
y = Rsint, 0 t < 2гг (R, Л = const)
z = hi,
являются параметрическими уравнениями одного витка винтовой линии (рис. 17). ►
260 Глава (X. Производные и дифференциалы функции одной переменкой
13.1. Предел и непрерывность вектор-функции скалярного аргумента
Пусть вектор-функция а = a(t) определена в некоторой окрестности точки t = t0
кроме, быть может, самой этой точки.
Определение. Постоянный вектор А называется пределом вектор-функции a(i) при
t —► to, если для всякого £ > 0 существует 6 > 0 такое, что для всех t Ф t0, удо-
влетворяющих условию |t - ioI < <5> верно неравенство
|а(«)- А| <£.
В этом случае пишут
lim a(i) = А.
t~*tQ
Геометрически это означает, что при
t -+ to длина вектора a(i) - А стремится к ну-
лю, т.е. что вектор a(t) при t —> io прибли-
жается по своей длине и направлению к век-
тору А (рис. 18).
Таким образом,
( lim a(i) = А^ <=> ( lim |a(i) - Л| = o'). I
\ t—‘to	'	\ t-*to	/ I
Пусть
a(t) = £(t)i + T/(i)j + C(i)k,
Рис. 18
A = Xi + Yj + Zk.
Тогда
[«(<) - A| = у/(£(i) - X)1 +	- Y)1 + (<(t) - Z)\
Отсюда, если lim a(i) = A, to
t—»to
lim£(t) = X, lim ?(i) = Y, lim <(i) = Z
t—*tQ	t-‘to	t-+to
и наоборот.
Пусть вектор-функция а = a(t) определена на интервале а < t < и to G (а, /3).
913. Вектор-функция скалярного аргумента 261
Определение. Вектор-функция a(t) называется непрерывной при t = to, если
lim a(t) = a(io).
13.2. Производная вектор-функции по ее скалярному аргументу
Пусть вектор-функция а = a(t) определена на интервале а < t < (3 и пусть кривая L
есть годограф a(t). Возьмем какое-нибудь фиксированное значение аргумента t G
(а, /3). Ему отвечает точка М кривой L. Дадим i любое приращение At, но такое,
что t + At € (а, /3). Тогда получим вектор a(t 4- At), который определит на кривой L
некоторую точку М| (рис. 19).
Рассмотрим приращение Да вектор-функции a(t), отвечающее приращению At
аргумента:
Да = a(t + At) - a(t).
Составим отношение
Да _ a(t + At) - a(t)
At	At >*•
Это новый вектор, коллинеарный вектору Да.
Определение. Если при At —> О разностное отношение имеет предел, то этот пре-
дел называется производной вектор-функции a(t) по ее аргументу t в данной точке t
и обозначается или a'(t).
Таким образом,
da(t) Да a(t 4- At) - a(t)
—— = hm — hm ----------------------
dt Ai-^0 At Ai-0 At
(0
В этом случае a(t) называется дифференцируемой в точке t.
Выясним направление вектора При At —> 0 точка М\ стремится по годографу
к точке М, и потому секущая ММ) стремится к касательной к кривой L в точке М.
Следовательно, производная представляет собой вектор, касательный к годографу
функции a(t) в точке М. Направлен же вектор в ту сторону, куда перемешается
конец вектора a(t) по годографу при возрастании параметра t (рис. 19).
262 Глава IX. Производные и дифференциалы функции одной переменной
Найдем выражение для производной в координатах. Пусть
а(0	+	+
Тогда
Да(0 = a(t 4- Д0 - a(t) = Щ(0 + jAq(t) 4- кД<(0.
Деля обе части на Д£ О, получим
Да(()	Д«(() ДЧ(0 Д<(0
“дГ- дГ+,'_дГ + к_дГ'	(2)
Если функции £(t),	{(0 имеют производную при выбранном значении t, то
при Д —► 0 каждое слагаемое в правой части равенства (2) имеет предел, так что
существует и предел левой части, т. е. существует Переходя в равенстве (2)
к пределу при Д£ —> 0, получаем
da	, dy dC,
~dt =l dt ~dt +k dt‘
(3)
Итак, если вектор a(i) отнесен к неподвижной системе координат, то его произ-
водная выражается формулой (3).
Таким образом, вычисление производной вектор-функции a(i) сводится к вычи-
слению производных ее координат.
Если г = г(0 есть радиус-вектор движущейся в пространстве точки, то —
скорость этой точки в момент времени t:
Пример. Найти производную вектор-функции
a(i) = iflcosi + jflsin t + kht (R, h = const).
4 По формуле (3)
du
—- = —<2?sinf + j/?cosi-(- k/i. ►
at
13.3. Правила дифференцирования
1.	Если с — постоянный вектор, то |г = 0.
2.	Если векторы а(0 и Ь(0 имеют производную в точке i, то
3.	Постоянный числовой множитель можно выносить за знак производной
d(aa(0) da(t)
——— = a dt (<* — числовая постоянная).
4.	Производная от скалярного произведения векторов выражается формулой
z . .	(da \	X db \
— (а(О,Ь(0) = ( —,Ь) 4- (а, — 1 .
dtr	(Lv	J	CLt J
Следствие. Если вектор c(t) единичный, т. е. [е(0| = 1, то ± с.
$13. Вектор-функция скалярного аргумента
263
< В самом деле, если с — единичный вектор, то
(с, с) = 1.
Беря производную п о t от обеих частей последнего равенства, получим
de	\	/	de
—	С I	4-	I С	—
dt	)	V	di
= 0
или 2 (, с) =0, откуда ± с. ►
5. Производная векторного произведения векторов определяется формулой
dr	-1 da
-- [«(/), b(0] = ь
flv	UV
db]
а, “гг
(порядок сомножителей существен).
Упражнения
Найдите производные функций:
1. у = х2 - 5х + 1.	2. у = 2у/х---Ь
х
ч х
X2 + 1
Уз.
3. у = (х2 — Зх + З)(х3 - 1).
4. у = (х/х + 1)
Найдите у'(1):
6. у = (х3 +
7-У =
8. у = sin х - cos x. 9. у
sinx <n • 2
= ----------.	10. у = sin х.
1 + COS X
14. у = sin -.
х
17. у = х arcsin х. 18. у = х sin х arctg х.
22. у = х2 logj х.
11. у = - tg3 х - tgx + х. 12. y = sin5x. 13. у = 2 sin(3x - 1).
15. у = sin5 2х.
 2
19. у = arcsin -.
х
Inx
16. у = sin(sinx).
20. у = arctg х2.
23. у =
24. у = 1л tg х.
21. у = 1л2 х.
25. у =—.
In X
26. у = 9х.	27. у = xex.
x3 + 2*
32. у = sin(3*).
28. у =
29. у = х3 - Зх.
30. у = 103l+l
З1.у = 5sin®
37. у = (sin x)C0SI
33. у — sh3 х. 34. у = x/chx.
35. у = th(lnx). 36. y = 3sh2
38. y = xsini. 39. у = х|пг
40. у =
41. у = Ух2 — а2 - %- In (х + v
2	2	\
43. у = Зх3 arcsin х + (х2 + 2) >/Т"-
Найдите дифференциал функции:
45. у =^.	46. y = tg2x. 47. y = 5,nsini
48. Вычислите приближенно arctg 1,02.
(x - 5)?
1 cosx
2 sin2 x
1	х
In tg - -
2	2
х2.	44. у = x(arcsin х)2 - 2х + 2\/1 - х2 arcsin х.
42. у =
Проведите повторное дифференцирование:
49. у = х3 - Зх + 5; у" = ?	50. у = arctg х; у"(У) = ?
264 Глава IX. Производные и дифференциалы функции одной переменной
51.у = а3*; у"' = ?	52, у = х51пх; у'" = ?
Найдите общие выражения для производных порядка п от функций:
53. у = хе*. 54. у = sin2 х. 55.у=^щ^.
Вычислите дифференциалы высших порядков:
56. у = е~Т, d2y = ?	57. у = хт, сРу = ?.
Найдите g для функций, заданных параметрически:
{x = 2t — 1,	fx=acos3f,	(х = е~*
y = t -	(y = bsin3t.	( у = е .
d2y ( х = In t,
61. Найдите ,—грели <	,
dx 2	( у = t\
d2x f x = el cos t,
62. Найдите —г, если <	,
dy2 l У = e sint.
Ответы
1. у' = 2x - 5. 2. y' = ^ + ^. 3. y' = 5x4-12x34-9x2-2x4-3. 4. y' =	(1 4- i).
5.y'= (^7.6.y'(l) = 16. 7,y' = -3(|Д• 8.y' = cosx 4-sinx. 9.y' =	10.y' = sin2x.
11. y' = tg4x. 12. y' = 5cos5x. 13. y' = 6cos(3x - 1). 14. y' = -^cos j. 15. y'= 1 Osin4 2x cos 2x.
16. y' = cos(sin x) cos x. 17. y' = arcsin x 4- ^'"'2  18. У* = sin x • arctg x 4- x cos x arctg x 4- 7-57.
,9'»' = -Й^П- “•»' = &• 2W = l'n*- 22.</ = 2xlogJ1 + sh. 23.
24-»' = 5Л;-	26. y' = 9*ln9. 27. »' = «•(«+1). 28. =
29.	у'= 3x2 - 3® In 3. 30. y' = 3103l+l InlO. 31. y' = 5sin® cosx In 5. 32. y'= 3® cos(3x) In 3.
33. y' = 3sh2xchx. 34. y' =	35. y' =	36. y'= 3ih2® sh2xIn 3.
37.	y' = (sinx)c0SI - sin x In sin x). 38. y' = xsini (eosin x + ~). 39. y' = 2x,n®~’ • In x.
40. y' =	• 41. y' = \<x2 - a2. 42. y' — —'j . 43. y' = 9x2 arcsin x. 44. y' = (arcsin x)2.
*	3(z-5)4 </(*+i)2 y	«	9	v x	/
45.	dy =	. 46. dy = ^^dx. 47. dy = 5,ns,ni etgx In 5dx. 48. arctg 1,02 « 0,795. 49. y" = 6x.
50.	y"(l) = -|.	51. y'" = 27a3®ln3a.	52. y'" = x2(601nx 4- 47).	53. y(n) = e®(x 4-n).
54.	yw = 2”~' sin [2x4-(n- l)f]- 55. y(n) = (-1)” • n! - <77^71] (Указание. Предста-
вить данную функцию в виде у =	= ±**=2 = 5 - 777). 56. d2y = е~*'/2(х2 - l)dx2.
57.	d3y = m(m - l)(m - 2)xn~3dx3. 58. g = |t2. 59. g = -$ tgt. 60. g = -2e3‘. 61.	= 9f3.
g2 d2* ______2e~*
dy2	(cos t+sin 03 ’
Гпава X
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
О СРЕДНЕМ. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
§ 1.	Теоремы о среднем значении
Теорема 1 (Ролль). Если функция f(x)
1)	непрерывна на отрезке [а, Ь];
2)	имеет производную хотя бы на интервале (а, Ь);
3)	на концах отрезка [а, 6] принимает равные значения (/(а) = /(b)),
то в интервале (а, Ь) существует п о крайней мере одна точка	в которой производная
данной функции равна нулю:
/'(£) = О,
< Так как по условию функция /(ж) непрерывна на отрезке [а, Ь], то в силу второй
теоремы Вейерштрасса она на этом отрезке принимает наименьшее и наибольшее
значения. Обозначим их соответственно т и М. Могут представиться два случая:
1) М = т. В этом случае М f(x) М, т. е.
/(ж) есть постоя иная на [а, Ь]. Поэтому /'(ж) = 0 во
всем интервале (а, Ь), так что в этом случае теорема
верна.
2) М # т. Тогда функция f(x) по крайней мере
одно из двух своих значений М или т принимает
в точке £, содержащейся внутри интервала (а, Ъ),
так как /(а) = /(b) и потому не может быть одно-
временно М значением / (ж) на одном конце, а т —
на другом конце отрезка [а, Ь]. Пусть для опреде-
ленности М = /(£), а < £ < Ь (рис. 1).
Так как по условию /(ж) имеет производную
/'(ж) в каждой точке ж интервала (а, Ь), то существует и /'(£) и
Дж
Iim /« + **)-/«) = ,.т /«-*,)-/(<) =
дг—о	Да;	дх—о — Дж
Дг>0	Дх>0
Но /(£) = М — наибольшему значению функции f(x) на отрезке {а, Ь] и поэтому
/(£ + Дж) -/(С)С 0 и /«-Дж)-/ЮС0.
266 Глава X. Дифференциальные теоремы о среднем. Формула Тейлора
Отсюда
/({ + &»)-/({) <о
Дж
-Дж
Переходя в этих неравенствах к пределу при Дж —> 0, получим два неравенства
и Ле)>о,
которые должны быть верны одновременно. Следовательно, /'(£) = 0, т. е. теорема
верна и для этого случая. ►
Теореме Ролля можно дать следующее
геометрическое истолкование. Пусть име-
ем кривую ^АВ, заданную уравнением у —
/(ж), где функция /(ж) на отрезке [а, Ь] удо-
влетворяет всем условиям теоремы Ролля.
Это означает, что
1)	кривая ^АВ непрерывна на [а, Ь];
2)	в любой точке кривой, находящейся
междуточками Л(а, /(а)) и В(Ь, /(&)),мож-
но провести касательную к этой кривой;
3)	концы дуги ^АВ кривой находятся
на одном уровне по отношению к оси Ох
(рис. 2).
Утверждение теоремы Ролля состоит
в том, что на дуге ^АВ кривой, обладающей указанными свойствами, найдется
по крайней мере одна точка С(£, /(£)), в которой касательная к данной кривой па-
раллельна оси Ох (или хорде АВ).
Условия теоремы Ролля являются существенны-
ми и при их нарушении утверждение теоремы может
оказаться несправедливым.
Пример. Так, например, для функции /(х) = |xj, -1 х 1,
(рис.3) выполнены все условия теоремы Ролля, кроме суще-
ствования производной f'(z) в интервале (—1, 1). Не суще-
ствует f'(x) в одной только точке х = 0, и утверждение тео-
ремы Ролля к данной функции уже неприменимо, так как в ин-
тервале (-1,1) нет такой точки, где производная /'(х) равна
нулю: J'(x) = -I, если —I < х < 0, /'(х) = 1, если 0 < х < I,
а при х =0 производная f'(x) не существует. ►
Пример. Еще пример. Функция /(х) = х - [х] (рис. 4) на отрезке [0,1 ] удо-
влетворяет всем условиям теоремы Ролля за исключением непрерывности:
она имеет разрыв при х = 1, а производная /'(х) = I всюду в интервале
(0, 1). ►
Задача 1. Дана функция /(х) = 1 + хт(1 - х)", где т, п — целые положи-
тельные числа. Не вычисляя производной, показать, что уравнение f'(x) — 0
имеет по крайней мере один корень в интервале (0,1)..
Задача 2. Показать, что уравнение х3 + Зх — 6 = 0 имеет только один дей-
ствительный корень.
$ 1. Теоремы о среднем значении-------------------------------------------------------------------267
Теорема 2 (Лагранж) о конечных приращениях.
Если функция f (х)
1) непрерывна на отрезке fa, b|;
2) имеет производную f'(x) на интервале (а, Ь),
то в интервале (а, Ъ) существует по крайней мере одна точка £ такая, что справедлива
формула
- f(a)
—г---------= } «). а < t < °.
о — а
◄ Введем вспомогательную функцию F(x), определив ее на отрезке [а, Ь] равенством
F(i) = }(х) - /(а) -	(х - а).	(1)
о — а
Эта функция н а отрезке [ а, Ь] удовлетворяет всем условиям теорем ы Ролля. Действи-
тельно, она непрерывна на [а, Ь], поскольку на [а, Ь] непрерывно каждое слагаемое
в правой части (1). На интервале (а, Ъ) функция F(x) имеет производную, так как
каждое слагаемое в выражении F(x) имеет производную на этом интервале. Нако-
нец, непосредственной проверкой убеждаемся в том, что F(a) = F(b) = 0, т. е. F(x)
принимает равные значения на концах отрезка {а, 6].
В силу теоремы Ролля, существует хотя б ы одна точка £ € (а, Ь), в которой F'(x)
равна нулю,
= о.
Но
Г(а) = /(ж)------——,
о — а
так что вточке £ имеем

откуда
J	b - а
Рис. 5
Теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа, когда /(a) = /(b).
Обращаясь к геометрическому истолкованию теоремы Лагранжа, заметим, что
отношение	есть угловой коэффициент хорды АВ, а /'(£) есть угловой ко-
эффициент касательной к кривой у = f(x) в точке с абсциссой х = £ (рис. 5). Та-
ким образом, утверждение теоремы Лагранжа сводится к следующему: на дуге ^АВ
непрерывной кривой, к которой можно провести касательную в любой точке, лежа-
щей на кривой между точками А и В, всегда найдется по крайней мере одна точка
С(£, /(£)), в которой касательная параллельна хорде АВ.
Доказанная формула = /'(£), или
(2)
/(b)-/(a) = /W-<0, a<£<b,
носит название формулы Лагранжа или формулы конечных приращений. Она, очевидно,
сохраняет силу для случая а > Ь.
268 Глава X. Дифференциальные теоремы о среднем. Формула Тейлора
Число £ (вообще говоря, неизвестное, промежуточное по отношению к числам а
и Ь) иногда удобно бывает представить в виде
£ = а 4- 0 • (Ъ - а),
где 0 — некоторое действительное число, удовлетворяющее условию 0 < 0 < 1. Тогда
формула Лагранжа (2) примет вид
f(b)~ f(a) = f\a + 0(b-a))(b-a), О<0< 1.	(3)
Взяв вместо а и b соответственно х и х + Дх, формулу Лагранжа запишем так:
Д/(я) = f(x + А®) “ f(x) = f'(x + 0Дя)Дя, 0 < 0 < 1.	(4)
Это равенство дает точное выражение для приращения функции /(ж) при любом ко-
нечном приращении Дж аргумента, в противоположность приближенному равенству
Д/(ж) = /,(ж)Дж,
относительная погрешность которого стремится к нулю лишь при Дж —> 0. Отсюда
и название формулы (4) — формула конечных приращени й. Отметим, что в (4) число 0,
вообще говоря, неизвестно.
Пример. Используя теорему Лагранжа, доказать справедливость неравенства
| arctg - arctgх 11	|i2 - ®i| Vi|, Х2.
4 Рассмотрим функции /(х) = arctg х. Эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы Лагранжа
на любом отрезке [а, &]. Поэтому для любых х( и Х2
/(X2)-/(xI)=/'(O(x2-^|),
ИЛИ
1 /
arctgi2 - arctg®] = t ~gi),
где точка £ находится между точками х i и хг. Отсюда
I arctg хг
arctg х।
и
поскольку <С 1 V£. ►
I arctgi2 ~ arctgii | |i2 - ®i I,
Задача. Показать, пользуясь теоремой Лагранжа, что
—-— < In(I + х) < х, х > 0.
I +®
Теорема 3 (Коши). Если функции f(x) и у>(ж)
1)	непрерывны на отрезке [а, Ь];
2)	имеют производные f\x) и <р'(х) хотя бы на интервале (а, Ь);
3)	производная <р'(х)	0 на интервале (а, Ь),
то в интервале (а, Ь) существует по крайней мере одна точка ( такая, что
/(>) - /(<») _ /'(О
<р(Ъ) - <^(а)	»>'(£)’
Формула (1) называется формулой Коши.
$2. Раскрытие неопределенностей (правило Лопиталя)269
◄ Из условия теоремы следует, что разность <р(Ъ) - <р(а) не может равняться нулю.
Действительно, если бы <р(Ъ) — <р(а) = 0, то функция у?(ж) удовлетворяла бы условиям
теоремы Ролля и в таком случае <р'(х) была бы равна нулю по крайней мере в одной
точке £ интервала (а, Ь), что противоречит условию 3) теоремы Коши. Таким обра-
зом, равенство (1) имеет смысл. Покажем, что оно верно при некотором значении £
из интервала (а, Ъ).
Рассмотрим вспомогательную функцию
Г(ж) = f(x) - f(a) -	(у(ж) -	(2)
Эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. В самом деле:
1)	F(x) непрерывна на отрезке [а, Ь], т. к. непрерывны на [а, Ь] функции /(ж)
и <р(х);
2)	функция F(x) имеет производную F'(x) всюду в интервале (а, Ъ), поскольку
каждое слагаемое в правой части (2) имеет производную на этом интервале;
3)	F(a) = F(b) = 0, в чем убеждаемся непосредствен ной проверкой.
Применяя теорему Ролля, делаем вывод о существовании между а и Ъ такой точ-
ки £, что F'(£) = 0. В силу (2)
	<р(Ь) - <р(а)
так что	/'И- ¥>(&) - <р(а)
Деля все части последнего равенства на / 0, получаем требуемое равенство
/'Ю /(>)-/(»)
¥>'({) V<b) - <р(а)'
Теорема Лагранжа является частным случаем теоремы Коши: достаточно в теореме
Коши взять у)(ж) = х.
Задача. Можно ли получить формулу Коши, применив к разностям /(6) - /(а) и ^(6) — <р(а) теорему
Лагранжа?
Замечание. В теоремах Ролля, Лагранжа и Коши речьидето существовании некоторой «средней точки»
£ Е (а, &),для которой выполняетсятоилииноеравенство. Поэтомувсяэтагруппатеоремобъединяется
названием: теоремы о среднем дифференциального исчисления.
§2. Раскрытие неопределенностей (правило Лопиталя)
Пусть функции /(ж) и у?(ж) определены в некоторой окрестности точки ж = а и пусть
/(а) и <р(а) = 0. Тогда отношение теряет смысл при ж = а. Однако предел этого
отношения в точке ж = а может существовать. Задача отыскания предела Нт
в этом случае называется раскрытием неопределенности вида
Раскрыть неопределенность вида — значит найти предел lim при условии, что
lim /(ж) = оо и lim <р(х) = оо.
I—z—
270 Глава X. Дифференциальные теоремы о среднем. Формула Тейлора
Раскрытие неопределенности вида оо-оо состоит в отыскании предела lim [/(ж)-
х-*а u
у?(ж)] при условии, что
lim /(ж) = оо и lim <р(х) = оо.
х—>а	х—*а
Аналогично трактуются эти понятия для случая, когда жоо.
Теорема 4 (правило Лопиталя). Пусть функции f(x) и <р(х) имеют производные f\x) и <р'(х)
в некоторой окрестности (а - 6, а + 6) точки а, кроме, быть может, самой точки а,
причем <р(х) и <р'(х) не равны нулю в указанной окрестности. Если
lim /(ж) = 0, Пт у?(ж) = О
Х—»а	х—а
f'(x)
и отношение
и предел
причем
при х —> а имеет конечный или бесконечный предел, то существует
«-»а <р(х)
. /(®)
lim = lim
х—*а <Р\Х) х-»а

< В теореме ничего не сказано о значениях /(ж) и у?(ж) в точке ж = а. Положим
/(а) = 0, <р(а) = 0. Так как теперь lim /(ж) = /(а) и lim <р(х) = <р(а), то функции
х—*а	ж—
/(ж) и у?(ж) будут непрерывны в точке а. Поэтому на отрезке [а, ж] (или [ж, а]), где ж —
какая угодно точка интервала (а - 6, а 4- 6), функции /(ж) и у?(ж) удовлетворяют всем
условиям теоремы Коши. Следовательно, между а и ж найдется по крайней мере одна
точка £ = £(ж) такая, что
f(x) = f(x) - /(а) _ /'«)
V(x) f(x)-<p(a)
Если при некотором значении ж таких точек £ будет больше одной, то фиксируем
какую-нибудь одну из них.
Величина £ зависит от ж, причем £ —► а, когда ж —» а. По условию при ж —» а
f'ix)
отношение имеет конечный или бесконечный предел. Этот предел не зависит
от способа стремления ж к точке а. Поэтому при ж —> а, когда и £ —> а, отношение
имеет предел, совпадающий с пределом отношения :
.. /'Ю f'W
lim “7777 - l*m ——.
(Р“) ¥> (£) <Р (®)
Из соотношений (1) и (2) следует, что
.. /(®) .. Л®)
= Й k
Равенство (3) выражает правило Лопиталя, в силу которого вычисление предела
отношения функций может быть заменено (при известных условиях) вычислением
предела отношения производных этих функций, что иногда бывает проще.
(2)
(3)
§ 2. Раскрытие неопределенностей (правило Лопиталя)
271
Пример.
l-cosi (l-cosi)' sin г 1
lim ----,---= lim —— = lim —— = -.
x-*o	xl г-»о (xly x—o 2г 2
Замечание 1. Если условия теоремы вы пол йены только в интервале (а - б, а) или (а, а 4- б), то форму-
лой (3) можно пользоваться для вычисления предела	соответственно при г -* а-0 или г -* а4-0.
Замечание 2. Может оказаться, что предел отношения производных не существует, в то время как
предел отношения функций сушествует.
Рассмотрим, например, функции /(г) = х2 sin | и >р(х) = х. Их отношение в точке х = 0 имеет
предел
= lim х sin - = 0.
г—0	х
- cos j в точке х = 0 предела не имеет. Таким
f(x) г2 sin
lim ——- = lim-------
x—0	г-*0 X
В то же время отношение производных = 2г sin j
образом, из существования lim не следует сушествования lim
Замечание 3. При вычислении lim иногда приходится применять правило Лопиталя последова-
тельно несколько раз. Так, если условиям теоремы Лопиталя удовлетворяют не только функции /(г)
и ip(x), но и их производные f(x) и <р'(х), то для вычисления lim ^у опять можно воспользоваться
правилом Лопиталя и т. д,
Пример.
г-sin г (г - sin г)' l-cosi sin г 1
lim----=— = 11m —r-rn— = hm —7-7— = lim — = 7.
T-.0	x-tO (г3)’	®—o Зг2 x->o 6г 6
Теорема 5 (второе правило Лопиталя). Пусть функции f(x) и <р(х) имеют производные f'(x)
и <р'(х) в некоторой окрестности (а - б, а + б) точки а, кроме, быть может, самой
точки а, причем (р(х) и <р'(х) не равны нулю в указанной окрестности. Если
lim/(ж) = оо и lim <р(х) = оо
г—«а	х—а
и при х —* а отношение имеет конечный или бесконечный предел, то существует
и предел lim ^jy, причем
fix)
lim - = hm
i—<а Ф\Х) x—a
Здесь также можно рассматривать пределы при х —» а - 0 или х —* а + 0 (см.
замечание 1).
Пример.
In sinai (Insmax)	  a (cosax sinbx\ , , л
lim -----— = lim -——— = lim . 5- = 7 hm I-----------------------)=l (a >0, &>()).►
x-QtO Insinbi x-»o+o (Insinbi) х-о+о ftcoslg b x-.m о I cosbi sinax 1
'	sinta	'	'
П равилаЛопиталя могут быть использованы при вычислении следующих пределов:
1.	lim [/(я) • <р(я)], когда lim /(ж) = 0, lim <р{х) — оо.
х-*аL	J	я—*a	х—»a
◄ В этом случае достаточно записать выражение f(x)<p(x) в виде
= Т/S) или = Uffa
и применить к правой части правило Лопиталя. ►
272 Глава X. Дифференциальные теоремы о среднем. Формула Тейлора
Пример.
.	.	, Inz	7
lim (х In z) = lim —г— = Jim = 0. ►
х — Ov0	х->0+0 1	г—0 ( о '
X	X2
2.	lim [/(х) - <р(х)], когда lim f(x) = оо и lim <р(х) = оо.
х—>а	х —>а	х—га
< В этом случае выражение /(х) - ^>(х) надо опять представить в виде частного
/(z)	<f>(x) f(x)
и затем воспользоваться правилом Лопиталя. ►
Пример.
f х 1\лх}пх~х + \	friz	;	1
hm I   - -— ) = hm — —  = lim---------j- = lim .-3 , = -.
г—l\Z— 1 Inz? i-l (z — l)lnz I—I Jn x + 1 - - z~11 - + ~7 2
3.	lim [/(x)]	f(x) 0, когда имеем один из трех случаев:
a)	lim /(х) = 0, lim <р(х) = 0 (0°);
б)	lim/(х) = I Jim <р(х) = оо (I00);
в)	lim /(х) = +00, lim <р(х) = 0 (со0).
х—>а	х—*а
Положим
У= [/«]*’,
логарифмируя, получим
In у = <р(х) In /(х).
Вычислим
lim In у = lim (^э(х) In f (х)].
х—>а	z-+aL	J
Нетрудно заметить, что для этого в каждом изуказанныхтрехслучаева),б), в)придется
вычислять предел такого вида, который рассмотрен в случае 1.
Пусть мы нашли, что lim In у = Л. Тогда
х—*а
lim у = еА,
х—а
т.е.
Пример. Найти lim хх.
r r	Т-.0+0
«<	Положим у = z1; тогда In у = х In х. Отсюда
1-	I	г	,лж 1- X
lim In	у = lim	—j—	= hm	—п-	=
г—0+0	r-0+0 1	г-0+0 _ '
х	х2
так что
lim у = е° = 1. ►
г—0+0
§ 3. Формула Тейлора
273
Теорема 6. Пусть
I)	функции f(x) и <р(х) определены для всех х, достаточно больших по абсолютной
величине;
2)	lim f(x) = lim р(х) = 0 или lim f(x) = оо и lim <р(х) = оо;
X —*00	Г —*00	I—*00	X—*00
3)	существуют производные f'(x) и <р'(х)	0 для всех х, достаточно больших
по абсолютной величине;
4)	существует (конечный или бесконечный) предел отношения
/'(*)
nfu х~°°-
Тогда
f(x) f'(x)
lim = lim ^44.
3-*oo <p(x) z—oo tp (X)
Чтобы убедиться в справедливости теоремы 6, достаточно преобразовать перемен-
ную х по формуле х = | и воспользоваться результатам и теорем 4 и 5.
Пример.
х1	2х	2
lim — — lim — = lim — = 0;
z-ч-ас ех x-t+jc ех х-*+ос ех
n-кратным применением правила Лопиталя вычисляется предел
хп	П1п“1	п\
lim — = lim —— = ... = lim — = О,
Z-МОС	Z—» + 0С е*	z-»+cc е*
так что функция ех при х -* +оо растет быстрее любой степени х.
Следующий пример показывает, что правило Лопиталя хотя и применимо к вычислению lim х2,
£—♦4 ОС *
но фактически бессильно. В самом деле, применяя это правило, будем иметь
Элементарными приемами этот предел вычисляется без труда:
\/1 + г2
lim ------------
х—-1 х	X
= lim
х-» + эс
§3. Формула Тейлора
Эта формула является одной из основных формул математического анализа и имеет
многочисленные приложения.
1. Начнем с того, что выведем формулу Тейлора для многочлена степени п. Рассмо-
трим многочлен n-ой степени
Р(х) = bo + b}x + Ъгх2 + ... + Ьпхп, bn = const 0.	(1)
Каково бы ни было число а, многочлен (1) можно представить в виде суммы степеней
разности х - а, взятых с некоторыми коэффициентами. Действительно, положим
10 Зак. 750
х = а + t.
274 Глава X. Дифференциальные теоремы о среднем, формула Тейлора
Тогда
Р(х) = Р(а 4- 0 = &о + (а + t) + ... + Ъп(а + t)n.
Раскрывая в правой части скобки и сгруппировав подобные члены, получим
Р(а + 0 = Ло + A}t + Ait2 + Ait3 + ... + Antn,
или, выразив обратно t через х,
Р(х) = Ло + Ai(x - а) + Ai(x - а)2 + Аз(х - а)3 + ... +Лп(а;-а)”,	(2)
где 4о, Л),..., Ап — некоторые постоянные.
Взяв многочлен Р(х) в форме (2) и продифференцировав его п раз по х, найдем
Р'(х) = А] + 2Ai(x - а) + 3Ai(x - а)2 + ... + Лп(х - а)” 1 1
Р"(х) = 2 • 1 Ai + 3 • 2Аз(х - а) + ... 4- п(п - 1)Лп(х - а)”-2 I
Рп(х) = п(п- 1) . . . 2 • lAn	J
Полагая в равенствах (2) и (3) х = а, получим
Р(а) = Ло, Р'(а) = 1 !Л>, Р'\а) = 2!Л2, ... , Р{п\а) = п\Ап.
Откуда
. _ р/„> л _ PW л р»	.	**”(«)
"О — Р(а)> "! — .. , "2 —	, • • • , Ап —	.
1!	2!	п!
Следовательно, равенство (2) может быть записано в виде
p(I)=P(e)+^)(I e)+q?)(I ef+...+£j)(I e)».
(3)
Это и есть формула Тейлора по степеням х - а для многочлена Р(х) степени п. Отсюда
в частном случае при а = 0 получим формулу Маклорена
pW.w,+g.tai.^...<ga,-| В)
Пример. Многочлен Р(х) = х2 - Зх + 2 разложить
а) по степеням х;
б) по степеням х - 1.
а) Имеем
Р(х) = х2 - Зх + 2	=>	Р(0) = 2,
Р'(х) =	2х - 3	=>	/’'(О) = -3,
Р"(х) =	2	=>	Р"(0) = 2.
По формуле (5)
Р(х) = 2 - ~ х 4- ~ х2 = 2 - Зх + х2,
т. е. получаем исходный многочлен.
6) Имеем
Р(х) = х2 - Зх + 2	=>	Р(1) = О,
Р'(х)=	2х-3	=>	P'(l) = -1,
Р"(х)=	2 => Р"0)= 2.
§ 3. Формула Тейлора 275
По формуле (4)
Р(х) = 0 - l(i - 1) + | (ж - I)2 = -(ж - 1) + (ж - I)2. ►
Заметим, что по формуле (4) мы можем вычислить значения многочлена Р(х)
в любой точке х, если известны значения многочлена и всех его производных в одной
какой-нибудь точке а.
2. Пусть теперь в окрестности точки х = а задана функция f(x), не являющаяся
многочленом степени п - 1, но имеющая в этой окрестности производные до п-го
порядка включительно.
Вычислим величины /(a),	... , /^”~'\а) и построим функцию
Qn-M = f(a) +	- а) + ... +	~а)П '•
(6)
f(x) = Qn-i(x) + Rn(x),
Очевидно, Qn-\(x) есть многочлен степени п - 1. Он называется многочленом Тейлора
по степеням х - а для функции f(x). Если бы исходная функция f(x) сама бы была
многочленом степени п - 1, то выполнялось бы тождество /(ж) = Qn-\(х) для всех
значений х из рассматриваемой окрестности. В данном случае это тождество не имеет
места, поскольку мы предположили, что f(x) не есть многочлен степени п - I.
Положим
(7)
где Qn-i (я) есть многочлен Тейлора степени п - I для функции f(x) по степе-
ням х - а. Равенство (7) называется формулой Тейлора для функции f(x) в окрест-
ности точки х = a, a Rn(x) называется остаточным членом рассматриваемой формулы
Тейлора.
Для остаточного члена Rn можно дать выражение через n-ю производную от f(x).
Займемся этим.
Пусть функция f(x), не являющаяся многочленом степени п - 1, на отрезке [а, Ь]
имеет непрерывные производные до (п - 1)-го порядка включительно, а в интерва-
ле (а, Ь) существует и производная n-го порядка. Запишем формально равенство
f(b) = f(a) + (b - a) + (b — a)2 4-... +	(b - a)n"' 4- Rn. (8)
Будем искать Rn в виде
Rn=M(b-a)n,	(9)
где величинам подлежит определен ию. С этой целью введем вспомогательную функ-
цию <р(х), определив ее на отрезке [а, Ь] равенством
*>(®) = /(<>) - [/(®) +	(6 - х) + ^^(6 - х)2 + ... +
т ('0)
Эта функция получается, если из /(b) вычесть правую часть (8), в которой точка а
заменена на х.
Функция р(х) на отрезке [а, Ь] удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. Дей-
ствительно,
276 Глава X. Дифференциальные теоремы о среднем. Формула Тейлора
I)	функция (р(х) непрерывна на отрезке [а, Ь], потому что на этом отрезке непре-
рывна исходная функция f(x) вместе со своими производными до (п - 1)-го порядка
включительно;
2)	функция <р(х) имеет на интервале (а, Ь) производную, потому что на нем имеет
производную п-го порядка исходная функция /(ж);
3)	функция <р(х) на концах отрезка [а, Ь] имеет равные значения: <р(а) = 0, что
следует из равенства (8), и <р(Ь) = 0, что видно из формулы (10). Поэтому, согласно
теореме Ролля, существует такая точка £ € (а, Ь), что ф'(£) = 0.
Найдем производную <р'(х):
— + — (Ь-х)---—.2-(Ь-Х) + ...+—2-(Ь-х)
- 7^ • (п - 1) • (» - х)"’2 + (Ь - х)"-' - Мп(Ь - х)"-1],
(п - 1)!	(п - I)!	J
т. е.
=- (ь ~i)"'1+Мп(ь ~ 1)”_| ’
поскольку все члены сокращаются, кроме последних двух. Таким образом,

/(П)Ю
(п- I)!
Так как £ / b (точка £ находится в интервале (а, Ь)), то отсюда следует, что
(п-1)!
— М • п = 0,
а потому М =	. Таким образом, для Rn (см. формулу (9)) получаем выражение
Rn = L~r-(b-a)n, а < £ < b.
п!
Подставляя найденное значение Rn в равенство (8), получим
/(») = /(«) +	0 - ») +	~ “)! +''' +
+ 7^)Г( * +-^(',~0)-
(II)
(12)
Эта формула называется формулой Тейлора для функции f(x). Последнее слагаемое
правой части (12)	______________________
я» =-----:— (о - “) ,
п!
где £ — некоторая точка, находящаяся между а и Ь, называется остаточным членом
формулы Тейлора в форме Лагранжа.
При п = 1 из формулы Тейлора (12) получаем как частный случай формулу Ла-
гранжа
/'(£)
}(Ь) = /(а) +	(6 ~ а)’
§ 3. Формула Тейлора 277
или
/(Ь)-/(а) = /'(^)(Ь-а).
В равенстве (12) вместо а и Ъ можно взять любые точки xQ и х из отрезка [а, &].
Поэтому формулу Тейлора для функции f(x) можно записать в виде
/(®) = /(х0) +	+ (х - Хо)2 + . . . +
/‘"-‘’(«о) ,	(13)
+ (п — 1)! Ж Х°'	+
где
R^x) = Ljy.(x_Xo)»
п\
(точка £ находится между х и яо), или
_ /(,1)(Хо + й(х-Хо))	„
-*4l(®) -	|	(®	®о) 5	0 < Р < 1.
п!
При з?о = 0 получаем формулу Маклорена
№W.a^t.,ggf.rtW| <»)
где
/<»>(вх) „
Яп(я) = ------х 0 < в < 1.
П’
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано
Мы предполагали, что функция f(x) имеет в окрестности точки xq производную
f(n\x). Предположим теперь, что /(п)(®) непрерывна в точке xq. Тогда
/(п)(я0 + 0(я “ яо)) = /п)(я) + <*(х),
где а(х) —» 0 при х —► х0, и остаточный член
, . _ /^(до + ^-хо))	„
/цДя) —	\Х Xq)
П\
можно записать так:
о	+«(«),
йя(ж) —	(я 3?о)
п\
или
п'.	п\
где а(х) —► 0. Так как а(х) —» 0, то	. есть 0^а, _ Хо}п\ fX—^Xo Поэтому
х->т0	г.-*х0
формула (13) примет вид
/(ж) = f(x0) + (х - х0) + ... +
А	О5)
। f /_	-	। п/7~	\п\	.
Ч-----;-- \Х ~ Xq) + O((l — Xq) ), X > Xq.
Til
278 Глава X. Дифференциальные теоремы о среднем. Формула Тейлора
Формулу (15) называют формулой Тейлора разложения функции /(ж) по степеням х-х0
с остаточным членом в форме Пеано. Эта формула показывает, что, заменив f(x)
в окрестности точки xq ее многочленом Тейлора n-ой степени, м ы совершим ошибку,
котораяпри х —» хо является бесконечно малой более высокого порядка, чем (х-хо)п.
Следовательно, формула (15) представляет наибольший интерес при х, достаточно
близких к х0. Поэтому ее называют еще локальной формулой Тейлора.
§ 4. Разложение по формуле Маклорена
некоторых элементарных функций
Представим формулой Маклорена
/(ж) = /(0)+— »+— »++ _ .) х + д  *<0<1	(I)
некоторые элементарные функции.
1. /(®) = е*
Имеем
f(x) = ег,	/(0) = 1,
f'(x) = ег,	/'(0) = 1,
= е*,	/"-'>(0)= 1,
= ег, /"’(ftr) = евг.
По формуле (I) будем иметь
ж”-1 евх
(п - 1)! + п\
0 <0 < 1.
(2)
Полагая в равенстве (2) х = 1, получим
(п - 1)! + п’’
(3)
Поскольку
сумма
л - 1
< nl < п! ’
. I 1	1
2+2! + 3! + --' + (^П)!
дает приближенное значение числа е с недостатком и погрешностью, меньшей .
§4. Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций 279
2. f(x) = sin х
Имеем
/(я) = sin х,	О,
f'(x)= cos х,	= 1,
f"(x) = - sin x, f"(0) = 0,
/"'(*) =-cosz, /'"(0) = -1,
и вообще
(x) = sin (z + m • у),
откуда
, .	%	(	0, если тп = 2k,
/(m)(0) = sin m- =	.
2 I (-1)*, если m = 2fc+l,
3	/ 7Г x
f^(0x) = singer + n— J.
Следовательно, в многочлене Тейлора для sin х обращаются в нуль коэффициенты
при четных степенях ж,такчто (2п + 1)-й многочлен и (2п + 2)-й многочлен тожде-
ственны между собой.
По формуле Маклорена (1),беря п = 2к + 1, получим
_3	~5	_7	2Л — I	I
2* X X X	i, _ i 2*	/к
51ПЖ= +  + ... +(-0	+ дц+,(а;),|	(4)
где
Rik+i^) = 7“—j\7sin [** + (2* + 1)т1 > О<0 < 1.
^хА* + 1у» L	Z J
Очевидно,
Ы2*+1
3.	f(x) = cos X
Имеем	f(x)= COSZ,	/(0)= 1,	
	f(x) = - sin х,	/'(0)= 0,	
	f"(x) = - cos X,	Г(о) = -1,	
и вообще f{m\x) = cos (х + mf), так что			
	7Г 1 /(m)(0) = cosm- - = < (	0, если m = 2k + 1, -])*, если m = 2k.	
Поэтому в силу формулы (1) (если взять п		= 2k+ 2)	
	^.2	k XXX cosx=l-- + --- +	х2к • •  +	+^2fc+2(z),	(5)
280 Глава X. Дифференциальные теоремы о среднем. Формула Тейлора
где
Х2к+2 Г	7Г1
^+2^) =	[0x + (2fc + 2)-J« °<0<L
Очевидно,
д.ЗЛ+2
|-Й2й+2(®)!	(2к + 1)\
Формулами (4) и (5) можно пользоваться для вычисления приближенных значений
sin х и cos х с любой степенью точности. На рис. 6 и 7 показано приближениефункний
sin х и cos х в окрестности точки х = 0 многочленами Тейлора этихфункций.
4.	f(x) = 1п(1 + х)
Эта функция определена и дифференцируема любое число раз для х > -1. Имеем
J(x) = ln(l+x),	/(0) = In 1 = 0,
/'W~.	/'(0) = 1.
=  ™ = 2'
= (-1)»^-^,	/‘”-'<(0) =	- 2)!,
В силу формулы Маклорена (1)
„	_2	~3	_п-1
«С «С X	\ и Д»
ln(I+cr)=-j--- ~—••+(~0	-+Яп(®)>	(7)
12	3 п - I
где
§ 5.	Использование формулы Маклорена для получения асимптотических оценок элементарных функций  281
5.	f(x) = (14- х)а (а — действительное, х > — 1)
Имеем
/(ж)=(1+ж)в,	/(0 = 1,
/'(ж)=а(1+ж)а-',	/'(0)=а,
///(х)=а(а—1 )(1+х)а-2,	/"(0)=а(а-1),
/(п-,)(ж)=а(а-1)...(а-п+2)(1+ж)а-п+1,	1)...(а-п+2),
/^п\ж)=а(а—1)...(а-п+1)(1+ж)а”п,	(вх)=а(а -])... (а-п+1)(1+0ж)а-п.
Поэтому
,	о а(а—1) >	ala — 1)...(а — п + 2)
(1+ж) = 1 + —жЧ----——х + ...Ч---------(тГ—Т)!------Х	(^)
где
а(а-1)...(а-п+1)	п
Rn(x) —---------------------(1 + вх) х , 0 <в < 1.
п!
Если а = тп — натуральному числу, то все члены формулы (1) начинало (пг+ 1)-го
исчезают, и формула Маклорена превращается в известную формулу бинома Ньютона
, xm	т т(т — 1) ,	т
(1 + х) = I + — х И-------—- х2 +... +х Vx.
§ 5. Использование формулы Маклорена
для получения асимптотических оценок
элементарных функций и вычисления пределов
В свое время мы установили асимптотические формулы для элементарных функций
(глава VIII, § 17).
sin х = х + о(ж)
ех = 1 + х + о(ж) I
\ х _> о.	(1)
1п(1 + ж) = х + о(ж) I
(1 + х)а = 1 + ах + о(ж) J
Формулы (1) дают представление элементарных функций при малых значениях ]ж|.
Мы пользовались ими при вычислении простейших пределов. Для вычисления более
тонких пределов, когда определяющую роль играют члены высокого порядка относи-
тельно ж при ж —* О, формулы (1) оказываются недостаточными. Поэтому возникает
необходимость получить более точные асимптотические оценки для элементарных
функций. Такие оценки легко получаем из формулы Маклорена, если в этой формуле
взять остаточный член в форме Пеано. Приведем эти оценки:
282 Глава X. Дифференциальные теоремы о среднем. Формула Тейлора
——	>2^ +	1	2 н	i	s	» о	ЛЬ	н	н	н II	II	II	II	II —	н	—	н	— +	1	1	1	+ § *21 Ч» — 1	Ч» Н +	+	+	+	+ к>|Н я д *|ч ^ч/Х ~ Ой	. * to	|	1	| 1 — 1	•	.	; з :	X	X	X 3 IЧ ” т + I I - + 1	;	з	^"*3 -Г	-- to 1 н 5о	Ч +	а | «	~ ~	i 1 о	о X	Н н4 + 1	3	W о	2. Л s'	Ч »	я X <										_	✓	► х -* 0.
Пример. Найти предел
Ч При помощи формул (1) предел этот найти невозможно, поскольку по виду знаменателя можно за-
ключить, что определяющую роль играют члены 3-го порядка относительно х (х — 0). Поэтому вос-
пользуемся оценками (2). Получим
lim
z-.fi
х - sin х
ж3
о(ж4))
z—о
х-
lim
z—О
1 а.
3! + ж3 )
I
6' *
= lim
Упражнения
Применяя правило Лопиталя, найдите пределы
	Зж2 4- 4ж — 7		ж cos ж — sin ж		tg ж — sin ж
1. lim		2.	lim 	:	.	3.	lim-	
z—i	2ж2 4- Зж — 5		Z-.0	X3		z-.o ж — sin ж
	ln( 1 4- ж) - ж		^sin г _		In ж
4. lim		5.	lim	.	6.	lim -—.—.
z—0	tg2 Ж		z-o sin ж - ж		Z-.0+0 In sin ж
	/ j	] \				/ i \sln 1
7. lim		8.	lim (14-®)"11.	9.	lim (-)
z->0	\sin ж	ж/		z-0,0		z—.Oi-0 \x J
10.	Разложите многочлен ж3 + Зж2 - 2ж 4- 4 по степеням двучлена х 4- 1.
11.	Разложите многочлен хг — 1х2 +3® 4- 5 по степеням двучлена х — 2.
12.	Разложите по формуле Тейлора функцию f(x) = j в окрестности точки х0 = -I.
13.	Разложите по формуле Тейлора функцию /(ж) = же1 в окрестности точки ж0 = 0
(формула Маклорена).
14.	Разложите по формуле Маклорена до о(ж") функцию /(ж) = е^42.
15.	Тяжелая нить пол действием собственного веса провисает по цепной линии у = a ch |
(а - const). Покажите, что для малых |ж| форма нити приближенно выражается параболой.
Используя формулу Маклорена. найдите пределы:
COS Ж - I - ~
16. lim
Z-.0
18. lim
Z-.0
I 4- ж cos ж -	4- 2ж
ln( 1 4- ж) - ж
17. lim
19. lim
z—0
х/1 ж 4- ^Г4- ж — 2-^Т - ж
ж
v^l 4* 2ж — 1
V1'! 4- ж - \/1 — ж
§ 5. Использование формулы Маклорена для получения асимптотических оценок элементарных функций___283
Ответы
1. у. 2,-5. 3.3. 4.-5. 5.1. 6.1. 7.0. 8.1. 9.1. 10. (®+ 1)3-5(х + 1) +8. 11. (z-2)3+4(z ~2)2 +
7(I-2)+ll.12./(z) = -l-(»+l)-(x+l)i-...-(a:+l)”-,+(-l)>pT^!£J_r,o<e< I.
13. Цх) =	+ ^ + ... +	+ £(вх + п)е", 0 < в < 1. М. f(x) = IE ^х* Г о(х').
16. £.17.	18.-1.19. А.
Гпава XI
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§1. Признаки возрастания и убывания функции
Определение. Функция /(ж), определенная на отрезке (а, &], называется неубывающей
на [а, &], если для любых Ж],ж2 € [а, 6] из условия xt < ж2 следует неравенство
f(x\)	/(ж2). Если из Х\ < ж2 всегда следует f(x]) < f(xi), то функция /(ж)
называется возрастающей на [а, &].
Если на отрезке (а, &] из условия < ж2 следует неравенство /(ж0
функция/(ж) называется невозрастающей на отрезке [а, &]. Если из условия Ж| < ж2
всегда следует/(ж() > /(ж2), тофункция/(ж) называется убывающей на (а, &].
Определение. Функция /(ж) называется монотонной на [a, &j, если она на [а, только
неубывающая (в частности, возрастающая) или только невозрастающая (в частности,
убывающая). Возрастающие и убывающие функции часто называют также строго
монотонными.
Теорема 1. Пусть функция /(ж) непрерывна на отрезке [а, 6] и имеет производную f'{x)
по крайней мере в интервале (а, Ъ). Для того, чтобы функция /(ж) на отрезке [а, &] была
неубывающей, необходимо и достаточно выполнение условия f(x) 0 для всех точек х
из интервала (а, &).
◄ Необходимость. Пусть функция /(ж) на
отрезке [а,&] неубывающая (рис. 1). Дока-
жем, что на интервале (а, Ь) производная
/'(ж) > 0. Возьмем точки ж и ж+Дж в интер-
вале (а, Ь). Так как по условию /(ж) неубыва-
ющая, то при любом Дж (положительном или
отрицательном) знаку Дж и /(ж+Дж)-/(ж)
один и тот же, и поэтому
/(ж + Дж) - /(ж) > о
Дж
Учитывая, что по условию в каждой точ-
ке ж интервала (а, Ь) существует производ-
Рис. I
§ 1. Признаки возрастания и убывания функции-------------------------------------------285
ная из последнего неравенства получим
Итак, в любой точке ж 6 (а, Ь) имеем f'(x)	0.
Достаточность. Пусть f'(x)	0 на интервале (а, &). Докажем, что функция /(ж)
неубывающая на отрезке [а, &]. Действительно, пусть х} < Х2 — любые две точки
отрезка [а, &]. По теореме Лагранжа
/(ж2> - /(Х|) = /'(£)(ж2 - ®1), где Ж| < £ < Ж2.
Так как по условию f'(x)	0 в каждой точке х интервала (а, Ь), то и /'(£)	0- Кроме
того, Х2 > X]. Поэтому
/(ж2)
Итак, и з неравенства Ж[ < ж2 следует неравенство/(ж j) /(ж2), а этой означает, что
на отрезке [а, &] функция /(ж) неубывающая. ►
Аналогично доказывается
Теорема 2. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [а, &] и имеет производную f'(x)
по крайней мере на интервале (а, &). Для того, чтобы функция /(ж) на отрезке [а, &]
была невозрастающей, необходимо и достаточно выполнение условия f (ai) 0 для всех
точек х из интервала (а, &).
Таким образом, интервалы знакопостоянства производной /'(ж) являются интер-
валами монотонности функции /(ж). Справедливо следующее утверждение (доста-
точное условие возрастания функции):
если f'(x) > 0 на интервале (а, &), то /(ж) на отрезке [а, &] возрастает.
Однако если /(ж) возрастает на [а, &], то отсюда
не следует, что f'(x) > 0 всюду на интервале (а, &).
Пример. Функция /(ж) = ж3 возрастает на отрезке [-1, 1],
однако ее производная f(x) = Зж2 обращается в нуль в точ-
ке ж — 0. ►
Принято говорить также о возрастании или убы-
вании функции в точке.
Определение. Функция /(ж) называется возрастающей
в точке ж = жо, если существует такая окрестность
(жо - <5, Жо + <5) точки ж0, в которой для всех Ж < жо	Рис. 2
имеем /(ж) < /(ж0), а для всех ж > жо верно /(ж) > /(жо) (рис. 2).
Функция/(ж) называется убывающей в точке х = ж0, если в некоторой окрестности
точки жо для всех ж < ж0 имеем /(ж) > /(жо), а для всех ж > жо имеем /(ж) < /(ж0).
Следующая теорема выражает достаточные условия возрастания и убывания функ-
ции в точке.
Теорема 3. Пусть функция /(ж) в точке ж = жо имеет производную f'(xQ). Если
/*(ж0) > 0, то функция /(ж) в точке ж0 возрастает; если f'(x0) < 0, то f(x) в точке ж0
убывает.
286 Глава XI. Исследование функций одной переменной
◄ Пусть /'(жр) > 0. Это означает, что
lim	-/(».) > о
Дж-*0	Дж
Но тогда существует такое 6 > 0, что для всех Дж,
удовлетворяющих условию 0 < |Дж| < 6, верно нера-
венство
/(ж0 + Дж) - /(ж0)
Дж
Отсюда следует, что при 0 < jДж| < 6 величины Дж
и /(яр + Дж) - /(жр) имеют один и тот же знак: если
Дж < 0, то и /(жр + Дж) - /(жр) < 0, т. е. /(жр + Дж) <
/(жр); если же Дж > 0, то и /(жр + Дж) - /(жр) > 0, т. е.
/(жр + Дж) > /(ж0). Согласно определению, это означает,
что функция /(ж) вточке жр возрастает.
Подобными рассуждениями можно доказать, что если
f'(xo) < 0, то функция /(ж) вточке жр убывает. ►
Замечание. Теорема дает достаточные условия возрастания и убывания
функции в точке. Так, функция, график которой представлен на рис. 3,
возрастает в точке х = 0, но в этой точке производная функции не су-
ществует. Функция /(ж) = ж3 (рис. 4) возрастает в точке ж = 0, но ее
производная f'(x) = Зж2 в точке ж = 0 обращается в нуль.
§2. Экстремум функции
Пусть функция /(ж) определена в некоторой окрестно-	Рис. 4
сти точки жр, включая и саму точку жр.
Определение. Точка жр называется точкой ло-
кального максимума функции /(ж), если суще-
ствует такое 6 > 0, что для всех ж из интервала
(жр - 6, жр + 5) верно неравенство
Д/ - /(ж) - /(ж0) 0
(рис. 5). Если существует 6 > 0 такое, что
для всех ж и з и нтервала (жр - 6, жр + 6) верно
неравенство
Д/=/(*)-/(«о) >0,
то точ ка жр н а з ы вается точкой локального ми ни -	ги •
мума функции /(ж) (рис. 6).
Значение функции /(ж) в точке максимума называется локальным максимумом,
значение функции в точке минимума — локальным минимумом данной функции. Мак-
симум и м инимум функции называются ее локальными экстремумами.
Эти определения означают, что /(жр) есть локальный максимум функции /(ж),
если существует такой интервал (жр -6, жр + <5), в котором /(ж0) является наибольшим
значением функции f(x), и /(х0) есть локальный минимум функции /(ж), если су-
ществует и нтервал (ж0 - б, xq + <5), в котором /(жо) является наименьшим значением
функции /(ж) на этом интервале.
Термин локальный (относительный) экстремум обусловлен тем, что введенное по-
нятие экстремума связано с окрестностью данной точки в области определения функ-
ции, а не со всей этой областью. Так, для функции у = /(ж), график которой пред-
ставлен на рис. 7, точка жо есть точка локального максимума, а точка Ж] — локального
минимума, но/(жо) < /(Ж1). В дальнейшем слово «локальный» будем для краткости
опускать.
Мы будем рассматривать лишь точки строгого максимума и минимума.
Определение. Точка ж0 называется точкой строгого максимума (минимума) функ-
ции /(ж), если существует б > 0 такое, что для всех ж, удовлетворяющих условию
О < |ж - х01 < 5,
верно строгое неравенство
/(ж) - /(жо) < 0 (соответственно /(ж) - f(x0) > 0).
В приведенном определении локального экстремума мы не предполагаем непре-
рывности функции /(ж) в точке жо.
Пример. Так, функция
/(*) =
х / О,
х = 0,
разрывна в точке х = 0, но имеет в этой точке максимум. В самом деле, существует 6 > 0 (например,
6 '= 1) такое, что для всех х 0 из интервала (-1,1) верно неравенство (рис. 8)
№Н(о) = /(х)-ко>
Задача 1. Исходя из определения максимума и минимума, доказать,
что функция
{I
е ?, х £ 0,
0, х = 0
имеет в точке х = 0 минимум, а функция
{>
хе~^, х / о,
0, х = 0
не имеет в точке х — 0 экстремума.
288 Глава XI. Исследование функций одной переменной
Задача 2. Исследовать на экстремум в точке хо функцию /(х) = (х —хо)п<р(х), считая, что производная
р'(х) не существует, но функция р(х) непрерывна в точке xq и p(xq) £ 0, п — натуральное число.
2.1. Необходимое условие экстремума
Теорема 4. Функция f(x) может иметь экстремум только в тех точках, в которых ее
производная f'(x) либо равна нулю, либо не существует.
◄ Пусть в точке жо Функция /(ж) имеет производную
и f'(xo) 0. Для определенности пусть /'(жо) > 0.
Тогда функция /(ж) в точке жо будет возрастающей.
Поэтому найдется такое <5 > 0, что для всех ж из ин-
тервала (жо - б, жо) верно неравенство /(ж) < /(ж0),
а для всех ж из интервала (жо, жо + <5) верно неравен-
ство /(ж0) < f(x) (рис. 9). Из этого следует, что
не существует окрестности точки жо, в которой ве-
личина /(ж0) была бы наибольшим или наименьшим
значением функции /(ж), и поэтому точка жо не бу-
дет н и точкой максимума, н и точкой минимума функ-
ции /(ж).
Аналогичными рассуждениями придем к тому же выводу при f'(xo) < 0.
Итак, если в точке жо существует производная /'(жо)	0, то в точке жо не может
быть ни максимума, ни минимума функции /(ж). Следовательно, экстремум функ-
ции /(ж) может быть только в такой точке, в которой производная f(x) либо равна
нулю, либо не существует. ►
Геометрическую иллюстрацию теоремы да-
ет рис. 10. Функция у = /(ж), график которой
представлен на этом рисунке, имеет экстрему-
мы в точках Ж(, Ж2, жз, Ж4; при этом в точках Ж(
и Ж4 производная /’(ж) не существует, а в точ-
ках жг и жз она равна нулю.
Точки, в которых выполняется необходимое
условие экстремума для функции /(ж), назы-
ваются критическими точками этой функции.
Они определяются как корни уравнения
Рис. 10
= о
и как точки, где /'(ж) не существует (в частности, где f'(x) — бесконечно большая
функция). Корни уравнения /*(ж) = 0 называют стационарными точками функ-
ции /(ж): скорость изменения /(ж) в такой точке равна нулю.
Теорема выражает лишь необходимое условие экстремума, и не в каждой своей
критической точке функция /(ж) обязательно имеет максимум или минимум.
Пример. Так, например, для функции /(х) = х3 имеем /'(О) = 0. Поэтому точка х = 0 является
критической для данной функции. Но функция /(х) = х3 в точке х = 0 экстремума не имеет, т. к.
/(0) = 0, /(х) < 0 для I < 0 и /(х) > 0 для х > 0, так что в точке х = 0 данная функция возрастает. ►
§ 2. Экстремум функции 289
2.2. Достаточные условия максимума и минимума
Теорема 5. Пусть х = xq есть критическая точка для функции f(x),m. е. либо f'(xQ) — О,
либо f'(xo) не существует, но сама функция f(x) непрерывна вточке ж0.
Пусть существует такое 6 > 0, что для всех х из интервала (xq —б, Xq) производная
f(x) > О,адлявсехх изинтервала (жо, хц+б) имеем f'(x) < 0, т. е. при переходе х через
точку хо производная f(x) меняет знак с плюса на минус. Тогда в точке х0 функция f(x)
имеет максимум.
4 Так как лоусловию f'(x) > 0 в интервале (ж0 - б, ж0),
то на отрезке [ж0 - б, жо] функция f(x) возрастает; так
как f'(x) < 0 в интервале (жо, + б), то на отрез-
ке [ж0, ж0 + <5] функция /(ж) убывает. Следователь-
но, /(ж0) есть наибольшее значение функции /(ж)
в окрестности (жо - б, ж0 + б) точки ж0 (рис. 11), а это
означает, что /(ж0) есть локальный максимум функ-
ции /(ж). ►
Аналогично доказывается
Теорема 6. Пусть ж = ж0 есть критическая точка для	р
функции /(ж), т. е. либо /'(жо) = 0, либо f'(xo) не су-
ществует, но сама f(x) в точке жо непрерывна. Пусть существует такое б > 0, что
для всех х изинтервала (ж0 - <5, ж0) имеем f'(x) < 0, а для всех ж из интервала (жо, ж0 + б)
/'(ж) > 0, т. е. производная f(x) при переходе ж через точку жо меняет знак с минуса
на плюс. Тогда точка ж0 есть точка минимума функции /(ж).
Если в некоторой окрестности (жо—<5, жо+<5) критической точки ж0 и слева и справа
отточки жо знак производной f'(x) один и тот же, то в точке ж0 нет экстремума
функции /(ж). Так, если f'{x) > 0 как для ж 6 (ж0 - б, жо), таки для ж G (ж0, ж0 + <5),
то /(ж) будет возрастающей как слева, так и справа от точки ж0. Поэтому каким бы
малыминтервал (жо—б, ж0+5) нибыл, /(жо) небудетнинаибольшим,нинаименьшим
значением /(ж) в этом интервале, т.е. вточке ж0 не будет ни максимума, ни минимума
функции /(ж).
Условие непрерывности функции /(ж) в самой точке ж0
является существенным. Рассмотрим функцию
ZZ \	/	х < О,
/С®) — х + х о
(рис. 12). В точке ж = 0 производная /'(ж) не существует.
При переходе ж через эту точку производная f'(x) меняет
знак, но в точке ж = 0 функция /(ж) экстремума не имеет:
не существует окрестности точки ж = 0, в которой /(0) = 1
было бы наибольшим или наименьшим значением функ-
ции /(ж). Здесь нарушено условие непрерывности функ-
ции /(ж) вточке ж = 0.
Правило 1 (отыскания экстремумов функции). Чтобы найти точки максимума и минимума
функции /(ж), надо:
290 Глава XI. Исследование функций одной переменной
1)	найти производную /'(ж), приравнять ее к нулю и решить по лученное у равнение
/'(*) = 0;	.
2)	найти точки, в которых производная не существует. Эти точки и корни
уравнения /'(ж) = 0 будут критическими точками для функции /(ж).
3)	исследовать знак производной f'(x) слева и справа от каждой критической
точки. Если при переходе х через критическую точку жо производная f'(x) меняет
свой знак с плюса на минус, то в точке жо функция /(ж) имеет максимум; если знак
f'(x) меняется с минуса на плюс, то в точке ж0 функция /(ж) имеет минимум. Если
при переходе ж через критическую точку Жо знак /'(ж) не меняется, то в точке жо
функция /(ж) не имеет ни максимума, ни минимума.
Примеры.
1.	Исследовать на экстремум функцию
у = х2е~х.
◄ 1) Находим производную:
у' — 2хе~х - х2е~х = е~х(2 - х)х.
2)	Приравнивая у1 нулю, находим критические точки функции у(х): х = 0, х — 2.
3)	Исследуем знак производной слева и справа от каждой из критических точек;
у' < о ; у' > о ; у' < о
Го Г2 Г
-  + +  -
Таким образом, точка х = 0 есть точка минимума, точка х = 2 — точка максимума данной функции
(рис. 13). >
2.	Исследовать на экстремум функцию
у = х2/\
4 1) Находим производную:
2) Производная нигде не обращается в нуль, но не существует в точке х = 0:
у{х) —- оо.
X-tQ
3) Исследуем знак у1 слева и справа от точки х — 0:
У' < О I у’ > О
10	х
- ' +
Таким образом, точка х = 0 есть точка минимума данной функции (рис. 14). ►
Рис. 13
Рис. 14
§2. Экстремум функции
291
3. Исследовать на экстремум функцию
У = х\
4 1) Находим производную: у1 = За:2.
2) Приравнивая у1 нулю, находим критические точки функции у(х): х = 0.
3) Исследуем знак производной у1 слева и справа от точки х = 0:
i/'>0 I г/'>0
+ К
Производная у'(х) = Зх2 > 0 как слева, так и справа
от точки х = 0. Следовательно, в точке х = 0 экстремума
нет, функция возрастает в точке х = 0. ►
Замечание. Если функция f(x) имеет в точке xq экстремум,
например, минимум, то это еще не значит, что справа от точ-
ки xq функция возрастает, а слева убывает. Это показывает
следующий пример. Пусть функция f(x) задана равенством
I2 (2 - sin	, х 0,
0, х = 0
(рис. 15). Нетрудно видеть, что в точке х = 0 данная функ-
ция непрерывна и имеет минимум. Производная функции
/'(х) = 2х (i - sin + cos j в любой окрестности точ-
ки х = 0, исключая саму точку х = 0, непрерывна и меняет
знак бесконечно много раз. А сама функция f(x) не моно-
тонна ни слева, ни справа от точки х = 0.
2.3.	Исследование функций на максимум и минимум
при помощи второй производной
Следующая теорема опять выражает достаточные условия максимума и минимума
функции.
Теорема 7. Пусть в точке х о функция f(x) имеет первую и вторую производные, причем
/'(xq) = 0, a f"(xG) / 0. Тогда в точке х$ данная функция f(x) имеет максимум, если
/"(xq) < 0, и минимум, если /"(xq) > 0.
◄ Прежде всего заметим, что точка х 0 является критической точкой для данной функ-
ции /(ж), т. к. /'(xq) — 0.
Пусть /"(^о) <0- Из этого следует, что в точке ж0 первая производная f'(x)
убывает, т. е. существует такая окрестность (ж0 - <5, ж0 + <5) точки xQ, что для всех х
из интервала (жо - 6, жо) верно неравенство f'(x) > /'(^о) = 0, а для всех х из ин-
тервала (жо, жо + 5) верно f'(x) < /'(xq) = 0. Таким образом, при переходе х через
критическую точку xq производная /'(ж) меняет свой знаке плюса на минус. Следо-
вательно, функция /(ж) в точке ж0 имеет максимум.
Подобными же рассуждениями доказывается, что если в критической точке ж0
вторая производная /"(ж0) > 0, то функция/(ж) в точке ж0 имеет минимум. ►
Отсюда получаем второе правило отыскания точек экстремума функции.
Правило 2 (отыскания экстремумов функции). Чтобы найти точки максимума и минимума
функции /(ж), надо найти критические точки /(ж). Для этого поступаем так, как
указано в правиле 1. Затем ищем вторую производную f"(x). Если она в критической
точке Xq существует и меньше нуля: J"(xq) < 0, то в точке жо функция /(ж) имеет
максимум, если же /"(xq) > 0, то в точке жо функция /(ж) имеет минимум. Если
292 Глава XI. Исследование функций одной переменной
в критической точке xq вторая производная равна нулю или не существует, то такую
точку о?о можно исследовать с помощью первой производной.
Пример. Исследовать на экстремум функцию
4 Имеем у' = — 2xe~xl, откуда х = 0 — критическая точка.
Далее находим у" = — 2е~х + 4i2e-1 . Отсюда
2/"(0) = -2 < О,
так что точка х = 0 — точка максимума функции (рис. 16). ►
§3. Наибольшее и наименьшее	Рис16
значение функции, непрерывной на отрезке
Если функция f(x) определена и непрерывна на отрезке [а, Ь], то, согласно второй
теореме Вейерштрасса, она на этом отрезке принимает наибольшее и наименьшее
значения.
Если свое наибольшее значение М функция f(x) принимает во внутренней точ-
ке ж0 отрезка [а, Ь], т. е. когда а < жо < Ъ, то М = /(®0) будетлокальным максимумом
функции f(x), т. к. в этом случае существует окрестность точки z0 такая, что значе-
ния f(x) для всех точек х из этой окрестности будут не больше как в точках
слева от точки жо, так и в точках справа отточки sco.
Однако свое наибольшее значение М функция f(x) может принимать и на концах
отрезка [а, Ь].
Поэтому, чтобы найти наибольшее значение М непрерывной на отрезке [а, Ь]
функции надо найти все максимумы функции f(x) в интервале (а, Ь) и значе-
ния f(x) на концах отрезка [а, Ь], т. е. /(а) и f(b), и выбрать среди них наибольшее
число. Наименьшим значением m непрерывной на отрезке [а, Ь] функции f(x) будет
наименьшее число среди всех минимумов функции f(x) в интервале (а, Ь) и значе-
ний / (а) и /(&).
Для функции, график которой изображен на рис. 17, имеем М = /(Ь), m = f(xQ).
Пример. Из квадратного листа жести со стороной а, вырезая по углам равные квадраты и сгибая края,
составляют прямоугольную открытую коробку. Как получить коробку наибольшей вместимости?
4 Объем v коробки, как функция х, определяется формулой (см. рис. 18):
v(i) = х(а — 2х)2, 0 х -.
Рис. 18
Рис. 17
§ 4. Направление выпуклости и точки перегиба кривой--------------------------------------------293
Имеем
— = (а - 2х)2 ~ 4х(а — 2х) = (а — 2х)(а — 6х).
dx
Отсюда критические точки функции v(x): ii = |, Х2 = |. В интервале (о. лежит критическая точка
а
Х> =ь-
Находим вторую производную функцию v(x):
= -2(а — 6х) — 6(а - 2х).
dx*
При х = | имеем < 0, так что в точке х( = £ функция v(x) имеет максимум:
/а\ а (2 \2	2a3
v — I = — -a 1 = —.
\в)	)	27
На концах отрезка [р, | j имеем v(0) = v = 0.
Таким образом, наибольшее значение функции v(x) — наибольшая вместимость коробки — будет,
если выбрать х = при этом вместимость коробки будет равна ,	►
§4. Направление выпуклости и точки перегиба кривой
Пусть дана кривая уравнением у = f(x) и пусть функция /(а?) в точке имеет
конечную производную /'(^о), т.е. в точке Mq(xg,/(xq)) существует касательная
к данной кривой, не параллельная оси Оу.
Определение. Если существует такая окрестность (до -	+ 6) точки до, что все
точки данной кривой, абсциссы которых содержатся в этой окрестности, расположен ы
над касательной к кривой в точке Mq, то говорят, что выпуклость данной кривой
в точке Mq направлена вниз (рис. 19).
Если все точки кривой с абсциссами из некоторой окрестности точки zq находятся
под касательной к этой кривой в точке Mq, то говорят, что выпуклость данной кривой
в точке Mq направлена вверх (рис. 20).
Определение. Будем говорить, что график функции у = f(x), дифференцируемой
на интервале (а, Ь), имеет на этом интервале выпуклость, направленную вверх (вниз),
если график этой функции в пределах интервала (а, Ь) лежит не выше (не ниже) любой
своей касательной.
Рис. 19
Рис. 20
Рис. 21
294 Глава XI. Исследование функций одной переменной
Определение. Точка Mq(x0, /(жо)) называется точкой перегиба кривой у — f(x), если
существует окрестность (xq—6, хо+б) точки жо такая, что для х < xq из этой окрестно-
сти выпуклость кривой направлена в однусторону, а при х > xq — в противоположную
(рис. 21).
Иными словами, точка Мо — точка перегиба кри-
вой, если в этойточке кривая переходите одной стороны
касательной на другую, меняя направление выпуклости.
Укажем аналитический способ для определения на-
правления выпуклости кривой и отыскания точек пе-
региба. Обозначим через у ординату точки кривой
у = f(x), а через Y — ординату точки касательной,
проведенной к этой кривой вточке Mq (ж0, /(жо)), отве-
чающие одной и той же абсциссе х (рис. 22). Очевидно,
что если у - Y > 0 для всех х жо в достаточно малой
окрестности точки xq , то выпуклость кривой вточке Mq
направлена вниз, а если у - Y < 0 для указанных зна-
чений х, то выпуклость кривой в точке Mq направлена вверх. Таким образом, вопрос
о направлении выпуклости кривой в точке Mq сводится к вопросу о знаке разно-
сти у - Y в окрестности точки xq.
Учитывая, что уравнение касательной к данной кривой вточке Mq(xq, /(жо)) есть
У ~ f(x») = f (®о)(® - ®о),
имеем
У-У = f(x) - [f(x0) + f'(x0)(x -ж0)].	(1)
Пусть функция у = f(x) в окрестности точки xQ имеет производную второго
порядка, непрерывную в точке xQ. Воспользовавшись формулой Тейлора, будем иметь
У	Г'[хо + 0-(х-хй)]	2	п\
f\X) = f{XQ) 4- ---- (х - Xq) +--------------1 (х - ж0) ,	0 < 0 < 1.	(2)
Из формул (1) и (2) получаем
/"[жО+0-(ж -*о)] ,	.2
У - Y = —---------------- (ж - ж0)\	(3)
Если /"(xq)	0, то в силу устойчивости знака непрерывной функции в достаточно
малой окрестности точки ж0 знак f" [ж0 + 0 • (ж - жо)] совпадает со знаком /"(®о) •
Таким образом, из равенства (3) следует, что знак	\	4- у
разности у - Y совпадает со знаком /"(х0). Поэтому, /г’(-т0) >0 =>
если f"(x0) > 0, то у - У > 0 для всех точек ж ж0,	Л/(ж0,/(л0))
достаточно близких к точке жо, и в точке Мо(жо, /(ж0))	f
выпуклость кривой у = /(ж) направлена вниз, а если о	*'г°’- °"
/"(жо) < 0, то выпуклость кривой в точке Mq направлена f Сто)<0
вверх (рис. 23). Отсюда получаем необходимое условие
точки перегиба.
Рис. 23
Теорема 8. Точка Mq(xq, f(x0)) может быть точкой перегиба кривой у = /(ж) только
если /"(xq) = 0 (или /"(xq) не существует).
§ 4. Направление выпуклости и точки перегиба кривой 295
Это условие не является достаточным. Так, например,
для функции f(x) = х4 имеем f"(x) = Ylx2 и /"(0) — 0»
но точка 0(0,0) не есть точка перегиба кривой у = х4:
в этой точке выпуклость кривой направлена вниз (рис. 24).
Достаточный признак точки перегиба выражается сле-
дующей теоремой
Теорема 9. Пусть функция f(x) имеет вторую производную
в некоторой окрестности точки Xq, непрерывную в точке х$.
Если f"(x0) = 0 и при переходе х через точку Xq вторая	Рис. 24
производная f"(x) меняет знак, то точка Mq(xq, J(xq)) есть точка перегиба кривой
У =
◄ Пустьдля функции у = f(x) условие f"(xo) = 0 выпал йеной пусть существуеттакая
окрестность (жо - <5, х0 + б) точки ж0, что в этой окрестности для всех х < хо знак
f"(x) один, а для всех х > х0 знак f"(x) противоположный. Тогда при переходе через
точку Mq(xq, /(ж0)) направление выпуклости кривой меняется. Поэтому точка Л1о
будет точкой перегиба данной кривой.
Если же /"(xq) = 0, но в некоторой окрестности точки ж0 знак f"(x) один и тот
же как при х < хо, так и при х > xq, то точка Mq не будет точкой перегиба: в этой
точке выпуклость кривой направлена вниз, если f"(x) > 0 как слева, так и справа
отточки ж0, и выпуклость кривой направлена вверх, если f"(x) < 0 как слева, так
и справа от точки х0. ►
Задача. Доказать, что если функция f(x) имеет в точке конечную третью производную и удо-
влетворяет условиям f"(xo) = 0, У”'(хо)	0. т° график функции у = /(а:) имеет перегиб в точке
Мд(х0, /(х0))-
Может оказаться, что в точке перегиба Мо(жо, /(жо)) кривой у — f(x) касательная
вертикальна, и поэтому f"(x) в точке жо не существует.
Пример. Рассмотрим, например, функцию /(ж) = z5. Имеем f'(x) =	5, f"(x) = -5-57=. Оче-
видно, нет ни одной точки, в которой f'\x) = 0. Но есть точка х = 0, в которой f'(x} не существует.
Исследуем знак f"(x) в окрестности этой точки. Нетрудно видеть, что f"(x) > 0 в интервале
(-6, 0) и f"(x) < 0 в интервале (0.б), где б > 0. Таким образом, слева от точки 0(0, 0) выпуклость
кривой направлена вниз, справа от точки 0(0,0) — вверх. Следовательно, точка 0(0.0) есть точка
।
перегиба кривой у = х). Касательная в точке 0(0,0) к этой кривой перпендикулярна оси Ох. >
Окончательно достаточный признак точки перегиба может быть сформулиро-
ван так.
Пусть кривая у = f(x) имеет в точке Mq(xq, /(ж0)) касательную, хотя бы и парал-
лельную оси Оу. Пусть функция f(x) в некоторой окрестности точки Xq, кроме, быть
может, самой точки ж0, имеет непрерывную вторую производную. Если f"(x) в точке х0
равна нулю или не существует и при переходе х через точку Xq производная f"(x) меняет
свой знак, то точка Мо(жо, /(ж0)) есть точка перегиба кривой у = f(x).
?96 Глава XI. Исследование функций одной переменной
§ 5. Асимптоты графика функции
Определение. Асимптотой кривой с бесконечной
ветвью называется такая прямая, что расстоя-
ние б точки М кривой до этой прямой стре-
мится к нулю при неограниченном удалении
точки М по бесконечной ветви от начала коор-
динат (рис. 25).
Вертикальные асимптоты
Прямая х = xq является вертикальной асимп-
тотой графика функции у = f(x), если хотя
бы одно из предельных значений
lim /(ж) или
Z-»Z0*-0
Рис. 25
lim f(x)
z-hq+O
равно +оо или -оо. Действительно, при этом расстояние б = |ж - ж0| от точки
М(х, /(жо)) графика функции у = f(x) до прямой ж = ж0 стремится к нулю, а сама
точка М неограниченно удаляется от начала координат.
Так, график функции у = | имеет вертикаль-
ную асимптоту х = 0, поскольку
1 1
lim - = -оо, hm - = +оо
г—0-0 X	ж—*0+0 ж
(рис. 26).
Кривая у = ei имеет вертикальную асимпто-
ту ж = О, так как
lim е* = +оо.
ж-»0+0
На рис. 27 представлены возможные случаи
взаимного расположения кривой и вертикальной
асимптоты.
Для разыскания вертикальных асимптот кри-
вой у = f(x) поступаем так:
1) находим на оси Ох точки разрыва функции /(ж);
2) выделяем те из них, в которых хотя бы один из пределов функции /(ж) (сле-
ва или справа) равен +оо или -оо. Пусть это будуг точки жь Ж2,..., хт. Тогда
Рис. 27
§ 5. Асимптоты графика функции 297
прямые х = х\, х = Xi,..., х = хт будут вертикальными асимптотами графика
функции у = f(x).
Например, для кривой у = верти-
кальными асимптотами будут прямые х = -1
и х = 1 (рис. 28).
Вертикальная прямая х = х0 может ока-
заться асимптотой графика функции у = f(x)
и в том случае, когда точка xQ является кон-
цом интервала, в котором определена функ-
ция f(x). Это будет тогда, когда жо — левый
конец интервала и
lim f(x) = +оо или - оо,
г-^го+О
либо когда xq — правый конец интервала и
lim f(x) = +оо или - оо.
z-4Z0-0
Например, функция у = Ina: определена
в интервале 0 < х < +оо, и для нее
lim In х = -оо,
i-»0+0
так что прямая х = 0 (ось Оу) является вертикальной асимптотой графика функции
у = Ina:.
Наклонные асимптоты
Пусть функция у = /(а:) определена для всех х а (или х а). И пусть прямая
у = kx + Ъ является асимптотой графика функции у = f(x). Такую асимптоту
называют наклонной.
Для определенности будем рассматривать
сколь угодно большие значения аргумента х
положительного знака. Тот факт, что прямая
у = kx + b является асимптотой кривой у =
f(x), означает, согласно определению асим-
птоты, что расстояние 6 от точки М(х, /(а:))
кривой до этой прямой стремится к нулю при
х -♦ +оо. Обозначим через а (а # у) угол, об-
разованный асимптотой с осью Ох. Из рис. 29
видно, что <5 = |M7V| cos а. Поскольку cos а О,
стремление к нулю величины б при х —♦ +оо
влечет за собой стремление к нулю величи-
Рис. 29
ны |M7V|, и наоборот. Замечая, что |M7V| = |/(а:)-/га:-Ь], приходимк выводу: прямая
у = kx + Ъ будет наклонной асимптотой графика функции у = f(x) при х —► +оо
тогда и только тогда, когда
lim (f(x) - kx — b) = О,
г-»+оо 4
т. е. когда функция f(x) представима в виде
/(а:) = kx + Ь + <х(х),
(1)
где lim а(а:) = 0.
298 Глава XI. Исследование функций одной переменной
Существование асимптоты у = кх + Ь у кривой у = f(x) при х —> +оо означает,
что при х —* +оо функция у = f(x) ведет себя «почти как линейная функция»,
т.е. отличается от линейной функции у = кх + Ь на бесконечно малую функцию
при х —» +оо.
Теорема 10. Для того, чтобы график функции у = /(ж) имел при х -> +оо наклонную
асимптоту у = кх + Ь, необходимо и достаточно, чтобы существовали оба предела
lim = к и lim [/(ж) - Ля] = Ь.	(2)
X —»+оо X	X—» + оо
◄ Необходимость. Пусть график функции у = f(x) при х —» +оо имеет асимптоту
у = кх + Ъ, т. е. для /(ж) справедливо представление (1):
/(я) = кх + Ъ + а(х), где а(ж) —> 0.
z-»+oo
Тогда
f(x)	Ь а(ж)1	,	г / л г / л
lim -----= lim Лч--------1----= к, Пт [/(ж) - кх] = lim [Ь + а(ж)]=Ь,
г-»+оо Ж з-»+оо Ж Ж J	г-и-оо	J г->+оо
т. е. существуют оба предела (2).
Достаточность. Пусть существуют оба предела (2). Существование второго из этих
пределов дает право утверждать, что разность /(ж) - кх - Ь является бесконечно малой
функцией при ж —► +оо. Обозначив эту разность через а(ж), получим
/(ж) = кх + Ъ + а(ж), где а(х) —► 0.
X—4-00
Этоозначает, что график функции у = /(ж) имеет наклонную асимптоту у = кх+Ъ. ►
Аналогично исследуется случай ж —► -оо.
Пример. Рассмотрим функцию у = —у .
< Ее график имеет вертикальную асимптоту х = 1.
х2
Запишем функцию f(x) = —в виде
Величина стремится к нулю при х —► оо. Таким
2
образом, функция f(x) = допускает представле-
ние
f(x) = х + 1 + а(х),
где а(х) =	0. Отсюда следует, что график
данной функции имеет наклонную асимптоту у = х + I
(рис. 30). ►
Полезно исследовать знак разности
Рис. 30
Д = f(x) - кх - Ъ.
Если Д > 0, то кривая расположена над асимптотой; если Д < 0, то под асимптотой.
§6. Схема построения графика функции 299
Горизонтальная асимптота (частный случай наклонной, k — О)
Если при х —> +оо (или при х —> -оо) функция /(ж) имеет конечный предел, равный
числу Ъ:
lim f(x) = Ь (соответственно lim f(x) = b),
X—»+oo	X—» —00
то прямая у = b есть горизонтальная асимптота соответственнодляправой или левой
ветви графика функции у = f(x).
Примеры.
1.	Пусть у = j. Для функции /(z) = i имеем
так что график функции у = имеет горизонталь-
ную асимптоту у = 0.
2.	Пусть у — arctg х. Для функции f(x) = arctg х
имеем
я	я
lim arctg = —, lim arctg x = — —.
г-»* ос	2 x—ос	2
Таким образом, правая ветвь графика функции
у = arctg х имеет горизонтальную асимптоту
У = %, а левая ветвь — асимптоту у = - у
(рис. 31).
3.	Пусть у =	з/(0) = 1. Поскольку	Рис. 31
sin х
lim ----= О,
z-юо х
прямая у = 0 является горизонтальной асимптотой графика функции у = (рис. 32).
Последний пример показывает, что кривая у = f(x) может пересекать свою асимп-
тоту, и даже бесконечное множество раз.
Задача. Установить условия существования асимптот у графика рациональной функции.
§6. Схема построения графика функции
Одна из возможных схем исследования функции и построения ее графика разлагается
на следующие этапы решения задачи:
1.	Область определения функции (О.О.Ф.).
2.	Точки разрыва функции, их характер. Вертикальные асимптоты.
3.	Четность, нечетность, периодичность функции.
4.	Точки пересечения графика с осями координат.
5.	Поведение функции на бесконечности. Горизонтальные и наклонные асимп-
тоты.
300 Глава XI. Исследование функций одной переменной
6.	Интервалы монотонности функции, точки максимумам минимума.
7.	Направления выпуклости кривой. Точки перегиба.
8.	График функции.
Пример 1. Построить график функции
у = ----у (верзиера или локон Марии Аньези).
◄ 1. О.О.Ф. — вся числовая ось.
2. Точек разрыва нет; вертикальных асимптот нет.
3. Функция четная: /(—ат) = /(ат), так что график ее симметричен относительно оси Оу; непери-
одическая. Из четности функции следует, что достаточно построить ее график на полупрямой х О,
а затем зеркально отразить его в оси Оу.
4. При z = 0 имеем у = J; у 0, у > 0 Ух, так что график функции лежит в верхней полуплос-
кости у > 0.
5. lim f(x) = lim -г-Ц = 0, так
z-±oc 7 ' ' г-±х На2
что график имеет горизонтальную асимпто-
ту У — 0; наклонных асимптот нет.
6- У = -(Т+?р- Так чт0 Ф*нкция №
возрастает при х < 0 и убывает, когда х > 0.
Точка z = 0 — критическая. При переходе х
через точку х = 0 производная у'(х) меня-
ет знак с минуса на плюс. Следовательно,
точка х = 0 — точка максимума, j/(0) = 1.
Результат этот достаточно очевиден: f(x) =
1 Vi.	Рис. 33
7. у" =	Вторая производная обращается в нуль в точках х = Исследуем точку
х = (далее соображение симметрии). При х > имеем у" > 0, т. е. кривая выпукла вниз;
при х < получаем у" < 0 (кривая выпукла вверх). Следовательно, точка х = 75 = Т ~точка
перегиба графика функции.
Результаты исследования сведем в таблицу:
X	(-•-ф	_ Уз 3	Н-°)	0	М)	л 3	(Т’+о°)
Л®)	+	+	+	0	-	-	-
/"(*)	+	0	-	-2	-	0	+
/(*)		Точка перегиба	/	max		Точка перегиба	
В таблице стрелка «/» указывает на возрастание функции, стрелка «\» — на ее убывание.
Г рафик функции изображен на рис. 33. ►
Пример 2. Построить график функции
, 1
у = х -|— (трезубец Ньютона).
◄ 1. О.О.Ф. — вся числовая ось, исключая точку х = 0.
2.	Точка разрыва функции х = 0. Имеем
/ 2	1 \	/ 2 I \
lim I ч— I = +оо, lim i -l— = -оо,
г—04-0 \ X/	г—0-0 \ xJ
так что прямая х = 0 — вертикальная асимптота.
3.	Функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего положения); непериодическая.
§ 6. Схема построения графика функции
301
4.	Полагая у = О, получаем ж2 + = 0 или = 0, отку-
да х = -1, т. е. график функции пересекает ось Ох в точке (-1,0).
5.	lim = lim (х + Л) = ±оо — наклонных и гори-
зонтальных асимптот нет.^
6.	у' = 1х -	= 2^;~1, откуда х =	— критическая точка.
Вторая производная функции у" = 2 + Л > 0 в точке х =	, так
2	у<2
что х =	— точка минимума.
7.	Вторая производная у" = 2^+1- обращается в нуль в точ-
ке х = — 1 и меняет свой знак с «+• на «—» при переходе через
эту точку. Следовательно, точка (-1,0) — точка перегиба кривой.
Для х 6 (-оо,-1) и х 6 (0, +оо) имеем у" > 0, т. е. выпуклость
кривой направлена вниз; для — 1 < х < 0 имеем у" < 0, т. е. вы-
пуклость кривой направлена вверх.
Рис. 34
Результаты исследования сводим в таблицу:
ж	(-00,-1)	-I	(-1.0)	0	(°4)	1	(-4,+оо)
/'(*)	-	-	—	Не существует	-	0	+
/"(*)	+	0	-	Не существует	+	+	+
		Точка перегиба /(-1) = 0	\	Не существует. Вертикальная асимптота ж = 0		min/(-^=) w 1,89	/
Г рафик функции изображен на рис. 34. ►
Пример 3. Построить график функции
Inz
У = х +----.
х
4 1. О.О.Ф. — полупрямая х > 0.
2.	В области определения функции точек разрыва нет.
При х —» 0 + 0 имеем
..	/ lnz\
hm х +------- = -оо,
г-,0+0 \ х /
так что прямая х = 0, проходящая через граничную точку
области определения функции у(х), является вертикальной
асимптотой графика функции.
3.	Функция общего положения, непериодическая.
Рис. 35
4. Полагая у = 0, получаем х +	= 0, или х2 + In ж = 0. Приближенное решение этого
уравнения можно получить графически (рис. 35).
5.
г „ .	1	In ж
lim /(ж) - кх | = lim ------= 0 = 6.
a—+ool	J	г—+оо х
Отсюда у = ж — наклонная асимптота графика.
6.
, I In ж ж2 + 1 - In ж
V ~ + X2 ~ "ж5	X2 '
Из рис. 36 видно, что ж2+1 > In ж Уж > 0 и, значит у1 > 0 Уж, т. е. функция /(ж) возрастает на (0, +оо).
Экстремумов нет.
302
Глава XI. Исследование функций одной переменной
7.
,,	2	1	21п х 21п х - 3
У =—3~~3+~Г =------------з--•
X3 X3 X3	X3
Вторая производная обращается в нуль при х = е3^I 2, и при переходе х через эту точку у" меняет знак
с «-» на « + ». Следовательно, х = е3^2 — абсцисса точки перегиба кривой.
Результаты исследования сводим в таблицу:
X	(O.zo)	Хо	(хо, е3/2)	е3'2	(е3/2, +оо)
/'(*)	+	+	+	+	+
/"(*)	-	-	-	0	+
f(x)	z	0	z	Точка перегиба. /(е3/2) х 4,82	Z
Г рафик функции изображен на рис. 37. к
Пример 4. Построить график функции
у = х+ —
Х‘
4 1. О.О.Ф. — вся числовая ось, исключая точку х = 0.
2.	Точка х = 0 — точка разрыва 2-го рода функции. Так как lim Дж +	= +оо, то прямая
х = 0 — вертикальная асимптота графика функции.
3.	Функция общего положения, непериодическая.
4.	Полагая у = 0, имеем х3 + I =0, откуда х = -1, так что график функции пересекает ось Ох
в точке (-1,0).
5.
4i> = lim fj+
X г—±ос \ х3 /
I
lim —z = 0 = Ъ.
lim
-♦±3
limc[z(x)-tx] =
§ 6. Схема построения графика функции 303
Следовательно, график функции имеет наклонную асимптоту у = х.
& у* = 1 -	-	• Из условия у* = 0 получаем х3 - 2 = 0, т. е. х = \/2 — критическая точка.
Вторая производная функции у" =	> 0 всюду в области определения, в частности, в точке х = v2.
Так что х = v^2 — точка минимума функции.
7. Поскольку у" =	> 0 Vx, х 0, то всюду в области определения функции выпуклость ее
графика направлена вниз.
Результаты исследования сводим в таблицу:
X	(-00,-1)	-1	(-1,0)	0	(О, &2)	#2	(•^2, +оо)
/'(*)	+	+	+	Не существует	-	0	+
f"(x)	+	+		Не существует	+	+	+
/(*)	/	0	Z	Не существует. х — 0 — вертикальная асимптота		min /(^2) и 1,89	
Г рафик функции изображен на рис. 38. к
Пример 5. Построить график функции
у = \jx{x - З)2.
4 1. О.О.Ф. — вся числовая ось.
2.	Непрерывна всюду. Вертикальных асимптот нет.
3.	Общего положения, непериодическая.
4.	Функция обращается в нуль при х = 0 и х = 3.
5.
/(»)
х
lim
= .Йх>[^<1_3,2'Х]= «И&
х(х — З)2 — х3
^х2(х - З)4 + х tyx(x - З)2 + х2
— -2 — Ъ.

Таким образом, график функции имеет наклонную асимптоту у = х - 2.
6.
I _ (х - З)2 + 2х(х - 3) _ х - 1
9 ' з[х(х-з)=]!/’ =	'
Производная у'(х) обращается в нуль в точке х = I и не существует при х = 0 и х = 3. При переходе х
через точку х = 0 (х < 1) производная у'(х) не меняет знак, так что в точке х = 0 экстремума нет.
При переходе точки х через точку х = 1 (0 < х < 3) производная у'(х) меняет знак с « + » на «-».
Значит в точке х = 1 функция имеет максимум. При переходе х через точку х = 3 (х > I) производная
у'(х) меняет знак с « —• на «+», т. е. в точке х = 3 функция имеет минимум.
7. Находим вторую производную
хУ\х — З)4'3
Вторая производная у"(х) не существует в точке х = 0 и при переходе х через точку х = 0 у" ме-
няет знак с «+» на «-», так что точка (0,0) кривой — точка перегиба с вертикальной касательной.
В точке х = 3 перегиба графика нет. Всюду в полуплоскости х > 0 выпуклость кривой направлена
вверх.
Результаты исследования сводим в таблицу:
304 Глава XI. Исследование функций одной переменной
X	(-00,0)	0	(0,1)	1	(1,3)	3	(3. +оо)
/'(*)	+	Не существует	+	0	-	Не существует	+
Г'Ы	+	Не существует	-	-	-	Не существует	-
/(*)		Точка перегиба (0,0) с вертикальной касательной		щах/(1) « 1,59		min /(3) = 0	/
§7. Исследование функций на экстремум
с помощью производных высшего порядка
Для отыскания точек максимума и минимума функций может быть использована
формула Тейлора.
Теорема 11. Пусть функция f(x) в некоторой окрестности точки х0 имеет производ-
ную п-го порядка, непрерывную в точке xq. Пусть f\xQ) = f"(x0) =... = f^n~]\х0) = 0,
но f^n\x0) ф 0. Тогда если число п — нечетное, то функция f(x) в точке xQ не имеет
экстремума; когда же п — четное, то в точке х0 функция f(x) имеет максимум, если
ftn\xo) < 0, и минимум, если f(n\xo) > 0.
◄ В силу определения точек максимума и минимума вопрос о том, имеет ли функ-
ция f(x) в точке х0 экстремум, сводится к тому, существует ли такое <5 > 0, что
в интервале (х0 - <5, х0 + 6) разность f(x) - f (ж0) сохраняет знак. По формуле Тейлора
7. Исследование функций на экстремум с помощью производных высшего порядка 305
Чх) = /(1о)+^(»-»о)+^(«-хо)2+... + ^^(«-а:о)п-' +
+ /(-)(xo + ^-x0))(j_ao)„	(1)
П!
Гак как по условию /'(xq) — /"(®о) = ... = /^~}\xq) — 0,тоиз(1) получаем
_ ,, v _ 7(п)(®о + 0(х-хо)) . .n	( .
j (®) /(®o) —	“	(® ®o) •	(2)
ft!
1оусловию/^n\x) непрерывна вточке xq и/^(x0) # 0- Поэтому в силу устойчивости
нака непрерывной функции существует такое 6 > 0, что в интервале (хо - б, ®о + 6)
нак f(n\x) не меняется и совпадает со знаком /^(xq).
Рассмотрим возможные случаи:
1)	ft — четное число и /^(xq) > 0. Тогда
/(я,(а:о + в(®-®о)) ,	_.„>n v-.elr Л -г 4-
---------;-------— Xq) U VX 6 (Хо “ О, Xq + 0),
ft;
। потому в силу (2)
/(х) “ /(®о) о V® е (х0 - б, х0 + 6).
Согласно определению это означает, что точка хо есть точка минимума функции /(х).
2)	п — четное и /(п\хо) < 0. Тогда будем иметь
^±^2»(!С_1о)»со V* 6 («<,-«,«» + «),
I вместе с этим и /(х) - / (хо) 0 Vx € (xq - б, хо 4- б). Поэтому точка Хо будет в этом
:лучае точкой максимума функции /(х).
3)	п — нечетное число, /("\х0) # 0. Тогда при х > х0 знак
f{n)(x0 + e(x-xQ))
----*------------{X - Xq)
ft!
>удет совпадать со знаком f(n\xQ), а при х < хо будет противоположным. Поэтому
при сколь угодно малом б > 0 знак разности /(х) - /(х0) не будет одним и тем же
1Ля всех х € (®о - б, хо 4- б). Следовательно, в этом случае функция /(х) в точке хо
экстремума не имеет. ►
Пример. Рассмотрим функции 1) у = ж4; 2) у = ж3.
4 Легко видеть, что точка х = 0 является критической точкой обеих функций. Для функции у = ж4
первая из отличных от нуля производных в точке х = 0 есть производная 4-го порядка: /^4\о) = 24 > 0.
Таким образом, здесь п = 4 — четное и /4\0) > 0. Следовательно, в точке х = 0 функция у = ж4
имеет минимум.
Для функции у = х3 первая из отличных от нуля в точке х = 0 производных есть производная
3-го порядка. Так что в этом случае п = 3 — нечетное, и в точке х = 0 функция у = х3 экстремума
не имеет. ►
Замечание. С помощью формулы Тейлора можно доказать следующую теорему, выражающую доста-
точные условия точки перегиба.
Георема 12. Пусть функция /(х) в некоторой окрестности тонки Xq имеет производ-
им п-го порядка, непрерывную в точке xq. Пусть /"(xq) = /"'(хо) =... = /^п-1\хо) = 0,
1 Зак. 750
306 Глава XI. Исследование функций одной переменной
wo # 0- Тогда, если п — нечетное число, то точка Mq{xq, /(®о)) есть точка
перегиба графика функции у = f(x).
Простейший пример доставляет функция f(x) =х3.
§8. Вычисление корней уравнений
методами хорд и касательных
Задача состоит в нахождении действительного корня уравнения
/(*)=#. (1)
Предположим, что выполнены следующие условия:
1)	функция f(x) непрерывна на отрезке [а, Ь);
2)	числа /(а) и /(6) противоположны по знаку: /(а) • /(b) < 0;
3)	на отрезке [а, 6] существуют производные f'(x) и f"(x), сохраняющие на этом
отрезке постоянный знак.
Из условий 1) и 2) в силу теоремы Больцано—Коши (с. 220) следует, что функ-
ция f(x) обращается в нуль по крайней мере в одной точке С б (а, Ь), т. е. уравнение
(1) имеет по крайней мере один действительный корень £ в интервале (а, Ь).
Так как в силу условия 3) производная f'(x) на [а, Ь] сохраняет постоянный знак,
то f(x) монотонна на [а, 6] и поэтому в интервале (а, Ь) уравнение (1) имеет только
один действительный корень £.
Рассмотрим метод вычисления приближенного значения этого единственного дей-
ствительного корня f G (а, Ь) уравнения (I) с любой степенью точности. Возможны
четыре случая (рис. 40):
1)	f(x) > 0, f"(x) > О,
2)	/'(*) > 0, f"(x) < 0,
3)	f\x) < 0, /"(z) > 0,
4)	/'(я) < 0, f"(x) < 0
на отрезке [а, Ь].
Рис. 40
Возьмем для определенности случай, когда f'(x) > 0, f"(x) > 0 на отрезке [а, 6]
(рис. 41). Соединим точки Л(а, /(а)) и B(b, /(b)) хордой АВ. Это отрезок прямой,
проходящей через точки А и В, уравнение которой
у - /(а) х - а
/(b)-/(а) Ь-а,
§ 8. Вычисление корней уравнений методами хорд и касательных 307
Точка aj, в которой хорда АВ пересе-
кает ось Ох, расположена между а и £
и является лучшим приближением к
чем а. Полагая в (2) у = 0, найдем
/(а)(6 - а)
” “ Л»)-/(«)’
Из рис. 41 нетрудно заметить, что точ-
ка ai будет всегда расположена с той
стороны от С в которой знаки f(x)
и f"(x) противоположны.
Проведем теперь касательную
к кривой у = f(x) в точке B(b,
т. е. в том конце дуги '-'АВ, в котором
f(x) и f"(x) имеют один и тот же знак.
Рис. 41
Это существенное условие: без его соблю-
дения точка пересечения касательной с осью Ох может вовсе не давать приближение
к искомому корню. Точка &|, в которой касательная пересекает ось Ох, расположена
между С и & с той же стороны, что и Ь, и является лучшим приближением к £, чем &.
Касательная эта определяется уравнением
У ~ /(Ь) = f'(b)(x - &).
(3)
Полагая в (3) у = 0, найдем &|:
=	*0)-
Таким образом, имеем
а < й} < £ <	< Ь.
Пусть абсолютная погрешность приближения ? корня £ задана заранее. За абсо-
лютную погрешность приближенных значений а} и &, корня £ можно взять величину
|bi - ai]. Если эта погрешность больше допустимой, то, принимая отрезок [ai, bj
за исходный, найдем следующие приближения корня £:
/(Д|)(Ь| - ai)
и
b2 = b'-^ (Wi)*»),
где
d < Л| < a>2 < £ <	< &.
Продолжая этот процесс, получим две последовательности приближенных значений
CL	< йп < • • •	£
И
где
п = 1, 2,... ;
(4)
во = а,
308
ГлаваХ!. Исследование функций одной переменной
\» Л — 1, 2, ... ,
J \bn-i)
&о = Ь-
(5)
Последовательности {ап} и {&п} монотонные и ограниченные и, значит, имеют
пределы. Пусть
lim ап = a, lim Ъп = /3.
п—»ОО	П—*00
Можно показать, что если выполнены сформулированные выше условия 1)-3), то
а — р — £ — единственному корню уравнения f(x) — 0.
Пример. Найти корень ( уравнения х2 — 1 = 0 на отрезке [0,2].
4 Результат очевиден: £ = 1. Попытаемся его получить методом хорд. Функция f(x) = х2 - 1
1)	непрерывна на отрезке [0,2];
2)	/(0) = -1 < 0, /(2) = 3 > 0, так что /(0) • /(2) < 0;
3)	f'(x) = 2® и f"(x) = 2 сохраняют знак на отрезке [0, 2].
Таким образом, выполнены все условия, обеспечивающие существование единственного корня ( урав-
нения х2 -1 = 0 на отрезке [0,2], и метод должен сработать. В нашем случае а = О, b = 2. При п = 1
из (4) и (5) находим
При п = 2 получаем
= »j = i + 5.
что дает приближение к точному значению корня ( с абсолютной погрешностью Д(£*) < О, I. ►
	Упражнения
Постройте графики функций:
1. у = X - ®3.	_	х2 - 1	_	х2 +1	.	®3 - 4 2.у=	.	З.у =	.	4. у =— х	х	х2
5. у = хе~*.	е2<’+,)	х — 1	—8 — ®2 в-‘'=2(г+1)-	7-“ = 2‘" Х +Ь в'»=^Т4-
9. у = \]х(х - I)2.	10. у = <{/®(® - 2).	11. у = ^(® - 1)J - <У(® - 2)2.
Найдите наибольшее и наименьшее значение функций на заданных отрезках:
12.» = 4-г-р на(1,4).	13.»= ^2г!(» - 6) на (-2.4].	14.»= на [-1,2].
Исследуйте поведение функций в окрестностях заданных точек с помощью производных
высших порядков:
15. у = sin2(® - 1) - х2 + 2®, ®0 = 1.	16. у = cos® 4- ch х, ®0 = 0.
17. у = х2 + 21п(® + 2), ®0 = -1.	18. у = х2 - 2ег-1, ®0 = I-
Ответы
1. Рис. 42. 2. Рис. 43. 3. Рис.44. 4. Рис. 45. 5. Рис. 46. 6. Рис. 47. 7. Рис. 48. 8. Рис. 49. 9. Рис. 50.
10. Рис.51. 11. Рис.52. 12. М = l,m = -1. 13. М = 0, тп = -4. 14. М = 5, т = 0. 15. Рис.53.
16. Рис. 54. 17. Рис. 55. 18. Рис. 56.
Рис. 47
Рис. 48
Рис. 53
Рис. 54
Рис. 55
Рис. 56
Приложение
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
Рассмотрим области определения и графики основных элементарных функций.
§ 1.	Степенная функция у = ха
Здесь а — любое действительное число. В общем случае степенная функция опреде-
лена при х > 0; она монотонно возрастает, если а > 0, и монотонно убывает, если
а < 0 (рис. 1 и 2).
Частные случаи
1.	Если а — целое положительное число, то функция у = ха определена на всей
вещественной оси -оо < х < +оо. Графики степенной функции при а = 3 и а = 4
изображены на рис. 3 и 4.
2.	Если а — целое отрицательное число, то функция ха определена при всех значени-
ях х, кроме х = 0 (рис. 5 и 6).
3.	Если а = | > 0 — рациональное число, где q — нечетное, то функция ха определена
на всей вещественной оси, а при четном q функция ха определена для х > 0.
§2. Показательная функция у = ах (а > 0, а 1)
Область определения — вся числовая прямая R. Число а называется основанием
степени. При а > 1 показательная функция монотонно возрастает, а при 0 < а < 1
монотонно убывает (рис. 7).
О ' ‘ х	О	х
Рис. 7
§4. Тригонометрические функции 31b
§ 3. Логарифмическая функция
у = togo х (а > 0, а 1)
Число а называется основанием логарифмической функции. Область определения —
бесконечный промежуток (0, +оо). При а > 1 логарифмическая функция монотонно
возрастает, а при 0 < а < 1 монотонно убывает (рис. 8).
Логарифмическая функция у = logo х является обратной функцией для показа-
тельной функции у = а*. Логарифмическую функцию с основанием а = е обозначают
In х и называют натуральным логарифмом, а логарифмическую функцию с основани-
ем а = 10 обозначают 1g х и называют десятичным логарифмом, т. е.
loge X = In X, logio х = 1g X.
§4. Тригонометрические функции
1.	Функция синус у = sin X
Функция определена для всех х, она периодическая с периодом Т = 2я. График
синуса называют синусоидой (рис. 9).
Рис. 9
314 Приложение. Элементарные функции
2.	Функция косинус у = cos х
Функция определена для всех х, ее период Т = 2тг, график изображен на рис. 10.
График функции у = cos х получается из графика у = sin х смещением его вдоль
оси Ох влево на отрезок \.
3.	Функция тангенс у = tg х
Функция определена всюду, кроме точек х = (2fc + 1)у (к = 0, ±1, ±2,...). Она
периодическая с периодом Т = it. Ее график изображен на рис. 11.
Рис. 11
§5. Обратные тригонометрические функции_____________________________________________ 315
4.	Функция котангенс у = ctg х
Функция определена всюду, кроме точек х = fcir (k = 0, ± I, i2,...). Функция
периодическая, Т = к (рис. 12).
5.	Функции секанс у = sec х и косеканс у = cosec х
Функции секанс и косеканс определяются соответственно равенствами
1 1
sec х —-----, cosec х = -—;
cos х	sin х
они определены всюду, кроме точек, в которых знаменатели обращаются в нуль.
§ 5. Обратные тригонометрические функции
1.	Функция арксинус у — arcsin х
Рассмотрим функцию у = sin х на отрезке [-$, ^]. На этом отрезке функция у = sin®
монотонно возрастает. Значит, она имеет обратную функцию х = arcsin у, которая
определена на отрезке [-], 1], а область ее значений — отрезок [-f, |]. График
функции у = arcsin х изображен на рис. 13.
2.	Функция арккосинус у = arccos х
Рассмотрим функцию у = cos х на отрезке [0, тт]. На отрезке [0, тг] функция у = cos х
монотонно убывает, так что она имеет обратную функцию х = arccos у, которая
316 Приложение. Элементарные функции
определена наотрезке[-1,1], а ее значения заполняют отрезок [0, тг]. Графикфункции
у = arccos х изображен на рис. 14.
3.	Функция арктангенс у = arctg х
Рассмотрим функцию у = tgx на интервале (-7,7). При этих значениях х функция
tgx монотонно возрастающая и ее значения заполняют интервал (-оо, 4-оо). Следо-
вательно, функция у = tgz имеет обратную, которая обозначается х = arctg;/. Она
определена на всей числовой оси, а ее значения заполняют интервал (-J, |). График
функции у = arctgх см. на рис. 15.
4.	Функция арккотангенс у = arcctg х
Рассмотрим функцию у = ctgz на интервале (0, тг). При этих значениях х функция
ctgz убывает, а ее значения заполняют интервал (-оо, 4-оо). Поэтому она имеет
обратную, которая обозначается так: х = arcctg у. Эта функция определена на всей
числовой оси, а ее значения заполняют интервал (0, т). График функции у = arcctg х
изображен на рис. 16.
§ 5. Обратные тригонометрические функции
317
Рис. 16
318 Приложение. Элементарные функции
§6. Гиперболические функции
ех — е х
1.	Гиперболический синус sh х =------------- (1)
Область определения: (-оо, 4-оо).
Область значений: (-оо, 4-оо).
Функция sh х нечетная, т. к. sh(-z) = - sh х.
График функции у — sh х представлен на рис. 17.
ех + е~х
2.	Гиперболический косинус ch ж = ---------- (2)
Область определения: (-оо, 4-оо).
Область значений: [1,4-оо).
Функция ch х четная, свое минимальное значение принимает при х-=t 0.
График функции у — ch х представлен на рис. 18.
sh х	ех — в ®
3.	Гиперболический тангенс th ж =----=-------------- (3)
ch ж	ех + е_®
Область определения: (-оо,4-оо).
Область значений: (-1,1), т. е. | th я| < 1.
Функция у = th ж нечетная, ее график изображен на рис. 19.
ch х	ех е~х
4.	Гиперболический котангенс cth х =---=--------------- (4)
sh ж	ех — е~х
Область определения: (-оо, 0) и (0, 4-оо).
Область значений: (-оо, -1) и (1, 4-оо), т. е. | cth z| > 1.
Функция у = cth х нечетная, ее график представлен рис. 20.
§ 6. Гиперболические функции 319
5.	Соотношения между гиперболическими функциями
Гиперболические функции связаны между собой следующими соотношениями:
ch2 х - sh2 х = 1, т.е. ch х = Vsh2 а: 4- 1, sh х = ±х/ch2^ - Г,
sh(z 4- у) = sh х ch у 4- ch х sh у, в частности sh 2х = 2 sh х ch
ch(z 4- у) = ch х ch у 4- sh х sh у, в частности ch 2а: = ch2 х 4- sh2 а:;
. ч th х 4- th у	2 th хе
thia: + у) = 1-:---:—, в частности th 2а: =----г—.
v	14-tha?thy	1 4-th2 а:
Все эти формулы вытекают из формул (1)-(4).
Пользуясь нечетностью функций sh хе и thxE,
из формул (6)-(8) получаем
sh(a: - у) = sh х ch у - ch х sh у,
ch(a: - у) = ch х ch у - sh х sh у,
,,	. th a:-th у
v 1-th х thy
В заключение покажем, что
(sh х + ch х)п = sh пх 4- ch пх (п € N).
◄ Из формул (1) и (2) следует
/ ех — е~х
(sh х 4- ch а;)п =	--
finx _ --пх
= (еТ = ^ =--------------
= shna? 4- ch пх. ►
ех 4- е
2	7
епх + е~пх
2
Предметный указатель
А
абсолютная величина числа 170
------,свойства 170-171
абсцисса 6,7
алгебраическое дополнение элемента определи-
теля 13
алгоритм диагонализации квадратичной формы
159-160
антикоммутативность векторного умножения
векторов 25
аппликата 7
аргумент комплексного числа 186
—	функции 192
арккосинус 315-316
арккотангенс 316
арксинус 315
арктангенс 316
асимптота вертикальная 296
—	гиперболы 52
—	горизонтальная 299
—	наклонная 297
ассоциативность сложения в линейном
пространстве 121
---векторов 16
6
базис евклидова пространства ортонормирован-
ный 136
—	координатный 19
—	линейного пространства 127
—	ортонормированный 19
Бернулли неравенство 176,184
Больцано—Каши теорема 220-221
В
Вейерштрасса теорем а вторая 223
---первая 222
вектор единичный 1S
—	замыкающий (ломаную) 16
—	, компоненты 19
—	,координаты 19
—	направляющий прямой 40
—	нормальный плоскости 37
		прямой 32
—	нулевой 14
—	скользящий 15
вектор-функция дифференцируемая вточке 261
—	непрерывная в точке 261
—	скалярного аргумента 259
векторы 121
—	закрепленные 14
—	компланарные 27
—	одинаково направленные 17
—	противоположно направленные i 7
—	свободные 15
		коллинеарные 17
		, откладывание 15
— связанные 14
---, откладывание 15
---равные 14
------,свойства 14
величина направленного отрезка 20
верзиера (локон Марии Аньези) 300
вершина гиперболы 52
—	конической поверхности 67
—	параболы 55
— эллипса 49
ветвь гиперболы 52
---левая 52
---правая 52
взаимнооднозначное соответствие 169
вид квадратичной формы диагональный 157
------нормальный 157
второй замечательный предел 216
выпуклость кривой, направленная вверх 293
—-----вниз 293
высказывание 174
Г
Гейне определение непрерывности функции в
точке 212
---предела функции вточке 197
гипербола 52,62,163
—	, свойства 52-55
—	сопряженная данной 55
гиперболоид двуполостный 164
---вращения 70
---общего вида 70
— однополостный 164
---вращения 69
---общего вида 70
главное значение аргумента 186
Предметный указатель______________________
годограф вектор-функции 259
грань множества верхняя 173
----верхняя точная 173
----нижняя 173
----точная 173
— функции верхняя точная 223
----нижняя точная 223
график функции 194
д
дефект отображения линейного 143
диагональ определителя главная 11,12
----побочная 11,12
диагональ матрицы главная 76
дизъюнкция 174
директриса гиперболы 54
---- левая 54
----правая 54
—	параболы 55
—	эллипса 50
		левая 50
		правая 50
Дирихле функция 194, 212,220
дифференциал независимой переменной 240
— функции 240
----1-го поряДка 255
----2-го порядка 255
----п-го порядка 255
дифференцирование логарифмическое 251
— функции 239
дифференцируемость вектор-функиии в точке
261
— функции в точке 238,240
----на интервале 240
длина свободного вектора 15
— элемента евклидова пространства 134
дополнение алгебраическое элемента матрицы
93
— ортогональное данного подпространства 137
----, свойства 137-138
<5-окрестность точки 172
----проколотая 172
Е
единица мнимая 184
3
задание функции аналитическое 193
----графическое 194
----табличное 194
закон инерции квадратичной формы 162
значение собственное линейного оператора 150
— функции на отрезке наибольшее 223
----наименьшее 223
И
импликация 174
инвариантность формы дифференциала 246
_____________________________________321
инварианты уравнения кривой 2-го порядка 63
---линии 2-го порядка 63
интервал на числовой осн 171
-------бесконечный 1.71.
истинное подмножество 168
К
Кантора лемма 183
—	теорема 224
касательная к кривой в точке 233
—	— , уравнение 234
квадранты 6
квантор общности 174
—	существования 174
комбинация линейная строк 78
—	— нетривиальная 78
-	— тривиальная 78
коммутативность скалярногоумножения векто-
ров 22
— сложения в линейном пространстве 121
----векторов 16
компоненты вектора 19
конус 2-го порядка 68,73, 165
конъюнкция 174
координата точки 5
координатные четверти 6
координаты вектора 19
—	полярные 10
—	прямоугольные декартовы в пространстве 7
---на плоскости 6
— элемента линейного пространства в данном
базисе 127
корень n-Й степени из комплексного числа 188
косинусы направляющие 24
косеканс 315
косинус 314
—	гиперболический 318
котангенс 315
—	гиперболический 318
Коши критерий сходимости числовой последо-
вательности 178
—	определение предела функции в точке 194
—	теорема 268-269
---о промежуточных значениях непрерывной
функции 222
—	формула 2 69
Коши—Буняковского неравенство 133
коэффициенты линейной системы 107
— направляющие прямой 41
кривая плоская 48
---заданная в параметрической форме 256
критерий Коши сходимости числовой последо-
вательности 178
— Сильвестра знакоположительное™ квадра-
тичной формы 160-161
Кронекера—Капелли теорема 107—108
Л
Лагранжа метод диагонализации квадратичной
формы I'» 1-162
322
Предметный указатель
—	теорема о конечных приращениях 267
—	формула 267
леваятройка векторов 28
Лейбница формула 255
— обозначение 240
лемма Кантора 183
линейная оболочка подмножества линейного
пространства 124
---, свойства 125
линия плоская 48
логарифм десятичный 313
— натуральный 183, 313
Лопиталя правило 270
---второе 271
м
Маклорена форму ла для многочлена 274
---для функции 277
максимум функции локальный 286
---строгий 287
матрица единичная 76
—	квадратичной формы 156
—	квадратная невырожденная 98
---порядка п76
—	линейного оператора 146
---дифференцирования 146
—	линейной системы 107
—	нулевая 76
—	обратная данной 99
—	перехода от базиса к базису 131
---,свойства 132
—	1 х п (n-мерная строка) 76,77
—	m х 1 (m-мерный столбец) 76
—	m х п 75
—	расширенная 101
---линейной системы 107
—	ступенчатая 85
—	транспонированная 82
—	треугольная 92
матрицы равные 76
—	элементарных преобразований 87
		,основное свойство 89
метод Гаусса решения линейной системы
109-111
— диагонализации квадратичной формы выде-
лением полного квадрата 161-162
---Лагранжа 161-162
—	Жордана вычисления обратной матрицы
99-102
—	математической индукции 175
— ортогонализации системы линейно незави-
симых элементов евклидова пространства
135-136
—	приведения матрицы к ступенчатому виду
84-85
—	сечений 71
—	хорд и касательных приближенного вычисле-
ния корней уравнения 306-308
минимум функции локальный 286
---строгий 287
минор fc-ro порядка 103
—	базисный 104
—	дополнительный 92
—	элемента определителя 13
многочлен Тейлора 275
—	характеристический линейного оператора
149
---матрицы 149
множества эквивалентные 169
множество бесконечное 169
—	конечное 169
—	неограниченное сверху 173
---снизу 173
—	ограниченное 172
---сверху 172
---снизу 172
—	пустое 168
—	решений линейной системы 108
—	счетное 169
множитель нормирующий для уравнения плос-
кости 37
		прямой 32
модуль комплексного числа 186
—	числа 170
---,свойства 170-171
Муавра формула 188
н
направляющая конической поверхности 67
—	цилиндрической поверхности 66
направляющие косинусы 24
начало координат 6,7
неизвестные главные 111
—	свободные 111
непрерывность вектор-функции в точке 261
— функции в точке 211,212
-------по Гейне 212
-------слева 220
-------справа 220
---на интервале 220
---на отрезке 220
---равномерная на интервале 224
неравенство Бернулли 176, 184
—	Коши—Буняковского 133
—	треугольника 134
норма элемента евклидова пространства 134
нормаль к кривой в точке 234
---, уравнение 234
Ньютона трезубец 300
—	формула бинома 183
О
область определения функции 192
существования функции 193
оболочка линейная подмножества линейного
пространства 124
---,свойства 125
обозначение Лейбница 240
образ отображения линейного 141
образующая конической поверхности 67
— цилиндрической поверхности 66
Предметный указатель 323
объединение множеств 169
окрестность точки 172
октанты 7
оператор линейный 143
----дифференцирования 143.146,150,152,153
----обратный данному 144
----подобия 143
----проектирования 143, 151,152,154, 155
----самосопряженный 154
--------,свойства 155
----симметричный 154
--------, свойства 155
--------положительный 155
--------, свойства 156
----сопряженный данному 152
----тождественный 143
операторы линейные, произведение 143
операция дифференцирования 141-143
—	проектирования 143
—	сопряжения 152
----.свойства 153-154
—	транспонирования,свойства 83
определитель 2-го порядка 11
—	3-го порядка 12
--------,свойства 12, 13
— матрицы 90
----1-го порядка 90
----2-го порядка 90
----3-го порядка 91
----п-гопорядка 91
----,свойства 95-97
— , разложение по элементам столбца 13
--------строки 13
— треугольной матрицы 92
оптическое свойство гиперболы 59
----параболы 59
----эллипса 59
ордината 6, 7
ориентация прямой 5
орт 18
ортобазис 19,136
ортогональное дополнение данного подпрост-
ранства 137
----.свойства 137-138
основание логарифмической функции 313
— степени 311
остаточный член формулы Тейлора в форме Ла-
гранжа 276
------------Пеано 278
ось 5
—	абсцисс (Ох) 6, 7
—	аппликат (Oz) 7
—	координатная 5
—	на комплексной плоскости действительная
(вещественная) 186
--------мнимая 186
—	ординат (Оу) 6, 7
—	параболы 55
—	полярная 10
—	числовая 171
откладывание свободных векторов 15
—	связанных векторов 15
отображение линейное 140
---.дефект 143
---,образ 141
---,ранг 141
---,ядро 142
— проектирования 140-142
отображения линейные равные 141
---,сумма 143
отрезок масштабный 5
—	на числовой оси 171
—	направленный 14
---,величина 20
оценки асимптотические 230
п
парабола 55, 63, 163
параболоид вращения 71
—	гиперболический 71,165
—	эллиптический 71, 165
первый замечательный предел 215
пересечение линейных подпространств 124
------,свойства 124
—	множеств 169
плоскость комплексная 186
—	координатная 7
поверхность 65
—	вращения 65
—	коническая 67
— Цилиндрическая 66
подмножество 168
подпространство линейного пространства 123
------,свойства 124
позиция в матрице 75
полуинтервал на числовой оси 171
------бесконечный 171
полукасательные 237
полуотрезок на числовой оси 171
полюс 10
последовательность числовая 176
---бесконечно большая 179
---монотонная 182
---невозрастающая 182
---неограниченная 179
---неубывающая 182
---ограниченная 179
------сверху 178
------снизу 178
---расходящаяся 177
---стационарная 177
---сходящаяся 177
---фундаментальная 178
правая тройка векторов 25,27, 28
правило замыкающего ломаную 17
—	Лопиталя 270
---второе 271
—	параллелограмма 16
—	перехода к пределу под знаком непрерывной
функции 217
—	сокращенного суммирования 79
—	треугольника 12, 16
правильная часть 168
предел замечательный второй 216
324_______________________________________
---первый 215
— последовательности комплексных чисел 190
— функции бесконечный 207
---в точке по Гейне 197
------по Коши 194
------слева 209
------справа 210
—	числовой последовательности 176
преобразование подобия 140
преобразования столбцов матрицы элементар-
ные 83
—	строк матрицы элементарные 83
принцип математической индукции 175
прирашение аргумента 212
—	функции 212
проекция вектора н а ось 20
—	— , свойства 21
произведение вектора на число 17
—	векторов векторное 25
------двойное 29
------,свойства 25-26
---скалярное 21
------,свойства 22
---смешанное 27
—	комплексных чисел 185
—	линейного отображения на число 143
—	линейных операторов 143
—	матриц 79
---,свойства 80-81
—	матрицы на число 77
— скалярное элементов евклидова простран-
ства 133
-----------в ортонормированном базисе 137
-----------, свойства 133
---элементов унитарного пространства 138
— элемента линейного пространства на число
121
производная вектор-функции в точке 2 61
— функции 2-го порядка 253
---n-го порядка253
---в точке 232
------бесконечная 236
---вторая 253
---на интервале 233
пространство векторное 121
—	евклидово вешественное 132
—	координатное 159
---л-мерное вешественное (К”) 122
— линейное л-мерное 130
---вешественнозначныхфункций, непрерыв-
ных на числовой оси (С( -оо, оо)) 125
---вещественных функций, непрерывных на
интервале (-1, 1) (С(-1, 1)) 122
---действительное 121
---комплексное 121
---матриц (Кглхп) 122
---многочленов степени не выше п с веще-
ственными коэффициентами (Мп) 125
---,свойства 122-123
— унитарное 138
прямая числовая 171
_______________________Предметный указатель
Р
радиус полярный 10
радиус-вектор текущий плоскости 36
-----прямой 31
— точки 19
разложение вектора по базису 19
— определителя матрицы по первому столбцу
92
-----по t-ой строке 94
-----по j-му столбцу 93
-----по элементам столбца 13
-----строки 13
размерность действительного n-мерного коор-
динатного пространства 129
— линейного пространства 129
-----многочленов степени не выше л с дей-
ствительными коэффициентами 129
-----решений однородной линейной систе-
мы 129
разность комплексных чисел 185
ранг матрицы 104
— отображения линейного 141
распределительное свойство векторного умно-
жения векторов 26
-----скалярного умножения векторов 22
расстояние между точками в пространстве 8
-----на плоскости 7
-----на прямой 7
—	от точки до плоскости 39
—	отточкидопрямой34
—	фокусное гиперболы 53
	-эллипса 49
решение линейной системы 107
решения линейной системы различные 107
Ролля теорема 265-266
С
свойства гиперболы 52-55
— эллипса 49-51
свойство оптическое гиперболы 59
-----параболы 59
-----эллипса 59
сегментначисловойоси 171
секанс 315
с инус 313
—	гиперболический 318
синусоида 313
сжатие окружности равномерное 49
Сильвестра критерий знакоположительное™
квадратичной формы 160-161
символ Ландау О 229
-----о 229
секанс 315
синус 313
—	гиперболический 318
синусоида 313
система координат каноническая для данного
эллипса 49
-----для данной гиперболы 52
--------- параболы 55
Предметный указатель
325
---прямоугольная декартова 7
— линейных уравнений (линейная система) 107
------квадратная 113
------несовместная 107
------однородная 115
--------,свойства 115-116
------совместная 107
--------неопределенная 107
--------определенная 107
— решений фундаментальная (ФСР) 129
— элементов евклидова пространства ортого-
нальная 134
--------ортонормированная 134
— — линейногопространствалинейнозависи-
мая 125
-----------независимая 125
системы линейные равносильные 108
---эквивалентные 108
скалярный квадрат 23
согласованность полярной и прямоугольной де-
картовой систем координат 10
столбец матрицы 75
—	неизвестныхлинейной системы 107
—	определителя 11
—	свободных членов линейной системы 107
—	m-мерный (матрица размера т х 1) 76
столбцы базисные 104
строка матрицы 75
—	определителя 11
—	n-мерная(матрица размера 1 хп)76, 77
строки n-мерные линейно зависимые 78
------независимые 78
—	базисные 104
сумма векторов 16
—	комплексных чисел 184
— линейных отображений 143
---подпространств 124
------прямая 124
------,свойства 124
—	матриц 77
—	множеств 169
—	элементов линейного пространства 121
секанс 315
синус 313
—	гиперболический 318
синусоида 313
т
тангенс 314
—	гиперболический 318
Тейлора многочлен 275
—	формула для многочлена 274
------ для функции 275, 276
------локальная 278
теорема Больцано—Коши 220-221
—	Вейерштрасса вторая 223
---первая 222
—	Кантора 224
—	Коши 268-269
---о промежуточных значениях непре-
рывной функции 222
— Кронекера—Капелли 107-108
— Лагранжа о конечных приращениях 267
— о единственности предела функции в точке
197-198
-------числовой последовательности 178
— о замене бесконечно малых функций эквива-
лентными 227-228
—	о непрерывности сложной функции 218
—	о нуле функции 220-221
—	о переходе к пределу в неравенстве 198
-------под знаком непрерывной функции 217
—	о пополнении базиса 130
—	о построении линейного отображения
141-142
—	о пределе промежуточной функции 199
— о произведении бесконечно малой функции
на ограниченную 202
— о связи функции, имеющей предел, с ее пре-
делом и бесконечно малой функцией
203-204
— об ограниченности сходящейся последова-
тельности 180
---функции, имеющей предел в точке 198
— об устойчивости знака непрерывной функ-
ции 213
— Пифагора, обобщение 134
— Ролля 265-266
точка кривой угловая 237
—	локального максимума функции 286
---минимума функции 286
—	начала отсчета 5
—	перегиба, достаточное условие 295
---кривой 294
---,необходимое условие 294-295
— разрыва 218
---1-го рода 220
---2-го рода 220
---неустранимого 219
---с конечным скачком функции 219
---устранимого 219
— строгого максимума функции 287
---минимумафункции 287
— функции критическая 288
---стационарная 288
трезубец Ньютона 300
тройка векторов левая 28
---правая 25,27,28
У
угол между двумя плоскостями 39
— между ненулевыми элементами евклидова
пространства 134
—	между прямой и плоскостью 42
—	между прямыми в пространстве 44
—	полярный 10
уравнение гиперболы 62,163
---каноническое 52
— двуполостного гиперболоида 164
-------вращения 70
-------общего вида 70
— касательной к гиперболе 57
326 Предметный указатель
---к кривой 234
---к параболе 58
---к эллипсу 57
—	конической поверхности 68
—	конуса 2- го порядка 68, 73,165
—	кривой 48
---векторное 259
---2-го порядка 48, 63
—	линии 48
---2-го порядка 48, 63
—	нормали к кривой 234
—	однополостного гиперболоида 164
-------вращения 69
-------общего вида 70
—	окружности 8
—	параболоида вращения 71
---гиперболического 71, 165
---эллиптического 71,165
—	параболы 63,163
---каноническое 55
— пары плоскостей параллельных 167
-------пересекающихся 166
-------совпадающих 167
---прямых параллельных 163
---------действительных	63
-------мнимых 63
-------пересекающихся 163
---------действительных	62
-------мнимых 62
-------совпадающих 63, 163
—	плоскости 36
---в векторной форме нормальное (нормиро-
ванное) 36
---в координатной форме нормальное 36
---в отрезках 38
---векторное 38
---общее 37
—	поверхности 65
--- 2-гопорядка65
—	прямой 31
---в векторной форме нормальное (нормиро-
ванное) 31
---в координатной форме нормальное
31
---в отрезках 33
---векторное 34,40
---на плоскости общее 32
---с угловым коэффициентом 33
—	цилиндра гиперболического 73,166
---параболического 73,166
---эллиптического 73,166
—	Цилиндрической поверхности 67
—	эллипса 9, 62, 163
---каноническое 49
---мнимого 62
—	эллипсоида 69,164
---вращения 69
—	эллиптического цилиндра 67
уравнения кривой параметрические
259
—	прямой канонические 41
---общие 41
---параметрические 41
условие достаточное 175
—	необходимое 175
— параллельности плоскостей 40
----прямой и плоскости 43
----прямых на плоскости 35
— перпендикулярности плоскостей 40
----прямой к плоскости 43
----прямых на плоскости 35
— существования наклонной асимптоты необ-
ходимое и достаточное 298
— точки перегиба достаточное 295
--------- необходимое 294-295
— эквивалентности бесконечно малых функ-
ций необходимое и достаточное 228
— экстремума достаточное 289, 291
----необходимое 288
условия возрастания и убывания функции вточ-
ке достаточные 285-286
Ф
фокальный параметр параболы 55
4юкус гиперболы 53
—	параболы 55
—	эллипса 49
		левый 49
		правый 49
форма билинейная симметричная 156,
157
— записи комплексного числа алгебраическая
184
-------показательная 188
-------тригонометрическая 186
— квадратичная 156
----, диагональный вид 157
----, нормальный вид 157
----знакоположительная 160
----положительно определенная 160
формулабинома Ньютона 183
—	конечных прирашений 267
—	Коши 269
—	Лагранжа 267
—	Лейбница 255
—	Маклорена для многочлена 274
----для функции 277
—	Муавра 188
— Тейлора для многочлена 274
----для функции 275,276
-------локальная 278
формулы асимптотические 230
фундаментальная система решений (ФСР)
129
-------однородной линейной системы 118
функции асимптотически равные 230
—	бесконечно малые асимптотически равные
226
-------несравнимые 225
-------одного порядка 225
—	взаимно обратные 247
—	равные 192
— тригонометрические 214
----обратные 214
Предметный указатель______________________
— эквивалентные 230
— элементарные 214
-----основные 213-214
— гиперболические 318-319
— тригонометрические 313-315
-----обратные 315-316
функция 192
— бесконечно большая отрицательная
207
------положительная 207
------при х —> оо 208
------при х io 207
------ дифференцируемая 254
-----малая более высокого порядка, чемданная
225
------порядка малости т относительно ос-
новной 225
------при х -♦ +оо 201
------при х —> —оо 201
------при х —» оо 201
------при х -» а?о 200, 201
— возрастающая в точке 285
-----на отрезке 247,284
— Дирихле 194,212, 220
— дифференцируемая вточке 238
— логарифмическая 213, 313
— монотонная на отрезке 284
— невозрастающая на отрезке 284
— непрерывная в точке 211,212
------по Гейне 212
------слева 220
------справа 220
-----на интервале 220
-----на отрезке 220
-----равномерно на интервале 224
— неубывающая на отрезке 284
— обратная данной 247
— общего положения 300
— ограниченная в окрестности точки 198
— однородная степени q 67
— показательная 213,311
— разрывная в точке 218
— сложная 217
— степенная 213,311
— строго монотонная 284
— убывающая в точке 285
-----на отрезке 284
— числовая 192
ц
цилиндр гиперболический 73, 166
— параболический 73, 166
— эллиптический 67, 73, 166
______________________________________327
ч
частное от деления одного комплексного числа
на другое 185
часть комплексного числа действительная (ве-
щественная) 184
------мнимая 184
— приращения функции главная линейная 240
числа вещественные 170
— действительные 170
— комплексные равные 184
— натуральные 169
— несобственные 171
— рациональные 169
— собственные линейного оператора 149
---матрицы 149
— характеристические линейного оператора
149
---матрицы 149
число комплексное 184
---сопряженное данному 186
член функции главный степенной 227
— числовой последовательности общий 176
члены линейной системы свободные 107
— числовой последовательности 176
э
эквивалениия 174
экстремум функции двух переменных локаль-
ный (относительный) 286
-----------, достаточное условие 289, 291
-----------, необходимое условие 288
эксцентриситет гиперболы 54
—	окружности 50
—	эллипса 50
элемент линейного пространства нулевой 121
------противоположный данному 121
—	матрицы 75
—	определителя 11
— собственный линейного оператора 150
элементы евклидова.пространства ортогональ-
ные 134
эллипс 49, 62, 163
—	минимый 62	
— , свойства 49-51
эллипсоид 69,164
—	вращения 69.
—	общего вида 69
Я
.ядро линейного отображения 142