Динамика атмосферы и океана В 2-х томах Том 1 - Гилл А.

Author: Гилл А.

Tags: движение жидкостей гидродинамика геофизические науки геофизика

Year: 1986

Similar

Вычислительная гидромеханика и теплообмен. В 2-х томах. Том 1

Вычислительная гидромеханика и теплообмен. В 2-х томах. Том 2

Вычислительные методы в динамике жидкостей. В двух томах. Том 1. Основные положения и общие методы

Проблемы гидродинамики и их математические модели

Text

Динамика
атмосферы
и океана
В 2-х томах
т. 1
Atmosphere-Ocean
Dynamics
Adrian E. Gill
Department of Applied Mathematics
and Theoretical Physics
University of Cambridge
Cambridge, England
1982
Academic Press
New York London Paris San Diego
San Francisco Sao Paulo Sidney Tokyo Toronto
Динамика
атмосферы
и океана
В 2-х томах
Том 1
Перевод с английского
В. Э. Рябинина,
А. Н. Филатова
под редакцией
Г. П. Курбаткина
Москва
«Мир»
1986
ББК 26.2
Г 47
УДК 532.51 + 550.3
Гилл А.
Г 47 Динамика атмосферы и океана: В 2-х т. Т. 1. Пер. с
англ.: — М.: Мир, 1986. — 396 с., ил.
Систематическое исчерпывающее изложение с математической и физической
точек зрения актуального направления современной геофизики, принадлежащее
известному английскому ученому. Строгая математическая формулировка задач
сочетается с глубоким физическим анализом явлений.
В первом томе изложены классические результаты гидродинамики с точки
зрения приложений в геофизике.
Для математиков-прикладников, механиков, геофизиков, метеорологов, океа-
нологов, аспирантов и студентов вузов.
1703040000—248
1 041(01)—86
39—86, ч.
ББК 26.2
I
Редакция литературы, по математическим наукам
t Academic Press, 1982
перевод на русский язык, «Мир»,
1986
ОТ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Предлагаемая читателю книга написана А. Гиллом — хорошо
известным своими трудами специалистом в области геофизиче-
ской гидродинамики. Она посвящена динамике происходящих
в атмосфере и океане процессов, горизонтальные масштабы ко-
торых превоскодят несколько километров. Именно процессы
больших пространственных масштабов определяют режим газо-
вой и жидкой сфер Земли, формируют погоду, климат планеты
и его возмущения — аномалии. Крупномасштабные процессы в
атмосфере и океане настолько разнообразны, что попытка изло-
жить их теорию в пределах одной книги может показаться на
первый взгляд просто безнадежной. Однако научные интересы
А. Гилла настолько широки, что в стремлении дать исчерпываю-
щее описание динамики крупномасштабных движений он создал
редкое по широте охвата, глубине и ясности изложения мате-
риала произведение.
Одним из основных достоинств монографии А. Гилла являет-
ся, ио-видимому, систематичность изложения. В' этом плане кни-
гу можно считать отличным введением в предмет геофизической
гидродинамики. Начав с общей характеристики атмосферы и
океана (гл. 1 и 2), он приводит далее основные сведения из гид-
ромеханики, которые необходимы для понимания происходящих
в них процессов (гл. 3 и 4). После этого автор подробно разби-
рает принципиальную задачу о приспособлении гидрометеороло-
гических полей к некоторому равновесному режиму, уделяя осо-
бое внимание эффектам, вызванным влиянием силы тяжести,
расслоением жидкости или газа по плотности, вращением пла-
неты (гл. 5—8). В этих же главах он обосновывает ряд изве-
стных упрощающих предположений, которые позволяют полу-
чить более удобные для анализа и решения уравнения и отфиль-
тровать несущественные эффекты, а также излагает некоторые
методики получения приближенных решений геофизических за-
дач. В целом первые восемь глав книги дают общее представ-
ление о динамике атмосферы и океана и аппарате, применяемом
для исследований в этой области. В гл. 9 автор разбирает раз-
личные типы вынуждающих сил, приводящих систему в движе-
ние, а в гл. 10 показывает, как это движение видоизменяется
под влиянием боковых границ области. Особенности крупномас-
6
От редактора перевода
штабных движений в тропиках и в средних широтах описаны
в гл. 11 и 12, а заключительная гл. 13 посвящена явлениям не-
устойчивости, вихрям, фронтам и общей циркуляции атмосферы.
Логичное построение материала позволяет читателю усвоить
общие закономерности движения переслоенных по плотности
газа или жидкости на вращающейся сфере и попять, как реа-
лизуются эти закономерности в конкретных условиях вращаю-
щейся Земли с присущими ей физико-географическими особен-
ностями.
Следует отметить, что часть рассматриваемых в книге А. Гил-
ла вопросов была раскрыта в уже ставшей известной совет-
скому читателю монографии Дж. Педлоски «Геофизическая гид-
родинамика» (М.: Мир, 1984). Предлагаемая книга существенно
дополняет труд Дж. Педлоски прежде всего в том, что в пей
проанализировано большое количество результатов натурных
наблюдений, в то время как в «Геофизической гидродинамике»
основное внимание уделено теоретическому исследованию дви-
жений в атмосфере н в океане.
Книга без сомнения окажется интересной не только для ов-
ладевающих основами предмета. Специалисты найдут в ней со-
временную трактовку большого числа свежих натурных данных,
сочетающуюся с обзором последних теоретических результатов.
Большую пользу могут принести приложения к книге (включаю-
щие список атласов и источников натурных данных) и обшир-
ный библиографический список, насчитывающий 893 источника.
В. Э. Рябинин перевел предисловие автора, гл. 9—13 и при-
ложения. А. Н. Филатов перевел главы 1—8. В русском переводе
книга выходит в двух томах: гл. 1—8 (т. 1) и гл. 9—13 (т. 2).
Г. П. Курбаткин
ПРЕДИСЛОВИЕ
В книге с единых позиций изложен систематический подход
к динамике океана и атмосферы. Особое внимание уделено круп-
номасштабным процессам (от нескольких километров до мас-
штаба Земли). Основы предмета (уравнения состояния и дина-
мические уравнения) описаны достаточно детально, так что чи-
татель с некоторой математической подготовкой может читать
ее независимо от других книг. Знание гидромеханики полезно,
но необязательно. Для иллюстрации основных динамических
принципов используются простые математические модели и мно-
гочисленные примеры полевых и лабораторных наблюдений. От-
метим, что поиск адекватных математических моделей стимули-
ровал некоторые из моих научных статей, написанных за восемь
лет работы над книгой.
Студенты старших курсов, специализирующиеся в области
метеорологии и океанографии, найдут в книге полезное введе-
ние в динамику как моря, так и атмосферы. Книга, выросшая
из соответствующего курса для аспирантов, может быть столь
же полезна и для хорошо подготовленных студентов. Кроме
того, при надлежащем выборе материала из разных разделов
она может служить основой и учебного курса для подготовлен-
ных студентов. Например, мой аспирантский курс начинается е
краткого введения из первой главы, переходит на разд. 5.6 и в
третьей лекции фокусируется на эффектах вращения, описанных
в гл. 7. Эффекты стратификации приводятся позже, с материа-
лом из гл. 6 и 8. Потом используются избранные разделы из
оставшихся глав. Таким образом, существуют возможности зна-
чительно видоизменить курс. Простые курсы могут использовать
материал первых глав, в то время как более основательные
можно создавать на базе исследований, изложенных в послед-
них главах.
Специалисты должны найти книгу привлекательной не только
из-за систематического изложения динамики, но и из-за обшир-
ной библиографии, большого числа приложений полезных диа-
грамм и формул. Изложение многих тем обновлено с учетом по-
следних результатов, в книгу включена большая историческая
информация, что делает ее более интересной и легко читаемой.
Я много почерпнул сам для себя, исследуя во время работы над
книгой исторические аспекты вопросов.
8
Предисловие
Общее описание содержания
Две первые вводные главы дают общую картину того, как
под влиянием солнечной энергии в атмосфере и в океане возни-
кают циркуляции. Отчасти обновленное изложение основ тер-
модинамики п гидростатики дается в третьей главе, где океан
и атмосфера рассматриваются совместно. В четвертой главе вы-
ведены фундаментальные уравнения движения жидкости с уче-
том того, что воздух содержит влагу, а вода — растворенные
соли. Вводятся различные типы энергетических характеристик и
обсуждается вращающаяся система координат.
Основная задача книги состоит в том, чтобы понять природу
циркуляции в атмосфере п океане и определить особенности
формирования распределений таких физических величин, как,
например, температура. Ее распределение можно рассматривать
(следуя Галлею) как результат «соревнования» между Солн-
цем, нагревающим тропики сильнее, чем полюсы (и создающим
таким образом горизонтальные контрасты), и силой тяжести,
которая стремится устранить контрасты и осуществить такое
приспособление, при котором более теплая жидкость всегда на-
ходится выше более холодной. Это «соревнование» усложняется
такими эффектами, как вращение Земли, изменение угла между
вектором силы тяжести и осью вращения (бета-эффект), разли-
чием свойств воздуха и воды. Поэтому мы начинаем изложение
с наиболее простых ситуаций и будем вводить усложняющие
их эффекты поочередно.
Первый шаг к этому сделан в гл. 5, где мы рассматривали
приспособление однородного слоя жидкости к силе тяжести при
отсутствии вращения и внешних вынуждающих эффектов. Полу-
ченные здесь результаты можно прямо применить к таким явле-
ниям, как сейши и приливы в озерах, эстуариях и узких морях.
В пятой главе также вводится исключительно важное гидроста-
тическое приближение, которое приводит к уравнениям «мелкой
воды». Эффекты стратификации рассмотрены в гл. 6. Их анализ
начат со случая двуслойной жидкости. Он аналогичен системе
«масло на поверхности воды», которую с большим интересом изу-
чал Бенджамин Франклин в 1762 г. В гл. 5 и 6, кроме того, за
тронуты и некоторые аспекты волнового движения. Например,
понятие групповой скорости, которое введено в гл. 5 для по
верхностных волн, в гл. 6 применяется для внутренних гравита
циопных волн в непрерывно стратифицированной жидкости. Рас
смотрено возникновение волн на горизонтальной границе, а
также их возможная рефракция, отражение и поглощение в
верхнем слое жидкости.
Глава 7 (по-видимому, наиболее важная из всех глав этой
книги) посвящена эффектам вращения Земли. Несмотря на то,
что еще Лаплас учитывал их в своих приливных уравнениях
Предисловие
9
1778 г., а Кельвин исследовал волновые движения во вращаю-
щейся жидкости сто лет спустя, основные фундаментальные идеи
были развиты Россби относительно недавно — в тридцатых го-
дах. «Задача Россби о приспособлении» осветила много новых
сторон поведения вращающихся жидкостей, таких, как стремле-
ние достичь «геострофического равновесия», показала важную
роль «потенциальной завихренности», а также существенность
определенного пространственного масштаба, называемого радиу-
сом деформации Россби.
В гл. 8 движение стратифицированной вращающейся жидко-
сти изучается применительно к потоку воздуха над неоднород-
ностями рельефа. Здесь же исследуются вопросы распростране-
ния волн на фоне медленно изменяющегося среднего состояния,
методы построения лучевой картины, изучаются спектр внутрен-
них воли в океане и влияние волн на средний поток. В гл. 9
также вводятся вынуждающие силы, связанные с влиянием вет-
ра, приливообразующих сил и притока тепла от Солнца. Приме-
рами вынужденных движений являются инерционные колебания
в поверхностном слое океана и ночное струйное течение в атмо-
сфере. Кроме того, в гл. 9 рассматриваются ураганы и характер
реакции океана па шторм. Глава 10 посвящена явлениям, свя-
занным с существованием горизонтальных границ. Исследования
динамики жидкости в ограниченном объеме, стимулом для кото-
рых послужила работа Кельвина 1879 г., могут объяснить основ-
ные особенности разрушительного наводнения па побережье Се-
верного моря в 1953 г. Сходным образом можно исследовать
и прибрежный апвеллинг — явление, исключительно важное для
рыбного промысла. В главе также обсуждаются другие классы
береговых захваченных волн. Динамика экваториально захва-
ченных воли, рассмотренных в гл. 11, оказывается аналогичной.
На примере этих волн с целью изучения квазигеострофических
движений вводятся понятия бета-эффекта и приближения бета-
плоскости средних шпрот. В этой главе также рассматривается
циркуляция атмосферы и океана в тропиках.
Во впстроппческпх шпротах (гл. 12) медленное приспособле-
ние с малыми амплитудами осуществляется за счет планетар-
ных воли. Соответствующие решения могут быть использованы,
например, для того, чтобы определить, почему отклик оксана па
ветровое воздействие оказывается столь асимметричным и харак-
теризуется такими сильными западными пограничными тече-
ниями, как Гольфстрим и Куросио. Опп полезны также для объ-
яснения природы стационарных воли в атмосфере. Здесь же
обсуждаются уравнения в форме «омега» ’), представляющие со-
бой удобный аппарат для диагностических исследований.
’) Уравнения для вертикальной компоненты скорости в геострофическом
приближении в изобарической системе координат. —• Прим, перев.
10 Предисловие
В атмосфере средних шпрот господствуют циклопы и анти-
циклоны, которые возникают из-за неустойчивости основного
распределения ветра. Модели, иллюстрирующие, как потенци-
альная энергия зонального потока превращается в кинетиче-
скую энергию систем циклопов, изучаются в гл. 13. Здесь же
обсуждаются фронты, развивающиеся в эволюционирующих
циклонах, и вихри в океане. В заключение книги излагаются
общие представления о системе атмосфера — океан.
Благодарности. Хочется поблагодарить многих моих коллег,
которые сделали замечания по тексту и помогли с подготовкой
иллюстраций, в особенности Дэвида Андерсона, Брайена Хос-
кинса, Джона Джонсона и Майкла Макинтайра. Я высоко ценю
поддержку и ободрение, оказанные мне Хенри Стоммелом, Рей-
мондом Хайдом и покойной Джулией Чарни. Неоценимой была
помощь Наоми Койл при перепечатке и подготовке рукописи.
Я признателен также Джулиану Смиту за изготовление иллю-
страций посредством ЭВМ. При корректуре мне очень помогли
Майкл Дэви, Уильям Сиэ и Роксана Вайсович.
Адриан Гилл
Глава 1
Силы, движущие систему
океан—атмосфера
1.1. ВВЕДЕНИЕ
Эта книга о ветрах, течениях и распределении тепла в атмо-
сфере и океане. Так как все это вызвано Солнцем, то в настоя-
щей главе рассматриваются некоторые важнейшие процессы, ко-
торые определяют, как атмосфера и океан реагируют на излу-
чение, идущее от Солнца. В идеале хотелось бы вывести этот
отклик во всех его деталях, исходя из знания соответствующих
свойств Земли, ее оксана и атмосферы, однако это непростое
дело. Кратчайший путь решения этой проблемы — использование
численных моделей, однако последние все еще полагаются до
некоторой степени на наблюдения реальной системы, например
для определения влияния процессов (скажем, связанных с от-
дельным облаком), масштаб которых мал по сравнению с сет-
кой, используемой в модели.
Цель численных моделей — включить эффекты всех процес-
сов, которые играют существенную роль в определении отклика
системы оксан — атмосфера. Цель же этой главы — рассмотреть
только самые основные процессы и показать, как может быть
достигнуто состояние равновесия. Одним из таких основных про-
цессов является поглощение излучения некоторыми газами (глав-
ным образом водяным паром, углекислым газом и озоном),
вследствие чего рассматривается «парниковый эффект». Поле
плотности, создаваемое одними лишь процессами излучения, на-
ходится в состоянии динамического равновесия, так как воздух
вблизи поверхности более теплый и легкий, чем воздух сверху.
Следовательно, имеет место вертикальная конвекция, и нижний
слой атмосферы перемешивается. Вычисление установившегося
равновесия, когда действуют оба процесса — конвекции и излу-
чения— обсуждается в разд. 1.5. Однако эти вычисления не учи-
тывают изменений полей по горизонтали, которые, безусловно,
чрезвычайно важны, так как несут ответственность за ветры и
течения — главный предмет этой книги. Краткое обсуждение эф-
фектов изменений в горизонтальном направлении дается в
разд. 1.6. Наконец, так как солнечная радиация служит источни-
ком энергии для системы атмосфера — океан, то в разд. 1.7 об-
суждаются вариации приходящего излучения.
12 Гл. 1. Силы, движущие систему океан — атмосфера
1.2. КОЛИЧЕСТВО ЭНЕРГИИ, ПОЛУЧАЕМОЕ ЗЕМЛЕЙ
Энергия, исходящая от Солнца, воспринимается в виде излу-
чения; почти вся энергия приходится на длины волн между 0,2
и 4 мкм. Около 40 % энергии приходится па видимую часть
спектра (0,4—0,67 мкм). Средний поток энергии Солнца на рас-
стоянии среднего радиуса орбиты Земли называется солнечной
постоянной S, имеющей величину
5= 1,376 кВт/м2. (1.2.1)
(Для потока энергии используется много различных единиц.
Связь между ними дается в приложении 1.) Другими словами,
диск диаметром в 1 м в космосе может собирать достаточно сол-
нечной энергии, чтобы обеспечить работу электронагревателя в
1 кВт! Так как орбита Земли является скорее эллиптической,
чем круговой, фактически приходящая энергия испытывает се-
зонные вариации ±3,5 % (Кондратьев, 1969, разд. 1.1, [411]);
максимальное количество энергии приходится на начало января.
Полная энергия, получаемая от Солнца в единицу времени,
равна
(1.2.2)
где R— радиус Земли. Так как площадь поверхности Земли
равна 4л^2, то среднее количество энергии, получаемое единицей
площади поверхности Земли в единицу времени, дается форму-
лой
15 = 344 Вт/м2. (1.2.3)
Если бы ось Земли не была наклонена, то средний поток при-
ходящей энергии менялся бы от л~‘5 на экваторе до пуля па
полюсах. Однако наклон земной оси (23,5°) приводит к сезон-
ному изменению в распределении приходящего потока энергии.
Если сделать оценки этих изменений, то получается, что средний
поток, приходящий в течение года, меняется с широтой как по-
казано на рис. 1.1. Не вся энергия, падающая па Землю, погло-
щается. Часть ее а отражается или рассеивается, безвозвратно
уходя в пространство, так что действительно поглощаемый сред-
ний поток энергии равен
1(1 -а)5 = 240 Вт/м2. (1.2.4)
Количество отраженной и рассеянной энергии составляет около
100 Вт/м2 на всех шпротах, как показано на рис. 1.1. (Неясно,
почему эта величина так мало зависит от шпроты.) Число a
1.2. Количество энергии, получаемое Землей 13
называется альбедо Земли и имеет величину [741] порядка
а = 0,3. (1.2.5)
Аналогично, альбедо а можно определить для данного места и
данного времени как ту часть приходящей радиации, которая
отражается пли рассеивается. Отраженный свет позволяет фо-
тографировать Землю из космоса, и такие фотографии (см.
рис. 1.2, который является результатом комбинации многих та-
ких фотографий и дает среднюю отражающую способность) по-
Рис. 1.1. Радиационный баланс Земли. Верхняя сплошная линия показываем
средний поток солнечной энергии, достигающий внешней границы атмосферы.
Нижней сплошной линией показано среднее количество поглощаемой солнеч-
ной энергии, а штриховой линией —уходящей в пространство радиации.
Обе нижние кривые представляют усредненные результаты спутниковых из-
мерений между июнем 1974 г. и февралем 1978 г. и взяты пз [862]. Значе-
ния даны в ваттах па квадратный метр. Горизонтальный масштаб таков, что
расстояния между отметками широт пропорциональны заключенным между
ними площадям поверхности Земли, т. е. он линеен относительно синуса
широты.
называют, что альбедо меняется очень сильно в зависимости
от того, велика ли облачность, покрыта ли земля льдом или сне-
гом. Марс, не имеющий облачного покрова, имеет альбедо, рав-
ное примерно половине альбедо Земли, в то время как альбедо
Венеры, полностью покрытой облаками, равно удвоенному аль-
бедо Земли. Количественная оценка степени влияния облаков,
льда и снега на альбедо может быть получена на основе спут-
никовых измерений (рис. 1.3). Минимальное значение альбедо,
вероятно, близко к его величине при отсутствии облаков и снега,
когда эти условия реализуются. Для суши величина альбедо
обычно около 0,15 с большими значениями в пустынных регио-
нах (0,2—0,3) и в регионах, покрытых льдом; в некоторых об-
ластях Антарктики она достигает 0,6. Сравнение минимального
Рис. 1.2. Географическое распределение отражающей способности для (а) ян-
варя 1967—1970 и (б) июля 1969—1970 гг., определенное по данным спутнико-
вых измерений. Большинство ярких районов отличаются постоянной облач-
ностью и большим количеством осадков. Однако необходимо отметить, сле-
дующие исключения: области, помеченные буквой А'. — это пустыни где
земная поверхность обладает высокой отражающей способностью, а поме-
ченные буквой У—это области, для
сплошная облачность —
которых характерна постоянная низкая
ьи-юшвая оолачность прн отсутствии осадков. Горизонтальные черточки у
боковых кромок карт отмечают положение экватора; линии сетки проекции
Меркатора расположены с интервалами 5° по широте и долготе. {Воспроиз-
ведено из U. S. Air Force and U. S. Departament of Commerce, Global-Atlas
of relative Cloud Cover, 1967—1970, Washington, D. C„ 1971.1
1.3. Модели радиационного равновесия 15
альбедо с осредпспным альбедо демонстрирует влияние облач-
ности. Например, большая часть океана в пределах 40° от эква-
тора имеет минимальное альбедо меньше чем 0,1, а среднее аль-
бедо находится обычно между 0,15 и 0,3. Из этих цифр ясно,
что факторы, которые определяют альбедо, очень важны для
определения энергетического баланса Земли.
1.3. МОДЕЛИ РАДИАЦИОННОГО РАВНОВЕСИЯ
Так как источником энергии в системе океан — атмосфера
служит солнечная радиация, то важно знать, как на эту радиа-
цию влияют атмосфера и океан. Детальное обсуждение можно
найти, например, в книгах [267], [411], [610]. Здесь будут об-
суждены лишь самые основные моменты.
Прежде всего рассмотрим равновесие, которое бы установи-
лось, если бы Земля по имела жидкой оболочки1)- Поверхность
отражала бы часть приходящей радиации и поглощала бы
остальную. Поглощенная энергия будет вызывать нагревание
поверхности до тех пор, пока ее излучение в мировое простран-
ство не станет равно поглощаемой энергии. Когда температура
поверхности достигнет величины Т, то количество энергии Е, из-
лучаемой в единицу времени, будет определяться законом Сте-
фана
Е = вГ, (1.3.1)
где
ог = 5,7Х 10“8 Вт • м“2 • К~4- (1.3.2)
Для радиации, фактически поглощаемой Землей (см. рис. 1.1),
такое равновесие наступит, когда температура па экваторе до-
стигнет 270 К, па Южном полюсе 150 К и на Северном полюс©
170 К. Фактически поверхность Земли значительно теплее, а кон-
траст температур между экватором и полюсом намного меньше.
Отличие от наблюдаемой температуры поверхности обусловлено
существованием жидкой оболочки Земли. Последняя может по-
влиять на достижение равновесия двумя путями. Во-первых, ра-
диация может поглощаться самой атмосферой. Во-вторых, ат-
мосфера и океан могут переносить тепло от одной области к
другой, влияя тем самым па баланс энергии.
В этом разделе первый эффект будет рассматриваться изоли-
ровано от второго. В последующих разделах будет обсуждено
влияние движения атмосферы и океана на равновесие. Это дви-
жение составляют ветры, океанические течения и другие явле-
ния, которые будут главной темой этой книги.
Радиационное равновесие, которое будет исследоваться в от-
сутствие движения, было вычислено Мёллером и Манабе [554]
Имеется в виду отсутствие атмосферы и океана. — Прим, перев.
16 Гл. 1. Силы, движущие систему океан — атмосфера
S'
Рис. 1.3. (а) Среднее альбедо, полученное комбинированием спутниковых данных за 48 месяцев между
1964 н 1977 гг. [Из [741, рис. 6]Г] (б) Минимальное альбедо Земли по данным измерений спутника
«Нимбус-3», выполненных в 1969—1970 гг. [Из [653, рис. 23].]
1.3. Модели радиационного равновесия
18 Гл. 1. Силы, движущие систему океан — атмосфера
л обсуждено в [267, гл. 8]. Полученный при этом профиль сред-
ней температуры показан сплошной линией па рис. 1.4. В неко-
тором смысле левая часть рисунка дает более правильное пред-
ставление, так как па ней равным массам воздуха даются рав-
ные веса. В нижнем (70 % по массе) слое атмосферы основным
физическим фактором, отвечающим за достижение равновесия,
является поглощение радиации водяным паром, прпсутствую-
Рис. 1.4. Радиационное равновесие (сплошная линия), соответствующее на-
блюдаемому распределению поглощающих сред в атмосфере на 35 с. ш. в ап-
Веле, наблюдаемой средней инсоляции всей атмосферы и отсутствию облаков.
1триховая кривая показывает результат конвективного приспособления к по-
стоянному вертикальному градиенту температуры 6,5 К/км. На рпс. (а) кри-
вые построены в масштабе, линейном относительно давления, т. е. равные ин-
тервалы соответствуют равным массам воздуха. На рис. (б) масштаб линеен
по высоте. [Из [515, рис. 4].]
щпм в атмосфере. В своих вычислениях Мёллер и Мапабе ис-
пользовали наблюдаемое распределение водяного пара по вы-
соте. На более высоких уровнях становятся более важными дру-
гие поглощающие среды, такие, как углекислый газ и озон. Ри-
сунок 1.4 показывает, что наличие атмосферы приводит к зна-
чительно более высокой температуре поверхности Земли, чем та,
что наблюдалась бы в ее отсутствие. Это является следствием
«парникового эффекта», который будет обсуждаться в разд. 1.4.
1.4. ПАРНИКОВЫЙ ЭФФЕКТ
Радиационное равновесие, показанное на рис. 1.4, имеет тем-
пературу почвы намного большую, чем при отсутстьии атмо-
сферы. Это вызвано «парниковым эффектом», принцип которого
1.4. Парниковый эффект 19
будет объяснен ниже. Чтобы рассмотреть формирование парни-
кового эффекта, поместим горизонтальный лист стекла над поч-
вой, как показано па рис. 1.5. Используемое стекло прозрачно
для радиации с длинами волн ниже 4 мкм, но частично погло-
щает радиацию с большими длинами волн. Предположим, что
стекло п почва вначале имеют одну и ту же температуру, затем
«включается» сверху поток I солнечной радиации. Эта радиация
пройдет через стекло неослабленной и поглотится почвой. Почва
нагреется до температуры Ts и будет испускать вверх поток
длинноволновой радиации U, определяемый по закону Стефана:
t/ = oTj. (1.4.1)
Практически вся радиация, излучаемая при температуре, ха-
рактерной для атмосферы, имеет длины волн свыше 4 мкм
(в диапазоне 4 -4- 100 мкм), так что часть е этой радиации будет
поглощаться стеклом. Вследствие этого стекло также будет на-
греваться и излучать радиацию. Предположим, что этот поток
излучения в обоих направлениях равен В.
Равновесие будет достигаться тогда, когда поток снизу бу-
дет равен потоку, идущему сверху, т. е. когда
/ = (1 -е)(/4-# = £7- д. (1.4.2)
Разрешая уравнения (1.4.1) и (1.4.2), получаем, что темпера-
тура почвы равна
вТх = и = 1/(Д -е/2). (1.4 3)
Поэтому 7"к выше (на 19%), чем она была бы при отсутствии
стекла (в =0). Именно на этом принципе основан парниковый
эффект. Этот эффект проще попять в экстремальном случае,
когда стекло поглощает всю длинноволновую радиацию (е = 1).
Тогда (рис. 1.5) I == В, что приводит к тому, что стекло дости-
гает такой же температуры, что и почва при отсутствии стекла.
Так как другая сторона стекла имеет ту же самую температуру,
опа излучает вниз поток длинноволновой радиации, так что поч-
ва получает суммарный поток I 4- В = 21. Согласно закону Сте-
фана, почва достигает температуры, равной температуре при
отсутствии стекла, умноженной на 21/4 = 1,19. Для других не
равных пулю значений е поверхность также получает обратный
поток излучения дополнительно к коротковолновому потоку /,
так что опа достигает более высокой температуры, чем в его от-
сутствие. В атмосфере поглощающая субстанция распределена
непрерывно по вертикали, а не ограничена топким слоем. Однако
обобщение предыдущих идей на этот случай очевидно [267,
разд. 8.4; 116, разд. 1.2] и приводит к профилям температуры
для нижней атмосферы, которые аналогичны профилям, полу-
ченным Меллером и Манабе. Для более точных расчетов пеоб-
20 Гл. 1. Силы, движущие систему океан — атмосфера
ходимо разбить радиационную энергию на несколько диапазо-
нов длины волн, а не только на два («длинные» и «короткие»
волны), и учесть поглощение в каждом диапазоне отдельно.
Кроме того, должны быть сделаны поправки на отражение и
рассеяние. Они зависят от распределения и альбедо облаков и
от альбедо подстилающей поверхности.
Короткие Длинные донны
Волны —___——ы-___________
Рис. 1.5. Парниковый эффект. Стекло прозрачно для коротковолновой радиа-
ции, суммарный направленный вниз поток которой равен /. Уравновешиваю-
щий направленный вверх поток длинноволновой радиации от почвы равен U,
доля е которого поглощается стеклом и нагревает его, что вызывает излучение
потока В в обоих направлениях.

Расчет радиационного баланса атмосферы приведен на
рис. 1.6. Принимая приходящий поток за 100 единиц, находим,
что отраженный и рассеянный поток коротковолновой радиации
будет равен 100 а 30 единицам. Остается 70 единиц суммар-
ного направленного вниз потока коротковолновой радиации па
верхней границе атмосферы, из которых 19 единиц поглощается
в атмосфере и только оставшаяся 51 единица поглощается по-
верхностью. Имеется также большое количество (по оценке
[473], 98 единиц) длинноволновой радиации, поглощаемой по-
верхностью. Это обратная радиация от атмосферы. (Возможно,
что обратная радиация превышает приходящую. Это можно
показать, обобщая рис. 1.5 на случай нескольких листов стекла.)
Суммарное излучение поверхностью (разность между направ-
ленными вверх и вниз потоками) длинноволновой радиации со-
ставляет 21 единицу, оставшийся направленный вверх поток в
30 единиц передается через конвекцию. Поднимающийся к верх-
ней границе атмосферы поток равен 70 единицам, как требуется
для баланса пришедшей коротковолновой радиации. Средняя
температура поверхности соответствует 98-]-51 — 149 единицам
1.5. Эффекты конвекции 21
Приходящая
солнечная
КОСМОС Pad“QtiW
100
Отраженная
солнечная
радиация
_________6 20 4
Обратное t
рассеивание
Уходящая
инфанрасная
радиация
АТМОСФЕРА
16
Поглощение
за счет
Нг0, пыли, 03
Поглощение
в облаках
Отражена
облаков
Суммарное
излучение
за счет Н20, С02
15
И Поглощение
за счет Н20,
Суммарное излучение
инфракрасное радиации
от поверхности
Йо
Излучение
за счет
облаков
со,
Ппгппк Поток
Sn скрытого
тепла те™а
ОКЕАН, СУША
21
23
6
ж
Рис. 1.6. Радиационный баланс атмосферы. [Переработано из «Understanding'
Climatic Change», U. S. National Academy of Sciences, Washington, D. C., 1975,
p. 14, и использовано с разрешения.]
радиационного потока энергии на поверхности, а не 70 едини-
цам, излучаемым на верхней границе атмосферы. Последний по-
ток проще связать с температурой на верхней границе облаков.
1.5. ЭФФЕКТЫ КОНВЕКЦИИ
Радиационное равновесие, описанное в разд. 1.3, было най-
дено как решение, которое получается при отсутствии движения
атмосферы. Это утверждение не вполне точно, так как радиа-
ционное равновесие основывалось на наблюдаемом распределе-
нии водяного пара. Это распределение не предопределено; оно
является результатом баланса, который формируется при уча-
стии движения атмосферы.
Чтобы показать влияние движения атмосферы на баланс,
рассмотрим атмосферу, которая в некоторый начальный момент
не содержала бы водяного пара, однако находилась в радиа-
ционном равновесии. Если бы атмосфера совсем не поглощала
излучение, то поверхность Земли нагревалась как и при отсут-
ствии атмосферы (см. разд. 1.3), однако вышележащий воздух
оставался бы холодным. Хотя такая система будет находиться
в радиационном равновесии, опа не будет находиться в динами-
ческом равновесии, так как воздух, нагреваясь благодаря кон-
такту с поверхностью, не может оставаться ниже холодного воз-
духа, находящегося над ним, без возникновения конвекции. Та-
кая конвекция происходит в наполненном водой котле, подогре-
22
Гл. 1. Силы, движущие систему океан — атмосфера
ваемом снизу. Возникающее энергичное движение в атмосфере
поднимает вверх не только тепло, ио также и пары воды, обра-
зующиеся при испарении на поверхности. Водяной пар затем
воздействует на радиационный баланс в силу его свойства по-
глощать радиацию, так что конечное равновесие зависит от ба-
ланса между радиационными и конвективными эффектами и
называется радиационно-конвективным равновесием.
Возникнет или нет конвекция, будет зависеть от «вертикаль-
ного» градиента, т. е. от скорости, с которой температура ат-
мосферы уменьшается с высотой. Конвекция происходит только
тогда, когда вертикальный градиент температуры превосходит
определенное значение. Это значение можно вычислить, просле-
живая изменение температуры выделенного объема воздуха, ко-
торый движется «адиабатически» вверх или вниз, т. е. без об-
мена теплом с окружающим этот объем воздухом. Когда такой
объем поднимается, то давление падает, объем расширяется, и
поэтому его температура понижается. Скорость, с которой тем-
пература понижается с высотой вследствие расширения объема,
называется сухоадиабатическим вертикальным градиентом-, он
равен примерно 10 К/км. Если температура окружающей среды
падает с высотой быстрее, то поднимающийся объем будет теп-
лее окружающей его среды и поэтому будет подниматься непре-
рывно вверх под действием силы плавучести. Другими словами,
ситуация не будет устойчивой, и возникнет конвекция.
Конвекция поднимает тепло вверх и тем самым уменьшает
вертикальный градиент до величины, при которой устанавли-
вается равновесие и при которой конвекция не может больше
возникнуть. Другой путь состоит в том, чтобы описать ту же
идею через потенциальную энергию. Если вертикальный гра-
диент превосходит адиабатическую величину, то потенциальную
энергию можно уменьшить, перемещая объемы адиабатически па
другие уровни. Таким образом, энергия высвобождается и рас-
ходуется на возбуждение конвекции.
Если атмосфера содержит лишь небольшое количество водя-
ного пара, то конвекция возникнет в случае, если будет пре-
взойден с ухо адиабатический вертикальный градиент. В действи-
тельности ситуация осложняется тем фактом, что воздух при
заданной температуре и давлении может содержать только опре-
деленное количество водяного пара. Отношение количества водя-
ного пара к количеству пара при насыщении называется относи-
тельной влажностью. Когда относительная влажность достигает
100 %, то в воздухе конденсируются водяные капли, образуя
тем самым облака. Сконденсировавшаяся вода в конце концов
возвращается на поверхность Земли в виде осадков.
Гидрологический цикл (кругооборот воды) влияет на энер-
гетический баланс атмосферы несколькими существенными пу-
тями. Во-первых, облака оказывают существенное влияние на
1.5. Эффекты, конвекции 23
общее количество энергии, поглощаемой атмосферой, так как
они отражают и рассеивают значительное количество приходя-
щей радиации (см. разд. 1.2). Во-вторых, свойство водяного
пара поглощать радиацию важно для определения температуры
нпжпей атмосферы, как показано в разд. 1.3. В-третьих, при ис-
парении происходит охлаждение, так как па пего необходимо
затратить скрытую теплоту. Это тепло вновь выделяется в атмо-
сферу, когда происходит конденсация в облаках. Тепло, перено-
симое таким образом, составляет в среднем около 75 % конвек-
тивного переноса (см. рис. 1.6).
Высвобождение скрытой теплоты в облаках также воздей-
ствует на условия, при которых может происходить конвекция.
Количество водяного пара, которое может содержать адиабати-
чески поднимающийся объем воздуха, уменьшается с высотой, и
если объем уже насыщен водяным паром, то скрытая теплота
будет высвобождаться по мере его подъема, так что скорость по-
нижения температуры с высотой будет меньше, чем для сухого
воздуха. Скорость уменьшения температуры с высотой называет-
ся влажноадиабатическим вертикальным градиентом, значение
которого зависит от температуры и давления. В нижней атмо-
сфере его значение равно примерно 4°/км при 20°C и 5°/км при
10 °C (более точные значения см. в [471, табл. 79]). Соответ-
ствующий вертикальный градиент также может быть другим,
если вместо жидкой воды образуется лед [471, табл. 80]. Более
подробное обсуждение дается в разд. 3.8.
Влажноадиабатический вертикальный градиент — понятие, со-
ответствующее поднимающемуся воздуху, однако для опускаю-
щего воздуха оно неприменимо. Количество водяного пара, ко-
торое объем воздуха может содержать, возрастает, когда ои
опускается, так что этот объем всегда не насыщен и нужно
пользоваться сухоадиабатическим вертикальным градиентом.
Таким образом, в конвективной атмосфере потенциальная энер-
гия может высвобождаться там, где воздух поднимается; если
же ои опускается, то работа выполняется против силы тяжести.
(Обсуждение конвекции и моделей конвекции имеется в [287,
гл. 10]; [338, гл. 12].)
Другим следствием природы влажной конвекции является
распределение относительной влажности в атмосфере. Среднее
ее значение должно находиться между 100 °/о в восходящих об-
ластях и более низким значением влажности в нисходящих об-
ластях. Относительная влажность, которая линейно уменьшается
с уменьшением давления от 77 % на поверхности до нуля на
верхней границе атмосферы, дает грубое приближение к наблю-
даемому среднему распределению [516].
Относительная влажность не очень сильно меняется от се-
зона к сезону, тогда как действительное количество присут-
ствующего водяного пара меняется весьма сильно.
24 Гл. 1. Силы, движущие систему океан — атмосфера
Задача моделирования атмосферы состоит в том, чтобы
найти удовлетворительный способ представления эффектов кон-
векции без моделирования деталей подъема и опускания объе-
мов воздуха. В радиационно-конвективных моделях эффекты
конвекции представлены очень простым способом. Во-первых, не
учитываются изменения в горизонтальном направлении, так что
температура и другие величины зависят только от высоты (или,
что эквивалентно, от давления). Распределение газов, погло-
щающих радиацию (углекислого газа, озона), облаков и отно-
сительной или абсолютной влажности фиксировано, как и при-
ходящий на верхнюю границу атмосферы поток коротковолновой
радиации. Начальное распределение температуры эволюциони-
рует к равновесному; при этом учитываются не только радиа-
ционные, по также и конвективные потоки. Предполагается, что
конвекция происходит только тогда, когда радиационные потоки
стремятся увеличить вертикальный градиент выше определен-
ного критического значения. Затем вводится встречный конвек-
тивный поток, который перераспределяет (ио не добавляет и не
отнимает) тепло таким образом, чтобы сохранить вертикаль-
ный градиент па критическом уровне. Трудность состоит в вы-
боре критического значения. Обычно его полагают просто рав-
ным наблюдаемому среднему вертикальному градиенту в нижней
атмосфере, а именно 6,5°/км. Результат такого расчета [515]
показан на рис. 1.4 и дает достаточно хорошее приближение
к наблюдаемому среднему профилю температуры. Само по себе
это является некоторым улучшением модели чисто радиацион-
ного равновесия, однако о ее ограничениях не следует забывать.
1.6. ЭФФЕКТЫ ГОРИЗОНТАЛЬНЫХ ГРАДИЕНТОВ
В разделе 1.5 было показано, что большие вертикальные гра-
диенты температуры, которые возникли бы, если бы действо-
вала только радиация, приводят к конвекции, которая стремится
уменьшить эти градиенты. Аналогичным образом, изменения по-
глощаемого радиационного потока с шпротой (рис. 1.1) привели
бы к большим горизонтальным градиентам температуры, если
бы радиация была единственным действующим фактором. Снова
возникает движение жидкости, которое стремится уменьшить
эти градиенты. Природа этих движений зависит от динамических
процессов, которые будут предметом последующих глав.
Интуитивно можно ожидать, что неравномерное нагревание
атмосферы является причиной восходящих движений в тропи-
ках и нисходящих — в высоких шпротах. Галлей [284] и Гад-
лей [283] предложили такого рода циркуляцию, известную те-
перь как ячейка Гадлея (см. разд. 2.3). Аналогичную циркуля-
цию можно предположить и в океане, так что избыток тепла
1.6. Эффекты горизонтальных градиентов 25
в тропиках будет переноситься к полюсам и в атмосфере, и
в океане.
Циркуляция (в меридиональной плоскости), которая проис-
ходит в действительности, известна для атмосферы колнчествен-
Рис. 1.7. Липпи тока усредненного меридионального потока массы в атмо-
сфере: («) в декабре — феврале; (б) в июне—августе. Цифры у кривых озна-
чают мегатонны в секунду (1 Мт/с = 109 кг/с). Масштаб по горизонтальной
осп выбрал таким, что расстояния между отметками широт пропорциональны
площадям земной поверхности, заключенным между соответствующими ши-
ротными кругами, т. е. он линеен относительно синуса широты. [Данные за-
имствованы из [588].]
по (но с ограниченной точностью) из наблюдений и показана
на рис. 1.7. По сравнению с атмосферой меридиональная цир-
куляция в океане известна очень плохо; тем не менее были вы-
полнены оценки, которые дают по крайней мере порядок ее ве-
личины. Краткое описание атмосферной циркуляции следующее.
Ячейка Гадлея ограничивается тропиками. Влажный воздух
из зоны пассатов, где испарение преобладает над осадками, втя
26 Гл. 1. Силы, движущие систему океан — атмосфера
гивается в области восходящего движения, которые, будучи
влажными и облачными, показаны на рис. 1.2 как области с вы-
соким коэффициентом отражения. Важные области восходящего
движения имеются над Индонезией и бассейнами рек Амазонки
и Конго. Над Атлантическим н Тихим океанами восходящие
движения имеют тенденцию концентрироваться в достаточно уз-
кой полосе, называемой внутритроппческой зоной конвергенции
(ВТЗК), обычно расположенной между 5 и 10° к северу от эква-
тора. Ее можно очень ясно видеть как полосу высокого отраже-
ния на рис. 1.2. Области нисходящего воздуха являются сухими
и включают, в частности, области пустынь (помеченные буквой
X па рис. 1.2), которые расположены между шпротами 20 и 30°.
Опп показаны на рис. 1.3 как области высокого альбедо над су-
шей. Там, где опускание происходит над холодным океаном,
часто находятся низкие недождевые облака (помеченные бук-
вой Y на рис. 1.2).
В1 средних широтах картина совсем другая. Из-за вращения
Земли движение, вызванное горизонтальными градиентами
плотности, является преимущественно восточно-западным с от-
носительно небольшой меридиональной циркуляцией. (Наблю-
даемые распределения скорости и температуры показаны па
рис. 7.9.) Однако эта ситуация неустойчива; развиваются боль-
шие перемещающиеся возмущения (которые на карте погоды
появляются в виде циклонов и антициклонов). Эти возмущения
являются очень эффективными переносчиками энергии в на-
правлении полюсов.
Об эффективности движения, вызванного горизонтальными
градиентами, можно судить, сравнивая две нижние кривые па
рис. 1.1. Сплошная кривая показывает изменение с широтой
поглощенного потока радиационной энергии. При чисто радиа-
ционном равновесии (или радиационно-конвективном равнове-
сии), уходящая радиация была бы равна поглощенной радиа-
ции на всех широтах. В' действительности поток уходящей ра-
диационной энергии, показанный штриховой линией на рис. 1.1,
значительно более однороден, его отклонения от среднего пото-
ка примерно равны одной трети отклонений, характерных для
поглощенного потока. Составляя разность между этими двумя
кривыми, можно вычислить количество энергии, которое должно
быть перенесено через каждый широтный круг благодаря дви-
жению атмосферы. Кривая, полученная таким образом для се-
верного полушария, показана на рис. 1.8. Эту кривую можно
сравнить с кривой наблюдаемого переноса энергии атмосферой
([602], [796]). Разность между двумя кривыми (заштрихован-
ная область на рис. 1.8) дает оценку энергии, переносимой
океаном. Согласно этим результатам, океан и атмосфера играют
одинаково важную роль в переносе энергии, причем перенос
энергии атмосферой более важен на 50° с. ш., а океаном — на
1.6. Эффекты горизонтальных градиентов 27
20° с. in. Однако имеются существенные неопределенности в из-
мерениях; вероятные ошибки оценены Ван дер Хааром и Оор-
том ([815]). Например, вероятная ошибка в переносе энергии
океаном на 20° с. ш. порядка 70 %.
При расчетах по наблюдениям переноса энергии атмосферой
можно различать энергию, переносимую средней (усредненной
по времени) циркуляцией, и энергию, переносимую вихревыми
движениями. Если эти расчеты сделать для каждого месяца по
Рис. 1.8. Перенос энергии в северном направлении (в петаваттах; 1 ПВт =
= 101В Вт) как функция шпроты. Внешняя кривая — суммарный перенос, оце-
ненный по результатам измерений потока радиации. Нсзаштриховапная пло-
щадь под кривой соответствует части, переносимой атмосферой, а заштри-
хованная— части, переносимой океаном. Нижней кривой показана часть
атмосферного переноса, обусловленная неустановившимнся вихревыми движе-
ниями; она получена усреднением среднемесячных значении, взятых из [602,
табл. 3]. Горизонтальный масштаб линеен относительно синуса широты. [Из
[815].]
отдельности и результаты усреднить, то получается кривая в
незаштрихованной части рис. 1.8. На широтах, где перенос энер-
гии атмосферой важен, наибольший перенос падает на вихре-
вые движения. Эти наблюдения являются основой для простых
моделей равновесия (например, [758], см. также [314]), в ко-
торых поток радиационного тепла уравновешивается не мелко-
масштабной конвекцией, как в радиационно-конвективных моде-
лях равновесия, а потоками энергии, связанных с крупномас-
штабными переходными процессами (в частности, циклопами
и антициклонами). Эти движения переносят тепло как верти-
кально, так и горизонтально (см. [608, гл. 2]), так что можно
вычислять и вертикальные, и горизонтальные градиенты.
Метод оценки переносов, вызванных крупномасштабными пе-
реходными движениями, выходит за рамки этой главы, однако
важно понятие о них. Структура атмосферы и океана зависит
от движений, вызываемых радиацией, и их роли в перераспре-
делении тепла. Если влияние доминирующего механизма пере-
28 Гл. 1. Силы, движущие систему океан — атмосфера
носа энергии можно оценить таким простым способом, то можно
надеяться получить разумные оценки основных черт глобальной
картины, например средние горизонтальные и вертикальные гра-
диенты температуры атмосферы.
1.7. ИЗМЕНЧИВОСТЬ В РАДИАЦИИ, ДОСТИГАЮЩЕЙ ЗЕМЛИ
Так как текущее состояние океана и атмосферы является
результатом их отклика на радиацию, получаемую от Солнца,
хотелось бы знать, какая изменчивость имеется в этой радиа-
ции. Суммарное количество радиации, падающей на Землю
в течение 1 года, зависит только от радиации, исходящей от
Солнца. Эта радиация измеряется солнечной постоянной S; ее
фактическое значение определяется равенством (1.2.1). Изме-
рения, проводимые начиная с 1920 года [176], показали отсут-
ствие изменчивости, превышающей возможные погрешности из-
мерений, так что за этот период 3 изменялось не более чем
на 1 или 2 %. Таким образом, гипотеза о постоянстве 3, что
предполагается и в самом названии «солнечная постоянная»,
согласовывается с полученными по сей день наблюдениями, хотя
другие возможности не исключаются. Однако количество ра-
диации, падающей в отдельную точку на Земле, меняется в
огромных пределах между днем и ночью и от сезона к сезону,
и эти вариации несомненно важны для известной нам жизни.
Так как акцент в этой книге делается на периоды, большие чем
сутки, то суточные вариации не будут непосредственно рассмат-
риваться. Однако важно подчеркнуть, что существование суточ-
ных вариаций может оказать воздействие на состояние атмо-
сферы на более длительных периодах; величина эффекта зависит
от амплитуды суточных вариаций. Примером такого эффекта
является перемешивание нижней атмосферы. В1 частности, летом
почва может очень сильно нагреваться в течение дня, вызывая
сильную конвекцию, которая перемешивает значительный слой
воздуха. Воздух не является «неперемешиваемым» ночью, так
что суммарный эффект существенно отличен от того, который
достигается при постоянной радиации.
Сезонные вариации вызываются, во-первых, наклоном земной
оси относительно плоскости ее орбиты (в настоящее время 23,5°)
и, во-вторых, эллиптичностью орбиты Земли. Эллиптичность та-
кова, что общее количество радиации, достигающее Земли,
варьирует в пределах ±3,5 % при максимуме в начале января.
Соответствующие изменения приходящей радиации в зависимо-
сти от широты и времени даны в [471, табл. 132 и 134], тогда
как наблюдаемые изменения уходящей радиации имеются в
[741]. Последняя меняется меньше, чем приходящая радиация,
поэтому имеется суммарный избыток энергии между октябрем
и мартом, когда Земля находится ближе к Солнцу, и имеется
1.7. Изменчивость в радиации, достигающей Земли 29
суммарный недостаток в остальное время года. Вариации ука-
зывают на заметную асимметрию между двумя полушариями
из-за различия отношения площадей суши и океана. Эти ва-
риации над океаном относительно малы.
Существование сезонных вариаций существенно сказывается
на среднем состоянии атмосферы и океана; величина влияния
зависит от амплитуды вариаций. Этот факт был продемонстри-
рован на численных экспериментах Везеролдом и Манабе 1827].
Они исходили из модели океан — атмосфера, которая приводи-
лась в движение среднегодовой радиацией, затем она заменя-
лась на сезонное воздействие. Среднее состояние при этом из-
менялось, т. е. температура поверхности в высоких широтах
была больше и был уменьшен средний градиент температуры
север — юг в атмосфере (чувствительность, например, к измене-
ниям содержания СОг, также изменялась, см. Везеролд и Ма-
набе [828]). Наиболее важным фактором оказалось таяние
снега в высоких широтах летом, поэтому уменьшалось суммар-
ное альбедо. Другой фактор, который был обнаружен, это раз-
витие летом теплого поверхностного слоя в океане, приводящем
к более высокой средней температуре поверхности океана.
Тот факт, что сезонные вариации действуют на среднее со-
стояние системы оксан — атмосфера, является основой астроно-
мической теории изменений климата Милаиковича [542], [543].
Из-за возмущений, вызванных другими планетами, наклон зем-
ной оси меняется от 22 до 24,5°, и эксцентриситет орбиты Земли
также меняется. Временные масштабы этих изменений порядка
104—105 лет. Суммарная радиация, приходящая в течение года,
меняется мало, однако ее распределение во времени и простран*
стве меняется. Вариация эксцентриситета существенна для ам-
плитуды сезонных изменений приходящей радиации, которая
при этом меняется в пределах от 0 до 15%; меняется также
и время максимума. Влияния этих изменений па приходящую
радиацию даны в [57], а теория обсуждается в [371] и Мони-
ным [556, гл. 4]. Периоды, в течение которых количество ра-
диации, получаемое летом в высоких широтах континентальных
областей Северного полушария, было мало, по-видимому, сов-
падают с эпохами оледенения. Геологическое доказательство,
поддерживающее эту теорию, обсуждается в [309] и [370].
Глава 2
Перенос субстанций между
атмосферой и океаном
2.1. ВВЕДЕНИЕ
Как уже отмечалось во введении к гл. 1, было бы жела-
тельно определить отклик системы атмосфера — океан на из-
лучение, поступающее от Солнца, если заданы только физи-
ческие свойства воздуха и воды, распределение континентов и
океанов и другая аналогичная исходная информация. Некоторая
такая информация дается в настоящей главе: так, в разд. 2.2
обсуждаются различия между физическими свойствами воздуха
и воды, благодаря которым граница между ними столь важна.
Ясно, что существенно различие в плотности, однако существен
и контраст в оптических свойствах, так из-за пего термическое
движение океана активно именно на поверхности.
Процессы, ответственные за перенос тепла и влаги через
границу воздух — вода, кратко обсуждаются в разд. 2.4 сов-
местно с формулами, используемыми для вычисления интенсив-
ности переноса. Эти формулы можно использовать для вычис-
ления глобальных балансов тепла, влаги и количества движения,
которые рассматриваются в трех разделах. Сначала в разд. 2.3
обсуждается баланс момента количества движения атмосферы,
что представляет некоторый исторический интерес в связи с
циркуляцией Гадлея. Баланс влажности (гидрологический цикл)
рассматривается в разд. 2.5, а тепловой баланс океана — в
разд. 2.6. Наконец, термохалинной (т. е. вызванной действием
сил плавучести) циркуляции океана посвящен разд. 2.7.
2.2. ОТЛИЧИЯ В СВОЙСТВАХ ОКЕАНА И АТМОСФЕРЫ
Вода гораздо плотнее, чем воздух. Плотность воздуха ме-
няется в зависимости от температуры, давления и влажности
(см. гл. 3). Типичное значение плотности воздуха у поверхности
Земли 1,2—1,3 кг/м3 (0,0013 т/м3), в то время как плотность
воды почти в 800 раз больше (1025 кг/м3 = 1,025 т/м3 на по-
верхности океана). Поверхность раздела между воздухом и во-
дой очень устойчива, так как гравитационная сила противодей-
ствует ее перемещению из положения равновесия. Типичные пе-
ремещения, наблюдаемые в поверхностных волнах, порядка 1 м.
Из-за устойчивости поверхности раздела две среды не переме-
шиваются сколь-нибудь существенно (пена и брызги наблю-
2.2. Отличия в свойствах океана и атмосферы 31
даются только вблизи поверхности раздела), так что перепое
свойств между двумя средами должен происходить через ясно
выраженную поверхность раздела. В этом состоит отличие, на-
пример, от атмосферы, в которой перенос тепла может проис-
ходить через султан горячего воздуха, поднимающегося па сот-
ни метров и затем перемешивающегося с окружающим возду-
хом. Очевидно, что подобный султан не может пересечь по-
верхности океана, п это одна из причин, по которой процессы
переноса атмосфера океан заслуживают специального рас-
смотрения.
Существование поверхности раздела влияет па радиацион-
ный баланс, так как опа отражает радиацию. Доля а отражен-
ной солнечной радиации зависит от угла падения и кривизны
поверхности [412], разд. 3.2. Типичные значения а, получаемые
при помощи спутниковых измерений минимального альбедо, по-
казаны на рис. 1.3,6. Предполагается, что минимальное альбедо
приближается к такому значению, которое получилось бы при
отсутствии облаков, и поэтому оно близко к величине альбедо
поверхности. Ниже 30° шпроты обнаружены величины альбедо,
меньше чем 0,1. В более высоких широтах значения растут с
ростом шпроты, так как при этом уменьшается и угол между
солнечными лучами п поверхностью.
Имеется не только разрыв плотности па поверхности океана,
ио также и разрыв оптических свойств, последствия которого
важны для радиационного баланса. Рассмотрим, во-первых,
солнечную радиацию, падающую па верхнюю границу атмосфе-
ры. Согласно рис. 1.6, только 19 % ее поглощается в самой ат-
мосфере. На верхней границе часть а отражается. Что проис-
ходит с оставшейся частью, которая достигает океана? Она со-
ставляет около 51 % (см. рис. 1.6) радиации, приходящей к
верхней границе атмосферы. В1 отличие от атмосферы океан
поглощает солнечную радиацию очень быстро. Скорость погло-
щения зависит от длины волны и количества взвешенного ве-
щества [412, разд. 3.2]. Полная энергия (в диапазоне длин волн,
характерных для солнечной радиации) уменьшается экспонен-
циально с глубиной. Типичная интенсивность ослабления та-
кова, что около 80 % [378, табл. 21 и рис. 50] поглощается в
верхних 10 м. В прибрежных областях, в которых присутствует
множество взвешенных частиц, степень поглощения может быть
существенно большей. Более детальное обсуждение можно най-
ти в книге [378].
В атмосфере длинноволновая радиация поглощается намного
быстрее, чем солнечная радиация. Основной поглощающей сре-
дой является водяной пар. Вряд ли удивительно поэтому, что
длинноволновая радиация поглощается в океане очень быстро,
В результате эмиссия (и поглощение) длинноволновой радиации
32 Гл. 2. Перенос субстанций между атмосферой и океаном
происходит в очень тонком слое, не превышающем 1 мм
1495].
Различие в плотности между воздухом и водой означает,
что масса океана намного больше (в 270 раз), чем масса ат-
мосферы. Масса атмосферы, приходящаяся на единицу пло-
щади, равна примерно 104 кг/м2 (10 т/м2), а так как ускорение
силы тяжести порядка 10 м/с2, то вес, приходящийся на еди-
ницу площади, или давление па поверхности, составляет около
Ю5 Па 105 Н/м2 == 1 бар. Слой воды толщиной всего лишь
10 метров имеет тот же вес на единицу площади, так что дав-
ление возрастает на 1 бар на каждые 10 м. С этой целью океа-
нографы часто выражают давление в децибарах (дбар), так
что 1 дбар ~ 1 м глубины (см. разд. 3.5). Большая разница
в массах воздуха и воды приводит также и к большой разнице
в теплоемкости. Фактически удельная теплоемкость (теплоем-
кость единицы массы) для воды в четыре раза больше, чем для
воздуха, так что 2,5 м воды имеют ту же теплоемкость на еди-
ницу площади (107 Дж/м2К), что и весь столб атмосферы еди-
ничной площади. Другими словами, тепло, необходимое для
поднятия температуры атмосферы на 1 К, можно получить, из-
менив температуру слоя воды толщиной 2,5 м па ту же вели-
чину (пли 25 м на 0,1 К, или 250 м на 0,01 К). Тепло можег
также накапливаться в скрытой форме, и одно и то же количе-
ство тепла затрачивается на испарение 4 мм воды или таяние
30 мм льда. (Эти числа получены для значений скрытой теп-
лоты и удельных теплоемкостей, указанных в приложениях 3
и 4.) Важность скрытой теплоты можно увидеть, если принять
во внимание, что интенсивность испарения в тропиках состав-
ляется около 4 мм в сутки, что соответствует изменению темпе-
ратуры атмосферы порядка 1 К в сутки [673].
Большая теплоемкость океана важна для сезонных измене-
ний. Хотя на больших периодах каждое полушарие теряет пу-
тем излучения примерно столько же тепла, сколько оно полу-
чает, однако это неверно для отдельного сезона. Избыток тепла,
получаемого летом, не переносится в зимнее полушарие, а на-
капливается в поверхностном слое океана глубиной около 100 м
и возвращается в атмосферу зимой [608, гл. 2]. Так как океан
может накапливать тепло, то температура его поверхности ме-
няется значительно меньше, чем температура поверхности суши,
которая не может накапливать много тепла. Это различие ме-
жду сушей и морем четко прослеживается на рис. 2.1, который
показывает сезонное распределение температуры поверхности
Земли. Хотя контуры континентов не нарисованы, их располо-
жение очевидно. Тепловые запасы в океане важны также па
более длительных временных интервалах, а поэтому они суще-
ственны для изменений климата.
Зак. 744
Рис. 2.1. Годичное распределение среднемесячных температур по поверхности Земли (по Монину [557], с. 203).).
2.2. Отличия в свойствах океана и атмосферы
34 Гл. 2. Перенос субстанций между атмосферой и океаном
2.3. ПЕРЕНОС ИМПУЛЬСА МЕЖДУ ВОЗДУХОМ И МОРЕМ.
БАЛАНС МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ АТМОСФЕРЫ
Чем вызываются ветры и что определяет их распределение?
Для объяснения тропических пассатов Галлей ([284], 1686,
с. 165) указывал, что движущая сила есть «воздействие сол-
нечных лучей па воздух и воду». Оно вызывает динамический
эффект, а именно, «согласно законам статики, воздух, который
менее разрежен или расширен под действием тепла и, следо-
вательно, более тяжелый, должен двигаться в направлении тех
областей, где воздух более разрежен и менее тяжел, чтобы
установить равновесие». Галлей имел в виду стационарный ре-
жим, в котором воздействие радиации, вызывающей разность
плотностей в горизонтальном направлении, уравновешивается
динамическими эффектами, которые стремятся эту разность
уменьшить.
«Однако, так как холодный и плотный воздух под действием
своего большего веса давит на теплый и разреженный воздух,
последний должен подниматься непрерывным потоком настолько
быстро, насколько он разрежен. Поднимаясь, он должен сам
рассеиваться для сохранения равновесия, т. е. при обратном
течении верхний воздух должен двигаться от тех мест, где теп-
лее всего: при такого вида циркуляции северо-восточные пасса-
ты, находящиеся ниже, будут сопровождаться юго-западными
пассатами, лежащими выше, а юго-восточные — северо-запад-
ными, лежащими выше» (Галлей [284], с. 167).
Такая циркуляция в меридиональной плоскости, как теперь
известно, существует в тропиках (см. рис. 1.7), и объяснение цир-
куляции Галлеем в основном правильно. Однако меридиональ-
ная циркуляция сейчас называется циркуляцией Гадлея. Это
произошло потому, что объяснение Галлея восточной компонен-
ты пассатов было неправильным, в то время как Гадлей (1735)
дал объяснение, которое много ближе к истине. Он высказал
мнение, что из-за вращения Земли скорость на экваторе боль-
ше, чем на широте тропиков (23,5° широты), на 2083 мили в
сутки. Поэтому при отсутствии трения воздух, покоящийся от-
носительно Земли на широте 23,5°, приобретает на экваторе
скорость (в западном направлении) 2083 мили в сутки. Так
как такой скорости не наблюдается, то «нужно предполо-
жить, что, прежде чем воздух из тропиков достигнет экватора,
он должен до некоторой степени увлекаться в восточном на-
правлении поверхностью суши или моря, вследствие чего его
скорость относительно этой поверхности уменьшается, и после
нескольких оборотов Земли оно принимает наблюдаемое значе-
ние. Именно этим, я думаю, полностью объясняются северо-во-
сточные ветры по эту сторону экватора и юго-восточные ветры
по другую сторону экватора (Гадлей [283, с. 61]). Галлей [284,
2.3. Перенос импульса между воздухом и морем 35
е. 151] издал первую подробную карту таких ветров над тро-
пической Атлантикой и Индийским океаном, основанную на его
собственных наблюдениях и информации, полученной от «мно-
гочислен и ых на б люд а те лей».
Принцип, к которому обращался Гадлей, был принципом со-
хранения момента количества движения, который справедлив
Рис. 2.2. Среднее напряжение западного ветра на поверхности оксана как
функция широты (значения взяты из [203]). Масштаб по широте выбран так,
что расстояние между двумя соседними шпротами пропорционально квадрату
косинуса шпроты. В этом масштабе площадь, находящаяся под кривой, будет
равна нулю, если средняя скорость переноса импульса от атмосферы одна и
та же как над сушей, так и над морем для каждой широты.
при отсутствии трепня. Гадлей [283, с. (52] также установил,
что «северо-восточные и юго-восточные ветры в тропиках
должны компенсироваться северо-западными и юго-западными
ветрами в других частях, и вообще ветры любого направления
должны компенсироваться тем или иным противоположным
ветром, в противном случае должны происходить некоторые
изменения в движении Земли вокруг ее оси». Это утверждение
неверно в отношении направленной иа север составляющей
ветра, однако совершенно ясно, на какой принцип ссылается
Гадлей. Суммарная скорость обмена моментом количества дви-
жения между атмосферой и подстилающей поверхностью долж-
на равняться нулю, в противном случае момент количества дви-
жения атмосферы будет непрерывно возрастать или убывать.
2*
36 Гл. 2. Перенос субстанций между атмосферой и океаном
Рис. 2.3. Среднее давление на уровне моря (мб) для января (а и б) и июля
(е и г). Данные для северного полушария взяты из [147], а для южного полу-
шария — из [768].
Количественное выражение этого принципа можно получить
следующим образом. Предположим, что направленная на восток
усредненная сила (или скорость переноса импульса в восточном
направлении), действующая на единицу площади поверхности
Земли на широте ср, есть т*(ср). Тогда средний крутящий мо-
мент относительно земной оси (или скорость переноса момента
количества движения), приходящейся на единицу площади, равен
атх (qp) cos ср,
где а — радиус Земли. Площадь зональной полосы между ши-
ротами ср и ср + dcp есть 2л«2 cos ср с/ср, так что крутящий момент,
приложенный к этой полосе, равен
2ла3тх (ср) соз2ф dcp.
Суммарный крутящий момент, приложенный к поверхности
Земли (или суммарная скорость обмена моментом количеств
2.3. Перенос импульса между воздухом и морем 37
Рис. 2.3. (продолжение)
движения между атмосферой и подстилающей поверхностью),
должен равняться нулю, т. е.
Л/2
Xх (ср) cos2 ср dtp = 0. (2.3.1)
-л/2
Это и есть количественное выражение принципа, который при-
менял Гадлей.
Воздействие атмосферы па подстилающую поверхность мо-
жет быть оказано двумя различными путями. Один путь —
воздействие па неровности поверхности, связанное с разностью
давлений по разные стороны от них. Другой — вязкое напря-
жение. Неровности поверхности, на которые воздействует ат-
мосфера, могут иметь различные масштабы — от гор, подобных
Аидам, до деревьев, стеблей трав и воли на поверхности океана.
Если неровности поверхности достаточно малы (как в случае
океана), то действующая на них сила в расчете па единицу
площади добавляется к вязкому напряжению и называется
38 Гл. 2. Перенос субстанций между атмосферой и океаном
Рис. 2.3. (продолжение)
поверхностным напряжением или напряжением ветра. Так как
поверхность Земли покрыта в основном океаном, то неудиви-
тельно, что (2.3.1) приближенно верно при т*(ср), равном усред-
ненному напряжению ветра восточного направления над океа-
ном на широте <р. Вклад других компонент, влияющих на из-
менение момента импульса, рассмотрены у Ньютона [590]. На
рис. 2.2 приведена зависимость средних напряжений ветра
т*(<р) восточного направления от широты. Широта отклады-
вается по оси ординат в масштабе, линейном по
<р
1- ф 1. sin 2ф = cos2 ф'
о
так что площадь, находящаяся под кривой, равна нулю, если
(2.3.1) выполняется точно Заметим, что имеется направленное
на запад напряжение в зоне пассатов (ниже 30° широты), и
2.3. Перенос импульса между воздухом и морем 39
Рис. 2.3, в.
поэтому для общего баланса необходимо направленное на во-
сток напряжение в высоких широтах. Восточное напряжение
связывается с господствующими в этих широтах западными
(т. е. направленными на восток) ветрами.
Причина, по которой западные ветры должны наблюдаться
в этих шпротах, не слишком проста, и опа рассматривается в
связи с балансом момента количества движения в гл. 13 (см.
также [485], [486]).
Чтобы рассчитать океанические течения, вызванные ветром,
требуется детальное распределение напряжений на земной по-
верхности. Схему приземных ветров вдали от экватора можно
получить из карт приземного давления (рис. 2.3), а распреде-
ление тропических ветров показано па рис. 11.24, 11.28 и 11.29.
Такие черты этого распределения, как пассаты, внутритропи-
ческая зона конвергенции и западные струнные ветры, ясно
проявляются на этих рисунках. Источники более подробной ин-
формации перечислены в приложении 5.
-40 Гл. 2. Перенос субстанций между атмосферой и океаном
2.4. ЗАВИСИМОСТЬ ИНТЕНСИВНОСТИ ОБМЕНА НА ГРАНИЦЕ ВОДА —
ВОЗДУХ ОТ РАЗНОСТИ СКОРОСТЕЙ, ТЕМПЕРАТУР И ВЛАЖНОСТИ
Ветры возникают в атмосфере как отклик на радиационное
воздействие. Эти ветры переносят импульс в океан, вызывая
океанические течения. С помощью каких процессов переносится
импульс и от чего зависит интенсивность переноса? Это важные
вопросы, и о них написано достаточно много (см. [412], [413],
[222], [472], [128], [490]). Настоящий раздел задуман только
как краткое введение в проблему.
Рис. 2.4. Пример того, как скорость ветра (в м/с) меняется с высотой (в м).
Масштаб по высоте является а) линейным, б) логарифмическим. Значения для
0, 5, 1, 2, 4, 8 и 16 м получены по данным анемометра на метеовышке и усред-
нены за 1/2—1 часа. Значения, начиная с 50 м н выше, были получены по пе-
ремещению шара-зонда, запущенного в том же месте (из [133], данные с. 307,
9 ч.).
Скорость, м/с
Радиационное воздействие на атмосферу создает градиенты
давления, в результате которых возникают ветры, имеющие
скорость порядка 10 м/с. Если бы отсутствовал перенос им-
пульса к нижней границе (т. е. отсутствовало бы контактное
трение между атмосферой и подстилающей поверхностью), то
такие ветры могли бы наблюдаться в непосредственной близо-
сти от подстилающей поверхности. Однако на поверхности
имеется контактное трение. Это означает, что на твердых гра-
ницах непосредственно контактирующий с границей воздух дол-
жен иметь нулевую скорость. Поэтому около земли существует
градиент скорости, или сдвиг. (Пример изменения скорости
ветра с высотой показан на рис. 2.4.) Однако сдвиговое течение
неустойчиво, вследствие чего небольшие возмущения могут ра-
сти, делая течение турбулентным. Турбулентные вихри (из-за
которых ветер бывает «порывистым») накладываются на сдвиг,
2.4. Зависимость интенсивности обмена 41
однако на достаточно больших промежутках времени можно
достаточно хорошо определить среднюю скорость для каждого
расстояния z от поверхности земли. (Типичное время, требуе-
мое для усреднения, — порядка минут на высоте в несколько
метров от земли.) В области, где сдвиг заметен, импульс пе-
реносится вниз в результате обмена объемами воздуха, т. е.
быстро движущимися объемами, смещающимися вниз, и мед-
ленно движущимися объемами, смещающимися вверх. Если
«—горизонтальная компонента скорости, w — вертикальная
компонента, а р — плотность, то вертикальный поток горизон-
тального импульса через единицу площади равен puw. Среднее
значение этой величины по достаточно большой площади или
по достаточно большому интервалу времени равно среднему на-
пряжению т.
При приближении к земле сдвиг возрастает обратно про-
порционально расстоянию от поверхности. (Этот закон можно
получить по соображениям размерности из предположения, что
сдвиг зависит только от т, р и расстояния z от земли. Это со-
ответствует логарифмическому профилю средней скорости.) Об-
ратная пропорциональность имеет место только в непосред-
ственной близости от земли, где сдвиг значителен, поскольку
становятся важными другие эффекты, если сдвиг слабый. На-
пример, если вертикальный градиент (см. разд. 1.5) настолько
велик, что вызывает конвекцию, то конвективная турбулент-
ность на некотором уровне станет важнее сдвиговой.
Чтобы связать напряжение т со скоростью ветра и, необхо-
димо указать высоту, на которой измеряется ветер. После того
как это сделано, из соображений размерности связь между х
и и можно взять в виде
т = cDpzz2, (2.4.1)
где cD — безразмерный коэффициент, называемый коэффициен-
том сопротивления. Его значение на твердой поверхности за-
висит от шероховатости поверхности и может также зависеть
от вертикального градиента. Значения для различных типов по-
верхности известны из измерений.
Океан не является твердой поверхностью, однако скорости
на поверхности океана и в этом случае намного меньше, чем
скорости в атмосфере (обычно около 3 % от скорости ветра на
высоте 10 м). Это обусловлено в основном различием плотно-
стей, поскольку тот же импульс в воде может переноситься при
гораздо меньшей скорости, чем в атмосфере. Следовательно,
сдвиг над океаном так же велик, как и над сушей, и турбулент-
ность здесь возникает тем же путем. Однако измерения над
океаном более трудны, чем над сушей, и хуже известно, как
коэффициент сопротивления меняется, в особенности при боль*
шнх скоростях ветра. Как отмечалось в разд. 2Д исрснов
42 Гл 2. Перенос субстанций между атмосферой и океаном
импульса через поверхность может быть обусловлен перепадом
давлений при переходе через неровности (в данном случае
волны) или вязкими напряжениями. Перепад давлений при пе-
реходе через волны может увеличивать амплитуду волн, и к
тому же волны могут переносить импульс без какого-либо сред-
него движения жидкости. Однако представляется вероятным,
что большая часть импульса, переносимая при шторме, расхо-
дуется на генерацию течений [556].
Коэффициент сопротивления cD для поверхности океана воз-
растает с ростом скорости ветра. Его значение для малых ско-
ростей порядка 1,1 X Ю~3. Для скоростей выше 6 м/с часто ис-
пользуется линейное соотношение между cD и п; например, в
[737] предлагается зависимость
103cD = 0,61 + 0,063м при 6 м/с < и < 22 м/с. (2.4.2)
С другой стороны, данные наблюдений укладываются в со-
отношение, полученное Чарноком [128] на основании теории
размерности. Это соотношение предполагает, что величина, на-
званная длиной шероховатости (см. разд. 9.5), пропорциональ-
на характерному масштабу длины, получаемому из характер-
ных масштабов т, р и g. Тогда коэффициент сопротивления за-
дается формулой
CD = [%/1 П (pgz/(ax))]2, (2.4.3)
где х и а — постоянные (называемые постоянными Кармана и
Чарнока соответственно), a z—высота анемометра (обычно
10 м).
В [853] предложены значения
х = 0,4, <3 = 0,0185. (2.4.4)
Другая формула для cD предложена в [472].
Так как вихревое движение воздуха в 10-метровом слое око-
ло поверхности определяется скорее сдвигом, чем действием сил
плавучести (см. разд. 1.5), то интенсивность переноса тепла и
влажности зависит от скорости ветра. Тепло и влажность пе-
реносятся вместе с объемами воздуха. Направление переноса
обычно следующее: теплый и влажный воздух поднимается
вверх, а относительно холодный и сухой воздух опускается вниз.
Подобно сдвигу, градиенты температуры и влажности возра-
стают при приближении к поверхности также обратно пропор-
ционально расстоянию от нее. Предполагая, что поток тепла Qa,
направленный вверх, зависит от скорости ветра, разности ме-
жду температурой моря и температурой воздуха Та на стан-
дартном уровне, а также от теплоемкости раср единицы объема
воздуха, получаем из соображений размерности
, = (2.4.5)
2.5. Гидрологический цикл 43
где сн — безразмерный коэффициент. Иногда сн называют чис-
лом Стентона. Соответствующее правило для скорости испаре-
ния Е, определяемой как масса воды, испаряемая с единицы
площади в единицу времени, имеет вид
Е/ра = сЕи (73 — 7а), (2-4.6)
где 7а есть удельная влажность (масса воды в единице массы
воздуха) на стандартном уровне, q3— удельная влажность на
поверхности моря, предполагаемая равной насыщающему зна-
чению q при температуре поверхности моря; ра — плотность воз-
духа, а сЕ — безразмерный коэффициент, иногда называемый
числом Дальтона.
Имеются различные формулы для сн и се; например, Смит
[737] нашел, что с данными наблюдений хорошо согласуются
значения
1П3 ___ f 0,83 для устойчивых условий,
W сн — < (2.4.7)
( 1,10 для неустойчивых условий,
тогда как постоянное значение
10% = 1,5, (2.4.8)
по-видимому, вполне пригодно. Другие формулы даны в [472].
2.5. ГИДРОЛОГИЧЕСКИЙ ЦИКЛ
Фундаментальная важность воды в атмосфере для энерге-
тического баланса была отмечена в гл. 1. Если бы водяной пар
переносился только путем молекулярной диффузии, то, вероят-
но, диффузия вверх продолжалась бы до тех пор, пока вся ат-
мосфера не стала бы насыщенной. Однако атмосфера не яв-
ляется насыщенной из-за движения, вызванного воздействием
радиации. Воздух движется непрерывно вверх и вниз из-за кон-
векции (вызванной тем, что радиация прогревает нижний слой
атмосферы сильнее, чем верхний) и из-за горизонтальных гра-
диентов, обусловленных большим количеством радиации, полу-
чаемой тропическими областями по сравнению с полярными.
Движущийся вверх воздух поднимается па уровни, температура
которых более низкая и которые поэтому могут удержать мень-
ше влаги. Если воздух поднимается достаточно высоко, он ста-
новится насыщенным, влага конденсируется п может затем
выпасть на поверхность в виде осадков. После этого воздух
будет иметь меньшую влажность, так что, когда он снова опу-
стится вниз, он не будет насыщенным. Если он опустится до-
статочно низко, то некоторая часть этого относительно сухого
воздуха будет подхвачена вихрями, созданными сдвигом, и вы-
несена вниз к самой поверхности. Контакт сухого воздуха с
44 Гл. 2. Перенос субстанций между атмосферой и океаном
поверхностью ведет к испарению, которое увлажняет воздух, и
так цикл продолжается.
Охлаждение поверхности, вызванное испарением, представ-
ляет собой основную потерю тепла в атмосферу, которая не-
обходима, чтобы уравновесить его поступление за счет радиа-
ционного нагрева. Тепло, отбираемое от поверхности, возвра-
щается обратно в более высокие слои атмосферы, когда водяной
пар конденсируется. Это создает вертикальный перенос тепла,
требуемый условием радиационного баланса. Средняя интен-
сивность испарения над океаном, которая обеспечивает этот
перенос, равна примерно 1 м/год (3 мм/сутки). Однако коли-
чество воды в атмосфере в любой момент невелико. Если опа
выпадет в виде осадков, то покроет земную поверхность слоем
толщиной 23 мм. (Это эквивалентно количеству скрытой теп-
лоты в атмосфере в расчете на единицу площади, равному
5,7ХЮ7 Дж/м2. Эту величину для северного полушария вы-
числил Оорт [602, табл. 1]. Изменение теплосодержания па
эту величину изменило бы температуру атмосферы па 6°.) Деля
толщину слоя на среднюю скорость испарения, получаем, что
среднее время пребывания водяного пара в атмосфере около
1 недели.
За время, в течение которого отдельная молекула водяного
пара находится в атмосфере, она может быть перенесена па
значительное расстояние по горизонтали. Из величин для сред-
них скоростей ветров следуют оценки перемещения молекулы
воды за 1 неделю: порядка 10 000 км на восток или па запад
и 1000 км на север или на юг. Поэтому конденсация может
происходить на значительном расстоянии от места испарения.
Следовательно, тепло переносится как в горизонтальном, так
и в вертикальном направлениях. Перенос водяного пара (и, сле-
довательно, скрытого тепла) можно вычислить, используя из-
мерения скорости и влажности в атмосфере [602] или нз оценок
разности интенсивностей испарения и выпадения осадков.
Рис. 2.5 показывает оценки, основанные на обоих методах. Ме-
ридиональный поток скрытого тепла вносит существенный вклад
в общий поток энергии атмосферы, показанный на рис. 1.8
(Оорт [602, табл. 5]); например, на 40° с. ш. он вносит 1,6 X
X 1015 Вт в общий атмосферный поток, равный 2,9 ХЮ15 Вт,
в то время как на 10° с. ш. поток скрытого тепла равен
— 1,4X Ю'5 Вт при общем потоке энергии атмосферы 1,2Х
X Ю15 Вт.
Источники информации по географическому распределению
испарения и осадков даны в приложении 5, а мировой водный
баланс рассмотрен в [48]. На рис. 2.6 приведена карта сред-
негодовых осадков. Отметим большое различие в интенсивно-
сти осадков в тропиках. Пояс интенсивных осадков около эква-
тора есть ВТЗК (см. стр. 26), и в этой области господствуют
2.5. Гидрологический цикл 45
восходящие потоки воздуха. Напротив, области севернее и юж-
нее этой зоны в восточной части Атлантического и Тихого океа-
нов, где господствуют нисходящие воздушные течения, являются
очень сухими.
Хотя влажность воздуха очень важна для теплового баланса
планеты, количество воды в атмосфере составляет лишь очень
малую долю от общего количества воды на Земле. Полезный
способ описания относительных количеств воды в различных
формах состоит в указании глубины, на которую заполнился
Рис. 2.5. Превышение испарения над осадками (в кг/м год) как функция шп-
роты. Значения между Северным полюсом и 5° <$ взяты из [602]. Остальные
данные из [587].
бы водой резервуар с вертикальными стенками и поверхностью,
равной поверхности океана. Тогда океаническая вода имела бы
глубину в 3800 м, в то время как влага атмосферы, если ее
сконденсировать, имела бы глубину только 0,03 м. После океа-
на следующие по величине запасы воды находятся в твердой
фазе, в основном в антарктическом ледяном щите. Если его
растопить, то соответствующая глубина будет равна 76 м. Вода
в озерах и реках заняла бы 4 м, тогда как грунтовые воды
(большей частью залегающие на очень большой глубине) —
около 19 м.
Вода в твердой фазе, скажем в ледяном щите, может об-
мениваться теплом с атмосферой весьма медленно из-за плохой
теплопроводности льда и большой толщины ледяного щита. По-
этому частицы ледяного щита остаются в нем ~105 лет. Более
существенны для теплового баланса Земли в каждый данный
момент снежный покров, который имеет высокое альбедо, и
морской лед, который не только имеет высокое альбедо, ио так-
же препятствует обмену теплом между океаном и атмосферой.
Когда речь идет о тепловом и водяном балансе ' океана, то
Cl
Рис. 2.6. Карта годовых дождей над океаном (с любезного согласия Дормана).
Гл. 2. Перенос субстанций между атмосферой и океаном
2.5. Гидрологический цикл 47
таяние и замерзание морского льда играет роль, аналогичную
осадкам и испарению. В' течение сезона лед может передвигать-
ся на расстояния порядка 1000 км, так что частицы льда будут
таять не в том месте, где они образовались. Поэтому имеется
дисбаланс таяние — замерзание, аналогичный дисбалансу выпа-
дение осадков — испарение. Величины этих дисбалансов неиз-
вестны, однако они могут достигать нескольких метров в год
в отдельных областях малой протяженности (см. [239]), ска-
жем, в южной части моря Уэддела, где лсд отрывается от бе-
рега господствующими ветрами и поэтому создаются условия,
яри которых может происходить быстрое замерзание морской
воды.
Там, где интенсивность осадков Р превышает интенсивность
испарения Е (или интенсивность таяния М превышает интен-
сивность замерзания F), поверхность океана поднялась бы с
течением времени, если бы по было силы тяжести, которая стре-
мится сохранить поверхность уровня постоянной. В одно время
(см. Стоммел [751]) было принято думать, что течения, необ-
ходимые для сохранения постоянного уровня, могут быть зна-
чительными, однако теперь известно, что нагонные (ветровые)
течения намного сильнее. (По-существу, это происходит из-за
того, что «скорость экмаповскон подкачки», обсуждаемая ниже,
примерно в 30 раз превышает характерные значения скорости
(/’-^/р.)
Более существенно дисбаланс осадки — испарение (или тая-
ние— замерзание) влияет на соленость. Если величина Р — Е
(масса воды на единицу площади в единицу времени) положи-
тельна, то вода разбавляется с такой же скоростью, как если
бы она теряла соль (масса соли на единицу площади в еди-
ницу времени) со скоростью
(£-£)$, (2.5.1)
где s— соленость морской воды, т. с. масса соли в единице
массы морской воды; обычно эта величина близка к 0,035. (За-
мечание. Символ s будет использоваться для солености, выра-
женной в весовых долях, a S резервируется для абсолютной со-
лености, выраженной в промилях (записывается °/оо), т. е. S ==
= 1000 s, или для практической солености (см. приложение 3)
в практических единицах солености). Когда океан покрыт
льдом, то эквивалентный поток соли, направленный вверх, равен
(М - Г) (s - S1), (2.5.2)
где Si — соленость морского льда, равная обычно 0,004 или 4%0.
Изменения в солености важны для динамики, так как они вы-
зывают изменения плотности (см. разд. 2.7), что порождает
48 Гл. 2. Перенос субстанций между атмосферой и океаном
движение. Они также порождают различия в свойствах водных
масс и значительные отличия водных балансов различных океа-
нов [754].
2.6. ТЕПЛОВОЙ БАЛАНС ОКЕАНА
Среднее количество солнечной радиации, поглощаемой по-
верхностью океана, составляет примерно половину (см. рис. 1.6)
радиации, падающей на поверхность, и равно в среднем
175 Вт/м2. В1 ответ на этот нагрев температура поверхности
океана повышается так, чтобы-суммарные потерн тепла были
равны его количеству, получаемому благодаря солнечной ра-
диации. Поток длинноволновой радиации вверх определяется,
согласно (1.4.1), температурой поверхности, однако, как отме-
чалось в разд. 1.4, эта радиация не уходит в космос, большая
ее часть поглощается и рассеивается в атмосфере пли отра-
жается обратно вниз облаками. Суммарное излучение с поверх-
ности (или эффективная обратная радиация) есть разность (по-
ток вверх минус поток вниз), которая мало отличается от по-
стоянной величины порядка 65 Вт/м2.
Остающееся нерадиационное тепло покидает океан через
охлаждение при испарении (потеря скрытой теплоты) и через
прямой перенос теплосодержания (или явного тепла).
Расчеты потока тепла в отдельных пунктах обычно основаны
на эмпирических формулах (в [412] обсуждаются некоторые
из них), содержащих только величины, регулярно наблюдаемые
с кораблей. Например, интенсивность Q! поглощения солнечной
радиации обычно рассчитывается как произведение трех вели-
чин: 1) Qi0 — направленного вниз потока солнечной радиации
непосредственно над поверхностью при условии отсутствия об-
лачности (т. е. обычно 0,7—0,75 потока, падающего па верхнюю
границу атмосферы), 2) (1 — as), где а3 —альбедо поверхно-
сти, и 3) поправочного множителя на эффект облачности. Про-
стым примером такой формулы служит выражение
(2.6.1)
где пс — часть неба, покрытая облаками.
Поправочный множитель на эффект облачности в действи-
тельности зависит от вида и высоты облаков. Ламб [489] пред-
ложил формулы, которые это учитывают. Однако формулами
Ламба нельзя пользоваться, если пс— единственный доступный
показатель облачности, так что глобальные расчеты обычно
основываются на формулах, подобных (2.6.1).
Направленный вверх чистый поток длинноволновой ра-
диации из океана обычно рассчитывается как произведение че-
тырех величин: 1) о'Г$, т. е. потока, излучаемого черным телом
2.6. Тепловой баланс оксана 49
температуры Т&, где ст — постоянная Больцмана, определяемая
согласно (2.3.2); 2) корректирующего множителя 0,985, учи-
тывающего отклонения поведения поверхности океана от ха-
рактеристик черного тела; 3) корректирующего множителя, учи-
тывающего обратную радиацию в отсутствие облаков, и 4) кор-
ректирующего множителя, учитывающего эффект облачности.
Примером такой формулы служит выражение
<Эв = 0,985стТ34(0,39 -0,05еу2)(1 -0,6/г2), (2.6.2)
где ея — давление водяного пара на стандартной высоте (в мил-
либарах). Множитель, содержащий еа, есть поправка на об-
ратную радиацию, и он зависит от содержания пара в атмо-
сфере; последний множитель, понятно, есть поправка на эффект
облачности.
Общий поток тепла Q, направленный вверх из океана, есть
сумма потоков, соответствующих отдельным процессам, а именно
Q = QB + LV£ + QS-QI, (2.6.3)
где Qs — поток вверх явного тепла, LVE— поток вверх скрытой
теплоты, где Е — интенсивность испарения и Lv— скрытая теп-
лота испарения воды,
Lv = 2,5X106 Дж/кг. (2.6.4)
(Замечание. В равенстве (2.6.3) не учитываются малые эффек-
ты конденсации на поверхности океана и тепло, переносимое
осадками.) Величины Qs и Е рассчитываются обычно по фор-
мулам, подобным (2.4.3) и (2.4.4). На рис. 2.7 показан резуль-
тат таких вычислений для Атлантического океана. Заметно ин-
тенсивное выхолаживание западной части Северной Атлантики,
где холодный ветер с континента дует над теплым океаном
зимой. Балансы тепла для различных месяцев года в этом и не-
которых других регионах приведены в работе [108]. По такой
карте поток тепла через различные разрезы можно подсчи-
тать путем интегрирования в южном направлении от север-
ного края карты. Поток в направлении полюса на широте 24°
равен примерно 1 ПВт (1 петаватт — 1015 Вт), и это хорошо
совпадает с расчетами [102] по океанографическим данным
через этот разрез. Интегрирование по всему океаническому
бассейну приводит к некоторым неожиданностям [304], [754].
Например, поток тепла в Северной Атлантике направлен к се-
веру на всех широтах. (Источники данных о потоках тепла ат-
мосфера-океан даны в приложении 5.) Когда океан покрыт
льдом, расчет потока тепла более труден, так как обмен тепла
происходит преимущественно между океаном и нижней границей
льда, а не между оксаном и атмосферой, и поэтому поток за-
висит от истории образования слоя льда. В работе [535]]
50
Гл. 2. Перенос субстанций между атмосферой и океаном
Рис. 2.7. Среднегодовой поток тепла в океан (Вт/м2). (Согласно Банкеру
[109] рис. 18.)
построена модель ледового покрова, которая учитывает подоб-
ные эффекты при расчетах.
Формулы, используемые для расчета потоков, нелинейны, и
часто удобно заменять их линеаризованными версиями, пред-
полагая, что отклонения от некоторого известного состояния не
слишком велики. Уже Ханей [291] применял эту идею для из-
менений разности температур вода — воздух. Однако можно
распространить ее па облачность пс и относительную влаж-
ность г. Результат имеет вид
Q - Q() « (Гй - Ta) dQ/dT + (пс - 0,25) dQ/dnc + (г - 0,75) dQ/dr,
(2.6.5)
где производные вычислены при пс — 0,25 и г = 0,75. В табл. 2.1
2.7. Изменения плотности и термохалинная циркуляция 51
Таблица 2.1
Значения dQ/dT, dQ/dnc и dQ/dr для указанных широтных областей')
Величина Единица измерения Осредпеппые значения для широт
0 — 30° 40 — 50°
dQ/dT Вт/м2 40 32
dQ/dnc Вт/м2 215 135
dQ/dr Вт/м2 -555 —290
’) dQ/dТ — скорость изменения направленного вверх потока тепла Q
из океана при разности температур Ts — Та; dQ/dnc~ скорость изменения Q
в зависимости от балла облачности и dQ/dr — скорость изменения Q при
изменении относительной влажности г, выраженной в баллах.
приведены значения этих производных для различных диапазо-
нов широт по формулам, использованным в [291]. Согласно
этой таблице, возрастание на 10 Вт/м2 в тропиках произойдет
или 1) при возрастании разности температур вода — воздух на
0,25 К, или 2) при возрастании облачности на 5%, или 3) при
падении относительной влажности на 1,8 %.
2.7. ИЗМЕНЕНИЯ ПЛОТНОСТИ НА ПОВЕРХНОСТИ ОКЕАНА
И ТЕРМОХАЛИННАЯ ЦИРКУЛЯЦИЯ
Радиационный нагрев атмосферы приводит ее в движение,
так как он создает разность плотностей. Однако эти разности
могут вызвать движение только при посредстве силы тяжести
и в действительности важны лишь различия веса gp единицы
объема. Величина — gp называется плавучестью-, знак минус
используется потому, что частица будет более плавучей, если
опа имеет меньший вес. Океан приводится в движение из-за
контрастов в плавучести, а сами контрасты обусловливаются как
разностями солености, так и разностями температуры. Эти раз-
ности создаются потоками тепла и воды па поверхности океана,
чье совместное воздействие на плавучесть называется потоком
плавучести В, который определяется формулой
gaQ + g-0 (E — P)s, (2.7.1)
где Q — направленный вверх поток тепла, Е— интенсивность
испарения, Р — интенсивность осадков, cw — удельная тепло-
емкость воды, s — соленость на поверхности, а ~ — р~]др/дТ —
это тепловой коэффициент расширения морской воды па
поверхности, а р = р~[др/дз — аналогичный коэффициент для
Б2 Гл. 2. Перенос субстанций между атмосферой и океаном
солености. Другое выражение можно получить, используя
(2.6.3); имеем
B = c;^a(QB 4-Qs — С^) - gfisP + g (c~laLv + fis)E. (2.7.2)
Из этого выражения следует, что испарение уменьшает плаву-
честь двумя путями — охлаждением и возрастанием солености.
Первый из этих двух эффектов больше на множитель
a7v/(cw(3s),
который равен примерно 4 для типичных условий на поверх-
ности. Это означает, что в океане разность температур дает в
общем случае больший вклад в разность плотностей, чем раз-
ность соленостей. Однако имеются исключения, скажем, в по-
лярных областях, где а намного меньше, чем в средних широтах
(см. приложение 3) или в Балтике, в которой относительно
пресная вода. Циркуляция, вызываемая потоком плавучести, на-
зывается термохалинной циркуляцией. (Замечание. Это выра-
жение имеет ясный смысл для моделей океана, в которых дви-
жение вызывается только потоком плавучести. На практике,
однако, движение вызывается также и ветром, и невозможно
сказать (в силу нелинейности океана), что данное течение вы-
звано, скажем, на 70 % ветром, а на 30 % плавучестью.) Рас-
суждения о природе термохалинной циркуляции восходят к из-
мерениям Эллиса 1751 года охлаждения подповерхностных вод
в тропиках [830], а Румфорд [693] предложил в 1800 г. мо-
дель, подобную модели Галлея для атмосферы.
«Однако вода океана, лишившись большей части своего теп-
ла из-за холодных ветров и опустившись на дно, не может на-
греться там, куда она опустилась', так как ее удельный вес
больше, чем удельный вес воды на той же глубине в теплых
широтах, то она начнет немедленно растекаться по дну океана и
течь в направлении экватора, а это неизбежно должно вызвать
течение на поверхности в противоположном направлении».
Единственное отличие от атмосферы — это топография дна,
которая может направлять глубинные течения из одного бас-
сейна в другой.
Интересное свойство поверхностной термохалинной циркуля-
ции состоит в сильной асимметрии между областями подъема и
опускания. Всякий раз, когда условия на поверхности делают
плотность воды достаточной для ее опускания па дно, опа опу-
скается и растекается по дну. Если затем появляется еще бо-
лее плотная вода, то она в свою очередь опускается, расте-
кается по дну и вытесняет наверх старую придонную воду. Если,
с другой стороны, поверхностная вода нагревается или рас-
пресняется, то опа остается па поверхности, так как опа яв-
ляется легкой. Следовательно, она стремится растекаться под
2.7. Изменения плотности и термохалинная циркуляция 53
действием силы тяжести по поверхности океана, покрывая ее
слоем воды низкой плотности, который действует как барьер
против формирования донной воды. Только в экстремальных
условиях плотность поверхностного слоя может стать доста-
точно большой, чтобы вызвать его опускание па дно. Такое опу-
скание обнаруживается только в отдельных местах, где экстре-
мальные условия достаточно часты. Основные такие области
в океане находятся в Гренландском море и в море Уэдделла
[830]. Аналогичные области в атмосфере — это области восхо-
дящих потоков в тропиках (см. разд. 1.6 и [126]).
Подразделение океанического дна. на бассейны делает цир-
куляцию довольно специфичной, так как донная вода может
образоваться в одном бассейне, а затем перелиться в другой.
Экстремальные случаи наблюдаются во внутренних морях, та-
ких как Средиземное море, которое соединяется с остальным
океаном узким проливом с мелкими порогами. Донная вода,
формируемая в Средиземном море, где имеется большой избы-
ток испарения над осадками, теплее и соленое по сравнению с
остальным океаном. Она вытекает через Гибралтарский пролив
с интенсивностью порядка 1 Мт/с, но еще недостаточно плотна,
чтобы опуститься на дно, и вместо этого растекается по Атлан-
тике па средней глубине. Опа быстро сравнивается с ней по
солености (см., например, [869]).
Полезная модель для изучения природы термохалинной цир-
куляции описана в [36] (см. также [795]); она основывается
на лабораторных экспериментах с источником плотной жидко-
сти в контейнере. Опускающийся плотный султан увлекает за
собой окружающую жидкость в количестве, которое можно оце-
нить, что позволяет судить о циркуляции. Если имеется другой
султан с иным потоком плавучести [620], то более слабый сул-
тан не может проникать сколько-нибудь глубоко, даже если он
лишь ненамного слабее его конкурента. Брасс и др. [80] пред-
положили, что в конце мелового периода поток плавучести, по-
рожденный теплыми солеными источниками в окраинных морях,
был большим, чем порожденный холодными источниками, что
объясняет, почему донная вода в этот период была намного теп-
лее. (Интересно отметить, что мпогопсточнпковое решение так-
же относится к распределению размеров облаков, так как их
можно рассматривать как конкурирующие конвективные сул-
таны.)
Детали термохалинной циркуляции на практике будут зави-
сеть от динамических факторов, обсуждаемых в последующих
главах. Обзор теорий и наблюдений дан в [830].
Глава 3
Свойства жидкости в состоянии
покоя
3.1. УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ
Понятие о состоянии жидкости основано на сравнении двух
образцов жидкости, которые находятся в равновесии. Если два
образца могут существовать в контакте друг с другом без изме-
нения свойств, то такие два образца имеют одно и то же состоя-
ние; в противном случае их состояния различны. Переменные,
которые можно использовать для определения состояния жид-
кости, можно выбирать по-разному; однако набор переменных,
обычно используемый для этой цели, включает в себя давление
р, температуру Т п химический состав, поскольку именно эти
величины легко измерить. У двух образцов, находящихся в кон-
такте и имеющих одно и то же состояние, давления должны
быть равны, в противном случае один образец произведет работу
над другим; они должны иметь равную температуру, иначе
тепло будет переходить от одного образца к другому; и они
должны иметь одну и ту же концентрацию каждого химического
компонента, иначе будет происходить изменение концентрации
за счет диффузии. (Более подробное обсуждение понятия состоя-
ния дается в учебниках термодинамики, например, в [565].)
Уравнения состояния связывают между собой свойства дан-
ного состояния. Если давление, температура и концентрации
компонентов смеси выбираются в качестве множества перемен-
ных, определяющих состояние, то из уравнений состояния мож-
но получить другие свойства состояния как функции выбранных
переменных. Наиболее важное из этих уравнений — это уравне-
ние для плотности жидкости, которое часто называют просто
«уравнение состояния».
Воздух и морская вода — две жидкости, рассматриваемые
в этой книге. Оказывается, что концентрация солей в морской
воде очень близка к следующему отношению масс: хлориды —
55 °/о, натрий — 30 %, сульфаты — 8 %, магний — 4 %, калий —-
1 %, кальций—1 %; поэтому состояние можно определить очень
точно заданием только одной концентрации. Такой переменной,
используемой для описания концентрации, является соленость
s, которая равна массе растворенных солей в единице массы
морской воды. На практике наиболее точно соленость опреде-
ляется по электропроводности, а величина, называемая практи-
3.1. Уравнение состояния 55
ческой соленостью, определяется как функция электропровод-
ности [159].
Об истории понятия солености см. [826] и [449]. Экспери-
ментально найденное уравнение состояния морской воды
р = р(5, Г, р) (3.1.1)
определено с точностью не хуже пяти частей па миллион. В при-
ложении 3 даются полиномиальные приближения, которые мож-
но использовать для вычисления р с точностью, с которой она
известна. Кроме того, по таблице, включенной в приложение 3,
линейной интерполяцией можно получить р с точностью до
30 частей на миллион.
Относительные пропорции газов, содержащихся в воздухе,
также очень близки к постоянным соотношениям, за исключе-
нием водяного пара. (Для сухого воздуха объемное отношение
таково: азот — 78,1 %, кислород — 21,0 % и аргон — 0,9%-) Сле-
довательно, состояние воздуха можно очень точно аппроксими-
ровать, задавая также только одну концентрацию, а именно
удельную влажность q, определяемую как массу водяного пара
в единице массы воздуха (эквивалентные способы определения
влажности даны в приложении 4). Уравнение состояния воздуха
приближенно описывается законами идеального газа. Уравнение
идеального газа для сухого воздуха имеет вид
Pd = PdRT, (3.1.2)
где pd — давление сухого воздуха, pd — масса сухого воздуха в
единице объема, Т — абсолютная температура, a R — газовая
постоянная для сухого воздуха:
= = 287,04 Дж-кг"1-К"1, (3.1.3)
где
^ = 8314,36 Дж • кмоль"1 • К"1 (3.1.4)
есть универсальная газовая постоянная, а
ша = 28,966 (3.1.5)
— молекулярная масса сухого воздуха. Аналогично, для водя-
ного пара
e = P/?vT, (3.1.6)
где е — давление водяного пара, pv — масса водяного пара в еди-
нице объема, а
$v==Kjmw = 461,50 Дж - кг"1 - К"1, (3.1.7)
поскольку
/?zw = 18,016 (3.1.8)
есть молекулярная масса воды.
56 Гл. 3. Свойства жидкости в состоянии покоя
Для смеси газов давление р равно сумме давлений состав-
ляющих газов, т. е.
Р == Ра Н- (3.1.9)
Далее, по определению
pv = 7P (3.1.10)
и
P = Pd+pv, т. е. pd = p —ру = (1 —<?)р. (3.1.11)
Используя (3.1.9) —(3.1.11) для рй, pv и pd, можно вывести два
уравнения.
Первое,
е/р = ^/(е + (1-8)^), (3,1.12)
получающееся делением (3.1.2) на (3.1.6), выражает давление
пара е через удельную влажность q в предположении, что воз-
дух ведет себя как смесь идеальных газов (поскольку удельную
влажность легче измерить, чем давление пара, то эта формула
действительно используется для определения величины е для
воздуха, хотя его поведение немного отличается от поведения
идеального газа (см. Смитсоновские метеорологические таблицы
[471], табл. 93]). Здесь 8 определяется равенством
е = mw/ma = = 0,62197. (3.1.13)
Второе уравнение, получающееся путем сложения (3.1.2) и
(3.1.6), это уравнение состояния. Его можно записать в виде
р = p/(RT (1 - q + q/г)) p/R7\, (3.1.14)
где
Гу = Г(1-7 + ^/8) = Г(1 +0,607&7) (3.1 15)
называется виртуальной температурой, т. е. это та температура,
которую должен иметь сухой воздух при заданном давлении,
чтобы его плотность равнялась плотности влажного воздуха
в предположении, что он ведет себя как идеальный газ (Смит-
соновские метеорологические таблицы, табл. 72). Отклонения от
поведения идеального газа (которые даны в табл. 84 Смитсо-
новских метеорологических таблиц) составляют одну тысячную,
так что ими обычно пренебрегают. Фактически уравнение для
сухого воздуха (q = 0) является достаточно точным для боль-
шинства целей, поэтому влиянием влажности на плотность также
обычно пренебрегают. Однако в экстремальных тропических ус-
ловиях это может быть неоправданным из-за того, что количе-
ство водяного пара в воздухе может очень быстро увеличиваться
с температурой, и, например, Тч равна 45°C для воздуха, насы-
щенного при температуре 37 °C и давлении 1000 мб.
3.2. Термодинамические переменные 57
3.2. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
Законы термодинамики позволяют ввести дополнительные пе-
ременные состояния, зависимость которых от р, Т и переменной
для концентрации (q или s) нужно определить. Детальное об-
суждение этих законов и ссылки па литературу можно найти в
учебниках термодинамики, скажем, в [565]. (Замечание. Раз-
ные учебники значительно отличаются по подходу к предмету,
а строго логическое построение теории сопряжено с трудно-
стями.) В этом разделе будет предполагаться, что жидкость
имеет фиксированный состав, т. е. что q или s постоянны. По-
этому состояние жидкости будет зависеть от двух независимых
переменных, в качестве которых обычно выбирают р и Т. Для
удобства в качестве переменной будет использоваться удельный
объем Vs вместо плотностир — о~1. Индекс s используется, чтобы
избежать в дальнейшем смешения этой величины с компонентой
скорости V.
Первый закон термодинамики приводит к введению величины
Е, называемой внутренней энергией единицы массы; она зави-
сит только от состояния жидкости.
Второй закон термодинамики приводит к введению еще од-
ной переменной состояния ц — удельной энтропии (или энтро-
пии единицы массы) и к соотношению
dE~ Т с1т\ — р dva (3.2.1)
между пятью переменными состояния Е, Т, гр р и ys. Это фун-
даментальное уравнение, из которого выводятся термодинамиче-
ские соотношения, и нужно подчеркнуть, что переменные, вхо-
дящие в это соотношение, зависят только от состояния жид-
кости. (Строго говоря, это соотношение верно только тогда,
когда жидкость находится в равновесии, так что (3.2.1) выпол-
няется только для изменений, достаточно медленных, чтобы жид-
кость находилась почти в равновесии — см. [47, разд. 3.4]. На
практике условия, при которых изменения по являются «доста-
точно медленными», довольно редки и не важны для тем, об-
суждаемых в этой книге.)
В уравнении (3.2.1) член Tdr\ представляет увеличение теп-
лосодержания единицы массы жидкости (только этот физиче-
ский смысл нужно связывать с ц в данный момент). Скорость
изменения теплосодержания при изменении температуры назы-
вается удельной теплоемкостью ’) жидкости. Так как ц являет-
ся функцией двух переменных (р, Т), то изменения р при
’) Удельной теплоемкостью называется теплоемкость единицы массы ве-
щества. Теплоемкостью с вещества называется величина, равная отношению
количества теплоты 6Q, сообщаемого телу, к изменению dT его температуры
в рассматриваемом термодинамическом процессе: с = SQ/dT.— Прим, перев.
58
Гл. 3. Свойства жидкости в состоянии покоя
фиксированной температуре будет показывать, как т| (или неко-
торая другая переменная состояния) при этом изменяется. Если,
например, обьем п8 остается фиксированным, то величина
с^Т{дх\1дТ\={дЕ1дТ\ (3.2.2)
называется удельной теплоемкостью при постоянном объеме.
Здесь правая часть выводится из (3.2.1), а индекс v указывает
н*а то, что производная вычисляется при постоянном vs- Анало-
гично, удельная теплоемкость ср при постоянном давлении дает-
ся формулой
Ср = Т (дх\/дТ)р = (дЕ/дТ)р + Р (дс5/дТ)р. (3.2.3)
Для океана и атмосферы двумя независимыми переменными,
используемыми для описания состояния, являются (при фикси-
рованном составе) давление и температура. Поэтому желательно
иметь выражения для интенсивности изменения энтропии как
от давления, так и от температуры. Из (3.2.1) следует, что
Т (дх]/др)г = (дЕ/др)г + р (dvs/dp)T. (3.2.4)
Дифференцируя (3.2.3) по р, (3.2.4) по Т и вычитая их друг из
друга, находим
(<3П/5р)г = -(дс3Ж)р. (3.2.5)
Поэтому
Т dx\ = Т (дх\1дТ)р dT + Т (дх\/др)т dp,
т. е.
Т dx\ — ср dT — Т (dvs/dT)p dp, (3.2.6)
что и является искомым выражением зависимости энтропии
(и, следовательно, тепла, содержащегося в единице массы) от
температуры и давления. Это та форма термодинамического
уравнения, которая будет обычно использоваться вместо (3.2.1).
В случае идеального газа (и поэтому хорошей аппроксима-
ции для воздуха) имеются некоторые упрощения. Во-первых,
внутренняя энергия единицы массы зависит только от темпера-
туры и равна нулю, если абсолютная температура равна нулю,
так что (3.2.2) принимает вид
E — cvT. (3.2.7)
Следовательно, производную в (3.2.6) можно вычислить из урав-
нения состояния (3.1.14), и тогда (3.2.6) упрощается до
Т dx] — CpdT — v3dp. (3.2.8)
Это выражение обычно используется в метеорологии. Оно не-
сколько неточно из-за отклонений воздуха от поведения идеаль-
ного газа. Уравнение (3.1.14) можно также использовать, при-
3.3. Значения терлюдиналических величин 59
меняя его к (3.2.3); с учетом (3.2.7) находим
Ср==^ + /?(1 -q + q/e). (3.2.9)
Часто используют другую термодинамическую величину — эн-
тальпию h, определяемую выражением
h — E + pv&. (3.2.10)
Из (3.2.1) следует, что дифференциал dh удовлетворяет равен-
ству
dh = Td?} +vsdp. (3.2.11)
В случае идеального газа из (3.2.8) и (3.2.11) после интегриро-
вания следует
h==cpT. (3.2.12)
3.3. ЗНАЧЕНИЯ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
ДЛЯ ОКЕАНА И АТМОСФЕРЫ
Для морской воды значение ср при атмосферном давлении
находится из эксперимента. Значения при более высоких давле-
ниях можно найти из термодинамического уравнения и уравне-
ния состояния, поскольку из (3.2.3) и (3.2.5) следует, что
(дср/др)т = — Т (d*vs/dT2)p. (3.3.1)
Прямые измерения ср при высоком давлении невозможны, од-
нако правую часть этого равенства можно оценить по экспери-
ментальным данным. Формула для ср, полученная таким спосо-
бом, используется в приложении 3. Кроме того, приведена таб-
лица, причем относительная погрешность значений, полученных
линейной интерполяцией из этой таблицы, не превышает 0,001.
Воздух следует законам идеального газа весьма точно, и эти
законы вполне пригодны для большинства целей. Поправки па
малые отклонения от поведения идеального газа даны в Смит-
соновских метеорологических таблицах. Удельная теплоемкость
идеального газа пропорциональна газовой постоянной /?; кон-
станта пропорциональности зависит от числа атомов в молекуле
(5/2 для одноатомных, 7/2 — для двухатомных и 4 для много-
атомных; см. [565, гл. 22]). Сухой воздух на 99 % состоит из
двухатомных молекул, для которых
ср = (7/2)£. (3.3.2)
Для водяного пара, который является трехатомным, cp = 4^v.
Поэтому для смеси двух таких идеальных газов удельная тепло-
емкость будет даваться формулой
7 7
Ср = (1 - ?) ' Л + qiR. = у R (1 - q + 89/(7е)),
60 Гл. 3. Свойства жидкости в состоянии покоя
т. е.
ср = 1004,6 (1 + 0,8375 q) Дж • кг"1 • К"1. (3.3.3)
Для температур, давлений и влажностей, характерных для ат-
мосферы, эта формула верна с точностью до 0,3%. Поправки
необходимо делать: а) для отклонений от поведения идеального
газа и б) для примесей одноатомных газов, например аргона.
Эти поправки приведены в табл. 88 Смитсоновских метеорологи-
ческих таблиц. (Замечание. Эти таблицы дают значения для еди-
ницы массы сухого воздуха, тогда как вышеприведенная фор-
мула дает значения для единицы массы влажного воздуха.)
Удельную теплоемкость при постоянном объеме cv можно
вычислить из равенства (3.2.9), которое в комбинации с (3.3.3)
дает
с„ = |Я(1 -<7 + 6<7/(5в)), (3.3.4)
так что отношение у удельных теплоемкостей равно
y = cp/cv = [7(l — q) + 8(?/е]/[5(1 — q) + 6q/e]. (3.3.5)
3.4. ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ
В атмосфере переходы от пара к жидкой фазе воды чрезвы-
чайно важны, как было показано в гл. 1. При заданной темпе-
ратуре Т пар и жидкая фаза могут сосуществовать в равнове-
сии, если давление пара имеет значение ew(T), называемое дав-
лением насыщенного пара (ew есть значение над ровной поверх-
ностью воды; индекс w используется для отличия от соответ-
ствующего значения над ровной поверхностью льда). Если со-
вершается фазовый переход, то количество тепла, необходимого
для испарения жидкости единичной массы, равно Ev(7); Lv на-
зывается скрытой теплотой испарения. Необходимо определить
только величины ew и Ev для одного значения температуры, так
как значения при других температурах можно затем получить
из законов термодинамики следующим образом.
Пусть индекс w относится к жидкой фазе (вода), a v —
к фазе пара. Тогда по определению
Д m = Т (П>. - >!„) = Д - £„ + Д. (D (Д - д). (3.4 1)
Правая часть получается из (3.2.1), где щ и yw — удельные
объемы пара и жидкой фазы соответственно. Дифференцируя
по Т в предположении, что давление постоянно и равно насы-
щающему значению ew(T), находим
dLJdT . tl„, - + Т (d^/dT - d^./dT) =
= dEJdT - dEJdT + (dvJdT — dvJdT) +
+ №„,«/) (»,-»„). (3.4.2)
3.4. Фазовые переходы 61
Здесь используются обыкновенные производные, так как вели-
чины при насыщении зависят только от температуры. Используя
(3.2.1) для каждой фазы по очереди, из правой части этого урав-
нения находим
^-^V=(,Vv-Vw')de«ldT- (3-4-3)
Следовательно, согласно первому из равенств (3.4.1),
de^dT = LV/(T (vv — fw)). (3.4.4)
Это известное уравнение Клаузиса— Кл.айперона.
Чтобы вычислить, как меняется Lv с изменением темпера-
туры, используем (3.4.3) для подстановки r)v — ть в первую
строчку (3.4.2), а (3.2.6) для вычисления производных по гр
Имеем
dLyjdT — (uv— ^w) de^dT + cpv— cpw —T (dvv/dT—dvw/dT) de^/dT =
= (cpv — cpw) + Lv (uv — T dvvldT — ww + T dv^/dT^T (vv — vw).
(3.4.5)
Член, содержащий Lv, составляет только полпроцента от пер-
вого члена, и им можно пренебречь. Интегрируя, находим
Lv (Г) = Ц (Го) + (cpv - cpw) (Г - Го),
т. е.
Lv (?) ~ 2,5008 X Ю6-2,3 X Ю3/ Дж/кг, (3.4.6)
где То — нулевая точка по шкале Цельсия, t — температура в
градусах Цельсия. Изменение давления пара можно теперь
найти, интегрируя (3.4.4). Используя аппроксимацию yw vv
и уравнение идеального газа (3.1.6) для vv, запишем уравнение
(3.4.4) в виде
dejdr = М«Л2). (3.4.7)
откуда с учетом (3.4.6) получим приближенный результат
infePKw ~ rp Xtni+Xo'’ <3-4-8)
Аналогичная формула, однако полученная подгонкой кривой,
дана в приложении 4. Эта формула дает давление насыщенного
пара с точностью до одной пятисотой для температур в проме-
жутке от —40 до +40 °C. Аналогичные результаты даны также
для давления насыщающего пара надо льдом. Рассмотрения,
аналогичные этим, применимы к понижению точки замерзания
при повышении давления. Влияние давления и солености па
точку замерзания морской воды дано в приложении 3.
62 Гл. 5. Свойства жидкости в состоянии покоя
3.5. БАЛАНС СИЛ В ПОКОЯЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ
Рассмотрим баланс сил для жидкости, находящейся в покое
на поверхности Земли. На малый объем жидкости действуют два
вида сил: 1) давление окружающей жидкости и 2) массовые
силы, вызванные гравитацией и вращением Земли.
Если бы давление на границах рассматриваемого объема
жидкости было постоянным, то вследствие баланса сил давления
результирующая сила обратилась бы в нуль. Результирующей
силой, действующей па единицу объема, является градиент дав-
ления Ур, так что результирующей силой, действующей на еди-
ницу массы, является величина Vp/p, где р — плотность (см.
рис. 3.1). Массовые силы, рассчитанные на единицу массы, мож-
Рис. 3.1. Действие сил давления на малый элемент объема жидкости. Суммар-
ная сила в направлении оси х приближенно равна —6// 8z др/дх, так что
в пределе, когда величина элемента стремится к пулю, сила, действующая на
единицу объема элемента, равна (—др/дх, —др/ду, —др/дг)— — Ур. Сила,
действующая на единицу массы, поэтому равна —р“Ур.
но выразить через градиент потенциала Ф, называемого «геопо-
тенциалом». Он равен сумме гравитационного потенциала Земли
и центробежного потенциала, вызванного вращением Земли (см.
[625] и гл. 4). Направление градиента УФ называется «верти-
кальным», а величина УФ называется ускорением g, обусловлен-
ным гравитацией. В большинстве случаев достаточно считать g
постоянной:
g gc = 9,8 м/с2. (3.5.1)
В' действительности земной шар таков, что в зависимости от ши-
роты величина g на уровне моря изменяется на ±0,3 %, а за-
кон обратной пропорциональности квадрату расстояния приво-
дит к изменению g на 0,3 % при изменении высоты на 10 км
(см. приложение 2). Если бы океан покоился, то его поверхность
совпадала бы с геопотенциальной поверхностью. Эта геопотен-
циальная поверхность называется уровнем моря и определяется
3.5. Баланс сил в покоящейся жидкости 63
как поверхность Ф —0. С хорошей точностью вертикальная ко-
ордината z соответствует расстоянию вверх от этого отсчетного
уровня, так что
Ф ~ gz « gcz. (3.5.2)
Геопотенциал иногда задается в геопотенциальных метрах (гпм);
по определению
1 гпм = 9,8 м2/с2^9,8 Дж/кг. (3.5.3)
Величина геопотенциала в геопотенциальных метрах близка к
высоте в метрах. Можно также определить геопотенциальную
высоту Z так:
2 = Ф/^С; (3.5.4)
тогда геопотенциальная высота в метрах численно равна гео-
потенциалу в геопотенциальных метрах. Уравнение (3.5.2) уста-
навливает, что геопотенциальная высота примерно равна гео-
метрической высоте. Отличие составляет менее 1 % JW высот в
пределах 22 км от поверхности. (Замечание. Геопотенциальный
метр заменил прежнюю единицу, называвшуюся динамическим
и геодипамическим метром, при котором в (3.5.3) использовался
множитель 10 вместо 9,8 (см. [471, разд. IV]). Кроме того, иногда
приводятся другие значения для gc, например, в США в стан-
дартных таблицах атмосферы используется 9,80665 м/с2 [595].)
Если жидкость находится в покое и в равновесии, то массо-
вая сила уравновешивается силой давления, так что
p~1Vp + VO = 0. (3.5.5)
Этому уравнению можно удовлетворить во всей жидкости, если
только р и р постоянны на геопотенциальных поверхностях, т. е.
р и р зависят только от Ф и удовлетворяют равенству
dp/d® = — p. (3.5.6)
Так как поверхности постоянной высоты z определены таким
образом, что они почти совпадают с поверхностями гепотен-
циала, то условие равновесия можно выразить в виде
p = p(z), p = p(z), (3.5.7)
где, согласно (3.5.6) п предыдущему определению g,
dp/dz= — gp. (3.5.8)
Последнее равенство известно как уравнение гидростатики. (Бо-
лее детальное обсуждение см. в [47, разд. 1.4].)
Чтобы применить (3.5.8) для определения равновесного рас-
пределения давления, необходимо знать, как меняется плот-
ность. Рассмотрим вначале океан, в котором плотность отли-
64 Гл. 3. Свойства жидкости в состоянии покоя
чается (за исключением нескольких необычных мест) менее чем
на 2 % от постоянной величины рс, равной
рс = 1035 кг/м3. (3.5.9)
Поэтому, интегрируя (3.5.8), получаем приближенно
Р = Ра—(3.5.10)
где ра — атмосферное давление на поверхности земли. Величина
ра близка к 1 бару, а плотность такова, что давление возрастает
Рис. 3.2. Границы температуры Т (в °C) и солености 5 для 98 % океана как
функция глубины [99] и соответствующие границы плотности о и потенциаль-
ной плотности Од (см. приложение 3).
примерно на 1 бар каждые 10 м. Поэтому давление в океане
часто измеряют в децибарах (дбар), так как давление в деци-
барах и глубина в метрах очень близки по числовым значениям.
Если принять в расчет изменения плотности с глубиной, то мож-
но получить более точное описание. Рис. 3.2 показывает ампли-
туду температуры, солености и плотности, вычисленные для
98 % океана па каждой глубине. Обычно колебания потенциаль-
ной плотности (см. разд. 3.7) обусловлены главным образом
колебаниями температуры, а не солености. Температурные гра-
диенты, как правило, малы глубже 1500 м (1500 дбар или
150 бар). Область больших градиентов па меньших глубинах
называется термоклином. Соответствующая область больших
градиентов потенциальной плотности называется пикноклином.
Иногда наблюдаются градиенты плотности, обусловленные соле-
ностью, а не температурными колебаниями; соответствующая
область называется галоклином. Область большого температур-
3.5. Баланс сил в покоящейся жидкости 66
ного градиента часто находится вблизи поверхности. Эта область
появляется только летом и осенью. Она называется сезонным
термоклином.
Локальная плотность возрастает с глубиной, как показано
на рис. 3.2, главным образом из-за действия давления. Прини-
мая во внимание среднее значение силы тяжести на соответ-
ствующей глубине (см. приложение 2) и средние значения плот-
ности, получаем, что 1 бар соответствует 9,95 м у поверхности
и 9,69 м на глубине 5000 м.
Для вычисления изменения атмосферного давления с высо-
той обычно комбинируют уравнение гидростатики (3.5.8) с урав-
нением состояния (3.1.2) для сухого воздуха, так как влияние
влажности на плотность воздуха существенно только в тропиках
на уровнях, близких к поверхности, и даже здесь максимальное
отклонение от (3.1.2) составляет лишь 2%. Комбинация двух
уравнений даст
p~l dp!dz = — g/(RT), (3.5.11)
так что если Т известна как функция от z, то давление можно
вычислить, интегрируя (3.5.11) по высоте. Альтиметрические
таблицы основаны на таком интегрировании и использовании
стандартного Т-профпля, соответствующего средним условиям
средней шпроты. На рис. 3.3 показаны стандартные характери-
стики атмосферы [552] до высоты 86 км, до которой они опре-
деляются как непрерывные функции с кусочно-постоянными гра-
диентами. Здесь же показаны диапазон температур, отвечающих
каждой высоте, а также давления и плотности, соответствующие
стандартной атмосфере, через каждые 10 км. Эти величины про-
табулировапы в [595]; там же приводятся другие таблицы, на-
пример ускорение силы тяжести, вязкость и теплопроводность
в зависимости от высоты.
Атмосфера делится на отдельные участки, как показано на
рис. 3.3, из-за того, что ее свойства различны в различных вы-
сотных диапазонах. Тропосфера характеризуется достаточно
сильным вертикальным перемешиванием (это — «конвективный
слой» в радиационно-конвективных моделях, обсужденных в
гл. 1), большей частью связанным с эффектами скрытой теплоты
и облаками. Этот слой содержит 80 % массы атмосферы и почти
весь водяной пар и облака. Непосредственно над ним — тропо-
пауза, находящаяся на высоте 11 км в модельной атмосфере.
Стратосфера слабо перемешивается, как показывают устойчи-
вость тонких слоев аэрозолей и длительное время сохранения
в ней радиоактивной пыли, заброшенной туда последними ядер-
ными взрывами. Сильная устойчивость связана с возрастанием
температуры с высотой в результате радиационного баланса,
описанного в гл. 1. Это возрастание останавливается в страто-
паузе, и только одна тысячная массы атмосферы лежит выше
з Зак. 744
66 Гл. 3. Свойства жидкости в состоянии покоя
этого уровня. Мезосфера — это область, в которой температура
вновь падает, а ее верхняя граница — мезопауза — находится на
высоте 86 км. Область от тропопаузы до уровня около 100 км
называется также средней атмосферой.
Выше мезопаузы соотношения различных составляющих ат-
мосферу газов меняются из-за диффузионного разделения. Тем-
Рис. 3.3. Изменения температуры с изменением высоты геопотенциала для
стандартной атмосферы США (сплошная линия). Она состоит из прямолиней-
ных отрезков с изломами на уровнях в 11, 20, 32, 47, 51 и 71 км. Температу-
ра поверхности равна 15 °C, а градиенты, начиная от поверхности, равны — 6.5,
0, 1.0, 2,8, 0, — 2.8 и 2.0 К/км. Штриховые линиии показывают наименьшую
и наибольшую среднемесячные температуры, полученные для любого места
между экватором и полюсом, тогда как точечная линия показывает оценки (с
точностью до 1 %) максимальных и минимальных температур, которые слу-
чаются в течение самых теплых и самых холодных месяцев соответственно
в наиболее экстремальных районах. Справа приведены величины давлений и
плотности через каждые 10 км стандартного профиля (из [595]).
пература быстро растет с высотой в так называемой термосфере,
достигая 600 К в период спокойного Солнца и более 2000 К в пе-
риоды активного Солнца. Наряду с подразделением, основанным
на температурной структуре, имеются другие, основанные на
иных свойствах. Например, заметные электромагнитные эффекты
наблюдаются в области от 80 до 500 км, называемой ионосфе-
рой, и в области, расположенной выше, где влияние магнитного
3.6. Статическая устойчивость &7
поля становится преобладающим, называемой магнитосферой.
На этих высотах, кроме того, частицы с высокой энергией могут
преодолевать гравитационное поле Земли; поэтому указанная
область называется также экзосферой.
Между поверхностью и уровнем 70 км абсолютная темпера-
тура для стандартной атмосферы отличается на 15 % от постоян-
ного значения Тс = 250 К, так что грубым приближением реше-
ния уравнения (3.5.11) служит решение для изотермической ат-
мосферы, а именно
р = ра ехр (— gz/(RTc)) = ра ехр(— z/Hs). (3.5.12)
Величина Н3 — это высота, на которой давление падает в е раз
по сравнению с его значением на поверхности (т. е. около
370 мб); она называется приведенной высотой атмосферы и дает-
ся формулой *
= (3.5.13)
Для среднего значения 7с = 250 К Я3=7,4 км. Можно также
определить Н3 как непрерывно меняющуюся величину, такую,
что Я3_| определяется левой частью (3.5.11). Согласно этому
определению, для стандартной атмосферы Н3 равна 8,4 км на
поверхности Земли, 6,4 км на высоте 11 км и принимает значе-
ния, лежащие между этими пределами, вплоть до высоты 71 км.
3.6. СТАТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ
Жидкость может находиться в покое и в равновесии при
условии, что плотность р зависит только от z. Однако является
ли это равновесие устойчивым? Об устойчивости можно судить,
рассматривая перемещение объемов жидкости между двумя раз-
личными уровнями. Если объем, перемещенный вверх, оказы-
вается тяжелее окружающей жидкости, то сила тяжести заста-
вит его опуститься назад на его первоначальный уровень, и в
этом случае равновесие устойчиво. Однако если объем легче ок-
ружающей его среды, то равновесие неустойчиво.
Для того чтобы выполнить соответствующие вычисления, не-
обходимо знать, к каким изменениям в свойствах объема при-
ведет его перемещение. Эти изменения можно рассчитать, если
предположить, что временной масштаб движения слишком мал
для того, чтобы успели произойти какие-либо изменения состава
или теплосодержания объема. Используются два термина для
описания изменений, при которых теплосодержание не меняется:
адиабатический (означающий отсутствие обмена теплом с окру-
жающей средой) или изэнтропический (означающий отсутствие
изменения энтропии). При изэнтропическом изменении из
(3.2.6) следует, что изменение температуры dT связано с изме-
3*
68 Гл 3. Свойства жидкости в состоянии покоя
нением давления dp формулой
dT = ~ (-Й-) dp = ~ —г—(-Sr) ^Р = ~ dp, (3.6.1)
сР \ ОТ 7Р, s р2ср\дТ/р,з г рср 1
где
а=-р-1(Ф/дпР1Р (3.6.2)
называется коэффициентом теплового расширения. Индекс s
указывает на неизменность состава среды, т. е. в случае морской
воды соленость s постоянна. (В разд. 3.2 было сделано то же
самое предположение, однако индекс s не использовался.) Те же
формулы применимы и к атмосфере с постоянной влажностью,
однако в этом случае они упрощаются, поскольку для идеаль-
ной атмосферы из (3.1.14) следует, что
a = T"J. (3.6.3)
(Отклонения от поведения идеального газа составляют менее
0,3 % при нормальных атмосферных условиях.) Теперь, исполь-
зуя уравнение гидростатики (3.5.8), из (3.6.1) получаем
dT = - Г dz, (3.6.4)
где
T = gaT/cp (3.6.5)
называется вертикальным адиабатическим градиентом. В ча-
стности, для идеальной атмосферы
Г = £/ср, (3.6.6)
что равно примерно 10 К/км. Более точные значения можно вы-
числить, используя выражение для g из приложения 2 и фор-
мулу (3.3.3) для теплоемкости. Для морской воды Г можно вы-
числить согласно (3.6.5), используя значения, приведенные в
приложении 3.
Изменение плотности dp для объема с постоянным составом,
движущегося изэнтропически, есть
dp = (др/дрУт' s dp + (др!дГ)р, s dT = [{др/др^, s — a27/cp] dp =
= p (<5p/dp)r, s + аГ] dz. (3.6.7)
Здесь использованы (3.6.1), (3.6.2), (3.6.5), а также уравнения
гидростатики (3.5.8). Для устойчивости dp должно быть больше
изменения плотности окружающей среды, а именно
(з.б.8>
dz \.\dpJT,sdz ' \дТ Jp,sdz \dsJp,Tdz] v '
Другими словами, условие устойчивости имеет вид
a (dT/dz 4- Г) — р dsjdz > 0, (3.6.9)
3.7. Величины, связанные с устойчивостью 69
или
a dTjdz + c~}ga2T — ₽ dsjdz > 0, (3.6.10)
где
Р = Р”1 (dp/ds)p, т (3.6.11)
— коэффициент расширения, обусловленного соленостью.
Для случая морской воды коэффициенты, входящие в выра-
жение (3.6.10), даны в приложении 3 в виде формул и таблицы.
Иногда устойчивость океана весьма слабая; в этом случае тре-
буются точные значения.
Неравенство (3.6.10) применимо к атмосфере с заменой $ на
удельную влажность q. Для атмосферы, ведущей себя как иде-
альный газ, это выражение упрощается и принимает вид
dTy/dz + Г > 0, (3.6.12)
где Гу — виртуальная температура. За исключением некоторых
ситуаций в тропиках, градиент Tv не очень сильно отличается
от градиента Г, и поэтому в (3.6.12) Tv можно заменять на Г.
3.7. ВЕЛИЧИНЫ, СВЯЗАННЫЕ С УСТОЙЧИВОСТЬЮ
Соображения устойчивости из предыдущего раздела приво-
дят к определению некоторых полезных величин, которые будут
введены в этом разделе.
3.7.1. ЧАСТОТА ПЛАВУЧЕСТИ (ИЛИ ЧАСТОТА БРАНТА — ВЯИСЯЛЯ)
Из (3.6.9) следует, что величина №, определяемая равен-
ством
№ = ga (dT/dz + Г) — gp dsjdz — ga dTjdz + c~xg2a2T — gp dsjdz,
(3.7.1)
представляет собой меру степени устойчивости: если № поло-
жительна, то среда устойчива, если № отрицательна, то неустой-
чива. В устойчивой среде величина N вещественна и имеет раз-
мерность частоты. Это фактически частота колебаний объема
в строго вертикальном движении. Она называется также часто-
той устойчивости, частотой Бранта и частотой Вяйсяля. Образец
профиля N для океана показан на рис. 3.4. В верхнем слое
океана в областях больших градиентов значения частоты обычно
достигают 0,01 с-1, что соответствует периоду 2tc/N, равному
10 мин. Величина W в тропосфере также равна 0,01 с-1 (для
стандартной атмосферы) и на 70 % больше в нижней страто-
сфере. В отличие от атмосферы значения для глубокого океана
равны 0,001 с-1 или еще меньше.
70 Гл. 3. Свойства жид кости в состоянии покоя
Потенриапьш температура, (eC/drfap)x10'1
-0,10 -0,05 О 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30
3.7.2. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ТЕМПЕРАТУРА
Потенциальная температура определяется как температура
0, которую приобретает объем с постоянным составом, если он
перемещается адиабатически на заданный уровень с давлением
рг, обычно принимаемым за 1 бар (оно называется отсчетным
давлением). Ее значение можно получить, интегрируя (3.6.1) по
давлению от наблюдаемого значения до отсчетного давления.
Для морской воды значения приведены в приложении 3. Для
воздуха можно получить явную формулу в предположении, что
3.7. Величины., связанные с устойчивостью 71
атмосфера ведет себя как идеальный газ. Подставляя уравнение
состояния (3 1.14) и выражение (3.3.3) для удельной теплоем-
кости в (3.6.1), находим
dT/T — ndp/p, (3.7.2)
где
= (3.7.3)
а у — отношение удельных теплоемкостей, определяемое согласно
(3.3.5). Интегрирование по давлению и температуре в пределах
от р и Т до рт и 0 соответственно, дает
6/Т = (рг/р)\ (3.7.4)
Даже в экстремальных условиях множитель, содержащий q в
(3.7.3), только на 1 % меньше единицы и поэтому обычно опу-
скается. В этом случае
0/Т = (рг/р)2/7 = (ЮОО/р)2'7. (3.7.5)
Последнее выражение справедливо, если р берется в миллиба-
рах. Таблица 75 Смитсоновских метеорологических таблиц дает
0, вычисленное по этой формуле.
3.7.3. СВЯЗЬ МЕЖДУ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ТЕМПЕРАТУРОЙ
И ЭНТРОПИЕЙ
Согласно определению, 0 постоянна, если постоянна энтро-
пия, и, таким образом, для жидкости с постоянным составом л
зависит только от 0. Чтобы найти эту зависимость в общем слу-
чае, используем (3.2.1) при постоянном давлении рг, равном от-
счетному. Для этого давления температура равна 0, так что
(3.2.6) примет вид
cfr]/dQ = ср (рг, 0)/0. (3.7.6)
Для идеального газа (см. (3.3.3)) ср не зависит от давления и
температуры, поэтому, интегрируя (3.7.6), находим
г) = ср 1п0 4~ const. (3.7.7)
3.7.4. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ТЕМПЕРАТУРЫ
В КАЧЕСТВЕ ПЕРЕМЕННОЙ СОСТОЯНИЯ
Иногда удобно вместо Тир использовать в качестве пере-
менных состояния 0 и р. Это эквивалентно использованию в ка-
честве переменных состояния энтропии и давления. Изменение
плотности объема постоянного состава, движущегося изэнтропи-
чески (см. (3.6.7)), имеет вид
dp = (dp/dp)0, s dp. (3.7.8)
72 Гл. 3. Свойства жидкости, в состоянии покоя
Изменение плотности окружающей среды определяется согласно
равенству (3.6.8), в котором Т заменено на 0, так что условием
устойчивости является неравенство
= dGIdz — fi'ds/dz> 0, (3.7.9)
где
а' = - р-‘ (5р/<Э6)р, , = а (дТ/д9)р, „ (3.7.10)
P' = p_|(ap/(3s)p,e = p —a(<37’/as)p,e= ₽ + а' (dB/ds}p,T. (3.7.11)
Значения (d0/ds)p, т, приведенные для морской воды в прило-
жении 3, показывают, что 0' отличается от [3 менее чем на
0,3 %. Для нахождения а' используем (3.2.6); имеем
___Т «7 191
VaeA.s-«р м — еср(р, 7)
где для d^/dG использовано (3.7.6). Следовательно,
а' = а (р, Т) Тср (pr, 0)/(0fр (р, Т)). (3.7.13)
Для идеальной атмосферы ср не зависит от р и Т и аТ = 1; по-
этому
а' = 0-’. (3.7.14)
Из (3.7.9) следует, что если пренебречь эффектами влажности,
то
N2 gO-'de/dz, (3.7.15)
так что устойчивость атмосферы измеряется градиентом потен-
циальной температуры.
Величина
c2s = (dp/<H, s, (3.7.16)
обратная к которой входит в (3.7.8), полезна в ряде ситуаций;
с$ есть скорость звука в среде. Для идеальной атмосферы (3.7.4)
и уравнение состояния (3.1.14) можно использовать для опре-
деления р как функции от р, 0 и q. Производная по р при по-
стоянных 0 и q (в общем случае q и s взаимозаменяемы) дает
р = > = 1 от U - <7 + <7/е) (1 - /7 + 8<г/(7е))
s р 5 (1 - q + 6z7/(6e))
(3.7.17)
Для малых q множитель, содержащий q, приближенно равен
1 + 0,51 р, и им можно пренебречь; тогда
(3.7.18)
Для океана cs можно измерить непосредственно, и поэтому
(3.7.16) можно использовать для получения информации об
уравнении состояния при высоких давлениях.
3.7. Величины, связанные с устойчивостью 73
3.7.5. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ
Потенциальная плотность рпот. определяется как плотность,
которую приобретает объем постоянного состава, если он пере-
местится адиабатически на заданный уровень с давлением рг
(называемым отсчетным давлением), принимаемым обычно за
1 бар. Для жидкости с постоянным составом рПОт. зависит только
от т), и, следовательно, только от 0. Связь между рПОт. и 0 полу-
чается при применении уравнения состояния к отсчетному дав-
лению рг, в котором температура равна 0, т. е.
P„o. = P(Pt. S.0)- (3.7.19)
Для сухого воздуха из (3.1.14) находим
Рпот. = Р.т. (3-7.20)
т. е. потенциальная плотность обратно пропорциональна 0. Из-
за этой связи потенциальная плотность нечасто используется в
метеорологии. С другой стороны, в океанографии потенциальная
плотность полезна, особенно вблизи отсчетного давления, где ее
вертикальный градиент определяет устойчивость. Так как ее ве-
личина всегда близка к 1000 кг/м3, то потенциальная плотность
обычно выражается через величину, называемую ое (см. прило-
жение 3). На рис. 3.2 показана область значений oq, наблюдае-
мых в океане.
Условие устойчивости можно найти методом, использованным
в начале разд. 3.7.4, а именно сравнением изменения плотности
объема, движущегося изэнтропически, с изменением плотности
окружающей среды. Полученное условие устойчивости имеет
вид
g-W = - Ср->, dp^jdz - В ds/dz > 0, (3.7.21)
где
Q == Рпот- 7 др \ __ Рпот. ( др \ / др пот. \ 1 /д у 22)
Р \ дрпот. /р, s Р х д0 / р, s х д0 )s ’
а
Pkds/p. рпот Pxds/p, g Р х дрПот. / р, s х ds ,!q‘
(3.7.23)
Выражения для В и С через величины, протабулированные в
приложении 3, можно получить, используя приведенные выше
формулы и уравнения (3.7.19), (3.7.10) — (3.7.13) и выражения
(3.6.2) и (3.6.11) для коэффициентов расширения. Имеем
С = а (р, Т) ср (pr, G) Т/(а (рг, 0) ср (р, Т) 0), (3.7.24)
В = р' - Ср (рг, 0) ~ р (р, Г) - СР (рр, 0), (3.7.26)
74 Гл. 3 Свойства жидкости в состоянии покоя
где все величины вычислены при заданной солености s. Аппрок-
симация в (3.7.25) основана на том, что р' отличается не боль-
ше чем на 0,3 % от [3. Было принято считать, что разумным при-
ближением является С = 1, В=0, т. е. что устойчивость зави-
сит только от градиента потенциальной плотности. Однако это
неверно [492] в основном из-за зависимости а от давления [239].
Действительно, для диапазона температур, характерных для глу-
бин свыше 3000 м, С превосходит более чем в два раза значение
С — 1 на поверхности, а —В больше, чем (3.
3.8. УСТОЙЧИВОСТЬ НАСЫЩЕННОЙ АТМОСФЕРЫ
Если атмосфера насыщена водяным паром, то предыдущие
соображения об устойчивости более не применимы. Расчеты из-
менений плавучести для опускающегося воздуха по-прежнему
справедливы, так как количество влаги, которое опускающийся
объем может содержать, в общем случае возрастает. Однако для
поднимающегося воздуха количество влаги, которое может оста-
ваться в объеме, уменьшается. Поэтому происходит конденсация,
выделение скрытой теплоты и, таким образом, плавучесть объ-
ема возрастает по сравнению с той, которая наблюдалась бы
в отсутствие конденсации. Вертикальный градиент Г3 можно вы-
числить, предполагая, что воздух остается насыщенным и что
вся жидкая вода, образовавшаяся при конденсации, уходит в
виде осадков (не влияя^на плавучесть частицы). Рассматривае-
мый процесс не является строго адиабатическим, так как веще-
ство непрерывно удаляется, поэтому rs называется псевдоадиа-
батическим вертикальным градиентом (или иногда просто влаж-
ноадиабатическим вертикальным градиентом). Г3 меньше Г
'(сухоадиабатического вертикального градиента). Поэтому воз-
можно, что в насыщенной атмосфере выполняется одно из сле-
дующих условий: а) Вертикальный градиент меньше, чем Г3,
в этом случае равновесие устойчиво. (Замечание. Слои, в кото-
рых градиент температуры имеет противоположный знак, назы-
ваются слоями инверсии. В атмосфере это ведет к большей, чем
обычно, устойчивости.) б) Вертикальный градиент лежит между
Г и Гз- В этом случае объемы, переместившиеся вниз, будут
стремиться возвратиться обратно, в то время как частицы, пере-
местившиеся вверх, будут непрерывно двигаться вверх. Гово-
рят, что атмосфера условно устойчива, если вертикальный
градиент лежит между Г и Г3 при любом содержании влаги,
в) Вертикальный градиент превосходит Г; в этом случае ситуа-
ция несомненно неустойчива.
Чтобы вычислить вертикальный градиент Г3, необходимо рас-
смотреть изменения, при которых масса сухого воздуха остается
постоянной, если даже масса водяного пара меняется из-за кон-
денсации. Если влажность выражена через отношение смешения
3.8. Устойчивость насыщенной атмосферы 75
г (см. приложение 4), определяемое как масса пара, деленная
на массу сухого воздуха, то изменение содержания пара в еди-
нице массы сухого воздуха равно dr. Поэтому изменение еди-
ницы массы влажного воздуха равно dr](1 + г), т. е., согласно
(П.4.2), это изменение равно
rfr/(l + г) з=5 dq/(l — 7). (3.8.1)
Для псевдоадиабатических процессов это изменение равно мас-
се сконденсированной воды в единице массы влажного воздуха,
и q (или г) всегда равно ее насыщающему значению (или
rw). Изменение теплосодержания единицы массы влажного воз-
духа поэтому в Lv раз превосходит (3.8.1), и уравнение для
энтропии примет вид (см. (3.2.6))
I, ^/0 - <?») + °, ЛТ - Т (<Ч/^), dp = 0. (3.8.2)
Это уравнение отличается от уравнения (3.6.1) для сухоадиа-
батического процесса только добавлением членов, содержащих
скрытую теплоту Lv.
Теперь насыщающая удельная влажность q^ (см. приложе-
ние 4) является известной функцией температуры и давления,
так что dq^ можно записать так:
dqw = (dqJdT)p dT + (dqJdp}T dp.
Подставляя это выражение в (3.8.2) и учитывая (3.6.2) и
(3.6.4), находим
га(1 + ___А—T7TTZ Y (3-3-3)
х. (1 7w) дТ zpJ у аТ (1 7w) ?)
Значения Г3 даны в табл. 79 Смитсоновских метеорологических
таблиц, а в приложении 4 приведена приближенная формула.
Другую форму уравнения (3.8.2) можно получить, используя
в качестве переменной потенциальную температуру вместо тем-
пературы. Однако если принять приближение идеального газа,
то, используя (3.2.6) и (3.7.6) для преобразования (3.8.2), по-
лучаем
c^T~\dqJ(\ -qJ+d№ = 0. (3.8.4)
Теперь кривая, на которой температура меняется в зависимости
от давления в соответствии с (3.8.2), называется насыщающей
псевдоадиабатой или влажной адиабатой (табл. 78 Смитсонов-
ских метеорологических таблиц). Величина, которая постоянна
на этой кривой, называется эквивалентной потенциальной тем-
пературой 0* для насыщенного воздуха. Она определяется как
потенциальная температура, которую имел бы объем, если
бы вся содержащаяся в нем влага была сконденсирована,
76 Гл. 3. Свойства жидкости в состоянии покоя
а скрытая теплота, выделившаяся при этом, пошла на нагре-
вание объема. Значениеб* можно получить, интегрируя (3.8.4).
Так как температура изменяется в течение процесса не очень
сильно, a <?w мало, то приближенно интеграл уравнения (3.8.4)
равен
м»/(срП+|п(0/0:)=°.
т. е.
0; = 0exp(£v9w/(C/)).
(3.8.5)
Другая точка, лежащая на влажной адиабате, — потенциальная
температура смоченного термометра 0*w для насыщенного воа-
духа — определяется как температура, при которой влажная
адиабата пересекает линию р = рг=1000 мбар. Например,
значение 0* = О°С лежит на той же кривой, что и 6* — 10,2° С
в то время как 0^=10, 20 и 30° соответствуют значения
0; = 31,2; 62,3 и 113,Э°С (см. рис. 3.6).
Величина 0*, определенная выше, зависит только от р и Т,
так как она относится лишь к условиям насыщения. Однако
эквивалентную потенциальную температуру 0е (которая зависит
Рис. 3.5. Профили потенциальной температу-
ры 0 и эквивалентной потенциальной темпе-
ратуры 0е для тропической атмосферы. Эти
профили являются средними для сезона до-
ждей в Западной Индии и составлены
Джорданом [383]. Третий профиль относит-
ся к 0е, эквивалентной потенциальной тем-
пературе для гипотетической насыщенной
атмосферы с теми же значениями темпера-
туры на каждом уровне.
от г, р и Т) можно опре-
делить для любого объ-
ема, насыщен он или нет,
как то значение 0*, кото-
рое получается после
адиабатического расши-
рения этого объема до
насыщения. Другими сло-
вами, 0е есть температу-
ра, которая получится,
если объем расширяется
(адиабатически до
стояния насыщения
псевдоадиабатически
этого времени) до
пор, пока вся его влага
со-
и
с
тех
не удаляется, а затем
сжимается адиабатиче-
ски до отсчетного давле-
ния рг (обычно 1 бар).
Отсюда следует, что 0е
постоянна для объема не-
зависимо от то гр, являет-
ся ли он насыщенным или
нет, при условии, что из-
3.9. Графическое представление вертикальных зондирований 11
менения являются адиабатическими при ненасыщении и псевдо-
адиабатическими при насыщении. Если воздух не насыщен,
имеются два условия, используемые для выражения возможно-
сти неустойчивости за счет эффектов влажности при восходящем
движении. Первое условие — условная неустойчивость — озна-
чающее, что вертикальный градиент находится между Г3 и Г,
не принимает во внимание относительные уровни влажности со-
седних объемов. Однако возможность неустойчивости может су-
ществовать, даже если профиль устойчив всюду в том смысле,
что вертикальный градиент всюду меньше, чем Г3. Это может
произойти, когда верхний из двух объемов более сухой, чем
нижний, так что если оба объема выталкиваются вверх выше их
уровней конденсации, потенциальная температура верхнего
объема становится меньше, чем температура нижнего объема.
Условие появления этой конвективной (или потенциальной) не-
устойчивости имеет вид
dQJdz < 0. (3.8.6)
На рис. 3.5 показан типичный профиль потенциальной темпе-
ратуры 0 и эквивалентной потенциальной температуры 0е для
тропиков. Всюду dQ/dz положительна, что указывает на устойчи-
вость тропической атмосферы при этих условиях для сухоадиа-
батических процессов. С другой стороны, d§&/dz отрицательна
при давлениях ниже 700 мбар, что означает конвективную не-
устойчивость атмосферы в этом регионе, тогда как отрицательные
значения dtfjdz (указывающие на условную неустойчивость)
встречаются даже на еще больших высотах. Несмотря на эту не-
устойчивость, которая типична всюду н тропиках, глубокая кон-
векция имеет место только в небольшой части всего региона [673].
3.9. ГРАФИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ВЕРТИКАЛЬНЫХ
ЗОНДИРОВАНИЙ
Основные свойства влажного воздуха можно представить
графически с помощью диаграмм (называемых иногда псевдо-
адиабатическими картами), изображенных на рис. 3.6. На этих
диаграммах показаны потенциальная температура 0, смешанный
коэффициент насыщения rw и эквивалентная потенциальная тем-
пература 0* для насыщенного воздуха как функции давления р
и температуры Т.
Рассмотрим вначале рис. 3.6, а (называемый иногда диа-
граммой Стюве), на котором есть ордината, а Т—-абсцисса.
Такой выбор масштабов по осям делает графики 0 прямыми
линиями в силу формулы (3.7.4) для потенциальной температу-
ры. Наклон этих прямых обратно пропорционален 0. Кривые для
смешанного коэффициента насыщения, заданные формулами
Рис. 3.6. Примеры двух псевдоадиабатических карт, которые показывают свой-
ства влажного воздуха в графической форме, (а) В качестве осей выбраны
Рк и Т (диаграмма Стюве). Наклонные сплошные прямые линии являются су-
хими адиабатами, т. е. графиками потенциальной температуры 0 через интер-
валы в 10 К. Графики rw очень близки к прямым и изображены в виде на-
клонных отрезков вверху и внизу диаграммы. Насыщающие псевдоадиабаты
показаны штриховыми линиями п помечены значением эквивалентной потен-
циальной температуры 0е (в градусах Кельвина) совместно с соответствую-
щим значением потенциальной температуры 0W точки росы (в градусах Цель-
сия) в скобках. Интервал между графиками последней величины равен 10 °C.
Жирные линии показывают образец зондирования температуры Т (справа) и
точки росы Та (слева). — уровень конденсации поднимающего воздуха, со-
ответствующий частице па 830 мб с температурой В и точкой росы Ba. Опа
является пересечением графика 0 (0 == 300 К), проходящего через точку В,
и графика rw (rw — 2 г/кг), проходящего через точку Ba. Al соответствует
пересечению графиков для точек А — Аа. (б) Другая форма пссвдоадиабати-
ческой карты — тпфпграмма. Осп, на которых отоложспы log 0 и Т, повернуты
на 45°, так что графики давления примерно горизонтальны. Штриховые ли-
нии — влажные пссвдоадпабаты.
3.9. Графическое представление вертикальных зондирований 79
из приложения 4, оказываются близкими к прямым линиям; по-
этому они показаны короткими наклонными отрезками на верх-
нем и нижнем краях диаграммы. Наконец, насыщающие псевдо-
адиабаты, или графики 6*, даны приближенно согласно (3.8.5)
и показаны штриховыми линиями. Как требует их определение,
они асимптотически приближаются к адиабатам сухого воздуха
для соответствующих значений 0, когда /?—>0.
Рис. 3.6,6, показанный не так детально, как предыдущий,
известен как тифиграмма (Т—ср-грамма), так как ее осями
(которые имеют наклон 45° и показаны сплошными линиями)
являются log0 (пропорциональный энтропии, которая часто
обозначается через ср, а не через л, как в этой книге) и Т. Гра-
фики давления в этом представлении слегка искривлены, однако
близки к горизонтальным прямым. Польза этой диаграммы в
том, что на ней площади пропорциональны энергиям, а всякая
диаграмма с таким свойством называется термодинамической
диаграммой. Другие примеры рассмотрены в [323].
Зондирование с помощью радиозондов можно представить
на таких диаграммах линиями, показывающими, как темпера-
тура Т и, скажем, температура точки росы Та меняются в зави-
симости от давления. Диаграмму (которую тогда можно назвать
аэрологической диаграммой) можно использовать для выводов
относительно устойчивости, результатов подъема образцов воз-
духа и т. д. Один пример (Кейптаун, Южная Африка) показан
жирными линиями на рис. 3.6, а. Сразу ясно, что в нижнем ки-
лометре воздух ближе к насыщению, чем воздух над ним, так
как в нем разность между Т и Та относительно мала. Свойства
устойчивости можно оценить, сравнивая наклон температурной
кривой, полученный при зондировании, с наклоном сухой и
влажной адиабат. В данном примере воздух около земли
условно устойчив, так как наблюдаемый наклон — промежу-
точный между наклонами этих двух адиабат. Нижний километр
относительно влажного воздуха перекрывается слоем инверсии,
где Т растет с высотой (до уровня 830 мбар); па более высоких
уровнях воздух сухой. Он настолько сух, что только наклон
относительно сухой адиабаты является показательным и свиде-
тельствует об устойчивости (0 растет с высотой).
Если объем воздуха (обозначенный через В) на верхней
границе слоя инверсии поднимается адиабатически, то его тем-
пературные изменения будут совпадать с изменениями, полу-
ченными на сухой адиабате (в данном случае 0 = 300 К), пока
поднимающийся объем не достигнет уровня конденсации. Этот
уровень можно найти, используя тот факт, что отношение сме-
шения г для объема равно rw при температуре точки росы Та
(обозначенной через Ва на диаграмме); эта величина в данном
случае равна 2 моль/кг. Липпи rw = 2 и 0 =300 пересекаются
в точке Bl, так что уровень конденсации для поднимающегося
80 Гл. 3. Свойства жидкости в состоянии покоя
34,56 34,60 34,64 34,63 34,52 34,56 34,60 34,64 34,65
Соленость Соленость
3.9. Графическое представление вертикальных зондирований 81
воздуха равен значению р в этой точке, а именно 590 мбар. Со-
ответствующая влажная адиабата задается равенством 0* =
= 306 К, поэтому эквивалентная потенциальная температура
воздуха на верхней границе слоя инверсии есть 0е = 306К.
Маловероятно, что частица с верхней границы слоя инверсии
поднимется так высоко, однако аналогичное построение для
объема (Л — Ла), находящегося на нижней границе слоя ин-
версии, дает в пересечении Ль, показывая тем самым, что уро-
вень конденсации при подъеме находится только на 10 мбар
выше фактического уровня, а эквивалентная потенциальная тем-
пература снова равна 306 К. Отсюда следует, что слой инверсии
является нейтральным (т. е. d0e/dz==0) в смысле критерия
конвективной неустойчивости (см. разд. 3.8). Аналогичные ра-
счеты для приземного слоя показывают, что то же самое спра-
ведливо для влажного слоя, лежащего ниже слоя инверсии.
Дальнейшие построения с помощью термодинамических диа-
грамм рассматриваются, например, в [264, гл. 3].
Состояние морской воды зависит от трех переменных: тем-
пературы, солености и давления; поэтому необходима трехмер-
ная диаграмма для оценки свойств устойчивости. Двумерное
представление зондирований можно получить, построив график
для температуры и солености в зависимости от давления (пли
глубины), как показано на рис. 3.2, или через диаграмму тем-
пература-соленость (или через диаграмму потенциальная тем-
пература— соленость), как показано на рис. 3.7. Полезное свой-
ство такой диаграммы связано с тем фактом, что если две ча-
стицы воды с различными значениями Т и S смешиваются, то
величина (7, S) для смеси лежит на прямой линии, соединяю-
щей две исходные точки. Часто значения Т, S для данной стан-
ции лежат на прямой линии в значительном диапазоне глубин,
и эти точки можно интерпретировать как смесь устойчивых вод-
ных масс в соотношениях, которые меняются линейно; тогда
график изменения этого соотношения с глубиной будет прямой
линией. Свойства устойчивости можно оценить путем сравнения
наклона такой линии с наклоном изопикн, однако это справед-
ливо, если изопикны соответствуют рассматриваемому диапа-
зону глубин, как показывает рис. 3.7.
Рис. 3.7. Кривые температура — соленость для трех станций в Атлантике (мо-
ре Уэдделла) показаны на фоне изопикн (линии постоянной плотности) для
двух различных глубин: (а) 500 м, (б) 3000 м. Глубины (в метрах) обозна-
чены так: 500 (А), 1000 (О), 2000 (Д), 3000 («) и 1500 или 3600 (X). Ко-
роткие отрезки — интервалы по 100 м. Диаграмма показывает, что об устой’
чивости можно судить только по отношению к изопикнам рассматриваемой
глубины. Если бы изопикны, показанные на рис. (б), были пригодны для всех
глубин, то можно было бы заключить, что в верхних слоях распределение
плотности неустойчиво, тогда как диаграмма (а) показывает, что этого не
может быть в данном случае. Аналогично, если бы изопикны, показанные на
рис. (а), были пригодны для всех глубин, то на станции Glasier 45 возникла
бы неустойчивость, однако диаграмма (б) показывает, что это не так.
Глава 4
Уравнения, которым
удовлетворяет движущаяся
жидкость
4.1. СВОЙСТВА МАТЕРИАЛЬНОГО ЭЛЕМЕНТА
Когда жидкость находится в движении, ее свойства являются
функциями пространственных координат
х=з(х, у, г) (4.1.1)
и времени /. Другими словами, для любого свойства у имеем
V = V (х, у, z, I) s у (х, /). (4-1.2)
(Символ ss, означающий «тождественно», используется здесь
для связи различных способов записи одних и тех же выраже-
ний; например, с одной стороны скалярное обозначение, а с
другой стороны — векторное.)
Теперь применим концепцию состояния жидкости к отдель-
ному образцу (или «объему»), который перемещается, когда
жидкость находится в движении. Так как соседние частицы
жидкости могут со временем отделиться друг от друга, то необ-
ходимо представить себе бесконечно малый объем, который
будет сохранять свою индивидуальность. Этот объем будет на-
зываться материальным элементом [47, гл. 2].
Предположим теперь, что этот материальный элемент зани-
мает положение х в момент t, т. е.
х = х(/). (4.1.3)
Тогда свойство у этого материального элемента будет меняться
с течением времени согласно равенству
У = V (х (0, у (0, z (0, 0 = У (х (0, 0. (4.1.4)
Отсюда следует, что для материального элемента скорость
изменения свойства у определяется формулой
</у _ ду_ ! ay _dx_ I dy dy_ , ду_ dz_ = ду rfx . _
dt ~~ dt "Г" дх dt “Г dy dt “Г dz dt ~ dt “Г dt 0-1.о;
Здесь dx/dt есть скорость изменения положения материального
элемента, т. е. скорость жидкости:
dxidt — и == (и, vt w). (4.1.6)
4.2. Уравнение сохранения массы 83
Следовательно, для материального элемента dy/di равна Dy/Dt,
где Dy/Dt определяется выражением
^. = ^ + u^. + o^- + lB|S-_^- + u.VV. (4.1.7)
Заметим, что символ D/Dt определяется равенством (4.1.7) и
имеет этот смысл независимо от контекста. Символ d/dt, с дру-
гой стороны, означает производную по времени величины, кото-
рая является функцией только времени. (Несмотря на это, сим-
вол d/dt используется в некоторых учебниках в том же самом
смысле, что и D/Dt здесь. Это во многих случаях не ведет к пу-
танице, однако лучше иметь различные символы для операто-
ров, которые имеют различный смысл.)
Полезность оператора D/Dt можно проиллюстрировать не-
медленно, рассматривая уравнения «концентрации» для воздуха
и морской воды. Если можно пренебречь молекулярной диффу-
зией, то материальный элемент будет содержать постоянно одни
и те же частицы, так что масса каждого составляющего его ве-
щества будет оставаться постоянной. Так как соленость s есть
масса растворенной соли в единице массы жидкости, то s бу-
дет оставаться постоянной и
Ds/D/ = 0. (4.1.8)
Аналогично для атмосферы удельная влажность q есть
масса водяного пара в единице массы воздуха. Поэтому если
нет фазовых переходов, то
Dq!Dt = (}. (4.1.9)
Аналогичные уравнения выполняются для любых величин, ко-
торые сохраняются в материальных элементах.
4.2. УРАВНЕНИЕ СОХРАНЕНИЯ МАССЫ
Так как материальный элемент движется, то его масса по-
стоянна, но его объем может меняться. Поэтому его плотность
может изменяться, однако это изменение зависит от поля ско-
ростей жидкости. Уравнение, связывающее скорость изменения
плотности с полем скоростей движения жидкости, называется
уравнением сохранения массы. Существуют два эквивалентных
способа записи этого уравнения в соответствии с различными
методами его вывода. В первом методе, примененном Эйлером
(1755) [202] в работе об уравнениях движения, рассматрива-
ются изменения, происходящие с материальным элементом в
процессе его движения. Во втором методе рассматриваются из-
менения, происходящие в фиксированном элементе объема. Эти
два различных подхода можно с успехом применить и к другим
уравнениям движения. Оба подхода будут рассмотрены здесь.
84 Гл. 4. Уравнения, которым удовлетворяет движущаяся жидкость
Первый метод требует вычисления скорости Dva[Dl от-
носительного изменения удельного объема t>s материального эле-
мента. Здесь вычисления будут проделаны для бесконечно ма-
лого элемента в декартовых координатах, как показано на
рис. 4.1 (для более подробного ознакомления см. [47, разд. 2.2
и 3.1]). Рассмотрим некоторый элемент (рис. 4.1,а), который
первоначально является прямоугольным параллелепипедом со
сторонами 6х, ду и 6г. Через некоторое небольшое время
(рис. 4.1,6) элемент будет слегка деформирован. С точностью
Рис. 4.1. Материальный объемный элемент, который является в начальный мо-
мент (а) прямоугольным со сторонами 8х, бу, 8z, будет через некоторое вре-
мя (б) перемещен и немного деформирован. С точностью до величин первого
порядка малости относительно 8х, 8у и 8z изменение объема обусловлено
только изменением длин сторон. Изменения углов между сторонами не влияют
на изменение объема при указанной точности.
до величин первого порядка малости относительно 6х, 8у и 6z
изменение объема происходит только за счет малых изменений
длины сторон, а малые повороты ребер в таком приближении
несущественны. Поэтому скорость относительного изменения
объема равна
А А А ~ (6х 8у б2) = -Л-4г(6х) + -Т--ёг<М + ~-(&г).
(4-2.1)
Но первый член
17 4 W = 17 £ - х W»=17 <“ “ М)) —>
при 6х->0;
аналогично преобразуются и другие члены. Отсюда следует, что
скорость относительного изменения удельного объема равна ди-
вергенции скорости V-u, т. е.
1 Ощ ди dv dw
-----L —= v . и ---1____I
v3 Dt dx ' dy' dz-'
(4.2.2)
4.2. Уравнение сохранения массы 85
В механике жидкости обычно удобнее использовать в качестве
переменной плотность р, чем обратную к ней величину v&. Тогда
(4.2.2) примет вид
р"1 Dp/Di + V • и = 0.
(4.2.3)
Уравнение сохранения массы (4.2.3) играет фундаменталь-
ную роль во всех задачах, связанных с движением жидкости.
Другой вид этого уравнения, следующий из первого метода,
можно получить из (4.2.3), используя (4.1.7), определение про-
Рис. 4.2. Баланс массы для фиксированного прямоугольного объемного эле-
мента со сторонами 8х, 8у и 8z. Показан поток массы через левую и правую
грани, где и есть х — компонента скорости, а р есть плотность в центре эле-
мента. Ошибки в этих выражениях малы по сравнению с 8х 8у 8z для малых
бх, 8у и 8z. Для пары граней общий поток массы равен (д(ри)/бх)бх бу бг.
Аналогичные выражения можно получить для вклада в баланс массы двух
цругих пар граней.
изводной D/Dt и равенство (4.2.2), определяющее оператор ди-
вергенции. Сначала запишем (4.2.3) в другом виде. Имеем
<5р. др . , др . <5р . (. ди . dv . dw \ п
4- и -4- 4- v ~ 4- w -4— + р I -з—h -5—Ь -д— = 0,
dt дх 1 ду ' dz ' \dx dij dz J
т. е.
-4+4<р«)+4 (рр)+4 =°’
или
др/д/4- V-(pu) = 0. (4.2.4)
Во втором методе вывода этого уравнения (уравнения нераз-
рывности) рассматривается баланс массы для элемента малого
объема, фиксированного в пространстве (рис. 4.2); это прямо
приводит к уравнению вида (4.2.4). Для такого элемента масса
непрерывно переносится или «адвектируется» через грани эле-
мента движущейся жидкостью. Свойство, переносимое потоком
жидкости вместе с самой жидкостью, называется «адвектиро-
86 Гл. 4. Уравнения, которым удовлетворяет движущаяся оюидкость
ванным» с помощью потока. (Термин «адвекция» будет исполь-
зоваться чаще, чем термин «конвекция», который, как и в гл. 1,
будет применяться для процессов, происходящих, когда тяжелая
жидкость лежит над легкой.) Возьмем, например, площадь
грани бг/бг на левой стороне рис. 4.2. Масса жидкости, проте-
кающая через эту поверхность в единицу времени, приближенно
равна
(ри — ^бхд (рц)/дх) бу бг,
где р, и суть значения этих величин в центре рассматриваемого
элемента.
Такой же поток на противоположной грани приближенно
равен
(ри + y бхд (puj/dx'j бу dz.
Складывая потоки через все шесть граней с учетом их зна-
ков, получаем для суммарной скорости прироста массы выра-
жение
— (д (ри)/дх + д (pv)/dy + д (pw)/dz) бх бу 6z.
В пределе, когда объем стремится к нулю, для скорости
прироста массы в единице объема получим
— д(ри)/дх — д(pv)/dy — д(pw)/dzs — V • (pu). (4.2.5)
Так как по определению р есть масса в единице объема, то
скорость прироста массы в единице объема есть dp/dt, и, сле-
довательно, равна предыдущему выражению. Уравнение (4.2.4J
получено.
4.3. БАЛАНСЫ СКАЛЯРНЫХ ВЕЛИЧИН, ТАКИХ КАК СОЛЕНОСТЬ
Идею, использованную выше для баланса массы фиксиро-
ванного объема, можно использовать для баланса также и дру-
гих скалярных величин. Основное требование состоит в том, что-
бы оценить скорость, с которой скалярная величина переносится
через стороны элемента объема. В общем случае можно припи-
сать направление переносу скалярной величины, так что пере-
нос можно определить как вектор
?^(РХ, Ру, Рг),
имеющий то же самое направление и равный по величине ско-
рости переноса скалярной величины через единичную площадку,
перпендикулярную к направлению F. F называется потоком
скалярной величины через единичную площадку или плотностью
потока скалярной величины. Например, поток, вызванный дви-
4,3. Балансы скалярных величин, таких, как соленость 87
жением жидкости, направлен в сторону движения жидкости, а
величина потока через единичную площадку, перпендикулярную
к движению, в Qv раз больше скорости, где Qv есть количество
скалярной величины, содержащейся в единице объема.
В этом случае
F — Q0u.
Поток (или интенсивность переноса) через элемент поверхности
6/1, не перпендикулярный к F, можно вычислить из простых
геометрических соображений. На рис. 4.3 изображено сечение
элемента поверхности плоскостью, проходящей через F и нор-
Рис. 4.3. Диаграмма вычисления пото-
ка через площадь элемента 64, когда
плотность потока равна F. Эскиз по-
казывает разрез через элемент в пло-
скости, которая содержит F и нор-
мальная к поверхности элемента. Го-
ризонтальные линии проведены через
границу 6/1 параллельно F, a 6S есть
проекция 64 на плоскость, нормаль-
ную к F.
маль к 6/1. Тогда 6S = 6/1 cos а есть проекция 6/1 на плоскость,
перпендикулярную к F, а а — угол между плоскостями 6/1 и
6S. При этом поток равен
F 6S = F 6А cos а = F cos а 6/1,
где F — это длина вектора F, так что поток через единичную
площадку есть Feos а, т. е. равен составляющей F, нормальной
к рассматриваемой площадке.
Для объемного элемента, изображенного на рис. 4.2, поток
через боковую грань, имеющую площадь 6r/6z, равен FxSy$z,
где Fx есть х-компонеита потока. Используя те же рассуждения,
что и при выводе уравнения для сохранения массы, находим, что
разность потоков через две грани с площадями бг/бг равна
dFx/dx • 5х б// 6z,
а скорость потери скалярной величины в единице объема
V . FsdFJdx 4- dFyfdy + dFz/dz.
Другими словами, уравнение для Qtf, количества скалярной ве-
личины в единице объема, имеет вид
<5Qw/^ + V.F = 0. (4.3.1)
В частности, уравнение сохранения массы (4.2.4) получается
отсюда при Qv — р и F = ри. Другим частным случаем является
уравнение для солености или влажности, когда Qv == ps есть
масса соли (или водяного пара) в единице объема, Адвективный
88 Гл. 4. Уравнения, которым удовлетворяет движущаяся жидкость
поток (т. е. поток, обусловленный движением жидкости) равен
psu; поэтому если нет другого способа переноса соли (или во-
дяного пара), то (4.3.1) принимает вид
д(ps)/d/ + V • (psu) = 0. (4.3.2)
Это уравнение можно получить также из (4.1.8) и (4.2.3), так
что это просто другое выражение баланса солености (или во-
дяного пара).
Однако есть и другой способ переноса соли (или водяного
пара)—молекулярная диффузия, которая происходит тогда,
когда имеются градиенты солености (или водяного пара). Это
очень медленный процесс, и поэтому он не учитывается в боль-
шинстве задач, рассматриваемых в настоящей книге. Диффу-
зионный поток направлен против градиента Vs величины s, т. е.
он переносит соль из области высокой концентрации в области
с низкой концентрацией и равен [47, разд. 1.6]
— pxDVs,
где xd — коэффициент диффузии соли в воде, определяющий
скорость диффузии; он может зависеть от состояния жидкости,
т. е. от температуры, давления и слоености. Значения xd для
часто встречающихся веществ можно найти в [836]; например,
для соли в воде при 25 °C он равен 1,5 X 10~9 м2с-1, а для во-
дяного пара в воздухе при 8°C он равен 2,4ХЮ-5 м2с~1 (см.
также [471, табл. ИЗ]). Если учесть диффузионный поток, то
F = psu — pxDVs, (4.3.3)
и (4.3.1) примет вид
d{ps)/dt + V • (psu — pxDVs) =0. (4.3.4)
(Замечание. Диффузия соли может быть также вызвана гра-
диентами температуры и давления [211], однако эти эффекты
незначительны на очень малых масштабах, на которых суще*
ственна диффузия.)
4.3.1. КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ЧИСЛЕННЫХ
МОДЕЛЕЙ
Концепция потоков через стороны объемного элемента ис-
пользуется также и в численных моделях атмосферы и океана
(см., например, [287, 97, 538] ). Такие модели можно предста-
вить в виде множества объемных элементов, вроде показанных
на рис. 4.2, с тем отличием, что их размеры теперь конечны.
Каждый такой элемент определяется целыми числами (/, /, k),
которые задают его положение в сетке (см. рис. 4.4), а вели-
чина Qv(it /, k; t) обозначает среднее значение величины Qv по
4.3. Балансы скалярных величин, таких, как соленость 89
объемному элементу в момент t. Изменение Qv за время б/
можно найти из суммы потоков через стороны объемного эле-
мента, что дает (4.3.1) в конечно-разностной форме:
Qv (i, j, k-, t + 6Q - Qv (i, j, k-, t) ,
i (f + 1/2, /, fe; Q - f x (t - 1/2, /, fe; F) ,
fix
Fy(i,/+1/2, kJ)-Fy (I, j-\/2, kJ)
+-----------------6-y---------------+
4- F* i> k + V2- - F* & !’k~ V2; o = 0. (4 3 5)
Здесь бх, by и bz суть величины сторон объемного элемента, а
fx(/-Ь 1/2, j, k\ I)—осредненная х-компонента потока череа
Элемент
а
Элемент
объема
1}J, А+1
Элемент
площади
1+^.hk
Элемент
объема
Z-1, у, к
Элемент
объема
1>д,к
Элемент
объема
Z+1, J, К
Элемент
объема
Элемент
площади
i,Jt к-%
Рис. 4.4. Типичное расположение объемных элементов (конечного размера) в.
численной модели. Объемный элемент и величины, связанные с ним, обозна-
чаются целыми числами, как показно. Для обозначения поверхностных эле-
ментов одно из целых чисел заменяется на величину, равную полусумме целых-
индексов двух объемных элементов, которые он разделяет.
единичную площадку (/+ 1/2, /, k) за временной интервал от
i до / + bt.
Площадка (Z + 1/2, /, k) является общей для объемных эле-
ментов (i, j, k) и (t-j- 1, /, k). Согласно интерпретации, данной
выше, уравнение (4.3.5) является точным. Приближение появ-
ляется тогда, когда компоненты F вычисляются через другие
Q0 Гл. 4. Уравнения, которым удовлетворяет движущаяся жидкость
величины. Например, в уравнении сохранения массы, где Qv=p,
величина Fx(i + 1/2, /, 4; Z) есть среднее значение потока ри
через площадку (t + 1/2, /, k). Однако изменения величины ри
вычисляются из уравнений для импульса, в которых ри интер-
претируется как среднее значение по объемному элементу х-ком-
поненты импульса в единице объема. Чтобы связать среднее
значение по площадке со средним значением по соответствую-
щему объемному элементу, требуется какой-то вид аппроксима-
ции. Такая аппроксимация должна обладать тем свойством, что
если размер объемных элементов стремится к нулю, то аппрок-
симация становится все более и более точной. Это должно вы-
полняться для всех конечно-разностных схем независимо от того,
можно или нет эти формулы непосредственно интерпретировать
описанным выше способом.
К сожалению, не всегда возможно выбрать элементы доста-
точно малыми, чтобы конечно-разностные решения были близки
к точным. В этом случае численную модель лучше всего интер-
претировать как систему, отличную от точной, ио имеющую, как
можно надеяться, весьма сходное поведение.
4.3.2. ИЗМЕНЕНИЯ В ДВИЖУЩЕМСЯ МАТЕРИАЛЬНОМ ЭЛЕМЕНТЕ
Часто желательно изменить уравнение типа (4.3.4), чтобы
следить за изменениями свойств материального элемента, а не
фиксированного объема пространства. Это можно сделать, ис-
пользуя для любой переменной у (обычно какой-либо величины,
отнесенной к единице массы) выражение для pDy/Dt, которое
отличается от даваемого в (4.1.7) добавлением у, умноженного
на величину, приравненную нулю в (4.2.4). Имеем
р DylDt = р ду/dt + ри • Vy + у dp/dt + yV • (ри),
т. е.
pDy/Dt = d(py)/dt + V • (руи). (4.3.6)
Это уравнение можно рассматривать как тождество, ибо урав-
нение неразрывности (4.2.4) является точным. Например, при-
меняя его к (4.3.4), находим
р Ds/Dl = V • (pxDVs). (4.3.7)
Коэффициент рхо в общем случае зависит от состояния жид-
кости, однако его изменения достаточно малы, и в большинстве
•случаев можно считать рхо постоянным. В этом случае (4.3.7)
принимает вид
Z?s/Z)/ = xdV2s, (4.3.8)
где
V2V = V . (7у)==^т + -Й + -Й-- (4.3.9)
' ' дх2 1 ду2 1 dz2 v '
4.4. Уравнение дм внутренней энергии (или тепла) 91
4.4. УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ВНУТРЕННЕЙ ЭНЕРГИИ (ИЛИ ТЕПЛА)
Это уравнение имеет простую форму для жидких элементов,
не обменивающихся теплом с окружающей их средой и сохра-
няющих постоянный состав. В этих случаях движение назы-
вается изэнтропическим, т. е. энтропия материального элемента
постоянна, а состояние такого элемента не меняется в процессе
движения. Поэтому соотношения между переменными состоя-
ния, приведенные в гл. 3, применимы к элементу в любой момент
времени, а форма уравнения будет зависеть от того, какие пере-
менные используются для описания состояния жидкости.
Согласно (3.7.6), для удельной энтропии г] или потенциаль-
ной температуры 6 имеем
Diy/Dl^ ср (рг, 0)9"' DQ/Dt — Q, (4.4.1)
где ср — урельная теплоемкость, а рг — стандартное давление
Уравнение другого вида для энтропии получается из (3.2.1),
(3.2.6) и (3.6.1), а именно
Dt) DE Dv4 DT аТ Dp
(4.4.2)
где Т — температура, Е — внутренняя энергия единицы массы,
Us — удельный объем, а а — коэффициент теплового расшире-
ния. Все приведенные выше уравнения можно представить как
уравнения сохранения для фиксированных объемных элементов,
используя основное соотношение (4.3.6), а схемы типа изобра-
женной на рис. 4.2 можно рисовать для наглядного изображе-
ния балансов, которые имеют место. Например, уравнение для
внутренней энергии можно записать в виде
рDE/Di = д(pE)/dl + V • (p£u)— pvDvJDt = — pV • u, (4.4.3)
где использовано (4.2.2) для Dv3/Dt. Физическая интерпрета-
ция (4.4.3) состоит в том, что внутренняя энергия в фиксирован-
ном объеме может измениться путем адвекции через его гра-
ницы (член рЕи) или путем сжатия или расширения жидкости
в объеме (правая часть равна интенсивности работы, которая
производится над единицей объема жидкости, когда она сжи-
мается).
Если движение не изэнтропично, то необходимо добавить до-
полнительные члены в (4.4.3) для учета соответствующих эф-
фектов. Подробное обсуждение этого вопроса имеется в [47,
разд. 3.4].
Дополнительные члены бывают трех типов:
i) Радиационный обмен с окружающей средой. Это требует
знания плотности радиационного потока Ррад- энергии, который
"92 Гл. 4. Уравнения, которым удовлетворяет движущаяся жидкость
можно вычислить, если известно распределение и состояние
факторов поглощения, излучения, отражения и рассеивания.
ii) Обмен теплом путем молекулярной теплопроводности.
Поток тепла, переносимый этим способом, пропорционален гра-
диенту температуры и задается формулой
— kVT,
где k называется коэффициентом теплопроводности. (Его зна-
чение можно найти в [836]; например, 0,6 Вт-м-^К-1 для воды
и 0,023 Вт-м-^К"1 для воздуха.)
iii) Нагревание за счет фазовых переходов (высвобождение
скрытой теплоты), химических реакций или диссипации вслед-
ствие вязкости. Влияние этих процессов можно представить чле-
ном QH, который задает интенсивность нагревания единицы объ-
ема. Тогда видоизмененная форма уравнения (4.4.3) будет
иметь вид
д (pE)/di + V • (pEu + FpaA> — kVT) = QH - pV • u, (4.4.4)
где величину
F = pEu + FpaA- - kVT, (4.4.5)
входящую в левую часть, можно назвать плотностью теплового
потока.
Другие формы этого уравнения можно получить, используя
соотношения между переменными состояния (собранные в
(4.4.1) и (4.4.2)) и выражение (4.3.6), связывающее производ-
ные в точке с производными, учитывающими движение. Беря
температуру в качестве переменной состояния, получаем урав-
нение
рср DTlDt - аТ Dp/Dt = V < (kVT — FpaA>) + QH. (4.4.6)
С другой стороны, беря в качестве основной переменной потен-
циальную температуру, находим
рГср (рг, 0) 0"' Dd/Dt = V • (kVT - FPM-) + QH. (4.4.7)
Заметим, что если коэффициент k постоянен, то его можно вы-
нести за скобки в приведенных выше выражениях, образуя ком-
бинацию
и = */(рср), (4.4.8)
где х называется коэффициентом тепловой диффузии. Его ти-
пичные значения для воды 1,4Х 10—7 м2-с-1 и 2Х10-5 м2-с-1
для воздуха. Эти значения настолько малы, что теплопровод-
ность не является существенной для масштабов, обычно рас-
сматриваемых в этой книге, и поэтому ею пренебрегают. Радиа-
ционный член может быть весьма существенным в атмосфере,
4.5. Уравнения движения 93
но не в океане, за исключением примерно 30 верхних метров.
Член Qh, описывающий внутренний нагрев, обычно не важен,
кроме тех частей атмосферы, где высвобождается скрытая теп-
лота за счет конденсации. Предполагая, что высвобождение
скрытой теплоты является псевдоадиабатическим (см. разд. 3.8),
находим, что Qh отличен от нуля, только если, во-первых, q
достигает насыщения q^ и, во-вторых, скорости изменения дав-
ления и температуры для материальной частицы таковы, что на-
сыщающая влажность qw(p, Т) убывает. Последнее условие
обычно эквивалентно требованию, что движение является восхо-
дящим (а; >0). Поэтому когда внутренний нагрев Qh вызван
высвобождением скрытой теплоты при псевдо адиабатическом
процессе, то
0, если
рЧ
1 ~<7W
Qh “
q<qvf или DqJDt < 0,
-jy— в противном случае.
(4.4.9)
Другой способ учесть теплоту конденсации, если она проис-
ходит, это положить в (4.4.7) Qh = 0, а 0 заменить на эквива-
лентную потенциальную температуру 0е.' Это следует из опреде-
ления 0е, данного в разд. 3.8. Если вместо воды образуется лед,
то 7w заменяется на qi — насыщающее значение, соответствую-
щее льду. Заметим, что на практике мало, так что множи-
тель (1 — <7w) в (4.4.9) можно приближенно заменить единицей.
Тогда (4.4.9) записывается в виде
QH~ — LvpDq/Di (4.4.10)
в предположении, что диффузией водяного пара можно прене-
бречь; если выполнены условия первой строки правой части
(4.4.9), то (4.1.9) обращает правую часть (4.4.10) в нуль, как
это и требуется. В противном случае q = qw, так что (4.4.10)
вновь совпадает с (4.4.9).
4.5, УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Уравнение движения является выражением второго закона
Ньютона для материального объемного элемента, а именно ско-
рость изменения импульса элемента равна совокупности сил,
действующих на элемент. Для масштабов, рассматриваемых
в этой книге, главными являются силы, рассмотренные в
разд. 3.5, т. е. сила давления и сила тяжести, равная градиенту
потенциала Фу. (Последний не совпадает с геопотенциалом, вве-
денным в разд. 3.5, из-за влияния вращения, которое рассматри-
вается в разд. 4.5.1.) Согласно разд. 3.5, результирующая этих
двух сил, действующая на единичную массу, равна
— p-'Vp — VQv
94 Гл. 4. Уравнения, которым удовлетворяет движущаяся жидкость
и должна поэтому равняться скорости Diu/Dt изменения им-
пульса единицы массы материального объемного элемента [47,
разд. 3.2]. Другими словами, имеем уравнение
DuJDt = — p-!Vp - VOv. (4.5.1)
Индекс f используется для обозначения того факта, что ско-
рость Uf измеряется относительно неподвижной системы отсчета.
В геофизике положение хг и скорость иг измеряются относи-
тельно вращающейся системы отсчета — Земли. Поэтому необ-
ходимо выразить Dui/Dt через эти величины. Получение такого
выражения является исключительно предметом геометрии и вы-
числений.
4.6.1. ДВИЖЕНИЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ВРАЩАЮЩЕЙСЯ СИСТЕМЫ
ОТСЧЕТА
Пусть индекс f указывает на величины, измеренные в не-
подвижной системе отсчета, а индекс г — на величины, измерен-
ные во вращающейся системе
Рис. 4.5. Точка Р с фиксированной ко-
ординатой хг в системе отсчета, вра-
щающейся с угловой скоростью Q во-
круг оси, проходящей через О, дви-
жется по указанному круговому пути
со скоростью Q X хг.
отсчета. Пусть Q — угловая ско-
рость вращающейся системы
отсчета (т. е. Й есть вектор,
равный по величине угловой
скорости вращения относитель-
но этой оси и направленный
вдоль оси вращения таким об-
разом, что вращение происхо-
дит по часовой стрелке, если
смотреть по оси в направле-
нии Q). Тогда точка, положе-
ние которой задается радиус-
вектором хг во вращающейся
системе отсчета, имеет ско-
рость QXxr (рис. 4.5). Когда
точка хг движется относитель-
но вращающейся системы, то
ее скорость относительно непо-
движений системы равна
dxjdt = dxjdt + О Х\.
(4.5.2)
Повторение этой операции приводит к ускорению
d2xf d / dx_ _ \ л / dxr . л \
~di^ ~dt \dT + Q х Xr) + Q х X XrJ,
т. e.
= _Щ + 2ЙХ^ +WX xr). (4.5.3)
4.5. Уравнения двиэ/сения 95
Поэтому дополнительно к ускорению, измеренному относительно
вращающейся системы, имеются два других вклада в ускорение
относительно неподвижной системы. Один из них, определяе-
мый вторым членом правой части (4.5.3), называется ускоре-
нием Кориолиса (в честь Кориолиса (1835), [138], который его
рассмотрел, хотя этот член появился раньше в приливных урав-
нениях Лапласа (1778, 1779), [431]). Последний член можно
записать как градиент скалярной величины
(ОХ *,) = ?({ »?)
Поэтому (4.5.3) примет вид
dujdt = dur/dt + 2Q X ur + V (yQ2*?) • (4.5.4)
Если точка xr определяет положение материального объемного
элемента, то производная d/dt совпадает c.D/Dt (см. разд. 4.1),
поэтому (4.5.1) запишется в виде
Du/Dt + 20 X и = — — УФ, (4.5.5)
где индекс г будет опускаться, начиная с этого места. Ф есть
геопотенциал, определяемый формулой
Ф = Ф„ —4-£22х;, (4.5.6)
т. е. равен сумме потенциала Ф7 силы тяжести и потенциала
— (l/2)Q2x2 центробежной силы, как это определено в разд. 3.5.
Заметим также, что (4.5.5) ие меняется при изменении начала
координат, поэтому нет необходимости задавать начало коорди-
нат вращающейся системы, когда используется уравнение
(4.5.5).
4.5.2. БАЛАНС ИМПУЛЬСА ДЛЯ ФИКСИРОВАННОГО
ПРОСТРАНСТВЕННОГО ЭЛЕМЕНТА
Умножая (4.5.5) на р и используя тождество (4.3.6) для
каждой компоненты поочередно, получим иную форму уравне-
ния движения, а именно
д(pu)/dt + V • (рми) + 2Qj5,ptiy — 2Qzpo = — др/дх, (4.5.7)
д (ри)/<Э/ + V • (рои) + 2Q2pw — 2Qxpay = — др/ду, (4.5.8)
д (pw)/dt + V (pwu) + 2Qxpo — 2Qyp£i = — др/dz — yg. (4.5.9)
Оси (на рассматриваемом элементе) выбраны так, что ось z
направлена вертикально вверх, т. е. в направлении
ё = УФ, (4.5.10)
96 Г л. 4. Уравнения, которым, удовлетворяет движущаяся жидкость
где —g— ускорение силы тяжести, равное по величине g (см.
(3.5.2). Угловая скорость Q записана здесь через ее компо-
ненты (Q'x, Qj/, &г).
Эти уравнения можно интерпретировать в терминах баланса
импульса (для единицы объема) для фиксированного объем-
ного элемента (подобного изображенному на рис. 4.2). Скорость
изменения импульса (первый член) определяется потоком им-
пульса через границы элемента (второй член), действием силы
Кориолиса на элемент (два последних члена в левой части), ре-
зультирующей силой давления на границы элемента (первый
член в правой части) и силой тяжести (последний член в
(4.5.9)).
4.5.3. ЭФФЕКТЫ ВЯЗКОСТИ
Хотя вязкость как таковая не является существенной для
масштабов движения, рассматриваемых в этой книге, она важна
косвенно, как способ отвода механической энергии из системы.
Вязкость приводит к напряжениям на поверхности материаль-
ного элемента, которые можно связать с интенсивностью дефор-
маций. Подробное обсуждение имеется в [47, разд. 3.3]. Ока-
зывается, что на масштабах, на которых вязкость существенна,
изменениями самой вязкости и эффектами сжимаемости можно
пренебречь; тогда ее влияние на импульс будет таким же, как
и влияние диффузионных процессов (см. разд. 4.3), п в этом
случае его можно учесть добавлением диффузионных потоков к
(4.5.7)—(4.5.9), т. е.
д (putfdt + V • (pwu — pVn) + 2Q{/pw — 2Q2pt> = — др/дх, (4.5.11)
d(pv)/dt + V • (pau — pVu) •+ 2Qzpu — 2Qxpw = — dp/dy, (4.5.12)
d (pw)/dt + V • (p^u ~ pVw) + 2Qxpa — 2Qvpu = — dp/dz — pg,
(4.5.13)
где ц называется коэффициентом вязкости жидкости. (Значения
р. протабулированы в [836]; например, для воды ц = 10~3 кгХ
Хм^-с-1 и для воздуха р = 1,7 X Ю-5 кг-м^-с-1.)
Значение ц зависит от состояния жидкости, однако его изме-
нения являются достаточно медленными, так что в большинстве
случаев ц принимается постоянным. Тогда уравнение (4.5.5)
примет вид
DulDt + 20 Хи = — P~lVp —• g + vV2u, (4.5.14)
где
v==p,/p (4.5.15)
называется коэффициентом кинематической вязкости (его зна-
чение для воды равно 10~6 м2-с-1 и 1,4 X Ю~5 м2-с~‘ для воздуха
4.6. Уравнение для механической энергии 97
при давлении в 1000 мбар, см. [471, табл. 113J), а у2и есть век-
тор с компонентами
V2u==(V2Uj V2y> (4.5.16)
4.5.4. ВОЗМУЩЕННОЕ ДАВЛЕНИЕ И ВОЗМУЩЕННАЯ ПЛОТНОСТЬ
Для крупномасштабных движений в океане и атмосфере су-
щественно доминирующими членами в уравнении движения
(4.5.14) являются ускорение силы тяжести g и вертикальная
компонента градиента давления, которая приблизительно его
уравновешивает. Другими словами, любой другой член в урав-
нении (4.5.14), представляющий ускорение, весьма мал по срав-
нению с ускорением силы тяжести. Например, в атмосфере
ветры имеют порядок 10 м-с-1, так что ускорение Кориолиса
равно примерно 10~3 м-с~2, т. е. меньше ускорения силы тя-
жести в 10 000 раз!
Следовательно, желательно определить возмущенное давле-
ние и возмущенную плотность как отклонения от равновесного
решения
p = p0(z), p = p0(z) (4.5.17}
типа, рассмотренного в разд. 3.5, т. е. такого, которое удовле-
творяет уравнению гидростатики
dpjdz = — gpn. (4.5.18)
Возмущенное давление р' и возмущенная плотность р' опреде-
ляются формулами
/7 = р0(2) + р', р = р() (z) + р'. (4.5.19)
В этом случае (4.5.14) примет вид
р (DvdDt + 2Q X и) = — ^р' — p'g + V • (p-Vu). (4.5.20)
В частном случае однородной жидкости, т. е. постоянной плот-
ности, р' есть нуль. Член —p'g представляет силу, действующую
на единицу объема, называемую силой плавучести, так как эле-
мент с отрицательной р' является относительно плавучим и, сле-
довательно, испытывает направленную вверх силу, обусловлен-
ную действием гравитации.
4.6. УРАВНЕНИЕ ДЛЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
Система уравнений, определяющих поведение океана и атмо-
сферы, теперь полностью получена. Эти уравнения приведены в
разд. 4.10 н содержат: а) уравнение сохранения массы, б) урав-
нение движения, в) уравнение внутренней энергии или уравне-
ние тепла, г) уравнение состояния и д) уравнения для кон-
центраций компонент, таких, как соль и водяной пар. Из этой
4
Зак. 744
98 Г л. 4. Уравнения, которым удовлетворяет движущаяся жидкость
системы можно получить другие полезные уравнения, используя
простые вычисления.
В этом разделе рассматривается уравнение для механической
или кинетической энергии.
Кинетическая энергия единицы массы определяется форму-
лой и2/21) • Уравнение для скорости изменения этой величины
при движении материального объемного элемента получается
при скалярном умножении (4.5.20) на и, что дает
pD (±u.2^/Dt = — ад/4-V- (— р'и 4-цУ (4и0)~ р8 + ^г’и’
(4.6.1)
где
е=*О+(£)2+(£Л <4-6-2*
всегда положительно и называется скоростью диссипации (см.
ниже).
Применяя ту же процедуру, из (4.5.14) получаем уравнение
(4.6.1), но уже без штрихов. Заметим, что скалярное произве-
дение и с ускорением Кориолиса в (4.5.20) тождественно равно
нулю, поэтому в (4.6.1) отсутствует член, связанный с ускоре-
нием Кориолиса.
Уравнение (4.6.1) можно преобразовать в уравнение для
фиксированного объемного элемента. Применяя (4.3.6), находим
д Qj-pu2^/dZ + V • F' = — wgp' —- pe-|- p'V • u, (4.6.3)
где
F' — (p'+ у pu2) u — pV (y u2^ (4.6.4)
будет называться вектором плотности потока энергии, поскольку
он определяет скорость потока энергии через единичную пло-
щадку. Однако он определен неоднозначно. Например, любой
вектор с равной нулю дивергенцией можно добавить к F" без
изменения (4.6.3). Как и ранее, имеется другой вид уравнения
(4.6.3), но без штрихов, т. е. с давлением вместо возмущенного
давления и плотностью вместо возмущенной плотности. В этом
случае в (4.6.3) и (4.6.4) используется F вместо F'.
В частном случае жидкости с постоянной плотностью р' =0,
п, согласно (4.2.3), V-u =0. Тогда уравнение (4.6.3) упрощается:
д (4 pu2)/d/ + V • F' = - ре. (4.6.5)
Физическую интерпретацию этого
рис. 4.6 (см. также рис. 4.2). Масса
уравнения иллюстрирует
жидкости изображенного
*) Для упрощения обозначений пишется и2 вместо и-и.
4.6. Уравнение для механической энергии 99'
пространственного элемента равна p6x6//6z. Поэтому ее кинети-
ческая энергия по определению равна (1/2) ри26х'6р6г. Она мо-
жет изменяться за счет: (а) переноса энергии через стороны эле-
мента или (б) потери энергии внутри элемента. Скорость пере-
носа энергии, связанная с F', показана для двух сторон элемента
на рисунке, где F'x — составляющая F в направлении оси х.
Рис. 4.6. Баланс механической энергии для фиксированного прямоугольного
объемного элемента в однородной жидкости плотности р. Показаны потоки
через пару граней, где Fx есть х-компопента потока плотности механической
энергии F'. Они дают вклад в общую потерю энергии в единице объема, рав-
ную dF'x/dx ; две другие пары граней дают вклады dFyjdy, dFz[dz, где F и
Fz есть у- и z-компоненты F'. Баланс энергии для элемента нельзя описать
полностью в терминах потоков через грани. Имеется дополнительная потеря
энергии в единице объема, равная ре, где е — положительная величина, на-
зываемая коэффициентом диссипации.
Сложение потоков через все стороны дает общее увеличение
энергии
- Ст F'«+ F'^ йх • F'&х ъи &
с требуемой точностью. Это приводит к члену V-F' в (4.6.5)
после деления на объем 6x6z/6z и перехода к пределу при стрем-
лении сторон элемента к нулю.
Согласно (4.6.4), отдельные вклады в скорость F'x$x&z пере-
носа энергии через площадку следующие:
(i) p'u&ySz,
(ii) ^spu^SySz,
(iii) —р^дСДм2) /$х) -SySz.
Первый вклад есть произведение p'§y&z, перпендикулярной
к площадке силы, соответствующей возмущенному давлению
4»
100 Гл. 4. Уравнения, которым удовлетворяет движущаяся жидкость
и скорости и движения в направлении силы. Следовательно, он
представляет собой интенсивность работы силы давления на этой
площадке. Второй вклад есть скорость адвекции кинетической
энергии через площадку. Третий вклад можно интерпретировать
как скорость диффузии кинетической энергии через площадку,
вызванной процессами вязкости.
Остальной вклад в скорость изменения кинетической энергии
элемента, согласно (4.6.5), равен
— ре дх bydz.
Он интерпретируется как скорость потери энергии внутри эле-
мента из-за процессов вязкости. Поэтому е называется ско-
ростью диссипации механической энергии в единице массы пли
просто скоростью диссипации.
Ту же самую идею можно применить к большому объему
жидкости, разбивая его мысленно на малые элементы, аналогич-
ные показанным на рис. 4.6. Перенос энергии через стороны эле-
ментов представляет собой просто поток энергии от одной части
жидкости к другой и, следовательно, не дает вклада в баланс
энергии большого объема, за исключением вкладов от внешней
поверхности этого объема. С другой стороны, диссипация в каж-
дом элементе дает вклад в потерю общей энергии большого эле-
мента. Другими словами, интегрирование (4.6.5) по объему дает
уравнение для скорости изменения
К = ~ pu2 dx dy dz (4.6.6)
кинетической энергии объема жидкости. Это уравнение имеет
вид
dKjdt + F'n clS = — ре dx dy dz, (4.6.7)
где F'n обозначает составляющую потока через поверхность эле-
мента в направлении внешней нормали к этой поверхности,^ —
элемент поверхности, так что этот интеграл представляет ско-
рость полного переноса энергии через поверхность. Интеграл в
правой части берется по всему рассматриваемому объему. На-
пример, рассматриваемый объем может быть частью океана
ниже некоторой поверхности постоянного уровня. Тогда (4.6.7)
утверждает, что изменения в кинетической энергии происходят
за счет переноса энергии через эту поверхность, переноса энер-
гии через дно и диссипацию энергии внутри объема.
Итак, можно получить уравнение для большого материаль-
ного объема жидкости, т. е. для объема с подвижными грани-
цами, по все время состоящего из одних и тех же жидких ча-
стиц. Примером может служить океан, который ограничен
4.6. Уравнение для механической энергии 101
сверху не фиксированной, а свободной (постоянно движущейся)
поверхностью. Как и ранее, этот объем можно разбить на мате-
риальные элементы и сложить балансы каждого элемента. Это
равносильно интегрированию (4.6.1) по всему материальному
объему, что для однородной жидкости вновь приводит к (4.6.7)
с интегрированием теперь по его объему и поверхности. Вклад
адвекции в перенос энергии через поверхность равен нулю, так
как по определению адвекция через поверхность материального
объема отсутствует.
В случае однородного океана или озера энергия переносится
через свободную поверхность из атмосферы благодаря работе
силы давления и благодаря «диффузии» энергии, которая воз-
никает за счет действия вязких напряжений. Так как на дне ско-
рость по нормали равна нулю, то сила давления не может там
произвести работы, т. е. потеря энергии может происходить
только за счет вязкости, а именно за счет действия вязких на-
пряжений па дне п диссипации за счет вязкости внутри океана
или озера. Так как кинетическая энергия таких жидких тел не
возрастает непрерывно, то потеря энергии за счет эффектов вяз-
кости должна балансироваться энергией, поступающей за боль-
шой период времени. На первый взгляд кажется, что это проти-
воречит утверждению, что эффекты вязкости несущественны па
больших масштабах, которыми определяется поступающая энер-
гия. Отсюда следует, что энергия передается от одних масшта-
бов к другим (что возможно благодаря нелинейным членам в
(4.5.14), а существенная диссипация происходит только на мас-
штабах, где градиенты скорости достаточно велики, чтобы в
(4.6.2) получились величины, способные дать баланс. Эти мас-
штабы в действительности очень малы, и их можно оценить,
если предполагать, что масштаб зависит только от а и v. Ком-
бинация только этих параметров с размерностью длины равна
(v3/e)1/4, и типичные значения масштабов для океана и атмо-
сферы получаются порядка миллиметра. (Обсуждение процесса
диссипации в оксане см. [863].) Этот факт создает трудности
для численных моделей, которые не могут охватить масштабы,
начиная от масштабов Земли и кончая масштабами диссипации
(диапазон в десять порядков!). Общий прием состоит в том,
чтобы сделать коэффициент вязкости искусственно большим
(в этом случае он называется коэффициентом вихревой вязко-
сти) , так что может возникнуть существенная диссипация энер-
гии па масштабах, разрешимых в численных схемах. Так как
вертикальное разрешение обычно гораздо лучше, чем горизон-
тальное, то можно взять меньшие значения для вертикальной
«диффузии» импульса и энергии, чем для горизонталыющ(Верти-
кальный вихревой коэффициент вязкости может быть в 102 или
103 раз больше молекулярного коэффициента, т. е. более типич-
ным для масел, чем для воздуха или воды. Горизонтальный вих-
102 Гл. 4. Уравнения, которым удовлетворяет движущаяся жидкость
ревой коэффициент вязкости часто берется в 1010 или даже в
1011 раз больше, чем молекулярный, т. е. как для очень вязкой
жидкости вроде глюкозы [836].) Однако нет гарантии, что эта
процедура будет поглощать энергию реалистическим образом, н
основная задача численного моделирования — найти схемы, ко-
торые отводят энергию реалистически.
Энергетические принципы таковы, что потеря механической
энергии па диссипацию представляет скорость превращения
энергии в другую форму, а именно в тепло. Поэтому имеется
вклад ре в член уравнения (4.4.4), который представляет ско-
рость увеличения внутренней энергии в единице объема. Од-
нако этот вклад очень мал, так что им почти всегда можно пре-
небречь. Члены —wgp' и p'V-u, входящие в (4.6.3), также пред-
ставляют скорость преобразования энергии из одного вида в
другой. Первый член является произведением силы плавучести
—gp' единичного объема, направленной вверх, и скорости w дви-
жения, совпадающей по направлению с силой плавучести, и, сле-
довательно, представляет скорость работы силы плавучести над
единичным объемом. Последний член является произведенном
давления р' и скорости изменения объема (см. (4.2.2)) матери-
ального элемента и, следовательно, представляет скорость вы-
деления энергии в единице объема жидкости при расширении.
Превращения энергии, связанные с этим членом, обсуждаются
в следующем разделе.
4.7. УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ПОЛНОЙ ЭНЕРГИИ
Пока были введены уравнения для двух видов энергий: вну-
тренней (уравнение (4.4.4)) и кинетической (уравнение (4.6.3)).
Если последнее уравнение используется в форме со штрихами,
то добавляются еще два уравнения. Член pzV-u отсутствует, так
как он представляет скорость преобразования внутренней энер-
гии в кинетическую. То же справедливо и для члена ре (учи-
тывающего вклад Qh). Другой член, который требуется интер-
претировать как скорость преобразования энергии из одного
вида в другой, это плавучесть —wgp' в (4.6.3). Он характери-
зует работу силы тяжести, когда жидкость протекает через по-
верхности геопотенциала, а соответствующий вид энергии еди-
ницы массы представляет геопотенциал Ф, определенный со-
гласно (4.5.6).
Согласно этой интерпретации, Ф называется потенциальной
энергией единицы массы, связанной с силой тяжести и с центро-
бежной силой, Ф зависит только от z, и по определению (4.1.7)
скорость его изменения в движущемся материальном элементе
с учетом (4.5.10) равна
йФ/D^u = и • q = <. (4.7.1)
4.7. Уравнение для полной энергии 103
Это равенство можно преобразовать в скорость изменения гео-
потенциала в фиксированном элементе, используя стандартную
формулу (4.3.6). Имеем
д (рФ)/д/ -ф V • (рФи) = aagp. (4.7.2)
Уравнение для полной энергии получается теперь сложением
уравнения (4.7.2), уравнения для внутренней энергии (4.4.4) и
уравнения для кинетической энергии (4.6.3) без штрихов. Полу-
чаем
д (р(в + Ф + ~и2))/д/ + V • FO6UA' =QH, (4.7.3)
где Fo6ub есть поток полной энергии
Fo6uv == pu (в + Ф + у u2) + pu + Fpan’ - kVT ~ ц? (-u2)
(4.7.4)
Члены, входящие в Fo6,u-, представляют собой адвективный по-
ток, скорость работы сил давления на единичной площадке, ра-
диационный поток, поток диффузии тепла и поток диффузии
энергии. Уравнение (4.7.3) — это уравнение изменения энергии
для фиксированного элемента. Используя (4.3.6), получим урав-
нение для изменения энергии в материальном элементе:
pD (в + Ф+^-и2)/э/ + V • (pu + FpaA- - Ш - jiV (|u2)) = Qh.
(4.7.5)
Как и в случае уравнения кинетической энергии, уравнение
(4.7.3) можно интерпретировать в терминах баланса для фик-
сированного элемента, как это показано на рис. 4.6. Следова-
тельно, складывая энергию нескольких таких элементов, можно
получить скорость изменения полной энергии в большом объеме.
Внутренняя энергия / объема есть
/ — ^рЕ dx dy dz, (4.7.6)
а потенциальная энергия Р, согласно (3.5.2), равна
Р = рФ dx dy dz — pgz dx dy dz.
(4.7.7)
Поэтому полная энергия (см. (4.6.6)) имеет вид
K + Z + P,
и ее скорость изменения дается равенством
d w + I + f dS = J J J QH dx dy dz. (4.7.8)
104 Гл. 4. Уравнения, которым удовлетворяет движущаяся жидкость
Здесь через обозначена уходящая через поверхность объ-
ема компонента потока энергии, а через dS—элемент поверх-
ности. Поэтому этот интеграл равен общей скорости переноса
энергии через поверхность объема. Как было установлено в пре-
дыдущем разделе, это уравнение применимо как к фиксирован-
ному объему, через который жидкость может протекать, так и
для материального объема, который может иметь движущуюся
поверхность, но состоит все время из одних и тех же частиц.
Изложенные выше рассуждения об энергии состоятельны и
удовлетворительны, если отсутствуют фазовые превращения
(или химические превращения и т. д.); тогда QH равно пулю.
Если QH не равно нулю, то происходит преобразование од-
ного вида энергии в другой. Например, влияние скрытой теп-
лоты, высвобождающееся путем псевдоадпабатического про-
цесса, можно учесть, используя для QH выражение (4.4.10). Под-
ставляя его в (4.7.8) и используя обычное соотношение (4.3.6),
находим
d (К + I + Р + L)/dt + J j + ML,un) dS = 0, (4.7.9)
где
L = J Lvpq dx dy dz (4.7.10)
есть энергия, которая высвобождается при движении каждой ча-
стицы вверх адиабатически до уровня насыщения п при псев-
доадиабатическом движении вниз до тех пор, пока влага не
сконденсируется полностью.
Оценки величин К, I, Р и L для атмосферы были сделаны
в [602] для каждого месяца года, а также подсчитаны потоки
энергии через широтные круги. Наибольший вклад в полную
среднюю энергию дают / (73 %), согласно определениям (4.7.6)
и (3.2.7), и Р (25%), согласно определению (4.7.7). Однако,
согласно упомянутым определениям, 1 + Р представляет энер-
гию, которая получается, если понизить температуру атмосферы
до абсолютного нуля и отнести массу атмосферы к уровню моря.
Так как небольшая часть этой энергии может быть получена от
процессов, действительно происходящих, то Лоренц (1955) [483]
ввел понятие доступной потенциальной энергии как тон части
энергии, которая может быть получена от некоторых определен-
ных процессов. Обычно рассматриваемые процессы являются
адиабатическими, с перераспределением массы без фазовых пе-
реходов в статически устойчивое состояние покоя (см.
разд. 3.5 и 3.6). Согласно этому определению, доступная потен-
циальная энергия атмосферы оценивается [645] в 23 X Ю20 Дж,
чт® в среднем при делении на площадь поверхности Земли дает
4,5 X Ю6 Дж/м2.
4.8. Уравнение Бернулли 105
Это сравнимо, согласно оценке. Гилла [240], со средней до-
ступной потенциальной энергией типичного океанского вихря в
средних широтах, равной 105 Дж/м2.
Согласно другому определению, в энергию атмосферы вклю-
чают также н энергию L, которая образуется при конденсации
всей влаги в атмосфере. (Обсуждение понятия доступной по-
тенциальной энергии имеется в [181].) В этом случае она равна
64 X Юб Дж/м2.
В численных моделях атмосферы и океана используются ко-
нечно-разностные аппроксимации баланса масс, импульса, внут-
ренней энергии и т. д. для конечных элементов, как это описано
в разд. 4.3. Ниоткуда не следует, что автоматически будет су-
ществовать конечно-разностный эквивалент уравнения сохране-
ния полной энергии. Все, что здесь можно сказать, — это то, что
уравнение полной энергии должно выполняться с необходимой
точностью, если размеры элемента стремятся к нулю. Однако
всегда возможно написать конечно-разностные уравнения таким
образом, что конечно-разностная форма уравнения полной энер-
гии удовлетворяется точно. Другими словами, отсутствуют источ-
ники и стоки энергии внутри жидкости, а имеются лишь превра-
щения энергии из одной формы энергии в другую.
Оказалось, что такие расчетные схемы позволяют избежать
трудностей, которые могли бы встретиться в противном случае,
а именно искусственного возрастания или убывания энергии по
прошествии большого интервала времени [27].
4.8. УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ
Другой вид уравнения (4.7.5)
тождество
V • (ри) — и • V • и + pV • и
можно получить, используя
Dp др р Dp
~~Dt dt ~p~Dt '
которое следует из определения (4.1.7) и уравнения неразрыв-
ности (4.2.3). Это тождество можно также записать в форме
= (4.8.1)
и тогда (4.7.5) примет вид
рГ> (£ + р/р + + V ‘ (рРаД> “ kTl' “ (тц2)) =
= <2н + др/д/. (4.8.2)
В приложениях, не связанных с акустическими волнами, член
dp/dt часто бывает относительно малым; изменение давления
за счет перемещения жидкого элемента с одного уровня на дру-
гой гораздо больше, чем изменение давления в фиксированной
106 Гл. 4. Уравнения, которым удовлетворяет движущаяся жидкость
точке. Эффектами вязкости и диффузии также можно прене-
бречь, за исключением самых малых масштабов. Поэтому в си-
туациях, в которых можно пренебречь также радиационным на-
гревом и высвобождением скрытой теплоты, уравнение (4.8.2)
примет вид
D (е 4- р/р + Ф + у и2)/£>/ = 0. (4.8.3)
Это уравнение известно как уравнение Бернулли, так как и Да-
ниэль, и Яков Бернулли получали его частные случаи. (История
вопроса имеется в [791].) Обсуждение условий, при которых оно
справедливо, можно найти в [47, разд. 3.5].
Величина Е-fp/p, которая входит в (4.8.3), часто встре-
чается в термодинамике и называется энтальпией единицы мас-
сы. Для идеального газа из (3.2.10) и (3.2.12) следует, что
Е4-р/р = с₽Т. (4.8.4)
Это приближение используется в приложениях при изучении
атмосферы. Поправки к (4.8.4) за счет влажности можно найти
в таблице 85 Смитсоновских метеорологических таблиц [471].
В приложениях к изучению атмосферы величину Е 4-р/р + Ф
иногда называют сухостатической энергией единицы массы. При-
ближенное выражение этой величины для воздуха имеет вид
Е 4- р/р + Ф — срТ 4- gz.
(4.8.5)
Уравнение Бернулли (4.8.3) можно видоизменить так, чтобы
учесть эффекты высвобождения скрытой теплоты при псевдо-
адиабатических процессах, используя в (4.8.2) приближение
для QH. Тогда получим
D (Е4-р/р4-Ф + М4-4и2)/^==0- (4.8.6)
Величину
Е 4- р/р 4- Ф + Цр ~ срТ 4- gz 4- Lvqt (4.8.7)
входящую в это уравнение, иногда называют влажностатической
энергией единицы массы.
4.9. СИСТЕМАТИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ ДИФФУЗИИ
Скорости диффузии соли в воде (xD = 1,5X Ю~9 м2-с-1) и
водяного пара в воздухе (xD = 2,4X Ю-5 м2-с-1) так малы, что
диффузия не играет непосредственной роли в крупномасштабных
движениях. Однако диффузия действует всегда в одном направ-
лении: она постоянно уменьшает градиенты. Уравнение, показы-
вающее этот эффект, можно вывести ио (4.3.8) так же, как было
4.9. Систематические эффекты диффузии 107
получено уравнение механической энергии (4.6.5) из уравнений
движения. Умножая (4.3.8) на s, находим
p£>(|s2)/fl/ = V. (pzr)V (-^-s2)) -P*D(Vs)2. (4.9.1)
или, используя тождество (4.3.6),
д (у + v * (yPs2u — pxDV (ys2)) === —pxD(Vs)2. (4.9.2)
Другой вид для уравнений (4.9.1) и (4.9.2) получается при за-
мене s на возмущение солености s', определяемое формулой
s' —s — s0. (4.9.3)
Здесь So может быть любой постоянной, так как уравнения (4.3.8),
(4.9.1) и (4.9.2) тождественно удовлетворяются любой постоян-
ной. Однако в действительности она выбирается как среднее
значение солености для рассматриваемого объема жидкости
(например, ее значение для океана равно примерно 0,0348 пли
34,8 %0; см. рис. 3.2).
Уравнению (4.9.2) можно дать физическую интерпретацию,
аналогичную интерпретации уравнения энергии, показанной па
рис. 4.6. Соленость в небольшом объеме меняется не только за
счет потоков через поверхность, ограничивающую объем, по и
благодаря постоянным потерям за счет отрицательного члена
в правой части уравнения (4.9.2).
Если уравнение (4.9.2) или его эквивалентную форму со
штрихами у переменных проинтегрировать по всему океану, то
получим то же самое очевидное противоречие, как и в случае
с уравнением механической энергии. На больших масштабах
имеется приток через поверхность океана (так как соленость
поверхности высока там, где имеется поток соли в океан, см.,
например, [104, рис. 68]), но потери соли за счет диффузии не-
значительны на больших масштабах. Как и в случае с энергией,
имеет место перенос солености от одного масштаба к другому
из-за нелинейного адвективного члена в (4.3.8), причем суще-
ственный вклад в правую часть (4.9.2) вносят очень малые мас-
штабы. По оценке [743], среднеквадратичный градиент соле-
ности в верхнем слое океана в 1000 раз превосходит средний
градиент.
Чтобы учесть потерю за счет диффузии, в численных моде-
лях часто используется способ введения искусственно больших
коэффициентов; пх искусственно большие значения называют
коэффициентами вихревой диффузии. Значения этих коэффи-
циентов того же порядка, что и значения, используемые для
коэффициентов вихревой вязкости, и такие значения используют
также для диффузии тепла в модельных расчетах.
108 Гл. 4. Уравнения, которым удовлетворяет движущаяся жидкость
4.10. ПОЛНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ
Уравнения, которым подчиняются изменения свойств атмо-
сферы и океана, теперь получены, и они собраны ниже. Это:
уравнение сохранения массы (4.2.3)
р~' Dp/Dt + V • и = 0; (4.10.1)
уравнение движения (4.5.14)
Du/Dt + 2Q X u = - P~'Vp - g + W2u; (4.10.2)
уравнение тепла, или энергии (4.4.7)
pre,, (pr, е) г1 db/di = v • (m - fpw) + qh (4. ю.з>
(которое требует знания функции нагревания QH, например, из
уравнения (4.4.9), радиационного потока FpaA и Т как функций
от р, s и 0);
уравнение солености пли влажности (4.3.7)
р DsIDt = V • (pxDVs); (4.10.4)
и уравнение состояния (3.1.1)
р = р(р, s, 0). (4.10.5)
Последнее уравнение можно комбинировать с уравнением со-
хранения массы способом, который зависит от переменных, ко-
торые используются для описания состояния системы.
Если используются переменные р, s и 0, как в (4.10.5), то
производную от плотности в (4.10.1) можно выразить формулой
1 Dp 1 dp Dp ( 1 др Ds | 1 др DQ /л ш с\
~р Dt ~~~p~dp~Dt"^ ~р ds Dt ' 'р'~дО~ Dt ' (4.11.0)
где при вычислении каждой частной производной две другие
переменные из набора р, s, 0 считаются постоянными. Поэтому
в обозначениях разд. 3.7.4
1 Dp 1 Dp । а/ Ds , D0
----ц = — -Л- а' —
р Dt рс2 Dt Dt Dt
(4.10.7)
где cs —скорость звука, а' и 0'— коэффициенты расширения со-
ответственно для потенциальной температуры и солености. При-
веденная совокупность уравнений дает выражения для скоро-
стей изменения р, 0, s и и и, следовательно, позволяет вычислить
изменения всех свойств системы. Однако пет необходимости
иметь явные выражения для скоростей изменения всех этих пе-
ременных— необходимо лишь иметь столько уравнений, сколько
имеется неизвестных. Фактически эти уравнения редко исполь-
зуются в их полной форме, так как приближенные формы обыч-
но предпочтительнее в приложениях — например, для апалитиче-
4.11. Граничные условия 109
ских упрощений или чтобы использовать большой временной
шаг при применении численных методов.
Особенно интересен частный случаи, когда движение пз-
эптропично и отсутствуют эффекты вязкости и диффузии. Тогда
(4.10.3) и (4.10.4) переходят соответственно в (4.4.1) и (4.1.8),
т. е.
D0/D/= 0, (4.10.8)
Ds/Dt = Q. (4.10.9)
Уравнение сохранения массы (4.10.4) не меняется, однако в со-
четании с (4.10.7) — (4.10.9) оно принимает вид
(рсу1 DplDt+ V .u = 0. (4.10.10)
Уравнение движения (4.10.2) запишется в виде
Z)u/D/+ 2<J X « = — —g- (4.10.11)
Во многих случаях член с производной от давления в (4.10.10)
можно отбросить. Это эквивалентно предположению, что изме-
нения плотности в результате изменения давления пренебрежимо
малы, т. е. что жидкость несжимаема. Тогда (4.10.10) примет вид
V • и = ди/дх + dvfdy -|- dw/dz = 0, (4 1 '. 12)
т. е. поле скорости «бездивергептпо» пли «соленопдалыю».
В [47, разд. 3.6] рассматриваются обстоятельства, при которых
это приближение удовлетворительно. Эти требования таковы:
1. Скорость частиц должна быть малой по сравнению со ско-
ростью звука.
2) Фазовая скорость (пли длина волны, деленная на период)
возмущений должна быть малой по сравнению с cs.
3) Вертикальный масштаб движения должен быть малым
по сравнению с приведенной высотой Н3 (определенной
как среднее значение p/\dp/dz\).
Последнее условие автоматически выполняется в океане, так
как /7S примерно в 40 раз превышает глубину океана, но это
неверно для некоторых атмосферных движений.
4.11. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
Для того чтобы рассчитать изменения, происходящие в ат-
мосфере п оксане, необходимо знать не только основные урав-
нения, ио также и соответствующие условия на границах. Эти
условия зависят от того, какими свойствами обладает жидкость;
они наиболее просты для невязкой жидкости без диффузии.
Условия для этого случая приводятся ниже; изменения, которые
нужно внести для учета эффектов диффузии и вязкости, будут
рассмотрены в этом разделе позднее.
ПО Гл. 4. Уравнения, которым удовлетворяет двиоюущаяся жидкость
4.11.1. ИДЕАЛЬНАЯ НЕВЯЗКАЯ ЖИДКОСТЬ.
ОТСУТСТВИЕ ДИФФУЗИИ
Для этого случая будут рассмотрены условия, применяемые
на границах трех типов.
а) Фиксированная твердая граница. Жидкость не может про-
текать через такую границу (см. рис. 4.3 и разд. 4.3), т. е. со-
ставляющая плотности потока массы F = pu, нормальная к гра-
нице, должна обращаться в нуль. Другими словами, граничное
условие имеет вид
un = 0, (4.11.1)
где ип есть нормальная составляющая скорости. Это условие
автоматически обеспечивает равенство нулю потоков сохраняю-
щихся величин, таких как 0, q или $, через границу.
б) Материальная граница. (Например, свободная поверх-
ность или граница раздела между двумя жидкостями.) По опре-
делению, ни одна жидкая частица не пересекает эту границу, и
поэтому частица, находящаяся на этой поверхности, будет всегда
оставаться па ней. Следовательно, если
G(x, у, z, /) = 0 (4.11.2)
— это уравнение граничной поверхности, то G будет всегда
равна нулю для материальной частицы, находящейся на этой
йоверхности, и поэтому на границе
DG/Dt^Q. (4.11.3)
(Это условие принадлежит Лагранжу (1781) [425].) Уравнение
(4.11.1) являются фактически частным случаем, когда G не за-
висит от t. В этом случае (4.11.3) принимает вид
и • VG = 0,
что эквивалентно (4.11.1), так как вектор VG перпендикулярен
к границе.
На любой нетвердой границе, будет ли это материальная по-
верхность или нет, требуется другое условие, чтобы обеспечить
баланс сил на границе. Так как в невязкой жидкости на границу
действуют только нормальные силы, то граничное условие со-
стоит в том, что давление должно быть одинаковым с обеих
сторон; другими словами, давление непрерывно па границе. Если
индекс 1 относится к величине с одной стороны границы, а ин-
декс 2 к значению с другой, то
Р1==р2- (4.11.4)
Фактически уравнение (4.11.4) справедливо также па твердой
границе, однако в нем нет необходимости, если граница твердая
и может выдержать любое приложенное давление.
4.11. Граничные условия 111
в) Внутренняя граница. Иногда жидкость разделяется па от-
дельные области для удобства вычислении. Граница между об-
ластями полностью находится в жидкости. Это можно сделать,
например, придавая каждой подобласти форму, для которой
удобно находить решение. В таких случаях соответствующие
условия должны ставиться па внутренней границе, чтобы свя-
зать решения с разных сторон. Одно условие — это условие
(4.11.4), т. е. непрерывность давления, которое необходимо для
баланса сил па границе. Другие условия — это условия непре-
рывности плотностей потоков
рпп, pqunt psun, p9wn,
нормальных к границе, для сохраняющихся величии, например
массы, водяного пара, соли и потенциальной температуры. Здесь
иц — компонента скорости, нормальная к границе.
4.11.2. УЧЕТ ДИФФУЗИИ
Если учитывать диффузионные эффекты, то необходимо по-
требовать дополнительного граничного условия для каждой
диффундирующей субстанции, а граничные условия для идеаль-
ной жидкости могут нуждаться в пересмотре. Например, па
внутренней границе (см. разд. 4.11.1в) нормальная составляю-
щая плотности потока должна быть непрерывной, как и раньше,
однако теперь нужно использовать полное выражение (4.3.3)
или (4.4.5), содержащее диффузионную часть. Новым является
условие непрерывности температуры (пли концентрации), т. е.,
используя индекс 1 для величин с одной стороны границы, а ин-
декс 2 — для величин с другой стороны, потребуем
Л==Г2. (4.11.5)
Для внешней границы новое условие обычно состоит в том, что
задастся или (i) плотность нормального потока, или (11) темпе-
ратура (или концентрация), или (Hi) соотношение между (i)
и (ii)-
Фазовая граница, например, между воздухом и водой или
между льдом и водой, требует специального условия. Такая гра-
ница не является материальной, так как молекулы могут ее пе-
ресекать, когда происходит испарение воды с поверхности океа-
на. Граница раздела между двумя жидкостями — это не просто
граница; обнаружено, что она обладает конечной толщиной,
в пределах которой свойства среды отличаются от свойств обеих
жидкостей. Кроме того, растворимое вещество может избира-
тельно поглощаться поверхностной «пленкой», а нерастворимое
вещество может растекаться но поверхности. Такие примеси
могут значительно влиять па свойства поверхности (об измере-
ниях загрязнений, обнаруженных па поверхности океана,
112 Гл. 4. Уравнения, которым удовлетворяет движущаяся жидкость
сообщается в [231]). Поэтому само описание поверхностной
пленки требует рассмотрения ее термодинамических уравнений
состояния (с величинами на единицу площади вместо величин
на единицу объема, использованных в гл. 3 для всей жидкости),
а также описания движения внутри поверхности и т. д. Подоб-
ные вопросы рассматриваются в [161, 529].
Рассмотрим вначале граничные условия, учитывающие диф-
фузионные процессы, которые применимы к границе раздела
воздух — вода. Обозначение Fna будет использоваться (см.
рис. 4.7) для плотности нормального потока (вверх) в воздухе,
a Fnw —для плотности нор-
мального потока (вверх) в
воде. В'ерхиий индекс будет
использоваться для указания
величины, поток которой рас-
сматривается. Пусть Е—мас-
са воды, испаряющаяся с еди-
ничной площади в единицу
времени. Тогда нормальный
поток водяного пара в
воздух дается уравнением
(4.3.3), в котором s заменяет-
ся на q, а его значение на по-
верхности равно Е. Поэтому
£ (4.11.6)
— это одно из условий па
быть равен также потоку пара с
поверхностной пленки, который связан с влажностью q у по-
верхности равенством
= /г/Ра (4.11.7)
Среда а
Среда ю
Д па
Рис. 4.7. Фазовая граница между воз-
духом и водой. Fna и Fnw — компонен-
ты потока, нормального к границе, в
указанном направлении.
влажность. Этот поток должен

где является насыщающим значением влажности, соответ-
ствующим условиям на поверхности, a ki описывает свойство по-
верхности, называющееся коэффициентом проницаемости. Этот
коэффициент показывает, насколько легко молекулы воды могут
проходить через поверхностную пленку. Для чистой воды [161,
гл. 7] ki = 5 м/с, но он может быть намного меньше (до
10~3 м/с) для веществ типа цетилового спирта, который исполь-
зуется для понижения испарения из резервуаров. При нормаль-
ных условиях в (4.11.7) ki считается достаточно большим, что
приближенно эквивалентно условию
<7 = <7„, (4.U.8)
или, равносильно, что давление в водяного пара равно его на-
сыщающему давлению t’w (см. приложение 4). Заметим, однако,
4.11. Граничные условия 113
что значения qw и ew, приводимые в метеорологических табли-
цах, обычно относятся к равновесию над плоской поверхностью
пресной воды. На практике [412] это значение зависит от соле-
ности (ew на 2 °/о меньше при солености 35 %е, чем для пресной
воды) и кривизны поверхности (существенной только для капель
брызг).
Термические краевые условия те же, что использовались на
границе воздух — вода: непрерывность температуры, т. е.
(4.11.5), и условие па поток
F{2-f2 = ~LvE, (4.11 9)
где Fna — направленный вверх нормальный поток тепла в воз-
дух иа поверхности, ЛЦ — соответствующий поток в воде, а
Lv — скрытая теплота испарения воды. Выражение для потока
тепла дается в (4.4.5). Уравнение (4.11.9) выражает тот факт,
что если происходит испарение, то скрытая теплота отводится со
скоростью LVE с единицы площади з-а единицу времени.
Граничное условие иа соленость состоит просто в том, что
нет потока в атмосферу. Однако если происходит испарение, то
вода отводится, и поэтому соленость воды начинает возрастать.
Поверхность раздела движется вниз относительно жидких ча-
стиц со скоростью L/pw, где pw — плотность воды, и поэтому
имеется эффективная плотность потока соли (L/pw)s в поверх-
ностную пленку, где s — соленость у основания пленки. Если
этот поток не балансируется диффузионным потоком, направлен-
ным вниз, то соленость поверхностной пленки будет возрастать.
Если происходит выпадение осадков, то капли пресной воды по-
падают па поверхность, после чего се движение и свойства будут
определяться из обычных уравнении.
Для фазовой границы между льдом и водой условия анало-
гичны, но отличаются несколько в деталях. Например, условие
для потока тепла эквивалентно (4.11.9) и может быть записано
в виде
Ц? - F™ = - (4.11.10)
где — плотность нормального потока тепла в лед, М — мас-
са растаявшего льда иа единицу площади за единицу времени
(отрицательна, если происходит замерзание), a Lm — скрытая
теплота таяния. Условие (4.11.5) непрерывности температуры
то же самое, однако имеется особое условие, а именно, что эта
температура равна точке замерзания. Условия па соленость
вновь просто выражают сохранение соли. Если происходит тая-
ние, то условие состоит в том, что тающая вода имеет соленость
(масса соли в единице массы смеси воды и соли) льда, из
которого опа получается. Если происходит замерзание, то
114 Гл. 4. Уравнения, которым удовлетворяет движущаяся жидкость
соленость льда рассматривается как функция условий, встре-
чающихся на поверхности раздела [535]. Эта соленость состав-
ляет обычно несколько тысячных частей и много меньше, чем
соленость воды, так что соленость остальной воды возрастает.
Здесь применим анализ, аналогичный проведенному выше для
солености вблизи границы воздух — вода при испарении.
4.11.3. ВЯЗКАЯ ЖИДКОСТЬ
Для реальных жидкостей необходимы дополнительные усло-
вия на границах для скорости, а также дополнительные требо-
вания для баланса сил. Условия на скорость состоят в том, что
опа должна быть непрерывна независимо от типа границы, т. е.
(4.11.1) заменяется на
u = ub, (4.11.11)
где иь — скорость на границе. Условия, выражающие баланс сил,
действующих па границе, необходимы лишь в том случае, если
граница не твердая. Эти условия содержат компоненты напря-
жений, вызванных действием жидкости на границу. Выражения
компонентов напряжений можно найти в учебниках гидромеха-
ники, скажем, в [47]. Например, нормальная компонента напря-
жения (или сила, действующая па единичную площадку) на гра-
нице задается формулой р — 2^дип/дп, где р — давление, р —
коэффициент вязкости, ип — нормальная компонента скорости,
а д/дп, означает производную по нормали к границе. На вну-
тренних границах напряжение жидкости непрерывно, ио разрыв
может существовать, на фазовой границе воздух — вода вслед-
ствие сил, действующих внутри поверхностной пленки. Нормаль-
ное напряжение в воде превосходит напряжение в воздухе на
величину у (гГ1 + г2'1), где и, Г2“ главные радиусы кривизны
поверхности, а у — поверхностное натяжение. Величина у зави-
сит от температуры, солености и концентрации загрязнений. Для
незагрязненной соленой воды при нормальной температуре у
имеет значение порядка 0,08 Н/м. Загрязнения могут вызвать
существенное уменьшение у [412].
Для загрязненных поверхностей также возможен разрыв тан-
генциального напряжения. Конвергенция в поверхностном движе-
нии увеличивает концентрацию загрязнений, уменьшает поверх-
ностное натяжение в этих местах, так что высокое поверхност-
ное натяжение в другом месте снова стремится устранить
местную концентрацию. Эта устойчивость к поверхностной кон-
вергенции обусловливает быстрое демпфирование ряби па загряз-
ненных поверхностях («масло на волнующейся воде»). Это явле-
ние и связанные с ним граничные условия обсуждаются в [488].
4.11. Граничные условия 115
4.11.4. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЭФФЕКТОВ ВЯЗКОСТИ И ДИФФУЗИИ БЕЗ
ДЕТАЛЬНОГО РАЗРЕШЕНИЯ
Поскольку коэффициенты вязкости и диффузии для воздуха
и воды малы, то можно подумать, что их эффектами можно
пренебречь совсем. Однако их важность для крупномасштабных
движений уже обсуждалась, а их эффекты вблизи границ яв-
ляются особенно существенными. Например, условие (4.11.11)
требует непрерывности касательной компоненты скорости в атмо-
сфере и в океане на границе раздела, тогда как невязкая мо-
дель дает большой разрыв касательной скорости. На деле это
приводит к большому сдвигу или градиенту скорости около гра-
ницы. Толщина области большого сдвига (называемого погра-
ничным слоем) определяется коэффициентом вязкости, если
сдвиг достаточно мал, как в некоторых лабораторных ситуациях.
Однако в атмосфере и океане сдвиг (см. разд. 2.4) почти всегда
так велик, что малые возмущения растут самопроизвольно, заби-
рая энергию от сдвигового течения и создавая при этом турбу-
лентный пограничный слой. Перенос импульса, тепла, влаж-
ности, соли и т. д. в таких случаях происходит путем вихревого
движения, исключая очень тонкий слой около границы, в кото-
ром преобладают процессы молекулярного переноса. Природа
вихревого движения (и, следовательно, значения скоростей пе-
реноса) неполностью определяется сдвигом. Конвекция, связан-
ная с тем, что тяжелая жидкость лежит над легкой, также мо-
жет создавать вихри или изменять вихри, вызванные сдвигом.
На скорости переноса могут также влиять свойства поверхности
или некоторым прямым воздействием, пли косвенно через форму
поверхности (загрязнения меняют свойства воли и скорости пе-
реноса импульса волнами). Для моделирования крупномасштаб-
ных движений атмосферы и океана детальная структура погра-
ничного слоя не может быть учтена. Вместо этого скорости пе-
реноса через границу связываются со свойствами границы и
свойствами атмосферы пли океана па некотором расстоянии от
границы. В частности, такое представление эффектов турбулент-
ного сдвигового потока принимает вид, указанный в разд. 2.4.
Например, касательное напряжение на дне океана или на ниж-
ней границе атмосферы можно вычислить согласно (2.4.1). Су-
ществование этого напряжения ведет к тому, что энергия отни-
мается от океана пли от атмосферы, так что этот эффект иногда
называется «доппым трением». Потоки тепла и воды между
океаном и атмосферой рассматриваются аналогичным способом
с использованием эмпирических граничных условий типа рассмот-
ренных в гл. 2.
116 Гл. 4. Уравнения, которым удовлетворяет движущаяся жидкость
4.12. СИСТЕМА КООРДИНАТ ДЛЯ ДВИЖЕНИЙ ПЛАНЕТАРНОГО
МАСШТАБА
Так как в уравнениях движения сила тяжести является до-
минирующей, то требуется большая осторожность (см. [625])
в выборе подходящей системы координат. Если бы, например,
были использованы сферические координаты, то получилось бы,
что важным членом в уравнениях для крупномасштабного дви-
жения, касательных к сферической поверхности, была бы состав-
ляющая силы тяжести, направленная вдоль этих поверхностей.
Поэтому предпочтительнее использовать для координатной
системы геопотенциальные поверхности, чем сферические.
Форма геопотенциальных поверхностей хорошо известна по
спутниковым данным. В первом приближении геопотенциальная
поверхность на уровне моря есть сплюснутый сфероид с эксцен-
триситетом е, где 1/е = 298,257, и большой полуосью в
6378,139 км. Другими словами, сечение Земли, содержащее зем-
ную ось, есть эллипс с полярным радиусом (или малой полу-
осью), меньшим, чем экваториальный радиус (или большая полу-
ось) на е-долю, т. е. иа 21,385 км. Отклонения от этого эллип-
соида относительно малы и могут быть показаны на карте (на-
пример, рис. 3 в работе [448]). Наибольшее отклонение есть
понижение в 100 м на юге Индии, т. е. отклонение составляет
около 10~5 радиуса Земли.
Если бы геопотенциальные поверхности были точно сплющен-
ными сфероидами, то естественной координатной системой были
бы координаты сплющенного сфероида (%, ср, г), которые свя-
заны со сферическими координатами (%, rps, rs [566, с. 662] со-
отношениями (г—радиальное расстояние, ср8 — широта, а X —
долгота)
r2==r2^_^_6/2_6/2sjn2(p> (4.12.1)
r2cos2 qps = (г2у d2) cos2qp, (4.12.2)
где d — постоянная, равная половине расстояния между фоку-
сами эллипсоида (d — 521,854 км для Земли). Согласно этому
определению, эллипсоид, более всего подходящий к поверхности
геопотенциала на уровне моря, отвечает
г0 = 6367,456 км. (4.12.3)
Экваториальный радиус (большая полуось) равен
(г; + у d2)1В = 6378,139 км, (4 12.4)
а полярный (малая полуось) —
(г2 —yd2)1/2 = 6356,754 км. (4.12.5)
4.12. Система координат 117'
Используемая координатная система слегка отличается от ко-
ординат сплюснутого сфероида тем, что в ней поверхности
г — const являются геопотенциальными поверхностями. Значе-
ние г, приписываемое каждой геопотенциальной поверхности,
равно такому его значению для сфероида, что среднее расстоя-
ние между этими двумя поверхностями равно пулю. Разность
между выражениями для различных членов в уравнениях так
мала, что ею можно пренебречь, за исключением того факта,
что в используемой системе сила тяжести точно перпендикуляр-
на к поверхности г = const. Теперь поверхность геопотенциала на
уровне моря дается равенством (4.12.3). Выражения через A, q,r
для операторов, которые имеются в уравнениях, зависят от коэф-
фициентов hb hv, hr метрической формы
h2 d№ 4- Л2 dtp2 4- Л; dr2,
т. е. от выражения для квадрата бесконечно малого расстояния.
Для координат сплющенного сфероида эти коэффициенты имеют-
вид [566]
/?2 = (г2 4~ у d2^ cos2 ср,
h2v = г2 - 1 d2 4- d2 sin2 <p, (4.12.6).
h2 = r2^r2 — ~d2-i-d2 sin2 qp^ (h —
Однако наибольшая ошибка при использовании приближения в
случае малых d, а именно
hK — г cos ср, h^ — r, hr=l, (4.12.7)
составляет только d2/4r2, что меньше 0,17% в окрестности по-
верхности Земли. Если пользоваться этим приближением, то по-
лучающиеся уравнения будут точно такими же, как в сфериче-
ских координатах. Однако смысл переменных иной, п совершен-
но точно можно говорить, что сила тяжести перпендикулярна
поверхности г ~ const. Важно помнить, что вертикальные пере-
мещения (например, поверхности моря) выражаются по отноше-
нию к геопотенциальным (по не сферическим) поверхностям.
Теперь определим компоненты скорости и, v, w, связанные
с координатами А, ср, г, т. е. и — в направлении возрастания А
(которое будет называться направлением на «восток»), v — в на-
правлении возрастания ср (которое будет называться направле-
нием на «север») и w — в направлении возрастания г, т. е.
«вверх» или в направлении, противоположном силе тяжести. Ко-
ордината z определяется так:
г —г — г0, (4.12.8)'
т. е. как расстояние, измеряемое вверх от геопотенциальной
поверхности на уревие моря. Уравнения в этих координатах.
118 Гл 4. Уравнения, которым удовлетворяет движущаяся жидкость
(с использованием приближения d <С го, которое приводит к
(4.12.7)) перечисляются ниже. Производная по траектории ма-
териального элемента (см. разд. 4.1) имеет вид
Dy __ ду । и dy , v dy ! ду
Dt dt ' г cos ф д% ‘ г ’ dz ’
а оператор дивергенции (см. разд. 4.2) равен
I ( д ( \ д г F№ cos. \ 1 д г
V • F =-----— Н- -т-(—---------------+
cos ф (. ЭХ \ г / Эф \ г / Н dz v
(4.12.9)
(4.12.10)
где F\, Ftp, Fr — компоненты в направлении возрастания X, <р и г.
Уравнение сохранения массы (4.10.1) можно записать так:
(UCos(₽) + ~- = 0 (4.12.11)
р Dt 1 г ЭХ г cos ф <Эф v dz х '
или в форме (4.2.4), а именно
д , . , д /рисозф'х . д f ро cos ф \ . Э , . л
St (Рcos Ю + (~7~J + 7? (——J + 77 <₽” cos = °-
(4.12.12)
Комбинируя его с уравнением (4.12.9), тождество (4.3.6) можно
записать так:
Dy d , . , д (риу cos ф \ ,
₽ cos <р (PV COS ф) + (--------) +
+ ^(£™) + ^(Р®УС05ф). (4.12.13)
Уравнения движения имеют более сложный вид в координатах
X, ср, г, а именно
— (2Q -------— ) (v sin ср — w cos <р) —-------4?" + У\,
Dt \ 1 гсозф/4 v г ргсоэф ЭХ * *•’
(4.12.14)
+ (2Q -]------“—)ы8Шф =--------4^ + Tw, (4.12.15)
Dt 1 г 1 \ 1 г cos ф J ч рг Эф * Ч”
где Ftp, Тг — компоненты вязкости. При постоянном ц они
имеют вид
= v —-J-L-—(м 4-2(и sincp — да cos ф) )}, (4.12.17)
v , 2 sin ф du . 2 dw \ .. .n ,n.
/ ф — v — f2 cos2 ф + r2 cog2 ф d% + r2 dcpj, (4.12.18)
Fr = v(Aw — ---------—----------------созф) , (4.12.19)
r \ г2 гг cos ф ЭХ r2 cos ф Эф v т/ j - \
4.12. Система координат 119
где
г2 cos2 ф д№
1
Г2 COS ф
д
dq>
(cos ф
Д?Л JLJL (г2_дП
дф ) г2 дг \ дг ) '
(4.12.20)
Уравнение (2.12.14) можно перегруппировать так, чтобы полу-
чить уравнение для момента количества движения единичной
массы иг cos (р 4- Qr2 cos2 ср, а именно
pD (иг cos ф 4- Qr2 cos2 q)/Dl = — др/дК ±ргсозфУ\. (4.12.21)
Баланс момента количества движения для всей Земли упоми-
нается в гл. 2.
Дополнительная аппроксимация, которая часто делается, это
замена г па константу в (4.12.11) и (4.12.14)—(4.12.16). Так
как глубина океана редко превосходит 6 км, то наибольшая
ошибка применительно к океану составляет ±0,05 %, т. е.
меньше, чем ошибка, внесенная за счет условия (4.12.7). Однако-
применительно к стратосфере ошибка уже порядка 1 %. Урав-
нения (4.10.3) и (4.10.4) для тепла и солености можно выразить
в координатах %, ф, г, используя выражения (4.12.9) и (442.10)
и тот факт, что компоненты градиента Vy имеют вид
Vy==(—!—ДУ., ДДД. ДУЛ (4.12.22)
1 \ г cos ф дК т у<р dz ) ' 1
Глава 5
Приспособление к равновесию
под действием силы тяжести
в невращающейся системе
S.I. ВВЕДЕНИЕ: ПРИСПОСОБЛЕНИЕ К РАВНОВЕСИЮ
В первых двух главах книги мы стремились дать некоторое
представление о том, как в системе атмосфера — океан происхо-
дит поглощение солнечной энергии, о том, как в результате
этого возникает движение, и о том, как это движение создает
среднее распределение температуры. Галлей [284] утверждал,
что система движется благодаря «действию солнечных лучей на
воздух и воду». Так, «согласно законам статики, менее разре-
женный или расширенный нагреванием и, следовательно, более
тяжелый воздух должен двигаться в том направлении, где ои
оказывается более разреженным и менее тяжелым, приводя си-
стему к равновесию». В этой главе мы начинаем более детально
изучать процесс приспособ пения к равновесию в системе атмо-
сфера-океан. Процессы приспособления оказываются наибо-
лее простыми для изучения при отсутствии внешних возбуждаю-
щих сил. Предположим, например, что Солнце «выключилось»,
оставив атмосферу и океан в некотором неравновесном распре-
делении свойств. Как будут они реагировать на восстанавли-
вающую равновесие силу тяжести? По-видимому, возникнет при-
способление к некоторому виду равновесия. Если это так, то
какова будет природа этого равновесия? Сколько времени по-
требуется для приспособления? Каким образом процесс приспо-
собления более легко описать и попять?
Задача будет изучаться поэтапно, в примерном соответствии
Хронологии исследований. В этой главе, например, мы будем
пренебрегать усложнениями, связанными с вращением и релье-
фом Земли: будут рассматриваться только малые отклонения от
гидростатического равновесия из разд. 3.5. Природа процесса
приспособления будет установлена на основе уравнений движе-
ния, полученных в гл. 3 и 4.
В 17-м столетии такой подход был недоступен. В то время,
однако, вместо этого было возможно изучать в лаборатории
более простые системы и при этом продвигаться вперед в пони-
мании природы. Замечательным примером подобного рода яв-
ляется работа Марсильи [524]. Считается (см. [162, с. 147—
149] ), что, когда в 1679 г. Марсильи пришел в Константинополь,
ему сообщи чн о хорошо известном местным рыбакам подповерх-
ностном противотечении в Босфоре. Действительно, о подповерх-
5.1. Введение 12 Г
костном течении уже упоминалось в относящемся к шестому
веку обсуждении Прокопнуса из Цезары течений через проливы
(История войн VIII, vi. 27): «...рыбаки из городов па Босфоре
говорят, что не весь поток течет в направлении Византии; в то
время как поверхностное течение, которое мы явно наблюдаем,
течет в этом направлении, глубинная вода из бездны, как ее
называют, движется в направлении, прямо противоположном
поверхностному течению, и, следовательно, непрерывно течет
против видимого потока». (То есть подповерхностное течение
направлено из Средиземного моря в Черное. Современное опи-
сание дано в работе Дефанта [164, гл. 16].) По натяжению и
изгибам опущенного в воду каната Марспльп установил, что
течение меняет направление па обратное па глубине порядка
8-—12 турецких футов. Он пришел к выводу, что этот эффект
был вызван разностью плотностей воды п осуществил поэтому
измерения этих разностей, используя гидростатические весы. Он
получил, что по показаниям его инструмента вода из Чер-
ного моря на 29-- грана1) легче воды нз Средиземного. Низ-
кую плотность вод Черного моря он объяснил более низкой ее-
соленостью, возникающей в результате впадения в Черное море-
рек. Далее Марсильи измерил плотность воды в пробах, взятых
с поверхности на Босфоре и из подповерхностного течения. Здесь
разность была равна 10 гранам, что согласуется со средиземно-
морским происхождением вод подповерхностного течения и
черноморским происхождением поверхностной воды. Для того-
чтобы окончательно подтвердить свою точку зрения, Марсильи
провел лабораторный эксперимент, который он проиллюстриро-
вал с помощью рис. 5.1. Он использовал резервуар, разделен-
ный на две части перегородкой. Часть X была наполнена водой,
взятой из подповерхностного течения, а часть Z — окрашенной
водой, имеющей плотность, равную плотности воды Черного
моря. Когда отверстия D и Е в перегородке были открыты,
стало видно, как вода из части X перетекала через отверстие D
в часть Z, в то время как движение через отверстие Е имело
противоположное направление. Марспльп заметил, что это вну-
треннее приспособление могло создавать поверхностные течения
в наблюдаемом направлении и при отсутствии разности уров-
ней между Черным и Средиземным морями. Ранее он уже пы-
тался измерить эту разность, используя ртутный барометр.
Сила, которая вызывает движение при открытых отверстиях
в приборе Марсильи, ость попросту сила тяжести, создающая
разность давлений между двумя частями резервуара. В даль-
нейшем в этой главе будет рассмотрена схема, показанная
на рис. 5.2, а. Жидкость постоянной плотности рс находится
’) Один гран = 0,0648 г.
122 Гл. 5. Приспособление к равновесию
в состоянии покоя по обе стороны от перегородки, разность
уровней с разных сторон равна К. Согласно (3.5.8), давление в
части А превышает давление в В па величину pcgh, так что если
перегородку мгновенно убрать, то жидкость около перегородки
начнет двигаться вправо. Ситуация, более характерная для
эксперимента Марсильи, иллюстрируется на рис. 5.-2,б. Здесь
имеются две жидкости, одна из которых имеет меньшую плот-
ность pi, а другая — большую р2- Перегородка разделяет рас-
Рис. 5.1. Рисунок из [524], иллюстрирующий приспособление к действию сплы
тяжести двух жидкостей различной плотности. В начальный момент контей-
нер был разделен на две части. Сторона X содержит воду из подповерхност-
ного течения Босфора. Сторона Z содержит «мертвую воду», имеющую плот-
ность воды на поверхности Черного моря. Эксперимент заключался в том, что
делались отверстия D и Е и наблюдалось результирующее движение. Поток
через нижнее отверстие был направлен так же как и подповерхностное тече-
ние в Босфоре, тогда как поток через верхнее отверстие имел направление,
совпадающее с поверхностным течением.
положенную внизу жидкость па две части, как показано па ри-
сунке. Верхняя жидкость находится в равновесии и разделена
перегородкой неполностью. Отсюда следует, что давления на
любом уровне выше перегородки равны. Согласно уравнению
гидростатики (3.5.8), то же самое справедливо и для уровней С
и D. Однако это же самое уравнение показывает, что разность
давлений между уровнями С и Л превышает разность между
уровнями D и В на величину (р2 — p\)gh. Соответственно, раз-
ность давлений между Л и В равна (р2 — Pi)gh. Если перего-
родку убрать, то жидкость будет двигаться вправо, как в слу-
чае (а), однако приспособление будет происходить медленное,
так как разность давлений уменьшается в (р2 — Р1)/Рг раз.
Фактически процесс приспособления оказывается точно таким
же, каким он был бы в случае (а), если бы ускорение силы тя-
5.1. Введение 123-
жести было уменьшено до величины равной
ё' = g (р2 — Р1)/р2.
(5.1.1)
По этой причине g' называется приведенным ускорением силы
тяжести. Этот пример также показывает, что движущая сила
пропорциональна величине
(р2~Р1)£
и равна разности плотностей, умноженной на g. Это произведе-
ние называется силой плавучести, приходящейся на единицу
объема (см. разд. 4.5).
Количественное исследование этой задачи, которое будет осу-
ществлено в этой главе, исходит из предположения о малой
величине разности началь-
ных уровней h. Такое пред-
положение упрощает мате-
матические преобразования,
так как задача становится
линейной и ее решения об-
ладают свойством суперпо-
зиции. Данная глава касает-
ся приспособления в одно-
родной жидкости со свобод-
ной поверхностью (включая
случай, изображенный на
рис. 5.2, а). В гл. 6 рассмат-
ривается внутреннее приспо-
собление стратифицирован-
ной по плотности жидкости,
включая задачи, подобные
изображенной на рис. 5.2,6.
Хотя изложенные выше
соображения (относящиеся
к рис. 5.2) в качественном
виде можно найти в работе
Архимеда (287—212 г. до
н.э.) («О плавающих те-
лах», английский перевод
см. [365]; см. также обсу-
ждение в [177]), количе-
_____________ I
ЛТ — А — ।---------------------
Р* j
Q) d
Рис. 5.2. Начальные состояния при рас-
смотрении задачи приспособления к дей-
ствию силы тяжести. Штриховая линия
означает перегородку (конечной глуби-
ны), которая убирается в начальный мо-
мент. (а) Жидкость плотности р0 имеет
различную глубину по разные стороны от.
перегородки и ограничена сверху свобод-
ной поверхностью. Разность h в глубинах
предполагается очень малой, так что за-
дачу можно решать как линейную, (б) То.
же, по сверху лежит жидкость с плот-

ствеипое исследование про- костью pi < р2.
блемы потребовало сначала
открытия законов движения и развития исчислений, необходи-
мых для применения этих законов. Оба этих открытия являются
достижениями Ньютона (его «Математические начала натураль-
ной философии» были напечатаны в 1687 г. с помощью и при
поддержке Галлея). Кроме того, нужно было детально понять.
124 Гл. 5. Приспособление к равновесию
.законы гидростатики и природу сил давления. Работа Стивена
(1548—1620) и Паскаля на эту тему переведена в [740]. Глав-
ная честь открытия уравнений движения принадлежит Эйлеру
(1755) [202], который писал: «Но здесь мы видим достаточно
ясно, как далеко мы еще находимся от полного понимания дви-
жения жидкостей, и то, что я только что объяснил, составляет
лишь самое начало. Тем не менее все, что содержит теория дви-
жения жидкостей, содержится в двух указанных выше уравне-
ниях, так что нет никаких иных принципов механики, в которых
бы мы нуждались в процессе их изучения; необходим лишь ис-
ключительно анализ, который еще не достаточно развит для
этой цели. И поэтому мы отчетливо понимаем, какие открытия
нам остается сделать в этой науке, прежде чем мы сможем до-
стичь совершенной теории движения жидкостей». (Этот перевод
из «Opera Omnia» Эйлера появился в печати с комментариями
Трусделла [791]. Два уравнения, которые здесь упоминаются,—
это уравнение неразрывности, полученное первым методом из
разд. 4.2, и уравнения импульса без влияния вязкости, выведен-
ные в разд. 4.5.)
Среди первых задач, рассмотренных с помощью уравнений
движения, была задача отклика океана и атмосферы на силу
тяжести. Лаплас (1778—1779) [431] получил уравнения дви-
жения жидкости на вращающейся сфере под действием приливо-
образующих сил и нашел решения для «равновесного» прилива
в океане постоянной глубины, покрывающем весь земной шар.
Кроме того, он столкнулся с задачей о тепловом воздействии на
атмосферу:
«Наша атмосфера состоит из упругой жидкости, плотность
которой есть функция давления и температуры. Последние не
постоянны в заданной точке атмосферы, так как в каждый мо-
мент дня вращающаяся Земля подставляет Солнцу иную свою
точку, а из-за наклона эклиптики каждый день имеет различную
длину и высота Солнца то возрастает, то убывает. Без труда
видно, что вариации в притоках тепла, обусловленные такими
различными причинами, должны возбуждать колебания, кото-
рые, по-видмому, невозможно подчинить вычислениям, так как
закон этих вариаций... не определен достаточно хорошо». (Моя
(А. Е. Гилл) перефразировка, см. «О колебаниях атмосферы»,
Лаплас [431, с. 283—301].) Сделав некоторые допущения, Лап-
лас свел задачу к задаче о вынужденных колебаниях некоторой
изотермической атмосферы, для которой выполняются те же
самые приливные уравнения, которые были получены ранее для
океана, ио с заменой глубины океана на приведенную высоту
атмосферы, равную по его вычислениям 27 000 футов (давление
на уровне моря, выраженное в высоте столба воды в футах,
умножается на отношение плотностей воздуха и воды, т. е.
32X 850).
5.2. Возмущения состояния покоя 125
В последней части работы Лапласа «О волнах» (Elivres,
1893, с. 301—310) рассматривается задача, которая будет изу-
чаться в двух следующих разделах, а именно задача о приспо-
соблении к равновесию однородной жидкости постоянной глу-
бины, у которой свободная поверхность в начальный момент
имела небольшое отклонение. В частности, Лаплас вывел соот-
ношение (5.3.8), которое показывает, что возмущения удаляются
от области отклонения со скоростью, зависящей от кривизны
поверхности жндости.
5.2. ВОЗМУЩЕНИЯ состояния покоя в ОДНОРОДНОЙ
невязкой жидкости
Рассматриваемое здесь состояние равновесия относится к
жидкости постоянной плотности рс, которая находится в покое
и имеет постоянную глубину II. Хороший пример такого рода
представляет искусственный водоем с плоским дном. Чтобы
иметь возможность точно воспроизвести движение, которое воз-
никает при возмущении этой системы (если, например, бросить
в нее камень), необходимо задать систему координат. Удобной
системой являются декартовы координаты (л; //, г), выбранные
так, что ось z направлена вертикально вверх, свободная поверх-
ность совпадает с 2 = 0, а дно с х =—Н. В равновесном реше-
нии скорость равна пулю, и давление определяется согласно
уравнениям гидростатики (3.5.8) пли (4.5.18). Равновесное дав-
ление р0(г) в этом случае задается в следующем виде:
p^(z) = — gpz, (5.2.1)
где р — плотность in situ, равная рс в жидкости и нулю выше
нее, a g есть ускорение силы тяжести. (Если в области z > 0
находится какая-либо жидкость, то считается, что она имеет
нулевую плотность.)
Предположим теперь, что равновесие подвергнуто неболь-
шому возмущению. Возмущения будем считать настолько ма-
лыми, что их произведениями можно пренебречь по сравнению
с величинами самих возмущений. Предположим, что («, о, ш)
есть компоненты скорости по координатным осям (х, у, z) и что
возмущенное положение свободной поверхности (см. рис. 5.3)
задается как
г = т](х, у, f). (5.2.2)
Возмущение давления для этой задачи удобно определить в
виде
Р = — g№ + р', (5.2.3)
где р — плотность in situ, т. е. рс в жидкости и нуль выше ее.
(Это определение отличается от определения из разд. 4.5 только
126 Гл. 5. Приспособление к равновесию
в бесконечно малой области между возмущенным и невозму-
щенным положениями свободной поверхности.)
Уравнения движения состоят из уравнения неразрывности
(4.2.3) и уравнений баланса импульса для невязкой жидкости
(4.5.7)—(4.5.9). Поскольку плотность жидкости постоянна, ско-
рость вращения Й равна нулю и произведения величин возму-
щений являются пренебрежимо ма-
Рис. 5.3. Геометрия возмущен-
ной поверхности. Смещение из
состояния покоя равно 1], а не-
возмущенная глубина равна Н.
лыми, уравнение неразрывности в
этом случае принимает вид
ди/дх + dvjdy + dwtdz — О,
(5.2.4)
а уравнения для импульса записы-
ваются следующим образом:
pdu/dt — — др'/дх,
pdv/dt = — др'/ду, (5.2.5)
р dw/di = — др'/дг. (5.2.6)
Складывая производные по х, у и г
от трех приведенных выше компо-
нентов уравнения баланса импульса и используя уравнение не-
разрывности (5.2.4), можно получить в результате уравнение
Лапласа для р!\
У2р' == d^p'jdx- -j- d^p'jdtf + d^p'/dz2 = 0.
(5.2.7)
(В связи с настоящей задачей заметим, что Лаплас [431,
4£uvres»] нашел его как уравнение для вертикального смеще-
ния материальной частицы.) На дне z = —H (см. разд. 4.11)
должно выполняться условие отсутствия нормального потока,
т. е.
w = 0 при 2 = — Н. (5.2.8)
Условие, что частица, находящаяся на свободной поверхности
2 = т), будет оставаться на ней (см. разд. 4.11.1), в рассматри-
ваемом случае имеет вид
D (2 - r\)/Dt = 0,
то есть
w — дт\/д1 + и дх\/дх + v dv\/dy. (5.2.9)
Для малых возмущений оно упрощается следующим образом:
w = dr}jdt при 2~ti. , (5.2.10)
Кроме того, на свободной поверхности давление должно рав-
няться нулю, т. е. согласно (5.2.3)
р == р0 р' = о или р/ = р£П при (5.2.11)
5.3. Поверхностные гравитационные волны 127
Поскольку различия решений для w и р', взятых при z — г] и
2 = 0, также малы, то уравнения (5.2.10) и (5.2.11) можно
записывать при 2 = 0, что справедливо с точностью используе-
мой аппроксимации первого порядка.
Задача свелась к решению уравнения Лапласа (5.2.7) при
граничных условиях (5.2.8) на дне и (5.2.10), (5.2.11) при
2 = 0. Фактически она имеет множество решений, зависящих
от начального условия, т. е. от характера возмущения в началь-
ный момент. В следующем разделе будут рассмотрены решения,
в которых рг синусоидально меняется по горизонтали. Это не
приводит к существенным ограничениям, поскольку, согласно
теореме Фурье, произвольное возмущение можно представить
в виде суперпозиции таких волн.
5.3. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ
Возмущение, изменяющееся синусоидально по горизонталь-
ным переменным, может иметь форму бегущей или стоячей
волны. В частности, бегущая волна записывается в виде
Л = По cos (kx + ly — со/), (5.3.1)
где т]о — амплитуда, вектор k = (&, Z)—это волновой вектор (он
определяет число волн в единице длины), со — частота, а ве-
личина
ф == kx + ly — со/ = к • х — со/ (5.3.2)
называется фазой волны. Подобная волна состоит из синусои-
дальной складки на поверхности, которая движется с постоян-
ной скоростью. На рис. 5.4 показана схема волны и ее разрезы
по нормали к гребням волны и вдоль осп х. На разрезе, перпен-
дикулярном волновым гребням, виден ряд волн с длиной 2nx-1,
где х, задаваемое формулой
= + (533)
есть длина волнового вектора (волновое число). В этой пло-
скости гребни движутся со скоростью
с = со/х, (5.3.4)
именуемой фазовой (т. е. скорость движения линий постоянной
фазы Ф). Скорость движения в любой другой плоскости ка-
жется более быстрой в число раз, равное секансу угла между
этой плоскостью и плоскостью, нормальной к гребням. Напри-
мер, срез иа рис. 5.4 вдоль оси х показывает видимую длину
волны 2л&~1, которая превосходит длину волны в плоскости,
нормальной к гребням. Видимая скорость ее распространения
оказывается соответственно более высокой. Это обстоятельство
128 Гл. 5. Приспособление к равновесию
следует иметь в виду во всех случаях, когда распространение
волны наблюдается только вдоль одной плоскости.
Несмотря на то что начальное возмущение можно всегда
задать изменяющимся по горизонтали синусоидально, это еще
не означает, что движение будет действительно происходить в
виде бегущей волны (5.3.1). Показать это можно только с по-
мощью уравнений. Если же, однако, предположить, что р' про-
Рис. 5.4. Плоская синусоидальная волна, движущаяся под углом к оси. Вои-
новой вектор {k, I) имеет модуль х. Заметим, что длина волны 2я//г, наблю-
даемая в разрезе по оси х, больше, чем действительная длина волны 2л/х.
порционально щ а р задается в форме (5.3.1), то уравнение
Лапласа (5.2.7) дает
д2р'/дг2-к2р' = 0. (5.3.5)
Следовательно, в заданный момент времени в фиксированной
точке горизонтальной плоскости вертикальное изменение р'
должно быть суммой экспоненциальных пли гиперболических
функций. Краевое условие (5.2.8) совместно с (5.2.6) показы-
вает, что при z = —Н производная др'/дг должна равняться
нулю. Так как р' при 2 = 0 определяется соотношением (5.2.11),
то решение должно иметь вид
п/ РДПо cos (kx + ly — (О/) ch x (z + И) zc q
P ---------------chxTf------------- <5-3-6)
с вертикальной составляющей скорости (см. (5.2.6))
__ х^т)о sin {kx + Iу — co/) sh x (z + 77)
W~ to chT/7
(5.3.7)
5.3. Поверхностные гравитационные волны 129
Остается удовлетворить условию (5.2.10) при z — 0. Непосред-
ственная подстановка показывает, что оно совместимо с реше-
нием, заданным в виде (5.3.1), при
со2 == g% th нН. (5.3.8)
Это важное уравнение определяет частоту и, следовательно, фа-
зовую скорость волн с заданным волновым числом. Называют
его дисперсионным соотношением. Приведенное выше диспер-
сионное соотношение было получено Лапласом ([431, с. 301 —
310]). Соответствующие графики со и с = со/х в виде функций
от х показаны на рис. 5.5.
Рис. 5.5. Дисперсионное соотношение для поверхностных гравитационных волн
на воде глубины Н. (а) Частота со и (б) фазовая скорость с как функции
волнового числа н. Пунктирная линия показывает приближение для длинных
волн, когда нН < 1, и приближение для коротких волн, когда нН > 1. Мак-
симальная ошибка этих приближений равна 13 % при нН — 1.
Одно из важных свойств данного дисперсионного соотноше-
ния состоит в том, что частота в нем зависит не от направления
волны, а только от величины волнового числа. Поэтому все
волны с заданным волновым числом, даже если они переме-
щаются в разных направлениях, имеют одну и ту же скорость.
Рассмотрим возмущения, которые можно получить за счет су-
перпозиции таких волн. Например, в волне
Т) = T)o [cos (kx + ly — СО/) + cos (kx — ly — co/)] =
= 2ц0 cos ly cos (kx — co/) (5.3.9)
гребни, параллельные оси у, движутся в направлении оси х со
скоростью со/k (быстрее, чем со/х). Высота изменяется вдоль
гребня в соответствии с длиной волны 2л//. Другим примером
является стоячая волна
= Г)о [cos (kx + ly — со/) -|- COS (kx + ly + co/)]
= 2r]0cos(^x + Z«/)cos(jo/, (5.3.10)
в которой положения гребней волн остаются стационарными, а
поверхность движется вверх и вниз с частотой со. Поле скорости
б Зак. 744
130 Гл. 5. Приспособление к равновесию
в волне любой формы можно вычислить с помощью соотноше-
ний (5.2.5) и (5.2.6). Распределение скорости в зависимости от
Рис. 5.6. Движение жидких частиц в бегущей волне (а) и (б) в стоячей волне
(показано стрелками). Сплошная линия показывает свободную поверхность в
некоторый начальный момент, а штриховая линия показывает положение этой
поверхности через некоторое малое время. Стрелки показывают перемещения
частиц за это время. Для стоячей волны траектории частиц являются прямо-
линейными отрезками, ориентация которых зависит от положения относи-
тельно гребней. Для бегущей волны траектории частиц суть эллипсы, кото-
рые приобретают вид окружностей для больших кН и вид прямолинейных
отрезков для малых кН. В каждом случае возмущенное давление является
наиболее высоким под гребнем и наиболее низким под впадиной.
колебаний свободной поверхности для (а) бегущей волны и для
(б) стоячей волны показано на рис. 5.6.
3.4. ДИСПЕРСИЯ
Другим важным следствием соотношения (5.3.8) является
тот факт, что фазовая скорость с = со/% меняется при изменении
х (см. рис. 5.5). Поэтому волны с различными длинами, исхо-
дящие из одной и той же точки, будут двигаться с различными
скоростями и, следовательно, будут диспергировать или разбе-
гаться. Это явление называется дисперсией. Отсюда проистекает
название уравнения (5.3.8)—«дисперсионное соотношение». По-
нятие дисперсии имеет достаточно общий характер, так что
любые волны, скорость которых изменяется в зависимости от
волнового числа, называются дисперсионными. Эффект диспер-
сии, в частности, ярко выражен у океанских волн, генерируе-
мых удаленным штормом [45]. Поскольку длинные волны (ма-
лые х) движутся наиболее быстро, они приходят первыми и
могут опережать на один или два дня более короткие волны,
5.4. Дисперсия 131
идущие от того же шторма. То обстоятельство, что волны раз-
личной длины разделяются и приходят в различные моменты
времени, объясняет, например, почему зыбь так регулярна в
сравнении с волнами, вызываемыми местными ветрами.
Эффект дисперсии был использован при определении места
возникновения воли, прошедших чрезвычайно большие расстоя-
ния [738]. По сделанной оценке один пакет воли, наблюдав-
шийся в северной части Тихого оксана, прошел половину окруж-
ности земного шара от Индийского океана по дуге большого
круга, проходящей южнее Австралии. Направление распростра-
нения определяется (на глубокой воде) по ориентации гребней
воли, а расстояние подсчитывается по разности времен прибы-
тия волн разной длины и, следовательно, разной частоты. Пре-
обладающая частота растет с течением времени соответственно
уменьшению длины прибывающих волн, а длина пройденного
пути находится по скорости изменения этой частоты.
Несмотря на эффект дисперсии, реальные волны практически
никогда не бывают синусоидальными, а представляют собой
смесь волн с различными волновыми числами. По мере того
как цуг волн удаляется от места возникновения, волны в каж-
дой отдельной точке становятся более «простыми» в том смысле,
что волновые числа, создающие существенный вклад в волновой
процесс, сосредоточиваются во все более узкой полосе. В связи
с этим особый интерес представляют волны, состоящие из ком-
понентов с очень близкими волновыми числами. Простейшим
примером [748] является суперпозиция двух плоских волн с
бдинаковыми амплитудами:
т] = cos [(/г + б/г) х — (со + бсо) /] + cos [(/г —- 6k) х — (со — бсо) /]
(5.4.1)
или
г] = 2 cos (6kx — бсо/) cos (kx — со/). (6.4.2)
Этот пример представлен на рис. 5.7. Уравнение (5.4.2) показы-
вает, что эту волну можно приближенно рассматривать как
синусоидальную с фазой Ф = kx — со/ и амплитудой
2 cos (б/гх — бсо/) « 2 cos [б/г (х — / dcn/dk)], (5.4.3)
которая меняется и по пространству, и во времени. Однако, по-
скольку 6k мало, изменение амплитуды между соседними волно-
выми гребнями оказывается незначительным, и поэтому волна
вида (5.4.2) выступает примером явления, называемого «мед-
ленно меняющимся волновым цугом». Отдельные волновые
гребни движутся с фазовой скоростью со/Л, но, как видно из вы-
ражения (5.4.3), сама область, в которой волны имеют большие
амплитуды, перемещается со скоростью
сЁ = d®ldk. (5.4.4)
б*
132 Гл. 5. Приспособление к равновесию
Эта скорость называется групповой. Ее зависимость от произ-
водной от со объясняется тем, что область больших амплитуд
возникает в том месте, где разность фаз между двумя состав-
ляющими волнами составляет определенную величину.
Более общий пример ([430, разд. 66] ) возникает при рас-
смотрении суперпозиции множества волн с близким к k волно-
вым числом, но с различными значениями 6Л, расположенными
в некотором диапазоне. Эту
Рио. 5.7. Суперпозиция двух синусои-
дальных бегущих волн, иллюстрирующая
различие между скоростью сР гребней
волн и скоростью cg огибающей, т. е. об-
ластей с большими амплитудами. Груп-
повая скорость cg равна d®]dk и в рас-
сматриваемом случае составляет ср/2, как
и для волн на глубокой воде.
комбинацию также можно
рассматривать как суперпо-
зицию решений вида (5.4.2)
с общим множителем
cos (kx — со/). Отсюда сле-
дует, что если в начальный
момент суперпозиция имела
форму
т) = f (х) cos kx,
(5.4.5)
то с той же степенью при-
ближения, как и в (5.4.3),
решение в момент времени t
будет иметь вид
Т) — (х — t d®ldk) COS (kx —-
— co/). (5.4.6)
Другими словами, посколь-
ку каждый вклад в ампли-
туду движется с групповой
скоростью, то и амплитуд-
ная функция f движется
также с групповой скоростью. В тех случаях, когда f суще-
ственна только в ограниченной области, волны в ней называются
группой волн. Отсюда и название «групповая скорость» для ско-
рости, с которой движется группа.
Описание этого явления (которое предшествовало объясне-
нию) было дано Скоттом Расселом (1844) (см. [429, разд. 236| ):
«Часто отмечалось, что если изолированные группы волн
явно одной и той же длины распространяются по сравнительно
глубокой воде, то скорость группы как целого меньше, чем ско-
рость составляющих ее индивидуальных волн. Если рассматри-
вать отдельную волну, можно видеть, что она перемещается че-
рез группу вперед, постепенно затухая по мере приближения к
фронту. В то же время ее предыдущее место в группе после-
довательно занимают другие волны, которые переместились
вперед с тыла».
5.5. Приближения коротких и длинных волн 133
Приведенное выше обсуждение групп волн было ограничено
довольно специфическим случаем, когда все составляющие вол-
ны имели строго параллельные гребни. Для того чтобы устра-
нить это ограничение, все рассуждения можно повторить, введя
в выражение (5.4.1) для двух волн зависимость от у. Вместо
формулы (5.4.2) для суперпозиции двух волн получим
т) = 2 cos (bkx -|- Ыу — Ш) cos (kx + ly — со/). (5.4.7)
Как и прежде, это выражение можно истолковать как волну с
медленно меняющейся амплитудой и амплитудным множителем
вида (вместо (5.4.3))
2 cos (bkx + Ыу — бсо/) 2 cos [6& (х — t da/dk) + 6Z (у — t de^dl)}.
(5.4.8)
Если происходит наложение множества таких волн с различ-
ными значениями dk и 6/, а начальная форма волн имеет вид
(ср. (5.4.5))
г) = f (х, у) cos (kx + ly), (5.4.9)
то с той же точностью аппроксимации, что и в (5.4.8)', форма
в момент t будет записываться следующим образом:
т) = f (х — t dm/dk, у — t d®/dl) cos (kx + ly — co/). (5.4.10)
Таким образом, скорость cg перемещения группы является век-
торной величиной,
за/д1), (5.4.11)
т. е. cg представляет собой градиент частоты со в плоскости вол-
новых чисел. Поскольку вышеприведенные рассуждения не от-
носятся к какому-либо определенному типу волн, понятие груп-
повой скорости оказывается весьма общим. В последующих гла-
вах оно будет встречаться многократно. Дальнейшие сведения
имеются в работах Лайтхилла [452],- [456].
5.5. ПРИБЛИЖЕНИЯ КОРОТКИХ И ДЛИННЫХ ВОЛН
Масштаб длины, который фигурирует в дисперсионном со-
отношении (5.3.8) и, следовательно, определяет характер волн,
есть глубина жидкости Н. В зависимости от отношения х”1 к Н
становятся применимыми различные приближения. Для случая
коротких волн, т. е. при х-1 С Н, соотношение (5.3.8) прибли-
женно записывается так (см. пунктирную линию иа рис. 5.5):
©2 = gx, (5.5.1)
а (5.3.6) приобретает вид
р' — Р£Ло ccs (kx + ly — со/) exp (хг). (5.5.2)
134 Гл. 5. Приспособление к равновесию
Поскольку Н > х-1, эти волны называют также волнами глу-
бокой воды. Возмущение давления и волновое движение в них
сосредоточены в пределах приповерхностной зоны толщиной по-
рядка х-1, они не подвержены влиянию дна. Например, преоб-
ладающие волны, которые можно наблюдать в океане, имеют
период Зико-1 порядка 10 с. Согласно (5.5.1), волна с периодом
10 с на глубокой воде имеет длину 2ЛХ"1 порядка 150 м. Ее
амплитуда уменьшается в е раз на глубине 25 м, а фазовая ско-
рость равна 15 м/с. (Такая фазовая скорость является типич-
ной, так как она совпадает со скоростями ветра вблизи водной
поверхности в областях генерации волн. Период определяется
согласно (5.5.1).)
Приближение глубокой воды оказывается справедливым для
таких волн в тех местах, где глубина превосходит 25 м. По-
скольку океан имеет глубину порядка 5 км, то эти волны про-
ходят очень большие расстояния как волны глубокой воды и
начинают испытывать влияние дна только тогда, когда они
приближаются к берегу. При движении в мелкой воде частота
волн остается постоянной, волны (согласно (5.3.8)) становятся
короче и их фазовая скорость уменьшается. Например, если
глубина уменьшается до 1 м, то длина волны с периодом 10 с
будет равна 30 м, а фазовая скорость составит только 3 м-с-1.
Таким образом, выводы о длине и фазовой скорости волн, кото-
рые делаются при наблюдении на морском берегу, могут приво-
дить к ошибочным заключениям об их свойствах в глубокой
воде.
Принадлежность волн к классу волн глубокой пли мелкой
воды зависит от глубины. Для океана с глубиной 5 км волны
глубокой воды должны иметь длину 2ЯХ-1, меньшую чем 2рЯ
ж 30 км, и период 2лйГ'1, меньший чем 2л(£~1//)1/2 2 мин.
Фазовая скорость должна быть меньше 200 м/с. С другой сто-
роны, для континентального шельфа глубиной 50 м волны глу-
бокой воды должны иметь длину меньше 300 м, период меньше
15 с и фазовую скорость, меньшую 20 м/с. Так как эта книга
посвящена в основном крупномасштабным движениям, то такие
короткие волны в дальнейшем не будут изучаться. Читателю,
интересующемуся дополнительной информацией, рекомендуются
книги [405], [429], [627], [749].
Аппроксимация выражения (5.3.8) для длинных волн, т. е.
при к-1 > Н (см. пунктирную линию на рис. 5.5) имеет вид
со2 = (5.5.3)
т. е.
(P = gH. (5.5.4)
Длинные волны также называются волнами мелкой воды, так
как Н С х-1. Они не являются дисперсионными, поскольку фа»
5.6. Вывод уравнений мелкой воды 135
зовая скорость с не зависит в них от волнового числа. На глу-
бокой воде эта скорость имеет порядок 200 м/с. Таким образом,
длинные волны могут пересечь Атлантический океан за 7 часов.
Скорость на континентальном шельфе с глубиной 50 м меньше
примерно в 10 раз, т. е. около 20 м/с. Соответствующая аппрок-
симация выражения (5.3.6) имеет вид
Р' — Р^ГПо cos (kx -|- ly — со/), (5.5.5)
т. е. возмущение давления не меняется с глубиной. Поскольку
возмущение плотности равно нулю, то это в точности совпадает
с результатом, который получится при определении давления
из уравнения гидростатики (3.5.5). В следующем разделе будет
показано, что предположение о возможности нахождения дав-
ления с помощью уравнения гидростатики (называемое гидро-
статическим приближением) позволяет получить соотношение
(5.5.3) одновременно с (5.5.5). Другими словами, по крайней
мере в этом случае гидростатическое приближение и приближе-
ние длинных волн (или мелкой воды) являются эквивалент-
ными. Заметим также, что в пределе при очень малых кН
уравнение (5.3.7) для w показывает, что вертикальная скорость
линейно возрастает по г от пуля на дне до максимального
значения dn/dt иа поверхности.
5.6. ВЫВОД УРАВНЕНИЙ МЕЛКОЙ ВОДЫ НА ОСНОВЕ
ГИДРОСТАТИЧЕСКОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ
В этой книге особое внимание уделено движениям, горизон-
тальный масштаб которых достаточно велик по сравнению
с вертикальным масштабом. При этих условиях оказывается
справедливым гидростатическое приближение. В этом разделе
в качестве отправной точки взято предположение, что давление
удовлетворяет уравнению гидростатики
dp/dz — — pg. (5.6.1)
Это позволяет упростить преобразования уравнений, а получаю-
щийся результат будет совпадать с тем, который следует из
перехода к пределу иЯ->-0 в более общем решении.
Из (5.6.1) следует, что в однородной жидкости возмущение
давления удовлетворяет условию
д//<Э2 = О. (5.6.2)
При этом граничное условие (5.2.11) иа поверхности приводит
к соотношению
р' = Р£П (5.6.3)
136 Гл, 5. Приспособление к равновесию
для всех точек внутри жидкости (согласуется с (5.5.5)). Соот-
ветственно, уравнения движения (5.2.5) приобретают вид
ди/di — — g dri/dx, (5.6.4)
dv/dt = — gdT}/dy, (5.6.5)
и показывают, что меняющиеся во времени течения не зависят
от глубины. Это упрощает уравнение неразрывности (5.2.4), ко-
торое теперь можно проинтегрировать по глубине, используя
граничные условия (5.2.8) и (5.2.10). При этом получается
dx\/dt + Н (ди)дх + dvjdy) = 0. (5.6.6)
Величина (ди/дх + до/ду) называется горизонтальной дивер-
генцией и равняется дивергенции горизонтального компонента
скорости.
Уравнение неразрывности можно получить также из основ-
ных принципов при рассмотрении элементарного объема жид-
кости постоянного сечения, который показан на рис. 5.8. Пред-
Рис. 5.8. Баланс масс для столба жидкости с площадью основания бх бу, ког-
да горизонтальные компоненты и, v не зависят от глубины. Показаны потоки
масс через две плоскости.
положим, что (и, v) есть скорость в центре элемента, а т] — воз-
вышение поверхности над этой точкой. Так как (и, v) не зави-
сят от глубины, то поток массы через центральное сечение, нор-
мальное к оси х, равен произведению • ри на площадь сечения
(Я-)-г])б(/. Разность между выходящим потоком через правую
площадку и входящим потоком через левую площадку при при-
нятой точности аппроксимации есть
бх бу д (pu (Н + r\))/dx.
Выполняя вычисления для других двух сторон и приравнивая
результирующий приток массы к скорости изменения общей мае-
5.6. Вывод уравнений мелкой воды 137
сы р(Я+ г|) 6z/, получаем
> + ^[(# + n)«] + -^-[(ff + n)f]=0. (5.6.7)
Это соотношение выполняется даже для больших возмущений
при условии, что компоненты горизонтальной скорости и и v ие
зависят от глубины. Уравнение (5.6.7) можно получить, интег-
рируя (5.2.4) и используя (5.2.8) и (5.2.9) в качестве граничных
условий. Если возмущение мало, то (5.6.7) сводится к линей-
ному уравнению
d^/dt + д (Ни)/дх + д (Hv)/dy = 0, (5.6.8)
из которого при постоянной Н следует формула (5.6.6).
Уравнение для одной зависимой переменной г] можно полу-
чить, исключая и, v из (5.6.4), (5.6.5) и (5.6.8). В результате
получаем [425]:
> = + (^9)
В частном случае постоянной глубины уравнение можно запи-
сать в виде
d2x\/dt2 = с2 (д2г\/дх2 + д2т|/ду2) == с2\72Л, (5.6.10)
где с2 определяется согласно (5.5.4). Полученное волновое урав-
нение имеет решения вида (5.3.1), которые показывают, что гид-
ростатическое приближение приводит к тем же результатам, что
и приближение длинных волн. Следовательно, как отмечал Ла-
гранж [425], уравнение (5.6.10) выглядит так же, как и урав-
нение для распространения звука, и существует полная анало-
гия между волнами мелкой воды малой амплитуды и двумер-
ными звуковыми волнами малой амплитуды.
Волновое уравнение (5.6.10) имеет очень простые решения
при отсутствии зависимости от у. В частности, если жидкость
в начальный момент находится в покое и характеризуется сме-
щением поверхности
т) = G (х),
то решение уравнения (5.6.10) имеет вид
Т)=1 [G(x + d) + G(x--cZ)]. (5.6.11)
Соответствующее возмущение скорости жидкости получается из
(5.6.4):
и = - 4 o~lg [О (х + ct) - G (х - с0]. (5.6.12)
На рис. 5.9 показаны два частных случая. (Они сильно отли-
чаются от соответствующих решений во вращающейся системе
138 Гл. 5. Приспособление к равновесию
ушшшшшшшшнмйяШЯШШШШШЯШЯЬ
ушшшишишинЬ
УМШШиШШШШиЩ
н/тт/
\шшншяшит.
хшшпшии
[аяияииии

1ИеИИИ8ИИИИИСИ6ИЙЙ1

Рис, 5.9. Решения волнового уравнения мелкой воды для двух различных на-
чальных смещений свободной поверхности. В случае (а) волны движутся от
места начального разрыва со скоростью с, оставляя за собой поверхность с пу-
левым смещением, однако с установившимся движением справа палево со ско-
ростью с~1 gr]о, где Г)0 — величина начального смещения свободной поверхно-
сти. В случае (б) имеются две пары волновых фронтов. Скорость равна пулю
всюду, исключая места, где возмущение поверхности равно т)о/2, где г}о — на-
чальное смещение в центре. В этих местах скорость равна c~'gr\o/2 и на-
правлена от оси симметрии. Так как на оси симметрии движение отсутствует,
то там можно поместить стенку, не изменяя решения.
из гл. 7.) Случай (а) имеет начальное смещение, как иа
рис. 5.2, а, а именно
т] = — По sgn (я)> (5.6.13)
где sgn(x) есть функция, определяемая так:
( 1 при х > О,
sgn(x) = < . . п
& — 1 при х < 0.
(5.6.14)
На рисунке показано, как «волновые фронты», содержащие раз-
рывы как возвышения поверхности, так и скорости, удаляются
5.7. Энергетика движения мелкой воды 139
от начального разрыва. В любой точке жидкость остается в по-
кое до тех пор, пока ее не пройдет волновой фронт. За фронтом
возвышение поверхности равняется нулю, и имеется течение,
направленное в область низкого положения отклонения поверх-
ности.
В случае на рис. 5.9, б начальное возмущение было задано
в ограниченной области. Начальное возвышение поверхности
имело вид

По,
О,
| х | < L,
| х | > L.
(5.6.15)
В этом случае существует симметрия относительно центральной
линии, которую можно рассматривать как твердую границу, не
допускающую через нее движения.
5.7. ЭНЕРГЕТИКА ДВИЖЕНИЯ МЕЛКОЙ ВОДЫ
Уравнения баланса энергии движения мелкой воды можно
получить непосредственно из уравнений импульса (5.6.4) и
(5.6.5) и уравнения неразрывности (5.6.8). Уравнение механиче-
ской энергии (ср. (4.6.3)) получается умножением (5.6.4) на
рНи, (5.6.5) на pHv и их сложением. Имеем
^.[1 рЯ (к2 + о2)] = - pg [Ни + Ни . (5.7.1)
Величина (1/2)рЯ(и2 -J- и2) является кинетической энергией,
приходящейся на единицу площади. Согласно определению из
разд. 4.7, потенциальная энергия столба единичного сечения есть
г) -и
\ рФ dz = \ pgz dz — —pg (rf — Я2)
-я -н
(5.7.2)
и, следовательно, потенциальная энергия возмущения единичной
площади равна (1/2) pgr)2. Уравнение, соответствующее уравне-
нию для потенциальной энергии (4.7.2), получается умноже-
нием (5.6.8) на pgr):
W (4 PCT2) = - gp [tl (Ни) + п (Яо)]. (5.7.3)
Уравнение для полной энергии возмущения получается сложе-
нием (5.7.1) и (5.7.3), а именно
pH (и2 + v2) +1 pg г)2] + (pgH ит]) + -~ (pgHv п) == 0.
(5.7.4)
140 Гл. 5. Приспособление к равновесию
В специальном случае, когда изменения по у отсутствуют, ин-
тегрирование уравнения (5.7.4) по х в области |х|<% дает
dE/dt + F(X, f) — F(—X, /)==0,
где
Е === J [~- pH (и2 + v2) + у p^n2] dx
(5.7.5)
(5.7.6)
есть полная энергия возмущения в области |х|<Х, приходя-
щаяся на единицу длины в направлении оси у, а
F(x, i) — pgHuv\
(5.7.7)
представляет собой скорость переноса энергии через точку х
в направлении оси х, приходящаяся на единицу длины в направ-
лении оси у.
Для случая на рис. 5.9, а потенциальная энергия возмущения,
приходящаяся на единичную площадь, равна (1/2) pg-т^. Кине-
тическая энергия равна нулю. После прохождения волны по-
тенциальная энергия возмущения падает до нуля, а кинетиче-
ская энергия единицы площади увеличивается на величину
1/2) р Ни2 — (p/2)//(gT)0/c)2 = (l/2)pgr)2. Следовательно, полная
энергия не меняется, а происходит лишь мгновенное преобра-
зование потенциальной энергии в кинетическую в момент про-
хождения волнового фронта. По окончании достаточно продол-
жительного интервала времени вся потенциальная энергия воз-
мущения в фиксированном районе преобразуется в кинетиче-
скую энергию, связанную со стационарным течением, которое
остается неизменным после прохождения волнового фронта.
В случае на рис. 5.9, б начальное возмущение задается
в виде (5.6.15). Начальная энергия, рассчитанная на единицу
длины, конечна и определяется по формуле
£(0) = pgT]2L.
(5.7.8)
По истечении промежутка времени L/c вся энергия собирается
в двух «блоках», длина каждого из которых равна 2L. Эти
«блоки» движутся в разные стороны со скоростью с. Так как
возвышение поверхности каждого блока равно только г)0/2, то
потенциальная энергия, связанная с каждым из них, есть
(1/4)27(0). Кинетическая энергия каждого «блока» также равна
(1/4)£‘(0), так что полная энергия по-прежнему равна £(0), но
теперь она разделяется поровну между потенциальной и кине-
тической формами. Если сосредоточить внимание на конечной
области, то содержащие энергию «блоки» в конце концов неиз-
бежно покинут эту область. После этого жидкость в конечной
области приспосабливается к равновесию, так что возвышение
5.8. Сейши и приливы в заливах 1 41
свободной поверхности и скорости жидкости в ней равны нулю.
Область отдает энергию в тот момент, когда энергосодержащие
«блоки» уходят через ее границы. В1 этом случае говорят об
излучении энергии. Согласно (5.7.7), исходящий поток энергии
в эти моменты времени равен
~ с " ~ 1 pgcn§.
Энергетический блок покидает область за время 2L]c, что при-
водит к потере энергии (1/2)£(0) за счет каждого блока (в со-
ответствии с требованием сохранения общей энергии).
Последний пример характеризует приспособление к действию
силы тяжести при отсутствии эффектов вращения. Конечное со-
стояние является состоянием покоя с горизонтальной свободной
поверхностью, а вся начальная энергия возмущения теряется за
счет излучения. Время, необходимое для излучения всей энергии,
сосредоточенной в ограниченной области, равно времени пере-
сечения области гравитационной волной. В гл. 7 будет изучаться
влияние вращения на процесс приспособления.
5.8. СЕЙШИ И ПРИЛИВЫ В ЗАЛИВАХ
Уравнения мелкой воды из разд. 5.7 широко используются
для расчетов приливов, сейшей, штормовых волн и т. п. на кон-
тинентальных шельфах и в окраинных морях. Для шельфа и ши-
роких морей, подобных Северному морю, как мы увидим позд-
нее, необходимо учитывать действие вращения Земли. Однако
для достаточно узких заливов и эстуариев, подобных заливу
Фанди, Бристольскому заливу, Калифорнийскому заливу и Ад-
риатическому морю, эффектами вращения в первом приближе-
нии можно пренебречь.
Пусть х будет обозначать расстояние вдоль залива. Рас-
смотрим движения, для которых возвышение поверхности не ме-
няется в поперечном к заливу направлении, а зависит только
от х и времени t. Тогда из (5.6.4) и (5.6.5) следует, что дви-
жение происходит в х-напрявлении (т. е. параллеыю оси за-
лива) и не зависит от поперечной пространственной координаты.
Уравнение неразрывности в этом случае упрощается и его мож-
но получить, либо интегрируя (5.6.7) по у, либо применяя исход-
ные законы сохранения, как это делается ниже. Если А есть
площадь воды в любом поперечном сечении, то скорость пере-
носа массы через это сечение равна рАи, а скорость притока
массы в объем, заключенный между двумя сечениями иа рас-
стоянии бх друг от друга, равна с точностью до величин первого
порядка — бх д(рАи) /дх. Эта величина должна равняться ско-
рости изменения массы рАбх воды между двумя сечениями во
142 Гл. 5. Приспособление к равновесию
времени. Таким образом, уравнение неразрывности, получаемое
в пределе при 6х, стремящемся к нулю, есть
dA/di + д (Аи)/дх = 0. (5.8.1)
Для малых возмущений А отклоняется от своего равновесного
значения только на малую величину IFt], где W представляет
собой ширину залива на поверхности, а ц — возвышение по-
верхности. Тогда (5.8.1) принимает вид
W дх\/д! + д (Аи)/дх = 0, (5.8.2)
где W и А являются заданными функциями от х. Эту формулу
целесообразно применять к конкретным заливам (примеры даны
в [64] и [647]).
Вместе с тем рассматриваемое явление можно проиллюстри-
ровать на примере залива с постоянной шириной W и глуби-
ной Н. При этом (5.8.2) сводится к частному случаю уравнения
(5.6.6), а именно
дт)/д1 А-Н ди/дх =*0. (5.8.3)
Другое уравнение, необходимое для замыкания задачи, есть
уравнение движения (5.6.4). При его подстановке в производ-
ную по времени от уравнения неразрывности в общем случае
[275] получается
Wd2x\/dt2 = g 0(Л дх\/дх)/дх (5.8.4)
и
д2^д12 = с2д2х\/дх2 (5.8.5)
в случае залива постоянной ширины и глубины, где с2 равно gH
(уравнение (5.5.4)).
Решение, удовлетворяющее условию непротекания через за-
крытый конец залива, имеет вид стоячей волны (ср. 5.3.10)'
и рис. 5.6,6) или суперпозиции таких волн. Выбирая х = 0 за
координату закрытого конца, получаем
г] = г]0 cos kx cos at, и = H~sin kx sin co/, (5.8.6)
где волновое число k и частота со связаны равенством
a — kc. (5.8.7)
Какие условия теперь должны быть поставлены на открытом
конце х = L? Во-первых, давление р£ц в заливе должно рав-
няться давлению вне залива (иначе возникнет неограниченное
ускорение). Во-вторых, поток массы рАи = pHWu из канала
должен равняться потоку в открытое море. Следовательно, отно-
шение Z этих двух величин, определяемое равенством
Z=gT]/Au=W~l (g777)1/2ctgZ?Actgco/, (5.8.8)
5.8. Сейши и приливы, в заливах 143
должно равняться аналогичной величине вне залива. Смысл
рассмотрения этого отношения состоит в том, что оно не зави-
сит от амплитуды волны. Величина Z называется импедансом,
и, следовательно, граничное условие при х = L состоит в том,
что импеданс пролива, определяемый по формуле (6.8.8), дол-
жен быть равен импедансу открытого моря.
Из (5.8.8) следует, что импеданс стремится к нулю, если ши-
рина W или глубина Н пролива стремится к бесконечности. По-
этому импеданс открытого моря в качестве первого приближения
берется равным нулю. Следовательно, нужно потребовать, чтобы
импеданс залива также равнялся нулю. При этом из (5.8.8) на-
ходятся допустимые волновые числа
kL = (n + у) л, м = 0, 1, 2, ... (5.8.9)
или, с учетом (5.8.7), допустимые частоты колебаний
со/. == (п + у) этс, п — 0, 1,2,.... (5.8.10)
Они совпадают с частотами собственных мод колебаний в за-
ливе, называемых сейшами.
Только что обсуждавшаяся проблема сейшей в заливе пол-
ностью аналогична проблеме звуковых волн в трубе, закрытой
с одного и открытой с другого конца. Рассматриваемый случай
соответствует трубе постоянного сечения (подобной флейте),
тогда как залив постоянной глубины, у которого площадь ме-
няется как квадрат х, аналогичен конической трубе (подобной
кларнету). Для музыкальных инструментов должны быть рас-
считаны узлы соединения, куда монтируются отверстия для паль-
цев. Их можно рассматривать как маленькие трубки, отходящие
от основной трубы. В узлах соединения давление непрерывно и
сумма потоков масс в соединении равна нулю. Следовательно,
сумма отношений потоков масс к давлению равна нулю. Таким
образом, сумма пропускных способностей (величин, обратных
импедансу) должна быть равна нулю. Точно такой же метод
можно использовать и для рассмотрения каналов, расположен-
ных на боковой стороне залива или устья [164]. Задачу о сей-
шах в озерах (которые ограничены с обоих концов) можно
исследовать таким же образом, как и задачу для открытых
заливов.
Колебания в заливах, эстуариях и озерах могут быть вы-
званы изменениями напряжения ветра на поверхности, колеба-
ниями атмосферного давления или изменениями в гравитацион-
ном притяжении Луны и Солнца (так называемые приливообра-
зующие силы). Часто самые сильные колебания вызываются не
местными воздействиями, а являются реакцией на колебания
в открытом море, вызванные в нем теми же силами. Если,
144 Гл. 5. Приспособление к равновесию
например, действие этих сил приводит к колебаниям с часто-*
той со, амплитуда которых у входа в залив равна t]l, то из (5.8.6)
следует, что амплитуда т]0 в вершине залива будет равна
г|() = sec kL. (5.8.11)
Рост амплитуды очень велик (т. е. возникает резонанс), если
частота возбуждающей силы близка к частотам собственных ко-
лебаний, определяемых по формуле (5.8.10). Это порождает эф-
фектные приливы, наблюдаемые, например, в системе заливов
Фанди и Мэн или в Бристольском заливе. Объяснение этого
эффекта на основе соотношения (5.8.10) при п — 0 в этом слу-
чае состоит в том, что для длинной гравитационной волны не-
обходимо около четверти периода (около 3 ч. для полусуточного
прилива) для прохождения эстуария или залива. Например, при
глубине 20 м требуемая для резонанса длина должна быть по-
рядка 150 км (величина растет пропорционально квадратному
корню из глубины). Заметим, что уравнение (5.8.11) связывает
между собой только величины т]0 и и не показывает, как они
зависят от условий в открытом море. Этот вопрос рассмотрен
в [225].
Сейши и приливы в озерах и проливах детально рассмотрены
в [647] и [164, т. 2]. Оба автора приводят примеры успешных
применений теории. Предсказание сейшей и приливов имеет
большое значение для судоходства, предупреждений о наводне-
ниях и т. д. Для этих прогнозов были созданы численные мо-
дели отдельных эстуариев. Другая область применения теории
связана с изучением влияния, которое оказывают на заливы,
подверженные действию приливообразующих сил, пересекаю-
щие их препятствия. Преимущество численных моделей (в реше-
нии этих задач) состоит в том, что они могут включать допол-
нительно к рассмотренным выше такие эффекты, как трение,
изменения поперек залива и влияние больших амплитуд.
Глава 6
Приспособление
стратифицированной по плотности
жидкости к действию силы
тяжести
8.1. ВВЕДЕНИЕ
Глава 5 служила введением в изучение приспособления жид-
кости к равновесию под действием силы тяжести при отсутствии
вращения. Изучение было ограничено, однако, случаем жид-
кости постоянной плотности, причем восстанавливающая рав-
новесие сила появлялась тогда, когда свободная поверхность
возмущалась от горизонтального положения. В этой главе эти
вопросы рассматриваются для жидкости с переменной плот-
ностью.
В качестве первого представления об эффектах стратифика-
ции в разд. 6.2 и 6.3 рассматривается случай двух наложенных
друг на друга топких слоев, каждый из которых имеет постоян-
ную плотность. Это позволяет ввести понятия баротропных и
бароклинных мод и двух широко используемых аппроксимаций:
аппроксимации «твердой крышки» и аппроксимации Буссинеска.
«Тонкий» в данном случае означает, что глубина каждого слоя
мала по сравнению с горизонтальным масштабом возмущения,
т. е. горизонтальный масштаб велик по сравнению с вертикаль-
ным.
В действительности, конечно, атмосфера и океан непрерывно
стратифицированы, однако двуслойная модель может быть впол-
не пригодной и уместной для многих ситуаций. Изучение непре-
рывно стратифицированных жидкостей начинается в разд. 6.4 со
случая несжимаемой жидкости, т. е. жидкости, плотность кото-
рой зависит от температуры и состава, по не от давления. Ника-
кого ограничения на масштаб сначала не делается, но к концу
главы (начиная с разд. 6.11) отдельно рассматривается случай,
в котором горизонтальный масштаб велик по сравнению с вер-
тикальным масштабом. Это сделано отчасти для того, чтобы под-
готовить введение эффектов вращения в гл. 7, так как, за исклю-
чением некоторых несколько особых ситуаций, вращение важно
только для движений с таким соотношением масштабов. Допол-
нительная причина состоит в том, что большая часть энергии в
атмосфере и океане связана с движениями, обладающими этим
свойством.
Никакие масштабные ограничения не налагаются на движе-
ния, изучаемые в разд. 6.4—6.10. В разд. 6.4 получены уравнения
для общего случая и введена частота плавучести N, которая
146 Гл. 6. Приспособление стратифицированной по плотности жидкости
чрезвычайно важна для изучаемых здесь явлений. Рассматривае-
мые возмущения ведут себя волновым образом, и соответствую-
щие им волны будут называться внутренними гравитационными
волнами. Их важнейшие свойства проще всего изучать в случае
постоянного W и аппроксимации Буссинеска. Этот случай изла-
гается в разд. 6.5—6.7. В частности, «отношения поляризации»
для плоской волны найдены в разд. 6.5, дисперсионные свойства
рассмотрены в разд. 6.6, а энергетика — в разд. 6.7.
Однако это лишь первый шаг к рассмотрению внутренних
волн, вызванных (слабо возмущенной) горизонтальной грани-
цей. Подробно этот вопрос рассмотрен в разд. 6.8. Интересен
частный случай, когда волны вызваны потоком постоянной ско-
рости U над умеренно волнистой поверхностью. Для волнисто-
стей с малой длиной волны (волновое число k больше N/U) зна-
чительные возмущения в жидкости встречаются только на огра-
ниченном расстоянии от земли, но для волнистостей с большей
длиной волны (kU < N) возникают волны, которые переносят
энергию и импульс на большие расстояния от порождающей по-
верхности.
На практике частота плавучести N не постоянна, поэтому не-
которые важные эффекты изменения N рассмотрены в разд. 6.9;
в частности, изучен простой случай, когда N кусочно постоянна.
При этом волны могут преломляться и отражаться в местах
разрыва N. Это может привести к тому, что волновая энергия
будет сосредоточена или «захвачена» в особой структуре, кото-
рая называется каналом или водноводом. Это понятие приме-
нено к распространению свободной волны в разд. 6.10, где при-
ведены методы исследования общего случая (N является про-
извольной функцией вертикальной координаты z).
В разд. 6.11 мы возвращаемся к обсуждению случаев, для
которых применима «гидростатическая аппроксимация», т. е.
случаев, для которых горизонтальный масштаб велик по сравне-
нию с вертикальным. Он служит введением к рассмотрению за-
дач приспособления, подобных тем, которые рассмотрены в
разд. 5.6 для случая однородной жидкости, однако начальное
возмущение теперь является функцией от z. При этом суще-
ствует некоторая зависимость приспособления от вида границ.
В разд. 6.12 мы рассматриваем приспособление в полубесконеч-
ной области, т. е. случай атмосферы, в которой существует твер-
дая граница внизу, но нет определенной границы вверху.
В разд. 6.13 мы имеем дело с областью конечной глубины, та-
кой как океан. Структура полученных решений представляет
особый интерес; способ учета влияния на них вращения будет
рассмотрен в гл. 7.
В разд. 6.14 рассмотрены эффекты сжимаемости. Для задач
приспособления к действию силы тяжести основной новый эф-
фект связан с волнами, которые переносят энергию в атмосфере
6.2. Случай двух наложенных друг на друга жидкостей 147
по горизонтали наиболее быстро. Они называются волнами
Лэмба, их вертикальный масштаб охватывает всю атмосферу,
и они распространяются горизонтально со скоростью звука. Эти
волны переносили импульсы давления, наблюдавшиеся во всем
мире и вызванные взрывом вулкана Кракатау, и много позднее
импульсы давления от ядерных взрывов. Пример приспособле-
ния сжимаемой атмосферы рассмотрен в разд. 6.15, а эффекты
слабой дисперсии, которые характеризуют импульсы давления
от удаленных источников, рассмотрены в разд. 6.16. Этот и мно-
гие другие разделы книги можно рассматривать как очень об-
щие обсуждения волновых свойств. Дисперсия волн, например,
сначала обсуждается в разд. 6.6, а поведение волн в среде с ме-
няющимися свойствами — в разд. 6.9. Дальнейшие аспекты вол-
нового поведения можно найти в гл. 8.
Когда справедливо гидростатическое уравнение, т. е. гори-
зонтальные масштабы велики по сравнению с вертикальными,
то часто целесообразно вместо высоты использовать давление
в качестве независимой переменной. В частности, уравнение не-
разрывности при этом имеет простой вид даже для сжимаемой
жидкости; Уравнения в изобарических координатах получены в
разд. 6.17 и используются в книге позже, в частности в связи
С процессами медленного приспособления в атмосфере (гл. 12).
Энергетические уравнения в этих координатах рассмотрены в
разд. 6.18.
6.2. СЛУЧАЙ ДВУХ НАЛОЖЕННЫХ ДРУГ НА ДРУГА
ЖИДКОСТЕЙ РАЗЛИЧНОЙ ПЛОТНОСТИ
В качестве первого примера эффектов стратификации рас-
смотрим случай двух жидкостей различной плотности, которые
несмешиваемы или для которых эффектом смешивания можно
пренебречь. Такую систему легко получить в лабораторных усло-
виях; эксперимент Марсильи был первым примером этой си-
стемы. Гидростатическая аппроксимация будет предполагаться
с самого начала, поэтому результаты должны применяться толь-
ко к случаям, в которых горизонтальный масштаб велик по
сравнению с глубиной. Эту задачу впервые изучил Стокс (1847)
[747].
Схема модели показана на рис. 6.1. Индекс 1 использован
для верхнего слоя, плотность которого pi, глубина в состоянии
равновесия а компоненты горизонтальной скорости Ui и
Свободная поверхность, положение равновесия которой z = 0,
имеет возмущенное положение z = щ Смещение (вверх) по-
верхности раздела жидкостей обозначено через h. Из уравнения
гидростатики
dpjdz — — pg
(6.2.1)
148 Гл. 6. Приспособление стратифицированной по плотности жидкости
Верхний мои
плотностью р

Рис. 6.1. Система обозначений, используемых
для описания движения двух наложенных
друг на друга мелких однородных слоев
жидкости. Я1, Н2 — глубины слоев, когда
жидкость находится в покое: Н = Н\ +
+ Нг — полная глубина. Ось z направлена
вертикально вверх, z = т] (х, у, z) — возвы-
шение свободной поверхности, a z — —Н +
у, t) описывает возмущенное состоя-
ние поверхности раздела двух жидкостей.
Нижний слой
плотностью р2
-В
и граничного условия р = 0 на по-
верхности следует, что давление р>
в верхнем слое задается так:
Р\ = Pig (П “ 2), — Hl + h<z<x\,
(6.2.2)
Следовательно, уравнения сохранения импульса (4.5.7) и (4.5.8)
для малых возмущений принимают вид
dui/di — — gдх\/дх, dvjdl = ~ gdx\/dy, (6.2.3)
а уравнение неразрывности, полученное тем же самым методом,
что и (5.6.7), будет выглядеть так:
д (г) + Я1 - h)ldt + Н{ (дщ/дх + дщ/ду} = 0. (6.2.4)
Беря производную по времени от этого уравнения и подставляя
производные дщ/dt и dvi/dt из (6.2.3), исключаем щ и щ. Имеем
(П ~ Ю = Hi gi} ss gHiV2T], (6.2.5)
где V2 определяется согласно (4.3.9).
Аналогично для нижнего слоя, обозначенного индексом 2,
давление р%, полученное интегрированием (6.2.1) и использова-
нием непрерывности давления на поверхности раздела жидко-
стей, имеет вид
Pl=Plg(n + ^l — ^)+P2g(— ^1 + ^ — 2!), z <—~ Hi+h. (6.2.6)
Таким образом получаем уравнения сохранения количества дви-
жения
ди2 _ Р' „ dh dv2 _ Pl an / dh /(, Q
~Si----~дГ-------------------------^g-g^-g (6.2.7)
где g'— приведенное ускорение силы, тяжести (см. (5.1.1)), опре-
деляемое формулой
g' = g(p2 —Р1)/Рг- (6-2.8)
Уравнение неразрывности для нижнего слоя имеет вид
dhjdi 4- Н2 (ди2/дх + дс^ду) — 0. (6.2.9)
6.2. Случай двух наложенных друг на друга жидкостей 149
Как и раньше, компоненты скорости исключаются из этих урав-
нений. Имеем
= (^r + ^r) (-g-gn +g'ft) = //2V2(gri-g\ + g'A).
(6.2.10)
Здесь было использовано (6.2.8).
Приспособление системы, состоящей из двух жидкостей, та-
ким образом, определяется уравнениями (6.2.5) и (6.2.10). Если,
скажем, ц было бы исключено из них, то получилось бы урав-
нение в частных производных четвертого порядка относительно
h. Однако задачу можно сильно упростить, отыскивая решения
со специальной структурой, а именно решения, для которых г]
и h пропорциональны, т. е.
h(x, у, Z) = |iT)(x, у, f), (6.2.11)
где ц не зависит от х, у и t. Тогда (6.2.5) и (6 2.10) приводятся
к уравнению второго порядка
d^jdt'2 = (6.2.12)
при условии, что ц и удовлетворяют условию
gHJ(l — ц) = ц-1(£ — g'U — ц))Я2==с2. (6.2.13)
Это упрощение является примером метода, который может
быть использован для широкого класса задач механики, описы-
вающих малые осцилляции. Действительно, Лэмб (1932) [429]
в курсе гидродинамики отводит первый раздел главы о прилив-
ных волнах изложению общей теории этого приема из-за его
широкой применимости. Для настоящей задачи существуют два
значения се и поэтому два значения ц, которые удовлетворяют
полученному уравнению. Движения, соответствующие этим ча-
стным значениям, называются нормальными модами колебаний.
В системе, состоящей из п слоев различной плотности, суще-
ствует п таких мод, соответствующих п степеням свободы. Не-
прерывно стратифицированной жидкости соответствует беско-
нечное число слоев, и поэтому существует бесконечное множе-
ство мод. То, что каждая из этих мод ведет себя независимо,
очень удобно, и это свойство будет неоднократно использоваться.
Независимость каждой моды можно видеть из того, что если h
и т] удовлетворяли (6.2.11) в некоторый начальный момент, то
они будут удовлетворять (6.2.11) и для всех последующих вре-
мен, поэтому будут происходить колебания только с одной мо-
дой. С другой стороны, любое данное начальное состояние мож-
но представить как сумму мод, изменение каждой из которых
во времени и пространстве происходит независимо от другой,
150 Гл. 6. Приспособление стратифицированной по плотности жидкости
Состояние жидкости можно тогда получить суммированием всех
мод.
Структура мод получается в результате решения квадратного
уравнения (6.2.13) (сравни Стокс [747, разд. 17]), которое
можно записать в другой форме:
“ SHc\ + gg'HJi, = 0, (6.2.14)
где
Я = Я1 + Я2 (6.2.15)
— общая глубина жидкости в состоянии равновесия. Каждому
из двух решений (или собственных значений) с% уравнения
(6.2.14) соответствуют отдельная нормальная мода, представ-
ленная уравнением (6.2.11), и соответствующее значение р. Для
случая нескольких слоев существует значение pz, соответствую-
щее перемещению hi каждой поверхности раздела, поэтому р
есть собственный вектор задачи.
Другой способ выражения эквивалентности между нормаль-
ной модой двухслойной системы и движением однослойной си-
стемы состоит в том, чтобы определить эквивалентную глубину
с помощью равенства
= (6.2.16)
Тогда т]е удовлетворяет тому же самому уравнению, что и воз-
мущение поверхности в однородной жидкости глубины Нв. С по-
мощью (6.2.14) находим характеристическое уравнение для Нй:
gHl - 8ННй + g'HJi2 == 0. (6.2.17)
Применительно к океану можно сделать упрощения, так как в
океане изменения плотности малы (порядка 3°/оО), т. е. g'/g =
«1—Р1/Р2 « 0,003. Поэтому два корня с- уравнения (6.2.14)
сильно отличаются друг от друга. Больший корень приближенно
дается выражением
c^gH^-g'H^^gH2) ...), (6.2.18)
а отношения x\/h и и<2.1а\ приближенно равны
x\lh^HIH2, и2/щ = 1 — g'Hxl(gH) ... . (6.2.19)
В пределе g7g->0 это приводит к поверхностной гравитацион-
ной волне, полученной для однородной жидкости. Ее часто на-
зывают баротропной модой. Точное значение термина «баротроп-
ный» состоит в том, что давление постоянно на поверхностях по-
стоянной плотности, следовательно, постоянно на поверхности
раздела. Это верно только приблизительно, тем не менее эту
моду принято называть баротропной.
6.2. Случай двух наложенных друг на друга жидкостей 151
Меньший корень с* уравнения (6.2.14) определяется при
малых g'/g формулой
^ = (^,^/^(1 + g'H}H2/(gH*) ...), (6.2.20)
а соответствующие значения отношений vjh и и2/щ имеют при-
ближенные выражения
П/А ~ - g'H2/(gH), и^щ (6.2.21)
Эта мода называется бароклинной-, слово «бароклинная» озна-
чает, что давление не постоянно на поверхностях постоянной
плотности. Типичные значения щ для океана 2—3 м/с, что соот-
ветствует эквивалентной глубине 0,5—1 м. Двухслойная модель
для атмосферы используется нечасто, ио когда она используется,
Ci обычно имеет значения 10—20 м/с, а эквивалентная глубина
равна 10—50 м. Часто глубина одного из слоев намного больше,
чем другого, например Н2 Яь и тогда (6.2.20) принимает вид
cf « g'Hv (6.2.22)
Тогда внутренняя волна будет точно такой же, какой была бы
поверхностная гравитационная волна, если бы ускорение силы
тяжести равнялось gf вместо g. Это следует из того, что именно
g', а не g определяет теперь разность давлений (см. разд. 5.1).
Так как g' <С g, волновая скорость внутренних волн гораздо
меньше, чем волновая скорость поверхностных волн, так что
внутренние волны выглядят как поверхностные волны в мед-
ленном движении. Это различие объясняет явление, упомянутое
Б. Франклином ([219], стр. 438) в письме от 1 декабря 1762 г.
«На Мадейре мы раздобыли масло для освещения, и с
помощью простого стеклянного бокала или стакана, обвя-
занного проволокой и подвешенного к потолку каюты... я
сделал итальянскую лампу. Стакан на дне содержал воду
примерно на одну треть своей высоты; другая треть была
занята маслом.... За ужином, глядя на лампу, я заметил,
что, хотя поверхность масла была совершенно спокойной и
должным образом сохраняла свое положение относительно
края стакана, вода под маслом была в великом волнении,
поднимаясь и падая беспорядочными волнами...».
Эксперимент Франклина можно поставить на кухне за ми-
нуту или две, и читателям предлагается проделать его. Инструк-
ции даны в следующем абзаце (стр. 439) письма Франклина.
«После моего прибытия в Америку я часто повторял экс-
перимент следующим образом. Я обматывал бечевку вокруг
стакана, оставляя два свободных конца с обеих сторон, и
связывал эти концы сверху узлом на высоте примерно од-
ного фута от верха стакана. Затем, налив столько воды,
чтобы стакан был наполнен приблизительно на одну треть,
162 Гл. 6. Приспособление стратифицированной по плотности жидкости
я поднимал его за узел и раскачивал в воздухе; при этом
вода сохраняла свое положение в стакане столь же неиз-
менно, как если бы она была льдом. Но, налив осторожно
на воду приблизительно столько же масла, и затем снова,
как и раньше, раскачав стакан в воздухе, я обнаружил, что
спокойствие, которым раньше обладала вода, перемести-
лось к поверхности масла, а в воде под ним возникли такие
же волнения, что и на море.»
Возможно, первым объяснением этого океанического явления
в терминах внутренних волн было объяснение Бьеркнесса «мерт-
вой воды», до тех пор непонятного эффекта, состоящего в том,
что корабли в некоторых прибрежных водах были неспособны
сохранять свою нормальную скорость. Экман [185] ссылается
на множество наблюдений этого явления, вплоть до замечаний
Плиния Старшего, который рассказывал, что этот эффект при-
писывали либо моллюскам, либо особому виду рыб, которые
прикреплялись к килю. В предисловии к работе Экмана [185,
с. III] Бьеркнесе писал:
«Настоящее исследование «мертвой воды» было вызвано
письмом в ноябре 1898 г. от проф. Нансена, спрашивающего мо-
его мнения относительно данного явления. В моем ответе проф.
Нансену я отмечал, что если слой пресной воды лежит поверх
соленой, то корабль не только производит обыкновенные види-
мые волны на границе между водой и воздухом, но будет также
порождать невидимые волны на границе соленой и несоленой
воды; я предполагаю, что огромное сопротивление, испытывае-
мое кораблем, обусловлено работой, затраченной на порождение
этих невидимых волн.»
Экман обосновал эту точку зрения обширными лаборатор-
ными экспериментами, приводя фотографии своих экспериментов
(пример показан на рис. 6.2,6) и гладких областей позади ко-
раблей («слики»). На рис. 6.2, а показано такое явление, наблю-
даемое в Британской Колумбии, где пресная вода, поступающая
из устья реки, составляет относительно легкий верхний слой над
более тяжелой соленой водой. Внутренние волны на поверхности
раздела сопровождаются горизонтальными движениями на по-
верхности воды, которые взаимодействуют с рябью п, таким об-
разом, становятся наблюдаемыми. Движение поверхности раз-
дела, которое соответствует этой ситуации, можно увидеть в ла-
бораторном эксперименте Экмана (рис. 6.2,6). Красивая демон-
страция заснята также на кинопленке [585].
Главный результат этого раздела состоит в том, что движе-
ние может быть представлено в терминах двух нормальных мод,
и для каждой моды г| удовлетворяет волновому уравнению
(6.2.12), т. е. тому же самому уравнению, что и для однородной
жидкости (но с другим временным масштабом). Таким образом,
результаты гл. 5 для движения мелкой воды применимы и к
6.2. Случай двух наложенных друг на друга жидкостей 153
Рис. 6.2. (а) Поверхностные слики, показывающие наличие внутренних волн
в спутной струе корабля в Быоит-Инлет, Британская Колумбия. Судно пере-
мещалось со скоростью 0,5 м/с в поверхностном слое почти пресной воды, глу-
бина которого немного больше, чем 3,4 м осадки судна. Внутренние волны вы-
зывают горизонтальное движение на поверхности, которое воздействует на
картину ряби и поэтому делает картину внутренней волны видимой на поверх-
ности в условиях безветрия. (Фото любезно предоставлено Defence Research
Establishment Pacific, Виктория, Британская Колумбия.) (б) Лабораторный
эксперимент (Экман, 1904), показывающий внутренние волны, вызываемые мо-
делью корабля. Резервуар заполнен двумя жидкостями с различной плот-
ностью, более тяжелая окрашена, чтобы сделать поверхность раздела ясно
видимой. Модель корабля (надпалубные сооружения «Фрама» были нарисо-
ваны впоследствии) движется справа налево, вызывая спутную волну па по-
верхности раздела.
двухслойной системе. Например, на рис. 6.3 показана структура
набегающих волн, связанных с двумя различными модами, в ча-
стном случае. Значение g'/g выбрано малым, но все-таки гораз-
до большим, чем для океана. Это сделано для того, чтобы опре-
деленные особенности, свойственные внутреннему движению,,
были бы видны на диаграмме, а именно незначительная разница
154 Гл. 6. Приспособление стратифицированной по плотности жидкости
Рис. 6.3. Конфигурация слоев в двухслойной системе для баротропной (п) и
^бароклинной (б) волн, распространяющихся слева направо. Для показывае-
мого случая нижний слой в три раза глубже, чем верхний, и имеет плотность
на 10 % больше. Также показаны направления потока в ложбинах и на греб-
нях и относительные скорости двух слоев в этих точках.
в скоростях между двумя слоями в «баротропной» моде движе-
ния и движение свободной поверхности, связанное с бароклинной
модой. В океане движение свободной поверхности, связанное с
бароклинной модой, составляет только около 1/400 движения
поверхности раздела, но этого все-таки достаточно, чтобы ба-
роклинные движения можно было обнаружить по изменению
уровня моря [876].
На рис. 6.3 показаны пространственные изменения набегаю-
щих внутренних волн в фиксированный момент времени, однако
изменение во времени в фиксированной точке имеет такой же
характер. Для сравнения на рис. 6.4 показаны одновременные
наблюдения [439] движения изотермы в трех точках, отстоящих
.друг от друга на расстояние около 170 м, дающие таким обра-
зом информацию об изменениях как в пространстве, так и во
6.2. Случай двух наложенных друг на друга жидкостей 155
времени. Поскольку частицы сохраняют свою температуру в те-
чение короткого периода записи, то показанные кривые пред-
ставляют вертикальные смещения частиц жидкости. Хотя в дей-
ствительности температура изменяется с глубиной непрерывно,
основные особенности движения близки к особенностям, обнару-
живаемым в системе с двумя слоями различной плотности.
Стандартное тихоокеанское время
6 августа 1959
Рис. 6.4. Наблюдения прогрессивных внутренних волн в 20 м слое воды в
1,3 км от берега в Сан-Диего. Регистрация происходит в трех точках тре-
угольника С, как показано на рисунке, стороны треугольника приблизительно
равны 170 м. Волны двигались вправо (к берегу) со скоростью 0,2 м/с. Не-
прерывная линия показывает глубину изотермы (64 °F), расположенной в тер-
моклине (из [439]).
В [424] описаны основные свойства, отмеченные в одной из то-
чек этих наблюдений, где глубина воды составляла 20 м. Период
волн находится большей частью в пределах 4—10 мин. Так как
g’ & 0,01 м/с2 и Я1 равна 3—10 м, то из (6.2.20) следует, что
Ci порядка 0,15—0,22 м/с. Это хорошо соответствует скорости
волн, оцененной по наблюдаемому движению сликов и по одно-
временному измерению в трех точках. В 80 % случаев поверх-
ностный слик находится между гребнем и следующей впадиной,
где, согласно рис. 6.3, б, поле поверхностных скоростей конвер-
геитно. Предполагается, что эта конвергенция и порождает
слики.
156 Гл. 6. Приспособление стратифицированной по плотности жидкости
Другим обобщением результатов гл. 5 является распростра-
нение их на внутренние сейши и приливы в каналах, заливах и
озерах. Они имеют вид стоячей волны, определяемой выраже-
ниями (5.8.6) и (5.8.7), причем с теперь будет скоростью внут-
ренней волны.
Подробные наблюдения этого явления были сделаны в
о. Лох-Несс [833].
«Эти наблюдения обнаружили маятниковые колебания
концов изотерм, амплитуда колебания была наибольшей
для изотермы в области 200 футов ниже поверхности и за-
тухала как выше, так и ниже этой области. Несколько дру-
гих наблюдений, проведенных одновременно с этим в других
частях озера, показывают, что изотермы колеблются как
целые около поперечной центральной оси.
Чем может быть обусловлено это колебание? Если мы
возьмем длинный прямоугольный желоб со стеклянными
стенками и поместим туда слой воды, а сверху воды слой
более легкого масла, и затем сообщим возмущение этой
системе, то одним из наблюдаемых движений будет колеба-
ние поверхности раздела между маслом и водой... Время
колебания может быть вычислено из формулы...»
Данная формула представляет собой период стоячей волны,
а именно удвоенное время прохождения длины озера со ско-
ростью с2, определяемой первым членом уравнения (6.2.20),
В работе [833] были взяты значения g' ~ 2,6 X Ю-3 м/с2, Нх »
« 60 м, Н2ж 120 м; длина озера считалась равной 40 км, и был
получен период 68 часов, «который того же самого порядка, что
и наблюдаемый период». В [833] также объясняется, как сейши
могли быть вызваны действием’ветра и сохранялись даже в те-
чение длительного периода затишья. (См. также [832]. Внут-
ренние сейши были описаны в [768], где приведены экспери-
менты с тремя наложенными слоями, но не сделаны наблюде-
ния периода.)
6.3. БАРОКЛИННАЯ МОДА И АППРОКСИМАЦИЯ «ТВЕРДОЙ КРЫШКИ»
Несовпадение значений g' и g означает, что можно делать
аппроксимацию для уравнений и граничных условий в зависи-
мости от того, какая мода изучается. Для баротропной моды
аппроксимация состоит просто в том, что полностью игнори-
руется различие плотностей и жидкость считается однородной,
как в гл. 5. Существуют две аппроксимации, используемые для
получения бароклинной моды. Первая использует з от факт, что
для этой моды перемещения свободной поверхности малы по
сравнению с перемещениями поверхности раздела (как можно
увидеть, например, на рис. 6.2). Таким образом, уравнение не-
6.3. Бароклинная мода и аппроксимация «твердой крышки» 157
разрывности (6.2,4) для верхнего слоя аппроксимируется фор-
мулой
- dh/dt + Я1 (dujdx + dvjdy) = 0. (6.3.1)
Уравнения сохранения количества движения для верхнего слоя
задаются, как и ранее, в виде (6.2.3). Это называется аппрокси-
мацией «твердой крышки», хотя название несколько неточное,
так как для задания градиентов давления в верхнем слое тре-
буются перемещения свободной поверхности (т. е. (6.2.3) вклю-
чает Vr)). Это название оправдывается тем фактом, что если бы
была «твердая крышка» при z = 0, то достигались бы те же
самые градиенты давления, так как «твердая крышка» обеспе-
чила бы необходимое давление.
Вторая аппроксимация состоит просто в замене отношения
Pi/рг единицей в (6.2.7) (а отсюда и в (6.2.10)), что дает
дщ]д1 = — g дх\/дх — g' dh/dx, dv2/dt = —- g дх\/ду — g' dhjdy.
(6.3.2)
Этот подход обычно называют аппроксимацией Буссинеска, ко-
торая будет рассмотрена в более общем контексте позднее.
Так как два уравнения неразрывности (6.3.1) и (6.2.9) не
содержат i), желательно получить комбинацию уравнений сохра-
нения количества движения, которые не включают т). Эта ком-
бинация получается вычитанием (6.3.2) из (6.2.3) и приводит
к уравнениям
дй(д1 = g' dhfdx, dfi/dt = g' д/г/ду, (6.3.3)
где (й, и) задается формулами
й = щ—и2, б = (6.3.4)'
и поэтому представляет разность скоростей между двумя слоя-
ми; (й, 6) можно также рассматривать как амплитуду баро-
клинной моды.
Теперь нужно составить комбинацию уравнений неразрыв-
ности, которая содержит только (й, 6). Она получается вычи-
танием (6.2.9), умноженного на 1/Н2, из (6.3.1), умноженного
на 1/7Л:
- (4- + тИ + ТГ + 7Г- == °- (6.3.5)
\ 1 Hz J dt 1 дх ду v '
Уравнения (6.3.3) и (6.3.5) с точностью до постоянных множите-
лей те же самые, что и уравнения (5.6.4)—(5.6.6) для однород-
ной жидкости. Таким образом, исключая компоненты скорости
й и v, находим волновое уравнение
(6Л6)
158 Гл. 6. Приспособление стратифицированной по плотности оюидкости
где
<’?=г^1й.2/(Д + я2)
(6.3.7}
есть квадрат скорости распространения бароклинной моды. Это
то же самое значение, которое получается из уравнения (6.2.20)
в пределе gr/g-*(). Другой формой равенства (6.3.7) является
уравнение
gHa g'Ht + g'H2
(6.3.8).
для эквивалентной глубины HQ = c^g. Для типичных океаниче-
ских значений g' = 0,03 м/с2, 7/1=400 м, Дз — 4000 м полу-
чаем //е« 1 м.
6.4. ПРИСПОСОБЛЕНИЕ ВНУТРИ НЕПРЕРЫВНО
СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
До сих пор изучение приспособления к равновесию под дей-
ствием силы тяжести было ограничено жидкостью, которая
имела однородную плотность, либо системой, состоящей из двух
несмешивающихся жидкостей, каждая постоянной плотности.
Особое значение придавалось движениям, для которых горизон-
тальный масштаб велик по сравнению с вертикальным мас-
штабом. В оставшейся части этой главы изучение процессов,
приспособления будет распространено на непрерывно стратифи-
цированные жидкости, т. е. на жидкости с непрерывно изме-
няющейся плотностью. Вначале не будет предполагаться ника-
ких ограничений на масштабы, хотя особое внимание в после-
дующих главах будет уделяться движениям с относительно
большим горизонтальным масштабом, так как они содержат
гораздо большую часть энергии.
Для начала ограничимся жидкостями, у которых плотность
зависит только от энтропии и от состава, т. е. р Зависит только
от потенциальной температуры 0 и от концентраций компонент,
например от солености s или влажности q. Тогда для фиксиро-
ванных 0 и q (или s) р не зависит от давления-.
р = р(0, /у).
(6.4.1)
Предполагается, что движение, которое имеет место, должно
быть изэнтропическим и без фазовых переходов, так что 0 и q
постоянны для материального элемента. Поэтому
Dp ___ др DQ . dp Dq _
д0 ~DF ' ~dq~ Dt ~~
(6.4.2>
Другими словами, р постоянно для материального элемента,
потому что 0 и q постоянны, а р зависит только от 0 и q. Такая
6.4. Приспособление внутри непрерывно несжимаемой жидкости 159
жидкость будет называться несжимаемой, и с учетом (6.4.2)'
уравнение неразрывности (4.2.3) принимает вид (4.10.12), т. е.
du/dx + dv[dy + dw/dz — 0. (6.4.3)
Равновесное состояние, возмущения которого мы рассматри-
ваем, является состоянием покоя, поэтому распределения плот-
ности и давления соответствуют гидростатическому равновесию,
заданному уравнениями (4.5.17) и (4.5.18). При отсутствии вра-
щения и трения, уравнения сохранения количества движения
(4.10.11) для малых возмущений давления р' и плотности р'
принимают вид
pQdu/dt = — dp'/dx, podv/di — — др'/ду, (6.4.4)
Ро dw/dt = — др'/дг — prg, (6.4.5)
где ро(г) —невозмущенная плотность, g— ускорение силы тяже-
сти. До данного момента никаких ограничений на горизонталь-
ный масштаб не делалось, поэтому не использованы никакие
предположения, кроме малости возмущения. Определяющими
уравнениями являются уравнения (6.4.3) — (6.4.5), и линеари-
зованная форма уравнения (6.4.2) соответствует малым возму-
щениям, а именно
dpz/<^ + wdpjdz = 0. (G.4.6)
Вычисления, основанные на этих уравнениях, были сделаны Рэ-
леем [656, с. 170], «для того чтобы проиллюстрировать теорию
перистых облаков, выдвинутую покойным проф. Дживонзом».
Первый шаг при рассмотрении этих уравнений тот же, что
использовался для однослойной и двухслойной системы, а имен-
но: исключить и, v из уравнений сохранения количества движе-
ния и уравнения неразрывности. Дифференцируя по времени
уравнение (6.4.3) и подставляя в него выражения для компонент
ускорения из (6.4.4), находим
р« 53 (6-4-7>
Это уравнение можно рассматривать как связь между горизон-
тальной дивергенцией ди/дх + dv/dy — —dw/dz и возмущен-
ным давлением р'.
Для стратифицированной системы нужна другая связь между
w и р'. Она получается исключением рг из (6.4.5) и (6.4.6):
д*ш!дР + N2w = — p~Wp'l(dz dt), (6.4.8)
где N(г)—величина фундаментальной важности для этой за-
дачи (выражения для 7V см. в разд. 3.7.1). Она определяется
формулой
N2=s~ gp~[ dpQ/dz. (6.4.9)
160 Гл. 6. Приспособление стратифицированной по плотности жидкости
N имеет размерность частоты и известна как частота Вяйсяля —
Бранта, частота Бранта (согласно [94]), частота Вяйсяля (со-
гласно [805] ) и частота плавучести (см., например, [795] ).
Другие названия (такие как частота устойчивости и внутренняя
частота) также использовались, но название частота Бранта —
Вяйсяля, по-видимому, является наиболее распространенным.
Однако Рэлей (1883) привлек внимание к этой частоте (как
максимально возможной в стратифицированном слое) значи-
тельно раньше Бранта и Вяйсяля. Частота плавучести является
более уместным названием с точки зрения физики. Это связано
с решением для чисто вертикального движения, для которого р'
равно нулю, и поэтому из (6.4.8) следует, что частота колебаний
равна N. Восстанавливающая сила, которая создает колебания,
является силой плавучести (см. (6.4.5)).
Теперь должны выполняться два уравнения, а именно (6.4.7)'
и (6.4.8). Полезно рассматривать (6.4.7) как уравнение, связан-
ное с горизонтальной частью движения, так как оно получено из
горизонтальной части уравнений сохранения количества движе-
ния, а (6.4.8)—как уравнение, связанное с вертикальной частью
движения, так как оно получается из вертикальной компоненты
(6.4.5) уравнения сохранения количества движения. При исклю-
чении р' получается единственное уравнение для w, а именно
dt2 L дх2 1 ду2 Ро oz / J 1 \дх2 ду2 J
(6.4.10)
Это уравнение определяет, каким образом происходят приспо-
собления малой амплитуды внутри непрерывно стратифициро-
ванной несжимаемой жидкости.
Точные решения этого уравнения можно найти в частных
случаях, например когда плотность изменяется экспоненциально
с высотой. Однако существует упрощение, которое всегда слу-
жит хорошим приближением для океана и справедливо для
многих приложений к атмосфере. Оно основано на наблюдении,
что если w изменяется с изменением z гораздо быстрее, чем ро,
то тогда
1 д р д \ ,d2w .
Kite 1р» <6-4Л1)
и поэтому (6.4.10) можно приближенно записать в виде
Ж+^+^]» + ^ + ^>=0- М)
Для океана ро никогда не отклоняется более чем на 2 % от
своего среднего значения, поэтому с очень хорошей точностью
можно ро считать постоянной, как это следует из (6.4.11).
Другая формулировка условий, при которых справедливо
(6.4.11), состоит в требовании, чтобы вертикальный масштаб
6.5. Внутренние гравитационные волны. 161
для изменений w был бы мал по сравнению с масштабом изме-
нения р0, т. е. был бы мал по сравнению с приведенной высотой
Н& (см. разд. 3.5). Если это условие удовлетворяется, то оказы-
вается, как будет видно ниже, что (6.4.12) является хорошей
аппроксимацией даже тогда, когда жидкость сжимаема (и на-
оборот, если это условие не удовлетворяется, сжимаемостью
пренебречь нельзя). Так как установлено, что вертикальное рас-
пространение внутренних воли в атмосфере обычно удовлетво-
ряет этому условию, то (6.4.12) можно с успехом использовать
применительно к атмосфере.
Приближение, которое применимо, когда движение имеет
вертикальные масштабы, малые по сравнению с приведенной вы-
сотой, называется приближением Буссинеска (см., например,
[739] ); впервые оно появилось в работе [78]. По существу оно
состоит в том, что плотность считается постоянной при вычис-
лении скоростей изменения количества движения на основании
ускорений, но изменения плотности учитываются полностью,
когда они порождают силы плавучести, т. е. когда имеется мно-
житель g в вертикальной компоненте уравнений количества дви-
жения. Для случая, рассмотренного в этой главе, это означает,
что ро постоянна в (6.4.4) и (6.4.5) и, следовательно, в (6.4.7) и
(6.4.8). Эффекты плавучести входят в (6.4.5) в виде члена p'g,
который приводит к члену N2w в (6.4.8).
6.5. ВНУТРЕННИЕ ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ
Рассмотрим случай, в котором частота плавучести (Бран-
та— Вяйсяля) N постоянна по всей жидкости. Решение урав-
нения (6.4.12) типа бегущей волны можно найти в виде
w = wQ cos {kx + ly 4- m2 — со/), (6.5.1)
где w0 —амплитуда флуктуаций вертикальной скорости; вектор
k — {k, I, tri) (6.5.2)
— волновой вектор возмущения, а со — частота. Для того чтобы
(6.5.1) удовлетворяло уравнению (6.4.12), со и к должны быть
связаны дисперсионным соотношением
со2 = (/г2 + /2) N2/{k2 + I2 + tn2). (6.5.3)
Таким образом, внутренние волны могут иметь любую частоту
между нулем и максимальным значением N. Как отметил Рэлей
(1883) [656, с. 174], «в противоположность тому, что встречается
в большинстве вибрирующих систем, существует предел быстро-
ты вибрации, но не ее медленности».
Дисперсионное соотношение для внутренних волн носит со-
вершенно другой характер, чем дисперсионное соотношение для
поверхностных волн. В частности, частота поверхностных волн
6 Зак, 744
162 Гл. 6. Приспособление стратифицированной по плотности жидкости
зависит только от модуля, к волнового вектора, тогда как ча-
стота внутренних волн не зависит от модуля волнового вектора,
а зависит только от угла срЛ, который волновой вектор состав-
ляет с горизонталью. Чтобы выявить это, полезно определить
волновой вектор в сферических
Рис. 6.5. Система сферических координат в
пространстве волновых чисел, используемая
для выражения дисперсионного соотношения
для внутренних волн. Для этих волн часто-
та w не зависит от модуля х волнового век-
тора, а зависит только от направления ср'
между волновым вектором и горизонтальной
плоскостью. Дисперсионное соотношение
имеет вид со = N cos cpz.
координатах (V, ср , х) в про-
странстве волновых чисел
(см. рис. 6.5), а именно
k = х cos qf cos Л7,
I = x cos ср7 sin V,
m = x sin cp7. (6.5.4)
Штрих используется для
того, чтобы отличить
угловые координаты вол-
нового вектора от углов
в физическом простран-
стве. Тогда дисперсион-
ное соотношение (6.5.3)
принимает вид
со = N cos ср7. (6.5.5)
Изменения величин р7, р7,
и и v для плоской волны
(6.5.1) можно получить
из соответствующих
уравнений. Зависимости
между этими переменны-
ми иногда называются
поляризационными соот-
ношениями. Возмущенное
давление р7, согласно (6.4.7), задается формулой
р' — —- (&2 + /2) 1 to/npowo cos (/гх-|-/у -\-mz- ©/), (6.5.6)
тогда как из (6.4.6) находится выражение для возмущенной
плотности
р7 = _ (№/&§) pQWo sin (kx -{-ly + mz — co/). (6.5.7)
Отметим, что два последних уравнения вместе с (6.5.3) озна-
чают, что для плоской набегающей волны
dp'ldz = — (m2/(A2 + Z2 + m2)) gp7. (6.5.8)
Горизонтальные компоненты скорости можно найти из (6.4.4).
Имеем
(и, v) — — (k, I) (k2 + l2)~l mw0 cos (kx + ly + mz — co/) =
= (*, Otapo)"'/. (6.5.9)
6.5. Внутренние гравитационные волны 163
Эти отношения между давлением и флуктуациями скорости
можно использовать для вывода свойств воли из наблюдений
в фиксированной точке. Например, если измерены горизонталь-
ные компоненты скорости и возмущенное давление набегающей
волны, то горизонтальную компоненту волнового вектора можно
получить из (6.5.9). Этот прием был использован, например, в
[269].
Схема, показывающая свойства плоской набегающей вну-
тренней волны в вертикальной плоскости, содержащей волно-
вой вектор, представлена на рис. 6.6. Движение частиц происхо-
Рис. 6.6. Схема, показывающая в вертикальной плоскости фазовые соотноше-
ния для прогрессивной внутренней волны с фазовой скоростью, направленной
вниз (это означает, что групповая скорость направлена вверх). Сплошными
линиями обозначены линии максимального (высокого) и минимального (низ-
кого) давления, которые одновременно являются линиями максимальной и
минимальной скоростей; направление движения будет таким, как показано.
Штриховые линии обозначают положения максимума (тяжелый) и минимума
(легкий) возмущении плотности. Если направление распространения фазы из-
менить па противоположное, в диаграмме изменится па противоположное
только направление движения.
дит вдоль волновых гребней, а градиент давления в этом направ-
лении отсутствует. Восстанавливающая сила, действующая на
частицу, следовательно, обусловлена исключительно составляю-
щей силы тяжести g cos ср' в направлении движения. Восстанав-
ливающая сила также пропорциональна составляющей измене-
ния плотности в этом направлении, равной cos q'dp/dz на еди-
ницу перемещения. Из второго закона Ньютона следует, что
квадрат частоты колебаний равен
р"1# cos q/ cos ср' dp[dz = (N cos cpz)2.
6*
164 Гл. 6. Приспособление стратифицированной по плотности жидкости
Это равенство дает физическую интерпретацию дисперсионного
соотношения (6.5.5).
Рассмотрим теперь последовательность решений, когда ср'
постепенно увеличивается от нуля до прямого угла. Когда
ср' = 0, то вертикальная линия, составленная из частиц, дви-
жется как твердая проволока, испытывающая продольные коле-
бания. Когда линия частиц смещается от своего положения рав-
новесия, восстанавливающие силы плавучести начинают дей-
ствовать в точности так, как если бы линия из частиц была
подвешена на пружинке, что приводит к колебаниям с частотой
N. Решения для других значений ср' соответствуют линиям из
частиц, движущихся совместно под углом ср' к вертикали. Вос-
станавливающая сила на единицу перемещения меньше, чем для
случая ср' = О, и поэтому частота колебаний соответственно
меньше. Когда ср' стремится к л/2, частота колебаний стремится
к нулю.
Крайний случай совершенно горизонтального движения тре-
бует специального изучения, так как он служит сингулярным
пределом, при котором решение уравнения (6.4.12) становится
тривиальным, w — 0. В этом случае общее решение уравнений
'(6.4.3)—(6.4.6) имеет вид р' — р' = 0, а и и v могут быть про-
извольными функциями от х, у и z, удовлетворяющими условию
dufdx + dvfdy = 0. (6.5.10)
Другими словами, каждая горизонтальная плоскость, состоя-
щая из частиц, может двигаться независимо от любой другой
аналогичной плоскости, однако движение внутри каждой пло-
скости должно быть бездивергентным. Это решение можно пред-
ставить в виде
w~p' — р' = 0, и = — д-ф/ду, v—dty/dx, (6.5.11)
где ф — произвольная функция от х, у и z. Это решение не яв-
ляется внутренней волной или даже предельной формой ее, но
оно представляет важный вид движения, который часто наблю-
дается. Например, при полетах на самолете очень часто видны
толстые слои облаков, причем они плоские и весьма протяжен-
ные. Каждый слой облаков движется в своей собственной гори-
зонтальной плоскости, но различные слои движутся относи-
тельно друг друга, согласно (6.5.11). Если гора пронзает такой
слой, то возможно движение вида (6.5.11) с плоским потоком
вокруг горы в каждом горизонтальном слое. Эффектными
следствиями этого являются вихревые цепочки, наблюдаемые
позади островов [260]. Связанные с этим явлением эксперимен-
тальные исследования см. в [86]. Однако невозможно получить
решение вида (6.5.11), представляющее однородный поток, нор-
6.6. Дисперсионные эффекты 165
мальный к оси хребта, на уровнях ниже гребня хребта. Горные
хребты, таким образом, иногда задерживают поток. Это явление
называется блокированием.
6.6. ДИСПЕРСИОННЫЕ ЭФФЕКТЫ
На практике гравитационные внутренние волны никогда не
имеют в точности вида (6.5.1), поэтому необходимо рассматри-
вать суперпозицию таких воли. Дисперсионные эффекты стано-
вятся очевидными, когда различные волны имеют разные фа-
зовые скорости, как было показано в разд. 5.4. Дисперсия вну-
тренних волн совершенно отлична от дисперсии поверхностных
воли; одна из причин этого состоит в том, что частота внутрен-
них волн не зависит от модуля волнового вектора, тогда как
частота поверхностных волн не зависит от направления волн.
Для внутренних волн поверхностями постоянной частоты в
пространстве волновых чисел являются конусы ср' = const, по-
казанные на рис. 6.7. Фазовая скорость направлена вдоль волно-
Рис. 6.7. Для внутренних волн (вращения нет) поверхностями постоянной ча-
стоты в пространстве волновых чисел, как показано, являются конусы, кон-
туры которых определяются величинами ca/N, где со— частота, a N—частота
плавучести. Групповая скорость направлена перпендикулярно конусу в.направ-
леппи возрастания частоты, как показано одним видом стрелок, тогда как
фазовая скорость направлена вдоль конуса от начала координат, как пока-
зано другим видом стрелок.
вого вектора и, следовательно, лежит на конусе, ее величина
равна
со/% == (7V/x) cos ср'.
Групповая скорость се, согласно (5.4.11), является градиен-
том со в пространстве волновых чисел и, следовательно, нор-
мальна к поверхности постоянного со. Отсюда следует (как и
166 Гл. 6. Приспособление стратифицированной по плотности жидкости
для любых волн, частота которых не зависит от модуля волно-
вого вектора), что групповая скорость направлена под прямым
углом к волновому вектору. Когда групповая скорость имеет
компоненту, направленную вверх, то, следовательно, фазовая
скорость имеет компоненту, направленную вниз, и наоборот. Со-
гласно (5.4.11),
cg = (Д7%) sin q/(sin <р' cos V, sin ср'sin V, — coscp'). (6.6.1)
Следовательно, модуль групповой скорости равен (Wx)sin <рх,
а ее направление составляет угол ср' с вертикалью.
Рисунок 6.8 показывает, как дисперсионные свойства вну-
тренних волн отличаются от дисперсионных свойств поверх-
ностных гравитационных волн. В каждом случае изображенное
волновое поле является простой комбинацией четырех волн рав-
ной амплитуды с волновыми векторами k±6k±6k', где 6k и
6k' малы по сравнению с к, а 6к' направлено туда, где не проис-
Рис. 6.8. Различие между дисперсионными характеристиками внутренних волн
и поверхностных гравитационных волн, проиллюстрированное поведением со-
ответствующей комбинации четырех прогрессивных волн, (а) Начальная кон-
фигурация группы внутренних волн с волновыми гребнями, составляющими
60° с вертикалью. Показаны контуры возмущения давления, где оно равно
максимальной величине, умноженной на 0,5. (б) Конфигурация спустя четыре
периода. Группа сдвинулась параллельно гребням и вверх, в то время как
отдельный гребень АА' продвинулся на четыре длины волны вниз и влево.
Чтобы сравнить это поведение с поведением поверхностных волн, предполо-
жим, что (а) теперь показывает вид диаграммы подобной комбинации по-
верхностных волн, контуры теперь будут там, где возвышение поверхности
равно максимальному значению, умноженному на 0,5. Тогда (в) показывает
конфигурацию спустя четыре периода. Волновой гребень 44' снова сдвинулся
на четыре длины волны, но теперь группа сдвинулась на две длины волны в
том же направлении.
6.6. Дисперсионные эффекты 167
ходит изменений по со. Эта комбинация имеет вид (сравни с
(5.4.1))
cos [(к + бк + бк') -х — (со + бсо) /] + cos [(к + бк — бк') • х —
— (со + бсо) /] + cos [(к — бк + бк') • х — (со — бсо) /] +
+ cos [(к — бк — бк') -х — (со — бсо) /] =
= 4 cos (бк' • х) cos (бк х — бсо/) cos (к х — со/) «
4 cos (бк' • х) cos [бк • (х — cg/)] cos (к • х — со/). (6.6.2)
Рис. 6.8 (продолжение).
168 Гл. 6. Приспособление стратифицированной по плотности жидкости
На рис. 6.8, а изображена такая комбинация внутренних грави-
тационных волн. На нем представлено вертикальное сечение в
плоскости распространения, причем контуры соответствуют точ-
кам, в которых возмущение давления равно половине макси-
мального значения для всего волнового поля. Волновой вектор
направлен вниз под углом <р' — 60° к вертикали, 6kz выбрано
равным 0,03k, и вектор бк имеет тот же модуль, но направлен
под прямым углом к 4kz. На рис. 6.8,6 показаны те же волны,
но через четыре периода. Волновой гребень АА' переместился на
четыре длины волны вниз влево, но группа волн переместилась
вверх параллельно гребням, т. е. под прямым углом к направ-
лению распространения фазы. Для сравнения на рис. 6.8, в по-
казано поведение подобной комбинации поверхностных гравита-
ционных волн. В этом случае рис. 6.8, а интерпретируется как
схема, показывающая контуры возвышения свободной поверх-
ности при бк = 0,03к и 6kz, имеющей тот же модуль, ио состав-
ляющей прямой угол с бк. Рисунок 6.8, в представляет собой
положение спустя четыре периода, гребень АА' переместился иа
четыре длины волны. Группа как целое переместилась в том же
самом направлении, но с вдвое меньшей скоростью.
Различие в направлениях фазового и группового распростра-
нения для внутренних волн хорошо иллюстрируется лаборатор-
ными экспериментами, в которых возмущения плотности можно
сделать видимыми, используя шлирен-метод (метод полос)'.
В этом эксперименте, результаты которого показаны на рис. 6.9,
энергия распространяется от колеблющегося цилиндра, рассма-
триваемого в первом приближении как точечный источник волн
с фиксированной частотой со. Следовательно, энергия распро-
страняется радиально в направлении распространения группы
волн, т. е. она перемещается в пучках, угол ср' которых с вер-
тикалью задается соотношением (6.5.5). Видно, что линии по-
стоянной фазы пересекают пучки трансверсально, и их движение
направлено к горизонтальной плоскости, проходящей через
источник. Эти и другие лабораторные эксперименты с внутрен-
ними волнами рассмотрены в [795].
В гл. 5 был упомянут эффект дисперсии, отделяющий друг
от друга волны различной длины, которые создаются отдален-
ным источником короткой продолжительности. Для поверхност-
ных волц этот эффект был использован для вычисления поло-
жения и времени источника зыби, приходящей в некоторое
отдаленное место. Изменения со временем свойств волн, до-
стигающих отдаленной точки, легко вычисляются для любого
типа диспергирующих волн. Выберем начало системы координат
в источнике (см. рис. 6.9,в), и пусть / = 0— это момент гене-
рации волн. Так как волны движутся с групповой скоростью cg,
то волны, обнаруженные в точке х в момент времени будут
6.6. Дисперсионные эффекты 169
Рис. 6.9. Полученные шлнрен-методом картины внутренних волн, распростра-
няющихся от цилиндра, который колеблется с частотой: (а) ы/М = 0,36,
(б) (й/М ~ 0,699. Волны распространяются наружу (в стороны) с групповой
скоростью, направленной вдоль темных линий, которые характеризуются мак-
симальным значением показателя преломления п, стало быть, являются греб-
нями волн. Ориентация гребня соответствует частоте колебаний. Темные ли-
нии непрерывно движутся к горизонтальной плоскости, содержащей цилиндр;
новые линии появляются на верхнем конце луча, а старые исчезают на ниж-
нем конце. Это говорит о том, что распространение фазы происходит под пря-
мым углом к групповой скорости. [Из: D. Е. Mowbray and В. S. Н. Rarity
(1967). A theoretical and experimental invesigation of the phase configuration
of internal waves of small amplitude in a density stratified fluid. J. Fluid Meeh.
28, 1 (фото 1). Cambridge University Press.] (в) Геометрия картины. Для то-
чечного источника в точке О волны, принятые в точке х, движутся в направ-
лении групповой скорости, и, значит, cg направлено вдоль Ох. Отмеченный
угол есть угол ср', так как этот угол составляет вектор cg с вертикалью; ср'
является также и углом, который волновой вектор составляет с горизонталью,
так как фазовая скорость направлена под прямым углом к групповой. Для
источника с фиксированной частотой со, как в экспериментах (а) и (б), волны
наблюдаются только вдоль луча, для которого ср' задан равенством (6.5.5).
Для импульсного источника, приложенного при t — 0, будут присутствовать
все частоты, ио только волны с частотой со (6.5.5) будут наблюдаться в точке
х. Волновое число преобладающей волны будет, однако, увеличиваться с те-
чением времени согласно вычислениям, приведенным в тексте.
170 Гл, 6. Приспособление стратифицированной по плотности жидкости
удовлетворять соотношению
х = cgt
(при условии, что свойства среды неизменны), и поэтому волно-
вой вектор к можно найти как решение уравнения
Cg(k) = x//. (6.6.3)
Рассмотрим частный случай внутренних волн, в которых cg
задается соотношением (6.6.1) и, следовательно, Ох составляет
угол ср' с вертикальной линией. Так как этот угол является фик-
сированным для данной точки наблюдения х, то частота воли,
проходящих через эту точку, будет иметь фиксированное значе-
ние, заданное формулой (6.5.5). Другими словами, волновые
гребни будут проходить через постоянные интервалы времени.
Однако расстояния между гребнями будут уменьшаться со вре-
менем, поскольку (6.6.3) дает (для абсолютной величины)
cg = r!t,
а подставляя сюда cg из (6.6.1), находим
х = r~{Nt sin ср'. (6.6.4)
Таким образом, х увеличивается пропорционально времени, т. е.
расстояние между волновыми гребнями уменьшается обратно
пропорционально времени. Более подробное обсуждение реше-
ния для импульсного источника внутренних волн дано в [83],
а дальнейшее обсуждение задачи в общем виде имеется в [854]
и [456].
Иногда по геометрическим причинам конец волнового век-
тора должен лежать на некоторой поверхности или линии в про-
странстве волновых чисел, и в этом случае дисперсионные свой-
ства зависят от того, как изменяется частота на этой поверх-
ности или линии. Например, вертикальная составляющая пг
волнового вектора может быть фиксированной, поскольку волны
находятся в области конечной вертикальной протяженности.
Тогда дисперсионные свойства зависят от того, как со, заданное
формулой (6.5.3), изменяется с изменением k и I. Эта зависи-
мость говорит о том, что длинные волны, которые имеют низкую
частоту, обладают наибольшей групповой скоростью, равной
N/т. Так как горизонтальная составляющая волнового вектора
увеличивается, частота увеличивается до максимального значе-
ния N, а групповая скорость уменьшается до нуля. (Дальней-
шее рассмотрение этого случая можно найти в разд. 6.10.)
Другой пример соответствует случаю, в котором горизон-
тальная составляющая (k, I) волнового вектора постоянна, по-
этому (6.5.3) рассматривается как соотношение между со и пг.
В этом случае частота максимальна, а групповая скорость c%z
равна нулю при т = 0. Групповая скорость также стремится
6.7. Энергетика внутренних волн 171
к нулю, когда m-э-оо, и принимает максимальное значение при
т, соответствующем распространению волн под углом 35° к
вертикали (ctgq/ = 21/2). Связанная с этим значением т ча-
стота равна (2/3)1/2, а групповая скорость равна 2N/ (З3^ (k?
+ /2),/2).
6.7. ЭНЕРГЕТИКА ВНУТРЕННИХ ВОЛН
Уравнение энергии для внутренних волн можно получить
умножением (6.4.4) на (и, v), (6.4.5) на w и (6.4.6) на
g2p7p0№ с последующим сложением результатов. Совместно с
(6.4.3) и (6.4.9) это дает
W Ро («2 + + W2) + + £ (/«) +
+ + = (6.7.1)
Это частный случай общего уравнения энергии, рассмотренного
в разд. 4.7. Как установлено в гл. 4, уравнение энергии можно
интегрировать по большому объему, тем самым получая полез-
ные результаты об общем балансе.
Отождествление члена возмущений плотности кинетической
энергии -у Ро (и2 + а2 + ?о2) в (6.7.1) с соответствующим членом
в (4.7.3) очевидно, как и соответствие между членом возмущен-
ного потока энергии (р'и, p'v, p'w) в (6.7.1) и полным выраже-
нием (4.7.4) для потока, если принять во внимание, что возму-
щения бесконечно малы, а жидкость несжимаемая, невязкая и
нет диффузии. Отождествление члена возмущения потенциаль-
ной энергии в (6.7.1) с соответствующим членом в (4.7.3) ме-
нее очевидно, и полезно сначала рассмотреть случай двухслой-
ной жидкости из разд. 6.2. Здесь потенциальная энергия (см.
разд. 5.7) равна
рФ dx dy dz = pgz dz dx dy
{I p.g w - - ли+4 ш }dx d«
и поэтому возмущение потенциальной энергии равно
5 5 [у Pi^2 + у(Р2— Pijgh^dxdy. (6.7.2)
Отсюда следует, что в многослойной системе каждая поверх-
ность раздела будет давать член, подобный члену
172 Гл. 6. Приспособление стратифицированной по плотности жидкости
и в пределе для непрерывно стратифицированной жидкости по-
лучаем значение
— Л dzdxdy=^~ р0№Л2 dx dy dz, (6.7.3)
где h— смещение элемента жидкости из своего состояния рав-
новесия; второе выражение получено с учетом (6.4.9). Так как
плотность элемента жидкости на возмущенном уровне г + h
равна плотности ро(^) в ее состоянии равновесия, то возмуще-
ние плотности задается формулой
р' = Ро (г) — Ро (г + h) « — h d^jdz, (6.7.4)
и поэтому (6.7.3) примет другой вид:
$$ 5 s’ dx dy dz ’ (6 7.5)
Связь с (6.7.1) теперь ясна.
В случае периодических волн в среде с неизменными свой-
ствами интеграл по каждой длине волны один и тот же, и по-
этому среднее по любому большому объему становится равным
среднему по одной длине волны, когда объем стремится к беско-
нечности. Поэтому полезно рассматривать скорее средние вели-
чины, а не интегральные величины, причем среднее определяется
как среднее по длине волны и обозначается чертой сверху. Плот-
ность энергии Ё внутренней волны определяется как среднее
возмущение энергии на единицу объема, т. е. формулой
Е = 4 Ро (и2 + у2 + w2) + g2p'2/p0N2. (6.7.6)
(Замечание. Ее нельзя смешивать с внутренней энергией на еди-
ницу массы, которая также обозначена символом Е в гл. 3 и 4.)
Как и в случае любых консервативных невращающихся динами-
ческих систем, подвергающихся малым осцилляциям, средняя
энергия одинаково распределена между кинетической и потен-
циальной. Для плоской волны, заданной формулой (6.5.1),
Е = у р° (оуо/cos q/)2, (6.7.7)
где Wo/coscp' — амплитуда флуктуаций скорости (см. (6.5.9)),
a wо — амплитуда вертикальной компоненты скорости. Если
(6.7.1) проинтегрировать по большому объему, то получим, что
скорость изменения энергии во всем объеме равна потоку энер-
гии через его поверхность. Так как этот поток является также
периодическим, усреднение по большой плоской области дает
приблизительно то же самое, что и усреднение по длине волны,
поэтому удобно также рассмотреть пространственное среднее
6.7. Энергетика внутренних волн 173
для потоков. Таким образом, вектор плотности потока энергии
F' определяется соотношением (см. гл. 4)
= (6.7.8)
F' обладает тем свойством, что когда его нормальная состав-
ляющая, направленная наружу, интегрируется по поверхности
большого объема, то она дает скорость потока энергии, поки-
дающего рассматриваемый объем.
Для плоской волны, заданной формулой (6.5.1), возмущение
давления р' и возмущение скорости и находятся в фазе (см.
рис. 6.6), поэтому модуль F' имеет величину (см. (6.5.6) и
(6.5.9))
Г/ _£ Ц) sin gp Шр
2 % cos2 ср' "° 0 cos q/ ’
а его направление совпадает с направлением скорости частицы
па гребнях высокого давления, т. е. с направлением групповой
скорости. Из (6.7.7), (6.6.1) и (6.5.5) следует, что
F'^Bcg. (6.7.9)
Этот результат в действительности справедлив для более широ-
кого класса волн (см. [854, гл. И] ).
Для задач, в которых рассматривается вертикальное распро-
странение энергии, например энергии, получаемой на земле, ин-
тересна/7'— вертикальная составляющая F', которая для ре-
шения в виде плоской волны (6.5.1) задается формулой
F'z — —compoW“/(/e2 + l‘~). (6.7.10)
Таким образом, если бы возникла ситуация, когда нет движения
на некоторой более низкой границе, но имеется бегущая волна
вида (6.5.1), пересекающая верхнюю границу, то тогда энергия
увеличилась бы, когда распространение фазы было направлено
вверх (o/m>0), и уменьшалась бы, когда распространение
фазы было направлено вниз (co//rz <0). Это указывает на свой-
ство, состоящее в том, что энергия переносится вверх, когда
распространение фазы направлено вниз, и наоборот.
Другой вид уравнения энергии (6.7.1) получается интегри-
рованием этого уравнения по вертикали, например, от дна
z =—Н до поверхности 2 = ц непрерывно стратифицированного
океана. В этом случае (6.7.1) принимает вид
"dt у Ро (w2 + f2 + W-) dz + -у у Р ndz +
+ ^\p'v dz + [p'w]==Q, , (6.7.11)
174 Гл. 6. Приспособление стратифицированной по плотности жидкости
где квадратные скобки обозначают разность между значением
соответствующей величины на поверхности и ее значением на
дне. Подставляя сюда рЛ из (6.7.4) и используя граничные усло-
вия (5.2.8), (5.2.10) и (5.2.11) для оценки [р'да], находим
J уРо(«2 + ^2 +w2)d2 4-~ |^Po(O)gT]2+ J |-р0№Л2^| +
+ р'и dz + J p'v dz — 0. (6.7.12)
Если это уравнение проинтегрировать по горизонтальной об-
ласти, то можно увидеть, что возмущение потенциальной энер-
гии Р' на единицу площади задается формулой
Р' = ( $ { 4 РО (0) СТ2 + $ I Ро^2 dz } dx dV <6'7 • 13>
Таким образом, в Р' вносят вклад два слагаемых. Первое из них,
как и в (6.7.2), представляет собой вклад от перемещений на
свободной поверхности, а второе (определяемое также форму-
лами (6.7.3) и (6.7.5))—вклад от вертикальных перемещений
изопикн внутри массы жидкости.
6.8. ВНУТРЕННИЕ ВОЛНЫ, ПОРОЖДАЕМЫЕ НА ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ
ГРАНИЦЕ
Внутренние волны в атмосфере и океане могут порождаться
целым рядом механизмов. Часто порождающая их область при-
близительно горизонтальна, поэтому вертикальную компоненту
скорости можно определить, по существу, на некоторой горизон-
тальной поверхности, а движение вдали от порождающей об-
ласти можно вычислить из уравнений движения. В качестве при-
мера возьмем случай, в котором воздух или вода движется с
равномерной горизонтальной скоростью над последователь-
ностью протяженных возвышенностей и долин, возвышение h ко-
торых над плоской горизонтальной поверхностью z — 0 может
считаться малым. Такая топография может быть представлена
в виде суперпозиции синусоидальных волн. В этом разделе бу-
дет вычислен отклик на одну волновую компоненту. Более общие
случаи можно получить из этого результата с помощью суперпо-
зиции. (Замечание. До сих пор мы рассматривали свободные
волны, порождаемые некоторым начальным возмущением. Мы
возвратимся к рассмотрению свободных воли в разд. 6.10. В от-
личие от этого в этом и следующем разделах рассматриваются
вынужденные волны, т. е. волны, вызванные непрерывным источ-
ником энергии на границе.)
Ось х выбирается так, чтобы она была перпендикулярна
гребням синусоидального ряда возвышенностей, а другие оси
выбираются таким образом, чтобы они были неподвижны отно-
6.8. Внутренние волны 175
сптелы-ю среднего движения воздуха. Таким образом, если U
компонента скорости, нормальная к гребням воздуха относи-
тельно земли, то топография в выбранной системе координат
имеет фазовую скорость —U, т. е. задается формулой
h = h0 sin [k (x + Ut)]. (6.8.1)
Отсюда следует, что частота © порождаемого движения задается
равенством
v) = — Uk, (6.8.2)
поэтому ©/2л — частота, с которой частицы воздуха встречают
гребни. Вертикальная компонента скорости на поверхности
равна компоненте скорости, которую получают частицы, обте-
кающие волнистости границы, при заданном горизонтальном
движении, т. е.
w = U dhfdx — woexp(i (kx — ©/)) на z = 0, (6.8.3)
где
wQ — UkhQ. (6.8.4)
Принято считать, что когда используется комплексное выраже-
ние, то для интересующей физической величины берется дей-
ствительная часть этого выражения (т. е. w0cos(£x — ©0 в дан-
ном случае).
Когда стратификация однородна, т. е. А/ постоянно, соот-
ветствующим решением уравнения (6.4.12) является выражение
w ~ w0 exp (i (kx + inz— ©/)), (6.8.5)
где tn — положительный корень (6.5.3), который в этом случае
можно записать в виде
m2 _ k2 (уу2 _ ^2)^2 ш „ k2. (6.8.6)
Знак m определяется условием, что энергия распространяется
от порождающей области, т. е. групповая скорость направлена
вверх, а фазовая скорость — вниз. Существует непрерывное рас-
пространение энергии вверх со скоростью, заданной формулой
(6.7.10), а именно
f- 4 сошр0а»2/А2 = х kpJiftP (№ - IPk-)'1'2. (6.8.7)
Следовательно, существует скорость, с которой подается в атмо-
сферу энергия на поверхности земли.
Решение (6.8.5) тем не менее является справедливым только
тогда, когда частота столкновения частиц воздуха с гребнями
меньше, чем частота плавучести N. Если ©2 Z> N2, то (6.8.6) не
176 Гл. 6. Приспособление стратифицированной по плотности жидкости
имеет действительных корней, поэтому решение уравнения
(6.4.12) в этом случае будет иметь вид
w = to0exp (— yz + i(kx — со/)), (6.8.8)
где
у2 = k2 ((02 _ ^2)^2 = k2 _ (Af//7)2. (6.8.9)
Вследствие экспоненциального уменьшения вертикальной ско-
рости с высотой, возмущенная энергия в этом случае называется
задержанной около земли. Такого рода волны, амплитуда кото-
рых уменьшается экспоненциально в каком-либо одном направ-
лении, называют также быстро затухающими. Согласно (6.4.7),
возмущенное давление р' в этом случае равно
р' — — i(oy&~2pow0exp(— yz + i(kx — to/)). (6.8.10)
Оно находится в противофазе с вертикальной скоростью, т. е.
равна нулю, когда w является максимумом или минимумом, и
принимает максимальное или минимальное значение, когда w
равно нулю. Таким образом, скорость F'z совершения работы
границей равна нулю в силу (6.7.8).
Различие между двумя указанными выше типами решения'
существенно; оно показано на рис. 6.10. Для малых длин волн
(kU>N}, для которых возмущенная энергия задерживается,
частицы воздуха на всех уровнях испытывают вертикальные
перемещения, подобные рельефу, но с амплитудами, которые
уменьшаются с высотой. Решение является равновесным, но при
этом отсутствуют приток и отток энергии. Возмущенное давле-
ние низко на холмах и высоко в ложбинах, поэтому нет сум-
марной горизонтальной силы между атмосферой и подстилаю-
щей поверхностью. Для очень малых длин волн (kU N) влия-
ние стратификации мало, и решение совпадает с безвихревым
течением однородной жидкости.
Для больших длин волн (kU < N), когда волны не задер-
живаются, плотность энергии одна и та же на всех уровнях.
Энергия непрерывно поступает с нижней границы со скоростью
(на единицу площади), задаваемой равенством (6.8.7), и рас-
пространяется вверх. Это означает, что если бы по некоторой
причине энергия поглощалась на некотором более высоком
уровне, то существовал бы эффективный перенос энергии от
земли до некоторой отдаленной области посредством излучения
без каких-либо изменений энергии среды, и тогда роль среды
сводилась бы к роли переносчика волн. Как можно увидеть из
рис. 6.6, высокое давление находится там, где скорость частицы
направлена вверх, а следовательно, на наветренной стороне, и
поэтому существует сила, создаваемая ветром и действующая
6.8. Внутренние волны 177
Рис. 6.10. Движение, вызванное равномерным потоком однородно стратифици-
рованной жидкости над синусоидальным рельефом малой амплитуды. Волни-
стые линии показывают перемещение изопикнических поверхностей, конфигу-
рации равновесия которых горизонтальны, а прямые линии соединяют гребни
и впадины, (а) Для рельефа с малой длиной волны, т. е. с волновым числом
k > N/U, где N— частота плавучести, a U — скорость жидкости относительно
земли (типичное значение выражения U/N для атмосферы равно 1 км). Рису-
нок выполнен для kU = 1,25 N. Отметим уменьшение амплитуды с высотой,
показывающее, что энергия задерживается около земли. В и Н показывают
соответственно положения максимумов и минимумов возмущения давления,
т. е. существует всасывание над гребнями. Когда нижняя половина плоскости
является жидкостью, это может привести к неустойчивости Кельвина—Гельм-
гольца, если относительная скорость жидкостей достаточно велика, чтобы вса-
сывание преодолело силу тяжести, (б) Отклик на рельеф с большой длиной
волны, т. е. когда k < N/U (рисунок выполнен для kU = 0,8N). Теперь пере-
мещение изопикн равномерно с высотой, но волновые гребни движутся вверх
по течению с высотой, т. е. фазовые липни наклонены, как показано. Груп-
повая скорость относительно воздуха направлена вдоль этих фазовых линий,
ио групповая скорость относительно земли направлена под прямым углом, т. е.
вниз по течению и вверх. Высокое и низкое давления находятся теперь в уз-
лах, поэтому существует равнодействующая сила па рельеф в направлении
потока.
на поверхность земли. Эта сила прилагается нормально к греб-
ням в направлении соответствующей составляющей ветра. Для
атмосферы это означает, что существует сопротивление, вызван-
ное топографией вследствие порождения внутренних волн. Ве-
личина силы сопротивления на единицу площади равна скоро-
сти т на единицу площади, с которой горизонтальный импульс
178 Гл. 6. Приспособление стратифицированной по плотности окидкости
переносится вертикально волнами. Она задается формулой
т = - p0^=Fz/U = у /грсДо ((W)2 “ k2)1/2(A (6.8.11)
Как отмечается в [84], импульс, переданный атмосферой земле,
таким образом, будет возвращен в атмосферу на те уровни, где
поглощается волновая энергия. В [84] подсчитано, что 29 де-
кабря 1966 года, в день, благоприятный для рождения воли,
волновое сопротивление на холмах Северного Уэльса имело
среднее значение на единицу площади 0,4 Н/м2 и что погло-
щающие уровни для этого импульса должны были бы нахо-
диться на высоте около 20 км. Это вычисление учитывало влия-
ние изменения 2V и U с высотой, которым мы пренебрегли в
рассуждениях, приведенных выше. Значение U на более низких
уровнях было 15 м/с, а это дает по формуле (6.8.11) верти-
кальный поток энергии величиной 6 Вт/м2. Эти цифры показы-
вают, каким сильным может быть результат при благоприятных
условиях. В [457] приведены действительные измерения в Аме-
риканских Скалистых горах; потоки вертикального импульса
равны 0,5—1 Н/м2 над областью шириной 100—200 км. Далее,
в [458] показано, что если этот перенос включается в общую
модель циркуляции атмосферы, эффект весьма велик и улучшает
соответствие между моделью и наблюдениями.
Критическое в-олновое число
kc — N/U, (6.8.12)
которое разделяет два типа решений, соответствует длине вол-
ны 2л/^с, равной горизонтальному расстоянию, на которое пере-
мещается частица за один период плавучести. Типичное значе-
ние этой длины волны для атмосферы [84] —около 10 км (что
соответствует /г/1 порядка 1 км), а типичное значение для глу-
бокого океанического дна — около 300 м (£<7^ 50 м). Когда
горизонтальное расстояние между волновыми гребнями увели-
чивается (т. е. k уменьшается), то, как показывает (6.8.6), рас-
стояние между гребнями волн вдоль перпендикуляра остается
тем же, т. е. полное волновое число равно (&2-J- т2)1/2 = ^с- Та-
ким образом, угол ср' между линией, соединяющей гребни, и
вертикалью изменяется согласно формуле
cos ф' = k/kc = Uk/N. (6.8.13)
Групповая скорость (относительно воздуха) может быть вы-
числена из (6.6.1). Опа направлена вверх вдоль липин, со-
единяющей гребни волн, и имеет величину U sin ср'. Отсюда
следует, согласно правилу сложения векторов, что групповая
скорость относительно земли направлена вверх нормально к
указанной линии и имеет величину U cos ср', как показано на
6.9. Влияние изменения частоты плавучести 179
рис. 6.10. Вертикальная составляющая групповой скорости рав-
на U sin q/ cos q/ и имеет максимальное значение, равное £7/2,
при q/ = 45°.
Другая интересная величина — это плотность энергии Е, ко-
торую можно вычислить из (6.7.7), (6.8.4) и (6.8.13). Результат
£=1Р()№Л2 (6.8.14)
имеет простой вид, так как — амплитуда вертикального пе-
ремещения, так что (l/4)p0№/ig — плотность потенциальной энер-
гии возмущения. Е вдвое больше этой величины вследствие
свойства равного распределения энергий. Как требует (6.7.9),
вертикальный поток плотности энергии Frz равен Е, умноженной
на вертикальную составляющую U sin q>z cos q/ групповой ско-
рости. Это согласуется с (6.8.7).
6.9. ВЛИЯНИЕ ИЗМЕНЕНИЯ ЧАСТОТЫ ПЛАВУЧЕСТИ С ВЫСОТОЙ
НА ВОЛНЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ НА ГРАНИЦЕ
Раздел 6.8 был посвящен возмущениям, полученным па го-
ризонтальной границе, при этом рассматривался весьма частный
случай среды с однородными свойствами. Fla практике океан
и атмосфера неоднородны, и это ведет к большому разнообра-
зию явлений, многие из которых выходят за рамки настоящей
книги.
Главная неоднородность, однако, обусловлена изменениями
свойств этих сред с высотой, и некоторые основные эффекты
такого изменения будут рассмотрены в настоящем разделе.
Основные эффекты можно показать с помощью простого случая
среды с кусочно-однородными свойствами (см. [656]). Возьмем
частный случай, в котором скорость U постоянна, но частота
частный случай, в котором скорость U постоянна,
плавучести Я задается следующим образом:
J /Vj, 0 < z < Н,
N = { Я2, z > Я.
(6.9.1)
Это не только простой и удобный для иллюстрации случай, ио
иногда это и полезная аппроксимация структуры атмосферы
(см., например, [746]). Эти же приемы можно применить к го-
раздо более общему классу волн, для которых параметр tn2
кусочно-однородный.
6.9.1. ПРЕЛОМЛЕНИЕ И ОТРАЖЕНИЕ ВОЛН НА ГРАНИЦЕ РАЗРЫВА N
Здесь существуют четыре возможных вида решений, по-
скольку решение может быть волнообразным или экспонен-
циальным в каждой из двух областей. Этот и следующий
180 Гл. 6. Приспособление стратифицированной по плотности жидкости
подразделы ограничиваются случаем, в котором частота | со | ==
= Uk меньше, чем оба значения N, так что волны могут рас-
пространяться через обе среды. Внимание будет обращено пре-
жде всего на свойства волн около поверхности раздела сред.
Так как горизонтальная составляющая k волнового вектора
одна и та же в обеих средах, то (6.8.6) показывает, что верти-
кальная составляющая m (а следовательно, и угол ср') больше
в области большего N. Другими словами, волны преломляются
на границе. Закон преломления
/Vj cos ср' = Л/g cos ср' (6.9.2)
следует из того, что частота, заданная формулой (6.5.5), одна
и та же в каждом слое. Это напоминает закон Снелла в оптике,
но в данном случае ср' — угол, который волновой вектор состав-
ляет с горизонталью независимо от ориентации границы (если
бы граница была наклонена, ср' все же был бы углом с гори-
зонталью).
При z—H происходит не только преломление распростра-
няющейся вверх волны, ио и отражение части энергии. Соот-
ветствующие пропорции можно найти применением соответ-
ствующих условий при г — Н, а именно, что возмущенное дав-
ление р' и вертикальная скорость w непрерывны. Это условие
можно выразить в виде отношения
2 = р'/рода, (6.9.3)
которое должно быть одним и тем же на обеих сторонах гра-
ницы. Удобно рассматривать Z как «импеданс» по аналогии
с разд. 5.8. Для верхней среды вследствие ее неограниченности
имеем решение в виде плоской волны с направленной вверх
групповой скоростью. Согласно (6.5.1) и (6.5.6), импеданс пло-
ской волны задается формулой
Z = - + Z2), (6.9.4)
где в этом случае I = 0, a m принимает значение /На, которое
получается из (6.8.6) при N —
Ниже z — H решение содержит как распространяющиеся
вверх, так и распространяющиеся вниз волны, и, таким обра-
зом, может быть представлено в виде
w = wi [ехр (£гщ (z — Я)) + г exp (— (г — Я))] exp (i (kx — ю/)),
k2p' — [— exp (irtii (z — Я)) 4~
-h r exp (— (z — Я))] exp (i(kx — co/)), (6.9.5)
2"__ — exp (Zmt (z — Я)) 4- r exp (— fm, (z — Я))
k2 exp (i’mi (z — Я)) 4~ r exp (— i.tn\ (z — Я)) ’
где коэффициент отражения г — это число, величина которого
определяет отношение амплитуд волн, движущихся вверх и вниз.
6.9. Влияние изменения частоты, плавучести 181
Его значение получается приравниванием двух выражений
(6.9.4) и (6.9.5) для Z. Это дает
Г — («1 — т2)/(Ш] + (6.9.6)
Если г = 0, то решение ниже z — H является чисто бегущей
волной, тогда как при ]г|— 1 оно представляется в виде стоя-
чей волны.
Поведение амплитуды скорости ниже z — H представляет
интерес, так как она осциллирует между экстремальными зна-
чениями, которые она принимает в точках, разделенных интер-
валами, равными четверти длины волны, л/(2/И1) (как следует
из (6.9.5)). Амплитуда ниже z — H при Н— z, равном четному
числу n/(2mi), та же, что и при z — H', при H — z, равном не-
четному числу п/(2/?ii), она равна значению при z — H, умно-
женному на
(1 — г)/(1 + г) = тфщ. (6.9.7)
Отсюда следует, что экстремум при z = Н является минимумом,
когда Mi < JV2 (поэтому т\ < т2), и максимумом, когда N\ >
> Н2 (следовательно, mi>m2). В последнем случае, следо-
вательно, возможно наиболее эффективное порождение волн в
верхней среде, зависящее от того, сколько четвертей длины вол-
ны находится ниже уровня разрыва.
6.9.2. ВЛИЯНИЕ ИЗМЕНЕНИЯ А/ НА ВЕРТИКАЛЬНЫЕ ПОТОКИ
Чтобы вычислить, как амплитуда волны и другие величины,
такие как поток энергии, зависят от условий на уровне земли,
нужно использовать условие
w — wQexp(i(kx — со/)) при г —0.
Сравнение этого условия с (6.9.5) показывает, что w0 и Wi свя-
заны соотношением
w0 — Wi (exp (— ищН) + r exp (im{H)). (6.9.8)
Особое внимание будет уделено вертикальному потоку плотно-
сти энергии F'Zt так как эта величина не зависит от высоты,
что необходимо для выполнения уравнения для энергии. (Вер-
тикальный поток т = рии> количества движения также является
постоянным, он связан с F'z простым выражением x = FzlU.‘)
Определение (6.7.8) дает
^ = 4Re(p'w’). (6.9.9)
если р' и w заданы в комплексной форме. Здесь Re озна-
чает «вещественная часть», а звездочка означает комплексную
182 Гл. 6. Приспособление стратифицированной по плотности жидкости
сопряженность. Подставляя сюда значения из (6.9.5) и исполь-
зуя (6.8.2), (6.9.6) и (6.9.8), получаем
F' = (t/m2pQw2/(21j)/[1 +((/71^)2- 1) sin2(m,H)]. (6.9.10)
Числителем является значение F'z, которое бы она имела, если
бы не было разрыва (см. (6.7.10)), так что знаменатель пока-
зывает влияние отсутствия непрерывности на волновой поток.
Как показано в разд. 6.9.1, существует зависимость от того,
сколько четвертей длин волн расположено между землей и уров-
нем разрыва. Экстремальные значения имеют место, когда
имеется целое число четвертей волн. Если это число четное, то-
гда sin (гтиЯ) = 0, и поэтому из (6.9.10) следует
F'z = Um2powy(l2k), (6.9.11)
т. е. тот же результат, что и в случае отсутствия нижнего слоя.
Если число четвертей волн нечетно, то sin2(mi?/)=l, поэтому
F' = t/m2pX/(2^). (6-9.12)
Поток увеличивается, когда т2 < mi (N2<ZNi), и становится
бесконечным, когда т2 = 0.
Важное замечание, которое необходимо сделать по поводу
формулы (6.9.10), состоит в том, что поток зависит от т2, т. е.
от свойств атмосферы на весьма далеких от границы уровнях.
Конечно, если бы в некоторый начальный момент времени вне-
запно был «включен» ветер, то прошло бы некоторое время,
прежде чем установилось бы стационарное решение, изученное
здесь: наличие различных значений W в верхних слоях может
влиять на условия на земле только после того, как пройдет
время, достаточное для того, чтобы волны достигли соответ-
ствующих областей, отразились от них и вернулись назад к зем-
ле. Зависимость от sin (mi?/) в (6.9.10) показывает, что стацио-
нарный поток зависит от фазы волны, которая отразилась назад
к земле от уровня разрыва, связанного с вновь возникающими
волнами. Например, когда т2 < mi и sin2(mi7Y)=l, (6.9.12)
показывает, что фаза такова, что усиливает волну и вызывает
больший поток, чем поток при отсутствии разрыва. Экстремаль-
ный случай т2 = 0 соответствует резонансу, когда волны про-
должают усиливаться безгранично, поэтому не существует ко-
нечного стационарного решения.
6.9.3. СЛУЧАЙ, В КОТОРОМ СЛАБО СТРАТИФИЦИРОВАННАЯ
ОБЛАСТЬ НАХОДИТСЯ ОКОЛО ЗЕМЛИ
Этот подраздел представляет собой краткое изложение ре-
зультатов, когда AG < N2, а разд. 6.9.4 касается случая, в ко-
тором Wi > N2. Когда Ni <ZN2, то решение в обеих областях
6.9. Влияние изменения частоты плавучести 183
является волновым для достаточно длинных волн, т. е. при
k < N\/U. Коэффициент отражения г отрицателен, и (6.9.10)
показывает, что вертикальный поток обычно уменьшается на-
личием слабо стратифицированного слоя около земли. Если
У1/У2 мало, уменьшение значительно, если только sin (mi//) не
мало, т. е. слой очень тонкий или его толщина близка к числу,
кратному тфщ. Наименьшее значение Н для того, чтобы по-
следняя возможность имела место, равно nU/Ni, что следует
из (6.8.6).
Если длина волны неровностей поверхности достаточно
мала (k > Ni/U), то внутренние волны не могут существовать
в нижней среде, поэтому можно предполагать, что вертикальное
распространение энергии прекращается. Однако это не так, по-
тому что экспоненциально убывающее решение (6.8.8) всегда
дает некоторое движение, хотя и слабое, при z — H, и это дви-
жение может породить волны в верхнем слое, где вертикальное
распространение возможно. Решение в нижней области в таком
случае можно найти заменой mi в (6.9.5) и (6.9.6) на 1у, где у
задается согласно (6.8.9) при N ~ Hi. Выражение для F'z тогда
содержит множитель ехр (—2уН), показывающий, что лишь не-
большая энергия «туннелирует» через неволновую область, если
только уН не мало.
6.9.4. СЛУЧАИ, В КОТОРОМ СИЛЬНО СТРАТИФИЦИРОВАННЫЙ СЛОИ
НАХОДИТСЯ ОКОЛО ЗЕМЛИ
Когда топографическая длина волны достаточно велика
(^<й/2///), волны могут поддерживаться в обоих слоях. Ко-
эффициент отражения в этом случае положителен, и (6.9.10)
показывает, что вертикальный поток обычно усиливается бла-
годаря присутствию сильно стратифицированного слоя около
земли. Усиление является наибольшим, когда sin2 (ггцН) = 1, и
тогда применяется формула (6.9.12). Так как k стремится к
N2/U при т2->0, то тогда из (6.9.12) следует, что/7'-—>оо из-за
резонанса, который происходит вследствие интерференции от-
раженных воли со вновь генерируемыми, и таким образом воз-
никают большие амплитуды наверху.
Когда волновое число топографии k лежит между H2/U и
Ni/U, волны могут существовать в нижнем слое, ио решение
в верхнем слое является быстро убывающим, т. е. имеет вид,
заданный равенствами (6.8.8) — (6.8.10) при Н — Н2. Отсюда
следует, что импеданс Z задается выражением
Z = — i(dy/kz. (6.9.13)
Сравнивая это равенство с (6.9.4), находим, что решение низке
z — H задается формулой (6.9.5) с заменой т2 на iy. В частно-
184 Гл. 6. Приспособление стратифицированной по плотности жидкости
сти, коэффициент отражения
г = (m1 — Zy)/(mi +/у) (6.9.14)
имеет величину, равную единице, т. е. на разрыве происходит
полное отражение, и это связано с тем, что верхняя среда не
в состоянии распространять энергию. Поэтому плотность вер-
тикального потока энергии F'z должна быть равна нулю. Дру-
гое следствие состоит в том, что отраженные волны могут ин-
терферировать с генерируемыми на земле, приводя к резонансу,
если их фазы совпадают, т. е. если расстояние между уровнем
разрыва и землей содержит нужное число длин волн. Из (6.9.8)
имеем условие резонанса (wi = оо)
г —— ехр(—(6.9.15)
которое с учетом (6.9.11) дает условие
ctg (/«1Н) = — yltni. (6.9.16)
Чтобы показать, как отклик атмосферы зависит от парамет-
ров, необходима некоторая мера А амплитуды волн. Волновой
поток не может служить подходящей мерой, так как он тожде-
ственно равен нулю. Пригодной величиной является средняя
волновая энергия в нижнем слое, нормализованная значением,
которое бы эта величина имела, если бы М2 было равно ЛЛ.
Вычисления приводят к следующим формулам, в которых 8 =
= yV2/./Vi (что меньше единицы):
пг\ + т2 4- (e2m2 — m|) (sin Чпг^Н]ч1т{Н}
2 (m2 c.osP’tn^H 4- mg sin2 Wj/У)
ДЛЯ k < N2/U,
(6.9.17)
(m2 4- у2)2 4- (e2/n2 4- Y2) [4Y^{sin2 4- (m2 — Y2)sin2m1ff]/(2/n1^)
2 (zn2 4- Y2) [mi cos 4- Y sin znj/f]2
для NjU <k< NJU.
Если k > N\/U, то решение не является волновым ни в одной
области, поэтому отклик не представляет большого интереса.
На рис. 6.11 показано для случая 8 = 0,3 (приемлемое значе-
ние для атмосферы), как А изменяется в зависимости от без-
размерного волнового числа kH и от безразмерного параметра
потока NJi/U. Величина, обратная последней,
^ = (//(МЯ), (6.9.18)
т. е. отношение скорости жидкости U к мере NiH скорости внут-
ренних волн, называется числом Фруда. Рисунок ясно показьь
6.9. Влияние изменения частоты плавучести 185
Рис. 6.11. Влияние неоднородности стратификации на отклик однородного по-
тока над рельефом с малой амплитудой. В этом случае частота плавучести
имеет значение N\ до высоты Н\ и — выше этой высоты. На графике по-
казаны контуры отношения энергии волны ниже уровня z — Н к тому зна-
чению энергии, которое она бы имела, если бы частота плавучести была равна
на всех уровнях. Контуры показаны для значений 1, 3, 9 и оо. На верти-
кальной оси откладывается kH, безразмерное волновое число, па горизонталь-
ной оси откладывается величина, обратная числу Фруда и/&\Н. Существуют
три режима, зависящие от частоты kU, с которой частицы воздуха встречают
гребни, (а) Если kU > N, то энергия понижается с высотой, и изменение ча-
стоты плавучести не имеет большого значения, (б) Если Nz < kU < то
внутренние волны возникают в области более высокого N, ио они ограничены
этой областью, поскольку решение убывает с высотой выше г = Н. При этих
условиях возможен резонанс, и волновая энергия может расти неограниченно,
что объясняет наличие линий бесконечной волновой энергии и соседних обла-
стей с очень большим откликом. Тогда нижняя атмосфера служит проводни-
ком волновой энергии, и резонанс возникает, когда длина волны рельефа по-
верхности сравнима с длиной волноводной моды, (в) Если kU < N2, то вну-
тренние волны наблюдаются в обоих районах, так что совершенного волновода
более не существует. Одиако все же существуют области большого отклика,
что показано на рисунке.
186 Гл. 6. Приспособление стратифицированной по плотности жидкости
вает условия, при которых должен происходить большой от-
клик. В частности, он показывает, что резонанс может иметь
место только тогда, когда число Фруда меньше чем 2/зт и что
число длин волн, при которых может происходить резонанс,
увеличивается, если число Фруда уменьшается.
Для профиля границы с фиксированным волновым числом k
условие резонанса (6.9.16) будет удовлетворяться только при
довольно специальных условиях. Реальные формы рельефа, од-
нако, имеют составляющие с любыми волновыми числами, по-
этому эффект резонанса состоит в усилении отклика при тех
значениях волновых чисел, для которых резонанс имеет место.
В частности, подветренные волны, которые порождаются в под-
ветренной стороне изолированных холмов, были хорошо изу-
чены [8, 594, 649, 650, 268, 733, 795, 889], и многие особенности
этих волн можно вывести из рис. 6.11, например, условие, что
число Фруда должно быть меньше определенного значения,
чтобы могла возникнуть резонирующая волна, и что число ре-
зонирующих волн растет, когда число Фруда уменьшается. Ри-
сунок 6.11 также указывает, что когда значение \/F близко к
нечетному кратному числа я/2, то будет порождаться значи-
тельное количество энергии, связанное с длинными волнами, и
это приведет к значительному излучению энергии вверх, как
обсуждалось ранее.
Подветренные волны в атмосфере обычно замечались благо-
даря их четко определенной длине волны, т. е. в условиях, бла-
гоприятных для резонанса. Типичные значения наблюдаемых
длин волн лежат в диапазоне 10—20 км. На рис. 6.12 показан
пример подветренных волн, которые удалось наблюдать. На
практике подробное описание поведения таких воли включает
эффекты, еще не рассмотренные, поэтому дальнейшее изу-
чение этих волн будет оставлено для следующего раз-
дела.
Условие резонанса (6.9.16) является также условием
(см. (6.9.8)) существования нетривиального решения, для ко-
торого w = 0 на поверхности. Другими словами, резонансные
моды идентичны модам, которые могут существовать при от-
сутствии внешнего воздействия. Если возбуждается такая мода,
разрыв в частоте плавучести препятствует вертикальному рас-
пространению энергии, и поэтому энергия распространяется го-
ризонтально без потерь. При этих обстоятельствах область, в
которой задерживается энергия, называется волноводом, или ка-
налом. Моды, которые распространяются вдоль этого волновода,
играют важную роль в описании движения в океане и атмо-
сфере, и поэтому им будет уделено много внимания в после-
дующих разделах.
6.9. Влияние изменения частоты плавучести 187
Рис. 6.12. Наблюдения подветренных волн, вызванных горами Эспипуз во
Франции 16 июня 1970 г. Ветер дует слева направо, а наблюдения происхо-
дят пз трех траверз, сделанных самолетом, две — на высоте 200 м и одна —
на высоте 4200 м в указанном направлении. Показан рельеф под траекторией
самолета. Графики показывают вертикальную скорость. Длина волны подвет-
ренных воли — около 10 км [146].
6.9.5. БОЛЕЕ ОБЩИЕ ПРОФИЛИ N(Z)
До сих пор обсуждалась очень простая двухслойная модель
с разными значениями N в разных слоях. Тем не менее эта мо-
дель обладает большей частью важных особенностей, характер-
ных для случая более общего вида зависимости N от z. К мо-
дели с несколькими слоями с различными N можно, очевидно,
применять те же самые методы; такие модели можно исполь-
зовать для аппроксимации решений для непрерывно изменяю-
щегося N (см., например, [77]). Кроме того, эффект разрыва
плотности можно получить [656], если взять тонкий слой с боль-
шим W и устремить его толщину к нулю, в то же время со-
храняя скачок плотности при переходе через слой постоянным.
Результаты двухслойной модели разд. 6.2 можно было бы по-
лучить, например, и таким образом.
Для непрерывно изменяющегося W уравнение для w можно
получить, отыскивая решение уравнения (6.4.12), пропорцио-
188 Гл. 6. Приспособление стратифицированной по плотности жидкости
нальное ехр[/(/гх—со/)] = exp[i/j(xL7)]. Тогда (6.4.12) при-
мет вид
dtwjdz1 + nFw = 0, (6.9.19)
где m2(z) выражено через №(z) согласно (6.8.6) для случая од-
нородной скорости U. Когда U неоднородна (стратифицирован-
ное сдвиговое течение), можно показать (см. разд. 8.9), что
(6.9.19) по-прежнему имеет место, но m2(z) теперь задается
формулой
m2 = (N/uf -k2- U~'d2Uldz2. (6.9.20)
Условие на поверхности имеет вид (6.8.3), а условие на беско-
нечности есть условие направленности излучения вверх, если
решения волновые, и условие стремления к нулю в противном
случае. Одна из аппроксимаций, которая очень часто исполь-
зуется, называется аппроксимацией Лиувилля — Грина или ме-
тодом ВКБ или ВКБД (см. разд. 8.12). Она применяется, когда
свойства среды изменяются достаточно медленно, т. е. когда
m(z) меняется только на малую величину на расстоянии по-
рядка 1/т. В этом приближении не происходит отражения
волн, поэтому решение определяется формулой (6.8.5) на всех
высотах, причем tnz заменяется на ^tndz. Амплитуда wQ изме-
няется так, что плотность потока энергии Fz, направленного
вверх и заданного формулой (6.8.7), не зависит от высоты; это
определяет приближенное решение полностью. Закономерность,
по которой различные параметры волн изменяются с высотой,
следует автоматически. Например, сравнивая (6.8.11) и (6.8.14),
находим выражение для плотности энергии Е:
Е = k~{ (№ - k2U2yif2(N/U)2F'z. (6.9.21)
Оно показывает, например, что для малых k
E~N, (6.9.22)
т. е. плотность энергии наибольшая, когда частота плавучести
наибольшая, и такая зависимость часто наблюдается.
Изучение волн, которые непрерывно генерируются на гра-
нице, не будет проводиться в этой главе. Вместо этого будут
рассмотрены свободно распространяющиеся волны, но при на-
личии таких границ, как земля, поверхность и дно моря. Будут
рассмотрены тем не менее только горизонтальные границы, по-
этому решения можно считать суперпозициями волн, синусои-
дально изменяющихся по горизонтали. Тогда уравнение будет
иметь тот же вид, что и (6.9.19), но граничные условия будут
соответствовать свободным волнам, а не вынужденным.
6.10. Свободные волны при наличии границ 189
6.10. СВОБОДНЫЕ ВОЛНЫ ПРИ НАЛИЧИИ ГРАНИЦ
Изучение стратифицированных жидкостей в этой главе на-
чалось с простого примера двух наложенных друг на друга
слоев различной плотности, который дает хорошее приближение
поведения океана и стратифицированных озер. Теперь будет
изучен случай непрерывно стратифицированного океана или озе-
ра. Изучение будет ограничиваться случаем, в котором дно пло-
ское, но нельзя применять ни гидростатическое, ни длинновол-
новое приближение. (Длинноволновой предел рассмотрен в
разд. 6.11.) Состояние равновесия, возмущения которого рас-
сматриваются, есть состояние покоя, поэтому плотность (а сле-
довательно, и частота плавучести) является функцией только
вертикальной координаты z. Атмосфера несколько отличается
от океана тем, что она не имеет определенной верхней границы,
поэтому изучение волн в этой ситуации будет проведено позднее.
6.10.1. ОКЕАНИЧЕСКИЙ ВОЛНОВОД
Так как в невозмущенном состоянии свойства жидкости по-
стоянны на горизонтальных поверхностях, а границы горизон-
тальны, то решения возмущенных уравнений можно искать в
виде
w — w (г)ехр [i(kx 4- ly — ©0]. (6.10.1)
Уравнение для & можно найти, подставляя (6.10.1) в (6.4.10),
Однако если использовать приближение Буссинеска, как это
сделано в данном разделе, то можно использовать уравнение
(6.4.12), из которого находим
d2w/dz2 4- ((№ - со2)/®2) (/г2 4- Z2) = 0. (6 10.2)
Фактически это уравнение совпадает с (6.9.19) при / = 0, со —
= —Uk. Для окана или озера глубиной Н условие на дне
имеет вид
w=0 при z — ~H. (6.10.3)
На свободной поверхности комбинация (5.2.10) и (5.2.1Ц
дает
др'/dt = Qogw при 2 = 0, (6.10.4)
откуда, используя (6.10.1) и (6.4.7), получаем
w2dxS)/dz — (/г2 4~ l2)gw при 2 = 0. (6.10.5)
Эти две границы удерживают волновую энергию в области ко-
печного вертикального размера, поэтому океан можно рассмат-
ривать как волновод, который заставляет энергию распростри-
190 Гл. 6. Приспособление стратифицированной по плотности жидкости
няться горизонтально. Полезно представлять себе следующую
картину: внутренние волны, распространяющиеся наклонно к по-
верхности (или дну) океана, претерпевают отражения на верх-
ней и нижней границах, что обеспечивает отсутствие потерь
энергии из волновода, тогда как горизонтальное распростране-
ние волн ничем не лимитируется.
Для такого волновода, как океан, характерно то свойство,
что решения уравнения (6.10.2), удовлетворяющие выписанным
граничным условиям, существует лишь при некоторых (соб-
ственных) значениях <о, каждому из которых соответствует своя
мода волновода, или собственная функция, w(z). Вообще го-
воря, собственные функции имеют различную структуру для
разных волновых чисел, но в длинноволновом пределе струк-
тура становится независимой от волнового числа. Тогда соб-
ственные функции называются нормальными модами, и они бу-
дут изучены в разд. 6.11.
Прежде чем находить решения для частного случая, найдем
приближения, которые следуют из того, что разности плотностей
внутри жидкости малы по сравнению с разностью плотностей
сред, разделенных свободной поверхностью. Эти приближения
были введены в разд. 6.2 и 6.3. Что касается двухслойного слу-
чая, то самое большое собственное значение соо соответствует
поверхностной волне, а стратификация очень слабо влияет на
ее свойства. Частота со0 очень велика по сравнению с N, поэтому
уравнение (6.10.2) для w имеет приблизительно тот же вид, что
и уравнение (5.3.5) для р', а дисперсионное соотношение (5.3.8)
для соо получается из граничного условия (6.10.5). Другие внут-
ренние моды имеют со того же порядка (или меньше), что и N,
и для них применимо приближение твердой крышки, т. е. левая
часть равенства (6.10.5) мала по сравнению с правой, поэтому
приближенное граничное условие таково:
$ = 0 при 2 = 0. (6.10.6)
Теперь внутренние моды можно найти, используя это при-
ближение для особенно простого случая постоянного У, кото-
рый рассмотрен Рэлеем в [656]. Этот случай часто применим
к лабораторным экспериментам. Уравнение (6.10.2) имеет си-
нусоидальное решение
w = sin [пг (z + И)], (6.10.7)
где пт задано дисперсионным соотношением для внутренней вол-
ны (ср. (6.8.6))
т2 = + /2)(№ - сй2)/со2. (6.10.8)
Значения, которые может принимать т, образуют дискретное
множество в силу необходимости удовлетворить условию на
поверхности. Если используется приближенное граничное уело-
6.10. Свободные волны при наличии границ 191
Рис. 6.13. (а) Дисперсионная диаграмма для волноводных мод в однородно
стратифицированной жидкости глубиной Н. Опа соответствует вертикальному
волновому числу т, имеющему величину, заданному уравнением mH = ня,
где п — целое число, определяющее помер моды, (б) Дисперсионная диаграм-
ма для полубескопечпоп области, для которой частота плавучести имеет по-
стоянное значение N\ ниже z — H и другое постоянное значение Ns = О.ЗАй
выше z ~ Н. Для Иц < со < существует дискретное множество волновод-
ных мод. Для со < N2 существует непрерывный спектр, т. е. решения суще-
ствуют для всех со, k в этой области. Однако имеется тенденция усиления от-
клика около штриховых линий, которые соответствуют случаю, когда нечетное
число четвертей длины волны укладывается ниже z — H.
вие (6.10.6), то необходимо, чтобы mH было кратно л, поэтому
собственные частоты соп для этого волновода, согласно (6.10.8),
даются формулой
^=1, 2, 3, .... (6.10.9)
Рэлей нашел эквивалентное дисперсионное соотношение для
случая, в котором не предполагается приближение Буссинеска,
и именно об этом уравнении ои сделал цитированное выше за-
мечание относительно со», что существует «предел со стороны
быстроты изменения и не существует предела со стороны мед-
ленности». Дисперсионная диаграмма показана на рис. 6.13, а
192 Гл. 6. Приспособление стратифицированной по плотности жидкости
Рис. 6.14. Собственные функции для внутренних волн, когда частота плавуче-
сти N зависит от z так, как это показано на рис. 3.4 (т. е. так, как это на-
блюдалось в Северной Атлантике около точки 28°N 70°W7). Глубина рассмо-
тренной области немного больше 5000 м, поэтому отметки на вертикальных
осях имеют интервал около 1000 м. (а) Первые две собственные функции для
вертикальной скорости w, когда величина, обратная волновому числу, k~\
равна 1 км. Собственные частоты равны coj = 2,1 X Ю“3 с-1 и со2 = 1,0 X
X Ю-3 ст1. Стрелки отмечают расположение точек перегиба, в которых соб-
ственная частота равна локальной частоте плавучести, (б) Собственные функ-
ции Нп вертикальной скорости (или вертикального перемещения), (в) Соб-
ственные функции рп горизонтальной скорости (или возмущения давления)
для очень малого волнового числа. Собственные функции в этом случае назы-
ваются бароклинными нормальными модами, и рисунок показывает первые две
из них. В пределе, когда /г->0, собственная частота (ол->0, ио волновая ско-
рость сп = ®n/k стремится к конечному пределу. В показанном случае щ ==
= 3,0 м/с и с2 = 1,2 м/е.
и соответствует изменению, показанному на рис. 6.7, вдоль со-
ответствующих плоскостей m = const. Длинные волны имеют
максимальную групповую скорость NH/(nn) для каждой воды,
тогда как короткие волны имеют частоту, приближающуюся
к N снизу. Если нельзя применить приближение твердой крыш-
ки, то m будет немного больше для каждой моды, ио этот эф-
фект на рис. 6.13, а был бы едва заметен.
Для применения к океану модель с постоянным N редко при-
годна, так как изменения N с изменением z похожи на образец
профиля, показанный на рис. 3.4. Существуют аналитические
модели, которые имеют профили N с подобными характери-
стиками (см. [183, 414, 627, 675]), но на практике нетрудно
найти решения уравнения (6.10.2) для действительно наблюдае-
мых профилей N(z). Вычисления столь же просты, если при-
ближения твердой крышки и Буссинеска не предполагаются,
однако это приводит к небольшой разнице в решениях. В ка-
честве примера найденных решений на рис. 6.14 показаны соб-
6.10. Свободные волны при наличии границ 193
ственные функции, соответствующие профилю N(z), изображен-
ному на рис. 3.4.
Если возмущение в океане в начальный момент задано в
виде одной из собственных функций, то тогда последующее по-
ведение его со временем описывается равенством (6.10.1), т. е.
существует колебание с данной частотой. Такая ситуация, одна-
ко, маловероятна, поэтому необходимо представить начальное
пространственное состояние океана как суперпозицию собствен-
ных решений. Тогда каждое из них будет вести себя со време-
нем как указанное выше, и поэтому решение может быть по-
строено для всего времени путем соответствующей суперпози-
ции мод.
6.10.2. СВОБОДНЫЕ ВОЛНЫ В ПОЛУБЕСКОНЕЧНОЙ ОБЛАСТИ
Атмосфера в отличие от океана не имеет определенной верх-
ней границы, поэтому решения уравнения (6.10.2) теперь будут
рассматриваться для случая полубесконечной области z > 0.
В этом случае существуют два типа решений; первый из них ха-
рактерен для случая N «= const. Тогда единственные решения
(6.10.2), которые удовлетворяют условию на земле при z — 0
и остаются ограниченными на бесконечности, — это синусоидаль-
ные, т. е.
$ = sin (mz), (6.10.10)
где т задано формулой (6.10.8). Теперь не существует ограни-
чения па /п, поэтому, согласно (6.10.8), частота со может иметь
любое значение в области 0 со < N, т. е. существует непре-
рывный спектр решений. Суперпозиции таких решений могут
быть использованы для решения начальных задач и имеют вид
интегралов Фурье.
Когда N зависит от z, возможен другой тип решения, а
именно решение, удовлетворяющее условию на земле и стре-
мящееся к нулю при г->оо. Это волноводные моды, и их
имеется в общем случае только конечное число. Простой пример
такого решения был изучен в разд. 6.9, и в этой модели слой
глубины Н с постоянной большой частотой плавучести А) лежит
под полубесконечной областью с постоянной малой частотой
плавучести N2. Подобные модели для электромагнитных и зву-
ковых волн изложены в [105, гл. 9 и 10]. Частоты волноводных
мод лежат в области N2 < со < А), поскольку тогда w изме-
няется синусоидально в нижнем слое (согласно формулам
(6.10.10) и (6.10.8)), по уменьшается экспоненциально в верх-
нем слое с коэффициентом затухания у (см. (6.8.9)), где
у2 = (£2 4- /2) - Nfy/®2. (6.10.11)
7 Зак. 744
194 Гл. 6. Приспособление стратифицированной по плотности жидкости
найденными
уравнением
(6.10.11),
Эти решения фактически являются «резонансными» модами,
в разд. 6.9.4. Собственные частоты определяются
(6.9.16), в котором, согласно формулам (6.10.8) и
(уМ)2 = (1 - 8’)(^ + /2) т~2 - е2, (6.10.12)
а е — отношение N2/Ni, как и в разд. 6.9. На рис. 6.13, б изо-
бражены собственные значения для случая е = 0,3. Это соответ-
ствует кривым А = оо на рис. 6.11. Мода п имеет свыше 2л— 1
четвертей длин волн между уровнем разрыва и землей.
Кроме дискретного множества волноводных мод существует
непрерывное бесконечное множество решений первого типа,
т. е. решений, для которых w изменяется синусоидально в обеих
областях. Для этих решений со < N2. Таким образом, чтобы
установить, как возмущение будет меняться со временем от не-
которого начального состояния, необходимо представить это
состояние в виде суперпозиции как дискретных волноводных
мод, так и непрерывного спектра синусоидальных мод. Относи-
тельные амплитуды различных мод определяются начальным
состоянием. Если, однако, масштаб начального возмущения ве-
лик по сравнению с Н, а е мало, то получаются увеличенные
вклады из окрестностей штриховых линий, показанных па
рис. 6.13,6, т. е. от «продолжения» кривых собственных значе-
ний в области, где спектр непрерывен. Это означает, что со вре-
менем возмущение будет развиваться во вполне регулярную
структуру. Такие регулярные структуры в самом деле иногда
наблюдаются, и на рис. 6.15 показан такой пример (он будет
рассмотрен ниже).
Иногда большая часть энергии оказывается сконцентриро-
ванной в одной волноводной моде, и тогда сравнение наблю-
дений и теории проводится непосредственно. Профили N(г)
можно получить по данным радиозонда, а волноводные моды
можно рассчитать. Часто модель, которая имеет аналитические
решения, дает достаточно точную аппроксимацию наблюдаемых
условий, и многие такие модели описаны в [268, гл. 5]. Напри-
мер, в [269] найдено, что модель с тремя слоями с постоян-
ным W была вполне пригодной для изучения волноводных мод,
наблюдавшихся около Сан-Диего, Калифорния. В этом случае
волны с длинными гребнями, когерентные в пределах несколь-
ких десятков километров, распространялись со скоростью, кото-
рая согласуется с теорией. Обсуждение таких наблюдений про-
водится в [268, гл. 10].
На рис. 6.15 показаны колебания давления у поверхности
земли, а также высоты изэнтропических поверхностей в Гам-
бурге (8 июля 1967 г., сообщено в [746]), когда запущенные ра-
диозонды показывали, что двухслойная модель (6.9.1) весьма
удачно описывает ситуацию при Ч = 37 X Ю-3 с-1, Л/2 =
6.10. Свободные волны при наличии границ 195
Рис. 6.15. Высота поверхностей постоянной потенциальной температуры 0
(сплошные липин), наблюдавшаяся в Гамбурге между 2 ч. 40 мин. и 4 ч. 00 мин.
до полудня 8 июля 1967 г. Показано также (пунктирная линия) давление
р(0), наблюдаемое па уровне земли. В это время подъем радиозондов пока-
зывал условия ночной инверсии с устойчивым слоем глубиной порядка 150 м
около земли и с частотой плавучести, в 4—5 раз большей, чем частота плаву-
чести воздуха выше. Наблюдения интерпретируются как внутренние волны в
нижнем слое с высокой частотой плавучести [746].
= 8,5X 10“3 с-1 и //=150 м. Самая длинная возможная мода
волновода (см. рис. 6.13,6) имеет длину волны порядка 2,5 км,
а период 2л//72 = 12 мин. Перемещение частицы для этой моды
возрастает как синусоида от нуля па земле с максимумом на
верхней границе слоя инверсии. Флуктуации давления (см.
(6.4.7)), с другой стороны, увеличиваются от пуля иа верхней
границе слоя до максимума на земле. Наблюдаемые флуктуации
имеют подобное поведение. В' [746] сообщается, что такие вол-
ны существенно сказываются на радиоприеме в микроволновом
диапазоне: амплитуда сигнала, принимаемого на данной стан-
ции, изменялась с периодами, совпадающими с периодами внут-
ренних волн. Подобное влияние внутренних волн на распростра-
нение звуковых волн обнаружено в океане.
196 Гл. 6. Приспособление стратифицированной по плотности жидкости
6.11. ВОЛНЫ БОЛЬШОГО ГОРИЗОНТАЛЬНОГО МАСШТАБА:
НОРМАЛЬНЫЕ МОДЫ
Океан и атмосфера являются тонкими слоями жидкости в
том смысле, что их горизонтальная протяженность гораздо
больше, чем вертикальная. Поэтому неудивительно, что большая
часть энергии, связанная с движением, содержится в компонен-
тах, горизонтальный масштаб которых гораздо больше, чем
вертикальный. Для таких компонент можно сделать определен-
ные упрощения, и они используются со времен Лапласа (1778—
1779). Упрощение состоит в том, что можно использовать метод
разделения переменных, т. е. решение можно выразить в виде
суммы нормальных мод, каждая из которых имеет фиксирован-
ную вертикальную структуру и ведет себя в горизонтальном
измерении и во времени таким же образом, как однородная
жидкость со свободной поверхностью. Это справедливо даже
тогда, когда вводятся эффекты вращения, и дает полезное упро-
щение при изучении этих явлений в следующих главах.
Понятие нормальных мод было введено в начале этой главы
для специального случая двух наложенных друг па друга слоев
жидкости с постоянными плотностями. Это уже дает хорошее
описание поведения океана или озера во многих случаях. Теперь
теория будет распространена на случай непрерывно стратифици-
рованных океанов или озер. Основное различие здесь состоит в
том, что теперь существует бесконечное множество бароклин-
ных мод вместо одной, но все эти моды ведут себя сходным
образом. Приближение длинных волн можно также использо-
вать в атмосфере, где нет фиксированной верхней границы.
Тогда вместо дискретного множества мод существует непрерыв-
ный спектр.
Рассмотрим сначала нормальные моды для непрерывно стра-
тифицированных океана или озера с плоским дном. Существуют
предельные формы волноводных мод, рассмотренных в послед-
нем разделе, при &2 +/2-> 0. Случай постоянного N является
хорошим примером. Здесь дисперсионным соотношением для
бароклинных мод служит уравнение (6.10.9), что и показано па
рис. 6.13,67. Для малых значений (k2 -f- /2) №/(/г2л2) собствен-
ные частоты (оя определяются из приближенного соотношения
<о2/(^ + /-’) = с2~ №/(п№). (6.11.1)
Таким образом, горизонтальная фазовая скорость сп .==а
(Ол/(^2 -р I2)1/2 имеет в пределе постоянное значение, что спра-
ведливо также и для других плотностных структур. Из этого
следует, что длинные волны имеют низкую частоту, так как
(рл->0 при /г2 + /2—>0. Другая особенность следует из уравнения
(6.5.8), показывающего, что при k2 + I2 <С tn2 применимо гидро-
статическое приближение. И наоборот, если вначале было при-
6.11. Волны большого горизонтального масштаба 197
мечено гидростатическое приближение, то полученные уравне-
ния совпадут с уравнениями, полученными в длинноволновом
пределе. Таким образом, гидростатическое и длинноволновое
приближения совпадают, как это было и в случае однородной
жидкости (см. разд. 5.5).
Теперь рассмотрим, как уравнения разд. 6.4 видоизменяются,
если применить гидростатическое приближение. Из трех основ-
ных уравнений (6.4.4) и (6.4.6) остаются неизмененными, а
(6.4.5) заменяется гидростатическим уравнением
dp'jdz = — p'g. (6.11.2)
Из двух полученных выше уравнений (6.4.7) и (6.4.8) первое
остается неизменным, т. е. уравнение для горизонтальной дивер-
генции по-прежнему имеет вид
p052w/^ dt = (d2/dx2 + d2/dy2) р', (6.11.3)
но (6.4.8), которое относится к вертикальному движению, те-
перь заменяется на приближенное уравнение
.V2w = - p-Wp'/dzdl. (6.11.4)
Ясно, что два уравнения, (6.11.3) и (6.11.4), обладают реше-
ниями с разделяющимися переменными вида
w = /г (г) w (х, у, I), р' == p(z)ri(x, у, i), (6.11.5)
где Р и /г удовлетворяют соотношениям
Ро"1 (г) р cl dfi[dz, (6.11.6)
ро-1 (г) dp/dz = -№ (z)fi, (6.11.7)
а се — постоянная разделения переменных, имеющая размер-
ность скорости.
Здесь используется обозначение d потому, что d(г) дает
также изменение по z вертикального перемещения h частицы
жидкости, и потому, что (6.11.6) и (6.11.7) тогда будут иметь
согласованную размерность, если ft имеет размерность пере-
мещения, а р — размерность давления. Соответствующие урав-
нения по х, у и t имеют вид
w = dx\fdzt (6.11.8)
dw/dt = cl (d2f[/dx- + d'2r\/dy2). (6.11.9)
Эти уравнения имеют тот же вид, что и уравнения для однород-
ной жидкости с перемещениеме свободной поверхности гр и сво-
дятся к волновому уравнению (5.6.10). Обозначение гр кроме
того, удобно, если предполагается, что вертикальное перемеще-
198 Гл. 6. Приспособление стратифицированной по плотности жидкости
ние h частицы жидкости с учетом (6.11.5) и (6.11.8) задается
в виде
h — h (г) rj (х, у, i). (6.11.10)
Аналогию можно провести и дальше, выписывая уравнения
для горизонтальной скорости. Компоненты (и, у) при разделе-
нии переменных имеют вид
и = й(х, z/, /)p(2)/(g-ptl(2)), v = v(x, у, i)ft(z)/(gp{}(z)). (6.11.11)
Подстановка этих выражений в (6.4.4) дает уравнения того же
вида, как и (5.6.4), (5.6.5) для одного слоя, а именно
дй/dt — — gdvtfdx, dv/di — — gdvjdy. (6.11.12)
Условие несжимаемости (6.4.3) приводит к уравнению нераз-
рывности, совпадающему с уравнением (5.6.6) для одного слоя,
а именно
dx\/dt 4- Н^дй/дх + dv/dy) = 0. (6.11.13)
Глубина Не, входящая в это уравнение, называется эквивалент-
ной глубиной, т. е. глубиной эквивалентной однородной си-
стемы, и связана с постоянной разделения переменных се соот-
ношением
cl = gHG. (6.11.14)
Действительно, однородная жидкость представляет собой част-
ный случай N = 0, для которого из (6.11.7) следует, что ft не
зависит от глубины. Случай двух наложенных друг на друга
однородных слоев, рассмотренный в начале этой главы, пред-
ставляет собой другой частный случай, и понятие эквивалентной
глубины уже было введено в связи с ним.
Значения, которые может принимать постоянная разделения
переменных се, определяются с помощью двух граничных усло-
вий для ft и Н. Для океана с постоянной глубиной И условие
(5.2.11) на свободной поверхности принимает вид
/5 = Pog7i при z = 0, (6.11.15)
а на дне океана оно равно
А = 0 при Z — — H. (6.11.16)
Уравнения, которым необходимо удовлетворить, (6.11.6) и
(6.11.7), можно привести к одному уравнению относительно ft
или ft. Уравнение относительно ft, например, имеет вид
1 d ( dhx . № г „ ,,
----— ( Ро ~т~ ) Ч—2"А = 0. (6.11.17)
pQ dz V dz J Cg
Это задача Штурма — Лиувнлля, и можно провести аналогии с
нормальными модами осцилляций для других систем., например
6 11. Волны большого горизонтального масштаба 199
натянутой струны (см. приложение к [456]). В тех случаях,
когда применимо приближение Буссинеска (т. е. ро изменяется
медленно по сравнению с /Г), (6.11.17) можно заменить урав-
нением
cPhldz2 + (N/cJ2 h = 0. (6.11.18)
Для непрерывно стратифицированного океана или озера су-
ществует бесконечная последовательность сп, п — 0, 1, 2, 3, ....
возможных (собственных) значений се, расположенных в по-
рядке убывания, а соответствующие собственные функции (нор-
мальные моды) обозначаются так:
pn(z), r> = 0, 1, 2, 3, ....
Нулевая мода — это баротропная мода, для которой приближен-
ным решением уравнения (6.11.18) служит решение, полученное
при N = 0, а именно
А) = Ро^> = cl = gH. (6.11.19)
Так как значения Н расположены между 4 и 6 км для большей
части океана, то Со обычно находится между 200 и 250 м/с, но
для мелких морей и континентальных шельфов, где Н может
принимать значения от 40 м до 160 м, с0 принимает значения
между 20 м-с-1 и 40 м-с-1.
Значения сп для бароклинных мод можно легко найти из
(6.11.17), используя при вычислении наблюдаемые профили
плотности. Примеры вычисленных собственных функций пока-
заны на рис. 6.14,6,5. Часто профили, для которых можно по-
лучить аналитические решения (см., например, [414] ), дают хо-
рошие приближения. Для океана значения щ обычно около
2 м/с или 3 м/с, в то время как при больших п сп обратно про-
порционально п, как видно из решения(6.11.1) при постоянном
N. Для всех бароклинных мод можно использовать приближе-
ние твердой крышки, т. е. считать перемещения поверхности
малыми по сравнению с перемещениями внутри жидкости, по-
этому хорошие приближения для решений получаются заменой
условия на поверхности (6.11.15) условием твердой крышки
/г = 0 при z = 0. (6.11.20)
Необходимо иметь в виду, однако, что давление не равно нулю
при 2 — 0, а перемещения свободной поверхности, хотя и малы
по сравнению с внутренними перемещениями, могут быть изме-
рены с помощью приливомера [876]. Величину перемещения по-
верхности можно все-таки найти из решения для случая твердой
крышки, поскольку р не равно нулю при z == 0, и таким образом
(6.11.15) дает оценку для Н.
Для полубесконечной области z > 0, которая может моде-
лировать атмосферу, можно применить метод разделения
200 Гл. 6. Приспособление стратифицированной по плотности жидкости
переменных. Краевыми являются условие (6.11.20) па земле
(г=0) и условие исключения экспоненциально растущих (при
2—>оо) решений. Эти условия позволяют принимать для се лю-
бое значение из некоторой непрерывной области. Рассмотрим
два частных случая, которые были изучены ранее. Первый —
это среда с постоянной частотой плавучести /V; тогда допусти-
мые решения уравнения (6.11.18) суть
h = sin (mz), р"1^ = (N/m)2 cos (jnz), cc = Nlm, (6.11.21)
0 < tn < oo.
Второй случай был изучен в разд. 6.9, а именно случай, для
которого частота плавучести равна постоянному значению М
вплоть до высоты Н, и имеет значение N2 = &N выше этого
уровня. В этом случае уравнение (6.11.18) имеет решение
' m~l sin (mz) для Q<z^H,
Л = ] /л"1 sin(/H#)cos[eMz —Я)]+ (6.11.22)
. 4- (etn)~l cos (mH) sin [e/n(z— Я)] для z>H,
где
т — 1щ = Ы!с&, 0 < m < oo (6.11.23)
есть вертикальное волновое число в слое около земли, а т2 =
= N2/ce = &m — это вертикальное волновое число в области
выше z = Н.
Если оказывается, что начальная структура совпадает с од-
ной из нормальных мод, то эта структура будет сохраняться в
последующие моменты времени. Тогда приспособление к равно-
весию будет происходить в соответствии с волновыми уравне-
ниями (6.11.8) и (6.11.9). Для произвольных начальных условий
задачу эволюции к равновесию можно решить с помощью супер-
позиции нормальных мод; примеры даны в следующих двух
разделах.
6.12. ПРИМЕР ЭВОЛЮЦИИ К РАВНОВЕСИЮ
В СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ жидкости
В гл. 5 были рассмотрены примеры, в которых свободная
поверхность однородной жидкости была первоначально смещена
из своего состояния равновесия и затем рассматривалась эво-
люция жидкости к равновесию под действием силы тяжести.
Эта эволюция была показана на рис. 5.9. Теперь будет рас-
смотрен подобный пример для непрерывно стратифицированной
жидкости, и при этом выяснится, что многие свойства останутся
прежними.
Математически задача по существу проста: требуется только
выполнить соответствующую суперпозицию простых решений,
6.12. Пример эволюции к равновесию в стратифицированной жидкости 201
изученных в предыдущих разделах. Для этого нужно, во-первых,
разложить начальное возмущение на компоненты соответствую-
щего вида, а свойство ортогональности собственных решений
позволяет сделать это непосредственно. Поведение во времени
каждой компоненты решения известно из предыдущих разде-
лов, поэтому известно, что решение в любой данный момент вре-
мени является синтезом этих компонент. Подробные вычисления,
однако, могут быть трудными. Эти методы хорошо известны и
применяются для всех видов воли (электромагнитных, акусти-
ческих, электрических и т. д.), они изложены во многих учебни-
ках по таким волнам (например, [81, 787, 854, 456] ). Пример,
выбранный для изучения в этом разделе, представляет собой
особенно простой случай, для которого точное решение можно
найти аналитически, тем не менее это решение хорошо иллю-
стрирует соответствующие принципы и вполне удовлетворитель-
но описывает поведение стратифицированной жидкости.
Как и в задаче, рассмотренной в гл. 5, будет предполагаться
выполненным гидростатическое приближение. Это означает, что
решение можно выразить через решения, рассмотренные в
разд. 6.11. Также предполагается выполненным приближение
Буссинеска (изменение плотности по вертикальному масштабу
возмущения D считается малым). Жидкость имеет постоянную
частоту плавучести N и занимает полубесконечную область
z > 0. Она первоначально находится в покое, но изопикнические
поверхности смещаются из своего состояния равновесия. Как
эти поверхности будут эволюционировать к своему состоянию
равновесия? Чтобы показать процесс эволюции, будет приведен
пример, в котором каждая изопикническая поверхность имеет
первоначально профиль ступенчатой функции, как в примере
разд. 5.6, т. е. вертикальное перемещение поля h имеет вид
(ср. (5.6.13))
/г = — hin (z) sgn (х) для / = 0. (6.12.1)
Функция hin(z) задает изменение начального перемещения е
высотой, a sgn(x)—это знак х, т. е. функция, определенная
формулой (5.6.14). Начальное распределение в виде ступенчатой
функции, хотя и удобно для иллюстрации, но не является строго
совместимым с гидростатическим приближением из-за наличия
бесконечного горизонтального градиента. Поэтому ее лучше
считать функцией, более плавно меняющейся по горизонтали,
точная форма которой не. описывается в принятом прибли-
жении.
Решение h для полубесконечной области с постоянной N
можно представить в виде суперпозиции решений вида (6.11.10)',
вертикальная структура которых h задается равенством
(6.11.21). Суперпозиция имеет вид интеграла Фурье, который
удобнее выразить через вертикальное волновое число пг, а не
202 Гл. 6. Приспособление стратифицированной по плотности жидкости
через се. Тогда
оо
h — tj (х, Z; m) sin (mz) dm, (6.12.2)
о
где т]удовлетворяет волновому уравнению с волновой скоростью
ce~N/tn, согласно (6.11.21). Решения даны в разд. 5.6 п для
частного случая, рассмотренного здесь, они имеют вид (см.
(5.6.11))
П = ~ yr|o(^){sgn(x + M//m)4- sgn(x — Nt/m)}. (6.12.3)
Сравнение (6.12.1) и (6.12.2) для данного случая показывает,
что т)о(^)—это функция вида
оо
/iin(z)=^ (tri) sin (tnz)dtn, (6.12.4)
о
т. е. /iin(2) и т]о(tn)— взаимные преобразования Фурье.
Для иллюстративных целей удобно выбрать для Цо (tn) про-
стую аналитическую функцию, чтобы решение имело простой
вид. Выбор
т\0(т) = 2h(iDe~mD (6 12.5)
соответствует начальному распределению с высотой вида
Л1п (z) = 2 DhQzKD* + z2). (6.12.6)
Максимальное значение равно ho, оно получается при z~D.
Для этого случая можно найти точное решение, подставляя
(6.12.5) и (6.12.3) в (6.12.2). Имеем
h — — 2D (£>2 4~ z2)"1 h{]e~sD {z cos (sz) 4- D sin (52)} sgn (x), (6.12.7)
где
s = W|x| (6.12.8)
— переменная подобия в том смысле, что х и i появляются
только в комбинации вида (6.12.8). Эта комбинация возникает
потому, что она равна значению т для волны, которая приходит
в точку х в момент времени t. Полученное решение показано на
рис. 6.16. На рис. 6.16, а показано начальное перемещение раз-
личных линий частиц, а на рис. 6.16, б показана конфигурация
в последующие моменты времени. В этом приближении картина
подобна в любой момент времени и только растягивается гори-
зонтально, как если бы она была нарисована на листе резины,
который растягивается с постоянной скоростью. Такое поведение
также характерно для простого случая, показанного на
рис. 5.9, а.
6.12. Пример эволюции к равновесию в стратифицированной жидкости 203
Так как начальное возмущение имеет определенный верти-
кальный масштаб D, характерные изменения структуры распро-
страняются горизонтально со скоростями порядка ND, что соот-
ветствует этому масштабу. Здесь нет отчетливого волнового
фронта, как в однородном случае, так как различные компо-
ненты перемещаются с различными скоростями, например все
компоненты со скоростями между ND/2 и ND будут давать зна-
чительный вклад в решение. В других отношениях решение ве-
дет себя, как в однородном случае. Рассмотрим, например,
точку х справа от начального разрыва. По прошествии времени
порядка x/(ND) частица в этой точке начинает значительно
подниматься и двигаться вправо. Когда i становится большим
по сравнению с x/(ND), частица приближается к своему равно-
весному уровню Потенциальная энергия начального поля пре-
вратилась в кинетическую, а частица имеет постоянную ско-
рость, направленную вправо.
Подробности поля скоростей и энергетики можно найти либо
суммированием индивидуальных мод, либо непосредственным
вычислением точных решений. Например, и можно найти из
уравнения (6.12.7), интегрируя уравнение неразрывности
ди/дх -|- dw[dz s dufdx + d-hjdz dt — 0,
т. e.
sdu/ds — Nd2h/ds dz. (6.12.9)
(Замечание. Можно найти другие точные решения, если уравне-
ния записаны в переменных s п г.) Имеем
и = 2ND(D'2 + z2)”1 /г0 {D — e~s'D(D cos (sz) — z sin (sz))}. (6.12.1'1)
После того как пройдет много времени, скорость станет функ-
цией только от z, а именно
и = 2ND'ih.Q/(D- + z2), (6.12.11)
и можно проверить, что кинетическая энергия, связанная с этим
движением, равна потенциальной энергии, связанной с началь-
ным перемещением частиц жидкости, заданным равенствами
(6.12.1) и (6.12.6).
Особенностью решения (6.12.7), отсутствующей в случае мел-
кой воды, является распространение энергии вверх. Это можно
наблюдать на линиях равной фазы. Если они определены как
липни, соединяющие точки, в которых h достигает максимума
пли минимума одновременно, то они соответствуют точкам, в
которых величина Ntz/1 х| кратна л. Таким образом, линии рав-
ной фазы являются прямыми, выходящими из начала коорди-
нат, которые спускаются к горизонтальной плоскости с течением
времени. Это соответствует распространению энергии вверх.
Одна такая фазовая линия показана на рис. 6.16, б.
204 Гл. 6. Приспособление стратифицированной по плотности жидкости
Объединяя два решения вида (6.12.7), можно получить ре-
шение для случая, в котором начальное возмущение имеет ко-
нечные горизонтальные размеры, т. е. перемещения частицы
жидкости на любом уровне имеют вид (5.6.15). Как и в случае
однородной мелкой воды, энергия, первоначально сосредоточен-
ная в ограниченной области, теряется посредством излучения,
но теперь могут существовать как направленные вверх компо-
ненты распространения энергии, так и горизонтальные компо-
ненты.
Можно построить решения для случаев, в которых N изме-
няется в зависимости от г подобным образом, хотя упрощения
Рис. 6.16. Приспособление к равновесию жидкости с постоянной частотой пла-
вучести N. Показанный результат основан на вычислениях, которые предпо-
лагают бесконечно малые возмущения, удовлетворяющие гидростатическому
уравнению, (а) Начальное смещение из состояния равновесия отдельных изо-
пикн, заданных уравнениями (6.12.1) и (6.12.6), максимальное смещение па
высоте г = D. (б) Перемещения этих же изопикн в момент времени /, если
среда несжимаема и полубесконечна. Результаты применимы к атмосфере
с постоянным N, когда D мало по сравнению с приведенной высотой. Гори-
зонтальные линии с двух сторон чертежа показывают начальные состояния
изопикн. Штриховая линия соединяет точки максимальных перемещений, т. е.
является линией постоянной фазы, (s) Перемещения изопики в момент времени
/, если среда является несжимаемой жидкостью конечной глубины nD со сво-
бодной поверхностью. Волновой фронт, связанный с баротроппыми волнами,
совсем исчез с рисунка, так как он движется очень быстро по сравнению
с бароклинными модами. Приспособление происходит за ряд шагов, так как
существует дискретное множество мод. Первый скачок, соответствующий пер-
вой моде, имеет один и тот же знак на всех уровнях п изменяется синусои-
дально с волной, половина которой равна расстоянию между свободной по-
верхностью и дном. Второй скачок показывает структуру второй моды и т. д.
Если линии начерчены так, чтобы сгладить скачок, получается прекрасная
аппроксимации решения (б), кроме свободной поверхности, где важно влия-
ние границы, (г) Перемещения изопикн в момент времени /, если среда яв-
ляется сжимаемой изотермической атмосферой полубесконечпой протяженно-
сти и D = 2HS, т. е. сравнима с приведенной высотой. В этом случае скорость
маенмалыюго возмущения равна т. е. составляет 90 % скорости звука,
М связанный с ним фронт ясно виден.
6.12. Пример эволюции к равновесию в стратифицированной жидкости 205

Рис. 6.16 (продолжение).
206 Гл. 6. Приспособление стратифицированной по плотности жидкости
в анализе, вроде сделанных в приведенном выше примере, вряд
ли возможны. Например, когда N имеет одно значение вплоть
до высоты И, а затем другое постоянное значение, то суперпози-
ция решений может быть представлена в виде
оо
h — ц (х, t‘, m) А (z; m) dm,
о
где теперь Я— это функция, заданная согласно (6.11.22), а се
связано с т соотношением (6.11.23). Интересен случай, в кото-
ром е мало, так как тогда большая часть энергии сосредоточена
в компонентах, для которых т близко к почетному кратному
числа л. (Это свойство на самом деле тесно связано с наличием
больших значений А, заданного с помощью (6.9.17), па соответ-
ствующих интервалах горизонтальной оси на рис. 6.11.) В ре-
зультате большинство изменений в фиксированной точке свя-
зано с прохождением через нее этих энергетических компонент,
и поэтому эти изменения происходят посредством последова-
тельных скачков, а не гладких переходов.
6.13. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ ПО НОРМАЛЬНЫМ МОДАМ
ДЛЯ ОКЕАНА
Решения, полученные разделением переменных, широко ис-
пользуются при изучении неустановившихся океанических тече-
ний. В противоположность случаю неограниченной среды, для
ограниченной области существует только дискретное множество
таких решений, поэтому суперпозиция имеет вид суммы, а ие
интеграла, а именно (см. (6.11.5) и (6.11.10))
оо
w = S hn (z) wn (х, у, t),
оо
р'= Е РЛх}х\п(х, у, I), (6.13.1)
п = 0
ОО
h= S у, I),
п=0
и аналогично для и, v (см. (6.11.11)). Здесь рп и удовлетво-
ряют уравнениям (6.11.6) и (6.11.7), где се принимает допусти-
мые значения сп (п—0, 1, 2, ...), расположенные в порядке
убывания. Переменные и rjrt удовлетворяют тем же уравне-
ниям (6.11.8) и (6.11.9), что и уравнения для однородного мел-
кого слоя глубины c2n/g, поэтому решение для fj п находится
непосредственно.
Чтобы найти, как происходит приспособление к равновесию
для некоторого данного начального условия, необходимо выра-
6.13. Представление решения по нормальным модам для океана 207
зить начальное возмущение через нормальные моды. К счастью,
это просто, гак как нормальные моды ортогональны друг другу
в смысле, определенном ниже. Условия ортогональности нахо-
дятся с помощью стандартных процедур для систем Штурма —
Лиувилля, примерами которых служат (6.11.6) и (6.11.7) или
такие эквивалентные формы, как (6.11.17). Такие процедуры
описаны в учебниках по дифференциальным уравнениям, на-
пример в [60]. Скажем если уравнения (6.11.17) для умно-
жить па и затем вычесть из соответствующего уравнения
для /г«, умноженного иа р<Дп, то получим
7-(рой». -^--Ро/Д-^) = (Ч----------ИрХМ». (6-13.2)
dz у dz az J у ст сп J
Интегрирование этого уравнения по глубине океана и использо-
вание граничных условий (6.11.15) и (6.11.16) приводит к ра-
венству
о
р0Л;2/гот (г) А,г (2) rfz + Pog’AOT(O)An(O) = O, если m =/= п, (6.13.3)
-н
которое является условием ортогональности для /г. Эквивалент-
ная процедура для уравнения относительно р приводит к усло-
вию
о
$ Pndz===®’ если (6.13.4)
-н
которое можно также вывести из (6.13.3) и соответствующих
уравнений и граничных условий. Это условие ортогональности
для р. Если выполняется приближение Буссинеска, то ро в
(6.13.3) и (6.13.4) можно рассматривать как постоянную, а не
как функцию от г. Если приближение твердой крышки также
выполняется, то вторым членом в уравнении (6.13.3) можно
пренебречь, и поэтому
о
N2hm(z) fin(z) dz = О, если m =£ n. (6.13.5)
-H
Чтобы разложить w, p' или h по нормальным модам, т. e.
представить их в виде (6.13.1), нужно определить коэффициенты
wn и трг. Это достигается применением операторов, которые вхо-
дят в (6.13.3) и (6.13.4), к (6.13.1). Например если выражение
(6.13.1) для р' умножается наР^’^и интегрируется по глубине
океана, то все члены правой части, кроме членов с индексом т,
208 Гл. 6. Приспособление стратифицированной по плотности жидкости
становятся равными нулю согласно (6.13.4). Поэтому
о о
5 Р;'РХ(г)* = Пт $ Р0"'Л2т*, (6.13.6)
-н -н
и это дает требуемое выражение для fjOT. На практике нормаль-
ные моды 0m, которые соответствуют конкретному случаю,
можно получить численно, а коэффициенты лm вычислить путем
численных расчетов интегралов в (6.13.6). Аналогичный способ
можно использовать, когда требуется получить разложение че-
рез /г; например, из (6.13.1) и (6.13.3) следует
$ P^2hfitn dz + pog/i (0)йт(0) = ) J + pog (Am (0))4.
-H I -Ff )
(6.13.7)
Для иллюстрации рассмотрим океан с постоянной час го гой
плавучести N, который первоначально находится в покое, но
имеет изопикны, смещенные от состояния равновесия и имеющие
вид ступенчатой функции распределения (6.12.1). Предположим
также, что изменение hin с высотой то же, что и в разд. 6.12, а
именно
hin (2) = 2 DhQ (z + Я)/(П2 + (z 4- Я)2). (6.13.8)
Оно отличается от (6.12.6) только тем, что дно теперь располо-
жено при г = —Н вместо 2 = 0. Начальные значения fjm(x, 0)
коэффициентов в (6.13.1) можно найти, применяя (6.13.7) к на-
чальному распределению. Решение в последующие моменты вре-
мени имеет вид (5.6.11), соответствующий волновому уравнению,
а именно (см. (6.12.3))
цш(х, о= уПггДх, 0) {sgn(x 4- M) + sgn(x - (6.13 9)
где c0 задается согласно (6.11.19); другие значения ст опреде-
ляются с помощью (6.11.1) при условии, что приближения Бус-
синеска и твердой крышки применимы для бароклинных мод.
Каждая мода ведет себя со временем так, как показано на
рис. 5.9, а, т. е. ступенчатое изменение изопикнической высоты
движется со скоростью сот, соответствующей этой моде. Таким
образом, изменения по времени в данной точке 2 происходят
в виде ряда ступенчатых изменений. Никакое влияние ие ощу-
щается вообще до момента времени x/cQ, когда появляется баро-
тропная мода. Гораздо позже, в момент времени х/щ, появляется
первая бароклинная мода, и, следовательно, следующие моды
появляются через равные промежутки времени (для случая
W = eonst). На рис. 6.16,в показано решение для случая II —
= nD для сравнения со случаем неограниченной среды, нриве-
6.14. Приспособление к состоянию равновесия 209
денным на рис. 6.16, б. На более ранних стадиях вертикальная
структура очень проста, так как содержит только одну или две
моды; позднее структура содержит много мод и может стать
совсем сложной, включая несколько изменений знака с высотой.
Такие эффекты наблюдаются в лабораторных экспериментах, в
которых возмущения генерируются извне от локализованного
источника.
6.14. ПРИСПОСОБЛЕНИЕ К СОСТОЯНИЮ РАВНОВЕСИЯ
В СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
Малые отклонения от состояния покоя для сжимаемой жид-
кости можно исследовать теми же методами, которые использо-
вались до сих пор, однако возрастает сложность уравнений из-за
введения дополнительных эффектов. Эффектами вязкости, диф-
фузией и изменениями состояния (например, конденсацией) бу-
дем снова пренебрегать, поэтому потенциальная температура и
влажность (или соленость) сохраняются в движущейся частице
жидкости. Тем не менее уравнение состояния другое, так как
плотность сжимаемой жидкости изменяется с изменением дав-
ления. Таким образом, уравнения (6.4.2) и (6.4.3) изменяются.
Первое, полученное из уравнения состояния, заменяется соот-
ветствующим вариантом уравнения (4.10.7), а именно
DpfDl — с~2 Dp/Dt, (6.14.1)
где Cs — скорость звука, определяемая согласно (3.7.16). Следо-
вательно, последнее уравнение, выражающее сохранение массы,
принимает вид (4.10.10), а именно
c-2£>p/DZ + pV -11 = 0. (6.14.2)
Для малых отклонений от состояния покоя можно использо-
вать линеаризованные варианты этих уравнений. Уравнение
(6.14.1) заменяется уравнением
dp'/dt 4- w dp^dz = с~2 (dp'/dt — #p(Jw),
или
dp'/dt — g~'p&N2w = c"2 dp'/dt, (6.14.3)
где частота плавучести N (или частота Бранта — Вяйсяля) для
сжимаемой жидкости определяется формулой
N2 = - g (РТ1 dp&/dz 4- g/c§. (6.14.4)
Эквивалентность этого определения определению, данному в
гл. 3 (уравнение (3.7.9))', следует из выражения
1 др
р dz
А дР
р др dz
1 дР 1 др d$
р дв dz ' р dz dz ‘
210 Гл. 6. Приспособление стратифицированной по плотности жидкости
Следовательно,
= . (6.14.5)
р3 dz dz dz
Здесь использованы определения (3.7.10), (3.7.11), (3.7.16) и
гидростатическое уравнение.
Линеаризованный вид уравнения сохранения массы (6,14.2)
имеет вид
да t dv . dw . 1 / др' \ л
— + — + — 4-----------т —Ро^ =0- (6.14.6)
dx оу dz р()с; X. dt /
Как и ранее, р' и (/—возмущения давления и плотности, т. е.
отклонения от значений гидростатического равновесия, где для
невозмущенного потока используется уравнение гидростатиче-
ского равновесия (4.5.18). Полная система уравнений, опреде-
ляющих движение, состоит из (6.14.3), (6.14.6) и уравнений для
количества движения (6.4.4) и (6.4.5).
Уравнение энергии для возмущений получается умножением
(6.4.4) на (и, и), (6.4.5) на to, (6.14.3) на &2(pz — P7cs)/(Pu^“)
(6.14.6) на р' и сложением результатов. Это дает
~di { ~2 w2
1 g2
2 р0№
/\2 । 1 Р/а т
cs) 2 Pocs J
л л л
+ __ (р _ (р _j_ __ (р w) — о. (6.14.7)
По сравнению с соответствующим уравнением (6.7.1) для слу-
чая несжимаемой жидкости изменилось выражение для суммы
потенциальной и внутренней энергий. Часть этой величины, свя-
занная с внутренним движением, теперь задается формулой
,АS S и i (р' - fу+7 S}dx Лу dz- (6-11 -8)
Она также называется доступной потенциальной энергией для
бесконечно малого возмущения (см. разд. 7.8). Эту же величину
можно выразить через перемещение h частицы жидкости. Так
как Dh/Dt = w, то из (6.14.3) находим
A = ^(pz —р7с2)/(р0№), (6.14.9)
и поэтому
= (^РЛ^ + уРо’ЦР'/с,)2)^^^- (6.14.10)
Первый член внутри скобок связан с вертикальными перемеще-
ниями. Второй член может быть ненулевым и при отсутствии
вертикального перемещения, так как возмущения давления в
сжимаемой среде могут быть вызваны чисто горизонтальным
6.14. Приспособление к состоянию равновесия 211
движением, если оно конвергентное пли дивергентное. Еще од-
ной формой записи выражения (6.14.10) является его запись
через потенциальную температуру 0 и концентрацию s (которая
может означать соленость или влажность). Уравнения сохране-
ния (4.1.8) и (4.1.9) для малых возмущений приводятся к виду
0' + h d^/dz — 0, s' + h ds0/dz — 0, (6.14.11)
или, согласно (3.7.9), к виду
g(a'O'- ₽'$') +№/г = 0. (6.14.12)
Это уравнение можно также вывести из (6.14.9). Таким образом,
(6.14.10) можно также записать в виде
Л' = J J { Т Ри ~ Р'И’ + Т Р(Г‘ (/;Ч)2} dx d’d dz
(6.14.13)
Два ранее выведенных уравнения, включающие только w' и
р', можно получить так же, как и в разд. 6.4. Уравнение для
горизонтальной дивергенции, полученное из (6.4.4), отличается
только выражением для дивергенции через w и р', которое вы-
водится из (6.14.6). В результате находим
/дау g \ / д2 . д2 I д2 \
---/------------ цу j — {--— ------------j — I р
dt \ dz сз-/ \ $х~ dtf" сз <^2)
(6.14.14)
Это уравнение заменяет (6.4.7). Уравнение для вертикального
движения, заменяющее (6.4.8), находится исключением р' из
(6.4.5) и (6.14.3). В результате получаем
д2а/
dt*
1'^ “ пн......*.......—~~—’
Ри
д / др'
dt у dz
,2
/)•
(6.14.15)

большой диапазон высот, сле-
Когда движение охватывает
дует использовать уравнения (6.14.14) и (6.14.15) вместо (6.4.7)
и (6.4.8). При таких условиях целесообразно выбрать другие
зависимые переменные. Причины можно увидеть для движений,
для которых члены плотности энергии в (6.14.7) не изменяются
с высотой. Тогда скорость возрастает с высотой пропорциональ-
но РТ1/2» а возмущение давления понижается пропорционально
р'/< Чтобы устранить эту зависимость, новые переменные (обо-
значаемые прописными буквами) вводятся следующим образом
((/, V, = v, w),
р = p-i/y.
(6.14.16)
212 Гл. 6. Приспособление стратифицированной по плотности жидкости
В новых переменных полученные выше уравнения примут вид
д / dW __ dt I dz d2W , dt2 1 ru/) = N2W = / d2 , d2 dx2 dy2 c2 dt2) ’ -гр), (6.14.17) (6.14.18)
d dt -Г—4 \ dz
где
Г = — rfPo 1 _g_ = _g_. _ N2 \ (6.14.19)
2po dz cs 2 \ Cg S )
(Это Г не следует путать с адиабатическим градиентом, который
также был обозначен через Г в гл. 3.)
Характер решений этих уравнений наиболее удобно проиллю-
стрировать для случая изотермической атмосферы, т. е. атмо-
сферы, в которой температура Тс не зависит от высоты. Состоя-
ние покоя в этом случае имеет свойства, рассмотренные в
разд. 3.5, т. е. давление и плотность уменьшаются экспонен-
циально с высотой (см. (3.5.12) и (3.5.8)):
р ~ ехр(— zlH&), р ~ ехр(— zjHs). (6.14.20)
Здесь приведенная высота Н& определяется с помощью (3.5.13):
H3==RTc/g, (6.14.21)
где R— газовая постоянная. Скорость звука с5 задается с по-
мощью (3.7.17), или приближенным выражением (3.7.18), ко-
торое было бы точным для идеального двухатомного газа, а
именно
7 7
cl = T^c = -^gHs. (6.14.22а)
Следовательно,
N2 = ygffr, (6.14.226)
поэтому уравнения (6.14.17) и (6.14.18) имеют постоянные коэф-
фициенты и приводят к дисперсионному соотношению
с(k2 + l~ + m1 + (Wcs)2 + Г2) + (k1 + /2) N2 = 0.
(6.14.23)
Это равенство можно сравнить с (6.5.3), получающимся в пре-
деле, когда Cs-э-оо, Г—>0.
На рис. 6.17 показаны графики со в плоскости волновых чи-
сел. Кривые для случая со < 7V являются гиперболическими,
представляя внутренние гравитационные волны. Когда тН3-+-оо,
они переходят в дисперсионные кривые для несжимаемой жид-
кости, как показано на рис. 6.7. Ортогональное к ним семейство
6.14. Приспособление к состоянию равновесия 213-
Рис. 6.17. Кривые постоянной частоты в пространстве волновых чисел для изо-
термической атмосферы (идеальный двухатомный газ). В качестве масштаба
волнового числа (k, I, m) используется приведенная высота Hs, а контуры
определяются с помощью (o/N. Так как поверхности постоянной частоты явля-
ются поверхностями вращения вокруг оси ш, то показано только сечение пло-
скостью, проходящей через /г, tn. Групповая скорость перпендикулярна по-
верхностям постоянной частоты, и, так как она равна градиенту частоты в
пространстве волновых чисел, опа направлена в сторону, показанную стрел-
ками. Поверхности с ю < N (сплошные линии) являются гиперболоидами,
представляющими внутренние гравитационные волны, и далеко от начала ко-
ординат аппроксимируют конусы рис. 6.7, которые соответствуют предельному
случаю несжимаемой жидкости. Поверхности с со > « 1,117V (штриховые
линии) являются эллипсоидами и представляют акустическо-гравитацпоипые
или инфразвуковые волны.
кривых получается при со 7> jVa, где
jVA = (№+c2r2)i/2 (6.14.24)
называется акустической критической частотой. Для идеального
двухатомного газа 7Уд = 1,1177. Это суть акустические или ин-
фразвуковые волны, но они не будут здесь подробно описы-
ваться, акцент будет сделан на волнах с более низкими часто-
тами. Дополнительную информацию об этих волнах можно
найти в работах [268, 787, 81].
Дисперсионные характеристики внутренних гравитационных
волн можно получить из рис. 6.17. Как и для предельного слу-
чая несжимаемой жидкости, групповая скорость, которая нор-
мальна к кривым постоянного со, всегда имеет составляющую,
направленную к плоскости m = 0, т. е. волны с направленной
вверх фазовой скоростью имеют направленную вниз групповую
скорость, и наоборот. Кроме того, групповая скорость никогда
не превышает скорости звука, тогда как при аппроксимации не-
сжимаемой жидкости она может быть бесконечной.
Существует важное дополнительное решение уравнений
(6.14.17) и (6.14.18), которое в действительности было открыто
214 Гл. 6. Приспособление стратифицированной по плотности жидкости
первым. Это решение, которое упоминалось в разд. 5.1, было
найдено Лапласом (1778—1779) [431] при рассмотрении тем-
пературных колебаний в атмосфере. Он по существу установил,
что существует мода с эквивалентной глубиной, равной приве-
денной высоте атмосферы, и она будет удовлетворять прилив-
ным уравнениям. Эта мода теперь обычно называется волной
Лэмба после более полного исследования ее Лэмбом (1910)
[427]. Особенность этой моды состоит в том, что ее скорость
везде параллельна поверхности земли, т. е. W = 0. Таким обра-
зом, (6.14.17) показывает, что Р удовлетворяет волновому урав-
нению, т. е. тому же уравнению, что и для однородной жидкости
постоянной глубины (5.6.10). Скорость ее распространения рав-
на скорости звука и имеет значение около 300 м/с, т. с.
6)'7(^4-Z2) = 4 (6.14.25)
Согласно (6.14.22а), эквивалентная глубина для двухатомного
идеального газа равна приведенной высоте, умноженной на 1,4,
т. е. на 40 % больше, чем высота, предполагаемая Лапласом.
(Лаплас предполагал, что во время движения частицы сохра-
няют температуру, а не энтропию.)
Вертикальная структура возмущения давления для волны
Лэмба определяется уравнением (6.14.18), из которого следует
Р ехп (— Гг), // — ехр ~ ехр ,
(614.26)
т. е. глубина е-кратного уменьшения р' равна эквивалентной
глубине. Эта структура характерна для многих воли, с дальней-
шими примерами которых мы встретимся позже в этой книге,
тем, что в них плотность энергии понижается с увеличением
расстояния ог границы (в данном случае от земной поверх-
ности). Следовательно, можно было бы сказать, что возмущение
удерживается вблизи границы и, таким образом, эти волны на-
зываются «краевыми волнами» или иногда «поверхностными
волнами». Еще одним примером таких волн являются поверх-
ностные гравитационные волны на глубокой воде.
При изучении движений с большим горизонтальным мас-
штабом и низкой частотой волна Лэмба является важной осо-
бенностью движения атмосферы и наиболее важной повой осо-
бенностью, которую вводит учет эффектов сжимаемости. Хотя
внутренние волны действительно видоизменяются, ио их природа
остается неизменной. Это продемонстрировано на рис. 6.18, где
со представлено в виде функции от k. Дисперсионные кривые для
внутренних воли почти такие же, что и для случая несжимаемой
жидкости (ср. рис. 6.7). Однако волна Лэмба является совер-
шенно новым свойством, так как возвращающие силы обуслов-
6 14. Приспособ.итие к состоянию равновесия 215-
Рис. 6.18, Дисперсионная диаграмма для изотермической атмосферы. Волны
возможны только в заштрихованных областях и па липин для волны Лэмба.
Кривые в заштрихованных областях дают ту же информацию, что и кривые,,
показанные па рпс. 6.17, но другим образом. Звуковые волны (видоизменен-
ные гравитацией) имеют частоту, большую, чем звуковая граничная частота
1,11JV, тогда как внутренние волны обладают частотой, которая меньше-
частоты плавучести, k — горизонтальное волновое число, m — вертикальное
волновое число, а /7? — масштаб высоты. Горизонтальная составляющая груп-
повой скорости определяется наклоном кривых с постоянным т. Максималь-
ное значение для внутренних волн равно (2/7) (10) }/?cs ж 0,9с6. Это значение-
получено, когда т — 0 и k — 0, т. е. для длинных волн.
лены не плавучестью, а сжатием, и обмен происходит между ки-
нетической и внутренней, а не между кинетической и потен-
циальной энергиями.
Теперь рассмотрим, какие упрощения вводятся, когда вы-
полняется гидростатическое приближение. Оно заключается в-
удалении второй производной из левой части уравнения
(6.14.18), т. е. соответствует случаю, когда частота мала по
сравнению с N. Для изотермической атмосферы дисперсионное
соотношение (6.14.23) сводится к
<й2/(/г2 + /?) = №/(/н2 + Г2 + (W/cs)2)
(6.14.27)-
и теперь включает только длинные внутренние волны, которые,,
как и в случае несжимаемой жидкости, пмек?т фиксированную
горизонтальную скорость распространения. Волна Лэмба точно.
216 Гл 6. П риспособдение стратифицированной по плотности жидкости
удовлетворяет гидростатическому приближению и отличается
отдельным дисперсионным соотношением (6.14.25).
Для общих профилей плотности фазовую скорость и струк-
туру возмущения можно найти разделением переменных, как
отмечено Тэйлором [771]. Решения имеют вид, аналогичный
виду (6.11.5), а именно
W = hv(z} w (х, у, t), P = pv(z)r\(x, у, t). (6.14 28)
(Отметим, что, согласно формулам (6.11.5) и (6.14.16), /гу =
— и pv = Функции fiv, которые, определяют вер-
тикальную структуру, теперь удовлетворяют уравнениям
р.'2 - СГ2) К = - ГА„, (6.14.29)
df>Jdz + Г/)„ = - №йу, (6.14.30)
где се — постоянная метода разделения переменных, имеющая
размерность скорости, как и ранее. Уравнения для w и ц опять
являются волновыми уравнениями, т. е. имеют вид (6.11.8) и
(6.11.9), а эквивалентная глубина Яе (см. [771]) снова опреде-
ляется уравнением (6.11.14). Для частного случая изотермиче-
ской атмосферы, для которой cs постоянна, (6.14.29) и (6.14.30)
имеют особое решение, соответствующее волне Лэмба, для ко-
торой Се —с3 и /г = 0. Для неизотермической атмосферы волна
Лэмба видоизменяется по структуре и больше не обладает свой-
ством отсутствия вертикального движения. Подробности для
реальной атмосферы рассмотрены в [467].
Как было показано для случая несжимаемой жидкости в
разд. 6.11, другие переменные также можно выразить в виде
произведения функций, выделив зависимость от г в отдельный
множитель. Тогда полный набор переменных можно представить
так:
w = P71/2^v(z)h(^, у, t)/g,
v = р-1/’дд2)5(х> у, t)/g,
= p-i/-^v(z)fj(x, у, /), (6.14.31)
w = y[;]/2h4(z')w(x, у, t),
h = g(p' — //c2)/(p0№) = p~’/2/zv (г) fj (x, y, i).
Выражения для p' и w получаются из уравнений (6.14.16) и
(6.14.28), которые для и и v являются аналогами (6.11.11), тогда
как выражение для h следует из (6.14.3) и выражения для w.
Если эти выражения подставить в уравнения движения, то они
сведутся к уравнениям для мелкого слоя однородной жидкости.
6.15. Примеры приспособления к равновесию 217
Можно также показать, что, интегрируя по вертикали длинно-
волновое приближение уравнения (6.14.7) для отдельной моды,
мы получим выражение вида (5.7.4), как для мелкой воды, при
условии, что используется эквивалентная плотность ре, где ре за-
дастся с помощью равенства
£Ре = J (^Ле)2^= J + (PvK)‘2)dz. (6.14.32)
6.15. ПРИМЕРЫ ПРИСПОСОБЛЕНИЯ К РАВНОВЕСИЮ
В СЖИМАЕМОЙ АТМОСФЕРЕ
Чтобы продемонстрировать, какого рода поведение следует
ожидать, рассмотрим случай изотермической атмосферы. Тогда
решения типа внутренних волн (6.14.20) и (6.14.30) имеют вид
(ср. с (6.11.21))
fiv = m~1 sin (mz), (6.15.1)
pv = № (cos mz — (I'/m) sin (mz))/(tn2 + Г2), (6.15.2)
где
cl = N'^tn- + Г-’ + (MMS)2). (6.15.3)
Решение для волны Лэмба имеет вид
\ = 0, PN~e~Vz. (6.15.4)
Здесь будут рассмотрены два примера. Первый из них изучался
в разд. 6.12; жидкость первоначально находится в покое, но
изопикнические поверхности смещены от состояния равновесия
согласно (6.12.1) и (6.12.6). Собственная функция Ziv та же, что
и для случая несжимаемой атмосферы, поэтому единственное
отличие в решении для h получается из-за другой скорости рас-
пространения Так как се теперь ограничено, то h остается
равной своему начальному значению до тех пор, пока не появ-
ляется первая волна. Начиная с этого времени, она задается с
помощью (6.12.7), как и рапсе, но s, которое равно значению т
для волны, приходящей в точку х в момент времени t, теперь
задается с помощью уравнения
s2 = (Nt/xf - ((Af/cs)2 + Г2) = (Nt/x)2 - (1/(2Я3))2. (6.15.5)
Первое выражение получается из (6.15.3) нрих2 = с2/2, а вто-
рое—использованием формулы (6.14.22) для идеального двух-
атомного газа. Уравнение (6.12.7) для h применимо всюду, где
s2 положительно, и h имеет начальное значение во всех других
местах. Если D!HS мало, решение, показанное на рис. 6.16, б
заметно не изменится, что показывает применимость приближе-
ний Буссииеска н несжимаемости в этом случае. Однако если Г)
сравнимо с Hs, преобладающие внутренние волны перемещаются
'218 Гл. 6. Приспособление стратифицированной по плотности 'жидкости
со скоростями, сравнимыми со скоростью звука, и поэтому ре-
шение значительно отличается от случая несжимаемой атмо-
сферы. На рис. 6.16,г показано решение для D — 2/73; волновой
фронт, связанный с самой быстрой волной, совершенно очевиден.
Другие отличия от случая несжимаемой 'атмосферы касаются
выражений для и, р' и других переменных. Для случая несжи-
маемой атмосферы фиксированное значение h определяет поле
давления полностью с точностью до произвольной аддитивной
постоянной. Для случая сжимаемой атмосферы к решению мо-
жет быть добавлена произвольная волна Лэмба.
Во втором примере снова жидкость первоначально находится
в покое, но теперь задано первоначальное возмущенное давле-
ние, а не перемещения частиц. Особое внимание уделяется слу-
чаю, в котором возмущение ограничено малой областью около
земли. Выражение для р, полученное с помощью суперпозиции
решений с разделяющимися переменными (6.14.28), согласно
(6.15.2) и (6.15.4), имеет вид
оо
P(x,z, fj(x, Г, m) (т cos (mz)— Г sin (mz))dm -ф fjL(x, i)e~Vz,
о
(6.15.6)
где индекс L означает часть, связанную с волной Лэмба. Чтобы
использовать это выражение для нахождения fj и тД через Р,
можно применить условия ортогональности, которые получаются
из (6.14.29) и (6.14.30). Результат (который можно сравнить
с выражениями для обратного преобразования Фурье) имеет вид
оо
fj = 2л:-1 (т~ + Г2)-1 (щ cos (mz) — Г sin (mz)) Р dz,
0 (6.15.7)
00
= e~VzP dz.
о
Рассмотрим теперь случай, в котором начальное возмуще-
ние ограничено тонкой областью, близкой к земле, и, следова-
тельно, может быть выражено через дельта-функцию в виде
P = 6(z)G(x) при /==0, (6.15.8)
где G равно интегралу от Р по всей глубине атмосферы. В этом
случае из (6.15.7) находим
тДх, 0; т) = 2/и(?(х)/л(т2 + Г2), fjL (х, 0)==2ГС(х). (6.15.9)
Так как fj удовлетворяет волновому уравнению, то решения для
fj и fjL в последующие моменты времени задаются формулой
6.16. Слабая дисперсия импульса 219
(5.6.11) при с = се для внутренних волн и с — cs для волн
Лэмба, т. е.
Р = Ге-Г’{О(* + с.0+ GU~M} +
оо
+ лЛ1 т (т~ + Г2)-1 (tn cos (mz) — Г sin (mz)) X
о
X {G (x + ce0 + G (x — ceZ)} dm. (6.15.10).
Часть этого выражения, соответствующая волне Лэмба, являет-
ся неднспергпрующеп, поэтому импульс, созданный началь-
ными возмущениями, движется с постоянной скоростью с3 без
изменения формы. Часть, связанная с внутренними волнами,
«расползается», так как различные компоненты с различными т
перемещаются с разными скоростями. Этот эффект располза-
ния можно легко показать для случая, в котором начальное
возмущение ограничено и по горизонтали, и по вертикали, так
что G также является дельта-функцией. Тогда для положитель-
ных х вклад в Р от интеграла в (6.15.10) равен
л"’/п(/п2 + Г2)-1 (т cos (mz) — Г sin (mz))/(— t dcjdrn)
при x = се/, т. е. там, где т = s. В частности, значение Р на
земле задается (после использования формул (6.14.22) и
(6.15.5)) в виде
-~xHf,P ==
где
б(/'- 1),
7/'2 /40/'2 ,у/2
Зл (/Z2 — 1) к 49 1)
i'2
i'2
49
40 ’
49
40 ’
(6.15.11)
t' = cst!x.
Импульс, появляющийся при t' = 1, является волной Лэмба. Са-
мые быстрые внутренние волны появляются при t' = 1,1, вызы-
вая быстрый рост давления, а затем гораздо более медленный
спад. Тем не менее внутренние волны гораздо слабее волны
Лэмба, и поэтому зарегистрировать их труднее.
6.16. СЛАБАЯ ДИСПЕРСИЯ ИМПУЛЬСА
Анализ разд. 6.15 относится к атмосфере, которая в невоз-
мущенном состоянии является изотермической и находится в
покое. Хотя это дает хорошее первое приближение поведения
возмущений в реальной атмосфере, существуют слабые эффекты,
которые могут значительно менять ситуацию за достаточный
'220 Гл. 6. Приспособление стратифицированной по плотности жидкости
промежуток времени, т. е. через достаточно большое число вол-
новых периодов. Например, импульсы давления, происходящие
.вследствие локализованных высокоэнергетических атмосферных
явлений, были зафиксированы во всем мире и поэтому были
хорошо изучены. К явлениям, вызывающим наблюдаемые им-
пульсы давления, относятся взрыв вулкана Кракатау в 1883 г.
[767], падение Тунгусского метеорита в 1908 г. [848], ядерные
взрывы [170] и другие менее эффектные явления [409]. Им-
пульсы перемещаются приблизительно с предсказанной ско-
ростью (т. е. со скоростью звука, или со скоростью, немного
большей, чем скорость большинства коммерческих реактивных
самолетов), но существуют малые изменения в скорости от ме-
ста к месту, как можно было наблюдать по импульсам Кракатау
[767], прохождение которых прослеживалось на протяжении че-
тырех оборотов вокруг земного шара. Другой эффект обусловлен
изменениями термальной структуры атмосферы и скорости ветра
с высотой. Это вызывает слабую дисперсию волн, т. е. фазовая
скорость (o/k не постоянна, а отличается немного от скорости
звука с3. В [696] показано, что профили возмущения энергии,
соответствующие данным Национального комитета США по раз-
работке стандартной атмосферы (1976 г.), не слишком отли-
чаются от профилей для случая изотермической атмосферы, ио
существует медленная утечка энергии, обусловленная направ-
ленной вверх радиацией на больших высотах. В [467] рассмот-
рены эффекты диссипации и установлено, что время затухания
составляет 10—15 дней.
Эффект слабой дисперсии [223] можно представить с по-
мощью приближенного выражения для фазовой скорости, кото-
рое справедливо для малых волновых чисел, а именно
<o//e=cs(l - О2 ...), (6.16.1)
где k— горизонтальное волновое число. Такое выражение будет
справедливо, когда k~l мало по сравнению с масштабом длины
L, который зависит от характера изменения плотности и ско-
рости с высотой. В [223] приведена оценка h =0,8 км для од-
ного частного случая. Эффект вполне подобен слабой дисперсии
волн цунами вследствие конечной глубины океана. На рис. 6.19, а
показано, как проявляется дисперсия в микробарографических
записях флуктуаций давления, порожденных ядерным взрывом.
Вместо единственного импульса наблюдается группа дисперсион-
ных волн, и на рис. 6.19 очень хорошо видно, как группа
волн распространяется или диспергирует с расстоянием от ис-
точника.
Методы вычисления влияния дисперсии изложены в книгах
по теории волн, например в [854, гл. 11]. Если начальный им-
пульс можно представить в виде дельта-функции, то нетрудно
6.16. Слабая дисперсия импульса 221
BRK(6599 km)
2030
POU (9694 km)
0000
^(l3.6l‘N,l/Z.22“W)3Q0CT 62-l6:0|:56
HON (1717 km)
At-
Рис. 6.19. (а) Показания микробарографа после ядсрного испытания вблизи
острова Джонстона в Тихом океане. Гонолулу находится в 1717 км от источ-
ника, Беркли — 5599 км, и Поукипси— 9694 км. Влияние дисперсионных эф-
фектов па импульс очевидно (из [170 рис. 1]). (б) Теоретическое решение
для слабо диспергирующего импульса, а именно для функции Эйри. Знаки
были подобраны для более простого сравнения с наблюдаемыми показаниями
давления.
получить выражение для формы импульса, слабо искаженного
дисперсией. Выражение для дельта-функции в терминах ее ком-
понент Фурье имеет вид (см., например, [451])
оо
6 (х) = 2n~l j cos {kx) dk.
о
(6.16.2)
222 Гл. 6. Приспособление стратифицированной по плотности жидкости
При слабой дисперсии, согласно (6.16.1), импульс будет иметь
вид
со
q —2л~1^ cos(kx — kcst + №csLH)dk. (6.16.3)
о
Выражение в правой части является определением функции
Эйри (см., например, [4, разд. 10.4]), т. е. под функцией Эйри
можно понимать форму слабо искаженного дисперсией импуль-
са. Таким образом, (6.16.3) можно переписать в виде
ц = 2 (Зс5ПГ‘/3 Ai {(х — CsO (Зеь/Л)~1/3}. (6.16.4)
Импульс прибывает в данную точку х приблизительно в момент
времени t = x/cs. Когда t имеет значение, близкое к нему, то
(6.16.4) задается приближенной формулой
fj = 2 (3L2x)’1/3 А1 {(х - csi) (3L2x)’1/3}. (6.16.5)
Таким образом, слабая дисперсия заставляет заменить дельта-
функцию в правой части (6.15.11) выражением
2(х2 3T2)1/3Ai {(1 - /)(x2/3L2)1/3}, (6.16.6)
где t' задается с помощью (6.15.11). Множитель перед функ-
цией Эйри требуется для того, чтобы интеграл по t' был равен
единице. В частности, отсюда следует, что вклад внутренних
волн в (6.15.11) имеет порядок (L/x)2/3 относительно части,
вносимой волной Лэмба, а следовательно, будет слишком сла-
бым, чтобы быть наблюдаемым.
На рис. 6.19, б показан график функции Эйри, которая дает
довольно хорошее приближение первой части импульса, как
видно по записям на рис. 6.19, а. То, что первое перемещение
направлено вниз, означает отрицательный импульс. Волны рас-
пространяются так, как предсказывает формула (6.16.5), и на-
блюдения согласуются с предсказанным правилом, согласно ко-
торому масштаб времени должен стремиться к нулю как рас-
стояние от источника в степени 1/3. Величина L, равная 0,93 км,
вполне соответствует наблюдениям.
Решения для вида начального импульса иного вида, чем
дельта-функции, можно получить интегрированием; например,
начальная ступенчатая функция .будет вызывать импульс в виде
интеграла от функции Эйри. Это описывало бы, например, эф-
фект слабой дисперсии для задачи, рассмотренной в разд. 5.6.
6.17. ИЗОБАРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ
Если горизонтальные масштабы велики по сравнению с вер-
тикальными, т. е. в случаях, когда применимо гидростатическое
приближение, то иногда удобно заменить z-координату другой
6.17. Изобарические координаты 223
переменной, используя х п у в качестве других независимых ко-
ординат. Иногда в качестве повой координаты используется по-
тенциальная температура 0. В этом случае переменные (х, у, 0)
известны как изэнтропические координаты. Более часто исполь-
зуется давление р; тогда переменные (х, у, р) называются изо-
барическими координатами [763, 189]. Эти координаты действи-
тельно широко используются в метеорологии; уравнения в этих
координатах приводятся ниже.
Сначала рассмотрим уравнение гидростатики. Возьмем его
в форме (3.5.5), т. е. при постоянных х и у,
dp — — р г/Ф = — ру dz.
Поэтому
дФ,'др = — 1/р, (6.17.1)
где Ф — геопотенциал, определенный в разд. 3.5. Это обычный
способ записи уравнения гидростатики в изобарических коорди-
натах.
Поле скорости (и, и, S) в изобарических координатах нахо-
дится как скорость изменения изобарических координат жидкой
частицы, т. е.
(и, о, ft) = d(x, у, p)/dt, (6.17.2)
и поэтому необходимо получить уравнения движения для пере-
менных (и, v, 81). Для этого используем полную производную
D/Dt (см. разд. 4.1), которая и
Оу ду । д'у Dx . ду Dy t
777 '= ~дГ ~дх ~Dt ~&у Dt
Кроме того, необходимо иметь
градиента давления. Так как
iходится по формуле
Ду Dp_ _ ду_, ду_ ,
др Dt ~ dt дх
+ v 4^+85-“- (6.17.3)
ду др 1
выражение для горизонтального
/ dp X / др X др / дг X
\ дх )р к. дх )г дг У дх ) р
то из уравнения гидростатики следует, что
/ др X ( dz X С дФ X
I — I = ЯР — Р I “3— I
X. дх / г & \ дх J p ‘ \ дх J р
(6.17.4)
Это соотношение иллюстрируется на рис. 6.20, который показы-
вает, что «высокое» значение давления на поверхности уровня
соответствует «высокому» значению геопотенциала иа изобари-
ческой поверхности. Для невязкой невращающейся жидкости
горизонтальные компоненты уравнения количества движения
(4.10.11) принимают вид
Du/Dt = - дФ/дх, Dv/Dl = — дФ/ду. (6.17.5)
224 Гл. 6. Приспособление стратифицированной по плотности жидкости
Уравнение неразрывности лучше всего вывести с помощью пер-
вого принципа, использованного в разд. 4.2. Рассмотрим жидкий
объем, проекция которого на плоскость х, у в начальный мо-
мент имеет форму прямоугольника со сторонами бх и бу, ограни-
ченный сверху и снизу изобарическими поверхностями, расстоя-
ние между которыми равно бр. Согласно уравнению гидроста-
Рис. 6.20. Соотношение между горизонтальными изменениями давления при
фиксированном уровне z н горизонтальными изменениями уровня (или геопо-
тенциала Ф — gz) при фиксированном давлении, (а) Две соседние поверхно-
сти давления в плоскости х, г, такие что изменение давления на горизонталь-
ном расстоянии бх равно бр, т. е. градиент горизонтального давления на фик-
сированном уровне равен бр/бх. Если бг — вертикальное расстояние между
эпшн поверхностями, то можно увидеть, что градиент z на изобарической по-
верхности равен бг/бх. Так как, согласно гидростатическому уравнению, бр==
= pg 6z, то отсюда следует, что бр/бх — pg бг/бх, т. е. (др/дх) г =
= g(dz/dx)i> — (дФ/дх)р. В случае, показанном на рисунке, (др/дх)г и
(дг/дх)р оба положительны, (б) Представление области высокого давления в
плоскости х, z или в плоскости х, Ф (i). Когда та же самая ситуация изо-
бражена в плоскости х, р, как показано на рисунке (и), то эта же область
выглядит, как повышение геопотенциала па изобарической поверхности.
Р
тики, расстояние между ними по вертикали будет бг = —6p/(gp).
Далее, масса этого элемента равна
р бх бу бг = — бх бу бр/g.
Скорость относительного изменения массы должна быть равна
нулю. Переходя к пределу при бхбубр-^-Q, получаем (см.
разд. 4.2)
ди/дх -f- dv[dy -J~ dtydp = 0.
(6.17.6)
6.17. Изобарические координаты 225
Это уравнение неразрывности в изобарических координатах, и
его простота является главпай причиной использования данной
системы координат.
Если движение изэнтропическое и диффузия отсутствует, то
уравнения (4.10.8) и (4.10.9) выполняются, и уравнение состоя-
ния приводит к следующей форме уравнения (4.10.7):
£>р/£>/ = с~2 Dp/Dt = Э/с2. (6.17.7)
Движение определяется пятью уравнениями (6.17.1), (6.17.5) —
(6.17.7) для пяти переменных и, щ 81, Ф и р. Условие (4.11.3),
удовлетворяющееся на материальной границе, не меняется.
Другой вариант описанной схемы состоит в использовании
логарифма давления в качестве третьей координаты, так как
опа не слишком сильно отлична от высоты в атмосфере и при-
водит к более удобным формам решений для малых возмущений.
Координата z*, подобная высоте, определяется уравнением
Р = Ре е*Р (— ДЖ)> (6.17.8)
где рг—постоянное отсчетное давление (иногда используют дру-
гие функции давления, см., например, [350]), а Ня — фиксиро-
ванный масштаб высоты, который можно выбрать произвольно
(см. ниже). Отсюда следует, что w*, скорость изменения коор-
динаты z* жидкой частицы, определяется формулой
= (6.17.9)
а полная производная имеет вид
Д + u Д |"а Д+ Д' (6.17.10)
Уравнения для количества движения (6.17.5) имеют тот же вид,
что и раньше, а уравнение неразрывности, полученное подста-
новкой выражения (6.17.9) для ш в (6.17.6), имеет вид
dnjdx dvjdy dwjdz*— wJH& = 0. (6.17.11)
Остается рассмотреть новые формы уравнений гидростатики и
плавучести. Их вид зависит от того, использована ли в качестве
переменной состояния р или иная величина, скажем, темпера-
тура или потенциальная температура. Например, уравнение гид-
ростатики можно записать так:
Н&дФ/дг* = р“Д в=г RTV. (6.17.12)
Последнее выражение, следующее из (3.1.14), определяет вир-
туальную температуру Т\ (здесь R — газовая постоянная для
сухого воздуха) и не зависит от предположения о том, что
атмосфера ведет себя как идеальный газ. Однако в большинстве
применений к атмосфере различие между виртуальной и
8 Зак. 744
226 Гл. 6. Приспособление стратифицированной по плотности жидкости
действительной температурой не важно, так что Т часто исполь-
зуется вместо Ту. Уравнение для изменения Ту получается под-
становкой выражения для р через Ту, найденного из (6.17.12),
в (6.17.7). В результате находим
DTy/Di + Hwjy/Hs = 0, (6.17.13)
где
x=l-Y-i (6.17.14)
и
Y = <^v). (5.17.15)
Для сухого воздуха, ведущего себя как совершенный газ, из
(3.7.17) следует, что у есть величина, определяемая с помощью
(3.3.5), а именно, она равна отношению ср/су удельных тепло-
емкостей, и поэтому х— величина, определяемая согласно
(3.7.3), для воздуха имеет значение, близкое к 2/7. Дальнейшее
преобразование этого уравнения, когда оно записано через Ту,
можно найти в работе [337].
Другой способ состоит в том, чтобы использовать потенци-
альную температуру в качестве рабочей термодинамической пе-
ременной, так как она удовлетворяет простому уравнению со-
хранения энергии (4.10.8), и его можно использовать вместо
(6.17.13). Однако гидростатическое уравнение (6.17.12) стано-
вится более сложным, так как необходимо использовать (3.1.15),
чтобы выразить Ту через Т, и (3.7.4), чтобы выразить Т через
0. Для сухого воздуха в результате подстановок будем иметь
Н5 дФ/dz* — RT — RQ (р/рт)к. (6.17.16)
Поведение малых возмущений состояния покоя (которое бу-
дет обозначаться индексом 0) можно изучить темп же методами,
которые были использованы в разд. 6.14. Однако теперь возму-
щение является отклонением от равновесного значения для того
же давления и будет обозначено двойным штрихом. Оно обычно
не совпадает с отклонением от равновесного значения для того
же уровня, которое было обозначено одним штрихом в разд. 6.14.
Например, если р'— возмущение равновесного давления па фик-
сированном уровне, то при этом р" равно пулю по определению.
Эквивалентной величиной в изобарических координатах яв-
ляется возмущенный геопотенциал Ф", который связан с р' гид
ростатпчсским уравнением
/==р0Ф". (6.17.17/
Также и dfdt в данном разделе означает производную по вре-
мени при фиксированном давлении, тогда как в разд. 6.14 d/dt
использовалось для обозначения другого оператора, а именно
производной по времени на фиксированном геопотенциальном
уровне.
6.17. Изобарические координаты 227
Из (6.17.5) получим уравнения количества движения для
возмущений
duldi = — $Ф"1дх, dv/dt ~ — дФ"/ду. (6.17.18)
Вычисляя дивергенцию и используя уравнение сохранения мас-
сы (6.17.11), находим уравнение, которое содержит только w*
и Ф", а именно
А (_ Л* А — (JL JL ф" /6 17Ю1
д/ k dz* z/s 7 “к^2 + ду2)^ • (0.1/.1.9)
Другую связь между w* и Ф" можно получить из гидроста-
тического уравнения и уравнения плавучести. Первое, имеющее
вид (6.17.12) или (6.17.16), дает
дФ"/дг, = - рр"/ад == RT"/Ha = а £9". (6.17.20)
где а* играет роль коэффициента объемного расширения и для
сухого воздуха задается равенством
(р/рг)к = (« То/0о = Т<ЛТ&). (6.17.21)
Здесь и далее в этом разделе индекс г (указывающий на
отсчетный уровень) будет использоваться для обозначения рав-
новесного значения при г* = О, а масштаб высоты На теперь оп-
ределяется равенством
gH5 = Д/Рг = = Я3<9Ф0 (W (6.17.22)
Индекс * используется для обозначения величин, определенных
через координаты, включающие логарифм давления, в отличие
от эквивалентных величин, определенных через координаты,
включающие высоту.
Возмущенная форма термодинамического уравнения (6.17.7),
(6.17.13) или (4.10.8) с учетом (6.17.9) принимает вид
N-w, = (р/(рЗя.)) д(>"/д1 = - (7?/Я.) дТ"/д1 =
= — a,gd6"/dl = — <7гФ"1д1дг„ (6.17.23)
где последнее выражение получается из гидростатического урав-
нения (6.17.20) и дает требуемое соотношение между w* и Ф".
Величина № определяется соотношениями
я; = (р/(р0Я8))2 (dp„/rip - cs-2) = (RIHS) (dTa/dz. + хТ„/Я3) =
= agd0„/.7z,, (6.17.24)
где To относится к виртуальной равновесной температуре, а ра-
венства между различными выражениями, входящими в это ра-
венство, следуют из (6.17.12) и (6.17.16). А/# можно связать с
частотой плавучести N (или частотой Бранта — Вяйсяля),
8*
228 Гл. 6. Приспособление стратифицированной по плотности жидкости
определенной формулой (6.14.4), если использовать гидростати-
ческое уравнение (3.5.8), связывающее г и р. Имеем
N= р (pogHs) = TVTr = dz/dz„ (6.17.25)
где использованы (6.17.22), (6.17.12) и (3.5.2). Величина, на-
званная частотой плавучести в [337], есть N*, однако обычно
частотой плавучести называют N. В случае изотермической ат-
мосферы, в которой (3.5.13) определяет масштаб высоты,
совпадают.
Полезно определить аналог перемещения h* соотношением
wt = dhjdl. (6 17.26)
В этом случае из (6.17.23) следует
Т" = (Жя3) Р" = - дФ''/dz*. (6.17.27)
Соотношение между и h получается из определения от =
— Dp/Dt. Используя (6.17.9) и (6.17.26), можно заменить от
в этом уравнении на — рН^' dhjdt, тогда как Dp/Dt можно за-
менить для бесконечно малых возмущений на dp'/dt— p$gdh/dt,
используя гидростатическое уравнение (6.17.1). Следовательно,
требуемое соотношение имеет вид
— ph,JH& = р' — pQgh. (6.17.28)
Теперь уравнения для возмущений суть (6.17.11), (6.17.18),
(6.17.20) и (6.17.23), и их можно свести к паре уравнений
(6.17.19) и (6.17.23), которые содержат только w* и Ф". Можно
также получить возмущенные энергетические уравнения, скла-
дывая (6.17.18), умноженное на р#(м, и), (6.17.11), умноженное
на р*Ф", и (6.17.23), умноженное на М~2р* дФ'Тдг,. Здесь р*,
играющее роль плотности, определяется формулами
Р. ==Pr ехр(—2,/#s)==pod2/d2, (6.17.29)
которые следуют из (6.17.8), (6.17.12), (6.17.22) и (6.17.25).
В результате получим
4{1Рд(? + о2 + (лс‘аФ''/&у)} +
+ (Р.Ф"о) + 4-(р.Ф'Ч) = 0. (6.17.30)
ил <jy и**
Теперь рассмотрим граничное условие на поверхности. Если
она плоская, то таким условием служит (4.11.3), в котором
G — Ф, т. е. D&/Dt = 0. Линеаризованная форма этого равен-
ства имеет вид
dW'jdt 4- пу. dt&Jdz* — 0.
(6.17.31)
6.17. Изобарические координаты 229
Оно должно выполняться на поверхности, т. е. при значении дав-
ления, которое незначительно отличается от равновесного значе-
ния на поверхности. Этой незначительной разницей можно пре-
небречь в линейной теории. Другая форма следует из (6.17.22) и
(6.17.26), а именно
Ф" + 5Д, = 0 при 2„==0. (6.17.32)
Как ни странно, это условие имеет тот же вид, что и условие,
которое применяется на свободной поверхности океана (см.
(6.11.15) и (5.2.11))! Именно это условие приводит к решению в
виде волны Лэмба, которую поэтому можно считать аналогич-
ной баротропной волне в океане. Для движений, медленных по
сравнению со скоростью волны Лэмба, т. е. по сравнению со ско-
ростью звука cs, можно принять эквивалент приближения твер-
дой крышки (см. разд. 6.3), и тогда (6.17.31) и (6.17.32) сво-
дятся к условию
w, = h* = Q при г, = 0. (6.17.33)
Когда применяется это приближение, то для линейной теории
несущественно, используется ли в качестве координаты давле-
ние или высота, за исключением влияния коэффициента растя-
жения dz/dz*, заданного посредством (6.17.25), и замены зави-
симой переменной, определенной равенством (6.17.17). Таким
образом, когда океанографы используют в качестве зависимой
переменной возмущение давления, деленное на плотность, они
следуют процедуре, эквивалентной той, которую выполняют ме-
теорологи, используя возмущение геопотенциала в качестве за-
висимой переменной.
В разд. 6.14 в (6.14.16) был введен масштабный коэффициент
и с помощью (6.14.28) было определено разделение перемен-
ных; общий результат выписан в виде равенства (6.14.31). Соот-
ветствующий аналог для изобарических координат получается,
если искать решения в виде
= (xjw(z, у, t),
Ф"=Р;1/2Ф(г,)п(х, у, 0,
и = р;1/2Ф (г.) й (х, у, f)/g, (6.17.34)
v = pf 12<b(zJ0(x, у, t)/g,
^ = p;l/4(zjfj(x, у> 0-
Уравнения для й, v и rj— это уравнения в случае мелкой воды,
т. е. уравнения вида (5.6.4) — (5.6.6), или, что эквивалентно, вол-
новые уравнения для w и ц, заданные с помощью (6.11.8) и
(6.11.9), если и Ф удовлетворяют (см. (6.17.19), (6.17.26) и
230 Гл. 6. Приспособление стратифицированной по плотности жидкости
(6.17,27)) условиям
= (6.17.35)
d®/dz. + &/2Н, *= — N^h., (6.17.36)
где ce — постоянная разделения переменных, имеющая размер-
ность скорости. Глубина, которая входит в эквивалентные урав-
нения мелкой воды, — это эквивалентная глубина HQ — c~Jg,
а не масштаб высоты Н3. Если из последней пары уравнений
исключить Ф, то в результате получим простое уравнение вто-
рого порядка относительно ft», а именно
(Phjdzt + (W./ce)2 - (l/(2Ws))2) й. = о. (6.13.37)
Граничное условие (6.17.32) на поверхности земли имеет вид
Ф + gfi* = Q при 2, = 0. (6.17.38)
Решения для изотермической атмосферы легко находятся,
так как уравнения в этом случае имеют постоянные коэффи-
циенты, a N* равно Aft Для случая идеального двухатомного
газа, когда применима формула (6.14.22b), решения типа внут-
ренних волн имеют вид
£~'ф = JL^/fs)"1 sin (m2,) — cos (m2,),
7 3 (6 17.39)
А, — cos (m2,) — tnHs + у(тЯ8)" ] sin (m2,),
где
c2 + №/(m2 + (I/(2#s))2), (6.17.40)
что совпадает с (6.15.3). Волновое решение Лэмба соответствует
отсутствию вертикального движения, поэтому (6.17.38) удовлет-
воряется на всех уровнях. Это согласуется с (6.17.35) и (6.17.36)
при условии, что
Ф = — g/7sexp(— Г2,), А, = exp (—Г2,), се = с3. (6.17.41)
Приведенные выше решения, конечно, совпадают с решениями,
найденными в разд. 6.14, но отличаются по форме в новой си-
стеме координат.
6.18. УРАВНЕНИЕ ЭНЕРГИИ ВОЗМУЩЕНИЯ В ИЗОБАРИЧЕСКИХ
КООРДИНАТАХ, ПРОИНТЕГРИРОВАННОЕ ПО ВЕРТИКАЛИ
Уравнение энергии для возмущений (6.17.30) можно проин-
тегрировать по вертикали, как это было сделано в разд. 6.7 и
6.14. После интегрирования последний член в (6.17.30) примет
вид
[Р.Ф'Х]
6.18. Уравнение энергии возмущения в изобарических координатах 231
где скобки означают разницу между значениями на верхней и
нижней границах области интегрирования. Для случая атмо-
сферы, лежащей над плоской поверхностью и простирающейся
до пулевого давления (z* = оо), условия (6.17.32) и (6.17.26)
показывают, что этот член равен
Следовательно, проинтегрированное уравнение (6.17.30) будет
иметь вид
J 4 v{ 4"(0) “Ь $ 4"
+ Р*ф"м ( ршФ"и dz. = 0. (6.18.1)
Так как элемент массы dM (см. (6.17.29)) задается в виде
dM — pQdxdydz===p.dxdydz., (6.18.2)
то кинетическая энергия возмущения К' (см. (4.6.6)) задается
формулой
=Н №₽- («2+°2>dx d«dz- <б-18'3)
где вклад от вертикального движения отсутствует вследствие
гидростатического приближения. Для заданной моды, используя
(6.17.34), находим, что это выражение сводится к выражению
для мелкой воды
Я' = 1реН. $$(й2 + ®2)^^, (6.18.4)
если эквивалентная плотность ре определяется формулой
Ж = dz.. (6.18.5)
Сумма внутренней и потенциальной энергий возмущения (или
доступной потенциальной энергии возмущения) А' задана фор-
мулой (6.14.10). Соответствующую форму в изобарических ко-
ординатах можно найти, используя (6.17.17), (6.17.28) и (6.18.2).
Имеем
Раскрывая круглые скобки, полагая №/g -|- gel — — (1/р0) dp^dz
согласно (6.14.4), используя (6.17.12) и (6.17.25) и полагая
N$h. — — дФ''/dz. согласно (6.17.27), находим
А'=Ы ~ + ₽Л-А-}dx dz--
232 Гл. 6. Приспособление стратифицированной по плотности жидкости
Интегрируя первый член и используя граничное условие
(6.17.38), получаем
Д'=Ц \dxdy. (6.18.6)
Этого и следовало ожидать, учитывая форму уравнения (6.18.1).
Для заданной моды, используя (6.17.34), находим, что это вы-
ражение сводится к виду, полученному для мелкой воды
Л'= (1/2) &ре rfdxdy при условии, что ре удовлетворяет урав-
нению
gPe = ?^(0)+$^^,. (6.18.7)
Можно показать, что оно эквивалентно уравнению (6.18.5). Это
делается вычитанием (6.17.35), умноженного на Ф, из (6.17.36),
умноженного на /г„, и интегрированием полученной разности по
я» с учетом граничного условия (6.17.38). Используя (6.17.34),
находим, что члены, определяющие поток, приводятся к виду,
характерному для мелкой воды, т. е. к виду
J рфФ"м dz* = ре£ЯеП«- (6.18.8)
Как и в разд. 6.14, другое выражение для А' можно найти
через потенциальную температуру 0 и концентрацию s (соле-
ность или влажность). Уравнения сохранения (4.1.8) и (4.1.9)
для малых возмущений теперь сводятся к уравнениям
0" + h* d%/dz* = 0, s" + h* ds^/dz* = 0, (6.18.9)
которые имеют вид, аналогичный уравнениям (6.14.11). Однако
0" — возмущение от равновесного значения при том же самом
давлении и не равно б7. Например, в случае волны Лэмба, для
которой движение чисто горизонтально, нет изменения потен-
циальной температуры на любом данном уровне, поэтому 0' об-
ращается в нуль; но так как давление изменяется, то в" не
равно нулю.
Другое выражение, полученное из (6.18.9) с учетом (3.7.9)
и (6.17.25), имеет вид
g(a'Q" ~ + N*h* = 0. (6.18.10)
Подстановка его в (6.18.6) и использование условий (6.17.28)
и (6.17.22) на поверхности дают
А' - $ $ {+ $ |р. (f )2(«'»" - } dx dy. (6.18.11)
В случае сухого воздуха (s" sa g" = 0), который можно рас-
сматривать как идеальный газ, а' = 1/60 согласно (8.7.14), а
6.18. Уравнение энергии возмущения в изобарических координатах 233
N2 = (g/Oo)dQv/dz согласно (3.7.15). Используя также гидроста-
тическое уравнение и определение (6.17.8) для z#, чтобы перейти
к производным по давлению, и (6.17.22) для определения Н3,
равенство (6.18.11) запишем в виде
/ Рг
я, сс J 1 р'(0)2 . с 1 е"2 м "\ м м /« ю
Л = \ \ s -л ———Н \ -----а да /т ч~ dp 1 dx dy. (6.18.12)
J J (2 £Pr J 2 (~ £'p0o dQo/dP) )
Эта форма удобна при вычислении А' для атмосферы, наряду
с законами для идеального газа (3.1.2) п (3.7.4), которые вы-
ражают плотность через давление и потенциальную температуру,
а именно
1/р = RT/p = (6.18.13)
где х определяется формулой (6.17.14). Выражение через тем-
пературу, а не потенциальную температуру можно получить или
отсюда, или же просто подставляя (6.17.27) в (6.18.6) и исполь-
зуя (6.18.2). Другие формы следуют из (6.17.25), уравнения для
идеального газа (6.18.13) и выражений для N* (см. (6.17.24))
или Af (см. (6.14.4)). Например,
Выражения, аналогичные этому, используются для оценки до-
ступной потенциальной энергии атмосферы.
Глава 7
Эффекты вращения
7.1. ВВЕДЕНИЕ
Представления о характере атмосферных движений начали
формироваться в 17-м в. после выхода в свет в 1686 г. работы
Галлея [284]. Однако рассуждения, которые не принимали во
внимание вращение Земли, терпели неудачу при объяснении во-
сточной составляющей пассатных ветров. В 1735 г. Гадлей [283]
показал, как можно объяснить это явление, учитывая вращение
(см. разд. 2.3) и закон сохранения момента количества движе-
ния. Лаплас [431] (1778—1779) осознавал важность эффектов
вращения в своей теории приливов и вывел необходимые для их
изучения уравнения. Несмотря на то что эти уравнения были
известны с таких давних пор, большинство основанных на этих
уравнениях работ, создающих надежную основу для понимания
эффектов вращения, появилось совсем недавно. Одна из причин
задержки — трудность постановки экспериментов, аналогичных
экспериментам Марсильи, во вращающейся системе (см., напри-
мер, [701]).
Задача, изучение которой позволяет многое прояснить в этом
вопросе, обсуждалась в разд. 5.6. Она тесно связана с экспери-
ментом Марсильи о приспособлении жидкости к равновесию под
действием силы тяжести, однако теперь уже с учетом эффектов
вращения. Вопрос о том, как жидкость, которая в начальный
момент не находится в равновесии, приспосабливается к нему
под действием силы тяжести в равномерно вращающейся си-
стеме, не был полностью обсужден вплоть до времени опубли-
кования работ Россби [685], хотя много раньше Кельвин [778]
уже рассматривал нестационарные волновые решения. В серии
работ Россби ([683—687], Россби и др. [688]) рассмотрел ха-
рактер установления распределения массы и связанного с ним
давления в океане и атмосфере. В частности, он рассмотрел за-
дачу о формировании неравновесного распределения скорости
течений в океане под влиянием сообщения океану некоторого
импульса. Далее Россби [685] исследовал процесс приспособле-
ния к равновесию. В следующем разделе ставится аналогичная
задача, и вся глава до конца посвящается обсуждению ее раз-
личных аспектов.
Ключевая особенность процесса приспособления вращающей-
ся жидкости состоит в том, что жидкость быстро приспосабли-
7.1. Введение 235
вается (за время порядка периода вращения) к равновесию, ко-
торое не является состоянием покоя, и содержит больше потен-
циальной энергии, чем имеется в состоянии покоя. В действи-
тельности лишь небольшая доля потенциальной энергии, имею-
щейся в начальный момент, может перейти в кинетическую.
Кроме того, достигаемое состояние равновесия (называемое
геострофическим) не может быть найдено путем решения ста-
ционарных уравнений, так как они являются вырожденными в
том смысле, что любое решение уравнений импульса точно удов-
летворяет уравнению неразрывности. Именно это вырождение,
выразившееся в том, что равновесные поля масс и количества
движения оказываются связанными друг с другом, и осложняет
рассмотренную Россби задачу.
Таким образом, достигаемое состояние равновесия зависит
от начального состояния. Россби показал, что связь между
двумя состояниями осуществляется за счет сохранения вели-
чины, которую он назвал потенциальной завихренностью. Ис-
пользуя это свойство, можно определить конечное состояние.
Это- показано в разд. 7.2. Особенности переходных дви-
жений требуют дальнейшего анализа, который выполнен в
разд. 7.3.
В этой главе анализируется поведение жидкости, которая
вращается с постоянной угловой скоростью относительно верти-
кальной оси. Несмотря на это, приложение результатов к атмо-
сфере п океану с некоторой долей приближения оказывается
возможным. Этот момент обсуждается в разд. 7.4. В разд. 7.5
рассматривается фундаментальный горизонтальный масштаб
длины, который возникает в задачах о приспособлении вращаю-
щейся жидкости под действием силы тяжести. Он называется
радиусом деформации Россби. Поскольку анализ применим ко
всем нормальным модам стратифицированной жидкости, то
имеется бесконечное множество радиусов Россби, каждый из
которых связан с отдельной модой.
В разд. 7.6 п 7.7 обсуждаются равновесные решения. Круп-
номасштабное движение в океане и атмосфере почти всегда
близко к такому равновесию, и соответствующая зависимость
между полями массы и скорости в действительности играет очень
важную роль. По существу, большая часть наших знаний о цир-
куляции океана и атмосферы была получена по данным о рас-
пределении массы еще до того, как были осуществлены прямые
измерения. Эта зависимость широко используется и для оценок
поля скорости, и в качестве приближения в теоретических иссле-
дованиях.
В разд. 7.8 обсуждаются вопросы энергетики, связанные с по-
нятием доступной потенциальной энергии. Она равна разности
между суммой внутренней и потенциальной энергий в любой
момент времени и минимальным значением, до которого она
236 Г л. 7. Эффекты вращения
может уменьшиться при невязкой изэнтропической перегруппи-
ровке жидких частиц. Эта величина является важной мерой
того, сколько кинетической энергии можно потенциально
(в принципе) получить. Она широко используется и в исследо-
ваниях циркуляции атмосферы и океана.
Разделы 7.9—7.12 посвящены понятию завихренности и за-
висимостям между циркуляцией и потенциальной завихрен-
ностью. (Они часто используются при изучении вращающихся
жидкостей.) Очень жаль, что под названием «потенциальная за-
вихренность» иногда понимают различные величины, однако в
любом контексте обычно вполне понятно, о какой величине идет
речь! Одна из форм потенциальной завихренности используется
для жидкости, состоящей из мелких однородных слоев. Соответ-
ствующее уравнение сохранения выведено в разд. 7.10. Потен-
циальная завихренность в этом случае определяется как пол-
ная завихренность (в предположении, что она является почти
вертикальной), деленная на глубину. Другая форма потенци-
альной завихренности подходит для случая непрерывной стра-
тификации. Ее вывод приводится в разд. 7.11. Закон сохранения
в этом случае не требует использования предположений о на-
правлении вихря или об отношении горизонтального масштаба
к вертикальному, и консервативная величина называется потен-
циальной завихренностью Эртеля. В разд. 7.12 рассматриваются
возмущенные формы уравнений сохранения обоих видов потен-
циальной завихренности. Наконец, в разд. 7.13 дано обсуждение
практически важной для численного предсказания погоды за-
дачи об инициализации полей, поскольку эта задача тесно свя-
зана с идеями, развитыми в настоящей главе.
7.2. ЗАДАЧА РОССБИ О ПРИСПОСОБЛЕНИИ
В разд. 5.6 было рассмотрено приспособление к действию
силы тяжести мелкого слоя однородной жидкости в частном слу-
чае, когда жидкость в начальный момент находилась в покое,
но имела разрыв (или разрывы) уровня поверхности. Теперь
та же задача будет рассмотрена для вращающейся жидкости,
т. е. для жидкости, которая в начальный момент покоится отно-
сительно системы, отсчета, равномерно вращающейся с угловой
скоростью //2 относительно вертикальной оси. Предполагается,
что движение относительно этой системы координат для всех
моментов времени представляет собой малое возмущение со-
стояния (относительного) покоя. Ось z выбрана вертикальной,
дно z ——Н горизонтально (т. е. является геопотенциальной
поверхностью); отклонение поверхности z — ц относительно гео-
потенциальной предполагается малым. Кроме того, считается,
что горизонтальный масштаб велик по сравнению с глубиной,
так что можно принять гидростатическое приближение.
7.2. Задача Россби о приспособлении 237
Уравнения движения записываются так же, как в разд. 5.6,
но с добавлением ускорения Кориолиса (—fv, fu), отражающего
влияние вращения (см. разд. 4.5.1). При этом уравнение движе-
ния (4.10.11) с учетом уравнения гидростатики (см. (5.6.3) ) дает
ди/di — fv — ~ gd^/dx, (7.2.1)
dv/di -[-fu = — gdr\/dy. (7.2.2)
Так как r| не зависит от z, то скорость (и, v) не зависит от глу-
бины, как и в случае без вращения. Буква f здесь используется
для обозначения половины скорости вращения, чтобы в уравне-
ниях не появлялся множитель 2.
Уравнение неразрывности записывается в виде (5.6.6), а
именно
дц/dt + Н (ди/дх + dv/dy) == 0. (7.2.3)
Метод решения этих уравнений в случае, когда вращение не
учитывалось, заключался в определении дивергенции от уравне-
ний движения (д/дх от (7.2.1) плюс д/ду от (7.2.2)) и подста-
новке выражения для горизонтальной дивергенции ди/дх -\-dvjdy
из уравнения (7.2.3). При учете вращения это дает
d2T\/di2 — с2 (д2х\/дх2 + д^/ду2) -f- fHt, — 0, (7.2.4)
где с2 определяется по формуле (5.5.4), а именно
c2 = gH, (7.2.5)
а
t, = dv/dx — ди/ду (7.2.6)
есть относительная завихренность жидкости, т. е. вертикальная
составляющая вихря относительно вращающейся системы (гори-
зонтальные составляющие тождественно равны нулю). При
f = 0 получается волновое уравнение (5.6.10) для одной пере-
менной ц. В случае с учетом вращения это уравнение указывает
на необходимость анализа изменений относительной завихрен-
ности.
7.2.1. СОХРАНЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЗАВИХРЕННОСТИ
Уравнения (7.2.1) — (7.2.3) получил лорд Кельвин [778] в
своей работе «О гравитационных колебаниях вращающейся
воды» (1879), в которой он искал возможность упростить теорию
приливов Лапласа, рассматривая «настолько малую акваторию,
что форма ее равновесной поверхности еще явно не искривлена».
Из этих уравнений он вывел уравнение, которое имеет фунда-
ментальное значение в теории вращающихся жидкостей. Ойо по-
лучается в два приема. В'о-первых, беря вихрь от уравнений
238 Гл. 7. Эффекты вращения
движения {д/ду от (7.2.1) минус д/дх (7.2.2)), исключаем из
них г) и получаем уравнение относительно завихренности
d№i 4- f (ди/дх + ди/ду) «= 0, (7.2.7)
которое означает, что скорость изменения величины £/f равна
величине горизонтальной дивергенции с обратным знаком. Во-
вторых, используя уравнение неразрывности (7.2.3), исключаем
горизонтальную дивергенцию и находим
4(Т~7Г)=°- <7-2-8>
Тот факт, что это уравнение легко интегрируется по времени,
является очень сильным результатом. Фактически уравнение
(7.2.8) есть линеаризованная форма уравнения (которое рас-
сматривается ниже), выражающего сохранение потенциальной
завихренности в однородной вращающейся жидкости. Величину
Q', определяемую равенством
Q' = t/H-h/H2, (7.2.9)
можно назвать возмущением потенциальной завихренности.
Уравнение (7.2.8) выражает то обстоятельство, что Q' остается
равным своему начальному значению в каждой точке простран-
ства в любой момент времени, т. е.
Q'(x, У, t)^Q'(x, у, 0). (7.2.10)
Как будет далее показано, подобную бесконечную память не-
вязкой вращающейся жидкости можно использовать для опре-
деления конечного равновесного решения, соответствующего
частному начальному состоянию, без рассмотрения особенностей
переходного движения на конечном отрезке времени. Кельвин
[778] интересовался только колебаниями и положил Q' равным
нулю, хотя наиболее интересные случаи приспособления к рав-
новесию получаются как раз тогда, когда Q' не равно нулю.
Решения с неравным нулю Q' не были, по-видимому, рассмот-
рены вплоть до работы Россби [685].
Рассматриваемое здесь частное начальное условие имеет тот
же вид, что и в разд. 5.6, а именно и = v = 0, а возвышение
свободной поверхности задается по формуле (5.6.13), т. е.
П = — ilosgn(x). (7.2.11)
(Это начальное условие отличается от условия, рассмотренного
Россби, однако анализ оказывается аналогичным.) Интеграл
уравнения (7.2.8) в данном случае имеет вид
Uf ~ т}/Н = ЫН) sgn (х). (7.2.12)
7.2. Задача Россби о приспособлении 239
Подстановка в (7.2.4) дает уравнение только для гр.
д2т] dt2 — с2 (д2г\/дх2 д2т\/ду2) 4- f —
= —fH2Q' (х, у, 0) = -/Ч sgrn (х). (7.2.13)
7.2.2. УСТАНОВИВШЕЕСЯ РЕШЕНИЕ: ГЕОСТРОФИЧЕСКОЕ ТЕЧЕНИЕ
Если процесс гравитационного приспособления приводит в
конце концов к установившемуся состоянию, то это состояние
должно быть не зависящим от времени решением уравнения
(7.2.13). Так как начальное условие не зависит от у, то можно
предположить что и решение в любой последующий момент
времени также не зависит от у, и поэтому завихренность £ равна
ди/дх. Далее, установившееся решение уравнения (7.2.1) и
(7.2.2) в начальный момент времени должно давать баланс ме-
жду ускорением Кориолиса (—Д, /и) и градиентом давления.
Этот баланс известен как геострофическое равновесие
fu — —gdx\]dy, fv = g дг]/дх (7.2.14)
и обладает тем свойством, что поток при нем направлен вдоль
линий постоянного давления (т. е. вдоль изобар, что хорошо
известно из карт погоды).
Установившееся решение имеет весьма специфическое свой-
ство, состоящее в том, что любое решение, удовлетворяющее
геострофическому соотношению, удовлетворяет в точности урав-
нению неразрывности (7.2.3), не зависящему от времени, т. е.
является без дивергентным:
duldx-^dvldy = 0. (7.2.15)
Другой способ получения этого результата состоит в использо-
вании соотношения (7.2.15) для введения функции тока гр:
и==~д^/ду, и — дхр/дх. (7.2.16)
Тогда геострофический баланс можно записать в виде
f дх\)/ду — g дх\1ду, f д\\>1дх = g дг\/дх, (7.2.17)
Если исключить т] из этих двух уравнений для получения урав-
нения относительно гр, т. е. если продифференцировать второе
уравнение по у и вычесть его из первого, продифференцирован-
ного по х, то это приведет к тривиальному утверждению, гла-
сящему, что нуль равен нулю. В действительности (7.2.17) по-
казывает, что функция тока (при подходящем выборе отсчет-
ного значения) связана с возмущением давления формулой
= = р'/р. (7.2.18)
Согласно (7.2.18), любое распределение отклонения'щрверхности
(х, у) определяет функцию тока гр, удовлетворяющую всем
уравнениям для установившегося состояния.
240 Гл. 7. Эффекты вращения
В этом смысле уравнения установившегося состояния яв-
ляются вырожденными, и сами по себе они не могут давать
окончательного установившегося решения. Для этого нужна
определенная дополнительная информация, которая состоит в
том, что каждый элемент жидкости сохраняет свою исходную
потенциальную завихренность. При этом удовлетворяется ра-
венство (7.2.10), которое в рассматриваемом частном случае
имеет вид (7.2.12). Для геострофически сбалансированного те-
чения подстановка (7.2.14) в (7.2.6) показывает, что завихрен-
ность определяется формулой
£ = f~'g (д2ц/дх2 + a2W)> (7-2.19)
и равенства (7.2.9) п (7.2.10) позволяют записать уравнение
(7.2.13) в стационарном виде
—с2 (д2х\/дх2 + д2ц[ду2) 4- = —fH2Q' (х, у, 0). (7.2.20)
Для рассматриваемого случая из него следует, что
—c2cl2V[ldx2 4- /4] = —• sgn (х). (7.2.21)
Непрерывное п антисимметричное
относительно х==0 решение
этого уравнения имеет вид
ч
•10
1 , —х!а
— 14-е '
, х! а
1 — е ‘
при х > 0,
при х < 0,
(7.2.22)
где

(7.2.23)
есть фундаментальный масштаб длины, характеризующий по-
ведение вращающихся жидкостей, подверженных действию
уравновешивающих гравитационных сил. Он называется ра-
диусом деформации Россби, согласно названию, введенному
Россби [685], пли просто «радиусом Россби» или «радиусом де-
формации». Знак модуля используется в (7.2.23) для того, что-
бы а было положительной величиной, так как f может иметь
любой знак.
Поле скоростей, связанное с решением (7.2.22), получается
из геострофического уравнения (7.2.14), которое даст //=0 и
О = — (gno/fa) ехр (— I X |/а). (7.2.24)
Течение направлено не по градиенту давления, а под прямым
углом к нему, т. е. вдоль линий поверхности возвышения, па-
раллельных линиям начальных разрывов. Решение изображено
на рис. 7.1,
7.2. Задача Россби о приспособлении 241
Рис. 7.1. Геострофическое равновесное решение, соответствующее форме адап-
тации к начальному состоянию, которое было состоянием покоя, а свободная
поверхность имела бесконечно малое отклонение —-т|о при х > 0 и т)0 при
х < 0. (я) Равновесный уровень свободной поверхности т), который стремится
к начальному уровню, когда х->±оо. Единицей измерения служит радиус
деформации Россби а = (gH)l/i/f, где g — ускорение свободшэго падения, Н —
глубина жидкости, f — удвоенная скорость вращения системы относительно
вертикальной оси. (б) Соответствующее равновесное распределение скорости
представляет собой «струю», направленную вдоль начального разрыва сво-
бодной поверхности с максимумом скорости, равным (£/Я)1/2, умноженным иа
По.
7.2.3. АНАЛИЗ БАЛАНСА ЭНЕРГИИ
Уравнения для энергии движения вращающейся мелкой воды
можно найти тем же методом, который использовался в разд. 5.7.
В' частности, уравнение для механической энергии получается
при сложении уравнения (7.2.1), умноженного на рЯи, с урав-
нением (7.2.2), умноженным на pHv. При этой операции ис-
ключаются слагаемые с ускорением Кориолиса, так что члены,
учитывающие вращение, в уравнения для энергии явно не вхо-
дят. Уравнения приобретают точно такой же вид, что и анало-
гичные уравнения разд. 5.7. Однако решение задачи о приспо-
соблении разительно меняется при учете вращения, и поэтому
изменения энергии в случае с вращением сильно отличаются от
рассмотренных в разд. 5.7.
Рассмотрим, во-первых, потенциальную энергию возмущения.
В начальный момент она бесконечна, но в отличие от случая
без вращения опа по-прежнему остается бесконечной и при
установлении стационарного равновесного решения (предпола-
гается, что такое равновесие наступает). Однако изменение по-
тенциальной энергии, приходящееся па единицу длины, конечно
242 Гл. 7. Эффекты вращения
и определяется так:
п. э., высвобождающаяся на единичном отрезке ==
•о
= 2 • 4 РЭТ? 5 {> - (1 - dx = ^ P£4fc- (7.2.25)
и
В случае без вращения вся потенциальная энергия началь-
ного возмущения переходит в кинетическую энергию. При на-
личии вращения высвобождается только часть потенциальной
энергии. Количество кинетической энергии, приходящееся на
единицу длины в равновесном решении, дается равенством
оо
к. э. на единицу длины — 2 • -у рН^2'Пи(М)~2 e~2x/adx —
о
= -jP^a. (7.2.26)
Это равно только одной трети высвобожденной потенциальной
энергии! Куда же девались остальные две трети? Россби [685]
предположил, что жидкая частица должна «продолжить свое
перемещение за точку равновесия до тех пор, пока не возникнет
избыточный градиент давления, который возвратит ее назад.
Около положения равновесия возникнет инерционное колеба-
ние». Эти умозрительные предположения достаточно близки к
истине, хотя они создают неверное впечатление о том, что рав-
новесное решение никогда не достигается ни в какой конечной
области. Что происходит в действительности, будет показано
в разд. 7.3, где будут определены особенности неустановившихся
(переходных) процессов.
7.2.4. РЕЗЮМЕ
Несмотря на то что решение рассмотренной выше задачи за-
кончено только частично, оно позволяет глубоко проникнуть в
особенности поведения вращающихся жидкостей, подверженных
влиянию силы тяжести. Ниже перечислены пять его примеча-
тельных признаков. Различные понятия, возникающие из этих
результатов, более детально обсуждаются в следующих разде-
лах этой главы.
а) Энергетический анализ показывает, что из вращающейся
жидкости очень трудно выкачать энергию. В изученной задаче
потенциальная энергия, доступная для превращения в кинети-
ческую энергию, была бесконечной, но только конечное количе-
ство этой доступной энергии было реализовано. Причина со-
стояла в том, что устанавливалось геострофическое равновесие,
7.3. Переходные процессы 243
и в том, что такое равновесие сохраняло потенциальную энер-
гию— в рассмотренном случае бесконечную!
б) Равновесное установившееся решение является не равно-
весием покоя, а геострофическим балансом, т. е. балансом ме-
жду ускорением Кориолиса и градиентом давления, деленным
на плотность.
в) Установившееся решение является вырожденным в том
смысле, что любое поле скоростей, находящееся в геострофи-
ческом балансе, удовлетворяет уравнению неразрывности точно.
Поэтому установившееся решение нельзя найти, рассматривая
решение стационарных уравнений, — необходима дополнитель-
ная информация.
г) Эта информация содержится в принципе сохранения по-
тенциальной завихренности, который гласит, что потенциальная
завихренность каждого жидкого элемента равна своему значе-
нию в начальный момент времени. Зная это, можно найти уста-
новившееся решение.
д) Уравнение, определяющее это установившееся решение,
содержит масштаб длины а, называемый радиусом деформации
Россби. Он равен c/|f|, где с — скорость волны без учета эф-
фектов вращения, т. е. (^Я)1/2. Если f стремится к нулю, то а
стремится к бесконечности, указывая па то, что для масштабов,
малых по сравнению с а, эффекты вращения слабы, тогда как
для масштабов, сравнимых с а или больших, эффекты враще-
ния играют важную роль.
7.3. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Чтобы получить полное решение задачи о приспособлении,
т. е. уравнения (7.2.13), необходимо добавить решение однород-
ного уравнения
— с2 (д2т}/дх2 -f- д2т}/ду2) ф- =» 0 (7.3.1)
к частному решению, в качестве которого можно взять устано-
вившееся решение т]уст(х) (7.2.22). Решение уравнения (7.3.1’)
должно удовлетворять начальному условию
П = — ^SgU (Л') — Г)уст,
т. е.
ц == — r|oe~lxl/a sgn(x) при / = 0. (7.3.2)
Уравнение (7.3.1) встречается в физических приложениях
под названием уравнения Клейна — Гордона [566]. В [666]
рассматривается аналогичная задача о колебаниях натянутой
струны в упругой среде. Это уравнение рассматривалось также
в [854]. Нестационарное решение для собственно задачи Россби
было найдено в [112] и рассмотрено в [74].
244 Гл. 7. Эффекты вращения
Уравнение (7.3.1) имеет волновое решение
ц ~ expf (kx + ly — <о/), (7.3.3)
подстановка которого в (7.3.1) приводит к дисперсионному со-
отношению
(о2 = /2 ин с2, (7.3.4)
где
xh = k2 + l2 (7.3.5)
есть квадрат горизонтального волнового числа. Волны с таким
дисперсионным соотношением (k, I вещественные) будут здесь
Рис. 7.2. Дисперсионное соотношение для волн Пуанкаре. Для малых волно-
вых чисел кн (волны, более длинные, чем радиус Россби а) частота со только
немного больше «инерционной» частоты /. Для больших волновых чисел (вол-
ны более короткие, чем радиус Россби) волны мало подвержены влиянию вра-
щения и близки к бездисперсиопным волнам мелкой воды, обнаруженным в
невращающенся системе. Заметим, что групповая скорость, которая равна гра-
диенту от кривой, показанной на рисунке, равна нулю для нулевого волно-
вого числа (бесконечно длинные волны) и монотонно возрастает по величине
с ростом ид с максимумом, равным (gNy/2 для очень коротких волн.
называться «волнами Пуанкаре», хотя это название иногда ре-
зервируется для такого подмножества этих волн, которое удов-
летворяет граничным условиям в канале (см. гл. 10). Несмотря
на то, что эти волны носят имя Пуанкаре, впервые они были
рассмотрены Кельвином [778]. В' метеорологии их обычно на-
зывают просто гравитационными, подразумевая при этом, что
они связаны с влиянием вращения. Дисперсионное соотношение
волн показано на рис. 7.2. Из дисперсионного соотношения
можно увидеть, что свойства волн зависят от соотношения ме-
жду длиной волны и радиусом Россби. Различаются следующие
предельные случаи:
7.3. Переходные процессы 245'
(i) Короткие волны (хна 1), длина которых мала по
сравнению с радиусом Россби. Из (7.3.4) для них следует, что
(7.3.6)’
Следовательно, «короткие» волны являются обычными бездне-
персионнымн волнами мелкой воды. Напомним, однако, что тео-
рия мелкой воды требует, чтобы горизонтальный масштаб волн
был велик по сравнению с глубиной, так что волны могут иметь-
указанную выше форму только в том случае, когда радиус
Россби велик по сравнению с глубиной. Это условие выпол-
няется и в атмосфере, и в океане (см. разд. 7.4).
(ii) Длинные волны (хнй<1), длина которых велика по1
сравнению с радиусом Россби. Для них из (7.3.4) следует, что
со ~ f, (7.3.7)<
т. е. частота приблизительно постоянна и равна f или удвоен-
ной скорости вращения. В этом предельном случае влияние'
силы тяжести отсутствует, так что частицы движутся только
по инерции. По этой причине f часто называют ^инерционной»
частотой.
Групповая скорость cg воли Пуанкаре равна наклону дис-
персионной кривой на рис. 7.2. Поэтому в коротковолновом пре-
деле она имеет максимальное значение, равное с. Если длина
волны стремится к бесконечности, то групповая скорость стре-
мится к пулю. Последствия этих изменений должны проявиться
в нестационарном решении, так как короткие волны удаляются
от начального разрыва быстро, а длинные медленно: чем длин-
нее волна, тем меньше групповая скорость. Сама же групповая
скорость находится так:
cg = c2k/co « c2k/f (при малом к). (7.3.8)
Другие свойства волн Пуанкаре рассматриваются ниже.
Решение нестационарной задачи теперь можно найти путем'
построения подходящей суперпозиции волновых решений вида1
(7.3.3) 1242]. Соответствующая комбинация волн должна да-
вать начальное распределение (7.3.2), и ее можно получить, ис-
пользуя таблицы интегральных преобразований (см., например,
[198]). В' этом случае зависимость (7.3.2) приводит к выра-
жению

2цо С /г sin kx
л J k'1 -j- а~2
о
dk.
(7.3.9>
В1 последующие моменты времени ц должна состоять из той же
самой суперпозиции воли Пуанкаре, в которой необходимо учесть
факт их распространения. Поэтому 2 sin kx в (7.3.9) будет
'246 Гл. 7. Эффекты вращения
заменено на комбинацию волн Пуанкаре, которая сохраняет ан-
тисимметричность, а именно
sin (kx -|~ о)/) + sin (kx — co/) = 2 sin kx cos со/. (7.3.10)
Другими словами, решение в момент / имеет вид
я о
k sin kx cos (at j.
-----j-—^^—dk,
(7.3.11)
где <» следует из (7.3.4) при I — 0.
x/a
1------J------1------1------1
Рис. 7.3. Переходные профили для: (а) т); (б) u; (a) v при приспособлении
К равновесию под действием силы тяжести жидкости, имеющей первоначально
разрыв свободной поверхности в точке х = 0, равный 2т}0. Решение показано
для области х > 0, где свободная поверхность в начальный момент была опу-
щена, на временном интервале 2/-1, f — удвоенная скорость вращения системы
относительно вертикальной осн. Расстояния между отметками па осп х равны
радиусу Россби, т. е. (gH) где g есть ускорение свободного падения, Я—
глубина жидкости. Решение остается равным своему начальному значению до
прихода волнового фронта, идущего из места разрыва со скоростью (gH),/3.
Когда приходит волновой фронт, возвышение свободной поверхности увеличи-
вается на г]0, а компонента скорости увеличивается на (g/H)l/2 т\0, как в в слу-
чае отсутствия вращения, показанного на рис. 5.9, а. Это происходит потому,
что первыми приходят короткие волны, не подверженные вращению. Однако
за фронтом вследствие дисперсии создаются волны, которые в случае для и
имеют наклон, определяемый функцией Бесселя (7.3.14). Это решение уравне-
ния Клейна — Гордона, соответствующее импульсу, заданному в точке. «Ши-
рина» фронта уменьшается обратно пропорционально времени. Далеко позади
фронта решение приспосабливается к геострофическому равновесному реше-
нию, показанному па рис. 7.1.
7.3. Переходные процессы 247
Рис. 7.3 (продолжение).
248 Гл. 7. Эффекты вращения
Решения для и и и также можно получить с помощью ре-
шений типа стоячих волн, которые вытекают из уравнений
(7.2.2) и (7.2.3) при д/ду = 0:
ц — sin kx cos <о/,
и. = — (о//гЯ) cos kx sin со/, (7.3.12)
и = — (f/kH) cos kx cos cot.
Таким образом, и и v получаются заменой sin бхcost»/ в
(7.3.11) на соответствующее выражение из (7.3.12). В частно-
сти, выражение для а с учетом (7.3.4) имеет вид
оо
и = 2 (gi%/(o;c)) (/г2 4-а-2) 1/2 sin cat cos kx dk, (7.3.13)
о
где co определяется по формуле (7.3.4). Оказывается, что пре-
образование в правой части можно вычислить точно [198] и
получить следующее соотношение:
и = /(^0/^/0 (/(/2 — х2/д2)1/2 при I X | < Ct, (7 3Л4)
I 0 при ] х | > ct,
где /0 — функция Бесселя нулевого порядка. Это частное ре-
шение уравнения Клейна — Гордона, соответствующее точеч-
ному пмнульсу при х = 0 п / = 0 [566]. При этом ускорение
du/dt имеет вид дельта-функции, возникающей вследствие бес-
конечно большого градиента давления, который существует в
начальный момент. Решение (7.3.14) удобно для численных рас-
четов. Выражения для гр v через функции Бесселя можно по-
лучить из (7.2.2) и (7.2.3). В [112] использованы выражения
этого типа для начальных значений, которые рассматривал
Россби.
На рис. 7.3 представлены решения для т), и, v. Их можно
сравнить с решениями в случае без вращения, рассмотренными
в разд. 5.6 (см. рис. 5.9, а). Если волновой фронт в случае без
вращения переносил только начальный скачок, то теперь за
скачком следует волновой «шлейф», возникающий вследствие
дисперсии. Короткие волны, из которых этот скачок состоит, пе-
ремещаются почти со скоростью с, однако более длинные волны
движутся медленнее (т. е. их групповая скорость меньше) и
отстают от фронта. В фиксированной точке это проявляется
в том, что после прохождения волнового фронта частота обна-
руживает уменьшение (т. е. время между гребнями волн уве-
личивается) и скоро достигает инерционной частоты Д (Это
видно из (7.3.14).) Рис. 7.4,6 показывает, как меняется а со
временем в точке х = а. Новое свойство, которое можно на-
блюдать на рис. 7.4,6, состоит в уменьшении масштаба длины
7.3. Переходные процессы 245>
Рис. 7.4. Скорость и как функция времени I: (а) в точке начального разрыва
свободной поверхности и (б) па расстоянии одного радиуса Россби. На вре-
менной оси отмечены интервалы, равные где [ — инерционная частота.
Решение совершает колебания с частотой, близкой к [, и эти колебания зату-
хают как при больших t.
сразу же за волновым фронтом в точке х — ct. Это связано
с тем, что выражение в (7.3.14) приближенно равно
Z2 — x2/c2 ss (/ + х/с) (1 — х/с) ~2t(t — х/с),
так что масштаб длины уменьшается обратно пропорционально-
времени.
Можно также заметить, что с течением времени решение
стремится к установившемуся решению из предыдущего раз-
дела. Конкретные подробности можно рассчитать, исходя из-
асимптотического поведения функции Бесселя для большого вре-
мени. Ясно также, куда уходит потенциальная энергия, которая
не перешла в кинетическую энергию равновесного решения. Вол-
новые фронты, движущиеся от места начального разрыва, уно-
сят энергию с собой, так что для любой конечной области энер-
гия теряется через ее края за счет «излучения» волн Пуанкаре.
Это происходит до тех пор, пока в области не останется только-
энергия, связанная с установившимся геострофическим равно-
весием.
250 Гл. 7. Эффекты вращения
Рис. 7.5. (а) Фронт (внутренней волны) Пуанкаре, наблюдавшийся в озере
Онтарио вслед за штормом 9 августа 1972 г. Линии показывают глубину тер-
моклина, определенную по изотерме 10°. Времена начала и конца каждого
разреза показаны. Из первого разреза видно сильное опускание, вызванное
прохождением шторма. Последующие разрезы показывают процесс геострофи-
ческого приспособления с излучением волн Пуанкаре, (б) Результаты модели-
рования этого явления [726] на нелинейной двухуровневой модели. Диаграммы
взяты из [726, 729] и могут быть сравнены с решением, показанным на рис. 7.3
для очень простого начального условия.
Другая информация, которую дает неустановившееся реше-
ние, касается масштаба времени процесса приспособления.
В окрестности начальной точки, т. е. в пределах расстояний от
нее порядка радиуса Россби, временной масштаб равен Д', т. е.
равен масштабу времени вращения или «инерционному» вре-
7.3. Переходные процессы 251
Рочестер
Расстояние, км
Преек-Аир
О 10 20 30 40 ЬО 60 70
О---------1---------1-------т---------г---------1--------1--------]0
б*
Рис. 7.5 (продолжение).
менному масштабу (2n/f есть также половина периода маятника
Фуко). Вместе с тем, как и предполагал Россби, решение при-
спосабливается к равновесному решению не монотонно, а «про-
скакивая» равновесное решение и переходя в колебания около
него. Типичным примером этого является поведение значений и
в точке х «= 0, т. е,
« =“= (g^o/c) (7-3.15)
которое показано на рис. 7.4, а. Для больших ft это решение
асимптотически стремится к
« ~ (п/с) (2/WO)''2 sin (ft + я/4). (7.3.16)
Поэтому в нем обнаруживаются колебания с частотой f, свя-
занные с длинными волнами, которые имеют нулевую групповую.
’252 Гл. 7. Эффекты вращения
скорость и остаются сзади. Однако поскольку для любого не-
нулевого волнового числа групповая скорость не равна в точ-
ности нулю, то энергия медленно рассеивается, и это слу-
жит причиной степенного затухания колебаний в формуле
(7.3.16).
Некоторые волны с очень близкими к изображенным на
рис. 7.3 и 7.4 характеристиками наблюдались в озере Онтарио
в августе 1972 г. Они показаны на рис. 7.5. Вызванное штор-
мом опускание воды около границы создало структуру типа
ступеньки, что совпадает с начальным условием для решения,
показанного на рис 7.3 и 7.4. Однако из-за влияния берегов воз-
никли также отраженные волны. В' линейном случае вычисления
с учетом этих волн можно легко провести, используя метод фик-
тивных волн, который применялся для расчета показанных на
рис. 5.9,6 решений в случае без вращения. Решение, показан-
ное на рис. 7.5,6, построено с учетом нелинейных и некоторых
других эффектов.
7.4. ВОЗМОЖНОСТЬ ПРИМЕНЕНИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ К ВРАЩАЮЩЕЙСЯ
ЗЕМЛЕ
Задача Россби о приспособлении позволяет нам узнать очень
много о поведении вращающихся жидкостей, однако ее анализ
касается жидкости, вращающейся относительно вертикальной
оси. Ось вращения Земли не вертикальна во всех точках, за
исключением полюсов. Более того, угол между осью и верти-
калью меняется от места к месту. Означает ли это, что прове-
денный ранее анализ неприменим к вращающейся Земле? Или
он все же применим в некотором приближенном смысле? Кель-
вин [779] утверждал, что его волновые решения (так называе-
мые волны Пуанкаре) применимы «для любого небольшого озе-
ра или части моря, покрывающего не более чем несколько гра-
дусов земной поверхности, если в качестве //2 взять проекцию
угловой скорости вращения Земли на вертикаль данного места,
т. е. положить
-i-f = Qsin<p. (7.4.1)
где Q — угловая скорость вращения Земли, а <р — широта».
(Обозначения изменены в соответствии с используемыми в тек-
сте.)
Утверждение Кельвина можно обосновать, рассматривая
линеаризованный вариант уравнений движения (4.12.14) —
(4.12.16), которые записаны в подходящей для Земли форме.
Они сводятся к (7.2.1) и (7.2.2), если выполнены три условия.
Первое условие упоминал Кельвин. Оно состоит в том, что из-
.менения широты в области должны быть настолько малы, чтобы
7.4. Возможность применения результатов к вращающейся Земле 253
/ можно было считать постоянной и допускать использование
локальной прямоугольной системы координат. Второе условие
состоит в том, что дополнительный член 2лнсоэф в вертикаль-
ной составляющей! (4.12.16) уравнений движения не должен
нарушать гидростатический баланс. Это легко проверить, вы-
числяя дополнительное давление на дне, соответствующее
этому члену, если имеются волны Пуанкаре, заданные в виде
(7.3.12). Вносимые им изменения градиента давления пренебре-
жимо малы, если
(2Q)2 sin ф cos ф, (7.4.2)
что выполняется с хорошим запасом, так как хн“1 не может
превосходить радиуса Земли, который много меньше, чем
£/(2Q)2 ~ 460 000 км.
Третье условие состоит в том, что можно пренебречь дополни-
тельным членом 2Qw cos ф в горизонтальных уравнениях дви-
жения. Самое большое значение w равно значению дц/dt на
поверхности. Используя решение (7.3.12) в виде волны Пуан-
каре, находим, что условие его малости имеет вид
Яхн <tg(p. (7.4.3)
Это неравенство уже обеспечено за счет условия Яхн 1, ко-
торое уже было использовано для обоснования гидростатиче-
ского приближения, если ф не слишком мало, т. е. рассматри-
ваемая область не слишком близка к экватору.
Дальнейшее обсуждение этого приближения будет проведено
ниже. В данный момент главное состоит в определении [ как
величины, определяемой согласно (7.4.1). Называется / пара-
метром Кориолиса. Этот параметр положителен в северном по-
лушарии и отрицателен в южном. Знак f очень важен во многих
приложениях, так что даже используется специальная терми-
нология. Именно, когда вращение происходит в направлении,
соответствующем знаку f, то его называют циклоническим, если
же вращение происходит в противоположном направлении, то
его называют антициклоническим.
Задача Россби о приспособлении объясняет, почему атмо-
сфера и океан почти всегда близки к состоянию геострофиче-
ского равновесия: если произвольная сила стремится нарушить
это равновесие, то начинает действовать возвращающая сила
тяжести, как это показано в разд. 7.2 и 7.3. Она быстро восста-
навливает близкое к геострофическому равновесие. Однако есть
еще много других последствий, связанных с тем, что геостро-
фическое равновесие (7.2.14) не удовлетворяет точно уравне-
ниям, если принять во внимание тот факт, что f не постоянно..
254 Гл. 7. Эффекты вращения
Так как решение при постоянном / вырождается, то процессы,
которые фактически имеют место, являются довольно тонкими,
и многое, что происходит в океане и атмосфере, можно описать
как «квазпгеострофическое» движение, которое обладает этими
тонкими свойствами.
Используемое для описания движения на Земле предполо-
жение, что f постоянно, иногда называется приближением /-пло-
скости. Оно справедливо для моделирования быстро или «гру-
бо» (т. е. в общих чертах) приспосабливающихся процессов типа
тех, которые уже были рассмотрены и которые имеют характер-
ный временной масштаб порядка /-1 или меньше. Более тонкие
процессы приспособления, которые характеризуются большими,
чем /~', временными масштабами, не будут рассматриваться
вплоть до гл. 11.
7.5. РАДИУС ДЕФОРМАЦИИ РОССБИ
Радиус деформации Россби а — это масштаб длины, имею-
щий фундаментальное значение в динамике атмосферы и океана.
По существу, он является горизонтальным масштабом, на ко-
тором эффекты вращения («грубого» типа) становятся такими
же важными, как и эффекты плавучести. Точнее, это тот мас-
штаб, ыа котором средний и последний члены в левой части
(7.2.13) имеют одинаковый порядок.
Сначала рассмотрим его значение для нестационарных за-
дач. На ранних стадиях приспособления при наличии началь-
ного разрыва изменение уровня сосредоточено на небольшом
расстоянии. При этом градиент давления оказывается очень
большим, и поведение определяется силой тяжести. Другими
словами, на масштабах, малых по отношению к радиусу Россби,
приспособление происходит приблизительно так же, как в не-
вращающейся системе. Однако позднее, когда изменение уровня
распространяется на расстояние, сравнимое с радиусом Россби,
ускорение Кориолиса становится уже таким же важным, как и
градиент давления. При этом вращение вызывает реакцию, ко-
торая заметно отличается от реакции, возникающей в случае
без вращения.
Те же рассуждения справедливы и для волн Пуанкаре. Так,
короткие волны (х^1 С а~) очень похожи на гравитационные
волны в невращающейся системе. Это обсуждалось в разд. 7.3.
Для волн с масштабами, сравнимыми с радиусом деформации,
член характеризующий влияние плавучести в дисперси-
онном соотношении (7.3.4), имеет тот же порядок, что и член
/2, учитывающий вращение. С другой стороны, для длинных волн
(х~- а) доминирующими являются эффекты вращения. Они
имеют частоту, близкую к инерционной частоте /, которая в при-
7.5. Радиус деформации Россби 255
менении к океану и атмосфере совпадает с параметром Корио-
лиса, определяемым по формуле (7.4.1). Инерционный период
2л// равен половине периода маятника Фуко, и поэтому его
иногда называют половиной маятникова дня. Он меняется с ши-
ротой и равен 12 часам на полюсе, 17 часам на широте 45°,
1 суткам па широте 30° и примерно 3 суткам на широте 10°. На
экваторе он становится бесконечным, однако на этом этапе при-
ближение f-плоскости нарушается.
Радиус деформации Россби оказывается существенным не
только для задач о неустановившихся режимах, но является
важным масштабом и для решения, характеризующего геостро-
фическое равновесие. Это было видно при анализе задачи о при-
способлении при начальном разрыве, так как разрыв не рас-
пространялся неограниченно, а только на расстояние порядка
радиуса Россби.
Для геострофического потока радиус Россби является мас-
штабом, на котором два члена, входящие в равенство (7.2.9)
для возмущения потенциальной завихренности Qz, имеют оди-
наковый порядок величины. Согласно (7.2.19), для синусоидаль-
ных колебаний поверхностного отклонения с волновым числом
%н вклад в Q' завихренности £ находится в отношении
(7.5.1)
с вкладом отклонения поверхности. Поэтому для коротких волн
(хр,1 <С а) определяющим является влияние завихренности, то-
гда как для длинных волн >> а) доминирует отклонение
свободной поверхности.
Отношение (7.5.1) позволяет найти не только составляющие
потенциальной завихренности возмущения, но также и отдель-
ные составляющие энергии. Это можно показать, умножая ле-
вую часть равенства (7.5.1) на pgHx\/2 и интегрируя по длине
волны. Второй член
у Р£ $ т)2 dx с1У
— это потенциальная энергия, а первый, согласно (7.2.19), имеет
вид
- (” + о2) dx dg.
При выводе последнего равенства использовано соотноше-
ние (7.2.14). Итак, первый член равен кинетической энергии
256 Гл. 7. Эффекты вращения
возмущения и
к. э.: п. э. — н^а2: 1, (7.5.2)
т. е. коротковолновое геострофическое течение содержит в ос-
новном кинетическую энергию, тогда как длинноволновое гео-
строфическое течение содержит большую часть своей энергии
в потенциальной форме.
Теперь рассчитаем характерные значения радиуса Россби.
Они меняются с широтой из-за изменения f, которое, согласно
формуле (7.4.1), принимает значения
f = 1,47 X Ю“4 sin ф с-1. (7.5.3)
Оценки будут основаны на значении / = 1,0ХЮ"4 с-1, соот-
ветствующем широте 45°. Вместе с тем нужно помнить, что око-
ло экватора радиус Россби значительно больше. Например, иа
широте 10°, где f — 0,25 X Ю-4 с-1, он больше в четыре раза.
Для глубокого океана, где И составляет 4 или 5 км, с при-
мерно равно 200 м/с, и поэтому радиус Россби а = c/f «
2000 км. По сравнению с глубиной океана это очень много.
Следовательно, на этом масштабе гидростатическое приближе-
ние выполняется, но этот масштаб слишком велик, чтобы счи-
тать f постоянным. Для континентальных шельфов и мелких мо-
рей, подобных Северному морю, применимы намного меньшие
значения, так как глубина здесь намного меньше. Например,
при Н — 40 м s = 20 м/с и а = c/f = 200 км. Так как Северное
море имеет гораздо большие размеры, то вращение оказывает
в нем сильное влияние на переходные движения, такие как при-
ливы и нагоны.
Приведенные выше величины вычислены для однородного
мелкого слоя воды. Однако, используя метод разделения пере-
менных, рассмотренный в гл. 6, задачу о приспособлении можно
рассмотреть также и для стратифицированной жидкости. По-
скольку ускорение Кориолиса меняется по вертикали так же,
как ускорение относительно вращающейся системы, то метод
разделения переменных применяется совершенно так же, и ана-
лиз, выполненный в разд. 7.2 и 7.3, оказывается применимым
к каждой нормальной моде. Разница состоит только в том, что
Н нужно заменить на эквивалентную глубину Не, связанную с
постоянной разделения ге соотношением (6.11.14) (см. разд. 6.11
и 6.14).
Итак, для каждой моды имеется свой радиус Россби. Вы-
численные выше значения были получены для баротропных мод,
и поэтому они называются баротропными радиусами Россби.
Каждая бароклинная мода имеет связанный с ней радиус
Россби
«п = ^п/1/Ь л=1>2,
(7.5.4)
7.5. Радиус деформации Россби 257
который можно назвать n-м бароклинным радиусом Россби.
Здесь сп есть ц-е значение постоянной разделения се (см.
разд. 6.1), которое равно скорости волны n-й моды в невращаю-
щейся системе. Если значение п не указывается, то подразу-
мевается первая бароклинная мода. Для океана значение ci
обычно равно 1—3 м/с, и типичные значения бароклинного ра-
диуса Россби равны 10—30 км (с большими значениями в низ-
ких широтах). Это значение велико по сравнению с вертикаль-
ным масштабом (в качестве которого можно взять глубину тер-
моклина около 1 км), так что гидростатическое приближение
на этом масштабе выполняется. Бароклинный радиус Россби яв-
ляется для океана естественным масштабом, связанным с та-
кими пограничными явлениями, как пограничные течения и
фронты, а также с вихрями.
Для атмосферы наиболее быстрой модой является волна
Лэмба с с « 300 м/с. Соответствующий ей радиус Россби
(3000 км) слишком велик, чтобы выполнялось приближение
f-плоскости. Множество внутренних мод непрерывно, и поэтому
имеется непрерывное множество радиусов Россби. В' изотерми-
ческом случае с ж N/m, N частота плавучести, а т — вер-
тикальное волновое число, так что
a^N/lmf). (7.5.5)
Отношение N/f обычно порядка 100, так что радиус Россби
примерно равен ста вертикальным масштабам т~1. Для верти-
кального масштаба, связанного с высотой тропопаузы, а по-
рядка 1000 км. Этот масштаб преобладает на картах погоды
в качестве масштаба циклонов и антициклонов. Его часто на-
зывают «синоптическим масштабом».
Как для океана, так и для атмосферы
W » f (7.5.6)
(исключая весьма ограниченные области). Поэтому горизон-
тальный масштаб а превосходит вертикальный масштаб т-1 и
для движений этих масштабов подтверждается гидростатиче-
ское приближение. То обстоятельство, что (7.5.6) в общем слу-
чае справедливо, сильно повлияло на то, как эффекты вращения
вводятся в этой книге. В1 частности, оно объясняет рассмотрение
лишь тех движений, для которых выполняется приближение
гидростатики. Для планеты, где (7.5.6) не верно, скорее всего
необходим другой подход.
Для бароклинных мод соотношения (7.5.1) и (7.5.2) выпол-
няются по-прежнему. Слагаемое, содержащее -q, связано при
этом с вертикальными перемещениями изопикн и, в случае сжи-
маемой среды, с сжатием и расширением жидких объемов, т. е.
с изменениями внутренней и потенциальной энергий. Поэтому
можно сказать, что член, представленный т), соответствует
g Зак. 744
258 Гл. 7. Эффекты вращения
изменениям в поле массы, в то время как член, представленный
соответствует изменениям в поле скорости. Следовательно,
для больших масштабов (%ца <С 1) (7.5.1) и (7.5.2) показывают,
что потенциальная завихренность возмущения в основном свя-
зана с возмущениями в поле массы и что изменения происходят
в потенциальной и внутренней энергиях. С другой стороны, для
малых масштабов (%яа 1) потенциальная завихренность воз-
мущений связана с полем скоростей, и энергия возмущения в
основном сосредоточена в кинетической форме. Отсюда следует,
что приспособление процессов различных масштабов происходит
по-разному. На больших масштабах поле масс опре-
деляется (согласно (7.2.10)) начальной потенциальной завих-
ренностью, а поле скорости попросту находится в геострофиче-
ском равновесии с полем массы. Поэтому говорят, что крупно-
масштабное поле скорости приспосабливается к равновесию с
крупномасштабным полем массы. С другой стороны, на малых
масштабах (х"1 С а) начальная потенциальная завихренность
определяет поле скорости, и поле массы просто находится в гео-
строфическом равновесии с полем скоростей. В' этом случае
можно сказать, что поле массы приспосабливается к равнове-
сию с полем скорости.
7.6. ГЕОСТРОФИЧЕСКИЙ БАЛАНС
Важная черта реакции вращающейся жидкости на влияние
силы тяжести состоит в том, что она приспосабливается не к
состоянию покоя, а к геострофическому равновесию (название
«геострофика» принадлежит Шоу [719]. Следовательно, океан
и атмосфера все время «стремятся» быть близкими к состоянию
геострофического равновесия [624].
Этот факт осознавался очень медленно. В 1643 г. Торричел-
ли изобрел барометр и вскоре были поняты его возможности
для предсказания погоды. Показания барометра вместе с дан-
ными о температуре, направлении ветра и состоянии неба сни-
мались ежедневно на первой сети станций, созданной в 1654 г.
Анитони, секретарем правителя Тосканы Фердинанда II (см. на-
пример, [398]). Эта сеть включала такие удаленные станции,
как Флоренция, В'аршава и Париж, и действовала вплоть до
1667 г. Различные другие попытки предпринимались в семна-
дцатом столетии. Наибольшего внимания заслуживает попытка,
предпринятая на международной основе с помощью стандарти-
зованных инструментов, организованная Метеорологическим об-
ществом Мангейма (или Палатина), начавшаяся в 1781 году.
Однако отчетливо идея о связи между направлением ветра
и градиентом давления, по-видимому, не возникала почти
200 лет после изобретения барометра. Многие авторы в сере-
7.6. Геострофический баланс 259
Рис. 7.6. Реконструкция согласно [327] ранних карт [79], составленных на ос-
нове данных, собранных Мангеймским обществом. Кривые представляют собой
отклонения давления от среднего значения в линиях (1/12 парижского дюйма
или около 3 мб), а стрелки указывают направление ветра.
дине 19-го в. подошли к некоторому пониманию этого соотно-
шения, так что ии с одним из них конкретно связать эту идею
нельзя. Примеры таких соотношений приведены в [327], а са-
мым первым из них был пример Брандеса (1820), изучившего
данные, собранные Мангеймским обществом в 1783 г. Он не
опубликовывал рисунки, однако на рис. 7.6 приведена карта,
составленная в [327] по данным Брандеса. Кривые изображают
отклонения давления в линиях (1/12 парижского ртутного дюй'
ма, или около 3 мбар) от среднего значения в каждой точке.
Брандес заметил, что направление ветра было тесно связано с
распределением давления, и приписал поворот вправо (от направ-
ления, противоположного направлению градиента) вращению
9*
260 Гл. 7. Эффекты вращения
Земли. Другой интересный пример, показанный на рис. 7.7, взят
из работы Бёрта [61]. В своем первом сообщении Британской
Ассоциации в 1872 г. Форбс выразил надежду, что будущая
сеть метеорологических станций будет средством определения
«больших атмосферных приливных волн», аналогичных волнам,
изученным Лапласом. В результате под руководством Гершеля
был создан специальный комитет, и Бёрт сделал в нем пять
сообщений о своей работе. Бёрт находился под влиянием
Рис. 7.7. Волновое описание изменений ветра и давления, предложенное в [61],
включающее представление о том, что ветер направлен вдоль изобар. Линии
аа и bb — это линии низкого давления, тогда как линии а'а' и b'b' — это ли-
нии высокого давления. Ветры между ними имеют указанное направление, и
вея система движется в направлении, указанном большой стрелкой.
упоминавшейся в разд. 5.4 работы Скотта Рассела по теории
волн [694] и предполагал, что волновая картина из рис. 7.7
может объяснить большинство доступных наблюдений.
«Пусть слои aaa'a', b'b'bb на рис. 2 представляют два па-
раллельных воздушных течения, причем ааа'а' направлено от
юго-запада, а Ъ'ЪГЪЪ—от северо-востока. Представим себе, что
оба они смещаются с севера на запад в направлении большой
стрелки, т. е. слои сами продвигаются в боковом направлении.
Теперь представим барометр, показания которого начинают ра-
сти как раз тогда, когда граница bb пересекает какую-либо ли-
нию местности и продолжает возрастать до тех пор, пока гра-
ница b'b' не подойдет к линии, на которой достигается макси-
мум. Теперь ветер изменится, и показания барометра сразу же
начнут падать до тех пор, пока граница аа не совпадет с ли-
нией границы местности, которую bb впервые пересекла» [61,
с. 135].
Рассуждения Бёрта интересны не только в связи с соотно-
шением между направлением ветра и градиентом давления, но
7.6. Геострофический баланс 261
также и в связи с волнами, которые будут изучены в после-
дующих главах.
Несмотря на эти догадки, правила о том, что «ветер обычно
перпендикулярен барометрическому наклону» и что «если вы
повернетесь спиной к ветру, то более низкое давление будет по
левую руку, а более высокое — по правую», иногда называют
законом Бейс-Балло (для Северного полушария), поскольку
именно он сформулировал их в своих ежегодниках 1857 и 1860 г.
(см. [398]).
С теоретической стороны интерес к эффектам вращения Зем-
ли был стимулирован работой Фуко [217], которая была про-
должена три года спустя экспериментами Перро в «ванне».
В этом опыте в центре основного большого цилиндрического ре-
зервуара открывалось небольшое отверстие. Это происходило
после того, как жидкость успокаивалась в нем на протяжении
целого дня. Как это и ожидалось по теории, Перро обнаружил,
что жидкие частицы отклоняются вправо и приобретают при
этом, говоря современным языком, циклоническое вращение.
Повторение этого опыта показано в фильме «Завихренность»
(см. Национальный комитет по фильмам по механике жидко-
стей [585]).
Эксперимент Перро подсказал Бабине [32] объяснение раз-
мыва преимущественно правых берегов сибирских рек (помимо
других факторов) за счет вращения Земли. Очень быстро он
стал интенсивно использоваться учеными; в частности, после
того как Делоне [165] показал, что горизонтальная сила, дей-
ствующая на единицу массы из-за вращения, равна скорости,
умноженной на f, он использовал постановку этого эксперимента
следующим образом: «Рассмотрим прямолинейный канал в Се-
верном полушарии. Если жидкость находится в покое, то она
оказывает равное давление на обе его границы. Если она дви-
жется, то «давление немного возрастает на правой границе».
Он также отметил, что изменения будут весьма малыми. Комб
[135] пошел дальше и показал, что свободная поверхность будет
подниматься в правую сторону в Северном полушарии (и в ле-
вую сторону в Южном полушарии) под углом, определяемым
равенством
наклон поверхности = 2Q sin cpo/g. (7.6.1)
Это представляет собой другую форму выражения геострофиче-
ского баланса (7.2.14). Он подсчитал, что для реки шириной
в 4 км, текущей со скоростью 3 м/с на широте 45°, разность
уровней между двумя берегами будет 12 см.
Эти обсуждения в Парижской Академии не имели прямого
отношения к метеорологическим вопросам, однако позднее они
получили большой резонанс в европейской метеорологии (см.
[1—3]). В это же время в Соединенных Штатах Феррель
262 Гл. 7. Эффекты вращения
занимался применением уравнений жидкости на вращающейся
сфере к задачам метеорологии и, в частности, к задачам гло-
бальной циркуляции. Он, по-видимому, был первым [207], кто
установил, что крупномасштабные движения в атмосфере яв-
ляются приближенно гидростатическими и геострофическими.
Метод Ферреля состоял в том, чтобы вначале проинтегрировать
уравнение гидростатики, пренебрегая при этом изменением тем-
пературы с высотой, и получить экспоненциальное убывание
давления с высотой (3.5.12). Выражение для давления было
подставлено в меридиональную составляющую (4.12.15) уравне-
ния движения и приняты некоторые приближения, которые сво-
дят уравнение (4.12.15) к виду
2Qw sin ср = — (рг)-1 др/дср + члены, учитывающие трение. (7.6.2)
Далее он показал, что члены, учитывающие трение, должны
быть относительно малыми, и привлек измерения давления иа
поверхности Земли для вычисления по этой формуле горизон-
тальных ветров на поверхности и на высоте 3 мили (5 км). Ои
использовал данные наблюдений давления и разумную аппрок-
симацию для зависимости температуры от широты. На высоте
5 км он получил западные (т. е. направленные на восток) ветры
на всех широтах с максимумом 13 м/с на широте 55° с. ш. и
23 м/с на 40° ю. ш. Феррель не получил восточных ветров около
экватора, которые дают наблюдения (см. рис. 7.9). Однако он
заметил: «Очень близко к экватору эта формула... практически
не верна, так как для вычислений при малых значениях ср эф-
фекты «трения и инерции» могут быть очень большими».
Геострофическое соотношение (7.2.14) применимо к любой от-
дельной моде. Более общее соотношение (которое можно полу-
чить сложением вкладов отдельных мод) получается в резуль-
тате приравнивания градиента давления и членов, связанных
с ускорением Кориолиса в (4.10.11):
— fv = — р-1 др!дх, (7.6.3)
fu = — р-1 др{ду. (7.6.4)
Нелинейные члены и члены, учитывающие трение, которые были
автоматически опущены в линейном невязком случае, становятся
важными только в областях сильных градиентов, таких как
фронты и пограничные течения, а эффекты трения оказываются
существенными (хотя и не являются определяющими) вблизи
поверхности земли. Поэтому ветры вблизи поверхности имеют
тенденцию дуть вдоль изобар в направлении, определенном за-
коном Бейс-Балло, а давление оказывается связанным с функ-
цией тока равенством (7.2.18), т. е. наиболее сильные ветры
наблюдаются там, где изобары наиболее близки. Другой способ
определения направления ветра—через направление вращения
7.7. Относительные геострофические течения 263
вокруг областей «высокого» (антициклоны) и «низкого» (цик-
лоны) давления. Воздух имеет циклоническое вращение вокруг
циклона, что и означает сам термин, т. е. против часовой стрел-
ки (если смотреть сверху вниз) в Северном полушарии и по
часовой стрелке в Южном полушарии; вокруг антициклона про-
исходит антициклоническое вращение.
Ветер у поверхности земли существенно отличается от гео-
строфического. Один из способов выразить это отличие — опре-
делить геострофический ветер (us, vs) соотношениями
fue= — др/ду, fvg = p~l др/дх (7.6.5)
и выразить ветер на поверхности земли через геострофический.
Это означает ослабление величины ветра (которое возрастает
с уменьшением расстояния от поверхности) и изменение его на-
правления в сторону низкого давления (типичный угол близок
к 20°). На практике поправка зависит от устойчивости воздуха
и от того, устанавливаются или нет условия равновесия. (Су-
точные вариации притока тепла и влияние рельефа поверхности
противодействуют установлению равновесия над сушей). Откло-
нение от геострофики уменьшается с высотой и обычно весьма
мало на высоте около 1 км. Подтверждение точности геостро-
фического баланса в верхних слоях было получено в [265].
Хотя уравнения (7.7.3) и (7.6.4) и являются удобным спосо-
бом выражения геострофического соотношения для поверхности
Земли, для других слоев их более удобно выразить в изобари-
ческих координатах (см. разд. 6.17). При этом скорость на изо-
барической поверхности равна
— = — дФ/дх, (7.6.6)
fu — — дФ/ду, (7.6.7)
где Ф — геопотенциал этой поверхности. Эта запись использует-
ся па практике как в метеорологии, так и в океанографии. Пре-
имущество такой формы для метеорологии очевидно, так как из
нее исключена плотность и поэтому карты ф на разных уровнях
по давлению имеют один п тот же масштаб для пересчета в ско-
рость. В качестве примера на рис. 7.8,6 приведены карты гео-
потенциальной высоты (см. разд. 3.5) 200-миллибаровой поверх-
ности. Ветры при этом давлении можно вычислить из (7.6.6),
(7.6.7) и (3.5.2).
7.7. ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ГЕОСТРОФИЧЕСКИЕ ТЕЧЕНИЯ:
ТЕРМИЧЕСКИЙ ВЕТЕР
Феррель не только установил, что атмосфера находится при-
мерно в гидростатическом и геострофическом равновесии, но и
показал, как можно применить этот факт для расчета ветров
Рис. 7.8. (a) (i) Динамическая высота поверхности Тихого океана относительно поверхности 1000 дбар (т. е. аномалия в
разности геопотенциалов между двумя этими уровнями давления) в динамических метрах. Стрелками показано направление
течения на поверхности относительно поверхности 1000 дбар. Точками обозначены места, в которых соответствующие значе-
ния были рассчитаны (согласно [658, рис. 1]). (ii) Аналогичная карта, показывающая динамическую высоту или аномалию
геопотенциала на поверхности 1000 дбар относительно поверхности 2000 дбар. Океанографы используют эти карты для опре-
деления течений вследствие затруднений в определении абсолютной топографии поверхности давления.
7.7. Относительные геострофические течения 265
(б) Карты плотности дают эквивалентную информацию для атмосферы, на-
пример, (1) показывает разность в геопотенциальной высоте (м) в зимнее вре-
мя между поверхностями 850 и 1000 мбар. Эти значения можно перевести в
среднюю температуру между двумя уровнями в К путем умножения на 0,210.
Интервал между линиями 10 м (2,1 К). Поскольку это поле близко к зональ-
ному, некоторые его свойства лучше видны, когда изображены отклонения от
зонального среднего значения, как это сделано
266 Гл. 7. Эффекты вращения
6 (н)
в (ii). Интервал между линиями теперь 9 м (1,9 К), и возникает разность
между нагреванием океана и выхолаживанием континентов. Нет необходимо-
сти использовать такие карты для ветров, поскольку высоту поверхностей
давления можно измерять непосредственно. Например,
7.7. Относительные геострофические течения 267
(iii) показывает среднюю высоту (м) 200 мб поверхности в зимнее время,
когда ветры близки к своим максимальным значениям. Интервал между
линиями 100 м. (Все три рисунка любезно предоставил G. Н. White; они
основаны на данных NMC, собранных N.-C. Lau.)
268 Гл. 7. Эффекты вращения
в верхнем слое атмосферы по измерениям поверхностного давле-
ния и наблюдениям за температурой. Из-за отсутствия иной ин-
формации ветры Ферреля на высоте 3 мили были вычислены
в предположении, что температура вплоть до этого уровня не
слишком отлична от ее значения на поверхности.
В настоящее время подъемы радиозондов в атмосферу (и по-
гружения самописцев солености, температуры и глубины в оксан)
являются обычным делом, так что можно получить точную ин-
формацию об изменениях температуры и влажности (или тем-
пературы и солености) с изменением давления. Плотность как
функцию давления дает уравнение состояния. Геопотенциал
можно вычислить из уравнения гидростатики (3.5.6):
ЛФ = - = — va dp. (7.7.1)
Информация с радиозондов часто записывается с помощью зна-
чений в точках, в которых происходит существенное изменение
градиента температуры. При соединении этих точек прямыми
линиями на термодинамических диаграммах получается хоро-
шая аппроксимация профиля (см. разд. 3.9). Графический метод
расчета изменений геопотенциала с помощью этих диаграмм рас-
сматривается, например, в [264, гл. 3].
Динамическую высоту любой изобарической поверхности в
атмосфере можно вычислить, зная поверхностное давление.
В океане это не так, поскольку возвышение свободной поверх-
ности относительно геопотенциала обычно неизвестно. Однако
разности динамических высот заданных изобарических поверх-
ностей все же можно вычислить, так что оказывается возмож-
ным вычислить геострофическую скорость на одном уровне отно-
сительно скорости на другом уровне.
Значения температуры и солености в океане, получаемые по
записям STD (соленость — температура — глубина) и CTD (про-
водимость— температура—глубина), записываются в отчетах
морских судов и передаются в центр данных в виде значений на
некоторых стандартных горизонтах с некоторой дополнительной
информацией о точках, где происходят изменения градиента.
Если информация получается с помощью бутылок Нансена, ко-
торые записывают температуру и берут образец воды для ана-
лиза на заданных заранее глубинах, то значения на этих глу-
бинах также приводятся. Созданы стандартные программы для
вычисления на ЭВМ значений плотности и динамической вы-
соты. Для вычисления последней плотность задается в виде ано-
малии удельного объема 6, определяемой как отклонение удель-
ного объема vs = р-1 от его значения при том же давлении,
температуре О °C и обычной солености 35 г/л, т. е.
6 = as(S, Т, р)~ us(35, 0, р). (7.7.2)
7.7. Относительные геострофические течения 269
Значение б можно вычислить, используя формулу (ПЗ.З). Обыч-
но его задают в единицах IO-8 м3/кг. Аномалия геопотенциала
Ф' (обычно обозначается —AD) определяется формулой
р
Д£) = — ф'= bdp.
о
(7.7.3)
Она получается интегрированием от нулевого давления (на по-
верхности) до рассматриваемого давления. Так как аномалии
рассчитываются относительно функции от давления, то горизон-
тальные градиенты Ф' вдоль изобарических поверхностей полу-
чаются равными горизонтальным градиентам Ф. Поэтому выра-
жения

/К (Р)“ % (0)}
ЭФ' (?)
дх
дФ' (р)
ду
(7.7.4)
дают геострофические течения относительно поверхности. Ана-
логично, геострофические скорости при давлении р\ можно вы-
числить относительно скоростей при другом давлении р2:
- f Ю <Р1) - (/*>2)} = - -JT <ф' - ф' -
д , , (7-7.5)
f К (Pi) - «g (P2)} = — {Ф' (Pi) - ф (P2)}-
Обычно в качестве отсчетного уровня (индекс 2) выбирается
нижний из двух уровней и, следовательно, уровень с большим
давлением.
На рис. 7.8, а показан пример динамической топографии (i)
поверхности Тихого океана относительно уровня 1000 дбар и (П)
уровня 1000 дбар относительно уровня 2000 дбар. (Децибар
(дбар) (см. разд. 3.5) часто используется в океанографии в ка-
честве единицы измерения, так как изменение давления на 1 дбар
соответствует изменению глубины, умноженному на 1/pg, что
очень близко к 1 м: обычно 1 дбар =0,995 м около поверхности
и 0,969 м на уровне 5000 дбар. Часто отличие между децибаром
и метром не играет роли, и им пренебрегают.) Обычно течения
на больших глубинах малы по сравнению с поверхностными, так
что поверхностные течения, рассчитанные относительно уровня
1000 или 2000 дбар, хорошо аппроксимируют действительные те-
чения иа поверхности. Однако всегда возникает вопрос, относи-
тельно какого отсчетного уровня получается самая лучшая ап-
проксимация поверхностных течений. Идеальным отсчетным
уровнем был бы «уровень отсутствия движения», однако такой
уровень не обязательно существует в действительности, так как
на нем должны обращаться в нуль обе составляющие скорости.
270 Гл. 7. Эффекты вращения
Методы определения отсчетного уровня по данным наблюдений
температуры и солености в окрестности выбранной точки изло-
жены в [755, 404].
В метеорологии динамическая высота одной поверхности дав-
ления относительно другой называется относительной топогра-
фией. Если удовлетворяется уравнение состояния (3.1.2) идеаль-
ного газа, то из (7.7.1) следует, что
pi
ф[ _ ф2 = р-^т dp = F>T In (р2/Р1). (7.7.6)
pi
где Т — температура, осредненная по логарифму давления ме-
жду двумя уровнями. Следовательно, относительная топография
(а значит, и относительные ветры) связана со средней темпера-
турой Т. Другая интерпретация Т получается при интегрирова-
нии уравнения гидростатики в форме (3.5.11):
pi а
1п(р2/р,)= 5 = j dz, (7.7.7)
Р-> Pl
т. е. \/Т есть величина, обратная температуре, осредиенной по г
между двумя поверхностями давления. На рис. 7.8,6 приведен
пример карты относительной топографии. В метеорологии они
используются чаще для демонстрации средней температуры, а
не относительных ветров.
В ходе предыдущих рассуждений информация, содержав-
шаяся в уравнениях гидростатики и геострофики, комбинирова-
лась по Феррелю: вначале интегрировалось уравнение гидроста-
тики, а затем использовалось геострофическое соотношение.
С другой стороны, можно продифференцировать геострофические
уравнения (7.6.6) и (7.6.7) по давлению, а затем использовать
гидростатическое соотношение для подстановки в них дф/др =
= —р-1. В результате имеем
f дс/др— р~2 др/дх, f ди/др — — р~2др/ду. (7.7.8)
Используя вновь уравнение гидростатики в форме dp = —pgdz,
получаем
fdv/dz = —gp-^dp/dx)^ f du/dz = gp"1 (др/ду)р, (7.7.9)
где производные в правой части берутся на изобарических по-
верхностях. (Различия между градиентами на изобарических
поверхностях и на поверхностях постоянного уровня обычно так
малы, что для практических целей они несущественны.)
Для идеального газа р = р/(Д7"), так что производные в
правой части можно выразить через температуру. Имеем
f dv/dz —gT~l (дТ/дх)р, fdu/dz==-gT~l(dT/dy)p. (7.7.10)
7.7. Относительные геострофические течения 271
Широта, *с.ш.
Рис. 7.9. Средние меридиональные разрезы скорости ветра и температуры для
(а) января и (б) июля. Топкие сплошные линии температуры даны в градусах
Цельсия, а штриховые линии изображают скорость ветра в метрах в секунду.
Жирные сплошные линии показывают тропопаузу и разрывы в инверсии. (Со-
гласно Active Forecast Guide, Военно-морская лаборатория исследования по-
годы. Апрель 1962.)
Эти уравнения называются уравнениями термического ветра. Они
дают связь между градиентом температуры (па изобарической
поверхности) и сдвигом ветра. Отсюда следует, как показал
Феррель, что если температура уменьшается в направлении по-
люса, то западные ветры (т. е. дующие в направлении на
272 Гл. 7. Эффекты вращения
восток) становятся с высотой более сильными. На рис. 7.9 пока-
заны наблюдаемые распределения температуры и ветра по ши-
ротам и по высоте. Связь между этими двумя полями, выра-
жаемая равенствами (7.7.10), очевидна.
Термический ветер удобно представлять как ветер на одном
уровне (обозначенном, скажем, индексом 1) относительно ветра
на более низком уровне (обозначенном индексом 2). Тогда тер-
мический ветер будет дуть вдоль изотерм (или, более точно,
вдоль кривых постоянной относительной топографии), оставляя
в Северном полушарии холодный воздух слева и теплый — спра-
ва. Имеются и различные другие следствия, которые полезно на-
помнить.
Холодный
воздух
(Верхний}
(J(U>KHUU) X
v\~vo. „
('Термической
„ дотер)
Теплый
воздух
(Термический
4 ветер')
Рис. 7.10. Связь между направлением вращения вектора скорости ветра с вы-
сотой и направлением адвекции тепла. Индекс 2 обозначает нижний уровень,
а индекс 1 — верхний уровень. В Северном полушарии холодный воздух нахо-
дится слева от наблюдателя, движущегося с термическим ветром щ— о2. Сле-
довательно, адвекции холодного воздуха (случай (а)) соответствует циклони-
ческое вращение вектора скорости с высотой, тогда как адвекции теплого
воздуха (случай (б)) соответствует антициклоническое вращение вектора ско-
рости с высотой (в Северном полушарии).
Предположим, например, что геострофический ветер на от-
счетном уровне имеет составляющую, направленную в сторону
от холодного воздуха к теплому. Тогда термический ветер будет
направлен влево относительно этой составляющей в Северном
полушарии (рис. 7.10). Ветер при этом будет поворачиваться
с ростом высоты против часовой стрелки, или циклонически.
И наоборот, ветер будет с высотой поворачиваться антицикло-
нически, если он имеет составляющую, направленную от теплой
области к холодной. Таким образом, вращение ветра против ча-
совой стрелки с высотой связано с адвекцией холодного воз-
духа, а поворот по часовой стрелке — с адвекцией теплого воз-
духа.
На картах распределения температур на изобарических по-
верхностях вектор сдвига имеет циклоническое направление во-
круг областей низких температур (или низкой относительной то-
пографии) и антициклоническое направление вокруг высоких
7.7. Относительные геострофические течения 273
ператур (или областей высокой относительной топографии). По-
этому если область низкого давления имеет холодное ядро, то
циклонический поток вокруг ядра будет усиливаться с высотой,
и наоборот. Аналогично, если область высокого давления имеет
теплое ядро, то антициклоническое течение будет возрастать
с высотой, и наоборот. Если центры температуры и давления не
совпадают, то циклоны будут сдвигаться с высотой в сторону
холодного воздуха, а антициклоны — в направлении теплого
воздуха.
В случае океана для выражения градиентов плотности в
(7.7.9) через градиенты температуры и солености можно ис-
пользовать уравнение состояния. Получается (см. разд. 3.6)
f dv/dz ~ ga дТ/дх — dsldx, f du/dz = ga dT/dy 4- gp dsldy.
(7.7.11)
С другой стороны (см. разд. 3.7), Т можно заменить на потен-
циальную температуру Q, а а, ₽ на а', |У. Если градиенты соле-
ности малы и температура уменьшается в направлении полю-
сов, то течения все сильнее отклоняются с глубиной в западном
направлении. Проявлением этого фактора является полярное
смещение центров субтропических антициклонических вихрей с
глубиной. Его можно увидеть на рис. 7.8, а.
Предельная форма термического ветра получается в случае
«фронта» или наклонной поверхности разрыва плотности. Если
эта поверхность имеет вид z — h (х, у), индекс 2 обозначает зна-
чения ниже этой поверхности, а индекс 1 — значения выше ее,
то возникающее благодаря разрыву дополнительное’ давление
ниже поверхности будет, согласно уравнению гидростатики,
равно
Р2 — Pi = (Рг “ Pi) g & “ z}. (7.7.12)
Дополнительная скорость ниже этой поверхности будет нахо-
диться из геострофического соотношения:
f(u2 — g' dhjdx, f(u2~ux)~~-g'dhldy, (7.7.13)
где
g' = (p2 —P1)g/p2. (7.7.14)
Таким образом, дополнение к скорости направлено вдоль гори-
зонталей поверхности разрыва и равно наклону поверхности,
умноженному на g'/f. Специальным случаем является разрыв
свободной поверхности, когда (7.7.13) сводится к равенству
(7.6.1), полученному в [135]. Соотношение (7.7.13) для обыкно-
венной поверхности разрыва часто называют соотношением Мар-
гулеса [523]. Более общее соотношение для зональных потокод
получил Гельмгольц [317].
274 Гл. 7. Эффекты вращения
7.8. ДОСТУПНАЯ ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ
В разд. 5.7 были рассмотрены изменения энергии, связанные
с процессом приспособления однородной жидкости к действию
силы тяжести в случае малых возмущений состояния покоя. По-
тенциальная энергия возмущения, связанная с возвышением по-
верхности т], находилась как положительно определенная вели-
чина
Л'= ypgV^xrfz/, (7.8.1)
минимальное значение которой — нуль — достигается в состоя-
нии покоя. При любом движении без трения сумма кинетиче-
ской и потенциальной энергий остается постоянной, так что мак-
симальное значение кинетической энергии, которую можно полу-
чить за счет превращения потенциальной энергии в кинетиче-
скую, равно А'. Поэтому величина Л', называемая доступной по-
тенциальной энергией, представляет собой- энергию, которая яв-
ляется доступной для превращения в кинетическую, если ограни-
чения, налагаемые уравнениями движения, будут допускать та-
кую возможность. В разд. 5.7 было показано, что в случае без
вращения происходит полное превращение энергии, т. е. вся до-
ступная потенциальная энергия высвобождается и становится
кинетической энергией жидкости. Вращение, однако, может пред-
отвратить превращение энергии. Действительно, в задаче из
разд. 7.2 высвобождалась лишь очень небольшая часть доступ-
ной потенциальной энергии. Это связано с переходом к геостро-
фическому равновесию, в котором содержится почти столько же
доступной потенциальной энергии, сколько ее было в начальном
состоянии. Поэтому была выдвинута идея, что во вращающейся
системе потенциальную энергию трудно извлечь.
Однако здесь следует упомянуть еще кое-что, поскольку при-
способление стратифицированной жидкости часто оказывается
чувствительным к начальному условию. Например, атмосфера,
на которую наложено ограничение отсутствия изменчивости по
долготе, может приспосабливаться с очень малыми изменениями
потенциальной энергии. Вместе с тем небольшие нерегулярности
в таком течении часто могут возрастать, забирая потенциальную
энергию зонального потока, что приводит к высвобождению го-
раздо большего количества потенциальной энергии. В природе
освобожденная энергия заключена в форме циклонов и антицик-
лонов, которые не только определяют погоду, ио и играют ре-
шающую роль в общей циркуляции атмосферы. Поэтому понятие
доступной потенциальной энергии, которое в 1903 г. впервые вы-
двинул для объяснения штормов Маргулес [522], является цен-
ным средством анализа общей циркуляции атмосферы. В этом
плане его развил Лоренц [483].
7.8. Доступная потенциальная энергия 275
Хотя рассуждения из первого абзаца этого раздела относи-
лись к однородной жидкости, само понятие доступной потенци-
альной энергии в равной степени применимо и к стратифициро-
ванным сжимаемым жидкостям (см. разд. 4.7) и обычно основы-
вается на сведениях о поведении идеальной жидкости при от-
сутствии фазовых переходов (т. е. без высвобождения скрытой
теплоты). В этом случае, как было установлено в разд. 4.7, сум-
ма кинетической, внутренней и потенциальной энергий остается
постоянной, и доступная потенциальная энергия определяется
как разность между суммой внутренней и потенциальной энер-
гий, наблюдаемых в настоящий момент, и наименьшим значе-
нием этой величины, которое может быть достигнуто при таком
перераспределении масс, которое сохраняет энтропию и состав
каждого жидкого элемента. Таким образом, справедливо сле-
дующее:
а) Доступная потенциальная энергия является положительно
определенной величиной.
б) Доступная потенциальная энергия зависит только от рас-
пределения потенциальной температуры (или температуры), дав-
ления и состава во всей жидкости.
в) Сумма доступной потенциальной и кинетической энергий
остается постоянной при любом изэнтропическом движении при
отсутствии диффузии, диссипации, высвобождения скрытой теп-
лоты и радиационных потоков тепла.
Как отмечалось в разд. 4.7, среднее значение (на единицу
площади) потенциальной энергии атмосферы оценивается вели-
чиной 4,5 X Ю° Дж/м2, что примерно в 10 раз больше среднего
значения кинетической энергии. Если бы вся доступная потен-
циальная энергия перешла в равномерное движение всей атмо-
сферы, то скорость была бы порядка 30 м/с.
В разд. 6.14 было получено выражение (6.14.10) для суммы
внутренней и потенциальной энергий возмущения
А' = у $ 5 S (роДГ2/г2 + 1 (р'/Ч)2) dx dy dz> (7.8.2)
где h — вертикальное отклонение частицы, 2V— частота плаву-
чести, cs — скорость звука, р' — возмущенное давление и р0 — не-
возмущенная плотность. Из этого выражения следует, что со-
стояние покоя является минимумом для суммы внутренней и по-
тенциальной энергий, хотя и можно предположить, что суще-
ствует другой минимум, энергия которого была бы меньше. Од-
нако, вычисляя изменение 64 суммы внутренней и потенциаль-
ной энергий за счет перемещения бх жидких частиц, сохраняю-
щего массу и энтропию (см. [808, 809]), можно показать, что
это не так.
276 Гл. 7. Эффекты вращения
Из определений (4.7.6) и (4.7.7) следует, что
6Л = 6 (/ 4- Р) = J рб (Е + Ф) dx dy dz. (7.8.3)
Согласно первому закону термодинамики (3.2.1), изменение вну-
тренней энергии единицы массы при изэнтропическом переме-
щении имеет вид
ЪЕ —— рбу3 —рбр/р2, (7.8.4)
где ds = р-1 —удельный объем. Но уравнение сохранения массы
(4.2.2), записанное через перемещение бх, имеет вид
6vs/vs — — бр/р — V • (бх). (7.8.5)
Изменение 6Ф величины Ф, связанное с перемещением бх, дается
формулой
6Ф = бх <ЭФ/дх + бр дФ/ду + бг дФ/dz = 57Ф • бх. (7.8.6)
После подстановки в (7.8.3) выражения (7.8.6) для 6Ф, учета
равенства (7.8.5) и выражения (7.8.4) для 6Е, получаем
6Л = J (— pV • бх + р?Ф • бх) dx dy dz —
= 5 $ S ("~ V ’ (Р Ф ’ ^х) dx dy dz,
т. е.
6Л = - р (бх)п dS + (Vp + pV Ф) • бх dx dy dz, (7.8.7)
где (см. разд. 4.6) первое слагаемое в правой части получается
с помощью формулы Стокса, причем (бх)п обозначает переме-
щение вдоль внешней нормали к объему, a dS — элемент пло-
щади поверхности. Это слагаемое обращается в нуль на твер-
дой границе, где (бх)п = 0 (например, на дне океана), а также
там, где р = О (как на «верхней» границе атмосферы). Поэтому
условие обращения в нуль бЛ для системы атмосфера — океан
есть
Гр + рГФ==0, (7.8.8)
т. е. должны удовлетворяться все условия гидростатики, в том
числе условие, что горизонтальный градиент давления равен
нулю. Из уравнения движения (4.5.5) следует, что с этим усло-
вием и граничными условиями согласуется только одно состоя-
ние — состояние покоя.
Однако, поскольку плотность может быть любой функцией
давления, имеется множество возможных состояний покоя. Что-
бы найти из них то единственное состояние, которое имеет мини-
мум суммы внутренней и потенциальной энергий, можно вычис-
7.8. Доступная потенциальная энергия 277
И ( (Vp + рУФ) • u dx су dz. (7.8.9)
лить изменение А с точностью до величин второго порядка ма-
лости по отношению к перемещениям (см. [808, 809]). Это при-
водит к выражению (7.8.2). Отсюда следует, что минимум соот-
ветствует состоянию, в котором масса распределена таким обра-
зом, что частота плавучести является вещественной, т. е. № 0.
Уравнение (7.8.7) тесно связано с уравнением энергии из
разд. 4.7. Записывая это уравнение через скорость изменения
энергии, связанную с определенной скоростью перемещения, на-
ходим
AA[di == — рип dS +
Здесь учтено, что и == Z) (6х)/7Я, а интеграл берется по матери-
альному объему. Если использовать уравнения движения, то
Vp/p + УФ можно заменить на ускорение, взятое с обратным
знаком, так что последний член равен отрицательному значению
скорости изменения кинетической энергии, а уравнение (7.8.9)
превращается в частный случай соотношения (4.7.8), соответ-
ствующий сохранению полной энергии.
Чтобы проиллюстрировать понятие доступной потенциальной
энергии, рассмотрим эксперимент Марсильи из разд. 5.1. В на-
чальный момент в прямоугольном резервуаре имелись два рав-
ных объема однородных жидкостей, разделенных перегородкой,
как показано на рис. 7.1, a (i). Используя дно резервуара как
отсчетный уровень, найдем среднюю потенциальную энергию на
единицу площади
L/2 Г Я Ч Щ р Ч
P*=L~l К рФ dz ? dx—L”1 Н pgz dz ! dx = ~(pj + р2) gH2.
—L/2 '•О ' —L/2 'О '
Начало координат х = 0, z — 0 помещается в центре дна шири-
ной L. Положение равновесия показано на рис. 7.11, a (iii), и
вычисление аналогичного интеграла для него дает
01Р1 _|_1р2^я2.
Находя разность этих двух выражений, получаем доступную по-
тенциальную энергию А на единицу площади:
^ = |(P2-Pi)g//2. (7.8.10)
Если вся доступная энергия переходит в кинетическую, то сред-
неквадратичная скорость движения будет равна
Я2 = —(р2— pi) gH/(p2 + pi). (7.8.11)
278 Гл. 7. Эффекты вращения
-
01
i(W)
ог
Рис. 7.11. (а) Три различных положения двух несжимаемых жидкостей, каж-
дая постоянной плотности р; при р2 > pi. Случай (i) —начальная конфигура-
ция эксперимента Марспльп (см. рис. 5.1). Случай (iii) показывает положе-
ние жидкостей в конце эксперимента, когда достигнуто условие минимума по-
тенциальной энергии. Случаи (ii) показывает другое начальное условие. До-
ступная потенциальная энергия равна превышению над потенциальной энер-
гией случая (iii). Средние значения на единицу площади равны (р2 — pi)gH2/8
’в случае (i), (р2 — pi)gd2/6 в случае (ii) и нуль в случае (iii). (б) Различное
положение двух равных масс сухого воздуха, каждая из которых имеет по-
тенциальную температуру 0/ при 0j > 0г- В [522] рассчитана сумма потен-
циальной и внутренней энергий в каждом случае. Случай (i) аналогичен слу-
чаю эксперимента Марсильи, но верхние поверхности являются поверхностями
того же давления, но не того же уровня. Случай (ii) показывает положение
при минимуме суммы потенциальной и внутренней энергий. Поскольку масса
выше любого уровня пропорциональна давлению, то поверхность раздела яв-
ляется поверхностью давления (pr + Pi)/2, рг — давление па дне, a pi—давле-
ние на верхней поверхности. Доступная потенциальная энергия равна превы-
шению над потенциальной энергией для случая (ii), п ее значение для слу-
чая (i) дано в (7.8.21).
Аналогичные вычисления можно выполнить и для других поло-
жений границы раздела, таких, например, как на рис. 7.11, я
с наклонной поверхностью раздела, когда
Л==|-(р2-р,)^. (7.8.12)
В [522] рассмотрен аналогичный пример для сжимаемой жид-
кости, который показан на рис. 7.11, б (1). Равные массы идеаль-
ного газа находятся с разных сторон перегородки; одна масса
имеет потенциальную температуру 01, а другая — более низкую
потенциальную температуру 02. Давление у дна выбрано в ка-
честве отсчетного значения рг, использованного при определении
потенциальной температуры, а давление на верхней поверхности
7.8. Доступная потенциальная энергия 279
равно pi. В состоянии покоя жидкость с потенциальной темпе-
ратурой 01 лежит сверху, как показано на рис. 7.11, б (И), с дав-
лением на поверхности раздела, равным, согласно условию не-
прерывности массы, (1/2) (pr + pi).
Чтобы вычислить доступную потенциальную энергию, необ-
ходимо выразить переменные состояния через потенциальную
температуру п давление. Согласно (3.7.4), температура Т опре-
деляется формулой
Г = 0(р/рг)\ (7.8.13)
где, согласно (3.2.9) и (3.3.5), при q == О
^=l-Y-i=^/cp. (7.8.14)
Из уравнения состояния (7.3.12) идеального газа получаем вы-
ражение для плотности:
± = = . (7.8.15)
Р Р Рг \ Рг J
Тогда уравнение гидростатики (3.5.8) для области с постоянной
энтропией дает
[gz] = [®] = - \p~'dp = -cl,e[(plPrf[. (7.8.16)
Отсюда следует, что при адиабатическом процессе давление ме-
няется с высотой жидкости по степенному закону. Квадратные
скобки здесь и в других формулах этого раздела обозначают
разности значений величины на двух уровнях по давлению.
Теперь внутренняя энергия /, рассчитанная па единицу пло-
щади для идеального газа, определяется согласно (3.2.7) и
(4.7.6), т. е.
I — pcvT dz = 7?-1с0 р dz. (7.8.17)
Потенциальная энергия Р, рассчитанная на единицу площади по
определению (4.7.7) и уравнению гидростатики (3.5.3), равна
Р== рФ dz — — g~l Ф^р —— g~l [рФ] 4- pdz. (7.8.18)
Так как [рФ] равна нулю для всего столба атмосферы, то
эти формулы показывают, что внутренняя и потенциальная энер-
гия для полного столба атмосферы находится в отношении cv:
В общем случае, используя (3.2.9) при q = 0 и (7.8.14) и скла-
дывая (7.8.17) и (7.8.18), находим
/> + /==_^-1[рф] 4-x-i J pdz. (7.8.19)
280 Гл. 1. Эффекты вращения
Теперь, принимая во внимание (7.8.15) и уравнение гидро-
статики (3.5.8), можно вычислить величины, соответствующие
ситуации, показанной на рис. 7.11,6:
f f р dp R с 7? г / р
\pdz==-\~?r=--^Tdp== ~тНт;) dp =
[Г“У+П • (7.8.20)
(I + «)g J
Последняя формула применима только в адиабатическом слу-
чае. Вычитая результат, полученный для случая, указанного на
рис. 7.11,6 (ii), из результата, полученного для случая, указан-
ного на рис. 7.11,6 (i), находим после некоторых вычислений
доступную потенциальную энергию А, рассчитанную на единицу
площади:
где
r^pjp,. (7.8.22)
В' частности, если столб охватывает всю глубину атмосферы, так
что pi = г = 0, то, используя (3.7.3) при q — 0, из (7.8.21) на-
ходим
<7..га>
Другой крайний случай состоит в том, что рассматривается
очень мелкий слой, так что разность pi —рг мала. Имеем в этом
случае
Ср(е}-()2)х(д-к/2) (Pl_Pr)2 Cp(pr_P1)2(0i_.02)
/1 """ -• _ .... и. и О ' •
4g Pr Prg
(7.8.24)
Так как масса воздуха на единице площади равна (рг — Pi)/g,
то вторая формула дает среднеквадратичную скорость U2, кото-
рая получилась бы в результате превращения доступной энер-
гии, в виде
Z72 « 120 (01 — Э2) (рг — Р1)/Рг (7.8.25)
(в единицах системы СИ). При выводе использовалась формула
(3.3.3) с </ = 0. Формула для вычисления U, полученная Маргу-
лесом, имеет аналогичный вид. Заметим в качестве примера,
что если pi равно 700 мбар, a Oj — 02 равно 5 К, то U равно
7.9. Циркуляция и завихренность 281
14 м/с. Сравнение приближенной формулы (7.8.24), когда pi = 0,
с точным результатом (7.8.23) для этого экстремального слу-
чая, показывает, что приближенная формула обычно дает зани-
женную оценку. Это совпадает с данными [181], гласящими,
что формула малых возмущений для А в применении к реаль-
ным ситуациям дает, как правило, значение на 5 % ниже точ-
ного.
Лоренц [483, 484] обобщил этот результат, рассматривая
атмосферу, состоящую из стратифицированных вертикальных
столбов воздуха, находящихся в равновесии. Если учесть всю
толщину атмосферы, то из (7.8.19) и (7.8.20) находим
Р + I = с„ 55 $ (Р/Рг)“ 0 dM > (7-8.26)
где
dM = — g 1 dp dx dy (7.8.27)
трактуется как масса одного из слоев столба воздуха. При дви-
жении к состоянию минимума суммы потенциальной и внутрен-
ней энергий каждый изэнтропический слой будет становиться
все более плоским. Его масса dM будет сохраняться, и поэтому
будет сохраняться также и среднее давление р, пропорциональ-
ное массе жидкости выше изэнтропического слоя. Поэтому если
поверхность плоская, то давление на ней будет всюду равно р.
Тогда из (7.8.26) получаем доступную потенциальную энергию А:
А = с„ 5 5 5 {(p/pf - (р/р,)*} 0 dM. (7.8.28)
Лоренц принял также соглашение, что давление на любой
изэнтропической поверхности, которая пересекает поверхность
земли, равно давлению в точке пересечения. Он показал также,
что для малых возмущений это приводит к формулам, получен-
ным в разд. 6.18 с использованием изобарических координат.
Это связано с тем, что в основу расчетов положено гидростати-
ческое приближение. Однако Лоренц не рассматривал подробно
вклада эффектов на поверхности. Обсуждение этого вопроса
можно найти в [181].
7.9. ЦИРКУЛЯЦИЯ И ЗАВИХРЕННОСТЬ
Изучение процесса приспособления к равновесию в разд. 7.2
показало важность понятия «потенциальной завихренности», ко-
торое основывается на свойствах, присущих завихренности жид-
кости
£ = (£, П, £) (7.9.1)
(современное название этой величины было введено Лэмбом
1[428] в четвертом издании его «Гидродинамики»), которая
282 Гл. 7. Эффекты вращения
определяется как вихрь скорости, т. е.
g = VX4 = (45---?L. ^--^1- Р-9-2)
” zx \ ду dz dz dx dx dy J v 7
Этот раздел посвящен понятию завихренности и его связи с цир-
куляцией.
Завихренность можно определить различными способами,
связывая ее с локальной скоростью вращения жидкого эле-
мента. (В [790, гл. 3] этот вопрос изложен подробно и приве-
дена историческая библиография.) Для определения завихрен-
ности необходима информация об относительном движении рас-
положенных рядом жидких частиц. Если обозначить эти ча-
стицы через А и В, а относительное перемещение через бх =
— ха — хв, то скорость изменения этого расстояния будет равна
D (&x)IDt = Dxa/DI — Dxq/DI = Ua —- Ub = би. (7.9.3)
Теперь изменение бу любой величины у для перемещения бх
имеет вид
бу = бх ду/дх 4- бу ду/ду 4- 62 ду/дг — (бх • V) у, (7.9.4)
и так как это имеет место для каждой компоненты бх, то
би = (бх • V) и, (7.9.5)
где бх-V — оператор, определенный равенством (7.9.4).
Комбинируя теперь (7.9.3) и (7.9.5), находим
Р(бх)/£>/ = (бх- V)u. (7.9.6)
Удобно использовать другое выражение для правой части:
D(6x)/D/ = lv6G + |sxex, (7.9.7)
где
° “ > +17 fe2 + « + » &х +
+ (>+-^->fe+«+€>te’ <7-9-8»
V6 обозначает градиент вдоль бх, а производные от скорости
считаются постоянными. Равенство правых частей (7.9.6) и
(7.9.7) легко подтверждается покомпонентными вычислениями,
например в проекции на ось х:
du s . du t . du s
-3— бх 4- -д~ бу 4“ -5— 62 =
dx 1 dy 1 dz
1 dG . 1 / du dw \ Л 1 ( da du \ s
~ 2 d (6x) + 2 Uz T 117 “ ~dy)
7.9. Циркуляция и завихренность 283
Гаким образом, движение в окрестности жидкой частицы
можно всегда разложить на две части, каждая из которых со-
ответствует одному из членов правой части (7.9,7). Вторая часть
представляет собой (см. (4.5.2)) чистое вращение с угловой ско-
ростью £/2, что объясняет, почему £/2 отождествляется с ло-
кальной скоростью вращения жидких элементов. В старых ра-
ботах для этой величины использовались такие названия, как
«угловая скорость» или «вращательная скорость». Движение,
соответствующее члену (1/2)V6G, получается вследствие того
факта, что изолинии G являются эллипсоидальными поверхно-
стями, так что движение, связанное с этим членом, нормально
к этим поверхностям. В частности, движение вдоль осей эллип-
соида линейно, а поверхность, которая в начальный момент была
сферической, будет искривляться по этим осям и становиться эл-
липсоидальной. Это движение называется движением чисто де-
формационным. Таким образом, равенство (7.9.7) показывает,
что движение в окрестности жидкой частицы можно всегда пред-
ставить как сумму деформационного движения и чистого враще-
ния. Более подробное обсуждение имеется, например, в [47,
разд. 2.3].
Далее, завихренность £ присутствует в важной формуле для
ускорения жидкого элемента, которую получил Лагранж [425].
Эта формула имеет вид
DulDt =dn/dt + g X u + V (u2/2). (7.9.9)
Ее легко получить, проводя
вычисления покомпонентно, напри-
мер
Du __ ди
~Dt
, ди . ди .
ди __
dz
Можно увидеть (см. разд. 4.5), что эта формула предвосхи-
щает результат Кориолиса [138] для компонент ускорения
относительно системы отсчета, вращающейся вместе с жид-
костью.
Хотя величина £ уже появлялась в ранних работах, в кото-
рых еще только выводились уравнения механики жидкости, но
прошло более ста лет, прежде чем Гельмгольц в 1858 г. [316]
вывел из этих уравнений ряд важнейших свойств жидкости,
связанных с понятием завихренности, которые и придали ей
столь фундаментальное значение в механике жидкости. Само
уравнение для вихря следует из тождества
V X Du/Dl Dt>/Di - (£ • V) и -Н (V • и), (7.9.10)
284 Гл. 7. Эффекты вращения
которое получается из (7.9.9) покомпонентным вычислением, на-
пример, величины
(4г+- М - (4г + ч® - S”) =
^44+“44 + °44~® (44+44) 44 ~’144 +
+£«+<)
и использованием тождества
V • д$/дх + дт]/ду + д^/dz 0, (7.9.11)
следующего из определения (7.9.2). Другая форма выражения
(7.9.10) получается при его комбинировании с уравнением со-
хранения массы (4.2.3):
(7.9.12)
Затем для подстановки Du/Dt в (7.9.12) используются урав-
нения динамики. Результат зависит от предположений, сделан-
ных относительно жидкости. В частности, результаты Гельм-
гольца [316] относятся к случаю однородной невязкой жидкости,
рассматриваемой в неподвижной системе отсчета. В этом случае
Du/Dt есть градиент от скалярной величины —Ф — р/р, и вихрь
обращается в нуль. Следовательно, (7.9.12) упрощается следую-
щим образом:
4г (?) = (г 0 “ (7.9.13)
Так как р постоянна, то множитель р можно удалить из обеих
частей (7.9.13). Результаты Гельмгольца можно применить также
для неоднородной жидкости, если давление является функ-
цией только от плотности. В этом случае Du/Dt по-прежнему
является градиентом скалярной величины— Ф — dp/p, левая
часть (7.9.12) обращается в нуль и равенство (7.9.13) также
имеет место. Поскольку для такой жидкости поверхность по-
стоянного давления автоматически совпадает с поверхностью
постоянной плотности, то ее иногда называют (ср. разд. 6.2)
автобаротропной жидкостью. Примером может служить идеаль-
ная изэнтропическая жидкость (т. е. жидкость с одинаковой по-
тенциальной температурой 0) с постоянным составом s. При
этом соотношения (4.10.8) и (4.10.9) обеспечивают постоянство
этих величин, и, следовательно, уравнение состояния (4.10.5) вы-
ражает лишь только то, что плотность зависит только от дав-
ления.
7.9. Циркуляция и завихренность 285
Выводы Гельмгольца следуют из уравнения (7.9.13), так как
оно имеет ту же форму, что и уравнение (7.9.6), для объекта,
который можно назвать линейным материальным элементом бх.
Из него следует, что материальный линейный элемент, парал-
лельный в начальный момент вектору завихренности £, будет со-
впадать с ним по направлению и в последующие времена. Гельм-
гольц выразил эту идею, введя понятие вихревой нити, т. е. та-
кой состоящей из материальных частиц линии, что касательная
к ней в каждой точке направлена вдоль завихренности. Так как
каждый сегмент нити остается материальным линейным элемен-
том, то отсюда следует положение Гельмгольца о сохранении
вихревой нити.
Новый результат следует из введения величины %, которая
меняется вдоль нити таким образом, что расстояние между со-
седними точками нити выражается формулой
бх = р~^б%. (7.9.14)
Другими словами, % есть интеграл от р/1£| вдоль вихревой нити.
Подстановка этого выражения в (7.9.6) дает
4- (I бх)=бх 4 (f) + (ад=6x . V) и,
или с учетом (7.9.13)
П(бХ)/П/ = 0. (7.9.15)
Иначе говоря, бу (и, следовательно, %) постоянна для фиксиро-
ванной частицы. Результат Гельмгольца можно выразить и так:
величина £/р меняется пропорционально изменению длины ло-
кального сегмента вихревой нити.
Имеется тесно связанный с предыдущим способ выражения
таких свойств жидкости через циркуляцию С, введенную Кельви-
ном [777]. Циркуляция определяется через криволинейный ин-
теграл вдоль замкнутой кривой
С = ф и ds = (§) (udx + v dy + wdz). (7.9.16)
Рис. 7.12, а иллюстрирует смысл этого выражения, а на рис. 7.12, б
показаны вклады в завихренность в частном случае прямоуголь-
ного контура, для которого связь между циркуляцией и завих-
ренностью очевидна. В общем случае связь устанавливается с
помощью теоремы Стокса:
С = ф u - ds = V X и • dS = £ • dS, (7.9.17)
где двойной интеграл можно вычислять по любой поверхности,
периметром которой является контур, для которого рассчиты-
вается циркуляция, a dS обозначает элемент площади, т. е. он
286 Гл. 7. Эффекты вращения
имеет величину, равную площади элемента поверхности, и на-
правление, нормальное к ней. Это уравнение позволяет также
интерпретировать завихренность как циркуляцию через единич-
ную площадку.
Результат Кельвина справедлив для материального контура,
т. е. замкнутой кривой, которая всегда состоит из одних и тех
же жидких частиц. (Можно найти результаты и для других кон-
Рис. 7.12. (а) Вклад в циркуляцию от малого элемента 6s материального кон-
тура определяется как u-6s = uds cos ос, где и — скорость жидкости в рассма-
триваемой точке, 6s — вектор, имеющий длину 6s и направленный вдоль кон-
тура, а —угол между векторами и и 6s. В декартовых координатах и — (и,
v, w), 6s — (бх, бу, 6z), a u-6s = ибх -J- v8y -J- ^6z. (б) Вычисление циркуля-
ции для малого прямоугольного контура. Стрелки показывают направление
обхода контура и, следовательно, направление 6s. В этом случае циркуляция
равна компоненте вихря £ = dv/dx — ди/ду, нормальной к плоскости контура,
умноженной на площадь бхбу, ограниченную контуром. Обобщение этого ре-
зультата на произвольный контур получается путем деления контура на боль-
шое число бесконечно малых частей, для каждой из которых справедлив ука-
занный результат. Поэтому в общем случае циркуляция равна j j £' ^S, где
dS — вектор, величина которого равна площади бесконечно малого элемента
поверхности, направленного по нормали к этому элементу. Интервал можно
вычислить по любой поверхности, периметром которой является этот контур.
туров, но они не так интересны.) Скорость изменения вклада
u-6s малого элемента контура имеет вид
-дУ (11 бх —v бу -j- w 6z) =
= бх + бу + ~~ бг + и би + v 6v 4- w 6w.
Отсюда следует, что для любого сегмента контура
$ и rfs= + [4 ц2]’
где последний член представляет собой разность значений в ко-
нечных точках, Для замкнутой кривой он обращается в нуль, и
7.9. Циркуляция и завихренность 287
мы получаем тождество Кельвина
W § u ‘ ф ЦуЦ • ds.
(7.9.18)
Теперь можно использовать динамические уравнения для подста-
новки сюда выражения Du/Dt, и результаты будут зависеть от
предположений, сделанных относительно жидкости. Кельвин
рассмотрел частный случай однородной невязкой жидкости, для
которой Du/Dt есть градиент скалярной величины —Ф — р/р.
Для любого сегмента контура имеем
f v Р- + 0Й - ds =
= (~(Г + ф) dx + Ср + ф ) dy + ("7 + ф)dz}=
= [| + ф],
где правая часть есть разность значений величины Ф + р/р в
двух конечных точках сегмента. Она обращается в нуль для
Рис. 7.13. Вихревая трубка, составлен-
ная из вихревых нитей, проходящих
через заданный материальный контур.
На рисунке показан элемент этой
трубки малой длины 6Z, имеющий ма-
6S поперечного сечения.
dS через любое сечение
лую площадь
трубки постоянен, так как диверген-
ция от £ равна нулю согласно опреде-
лению, и, следовательно, циркуляция
С через любой контур, охватывающий
трубку, имеет постоянное значение.
В рассматриваемом случае, когда пло-
щадь поперечного сечения мала, С =
== £6S с точностью до величин перво-
го порядка малости. В однородной
жидкости вихревые нити являютсяматсрпальными линиями, так что сег-
мент вихревой трубки движется какматерпальпый объем, сохраняя свою
массу 8М — p6Sol. Поэтому С/ЬМ — — £/p6Z есть постоянная величина,
т. е. во время движения С/р мепяетсяпропорциональпо длине 6/ сегмента
вихревой трубки
замкнутого контура, так что соотношение (7.9.18) дает теорему
Кельвина о циркуляции, а именно что циркуляция однородной
невязкой жидкости, взятая по материальному контуру, постоян-
на. Как показано выше, Du/Dt для автобаротропной жидкости
является также градиентом скалярной величины, так что резуль-
тат Кельвина применим и к этому случаю.
Другим полезным понятием является так называемая вихре-
вая трубка, т. е. трубка, образованная вихревыми нитями,
288 Гл. 7. Эффекты вращения
проходящими через точки заданного материального контура. На
рис. 7.13 показан сегмент такой трубки. Так как, согласно
(7.9.11), дивергенция от £ равна нулю, то равен нулю и поток
• dS из любого объема (см. разд. 4.6). Поскольку поток че-
рез боковые стороны вихревой трубки равен нулю, то потоки
через два конца сегмента вихревой трубки должны быть равны
между собой. Следовательно, согласно (7.9.17), циркуляция по
любому контуру вихревой трубки равна циркуляции по любому
другому контуру на ней, так что циркуляции вихревой трубки
можно приписать единственное значение.
Далее, так как сегмент вихревой трубки является материаль-
ным сегментом, то его масса dM = pdSdl будет оставаться по-
стоянной (здесь I — длина, dS — площадь поперечного сечения
сегмента трубки). Однако и циркуляция C — ^dS также постоян-
на. Поэтому отношение
Сда = £/р dl = 1/J% (7.9.19)
также будет постоянно, что снова воспроизводит результат
Гельмгольца. Отсюда следует, что величина %, определенная со-
гласно (7.9.14), является отношением массы сегмента вихревой
трубки к его циркуляции.
7.10. СОХРАНЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЗАВИХРЕННОСТИ
ДЛЯ МЕЛКОГО ОДНОРОДНОГО СЛОЯ
Ключевым фактором в решении задачи Россби о приспособ-
лении являлось сведение системы уравнений к одному уравне-
нию, а именно к уравнению (7.2.8), которое могло быть сразу
же проинтегрировано. В результате начальное состояние си-
стемы связывалось с любым последующим ее состоянием. Кон-
сервативная величина была названа потенциальной завихрен-
ностью возмущения. В действительности, закон сохранения яв-
ляется более общим, чем в частном случае малых возмущений;
его мы и будем теперь рассматривать. Хотя результат можно
получить непосредственно из результатов разд. 7.9, однако по-
лезно повторить преобразования для более простого случая дви-
жения мелкой однородной жидкости.
Как было показано в разд. 5.6, гидростатическое уравнение
(которое применимо к движению мелкой воды, т. е. к движению,
в котором горизонтальный масштаб велик по сравнению с глу-
биной) приводит к тому, что возмущенное движение не зависит
от глубины. Поэтому скорость также не будет зависеть от глу-
бины, если она от нее не зависела в начальный момент. Предпо-
лагая такую независимость, находим, что уравнения количества
7.10. Сохранение потенциальной завихренности 289
движения (4.10.2) для мелкой воды примут вид
да
dt
ди ,
U —Г---г V
дх 1
ди
ду
— fv = — g
dv
dt
dv
ll~dx
—I- и
dv
dp
(7.10.1)
дх ’
fu=_g*i..
ъ dy
Эйлер [202], выводя в 1755 г. уравнения движения, заметил
полезность исключения давления (т. е. rj) из этих уравнений
путем применения к ним операции вихря. Однако наибольшую
пользу от этой операции можно получить, проделав некоторые
преобразования членов, характеризующих ускорения. Их выпол-
нил Лагранж [425], записав выражение (7.9.9). Применяя
(7.9.9) к (7.10.1), находим
Ou/dt — (f + £) v = — дВ/дх.
dv/dl + (f + g) и == — дВ/ду, (7.10.2)
где £ — вертикальный компонент относительной завихренности,
определенный соотношением (7.2.6), а В — функция Бернулли
(см. разд. 4.8):
В == gn Ч- 4 <“2 + о2)- (7.10.3)
Член f 4- £ в (7.10.2) есть абсолютная завихренность, т. е. за-
вихренность в неподвижной системе отсчета. Из (4.5.2) следует,
что
Uf=u + ^Xx, (7.10.4)
где Q— угловая скорость — это вертикально направленный век-
тор, модуль которого равен f/2, а х — радиус-вектор точки отно-
сительно вращающейся системы. Индекс f указывает на вели-
чины, вычисляемые в неподвижной системе отсчета. Можно по-
казать, что из (7.10.4) следует
dVi/dx\ — diitldtp = f + £. (7.10.5)
Этот результат следует также из того, что £/2 есть локальная
скорость вращения жидких элементов. Значение относительно
неподвижной системы отсчета будет суммой вектора вращения
системы отсчета и вектора вращения жидкого элемента относи-
тельно вращающейся системы.
Уравнение для завихренности можно теперь получить, исклю-
чая В из (7.10.2):
DtJDt 4- (/' + £)(ди/дх + ди/ду) = 0, (7.10.6)
или в другом виде
4т4!ь-«+(4+»°- <7Л0-7>
10 Зак. 744
290 Гл. 7. Эффекты вращения
Это уравнение представляет собой вариант уравнения мелкой
воды (7.9.13) (записанный, однако, для вращающейся системы,
а не для неподвижной) и вытекает из него с учетом того обстоя-
тельства, что компоненты горизонтальной скорости не зависят
от глубины и, следовательно, от нее не зависит и вертикальный
компонент завихренности. Уравнение (7.10.7) показывает, что
если движение дивергентное, т. е. если ди/дх + dv/dy > 0, то
величина абсолютной завихренности будет убывать. В частности,
если в начальный момент относительная завихренность отсут-
ствовала, то дивергентное движение вызовет появление анти-
циклонической завихренности. Напротив, конвергентное движе-
ние вызовет появление циклонической завихренности. Эти соот-
ношения важны и находят применение, например, при объясне-
нии циклонической завихренности в шторме, возникающей вслед-
ствие конвергенции жидкости в центре шторма. (Ранние каче-
ственные объяснения этого явления можно найти, например, в
статье [788].)
Следующий шаг основан на том факте, что конвергенция ве-
дет к аккумулированию массы, и, следовательно, подъему сво-
бодной поверхности, как это следует из уравнения неразрыв-
ности (5.6.7), которое можно записать в виде
^4(Н+п)+(> + »=0. (7.10.8)
Вычитание (7.10.8) из (7.10.7) приводит к исключению дивер-
генции и дает
DQ/D/ = 0, (7.10.9)
где
Q = (f-H)/(tf + n) (7.10.10)
называется потенциальной завихренностью движения мелкой
воды. Потенциальная завихренность возмущения Q7 для беско-
нечно малых возмущений совпадает с выражением (7.2.9). Урав-
нение (7.10.9) получено в форме, аналогичной найденной в
1936 г. Россби [683]. Позднее в 1940 г. Россби ввел название
потенциальной завихренности [687].
Равенство (7.10.9) можно также вывести непосредственно из
результата Гельмгольца, полученного в разд. 7.9. Так как абсо-
лютная завихренность f+ £ является чисто вертикальной и не
зависит от глубины, то она меняется пропорционально длине
И 4-т| вихревой нити, которая в этом случае есть вертикальная
линия, соединяющая верхнюю и нижнюю границы области. Фак-
тически Q является обратной величиной по отношению к %, вве-
денной в разд. 7.9. Поэтому (см. (7.9.19)) ее можно рассматри-
вать как объем вихревой трубки (в данном случае вертикаль-
ного цилиндра жидкости, простирающегося от поверхности до
7.10. Сохранение потенциальной завихренности 291
дна), деленный на ее циркуляцию. Отсюда следует важный
результат: растяжение вихревой линии является причиной воз-
никновения циклонической завихренности, ее сжатие генерирует
аптицпклоипческую завихренность. Этот результат будет неодно-
кратно использоваться в последующих главах.
Существование закона сохранения потенциальной завихрен-
ности (7.10.9) придает этому понятию такое же фундаменталь-
ное значение, какое имеет понятие завихренности при изучении
строго двумерных (т. е. не зависящих от z) течений. В действи-
тельности течение мелкой воды в области с постоянной глуби-
ной становится строго двумерным в пределе, когда g —>-оо, a gr)
остается конечной для того, чтобы сохранить градиенты давле-
ния при наличии свободной поверхности, которая не может пе-
ремещаться (приближение твердой крышки — см. разд. 6.3), и
Н -|-т] постоянно. Это соотношение стоит запомнить, так как
многие полезные результаты, полученные для двумерных тече-
ний, с его помощью просто обобщить для случая движения мел-
кой воды.
Рассмотрим, в частности, случай установившегося течения.
Тогда (7.10.8) позволяет ввести функцию тока ф, такую что
(Я + т]) и = — д\\)/ду, (И -{- г)) v — dty/dx. (7.10.11)
Из (7.10.9) следует, что вдоль линии тока Q постоянна, т. е.
<Э = <Ж). (7.10.12)
Более того, если использовать (7.10.11) для выражения и и v
и подставить их затем в (7.10.2), то из двух последних уравне-
ний следует, что функция Бернулли В также постоянна вдоль
линий тока и
<2(ф) = с?В(ф)Ж. (7.10.13)
Для случая постоянной Н при g-^-oo этот результат сводится
к положению Даламбера ([157], 1761) и Лагранжа ([425], 1781)
о том, что в строго двумерных течениях завихренность иа ли-
ниях тока постоянна.
Другой полезный способ изучения (7.10.1) для случая уста-
новившегося движения состоит во введении локальных или «на-
туральных» координат ($, п) с осями, направленными парал-
лельно и перпендикулярно локальному направлению движения
(см. рис. 7.14). Поэтому и записывается в виде
и = С/т, (7.10.14)
где U — скорость, а т — вектор единичной длины, направленный
по вектору скорости и. Координата s служит мерой расстояния
вдоль траектории жидкой частицы, и поэтому ее скорость U
10*
292 Гл. 7. Эффекты вращения
определяется формулой
U — DsfDt. ’ (7.10.15)
Ускорение жидкой частицы можно получить дифференцирова-
нием формулы (7.10.14). Так как только координата $ меняется
со временем вдоль линии тока, то производную можно записать
в виде
Далее, так как т — единичный вектор, то он не меняет длины
и может менять только свое направление. Поэтому производная
Рис. 7.14. Локальные координаты ($, п) частицы жидкости, движущейся вдоль
горизонтальной траектории, изображенной в виде кривой линии, где $ — рас-
стояние по траектории и п— расстояние, нормальное к траектории, т пред-
ставляет единичный вектор, касательный к траектории, a v = k X * является
единичным вектором, нормальным к траектории, где к — единичный вектор,
направленный вертикально вверх; п возрастает в направлении V. При переме-
щении на небольшое расстояние 6$ единичный касательный вектор поворачи-
вается. Так как длина касательного вектора остается постоянной, 6г должна
быть нормальной к х. Кривизна и определена согласно (7.10.17), и, таким об-
разом, расстояние между концами двух единичных векторов, как показано,
равно x5s. Величина, обратная х, называется радиусом кривизны R.
dx/ds составляет прямой угол с т. Направление этого вектора
определяется v, называемой единичной нормалью к кривой, а ве-
личина самого вектора называется кривизной к кривой (не пу-
тать с величиной волнового числа, для которого здесь употреб-
ляется тот же символ), т. е.
dx/ds = KV. (7.10.17)
Это определение допускает произвол в знаке, который устра-
няется доопределением v:
v = kXb (7.1X18)
где к — единичный вектор, направленный вертикально вверх.
Величина 7?, обратная к х, называется радиусом кривизны,
Из определения (7.10.18) следует, что кривизна положительна,
если частица отклоняется влево, и отрицательна, если вправо.
7.10. Сохранение потенциальной завихренности 293
Теперь, используя (7.10.15) — (7.10.18), из (7.10.1) получаем
£7-^т + ОД + /ОД== — gVrp (7.10.19)
Составляющая вектора Vi], направленная вдоль траектории
частицы, есть дц/ds. Если координату, идущую под прямым уг-
лом к траектории, обозначить через п, то составляющая век-
тора Уц в этом направлении будет дт\/дп. Поэтому (7.10.19)
в покомпонентной записи примет вид
U dU/ds = — g dr\/ds, (7.10.20)
xL/2 _j_ ju = — ёдт\/дп. (7.10.21)
Первое уравнение показывает, что быстрота изменения скорости
частицы обусловливается только составляющей градиента дав-
ления вдоль траектории. Интегрируя это уравнение, находим, что
функция Бернулли
В = й-г|+у^2 (7.10.22)
постоянна вдоль траектории, как это уже отмечалось ранее. Вто-
рое уравнение показывает, что градиент давления, направлен-
ный перпендикулярно к линии тока, уравновешивается ускоре-
нием Кориолиса fU и центробежным ускорением х(72 = U2/R.
Для того чтобы течение было близким к геострофическому, цен-
тробежное ускорение должно быть мало по сравнению с ускоре-
нием Кориолиса, т. е.
%ОД = (/ОД) < 1. (7.10.23)
Другой формой записи уравнений (7.10.20) и (7.10.21) являются
уравнения (7.10.2), которые в локальных координатах (с учетом
(7.10.22)) записываются так:
dB/ds = 0, (f + О U = - дВ1дх\ = — g дч]/дп — U dU/dn. (7.10.24)
Сравнивая с (7.10.21), получаем
£ = — dU/dn + = - dU/dn + ОД. (7.10.25)
Эт®, конечно, можно было бы получить из законов Ньютона.
В этой записи завихренность представлена в виде суммы двух
слагаемых — первое из них связано с горизонтальным сдвигом
dU/дп, а второе — с кривизной траектории.
Все изложенные выше построения для отдельного мелкого
однородного слоя с успехом применимы для любого однород-
ного слоя в многослойной системе при условии, что градиент
от £т] будет заменен на градиент возмущения давления в соот-
ветствующем слое, умноженный на величину р-1, и горизонталь-
ный масштаб движения в слое значительно превосходит глу-
294 Гл. 7. Эффекты вращения
бпну слоя. Так как непрерывно стратифицированную жидкость
можно рассматривать как предел многослойной системы при
стремящемся к бесконечности числе слоев, то полученные ре-
зультаты справедливы и для непрерывно стратифицированной
жидкости при условии, что вертикальный масштаб мал по срав-
нению с горизонтальным. Поэтому (7.10.21) примет вид
%U2 + fU =— р~1др/дп или U2/R-}-fU — — р~1др/дп. (7.10.26)
Ветер, удовлетворяющий этому соотношению, называется гра-
диентным ветром. Это уравнение необходимо применять вместо
геострофического только тогда, когда соотношение (7.10.23) не
выполнено, т. е. имеются мощные сильно искривленные течения.
Распространение идеи потенциальной завихренности на мно-
гослойные системы и, следовательно, в пределе на непрерывно
стратифицированные жидкости, связано с работой Россби 1940 г.
[687]. Однако существует также более общая закономерность,
которая не требует никаких предположений о масштабах. Она
будет изложена в следующем разделе.
Интересно, йто некоторые идеи, которые возникли при иссле-
довании задачи Россби о приспособлении, были предвосхищены
на много лет раньше Шоу (1908) [718]. Он рассматривал усло-
вия, при которых частица может двигаться над земной поверх-
ностью с постоянной скоростью, и пришел к заключению, что
имеются «три элемента, которые могут приспосабливаться друг
к другу», чтобы это движение происходило, «а именно градиент
давления, вращение Земли, и кривизна траектории». Это именно
те элементы, которые определяют градиентный ветер. Шоу [719,
с. 141] утверждал, что устойчивость такого движения
«является результатом совместного приспособления двух
ускорений с целью компенсации эффекта давления. Сразу
же возникает вопрос, возможно ли, чтобы при реальных ме-
теорологических условиях такая адаптация происходила
автоматически, т. е. могут ли на самом деле скорость и кри-
визна траектории адаптироваться в природных процессах
друг к другу так, чтобы находиться в равновесии с распре-
делением давления. Если ответ на этот вопрос утвердитель-
ный, то для динамической метеорологии это имело бы боль-
шое значение.
Восприятие этой идеи очень существенно изменит точку
зрения метеоролога. Если движения с постоянной скоростью,
т. е. «с градиентной скоростью», окажутся устойчивыми при
«естественных» условиях движущегося воздуха, то мы долж-
ны искать объяснение не действительному движению, а от-
клонению действительного движения от градиентной ско-
рости. Поэтому градиентная скорость становится отправной
точкой метеорологических исследований».
7.11. Циркуляция стратифицированной жидкости 295
Идеи Шоу изложены во введении к статье Голда [265], в ко-
торой он по предложению Шоу сравнил измерения скоростей на
высотах с градиентным ветром, оценка которого была получена
по данным карт давления. Голд обнаружил хорошее совпадение
скоростей. Шоу ([719, с. 142]) пришел к заключению: «По мо-
ему мнению, общий результат исследования подтверждает пред-
положение, что приспособление скорости ветра к градиентной
является автоматическим процессом, который можно рассматри-
вать как проявление первостепенного метеорологического за-
кона».
Шоу [719, с. 143] также ссылается па то обстоятельство, что
в работе [265] Голд «приводит вычисление промежутка вре-
мени, которое необходимо для того, чтобы воздух, находивший-
ся в состоянии покоя, разогнался до градиентной скорости и при-
способил свое движение к полю изобар. Рассчитанные времена
оказываются малыми по сравнению с таким интервалом, как
сутки — обычный период в метеорологических рассуждениях. По-
этому мы не должны удивляться тому, что возникающий ветер
постоянно оказывается приспособленным к медленно меняющим-
ся условиям, связанным с суточными или непериодическими из-
менениями». (Расчеты [265] не касались совместного приспособ-
ления полей ветра и давления, как это было у Россби, а были
посвящены движению частицы по горизонтали под действием
фиксированной силы.)
Шоу [719, с. 145] заключает свое рассуждение словами:
«В целом вопрос о причинах и значении расхождений между
градиентным и действительным ветрами, конечно, тесно связаны
с вопросом о происхождении разности давлений. Грубо говоря,
я не знаю, должен ли в действительности сам ветер приспосаб-
ливаться к условиям давления или же распределение давления
само по себе есть результат движения воздуха. Однако я пола-
гаю, что на самом деле это — случай действия и противодей-
ствия, в котором одно изменяет другое».
Как показали исследования Россби, обсужденные в разд. 7.2
и 7.3, это предположение оказалось верным.
7.11. ЦИРКУЛЯЦИЯ СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ ЖИДКОСТИ
И ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЗАВИХРЕННОСТЬ ЭРТЕЛЯ
Развитие идей, изложенных в разд. 7.9, на случай небаро-
тропных жидкостей сначала происходило па основе понятия цир-
куляции, введенного Кельвином, а не понятия завихренности
Гельмгольца. Теорема о циркуляции для стратифицированной
жидкости связывается с именем Бьеркнеса [65] (1898), кото-
рый не только вывел теорему, но и показал ее полезность в при-
ложениях. Бьеркнесу, по-видимому, был неизвестен ранний ре-
296 Гл. 7. Эффекты вращения
зультат Зильберштейна [721]. (Бьеркнесе также получил тео-
рему для величины фрп-tZs, которая называется его второй
теоремой о циркуляции; однако эта теорема не так полезна, как
первая, обсуждаемая здесь.)
Скорость изменения циркуляции для неоднородной жидко-
сти легко получается из теоремы Кельвина (7.9.18) путем выра-
жения производной Du/Dt с помощью уравнения движения
(4.5.1), а именно
Du/DZ = — р “1 Vp — VO. (7.11.1)
В результате находим (см. 7.9.16)
^ = ^u.ds = _$±Vp.ds==_§4!.. (7.11.2)
Последнее выражение обращается в нуль для однородной (или
автобаротропной) жидкости, но в общем случае для стратифи-
цированной жидкости оно не равно нулю. В отдельных случаях
можно подобрать специальные контуры, для которых этот член
также обращается в нуль.
Рассмотрим невязкую жидкость постоянного состава, т. е.
с фиксированной соленостью или влажностью. Тогда из уравне-
ния состояния следует, что р есть функция только давления и
потенциальной температуры, т. е.
Р==р(А 6). (7.11.3)
Любая жидкость с этим свойством называется потенциотроп-
ной [192, разд. 5]. Для такой жидкости можно выбрать контур,
лежащий полностью на эквипотенциальной (т. е. изэнтропиче-
ской) поверхности 0 = const. Так как при движении 0 сохра-
няется, то на этом контуре 0 будет оставаться постоянной и
плотность на нем будет функцией только давления. При этом
последний член в (7.11.2) обращается в нуль, и поэтому для
изэнтропиечских поверхностях, т. е. не выполняется условие
~фи • ds — 0. (7.11.4)
Это утверждение составляет теорему о циркуляции для потен-
циотропной жидкости. Она не справедлива для жидкостей с пе-
ременным составом, если их состав не является постоянным на
изэнтропических поверхностях, т. е. не выполняется условие
<7 = <7 (8) или s = s(0). (7.11.5)
Это условие обеспечивает выполнение (7.11.3), т. е. потен-
циотропность жидкости. (Заметим, что здесь существенна воз-
можность выбрать контур, на котором последний член в (7.11.2)
всегда обращается в нуль. Другая возможность, например, со-
7.11. Циркуляция стратифицированной жидкости 297
стоит в выборе для изэнтропической жидкости контура с фик-
сированным составом.)
Теперь рассмотрим уравнение для завихренности в страти-
фицированной жидкости. Подставляя в тождество (7.9.12) выра-
жение Du/Dt из (7.11.1), находим
^-(i) = (f •’)“+! (7-н-6)
где
в= VpxVp=_vxvp = _vx('v^ (71I 7)
называется вектором бароклинности. (Вектор В не нужно сме-
шивать со скалярной величиной В, означающей в разд. 7.10
функцию Бернулли.) Поэтому завихренность с необходимостью
генерируется (за счет члена В/p в уравнении 7.11.6) при усло-
вии, что поверхности постоянной плотности пересекают поверх-
ности постоянного давления. В качестве примера можно рас-
смотреть начальные условия в эксперименте Марсильи (см.
разд. 5.1), однако с заменой скачка плотности иа ее постоянный
горизонтальный градиент G. Ситуация показана на рис. 7.15, а.
Плотность задается по формуле р = рг — Gx, и жидкость пред-
полагается находящейся в покое, так что давление равно р =
= — £(Рг—Gx)z. Градиенты величин р и р имеют показанные
на рисунке направления, а вектор бароклинности направлен на
читателя. Поэтому если убрать перегородку, то возникает за-
вихренность, имеющая то же направление, что и вектор В. Это
справедливо и в любой ситуации, когда имеется тенденция обра-
зования горизонтальных градиентов плотности, например путем
нагревания или охлаждения, так как тогда вектор Vp не вер-
тикален и поэтому не совпадает по направлению с вектором Vp
для покоящейся жидкости.
Ту же самую ситуацию можно анализировать в терминах
циркуляции, вычисляя —<§dp/p для малого контура, показан-
ного на рис. 7.15,6. Вклады от двух горизонтальных сторон кон-
тура взаимно не компенсируются, так как горизонтальные изме-
нения давления нс равны. Поэтому на контуре возникает цир-
куляция, соответствующая вращению в направлении, определяе-
мом завихренностью. Это вытекает из тождества (7.9.17), глася-
щего, что завихренность есть циркуляция по единичной площади.
И действительно, (7.11.2) можно записать так:
-^-фи • • dS, (7.11.8)
ибо
-§TVp.rfs = _ ^vx(^y-) -rfS = ^B-dS. (7.11.9)
298 Гл. 7. Эффекты вращения
Равенство между вторым и первым выражениями следуют из
теоремы Стокса. В общем случае Vp можно выразить через Vp,
V0 и Vs (как в разд. 3.7), и выражение для В принимает вид
рВ = (—a'V9+ P'Vs)XVp. (7.11.10)
Рассмотрим теперь интерпретацию, которую дал уравнению
для завихренности Гельмгольц [316]. Теперь уже нельзя счи-
Рис. 7.15. Начальное условие, как в эксперименте Марсильи, но скачок плот-
ности заменен распределением плотности с постоянным градиентом G,так что
плотность р имеет вид рг— Gx. Жидкость находится в покое; поэтому из ура-
внения гидростатики получаем давление р = —g{pr—Gx)z. (а) Показаны
направления Vp — (—G, 0) и Vp = g(Gz, —Рг+Ох), а вектор бароклинно-
сти В — (Vp X Vp)/p2 направлен в сторону читателя. Поэтому создается
вихрь, направленный в этом направлении, (б) Циркуляцию, создаваемую чле-
ном — ф dplp, можно вычислить для изображенного прямоугольного кон-
тура. Вклады — р-1 dz dp/dz от двух вертикальных сторон погашаются, а
вклады — j P“J dx др дх — — gGz (рг — Gx)”1 dxor двух горизонтальных
сторон не погашаются из-за различных значений z. Если проинтегрировать по
направлению стрелок, то величина будет положительной и поэтому возникнет
циркуляция в этом направлении.
тать справедливым утверждение, что материальный линейный
элемент, направленный первоначально по вектору завихренности,
остается направленным по этому вектору, а изменение его длины
пропорционально изменению величины завихренности. Соотно-
шение между этими векторами изменяется за счет появления
нового члена В. Однако он видоизменяет только компоненты,
7.11. Циркуляция стратифицированной жидкости 299
совпадающие с ним по направлению. Компоненты, перпендику-
лярные к В, остаются неизменными.
Рассмотрим, в частности, случай потенциотропной жидкости.
Тогда вектор V0 перпендикулярен к В, так что компонента за-
вихренности в направлении V0 не подвержена изменениям. От-
ношение компоненты вектора С,/р, направленной вдоль V0, к рас-
стоянию вдоль этого направления равно (см. рис. 7.16)
g-V6__ 1
р 60 6% ’
(7.11.11)
где 60 есть разность значений потенциальной температуры ме-
жду двумя соседними изэнтропическими поверхностями. Член
Рис. 7.16. Потенциальная завихренность Эртеля для потепцио-
тропиой жидкости. Результат Гельмгольца все еще справедлив для компонен-
ты вихря в направлении V0, т. е. компонента С cos р в этом направлении ме-
няется пропорционально рб/ для материального элемента. Поскольку 9 сохра-
няется для материального элемента, из этого следует, согласно уравнению под
диаграммой, что Q сохраняется для материального элемента.
§Х имеет тот же смысл, что и в разд. 7.9, однако здесь он приме-
няется только к одной компоненте завихренности, а не ко всем
трем. Величина 6% при движении сохраняется, т. е. удовлетво-
ряет условию (7.9.15). Однако так как 60 также сохраняется,
то и величина
Q = p-ig • V0 = rf0/rfx (7.11.12)
остается в процессе движения неизменной, т. е.
DQ/DI — Q. (7.11.13)
Этот результат принадлежит Эртелю [200], и Q называется по-
тенциальной завихренностью Эртеля или просто потенциальной
завихренностью. Она не совпадает с потенциальной завихрен-
ностью для однородной жидкости (хотя х совпадает), но имеет
общее свойство сохраняться и быть пропорциональной завихрен-
ности, отнесенной к длине. Использование одного и того же на-
звания для различных величин не приводит к путанице, так как
одна из них может быть применена только к однородной жид-
кости, а другая — только к стратифицированной жидкости. Сле-
дует заметить, что, как показал Эртель, в проведенных выше
800 Гл. 7. Эффекты, вращения
распределениях 0 можно заменить на любую функцию от р и р,
которая сохраняется в процессе движения.
Связь между потенциальной завихренностью и циркуляцией
получается [201] при интегрировании потенциальной завихрен-
ности по материальным массам жидкости, поскольку этот ин-
теграл будет сохраняющейся величиной:
pQ dx dy dz = - VQ dx dy dz —
= Щ V -^dxdydz=^%tldS. (7.11.14)
Равенство между вторым и третьим выражениями следует из
тождества (7.9.11), а последнее выражение — из теоремы Гаус-
Рис. 7.17. Связь между потенциальной завихренностью Эртеля Q и теоремой
о циркуляции Бьеркнеса для потенциотропной жидкости. Так как Q сохра-
няется, то из (7.11.14) следует, что сохраняется и для материаль-
ного объема. Если этот объем взять в виде сэндвича между двумя изэнтропи-
ческими поверхностями, то вклад от поверхностных интегралов по этим по-
верхностям будет таким, как это показано на рисунке, а вклады от боковых
сторон пренебрежимо малы. Так как £ • dS = С есть циркуляция на из-
энтропической поверхности, то поверхностный интеграл равен 60-С, так что
С должна сохраняться для материального контура.
са; здесь £„— компонента вектора £ вдоль внешней нормали к
материальному элементу. Если теперь выбрать объем как пока-
зано на рис. 7.17, то внешняя нормаль будет иметь противопо-
ложные направления на верхней п нижней изэнтропических по-
верхностях, вклад от боковых поверхностей будет мал, так что
последнее выражение будет равно
60 ^g-dS = 60-C, (7.11.15)
где С — циркуляция. Так как 60 сохраняется, то С также будет
сохраняться. Из (7.11.12) можно также увидеть, что у можно
снова приравнять массе, деленной на циркуляцию.
7.12. Возмущенные формы уравнений для завихренности 301
Все эти результаты до сих пор не учитывали вращения, т, е.
они были применимы к движению в неподвижной системе коор-
динат, Чтобы истолковать эти результаты применительно к вра-
щающейся системе, нужно воспользоваться соотношением (4.5.2)
между скоростью относительно неподвижной системы (обозна-
ченной индексом f) и скоростью относительно вращающейся
системы (без индекса). Рассмотрим вначале завихренность £.
Из трактовки £ как одной второй от локальной скорости враще-
ния материального элемента ясно, что абсолютная завихрен-
ность должна иметь вид
gf = g-|-2Q, (7.11.16)
где Q есть угловая скорость вращения системы координат. Это
сразу следует из (4.5.2) и определения завихренности (7.9.2).
Потенциальная завихренность Эртеля поэтому равна
Q = p-igf . V0 = p-i (£ -|- 20) • V0. (7.11.17)
Аналогично, согласно (7.9.17), абсолютная циркуляция Ct,
имеет вид
Ct = (J g, • dS = g • dS + (J 20 dS,
t. e.
Ct = C-|-2QS3K, (7.11.18)
где S,K.— проекция площади контура на экваториальную пло-
скость (или па любую другую плоскость, перпендикулярную оси
вращения). Поэтому для изэнтропического материального кон-
тура теорема о циркуляции (7.11.4) принимает вид
DCt/Dl D (С + 2QS3K)/DZ = 0. (7.11.19)
Эта форма записи для вращающейся жидкости была получена
Бьеркнесом в 1901 г. [66].
7.12. ВОЗМУЩЕННЫЕ ФОРМЫ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ЗАВИХРЕННОСТИ
В ОДНОРОДНО ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ
Для невязкой жидкости, вращающейся с постоянной угловой
скоростью относительно вертикальной оси, горизонтальные ком-
поненты уравнений движения для возмущения имеют, согласно
(4.10.2), следующий вид:
du/dt — fv = — р"1 др'/дх, (7.12.1)
dv/dt -Ь fu =— р~' др'/ду. (7.12.2)
В случае мелкой воды они сводятся к (7.2.1) и (7.2.2). Как и
в случае мелкой воды, исключение возмущения давления из со-
302 Гл. 7. Эффекты вращения
отношений (7.12.1) и (7.12.2) в точности приводит к уравнению
(7.2.7) для вертикальной компоненты завихренности £, а именно
d^/dt + f (ди/дх + dv/dyj = 0. (7.12.3)
Возмущенную форму уравнения для потенциальной завихрен-
ности теперь можно получить, подставляя в выражение для го-
ризонтальной дивергенции уравнение неразрывности, полагая
w==dh/dt, где h — вертикальное смещение жидкой частицы от
равновесного уровня. Точная форма окончательного уравнения
зависит от того, является ли жидкость сжимаемой или нет.
Для несжимаемой жидкости уравнение неразрывности имеет
вид (6.4.3), и из (7.12.3) следует, что
d£/dt — f dw/dz — 0, (7.12.4)
или
д (£ ~ f dh/dz^dt = 0. (7.12.5)
Если теперь подставить сюда выражения (6.11.5) и (6.11.10) для
нормальной моды в форме с разделением переменных, то эти
уравнения сведутся к уравнению возмущения потенциальной за-
вихренности вида (7.2.8) для мелкой воды.
Для сжимаемой жидкости линеаризованная форма уравне-
ния сохранения массы имеет вид (6.14.6), так что (7.12.3) в этом
случае дает
_д_ __ fp' \ _ г ( dw_ __ дш \ _п
т , I а 9 I ' I п 9 ) ’
dt \ рос“ у \ dz с~ J
или
Д ~“71=о. <7.12.6)
dt I Росз \ dz с; ))
Другая форма этого уравнения, записанная через возмущение
плотности, а не через возмущение давления, имеет, согласно
(6.14.3), вид
-^-K-fp7pu)-Pb-7-^(p^) = 0. (7.12.7)
или
Д {г - /р7р„ - РЛДтД = 0. (7.12.8)
Для частного случая движения в виде нормальной моды пере-
менные имеют разделяющуюся форму (6.14.31), и их подста-
новка в (7.12.8) снова приводит к уравнению для потенциальной
завихренности в слое мелкой воды. Оно имеет вид (7.2.8), где
Н заменено на эквивалентную глубину Н&.
Уравнение (7.12.8) можно также связать и с возмущенной
формой уравнения для потенциальной завихренности Эртсля.
Используя, как обычно, штрих для обозначения возмущения, а
7.12. Возмущенные формы уравнений для завихренности 303
индекс нуль — для величины, соответствующей состоянию покоя,
получаем линеаризованную форму уравнения Эртеля (7.11.13),
д (Q' 4- /г dQ0/dz)/dt = 0, (7.12.9)
где, согласно определению (7.11.12),
Q0 = ^fd&0/dz (7.12.10)
есть потенциальная завихренность Эртеля, а
О' = J- °*. 4. -L (7 -1 'j
р0 dz ' ро dz v ' Ро )
(7.12.11)
Если использовать формулы (6.14.11) для выражения через h,
то (7.12.9) после деления па р"1 dS^dz примет вид (7.12.8).
Однако следует заметить, что выражение внутри фигурных ско-
бок в (7.12.8) пропорционально не потенциальной завихренности
возмущения а пропорционально Q' 4- hdQQ/dz.
Если можно применить приближение гидростатики и, следо-
вательно, использовать изобарические координаты, то уравне-
ние сохранения массы необходимо использовать в виде (6.17.6)
или (6.17.11). При этом (7.12.3) записывается следующим об-
разом:
d^idt - f д®/др = 0, (7.12.12)
dtjdt - f (dwjdz* ~ wjfh) = 0, (7.12.13)
или
д {£ - f (dhjdz* - hjH3)}/dt = 0. (7.12.14)
Если возмущение имеет вид нормальной моды, то, используя
(6.17.34), находим, что эти уравнения приводятся к уравнению
(7.2.8)—потенциальной завихренности для мелкой воды. Урав-
нение (7.12.14) также можно связать с уравнением Эртеля. Ис-
пользование уравнения гидростатики (3.5.8) показывает, что
часть потенциальной завихренности Эртеля (7.11.17), связан-
ная с нормальной к изобарическим поверхностям составляю-
щей, равна
— g (С 4- П де/др
и, следовательно,
Qo = — gf dtijdp = р; 7 dQJdz*, (7.12.15)
<?'' = -^^L-^-^- = -r(f^ + J’2r)- (7Л2-16)
где z* связано с p и p* соотношениями (6.17.8), (6.17.22) и
(6.17.29). Возмущенная форма уравнения Эртеля
д (Q" 4- A, dQJdz^dt = 0 (7.12.17)
сводится к (7.12.14), если использовать соотношение (6.18.9)
между 0" и /г*.
304 Гл. 7. Эффекты вращения
7.13. ИНИЦИАЛИЗАЦИЯ ПОЛЕЙ ДЛЯ СХЕМ ЧИСЛЕННОГО ПРОГНОЗА
Идея использования численных методов для предсказания
погоды была развита Ричардсоном перед первой мировой вой-
ной. Детали предложенного метода были им со временем опуб-
ликованы [667]. В резюме к этой работе Ричардсон писал:
«Основная идея заключается в том, что атмосферные давле-
ния, скорости и т. д. должны быть представлены в виде чисел,
протабулированы для определенных широт, долгот и высот,
чтобы дать общее представление о состоянии атмосферы в лю-
бой момент над обширным регионом до высоты, скажем, в 20 км.
Числа в этой таблице предполагаются заданными в некоторый
начальный момент посредством наблюдений. Показано, что
имеется арифметический метод преобразования этих протабули-
рованных чисел таким образом, чтобы получить новую таблицу,
приближенно представляющую следующее состояние атмосферы
через короткий интервал времени, скажем 6/. Процесс можно
повторять, чтобы получить состояние атмосферы через 26/, 36/
п т. д.» [667, с. 1].
По-впдимому, «исследование выросло из изучения конечных
разностей и впервые оформилось в 1911 г. в виде фантазии, ко-
торая теперь описана в гл. 11/2» [667]. В указанном разделе
были описаны «прогностические фабрики», которые, если не
считать того, что они использовали человека вместо электрон-
ных компьютеров, были удивительно похожи на современные
бюро прогнозов. «Многочисленные расчетчики заняты обработ-
кой погоды для тех частей огромной карты, у которых они си-
дят. Каждый вычислитель обрабатывает только одно уравне-
ние пли его часть». На большой центральной кафедре «сидит
человек и руководит всеми операциями. Он окружен несколь-
кими помощниками и посыльными. Одна из его обязанностей
это поддержание постоянной скорости вычислений для всех ча-
стей земного шара. В этом отношении он подобен дирижеру
оркестра, в котором инструментами служат логарифмические
линейки и арифмометры. Вместо дирижерской палочки он на-
правляет розовый луч на любой регион, в котором вычисления
опережают работу над другими областями, и голубой луч па те
области, в которых они отстают.
Четверо старших служащих в центральной кафедре соби-
рают по мере расчета данные о будущей погоде и отправляют
их по пневматической почте в специальную звукоизолирован-
ную комнату. Затем данные кодируются и передаются по теле-
фону на радиопередающую станцию.
Посыльные складывают использованные вычислительные таб-
лицы и относят их в хранилище в подвале.
В расположенном рядом здании находится научный отдел,
где создаются усовершенствования. Однако прежде чем делают-
7.13. Инициализация полей для схем численного прогноза 305
ся какие-либо изменения в сложной оперативной вычислитель-
ной схеме, выполняется очень много небольших экспериментов.
На нижнем этаже энтузиаст может наблюдать вихри в жид-
кости, покрывающей стенки огромной вращающейся чаши, хотя
пока что арифметические вычисления представляют собой более
эффективный путь. А в другом здании находятся обычные фи-
нансовые, почтовые и административные службы. Вне находятся
спортивные площадки, дома, холмы и озера, ибо мне думается,
что те, кто вычисляет погоду, должны иметь возможность без
помех наслаждаться ею» [667, с. 219—220].
Ричардсон продемонстрировал эффективность численного
метода, применяя его к приливным уравнениям Лапласа, т. е.
к уравнениям мелкой воды иа сфере. Используя временные
шаги в 3/4 часа и пространственную сетку с шагом 200 км, он
вычислил изменения давления и «импульс единичного объема»
в ограниченной области и показал, что совпадение с аналитиче-
ским решением было хорошим. Однако его попытка вычислить
скорость изменения давления над центральной Европой, исполь-
зуя наблюдения для конкретного дня (20 мая 1910 г.), не увен-
чалась тем же успехом.
«Скорость подъема давления иа поверхности dpG/dt, снятая
с бланка формы РХШ, равнялась 145 миллибарам за 6 часов,
тогда как барометр показывал почти постоянное давление. Эта
бросающаяся в глаза ошибка рассматривается подробно далее
в гл. 9/3 и связывается с ошибками в представлении началь-
ных ветров [667, с. 187]... Так мы возвращаемся к другому объ-
яснению, которое состоит в том, что станции, удаленные Друг
от друга более чем па 700 км, не могут дать адекватного пред-
ставления о ветре в нижних слоях. Это оказывается почти оче-
видным, если представить себе нерегулярности приземного вет-
ра, составленные по ежедневным сводкам погоды» [667, с. 213].
Поэтому гл. 10 книги Ричардсона посвящена вопросу «сгла-
живания начальных данных». Ричардсон пишет, что это необ-
ходимо, так как «имеется много свидетельств о том, что ветер
наполнен маленькими «вторичными циклонами» пли другими
вихрями, имеющими самые различные размеры. Арифметиче-
ские процедуры могут рассчитать отдельно только такие вихри,
размеры которых больше, чем расстояние между центрами крас-
ных полей в нашей координатной шахматной сетке, а это рас-
стояние было предварительно взято равным 400 км» [667,с.214].
Так как «предсказание погоды с помощью численных процес-
сов» стало общепринятым методом много лет спустя, то про-
блема инициализации, пли проблема правильного сглаживания
исходных данных, привлекла к себе большое внимание. Многие
аспекты проблемы можно понять, зная результаты исследования
задачи Россби о приспособлении. Из-за «грубо» пли быстро
адаптирующихся процессов, изученных Россби, атмосфера всегда
306 Гл. 7. Эффекты вращения
близка к состоянию, которое можно назвать «сбалансирован-
ным». В простом случае, изученном Россби, это сбалансирован-
ное состояние было геострофическим равновесием, и действи-
тельно, геострофический баланс достаточно точно реализуется
почти во всей атмосфере. Однако в тропиках эффекты вращения
менее важны, а около поверхности существенны эффекты тре-
ния, поэтому в общем случае лучше говорить о «сбалансирован-
ном» состоянии, чем уточнять, что равновесие должно быть гео-
строфическим.
Когда начальные данные получены, они не будут в общем
случае сбалансированы вследствие инструментальных ошибок и
того факта, что отдельные измерения будут включать мелкомас-
штабные и высокочастотные компоненты (вторичные циклоны
Ричардсона и другие вихри). Вместе с тем модель не может
иметь дело с движениями, пространственные масштабы кото-
рых меньше размера сетки или временные масштабы которых
меньше временного интервала численного интегрирования. Та-
кие движения выходят за границы возможности проведенных
расчетов. Если в модели в качестве начальных условий приняты
несбалансированные данные и она способна моделировать бы-
стрые процессы адаптации, подобные тем, которые исследовал
Россби, то сама модель будет испытывать аналогичный процесс
адаптации, достигая примерно сбалансированного состояния. Яв-
ляясь быстрым процессом, изменение давления будет намного
превосходить изменения, наблюдаемые на картах погоды через
6-часовые интервалы. Если это происходит, то быстрые измене-
ния можно убрать путем некоторого осреднения за небольшой
временной интервал. Это позволяет получить представление бо-
лее слабых изменений, связанных с движением, которое всегда
близко к сбалансированному состоянию.
Однако модели можно строить при предположении, что про-
цессы, которые они стараются предсказать, имеют медленные
временные масштабы, связанные с почти сбалансированным на-
блюдаемым движением. В этих случаях плохо сбалансирован-
ные начальные данные могут привести к большим ошибкам или
же к неустойчивости модельных расчетов. В таких случаях
нужна соответствующая инициализация данных. На практике
используются различные методы. Их описание можно найти в
работах [855] и [445],
Глава 8
Гравитационные волны
во вращающейся жидкости
8.1. ВВЕДЕНИЕ
Гравитационные волны, знакомые нам по непосредственному
визуальному наблюдению, будь то поверхность моря или сосуд
Франклина со смесью воды и масла (см. разд. 6.2), незначи-
тельно подвержены влиянию вращения Земли, так как их мас-
штаб слишком мал и по этой причине их частоты значительно
больше частоты f, связанной с эффектами вращения. Поэтому
естественно было начинать изучение приспособления к действию
силы тяжести с невращающихся систем. Однако для того, чтобы
понять крупномасштабные процессы, происходящие в атмосфере
и в океане, важно в полной мере оценить влияние вращения па
процесс приспособления ввиду того, что эффекты вращения ока-
зывают решающее влияние на крупномасштабные процессы.
Основные понятия, связанные с изучением вращающейся жид-
кости, были введены ранее в гл. 7. Данная глава посвящена
целиком гравитационным волнам во вращающейся жидкости,
другими словами, в ней изучается влияние вращения иа волны,
уже рассмотренные в гл. 5 и 6.
В разд. 8.2 и 8.3 мы рассмотрим, каким образом вращение
воздействует на поверхностные волны или на заданную моду
внутренней волны. Его эффекты становятся заметными, когда
горизонтальный масштаб становится сравнимым с радиусом де-
формации Россби. Для внутренних мод в океане радиус Россби
имеет порядок 3—30 км, поэтому даже при не очень большом
горизонтальном масштабе влияние вращения становится суще-
ственным. Моду, чувствительную к воздействию вращения, мы
называем здесь волной Пуанкаре. Ее отличительная особен-
ность заключается в том, что вектор скорости в ней непрерывно
вращается в антициклоническом направлении. Это свойство ча-
сто обнаруживается при наблюдениях в океане и в больших озе-
рах. Более того, энергия в этом случае не распределяется по-
ровну между кинетической и потенциальной; большая ее часть
приходится иа долю кинетической энергии.
В разд. 8.4—8.6 рассматриваются трехмерные плоские волны
в несжимаемой жидкости с постоянной частотой плавучести N.
Частота этих волн зависит только от ориентации волнового век-
тора, т. е. от отношения горизонтального масштаба к верти-
кальному, и находится между частотой плавучести и инерционной
308 Гл. 8. Гравитационные волны во вращающейся жидкости
частотой f. Существенный фактор, определяющий характер про-
цесса приспособления, заключается в том, что обычно в ат-
мосфере и в океане частота N значительно больше, чем Д При
N f волны высокой частоты слабо подвергаются влиянию
вращения. Это такие волны, которые характеризуются наимень-
шим отношением горизонтального масштаба к вертикальному.
Влияние вращения становится существенным, когда горизонталь-
ный масштаб превосходит вертикальный в отношении N/f, ко-
торое обычно принимает значение, близкое к 100. (Отметим, од-
нако, что это отношение может изменяться в широких пределах;
так, например, N мало в сильно перемешанных слоях, а / — мало
в низких шпротах.)
Волновые свойства могут быть изучены путем рассмотрения
сил, действующих на частицы жидкости в плоскости движения,
перпендикулярной к волновому вектору. Восстанавливающая
сила, создаваемая составляющей.силы тяжести в плоскости дви-
жения, пропорциональна смещению от положения равновесия.
В случае отсутствия вращения частица совершала бы простые
гармонические колебания вдоль линии наибольшего наклона. Од-
нако, наличие в плоскости составляющей кориолисовой силы за-
ставляет частицу вместо этого двигаться по эллиптической ор-
бите, которую она описывает в антициклоиическом направлении.
Характер поворота вектора скорости с высотой (в данный
момент времени) можно использовать для различения волн, рас-
пространяющихся вверх, п волн, распространяющихся вниз, в
океане н в атмосфере. Оказывается, что волны с частотой, близ-
кой к инерционной, в океане распространяются главным обра-
зом вниз (т. е. их групповая скорость направлена вниз, чему
соответствует направление фазовой скорости вверх), тогда как
аналогичные волны, наблюдаемые в стратосфере, распростра-
няются вверх.
Разделы 8.7—8.10 посвящены изучению внутренних воли, ге-
нерируемых у горизонтальной границы. В частности, это отно-
сится к волнам, генерируемым неровностями рельефа, как, на-
пример, волны в атмосфере, вызванные наличием гор, пли волны
в океане, возникающие у подводных горных хребтов. Эта тео-
рия также применима к внутренним волнам, генерируемым в
океане под действием ветра. Однако ввиду того, что основное
внимание отводится изучению воздушных потоков над горами,
дальнейшее изложение в основном связано именно с этой за-
дачей.
Характер явления в значительной мере зависит от отноше-
ния горизонтального масштаба L рельефа к масштабам U/N и
U/f, где U — скорость потока воздуха над горами, /V— частота
плавучести, a f—инерционная частота. Волны возникают в том
случае, когда значение L находится между двумя отношениями
U/N и U/f, причем влияние вращения несущественно на ниж-
8.1. Введение 309
ней границе диапазона, т. е. при L = U/N (обычно 1 км), и яв-
ляется преобладающим на верхней границе диапазона, т. е. при
L = U/f (обычно 100 км). Интенсивность проявления эффектов
рельефа зависит от вертикальной структуры воздуха, т. е. от
характера изменения U и N с высотой, а также от высоты релье-
фа по сравнению с отношением U/N. Когда эти эффекты значи-
тельны, то сильные ветры на уровне земли с подветренной сто-
роны гор могут причинить серьезные повреждения, а турбулент-
ность в атмосфере над горами может представлять серьезную
опасность для самолетов.
Волны в атмосфере могут распространяться до значительных
высот, ио с разрежением атмосферы возрастает роль молеку-
лярной вязкости и молекулярной диффузии. На высотах порядка
100 км это может привести к быстрой диссипации распростра-
няющихся вверх воли. Такая диссипация, как и другие формы
процессов затухания, обсуждаются в разд. 8.11.
Следующая тема (разд. 8.12) касается процессов распростра-
нения волн в среде с медленно меняющимися свойствами. Здесь
использованы методы, которые первыми независимо разрабо-
тали Луивилль [469] и Грин [275] в 30-х годах 19-го века. Эти
методы чрезвычайно полезны при изучении явлений, которые
происходят как в атмосфере, так и в океане, и могут быть ис-
пользованы, например, для изучения распространения энергии
от такого источника, как значительные неровности подстилаю-
щей поверхности в случае атмосферы, или при определении того,
как меняется с глубиной распределение энергии внутренних волн
в океане.
Поле внутренних волн, наблюдаемых в природе, может быть
описано как суперпозиция плоских воли с распределением ам-
плитуд, составляющих спектр этих воли. Свойства спектра воли,
наблюдаемого в океане, обсуждаются в разд. 8.14. В действи-
тельности различные составляющие спектра не ведут себя неза-
висимо, как это предполагается в линейной теории, а влияют
друг па друга через нелинейные члены в уравнениях, которые
описывают их поведение. Теоретические исследования волнового
взаимодействия коротко рассмотрены в разд. 8.13. Взаимодей-
ствие воли является причиной постепенного изменения спектра
волн со временем, причем это изменение таково, что спектры,
наблюдаемые в различных частях океана, оказываются на удив-
ление подобными, и, следователы-ю, могут быть приближенно
описаны «универсальной» функцией.
Другое свойство волн заключается в том, что они могут соз-
давать существенные эффекты на значительном расстоянии от
места их зарождения. Например, волны на поверхности океана
могут распространяться от области их генерации до другого
конца планеты и совершать работу по перемещению песка на
пляжах, где их энергия диссипирует. В разд. 8.15 обсуждается
310 Гл. 8. Гравитационные волны во вращающейся жидкости
волновой перенос количества движения, который иллюстрирует-
ся иа простом примере о вертикальном распространении вну-
тренних волн в невращающейся жидкости.
Низкочастотные движения имеют особый характер в силу пе-
реопределенности уравнений, т. е. они в первом приближении
являются геострофическими, но геострофическое движение ока-
зывается точным решением уравнения неразрывности! Поэтому
отклонения от геострофичности имеют большее значение, чем
это можно было бы ожидать. Поэтому в последней главе рас-
сматривается особый характер так называемого «квазигеостро-
фического» движения в равномерно вращающейся системе.
8.2. ВЛИЯНИЕ ВРАЩЕНИЯ НА ПОВЕРХНОСТНЫЕ ГРАВИТАЦИОННЫЕ
ВОЛНЫ; ВОЛНЫ ПУАНКАРЕ
Гравитационные волны в слое однородной жидкости с по-
стоянной глубиной Н при отсутствии вращения были рассмот-
рены в гл. 5.3. Без особых математических трудностей резуль-
таты этих исследований можно обобщить на случай жидкости,
вращающейся с постоянной угловой скоростью f/2 относительно
вертикальной оси. В частности, можно показать, что дисперсион-
ное соотношение (5.3.8), которое связывает частоту со с волно-
вым числом хн, с учетом влияния вращения принимает вид
©ЗЕМНАЯ, (8.2.1)
где g — ускорение силы тяжести, а X связано с волновым числом
хн соотношением
= V - сг^Н cth АЛ. (8.2.2)
Здесь а — радиус деформации Россби, определяемый из соотно-
шения
a2 = gHif2' (8.2.3)
Хотя полученное дисперсионное соотношение является точ-
ным, пользы от него в такой общей форме немного, так как в
приложениях к океану или озерам глубина Н является настоль-
ко малой по сравнению с радиусом Россби (по меньшей мере
в сотни раз), что с достаточной точностью вместо (8.2.1) можно
использовать одно из предельных соотношений (либо при
х^1 < а, либо при Хц1 » Я). По этой причине детальный вы-
вод формулы (8.2.1) оставлен читателю в качестве упражнения,
а мы перейдем к рассмотрению двух предельных соотношений.
Первое предельное соотношение, которое имеет место в слу-
чае, когда масштаб х^! мал по сравнению с радиусом Россби а,
соответствует случаю со слабым влиянием вращения. Из урав-
нения (8.2.2) получаем Х~хн, и, следовательно, (8.2.1) сво-
8.2. Влияние вращения на поверхностные гравитационные волны 311
дптся к дисперсионному соотношению (5.3.8) для невращаю-
щейся жидкости. Этот предел был уже рассмотрен в гл. 5 и не
будет больше рассматриваться.
Вращение оказывает значительное влияние только на волны,
горизонтальный масштабу1 которых достаточно велик по срав-
нению с глубиной Я. Иначе говоря, влияние вращения необхо-
димо изучать только для волн на мелкой воде, для которых
имеет место гидростатическое приближение. Свободные волны
при таком предельном переходе представляют собой «волны
Пуанкаре», рассмотренные в гл. 7. Поскольку значение КН в
этом пределе мало, (8.2.2) приближенно записывается в виде
V ~ + а“2, (8-2.4)
и (8.2.1) сводится к дисперсионному соотношению (7.3.4) для
воли Пуанкаре. Эти волны уже рассматривались по ходу
изложения в гл. 7. Теперь они будут изучаться более основа-
тельно.
Прежде чем приступить к обсуждению свойств «поверхно-
стных», или «баротропных» (см. разд. 6.2), волн, необходимо
иметь в виду, что результаты изучения с одинаковым успехом
можно приложить и к «внутренним», или «бароклинным», мо-
дам. Это следует из существования решений, полученных путем
разделения переменных для уравнений стратифицированной жид-
кости в случае, когда горизонтальный масштаб велик по срав-
нению с вертикальным. Это свойство было показано в гл. 6.
Таким образом, когда говорится о возвышении свободной по-
верхности или о компонентах горизонтальной скорости (и, и)
для баротропного движения жидкости с глубиной Н, то те же
рассуждения оказываются справедливыми и для внутренних те-
чений, свойства которых могут быть Описаны в терминах экви-
валентных переменных fj(x, y,i), u(x,y,t} и и(х, у, t) теории
мелкой воды и эквивалентной глубины Не (см. разд. 6.11, 6.14
и 6.17).
Рассмотрим теперь свойства бегущей волны на мелкой воде,
т. е. такой, для которой т), и и v пропорциональны величине
exp i(kx 4- ly — cat). (8.2.5)
(В этой книге все волны с дисперсионным соотношением (7.3.4)
называются волнами Пуанкаре, хотя это же название иногда
используется и для подмножества этих волн, удовлетворяющих
краевым условиям в канале. Плоская волна, определяемая фор-
мулой (8.2.5), в ряде случаев называется волной Свердрупа (см.
[630]).) Поляризационные соотношения, т. е. соотношения ме-
жду амплитудами и фазами т), и и v, получаются в результате
подстановки указанной формы зависимости от х, у и t
312 Гл. 8. Гравитационные волны во вращающейся жидкости
в уравнения (7.2.1) — (7.2.3). В1 результате получаем
— 1а>и — fv = — ikgx\,
— Zcou + fu = — (8.2.6)
— Z(OY] 4" IH (ku + Iv) — 0.
Эти уравнения имеют ненулевое решение только тогда, когда
удовлетворяется дисперсионное соотношение (7.3.4), т. е.
= + (8.2.7)
где ин — длина горизонтального волнового вектора
кн = (£, /),
т. е.
+ (8.2.8)
Уравнения (8.2.6) позволяют получить следующие выражения
для и и v в зависимости от гр
//(Л© + /7/)т]/хрЯ, v = (/© — Ikf^/K^H. (8.2.9)
Для внутренних мод Н заменяется эквивалентной глубиной HQ.
Если / равно нулю, то (8.2.9) дает соотношение между ускоре-
нием и градиентом давления, которое имеет место в предельном
случае отсутствия вращения. Если со равна нулю, то (8.2.9) экви-
валентно геострофическому соотношению (7.2.14).
Кроме того, уравнение потенциальной завихренности (7.2.8)
показывает, что жидкость приобретает циклоническую завихрен-
ность при подъеме поверхности и антициклоническую завихрен-
ность, когда поверхность опускается, т. е.
^ = /(/ги-/н)Д = п/Я. (8.2.10)
Тот факт, что возмущение потенциальной завихренности для
волны Пуанкаре равно нулю, следует из (7.2.8) и предположе-
ния о виде зависимости от времени, пропорциональной ехр (—zw/j.
Для удобства обсуждения свойств бегущей волны Пуанкаре
выберем ось х в направлении волнового вектора, так что I — 0.
Тогда, воспользовавшись соглашением, что физическое решение
представляет собой действительную часть комплексного выра-
жения для волны, и используя (8.2.9), получаем решение в виде
ц = т]0 cos (kx —• coZ), (8.2.11)
и — (®x]Q/kH) cos (kx — ©/), v — (fT]0/kH) sin (kx — ©/). (8.2.12)
Решение показано на рис. 8.1. Из (8.2.12) следует, что траек-
ториями частиц жидкости являются эллипсы с главными осями
в направлении волнового вектора. Отношение длин осей равно
8.2. Влияние вращения на поверхностные гравитационные волны 313
со//1). Вектор скорости вращается аптпцпклонически во вре-
мени, так что частицы совершают движения по эллиптическим
орбитам в антициклоническом направлении.
Пример внутренней волны Пуанкаре, наблюдавшийся в озе-
ре Мичиган, приведен иа рис. 8.2. Движение в термоклине, пред-
ставленное заштрихованной областью, не является чисто сину-
соидальным, поскольку там представлено несколько волн. Од-
нако волна с периодом около 17 ч. оказывается основной. Вер-
тикальный профиль скорости напоминает профиль скорости в
Рис. 8.1. Волна Пуанкаре, бегущая слева направо, (а) Смещение свободной
поверхности и (б) траектории частиц в плане, которые являются эллипсами
с большими осями в направлении распространения волны (т. е. оси х) и ма-
лыми осями, равными //со, умноженной па длину больших осей. Частицы дви-
жутся по этим траекториям в антициклоническом направлении. Стрелки ука-
зывают положение частицы на свободной поверхности, а также направление
движения для Северного полушария.
двухслойной жидкости (см. разд. 6.2), т. е. скорость в более
протяженном по вертикали слое ниже термоклина меньше, чем
в слое над термоклином, и имеет противоположное направле-
ние. Это указывает на то, что первая бароклинная мода являет-
ся основной. Антициклоническое вращение вектора скорости
можно увидеть как в слое над термоклином, так и под ним.
Рассмотрим теперь две предельные формы волн Пуанкаре.
Короткие волны Пуанкаре (т. е. с х~' а) имеют высокую ча-
стоту, т. е. значение со// для них велико и, следовательно, эл-
липтические траектории являются вытянутыми и сплющенными.
В пределе они переходят в прямолинейные траектории, харак-
терные для обычных гравитационных волн при отсутствии вра-
щения. В случае длинных волн Пуанкаре (х^1 а) со лишь
’) Для удобства преобразования отношений и неравенств значения со и f
будем часто преобразовывать как положительные.
314 Гл. 8. Гравитационные волны во вращающейся жидкости
Рис. 8,2. Результаты наблюдений течений и термальной структуры в верхнем
30 м слое озера Мичиган, август 3—5, 1963. Стрелки указывают направление
и скорость, в соответствии с которыми образуется течение. Заштрихованная
область указывает на слой термоклина, который заключен между 10 и 15°
изотермами. Две диаграммы, которые перекрываются во времени, разделены
интервалом в 17 ч., который является преобладающим периодом. Локальный
инерционный период составляет 17,5 ч. Обратите внимание на примерно двух-
слойную структуру как в температуре, так и в скорости, и на аптициклопиче-
ское вращение со временем векторов скорости.
незначительно больше f, так что траектории частиц близки к
окружностям. В этом предельном случае возвращающая сила
тяжести относительно слаба, частица движется по естественной
8.2. Влияние вращения на поверхностные гравитационные волны 315
траектории, которую описывает частица, не подверженная дей-
ствию сил (или, более точно, в случае, когда сумма ускорения
относительно системы отсчета и кориолисова ускорения равна
нулю). Такое движение называется инерционным, траектории на-
зываются инерционными окружностями, а частота вращения / по
этим орбитам — инерци-
онной частотой. В силу
(8.2.12) скорость U по-
стоянна, так что радиус
круга равен (7//. Такой
же результат имеет место
в случае (7.10.26), описы-
вающем установившееся
движение при отсутствии
воздействий.
В океане энергия со-
средоточивается в интер-
вале низких частот. Это
же характерно и для вол-
ны Пуанкаре, энергия ко-
торой концентрируется
вблизи возможной наи-
меньшей частоты таких
воли, а именно инерцион-
ной частоты. Такие волны
обнаруживают себя по
близким к круговым ан-
тициклоиическим орби-
там и по частотам, близ-
ким к инерционной. Пер-
вый пример уверенного
наблюдения такого дви-
жения был приведен в
[282] и рассмотрен Де-
фантом [164, т. 1 с. 447].
Наблюдения были произ-
ведены в Балтийском мо-
ре (57,8° с.ш., 17,8° в.д.,
глубина 100 м). 14а рис.
8.3 показана последова-
Рис. 8.3. Исторические измерения течений в
Балтийском море, осуществленные в [282],
демонстрирующие колебания с периодом,
близким к инерционному. Нанесенная кри-
вая представляет собой диаграмму поступа-
тельного вектора, показывающую то переме-
щение частицы, которое бы опа имела при
скорости, регистрируемой датчиком течения.
Инерционный период составляет 14 ч. Ука-
занные отметки разнесены на сутки. Обра-
щает на себя внимание антицпклоиическая
направленность вращения.
тельная векторная диа-
грамма течений, наблюдавшихся над пикноклином на глубине
14 м. Такие диаграммы показывают перемещения частиц, кото-
рые они бы совершили, имея скорости, измеренные в том фикси-
рованном месте, где постоянно находится прибор. (При беско-
нечно малых перемещениях оно совпадает с траекторией ча-
стицы, что, вообще говоря, не имеет места в случае конечных
316 Гл. 8. Гравитационные волны во вращающейся жидкости
возмущений.) На рисунке видно антициклоническое движение
на фоне медленного дрейфа в северо-западном направлении.
Период вращения отличается от инерционного периода только
на 1 %. Волна Пуанкаре, изображенная на рис. 8.2, также имеет
частоту, близкую к инерционной.
Другие волны могут быть получены как суперпозиции пло-
ских бегущих волн. Так, например, комбинация волн вида
(7.3.10), которая представляет собой две волны с равной ампли-
тудой, распространяющиеся в противоположных направлениях,
дает решение (7.3.12) вида стоячей волны. Оно отличается тем,
что положение пучностей в нем остается неизменным, а поверх-
ность движется вверх и вниз с частотой со. В пучностях движе-
ние происходит строго в вертикальном направлении, так же как
и в случае невращающейся жидкости, изображенном на
рис. 5.6, б. Движение в узлах происходит строго по горизонтали,
как и в случае невращающейся жидкости, но теперь —с эллип-
тическими траекториями. Так же как и для бегущей волны, ча-
стицы движутся по своим орбитам в антициклоничсском направ-
лении, а отношение длин осей эллипса равняется со//.
Тот факт, что траектории частиц не являются прямолиней-
ными, как это происходит в невращающейся жидкости, имеет
важные последствия. Как указал Кельвин [778], это означает,
что граничное условие отсутствия нормального движения у пло-
ской стенки не может быть удовлетворено за счет одиночной
плоской бегущей волны. Возможные последствия этого обстоя-
тельства будут исследованы в гл. 10.
3.3. ДИСПЕРСИОННЫЕ СВОЙСТВА И ЭНЕРГЕТИКА ВОЛН ПУАНКАРЕ
Дисперсионные свойства волн Пуанкаре следуют из дис-
персионного соотношения (8.2.7), представленного на рис. 7.2.
Частично они уже рассматривались в разд. 7.3. Волны Пуанкаре
обладают тем свойством, что их частота со зависит только от
длины хн волнового вектора и, следовательно, групповая ско-
рость cg имеет направление хн. Величина групповой скорости cg
равна тангенсу угла наклона дисперсионной кривой, изображен-
ной на рис. 7.2, и ее отношение к фазовой скорости со/хн за-
дается выражением
cgxH хн d(£> xprr/7 хра2
— tJ 2 о’ ^0.0. 1 у
со co со- 1 + хна~
которое вытекает из дисперсионного соотношения (8.2.7) и опре-
деления (8.2.3) радиуса Россби а. Как и в случае поверхно-
стных волн на воде конечной глубины, это отношение всегда
меньше единицы и принимает два экстремальных значения —
нуль при предельном переходе к длинным волнам (хна 1)
8.3. Дисперсионные свойства и энергетика волн Пуанкаре 317
н единицу при предельном переходе к коротким волнам. На-
пример, рис. 5.7 и 6.8, а, в могли бы отобразить группу волн
Пуанкаре с нна = 1, для которых групповая скорость равна по-
ловине фазовой скорости, точно так же как это имеет место для
поверхностных воли на глубокой воде.
Дисперсионные свойства волн Пуанкаре прекрасно иллю-
стрируются точным решением (7.3.14). В'самом деле, поскольку
оно является точным, волны Пуанкаре оказываются удачным
примером дисперсии волн, при котором групповая скорость
имеет максимальное значение для коротких волн и минималь-
ное (нулевое) для длинных. Это решение показано иа рис. 7.3, б
и 7.4. Важными особенностями решения являются: (i) фронт,
распространяющийся с максимальной групповой скоростью
(g-Я)1/2 и уменьшающий со временем свою толщину из-за дис-
персии, и (ii) волны с периодом, близким к инерционному, ко-
торые остаются позади и имеют очень малую групповую ско-
рость. (Необходимо иметь в виду, что свойства воли вытекают
из приближений теории мелкой воды и что волны с горизонталь-
ным масштабом, сравнимым с глубиной, должны были бы в дей-
ствительности удовлетворять дисперсионному уравнению (5.3.8).
При этом короткие волны имели бы скорость меньше, чем (§•//)1/2.
Так что если рассматривать фронт очень детально, то можно
обнаружить колебания с четко выраженным коротким периодом.
Они аналогичны тем, которые обсуждались в разд. 6.16. Эти ко-
лебания успешно сглаживаются или «отфильтровываются» с по-
мощью гидростатического приближения.)
Уравнения для энергии движений иа мелкой воде с учетом
вращения имеют точно такой же вид, как и в разд. 5.7. Это свя-
зано с тем, что сила Кориолиса совершает нулевую работу, т. е.
при умножении уравнений движения (7.2.1) и (7.2.2) соответ-
ственно ня рНи и pHv и последующем сложении кориолисовы
члены взаимно уничтожаются. Полное уравнение энергии запи-
сывается в виде (5.7.4),
™ | у рЯ (и2 -ф v ’) + ~ р^ц2} + 77 (Р£'Я(Pg-^ц) = 0.
(8.3.2)
Для бегущей волны Пуанкаре удобно использовать средние зна-
чения по длине волны. Если обозначить осредненные таким об-
разом величины чертой сверху, то средняя кинетическая энергия
на единицу площади будет выражаться формулой
4 pH (и2 + о2) = Л р (°1 + Л) п’/ЧД =
=((И2 + т«>2-Л))тРет?. (8-3.3)
318 Гл. 8. Гравитационные волны во вращающейся жидкости
а средняя потенциальная энергия на единицу площади будет
иметь вид
уР£П2 = уР£П?. (8>3>4)
Эти результаты следуют из (8.2.11), (8.2.12) и дисперсионного
соотношения (8.2.7). Для исключения зависимости конечного вы-
ражения (8.3.3) от выбора осей используется не просто k, а пол-
ное волновое число хн. Отметим, что энергия распределяется не
поровну между ее кинетической и потенциальной формами, при-
чем кинетическая энергия всегда больше на множитель
К.э. = со2~Н2 = 1 , _2Р_== 1 I 2 .
П. Э. и2 —Я
(8.3.5)
Второе и третье выражения в этом отношении получаются из
первого с использованием дисперсионного соотношения (8.2.7) и
определения (8.2.3) радиуса Россби.
Полная энергия на единицу площади может быть получена
в результате сложения (8.3.3) и (8.3.4), что дает
энергия на единицу площади
1 (О2
Ц>2РПо
(8.3.6)
Последнее выражение следует из дисперсионного соотношения.
Для коротких волн С о) отношение (8.3.5) близко к еди-
нице, и энергия разделяется почти поровну между кинетической
и потенциальной формами. Для длинных воли а) почти
вся энергия приходится на кинетическую форму. Это означает,
что волны с близкой к инерционной частотой, которые связаны
с движением по близким к круговым орбитам, легче обнаружить
и выделить из других волн по записи скорости, а не по наблю-
дениям возвышения свободной поверхности.
Средний поток энергии в бегущей волне Пуанкаре можно вы-
числить по формулам (8.2.11) и (8.2.12):
Pg# (йт\, mj) = у Р£%н2й)Т)?кн. (8.3.7)
Он равен плотности энергии, выражение для которой дается ра-
венством (8.3.6), умноженной на групповую скорость, опреде-
ляемую выражением (8.3.1). Важной особенностью задачи
Россби о приспособлении из разд. 7.2 и 7.3 было излучение энер-
гии в форме волн Пуанкаре. И действительно две трети высво-
божденной потенциальной энергии было потеряно в результате
этого излучения. Потери энергии через излучение вычисляются
по формуле (8.3.7) с помощью суммирования вкладов от раз-
личных волновых чисел, причем потеря на единицу длины со-
ставляла pgr)2a.
8 4. Вертикально распространяющиеся внутренние волны 319
Дальнейшее обсуждение свойств воли Пуанкаре можно найти
в работах [647], [630], [438]. Необходимо отметить, что в пер-
вых двух работах термин «волна Пуанкаре» применяется в бо-
лее ограниченном смысле, чем в нашем изложении. Волны, ко-
торые в этой книге называются бегущими волнами Пуанкаре,
называются в [647, разд. 132] волнами с горизонтальными греб-
нями, а в [630] их называют волнами Свердрупа. Вопросы тер-
минологии более полно обсуждаются в гл. 10.
8.4. ВЕРТИКАЛЬНО РАСПРОСТРАНЯЮЩИЕСЯ ВНУТРЕННИЕ ВОЛНЫ
ВО ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ
Рассмотрим приспособление к действию силы тяжести ма-
лых возмущений в непрерывно стратифицированной несжимае-
мой жидкости. Изучение этого вопроса было начато в разд. 6.4,
но теперь мы рассмотрим дополнительно эффекты вращения.
В силу того, что в случае гидростатического приближения пере-
менные разделяются, предыдущие результаты, полученные при
изучении волн Пуанкаре, можно также распространить и на
стратифицированные жидкости. Однако в предшествующих рас-
суждениях основное внимание уделялось характеристикам гори-
зонтального распространения. Оказывается, что рассуждения и
выкладки усложняются совсем незначительно, если не прибегать
к гидростатическому приближению, так что это ограничение бу-
дет временно опущено.
Основные уравнения, следовательно, берутся в том же виде,
что и в разд. 6.4, за исключением добавления членов ускорения
Кориолиса. В частности, условие несжимаемости (6.4.3), урав-
нение (6.4.6), которое выражает закон сохранения плотности
материальной частицы, и вертикальная составляющая (6.4.5)
уравнений движения остаются неизменными. Изменяются только
горизонтальные составляющие уравнений движения (6.4.4), ко-
торые записываются в виде (7.12.1) и (7.12.2), т. е.
dti/dl — fv =— p-'dp'/dx, (8.4.1)
dv/dt -J- fu = — р~' др'/ду. (8.4.2)
Иногда полезными оказываются уравнения, полученные исклю-
чением из уравнений (8.4.1), (8.4.2) скоростей и и v. Перемен-
ная v исключается при сложении продифференцированного по
времени уравнения (8.4.1) с уравнением (8.4.2), умноженным
на Д Аналогично исключается и переменная и. В результате по-
лучаются уравнения вида
d'4i./dt- + f~u — — р “ Wp'/dx dt — /р<71 др'/ду, (8.4.3)
d-vjdt1 + f2v — — р~Wp'jdy dt 4- dp'jdx. (8.4.4)
320 Гл. 8. Гравитационные волны во вращающейся жидкости
Покажем теперь, как можно свести число уравнений к двум,
исключая все переменные, кроме w и р'. Процедура, выполнен-
ная в разд. 6.4, сводилась к взятию оператора дивергенции от
горизонтальных уравнений движения (что соответствует сложе-
нию уравнений (8.4.1) и (8.4.2), продифференцированных соот-
ветственно по х и у, и использованию условия несжимаемости
(6.4.3) для исключения дивергенции горизонтальной скорости).
Однако в результате этой процедуры в случае с вращением (см.
(7.2.4)) получается уравнение
d2w/dzdt + f£ = ру1 {d2p'/dx2 4- д2р'/dy2), (8.4.5)
в котором появился член, содержащий вертикальную компо-
ненту завихренности £. Другое уравнение для £ получается при
взятии операции вихря от (8.4.1) и (8.4.2), что приводит к
(7.12.4), т. е. к
dt/dt — f dw/dz — 0. (8.4.6)
Теперь из (8.4.5) и (8.4.6) можно исключить dw/dz или £.
Если продифференцировать по времени (8.4.6) и сложить с
(8.4.5), умноженным на f, то в результате получим соотношение
между завихренностью и возмущением давления, а именно
d^/dt2 + = /р,71 (d’-p'/dx2 4- d2p'/dy2). {ЗАЛ)
То же самое можно получить применением операции вихря
(8.4.3) и (8.4.4). Аналогично можно получить уравнение, связы-
вающее горизонтальную дивергенцию ди/дх 4- dv/dy = —dw/dz
с возмущением давления. Оно имеет вид
(Г. + р\^±. s (ДУ + aV) (8.4.8)
У dt2 ' / dz ро dt У dx2 1 dy2 ) 4 ’
и сводится к уравнению (6.4.7) в случае отсутствия вращения.
Отметим, что (8.4.8), которое можно рассматривать как урав-
нение, связывающее горизонтальное движение (выраженное че-
рез горизонтальную дивергенцию) с возмущением давления, со-
держит инерционную частоту f, а не частоту плавучести.
Другое уравнение, связывающее между собой w и р', полу-
чается из (6.4.8), которое не изменяется при учете вращения.
Это уравнение имеет вид
d2w/dt2 4- N2w = — р"‘(32p'/dzdt. (8.4.9)
Его можно рассматривать как уравнение, связывающее верти-
кальное движение (выраженное через w) с возмущением дав-
ления р'. Заметим, что оно содержит частоту плавучести, а не
инерционную частоту Д
8.4. Вертикально распространяющиеся внутренние волны 321
Исключая р' из (8.4.8) и (8.4.7), получаем уравнение только
для w, а именно
д'2 ( d2w , d2w . 1 d ( дш \ > .
di'2 I дх2 dy2 рп dz V° dz ) J
+ I! « / Ла =
Ро dz v dz J \ dx2 dy2 ) v 1
В случае f = 0 оно сводится к соответствующему ему при от-
сутствии вращения уравнению (6.4.10). Если вертикальный мас-
штаб воли мал по сравнению с масштабом высоты, что является
необходимым условием несжимаемости среды, тогда можно вос-
пользоваться приближением Буссинеска (6.4.11), и уравнение
(8.4.10) сводится к виду
(8.4.11)
В этом приближении уравнение для р' имеет точно такой же
вид.
Дисперсионное соотношение для внутренних гравитационных
воли во вращающейся жидкости с постоянной частотой плаву-
чести М получается подстановкой решения в волновой форме
w ~ щоехр {/ (kx 4- ly + mz — со/)} (8.4.12)
в уравнение (8.4.11). Получаем
СО2 (^2т2 _|_ (/г2 _]_ /2^2 + Z2 т2). (8Д.1 3)
Используя определение (6.5.2) волнового вектора и тот факт,
что вращение происходит относительно вертикальной оси с угло-
вой скоростью Й — f/2, это соотношение можно записать также
в виде
= (2Q . к)2 4- W2.J. (8.4.14)
Такая форма уравнения имеет место при любой ориентации век-
тора вращения Q относительно вектора силы тяжести g. Другой
вид соотношения (8.4.13) получается в случае, когда волновое
число записано в полярных координатах в форме (6.5.4). Этот
вид указанного соотношения очень компактен:
©г — ^2 sin2 ср' 4~ N2 СОз2(р'. (8.4.15)
Другими очень полезными формами записи этого уравнения яв-
ляются
№ — о>2 = (№ __ sin2 о»2 — f2 = (№ - /2) cos2 <р'. (8.4.16)
Поскольку частота со есть функция только угла <р', который со-
ставляете горизонталью волновой вектор, и она не зависит отего
длины, то дисперсионные поверхности <о =» const в пространстве
И Зак. 744
322 Гл. 8. Гравитационные волны во вращающейся жидкости
волновых чисел, как и случае отсутствия вращения, яв-
ляются коническими (см. рис. 6.7). Однако зависимость со от ср'
сильно меняется в соответствии с относительными значениями
двух частот f и N, между которыми, в силу (8.4.15), должна на-
ходиться частота со. Один экстремальный случай соответствует
однородной жидкости (что встречается, например, в некоторых
лабораторных экспериментах); тогда N = 0. При этом частота
со равна f sin ср' и лежит, таким образом, между 0 и f. Соответ-
ствующие этому случаю волны называются инерционными-, более
подробно они рассмотрены в [279].
Однако в атмосфере и океане N обычно во много раз превы-
шает f, так что правильней рассматривать волны в этих средах
как внутренние гравитационные, поведение которых зависит от
вращения. В типичном случае величина N/f имеет порядок 100,
так что со составляет около 1 % от величины, определяемой
формулой (6.5.5), полученной без учета вращения, пока горизон-
тальный масштаб не превысит вертикальный масштаб в
14 раз. При таком большом отношении гидростатическое при-
ближение является достаточно хорошим, и поэтому нет боль-
шой необходимости обсуждать влияние вращения кроме как в
контексте гидростатического приближения. Это объясняет то
внимание, которое уделяется уравнениям мелкой воды, которые
следуют из гидростатического приближения.
При N/f = 100 дисперсионные кривые на рис. 6.7 не будут
изменяться сколько-нибудь заметно под влиянием вращения, за
исключением того, что вертикальная ось должна проходить че-
рез отметку (o/N = 0,01 вместо нуля. Групповая скорость cg
равна, по определению (5.4.11), градиенту со в пространстве вол-
новых чисел и, следовательно, перпендикулярна кинетическим
поверхностям с постоянным значением со. Из (8.4.13) п (5.4.11)
получаем (см. (6.6.1))
ся = ((№ — f2)/cox) cos <р' sin q/ (sin ф' cos Л', sin ф' sin Л', — cos фЛ),
(8.4.17)
т. е. групповая скорость имеет величину (№ — f2) cos ср' sin ф7 (сох)
и направлена под углом ф' к вертикали.
В ряде случаев вместо угла ф' полезно использовать отно-
шение а, определяемое формулой
вертикальный масштаб хи
а горизонтальный масштаб m • (8.4.18)
Из отношения двух выражений (8.4.16) видно, что а одно-
значно связано с частотой со формулой
а2 = (со2 — /2)/(№ — со2). (8.4.19)
Когда N/f велико, как это обычно имеет место в атмосфере и
океане, интервал волнового режима f со N можно разде-
8.4. Вертикально распространяющиеся внутренние волны 323
лить на следующие три части, для которых имеют место раз-
личные приближения:
(а) Негидростатический режим (определяется как область
частот, для которых о имеет порядок N, но со N). Из (8.4.19)
следует, что это эквивалентно области, для которой отношение
масштабов не является малой величиной (т. е. оно порядка еди-
ницы или больше). Дисперсионное соотношение (8.4.13) в этом
интервале аппроксимируется следующим образом:
со2 « N2 (/е2 + /2)/(&2 + /2 + m2) = N2 cos2 ср' = №а2/( 1 + а2)- (8.4.20)
Это уравнение можно получить при пренебрежении влиянием
вращения. Данный режим был подробно исследован в гл. 6.
(б) Гидростатический «невращательный» режим (рпреде-
ляется как область частот, для которых /'<&)<.¥). В силу
(8.4.19) это эквивалентно области значений отношения масшта-
бов а, задаваемой неравенством
(8.4.21)
В этой области дисперсионное соотношение (8.4.13) аппроксими-
руется выражением
со2 « №(«2 + /2)/т2 = №а2. (8.4.22)
Эффекты вращения не включены в этот порядок аппроксима-
ции, что и служит объяснением классификации такого режима
как «невращательного». Вместе с тем необходимо помнить, что
влияние вращения проявляется при следующем порядке аппрок-
симации, и его в ряде случаев необходимо учитывать. Прибли-
женное уравнение (8.4.22) представляет собой не что иное, как
длинноволновое или гидростатическое приближение к диспер-
сионному соотношению для невращающейся жидкости, так что
этот случай также сводится к режиму, который был рассмотрен
в гл. 6.
(в) Вращательный режим (определяемый как область ча-
стот, для которых со имеет тот же порядок, что и f, но co^f).
В силу (8.4.19) это эквивалентно области, для которой отноше-
ние масштабов имеет порядок f/N или же мало по сравнению
с f/N. Поскольку f/N мало, то а также мало, и в этом случае
имеет место гидростатическое приближение. Приближенная фор-
ма дисперсионного соотношения (8.4.13) имеет вид
со2 « f2 + N2 (k2 + Z2)/m2 = f2 + N2a2. (8.4.28)
По существу, оно представляет собой дисперсионное уравнение
(8.2.7) для волн Пуанкаре.
Приближения, которым соответствуют три указанных ре-
жима, будут многократно встречаться в этой и других гла-
вах, поэтому полезно присвоить им названия. Подробности этих
11*
324 Гл. 8. Гравитационные волны во вращающейся жидкости
приближений сведены в табл. 8.1, которая отражает наиболее
важные и основные результаты данной главы.
Другой вопрос, рассмотренный в разд. 6.6, посвящен харак-
теристикам распространения волн в случае, когда один из мас-
штабов (вертикальный или горизонтальный) фиксирован. Рас-
смотрим, как вращение влияет на ситуацию. Характеристики
горизонтального распространения волн с фиксированным верти-
кальным масштабом определяются уравнением (8.4.13) при за-
Различные режимы приближений уравнений для малых возмущений течения
Частота ш (относительно потока) 0,1/ I f (
Период (типичное значение) 1 неделя 1 сутки t 6 Ч
Режим Квазигеострофическое течение Вращательный
Вертикальная структура затухание затухание | волны
Уравнение для tv f2 -г-, + № k-х + -д-j I = 0 щ \сьг оу / (81 8*W irti \dtl + + N \ 'd2w
Уравнение для и (аналогично для р) , др' ~Р^ ~ а? (ди \ др'
Уравнение для горизонтальной дивергенции о РвТ dz~ dt\dx* + дуг] (дг , Л\8* д\дх2 + Ну1)
Уравнение для вертикального движения PoNlw=-^
Уравнение дисперсии (р)г — /2)тг =
Горизонтальная Мео1 - f2)^
групповая скорость cgH com
Вертикальная (ю1 _/’)’/»
групповая скорость cgr т\/2т2 + №л!?,)1/2 <oNxH
п.э./С.п.э.-ь к.э.1) 0/199 । 0,49 0,4 1 0 0,4
I Отношение |a| 0,00999 1 0,0099 " 1 0,009 1'1- 0 0,01 — 111 " 0,03 •
Типичный масштаб U/&. для атмосферы 1000 км I 100 КМ 1
Специальные явления Поглощение волн
Верхняя строка представляет логарифмический масштаб частоты для
случая Д' = 100/, & является той частотой, которую регистрирует наблюда-
тель, движущийся вместе с жидкостью. Ниже приведены некоторые типич-
ные значения для соответствующего периода. Границы между решениями не
определены так четко, как показано в таблице, каждый режим постепенно
переходит в следующий. Отношение п. э./(п. э. + к. э.) задается соотношением
(8.6.6) в волновом режиме. Отношение а есть отношение вертикального ма-
сштаба к горизонтальному и определяется из (8,4.19). Представленный ха-
8.4. Вертикально распространяющиеся внутренние волны 326
данном значении т. Горизонтальная составляющая (cgx, csa)
групповой скорости задается равенством (8.4.17), а ее величина
Cg-н с учетом (6.5.4), (8.4.13) и (8.4.18) может быть записана
в виде
____________(2V2 - f2) т2 (/г2 4-Z2)l/2 =
CgH “ (F + Z2 + /п2)3/2 {f2m2 + № (А2 + I2)}112
=-----------. (8.4.24)
т (1 + a2)3/2 (f2 + W)^2
вращающейся стратифицированной жидкости при f <£. №
Таблица 8.1
10/« 0,12/ I 2/ 102/ . J 1
1 1 ч 1 f 10 МИН 1 мин
Гидростатический невращательный ВОЛНЫ Негидростатический ПотетХ”вЬНОе волны | затухание затухание
ди др' д2н (д2р' З’/А согтг «= iL т т1 ^Y^ + ^j-^ + nY^x^ о d2w d2w\ п ди др' ди др' Р°~д1'’~Ц 8°~diS3~"dx а d*w i n-d2>t> л (82 , ..А дгр' д» др' ^\d?+N ш\тг + »Й) = т2 + *н = 0 2\fa2 _ (N2 — <о2)3/х (хЙ + т2)3!2 — J/»Hm ш2^2— со2)1/* (*й + М*)’А"
0,49 о,499
—I------1------1—--1-----Г"
0,1 0,3
0,5 0,1
п----1—।--------Н~
1 со 1,5 1,1
0,01
1,01
10 км 1км 100 м
... I________________________________ I________________________________________
Отражение частичное Отражение
резонанс волн
рактерный «масштаб» относится к топографически генерируемым волнам в
атмосфере. Уравнение для этой задачи получается из указанных уравнений
путем замены d/dt на Ud/dx. Характерные масштабы для океана составля-
ют около 1/100 от этого масштаба. В главе 12 будет показано, что квази-
геострофические уравнения содержат дополнительный член (бета-член) для
масштабов L порядка (U/fi)11'2 или около 500 км для атмосферы и 50 км для
океана. Таким образом, в действительности необходимо было бы добавить
дополнительный режим (бета-режим) в левосторонней части таблицы.
326 Гл. 8. Гравитационные волны во вращающейся жидкости
При нулевом значении горизонтального волнового числа
Хн(а = 0) частота равна f и групповая скорость равна нулю.
С ростом хн растет и частота, следуя дисперсионной кривой
волны Пуанкаре, приведенной на рис. 7.2, до тех пор, пока спра-
ведливо гидростатическое приближение (хн < ш, или а<1).
Групповая скорость определяется выражением (8.3.1) или при-
ближенной формой равенства (8.4.24) при малых а, а именно
cgH « M2a/m (f2 + M2a2)1/2. (8.4.25)
Таким образом, по мере роста значения %н во «вращательной об-
ласти», где это число имеет порядок mf/N, групповая скорость
возрастает и стремится к значению N/tn. Затем следует большая
область волновых чисел (mf/N <С ин Ст), т. е. невращатель-
ная гидростатическая область, в которой дисперсия незначи-
тельна и групповая скорость остается близкой к N/m. В дей-
ствительности здесь имеется слабо выраженный максимум (по-
прежнему близкий к N/m) при ~ mPf/S^N и со « Nnjtn. Для
больших значений волновых чисел (%н порядка tn, т. е. имеем
негидростатический режим) дисперсионные кривые похожи на
приведенные на рис. 6.13, а и частота стремится к N при
ин-^оо. Горизонтальная составляющая групповой скорости
стремится в этом пределе к нулю.
Характеристики вертикального распространения волн с фик-
сированным горизонтальным волновым числом хи вытекают по-
прежнему из (8.4.13). Вертикальная составляющая cgz группо-
вой скорости может быть вычислена либо из этого уравнения,
либо е помощью (8.4.17), (6.5.4) и (8.4.18):
__________- (AZ2 - /2) (k2 + /э) m
Cgz (F + /2 + m2)3/2 {f2m2 + № (A2 + Z2)}1^ “
= -(AZ2-/2) a3
xH (1 + a2)3/2 (/2 + W)1/2
При нулевой вертикальной составляющей волнового числа
m = 0 (а = оо) частота принимает свое максимальное значение,
равное N, и cgz обращается в нуль. С ростом m частота ведет
себя так же, как и в случае без вращения из разд. 6.6. Макси-
мальное значение групповой скорости достигается при распро-
странении волны в направлении, составляющем угол 35° с вер-
тикалью (m = zH/21/2), и равно 2N/(33/2хн). По мере дальней-
шего роста m групповая скорость уменьшается, и в области, где
действует невращательный гидростатический режим (хн < m <
Nkh/I) , приближенно задается в виде
с&г ~ - AZxH/m2 =» - Ж2/хн. (8.4.27)
8.5. Поляризационные соотношения 327
Для значений т, сравнимых или больших ЛГхн/f (вращательный
режим), вв2 приближенно выражается формулами
— -л а"
gz т2 (f2m2 + №«н)1/2 хи (f2 + №а2),/2
так что csz —>- 0 при т -> оо и со f. Например, если значение N
равно 10’2 с-1 и %/1 равно 30 км, то волны с вертикальным
масштабом аналогичного порядка переносили бы энергию в вер-
тикальном направлении со скоростями около 100 м/с (для по-
лучения точного значения необходимо учитывать сжимаемость
среды). Однако волны с m~l = 1 км имели бы групповую ско-
рость всего лишь 0,3 м/с (30 км в сутки), тогда как волны
с т~1 = 100 м имели бы частоту только на 5 % больше инер-
ционной и вертикальную групповую скорость всего лишь 1 мм/с
(100 м в сутки).
8.5. ПОЛЯРИЗАЦИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ
Для того чтобы выделить внутренние волны в океане и атмо-
сфере, необходимо знать, как изменяются в пространстве и во
времени компоненты скорости и возмущение давления и как свя-
заны различные переменные между собой. Для бегущих волн
эти связи (поляризационные соотношения) находятся подстанов-
кой волнового решения вида (8.4.12) в соответствующие урав-
нения.
Из условия несжимаемости (6.4.3) непосредственно вытекает
важное свойство плоских волн, а именно
k-u = 0, (8.5.1)
Таким образом, движение происходит в плоскости, перпендику-
лярной волновому вектору. Связь между w и р' следует из урав-
нения (8.4.9) и записывается в виде
— moo р' ____________— мео р'
N2 — о»2 ро (N2 — f2) sinq/ р0
(8.5.2)
Здесь были использованы равенства (8.4.16). Соотношения ме-
жду горизонтальными компонентами скорости вытекают из
(8.4.3) и (8.4.4) и записываются в виде (см. (8.2.9))
_____ xg> + ilf р' ___ 1(й — Zxf р'
и со2 — /2 Ро ’ v (О2 — Р Ро
(8.5.3)
328 Гл. 8. Гравитационные волны во вращающейся жидкости
Если ось х выбрана в направлении горизонтальной составляю-
щей волнового вектора, то, используя (8.4.16), эти уравнения
можно переписать в виде
и = 7л72—тд----г — = — tg ф'ау, (8.5.4)
(№ — /2) cos ф ро ь v >
р = = = (8.5.5)
(Л/2 — г) COS ф Ро (О со °
Запись этих уравнений для переменной w следует из (8.5.2).
Возмущение плотности р' связано с w соотношениями (6.4.6) и
(6.4.9), из которых следует, что
Р?Ро = W2/gco) w. (8.5.6)
На рис. 8.4, а схематично изображены свойства плоской бе-
гущей внутренней волны во вращающейся жидкости, которые
аналогичны свойствам волны в невращающейся жидкости
(рис. 6.6), если не учитывать движения, направленные от чита-
теля и к нему. Можно увидеть, что вектор скорости вращается
со временем антициклонически, как это было свойственно вол-
нам Пуанкаре. (Другими словами, вектор скорости движется
cum sole, т. е. вращается в том же самом направлении, что и
вектор, смотрящий на Солнце.) Из этого также следует, что по
мере продвижения в направлении, противоположном фазовой
скорости, вектор скорости будет вращаться антициклонически.
Использование этого свойства позволяет отличать волны, рас-
пространяющиеся вверх, от волн, распространяющихся вниз,
анализируя данные вертикального зондирования или профиль
скорости. Эта идея была использована в [436] при изучении про-
филей скоростей в океане. При сравнении результатов зондиро-
вания, выполненных через промежутки времени, равные инер-
ционному периоду, было показано, что большая часть энергии
сконцентрирована в спектральном диапазоне, близком к инер-
ционному периоду [699]. Для расчета вкладов различных верти-
кальных волновых чисел в циклонические компоненты скорости
использовался аппарат спектрального анализа. Было обнару-
жено, что для одной области волновых чисел (/7г-1 порядка
100 м) энергия составляющей скорости, вращающейся с глуби-
ной антициклонически, в три раза превышала энергию состав-
ляющей скорости, вращающейся циклонически. Это указывает
на преобладание волн с групповой скоростью, направленной
вниз.
Аналогичный результат был получен в [705] по данным зон-
дирования скоростей в стратосфере. Годограф скорости ветра,
Рис. 8.4. (а) Фазовые соотношения для прогрессивной внутренней волны с
фазовой скоростью, направленой вниз (что означает направленность группо-
вой скорости вверх). Сплошные линии изображают линии максимального (вы-
сокого) и минимального (низкого) возмущенного давления, которые являются
также линиями максимумов и минимумов составляющей скорости, находящей-
ся в плоскости стриицы. Направление этой компоненты скорости показано
стрелками. Штриховые линии изображают положение максимальной (тяжелая)
и минимальной (легкая) возмущенной плотности и максимума и минимума со-
ставляющей скорости, нормальной к плоскости страницы. На рисунке пред-
ставлены направления этой компоненты для Северного полушария, которые
в Южном полушарии, однако, имеют противоположное направление.
Вектор скорости изменяет направление (вращается антициклопически) во вре-
мени, а следовательно, и в пространстве по мере его движения в направлении,
обратном фазовой скорости. Если обратить направление распространения фа-
зы, то единственным изменением в диаграмме будет изменение направления
всех стрелок, (б) Движение частицы в плоскости, перпендикулярной волно-
вому вектору. Частица подвергается действию восстановлиивающей силы
(N cos срг)2/б/ действующей па единицу массы и направленной к линии d =
= 0; ускорение Кориолиса можно рассматривать как эквивалент кориолисо-
вой силы, действующей па единицу массы и равной | f sin ср' |, умноженной па
величину скорости, направленной под прямым углом к скорости и такой, что
всегда существует компонента, направленная внутрь орбиты. Результирующая
двух сил всегда направлена в направлении центра у — d — 0, и результи-
рующее движение происходит вдоль эллиптической орбиты с главными осями
вдоль линии максимального наклона и в аптициклоническом направлении.
Стрелки показывают направления движения в случае Северного полушария,
а для Южного полушария их необходимо направить в противоположном на-
правлении.
Рис. 8.5. Зондирование ветра на высотах 10—20 км. (а) Представлен годо-
граф зондирования в 17.00 (время по Гринвичу) 24 марта 1959 г., где каждая
точка представляет скорость, наблюдаемую на указанной высоте. Вектор ско-
рости (относительно усредненного по нескольким соседним километрам) вра-
щается антициклонически с высотой, что указывает на преобладание волн,
энергия которых распространяется вверх. Эго зондирование можно сравнить
с океаническим зондированием, показанным на рис. 8.19. (б). Высоты, па ко-
торых достигаются максимумы и минимумы скорости ветра и экстремумов
направлений ветров в пяти последовательных зондированиях от 19 марта 1959.
Максимумы указаны зачерненными кружками и соединены непрерывными линия-
ми, где это возможно, минимумы указаны крестиками и соединены штриховыми
линиями. Эти линиии указывают распространение фазы вверх (см. [705],рис.4и5).
8.5. Поляризационные соотношения 331
приведенный на рис. 8.5, изображает результат одного из таких
зондирований. На нем ясно видно антициклоническое вращение
с высотой. Это соответствует распространению фазы вниз и,
следовательно, направленной вверх составляющей групповой
скорости. На рис. 8.5, б по данным зондирований, выполненных
несколькими днями раньше, изображено движение линий равных
фаз. На нем ясно видно, что фаза распространяется вниз. Длина
волны по вертикали составляет примерно 1,5 км (т-1 ~ 250 м),
а период — около 6 ч (со ~2,5f). Об аналогичных результатах
зондирований сообщалось в [586] и в [775].
Согласно формуле (8.5.1), движение полностью происходит
в плоскости, перпендикулярной волновому вектору, и поэтому
поучительно рассмотреть силы, действующие на частицу жид-
кости при ее движении в этой плоскости. Восстанавливающая
равновесие сила тяжести, которая действует на единицу массы,
может быть определена так, как это показано в разд. 6.5. Эта
сила связана только с составляющей g cos ср' силы тяжести, па-
раллельной плоскости, и прямо пропорциональна изменению
плотности cos q'dp/dz, приходящемуся на единицу перемеще-
ния. Так, если перемещение вверх по наклонной плоскости равно
d, то параллельная этому перемещению составляющая силы на
единицу массы записывается в виде (см. разд. 6.Й)
— cos <р' cos <р' dp/dzd *= — (N cos q/)2 d.
Частица жидкости подвергается также воздействию кориоли-
сова ускорения, связанного с составляющей (1/2) f sin ср' угло-
вой скорости вращения, перпендикулярной плоскости движения.
Если у представляет собой отклонение частицы жидкости по
горизонтали, то уравнения движения записываются в виде
d + f sin q/z) == — (Л/cos q/)2 d, ij — f sin y'd = 0, (8.5.7)
где точки вверху означают производные по времени. Решение
ДДя траектории частицы находится элементарно и имеет вид
d = dti cos со/, у = <a~xf sin q/d0 sin со/. (8.5.8)
Полученные соотношения соответствуют эллиптическим орби-
там с большой осью, направленной вверх по наклонной пло-
скости, длина которой равна длине малой оси (направленной
горизонтально вдоль плоскости), умноженной на co/(fsinq/).
$десь со определяется равенством (8.4.15). На рис. 8.4,6 изобра-
жена эллиптическая орбита, движение по которой из-за дей-
ствия силы Кориолиса происходит в антициклоническом направ-
лении.
332 Гл. 8. Гравитационные волны во вращающейся жидкости
8.6. ЭНЕРГЕТИКА
В силу того что ускорение Кориолиса не дает вклада в урав-
нение энергии, это уравнение имеет тот же вид (6.7.1), как и в
случае невращающейся жидкости. Этот результат можно полу-
чить, складывая произведения уравнений (8.4.1) на ром, (8.4.2)
на рогу, (6.4.5) на w и (6.4.6) на g2p'/poN2- Осредненная по еди-
нице объема энергия возмущения Е по-прежнему дается выра-
жением (6.7.6), т. е.
£ = | Ро («2 + И2 + ®2) + 4 g2/2/Po№, (8.6.1)
где черта сверху означает среднее по длине одной волны.
Используя поляризационные соотношения из предыдущего
раздела, значение Е можно выразить через Wq. Если ось х вы-
брать в направлении горизонтальной составляющей волнового
вектора (так что 1 = 0), значение wQ считать действительным и
найти действительные части соответствующих комплексных вы-
ражений, то из (8.4.12) получим
w — w0 cos (kx + mz — co/). (8.6.2)
Учитывая формулы (8.5.4) и (8.5.5), находим
и = — tg q/w0 cos (kx + mz — co/),
(8.6.3)
v = —- (f/w) tg qp'ayosin (kx + mz — co/).
Аналогично из (8.5.6) получаем
p' = — (№/coz/) powo sin (kx + mz — cat). (8.6.4)
Подстановка этих выражений в (8.6.1) приводит к той же самой
формуле (6.7.7), что и в случае невращающейся жидкости, а
именно
^ = 4роЫс°8ф7. (8.6.5)
Однако энергия в данном случае не распределяется поровну
между кинетической и потенциальной формами, как это имело
место при отсутствии вращения. Поскольку функция со, которая
входит в знаменатель выражения (8.6.4), возрастает в резуль-
тате добавления в (8.4.15) членов, связанных с вращением, то
доля потенциальной энергии в результате вращения уменьшает-
ся. В самом деле, в результате непосредственных вычислений
членов (8.6.1) с учетом дисперсионного соотношения (8.4.15) по-
8.7. Волны, генерируемые у горизонтальной границы 333
лучаем отношение
к-э-.^ <о2+/2 sin2 л . /8 6 6)
П. э. СО2 — /2 sin2 ф' + ДГ2 1? Ф » к ‘ ’
Поскольку в атмосфере и в океане N/f велико, то влияние вра-
щения становится заметным только тогда, когда значение ср'
близко к л/2. В этом случае формула (8.6.6) оказывается близ-
кой к ранее полученному соотношению (8.3.5), следующему из
гидростатического приближения.
Другая величина, которая встречается в .уравнении энергии,
представляет собой вектор плотности потока энергии F', опреде-
ляемый соотношением (6.7.8), т. е.
Fz==/u. (8.6.7)
Его можно найти с помощью соотношений (8.6.2), (8.6.3) и
записи р' в виде функции от ш0, которая следует из (8.6.2) и
(8.5.4):
р7р0== — (%сй)-1 (№ — f2) sin qp'w0cos {kx -J- mz — (at). (8.6.8)
Окончательный результат можно переписать в виде (6.7.9), т. е.
в виде
F'=»Ecg, (8.6.9)
где Е задается соотношением (8.6.5), a cg определяется теперь
согласно (8.4.17). В частности, вертикальная составляющая по-
тока определяется из равенства
F' = - (2х(о)-’ (АГ- — f2) sin ф'рХ, (8.6.10)
которое непосредственно вытекает из определения (8.6.7) и вы-
ражений (8.6.2) и (8.6.8) для w и р'. Горизонтальная составляю-
щая определяется из соотношения
(8.6.11)
которое следует из (8.6.3).
Заметим, что при f < N F'z имеет знак, противоположный
знаку вертикальной составляющей w/m = (со/%) sin <pz фазовой
скорости (см. разд. 6.7); это говорит о том, что энергия перено-
сится вверх в том случае, когда фаза распространяется вниз,
и наоборот. Этот результат был получен ранее для невращаю-
щейся жидкости (f = 0).
8.7. ВОЛНЫ, ГЕНЕРИРУЕМЫЕ У ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ГРАНИЦЫ
Изучение волн, возникающих у горизонтальной границы,
было начато в разд. 6.8. Хотя рассмотренные в нем методы были
применимы для изучения волн, генерируемых за счет множества
384 Гл. 8. Гравитационные волны во вращающейся о/сидкости
различных механизмов, рассуждения касались лишь частного
случая генерации волн в потоке, обусловленных мелкомасштаб-
ными неровностями рельефа. Тот же самый метод будет исполь-
зован и здесь. В силу того что любой рельеф поверхности можно
представить в виде суперпозиции волн с фиксированными вол-
новыми числам^, и так как задача линейна, то вклад каждого
волнового числа можно изучить по отдельности. Таким образом,
задача сводится к изучению потока над серией хребтов (или
увалов) синусоидального профиля. Направим ось х перпенди-
кулярно гребням хребтов и зафиксируем оси координат относи-
тельно осредненного движения воздуха. Будем считать, что осред-
ненный поток имеет постоянную скорость U в направлении оси х.
В этой системе координат можно считать, что хребты переме-
щаются со скоростью — U в направлении оси х, т. е. задаются
в виде
h = hQ sin {k (x + Ui)}. (8.7.1)
Для расчета влияния неровностей рельефа используется тот
же самый метод, что и в случае невращающейся жидкости.
Влияние вращения проявляется в изменении дисперсионных и
поляризационных соотношений, которые уже рассматривались
выше. В этом разделе мы сконцентрируем внимание на тех
аспектах задачи, которые в сильной степени зависят от влияния
вращения. При этом будем считать, что значение N/f велико,
как это обычно имеет место в атмосфере и океане. Рассматри-
ваемая жидкость предполагается несжимаемой и имеющей по-
стоянную частоту плавучести АЛ
Как было установлено в разд. 6.8, для хребтов с малым го-
ризонтальным масштабом kr' поведение жидкости зависит от
безразмерного числа
(о [/NU = Uk/N, (8.7.2)
которое представляет собой отношение частоты
(i) = -Uk (8.7.3)
столкновения частиц жидкости с гребнем к частоте плавучести
N. Если | со |/N имеет порядок единицы, то влияние вращения
оказывается незначительным и в этом случае становится спра-
ведливым анализ, развитый в гл. 6. Так, при k~l <; U/N (около
1 км для атмосферы и 300 м для океанского дна) волны имеют
быстро затухающий характер, т. е. затухают экспоненциально
с высотой и обтекание (см. рис. 6.10, а) оказывается близким к
потенциальному (каковым оно становится в пределе при ->0).
При k~x > U/N генерируются распространяющиеся волны (см.
рис. 6.10, б), которые могут осуществлять перенос энергии на
значительные высоты, где их энергия поглощается.
8.7. Волны, генерируемые у горизонтальной границы 335
Влияние вращения становится существенным, когда <о имеет
порядок f, т. е. при горизонтальном масштабе порядка U/f. В ат-
мосфере этот масштаб обычно в сотни раз превышает значение
U/N, так что имеется значительный интервал волновых чисел,
для которых U/N < k~l < U/f. В этом интервале справедливо
гидростатическое приближение (поскольку горизонтальный мас-
штаб велик по сравнению с вертикальным) и влияние вращения
незначительно. Этот интервал будет называться областью гид-
ростатики без вращения (см. разд. 8.4 и табл. 8.1). Масштаб
£//|/|, при котором влияние вращения играет заметную роль
в поведении среды, обычно составляет в атмосфере 100 км и
около 3 км для дна океана.
При рассмотрении эффектов вращения необходимо иметь
в виду, что ветер (или течение), который дует равномерно в оп-
ределенном направлении, должен находиться в состоянии гео-
строфического равновесия с градиентом давления. Поэтому при
отсутствии хребтов давление Р на земле удовлетворяет условию
pofU = -dP/dij, (8.7.4)
т. е. для наблюдателя, стоящего спиной к ветру, низкое давле-
ние будет находиться слева в Северном полушарии, а в Юж-
ном — справа.
Рассмотрим теперь течение над холмами, имеющими форму
(8.7.1), когда k~x находится в интервале U/N<Zk~} <Z U/f. Ре-
шение задается в волновой форме (6.8.4) и (6.8.5), а именно
w — Ukh0 cos (kx + mz — co/), (8.7.5)
где в силу дисперсионного соотношения (8.4.13) вертикальная
составляющая m волнового вектора находится по формуле
/П2 = k2 (^2 __ (02)/((02 _ £2 (^2 _ [^/(UW - f2). (8.7.6)
Выберем положительное значение корня, чтобы обеспечить на-
правление групповой скорости вверх. Одновременно это пред-
полагает, что фазовая скорость направлена вниз (<о/т =
=—(7/г/т < 0). Возмущения горизонтальных составляющих
скорости, согласно (8.5.4) и (8.5.5), записываются в виде
и = — UmhQ cos (kx 4- mz — ot),
(8-7.7)
v = k fmhQ sin (kx 4- mz —- co/).
Траектории частиц относительно наблюдателя, движущегося со
скоростью ветра и, являются, как показано на рис. 8.4, эллипти-
ческими. В Северном полушарии скорости частиц па гребне
имеют составляющую, направленную влево. Другими словами,
согласно (8.7.4), частицы движутся па гребнях в направлении
низкого давления независимо от знака f. Максимальное смеще-
ние траектории в направлении низкого давления находится в
336 Гл 8 Гравитационные волны во вращающейся жидкости
узле, расположенном непосредственно с подветренной стороны
гребня.
Возмущение давления определяется по формуле (8.5.2), ко-
торая с учетом равенств (6.8.4) и (6.8.5) приводит к выражению
р'/Ро = tn~l (№ — U2k2) hQ cos (kx + mz — <oZ). (8.7.8)
Зона высокого давления располагается с наветренной стороны,
а низкого давления — с подветренной стороны, чем создается ре-
Рис. 8.6. Малый элемент холма площади
6s б у, где бу измеряется вдоль склона и 6s
вверх по склону, бх — горизонтальная про-
екция 6s, a 6ft — увеличение в высоте. Сила,
вызванная давлением р и действующая на
площадь 6s бу, равна pbs бу. Горизонталь-
ная компонента получается умножением да-
вления на 6h/bs, т. е. рбИбу, или величины
pdhfdx на бх бу.
зультирующая сила, дей-
ствующая на возвышен-
ность в направлении вет-
ра. Результирующую силу
сопротивления т, рассчи-
танную на единицу пло-
щади, можно вычислить
следующим образом. Рас-
смотрим элемент увала с
горизонтальными разме-
рами бхи 6z/ и высотой 6Л,
как это изображено на
рис. 8.6. Если 6s есть ши-
рина элемента, измерен-
ная вдоль наклона, то
сила, обусловленная дав-
лением, имеет величину
p6s6y и направлена пер-
пендикулярно к поверхно-
сти. Горизонтальная со-
ставляющая этой силы равна p6s6y, умноженной на 6/i/6s, т. е.
р 6h бу = р (dhldx} бх бу,
и направлена вдоль линии максимального наклона, т. е. в на-
правлении V/г. Иначе говоря, горизонтальная составляющая
силы давления представляется вектором
pVh бх бу.
Осреднение по длине волны дает следующее выражение силы
сопротивления т на единицу площади:
= (8.7.9)
Давление р можно заменить его возмущением р' (см. разд. 4.5.4),
поскольку в невозмущенном состоянии не создает горизонталь-
ную силу.
Абсолютное значение т вектора т можно вычислить из (8.7.1),
{8.7.8) и (8.7.6). Это дает
т = | р„ {<.№ - UV) (U4? - к Л§. (8.7.10)
8.7. Волны, генерируемые у горизонтальной границы 337
Эта величина связана с вертикальной составляющей F'z вектора
потока плотности энергии, определяемого соотношением (6.7.8).
Эта зависимость прямо следует из соответствующих определений
и соотношения w = Lh6h/6x между w и h. Таким образом, имеем
р'г = XU = 1 ро {(ДГ2 _ (JJ2k2 __ Uh2' (g,7. i J)
Как подчеркивалось в разд. 6.8 и будет далее показано в
разд. 8.15, волны могут переносить горизонтальные напряже-
ния, возникшие у земли, вверх до значительных высот, опреде-
ляемых уровнями их поглощения. Скорость переноса обращается
в нуль в двух крайних точках интервала существования волн
при k~x = U/N и k~x =*= U/lfj. Однако когда k~x в точности равно
£7/|f|, в решении возникает сингулярность. Это связано с тем,
что если частота со = —Uk в точности равна инерционной, то
имеет место резонанс. В этом случае из соотношения (8.7.6)
видно, что m обращается в бесконечность (т. е. длина волны по
вертикали очень мала) и возмущение скорости, определяемое
формулой (8.7.7), также оказывается бесконечным. В действи-
тельности же большие значения m указывают на то, что трение
стремится удалить эту компоненту волны и (или) важное значе-
ние приобретают нелинейные эффекты.
Групповая скорость cg относительно воздуха определяется из'
соотношения (8.4.17). Используя (8.7.3), (8.7.6) и тот факт, что
m/k — tgqp', групповую скорость можно выразить через k. Полу-
ченные таким образом составляющие cgx (горизонтальная) и свя
{вертикальная) записываются в виде
cgx— (N2-p)Uk2 ----U~^~Uk2'
_ £/2^2)172 (иЧг2 __ ^2)3/2 f2)3/2
(N2 — P)Uk2 ** NUk2 •
Эти приближенные выражения получены с учетом гидростатиче-
ского приближения. Групповая скорость относительно воздуха
направлена вверх навстречу ветру под углом л/2 — ф' к гори-
зонтали. С другой стороны, групповая скорость относительно
земли направлена вверх и по ветру под углом к горизонтали,
тангенс которого равен
cg2 (№-t/2F)1/2(W —/'2)3/2 f ( U2k2 Д3/2
~U + csx (£/2/г2 - рр + р (N2 - р) ~ Т \ р 1J * (8,7•14)
Это приближенное выражение также получено при предельном
переходе к гидростатике. В частном случае N = 100/ этот угол
изображен на рис. 8.7 как функция волнового числа. Макси-
мальное значение угла приближенно равно
arctg (3§/44"‘ (N/f)'12) при Uk = 3|/И (fN)i/29
338 Г л. 8. Гравитационные волны, во вращающейся жидкости
или около 80° в случае N — 100/. На рис. 8.7 для сравнения при-
ведены значения углов, полученные при различных аппрокси-
мациях, которые соответствуют различным областям в табл. 8.1.
На рис. 8.8, а приведены примеры потоков в случаях, когда
влияние вращения существенно. Расчеты проведены в случае,
когда &[7=l,25f, т. е. когда горизонтальный масштаб k~] на
20 % меньше значения U/f, при котором прекращается верти-
кальное распространение волн. Вертикальная составляющая m
Рис. 8.7. Угол между горизонталью и групповой скоростью относительно земли
изображен сплошной линией как функция горизонтального волнового числа k
рельефа для случая N/f = 100. Если пренебречь вращением (f = 0), то кри-
вая модифицируется при низких волновых числах в кривую, представленную
длинными черточками. Если сделать предположение о гидростатическом при-
ближении, кривая преобразуется при больших волновых числах в кривую,
изображенную короткими черточками. Если пренебречь вращением и сохра-
нить гидростатическое приближение, то угол в этом случае будет равным 90°
при всех k.
волнового вектора в этом случае приближенно равна 5N/3U и
имеет тот же порядок, что и в случае без вращения, который
иллюстрируется на рис. 6.10,6 (для m = 3N/5U). Однако, по-
скольку горизонтальный масштаб больше в 0,64JV// раз, диа-
грамма начерчена с вертикальным масштабом, растянутым по
сравнению с горизонтальным в N/f раз.
Если горизонтальный масштаб k~l больше, чем U/\f|, то вол-
ны становятся затухающими, т. е. их амплитуда уменьшается
экспоненциально с высотой. Вертикальное перемещение h ча-
стиц жидкости в этом случае записывается в виде
h = h^e~^z sin (kx — co/), (8.7 15)
где скорость затухания определяется из соотношения
у2 (8.7.16)
——————
Ветвр
'0)
Рис. 8.8. Движение, порождаемое постоянным потоком стратифицированной
жидкости над синусоидальным рельефом малой амплитуды. Обозначения те
же, что и иа рис. 6.10, ио горизонтальный масштаб намного больше ц верти-
кальный масштаб завышен относительно горизонтального в Л7/ раз. (а) Слу-
чай рельефа с меньшей длиной волны, волновое число k задается в вйде k =
= 1,25/7U (типичное значение (7// для атмосферы равно 100 км). Смещение
изопикн однородно по высоте, но гребни воли перемещаются вверх по тече-
нию с высотой, т. е. фазовые линии наклонены, как видно из рисунка. Груп-
повая скорость относительно воздуха направлена вдоль этих фазовых линий,
по групповая скорость относительно земли направлена вверх под малым углом
вниз по течению. Высокое и низкое давления располагаются в узлах, в резуль-
тате чего возникает результирующая сила, действующая на рельеф в направ-
лении потока. На рисунке показаны направления компоненты течения, нор-
мальной странице, для Северного полушария; они имеют противоположное
направление для Южного полушария, (б) Отклик иа рельеф с более длйнио-
вблйовым горизонтальным масштабом. В этом случае волновое число k равно
ОДДУ. (1) На вертикальном сечении показано затухание амплитуды с высотой.
Фазовые линии в этом случае вертикальны. (11) Вид в плане. Сплошные линии
со стрелками изображают траектории частиц, а штриховые линии представ-
ляют изобары. Частицы смещены в направлении низкого давления над
гребнями и в сторону высокого давления над впадинами. Так как скорость над
холмом выше, то давление вдоль линии тока, согласно тео^Же Бернулли,
ниже. Тем не менее на линии у «= const давление в действительности Выше
над холмом, как это видно из рисунка (ii) и как изображено в (i).
340 Гл. 8. Гравитационные волны во вращающейся жидкости
(при условии, что можно применить гидростатическое прибли-
жение). Величина у является положительным корнем, поэтому
затухающие решения получаются заменой в предыдущих форму-
лах m на iy. Решение (8.7.1В) записано в системе отсчета, дви-
жущейся вместе с потоком воздуха. Решение относительно зем-
ли получается при опускании члена — со/, содержащегося внутри
скобок, т. е. заменой sin(£x— на sin&x.
Формулы для и, v, р и т. д. по-прежнему вытекают из ре-
зультатов, приведенных в разд. 8.5, если положить I = 0, m = iy,
использовать гидростатическое приближение (k < m пли
vk С AQ и иметь в виду выражения (6.8.8) и (6.8.4) для w.
В частности, из (8.5.2) получаем выражение
р7р0 = k~'Nh0(f2 - U2k2)1'2 e~yz sin (kx - о/), (8.7.17)
из которого следует, что на гребнях волн располагается высо-
кое, а во впадинах — низкое значения возмущения давления
(как раз противоположное тому, что имеет место при потен-
циальном обтекании!). Для возмущения скорости и в направ-
лении потока получаем, используя (8.5.4), следующее выра-
жение:
и = sin (kx - a>i). (8.7.18)
Из него видно, что движение потока над гребнем происходит
быстрее, как это и должно следовать из уравнения неразрывно-
сти. Кроме того, из-за сжатия потока над гребнями длина вих-
ревых линий уменьшается, вызывая тем самым возникновение ан-
тициклонической относительной завихренности £. Из (8.4.6) или
(7.12.5) следует, что значение £ задается соотношением
С=f-g- = - sin (** - ю<)- (8.7.19)
L/ <& [ L/ /С )
Соответствующая поперечная составляющая скорости v и пере-
мещение в поперечном направлении задаются формулами
» = ,р ™ - “0. (8.7.20)
У = (8.7.21)
Поперечное перемещение направлено над гребнями в сторону
низкого давления, т. е. влево в Северном полушарии и вправо
в Южном полушарии.
8.7. Волны.; генерируемые у горизонтальной границы 341
Тот факт, что возмущение давления принимает высокие зна-
чения над гребнями увалов, где также высока скорость потока,
на первый взгляд противоречит теореме Бернулли. Однако это
противоречие кажущееся в силу того, что линии тока откло-
няются в поперечном направлении больше, чем отклоняются изо-
бары, в результате чего на линиях тока давление в действитель-
ности оказывается ниже именно над гребнями. Это можно уви-
деть на рис. 8.8,6, который демонстрирует специальный случай
для Uk = 0,8/ с тем же самым увеличением N/f масштаба по
вертикали и тем же самым продольным масштабом, как и на
рис. 8.8, а. Нижняя часть рисунка изображает вид сверху. На
нем можно заметить, что вдоль линии у = const давление над
гребнями высокое, тогда как вдоль линий тока давление над
гребнями низкое.
Определенный интерес представляют собой предел форм
рельефа с очень большим горизонтальным масштабом (Л-1 >
> l//|f|, в особенности для глубокого океана, для которого ти-
пичные значения С7/Щ составляют несколько километров. (В ат-
мосфере значение £7/|/| имеет порядок 100 км; и поэтому при
изучении процессов с характерным масштабом свыше 100 км
необходим учет кривизны земной поверхности.) Формула (8.7.16)
для масштаба зоны захвата волн показывает, что с ростом k~l
возрастает и у-1 и в пределе эта величина становится пропор-
циональной k-1. Предельное значение
= |/Л^ (8.7.22)
удобно назвать высотой Россби, поскольку эта величина (видо-
измененная в силу сжимаемости атмосферы) была введена
Россби при изучении температурных изменений в стратосфере
[686]. Такое название удобно еще и в силу связи между высо-
той Россби и радиусом Россби. В ситуациях, подобных рассмот-
ренной в этом разделе, когда горизонтальный масштаб Л-1 за-
дан, возникает также естественный масштаб высоты (высота
Россби), равный величине ]f|/A7, умноженной на горизонталь-
ный масштаб. С другой стороны, если масштаб высоты (или глу-
бины) задай, то в задаче появляется естественный масштаб
длины — радиус Россби, пропорциональный величине Л^/|/|,
умноженной на масштаб высоты.
Из поляризационных соотношений следует, что в пределе
исключительно протяженных по горизонтали форм рельефа
«-составляющая возмущения скорости намного превышает ц-со-
ставляющую, и ее амплитуда равна Nh0. Таким образом, пре-
дельная форма соотношения (8.7.20) принимает вид
v = Nhoe~yz cos {kx — со/). (8.7.23)
Это предельное соотношение показывает, с другой стороны, что
линии тока почти совпадают с изобарами, а горизонтальная
342 Г л. 8. Гравитационные волны во вращающейся жидкости
амплитуда их отклонений равна Nho/Uk (см. (8.7.21)). Это ука-
зывает на то, что обтекание происходит в режиме, близком к
геострофическому приближению. Область, в которой
=“|(d| <С |f |, будет называться областью квазигеострофичноети
(см. табл. 8.1)
8.8. ВОЛНЫ ГОРНОГО РЕЛЬЕФА
Сильные ветры, локализованные в окрестности гор и холмов,
издавна привлекали к себе внимание из-за ущерба, который они
наносили урожаям, зданиям и т. п. Примером служит ветер,
который называют «Хелм» (по-русски «шлём»), который воз-
никает время от времени на западном склоне Пеннинских гор
в Англии; ряд сообщений о нем опубликовано в [93]. Так,
в сообщении Британской ассоциации Уотсон [843, с. 33—34]
пишет:
«Иногда, когда атмосфера совершенно спокойна, полностью
отсутствует дыхание ветра и на небе нет ни облачка, вдруг на
вершине возникает небольшое, но хорошо известное облако, ко-
торое расширяется к северу и югу — и «Шлем надет». Через не-
сколько минут ветер начинает дуть с бешеной силой, способной
ломать деревья, переворачивать скирды пшеницы, валить с ло-
шади всадника или перевернуть лошадь и телегу... Когда вы
впервые слышите о нем или ощущаете его на себе, он не про-
изводит впечатления из ряда вон выходящего явления; но когда
этот ветер продолжает дуть и утром, и в полдень, и ночью, сут-
ками, это производит сильное впечатление и мы вынуждены
признать, что он является одним из наиболее необычных явле-
ний в метеорологии».
В 1920-х и 1930-х годах благодаря наблюдениям с испольво-
ванием аэростатов и планеров было проведено довольно много
исследований по волнам в горной местности. Высоты, до кото-
рых поднимались планеры (11.400 м) в 1930-х годах, восприни-
мались с удивлением, особенно из-за того, что они достигались
с подветренной стороны гор, а не с наветренной (см. [8]). Де-
тальное описание наблюдаемого явления, составленное на ос-
нове такой информации, было дано в [417, 418], а в [319] на
основе наблюдений с земли приведены подробности относитель-
но ранее упомянутого «ветра Хелма». (Статья была представ-
лена в 1940 г., но не была опубликована в печати в период воен-
ного времени по причинам национальной безопасности.) Основ-
ные результаты исследований такого рода были Получены
в [594, 650, 733], а общее описание явления было дано
в [715].
Первые теоретические исследования начались с изучения
движения жидкости с постоянной скоростью U над рельефом
s бесконечно малой неровностью. (При постоянной частоте пл-а-
8.8. Волны горного рельефа 343
вучести N.) В частности, в [493, 494] найдено решение для об-
текания ступенчатого профиля и прямоугольных гор, тогда как
в [648] найдено решение для обтекания колоколообразных греб-
ней гор, заданных в форме
оо
h = hm/(l + (x/L)2)^hmL J e~kLcoskxdk. (8.8.1)
о
Реакцию потока на обтекание холмов любой формы можно найти
с помощью представления рельефа как фурье-суммы синусои-
дальных волн и подбора соответствующей комбинации решений
для синусоидального рельефа, найденных в предыдущем раз-
деле. Выбор колоколообразного гребня горы (8.8.1) удобен для
изучения в связи с простой записью преобразования Фурье для
этого случая. Ниже приведены основные результаты, получен-
ные в [648] с помощью преобразований Фурье.
Характер отклика зависит от ширины возвышенности L.
С ростом L характер отклика изменяется точно так же, как это
имеет место для синусоидального рельефа при возрастании го-
ризонтального масштаба k~l. Изменение в характере отклика
соответствует изменениям времени L/Z7, которое необходимо воз-
душной частице для пересечения холма, поскольку в системе
отсчета, движущейся с потоком, влияние оказывает холм, кото-
рый движется относительно воздуха со скоростью —U. Если N
велико по сравнению с параметром Кориолиса f, что обычно
имеет место, то можно выделить пять режимов обтекания (см.
[648] и сводку результатов в табл. 8.1).
(i) Режим, потенциального обтекания (L С (7/2V). Обычные
значения U/N составляют 1 км для атмосферы и 50 м для дна
океана. Однако необходимо помнить, что возможны значитель-
ные отклонения от этих значений. Этот предельный случай при-
меним к таким малым особенностям, что для них весьма суще-
ственны процессы в турбулентном пограничном слое. (Теория,
включающая рассмотрение этих эффектов, приводится в [372],
см. также [773].) Однако для полноты картины приведем реше-
ние по типу идеального обтекания для колоколообразной горы.
Именно в этом случае оно имеет простой вид:
/г = (1 +г/Л)"1/гт/(1 + (л:/(^-|-О. (8.8.2)
Амплитуда вертикального отклонения частиц жидкости падает
с высотой аналогично тому, как это показано иа рис. 6.10, а.
В силу условия неразрывности течение является более быстрым
над гребнем, где зона потока ограничена, а давление понижено
в силу теоремы Бернулли.
344 Гл. 8. Гравитационные волны во вращающейся жидкости
(ii) Волновой негидростатический режим (L ~ U/N). Общее
решение для колоколообразной горы имеет вид
00
h. = hmL exp (— kL + ikx + imz) dk. (8.8.3)
0
Соответствующее физическое решение получается, как обычно,
взятием действительной части. Вертикальная компонента m вол-
нового вектора получается из дисперсионного соотношения.
Когда L сравнима с U/N, влияние вращения обычно мало, и
значение пг определяется из соотношения (6.8.6), т. е.
m = ((N/U)2 — k2)112. (8.8.4)
На рис. 8.9, а показано типичное решение [648], построенное
для случая
£ = £//#= 1км. (8.8.5)
Масштаб Ls, который показан на рисунке, представляет собой
длину волны, связанной с масштабом U/N, а именно
Ls = 2nU/N. (8.8.6)
Свойства этого решения рассмотрены в [649]. Как было по-
казано в разд. 6.8, групповая скорость относительно земли для
одиночного волнового компонента направлена вверх и по ветру
в направлении волнового вектора и меняется между вертикаль-
ным направлением (k = 0) и горизонтальным направлением по
ветру (k= U/N). Из рисунка видно, что волновая энергия рас-
пределяется главным образом в этом квадранте, как и ожида-
лось. Вертикальный масштаб волн имеет тот же порядок, что и
горизонтальный масштаб L. На рисунке также показан при-
земный ветер и изменения давления, связанные между собой
теоремой Бернулли [см. (4.8.3) и (7.10.22)]. Ее линеаризован-
ная форма для линии тока записывается в виде
р'1рй = ~ии. (8.8.7)
Скорость ветра максимальна над гребнем холма, где давление
минимально.
Давление на наветренной стороне увала выше, чем давление
с подветренной стороны, в результате чего создается результи-
рующая сила, действующая на увал. Горизонтальная сила
на единицу длины в направлении у дается выражением (см.
разд. 8.7 и уравнение (8.7.9))
— \^р'dh — \p'(dhdx)dx. (8.8.8)
— 00
8.8. Волны горного рельефа 345
Другую формулу для силы сопротивления можно получить,
подставляя выражение (8.8.7) для р' в (8.8.8) и используя соот-
ношение между w и h, т. е. w — Dh/Dt. В системе отсчета, свя-
занной с землей, линеаризованное выражение для w записы-
вается в виде
w — Udhfdx, (8.8.9)
и, таким образом, из (8.8.8) получаем
QqUw dx. (8.8.10)
Таким образом, сила сопротивления равна скорости волнового
переноса импульса в вертикальном направлении. Если рельеф
задан в виде фурье-суммы синусоидальных волн, т. е.
оо
/г= J ^{k)eikxdk (8.8.11)
о
(имеется в виду действительная часть), то силу сопротивления
можно выразить как интеграл от вкладов (6.8.11) от каждого
фурье-компонента. Такие вклады дают только волновые числа
k < N/U, для которых происходит генерация воли, и в резуль-
тате, используя (8.8.10) и (6.8.11) (подробный вывод выражения
смотри в [72]), находим
N/U
дт = Лр0и2 j (k |2 k ((N/U)2 - к2)1'2 dk. (8.8.12}
0
Частный случай колоколообразной горы (8.8.1) был изучен в
[704]. Полученное там решение можно выразить через спе-
циальные функции [71]; оно изображено в левой части рис. 8.10
и показывает силу сопротивления на единицу длины в виде функ-
ции ширины L. Сила сопротивления возрастает с ростом L до-
предельного значения л/4, соответствующего гидростатическому
режиму, рассмотренному выше.
(iii) Невращательный гидростатический волновой режим.
Этот режим имеет место, когда N/f велико. Для атмосферы ти-
пичное значение N/f равно 100, а для океана более подходящим
является значение, близкое к 10. Топографические волны в ат-
мосфере генерируются наклонными участками земной поверх-
ности, и для больших горных цепей, которые оказывают самое-
сильное влияние на поток, ширина участка земной поверхности
с большим и постоянным по знаку значением наклона сосгав-
ляет обычно около 10 км. Для такого масштаба гидростатиче-
ское приближение вполне приемлемо, и в то же время такой
масштаб еще недостаточно велик для того, чтобы заметно про-
являлось влияние вращения. Поэтому множество расчетов.
346 Г л. 8. Гравитационные волны во вращающейся жидкости
волновых эффектов в горных районах было произведено именно
для этого режима.
Общее уравнение для подветренных волн в однородном по-
токе с учетом эффектов негидростатичности и вращения, в си-
стеме отсчета, движущейся с потоком, записывается в виде
(8.4.11). Тому же уравнению удовлетворяет вертикальное пере-
мещение h, поскольку w = dh/dt и (8.4.11) можно проинтегри-
ровать по t. В системе отсчета, связанной с землей, оператор
ос=1 км
Рис. 8.9. Волны, генерируемые потоком с постоянной скоростью (U = 10 м/с)
и равномерно стратифицированной жидкостью (N = 0,01 с-1) над грядами
гор колоколообразной формы с различными значениями ширины L (из [648]).
Профиль горы задается выражением (8.8.1), и решения получаются из линей-
ной теории. Случай (а) для L = U/N = 1 км является типичным для режима
негидростатических волн. Случай (б) для L =» 10 км является типичным для
волнового режима, при котором влияние вращения становится существенным.
Верхняя часть каждой диаграммы представляет вертикальное перемещение
воздушных частиц, т. е. их траектории находятся в вертикальной плоскости,
перпендикулярной горной гряде. Штриховые линии представляют траектории,
на которых вертикальное перемещение равно нулю. Масштаб Ls определяется
как Ls ~ 2tcU/N и является хорошей мерой вертикального волнового числа
во всех трех случаях. Мастшаб Lf определяется как L{ = 2nU/\f\, где f —
параметр Кориолиса, имеющий заданное значение, равное 10~4с~’. Нижние
части рисунка (а) и (б) представляют изменения давления и ветра на уровне
земли, вызванные волнами. На нижней части (б) показан в плане вид траек-
тории частицы и изобары на уровне земли. Амплитуды изображены на мак-
симальной высоте hm для гряды шириной в 1 км.
Рис. 8.9. (продолжение)
348 Гл. 8. Гравитационные волны во вращающейся жидкости
d/dt заменяется на оператор ид/дх, так что (8.4.11) переписы-
вается в виде
TJ2 JL f _L_ д2,1\ I f2 I ДГ2 (&JL , &h_\ __ 0
U d?U2 + ду2 + dz2 ) + ' dz2 + Ux2 + ду2 ) ~ и •
(8.8.13)
Если отсутствует вращение (f — 0) и нет зависимости от у
то, проинтегрировав это уравнение дважды по х, получаем
L\f\/U
LN/U
Рис. 8.10. Сила ЗГ на единицу длины, обусловленная волновым сопротивле-
нием, оказываемым грядой колоколообразной формы, заданной в виде h ~
— /im/(l + (x/L)2). Частота плавучести # и скорость потока U постоянны, а
значение параметра Кориолиса f выбрано равным 0,0bV. Кривая для LNjU <
< 4 выбрана на основе данных Блюмена [71, рис. 1], а при большей ширине
L — на основе (8.8.23).
(в предположении, что возмущения отсутствуют при х — ±оо)
уравнение
-Й+-0 +(W)2^ = 0,
дх2 дгг 1 4 ' ’ ’
(8.8.14)
(8.8.15)
которое совпадает с уравнением для негидростатического ре-
жима. Если теперь принять гидростатическое приближение (это
эквивалентно предположению, что д/дх < д/dz), то последнее
уравнение можно переписать в виде
a2A/522 + ^/t/)2/2 = 0.
Это весьма простое уравнение имеет решение
A = /2s(x)ezyVz/£/, (8.8.16)
где hs — комплексная функция переменной х, действительная
часть которой описывает рельеф поверхности. Решение должно
удовлетворять условию группового распространения волн вверх,
которое в данном случае означает распространение вверх строго
8.8. Волны, горного рельефа 349
по вертикали. Для колоколообразной горы (см. [648]) решение,
удовлетворяющее этому условию, имеет вид
h = hmeiNzlu/(l - ix/L). (8.8.17)
(Примечание. Ограничение на Л3 заключается в том, что ее осо-
бенности в комплексной плоскости х находятся в отрицательной
полуплоскости. Эквивалентная постановка в терминах преобра-
зований Гильберта приводится в [546, 33 и 175]. Решение
(8.8.17) можно использовать для получения решений для дру-
гих форм рельефа путем суммирования или интегрирования
вокруг полюсов в комплексной плоскости х.)
На рис. 8.8,6 представлено решение (8.8.17). Волны распо-
лагаются только над горой в силу строго вертикального направ-
ления групповой скорости. Соответствующее возмущение дав-
ления р' можно вычислить из (6.4.7), которое после подстановки
w — dh/dt, замены оператора d/dt на Пд/дх и двукратного ин-
тегрирования по х приводится к виду
p' — p^dh/dz. (8.8.18)
Для колоколообразпой горы из (8.8.18) при г — 0 (на земле)
находим
р' = - ^NHhm (x/L)/( 1 + (x/L)2). (8.8.19)
Эта кривая приведена в нижней части рис. 8.9,6. В силу того
что давление с наветренной стороны больше, чем с подветренной,
возникает результирующая сила, действующая на возвышен-
ность. Ее величина, приходящаяся на единицу длины, опреде-
ляется выражением
оо
ЗГ = J p'(dh/dx)dx = l/4np0W/i2n, (8.8.20)
— оо
Как видно из рис. 8.10, оно совпадает с формулой, полу-
чающейся в случае негидростатичности при предельном пере-
ходе NL/U -> оо. После того как вместо h и р' будут подстав-
лены их выражения из (8.8.1) и (8.8.19), интегрирование выра-
жения, стоящего в правой части (8.8.20), не будет представлять
особого труда (оно получается подстановкой x = Ltg0).
(iv) Вращательный волновой режим (L ~ t//)/1])1).
В этом режиме решение для колоколообразной горы дается
выражением (8.8.3), но подходящей аппроксимацией для т, как
показывает (8.7.6) при /г1 U/N, будет служить
m = kN (U2k2 — f2)"1/2. (8.8.21)
*) Значения <7/1/4 обычно составляют 100 км для атмосферы и 3 км для
океана; однако необходимо помнить, что для слабых ветров или небольших
течений эта величина значительно меньше, а в тропических районах, где f ма-
ло, может быть намного больше.
350 Г л. 8. Гравитационные волны во вращающейся жидкости
На рис. 8.9, в для примера приведено решение [648] с L =
= С7/| f|. Энергия волн (см. разд. 8.7, рис. 8.7) распространяется
вверх и вдоль по ветру под углом, который для различных вол-
новых компонент меняется от 0° (для k-1 = U/\f\) до 90° (для
&->оо). Таким образом, возмущение потока, изображенное на
рисунке, происходит в основном в этом квадранте. Вертикаль-
ный масштаб имеет порядок U/N, как и в случаях (ii) и (iii), но
горизонтальный масштаб теперь значительно больше. Диаграм-
ма начерчена в сильно сжатом горизонтальном масштабе (или,
другими словами, в значительно растянутом вертикальном мас-
штабе). Большинство волн выглядят на диаграмме расположен-
ными в створе угла между 60° и 90° к горизонтали, но если вве-
сти поправку, учитывающую искаженность вертикального мас-
штаба, то углы будут в действительности изменяться от Г до 90°
по отношению к горизонтали.
В нижней части рис. 8.9, с показаны линия тока и изобара
для Северного полушария. Из рисунка видно, что частица от-
клоняется в направлении низкого давления (т. е. влево), дости-
гая максимального смещения сразу же за гребнем хребта. Дав-
ление в сечении, перпендикулярном хребту, представлено
изобарой. Значение давления максимально на наветренной сто-
роне, что указывает на наличие результирующей силы, дей-
ствующей на хребет. Выражение для этой силы в общем виде
с учетом вращения и негидростатичности получается интегриро-
ванием по волновому числу k силы сопротивления т для каж-
дой составляющей волны, заданной соотношением (8.7.10). При
этом получается обобщение выражения (8.8.12), выполненное
в [84]:
N/U
$~ = лр0 j |W))W2~ U2k2)(U2k2-f2)}U2dk. (8.8.22)
If \tu
Вклад получается только от области волновых чисел, для ко-
торых существуют волновые решения, распространяющиеся в
вертикальном направлении (в противоположность затухающим
решениям). Если задать условие гидростатики, т. е. Uk < N, и
подставить выражение 3^ — hmLe~hL для колоколообразной горы
(см. (8.8.1) и (8.8.11), в формулу (8.8.22), то получится
Г ==jip0MU2 J (U2k2-f2yl2e~2kldk^
» | лроЙД,| f 1 Wi (2L| f \/U), (8.8.23)
где выражение для интеграла взято из [271, формула 3.3873].
Вычисленная по этой формуле сила сопротивления представ-
лена на рис. 8.10 в виде функции от L. При малых значениях
8.8. Волны горного рельефа 351
f сила сопротивления асимптотически стремится к величине, вы-
ражаемой формулой (8.8.20), которая получается при гидроста-
тическом приближении и отсутствии влияния вращения.
(v) Квазигеострофический режим течения (L<&,U/\f\)
В этом режиме решения имеют затухающий характер, и по этой
причине волны не возникают. Интерес здесь представляют ре-
шения для океана, для которого типичное значение t//|f| со-
ставляет около 3 км. Для атмосферы это не так, поскольку при
L U/\f| существенное значение имеет кривизна земной по-
верхности. Аппроксимация уравнения (8.8.13) для этого режима
имеет простой вид
Г<г + №(-В + -В-)=° <8'8'24»
и сводится к уравнению потенциального течения, если вместо z
ввести растянутую вертикальную координату z3:
(8.8.23)
Поэтому решение записывается в том же самом виде, что и
(8.8.2):
h = (1 + za/L)" ‘Am (1 + (x/(L + za))2), (8.8.20)
Решения затухают с высотой иа расстояниях порядка высоты
Россби (см. (8.7.22)), которая значительно превосходит
типичный масштаб высоты U/N для режимов распространяю-
щихся волн и увеличивается пропорционально горизонтальному
масштабу обтекаемого рельефа. Точное решение типа (8.8.26)
можно найти и для случая кругового холма. (Такое решение
рассмотрено в разд. 8.16 и представлено на рис. 8.20).
Название «квазигеострофический», используемое для этого
режима, обусловлено особым свойством уравнений. Наиболее
просто рассмотреть уравнения в системе координат, движущейся
вместе с жидкостью. Тогда они записываются в виде, приведен-
ном в разд. 8.4. (В системе отсчета, неподвижной по отношению
к топографии, оператор d/dt в уравнении заменяется иа Ud/dx.)
Рассматриваемый режим определяется условием d/dt-==
s Ud/dx <С f, в силу которого уравнения движения (8.4.1) и
(8.4.2) аппроксимируются геострофическими уравнениями
— fv = — р~1др'/дх, fu = — р-'др'/ду. (8.8.27)
В то же время при постоянном f эти уравнения означают, что
горизонтальная дивергенция скорости равна нулю и, следова-
тельно, вертикальное движение отсутствует. Но одновременно
именно баланс между тенденцией к вертикальному движению,
возбуждаемой топографией, и уравновешивающей силой тя-
жести, ей препятствующей, определяет характер течения! По этой
причине важно все же вычислять горизонтальную дивергенцию,
352 Гл. 8. Гравитационные волны во вращающейся жидкости
несмотря на то, что она мала. Соответствующее выражение
вытекает из уравнения завихренности (8.4.6). Из него видно, что
дивергенция —dw/dz мала, и ее величина меньше завихрен-
ности £ в о// раз. Заметим, что соотношение (8.4.6) можно
получить из уравнений движения только в том случае, если сохра-
нить (малые) члены для ускорения. Это обстоятельство и объяс-
няет, почему такое течение лучше называть «квазигеострофи-
ческим», а не геострофическим. Это связано с тем, что, хотя
первое приближение геострофично, но характер движения не мо-
жет быть установлен без рассмотрения отклонений от геостро-
фического равновесия.
Если найти выражение для завихренности
К = Ро-‘ (&р'/дх* + д^ду?), (8.8.28)
с помощью соотношения (8.8.27) и подставить его в (8.4.6), то
получится приближенная форма уравнения (8.4.8), а именно
J_ а avy (8.8.29)
1 dz ро dt \ dx1 dy2 7 v ’
Если теперь исключить др'/dt из уравнений (8.8.29) и
(6.11.4), связывающих вертикальное движение с уравновеши-
вающими силами плавучести, то получится уравнение для w
вида (8.8.24). Удивительно, что для получения уравнения, не
содержащего времени, нам потребовалось исключить производ-
ную от давления по времени др'/dtl
Сводка свойств пяти рассмотренных режимов приведена в
табл. 8.1. Под частотой со понимается частота, которую бы вос-
принимал наблюдатель, двигающийся вместе со средой. Таким
образом, она равна w для покоящейся среды (разд. 8.4) и
со — Uk при обтекании рельефа со скоростью U (разд. 8.7). В об-
щем случае если со есть частота, воспринимаемая неподвижным
наблюдателем, а среда движется с постоянной скоростью U, то
cb = co-U-k. (8.8.30)
Решения для горного хребта колоколообразного профиля
демонстрируют эффекты, которые обычно наблюдаются. Были
получены решения и для других рельефов. Так, в [72] изучено
влияние более чем одного горного хребта, в [261] и [734] рас-
смотрено трехмерное обтекание, а развитые в них идеи приме-
нены для изучения подветренных волн на Марсе в [628]. В [84]
дан детальный расчет силы сопротивления, создаваемой реаль-
ной топографией (холмы в Северном Уэллсе — см. разд. 6.8), а
в [408] рассмотрены эффекты потока импульса. В [52] получена
оценка, показывающая, что величина силы сопротивления, воз-
никающей на дне океана за счет генерации волн рельефом дна,
8.9. Эффекты изменения свойств с высотой 353
имеет порядок 0,05 Н/м2 (0,5 дин/см2). Аналогичные вычисления
можно проделать и для течения, колеблющегося с фиксирован-
ной частотой. В [52] вычислена потеря энергии приливных тече-
ний, вызванная генерацией волн у дна. Она составила около
0,001 Вт/м2 (1 эрг-см-2-с-1). О впечатляющих подветренных вол-
нах, генерируемых при прохождении приливов через пороги, со-
общалось в [205]. Рассматривались также решения и для не-
установившихся течений. Обзор этих исследований для случая,
когда генерировались волны с вертикальным распространением,
содержится в [8]. В [360] исследованы неустановившисся ква-
зигеострофические решения, из которых следует, что изолиро-
ванные формы рельефа могут генерировать вихри при измене-
нии течений. В [35] дан обзор лабораторных экспериментов.
8.9. ЭФФЕКТЫ ИЗМЕНЕНИЯ СВОЙСТВ С ВЫСОТОЙ
В реальной атмосфере скорость жидкости U и частота пла-
вучести N не постоянны, а изменяются с высотой. Эти изменения
могут оказывать значительное влияние на распространение воли.
Об этом уже говорилось в разд. 6.9 в случае, когда скорость U
была постоянной, а частота N изменялась и вращение отсутство-
вало. В частности, волны с некоторыми определенными значе-
ниями k могут отражаться таким образом, что при этом они
усиливают друг друга и, следовательно, движения соответ-
ствующих масштабов оказываются преобладающими. Более
того, если сверху находится область, где распространение волн
невозможно (т. е. область, в которой значение /п2 отрицательно),
то волны могут задерживаться вблизи земли. Для интервала, в
котором вращение несущественно, это может происходить толь-
ко тогда, когда горизонтальный масштаб имеет порядок U/N,
т. е. находится в интервале негидростатичности.
8.9.1. ПОЛНОЕ ОТРАЖЕНИЕ И РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЦЕПОЧЕК ВОЛН
ПО ПОТОКУ (НЕГИДРОСТАТИЧЕСКИИ РЕЖИМ)
В работе [713] выполнено обобщение моделей, рассмотрен-
ных в разд. 6.9 с учетом сдвига скорости. Если плотность р и
скорость [7 в невозмущенном состоянии зависят только от г, то
уравнениями, которым удовлетворяют малые нестационарные
возмущения в несжимаемой невращающейся жидкости, являются:
уравнения движения
Кд . тг д \ . dU \ др
__ и — ) и Н—х— w г =-А-
dt 1 дх J 1 дг ) дх
п с д I гг д \ др'
\.dt + U дх )w dz V 8*
(8.9.1)
(8.9.2)
12 Зак. 744
854 Гл. 8. Гравитационные волны во вращающейся жидкости
которые представляют собой линеаризованную форму (4.5.20);
уравнение неразрывности (см. (6.4.3))
dufdx + dw[dz = 0 (8.9.3)
и линеаризованная форма уравнения (6.4.2), а именно
(4+у^)₽'+^ш=0- (8-9-4)
Эти уравнения можно преобразовать так, как это было сделано
в разд. 6.4. Если продифференцировать уравнение (8.9.1) по х
и подставить в него выражение ди/дх из (8.9.3), то получим
Ро(( а +и <> ) л» av (8 9 б)
но (Д dt 1 дх J dz dz дх j дх2 ' '
Исключение р' из (8.9.2) и (8.9.4) дает другое уравнение, свя-
зывающее w и р':
р» {(4+u^Yw+*4=ИА+) -А <8'9-6»
Наконец, если воспользоваться приближением Буссинеска и
исключить р’ из (8.9.5) и (8.9.6), то получим уравнение
А-=°- <8-9-7)
Р случае стационарных возмущений его можно два раза проин-
тегрировать по х и привести к уравнению
d2ay . d2w . / № 1 d2U \ Л /о п
дх2 dz2 "I" ( U2 U dz2 0, (8.9.8)
которое отличается от уравнения, полученного при отсутствии
сдвига, только заменой величины (N/U)2 на новую функцию от
z, определяемую характеристиками среднего потока, а именно
(NIU)2-U~xd2Uldz2. (8.9.9)
В [713] рассмотрена модель, для которой этот параметр яв-
ляется кусочно-постоянным и принимает большое значение
2,12 км“2 в нижнем слое толщиной 2,7 км и малое значение
0,33 км-2 в верхнем слое. Она очень близка к модели, рассмот-
ренной в разд. 6.9.4 при s = 0,4, причем условие резонанса
(6.9.16) в данном случае удовлетворяется при k~x = 0,9 км, т. е.
для горизонтальной длины волны 2л/А, равной 5,5 км. Из рис. 8.11
видно, что решение, которое было уточнено в работе [268], мо-
жет удовлетворить соответствующему условию излучения для
горы колоколообразного профиля шириной 1 км. Отличие между
8.9. Эффекты изменения свойств с высотой 355
этим решением и показанным на рис. 8.9а решением при постоян-
ных Z7 и 2V заключается в том, что амплитуда волн, находя-
щихся с подветренной стороны, не уменьшается с удалением от
горы. Иначе говоря, вместо того чтобы распространяться вверх,
волновая энергия распространяется в горизонтальном волноводе.
Длина таких волн соответствует условиям резонанса. Другое от-
Рис. 8.11. Обтекание воздуха горы колоколообразной формы шириной L
« 1 км в случае, когда структура ветра и температуры носит характер, пред-
ставленный в левой части. Обтекание носит такой же характер, какой был
получен в [713] и был позднее уточнен в [268]. Вертикальная структура та-
кова, что она заметно выделяет волны с горизонтальной длиной волны в
5,5 км, и регулярные следы этих волн можно наблюдать с подветренной сто-
роны горы.
личие между решениями заключается в том, что все волны, за
исключением самых длинных волн в верхнем слое, затухают
с высотой. В [137] изучена зависимость амплитуды резонанс-
ной волны от ширины горы L. Максимальные амплитуды дости-
гаются тогда, когда L равна резонансному волновому числу. Это
условие с достаточной точностью удовлетворяется в примере
[713] (/г-1 = 0,9 км, L = 1 км). Обзоры других аналитических
моделей такого типа и более общих численных решений урав-
нения (8.9.8) содержатся в [8], [594] и [268].
Эффект резонанса с неизбежностью приводит к порождению
регулярных серий волн с подветренной стороны от препятствия.
Эти волны поражают своей удивительной регулярностью распо-
ложения в пространстве в соответствии с длиной резонансной
волны, которая обычно составляет 10 км. Один из примеров этих
12*
356 Гл. 8 Гравитационные волны во вращающейся жидкости
волн изображен на рис. 6.12. Такие волны часто проявляются
в виде облаков и хорошо различимы на снимках, полученных со
спутников, множество примеров которых приведено в [146].
8.9.2. МЕТОД ЛУЧЕВЫХ ТРАЕКТОРИИ
Влияние изменения свойств с высотой можно изучать ме-
тодом лучевых траекторий. Для этого необходимо, чтобы изме-
нения с высотой происходили достаточно медленно, т. е. чтобы
относительные изменения свойств атмосферы на вертикальном
масштабе волны т-1 были малы. В этом случае применим так
называемый метод ВКБ или приближение Лиувилля — Грина
(см. разд. 8.12). В таком приближении предполагается, что ха-
рактеристики волн (например, вертикальная составляющая вол-
нового вектора) зависят только от локальных параметров U и N
среды, причем зависимость от U и N имеет точно такой же вид,
как и в случае однородной среды. Зависимость от z связана
только с изменением U и N по z. Траектории лучей, вдоль кото-
рых распространяется волновая энергия, определяются как та-
кие траектории, касательная к которым в любой точке совпадает
с направлением групповой скорости (относительно земли). Сле-
довательно, в обозначениях, принятых в разд. 8.7, где cgx и cgz
представляют горизонтальную и вертикальную составляющие
групповой скорости относительно воздуха, траектория луча за-
пишется в виде
dz/dx —cSz/(UcSx). (8.9.10)
Правая часть задается соотношением (8.7.14). В силу того что
горизонтальная составляющая k волнового вектора должна
быть на луче постоянной, и U и N изменяются в зависимости
от z указанным образом, уравнение (8.9.10) можно проинтег-
рировать гг получить траектории лучей.
В негидростатическом режиме (при котором kU имеет тот же
порядок, что и N, N f) из уравнений (8.9.10), (8.7.14) и (6.8.6)'
получается
dz/cfx = m/fe = [(№/W)- 1)1/2. (8.9.11)
Если U/N возрастает с высотой (что обычно и происходит из-
за увеличения скорости с высотой), то m с высотой уменьшается
и может, очевидно, обратиться в нуль. Выше этой высоты волны
не могут продолжать распространяться. Поэтому они испыты-
вают отражение и траектории отклоняются вниз. Если обозна-
чить через z — zc тот уровень, где m обращается в нуль, то
тогда в окрестности этой точки (8.9.11) можно аппроксимировать
выражением
dz/dx = [(г - z0) d dz}{'2>
8.9. Эффекты изменения свойств с высотой 357
интегрируя которое можно показать, что вблизи этой точки тра-
ектории лучей близки к параболическим и имеют вид
z = zc +4 - х„)2, (8.9.12)
где хо — постоянная. Таким образом, траектории лучей сначала
направлены вверх под углом к горизонту, потом изгибаются на
Рис. 8.12. Специальные типы траекторий лучей для среды, свойства которой
медленно изменяются с вертикальной координатой z. Представлены траекто-
рии, по которым бы двигались гипотетические частицы, перемещающиеся с
локальной групповой скоростью cs, вычисленной как функция U и W с исполь-
зованием формулы для однородной среды. Горизонтальная компонента волно-
вого числа k и частота со фиксированы для каждого источника излучения,
(а) Случай отражения волн. Отражение происходит для случая пегидроста-
тических воли, когда U/N возрастает с высотой и превышает k~l. Волны от-
ражаются так, как показано на рисунке, и становятся горизонтальными на
уровне, на котором Uk — N. В результате волновая энергия может быть об-
наружена в слое, лежащем у поверхности земли, (б) Случай поглощения
волн. Поглощение происходит в случае гидростатических влоп с такими вол-
новыми числами, при которых влияние вращения становится существенным при
уменьшении U с высотой до значения, равного |f |//е. Волны, распространяю-
щиеся вверх, достигают этого уровня асимптотически. Происходит постепен-
ное уменьшение вертикальной компоненты волнового числа, в результате ко-
торого эффекты трения могут вызвать диссипацию волн.
уровне z = zc и направляются вниз. Далее они снова отра-
жаются от земли и цикл повторяется. В результате в волноводе
вблизи земной поверхности происходит горизонтальный перенос
энергии на большие расстояния. На рис. 8.12, а приведена соот-
ветствующая схематическая картина траекторий волн. Строго
говоря, в точке с m = 0 предположение о медленном изменении
свойств с высотой теряет справедливость, однако оно по-преж-
нему дает хорошую качественную картину процесса.
ЗВ8 Гд 8. Гравитационные волны во вращающейся жидкости
8.9.3. ЧАСТИЧНОЕ ОТРАЖЕНИЕ И «РЕЗОНАНС»
В ГИДРОСТАТИЧЕСКОМ НЕВРАЩАТЕЛЬНОМ РЕЖИМЕ
В разд. 6.9 было показано, что если можно воспользоваться
гидростатическим приближением (k^N/U), то при строго по-
ложительной частоте плавучести m нигде не может обращаться
в нуль (для постоянных U и N m равно N/U). В силу этого
полное отражение волн оказывается невозможным. Кроме того,
было, однако, показано, что в точках разрыва N может происхо-
дить частичное отражение, в результате которого после второго
отражения от земли первоначальная волна может усилиться,
что приведет к значительному увеличению амплитуды отклика.
В модели с медленно меняющимися значениями U и N такой
эффект не возникает, так как групповая скорость в ней в гидро-
статическом приближении всегда направлена вертикально вверх
и лучи не могут поэтому отклониться вниз. Отсюда можно вы-
вести, что отражение возможно только тогда, когда N в какой-
либо зоне потока или U изменяются на масштабе т~] доста-
точно быстро. Эффект отражения приводит к усилению отклика
только тогда, когда область быстрого изменения параметров рас-
полагается на подходящей высоте над обтекаемым рельефом.
Так, например, в Случае, который показан на рис. 6.11, значи-
тельный отклик при малых волновых числах происходит только
тогда, когда обратное число Фруда NiH/U (где М есть частота
плавучести в нижнем слое высоты Я) близко к л/2, умножен-
ному на нечетное целое число. Процесс усиления волн, обуслов-
ленный частичным отражением, вероятно, являлся важным фак-
тором возникновения необычных волн, наблюдавшихся в ок-
рестности Боулдера в штате Колорадо 11 января 1972 г. В [406]
на основе трехслойной модели наблюдаемой ситуации проведен
линейный анализ этого явления. В этом случае максимальный
отклик был получен тогда, когда толщина каждого из двух ни-
жележащих слоев была равна четверти длины волны. Нижний
слой отличался высокой устойчивостью и имел толщину около
2 км. Второй слой был слабо устойчивым и имел толщину около
6 км (т. е. значение m было меньшим, составляя е « 0,3 от пре-
дыдущего). В третьем слое, представляющем стратосферу, вер-
тикальное волновое число было всего лишь на 20 % больше, чем
во втором слое, т. е. ситуация сильно напоминала рассмотрен-
ную в разд. 6.9.4.
Волны, зарегистрированные в этом случае, были описаны в
[459]. На рис. 8.13 показаны соответствующие разрезы полей
потенциальной температуры и скорости. Подобные волны пред-
ставляют собой серьезную опасность для самолетов. Так, на-
пример, исследовательский самолет, с борта которого произво-
дились измерения, попадал в области вертикальных скоростей,
Достигавших 30 м/с, а самописец коммерческого самолета
8.9. Эффекты, изменения свойств с высотой 359
б,'к
11янв.1972
КМ
13
12
11
10
9
а
7
в
9
4
3
2
1
О
Рис. 8.13. Результаты наблюдений (а) потенциальной температуры (по шкале
Кельвина) и (б) скорости в метрах в секунду в разрезе поперек Колорадских
Скал 11 января 1972. Штриховые линии изображают следы самолета с пе-
риодами существенной турбулентности, изображенных знаком плюс. Жирная
штриховая линия разделяет наблюдения, произведенные с разницей в несколь-
ко часов, и вполне возможно, что в данном случае верхнее понижение конту-
ров потенциальной температуры имело место в точности над нижним пониже-
нием [459].
360 Гл» 8. Гравитационные волны во вращающейся жидкости
Боинг-707 показывал вертикальные ускорения в интервале от
—1,1g- до +2,7 g при нормальном значении 4-1,0g. Была также
зарегистрирована и подвергнута анализу мощная турбулент-
ность, которая возникла из-за большого градиента скорости.
Другую опасность, вызываемую волнами, представляет сильный
приземный ветер, который в области за вершиной горы может
достигать разрушительной силы. Анемометр в Боулдере (см.
Рис. 8.14. Траектории частиц воздуха, обтекающих горы колоколообразной
формы, полученные в линейном гидростатическом случае без учета вращения.
Невозмущенный поток имеет постоянную скорость U, постоянную частоту пла-
вучести Лй вплоть до высоты Hi и постоянную частоту плавучести ЛЛ/3 выше
уровня Н\. Удовлетворяется условие максимума отклика (частичный резо-
нанс), а именно NiHi/U = л/2. В этом случае четверть волны получается ме-
жду значением частоты у земной поверхности и в бесконечности, в результате
чего волны, отражаемые в бесконечности и у земли, усиливают друг друга.
Резонанс носит частичный характер в том смысле, что в бесконечности про-
исходит только частичное отражение. Отметим, что перемещение частиц в бес-
конечности существенно больше, чем у земли. Перемещения на высоких уров-
нях носят тот же характер, что и для обтекания при однородных условиях,
изображенных па рис. 3.9, б. Следует обратить внимание па то, что смещения
по величине намного превосходят высоту горы, тогда как в случае постоян-
ного Н (рис. 8.9,6) они сравнимы по величине.
[406]) зарегистрировал порывы ветра до 50 м/с (120 миль в
час), а разрушения от шторма только в районе Боулдера были
оценены в 2 млн. долларов. В [459] показано, что сила, созда-
ваемая волнами на единицу длины, имеет примерный порядок
106 Н/м. Это приближенно совпадает со значением, полученным
по формуле (8.8.20), если положить U ~ 25 м/с, N — 10-1 с-1
и hm = 2 км.
В гидростатическом случае решение получается очень про-
сто, так как вертикальная структура решения может быть опре-
делена независимо от горизонтальной структуры. Решение, кото-
рое при постоянном значении N/U имело вид (8.8.16), теперь
записывается следующим образом:
h = As (*) w (г), (8.9.13)
8.9. Эффекты изменения свойств с высотой 361
где w удовлетворяет уравнению (8.9.8) без второй производной
от w по х, т. е.
Л . 1 d2U\ л п
dz2 + к U2 U dz2 J W
(8.9.14)
Так, например, для случая постоянной скорости U, рассмотрен-
ного в разд. 6.9.4 при
{Л4 для z < Hi
е Ni для z > Hi
(8.9.15)
максимальный отклик достигается при
m-iHi —п/2, где mi = NiJU. (8.9.16)'
В этом случае решение уравнения (8.9.14) имеет вид
{cos (mjz) 4- e-1Z sin (/щг) для z < H{,
e~l exp (z — Hi)} для z > Hi.
(8.9.17)
Для хребта колоколообразного профиля hs задается соотноше-
нием (см. (8.8.17))
As(x) = Am(l-ixL), (8.9.18)
и решение в сильно устойчивом приземном слое представлено
на рис. 8.14 для е-1 = 3. Решение на более высоких уровнях
имеет тот же вид, что и на рис. 8.9, б. Основной эффект усиления
волн, обусловленного частичным отражением, заключается в том,
что амплитуда воли превосходит высоту горы в е-1 раз.
8.9.4. ПОГЛОЩЕНИЕ ВОЛН: ВРАЩАТЕЛЬНЫЙ ГИДРОСТАТИЧЕСКИЙ
РЕЖИМ
В том случае, когда N и U меняются настолько медленно,
что можно применить метод лучевых траекторий, из уравнения
для луча (8.9.10), рассматриваемого совместно с (8.7.14), сле-
дует, что излучение становится горизонтальным не только при
Uk — N, но и при Uk = j. Рассмотрим вторую возможность.
Если значение Uk сравнимо с f, которое считается малым по
сравнению с JV, то можно воспользоваться гидростатическим
приближением (Uk<^N). Тогда, используя (8.9.10), (8.7.14) и
(8.7.6), получаем приближенное уравнение
'dx~~ f2in3 ~ N I р Ч • (8.9.19)
Если U уменьшается с высотой, то угол распространения также
уменьшается и луч становится горизонтальным на уровне
z = Zc, где U — f/k. По мере приближения к этому уровню пг
стремится к бесконечности, и уравнение (8.9.19) приближенно'
362 Гл. 8. Гравитационные волны во вращающейся жидкости
(8.9.20)
(8.9.21)
представляется в виде
dz/dx = N2k3/(f2m3') = (Ж) [(г - zc) d (U2k2/f2)/dz]3^.
Интегрирование этого уравнения показывает, что вблизи уровня
z — £с траектория луча имеет вид
z — zc — 4А2 (% — ХО)"2>
где х0— постоянная, а А определяется из условия
Л N2 \dz I /2
Детальное исследование поведения волн в окрестности та-
кого уровня было предпринято в работе [382], развивавшей ран-
нее исследование [77], в котором учитывалось вращение. Вблизи
так называемого критического уровня z — zc становятся важ-
ным диссипативные эффекты. Это связано с тем, что время, не-
обходимое для того, чтобы энергия, переносимая вдоль луча с
групповой скоростью, достигла критического уровня, бесконечно.
Поэтому даже эффекты типа ньютоновской теплоотдачи (см.
разд. 8.11), которые не зависят от масштаба, имеют достаточно
времени, чтобы проявиться. Влияние вязкости может оказаться
даже более эффективным в силу того, что интенсивность затуха-
ния возмущений под ее влиянием возрастает при уменьшении
масштаба. Аналогичные эффекты могут иметь место и в отсут-
ствие критического уровня при условии, что скорость U падает
до значения, достаточно близкого к f/k, чтобы диссипативные
эффекты стали существенными и, следовательно, энергия волн
могла поглощаться.
Наличие диссипации волн также означает, что поток импуль-
са вверх должен уменьшаться. Таким образом, определенные
уровни должны получать дополнительный импульс, что эквива-
лентно действию на осредненный поток на этих уровнях неко-
торой объемной силы. Другими словами, за счет осредненного
напряжения, создаваемого волнами, импульс переносится с по-
верхности на удаленный от нее уровень. На уровнях, к которым
происходит перенос импульса, волновая скорость совпадает со
скоростью потока. В случае топографических волн, которые
имеют нулевую фазовую скорость, критический уровень совпа-
дает с высотой, где скорость потока равна нулю. Схематическая
картина траекторий лучей для случая, когда происходит погло-
щение энергии, представлена на рис. 8.12,6.
Яркое экспериментальное подтверждение существования про-
цесса поглощения энергии на критическом уровне показано на
рис. 8.15. В начальный момент в лотке с прямоугольным попе-
речным сечением, находившемся в горизонтальном положении,
располагалась покоящаяся однородно стратифицированная жид-
кость. Затем лоток был наклонен, как показано иа рис. 8.15, а,
8.10. Эффекты, топографии конечной амплитуды 363
что привело к возникновению ускоряющегося сдвигового тече-
ния, которое генерировало внутренние волны у синусоидального
дна трубы. Окрашенные слои жидкости показывают характер
Рис. 8.15. Демонстрация в лабораторных условиях поглощения критическим
слоем внутренних волн, (а) Стенд — наклонный лоток с рифленым дном и
(б) наблюдаемые волны в ускоряющемся потоке со сдвигом скорости над риф-
леным дном с амплитудой 0,5 см и длиной волны 25 см. Лоток содержит
стратифицированную жидкость с N => 2,626 с~' и наклонен на 5,2° [784,
рис. 1 и 4е].
течения (рис. 8.15,6). На фотографии ясно видно, что волны
не проникают выше критического слоя, расположенного в центре
трубы.
8.10. ЭФФЕКТЫ ТОПОГРАФИИ КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
До настоящего момента при изучении топографических эф-
фектов предполагалось, что увалы, возмущающие поток, доста-
точно малы и имеет место линейная теория. В действительности
же эффекты топографии представляют наибольший интерес в
тех случаях, когда их влияние велико и, следовательно, строго
364 Гл. 8. Гравитационные волны во вращающейся жидкости
говоря, линейную теорию применить нельзя. В силу этого были
сделаны попытки отыскать решения нелинейных уравнений.
Один успешный подход к решению был предложен в [474], где
показано, что для целого класса течений уравнение вертикаль-
ного перемещения частицы h имеет тот же самый вид, что и в
линейной теории, и естественно, что этому классу было уделено
значительное внимание. Теория применима только при отсут-
ствии вращения для несжимаемой невязкой жидкости при усло-
вии, что профили скорости й(г) и плотности р (z) далеко вверх
по течению удовлетворяют условиям
dp/dz = сопз/, рй2 = const. (8.10.1)
Тогда h удовлетворяет тому же самому уравнению, что и в ли-
нейной теории, а именно (см. (8.9.8))
^4- + 44-+-C-/i = O, (8.10.2)
дх2 1 dz2 'и2 ' ’
где
N2/d2 — — (g’/pw2) dp/dz = const. (8.10.3)
Единственное отличие от линейного решения заключается в том,
что h имеет предписанное значение (возвышение поверхности)
не при 2 = 0, представляющем средний уровень поверхности, а
при z = h — действительном уровне поверхности. Решения
имеют тот же самый вид, что и в предыдущих разделах, за ис-
ключением того, что применение граничного условия не так
просто. В целом ряде статей [544, 545, 546 и 361] найдены реше-
ния для некоторых форм поверхностей, а в [461] применен ите-
ративный подход, использующий в качестве начального прибли-
жения линейное решение; он работает в случае гидростатиче-
ского приближения.
Интересное свойство нелинейного решения заключается в том,
что с ростом высоты горы hm возрастает максимальный наклон
линий тока (и соответственно изопикнических линий), и его зна-
чение достигает бесконечности, когда величина
Г-1 = ^га/й, (8.10.4)
обратная числу Фруда, содержащему высоту горы, достигает
значения, близкого к единице (соответствующее критическое
значение, согласно [461], равнялось 0,85 для хребта колоколооб-
разного профиля). Решение в этой точке теряет смысл, так как
дальнейший подъем изопикн вызывал бы расположение тяжелой
жидкости над легкой, создавая тем самым быстрое перемешива-
ние. Сопротивление горы при критическом значении числа Фру-
да может оказаться в два раза больше, чем в линейном случае;
так, например, для хребта колоколообразного профиля оно
больше в 1,4 раза. Для больших значений hm за горой форми-
8.10. Эффекты топографии конечной амплитуды 365
руется вихрь, и тогда сопротивление может измениться значи-
тельно.
Для других профилей плотности и давления вверх по тече-
нию решение можно получить численно, и удалось весьма ус-
пешно моделировать наблюдавшиеся условия. Так, например,
дувший вниз по склону 11 января 1972 г. штормовой ветер чис-
ленно моделировался в [417] с использованием гидростатиче-
ской модели, а в [617] без предположения гидростатичности.
Рис. 8.16. Результаты нелинейного нсгидростатического численного моделиро-
вания штормового ветра на склоне горы, изображенного на рис. 8.13. (а) Кон-
туры потенциальной температуры; (б) контуры горизонтальной скорости (че-
рез интервалы 8 м/с). Максимум скорости с подветренной стороны вершины
превышает 60 м/с. Вертикальный масштаб дан в километрах и простирается
от 0 до 15 км [617].
•58-48-38-28-18 -8 О 8 18 28 38 48 58
а?, КМ
В обеих моделях сильный нисходящий поток, возникающий над
горой (см. рис. 8.14), сопровождался сильным восходящим по-
током на подветренной стороне (в отличие от того, что изобра-
жено на рис. 8.14 и в согласии с тем, что наблюдалось в ре-
альном обтекании, представленном на рис. 8.13); максимальная
сила ветра на уровне земли была близка к наблюдаемой. В мо-
дели без гидростатичности также получаются волны, которые
распадаются чуть выше тропопаузы с последующим усилением
отклика (см. рис. 8.16). Эта же модель дает цепочку подветрен-
ных воли, а поверхностное сопротивление почти в 20 раз больше
значения, получаемого из линейной теории.
Полезное понимание динамики явления в случае конечно-
амплитудной топографии дает уравнение Бернулли (см.
разд. 4.8), из которого следует, что для установившегося
366 Гл 8. Гравитационные волны во вращающейся жидкости
течения вдоль линий тока
Р + у р(^2 4- v2 4- w2) — р 4- урй2. (8.10.5)
Здесь значения переменных в правой части равенства представ-
ляют собой соответствующие их значения далеко вверх по те-
чению. Следовательно, максимальное увеличение давления по
сравнению с давлением в набегающем потоке вдали от препят-
ствия равно
р — р — ^рй2. (8.10.6)
Грубую оценку того, насколько далеко необходимо подняться
частице, чтобы имело место такое превышение давления, можно
получить из линейной теории. Частица, которая перемещается
вверх на величину А, получает превышение плотности
— (dp/dz)h, что дает величину избыточного давления
1г
p-p^-^(^)gh'dh' = -^pNV. (8.10.7)
о
Из сравнения выражений (8.10.6) и (8.10.7) получаем, что мак-
симальное перемещение h частицы приближенно равняется Й/ЛГ.
Из этого результата следует, что если высота горы превы-
шает й/N, то частицы, расположенные ниже гребня на большем
расстоянии по вертикали, чем й/N, будут «блокированы» горой,
т. е. не могут перевалить через нее сверху. В действительности
эти частицы могут оказаться за горой, обтекая ее сбоку, вместо
того чтобы переваливать через гребень. Так, например, в [459]
при рассмотрении событий 11 января 1972 г. сообщается, что
воздух, достигший Девера (где давление обычно составляет
830 мбар), никогда не находился на уровне ниже 700 мб с на-
ветренной стороны. Другими словами, воздух, расположенный
ниже 700 мб, эффективно блокировался Скалистыми горами Ко-
лорадского плато. Однако в [459] приводятся данные о том, что
по крайней мере часть этого воздуха пересекла водораздель-
ный хребет в Вайоминге в северном направлении в том месте,
где он понижается до уровня около 760 мб (по сравнению с при-
мерно 650 мб в Колорадо). Интересным следствием блокирова-
ния является тот факт, что воздух на подветренной стороне гор,
опустившийся с более высокого уровня, часто оказывается очень
сухим, что приводит к более благоприятной летней погоде в гор-
ных местностях по сравнению с более отдаленными от гор влаж-
ными районами.
Аналогичное явление происходит и в меньших масштабах и
играет важную роль в контроле над загрязнением среды. Так,
если выбросы из дымовой трубы не обладают собственной пла-
8.11. Эффекты диссипации в верхней атмосфере 367
вучестыо и вершина трубы ниже гребня холма на большую ве-
личину, чем й/N, то, по-видимому, эти выбросы не перевалят
через холм. Более вероятно, что они будут встречать холм на
уровне, превышающем на й/N высоту трубы, а затем будут об-
текать его, держась этого уровня. Подобное явление демонстри-
ровалось в лабораторных условиях [86, 359].
Другим важным конечно-амплитудным эффектом при малых
масштабах (L < U/N) является отрыв пограничного слоя, кото-
рый создает спутный след с масштабом глубины порядка L
высоты холма и с масштабом длины порядка ширины холма.
Величина сопротивления в значительной мере зависит от того,
происходит или не происходит отрыв пограничного слоя (см. ре-
зультаты [714], лабораторные эксперименты [359] и численные
расчеты [527]).
8.11. ЭФФЕКТЫ ДИССИПАЦИИ В ВЕРХНЕЙ АТМОСФЕРЕ
Энергия волн может теряться по многим причинам. В тропо-
сфере и в толще океана основные потери, по-видимому, обуслов-
лены турбулентностью и передачей энергии другим волнам или
усредненному потоку. Волны в океане могут также терять энер-
гию у дна посредством рассеивания в другие волны, порождае-
мые рельефом. Величина потерь энергии такого рода весьма
переменна и неизвестна с достаточной точностью, хотя в ряде слу-
чаев для оценки потерь используются эмпирические формулы.
Определенный интерес представляют волны, распространяю-
щиеся вверх в среднем слое атмосферы и претерпевающие изме-
нения, вызванные ее разрежением. Сводка изменений свойств
атмосферы с высотой приведена в разд. 3.5 и схематически пред-
ставлена на рис. 3.3. И давление, и плотность падают экспонен-
циально и уменьшаются в е раз на высотах между 5,5 км и
8,5 км. На высоте в 86 км давление составляет 1/270 000 его
значения на поверхности. Аналогично, средний свободный про-
бег, который является мерой расстояния между столкновением
молекул, равен I см на высате 86 км, что в 180 000 раз превы-
шает его значение на поверхности. Выше 86 км состав атмо-
сферы не может больше считаться постоянным и необходимо
учитывать диффузионный перенос индивидуальных газов. В ре-
зультате средний молекулярный вес падает с высотой, и его зна-
чение на уровне 300 км составляет примерно 60 % от его вели-
чины на высоте 86 км. Кроме того, из-за гораздо более высоких
температур давление и плотность не падают так быстро, как в
более низких слоях, а соответствующие масштабы высоты суще-
ственно возрастают, составляя около 50 км на уровне 300 км.
Кинематическая вязкость v, которая, согласно (4.5.15), равна
ц/р, и теплопроводность х, которая, согласно (4.4.8), равна
^/(рср), также претерпевают значительные изменения из-за
368 Гл. 8. Гравитационные волны во вращающейся жидкости
изменения р. Например, вязкость в слоях 86 км отклоняется не
более чем на 20 % от постоянной величины 1,5 X Ю-5 Н/см2, так
что у достигает значения 1,8 м2/с на уровне 86 км, что в
120 000 раз больше значения у на поверхности. Аналогичным об-
разом изменяется коэффициент температуропроводности, кото-
рый, согласно кинетической теории газов, в 1,36 раза превышает
кинематическую вязкость.
Перейдем теперь к рассмотрению влияния изменений у и
х = l,36v на вертикальное распространение волн. Если пренеб-
речь множителем, равным 1,36, тогда единственное изменение
линеаризованных уравнений (см. гл. 4), которое возникает из-за
влияния вязкости и температуропроводности, заключается в за-
мене оператора d/dt оператором d/dt — vV2. Влияние иа волны
с малым вертикальным масштабом m~l, малым по сравнению
с масштабом высоты Нр, на котором изменяются р и у, можно
оценить без труда. Для таких волн у можно считать постоянной
в пределах длины и применимы приближения несжимае-
мости и Буссинеска. Вследствие этого дисперсионное соотноше-
ние получается из (8.4.13) заменой частоты со на
со 4- zvx2.
Рассмотрим теперь волну с фиксированной частотой со и го-
ризонтальным волновым числом хн, распространяющуюся в верх-
нем направлении. Скорость, с которой происходит затухание вол-
ны с высотой, можно определить, разрешая дисперсионное соот-
ношение относительно т, которая теперь будет уже комплексной
величиной. Так, где вязкость достаточна мала, значение т бу-
дет приближенно таким же, как и в невязком случае, изменяясь
только на малую величину 6m, вызванную малым изменением со
из-за члена i’yx2, порождаемым эффектом вязкости. Величина
6m приближенно дается выражением
6m = ivx2/(da)/dfri) — ivx2csz, (8.11.1)
из которого видно, что волны с малой вертикальной групповой
скоростью CgZ затухают быстрее. Зависимость скорости затуха-
ния от частоты <о и вертикальной составляющей т волнового
вектора можно определить подстановкой выражения для cgz из
(8.4.17), х = m/sin <р' из (6.5.4) и последующим использованием
выражений (8.4.16) для cos <р' и sin q/. В результате получаем
Л — ivtn3ca ( N2 — f2 \2
и2-/2 ( № — <п2 ) • (8.11.2)
Чтобы волны затухали при z —»оо, необходимо, чтобы тсо было
отрицательно, т. е. фазовая скорость волн должна быть на-
правлена вниз, что уже было установлено выше. Если значение
8.11. Эффекты диссипации в верхней атмосфере 36®
N/f велико, то волны с наименьшим затуханием имеют частоту
to Ь-^N, хн » 0,5 м и
dm 3,5/тт3/У. (8.11.3)
Скорость затухания пропорциональна J btndz, так что из (8.11.3)
следует, что короткие волны (т велико) будут рассеиваться
первыми и, следовательно, масштаб преобладающих волн будет
возрастать с высотой. Это подтверждается наблюдениями [328,
898]; преобладающий масштаб т~] проявляет себя в искажениях
метеорных следов, которые составляют 1 км на высоте 90 км и
достигают 10 км на высоте 140 км. Наблюдения, полученные с
использованием радаров, обсуждаются в [39].
Для того чтобы предыдущие вычисления были справедливы,
должно быть мало по сравнению с масштабом высоты. Если
это не так, то вычисления [888] показывают, что если решение
затухает на бесконечности, то необходимо наличие в более низ-
ких уровнях комбинации волн, распространяющихся как в верх-
нем, так и в нижнем направлениях. Это говорит о том, что пе-
ременная вязкость вызывает частичное отражение волн. Такой
результат на первый взгляд может показаться странным, хотя
он и очевиден для экстремального случая, когда очень вязкая
жидкость располагается над невязкой стратифицированной жид-
костью.
Другой эффект, обусловленный уменьшением плотности, про-
является в том, что амплитуды скоростей волн должны возра-
стать с высотой, чтобы вертикальный поток энергии оставался
постоянным. Это может привести к распаду волн еще до того,
когда станут существенны эффекты молекулярности. Имеются
данные [341], указывающие па то, что это и происходит вблизи
мезопаузы. Сопротивление волн, обусловленное этим явлением,
оказывает существенное влияние на долгопериодные движения:
так, например, в [341] принят такой коэффициент трения, кото-
рый обеспечивает продолжительность затухания двое суток на
высотах, близких к 80 км, по сравнению с 80 сутками на высо-
тах ниже 60 км.
Другое важное влияние на долгопериодные движения ока-
зывает инфракрасное излучение, которое способствует сохране-
нию температурного поля в радиационном равновесии и тем
самым устраняет возмущение. Удобное приближение для этого
процесса в терминах ньютоновского коэффициента охлаждения
а получается заменой члена дТ'/dt в уравнении для возмуще-
ния температуры Т' на
(а + d/dt) Г.
Учет температурной релаксации становится важным на высотах
свыше 25 км, где на скорость релаксации оказывают существенное
13 Зак. 744
370 Гл. 8. Гравитационные волны во вращающейся жидкости
влияние фотохимические реакции. Оценки скорости релак-
сации приводятся в [166] и [298]. При этом а-1 составляет
20 суток на высоте 25 км, уменьшаясь до 5 суток на уровнях
между 45 и 60 км. Затем а-1 снова возрастает до 30 суток между
высотами 75 и 85 км.
Детальные подсчеты влияния диссипации на волны можно
произвести численно; так, например, в [463, 464 и 466] найдено
решение, непосредственно относящееся как к полусуточным и к
суточным приливам, так и к внутренней моде с периодом 3 ч и
вертикальным масштабом пт~х, равным 4,5 км. В [467], [218] и
[698] вычислено влияние диссипации на моды Лэмба, а в [218]
изучены также моды, которые находятся на высотах между
100—400 км и связываются с распространяющимися ионосфер-
ными возмущениями. Были написаны обзоры и монографии по
метеорологии средних слоев атмосферы [167, 337, 339, 340, 810,
394].
8.12. ПРИБЛИЖЕНИЕ ЛИУВИЛЛЯ — ГРИНА, ИЛИ МЕТОД ВКБ
Большая часть предыдущего анализа воли основывалась на
условиях довольно частного вида, при которых рассматриваемые
уравнения имели постоянные коэффициенты. Так, например,
если предположить, что изменение по отношению к горизонталь-
ным координатам и времени носят волнообразный характер, то
в результате можно получить уравнение вида
dtwldz2 + m2w = 0. (8.12.1)
Если т постоянно, то его решение в комплексной форме имеет
вид
w = A exp (± imz). (8.12.2)
В действительности же условия по вертикали редко остаются
постоянными и поэтому необходимо рассматривать уравнения,
аналогичные (8.12.1), где т зависит от г. Если т изменяется
достаточно медленно, то предполагается, что локальное решение
будет иметь вид, близкий к решению (8.12.2), с медленно ме-
няющимся при изменении z волновым числом т. Таким обра-
зом, встает вопрос, можно ли найти лучшее приближение, т. е.
что является обобщением решения (8.12.2), имеющим наиболее
широкий диапазон применимости при изменении т? (Подроб-
ности можно найти в [456].)
Проблема такого типа изучалась Лиувиллем (1837) [469] и
Грином (1838) [275], и рассматривается в учебниках по асимп-
тотической теории, например [197, гл. 4] и [600, гл. 6]. По этой
причине приближенное решение называется приближением Лиу-
вилля — Грина. Оно также называется ВКБ-приближением
(аббревиатура из инициалов более поздних авторов, составлен-
8.12. Метод В КБ 371
ная до того, как обнаружилось, что этот метод использовался
гораздо раньше Лиувиллем и Грином).
По существу, метод Лиувилля заключался в введении новых
координат
W = mV2w, (8.12.3)
что преобразует (8.12.1) в уравнение
d2IFMI>2 + (l + 6) Г = 0, (8.12.4)
где
6 = /п-з/2 d2 (8.12.5)
Поэтому, если 6 1, то приближенное решение уравнения
(8.12.4) имеет вид
№ = е±1ф (8.12.6)
что эквивалентно заданию приближенного решения уравнения
(8.12.1) в виде
w — П1~^2ехр (± i tn dz^ . (8.12.7)
Условие 6 С 1 означает, что вертикальный масштаб m~l волны
мал по сравнению с масштабом, на котором изменяется tn. Бо-
лее точное условие, при котором справедливо соотношение
(8.12.7), предложено в [600].
Другой способ получения приближенного результата заклю-
чается в отыскании решения (8.12.1) в виде
ад = Ле±гФ, (8.12.8)
где амплитуда А и фаза Ф действительны. Подставляя
(8.12.1) это выражение и отделяя действительную и мнимукУ
части, находим
d®
dz
(8.12.9)
</2Ф / d® 2 dA
dz2 / dz ~ A dz'
Если член, содержащий вторую производную от А, отбрасывает-
ся, решение вновь получается в виде (8.12.7).
1 d2A
A dz2 ’
8.12.1. ВЕРТИКАЛЬНАЯ СТРУКТУРА ВНУТРЕННИХ ГРАВИТАЦИОННЫХ
ВОЛН
В качестве приложения метода Лиувилля — Грина рассмот-
рим внутренние гравитационные волны в несжимаемой жидко-
сти, когда можно использовать приближение Буссинеека, Для
13*
372 Гл. 8. Гравитационные волны во вращающейся жидкости
малых возмущений состояния покоя имеет место уравнение
(8.4.11) и можно найти его решения, пропорциональные выра-
жению
ехр {i(kx 1у — со/)}.
Для таких решений (8.4.11) сводится к (8.12.1), где
Ш2 (£2 + Z2) (ДГ2 _ ^)/(& (8.12.10)
т. е. m определяется из дисперсионного соотношения (8.4.13),
но теперь N может зависеть от z. Если N изменяется достаточно
медленно, то можно использовать приближенное решение
(8.12.7) при условии, что т2 везде положительно. То же самое
приближение можно использовать в области, в которой волны
затухают, т. е. где т2 всюду отрицательно, но оно неприменимо
в окрестности уровней, на которых т2 меняет знак. Значение г,
в котором это происходит, называется точкой поворота, и в ок-
рестности такой точки необходимо использовать другое прибли-
жение (см. [197, 600]). В нем участвуют функции Эйри, кото-
рые, как показывает рис. 6.19, моделируют переход от волнооб-
разных решений к затухающим решениям. В разд. 8.9.2 точка
поворота определялась как точка, где происходит отражение
волны.
8.12.2. РАСТЯЖЕНИЕ ВЕРТИКАЛЬНОЙ КООРДИНАТЫ
ДЛЯ ГИДРОСТАТИЧЕСКИХ ВОЛН
Для частот со, которые везде малы по сравнению с JV, имеет
место гидростатическое приближение, и из (8.12.10) следует
tn-Njc, (8.12.11)
где с — такая постоянная, что
с2==(ю2__^)/^2 + /2)> т# е< O2 = ^ + ^2 + Z2)c2t (8.12.12)
Для медленно меняющегося фаза Ф задается соотношением
(8.12.3), т. е.
ф = с~1 dz. (8.12.13)
Важное следствие этого результата состоит в том, что можно
ввести модифицированную вертикальную координату zm таким
образом, что фаза Ф будет линейно зависеть от zm. Такое пре-
образование всегда возможно для возмущения данной частоты,
но в тех случаях, когда имеет место гидростатическое приближе-
ние, требуемое преобразование не зависит от частоты. Удобное
определение растянутой координаты следующее:
= ^Ndz (8.12.14)
8.12. Метод ВК.Б 373
(или N*dz* в случае изобарических координат — разд. 6.17), где
Nm — это фиксированное значение, в качестве которого часто
выбирается максимальное значение частоты плавучести. Смысл
замены переменной заключается в том, что в новых координа-
тах решение (в пределах применимости приближения Лиувил-
ля — Грина, или ВКБ-приближения) то же самое, что и для
однородной среды. Это обстоятельство полезно при анализе изме-
рений; например, интерпретация спектров волновых чисел в пре-
образованной системе координат та же самая, что и для одно-
родной среды. Такая методика использовалась, например, в [436]
(см. разд. 8.5) для отличения волн, распространяющихся вверх,
от волн, распространяющихся вниз.
Результаты, полученные в предыдущих разделах для гидро-
статических решений в однородной среде, можно без труда обоб-
щить и получить решения для сред с медленно меняющимися
свойствами, используя преобразование координат. Так, напри-
мер, нормальные моды (см. разд. 6.11) для случая твердых гра-
ниц 2 = 0, z = —Н таковы, что их фаза меняется на величину,
кратную л, при переходе от нижней границы к верхней, и по-
этому из (8.12.13) получаем
о
сп = jj N dz/пл.
-н
(8.12.15)
Тогда для данной моды с = сп (8.12.12) представляет собой дис-
персионное соотношение для волн Пуанкаре.
Характер изменения амплитуд с глубиной можно определить
из равенства (8.12.7), которое показывает, что в гидростатиче-
ском случае

(8.12.16)
и из поляризационных соотношений (8.5.4) —(8.5.6), которые в
этом случае дают
ро"1/, и, роЛ'~ Л*'0. (8.12.17)
Аналогично из (8.6.1) следует, что все члены, дающие вклад в
энергию, меняются таким же образом глубиной, так что
E~N.
(8.12.18)
Измерения внутренних волн в океане обычно подтверждают это
соотношение в том, что спектр Е/N на различных глубинах
почти один и тот же, и определенно указывают, что его измене-
ние намного меньше изменения спектра Е (см., например, [89]).
874 Гл. 8. Гравитационные волны во вращающейся жидкости
8.12.3. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В СРЕДЕ С ПЕРЕМЕННЫМИ
СВОЙСТВАМИ
Метод Лиувилля — Грина, или ВКБ-метод, сформулирован-
ный в начале этого раздела, позволяет изучать волны в среде,
свойства которой меняются только в одном направлении. Его
тем не менее можно обобщить на случай среды, свойства кото-
рой медленно меняются во всех пространственных направлениях
и во времени, подставляя (8.12.8) в соответствующие уравнения.
Если все члены, содержащие производные выше первой, отбро-
сить в уравнении, эквивалентном первому уравнению (8.12.9), то
получится уравнение, связывающее частные производные фазы,
которое является обобщением уравнения эйконала геометриче-
ской оптики. Задавая теперь любую фазовую функцию Ф, можно
определить частоту св и волновой вектор к выражениями
(а = -дФ/д1, к = \>Ф. (8.12.19)
При таком определении обобщенное уравнение эйконала пре-
вращается в дисперсионное соотношение, задающее «о как функ-
цию волнового вектора к, а также свойств среды, задаваемых
обычно через некоторый параметр. Например, в (8.4.13) таким
параметром является параметр N, который может быть функ-
цией, скажем, z. В других случаях имеется множество X пара-
метров, таких как N(z) и U (z), и обобщенную форму диспер-
сионного соотношения можно записать (если % является един-
ственным параметром) в виде
(o=F(k, X). (8.12.20)
Некоторые интересные результаты сразу же вытекают из этих
определений (см. [426] и [854]), так как существуют другие
способы выражения смешанных производных от Ф. Например,
d2®ldxdi=dk/di —-da/dx. (8.12.21)
Учитывая (8.12.20) и используя равенства
д2Ф/дхду — dk/dy — dl/dx, дгФ[дхдг — dk/dz — dm/dx, (8.12.22)
получаем в результате уравнение, которое можно записать (если
% единственный параметр) в виде
D&k/Dt = - (dW/dK) dl/dx, (8.12.23)
где
DR/Dt = d/dt + cg • v, cg = (das/dk, d®/dl, d®/dm). (8.12.24)
Аналогичные результаты имеют место и для других компонент,
так что в векторной форме имеем
(Dg/D/)k = - (dW/dl) VX (8.12.25)
8.12. Метод В КБ 375
(с суммированием по всем компонентам X для случая, когда
X— это множество параметров). Оператор Ds/Dt представляет
собой производную, связанную с точкой, которая движется с
групповой скоростью волн cg и ее можно назвать просто «про-
изводная, связанная с группой волн». Выражение для этой про-
изводной от (о можно найти, если использовать (8.12.20) и
(8.12.25); в результате получим
D^jDt = (dW/dh) dK/dt. (8.12.26)
Таким образом, в среде, свойства которой не зависят от времени,
частота, связанная с группой волн (т. е. вычисленная вдоль
траектории луча), постоянна.
Траектория луча определяется в свою очередь как траекто-
рия, описываемая точкой, которая движется с групповой ско-
ростью Cg, т. е. положение хг точки на луче изменяется во вре-
мени в соответствии с уравнением
dxr/dt = ce. (8.12.27)
Можно показать, что уравнения (8.12.25) — (8.12.27) определяют
как траекторию луча, так и закон изменения частоты и волно-
вого вектора вдоль траектории. За заданное время перемещения
б/ уравнение (8.12.27) описывает изменения координаты бхг точ-
ки, движущейся вместе с группой волн, тогда как (8.12.25) и
(8.12.26) определяют соответственно изменения б(о и бк — ча-
стоты и волнового вектора. Отсюда можно определить изменение
групповой скорости и, следовательно, продолжить интегрирова-
ние. Отметим, что метод, основанный на изучении траектории
луча, часто оказывается более эффективным способом получе-
ния информации о волнах, чем непосредственное решение дина-
мических уравнений.
8.12.4. ВЛИЯНИЕ СЛАБОГО СДВИГА НА ДИСПЕРСИОННЫЕ
СВОЙСТВА ВОЛН
Предположим, что мы имеем дело со средой, свойства кото-
рой изменяются медленно, и она движется таким образом, что
невозмущенная скорость жидкости U также меняется медленно
в пространстве и, возможно, во времени. Полезно дать специаль-
ное название частоте 6, которую бы фиксировал наблюдатель,
движущийся вместе с невозмущеиной жидкостью, тогда 6 опре-
деляется формулой
& = - (ОФ/dt ф- U • vO). (8.12.28)
Такая частота 6 называется собственной частотой (собственной,
т. е. относящейся к динамике локальных возмущений). Она на-
зывается также смещенной по Допплеру частотой (допплеров-
ское смещение — это смещение частоты для указанного выше
376 Гл. 8. Гравитационные волны во вращающейся жидкости
наблюдателя). Ее связь с частотой ю в неподвижной системе от-
счета определяется соотношением
й) = (о — к-U, (8.12.29)
которое получается в результате подстановки (8.12.19) в (8.12.28).
Для наблюдателя, движущегося вместе с невозмущенной
жидкостью, частота а, которую он наблюдает, будет той же са-
мой, что и в случае покоящейся среды, т. е.
6 = №0(k, X), (8.12.30)
где Wo (k, X) — дисперсионное соотношение для жидкости в со-
стоянии покоя. Уравнения для траекторий луча, как и другие
уравнения, можно выразить через подставляя (8.12.30) в
(8.12.29); в результате получаем
©==№(k, &M-U + Г0(к, Л). (8.12.31)
В частности, групповая скорость cg связана с величиной cg0 со-
отношением
Cg = U + Cgo, (8.12.32)
которое вытекает из (8.12.31) и (8.12.24). Эти соотношения мож-
но использовать, например [854, 454, 456], для определения кар-
тин волн, создаваемых движущимися препятствиями, следуя
классической работе Кельвина [779].
8.12.5. ИЗМЕНЕНИЯ АМПЛИТУДЫ ВДОЛЬ ТРАЕКТОРИИ ЛУЧА
Уравнения для изменений частоты и волнового вектора вдоль
траектории луча вытекают из определений соответствующих ве-
личин, и они справедливы для любого типа волн в среде с мед-
ленно меняющимися свойствами, которая может находиться в
движении или в состоянии покоя. Для определения закона, в со-
ответствии с которым вдоль траектории луча изменяется ампли-
туда, необходима совсем другая информация. В общем случае
распространения волн в среде с медленно меняющимися свой-
ствами эта задача была решена в [853] по аналогии с зада-
чами, встречающимися в квантовой механике. В [85] эта задача
приведена к очень удобному виду, и ей дана также четкая фи-
зическая интерпретация. В [85] установлено, что плотность вол-
нового действия определяемая формулой
& = (8.12.33)
где Е — плотность волновой энергии и 6 — собственная частота,
сохраняется при движении вместе с волной, т. е. имеет место
уравнение
ds&ldt + v • (cgj$) = 0, DgS$lDt = — s&y cg. (8.12.34)
8.13. Взаимодействия волн 377
В [26] дан простой вывод этого результата для более общей
ситуации, когда не требуется медленности изменения свойств
бреды. Необходимо иметь в виду, что в силу наличия простран-
ственных производных от cg, уравнение (8.12.34) требует рас-
смотрения пучка соседних лучей [308, 456]. Ряд примеров пуч-
ков лучей для распространения звука в сдвиговых течениях при-
водится в [114].
8.13. ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ВОЛН
До сих пор при анализе волн предполагалось, что их ампли-
туды (за исключением разд. 8.10) достаточно малы, чтобы пре-
небречь в уравнениях нелинейными членами (т. е. членами, со-
держащими произведения возмущений). В качестве критерия,
который часто служит достаточным условием того, что получен-
ное приближение справедливо, используется малость возмущен-
ной скорости волны по сравнению с фазовой скоростью возму-
щения. Такой критерий означает, что нелинейные члены не ока-
зывают существенного влияния па линейное решение в течение
интервала времени, соизмеримого с периодом волны. Однако
этот критерий не исключает возможность того, что нелинейные
члены могут вызвать малые систематические изменения в тече-
ние одного периода и кумулятивный эффект этих изменений за
большое число периодов может быть большим. В действитель-
ности систематические изменения представляют собой скорее
правило, чем исключение, и играют важную роль в определе-
нии того, как распределяется энергия между различными воз-
можными волновыми векторами и частотами.
В качестве элементарнейшего примера нелинейных эффек-
тов можно рассмотреть случай двух плоских воли с волновыми
векторами ki и к2 и соответствующими частотами со (к]) и со (кг),
задаваемыми дисперсионным соотношением. Когда в уравнения
входят произведения членов, они имеют вид
ехр {/ (ki • х — со (kJ /)} ехр {/ (к2 • х — со (к2) /)} =
= ехр {i (к! + к2) • х — i (со (kt) + со (к2)) /}, (8.13.1)
причем величина соответствующего множителя по предполо-
жению мала. Можно считать, что эти члены задают слабое вы-
нуждающее воздействие с волновым вектором к! + к2 и частотой
co(ki)+со(к2), и развитие соответствующей новой волны во вре-
мени можно получить из уравнений. В большинстве случаев
амплитуда новой волны мала, ио если случится так, что ча-
стота со (kJ + о) (к2) повой волны совпадает с естественной часто-
той со (ki -j- к2) для волны с волновым числом ki + к2, тогда воз-
никнет резонанс и новая волна будет расти линейно во времени,
по крайней мере до тех пор, пока амплитуда новой волны
378 Гл. 8. Гравитационные волны во вращающейся жидкости
остается малой по сравнению с амплитудами первоначальных
волн. Время, необходимое для достижения амплитудой новой
волны значения, сравнимого с амплитудами первоначальных
волн, называется временем взаимодействия, и его продолжи-
тельность обратно пропорциональна их амплитудам.
Условие, при котором происходит резонанс, зависит только
от геометрии дисперсионных поверхностей в пространстве вол-
новых чисел, и его можно записать в виде
o>(ki+ k2) = ®(k1) +®(к2), (8.13.2)
где со (к) — частота для волнового вектора к, определяемая дис-
персионным соотношением. Это условие удовлетворяется для
многих пар внутренних волн, и такие решения получены в [497,
627, 674]. Если условие (8.13.2) выполнено, то первоначальная
пара волн и генерируемая ими новая волна образуют так назы-
ваемую резонансную триаду. Для некоторых классов волн (как,
например, поверхностные гравитационные волны в глубокой
воде) резонансных триад не существует, но возможно существо-
вание множеств из четырех резонансных волн. Первым, кто об-
ратил внимание на резонансные волновые взаимодействия та-
кого рода, был О. Филлипс (1960) [626]; он же изучил волно-
вые взаимодействия между поверхностными и внутренними
волнами [672].Можно написать уравнения для эволюции ампли-
туды волны в случае резонансных триад и получить их решение
[38, 780, 725]. Полная энергия триады остается постоянной, но
способ распределения энергии между тремя волнами постоянно
изменяется. О лабораторных экспериментах, демонстрирующих
резонансные взаимодействия, сообщается в работах [526, 503]
и др.
В природе обычно встречается целый спектр волн, т. е. супер-
позиция волн с волновыми числами, изменяющимися непрерывно
в некотором интервале значений. В этих случаях волновые взаи-
модействия происходят точно таким же образом, как это имеет
место в случае небольшого числа волн, и если амплитуда волн
не слишком велика, то перенос энергии осуществляется преиму-
щественно теми волнами, которые образуют резонансные триады
(если таковые существуют; в противном случае доминируют на-
боры из четырех резонансных волн). Фазы составляющих, отве-
чающих разным волновым векторам спектра, распределяются,
согласно часто принимаемому предположению, случайно, и это
предположение позволяет рассчитать эволюцию спектра во вре-
мени. Эта теория была разработана в [300] и [301] по анало-
гии с известными результатами квантовой механики и была
впервые применена для изучения спектра наблюдаемых внут-
ренних волн в [598]. Ф. Л. Брезертон (неопубликованные резуль-
таты) показал, что предположение о равномерности распределе-
ния фаз оправдано для распространения в двух- или трехмерной
8.1,3. Взаимодействия волн 379
неограниченной области, но не имеет силы для распространения
в одномерном случае.
Вклады в скорость изменения амплитуды для данного волно-
вого числа происходят от многих триад. Однако, как показано
в [497], характер явления во многом можно выяснить, рассмат-
ривая три предельные формы взаимодействия триад. В [497]
даны следующие названия механизмам, связанным с этими пре-
дельными формами взаимодействия.
(а) Индуцированная диффузия. Она происходит тогда, когда
две почти одинаковые волны взаимодействуют с другой волной,
обладающей значительно более низкой частотой и значительно
меньшим волновым вектором. Сдвиг последней волны (который
подобен медленно изменяющемуся крупномасштабному движе-
нию к малым волнам) способствует процессу диффузии волно-
вого действия (энергия, деленная па частоту) вдоль вертикаль-
ных волновых чисел.
(б) Упругое рассеивание. Оно происходит тогда, когда две
волны, волновые векторы которых являются почти зеркальными
отражениями друг друга относительно горизонтальной плоско-
сти, взаимодействуют с волной, частота которой намного ниже,
а вертикальное волновое число в два раза больше. Последняя
волна ведет себя аналогично тому, как ведет себя кристалли-
ческая решетка в рассеивании Брегга и способствует уравнива-
нию распределения энергии между волнами, распространяющи-
мися вверх и вниз. Условие упругого рассеивания выполняется
только для таких воли, частота которых существенно больше,
чем /, так что волны с частотой, близкой к инерционной, испы-
тывают слабое воздействие. (Волны, распространяющиеся пре-
имущественно вверх или вниз, рассматривавшиеся ранее (см.
разд. 8.5), имели частоту, близкую к f.)
(в) Параметрическая субгармоническая неустойчивость. Опа
имеет место тогда, когда две волны с почти противоположными
волновыми векторами взаимодействуют с волной, волновой век-
тор которой намного меньше, а частота в два раза больше. При
этом процессе происходит перенос энергии от высокоэнергичных
воли с малыми волновыми векторами к волнам с большими вол-
новыми векторами и с частотой, равной половине частоты исход-
ных волн; в результате чего возникают волны с инерционной ча-
стотой (самой низкой возможной частотой) с высоким верти-
кальным волновым числом.
Перечисленные процессы оказывают сильное влияние на
спектр внутренних волн в океане, и одним из результатов та-
кого влияния является то, что получающийся спектр волн ме-
няется незначительно от одной части океана к другой. Форма
этого спектра рассматривается в следующем разделе.
В связи с волновыми взаимодействиями встает вопрос об
устойчивости волн, т. е. будет ли сохраняться заданная форма
380 Гл. 8. Гравитационные волны во вращающейся жидкости
волны или заданный спектр волн? Наиболее вероятный ответ
«нет», так как нелинейные взаимодействия будут вызывать раз-
витие спектра. Частный случай этой ситуации — наличие одной
плоской бегущей волны. В [302] показано, что она неустойчива,
если могут быть найдены два других члена резонансной триады,
таких, что первоначальная волна имеет наивысшую частоту.
Отсюда следует, что для случая f С N любая волна с частотой,
превосходящей 2Д будет неустойчива, так как в этом случае
всегда могут отыскаться две другие волны половинной частоты,
которые вместе с первоначальной волной образуют резонансную
триаду.
8.14. СПЕКТР ВНУТРЕННИХ ВОЛН В ОКЕАНЕ
Наблюдения спектра внутренних волн в океане выявляют
примечательный факт, который заключается в том, что спектр
имеет более или менее одинаковую форму, где бы он ни на-
блюдался в глубоком океане; исключение представляют места
наблюдения, находящиеся вблизи к мощному источнику внутрен-
них волн. Приближенное аналитическое выражение для волно-
вого спектра было впервые приведено в [227], а затем был дан
улучшенный вариант этого выражения [228]. Дальнейшие не-
большие улучшения были получены в результате последующих
измерений [113, 575]; обзоры содержатся в [229, 577 и 599].
Одним из типов измерений являются замеры горизонтальной
скорости и температуры погруженными датчиками, закреплен-
ными на заякоренных тросах. Зная вертикальный градиент тем-
пературы, можно преобразовать температурные измерения в
оценки вертикального перемещения h и соответственно в плот-
ность потенциальной энергии (см., например, (6.7.3). На рис. 8.17
показан спектр потенциальной энергии, полученный таким спосо-
бом из данных эксперимента IWEX (Internal Wave Experiment).
(Спектр показывает распределение энергии между различными
частотами. Общая величина потенциальной энергии получается
интегрированием по всему спектру частот.) На рисунке также
приведен спектр плотности кинетической энергии. Отношение
потенциальной энергии к кинетической, а также отношение го-
ризонтальной скорости к вертикальной близки к тем, которые
ожидались из теории. (Из уравнений (8.5.4), (8.6.6) и (8.4.15)
следует, что эти отношения зависят только от частоты.) Под-
тверждается также вращение вектора горизонтальной скорости.
Как вытекает из уравнений (8.2.5) и (8.2.9), горизонтальный
вектор скорости для данного места ведет себя при малых воз-
мущениях состояния покоя для данного значения частоты и вол-
нового числа следующим образом:
и = fan cos со/ + If sin со/,
(8.14.1)
v — I® cos со/ — kf sin со/. ' 7
8.14. Спектр внутренних волн в океане 381
Вектор скорости вращается антициклонически по эллипсу, но
при случайной выборке множества волн имеет место случайная
ориентация эллипсов и единственная информация о связи между
и и v, которую можно получить, находится так. Мы можем вы-
Рис. 8.17. Спектры вкладов во внутреннюю энергию волн, полученные по дан-
ным IWEX (эксперимент с внутренними волнами) Мюллером, Олберсом и
Вилллбраптом, J. Geophys. Res. 81, 3100 (рис. 4) (1978); авторское право
Американского геофизического общества. Сплошная линия показывает спектр
горизонтальной кинетической энергии, деленной иа плотность жидкости р.
Опа показывает также, что спектр представляет полную кинетическую энер-
гию, помноженную па р-1, везде, за исключением высоких частот, на которых
необходимо добавить вертикальную кинетическую энергию. Если опа полу-
чается из спектра вретикального перемещения, то получается пунктирная линия,
представляющая полную кинетическую энергию, умноженную на р”1. Штрихо-
вая линия представляет спектр потенциальной энергии, умноженной на р"1.
Спектры корректировались для идеальной структуры искажений и искажений
с реальным шумом. Наблюдения производились на глубине 600 м, которая
была близка к центру главного термоклина, расположенного у 27° 44' с. ш.,
65° 51х з. д. Частота с отметкой М2 соответствует полусуточному приливу.
разить и + iv в комплексной плоскости как сумму вращения
против часовой стрелки (пропорционального exp(iwZ)) и враще-
ния по часовой стрелке (пропорционального ехр (—ко/), где ш
считается положительной). В частности, для (8.14.1) имеем
u-\-iv =—• (^ 4” z0 {(<й~/)e/M/+(w Н-(8.14.2)
382 Гл. 8. Гравитационные волны во вращающейся жидкости
В таком представлении энергия (ем. [213]) антициклонически
вращающейся части превышает энергию циклонически вращаю-
щейся части в
раз.
Этот результат подтверждается наблюдениями [575]. Кроме
того, изменение энергетических уровней с глубиной оказалось
соответствующим (8.12.18) [89].
Гораздо сложней выяснить, каким образом энергия распре-
деляется между волновыми числами на каждой частоте. Опреде-
ленную информацию можно получить из спектра, получаемого
буксируемыми датчиками, и из когерентности между датчиками,
закрепленными на заякоренных тросах на известном расстоя-
нии друг от друга. Эта информация не дает полной картины, ио
позволяет идентифицировать аналитические модели с небольшим
числом свободных параметров. Последние определяют довольно
обобщенную картину, например, где находится максимум, на-
сколько широк пик, н как происходит спад энергии при высоких
волновых числах. Один из примеров спектров, полученных та-
ким образом, приведен на рис. 8.18. По вертикали откладывается
частота, но в искаженном масштабе, который изменяется как
логарифм отношения а горизонтального волнового числа к
вертикальному волновому числу m (см. (8.4.18)). Из (8.4.19)
следует, что а и о связаны соотношением
= + 4- а2). (8.14.3)
По горизонтали откладывается вертикальное волновое число m
по отношению к модифицированной вертикальной координате
2m, введенной в теории Луивилля — Грина, или в методе ВКБ
(разд. 8.12.2), т. е. m есть скорость изменения фазы Ф в зави-
симости от zm. Нанесенная на графике величина такова, что
объем, ограниченный поверхностью, контур которой показан, ра-
вен полной плотности энергии, поделенной на плотность жид-
кости. В [575] дано уточнение с учетом неодинаковой направлен-
ности волн спектра и различия между количествами энергии,
распространяющейся вверх и вниз. Обнаружено, что энергия рас-
пространялась главным образом по направлению к экватору
на частотах, меньших 5Д но на более высоких частотах наблю-
далась изотропность. Кроме того, было обнаружено, что при-
мерно на 20 % больше энергии распространялось вниз, чем
вверх, на частотах, меньших, чем 2,5/, а на более высоких часто-
тах имела место симметрия.
Спектры внутренних волн в различных частях океана удиви-
тельно похожи по форме, и слабые нелинейные взаимодействия
Играют весьма важную роль в сохранении этой формы [499].
। [496] и [499] подсчитан эффект изменения распределения
8.14. Спектр внутренних волн в океане 38$
энергии в спектре п найдено, что имеет место тенденция к бы-
строму возврату к равновесной форме. Так, например, если ба-
ланс между волнами, распространяющимися в верхнем и ниж-
нем направлениях, нарушен, то упругое рассеивание восстанав-
ливает баланс на частотах, больших приблизительно ЗД за время
около бсо—1 для вертикального масштаба (/и-1) 10 м и 50со~1 для
100 м. Этот механизм неэффективен для волн, близких к инер-
ционным, что согласуется с наблюдениями (см. разд. 8.6).
Рис. 8.18. Представление спектра полной энергии, деленной на плотность жид-
кости р [496], для внутренних волн, полученное на основе спектра Гарриет-
та -Мунка, модифицированного в [ИЗ]. Нанесенная величина, умноженная
на площадь d(lga)d(lg пг), представляет энергию волн, заключенную в этой
площади. Частота плавучести предполагается равной инерционной частоте f,
умноженной на 71, значение которой, согласно предположению, составляет
7-10~s с-1 и соответствует широте в 30°. Вертикальная штриховая линия
представляет вертикальное критическое волновое число, а представляет гори-
зонтальное волновое число, деленное на пг, так что линии с постоянным гори-
зонтальным волновым числом являются прямыми линиями с тангенсом угла
наклона, равным —1. Спектр, согласно предположению, изотропен по горизон-
тали и симметричен по вертикали, т. е. столько же энергии распространяется
вверх, сколько и вниз.
Если имеет место симметрия между волнами, распространяю-
щимися вверх и вниз, то самое важное влияние на форму спект-
ра при низких частотах (от f до 4/) оказывает параметрическая
субгармоническая неустойчивость, которая осуществляет пере-
нос энергии от волн с большим вертикальным масштабом (и ча-
стотами выше 2f) к волнам с малым вертикальным масштабом
и частотой, близкой к инерционной. Доминирующий механизм
йа высоких частотах определяется индуцированной диффузией,
384 Гл. 8. Гравитационные волны во вращающейся жидкости
которая также приводит к переносу энергии на меньшие вер-
тикальные масштабы. Теория слабого взаимодействия неприме-
нима для вертикальных масштабов в 1 м или меньше, для ко-
торых такие механизмы, как сдвиговая неустойчивость и опро-
кидывание, забирают энергию, которую поставляют волны с
большим масштабом, и рассеивают ее [224, 863].
Важная особенность спектра внутренних волн, о которой
всегда необходимо помнить, заключается в том, что большую
Рис. 8.19. Два профиля скорости, разнесенных приближенно на половину
инерционного периода (т. е. 11 ч) в Северной Атлантике. «Зеркальное отраже-
ние» в компонентах высоких волновых чисел обусловлено активностью вну-
тренней волны с периодом, близким к инерционному [из 670, рис. 17а].
часть вклада в полную энергию дают волны с низкими часто-
тами. В частности, из спектра, приведенного на рис. 8.17, видно,
что половина кинетической энергии приходится на частоты, со-
ставляющие около 30 % инерционной частоты. Этот факт прояв-
ляет себя в том, что профили скоростей занимают примерно
половину отдельно взятого инерционного периода, как это видно
из рис. 8.19. Вертикальная структура с большим числом мод
в значительной мере обусловлена внутренними волнами с ча-
стотой, близкой к инерционной, в результате чего среднее между
двумя профилями дает гораздо более гладкий профиль, и! вто-
рого изъята большая часть вклада внутренних волн.
8.15. Волновой перенос и воздействие на средний поток 385
Кроме того, что большая часть энергии приходится на низ-
кие частоты, оиа также концентрируется в больших вертикаль-
ных масштабах. По всей видимости, именно там находятся ис-
точники той энергии, которая посредством взаимодействия воли
переносится на более мелкие вертикальные масштабы (см., на-
пример, [573, 53 и 386]. С другой стороны, сдвиг происходит
преимущественно при малых вертикальных масштабах, и это
важно для понимания механизма диссипации.
8.15. ВОЛНОВОЙ ПЕРЕНОС И ВОЗДЕЙСТВИЕ НА СРЕДНИЙ ПОТОК
Волны обладают тем свойством, что они могут оказывать
влияние на районы, весьма отдаленные от их источника. Так, на-
пример, поверхностные гравитационные волны, возбуждаемые
в шторм, могут терять свою энергию на пляже, находящемся
на другой стороне земного шара и при этом вызывать такие за-
метные явления, как передвижение песка вдоль побережья. Ана-
логично, волны, порождаемые в нижней атмосфере (например,
рельефом или нагревом), могут вызывать значительные эффекты
на более высоких уровнях. В частности эти волны могут вызвать
изменения ветров в силу их способности переносить импульс
в вертикальном направлении.
Простым примером [506, 505] такого эффекта может слу-
жить течение однородно стратифицированной (т. е. с постоян-
ным N) несжимаемой жидкости в приближении Буссинеска над
первоначально плоской поверхностью. Скорость U в начальный
момент постоянна, ио при t — 0 на поверхности начинают появ-
ляться синусоидальные неровности с горизонтальным волновым
числом k < N/U. Амплитуда /г0 этих неровностей медленно воз-
растает до некоторого фиксированного инфинитезимального зна-
чения, т. е.
/Z2==F(/), (8.15.1)
где F равно пулю при f < 0 и приближается к постоянному зна-
чению при большом t. Время, за которое это происходит, пред-
полагается достаточно большим по сравнению с периодом
2л/(/7/г) столкновения частиц воздуха с гребнями неровностей;
так, например, F могла бы иметь вид
( 0 при i < 0,
А(/) = { 1 _t/T л у „ (8.15.2)
11—е при t > 0. '
Неровности (складки) на границе вызывают, как это было уста-
новлено в разд. 6.8, генерацию внутренних волн с вертикаль-
ным волновым числом т, выражение для которого дается в
(6.8.6). Когда складки достигают конечной амплитуды, то ре-
шение вблизи поверхности принимает вид, описанный в разд. 6.8,
386 Гл. 8. Гравитационные волны во вращающейся жидкости
т. е. это будут волны вида (6.8.5), которые забирают импульс
от земной поверхности со скоростью т, определяемой выраже-
нием (6.8.11), и переносят его вертикально с той же скоростью.
Однако область, в которой существуют волны, имеет конечную
глубину порядка cgzt в силу того, что волны могут распростра-
няться вверх только с конечной скоростью cg2, где cgz — верти-
кальная составляющая групповой скорости, определяемая из
(6.6.1). На больших высотах при z > cgzt волн нет и, следова-
тельно, отсутствует поток импульса, т. е. отсутствует и усреднен-
ное напряжение. Как вытекает из решения, существует область,
в которой поток импульса и напряжения падает от его значения
т на поверхности до нуля. В этой области, порядок толщины
которой равен L ~ cgzT, на усредненный поток будет действо-
вать (в расчете на единицу площади) сила т, которая будет его
ускорять.
После того как получены уравнения движения усредненного
потока, можно получить явное решение для изменений, происхо-
дящих в усредненном потоке. Поскольку волновые переносы
пропорциональны квадрату амплитуды волны, которая по пред-
положению мала, то усредненные уравнения движения должны
быть справедливы с точностью до этого порядка малости. Будем
обозначать усредненную скорость потока через й, где черта
сверху означает усреднение по х. В данном случае она может
рассматриваться как средняя по длине волны 2л//г, так что в
этом случае черта сверху имеет тот же самый смысл, что и в
разд. 6.8. Если для обозначения отклонений от среднего значе-
ния будем использовать штрих, то х-компонента скорости в про-
извольной точке запишется в виде
и = « + «'. (8.15.3)
Поскольку в рассматриваемом случае переменные зависят
только от z и t, то усреднение уравнения движения (4.10.11)
приводит к уравнению
м + (81б4)
Это уравнение можно интерпретировать как утверждение, что
скорость изменения импульса усредненного потока равна дивер-
генции усредненного напряжения, создаваемого волнами, взятой
со знаком минус. Этот вывод связан с тем, что градиент по х
усредненного давления равен нулю (см. [84]). Используя (6.8.11),
(6.8.6) и тот факт, что волны распространяются вверх со ско-
ростью cgZ1 получаем выражение для усредненного напряжения
Рои'®' = — (1/2) kmU'^^F (t — z[cgz).
(8.16.0)
8.15. Волновой перенос и воздействие на средний поток 387
Отсюда получаем решение уравнения (8.15.4) в виде
й==и - (1/2) c~£kmU2F (t - z/csz) = U~ (1/2) a-1 W (/ - z/cgz).
(8.15.6)
Второе из этих выражений получено подстановкой значения
U sin <р' cos q/, выведенного в конце разд. 6.8 для сег, и исполь-
зованием соотношений (6.5.4) и (6.8.6). Для больших времен
имеем
и~>и — —-(Nh^/U. (8.15.7)
Таким образом, эффект «включения» складок на поверхности
заключается в том, что граничная поверхность посредством на-
пряжения u'w', создаваемого волнами, отнимает от усредненного
потока небольшую долю (1/2) (A/7i0/U)2 импульса. Эта доля
равна половине величины, обратной квадрату числа Фруда (см.
(6.9.18)
U/(NhQ),
выраженного через амплитуду рельефа.
Приведенный пример иллюстрирует, как волны могут пере-
носить импульс посредством усредненного напряжения ufw' в от-
даленные области течения в ситуации, развивающейся во вре-
мени. Очевидно, что аналогичные эффекты имеют место и в
случае, когда u'w' меняется с высотой в силу явления диссипа-
ции воли. О лабораторных экспериментах, демонстрирующих та-
кие эффекты, имеются сообщения в [623]. Общие методы изуче-
ния таких явлений были разработаны в [25].
Необходимо подчеркнуть, что энергетика таких явлений за-
висит от используемой системы отсчета, что ясно иллюстрирует
приведенный выше пример. Во-первых, рассмотрим систему от-
счета, неподвижно связанную с землей. В этой системе отсчета
в силу стационарности границы не совершается никакой работы,
и поэтому не будет никакой подкачки энергии с земли. Потеря
энергии иа единицу массы усредненного потока с точностью до
квадратичных членов равна
1 И2 - у м2 = у №Л2. (8.15.8)
Здесь использовано выражение (8.15.7) для й. Эта потеря в точ-
ности равна приращению энергии на единицу массы, обуслов-
ленному наличием воли, как это следует из (6.8.14). В терминах
потоков энергии, поток энергии вверх F'z~p'w', вызываемый
волнами, балансируется адвекцией кинетической энергии вниз
роПи'о/.
388 Гл. 8. Гравитационные волны во вращающейся жидкости
Рассмотрим теперь энергетический баланс в системе отсчета,
движущейся вместе с первоначально невозмущепным усреднен-
ным потоком. В этой системе отсчета граница движется со ско-
ростью U, и таким образом она совершает работу со ско-
ростью, равной направленному вверх потоку P'z = p'w' энергии,
заключенной в волне. Адвекция кинетической энергии (с точ-
ностью до второго порядка) в этой системе отсчета отсутствует,
и в этом случае поток энергии потребляется в области фронта
волны и сообщает частице энергию, которая с точностью до вто-
рого порядка совпадает с энергией волн.
8.16. КВАЗИГЕОСТРОФИЧЕСКИЙ ПОТОК (/-ПЛОСКОСТЬ):
ИЗАЛЛОБАРИЧЕСКИЙ ВЕТЕР
Механизм приспособления вращающейся жидкости к измене-
ниям, которые происходят медленно (временной масштаб
носит весьма специальный характер, и чрезвычайно важно по-
нять природу таких медленных процессов приспособления по
той причине, что изменения, видные на карте погоды, а также
изменения океанических течений от одной недели к другой, но-
сят такой же характер. Ключом к пониманию медленных про-
цессов приспособления служит осознание переопределенности
уравнений геострофического потока, что уже обсуждалось в гл. 7,
т. е. того факта, что геострофическое течение в точности удов-
летворяет уравнению неразрывности для мелкой воды. Из этого
следует, что эти три уравнения не определяют три независимые
искомые функции, и для того, чтобы определить поток, необхо-
дим анализ отклонений от геострофичности, даже если они и
малы. Тот факт, что отклонения малы, объясняет классифика-
цию течений такого рода как «квазигеострофических».
Переопределенность уравнений имеет место не только для
мелкого однородного слоя, но и для каждой бароклинной моды,
и, следовательно, для стратифицированной жидкости. К этому
же выводу можно придти и из того, что при геострофическом
потоке горизонтальная дивергенция равна нулю и, следователь-
но, вертикальное движение не зависит от глубины. По этой при-
чине при наличии горизонтальной границы для чисто геостро-
фического движения вертикальное движение отсутствует. Тем
не менее важно выполнить расчет вертикального движения с тем,
чтобы можно было определить гравитационные уравновешиваю-
щие силы, и по этой причине необходимо рассматривать откло-
нения от геострофичности.
Необходимость рассмотрения отклонений от геострофичпости
с целью вычисления вертикального движения в медленно изме-
няющейся ситуации была отмечена Брантом и Дугласом (1928)’
в статье «Модификация баланса при меняющемся распределений
8.16. Квазигеострофический поток ЗвЭ1
давления и его влияние на осадки» [95]. Их подход заклю-
чался в том, чтобы рассматривать уравнения движения в виде
Du/Dt — fv — — р"1 др/дх = — (8.16.1)'
Dv/Dt fu = — р"1 др/ду z=fuR, (8.16.2)-
где (ug, vs) — геострофический ветер, определяемый из (7.6.5), а
D/Dt==d/diид/дхvd/dy (8.16.3)
— полная производная в направлении движения, и получать при-
ближенное выражение для (и, и) через (цб, og) при условии, что
производная D/Dt должна быть мала по сравнению с /. Суще-
ствует несколько способов найти это выражение. Один из мето-
дов заключается в том, чтобы исключить поочередно и и и из
(8.16.1) и (8.16.2), в результате чего получаются уравнения
. Z)a„ / др D / 1 др \
"Dt2 f u = f us — — j,
(8.16.4)-
D2u
Dt2
f2v = /4 + f^
(8.16.5)
Поскольку D/Dt <C f, эти выражения можно приближенно запи-
сать в виде
1 Dva 1 др 1 D /1 др \ ,п _ „
и us—Г-=£.==—-— --------_ . (—__ | (8.16.6)
g f Dt IP dy I2 Dt \p dx J 4 ’
1 Dug _ 1 dp 1 D ( 1 dP Л
V ~ yg 4~ । fp dx f2 Dt \ p dy )'
Эти уравнения были получены Хессельбергом [324] и Брантом
и Дугласом [95]. В последней работе показано также, что пра-
вые части представляют собой первые члены разложения в бес-
конечный ряд для (и, и). В линейном случае операторы D/Dt
заменяются на d/dt, плотность р заменяется ее значением р0
в невозмущенном состоянии, а р можно заменить его возмуще-
нием р', т. е.
1 dog 1 др' 1 д2р'
и ~ us — — ji^-dTdl'
(8.16.7)-
1 дик I dp' 1 d2pr
~ yg 4~ f gt jpQ gx ppQ gt ду
Контуры скорости изменения давления называются изаллоба-
рами и, как показано в [95], приближения (8.16.7) указывают
на то, что «ветер состоит из геострофического ветра, дующего
вдоль изобар, и из дополнительной составляющей, направ
в сторону изаллобарического понижения, сила которого пропор-
циональна градиенту изаллобар». Таким образом,
390 Гд. 8. Гравитационные волны во вращающейся жидкости
«центральными областями низких значений иа изаллоба-
рических картах должны быть области конвергенции воз-
духа, и следовательно, они должны быть областями, в ко-
торых наиболее вероятны восходящие потоки. Области же
с высокими значениями на изаллобарических картах, бу-
дучи областями дивергенции, будут скорее всего областями
нисходящих потоков... Кроме того, выпадение дождей в
зоне изаллобарических впадин и прекрасная погода в зоне
высоких значений изаллобар являются свидетельством кон-
вергенции ветра в одном случае и дивергенции в другом»
(с. 34).
Брант и Дуглас [95, с. 37] также отметили, что «эффект тре-
ния у поверхности земли и турбулентность, которую он вызы-
вает, должны порождать поток воздуха поперек изобар в на-
правлении от высокого давления к низкому. Этот снос может
играть важную роль в возникновении дождя, хотя он и не объ-
ясняет все случаи такого рода». Конвергенция, обусловленная
трением, будет рассмотрена в следующей главе. (Замечание. Хас-
сельберг [324] учитывал эффекты трения, но с целью вывести
изменения давления из отклонений скорости, а не наобо-
рот.)
Брант и Дуглас не выписали выражения для горизонталь-
ной дивергенции, которое следует из (8.16.7), хотя они широко
использовали этот подход. Они указали (с. 34) на то, что «в си-
стеме чисто геострофических ветров не может быть восходящих
или нисходящих потоков», так как здесь «не происходит конвер-
генции или дивергенции, а следовательно, и дождей, за исключе-
нием тех, которые могут порождаться рельефом или трением.
Сильный дождь над обширными областями, по-видимому, объяс-
няется конвергенцией компоненты /-^(wg, ug)/dt, т. е. существо-
ванием центров низких значений на изаллобарических кар-
тах».
В линейном случае из (8.16.7) (см. (8.8.29) вытекает выра-
жение для горизонтальной конвергенции
ди ( до \ д (д2р' ( д2р' 1 д f dog до&
дх ду f2Po dt \ дх2 + ду2 ) f dt \ дх ду )’
(8.16.8)
из которого видно, что вклады дают только изаллобарические
члены. С другой стороны, изаллобарические члены не дают ни-
какого вклада в завихренность, и из (8.16.7) вытекает, что
до ди I f д2р' д2р' \ до ди„
- — С_)= _I __ J . (8.16.9)
дх-------------------------------------------ду fp0 \ дх2 1 ду2 J дх ду ' '
Тот факт, что главные члены выражения (8.16.7) дают вклад в
завихренность, но не оказывают влияния на дивергенцию, объ-
8.16. Квазигеострофическпй поток. 39t
ясняет, почему последняя намного меньше, чем это можно было-
ожидать из соображений размерности. В самом деле, для дви-
жения с частотой о из (8.16.8) и (8.16.9) следует, что отно-
шение
дивергенция
завихренность
имеет тот же порядок,
что и <о//, (8.16.10)-
где со// по предположению малая величина.
Эти уравнения также объясняют, почему уравнение для за-
вихренности играет такую важную роль в теории медленных
движений вращающихся жидкостей. Исключая давление из
(8.16.8) и (8.16.9), получаем
(4е (8.16.П)
dt \ дх ду J 1 ' \ дх ду J 7
Это уравнение совпадает с уравнением для завихренности
(7.2.7), выведенным из точных линейных уравнений. Следова-
тельно, уравнение для завихренности содержит информацию об
отклонениях от геострофичпости и его можно использовать для
разрешения проблемы переопределениостп, упомянутой в начале
этого раздела.
Горизонтальную дивергенцию важно вычислять потому, что-
несмотря на свою малость, она необходима для создания вер-
тикального движения, которое, в свою очередь, необходимо
рать для вычисления гравитационных уравновешивающих сил.
Уравнение, объединяющее уравнение для завихренности с урав-
нениями вертикального движения — это уравнение для потен-
циальной завихренности, формы которого для возмущений рас-
сматривались в разд. 7.12. Уравнения потенциальной завихрен-
ности играют центральную роль в теории вращающейся жид-
кости, что было показано Россби для случая однородной среды,,
рассмотренного в разд. 7.2. В линейном случае это уравнение
можно проинтегрировать повремени и получить тем самым связь
между начальным п конечным состояниями системы. Это ре-
шает проблему неопределенности при решении уравнений для
стационарного потока заданием дополнительного условия, кото-
рому этот поток должен удовлетворять.
Для медленных движений из приближенного выражения
(8.16.9) для завихренности можно получить приближенные фор-
мы уравнения потенциальной завихренности. Так, например, в
случае несжимаемости левая часть уравнения (8.16.8) равна
—dw/dz, и w связывается с гравитационными уравновешиваю-
щими силами и, следовательно, с возмущением давления посред-
ством (6.11.4), а именно
N-w = — р0_ 'д-р' jdz di. (8.16.12)
"392 Гл. 8. Гравитационные волны во вращающейся жидкости
Поэтому в сочетании с (8.16.8) последнее выражение дает урав-.
пение
которое представляет собой квазигеострофическую форму урав-
нения для возмущения потенциальной завихренности несжимае-
мой жидкости при равномерном вращении (/ постоянно). Урав-
нение (8.8.24), которое уже рассматривалось при изучении влия-
ния рельефа, представляет собой частный случай этого урав-
нения.
Квазигеострофическое приближение более детально рассмот-
рено в гл. 12, где учитываются также эффекты изменения пара-
метра Кориолиса с широтой (бета-эффект), нелинейные эффекты
й эффекты трения. Оказывается, что условием, при котором
можно пренебречь бета-эффектом для однородного потока со
скоростью U над рельефом с горизонтальным масштабом L, яв-
ляется неравенство L < (t//|3)1/2, из которого получается, что
квазигеострофический режим, рассмотренный в разд. 8.8, охва-
тывает диапазон U/\f|L ((//р)1/2. На широте в 45° этот диапа-
зон характеризуется отношением наибольшего горизонтального
масштаба к наименьшему, равным (700/(7)1/2, где U измеряется
в метрах в секунду; это довольно узкий интервал (отношение
равно 8) для атмосферы, но весьма широкий (отношение рав-
но 80) для океана, для которого получаем типичные значения
между 1 и 80 км.
Ранее (в разд. 8) рассматривалось обтекание горного хребта
с колоколообразным профилем, которое представляет собой ил-
люстративный пример квазигеострофического течения в /-пло-
скости. Так как хребет до некоторой степени является весьма
частным случаем рельефа, то мы рассмотрим другой пример об-
текания, а именно однородный поток однородно стратифициро-
ванной жидкости над холмом с круговыми горизонтальными се-
чениями, профиль которого задается формулой
Л = Л.„ (1 + (х2 + y2)IL2)~312. (8.16.14)
Если использовать приближение Буссииеска, то уравнение
для потенциальной завихренности (8.16.13) можно проинтегри-
ровать и получить уравнение (8.8.24), которое можно свести к
уравнению Лапласа, если ввести растянутую вертикальную ко-
ординату z8, определяемую формулой (8.8.25). В этом случае
существует точное решение [733], соответствующее топографии
(8.16.14), а именно
h = (1 + zs//.)/2,„ [(1 + zJL)2 + (х2 + y^L2]-3'2. (8.16.15)
Смещение изопикн распределено осесимметрично; вертикаль-
ное сечение, проходящее через центр холма, показано на
8.16. Квазигеострофический потек 39&
рис. 8.20, а. Возмущение давления рг можно получить в резуль-
тате интегрирования (8.16.12), которое можно переписать в фор-
ме, эквивалентной (6.11.7). Относительно поля, связанного с ус-
редненным потоком, распределение возмущения давления носит
осесимметричный характер с высоким давлением над холмом,
но если к нему добавить его часть, связанную с усредненным по-
током (вычисленным из (8.8.27)), то в результате получится
асимметричное распределение, а именно
ti'p *=-tUy + NfLhm [(l + Zs/ty + U’ + yW]'1'2- (8.16.16)
Этот результат сохраняет свою силу даже в том случае, когда
градиенты давления, вызванные рельефом, сравнимы по вели-
Рис. 8.20. Квазигеострофическое обтекание кругового холма, (а) На верти-
кальном сечении, проходящем через центр холма, показаны смещение изопикн-
и поведение вихревых трубок. На флангах холма они слегка растянуты, поро-
ждая циклоническую завихренность, тогда как над холмом вихревые трубки-
значительно укорочены, порождая сильную антициклоническую завихренность-
[739, 116]. (б) Схематическое' изображение линий тока над холмом, показы-
вающее порождаемую относительную завихренность [739].
чине с градиентами, связанными с усредненным потоком. Кон-
туры на фиксированном уровне (которые являются также ли-
ниями тока) представлены на рис. 8.20, б. Частицы жидкости
смещаются влево над препятствием (в Северном полушарии),,
создавая ускоренное течение над левым склоном, где антицикло-
нический поток, связанный с холмом, усиливает усредненный
поток. Такое поведение можно объяснить завихренностью по-
тока; так, из рис. 8.20, а видно, что вихревые линии при прибли-
'•394 Гл. 8. Гравитационные волны во вращающейся жидкости
жении к холму претерпевают незначительное растяжение при
подходе к холму и сильно сжимаются над его вершиной. Таким
образом, непосредственно над холмом генерируется антицикло-
ническая относительная завихренность, а в его окрестностях —
слабо выраженная циклоническая завихренность. Дополнитель-
ный вклад в усредненное течение, обусловленный этим распреде-
лением вихрей, создает картину, показанную на рис. 8.20,6. О на-
блюдениях распределения вихрей такого типа и их затухания на
высотах, превышающих высоту Россби, сообщается в [270, 607].
Обзор результатов для атмосферы содержится в [733], а для
«океана в [331].
ОГЛАВЛЕНИЕ
От редактора перевода . . . . ;......................................5-
Предисловие ......................................................... 7
Глава 1. Силы, движущие систему океан — атмосфера.....................И
1.1. Введение ...................................................11
1.2. Количество энергии, получаемое Землей .......... 12
1.3 Модели радиационного равновесия..............................15
1.4. Парниковый эффект........................................ 18'
1.5. Эффекты конвекции...........................................21
1.6. Эффекты горизонтальных градиентов...........................24
1.7. Изменчивость в радиации, достигающей Земли..................28
Глава 2. Перенос субстанций между атмосферой и океаном...............30
2.1. Введение.....................................................30
2.2. Отличия в свойствах океана и атмосферы......................30
2.3. Перенос импульса между воздухом и морем. Баланс момента ко-
личества движения атмосферы.......................................34
2.4. Зависимость интенсивности обмена на границе вода — воздух от
разности скоростей, температур и влажности....................40
2.5. Гидрологический цикл.........................................43
2.6. Тепловой баланс океана.......................................48
2.7. Изменения плотности па поверхности океана и термохачинная
циркуляция........................................................51
Глава 3. Свойства жидкости в состоянии покоя..........................54
3.1. Уравнение состояния........................................54
3.2. Термодинамические переменные...............................57
3.3. Значения термодинамических величии для океана и атмосферы . 59
3.4. Фазовые переходы...........................................60
3.5. Баланс сил в покоящейся жидкости...........................62
3.6. Статическая устойчивость......................................67
3.7. Величины, связанные с устойчивостью...........................69
3.8. Устойчивость насыщенной атмосферы.............................74
3.9. Графическое представление вертикальных зондирований .... 77
Глава 4. Уравнения, которым удовлетворяет движущаяся жидкость . . 82
4.1. Свойства материального элемента.............................82
4.2. Уравнение сохранения массы..................................83
4.3. Балансы скалярных величин, таких, как соленость.............86
4.4. Уравнение для внутренней энергии (или тепла)...............91
4.5. Уравнения движения.........................................93
4.6. Уравнение для механической энергии.........................97
4.7. Уравнение для полной энергии..............................102
4.8. Уравнение Бернулли........................................105
396
Оглавление
4.9. Систематические эффекты диффузии...........................106
4.10. Полный перечень основных уравнений........................108
4.11. Граничные условия.........................................109
4.12. Система координат для движений планетарного масштаба . . .116
Глава 5. Приспособление к равновесию под действием силы тяжести в
невращающейся системе...............................................120
5.1. Введение: приспособление к равновесию......................120
5.2. Возмущения состояния покоя в однородной невязкой жидкости 125
5.3. Поверхностные гравитационные волны.........................127
5 4. Дисперсия ..............................................130
5.5 Приближения коротких и длинных волн........................133
5.6. Вывод уравнений мелкой воды на основе гидростатического при-
ближения ..................................................... 135
5.7. Энергетика движения мелкой воды............................139
5.8. Сейши и приливы в заливах..................................141
Глава 6. Приспособление стратифицированной по плотности жидкости к
действию силы тяжести..................145
6.1. Введение .....................................................145
6.2. Случай двух наложенных друг на друга жидкостей различной
плотности.......................................... ...........147
6.3. Бароклинная мода и аппроксимация «твердой крышки» .... 156
6.4. Приспособление внутри непрерывно стратифицированной несжи-
маемой жидкости 158
6.5. Внутренние гравитационные волны...............................161
6.6. Дисперсионные эффекты ........................................165
6.7. Энергетика внутренних волн....................................171
6.8. Внутренние волны, порождаемые на горизонтальной границе . . 174
6.9. Влияние изменения частоты плавучести с высотой на волны, по-
рожденные на границе...........................................179
<6.10. Свободные волны при наличии границ..........................189
6.11. Волны большого горизонтального масштаба: нормальные моды 196
6.12. Пример эволюции к равновесию в стратифицированной жидко-
сти ...........................................................200
6.13. Представление решения по нормальным модам для океана . . . 206
6.14. Приспособление к состоянию равновесия в стратифицированной
сжимаемой жидкости.............................................209
6.15. Примеры приспособления к равновесию в сжимаемой атмосфере 217
6.16. Слабая дисперсия импульса....................................219
6.17. Изобарические координаты ....................................222
6.18. Уравнение энергии возмущения в изобарических координатах,
проинтегрированное по вертикали................................230
Глава 7. Эффекты вращения...........................................234
7.1. Введение ..................................................234
7.2. Задача Россби о приспособлении.............................236
7.3. Переходные процессы .......................................243
7.4. Возможность применения результатов к вращающейся Земле 252
7.5. Радиус деформации Россби...................................254
7.6. Геострофический баланс.....................................258
7.7. Относительные геострофические течения: термический ветер . . 263
7.8. Доступная потенциальная энергия............................274
7.9. Циркуляция и завихренность.................................281
7.10. Сохранение потенциальной завихренности для мелкого однород-
ного слоя.......................................................288
Оглавление
397
7.11. Циркуляция стратифицированной жидкости и потенциальная за-
вихренность Эртеля .........................................295
7.12. Возмущенные формы уравнений для завихренности в однородно
вращающейся жидкости........................................301
7.13. Инициализация полей дтя схем численного прогноза .... 304
Глава 8. Гравитационные волны во вращающейся жидкости..........307
8.1. Введение ..............................................307
8.2. Влияние вращения на поверхностные гравитационные волны;
волны Пуанкаре..............................................310
8.3. Дисперсионные свойства и энергетика воли Пуанкаре......316
8.4. Вертикально распространяющиеся внутренние волны во вращаю-
щейся жидкости..............................................319
8.5. Поляризационные соотношения............................327
8.6. Энергетика ............................................332
8.7. Волны, генерируемые у горизонтальной границы...........333
8.8. Волны горного рельефа............* .......... 342
8.9. Эффекты изменения свойств с высотой....................353
8.10. Эффекты топографии конечной амплитуды.................363
8.11. Эффекты диссипации в верхней атмосфере................367
8.12. Приближение Луивилля — Грина или метод ВКБ........370
8.13. Взаимодействия волн...................................377
8.14. Спектр внутренних волн в океане.......................380
8.15. Волновой перенос и воздействие на средний поток .... 385
8.16. Квазигеострофический поток (f-плоскость): изаллобарический ве-
тер .................................................. ..... 388
УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!
Ваши замечания о содержании кни-
ги, ее оформлении, качестве перевода и
другие просим присылать по адресу:
129820, Москва, И-НО, ГСП, 1-й Риж-
ский пер., д. 2, издательство «Мир».
Адриан Гилл
ДИНАМИКА АТМОСФЕРЫ И ОКЕАНА,
В 2-х томах
т. 1
Научи, редактор С. В. Чудов
Мл. научи, редакторы И. В. Герасимова,
Н. С. Полякова
Художник В. А. Медников
Художественный редактор В. И. Шаповалов
Технический редактор И. И. Борисова
Корректор Л. В. Байкова
И Б № 5477
Сдано в набор 23.09.85. Подписано к пе-
чати 26.03.86. Формат 60X90'/io- Бумага
тин. № I. Гарнитура литературная. Печать
высокая. Бум. л. 12,50. Усл. кр. отт. 25,00.
Усл. печ. л. 25,00. Уч.-изд. л. 23,63. Изд. № 1/4137.
Тираж 2600 экз. Зак. 3Z3 Цена 3 р. 50 к.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва, 1-й Рижский пер., 2.
Ленинградская типография № 2 головное пред-
приятие ордена Трудового Красного Знамени
Ленинградского объединения «Техническая
книга» им. Евгении Соколовой Союзполиграф-
прома при Государственном комитете СССР по
делам издательств, полиграфии и книжной тор-
говли. 198052, г. Ленинград, Л-52, Измайлов-
ский проспект, 29. Отпечатано со стереотипов
в Ленинградской типографии № 8 ордена Трудо-
вого Красного Знамени Ленинградского объеди-
нения «Техническая книга» им. Евгении Соколо-
вой Согозполиграфпрома при Государственном
комитете СССР по делам издательств, поли-
графии и книжной торговли. 190000, Ленинград,
Прачечный переулок, 6.