Ж МАТЕМАТИКА
Новое
в жизни,
науке,
технике
Подписная
научно-
популярная
серия
Издается
ежемесячно
с 1967 г.
КИБЕРНЕТИКА
Г. А. Гальперин
Н. И.Чернов
Биллиарды
и хаос
It:::::::
5'91
SSSHI *•»'.'

в жизни,
науке,
технике
МАТЕМАТИКА
КИБЕРНЕТИКА
Подписная
научно-
популярная
серия
5/1991
Г. А. Гальперин,
Н. И. Чернов
БИЛЛИАРДЫ
И ХАОС
Издается
ежемесячно
с 1967 г.
Москва
Издательство
«Знание»
1991
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 3
Введение 3
Глава I. Биллиарды в выпуклых областях 6
§ 1. Правильные области: круг, кольцо, эллипс 6
§ 2. Теорема Лазуткина 8
§ 3. Фазовое пространство биллиарда 9
§ 4. Численные исследования 11
Глава II. Стохастические биллиарды на плоскости 12
§ 5. Примеры 13
§ 6. Уровни стохастичности: эргодичность, перемешивание и
К-свойство 15
§ 7. Устойчивые и неустойчивые семейства траекторий. Теорема
Синая 18
§ 8. Уравнения движения семейств траекторий. Энтропия
биллиардов 21
§ 9. Оценки числа периодических траекторий 24
Глава III. Биллиарды в многоугольниках и многогранниках 26
§ 10. Общие замечания и «прием барона Мюнхгаузена» 26
§ 11. Биллиард в угле 27
§ 12. Биллиард в квадрате и других «торических»
многоугольниках 27
§ 13. Биллиарды в рациональных многоугольниках 29
§ 14. Периодические траектории в рациональных многоугольниках
и многогранниках 32
Глава IV. Динамика точечных частиц на прямой и шаров в
пространстве 37
§ 15. Две частицы на прямой, полупрямой и отрезке 37
§ 16. Несколько частиц на прямой, полупрямой и отрезке 39
§ 17. Система шаров в пространстве и сосуде 42
Глава V. Стохастические биллиарды в пространстве 44
§ 18. Пространственный газ Лоренца 44
§ 19. Газ твердых шаров 45
Литература 47

ББК 22.1
Г 17
ГАЛЬПЕРИН Григорий Александрович — кандидат
физико-математических наук, старший преподаватель физико-математического
факультета Московского государственного заочного
педагогического института (МГЗПИ), специалист в области теории
динамических систем и теории информации;
ЧЕРНОВ Николай Иванович — кандидат физико-математических
наук, старший научный сотрудник Объединенного института
ядерных исследований, специалист в области теории динамических
систем и детерминированного хаоса.
Редактор ВИРКО И. Г.
Гальперин Г. А., Чернов Н. И.
Г 17 Биллиарды и хаос.— М.: Знание, 1991.— 48 с.—
(Новое в жизни, науке, технике. Сер. «Математика,
кибернетика»; № 5).
ISBN5-07-001953-8
55 к.
Брошюра посвящена математическим биллиардам — сильной абстракции
реальных биллиардов. Дано описание поведения биллиардных траекторий в
разнообразных областях. Изучены эргодические и другие свойства этих биллиардов.
Выпуск рассчитан на тех, кто интересуется теорией динамических систем,
детерминированным хаосом, нелинейной физикой.
1602010000 ББК 22.1
I SB N5-07-001953-8 © Гальперин Г. А., Чержш Н. И., 1991 г.

ПРЕДИСЛОВИЕ
Математическая теория биллиардов
представляет собой один из наиболее
интенсивно развивающихся разделов
теории динамических систем. Она связана с
механикой, алгебраической и
дифференциальной геометрией, теорией
вероятностей и статистической механикой,
квантовой механикой и математической
физикой. Многие обнаруженные здесь
результаты были получены комбинацией
самых разных идей и методов.
Предлагаемая брошюра написана
двумя математиками, находящимися в
расцвете своего дарования. Большая часть
их работ относится к теории
биллиардов. Авторы передают читателю свои
ощущения глубины и красоты этой
теории, подчеркивая и объясняя основные
идеи и связи.
В книгу вошли теория биллиардов в
выпуклых областях, гиперболические
биллиарды, биллиарды в
многоугольниках, многогранниках и относящиеся к
ним проблемы, а также теория
стохастических биллиардов, имеющая отношение
к статистической механике. Каждый из
этих разделов имеет свою специфику и
свои методы использования.
Несомненно, книга будет интересна и
полезна математикам, физикам,
инженерам и ученым других специальностей,
так или иначе соприкасающимся с
теорией динамических систем,
детерминированным хаосом, нелинейной физикой.
Профессор Я. Г. СИНАЙ
ВВЕДЕНИЕ
Биллиард — древняя, а сейчас широко
распространенная игра, по которой
проводятся всесоюзные и международные
чемпионаты. Возникла она до нашей эры
в Индии и Китае, а через много веков
перекочевала в Европу и Америку.
Например, в Англии эта игра
распространилась после возвращения рыцарей из
крестовых походов. Достоверно известно,
что французский король Карл IX стал
играть в биллиард в Варфоломеевскую
ночь, 24 августа 1572 г., одновременно
со звоном колоколов парижского собора
Сен-Жермен Д'Акселеруа, извещавшем о
начале избиения гугенотов католиками.
В Америку (точнее, во Флориду)
биллиард проник в 1565 г. благодаря
испанским конкистадорам. В России он
появился при Петре I.
Название «биллиард» происходит от
французских слов «billard» (кривая
палка) или «ЫИагЬ (кий) и «bille» (шар).
Атрибуты этой игры: покрытый сукном
стол, одинаковые шары и кий. Стол, как
правило, прямоугольной формы и с
лузами, куда требуется загнать шары, но
известен и французский биллиард на
круглом столе без луз. Число шаров
колеблется от трех до нескольких десятков (по
современным правилам играют 16 или
21 шаром). Кий с рабочего конца
обшивается кожей, что, кстати, впервые
сделал французский политзаключенный
Мэн го в 1798 г.
1*
3

Движение реального шара на
прямоугольном столе с лузами исследовал
французский физик Г. Г. Кориолис в
своей книге «Математическая теория
явлений биллиардной игры» (1835 г.) —
см. [1]. В ней он также дал
практические советы игрокам в биллиард.
Данная брошюра не имеет отношения
к игре в биллиард. В ней нет даже
правил этой игры. Она посвящена
математическим биллиардам, которые
явились результатом довольно сильного
абстрагирования от реальной
игры-оригинала. Из атрибутов последней в
математических биллиардах остаются только
два: стол без луз и один-единственный
шар, который для упрощения заменяется
точечной частицей. Таким образом, мы
забываем о вращении шара и трении о
сукно, поэтому наш шар (точнее,
частица) движется по столу без остановок и
без торможения — по инерции.
Единственное, что управляет его
движением,— это отражения от бортов, которые,
как и в реальном биллиарде, должны
быть упругими. С другой стороны, в
математическом биллиарде стол может
иметь произвольную, подчас довольно
сложную и причудливую форму —
кривые, извилистые борта, дырки и
перегородки внутри и тому подобное. Столу,
по прихоти математика, может быть
придана торическая форма, либо вместо
стола шарик могут поместить в
многомерный сосуд, в котором он и будет летать
в невесомости, отражаясь от стенок
сосуда. Но в любом случае главным
признаком математического биллиарда
остается свободное движение точечной
частицы (по инерции) с упругими
отражениями от стенок (или бортов).
Перейдем к математическим
формулировкам. Пусть Q — произвольная
область (фигура) на плоскости, внутри
которой движется точка q (точечная
частица) с вектором скорости v. Ее
движение равномерное и прямолинейное.
Достигая границы области Q (граница
обозначается dQ), частица отражается
от нее упруго, т. е. по закону «угол
падения равен углу отражения». На рис. 1
схематично изображено упругое
отражение: угол падения (г|)) должен быть
равен углу отражения (ф), а вектор
скорости после отражения должен иметь
такую же длину (||?'|| = 1М0- Это прави-
4
Рис. 1
ло можно записать в виде векторной
формулы:
v' = v — 2(vii)n, (1)
где п — единичный вектор нормали к jpa-
нице 6Q в точке отражения, а (дп) —
скалярное произведение векторов v и п.
Еще одна возможная формулировка
закона упругого отражения состоит в том,
что тангенциальная составляющая
скорости частицы остается неизменной, а
нормальная составляющая меняет знак.
Замечание первое. Согласно правилам
движения длина вектора скрости v
всегда постоянная, и можно выбрать единицу
времени так, чтобы скорость стала
единичной: || v || = 1. Всюду в тексте мы
предполагаем, что скорость движения
единичная.
Замечание второе. Для того чтобы
отражение от границы было определено,
эта граница должна быть гладкой, т. е. у
нее должна быть касательная и вектор
нормали. Однако, как и в настоящем
прямоугольном биллиардном столе, мы
допускаем наличие «углов» — отдельных
точек, в которых граница испытывает
излом. Точнее, граница 6Q должна
состоять из конечного числа кусков
(сторон) , которые смыкаются друг с другом в
точках излома («углах» биллиардного
стола). Если движущаяся биллиардная
частица «умудряется» попасть в угол
биллиардного стола, то она больше не
может отразиться и пропадает. Такие

исключительные случаи мы не
рассматриваем.
Аналогично определяется биллиардная
система в пространственной области Q
(сосуде), когда граница 6Q состоит из
одной или нескольких гладких
поверхностей (листов), склеенных друг с другом
по ребрам. Движущаяся в сосуде
частица отражается от ограничивающих
листов по закону «угол падения равен
углу отражения», т. е. по формуле (1), в
которой п означает вектор нормали к
поверхности границы в точке отражения.
Если частица попадает в ребро (место
склейки двух гладких кусков границы
(3Q), то она пропадает.
Объектом исследования в
математических биллиардах является траектория,
т. е. след движущейся биллиардной
частицы. В общем случае это ломаная,
вписанная в область Q и состоящая из
бесконечного числа звеньев, на
которых указано направление движения
(см. рис. 1). Эта ломаная может быть
однозначно построена по любому своему
звену. В частном случае, когда
биллиардная частица возвращается в исходное
положение (и после этого заново
воспроизводит свое движение), ломаная замкнута
и состоит из конечного числа звеньев.
Такая траектория называется
периодической. Основная цель теории
математических биллиардов — описание
всевозможных типов траекторий в различных
областях.
Биллиарды приводят ко многим
интересным и красивым математическим
задачам. О некоторых из них
рассказывается в этой брошюре, но большее
количество занимательных задач можно
найти в книге [2].
Эти задачи бывают далеко не просты и
таят в себе много нерешенных проблем.
Например, до сих пор неизвестно, в
любой ли области существует
периодическая биллиардная траектория (причем
это неизвестно даже для
многоугольников). Еще один пример связан с
проблемой освещения произвольной области с
зеркальными стенками точечным
источником света: из некоторой точки q^Q
выпустим всевозможные лучи света,
зеркально отражающиеся от границы 6Q;
осветят ли они (после всевозможных
отражений) всю область Q? Ответ
неизвестен, если Q — многоугольник. Для
плоских областей общего вида ответ
отрицательный: для любого гС^\ можно
построить область Q*=Q%, для освещения
которой недостаточно даже п источников
света. Эти удивительные примеры
приведены в книге [2].
Помимо использования в чисто
математических задачах, биллиарды
интересны тем, что моделируют весьма
сложные физические процессы. Традиционно
биллиарды используются в оптике
(зеркальные отражения, задачи об
освещении, фокусировка лучей в лазерах) и
акустике (построение «шепчущих
галерей»), поскольку лучам света и звуковым
волнам свойственны упругие
(зеркальные) отражения от непроницаемых
поверхностей.
К биллиардам могут быть сведены
некоторые важные модели классической
механики и гидродинамики — газы и
жидкости, состоящие из молекул, упруго
сталкивающихся друг с другом и со
стенками сосуда (так называемые системы
твердых шаров). Здесь закон упругого
столкновения заложен в самой модели,
остается лишь представить
(закодировать) движение многих молекул
траекторией одной биллиардной частицы
(подробнее см. гл. IV). Многие проблемы
классической механики твердых шаров
могут быть сформулированы и решены
в терминах биллиардов. Например, так
был решен вопрос о возможном числе
столкновений в системе из конечного
числа твердых шаров в открытом
пространстве (без стенок), о чем мы узнаем
из гл. IV.
Биллиардные траектории возникают
при нахождении собственных функций
оператора Лапласа внутри выпуклой
области с граничными условиями (см.,
например, [3]). Не будем перечислять
всех возможных применений биллиардов.
Сосредоточимся только на
статистической механике, поскольку она дала
гигантский импульс развитию
математической теории биллиардов в последние
30 лет.
Проблема строгого математического
обоснования законов статистической
механики давно волновала умы ученых (в
полном объеме она не решена до сих
пор). Речь идет о выводе законов
эволюции систем большого числа частиц
(компонент) из уравнений движения каждой
5

отдельной частицы (компоненты) под
влиянием всех остальных частиц
(компонент). Еще в прошлом веке Л. Больцман
указал, что определенные
математические свойства системы твердых шаров
могут быть полезны для такого вывода.
Свойства эти — эргодичность,
перемешивание и др.— не столь просты, и мы
познакомимся с ними в гл. II, а
современное состояние гипотезы Больцмана
обсудим в гл. V. Эти свойства (их
называют эргодическими, или
стохастическими) оказываются также полезными при
изучении многих других явлений,
например квантового хаоса.
Эргодические свойства биллиардов
обсуждались еще в работах А. Пуанкаре,
Г. Биркгофа и Ж. Адамара. Большой
вклад в понимание роли этих свойств
для проблем статистической механики
внес советский физик Н. С. Крылов [4].
Математический аппарат для изучения
эргодических свойств биллиардов
появился в 70-х годах, после того как в
серии работ Д. В. Аносова, Я. Г. Синая,
С. Смейла и др. было создано новое
направление в теории динамических
систем, названное теорией гиперболических
динамических систем. Первое
фундаментальное исследование эргодических
свойств биллиардов принадлежит
Я. Г. Синаю [5]. Его работа открыла
дверь для проникновения идей теории
гиперболических динамических систем
(хаоса, необратимости движения,
диффузии, релаксации, равновесия и т. д.) в
математическую теорию биллиардов.
После работы Я. Г. Синая последовала
целая серия работ его учеников и
последователей, со многими из которых мы
познакомимся на страницах данной
брошюры.
В настоящее время математическая
теория биллиардов приобрела
известность и получила признание в научном
мире. Становятся привычными такие
понятия, как «стохастический биллиард»,
«квантовый биллиард», «энтропия
биллиарда», «статистические свойства
биллиарда».
В то же время эта сравнительно
молодая теория недостаточно
популяризована, не стала достоянием широкого
круга математиков. Настоящая брошюра
в какой-то мере имеет целью восполнить
этот пробел.
Мы предполагаем у читателя
знакомство с общими, основными понятиями
высшей математики (особенно такими,
как мера, интеграл, геометрия кривых
и поверхностей, вероятность). Данная
брошюра не является учебником или тем
более научной работой. Наша цель —
донести до читателя основные идеи,
«дух» математических биллиардов,
познакомить его с основными понятиями и
проиллюстрировать их на наглядных
примерах и классических моделях
механики, оптики, акустики.
ГЛАВА I
БИЛЛИАРДЫ
В ВЫПУКЛЫХ ОБЛАСТЯХ
Мы начнем знакомство с биллиардами
с самых простых примеров. Таковыми
являются биллиарды в областях с
гладкой криволинейной границей без точек
излома: в круге, кольце, эллипсе.
§ 1. Правильные области: круг,
кольцо, эллипс
1.1. Биллиард в круге. Простейшая
область с криволинейной гладкой
границей на плоскости — это, конечно же,
круг. Правильная, симметричная форма
круга приводит к правильному
движению биллиардной частицы: при
отражениях от границы круга угол падения
остается постоянным! Это видно из рис. 2.
Если этот угол еще и рационален (в
градусах, например, 45°, 30°, 1° или 2,5°), то
точки отражения ложатся в вершины
правильного многоугольника и движение
биллиардной частицы будет
периодическим (т. е. она рано или поздно вернется
в первоначальное положение и будет в
точности воспроизводить свою
траекторию). Если же угол падения
иррационален, то точки отражения будут всюду
плотно заполнять окружность (т. е. на
любой маленькой дуге их будет
бесконечно много) и траектория никогда не
вернется в исходное положение. Этот
интересный и довольно элементарный факт
вытекает из теоремы Якоби.
Теорема Якоби утверждает, что
если окружность проворачивать на
иррациональный (в градусах) угол р, то
6

Рис. 2
образы каждой точки а, а+|5, а+2|3, ...
(в угловых координатах, взятых по
модулю 360°) заполнят плотно всю
окружность. Доказательство этой теоремы
приведено в [2].
Для нас важно, что во всех случаях
имеется величина, которая сохраняется
при. движении частицы. Эта величина —
угол падения. Такая величина
называется инвариантом, а в физике — чаще
первым интегралом. Системы, обладающие
достаточным набором первых
интегралов, называются интегрируемыми. Для
физических моделей привычны законы
сохранения энергии и импульса. Это
простейшие примеры первых интегралов.
В математических моделях они могут
быть самыми различными величинами,
как в нашем примере им оказался угол
падения. Роль первых интегралов будет
раскрыта позже.
Задача: придумать еще один первый интеграл
для биллиарда в круге.
1.2. Биллиард в кольце. Еще одним
примером довольно правильной области с
гладкой криволинейной границей служит
кольцо, т. е. область, заключенная
между двумя концентрическими
окружностями. В кольце бывают траектории
двух типов:
а) отражающиеся только от внешнего
круга — эти траектории сохраняют угол
падения, как и в круге (они не
«чувствуют» присутствия внутреннего круга);
б) отражающиеся попеременно от
внешнего и от внутреннего кругов.
Траектории типа «б» чуть сложнее,
чем типа «а», но и у них углы падения
на внешнюю окружность одинаковы.
И на внутреннюю — тоже, что видно из
рис. 3.
Рис. 3
Задача, (а) Почему не может быть двух
подряд отражений от внутреннего круга? (б) Почему
не может быть двух подряд отражений от
внешнего круга, за которыми следует отражение от
внутреннего?
Таким образом, и в этом биллиарде
есть первый интеграл — угол падения на
внешнюю окружность.
1.3. Биллиард в эллипсе.
Естественным обобщением круга в математике
является эллипс. Исследование
биллиарда в эллипсе проводится вполне
элементарно (см. [2]). Нас будет интересовать
лишь конечный результат: есть ли в этом
биллиарде первый интеграл?
Оказывается, есть. Исчерпывающий ответ дает
следующая теорема.
Теорема о каустиках в
эллипсе. Если одно звено биллиардной
траектории в эллипсе Эо проходит через
фокус, то и все остальные звенья
проходят через фокусы. Если же ни одно
звено траектории не проходит через
фокусы, то все ее звенья касаются одной
и той же кривой. Этой кривой является
либо эллипс Э\, софокусный с данным,
либо гипербола Л> софокусная с данным
эллипсом Эо (в последнем случае
касаться гиперболы Г\ могут не сами звенья, а
их продолжения за точку отражения).
Кривые, которые одновременно
касаются всех звеньев биллиардной
траектории, называются ее каустиками. Точнее,
каустика в биллиарде — это такая
кривая, что если биллиардную частицу
запустить по касательной к ней, то после
отражения частица также полетит по
касательной к этой же кривой. Термин
«каустика» заимствован из оптики, где
он означает линию, огибающую световой
пучок в месте его схождения после
7

Рис. 4
отражения от зеркала (название
«каустика» означает «жгущая», так как
каустики служат местом концентрации
энергии).
Доказательство теоремы
(только для каустик-эллипсов)
проиллюстрировано на рис. 4. Здесь Р\ и F2 —
фокусы эллипса, а А\АА2— два звена
биллиардной траектории. Точки В\ и В2
симметричны фокусам F\ и F2
относительно прямых ЛИ и А2А. Хорошо
известно, что отрезки F\A и F2A образуют
одинаковые углы с касательной к эллипсу
в точке А. Поэтому все четыре угла
Z-B\AA\9 AAiAFlf /LF2AA2 и АА2АВ2.
равны между собой. Следовательно,
треугольники AB\F2 и AB2F\ равны, т. е.
BXF2 = B2FX. Отсюда |F,C,| + |F2C,| =
= \FXC2\ + \F2C2\, где Сх и С2 — точки
пересечения АА\ с B\F2 и АА2 с B2F\.
Значит, С\ и С2 лежат на одном эллипсе
с фокусами F\ и F2y для которого
отрезки АА\ и АА2 служат касательными.
Остальные детали доказательства
предоставляем читателю.
Дотошный читатель уже спрашивает:
где же здесь первый интеграл? А
каустики как раз и дают возможность его
определить. Любой эллипс или
гипербола, имеющие общие фокусы F\ и F2 с
исходным эллипсом, задаются
уравнениями dist (x, F\)-\-distl (x, F)=c (для
эллипса) и \dist (ху F\) — dist (xy F)\\=c
(для гиперболы). Величина с в этом
уравнении и является первым
интегралом. Мы лишь предпочли более
наглядное определение этого интеграла, введя
каустики.
Кстати, каустики есть и у биллиарда
в круге — это концентрические круги
меньшего радиуса (проверьте!). Радиус
каустики также является первым
интегралом биллиарда в круге, и мы получаем
одно из возможных решений задачи,
приведенной в конце п. 1.1.
§ 2. Теорема Лазуткина
Биллиард в эллипсе уже не столь
тривиален, как в круге или в кольце. Но
эллипс все-таки «чересчур правильная»
фигура, чтобы на нем остановиться.
А что, если взять какой-нибудь овал,
да еще весьма неправильной формы?
Договоримся пока изучать выпуклые
фигуры с гладкой границей, т. е. с границей
без точек излома и без «вмятин». Для
изучения таких биллиардов укажем два
возможных подхода. Один из них опишем
здесь, а другой — в § 4.
Первый подход характерен для
математики — он состоит в попытке обобщить
теорему о каустиках. Действительно,
почему бы не поискать каустики и в
произвольных выпуклых областях?
Оказывается, что если не все траектории, то
хотя бы их часть всегда имеет каустики.
Теорема Лазуткина [3]. Пусть
Q — выпуклая область с достаточно
гладкой криволинейной границей. Тогда
траектории биллиарда в Q, обладающие
каустикой, образуют множество
положительной меры в фазовом
пространстве.
В этой теореме нам все ясно, кроме
слов «достаточно гладкая» и
«положительная мера в фазовом пространстве».
Первое означает, что если участок
границы задан уравнением y=f(x)y то
функцию f(x) можно сколько-то раз
дифференцировать. Сколько? Сам В. Ф.
Лазуткин потребовал: 553 раза. Позднее
французский математик Р. Дуади указал,
что можно дифференцировать всего
шесть раз. Видимо, и это не предел. В
математике часто бывает так, что
первооткрыватель какого-то закона (теоремы)
требует для ее доказательства
«слишком многого», а затем он же или его
последователи упрощают доказательство
и снижают требования.
Для того чтобы раскрыть смысл слов
«фазовое пространство», нам
потребуется отдельный параграф. Его материал
достаточно тяжел, но без него мы не
сможем двигаться дальше. Содержание
этого параграфа составляет базу,
фундамент теории математических биллиардов
8

и одновременно — язык этой теории, на
котором мы будем вести изложение,
поэтому рекомендуем прочесть его
внимательно.
§ 3. Фазовое пространство биллиарда
В моделях, содержащих в себе какое-
либо движение, динамику, используется
язык конфигурационных и фазовых
пространств, позволяющий изобразить
процесс движения наиболее наглядным
образом.
3.1. Общие понятия. Конфигурацией
называется геометрическое положение
системы, без учета ее скоростей.
Конфигурационное пространство — это
совокупность всех конфигураций. Состоянием
системы (или фазой) называется
геометрическое положение с заданными
скоростями. Фазовое пространство — это
совокупность всех возможных фаз,
состояний системы.
Например, пусть на плоскости
движутся п точек. Тогда совокупность их
координат (хх, у\; х2, у2\ ...; хп, уп) определяет
конфигурацию, а если добавить к ним
скорости (хиу\\ ...;хл,уп\ то получим
состояние. Таким образом,
конфигурационное пространство 2л-мерно, а
фазовое — 4л-мерно.
Задание фазы, или точки в фазовом
пространстве,— это полное задание
состояния системы в данный момент
времени. В детерминированных системах
состояние в любой момент времени
полностью (однозначно) определяет ее
эволюцию в будущем и ее историю в
прошлом. Таким образом, каждая
фазовая точка х = х(0), взятая за начальное
состояние, порождает целое семейство
точек x(t) — состояний в моменты
времени /. Точки x(t) «вычерчивают» линию в
фазовом пространстве — это линия
жизни системы, называемая чаще ее
траекторией во времени. Каждая фазовая точка
х через время / переходит в другую
фазовую точку x(t) на своей траектории. Для
каждого / возникает преобразование
фазового пространства в себя, которое
называется сдвигом на время t и
обозначается Ф1. При />0 точки сдвигаются в
свои «будущие» состояния, а при /<0
возвращаются в прошлые. Совокупность
сдвигов Ф* при всех вещественных /
называется фазовым потоком — при
плавном изменении / фазовое пространство
«придет в движение» и «потечет» вдоль
своих траекторий.
Для моделей классической механики
(к которым относится и биллиард)
фазовый поток сохраняет объемы. Это
означает, что фазовое пространство, как
текущая жидкость, нигде не сжимается и не
расширяется. Более точно, взяв
маленький шарик А в фазовом пространстве
(«фазовую каплю»), мы увидим, что
объем его образа Л/ = Ф'Л одинаков во все
моменты времени: |Л/| = |Л|. Закон
сохранения фазового объема в математике
известен как теорема Лиувилля.
3.2. Полное фазовое пространство
биллиарда. В биллиарде, заданном внутри
области Q на плоскости, движется одна
частица qy поэтому конфигурационное
пространство (множество положений
частицы) — это сама область Q. Если
добавить к точке q единичный вектор
скорости v, выходящий из нее, то получим
состояние (фазу). Концы единичных
векторов, прикрепленных к любой точке qy
описывают окружность единичного
радиуса (которая обозначается S1),
поэтому фазовое пространство представляется
топологически в виде прямого
произведения QXS1. Фазовая точка суть пара
(q,v), где q^Q и JeS1, поэтому она
описывается тремя координатами: х, у —
координаты точки q в области Q и ф —
угол поворота вектора v (0^ф^2л).
Фазовое пространство определяет
фигуру ЯЛ в координатах (ху у, ф). Это
цилиндр высоты 2л, в основании которого
лежит область Q (рис. 5). Он
«расслаивается» на «этажи» <2(ф), причем верхний
этаж <2(2л) и нижний Q(0) совпадают,
так как ф — циклическая координата.
Склеив эти два этажа, получим
«бублик» — тор с внутренностью (полното-
рие)у это и будет модель нашего
фазового пространства.
Фазовый поток приводит в движение
каждый этаж <2(ф), все точки которого
«плывут» в одном и том же направлении
под углом ф (см. рис. 5). Когда точки
достигают границы фигуры ЗЛ, то они
«перескакивают» с этажа на этаж (так
как в этот момент биллиардная частица
отражается от границы области Q и
меняет направление вектора скорости). Как
сказано выше, фазовый поток сохраняет
2 Серия «Математика» № 5
9

Рис. 5
объемы в фигуре ЯЛ. Относительный
объем \к(А) = | А | /1 «Щ | областей внутри
фигуры Ш называется мерой Лиувилля.
Именно эта мера упоминалась в
теореме Лазуткина из § 2. Иначе говоря,
траектории, обладающие каустикой,
образуют множество Ак в фазовом
пространстве ЯЛ, мера которого положитель:
на: \i(AK)>0. Можно сказать и так:
наугад выбранная траектория будет
иметь каустику с ненулевой вероятностью
(равной |1(Л/с)).
3.3. Граничное фазовое пространство
биллиарда. Фазовое пространство
биллиарда можно определить иначе и проще,
если задавать траекторию по ее
состоянию не в любой момент времени, а только
в моменты отражений. Тогда состояние
определяется точкой q на границе
области Q и углом отражения ф (вспомните
рис. 1). Угол ф должен различать
«правую» и «левую» стороны, поэтому
снабдим его знаком, как показано на рис. 6.
Для описания точки q достаточно одной
координаты г, циклически обходящей
границу области Q. Проще всего ее
выбрать так, чтобы она отмеряла длину
границы 5Q. Такая координата называется
параметром длины дуги. Для ее задания
надо выбрать начало отсчета и
направление обхода границы (см. рис. 6).
Совокупность всех описанных выше
состояний назовем граничным фазовым
пространством. Оно определяет какую-то
фигуру М в координатах г и ф. Легко
даже понять, какую именно,— это
прямоугольник, так как г меняется от 0 до
длины L границы 5Q, а ф — от —л/2 до
10
Рис. 6
+ л/2. Левая и правая стороны
прямоугольника М (г = 0 и r = L) совпадают,
так как г — циклическая координата.
Склеив эти две стороны, получим
цилиндр (точнее, цилиндрическую
поверхность) — модель граничного фазового
пространства М. Для краткости мы будем
называть ее цилиндром или фазовым
цилиндром.
В граничном пространстве М нет
фазового потока. Движение биллиардной
частицы определяет переход от текущего
отражения к последующему, т. е.
преобразование М в себя, которое мы
обозначим Т и назовем граничным
отображением. Фазовая траектория в данном
случае будет последовательностью
точек ..., Тх~2у Тх~\ х, Тху Тх2у ... — всех
образов и прообразов одной точки х
при последовательных применениях
граничного отображения Т. Эти точки
изображают все отражения биллиардной
частицы от dQ в прошлом и в будущем.
В этих формулах Тпх означает
Т(Т(...Т(Тх)...)) (п раз), а п фактически
играет роль времени.
Теорему Лиувилля можно перевести
«на язык» отображения Т фазового
цилиндра. Правда, в этом случае
сохраняется не объем, а специальная мера,
задаваемая формулой
v(A) = Ц cos ф(Ыф/ Ц cos ф(1гс1ф (2)
А М
для любой области А в фазовом цилиндре
М. Сохранение меры v означает, что мера
образа v(TnA) постоянна при всех п.
Читатель, знакомый с теорией меры,
заметит, что мера v задается плотностью
cos ф по мере Лебега. Для лучшего
понимания формулы (2) мы рекомендуем
вычислить нижний интеграл (ответ: он
равен 2L).
Подведем краткий итог. Мы ввели два

фазовых пространства для биллиардов:
одно — полное, трехмерное (полноторие
ЯЛ с потоком Ф' и мерой Лиувилля р,)
и другое — граничное, двумерное
(фазовый цилиндр М с граничным
отображением Т и своей мерой v).
3.4. Теорема Пуанкаре. Самым первым
следствием законов сохранения мер \i
и v является теорема о возвращении.
Теорема Пуанкаре (о
возвращении). Пусть А — область в фазовом
пространстве ЗЛ (или в М). Тогда
траектория почти любой точки х^А
возвращается в А бесконечное число раз.
Точки из Л, которые не возвращаются
в А бесконечное число раз, образуют
множество нулевой меры, и в этом
состоит точный смысл выражения «почти все»
в формулировке.
Для биллиардов теорему Пуанкаре
можно перефразировать так: почти
любая траектория бесконечное число раз
оказывается сколь угодно близко к
своему начальному положению как по
координате, так и по скорости. С теоремой
Пуанкаре связан следующий
удивительный парадокс: газ в сосуде, занимавший
сначала его левую половину, через время
опять соберется -в левой половине. Для
объяснения этого парадокса обычно
говорят, что время ожидания этого «чуда»
больше времени существования
Солнечной системы.
§ 4. Численные исследования
биллиардов
Теорема Лазуткина из § 2 описывает
какую-то часть траекторий биллиарда в
выпуклой области. Что можно сказать
об оставшейся части?
Здесь нам на выручку приходит другой
подход, о существовании которого мы
упомянули в начале § 2. Это —
компьютерный, или численный, эксперимент. Он
позволяет без особых умственных трудов
заглянуть внутрь довольно сложных
явлений и составить какое-то
представление о них. С распространением
компьютерной техники подобные
эксперименты проникают во многие сферы
человеческой деятельности. По численному
исследованию биллиардов за последние
30 лет написаны десятки научных работ,
и обойти эту тему без внимания было бы
несправедливо. К тому же материал
данного параграфа поможет
читателям-программистам лучше понять роль фазового
пространства биллиарда и первых
интегралов.
Как делается численный эксперимент
для изучения биллиарда? Начало его
простое. Выбирается точка Zo фазового
цилиндра М и строится биллиардная
траектория, выходящая из нее.
Читателю, знакомому хотя бы с одним языком
программирования, рекомендуем
написать программу, рассчитывающую
траекторию биллиарда в круге (или еще
проще — в квадрате).
Программа выдает следующую (после
zo) точку отражения zigM, затем точку,
второго отражения Z2^Af и так далее.
Как будут расположены в М точки zo,
zi, Z2, ...? Для биллиарда в круге ответ
мы уже знаем: все они лежат на одной и
той же линии ф = const в цилиндре Af.
Аналогичная картина в эллипсе: все
точки zo, Zi, Z2, ... лежат народной линии в
цилиндре Af, которая описывает все
траектории, касающиеся данной каустики.
Уравнения этих линий сложны, да они
нам и не понадобятся.
Важно, что весь цилиндр Af
расслаивается на отдельные линии как на
несообщающиеся дорожки, в которых движение
происходит независимо (попав на одну из
них, траектория никогда с нее не сойдет).
Эти линии называются инвариантными
кривыми, так как они переходят сами
в себя (сохраняются) под действием
отображения Т. Упрощает ли их наличие
исследование системы? Конечно! Зная
инвариантную кривую, на которой оказа-.
лась исходная точка zo, мы можем с
уверенностью предсказать ее будущее (и
восстановить ее прошлое). И вообще,
зачем изучать движение во всем фазовом
пространстве, когда достаточно изучить
движение на одной инвариантной
кривой? В этом и состоит роль первых
интегралов: они позволяют сводить сложные
системы к более простым, разбивая их нз
составные части.
В произвольных выпуклых областях с
гладкой границей, по теореме Лазуткина,
также есть инвариантные кривые,
соответствующие каустикам. Но они
заполняют не все пространство Af, а какую-то
его часть. Если же в нашем численном
эксперименте начальная точка z0 не
попадает на эти кривые, то ее траекто-
Т
11

рия zi, Z2, ... может быть устроена
гораздо сложнее. Если продолжать
эксперимент достаточно долго (например,
выдать 10 тыс., 100 тыс. или 1 млн. точек),
то на чертеже будет видно, что они
заполняют какую-то область (фигуру) в
фазовом пространстве М. Это могут быть
островки, полоски или же, наоборот, весь
цилиндр М, кроме отдельных островков и
полосок.
Каждая из таких фигур инвариантна,
т. е. переходит в себя. Они разбивают
фазовое пространство на части, внутри
которых движение происходит
независимо от остальных (автономно), только
части эти «больше» и сложнее, чем
одномерные кривые.
Для иллюстрации приведем результат
численного эксперимента французских
исследователей А. Хэли и Т. Дюмона
(1986 г.). Они «просчитали» на ЭВМ
биллиард в области, ограниченной двумя
дугами AD и ВС большого радиуса и
двумя дугами АВ и CD меньшего
радиуса (рис. 7). В фазовом пространстве М
этого биллиарда (рис. 8) выделяются
10 инвариантных островков, которые, в
свою очередь, разбиваются на мелкие
инвариантные участки, разграниченные
инвариантными кривыми. Некоторые из
этих участков не инвариантны сами по
себе, но переходят друг в друга «по
цепочке» (как участки /, 2, 3, 4 на рис. 8).
В научной литературе, посвященной
численным исследованиям, установился
термин «хаотическое море» для
обозначения наибольшей инвариантной
области, которая заполняет основную часть
фазового пространства («черное море»
на рис. 8). Если в эксперименте Хэли—
Дюмона постепенно выпрямлять дуги
AD и ВС, то на рис. 8 островки будут
сужаться. Когда эти дуги перейдут в
отрезки AD и ВС> то мы получим особый
биллиард, называемый стадионом (он
нам еще встретится в § 5, см. рис. 12, г), а
на рис. 8 хаотическое (черное) море
«затопит» весь цилиндр.
И тогда... начнется самое интересное.
В такой системе отсутствуют первые
интегралы и инвариантные области, и ее
поведение становится крайне
нерегулярным, непредсказуемым, хаотическим или,
точнее, стохастическим. Она начинает
неожиданно подчиняться законам теории
вероятностей и статистической физики.
•о
Рис. 7
Рис. 8
Здесь мы оказываемся на пороге теории
стохастических биллиардов, первый шаг
в которую будет сделан в следующей
главе.
ГЛАВА I I
СТОХАСТИЧЕСКИЕ БИЛЛИАРДЫ
НА ПЛОСКОСТИ
Точного определения стохастических биллиардов
не существует. Можно представлять их как
биллиарды, в фазовом пространстве которых нет
инвариантных областей, как это было в самом
последнем примере гл. I. Образно говоря, в этом случае
весь цилиндр М представляет собой одно
безбрежное хаотическое море. Динамика этого моря
оказывается далеко не бессмысленной. Наоборот,
она удивительным образом подчиняется вполне
жестким законам теории вероятностей и
случайных процессов. Эти законы, как известно,
описывают поведение многих моделей математической
физики, поэтому и стохастические биллиарды
быстро превратились в объект этой науки.
С точки зрения «чистой» математики
стохастические биллиарды остаются моделью, в которой
неожиданно обнаруживается все богатство идей
современной теории вероятностей и случайных
процессов. Наконец, с философской точки зрения в
теории биллиардов можно найти ответ на вопрос о
том, каким же образом в полностью
детерминированной системе появляются вероятность,
случайность и статистические закономерности. Мы
попытаемся привести ответ и обсудить другие близкие
вопросы.
12

§ 5. Примеры
Мы начнем с простого перечисления
всех классов биллиардов на плоскости,
для которых в настоящее время
установлена стохастичность. Естественно, речь
идет о строгом математическом
доказательстве стохастичности в этих
биллиардах, а не о численных экспериментах.
С методами таких доказательств мы
познакомимся в § 7.
5.1. Рассеивающие биллиарды.
В 1970 г. Я. Г. Синай описал первый класс
стохастических биллиардов. Он назвал
их рассеивающими, хотя за рубежом их
стали называть биллиардами Синая.
Они являются в известном смысле
противоположностью выпуклым. Их граница
вогнута внутрь биллиардной области
везде, кроме точек излома. Чтобы получить
такой .биллиард, представьте себе
многоугольник, из которого «откачан» воздух,
из-за чего его стенки прогнулись внутрь
(рис. 9, а). Можно также внутри такой
области разместить несколько других,
уже выпуклых областей («дырок»), как
на рис. 9, б.
Если в таком биллиарде пустить ряд
параллельных траекторий (лучей), то
после первого отражения они разойдутся
«веером», после второго отражения
«веер» еще более «раскроется» и т. д.
(рис. 9, а). Поэтому такие биллиарды
Я. Г. Синай и назвал рассеивающими.
Еще один важный пример. Рассмотрим
квадрат со стороной 1 и склеим
(отождествим) его противоположные стороны.
Получим «бублик» — тор. Когда
биллиардная частица движется на торе, то,
доходя до стороны исходного квадрата,
она не отражается от нее, а «исчезает»
и появляется с противоположной
стороны, продолжая движение в том же
направлении (рис. 10). Вырежем из тора
один кружок в центре и заставим
биллиардную частицу отражаться от него.
Эта система имеет ряд физических
интерпретаций и называется периодическим
газом Лоренца (Г. Лоренц ввел ее в
1905 г. для описания движения
электронного газа в металлах: биллиардная
частица изображала электрон, а
вырезанный кружок — неподвижную молекулу
в кристаллической решетке; дальнейшие
пояснения см. в § 18).
5.2. Полурассеивающие биллиарды.
Рис. 9
Рис. 10
а) Рис. И 6)
Расширим класс примеров из
предыдущего пункта, добавив к границе
биллиарда одну или несколько
прямолинейных граней (отрезков), как на рис. 11.
В частности, можно «оградить» газ
Лоренца, считая стороны квадрата
непроницаемыми (рис. 11, б). Прямолинейные
участки границы не изменяют характер
падающего пучка траекторий (лучей) —
13

б)„Стол с лузами *
Рис. 12
В) т Цбеточная
область "
г) Л Стадион"
они остаются параллельными и после
отражения (рис. 11, а). Поэтому эти
участки еще называют нейтральными
компонентами границы.
Биллиарды, содержащие как вогнутые
(рассеивающие), так и прямолинейные
(нейтральные) компоненты границы,
также впервые изучил Я. Г. Синай. Он
назвал их полурассеивающими.
Движение параллельных лучей в таких^
биллиардах происходит почти так же, "как и в
рассеивающих: лучи остаются
параллельными, пока отражаются от
нейтральных компонент, и расходятся
«веером» после отражений от рассеивающих
компонент. Ряд работ одного из авторов
брошюры (Н. Ч.) относится к теории
полурассеивающих биллиардов. Надо
отметить, что свойства динамики этих
биллиардов могут быть более сложными,
чем в рассеивающих биллиардах Синая.
5.3. Правильные фокусирующие
компоненты (лузы). Два предыдущих
примера могут навести на мысль, что
выпуклая граница стохастическим биллиардам
«противопоказана». Эта мысль вроде бы
подтверждается теоремой Лазуткина из
§ 2, согласно которой в выпуклых
областях с гладкой границей есть каустики,
и поэтому они не могут быть
стохастическими. Тем удивительнее открытие,
сделанное в 1974 г. Л. А. Бунимовичем. Он
построил выпуклые участки границы,
которые в сочетании с вогнутыми и
прямолинейными (а иногда и без них!)
обеспечивают стохастичность биллиарда.
Это участки простейшего вида — дуги
окружностей. Для стохастичности таких
биллиардов важно обеспечить
дополнительное условие, касающееся взаимного
расположения этих дуг.
Условие Б (Бунимович, 1974 г.).
Если каждую из дуг окружностей,
входящих в dQy дополнить до круга, то
внутри него не должно быть других
частей границы биллиарда.
На рис. 12, а условие Б нарушается.
Оно выполнено на рис. 12, б—г.
Если на выпуклый участок границы
биллиарда падает параллельный ряд
траекторий (лучей), то после отражения он
собирается в пучок (фокусируется)?
Поэтому и называются такие участки
границы фокусирующими. Однако
геометрические законы биллиарда таковы, что
отраженные лучи быстро сойдутся в
точку (сфокусируются) и далее разойдутся
«веером» (это называется условием
дефокусировки), как на рис. 13. Участок
пути после точки фокусировки (точка Ф
на рис. 13) до следующего отражения
длиннее, чем до точки фокусировки.
Поэтому большую часть времени
траектории проводят в состоянии
рассеивания, что в итоге делает биллиард по
своим свойствам похожим на
рассеивающий из п. 5.1. Для этого, кстати, и нужно
условие Б, чтобы траектории не могли
наткнуться на границу биллиарда, пока
не пройдут достаточное расстояние после
точки фокусировки.
5.4. Биллиарды Войтковского и Мар-
каряна. Последователи Л. А. Бунимовича
существенно расширили классы стоха-
14

GO0OD
ею ' " ■'
д) Рис. 14
стических биллиардов с фокусирующими
Компонентами. Вначале В. Доннэ
показал, что границу стадиона (см. рис. 12, г)
можно чуть деформировать, чтобы
биллиард остался стохастическим. Затем
в 1986 г. М. Войтковский построил целый
класс фокусирующих компонент, которые
обеспечивают стохастичность. Его
фокусирующие крмлоненты характеризуются
условием
d2/?/dr2<0, (3)
где # — радиус кривизны, а г —
параметр длины дуги, введенный в п. 3.3.
Кроме того, у Войтковского есть и
дополнительные условия на взаимное
расположение компонент границы (типа
условия Б). У биллиардов Бунимовича
радиус кривизны R постоянен на каждой
дуге, поэтому d2R/dr2 = Q— это
крайний, предельный случай в условии
Войтковского (3). Другие примеры,
соответствующие усл.овию (3) — кардиоида
(рис. 14, а), нефроида (рис. 14, б),
квадрат с дыркой в форме астроиды (рис.
14, в), две «большие» дуги эллипса (т. е.
примыкающие к малой полуоси),
соединенные двумя отрезками (рис. 14, г).
Стоит отметить, что М. Войтковский
сделал также неосторожное замечание
о том, что его условие (3), по существу,
исчерпывает все стохастические
биллиарды с фокусирующими компонентами.
Но уже через два года (в 1988 г.)
молодой уругвайский математик Р. Мар-
карян опроверг утверждение
Войтковского. Он привел новое условие, которое
в известном смысле «противоположно»
условию (3). В частности, его условие
«охватывает» биллиард с двумя малыми
дугами эллипса (примыкающими к
большой полуоси), соединенными двумя
отрезками (рис. 14, д). В
противоположность биллиардам Войтковского, здесь
d2R/dr2>0 по всей дуге!
Еще более общие классы
стохастических биллиардов с фокусирующими
компонентами совсем недавно построили
В. Доннэ и Л. А. Бунимович.
На этом вряд ли уместно ставить
точку. Остается ждать новых открытий...
§ 6. Уровни стохастичности: эргодичность,
перемешивание и К-свойство
В этом параграфе мы приступаем к
систематическому описанию
стохастических биллиардов на математическом
языке. Принято различать несколько
видов (уровней) стохастичности — от
слабой до сильной.
6.1. Эргодичность. Первый уровень
начинается при уже знакомом нам
отсутствии в фазовом пространстве М
инвариантных областей. Точнее, когда в нем
нельзя выделить подмножества Лс=М,
такого, что 0<у(Л)<1
(существенность) и ТА=А (инвариантность). Это
свойство называется эргодичностью. Оно
соответствует самому слабому,
начальному уровню стохастичности.
Заметим, что понятие эргодичности
относится к произвольным динамическим
системам, а не только к биллиардам.
Эргодические системы обладают одним
важным свойством, известным в физике
как равенство пространственных и
временных средних. В математике оно
называется эргодинеской теоремой Бирк-
гофа — Хинчина.
15

Теорема (Биркгоф — Хиннин).
Пусть f(x) — непрерывная функция на
фазовом пространстве М (непрерывность
можно заменить более слабым условием
абсолютной интегрируемости) и
отображение Т пространства М в себя эргодич-
но. Тогда для почти всех точек х^М по
инвариантной мере v существует предел
Ит Пх) + КТх) + К1*х)+... + ЦГ-1х) (4)
п
и он равен интегралу
\ f(x)dv(x). (5)
м
Величина (4) называется временным
средним (т. е. средним по времени при
длительном движении точки х)у а
интеграл (5) — пространственным средним
(по пространству М).
Слова «почти все точки» в этой теореме
означают, что равенство средних (4) и
(5) выполнено для точек ху образующих
множество меры 1 (дополнение к нему
имеет меру 0). Оговоримся, что в любой
модели есть «нетипичные» точки х, для
которых предел (4) не равен интегралу
(5) или же вообще не существует, но
таких точек «мало» — они образуют
множество меры 0, или, иначе говоря,
появляются с нулевой вероятностью.
Подробное доказательство этой теоремы
приведено в [12].
Равенство временных и
пространственных средних используется при
исследовании ряда моделей современной
математической физики. Долгое время, еще
с прошлого века, существовала гипотеза
Л. Больцмана о том, что все законы
статистической физики также можно
вывести из эргодической теоремы. В
настоящее время ясно, что это неверно.
С одной стороны, «газы» из трех или
четырех твердых шаров, с которыми мы
познакомимся в § 19, эргодичны, но из-за
малого числа «молекул» в этом «газе»
основные понятия статистической физики
теряют свой смысл. С другой стороны,
многие важные конечномерные модели
статистической физики оказываются не
эргодичными, что можно доказать с
помощью знаменитой теории
Колмогорова — Арнольда — Мозера (КАМ-тео-
рии). К гипотезе Больцмана мы еще
вернемся в § 19.
Одно из возможных и полезных
следствий эргодической теоремы состоит в
том, что траектория типичной (т. е. почти
каждой) точки умудряется «побывать во
всех уголках» фазового пространства М.
Точнее, для любой области А в М частота
попадания траектории типичной точ£и в
эту область близка к ее мере v(A).
Задача. Выведите написанное выше
следствие из теоремы Биркгофа — Хинчина. (Указание:
примените эту теорему к функции (д(х),
тождественно равной единице на области А и нулю
вне ее )
6.2. Перемешивание. Рассмотрим два
подмножества Л и В в пространстве М.
Одно из них, например Л, сдвинем на п
единиц времени в будущее — получим
множество ТпА. Биллиард называется
перемешивающим, если
Hmv(rMnB) = v(^).v(B), (6)
т. е. с ростом п мера пересечения
множеств ТпА и В стремится к
произведению их мер.
Задача. Докажите, что перемешивающий
биллиард всегда эргодичен. (Подсказка:
рассуждайте «от противного» — возьмите множество А
такое, что 0о(Л)<1 и ТА=АУ и подставьте в
(6) множества А и В = М\А.)
Как видно из данной задачи,
перемешивание — более сильное свойство, чем
эргодичность. Оно соответствует
«второму уровню» стохастичности.
Задача. Приведите пример эргодического
отображения с инвариантной мерой (не обязательно
биллиарда), которое не перемешивает. (Указание:
воспользуйтесь теоремой Якоби из § 1 и докажите,
что поворот окружности на иррациональный
(в градусах) угол эргодичен, но не перемешивает.
В качестве подмножеств А и В в формуле (6)
возьмите две любые маленькие дуги.)
В теории вероятностей свойство «мера
пересечения равна произведению мер»
называется независимостью.
Независимость — ключевое понятие в этой теории,
на ней построен весь ее аппарат. Как
отмечал А. Н. Колмогоров, создатель
аксиоматики теории вероятностей, именно
понятие независимости выделяет теорию
вероятностей из общей теории меры и
интеграла. Иначе говоря, в тех
пространствах с мерой, где изучаются
независимые или почти независимые
подмножества, начинает работать теория
вероятностей.
Последнее замечание можно считать
одним из возможных ответов на
«философский» вопрос, поставленный в начале
главы II. А именно если в детермини-
16

Рис. 15
рованной системе (каковой является
любой биллиард) выполнено свойство (6),
то в фазовом пространстве М возникают
почти независимые события (точнее, все
«будущие» события — ТпА почти не
зависят от «настоящих» — В). Следуя логике
А. Н. Колмогорова, можно ожидать, что
эволюция такой системы описывается
законами теории вероятностей, и далее мы
неоднократно в этом убедимся. Можно
было бы сказать, что в такой системе
появляется и случайность, но правильнее
назвать это свойство все же
псевдослучайностью.
На свойстве псевдослучайности основана
работа некоторых генераторов случайных чисел в
вычислительных машинах. В § 4 мы описывали, как
моделируется на ЭВМ движение биллиардной
частицы. Возьмем в качестве биллиарда
периодический газ Лоренца (п. 5.1.) и разыграем
движение биллиардной частицы с отражениями от
неподвижного круга (рис. 15). После каждого
отражения при первом пересечении частицей границы
тора будем «снимать» ее координату х или у
(точнее, ту из них, которая не равна 1 или 0). Получим
последовательность чисел в диапазоне от 0 до 1
(на рисунке это х\, t/г, *з, —)• Оказывается, что
эта последовательность ведет себя так, как должна
вести себя чисто случайная последовательность
равномерно распределенных на отрезке [0, 1 ]
чисел. Ее хорошие статистические свойства
подтверждаются многочисленными специальными
тестами.
Описанные выше генераторы сконструировали
и изучили ереванские математики и физики
Р. О. Абрамян, Н. 3. Акопов, Г. К. Саввиди и
Н. Г. Тер-Арутюнян-Саввиди.
Явление перемешивания имеет
наглядную интерпретацию. Представим себе
множество А (из формулы (6)) в виде
маленького шарика в фазовом
пространстве (в § 3 мы называли такой шарик
„Спрут" ТпА
Рис. 16
«фазовой каплей»). Разобьем фазовое
пространство произвольным образом на
клетки (ячейки) Bi, B2, ..., BN. Формула
(6) показывает, что образ «капли» через
п единиц времени (если п велико)
пересекается с каждой клеткой В\, ..., BN.
С другой стороны, объем «капли» ТпА не
меняется с ростом п (теорема Лиувилля).
Как может маленькая «капля» ТпА
пересечь одновременно все клетки Ви • ••> BN?
Только если она вытянулась,
искривилась, приобрела очень запутанный вид и
каким-то сложным образом расползлась
в фазовом пространстве, задевая своими
«отростками» все клетки (такая «капля»
изображена на рис. 16).
Данное явление физики
рассматривают как свойство необратимости
движения, поскольку области правильной
формы с течением времени деформируются,
расплываются по фазовому пространству
и никогда более не восстанавливают
первоначальную форму (подобное
объяснение принадлежит Н. С. Крылову, который
высказал его в 1950 г. для обоснования
законов статистической механики в
детерминированных системах).
Если в физической системе начальное
состояние не может быть задано
абсолютно точно (в экспериментах это всегда
так), то фактически можно задать лишь
какую-то «каплю» в фазовом
пространстве, а не точку. И тогда, как мы
видели, результат эволюции через
достаточно продолжительное время
становится практически непредсказуем. Точнее,
его можно описать лишь через
распределение вещества капли в фазовом
17

пространстве, и поэтому законы
эволюции приобретают вероятностный
характер.
6.3. Кратное перемешивание и
/(-свойство. Читатель, знакомый с теорией
вероятностей, знает, что в ней важна не
просто попарная независимость событий
(с которой мы встречались в
предыдущем разделе), а взаимная
независимость нескольких (любого числа!)
событий. С этим связан следующий уровень
стохастичности.
Биллиард называется r-кратно
перемешивающим (при г^2), если для
любых подмножеств В и А\, А2, ..., Аг в
фазовом пространстве М выполнено
lim v(B()riA\()T*l+**A2()...
П\, .... Пг-*-00
nr>+-+n'ArUv(B)-v(A1).,v(A2)...v(Ar).
(7)
Эта формула означает, что событие В
и образы событий А\,А2, ..., Лг
становятся почти независимыми, если все
они достаточно далеко отстоят друг
от друга по времени (для этого
«интервалы времени» п\, ..., пг устремляют к
бесконечности).
Естественно, r-кратное
перемешивание — более сильное свойство, чем
просто перемешивание (формула (6) —
частный случай (7) при г=1). Чем больше
г, тем сильнее стохастичность. В случае
r-кратного перемешивания при всех
г^2 говорят о перемешивании всех
степеней.
Есть и более сильное свойство, чем
перемешивание всех степеней. Это
свойство Колмогорова, или, как его кратко
называют, К-свойство. Его можно
интерпретировать как «почти*
независимость от настоящего всего того, что
может произойти в далеком будущем.
Обратим внимание читателя на то, что
более высокие уровни стохастичности
характеризуются более разнообразными
проявлениями свойства независимости,
поэтому эволюция соответствующих
систем должна сильнее подчиняться
законам теории вероятностей. И это
действительно наблюдается в
многочисленных примерах!
18
§ 7. Устойчивые и неустойчивые
семейства траекторий.
Теорема Синая
В этом параграфе мы переходим от
описания разных видов стохастичности
к разъяснениям и доказательствам.
Доказательство эргодичности
рассеивающих биллиардов получено Я. Г.
Синаем в 1970 г. Его метод восходит
к работам немецкого математика Э. Хоп-
фа, который в 1939 г. предложил одну
идею, оказавшуюся удивительно
плодотворной для многих моделей физики
и механики. Идея Хопфа, в свою очередь,
использует устойчивые и неустойчивые
семейства траекторий (Хопф называл их
асимптотическими), которые впервые
появились в работах французского
математика Ж. Адамара. Построения Адама-
ра и Хопфа в строгом математическом
изложении довольно сложны. Мы
объясним только идею этих построений, дав
им геометрическую интерпретацию. Мы
надеемся, что читателям с развитой
геометрической и физической интуицией
наших объяснений будет вполне
достаточно для понимания существа дела.
7.1. Устойчивые и неустойчивые
семейства. Идея устойчивости в
биллиардах заимствована из теории
дифференциальных уравнений. Напомним, что
траектория движения называется
устойчивой, если все близкие к ней траектории
не отклоняются от нее со временем
слишком далеко. В п. 5.1 мы видели, что
в биллиардах Синая нет устойчивых
траекторий — параллельно идущие
близкие лучи быстро расходятся «веером».
Посмотрим на описанную выше
картинку как бы с «обратной стороны».
Возьмем ряд очень близких параллельных
лучей, которые через достаточно
продолжительное время сильно разойдутся
и образуют широкий «веер». После этого
повернем все лучи этого «веера» назад
и обратим его движение вспять. Ясно,
что лучи снова пройдут по своим
«старым» траекториям — от конца к началу.
При этом они будут постоянно
сближаться, пока вновь не составят узкий
параллельный ряд, с которого мы начали.
Рис. 17 иллюстрирует наше построение
(/ условно обозначает время движения).
В описанном построении время
движения не было ограничено. Поэтому чем

дольше исходные траектории
расходились, тем дольше «обращенные» будут
сходиться. Если, как обычно в
математике, перейти к пределу, устремив время
движения к бесконечности, то получим
семейство траекторий, которые
сближаются все время, в пределе становясь
неотличимыми. В каждый момент
времени все точки этого семейства
располагаются на какой-то вогнутой кривой в
области Q и движутся по лучам,
обращенным «внутрь» этой кривой, т. е.
образующим фокусирующийся пучок (света).
Такие кривые мы называем устойчивыми
семействами (состояний) — сокращенно
УС, так как их. траектории
неограниченно сближаются в будущем.
Оговоримся, что в научной литературе вместо УС
принят термин «устойчивое
многообразие».
На рис. 18 изображено простейшее УС
и показан процесс его сокращения после
двух первых отражений. Дальнейшую его
эволюцию легко представить: оно
осциллирует между точками Л и В, все теснее
прижимаясь к периодической
траектории, бегающей по отрезку АВ.
В качестве упражнения рекомендуем читателю
нарисовать траекторию хотя бы одного УС в бил-
Рис. 18
Рис. 19
лиарде Бунимовича из п. 5.3 (например, бегающего
вокруг оси симметрии в стадионе на рис. 12, г.)
При построении устойчивых семейств
мы «не обратили внимания» на одно
препятствие: в своем движении они могут
задевать краями за выступы границы
биллиарда (как дуга АВ на рис. 19) или
налетать на точки излома границы (как
точка С на рис. 19). Если это происходит,
то наше семейство рвется на части,
которые разлетаются в разные стороны. Это
обстоятельство мешает построению УС и
жестко ограничивает их длину.
Например, на рис. 19 лишь дуга ВС может
образовать УС, если, конечно, и она не
порвется при последующих отражениях.
Вообще, чтобы установить длину УС,
т. е. найти его концы, необходимо
проследить за его движением на всем
бесконечном интервале времени (/>0) и
отбросить все отрывающиеся от него части.
Если этих частей наберется бесконечно
много, то в итоге может ничего и не
остаться!
К счастью, длина УС сокращается в
19

геометрической прогрессии, т. е. после п
отражений она будет меньше doXn, где
do — исходная длина УС, а Я< 1 — одна
из важнейших характеристик биллиарда
(эта формула будет выведена в § 8).
Отсюда следует, что вероятность разрыва
при п-м отражении убывает в
геометрической прогрессии (т. е. она меньше
const -Xn). Ряд из этих вероятностей
сходится (1+Я + А,2 + ... = (1—*>)""')> и из
известной в теории вероятностей леммы
Бореля — Кантелли вытекает, что
разрывов может быть лишь конечное число.
Этого достаточно для построения УС.
Приведенным рассуждениям далеко до
математической строгости, но с их
помощью мы хотели еще раз
продемонстрировать, как в биллиардах работают
законы теории вероятностей.
Кроме устойчивых семейств (УС), нам
понадобятся «обращенные» семейства.
Повернув все лучи какого-то УС назад,
мы получим семейство состояний,
обладающее на первый взгляд странным
свойством: оно будет сокращаться при
движении назад, в прошлое (т. е. под
действием потока Ф' при отрицательных
/, когда /->— оо). При движении вперед
(/>0) это семейство будет, естественно,
расширяться, и потому мы назовем его
неустойчивым семейством (состояний) —
сокращенно НУС (в научной литературе
принят термин «неустойчивое
многообразие»).
7.2. Конструкция Хопфа.
Доказательство эргодичности будем вести «от
противного». Пусть в фазовом пространстве
М есть инвариантная область А. Если
точки х и у лежат на одном устойчивом
семействе (УС) и одна из этих точек
(пусть х) лежит в Л, то и вторая точка
(у) также лежит в А. Действительно,
траектория точки х «гуляет» по всей
области А (см. замечание в конце п. 6.1),
а траектория точки у сближается с
траекторией *, и в пределе они неотличимы,
поэтому и она рано или поздно попадает
в Л. Но область А инвариантна, поэтому
вся траектория точки у лежит в ней.
Аналогично все точки какого-то НУС лежат
в области Л, если одна из них лежит в А
(так как траектории точек НУС
сближаются при движении «в прошлое» под
действием Тп при п<0).
Отмеченное обстоятельство побудило
Хопфа использовать УСы и НУСы как
строительный материал для нахождения
инвариантных областей в фазовом
пространстве. Для этого берется
произвольная точка jc, через нее проводится УС,
через каждую точку на этом УС
проводится НУС, далее через каждую точку
на этих НУС — снова УС и т. д.
Получится бесконечный набор УС и НУС,
связанных в единую «сетку», которая целиком
лежит в одной инвариантной области
фазового пространства.
Для наглядности покажем построение
Хопфа на фазовом цилиндре М в
рассеивающем биллиарде. Любой УС можно
спроектировать вдоль своих лучей на
границу dQ, и он перейдет в кривую на
цилиндре М, которая убывает как
функция ф = ф(г) (рис. 20). Напротив, любой
НУС проектируется в возрастающую
кривую на М (нарисуйте
соответствующую картинку!). Описанное выше
построение Хопфа приведет к сетке из
убывающих и возрастающих кривых,
изображенной на рис. 21.
Результаты построений Хопфа сразу
же исключают возможность появления
первых интегралов в том виде, в каком
они встречались в § 4: цилиндр М не
может расслаиваться на инвариантные
кривые, поскольку сетка Хопфа должна
содержаться в одной инвариантной
области, которая явно «больше» любой
одномерной кривой (в действительности
она заполняет множество положительной
меры).
Идею Хопфа иногда формулируют
иначе: если две фазовые точки х и у можно
соединить ломаной с конечным числом
звеньев, каждое из которых является УС
или НУС, то эти точки (как и вся
ломаная) лежат в одной инвариантной
области. Такую ломаную называют
цепочкой Хопфа. Если же любые две фазовые
точки можно соединить цепочкой Хопфа,
то все фазовое пространство
представляет собой одну инвариантную область
и, значит, наш биллиард эргодичен
(этот метод применим, разумеется, не
только к биллиарду).
7.3. Теорема Синая. Если бы все УС и
НУС в биллиардах были достаточно
длинными, то мы без труда реализовали
идею Хопфа из п. 7.2. Но мы уже
убедились в п. 7.1, что рассчитывать на
длинные УС и НУС не приходится.
Единственный выход состоит в том, чтобы ак-
20

21
9
М
г
Рис. 20
Рис. 21
куратно оценивать длину УС и НУС и
тщательно выделять (а затем
«обходить») в фазовом пространстве те места,
в которых концентрируются слишком
короткие УС и НУС. Такой скрупулезный
анализ впервые проделал Я. Г. Синай
в 1970 г. [5], доказав следующую
теорему, которую мы формулируем в слегка
ослабленном варианте.
Теорема Синая (основная
теорема теории рассеивающих биллиардов).
Если траектория точки х^М
рассеивающего биллиарда в области Q ни разу
не касается границы dQ и не попадает в
ее точки излома (т. е. все отражения
«правильные»), то у точки х есть
маленькая окрестность V{x) (кружок в М с
центром в точке х)у в которой через каждый
УС длины / можно провести НУС длины
С/ (и, наоборот, если поменять УС и НУС
местами). Здесь величина С> 1 и может
быть сделана как угодно большой, если
соответственно уменьшить кружок V(x).
Иначе говоря, цепочку Хопфа всегда
можно построить, причем длины ее
звеньев даже будут расти! Но все это — в
маленькой окрестности точки х. Осталось
лишь «связать» эти окрестности друг с
другом с помощью таких же цепочек
Хопфа. Оказалось, что это уже не столь
сложная задача, и она также была
решена Я. Г. Синаем в [5].
Замечательно, что из доказательства
Синая вытекает не только эргодичность,
но и /(-свойство, т. е. максимальный
уровень стохастичности из
перечисленных в § 6 (а значит, и все промежуточные
уровни: перемешивание и кратное
перемешивание).
Аналогичная теорема была доказана
Л. А. Бунимовичем в 1974 г. для
введенных им же биллиардов (см. п. 5.3),
причем его доказательство следует той же
схеме, что и у Синая. Это указывает на
определенную универсальность метода
Синая. Его обобщения на многомерные
биллиарды и газы твердых сфер мы
обсудим в гл. V.
§ 8. Уравнения движения
семейств траекторий.
Энтропия биллиардов
В предыдущем параграфе мы
убедились, что устойчивые и неустойчивые
семейства (УС и НУС) играют роль
главного инструмента при исследовании
стохастических свойств биллиардов. Здесь
мы введем уравнения движения УС.
Появятся цепные дроби, которые,
несомненно, украшают математическую
теорию биллиардов.
8.1. Уравнения движения УС. Начнем
с анализа процесса сокращения УС,
который уже упоминался в п. 7.1. На
рис. 22 изображено УС в форме дуги
окружности, движущейся к своему
центру. Если /о — длина дуги, а /, — длина
ее образа через время /, то из подобия
находим коэффициент сжатия:
Здесь Ro — радиус исходной дуги и
Rt = Ro — t — радиус ее образа через
время t (напомним, что скорость равна 1),
а Х'= 1/Л/ означает кривизну дуги. Если
УС не столь правильный, т. е. его
кривизна переменная, то формула (8) верна
приближенно или, как говорят, локально,
и для расчета коэффициента сжатия надо
проинтегрировать величину 1+/х/ вдоль
данного УС.
Формула (8) сводит вычисление
коэффициента сжатия к расчету кривизны
21

Рис. 22
Рис. 23
X/. Найдем сначала кривизну х0=1//?0
исходного УС. Из формулы (8) следует
соотношение
= -L =
Х° Ro
1
1
t + Rt /+1/X/
(9)
Формула (9) верна.только для
движения без отражений. При отражении от
границы биллиарда происходит
мгновенное, скачкообразное изменение кривизны
УС, если сама граница искривлена.
Образно говоря, кривизна границы
«накладывается» на кривизну УС, и последний
«разворачивается». Соответствующие
законы изучаются в геометрической
оптике. На рис. 23 изображено отражение
УС от границы рассеивающего
биллиарда. Здесь R- — радиус кривизны УС до
отражения, /?+ — то же, но после
отражения, /?i — радиус кривизны самой
границы и ф1 — угол отражения.
Читатель, владеющий элементарными
приемами дифференциальной геометрии, легко
выведет формулу:
22
--7ГТ +
R\ cos ф1
(10)
В любом случае мы рекомендуем
вывести ее, чтобы лучше «почувствовать»
законы биллиарда. В оптике эта формула
имеет свое название: «уравнение
зеркального отражения». Перепишем ее в
виде
где вместо радиусов кривизны записаны
величины кривизн x\ = l/R\ и %± = l/R±
(они более удобны).
Если в формуле (9) время t означает
момент первого отражения УС от
границы, a %t — кривизну УС непосредственно
перед этим отражением, то, подставляя
(11) в (9), получим
Хо =
(12)
t+
2xi
COS ф|
+ ХН
где х*+о означает кривизну УС
непосредственно после рассматриваемого
отражения. Далее, для расчета неизвестной пока
величины х/+о мы вновь применим
формулу (9), рассмотрев интервал движения
до второго отражения, затем — формулу
(11) для второго отражения и т. д.
Продолжая в том же духе, мы будем
наращивать нашу дробь (12) «вниз» и в пределе
получим бесконечную, или, как говорят,
непрерывную, цепную дробь
Хо =
1
(13)
т.+
2x1
COS ф|
+
Т2+-
2х2 1
COS ф2 Тз-Ь —
где Ti означает интервал времени до
первого отражения, т, — интервал времени
между /--1-м и /-м отражениями, х, —
кривизну границы и ф, — угол падения в
точке /-го отражения.
Отметим закономерность: нечетные
члены цепной дроби (13) имеют общий
вид т/, а четные — 2x,/cos ф,.
Чередование нечетных и четных членов
указанного вида связано с естественным
чередованием свободных пробегов и
отражений от границы при движении УС.
Возникает коварный вопрос: есть ли
смысл в написанной бесконечной дроби

(13) и как вычислить ее величину?
В математике цепную дробь общего вида
определяют как предел подходящих
(конечных) цепных дробей:
при л->оо.
Наша цепная дробь (13) в
рассеивающем биллиарде имеет положительные
члены: т,>0, coscp,>0, х,>0. Это
облегчает доказательство ее сходимости.
Читатель может легко проверить
основное неравенство для подходящих дробей:
^2я + 2<^2п + 4<^2п + 3<^2п+1 ПРИ ЛЮ"
бом п^О. Тем самым все четные
подходящие дроби образуют возрастающую
последовательность, а нечетные —
убывающую, и обе они сходятся к какой-то
точке, лежащей между всеми четными и
всеми нечетными дробями. В теории
цепных дробей аналогичное утверждение
носит название теоремы Зейделя — Штерне
(см., например, учебник [6]).
8.2. Коэффициент сжатия УС.
Исследуем более подробно процесс сжатия УС
при переходе от отражения к отражению.
Согласно (8) коэффициент сжатия УС
за один такой переход равен
Х=1+тХ1, (14)
где xi — кривизна УС перед вторым из
двух рассматриваемых отражений, а т —
интервал движения между ними.
Коэффициент сжатия за п идущих подряд
отражений равен произведению Xi-ЯгХ
X .• -Хп коэффициентов сжатия при
каждом отдельном отражении. Его логарифм
равен сумме In Х\ + ... + In Хп. Согласно
эргодической теореме Биркгофа — Хин-
чина (п.6.1) эта сумма растет как nhy где
h= \ In kd\i(x)=\ In (1+txi)^M'(*)
м м
(15)
— среднее значение логарифма
величины X из формулы (14).
Формула (13) и ее анализ в п.8.1
показывают, что кривизна любого УС
положительна, поэтому In X>0, и величина А
в (15) также положительна.
Следовательно, коэффициент сжатия УС за п
отражений растет как ehn —
экспоненциально, или в геометрической прогрессии.
Если вы помните, то именно это было
«обещано» в п.7.1 при построении YC.
8.3. Энтропия биллиарда. Величина h
из формулы (15) называется энтропией.
Важность этого понятия заставляет нас
сделать небольшое отступление в
историю.
Понятие энтропии родилось почти
независимо в нескольких областях физики и
математики и стало быстро проникать
в другие разделы этих наук.
«Основополагающим» было понятие
термодинамической энтропии, введенное Р. Клау-
зиусом в 1864 г. для характеристики
процесса перехода тепловой энергии в
механическую. В настоящее время
распространен взгляд на энтропию как на меру
беспорядка, хаоса в системах с большим
числом частиц (состояний).
Классический закон термодинамики гласит: в
консервативных (замкнутых) системах эн-
троп: я никогда не убывает.
Впоследствии энтропия была введена в
теорию информации (К. Шеннон, 1948 г.)
для численного выражения меры
неопределенности, связанной со случайными
событиями. Оттуда она «перекочевала»
в теорию вероятностей (энтропия
дискретных распределений).
Наконец, в 1958 г. энтропия была
введена А. Н. Колмогоровым в теорию
динамических систем. Она была названа мет-
ринеской энтропией. Именно этот смысл
энтропии мы вкладываем в величину h в
формуле (15).
Между перечисленными видами
энтропии существует глубокая идейная связь.
Различные концепции энтропии
продолжают интенсивно влиять друг на друга.
Определение метрической энтропии
довольно сложно, и его изложение в полном
объеме требует около десятка книжных
страниц. Вряд ли оно уместно в данной
брошюре. Интересующимся мы
рекомендуем фундаментальный вводный курс
П. Биллингслея [7] или современный
обзор Н. Мартина и Дж. Ингленда [8].
Мы дадим лишь весьма упрощенное
описание энтропии. Представим себе
фазовое пространство М в виде
географической карты, разделенной (произволь-
23

но) на несколько «стран» —
подмножеств Ali, Л1г, .., Мк. Зафиксируем п^ 1
и для каждой точки х^М составим
маршрут ее «путешествия» по странам
под действием отображения Т. Если
x^Mlo, Tx^Mh, ..., ТпхеМ1н, то таким
маршрутом будет последовательность
{М1о> Мцу ..., A1J. Можно поступить и
наоборот: фиксировать маршрут и найти
все точки х с этим маршрутом. Тогда
каждый возможный маршрут «охватит»
какую-то группу точек ху движущихся по
нему. Назовем ее туристической группой,
соответствующей выбранному маршруту.
Оказывается, что при очень больших п
«типичные» точки фазового пространства
М попадают в туристические группы,
размер которых довольно жестко определен:
эти группы как подмножества
пространства М имеют меру порядка е .
Величина А в этой формуле и есть энтропия.
Данное выше описание можно
интерпретировать так, что чем больше
энтропия, тем мельче получаются «основные»
туристические группы и тем самым
больше информации мы получим об
индивидуальной точке, узнав ее маршрут.
Ассоциация с теорией информации здесь
совсем не случайна!
Формула (15) для энтропии
биллиардов была доказана Я. Г. Синаем в 1970 г.
Она позволяет дать другое, более
«геометрическое» описание энтропии
биллиарда как среднего логарифма
коэффициента сжатия устойчивых семейств
при переходе от отражения к отражению.
Вспомним, что обращенное УС мы
назвали в п.7.1 неустойчивым семейством
(НУС), поэтому коэффициент сжатия УС
будет также коэффициентом растяжения
соответствующего НУС. Следовательно,
энтропия — это средняя мера
экспоненциального растяжения неустойчивых
семейств при переходе от отражения к
отражению. Любопытно, что последнее
свойство энтропии было известно в
физике из совершенно иных соображений,
восходящих к понятию
термодинамической энтропии.
Формула (15) позволяет довольно
точно рассчитывать энтропию конкретных
биллиардов с помощью ЭВМ или
посредством аналитических оценок величины
Xi через ее представление в виде цепной
дроби (13). Например, для
периодического газа Лоренца (п.5.1) с вырезанным
24
кругом радиуса г энтропия равна
«2 In 1/г. Для стадиона (п.5.3),
ограниченного двумя полукругами радиуса г и
двумя планками длины 1, энтропия равна
«rln 1/г, если г очень мало и^
^const-г-1/2, если, наоборот, г очень
велико. Все эти формулы были вначале
получены на ЭВМ, и затем доказаны
математическим путем.
§ 9. Оценки числа периодических
траекторий
Это последний, заключительный
параграф, посвященный стохастическим
биллиардам на плоскости. Мы расскажем
только о полученных совсем недавно
оценках числа периодических траекторий.
Периодической называют траекторию,
которая после некоторого числа
отражений возвращается в исходное положение,
т. е. имеет конечное число звеньев.
На рис. 24 изображены три
периодические траектории с числом звеньев 2, 3 и 4.
Обозначим Рп число периодических
траекторий с п звеньями и зададимся
вопросом: как растет последовательность
Рп с увеличением п?
В 1989 г. болгарский математик Л.
Стоянов получил для Рп оценку сверху во
всех рассеивающих биллиардах на
плоскости и в пространстве:
Рп <К(К- 1)п~1<К\ (16)
где К—число сторон (компонент)
границы биллиарда (например, К = 4 на
рис. 24). Доказательство основывается
на следующем принципе
единственности: не может быть двух
различных периодических траекторий с
одинаковым числом звеньев, отражающихся
последовательно от одних и тех же
компонент границы. Например, на рис. 24
существует ровно одна трехзвенная
периодическая траектория, отражающаяся
последовательно от Г\, Гг, Г3 (она
выделена на рисунке).
Задача. Вывести неравенство (16) из принципа
единственности.
В свою очередь, принцип
единственности выводится из свойства
экстремальности биллиардных траекторий,
известного еще в 20-х годах американскому
математику Г. Биркгофу [9]: каждая
периодическая биллиардная траектория

Рис. 24
имеет экстремальную (минимальную или
максимальную) длину среди всех
замкнутых ломаных, вписанных в
биллиардную область Q с вершинами, близкими
к точкам отражения данной траектории.
В рассеивающих биллиардах длина
каждой периодической траектории
минимальна среди длин всех ломаных,
вершины которых лежат на тех же сторонах
границы, что и точки отражения
траектории, причем этот минимум строгий, т. е.
единственный.
В 1990 г. один из авторов данной
брошюры (Н. Ч.) получил [13] для Рп
оценку снизу во всех рассеивающих
биллиардах на плоскости:
Рп>1\ (17)
которая справедлива для любого L<Zehy
где h — уже знакомая нам энтропия
биллиарда.
Из оценок (16) и (17) вытекает, что
число всех периодических траекторий
(с любым числом звеньев) бесконечно
{счетно). Кроме того (это отдельная
теорема), состояния хе Му задающие
периодические траектории, всюду плотны в
фазовом пространстве Му т. е. любую
биллиардную траекторию можно сколь
угодно точно и на сколь угодно большом
промежутке времени приблизить
периодической траекторией.
Продолжая обсуждение свойств
периодических траекторий, вернемся к
биллиардам в выпуклых областях с гладкой
границей из гл. /. Согласно свойству
экстремальности Биркгофа в них
периодические траектории имеют
максимальную или минимальную длину среди всех
близких к ним замкнутых ломаньях с тем
же числом звеньев, вписанных в
биллиардную область Q. На этом основана
теорема Биркгофа: в выпуклой области Q
с гладкой границей существует
периодическая траектория с любым числом
звеньев п^2 (достаточно вписать в Q
ломаную максимальной длины с заданным
числом звеньев). Подробное
доказательство этой теоремы приведено в [2].
Оценить число периодических
траекторий в выпуклых областях очень трудно.
Уже в круге при любом числе звеньев
их будет бесконечно много, и даже
континуум (проверьте!). Однако в круге
множество всех периодических
траекторий в фазовом пространстве имеет меру
«нуль», т. е. в каком-то смысле их «мало»
(также проверьте!). А могут ли
периодические траектории заполнять множество
положительной меры? Звучит на первый
взгляд абсурдно, и конкретных
примеров нет, но тем не менее ответ на этот
вопрос неизвестен. Недавно, в 1989 г.,
М. Рыхлик доказал, что в выпуклых
областях с гладкой границей
периодические траектории с тремя звеньями всегда
заполняют множество меры «нуль». Но
будет ли это же верно для четырех и
более звеньев?
Оценки снизу для числа Рп
периодических траекторий с п звеньями в
выпуклых областях с гладкой границей
«достаются» не легче. В 20-х годах Биркгоф
получил квадратичную оценку Рп^
^ const -л2, которую в общем случае
улучшить нельзя (сравните ее с оценкой
(17))!
Отметим, что при попытке перенести
оценку Биркгофа на биллиарды в
многомерных выпуклых областях возникают
принципиальные трудности. Лишь
недавно, в 1990 г., И. К. Бабенко удалось
доказать аналог оценки Биркгофа: Рп7^
^ const -n2/ In n для биллиардов в
трехмерных выпуклых областях с гладкой
границей.
На этом мы закончим обзор известных
свойств периодических траекторий в
областях с криволинейной границей.
Периодические траектории в
многоугольниках подробно описываются в следующей
главе.
25

ГЛАВА I II
БИЛЛИАРДЫ В МНОГОУГОЛЬНИКАХ
И МНОГОГРАННИКАХ
§ 10. Общие замечания
и «прием барона Мюнхгаузена»
10.1. Общие замечания. Особый класс
образуют биллиарды в многоугольных
(в плоском случае) и многогранных
(в пространственном случае) областях Q.
Эти области характеризуются тем, что у
каждого участка границы dQ — стороны
многоугольника или грани
многогранника — вектор нормали п один и тот же
для всех точек этого участка. В силу
этого параллельный пучок биллиардных
траекторий, отразившись от стороны
(грани), остается параллельным. Казалось
бы, описывать поведение биллиардных
траекторий в многоугольниках по этой
причине проще, чем в областях с
криволинейными участками границы. В
некотором смысле так оно и есть: для
многоугольных биллиардов имеется один
элементарный, но одновременно мощный
геометрический прием (так называемый
«прием барона Мюнхгаузена»),
существенно упрощающий исследование. Об
этом приеме, составляющем основной
пафос доказательств разнообразных
биллиардных теорем, мы расскажем чуть
позже, а сейчас отметим то
«препятствие», из-за которого картина поведения
в многоугольнике оказывается, как и
в криволинейных областях, весьма
непростой. «Препятствием», как нетрудно
догадаться, является вершина
многоугольника (у многогранника — еще и
ребро).
Не менее интересными и сложными
оказываются вопросы, связанные с
периодическими и всюду плотными
траекториями в многоугольниках и
многогранниках. В качестве примера укажем,
что уже в некоторых треугольных
областях минимальное число звеньев
периодических траекторий может быть как
угодно велико; как мы знаем из теоремы
Биркгофа (#9), в выпуклой области с
гладкой границей это не так. Трудности
возникают и при нахождении всюду
плотных траекторий в многоугольниках.
10.2. «Прием барона Мюнхгаузена»,
или метод выпрямления биллиардной
траектории. Метод выпрямления бил-
Рио. 25
лиардной траектории в многоугольнике,
принадлежащий немецкому математику
Г. А. Шварцу (1843—1921), состоит в
превращении ее в прямую линию.
Делается это так.
Пусть Y = YiY2Y3-.- — биллиардная
траектория в многоугольнике (-граннике) Q;
Yi» Y2> • •• — последовательные ее звенья,
имеющие точки излома на сторонах
(гранях) с номерами м, /г, ... . Отразим
зеркально многоугольник Q вместе с
траекторией y B нем относительно стороны
i\\ получим многоугольник Qh и в нем
биллиардную траекторию у/==Т^Т2Тз— •
Сделав такие же зеркальные отражения
относительно граней /г, /з, U, ..., получим
многоугольники Qlilf, Qlihli, ... и прямую /,
составленную из отрезков Yi, Y2» Y3, •••—
звеньев траектории y и пересекающую
все эти многоугольники (рис. 25).
Биллиардная частица, как нейтрино,
беспрепятственно, проникает сквозь стенки
отраженных многоугольников и движется
по прямой / с постоянной^по величине
и направлению скоростью v.
Прямая / называется выпрямленной
биллиардной траекторией, а указанный
процесс зеркальных отражений
многоугольников — методом выпрямления
данной траектории у.
Фактически метод выпрямления
состоит в переходе к новой системе отсчета,
связанной с биллиардной траекторией Y-
А именно посадим на биллиардную
частицу, как на пушечное ядро, барона
Мюнхгаузена, снабдив его системой
координат Охуу у которой ось Оу идет
по направлению движения, а ось Ох —
перпендикулярно оси Оу. В этой системе
координат траектория y изобразится пря-
26

мой / — осью Оу, а многоугольник Q
будет представляться барону как
последовательность копий Q/(, Q/i/f, Qiihw ...
многоугольника Q, «насаженных» на «копье»
Оу и попарно зеркально-симметричных
относительно их общей стороны.
Возвращению из системы координат
Мюнхгаузена в исходную систему отсчета,
прикрепленную к многоугольнику, соответствует
процесс обратных отражений, при
котором «коридор» QQtlQillt... накладывается
в виде «гармошки» на Q, а ось Оу — на
траекторию у. По этой причине метод
выпрямления называется еще «приемом
барона Мюнхгаузена».
§11. Биллиард в угле
11.1. Биллиард в плоском угле.
Применим прием барона Мюнхгаузена к
биллиарду в угле ABC на плоскости,
величину которого обозначим а. Как ведет
себя биллиардная частица, отражаясь от
сторон этого угла? Может ли оказаться
так, что она «запутается» внутри угла,
испытав бесконечное число отражений?
Оказывается, не может, и метод
выпрямления дает немедленное
доказательство тому. Рис. 26 показывает, что
наибольшее число .Na отражений частицы
от сторон угла а может равняться или
л/а, если это число целое, или [л/а] + 1
([•] —целая часть числа). Оба
полученных ответа можно записать одной
формулой: Na= —[—л/a].
11.2. Биллиард в двугранном угле. Так
же просто получается ответ на вопрос о
числе отражений луча света в зеркале,
имеющем форму двугранного угла в
пространстве (рис. 27, а). Величину его
плоского угла обозначим а. Сделав
несколько отражений относительно граней
этого угла, получим «книжку», «листы»
которой пересекает выпрямленная
траектория / (рис. 27, б).
Нетрудно сообразить, что число этих
«листов» вычисляется по той же формуле
Na= — [—л/a], поскольку проекция
биллиардной траектории у на плоскость
а, перпендикулярную «корешку» книжки
(т. е. общему ребру всех «листов»), дает
снова биллиардную траекторию в
плоском угле величиной а.
11.3. Биллиард в многогранном угле.
Вопрос, поставленный в п. 11.1, можно по-
Рис. 26
ставить для произвольного
многогранного угла в пространстве. Уже в
трехгранном угле ответ на него становится
весьма и весьма сложным.
Впервые во всей полноте — для
произвольного числа граней угла и в
пространстве произвольной размерности — эту
задачу решил в 1978 г. Я. Г. Синай. Он
доказал, что существует равномерная
оценка числа ударов частицы с гранями угла,
т. е. существует такое число N = N(Q)9
зависящее только от «геометрии» угла Q
(от углов между всевозможными
гранями разных размерностей), что частица
сможет испытать в угле Q не более N
отражений от его граней независимо от
начального движения, после чего будет
двигаться равномерно и прямолинейно
(см. [10]). Через десять лет другое
решение было найдено одним из авторов
настоящей брошюры (Г. Г.) (полное
доказательство см. в [2]).
§12. Биллиард в квадрате и других
«торических» многоугольниках
12.1. Биллиард в квадрате. Метод
выпрямления особенно наглядно может
быть продемонстрирован для биллиарда
в квадрате.
27

В этом случае нет надобности
проводить выпрямление специально
выделенной траектории. Вместо этого отразим
данный квадрат относительно всех его
сторон, полученные квадраты —
относительно всех их сторон и т. д. до
бесконечности. Эти квадраты «замостят» всю
плоскость и образуют квадратную
решетку (рис. 28). Нарисовав на плоскости
произвольный луч /, не проходящий через
узлы этой решетки, мы можем с помощью
процедуры, обратной выпрямлению,
«свернуть» этот луч в траекторию
биллиарда у в исходном квадрате ABCD.
При таком «складывании» решетки в
исходный квадрат в каждую точку М
квадрата ABCD попадает бесконечно много
точек Мт,п плоскости — именно, все те
точки, которые получаются из точки М
отражениями относительно линий
решетки.
Если у — периодическая траектория и
а — угол наклона первого звена у к
горизонтали, то, сделав параллельный
перенос всей решетки, при котором луч / —
выпрямленная траектория у — будет
проходить через узел сдвинутой решетки,
получаем, что / проходит еще через
бесконечное число ее узлов. Отсюда следует,
что тангенс угла наклона луча / к
горизонтали — отношение двух целых чисел,
т. е. рациональное число. Верно и
обратное: если tg а рационален (tga = p/<7),
то траектория у периодична.
Поэтому если tg a иррационален, то
траектория у непериодична.
Оказывается, любая непериодическая
траектория в квадрате заполняет его
всюду плотно. Доказать это можно
следующим образом. Вместо решетки
рассмотрим вчетверо больший квадрат
К=АА'А"'А" (рис. 29, а), который
назовем фундаментальным квадратом.
В фундаментальном квадрате траектория
у лишь частично выпрямлена. Вместо
того чтобы наблюдать за движением
частицы вдоль всей прямой /, будем
считать, что, доходя до границы квадрата /С,
частица мгновенно перескакивает в
соответствующую точку противоположной
стороны (2->2', 3->3', 4-Н', ...), после
чего движется в исходном направлении
до следующего попадания на границу
(вспомните датчик случайных чисел из
§ 4). В результате в квадрате К
получается набор параллельных друг другу
28
С1
D'
А"
В
1
./
\ш
%
■
D"
С
D
В'
\а'
Рис. 28
отрезков 12||2'3||3'4||4'5|| ... и, чтобы
получить из них траекторию у в исходном
квадрате ABCD, достаточно квадрат К
перегнуть по средним линиям. Но
фундаментальный квадрат удобнее исходного
вот по какой причине: если на рис. 29, б
склеить друг с другом его вертикальные,
а затем горизонтальные стороны, то он
превратится в тор (о торе речь шла в § 4).
При этом параллельные отрезки 12, 2'3,
3'4 и т. д. подклеятся своими концами
(2 и 2', 3 и 3', ...) и образуют
непрерывную обмотку тора (см. рис. 29).
В результате описанных
преобразований мы свели исследование биллиарда
в квадрате к движению частицы по
непрерывной обмотке тора, являющейся
образом выпрямленной траектории /.
Поскольку модуль скорости частицы
равен 1, скорость ее движения вдоль
параллели тора равна cos a (такова проекция
скорости частицы на горизонталь), а
вдоль меридиана — sin a (такова
проекция скорости на вертикаль). Но
параллель и меридиан имеют длину 1, значит,
периоды движения частицы по ним равны
ri=l/cos a и r2=l/sin a, откуда их
отношение Т\/Т2= tg a — иррациональное
число. Из теоремы Якоби (см. § 1)
получаем, что обмотка тора заполняет его
всюду плотно. Значит, «скачущая»
траектория в квадрате К и биллиардная
траектория в квадрате ABCD заполняют эти
квадраты всюду плотно, а это мы и
доказывали.
Аналогичный ответ имеет место и для
биллиарда в прямоугольнике со
сторонами а и Ь: любая траектория у, для ко-

А'
v\
0 f
R I
Г
л L
4 3
] f
1
\ 1
w
2
T
/
с
1
/4
л
л
4* 1 В Г
А11
Рис. 29
торой число a tg a/b рационально,—
периодическая, если же оно
иррационально, то v заполняет прямоугольник всюду
плотно.
12.2. Биллиарды в «торических»
многоугольниках. Если траекторию
биллиарда в некотором многоугольнике
способом, похожим на способ из п. 12.1,
удастся свести к обмотке тора, то отсюда
можно будет сразу сделать вывод: эта
траектория либо периодична, либо всюду
плотна. В каких же еще многоугольниках,
кроме прямоугольников, биллиард
сводится к обмоткам тора? Будем называть
такие многоугольники «торическими».
Оказывается, «торическими» могут
быть только треугольники, причем не все,
а лишь следующих трех типов:
равносторонний, равнобедренный
прямоугольный и прямоугольный с углами л/6 и
л/3. Картина поведения биллиардных
траекторий в «неторических»
многоугольниках существенно другая. К ее
описанию мы и переходим (а заодно объясним,
почему нами перечислены все торические
многоугольники).
§13. Биллиарды в рациональных
многоугольниках
13.1. Рациональные многоугольники.
Имеется достаточно обширный класс
многоугольников, для которых после
всевозможных зеркальных отражений
относительно их сторон получится лишь
конечное число направлений, вдоль
которых идут стороны всех возникающих
многоугольников. Такие многоугольники
называются рациональными.
Это название возникло из-за
следующего обстоятельства. Можно сделать
некоторое число п отражений
рационального многоугольника относительно
сторон, имеющих общую вершину А (угол
многоугольника при вершине А
обозначим а), после которого (в силу
конечности множества возникающих
направлений) полученный угол будет равен
целому кратному развернутого угла, т. е.
пт. Отсюда а= — л и а/л — рацио-
п
нальное число.
Итак, рациональные
многоугольники — такие многоугольники, все углы
которых соизмеримы с л. Биллиарды в
рациональных многоугольниках поддаются
достаточно подробному изучению, а
появляющиеся при этом изучении
конструкции весьма красивы и наглядны. Эти
конструкции принадлежат А. Н. Землякову
и А. Б. Катку [11].
13.2. Фазовое пространство
рационального биллиарда. В § 3 было
описано фазовое пространство биллиарда в
произвольной области Q на плоскости.
Для многоугольника Q фазовое
пространство биллиарда изображено на
рис. 30.
Несложно показать, что если Q —
рациональный многоугольник, то
множество всех направлений движения
частицы ф, q/, ф", ...— конечно. Отсюда
следует, что частица движется не по
всему фазовому пространству, а только по
конечному множеству «этажей» Q(q>),
Ф(ф')> Q(<p")> ••• • Переход с этажа на
этаж отвечает процедуре выпрямления
биллиардной траектории: если считать
многоугольники Q (ф), Q (ф')> Q (ф"), ...
лежащими на плоскости, то куски
траекторий в объединении Q^)UQ(<p')U
\jQ(q>" ){]•-• образуют прямую
/—выпрямленную траекторию у.
29

Рис. 30
13.3. Инвариантные поверхности
рационального биллиарда.
Обозначим углы, образованные
сторонами рационального многоугольника Q
с фиксированной стороной АВУ через
аг= g л (Г= 1, 2, ...). Пусть N= N(Q) -
наибольший общий знаменатель всех
дробей гпг/Пг. Сопоставим каждой
фазовой точке (<7, ?)gQ(9) фазового
пространства функцию
F(q,d) = F(<f)=\<p\mod±. (18)
Очередной угол отражения
определяется, как нетрудно вычислить, формулой
ф' = ±Ф + 2аг= ±Ф+ £'я= ±Ф + ^Х
X ( тг^) , откуда /7(ф/) = /7(ф).
Таким образом, каждому числу с,
лежащему в пределах от 0 до л/2/V,
отвечает подмножество фазового
пространства
Me = {x = (q,5)\F(x) = c}. (19)
Это подмножество инвариантно
относительно фазового потока в Q. Как
выглядит оно в трехмерном фазовом
пространстве ЗЛ? Чтобы ответить на этот
вопрос, надо понять, что получится,
если подклеить друг к другу AN «этажей»
QCqv*), где
у? = ±с + л-^у г = 0, 1, ..., 27V—1.
Ответ дается следующей теоремой [11].
Теорема. Мс представляет собой
двумерную замкнутую гладкую
ориентируемую поверхность, т. е. является
сферой с некоторым числом ручек (рис. 31).
Рис. 31
Число ручек (род поверхности)
определяется только видом многоугольника Q,
т. е. не зависит от с.
13.4. Примеры биллиардов, сводящихся к
обмоткам сфер с ручками.
Теорему предыдущего пункта поясним
конкретными примерами. Заодно опишем поведение
биллиардных траекторий на возникающих
инвариантных поверхностях.
Пример 1. Рассмотрим биллиард в
прямоугольном треугольнике с углами а.\=л/8 и
а2 = Зл/8. Сделаем 15 отражений относительно
сторон треугольника Q, при которых вершина О
угла л/8 будет неподвижной. Получим
правильный 8-угольник Q, который является
фундаментальным многоугольником для Q: траектория
точки, движущейся по параллельным отрезкам
12, 2'3, 3'4, ..., «перескакивающим» с одной
стороны 8-угольника на противоположную ей
сторону, при обратных отражениях даст биллиардную
траекторию у в треугольнике Q. Теперь мы
должны сделать склейку 16 треугольников Qo, Qi, ...,
Q15; это равносильно склейке всех попарно
противоположных сторон 8-угольника Q. В
результате получится крендель — сфера с двумя ручками.
После указанной склейки параллельные
«скачущие» отрезки 12, 2'3, 34, ... подклеятся друг
к другу и образуют непрерывную траекторию —
обмотку кренделя.
Вспомним (на нашем примере), как в п. 13.3
происходило склеивание вершин
фундаментального многоугольника в одну. У нас
подклеиваются 8 секторов величиной Зл/4 каждый, и, так
как 8*3/4 = 3-2л, получается трехслойная
поверхность. Поэтому, сжав все 8 секторов втрое,
мы осуществим склейку в один слой. При этом
сжатии параллельные отрезки 12, 2'3, 3'4, ...,
нарисованные на секторах, «изгибаются» и
становятся похожими на гиперболы (рис. 32).
Нетрудно видеть, что в точку А входят (и из нее
выходят) ровно 3 траектории — они соответствуют
«особым» траекториям биллиарда в Q,
попадающим в вершины углов Зл/8. Эти особые
траектории называются сепаратрисами —
«разделяющими» две соседние близкие траектории.
(Сепаратрисы возникают в теории дифференциальных
уравнений: если dx/dt=Tx, где *eR2, r:R2-^R2 —
линейный оператор, имеющий собственные числа
A,i<0<A,2, то решения x = x(t) этого уравнения
ведут себя похожим «гиперболическим» обра-
30

Мультиседло -т > 2
зом — рис. 33.) Окрестность точки Л, в которой
траектории ведут себя, как на рис. 32, называется
мультиседлом типа т, если число входящих
(и выходящих) в А сепаратрис равно m (при
пг = 2 мультиседло называется седлом — рис. 33).
Пример 2. Аналогично исследуется биллиард
в прямоугольном треугольнике Q с углами
а|=л/10, а2 = 2л/5. Сделаем 19 отражений
относительно сторон треугольника, при которых
вершина О угла оц будет неподвижной. Получим
20 треугольников, равных Q и составляющих
фундаментальный 10-угольник Q с
«перескакивающими» параллельными отрезками 12, 2'3, 34
и т. д. Произведя склейку попарно
противоположных сторон, опять получим обмотку кренделя,
но иную, чем в примере 1. Действительно, особые
точки здесь получаются из вершин углов
а2 = 2л/5 — это будут мультиседла типа 2
(т. е. просто седла). Так как 2*2л=10а2, одно
седло получается склейкой 10 экземпляров
величины а2; поэтому на кренделе будет 20/10 = 2
седла — поведение траекторий в них, как на рис. 35.
Пример 3. Несмотря на то что из
правильных 6-угольников составляется правильная
6-угольная решетка, биллиард в правильном
6-угольнике будет иметь особенности, так как при
отражениях 6-угольника вокруг одной его
вершины получается 2-листная поверхность (6*2л/3 =
= 2*2л). В результате возникает особая точка
типа «седло». После детального исследования
получается обмотка сферы с 4 ручками, имеющая
6 седел (рис. 34).
Замечание. Если в точке А сходятся углы
величиной л/я (т. е. пг=\), то описанное
построение дает сразу однолистную поверхность
(сектор не надо сжимать) и особая траектория,
попадающая в Л, может быть естественным и
однозначным образом продолжена за точку Л.
В этом случае Л имеет смысл считать неособой
точкой.
В каких же многоугольниках Q все углы имеют
вид л/я, т. е. все точки Л неособые? Решение
этой элементарной геометрической задачи
(сводящейся к решению в целых числах уравнения
1/rti-f l/rt2-}- — -Ь \/пн= 1) приводит к ответу:
в торических многоугольниках из § 12. Это
рассуждение показывает, что других торических
многоугольников не бывает: биллиарды в остальных
рациональных многоугольниках обязательно имеют
особые точки типа мультиседел.
13.5. «Плохие» и «хорошие»
направления. Зафиксируем положение
рационального многоугольника Q с
вершинами Л1, Лг, ..., Ап. Как и раньше, начнем
отражать Q относительно всех его
сторон, относительно сторон полученных
многоугольников и т. д. до
бесконечности. Отметим образовавшееся
бесконечное (счетное) множество В = {В\,
Вг, ...} всех вершин всех полученных
многоугольников.
Задача. Докажите, что для правильного
5- и 8-угольника множество В всюду плотно
на плоскости.
Лучи вида AkBi назовем «плохими»
направлениями — их счетное множество.
Остальные направления будем называть
Рис. 34
31

«хорошими» — их континуум.
Справедлива
Теорема, а) Все периодические
траектории в Q идут под «плохими»
направлениями; б) существуют «плохие»
направления, отвечающие биллиардным
траекториям, которые заполняют всюду
плотно только часть многоугольника Q
(но не весь Q); в) все траектории
«хороших» направлений заполняют Q всюду
плотно. Доказательство этой теоремы
приведено в [2].
§14. Периодические траектории
в рациональных многоугольниках
и многогранниках
Особый интерес представляют
периодические траектории в
многоугольниках (в частности, в рациональных)
и многогранниках. Существуют ли они?
Много ли их?
Сделаем сразу одно существенное
замечание. Если в многоугольнике
найдется хотя бы одна периодическая
траектория у, то найдется бесконечно много
периодических траекторий, звенья
которых параллельны звеньям у и
располагаются вблизи них (рис. 35). В
дальнейшем, говоря о периодической
траектории, мы будем иметь в виду весь пучок
параллельных ей периодических
траекторий. Поэтому второй поставленный нами
вопрос подразумевает отыскание
различных типов периодических траекторий
(в частности, периодических
траекторий с разным числом звеньев).
14.1. Теорема Мэйзера. В 1989 г.
американский математик Г. Мэйзер
доказал, что множество направлений звеньев
периодических траекторий в
рациональном многоугольнике Q заполняет
окружность направлений S1 всюду плотно.
Таким образом, биллиардную частицу
можно «запустить» под таким углом ф
к горизонтали, что она опишет
периодическую траекторию в Q, а затем можно
изменить угол ф на такую сколь угодно
малую величину е (меньшую любого
б0>0), что запущенная под углом ф + е
частица также опишет периодическую
траекторию в Q (однако частицу
придется запускать уже из другой точки
многоугольника) . Доказательство Мэйзера
использует мощные аналитические ме-
Рис. 35
тоды (технику Тейхмюллера), касаться
которых мы здесь не имеем
возможности, и не дает конструктивного
способа построения соответствующих
траекторий.
14.2. Пример Степина. Вместо этого
приведем замечательный пример
конкретной периодической траектории,
которая имеется в любом рациональном
многоугольнике (конструкция
принадлежит советскому математику А. М. Сте-
пину).
Прежде чем приводить этот пример,
сделаем два важных замечания. Первое
замечание относится к движению
частицы в произвольной области Q и состоит
в том, что если частица начала
двигаться из произвольной точки qo^Q под
произвольным углом фо к горизонтали,
то через некоторое время она окажется
сколь угодно близко к точке <7о и будет
двигаться в этот момент под углом, сколь
угодно мало отличающимся от фо. На
языке фазового пространства это
означает, что фазовая точка (q, v) окажется
в любой сколь угодно малой окрестности
исходной фазовой точки (<7о, vo).
Читатель, наверное, уже догадался —
сказанное вытекает из общей теоремы
Пуанкаре о возвращении, приведенной
в § 3. В частности, частица может
вернуться в точности в исходное положение
(qoy vo) — тогда ее движение будет
периодическим. Но как добиться такого
точного «попадания»?
Второе замечание относится к случаю,
когда Q — рациональный
многоугольник. Тогда фазовая точка движется по
конечному набору «этажей» <2(фо),
Q(<Pi), •••, Q(<P*)« Оказавшись, согласно
теореме Пуанкаре о возвращении, в
столь малой окрестности U исходной
32

точки (<7о, до) «этажа» <2(фо), что U не
пересекается со всеми остальными
«этажами» {Q(<p<)}, фазовая точка не может
не оказаться на исходном этаже Q(cpo).
Это означает, что биллиардная частица
в многоугольнике Q движется в
точности под исходным углом ф0 к
горизонтали и притом сколь угодно близко к
исходному положению qo. Итак, в
рациональном многоугольнике (в отличие
от произвольной области,
многоугольной или любой другой) частица
возвращается «почти в исходную позицию»
q^qo, двигаясь, однако, точно в
стартовом направлении vo- Остается сделать
последний шаг: выбрать такое стартовое
направление до (или, что то же самое,
стартовый угол фо к горизонтальной
стороне), чтобы совпали
конфигурационные точки q и (/о — тогда
траектория v окажется периодической.
Пример Степина как раз и
заключается в выборе нужного стартового
направления: фо = л/2 — биллиардную
частицу следует запустить
перпендикулярно какой-нибудь стороне АВ\
Доказательство: у возникшей
траектории найдутся два звена, ро и р,
перпендикулярные АВ,— это уже
доказано. Как может частица двигаться по
звену р? Оказавшись впервые на звене р,
она будет двигаться по направлению
к стороне АВ (почему не от
стороны АВ?). Отразившись от АВ, частица
начнет двигаться по тому же звену р,
но в обратном направлении. Отсюда
следует, что весь ее обратный путь
совпадет с исходным, изменится лишь
направление движения. Это и доказывает,
что полученная траектория —
периодическая (сложенная «вдвое»).
Если у многоугольника Q нет
попарно параллельных сторон, построенных
«перпендикулярных» периодических
траекторий будет в точности столько,
сколько сторон; если же у Q имеются
параллельные стороны, то указанных
траекторий будет, во всяком случае, не меньше
половины общего числа сторон.
14.3. Периодические траектории в
произвольных треугольниках. Наиболее
элементарной, но одновременно
малоизученной задачей является задача
обнаружения периодических
биллиардных траекторий в произвольных, не
обязательно рациональных,
треугольные. 36
никах. В этом пункте мы опишем
известные к настоящему моменту
конструкции периодических траекторий в
остроугольных, прямоугольных и некоторых
тупоугольных треугольниках.
А. Широко известна задача о
нахождении трехзвенной периодической
траектории в произвольном остроугольном
треугольнике (задана Фаньяно). Ответ
в этой задаче таков: искомой
траекторией является треугольник с вершинами
в основаниях высот исходного
треугольника — высотный треугольник. Он
порождает пучок параллельных шести-
звенных траекторий: для этого одно
звено высотного треугольника надо
сдвинуть параллельно себе и запустить по
нему частицу (рис. 35, б).
Этому результату можно придать
красивую механическую интерпретацию.
Наденем на каждую сторону
треугольника ABC по маленькому колечку и
пропустим через них натянутую
резинку XYZ (рис. 36). Резинка стремится
сжаться, поэтому колечки займут
положение вписанного в ААВС
треугольника XYZ наименьшего периметра.
(Сравните с теоремой Биркгофа, где
периметр вписанной ломаной
максимизировался.) В этом статическом
состоянии на каждое колечко (например, на
колечко X) со стороны резинок действуют
одинаковые по величине силы
натяжения Т\ и Тч (так как натяжение вдоль
всей резинки одно и то же).
Равнодействующая этих сил обязана быть
перпендикулярной соответствующей
стороне, иначе колечко «поедет». Это и
означает, что углы, образованные
векторами Г1 и Г2 с нормалью к стороне,
одинаковы, т. е. что XYZ —
биллиардная траектория.
33

Б. Высотному треугольнику можно
дать и другую механическую
интерпретацию. Будем считать теперь
остроугольный треугольник плоской
пластинкой, а любую траекторию,
параллельную траектории XYZ, представлять в
виде дважды сложенной упругой
замкнутой нити, обвивающей эту пластинку
и переходящей попеременно с одной ее
стороны на другую.
Если же ААВС прямоугольный или
тупоугольный, то рассмотренная
упругая нить из 6 звеньев соскочит с
пластинки через вершину «прямого (тупого)
угла. Так что найти периодические
биллиардные траектории в
тупоугольных треугольниках совсем непросто.
Однако в некоторых случаях
реализуется идея «перпендикулярной»
траектории А. М. Степина (см. п. 14.2), но в
несколько иной модификации.
Рассмотрим тупоугольный
треугольник с острыми углами аир, между
которыми есть соотношение /га = /р<л/2
(£, /—целые). Тогда, сделав k— 1
зеркальных отражений вокруг вершины А
и / отражений вокруг С, получим
параллельные отрезки АХ и CY (рис. 37, а).
Рассмотрим их общий
перпендикуляр AN, лежащий внутри возникшего
«коридора» из отраженных
треугольников. «Сложив» этот коридор
«гармошкой», получим биллиардную
траекторию M...N, состоящую из 2(k-\-l) звеньев
(каждое звено учитывается дважды —
нить обвивает пластинку с двух
сторон, рис. 37, б). В частности, при £ = /= 1
получаем равнобедренный треугольник и
в нем пучок четырехзвенных
траекторий. Если затем этот треугольник
перегнуть по высоте, получится пучок шести-
звенных траекторий в прямоугольном
треугольнике.
Другой тип периодических
траекторий приведен на рис. 38 для
тупоугольного треугольника с углами аир, для
которых а + &р = л/2 (k — целое) и
2а + р>л/2. Такие треугольники
естественно назвать
«квазипрямоугольными» (при k=l это настоящий
прямоугольный треугольник).
В. Устойчивые периодические
траектории. Построенные в п. Б
периодические траектории обладают
следующим недостатком: они разрушаются при
сколь угодно малой деформации тре-
34
^ 7 у N
А / /
у м 3
*> N
Рис. 37
Рис. 38
угольника.
Совсем по-другому обстоит дело с трех-
звенной биллиардной траекторией в
остроугольном треугольнике — она
«выживает» при малом шевелении углов
треугольника и остается близкой к
исходной. Естественно эту последнюю назвать
устойчивой траекторией, а траектории
из п. Б — неустойчивыми. Возникает
вопрос: а бывают ли устойчивые
траектории в тупоугольных треугольниках?
Оказывается, бывают. Приводимая
ниже конструкция принадлежит одному
из авторов настоящей брошюры (Г. Г.).
Ключом при построении этой
конструкции служит высотный треугольник в
остроугольном треугольнике.
Пусть острые углы аир
тупоугольного треугольника связаны следующими
неравенствами: угол ka при некотором
целом k меньше прямого, но отличается

от него менее чем на р/2, а угол
(£+1)а— больше прямого; аналогично
угол /р при некотором целом / меньше
прямого и отличается от него меньше
чем на а/2, a (/+1)р— больше
прямого (т. е. £-£<Аа<£<(А+1)а;
| - | </р< | <(/+ 1)Р). Сделаем
й—1 зеркальных отражений ДЛВС
вокруг вершины А против часовой стрелки
и /—1 отражений вокруг вершины В
по часовой стрелке (рис. 39). Крайние
лучи AN и BN образуют с
основанием АВ острые углы ka и /р.
Полученный треугольник ABN — остроугольный,
и в нем существует устойчивая трех-
звенная периодическая траектория
#1#2#3, соединяющая основания всех
высот (рис. 39, а). Из неравенств,
наложенных на острые углы
треугольника ЛВС, можно вывести, что отрезок
#2#3 пройдет ниже вершины С. Поэтому
при обратных отражениях, т. е. при
наложении коридора, составленного из
ААВС и k + l — 2 отраженных
треугольников, траектория #1#2#з перейдет в
2(k-\-i) — 1-звенную периодическую
траекторию в исходном ААВС (рис. 39, б).
Полученная траектория будет
устойчивой, так как устойчива трехзвенная
траектория #1#2#з в AABN. В
простейшем случае, когда й = /=2, она имеет
7 звеньев.
Приведенная конструкция работает
для всех тех острых углов (и только
для них), для которых
(1 —ctg йа-tg а) (1 —
-ctg/p.tgp)>l-tga.tgp. (20)
Г. Бифуркационная диаграмма. С
точностью до подобия, любой треугольник
определяется парой своих острых
углов аир. Поэтому каждый треугольник
может быть задан точкой квадрата К
со стороной л/2, который изображен на
плоскости с координатами а, р.
Например, точка (л/3, л/3) задает
равносторонний треугольник, а точка (л/4,
л/4) — равнобедренный прямоугольный.
Квадрат К назовем «бифуркационной
диаграммой» треугольников (термин
«бифуркационная» мы поясним позже).
Отметим на диаграмме К все точки,
отвечающие всем треугольникам с
периодическими траекториями в них
(рис. 40).
Во-первых, полностью будет закрашен
правый верхний треугольник с
вершинами (0, л/2), (л/2, 0), (л/2, л/2) —
это остроугольные треугольники.
Гипотенуза этого треугольника (т. е.
диагональ (0, л/2) — (л/2, 0) диаграммы) —
прямоугольные треугольники, которые
также отмечены.
Во-вторых, будут отмечены все
рациональные точки нижнего левого
треугольника — это следует из теоремы
Мэйзера. Они заполняют диаграмму
всюду плотно.
В-третьих, треугольники из п. Б
изображаются тремя «веерами»
отрезков: 1) лежащих на прямых {Р = — а}
с концами в точках (0, 0) и (л/2й, л/2т),
где й, m — всевозможные
натуральные числа; 2) лежащих на прямых
Р= — -г а+нг} и сгущающихся к
оси Оа; 3) лежащих на прямых
Р= — ka+ y) и сгущающихся коси Ор.
Наконец, в-четвертых, треугольники
из п. В изображаются целыми
областями внутри квадрата со стороной л/4.
Каждая из этих областей образует
криволинейный треугольник, похожий на
дельтаплан, а всю картину можно
назвать «парадом дельтапланов».
Конструкция пункта В годится также для
остроугольных треугольников: верхний
треугольник на диаграмме К разбит
на трапеции, числа в которых 3, 5, 7,
11, ... указывают на количество звеньев
у «изолированных» периодических
траекторий (из таких траекторий удвоением
35

{JTI2JT/2)
Рис. 40
числа звеньев получаются траектории
параллельного пучка); при этом если
в остроугольном треугольнике есть
траектория с 2л+1 звеньями, то имеется и
траектория с любым меньшим нечетным
числом звеньев.
Можно подсчитать, что мера всех
изображенных на диаграмме точек
внутри «парада дельтапланов» составляет
7з площади квадрата со стороной л/4.
Это означает, что в тупоугольном
треугольнике, острые углы которого
меньше л/4, устойчивая периодическая
траектория может быть обнаружена с
вероятностью {/з (хотя естественно
ожидать, что эта вероятность в
действительности равна 1; последнее пока не
доказано).
В заключение отметим, что
периодические биллиардные траектории в
треугольниках весьма чувствительны к
форме треугольника. Причина разрушения
или рождения (бифуркации)
периодической траектории при деформации
треугольника — прохождение через
точку границы «дельтаплана». Поэтому
диаграмма К и называется
бифуркационной.
Кроме указанных в этом параграфе
конструкций, известны и некоторые
другие. Например, одна из конструкций
(ее автор А. М. Степин) получается
при решении такой задачи.
Задача. В тупоугольном треугольнике с
углами а, р, для которых л/8 — 0,001 <а<л/8,
л/3<р<3а, указать 15-звенную
периодическую траекторию. (Эта задача подробно
разобрана в [2].)
При дальнейшем исследовании
возникают новые эффекты, превращающие
диаграмму К в более сложную —
многослойную.
14.4. Периодические траектории в
36

рациональных многогранниках. В этом
пункте мы рассмотрим
пространственный аналог рациональных
многоугольников из § 13. Пусть многогранник Q
обладает следующим свойством.
Проведем через произвольную точку
пространства плоскости, параллельные всем
граням многогранника Q, и начнем
совершать относительно них зеркальные
отражения. После каждого отражения
будут получаться, кроме исходных
плоскостей, новые плоскости,
относительно которых также будем производить
отражения. Требуемое свойство
многогранника Q таково: в результате всех
возможных отражений исходных и вновь
возникающих плоскостей получится
лишь конечное число направлений,
перпендикулярных к этим плоскостям.
Иными словами, группа, порожденная
отражениями относительно всех граней
многогранника Q, конечна.
Многоугольник Q с таким свойством в § 13
назывался рациональным — все его углы были
соизмеримы с л. По аналогии
многогранник Q также будем называть
рациональным (все двугранные углы
рационального многогранника
соизмеримы с я).
Имеется полная классификация всех
рациональных многогранников всех
размерностей. Простейшие из них, из
которых, как из кирпичиков, могут быть
составлены все остальные
рациональные многогранники, называются
камерами Вейля — в честь знаменитого
математика Германа Вейля. Как и для
рациональных многоугольников, для
рациональных многогранников
справедливо следующее утверждение: в
рациональном многограннике при движении
по биллиардным траекториям из
данного начального направления может
получиться только конечный набор
направлений движения.
Из этого утверждения вытекает
Теорема. В любом рациональном
я-граннике Q существует не менее л/2
различных параллельных периодических
биллиардных траекторий.
Доказательство почти дословно
повторяет доказательство пункта 14.2 (с
заменой «этажей»-многоугольников на
«этажи»-многогранники Q (л/2), Q(cpi),
..., <Э(фт)).
Задача. Дан рациональный: а)
многоугольник, б) многогранник Q. Докажите, что
существует число N=N(Q), обладающее
следующим свойством: если частица в Q прошла через
некоторую точку </eQ N раз, то она пройдет
через эту точку еще хотя бы один раз, а если
частица прошла через эту точку меньше N раз,
то, вообще говоря, через нее она может больше
и не пройти.
ГЛАВА IV
ДИНАМИКА ТОЧЕЧНЫХ ЧАСТИЦ
НА ПРЯМОЙ И ШАРОВ
В ПРОСТРАНСТВЕ
В этой главе мы опишем поведение
механической системы упругих частиц на прямой.
Исследование такой системы сведется к изученным в
гл. III многоугольным и многогранным
биллиардам. Затем мы увеличим размерность и перейдем
к изучению движения системы упругих шаров в
пространстве, которое также сведется к изучению
биллиарда, но в многомерной области с
полурассеивающими стенками. Стохастическое
поведение последних биллиардов будет рассмотрено
в гл. V.
§ 15. Две частицы на прямой,
полупрямой и отрезке
15,1. Две частицы на прямой. Пусть
две частицы с массами т\ и тч движутся
без трения по прямой с постоянными
скоростями v\ и V2, затем упруго
сталкиваются и разлетаются со
скоростями и\ и и2. Как известно из механики,
скорости и\ и U2 однозначно
определяются из системы двух уравнений,
первое из которых выражает закон
сохранения импульса, а второе — закон
сохранения энергии:
гп\ и\ + m2U2 = т\ v x + rri2V2 — const i,
(21)
Нетрудно видеть, что, когда между
частицами произойдет удар, импульс
(произведение массы на скорость)
каждой частицы изменится на одну и ту же
величину Др= т'"*2— \v\-V2\: у левой
частицы он уменьшится (стало быть,
и скорость ее уменьшится, хотя модуль
скорости может и увеличиться, если
частица двигалась влево), а у правой —
увеличится (увеличится и скорость, хо-
37

о) б)
Рис. 41
тя модуль скорости может уменьшиться,
если частица двигалась влево).
Легко видеть (рис. 41, а), что
частицы с равными массами после удара
просто обмениваются скоростями:
U\ = V2> u2 = v\ (это мгновенно вытекает
из системы (21)), и графики их
движения— ломаные МАМ' и NAN\ где
MAN' и NAM' — прямые (рис. 41, б).
Поэтому можно считать, что частицы
одинаковой массы после удара
проходят друг сквозь друга без всякого
взаимодействия, просто обмениваясь
своими номерами.
Сейчас мы воспользуемся (и будем
пользоваться на протяжении всей этой
главы) следующей идеей (см. [12],
лекция 10).
Рассмотрим конфигурационное
пространство системы: это полуплоскость
*i<*2 плоскости 0*1*2 (левая точка на
прямой имеет в каждый момент времени
меньшую координату, чем правая).
Введем теперь вместо Х\ и *2
координаты х\ и Х2 по формулам Х\=-фпхх\у
Х2 = л[гп2Х2, т. е. сделаем растяжения
ПЛОСКОСТИ 0*1*2 ПО ОСЯМ 0*1 И 0*2 В
-\frni и -\fni2 раз соответственно.
Положение первой частицы будет
определяться новой координатой *i, а
второй — новой координатой *2; положению
двух частиц отвечает
конфигурационная точка М с координатами (*i, *2)
на плоскости 0*i*2. Поскольку *i^*2,
получаем, что в новых координатах
конфигурационное пространство —
полуплоскость *i/V^"l<^2/V^2 ПЛОСКОСТИ
0*i*2. В момент столкновения частиц
это неравенство превращается в
равенство и конфигурационная точка М
оказывается на границе полуплоскости,
Рис. 42
после чего каким-то образом
«отскакивает» от нее. Как именно?
Скорости частиц в новых
координатах выражаются через старые по
формулам yi = yi/Vmi, V2 = V2~\jtn2y поэтому
скорость движения конфигурационной
точки М равна v = (vi/^ftn\, ^/У^г)-
Закон сохранения энергии можно
записать теперь совсемjjpocto: v2\-\-V2 =
= const или, иначе, v\= const: длина
вектора v постоянна. Закон сохранения
импульса переписывается в виде
^f^iVi+-yfm2V2:==const или, после
введения фиксированного вектора т = (-фп\,
Ут~2), в виде (mv) = const: скалярное
произведение постоянных по длине
векторов m и д постоянно.
Поскольку (mv) = \ih\ |?|coscp, где
Ф — угол между векторами /пи?,
получаем отсюда, что cos ф = const. Это
означает, что конфигурационная
точка М отражается от границы
полуплоскости по биллиардному. закону:
угол падения равен углу отражения
(рис. 42).
Итак, указанные выше растяжения
по осям приводят к биллиардному
движению конфигурационной частицы в
конфигурационном пространстве. В
частности, это объясняет, почему между
двумя произвольными частицами на
прямой может произойти не более одного
удара.
15.2. Две частицы на полупрямой.
Поставим теперь в точке * = 0 на прямой
Ох массивную стенку — барьер, после
столкновения с которым частица упруго
отражается, т. е. меняет знак скорости,
не меняя модуля. Пусть справа от
барьера движутся две упругие частицы с
массами тп\ и Ш2. Каково поведение этой
38

Рис. 43
системы?
Конфигурационное пространство
системы задается на плоскости 0*1*2
неравенствами 0^;п^*2, а после
растяжения в -\[т\ и л[т2 раз по осям Ох\ и
0*2. — неравенствами 0<*i/Vmi<
^*2/V^2. Эти неравенства определяют
угол между осью О*г(*1 = 0) и прямой
*2= Vtft*1 Ha плоскости 0*1*2 (рис. 43).
Величина полученного угла равна а =
= arctg_Vmi/m2. Конфигурационная
частица УЙ будет отражаться от каждой
стороны угла по биллиардному закону:
для оси 0*2 это очевидно, для прямой
Х2 = ^пфтих\ это объяснено в п. 15.1.
Из § 11 немедленно получаем, что
конфигурационная точка может столкнуться
со сторонами угла а не более чем
Nmitm2=— I —* раз. Следова-
тельно, общее число столкновений между
частицами в системе и с барьером не
превосходит WWbWl, после чего удары в
системе прекращаются. Для частиц с
равными массами получаем, что число
ударов не больше четырех, а при mi<C
«Стг это число довольно велико:
легкая частица т\ «мечется» между
барьером и массивной частицей тг
достаточно долго, прежде чем оттолкнет ее
навсегда от барьера.
15.3. Две частицы на отрезке.
Поставим еще один массивный барьер на оси
О*, но уже справа в точке * = а>0
так, чтобы обе частицы Ш\ и т2
оказались между двумя барьерами * = 0 и
* = а. Конфигурационное пространство
этой системы на плоскости 0*j*2 (после
растяжения осей в л[т\ и -фп2 JPa^) —
прямоугольный треугольник ОАВу
образованный прямыми ОА :*i==0. АЁ:х2 =
= a-Jm2 и 0#:*2==ym2/mi*i (рис. 44),
а отражение конфигурационной частицы
от его сторон — биллиардное (см.
А
О
Рис. 44
объяснение этого в двух предыд>щих
пунктах).
Итак, система двух частиц на отрезке
сводится к биллиарду в прямоугольном
треугольнике с острым углом а =
= arctg У/Л1//Л2.
Чтобы описать поведение частиц на
отрезке, нам остается лишь
воспользоваться результатами, полученными в
гл. III. Если число arctg ^[гпфп^
соизмеримо с л, то система двух частиц на
отрезке имеет два первых интеграла
(интеграл энергии и |ф|mod -^- из § 13) и
сводится к рассмотрению потоков на
инвариантных кренделях (сферах с
ручками) в фазовом пространстве. Как
вытекает из результатов § 13, в этих
случаях «типичное» множество точек
столкновения на отрезке [0, а] всюду плотно.
Та же система сводится к обмоткам тора
тогда, и только тогда, когда а = л/4,
л/6 или л/3, т. е. при mi = m2, Ш\ =
= 3ш2 или m2 = 3mi. И в этом случае
«типичное» множество точек
столкновений частиц на отрезке при указанном
соотношении их масс всюду плотно
заполняет этот отрезок, во всех же
остальных случаях число точек столкновения
конечно (что соответствует
периодическим движениям).
В общем случае, кроме всюду плотных
и периодических траекторий, бывают и
траектории, заполняющие всюду плотно
конечное число отрезков, лежащих
внутри заданного.
§16. Несколько частиц на прямой,
полупрямой и отрезке
16.1. Несколько частиц одинаковой
массы. Рассмотрим движение п частиц
одинаковой массы на прямой Ох и вос-
39

пользуемся замечанием из п. 15.1 об
упругом столкновении частиц одинаковой
массы. Из него следует, что наибольшее
число ударов в системе из п одинаковых
частиц на прямой не превосходит
п(п—1)/2. Реализовать это максимальное
число ударов совсем просто (как?).
Перейдем к системе из п одинаковых
частиц на полупрямой х^О (в точке
jt = 0 стоит упруго отражающий
барьер). Сделав зеркальное отражение всей
системы (включая и все векторы
скоростей частиц) относительно барьера,
получим систему из 2л одинаковых
частиц, но уже на всей прямой (барьер
станет прозрачным для частиц).
Следовательно, число ударов между п
одинаковыми частицами на полупрямой не
превосходит числа ударов между 2л
одинаковыми частицами на всей прямой, т. е.
0(2л—1), причем эта оценка точная
(можно реализовать в точности п(2п—1)
соударений).
Задача. Как растет число столкновений между
п одинаковыми частицами на отрезке с
отражающими концами? (Ответ: линейно с ростом
времени.)
16.2. Три частицы с произвольными
массами на прямой. Исследование
системы частиц, имеющих разные массы, не
столь просто, как для системы частиц
с равными массами. Рассуждения
предыдущего пункта неприменимы, поскольку
после удара между двумя частицами
происходит не обмен скоростями (или,
иначе, обмен номерами), а их более
сложное распределение по формулам
(21) из § 15.
Исследуем сначала систему из трех
частиц произвольных масс т\, тг, тз. Как
и в § 15, естественно перейти к
конфигурационному пространству. Если х1у х2у
хз — координаты частиц, то в трехмерном
пространстве Ох\х2хз конфигурационная
точка М имеет три координаты,
удовлетворяющие неравенствам Х\^Х2^хз.
Поэтому конфигурационное
пространство является пересечением двух
полупространств Х\^Х2 И *2^*з, Т' е' °^"
ластью внутри двугранного угла Q с
плоскими гранями х\ = Х2 и х2 = хз.
Конфигурационная точка М движется
равномерно и прямолинейно внутри угла Q,
а после каждого удара о грань
направление ее движения меняется довольно
сложным образом. Однако все
становится простым, если опять сделать замену
40
переменных хх=л[т\Х\, х2 = Ут2*2, *з =
= Утз*з. В новых координатах угол Q
превратится в угол Q, а
конфигурационная точка М — в точку Му
отражающуюся от граней Q уже по биллиардному
закону (проверка этого факта
аналогична проведенной в § 15, и мы ее опускаем).
Осталось только найти величину а
полученного двугранного угла и
воспользоваться затем результатом § 11.
Искомый угол равен углу между векторами
нормалей к плоскостям х\/^[гп\ =
= Х2/л[т2 и^2/л[т2 = хз-у[гпзУ т. е. между
векторами rii, 2 = (1/-фп\,—1/V^2, 0) и
Яг,з = (0, —1/л/т2, 1/Утз). Простой
подсчет дает нам ответ: а = arccos X
X^mitn3/(m2 + тз)(т\ + тз). Значит,
число столкновений между частицами
гпи т>2> гпз не больше
L arccos ^т\гпз/(т2+ тз) (т\ + т3) '
причем эта оценка точная (т. е. такое
число реализуется). Для трех равных
масс ответ Nm = -\ ~Л , ,J =3 согла-
L arccos 1/2J
суется с результатом п. 15.1 при п = 3.
16.3. Несколько частиц с
произвольными массами на прямой и полупрямой.
Для п частиц с массами т\у ..., тп
рассуждения предыдущего пункта
приводят к биллиарду в (п—1)-гранном
угле в л-мерном пространстве, который
задается (после растяжения всех осей
в соответствующее число раз)
неравенствами
Q = {A:i/Vmi<x2/V^2< ... <*хп/л[гпп).
Из теоремы Синая о равномерной
оценке числа столкновений биллиардной
частицы с гранями многогранного угла
(гл. III, § 11) следует, что в
рассматриваемой задаче между частицами может
произойти лишь конечное число
столкновений за бесконечное время, зависящее
только от соотношений масс частиц, но
не от их начальных положений и
скоростей.
В 1978 г. один из авторов настоящей
брошюры (Г. Г.) предложил
аналитическое решение этой задачи, а позже
дополнил его равномерной оценкой (см.

[2]). Приведем простейшую часть
соответствующих рассуждений.
Будем рассуждать от противного:
предположим, что для любого,
меньшего чем пу числа частиц количество
соударений в системе конечно, а в системе
Sn из п частиц число соударений
бесконечно. Приведем это предположение к
противоречию. Для этого заметим
сначала, что любые две соседние частицы в
системе Sn столкнутся друг с другом
бесконечно много раз. Действительно,
если бы частицы с номерами k и
k+\ столкнулись лишь конечное число
раз, то вся система Sn после их
последнего удара разделилась бы на две
невзаимодействующие подсистемы, а
поскольку в них, по предположению,
частицы ударяются друг о друга только
конечное число раз, то и во всей системе
Sn это число тоже конечно, что
противоречит второму предположению.
Из полученного следствия легко
вывести, что все частицы в Sn при ^->оо
будут иметь одинаковые предельные
скорости. А теперь применим физический
прием: перейдем в инерциальную систему
отсчета, связанную с центром тяжести
системы Sn. В этой инерциальной
системе отсчета предельные скорости всех
частиц равны нулю, поэтому и
предельная кинетическая энергия системы Sn
равна нулю. Из закона сохранения
энергии вытекает, что тогда и начальная
энергия (в системе координат центра
тяжести) Sn равна нулю. В каком случае это
может быть? Только в том, когда никакие
две частицы в Sn вообще не
сталкивались! А это противоречит
предположению, что число ударов в Sn бесконечно.
Мы опять пришли к противоречию, что
и доказывает утверждение.
Для получения равномерной оценки
числа ударов в системе Sn вводится
величина, похожая на математическое
ожидание из теории вероятностей — сумма
произведений номеров частиц на их им-
п
пульсы: 2 ipAjt). Она постоянна между
двумя ударами, а после каждого удара
возрастает на величину Др/>(+1,
выписанную в самом начале § 15 (с
соответствующей заменой индексов). Из
ограниченности введенной величины
оказывается достаточным найти ее
максимум, который вычисляется с помощью
-а О а 2а
Рис. 45
привлечения стандартной функции Лаг-
ранжа (все подробности вычислений см.
в [2]). Окончательный ответ таков:
Nmu ,и„<2[8я2(п-1).^Г2,
mmin
где mmax min — максимальная и
минимальная масса частиц в Sn.
Рассмотрение частиц на полупрямой
производится точно так же, как и в
п. 16.1. В результате система из п
частиц на полупрямой сводится к системе
из 2л частиц на прямой и, следовательно,
в ней также происходит конечное число
столкновений, верхняя оценка которого
дается выписанной выше формулой с
заменой л->2л.
16.4. Несколько частиц на отрезке.
Перейдем к п частицам с массами
mi, ..., тп на отрезке [0, а\ концы
которого — упруго отражающие барьеры.
Конфигурационное пространство этой
системы есть подмножество
пространства R", определяемое неравенствами
О <дг1<...<хл<;<2 или, в координатах
jci=-^/m/Jc,(/= 1,2,..., п)у неравенствами
0<£<аУт,-, Xi/^fnii^Xt + x/^frni+x. Это
подмножество — л-мерный симплекс Q.
Все рассуждения из предыдущих
параграфов остаются в силе, и мы
получаем, что в Q конфигурационная точка
движется по биллиардному закону. Если
Q является рациональным
многогранником, то биллиард в нем не эргодичен
и существует не менее (л+1)/2
начальных фазовых положений системы, для
которых движение частиц периодично.
Как меняется со временем число
столкновений между частицами?
Сделаем зеркальные отражения
относительно барьеров х = 0 и х = ау затем
относительно новых барьеров х=—а и
х = 2а и т. д. (рис. 45). Получим
отрезок [—а, 2а], на котором движутся Зл
частиц, и две полупрямые х<!—а и
х^2а с бесконечным числом частиц.
Заметим, что частица, стартующая из
точки х=—а или * = 2а, за время Т =
= а/утах не может долететь до барьера
х = 0 и соответственно до барьера х = а
41

(здесь vmax — наибольшая возможная
скорость движения частицы, равная
-yj2E/mm[n , где Е — энергия системы).
Значит, за время Т частицы на отрезке
[О, а] ни разу не столкнутся с частицами,
лежащими левее точки х=—а и правее
точки х = 2а. Поэтому число
столкновений на отрезке [ 0, а] за это время не
превосходит числа ударов между Зп
частицами на бесконечной прямой без
барьеров. Из п. 16.3 получаем, что это
число не превосходит N3n^2[72n2X
m 13л—2
Х(3л— 1) —221J . А за время t число
ударов не превзойдет tN^n/T, т. е. будет
меньше чем cty где с — некоторая
константа.
Вывод: число ударов в системе из п
частиц на отрезке растет не более чем
с линейной скоростью по времени /.
§ 17. Система шаров в пространстве
и сосуде
От одномерных систем частиц
перейдем к их прообразу —
пространственным системам шаров (в математической
литературе их называют системой
абсолютно упругих или твердых шаров).
Начнем с п одинаковых шаров радиуса г.
Основное отличие пространственного
случая от одномерного состоит в том,
что шары после удара разлетаются под
углом друг к другу. Удар между шарами
происходит так: каждую из скоростей
движения надо разложить на две
составляющие, одну — вдоль линии центров,
а вторую — перпендикулярно ей. После
удара составляющие скорости вдоль
линии центров перераспределяются
согласно законам сохранения импульса и
энергии (формулы (21)), а ортогональные
составляющие сохраняются; затем
новые составляющие следует сложить.
Оказывается, что система шаров в
пространстве, как и система частиц на
прямой, сводится к биллиарду в
многогранном угле пространства R3", но с
выпуклыми внутрь стенками (рис. 46).
Объясним, почему это так. Рассмотрим
конфигурационное пространство. Если
бы шары проходили друг сквозь друга
без препятствий, конфигурационным
пространством оказалось бы все R3". Но
шары сталкиваются: расстояние между
*, =
Л12 Г
/Я/
*,
Рис. 46
Рис. 47
центрами двух столкнувшихся шаров в
момент удара равно 2г, т. е.
(х-х')2 + (y-y'f+ (z-z')2= (2r)2,
(22)
где (х, у, z) и (х\ у', z') — координаты
центров шаров. Это равенство задает
цилиндр Ц в 6-мерном пространстве
Oxyzx'y'z', наклоненный под 45° к
горизонтали. (Если ограничиться слева в
формуле (22) только одним слагаемым,
т. е. рассмотреть двумерное
пространство Охх\ то (х—х')2= (2г)2 и в осях
Ох и Ох' возникают две прямые
х' = х—2г и х' = х + 2г — одномерный
цилиндр (рис. 47)). Во всем
пространстве R3rt равенство (22) задает множество
C = Z/XR3"~6 — тоже цилиндр, но у него
граница в основном плоская, лишь по
некоторым направлениям ее кривизна
отлична от нуля.
Каждой паре сталкивающихся шаров
(/, /) отвечает свой цилиндр Сц в R3";
42

таких цилиндров п(п—1)/2. Очевидно,
что конфигурационная точка М в
пространстве R в каждый момент
находится либо вне этих цилиндров и
движется равномерно и прямолинейно,
либо — в момент столкновения двух
шаров — на границе какого-то цилиндра
Сф Поэтому конфигурационное
пространство Q системы шаров — внешность
к объединению всех цилиндров Сц в
R3n. Все п(п—1)/2 цилиндров имеют
общее непустое пересечение. Кроме того,
все стенки Q (границы цилиндров)
вогнуты внутрь Q. Тем самым Q
действительно является многогранным углом с
«вдавленными внутрь» стенками.
В тот момент, когда два шара
сталкиваются, они касаются общей j< ним
касательной плоскости П. Если щ и ?2 —
скорости шаров до удара, a u\j\ U2 —
их скорости после удара, то v\—?2 =
= — (u\—U2) согласно закону
сохранения импульса, поэтому векторы д =
= v\ — V2 и й = й\ — и2 получаются друг
из друга зеркальным отражением
относительно плоскости П — это и есть бил-
лиардный закон отражения! Значит,
когда конфигурационная точка М попадает
на границу dQ, отскакивает она от dQ
опять-таки по биллиардному закону
(рис. 48). Этим мы объяснили, что
система п одинаковых шаров в R3 сводится
к биллиарду в QczR . Если же шары
имеют разные массы, то растяжения по
осям Охи...,Охп в л[ти...у^тп раз
переводят Q в <3, точку М — в точку Л?,
а рассуждения из § 15 (которые мы не
повторяем) приводят нас к биллиарду в
Q. Сведение к биллиарду закончено.
Докажем, что, как и в случае частиц
на прямой, в системе упругих шаров в
пространстве происходит конечное число
столкновений за бесконечное время (£то
доказательство получил один из авторбв
настоящей брошюры (Г. Г.) в 1979 г.;
другое доказательство предложил в
1980 г. американский математик Л. Вас-
серштейн).
Доказательство проводится в два
этапа. На первом этапе докажем, что за
любой конечный промежуток времени не
может произойти бесконечно много
ударов. Последнее означало бы, что
конфигурационная точка MeR3" отразилась в
окрестности вершины А многогранного
угла Q бесконечно много раз, все ближе
1 -9&* yf
Vf а
' А-
Рис. 48
Рис. 49
ПОДХОДЯ К А.
Однако расстояние р от точки A jjp
луча /, по которому движется точка М,
не уменьшается во время ее движения:
до удара это очевидно (поскольку луч /
переходит в свою часть), а после удара
это вытекает из того, что стенка, от
которой отразилась точка М, выпукла
(стенка вместе с точкой А лежит по одну
сторону от касательной плоскости в
точке удара, и поэтому q\=q(A, /i)<
<(^Л, h) =p2 — рис. 49). Значит,
точка М не может подходить к А сколь
угодно близко, т. е. число ударов конечно за
конечное время (иными словами,
множество ударов дискретно).
Второй этап: доказательство того, что
с какого-то момента удары в системе
шаров прекратятся вовсе. Идейно это
доказательство повторяет
доказательство, приведенное в п. 16.3, но технически
осуществляется сложнее, и мы его
опускаем.
Можно ли получить какую-либо
равномерную оценку сверху (не зависящую от
43

начальных положений и скоростей)
числа ударов в системе упругих шаров с
данными массами? В настоящий момент
такой оценки не получено. В 1964 г.
американские физики Г. Сандри,
Р. Д. Сулливан и Р. Норем установили,
что в системе трех одинаковых шаров в
трехмерном пространстве может
произойти максимум четыре удара. Для п
произвольных шаров частичное
доказательство существования верхней оценки
числа ударов в пространстве любого
числа измерений в 70-х годах получил
Я. Г. Синай. Сейчас никто не
сомневается, что гипотеза о равномерной оценке
справедлива всегда.
Последнее, чем мы завершим эту
главу,— опишем поведение системы шаров
в сосуде. Если сосуд считать
многогранником с плоскими или вдавленными
внутрь («полурассеивающими»)
стенками, то применимы предыдущие
рассуждения, и мы получаем, что множество
ударов шаров между собой и со стенками
дискретно. Если сосуд —
параллелепипед, то рассуждения § 16 (п. 16.4)
показывают, что число ударов в системе
растет линейно по времени. Если же
сосуд — общей формы, то похожие
рассуждения с учетом справедливости
гипотезы о существовании равномерной
оценки числа ударов для шаров в
пространстве показывают, что и в таком
сосуде число ударов между шарами растет
также линейно во времени.
Задача. Могут ли в какой-нибудь системе
шаров в каком-нибудь сосуде (совершенно
произвольной формы) прекратиться удары шаров со
стенками сосуда (между собой шары могут
продолжать сталкиваться)? И наоборот, могут ли
прекратиться удары шаров между собой?
ГЛАВА V
СТОХАСТИЧЕСКИЕ БИЛЛИАРДЫ
В ПРОСТРАНСТВЕ
С биллиардами в пространстве (размерности
три и более) мы познакомились в предыдущей
главе. Здесь мы продолжим это знакомство и
рассмотрим две классические модели, родившиеся
в физике. Основное внимание будет уделено
стохастическим свойствам.
44
§18. Пространственный газ Лоренца
Вспомним периодический газ Лоренца
из § 5. Он мог вызвать справедливое
недоумение: почему движение электрона
происходит в плоскости, а не в
пространстве, как «положено» в физике?
Действительно, мы привели плоскую,
упрощенную модель Лоренца, а «настоящий»
периодический газ Лоренца определяется
в трехмерном торе (это куб с
отождествленными противоположными гранями).
Из этого тора вырезается шар
(неподвижная молекула), и точечная частица
(электрон) движется по тору, отражаясь
от границы шара (сферы). Движение по
тору можно представить себе как
движение в кубе, при котором частица, налетая
на одну из граней, «исчезает» и
появляется на противоположной грани,
продолжая движение в том же направлении,
не меняя вектора скорости.
К периодическому газу Лоренца
можно применить аналог «приема барона
Мюнхгаузена» из гл. III. Точнее, при
каждом пересечении грани куба
электроном будем подклеивать с другой стороны
этой грани еще один экземпляр такого
же куба (с вырезанным шаром), чтобы
электрон продолжал движение уже в
новом кубе (на рис. 50 этот процесс
изображен для плоского случая). В резуль:
тате электрон будет летать в
пространстве, отражаясь от бесконечного числа
одинаковых сфер, расположенных в
узлах периодической решетки*.
Исследование стохастических свойств
биллиардов в гл. II начиналось с
наблюдения за воздействием отражения от
границы на падающий пучок параллельных
траекторий. В нашем случае такой пучок
образует уже объемную «связку» лучей
(как сноп света от фары). Если такой
узкий сноп налетает на поверхность
неподвижной сферы, то после отражения
он рассеется в пространстве. (Вспомним
о гиперболоиде инженера Гарина из
романа А. Н. Толстого — тот фокусировал
световые лучи, а шарообразное зеркало
их рассеивает.) Это означает, что мы
* Отсюда и название — периодический газ
Лоренца. Есть еще другие разновидности газа
Лоренца, в которых молекулы расположены не столь
регулярно либо вообще случайно, но мы их не
рассматриваем.

это
Рис. 50
имеем рассеивающий биллиард —
аналог описанных в п. 5.1.
Рассеивающее свойство биллиарда
лежит в основе дальнейшего анализа.
Оно позволяет построить устойчивые
семейства траекторий — пучки
сходящихся лучей, которые сближаются со
скоростью геометрической прогрессии
при последующих отражениях. Эти
устойчивые семейства представляют собой
двумерные поверхности, и их кривизна
описывается линейным оператором
второй квадратичной формы в касательном
пространстве. Поэтому цепная дробь
(13) и все ее члены будут не просто
числами, а линейными операторами, или
матрицами размера 2X2. Деление
переходит в умножение на обратную матрицу,
а положительность членов дроби (13) —
в положительную определенность
соответствующих матриц. Доказательство
сходимости такой цепной дроби не
намного сложнее, чем в § 8. В формуле (15)
для энтропии биллиарда появляется
детерминант матрицы, стоящей под
логарифмом. Определенные изменения
требуются также в доказательстве теоремы
Синая (§ 7), но они носят технический
характер и не влияют на конечный
результат. Окончательный вывод состоит в
том, что пространственный газ Лоренца
эргодичен и является /(-системой. Этот
результат Я. Г. Синай обобщил и на
газы Лоренца со случайным
расположением неподвижных рассеивателей.
§ 19. Газ твердых шаров
Здесь мы продолжаем анализ
рассмотренной в § 17 классической модели
твердых шаров, сосредоточившись на ее
стохастических свойствах.
Во-первых, нам придется заключить
шары в какой-то сосуд, иначе они разле-
ГА
Рис: 51
тятся (§ 17) и после этого уже нечего
будет изучать. Однако не хотелось бы,
чтобы свойства системы зависели каким-
либо образом от формы стенок
выбранного сосуда. Можно ли избавиться от
стенок вообще и придумать сосуд без
таковых? В природе — конечно нет, но
в математике — можно. Это... тот же
самый трехмерный тор из § 18. Точнее,
помещаем шары в куб, где они будут летать
и сталкиваться, но когда один из них
достигает границы куба, то он «входит»
в нее, появляясь из противоположной
грани (такой полет изображен на
рис. 51, где вместо куба нарисован
квадрат).
Построим, как и в § 17,
конфигурационное пространство системы /V твердых
шаров на торе. Если (xh yly zt) означают
координаты /-го шара (они
пронумерованы произвольно: /=1, 2, ..., JV), то
набор всех координат (х\у yly z\\ x2, #2,
z2; ...; %, yNy zN) определяет
конфигурацию системы (положение всех шаров).
Одновременно он определяет точку в
З/У-мерном торе. Движение сфер
приводит в движение эту точку по З/У-мерному
тору, а столкновения сфер (см. § 17)
приводят к отражениям этой точечной
частицы от цилиндров, задаваемых
уравнениями
{Xi _ Xjf + {yi _ yj)2 + {^ _ Zj)2 = (2r)2
(23)
при всевозможных l</</<JV(r—
радиус шаров). Тем самым биллиард на
З/У-мерном торе с вырезанными
цилиндрами вида (23) моделирует систему, /V
твердых шаров.
Задача. Вычислить размерность фазового
пространства М данного биллиарда. (Ответ:
она равна 6N — 2).
Начнем анализ данного биллиарда по
традиции с наблюдения за пучком па-
45

раллельных траекторий, отражающихся
от границы. Цилиндр (23) можно
представить как прямое произведение сферы
(основания) на (3N — 3)-мерное
линейное пространство (образующую). Мы
знаем, что при отражении от сферы
параллельные лучи рассеиваются, а при
отражении от плоской грани остаются
параллельными. Поэтому при
отражении от цилиндра все лучи, попавшие на
одну образующую, остаются
параллельными, и отраженный пучок уже не будет
рассеянным. Точнее, он расслаивается на
отдельные (3N — 3)-мерные слои, которые
разлетаются в разные стороны, удаляясь
друг от друга, но внутри каждого слоя
все лучи идут параллельно. Если при
следующих отражениях (от других
цилиндров) лучи одного слоя вновь
попадут на одну образующую цилиндра, то
они так и останутся параллельными.
Возникает устойчивость движения,
которая препятствует образованию стохас-
тичности по тому пути, который
наблюдался в гл. II.
Ясно, что решающую роль здесь играет
взаимная параллельность или
непараллельность образующих разных
цилиндров. Образующая цилиндра (23)
задается уравнениями *, = *,, yt = yh zt = zh
поэтому образующие всех этих
цилиндров параллельны одному и тому же
трехмерному пространству, задаваемому
уравнениями х\=х2 = ... = xN, y{=y2 =
=i.,, = yNy z\ = Z2 = ... = zN.
Следовательно, после любого числа отражений
параллельного пучка в нем остаются
трехмерные слои из параллельных
траекторий. Оказывается (не будем вдаваться в
детали), что эта устойчивость движения
связана с классическим законом
сохранения импульса, согласно которому
вектор полного импульса системы
постоянен, т. е. все три его координаты
являются первыми интегралами движения.
Чтобы избавиться от этих интегралов,
положим полный импульс равным нулю.
Тогда мы «наткнемся» на еще один закон
сохранения, тесно связанный с
предыдущим: центр тяжести системы будет
покоиться, т. е. все три его координаты
станут первыми интегралами движения. Нам
придется зафиксировать и положение
центра тяжести (например, поместив его
в точку О). Таким образом мы
избавимся от шести первых интегралов, но при
этом резко сузим многообразие всех
возможных состояний системы. Точнее, мы
окажемся на какой-то подповерхности
Мо в фазовом пространстве М.
Задача. Найти размерность поверхности М0.
(Ответ: она на шесть единиц меньше
размерности М, т. е. равна 6N — S).
Поверхность Мо инвариантна, т. е.
движение фазовых точек внутри нее
происходит автономно. Не вдаваясь в
подробности, скажем, что эта автономная
система также сводится к биллиарду на
многомерном торе с отражениями от
цилиндров. Образующие этих цилиндров
уже не будут одновременно
параллельны никаким линейным пространствам,
так как от этого явления мы избавились
выше. Поэтому любой параллельный
пучок рано или поздно рассеивается (это
далеко не очевидный факт, и доказан
он не при любом числе N шаров, а только
при jV<!4, но в его справедливости
сейчас никто не сомневается). Значит,
система стохастична?
Знакомая нам по § 6 и введению
гипотеза Больцмана известна еще и как
гипотеза об эргодичности системы
твердых шаров на торе или в сосуде. В этом
виде ее чаще называют эргодинеской
гипотезой. Если она справедлива, то, в
частности, в системе твердых шаров на
торе нет иных законов сохранения, кроме
классических, касающихся энергии и
импульса.
Если заключить шары в сосуд любой
формы, то из-за отражения от стенки
сосуда закон сохранения импульса
нарушится. В этом случае эргодическая
гипотеза Больцмана гласит, что система эрго-
дична (т. е. стохастична) во всем
фазовом пространстве М. Доказательство
гипотезы в этом случае, очевидно, будет
зависеть и от формы стенок сосуда.
В настоящее время эргодическая
гипотеза Больцмана в своем полном объеме
не доказана. Ряд важных и глубоких
результатов в этом направлении получил
Я. Г. Синай в серии своих работ с
1963 по 1987 г. Эти результаты
посвящены анализу устойчивых семейств
траекторий и доказательству аналогов
основной теоремы из § 7. В частности, он
установил эргодичность и /(-свойство системы
двух твердых шаров на торе. Венгерские
математики А. Крамли, Д. Саас и Н. Ши-
доани развили дальше методы этих работ
и в 1989 г. доказали эргодичность и
46

/(-свойство системы из трех шаров на
торе любой размерности ^2. С другой
стороны, в 1990 г. Л. А. Бунимовичу,
К. Ливерани, С. Пеллегринотти и
Ю. М. Сухову удалось придумать такой
плоский сосуд, внутри которого любое
количество шаров (дисков) можно
расположить так, что система будет эрго-
дической.
Перечисленные работы убеждают нас в
том, что эргодическая гипотеза Больцма-
на верна, но, по-видимому, представляет
собой весьма «крепкий орешек».
ЛИТЕРАТУРА
1. Кориолис Г. Г. Математическая теория
явлений бильярдной игры.— М.: Гостехиздат
1956. '
2. Гальперин Н. А., Земляков А. Н.
Математические бильярды.— М.: Наука, 1990.
Библиотечка «Квант», вып. 77.
3. Л а з у т к и н В. Ф. Выпуклый биллиард и
собственные функции оператора Лапласа. — Л •
Изд-во ЛГУ, 1981.
4. Крылов Н. С. Работы по обоснованию
статистической физики.— Изд-во АН СССР, 1950.
5. С и н а й Я. Г. Динамические системы с
упругими отражениями. Эргодические свойства
рассеивающих биллиардов // УМН, 1970.— Т. 25.—
Вып. 2.—С. 144—192.
6. Хованский А. Н. Приложения цепных
дробей и их обобщений к вопросам
приближенного анализа.— М.: Гостехиздат, 1956.
7. Биллингслей П. Эргодическая теория и
информация.— М.: Мир. 1969.
8. Мартин Н., Ингленд Дж.
Математическая теория энтропии.— М.: Мир, 1989.
9. Биркгоф Дж. Д. Динамические системы.—
М.—Л.: ОГИЗ, 1941.
10. Синай Я. Г. Бильярдные траектории в
многогранном угле // УМН.— 1978.— Т. 33.—
Вып. 1.—С. 229—230.
11. Земляков А. Н., Каток А. Б.
Топологическая транзитивность бильярдов в
многоугольниках // Мат. заметки.— 1975.— Т. 18.—
№ 2.—С. 291—300.
12. Синай Я- Г. Введение в эргодическую
теорию.— Ереван: Изд-во Ереванского
университета, 1973.
13. Б у н и м о в и ч Л. А., Синай Я. Г.,
Чернов Н. И. Московские разбиения для двумерных
гиперболических биллиардов // УМН.— 1990.—
Т. 45.— Вып. 3.— С. 97—134.

Научно-популярное издание
Гальперин Григорий Александрович
Чернов Николай Иванович
БИЛЛИАРДЫ И ХАОС
Гл. отраслевой редактор Г. Г. Карвовский
Редактор И. Г. В и р к о
Мл. редактор С. С. Патрикеева
Художник Л. П. Ромасенко
Худож. редактор М. А. Бабичева
Техн. редактор Н. В. Клецкая
Корректор Н. Д. Мелешкина
ИБ № 11648
Сдано в набор 18 03 91 Подписано к печати 16 04 91.
Формат бумаги 70X lOO'/ie Бумага офсет № 2 Гарнитура
Литературная Печать офсетная Уел печ л 3,90 Уел кр -отт
8,12 Уч изд л 4,38 Тираж 10036 экз Заказ 460
Цена 55 коп Издательство «Знание» 101835, ГСП, Москва,
Центр, проезд Серова, д 4 Индекс заказа 914305
Ордена Трудового Красного Знамени
Чеховский полиграфический комбинат
Государственного комитета СССР по печати
142300 г Чехов Московской области

Индекс 70096
Издательство «Знание» — крупнейшее
в стране издательство по выпуску
научно-популярной литературы.
Издательство выпускает
40 серий подписных
научно-популярных брошюр
Подписная
научно-
популярная
серия
£ь. МАТЕМАТИКА
-' КИБЕРНЕТИКА
]нйнле
Дш m ш ш шшг шшшш ш ш ш шшшш ш ш ш ш m ж
орогои читатель!
Брошюры этой серии в розничную провижу не поступают,
полому своевременно оформляйте подписку.
Подписка на брошюры издательства «Знание» ежеквартальная,
принимается в любом отделении «Союзпечати».
Напоминаем Вам,что сведения о подписке
Вы можете найти в каталоге «Всесоюзные
газеты и журналы» в разделе
«Подписные серии издательства «Знание».
Цена подписки на год 6 руб. 60 коп.
Наш адрес:
101835,
Москва, Центр,