КОШЛЯКОВ Н. С, ГЛИНЕР Э. Б.г СМИРНОВ М. М.
УРАВНЕНИЯ
В
ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ФИЗИКИ
Допущено Министерством
высшего и среднего специального образования СССР
в качестве учебного пособия
для студентов механико-математических
и физических факультетов университетов
ИЗДАТЕЛЬСТВО
«ВЫСШАЯ ШКОЛА»
Москва 1 970

530.1
K76
УДК 501
Кошляков Н. С. и др.
К76 Уравнения в частных производных математической физики.
Учеб. пособие для мех.-мат. фак. ун-тов. М., «Высшая школа», 1970.
712 с. с илл.
Перед загл. авт.: Н. С. Кошляков, Э. Б. Глинер, М. М. Смирнов.
Книга «Уравнения в частных производных математической
физики» предназначена в качестве учебного пособия для студентов
и аспирантов университетов и технических вузов. Она является
результатом переработки и дополнения двух известных книг:
«Дифференциальные уравнения математической физики» (авт.
Н. С. Кошляков, Э. Б. Глинер, М. М. Смирнов) и «Дифферен-
«Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка»
(авт. М. М. Смирнов).
Предназначено для студентов университетов и втузов.
2—2—3 530.1
31—70
Учебное пособие является вторым изданием книги тех же ав-
авторов, вышедшей в 1962 г. и нашедшей широкое применение в прак-
практике преподавания математической физики. В пособии рассмотрены
классические методы интегрирования дифференциальных уравнений
в частных производных второго порядка и метод интегральных пре-
преобразований в конечных и бесконечных пределах.
Для пособия характерно подробное изложение ряда конкрет-
конкретных физических и технических задач, приводящих к уравнениям
в частных производных второго порядка, наряду с большим внима-
вниманием, уделяемым теории. > ^ ^
Для второго издания ряд}йтв~ и?параграфов написан заново,
в частности гл. III и IX, посвященные уравнениям первого по-
порядка и общим вопросам теории дифференциальных уравнений
гиперболического типа (М. М. Смирнов), а также гл. XXIX,
XXXII и XXXIII об уравнениях электромагнитного поля, раз-
разложениях по собственным функциям задачи Штурма — Лиувилля
и теории интегральных преобразований (Э. Б. Глинер).

ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Введение 10
Глава I Вывод основных уравнений математической
физики
§ 1. Уравнение колебаний струны 12
§ 2. Уравнение колебаний мембраны 16
§ 3. Уравнения гидродинамики и звуковых волн 18
§ 4. Уравнение распространения тепла в изотропном твердом
теле 24
§ 5, Задачи, приводящие к уравнению Лапласа 28
Глава II. Классификация уравнений второго порядка
§ 1. Типы уравнений второго порядка 29
§ 2. Приведение к каноническому виду уравнения второго по-
порядка с постоянными коэффициентами 30
§ 3. Приведение к каноническому виду уравнения второго по-
порядка с двумя независимыми переменными 32
Глава III. Уравнения первого порядка
§ 1. Квазилинейные дифференциальные уравнения с двумя не-
независимыми переменными 40
§ 2 Нелинейные дифференциальные уравнения с двумя неза-
независимыми переменными 44
§ 3. Нелинейные дифференциальные уравнения с п независи-
независимыми переменными 51
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
Дифференциальные уравнения гиперболического типа
Глава IV. Применение метода характеристик к изучению
малых колебаний струны
§ 1. Уравнение колебаний струны. Решение Даламбера ... 54
§ 2. Понятие об обобщенных решениях 62
Глава V. Продольные колебания стержня
§ 1. Дифференциальное уравнение продольных колебаний одно-
однородного стержня постоянного сечения. Начальные и гра-
граничные условия 64
§ 2. Колебания стержня с одним закрепленным концом ... 66
§ 3. Продольный удар груза по стержню 70
- 3 —

Глава VI. Уравнения гиперболического типа с двумя
независимыми переменными
§ 1. Задача Коши 75
§ 2. Задача Гурса 79
§ 3. Метод Римана 80
§ 4. Примеры на приложение метода Римана 83
Глава VII. Применение метода характеристик к изучению
колебаний в электрических линиях
§ 1. Дифференциальные уравнения свободных электрических
колебаний 88
§ 2. Телеграфное уравнение 90
§ 3. Интегрирование телеграфного уравнения по методу Римана 90
§ 4. Электрические колебания в бесконечном проводе .... 93
§ 5. Колебания в линии, свободной от искажения 95
§ 6. Граничные условия для провода конечной длины .... 97
Глава VIII Волновое уравнение
§ 1 Формула Пуассона 98
§ 2. Цилиндрические волны 101
§ 3. Непрерывная зависимость решения от начальных данных 103
§ 4 Теорема единственности 103
§ 5. Неоднородное волновое уравнение 105
§ 6. Точечный источник 108
Глава IX. Некоторые общие вопросы теории
дифференциальных уравнений гиперболического типа
§ 1. Задача Коши. Характеристики 109
§ 2. Бихарактеристики 113
§ 3. Слабый разрыв. Фронт волны 114
§ 4. Распространение разрывов по лучам 117
Глава X. Применение метода Фурье к изучению
свободных колебаний струн и стержней
§ 1. Метод Фурье для уравнения свободных колебаний струны 119
§ 2. Колебание защепленной струны 125
§ 3. Колебания струны под действием удара 126
§ 4. Продольные колебания стержня 126
§ 5 Общая схема метода Фурье 129
Глава XI Вынужденные колебания струн и стержней
§ 1. Вынужденные колебания струны, закрепленной на концах 136
§ 2. Вынужденные колебания тяжелого стержня 140
§ 3. Вынужденные колебания струны с подвижными концами 142
§ 4. Единственность решения смешанной задачи 145
Глава XII. Крутильные колебания однородного стержня
§ 1. Дифференциальное уравнение крутильных колебаний ци-
цилиндрического стержня 147
§ 2. Колебания стержня с одним прикрепленным диском ... 150
Глава XIII. Функции Бесселя
§ 1. Уравнение Бесселя 150
§ 2 Некоторые частные случаи функций Бесселя 160
§ 3. Ортогональность функций Бесселя и их корни 162
§ 4. Разложение произвольной функции в ряд по функциям
Бесселя 167
— 4 —

§ 5. Некоторые интегральные представления функций Бесселя 169
§ 6. Функции Ханкеля 172
§ 7. Функции Бесселя мнимого аргумента 173
Глава XIV. Малые колебания нити, подвешенной за
один конец
§ 1. Свободные колебания подвешенной нити 176
§ 2. Вынужденные колебания подвешенной нити 180
Глава XV. Малые радиальные колебания газа
§ 1. Радиальные колебания газа в сфере 184
§ 2. Радиальные колебания газа в неограниченной цилиндриче-
цилиндрической трубке 191
Глава XVI. Полиномы Лежандра
§ 1. Дифференциальное уравнение Лежандра 195
§ 2. Ортогональность полиномов Лежандра и их норма ... 198
§ 3. Некоторые свойства полиномов Лежандра 200
§ 4. Интегральные представления полиномов Лежандра . . . 201
§ 5. Производящая функция 203
§ 6 Рекуррентные соотношения между полиномами Лежандра
и их производными 204
§ 7. Функция Лежандра второго рода 205
§ 8. Малые колебания вращающейся струны 205
Глава XVII. Применение метода Фурье к исследованию
малых колебаний прямоугольной и круглой мембраны
§ 1. Свободные колебания прямоугольной мембраны 210
§ 2. Свободные колебания круглой мембраны 214
§ 3. Метод Фурье в многомерном случае 219
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
Дифференциальные уравнения эллиптического типа
Глава XVIII. Интегральные формулы, применяемые
в теории дифференциальных уравнений эллиптического типа
§ 1. Определения и обозначения 224
§ 2. Формулы Остроградского—Гаусса и Грина 227
§ 3*. Преобразование формулы Грина 231
§ 4*. Функции Леви 232
§ 5*. Формула Грина —Стокса 234
§ 6*. Формула Грина — Стокса в случае двух измерений . . . 238
§ 7. Представление некоторых дифференциальных выражений
в ортогональных системах координат 239
Глава XIX. Уравнения Лапласа и Пуассона
§ 1. Уравнения Лапласа и Пуассона. Примеры задач, приво-
приводящих к уравнению Лапласа 248
§ 2. Граничные задачи 254
§ 3. Гармонические функции 257
§ 4. Единственность решений граничных задач 263
§ 5. Фундаментальные решения уравнения Лапласа. Основная
формула теории гармонических функций 268
§ 6 Формула Пуассона. Решение задачи Дирихле для шара 273
§ 7 Функция Грина 277
§ 8. Гармонические функции на плоскости 282
— 5 —

Глава XX. Теория потенциала
§ 1. Ньютоновский потенциал 287
§ 2. Потенциалы разных порядков 289
§ 3. Мультиполи 292
§ 4. Разложение потенциала по мультиполям. Сферические
функции 295
§ 5. Потенциалы простого и двойного слоя 299
§ 6*. Поверхности Ляпунова 300
§ 7*. Сходимость и непрерывная зависимость несобственных
интегралов от параметров 303
§ 8*. Поведение потенциала простого слоя и его нормальных
производных при пересечении слоя 305
§ 9*. Тангенциальные производные потенциала простого слоя
и производные по любому направлению 309
§ 10*. Поведение потенциала двойного слоя при пересечении
слоя 311
§ И. Уровенные распределения 312
§ 12. Энергия гравитационного поля. Задача Гаусса . . . .315
§ 13. Поле тяжести. Теорема Стокса 319
§ 14. Логарифмический потенциал 323
Глава XXI. Сферические функции
§ 1. Построение системы линейно-независимых сферических
функций 328
§ 2. Ортогональность сферических функций 332
§ 3. Разложение по сферическим функциям 335
§ 4. Применение сферических функций для решения гранич-
граничных з&дач 338
§ 5. Функция Грина задачи Дирихле для шара 341
§ 6. Функция Грина задачи Неймана для шара 343
Глава XXII. Приложение теории сферических функций
к решению задач математической физики
§ 1. Электростатический потенциал проводящего шара, разде-
разделенного слоем диэлектрика на два полушария 346
§ 2. Задача о стационарном распределении температуры в шаре 348
§ 3. Задача о распределении электричества на индуктивно за-
заряженном шаре 350
§ 4. Обтекание шара потоком несжимаемой жидкости .... 355
Глава XXIII*. Гравитационные волны на поверхности
жидкости
§ 1. Постановка проблемы 358
§ 2. Двумерные волны в бассейне ограниченной глубины . . .361
§ 3. Кольцевые волны 368
§ 4. Метод стационарной фазы 371
Глава XXIV. У равнение Гельмгольца
§ 1. Связь уравнения Гельмгольца с некоторыми уравнениями
гиперболического и параболического типов 375
§ 2. Сферически симметричные решения уравнения Гельм-
Гельмгольца в ограниченной области 378
§ 3. Собственные числа и собственные функции граничной
задачи общего вида. Разложения по собственным функ-
функциям 384
§ 4. Разделение переменных в уравнении Гельмгольца в ци-
цилиндрических и сферических координатах 389
— 6 —

§ 5. Сферически симметричные решения уравнения Гельм-
гольца в бесконечной области 394
§ 6. Интегральные формулы 401
§ 7. Разложения в ряды по частным решениям уравнения
Гельмгольца в бесконечной области 407
§ 8*. Вопросы единственности решений внешних граничных
задач для уравнения Гельмгольца 409
Глава XXV. Излучение и рассеяние звука
§ 1. Основные зависимости для звуковых полей 413
§ 2. Звуковое поле вибрирующего цилиндра 415
§ 3. Звуковое поле пульсирующего шара. Точечный источник 418
§ 4. Излучение из отверстия в плоском экране 420
§ 5. Звуковое поле при произвольном колебании поверхности
шара 422
§ 6. Исследование поля шара при произвольном колебании его
поверхности. Акустические или колебательные мультиполи 426
§ 7. Рассеяние звука 432
Дополнение к части второй *. Сведения об уравнениях
эллиптического типа общего вида
§ 1. Общий вид уравнения эллиптического типа 435
§ 2. Основные граничные задачи 436
§ 3. Сопряженные граничные задачи 438
§ 4. Фундаментальные решения. Функция Грина 439
§ 5. Теоремы единственности 441
§ 6. Условия разрешимости граничных задач 443
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ
Уравнения параболического типа
Глава XXVI. Постановка граничных задач. Теоремы
единственности
§ 1. Первая граничная задача. Теорема о максимуме и мини-
минимуме 448
§ 2. Задача Коши 450
Глава XXVII. Распространение тепла в бесконечном
стержне
§ 1. Распространение тепла в неограниченном стержне .... 451
§ 2. Распространение тепла в полуограниченном стержне . . . 459
Глава XXVIII. Применение метода Фурье к решению
граничных задач
§ 1. Распространение тепла в ограниченном стержне 463
§ 2. Неоднородное уравнение теплопроводности 471
§ 3. Распространение тепла в бесконечном цилиндре 473
§ 4. Распространение тепла в цилиндре конечных размеров . . 476
§ 5. Распространение тепла в однородном шаре 478
§ 6. Распространение тепла в прямоугольной пластинке . . . 485
ЧАСТЬ ЧЕТВЕРТАЯ
Дополнительные сведения
Глава XXIX. Уравнения электромагнитного поля
§ 1. Векторные поля 488
— 7 —

§ 2. Уравнения Лоренца—Максвелла 498
§ 3. Уравнения Максвелла 501
§ 4. Уравнения магнитной гидродинамики 508
§ 5. Потенциалы электромагнитного поля 513
§ 6. Периодические по времени электромагнитные поля . . . .515
§ 7. Условия на бесконечности и граничные условия 520
§ 8. Представление электромагнитного поля с помощью двух
скалярных функций 527
§ 9. Теорема единственности 530
Глава XXX. Направляемые электромагнитные волны
§ 1. Поперечно-электрические, поперечно-магнитные и попе-
поперечно-электромагнитные волны 535
§ 2. Волны между идеально проводящими плоскостями, раз-
разделенные диэлектриком 536
§ 3. Дальнейшее рассмотрение направляемых волн 542
§ 4. ТМ-волны в волноводе круглого сечения 550
§ 5. ТЕ-волны в волноводе круглого сечения 552
§ 6. Волны в коаксиальном кабеле 553
§ 7. Волны в диэлектрическом стержне 555
Глава XXXI. Электромагнитные рупоры и резонаторы
§ 1. Секториальный рупор и секториальный резонатор . . . .561
§ 2. Сферический резонатор 566
Глава XXXII. Разложение по собственным функциям
задачи Штурма—Лиувилля
§ 1. Введение 568
§ 2. Задача Штурма — Лиувилля 568
§ 3. Функция Грина 571
§ 4. Экстремальные свойства собственных функций 572
§ 5. Разложение по собственным функциям задачи Штурма —
Лиувилля на конечном интервале 577
§ 6. Сингулярная задача Штурма — Лиувилля 582
§ 7. Разложение по собственным функциям сингулярной за-
задачи Штурма — Лиувилля на полубесконечном интервале 586
§ 8. Вычисление спектральной функции (полубесконечный ин-
интервал) 590
§ 9. Разложение по собственным функциям сингулярной за-
задачи Штурма — Лиувилля на интервале, бесконечном
в обе стороны 593
§ 10. Разложение по бесселевым функциям 596
Глава XXXIII. Применение интегральных преобразований
для решения задач математической физики
§ 1. Введение 609
§ 2. Условия, обеспечивающие возможность интегрального
преобразования 611
§ 3. Интегральные преобразования в конечных пределах . . .616
§ 4. Интегральные преобразования с бесконечными пределами
(общий случай) 620
§ 5. Некоторые часто применяемые преобразования с бесконеч-
бесконечными пределами 626
Глава XXXIV. Примеры применения конечных
интегральных преобразований
§ 1. Колебания тяжелой нити 631
§ 2. Колебания мембраны 634
— 8 —

§ 3. Распределение тепла в цилиндрическом стержне 637
§ 4. Распространение тепла в круглой трубе 641
§ 5.. Поток тепла в шаре 643
§ 6. Стационарный поток тепла в параллелепипеде 647
Глава XXXV. Примеры применения интегральных
преобразований с бесконечными пределами
§ 1. Задача о колебаниях бесконечной струны . .' 650
§ 2. Линейный поток тепла в полуограниченном стержне . . . 652
§ 3. Распределение тепла в цилиндрическом стержне, поверх-
поверхность которого поддерживается при двух различных тем-
температурах 654
§ 4. Установившееся тепловое состояние бесконечного клина . 658
Глава XXXVI. Излучение электромагнитных колебаний
§ 1. Введение 661
§ 2. Вертикальный излучатель в однородной среде над иде-
идеально проводящей плоскостью 663
§ 3. Вертикальный излучатель в однородной среде над средой
с конечной электропроводностью 668
§ 4. Магнитная антенна над средой с конечной электропровод-
электропроводностью 670
§ 5. Поле произвольной системы излучателей 677
§ 6. Горизонтальный излучатель над средой с конечной элект-
электропроводностью 680
Глава XXXVII. Движение вязкой жидкости
§ 1. Уравнения движения вязкой жидкости 686
§ 2. Движение вязкой жидкости в полупространстве над вра-
вращающимся диском бесконечного радиуса 691
§ 3. Движение вязкой жидкости в плоском диффузоре .... 693
Литература 698
Предметный указатель 701
Некоторые обозначения 708
Николай Сергеевич Кошляков (краткий биографический очерк) 709

ВВЕДЕНИЕ
Уравнение, связывающее неизвестную функцию и(х1У ..., хп),
независимые переменные х1У ..., хп и частные производные от
неизвестной функции, называется дифференциальным уравнением
с частными производными.
Оно имеет вид
ди ди дки
tx» ...,*я, tt, g-, ...,_,..., dxklmuadx
где F—заданная функция своих аргументов.
Порядок старшей частной производной, входящей в уравне-
уравнение A), называется порядком уравнения с частными производными.
Наиболее общее уравнение с частными производными первого
порядка с двумя независимыми переменными х и у может быть
записано в виде
F(x,y,u,p,q) = 0 (p = g, <? = |)- B)
Аналогично наиболее общее уравнение с частными производными
второго порядка имеет вид
F(x,yau,p,q,r,s,t) = O [г = ^2, s = ^Tyt < = ^jj. C)
Уравнение с частными производными называется квазилинейным,
если оно линейно относительно всех старших производных от
неизвестной функции. Так, например, уравнение
А(х9у9 и, иХ9 иу)% + В()
^ у, и, иХ9 иу) = 0 D)
есть квазилинейное уравнение второго порядка.
Уравнение с частными производными называется линейным,
если оно линейно относительно неизвестной функции и ее частных
— ю —

производных. Так, например, уравнение
px ? y)u = F(x,y) E)
есть линейное уравнение второго порядка относительно неизвест-
неизвестной функции и (х, у).
Решением уравнения с частными производными A) называется
всякая функция и = и(х19 ..., хп), которая, будучи подставлена
в уравнение вместо неизвестной функции и ее частных производ-
производных, обращает это уравнение в тождество по независимым пере-
переменным.
Многие задачи механики и физики приводят к исследованию
дифференциальных уравнений с частными производными второго
порядка. Так, например:
1) при изучении различных видов волн — упругих, звуковых,
электромагнитных, а также других колебательных явлений мы
приходим к волновому уравнению
ду2
где с — скорость распространения волны в данной среде;
2) процессы распространения тепла в однородном изотропном
теле, так же как и явления диффузии, описываются уравнением
теплопроводности:
ди
3) при рассмотрении установившегося теплового состояния
в однородном изотропном теле мы приходим к уравнению Пуассона
При отсутствии источников тепла v внутри тела уравнение (8) пе-
переходит в уравнение Лапласа
Потенциалы поля тяготения и стационарного электрического поля
также удовлетворяют уравнению Лапласа, в котором отсутствуют
массы и соответственно электрические заряды.
Уравнения F)—(9) часто называют основными уравнениями
математической физики. Их подробное изучение дает возможность
построить теорию широкого круга физических явлений и решить
ряд физических и технических задач.
Каждое из уравнений F)—(9) имеет бесчисленное множество
частных решений. При решении конкретной физической задачи
— 11 —

необходимо из всех этих решений выбрать то, которое удовлетво-
удовлетворяет некоторым дополнительным условиям, вытекающим из ее
физического смысла. Итак, задачи математической физики со-
состоят в отыскании решений уравнений в частных производных,
удовлетворяющих некоторым дополнительным условиям. Такими
дополнительными условиями чаще всего являются так называемые
граничные условия, т. е. условия, заданные на границе рассматри-
рассматриваемой среды, и начальные условия, относящиеся к одному како-
какому-нибудь моменту времени, с которого начинается изучение
данного физического явления.
Математическая задача, имеющая своей целью описать действи-
действительность, должна удовлетворять следующим трем требованиям:
1) решение должно существовать, 2) решение должно быть един-
единственным и 3) решение должно быть устойчивым. Это значит,
что малые изменения любого из данных задачи должны вызывать
соответственно малые изменения решения.
Задача, удовлетворяющая всем трем требованиям, называется
корректно поставленной задачей.
Глава I
ВЫВОД ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
§ 1. Уравнение колебаний струны
Рассмотрим натянутую струну, закрепленную на концах. Под
струной понимают тонкую нить, которая может свободно
изгибаться, т. е. не оказывает сопротивления изменению ее формы,
не связанному с изменением ее длины. Сила натяжения То, дей-
действующая на струну, предполагается значительной, так что можно
пренебречь действием силы
тяжести.
Пусть
в положении рав-
равновесия струна направлена по
оси Ох.
Будем рассматривать толь-
Рис. 1 ко поперечные колебания
струны, предполагая, что
движение происходит в одной плоскости и что все точки струны
движутся перпендикулярно оси Ох.
Обозначим через и(х, t) смещение точек струны в момент
времени t от положения равновесия. При каждом фиксированном
значении t график функции и (ху t), очевидно, дает форму струны
в этот момент времени (рис. 1). Рассматривая далее только малые
колебания струны, будем считать, что смещение и(х, t), а также
— 12 —

ди
производная ^ столь малы, что их квадратами и произведениями
можно пренебречь по сравнению с самими этими величинами.
Выделим произвольный участок (х19 хг) струны (см. рис. 1),
который при колебании струны деформируется в участок МхМг.
Длина дуги этого участка в момент времени t равна
л2
S' = J
—xx= S,
вследствие чего можно считать, что в процессе малых колебаний
удлинения участков струны не происходит. Отсюда в силу закона
Гука следует, что величина натяжения Т в каждой точке струны
не меняется со временем. Таким образом, при наших предполо-
предположениях изменением величины натяжения струны, возникающим
при ее движении, можно пренебречь по сравнению с натяжением,
которому она была уже подвергнута в положении равновесия.
Покажем, что величину натяжения Т можно считать не завися-
зависящей от х, т. е. Т « То. Действительно, на участок МгМ2 струны
действуют силы натяжения, направленные по касательным к струне
в точках Мх и М2, внешние силы и силы инерции. Сумма проек-
проекций на ось Ох всех этих сил должна равняться нулю. Так как
мы рассматриваем только поперечные колебания, то силы инер-
инерции и внешние силы направлены параллельно оси Ои, тогда
Т (хг) cos а (хх) — Т (х2) cos а (х2) = О,
где а(х) — угол между касательной в точке с абсциссой х к струне
в момент времени / с положительным направлением оси х. В силу
малости колебаний
cos а (х) = г— = — - » 1,
^l+tg»a(*) V\+u\
и, следовательно,
Т (хг) « Т (х2).
Отсюда ввиду произвольности ху и х2 следует, что величина
натяжения Т не зависит от х. Таким образом, можно считать,
что Т &Т0 для всех значений х и t.
Перейдем к выводу уравнения колебаний струны. Для этого
воспользуемся принципом Даламбера, на основании которого все
силы, действующие на некоторый выделенный участок в струне,
включая силы инерции, должны уравновешиваться.
Рассмотрим произвольный участок МХМ2 струны и составим
условие равенства нулю суммы проекций на ось Ои всех сил,
действующих на него* сил натяжения, равных по величине и на-
направленных по касательным к струне в точках /И1 и УИ2, внеш-
внешней силы, направленной параллельно оси Ои, и силы инерции.
— 13 —

Сумма проекций на ось Ои сил натяжения, действующих в
точках Мх и М2, равняется
У = То [sin a (x2) — sin а {хх)],
но вследствие наших предположений
их) УГ+?Х дх'
и, следовательно,
? = ТЛШх=х-Шх=Х1\'
Замечая теперь, что
(ди\ (ди\ __ХСд*и.
\д~х)х=х~ \Тх)х=хх -)д7*аХ>
Хх
окончательно получим
Y-T.]?ta. A)
х1
Обозначим через р(х, t) внешнюю силу, действующую на
струну параллельно оси Ои и рассчитанную на единицу длины.
Тогда проекция на ось О и внешней силы, действующей на уча-
участок М^М2 струны, будет равна
х2
х, t)dx. B)
Пусть р(х) — линейная плотность струны, тогда сила инерции
участка MiM2 струны будет равна
(x)^dx. C)
Сумма проекций A)—C) на ось Ои всех сил, действующих на
участок МгМ2 струны, должна быть равна нулю, т. е.
Отсюда ввиду произвольности хх и х2 следует, что подынтеграль-
подынтегральная функция должна равняться нулю для каждой точки струны
в любой момент времени t} т. е.
, ч д2и m д2и
Это есть искомое уравнение колебаний струны.
— 14 —

Если р = const, т. е. в случае однородной струны, уравнение
D) обычно записывается в виде
Sg'). (б)
где
«-/?". /<*.0-**Н>. F)
Если внешняя сила отсутствует, то р(х, t) = 0 и получаем
уравнение свободных колебаний струны
a G>
Уравнение D) имеет бесчисленное множество частных решений.
Поэтому одного уравнения D) недостаточно для полного опреде-
определения движения струны; нужны еще некоторые дополнительные
условия, вытекающие из физического смысла задачи. Так, в на-
начальный момент времени t = О нужно задать положение и скорость
всех точек струны
и u_A = <
(8)
Условия (8) называются начальными условиями.
Далее, так как струна ограничена, то нужно указать, что
происходит на ее концах. Для закрепленной струны на концах
должно быть
^0 = 0, и\х=1 = 0 (9)
при всяком t ^ 0. Условия (9) называются краевыми или гранич-
граничными условиями Возможны и другие граничные условия.
Итак, физическая задача о колебании струны свелась к мате-
математической задаче: найти решение уравнения D), которое удовле-
удовлетворяло бы начальным условиям (8) и граничным условиям (9).
Можно рассматривать колебания полубесконечной или бесконеч-
бесконечной струны, когда один или оба конца находятся бесконечно
далеко. Оба эти случая являются идеализацией случая очень
длинной струны, причем первый из них соответствует рассмотре-
рассмотрению точек, сравнительно близких от одного из концов струны,
а второй — рассмотрению точек, расположенных далеко от обоих
концов. В первом из этих случаев в качестве граничного условия
остается требование ^ U=o = 0, а во втором случае граничные усло-
условия вообще отсутствуют. Начальные функции ф0 (х) и q^ (x)
должны быть в этих случаях заданы соответственно для всех
0 ^ х < оо или для всех — оо < х < оо.
— 15 —

§ 2. Уравнение колебаний мембраны
Мембраной называют свободно изгибающуюся натянутую
пленку.
Пусть в положении равновесия мембрана расположена в пло-
плоскости хОу и занимает некоторую область D, ограниченную замк-
замкнутой кривой L. Далее предположим, что мембрана находится
под действием равномерного натяжения Т, приложенного к краям
мембраны. Это означает, что если провести линию по мембране
в любом направлении, то сила взаимодействия между двумя ча-
частями, разделенными элементами линии, пропорциональна длине
элемента и перпендикулярна его направлению; величина силы,
действующая на элемент ds линии, будет равна Tds.
Будем рассматривать только поперечные колебания мембраны,
при которых каждая ее точка движется перпендикулярно плоско-
плоскости хОу, параллельно оси Ои. Тогда смещение и точки (х, у)
мембраны будет функцией от х, у и /.
Рассматривая далее только малые колебания мембраны, будем
считать, что функция и (х, у, t), а также ее частные производные
по х и у малы, так что квадратами и произведениями их можно
пренебречь по сравнению с самими этими величинами.
Выделим произвольный участок (а) мембраны, ограниченный
в положении равновесия кривой I. Когда мембрана будет выве-
выведена из положения равновесия, этот участок мембраны деформи-
деформируется в участок а' поверхности мембраны, ограниченный про-
пространственной кривой V'. Площадь участка а' в момент времени /
равна
Таким образом, при наших предположениях можно пренебречь
изменением площади произвольно взятого участка мембраны в про-
процессе колебаний и считать, что любой участок а' мембраны будет
находиться под действием первоначального натяжения Т.
Перейдем к выводу уравнения поперечных колебаний мембраны.
Рассмотрим произвольный участок а' мембраны. Со стороны осталь-
остальной части мембраны на этот участок действует направленное по
нормали к контуру V равномерно распределенное натяжение Т,
лежащее в касательной плоскости к поверхности мембраны. Най-
Найдем проекцию на ось Ои сил натяжения, приложенных к кри-
кривой Г, ограничивающей участок а' мембраны. Обозначим через
ds' элемент дуги кривой V. На этот элемент действует натяжение,
равное по величине Tds'. Косинус угла, образованного вектором
натяжения Т с осью Ои, очевидно, равен, в силу наших предпо-
предположений, ^-, где п — направление внешней нормали к кривой /,
ограничивающей участок а мембраны в положении равновесия
— 16 —

(рис. 2). Отсюда следует,
что проекция на ось Ои сил
натяжения, приложенных
к элементу ds' контура Г,
равна
дп
и, стало быть, проекция
на ось Ои сил натяжения,
приложенных ко всему кон-
контуру /', равна
Так как при малых коле- у Рис. 2
баниях мембраны можно
считать ds « ds', то мы можем в интеграле A0) путь интегриро-
интегрирования Г заменить на /. Тогда, применяя формулу Грина, получим
(И)
Предположим далее, что на мембрану параллельно оси Ои
действует внешняя сила р (х, у, /), рассчитанная на единицу пло-
площади. Тогда проекция на ось Ои внешней силы, действующей на
участок о' мембраны, будет равна
У, t)dxdy.
A2)
Силы A1) и A2) должны в любой момент времени t уравно-
уравновешиваться силами инерции участка о' мембраны
У)
где р(х, у) — поверхностная ,плотность мембраны.
Таким образом, мы получаем равенство
р{х, Уф-Т (w^w
' У'
Отсюда в силу произвольности площадки а следует, что
fd2u . д2и
Уу )e ( }
Это есть дифференциальное уравнение поперечных колебаний
мембраны.
— 17 —

В случае однородной мембраны р = const уравнение малых ко-
колебаний мембраны можно записать в виде
где
Если внешняя сила отсутствует, т. е. р(х, у, t) = 0, то из A4)
получаем уравнение свободных колебаний однородной мембраны
Как и при рассмотрении колебаний струны, одного уравнения
A3) недостаточно для полного определения движения мембраны;
нужно задать смещение и скорость ее точек в начальный момент
времени:
и|Ф(*0)
Далее, так как на контуре L мембрана закреплена, то должно
быть
u\L = 0 A8)
при любом /^0.
§ 3. Уравнения гидродинамики и звуковых волн
1. В гидродинамике жидкость или газ* рассматривается как
сплошная среда. Это значит, что всякий малый элемент объема
жидкости считается все-таки настолько большим, что содержит
еще очень большое число молекул. Поэтому, когда мы будем
говорить о бесконечно малых элементах объема, то всегда при
этом будет подразумеваться объем достаточно малый по сравнению
с объемом тела, но большой по сравнению с молекулярными рас-
расстояниями. В таком же смысле надо понимать в гидродинамике
выражения «жидкая частица», «точка жидкости». Если, например,
говорят о смещении некоторой частицы жидкости, то при этом
речь идет не о смещении отдельной молекулы, а о смещении це-
целого элемента объема, содержащего много молекул, но рассматри-
рассматриваемого в гидродинамике как точка.
Пусть жидкость движется со скоростью v(x, у, г, t), проекции
которой на оси координат обозначим vx(x9 у, г, t), vy(x, у, г, t),
vz(x> У, г, t).
* В дальнейшем мы будем говорить для краткости только о жидкости,
имея в виду как жидкости, так и газы
— 18 —

Подчеркнем, что v(xy у, г, t) есть скорость жидкости в каждой
данной точке (л:, у, г) пространства в момент времени ty т. е.
относится к определенным точкам пространства, а не к опреде-
определенным частицам жидкости, передвигающимся со временем в про-
пространстве; то же самое относится к термодинамическим величинам
р(х9 уУ г, /), р(ху уу г, t).
Если поле вектора скорости v(x, у, г, t) известно, то траек-
траектории отдельных частиц жидкости будут определяться уравнениями
% = vx{x,y.z,t), % = vy(x,y,z,t),
% = v,(x,y, г, t).
Отсюда легко можно найти ускорение частицы жидкости:
dH
dvx
dvx
Ж'
dvz
¦ dvxdx
OX)лш
J— 1 JJ —
fw
°,-
V
, avx dz
h — V
dvz
d2z
В каждый момент времени и в каждой точке жидкость нахо-
находится в некотором состоянии термодинамического равновесия,
определяемого давлением р (х, уу г, t)9 плотностью р (х, у, г, t),
температурой Т (х, у, г, t)9 энтропией S (х9 у, г, t) и внутренней
энергией Е(х, у, г, t). Из термодинамики известно, что для каж-
каждой данной среды независимы только два из параметров р, р, Т,
S и Е. Величины р, Т и Е можно рассматривать как функции
от р и S.
Начнем вывод основных гидродинамических уравнений с вы-
вывода уравнения, выражающего собой закон сохранения вещества
в гидродинамике. Рассмотрим некоторый объем жидкости V, огра-
ограниченный поверхностью S. Если внутри объема V нет источников
и стоков, то изменение в единицу времени массы жидкости, заклю-
заключенной внутри V, равно потоку жидкости через поверхность S:
где ^ — проекция v(xt yt z, t) на внешнюю нормаль к поверхно-
поверхности S. Преобразуя правую часть по формуле Остроградского и
дифференцируя по t под знаком интеграла в левой части, получим:
— 19 —

или
где
д(рох) d(pvy) d(pvz)
Так как последнее равенство справедливо для любого объема
внутри жидкости, то отсюда следует, что
|? + divpv = 0. B0)
Зто уравнение называется уравнением неразрывности.
Перейдем теперь к выводу уравнений движения идеальной
жидкости.
Под идеальной жидкостью будем понимать такую сплошную
среду, в которой внутренние силы—-находится ли среда в состоя-
состоянии равновесия или движения — приводятся к давлению, так что
если выделить в этой жидкости некоторый объем V, ограниченный
поверхностью S, то действие на него остальной части жидкости
приводится к силе, направленной в каждой точке поверхности S
по внутренней нормали. Обозначим величину этой силы, отнесен-
отнесенную на единицу площади (давление), через р(х, у, г, /).
Таким образом, равнодействующая сил давления, приложенных
к поверхности S, равна
где п — единичный вектор внешней нормали к поверхности S. На
основании формулы Остроградского имеем
Пусть далее на жидкость действует внешняя сила F (Fx, Fy, F2)y
рассчитанная на единицу массы, так что равнодействующая этих
сил, приложенных к объему V, равна
Наконец, равнодействующая сил инерции, действующих на
жидкость в объеме V, будет
— 20 —

где -т- — вектор ускорения частицы Жидкости. Здесь производная
-rj определяет не изменение скорости жидкости в данной неподвиж-
неподвижной точке пространства, а изменение скорости определенной пере-
передвигающейся в пространстве частицы жидкости. Это подчерки-
вается обозначением ^ вместо -^.
Применяя принцип Даламбера, получим
v
Отсюда в силу произвольности объема V следует, что
g^F-lgradp B1)
или, в силу A9), в скалярной форме
д1± , d2lv + ^lv . dVxv -F 1^
dt ~т~ дх Vx4r ду иУ~^Ж^~Гх~ р дх>
dvz dvz , dvz \dvz _ p, 1 dp
BГ)
Это есть уравнения движения идеальной жидкости в форме Эйлера.
Итак, для пяти неизвестных функций vx, vy, vz, p и р мы
имеем всего четыре уравнения B0) и BГ). Чтобы получить еще
одно уравнение, будем считать, что движение жидкости происхо-
происходит адиабатически. При адиабатическом движении энтропия каж-
каждой частицы жидкости остается постоянной (хотя может меняться
от частицы к частице) при перемещении последней в пространстве
dS A
т. е. 57" = 0, где полная производная по времени означает, как
и в B1), изменение энтропии определенной передвигающейся
в пространстве частицы жидкости. Эту производную можно запи-
записать в виде
as . os . os . dS n
Это есть уравнение, выражающее собой адиабатичность движения
идеальной жидкости В частном случае может оказаться, что
в некоторый начальный момент времени энтропия одинакова во
всех точках жидкости, тогда она останется везде одинаковой
и неизменной со временем и при дальнейшем движении жидкости.
В этом случае уравнение адиабатичности можно писать просто
— 21 —

в виде
S = S0 = const.
Такое движение жидкости называют изэнтропшеским. При этом
B2)
Таким образом, мы имеем пять уравнений: уравнение нераз-
неразрывности B0), три уравнения движения идеальной жидкости BГ)
и уравнение B2). Эти уравнения содержат как раз пять неизвест-
неизвестных функций: vx, vy, v2, pup.
2. Колебательное движение с малыми амплитудами в сжимае-
сжимаемой жидкости или газе называют звуковыми волнами. В каждом
месте жидкости в звуковой волне происходят попеременные
сжатия и разрежения.
В силу малости колебаний в звуковой волне скорость v в ней
мала, так что в уравнениях Эйлера BГ) можно пренебречь членами
— tiJ и т. д. По той же причине относительные изменения
B3)
плотности и давления в жидкости тоже малы. Положим
Де Ро» р0~-постоянные равновесные плотность и давление жид-
жидкости, а р и р — их изменения в звуксвой волне (р<^р0, р<^ро)\
"р — называют звуковым давлением.
Уравнение непрерывности B0) при подстановке в него B3)
и пренебрежении малыми величинами второго порядка ( р, р, v,
dvx dp dp
-^, -ЗГ , -ir~ > • • • и т. д. надо при этом считать малыми вели-
дх дх' дх ' ^
чинами первого порядка] примет вид
|? + podiv v = 0,
или, полагая
о_ Р _Р—Ро
Ро Ро
получим
|+divv = 0. B4)
Уравнения Эйлера BГ), считая, что внешние силы отсутствуют,
в том же приближении сводятся к уравнениям
dvx __ I dp dVy ^ \ dp dvz 1 др
dt ~~ р0 дх ' dt р^ ду ' ~дГ~~ р^ дг
— 22 —

или, в векторной форме,
ig i. B5)
Уравнения B4) и B5) содержат неизвестные функции v, s и р.
Для исключения одной из них обратимся к уравнению B2), ко-
которое в том же приближении можно записать в виде
Р = Пр.)Р = Р./'(Р.)в. B6)
Подставляя B6) в уравнение B5), получим
% + a2grads = 0, B7)
где положено #2 = f (Ро)» так как для всех жидкостей и газов,
встречающихся в природе, при постоянной энтропии, давление
возрастает при возрастании плотности, т. е. /' (р0) > 0.
Применяя к уравнению B7) операцию дивергенции и перестав-
переставляя дифференцирование по t с операцией дивергенции, будем иметь
— div v == — a2 div grad s = — a2 As, B8)
где
л
AS ~ дх2 + ду* + дг> '
Принимая во внимание уравнение B4), получим
?«•(?+?+&)
?-«•(?+?+&)¦
Для давления р и скорости v также можно получить волновое
уравнение вида B9).
Предположим теперь, что в начальный момент существует
потенциал скоростей и0 (х, yf z), т. е.
v|,=o= —gradao(x, у, z). C0)
Из уравнения B7) следует, что
t
\(xt у, г, /) = v|(=0 — a2grad \sdt
о
или, в силу C0),
Г 1
v = — grad uo(x, у, z) + a2\sdt = — grada(A;, yy г, t), C1)
L о J
которое означает, что существует потенциал скоростей и (х, у, г, t)
в любой момент времени /:
t
и (х, у, г, 0 = и0 (х, у, z) + a2 J s dt. C2)
о

Покажем, что потенциал скоростей и (х, у, z, t) удовлетворяет
волновому уравнению. В самом деле, дифференцируя выражение
C2) два раза по t, получим
a
С другой стороны, подставляя C1) в уравнение B4), будем иметь:
g = divgradw = Aa. C4)
Сравнивая C3) и C4), получим
д*и
Отметим, что знание потенциала скоростей и(х, у, z, t) доста-
достаточно для определения всего процесса движения жидкости или
газа, так как
, 1 ди ди
v = -grad«, s = ?gF> Р = Роэг
Перейдем к формулировке начальных и граничных условий.
Пусть жидкость или газ занимают в пространстве объем Vу огра-
ограниченный поверхностью 2. В начальный момент времени t = О
задано относительное изменение газа s и распределение скоростей
v в каждой точке объема V. Это дает начальные условия в виде
и ко = Фо (х, У> г), •? = a2s = Фх (х, у, г)
Если граница 2 представляет собой твердую непроницаемую
стенку, то нормальная составляющая скорости равна нулю, что
приводит к граничному условию
ди
дп
= 0.
§ 4. Уравнение распространения тепла
в изотропном твердом теле
Рассмотрим твердое тело, температура которого в точке (х, у, г)
в момент времени t определяется функцией и (х, у, г, /). Если раз-
различные части тела находятся при различной температуре, то в теле
будет происходить движение тепла от более нагретых частей к менее
нагретым. Возьмем какую-нибудь поверхность S внутри тела и на
ней малый элемент А5. В теории теплопроводности принимается,
что количество тепла AQ, проходящего через элемент ks за время
Д*, пропорционально Д/А5 и нормальной производной -?-, т. е.
AQ = — k ^ ASA/ = — ?ASA* grad,, и, C6)
— 24 —

где k > 0 — коэффициент внутренней теплопроводности, а п — нор-
нормаль к элементу поверхности AS в направлении движения тепла.
Будем считать, что тело изотропно в отношении теплопроводности,
т. е. что коэффициент внутренней теплопроводности k зависит
только от точки (л:, у, z) тела и не зависит от направления нормали
поверхности S в этой точке.
Обозначим через q тепловой поток, т. е. количество тепла,
проходящего через единицу площади поверхности за единицу вре-
времени. Тогда C6) можно записать в виде
Для вывода уравнения распространения тепла выделим внутри
тела произвольный объем V, ограниченный гладкой замкнутой
поверхностью S, и рассмотрим изменение количества тепла в этом
объеме за промежуток времени (t19 t2). Нетрудно видеть, что через
поверхность S за промежуток времени (tlt t2)f согласно формуле C6),
входит количество тепла, равное
где п — внутренняя нормаль к поверхности S.
Рассмотрим элемент объема AV. На изменение температуры
этого объема на Аи за промежуток времени At нужно затратить
количество тепла
AQ2 = [и(х,у г, t + At) — u (х, у у г, /)] у (х, у, г) р (дс, у, г) AV,
где р(х,у>г), у(х9у,г) — плотность и теплоемкость вещества.
Таким образом, количество тепла, необходимое для изменения
температуры объема V на Аи = и(х, у, z, t2) — и(х. у, г, tx), равно
^2 = $ $ $ [и (х, у, г, t2) — и (х, у, z tx
v
или
так как
и{х, у, г, t2) — u(x, у, г, *,) = j-^df.
и
Предположим, что внутри рассматриваемого тела имеются
источники тепла. Обозначим через F (х, у, z, t) плотность (коли-
(количество поглощаемого или выделяемого тепла в единицу времени
в единице объема тела) тепловых источников. Тогда количество
— 25 —

тепла, выделяемого или поглощаемого в объеме V за промежуток
времени (tlt t2), будет равно
Составим теперь уравнение баланса тепла для выделенного
объема V. Очевидно, что Q2 = Q1 + Q3, т. е.
1
или, применив формулу Остроградского ко второму интегралу,
получим
JJj [gd(?da)--F(*, у, г,
Так как подынтегральная функция непрерывна, а объем V и про-
промежуток времени (tl9 t2) произвольны, то для любой точки (х, у, г)
рассматриваемого тела и для любого момента времени / должно быть
W^- = div(fe grad и) + F (х, у, г, 0 C8)
или
ди д (, ди\ . д (, ди\ . д
Это уравнение называется уравнением теплопроводности неодно-
неоднородного изотропного тела.
Если тело однородно, то у, р и к — постоянные и уравнение
C8') можно переписать в виде
где
Если в рассматриваемом однородном теле нет источников тепла,
т е. F(x, у, z, t) = 0f то получим однородное уравнение тепло-
теплопроводности
&
В частном случае, когда температура зависит только от коор-
координат х, у и /, что, например, имеет место при распространении
г- 26 —

тепла в очень тонкой однородной пластинке, уравнение D0) пере-
переходит в следующее:
ди
Наконец, для тела линейного размера, например для тонкого
однородного стержня, уравнение теплопроводности примет вид:
Отметим, что при такой форме уравнений D1) и D2) не учиты-
учитывается, конечно, тепловой обмен между поверхностью пластинки
или стержня с окружающим пространством.
Чтобы найти температуру внутри тела в любой момент времени,
недостаточно одного уравнения C8). Необходимо, как это следует
из физических соображений, знать еще распределение температуры
внутри тела в начальный момент времени (начальное условие)
и тепловой режим на границе S тела (граничное условие).
Граничное условие может быть задано различными способами:
1) в каждой точке поверхности S задается температура
и\8 = ЧЛРЛ D3)
где 1?1 {Ру ^ — известная функция точки поверхности 5 и времени t\
2) на поверхности S задается тепловой поток
4 дп '
откуда
||s = ^(P,0, D4)
гдеЧг2(Р, t) — известная функция, выражающаяся через заданный
тепловой поток по формуле
3) на поверхности твердого тела происходит теплообмен с окру-
окружающей средой, температура которой и0 известна. Закон тепло-
теплообмена очень сложен, но для упрощения задачи он может быть
принят в виде закона Ньютона. По закону Ньютона, количество
тепла, передаваемое в единицу времени с единицы площади по-
поверхности тела в окружающую среду, пропорционально разности
температур поверхности тела и окружающей среды:
где Н — коэффициент теплообмена. Коэффициент теплообмена за-
зависит от разности температур и — и0, от характера поверхности
и окружающей среды (он может изменяться вдоль поверхности
— 27 —

тела). Мы будем считать коэффициент теплообмена Н постоянным,
не зависящим от температуры и одинаковым для всей поверх-
поверхности тела.
По закону сохранения энергии это количество тепла должно
быть равно тому количеству тепла, которое передается через
единицу площади поверхности за единицу времени вследствие
внутренней теплопроводности. Это приводит к следующему гра-
граничному условию:
H(u-uo) = -kd? (на 5),
где /г —внешняя нормаль к поверхности S, или, положив Л = -т- ,
к
d
Ji + h(u-U())\s = 0. D5)
Таким образом, задача о распространении тепла в изотропном
твердом теле ставится так:
Найти решение уравнения теплопроводности C8), удовлетво-
удовлетворяющее начальному условию.
u\t=o=4>(x> У> *) D6)
и одному из граничных условий D3), D4) или D5).
§ 5. Задачи, приводящие к уравнению Лапласа
1. Установившаяся температура в однородном твердом теле.
В предыдущем параграфе было установлено, что уравнение рас-
распространения тепла в изотропном однородном теле в случае от-
отсутствия источников тепла имеет вид
ди 2 /д2и , д2и . д2и
Допустим теперь, что температура в каждой точке (х, у, г)
внутри тела установилась, т. е. что она не меняется с течением
времени. Тогда ^ = 0 и уравнение D7) примет вид
дх* + ду* +дг* ~и"
Таким образом, уравнению Лапласа D8) удовлетворяет темпера-
температура и (ху у, г), установившаяся в однородном теле. Для опреде-
определения и(х, yt z) теперь не надо уже задавать начальное распре-
распределение температуры (начальное условие), а достаточно задать
одно граничное условие, не зависящее от времени.
Задача определения решения уравнения D8) по его значениям
на границе рассматриваемой области называется задачей Дирихле.
Задача определения решения уравнения D8), удовлетворяющего
граничному условию -^
=ф(Р), называется задачей Неймана.
- 28 —

2. Потенциальное движение несжимаемой жидкости. Рассмотрим
установившееся движение несжимаемой жидкости. Пусть движение
жидкости невихревое или, иначе говоря, потенциальное, т. е. ско-
скорость v (х, уу г) есть потенциальный вектор
v = — grad ф. D9)
Для несжимаемой жидкости плотность р постоянна, и из уравне-
уравнения неразрывности B0) имеем
divv = 0. E0)
Подставив D9) в E0), получим
dlvgradV-OMHgf+gp + S-O. E1)
т. е. потенциал скорости удовлетворяет уравнению Лапласа E1).
Глава II
КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
§ I. Типы уравнений второго порядка
Рассмотрим уравнение второго порядка
п
Коэффициенты atj- — заданные функции в области D пространства
(xlf ...,х„), причем а/у = ау/. Все функции и независимые пере-
переменные считаем вещественными
В этом napai рафе мы дадим классификацию уравнений вида A)
в точке. Зафиксируем определенную точку (x°lf ..., хп) в области D
и составим квадратичную форму
S ач(х\, ...,*«)*,/,. B)
'. /*'
Уравнение A) принадлежит эллиптическому типу в точке
М, ...»*?). если в этой точке квадратичная форма B) положи-
положительно определенная или отрицательно определенная.
Уравнение A) принадлежит гиперболическому типу в точке
(#i, . • •, *?), если в этой точке квадратичная форма B) при приведе-
приведении ее к сумме квадратов имеет все коэффициенты, кроме одного,
определенного знака, а оставшийся один коэффициент противо-
противоположного знака.
— 29 —

Уравнение B) принадлежит ультрагиперболическому типу
в точке (л:?, ...,л:й), если в этой точке квадратичная форма B)
при приведении ее к сумме квадратов имеет больше одного поло-
положительного коэффициента и больше одного отрицательного, причем
все коэффициенты отличны от нуля.
Уравнение A) принадлежит параболическому типу в точке
(*ii •••,*?)> если в этой точке квадратичная форма B) при при-
приведении ее к сумме квадратов -имеет только один коэффициент,
равный нулю, все же другие коэффициенты имеют одинаковые знаки.
Уравнение A) принадлежит эллиптическому типу соответственно
гиперболическому типу и т. д. в области D, если во всех точках
этой области оно принадлежит эллиптическому типу, соответственно
гиперболическому типу и т. д.
Если коэффициенты aif постоянные, то принадлежность урав-
уравнения к тому или иному типу не зависит от значений независимых
переменных. Простейшим уравнением эллиптического типа является
уравнение Лапласа; уравнением гиперболического типа является
волновое уравнение и, наконец, уравнением параболического типа —
уравнение теплопроводности.
§ 2. Приведение к каноническому виду уравнения
второго порядка с постоянными коэффициентами
Пусть дано уравнение с постоянными коэффициентами
п п
\ /у f _| Л Q # I Q1I . [ ( У X \ CW
i,i=l ' I i=l l
Введем вместо (х19 ..., хп) новые независимые переменные A1У ..., 1п)
при помощи линейного преобразования
п
Е*=2ад(* = 1,2, ...,л). D)
Мы предполагаем, что преобразование D) неособенное, т. е. что
определитель \cki\ не равен нулю. Производные по старым пере-
переменным выразятся через производные по новым переменным
следующими формулами:
п п
ди
Подставив E) в уравнение C), получим
= /i(Si.....6»), F)
— 30 —

где
л
я**= 2 %ckiclf. G)
i, j= i
Нетрудно проверить, что формулы преобразования G) коэффици-
коэффициентов при вторых производных от функции и при замене незави-
независимых переменных по формулам D) совпадают с формулами пре-
преобразования коэффициентов квадратичной формы
2 а,/,^ (8)
к, / — 1
если в ней произвести линейное преобразование
п
'/=2с«тк, (/ = 1,2 п), (9)
?=1
приводящее ее к виду
п
2 w,, A0)
В алгебре доказывается, что всегда можно подобрать коэффи-
коэффициенты cik так, чтобы квадратичная форма (8) привелась к сумме
квадратов, т. е. *
или, иначе говоря, akl = 0 при кф1 и akk = %k. Коэффициенты Кк
равны +1 или нулю соответственно. Знаки коэффициентов %k
и определяют тип уравнения C). Преобразованное уравнение F)
принимает вид
д2и , ж-ч т ди
Зтот вид уравнения C) называется его каноническим видом.
Положим, что все "Kk отличны от нуля, т. е. что уравне-
уравнение C) не параболического типа, и покажем, что в этом случае
при помощи преобразования функции и можно освободиться от
производных первого порядка. С этой целью вместо и введем
новую искомую функцию v по формуле
* Согласно закону инерции для квадратичных форм число положительных
и отрицательных коэффициентов \k инвариантно относительно линейного пре-
преобразования, приводящего квадратичную форму (8) к виду A0'). (См. А. Г. К у-
рош, Курс высшей алгебры, § 25, Физматгиз, 1962).
— 31 —

Подставив это в уравнение A1), получим, как нетрудно прове-
проверить, уравнение вида
Для уравнения эллиптического типа все hk = l или Xk = —1,
и, умножая, если надо, обе части уравнения на (—1), мы можем
считать, что все А,Л = 1. Таким образом, сохраняя прежние обо-
обозначения, мы можем утверждать, что всякое линейное уравнение
эллиптического типа с постоянными коэффициентами может быть
приведено к виду
Yd^ + c1u = f(xl, ...9xn). A2)
k=i k
В случае гиперболического типа будем считать, что имеется
(п + 1) независимых переменных, и положим |„+1 = ^. Тогда вся-
всякое линейное уравнение гиперболического типа с постоянными
коэффициентами приводится к виду
В случае уравнения C) с переменными коэффициентами для
каждой точки (х°и . . ., х°п) области D можно указать такое неосо-
неособое преобразование независимых переменных, которое приводит
уравнение C) к каноническому виду в этой точке. Для каждой
точки (х°и ...,х°п) имеется, вообще говоря свое преобразование
независимых переменных, приводящее уравнение к каноническому
виду; в других точках это преобразование может не приводить
уравнение к каноническому виду. Дифференциальное уравнение
с числом независимых переменных больше двух (если исключить
случай постоянных коэффициентов), вообще говоря, невозможно
привести с помощью преобразования независимых переменных
к каноническому виду даже в как угодно малой области < В слу-
случае же двух независимых переменных такое преобразование неза-
независимых переменных существует при весьма общих предположе-
предположениях о коэффициентах уравнения, как будет показано в следую-
следующем параграфе.
§ 3. Приведение к каноническому виду уравнения
второго порядка с двумя независимыми переменными
Рассмотрим квазилинейное уравнение второго порядка с двумя
независимыми переменными
л д2и . ПЕ> д2и . ^ д2и ,
— 32 —

где коэффициенты Л, В и С суть функции от х и у, имеющие
непрерывные производные до второго порядка включительно.
Будем предполагать, что Л, В и С не обращаются одновременно
в нуль.
Уравнению A4) соответствует квадратичная форма
Дифференциальное уравнение A) принадлежит:
1) гиперболическому типу, если В2 — ЛС> 0 (квадратичная
форма A5) знакопеременная);
2) параболическому типу, если В2 — ЛС = 0 (квадратичная
форма A5) знакопостоянная);
3) эллиптическому типу, если В2 —ЛС<0 (квадратичная
форма A5) знакоопределенная).
Введем вместо (х, у) новые независимые переменные (|, ц).
Пусть
1 = 1(х, у), Ц = Л (х, у) A6)
— дважды непрерывно дифференцируемые функции, причем яко-
якобиан
D (S, ч)
D (х, у)
» Ту
?=0
A7)
в области D.
В новых независимых переменных I и ц уравнение A4) запи-
запишется так:
где
дх дх ~ \дх ду ду д
Непосредственной подстановкой нетрудно проверить, что
A8)
A9)
B0)
Отсюда легко видеть, что преобразование независимых перемен-
переменных не меняет типа уравнения.
В преобразовании A6) в нашем распоряжении две функции
I (х, у) и г] (х, у). Покажем, что их можно выбрать так, чтобы
645
— 33 —

выполнялось только одно из условий
1) Л=0, С = 0; 2) Л=0, В = 0; 3) Л = С, В = 0.
Тогда, очевидно, преобразованное уравнение A8) примет наиболее
простой вид.
1) В2 — ЛС> 0. В рассматриваемой области D уравнение A4)
принадлежит гиперболическому типу. Можно считать, что в точке
(*о> Уо)> в окрестности которой мы будем приводить уравнение A4)
к каноническому виду, либо АфО, либо СфО.
Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка
Пусть А Ф0. Так как Б2 — ЛС> 0, то уравнение B1) можно
записать в виде
[a *t+(B + VW=Ic)%] \а ^+(b-VW=ac) Щ =о.
Это уравнение распадается на два:
=7К)%-.0. B1а)
=0. B16)
Следовательно, решения каждого из уравнений B1а) и B16) будут
решениями уравнения B1).
Для интегрирования уравнений B1а) в B16) составим соответ-
соответствующие им системы обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений
dx dy dx dy
A B+J^B2—AC ' A B—VB*-AC
ИЛИ
A&y — {B+VB2 — AC)dx = 09 Ady — (B — }fB* — AC)dx = O. B2)
Заметим, что уравнения B2) можно записать в виде одного урав-
уравнения
Ady2 — 2Bdxdy + Cdx2 = 0. B2а)
Коэффициенты дифференциальных уравнений B2) имеют не-
непрерывные частные производные до второго порядка, что следует
из предположений о коэффициентах Л, В и С. Так как
^ (х0, у0) Ф 0, то существуют интегралы
<Pi (х> У) = const, ф2 (xf у) = const B3)
— 34 —

уравнений B2) и их левые части имеют непрерывные частные
производные до второго порядка в окрестности точки (х0, у0)*.
Левые части интегралов B3) будут соответственно решениями
уравнений B1а) и B16).
Кривые B3) называются характеристическими кривыми или
просто характеристиками уравнения A4), а уравнение B1) —
уравнением характеристик.
Для уравнения гиперболического типа В2 — ЛС>0 и, следо-
следовательно, интегралы B3) вещественны и различны. При этом мы
имеем два различных семейства вещественных характеристик.
Положим в преобразовании A6)
? = ?(*,#) = <Pi (x, у), Ц = Ц (х9 у) = ф2 (х, у),
где cpj (x9 у) и ф2 (х, у) —соответственно суть дважды непрерывно диф-
дифференцируемые решения уравнений B1а) и B16). Эти решения
можно выбрать так, чтобы якобиан ^ ф2' Ф О в некоторой ок-
окрестности точки (х0, у0) области D. Действительно, так как А ФО,
то из уравнений B1а) и B16) получим
дх
дф2
дх
ду
дф2
ду
ду ду
Отсюда, в силу В2 — АС > 0 и уравнений B1а) и B16), следует,
что если якобиан в некоторой точке равен нулю, то в этой точке
равны нулю обе частные производные первого порядка от срх или <р2.
Таким образом, надо строить такие решения уравнений B1а)
и B16), у которых обе частные производные первого порядка
одновременно не равны нулю **.
Функции (fi{xt у) и ф2(лг, у) удовлетворяют уравнению B1)
и, в силу A9), в уравнении A8) Л=С = 0. Коэффициент 6=^=0
всюду в рассматриваемой области, что следует из A7) и B0).
Разделив на коэффициент 2В уравнение A8), приведем его к виду
) B4)
Этот вид уравнения также называется каноническим.
Если уравнение A4) было линейным относительно производных
первого порядка и самой функции и, то преобразованное уравне-
В. В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, гл. 8, § 3—5,
Физматгиз, 1959. • JF а ч^ н УF . s
Для этого достаточно для уравнений B1а) и B16) решить задачу Коши,
задавая при х = х0 соответственно значения фх (jc, у) и ф2 (а;, у) так, чтобы
Ф1 (^ Й^Ои <р'2у (х0, у0) ф 0.

ние также будет линейным:
r\)u = f A, rj). B5)
При Л=С = О уравнение A4) уже имеет вид B4). Положив
ь = а + р, т] = а—р,
приведем уравнение B4) к виду
^_^=ф(а а и — —). B6)
Это—канонический вид уравнения гиперболического типа.
2) В2 — ЛС = 0. В рассматриваемой области D уравнение A4)
принадлежит параболическому типу. Так как мы предполагаем,
что коэффициенты Л, В и С уравнения A4) не обращаются одно-
одновременно в нуль, то, в силу условия В2 — ЛС = 0, следует, что
в каждой точке этой области один из коэффициентов Л и С отли-
отличен от нуля. Пусть, например, Л=И=0 в точке (х0, у0), в окрест-
окрестности которой мы будем приводить уравнение A4) к каноническому
виду. Тогда оба уравнения B1а) и B16) совпадают и обращаются
в уравнение
Нетрудно видеть, что всякое решение уравнения B7), в силу
условия В2 — ЛС = 0, удовлетворяет также уравнению
Мы можем, как и в предыдущем пункте, найти такое решение
<p(x, у) уравнения B7), что функция у(х,у) имеет непрерывные
частные производные второго порядка и ее первые производные
не обращаются в нуль одновременно в некоторой окрестности
точки (х0, у0). Отметим, что для уравнения параболического типа
мы имеем одно семейство вещественных характеристик
Ф [х, у) = const.
Положим в преобразовании A6)
I = Ф (х, У),
где ф(х, у) — решение уравнения B7), а за г\(х, у) возьмем любую
дважды непрерывно дифференцируемую функцию так, чтобы яко-
якобиан у" ^ ф 0 в окрестности точки (х0, у0). Тогда в уравне-
'-' \Х* У)
нии A8) А ^0, что следует из A9), а коэффициент при "-
принимает следующий вид:
— 36 —

Согласно B7) и B8), В = 0 в окрестности точки (х0, у0). Коэф-
Коэффициент С в уравнении A8) преобразуется к виду
откуда С =И= 0, так как в противном случае, в силу B7), якобиан
Р (*» чт] = Qt Разделив на С=^=0 уравнение A8), приведем его к
виду
д2и п /\ ди ди\ /ОГЛЧ
5^ = ^.F. Л. и, Ж, -щ). B9)
Это — канонический вид уравнения параболического типа.
3) В2 — ЛС<0. В рассматриваемой области D уравнение A4)
принадлежит эллиптическому типу. Будем считать, что коэффи-
коэффициенты А, В и С суть аналитические функции от х и у*. Тогда
коэффициенты уравнений B1а) и B16) — также аналитические
функции от л: и у, и можно утверждать, что уравнение B1) имеет
аналитическое решение
Ф {*, У) = Фг {х9 У) + iq>2 (х, У)
в окрестности точки (х0, у0) и
дх
+
ности **. Положим в преобразовании A6)
ФО в этой окрест-
Т 1 D (ф1 , Фо) / /Ч
Нетрудно показать, что п, . =7^ 0.
Разделяя теперь в тождестве
х J * дх ду
вещественную и мнимую части, получим
Я'д~х дх ^~*\д~х ду ~^ду дх )~г^ду ду
Отсюда, в силу A9), следует, что А = С, S = 0.
* Функция F (х, у) переменных х, у называется аналитической в точке
о> */о)> если она разлагается в степенной ряд
сходящийся при достаточно малых {х—х0), (у—у0).
** Существование такого аналитического решения следует из теоремы Кова-
Ковалевской.
37 -

В силу определенности квадратичной формы
Atl + 2Bt1t2 + Ct% (В2 — АС < 0),
коэффициенты А*=С могут обратиться в нуль только в том слу-
случае, если
дх ду ~~ дх ду ~~и* 1°и;
Но решение ф (х, у) выбрано так, что равенства C0) не выпол-
выполняются одновременно. Таким образом, в уравнении A8) А=
и после деления на А оно приводится к виду
n a ди
Это — канонический вид уравнений эллиптического типа.
Замечание. Может оказаться, что в различных частях
области D уравнение A4) принадлежит различным типам. Как
уже было сказано, точки параболичности уравнения A4) характе-
характеризуются равенством
В2 — АС = 0. C2)
Предположим, что множество точек области D, которое описы-
описывается уравнением C2), является простой гладкой кривой а.
Кривая сг называется линией параболического вырождения. Если
кривая а делит область D на две части, в одной из которых
уравнение A4) принадлежит эллиптическому типу, а в другой —
гиперболическому типу, то мы скажем, что в области D уравне-
уравнение A4) смешанного типа. Например:
1) Уравнение Трикоми
— уравнение смешанного типа в любой области D, содержащей
точки оси Ох. При у > 0 оно принадлежит эллиптическому типу,
при у<0 — гиперболическому типу, г/ = 0 — линия параболич-
параболичности.
2) Уравнение
д2и п
— уравнение смешанного типа в любой области D, содержащей
точки оси Ох; у = 0 — линия параболичности, которая одновре-
одновременно является характеристикой (у = 0 —огибающая семейства
характеристик).
Пример. Рассмотрим уравнение
$?-0. C3)
— 38 —

Это уравнение гиперболического типа, так как
Согласно общей теории, составляем уравнение B2а)
dy2 -f 2 sin х dxdy — cos2 xdx2 = О
или
dy + (l + sin x)dx = Oy dy—A— sin x)dx =
Интегрируя эти уравнения, получим
Вводим новые переменные (|, г\) по формулам
I = х + у — cosx, y] = a: — y + cosx.
Тогда уравнение C3) в новых независимых переменных приво-
приводится к виду
0
Положив |==а + р, Т1 = а —р, приведем уравнение C4) к кано-
каноническому виду:
да} д$* - и*
Уравнение C3) можно проинтегрировать в замкнутом виде,
т. е. найти формулу, дающую все решения этого уравнения.
Действительно, перепишем уравнение C4) в виде
Тогда
где в(г|) — произвольная функция т]. Интегрируя полученное
уравнение по г], считая I параметром, найдем, что
где ф(|) — произвольная функция по ?. Полагая
получим
или, возвращаясь к старым переменным (л:, у), получим решение
уравнения C3) в виде
(x—y+cosx).
— 39 —

ЗАДАЧИ.
Привести к каноническому виду следующие уравнения:
д2и
d*2 д*д# ' д*/2 д*/
Ответы:
2 [dl дц
п д2и ди Л • л:2 .
2- яр-д!^0' Б=т+* Т]=;с-
Глава III
УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
§ I. Квазилинейные дифференциальные уравнения с двумя
независимыми переменными
Рассмотрим уравнение
ap + bq = cy {p = ux9 q = uj A)
где а, Ь, с — заданные функции от х, у, и, которые в рассматри-
рассматриваемой области имеют непрерывные частные производные первого
порядка и удовлетворяют условию а2 + Ь2 ФО.
Решение и = и(х, у) уравнения A) геометрически представляет
собой поверхность в пространстве (х, у, и). Эту поверхность будем
называть интегральной поверхностью.
Функции а (ху у, и), b(x, yt и) и с(х, у> и) определяют неко-
некоторое поле направлений в пространстве (х9 у, и)у а именно: в каж-
каждой фиксированной точке этого пространства мы имеем направление,
направляющие косинусы которого пропорциональны a, b и с.
Интегральные кривые, соответствующие этому полю направлений,
определяются системой обыкновенных дифференциальных уравнений
dx = dy = du B
а (х, у, и) Ъ (х, у, и) с (х, у, и) v ;
и называются характеристическими кривыми или характеристи-
характеристиками уравнения A). Если ввести параметр s, изменяющийся вдоль
— 40 —

характеристической кривой, то дифференциальные уравнения B)
примут вид
% = а(х9 у, и), % = Ь(х, у, u)t ^j = c(x, у, и). C)
Величины р, q и (—1) пропорциональны направляющим коси-
косинусам нормали к интегральной поверхности и = и (х, у) и уравне-
уравнение A) выражает условие перпендикулярности
нормали к интегральной поверхности с направлением поля, т. е.
уравнение A) сводится к требованию, чтобы в каждой точке
интегральной поверхности и = и(х, у) направление, определяемое
указанным выше полем направлений, находилось в касательной
плоскости к поверхности. Если некоторая поверхность и = и(х, у)
образована характеристиками уравнения A), то в каждой точке
этой поверхности касательная к характеристике, проходящей через
эту точку, лежит в касательной плоскости к поверхности и, сле-
следовательно, эта поверхность является интегральной поверхностью
уравнения A). Обратно, если и = и(х, у) есть интегральная по-
поверхность уравнения A), то ее можно покрыть семейством харак-
характеристик. Действительно, на любой интегральной поверхности
и = и(х, у) уравнения A) можно задать однопараметрическое
семейство кривых x = x(s), y = y(s)y u = u(x(s), y(s)) с помощью
дифференциальных уравнений
^-а(л:, у, и)у % = Ь{х, уу и),
в которых и заменено его выражением и = и(х, у). Вдоль каждой
такой кривой уравнение A) переходит в -j-^o. Таким образом,
рассматриваемое семейство удовлетворяет уравнениям C) и, следо-
следовательно, состоит из характеристических кривых.
Так как решения системы дифференциальных уравнений C)
однозначно определяются начальными значениями ху у, и при
s = 0, мы получаем следующий результат: любая характеристи-
характеристическая кривая, имеющая общую точку с интегральной поверхно-
поверхностью, целиком лежит на этой интегральной поверхности.
Задача Коши. Пусть пространственная кривая / задана в па-
параметрической форме x = x(t), y = y(t), u = u(t), причем х\-\-у1Ф0.
Обозначим через 10 проекцию кривой I на плоскость хОу.
Задача Коши для уравнения A) ставится так: в окрестности
проекции /0 найти интегральную поверхность уравнения A), про-
проходящую через заданную кривую I, т. е. найти такое решение урав-
уравнения A), которое принимает заданные значения в точках кривой /0.
Будем предполагать, что начальные функции x(t), y(t), u(t) не-
непрерывно дифференцируемы в рассматриваемой области.
— 41 —

Для решения задачи Коши проведем через каждую точку
кривой / характеристику, т. е. интегральную кривую системы C);
это можно сделать, причем единственным образом, в некоторой
окрестности кривой /. Мы получим семейство характеристических
кривых, зависящих еще от параметра t.
x = x(s, /). y = y(s> 0* u = u(s, t). D)
В силу наших предположений функции D) имеют непрерывные
производные первого порядка по s и I. Кривые D) образуют
поверхность и = и(х, у), если из первых двух уравнений D) можно
выразить s и t через х и у. Для этого достаточно, чтобы на кри-
кривой / не обращался в нуль якобиан
Д = xs\)t—х#3 = ayt — bxt. E)
Если на / выполняется условие Д=^0, то и является функ-
функцией х я у. Нетрудно видеть, что эта функция есть решение
уравнения A). Действительно, пользуясь правилом дифференци-
дифференцирования сложной функции и уравнениями C), получим
Но -? = с и, следовательно, и(х, у) удовлетворяет уравнению A).
Единственность решения задачи Коши следует из того, что харак-
характеристическая кривая, имеющая одну общую точку с интеграль-
интегральной поверхностью, целиком лежит на этой поверхности. Это значит,
что любая интегральная поверхность, проходящая через кривую /,
целиком содержит семейство характеристик, проходящих через / и,
следовательно, совпадает с и=--и{х, у).
Если А=0 всюду на кривой I и если существует интегральная
поверхность и = и(х, у) с непрерывными производными первого
порядка, проходящая через /, то эта кривая должна быть харак-
характеристикой. В самом деле, в этом случае параметр t на кривой I
можно выбрать так, что вдоль этой кривой а = -^, Ь = ~ Далее,
подставляя в и(х, у) выражения * = *(/), y = y(t) и дифференци-
дифференцируя по /, будем иметь -? = иха +Ьиу. Отсюда, учитывая, что
и(х, у) есть решение уравнения A), получим ~ = с; следовательно,
/ является характеристикой. Но, если / — характеристика, то через
нее проходит не только одна, а бесконечно много интегральных
поверхностей. Действительно, проведем через любую точку кривой /
кривую Г, которая уже не является характеристикой. Интеграль-
Интегральная поверхность, проходящая через Г, обязательно содержит
характеристику /. Таким образом, множество решений задачи
Коши для характеристики / определяется множеством кривых /'.
Все интегральные поверхности, проходящие через кривые этого
— 42 —

множества, содержат характеристику /. Следовательно, характе-
характеристики являются линиями пересечения интегральных поверхностей
линиями ветвления, тогда как через нехарактеристическую кривую
не может проходить более одной интегральной поверхности.
Сформулируем полученные результаты.
Теорема. Если А^=0 всюду на начальной кривой /, то за-
задача Коти для уравнения A) имеет одно и только одно решение.
Если же А = 0 всюду на /, то для того чтобы задача Коши имела
решение, кривая I должна быть характеристикой. В этом случае
задача Коши имеет бесконечно много решений.
Заметим, что без предположения о непрерывной дифференци-
руемости решения и(х, у) на кривой / мы не можем из равенства
Д=0 на / сделать вывод, что / — характеристика. Действительно,
может случиться, как это мы увидим на примере, что / — не ха-
характеристика, вдоль нее Д = 0, и все же через / проходит интег-
интегральная поверхность, но такая, что частные производные от и(х, у)
перестают быть непрерывными в точках /, так как кривая / является
особой линией интегральной поверхности.
Пример. Рассмотрим уравнение
(y*-u)p + yq = u. F)
Система C) имеет вид
dx 2 dy du ,_ч
и ее решение, выраженное через начальные значения переменных
(х, у, и), будет
Положим, что кривая /, через которую должна проходить интег-
интегральная поверхность, задана уравнениями
1
Подставив (9) в (8), получим
Определитель
не обращается в нуль при s = 0 и t=?0. Исключая s и /, мы
получим уравнение интегральной поверхности
и=1—* + §.
— 43 —

Пусть теперь кривая / задана уравнениями:
*о = 0, yo = t9 uo = t\ A1)
Подставив A1) в (8), найдем, что
— 1), y = tes, u = t2es.
Определитель h = tes(es—1) обращается в нуль при s = 0, т. е.
вдоль /, хотя / не характеристика. Исключая s и /, мы получим
т. е. две интегральные поверхности уравнения F), проходящие
через кривую A1). В данном случае р = ± -j~ и эта частная про-
изводная обращается в бесконечность вдоль линии A1).
§ 2. Нелинейные дифференциальные уравнения с двумя
независимыми переменными
Рассмотрим нелинейное уравнение
F(x9 у, и, р, 0 = 0, A2)
где F — непрерывная функция, имеющая непрерывные частные
производные первого порядка по всем пяти аргументам в рассмат-
рассматриваемой области и кроме того, F^ + F|=^=0.
Выясним прежде всего геометрический смысл уравнения A2).
В любой фиксированной точке (х, у, и) уравнение A2) устанав-
устанавливает зависимость между величинами р и q, определяющими
направление касательной плоскости к интегральной поверхности.
Таким образом, из связки плоскостей, проходящих через точку
х9 у, и, соотношение A2) выделяет семейство плоскостей, зависящее
от одного параметра. Огибающая этого семейства возможных ка-
касательных плоскостей есть некоторый конус; назовем его конусом
Т или конусом Монжа,. Уравнение A2) эквивалентно, таким обра-
образом, заданию в каждой точке (х, у, и) рассматриваемой области
пространства конуса Г, а искомая интегральная поверхность
уравнения A2) должна обладать тем свойством, что в каждой ее
точке касательная плоскость должна касаться конуса Г, соответ-
соответствующего этой точке.
Найдем уравнения образующих конуса Т в заданной точке
(ху у, и). Пусть р и <7—функции некоторого параметра а, удов-
удовлетворяющие уравнению A2) в фиксированной точке (*, у, и).
Конус Т является огибающей семейства плоскостей
p(a)(X-x) + q(a)(Y-y)-(U-u) = O. A3)
Дифференцируя A3) по а, получим
х) + д'(а)(У-у) = 0. A4)
— 44 —

Дифференцируя соотношение F = 0 по а, будем иметь
Pp'(*) + Qq'(*) = 09 A5)
где положено
P = Fpt Q = Fr
Считая, что производные р' (а) и ?' (а) не равны нулю, одновре-
одновременно мы из однородных уравнений A4) и A5) получим
X—x_Y— у
Р ~ Q
и, наконец, используя уравнение A3), получим уравнения обра-
образующих конуса Т:
X-x_Y-y_ U-u
Р - Q
В случае квазилинейного уравнения A) в каждой точке имеется
только одно направление (конус Т вырождается в прямую линию)
и касательная плоскость к искомой интегральной поверхности
содержит это направление. В случае нелинейного уравнения A2)
мы имеем в каждой точке вместо одного определенного направ-
направления конус Т и касательная плоскость к искомым интегральным
поверхностям должна касаться этого конуса. Таким образом для
нелинейного уравнения A2) нельзя непосредственно строить харак-
характеристические кривые, как это мы делали для квазилинейного
уравнения A), так как вместо поля направлений мы имеем поле
конусов. Но мы покажем, что если известна интегральная поверх-
поверхность и = и(х, у) уравнения A2), то ее можно покрыть линиями,
которые вполне аналогичные характеристическим линиям квази-
квазилинейного уравнения A). Действительно, в каждой точке инте-
интегральной поверхности касательная плоскость должна касаться
конуса Т, соответствующего этой точке, и тем самым должна со-
содержать одну из образующих этого конуса, вдоль которой она
и касается конуса. Эти образующие конусов Т и создают на
интегральной поверхности поле направлений и тем самым, интег-
интегрируя соответствующее этому полю направлений дифференциальное
уравнение первого порядка, мы покрываем нашу интегральную
поверхность семейством кривых С, зависящим от одного параметра.
Направляющие косинусы упомянутого поля направлений пропор-
пропорциональны знаменателям уравнений A6), где р и q определяются
из уравнения рассматриваемой интегральной поверхности. Таким
образом, вдоль линий С, покрывающих заданную интегральную
поверхность, выполняются соотношения
dx_dy_
Р~ Q-
du
Q-pP+qQ
ИЛИ
S-* 2-«. TS-PP + iQ- 08)
— 45 —

Чтобы найти линии С на заданной интегральной поверхности,
достаточно проинтегрировать уравнение первого порядка
dx_dy
где знаменатели написанных дробей содержат только переменные
х и у> поскольку функция и и ее частные производные р и q
на заданной поверхности являются известными функциями х и у.
Интегрируя уравнение A9) и пользуясь уравнением поверхности
и — и (х, у), мы получим однопараметрическое семейство кривых С.
Правые части уравнений A8) имеют определенный смысл только
при определенном выборе интегральной поверхности и = и(х, у).
Для заданной интегральной поверхности величины р и q есть
известные функции х и у. Мы дополним систему уравнений A8)
еще двумя уравнениями, содержащими дифференциалы dp и dq,
так, чтобы получилась система дифференциальных уравнений, не
зависящая от выбора интегральной поверхности уравнения A2).
Введем обозначения
X = FX, Y = Fyi U = FU, r = uxx, o = uxyy t=uyy.
Дифференцируя левую часть уравнения A2) сначала по х, а затем
по у, получим соотношения
0, B0)
которые являются тождествами на заданной интегральной поверх-
поверхности.
Вдоль кривой С мы имеем, очевидно:
Определяя из равенств B0) значения Pr-\-Qo, Po-\-Qt и подставляя
их в уравнения B1), получим два добавочных дифференциальных
уравнения
Присоединив эти уравнения к уравнениям A8), получим систему
пяти обыкновенных дифференциальных уравнений с пятью функ-
функциями вспомогательного параметра s:
dx D dy n du n } n
Ts=P> Js = Q' Ts=PP+^'
% — (X + Up), %—QT + Vq).
Таким образом на любой интегральной поверхности вдоль
всякой кривой С, построенной выше, выполняются уравнения B2).
— 46 —

Систему дифференциальных уравнений B2) можно рассматривать
независимо от интегральных поверхностей уравнения A2). Эта
система называется характеристической системой уравнения A2).
Нетрудно проверить, что система B2) имеет первый интеграл
F(x, у, и, р, q) = C. B3)
Действительно, дифференцируя по s левую часть этого равенства
и пользуясь уравнениями B2), получим
f*? — F —A-F ^Л-F — Л-F ^E-J-F d-l —
ds~'f *ds^'? У ds^'? « ds ~^ГР ds ~^~ГЯ ds~~
т. е. функция F вдоль каждого решения системы B2) принимает
постоянное значение.
Из множества решений системы B2) выделим те решения си-
системы, вдоль которых функция F принимает значение, равное
нулю, как того требует исходное дифференциальное уравнение.
Назовем такие решения системы B2) характеристическими поло-
полосами уравнения A2), т. е. характеристической полосой уравнения
A2) называется система функций
x(s), y(s), u(s), p(s), q(s), B4)
удовлетворяющих системе B2) и уравнению
F(xt у, и, р, <7) = 0. B5)
Пространственная кривая x(s)t y(s) и u(s), несущая эту полосу,
называется характеристической кривой. Функции B4) определяют
не только пространственную кривую, но и плоскость, касающуюся
ее в каждой точке.
Для того чтобы решение системы B2) удовлетворяло соотно-
соотношению B5), т. е. было характеристической полосой, достаточно,
в силу B3), проверить, что этому соотношению удовлетворяют
начальные данные (х09 у09 uOi p09 q0) решения, т. е.
F(x0, У»* "о> Ро> 9о)=:О. B6)
Отметим, что при выводе уравнений B2) мы пользовались
производными второго порядка функции и(х, у). Кроме того, при
интегрировании системы B2) существенно, чтобы правые части
имели непрерывные производные первого порядка. Для этого
нужно потребовать, чтобы функция F (х, у, и, р, q) имела непре-
непрерывные производные до второго порядка в некоторой области.
Как и для квазилинейных уравнений, из самого вывода ха-
характеристической системы уравнений B2) можно получить сле-
следующие теоремы.
I. На любой интегральной поверхности уравнения A2) суще-
существует однопараметрическое семейство характеристических кри-
кривых и соответствующих характеристических полос.
- 47 —

II. Если характеристическая полоса имеет общий элемент
(т. е. значения х, у, uf p, q) с интегральной поверхностью, то
эта полоса целиком принадлежит интегральной поверхности.
III. Если две интегральные поверхности касаются в некото-
некоторой точке, то они касаются вдоль всей характеристической
полосы, имеющей начальным элементом точку касания плоскостей.
Предположим теперь, что мы сумели проинтегрировать систему
B2) при условии B5) и тем самым нашли всевозможные характе-
характеристические полосы. Покажем, каким образом можно из этих
характеристических полос строить интегральные поверхности урав-
уравнения A2).
Пусть начальная полоса задана функциями
*о(О. 4U0. МО, Ро(О. <7о@. B7)
причем эти функции должны удовлетворять условию B6) и иметь
непрерывные производные. Через каждый элемент заданной на-
начальной полосы проведем характеристическую полосу. Эта полоса
получается как решение системы B2), которое при s = 0 обра-
обращается в заданные элементы полосы xo(t), yo(t), uo(t), po(t), qo(t).
Обозначим эту систему решений через
x = x(s, t), У = У($> 0. u = u(s9 t), p = p(s, t), q = q(s, t). B8)
Единственность таких решений и их непрерывная дифференцируе-
мость по s и t гарантируется известными теоремами теории обык-
обыкновенных дифференциальных уравнений*. Первые три из уравне-
уравнений B8) определяют в параметрической форме некоторую поверх-
поверхность.
Если определитель
B9)
отличен от нуля на начальной полосе, т. е. при s = 0, а следо-
следовательно, в силу непрерывности производных и в некоторой ее
окрестности, то в качестве независимых переменных можно взять
х и у в этой окрестности вместо параметров s и /. Это значит,
что можно выразить величины и, /?, q как функции от х и у и,
в частности, получить явное уравнение поверхности и = и(х, у).
Функция и(хч у) будет удовлетворять уравнению A2), так как
выражение F (х, у, и, р, q) обращается в нуль тождественно по
s и t на нашей поверхности (в силу выполнения условия B6) при
s = 0); следовательно, оно также обращается в нуль тождественно
по х и у. Остается еще доказать, что функции р и q, определен-
определенные последними двумя уравнениями B8), совпадают соответственно
* В. В. Степанов, гл. 8. § 3—5.
— 48 —

с их и иг Для этого достаточно показать, что два выражения
„ ди д* ду
L-d±_pdJL-QdJL C0)
Ь~ dt р dt q dt
тождественно обращаются в нуль на поверхности и = и{х, у),
тогда из соотношений
ди ди дх диду ~
ds дх ds dyds~~ '
ди ди дх диду ^
следует, что Р = ^, 9 = ^» поскольку & = xsyt — xtys^=Q по пред-
предположению.
Обращение в нуль величины Н непосредственно следует из
первых трех уравнений системы B2). Остается выяснить, при каких
условиях и второе из соотношений C0) обращается в нуль тож-
тождественно. Рассмотрим тождество
Ы дН
и воспользуемся уравнениями B2), а также тем, что из Я = 0
следует равенство ¦зт-==0. Тогда получим
Далее, дифференцируя по / соотношение F = 0, которому удовлет-
удовлетворяют функции B8), получим
Вычитая это равенство из предыдущего, будем иметь
ИЛИ
откуда следует
&--W,
где Lo есть значение L при s = 0. Из последнего равенства видно,
что для обращения L в нуль при всех значениях s необходимо
— 49 —

и достаточно, чтобы L0 = 0, т. е. чтобы функции B7) удовлетво-
удовлетворяли соотношению
dt -Po dt ^qo dt •
Таким образом, из предыдущих рассуждений следует, что если
функции B7) удовлетворяют двум соотношениям
^(*0> #0' «О» Рог
dt "~ Po
dt "~ Po dt ^ q° dt
и если определитель A==xsyt—хгу3Ф0 при s = 0, то первые три
из уравнений B8) в некоторой (s, t) окрестности определяют
интегральную поверхность и = и{х> у) уравнения A2), содержа-
содержащую начальную полосу, причем и (х, у) имеет непрерывные про-
производные второго порядка.
Задача Коши. Задача Коши для уравнения A2) формулируется
так же, как и в случае квазилинейного уравнения. Требуется найти
интегральную поверхность уравнения A2), проходящую через
заданную кривую I.
Пусть кривая / задана в параметрической форме:
* = *•('). У=</о@> u = uo(t), C2)
причем х\ -\-у\ф§. Кривую I дополним до полосы С1У опреде-
определив pQ(t) и qo(t) из уравнений C1). Функциональный определитель
левых частей уравнений C1) по р0 и q0
совпадает с определителем B9) при s = 0. Будем считать, что
определитель B9) отличен от нуля вдоль I, и что система C1)
на / однозначно разрешима относительно р0 (t) и q0 (t). Тогда на
основании предыдущих рассуждений следует, что в окрестности
кривой / существует одна и только одна интегральная поверхность
уравнения A2), проходящая через кривую /.
Рассмотрим теперь случай, когда
До = xsyt—xtys |s=o = у0 @ FP9-x'o (t) Fqo = 0 C3)
всюду вдоль заданной полосы С\, удовлетворяющей двум соотно-
соотношениям C1). Положим, что существует дважды непрерывно диф-
дифференцируемая интегральная поверхность и = и (х, у), проходя-
проходящая через полосу Cv Из C3) и второго соотношения C1) следует,
что полоса удовлетворяет уравнениям A8) (параметр s обозначен
буквой t), а также согласно предыдущим вычислениям эта полоса
удовлетворяет и всем уравнениям B2), т. е. является характе-
характеристической полосой. Таким образом, в случае Ло = 0 интеграль-
интегральная поверхность уравнения A) может проходить через кривую /,
если функции pQ(t) и qo(t), определенные из соотношений C1),
— 50 —

дополняют эту кривую до характеристической полосы. Но если
это условие выполнено, то существует бесчисленное множество
интегральных поверхностей, содержащих эту полосу. Действи-
Действительно, проведем некоторую полосу С'19 которая имеет общий
элемент с характеристической полосой Сг и такая, что вдоль нее
определитель B9) отличен от нуля. Через эту полосу проходит
определенная интегральная поверхность, которая будет содержать
всю полосу С19 так как она содержит ее начальный элемент. Ввиду
произвольности в выборе полосы С[, мы имеем бесчисленное мно-
множество интегральных поверхностей, содержащих полосу Сг.
Если вдоль заданной полосы определитель B9) равен нулю,
но полоса не является характеристической, то не существует интег-
интегральной поверхности, содержащей эту начальную полосу и обла-
обладающей в ее окрестности непрерывными производными до второго
порядка. Однако возможно, что существует интегральная поверх-
поверхность, для которой кривая / является особой кривой.
§ 3. Нелинейные дифференциальные уравнения
с п независимыми переменными
Изложенная в § 2 теория нелинейных уравнений в частных
производных с двумя независимыми переменными непосредственно
распространяется на уравнение с п неизвестными переменными
F(xlt ..., ха, щ р19 ..., />J = 0 (ft=g|). C4)
Поэтому мы ограничимся лишь указанием результатов. Характе-
Характеристическая система, соответствующая уравнению C4), имеет вид:
dx1 dxn du dpx
~ ¦¦ +PnPn ~~(x1+uPl) ==---==
где Xk~FXk, U = FU, Pk — Fpu, a s — некоторый вещественный
параметр
Система C5) имеет первый интеграл
F(xlt ..., хп, и, р19 ..., рп) = С.
Все решения системы C5), одновременно удовлетворяющие
соотношению F(xlf ..., хп9 и9 plf ..., рп) = 0, называются харак-
характеристическими полосами. Эти полосы образуют Bп—1) — пара-
параметрическое семейство.
Положим, что мы проинтегрировали систему C5):
4
0)>
Pk — Pk \S> Xk у U , pk ),
— 51 —
C6)

где 40)» и°> РТ—начальные значения функций при s = 0. Будем
считать, что эти начальные значения являются функциями (п—1)
параметров:
*H<i. ..- <-i). и<в|&. ...» <-i). Pie>('i '-i). C7)
Подставив это в C6), получим:
= xk(st tlt ..., tn_t), uk =
C8)
Если функциональный определитель
который, в силу первых из уравнений системы C5), может быть
записан в виде
дх1
Г
дх„
дхх дх„
C9)
не обращается в нуль на начальном многообразии C7) (т. е. при
s = 0) и, следовательно, в силу непрерывности производных, не
обращается в нуль в некоторой окрестности этого многообразия,
то величины s, tlt ... , /я-1 в этой окрестности могут быть
выражены через xlt ... , л;„, подставляя эти выражения
в u = u(s, t19 ..., ^.J, получим определенную поверхность
u = u(xv, ... , xw), содержащую начальное многообразие C7). Эта
поверхность будет интегральной поверхностью уравнения C4),
если функции C7) удовлетворяют п соотношениям
W *'°\ «@\ PT, .... рЯ") = О,
дх{0)
5-(/-1,2 п-1)
D0)
тождественно по tf.
Задача Коши состоит в отыскании интегральной поверхности
уравнения C4), содержащей заданное {п—\)-мерное многообразие
*io>('i, ..., tn_x), u«> tlt ..., /Яв1). D1;
Многообразие D1) дополним до многообразия C7), определив
Pko>(*i> •••> ^«-J из уравнений D0). Если при этом определитель
C9) отличен от нуля вдоль такого многообразия, то указанный
выше метод приводит к решению задачи Коши, и это решение
единственно.
— 52

Пример. Найти интегральную поверхность уравнения
з-4(Р12 + р1-Рз2)-и = 0 D2)
содержащую 2-мерное многообразие
Дополним это многообразие, определив р[°\ рB°\ рC0) из уравнений
Отсюда
Pio>= —^ РГ = <, РГ = К2^, D4)
Характеристическая система C5) имеет вид
dx1 __ dx2 ^ dx3 du
0 0 0'
и ее решение, выраженное через начальные данные, будет:
х, = pi0) + W0) -рГ) е*. Jf. = РГ + Wo> -P^o>) es
D5)
п n@) n n@) n п@ I
Pi — Pi у Ръ — Рг » Рз — Рз
Подставив D3) и D4) в D5), получим:
^==у(^ — ^i), Pi= —'i. Pa = ^. Рз =
Исключив s, /lf ^ из первых четырех уравнений, получим инте-
интегральную поверхность

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
К уравнениям гиперболического типа приводят задачи, связан-
связанные с процессами колебаний, например, задача о колебаниях
струны, мембраны, газа, электромагнитных колебаниях и т. д.
Характерной особенностью процессов, описываемых такими
уравнениями, является конечная скорость их распространения.
Глава IV
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ХАРАКТЕРИСТИК К ИЗУЧЕНИЮ
МАЛЫХ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ
§ I. Уравнение колебаний струны. Решение Даламбера
1. Неограниченная струна. Уравнение свободных колебаний
однородной струны имеет вид
Положим
l = x — at, r\ = x + at. B)
Нетрудно видеть, что x — at = Cli х + at = С2 — суть характери-
характеристики уравнения A). Уравнение A) в новых переменных запи-
запишется в виде
или, переписав его в виде
д /ди
{
54 —

получим
ди
щ
где со (?) — произвольная функция ?. Интегрируя полученное урав-
уравнение по |, рассматривая т] как параметр, найдем, что
где в2(г)) — произвольная функция т]. Полагая теперь
получим
(л).
Возвращаясь к старым переменным (х, /), будем иметь
и{х, Ц^в^х-аЦ + в^х + аг). C)
Нетрудно проверить, что функция ц (я, /), определяемая фор-
формулой C), есть решение уравнения A), если 0Х и 62 — произволь-
произвольные дважды непрерывно дифференцируемые функции. Решение C)
уравнения A) называется решением Даламбера.
Выясним физический смысл решения C).
Рассмотрим сначала частный случай колебания струны, когда
02 == 0, т. е. когда смещение струны определяется формулой
u^B^x-at). D)
Положим, что наблюдатель, выйдя в начальный момент времени
t = 0 из точки х = с струны, передвигается в положительном
направлении оси Ох со скоростью а, т. е. его абсцисса меняется
по закону x = c-\-at или х — at = c. Для такого наблюдателя сме-
смещение струны, определяемое формулой D), будет оставаться все
время постоянным, равным 6Х (с). Самое явление, описываемое
функцией и1 = @1(х — at), называется распространением прямой
волны. Таким образом, решение D) представляет прямую волну,
которая распространяется в положительном направлении оси х
со скоростью а. Точно так же решение u2 = &2(x-{-at) представ-
представляет обратную волну, которая распространяется в отрицательном
направлении оси х со скоростью а.
Таким образом, решение C) является суммой прямой и обрат-
обратной волн.
Это приводит к следующему графическому способу построения
формы струны в любой момент времени t. Строим кривые
изображающие прямую и обратные волны в начальный момент
вРемени * = 0, и затем, не изменяя их формы, передвигаем их
одновременно со скоростью а в разные стороны: их = 0Х (л:) —вправо,
— 55 —

Рис. 3
иг = в2 (л:) — влево. Чтобы получить теперь график струны, доста-
достаточно построить алгебраические суммы ординат раздвинутых
кривых.
Рассмотрим верхнюю полуплоскость xOt, в которой ось Ох
соответствует положению струны в начальный момент времени t = 0.
Всякая точка (xt t) нашей полуплоскости характеризует опреде-
определенную точку х струны в определен-
ный момент времени /. Нетрудно при
этом найти графически те точки стру-
струны начальные возмущения которых
дошли в момент времени t0 до точки
х0. Это будут, согласно предыдущему,
точки с абсциссами x±at0, так как
а есть скорость распространения ко-
колебаний. Для нахождения их на оси
х достаточно провести через точку (х0, t0) две характеристики
x — at = x0 — at0, x + at=xo + ato E)
и в пересечении их с осью Ох и получаются искомые точки
(рис. 3).
Вдоль первой характеристики ®1(х — at) сохраняет постоянное
значение, т. е. эта прямая дает те значения (х, /), при которых
прямая волна дает то же отклонение, что и при значениях (х0, t0).
Вторая характеристика из E) играет ту же роль для обратной
волны @ъ(х + а(). Можно сказать коротко, что возмущения рас-
распространяются по характеристикам.
2. Задача Коши. Найти решение уравнения A), удовлетворяю-
удовлетворяющее начальным условиям
!U = 4>iW. F)
Ввиду неограниченности струны функции сро(х) и ц>г{х) заданы
В ( — оо, оо).
В решении C) уравнения A) нужно выбрать функции ®х (х) и в2 (х)
так, чтобы удовлетворить начальным условиям F).
Из начальных условий F) имеем:
Фо W = ©1 (*) + ®2 (х), Ф1 (*) = -а [в; (х)-в;
откуда, интегрируя второе равенство, получим:
G)
где С —произвольная постоянная.
— 56 —

Из равенств G) находим
X
©! (х) =у фо (*) —^ J фх (г) dz +-§¦»
(8)
о
Подставив (8) в C), будем иметь
или окончательно
^ J
Формула (9) дает решение задачи Коши A), F), если фо(л:)
имеет непрерывные производные до второго порядка включительно,
а цI (х)—ао первого.
Задача Коши A), F) поставлена корректно. Действительно,
полученное решение единственно, что следует из способа вывода
формулы (9). Несомненна далее непрерывная зависимость решения
(9) от начальных данных. В самом деле, для любого е > 0 можно
указать такое б > 0, что если заменить ф0 (х) и фх (х) на ф0 (х) и
Ф2 (х) так, что
то разность между новым решением и(х, t) и первоначальным
и(х, I) будет по абсолютной величине меньше г на любом конеч-
конечном отрезке времени. Это утверждение легко следует из формулы (9).
Рассмотрим два частных случая.
I) Начальные скорости точек струны равны
нулю, а начальное смещение имеет место лишь в конечном про-
промежутке (— а, а) струны, т. е. фо(х) = О вне этого промежутка.
Решение (9) выражается при этом формулой
и(х, 0 = Ф.(*
Решение A0) является суммой двух волн, распространяющихся
направо и налево со скоростью а, причем начальная форма обеих
волн определяется функцией у ф0 (х), равной половине начального
— 57 —

смещения. Пусть точка х струны лежит правее промежутка (—а, а),
т. е. х>а. При t <^-^ из вида функции цо(х) и формулы A0)
следует, что и (х, t) = 0, т. е. до точки х волна еще не дошла.
С момента времени t = ^—^ точка х начнет колебаться (момент
прохождения переднего фронта прямой волны). При / > ^— из
формулы A0) следует, что и(х, t) = 0. Моменту времени t=^~
соответствует прохождение заднего фронта прямой волны через
точку х, после чего в этой точке и(х, t) обращается в нуль. Ана-
Аналогичные рассуждения можно провести для точек струны, лежащих
внутри промежутка (—ос, а) или левее его. Таким образом,
в каждой точке струны после прохождения обеих волн (а для
точек, лежащих вне области начального смещения, после прохож-
прохождения только одной) наступает покой.
2) Начальное смещение равно нулю, а цг (х) отлична от нуля
лишь в конечном промежутке (— а, а). В таком случае говорят,
что струна имеет только начальный импульс. Решение (9) прини-
принимает следующий вид:
x+at
x-at
или, полагая
x
^Jq)! (г) <** = ¦(*)»
о
получим
и(х, t) = ty(x + at)— ty(x—at), .
т. е. по струне распространяются две волны—одна прямая и одна
обратная. Исследуем решение A1) более подробно. Пусть точка х
струны лежит правее промежутка (-—а, а). При /== 0 промежуток
интегрирования (x — at, x + at) вырождается в точку х, а затем
при увеличении / он расширяется в обе стороны со скоростью а.
При t <—^- он не будет иметь общих точек с ( — а, а), функ-
функция фгB) в нем равна нулю, и формула A1) даст и(х, t) = Q, т. е.
покой в точке х. Начиная с момента времени / = ^ZL2. промежу-
промежуток (x — att x + at) будет налегать на ( — а, а), в котором фх (г)
отлична от нуля, и точка х начнет колебаться (момент прохожде-
прохождения переднего фронта волны через точку х). Наконец, при t > —?-?¦
промежуток (x — at, x + at) будет содержать целиком промежуток
( — а, а), интегрирование по (x — att x + at) будет сводиться к инте-
— 58 —

грированию по (—а, а), так как вне его у1(г) = 0, т. е. при
i* мы имеем постоянное значение и(х, t)t равное
§ A2)
-а
Момент времени t = х есть момент прохождения заднего фронта
волны через точку х.
Таким образом, действие начального импульса приводит к тому,
что с течением времени точки струны сдвигаются на отрезок,
длина которого выражается интегралом A2), и остаются без дви-
движения в этом новом положении. Волны оставляют после себя как
бы след своего прохождения.
3) Ограниченная струна. Рассмотрим теперь струну длины /,
закрепленную на концах. Задача о колебании такой струны сво-
сводится к нахождению решения волнового уравнения
a
при граничных условиях
«Ь=о = 0> и|*=/ = 0 A4)
и начальных условиях
и _ ф /д.\ ^ _ ф /х\ @<Cx<Ll). A5)
Решение Даламбера
и(х, t) = ei(x—at) + @2(x + at), A6)
конечно, годится в этом случае, но определение вх и ©2 по фор-
формулам
X
1 1 С
A7)
встречает здесь то затруднение, что функции ф0 (х) и фх (х), а сле-
следовательно, вг(х) и О2(л:), определены лишь в промежутке @, /)
согласно физическому смыслу задачи, а аргументы x±at в фор-
формуле A6) могут лежать и вне этого промежутка. Стало быть, для
возможного применения решения A6) нужно продолжить функции
®i (х) и 62 (х) или, что вполне эквивалентно, функции ф0 (х) и ц>1 (х)
вне промежутка @, /). С точки зрения физической, это продол-
продолжение сводится к определению такого начального возмущения
— 59 —

бесконечной струны, чтобы движение ее участка @, /) было то же
самое, как если бы он, был закреплен на концах, а оставшаяся
часть струны была бы отброшена.
Для продолжения функций <ро(л) и фх (х) воспользуемся гра-
граничными условиями A4). Подставляя в правую часть A6) х = 0
и х = 1 и принимая во внимание граничные условия A4), получим:
или, обозначая at через х,
вЛ-*) —е.М. ©а(Н*)=-©!(/-*). A8)
Когда х изменяется в промежутке @, /), то первая из формул
A8) определяет функцию ®г(х) в промежутке ( — /, 0), вторая —
функцию 02 (х) в промежутке (/, 21). Стало быть, обе функции
вх (х) и 02 (х) вполне определяются на промежутке длины 21. Далее
из равенств A8) следует, что
т. е. функции 0Х (х) и 62 (х) являются функциями периодическими
с периодом 21. Итак, функции 0а (х) и 02(х) определены при всех
вещественных х.
Принимая во внимание, что
найдем
Фо (- *) = е, (—х) + 02 (-х)=—et (х) - ег (х)=- Фо w,
Ф1(-х)=а[в;(-х)-е;(—x)]=fl[e;(x)-e;w]=—ф^х),
Фо (х + 21) = ф0 (а:), фх (х + 21) = фх (х).
Эти формулы показывают, что функции %{х) и фх (л:) продол-
продолжаются из промежутка @, /) в промежуток (—/, 0) нечетным обра-
образом, а затем с периодом 21.
Чтобы полученное решение имело непрерывные производные
до второго порядка включительно, нужно, помимо условий диффе-
ренцируемости функций ф0 (х) и фх (х), потребовать еще выполнения
условий
Фо @) = Фо (/) = о, Ф; @) = Фо (/), ф1 @) = ф1 (/) = о.
Это есть условия согласования начальных и граничных условий.
Выясним, какое действие оказывают закрепленные концы струны
на ее колебания. Для этого обратимся к полуплоскости xOt. Ввиду
ограниченности струны надо рассматривать только полосу верхней
полуплоскости / > 0, заключающуюся между прямыми л: = 0 и х = 1
(рис. 4). Проведем через точки О и L характеристики до встречи
с противоположными границами полосы и т. д. Мы разобьем,
таким образом, полосу на области (I), (II), (III), ...
— 60 —

Точки области (I) соответствуют тем моментам времени t, когда
к точкам х струны доходят прямая и обратная волны, вошедшие
в начальный момент времени из внутренних точек струны. Следо-
Следовательно, фиктивно добавленные бесконечные части струны еще
на процесс колебания не влияют.
Точки вне области (I) соответст-
соответствуют тем моментам времени /, когда
к точкам х струны доходят уже вол-
волны, вышедшие в начальный момент
времени из фиктивной части струны.
Возьмем, например, точку Мо (х0, tQ)
в области (II). Так как
М2
Рис. 4
Мо X
то в этой точке имеются две волны\
одна— прямая, дошедшая от начально
возмущенной точки Мг струны с аб-
абсциссой x = xo — at, другая—-обратная
из точки М2 с абсциссой x = xo+at,
причем в данном случае Мг есть ре-
реальная точка струны, М2 — фиктивная. Нетрудно заменить ее
реальной точкой, заметив, что, в силу A8),
-0 = — вхB/ —лсь —а/0),
и, таким образом, обратная волна ®2(*о+^о) есть не что иное,
как прямая волна — ©х B/ — х0 — at0), вышедшая в начальный мо-
момент времени из точки М\ B/—-х0 — at0) (симметричной с Мг отно-
относительно точки L), которая, дойдя до конца струны L в момент
^ / — B/—х0 — д/0)
i ————-——————
изменила свое направление и знак на обратный и к моменту вре-
времени t0 дошла в таком виде до точки Мо.
Таким образом, действие закрепленного конца х = / свелось
к отражению волны смещения, связанному с переменой знака
смещения и с сохранением его абсолютной величины.
То же явление мы обнаружим и для волн, дошедших до конца
я = 0; в точках области (III) мы будем иметь две волны: обратную
и прямую, отраженную от конца х = 0. В точках областей (IV),
(V), (VI), ... получим волны, которые претерпели несколько таких
отражений от обоих концов струны.
Из предыдущих рассуждений следует, что колебание струны,
2/
закрепленной на концах, будет периодическим с периодом—.
— 61 —

§ 2. Понятие об обобщенных решениях
Рассмотрим снова задачу Коши для уравнения
dt2 дх2
при начальных условиях
ди
Как было показано, решением этой задачи будет функция
x+at
j
х-at
Эта формула дает обычное (классическое) решение уравнения A)
только в предположении, что ф0 (х) имеет непрерывные производ-
производные до второго порядка включительно, a (Pxix) — до первого.
При решении конкретных физических задач может оказаться,
что функции ф0 (х) и фх (х) не удовлетворяют указанным условиям.
Тогда нельзя утверждать, что существует решение задачи Коши.
В этом случае вводят так называемые «обобщенные решения»
задачи Коши
Будем называть обобщенным решением задачи Коши для урав-
уравнения A) при начальных условиях F) функцию и(х, /), являю-
являющуюся пределом равномерно сходящейся последовательности реше-
решений ип(х, t) уравнения A) при начальных условиях
__™ /лЛ дип
если последовательность функций фп0(х), имеющих непрерывные
вторые производные, сходится равномерно к ф0 (х), а последова-
последовательность функций Ф1П(#), имеющих непрерывные первые произ-
производные, сходится равномерно к ф2 (х).
Нетрудно доказать существование и единственность обобщен-
обобщенного решения задачи Коши для уравнения A) при любых непре-
непрерывных функциях фо(х) и фх(х). Это обобщенное решение также
дается формулой (9).
Введение обобщенных решений уравнения A) естественно тем,
что, во-первых, для существования обычного решения задачи
Коши приходится на заданные функции ф0 (х) и фх (х) налагать весьма
жесткие условия гладкости, в то время как для существования
обобщенных решений такой гладкости от заданных функций не
требуется и, во-вторых, функции ф0 (х) и фх (х) в конкретных задачах
физики известны нам только приближенно Поэтому соответствую-
соответствующая функция и(х, t)> даваемая формулой (9), также является
— 62 —

только некоторым приближением к точному решению поставленной
задачи.
Следовательно, совершенно безразлично, является ли это при-
приближение обычным или обобщенным решением задачи Коши. Важно,
что оно будет мало отличаться от истинного решения, если только
функции Ф0(х) и q>i(x) равномерно мало отличаются от истинных
начальных значений и (х, 0) и и у '.
ЗАДАЧИ
1. Однородная струна, закрепленная на концахх = 0 и #=/, имеет в началь-
начальный момент времени t — О форму параболы, симметричной относительно перпен-
перпендикуляра, проведенного
через точку х = -^ . On- _ ^—^^
ределить форму струны в
моменты времени
'=4
и t= —,
а
Рис. 5
предполагая, что началь-
начальные скорости отсутствуют.
2. Бесконечная струна, находящаяся в прямолинейном положении равновесия,
получает в начальный момент времени (/ = 0) удар от молоточка, масса кото-
которого равна М, причем этот молоточек касается струны в точке # = 0 и имеет
начальную скорость VQ.
Доказать, что в любой момент времени / > 0 возмущенная струна имеет
вид, показанный на рис. 5, где иг—прямая волна:
«!==
МаУ0
27
при х — at < 0; ц1 = 0 при х—at > 0,
и и2(х, t) — обратная волна:
Л о \ j
0; W2==
Указание. При интегрировании уравнения
д2и д2и
следует принять во внимание условия
Mw
х=0
— 63

Глава V
ПРОДОЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЯ
§ 1. Дифференциальное уравнение продольных колебаний
однородного стержня постоянного сечения.
Начальные й граничные условия
Рассмотрим однородный стержень длины Z, т. е. тело цилиндри-
цилиндрической или какой-либо иной формы, для растяжения или изгибания
которого надо приложить известное усилие. Последнее обстоятель-
обстоятельство и отличает даже самый тонкий стержень от струны, которая,
как мы знаем, гнется свободно.
В настоящей главе мы займемся приложением метода харак-
характеристик к изучению продольных колебаний стержня, причем
ограничимся исследованием толь-
9 ^ ко таких колебаний, при кото-
п\ 111 -;"^J Рых поперечные сечения pq,
pdxpf X~ перемещаясь вдоль оси стержня,
остаются плоскими и параллель-
Рис- 6 ными друг другу (рис. 6). По-
Подобное допущение оправдано,
если поперечные размеры стержня будут невелики по сравнению
с его длиной.
Если несколько растянуть или сжать стержень вдоль продоль-
продольной оси, а затем предоставить самому себе, то в нем возникнут
продольные колебания. Направим ось Ох вдоль оси стержня и
будем считать, что в состоянии покоя концы стержня находятся
в точках х=0 и х = 1 Пусть х — абсцисса некоторого сечения
стержня, когда последний находится в покое. Обозначим через
и(х, t) смещение этого сечения в момент времени t\ тогда смеще-
смещение сечения с абсциссой x-\-dx будет равно
Отсюда ясно, что относительное удлинение стержня в сечении
с абсциссой х выражается производной
ди{х, t)
дх *
Считая теперь, что стержень совершает малые колебания, можно
вычислить в этом сечении натяжение 7\ Действительно, применяя
закон Гука, найдем, что
T = ESpx> A)
где ? —модуль упругости материала стержня, a S —площадь его
поперечного сечения. Возьмем элемент стержня, заключенный
— 64 —

между двумя сечениями, абсциссы которых в состоянии покоя
соответственно равны х и x + dx. На этот элемент действуют силы
натяжения Тх и Tx+dx, приложенные в этих сечениях, и направ-
направленные вдоль оси Ох. Результирующая этих сил имеет величину
* x+dx * дг==^4-> I
и направлена также вдоль Ох. С другой стороны, ускорение эле-
элемента равно -g^, вследствие чего мы можем написать равенство
д2и ^о д2и
C)
где р —объемная плотность стержня. Положив
D)
и сократив на Sdx, получим дифференциальное уравнение про-
продольных колебаний однородного стержня
д2и 2 д2и ,-
Форма этого уравнения показывает, что продольные колеба-
колебания стержня носят волновой характер, причем скорость а распро-
распространения продольных волн определяется формулой D).
Если на стержень действует еще внешняя сила F (x, t), рас-
рассчитанная на единицу его объема, то вместо C) получим
pSdx-^ = ES -jp&dx + F (x, t) S dxt
откуда
д*и 2 д2и ,
Это есть уравнение вынужденных продольных колебаний стержня.
Как и вообще в динамике, одного уравнения движения F)
недостаточно для полного определения движения стержня. Нужно
задать начальные условия, т. е. задать смещения сечений стержня
и их скорости и У?! ' в начальный момент времени
где f(x) и F (х) — заданные функции в интервале @, /).
Кроме того, должны быть заданы граничные условия на концах
стержня. Так, например:
3 № 645 — 65 —

1) Стержень закреплен на обоих концах, т. е.
и @, 0 = 0, и U t) = 0
в любой момент времени t.
2) Один конец стержня закреплен, другой свободен, т. е.
(8)
в любой момент времени t. На свободном конце х = 1 натяжение
T = ES^- равно нулю (нет внешних сил) и, следовательно,
= 0.
ди
дх
3) Оба конца стержня свободны, т. е.
ди
дх
-0 -
*=<> ' дх
с/
= 0
A0)
в любой момент времени t.
Таким образом, задача о продольных колебаниях однородного
ограниченного стержня сводится к решению уравнения F), удовле-
удовлетворяющему начальным условиям G) и одному из граничных усло-
условий (8), (9), A0).
§ 2. Колебания стержня с одним закрепленным концом
Решим в качестве примера следующую задачу. Упругий цилин-
цилиндрический стержень, имеющий в нерастянутом (естественном) состоя-
состоянии длину /, закрепляется в конце х = 0 и затем растягивается
за конец х = 1 до длины 1г\ после этого конец х = 1 отпускается,
вследствие чего в стержне образуются продольные колебания. Тре-
Требуется определить скорость колебания произвольного сечения воз-
возмущенного стержня Для решения поставленной задачи надо
найти решение уравнения E), удовлетворяющее граничным усло-
условиям (9) и начальным условиям G). Определим функции / (х) и
F(x), входящие в начальные условия G), считая, что в началь-
начальный момент времени смещение сечения с абсциссой х пропорцио-
пропорционально этой абсциссе. Положим
и|*во = /(*) = ™ @<*<0. (И)
где г—множитель пропорциональности, который легко опреде-
определяется, если принять во внимание то обстоятельство, что в на-
начальный момент времени смещение на конце х = 1 стержня равно
/j—/, т. е.
l
или
/!-/
— 66 —

Кроме того, так как скорости всех промежуточных сечений
стержня в начальный момент времени равны нулю, то
SL = 0 (° <*<')• О2)
Итак, начальные условия имеют вид A1), A2).
Мы знаем, что общее решение уравнения E) имеет вид
-х). (П)
Определим функции ср и г|э так, чтобы оно удовлетворяло гранич-
граничным условиям (9) и начальным условиям A1) и A2). Из первого
граничного условия (9) следует, что
или
г|>B) = — Ф(г) (z = at),
вследствие чего формула A3) принимает вид
u=={p(at— х) — ф(а/ +х). A4)
Дифференцируя это равенство по х и полагая затем х = 1, при-
приходим, в силу второго из граничных условий (9), к следующему
результату:
0 = — ф' (at —/) — ф' (at +1)
или, обозначая переменный аргумент at-\-l через г, получим ра-
равенство
Ф'B)=-Ф'(г-2О, A5)
с помощью которого легко найти выражение функции ф' (г) для
всех значений г.
В самом деле, в силу начальных условий (И) и A2) имеем
гх = ц(— х) — ф(*), A6)
0 = ф'(—*)-<р'(*). <и <*<*'• A7)
Дифференцируя равенство A6) по х и решая полученное урав-
уравнение совместно с уравнением A7), найдем следующее выражение
для функции ф'Сг):
Ф'(*) = —у, A8)
справедливое для всех значений г, лежащих в интервале
— 1<г<1. A9)
Тогда из формулы A5) следует, что
Ф'(г) = у B0)
3* - 67 -

для всех значений г, удовлетворяющих неравенству
/<г<3/. B1)
Теперь остается заметить, что в силу равенства A5) функция ср' (г)
имеет период 4/ и тогда из формул A8)—B1) ясно, что функция
ф' (z) определяется при всех значениях г.
Воспользуемся найденными результатами, чтобы представить
себе картину распространения волн в возмущенном стержне. Обо-
Обозначим через v скорость поперечного сечения стержня с абсцис-
абсциссой х; эта скорость находится на основании формулы A4), в силу
которой
!L = v>(at-x)-<p'(at + x). B2)
С помощью этой формулы нетрудно разобраться, какие волны
подходят в определенные моменты времени к сечению Р с абсцис-
абсциссой х. В самом деле, так как эта абсцисса лежит внутри интер-
интервала @, /), то, начиная с момента ^ = 0 до момента времени
t — , оба аргумента функций, входящих в правую часть фор-
формулы B2), не будут выходить за пределы интервала (—/, /).
Отсюда, в силу A8) и B2), вытекает, что
другими словами, в течение времени t = ——, считая от момента
начала колебаний, сечение Р остается в покое. Оно начнет коле-
I х
баться с момента t = —^- , когда к нему подойдет обратная
волна, вышедшая в начальный момент времени из возмущенного
конца х=1.
Определим скорость сечения Р. Когда время изменяется от
момента t = -^ до момента / == —^ , аргумент функции ср' {at—*)
изменяется в интервале (—/, /), а аргумент функции ср' (at +x) —
в интервале (/, 3/). Применяя формулы A8) — B2), получим, что
в течение времени
jl+x l—x_2x
а х а
сечение Р будет обладать скоростью, определяемой равенством
V Г Г
~а~~ У ~2*~ Т%
Исследуем теперь, что будет происходить в стержне с момента
времени /==—1—. К этому моменту к сечению Р подойдет прямая
— 68 —

волна, которая произошла от обратной волны, отразившейся в мо-
момент t = — от закрепленного конца # = 0.
/ 4-я
Нетрудно показать, что с момента времени / = -^— до момента
^ _ 3/—* сечение Р будет находиться в состоянии покоя. В самом
деле, в течение указанного времени оба аргумента функций, вхо-
входящих в формулу B2), лежат внутри интервала (/, 3/); вследствие
этого из формулы B0) вытекает, что
В момент времени t = —— к сечению Р снова подойдет об-
обратная волна, которая получилась от прямой волны, после того
как последняя отразилась от свободного конца х = 1 в момент
t = —. Эта волна будет оказывать свое действие на сечение Р до
момента времени / = —— . Действительно, когда t изменяется
в пределах от до——, аргумент функции q/ (at—х) не
выходит из интервала (/, 3/), а аргумент функции q)'(at-\-x) — из
интервала C/, 5/), вследствие чего
Теперь остается лишь исследовать промежуток времени от
t = —— до / = ~х. В течение этого времени сечение Р снова
а а г
придет в состояние покоя. Действительно, в момент времени / =
= ——^ к этому сечению подойдет прямая волна, образовавшаяся
из обратной волны, после того как последняя отразилась от за-
3/
крепленного конца в момент времени t = —. Действие этой вол-
волны на сечение Р скажется следующим образом. Так как при t,
изменяющемся в промежутке (——, —~~) > °^е функции, стоя-
стоящие в правой части равенства B2), имеют свои аргументы в ин-
интервале C/, 5/), то
откУДа ясно, что в течение времени / = -^—- сечение Р будет
находиться в состоянии покоя.
Далее вся картина распространения волн будет повторяться,
Так как, по замеченному выше, функция q/ (г) имеет период 4/.
— 69 —

§ 3. Продольный удар груза по стержню
Рассмотрим цилиндрический стержень, один конец (х = 0) ко-
которого закреплен, а другой (х=*1) свободен. В начальный момент
времени t = 0 свободный конец подвергается удару груза массы М,
движущегося вдоль оси стержня со скоростью v. Изучим продоль-
продольные колебания стержня, которые возникают при ударе по стержню.
Мы знаем, что уравнение продольных колебаний однородного
стержня имеет вид
Граничное условие на левом конце (х = 0) будет, очевидно,
и@, /) = 0. B4)
Далее, уравнение движения груза под действием силы реакции
стержня, которая равна по величине усилию в сечениих = / стержня
и направлена в противоположную сторону, имеет вид
B5)
Это и будет граничное условие на конце х — 1. Уравнению B5)
можно придать вид
ml ¦
= — а2-
х=1 дх
х=1'
B6)
если обозначить через т = -^отношение массы движущегося груза
к массе стержня.
Искомое решение и(х, t) должно удовлетворять также началь-
начальным условиям
и|,в0 = 0 при 0<х</, B7)
ди
dt
А А ^ ^ 1 дп .А
= 0 при 0<х</, -дт" = — v при ^ = 0 и x = i
t = o ^ ^ dt v
Второе начальное условие означает, что в момент удара движу-
движущегося груза все промежуточные сечения стержня имеют скорость,
равную нулю, а скорость конца стержня равна скорости груза.
Известно, что общее решение уравнения B3) имеет вид
B8)
где ф и г|) — произвольные функции. Определим функции ф и г|5
так, чтобы решение B8) удовлетворяло граничным условиям B4),
B5) и начальным условиям B7).
Из граничного условия B4) следует, что \|> = — ф; тогда решение
B8) принимает вид
и = ф (at—x) — ф (at +x). B9)
— 70 —

Из начальных условий B7) имеем
Отсюда следует, что ф'(г) = 0, когда —/<z</, т. е. в этом же
интервале ф(г) — постоянная, которую можно считать равной нулю.
Следовательно, мы имеем
Ф(г) = 0 ( — /<*</). C0)
Определим теперь функцию <p(z) вне интервала (—/, /), Для
этого воспользуемся граничным условием B6). Подставляя B9)
в B6), получим
ml [ф" (at — /) — ф" (а* + 0] = ф' (at — l) + q>' (at +1)
или, полагая z = at+l,
Это уравнение дает возможность продолжить функцию фB) за
пределы интервала (—/, /). Из уравнения C1) сперва определим
ф' (г) вне интервала (— /, /).
При / < z < 3/ правая часть уравнения C1) равна нулю и мы
и меем
откуда
г
ф' (г) = О"^7,
где С — произвольная постоянная.
Начальное условие B7) дает:
а[ф'(— /+0)-Ф'(/ + 0)] = — v
или, в силу C0,,
JL _L
Следовательно, —=Се т, так что С = —ет и
y'(Z)=JLe ml A<Z<31). C2)
Заметим, что ф' (z) в точке z = I имеет разрыв непрерывности.
При 3/ < z < 5/ уравнение C1) принимает вид
2-3/
— 71 —

откуда
г г-Ъ1
C3)
где С —произвольная постоянная.
Произвольную постоянную С мы найдем из условия непрерыв-
непрерывности изменения скорости -? в сечении х = / при t > 0, в част-
ности при t = —. Это дает
Ф'(/-0)-ф'C/-
или, в силу C0), C2) и C3),
V
е
а
_ 2
т __
- — С
а
3
1в т
откуда
?(^Д0 C4)
Подставляя C4) в C3), получим
]Г^ C/<г<5/). C5)
Поступая далее таким же образом, мы можем найти ф' (г)
в интервалах E/, 71), G1, 91) и т. д.
Функция ф(г) определяется интегрированием выражения ф'(г);
постоянная интегрирования определяется из условия непрерывно-
непрерывности функции и(х, t) в точке х = 1. Это условие, если положить t
последовательно равным 0, —, ..., дает уравнения
—0) — фC/ — 0) = ф(/ + 0) — фC/ + 0), ...
откуда, в силу C0), получаем
Таким образом, мы имеем
"* C6)
C/ < г < 5Z), ...
— 72 —

Из полученного решения B9), C0) и C6) следует, что при
0</< —, в силу C0), ф(а/—х) = 0 и из B9) имеем
и(х, /)= — <p(at + x),
т. е. по стержню распространяется только обратная волна, идущая
от конца х = 1, подвергнувшегося удару; при / = —она достигнет
закрепленного конца и при — < t < — к ней прибавится отра-
отраженная волна у {at —х), т. е. решение будет иметь вид
и(х, t) = <p(at—x) — q>(
21
При t = — волна ф(а/~ х) отразится от конца х = 1, так что
21 3/
слагаемое y{at-\-x) в решении B9) на интервале — < / < — бу-
будет иметь уже другое выражение. Таким образом и(ху t) имеет
различные выражения в интервалах
В изложенном выше решении мы считали, что стержень как бы
соединяется с ударяющим телом, так что условие B5) выполняется
для любого момента времени t > 0. Но если тело отделяется от
стержня, то полученное решение пригодно только на тот проме-
промежуток времени, пока и^ < 0. Когда же в этом решении -~
в точке х = 1 становится положительным, соударение оканчивается.
При 0 < / < и \' = — — е ml <0и акт соударения не мо-
CL OX CL
жет закончиться.
^- </<«
a a
дх
ди (/, 0
и —^—- становится положительным, когда
^ = J_
ml m
21 41
последнее уравнение может иметь в интервале — < t < — корень
при условии, что
— А
2 + е-> <±.
— 73 —

Уравнение
имеет корень т = 1,73 ...
Если т<1,73 ..., соударение прекращается в момент време-
времени /, который лежит в интервале (—, — j и определяется по
формуле
Если т> 1,73 ..., то можно таким же способом проверить,
заканчивается ли соударение в момент времени t, лежащий в ин-
/4/ 6/ \
тервале ^т, — J .
ЗАДАЧИ
1. На конце х = 0 цилиндрического стержня, настолько длинного, что его
можно считать простирающимся в одну сторону до бесконечности, действует
возмущающая гармоническая сила A sin cotf. Доказать, что относительное пере-
перемещение сечения стержня с абсциссой х выражается формулой
/ 0 при
1 Л sin — (at—х) при
Указание. Применить метод характеристик к интегрированию уравнения
сРи_ 2д*и
dt> ~~ а дх*
при краевом условии w |лг==0= Л sin co^ и при нулевых начальных условиях для
положительных х
2, Вывести дифференциальное уравнение продольных колебаний конического
стержня.
Ответ'.
-1).
где h—высота полного конуса, частью которого является стержень.
3. Один конец стержня (х = 0) формы усеченного конуса закреплен, а дру-
другой (х = 1) свободен. В начальный момент времени ? = 0 свободный конец под-
подвергается удару груза массы М, движущегося вдоль оси стержня со скоростью v.
Найти продольные колебания конического стержня.
Ответ:
„_<p{at—x)—q>(at+x)
Функция ф B) определяется следующим образом:
ф(г) = о ( — / < г < 0
A pk^Z-l) ek2(Z-D
— 74 —

и т. д., где ki и k2—корни уравнения
М
pSl
Уравнение для продолжения функции <р(г) вне интервала (—/, /) имеет
вид
mcp"
Указание. Задача приводится к решению уравнения C7) при граничных
условиях
= 0 тд%и\ -^__я2с1_
«|v=o > mm5i*\xssi~~ дх
и начальных условиях
ди_
9 dt
= 0 при
д_и
9 dt
= — v при ? = 0 и х = 1
Глава VI
УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА С ДВУМЯ
НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ
§ 1. Задача Коши
Рассмотрим уравнение
A)
К такому виду, как мы видели в гл. II, § 3, приводится линей-
линейное гиперболическое уравнение с двумя независимыми переменными
(а(х,у), Ь(х, у), с(х,у) и f(x, у) — непрерывные функции).
Уравнение характеристик для уравнения A) имеет вид
дсо
ду
= 0 ИЛИ
дх ду
Эти уравнения имеют соответственно решения у и х. Следователь-
Следовательно, x = const, y = const —суть характеристики уравнения A).
Пусть в плоскости хОу дана дуга кривой /, которая пересе-
пересекается не более чем в одной точке с прямыми, параллельными
осям координат. Уравнение этой дуги может быть записано в виде
y = g(x) или x = h(y). Будем считать, что существуют производные
g' (x) и К (х), отличные от нуля.
Пусть вдоль дуги кривой I заданы значения и и ~:
~
ду
B)
— 75 —

Данные Коши B) позволяют на кривой y = g(x) найти значения
производной я~. Действительно, дифференцируя по х первое из
ох
условий B), получим
ди
дх
откуда
ди
Тх
= 4>'о (х) — Фх (х) g' (х) = со (х).
C)
Задача Коши ставится так: требуется найти решение урав-
уравнения A) в некоторой окрестности кривой I, удовлетворяющее
данным Коши B).
Введем функции
ди ди
~~ дх у ~ ду *
Тогда уравнение A) равносильно системе трех уравнений
dw
D)
d\t—.-
y)—av—bw—cu,
y)—av—bw—си,
ди
(б)
Pwc. 7
Возьмем в прямоугольнике ABCD (рис.7)
J- произвольную точку N (ху у) и прове-
проведем через нее характеристики NP и NQ
до пересечения с кривой /. Интегрируя
первое и третье уравнения системы E)
по прямой QN, а второе—по PN и принимая во внимание B), C) и
D), получим:
у
v(x, У) = ®(х)-\- j [/ (х, у) — av—bw — cu]dy,
g(x)
[f(x, y)—av — bw — cu]dx,
и (х, у) = ф0 (х) + 5 w (x, y) dy.
F)
Очевидно, что если и(х, у) есть решение уравнения A), удов-
удовлетворяющее данным Коши B), то функции vf w и и удовлетво-
удовлетворяют системе интегральных уравнений F). Обратно, непрерывное
решение (и, v9 w) системы уравнений F) удовлетворяет, очевидно,
системе дифференциальных уравнений E), а функция и (х, у)
удовлетворяет уравнению A) и условиям B). Действительно, из
третьего уравнения системы F) имеем ^ = w. Кроме того, в силу
— 76 —

D), E), C) и первого уравнения F),
g(x)
ди , ( . ft
g(x) J
j f(x> y)—av—bw—cu]dy=*
g(x)
\ [f(x, y) — av—bw—cu]dy = v.
g(x)
Следовательно, оба уравнения D) выполняются. Подставляя те-
теперь D) в первое уравнение системы E), мы убеждаемся, что
функция и(х, у) удовлетворяет уравнению A). Легко видеть что
и(х, у) удовлетворяет и данным Коши B),
Таким образом, задача Коши A)—B) свелась к доказательству
существования непрерывного решения системы интегральных
уравнений F).
Решение системы F) будем искать методом последовательных
приближений. За нулевое приближение берем
vQ = со (*), w0 = фх (х) и0 = ф0 (*),
и следующие приближения вычисляются по формулам:
g(x)
X
- S [fix, y) — avn_l — bwn_1—cun_1]dx,
h(y)
?>„_! (x, y) dy.
G)
(n = l, 2, 3, ...)
Докажем равномерную сходимость последовательностей {vn, wnt
un\ в криволинейном треугольнике BCD (рис. 7).
Имеем:
h{y)
У
gU)
— 77 —
(8)

Покажем, что разности \vn—vn_1\, \wn—¦wn_1\f \un — ^„_i|
удовлетворяют неравенствам:
(9)
где М=тах[\а\+\Ь\ + \с\], /C = max(l, /И) и Л —некоторая
BCD
постоянная.
При п = 1 справедливость (9) очевидна, если выбрать А доста-
достаточно большой. Покажем, что эти неравенства останутся справед-
справедливыми при замене я на л+ 1. Из равенства (8) имеем, например,
<К'А ^х+У-^-Уо)" {х
Точно так же оцениваются и другие разности \wn+1—wn\ и
1ми + 1—ми1- Из оценок (9) следует абсолютная и равномерная
сходимость рядов
2(
n=1
члены которых по абсолютной величине меньше членов равномерно
сходящегося ряда
п= 1
Следовательно, последовательные приближения vn, wn и ип в кри-
криволинейном треугольнике BCD равномерно стремятся соответственно
к определенным пределам v, w и и. Предельные функции непре-
непрерывны, так как все последовательные приближения непрерывны.
Переходя к пределу в формулах G), мы получим, что предельные
функции v(xy у), w(x, у) и и(х, у) удовлетворяют системе F).
Единственность решения системы F). Допустим, что
существуют два различных непрерывных решения системы F)
— 78 —

v19 ^i» ui Ht;2» wz> U2- Обозначим V=v1—v2, W=wt—wt9 U =w1—u2.
Тогда V, W, U удовлетворяют однородной системе уравнений
V(x, y)=—
W(x, y) = — \ (aV + bW + cU)dx,
h(y)
A0)
U(x, y)= I W(x, y)dy.
g(x)
Нужно доказать, что V = W = U = 0. Функции V, W и V не-
непрерывны и ограничены, как разности непрерывных функций
в замкнутом криволинейном треугольнике BCD. Значит, суще-
существует такая постоянная В, что
Из A0) имеем:
\V{x,
\W(x,
\и(х,
Применив метод математической индукции, получим следующие
оценки
для любого п. Отсюда следует, что V = W = U = 0, т. е. vl = v2t
wl=w2t u1 = u2.
§ 2. Задача Гурса
Требуется найти решение уравнения A), принимающее задан-
заданные значения на характеристиках х = х0 и у = у0:
Будем считать, что фх (у) и ф2 (а:) имеют непрерывные производные
первого порядка и фх (f/0) = ф2 (х0).
— 79 —

Введем, как и в случае задачи 'Коши,
ди ди
Тогда уравнение A) равносильно системе трех уравнений
X, = f(x> У)—а{х, y)v — b(x, y)w — c(x, у)и,
A3)
J = /(*> У) — а(х, y)v — b(x, y)w—c(x, у) и, ^ = w.
Отсюда, в силу A1) и A2), следует, что
у
v(x, #) = ф'8(*) + $ [f(x, y)—av — bw—cu]dyf
Уо
х
w(x, у) = ц>'1 (у) + \ [/(л:, у) — av — bw—си] dx>
у
A4)
Уо
Как и в случае задачи Коши, доказывается, что задача Гурса
A), A1) сводится к доказательству существования непрерывного
решения системы интегральных уравнений A4). Как и выше,
существование и единственность системы A4) доказывается методом
последовательных приближений.
§ 3. Метод Римана
В этом параграфе мы выведем интегральную формулу, выра-
выражающую в явном виде искомое решение задачи Коши через на-
начальные данные. Существование решения при этом заранее пред-
предполагается.
Наряду с дифференциальным выражением второго порядка
т / \ д2и , , \ ди . * , ч ди
коэффициенты которого а и b непрерывно дифференцируемы, рас-
рассмотрим сопряженное ему дифференциальное выражение
т * , ч d2v д (av) д {bv) ,
L* (v) =5-5 k-2 jr-1 + cv.
v ' дхду дх ду '
Уравнение L* (v) =g называют сопряженным с уравнением L (и) = /.
Имеет место тождество
vL(u) —
д ( ди dv . о \ , 1 д ( ди dv
{vu + 2auv)+[vu
80 —

которое легко проверяется с помощью непосредственного диффе-
дифференцирования.
Обозначим через Я область, ограниченную дугой PQ кривой /
и двумя прямыми, параллельными осям и выходящими из фикси-
фиксированной точки М (х0, у0) (рис. 8). Интегрируя обе части тожде-
тождества A5) по области Я и поль-
пользуясь формулой Остроградского,
получим
г
06)
х
Рис. 8
где контур Г состоит из трех
частей: характеристик QM и
МР и дуги PQ.
Рассмотрим интегралы, взятые вдоль характеристик QM и МР.
Так как вдоль характеристики QM меняется только у, то при
интегрировании по QM получим интеграл
ди dv
QM
Интегрируя первое слагаемое по частям, будем иметь
QM
1
QM
Совершенно также найдем, что
МР МР
Подставив A7) и A8) в формулу A6), получим
dv ди
PQ
QM
1
JJ
A9)
— 81 —

Положим теперь, что и есть решение уравнения A), удовле-
удовлетворяющее данным Коши B), a v—решение однородного сопря-
сопряженного уравнения
L*(v) = 0, B0)
удовлетворяющее условиям
у х
J a(x0, y)dy fb(x, yo)dx
v\x=Xo=ey> , * |,.,.= е* B1)
Зто решение будет зависеть, конечно, от выбора точки (х0, у0),
т. е. по существу оно будет функцией пары точек. Поэтому при-
примем обозначение v = v(x, у\ xOi у0).
Из B1) имеем
dv{Xo'%Xo'yo)=a(xOi y)v(x09 у; xQ, yQ) B2)
на характеристике МР;
dv(x, у0; х0, у0) _h( 1t\7)(Y ,..Y п\
-^ —О[Х$ yo)v\x> Уо> хо> Уо)
на характеристике MQ\
v(xot у0; х0, уо)=1.
Решение v = v(x, у; х0, у0) однородного сопряженного уравнения B0),
удовлетворяющее условиям B2), называется функцией Римана.
Эта функция не зависит ни от данных Коши B) на /, ни от вида
этой кривой. Для нее точка {х, у) играет роль аргумента, а точка
(х0У у0) — роль параметра. Существование и единственность функции
Римана следует из § 2 этой главы.
Если теперь в формуле A9) заменить v функцией Римана
v(x, у\ х0, у0), то, принимая во внимание уравнение A) и усло-
условие B2), мы получим формулу Римана
U \XQy Уо)—
H
PQ
+ ^vfdxdy. B3)
Формула Римана B3) дает представление решения уравнения A)
для произвольных начальных данных, заданных на произвольной
нехарактеристической кривой /, через функцию Римана v (х9 у\ х0, у0).
Из самого способа получения формулы Римана следует, что если
задача Коши A) — B) имеет решение, то оно единственно.
Из формулы B3) непосредственно вытекает, что если достаточно
мало изменить данные Коши на кривой /, то и решение задачи
— 82 —

изменится на сколь угодно малую величину, т. е. решение задачи
Коши непрерывно зависит от начальных данных. Из формулы B3)
также следует, что значение решения и в точке М зависит только
от начальных данных вдоль дуги PQ кривой /, вырезаемой из /
характеристиками, выходящими из точки М. Если изменить дан-
данные Коши на кривой / вне дуги PQ, сохраняя непрерывность
в точках Р и Q, то решение будет меняться лишь вне криволи-
криволинейного треугольника MPQ. Таким образом, каждая характери-
характеристика отделяет область, где реше-
решение осталось неизменным, от той
области, где оно изменилось. Сле- \ м
довательно, за всякую характе-
характеристическую линию решения урав-
уравнения продолжаются неоднозначно.
Сделанное выше предположение
о том, что прямые, параллельные
осям, т. е. характеристики-, пере-
пересекают линию / не более чем в од- Рис. 9
ной точке, является существенным.
При невыполнении этого условия задача Коши, вообще говоря,
неразрешима. Пусть, например, кривая / имеет вид, указанный
на рис. 9. Применив метод Римана, мы можем определить значение
искомой функции и(х, у) в точке Л_, пользуясь или криволиней-
криволинейным треугольником PQM, или криволинейным треугольником QXPM.
Полученные две формулы дадут, вообще говоря, в точке М разные
значения для и} и, таким образом, задача Коши окажется нераз-
неразрешимой.
§ 4. Примеры на приложение метода Римана
Пример 1. Найти решение уравнения
уЯ ______
td2u
дх* " ду2~ '
удовлетворяющее условиям
и
С помощью замены переменных
Уравнение B4) приводится к каноническому виду:
~2g dfT°-
B4)
B5)
B6)
B7)
— 83 —

'Прямая у=1 в новых переменных
будет иметь вид равнобочной гиперболы
(рис. 10)
Далее из соотношений
Рис. 10
ясно, что
ди
ди
дц
\ди
Следовательно, в силу условий B5), имеем
1
а также
B9)
C0)
Полагая в формуле Римана B3) а = 0, Ь=—о?» /-0» полУчим
QP
dv
ди dv
и
Обратимся теперь к разысканию функции Римана v (|; tj; Ео, т]). Согласно
общей теории, она должна удовлетворять сопряженному уравнению
дЧ , 1 dv
C2)
и следующим условиям на характеристиках:
А в.
C3)
fEo. Л; Ео. Ло) = ^л°
Нетрудно убедиться, что функция
НЪ, л; Ео. т|0)
1 (на
C4)
удовлетворяет как уравнению C2), так и обоим условиям C3), следовательно,
это и есть искомая функция Римана. Подставляя B9), C0) и C4) в формулу
— 84 —

C1) и принимая во внимание, что
0, ~; ?0,
получим
v(Q) = »( — . Ло'» So. Ло) =
\Ло /
Ло
Возвращаясь теперь к старым переменным я и у, получим решение задачи
Коши
«,, „,.i
ХУ
Пример 2. Найти решение уравнения
д2и д2и , ди л
+0
удовлетворяющее условиям
и
у=о
ду
у=о ш
= F(x).
C5)
C6)
Чтобы решить эту задачу по методу Римана, приведем уравнение C5) к кано-
каноническому виду, для чего составим уравнение характеристик
xdy2 — dx2 = 0.
Это уравнение допускает два различных интеграла
и, следовательно, надо ввести новые переменные \ и ц по формулам
Присоединим к этим равенствам еще одну зависимость
тогда уравнение C5) преобразуется к следующему каноническому виду:
d2w I w
4 (Б-т|
— 85 —
5 = 0.
C7)
C8)
C9)

Обратимся теперь к условиям C6) и формулам C7). Из них видно, что
за кривую АВ (рис. 11) в методе Римана следует взять биссектрису
т|=—6. D0)
Согласно тому же методу для решения поставленной задачи надо найти такое
частное решение сопряженного урав-
\
нения
4 F-
!=».
D1)
\l
которое удовлетворяло бы следующим
условиям на характеристиках
*ЧЕо» Л» ?о» Ло) = 1 (на МР) (ло\
Будем искать решение уравнения D1)
в виде
v = G(o)9 D3)
где
Рис. 11
Тогда для G (а) получим следующее уравнение:
(Е-Ео)(Л-Ло) ,44ч
№о-Ло)(Б-л) * ( }
а A —а) G" (а) + A —2а) G' (а)— -^ G (а) = 0.
D5)
Нетрудно видеть, что это уравнение есть частный случай гипергеометрического
уравнения Гаусса
аA-а)^+[у-A + а+р)а]/-аРу = 0 D6)
при
ряда
Уравнение Гаусса допускает частное решение в виде гипергеометрического
абсолютно сходящегося при \о\ < 1.
Отсюда ясно, что, взяв
, I, 1;
т
..., D8)
мы удовлетворим уравнению D1) и условиям D2). Следовательно, функция
F—
D9)
и есть искомая функция Римана.
Обращаясь теперь к нашей задаче нахождения решения уравнения C5)
при условиях C6), возьмем формулу Римана B3) и положим в ней
— 36 —

Тогда мы получим
QP
dw до
&ju dv
w
где функция v определяется равенством D9), или, принимая во внимание D0),
2 J \ Л5 °Ч )
E0)
Вычислим производные, входящие в формулу E0). Из формул
ясно, что
Следовательно, в силу условий C6), имеем
у=о
E1)
Дифференцируя C8) по g и т\ и полагая затем t] = — ?, получим
Отсюда, в силу E1), имеем
dw , dw
Далее из формул
ди
E2)
dv
Щ
dv
вытекает, что
п = -\
dv
dGdo
do dl у
dG do
"Зо7^"
dv
dG\
E3)
Чтобы воспользоваться формулой E0), надо еще вычислить значение фун-
функции w на биссектрисе т] = —| и в точках Р и Q. Нетрудно видеть, что
E4)
E5)
— 87 —
Отсюд
а также легко получаем

Принимая теперь во внимание, что
и(х iM
«1*о> Уо)
найдем из формул E0), E2) — E5)
и<х v\- ^Tof(U)+VnBf{nl) ,
и \хо> Уо) . 4 г—— г"
2 J/
, Ee + Tlo Г
4(
Возвращаясь теперь к старым переменным х и у и опустив значок у этих
букв, получим решение задачи Коши для уравнения
(x,y,z)dz.
Vx - 2
Глава VII
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ХАРАКТЕРИСТИК К ИЗУЧЕНИЮ
КОЛЕБАНИЙ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЛИНИЯХ
§ 1. Дифференциальные уравнения свободных электрических
колебаний
При прохождении по проводу электрического тока вокруг него
образуется электромагнитное поле, которое вызывает изменения
как силы тока, так и величины напряжения. Благодаря этим из-
изменениям в проводе возникает определенный колебательный про-
процесс, изучением которого мы и займемся.
Проведем ось Ох вдоль оси провода, а начало координат
поместим в один из его концов; длину провода обозначим через /.
Сила тока / и напряжение v в какой-нибудь точке провода будут
функциями абсциссы х и времени t. Величины / и v связаны
между собой некоторыми дифференциальными уравнениями с
— 88 —

частными производными 1-го порядка. При выводе этих уравнений
мы будем предполагать, что емкость, активное сопротив-
сопротивление, самоиндукция и утечка распределены вдоль
провода непрерывно и равномерно, и что постоянные С, R, L и G,
их характеризующие, рассчитаны на единицу длины провода.
Рассмотрим часть провода, заключенную между двумя сече-
сечениями х = хх и х=х2. Применяя закон Ома к этой части провода,
будем иметь
xi> 4—V\X2> t) = R \i(x, tjdx + LX—^—ax. A)
Так как, с другой стороны,
л
v{xx% t) — v(x2) 0= —'
•^1
то имеет место равенство
*2
из которого, в силу произвольности хх и х2, следует, что
Количество электричества, протекающего через рассматривае-
рассматриваемый участок (хх, х2) провода за единицу времени
х2
i{xi> 0 — ^(^2, ^ = ~"j"a^dx»
ху
равно сумме количества электричества, необходимого для зарядки
этого участка провода, и количества электричества, теряющегося
вследствие несовершенства изоляции;
Таким образом,
откуда
<>L + C*L + Gv = Q. C)
— 89 —

§ 2. Телеграфное уравнение
Если мы продифференцируем выведенное в предыдущем пара-
параграфе уравнение B) по х, а уравнение C) по t и затем из най-
дЧ
денных выражении исключим производную д д~ , то получим
следующее дифференциальное уравнение второго порядка отно-
относительно v:
^ ^ ^ D)
Аналогично выводится дифференциальное уравнение
^L ^ ^- + GRt, E)
которому удовлетворяет сила тока i. Таким образом, получим,
что напряжение v и сила тока i удовлетворяют одному и тому же
дифференциальному уравнению
a + 2b + W F)
где
Это уравнение называют телеграфным уравнением.
Если ввести новую функцию и (х, t), положив
и) = е~°о'и, (8)
то уравнение F) примет более простую форму:
где
Ь= V ti-W* A0)
§ 3. Интегрирование телеграфного уравнения
по методу Римана
Применим метод Римана к нахождению решения уравнения (9),
удовлетворяющего начальным условиям
o=F(x). A1)
Прежде всего преобразуем это уравнение к каноническому
виду, введя новые независимые переменные ? и ц по формулам
| ±(x-at). A2)
— 90 —

Тогда уравнение (9) примет вид
Прямая t=
" w ~ д1дц ^ 4 """ v#
= 0 в новых переменных будет биссектрисой (рис.
? = Л- A4)
Далее, из формул A2) вытекает, что
A3)
12):
—JLLzIL
~& 2
откуда следует, что
ди ди 1 ди
~Щ~Щ~~Т' Ж
или5 в силу начальных условий A1),
имеем
/V
Рис. 12
ди
'дц
1 ди
Ь dt
а также
Полагая в формуле Римана B3) (гл. VI) а = 0, Ь = 0,
приняв во внимание A4), получим
A5)
A6).
: = 0 и
1 Г / ди ди\ ,о IP / dv dv
* 2 J I dl d\]J 2 J \ dl дц
QP QP
Найдем теперь функцию Римана у(§, г|; |0, ц0). Она должна
удовлетворять сопряженному уравнению
0 A8)
dgdTi^ 4 v-v
и обращаться на характеристиках МР и MQ в единицу.
Будем искать решение уравнения A8) в виде
Подставив это выражение в уравнение A8) и обозначив через К
корень V(l — 10)(ц — Цо), найдем, что функция v удовлетворяет
обыкновенному дифференциальному уравнению
-т-и (A) -f- u (к) = U, AУ)
частным решением которого является функция Бесселя нулевого
порядка:
X2 Я4 А.6
^(?)l++
— 91 —

Отсюда ясно, что, взяв
получим решение уравнения A8), которое обращается на харак-
характеристиках ? = ?0 и г) = гH в единицу, так как здесь А, = 0.
Таким образом, функция Римана найдена, она имеет следую-
следующий вид:
v(l, г\\ Ео, i\0) = J0 (V(l — 1о)(Л —Ло))- B1)
Отсюда легко получим:
dv dJq д% 1 ?—Цо г* /
и, следовательно,
?о — Л о
B2)
Подставив теперь A5)^ A6) и B2) в формулу A7) и приняв
во внимание, что
ъ
получим
«do. По)=-
&0
•По
4o)) л?
Возвращаясь теперь к старым переменным х и f (значки О
опущены) и вводя новую переменную интегрирования z = ~lt
получим
f{x—a(
и(х, t) = '-
x+at
B3)
х-at
где
Jo (-I |^(г-х)«-
fc At) ~~~
B4)
— 92 —

§ 4. Электрические колебания в бесконечном проводе
Допустим, что мы имеем дело с настолько длинным проводом,
что его можно считать простирающимся в обе стороны до беско-
бесконечности. В этом случае обе функции f(x) и F(x), входящие
в начальные условия A1), должны быть известны во всем интер-
интервале (—оо, оо) и тогда формула B3) даст возможность вычислить
значение функции и(х, t) во всякой точке провода в любой мо-
момент времени. Зная и(х, t), мы можем вычислить и величину
напряжения v(x, t), так как
v(x, t) = e-»*u(x, o(fA = |j). B5)
Исследуем ближе физический смысл формулы B5). С этой
целью положим для упрощения а0 = Ьо = 1 и допустим, что в на-
начальный момент времени электри-
электрические возмущения распространя-
распространяются только на участке @, а) про-
провода. Следовательно, функции f(x)
и F (х) будут равны нулю вне это-
этого интервала.
Возьмем на проводе какую-ни-
какую-нибудь точку с абсциссой х=?>а
б б
w
уд у
и будем наблюдать ее в тече- Рис. 13
ние некоторого времени (рис. 13).
Эта точка в момент времени т будет занимать положение М(?, т).
Проведем через точку М характеристики
которые пересекут ось Ох в точках с абсциссами ?1 = ?-— т и
?2 — ? -f т. Возьмем промежуток времени от t = 0 до момента
t = х, где
т<?-а; B6)
за это время точка (?, 0) переместится в положение Л1(?» т), а
характеристика * — / = ? — х пересечет ось Ох в точке ?lf лежа-
лежащей направо от точки а, т. е, вне участка начальных колебаний,
что очевидно из неравенства B6). Нетрудно видеть, что за истекшее
время электрические колебания еще не достигли наблюдаемой
точки. В самом деле, промежуток интегрирования (?—т, ? + х)
в формуле B3) не содержит интервала @, а), как это прямо
видно из рис. 13. Вспоминая, что функции f(x) и F (х) равны
нулю вне интервала @, а), мы убеждаемся, что не только функ-
функции /(?—т) и /(? + т), но и функция Ф(?, х, г) равна нулю
в промежутке (? —т, ?+т). Отсюда ясно, на ^основании фор-
формулы B3), что и = 0@ <т <?—а). Следовательно, в течение
рассматриваемого промежутка времени @, ?—а) величина у = 0,
что и подтверждает высказанное выше положение.
— 93 —

Возьмем теперь промежуток времени от т = ? — а до т=?-
В этом случае 0<? — т<а и, следовательно, характеристика
х — t = t> — т пересечет ось Ох в точке ?х, лежащей между 0 и а
(рис. 14). Из этого чертежа видим, что промежуток интегрирова-
интегрирования (? — т, ? + т) может быть разбит на два:
(? —т, а) и (а, ? + т).
Во втором из этих интервалов функция Ф (?, т, г) равна нулю,
и, следовательно, формула B3) даст следующее равенство:
?, т, z)dz
B7)
которое показывает, что за взятый нами промежуток времени
к наблюдаемой точке подходят электрические колебания, и напря-
t
о
t
а
Рис. 14 Рис. 15
жение v в этой точке может быть вычислено по формуле
где и определяется равенством B7).
Посмотрим теперь, что будет происходить в наблюдаемой точке
с момента времени т, большего чем ?.
Так как в этом случае
то характеристика х —1 = ?,—х пересечет ось Ох в точке ?1э
лежащей налево от точки 0, т. е. вне участка начальных колебаний.
Но нетрудно показать, что напряжение v в наблюдаемой точке
уже не будет равно нулю, как это имело место для момента вре-
времени т < ?—а. Действительно, из рис. 15 видно, что промежуток
(О, а) целиком заключается в интервале (?—т, ? + т), вследствие
чего формула B3) даст
г,
— 94 —

откуда
а
и = е^1[фЦ т, z)dz. B8)
О
Последняя формула показывает, что электрические колебания,
прошедшие за время т (? —а < т < С) через точку ?, оставили
после себя остаточное возмущение, выражаемое формулой B8).
Действительно, наличие такого остаточного действия в проводе
было подтверждено опытами Физо.
В заключение заметим, что интеграл, входящий в формулу B8),
при возрастании т до -f-°° имеет конечную величину. Отсюда
следует, что если в начальный момент времени электрические
возмущения охватывают лишь конечный участок бесконечного про-
провода и внешних возмущений нет, то напряжение v в бесконечном
проводе с течением времени убывает до нуля.
§ 5. Колебания в линии, свободной от искажения
Это название было дано Хевисайдом таким линиям, у которых
постоянные G, С, L и R связаны соотношением
Для подобного рода линий телеграфное уравнение
д2и 2 д2и
= a !
принимает форму волнового уравнения
д2и 2 д2и ( 1 \ /ОАЧ
—- == а —х [ а = -7= ) , C0)
dt2 дх2 \ V^LC/
так как в этом случае Ь = 0.
Вспоминая общее решение уравнения C0), найдем, на основа-
основании соотношения
v = e L и,
что величина напряжения в рассматриваемой линии определяется
формулой
= e L
C1)
где ф и г|) — произвольные функции.
Для нахождения силы тока возьмем уравнение
di
— 95 —

dv
и внесем в его правую часть выражения для v и -щ-, взятые из
формулы C1); тогда получим
Интегрируя это выражение по х, найдем, что
)], C2)
где х(/) —произвольная функция. Подставив теперь C1) и C2)
в уравнение
dv . r di
найдем, что
х'@ = 0,
откуда
х (/) = /( = const.
Постоянную /С, не нарушая общности, можно считать равной
нулю. В самом деле, допустим, что К?=0\ тогда, заменив в фор-
формулах C1) и C2) функции y(x—at) и ^(x-\-at) функциями
к к
y(x — at) — -Y и г|) (х + at) + -у , убедимся, что постоянной Д в этих
формулах уже не будет.
Итак,
Формулы C1) и C3) показывают, что процесс распространения
электрических возмущений в линии без искажения имеет волно-
волновой характер. Скорость распространения этих волн определяется
C4)
Множитель е L , стоящий в правых частях формул C1) и C3),
показывает, что колебательный процесс, возникающий в проводе
при прохождении по нему электрического тока, с течением вре-
времени затухает.
Что касается функций ф и г|), от которых зависит форма
волн5 то они определяются из начальных условий
где f(x) и ^(л:) — заданные функции.
- 96 —

Действительно, полагая в формулах C1) и C3) ? = 0, найдем,
на основании условий C5), что
откуда
ЛйЩМ /JQ^W C6)
Если провод настолько длинен, что его можно считать про-
простирающимся в обе стороны до бесконечности, то функции f(x)
и F(x) должны быть известны на всем интервале (—оо, оо).
Тогда по формулам C1), C3) и C6) можно определить силу тока
и напряжение во всякой точке цепи в любой момент времени.
§ 6. Граничные условия для провода конечной длины
Если провод имеет конечную длину /, то здесь встретится то
же самое обстоятельство, какое имело место при колебании конеч-
конечной струны, а именно, функции f(x) и F (х), входящие в выра-
выражение начальных условий, известны лишь в интервале @, /),
между тем как применение формул C1) и C3) требует знания
этих функций для любого значения их аргументов. Отсюда вы-
вытекает необходимость найти законы продолжения функций f(x)
и F (х) за пределы интервала @, /). Способы такого продолжения
могут быть найдены из граничных условий, которые должны
выполняться в начале и в конце провода.
Приведем несколько примеров наиболее часто встречающихся
граничных условий.
1) В начале линии включена батарея с постоянной электро-
электродвижущей силой Е\ конец линии заземлен.
Граничные условия:
2) Начало линии находится под синусоидальным напряжением
с частотой со; конец провода изолирован.
Граничные условия:
3) В начале и в конце линии включены приемники с омиче-
омическим сопротивлением Ro и Rt и с самоиндукцией LQ и Lv
Граничные условия:
где Е — электродвижущая сила батареи, i0 и il — сила тока в на-
начале и в конце провода.
4 jsfi 645 — 97 —

4) В начале и в конце провода включены разделительные
конденсаторы емкостью Со и Cv
Граничные условия:
где vt — напряжение на конце провода.
Глава VIII
ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ
§ 1. Формула Пуассона
Рассмотрим волновое уравнение
д/2 ~~ \ дх2 "" ду2 * д;
и будем искать его решение, удовлетворяющее начальным усло-
условиям г
— ( Z) —
= Ф1 {х, у, г). B)
Будем предполагать, что ср0 (х9 у, г) непрерывна вместе со
своими производными до третьего порядка, а ц>1 (х, у, г)—до
второго порядка включительно во всем пространстве.
Покажем сначала, что интеграл
и(х, у, г, 0 = i ^ФF> У l)don C)
взятый по поверхности сферы Sat радиуса r = at с центром в точке
М (х, у, г), является решением волнового уравнения A); здесь
ф(|, г], I) — произвольная функция.
Заметим, что координаты точек сферы Sat могут быть выра-
выражены по формулам:
где а, р, у — направляющие косинусы радиусов сферы Sat.
Мы их можем записать в виде:
a = sin Bcos г|), р = sin 0 sin г|), у = cos О,
где угол 0 меняется от 0 до я и угол гр от 0 до 2я. Когда точка
(I, Л» 0 описывает сферу Sati точка (а, р, у) описывает сферу S2
радиуса, равного единице, с центром в начале координат, а между
соответствующими элементами площади dar и dox обеих сфер
— 98 —

имеется соотношение
dor = r2do, = аНЧо, = Л2 sin 0 dQ d\|>.
Тогда интеграл (З) приводится к виду
и(х, у, г, 0 = i ^q>(x + aat, у + fiat, z + yat)^. D)
Отсюда легко заметить, что функция и(х, у, zf t) имеет непре-
непрерывные производные до k-то порядка, если функция ф(|, г], ?)
непрерывна вместе со своими производными до k-vo порядка.
Из формулы D) находим
^Lm — jl— —— Г Г f д2Ф д\ д\ \ н
дх2 "Г ду2 + дг2 - 4n J J ^ а|2 + drf + д^ ) а01
или, возвращаясь к первоначальной области интегрирования
Дифференцируя теперь выражение D) по t, получим
5!
Si
Чтобы вычислить -^г, перепишем F) в виде
и, применив формулу Остроградского, получим
где Dat —шар радиуса г = а/ с центром в точке М (х, г/, г).
Полагая
оудем иметь
ди и
~дГ~~Т "
Дифференцируя это выражение по /, получим
а2а !L I i-fif.4-—^ / - 1 а/ 1 а/
0/з = /> + / ^ / ^Г4ла() 4nat2~* Anat dt 4nat dt
4* - 99 -

Нетрудно видеть, что
В самом деле, переходя в интеграле / к сферическим координатам
(р, 8, i|)) с центром в точке М (х, у, г), имеем
at 2Я я
Дифференцируя по /, получим
2Я Я
Sat
Сравнивая равенства E), G) и (8), мы видим, что функция
и(х, уt z, /), определяемая формулой C), удовлетворяет волновому
уравнению A), какова бы ни была функция ц(х, у, г), имеющая
непрерывные производные до второго порядка. Из формул D) и F)
непосредственно следует, что функция и удовлетворяет начальным
условиям
i гл ди
t = 0
= <р(х,у,г). (9)
Если и есть решение волнового уравнения A) с начальными
данными (9), то легко видеть, что функция
v (х9 у, z,t) = Wt
будет также решением уравнения A), удовлетворяющим началь-
начальным условиям
V |* = о =Ф(*, У, 2),
dv
dt
д2и
= аа !Ш , ^ ,_ =0 A0)
Взяв теперь в случае начальных условий (9) за cp(jt, y} z)
функцию y1(xi у, z), а в случае начальных условий A0)—функ-
A0)—функцию ф0 (х> у, z) и сложив построенные таким образом решения,
получим решение уравнения A), удовлетворяющее начальным
условиям B).
Таким образом, решение волнового уравнения A), удовлетворяю-
удовлетворяющее начальным условиям B), запишется в виде
щ (s, ц, Е) ^а , —П yi(s» Л» ь)^д /ц\
г r 4jiaJJ r r \ /
Sat Saf t
Эта формула называется формулой Пуассона.
— юо —

Чтобы яснее представить физическую картину распространения
волн в трехмерном пространстве, описываемую формулой Пуас-
Пуассона A1), положим, что начальное возмущение сосредоточено в не-
некоторой ограниченной области Q с границей 5, т. е. что функ-
функции ф0 и ф2 равны нулю вне области Q. Пусть точка М (х, у, z)
находится вне области Q. Обозначим через d и D соответственно
наименьшее и наибольшее расстояния от М до точек поверхно-
поверхности S (рис. 16). При / <— сфера Sai находится вне Q, обе
функции ф0 и фх равны нулю на сфере Sat и из формулы A1) имеем
и(М, 0 = 0, т. е. начальные возмущения
еще не успели дойти до точки М. В момент
t= — сфера Sai коснется поверхности S и
передний фронт волны пройдет через точку
М. Начиная с момента времени / = — до
момента времени t = —, сфера Sat будет
пересекать область Q и формула A1) даст
и(М, г)фО. Наконец, при t>— сфера Рис. 16
Sat не будет иметь общих точек с поверх-
поверхностью S (вся область Q будет лежать внутри сферы Sai) и из
формулы A1) будем иметь и(М, t)=Q, т. е. начальные возмуще-
возмущения уже прошли через точку М. Моменту t = — соответствует
прохождение заднего фронта волны через точку М. Передний
фронт волны в заданный момент времени / представляет собой
поверхность, отделяющую точки, которые еще не начали колебаться,
от точек, которые уже колеблются. Из предыдущего вытекает, что
все точки этой поверхности имеют кратчайшее расстояние от S,
равное at. Передний фронт волны есть огибающая для семейства
сфер, имеющих центры на поверхности S и радиус at. Задний
фронт волны в заданный момент t представляет собой поверх-
поверхность, отделяющую точки, которые еще колеблются, от точек,
в которых колебание прекратилось. Постоянная а является ско-
скоростью распространения фронта волны.
Таким образом, начальное возмущение, локализованное в про-
пространстве, вызывает в каждой точке М пространства действие,
локализованное во времени; при этом имеет место распространение
волны с передним и задним фронтами волн (принцип Гюйгенса).
§ 2. Цилиндрические волны
Рассмотрим частный случай, когда функции ф0 и ц)г зависят
только от х и у, т. е. сохраняют постоянное значение на всякой
прямой, параллельной оси Oz. Если передвигать точку М (xt у, z)
— 101 —

параллельно оси Oz, то, очевидно, правая часть формулы Пуас-
Пуассона A1) не будет менять своего значения, т. е. функция и также
не будет зависеть от z и формула A1) даст решение уравнения
при начальных услоь/тх
i / ч ди
A3)
Мы можем рассматривать решение A1), оставаясь исключи-
исключительно на плоскости хОу. Для этого надо интегралы формулы A1),
которые берутся по сферам, преобразовать в интегралы по кругам
на плоскости хОу. Возьмем точку М (х> у) на плоскости хОу.
Точки с координатами (?, т|, ?), определяемые по формулам:
при г = 0, суть переменные точки сферы Sai с центром М(ху у, 0)
и радиусом at. Части этой сферы, находящиеся над и под плос-
плоскостью хОу, проектируются на плоскость хОу в виде круга Cat
с центром М (х, у) и радиусом at. Известно, что
dCat = cos (nz) doat,
где п—направление нормали к Sat, т. е. радиуса этой сферы,
образующей острый угол с осью Oz, Если N — переменная точка
сферы, N1—ее проекция на плоскость хОуу то
COS
щщ
где E, г]) — координаты переменной точки круга Cat.
В результате преобразования формулы A1) получим
J J
Эта формула дает решение волнового уравнения A2), удовлетво-
удовлетворяющее начальным данным A3).
Положим, что начальное возмущение ограничивается некоторой
конечной областью В на плоскости хОу с контуром /, т. е. фо(х, у)
и ф, (х, у) равны нулю вне В. Пусть точка М (х, у) лежит вне
области В. Для моментов времени /< — , где d — наименьшее рас-
расстояние от М до контура /, круг Cat не имеет общих точек
с областью В, функции фо(х, у) и ^(х, у) равны нулю во всем
круге Cai и формула A4) дает и(ху у, /)=0— до точки М возму-
— 102 —

щение еще не дошло. В момент t = — в точку М придет перед-
передний фронт волны. Для значений /> —, где D — наибольшее рас-
расстояние от М до контура /, круг Cat будет содержать внутри себя
всю область В и мы получим
dt
В
<PiF,
В данном случае после момента времени t = — функция а (я, у, t)
не обращается в нуль, как в случае трехмерного пространства.
Но ввиду присутствия члена Л2 в знаменателе можно утверждать,
что и(х, у, /)—>() при t—¦> оо. Таким образом, начальное возму-
возмущение, локализованное на плоскости, не локализовано во времени.
В этом случае возникает волна, которая имеет передний фронт
волны, но не имеет заднего фронта (принцип Гюйгенса не имеет
места). В трехмерном пространстве уравнению A2) соответствуют
так называемые цилиндрические волны,
§ 3. Непрерывная зависимость решения от начальных данных
Все выведенные формулы, дающие решение задачи Коши для
волнового уравнения, содержат интегралы от начальных функций,
умноженных на определенные функции, и производные по времени
от таких интегралов. Поэтому если изменить начальные функции
Фо и фх так, чтобы при этом они сами и их первые производные
достаточно мало изменились, то при этом мало изменится и функ-
функция и, дающая решение задачи Коши, т. е. решение задачи Коши
непрерывно зависит от начальных данных. При этом предпола-
предполагается, конечно, что рассматриваются только ограниченные значе-
значения t, если область, на которой задаются начальные функции,
бесконечна.
§ 4. Теорема единственности
Докажем единственность решения волнового уравнения при
заданных начальных условиях. Для простоты записи будем счи-
считать а=1, чего можно достигнуть, заменяя в волновом уравне-
уравнении t на —-. Для большей наглядности рассмотрим случай трех
независимых переменных, т. е. волновое уравнение
dt2~~ дх*+ду*
— 103 —

с начальными условиями
I Г / ч dU г-. / ч /<т
и \tss0=f(x, у), -jr. _ =F(x,y). A7)
Докажем единственность решения задачи Коши A6)—A7), пред-
предполагая, что решение и (х, у, t) имеет непрерывные производные
до второго порядка включительно.
Пусть их(х, у, t) и и2(х, у, t) суть два решения уравнения A6),
удовлетворяющие одним и тем же начальным условиям A7). Тогда
разность
и (х, у t)=-ux (х, у, t) — и2 (х, у, t)
будет удовлетворять волновому уравнению A6) и нулевым началь-
начальным условиям
Теорема единственности будет доказана, если мы докажем, что
и = О при любых (ху у) и при любом t > 0.
Рассмотрим трехмерное пространство (ху у, t) и возьмем в нем
произвольную точку N (х0, у0, to)9 причем t0 > 0. Из этой точки,
как вершины, проведем конус
до его пересечения с плоскостью t = 0. Проведем еще плоскость
/ = tlf где 0 < tx < tOf и пусть D —область, ограниченная боковой
поверхностью Г конуса и частями плоскостей ? = 0 и t = tlf нахо-
находящихся внутри конуса (D — усеченный круговой конус). Обозна-
Обозначим через сг0 и ^—соответственно нижнее и верхнее основания
усеченного конуса.
Нетрудно проверить следующее тождество:
1 dt \dt* дх* ду2)~ dt [\дх) +\ду) +\dt) J
о д (ди ди\ с. д (диди\
~~Zdx\Wtdx)~ ду\ШЩ)) '
Проинтегрируем это тождество по области D. Интеграл от левой
части равен нулю, так как и является решением уравнения A6).
Интеграл в правой части преобразуем в интеграл по поверхности
области D, пользуясь формулой Остроградского. Тогда получим
И\\(диу , [диу . (ди
\lW +[д-у) +\Tt
OU OU / ...\ i j_ I v i I i j_ i v i i i j_ n /104
Oi
На нижнем основании а0 усеченного конуса D, в силу начальных
условий A8), функция и и все ее частные производные первого
— 104 —

порядка равны нулю и, следовательно, второй интеграл в A9) равен
нулю. На верхнем основании о1 имеем
cos (nx) = cos (ny) = О, * cos (nt) = 1.
На боковой поверхности Г конуса направляющие косинусы нормали
удовлетворяют соотношению
cos2 (nt) — cos2 (nx) — cos2 (ny) = 0.
Теперь равенство A9) можно переписать в виде
4- [^ cos (nt) — ^ cos (ш/)]* J. ds +
i/2
На боковой поверхности Г cos (nt) = —^- и, следовательно, первый
интеграл неотрицателен, а потому
Отсюда следует, что во всех точках внутри полного конуса с вер-
вершиной N (хо> yOi t0) частные производные первого порядка функ-
функции и равны нулю и, следовательно, сама функция и = const.
На нижнем основании конуса она равна нулю в силу A8), а следо-
следовательно, и = 0 в точке N (х0, у0, t0).
§ 5. Неоднородное волновое уравнение
Рассмотрим неоднородное волновое уравнение
и будем искать его решение, удовлетворяющее нулевым началь-
начальным условиям
А,,
= 0. B1)
I П ди
Для решения этой задачи рассмотрим решение однородного
уравнения
удовлетворяющее начальным условиям
,z,x), B3)
— 105 —

причем за начальный момент времени взято не t = 0, а /=т, где
т — некоторый параметр. Решение задачи B2)—B3) будет выра-
выражаться формулой Пуассона, но только в этой формуле нужно за-
заменить / на t — т, поскольку начальным моментом времени является
не / =0, a t = т.
Итак, будем иметь
v(x, у, 2, t\ т) =
i(t^T)t y + fla(t-T)t
Покажем, что функция и(х, у, z, t), определенная формулой
t
и (х, у, г, t)=^v (*> У> z> T) di9 B5)
является решением неоднородного волнового уравнения A6) при
нулевых начальных условиях B1). Действительно, из формулы B5)
находим
$ с;(*, у, 2, t\ x)dx. B6)
Дифференцируя выражение B5) по t, получим
ди_ Гду(х, у, z, t; т)
dt
v(x,y,z, t;x)
о
B7)
Здесь внеинтегральный член равен нулю в силу первого из усло-
условий B3). Дифференцируя еще раз по /, будем иметь
t
&и_ _ Г д2и (х, у, г, /; т) , dv(x,y, г, t\ т);
дР~) dt* aTi~ dt
о
причем внеинтегральный член равен g(xy yy z, t) в силу второго
из условий B3), т. е.
У>г, t). B8)
Из формул B6), B8) и уравнения B2) легко видеть, что функ-
функция и (х, у, z, /) удовлетворяет неоднородному уравнению F6).
Начальные условия B1) также выполнены, что следует из фор-
формул B5) и B7).
— 106 —

Подставив в формулу B5) вместо функции v (лс, у, z, t\ т) ее
выражение B4), получим:
a(t — т), z + ya(t — т),
Введем вместо т новую переменную интегрирования /• = #(/—т).
Тогда будем иметь
m(*, у, г, 0 =
0 0 0
Введя вместо сферических прямоугольные координаты
l + , ) y + $, ;
и учитывая, что а2 +132 + у2 = 1, получим
г = К(х-|J + (^/-ЛJ+(г-О2,
и выражение для и(х,у, z, t) окончательно запишется в виде
и (х, у, z, 0 = ^ JJ J -А . ^Z dE dT| ^ B9)
где Daf —шар радиуса at с центром в точке (х, у, z).
Выражение B9) называют запаздывающим потенциалом, так
как при выполнении интегрирования функция g берется не в рас-
рассматриваемый момент времени t, а в момент времени t— r—, пред-
предшествующий / на промежуток времени, который требуется, чтобы
процесс, распространяющийся со скоростью а, прошел путь от
точки (|, т|, ?) до точки (х, у у z).
Совершенно так же, как и выше, мы можем получить решение
неоднородного уравнения
?-«¦(?+50+«<**• о
с нулевыми начальными условиями
Это решение получается в виде:
И
о Lp<a(/-t)
— 107 —

где
В случае уравнения
решение, удовлетворяющее нулевым начальным условиям, будет,
очевидно, следующим:
t x + a(t-x)
"<*'') = in 1 g(Z,r)dt]dx. C4)
о x-a(t-x)
§ 6. Точечный источник
Если мы положим, что свободный член в уравнении A0) отли-
отличен от нуля только в небольшой сфере с центром в начале коор-
координат, то при стремлении радиуса этой сферы к нулю и при бес-
беспредельном возрастании интенсивности внешней силы мы в пределе
можем получить решение волнового уравнения при наличии точеч-
точечного источника, который начинает действовать с момента / = 0 и
закон воздействия которого может быть любым в зависимости от
времени. Положим, что
f(x,y,z,t) = O при ]/x2 + y2 + z2^e C5)
и
$$$/(*,#, z, t) dx dy dz = Wco (t), C6)
где DB — шар с центром в начале координат радиуса е.
Обратимся к формуле B9) и будем считать at > Ух2 + у2 + z2 .
В силу C5) достаточно произвести интегрирование по шару D6.
При е —+ 0 величина г будет равна расстоянию от точки (х, у, z)
до начала координат, т. е. г = ]/rx2jry2 +z2, и мы получим, учи-
учитывая C6),
и(х, y,z, /) = i.fi, (/--?) (at>r). C7)
При г > at ясно, что и(х, у, г, /) =0, так как при r> at область
интегрирования в интеграле B9) не содержит внутри себя шара D6
при достаточно малых е. Отметим, что функция C7) при любом
выборе функции со(/) удовлетворяет однородному волновому урав-
уравнению A) и представляет собой сферическую волну, расходящуюся
радиально со скоростью а от начала координат.
В случае уравнения C0) мы должны совершенно так же, как
и выше, считать
f(x,y,t) = O при 1/х2 + у2>е
у,
— 108 —

где С6 — круг с центром в начале радиуса е. Обращаясь к фор-
формуле C2) и переходя к пределу при е —> 0, получим решение для
точечного источника на плоскости:
C8)
= Q при at<p (p =
Отметим, что воздействие точечного источника на точку (х, у, г)
в момент времени t согласно формуле C7) зависит только от
отдельного импульса, возникшего в начале координат в момент
времени t— — и пришедшего в точку (х, у, г) со скоростью а.
В случае же формулы C8) это воздействие определяется действием
точечного источника за промежуток времени от нуля до t—— .
Глава IX
НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
§ 1. Задача Коши. Характеристики
Рассмотрим уравнение гиперболического типа
п
УГ* . . д2и р( ди да
ja(x x)+r[X * U
где atj — заданные вещественные функции в некоторой области D
n-мерного пространства (х19 . ..,хи). Не ограничивая общности,
можно считать а(/- = а^.
Пусть в области D задана достаточно гладкая (п—1)-мерная
поверхность S и в каждой точке этой поверхности некоторая ли-
линия /, не касательная к S и достаточно гладко изменяющаяся
при движении вдоль S, например нормаль к поверхности.
Пусть далее на поверхности S заданы значения функции
u(xi, •.., хп) и ее производной первого порядка по направлению /.
Эти значения на поверхности S называются начальными данными
Коши.
Задача Коши для уравнения A) становится так: найти реше-
решение уравнения A) в некоторой окрестности поверхности S, удовле-
удовлетворяющее на S начальным данным Коши.
— 109 —

Начальные данные Коши позволяют определить на поверх-
поверхности S все частные производные первого порядка функции
и (xlf ..., xj.
Рассмотрим уравнение A) на самой поверхности S и поставим
вопрос: когда дифференциальное уравнение A) однозначно опреде-
определяет на поверхности S все производные второго порядка функции
и(х19 ..., хп) через произвольно заданные на S начальные данные
Коши.
Начнем рассмотрение нашего вопроса с того случая, когда
начальные данные Коши имеют специальную форму
2> • • •, хп), ^
B)
т. е. начальные данные заданы на гиперплоскости хг = х\у а за
направление I выбрана нормаль. Начальные данные B) дают нам
возможность определить на гиперплоскости хх=х\ все производ-
производные первого порядка и все производные второго порядка кроме
—I. Для определения этой последней производной мы должны
воспользоваться самим уравнением A), положив в нем х1 = х°1.
Здесь могут представиться два случая:
I. ап(х°и х2, ..., хп)ф0, II. alt{xl x2, ..., хп) = 0.
В случае I мы однозначно определим производную —\ на ги-
перплоскости хг = xj.
В случае II мы или придем к невозможному равенству или
получим тождество.
Перейдем теперь к общему случаю, когда начальные данные
Коши заданы на некоторой достаточно гладкой поверхности S:
ф(*1, •-., *„) = 0. C)
В окрестности поверхности S введем новые координаты %lf |2,.., ?„,
положив
|1 = ф(л:1, ..., хп)у |/ = ю/(х1, ..., хп), (i = 2,3,..../г) D)
где функции cof достаточно гладкие и выбраны так, чтобы якобиан
преобразования был отличен от нуля на S. Выразим производные
по старым переменным через производные по новым переменным,
выписывая лишь те члены, в которые входят интересующие нас
производные:
ди ди_ дер . а д2и _ д2и дер дер
дх( d%i " dxi ' ' '' дх{ dxj ^2 $х. " dxj ""'
Подставив в уравнение A), получим
-«„g+...-0, E)
— 110 —

где
и невыписанные члены не содержат производной —\. В силу C)
и D), начальные данные для преобразованного уравнения E) за-
задаются на гиперплоскости \х = 0, т. е. они имеют указанный выше
специальный вид. Следовательно, в новых независимых перемен-
переменных можно воспользоваться результатами, полученными выше.
Принимая во внимание F), мы можем, таким образом, утверждать,
что для того, чтобы начальные данные Коши на поверхности
S: ф (хг, ..., хп) = 0 совместно с дифференциальным уравнением A)
приводили к несовместности или неопределенности при нахождении
вторых производных функции и на 5, необходимо и достаточно,
чтобы функция ф (х19 ..., хп) удовлетворяла условию
причем это условие должно быть удовлетворено при ф (х19 ...,хп) = О,
т. е., иначе говоря, в силу уравнения C).
Поверхность ф (х[9 ..., х„) = 0 называется характеристической
поверхностью уравнения A) или просто характеристикой, если
в каждой точке этой поверхности имеет место равенство G).
Подчеркнем, что хотя условие G) имеет внешний вид уравне-
уравнения в частных производных первого порядка относительно ф, оно
по своему определению еще не является таковым. В самом деле
функция ф(*х, ..., хп) не обязана тождественно удовлетворять
уравнению G); по определению, она должна удовлетворять урав-
уравнению G) только при ф = 0, т. е. в каждой точке характеристи-
характеристической поверхности S. Потребуем теперь, чтобы условие G) вы-
выполнялось не только при ф = 0, но и тождественно относительно
х19 .. ., хп. Тогда условие G) будет представлять собой обычное
уравнение в частных производных первого порядка, и всякое его
решение, отличное от постоянной, будет давать не одну характе-
характеристику, а целое семейство характеристик
Ф(^, ..., хя) = С9 (8)
где С —произвольная постоянная. Наоборот, для того чтобы
уравнение (8) определяло семейство характеристик при произволь-
произвольной постоянной С, необходимо и достаточно, чтобы функция
Ч(Х1 ..., хп) удовлетворяла уравнению G). Можно показать, что
всякую характеристику уравнения A) можно включить в семейство
вида (8) и что, таким образом, решения уравнения G) определяют
все характеристические поверхности.
— 111 —

В качестве примера такого включения рассмотрим волновое
уравнение
д*й дЧ &и (q
dt*~~W~W2 ~~ { '
и конус %=t2—х1—у2 = 0. Уравнение G) имеет вид
Это уравнение при <р = % = 0 удовлетворяется, так как
Отсюда следует, что конус % = 0 является характеристической
поверхностью уравнения (9), тогда как поверхности % = С при
С Ф 0 уже не являются характеристическими поверхностями.
Конус % = 0 можно включить в семейство конусов
Действительно, нетрудно видеть, что ф удовлетворяет уравне-
уравнению A0) и, следовательно, все поверхности семейства ф(/, х, г/) = С
являются характеристическими поверхностями уравнения (9).
Уравнение G) называется уравнением характеристик диффе-
дифференциального уравнения A).
Если поверхность Si(p(xlt ..., хп) — 0 такова, что ни в одной
ее точке равенство G) не выполняется, то все вторые производ-
производные от искомой функции и на 5 однозначно определяются на-
начальными данными Коши и дифференциальным уравнением A).
Если же S — характеристическая поверхность уравнения A), то
на этой поверхности уравнение A) представляет собой некоторое
дополнительное ограничение, наложенное на начальные данные
Коши. Действительно, функции и(хг, ..., хп) и ее частные про-
производные первого порядка на S выражаются через такие же ве-
величины на гиперплоскости ^ = 0 и наоборот. Пусть
s0 = <Pi(i«. ..-,?„)¦ (И)
Если 5 есть характеристическая поверхность, то в преобразован-
преобразованном уравнении E) аи = 0 при ^=0 и мы имеем уравнение
а п
2- а<7Цтж-+21-а'/1м7+---=0 при il==0>
11 J — 2 ? ~ 2
где невыписанные члены содержат лишь производные первого по-
порядка.
Или, в силу A1),
— 112 —

Это соотношение не приводится, вообще говоря, к тождеству от-
относительно ф0 и фх. Таким образом ф0 и фх не являются незави-
независимыми функциями. Отсюда следует, что на характеристической
поверхности S нельзя задавать произвольно начальные данные
Коши.
Отметим, что если S:^(x1 ...,*„) = О не характеристическая
поверхность уравнения A), то из изложенного выше следует, что
совершая замену переменных D), мы можем переписать уравне-
уравнение A) в виде
причем поверхность 5 переходит в гиперплоскость ^ = 0. Это
дает возможность преобразовать задачу Коши с начальными дан-
данными на поверхности 5 в задачу Коши с начальными данными
на гиперплоскости ^ = 0.
§ 2. Бихарактеристики
В § 1 мы отметили, что любая характеристическая поверхность
ф = 0 уравнения A) может быть включена в семейство характе-
характеристических поверхностей ф = С. Поэтому без ограничения общно-
общности можно предполагать, что такое включение уже произведено.
Тогда функция ф удовлетворяет уравнению G), которое надо по-
понимать как дифференциальное уравнение в частных производных
первого порядка. Напишем соответствующую этому уравнению
характеристическую систему (см гл. III, § 3). Уравнение G) не
содержит явно неизвестную функцию ф и поэтому в соответствую-
соответствующей характеристической системе мы не будем выписывать того
отношения, которое содержит йф. Таким образом, мы получим
следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений
(&=1, 2,... Уп)
где s — некоторый вспомогательный параметр. Любое решение
системы A1) —A2) должно удовлетворять дополнительному усло-
п
вию Xi а//Р/Р/ = О (см гл- Ш* § 3). Нетрудно видеть, что ра-
венство (8)^1^, ..., хп) = С есть первый интеграл системы A1).
— 113 —

Действительно,
п
п
dtp _ V^ dtp дх( __ о V* дф
dtp _ V^ dtp дх( __ о
d*~f±dxds~~
а последняя сумма равна тождественно нулю, в силу G).
Интегральные кривые системы A1), в которой положено
pj = JL, называются бихарактеристиками дифференциального
уравнения второго порядка A), соответствующими семейству ф = С
характеристических поверхностей.
Если при интегрировании системы A1) за начальные значения
xk взять точку, лежащую на некоторой характеристической по-
поверхности ф = С0, то вся соответствующая бихарактеристика будет
лежать на этой поверхности, т. е. всякая характеристическая
поверхность уравнения A) может быть образована бихарактери-
бихарактеристиками.
Если коэффициенты aif дифференциального уравнения A) по-
постоянны, то все бихарактеристики суть прямые линии. Действи-
Действительно, из уравнений A2) непосредственно видно, что pt суть по-
постоянные, а тогда из уравнений A1) следует, что xk суть многочлены
первой степени от s.
§ 3. Слабый разрыв. Фронт волны
Положим, что существует решение u(xlt ..., хп) уравнения A),
которое имеет на поверхности S:
Ф(хх, ..., *я) = 0 A3)
разрыв первого рода для некоторых производных второго порядка*,
причем само решение и его частные производные первого порядка
остаются непрерывными при переходе через поверхность S. Будем
рассматривать это решение и по разные стороны от поверхности
A3), как два различных решения уравнения A). Эти решения
имеют на этой поверхности одинаковые данные Коши, но различ-
различные значения для производных второго порядка. А тогда на
основании § 1 непосредственно следует, что поверхность A3) должна
быть характеристикой поверхности уравнения A). К тому же
самому результату мы пришли бы, если бы предположили, что
не только само решение и и его частные производные первого
порядка, но и частные производные второго порядка остаются
непрерывными при переходе через поверхность A3), а разрыв
первого рода имеет место лишь для производных порядка выше
второго.
* Мы считаем, что те производные второго порядка, которые могут быть
определены только исходя из начальных данных Коши на S, остаются непре-
непрерывными при переходе через поверхность S.
— 114 —

Вообще говорят, что решение уравнения второго порядка A)
имеет на поверхности A3) слабый разрыв, если при переходе
через эту поверхность решение и и его первые производные
остаются непрерывными, а некоторые производные порядка выше
первого имеют на поверхности A3) разрыв первого рода.
Из предыдущих рассуждений следует, что поверхностью сла-
слабого разрыва может быть только характеристическая поверхность.
В уравнениях математической физики одна из независимых
переменных, а именно время, играет исключительную роль по
сравнению с остальными переменными, которые обычно представ-
представляют пространственные координаты. В дальнейшем будем обозна-
обозначать xn = t, а пространственные координаты через xlt ..., хт,
т. е. будем считать п = т-\-\. Решение и уравнения A) будем
рассматривать как функцию точки в m-мерном пространстве Rm
с координатами х19 ..., хт9 зависящую от времени как от пара-
параметра. Тогда вместо поверхности A3) будем иметь движущуюся
поверхность слабого разрыва в пространстве Rm:
q>(xlt ..., хЯ9 0 = 0
или в разрешенном относительно t виде:
* = ©(*!, ..., хя). A4)
Поверхность со (xL, ..., хт) = t = const в пространстве Rm будем
называть «фронтом волны». С течением времени фронт волны пе-
перемещается в направлении вектора gradco. Определим величину
скорости перемещения фронта волны. Возьмем некоторую точку М
на поверхности A4) и проведем из нее нормаль п к поверхности
в направлении вектора gradco. Фронт волны в момент времени
t-\-At пересечет нормаль п в некоторой точке М1У отстоящей от
точки М на расстоянии An. Предел отношения -~ при t —+ 0
называется скоростью движения фронта волны. Имеем
lim ?5= lim JL= Hm -^- = -1—\r-T A5)
a* - о Ы An - oAL An -> о Д© I grad со I v >
An Д/г
и, следовательно, вектор скорости движения фронта волны опре-
определяется формулой
gradco
W~ I grad cop*
В случае т = 2 фронтом волны будет линия на плоскости
(хх, х2). Рассмотрим в качестве примера волновое уравнение
Уравнение G) запишется при этом в виде
Ф?-яа(<|?+фЪ = 0. A7)
— 115 —

Подставив левую часть уравнения ф = t — to (xlt x2) в уравнение A7),
получим
а2 (со? + со*г) = 1 или |gradco|2 = ~.
Следовательно, скорость движения фронта волны будет равна а,
т е. всякая характеристическая кривая на плоскости (х19 х2)
должна двигаться со скоростью а.
Рассмотрим далее важный частный случай уравнения A):
т т
2fl + 2a
где коэффициенты а/у. = a/7 зависят только от переменных х19 ..., хот,
причем квадратичная форма 2 а//?Д/ положительно определен-
определенная.
Уравнение характеристик G) в данном случае будет иметь
вид:
т
Р\2 \^ ^Ф ^Ф П /1П\
-J - ^^/аг/й/ • A9)
Пусть ф = ?— ю(хг, ..., хт) — характеристическая поверхность
уравнения A8). Подставив левую часть уравнения t — co = O
в уравнение A9), получим следующее уравнение для функции со
ai/PiP/=ly p, = ^. B0)
г, /=1 г
Это уравнение должно быть выполнено, строго говоря, в силу
t=(u. Но оно вовсе не содержит / и, следовательно, оно должно
быть выполнено тождественно. Соответствующая уравнению B0)
характеристическая система имеет вид:
1%_ *± dpk__ B1)
т т т *
2j ak/P/ Z 2j aHpi P/ — У —^Pi Pj
t-\ ,J-\ f,j=l Xk
Если мы возьмем некоторую конкретную характеристическую по-
поверхность t—to{x19 ..., ^ = 0, то из B0) и B1) следует, что
образующие ее бихарактеристики должны удовлетворять следую-
следующей системе
т
(k=l, 2, ..., т). B2)
— 116 —

Здесь роль вспомогательного параметра s, введенного в § 2,
играет время t. Решения системы B2), рассматриваемые в про-
пространстве Rm суть линии X, определяемые параметрически при
помощи параметра t. При этом, конечно, в пространстве Rm ли-
линии А, не будет уже находиться на движущейся поверхности
t—®(X19 ..., Хт) = 0.
Линии I в пространстве Rm называются лучами.
Учитывая уравнение B0) из системы B2), имеем
Это равенство означает, что лучи пересекают фронт волны
т
о (х19. .. ,хт) = t. Вектор v с компонентами ~*= ? akJpf {k= 1,2,...,m)
i=i
в пространстве /?от называется вектором лучевой скорости. Если
t = (u(x19 ..., хт) есть поверхность слабого разрыва, то вектор
лучевой скорости представляет собой скорость распространения
слабых разрывов в направлении лучей.
Скорость по направлению нормали (скорость фронта волны) и
скорость по направлению луча (лучевая скорость) связаны соот-
соотношениями
VV|3 {k=l, 2, ..., т). B3)
Для волнового уравнения
скорость «фронта волны» и лучевая скорость совпадают по на-
направлению и величине.
В связи с данным выше определением фронта волны подчер-
подчеркиваем еще раз, что фронт волны является не решением уравне-
уравнения A), а лишь поверхностью возможных разрывов решения
и(х» .... ха9 t).
§ 4. Распространение разрывов по лучам
Пусть t — (u(x19 ..., хт) = 0 есть поверхность слабого разрыва
решения и уравнения A). Чтобы охарактеризовать поведение
разрывов решения при их распространении вдоль лучей, обра-
обратимся снова к уравнению A8). Введем новые независимые пере-
переменные
fc = f—©(xlf ..., хя), li = xf (i = l, 2, ..., т).
— 117 —

Тогда уравнение A8) запишется в виде:
ч т
) + 22 ар+А М+ • • • = Д B4)
где
m m
А=Ъ а1/Щ^Г+ 2-^. B5)
I, J — I I — 1
а невыписанные члены не содержат производных по §. На харак-
характеристической поверхности % — t — <о(х19 ..., хт) уравнение B4),
в силу B0), принимает следующий вид
т
2 2- «//P/goi; + Aal+---!==^ B6)
Отметим, что коэффициент f 1 — ^ %-PiP/) ПРИ gg^ B уравне-
нии B4) обращается в нуль не только на характеристической
поверхности % = t—-© = 0, но и на поверхностях g = f —а> = С,
поскольку последние поверхности являются характеристическими.
Поэтому на этих характеристических поверхностях \ = t — co = C
мы имеем равенство B6).
Принимая во внимание уравнение B2), первое слагаемое
в уравнении B6) можно записать в виде:
т mm
д2и
т
_ о V1 ^2« d*/ _ о д ди __у д ди ds
— z Zd ЩЩ~di"Zdldl~Z'dsM'di)
где -д—производная в направлении луча. Учитывая это, урав-
уравнение B6) можно записать в виде:
Продифференцируем теперь уравнение B7) по 1 и рассмотрим
полученное таким образом уравнение в двух точках Рг и Р2,
лежащих на одном луче, но по разные стороны характеристической
поверхности § = ? — со = 0. Вычтем одно из этих уравнений из
другого и устремим точки Рг и Р2 к точке Р, лежащей на том
— 118 —

же луче на поверхности 1 = 0. В результате* получим так на-
называемое уравнение распространения разрывов
2| + ^ + 0, B8)
[д2иЛ о „ д2и
Где |х= лг2 —скачок второй производной ^р при переходе
через поверхность слабого разрыва t=<o(x19 ..., хт), а вели-
величина Л, определенная равенством B5), известна на поверхности
слабого разрыва и, следовательно, на бихарактеристиках, а зна-
значит, и на лучах. Уравнение B8) имеет вид обыкновенного диф-
дифференциального уравнения и показывает, что величина скачка не
может обратиться в нуль ни в одной точке луча, если он где-
нибудь на нем отличен от нуля.
Глава X
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ФУРЬЕ К ИЗУЧЕНИЮ СВОБОДНЫХ
КОЛЕБАНИЙ СТРУН И СТЕРЖНЕЙ
§ 1. Метод Фурье для уравнения свободных колебаний струны
Метод Фурье или метод разделения переменных является
одним из наиболее распространенных методов решения уравнений
с частными производными. Мы изложим этот метод на ряде при-
примеров, начав с простейшей задачи о колебаниях однородной струны,
закрепленной на концах. Эта задача, как было показано выше,
сводится к решению уравнения
— -а2— т
дР~а дх2 V*
при граничных условиях
и\х=о -0, и\х=1 = 0 B)
и начальных условиях
u\t=o=f(x), %t=0=F(x) @ <*</). C)
Как и в § 3, предполагаем, что вторая производная ^р- имеет разрыв
первого рода при переходе через поверхность \ = t — со = О, в то время как
Функция и, ее первые производные, а также вторые производные u**(i= l,2,...,/n)
остаются непрерывными при переходе через эту поверхность.
— 119 —

Будем сначала искать частные решения уравнения A), не рав-
равные тождественно нулю, в виде произведения
и(х, t) = X(x)T(t), D)
удовлетворяющие граничным условиям B).
Подставив D) в уравнение A), получим
Т*(t) X(x) = a*T (t) X*(х)
или
T'(t) _X"(x)
a*T(t) X(x)'
E)
Последнее равенство, левая часть которого зависит только от t,
а правая—только от х, возможно лишь в том случае, если обе
части его не зависят ни от х, ни от /, т. е. представляют собой
одну и ту же постоянную. Обозначим эту постоянную через — К.
Тогда из равенства E) получим два обыкновенных дифференциаль-
дифференциальных уравнения
T*(t) + a2KT(t) = 0, F)
Х"(х) + ХХ(х) = 0. G)
Чтобы получить нетривиальные, т. е. не равные тождественно
нулю, решения вида D), удовлетворяющие граничным услови-
условиям B), необходимо найти нетривиальные решения уравнения G),
удовлетворяющие граничным условиям
Х@) = 0, Х(/) = 0. (8)
Таким образом, приходим к следующей задаче: найти такие
значения параметра X, при которых существуют нетривиальные
решения уравнения G), удовлетворяющие граничным условиям (8).
Те значения параметра X, при которых задача G) — (8) имеет
нетривиальные решения, называются собственными числами (или
значениями), а сами эти решения—собственными функциями.
Найдем собственные значения и собственные функции задачи
G) —(8). Здесь нужно рассмотреть отдельно три случая, когда
Х<0, Х = 0 и Х> 0.
1. При А,<0 общее решение уравнения G) имеет вид
X (х) = С1еу'=
Удовлетворяя граничным условиям (8), получим
С. + С^ 0, С1еу~и + С2е -v~l - 0. (9)
Так как определитель системы (9) отличен от нуля, то С1-=0 и
С2 = 0. Следовательно, Х(х)=0.
2. При Х = 0 общее решение уравнения G) имеет вид
120

Граничные условия (8) дают
Отсюда Сх = 0, С2 = 0 и, следовательно, X(x)==0.
3. При к > О общее решение уравнения G) имеет вид
X (х) = Сг cos j/"Xi + С2 sin
Удовлетворяя граничным условиям (8), получим
Из первого уравнения следует Сг =0, а из второго—С2 sin
Мы должны считать С2ф0, ибо в противном случае Х(х)=0.
Поэтому sin}/"X/ = 0, т. е. V% = ~y где k—любое целое число.
Следовательно, нетривиальные решения задачи G)—(8) воз-
возможны лишь при значениях
Этим собственным числам соответствуют собственные функции
Xk (х) = sin -у- ,
определяемые с точностью до постоянного множителя, который
мы положили равным единице.
Заметим, что положительные и отрицательные значения &, рав-
равные по абсолютной величине, дают собственные функции, отли-
отличающиеся лишь постоянным множителем. Поэтому достаточно
для k брать только целые положительные значения.
При К = Кк общее решение уравнения F) имеет вид
Tk (t) = ak cos — + bk sin-y-,
где ak и bk — произвольные постоянные.
Таким образом, функции
knx
uk (xt t) - Xk (x) Tk (t) - [ak cos — + bk sin — J sin —
удовлетворяют уравнению A) и граничным условиям B) при
любых ак и bk.
В силу линейности и однородности уравнения A) всякая конеч-
конечная сумма решений будет также решением. То же справедливо
и для ряда
00
cos + ^in)n
•r- 121 —

если он сходится и его можно дважды почленно дифференциро-
дифференцировать по х и /. Поскольку каждое слагаемое в ряде A0) удовле-
удовлетворяет граничным условиям B), то этим условиям будет удовле-
удовлетворять и сумма ряда, т. е. функция и(х, t). Остается определить
постоянные ak и bk так, чтобы удовлетворялись и начальные
условия C).
Продифференцируем ряд A0) по t:
со
ди v-ч kna ( . knat , , knat \ . knx /11Ч
2(aSin + 6COSjsin (ll)
Полагая в (Ю) и (II) / = 0, в силу начальных условий C), получим:
Формулы A2) представляют собой разложение заданных функ-
функций f(x) и F (х) в ряд Фурье по синусам в интервале @, /).
Коэффициенты разложений A2) вычисляются по известным
формулам [1]:
knx _,._ ,. 2 Г „,„к . knx * /1Q
in—j-ax. \\6)
Таким образом, решение задачи A) —C) дается рядом A0),
где ak и bk определяются формулами A3).
Теорема. Если f (х) на отрезке [0, /] дважды непрерывно
дифференцируема, имеет кусочно-непрерывную третью производ-
производную и удовлетворяет условиям
/@) = /(/) = 0, Г @) = Г @ = 0, A4)
a F (х) непрерывно дифференцируема, имеет кусочно-непрерывную
вторую производную и удовлетворяет условиям
F(l) = 0, A5)
то функция и(х, t), определяемая рядом A0), имеет непрерывные
производные 2-го порядка и удовлетворяет уравнению A), гранич-
граничным условиям B) и начальным условиям C). При этом возможно
почленное дифференцирование ряда A0) по х и t два раза, и полу-
полученные ряды сходятся абсолютно и равномерно при O^x^l и
любом t.
Доказательство. Интегрируя по частям A3) и принимая
во внимание A4) и A5), получим:
— 122 —

где
2
Т
о
knx , Г9) 2 f fix) . /еял; ,
cos ~Т d*' а* = Т J ~Г^ sin ~Т***'
о
Из теории тригонометрических рядов [34] известно, что ряды
"I „B) I " I tC) I
?l\J, ?JitJ as)
сходятся. Подставив A6) в ряд A0), получим
^xsin^. A9)
Этот ряд мажорируется рядом
который сходится. Следовательно, ряд A0) сходится абсолютно и
равномерно. Принимая во внимание A8), легко убеждаемся, что
ряд A0) можно дважды почленно дифференцировать по х и /.
Этим теорема доказана.
Если начальные функции f (х) и F (х) не удовлетворяют усло-
условиям, сформулированным в теореме, то может не существовать
дважды непрерывно дифференцируемого решения смешанной задачи
A) —C). Однако, если f (х) —непрерывно дифференцируемая функ-
функция, удовлетворяющая условиям / @) = / (/) =0, a F (х) — непре-
непрерывная функция, причем F@) = F(/) = 0, то ряд A0) равномерно
сходится при O^jt^/ и любом t и определяет непрерывную
функцию u(xt t).
Будем называть обобщенным решением уравнения A) при уело-
виях B) и C) функцию и(х, t), являющуюся пределом равно-
равномерно сходящейся последовательности ип (х9 t) решений уравне-
уравнения A), удовлетворяющих граничным условиям B) и начальным
условиям, где fn(x), Fn(x) — последовательности функций, удов-
удовлетворяющих условиям сформулированной выше теоремы и та-
таких, что
lim ( [f(*)-fn(x)Ydx= lim J [F(x)-Fn{x)Ydx = 0.
П - oo J n _ cc J
При предположениях, наложенных на функции f(x) и F(x)
существование обобщенного решения вытекает из того, что част-
частные суммы ряда A0) образуют последовательность ип(х t), кото-
которая удовлетворяет требуемым условиям и, следовательно, ряд A0)
- 123 -

является обобщенным решением. Нетрудно показать, что обобщенное
решение смешанной задачи A) — C) единственно.
Возвратимся теперь к найденному решению A0) задачи A) —C).
Если ввести обозначения
ak = ЛЛ sincpfe, bk = Akcos(pk,
то это решение можно записать в виде
fknat
и(х, 0 = 2- ^ sin —sin [__ + фл). B0)
Каждый член этого ряда представляет собой так называемую
стоячую волну, при которой точки струны совершают гармони-
гармоническое колебательное движение с амплитудой Ak sin -^, завися-
зависящей от положения этой точки, с частотой о)Л = —— и с одной и
той же фазой cpfe.
Звуки можно классифицировать на музыкальные и не музы-
музыкальные—первые называются нотами, вторые шумами. Музы-
Музыкальные звуки естественным образом располагаются в определен-
определенном порядке соответственно высоте — качеству, которое до известной
степени может оценивать каждый. Те ноты, которые ухо не может
различать по высоте, далее называются тонами.
При колебании струна издает звук, высота которого зависит
от частоты колебаний; частота основного (самого низкого) тона
выражается формулой aI = IL т/ 1л. Тона, соответствующие бо-
более высоким частотам, чем основная, называются обертонами.
Обертоны, частоты которых являются кратными основной частоте,
называются гармониками. Первой гармоникой будем считать основ-
основной тон, второй гармоникой—тон с частотой оJ = 2со1 и т. д.
Решение B0) складывается из отдельных гармоник, ампли-
амплитуды их, а потому и влияние их на звук, издаваемый струной,
обыкновенно быстро убывают при увеличении номера гармоники
и все их действие сводится к созданию тембра звука, различного
для разных музыкальных инструментов и объясняемого именно
наличием этих гармоник.
Существует очень мало колебательных систем с гармоничес-
гармоническими обертонами, но эти немногие системы являются основными
для построения почти всех музыкальных инструментов. Это является
следствием того, что звук с гармоническими обертонами кажется
особенно приятным в музыкальном отношении.
В точках
х-0 L 21 tzli I
k > k ' # * *' k '
— 124 —

амплитуда колебаний й-й гармоники обращается в нуль, ибо в
этих точках sin-y- = 0. Эти точки называются узлами k-и гармо-
гармоники. Напротив, в точках
~2k>
x~2k'
—1)/
2k
называемых пучностями, амплитуда k-и гармоники достигает наи-
kxtx
большей величины, ибо sin -у в этих точках имеет максимальное
абсолютное значение.
Если мы прижмем колеблющуюся струну точно в середине,
т. е. в пучности ее основного тона, то обратятся в нуль ампли-
амплитуды не только этого тона, но и всех других, имеющих пучности
в этой точке, т. е. нечетных гармоник. Напротив, на четные гар-
гармоники, которые имеют узел в прижатой точке, это влиять не
будет. Таким образом, остаются только четные гармоники, самой
низкой частотой будет аJ = -5 1/ _2, и струна будет издавать не
свой основной звук, а его октаву, т. е. звук с числом колебаний
в секунду вдвое большим,
§ 2. Колебания защепленной струны
Пусть струна закреплена на концах. Оттянем ее вверх заще-
защепив в точке х = с, и затем отпустим, предоставив ей совершать
свободные колебания. В этом
случае начальные условия бу-
будут (рис. 17)
X
ди
dt
= 0.
Применив формулы A3), получим
_ 2/гГ . kne
аъ~ пЧЦ—с /?2 Sln I
B1)
Следовательно, отклонение защепленной струны выразится рядом
«<* ^l^crt^^f^^^s^L. B2)
г- 125 —

Из формулы B1) видно, что аЛ = 0, если sin-^ = 0 т. е. в ре-
решении B2) будут отсутствовать те гармоники, которые имеют
узел в точке х = с. Так, например, если точка х = с есть середина
струны, то в решении B2) будут отсутствовать все четные гармоники.
§ 3. Колебания струны под действием удара
Рассмотрим теперь случай, когда начальные отклонения струны,
закрепленной на концах, равны нулю. Пусть в начальный момент
времени струна получает удар от молоточка в точке х = с, причем
головка молоточка сконструирована так, что начальная скорость,
данная струне, будет выражаться формулой
я (х—с) , i . h
dt ыо i 0
cos ,. если I х—с | < у,
<-c\>±.
Применив формулы A3) найдем, что
-у- cos -гт-. B3)
'-("У
Подставив эти значения в ряд A0), получим следующее выраже-
выражение для искомого смещения струны, возбужденной ударом:
. knc knh
.. °° , sin —г- cos -кг и и 4.
y -sin — cos—. B4)
§ 4. Продольные колебания стержня
Рассмотрим задачу о продольных колебаниях однородного
упругого стержня длины /, когда один его ^онец х = 0 закреп-
закреплен, а другой х = / свободен. В гл. V было показано, что эта
задача сводится к решению волнового уравнения
df2 " дХ2' р
при граничных условиях
«U-o=O, ^ =0 B6)
OX x=l v ;
и начальных условиях
— 126 —

Согласно методу Фурье, ищем частные решения уравнения B5)
в виде
и(х1 t) = X(x)T(t). B8)
Подставив B8) в уравнение B5), получим
T»(t) _х
a*T(t) ~
откуда получаем два уравнения
)_ л2
(х) = 0у B9)
T"{t)+a2X2T(t) = 0. C0)
Чтобы функция B8), отличная от тождественного нуля, удо-
удовлетворяла граничным условиям B6),* очевидно, нужно потребо-
потребовать выполнения условий
Х@) = 0, Х'@ = 0- C1)
Таким образом, мы пришли к задаче о собственных числах
для уравнения B9) при граничных условиях C1). Интегрируя
уравнение B9), получим
X (х) = Сх cos Хх + С2 sin Хх.
Из граничных условий C1) имеем
Сх = 0, C2XcosXl = 0.
Считая С2Ф0 (в противном случае имели бы X(jt)=O), находим
cosJJ = 0, откуда %l=^Bk-\- \)-^-{k — целое число).
Таким образом, нетривиальные решения задачи B9), C1) воз-
возможны лишь при значениях Xk
Собственным числам Х\ соответствуют собственные функции
Xfe(^)-sinBfe+/1)^ (fe = 0, 1, 2, ...),
определенные с точностью до постоянного множителя, который мы
положили равным единице (отрицательные целые значения k новых
собственных функций не дадут).
При X = Xk общее решение уравнения C0) имеет вид
Т (t\-a т
2/ r0*sin 2/
— 127 —

где ак и bk — произвольные постоянные. В силу B8), найдем, что
функции
ик(х, t) = Tk(t)Xk(x) =
sin
2/
удовлетворяют уравнению B5) и граничным условиям B6) при
любых ak и bk.
Составим ряд
Для выполнения начальных условий B7) необходимо, чтобы
C3)
V i. BЛ+1)лл . B/г+1)jxa:
= L V 2/ Sin 2/
Предполагая что ряды C3) и C4) сходятся равномерно, можно
определить коэффициенты ak и bk, умножив обе части равенств
C3) и C4) на sin ^ п 21'ш и проинтегрировав по к в пределах
от х = 0 до х = 1 Тогда, приняв во внимание, что
получим.
sinv y dx,
° , C5)
4 Гг./„ч„1„Bп+1IИ.
dx.
Подставив найденные значения коэффициентов в ряд C2), мы,
очевидно, получим решение нашей задачи, если ряд C2) и ряды,
полученные из него двукратным почленным дифференцированием
по а; и /, равномерно сходятся.
Рассматривая решение C2), видим, что колебательное движение
стержня является результатом сложения простых гармонических
колебаний
„ . Bk+i)nx . [Bk+\)nat .
Aksmy \/ sin у—Чц- + <
- 128 —

где
совершающихся с амплитудами Aks\n-—"^ 'пх и с частотами
_Bк + \)ка_Bк+1)п ГТ
®k~- 2/ ~ Ш V у*
Основной тон, получающийся при й = 0, имеет период коле-
колебания
Так как амплитуда основного тона равна
то, очевидно, что в закрепленном конце стержня л; = 0 имеем узел,
а в свободном конце х = / — пучность.
С помощью метода Фурье легко можно исследовать задачу
о продольных колебаниях стержня, которая была рассмотрена
в § 2 гл< V. Напомним, что поставленная там задача привелась
к решению уравнения B5) при граничных условиях B6) и началь-
начальных условиях
где г — постоянная.
Применяя формулы C5) найдем, что
откуда вытекает, что относительное перемещение сечения стержня
с абсциссой х выражается рядом
uix t)-3lrV {-1)k ^A^+\)nat Bk+\)nx
{2k+ 1J cos 21 Sm 2/
§ 5. Общая схема метода Фурье
В настоящем параграфе мы дадим изложение метода Фурье для
решения смешанной граничной задачи без строгого обоснования
полученных результатов.
Рассмотрим гиперболическое уравнение
д ( . ч ди\ , ч . ч д2и
[рМ)д(х)ирМ
Я» 645 — 129 —

где р (х), р'(х), q(x) и р (х) — непрерывные функции при 0<я</,
причем р (х) > 0, q {х) > О, р (х) > О.
Пусть требуется найти решение уравнения C6), удовлетворяю-
удовлетворяющее однородным граничным условиям
«(О. ) р^
А C7)
l, t) п. v '
где а, Р, 7 и S —постоянные, причем а2 + р2^=0, у2-\-82=^=0, и
начальным условиям
Будем сначала искать нетривиальные решения уравнения C6)
в виде произведения
и(х9 t) = X(x)T(t), C9)
удовлетворяющие только граничным условиям C7).
Подставляя C9) в уравнение C6), получим
Т @ ?[р(х) X' (х)]-q{x)X(x)T(t) = p (х) X (х)Т"(t)
или
4-lp(x)X'(x)]-q(x)X(x)
aJL — l V>
p(x)X(x) - T(t) •
Левая часть последнего равенства зависит только от х, а правая
часть—только от t и равенство возможно лишь тогда, когда общая
величина отношений D0) будет постоянной. Обозначим эту постоян-
постоянную через — К. Тогда из равенства D0) получим два обыкновенных
дифференциальных уравнения:
Т'@ + ЛТ@ = 0, D1)
^ [р (х) X1 (х)] + [Ьр (х) - д (х)] X (х) = 0. D2)
Чтобы получить нетривиальные решения уравнения C6) вида
C9), удовлетворяющие граничным условиям C7), необходимо,
чтобы функция Х(х) удовлетворяла граничным условиям
Таким образом, приходим к следующей задаче Штурма —Лиу-
вилля о собственных числах: найти такие значения пара-
параметра Я, при которых существуют нетривиальные решения урав-
уравнения D2), удовлетворяющие граничным условиям D3).
Эта задача не при всяком Я имеет отличное от тождественного
нуля (нетривиальное) решение. Те значения параметра Я, при
— 130 —

которых задача D2)— D3) имеет нетривиальное решение, называ-
называются собственными числами, а сами эти решения—-собствен-
решения—-собственными функциями, соответствующими данному собственному чис-
числу. В силу однородности уравнения D2) и граничных условий
D3), собственные функции определяются с точностью до постоян-
постоянного множителя. Выберем этот множитель так, чтобы
1. D4)
Собственные функции, удовлетворяющие условию D4), будем на-
называть нормированными.
Установим некоторые общие свойства собственных функций и
собственных чисел задачи Штурма — Л иу вилл я.
1) Всякому собственному числу соответствует только одна
линейно независимая собственная функция.
Действительно, предположим, что при некотором значении \
существует два линейно независимых решения уравнения D2),
удовлетворяющих граничным условиям D3). Тогда оказалось бы,
что и общее решение уравнения D2) удовлетворяет этим условиям.
Но этого быть не может, так как всегда можно найти решение
уравнения D2) при таких начальных данных X @) и X' @),
например Х@) = а, Х@) = C, которые не удовлетворяют первому
из граничных условий D3).
2) Собственные функции, соответствующие различным собствен-
собственным числам, ортогональны с весом р (х), т. е.
ijjp(x)X1(x)X2(x)dx = 0. D5)
о
Пусть %х и \—два различных собственных числа, а Х1(х)
и Х2(х)~соответствующие им собственные функции, так что
fx [р (х) Х\ (х)} + [КР (х) - q (х)} Ху (х) = 0,
Умножим первое равенство на Хг{х), второе—на Х1(х) и вычтем
одно из другого почленно, получим равенство
которое можно переписать в виде
(К~К)Р(х)X,(х) X,(х) +?-х{р(х)[X,(х) Х[{х)-X,{х) X;(х)]} = 0.
- 131

Интегрируя это равенство по л: в пределах от 0 до /, получим-
i
= р (х) [Х2 (х) Х[ (х)-Хг (х) Х\ (х)) \izl0.
Приняв во внимание граничные условия D3), легко убежда-
убеждаемся, что правая часть равна нулю, т. е.
-bjJ Р(*) Хх(х)
о
откуда в силу
что и требовалось доказать.
3) Все собственные числа вещественны:
В самом деле, допустим, что существует комплексное собствен-
собственное число А,, которому соответствует собственная функция X (х).
Тогда комплексно сопряженное с ним число также будет собствен-
собственным, а функция X (х), комплексно сопряженная с X (х), собственной
функцией, так как коэффициенты уравнения D2) и граничных
условий D3) вещественны. Из условия ортогональности
J р (х) X (х)ХЩ<1х= $ р (х) | X (х)|2dx =0
о о
следует, что Х(л:) = 0, т. е. комплексное число X не является соб-
собственным.
4) Существует бесконечное множество вещественных собствен-
собственных чисел (см. гл. XXIX), § 4)
h<K<h<-.- <К< ...» Нт\,= +оо.
Пусть теперь Xk — собственные числа, a Xk(x) — собственные
функции, образующие ортогональную и нормированную систему.
Имеем
[P W X'k(*)]-Ч (х) Xk (х) = -%k9 (x) Xk (x).
Умножая обе части на Xk (x), интегрируя и принимая во внима-
внимание D4), получим
— 132 —

откуда, интегрируя первое слагаемое по частям, придем к следую-
следующей формуле:
К = S [р (х) Xt (х) + q (х) Х\ (х)] dx - [р (х) Xk (x) X'k (*)] ISA- D6)
о
Допустим, что р (х) > О, q (х) > О, р (х) > 0 и, кроме того,
[p(x)Xk(x)X'k(x)]\*xZi<0. D6а)
Тогда из формулы D6) непосредственно следует, что все собствен-
собственные числа задачи D2), D3) неотрицательны.
Условие D6а) выполняется как раз при наиболее часто встре-
встречающихся в приложениях граничных условиях:
Л@) = 0, Х(/) = 0, D3а)
Х'@) — Л!Х@) = 0, Х'(/) + Л2Х (/) = (), Л^О, Л2>0. D36)
В заключение отметим, что собственные функции Хп(х) гра-
граничной задачи D2), D3а) или D2), D36) (если hl = h2 = Q, то
q (x) ^ q0 > 0) образуют полную систему *).
Обратимся теперь к уравнению D1). Его общее решение при
Я = ХЙ, которое обозначим Tk(t), имеет вид
Tk (t) = Ak cos V V + Bksin ^ V»
где ЛЛ и Bfe —произвольные постоянные.
Каждая функция
uk (х t) = Xk (x) Tk (t) = (Ak cos VYkt + Bk sin VTkt) Xk (x)
будет решением уравнения C6), удовлетворяющим граничным
условиям C7).
Чтобы удовлетворить начальным условиям C8), составим ряд
00
и (х, 0=2 U*cos VTht + Bk sin VTkt) Xk {x). D7)
Если этот ряд сходится равномерно, так же как и ряды, полу-
получающиеся из него двукратным почленным дифференцированием
по х и /, то сумма его, очевидно, будет решением уравнения C6),
удовлетворяющим граничным условиям C7). Для выполнения
*) Система функций
Фа (*
называется полной, если не существует отличной от тождественного нуля квад-
квадратично суммируемой функции, ортогональной ко всем функциям системы.
— 133 —

начальных условий C8) необходимо, чтобы
«Im = /W = |/AD D8)
dt t =
D9)
Таким образом, мы пришли к задаче о разложении произволь-
произвольной функции в ряд по собственным функциям Xk(x) граничной
задачи D2), D3).
Предполагая, что D8) и D9) сходятся равномерно, можем
определить коэффициенты Ak и Bk, умножив обе части равенств
D8) и D9) на р (х) Xk (х) и проинтегрировав по х в пределах от О
до /. Тогда, принимая во внимание D4) и D5), получим
Ак = J Р (х) f (х) Хк (х) dx, Вк = -±r J р (х) F (х) Хк (х) dx.
о к о
Подставив эти значения коэффициентов Ак и Bk в ряд D7),
мы, очевидно, получим решение смешанной задачи C6) —C8), если
ряд D7) и ряды, полученные из него двухкратным почленным
дифференцированием по х и t, равномерно сходятся.
Замечание. Метод Фурье применим и в случае многих про-
пространственных переменных для гиперболических уравнений специ-
специального вида (см. гл. XVI), а также для уравнений эллиптиче-
эллиптического и параболического типов (см. части II и III).
ЗАДАЧИ
1. Однородная струна, закрепленная на концах х = 0 и х—1, имеет в на-
начальный момент времени форму параболы, симметричной относительно перпен-
перпендикуляра, проведенного через точку ^ = — . Определить смещение точек стру-
струны от прямолинейного положения равновесия, предполагая, что начальные
скорости отсутствуют.
Ответ:
B/г + 1) nat . B/г+
V
где h—начальное значение смещения в точке х — -^-.
2. Однородная струна с закрепленными концами возбуждается ударом
жесткого плоского молоточка, сообщающего ей следующее начальное распреде-
распределение скоростей:
г- А
= ) v0 с—Ь^х
'=о ^0 с + 6<х
— 134 —

Найти колебание струны, если начальное отклонение равно нулю.
Ответ:
со
4оо/ V1 1 . knc . knb . knat . knx
u(x, t) = —?- 2u TT sin"T~ sln*~T~ sin ~~1— sln " •
3. Однородная струна с закрепленными концами возбуждается ударом
острого молоточка, передающего ей импульс / в точке х = с. Исследовать сво-
свободные колебания струны, если начальное отклонение равно нулю.
Ответ:
, ^ 21 \-i \ . knc . knat . knx
и{х, t) = > -г sin—г-sin —•—sin —г-.
v ' пар Аи kill
Указание. Сначала считаем импульс / равномерно распределенным по
отрезку с—6<;*^с + 6 струны. Тогда приходим к выражению для и(х, t)f
приведенному в ответе к предыдущей задаче, причем vo = k&-- Переходя к пре-
пределу при б—*0, получим решение задачи.
4. Однородный стержень длиной 2/ сжат силами, приложенными к его
концам так, что он укоротился до длины 2/A—е). При / = 0 нагрузка сни-
снимается. Показать, что смещение и (х> t) сечения с абсциссой х стержня опре-
определяется формулой
Bk+l)nat
' 2/
причем точка л; = 0 находится посредине стержня, а—скорость продольных
волн в стержне.
Указание. Задача приводится к решению уравнения
( Е
при условиях
ди
дх
и
= 0,
— ~~- СЛ,
дх
ди
dt
= 0,
t
= 0
б. Исследовать свободные колебания закрепленной струны, колеблющейся
в среде, сопротивление которой пропорционально первой степени скорости.
Ответ:
и(х, t) = e-h]
где
2 0 knx
ak — -j \ i (x) sin —j- dxt
о
L h , 2 С _, . knx ,
Ьи- — ak + 7— \ г (x) sin —— dx,
— 135 —

Указание. Применить метод Фурье к интегрированию уравнения
где h—малое положительное число, при условиях
и/*=о = О, "/*=/ = О,
Глава XI
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТРУН И СТЕРЖНЕЙ
§ 1. Вынужденные колебания струны, закрепленной на концах
Рассмотрим вынужденные колебания однородной струны, закре-
закрепленной на концах, под действием внешней силы р(х, t)y рассчитан-
рассчитанной на единицу длины. Эта задача приводится к решению урав-
уравнения
1>?=а*дй+е(х, 0 [g(x, t)=±p{x, о] A)
при граничных условиях
а|х=0 = 0, и\х=1 = 0 B)
и начальных условиях
u\t=o = f(x), ^f\t=o = F(x). C)
Будем искать решение этой задачи в виде суммы
D)
где v есть решение неоднородного уравнения
d2v
= a*^ + g(x, 0. E)
удовлетворяющее граничным условиям
v\x=0 = 0, v\x=:l = 0 F)
и начальным условиям
vL = 0 — =0 G)
а ад есть решение однородного уравнения
— 136

удовлетворяющее граничным условиям
w\x=:0=0, w\x=l = 0 (9)
и начальным условиям
A0)
Решение v представляет вынужденные колебания струны, т. е.
такие колебания, которые совершаются под действием внешней
возмущающей силы, когда начальные возмущения отсутствуют.
Решение w представляет свободные колебания струны, т. е.
такие колебания, которые происходят только вследствие началь-
начального возмущения.
Методы нахождения свободных колебаний w были рассмотрены
в предыдущих -главах, так что здесь мы остановимся только на
нахождении вынужденных колебаний v. Как и в случае свободных
колебаний, будем искать решение v в виде ряда:
v(x, t) = YL Тъ (t) sin -y^, A1)
так что граничные условия F) удовлетворяются сами собой (в пред-
предположении равномерной сходимости ряда).
Определим теперь функции Tk(t) так, чтобы ряд A1) удовле-
удовлетворял уравнению E) и начальным условиям G).
Подставив ряд A1) в уравнение E), получим
/2=1
где положено
sln&± = g(x9 t)9 A2)
<»* = — ¦ A3)
Разложим функцию g(x, t) в интервале @, I) в ряд Фурье
по синусам:
k(t)sia^-, A4)
где
J*(E. Osin^dg. A5)
О
Сравнивая разложения A2) и A4) для одной и той же функции
8\х> 0» получим дифференциальные уравнения
Tl(t) + <»lTk{t) = gk{t) (/е=1, 2, 3, ...), A6)
определяющие функции Tk(t).
— 137 —

Чтобы решение v, определяемое рядом (II), удовлетворяло
и начальным условиям G), достаточно подчинить функции Tk(t)
условиям
Г,@) = 0, П@) = 0 (?=1, 2, 3, ...)• A7)
Решение уравнений A6) при начальных условиях A7) имеет
вид [1]:
Т„ @ = ^- Jg* (т) sin щ (t-x) dx,
О
или, подставляя вместо gh(x) его выражение A5):
Подставив найденные выражения для Tk(t) в ряд A1), полу-
получим решение задачи E) — G), если ряд (И) и ряды, полученные
из него почленным дифференцированием по х и / до двух раз
включительно, равномерно сходятся. Как можно показать, такая
сходимость рядов будет обеспечена, если потребовать, чтобы не-
непрерывная функция f(x, t) имела непрерывные частные произ-
производные по х до второго порядка и чтобы при всех значениях t
выполнялось условие
/(О, /) = 0, /(/, 0 = 0.
Из вышеизложенного следует, что решение задачи A) —C)
выражается в виде ряда
и(ху 0= ^
. v^ f knat . i . knat\ . knx /irk4
+ JL (akcos-r+bksm-r ) sin-r , A9)
где коэффициенты Tk(t) определяются по формулам A8), а
ak = j$f(x)sm^dx, bk = ^^F(x)sm^-dx. B0)
О О
В качестве примера рассмотрим случай, когда отсутствуют на-
начальные смещения и начальные скорости и на струну действует
только непрерывно распределенная сила с линейной плотностью
p{xt t) = Apsln со/.
— 138 —

В этом случае решение и (ху t) определяется рядом
и(*. t) = 2*TkV)sm^p-f B1)
k=\
где коэффициенты Tk(t) определяются по формуле A8) и оказы-
оказываются равными
*шЛ). B2)
Если со = cDfc, то выражение B2) для Tk (t) теряет смысл и в этом
случае для Tk(t) имеем следующее выражение:
B3)
Подставив B2) в ряд B1), получим
,. 4А .
и (х, t) = — sin
{2k+\)nat
8Ш /
Первый член в правой части равенства B4), имеющий ту же час-
частоту, что и возмущающая сила, характеризует «чистые» вынуж-
вынужденные колебания струны. Что же касается второго члена, то он
состоит из бесконечно большого числа гармонических колебаний,
совершающихся с частотой
и его следует отнести к «свободным» колебаниям струны, возбуж-
возбужденным внешней возмущающей силой.
Формула B4) показывает, что если частота внешней возму-
возмущающей силы со приближается к одной из частот со2/г+1 собствен-
собственных колебаний струны, то в разложении B4) появится член с осо-
особенно большой амплитудой, вследствие чего возникает явление,
называемое резонансом. В случае же, когда частота co = co2fe+1,
формула B4) теряет смысл и должна быть заменена другой. Эта
формула легко получается, если принять во внимание B3). В дан-
— 139 —

ном случае решение задачи имеет вид
it sin ЩКЛ
где штрих у знака суммы показывает, что надо исключить сла-
слагаемое, соответствующее k = kv
§ 2. Вынужденные колебания тяжелого стержня
Допустим, что мы имеем дело с довольно тяжелым и в то же
время легко растяжимым стержнем, длина которого в нерастянутом
состоянии /. Подвесим его за конец x = 0t а конец х = 1 оставим
свободным; под влиянием силы тяжести такой стержень начнет со-
совершать продольные колебания. Если обозначить через и смещение
сечения с абсциссой х в момент времени t, то дифференциальное
уравнение вынужденных колебаний рассматриваемого стержня будет
иметь вид
дЧ п*д
a
где g—ускорение силы тяжести.
Так как начальные смещения и начальные скорости равны нулю,
то по физическому смыслу поставленной задачи нам нужно найти
такое решение уравнения C4), которое удовлетворяло бы гранич-
граничным условиям
-о = 0' |Ц = ° C5)
и начальным условиям
"U = o, |r|,sO = o. C6)
Будем искать решение этой задачи в виде суммы
u = v + w9 C7)
где v есть решение неоднородного уравнения C4), удовлетворяю-
удовлетворяющее только граничным условиям C5), a w — решение однород-
однородного уравнения
140 —

удовлетворяющее граничным условиям
Н*-п = 0, ^ =0 C9)
и начальным условиям
»• D0)
Найти решение v(x, t) не представляет никаких затруднений.
Действительно, если мы возьмем многочлен второй степени отно-
относительно х:
и выберем его коэффициенты следующим образом:
то очевидно, что тогда удовлетворяются как уравнение C4), так и
граничные условия C5). Следовательно, решение v найдено, а именно
^ D1)
Отсюда вытекает, что
gx(x^2l) o. D2)
Задачу C8), C9), D0) мы уже рассматривали в гл. X § 4, и
ее решение дается формулами C2) и C5); с помощью этих фор-
формул мы найдем, что
_ 2 С
Uk~~ ( J
о
-21) Bk+\)nx
J 2a2 Ь 2/ UX~~
о
6Л = 0 (fe = 0, 1, 2, ...)•
Из всего изложенного следует, что решение задачи C4), C5),
C6) выражается в виде
2/
С помощью этой формулы легко вычислить, например, в каких
пределах будет изменяться длина всего стержня. Ъ самом деле,
положив в формуле D3) х = 1, получим относительное перемещение
концевого сечения стержня
— 141 —

Правая часть этого равенства достигает своего наибольшего зна-
21
чения при t = —, откуда
"max ~
"max ~ 2a2 1" Jl3fl2 ^ B/2 + 1K •
Приняв во внимание, что
найдем наибольшее смещение концевого сечения
Отсюда вытекает, что при рассматриваемых продольных колеба-
ниях4 длина стержня меняется в пределах от / до / + —¦.
§ 3. Вынужденные колебания струны с подвижными концами
Рассмотрим вынужденные колебания ограниченной струны под
действием внешней силы р (х, t), рассчитанной на единицу длины,
причем концы ее не закреплены, а двигаются по заданному закону.
Эта задача приводится к решению уравнения
I !*, /) D4)
при граничных условиях
"l*=o = MO. "l*=i = M0 D5)
и начальных условиях
«|,=о = /(*), ж\Ы0=Г(*)- D6)
К решению этой задачи нельзя применить метод Фурье, так как
граничные условия D5) неоднородны. Но эта задача легко сво-
сводится к задаче с нулевыми граничными условиями.
Действительно, введем вспомогательную функцию
w{x9 0 = M0 + [M0-M0]f- D7)
Ясно, что
И*=о = МО> «4=1 = МО- D8)
Решение задачи ищем в виде суммы
u = v+w, D9)
где V—-новая неизвестная функция.
— 142 —

В силу граничных условий D5), D8) и начальных условий D6),
функция v (x, t) должна удовлетворять граничным условиям
t>L,o = O, v\Xml = 0 E0)
и начальным условиям
o|,=0 = "k-o-w|t«0 = /W-x1@)-[xi@)-x1@)]i = /lW. E1)
до
dt
t=o
ди
~~ dt
dw
t=o~W
= p {x) _ x; @) - [X; @) - xi @)] f =
Подставив теперь D9) в уравнение D4), получим
d2v 2 d*v / /\ 2 d2w d*w
ot ox ox OX
или, в силу D7),
где
gl(x, t)=g(x, t)-xl(t)-[Kl(t)-xl(t)]±. E3)
Таким образом, мы пришли к следующей задаче для функ-
функции v(x, t):
Метод решения этой задачи изложен в § 1 этой главы.
В качестве примера рассмотрим поперечные колебания струны
длиной I, закрепленной на конце х = 0 и подверженной на конце
х = 1 действию возмущающей силы, вызывающей смещение этого
конца, равное A sin at. При этом будем предполагать, что в момент
времени t = 0 начальные смещения и начальные скорости равны
нулю.
Нетрудно видеть, что эта задача сводится к решению однород-
однородного уравнения
— -а2— Г54)
при граничных условиях
^U=o = O, u\Xssl = A sin co? E5)
и начальных условиях
— 143 —

Будем искать решение задачи в виде суммы
U==v + Wf E7)
где хю—решение однородного уравнения E4), удовлетворяющее
только граничным условиям E5), a v — решение того же уравнения,
удовлетворяющее граничным условиям
»L-o = O, oU., = 0 E8)
и начальным условиям
*1,-.-/М--«1«-.. Щ-'Ч*)-—SrL.- <59>
Решение w ищем в виде
w = X{x)sinat. F0)
Подставив F0) в уравнение E4), получим
%Х(х) = 0. F1)
Чтобы получить решение w(x9 t) вида F0), удовлетворяющее
граничным условиям E5), необходимо найти решение уравнения F1),
удовлетворяющее граничным условиям
Х@) = 0, ХA) = А. F2)
Общее решение уравнения F1) имеет вид
Удовлетворяя граничным условиям F2), получим
и, следовательно,
sin—
л а
sin —
а
Отсюда, в силу F0), получим
w(x9 t) = A 2_—• F3)
. (ах .
sin — sin оз^
1
sin —
a
Обратимся теперь к нахождению решения v(x9 t). Из формул
E9) легко найдем, что
„ . (OJC
Лео sin —
sin —
а
F4)
— 144 —

Но решение однородного уравнения E4), удовлетворяющее гра-
граничным условиям E8) и начальным условиям F4), дается, как мы
знаем, рядом
v(x9 0 =
где
, 2Лсо
*-~^^П31 u«M1T"-r1' TTT-T^w
таким образом,
. knx
'n
F5)
Беря сумму выражений F3) и F5), получим решение задачи:
сод: „„
/ 2 / Sin
а(х, 0
причем
sin —
А а
sin —
а
считаем,
- sinco/-f
что со^
1
t_ kna
2^ /kna\
k=\ со2 —( —г- )
\ I J
§ 4. Единственность решения смешанной задачи
Рассмотрим следующую смешанную задачу.
Найти непрерывную в прямоугольнике Q [0 ^ х ^ Z, 0 < t < 71]
функцию w (х, 0» удовлетворяющую внутри Q уравнению
где
р(х)>0, q(x)^O и р(х)>0,
начальным условиям
\ F8)
и граничным условиям
F9)
Докажем единственность решения смешанной задачи F7) — F9),
предполагая, что решение и(х, t) имеет непрерывные производные
до второго порядка включительно в Q.
— 145 —

Пусть иг и и% два решения рассматриваемой задачи. Тогда
разность
v(x, ?) = #!(;;, t) — u%(x, t)
будет удовлетворять однородному уравнению
* ч d^v д ( » v dv \ * \ /*?г\\
q ( V) ———. — [ л (JCI I О 1Х) V ( /U)
нулевым начальным условиям
v\t=0 = 0, gj _ =0 G1)
и однородным граничным условиям
G2)
Докажем, что t; (x, <) = 0 в Q.
Рассмотрим интеграл энергии
E(t) = U [p(x) g)f + pM (|J + ? (*) *¦]<** G3)
И, ,dvd2v . , .до
и покажем, что он не зависит от t. Действительно, дифференцируя
Е (t) no t, получим
dE(t)
dt
о
Дифференцирование под знаком интеграла возможно в силу непре-
непрерывности вторых производных. Интегрируя по частям средний член
в правой части G4), будем иметь
dE(t)_ l
dt ~~
о
Отсюда, в силу уравнения G0) и граничных условий G2), следует,
что
=^ = 0, т. е. ?@ = const.
Учитывая начальные условия G1), получим
? (f) = const = ?@) =
— 146 —

Тогда из G3) и начальных условий G1) следует, что v(x, /) = 0
в Q, т. е. и1 = и2, что и требовалось доказать.
Замечание. Единственность решения смешанной задачи для
уравнения F7) имеет место и- в том случае, если граничные усло-
условия F9) заменить более сложными:
а?—М !*=<> = *i @. -fa+h" \xmi = МО,
где hx и h2 — постоянные ^0.
ЗАДАЧИ
1. Найти решение уравнения
при нулевых начальных и граничных условиях:
и@, 0 = 0, и(/, 0 = 0.
Ответ:
- cos Bи+'>яа< sin
«С 0—&(*»- 4
2. Стержень длиной /, конец которого * = 0 закреплен, находится в состоя-
состоянии покоя. В момент времени / = 0 к свободному концу приложена сила Q
(на единицу площади), направленная вдоль стержня. Найти смещение и (х, t)
стержня в любой момент времени t > 0.
О met mi
и(х t) Qx 8Ql У {]) co:
u(x' П~ Е л2? ^ BЙ+1J COS
Е л2? ^ BЙ+1J COS 2/ 2/
к ^ 0
где E — модуль упругости.
Указание. Задача приводится к решению уравнения
dt* ~~a дх*
при услсвнях
Глава XII
КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ОДНОРОДНОГО СТЕРЖНЯ
§ 1. Дифференциальное уравнение крутильных
колебаний цилиндрического стержня
Рассмотрим однородный круговой цилиндрический стержень
длины /. Допустим, что под влиянием какой-нибудь причины этот
стержень совершает так называемые крутильные колебания, т. е.
— 147 —

такие колебания, при которых его поперечные сечения остаются
плоскими и поворачиваются без какого-либо искажения одно
относительно другого, вращаясь вокруг оси стержня. В случае
кругового цилиндрического стержня при кручении поперечные
сечения не смещаются параллельно его оси.
Будем рассматривать малые колебания. Докажем, что в этом
случае угол поворота какого-нибудь сечения стержня будет удов-
удовлетворять волновому уравнению. С этой целью поместим начало
координат в один из концов стержня, а ось Ох направим по
его оси.
Пусть тп и тхпх два поперечных сечения, расстояние между
которыми равно dx. Для того чтобы сечение тп повернулось
/Т\
I
I
—rW!—f-i-H-l-
I w
Рис. 18
относительно сечения тхпх на угол 0, необходимо приложить
к нему некоторый момент М. Его называют закручивающим
моментом.
Для вычисления этого момента поступим следующм образом.
Выделим из стержня бесконечно тонкий цилиндр с поперечным
сечением do (рис. 18); допустим, что под действием закручиваю-
закручивающего момента, приложенного к этому сечению, конец А прямо-
прямолинейной образующей ААЛ переместится на весьма малое рассто-
расстояние
^AB = rQ. A)
Обозначим через т величину напряжения, вызванного сдвигом
образующей ААХ в положение ВАХ. Применяя закон Гука, най-
найдем, что
где ф—уГол ААХВУ a G —постоянная величина, называемая моду-
модулем сдвига.
Отсюда вытекает, что усилие, приходящееся на поперечное
сечение do, выражается произведением
х do = Gcp do.
— 148 —
B)

Далее, в силу весьма малых размеров треугольника ААХВ,
можно считать, что
^ AB = <$dx, C)
а из сравнения формул A) и C) видно, что
ае
следовательно,
xdo — G -т— г do.
Если обозначить через dM элементарный закручивающий мо-
момент, приложенный к сечению da, то получим
G-^rdo.
дх
Чтобы найти полный закручивающий момент М, надо проинте-
проинтегрировать это равенство по всей площади сечения тп\ тогда
получим
Но так как интеграл
есть полярный момент инерции сечения тп, то, обозначив его
через У, найдем окончательное выражение искомого закручиваю-
закручивающего момента:
M = GJ~, D)
дх v '
Выведем теперь дифференциальное уравнение крутильных коле-
колебаний стержня.
С этой целью рассмотрим часть стержня, заключенную между
двумя поперечными сечениями тп и тхпл с абсциссами х и x + dx.
Закручивающий момент в сечении с абсциссой х равен GJ -^— ; мо-
момент в сечении с абсциссой x + dx равен GJ —-\-GJ j-jdx. Для
получения уравнения крутильных колебаний надо приравнять
результирующий момент GJ -^ dx произведению углового уско-
дщ
рения -^2* на момент инерции элемента тпт^ относительно оси
стержня. Таким образом, получим
п, дЮ , дЮ rr A
GJdxKdx
— 149 —

где через К обозначен момент инерции единицы длины стержня.
Отсюда, после сокращения на dx, получим
W = a !h?> a=V 1С E)
Это и есть дифференциальное уравнение крутильных колебаний
кругового цилиндрического стержня.
Если мы имеем дело не с круговым цилиндрическим стерж-
стержнем, то при кручении поперечные сечения стержня не остаются
плоскими, а искривляются. На основании теории кручения стерж-
стержней, закручивающий момент М определяется по формуле
дх *
где С — жесткость при кручении.
Дифференциальное уравнение крутильных колебаний цилиндри-
цилиндрического стержня имеет тот же вид E), в котором GJ заменено
на С.
§ 2. Колебания стержня с одним прикрепленным диском
Займемся исследованием крутильных колебаний однородного
стержня в том случае, когда один из его концов х = 0 закреплен,
а к другому концу х = 1 прикреплен массивный диск с моментом
инерции Кх относительно оси стержня. Приравнивая момент си-
силы инерции диска закручивающему моменту в сечении х = 1, по-
получим следующее граничное условие на конце х = 1:
К Щ - GJ m
Al dt* \хы UJ ~дх~
х=1
Задача, таким образом, сводится к решению уравнения E)
при граничных условиях
дЮ
-_c2 ae
x=i~ IF
F)
и начальных условиях
e|, = 0 = /(x), "frLo^^W- G)
Согласно методу Фурье, частные решения уравнения E) будем
искать в виде
G(x, t) = T(t)X(x); (8)
тогда получим уравнения
+ X2X(x) = 0. A0)
— 150 —

Чтобы функция (8), отличная от тождественного нуля, удов-
удовлетворяла граничным условиям F), очевидно, нужно потребовать
выполнения условий:
X @) = 0, с2Х' (I) —а2Х2Х (/) = 0. A1)
Таким образом, мы приходим к задаче о собственных числах
для уравнения A0) при граничных условиях A1).
Интегрируя уравнение A0), получим
X (х) = С± cos Хх+С2 sin Хх.
Из граничных условий A1) находим
Сх = 0, (c2XcosXl —aVsinM)C2 = 0.
Полагая С2=^=0, получим трансцендентное уравнение
а2Х sin XI—с2 cos XI = 0, A2)
определяющее собственные числа задачи A0), A1).
Исследуем уравнение A2). Если положить
Л = Р, Р = -^ = -х;> A3)
то уравнение A2) примет следующий вид:
\i sin \i — pcos\i = 0 (p>0). A4)
Для нахождения вещественных корней этого уравнения доста-
достаточно построить графики функций
f/ = ctg[i, У = ~-
и затем определить абсциссы точек пересечения этих кривых
(рис. 19). Из чертежа видно, что корень \xk уравнения A4)
с увеличением индекса k неограниченно возрастает по абсолютной
величине, причем разность \ik — (k— 1) п стремится к нулю. Отсюда
следует, что при достаточно большом k можно положить
|iA«(*-l)n. A5)
Если по условиям задачи число р имеет малую величину, то
приближенное равенство A5) будет давать достаточно точный
результат и при небольших значениях k. Если же величина р
не очень мала, то для вычисления корней
\ilf [i2, fx3, ...
можно прибегнуть к методу итераций.
Уравнение A4) не может иметь чисто мнимых корней. Допус-
Допустим обратное, положим \x = iv, причем v —вещественное число.
Тогда будем иметь
iv sin iv — р cos iv = 0
— 151 —

или
v sh v + р ch v = О,
что невозможно, ибо слева оба слагаемых неотрицательны при
любом вещественном v.
В дальнейшем мы покажем, что уравнение A4) не может
иметь также комплексных корней.
Таким образом, уравнение A4) имеет только вещественные
корни, причем они попарно одинаковы по абсолютной величине
и обратны по знаку, так что достаточно рассматривать только
Рис. 19
положительные корни. Обозначим через \i1} \i2, \x3, ... положи-
положительные корни уравнения A4). Тогда, согласно A3), собственные
числа будут
Afe = I :—
A6)
Каждому собственному числу %% соответствует собственная
функция
=1, 2, 3, ...).
A7)
Нетрудно показать, что собственные функции A7) не орто-
ортогональны на промежутке @, /).
При Я = ЯЛ общее решение уравнения (9) имеет вид
— 152 —

где ak и Ьк—произвольные постоянные. В силу (8), получим, что
функция
Вк (*, t) = (ak cos ML + bk sin &L) sin -*f-
удовлетворяет уравнению E) и граничным условиям F) при лю-
любых ak и Ък. Далее составим ряд
Для выполнения начальных условий G) необходимо, чтобы
A9)
sinJ^=FW. B0)
Эти формулы показывают, что для нахождения коэффициен-
коэффициентов ак и bk необходимо разложить функции f(x) и F (х) в ряд
Фурье по собственным функциям A7). Относительно этих функций
было указано, что они не ортогональны в промежутке @, /); но
нетрудно показать, что функции
т^ (k = l, 2, ...) B1)
образуют в промежутке @, /) ортогональную систему функций.
В самом деле, из легко доказываемого равенства
Cos M
видно, что если \ik и \хп суть корни уравнения A4), то
@ при k=j?=nt
^dx = j / /о , . о ч . B2)
l 1-^B^+810 2^) при й = л ;
Допустим далее, что ряды A9) и B0) можно почленно диффе-
дифференцировать по х\ тогда приняв во внимание формулы B2),
легко найдем значения коэффициентов ак и bk9 а именно:
о
— 153 —

Подставив эти значения коэффициентов в ряд A8), получим
решение задачи о крутильных колебаниях однородного стержня.
Мы утверждали выше, что уравнение A4)
\i sin \i—pcos\i = Q
не может иметь комплексных корней. Предположим обратное.
Пусть уравнение A4) имеет комплексный корень \i=a + ib. Так
как р — вещественное число, то уравнение A4) будет иметь и сопря-
сопряженный корень \i = a — Ib. Этим корням будут соответствовать
две собственные функции
X(x) = sinif±^( xw = sin
Из условия ортогональности C0) имеем
(a+ib)x (a—ib) x ,
cos v ^ ; cos -—j-1— dx =
\
о
о
или
J (cos2 ^ ch2 Ц- + sin2 -^ sh2 *f) их = 0
о
о
и мы приходим к противоречию.
ЗАДАЧИ
1. Изучить крутильные колебания однородного стержня, у которого
конец х = 0 свободен, а на конце х~1 прикреплен диск с моментом инерции kt.
Ответ:
J
2l_ PWk \F
apt p(p+l) + ^J
где [xx, [л2, 1^з — положительные корни уравнения
(IK
Р =^-
2. Изучить крутильные колебания стержня! у которого к обоим концам
прикреплены два одинаковых диска.
— 154 —

Ответ:
I
0 ^
где |ilt fi2» N—положительные корни уравнения
3. К концу # = / упругого стержня, закрепленного в точке х = 0, под-
подвешен груз Р. Изучить продольные колебания стержня, предполагая, что на
него действует внешняя сила pg(x, t).
Указание. Задача приводится к интегрированию уравнения
при граничных условиях
X = l UX \X = l
и при начальных условиях
Omee/n:
Смещение сечения стержня выражается суммой
где иг—свободные колебания стержня, которые определяются из формулы B6),
если заменить в ней Э (ху t) на ult а и2 — вынужденные колебания стержня,
которые определяются с помощью ряда
и2(х, t) =
где
a |ilf ji2, |x3—положительные корни уравнения
— 155 —

Глава XIII
ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
§ 1. Уравнение Бесселя
При решении многих задач математической физики приходят
к линейному дифференциальному уравнению
(*2-v2)y = 0, A)
где v — постоянная. Это уравнение встречается также во многих
вопросах физики^ механики, астрономии и т. п. Уравнение A)
называется уравнением Бесселя. Так как уравнение A) имеет
особую точку х = 0, то его частное решение следует искать в виде
обобщенного степенного ряда:
2/ @ф)
Подставляя ряд B) в уравнение A), получим
B)
2 {[(P + *J-v2K+aft_2}*p+ft = 0. C)
* 2
Приравнивая нулю коэффициенты при различных степенях х,
будем иметь:
pa-v2 = 0, D)
[(p + l)*-vi]a1 = 0, E)
* , = 0. F)
Из первого равенства находим два значения для р:
Если мы возьмем первый корень p = v, то из формул E) и F)
получим
ах = 0 и ал = -^=^ (* = 2, 3, 4, ...).
Отсюда следует, что
0 (* = 0. 1, 2, ...),
а коэффициенты с четными индексами определяются, очевидно,
по формулам
и т' А*'
— 156 —.

из которых ясно, что общее выражение для коэффициентов а2к
имеет такой вид:
п / 1 \k
Что касается коэффициента а0, который был до сих пор со-
совершенно произвольным, то выберем его таким образом:
_ 1
a°-vr(v-fl) ' ' '
где F(v) — гамма-функция, которая определяется для всех поло-
положительных значений v (а также для всех комплексных значений
с положительной вещественной частью) следующим образом:
le~*x-ldx. (8)
о
При таком выборе а0 коэффициент а2к может быть записан в виде
Это выражение может быть упрощено, если воспользоваться
одним из основных свойств гамма-функции. Для этого проинтег-
проинтегрируем правую часть равенства (8) по частям; тогда получим
следующую основную формулу:
r(v4-l) = vr(v). A0)
Отметим, что формула A0) дает возможность определить гамма-
функцию для отрицательных значений v, а также и для всех
комплексных значений.
Пусть /г —некоторое целое положительное число. Применяя
несколько раз формулу A0), получим
r(v + *+l) = (v+l)(v + 2) ... (v + *)T(v+l). (И)
Полагая в этой формуле v = 0, найдем, в силу равенства
$
о
другое важное свойство гамма-функции, выражаемое равенством
Г(* + 1) = Л1. A2)
С помощью формулы A1) выражение (9) для коэффициента a2ft
примет следующий вид:
@*
Внося найденные значения коэффициентов a2fe+1 и a2k в ряд B),
получим частное решение уравнения A). Это решение носит назва-
— 157 —

ние функции БессеЛя 1-го рода v-го порядка и обозначается
обычно через Jv(x). Таким образом,
Ряд A4) сходится при любом значении х, в чем нетрудно убе-
убедиться, применяя признак Даламбера.
Используя второй корень р2= — v, можно построить второе
частное решение уравнения A). Оно может быть получено, оче-
очевидно, из решения A4) простой заменой v на —v, так как урав-
уравнение A) содержит только v2 и не меняется при замене v на —v:
Если v не равно целому числу, то частные решения J^(x)
и J-vW уравнения Бесселя A) будут линейно независимыми,
так как разложения, стоящие в правых частях формул A4) и A5),
начинаются с разных степеней х. Если же v есть целое положи-
положительное число я, то в этом случае легко обнаружить линейную
зависимость решений Jn(x) и */_„(*)• Действительно, при целом v
для & = 0, 1, 2, ..., и—1 величина —v-\-k-\-l принимает
целые отрицательные значения или нуль. Для этих значений /г:
Г(— v + fe+l) = oo, что следует из формулы
Таким образом, первые п членов в разложении A5) обратятся
в нуль и мы получим
vi (-1} (т)
или, положив /г==/г + /, получим
J_n(x) = {—l)»Jn(x) (n — целое). A6)
Отсюда следует, что при целом п функции Jn(x) и J_n(x)
линейно зависимы.
Для того чтобы найти общее решение уравнения A), когда v
равно целому числу п, необходимо найти второе, линейно-неза-
— 158 —

висимое от Jv(x), частное решение. Для этого введем новую
функцию Fv (х), положив
V /«л ^у (*) cos vJl—^-v (*)
*ЛХ)
Очевидно, что эта функция также является решением уравне-
уравнения A), так как она представляет собою линейную комбинацию
частных решений J^(x) и J_?(x) этого уравнения. Затем нетрудно
убедиться, на основании соотношения A6), что при v, равном
целому числу п, правая часть равенства A7) принимает неопре-
неопределенный вид -Q-. Если раскрыть эту неопределенность по правилу
Лопиталя, то в результате ряда выкладок (которые ввиду их
сложности здесь не воспроизводятся) получим следующее пред-
представление функции Yn(x) при целом положительном п:
п- 1
V ( \ 2 / \1 Х ! V (n — k—l)\ f X b
k\
oo
k\
В частном случае, при м = 0, функция Y0(x) представляется
таким образом:
(х) - 2
Введенная здесь функция Y^(x) называется функцией Бесселя
2-го рода v-го порядка или функцией Вебера.
Функция Вебера Y^(x) является решением уравнения Бесселя
также и в том случае, когда v — целое число.
Функции </v(x) и Fv(x), очевидно, линейно независимы, сле-
следовательно, эти функции при всяком V—дробном или целом —
образуют фундаментальную систему решений. Отсюда вытекает,
что общее решение уравнения A) может быть представлено в виде
У = С^ч(х) + С%Уч(х), B0)
где Сх и С2 — произвольные постоянные.
В заключение этого параграфа заметим, что для функций
Бесселя и Вебера различных порядков имеют место следующие
рекуррентные формулы:
j'Ax) = J*-Ax)~J*ix), yfAx) = Y,.1(x)~Yv(x), B1)
J'Ax)=-J*+1(x)+yJAx), ПМ = -У)+1М + 7^М. B2)
A«W=7AW-A-iW. y,«W = 7^W-y,-iD B3)
— 159 —

Формулы B1), B2) проверяются непосредственным дифферен-
дифференцированием рядов для функции Бесселя. Докажем, например,
справедливость формулы B1). Имеем
или, принимая во внимание, что T(v + k+ l) = (v + k)T(v + k),
получим
k\ г (v—1+/г+1) *
Сравнив с разложением A4), будем иметь
fvv/ (yW vv / (<Л
fa [X J v \X)i — X J v-1 \Xh
Продифференцировав произведение, мы убедимся в справедливости
формулы B1). Справедливость формулы B2) доказывается ана-
аналогично.
§ 2. Некоторые частные случаи функций Бесселя
В математической физике наиболее часто встречаются функ-
функции Бесселя
J0(x), J^x), Y0{x) и J 1 ,
±пТ
где п—целое число.
Первые две из этих функций представляются следующими
рядами:
л/2) у4 v6
**о \-*v ~ * 23" ' 22»42 22• 42• б2 * * " ' '"/
у / у2 у-4 уб \
{ ] ~" 2 V 2-4^2.42.6 2.42.62-8^ * #*У ' ^°'
Для них имеются подробные таблицы. Графики функций J0(x),
Jt(x) и К0(х) приведены на рис. 20 и 21.
/ \ \
Из формулы B3) видно, что вычисление функций J2(x),
JB (х) и т. д. сводится к вычислению соответствующих значений
функций J0(x) и Jk(x).
— 160 ^

Обратимся теперь к 'функции J { (х), где п — целое число.
Найдем прежде всего значения функций J х (х) и J { (х), для
Т" "Т
чего обратимся к разложению A4); из него видно, что
Но из формулы (И) непосредственно вытекает, что
где
Таким образом,
л/"Л V (—
Последняя сумма представляет собой разложение sin x в степен-
степенной ряд, вследствие чего
J±(x)= |/^sinx. B6)
Аналогично, из разложения A5) вытекает, что
J ±(x)= j/^cosx. B7)
Если теперь воспользоваться формулой B3), то нетрудно
видеть, что
/ / ч _ / 2 / . sinx\
J з W = l/ — — cos jc Ч =
_?. г ял; \ х J
2 Ч У
6 Vo 645 — 161 —

Вообще, функция Бесселя J 1 (х) при целом п выражается
через элементарные функции, а именно:
B8)
где Рп (—) — многочлен степени п относительно —, а
Qw-1 (—) — многочлен степени я—1, причем Рп@) = 1, Qn-1@)=0.
Отсюда следует, что при больших значениях х имеет место
асимптотическое представление функции Бесселя:
где через О(х~х) обозначена величина порядка — .
Отметим, что асимптотическая формула B9) справедлива не
только при v = n + y, но и при всех значениях v.
§ 3. Ортогональность функций Бесселя и их корни
Рассмотрим уравнение
х*у" + ху' h(feV-v2)*/ = 0, C0)
где k — некоторая постоянная, отличная от нуля.
Введем вместо х новую независимую переменную t = kx. Тогда
уравнение C0) преобразуется в такое,
а это есть уравнение Бесселя. Следовательно, функция y=
будет решением уравнения
которое, разделив на х, можем написать в виде
Возьмем два различных значения k и напишем соответствую-
соответствующие дифференциальные уравнения:
— 162 —

Умножая первое из этих равенств на Jv(k2x), а второе—на
J^fax) и вычитая одно из другого, после несложных преобразо-
преобразований получим
Если теперь воспользоваться формулой A4), то нетрудно убе-
убедиться, что выражение, стоящее здесь в квадратных скобках,
может быть разложено по степеням х, причем наинизшая степень
х будет x2(v+1>. Отсюда ясно, что это выражение будет обра-
обращаться в нуль при х = 0, если v> — 1. Приняв это во внима-
внимание, проинтегрируем равенство C2) по некоторому конечному
промежутку @, /); тогда получим
(k\- k\) J х]ч fax) /v (k2x) dx =
о
== I [kjv fat) Jv fat) - kjv fat) Jv fat)], C3)
где через (') обозначается, - как обычно, дифференцирование по
аргументу. При / = 1 эта формула принимает вид
1
(k\- k\) J xJv (klX)Jv (k2x) dx = Vv {Ю J, (k2)-k2Jv(kt) Jv (kj. C4)
0
Покажем теперь, что при v > — 1 функция Бесселя Jv (л:) не
может иметь комплексных корней. Допустим, что она имеет такой
корень a + ib, причем а=Ф0. В разложении A4) все коэффициен-
коэффициенты разложения вещественны и, следовательно, функция Jv(x) кроме
корня a-\-ib должна иметь и сопряженный корень а—ib. Обра-
Обратимся к формуле C4) и положим k1 = a + ib и k2 = a--ib; при
этом к\Фк\ и формула дает
== 0.
Величины Jv(k1x) и Jv(kzx) будут комплексно сопряженными,
следовательно, в предыдущей формуле под знаком интеграла стоит
положительная величина и эта формула не может иметь места.
Функция Бесселя Jv(x) не может иметь и чисто мнимых корней.
Действительно, подставив ± ib в формулу A4), получим разло-
разложение, содержащее только положительные члены:
- 163

так как, согласно формуле (8), гамма-функция Г (х) принимает
положительные значения при х > 0.
Покажем теперь, что функция Jv (х) имеет вещественные корни.
Для этого обратимся к асимптотическому разложению функции
Бесселя B9):
^[{^^) \ (х>оу
Из этой формулы видно, что при беспредельном удалении х
вдоль положительной части оси Ох второе слагаемое в квадратных
скобках стремится к нулю, а первое — бесчисленное множество раз
изменяется от —1 к +1. Отсюда непосредственно вытекает, что
функция Jv(x) имеет бесчисленное множество вещественных корней.
Таким образом, приходим к следующему результату: если
v> — 1, то функция J^(x) имеет все корни вещественные.
Заметим, кроме того, что из разложения A4), содержащего
только четные степени, непосредственно вытекает, что корни J^(x)
будут попарно одинаковыми по абсолютной величине и обратными
по знаку, так что достаточно рассматривать только положитель-
положительные корни.
Пусть k1 = ^j-t k2 = -j-> гДе \*ч и И'/ —Два различных положи-
положительных корня уравнения
Jv(*) = 0. C5)
Тогда формула C3) дает непосредственно следующее свойство
ортогональности функций Бесселя:
Лс = 0 AФ1). C6)
Пусть теперь fe = -t Где |л— положительный корень уравне-
уравнения C5) Возьмем формулу C3), в которой положим kx=ky а &2
будем считать переменным и стремящимся к А, тогда получим
f
xJ v (kx) J, (k2x) dx
При k2—+k правая часть этого равенства становится неопре-
неопределенной так как числитель и знаменатель стремятся к нулю.
Раскрыв эту неопределенность по правилу Лопиталя, получим
x = ?/;ui). C7)
— 164 —

Положив в формуле B2) x = \i и приняв во внимание, что \х
есть корень уравнения C5), получим
и формулу C7) можно записать еще следующим образом:
^=y^+i(ii). C8)
Таким образом, мы имеем
°' еСЛИ 1^*>
У v (р.,) == -^ J5+1 A*/), если / = i,
(v>-l), C9)
где \i( и \ij — положительные корни уравнения Jv(x) = 0.
Рассмотрим теперь более общее уравнение
x) = O (v>-l), D0)
где а и р—заданные вещественные числа.
Пусть k1 = j-> ^2 = т» где И*/ и Hv—Два различных корня
уравнения D0), т. е.
a/v (kj) + pVA> (*i/) = 0, aJv (fe2/) + |3&2/Jv (V) = °-
Отсюда непосредственно имеем
kjv (kj) J, (kj) —kjv (k2l) J, (kj) = 0.
Следовательно, и в этом случае правая часть формулы C3)
также равна нулю и мы имеем по-прежнему условие ортогональ-
ортогональности C6).
Из условия ортогональности, как и выше, непосредственно
вытекает, что уравнение D0) не может иметь комплексных кор-
корней а + iby где а Ф 0. Уравнение D0) не может иметь и чисто
мнимых корней ± ib9 за исключением случая y + v<0, когда
оно имеет два чисто мнимых корня.
Нетрудно показать, что уравнение D0) имеет вещественные
корни. В самом деле, положим
Тогда после простых вычислений получим
d I" xJv (*) 1 = ху
— 165 —

Отсюда следует, что между двумя положительными корнями \i?
и М7+1 0**41 > V>i > v) Функции Jv (х) производная ^[7^П < 0#
Следовательно, функция ?х\ . постоянно убывает от + сх> до
«/v ух)
—оо, когда х возрастает от [А,- до [г?-+1, и поэтому она принимает
любое значение один и только один раз. Отсюда вытекает, что
уравнение D0) имеет один и только один корень в промежутке
(\ih (if+х). Итак, имеем следующий результат: если v> — 1 и
тг + v^O, то все корни уравнения D0) вещественны.
Пусть теперь k = j-> где [х—положительный корень уравне-
уравнения D0). Возьмем формулу C3), в которой положим kx = k и k2
будем считать переменным и стремящимся к ky тогда получим
хУv (fej:) J, (k2x) dx =
При k2 — k правая часть этого равенства становится неопределен-
неопределенной. Раскрыв эту неопределенность по правилу Лопиталя, получим
л>~~ 2k
или, в силу уравнения
придем после простых преобразований к формуле
и, наконец, приняв во внимание, что
окончательно получим
vOO. D1)
о
где (л — положительный корень уравнения D0).
— 166 —

§ 4. Разложение произвольной функции в ряд
по функциям Бесселя
Пусть произвольная функция f(x) представима в виде ряда
(V>_ 1), D2)
где \х19 м-2» М-з» ... — положительные корни уравнения /v(x) = 0,
расположенные в порядке возрастания.
Для определения коэффициентов а{ умножим обе части разло-
И»/у) и проинтегрируем по отрезку [О, /],
считая при этом возможным почленное интегрирование. Тогда,
приняв во внимание формулу C9), найдем, что
D3)
Разложение D2), в котором коэффициенты а{ определяются по
формуле D3), называется разложением функции f(x) в ряд Фурье —
Бесселя.
В задачах математической физики часто встречаются следую-
следующие ряды по функциям Бесселя:
где \il9 |л2, |л8, .. — положительные корни уравнения
fx) = 09 D0)
расположенные в порядке возрастания, причем -g- + v>0.
Коэффициенты Ь{ в силу ортогональности функций Бесселя и
формулы D1) определяются по формуле
« (*f) dx-
Разложение D4), в котором коэффициенты Ь{ определяются по
формуле D5), называется разложением функции f(x)e ряд Дини —
Бесселя.
Если -g- + v==O, то, как будет показано ниже [см. формулу D9)],
xV ортогональна к функциям /v (м-/т) с весом х на отрезке [0, /],
— 167 —

а поэтому разложение D4) должно быть заменено следующим:
D6)
В этом случае уравнение D0) можно записать в следующем виде:
или, в силу формулы B2)
х
будем иметь
JmW = 0. D7)
т. е. \i19 |ui2, (ui3, ... будут корнями уравнения D7).
Для определения коэффициента Ьо умножим обе части разло-
разложения D6) на xv+1 и проинтегрируем по х от 0 до /, считая при
этом возможным почленное интегрирование. Тогда получим
/ со /
f v- \
х. D8)
Ранее мы имели формулу
или
Интегрируя это тождество, получим
i
Полагая здесь * = у, где ^- — корень уравнения D7), будем иметь
;c = O; D9)
тогда из формулы D8), в силу D9), вытекает, что
bo = 2-?±S-§r+1f(x)dx. E0)
О
Коэффициенты ^.(/=1, 2, 3, ...) определяются по прежним
формулам D5), что непосредственно следует из равенства D9).
— 168 —

§ 5. Некоторые интегральные представления
функций Бесселя
функции Бесселя допускают различные представления в виде
определенных и контурных интегралов. Одно из наиболее про-
простых интегральных представлений для функций Бесселя принад-
принадлежит Пуассону. Оно может быть получено следующим образом.
Мы имеем
Умножив числитель и знаменатель общего члена этого ряда на
Г (v + y) Г (k +-т) и приняв во внимание, что
получим
l\
или, в силу известной формулы
г
I
о
получим
\ cosOT ф si
т + яЧ-2
Вследствие равенства E2) ряд E1) принимает вид
2[ *V . . Л
,
\ —
о
— 169 —
E2)
Переставив знак суммы и интеграла, получим
т^ -Лр. E3)

Эта перестановка порядка интегрирования и суммирования законна
ввиду равномерной сходимости ряда, находящегося под знаком
интеграла. Этот ряд легко суммируется: он равен cos (х sin cp).
Таким образом, окончательно имеем формулу Пуассона:
т)" J
d уЛ) = 7—'- . x I COS (X Sin ф) СО82л?ф С(ф, E4)
причем для сходимости интеграла должно быть Re v > —у , тогда
как х может иметь любое вещественное или комплексное значение.
Введя новую переменную интегрирования с помощью подста-
подстановки f = sinq>, можно E4) представить в виде
/ х
J,(x) = t
Ввиду четности подынтегральной функции и нечетности функции
A—t2) 2 sinxt можем написать также:
JAx)= Ку 1Х
E5)
С помощью формулы Пуассона легко можно оценить /v (x) при
любом вещественном х. Действительно, приняв во внимание, что
| cos (л: sin ф) | ^ 1, из E4) получим
г
i J
) I
Правая часть последнего неравенства, как это видно из E2), есть
не что иное, как абсолютная величина первого члена разложе-
разложения Jv (x). Таким образом, получается простое неравенство, спра-
справедливое при любом вещественном х и v > — у*.
Из других представлений функций Бесселя рассмотрим пред-
представление пригодное, однако, только для функций Jn(x) с целым
значком, которое может быть получено следующим образом. Пере-
— 170 —

множив ряды
is n 2t =
s=0
(f)'...
которые при 111 > 0 сходятся абсолютно, так что перемножение
законно, и группируя результат по степеням /, получим
-m2j^amtmt E6)
причем ат при т^О получается равным
тогда как при т<0 будет, если положить —т =
fe —л)!
Теперь выражение E6) можно переписать так:
1 / \_\
е~**{ -т;= |> У. (jc) f-. E7)
Функцию в2 ^ ^ называют производящей функцией для
функций Бесселя с целым значком.
В силу соотношения J^m(x) = ( — \)m Jт(х), формулу E7) можно
переписать так:
е2 \ tJ = J0(x)+ 2 JM(x)[P + (-irr*].
Положив здесь t = e^f получим
Умножим обе части последнего равенства на e~inv, где /г —не-
—некоторое целое положительное число, и проинтегрируем по ф в
пределах от —я до я. Тогда, в силу
(О при тфп,
2я при т = п,
— 171 —

получим
я
Jn (x) = JL f g' <* -^ ф-яф) Лр. E8)
— я
Отделяя в правой части вещественную и мнимую части и поль-
пользуясь свойствами интегралов от четных и нечетных функций, легко
находим
л
Jn (х) = — I cos (л: sin ф — шр) dip. E9)
о
Заметим, что формула E9) не имеет места, если значок п не
есть целое число. В данном случае мы имеем более сложную фор-
формулу, а именно:
Л 00
yv (х) = -1- Г cos (* sin ф — V9) Лф— ^"^ j 6"V(p-^ sh ф Лр. F0)
о о
причем эта формула справедлива при любом v и Re x > 0.
§ 6. Функции Ханкеля
Наряду с функциями Бесселя Jv(x) большое значение для при-
приложений имеют другие частные решения уравнения Бесселя. К их
числу относятся функции Ханкеля первого и второго рода Н[1) (х)
и #v2) M, определяемые равенствами:
НУ (х) = Уу (х) + iYv (x), #l2) (x) = Jv (*)- iYv (x). F1)
При вещественных значениях л: и v функции Ханкеля прини-
принимают комплексно-сопряженные значения:
При v, не равном целому числу, функцию Yv(x) в формулах F1)
заменим ее выражением A7). Тогда получим
sin vji
^JM . F2)
v ' sin vji
Формулы F2) остаются в силе и для целых значений v = n,
если под правой частью понимать тот предел, к которому она
стремится при v -> п. Еслиг = д + у, то функции Ханкеля вы-
выражаются в конечном виде через элементарные функции. В част-
— 172 —

1
ности, при v = ~2
= — < i/ _?_ (cos л: + i sin x) = — i
У пх
Аналогично,
2_
их
Из формул F2) непосредственно вытекают следующие соотно-
соотношения между функциями Ханкеля, у которых значок отличается
лишь знаком:
Н{1\, (х) = ^я //О> w> //i.2i (x) = e-iwl H[2) (x). F3)
Далее, так как функции Ханкеля выражаются линейно через
функции Jv(x) и Vv(x), то они удовлетворяют тем же рекуррент-
рекуррентным формулам, что и эти функции, а именно:
~&х = —/7v-+-
dx
х),
В заключение этого параграфа приведем без доказательства
асимптотические представления функций Ханкеля:
{x>0) F4)
§ 7. Функции Бесселя мнимого аргумента
Во многих задачах математической физики встречается урав-
уравнение
xy + xy' — (x* + v*)y = 0. F5)
Нетрудно проверить, что это уравнение получается из уравнения
Бесселя после замены в последнем х на ix Следовательно, функ-
функция Jv(ix) есть частное решение уравнения F5). Так как урав-
— 173 —

нение F5) однородно, то произведение */v (ix) на произвольную
постоянную есть также решение данного уравнения. Выберем эту
постоянную равной i~v и введем обозначение
/,(*) = Г *У,(*)- F6)
При указанном выборе постоянной рассматриваемое нами частное
решение уравнения F5) будет выражаться рядом
F7)
Функция /_v(#) также является решением уравнения F5), и
если v не целое число, то 1у(х) и /_Д#) суть два линейно-незави-
линейно-независимых решения уравнения F5). Если v = n — целое число, то функ-
функции /v(x) и /_у(л:) линейно-зависимы, так как
/v(*) = /-v(*). F8)
что непосредственно вытекает из формул F6) и A6).
Для получения общего решения уравнения F5) надо найти
другое, линейно-независимое от /v(x), частное решение.
Это частное решение, носящее название функции Макдональда,
берется в виде
К (х) = - ^WM)
При целом v==n правая часть равенства F9) принимает неопреде-
неопределенный вид, что легко следует из соотношения F8). Раскрывая
неопределенность по правилу Лопиталя, получим следующее выра-
выражение для функции Кп (х) при целом п:
j-v у2). Jr(fe+iur:(^+i)i. G0)
2
fe=U
В частности,
Отметим, что Кп {х) -+ oo при х «-> 0.
Так как /v (x) и /Cv (x) суть два линейно-независимых решения
уравнения F5) при любом значении v, то его общее решение
— 174 —

можно написать в таком виде:
у = Сг1ч(х)+С%КЛх), G2)
где Сг и С2 -произвольные постоянные.
В заключение заметим, что /v (x) растет неограниченно при
х—+оо, а функция КАХ) стремится к нулю при х-^ + оо, как
это видно из асимптотических представлений этих функций, приво-
приводимых здесь без доказательства:
(x>0) G3)
КЛх)= у -^е-*[1+0(х-1)].
ЗАДА ЧИ
1. Доказать формулы.
¦^J х~Ь, B V'~x) ] = -*~^У1+,B V~x).
2. Разложить в ряд Фурье—Бесселя функцию / (x) = xv @ < х < 1).
Ответх
3. Разложить в интервале @,1) функцию / (х) = 1 в ряд по функциям
где jlxx, |u2, ...—положительные корни уравнения.
1ЫУ, (ju) — pJ0 (jlx) = 0 (р > 0).
Ответ:
00
2р ;
f(x)
4. Доказать справедливость разложения
00 ОС
eix sin ф = JQ (х) -[- 2 ^ J т (х) cos 2/гФ + 2* 2 ^ ^ м ^^ s^n ^2/г"+" ^
и получить отсюда формулы Бесселя
п
1 Г
Я J
о
л
) = — \ sin [х sin ф) si
я J
о
— 175 —

Указание. Воспользоваться формулой E7).
5. Доказать справедливость формул:
2aBbyr[v+~
-1)
J v
0
6. Доказать, что
2
b2
0
X
x*J0 (x)dx = 2x2J0 (*) + (x3 — 4x)/, (х).
Указание. Воспользоваться дифференциальным уравнением для функ-
функции У0 (х).
Глава XIV
МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ НИТИ, ПОДВЕШЕННОЙ ЗА ОДИН КОНЕЦ
§ 1. Свободные колебания подвешенной нити
Рассмотрим тяжелую однородную гибкую нить длины /. Нить
закреплена верхним концом в точке х = / и совершает колебания
под действием силы тяжести. Максимальное отклонение ее ниж-
нижнего конца х = 0 от вертикали равно h. За ось х примем верти-
вертикальное направление, вдоль которого расположится нить, когда
под действием своего веса она займет прямолинейное положение.
Обозначим через и = и(х, t) отклонение точек нити от положения
равновесия в момент времени t (рис. 22).
Будем рассматривать малые колебания такие, что можно пре-
^ „ ди „ г~
небречь квадратом производной -с- по сравнению с единицей. Тогда
ди_
sina(*)= , tgaW = г дх »|Lt
где а(х) — угол между касательной в точке с абсциссой х к нити
в момент времени / и положительным направлением оси Ох.
Натяжение Т нити в точке N с абсциссой х равно весу части
нити, расположенной вниз от /V, т. е. T=gpx, где р—линейная
— 176 —

плотность нити, a g—ускорение силы тяжести. Выделим произ-
произвольный элемент нити ММХ, длиной dx, который при равновесии
занимал положение NNX (см. рис. 22). Горизонтальная состав-
составляющая равнодействующей сил натяжения, действую-
действующих на концы элемента ММ1У выражается разностью
\
Ml
которая с точностью до бесконечно малых высшего
порядка равна выражению
д I ди^
Вертикальная составляющая равна
(gpx cos а (х))м, —(gpx cos а (х))м « gp dx,
так как в силу малости колебаний нити
cos а (х) = —г > — « 1.
дх.
N
1
м
О и
Рис 22
Движение элемента ММЛ нити можно рассматривать как свобод-
свободное, если сохранить силы натяжения, действующие в точках М
и М19 и учесть силу тяжести, направленную вниз и имеющую
величину—gpdx. Вертикальная составляющая равнодействующей
сил натяжения и сила тяжести взаимно уничтожаются. Поэтому
можно считать, что элемент нити ММ1 движется под действием
горизонтальной составляющей силы A). Приравняв эту силу про-
произведению из массы pdx элемента нити на его ускорение- "-, по-
получим искомое дифференциальное уравнение малых колебаний
подвешенной нити
a2 dt*
дх \Х дх
где а = g
Задача о колебании подвешенной нити сводится к интегриро-
интегрированию уравнения B) с граничным условием
и\хы = 0 C)
и с начальными условиями
ди
dt
= F(x).
D)
Имея в виду применить способ Фурье к решению задачи B) —
D), сначала преобразуем уравнение B) к новой переменной ?f
— 177 —

положив
тогда преобразованное уравнение примет следующий вид:
a* dt2 ' {О}
Будем искать решение этого уравнения в виде
u=w(l)T(t). F)
Подставляя F) в E), получим
d (tdw\_ByTn(f)
dl\* dl) \a) T(t)'
Обозначая обе части этого равенства через постоянную —АД по-
получим два уравнения:
T(t) = 0. (8)
Общее решение уравнения G) имеет вид (см. гл. XIII, § 1):
1юA) = С^0№+С2У0(Щ (9)
Так как Y0(kQ -> оо при I -^ 0, то должно быть С2 = 0. Граничное
условие C) даст
В гл. XIII мы показали, что трансцендентное уравнение
имеет бесчисленное множество вещественных корней: \ilf \i2y \i3, ...
Отсюда вытекает что собственные числа задачи определяются
равенством
Ц=Ц- (fe = l, 2, 3, ...). (Ю)
Собственные функции, соответствующие эФим собственным числам,
имеют следующий вид:
Обращаясь теперь к уравнению (8), мы видим, что его общее
решение имеет вид
Тк {t) = Ак cos -^4- + Bk sin Ш
к \ I к 2 уi А 2 УI
— 178 —

и, следовательно, ряд
и(х, 0 = Е(л*соз^ + В,зт^)у0(^/!) A2)
даст решение уравнения B) при граничном условии C).
Теперь остается определить постоянные Ак и Вк так, чтобы
удовлетворялись и начальные условия D). Положив в разложе-
разложении A2) г = 0, найдем, что
( jf) A3)
Сравнивая это разложение с формулами D2) и D3) предыдущей
главы, легко убедимся, что
Рассуждая аналогичным образом, найдем выражения и для коэф-
коэффициентов Bk, а именно
Введя теперь обозначения
Лл = #л sin Фл> Bfe = ^ cos Фл,
перепишем найденное нами решение A2) в форме:
откуда ясно, что малые колебания подвешенной нити можно рас-
рассматривать как движение, складывающееся из бесчисленного мно-
множества гармонических колебаний.
Период основного тона таких колебаний вьфажается формулой
где
fx1 = 2,40483.
Далее формула A6) показывает, что амплитуда &-го обертона
обращается в нуль в тех точках, которые определяются уравнением
— 179 —

откуда ясно, что мы будем иметь к узловых точек:
у —f 1*1 У/ y—fvA2! у (M=l-\l У -I
1 Vfw 2 \vkJ к-г \ Vk j k
§ 2. Вынужденные колебания подвешенной нити
Предположим теперь, что на подвешенную нить действует не-
непрерывно распределенная горизонтальная сила Ф(л:,/), рассчитанная
на единицу длины. Тогда уравнение вынужденных колебаний при-
примет вид
д2и % д
a
где
Р
К этому уравнению нужно присоединить граничное и началь-
начальные условия
и\хы = 0, A9)
= F (х). B0)
Применим к интегрированию этой задачи способ, изложенный
в § 1 гл. XI, другими словами, будем разыскивать решение за-
задачи A8) — B0) в виде суммы
и = их + и2, B1)
где Mj —решение неоднородного уравнения A8), удовлетво-
удовлетворяющее граничному условию A9) и нулевом начальным условиям
B2)
а функция и2(х, t) — решение однородного уравнения
ди
удовлетворяющее граничному условию A9) и начальным усло-
условиям B0). Задача B3), A9), B0) рассматривалась в § 1 и ее ре-
решение было получено в виде ряда A2).
Будем искать решение иА (x, t) в виде ряда
B4)
так что граничное условие A9) удовлетворяется само собой Под-
Подставляя ряд B4) в уравнение A8) и принимая во внимание ра-
— 180 —

венство
являющееся следствием соотношений G) и A0), получим
* @ + «IT (t)]J0 Uk |/y) = Y (x, t), B5)
где положено
2fH B6)
Разложим теперь функцию Y (xy t) в ряд по собственным
функциям Уо (\xk у у), т. е. положим
Y(x, /) = Ёя,@/„и |/у). B7)
Это разложение по виду совпадает с разложением A3) и, сле-
следовательно, коэффициенты Hk(t) определяются по формуле A4):
(^?И B8)
Сравнивая разложения B5) и B7) для одной и той же функ-
функции Y (x9 t)y получаем уравнение
t) = Hk(t)9 B9)
которому должны удовлетворять коэффициенты Tk (t). При таком
определении коэффициентов Tk(t), функция B4) удовлетворяет
дифференциальному уравнению A8) и граничному условию A9).
Для удовлетворения же начальных условий B2) достаточно под-
подчинить функции Tk(t) условиям
ТЛ@) = 0, П@) = 0. C0)
Решение уравнения B9), удовлетворяющее начальным усло-
условиям C0), дается формулой
t
Tk(t) = ± § Нк(т) sin «>k(t-T)dT.
О
Подставив сюда выражение B8) для Нк (т), получим
— 181 —

Из сказанного вытекает, что отклонение подвешенной нити от
вертикального положения равновесия выражается формулой
+±
где коэффициент Tk(t), Ak и Bk определяются равенствами C1),
A4) и A5), а [х^ [х2, [х3, ...—положительные корни уравнения
/0([х) = 0.
Остановимся более подробно на том случае, когда внешняя
сила действует гармонически, т. е.
Y (х, t) = A sin со/.
В этом случае коэффициенты Tk (t) определяются по формуле
Возьмем теперь формулу
легко выводимую из разложений функций Jo (x) и У1 (х) в сте-
степенные ряды. С помощью этой формулы найдем, что
о
а так как
t
J
О
ТО
sincD*(/-T si
J
О
sin со/ со sin соь/
; 5 \-
Л —СО2 COjfe —СО2
Т m-
Допустим, что начальные отклонения и начальные скорости
в данном случае отсутствуют и нить колеблется только вследствие
действия возмущающей силы; тогда из формулы C2) и C3) вы-
вытекает, что отклонение нити от вертикального положения равно-
— 182 —

весия будет выражаться формулой
— A sin
у у),
= 1
sin
О**)
• C4)
Первый член правой части формулы C4) может быть упрощен.
Будем искать решение уравнения
dt* ~" дх
удовлетворяющее условиям
и\х=о = конечной величине,
в виде произведения
и= X (х) sin cot.
Подставив C7) в уравнение C5), получим
dx j * \ a
Его общее решение имеет вид
C6)
C7)
C8,
C9)
В силу граничных условий C6),
1
Г -А
о 2со 1/ -L
Из полученных результатов следует, что решение C4) можно
представить в виде
«С <> = л
¦(-/т)
/„ 2со
sin < —
/i)
(co| —CD2)
. D0)
В заключение заметим, что когда частота внешней возмущаю-
Щей силы со приближается к одной из частот собственных коле-
колебаний нити, то будет наблюдаться явление резонанса.
— 183 —

Заметим еще, что из сравнения формул C4) и D0) вытекает
р фру () ()
следующее разложение функции .° ,*' на рациональные дроби:
•МО
/4п
где суммирование распространяется по всем положительным кор-
корням уравнения Jo(x) = 0.
ЗАДАЧА
Тяжелая однородная нить длиной /, закрепленная верхним концом {х — 1)
на вертикальной оси, вращается вокруг этой оси с постоянной угловой ско-
скоростью со. Вывести уравнения малых колебаний нити и доказать, что ее отклонение
от положения равновесия выражается формулой
^^ ( / *
где
о
ш\'*».{
**= . ,,., - f(*)¦/. м* 1/ -f
а [г1? |и2, •••—положительные корни уравнения /o(jli) = 0.
Указание. Задача приводится к решению уравнения
д2и__ 2 д_/ ди
при условиях
г , ч ди
Глава XV
МАЛЫЕ РАДИАЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ГАЗА
§ 1. Радиальные колебания газа в сфере
Предположим, что газ заключен в твердую непроницаемую
оболочку сферической формы; поставим задачу исследовать малые
колебания газа около его положения равновесия.
В гл. I было показано, что потенциал скоростей газа удов-
удовлетворяет волновому уравнению
и д2и д
— 184 —

В этом параграфе рассмотрим так называемые радиальные коле-
колебания газа, которые образуются в том случае, когда начальные
условия выражаются равенствами
i г / \ ди
U\t = o =/@, Tt
где г—расстояние от колеблющейся частицы газа до центра шара.
Так как поверхность шара представляет собой твердую не-
неподвижную оболочку, то нормальная составляющая скорости равна
нулю, что приводит к граничному условию
!L=0' <3>
где R — радиус сферической оболочки.
Поскольку в случае радиальных колебаний потенциал скоро-
скоростей и зависит только от г и t, то, воспользовавшись выраже-
выражением для оператора Лапласа в сферических координатах (гл. XVIII,
§ 7), уравнение A) можно написать в таком виде:
1 = . D)
дг2 г дг a2 d/2 v
Таким образом, задача сводится к решению уравнения D) при
начальных условиях B) и граничном условии C). Будем искать
частные решения уравнения D) в виде
u = T{t)w(r). E)
Подставив это в D), получим
Обозначив обе части этого равенства через X2, получим два урав-
уравнения:
= 0, F)
(г) = 0. G)
Чтобы функция E), отличная от тождественного нуля, удов-
удовлетворяла граничному условию C), очевидно, нужно потребовать
выполнения условия
2fL=°- (8)
Общее решение уравнения G) имеет вид
т (г\ Г sin **r I Г CQS (Q\
Ш V / Ul г \^2 г » \Р/
где Сх и С2 — произвольные постоянные.
— 185 —

Так как по самому смыслу задачи искомое решение и (г, f) должно
оставаться ограниченным во всех точках внутри сферы, в том
числе и в центре, т. е. при г = 0, то в решении (9) мы должны
положить С2 = 0. Не ограничивая общности, можно считать
Сх = 1. Таким образом,
ш(г) = 8-^. A0)
Подставив A0) в граничное условие (8), получим уравнение
XR cos XR — sin XR = 0 A1)
для определения собственных чисел уравнения G) при гранич-
граничном условии (8) и w @) < с». Если положить
Я# = [х, A2)
то уравнение A1) можно записать в виде
A3)
Для нахождения вещественных корней этого уравнения по-
построим графики функций
Очевидно, что абсциссы точек пересечения этих кривых и дадут
искомые корни (рис. 23). Из чертежа видно, что корни \ik урав-
Рис. 23
нения A3) с увеличением индекса k неограниченно возрастают
по абсолютной величине, причем разность \ik—(k+-^)n стре-
стремится к нулю. Отсюда следует, что при достаточно большом k
— 186 —

можно положить
Что касается первых корней, то их можно вычислить следую-
следующим способом. Положим
— / /» I I ТТ О /1 К\
V'k — у* \~2) П еЛ' V10^
Подставив в уравнение A3), получим
ь+!)я-вЛ. об)
Возьмем теперь в разложении
ctgeftft
два первых члена; тогда уравнение A6) запишется в виде
f - 2 1 4е*
fc* ~~ Bk+ 1) я "^ 3 B& + 1) я *
Применив к последнему уравнению метод итерации, найдем при-
приближенное значение еЛ, а следовательно, по формуле A5), при-
приближенное значение корней [xk (k=l9 2, ...).
Так, например, с точностью до четвертого знака
li, = 4,4935, [х2 = 7,7250, [х3 = 10,9044.
Обозначим через \х1у [х2, [х3, ... положительные корни урав-
уравнения A3). Тогда, согласно A2), собственные числа будут
(*=1, 2, 3, ...)• A8)
Каждому собственному числу XI соответствует собственная
функция
sinX
Отметим, что ?to = 0 —также собственное число задачи G), (8),
которому соответствует собственная функция w0(r) = const.
При X = Kk общее решение уравнения F) имеет вид
где ak и bk — произвольные постоянные.
При Х0 = 0 имеем
-. 187 —

В силу E) получим, что функции
sin
uk(r, 0 = К
удовлетворяют уравнению D) и граничному условию C) при
любых а0, bQi ak, bk.
Далее, составим ряд
«^ sin tthL
и (г, t) = а0 -\- bot -f- 2ш^ (fl^cos^—\~bk sinfT~)—~r • B0)
Для выполнения начальных условий B) необходимо, чтобы
Ь-ЦД-, B1)
sin i-ь-
|%__А. B2)
Предполагая, что ряд B1) сходится равномерно, мы можем опре-
определить коэффициенты ak, умножив обе части равенства B1) на
г sin ^5~ и проинтегрировав по г в интервале от 0 до R\ тогда
и
получим
R R оо ^
rf (r) sin ^- dr = a0 \r sin ^~ dr + V ak \ sin Щ- sin —^ rfr. B3)
Докажем, что
sin^-dr = O. B4)
В самом деле, интегрируя по частям, получим
R
г sin ^fp dr = — % (\хп cos \in — sin jxw) = " CQS ^ (to; [хЛ — jxj,
откуда, в силу уравнения A3), и следует равенство B4). Далее,
из формулы
R
— 188 —

следует, что
R
Г Qin W Qin И*' Лг __ Я cos fife sin ц„ (щ tg Ця — Ич» *g Ц*)
J sin-3- sin -^dr _- _- ,
но так как [хЛ и \in суть корни уравнения A3), то
R
f sin й^. sin ^dr = 0 (кф п), B5)
о
т. е. функции sin Щ- ортогональны в интервале (О, R). Если же
= k, то
R
• 2 M-fe^ j ^ /1 sin2
sin2 ^dr = т (I
а так как
sin2 \xb = ¦
то
"'^=5-7тЦ- B6)
Приняв во внимание B4), B5) и B6), из равенства B3) най-
найдем, что
R
nr)s'mt?dr- B7>
Чтобы определить коэффициент а0, умножим обе части равен-
равенства B1) на г2 и проинтегрируем по г в интервале от 0 до /?,
тогда получим
Интеграл, стоящий здесь под знаком суммы, равен нулю, что
следует из B4). Следовательно,
B8)
— 189 —

Аналогично найдем
?(k)Jr' <29>
C0)
Таким образом, все постоянные, входящие в решение B0), най-
найдены. Заметим теперь, что в этом решении член
C1)
может быть отброшен. В самом деле, для определения процесса
движения газа нам надо прежде всего определить скорость v,
с которой колеблются его частицы. Составляющие vx, vyy vz этой
скорости на координатные оси вычисляются на основании формул
ди ди ди
V Ю V
где потенциал и выражается рядом B0). Но слагаемое C1), вхо-
входящее в этот ряд, не зависит от ху у и г\ поэтому картина рас-
распределения скоростей в колеблющемся газе не изменится, если
в ряде B0) отбросить член C1).
Положим теперь
ak = Ak sin ф^, bk = Ak cos фА,
тогда выражение B0) для потенциала скоростей может быть neper
писано следующим образом:
со sin ™L_
u(r> t) = y\ Ak } sin (~^" + Ф/г) • C2)
/г=1
Эта формула показывает, что общее радиальное колебание
газа можно рассматривать как состоящее из бесчисленного мно-
множества собственных гармонических колебаний, совершаю-
совершающихся с периодом
Первый член ряда C2) дает основной тон радиальных
колебаний газа, его период определяется формулой
—2nR л/"fo.
l~ »и У УРо'
где futx — наименьший положительный корень уравнения A3).
— 190 —

§ 2. Радиальные колебания газа
в неограниченной цилиндрической трубке
Предположим, что имеется неподвижная трубка, настолько
длинная, что ее можно считать простирающейся в обе стороны
до бесконечности; обозначим радиус поперечного сечения такой
трубки через /?.
Допустим, что эта трубка заполнена газом, который совер-
совершает малые колебания около своего положения равновесия. По-
Поставим себе задачей исследовать эти малые колебания, причем
ограничимся радиальными колебаниями, при которых потен-
потенциал скоростей и зависит только от г — расстояния колеблющей-
колеблющейся частицы газа до оси цилиндра Oz и от времени t.
В этом случае волновое уравнение
д*и 1 ди 1 д*и д*и_ 1 д2и
дг* + г дг~^ г2 дф2 + dz2 ~~ a2 dt2 '
написанное в цилиндрических координатах г, ф и г, примет более
простой вид:
д2и 1 ди 1 д2и
J
Очевидно, что мы решим поставленную задачу о малых коле-
колебаниях газа, если найдем такое решение уравнения C3), которое
удовлетворяет начальным условиям
C4)
\SU l—\J
и граничному условию
тг\ =0. C5)
дг \r=R v '
Согласно методу Фурье, частные решения уравнения C3) ищем
в виде
и (г, t) = T(t)w(r). C6)
Подставив в C3), получим
W'(r)+Tw'(r) T,l{t)
w(r) a*T(t)
и, следовательно,
27@ = 0, C7)
w" (г) + ywf (r) + Vw (r) = 0. C8)
Чтобы функция C6), отличная от тождественного нуля удов-
удовлетворяла граничному условию C5), очевидно, нужно потребо-
— 191 —

вать выполнения условия
arL=°- C9)
Общее решение уравнения C8) имеет вид (см. гл. XIII, § 1)
D0)
где Сх и С2 —произвольные постоянные.
Второе решение Yo (Xr) уравнения Бесселя обращается в беско-
бесконечность при г = 0. Так как по самому смыслу задачи искомое
решение должно оставаться ограниченным во всех точках цилиндра,
в том числе и на оси его, т. е. при г = 0, то в формуле D0)
следует положить С2 = 0. Не ограничивая общности, можно счи-
считать Сх = 1, т. е. положить
и тогда граничное условие C9) дает
0 D1)
или, пользуясь равенством ./о(л;) = —Jx(x), уравнение D1) можно
заменить следующим:
0. D2)
Это уравнение определяет собственные числа уравнения C8)
при граничном условии C9) и оу@)<оо.
В гл. XIII было показано, что уравнение
¦МИ) = О D3)
имеет бесчисленное множество положительных корней: \ilt [a2,
|i3, ... Отсюда следует, что собственные числа задачи опре-
определяются по формуле
Ч = (%)'¦ D4)
Каждому собственному числу XI соответствует собственная
функция
tM'Wo^). D5)
Отметим, что V = 0 также является собственным числом задачи
C8), C9), которому соответствует собственная функция w0 (r) = const.
При X = 'kk общее решение уравнения C7) имеет вид
где ак и ЬЛ —произвольные постоянные.
— 192 —

При А, = 0 имеем
T0{t) = a0 + bQt.
В силу C6) получим, что функции
U0 = аи + V»
Mr, 0= (a.cos^+ft. sin Kg*) Jo (IV.
удовлетворяют уравнению C3) и граничному условию C5) при
любых a0, 60, ak и 6Л. Далее, решение задачи ищем в виде
u{r, 0 = a0 + V + S(e»cos^ + &fcsine^)ye(^). D6)
Для выполнения начальных условий C4) необходимо, чтобы
Л(^). D7)
^bkJo(^). D8)
Написанные ряды представляют собой разложение заданных
функций f (г) и F (г) по функциям Бесселя «/0(тг) в интервале
@, /?), где [ik — положительные корни уравнения D3). Но такого
рода разложения нами изучались в конце гл. XIII, причем здесь
мы имеем тот случай, когда a = v — 0. Применив к рассматривае-
рассматриваемому случаю формулы D5), D6) и E0) гл. XIII, найдем значение
коэффициентов а0, Ьо, ak и bk, а именно:
jr/(r)jo(^)^ D9)
R
(^)dr E0)
Таким образом, все постоянные, входящие в решение D6), найдены.
Принимая теперь во внимание, что и есть потенциал скоростей,
можем отбросить слагаемое ao + bot} так как от этого картина рас-
распределения скоростей в колеблющемся газе не изменится. Внося
затем вместо коэффициентов ak и bk новые постоянные Ak и фд
посредством равенств
ak = Ak sin срЛ, bk = Ak cos фЛ,
перепишем ряд D6) в виде
0(^){^ ) E1)
7 -N» 645 — 193 —

откуда ясно, что радиальные колебания газа носят гармони-
гармонический характер, причем период основного тона определяется
формулой
где pi1== 3,83171 —наименьший корень уравнения D3).
ЗАДАЧИ
1. Идеальный газ заключен между двумя неподвижными концентрическими
сферами радиусов Rx и R2(R\ < #2)- Найти малые колебания газа между сфе-
сферами, вызванные начальным радиальным возмущением плотности
р(/\ 0) — ро = /(г) (#i < г < #2).
Ответ:
и {г, /) =
где
2 + cos
ynlnR2 cos %nR<> — sin
2, . . . — положительные корни уравнения
V« sin Xnr) dr,
6п=\ (cos knr-{-yn sin XnrJdr.
Указание. Задача сводится к решению уравнения
и 2ди
dt2~~a [дг^ г дг
при условиях
ди
дг
-0 д±
~ ' дг
= 0,
it иг г=Нг
аа
2. Идеальный газ заключен между двумя концентрическими сферами s#t и
s#2. Радиус внутренней сферы sRl меняется по закону
R (t) = /?, + е sin со* @ < е < flj,
а внешняя сфера остается неподвижной. Найти установившиеся колебания газа
между сферами.
— 194 —

СОЛ
—-— aRl sin—- cos —
. соЯ2
0)Я2
2e cos 0)^.
Указание. Задача сводится к решению уравнения
при граничных условиях
ди
3. Однородный газ заполняет бесконечно длинную полую трубку, внутрен-
внутренний радиус которой равен Rlt а наружный — R2. Найти малые колебания газа,
если начальные возмущения радиально симметричны.
Ответ:
sin aXkt) Rk (r),
где
Rk M = Jo (V) #о1}' (
г — положительные корни уравнения
E=J rR\(r)dr.
Ri
Глава XVI
ПОЛИНОМЫ ЛЕЖАНДРА
§ 1. Дифференциальное уравнение Лежандра
Уравнением Лежандра называется уравнение вида
где ^ — некоторый параметр; оно имеет особые точки х
A)
= —1 И
— 195 —

Рассмотрим следующую граничную задачу: найти значения
параметра 1, при которых в промежутке [—1, 1] существует
нетривиальное решение уравнения A), ограниченное в особых точ-
точках х = ± 1 •
Будем искать решение уравнения Лежандра в виде степенного
ряда
*/=2Х*и. B)
Подставляя B) в A), получим
2 [(n
0
Отсюда следует, что
(п + 2)(п+\)ап+2-[п(п
или
Коэффициенты а0 и а3 остаются произвольными. При ао^О,
ах =0 получим частное решение уравнения A), содержащее только
четные степени х, при ао = О, ахф0 — частное решение, содержа-
содержащее только нечетные степени х.
При A, = ft(n+1) уравнение A) имеет решение в виде много-
многочлена степени п, которое ограничено в особых точках jc=±1.
Найдем теперь соответствующие решения уравнения
имеющие форму многочленов степени д.
Рассмотрим многочлен степени 2п:
Нетрудно видеть, что этот многочлен удовлетворяет следующему
дифференциальному уравнению
(а1)
Продифференцируем обе части этого уравнения п раз по х, тогда
получим
Если мы продифференцируем это уравнение еще раз по х, то най-
найдем, что г{п) удовлетворяет уравнению D).
— 196 —

Итак, уравнение D) имеет решение
Где q — постоянная. Полагая
(
получим
1
2пп\
dxn
= 0,1,2,...).
E)
Это и есть полиномы Лежандра, которые являются решениями
уравнения A) при 1к = п(п+1).
Формула E) называется формулой Родрига.
Таким образом, полиномы Лежандра являются собственными
функциями рассматриваемой задачи, соответствующими собственным
числам
Хп = п(п+1) (/1 = 0, 1, 2, ...).
Вычисляя по формуле E), получим:
PoW=l, /\ (*)=*, PaW = yCJca-l), P3(x)^±Ex*-3x),
р* (х) = -g- C5jc4- ЗОх2 + 3), Рь (х) = 1 F3х5 - 70*3 + 1 5jc)
и т. д.
Графики полиномов Лежандра первых шести порядков изобра-
изображены на рис. 24.
— 197 —

§ 2. Ортогональность полиномов Лежандра и их норма
Докажем, что полиномы Лежандра различных порядков орто-
ортогональны в интервале (— 1, +1). Напишем уравнение A) для двух
различных полиномов Лежандра.
U
Умножая первое из этих уравнений на Рп{х)> второе —на Рт(х)>
вычитая и интегрируя по промежутку (—1, 1), получим
1
-1
1
S
-1
= (\-х*)[Ра(х)Р'п(х)-Рп(х)Р'т(х)]\^Ц =
Итак,
(К-К)
или
1
5 Pn
-1
т. е. полиномы Лежандра ортогональны в интервале (—1, +1).
Вычислим квадрат нормы полиномов Лежандра
J«= S PU*)dx.
-i
Пользуясь формулой E), перепишем интеграл в виде
1
/ — _L_ Г dn(x2 — \)n ^(x1— \)п 1
Jn — 22n(nlJ J ~^П -fan йХ'
-1
Интегрируя п раз по частям и принимая во внимание, что каж-
каждый раз внеинтегральный член равен нулю, получим
— 198 —

или
-1
Известно, что
1
Г (у2 1 \п Ну — ( IV» 9 . 2'4 ' ' • 2/г
и предыдущая формула окончательно дает:
1
J
-1
Таким образом, мы имеем
* (О, тфп,
Pn(x)Pm(x)dx=\2_ F)
-1 12/г+1' т — п.
Пусть произвольная функция f(x) представима в виде ряда по
полиномам Лежандра
/W=2oAD G)
м = 0
Коэффициенты ап этого разложения могут быть формально оп-
определены на основании свойства ортогональности полиномов Ле-
Лежандра. Действительно, умножая ряд G) на Рт (х) и интегрируя
по отрезку [—1, +1], получим, в силу F), что
(8)
-1
Докажем теперь, что система ортогональных полиномов Ле-
Лежандра E) в интервале ( —1, +1) является замкнутой системой.
Действительно, в систему E) входят многочлены всех степеней.
Поэтому любсй многочлен Qn(x) степени п можно представить
в виде линейной комбинации полиномов Лежандра порядков от
нуля, до п:
t
С другой стороны, в силу теоремы Вейерштрасса, любую не-
непрерывную функцию в отрезке [ — 1, 1] можно равномерно прибли-
приблизить многочленом Qn{x) со сколь угодно большой точностью.
— 199 —

Следовательно, для любого е>0 можно найти такую линей-
линейную комбинацию полиномов Лежандра, чтобы было
-1 L fe=0
из чего непосредственно следует
CkPk(x)\dx<s.
Если вместо коэффициентов Ck мы возьмем коэффициенты
Фурье функции f(x) относительно системы полиномов Лежандра E),
то написанное неравенство будет тем более удовлетворено. В силу
произвольной малости числа е > 0, мы можем утверждать, что
средняя квадратичная погрешность при представлении функции
отрезком ее ряда Фурье по полиномам Лежандра стремится к нулю,
т. е. полиномы Лежандра действительно образуют замкнутую си-
систему, а значит, и полную систему. Отсюда легко заключаем,
что уравнение A) не имеет решений ограниченных в особых точ-
точках а: = ±1, отличных от полиномов Лежандра. Действительно,
если бы такое решение существовало, то оно было бы ортого-
ортогонально ко всем полиномам Лежандра Рп (х), что невозможно, так
как система \Рп(х)} полная.
§ 3. Некоторые свойства полиномов Лежандра
1) Полином Лежандра п~и степени есть функция той же чет-
четности, что и п:
Это утверждение непосредственно следует из формулы E), если
заметить, что (х2—1)" функция четная, а каждое дифференциро-
дифференцирование меняет ее четность.
2) ^2n-i(°) = °> ^2и@) = (— 0и22иыJ' A0)
Первое из этих равенств сразу следует из (9). При доказатель-
доказательстве второго заметим, что значение многочлена при х = 0 есть его
свободный член. Так как при я-кратном дифференцировании сте-
степень каждого члена понижается на п единиц, то свободный член
Р2п @) получается при дифференцировании члена, содержащего х2п,
многочлена (х2— IJ". Этот член, очевидно, равен (—-1 )п у-^ х2п.
Дифференцируя его 2п раз и умножая на 22п Bп)}, мы и получим
вторую из формул A0).
3)РЙA) = 1, Рп{— 1) = (— 1)". A1)
— 200 —.

Для доказательства перепишем формулу E) следующим образом:
и, применяя формулу Лейбница, получим
Имеем, очевидно,
t „
= 0 (k = \, 2 n),
dxn
откуда непосредственно следует равенство
Второе из равенств A1) получается из первого при помощи (9).
4) Все корни полинома Лежандра Рп (х) вещественны, различны
и лежат в интервале (—1, +1).
Это утверждение легко следует из формулы E) и теоремы Ролля.
Действительно, многочлен ^ ~ степени 2п—1 имеет корни
x = -\zl кратности п—1 и по теореме Ролля имеет еще один ко-
корень а; = gx внутри отрезка [—1, +1]. Этим и исчерпываются все
его корни. Затем полином — ~ степени 2п — 2 имеет корни
* = ±1 кратности п — 2 и, кроме того, по теореме Ролля имеет
два вещественных корня: один внутри [—1, J-J и другой внутри
[li, 1]. Продолжая так и дальше, мы увидим, что Рп(х) имеет п
различных корней внутри [—1, +1].
§ 4. Интегральные представления полиномов Лежандра
Кроме дифференциальной формулы Родрига E) можно для
полиномов Лежандра получить ряд интегральных представлений.
Так, Шлэфли представил полиномы Лежандра в виде комплексных
интегралов
п W "" 2ni J 2" (z-x)« + l аг'
L
где L — произвольный замкнутый контур, охватывающий точку х.
Для доказательства заметим, что по теореме Коши интеграл
равен вычету подынтегральной функции, соответствующему един-
единственному полюсу z—x. Коэффициент при (г — х)п в разложении
полинома (z2 —1)« по степеням (z-x) равен ^y^i(^2 —1)л и по'
— 201 —

1 dn (x2 1)"
тому искомый вычет есть -^—j — , „ , а это не что иное, как
Р«(х).
Из формулы Шлэфли можно получить формулу Лапласа:
^l cosy)"d<p. A3)
Пусть я —вещественное число, большее чем единица; положим,
что контур L в формуле A2) есть окружность с центром х и
радиусом Vx2 — !, Тогда можно сделать замену переменных
z = х + Ух2— 1е%
причем ф изменяется от 0 до 2л.
Имеем
г2 — 1 - (х + Ух2 — 1 в*)* — 1 - (х2 — 1) A + е2'?) -f
+ 2х Vx2—\e^ - 2 Vx2— 1е''ч(х
Подставляя в формулу A2), получим
2п(\^х2 — le^fix+V^x2— I coscp)" .
^ j (а; + l/T^T cos
"Жр = ~ j (х + VIT^ cos ф)
о
Формула A3) доказана для значений #> 1, но так как Рп(х)
полином, то она справедлива и для всех значений х, причем
выбор знака у радикала совершенно безразличен, потому что при
разложении функции, стоящей под интегралом, по формуле
бинома Ньютона и последующем затем интегрировании члены,
содержащие радикалы, пропадают.
Из интегральной формулы Лапласа A3) можно получить
следующую оценку:
|ЯЙ(*)|<1 ПРИ —1<*<1. (И)
Действительно,
= _L С (у? sin2 Ф + cos2 ф)" dtp < i-
— 202 —

Заметим, что оценку A4) для всего отрезка [—1, +1] улуч-
улучшить нельзя, ибо Рп(\)=\.
§ 5. Производящая функция
Функция
1
является производящей функцией для полиномов Лежандра, т. е.
эти полиномы являются коэффициентами ее разложения в ряд по
положительным степеням z:
со
! — V Р (Х\ 2п (]Ъ
i/"i_9 тгъ Zu п^' ^1О'
у \ zxz-\-z п=0
для любых значений х и для значений z достаточно малых:
При сделанных предположениях, пользуясь формулой Лап-
Лапласа A3), имеем
о п = о
л
1 — (х + Ух2 — 1 cos ф) z
nz У х2— 1 J _Lz?L__c
О z у Х2 \
Принимая во внимание, что
1;
dtp
-СОБф
(предполагается, что / не лежит на отрезке [—1, +1] и значение
корня j/*f2—1 должно быть фиксировано так, чтобы было выпол-
выполнено неравенство \t— |/~?2— l|< 1), мы видим, что правая часть
равенства A6) приводится к • r l
y\2xz + z
Отметим, что ряд A5) равномерно сходится при —1
|г|<1, ибо |Р„(л:)|<1 при —1^а:^+1 и, следовательно,
()яК||
Если |г|>1, то обозначаем zl = —. Тогда |г^| < 1 и мы по-
— 203 —

лучим
Итак,
2 Рп (х) zn ПРИ Iz I < 1 >
оо (—1<л:<^1).
§ 6. Рекуррентные соотношения между полиномами
Лежандра и их производными
Исходя из производящей функции легко получить рекуррент-
рекуррентные соотношения между полиномами Лежандра. Действительно,
дифференцируя A5) по г и умножая затем на A — 2xz + z2),
получим
ИЛИ
Отсюда, сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях г,
получим:
(n+\)Pn + 1(x)-Bn+l)xPn(x) + nPn_1(^)-0 (Ai=l,2, ...) A7)
/>!(*)-*/><,(*) = (). A8)
Точно так же, дифференцируя A5) по л: и умножая затем на
A—2л:г + г2), будем иметь
или, подставляя Ри+1(х) из A7),
<W=^-%^- B0)
Исключая х—j^- из A9) и B0), получим
??®?&B1)
Эта формула остается справедливой и при д = 0, если поло-
положить—з* ' Полагая в формуле B1) я = 0, 1, 2, ..., п и
— 204 —

складывая, получим
? Bk+l)Pk(x) = d^u + d^. B2)
k = 0
§ 7. Функция Лежандра второго рода
Для построения общего решения уравнения D) необходимо
найти еще одно его решение, линейно не зависящее от полиномов
Лежандра Рп (х). Не приводя здесь доказательства, укажем, что
оно имеет следующий вид:
Qn (х) = -^Рп(х)^п^ZTJ — 2^ B/2—1) (n — k + l) ^n-2k + i (х)> B3)
где /V ==у п при п четном и N = — (п+ 1) при л нечетном. В част-
частности, при п = 0, 1, 2, 3 имеем:
Так как функции /э„ (х) и С?„(х) линейно независимы, то об-
общее решение уравнения D) может быть записано в виде
y = ClPn(x)i-C.iQn(x), B4)
где CL и С2 — произвольные постоянные,
§ 8. Малые колебания вращающейся струны
В качестве простого примера приложения полиномов Лежандра
рассмотрим задачу о колебании однородной струны длиной /, за-
закрепленной одним своим концом на неподвижной опоре и могущей
свободно вращаться около точки опоры. Если мы пренебрежем
силой тяжести и сопротивлением воздуха, то положение равнове-
равновесия струны будет изображаться прямой линией вращающейся
в плоскости, проходящей через точку опоры, с постоянной угловой
скоростью со. Струна может колебаться около этого положения
равновесия, если она будет из него выведена. При изучении ко-
колебаний мы можем отвлечься от равномерного движения линии
равновесия и рассматривать только смещения и струны от линии
равновесия. Смещение и является функцией времени t и расстоя-
— 205 —

ния от точки опоры Ху при этом будем считать, что и перпенди-
перпендикулярно к плоскости вращения струны.
В случае вращающейся струны мы должны найти ускорение
точки, представленное суммой двух векторов: одного постоянной
длины х и другого (перпендикулярного к х) переменной длины и.
Оба эти вектора вращаются с угловой скоростью со.
Так как и параллельно оси вращения (перпендикулярно к пло-
плоскости вращения), то ускорение этой точки будет—®2х вдоль оси
Ох и 4j2 вдоль оси Ои. Сила, действующая на элемент длины dx
струны на расстоянии х от неподвижной опоры, равна
где р — плотность струны.
Натяжение в точке х будет определяться суммой сил, действую-
действующих на все элементы струны от точки х до наружного ее конца:
(х)= f
раз2
Отсюда нетрудно получить и уравнение свободных колебаний
вращающейся струны, а именно:
р㫦-^иЧ6?с-'-Щг
или
Очевидно, что мы решим поставленную задачу о малых коле-
колебаниях вращающейся струны, если найдем решение уравнения B5),
удовлетворяющее граничному условию
«L=o = 0 B6)
и начальным условиям
и It-o = /(*). Щыо = р(*)- B7)
Будем искать частные решения уравнения B5), удовлетворяю-
удовлетворяющие условию B6), в виде
u = T(t)X(x). B8)
Подставляя в B5), имеем:
а?Т (О X (х)
— 206 -

Обозначая обе части этого равенства через —Я, получим два
уравнения
T"(t) + a2lT(t) = 0, B9)
) = 0 C0)
Полагая * = /?, преобразуем уравнение C0) к виду
0. C1)
Это есть уравнение Лежандра.
По своему физическому смыслу смещение струны и (х, t) должно
оставаться ограниченным в промежутке [О, I]. Поэтому нужно
найти такие решения уравнения C0), которые ограничены в этом
промежутке, включая его концы. В начале этой главы было по-
показано, что при Я, = я(п+1), где п — целое положительное число,
уравнение Лежандра C1) в промежутке [—1, 1] имеет решение,
ограниченное в точках ? = ±1. Это решение есть полином Ле-
Лежандра РпA)- Следовательно, возвращаясь к переменной х, мы
можем утверждать, что
Х(х)^Рп[~ J C2)
есть решение уравнения C0), ограниченное в точках х=±/ при
Удовлетворяя граничному условию B6)s получим
Рп @) = 0.
Это возможно, когда n = 2k — 1, где k — целое положительное
число.
Таким образом, нетривиальные решения уравнения C0) при
граничных условиях
Х@) = 0, Х(/) — ограничено C3)
возможны лишь при значениях
rKk = 2kBk^\) (fe = l, 2, 3, ...). C4)
Этим собственным числам соответствуют собственные функции
C5)
которые образуют ортогональную систему функций на отрезке
При *k = Xk общее решение уравнения B9) имеет вид
Тк(t) = акcos V2kBk—\) at -,-Ьк sin V2kBk — \)at. C6)
— 207 —

В силу B8), получим, что функции
uk(x, t) = [ak cos К2/гB/г— \)at-\-
+ bk sin V2kBk—\) at] P2k_t (-y-) C7)
удовлетворяют уравнению B5) и граничному условию B6) при
любых лк и bk. Для решения задачи составляем ряд
00
и(х> 0 = Х [akcosV2kBk — l)at +
C8)
и требуем, чтобы выполнялись начальные условия B7):
00
и (*, 0) = ?<!»/>„_ t (!)=/ (х). C9)
D0)
k=\
Предполагая, что ряд C9) сходится равномерно, мы можем
определить коэффициенты ak, умножив обе части равенства C9)
-гА и проинтегрировав по а: в интервале от 0 до /; тогда,
принимая во внимание ортогональность собственных функций,
получим
Отсюда
Аналогично найдем
Таким образом, решение задачи дается рядом C8), где ak и bk
определяются формулами D1) и D2).
— 208 —

Переписав решение C8) в виде
00
и (х, t) = ? Ak sin A/2/5B/2-1)а* + Фй) Я,,., (f) , D3)
мы видим, что малые колебания вращающейся струны слагаются
из гармонических колебаний. Частота колебаний tok k-vo обертона
выражается формулой
(x>k = V2kBk— l)a = VkBk—1H.
Отсюда следует, что частоты колебаний зависят от угловой
скорости 0 и не зависят от длины струны и ее плотности (до тех
пор, пока плотность постоянна). При увеличении длины или плот-
плотности увеличивается масса струны, которая стремится понизить
частоту; при этом также увеличивается натяжение, что должно
вызывать повышение частоты. Эти два фактора компенсируют
друг друга.
ЗАДАЧИ
1. Доказать, что
( 1 при п = 0,
* j 0 при n = 2k, k>0,
(-1)*
\ Pn(x)dx = \ (9Ь\\
0
I
2. Доказать, что
( 0 при k =
xPk(x) dx=! (_l)"Bn-
3. Разложить в ряд по полиномам Лежандра функцию / (х), заданную сле-
следующим образом:
г / ч __ I 0 при — 1 ^ х < 0.
/ \х) — ^ 1 ПрИ 0 < х ^ 1.
Ответ:
4. Однородная струна, вращающаяся так, как это указано в § 8 этой главы,
находится под действием силы рУ (х, t), непрерывно распределенной вдоль всей
ее длины. Доказать, что вынужденные колебания струны выражаются равенством
где
T)sin
209 —

Глава XVII
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ФУРЬЕ К ИССЛЕДОВАНИЮ МАЛЫХ
КОЛЕБАНИЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ И КРУГЛОЙ МЕМБРАНЫ
§ 1. Свободные колебания прямоугольной мембраны
Рассмотрим малые колебания однородной прямоугольной мем-
мембраны со сторонами р и q, закрепленной по контуру.
В гл. I было показано, что эта задача сводится к решению
волнового уравнения
при граничных условиях:
и начальных условиях:
Будем искать частные решения уравнения A) в виде
и{х, у, t) = T(t)v(x, y)y D)
удовлетворяющие граничным условиям B).
Подставив D) в уравнение A), получим
T"(t) =ухх+ууу
a2T(t) v
Очевидно, что это равенство может иметь место только в том
случае, когда обе его части равны одной и той же постоянной
величине. Обозначим эту постоянную через — k2 и, принимая во
внимание граничные условия B), найдем что
0 = 0 E)
= 0, F)
1\х1°0+°о[ 1\*У=о'. G)
Граничную задачу F), G) будем решать методом Фурье, полагая
v(x,y) = X(x)Y(y). (8)
Подставляя (8) в уравнение F), получим
Y" (У) , и2 _ . X" (х)
— 210 —

откуда получаем два уравнения:
X" (х) + klX (х) = О, Y" (у) + k\ Y (у) = 0, (9)
где
k\ = k2 — k\ или k2 = kl + k%. A0)
Общие решения уравнений (9), как известно, имеют следую-»
щий вид:
in/^я,
Y (у) = С3 cos k2y + Ct sin k2y. * '
Из граничных условий G) получим
Х@) = 0, Х{р)
У@) = 0,
откуда ясно, что Ci = C3 = 0y и если мы положим С2 = С4=1, то
окажется:
X (х) = sin /^х, F(y) = sin/^2y, A3)
причем должно быть
sin &!/? = 0, sinfe2<7 = 0. A4)
Из уравнений A4) вытекает, что kY и k2 имеют бесчисленное мно-
множество значений:
k K (m «l 2 3 )
Тогда из равенства A0) получим соответствующие значения постоян-
постоянной k2:
E ^) A5)
Таким образом, собственным числам A5) соответствуют соб-
собственные функции
, v , тлх . пли /1/^\
*>«» (х, У) = sin — sin -^ A6)
граничной задачи F), G).
Обращаясь теперь к уравнению E), видим, что для каждого
собственного числа k2 = k2mn его общее решение имеет вид
Tmn(t) = Amncosakmnt + Bmns\nakmnt. A7)
Таким образом, в силу D), A6) и A7), частные решения урав-
уравнения A), удовлетворяющие граничным условиям B) имеют вид:
"-»(х, у, t) = {Атп cos akmnt + Bmn sin dkmn t) sin ^ sin n-^-. A8)
— 211 —

Чтобы удовлетворить начальным условиям C), составим ряд
и(х, ff,0 = IS (AmncosakmJ + Bmnsmakmnt)sin^f sm'Lf.
m=1n—1
A9)
Если этот ряд равномерно сходится, так же как и ряды, полу-
полученные из него двукратным почленным дифференцированием по л:,
у и /, то сумма его, очевидно, будет удовлетворять уравнению A)
и граничным условиям B). Для выполнения начальных условий C)
необходимо, чтобы
да
dt
tnn mn n n * \^ * /
m=\ П=\
Предполагая, что ряды B0) и B1) сходятся равномерно, мы
можем определить коэффициенты Атп и Втп, умножив обе части
равенств B0) и B1) на
ШлЛХ .
Sin —— Sin
и проинтегрировав по х в интервале от 0 до р и по у от 0 до q.
Тогда, приняв во внимание, что
Р Q
Итпх . пщ . гплпх .
sin sin —- sin ——sin
p q p
о о
О, если т Ф mL,
или пфп1У
Pj-9 если т.=т,
получим
P Q
B2)
о о
Решение A9) можно записать также в виде
u(x, yj) = 2u2^ Mransin^sin '^sm(akant + <pmn), B3)
— 212 —

где
Мтп = VA*mn + B*mn, Фип = arctg |a».
Рассматривая равенство B3), видим, что отдельные его члены
выражают собой гармоническое колебательное движение, и, сле-
следовательно, общее колебание мембраны слагается из бесчисленного
множества собственных гармонических колебаний типа стоячих волн.
Частота каждого собственного колебания определяется по фор-
формуле
+ ?, B4)
а период колебаний по формуле
Т = 2pq (9Ь\
а у m2q2 + n2p2
Мембрана отличается от струны тем, что для последней каждой
частоте собственных колебаний соответствует своя форма струны,
которая просто разделяется узлами на несколько равных частей.
Для мембраны же может оказаться, что одной и той же частоте
соответствует несколько фигур мембраны с различными положе-
положениями узловых линий, вдоль которых амплитуды собственных
гармонических колебаний равны нулю. Проще всего это исследо-
исследовать на примере квадратной мембраны
p = q==n.
В этом случае частота а*тп будет вычисляться по формуле
Из этой формулы видно, что основной тон, определяемый выра-
выражением
ии = Мп sin (co11^ -f cpn) sin х sin у,
имеет частоту (ull = aY2, причем очевидно, что для этой частоты
узловые линии совпадают со сторонами квадрата, образуемого
мембраной.
В тех случаях, когда
т = 1, п = 2 или т = 2, п = 1,
имеем два обертона:
и12 = М12 sin (со1Я/ + ф12) sin х sin 2y,
и21 = М21 sin (co21/ -1- ф21) sin 2x sin у
с одной и той же частотой
со = оI2 = со21 = а V 5.
— 213 -

1
1
1
1
\
\
\
\
/
/
/
/
/
Ясно, что для этой частоты узловые линии определяются из урав-
уравнения
a sin х sin 2y + Р sin 2x sin у = О,
или
a cos # +13 cos л: = 0.
Простейшие из них изображены на рис. 25 пунктирными
линиями. Более сложные узловые линии при той же частоте полу-
получим, когда аф±:$ и а, $ф0,
но мы их приводить не будем.
Аналогичным способом изу-
изучают узловые линии и следую-
следующих обертонов.
Вынужденные коле-
колебания прямоугольной мембра-
мембраны исследуются совершенно так
же, как и вынужденные колебания струны, с той лишь разницей,
что внешняя сила Ф(х, у, t) разлагается не в простой, а в двой-
двойной ряд Фурье.
§ 2. Свободные колебания круглой мембраны
Рассмотрим задачу о колебании круглой мембраны радиуса /,
закрепленной по контуру. Эта задача приводится к решению волно-
волнового уравнения в полярных координатах:
д2и 1 ди I д2и _ 1 д2и /ОАЧ
Рис. 25
при граничном условии
и начальных условиях
ди
=о = /(^. Ф)> 57 - -==/?(г'(Р)"
f=0
B7)
B8)
Из физического смысла задачи ясно, что решение w(r, <p, /)
должно быть однозначной периодической функцией от ф с перио-
периодом 2я и оставаться ограниченным во всех точках мембраны, в том
числе и в центре мембраны г = 0.
Применяя метод Фурье, положим
и (г, Ф, t) = T(t)v(r, Ф). B9)
Мы получим уравнение для Т (t):
его общее решение
Т {t) = CL cos aU + С\ sin aktt
— 214 —
C0)

и следующую граничную задачу для функции v (r, ф):
»|г=/ = 0, C2)
иг=о = конечной величине, v (г, ф) = и(г, ф-(-2я). C3)
Будем искать решение уравнения C1) в виде
v (г, ф) = Я(г)Ф(ф). C4)
Подставив в уравнение C1) и разделив переменные, получим
Ф" (ф) z-2/?" (/-) + /-?' (/-) +А,2/-2/? (г) 2
Ф(ф) Я(г) Р'
откуда, приняв во внимание C2), C3) и C4), придем к двум
граничным задачам:
Ф"(Ф) + Р2Ф(Ф) = О, C5)
Ф (Ф) - Ф (Ф + 2я), Ф' (ф) = Ф' (ф + 2я); C6)
R»{r)+±R'(r) + (V-^R(r) = 0, C7)
/?(/) = О, /? @) - конечной величине. C8)
Нетрудно видеть, что нетривиальные периодические решения
задачи C5)—C6) существуют лишь при условии, что р = п
(п — целое число) и имеют вид
ns\nmp (и = 0, 1, 2, ...).
Вернемся к уравнению C7). Его общее решение при р = п
имеет вид:
Rn(r) = DnJn(%r)+EnYn(Kr).
Из второго условия C8) следует, что Еп = 0. Первое условие дает
Положив XI = [х, получим трансцендентное уравнение для опре-
определения [х:
-/„(И') = 0, C9)
которое, как известно, имеет бесчисленное множество положи-
положительных корней
,(«) и (Л) и (Л)
которым соответствуют значения
Кт = ^~ (т=1, 2, ...,п = 0, 1,2, ...
и соответствующие решения задачи C7) — C8)
— 215 —

Возвращаясь к задаче C1) —C3), найдем, что собственному
значению Km^l^j-J соответствуют две линейно-независимые
собственные функции
^) (m=l,2, ..., n=»0, 1, 2...).
Из вышеизложенного вытекает, что можно составить бесчис-
бесчисленное множество частных решений уравнения B6), удовлетворяю-
удовлетворяющих граничному условию B7) и имеющих вид:
Чтобы удовлетворить начальным условиям B8), составим ряд
n = Q m=\
fL+D.,sinafL)sjnn(p]Л(вфг). D0)
Коэффициенты Лит, В„т, Си/72 и Dwm определяются из начальных
условий B8). Действительно, полагая в ряде D0) t = 0, получим
т=1 Ч 7 п=\
00/00
GO / 00
Этот ряд представляет собой разложение периодической функции
/(г, ф) в ряд Фурье в интервале @, 2п) и, следовательно, стоящие
здесь множители при соэпф и sin щ должны быть коэффициентами
Фурье; другими словами, должны иметь место следующие равенства
] ^) D2)
О т=1
О
/i«r \
/(r, Ф)со8Пф^ф= ? ^«^(^T-J' D3)
D4)
216 —

Рассматривая эти равенства, мы убеждаемся, что они представ-
представляют разложения произвольной функции Ф(г) в ряд по функциям
Бесселя:
()
т-\
В гл. XIII было показано, что коэффициенты ат определяются
формулой
Принимая во внимание эту формулу, без труда убедимся, что
2
2л
И
/ 2л (Л)
СИЛ2 = — \ \ /(г, ф) Jn ( ^nJL \ sin щ rdrdy. D7)
Рассуждая аналогичным образом, мы определим и коэффи-
коэффициенты Вот, Впт, Dnm — нужно только заменить в формулах D5),
D6) и D7) /(/', ф) на F(r, ф) и разделить соответствующие выра-
аа(П)
жения на -¦¦ I71 . Таким образом, все коэффициенты в разложении
D0) определены, и мы можем переписать найденное нами решение
задачи B6) — B8) в виде:
vBJ, D8)
где постоянные Мпт, tynm и упт связаны очевидным образом с по-
стоянными Апт, BnmJ Cnm и D
янными Апт, BnmJ Cnm и Dnm.
Из выражения D8) видно, что общее колебание круглой мемб-
мембраны складывается из бесчисленного множества собственных гармо-
гармонических колебаний с частотой
где Го —натяжение, а а —поверхностная плотность мембраны.
При п = 0 и т = 1 мы имеем основной тон наименьшей
частоты
@)
cooi = -7"
— 217 —

Кроме того, формула D8) показывает, что для круглой мемб-
мембраны стоячие волны различной частоты имеют узловые линии.
Простейшие из этих линий определяются уравнениями:
D9)
Первое из этих уравнений определяет т—\ окружностей,
концентричных с контуром мембраны и имеющих следующие
уравнения:
. (П) (П) (П)
I М(Л) *» Г2 (АХ) *» • * • > Гт-1 ~" (Л) *•
Цт f*m Цт
Второе из уравнений D9) определяет п диаметров мембраны
с уравнениями
На рис. 26 изображены некоторые простейшие случаи располо-
расположения узловых линий.
Рис. 26
— 218 —

В случае радиальных колебаний круглой мембраны начальные
функции зависят только от г:
=/(r)- wL=F{r)- E0>
Тогда из формул D5), D6), D7) и им аналогичным следует, что
и при п>0 коэффициенты Апт, Впт, Спт и Dnm равны нулю.
Ряд D0) сводится к ряду
и (г. t)=±(Aomcos^ + Bomsin^)j0 (!#!), E1)
m= I
где ^т— положительные корни уравнения J0(\x) = 0.
§ 3. Метод Фурье в многомерном случае
Рассмотрим уравнение
§? =М«). E2)
где
коэффициенты которого определены в конечной, связной области
Q изменения Х = (х1У ...,хп) и удовлетворяют в Q условиям
а(X)>0, atJ = ajh ^ a^fo>а^Й, а> 0. E3)
Второе из неравенств E3) выражает тот факт, что уравнение E2)
принадлежит гиперболическому типу.
Для уравнения E2) рассмотрим следующую смешанную задачу:
определить в цилиндре Qr = Q [0 <t <T] решение уравнения E2),
удовлетворяющее начальным условиям
и граничному условию
5=опРи ^[0, Т]» E5)
где S есть граница области Q.
— 219 —

Будем искать сначала нетривиальные решения уравнения E2)
в виде произведения
u = v(X)T(t), E6)
удовлетворяющие граничному условию E5). Подставив E6) в урав-
уравнение E2), получим
v(X)T"(t)J^^;(yai/(X)^-a(X)v\T(t)
или
T"(t)_L(v)_ .
ТО)* v
откуда
" =0, E7)
E8)
Чтобы получить нетривиальные решения уравнения E2) вида E6),
удовлетворяющие граничному условию E5), необходимо, чтобы
функция v(X) удовлетворяла граничному условию
v\s=o- E9)
Таким образом, мы приходим к следующей задаче: найти такие
значения Я, при которых уравнение E8) имеет нетривиальные
решения, удовлетворяющие граничному условию E9).
Эти значения % называются собственными числами, а соот-
соответствующие решения—собственными функциями граничной за-
задачи E8), E9).
Можно доказать, что задача E8), E9) имеет бесконечное мно-
множество собственных чисел
^i < ^2 < • • • <^« <,..., Нт 1п = оо.
Ввиду однородности уравнения E8) и граничного условия E9)
собственные функции vk(X) определяются с точностью до произ-
произвольного постоянного. Выберем этот множитель так, чтобы
\v\{X)dX=\i F0)
Q
т. е. будем считать собственные функции нормированными. Собст-
Собственные функции, соответствующие различным собственным числам,
ортогональны:
\ 0, (кфт). F1)
Это доказывается совершенно так же, как и в однородном случае,
причем используется формула интегрирования по частям для
— 220 —

многомерных интегралов. Если собственному числу Xk соответ-
соответствует несколько линейно независимых собственных функций, то
их можно подвергнуть процессу ортогонализации и, следовательно,
считать эти функции попарно ортогональными.
Таким образом, мы можем считать, что все собственные функции
задачи E8), E9) образуют ортогональную и нормированную систему.
Пусть Kk — собственные числа, a vk(X) — собственные функ-
функции, образующие ортогональную и нормированную систему.
Мы имеем
Умножая обе части на vk(X), интегрируя по области Q и при-
принимая во внимание F0), получим
или, интегрируя первую сумму по частям, будем иметь
= \\ Е at/(X)$b.$b
Интеграл по границе S области Q равен нулю, так как vk(X)\
В силу условия E3),
К> 1 [« S (&У +a(X)vl(X)] dX,
откуда следует, что все собственные числа задачи E8), E9)
положительны.
При 'к — гкк уравнение E7) имеет решение в виде
Tk (t) = Ak cos ]/%t + Bk sin
где Ak и Bk — произвольные постоянные.
Таким образом, согласно E6), каждая функция
и* (*> 0 = vk (X) Tk (t) = (Ak cos V\t + Bk sin y%t) vk (X)
будет решением уравнения E2), удовлетворяющим граничному
условию E5).
Составим ряд
u(X,t)= S^cosKV + AkSin V%t)vh(X). F2)
k=i
— 221 —

Удовлетворяя начальным условиям E4), получим
Фо(X) = S Akvk(X), ф1 (X) = 2 BhVhvk(X).
k=l k=l
Отсюда легко находим
Ak=$Vo(X)vk(X)dX, Bk = -^
Подставив найденные значения коэффициентов Ak и Bk в ряд F2),
мы, очевидно, получим решение задачи E2), E4) и E5), если
ряд F2) и ряды, полученные из него двукратным почленным
дифференцированием по xt и t, равномерно сходятся.
ЗАДАЧИ
1. Однородная квадратная мембрана, имеющая в начальный момент / = 0
форму Аху ф—х) (Ь—у), где А > 0 достаточно малое число, начала колебаться
без начальной скорости. Исследовать свободные колебания мембраны, закреплен-
закрепленной по контуру.
Ответ:
в &п+1)пх Bт+1)пу
64 А» у Ь 8Ш
64 А» у Ь Ъ
и(х,у,ц— пв ^ Bn+lKBm+lK X
X cos ]/"Bд+1J+Bт+1J °^-.
о
2. Однородная прямоугольная мембрана O^x^l, O^y^m, закреплен-
закрепленная по контуру, в начальный момент времени / = 0 получает удар в окрестности
центральной точки, так что
lim \ \ vodxdy = A,
е-> о «J ^
где v0 — начальная скорость, А — постоянная. Определить свободные колебания
мембраны.
Ответ:
\A
k, v=i
~2 ' ~2/
, . knx . vny -ft ky , / v \2
где
3. Найти собственные колебания однородной круглой мембраны радиуса R,
закрепленной по контуру, если в начальный момент времени она представляет
поверхность параболоида вращения, а начальные скорости равны нулю.
Ответ:
~~ x i^ (Л = const),
где |гх> fi^, jas, ...—положительные корни уравнения J0(ji):
— 222 —

Указание. Применить метод разделения переменных к интегрированию
уравнения
д2и 1 ди __ 1 д2и
~дг*~*~Тдг"~"а?дР
при условиях:
а @, t) равно конечной величине, и (R, /) = 0;
При нахождении коэффициентов разложения использовать следующие фор-
формулы:
х
—*х) Jx (х).
4. Круглая однородная мембрана радиуса R, закрепленная по контуру, на-
находится в состоянии равновесия при натяжении То. В момент времени / = 0
к поверхности мембраны приложена равномерно распределенная гармоническая
сила рЛ sin со/. Найти радиальные колебания мембраны.
Ответ:
¦М->
J*{^,
sin со/ —
№* г (РпГ
где \ilt \i2, \xBf ...—положительные корни уравнения /0([л) = 0.

ЧАСТЬ ВТОРАЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
Глава XVIII
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ,
ПРИМЕНЯЕМЫЕ В ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
§ 1. Определения и обозначения
Интегральные соотношения, которым посвящена эта глава, на-
находят широкое применение в математической физике, особенно
в теории уравнений эллиптического типа, изучение которых будет
начато в следующей главе.
Начнем с рассмотрения системы обозначений, более удобной
в последующем изложении, чем принятая выше. Ранее декартовы
координаты точек пространства обозначались через х, у, г, а сами
эти точки—большими буквами латинского алфавита. Ниже будем
часто применять другую систему обозначений, в которой точки
пространства обозначаются малыми буквами, например, х, ? и т. д.,
а их координаты этими же буквами с индексами 1, 2, 3. Например,
через х19 x2i x3 обозначаются координаты точки х, через ?1? ?2,
?3 — координаты точки ? и т. д. Оси координат будем называть
соответственно осями 1, 2, 3. Через \х\, Щ\ и т. д. будем обозна-
обозначать расстояние точек х, ? и т. д. от начала координат, а через \х — ?|,
\у — т)| и т. д. — расстояние между точками х и ?, у и г) и т. д.
Если из текста ясно, о каких точках идет речь, то расстояние
между ними будет обозначаться через г.
Соотношения, которые ниже будут рассматриваться, включают
интегралы, взятые по некоторым объемам, поверхностям или линиям.
— 224 —

Вполне строгое определение понятия поверхности и линии дается
топологией и представляет значительные трудности. Как и выше,
мы будем опираться, в основном, на интуитивное представление
об этих понятиях. Линию, например, можно представить как образ,
получающийся при движении точки, поверхность —как образ, полу-
получающийся при движении линии, или как границу тела.
Областью, соответственно трехмерной или двумерной, будем
называть часть пространства или поверхности, удовлетворяющую
следующим условиям:
а) любые две точки области могут быть соединены линией, все
точки которой принадлежат области (связность);
б) каждой точке х области можно сопоставить число ц=ц(х)
такое, что все точки пространства (поверхности), отстоящие от х
менее, чем на г), также принадлежат области.
Область на плоскости будем называть плоской.
Множество точек пространства (поверхности), на сколь угодно
малом расстоянии от которых находятся точки пространства (поверх-
(поверхности) как принадлежащие, так и не принадлежащие области, на-
называют границей области. Отметим, что точки границы области не
принадлежат области.
Совокупность точек области и ее границы называют замкнутой
областью. Точки замкнутой области, не принадлежащие ее гра-
границе, называют внутренними.
Границы областей всегда будем считать поверхностями (лини-
(линиями). Граница может включать несколько замкнутых поверхностей
(линий). Например, граница шара с вырезанным из его внутренней
части шаром меньшего радиуса состоит из двух сферических по-
поверхностей.
В отношении свойств границ мы будем делать определенные
предположения, которые придадут четкий смысл всем используе-
используемым соотношениям. Если не сделано оговорок, границы областей
будем считать кусочно-гладкими. Это значит, что, например, на
границе трехмерной области повсюду, за исключением, быть может,
некоторого конечного числа линий конечной длины, существует
единственная нормаль (единственная касательная плоскость) с на-
направляющими косинусами, представляющими непрерывные функции
точки границы. Границы двумерных областей ниже будут инте-
интересовать нас только тогда, когда эти области плоские. В этом
случае для характеристики локальных свойств границы также
достаточно рассматривать только нормаль к границе и ее два
направляющих косинуса. На кусочно-гладкой границе плоской
области направляющие косинусы нормали непрерывны, а нормаль
единственна всюду, за исключением, быть может, некоторого
конечного числа точек.
В тех случаях, когда рассматривается линия, аналогом области
(одномерная область) является часть линии, не разделенная точ-
точками, не принадлежащими этой части, и состоящая только из
8 № 645 — 225 —

внутренних точек (например, отрезок прямой без его концов). Гра-
Границей такой одномерной области являются две точки на ее концах,
которые рассматриваются как не принадлежащие области (например,
концы отрезка).
Рассматривая границы трехмерных областей, иногда будем
также предполагать, что в каждой точке х границы можно ввести
такую местную систему декартовых координат с началом в точке х>
чтобы часть границы, лежащую внутри некоторого шара с центром
в точке х, можно было представить уравнением
У,
где функция f(l19 |a) и ее производные первого порядка непре-
непрерывны и обращаются в точке х в нуль. В гл. XIX, § 6, мы
увидим, что при этом условии граница является гладкой.
Окрестностью какой-либо точки называют всякую область,
содержащую эту точку. В зависимости от характера изучаемой
задачи, можно рассматривать окрестности разного числа измерений,
являющихся частью пространства, поверхности или линии.
Если все точки области принадлежат ограниченной части про-
пространства (например, могут быть заключены в шаре конечного
радиуса), то эту область называют ограниченной или конечной.
В противном случае область называют бесконечной. Точки прост-
пространства, не принадлежащие некоторой замкнутой поверхности S,
образуют две области, одна из которых конечна, а другая—беско-
другая—бесконечна. О бесконечной области говорят, что она расположена вне S,
а о конечной, что она расположена внутри S. Поверхность S
является общей границей этих областей. Нормаль к поверхности S,
направленную в сторону бесконечной области (вовне S), называют
внешней нормалью к границе конечной области. Нормаль к S про-
противоположного направления соответственно называют внешней
нормалью к границе бесконечной области. Ниже мы всегда будем
пользоваться только внешней нормалью к области.
Плоскость делит пространство на две бесконечных области,
каждую из которых называют полупространством. Аналогично,
прямая делит плоскость на две бесконечных плоских области
(полуплоскости).
Мы будем пользоваться следующими обозначениями:
V, S, L — замкнутые области соответственно трех, двух и од-
одного измерения;
dVy dS, dL—меры (объем, площадь, длина) бесконечно малых
элементов соответствующих областей*;
iFV, <FS, WL — границы соответствующих областей.
Когда это не может вызвать недоразумений, для краткости
будем говорить просто «область У» вместо «замкнутая область V»
* О понятиях меры, кратного интегрирования и др. см. В. И. С м и р н о в [1],
т. II, п. 88.
— 226 —

и т. д. Чтобы указать принадлежность точки той или иной об-
области или границе, будем применять символ ?. Например, выра-
выражения
будут соответственно означать, что х—точка области V, х— внут-
внутренняя точка области V\ x—точка границы области V.
§ 2. Формулы Остроградского — Гаусса и Грина
Пусть Л/(х), i=l, 2, 3, — функции, имеющие в области V
непрерывные первые производные. Представим интеграл по облас-
области V от производной -д-^ в виде повторного интеграла:
V °*1 а /(*„ х3)
где а—область на плоскости осей 2, 3, образованная проекциями
точек границы <FV области V, а 1(х2, х3)—совокупность лежащих
в области V отрезков прямой, проходящей параллельно оси 1 через
точку с координатами x2f x3 на а. Линейный интеграл от -~
вдоль какого-либо отрезка совокупности 1(х2, х3) равен разности
значений Аг на концах отрезка, соответствующих верхнему и
нижнему пределам интегрирования.
Заметим теперь, что поверхность WV может быть разбита на
три части: Sx и S2, образованные концами отрезков совокупно-
совокупностей l(x2i x3)f отвечающими соответственно нижним и верхним
пределам интегрирования (точки входа в область V и выхода из
нее прямых, параллельных оси 1) и S3, образованную точками,
принадлежащими параллельным оси 1 касательным к WV и не
являющимися концами рассматриваемых отрезков. Обозначим
через (пХУ хг) угол между осью 1 и внешней нормалью пх к WV
в точке x^WV и введем функцию sign q*, равную 1, если
<7 > 0, — 1, если q <0 и 0, если q = 0. Легко видеть, что
( — 1, если x?Slf
sign cos (пх, хх)= \ 1, если x?S2,
[ 0, если
Рассмотрим теперь подынтегральное выражение в интеграле по а.
После интегрирования по / (х2, х3) оно примет вид суммы, каждый
член которой вычисляется через значение функции Ау на грани-
границе ?TV, именно равен y41(x)sign cos(nx, х±), а общее число чле-
Символ sign, являющийся сокращением латинского слова signum (знак),
читается «сигнум».
8*
- 227 -

нов равно числу пересечений соответствующей прямой, парал-
параллельной оси 1, с границей WV. Таким образом, каждой точке х на
S, и S2 оказывается сопоставленной величина Ах (x)signcos(/ix, xlI
совокупность значений которой на Sx и S2 позволяет пол-
полностью определить рассматриваемое подынтегральное выражение.
Это дает возможность от интегрирования по а перейти к
интегрированию по поверхности WW. Для этого заметим, что
dx2dx3 = dS (х) | cos (nx, x1)\=dS (x) cos (nxi xj sign cos (nx, xx),
где dS (x)—бесконечно малая окрестность точки x^S'V на гра-
границе ?V (элемент ffV). Произведя соответствующую замену и
распространив интегрирование на все точки x^^j+Sg, получим
Hxt, xt) Ox*
= J ) At sign cos (nx, хг)\ cos (nx, xJldSix)^ J ^ Аг cos (n^
S S S 5
Для сокращения письма аргумент х в подынтегральном вы-
выражении опущен. Но интегрирование можно распространить так-
также и на S3, так как там cos(n, x1) = 0. Следовательно,
Заменяя индекс 1 на индексы 2 и 3, получим аналогичные
соотношения и для функций Л2 и А3. Складывая все эти соотно-
соотношения придем к формуле Остроградского — Гаусса:
V а=\
При выводе формулы Остроградского —Гаусса мы не прини-
принимали во внимание, что на отдельных линиях поверхности WV
нормаль может не существовать. Это является правомерным, так
как мера (площадь) множества точек, принадлежащих этим ли-
линиям, очевидно, равна нулю, вследствие чего исключение этих
точек не отражается на значении предела, к которому стремятся
интегральные суммы. При желании, вывод формулы A) можно
провести разбивая область V на такие подобласти, чтобы в каж-
каждой из них интегрирование осуществлялось только по гладкой
части их границ. Сложив результаты, снова придем к формуле для
всей области V.
Формулу Остроградского — Гаусса мы прежде всего применим
для вывода формул Грина, играющих важную роль в математи-
математической физике.
— 228 —

Рассмотрим линейное дифференциальное выражение второго
порядка
а, 3=1 Р а=1
где #«3> Ь«, с —некоторые функции точки х. Если функции аа,
а также функции
3=1 r
имеют непрерывные первые производные, то дифференциальному
выражению <Ми можно придать вид
3 а а 3
„ \^ д ди
^^^ иХ 3 uXq
а, 3=1
Дифференциальное выражение
а, 3=1 а=1
в этом случае называется сопряженным дифференциальному выра-
выражению оМи. Представив выражение оЛГа в форме
о о о
дь^__
а 3=1 " а=1 " а=1
легко видеть, что свойство сопряженности взаимно, т. е. выра-
выражение oAlu является сопряженным оДГа.
Если <Ми = Жи, то дифференциальное выражение оМи назы-
называется самосопряженным. Чтобы дифференциальное выражение Ли
было самосопряженным, необходимо и достаточно соблюдение
раЕенств:
3 дапа Л . ....
3=1 Р
Составим дифференциальное выражение
з з
V4 д f ди dv \ . \^ д
Если и и и—функции, непрерывные вместе со своими первыми а
вторыми производными в области У, то, интегрируя это выра-
выражение по V и применяя формулу Остроградского—Гаусса, полу-
229 —

чим формулу Грина:
3FV La, C=1
dS. F)
^ eanauv]
а=1 J
Формула Грина справедлива также тогда, когда функции и
и v имеют интегрируемые производные второго порядка, непре-
непрерывные только внутри области V.
Важным является частный вид формулы Грина, когда
Это дифференциальное выражение самосопряженное, так что
dfu = a?u. Выражение
3 3
-^ д ^ д d
a, p=l 3=1
в рассматриваемом случае представляет оператор дифференциро-
дифференцирования по направлению внешней нормали п к <FK, вследствие
чего формула Грина принимает вид
^^. G)
Л2 /42 Л2
где через Д обозначен оператор Лапласа: —--]—--\ г.
дхх дх дх ?
Если 5 — плоская область, то справедлива формула:
MV
dL. (8)
Она аналогична формуле F) и ее также называют формулой
1 рина. Когда oS = —--\—-, она принимает вид
дх{ дх\
^Au-uAv)dS=$(v^-u?)dL, (9)
где ^ оператор дифференцирования по направлению внешней
нормали к границе WS области S.
— 230 —

ЗАДАЧА
Вывести формулу Грина (9) для плоской области.
§ 3*. Преобразование формулы Грина*
Формулу Грина F) можно преобразовать к более простому
виду. Для этого каждой точке границы WV сопоставим проходя-
проходящую через эту точку прямую с направляющими косинусами
3
4
3=1
где
г з / з
0
La=l \p=l / J
Эту прямую будем называть конормалью. Заметив, что
3 3
S п^дГа=аЦУа^^а-^, A2)
а, 3=1 а=1 а
где -J- означает дифференцирование по направлению конормали,
и обозначив
з
Ь^ 2 еапа
а=1
приведем формулу Грина F) к виду
[1Ц
Введя обозначения
=Ц [a (v%-u?)+buv\ dS. A3)
^ ^ A4)
где р — любая непрерывная функция, можем привести формулу
Грина также к виду
\^ A5)
v
В случае плоской области формулы A3) и A5) имеют вид:
\\ \ A7)
гДе дифференцирование по направлению конормали определяется
Формулами, аналогичными формулам A0)-—A2).
— — .
§ 3—6 этой главы используются только в дополнении к ч. II.
— 231 —

§ 4*. Функции Леви
В этом параграфе мы рассмотрим функции, играющие большую
роль в теории эллиптических дифференциальных уравнений общего
вида.
Предположим, что дифференциальное выражение B) принад-
принадлежит эллиптическому типу, т. е. существует такое число е > О,
что при условии
3
a=l
удовлетворяется неравенство
3
2 ЯаЛоЛя^е- A8)
а, 3=1 р
В силу этого неравенства определитель
ах
П \Х) = U2
а3
составленный из коэффициентов а/у. = а/7 не обращается в нуль.
Обозначим через aj4 алгебраическое дополнение элемента aiJy раз-
разделенное на значение определителя А. По известному свойству
определителя
^i - с ( 1 при / = ;
Кроме того, легко видеть, что из неравенства A8) вытекает нера-
неравенство
з
2 ааХК>°- B0)
а, C=1 р р
Чтобы убедиться в этом, достаточно квадратичную форму в нера-
неравенстве A8) с помощью ортогонального преобразования привести
к виду
при этом форма, фигурирующая в неравенстве B0), примет вид
Поскольку, в силу неравенства A8), cllt с22У с33 > 0, то высказан-
высказанное утверждение очевидно.
Обозначим через х и ? две точки с координатами xlt x2, х3 и
?i> Ё8> ?з соответственно и рассмотрим функцию
з
а Ь=1
— 232 —
B1)

При хФ\
a, 0=i
=o,
B2)
что предоставляется проверить читателю. Если коэффициенты
а/7 = 0 при 1Ф\, fli7 = " ПРИ * = /» то
ЯE, x) = -^--J-f B3)
где г = |S — x\ — расстояние между точками х и ?. В общем же
случае во всякой ограниченной замкнутой области, содержащейся
в области V, имеют место соотношения:
Г2
B4)
где i, / = 1, 2, 3, а В, В,, В2 — положительные числа. Доказа-
Доказательство этих соотношений проводится аналогично. Докажем,
например, второе из них. Имеем
з
1 2 «/.(?«-*.)
S i"
з
.06.0=1
2 a/e
а= 1
Г 3
I ^Г'
La. 3=1
где
ii —
— направляющие косинусы прямой, проходящей через точки х и g.
з
Так как форма 2 яа/</о положительно определенная, то суще-
а. |3=1 Р ^
ствует такое число С* > 0, что
a, |
в силу чего
дН
a= 1
(С*)"*,
— 233 —

Правая часть этого неравенства ограничена. Ее наибольшее зна-
значение в рассматриваемой области примем за Вг Поделив обе
части неравенства на г, придем ко второму из неравенств B4).
Если ф(?, х) — функция, при \фх непрерывная в рассматри-
рассматриваемой области V вместе со своими первыми и вторыми произ-
производными по координатам точки ? и равномерно в каждой замкнутой
области, содержащейся в У, удовлетворяющая неравенствам:
^ф_ ^ _Сз_ д\ ^ _Сз_ ^
где i9 /=1, 2, 3, а С19 С2, С3 и ^ — положительные числа, не за-
зависящие от выбора точки х, то выражение
, x) B6)
называют функцией Леей. Функция Н (?, х) является главной
частью функций Леви.
§ 5*. Формула Грина — Стокса
Обозначим через J (х, р) окрестность точки х, определенную
неравенством
2 a;W(^^(?r^p2. B7)
3 1
Как известно из аналитической геометрии, такая окрестность
представляет эллипсоид с объемом, равным
Vj = ^n[A (x)]Tp\ B8)
Пусть V — замкнутая область их — ее внутренняя точка. Выбе-
Выберем р настолько малым, чтобы окрестность J (x, р) целиком лежала
внутри V. В области V — J — WV функция Леви L(?, x) непре-
непрерывна вместе со своими первыми и вторыми производными.
Следовательно, в области V — J можно применить формулу
Грина A5), положив в ней v(l) = L(l, x). При этом получим
J J J p ^ ^ J5 ^u — uQL) dSv B9)
V-J
где индексы \ указывают, что дифференцирование и интегриро-
интегрирование проводятся по координатам точки \.
Имея в виду перейти в этом соотношении к пределу при р —> О
и замечая, что в окрестности точки х подынтегральные выражения
неограниченно возрастают, проведем их оценку.
Положив
Б, х)
— 234 —

и приняв во внимание соотношения A4), можем записать
L^u — uQ^L = — ua(l)^ + ^(l9 x), C0)
где
Так как функции и и Ри ограничены, то из неравенств B4) и
B5) следует неравенство:
где К, В*, В*, В*2 — положительные постоянные. В достаточно
малой окрестности точки х первый член в правой части этого
неравенства становится подавляюще велик по сравнению с осталь-
остальными. Поэтому существует такое число б > 0, что
|i|)(§,"A')|<—зх ПРИ f <C S. C1)
Рассмотрим теперь выражение LoMu— udfL. Принимая во вни-
внимание соотношение B1), приведем его к виду
з
Lq?m, — u<№,L = — и У\ аа, (I) ~ ^ + >ф1 (I, х), C2)
а, р=1 а й
где tyid, x) — функция, не содержащая производных от функции
ф(|, х) по It выше второй и от функции #(?, х) выше первой.
Поэтому в достаточно малой окрестности точки х справедлива
оценка
l^i (I, ^)|<—п ПРИ г < Si»
где CJ, X и бх — положительные постоянные, не зависящие от вы-
выбора точки х. Далее, в силу тождества B2),
з
С точностью до малых высшего порядка по г.
аи{1)-аи{х)=д-^-\^хГ, C3)
где через ^- обозначено дифференцирование по направлению пря-
прямой, соединяющей точки х и ?. Так как производные функций
а//(?) по предположению непрерывны и, следовательно, ограни-
ограничены, то в силу последнего из неравенств B4) при достаточно
— 235 —

малых г имеет место оценка:
з
г*
г2
Г* ^> О
Учитывая найденные оценки членов правой части соотношения C2),
придем к заключению, что при достаточно малом S* > 0 имеет место
неравенство
| Lo/ftu — u<KL I < -^з, если г < 6*, C4)
где С* и Я < 1 — положительные постоянные, не зависящие от
выбора точки х.
Перейдем теперь в интегральном соотношении B9) к пределу
при р —* 0. В силу неравенства C4), интеграл в левой части
соотношения B9) сходится к конечному пределу
м - ИсАГХ) dV = liл J J J (Шм — utfJL) dV . C5)
Далее, на основании соотношения C0), получим:
« - uQX) dS. = - j f aa (|) ^ dS. + j j я|> (|
dSr C6)
В силу оценки CJ), второй из интегралов в правой части при
р —> 0 стремится к нулю. Действительно,
, x)dSi
* E,
где Sj—площадь поверхности WJ, a rm — наименьшее расстояние
между точкой х и точками на JFV. При р —> 0 эллипсоид B7)
уменьшается, оставаясь подобным себе, так как коэффициенты
а/;(х) не зависят от р. Поэтому площадь его поверхности
где число В не зависит от р. Таким образом,
< В*В&.
При р —> 0 правая часть этого неравенства стремится к нулю, так
как р и гт обращаются в нуль одновременно. Это доказывает
сделанное утверждение.
Перейдем к рассмотрению первого интеграла в правой части ра-
равенства C6). Согласно равенству A2):
dH 1
— 236 —

где п. A = 1, 2, 3) —направляющие косинусы внешней нормали
к границе ?J. Выписав явно выражения для производных -^-,
и приняв во внимание, что на поверхности ?J
а,
получим
При малых
i Z «
W P a.t?-l
-4 C7)
где через О (г) обозначена совокупность членов, бесконечно малых
одновременно с г. Далее, согласно C3) и A9), при малых г
я«/ G) fl«/ (*) =
а=1
= б,; + О (г).
Произведя суммирование по значку а в сумме, входящей в ра-
равенство C7), и подставив выражение для и(?), получим
V A
C8)
Сумма 2 я» (?р"-*?)• входящая в подынтегральное выражение,
равна проекции г cos (г, п) отрезка г, проведенного из точки к
в точку |, на внешнюю нормаль
п к поверхности ?J в точке ?.
Эта проекция отрицательна, так
как внешняя нормаль к ?J, как
границе области V — </, направ-
направлена вовне V — </, т. е. внутрь
эллипсоида J (рис. 27) Далее
отметим, что объем конуса по-
построенного на элементе dS,KaK на
основании, с вершиной в точке х,
с точностью до малых высшего pUCt 27
порядка равен у г | cos (n, r) \ dS.
Заметив, что суммирование всех таких конусов даст область J (x, р),
придем к заключению, что интеграл в правой части равенства C8)
равен утроенному объему эллипсоида J(x, p). Вследствие этого,
— 237 —

учитывая выражение B8) и знак cos (г, п), получим
2 пЛ?-x
1
что, после подстановки в равенство C8), даст
На основании произведенных оценок придем к заключению, что
при р —*0 выражение C6) стремится к пределу
lim J \ (LPp — uQL) dS^=—и (x).
Приняв во внимание найденные предельные зависимости и
перейдя в интегральном соотношении B9) к пределу при р —^ О,
получим формулу Грина—Стокса:
и (х) = J J (L^u — uQpf dS^ — J J J (Шм — иЖр> dVv C9)
3
Когда оМ^и = Аи = ^ —т[Тв е* ПРИ аи = ® для ^/» ai/==Y
а=1 ^а ^
для t = /J , формула Грина —Стокса приобретет вид:
"W=lKL?-MSdS-lH(M"-"AL)dy- D0)
^v v
где
ЗАДАЧА
Предположив, что функция и в конечной области с границей S удовлетво-
удовлетворяет уравнению Аи = 0, вывести формулу
, , 1 С С Г 1 du d f \
4nJJ lr dn dn\r
s
§ 6*. Формула Грина — Стокса в случае двух измерений
Построение функций Леви и вывод формулы Грина —Стокса
на плоскости производятся почти так же, как и для случая про-
пространства. Рассмотрим функцию
_ Г 2 -|~~2~
2\n\ X sW(L-*«)(V-V ¦
La, 3=1 J
— 238 —

определенную в замкнутой ограниченной плоской области 5. Обо-
Обозначения в правой части здесь аналогичны обозначениям § 4.
Справедливо тождество
и в любой замкнутой области, содержащейся в S, имеют место
неравенства
\Н\<В '- 1 дН
где iy /=li 2, а В, Вг и В2 — положительные числа, не завися-
зависящие от выбора точки х.
Функцию вида
х)
назовем функцией Леей, если функция <p(g, x) ограничена в рас-
рассматриваемой области, при \Фх непрерывна вместе со своими
первыми и вторыми производными по координатам точки |, и
в любой замкнутой области, содержащейся в 5, удовлетворяет
неравенствам
где /, / = 1, 2, а X, Сг и С2 — положительные числа, не завися-
зависящие от выбора точки х.
При указанном определении функций Леви на плоскости, спра-
справедлива формула Грина—Стокса:
и (х) =
где S —плоская область.
и — uQrL) dS^
D2)
ЗАДАЧА
Предположив, что функция и в ограниченной плоской области с границей L
удовлетворяет уравнению Дм = 0, вывести формулу
v ; 2nJ \d/i г dn r J
§ 7. Представление некоторых дифференциальных выражений
в ортогональных системах координат
В ряд интегральных формул математической физики входят
дифференциальные выражения, которые выше мы записывали
в ортогональных декартовых координатах. Например, в формуле
— 239 —

Остроградского—Гаусса A) и формуле Грина G) мы встречались
с выражениями:
дЛг дА% . дА3
D4)
\JA>\ 1/Л2 l/AJ
Часто встречается также формула Стокса, которую приведем
!сь без вывода *:
S JS
где 5 —кусочно-гладкая двусторонняя поверхность (в пространстве)
с кусочно-гладкой границей oFS, а функции Вп и Az выражаются
через заданные функции А1$ А2, А3 формулами:
f дА дА\ (дА дАЛ
г, х3).
Здесь cos (я, x()t cos(t, xt), i = l, 2, 3 —направляющие косинусы
соответственно нормали п к поверхности 5 и касательной т к ее
границе <FS. Положительное направление нормалей на 5 можег
быть выбрано произвольно, при этом в контурном интеграле
\ AzdL граница ?S должна обходиться против часовой стрелки,
если смотреть из конца вектора какой-либо нормали к 5. Функ-
Функции А1У Л2, А3 предполагаются определенными в области I/,
содержащей поверхность 5 внутри себя, и непрерывными вместе
со своими производными первого порядка. Эти функции могут
быть приняты за компоненты некоторого вектора А. При этом
функция Вп может рассматриваться как проекция на нормаль п
вектора с компонентами
A 9 3
СЛ О 1
> > »
3, 1, 2,
представляющего вихрь вектора А (т. е. В = rot A).
Поставим целью найти вид дифференциальных выражений
D3)—D5) в произвольных ортогональных системах координат.
Напомним определение ортогональных координат. При этом
рассмотрим только координаты в пространстве, предоставив рас-
рассмотрение координат в двумерных областях читателю.
* См. В. И. Смирнов [1], т. II, п.п. 64 и 70.
— 240 —

Положим, что точка х определяется заданием трех параметров
%19 т„ тз> т- е-
х = х(х1, т2, т3)
или
х1=х1(т19 т2, т3), x2 = xt(Tlt т2, т3), х3 = х3(хи т2, т3). D6)
Если эти три функции, определяющие координаты точки х через
параметры xh однозначны, то каждой совокупности значений т1э
т,, т3 соответствует одна определенная точка х. Предположим, что
функции D6) не только однозначны, но имеют непрерывные част-
частные производные, и рассмотрим систему уравнений
относительно дифференциалов dxlf dx2y dx3. Определитель D этой
системы, составленный из частных производных ^, называют
якобиевым или функциональным определителем системы функ-
функций D6). Якобиев определитель системы D6), очевидно, является
функцией параметров х1у т2, т3.
В теории дифференциальных уравнений доказывается следую-
следующее предложение*: если в некоторой окрестности Т значений
параметров х1=х°и х2 = х°2, х3=х°31 которым соответствует точка л:0
с координатами хх = х\, х2 = х\9 х3 = х°3, якобиев определитель си-
системы D6) не обращается в нуль, то в некоторой окрестности X
точки х° система D6) допускает однозначное обращение:
причем функции т/ = т/-(а:1, х2У х3) имеют в окрестности X непре-
непрерывные первые производные по хх, х29 х3, а в точке х° принимают
значения т?.
Таким образом, при рассматриваемом условии, каждой точке
х?Х соответствует определенная совокупность параметров х19 т2,
т3, которая при подстановке в уравнения D6) дает декартовы коор-
координаты точки х. Иначе говоря, существует взаимно однозначное
соответствие между точками х и тройками параметров xv т2, т3,
которые, в силу существования такого соответствия, и можно рас-
рассматривать как координаты точки х. Если хотя бы одно из урав-
уравнений D6) нелинейно относительно х1У х29 х3, то эти координаты
называют криволинейными, так как им соответствует криволиней-
криволинейная координатная сеть.
Обычно применяют криволинейные координаты, взаимно одно-
однозначно сопоставленные всем точкам изучаемой области, за исклю-
исключением, быть может, некоторых точек или линий, где якобиев
определитель системы функций D6) обращается в нуль. Эти точки
* См. В. И. Смирнов [1], т. III, ч. 1, п. 19.
— 241 —

(или линии) называют особыми точками (линиями) соответствую-
соответствующих координат.
Поверхности, на которых одна из криволинейных координат
сохраняет постоянное значение, называют координатными. О по-
поверхности, на которой постоянна координата тЛ будем говорить
как о поверхности т,-; совокупность поверхностей т, образует
систему поверхностей xt. По числу координат есть три системы
поверхностей: т1Э т2 и т3. Пересечение координатных поверхностей
образует координатные линии, совокупность которых дает коор-
координатную сеть. Вдоль координатных линий меняется только одна
из координат. По числу координат координатные линии также
делятся на три системы. Вдоль линии системы xi меняется только
координата ту. Три пары координатных поверхностей, в которые
входят по две поверхности каждой системы, образуют криволи-
криволинейный координатный параллелепипед, его ребра представляют
части координатных линий.
Если любые две координатные поверхности разных систем пе-
пересекаются под прямым углом, то криволинейные координаты
называют ортогональными. Очевидно, что в этом случае и коор-
координатные линии также пересекаются под прямыми углами.
Рассмотрим смещение некоторой точки х вдоль проходящей
через нее координатной линии Ту на расстояние, соответствующее
приращению криволинейной координаты на dxr Из системы D7)
вытекает, что декартовы координаты точки х получат при этом
приращения:
dxi = ^ dij (i = 1 2, 3).
Следовательно, направляющие косинусы касательной к линии т;.
в точке х пропорциональны частным производным •^1г ^, -^.
dTj' dxf9 ОТ/
Отсюда придем к следующему условию ортогональности:
^з-^ = 0 если \фк.
Величина смещения, соответствующего приращению криволиней-
криволинейной координаты на dxfi равна
где
Величины hj (/=1, 2, 3) называют координатными параметрами
Ламе.
— 242 —

Объем бесконечно-малого криволинейного координатного парал-
параллелепипеда, очевидно, равен
Произведение hxhjib параметров Ламе с точностью до знака равно
якобиеву определителю преобразователя. Чтобы убедиться в этом,
достаточно возвести якобиев определитель в квадрат, используя
правило умножения «столбец на столбец». При этом, в силу соот-
соотношений ортогональности, получим
D2 =
hi
0
0
0
0
0
0
h\
Таким образом, в особых точках координат хотя бы один из
параметров Ламе обращается в нуль.
Ниже мы будем пользоваться только двумя типами криволи-
криволинейных координат: цилиндрическими и сферическими.
Цилиндрические координаты г, ф, z точки х определяются
системой уравнений:
Координатные параметры Ламе имеют значения:
/^=/^ = 1, h2=h9 = r, A,e=Az=1. D8)
Координатные поверхности г образуют систему круговых цилин-
цилиндрических поверхностей радиуса г с общей осью, совпадающей
с осью 3 декартовых координат и называемой осью цилиндричес-
цилиндрических координат] координатные поверхности ф образуют систему
полуплоскостей, для которых ось цилиндрических координат
является границей; координатные поверхности z образуют систему
плоскостей, перпендикулярных оси цилиндрических координат.
Координата г представляет расстояние точки.* от оси 3 декартовых
координат (или, что то же, от оси цилиндрических координат),
Ф —угол между координатной полуплоскостью, проходящей через
точку х и координатной полуплоскостью, в которой лежит ось 1
декартовых координат, z совпадает с декартовой координатой х3.
Через каждую точку х, не лежащую на оси цилиндрических
координат, проходит по одной координатной поверхности г, ср и z.
На оси цилиндрических координат параметр А9 = 0, следовательно,
она является особой. На этой оси координата ср не имеет опре-
определенного значения.
Сферические координаты г, 9, ф точки х определяются систе-
системой уравнений:
xx = r sin 0 cos ф, х2 = г sin 0 sin ф, xa = r cos 0;
— 243 —

Координатные параметры Ламе имеют значения:
hx=hT=\% h2=hH=zr, h3=hq> = r sin 0. D9)
Координатные поверхности г образуют систему сферических поверх-
поверхностей с общим центром в точке xl = xi = x3 = 09 называемой нача-
началом сферических координат', координатные поверхности 0 обра-
образуют систему круговых конусов с общей осью, совпадающей с
осью 3 декартовых координат, эту ось называют полярной] коор-
координатные поверхности ф образуют сис-
систему полуплоскостей, проходящих че-
через полярную ось Координата г пред-
представляет длину радиуса вектора точки
#> 9 — угол между радиусом-вектором
и полярной осью, ф — угол между
координатной полуплоскостью, про-
проходящей через точку ху и координат-
координатной полуплоскостью, в которой лежит
ось 1 декартовых координат.
Рис. 28 Через каждую точку х, не лежа-
лежащую на полярной оси, проходит по
одной координатной поверхности г, 6, ф. На полярной оси пара-
параметр йф = 0, следовательно, она является особой. На этой оси
координата ср не имеет определенного значения В особой точке
г —0 не определена также и координата 0.
Перейдем теперь к вычислению интересующих нас дифферен-
дифференциальных выражений в ортогональных координатах.
Будем исходить из формулы Остроградского — Гаусса A), при-
приняв в ней за функции Alf Л2, А3 компоненты некоторого век-
вектора А, а за область V — криволинейный координатный паралле-
параллелепипед, образованный шестью координатными поверхностями:
xlf T1+dTl9 т2) T2+dx2, т3, T3 + di3 (рис. 28). Длины ребер этого
параллелепипеда равны
ds1=h,dx<, ds* = h9dT,> ds.> — h~d%». E0)
Разбив интеграл по поверхности параллелепипеда на сумму инте-
интегралов по его граням, получим
где SXa и SXa+dTo —грани, образованные координатными поверхно-
з
стями та и Ta-fdia а Ап= У[ ARcos(n, хЛ — проекции вектора А
на нормали к соответствующим граням. Заметив, что на одних
гранях параллелепипеда направление внешней нормали совпадает
с направлением нормальной к грани координатной линии, а на
- 244 —

противолежащих им гранях оно противоположно, с помощью тео-
теоремы о среднем найдем, что
Тв<йв=-ЛтД a=l, 2, 3,
^« = И A^8='4+*.Swv a=l, 2, 3,
где У—объем параллелепипеда, STa, 5та+<*та— площади граней па-
параллелепипеда, а значения функций в правых частях этих соот-
соотношений берутся в некоторых внутренних точках соответствующих
областей интегрирования.
С точностью до малых высшего порядка можно положить
Подставив найденные выражения в формулу Остроградского —Га-
—Гаусса, получим
a=l
Подставив сюда значения
V = ds^s^dSg = h^hgdr^t^dt^ E1а)
A, 2, 3,
S^dsads^ = h^di^d%v a, p, y= i 2, 3, 1, E16)
U, 1, 2
и перейдя к пределу при V ->- 0, придем к искомой формуле:
^ + ^ + ^ = ^[4^^ + ^^^ + ^^^] • E2)
Положив
и заметив, что
ди ди
(а=1' 2> 3)> E3)
— 245 —

получим также формулу
Sr + Й
дхл дхп
, д2" = 1 Г д (h2h3 ди^
E4)
Применим теперь интегральную формулу Стокса к одной из
граней рассматриваемого нами параллелепипеда, например, для
определенности, к грани, образованной координатной поверхно-
поверхностью тх (см. рис. 28). Разбив интеграл по контуру грани на сумму
интегралов по ее ребрам, применив теорему о среднем и приняв
во внимание соотношения E0), получим
= A2ds2
A3ds3
~ A3ds3dx2 — A2ds2 —
A3dss
2
^ A2ds2dxz = -^-
где Вх — проекция вектора В на направление тх. В этом соотно-
соотношении принято, что нормаль к контуру направлена в сторону
возрастания координаты тг Соответст-
Соответствующее направление обхода контура
показано на рис. 29.
Подставим значение площади Sx из
соотношений E1), что даст
dr.
dx3
Рис. 29
Отсюда, с помощью круговой перестанов-
перестановки индексов, найдем, что вообще:
1 /dhyAy с
а, Р, Y =
E5)
Спроектировав вектор В с компонентами, определенными этими
формулами, на произвольное направление п и приравняв полученное
выражение и выражение D5), придем к формуле
E6)
— 246

ЗАДАЧИ
1. Вывести формулу E4), пользуясь формулой Грина G).
Указание. В формуле Грина следует положить v= — 1.
2. Показать, что в ортогональных криволинейных координатах на плоскости
соотношение E4) примет вид
дх\ дх\ ~~ Ms \РХ\ Ui d*i/ d*2\h2 Ih,
где параметры hx и h2 имеют тот же смысл, что и в трехмерном случае.
3. Доказать, что при замене переменных по формулам
¦ cos 8) cos ф, л:2 = (с + г cos 8) sin ф, #3 = rsin6,
дифференциальное уравнение
д2и _,д2и id2u_
дх\ дх\ дх\
примет вид
I- U + rcos9)f| +--| Г(с+гсо8в)|1 -
дг |_ дг\ ' г дд I ' E8 J
= 0.
-cos8
4. Доказать, что при задании координатных поверхностей уравнениями
csht2
chtx — cos t2
получим ортогональную криволинейную систему координат с параметрами
Yl\ ==- fto = —;; , fin = -
i — cos Тл' 3 chti — cos т2'
Эта система координат носит название тороидальной. Ее координатные поверх-
поверхности представляют поверхности тора, поверхности шара и плоскости.
5. Доказать, что при задании координатных поверхностей уравнениями
с sin t2
получим ортогональную криволинейную систему координат с параметрами
— И — ° h — ° s*n Та
1~ 2~~спт1—cos т2 ' 3~~спт1—cos т2"
Эта система координат носит название биполярной.
— 247 —

Глава XIX
УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА И ПУАССОНА
§ 1. Уравнения Лапласа и Пуассона.
Примеры задач, приводящих к уравнению Лапласа
Уравнение
д2и , д2и , д2и
где хи х2, х3 — ортогональные декартовы координаты, называют
уравнением Лапласа. Выражение, стоящее в левой его части, назы-
называют лапласианом функции а, а правило, по которому образуется
зто выражение, — оператором Лапласа. Оператор Лапласа принято
обозначать символом Д, вследствие чего уравнение A) может
быть записано в форме
Аи = 0.
Неоднородное уравнение
дх\ ~^ дх\ ~г дх\ l W
или
где / — заданная функция, называют уравнением Пуассона.
Вид дифференциальных выражений в левых частях уравнений
Лапласа и Пуассона одинаков во всех ортогональных декартовых
координатах. При переходе к криволинейным координатам он изме-
изменяется и может быть, для ортогональных криволинейных коорди-
координат, определен с помощью соотношений § 7 предыдущей главы.
В частности, используя формулы E4), D8) и D9) гл. XVIII
найдем, что в цилиндрических координатах г, ср, z
д 1 ±(г
в сферических координатах г, 6, ср
_ 1 д( %д\ 1 д
^ г*dry дг)
К уравнениям Лапласа и Пуассона приводят многочисленные
задачи теории теплопроводности, электростатики, гидродинамики
и т. д. Рассмотрим, например, постановку некоторых задач для
уравнения Лапласа.
1. Задача о стационарном тепловом состоянии
однородного тела. Допустим, что мы имеем некоторое изо-
— 248 —

лированное от внешнего пространства однородное изотропное тело,
тепловое состояние которого не меняется с течением времени.
Обозначим через V занятую им часть пространства, через WV —
его поверхность, а через и(х) — температуру в точке x^V.
Докажем, что во всякой внутренней точке х взятого нами
тела функция и(х) удовлетворяет уравнению Лапласа.
С этой целью выделим из тела некоторую область Vlt ограни-
ограниченную произвольно взятой поверхностью *FVlt и рассмотрим коли-
количество тепла, которое проходит в единицу времени через эле-
элемент dSx поверхности. Согласно принципу Фурье, оно пропорцио-
пропорционально площади элемента и нормальной производной j-, где
через п обозначено направление внешней нормали к поверхности.
Другими словами, это количество тепла равно произведению
dn A
Коэффициент пропорциональности k называется коэффициентом
внутренней теплопроводности тела.
Рассмотрим движение тепла в теле. Из термодинамики известно,
что тепло течет от точек с большей температурой к точкам с
меньшей температурой. Следовательно, при отрицательной про-
производной ~ поток тепла будет происходить из внутренней части
тела, ограниченной поверхностью SrV1, в область, внешнюю по
отношению к этой поверхности. Если же указанная производная
положительна, то распространение тепла будет представлять
обратную картину.
Отсюда вытекает, что двойной интеграл
<* да
дает алгебраическую сумму количества тепла, прошедшего за
единицу времени через поверхность JFV^, причем вытекающему
теплу приписывается отрицательный знак, а втекающему — поло-
положительный.
Если предположить, что внутри тела отсутствуют как источ-
источники тепла, так и точки его поглощения, то интеграл E) должен
равняться нулю. Действительно, если бы это было не так, то
тепло накапливалось бы или терялось внутри тела, и, следова-
следовательно, температура тела изменилась бы с течением времени, что
противоречит предположению о неизменности теплового состояния
тела.
Итак, в данном случае должно иметь место следующее ра-
равенство:
J J dn l
— 249 —

Применим в области Vt формулу Грина G) гл. XVIII:
и положим в ней v = 1.
Тогда, приняв во внимание, что интеграл E) равен нулю,
найдем, что
Ш
Отсюда, ввиду произвольности области V19 вытекает, что
т. е. функция и(х) удовлетворяет уравнению Лапласа.
Предположим теперь, что нам известно распределение темпе-
температуры на поверхности WV тела и мы желаем определить темпе-
температуру любой точки, находящейся внутри тела.
Очевидно, мы решим эту задачу, если найдем такое решение
уравнения Лапласа, которое удовлетворяло бы граничному условию
u = f(x) когда х 6 <FV, G)
где f(x) обозначает температуру в точке х поверхности WV\
2. Задача о равновесии электрических масс на
поверхности проводника. Рассмотрим стационарное элек-
электростатическое поле, созданное в пространстве некоторой системой
электрических зарядов. Если заряды qlt q2, ..., qn расположены
дискретно в точках ?lf |а, ..., |я, то потенциал поля в точке х
^. (8)
сс=1
где га = |На — х\ — расстояние от заряда qa до точки х. Если же
заряды непрерывно распределены на некоторой линии L, или
поверхности S, или в объеме У, то потенциал поля соответственно
выражается одним из интегралов:
И
S V
где г — расстояние от элемента линии (поверхности, объема) до
точки поля, обладающей потенциалом и. В этих формулах вели-
величины р2, рх и р обозначают линейную, поверхностную или объ-
объемную плотность зарядов:
о _ ijm *1-*1 о _ itm ^_i?
Ро — ШИ XT" — л т 1 Pi — 11Ш ~г^— iC
AL-0AL dL AS-0 Д5 dS '
— 250 —

где Д^—заряд элемента линии L (поверхности 5, объема V).
В общем случае потенциал поля равен сумме потенциалов, соз-
созданных каждым из этих видов распределения зарядов в отдель-
отдельности.
Допустим, что конечная область V пространства занята про-
проводящей средой —проводником, т. е. средой, в которой заряды
могут свободно передвигаться, а остальная часть пространства —
диэлектриком, т. е. средой, в которой движение зарядов невоз-
невозможно.
В стационарном состоянии потенциал поля во всех точках
области V, включая ее границу, одинаков, так как иначе бы
возникло движение электрических зарядов, стремящееся выровнять
потенциал, и поле менялось бы. Отсюда непосредственно очевидно,
что в области V потенциал поля и удовлетворяет уравнению
Лапласа:
Ди = 0. (И)
Внутри проводника заряды разных знаков должны быть взаимно
нейтрализованы. В самом деле, оставшиеся внутри проводника
избыточные заряды какого-либо знака под действием отталкивания •
между одноименными зарядами перемещались бы до тех пор, пока
все они не оказались бы на границе проводника и не распреде-
распределились на ней должным образом. Следовательно, если дости-
достигается стационарное состояние, то избыточные заряды располага-
располагаются на границе ?V проводника в виде бесконечно тонкого
электрического слоя.
Потенциал этого слоя в точке х выражается интегралом:
^^-dS, A2)
Ъ
где г — расстояние от переменной точки \ поверхности проводника
до точки х.
Если точка х находится вне проводника, то функция — удо-
удовлетворяет уравнению Лапласа. В самом деле,
д 1 *? *2 * = q (tj-tiJ , 1
=
откуда
а=1 а а=1
Следовательно, уравнению Лапласа удовлетворяет и потенциал и,
определяемый формулой A2). Чтобы доказать это утверждение,
достаточно применить к интегралу A2) правило дифференцирования
по параметру, что мы имеем право сделать, так как, по предполо-
— 251 -

жению, точка х находится вне поверхности S и, следовательно,
подынтегральная функция в выражении A2) нигде не обращается
в бесконечность.
Итак, в каждой точке х, лежащей вне проводника, потенциал
и также удовлетворяет уравнению Лапласа.
Обратимся теперь к выяснению обстоятельств, имеющих место
в бесконечно удаленных точках пространства, заполненного ди-
диэлектриком, и на самой поверхности проводника.
Как мы это выясним ниже, интеграл A2) обращается в беско-
бесконечно удаленных точках в нуль (вместе со своими частными про-
производными первого порядка), и притом так, что произведения
т, г2-^-, (* = 1, 2, 3)
остаются ограниченными, когда расстояние г от точки х до начала
координат увеличивается до бесконечности. Что касается обсто-
обстоятельств, имеющих место на поверхности проводника, то будет
доказано, что потенциал и остается ограниченным и непрерывным
при переходе точки х через поверхность проводника. Напротив,
нормальные производные потенциала и при таком переходе пре-
претерпевают конечный разрыв непрерывности, причем этот разрыв
характеризуется равенством
где -j~: и 7Г~—предельные значения выражения
з
^-cos (гс, *.)
а=1
при приближении точки х к точке Е ? WV соответственно по внут-
внутренней и внешней нормали к WV в точке \.
Воспользуемся равенством A3) для постановки так называемой
электростатической задачи: найти плотность электрического слоя,
непрерывно распределенного на поверхности данного проводника,
если последний находится в состоянии электрического равновесия.
Допустим, что для данного проводника такое состояние насту-
наступило. Тогда, по данным выше разъяснениям, потенциал внутри
проводника будет величиной постоянной, и, следовательно, будет
иметь место равенство
Из этого равенства и из формулы A3) вытекает, что
— 252 —

т. е. искомая плотность слоя будет найдена, если мы определим
потенциал и этого слоя в точках, лежащих вне проводника.
Таким образом, поставленная задача свелась к нахождению
функции и во всех точках окружающего проводник пространства,
удовлетворяющей уравнению Лапласа, стремящейся к нулю на
бесконечности и удовлетворяющей условию
и (х) = const, когда х ? <FV.
3. Задача о движении несжимаемой жидкости.
Исследуем установившееся движение несжимаемой жидкости. Обоз-
Обозначим через v вектор скорости жидкости, и пусть vlt у2, va — его
проекции на неподвижные оси координат. В дальнейшем исследо-
исследовании будем предполагать, что эти проекции не зависят явным
образом от времени /. Такое движение жидкости будем называть
установи вшимся.
Допустим теперь, что движение жидкости происходит с потен-
потенциалом скоростей и, другими словами, будем считать, что имеют
место равенства
v е1 2 3>
Докажем, что этот потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа
&и = 0. A6)
В самом деле, в гл. I было доказано, что проекции v19 v2 и v3
вектора v и плотность р жидкости связаны между собой уравне-
уравнением неразрывности:
ф 3 -
а=1
Принимая во внимание, что для несжимаемой жидкости плотность
р постоянна, мы можем переписать это уравнение в следующем
виде:
3
2- ~дх{
а=1
dv- -о.
Внося сюда вместо va, а=1, 2Т 3, их выражения по формулам
A5), придем к уравнению Лапласа A6).
Что касается граничных условий, то они будут зависеть от
существа рассматриваемой гидродинамической задачи. Например,
на твердых стенках бассейна будем иметь
du
— 253 —

где д —нормаль к стенке. Если твердое тело движется в жидкости
заданным образом, то на поверхности тела
где /(л:) —заданная функция. Более сложные граничные условия
получаются для свободной поверхности жидкости (см. гл. XXIII).
Кроме того, надо принять во внимание условия, которым дол-
должен удовлетворять потенциал на бесконечности. Во многих гидро-
гидродинамических задачах предполагают, что вызывающее движение
жидкости возмущение, если оно действует в ограниченной области
пространства, не изменяет состояния покоя жидкости на бесконеч-
бесконечном удалении от этой области. При этом на бесконечности будут
*, du
обращаться в нуль частные производные -г—, причем можно до-
С1Х ?
казать, что величины
ди
(* = 1, 2, 3)
dxt
будут ограниченными при беспредельно возрастающем г.
ЗАДАЧА
Доказать, что задача о стационарном распределении температуры в ограни-
ограниченном однородном теле, внутри которого находятся непрерывно распределенные
источники тепла, приводится к интегрированию уравнения
Аи——4л/!, когда x?V—!fV,
при условии
*L + ku + f = Ot когда x?fV,
где V—область, занятая телом, a k, fx и / — некоторые функции, причем функ-
функция /х задана внутри тела, а функции / и к — на его поверхности.
§ 2. Граничные задачи
Выше мы рассмотрели ряд физических задач. Каждая из них
приводила к следующей математической задаче: найти функцию и,
которая во всех внутренних точках заданной области V удовлет-
удовлетворяет уравнению Лапласа Ди = 0, а на границе WV области V —
некоторому условию. Это последнее получило название граничного
условия, в связи с чем рассматриваемую математическую задачу
называют граничной. Употребительны также термины: краевое
условие, предельное условие и соответственно: краевая задача,
предельная задача. Мы этими терминами пользоваться не будем.
Граничные задачи могут ставиться не только для уравнения
Лапласа, но и для любых уравнений эллиптического типа.
— 254 —

В зависимости от вида граничного условия различают три
основных вида граничной задачи*:
1. и (х) = г|) (л:), когда х? «ГУ — первая граничная задача или
задача Дирихле,
2. -^-= г|)(л:), когда xgJFV —вторая граничная задача или
задача Неймана,
3. -? + (За = г|) (л:), когда х g WV — третья или смешанная гра-
граничная задача.
Здесь if> и |3— непрерывные функции, определенные на гра-
граничной поверхности WV, а -т— означает производную, взятую в
точке поверхности WV по направлению внешней нормали к ней.
К этим видам граничной задачи приводит изучение широкого
круга стационарных физических процессов и явлений. В частности,
примеры, рассмотренные в предыдущем параграфе, привели нас
к задачам Дирихле и Неймана. Однако встречаются задачи и
с другими граничными условиями. К их числу принадлежат, на-
например, задачи гидродинамики, в которых рассматриваются сво-
свободные поверхности жидких сред, и др. Если рассматриваемая
физическая среда неоднородна, но состоит из нескольких однород-
однородных частей, то на их границах должны выполняться некоторые
условия сопряжения и т. п.
Если область, в которой ищется решение уравнения, ограни-
ограничена, то граничная задача называется внутренней. Если же эта
область является частью пространства, лежащей вне некоторой
ограниченной области, то граничная задача называется внешней.
Если границей области является плоскость, то говорят, что гра-
граничная задача ставится для полупространства. Задача о тепловом
состоянии однородною тела, сформулированная в предыдущем
параграфе, представляет пример внутренней задачи Дирихле, а
электростатическая задача — внешней.
Уточним теперь математическую формулировку граничной за-
задачи. Как упоминалось во введении, задачу математической физики
называют поставленной корректно, если ее решение существует,
единственно и непрерывно зависит от данных задачи.
Требования, содержащиеся в формулировке понятия коррект-
корректности, отражают наше общее представление о широком круге
физических явлений, как непременно происходящих, если созданы
необходимые условия (решение существует), полностью определен-
определенных условиями их протекания (решение единственно) и протекаю-
протекающих почти одинаково, если условия их протекания достаточно
* См. также Дополнение к ч. И, п. 2.
— 255 —

близки (непрерывная зависимость решения от данных задачи *.
Корректная постановка задачи обычно обеспечивает физическую
содержательность решения.
Условия, обеспечивающие корректность постановки той или
иной граничной задачи, несколько различаются для разного типа
задач. Но существует основная группа условий, входящих во все
эти формулировки. Она сводится к следующему. Функция, дающая
решение граничной задачи (поставленной для уравнения в частных
производных второго порядка) должна:
1) быть непрерывна в области, в которой ставится задача,
вплоть до границы области;
2) внутри области иметь непрерывные вторые производные и
удовлетворять заданному уравнению (например, уравнению
Лапласа, Пуассона и т. д.);
3) на границе области удовлетворять заданному граничному
условию;
4) если область трехмерна и бесконечна, то при перемещении
к бесконечно удаленной точке вдоль любого луча, принад-
принадлежащего области, стремиться к нулю.
Решения граничных задач, поставленных в трехмерных обла-
областях, удовлетворяющие перечисленным условиям, будем называть
регулярными.
Как мы покажем, регулярные решения основных граничных
задач единственны (иногда при некоторых дополнительных усло-
условиях) и непрерывно зависят от граничных условий. Проблемы же
существования решений, требующей применения специального
математического аппарата, мы касаться не будем. Отметим лишь,
что регулярные решения существуют только тогда, когда заданное
граничное условие достаточно гладко. Это обстоятельство, практи-
практически, не является важным, так как любое граничное условие,
имеющее физический смысл, может быть сколь угодно точно при-
приближено достаточно гладкими функциями. В рамках идеализиро-
идеализированного рассмотрения физических объектов как непрерывных, это
приближение будет иметь тот же физический смысл, что и исходное
условие. Другое решение вопроса о существовании решений дается
теорией обобщенных решений.
В заключение отметим, что решения корректно поставленных
граничных задач для любого уравнения эллиптического типа
всегда оказываются не менее гладкими (в смысле существования
у них определенного числа непрерывных производных), чем опре-
* Конечно, нельзя утверждать, что задача, поставленная некорректно в ука-
указанном смысле, обязательно будет лишена физического содержания. Например,
отказ от последнего требования (непрерывная зависимость от данных задачи)
может оказаться необходимым при исследовании условий устойчивости процесса
и т. п. Однако в большинстве физических проблем требование корректности
(в указанном смысле) оказывается необходимой частью строгой формулировки
математической постановки задачи.
- 256 —

деляющие их функции (коэффициенты уравнения и данные задачи).
Обычно во всех внутренних точках изучаемой области они даже
дифференцируемы неограниченное число раз. Это свойство решений
граничных задач тесно связано с тем, что к граничным задачам
приводит изучение установившихся (стационарных) физических
процессов —рявновесий, являющихся конечным результатом пред-
предшествующего процесса выравнивания. Из физических соображений
очевидно, что при этом не только решения задачи, но и граничные
условия, достаточно точно передающие природу явления, будут
весьма гладкими.
§ 3. Гармонические функции
Говорят, что в точке х функция и(х) является гармонической
(или гармонична), если в этой точке она имеет непрерывные
вторые производные и удовлетворяет уравнению Лапласа. Говорят,
что функция и (х) является гармонической (или гармонична) в
замкнутой области V, если она
1) непрерывна в этой области,
2) гармонична во всех внутренних точках области,
3) когда область V бесконечна, стремится к нулю при стрем-
стремлении точки х к бесконечно удаленной точке вдоль любого
луча, принадлежащего области.
Отметим, что в силу этого определения регулярные решения
граничных задач для уравнения Лапласа являются функциями,
гармоническими в рассматриваемой области.
Установим некоторые важные свойства гармонических функций.
Теорема о максимуме и минимуме. Если функция
и (х) гармонична в области V, то она не имеет внутри этой области
ни максимумов, ни минимумов, достигая своих наибольшего и
наименьшего значений на ее границе.
Для доказательства предположим, что функция и в точке
x?V— JFV имеет максимум. Опишем из точки х, как из центра,
шаровую поверхность а, лежащую целиком внутри области V.
Радиус поверхности а можно выбрать столь малым, чтобы было
и(х)>ин + г, A8)
где ин — наибольшее значение и на a, a e > 0. Далее, можно найти
такое достаточно малое число г\ > 0, чтобы для любой точки |,
лежащей на или внутри поверхности а, было
где |х—1| — расстояние между точкой хи точкой!. Тогда, в силу
неравенства A8), функция
№ 645 — 257 —

в точке ! = # будет превосходить свое наибольшее значение на а.
Это означает, что ее максимум должен достигаться внутри поверх-
поверхности а. Но в точке максимума вторые производные по координа-
координатам точки 1 не могут быть больше нуля. Между тем
v++^ix||6T1>0
Противоречие доказывает невозможность неравенства A8),
откуда следует, что функция и внутри области V не может иметь
максимума. Подобным же путем легко показать, что функция и
не может иметь и минимума внутри V. Но как всякая непрерыв-
непрерывная функция, она достигает своих наибольшего и наименьшего
значений в области * (теорема Вейерштрасса). Так как это не-
невозможно внутри области V, то эти значения достигаются функ-
функцией и на границе области.
Отметим полезное следствие. Если функции и nv гармоничны
в области V, то выполнение на границе области одного из нера-
неравенств:
^ или \и\ ^v
влечет за собой выполнение этого же неравенства и внутри области.
В самом деле, если функция (u—v), гармоническая в области V,
неположительна на границе области (и — v^.0), то она неположи-
неположительна и всюду в области, так как внутри области она не может
превзойти свое значение на границе. Отсюда следует требуемое
утверждение в отношении неравенства и < v. Неравенство же \и\ <у
эквивалентно двум неравенствам: u^v, —v^ и. По доказанному,
выполнение каждого из них на границе влечет за собой их выпол-
выполнение и внутри области. Отсюда следует требуемое утверждение
и в отношении неравенства | и \ ^ v.
Опираясь на теорему о максимуме и минимуме, докажем следую-
следующую лемму об устранимой особенности.
Пусть точка %=х является изолированной особой точкой функ-
функции и (|), а во всех точках некоторой окрестности Q точки х
функция иA) гармонична. Тогда либо при \-+х функция иA)
растет не медленнее, чем — , где г~\х —1| — расстояние между
точками х и 1, либо функция и (%) имеет в точке х устранимую
особенность и может быть доопределена в этой точке так, чтобы
она была в ней гармонична.
Выберем положительное число а настолько малым, чтобы шар
г^а целиком принадлежал окрестности Q. В § 6, не опираясь на
доказываемую лемму, мы покажем, что можно построить функцию,
гармоническую в шаре и совпадающую на его поверхности с за-
заданной непрерывной функцией. Обозначим через v(%) функцию,
* См. В. И. Смирнов [1], т. I, п. 43.
— 258 —

гармоническую в шаре г^а и принимающую на его поверхности
те же значения, что и функция u(Q. Рассмотрим функцию
Она неотрицательна в шаре г^а и гармонична в области VtJ
которая получается, если исключить из шара г<^а произвольно
малую окрестность г^г точки х. При %—>х она растет как — .
Поэтому, если функция и(?>) при %—*х растет медленнее, чем —
(т. е. произведение ги —¦> 0 при 1 —¦> х), то существует такое число г\9
стремящееся к нулю вместе с е, что
\и — v\^r\[-y——j при г = г пг = а. A9)
За т] можно, например, принять наименьшее значение выражения
га
\u — v\
а—г
при г^е. Так как функции (u — v) и ц ( — j обе гармоничны
в области Vt> то, по доказанному выше следствию теоремы о мак-
максимуме и минимуме, неравенство A9) справедливо и при е^г^а.
Закрепим точку |, придав тем самым левой части неравенства A9),
а также функции ( ) некоторые фиксированные значения , .и
устремим радиус е к нулю. При этом правая часть неравенства A9)
будет стремиться к нулю, а так как его левая часть не зависит от 8,
то при всех %фх и г^а должно быть u = v.
Итак, если функция иA) при 1—+х растет медленнее, чем—,
то при %Ф х она совпадает с ограниченной функцией v и, следо-
следовательно, ограничена при \Фх. При этом, поскольку u = v для
всех \Фх, то в особой точке 1 = jc можно положить: u(x)~v(x),
т. е. точка х является для функции и A) устранимой особой точ-
точкой.
Таким образом,функция, гармоническая во всех точках области, за
исключением некоторого числа изолированных точек xl (i = 1, 2,3,....),
в которых она имеет неустранимую особенность, растет при
приближении к этим точкам не медленнее, чем ,«.__ .. . Особых то-
чек другого типа она не имеет. Примером функции, имеющей не-
неустранимую особенность в точке х1 и гармонической во всех осталь-
остальных точках пространства, может служить функция -г= тт- .
Имея ввиду, перейти к рассмотрению функций, гармонических
в бесконечных областях, каждой точке х пространства поставим
9* - 259 -

в соответствие точку | с координатами
V = U 2, 3, \х\*=ех\ + х* + х1 а = const). B0)
Преобразование, выраженное формулами B0), называют инверсией
относительно шаровой поверхности радиуса а с центром в точке
х = 0. Точки х и | называют гармонически сопряженными отно-
относительно указанной шаровой поверхности.
Так как отношения
имеют одинаковые значения при всех i, то обе гармонически сопря-
сопряженные точки х и | лежат на одном луче, проведенном из точки
|я| = 0. Далее, вычислив с помощью формулы B0) расстояние
111 = Vlt + %l +1| точки | от начала луча, найдем, что 111 | х | = а2.
Отсюда следует, что геометрия рассматриваемого преобразова-
преобразования такова, как если бы пространство отражалось в зеркальной
поверхности 2 шара радиуса а с центром в точке | х | = 0. При этом
точки, лежащие на 2, преобразуются сами в себя, а точки, лежа-
лежащие вне (внутри) 2, —в точки, лежащие внутри (вне) 2. В част-
частности, бесконечно удаленная точка преобразуется в точку |х| —0,
а точка |х| = 0 — в бесконечно удаленную точку. Легко показать,
что при инверсии линии преобразуются в линии же, поверхности —
в поверхности, области — в области. При этом бесконечные области
преобразуются в области, содержащие начало координат, а области,
содержащие начало координат — в бесконечные.
Так как свойство сопряженности двух точек взаимно, т. е. при
инверсии они взаимно переходят друг в друга, то этим же свой-
свойством обладают и любые их множества. В частности, если об-
область V при инверсии преобразуется в область V\ то область V —
преобразуется в область V. Области V и V будем называть сопря-
сопряженными друг с другом.
Пусть V — область, сопряженная с областью V при инверсии
относительно шаровой поверхности единичного радиуса. Докажем
теорему Кельвина: если функция и{х) гармонична в области V, то
функция
и{1)^]Т\и{ф> ПТ2' Ш B1)
гармонична в области V.
Введем сферические координаты г, 9, ср с началом в точке
[л; | = 0. При этом с точкой х(г, 0, фN^ будет гармонически
сопряжена точка |(г', 9, ср)€У, где г' = у, вследствие чего
выражение B1) примет вид:
v(r'9 9, Ф) = ги(г, 9, ф) = -1-аA, 9, Ф), г'э1. B2)
— 260 —

Предположим сначала, что область V не содержит точки г' = 0.
Подставив функцию v в уравнение Лапласа в сферических коорди-
координатах [см. формулу D)]:
MJS-* B3)
д дг д 1 д о д
и приняв во внимание, что 77 = ^77-=—^а"^— 7Г *
получим
откуда
Так как функция и гармонична в области У, то это уравнение
удовлетворяется тождественно, когда х(г, 0, ф)ёУ, т. е. когда
|(г\ 0, cpNV'. Следовательно, функция иA) удовлетворяет урав-
уравнению Лапласа B3), когда 1 ? У. При этом, как легко убедиться
прямым дифференцированием, из существования и непрерывности
производных функции и(х) в области V вытекает существование
и непрерывность производных того же порядка функции и(|)
в области V. Тем самым, в предположении, что точка г' = 0 не
принадлежит области V', теорема доказана.
Предположим теперь, что точка г' = 0 принадлежит области V.
Эта точка является для функции v = -p- и (р-, в, cpj особой.
Покажем, что это устранимая особая точка.
Пусть |' — произвольная точка области V, не совпадающая
с точкой г' —0, а со — шар с центром в точке г' —0 настолько
малый, что точка \г лежит вне его. Тогда область V — со не со-
содержит точки r'-Ои, по доказанному выше, функция v гармонична
в ней и, в частности, гармонична в точке ?'. Следовательно, функ-
функция v гармонична во всех точках некоторой окрестности точки
г'-=0, за исключением самой этой точки (где она не определена),
и, по лемме об устранимой особенности, при г' —*0 она либо
остается ограниченной, либо растет не медленнее, чем у. Однако
последнее невозможно. Действительно, из соотношений B2) следует
что
r'v(r\ 0, <p) = u(jr, 0,
При г'—^0 функция и(р-> 0, ф) стремится к пределу, равному
ее значению в бесконечно-удаленной точке. Но так как функция и,
яо условию, гармонична, то этот предел равен нулю и, следова-
— 261 —

тельно, limr'v = 0. Таким образом, функция v в окрестности своей
г' ->0
особой точки ограничена, значит, ее можно доопределить так,
чтобы она была гармонична во всей области V. Это завершает
доказательство теоремы Кельвина.
Из теоремы Кельвина вытекает лемма о поведении гармони-
гармонической функции на бесконечности: функция и, гармоническая
в бесконечной области, удовлетворяет неравенствам:
ди - jL л- = 1 2 3 I х I = 1/1
где А и г0 — надлежаще выбранные постоянные.
Действительно, пусть ? — точка, гармонически сопряженная
с точкой х. Функция v (I) = | х | и (х) гармонична в точке ?=0 и
некоторой ее окрестности | ? | < е в силу теоремы Кельвина,
а поэтому и ограничена там. Отсюда вытекает первое из нера-
неравенств B4) при го = — и некотором значении А > Ло, где Ао —
наибольшее значение функции (v (?) | при 1?1 < е. Далее, заметив,
что из равенств B0) при а=1 следует формула
а=1 а=1
прямым дифференцированием получим
ди 1 о | с. I _ /«.ч 2х,- >г-^ хп д
а=1
|x|3a|,- + |xp|||W |x|i2- 1*1 Ы^. 161 J*
1
Так как отношения -р-г, —-, (/ = 1, 2, 3), а также, в окрестности
I С. I . , ^У
11,1 < е, функции v и ~р ограничены, то существует такое число
Л,- > 0, что U^- <—~2. Выбрав в качестве А наибольшее из
чисел Ло, Лу(/=1, 2, 3), получим все неравенства B4).
ЗАДАЧИ
1. Показать, что если точка х гармонически сопряжена с точкой I, то и
наоборот, точка ? гармонически сопряжена с точкой я, т. е. свойство сопряжен-
сопряженности взаимно.
2. Показать, что теорема Кельвина остается в силе при преобразовании
инверсии общего вида:
где г/—произвольная фиксированная точка.
— 262 -

3. Показать, что инверсия представляет конформное отображение простран-
пространства, т. е. при инверсии сохраняются углы между кривыми.
Указание. Рассмотреть отображение элементов длин дуг.
4. Обобщить теорему о максимуме и минимуме на бесконечные области.
§ 4. Единственность решений граничных задач
Докажем единственность решения задачи Дирихле для урав-
уравнений Лапласа и Пуассона. Предположим, что задача Дирихле
когда x?V—
когда x
?V' } B5)
имеет два различных решения их и и2. Тогда разность w=-ux — u2
гармонична в области V и обращается в нуль на ее границе.
Если область V ограничена, можно непосредственно применить
теорему о максимуме и минимуме. Внутри области V гармониче-
гармоническая функция w не может иметь значений ни больших, ни мень-
меньших своего граничного значения, равного нулю. Поэтому она
равна нулю и всюду внутри области, т. е. функции их и и2 внутри
рассматриваемой области совпадают. Если область V бесконечна,
воспользуемся теоремой Кельвина, построив функцию w^^)=\x\w(x),
где 1 —точка с координатами ^ = т^. Функция w*(Q гармонична
в ограниченной области V, сопряженной области I/, и обращается
на ее границе в нуль в силу граничного условия для функции w.
Следовательно, по доказанному, она равна нулю, а поэтому равна
нулю и функция w(x) = | ? | w*(l). Это завершает доказательство.
Так же просто доказывается непрерывная зависимость решения
рассматриваемой задачи Дирихле от граничного условия. Пусть их
и и2 — решения двух задач Дирихле для одной и той же области,
граничные значения которых различаются не более чем на вели-
величину е. При этом функция w = ux— и2 гармонична, а в точках
границы области отличается от нуля не более, чем на 8. Если
область V ограничена, то в силу теоремы о максимуме и минимуме
функция их— и2 не может отличаться от нуля больше чем на ей
в любой точке внутри области. Следовательно, во всей области
\их— и2 |^е, из чего и вытекает требуемое утверждение. Если
область V бесконечна, но точка |*| = 0 не принадлежит области,
то применив теорему Кельвина придем к функции w* (I) == | х \ w(x),
гармонической в ограниченной области V, сопряженной области V.
Граничные значения функции w* не превосходят Л8, где А—наи-
А—наибольшее значение величины \х\ на границе WV. Следовательно,
по доказанному, w*(Q < Ле, когда !¦ ? V. Отсюда w(x) < -не, где
В — наименьшее значение величины |х| на границе <FF, и наше
Утверждение доказано. Когда точка | х | ~ 0 принадлежит области V,
То До применения теоремы Кельвина можно сместить начало ко-
— 263 —

ординат, после чего с помощью теоремы Кельвина снова придем
к требуемому результату.
Чтобы рассмотреть задачу Неймана и смешанную задачу, обра-
обратимся к формуле Грина G), гл. XVIII. Приняв во внимание то-
тождество:
{du . п \ (dv . о \ da dv /осч
+ Р^ ) и + 8и Ыv« B6)
\dn j \dn ' ' J dn dn
где C — произвольная непрерывная функция, и введя для сокра-
сокращения письма обозначение:
? = ?И. B7)
приведем формулу Грина к виду:
m B8)
JJ
&V
где V —ограниченная область. Положив в этой формуле одну из
входящих в нее функций равной 1, а вторую — равной квадрату
гармонической функции w, придем к формуле Дирихле:
- B9)
Воспользуемся ею, чтобы установить условия единственности ре-
решений внутренней смешанной задачи и внутренней задачи Неймана
для уравнений Лапласа и Пуассона.
При обозначении B7), обе эти задачи могут быть записаны
в единой форме:
Ди=/, когда xGV—-WV\
^w = i|?, когда xWV
При Р ф. О эта запись соответствует смешанной задаче, а при
рЕ=гО — задаче Неймана.
Предположим, что задача C0) имеет два различных решения иг
и и2, непрерывных в области V вместе со своими первыми произ-
производными. Тогда их разность w = u1 — и2 явится решением однород-
однородной граничной задачи для уравнения Лапласа:
Дш=:0, когда x?V — ?V, Pw--=0, когда x
удовлетворяющим тем же условиям непрерывности. При этом, для
Р^О, из формулы Дирихле следует, что
Шгуаш
— 264 —

Так как все члены подынтегрального выражения неотрицательны,
а само это выражение, по предположению, непрерывно, то должно
быть |^ = 0 (* = 1> 2, 3), т. е.
w = иг — и2 = const.
Чтобы определить допускаемые значения постоянной в правой
части этого равенства, обратимся к граничному условию рассматри-
рассматриваемой однородной задачи. Если C = 0 (задача Неймана), то ему
удовлетворяет любая постоянная. Следовательно, любая постоянная
является решением однородной задачи Неймана, а поэтому решение
неоднородной задачи Неймана определяется с точностью до про-
произвольного постоянного слагаемого. Если же C-^=0 хотя бы на
части границы <FV, то эта постоянная равна нулю, т. е. решение
смешанной задачи единственно.
К задаче Неймана обычно приводят физические проблемы, для
которых появление постоянного слагаемого в решении либо не-
несущественно (если выбор начала отсчета значений функции и может
быть произвольным), либо это постоянное слагаемое определяется
из дополнительных требований к поведению функции и на границе.
Например, часто представляет интерес решение, среднее значение
которого на границе области равно нулю. Это приводит к условию:
= 0. C1)
Такое решение, очевидно, единственно.
Таким образом, дополнительные условия, делающие задачу
Неймана поставленной корректно, могут устанавливаться в зависи-
зависимости от конкретного содержания изучаемой физической проблемы.
Перейдем к внешним задачам.
Пусть V — бесконечная область с конечной границей JFV. Выделим
из области V конечную часть У*, лежащую внутри шаровой поверх-
поверхности 2, содержащей границу WV внутри себя. Применив в об-
области V* формулу Дирихле B9), получим
Будем неограниченно увеличивать радиус поверхности 2. В силу
леммы о поведен!!и гармонической функции на бесконечности,
в окрестности бесконечно удаленной точки слагаемые (-Д) убы-
вают не медленнее, чем —^, тогда как с ростом поверхности 2 объем
области F* возрастает лишь как г3. Следовательно, интеграл по
— 265 —

области V* при этом сходится к несобственному интегралу по обла-
области V. Интеграл \\ w-^-dS с ростом радиуса поверхности 2 схо-
2
о dw
дится к нулю, так как, в силу той же леммы, выражение w-~r-
при этом убывает на 2 как -3, в то время как площадь поверх-
поверхности 2 растет лишь как г2. Поскольку для нас представляют
интерес значения функции |3 только на границе <FV, выберем р
так, чтобы с ростом 2 интеграл j j $w2 dS обращался в нуль.
Осуществив предельный переход в написанном выше соотношении,
придем к формуле Дирихле для бесконечной области:
$[(?)¦+(?)'+(?)']"-
P w dS - ~ j j К dS. C2)
Эта формула полностью совпадает с формулой B9). Поэтому,
по тем же соображениям, что и выше, придем к выводу, что при
C^0, разность w = u1 — u2 двух решений их и и2 внешней гра-
граничной задачи:
Да = /, когда x?V — ?V, )
^и = ^+ра = я|), когда x??V, j C3)
удовлетворяет соотношениям ^—=0 (i=l, 2, 3), откуда следует,
что ш = const. Постоянная в правой части последнего соотношения
должна быть равна нулю как для внешней смешанной задачи, так
и для внешней задачи Неймана, поскольку в бесконечно удаленной
точке все гармонические функции имеют совпадающее значение,
равное нулю. Таким образом, при Р ^ 0, регулярное решение внеш-
внешней задачи C3) единственно.
Коснемся теперь вопроса об условиях существования решений
задачи Неймана для уравнения Лапласа. Положив в формуле
Грина G), гл. XVIII, v=l, Да = 0, получим
, C4)
где S — произвольная поверхность, являющаяся границей конечной
области, в которой функция и гармонична. Отсюда следует, что
граничное условие
•~- = г|?, когда
— 266 —

внутренней задачи Неймана для уравнения Лапласа не может быть
задано произвольно, а должно удовлетворять соотношению:
¦ф dS = 0. C5)
Этот результат допускает простое истолкование. Рассмотрим,
например, температурное поле. Согласно принципу Фурье, коли-
количество тепла, текущего через элемент поверхности dSy пропорцио-
du jo du
нально произведению -j-dS, где -i производная температуры и
по направлению нормали к элементу dS. Если температурное поле
не меняется с течением времени, то общее количество тепла, про-
проходящего через любую замкнутую поверхность, заключенную в пре-
пределах тела, равно нулю. Таким образом, соотношение C4) или C5)
представляет условие стационарности поля.
Заметим, что свойство, выраженное соотношением C4), присуще
только гармоническим функциям (см. задачу 1).
Условие C5) не распространяется, однако, на внешнюю задачу
Неймана. Действительно, введем снова область V*, которую мы
рассматривали при выводе формулы Дирихле C2). Применив фор-
формулу C5) в области V*, получим
СС du <„ С С du лс
Когда радиус поверхности 2 неограниченно растет, интеграл по 2
может не стремиться к нулю, так как из доказательства леммы
о поведении гармонической функции на бесконечности вытекает, что
подынтегральное выражение может убывать лишь как -^, т. е.
интеграл по 2 может не обращаться в нуль с ростом поверхности S.
Следовательно, формула C4), а с ней и формула C5), не пере-
переносится на функции, гармонические в бесконечной области.
Вспомнив истолкование формулы C4), видим, что в рамках
этого истолкования взаимодействие между средой в бесконечной
области и внешним пространством следует считать происходящим
не только на границе WV области, но и в бесконечно удаленной
точке, вследствие чего равновесный баланс на границе WV может
не соблюдаться.
ЗАДАЧИ
1. Пусть и—функция, имеющая в области V непрерывные производные
первых двух порядков, причем
при любом выборе замкнутой поверхности S, не выходящей за пределы V. Дока-
Доказать, что функция и гармонична в области У.
— 267 —

Указание. Воспользоваться формулой Грина G), гл. XVIII, положив
в этой формуле v — 1.
2. Доказать теорему о максимуме и минимуме с помощью формулы C4).
Указание. Воспользоваться тем, что на шаровой поверхности достаточно
малого радиуса, окружающей точку максимума или минимума функции и, про-
du
изводная -т- сохраняет знак.
3. Опираясь на интегральную формулу Дирихле, доказать единственность
решения задачи Дирихле.
4. Применив теорему о максимуме и минимуме к шару неограниченно боль-
большого радиуса, доказать теорему Лиувилля: функция, гармоническая во всем
пространстве, тождественно равна нулю.
5. Опираясь на теорему Кельвина, показать, что внешняя задача Дирихле
может быть сведена к внутренней.
§ 5. Фундаментальные решения уравнения Лапласа.
Основная формула теории гармонических функций
Как мы видели в § 1, функция
1 1
г Г~ '
V а=1
C6)
где \р Xj (/ = 1, 2, 3) —координаты двух точек I и х, при \Фх
удовлетворяет уравнению Лапласа. Так как выражение — симме-
симметрично относительно координат точек I и х, это справедливо при
дифференцировании по координатам как точки ?, так и точки х.
При % = х функция — испытывает бесконечный разрыв.
Если функция ф (|, х) в области V гармонична по координатам
точки | и непрерывна вместе со своими первыми производными,
то функцию
±[1 ] C7)
будем называть фундаментальным решением уравнения Лапласа
в области V.
Используя свойства фундаментальных решений, можно вывести
важные интегральные формулы, связывающие значение произволь-
произвольной достаточно гладкой функции в какой-либо точке внутри или
на границе области ее определения с совокупностью значений этой
функции и ее нормальной производной на границе рассматривае-
рассматриваемой области.
Рассмотрим сначала ограниченные области. Пусть V — такая
область. Когда точка х лежит вне области У, фундаментальное
решение L(?, x) в этой области гармонично, вследствие чего, по-
положив в формуле Грина G), гл. XVIII,
»© = ?& х)9
— 268 —

получим:
pv v
где через RE обозначено все пространство, а точка х рассматри-
рассматривается как параметр. Когда точка х лежит внутри области У, то
формулу Грина можно применить в области V — Qe, где Q6 — ле-
лежащий в области У_шар произвольно малого радиуса е с центром
в точке х. При этом вместо соотношения C8) получим:
При 8—* 0 интеграл \y^LAu(N, стремится к несобственному ин-
тегралу ^^ LAudV,, если последний существует. Интеграл
v
L~dS^ стремится к нулю, поскольку производная -р непре-
рывна (по предположению, принятому при выводе формулы Грина)
и, следовательно, ограничена, а функция L(?, x) растет на ?п.
как —, тогда как площадь поверхности JFQS убывает как е2.
Рассмотрим поведение интеграла от и -г-. В силу равенства C7):
Первый pi3 интегралов в правой части при е —¦* 0 обращается в нуль,
так как подынтегральное выражение ограничено. Подынтегральное
выражение во втором интеграле преобразуем, воспользовавшись тем,
что на шаровой поверхности <FQe-^-=—-г-, так как внешняя
нормаль к границе области V — Qe направлена вдоль радиуса г
внутрь шара Q?. Это даст:
4я J J dn\r ) i 4л J J г2 «; 4яе2 J J
По
теореме о среднем
где ucp—-значение функции w в некоторой точке, принадлежащей
шару Qt. Заметив, что интеграл ^ j dS, равен площади 4яе2 поверх-
269 —

ности <FQg, а при е-*0 величина ыср стремится к и(х\ так как
функция и непрерывна, получим
lim С С и ? dS, = lira ^ \ f dS = lim «cp = u (*). C9)
Учтя найденные значения пределов, окончательно получим:
й(^-«ж)^ = Щ1А"^+"(х) (*€V-*T). D0)
Предположим, наконец, что точка я расположена на граничной
поверхности WV. Применив формулу Грина в области V-—Q'e, где
Qg — лежащая в области V часть шара Qs, описанного малым
радиусом е из точки х, получим
где (os —часть граничной поверхности JFV, лежащая в шаре Q6,
a (Og — часть поверхности шара Q?, лежащая в области V. При е—^0
интеграл в левой части этого соотношения стремится к несобствен-
несобственному интегралу по WV. За его значение примем предел правой
части, при вычислении которого мы можем повторить все рассу-
рассуждения предыдущего случая, за тем исключением, что теперь
в формуле C9) вместо интеграла \ \ dS, будет фигурировать интег-
рал j ^ dSM равный площади той части поверхности шара Qe, ко-
тора я лежит в области V.
Введем в точке х местную декартову систему координат ?х, ?2, ^3»
направив ось 3 вдоль внешней нормали к поверхности WV в точке х.
По предположению (гл. XVIII, § 1), внутри некоторого шара
с центром в точке х уравнение поверхности WV можно записать
в виде
где функция / и ее производные первого порядка непрерывны и
обращаются в точке х в нуль. Вследствие этого, по определению
дифференцируемой функции, в малой окрестности точки х имеет
место соотношение:
где величины hx и h2 обращаются в нуль одновременно с ?х,
Введем сферические координаты г, 6, ф, положив
^ = г sin 6 cos ф, ?2 = r sin Э sin <р, ^3 = т cos 6.
— 270 —

Подставив эти выражения в найденное выше соотношение, получим
cos 6 = ^ sin 6coscp+/i2 sin 0 sin ф = Л(/-, 6, ф), D1)
где h—функция, ограниченная и обращающаяся в нуль одновре-
одновременно с г, а Э —угловая координата точки на поверхности WV.
Воспользовавшись этим выражением, придем к следующей оценке
интересующего нас интеграла
2я е
2Я Я/2 2Я 9
± J d<p' j sin9'de' + ^ J d9' J sin0'd9' = i-
0 0 0 Я2
2Я 2Я
2Я
где Я(е)^-^- \ /i(e, Э, (p')d(p' — ограниченная функция, обра-
o
щающаяся в нуль одновременно с е. Вследствие этого
что приведет нас к соотношению
D2)
Объединив формулы C8), D0) и D2) в одну, можем записать:
И( г du dL\ ,c
\ an dn
?v J
0, когда x?RE—Vy
^ + ^u{x\ когда x$?V, D3)
и(х), когда х? V— .
Если функция и гармонична в области У, то формула D3)
примет вид:
(О, когда х? RE— V,
1«W, когда x^V, D4)
u(x)f когда xgV—- (FK.
— 271 —

Это соотношение называют основной формулой теории гармони*
ческих функций.
Она переносится и на бесконечные области. Пусть У—беско-
У—бесконечная область с конечной границей WV, г У* —часть области V,
лежащая в шаре Q конечного радиуса г, содержащем границу WV
внутри себя. Применив формулу D4) в области К*, придем к фор-
формуле, левая часть которой по виду будет отличаться от левой
части формулы D4) тем, что в ней добавится интеграл
т du dL \ 1 с
dn dn J i
При неограниченном возрастании радиуса шара этот интеграл
стремится к нулю, так как, в силу леммы § 3 о поведении гармо-
гармонической функции на бесконечности и определения фундаменталь-
фундаментального решения L (?, х), подынтегральное выражение при этом
убывает как -^, тогда как площадь поверхности WV шара Q
растет лишь как г2. Перейдя к пределу при г—> оо, снова по-
получим формулу
{О, когда x?RE—V,
!«<*), когда *€*V, D5)
и(х), когда x?V — <FV,
совпадающую с формулой D4) для ограниченных областей.
Опираясь на формулы D4) и D5) покажем, что внутри области
гармоничности любая гармоническая функция дифференцируема
неограниченное число раз. Для этого положим: L(?, х) = -т—-—.
Фундаментальное решение ^—в любой области, не содержащей
точку | = л:, дифференцируемо по координатам точки х неогра-
неограниченное число раз, причем результат дифференцирования всякий
раз представляет ограниченную функцию переменной Е. Если х —
внутренняя точка области V, то 1=?х, когда l?3~V. Следова-
Следовательно, интегралы D4) и D5) можно дифференцировать по коор-
координатам точки х, как по параметрам, неограниченное число раз.
Это доказывает высказанное утверждение, когда гармоническая
функция и непрерывна в области V вместе со своими первыми
производными. Если непрерывность первых производных не имеет
места, высказанное утверждение все же справедливо, так как
в формулах D4) и D5) от интегрирования по поверхности WV
можно перейти к интегрированию по поверхности S, лежащей
целиком внутри области V и заключающей точку х внутри себя.
Так как внутри области гармоничности всякая гармоническая
функция дважды дифференцируема, то формула, содержащая
— 272 —

интеграл по поверхности S, будет иметь смысл и, следовательно
из нее снова будет следовать неограниченная дифференцируемость
функции и(х).
Пусть Q —шар, описанный радиусом а из точки х9 и целиком
лежащий в области гармоничности функции и. На поверхности
шара Q: т- = т"' Положим как и выше: L(?, х) = j . Тогда,
в силу соотношения C4), формула D4) примет вид:
^udS=u{x), D6)
т. е. среднее арифметическое значение гармонической функции на
поверхности шара равно ее значению в его центре. Это утвержде-
утверждение носит название теоремы о среднем значении гармонической
функ ции.
ЗАДАЧИ
1. Опираясь на формулу D6), доказать, что гармонические функции внутри
области своего определения не только дифференцируемы неограниченйое число
раз, но и аналитичны.
2. Показать, что функция, удовлетворяющая условию D6), гармонична.
§ 6. Формула Пуассона. Решение задачи Дирихле для шара
Пусть ?—произвольная переменная точка, и — функция, гар-
гармоническая в шаре Q, определенном уравнением | ?|< 1, х — точка
инутри шара Q, а ? — точка, гармонически сопряженная с точкой х
(§ 3). Введем обозначения:
Функции т— и 7—7 являются фундаментальными решениями
уравнения Лапласа с особыми точками соответственно внутри
и вне шара Q. Следовательно, применив основную формулу D4),
получим:
<S=u(x). D8)
!?1=1
3
Приняв во внимание, что ?/ = —тг (/ = !» 2, 3) и что 2 ?а=1»
а=1
— 273 ^-

когда ? €<FQ, для точек ??gFQ получим:
а1
f
ИЛИ
f=-f-, когда ?€^Q. D9)
'о
Умножив соотношение D7) на величину и сложив его с соот-
ношением D8), в силу формулы D9), получим
Так как радиус шаровой поверхности JFQ равен единице, то
координаты ?у. (/= 1, 2, 3) точки ? численно равны направляющим
косинусам внешней нормали к поверхности <FQ в точке ?. Поэтому
Приняв во внимание соотношение D9), получим:
d /1\ v< <, д ( \ \ 1 V^ „ дг
dn - > «=1 -« - ' • а=1
- J- У ?*(*«-?*) _ 1 Vrr L
Г ' а=1 "'а ч ' ' а=1
f L
а «-*3 #-з ¦^¦^ а ^з
оо=1
в силу чего
А / \ 1 \ 1j/i\ л/1\ 2 1 1 2
a f __1 1_ j __ JJ а_ / J__ \ __^ а ( J_\ ^о j |_ 1 —г о
dn \ror* г ) ~~~ r0 dn \ г* ) dn\ г ) гъ\гъ~~ гъ
Подставив это выражение в формулу E0), получим формулу
Пуассона
E1)
^- 274 —

определяющую значения гармонической функции и в точках
внутри шара Jxj^l по значениям этой функции на его по-
поверхности.
Подставив в формулу Пуассона вместо и произвольную не-
непрерывную функцию г|)(?) точки ? поверхности шара jxj^l,
получим некоторую функцию
Покажем, что эта функция является решением задачи Дирихле:
Аи = 0, когда \х\ < 1;
E3)
и — г|), когда \х\ = 1. '
Доказательство разобьем на два этапа: сначала докажем, что
внутри шара |л;|^1 функция и гармонична, а затем докажем,
что при \х\—+\ функция и—^г|).
Рассмотрим подынтегральное выражение
гЬ —- = №) 1-*!-*1-*1 [?| = 1. E4)
Если точка л; лежит внутри шара, оно непрерывно и ограничено,
когда |?|=1- Поэтому при |л:|<1 можно изменять порядок
интегрирования по ? и дифференцирования по координатам
точки х. Так как подынтегральное выражение, как функция
точки х, при |л:|<1 имеет непрерывные вторые производные
и удовлетворяет уравнению Лапласа (в чем можно убедиться
непосредственной подстановкой его в уравнение), то при |л:|<1
интеграл E2) представляет гармоническую функцию.
Докажем теперь, что на поверхности |?|=1 интеграл E2)
принимает те же значения, что и функция г|э.
Рассмотрим некоторую конечную область, заключающую по-
поверхность |?| = 1 внутри себя. В этой области и на ее границе
функция и = 1 гармонична. Поэтому к ней может быть приме-
применена формула Пуассона, что даст
Составим разность
где у — произвольная точка поверхности [?| = 1. Выделим на по-
поверхности 2, определяемой уравнением | ? | = 1, небольшую часть а,
лежащую внутри шара радиуса т] с центром в точке у, и рас-
— 275 —

смотрим интегралы
Ш]^- E6)
Легко найдем, что
где М—-верхняя граница разности ^(Q — ty(y) при ??а. В силу
непрерывности функции г|) радиус ц всегда можно выбрать на-
настолько малым, чтобы было
1Л|<!> E7)
где е-произвольное положительное число. Так как функция ^
непрерывна, то она ограничена на 2. Поэтому существует такое
число Л, что | \|) | < А при ?? 2. Вследствие этого, для интег-
интеграла J2 получим оценку
J2\=-^ \\ ^—^[^(b)--^{y)]dS^\^:~ \\ l-~dSr <2ЛМ*,
2-а Е-а
1 2
где М* — верхняя граница выражения —^ на 2 — а. Каков бы
ни был радиус т), точку х можно настолько приблизить к точке у,
что разность 1—г% будет в неограниченное число раз меньше г],
тогда как расстояние г = \х—?| при ^€^ — а будет одного по-
порядка с ц. Поэтому при любом г), взяв точку х достаточно близко
к точке у, можно добиться, чтобы было
2 |
Отсюда следует, что при достаточной близости точки х к точке у
В силу произвольности числа г заключим, что когда точка х,
оставаясь внутри шара |?|^1, стремится к точке у на его
поверхности, то и(х)—+ty(y)9 что и утверждалось.
Заметим, что нам удалось построить решение внутренней
задачи Дирихле для шара |?|^1 при произвольном непрерыв-
непрерывном граничном условии. Тем самым мы доказали и существова-
существование этого решения.
— 276 —

Полученный результат путем линейного преобразования коор-
координат обобщается на задачу Дирихле, поставленную для произ-
произвольного шара.
ЗАДАЧИ
1. Опираясь на формулу Пуассона, доказать теорему о среднем значении
гармонической функции (§ 5).
2. Опираясь на теорему о среднем значении, доказать теорему о максимуме
и минимуме гармонической функции (§ 3).
§ 7. Функция Грина
В этом параграфе будем рассматривать решения граничных
задач, принадлежащие классу функций, непрерывных в изу-
изучаемой области вместе со своими первыми производными. Это
даст нам возможность широко использовать интегральные фор-
формулы D3) и D4).
Рассмотрим задачу Дирихле:
Ди = Л когда x^V—WV, \ -
и = i|>, когда х 6 ?FV, )
где У —ограниченная область, а / и ^ — непрерывные функции.
Предположим, что
±[± ] (r^\l-x\) E9)
— фундаментальное решение уравнения Лапласа в области V,
обращающееся в нуль на ее границе WV. Для этого функция
ФЙ,^') должна быть решением граничной задачи:
Д:Ф (?,*) = 0, когда \^X^V—WV\ \
Ф(?, *) = _!, когда Ъ?ЗТ, xeV-fV. j F0)
Подставив в формулу D3) значения величин, заданные в гра-
граничной задаче E8), и положив L(H, x) = G(g, а:), получим
«(*) = -JJ^d^-^J/GdK ix$V-?V). F1)
&V V
(Л
Если фундаментальное решение G (I, х) и его производная ^су-
^существуют, то эта формула даст решение задачи Дирихле E8),
принадлежащее рассматриваемому классу функций, в интеграль-
интегральной форме. Тем самым, решение задачи Дирихле E8) общего вида
Для неоднородного уравнения сможет быть заменено разысканием
Функции G(E, л-), для чего требуется найти решение задачи Ди-
Дирихле F0) частного вида для однородного уравнения. Фундамен-
— 277 —

тальное решение G(|, x) называют функцией Грина задачи E8)
или функцией Грина оператора Лапласа.
Полученный результат непосредственно распространяется на
внешнюю задачу Дирихле для уравнения Лапласа: Аи = 0. Это
вытекает из совпадения формул D4) и D5) для ограниченной
и бесконечной области. Что же касается внешней задачи Дирихле
для уравнения Пуассона, то проведение рассуждений, аналогич-
аналогичных проведенным для внутренней задачи, требует обобщения фор-
формулы D3) на бесконечные области. Последнее возможно для ре-
решений уравнения Пуассона, удовлетворяющих на бесконечности
неравенствам
^|<А (/=1,2,3, г>г0), F2)
где А и г0 — ограниченные числа, аналогичным неравенствам B4)
для гармонических функций, при дополнительном условии, что
интеграл \\\fLdV имеет смысл. В самом деле, при этом для
v
обобщения формулы D3) достаточно провести те же рассуждения,
что и при обобщении формулы D4). Неравенства F2) носят назва-
название условий регулярности на бесконечности. Итак, решения рас-
рассматриваемого класса внешней задачи Дирихле для уравнения
Пуассона, регулярные на бесконечности, при условии, что инте-
Г* п п
грал \\\ fGdV имеет смысл, также представимы в форме F1), если
г
только соответствующая функция Грина существует.
Перейдем к смешанной задаче:
Au — fy когда x?V—JFV, )
-—j- pu = ib, когда x?qFV.
Воспользовшись тождеством
j f du ft \ fdL . PT\ r du dL
L -—htm —и -r-H-pL =L-t и -j- ,
\dn ' ' j \dn ' r J dn dn
и введя для сокращения обозначение
преобразуем формулу D3) к виду
и(х)= [ С (LPu — uPL)dS.— [[[ LAudV, когда х? V — WV. F4)
у v v
Пусть G (I, л:) —фундаментальное решение уравнения Лапласа
в области У, удовлетворяющее условию
5>6G(?,*) = 0, когда l^FV9 x^V—FV. F5)
— 278 —

Для этого функция ф (?, х) должна быть решением граничной
задачи
ДеФ = 0, когда I, x?V-?Vy \
F6)
^ф==_^1, когда l^WV, x€V-PV.J
Подставив в формулу F4) значения величин, заданные в гранич-
граничной задаче F3), и положив L = G, получим интегральное пред-
представление решения задачи F3):
и (х) = J J Gi|> dS, - J J J /G dVv когда х g V - ?V. F7)
&V V
Фундаментальное решение G (?,, л:) называют функцией Грина
задачи F3).
Обратимся, наконец, к задаче Неймана:
Ди = /, когда *eV^
^=^ когда хбГУ. ] F8)
Проведя те же рассуждения, что и для смешанной задачи, при-
придем к выводу, что решение задачи Неймана выражалось бы фор-
формулой, совпадающей с формулой F7), если бы функция ф(|, л:)
была решением граничной задачи:
Д.ф = 0, когда Ъ, x?V — WV\ )
Но такой функции ф не существует. В самом деле, положив
в формуле D4) н=1, L (Ь>, х) =-^ у , найдем, что
SV-3V9 G0)
между тем как, согласно формуле C4), интеграл от нормальной
производной гармонической функции по замкнутой поверхности
должен быть равен нулю.
Так как не существует решения задачи F9), то не сущест-
существует и фундаментального решения, имеющего нормальную произ-
производную, равную нулю на границе конечной области. Тем не
менее, может существовать фундаментальное решение, нормальная
производная которого на границе области постоянна и которое,
в связи с этим, может играть роль, аналогичную роли функции
Грина смешанной задачи F3). Чтобы найти это решение, изме-
изменим граничное условие задачи F9), положив
&=to_d_n\ когда
dn S dn\rj
— 279 —

Здесь S= j J dS — площадь поверхности WV. Легко видеть, что
соотношение C4) теперь соблюдается и, следовательно, функция ф
может существовать. Определив с ее помощью фундаментальное
решение
найдем, что
Подставив в формулу D3) L = G и значения величин, заданные
в задаче F8), получим
когда
x?
Интеграл — \ I wdST представляет среднее значение неизвестной
функции и на поверхности WV', вообще говоря, также неизвест-
неизвестное. Однако, как мы знаем, решения задачи Неймана определены
лишь с точностью до постоянного слагаемого, подбором которого
среднему значению решения на поверхности &V можно придать
любое наперед заданное значение. Следовательно, рассматривае-
рассматриваемый интеграл должен рассматриваться как произвольная посто-
постоянная.
Таким образом, найдя решение ср задачи
АГФ-О, когда х, l€V
.=todH\ когда
S d\ )
& V
G1)
и определив по формуле E9) фундаментальное решение G (?-, д:),
можно по формуле F7) построить то из решений задачи Ней-
Неймана F8), среднее значение которого на поверхности JFI/ равно
нулю. Все остальные решения задачи Неймана могут быть полу-
получены прибавлением к этому решению произвольной постоянной.
В отношении распространения формулы F7) на внешние сме-
смешанную задачу и задачу Неймана справедливы те же соображения,
что и в отношении формулы F1): на внешние задачи для уравне-
уравнения Лапласа она распространяется непосредственно, а для уравне-
уравнения Пуассона —при условии регулярности решения и сходимости
— 280 —

интеграла JJJ/Gdl^. При этом внешняя задача Неймана каких-
v
либо особенностей по сравнению с внешней смешанной задачей
не имеет, так как условие C4) не распространяется на функции,
гармоничные в бесконечной области.
Функция Грина имеет простой физический смысл поля, созда-
создаваемого точечными источниками. Поясним это на примере поля
точечного электрического заряда. По закону Кулона, в свободном
пространстве потенциал иA) поля единичного точечного заряда,
расположенного в точке х, равен д— (в рационализированной
системе единиц), где г = |?—х\. Предположим, однако, что этот
заряд расположен в полости внутри заземленного проводника.
При этом на границе полости будут индуцированы заряды, потен-
потенциал j^-cp поля которых вне полости должен скомпенсировать
поле точечного заряда, поскольку потенциал заземленного про-
проводника равен нулю. Вследствие этого, потенциал ф на границе
полости должен удовлетворять граничному условию ф = .
Отсюда ясно, что потенциал полного поля в полости ^~ (—Ьф 1
представит функцию Грина задачи Дирихле, поставленной для
образованной полостью области.
Коснемся вопроса о существовании функций Грина. Как ясно
из их физической интерпретации, следует ожидать, что функции
Грина существуют при весьма общих условиях. В теории диф-
дифференциальных уравнений эллиптического типа доказывается, что
функции Грина существуют, если решения соответствующих гра-
граничных задач существуют и единственны. Решения этих задач
представимы формулами F1) и F7) (подробнее см. § 6 дополне-
дополнения к ч. 2).
Формулы F1) и F7) лежат в основе метода Грина решения
граничных задач, с которым мы ниже встретимся.
ЗАДАЧИ
1. Показать, что функция Грина задачи Дирихле, поставленной для об-
области ]/, положительна внутри этой области.
Указан и е. Воспользоваться тем, что функция Грина положительна на
поверхности достаточно малого шара с центром в ее полюсе, а на границе
области V обращается в нуль, и применить теорему о максимуме и минимуме.
2. Показать, что функция Грина G (?, х), непрерывная в области V вместе
со своими первыми производными, симметрична в этой области относительно
точек I и х, т. е.
G(l, x) = G(x, I).
Указание. Применить в области V—Qe(Q — Qt(x), где Q€ (g) и Qe (x) —
сферические окрестности точек |, x?V — |FV, описанные радиусом е, к функ-
функциям (?(?, х), G (?, I) формулу Грина G) гл. XVIII и перейти к пределу е==0.
— 281 —

§ 8. Гармонические функции на плоскости
До сих пор мы рассматривали гармонические функции в про-
пространстве. Хотя теория гармонических функций на плоскости
почти аналогична теории гармонических функций в пространстве,
но имеет и некоторые отличия, которые мы здесь отметим.
Для функций, гармонических в ограниченной плоской области,
полностью сохраняет свою силу теорема о максимуме и мини-
минимуме, доказываемая совершенно так же, как в § 3.
Под инверсией в двумерном случае понимают преобразование,
при котором точка х плоскости преобразуется в точку | с коор-
координатами
Е/ = р^ (* = 1>2, \х\2 = х\+х1). G2)
При этом место отражения относительно шаровой поверхности
занимает отражение относительно окружности.
Справедлива теорема Кельвина: если функция и гармонична
в области 5, то функция
(| f) G3)
гармонична в области S', сопряженной области S при инверсии.
Отметим отсутствие в формуле G3) множителя \х\ перед и,
имеющегося в формуле B1). Проведение доказательства теоремы
Кельвина для плоской области предоставляется читателю.
Из формулы G3) вытекает, что функция, гармоническая в бес-
бесконечной плоской области, в общем случае не обращается на
бесконечности в нуль. Действительно, функция v(l), полученная
преобразованием функции и(х), гармонической в ограниченной
области, стремится на бесконечности к нулю только тогда, когда
и@) = 0. Можно однако показать, что разность vfe) — и@) убы-
убывает на бесконечности по абсолютной величине, как ту-. , а про-
производные гармонической функции — как тттгг-
С помощью теоремы о максимуме и минимуме и теоремы
Кельвина, теми же рассуждениями, как и в § 4, легко доказы-
доказывается теорема единственности решения задач Дирихле для урав-
уравнений Лапласа и Пуассона.
Легко также вывести формулу Дирихле
где ^ — функция, гармоническая в области S, a
ufl i
С ее помощью можно доказать теоремы единственности решений
задач Неймана и смешанной, аналогичные теоремам § 4, с тем
— 282 —

лишь отличием, что решение внешней задачи Неймана на пло-
плоскости определяется с точностью до постоянного слагаемого, как
и решение внутренней.
Фундаментальным решением уравнения Лапласа в плоской
области S называют функцию
где г—расстояние между точками ? и х9 а ф(?, х)—функция,
гармоническая в области 5 по координатам точки |. Легко ви-
видеть, что при |=т^ х функция In-у гармонична по координатам
точек \ и х.
Опираясь на формулу Грина (9) гл. XVIII, придем к формуле
du_ dL
' dn dn
( 0, когда x?R2—S,
= fJlAHdS + { ум(д;), когда x$?S, G4)
s I u(x), когда xg5 — <FS,
где 5— ограниченная плоская область, а /?а — вся плоскость, от-
откуда, при Ли = 0, следует «основная формула» теории гармони-
гармонических функций на плоскости:
[ 0, когда x?R2 — S,
\ ~?и W» когда х g WS, G5)
I гг(л'), когда
Если граница (FS — окружность С единичного радиуса, то, пре-
преобразуя формулу G5), придем к интегральной формуле Пуассона
для гармонической функции и на плоскости:
(t)^dL G6)
Как и для случая трех измерений, легко показать, что под-
подстановка в интегральную формулу Пуассона непрерывного гра-
граничного условия дает решение внутренней задачи Дирихле для
круга. Из формулы Пуассона вытекает также теорема о среднем
значении: среднее значение гармонической функции на окруж-
окружности равно ее значению в центре окружности. Для доказатель-
доказательства теоремы в формуле Пуассона достаточно положить |*|=i0.
— 283 —

Положив в формуле Грина (9) гл. XVIII и=1, Ди = 0, полу-
получим формулу
^ G7)
аналогичную формуле C4).
Распространим формулы G5) и G7) на функции, гармониче-
гармонические в бесконечных областях с конечной границей <FS. Пусть и —
такая функция, а С —окружность радиуса а с центром в начале
координат, охватывающая границу (FS. Применив формулу G5)
к функции и в области S*, заключенной между контурами JFS
и С, получим
О, когда
и(*), когда
Рассмотрим второй из интегралов левой части этого соотно-
соотношения при а-^оо. В силу леммы о поведении производных
гармонической функции на бесконечности, при а -*- оо слагаемое
da , 1
-j— In— стремится к нулю не медленнее, чем
а поэтому интеграл \ ~-^-\n — dl на бесконечности обращается
с
нуль. Что же касается интеграла —у- Г и-j- In —d/, то заметив,
с
с
в у Ч р у
с
что —г-1п—= и что какова бы ни была точка х, при
неограниченном возрастании радиуса а окружности С величина г
стремится к а, заключим, что интеграл при а -> оо стремится
к «среднему значению функции и на бесконечности»:
udl.
J
Таким образом, придем к следующей основной формуле для
гармонических функций в бесконечной плоской области:
0, когда x?R2 — S,
-u{x)f когда A:grS. G8)
гг(х), когда
— 284 —

Пользуясь леммой о производных гармонической функции на
бесконечности и рассматривая пределы интегралов по ограничен-
ограниченной области S* при неограниченном возрастании ее внешнего
контура, без труда также найдем, что
%-<И = 0. G9)
Отметим, что формулы для трех измерений, аналогичной этой
формуле, нет. Таким образом, на плоскости граничное условие
внешней задачи Неймана для уравнения Лапласа должно удов-
удовлетворять тому же интегральному соотношению, что и условие
внутренней задачи.
Читателя не затруднит также определить на плоскости функ-
функции Грина и построить интегральные формулы, аналогичные фор-
формулам § 7.
В заключение отметим, что теория функций комплексного
переменного предоставляет исключительно сильный аппарат ре-
решения граничных задач для уравнения Лапласа на плоскости.
Пусть w(z) = u-\-iv — аналитическая функция комплексного аргу-
аргумента z = xl-\-ix2. Тогда функции и и v, как известно*, удов-
удовлетворяют условиям Коши—-Римана:
ди _ ди dv _ ди ,~~.
дхх ~~~ дх2 * дхх ~~ дх2 " ^ '
Дифференцируя первое из этих уравнений по xv второе — по ха
и складывая их, получим
Аналогично получим
дЧ дЧ _0
дх\ дх\
dxl дх\
Отсюда следует, что
d2w . d2w
т. е. любая аналитическая функция комплексного переменного
удовлетворяет уравнению Лапласа.
В теории функций комплексного переменного доказываются
следующие два предложения **:
а) всякое аналитическое преобразование переменных хх и х2
к переменным ^ и ?2 осуществляет конформное отображение
первого рода плоскости х на плоскость ?, и наоборот, любое кон-
конформное отображение первого рода является аналитическим;
* См. В. И. Смирнов [1], т. III, ч. 2, п. 2.
** Терминологию, применяемую в теории функций комплексного переменного,
мы предполагаем известной.
— 285 —

б) любая плоская односвязная область, отличная от полной
плоскости или от плоскости с выключенной точкой, конформным
отображением может быть преобразована в круг.
Так как решение внутренней задачи Дирихле для круга
дается интегральной формулой Пуассона, а внешняя задача Ди-
Дирихле может быть приведена к внутренней с помощью теоремы
Кельвина, из сказанного заключим, что решение задач Дирихле
для плоской области будет найдено, если найдено преобразование,
осуществляющее конформное отображение данной области на
круг, причем это последнее преобразование всегда существует.
Покажем теперь, что задача Неймана на плоскости может
быть приведена к задаче Дирихле. Для этого заметим, что,
в силу условий Коши — Римана, производная от вещественной
части и аналитической функции w по любому направлению п
равна производной мнимой части этой функции по направлению т,
перпендикулярному п.
Пусть теперь и— искомое решение задачи Неймана и
¦^- = 'Ф, когда x??S (81)
— заданное граничное условие. Введем гармоническую функцию v,
задав ее значение на контуре <FS следующим образом:
где у— произвольная точка контура <FS, а интегрирование ведется
вдоль этого контура. При этом, очевидно, получим
?-¦.
где -1 производная по касательной к контуру ?S. В точках,
не принадлежащих контуру <FS, функция v может быть опреде-
определена как решение соответствующей задачи Дирихле.
Если мы определим функцию и через v так, чтобы в области,
для которой ищется решение задачи Неймана, удовлетворялись
уравнения (80), то функция и будет гармонической, а в силу
соотношения (82) и сделанного выше замечания, будет иметь
нормальную производную, удовлетворяющую условию (81). Эта
функция и даст решение соответствующей задачи Неймана. Легко
видеть, что функция и определяется указанным построением
с точностью до произвольной постоянной.
Таким образом, задачи Дирихле и Неймана для уравнения
Лапласа на плоскости могут быть приведены к некоторой задаче
на конформное преобразование. Подробное изложение конформных
преобразований читатель найдет в курсах теории функций комп-
комплексного переменного.
— 286 —

Глава XX
ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА
§ 1. Ньютоновский потенциал
Исторически рано развившейся областью математической фи-
физики и важной с точки зрения физических приложений является
теория потенциала.
По закону Ньютона потенциал поля тяготения в точке х, соз-
созданный массой т, сосредоточенной в точке |, равен
т
г
где х — гравитационная постоянная, а г —расстояние между точ-
точками х и ?. Если масса распределена с плотностью р в области V,
то потенциал созданного ею поля, очевидно, должен быть опре-
определен как объемный интеграл
Выражением подобного же вида, отличающимся лишь постоянным
множителем, определяется и кулоновский потенциал поля электри-
электрических зарядов, распределенных с плотностью р.
В обоих случаях потенциал поля с точностью до множителя
равен интегралу
</(*) = Щ-^-dK, A)
который будем называть ньютоновским потенциалом.
Подчеркнем отличия между ньютоновским потенциалом A),
с одной стороны, и потенциалами полей тяготения и электричес-
электрических зарядов — с другой.
При переходе к полю тяготения перед интегралом A) должен
быть введен отрицательный множитель, учитывающий характер
взаимодействия между тяготеющими массами (притяжение). Абсо-
Абсолютная величина этого множителя зависит от выбора единиц
измерения и поэтому для нас несущественна. Кроме того, плот-
плотность тяготеющих масс р, в отличие от плотности электрических
зарядов, всегда неотрицательна. Поэтому, при рассмотрении поля
тяготения мы всегда имеем дело с частным случаем ньютоновского
потенциала A).
При переходе к полю электрических зарядов перед интегра-
интегралом A) должен быть введен положительный множитель, так как
одноименные электрические заряды отталкиваются. Плотность р
может быть знакопеременной.
— 287 —

Таким образом, изучая ньютоновский потенциал A), мы отвле-
отвлекаемся от конкретного характера взаимодействия (притяжение
или отталкивание) — наши выводы не будут зависеть от этого
характера. Они всегда будут приложимы к полю электрических
зарядов. К полю тяготения они будут приложимы, если соблю-
соблюдено требование неотрицательности плотности р.
Перейдем к изучению свойств ньютоновского потенциала.
Если плотность р — ограниченная функций с непрерывными
первыми производными, убывающая на бесконечности не медлен-
медленнее, чем тттг , гДе I ? |2 — if + Si + i§» то можно показать, что нью-
ньютоновский потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона
At/=—4яр B)
и имеет непрерывные первые и вторые производные, причем
первые производные могут быть получены дифференцированием
под знаком интеграла. Мы не будем приводить простое, но нес-
несколько утомительное доказательство этих утверждений, которое
читатель может найти, например, в курсе В. И. Смирнова*.
Ниже мы будем рассматривать ньютоновский потенциал
в точках вне области V распределения масс или зарядов, считая
область V ограниченной, а плотность р непрерывной. Когда
x?RE—V, где Rt — все пространство, подынтегральная функция
в интеграле A) непрерывна и дифференцируема по координатам
точки х неограниченное число раз. Следовательно, когда xg RF—V,
производные ньютоновского потенциала всех порядков могут быть
получены дифференцированием под знаком интеграла.
Так как функция — гармонична, когда ??V, x^RF—V,
то ньютоновский потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа,
когда x?RF—V. При х -+ оо подынтегральная функция неогра-
неограниченно убывает. Поскольку область V ограничена, ньютоновский
потенциал при этом стремится к нулю. Следовательно, вне области
расположения масс (зарядов) ньютоновский потенциал представ-
представляет гармоническую функцию.
ЗАДАЧИ
1. Найти ньютоновский потенциал, создаваемый однородным диском радиу-
радиуса R в точке оси диска, отстоящей от центра диска на расстояние /г.
Ответ:
u = lHLfJ L
"" h
где т — полная масса диска.
2. Плотность массивного шара радиуса R меняется пропорционально квад-
квадрату расстояния от некоторой диаметральной плоскости. Найти потенциал
* См. В. И. Смирнов [1], т. II, п. 200 — 201.
— 288 —

в точке, лежащей на перпендикуляре, восстановленном в центре этой диамет-
диаметральной плоскости, на расстоянии h от центра шара.
Ответ:
2
15 "" "
§ 2. Потенциалы разных порядков
Рассмотрим треугольник *?? (рис. 30). Введем обозначение
для длин сторон треугольника:
По известной формуле
где у —Угол *??• Обозначим через Q часть пространства, рас-
расположенную вне шара \х— ?|^гн> где гн —наибольшее из рас-
расстояний ||—?|, когда l^V. Если *?Й, то ro<R, вследствие
Рис. 30
чего функция — разлагается в абсолютно и равномерно сходя-
сходящийся ряд
+ Ё
а=1
(*€О),
C)
где, согласно § 5 гл. XVI, Pa(cosу)—-полиномы Лежандра.
С другой стороны, заметив, что
[
a=l
10 № 645
— 289 —

разложим функцию у в ряд Тейлора по степеням разностей
I lj—lj\, что даст
Равенство I = ? у фигурных скобок указывает, что после выпол-
выполнения дифференцирования координаты ?1? ?2, ?3 точки ? следует
заменить координатами ?:, ?2, ?3 точки ?. Когда *?Q, этот ряд
также сходится абсолютно и равномерно. Так как
д?/ V /¦ У дх; \ г
то дифференцирование по ?,• можно заменить дифференцированием
по X:. При этом подстановку ? = ? можно осуществить до диффе-
1
ренцирования. В силу тождества —
= -=¦, это даст
Заметив, что отношения — равны направляющим косинусам
го
отрезка ?§ (см. рис. 30), вследствие чего выражение
3 t у
±$ — Ц с)
означает операцию дифференцирования по направлению отрезка
^, получим
Сравнив ряды C) и F), придем к следующему представлению
для полиномов Лежандра:
Pn + l An ( 1 \
^^(l) G)
из которого, в частности, следует, что произведение %n+l -—( —
не зависит от ^, а зависит только от угла у.
Умножим ряды C) и F) на р(?) и почленно проинтегрируем
их (что допустимо ввиду их равномерной сходимости) по области V
распределения масс. В результате получим разложение ньюто-
ньютоновского потенциала A) в бесконечный ряд:
x)+U2(x)+... (*€Q), (8)
— 290 —

где
Un (х) ^ -фт Щ РПР« (cos у) dV =
Функции Un называются потенциалами порядка п. Легко убедиться,
что они гармоничны.
При достаточно большом удалении от области V ньютоновский
потенциал U (х) со сколь уюдно высокой точностью описывается
первым из потенциалов порядка п, не равным нулю. Действи-
Действительно, согласно формуле A4) гл. XVI: | Pn(cos у)\ ^ 1. Поэтому
Щ\рПРп(созу)йУ
где
а гн —наибольшее значение го^Ц — Z>\ в области V. Подставив
эту оценку в формулу (9), получим
,RJ 9
в силу чего
Пусть
v
— первый из неравных тождественно нулю потенциалов. При х—>оо
он стремится к пулю, как ^, тогда как, согласно соотноше-
соотношению A0), сумма всех остальных потенциалов убывает, как Rm+1 .
Это и доказывает сделанное утверждение.
Для поля тяготения плотность р сохраняет знак. Поэтому,
приняв за точку ? центр тяжести масс, можно добиться, чтобы
потенциал (У, (х) первого порядка обратился в нуль. Следовательно,
на расстоянии, большом по сравнению с поперечными размерами
области распределения масс, их ньютоновский потенциал с точ-
точностью до малых третьего порядка совпадает с ньютоновским
потенциалом материальной точки, расположенной в центре тяжести
масс и имеющей массу, равную полной массе, распределенной
в области V.
10*
— 291 —

Положив в неравенстве A0) т = 0, найдем, что ньютоновский
потенциал убывает на бесконечности не медленнее, чем ^-.
ЗАДАЧА
Показать, что если плотность р меняет знак в области V, то выбрать точку
? так, чтобы потенциал первого порядка обратился в нуль, вообще говоря,
невозможно.
§ 3. Мультиполи
Вернемся к разложению ньютоновского потенциала в ряд (8).
В силу соотношений (9), первый член ряда (8) (потенциал нулевого
порядка) равен
v
Это выражение формально сов-
совпадает с потенциалом точечного
заряда q = J J ^ р dV, располо-
v
женного в точке ?. Оказывается,
и следующие члены ряда (8) можно рассматривать как потен-
потенциалы некоторых точечных объектов.
Рассмотрим два точечных заряда —q и + #(<7>0), располо-
расположенных соответственно в точках ? и ц (рис. 31). Потенциал поля,
созданного этой парой зарядов в точке х, равен
где R и /?!— длины отрезков ?х и ?г|. Считая, что длина rL
отрезка ?г| меньше /?, разложим функцию -^ в ряд вида C), что
даст
00
^W=4Xft)>«(cosYl), A1)
а=1 '
где 7i — угол между отрезками Х^х и ?г].
Перемещая точку ц с зарядом -\-q вдоль отрезка г]?, будем
приближать ее к точке ^ с зарядом —q, одновременно увеличи-
увеличивая абсолютную величину q зарядов так, чтобы произведение
Pi^qrx A2)
оставалось неизменным. При этом, как легко видеть, все члены
в разложении A1), кроме первого, будут стремиться к нулю.
— 292 —

В пределе получим
lira
В силу соотношения G), можем также записать
A3)
A4)
где -^г обозначает дифференцирование по направлению отрезка ?г].
Точечный объект, получающийся в результате рассмотренного
процесса сближения точек т] и ?, называют диполем. Более точно,
под диполем понимают особую точку поля, характеризуемого
потенциалом A3) или A4). Потенциал диполя убывает обратно
пропорционально квадрату рас-
расстояния, как и потенциал пер-
первого порядка в разложении (8).
Величину р19 входящую в
выражения A3) и A4), называют
моментом диполя, а направле-
направление отрезка ?г|, отсчитываемое
от отрицательного заряда к по-
положительному, называют осью
диполя.
Сконструируем теперь точечный объект, потенциал которого
убывал бы обратно пропорционально ?J3, т. е. так же, как и по-
потенциал второго порядка в разложении (8).
Для этого в произвольной точке ц поместим диполь с моментом
рх и осью, ориентированной вдоль направления г19 а в точке g
поместим такой же диполь, но с осью, ориентированной вдоль
направления —гг (рис. 32). В силу формулы A4), потенциал поля
этой системы в точке х равен
Рис. 32
Разложим функцию ^- в ряд вида E) и, приняв во внимание, что
е расстояние
ерез г2, полу1
4-t Ш =
в рассматриваемом случае расстояние г0 равно длине отрезка
которую мы обозначим через г2, получим
а=1
ai+a /1
r*\R
A5)
ГДе дГ обозначает дифференцирование по направлению отрезка ?т|.
— 293 —

Сохраняя направление отрезка ?г| неизменным, будем прибли-
приближать точку г) к точке ?, одновременно увеличивая величину
момента рх так, чтобы произведение
сохраняло постоянное значение. При этом все члены ряда A5),
кроме первого, будут стремиться к нулю, вследствие чего в пре-
пределе получим
Точечный объект, получаемый рассматриваемым предельным пере-
переходом, получил название квадруполя. Величину /?2 называют
моментом квадруполя, а направления гг и г2—-его осями. Потен-
Потенциал квадруполя при возрастании R убывает, как и потенциал
третьего порядка в разложении (8), обратно пропорционально R3.
Сближая два квадруполя можно построить октаполь—точеч-
октаполь—точечный источник поля, характеризуемый потенциалом
' 3! дг1дг2дг3 \R
Продолжая этот процесс, вообще придем к мулътиполю по-
порядка п или 2"-полю— точечному источнику поля, характеризуе-
характеризуемому потенциалом
Т7(п) (х\ = Рп
п\ дгг дгъ ... дгп \R
где ^— (k— 1, 2, ..., п), обозначает дифференцирование по на-
направлению rk. Направления rk называют осями мультиполя, а ве-
величину рп — его моментом.
По мере повышения порядка мультиполя для его характери-
характеристики требуется все большее число параметров. «Мультиполь
нулевого порядка» (точечный заряд) полностью определяется одним
алгебраическим числом — величиной заряда. Диполь характери-
характеризуется тремя параметрами: дипольным моментом и двумя вели-
величинами, определяющими направление его оси. Мультиполь /г-го
порядка характеризуется 2/i-f 1 параметрами: мультипольным
моментом рп и 2я параметрами, определяющими направление
его п осей (п направлений дифференцирования в формуле A7)).
В частном случае все оси мультиполя могут совпадать, имея
некоторое одинаковое направление г0. Такой мультиполь называют
осевым. Его потенциал
— 294 —

Приняв во внимание соотношение G), потенциал осевого мульти-
поля можно представить в виде
Щп) (х) = (-1)" ^ Рп (cos y), A8)
где 7—угол между осью мультиполя и направлением от мульти-
поля к точке х.
ЗАДАЧИ
1. Показать, что диполь может быть однозначно охарактеризован вектором
дипольного момента Р, равным по величине дипольному моменту р± и направ-
направленным вдоль оси диполя.
У к а з а н и е. Ввести косинусы углов между осью диполя и осями координат
cos(P,X/)=^=^- (i=\, 2, 3)
r
и выразить потенциал диполя через скалярное произведение вектора с компо-
компонентами /?! cos (P, Х() на единичный вектор направления от точки расположения
диполя к точке, в которой определяется потенциал.
2. Показать, что два мультиполя одинакового порядка, расположенные
в одной и той же точке, могут быть заменены одним мультиполем того же
порядка с таким моментом и направлениями осей, что поле не изменится.
Указание. Воспользоваться тождеством
дп _ V
2, ...,дгп = ^
где аа^ — постоянные.
3. Выразить потенциал поля точечного заряда qy расположенного в точке ?,
через потенциалы системы мультиполей различного порядка, расположенных
в точке t,.
§ 4. Разложение потенциала по мультиполям.
Сферические функции
Введем сферические координаты R, 0, ср с началом в точке ? и
рассмотрим разложение (8). Как указывалось (см. замечание к фор-
формуле G)), произведения Rn+1 —niw) не зависят от значения R.
Поэтому потенциалы
_ 1 (-1)"
v
могут быть представлены как произведение двух сомножителей,
из которых первый -щ+г зависит только от R, а второй
V B0)
г- 295 —

не зависит от R и поэтому может зависеть только от угловых
координат 0, ф. Иначе говоря, распределение значений потен-
потенциалов Uп на всех шаровых поверхностях R = const (x ? &) подобно.
Следовательно, любой потенциал я-го порядка может быть одно-
однозначно охарактеризован множителем ^„(9, ф), зависящим только
от координат 9, ф. Этот множитель получил название сферической
функции п-го порядка.
Так как потенциалы мультиполя гармоничны, то сферические
функции непрерывны и дифференцируемы по 0 и ф неограниченное
число раз.
Выведем некоторые соотношения, связывающие потенциалы
мультиполей и сферические функции.
Обозначив через vx, v2, v3 направляющие косинусы отрезка ?>х
(см. рис. 30), и заметив, что
дг0 - 2- v« дха '
получим
f v -i-V= У -^-v°vM дП B1)
\а=1 / ох^хох
Подставив это выражение в соотношение A9), и приняв во
внимание, что производные
а« / 1
дх*дх\дх1 V R
не зависят от координат точек области V, по которым произво-
производится интегрирование, после несложных преобразований получим
U =
-(-»)" 4Vr IИ pV?V»^ B3)
где
Постоянные ejkl(j-\~k~\-l = n) называют моментами п-го порядка.
Сравнив члены суммы B2) с выражениями A7), заключим, что
соотношение B2) представляет сумму потенциалов мультиполей
порядка я, расположенных в точке ? и имеющих мультипольные
моменты e^v Легко показать, что эта сумма эквивалентна одному
мультиполю, расположенному в той же точке, т. е. можно постро-
построить мультиполь /г-го порядка, так выбрав его момент и направ-
направления осей, чтобы его потенциал совпадал с Un. Действительно,
представим выражение
L _ V е дп
п~~ ^ ^ д
296 —

в форме произведения
где /7Л — постоянная*. Коэффициенты аа1, аа2, яа3 можно считать
удовлетворяющими условию
3 = 1
В самом деле, если для некоторого а это не так, то, разделив
соответствующий трехчлен на ~|/ 2 асф и изменив соответст-
соответственно значение рп, придем к числам аа1, а72, аа3, удовлетворяющим
поставленному условию. Поэтому коэффициенты аа1, аа2, аа3 можно
принять за направляющие косинусы некоторого направления га,
в силу чего
i =р П —« р а"
Это и доказывает сделанное утверждение.
Таким образом, выражение A9) является потенциалом неко-
некоторого мультиполя, расположенного в точке ?. Следовательно,
ряд (8) представляет разложение ньютоновского потенциала в ряд
по потенциалам мультиполеи различного порядка, расположенных
в точке ?.
Умножив обе части выражения B2) на Rn+1 и приняв во
внимание формулы A9) и B0), найдем, что
Упф, Ф)= 2_ е Y^v B4)
где
~r) B5)
— сферические функции специального вида. Так как моменты е
не зависят от координат R, 0, ср, из формулы B4) заключим, что
любая сферическая функция п-то порядка может быть выражена
линейной комбинацией сферических функций специального вида
B5), число которых, как можно подсчитать, равно 1+2+...
(^+l)-(/2 + 2J(n+1)- Однако не все функции Ка(П
^я) являются линейно независимыми, т. е. часть из них
* Возможность такого представления доказывается непосредственно, если в
последнем выражении раскрыть скобки, выполнив перемножения, и привести
подобные члены. При этом окажется, что аа^ можно выбрать так, чтобы полу-
получившееся выражение совпало с исходным при любом рп.
— 297 —

также можно представить как линейную комбинацию других
функций Y того же порядка.
Это можно предвидеть из того, что функция "+1 представ-
представляет потенциал некоторого мультиполя порядка п. Как было
показано в § 3, мультиполь порядка п полностью определяется
заданием всего лишь 2п+ 1 параметров. Поэтому можно ожидать,
что существует не более 2п-\-1 линейно независимых сферических
функций порядка п.
Чтобы доказать это, заметим, что функция -^ удовлетворяет
уравнению Лапласа:
{dxl ' dxl ' дх\) R~ '
поэтому одни частные производные от -~- можно выразить через
другие. Например, можно исключить все производные по х3 по-
порядка выше первого с помощью тождества
выразив, тем самым, все функции вида B5) с y> 1 через функции
с 7^ 1- Число значений, которые может принимать показатель |3
при данном значении у, равно п — у+\, причем каждой данной
совокупности значений у и р соответствует определенное значение а,
так как а + р -\-у = п. Если у^Ь т0 число значений, которые
может принимать показатель C, равно (n+l) + ^ = 2n +1, т.е.
действительно, среди функций B5) не более 2п + 1 линейно не-
независимых.
В гл. XXI будет указан метод систематического построения
2п+ 1 взаимно-ортогональных (из чего будет вытекать их ли-
линейная независимость) сферических функций с данным п и дока-
доказана полнота всей системы сферических , функций, построенных
этим методом.
Заметим, что может возникнуть вопрос, однозначно ли опреде-
определяет разложение по мультиполям (или, более обще, поле вне об-
области V, занятой массами или зарядами) плотность р распреде-
распределения масс (зарядов) в области V. В общем случае ответ на это
может быть дан отрицательный. Это видно, например, из того,
что разложение в ряд Тейлора функции трех переменных содер-
( + 2)( + 1)
(л + 2)(А1 + 1)
жит, как известно, v—¦—^—¦—- линейно независимых членов по-
порядка я, тогда как в разложении потенциала поля, как мы видели,
содержится не более 2п+1 линейно независимых членов п-го
порядка. Таким образом, одно и то же поле может быть создано
разными распределениями масс или зарядов. Однозначно опре-
— 298 —

деляются только интегралы B0), в частности, полная масса или
заряд в области V.
ЗАДАЧИ
1. Найти линейно независимые сферические функции первого порядка.
2. Выразить потенциал мультиполя порядка п через сферическую функцию
порядка п.
§ 5. Потенциалы простого и двойного слоя
Предположим, что на поверхности 5 распределена с поверх-
поверхностной плотностью р (?) некоторая масса (заряд). Потенциал
поля, образованного рассматриваемым распределением массы
(заряда), с точностью до множителя равен интегралу
dSi (rss\x-t\), B6)
получившему название потенциала простого слоя. Плотность р (?)
называют плотностью простого слоя.
Предположим теперь, что на поверхности S распределен слой
диполей с осями, направленными вдоль внешних нормалей п к по-
поверхности S. Дипольный момент элемента dS: поверхности S по-
положим равным p(?)dS,. В силу формулы A4), ньютоновский
потенциал поля в точке ху образованного диполями на элементе
dSr, равен —Р(?)т~\ г гДе г— расстояние между точками ? и х.
Отсюда ясно, что потенциал поля, образованного рассматриваемым
распределением диполей, может быть охарактеризован интегралом
получившим название потенциала двойного слоя. Функцию р на-
называют плотностью двойного слоя.
Плотности р и р ниже будем считать непрерывными.
Отметим некоторые свойства интегралов B6) и B7).
Если точка х не принадлежит слою, то дифференцирование по
координатам точки х можно производить под знаком интеграла.
Так как функция — гармонична вне точек слоя (т. е. при x^=l?S),
то потенциалы простого и двойного слоя всюду вне точек слоя
удовлетворяют уравнению Лапласа. Поверхность 5 ниже будем
считать замкнутой и ограниченной. В этом случае при х —+¦ оо
интегралы B6) и B7) имеют соответственно тот же порядок мало-
малости, что и функции -у и f?, обращаясь в бесконечно удаленной
точке в нуль (проведение подробных доказательств Иредостав-
— 299 —

ляется читателю). Следовательно, потенциалы простого и двойного
слоя вне точек слоя всюду гармоничны.
И наоборот, положив в формулах D4) и D5) гл. XIX
L(l, х) = -^-у, Ш^Р' ~и = Р> придем к выводу, что всякая
гармоническая функция может быть представлена в виде суммы
потенциалов простого и двойного слоя.
Основную трудность представляет исследование поведения
интегралов B6) и B7) в окрестности точек слоя и в самих этих
точках. Для достаточно строгого проведения этого исследования
необходимо сделать известные предположения относительно свойств
поверхностей S, на которых располагаются рассматриваемые слои,
а также о свойствах плотностей р и р.
§ 6/ Поверхности Ляпунова
А. М. Ляпунов, которому принадлежит ряд результатов в об-
области теории потенциала, предполагал, что поверхности S, на
которых располагается простой или двойной слой, удовлетворяют
следующим условиям:
а) в каждой точке поверхности существует единственная
нормаль;
б) можно указать столь малый радиус, что из какой бы точки ?
поверхности ни был описан этим радиусом шар, часть поверхности,
попадающая внутрь шара, пересекается прямыми, параллельными
нормали в точке ?, не более, чем в одной точке;
в) угол между нормалями в двух произвольных точках поверх-
поверхностей ? и !¦ не превосходит величины А\%—?|х, где \\ — ?| —
расстояние между этими точками, а Л и X —постоянные числа,
причем 0 < А,< 1.
Удовлетворяющие этим условиям поверхности называют поверх-
поверхностями Ляпунова.
Предположения § 1, гл. XVIII о свойствах граничных поверх-
поверхностей обеспечивают выполнение первых двух условий Ляпунова.
Выполнение первого из них для гладких поверхностей очевидно.
Покажем, что выполняется второе.
Введем в произвольно выбранной точке ? поверхности S мест-
местную систему декартовых координат, направив ось 3 вдоль внешней
нормали к поверхности S в точке ?. По предположению § 1,
гл. XVIII о граничных поверхностях, внутри некоторого шара
|?|^ уравнение поверхности S можно записать в виде
где функция / и ее производные первого порядка непрерывны
внутри шара |||^а и обращаются в точке ? в нуль.
— зоо —

По известным формулам аналитической геометрии, направля-
направляющие косинусы нормали к S в точке | ? S равны
COS Yi = - ¦ — , COS U, = ¦ '2 — , COS Vo = —- ,
• Vi+n+n Vi+n+n Vi+n+r.
B8)
где fx и /а — частные производные функции / по |х и ?а в рас-
рассматриваемой точке. Заметим, что угол у3 равен углу между
нормалями в точках ? и ?. Радиус а шара |?|^а можно выбрать
настолько малым, чтобы при любом выборе точки ? g S внутри
шара было /? + /?<1 и, в силу этого, имело место неравенство
cosy3>C>0. B9)
При этом изгиб поверхности S внутри шара |?| <!а не превзойдет
¦у и, следовательно, любая прямая, параллельная нормали в
точке ?, пересечет часть поверхности S, лежащую внутри этого
шара, не более, чем в одной точке.
Чтобы установить связь предположений § 1, гл. XVIII с третьим
условием Ляпунова, из формул B8) найдем, что
Поскольку, по предположению, производные Д и /2 непрерывны,
радиус а шара 111< а можно выбрать столь малым, чтобы sin y3
при любом выборе точки ? на S был бы меньше любого наперед
заданного числа. Так как при малых у3 имеет место неравенство
О < sin ^'3^ 1, то можно найти такую положительную постоян-
постоянную А19 чтобы внутри шара |§|<1а выполнялось неравенство
Если производные Д и /2, кроме условий § 1, гл. XVIII, внутри
шара | § | ^а ^ удовлетворяют еще и условию Гёльдера:
1У/(Ь. U-h@.0I <А% (t-=1>2)> C0)
где А2 — ограниченное положительное число, причем показатель X
удовлетворяет неравенству 0<^^1, то приняв во внимание,
что /ДО, 0) = 0, придем к неравенству
7з<Л|?|Х. C1)
Таким образом, если первые производные функции f удовлетворяют
условию Гёльдера, причем 0 < X <1 1, то третье условие Ляпунова
выполняется внутри шара | ? | ^ а. Но оно при этом удовлетво-
удовлетворяется и для всей поверхности S. Действительно, пусть I и ? —
— 301 —

две произвольные точки на поверхности S и ty — угол между
нормалями в этих точках. Соединим точки ? и ? линией, лежащей
целиком на поверхности S. Эту линию разобьем на участки 1,
2, ..., а, ..., п точками, отстоящими друг от друга не более
чем на расстояние а, при котором для двух соседних точек выпол-
выполняются неравенства вида C1). Обозначив через у3<х угол между
нормалями на концах участка с номером а и через |||а—рассто-
|||а—расстояние между концами участка, можем записать очевидные нера-
неравенства:
—Е|\ когда
oc="l a="\
откуда, с учетом неравенств вида C1) для каждого из участков а,
и вытекает справедливость третьего условия Ляпунова.
Таким образом, чтобы удовлетворить третьему условию Ляпу-
Ляпунова, к предположениям § 1, гл. XVIII надо добавить предполо-
предположение, что первые производные удовлетворяют условию Гёльдера
C0), причем 0<Х^1. Это предположение ниже будем считать
выполненным.
Найдем некоторые неравенства, следующие из выполнения
условия Гёльдера для производных /\ и /2.
Из формул B8) вытекает, что надлежаще выбрав числа а > 0
и А > 0, можно добиться выполнения неравенств
|cos Yi I < А \Ъ— ?|\ |cos y,| < А Ц— ?|\ когда |? — ?\<а. C2)
Заметив, что по формуле конечных приращений
где 0 — число, лежащее между нулем и единицей, и приняв во вни-
внимание очевидные неравенства | ^ | ^ | \ |, ] l21< | \ |, при надлежаще
выбранных числах а > 0 и А > 0 придем к неравенству
Ц3\<А\1\1+Х. C4)
ЗАДАЧА
Пусть 5 —незамкнутая двусторонняя поверхность, удовлетворяющая усло-
условиям Ляпунова. Телесные углы, под которыми видны участки одной из сторон
поверхности, будем считать положительными, а телесные углы, под которыми
видны участки другой стороны, — отрицательными. Доказать, что
s
где со — телесный угол, под которым поверхность 5 видна из точки х,
— 302 —

§ 7/ Сходимость и непрерывная зависимость
несобственных интегралов от параметров
Пусть F(?, х)— функция координат точки \ поверхности Ляпу-
Ляпунова S, параметрически зависящая от координат некоторой точки х.
Предположим, что при \Фх функция F(?, х) непрерывна, а в
некоторой окрестности точки \ = х удовлетворяет неравенству
где г = |?— х\ — расстояние между точками \ и х, а X и В — по-
положительные постоянные. Докажем, что при этом условии интеграл
s
абсолютно сходится. Достаточно доказать, что сходится интеграл
Л
из чего, очевидно, и будет следовать абсолютная сходимость рас-
рассматриваемого интеграла.
Если точка х не лежит на поверхности S, то интеграл C5) —
собственный и, следовательно, существует и конечен. Если же
x=t>, где ? — точка на S, введем систему координат с началом
в точке ?, направив ось 3 вдоль нормали к поверхности S в точке ?.
Как мы видели, на участке s поверхности S, лежащем внутри
шара 1\1 ^ а достаточно малого радиуса а, имеет место неравен-
неравенство B9): cos уз > С > 0, где у3 — угол между нормалями в точках
? и %?s. Вследствие этого, на участке s
Поэтому
ndS 1
s s
При X > О интеграл в правой части сходится по известному при-
признаку сходимости*, следовательно, сходится и интеграл в левой
части. Сходимость интеграла C5) вытекает теперь из того, что
соответствующий интеграл по (S — s) — собственный и поэтому
ограничен. Тем самым, наше утверждение доказано.
Предположим теперь, что х — точка некоторой области G,
пересекающейся с поверхностью Ляпунова S. Область G может
иметь произвольное число измерений.
Говорят, что интеграл \ \ F(?, x) dS% по ограниченной поверх-
s
ности S сходится равномерно в точке x = ??S, если для всякого
* См. В. И. Смирнов [1], т. II, п. 86.
— 303 —

числа е>0 можно указать такие окрестности m(e)?G и s(e)?S
точки ?, что
J l\F(l, x)\dSi<s1 когда х?т{г).
s(e)
Покажем, что интеграл [ [ Ffe, x)dSv равномерно сходящийся
s
в точке х = ?, представляет функцию от х, непрерывную в этой
точке. Иными словами, докажем существование такой принадле-
принадлежащей области G достаточно малой окрестности т1(е) точки ?,
что при х^т1(е) разность
F(l, x)dS%—
s~ s
по абсолютной величине не превзойдет произвольного сколь угодно
малого положительного числа.
Воспользуемся неравенством
|У
JJ F(l, x)dS.~
S-s (e)
S-s(e)
s (e) s (8)
В силу предположения о равномерной сходимости рассматрива-
рассматриваемого интеграла, окрестность s(s)?S точки ? можно выбрать
настолько малой и указать такую окрестность m(e)?G точки ?,
чтобы последние два интеграла в правой части неравенства
не превосходили сколь угодно малого положительного числа е.
Далее, ввиду непрерывности функции F(l, x) при \фх, можно
найти такую окрестность т1(е) точки ?» являющуюся частью
окрестности m(&)?G, чтобы при х^т1(е) и ??S — s(e) соблюда-
соблюдалось неравенство
\F(l, x)-F(l, Q|<4-,
где S — площадь поверхности S. Из неравенства
55
S-s(e)
S-s(e)
следует, что при этом первый член правой части исходного нера-
неравенства не превзойдет е. Приняв во внимание полученные оценки,
— 304 —

найдем, что при х ? Щ (е) справедливо неравенство
<3e.
Ввиду произвольности числа е отсюда вытекает доказываемое
утверждение.
Докажем теперь следующий достаточный признак непрерыв-
непрерывности: интеграл \ \ F(?, x)dS^ является непрерывной функцией х
s
в точке ?, принадлежащей поверхности S, если для всякого числа
е>0 можно указать такую окрестность п(г) точки ?, что
где В и А, —положительные числа, а 11 — х\ — расстояние между
точками ? и х.
По доказанному выше, из неравенства C6) следует абсолютная
сходимость рассматриваемого интеграла. Следовательно, каково
бы ни было положительное число е, можно найти такую окрест-
окрестность s(&)?S точки ?, чтобы при всех х было
, x)\dS,<e.
S (8)
Тем самым выполнено условие равномерной сходимости интеграла
f ?F(?, x)dS; в точке ^ = ?. Но из равномерной сходимости вы-
s
текает его непрерывность в точке х = ?» что и утверждалось.
§ 8*. Поведение потенциала простого слоя
и его нормальных производных при пересечении слоя
Применив только что доказанный признак непрерывности не-
несобственных интегралов к потенциалу
</(*) = jjf dSz
простого слоя, убедимся, что этот потенциал непрерывен во всех
точках слоя, а следовательно и во всем пространстве.
Найдем производную потенциала U (х) по произвольному на-
направлению v. Формально дифференцируя — под знаком интеграла,
получим
№ C7)
S
— 305 —

где ф —угол между направлением v и отрезком ?*. При всех х,
не лежащих на поверхности S, подынтегральное выражение не-
непрерывно. Поэтому для указанных значений х дифференцирование
под знаком интеграла законно и дает соответствующую произ-
производную потенциала простого слоя.
Поведение интеграла C7) при приближении точки х к поверх-
поверхности S изучим сначала в предположении, что точка х прибли-
приближается к точке ??S перемещаясь по нормали я, восстановленной
в точке ?.
Обозначим через
dU(Q dU(Q
dne ' dtii
предельные значения производных от U (х) по направлению упо-
упомянутой нормали при приближении точки х к ? соответственно
извне S и изнутри S. Через
dn0
обозначим значение интеграла C7) в точке x=Z>. Величины ,
dU {?)
и , называют соответственно внешней и внутренней нормаль-
(Xt\ ^
ной производной потенциала простого слоя в точке ?, а величину
¦ —прямым значением нормальной производной в этой же
точке.
Докажем, что внешняя и внутренняя нормальные производные,
а также прямое значение нормальной производной потенциала
простого слоя существуют, однозначно определены и связаны между
собой соотношениями:
Составим разность
где п— обозначает дифференцирование по направлению внешней
нормали к S в точке ?,-^ — дифференцирование по направлению
— 306 —

внешней нормали в переменной точке | поверхности S, р =р (|), ро=
= р (Q. Докажем, что разность C9) непрерывна в точке ?. Отсюда
будет вытекать, что интересующий нас интеграл \\ pi~(-J dS^
испытывает те же разрывы, что и функция р0 \ \ ~т- ( — j dS.
Дифференцируя — по направлениям нормалей п0 и п, получим
d f \ \ 1 d f \ \ 1 п /лг\\
-—.[ — ) — r-cosa, -т- — = ^ cosp, D0)
dno\ r j r
где а и C — углы между отрезком \х и направлениями нормалей п0
и п соответственно (рис. 33). Отсюда
( d d \ \ 1 . ол 2 . а+Р . а—Р /Л!Ч
-. т- — = 5- (cosa — cos 3) = -^ sin—ft1-sin—тг— • D1)
Рассмотрим трехгранный телесный угол с вершиной в точке \
образованный лучами п0, п и
отрезком %х. По известному
свойству трехгранных углов
|а_р|^|г|}|, D2)
где \|) — угол между лучами
п0 и п (знак равенства дос-
достигается, когда лучи п, п0 и
отрезок ?x лежат в одной х
плоскости). Но по свойству
в) поверхностей Ляпунова
с. 33
где Л > 0, 0 < Я, < 1. Сопоставив это неравенство с соотношениями
D1) и D2), заключим, что можно найти такое постоянное число Л*,
чтобы было
|?—?Г_/|* l (is-^_lu D3)
А Ml
<iA20 dtl ) Г
Покажем, что отношение [^—ri при л:-» С остается ограничен-
I х ь I
ным при всех \. Введем местную систему координат с началом
в точке ?, направив ось 3 вдоль нормали п0. Так как точка х
лежит на оси 3, то
I х— ? I > l/>2-!-?2 = l/"|E I2 — E2
Iл ь I ^ г SiTb2 — r I ь I ьз*
— 307 —

Заметив, что |? — ?| =
h получим
\*-\\
+
?2
'.1
Но согласно формуле C4) Ц < А2 \ ?12 A+Х), где % > 0. Поэтому
IE-E1 < -, Л [ Ц , < I Л i * .
Правая часть этого неравенства при достаточно малом |?| сколь
угодно близка к ]/, из чего и вытекает требуемое утверждение.
В силу неравенства D3) теперь заключим, что существует такое
ограниченное положительное число В, что
d
<¦
а отсюда, на основании признака непрерывности несобственных
интегралов (§ 7), следует, что первый из интегралов в правой
части соотношения C9) непрерывен в точке ?.
Перейдем ко второму интегралу в правой части этого соотно-
соотношения. Начало координат опять поместим в точке ?. Пусть s —
участок поверхности S, лежащий внутри шара |?|^а достаточно
малого радиуса. Легко найдем, что
~dn
HP-Pol*
COS ф |
dS,
D4)
где ф — угол между нормалью п в точке !?s и отрезком \х, а
|Р — Ро s — наибольшее значение |р—ро| на s. Когда х — %, то
COS ф
COSY3
in '
где cosyi, COS72» cos y3 —направляющие косинусы нормали п.
Приняв во внимание неравенства C2) и C4), найдем, что j cos ф | <
ЗА | ? | х
р
< ЗА
х, а поэтому
| COS ф |
III2-*
Отсюда, на основании признака сходимости, доказанного в § 7,
следует, что интеграл \ \ ' cos2^ dS ограничен, когда х=?,. Когда
S
же хф?, этот интеграл ограничен, так как ограничено подын-
подынтегральное выражение. Следовательно, путем выбора радиуса а
шара |?|<я величину |р— ро|5 можно сделать настолько малой,
— 308 —

чтобы правая часть неравенства D4) была меньше произвольно
малого числа е > О при любом положении точки х внутри шара
| g | ^ е. Отсюда заключим, что существуют такие окрестности
точки ?: s(e), принадлежащая поверхности S и т(е), принадле-
принадлежащая шару \11 <; а, что
(р—Ро)-^ (") |^5 < е, когда хеш (г).
s(e)
При этом функция (р—-Ро)з^"(т") непРерывна на [S — s(e)]. От-
Отсюда следует, что второй из интегралов в правой части C9) схо-
сходится равномерно, а поэтому и непрерывен в точке ?.
Таким образом, разность C9) является непрерывной функцией
точки х?п, вследствие чего интегралы
при пересечении точкой х поверхности S изменяют свое значение
на одну и ту же величину.
Для вычисления последнего интеграла воспользуемся основной
формулой теории гармонических функций D4) гл. XIX. Положив
в ней и = 1, L(?, *) = —у, WV = S, получим формулу Гаусса
J J
\\ [ ~~4я' когда х ВНУТРИ s»
Т) dS - \ -2л, когда х на 5, D5)
I 0, когда х вне S,
из которой непосредственно вытекают формулы C8).
ЗАДАЧА
Доказать, что прямое значение производной потенциала простого слоя на 5
является функцией, непрерывной на S.
§ 9*. Тангенциальные производные потенциала простого слоя
и производные по любому направлению
Предположим, что направление т параллельно касательной
плоскости к поверхности Ляпунова 5 в точке ?, а п0 — нормаль
к S в этой же точке. Пусть точка х, перемещаясь по нормали п0
в одном направлении, приближается к S. Предел интеграла
о
— 309 —

при х --> t назовем тангенциальной производной потенциала про-
простого слоя в точке ?. Если точка х приближается к поверхности S
с ее внутренней стороны, то эту производную называют внутрен-
внутренней, в противном случае производную называют внешней.
Приведем некоторые результаты, относящиеся к свойствам
тангенциальных производных, без доказательств, которые чита-
читатель может найти, например, в [3], гл. XIX, § 9.
Внутренняя и внешняя тангенциальные производные потен-
потенциала простого слоя существуют или не существуют одновре-
одновременно. Для доказательства же их существования, кроме предпо-
предположения о непрерывности плотности р, надо сделать дополни-
дополнительные предположения о ее поведении в окрестности точки ?. Эти
предположения могут быть различными и являются достаточными.
Необходимость какого-либо из них не доказана.
Если плотность простого слоя в окрестности точки ? удов-
удовлетворяет условию Гёльдера
1р(С)-р(лI <а D7)
1С-п!^
где Ах и 1к1 — положительные постоянные, а ? и г\ — две произ-
произвольные точки рассматриваемой окрестности, то внешняя и внут-
внутренняя тангенциальные производные в точке ? совпадают и явля-
являются непрерывными функциями от ? на поверхности S.
S точке х = ?, интеграл D6) сходится условно. Иначе говоря,
значение интеграла D6), рассматриваемого как предел
lim
S^°S-s
(s — окрестность точки ?), зависит от способа, которым s—^0.
Поэтому определенного прямого значения тангенциальной произ-
производной не существует, хотя существуют определенные внешняя
и внутренняя тангенциальные производные, равные между собой.
Иными словами, интеграл D6) при пересечении точкой х поверх-
поверхности S испытывает устранимый разрыв.
Если точка ^приближается к поверхности S, оставаясь внутри S, и
dU
в каждом ее положении определяется производная -щ- по некоторому
, dU v dU
неизменному направлению/, то предел-^у- производной -~гг- назы-
вается внутренней производной по направлению I в точке поверх-
поверхности. Аналогично определяется внешняя производная ^ по на-
направлению I в точке поверхности.
Если плотность простого слоя, расположенного на поверхности
Ляпунова S, удовлетворяет условию Гёльдера D7), то при при-
— зю —

ближении к поверхности S производные потенциала простого
слоя по произвольному фиксированному направлению стремятся
к определенным пределам, не зависящим от пути, по которому
производится приближение, но, возможно, различным при при-
приближении извне или изнутри поверхности S.
Справедлива формула
D8)
§ 10. Поведение потенциала двойного слоя
при пересечении слоя
Пусть ? — произвольная фиксированная точка двойного слоя,
расположенного на поверхности Ляпунова S, и ро = р(?) — его
плотность в точке ?. Рассмотрим разность
когда точка х совпадает с точкой ?. Предположим, что плотность
слоя р непрерывна. Тогда интеграл в правой части заведомо
непрерывен. Действительно, пусть s —некоторая принадлежащая
5 окрестность точки ?. При этом
dS
d
dS,
где | p0 — p |5 — наибольшее абсолютное значение разности р0 — р
на s. Как мы видели в § 8, интеграл в правой части этого нера-
неравенства ограничен. Поэтому, в силу предположения о непрерыв-
непрерывности функции р, каково бы ни было число е > 0, окрестность s (e)
всегда можно выбрать настолько малой, чтобы было
\ \ (Pn P)-J— —
s(e)
)
Поскольку на границах окрестности s(e) функция (Ро —
непрерывна, то рассматриваемый интеграл равномерно сходится
в точке ?, а поэтому непрерывен в ней. Следовательно, разрывы,
которые могут испытывать интегралы в левой части равенства B7)
при пересечении точкой х слоя, должны быть одинаковы. Приняв
во внимание формулу Гаусса D5), придем к выводу, что потен-
потенциал двойного слоя при приближении к произвольной точке ? слоя
— 311 —

извне или изнутри S соответственно стремится к значениям
и = = = > E0)
^/«) = ?/@-2яр0, i
где
— непрерывная на S функция, которую будем называть прямым
значением потенциала двойного слоя.
Обратим внимание на формальное сходство формул E0) и C8).
Исследование поведения производных потенциала двойного слоя
на поверхностях Ляпунова требует значительного усложнения всех
рассуждений и выкладок. Поэтому ограничимся замечанием, что
при известных допущениях о гладкости функции р можно пока-
показать *, что при пересечении поверхности Ляпунова S, на которой
расположен двойной слой, нормальные производные потенциала
двойного слоя остаются непрерывными, тогда как тангенциальные
производные испытывают разрыв. Величина этого разрыва такова,
что внешняя тангенциальная производная на 2я ^ меньше,
а внутренняя — на эту же величину больше прямого значения
касательной производной в точке ?.
ЗАДАЧА (ПРИМЕР ЛЯПУНОВА)
Показать, что выполнение условия Гёльдера:
I p F)-р (
0, Х± > 0,
недостаточно для существования нормальных производных двойного слоя. Для
этого рассмотреть поверхность Ляпунова S, часть Sj которой плоска. На 5Х
взять круг 2 с центром в точке ? и предположить, что
P = ^il5-?|4 когда
Затем интегрированием по 2 найти выражение для потенциала двойного слоя
в точках вблизи 2 и, дифференцируя это выражение, показать, что нормальные
производные потенциала вблизи 2 неограниченно возрастают.
§ 11. Уровенные распределения
В этом и следующих двух параграфах указаны некоторые
приложения теории ньютоновского потенциала к изучению полей
тяготения (гравиметрии).
* См. Гюнтер [22], гл. II, § 10.
— 312 —

Рассмотрим ньютоновский потенциал A) при плотности р^О.
Гравитационную постоянную пока примем равной единице. Рг^-
пределение масс будем предполагать таким, что все рассматри-
рассматриваемые ниже потенциалы существуют, а также существуют замкну-
замкнутые поверхности, на которых ньютоновский потенциал A) сохраняет
постоянное значение. Эти поверхности будем называть уровенными.
Через V 2 будем обозначать конечную область, для которой уро-
венная поверхность 2 служит границей, ^
а через (RE—V 2)— дополнение области ?
Vz до всего пространства. Ниже мы всегда
будем предполагать, что (RE—Vs) является
областью и не содержит тяготеющих масс.
Через -т- будем обозначать дифференци-
дифференцирование по направлению внешней нормали
п к поверхности 2, рассматриваемой как
граница бесконечной области RE—V% PuCt 34
(рис. 34).
Пусть UQ — значение ньютоновского потенциала U (х) на уровен-
ной поверхности 2. Так как ньютоновский потенциал вне области
расположения масс гармоничен (§ 1), то в бесконечной области
Re — ^2 можно применить формулу D5) гл. XIX. Положив в ней
и (х) = U (x), L(?, х) = -т- • — , получим:
{U(x), когда x?RE — Vs,
1У„, когда ,« E2)
О, когда x?Vz — 2.
С другой стороны, функция u(x) = UQ = const гармонична в ог-
ограниченной области V 2, поэтому к ней в области V % можно при-
применить формулу D4) гл. XIX. Приняв во внимание, что нормаль п
по отношению к области У2 является внутренней (вследствие чего
следует изменить знак левой части формулы D4)), получим:
{Uo, когда x$Vz — 2,
!</., когда X6S,' E3)
О, когда л; ?/??-—У я-
Сложив формулы E2) и E3), придем к соотношению:
dU i U{*)> когда xeRE — Vz9
RE z9
4п \)ТЖ^-\ и0У когда х е К2, (М)
которое дает выражение ньютоновского потенциала в области
RE—V 2 через значения его нормальной производной на уровен-
— 313 —

ной поверхности 2. Выражение в левой части соотношения E4)
можно рассматривать как потенциал простого слоя с плотностью
1 dU
Покажем, что на поверхности уровня -^ > 0. Действительно, из
определения A) ньютоновского потенциала следует, что при
р>0 и t/(x)>0. Если бы было -^-^0» ТО в области RE — Vz
функция U принимала бы значения U^U0, что невозможно,
так как в этой области она гармонична и, следовательно, макси-
максимальное значение принимает на границе 2. Таким образом,
плотность р положительна, т. е. простой слой E4) может быть
образован тяготеющими массами.
Применим теперь в произвольной области V формулу Грина
G) гл. XVIII. Положив в ней u = U, v=l, получим:
-я
E6)
Но, как мы знаем (§ 1), ньютоновский потенциал удовлетворяет
уравнению Пуассона
AU = —4яр,
вследствие чего формула E6) может быть преобразована к виду
4-\[^r-dS = m, E7)
4л Jj an v '
где
т —
— тяготеющая масса, сосредоточенная в области V. Соотношение
E7) называют формулой Гаусса. Пуанкаре показал, что формула
Гаусса справедлива и тогда, когда вся масса или часть ее рас-
распределена на поверхности oFV.
Простой слой, образованный таким распределением массы на
некоторой поверхности 5, чтобы эта поверхность S была уровен-
ной, называют уровенным слоем. Соответствующее распределение
масс также называют уровенным.
Из формул E4) и E7) вытекает, что на всякой уровенной
поверхности можно так распределить заключенную внутри нее
массу, чтобы образовался уровенный слой, а ньютоновский потен-
потенциал в области RF—V2 не претерпел изменений. Для этого
плотность слоя надо определить формулой E5).
Если на произвольной поверхности S масса т распределена
так, что образовался уровенный слой, то это распределение един-
единственно.
— 314 —

Действительно, допустим, что есть два различных уровенных
распределения массы т, характеризуемых плотностями рх и р2.
В силу формул E4), в конечной области Vs, имеющей границей
поверхность S, потенциал уровенного слоя постоянен. Следова-
Следовательно, внутренняя нормальная производная (§ 8) потенциала
уровенного слоя равна нулю. А поэтому, в силу формул C8),
внешние нормальные производные потенциалов слоев с плотнос-
плотностями р± и р2 соответственно равны 4ярх и 4яр2 и, следовательно,
различны. Так как решение внешней задачи Неймана единственно
(гл. XIX, § 4), то в области RE—RS им соответствуют и два
различных потенциала U1 и U2, принимающих на поверхности S
значения Ulo и ?/20, которые также должны быть различными,
ввиду единственности решения задачи Дирихле.
Рассмотрим функцию U±U20— U2U10. Она гармонична в об-
области RE—Vs и равна нулю на поверхности S. Поэтому в об-
области RE — VS:
При большом удалении от точек слоя потенциалы Ux и U2 с точ-
т
ностью до малых высшего порядка равны —, где г — расстояние
от точки наблюдения х до произвольной точки слоя (см. § 2).
Поэтому должно быть
т j, т л п
г т
отсюда
что противоречит предположению о существовании двух различ-
различных уровенных распределений данной массы ш. Таким образом,
если на поверхности S существует уровенное распределение, то
оно единственно.
Гораздо сложнее доказательство существования уровенных
распределений для произвольных поверхностей. Впервые этим
вопросом занимался Гаусс. Вейерштрасс показал, что данное
Гауссом доказательство несостоятельно. Лишь Нейманом было
строго доказано существование уровенных распределений для
широкого класса поверхностей.
§ 12. Энергия гравитационного поля. Задача Гаусса
Проблему энергии гравитационного поля затронем в связи
с проблемой о равновесном распределении масс (задача Гаусса).
Как известно из курса физики, энергия системы распределен-
распределенных тяготеющих масс с точностью до постоянного слагаемого
равна
v
— 315 —

где [/ — потенциал поля тяготения, р —плотность вещества, х —
гравитационная постоянная, а интегрирование распространено на
любую область, содержащую все тяготеющие массы внутри себя.
Будем считать, что среди этих областей есть конечная (т. е. масс
на бесконечности нет). Знак минус перед интегралом обусловлен
действием между тяготеющими массами сил притяжения. Для
системы одноименных электрических зарядов положение было бы
обратным, в соответствии с чем правая часть E8) имела бы об-
обратный знак.
Подставив в равенство E8) значение р из уравнения Пуассона
и применив формулу Грина G) гл. XVIII при u = v=U, получим
Если интегрирование распространить на все пространство (что,
очевидно, не изменит значения интеграла E8)), то интеграл по
поверхности WV обратится в нуль, вследствие чего придем к со-
соотношению
Стоящий здесь справа интеграл — это уже известный нам интег-
интеграл Дирихле, который, таким образом, характеризует энергию поля.
Интегралы E8) и E9) иллюстрируют два возможных представ-
представления о поле. Интеграл E8) связывает энергию поля с распреде-
распределением масс, так как подынтегральное выражение обращается
в нуль в областях, где масс нет. Это позволяет истолковать
энергию поля, как энергию взаимодействия масс, связанную
с самими массами. Интеграл же E9) выражает энергию только
через потенциал поля, причем каждому элементу объема поля, —
в том числе и в тех частях пространства, где никаких масс нет —
соответствует определенное, отличное от нуля, значение подын-
подынтегрального выражения, как если бы в каждом элементе объема
поля было локализовано некоторое количество энергии. Это
позволяет истолковать энергию W, как энергию собственно гра-
гравитационного поля, которое при этом естественно рассматривать
как самостоятельный физический объект. В связи с этим величину
диу (dU
называют плотностью энергии гравитационного поля.
Перейдем теперь к знаменитой задаче Гаусса: при каких рас-
распределениях массы внутри и на заданной поверхности S потен-
потенциальная энергия поля имеет экстремумы.
Эта задача тесно связана с проблемой равновесия масс. Система
покоящихся масс находится в состоянии устойчивого равновесия,
- 316 —

если энергия их взаимодействия имеет минимальное значение, совме-
совместимое со связями, ограничивающими возможные конфигурации
системы (принцип минимума потенциальной энергии). В противном
случае равновесия нет или состояние равновесия неустойчиво.
Воспользуемся вариационными методами. Варьируя плотность р
в некоторой конечной области Vp, будем искать такое распре-
распределение масс в этой области, при' котором вариация энергии их
гравитационного поля
№ = 0. F1)
Это распределение и будет соответствовать экстремуму.
Из соотношения E8)
$$ UpdV= ^(U6p + p6U)dV = 0, F2)
V V
где V—область, заключающая область V9 внутри себя или совпа-
совпадающая с ней, бр — произвольная вариация плотности массы, под-
подчиненная только условию сохранения массы в области V?:
= 0, F3)
V "
P
a 8U—вариация потенциала, обусловленная вариацией р.
Положим теперь в формуле Грина G) гл. XVIII u = U, v = 8U,
что даст
га
— 8UAU)dV = \Uu^-—W~)dS. F4)
Устремим объем V к бесконечности. Вне области, занятой массами,
функции U и bU гармоничны. Поэтому на основании леммы о
поведении гармонической функции на бесконечности (гл. XIX, § 3),
заключим, что подынтегральное выражение в интеграле по WV
стремится к нулю, как —д-, в силу чего на бесконечности этот ин-
интеграл обращается в нуль. Следовательно,
что после подстановки
д (/ = — 4яр, AbU = 8AU = — 4ябр
даст
Так как вне Vp р = бр = 0, то
J5S U6pdV= JJSpSf/dK F5)
V V
V V
9 Р
— 317 —

и условие F2) эквивалентно следующему:
U бр dV = 0. F6)
ffi
V
Р
Но это последнее может выполняться для вариации бр, подчи-
подчиненной лишь условию F3), только тогда, когда в области V потен-
потенциал U = Uo = const. Но если U = U0 внутри области, то ввиду
непрерывности потенциала он должен быть равен Uo и на поверх-
поверхности <FVp, что, как мы знаем, возможно только при распределении
массы на <FVp в виде уровенного слоя.
Таким образом, энергия гравитационного поля масс, располо-
расположенных в области Vo, имеет экстремум, когда вся масса распре-
распределена на границе ?Vp области в виде уровенного слоя. Отсюда,
в частности, следует, что при указанном распределении дости-
достигается и экстремум интеграла Дирихле.
Легко видеть, что экстремум при уровенном распределении
масс является максимумом по сравнению с любым распределением
масс внутри области Ур и минимумом по сравнению с любым
распределением этих же масс вне или на поверхности ?Vr Отсюда
следует, что если массы с поверхности ?V0 могут проникать
внутрь области Vo, то уровенное распределение неустойчиво, в
противном же случае оно устойчиво. Поэтому, например, жидкость,
«налитая на непроницаемую для нее поверхность oFVp», под дей-
действием сил тяготения будет распределяться на ней в виде уро-
уровенного слоя.
Иначе обстоит дело при распределении одноименных электри-
электрических зарядов. В этом случае вместо притяжения имеет место
отталкивание, и энергия поля определяется выражениями вида
E8) и E9), взятыми с обратным знаком. Поэтому уровенное рас-
распределение зарядов, могущих перемещаться только в некотором'
конечном объеме Vo, устойчиво. Отсюда вытекает, что свободные
заряды, содержащиеся в проводнике, в состоянии равновесия распо-
располагаются на поверхности проводника, образуя уровенный слой,
в силу чего потенциал проводника во всех его точках имеет
одинаковое значение. Из последнего обстоятельства, в частности,
следует, что электростатическое поле внутрь проводника не про-
проникает. Действительно, если потенциал поля постоянен, то нап-
напряженность поля равна нулю.
ЗАДАЧИ
1. Показать, что энергия гравитационного поля массивного шара радиуса R
с равномерно распределенной массой равна
_ Зущ2
5 R '
— 318 —

2. Показать, что энергия гравитационного поля, образованного уровенным
распределением массы т на шаровой поверхности радиуса R, равна
w- у —
W~~~~2 R '
3. Показать, что энергия электростатического поля равна
где Е — вектор напряженности поля.
§ 13. Поле тяжести. Теорема Стокса
Рассмотрим массивное тело, вращающееся с постоянной ско-
скоростью со вокруг оси, сохраняющей свою ориентацию в простран-
пространстве. Это тело будем называть планетой.
На любое тело, покоящееся на поверхности планеты, действуют
сила ньютоновского тяготения и центробежная сила инерции. Их
геометрическую сумму будем называть силой тяжести.
Докажем, что сила тяжести имеет потенциал. Поскольку сила
тяготения имеет потенциал (ньютоновский), для этого достаточно
убедиться в существовании потенциала центробежной силы.
Введем прямоугольную декартову систему координат с началом
в центре инерции планеты и осью 3, направленной по оси враще-
вращения. На тело единичной массы, связанное с планетой, действует
центробежная сила инерции, компоненты которой по осям этой
системы соответственно равны л^со2, х2со2, 0. Но эти величины
являются частными производными по xLi х2 и х3 от выражения
F7)
которое поэтому и представит потенциал центробежной силы.
Таким образом, потенциал силы тяжести равен
W = xU + Q = х J jJ ? dV + ^(xl + xl), F8)
V
p
где U — ньютоновский потенциал, х — гравитационная постоянная-
Vp—объем планеты, р — плотность вещества планеты.
Из равенства A8) следует, что потенциал силы тяжести удов-
удовлетворяет уравнению Пуассона:
2со2. F9)
Поверхности а, на которых потенциал силы тяжести имеет
постоянное значение WQi будем называть уровенными поверхностями
потенциала силы тяжести или просто уровенными поверхностями а.
Следует, однако, помнить, что уровенные поверхности ньютонов-
ньютоновского потенциала и потенциала силы тяжести не совпадают.
— 319 —

По аналогии с обозначениями, принятыми ранее, через Va
будем обозначать конечную область, для которой поверхность а
является границей, а через RE—Vo — дополнение этой области до
всего пространства RE. Через -т- будем обозначать дифференци-
дифференцирование по направлению внешней нормали п к поверхности а,
рассматриваемой как граница бесконечной области $Е—Va.
Производную потенциала по направлению нормали п к уровен-
ной поверхности а
будем называть ускорением силы тяжести. Ускорение силы тяжести
является величиной, которая может быть непосредственно и наи-
наиболее точно, по сравнению с другими характеристиками поля
тяжести, измерена на поверхности Земли.
Пусть а — уровенная поверхность, лежащая целиком вне облас-
области, занятой планетой. Применив к потенциалу W формулу D3)
гл. XIX, с учетом данного выше определения символа -г- , по-
получим:
DnW(x), когда xZV, — a,
= | 2nW0, когда хео, G1)
[ 0, когда x?RE — Ve.
Из уравнения F9) следует, что
V V
о Р
V
о
Далее, положив в формуле D3) гл. XIX u = W0, Ь(?, x) = j ,
найдем, что
4nWOi когда x?VQ — a,
°' КОГДа X^G> G2)
0, когда x?RE — V9.
— 320 —

Внося в формулу G1) полученные выражения, а также выраже-
выражения F7) и G0), получим:
G4,
Формула G3) определяет потенциал yXJ {х) ньютоновской силы
тяготения вне уровенной поверхности а по распределению уско-
ускорения силы тяжести на а. Итак, если знать угловую скорость
вращения со планеты, уровенную поверхность а и распределение
на ней ускорения силы тяжести, то поле тяготения планеты в об-
области JRE — Va может быть полностью определено. Справедливо,
однако, и более сильное утверждение, известное как теорема Стокса:
если заданы: а) уровенная поверхность а, охватывающая планету,
б) масса планеты, в) угловая скорость вращения планеты, то по-
потенциал силы тяготения вне а и ускорение силы тяжести на а
определяются однозначно.
Таким образом, теорема Стокса утверждает, что знание только
массы планеты, ее угловой скорости и уровенной поверхности
потенциала силы тяжести, позволяет решить основные гравимет-
гравиметрические задачи: определение поля тяготения планеты и распре-
распределения поля тяжести на ее поверхности (последнее, конечно,
требует знания уровенной поверхности, близкой к поверхности
планеты). Знать распределение массы в планете не требуется.
Перейдем к доказательству теоремы Стокса. В силу формулы G4)
достаточно показать, что задание уровенной поверхности а, массы
планеты т и ее угловой скорости ш однозначно определяет ускоре-
ускорение силы тяжести g на а. Допустим обратное. Пусть gt и g2 — два
различных распределения ускорения силы тяжести на уровенной
поверхности а.
Интегрируя уравнение F9) по объему Vc9 получим:
AW dV = — 4яхт + 2со2У. G5)
С другой стороны, применив формулу Остроградского — Гаусса и
приняв во внимание данное выше определение символа j-, убе-
убедимся, что
ШИ?Я G6)
11 I& 645 — 321 —

Исключив из найденных соотношений значение объемного инте-
интеграла, получим
$$ co2V\ G7)
Положив здесь в одном случае g = g19 а в другом g = g2, и взяв
разность полученных выражений, найдем, что
i-A)dS = O. G8)
С другой стороны, подставив g = gx ug — g2 B формулу G3) и вычтя
получившиеся соотношения, найдем, что
= lPol-U7oa = const, когда x^VQ\ G9)
через Wol и Wo2 здесь обозначены потенциалы силы тяжести на
уровенной поверхности а при g = gx Hg = g2. Интеграл U в левой
части соотношения G9) представляет потенциал простого слоя. По
формулам C8), разность его внешней и внутренней нормальных
производных на поверхности о равна
g-IH» <*¦-«¦>• <80>
Так как в области Vo потенциал U постоянен, то производная ^—=0,
а производная ^- сохраняет знак. Первое утверждение очевидно.
Второе вытекает из того, что в области Re — К, потенциал U гар-
гармоничен, так что постоянное значение, которое он имеет на а,
представляет либо максимум либо минимум. Это было бы невоз-
можно, если бы производная -=— меняла знак.
о tig
т. 3U ,
Из сохранения знака ^— вытекает, что и разность (g1 — g2)
ОН, Q
сохраняет знак на а, а тогда из соотношения G8) следует, что gx~g^
Тем самым теорема Стокса доказана.
ЗАДАЧИ
1. Показать, что изменение распределения масс в планете может иметь след-
следствием изменение поля тяготения всюду вне планеты. Объяснить, почему это не
противоречит теореме Стокса.
2. Показать, что перераспределение масс в планете может не приводить
к изменению поверхности уровня потенциала силы тяжести.
Указание. Рассмотреть планету с распределением масс, зависящим только
от радиуса.
— 322 —

3. Вывести формулу Пуанкаре
где рср—средняя плотность планеты, S—произвольная замкнутая поверхность,
внутри которой расположена планета, V$—объем конечной области, для которой
поверхность S служит границей.
Указание. Заметив, что формула G4) справедлива и тогда, когда а —
произвольная поверхность, окружающая планету, воспользоваться этой формулой.
4. Показать, что скорость вращения жидкой планеты подчинена неравенству
2лхр
ср,
где рср—средняя плотность планеты.
Указание. Для жидкой планеты должно быть g > 0.
§ 14. Логарифмический потенциал
Аналогией сил в пространстве, убывающих обратно пропор-
пропорционально квадрату расстояния между точечными телами, на
плоскости являются силы, убывающие обратно пропорционально
расстоянию. При этом составляющие силы притяжения являются
частными производными от функции
U = m\n±:9 (81)
которая носит название логарифмического потенциала. Коэффи-
Коэффициент пропорциональности будем называть массой точечного тела,
создающего (на плоскости) силовое поле с потенциалом (81).
Допустим теперь, что притягивающие массы однородной плот-
плотности рх расположены непрерывным образом вдоль некоторой
кривой L. Если эти массы притягивают единичную массу, распо-
расположенную в точке х, по закону обратных расстояний, то обра-
образуемое таким образом поле будет обладать потенциалом, вычи-
вычисляемым по формуле:
J| (82)
где г — расстояние от точки х до переменной точки ? контура L.
Этот потенциал называется логарифмическим потенциалом про-
простого слоя. Его свойства аналогичны свойствам ньютоновского
потенциала простого слоя. Так, например, в любой области, не
содержащей точек контура, потенциал (82) представляет собой
функцию гармоническую. Кроме того, легко показать, сделав не-
некоторые предположения относительно контура L и плотности рх,
что этот потенциал будет функцией, непрерывной и в том случае,
когда точка х совпадает с одной из точек контура L.
Отметим, однако, что при удалении точки х на бесконечность
логарифмический потенциал изменяется иначе, чем ньютоновский
11* — 323 —

потенциал простого слоя. Действительно, обозначив через R рас-
расстояние точки х от начала координат и повторив рассуждения,
приведенные при изучении ньютоновского потенциала на беско-
бесконечности, легко доказать, что при больших значениях R лога-
логарифмический потенциал простого слоя выражается следующим
приближенным равенством:
U(x)=mln-?, (83)
где через т обозначена вся масса притягивающего слоя. Из этой
формулы видно, что логарифмический потенциал U(x) стремится
к бесконечности при беспредельном удалении точки х, между тем
как ньютоновский потенциал U (х) стремится в этом случае к нулю.
Обозначим через п направление внешней нормали к контуру L
и составим криволинейный интеграл:
(84)
Этот интеграл носит название логарифмического потенциала двои-
ного слоя, а входящая в него функция р2 называется плотностью
двойного слоя.
По определению и свойствам логарифмический потенциал ана-
аналогичен ньютоновскому потенциалу двойного слоя. Ясно, что во
всякой области, не содержащей
точек контура L, функция их(х)
гармонична. Далее, приняв во
внимание, что
d (л 1 \ COSф /ог\
Mln7J= r ' <85>
где ф — угол между направле-
направлениями п и г (рис. 35), этому
потенциалу можно придать та-
такую форму:
S21SdL (86)
Рис. 35
и показать, что на контуре потенциал Ux претерпевает разрыв
непрерывности, аналогичный разрыву непрерывности ньютонов-
ньютоновского потенциала двойного слоя. Если L представляет собой
замкнутый контур, удовлетворяющий условиям, аналогичным
условиям Ляпунова для поверхностей, и, в частности, имеющий
в каждой из своих точек определенную касательную, то выше-
вышеуказанный разрыв характеризуется равенствами:
» 1
324 —

где U10 и р20 —прямое значение потенциала ?/х и значение плот-
плотности р2 в какой-нибудь точке ?, лежащей на контуре L, a Uu
и [/^ — предельные значения того же потенциала в тех случаях,
когда точка х стремится совпасть с точкой ?, подходя к ней или
изнутри или извне контура L.
В частном случае Q2=l интеграл
j^ (88)
аналогичный интегралу в формуле Гаусса, имеет три различных
значения:
— 2я, 0, — я
в зависимости от того, будет ли точка х находиться внутри, вне
или на контуре L.
Применим формулу (88) к решению внутренней задачи Дирихле
для уравнения Лапласа в круге радиуса г0. С этой целью поместим
полюс полярной системы ко-
координат в центр круга, а
полярную ось направим по
оси 1. Обозначим далее через
г0, 90 и г', 9' полярные коор-
координаты точек ? и х, а через
f(r0, 9)— заданную функцию,
изменяющуюся непрерывным
образом на окружности г' = г0.
Составим теперь потен-
потенциал двойного слоя:
(89)
Рис. 36
где С —окружность, и обра-
обратимся к рис. 36. Из этого
рисунка ясно, что в том случае, когда точка х приходит на кон-
контур, имеет место следующее равенство:
COS ф 1
Отсюда непосредственно вытекает, что потенциал (89) имеет на
окружности постоянное значение, определяемое равенством:
(90)
— 325 —

на основании чего нетрудно доказать, что формула
C (91)
дает решение внутренней задачи Дирихле, другими словами, эта
формула определяет функцию U (г, 0), гармоническую внутри и
принимающую заданное значение / (г0> 0) на окружности С. В самом
деле, переписав соотношение (И) в виде
легко убедимся, что U(rt 0) есть функция гармоническая. При-
Приближая теперь точку х к точке ?, найдем, что
lim U{r, в) = — rt/x(r0, в)— Hm Ut(r, 0I.
Но по первой из формул (87)
lim U1(rt 0)=1/1(го> 0) —я/(г0, 0),
следовательно,
lim U (г, 6) = /(г0, 0),
что и требовалось доказать.
Замечая теперь, что на окружности С dl = r0 d0, можно написать
формулу (91) в следующей форме:
2Я
" (r> 0) = i I / С»- 9») ,в_2гГо:оз7е-э0)+^ d9»- (92)
Это интегральная формула Пуассона. Ее легко преобразовать также
к виду G6) гл. XIX.
Подобно потенциалу двойного слоя оказываются разрывными
на контуре и нормальные производные логарифмического потен-
потенциала простого слоя. Этот разрыв характеризуется формулами
1^Лс1Ь9 (93)
аналогичными соответствующим формулам теории ньютоновского
потенциала. В этих формулах через р10, -^, ^~ обозначены плот-
плотность и нормальные производные потенциала в какой-нибудь
точке ?, принадлежащей контуру L. Что же касается обозначе-
— 326 —

ний г' и i|), то они ясны из рис. 37, на котором через | обозначена
переменная точка контура L.
Покажем, как, пользуясь формулой (93), решить в замкнутой
форме внутреннюю задачу Неймана для уравнения Лапласа в круге.
Обозначим через f(Q заданную функцию, изменяющуюся непре-
непрерывным образом на окружности С и удовлетворяющую условию
(95)
J/d)dC = O.
с
Составим с помощью этой функции интеграл
с
(96)
где г — расстояние от точки х до какой-нибудь точки !• окружности С.
Очевидно, что этот интеграл представляет собой функцию, гармо-
Рис. 37
Рис. 38
ническую внутри данного круга, так как ясно, что его можно
рассматривать как потенциал простого слоя с плотностью, опре-
определяемой равенством
Докажем теперь, что в том случае, когда точка х приближается
к точке ? на С, нормальная производная -г— от потенциала (96)
стремится к значению /(?).
В самом деле, из рис. 38 видно, что
COS lj) 1 •
где г0 — радиус данного круга. Пользуясь этим равенством и фор-
формулой (93), мы без труда найдем, что
— 327 —

Принимая теперь во внимание соотношение (95), окончательно
получим:
что и .требовалось доказать.
Таким образом, формула (96), найденная Дини, дает решение
поставленной задачи.
Предположим, что некоторая часть плоскости заполнена при-
притягивающими массами плотности р. Образуемое этими массами
поле обладает потенциалом
^ (97)
где г — расстояние от точки х до переменной точки | области S,
заполненной притягивающими массами.
Этот потенциал обладает свойствами, аналогичными свойствам
уже исследованного нами ньютоновского потенциала объемных
масс. Так, например, во всякой точке, лежащей вне области 5,
он представляет собою функцию, гармоническую по переменным
х± и х2; если же точка х лежит внутри притягивающей площади,
то этот потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона:
(98)
Если L обозначает какой-нибудь замкнутый контур, то нетрудно
доказать справедливость следующей формулы:
JgdL = -2nm, (99)
L
где через -т— обозначена производная от потенциала (97), взятая
по направлению внешней нормали к контуру L, а через m — та часть
всей притягивающей массы, которая заключается внутри контура L.
Глава XXI
СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
§ 1. Построение системы линейно-независимых
сферических функций
В § 4 гл. XX, при изучении ньютоновского потенциала, мы
ввели сферические функции, определив их как множитель Yn(Q, ср)
в представлении потенциала порядка п:
VniX, в, ч)=*ф?, A)
— 328 —

где R, 9, ф—сферические координаты, и установили, что каждому
значению п соответствует не более Bп^1) линейно независимых
сферических функций, через которые могут быть выражены осталь-
остальные сферические функции порядка п.
В этой главе покажем, что сферические функции У (9, ф)
естественно возникают при разделении переменных в уравнении
Лапласа в сферических координатах R, 9, ф:
1 д / . п&Л 1
Подставив в уравнение B) выражение
получим
Первое из слагаемых в левой части не зависит от 9 и ф, а второе
от R. Поэтому уравнение может удовлетворяться при всех R, 9, ф
только тогда, когда каждое из слагаемых в левой части посто-
постоянно, т. е.
±Л ("/?а^=:
1 г 1
Y
C)
где Я —постоянная. Отсюда получим два уравнения:
sine дд V а
Общий интеграл уравнения C) равен
v(R) = AnR» + -?fc, E)
где число п удовлетворяет условию
я(/г+1)-Я. F)
При п целом и Ап = 0 получим решения уравнения Лапласа
интересующего нас вида:
и
где УиF, ф) —какое-либо решение уравнения D) при % = п(п-\-1)
и п — целом. При нашем новом подходе мы, очевидно, исчерпываем
все функции У„(8, ср), входящие в решения уравнения Лапласа,
имеющие вид G). Следовательно, сферические функции являются

решениями уравнения
имеющими непрерывные производные до второго порядка включи-
включительно. Эти решения будем называть регулярными, а само урав-
уравнение (8) — уравнением сферических функций.
Решения уравнения (8) также будем искать по методу разде-
разделения переменных. Подстановкой
г„(е, cp) = P(e)Q(cP) (9)
уравнение (8) приведется к системе уравнений:
^ ra = 0, A0)
где т —произвольное число.
Однозначные непрерывные на окружности решения уравне-
уравнения A0) получаются при -целых значениях т. Каждому такому
значению т соответствуют два линейно-независимых решения:
Qw = cosmcp и Qm = s\n тц) (т = 0, 1, 2, ...). A2)
Займемся уравнением A1). Подстановкой
? = cos9
приведем его к виду
^[ ^]„й = 0. A3)
В частности, при т = 0 получим уравнение
±^ -=0, A4)
согласно формуле D) гл. XVI являющееся уравнением полиномов
Лежандра Ря(?). Произведем в уравнении A3) подстановку
Функция у будет удовлетворять уравнению
^)?| + (м-/и)(л + т+1)у-О. A5)
Чтобы найти его частные решения, продифференцируем уравнение
полиномов Лежандра A4) т раз по ?. Применив формулу Лейб-
Лейбница, получим
A6)
330 —

Сравнив это уравнение с уравнением A5), видим, что функции
являются частными решениями уравнения A5). Отсюда ясно, что
функции
Рпи@ = A-О^^#-) A7)
будут частными решениями уравнения A3). Возвращаясь к пере-
переменной 6, получим искомые частные решения уравнения A1):
Р„я (cos 6) = sin- 9 j^m Pn (cos 9). A8)
Так как полиномы Лежандра Рп (cos 6) представляют полиномы
степени п от cos6, функции Pnm(cosQ) также представляют поли-
полиномы, причем
ЯЯЯ1 (cos 6) = О при т> п.
Функции Pnm(cosQ) получили название присоединенных полиномов
Лежандра. Как всякие полиномы они непрерывны и дифферен-
дифференцируемы неограниченное число раз.
Таким образом, для каждого п мы получили (n-fl) частных
решений уравнения A1): Рп (cos 6), Рп1 (cos 6), ..., Рпп (cos 6),
соответствующих значениям т —О, 1, 2, ... Комбинируя эти
решения с решениями A2) уравнения A0), получим {2п-\-\) сфе-
сферических функций:
Рп (cos 6), Рпт (cos 6)cos тф, Рпт (cos 6) sin тф;
(m=l, 2, 3, ..., n, n = 0, 1, 2, ...),
являющихся частными решениями уравнения (8). Эти Bп-\-\)
сферических функций линейно-независимы, так как линейно-пеза-
висимы множители cos ту, sin пщ (т = 0, 1, ..., п). Функции
Рп (cos 6) получили название зональных, а функции Рпт (cos 6) cos тф
и Рпт (cos 8) sin тф — тессеральных сферических функций. О про-
происхождении этих терминов см. задачу 4.
Как мы знаем, всего может быть 2м+1 линейно-независимых
сферических функций порядка п. Поэтому любую сферическую
функцию Ки(9, ф) можно представить в виде линейной комбина-
комбинации найденных линейно-независимых решений A9):
п
Yn (9, ф) = а0Рп (cos 6) + 2 (ал cos ?ф + Ь^ sin ?ф) Р„^ (cos 6),
где а0, ал, Ьл —постоянные.
— 331 —

ЗАДАЧИ
1. Показать, что интеграл
п
\ f (*з + toi cos
-я
sin ?, Q С
где / (?, ?)—произвольная функция, допускающая дифференцирование дважды
по параметрам xlf x2, х3 под знаком интеграла, является решением уравнения
Лапласа.
2. Показать, что все тессеральные сферические функции второго порядка
можно получить, дифференцируя •=- дважды по направлениям координатных
осей.
3. Показать, что тессеральные сферические функции можно получать, диф-
дифференцируя функцию р- (п — т) раз по направлению х3 и т раз по направле-
направлениям, лежащим в плоскости 1—2 под
п
углом — друг к другу.
4. Линии на шаровой поверхности,
вдоль которых значение сферической функ-
функции равно нулю, называют узловыми ли-
линиями этой сферической функции.
а) Показать, что узловые линии поли-
полинома Лежандра Рп (cos 6) представляют
параллели, делящие шаровую поверхность
на (я+1) зон, характеризуемых тем,
что в каждой из зон Рп (cos 0) сохраняет
знак, а при переходе через узловую линию
изменяет его на обратный.
б) Показать, что узловые линии
тессеральных сферических функций
Рпт (cos 6) cos тц) и Рпт (cos 6) sin mqp
образуются п — т параллелями и т рав-
равноотстоящими меридианами, которые раз-
разбивают шаровую поверхность на клетки
(tesserae), характеризуемые тем, что в каждой из них эти функции сохраняют
знак и меняют его при пересечении границы клетки (узловой линии) (рис. 39).
Рис, 39
§ 2. Ортогональность сферических функций
Покажем, что построенные в предыдущем параграфе сфериче-
сферические функции ортогональны на поверхности 2 любого шара
с центром в начале координат, т. е. интеграл от произведения
двух различных функций A9) по поверхности S равен нулю.
Начнем со сферических функций разных порядков. Пусть
Ук(®> Ф) и ^/я(в> ф) {кфт) — две такие функции. Функции
uk = R*Yk(e, Ф) и um = RmYm(et Ф)
гармоничны в любой ограниченной окрестности начала коорди-
координат. Действительно, они регулярны в любой конечной области,
а согласно формуле E) (при Вп = 0) удовлетворяют уравнению
_ 332 —

Лапласа. Поэтому в силу формулы Грина G) гл. XIX:
В данном случае дифференцирование по нормали к 2 совпадает
с дифференцированием по #, т. e-^=g?- Поэтому
2
а так как кфт, то
Переходя к сферическим функциям A9) одного порядка, заме-
заметим, что интеграл по поверхности 2 можно представить в виде
повторного интеграла, содержащего интегрирование по ф в пре-
пределах от 0 до 2я. Но в функции A9) одного порядка угол ф
входит посредством множителей
1, соэф, этф, соэ2ф, зт2ф, ..., соэпф, sinmp,
образующих в промежутке @, 2я) ортогональную систему. Поэтому
интеграл в пределах от 0 до 2я от произведения любой пары
из них равен нулю. Следовательно, равен нулю и интеграл по 2.
Укажем без вывода интегралы от квадратов сферических
функций:
J \[Pnm (cos G) co
2
[Pnm (cos 9) sin
jo
(n+m)\
(п—т)\ '
B0)
где /? —радиус шаровой поверхности 2.
Установим, наконец, интегральные формулы, содержащие про-
произвольную сферическую функцию и полином Лежандра.
Пусть 2, как и выше, шаровая поверхность с центром в на-
начале координат, a x(ROf 0O, ф0) —точка внутри S. Применив
к гармонической функции
un{R, 9, ф) = W.(e, ф)
— 333 —

формулу D4) гл. XIX, получим
где г—расстояние между точкой х и переменной точкой |G?, 0, ф)
на 2. В рассматриваемом случае:
где у — переменный угол между радиусами-векторами точек х и
Разложим функцию — в равномерно сходящийся ряд:
00
1
и заметим, что на Б:
В силу этих соотношений:
?« 4 (т
к
?%,(9, ф)Е(й + 1)тг?7;р*(созу):
Подставив это выражение в формулу Грина, получим:
Б fe = 0
Интегрируя почленно равномерно сходящийся ряд в правой части
этого соотношения, придем к ряду
— 334 —

коэффициенты которого
п n+k+l
B2)
не зависят ни от Ro, ни от R, поскольку отношение -~ остается
инвариантным при изменении R. Сравнив коэффициенты при оди-
наковых степенях отношений -~ в ряде B1) и приняв во вни-
внимание формулу B2), придем к формулам:
, <р)Р*(cosy)dS = 0 (пфк), )
B3)
Yn (в, Ф) Рп (cos у) dS = -?$L Уя (90, Фо).
§ 3. Разложение по сферическим функциям
Пусть /F, ер) —функция, имеющая ограниченное изменение*
на шаровой поверхности S единичного радиуса и абсолютно
интегрируемая на S. Покажем, что в точках непрерывности она
может быть разложена в равномерно сходящийся ряд по сфери-
сферическим функциям:
/F, ф)=2П(9- Ф)- B4)
k = 0
Этот ряд иногда называют рядом Лапласа.
При доказательстве возможности разложения B4) будем опи-
опираться на теорему ** о разложении в ряд по полиномам Лежандра.
Если в промежутке О^у^я функция гр G) sin у абсолютно
интегрируема по у, а функция \|э(у) имеет ограниченное измене-
изменение, то в любом интервале, лежащем внутри рассматриваемого про-
промежутка и являющемся интервалом непрерывности функции )
* Говорят, что функция / (х) имеет ограниченное изменение в промежутке
п
(а, Ь) изменения х, если суммы 2 I / (x<x + i) — f (х«) I остаются ограниченными,
какими бы способами ни выбрать последовательность хг = а, х2, х3, ...,
хп, хп + 1 = Ь возрастающих значений переменной х. В частности, функция f (х)
имеет в промежутке (а, Ь) ограниченное изменение, когда удовлетворяются
условия Дирихле: 1) промежуток (а, Ь) можно разбить на конечное число про-
промежутков, в каждом из которых функция / (х) меняется монотонно, 2) в проме-
промежутке (а, Ь) функция / (х) или непрерывна или имеет конечное число разрывов
первого рода. Когда функция зависит от нескольких переменных, изменяющихся
в области V, то говорят, что она имеет ограниченное изменение в области V,
если она имеет ограниченное изменение по каждой из этих переменных при лю-
любых фиксированных значениях остальных переменных.
** См., например!,» Г о б с о н [18], стр. 319. Аналогичная теорема справед-
справедлива и при меньших требованиях к / @, ф).
— 335 —

эта последняя может быть разложена в равномерно сходящийся
ряд по полиномам Лежандра*:
00
t|)(Y)= 2 в/Л (cosy),
где
я
Щ11 cos v') sin v' <?•
Обозначим через 9', ф' координаты переменной точки на 2,
а через у — угол между радиусами, проведенными из центра шаро-
шаровой поверхности в точки (9', <р') и (9, <р).
Предположим сначала, что ряд B4) сходится и его можно
почленно интегрировать. Умножив этот ряд на полином Лежандра
Pk (cos у) и интегрируя по 2, в силу соотношений ортогональ-
ортогональности B3) получим
4л
Yfz{$'j ф) Рт (COS у) dS = 9m 4- 1 "У (9, ф),
= 0 Б
откуда
Ym(Q, ф)= 4 \ \ /(9', ф')Рт(cosу)dS. B5)
Введем новые сферические координаты (у, со) с полюсом в точке
(9, ф). Заметив, что
перепишем соотношение B5) в виде
я я
(cosy) sin y^y-^ j /(V.
о -я
я
2т+ 1
2
о
, (cos у) sin ydy, B6)
0
где
— среднее значение функции /(9', фг) на окружности у — cosnt
с центром в точке (9, ф).
* В гл. XXXII рассмотрены разложения в ряды, сходящиеся к интегри-
интегрируемой функции в среднем. .Эта теория применима также к уравнению Лежандра.
— 336 —

Функция Ф(у) имееет ограниченное изменение и абсолютно
интегрируема, когда О^у^зт. В самом деле, функция f@, ф)
обладает этими свойствами по предположению, при усреднении
же они, очевидно, сохраняются. Кроме того, функция Ф(у) не-
непрерывна в окрестности точки у = 0> так как функция / непре-
непрерывна при 7 = 0. Следовательно, в точке у = 0 функция Ф()
может быть разложена в ряд по полиномам Лежандра:
Ф @) = 2 2±Р- \ ф (V) ръ (cos У) sin Y dy. B7)
Здесь учтено, что РкA)= 1. Но согласно формуле B6) ряд в пра-
вой части формулы B7) равен 2 *%» гДе значения Yk определены
соотношением B5). С другой стороны, в силу непрерывности функ-
функции /@, ф), в точке 8, ф, для любого заданного положительного
числа е можно указать такое зависящее только от ? число т],
что при любом со
Так как значение |Ф(у)| лежит между наибольшим и наименьшим
значениями величины |/(у, со) | на окружности у = const, то из
предыдущего неравенства следует, что при у < г|
|ф(т)-/(е, ф)К е.
Поскольку число 8 сколь угодно мало, то
Ф@) = /(9, Ф).
Подставив полученные выражения в соотношение B7), получим
разложение вида B4), что завершает доказательство.
Так как любая сферическая функция может быть представлена
в виде линейной комбинации линейно-независимых ортогональных
сферических функций, образующих систему A9), из доказанной
теоремы вытекает полнота этой последней системы.
Представив каждую из сферических функций Yk(Q, ф) в виде
линейной формы от сферических функций системы A9):
Yk(Q, 4>) = aokPk(cosB)+ ^ (amkcosm(p + bmk sin тц>)Ры(cosQ) B8)
и подставив эти выражения в соотношение B4), получим разло-
разложение произвольной функции /F, ф) по системе сферических
функций A9):
2 \aokPk(cQsQ) +
k \
+ 2 (<*тк cos тФ + bmk sin mq>) Pkm (cos 9) >. B9)
m=l )
— 337 —

2
(±
Лтк 2я (k+m)l
«~>=2-^feS! f f /с0'- ф') ^*»(cos 0/)cos «ф' d5>
Для читателя не представит затруднений с помощью фор-
формул B0) проверить, что коэффициенты ряда B9) определяются
следующими соотношениями:
C0)
ЗАДАЧА
Пусть у — угол между радиусами, проведенными из центра шаровой поверх-
поверхности 2 в точки (90, ф0) и (9, ф) на 2. Считая, что у = у(9, ф), доказать сле-
следующее соотношение:
Pn(cos v) = Рп (cos 6) Рп (cos в0) +
2 2 {i~tw р»ь(cos е) р«ь (cos 9o) cos k (ф-
известное как теорема сложения для полиномов Лежандра.
Указание. Следует разложить Рп (cos у) в ряд C0) и при вычислении
коэффициентов ряда воспользоваться формулами B3).
§ 4. Применение сферических функций
для решения граничных задач
Рассмотрим приложение теории сферических функций к ре-
решению задач Дирихле и Неймана.
Пусть 2 — шаровая поверхность, определяемая в сферической
системе координат R, 6, ср уравнением R = R0, и /@, ф) — функ-
функция, заданная на 2 и разлагающаяся в ряд по сферическим
функциям:
/(в, ф)=2>%@, ф). C1)
Как мы знаем (§ 1), функция " п ] х - , а поэтому и отличаю-
отличающаяся от нее только постоянным множителем функция
гармонична в любой области, не содержащей точки R = 0. Поэтому
функция
— 338 —

гармонична вне шаровой поверхности 2. А так как в силу соот-
соотношения C1) на 2 она совпадает с /(Э, ф), то она представляет
решение внешней задачи Дирихле для области, лежащей вне
шаровой поверхности 2, при граничном условии и | я=яо = /(9, ср).
Пользуясь теоремой Кельвина (гл. XIX, § 3), найдем, что
функция
гармонична внутри 2, а поэтому представляет решение соответ-
соответствующей внутренней задачи Дирихле при том же граничном
условии.
Рассмотрим теперь функцию
00
и (R, в, Ф) = ? ^ Г, @, ф) (&) *+\ C4)
гармоническую в области вне 2. Направление нормали внутрь 2
т-т д д
примем за положительное. При этом -g-= — нтг, так что нор-
нормальная производная функции u(R, 0, ф) на 2 равна
ди_
дп
OR
Таким образом, ряд C4) дает решение внешней задачи Неймана
для области вне 2 при граничном условии ^~ _ =/F, ср).
Согласно § 4 гл. XIX внутренняя задача Неймана имеет ре-
решение только в том случае, если граничное условие /(8, ф)
удовлетворяет соотношению
0. C5)
В силу ортогональности сферических функций разного порядка
/4^ при к = °>
\ 0 при кфО,
где Fo — постоянная. Отсюда заключим, что для соблюдения
требования C5) в разложении C1) должен отсутствовать член
нулевого порядка, т. е. должно быть:
/(в, Ф)=2П(в. ф)- C6)
В этом случае ряд
k=\
u(R, 6, ф) = С + 2^хК^6' Ф) IT (#о>Я), C7)
— 339 —

где С—-произвольная постоянная, разрешает внутреннюю задачу
Неймана для шара при граничном условии ^
Otl
=/(9> ф)«
Действительно, функция u(Rt 0, ф) гармонична внутри 2, а ее
нормальная производная на 2 совпадает с /@, ф) (нормаль к 2
считаем направленной в область вне 2).
ЗАДАЧИ
1. Найти решение внутренней задачи Дирихле в форме C3), исходя из
интеграла Пуассона E1) гл. XIX.
Указание. Воспользоваться разложением:
A-2/* cos k==Q
2. Найти решение внутренней задачи Дирихле при граничном условии
Ответ:
и (/?, 0, Ф) = А ( * V P3i(cos 6)-4- -§- Рц (cos 9) cos ф.
3. Показать возможность решения смешанной краевой задачи для шаровой
поверхности с помощью сферических функций.
4. Решить задачу Дирихле для области между двумя концентричными ша-
шаровыми поверхностями радиусов Rx и R2 при условии, что на первой шаровой
поверхности искомое решение обращается в заданную функцию / F, ф), а на
второй — в функцию F (Q, ф).
Ответ: Искомое решение дается системой равенств:
« k
+ B
+ D
+ B
где flp^, b§k—коэффициенты разложения функции /F, ф) в ряд по сфериче-
сферическим функциям вида B9), а а^, Ъ^ — коэффициенты разложения в тот же ряд
функций F(8, ф). р *
5. Решить предыдущую задачу в предположении, что функции f и F зави-
зависят только от угла 6.
— 340 —

f(Q')Pk (cos Q') sin Q'dQ\
§ 5. Функция Грина задачи Дирихле для шара
Найдем с помощью сферических функций функцию Грина
задачи Дирихле
Au = f, когда x?V—<FF, н = я|>, когда x^WV, C8)
в частном случае, когда область V представляет шар или беско-
бесконечную область, расположенную вне некоторого шара.
Как мы знаем (§ 7, гл. XIX), функция Грина задачи Дирихле
равна
1 Г 1 1
C9)
где г (I, х) — расстояние между точ-
ками I и х9 а ф(|, л:) — решение гра-
граничной задачи F0) гл. XIX:
D0)
РФ = 0, когда
= , когда
D1)
Рис. 40
Начнем с внутренней задачи, предположив, что область V —
шар радиуса а. Обозначим через \х\ и |?| расстояния точек х
и I от центра шара, а через у —угол между радиусами-векторами
точек х и I (рис. 40) и разложим функцию ф(|, х) в ряд по
полиномам Лежандра:
Для определения величин
функции
1
воспользуемся представлением
1
— 341 —

в форме ряда по степеням отношений -jyj- . Согласно формуле A5)
гл. XVI коэффициентами этого ряда будут величины
Поэтому, для случая, когда точка ? лежит на поверхности
получим-
Сравнив разложения для ср и —, заключим, что граничное усло-
условие D1) тождественно удовлетворяется, если положить:
k a
Следовательно,
ФЙ х)- 'Ёл(со=у)Р*1тУ
Сравнив этот ряд с рядом A5) гл. XVI, найдем, что
1
Подставив это выражение в формулу C9), получим искомую
функцию Грина:
G (^, х) - -±- (у—77Т • 7~) ' D2)
где
:osy- D3)
Легко видеть, что величина гх представляет расстояние от
точки I до точки х\ гармонически сопряженной (гл. XIX, § 3)
с точкой х относительно поверхности WV рассматриваемого шара.
Действительно, по определению гармонически сопряженных точек,
точка х' лежит на том же луче, исходящем из центра шара, что
и точка х, на расстоянии
Ijc'I
— 342 —

от центра (рис. 40). Составляя выражение для расстояния \х' — 5 |,
как раз и получим формулу D3).
Для внешней задачи Дирихле вид выражения D2), определяю-
определяющего функцию Грина, не меняется. Чтобы доказать это утвер-
утверждение, достаточно показать, что по координатам точки \ функция
гармонична в бесконечной области вне шара и удовлетворяет гра-
граничному условию D). Первое ясно, так как г± есть расстояние
от точки I, лежащей вне шара V или на его поверхности, до
точки х\ гармонически сопряженной с точкой х и, значит, ле-
лежащей внутри шара. Поэтому полюс функции — лежит внутри
шара, в силу чего в области вне шара она гармонична. Второе
вытекает из формулы D3). Действительно, если точка \ находится
на поверхности шара, то \х\ = а и
Таким образом, формула D2) дает выражение функции Грина,
разрешающей как внешнюю, так и внутреннюю задачи Дирихле
для шара. При этом, в отличие от формул C2) и C3), с помощью
функции Грина решение представляется в замкнутой форме и
охватывает задачи Дирихле не только для уравнения Лапласа,
но и Пуассона (см. § 7 гл. XIX).
ЗАДАЧА
Исходя из выражения D2) для функции Грина, вывести интегральную фор-
формулу Пуассона E1) гл. XIX.
§ 6. Функция Грина задачи Неймана для шара
Найдем теперь функцию Грина внутренней задачи Неймана:
&и = 0, когда x?V — WV\ ¦%- = $>, когда x
когда область V является шаром. Представив функцию Грина
в форме C9), для отыскания функции ср(|, х) придем к гранич-
граничной задаче, отличающейся от задачи D0—41) граничным условием:
когда l**V.xSV-?Vt D4)
где S — площадь поверхности WV.
— 343 —

Сохранив обозначения предыдущего параграфа, снова пред-
представим функцию <р(?, х) в форме ряда по полиномам Лежандра:
(\x\<at
Заметив, что дифференцирование по внешней нормали к поверх-
поверхности WV эквивалентно дифференцированию по \%\ и что |?| = а,
если точка \ лежит на WV\ получим
¦, когда I € &*V.
Далее, согласно формуле A5) гл. XVI, при
1 1
|2—2а | х | cos у
откуда
!r, когда |gГУ,
Подставив полученные выражения в_ граничное условие D4) и
учтя, что в рассматриваемом случае S = 4na2, получим
k=0
Это соотношение удовлетворяется тождественно, если
k
D5)
Коэффициент Ьо может быть выбран произвольно. Приняв Ьо = — ,
получим
i|(Mlil)' i|i<^>(BllU)'. ,48,
Сравнив первый из этих рядов с рядом A5) гл. XVI, легко най-
найдем, что
±±РЛсо*У)(\Ш\)к= / D7)
— 344 —

Второй из рядов, входящих в равенство D6), также легко может
быть просуммирован. С этой целью разделим обе части равенства
1
>^l+p2—2pcos у
где |р| < 1, на р и проинтегрируем по р получившиеся выраже-
выражения. Приняв во внимание, что
у 1+р2 —2pcos
получим
-lnl(l-P cos
-2P cosy).
Подставив в качестве р отношение
'X'J '
, найдем, что
= П
co
| cos
^ *
Выражения D7) и D8) упрощаются, если ввести расстояние г±
между точкой | и точкой х\ гармонически сопряженной с точ-
точкой х относительно поверхности рассматриваемого шара. Тогда,
как легко видеть, в силу формул D6), D7) и D8), получим
__ а . 1 , 2^
и, в силу формулы C9), найдем, что
Если точка I лежит на поверхности ?FV, то, как мы видели
в предыдущем параграфе
вследствие чего
, когда
— 345 —

Внося это выражение в формулу F7) и принимая во внимание,
что в силу формулы C5) гл. XIX
получим решение задачи Неймана для шара в форме, найденной
самим Нейманом из физических соображений:
и М = ~к И [т-Т ln(a+r~ I * Icos V)] * dS. E0)
ЗАДАЧИ
1. Показать, что функция Грина задачи Неймана, поставленной в бесконеч-
бесконечной области, лежащей вне некоторого шара, выражается соотношением:
± ' +±1п
"*'">- г • \xUl ^а"а* + Г1\х\-\х\\\\а>зУ '
Указание. Функцию ф, входящую в соотношение D0), разложить в ряд
по полиномам Лежандра:
k+i
k=o
воспользоваться граничным условием D4), а при суммировании рядов использовать
формулу, получающуюся интегрированием равенства
k=0
2. Используя решение задачи 1, показать, что решение внешней задачи Ней-
Неймана для шара V дается следующей формулой Бьеркнеса:
w(a:) = —- \ \
4д J J [/¦ а
1 а + >" —1*| cos у
In—± !—\ . у .г •
A —cosv) S
Глава XXII
ПРИЛОЖЕНИЕ ТЕОРИИ СФЕРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
§ 1. Электростатический потенциал проводящего шара,
разделенного слоем диэлектрика на два полушария
Предположим, что полый шар из проводника разделен слоем
диэлектрика на два полушария: верхнее, заряженное до по-
потенциала Ulf и нижнее, имеющее потенциал U2. Требуется
определить потенциал в любой точке электростатического поля.
Задачу будем решать в сферических координатах (R, Э, ф), рас-
— 346 —

положив начало в центре шара и направив полярную ось пер-
перпендикулярно изолирующему слою.
Очевидно, что поставленная задача представляет задачу Ди-
Дирихле для уравнения Лапласа при граничном условии
и, при ?
U2 при 2
где U=U (R, Э, ф) —потенциал в точке (R, 9, ф), a Ro — радиус
шара (толщинами стенок шара и слоя диэлектрика пренебрегаем).
Решение этой задачи для точек внутри и вне шара дается
разложениями C2) и C3) гл. XXI:
+1 (*•<*)» B)
. ф) (-#-)" (/?о>Я)- C)
Так как картина поля, очевидно, не зависит от координаты ф,
то в формуле B8) гл. XXI следует положить amk = 0 при тфЬ,
что даст
ГД9, Ф) = аяРя(созв).
Сравнив теперь разложения
+1
(x) p*(cose> Wo</?) D)
и
V = 2- ан [j-J Pk (cos 9) (/?„ > fl) E)
с разложением G) гл. XVI, на основании формулы (8) гл. XVI
найдем выражения для коэффициентов ап:
я
о
где /F) — значение функции U на поверхности шара. Подставив
граничное условие, получим:
/Я/2 Я \
ап = *?±1 Г up (cos G) sin G dd + Г U2Pn (cos 9) sin 9 dQ =
j Г t/1Pll(cose)sinede+ Г f/8Pn (cos9) sir
V 0 Jt2
0

Так как полином Лежандра Рп(х) имеет одинаковую четность
с индексом п, т. е.
то
о
Воспользуемся формулой (задача 1 гл. XVI):
1 при я = 0,
при я = 2&, &> О,
0 (-1
1^-^г-^ при я =
Из нее вытекает, что
_Ц1-Ц k Bk)\
Подставив найденные значения коэффициентов ап в разложе-
разложения D) и E), мы и найдем искомый потенциал электростатиче-
электростатического поля:
U = |(иг+и^ +^(tfi-*/,) [|-(^)*Pi (cos9)-
~? (тL Рз (cos G) + • • • ] (*о < /?)• G)
(C0S G) + • ' • ] Wo > /?)• (8)
§ 2. Задача о стационарном распределении температуры
в шаре
Предположим, что нам дан металлический шар с закопченной
поверхностью, подвергающийся действию солнечных лучей в воз-
воздухе, температуру которого примем для простоты равной нулю;
требуется определить установившуюся температуру внутренних
точек шара (рис. 41).
Из § 1 гл. XIX известно, что искомая температура должна
удовлетворять уравнению Лапласа. Что же касается граничного
условия на поверхности шара, то оно будет следующим:
=- 348 -г

где Ro — радиус шара, р = ~—отношение коэффициентов тепло-
теплоотдачи и внутренней теплопроводности, а /(9) —температура по-
поверхности шара, которая наблюдалась бы в том случае, если бы
отсутствовало лучеиспускание с поверх-
поверхности в окружающий воздух. •
Если принять, что степень нагревания ///
пропорциональна синусу угла падения лучей / у /,
на поверхность, то очевидно, что функция
A cos 9 при
О при -?
где Л —постоянная величина, зависящая
от интенсивности солнечной радиации.
Будем разыскивать решение поставлен-
поставленной задачи в форме бесконечного ряда
Рис. 41
(И)
с неопределенными пока коэффициентами ak.
Внося выражение A1) в соотношение (9) и разлагая функцию /(G)
в ряд по полиномам Лежандра:
A2)
A3)
где, согласно формуле (8) гл. XVI,
/ @) Pk (cos 9) sin 0 d9,
получим равенство
которое удовлетворяется тождественно, если коэффициенты
К A4)
Теперь остается вычислить числа bk, что легко сделать, если вос-
воспользоваться формулами A0) и A3). В самом деле, из этих фор-
формул вытекает, что
Я/2 1
: \ A cos 9 Рп (cos 9) sin 9 dQ = —— А \ Рь (х) х dxt
i 2 oJ
— 349 —_

откуда непосредственным вычислением получим:
fco = ~ [
1
С другой стороны, в гл. XVI о полиномах Лежандра было
указано, что
' @ при k = 2n + l (n>0),
\xPk(x)dx=
2-2" («-!)!(«+1)!
P
откуда вытекает, что
Следовательно,
ао 4
^ = 0, a,, = (-1)* A -_% f~2)!Dfe+1) (ifc > 0).
Внося найденные значения коэффициентов аА в разложение A1),
получим искомую температуру шара в виде следующего беско-
бесконечного ряда:
где /?0>^.
§ 3. Задача о распределении электричества
на индуктивно заряженном шаре
Применим теорию сферических функций к решению следую-
следующей электростатической задачи.
Допустим, что имеется некоторое тело В из диэлектрика,
причем объемная плотность
р = /(Яя, ея, ф2) A6)
электрических зарядов, распределенных в теле, представляет
собою известную нам функцию от координат точки х (рис. 42).
— 350 —

Допустим далее, что вблизи тела В помещается шаровой про-
проводник С, имеющий некоторый заряд q. Вследствие индукции
на этом проводнике распределится непрерывным образом неко-
некоторый электрический слой. Поставим себе задачей определить
плотность рх этого слоя в любой точке ?(#0, Q19 фх), лежащей
на поверхности проводника. С этой целью обозначим через U потен-
потенциал электростатического поля в какой-нибудь точке l(R, Э, <р),
Рис. 42
находящейся внутри проводника. Этот потенциал может быть
представлен в виде суммы:
U = UB+UC, A7)
где через UB обозначен потенциал, получающийся от присутствия
заряда в теле В, а через Uc — потенциал, вызываемый тем заря-
зарядом, который индуцируется на поверхности проводника.
Обратимся сначала к определению потенциала Uв. Из § 1
гл. XIX известно, что этот потенциал определяется формулой:
(В)
где через г обозначено расстояние от точки l(R, 0, ф) до пере-
переменной точки x(R2i 02, ф2) тела В. Отсюда вытекает, что
(В) г ~V 2 \
где
cos у = cos 9 cos 92 +sin 9 sin 92соз(ф — ф2).
Взяв теперь разложение (гл. XVI, § 5):
1 v^ ^ / ч Rk
— 351 —

можем представить потенциал UB в виде бесконечного ряда
ив=^Хк(в, Ф)Я», A8)
где ради краткости положено:
в" Ф2)^(^т)зш62^^. A9)
{В)
Так как по условию f(R2, Э2, ф2) представляет собой функцию,
известную во всем объеме В, то очевидно, что функции Xk(Q, ф)
вполне определяются формулой A9).
Обратимся теперь к нахождению потенциала ?/с. Обозначим
через
р1 = /1F1,Ф1) B0)
искомую плотность слоя на поверхности проводника. Тогда потен-
потенциал электрического слоя в точке l(R, 6, ф) определится фор-
формулой
я 2я
11 _ С С !гфъ (рг) Rl sin Q1dQ1d(p1
= С С
о о
о о
где
cos Yi = cos Э cos 8X + sin Э sin 8X cos (ф—фх).
Отсюда вытекает, что потенциал Uс может быть представлен
в виде следующего бесконечного ряда:
со я 2я
1k 'С С
ъ~\ \ \ /i(9i, 4>i)Pb (cos Yi) sin 6. dQ,dw.. B1)
2 1 J J N/
J/
Допустим теперь, что функция f1@lf фх) разложена в ряд по
сферическим функциям:
М01, Ф1)=2П@1. Фх)- B2)
/г = 0
Очевидно, что определив функции Y^^, фх), мы найдем, согласно
формуле B0), искомую плотность электрического слоя. Для на-
нахождения этих функций внесем разложение B2) в формулу B1).
Тогда, вспоминая интегральные соотношения B3) гл. XXI, по-
получим разложение:
^= 0
из которого, в силу формул A7) и A8), вытекает, что
— 352 —

Но нам известно, что потенциал U имеет постоянное значение
внутри проводника; следовательно, правая часть найденного
разложения должна быть независимой от R, что возможно лишь
при выполнении равенств:
^^|f=o (* = i, 2, з, ...у.
Эти равенства определяют функции У1Э У2, ... и т. д. следующим
образом:
Yk(K <Pi)= -^ХН(В19 фО/?* (*>!)- B4)
Теперь нам остается определить лишь функцию
для чего достаточно сравнить между собой коэффициенты при Ro
в правых частях разложений B1) и B3). В результате такого
сравнения получим
Yo F, Ф) = ± J J / (elf ф1) Ро (cos Yl) sin
о о
откуда найдем, что
где s—поверхность шара R = Ra. Принимая затем во внима-
внимание, что
где 9, как было упомянуто выше, обозначает полный заряд про-
проводника, найдем искомую функцию Yo:
B6)
Внося найденные нами значения сферических функций в раз-
разложение B2), получим следующее выражение плотности слоя:
Р = ? ТГ- Х* С- Я>1) «Г1. B7)
где функции Xk(Qlf фх) определяются на основании формулы A9).
Формула B7) показывает, что плотность электрического слоя,
распределенного на поверхности сферического проводника, со-
состоит из двух частей:
1) из плотности
12 № 645 — 353 —

представляющей собой плотность заряда q, равномерно распре-
распределенного по всей поверхности шара так, как будто бы внешние
электрические силы отсутствуют;
2) из плотности
индуцированной зарядами тела В.
Остановимся более подробно на частном случае формулы B7),
когда вместо заряженного тела имеется точечный заряд q0, индуци-
индуцирующий электрический заряд на шаре С.
Обозначим по-прежнему через ?(/?, 9» ф) какую-нибудь точку
внутри шара С, а через R2, 92, ф2 — сферические координаты
точки ху в которой сосредоточен заряд q0. Тогда будем иметь
Us=v /' _^i^(cosY)(f)*, B8)
У R*-\-Rl — 2RR2 cos у *2* = о V *2 '
где
cos у = cos 9 cos 92 + sin 9 sin 92 cos (ф — ф2).
Сравнив это разложение с формулой A8), найдем, что
#2+1
Подставив теперь последнее выражение в формулу B7), получим
следующий результат:
где
cos у2 = cos 9X cos 92 + sin 6X sin 92 cos (фх — ф2).
Но при помощи дифференцирования по R разложения B8) не-
нетрудно доказать справедливость такого рода равенства:
откуда уже окончательно вытекает следующая формула для
искомой плотности рх:
Pl
где cosYa определяется по вышеуказанной формуле.
— 354 —

§ 4. Обтекание шара потоком несжимаемой жидкости
Допустим, что мы имеем дело с незавихренным потоком не-
несжимаемой жидкости, которая, двигаясь поступательным образом,
обтекает на своем пути шар радиуса Ro. Скорость жидкости на
бесконечном удалении от шара будем считать равной постоянному
значению v0. Вблизи шара жид-
жидкость приобретает некоторую до-
дополнительную скорость, потенциал
которой обозначим через и. Имея
в виду определить этот потенциал,
поместим начало сферической сис-
системы координат в центр шара и
направим полярную ось в сторо-
сторону, противоположную движению
(рис. 43).
Из главы XIX нам известно,
что потенциал скорости несжимае- рис. 43
мой жидкости удовлетворяет урав-
уравнению Лапласа. Будем разыскивать интеграл этого уравнения в
форме бесконечного ряда:
k=o
(R0<R),
C0)
где Pk (cos 9) — полиномы Лежандра. Коэффициенты ак этого ряда
могут быть определены из условий, имеющих место на границе
жидкой среды. В самом деле, из рис. 43 видно, что нормальная
составляющая дополнительной скорости частицы жидкости на
поверхности шара выражается формулой
4B=u0cos(jt — 6)= — uocos0,
откуда вытекает, что
ди
dR
Внося сюда на место и правую часть разложения C0), найдем,
что
4
4- Z
0 k =
(cos 6) = -v0 cos Э.
Но это последнее равенство обращается в тождество только в
том случае, когда коэффициенты ak будут выбраны следующим
образом:
Внося эти значения коэффициентов в разложение C0), найдем
12*
— 355 —

искомый потенциал в форме, указанной Стоксом, а именно:
ЗАДАЧИ
1. Найти ньютоновский потенциал в точке x(R,Q, ф) поля, созданного
притягивающими массами, которые расположены так, что они образуют тонкий
диск радиуса Ro.
Ответ: Искомый потенциал выражается формулами:
v=2~tt [р°(cos 9)~й Pl (cos 9)+^ [тУр*(cos 9)~
±
2 R
-^(^) р2 (cos 9) +
1-2-3/Яо
2-4-6 V/?
P4(cos6) —
•"'I
(До >
где m — масса притягивающего слоя.
Рис. 44
Рис. 45
2. Тонкий диск радиуса Ro заряжен q единицами электричества. Найти
потенциал поля в точке x(R, 6, ср), зная, что плотность электричества в точке ?
(рис. 44) изменяется по закону:
Е
Ответ: Потенциал в точке х выражается формулами:
^-y(^K^2(cose)+l^yp4(cose)-
(R > Ro)
3. Найти стационарную температуру точек, лежащих внутри полусферы,
если во все время наблюдения сферическая поверхность имеет постоянную темпе-
температуру TQi а основание полусферы — температуру 0° (рис. 45).
— 356 —

Указание. Обозначив через /@) температуру поверхности, получим
То при 0 < 9 < ~,
о при е=у.
Продолжив затем функцию / (9) на интервал [~к- > п) по правилу
f (я —в)= —f (в)= —Го (у <9<я),
определим коэффициенты a2k+i в разложении
T0 = a1P1(cosB) + a3P3(cosQ)+...+a2k+1P2k+1(cosQ)+... (О < 9 <
по формуле:
Я/2
3-Ч
г Я/2
И'
0 Я/2
Ответ: Искомая температура выражается разложением
9)sin9d9 .
2-4.6-...-Bй + 2)
4. Проводящий шар радиуса Ro соединен с землей и помещен в электро-
электростатическое поле, образованное точечным зарядом q0, находящимся в точке х
Рис. 46
на расстоянии h > Ro от центра шара (рис. 46). Определить потенциал в
точке "E>(R, 9, ф) от заряда, индуктированного на поверхности шара.
Указание. Представив искомый потенциал в виде суммы:
где
k=0
— 357 —

(cos
следует определить коэффициент ak из условия заземления: Vд+^^ = 0 на
поверхности шара.
Ответ: Искомый потенциал представляется выражениями:
~\ Pk (cos 9) = О (R < Ro),
Ц-) Pk(cosQ) (R
k = o
Глава XXIII'
ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ НА ПОВЕРХНОСТИ ЖИДКОСТИ
§ 1. Постановка проблемы
Рассмотрим волны на поверхности несжимаемой невязкой жид-
жидкости, заключенной в бассейне с твердыми стенками.
Верхнюю, не соприкасающуюся со стенками поверхность жид-
жидкости называют свободной. Ее состояние, при котором волны отсут-
отсутствуют, называют невозмущенным. В этом состоянии свободную
поверхность будем считать плоской.
С невозмущенной свободной поверхностью свяжем прямоуголь-
прямоугольную декартову систему координат, для которых в этой главе сохра-
сохраним традиционные обозначения х, у, г. Ось z направим вертикально
вверх.
Состояние свободной поверхности, отклоняющееся от невозму-
невозмущенного, называют волнением.
Будем считать, что движение жидкости первоначально было
вызвано консервативной системой сил и рассматривать волнение
в моменты времени, когда действие всех этих сил, за исключением
силы тяжести, прекратилось. В этом случае волны на поверх-
поверхности жидкости называют гравитационными. При действии на жид-
жидкость только консервативных сил, как известно из гидродинамики,
ее движение оказывается безвихревым и поэтому существует потен-
потенциал скоростей Ф, т. е. компонента vt скорости жидкости по
направлению / может быть представлена в виде
358 —

где ф = ф(х, у, г\ /) —некоторая функция координат и времени,
удовлетворяющая (по пространственным координатам х, yt z) урав-
уравнению Лапласа:
ДФ = 0. B)
Наконец, волнение жидкости будем считать малым, понимая под
„ дФ дФ дФ дФ
этим, что все производные потенциала скоростей: -~г-, -^— , -г—, — ,
а также смещение свободной поверхности при волнении достаточно
малы, чтобы их квадратами и произведениями можно было прене-
пренебрегать, не внося существенной погрешности в решение. При пере-
перечисленных условиях задачу о волнении на свободной поверхности
жидкости мы приведем к граничной задаче для уравнения Лапласа B).
Установим, прежде всего, граничные условия, которым должен
удовлетворять потенциал скоростей Ф.
На неподвижной границе жидкости (стенки и дно бассейна),
в силу A), должно выполняться условие
?-«. сад
так как жидкость не может пересекать твердые стенки. На свобод-
свободной поверхности должно удовлетворяться условие
Р = А>, D)
где р — гидродинамическое давление в жидкости, а р0 — атмосфер-
атмосферное давление.
Чтобы преобразовать последнее условие к более удобному виду,
воспользуемся уравнениями Эйлера A0а) гл. VIII, описывающими
движение идеальной жидкости. Возьмем то из этих уравнений,
в которое входят производные компоненты скорости vz. Запишем
здесь это уравнение в виде
dvz , dv2 . dvz , dv2 ~ 1 dp ,r\
где Z — внешняя сила, действующая на единицу массы жидкости
вдоль оси г, а р — плотность жидкости. При действии на жидкость
только силы тяжести
z=-g,
где g—ускорение силы тяжести. Далее, в силу A), имеем
dv
z
дх ~~ dz ' ду ~ дг ' dt ~~ dzdt '
так что при наличии потенциала скоростей уравнение Эйлера E)
можно записать в форме:
dzdt ' Ux dz "*~ У dz^ z дг "" s p dz
— 359 —

допускающей непосредственное интегрирование по z. Произведя
это последнее, получим
где С — произвольная функция времени. Так как добавление к
потенциалу любой функции времени не вызывает нарушения со-
соотношения A), то функцию С — С (t) можно выбрать произвольно.
Положим
Квадратами скоростей, по сказанному выше, мы можем пренеб-
пренебречь. Тогда, обозначив через ? координату z свободной поверх-
поверхности, получим
Пренебрегая членами высшего порядка малости это выражение
можем записать в виде
С- 1 (—)
С той же степенью приближения, принимая во внимание, что
нормаль к свободной поверхности составляет с осью г малый угол,
нормальную компоненту скорости жидкости на свободной поверх-
поверхности можно положить равной
dzjz=o' v;
Дифференцируя G) по времени t и подставляя —2 из (8), получим
^Ф + |Г?Ф\ о=О. (9)
Соотношение (9) и представляет граничное условие на свободной
поверхности, записанное в удобной для дальнейшего форме. Соот-
Соотношение же G) позволяет определить форму свободной поверх-
поверхности, если решение для Ф известно.
Найдем сначала решение нашей задачи, представляющее в
каждой точке занятого жидкостью пространства чисто периоди-
периодическое колебание с одной и той же круговой частотой со, но,
вообще говоря, с меняющейся от точки к точке амплитудой и
фазой. Для этого положим:
Ф = Кеие'^9 A0)
где и — комплексная функция координат. Так как
Re ие~ш = и' cos cof -f и" sin со/,
— 360 —

где
то соотношение A0) действительно описывает гармоническое ко-
колебание с фазой и амплитудой, зависящими от координат.
Чтобы найти уравнение и граничные условия, которым должна
удовлетворять функция и, подставим в соотношения B), C) и (9)
вместо Ф произведение ие~ш. Это даст в точках внутри жид-
жидкости
Да = 0, (И)
на стенках бассейна
на свободной поверхности
да
? = °> О2)
.яи|2=0 = 0._ A3)
2=0 '"
Таким образом, приходим к внутренней смешанной задаче для
уравнения Лапласа. Эта задача однородная. Поэтому, если и — ре-
решение, то и Аи, где А—величина, не зависящая от координат,
тоже решение.
Заметим, после того как функция и, удовлетворяющая урав-
уравнению A1) и граничным условиям A2) — A3) найдена, путем супер-
суперпозиции решений вида А (ы) ие~ш могут быть построены различ-
различные решения более общего вида. Например, интеграл
A((o)ue"ltotd(o A4)
даст такое весьма общее решение. Величина А как функция со
может быть выбрана произвольным образом, лишь бы интеграл A4)
имел смысл.
§ 2. Двумерные волны в бассейне ограниченной глубины
Волны, не зависящие от одной из координат, называют дву-
двумерными. Направим ось х перпендикулярно гребням волн. Тогда
картина волнения не будет зависеть от координаты у и уравне-
уравнение A1) примет вид
д2и , д2у _ п Пг\
Рассмотрим картину двумерного волнения в бассейне посто-
постоянной глубины h. Размер бассейна вдоль оси х будем считать
неограниченным, а вдоль оси у либо имеющим определенное по-
постоянное значение (канал с вертикальными стенками), либо неогра-
— 361 —

ничейным. В соответствии с этим из граничных условий A2) —A3)
сохраним условие на свободной поверхности:
ди_ _tfu\ = 0
° дг 2=0 '2~
и условие на дне бассейна:
ди_
дг
z-h
= 0. A7)
Условие на стенках канала будет выполнено автоматически, так
как функция и не зависит от у.
Решение уравнения A5) будем искать по методу разделения
переменных. Полагая u = v(x)w(z), придем к двум уравнениям:
где k2 — произвольное число. Их общие интегралы:
v = B1eikx + B2e~lkx, A8)
ы) = Схек2 + С2е-к2:у A9)
где В19 Во, С19 С2—произвольные постоянные.
Числа Вх, В2, С1? С2, а также /г необходимо выбрать так,
чтобы удовлетворялись как граничные условия, так и требова-
требование малости волнения (§ 1).
Начнем с рассмотрения выражения A8), определяющего за-
зависимость волнения от координаты х. Если число /г комплексно
или отрицательно, то из выражения A8) следует, что в одном
из направлений оси х волнение не только не может быть малым,
но неограниченно возрастает. Поэтому число kl следует выбрать
вещественным и положительным. Через k обозначим положитель-
положительный корень из /г2.
Заметим попутно, что при вещественном k из A8) непосред-
непосредственно вытекает соотношение
k = ~, B0)
где \—длина волны. Число k называют волновым числом.
Подставив произведение vw в граничное условие A7), получим
откуда следует, что с точностью до множителя
так что
u-h)9 B1)
— 362 —

Используя граничное условие A6), получим
gk sh kh = со2 ch kh
или
(*>2 = ghthkh, B2)
т. е. волновое число k и круговая частота колебаний функ-
функционально связаны. Заметив, что правая часть уравне-
уравнения B2) монотонно и неограниченно возрастает с ростом k, за-
заключим, что каждому значению со соответствует одно и только
одно значение k, удовлетворяющее этому уравнению, причем с
ростом со возрастает и k.
Вернемся теперь снова к выражению A8) для функции v(x).
Поскольку все условия задачи удовлетворены выбором постоян-
постоянных Сг и С2 и ограничениями, наложенными на значения k2, то
постоянные Вх и В2 ограничиваются только требованием ма-
малости амплитуд волнения, в остальном же они произвольны.
Это является естественным, так как мы не задавали никаких
количественных характеристик начального возмущения, вызвав-
вызвавшего волнение. Поэтому искомое решение неоднозначно и опре-
определит лишь класс возможных движений жидкости, удовлетворя-
удовлетворяющих поставленным условиям.
Умножая A8) на e~/W, получим
ve-M^Bf V k }+B2e K k \ B3)
откуда ясно, что первый член в правой части A8) соответствует
волне, бегущей с фазовой скоростью
»Ф=Х B4)
в направлении оси х, а второй член соответствует волне, бегу-
бегущей с той же фазовой скоростью в противоположном направле-
направлении. Подставляя со2 из B2), найдем, что
т. е. фазовая скорость волн зависит от их длины. Это означает,
что если наложением волн разной длины образована сложная
волна, то в общем случае с течением времени ее форма будет
изменяться, так как отдельные слагающие ее волны будут рас-
распространяться с разной скоростью (дисперсия волн). Наоборот,
как следует из B3), волны, образованные наложением волн од-
одной длины, сохраняют свою форму с течением времени. Заме-
Заметим, что эти последние волны всегда неограниченны в прост-
пространстве (периодичны).
Если
у у Л fl ^ Л
— 363 —

т. е. если длина волны намного больше глубины бассейна-, то
ihkhkh и, в силу B5), получим
B6)
Это означает, что очень длинные волны распространяются без
дисперсии.
Чтобы извлечь из нашего решения дальнейшие следствия,
выпишем выражение для потенциала скорости Ф применительно
к волне, бегущей в положительном направлении оси х. В силу A0),
имеем
O==ReAchk(h—г)е1к\х"т0. B7)
Суперпозиция решений B7) с разными значениями со и соответ-
соответствующими им значениями k, очевидно, также удовлетворяет
условиям задачи. Поэтому, считая Л и со функциями k и интег-
интегрируя решение B7) по k, придем к более общему решению
A(k)chk(h-z)e V k Jdk. B8)
Функция A (k) здесь ограничивается только требованием, чтобы
интеграл в правой части имел смысл. (С точки зрения физики
рассматриваемые значения числа k должны быть ограничены
сверху, так как при очень высоких частотах вязкостью и дру-
другими не учитываемыми уравнениями Эйлера характеристиками
нельзя пренебрегать, и наше решение теряет физический смысл.
Иначе говоря, следует считать, что, начиная с некоторых, до-
достаточно больших значений k, функция A (k) становится равной
нулю.)
Решение B8) представляет суперпозицию волн с бесконечно
малыми амплитудами A(k)dk. Если некоторой частоте или на-
набору частот соответствуют волны с конечной (хотя, согласно при-
принятому условию, малой) амплитудой, то к B8) следует добавить
конечную сумму по соответствующим значениям k:
B9)
(/г)
что и даст наиболее общую форму решения рассматриваемой нами
задачи. Интересующие нас выводы мы, однако, сумеем извлечь
уже из решения B8).
Дифференцируя выражение под знаком интеграла B8) по t
и полагая z = 0, в силу G), придем к следующему выражению
для координаты z = t, свободной поверхности:
2 = Re \—i j у A (k) chkhek(x~ "*" 'Jdk\.
L -co J
— 364 —

Вводя новую функцию от k\
В (*)=--fA(k),
перепишем это соотношение в виде
?=Re J B(k)chkhek\~jtJdk. C0)
— qo
Предположим, что в некоторый момент времени, который мы при-
примем за начало отсчета, форма поверхности жидкости описывалась
функцией
С|/=о = Со(*).
Найдем, как изменяется форма поверхности в дальнейшем. В
силу C0):
00
U*) = Re ]B{k)c\ikheikxdk.
— 00
Функцию В (k), как мы сейчас покажем, можно выбрать так,
чтобы интеграл в правой части этого соотношения был веществен-
вещественным, т. е. чтобы было
00
1й (х) = J В (k) ch kh eikx dk. C1)
Чтобы определить В (k) указанным образом, воспользуемся ин-
интегральной формулой Фурье *
00 00
?*'**<** J/G)e-'«dg C2)
справедливой, если в интервале, содержащем внутри точку х,
функция f(x) имеет ограниченное изменение и непрерывна,
а в интервале (—оо, оо) абсолютно интегрируема. Будем считать
эти условия для функции ?0 (х) выполненными п; и всех х и поло-
положим в C2): f(x) = tH(x). Тогда из сравнения соотношений C1) и
C2) вытекает, что соотношение C1) будет выполнено, если поло-
положить
где
on
?(*)= S Со (*)*"'**<**• C4)'
См. В. И. Смирнов [1], т. II, п. 160.
— 365 —

Подставляя это значение В (k) в C0), получим
e V"* )
dk. C5)
Эта формула позволяет определить изменение формы поверхности
жидкости с течением времени.
Рассмотрим частный случай, когда первоначальное возмуще-
возмущение образовано весьма длинными волнами (к^>Н). Тогда, со-
согласно B6),
и соотношение C5) примет вид
Замечая, что выражение (x—tVgh) не зависит от k и играет
здесь ту же роль, что и х в соотношении C2), получим
т. е. первоначальное возмущение распространяется без искаже-
искажения, как уже и упоминалось.
К другому важному частному случаю придем, предположив, что
где ty(x) — вещественная функция, которую мы будем считать
обладающей следующими свойствами:
а) она мало меняется на протяжении длины волны
л 2л
0 = ^Г;
б) она отлична от нуля лишь в конечном интервале измене-
изменения х. Такого рода возмущение называют группой или цугом
волн длины Ко.
Как следует из теории интеграла Фурье, в силу свойства а),
функция ?>0(k), определяемая формулой C4), близка к нулю при
всех k за исключением значений k, близких к значению k0. Бла-
Благодаря последнему обстоятельству в разложении
можно сохранить лишь два первых члена, не внося существенной
погрешности в вычисление интеграла C5). Обозначив
ъ-k -k' —
k=k0
— 366 —

получим
k')t __ gi (koX-(aot) gik'(x-vr t)
в силу чего интеграл C5) приближенно может быть записан в виде
00
1{х t)Reei<l"*«>
где
Принимая во внимание интегральную формулу Фурье C2), легко
найдем, что
±
— со
откуда вытекает, что
— vrt)ei^x'^t)m C7)
Таким образом, в первом приближении рассматриваемая груп-
группа волн как целое распространяется со скоростью
__ дсо
г ~~ dk k = k0'
Эту скорость называют групповой скоростью. Отдельные же волны
группы (гребни и впадины) бегут со скоростью -—, представляю-
0 гч
щей фазовую скорость волн соответствующей длины волны. Эти
волны не отстают от группы и не опережают ее, так как их
высота у границ группы, характеризуемая множителем ty(x — v2t),
обращается в нуль. Так дело обстоит, конечно, только в том
приближении, в котором мы рассматриваем здесь группу. Учет
членов высшего порядка показал бы, что с течением времени
группа, вообще говоря, меняет форму и неограниченно увеличи-
увеличивается по размерам из-за дисперсии волн.
Подчеркнем, что понятие групповой скорости в общем случае
произвольного возмущения ввести нельзя. Оно применимо только
в отношении групп волн, спектр которых, характеризуемый функ-
функцией ?0 (k), простирается лишь на достаточно узкий интервал
значений волнового числа k.
ЗАДАЧИ
1. Показать, что при прохождении двумерной волны частицы жидкости
в бассейне движутся по эллиптическим орбитам, большая ось а которых направ-
— 367 —

лена вдоль направления распространения волн, а малая Ь—вертикально, причем
Л1 — г), 6 = ^- A sh k (h—г).
Указание. Воспользоваться выражением для потенциала скорости B7).
Замечая, что дифференцирование потенциала по координатам частицы жидкости,
которые она имеет при отсутствии возмущения, вместо дифференцирования по
ее текущим координатам при прохождении волны приводит к ошибке 2-го по-
порядка малости в определении скорости частицы, найти компоненты скорости
частицы, расположенной на глубине г:
дФ ik(x-%t\
vx=—^= ReikAchk(h—z)e \ k J,
^= RekAhk(h — z)e V k J.
Интегрированием этих выражений определить отклонения частицы х', г' от
положения равновесия в функции времени. Постоянную интегрирования следует
выбрать из условия периодичности движения. Наконец, показать, что величины
х', г' удовлетворяют уравнению
2. Рассмотреть случай бассейна неограниченной глубины.
§ 3. Кольцевые волны
Возмущение в какой-либо точке поверхности жидкости вызы-
вызывает появление кольцевых волн с центром в точке возмущения.
Для изучения этих волн введем цилиндрические координаты
г, ф, z с началом в месте возмущения и осью г, направленной
вертикально вниз. Уравнение Лапласа B) для потендиала ско-
скоростей Ф(г, ф, г; t), в силу формулы C) гл. XIX, примет при
этом вид
г дг \ дг J ' г2 дер2 ' dz2 v '
Рассмотрим сначала колебания чисто периодические по вре-
времени, в связи с чем, согласно § 1, примем
ф(г, ф, z; t)=Reu(r, ф, г)е~ш, C9)
где со — круговая частота колебаний, а и — комплексная функция
координат, как и Ф удовлетворяющая уравнению вида C8).
Считая, что интересующие нас волны имеют кольцевую симмет-
симметрию, придем к уравнению
(S)S-°- щ
— 368 —

Полагая далее бассейн неограниченным, сохраним граничные
условия только для свободной поверхности A3):
при z = 0 g^ — <o2u = 0 D1)
и для дна бассейна A2):
при z = h ~=0. D2)
Как и в предыдущем параграфе, решение уравнения D0) будем
искать по методу разделения переменных. Положив и (г, г) =
= v(r)w(z), после очевидных выкладок придем к уравнениям:
& + т? + »° = °' D3)
g-*b = 0, D4)
где /г2 —произвольное число.
Оба граничных условия D1) — D2) относятся к уравнению D4).
Как само уравнение D4), так и эти граничные условия те же,
что и в § 2. Поэтому на основании формулы B1) сразу можем
записать, что с точностью до множителя,
w(z) = chk(h — z), D5)
причем, в силу B2), k — вещественное число, связанное с круго-
круговой частотой колебаний со уравнением
со2 = g-fe th fe/i. D6)
Что же до уравнения D3), то это уравнение Бесселя нуле-
нулевого порядка (гл. XIII). Его решением, ограниченным и непре-
непрерывным при всех г, включая г = 0, является функция Бесселя
нулевого порядка J0{kr). Таким образом, принимая во внимание
соотношения C9) и D5), придем к заключению, что все непре-
непрерывные решения уравнения D0) при граничных условиях D1) —
D2) имеют вид
и (г, z) = AJ0(kr)chk(h — z),
где Л —величина, не зависящая ни от г, ни от z. Отсюда, на
основании равенства C9),
ф(г, z; t) = ReAJ0{kr)chk(h — г)в'ш. D7)
В силу формулы G), высота свободной поверхности над ее не-
невозмущенным уровнем определится соотношением
?(r, t)= — Re~AJ0{kr)chkhe-M. D8)
Воспользовавшись графиком функции J0{kr) легко видеть, что
расстояние между двумя соседними вершинами рассматриваемых
— 369 —

периодических кольцевых волн (аналог длины волны в двумерном
случае) увеличивается по мере удаления от точки г = 0, а высота
волн убывает.
Рассмотрим теперь случай произвольного осесимметричного
начального возмущения.
Предположим, что при t = О
Е = Е(^. 0) = ?0(г), D9)
где ?0 (г) — заданная непрерывная функция г, и поставим зада-
задачей найти движение жидкости при t > 0. Воспользуемся с этой
целью интегралом Фурье — Бесселя*:
/ (х) = S kJ0 (kx) dk S I/ A) /0 (k\) dl @<x< oo),
0 0
заменив в нем функцию f(x) функцией u@- Введя функцию
GO
So (*)=S &,(?)/.(*?)#, E0)
о
можем записать
се
So(O = Ss.(fe)^e(*/-)*^- E1)
О
Это соотношение дает представление начального возмущения ?0 (г)
в форме суперпозиции кольцевых волн разных частот. Отсюда
ясно, что функция
со
Ф(г, г; t) = Reig$Uk)J0(kr)chkJh-z) e'^ kdk E2)
дает решение нашей задачи. Действительно, эта функция пред-
представляет суперпозицию функций D7), удовлетворяющих уравне-
уравнению задачи и граничным условиям. Следовательно, она также
обладает этими свойствами. В силу же G) из нее вытекает, что
со
S (г, 0 = Re J Со (k) Jo (kr) е-'»' k dk, E3)
О
откуда при ^ = 0 получаем соотношение E1). Таким образом,
функция Ф(г, z; 0 представляет потенциал скорости жидкости
при заданных граничных и начальном условиях и поэтому опре-
определяет искомое движение жидкости. Формула E3) определяет
форму поверхности жидкости при t > 0.
* Вывод этой формулы см. в § 10 гл. XXXII.
— 370 —

ЗАДАЧИ
1. Показать, что в случае бассейна неограниченной глубины формула E2)
принимает вид
Ф(г, г\ O =
2. Пусть
2зХ& ПРИ 0<Г<
0 при г > г0.
Показать, что если г0 —+¦ О, а Ъ —> оо так, что при этом все время
то _
Со (^) ~> 1
(«единичное возмущение» в начале координат).
3. Показать, что в бассейне неограниченной глубины при наличии «единич-
«единичного возмущения» в начальный момент времени в начале координат в последую-
последующие моменты времени потенциал Ф может быть представлен в форме ряда
-Pilose) gP 2! Р2 (cos 6) (gt*)* 3! Р3 (cos 6)
где гг= V^^ + z2, 6 —угол между осью г и лучом, направленным из начала
координат в точку (г, г), Р^ (cos 0) (/г=1, 2, 3, ...) — полиномы Лежандра.
е-Ш
Указание. Отношение разложить в ряд по степеням со, ввести
вместо со величину k согласно D6) и воспользоваться формулой:
4. Показать, что при условии предыдущей задачи высота поверхности жид-
жидкости может быть представлена в форме ряда
г (г ft—!_П!?Я Р-Зу^у
2nr*l2\ r ~ 6\ VW Ю! [г)
5. Показать, что при условиях, указанных в задаче 3, каждая фаза дви-
движения распространяется от начала координат по радиусам с постоянным уско-
ускорением.
Указание. Исходить из решения задачи 4, согласно которому
§ 4. Метод станционарной фазы
Стоке A850г.) и Кельвин A887 г.) указали метод приближенного
вычисления интегралов типа полученных выше, который получил
название метода стационарной фазы и нашел многочисленные при-
применения и обобщения. Мы изложим этот метод без строгого обо-
обоснования.
— 371 —

Рассмотрим интеграл
E4)
где г|?(?) и /(s) — такие вещественные функции, что на большей
части интервала интегрирования, за исключением некоторых окрест-
окрестностей точек, в которых f'(Q = O, при изменении функции /(?)
на 2я, функция г|? (?) меняется лишь на малую долю своего перво-
первоначального значения. Интервал интегрирования предполагается до-
достаточно большим, чтобы содержать большое число колебаний функ-
функции е'П?).
При интегрировании по участкам, на которых функция /(?)
быстро изменяется, вещественная и мнимая части подынтегрального
выражения часто меняют знак, вследствие чего значение интеграла
почти не меняется. Лищъ в окрестностях точек, где /'(?) = 0, инте-
интеграл может получить значительные приращения.
Метод стационарной фазы состоит в том, что, руководствуясь
изложенными соображениями, интегрирование проводят только
в окрестности тех точек, в которых производная от f(Q равна нулю,
пренебрегая всеми другими участками интервала интегрирования.
Пусть alf a2, ... —корни уравнения
/'(?) = о,
причем при I = ах, а2, ... вторая производная f" Ц)фО. Обозначим
через lk малые отклонения аргумента ? от ak, т. е. положим
6* = ?-«*•
В первом приближении в малой окрестности точки ? = аЛ имеем
ш=/(«*)+у ап«Л). E5)
Подставляя это выражение в E4) и принимая во внимание все
сказанное выше, можем написать
(Ь) (а*)
где суммирование производится по всем значениям k, а интегри-
интегрирование ведется в малой окрестности точек | = аЛ. Вследствие
колебания подынтегральной функции без существенной погреш-
погрешности можно положить
f"{a)ll
(а/с)
где sk равно (+0 или (—1) в зависимости от того, больше или
меньше нуля вторая производная /"(?) при \ — ah. Окончательно,
— 372 —

в первом приближении получим
\т 1Т^ал)+-Т-я1 /сеч
) L J E6)
Приближение E6) дает хорошие результаты, вообще говоря,
только в том случае, если в окрестности ? = ак члены ряда
убывают достаточно быстро.
Применим метод стационарной фазы к задаче о кольцевых
волнах, которую мы рассматривали в предыдущем параграфе.
Предположим для простоты, что глубина бассейна неограни-
неограниченна и в начальный момент времени в начале координат дейст-
действует „единичное возмущение11 (см. задачу 2 к предыдущему пара-
параграфу). Единичное возмущение отображает тот случай, когда
первоначально поверхность жидкости возмущена только в бли-
ближайшей окрестности начала координат, причем это возмущение
представляет впадину единичного объема, симметричную относи-
относительно начала. Легко видеть, что при единичном возмущении
to(k) = l (см., например, упомянутую задачу), в силу чего фор-
формула E3) примет вид
ос
\^kdk. E7)
Будем искать приближенное значение ? (г, t) при достаточно
больших г и t.
При малых k подынтегральное выражение близко к нулю, сле-
следовательно, участки промежутка интегрирования, определяющие
значения интеграла, нужно искать не при малых k. Поэтому
значения (kr), соответствующие этим участкам, можно считать
большими и, принимая во внимание асимптотическое представ-
представление B9) гл. XIII, положить
Далее, согласно D6) при h = oo
Подставляя приведенные выражения в E7), получим
1 /Т~гГ ifkr-tVgk + 2.
— 373 —

Интеграл от второго слагаемого в правой части в соответствии
с идеями метода стационарной фазы следует положить равным
нулю. Действительно, выражение (kr + tj^gk) при г > О, t > О,
&>0 не имеет ни максимумов, ни минимумов. Следовательно,
его производная по k не обращается в нуль в области интегри-
интегрирования и сумма E6) равна нулю.
Уравнение
имеет единственный корень
*iHS. E8)
Далее найдем, что
и согласно E6) получим
Подстановка сюда kx из E8) после простых выкладок приводит
к окончательному соотношению, справедливому при достаточно
больших rut:
?(Г> л~ gt'2 cos #. E9)
=> \ > / лЯ/9 ..Я 4г V '
Проанализируем полученную формулу.
Фиксируя t, видим, что с ростом г профиль поверхности
жидкости образуется все более и более длинными волнами без-
безгранично убывающей высоты, заканчиваясь бесконечно длинным
„горбом", высота которого обращается в нуль только в бесконеч-
бесконечности. Наоборот, фиксируя г, видим, что колебания в каждой данной
точке вначале происходят медленно и имеют малую амплитуду, с те-
течением же времени они неограниченно убыстряются и возрастают
по амплитуде.
Ограничимся, опуская подробное исследование, краткими за-
замечаниями, относящимися к этим результатам. Прежде всего
отметим, что скорость распространения возмущения оказывается
бесконечно большой. Действительно, невозмущенная область при
любом конечном />0 отсутствует. Легко показать, что это
обстоятельство является прямым следствием предположения о
несжимаемости жидкости. Практически любая жидкость сжи-
сжимаема, чем обусловливается отсутствие бесконечно быстро рас-
распространяющихся компонент волнения.
Далее мы пришли к выводу о неограниченном возрастании
амплитуды колебаний с течением времени. Легко показать, что
— 374 —

он обусловлен предположением о бесконечно малой величине
площади начальной впадины, тогда как объем ее принят конеч-
конечным. Вследствие этого амплитуда начального возмущения оказы-
оказывается бесконечно большой. Распространение этой „бесконечной
амплитуды" и приводит к неограниченному нарастанию амплитуд
высокочастотных компонент. Как показывает подробное исследо-
исследование, при конечной площади области начальной впадины, волны,
длина которых существенно меньше ее поперечника, исходя из
разных точек впадины, взаимно погашаются вследствие интерфе-
интерференции. Поэтому практически высокочастотная компонента, содер-
содержащая волны существенно меньшей длины, чем поперечник
области начального возмущения, как бы „обрезается" и никакого
неограниченного возрастания амплитуды не получается.
С учетом сделанных замечаний (обрезание мгновенно распро-
распространяющейся компоненты и коротких волн) формула E9) дает
правильную картину распространения волнения. Сначала, рас-
расходясь из первоначально локализованного „волнового пакета",
в произвольную точку наблюдения приходят длинные волны,
имеющие большую скорость распространения. Затем точки наблю-
наблюдения достигают более короткие волны, которые оказываются
имеющими большую амплитуду. По мере удаления от центра
возмущения горбы и впадины растягиваются (что отражает про-
происходящую дисперсию волн). Если следить за распространением
отдельного горба, то он как бы оказывается принадлежащим
волне все большей длины, в соответствии с чем горбы (вообще
точки одинаковой фазы движения) распространяются с ускорением.
Величина их быстро падает. Все это и дает картину, которую
можно наблюдать, бросив в воду камень.
Глава XXIV
УРАВНЕНИЕ ГЕЛЬМГОЛЬЦА
§ 1. Связь уравнения Гельмгольца с некоторыми
уравнениями гиперболического и параболического типов
Рассмотрим уравнение
А d2w , о dw
w, A)
где а0, а19 а2 — постоянные. При ао>О, aL>0, a2 > О оно пред-
представляет телеграфное уравнение. С его одномерным аналогом мы
уже имели дело в ч. I. При a1 = a2 — 0i а0 > 0 оно переходит
в волновое уравнение (ч. I), при ао = а2 = О, а1>0 — в уравнение
теплопроводности и диффузии, при ао = О, ах > О, а2Ф0 — в урав-
— 375 —

пение диффузии для среды, в которой происходят химические или
цепные реакции.
Руководствуясь методом разделения переменных, будем искать
решения уравнения A), имеющие вид
w(x, t) = u(x)v(t), B)
где и (х) — функция только пространственных координат, a v(t) —
функция только времени. Подставив выражение B) в уравнение A),
получим
J_A __ J_ („ &v , n_ dv
v
Так как левая часть этого уравнения не зависит от /, а пра-
правая— от координат точки х, то должно быть
= 0, C)
a2-k2)v = Ot D)
где k2 — некоторое число.
Уравнение эллиптического типа C) называют уравнением Гельм-
гольца. Оно играет важную роль в математической физике ввиду
своей простоты и большого значения приводящих к нему проблем
(волновые процессы, теплопроводность, диффузия и др.).
Из формулы B) следует, что уравнение Гельмгольца непосред-
непосредственно определяет меняющуюся от точки к точке интенсивность
процессов, происходящих во всех точках изучаемой области по
одному и тому же временному закону. В частном случае, когда
функция v постоянна, оно определяет статическое состояние.
Суперпозицией решений вида B) можно охватить практически
любые пространственно-временные зависимости.
Возможность построить любую временную зависимость (удов-
(удовлетворяющую лишь некоторым общим требованиям) путем супер-
суперпозиции решений вида B) сохранится, если вместо произвольных
функций v(t) рассматривать только функции, образующие в со-
совокупности полную систему. Поэтому, без ограничения общности,
вместо подстановки B) можно рассматривать подстановку, соот-
соответствующую гармоническим колебаниям с меняющейся от точки
к точке амплитудой и фазой. В этом случае, в силу теоремы
Фурье, произвольная пространственно-временная зависимость
может быть получена путем наложения колебаний разных частот.
Гармонические колебания удобно описывать с помощью ком-
комплексных функций вида
u{x)e'mi E)
или
и(х)е{ш\ F)
где со — круговая частота колебаний, а и(х) — комплексная функ-
функция координат точки х. Вещественная часть выражений E) и F)
— 376 —

определяет в каждой точке х одно и то же гармоническое коле-
колебание
Re [и (х) е^ш] = | и (х) | cos (со^ + *) G)
с амплитудой \и(х)\ и фазой Ф, являющейся корнем уравнений
Символы Re и Im означают, что берется соответственно вещест-
вещественная или мнимая часть стоящей за ними функции. Знак минус
или плюс перед Im и в выражении для sin Ф выбирается в зави-
зависимости от того, используется ли выражение E) или F). Подста-
Подставив выражение E) в выражение A), после сокращения на мно-
множитель e~llsji придем к уравнению Гельмгольца C) с параметром
&2, имеющим, в общем случае, комплексное значение:
i. (8)
При подстановке выражения F) мы придем к уравнению
Гельмгольца, комплексно сопряженному уравнению, полученному
при подстановке E). Его решения и* (х) и решения, полученные
в первом случае, будут комплексно сопряжены. Однако вещест-
вещественная функция Rea* (x)ei(sitf являющаяся решением исходного
уравнения A), в обоих случаях будет одной и той же, поскольку
вещественные части комплексно-сопряженных чисел равны.Поэтому
обе подстановки E) и F) эквивалентны, вследствие чего можно
пользоваться только одной из них. Мы будем применять под-
подстановку E).
Наряду с однородным уравнением A), мы будем также рас-
рассматривать неоднородное уравнение Гельмгольца:
Au + k2u= — 4яр. (9)
Функции р, как мы увидим в § 4 гл. XXVII, можно приписать
смысл плотности распределения источников волн.
Теория уравнения Гельмгольца во многом напоминает теорию
уравнений Лапласа и Пуассона. В частности, для уравнения
Гельмгольца также характерна постановка граничных задач:
Дирихле, Неймана и смешанной. Эти задачи могут быть внешними
или внутренними. Формулировка внутренних задач совпадает
с данной в § 2 гл. XIX, в формулировку внешних задач оказы-
оказывается необходимым ввести дополнительное условие, относящееся
к поведению решения в бесконечно удаленной точке. Это условие
мы рассмотрим ниже.
Как и при изучении уравнений Лапласа и Пуассона, нас
будут интересовать регулярные решения граничных задач. Ис-
Используя интегральные формулы мы, не делая особых оговорок,
будем также предполагать непрерывность первых производных
решений в изучаемой области вплоть до ее границы.
— 377 —

Кроме граничных задач, для уравнения Гельмгольца возни-
возникает и совершенно новый тип задач на определение собственных
колебаний. С этим типом задач мы встретимся уже в следующем
параграфе.
§ 2. Сферически симметричные решения уравнения
Гельмгольца в ограниченной области
С характерными особенностями решений граничных задач для
уравнения Гельмгольца познакомимся сначала на примере ве-
вещественных сферически симметричных решений в ограниченной
области.
Используя выражение D) гл. XIX для оператора Лапласа
в сферических координатах г, Э, ф, начало которых поместим
в центр симметрии искомых решений, легко найдем, что эти
последние удовлетворяют уравнению
г dr
A0)
Умножив это уравнение на г, после очевидных преобразова-
преобразований получим
lpr + k2ru = 0. (И)
Отсюда ясно, что все сферически симметричные решения урав-
уравнения Гельмгольца заключены в общем решении:
pikr p-ikr
u(r) = Ale— + A2^7-, A2)
где Аг и А2 — произвольные постоянные.
Рассмотрим граничную задачу, поставленную для шара г^г0:
d2ru , * 2 а ^
-— + k*ru = 0, когда г < /у,
a^r + pw-C, когда г = г0,
где г0 > 0, аи р — вещественные постоянные, а С —не равная
нулю постоянная*.
Для решения задачи надо определить постоянные Аг и А2
в общем решении A2) так, чтобы оно было регулярно при г^г0
и удовлетворяло заданному граничному условию.
Чтобы удовлетворить первому требованию, необходимо поло-
положить А2= —Ах. Это условие вместе с тем и достаточно. В самом
деле, прямым дифференцированием и применением правила Лопи-
таля легко убедиться, что при этом решение A2) регулярно во
* Изменение соотношения между вещественной и мнимой частями С изме-
изменяет фазу колебаний в начальный момент времени.
— 378 —

всем пространстве. Таким образом, решения задачи A3) имеют
вид:
u(r) = A1y(elkr—<Гг*0, (Н)
где комплексная постоянная Ах должна быть определена из гра-
граничного условия.
В этом параграфе рассмотрим решения задачи A3) при ве-
вещественных значениях k2 > 0. Тогда решение A4) может быть
записано в виде
и(г) = А^, A=2iA±. A5)
Подставив это выражение в граничное условие задачи A3), най-
найдем, что постоянная А должна удовлетворять соотношению
A [{$r0 — a)smkr0 — akr0coskr0] =Cr20. A6)
Это возможно, если значения к не являются корнями уравнения:
Однако существует множество положительных значений kx <
< k2 < ... <&.<... параметра k, при которых соотношение A7)
удовлетворяется и, следовательно, при СфЬ чисел Л, удовлет-
удовлетворяющих соотношению A6), не существует. Значения kl9 k2, ...
суть те значения k, для которых
d o \ sin kr n ,« оч
+PJ7-^0, когда r = r0. A8)
Наряду с задачей A3) рассмотрим соответствующую ей одно-
однородную задачу:
d2ru , 1 о r\ ^
+ k2u = 0, когда r<ro,
adr~^fiU== ' КОГДа г==го-
При значениях k, удовлетворяющих условию A8), она имеет
* sin kr л sin k2r
отличные от тождественного нуля решения вида Ах —у— , Л2 —~ ,
..., где AL, Л2, ...—произвольные комплексные числа. "При
всех же других значениях k из формулы A6) следует, что А=0,
т. е. однородная задача A9) решений, отличных от тривиального
решения ц = 0, не имеет.
Таким образом, придем к следующей альтернативе: либо
однородная задача A9) при данном значении k2 не имеет решений,
отличных от тривиального решения и = 0, и тогда неоднородная
задача A3) имеет единственное решение, даваемое формулами
A5) — A7), либо однородная задача A9) имеет нетривиальное
решение и тогда неоднородная задача A3) неразрешима.
— 379 —

Функции
sin kmi i о о (9(Х\
являющиеся нетривиальными решениями задачи A9), называют
собственными функциями задачи A3), а числа /&, при которых
однородная задача A9) имеет нетривиальные решения,—собствен-
решения,—собственными числами задачи A3).
При изучении граничных задач для уравнений Лапласа и
Пуассона мы имели дело лишь с первой частью сформулированной
выше альтернативы: соответствующие однородные граничные
задачи не имели непрерывных решений, отличных от тривиального:
м=0, а решение неоднородной задачи было единственным. Это
означает, что граничные задачи для уравнений Лапласа и Пуассона
не имеют собственнных функций.
Разберемся подробнее в физическом смысле полученных резуль-
результатов. Из формулы (8) следует, что при k2 > 0 к уравнению A1)
можно прийти в результате разделения переменных в волновом
уравнении
где -J- — а0. При этом параметр k2 определится формулой
*2=^. B2)
Если в задаче для волнового уравнения B1) рассматривается
область, включающая точку г = 0, то общий вид регулярных
решений волнового уравнения B1), представляющих гармонические
колебания, получим, умножив A5) на е~ш и взяв вещественную
часть полученного выражения что даст
w(r, t) = As-^sm«>t( + $), B3)
где А и О —произвольные вещественные числа (ft = 0 или
кратно я, если А в A5) вещественно). Это выражение описывает
колебания, амплитуда которых остается неизменной в каждой
точке пространства. Такие колебания называют стоячими волнами.
В данном случае это сферические стоячие волны, так как ампли-
амплитуда колебаний неизменна на каждой сферической поверхности
г = const. Амплитуда А удовлетворяет уравнению A1).
Систему стоячих волн B3) нагляднее представить как коле-
колебания некоторой среды. Рассмотрим, например, звуковые коле-
колебания газа (§ 3, гл. I), заключенного в сферическую оболочку.
Относительное изменение плотности (конденсация) s газа при
звуковых колебаниях удовлетворяет волновому уравнению B9) гл. I,
следовательно, при чисто радиальных звуковых колебаниях, поло-
— 380 —

жив s = Reu (r) е~ш, для и (г) получим уравнение A1) с &2 = -^> О,
где а —скорость звука (§ 3, гл. I). Ввиду равенств A4) и A1)
из гл. VIII и предположения о малости колебаний, давление
газа p = po(l+s)y ttpo(l+ys), где р0 — невозмущенное давление
газа, а у — показатель адиабаты. Отсюда относительное измене-
изменение давления газа р~~Ро = ys. Следовательно, положив ^—^ =
_ Ро Ро
= Кер(г)е~ш, получим
«(г) = |р(г). B4)
Абсолютные значения величин икр суть амплитуды колебаний
плотности и давления газа относительно равновесных значений.
Предположим, что сферическая оболочка, в которую заключен
газ, эластична (мяч), причем изменениями ее натяжения можно
тем самым управлять, задавая давление газа на границе г = г0
соприкосновения газа с оболочкой. (Например, оболочка может
быть электрически заряжена и помещена в сферическое электри-
электрическое поле. Меняя заряд такого сферического конденсатора,
можно менять натяжение оболочки.) Пусть при г = г0 заданы
гармонические колебания давления, амплитуду которых обозначим
через —С, чему, ввиду B4), будет соответствовать граничное
условие
и = С, когда г = г0. B5)
Колебания в центре шара, очевидно, должны быть ограничены.
Поэтому искомое решение и должно иметь вид A5). При усло-
условии B5) с СфО это возможно, если sin Иг0Ф0, т. е. если k2 не
равно одному из чисел
kl=^n\ лг= 1,2,3, ... B6)
о
Тогда
u = _Cr,smkL B7)
sin kr0 г * v '
а относительное изменение плотности газа в шаре г ^ г0
s(r, t) = Reae-/w* = ^^^L^:s(C/cos©/ + C//sinaH.
Sin /v/"q T
где С и С" —вещественная и мнимая части числа С = С -\-iC".
Шаровые поверхности
г = гп = п-?-, /г=1, 2, 3, ...,
для которых sin &/• = (), образуют узловые поверхности конденса-
конденсации. На них плотность газа сохраняет равновесное значение р0,
— 381 —

т. е. s = 0. Если rt = —> г0, то узловых поверхностей s = 0 нет.
Так как волновое число k = —, это будет при частоте возбуждаю-
возбуждающих колебаний со < сол =— . Амплитуда колебаний в центре шара
I С I кг
равна | с ° > \С\ и, вообще говоря, растет, когда волновое
число k приближается к значению, при котором sinfero = O, т. е.
когда k2 приближается к одному из чисел k\ из B6).
Если число к2 равно одному из чисел k%, что будет при
частоте возбуждающих колебаний
со„ = п — ,
то рассматриваемая задача с условием B5) не имеет решений,
но имеет решение задача с однородным условием
м = 0, когда r = rQ, B8)
соответствующая случаю, когда С = 0, т. е. натяжение оболочки и,
значит, давление газа на границе поддерживаются постоянными.
Это решение имеет вид A5) с произвольным значением А. Числа
k\ из B6), по определению, являются собственными числами
задачи для уравнения A1) при условии B8), а функции A5) при
k = kn — собственными функциями этой задачи. Частоты со„ назы-
называют собственными частотами рассматриваемой физической
системы.
Физическая интерпретация полученных результатов чрезвы-
чрезвычайно проста. Когда частота колебаний является собственной, то
стоячих волн с отличной от нуля амплитудой на границе не
существует, потому что граница при этой частоте является узло-
узловой поверхностью (для давления и конденсации s). Наоборот,
если частота колебаний не собственная, то граница не может
быть узловой поверхностью системы стоячих волн, т. е. ампли-
амплитуда колебаний на границе должна быть отлична от нуля. Является
или не является граница г = г0 узловой поверхностью при данной
частоте со, зависит от значения скорости звука а в газе, т. е. от
его свойств.
Результат совершенно аналогичен, если на границе вместо
и задана комбинация а-.—\-$и. Существуют частоты, при которых
граница является узловой поверхностью для выражения а-т-+Р#.
Для этих частот система стоячих волн существует лишь при
однородном граничном условии а^ + Р^ = 0. дЛя остальных ча-
частот граница не может быть узловой поверхностью а™
— 382 —

и система стоячих волн существует лишь тогда, когда на границе
Аи
Таким образом, сформулированная ранее альтернатива для
решений однородной и неоднородной задачи имеет простой физи-
физический смысл.
Возникает вопрос, что произойдет, если на границе рассмотренной выше
физической системы искусственно поддерживать режим колебаний, при котором
а -т- + ри Ф О, а частота со равна собственной частоте соЛ, соответствующей одно-
однородному условию a-j—h Р« = 0. Пусть для определенности а = 0, р= 1, что соот-
соответствует условиям B5) и B8). Формально при со —> со„ амплитуда колебаний
(и, следовательно, энергия) системы стоячих волн неограниченно увеличивается.
Фактически, при возбуждении находившейся в равновесии системы на собственной
частоте амплитуда колебаний сначала быстро растет, вследствие чего большую
роль начинают играть явления, не учитываемые в исходном уравнении, в част-
частности, превращение энергии колебаний в тепло. Эти явления останавливают
дальнейший рост колебаний, а сам процесс колебаний, даже если он принимает
установившийся характер, уже не описывается уравнением A1).
Стоячие волны, соответствующие однородным граничным усло-
условиям, называют свободными колебаниями. Их амплитуда не опре-
определяется и не ограничена условиями задачи. Стоячие волны,
соответствующие неоднородным граничным условиям, могут быть
названы вынужденными колебаниями.
Альтернатива для решений однородной и неоднородной задач,
подобная указанной в этом параграфе, возникает и при поста-
постановке общих внутренних граничных задач для уравнения Гельм-
гольца. Однако в процессах, приводящих к граничной задаче
общего вида, амплитуда колебаний зависит от нескольких коорди-
координат и поэтому вынужденные колебания могут существовать наряду
со свободными. Например, в шаре, кроме радиальных, возможны
угловые колебания, которые могут не зависеть от граничных
условий по г. Поэтому общая граничная задача приводит к сле-
следующей альтернативе: либо однородная задача, соответствующая
данной неоднородной задаче, не имеет решений, отличных от
тривиального решения, тождественно равного нулю, и тогда неод-
неоднородная задача имеет единственное решение, либо однородная
задача имеет нетривиальные решения, и тогда неоднородная задача
может иметь множество решений, отличающихся друг от друга
на решение однородной задачи *.
Читателя не затруднит построить решения ряда частных гра-
граничных задач (например, для шара), подтверждающих справедли-
справедливость сформулированной общей альтернативы, а также убедиться,
что при наличии нетривиальных решений однородной задачи,
* Более точную формулировку см. в Дополнении к ч. II, § 6.
— 383 —

граничное условие неоднородной задачи не может быть совершенно
произвольным. К общей формулировке рассматриваемой альтер-
альтернативы мы еще вернемся в Дополнении § 6.
ЗАДАЧА
Показать, что на плоскости решения уравнения Гельмгольца, имеющие кру-
круговую симметрию, удовлетворяют уравнению Бесселя "нулевого порядка:
d2u . 1 du
dr2 ' г dr
§ 3. Собственные числа и собственные функции граничной
задачи общего вида. Разложения по собственным функциям
В § 2 мы изучили граничную задачу:
Au + k2u = f, когда x?V — §V, a^ + fiu^q, когда хб§V, B9)
в частном случае, когда область V представляла шар, а / = 0.
Мы видели, что соответствующая ей однородная задача
Au + k2u = 0, когда x?V — §V, а-^ + Ри = °> когда x?§V, C0)
имела нетривиальные решения при вещественных положительных
значениях параметра k2, образующих бесконечную возрастающую
последовательность чисел
к1, #2> • • • > %) • • • (у Ч
При этом каждому значению k2m соответствовало одно нетриви-
нетривиальное решение ит.
В теории интегральных уравнений доказывается, что перечис-
перечисленные результаты полностью переносятся на задачу, поставлен-
поставленную для произвольной ограниченной области V (а также на соот-
соответствующую задачу в произвольной плоской области S) с тем
лишь отличием, что одному и тому же числу k^ может соответ-
соответствовать не одно, а несколько линейно-независимых нетривиальных
решений задачи.
Числа kjn{k=\, 2, 3, ...) определяются заданием области V
(или S) и граничным условием задачи B9). Как и ранее, будем
называть их собственными числами задачи B9), а решения ит —
собственными функциями этой задачи, соответствующими (или
принадлежащими) собственным числам k2m.
Коэффициенты а и C в граничном условии задачи B9) могут
быть функциями точки границы. Мы будем предполагать, что
граница может быть разбита на конечное число кусочно-гладких
частей, на каждой из которых коэффициенты а и C сохраняют
постоянные значения, неотрицательны и не равны нулю одновре-
— 384 —

менно, причем коэффициент а либо тождественно равен нулю,
либо не обращается в нуль. В последнем случае на него можно
разделить граничное условие задачи B9). Вследствие этого без
ограничения общности можно считать, что коэффициент а равен
либо 0 либо 1. Соответственно этим значениям а можно считать,
что на каждой из указанных кусочно-гладких частей границы
коэффициент C равен либо 1, либо может быть отличен от 1.
Если одному собственному числу №т соответствует несколько
линейно-независимых собственных функций, например, две функ-
функции ит и ит+1, то эти функции всегда можно выбрать так, чтобы
они были нормированы и ортогональны в области V', т. е. чтобы
соблюдались соотношения
$$$ mm+1dV=l. C2)
В самом деле, пусть vm и vm+1 — собственные функции, которые
не обладают этим свойством. Положим
где a, а19 b — постоянные. Функции ит и ит+19 очевидно, также
являются собственными функциями, причем при ЬфЪ они
линейно-независимы, так как линейно-независимы функции
vm и vm+1. Определим теперь постоянные а, а19 Ь так, чтобы
удовлетворялось первое из соотношений C2). Для определения
искомых постоянных получим уравнение
где
в., о - 55 5 iu w9 (vm, vm+1) ^555 vmvm+1 dv.
V V
Отсюда заключим, что число а можно выбрать произвольно, а число
где х = — (vmivm + i) t Вследствие этого можем записать:
\Рт^ vm)
Постоянные а и Ь всегда теперь можно выбрать так, чтобы выпол-
выполнялись два последних соотношения C2), что завершает доказа-
доказательство.
Если имеется третья собственная функция vm+2, линейно-неза-
линейно-независимая сийи vm+l9 то этот процесс ортогонализации можно про-
продолжить, положив um+2 = ci2vm + b1vm+l-\-cvm+29 и выбрав постоян-
постоянные а„уЬх и сфО так, чтобы выполнялись условия ортогональности
и нормировки, и т. д.
Число линейно-независимых собственных функций, соответ-
соответствующих собственному числу ?*,, будем называть кратностью
13 № 645 — 385 —

этого последнего и при нумерации собственных чисел считать
каждое из них столько раз, какова его кратность. Например, при
кратности числа №т равной двум, в ряде собственных чисел
*i, k22f k23t ... будем писать не k2m> a k%l = k*l+1> k^+2 и т. д. При
этом у нас сохранится соответствие нумерации собственных функ-
функций и собственных чисел.
Покажем теперь, что собственные функции, соответствующие
различным собственным числам, взаимно ортогональны. Восполь-
Воспользуемся с этой целью формулой Грина G) гл. XVIII. Предположив,
что а=1, и заметив, что имеет место тождество
du , n \ fdv . о \ du dv
+ Pw )и + &V vU
-и\ъ: + №)=Ош-иш,
преобразуем формулу Грина к виду:
Положив в ней v = um, и — иь и подставив значения величин из
задачи B9), получим
Так как, по предположению, k]^k2m, то
^d^O AФ0), C3)
что и утверждалось. Если сс = О, то доказательство аналогично,
причем формулой Грина следует воспользоваться в непреобра-
зованной форме.
Так как все собственные функции определены с точностью до
постоянного множителя, то их всегда можно нормировать, раз-
разделив на [[ [u^dV. Следовательно, осуществив ортогонализацию
j j %j
v
линейно-независимых собственных функций, соответствующих
кратным собственным числам, можем записать общее соотношение:
, когда 1фт,
которое в этой главе всюду будем считать выполненным.
Система собственных функций является полной. Весьма общие
результаты о полноте системы собственных функций задачи B9)
принадлежат В. А. Ильину*. Приведем некоторые из них.
УМН, 13, в. 1 (89), 1958.
— 386 —

Пусть / — произвольная непрерывная функция, заданная в
области У, причем интегралы
§^dV (m = 1,2,3,...) C5)
имеют смысл при некотором значении числа к>3. Тогда:
1) если а^=0, то функция / может быть разложена в ряд
/=2/т"т C6)
Y=l
по собственным функциям и.( задачи B9), сходящийся равномерно
при суммировании в порядке возрастания собственных чисел во
всех точках x?V — gFV, при этом коэффициенты ряда могут быть
вычислены по формулам
/г = ШК^. C7)
V
2) если а^О, то те же результаты справедливы при дополни-
дополнительном условии
/=0, когда x??V. C8)
Если на функцию / наложить более сильные ограничения чем
выше, предположив, что она непрерывна в области V вместе со
своими первыми производными, а интегралы
V
имеют смысл, то ряд C6) сходится абсолютно и равномерно.
Аналогичная теорема разложения справедлива и для задач,
поставленных в плоских областях (при этом в формуле C5) сле-
следует положить Х>2).
Сформулированные теоремы разложения могут быть непосред-
непосредственно применены для решения неоднородной граничной задачи:
Au + k2u^ff когда x?V — WV, а^ + р^-0, когда x??V. C9)
Разложим функцию и в ряд
и=2ат"т D0)
Y=l
по собственным функциям ич задачи C9). Подставив этот ряд
в уравнение задачи C9) и выполнив формально почленное диф-
дифференцирование, получим
13* — 387 -

Сравнив ряд в правой части с разложением C6) функции /, най-
найдем, что условия задачи C9) будут выполнены, если положить
Последнее выражение показывает, что рассматриваемый метод
решения задачи {39) может быть применен, если параметр k2 не
равен ни одному из собственных чисел задачи C9). Если параметр
k2 сближать с каким-либо из собственных значений k2m, то, при
условии, что fm?=0, соответствующий коэффициент ат будет
неограниченно расти.
Физическое истолкование этого состоит в том, что при k2 = №т
в области V возникают собственные колебания, которые с течением
времени благодаря действию возмущения /, попадающего в резо-
резонанс с ними, неограниченно растут. Вследствие этого устано-
установившегося режима колебаний не наступает, на что и указывает не-
невозможность решения задачи C9). Практически, колебания при
резонансе всегда оказываются ограниченными либо из-за факти-
фактического наличия затухания (Im&2>0), либо из-за нелинейных
явлений, которые не принимались во внимание при математичес-
математической формулировке задачи.
При k2 = kll с помощью рассматриваемого метода нетрудно
найти нерезонансную часть колебаний. Например, предположим,
что функция / удовлетворяет условию
вследствие чего свободные колебания не возбуждаются. При этом
допущении можно положить ат = 0, а остальные коэффициенты
вычислить по формуле D1). К найденному таким путем решению
можно добавить любую из собственных функций задачи, соответ-
соответствующих собственному числу k^, причем снова получим реше-
решение. Таким образом, мы имеем здесь дело со второй частью
общей альтернативы, сформулированной в конце § 2.
Для решения общей граничной задачи B9) также можно ис-
использовать метод разложения по собственным функциям. Для
этого надо найти функцию и19 непрерывную вместе со своими
производными первых двух порядков и удовлетворяющую гранич-
граничному условию рассматриваемой задачи. Положив u = v + u1$ для
определения функции v придем к ?адаче
Av + k2v = f—Aul — k2uii когда
ос~ + |Зу = 0, когда x
аналогичной задаче C9).
— 388 —

Метод решения граничных задач с помощью разложений по
собственным функциям однородных задач не всегда ведет к цели,
ввиду трудности разыскания собственных функций. Однако, когда
возможно разделение переменных, собственные функции часто
могут быть выражены через хорошо известные функции. Примеры
этого мы приведем в следующем параграфе.
Мы не касались вопроса о допустимости почленного диф-
дифференцирования ряда D0). Отметим лишь, что ряд D0), коэффи-
коэффициенты которого вычислены по формулам D1), сходится к ре-
решению задачи C9) при весьма общих условиях, при этом не
обязательно, чтобы он был почленно дифференцируем.
ЗАДАЧА
1. Найти решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона:
ku = f, когда x?V — ffV; и = 0, когда
с помощью разложения по собственным функциям.
Указание. Разложение осуществить по собственным функциям однород-
однородной задачи для уравнения Гельмгольца:
= 0, когда x?V— %fV\ u = 0, когда
§ 4. Разделение переменных в уравнении Гельмгольца
в цилиндрических и сферических координатах
С помощью формул C) и D) гл. XIX найдем, что уравнение
Гельмгоаьца имеет вид:
в цилиндрических координатах г, ср, z
Id/ д\ . 1 dhi . d4i . ,2 п
г дг \ дг J ' г1 дер2 ' dz2 ч '
в сферических координатах г, 9, ср
-T4-7l|iSin0|i + -r-Ln^ + *«U = O. D3)
r2sin 0 дв дО ' г2 sin2 6 dcp2 v
Уравнения D2) и D3) допускают разделение переменных. По-
Положив в случае цилиндрических координат
u = u1{r)u2(<p)u»(z), D4)
и подставив это выражение в уравнение D2), получим
1 1 d
~i—
иг г dr
d f duA I ]_d*u2 1 cl4h -a_0
\ dr J ' и2 г- ^ф2 щ dz2
Поскольку член т~- зависит только от г, а остальные члены
J u3 dz2
— 389 —

от z не зависят, то должно быть
? + *я = |Л D5)
u3 dzl
1 1 d ( ..duA , I 1 d2u1 2
щ r dr\ dr J^ r2 u2 dy2 ** f
где |i2 — некоторая постоянная. Умножив второе из уравнений D5)
на г2, заключим также, что должно быть
1 d2u2 л 2
ui dr \ dr
где X2 — также постоянное число. Числа [х2 и X2 называют посто-
постоянными разделения.
Перепишем найденные уравнения в виде
¦$¦ + ^«. = 0, D7)
-^ —((*' —*")и* = 0. D8)
С помощью решений уравнений D6) — D8) могут быть построены
собственные функции для областей, имеющих форму цилиндра,
полого цилиндра, а также цилиндра или полого цилиндра с выре-
вырезанным по радиальным плоскостям сектором.
Построим, например, собственные функции граничной задачи
для уравнения D2) при граничном условии
\^и = 0у когда г = го\ и = 0, когда г = ±г0, D9)
где р, г0 и z0 — положительные постоянные. Область V в данном
случае представляет цилиндр: г<^г0, |г|<г0.
Из условия однозначности и непрерывности собственных функ-
функций в изучаемой области следует, что по координате ф они должны
иметь период 2л, вследствие чего в уравнении D7) следует поло-
положить: Х2 = п2 (п=\, 2, 3, ...). При этом общее решение урав-
уравнения D7) будет иметь вид и2 = соб(пф + г|)п), где tyn — произволь-
произвольная постоянная.
Решениями уравнения Бесселя D6), регулярными при г = 0,
являются функции Бесселя Jn(\ir). Поэтому положим г^ (r) = Jn (\ir).
Так как на поверхности r = r0 ~j~:=Ti то' подставив найденное
выражение иг(г) в граничное условие D9), получим уравнение
— 390 —

определяющее допустимые значения постоянной разделения |х2.
Как известно из теории бесселевых функций, это уравнение имеет
бесчисленное множество различных корней: [х1п, [х2п, .. ., \\,тп, . ..,
которые будем считать перенумерованными в порядке их возра-
возрастания.
Обратимся, наконец, к уравнению D8). При ii2 — ii°mn, его
общее решение имеет вид
и3 (z) = A sin vz + В cos vz,
где
Подставив выражение для функции и3 в граничное условие D9),
для определения постоянных А и В получим систему однородных
уравнений
A sin vz0 + В cos vz0 = О,
— A sin vz0 + В cos vz0 — 0.
Нетривиальные решения этой системы существуют, если ее опре-
определитель равен нулю, т. е. если
sin 2vzo = O.
Корни этого уравнения, перенумерованные в порядке их возраста-
возрастания, обозначим через vt. Постоянные А и В при этом могут быть
представлены выражениями
A t = у cos v?z0, Bt = у sin v,z0,
а общее выражение функции u3(z) примет вид
us{z) = sin Vtiz + zJ.
Перемножив найденные выражения функций ul9 u2J u3, найдем
общее выражение собственных функций рассматриваемой задачи:
где С1гпп — произвольные постоянные. Собственные числа задачи
определяются соотношением
ft?mn = Vf + ^n.
Для нас также представит интерес выписать общее выражение
для решений уравнения Гельмгольца, имеющих вид: иг (г) и2 (ср) и3 (г)
при изменении угла ср в интервале @, 2я). В этом случае Х2 = п2,
где п — целое число, и решение уравнения D7), как и выше, имеет
вид: и2 = cos (nq>+ •$„). Общее решение их уравнения Бесселя D6)
при Х2 = п2 обозначим через Zn(\ir). Наконец, общее решение
уравнения D8) запишем в виде: и3 = cos (vz + ^v)> ГДе v = |/7e2 ~|я2,
a \|?v — произвольная постоянная. Таким образом, искомое общее
— 391 —

выражение решения вида D4) может быть записано в виде
-^ ), E0)
где Л—произвольная постоянная.
Перейдем к рассмотрению разделения переменных в уравнении
Гельмгольца в сферических координатах. Подставив в уравнение
D3) выражение u = v1(r)v2(Q)v3(q>), после разделения переменных
получим уравнения:
= 0, E1)
, = 0, E3)
dcp2 ' 3 '
где К и т2 — постоянные разделения.
Найдя соответствующие решения этих уравнений, можно
построить собственные функции областей, имеющих форму шара,
полого шара, а также шара или полого шара с вырезом либо
в виде кругового конуса с вершиной в центре шара, либо в виде
части его, заключенной между двумя полуплоскостями, выходя-
выходящими из одного диаметра.
Если изучаемая область охватывает полный диапазон изме-
изменения угла ф, то функция а3(ф) должна иметь период 2я. Общее
решение уравнения E3), удовлетворяющее этому требованию,
имеет вид
v3 (ф) = cos (тф -f- я|зт), E4)
где т=1, 2, 3, ..., a tym — произвольная постоянная.
Уравнение E2) при Л, = /г (/г —(— 1), где п — целое число, предста-
представляет уравнение присоединенных полиномов Лежандра Pnm(cosQ).
Как мы знаем (гл. XXI), произведения присоединенных полиномов
Лежандра на функции вида E4) образуют полную систему сфери-
сферических функций в интервалах 0^ф^2я, О^О^я изменения
переменных ф и 0. Поэтому, для данных интервалов изменения
переменных ф и 0, в состав собственных функций не может входить
никаких других произведений, линейно-независимых с указанными.
Следовательно, если изучаемая область охватывает полный диапа-
диапазон изменения угла 0, то надо положить Х — п(п-{-1).
Перейдем к уравнению E1). При Х = п(п-\-1), с помощью под-
подстановки w = ]/rv1(r)J оно преобразуется в уравнение Бесселя
полуцелого порядка:
dr* ~г г dr ^ L
J = 0, E5)
— 392 —

решения которого обозначим через Zn+i(kr). Тогда
Перемножив функции vl9 v2 и v3, придем к следующему общему
выражению собственных функций для областей, в которых коор-
координаты ф и 0 меняются в интервалах О<0<я, 0^ф<2я
(шар и полый шар):
итп (г, 6, ф) = yj Zn+± (kr) Рпт (cos 0) cos (mq> + фJ. E6)
Конкретный выбор решения Z ^ (kz) и собственные числа Щ опре-
определятся заданным граничным условием.
Рассмотрим, например, граничнсе условие
и = 0, когда г = г0 и г = гг (г^г0),
соответствующее задаче Дирихле для полого шара с внутренним
радиусом гх и внешним радиусом г0. Общее реиелие уравьения E5)
имеет вид
откуда
Подставив это выражение в заданнсе граничнсе условие, для
определения постоянных А и В получим систему уравнений:
Нетривиальные решения этой системы существуют, если ее опре-
определитель равен нулю, т. е. при значениях параметра k, удовлет-
удовлетворяющих условию
Корни этого уравнения, перенумерованные в порядке их возра-
возрастания, обозначим через kln. При k = kln:
У 1 №/„/«,)
А п+-т
~В=~~ J ! (klnr0) >
вследствие чего можно положить
^з {Г) = -Z7=\ Yn+L (кшГо) Jn+L {ktnr) — Jn i (klnr0) У i (^
Г ^ L 2 2 2 2
- 393 —

Отсюда для собственных функций задачи Дирихле, поставленной
в области, имеющей вид полого шара, получим выражение:
»lmn = Almn yj [Yn+1. (klnrO)Jn+j. (К*) — Jn,l ^iJo) Уя+± (*/,/)] X
xPna(cosQ)cos(m<p + ya)t E7)
где А ^„ — произвольные постоянные.
ЗАДАЧИ
1. Показать, что собственные функции граничной задачи для уравнения D2)
при граничном условии
a-z—ЬР" = О, когда г = г0 или г — ± z0,
соответствующем смешанной граничной задаче в цилиндрической области, имеют
вид:
Щтп (г, ф, г) = AlmnJn (iimnr) cos (лф + 1|зя) [Р sin v^ (z + zo) + avi cos
где v^—корень уравнения
tg 2vz0 =
a2v2 — В2'
2. Показать, что собственные функции граничной задачи для уравнения
D3) при граничном условии
и = 0, когда r — rQ,
соответствующем задаче Дирихле для шара, имеют вид:
Щтп (Г, О, 4) = Almn-f=- Jn+l_(klnr) Pnm (^SQ)COS
где kin — корни уравнения
§ 5. Сферически симметричные решения уравнения Гельмгольца
в бесконечной области
Изучение внешних граничных задач для уравнения Гельмгольца
также начнем с задач, характеризующихся сферической сим-
метрией.
Рассмотрим внешнюю задачу
d2ril . г о г. . dll , о r> /rn\
-—.jrk*ru = 0, когда г>г0, а^ + ри = С, когда г = го, E8)
где г0 > 0, a, p и С — вещественные постоянные. Условие в беско-
бесконечно удаленной точке мы установим позднее.
Предположим сначала, что параметр k2 является вещественным
положительным числом и будем искать вещественные решения за-
задачи E8). Из выражения A2) для общего сферически симметрич-
- 394 -

ного решения уравнения Гельмгольца найдем, что общее выражение
вещественных решений имеет вид
. ч cos kr . 1 sin kr /ГГкЧ
u(r) = a—j- + b—— , E9)
где a, b — произвольные постоянные. Это решение регулярно во
всей бесконечной области г ^ г0 и обращается на бесконечности
в нуль. Две произвольные постоянные а и b в общем случае
нетрудно подобрать так, и притом бесчисленным множеством спо-
способов, чтобы удовлетворялось граничное условие задачи E8). Следо-
Следовательно, задача E8) имеет бесконечное множество регулярных ре-
решений, обращающихся на бесконечности в нуль. Чтобы разобраться
в смысле этих решений, рассмотрим, как в § 2, соответствующие
им решения w(r, t) волнового уравнения B1).
Для этого умножим общее решение A2) на е~ш, что приведет
к выражению
Ае—г + В^ . F0)
Подставив сюда, в соответствии с равенством B2), значение со = &с
и приняв во внимание, что числа А и В комплексны, легко найдем,
что вещественная часть этого выражения при вещественном зна-
значении k может быть представлена в виде
± os[k(r + ct) + ft] F1)
где А1 В1У 0, д — постоянные числа.
Последнее выражение, как мы сейчас увидим, соответствует
двум системам сферических волн. Рассмотрим первое слагаемое
суммы F1). Выражение, стоящее под знаком тригонометрической
функции, представим в виде суммы: 2/ш-Ь 0О, где п — целое число,
а 0О — положительное число, не превосходящее 2я. Каждому зна-
значению разности (r — ct) соответствуют свои значения п и 90.
Число 0О будем называть фазой волны. Геометрическое место точек
одинаковой фазы представляет для рассматриваемого слагаемого си-
систему сферических поверхностей, концентричных поверхности г = г0.
На каждой из этих поверхностей значение выражения k(r — с/) + 0
сохраняется постоянным. Следовательно, их радиус г с течением
времени растет со скоростью с. Таким образом, первое слагаемое
соответствует системе сферических волн, расходящихся от поверх-
поверхности г = г0 с фазовой скоростью с. Подобным же путем устано-
установим, что второе слагаемое соответствует системе сферических волн,
сходящихся к поверхности г = г0 из бесконечности.
Рассматривая поверхность г = г0 как источник волн, мы должны
приписать физический смысл только первому члену суммы F1),
считая член, соответствующий системе волн, идущих из бесконеч-
бесконечности, не имеющим физического смысла. Следовательно, в сумме
— 395 —

F0), а поэтому и в общем выражении A2) для сферически сим-
симметричного решения уравнения Гельмгольца, мы должны сохранить
один член, и именно первый.
Имея в виду найти аналитический признак, позволяющий среди
решений уравнения Гельмгольца выделить те, которые соответ-
соответствуют расходящимся волнам, рассмотрим функции
eikr e-ikr
U = И V = ,
г г '
входящие в общее решение A2). Продифференцировав эти функции
по г, найдем, что они удовлетворяют дифференциальным соотно-
соотношениям:
Устремив г к бесконечности и заметив, что
придем к предельным соотношениям:
lirar (to—iku)=0, \im
которые и устанавливают общий аналитический признак, позволяю-
позволяющий отличить функции и и v по их поведению на бесконечности.
Действительно, легко убедиться, что если функции unv поменять
местами, то найденные предельные соотношения выполняться не
будут.
Установленный признак тривиален, пока рассматриваются сфе-
сферически симметричные решения уравнения Гельмгольца. Однако он
имеет большое эвристическое значение при постановке общих внеш-
внешних граничных задач для этого уравнения.
Прежде всего, естественно попытаться распространить его на
произвольную систему сферических волн с угловым распределением
амплитуд, так как это распределение не должно изменять общей
закономерности убывания амплитуд вдоль радиусов. Далее, естест-
естественно предположить, что на достаточно большом удалении от огра-
ограниченной области, в которой расположен источник волн, любая си-
система волн близка к сферической. Поэтому любая система расхо-
расходящихся волн при удалении от области ее образования должна
обнаружить те же закономерности, как и система сферических волн,
т. е. должны соблюдаться предельные соотношения
limr (~—iku)^0 и Нти=0, F2)
Г -
причем стремление к нулю должно быть равномерным при удалении
вдоль любого радиуса, начинающегося в ограниченной области. Эти
соотношения, установленные впервые Зоммерфельдом, получили
— 396

название условия излучения. Как мы покажем ниже вполне строго,
условие излучения обеспечивает единственность решений внешних
задач для уравнения Гельмгольца, т. е. оно играет ту же роль, как
и условие обращения решения в нуль на бесконечности в отноше-
отношении задач для уравнения Лапласа.
Вернемся к рассматриваемой нами задаче E8). Будем искать ее
решение, удовлетворяющее условию излучения. Как мы установили,
общее сферически симметричное решение, удовлетворяющее условию
излучения, имеет вид
А^-. F3)
Подставив это выражение в граничное условие задачи E8), для
определения постоянной А получим уравнение
$) = C. F4)
Приравняв отдельно вещественные и мнимые части, придем к си-
системе линейных уравнений
А' ф cos kr0 — ak sin kr0) — А" ф sin kro-\-ak cos kro) = Cf
А' ф smkr0 + akcoskr0)-\-A"(fi coskr0 — aksinkr0) = 0,
где через А' к А" обозначены вещественные и мнимые части ком-
комплексного числа А. Определитель этой системы
при вещественных положительных значениях k2 не обращается
в нуль. Следовательно, ее решение всегда существует и единст-
единственно. В частности, при С = 0 она имеет только тривиальное
решение: А' = А" = 0, вследствие чего однородная задача
d2ru . 1 о л ^ du , п г, /пт*\
+ k2u = 0, когда г>г0, а^ + |}д = 0, когда г = г0, F5)
не имеет решений, отличных от тождественного нуля. Это озна-
означает, что в бесконечной области свободные колебания невозможны
и происходят лишь вынужденные волновые процессы.
После простых выкладок получим
° cos k (r0 + rk), A" = C sin k (r0 + rk\
где постоянная rk определяется соотношением
COS ktu = ¦¦ г , Sin krk =
Отсюда найдем, что
У
— 397 —

Подставив это значение А в выражение F3), получим искомое
решение:
..е.*^. F7)
Это решение при вещественном значении k всегда комплексно.
Перейдем к рассмотрению общего случая, предположив, что
k — произвольное комплексное число. Обозначив через k^E=k' -\-ik"
корень из k2f вещественная часть k' которого положительна,
преобразуем общее выражение A2) для сферически симметричного
решения к виду
ik'r p- ik'r
^ -^j—. F8)
Легко убедиться, что системе расходящихся волн по-прежнему
соответствует первый член этой суммы:
Ae-urr*tle F9)
Однако, в зависимости от знака k"t он либо неограниченно убы-
убывает, либо неограниченно растет на бесконечности.
Чтсбы разобраться в смысле этого результата, воспользуемся
известным положением теории колебаний, согласно которому
поток энергии, переносимый волной сквозь площадку dS, нор-
нормальную направлению ее распространения, равен q\u\2dS, где
\и\ — модуль амплитуды волны, а q — постоянная, зависящая от
выбора единиц измерения.
Выше, для &" = 0, мы нашли решение F7), при котором
I 12
г2 (З2 f ct2/?2 '
Для этого значения \и\2 поток энер| ии сквозь любую шаровую
аС2
поверхность r = const постоянной фазы волны равен 4я „^ ,
т. е. не зависит от г. Иначе говоря, энергия волны при ее рас-
распространении сохраняется В отличие от этого, для k"^0 из
выражения F9) получим
[Л[2
Если k" > 0, то при возрастании г величина |^|2 убывает экспо-
экспоненциально, то есть намного быстрее, чем растет площадь 4яг2
шаровых поверхностей постоянной фазы. Следовательно, проис-
происходит рассеяние энергии волны, притом по экспоненциальному
закону. Если же kn < 0, то энергия волны, по мере удаления
от области ее образования, экспоненциально возрастает. Послед-
Последний процесс не имеет физического смысла для бесконечного про-
пространства и поэтому должен быть исключен из рассмотрения.
— 398 —

Таким образом, величина k" представляет характеристику рас-
рассеяния энергии в среде, являющейся носителем волнового про-
процесса, в связи с чем ее называют комплексным поглощением
среды.
Полезно установить связь между знаком мнимой части пара-
параметра k2 и знаком комплексного поглощения. Для этого пред-
представим параметр k2 в тригонометрической форме:
Два значения корня из этого выражения равны
±]/|&2| (cos 0 + ^'sin Ф). Выше через k мы обозначили корень
с положительной вещественной частью. Так как cosft^O, то
При —у <®<~2 функции sin Ф и sin2^ одного знака. Следо-
Следовательно, знак комплексного поглощения совпадает со знаком
мнимой части Imfe2 параметра k2. В силу этого для реальных
сред Imk2 >0.
Условие излучения для сред с положительным комплексным
поглощением, очевидно, может быть определено, как условие
экспоненциального стремления решения к нулю при неограни-
неограниченном удалении от источника волн. Можно сформулировать
условие излучения также в виде соотношений
lime'*"'/-(J — iku)=O,
\дг ) G0)
lim e1 fe"^ = 0,
Г-+0О
переходящих при k" = 0 в соотношения F2). Читателю предла-
предлагается самостоятельно убедиться в правильности последней фор-
формулировки.
Найдем теперь выражение для решения задачи E8) при
fe"^O, удовлетворяющее граничному условию задачи. Подставив
выражение F9) в граничное условие, для определения постоян-
постоянной А получим уравнение
Ae-k"roeik>ro (iaft 4- р — ak") = С. G1)
Это уравнение может быть получено из уравнения F4) путем
замен:
A-+Ae-k"\ kro-+k'ro, ak-+ak\ p —p — oJfe".
Следовательно, решение задачи E8) для рассматриваемого слу-
случая можно получить, произведя аналогичные замены в выраже-
выражении F7), что даст
Р ik' (r-ro-rk)
и = е- k"ro 1 , G2)
j/(pfc"Jf2'2 r
— 399 —

где постоянная rk удовлетворяет соотношениям:
cos k'rk = P-«fe* = ^ sin Wr =
V(f>-ak"F-a4'2
Выражение (р—ak"J-\-a2k'2, стоящее в знаменателе решения
G2), является определителем системы линейных уравнений, опре-
определяющих комплексную постоянную А. При k" ФО и любых
вещественных значениях аир этот определитель не обращается
в нуль. Следовательно, задача E8) имеет единственное решение,
а соответствующая ей однородная задача F5) решений, отлич-
отличных от тождественного нуля, не имеет.
Остановимся вкратце на случае двух измерений. Решения
уравнения Гельмгольца, обладающие круговой симметрией, удов-
удовлетворяют уравнению Бесселя нулевого порядка:
Общее решение этого уравнения может быть представлено
в форме
и (г) = АН™ (kr) + BH™ (kr), G4)
где А и В — произвольные постоянные, а Н(ог) (kr) и Н@2) (kr)—
функции Ханкеля первого и второго рода (гл. XIII, § 6). Эта
форма решения соответствует решению для пространства, выра-
выраженному через показательные функции eikr, e~ikr. В веществен-
вещественной форме (при k вещественном) решение G4) выражается с по-
помощью функций Бесселя и Вебера:
где а и Ъ — вещественные постоянные.
тт т /?. \ ! sin kr \
Частное решение Jo (kr) ( как и в трехмерном случае ] ,
регулярно на всей плоскости, решение же Y0(kr) обращается
в точке г = 0 в бесконечность порядка In—. Пользуясь асимп-
асимптотическими разложениями функций Ханкеля F4) гл. XIII:
/ G5)
найдем, что рассматриваемые решения стремятся на бесконеч-
бесконечности к нулю.
Пользуясь формулами G4) и G5), легко построить системы
решений, соответствующие расходящимся и сходящимся волнам.
— 400 —

При этом система волн, расходящихся на бесконечности, при
вещественном значении параметра k может быть выделена с по-
помощью условия излучения:
lim УТ № — iku) =0, lim и = 0. G6)
дг
Читателю предлагается вывести условие излучения на плоско-
плоскости при произвольном комплексном значении параметра k.
ЗАДАЧИ
1. Показать, что если временной множитель брать не в форме е~'ш*, а
в форме е'ш*, то в условиях излучения F2) и G6) знак минус перед членом iku
следует изменить на плюс.
2. Показать, что условию излучения G6) удовлетворяет функция Ханкеля
Ho^ftr) первого рода, а функция Ханкеля HqZ) (kr) второго рода — не удовлет-
удовлетворяет.
§ 6. Интегральные формулы
В § 2 и 5 мы видели, что функция
где г — радиус-вектор сферической системы координат, при
является решением уравнения Гельмгольца. Под г в выраже-
выражении G7), очевидно, можно понимать и расстояние от переменной
точки § до произвольной фиксированной точки х. При этом вы-
выражение G7) для всех \Фх является решением уравнения Гельм-
Гельмгольца AM~\-k2u = 0, записанного в произвольных координатах.
Ввиду симметрии выражения G7) относительно координат точек
\ и х, оно будет удовлетворять и уравнению kxu-\-k2u = 0, в ко-
котором дифференцирование производится по координатам точки х.
Функцию
, х)], G8)
где ср(%, х) — решение уравнения Гельмгольца Д:ф + /г2ф = 0, регу-
регулярное в некоторой области 1/, будем называть фундаменталь-
фундаментальным решением этого уравнения в области V.
При \ = х порядок обращения в бесконечность фундаменталь-
фундаментальных решений уравнений Гельмгольца и Лапласа одинаков.
Вследствие этого фундаментальные решения уравнения Гельм-
Гельмгольца удовлетворяют ряду тех же интегральных соотношений,
что и уравнения Лапласа. Мы будем приводить эти соотноше-
соотношения без доказательств, которые почти дословно совпали бы
с проведенными в гл. XIX и XX. Опираясь на формулу Грина
G) гл. XVIII, путем предельного перехода придем к соотно-
— 401 —

шению
JJ
/ />• когда Xl**-J/ G9)
\ u(x), когда x?V — 3V, v ;
где /??•—трехмерное пространство, У — ограниченная область,
a w(jc) — регулярное решение уравнения Гельмгольца, непрерыв-
непрерывное в области V вместе со своими первыми производными. Эта
формула аналогична формуле D4) гл. XIX.
Предположим теперь, что функция и (х) является регулярным
решением уравнения Гельмгольца в бесконечной области V и удо-
удовлетворяет на бесконечности условию излучения F2). Пусть
Va — конечная часть области V, содержащаяся внутри некото-
некоторого шара а. Применим в области Va формулу G9), положив
1 е^г
в ней L(?, x) = 2 . Это даст:
/ 0, когда x€RE—V,,,
~\и(х), когда х6Va-§Va.
Интеграл по §о может быть записан в виде суммы:
Так как функция и удовлетворяет условию излучения, то при
неограниченном возрастании радиуса поверхности fa оба члена
этой суммы стремятся к нулю. Рассмотрим, например, второй
из них. Приняв во внимание, что в силу условия излучения
Imfe^O, убедимся, что
neikr (да ., \ ,о ^ (ди .. \ С Г dS
— ( з tku dS < г ¦= iku \ \ — ,
где
J
— наибольшее абсолютное значение г [ ^—-iku
H \dr
С С dS
на §a. Поскольку интеграл \ \ —а ограничен, то при неограни-
ченном возрастании радиуса поверхности §а правая часть этого
неравенства стремится к нулю по условию излучения. Доказа-
Доказательство стремления к нулю первого члена суммы аналогично.
Таким образом, перейдя в соотношении (80) к пределу при не-
— 402 —

ограниченном возрастании радиуса поверхности §а, получим
±CC\e^du__U?(^L\\ dS_i О, когда x?RE-V,
4к))[ г dn udn\ г )\ а*-\ и(х), когда x$V—9V.
Опираясь на эту формулу, покажем, что регулярные решения
уравнения Гельмгольца, удовлетворяющие условию излучения,
убывают на бесконечности не медленнее, чем —. Для этого при-
примем за §V шаровую поверхность с центром в произвольно вы-
выбранной точке ?. Радиус поверхности §V выберем настолько
большим, чтобы в бесконечной области V, имеющей поверхность
§V своей границей, функция и была всюду определена и явля-
являлась регулярным решением уравнения Гельмгольца. Пусть R —
расстояние между точками ? и х, гх — расстояние между точкой ?
и переменной точкой ??$1/, а я}? —угол между отрезками ?* и ??.
Тогда, при R —* оо:
а-=е1//?2 + г?-2/?г, cos гр = /? У 1 +^~ — 2^-cosi[) =
= /? [1 +оA)],
где через о A) обозначена совокупность бесконечно малых чле-
членов. Пользуясь этим выражением, запишем формулу (81) в виде
и{х) = ТГ [И \eikrxZ°S^-u ^^С08ф ) rfS I х
X
Заметив, что интеграл в правой части, взятый по ограниченной
поверхности JP1/, заведомо ограничен, и что величины R и г
одного порядка, придем к следующей оценке, справедливой при
больших значениях г:
() (82)
где 0(—) — множитель одного порядка с—, a fe" = Imfe. Эта
формула и доказывает высказанное утверждение.
Теперь формула (81) может быть обобщена на случай произ-
произвольного фундаментального решения L(?, x). В самом деле, при
выводе этой формулы мы опирались на то, что фундаментальное
eikr \
решение — убывает на бесконечности, как —. Но, по доказан-
доказанному, этим свойством должно обладать и любое фундаментальное
решение. Вследствие этого, для бесконечной области получим
формулу, совпадающую с формулой G9).
Наконец, предположим, что и — решение уравнения Гельм-
Гельмгольца, регулярное во всем пространстве и удовлетворяющее на
— 403 —

бесконечности условию излучения. Пусть х—произвольная точка
и а—шар радиуса г с центром в точке х. Выразим с помощью
формулы G9) значение функции и в точке х через ее значения на
поверхности шара а. Заметив, что на поверхности шара а -т- = ^-,
получим
1 Г Г \eikrdu д /VMl ,с
и (х) = -г- \ \ — 5 и я- — )\ dS =
Интеграл в правой части при г —> сю стремится к нулю, а так
как значение и (х) не зависит от /-, то &(.*:) = 0.
Ввиду произвольности выбора точки х отсюда следует, что
решение уравнения Гельмгольца, регулярное во всем пространстве
и удовлетворяющее условию излучения, тождественно равно нулю.
На языке физики это значит, что в отсутствии источников излу-
излучения (точки, в которых решение нерегулярно) существование
стационарной системы волн, расходящихся на бесконечности,
невозможно.
По аналогии с ньютоновскими потенциалами образуем далее
функции
(84)
которые будем называть колебательными потенциалами, соответст-
соответственно объемным, простого слоя и двойного слоя. Так как множи-
множители е1кг не изменяют условий сходимости интегралов в точках
г = 0, все аналитические свойства ньютоновских потенциалов
переносятся и на колебательные потенциалы. Перечислим основ-
основные свойства этих последних.
Объемный колебательный потенциал (83)с ограниченной интегри-
интегрируемой плотностью непрерывен во всем пространстве; его первые
производные можно вычислять дифференцированием под знаком
интеграла, причем, если плотность р равномерно ограничена, то
первые производные непрерывны во всем пространстве; в точках,
в которых плотность р дифференцируема, вторые производные
потенциала существуют и удовлетворяют неоднородному уравне-
уравнению Гельмгольца:
Av-\-k2v= —4яр.
— 404 —

Колебательный потенциал простого слоя (84) непрерывен во
всем пространстве; в точках, не принадлежащих слою, он диф-
дифференцируем неограниченное число раз и удовлетворяет однород-
однородному уравнению Гельмгольца Av + k2v-0\ в точках ? слоя его
нормальные производные удовлетворяют соотношениям
du du , о ,оч dv du о /5.ч /осч
где ~ и -А — предельные значения нормальной производной при
a tig о, и. i
приближении к точке L соответственно извне и изнутри поверх-
поверхности S, а
dv ТСС- d (elkr\ ,c
— = \\ \ р -— — )dS\
dn0 J J r dnx \ r J
lkr\ ,c"|
— )dS\
r J
J x-t
— прямое значение нормальной производной в точке ? слоя.
Колебательный потенциал двойного слоя (85) в точках вне
слоя дифференцируем неограниченное число раз и удовлетворяет
уравнению Гельмгольца Av-\-k2v = 0, в точках ? слоя он удов-
удовлетворяет соотношениям
(87)
где ve(Z) и v{ (?) — предельные значения потенциала при прибли-
приближении к точке ? соответственно извне и изнутри S, a u0 (Q —
прямое значение потенциала в точке ?.
Граничные задачи для уравнения Гельмгольца, как и задачи
для уравнений Лапласа и Пуассона, допускают построение функ-
функций Грина, с помощью которых решение задачи может быть за-
записано в интегральной форме. Непосредственно эти функции
Грина описывают поля, созданные точечными источниками.
Рассмотрим для примера соотношения, определяющие функцию
Грина задачи Дирихле:
Au + k2u = 0, когда x?V — ГУ, и = ^у когда x?WV. (88)
Определим функцию ср(|, х), входящую в общее выражение фунда-
фундаментального решения G8), как решение граничной задачи:
Acp-ffe2cp — 0, когда х, l?V — WV,
Ф=-^-Г, когда SeJV, x?V — ?V.
В этом случае фундаментальное решение G8) обратится в нуль на
границе рассматриваемой области и формула G9), с учетом гра-
граничного условия задачи (88), даст:
^ (89)
— 405 —

где
Фундаментальное решение G(?, л:) и представляет функцию Грина
задачи (88). Можно показать, что функция Грина G(|, л:) суще-
существует, если решение задачи (88) единственно. В противном случае
все же можно построить функцию G(|, x), которую называют
обобщенной функцией Грина, такую, что формула (89) будет спра-
справедлива. Более подробно об этом сказано в Дополнении к ч. II.
ЗАДАЧИ
eikr
1. Прямым дифференцированием показать, что функция — , где
.
т = Л/ Zj (ха — SaJ , удовлетворяет уравнению Гельмгольца.
V а=1
2. Показать, что в отличие от гармонических функций производные регу-
регулярных решений уравнения Гельмгольца могут не удовлетворять условию
lim г2 — < со (/=-1, 2, 3).
Г -> со uXj
3. Показать, что граничная задача для неоднородного уравнения Au-{-k2u = f
может быть приведена к граничной задаче для однородного уравнения
Указание: Следует положить и = u1-\-v, где v—объемный колебательный
потенциал с плотностью р=—— /.
4. Показать, что функция Грина граничной задачи (88) симметрична отно-
относительно своих аргументов, т. е. G (g, x) = G(x, |).
5. Предположив, что решение и граничной задачи Дирихле Аи-\- k2u = 0,
когда x?V — JFV; u = ty, когда x??fV можно представить в виде колебательного
потенциала двойного слоя:
Я— d fe*kr\
SFV
показать, что плотность р удовлетворяет интегральному уравнению Фредгольма
второго рода:
Указание. Воспользоваться формулой G9).
6. Пусть G (I, х) — функция Грина оператора Лапласа (т. е. Д^С? (?, х) = 0,
когда I Ф х), удовлетворяющая однородному граничному условию
a^ + $G = 0, когда l?^V, x?V-^V.
Показать, что решение и однородной граничной задачи для уравнения Гельм-
Гельмгольца
u = 0, когда x?V—fV; a^+Pa = 0, когда
— 406 —

удовлетворяет однородному интегральному уравнению Фредгольма второго рода:
Указание. Записав уравнение Гельмгольца в виде Аи=—k2u, восполь-
воспользоваться формулой F7) гл. XIX.
7. Предположив, что и — регулярное решение уравнения Гельмгольца в огра-
ограниченной области У, имеющее в этой области непрерывные первые производные,
вывести формулу
dV=\ \u^dS.
?v
Опираясь на эту формулу, доказать единственность решений задач Дирихле
и Неймана для уравнения Гельмгольца при k2 < О в классе функций, непрерыв-
непрерывных в области V вместе со своими первыми производными.
Указание. В формуле Грина G) гл. XVIII произвести замены:
и —у и%, и —у 1.
§ 7. Разложения в ряды по частным решениям уравнения
Гельмгольца в бесконечной области
Введем сферические координаты г, Э, ср.
Пусть и (г, Э, ф) —решение уравнения Гельмгольца, регуляр-
регулярное при г ^ г0 и удовлетворяющее условию излучения. В области
регулярности функция и может быть разложена в ряд по сфе-
сферическим функциям (гл. XXI, § 3):
"=? (a«o@^a(cose) + ]T [aa?(r)cosCcp +
a=o v p=i
+ b^ (r) sin pep] P^ (cos 6) i . (90)
Покажем, что с точностью до независящего от координат мно-
множителя, все коэффициенты aa0, aa3 и ba, этого ряда для каждого
фиксированного а = п равны функции
Kikr)= )/jLH™±(kr) (/г = 0, 1, 2, ..., 0<C<м), (91)
где ЯA) ! (kr) — функция Ханкеля первого рода полуцелого по-
A)
2
рядка.
Воспользуемся с этой целью частным решением E6) уравнения
Гельмгольца в сферических координатах, положив в нем:
Z ! (kr)=H{1) ! (kr). При обозначении (91) оно примет вид
п+т п+ —
a) @<m<n), (92)
- 4Q7 -

где положено Pw0(cos8)=^Pw(cos8). Легко убедиться, что функ-
функция ипт является решением уравнения Гельмгольца в сферических
координатах, регулярным в любой области, не содержащей точки
г = 0, и удовлетворяющим условию излучения.
Пусть 20 и 2 — две шаровых поверхности радиусов г0 и г> г0,
с центром в точке г = 0. Применим в области V, заключенной
между поверхностями 20 и 2, к функциям и и ипт формулу Грина G)
гл. XVIII. Так как функции и и ипт по предположению удов-
удовлетворяют уравнению Гельмгольца, то
-^ (и ди
поэтому
JJ \u~dn u™-dh)™-^ У*™д7—"-дГ
При больших значениях г, в силу условия излучения и оценки (82):
ди ., . Л/ 1 \ ди„
откуда
и = 0(т-),
/7 ^_
иптдг
птдг и дг
Поэтому интеграл в правой части соотношения (93) при г —> оо
стремится к нулю, а так как интеграл в левой части этого соот-
соотношения от г не зависит, то
2
Подставив сюда выражения функций а и ипт из соотношений (90)
и (92) и приняв во внимание соотношения ортогональности сфери-
сферических функций (гл. XXI, § 2), после интегрирования по 2 получим
К (kr) ~ [Сптапт (г) + Dnmbnm {r)} =
= \Cnnflnm @ + Dnmbnm (Г)] ~ К (kr) @ < т < П),
или, в силу произвольности значений Спт и D^,
й (ЬЛ да™ ^ - д ^ (fer) й (кг\дЬпт(г) -Ъ (Л dhn {kr)
откуда вытекает, что hn(kr), anm(r), bnm(r) отличаются друг от
друга только независящим от г множителем, так как в противном
случае эти равенства соблюдаться не могут. Таким образом, наше
утверждение доказано.
— 408 —

Положив
CLnm (Г) = Anmhn (kf), Ьпт (Г) = Bnmhn (kr),
где Anm, Bnm — числа, не зависящие от координат, и подставив
эти выражения в ряд (90), получим
и = J2 К {kr) S /> (cos 6) [Ла. cos рФ + Ваз sin рФ]. (94)
а=о 3 = о ^ ' р
Тем самым доказана возможность разложения решения уравнения
Гельмгольца в ряд по частным решениям вида E6).
Умножим ряд (94) на комплексно-сопряженный ему ряд и,
приняв во внимание соотношения ортогональности сферических
функций (гл. XXI, § 3), вычислим интеграл от этого произведения
по поверхности Wo некоторого шара а. В результате получим:
^±ш(\А^\2 + \Ва^\2)у (95)
v з=1 >
Из этого соотношения следует утверждение, известное как основная
лемма теории уравнения Гельмгольца: регулярное в бесконечной
области решение уравнения Гельмгольца с вещественным значе-
значением параметра k, удовлетворяющее на бесконечности условию
излучения и условию
lim W\u\2dS = 0, (96)
где а—шар радиуса г, тождественно равно нулю. Действительно,
при вещественном k выражение
, (kr)
>0
и не стремится к нулю при г —> оо. Поэтому соотношение (95) и
условие (96) совместно могут выполняться только тогда, когда
Но так как все коэффициенты ряда (94) равны нулю, то и
и = 0. Таким образом, лемма доказана.
§ 8\ Вопросы единственности решений внешних граничных
задач для уравнения Гельмгольца
Выше мы уже касались проблемы единственности решения
внутренних граничных задач для уравнения Гельмгольца и сфор-
сформулировали альтернативу (§ 2), согласно которой решения внут-
— 409 —

ренних задач всегда единственны с точностью до свободных
колебаний.
Перейдем теперь к внешним граничным задачам. Покажем,
что справедлива следующая теорема единственности: решение
внешних задан Дирихле и Неймана для уравнения Гельмгольца
Au + k2u = 0y k = kf Л-ik"
в классе регулярных функций, удовлетворяющих на бесконечности
условию излучения:
(p) (97)
единственно.
Для доказательства теоремы достаточно показать, что решения
внешних однородных задач Дирихле и Неймана, удовлетворяю-
удовлетворяющие на бесконечности условию излучения, тождественно равны
нулю.
Пусть V — бесконечная область, в которой ищется решение
граничной задачи, WW — ее граница, 2 — сферическая поверхность
радиуса г, содержащая поверхность WW внутри себя.
Рассмотрим положительную форму
(98)
Lcc= l J
где
v = Ree"l'cktu. (99)
Заметим, что функция v удовлетворяет волновому уравнению
^ = У~. (юо)
Действительно, приняв во внимание, что функция и удовлетво-
удовлетворяет уравнению Гельмгольца, получим:
что и утверждалось.
Продифференцируем S по t:
д8 Д dv d2v I dvd*v
1 +
dt Lu дха дх« dt ] с2 dt dt2 '
a=i
Подставив в последний член правой части выражение для -^ ^
из уравнения A00), после несложных преобразований придем
к соотношению:
Q
д8 v^ д dv dv
a=i
— 410 —

Применив теперь к -^ в области V*, заключенной между по-
поверхностями WV и 2, формулу Остроградского —Гаусса, получим
^ <101>
где Тп — нормальная к границам WV и 2 компонента вектора Т,
имеющего своими компонентами по осям величины
Из выражений для Tj ясно, что
гр dv dv
п ~"dtdn *
Выразим теперь v через и с помощью соотношения (99). Введя
обозначения
k = k' + ik", u = u' + iu"9 A02)
где k' и k'\ и' и и", соответственно вещественная и мнимая
части k и и, запишем соотношение (99) в форме
v = еск"* (и' cos ck't + и" sin ck't), A03)
откуда
]. A04)
В силу любого из граничных условий и = 0 или 7~==0» когда
x??V, на поверхности f V компонента 7\г —0, так что интеграл
по (FT/ в формуле A01) равен нулю.
Для оценки интеграла по 2 воспользуемся условием излуче-
излучения G0) и оценкой (82):
при г->оо и = е-^"^0[^^ , A05)
которые при обозначениях A02) представим в виде:
дг
or
Символ о (?) здесь означает совокупность членов более высокого
порядка малости, чем g. Подставив эти оценки в формулу A04)
— 411 —

v, d д
и приняв во внимание, что на 2 т=='д~1 получим
Тп=— ce^k
-4\k"\r
откуда ясно, что
= —се^к"(lim С f [(ft V + k'u") cosсЛ7 + {k"u" — k'u') sin сй7]2 dS.
A06)
Если /гг/^0, то подынтегральное выражение интеграла по S
представляет бесконечно малую величину по сравнению с -^ .
Поэтому этот интеграл при г —+ оо стремится к нулю, вследст-
вследствие чего
Щ Ш A07)
Подставив сюда выражение (98) для $, приняв во внимание
формулу A03) и положив один раз * = 0, а другой раз t = t,
придем к выводу, что в силу соотношений A07) при всех t должно
соблюдаться равенство
V а=1
V° a=i
sin ck't
c v ~ ~a=i
з f
+ 2е2ск"* cos cfe7 sin ck't I V^~ +
J J J [ —* dxa dxrx '
V a=i
+ c2 (k"uf + fe'M") (k"u" — A'm'I dV.
Но это возможно только в том случае, если все входящие
сюда интегралы равны нулю. Так как подынтегральные выражения
интегралов, являющихся коэффициентами при cos ck"t и sin ck't,
неотрицательны, то в области V k"u' -\-k'u" = 0, k"u" — k'u'— О,
откуда следует, что в этой области и'--=и" = 0 и а = 0. Таким
образом, для &'ФО теорема доказана.
— 412 —

Если же &" = 0, то из соотношений (98) и A02) следует, что
<iK—периодическая функция времени и, значит, ее произ-
v
водная по / неограниченное число раз меняет знак. Но правая
часть соотношения A06) имеет определенный знак. Поэтому соб-
соблюдение соотношения A06) возможно только в том случае, если
обе его части равны нулю, откуда
lim С С (и" cos ck't + a' sin ck'tf dS = 0.
r->oo dJ
При произвольном / это возможно только в том случае, если
lim C(VdS = liro
откуда следует, что
lim ff и 2
r-oc JJ
Отсюда, в силу основной леммы теории уравнения Гельмгольца
(§ 7), следует, что в области V и = 0. Тем самым теорема дока-
доказана полностью.
Легко видеть, что доказательство теоремы может быть про-
проведено до конца и в том случае, если при k"'Ф0 условие излу-
излучения брать не в форме G0), а в форме:
lim и = 0, fe">0,
/"->¦ СО
так как обращение интеграла \ \ TndS в нуль при г —*» оо обес-
печивается экспоненциальным убыванием функций а' и и", имею-
имеющим место в силу оценки (82).
Для читателя представит интерес попытаться распространить
проведенное доказательство на смешанную внешнюю задачу.
ЗАДАЧА
Показать, что рассуждения, которые при k" ф 0 после установления соот-
соотношения (93) приводят к доказательству теоремы единственности, при k" = 0
не ведут к цели.
Глава XXV
ИЗЛУЧЕНИЕ И РАССЕЯНИЕ ЗВУКА
§ 1. Основные зависимости для звуковых полей
В этой главе рассмотрим ряд простых задач, относящихся
к изучению звуковых волн, т. е. волн, представляющих малые
колебания некоторой упругой среды. В связи с этим напомним
— 413 —

основные соотношения, относящиеся к звуковым волнам (гл. I,
§ 3), и преобразуем их к более удобному для наших целей виду.
Потенциал скоростей частиц невязкой среды, являющейся
носителем звуковых колебаний, подчиняется волновому уравне-
уравнению C5) гл. I, которое в случае стационарных звуковых коле-
колебаний, происходящих с круговой частотой со, может быть заме-
заменено уравнением Гельмгольца относительной амплитуды и коле-
колебаний потенциала:
= 0, A)
где k* = %, а —скорость звука.
В дальнейшем для амплитуд колебаний будем сохранять те
же обозначения, которые принимаются и для самих величин,
причем слово амплитуда будем опускать, говоря просто потен-
потенциал, скорость и т. д. вместо амплитуда потенциала, амплитуда
скорости и т. д. Это представит большое удобство, позволяя
избежать введения новых символов и упростить терминологию,
а при осмотрительном отношении не может повести к недоразу-
недоразумениям. Переход от общих уравнений для колебаний к уравне-
уравнениям для станционарных колебаний при этом также будет
весьма простым. При введении зависимости от времени множи-
множителем е~ш он сводится к замене
Сохранение обозначений оправдано также тем, что в стационар-
стационарном случае поле амплитуд дает полное решение всей задачи,
определяя, в частности, и поля самих колебающихся величин.
По определению потенциала скоростей, проекция скорости
движения среды на направление /
ди /оч
v C)
Скорость среды связана с давлением в среде р соотношениями
A2) гл. VIII, которые, в силу B), могут быть записаны в виде
где р — плотность среды. Из соотношений C) и D) теперь сле-
следует, что
до ди /ГЧ
^ фсо1 E)
Так как звуковые колебания представляют малые колебания,
без существенной погрешности в определении р в последнем
соотношении величину р можно считать равной плотности р0
невозмущенной среды и в этом предположении проинтегрировать
414 —

его по /, что даст
p = ip0(ou + const.
Отсюда, в силу A), следует, что
= 0, F)
т. е. давление (амплитуда колебаний давления), удовлетворяет
уравнению Гельмгольца.
В теории звука вводят понятие интенсивности звука /, опре-
определяемой соотношением
Интенсивность звука равна потоку энергии, переносимой волной
через единичную площадку, перпендикулярную направлению рас-
распространения волны.
§ 2. Звуковое поле вибрирующего цилиндра
Предположим, что цилиндр радиуса г0 совершает малые гар-
гармонические колебания (вибрации) с амплитудой b в направлении,
перпендикулярном его оси. Найдем возникающее при этом ста-
стационарное звуковое поле.
Как было показано в § 1, поле давления звуковой волны
удовлетворяет уравнению Гельмгольца F), так что математическая
постановка рассматриваемой задачи заключается сейчас в уста-
установлении граничных условий. Введем цилиндрические коорди-
координаты (г, ср, г) с осью z, направленной по оси цилиндра в тот
момент, когда последний проходит положение равновесия. Пло-
Плоскость отсчета углов ср совместим с плоскостью колебаний ци-
цилиндра. Если колебания цилиндра происходят со скоростью, не
превосходящей скорости звука в среде, что мы будем предпола-
предполагать, между средой и цилиндром не образуется пустот. Поэтому
скорость движения среды в направлении, перпендикулярном
к поверхности цилиндра, совпадает с радиальной скоростью дви-
движения этой последней:
и,. = cob cos ср.
Отсюда, приняв во внимание формулу E), заключим, что гра-
граничное условие рассматриваемой задачи будет следующим:
sin Ф- (8)
Кроме того, на бесконечности должно выполняться условие из-
излучения F2) гл. XXIV:
№ H. (9)
Г «-00
— 415 —

Для отыскания решения р воспользуемся непосредственно резуль-
результатами § 4 гл. XXIV, где мы нашли, что частные решения урав-
уравнения Гельмгольца могут быть представлены формулой E0):
и = AZn (\ir) cos (/кр + ipn) cos (vz + ipv) (v == Vk2 — fx2).
Одно из них и будет решением нашей задачи.
В рассматриваемом случае зависимость от z отсутствует, по-
поэтому v = 0, \i = k. Далее, в силу граничного условия (8), зави-
зависимость от ф должна выражаться только с помощью множителя
созф, что возможно лишь при А1=1, 1|э„ = 0. Наконец, чтобы
при г —¦> оо удовлетворялось условие излучения, в качестве реше-
решения Zx(kr) уравнения Бесселя следует выбрать функцию Ханкеля
первого рода H[v (kr). Таким образом, действительно, выбор
решения из числа решений вида E0) гл. XXIV оказывается
однозначным и мы получим
p = AH[1)(kz) cos у, A0)
где А — постоянная, определяемая из граничного условия (8),
которое даст
-~- ) _ COS ф = ф00JЬ COS ф,
откуда
dr
Если
Лго = ?р<1, A2)
где К — длина волны с круговой частотой со, т. е. длина звуковых
волн намного больше периметра сечения цилиндра (проволока),
то для вычисления А можно воспользоваться соотношениями A8)
и F1) гл. XIII, в силу которых при п~\ и малых x = kr = —
получим
Я«»(*L
где а — скорость звука в среде. Отсюда
dr
A
2a
— 416 —

Исследуем полученное решение на больших расстояниях от
цилиндра, т. е. при
Воспользовавшись асимптотическим представлением F4) гл. XIII,
получим
В силу A0):
Р=А У i-T^
Применив формулу D) и заметив, что k = -^, найдем состав-
составляющие вектора скорости среды на больших расстояниях от
цилиндра — радиальную:
2е 4 ' Л 1 1 \
_^— И — cos m
я Ykr \ Ъкг) V
и тангенциальную:
t ( kr - — я ]
. А -./ТЛ 1 / .
»ф = ^ 1/ Г Г/ ЭШф.
* р0со " я Л /2 г/г
Отбросив члены высшего порядка малости, получим
/^Т~ А
Vr~ I/ —
г я росо
е
77=СОЭф,
росо У /гл
«,«0, A5)
т. е. на больших расстояниях от цилиндра движение среды,
в основном, радиальное, тангенциальные же составляющие ско-
скорости убывают на порядок быстрее (как г/*), чем радиальные.
Определим, наконец, интенсивность / звукового поля — вели-
величину, представляющую наибольший практический интерес. В силу
формул G), A4) и A5) получим
^9 A6)
/ cos9
или, для струны:
/ _ ?Фо^о^ cos2 ф. A7)
Таким образом, поток энергии в звуковом поле колеблющегося
цилиндра убывает пропорционально первой степени расстояния.
14 № 645 — 417 —

Он весьма быстро падает с уменьшением поперечника цилиндра
и частоты. В последнем обстоятельстве кроется одна из причин,
по которым басовые струны музыкальных инструментов должны
быть тоЛстыми. В плоскости, перпендикулярной плоскости ко-
колебаний цилиндра, звуковое поле отсутствует (точнее оно
обусловливается только быстро убывающей тангенциальной
компонентой).
ЗАДАЧИ
1. Вычислить звуковое поле пульсирующего бесконечного цилиндра (т. е.
цилиндра, радиус которого периодически изменяется).
2. Определить энергию, излучаемую с единицы площади вибрирующего и
пульсирующего цилиндров.
Указание. Проинтегрировать выражение для / и отнести результат
к единице площади.
§ 3. Звуковое поле пульсирующего шара.
Точечный источник
Рассмотрим гармонически пульсирующий шар, т. е. шар,
радиус которого гармонически колеблется. Пусть г0—-средний
радиус шара, b — амплитуда колебаний, а оз — их круговая
частота.
Поле давления вне шара, как мы знаем (§1), должно удовлет-
удовлетворять уравнению Гельмгольца A). Если колебания шара про-
происходят с дозвуковой скоростью, то граничное условие состоит
в равенстве радиальных скоростей поверхности шара и примы-
примыкающей к ней среды (подробнее см. § 2). Введя сферические
координаты (г, 0, q>) с началом в центре шара, в силу фор-
формулы E) это граничное условие можно записать в форме
др
дг
= ipco2b. A8)
Кроме того, чтобы исключить из рассмотрения волны, сходящиеся
из бесконечности к шару, потребуем, чтобы выполнялось условие
излучения F2) гл. XXIV:
(?^0. A9)
Решение поставленной задачи непосредственно заключено
в одном из частных решений уравнения Гельмгольца в сфери-
сферических координатах E6) гл. XXIV:
yj Zn+\ (kr) Pnm (cos 9) cos (mq> + i|>OT).
Чтобы при r = r0 решение не зависело ни от 9 ни от ср, очевидно,
должно быть т = 0, п = 0. Далее, чтобы удовлетворить условию
излучения, в качестве цилиндрической функции следует выбрать
— 418 —

функцию Ханкеля первого рода. Это из всей совокупности рас-
рассматриваемых решений выделит решение
А B0)
где А — постоянная. Это решение единственно в силу теоремы
единственности для уравнения Гельмгольца (гл. XXIV, § 8).
Приняв во внимание, что (гл. XIII, § 6) Hi\)(x) = — i у -^-eix>
запишем полученное решение в форме
р ——iAyr2nk^-r- . B1)
Дифференцируя это выражение, подставляя г = г0 и сравнивая
результат с выражением A8), найдем, что
У 2л l—ikr0 '
следовательно,
Величина 4пгр представляет амплитуду пульсаций объема шара.
Поэтому величина
2 &со B3)
представляет амплитуду объемной скорости пульсации. Ее назы-
называют производительностью шарового источника звука. Подста-
Подставив Qo в формулу B2), получим
1 copQp е*«-г*
P-4nil-ikr0 г ' W
Наконец, предположим, что радиус шара пренебрежимо мал по
сравнению с длиной X излучаемой волны, т. е. что
В этом особенно важном случае пульсирующий шар по свойствам
приближается к идеализированному излучателю — точечному
источнику, поле давления которого, как ясно из формулы B4),
определяется соотношением
n _ «opQp e^ _ _Qo_ cofp ^ ,9-.
р ~ 4ш г ~ 4л a ikr ' W
В силу формулы D), скорость движения среды на больших рас-
расстояниях от точечного источника
v=zV = i др ^ 1 o2Q0g^
г рсо дг 4д a2 ikr '
14* — 419 —

Начонец, интенсивность звукового поля точечного источника
Таким образом, поток энергии в поле точечного источника
(и в поле малого пульсирующего шара) падает на большом
удалении от источника пропорционально квадрату расстояния.
Важность понятия точечного источника состоит в том, что
объемный источник звука может быть заменен эквивалентной
системой распределенных точечных источников с производитель-
производительностью q(x)dV, после чего поле давления может быть найдено
с помощью формулы, очевидным образом следующей из фор-
формулы B5):
V
где V—объем, занятый источником, г —расстояние от точки х,
в которой определяется поле, до точки |, принадлежащей эле-
элементу объема dV. Эта формула дает представление поля давления
с помощью объемного колебательного потенциала. Сдвиг фазы
колебаний точечных источников легко может быть учтен введе-
введением комплексных значенией для q.
ЗАДАЧА
Вычислить энергию, излучаемую точечным источником.
§ 4. Излучение из отверстия в плоском экране
Покажем на простом примере, как можно приближенно рас-
рассчитать звуковое поле, заменяя излучатель системой распреде-
распределенных точечных источников.
Предположим, что в безграничной плоской стене имеется
круглое отверстие, через которое падающая на заднюю сторону
стены плоская звуковая волна проникает в пространство, лежа-
лежащее по другую сторону стены. Оставляя в стороне вопрос об
интенсивности излучаемого из отверстия звукового поля, поста-
поставим задачу найти, как оно распределяется в пространстве перед
стеной на достаточном удалении от нее.
Каждый элемент dS площади отверстия будем считать точеч-
точечным источником звука с производительностью AnqdS, где q —
постоянная величина (равномерное распределение интенсивности
излучения по отверстию). Введем сферические координаты (г, Э, ср)
с началом в центре отверстия и полярной осью, перпендикуляр-
перпендикулярной его плоскости. В силу формулы B5), давление, создаваемое
источником dS в точке х(г, 0, ср), равно
— 420 —

где /? — расстояние от точки % (г', -^-, фЧ , принадлежащей dS,
до точки наблюдения х(г, 0, ф). Пользуясь известной формулой
аналитической геометрии найдем, что
#2 = (rsin0cosq)--r'cos(p'J + (г sin 6 sin ф — г' $тф'J+г2со520.
Считая, что мы рассматриваем поле на большом удалении от
стены (г^>г'), пренебрежем членами, содержащими г'2. Это после
простых преобразований даст
R2&r2 — 2rr' sin 0 cos if (г|э = q> — ф'),
откуда
Rttr — r' sin 0 cos г|). B9)
He делая существенной ошибки в знаменателе выражения B8),
можно принять R « г, в показателе же степени, как будет ясно
из дальнейшего, следует сохранить более точное выражение B9).
Это даст
dp « "—- elk Г7 dS.
r a ikr
Заметив, что dS = r/dr/d\|?, для определения давления от всей
совокупности точечных источников на S получим выражение
г'о 2Я
о
где Го —радиус отверстия. Согласно E8) гл. XIII внутренний
интеграл
2Я
J e-ikr' sin ecosффу — 2я/о (fer; sin 9).
о
Поэтому
1 7Х (/гг; sin б) !^
Подставив это выражение в G), найдем, что интенсивность зву-
звукового поля на большом удалении от отверстия
2
2J1\2n —si
где вместо круговой частоты со подставлена длина волны % излу-
излучаемого звука.
— 421 —

Функция —^ близка к 1 при *<1,5, затем ее изменение
носит осциллирующий характер с быстро спадающей амплитудой.
Поэтому, если 2п -^^1,5, т. е., примерно, г'о < -^, то излуче-
излучение от отверстия, в пространстве за стеной практически будет
распространяться равномерно (случай длинных волн). По мере
уменьшения длины волны излучение будет приобретать все более
остро направленный характер, причем при изменении 0 от 0 до
-^- возможно появление нескольких максимумов и минимумов
интенсивности (боковые лепестки).
§ 5. Звуковое поле при произвольном колебании
поверхности шара
В этом параграфе перейдем к более сложной задаче опреде-
определения поля шара, поверхность которого совершает гармонические
колебания определенной частоты с произвольно меняющейся от
точки к точке амплитудой и фазой. Эта задача обладает большей
общностью, чем представляется на первый взгляд. Действительно,
если описать вокруг произвольного источника звука шаровую
поверхность таким радиусом, чтобы источник был внутри нее,
то поле на этой поверхности однозначно определит поле в про-
пространстве вне ее в силу единственности решения граничных
задач для уравнения Гельмгольца. Поэтому, рассматривая шар
с произвольно колеблющейся поверхностью, мы получим ряд
результатов, относящихся к полю на большом расстоянии от
источника, справедливых и для произвольного источника звука.
Напомним предварительно, как может быть учтено изменение
фазы колебаний при переходе от одной точки шара к другой.
При сдвиге фаз колебания описываются не выражением
а(9, ф)г~'ш*, где а(9, ф)— амплитуда колебаний, а выражением
а(9, ф)е-п©* + <ме, <p)J? где q(Q, cp)—-сдвиг фазы. Положим
а (9, Ф)б-^(е'ф) =Ь(9, ф). C0)
Тогда, как и в гл. XXIII, формально мы снова вернемся к вы-
выражению Ь(9, ц)е~ш того же вида, что и при отсутствии сдвига
фазы, но число Ь(9, ф) будет комплексным. Введением комплекс-
комплексной амплитуды Ь@, ф), определяемой соотношением C0), мы и
будем учитывать существование сдвига фазы.
Как и в § 2 и 3, будем рассматривать поле избыточного
давления р, которое, как мы знаем (§ 1), удовлетворяет уравне-
уравнению Гельмгольца
( = J), C1)
422 —

где а —скорость звука в среде, оз — круговая частота колебаний.
Требование равенства радиальных скоростей поверхности шара
и прилегающих к ней точек среды доставляет граничное условие.
В сферических координатах г, 0, ср с началом в центре шара
оно может быгь записано следующим образом:
дР
дг
C2)
где г0 — радиус шара (равновесный). Замечая, что производная
по г с точностью до знака совпадает с производной по направ-
направлению нормали к поверхности шара, видим, что мы имеем дело
с внешней задачей Неймана для уравнения Гельмгольца. Чтобы
ее решение было однозначным, потребуем выполнения условия
излучения
(gV) C3)
чем исключатся из рассмотрения волны, идущие из бесконеч-
бесконечности.
Решение будем искать в форме ряда (94) гл. XXIV:
00 П
Р=ИК (kr) 2 Рпт (cos 6) \Апт cos гщ + Впт sin mq>], C4)
л0 0
2
m=0
где
C5)
Отметим сразу же на основании формул B8), F2) и F4) гл. XIII
два предельных соотношения:
при х-+0 hn(x)^-i^p ; C6)
[Bл-1)!! = 1.1-3-5-....B/1—1)],
при х — оо hn (х) -> (- 0й С , C7)
которыми мы воспользуемся ниже. Ошибка при замене hn(x) их
предельными значениями при малых х имеет порядок —, при
больших х — порядок . Отсюда, в частности, следует,
у хъ — п1
что стремление hn(x) при х—> оо к пределу неравномерно отно-
относительно п. Поэтому замена hn(x) при больших значениях
х(х^>1) возможна только при условии х^>п.
Продифференцируем ряд C4) почленно по г. Воспользуемся
для этого формулой (§ 6 гл. XIII)
1 Ы1) /ч] _ 1 Г п rr(i) ,v л+1 rr(i) ,
s[уТ т\ ^
— 423 —

которая даст
yiZtl] C8)
так что, в предположении, что после дифференцирования ряд
равномерно сходится при г = г0, получим
= - kAJix (kr0) +k%h'n (kr0) x
X [ 2 Pnm (cos 9) (Anm cos mcp + BnM sin mcp) 1 , C9)
где для краткости обозначено
^3A»+i(*'). D0)
Если вещественная и мнимая части функции b(Q, cp) имеют
непрерывные частные производные первого порядка, то ее можно
разложить в ряд по сферическим функциям:
00 П
ЬФ, Ф) = 2 2 Рпт (cos 6) {апт cos m<p + 6ЯЯ sin тФ), D1)
где коэффициенты апт> Ьпт могут быть определены по форму-
формулам C0) гл. XXI. Сравнив ряды C9) и D1) и приняв во вни-
внимание соотношение C1) и граничное условие C2), придем к вы-
выводу, что это последнее будет соблюдено, если принять
^f ^ D2)
hn (kr0) hn (krQ)
Введем обозначение
2 n
m=l
D3)
Функции Yn(Q, ф) представляют те самые сферические функ-
функции, которые входят в разложение
ЪФ, ф)=2^в(в, ф). D4)
л = 0
При этом обозначении ряд C9) может быть записан в оконча-
окончательной форме
J^Yn(Q, Ф). D5)
(kr)
Таким образом, формальное решение поставленной задачи найдено
в виде бесконечного ряда. Возникает вопрос о сходимости этого
— 424 —

ряда. Покажем, что при любом конечном г > г0 он сходится
и притом абсолютно.
Отбросим конечное число п0 членов ряда D5), выбрав п0 так,
чтобы было
по>У 6,25(п0+1У + №)*> no^>kr.
D6)
Заметим, что первое из этих неравенств влечет за собой нера-
неравенство п0 > 16.
Воспользуемся теперь следующим асимптотическим представ-
представлением функций Ханкеля первого рода: *
[l +0 A)] <s« /vTZ?), D7)
справедливым при выполнении следующих условий:
i , D8)
которые при x = &r и v>/z0, очевидно, соблюдаются в силу не-
неравенств D6). Воспользовавшись тем, что kr<^noy будем иметь
Так как — близко к единице, то ? = arcth ^-;^> 1 и можно на-
написать
откуда
Подставив найденные приближенные выражения в формулу D7),
получим
,49,
откуда, в силу определения C5) функций hn(x), следует, что
К W - /f-^ й-| (*-•.) —i^ (^)- . E0)
* См. В. И. Смирнов [1], т. III, ч. 2, п. 152.
- 425 —

Положим теперь r = rQ. Тогда, в силу формулы D0), отбросив
малые члены, получим
Подставив полученные выражения в ряд D5) без первых п0 чле-
членов, видим, что рассматриваемая задача свелась к исследованию
сходимости ряда
СО / \ „
~К„(9, ф).
Но этот ряд заведомо сходится и притом абсолютно, так как
го<г, а ряд
ос
2 УпФ> ф)
сходится по предположению.
§ 6. Исследование поля шара
при произвольном колебании его поверхности.
Акустические или колебательные мультиполи
Займемся исследованием решения, полученного в предыдущем
параграфе.
Из D5) следует, что точки, для которых было бы h'n(kr) = O
при г = г0, могут оказаться особыми. Это, однако, невозможно,
поскольку функции tin(x), как и функции Ханкеля, не имеют веще-
вещественных корней. Это легко показать для малых значений kr0,
удовлетворяющих неравенству
ь — — <^ \
где Я —длина излучаемых системой волн. В силу формул C6) и
D0) при малых kr0
Подставив эти соотношения в формулу D2), получим
2п— 1)!! птУ
откуда следует справедливость сделанного утверждения, так как
все числа Апт, Впт заведомо ограничены.
Выражения E2) позволяют также получить приближенное
представление ряда D5) при малых размерах источника. Подставив
— 426 -

выражения E2) в ряд ,D5), получим ряд
тН'МУ.(*.*>. E3)
который обычно быстро сходится.
Выясним теперь физический смысл отдельных членов ряда D5).
Рассмотрим первый член, который, в силу того, что (см.
гл. XIII, § 6
может быть записан в виде
ic0 eikr
Положим
где а0 и |30 — вещественные числа. Тогда первый член распадается
на два слагаемых:
a ~4kr li a |J° ikr '
Сравнив их с выражением B5), видим, что они соответствуют
полям точечных источников с производительностями
a0 и Q0? =
и фазой, взаимно сдвинутой на ~.
Чтобы выяснить физический смысл второго члена, найдем соот-
соответствующее ему распределение радиальных скоростей vr у поверх-
поверхности шара. В силу формул D) и D5):
i dp id. Нл (kr) *т /л ч hi (kr) , r /fv ч
откуда
^1,^ = 0O^9, ф).
Но в силу D3):
Кх (9, ф) = a10P! (cos 9) + Рп (cos 9) (ап cos ф + bn sin ф) =
= a10 cos 9 + sin 9 (an cos ф + bn sin ф).
Представляя каждую из комплексных величин а10, ап и fcn в виде
— 427 —

разобьем выражение соК^б, ф) ft а два слагаемых. Первое из них
равно
o^ib (в, ф) = о [at cos 6 + sin 0 (ап cos ф + |}п sin ф)]. E4)
В частности, при «11 = р11 = 0 получим vr\r=r ^coc^cosO. Но не-
нетрудно видеть, что именно такое распределение радиальных ско-
скоростей имеет место при гармонических колебаниях жесткого шара,
происходящих с круговой частотой со и амплитудой ах вдоль
полярной оси сферической системы координат. Руководствуясь
этим обстоятельством, рассмотрим случай колебаний шара с ам-
амплитудой sx вдоль оси, направление которой определяется углами
0 = 0' и ф = ф\ В этом случае радиальная скорость vr точки на
поверхности рассматриваемого шара с координатами Э, ф (равная
проекции скорости колебаний центра шара на направление, задан-
заданное углами Э, ф) определится соотношением
vr \r=r0 = (^i cos 9')cos 9 + sin Э [((os1 sin 6' cos ф'] cos ф +
+ ((^s1 sin 0' sin ф') sin cp],
которое совпадает с соотношением E4), если
sx cos Э' ?= al9 sx sin 0' cos ф' = au, sx sin 0' sin q/ = pn,
т. е. если
E5)
Совершенно таким же образом найдем, что второе слагаемое
в coF1@, ф), содержащее множитель е 2, также дает поле, соот-
соответствующее гармоническому колебанию жесткого шара, но, вообще
говоря, происходящему с другой амплитудой и вдоль другой оси.
Амплитуду и направление колебания определим, произведя в фор-
формулах E5) замены: ах —> ylt ап —> yllf CU — > бп. Кроме того, фаза
второго колебания сдвинута на -^ по отношению к фазе первого.
Как и при рассмотрении первого члена ряда D5), мы можем
ввести точечный объект, который называют акустическим или
колебательным диполем. Под ним будем понимать гармонически
колеблющийся вдоль некоторого направления шар, поперечник
которого пренебрежимо мал по сравнению с длиной излучаемых
волн. Для читателя не доставит затруднений убедиться, что второй
член разложения D5) при г > г0 соответствует полю двух надле-
надлежаще ориентированных акустических диполей с фазами, взаимно
сдвинутыми на у
— 428 —

Рассматривая последовательно члены ряда D5) можно было бы
продолжить построение акустических мулыпиполей. Мы предпоч-
предпочтем, однако, несколько иной подход к делу, тем более, что суще-
существенное практическое значение имеет лишь модель (колеблющийся
шарик) акустического диполя.
Каждая из сферических функций Yn(Qy ф) и входящих в ее
состав слагаемых дает распределение колебаний поверхности шара,
характеризуемое, во-первых, определенной степенью симметрии —
определенным числом и взаимным расположением осей и плоско-
плоскостей симметрии и, во-вторых, определенной ориентацией этих фигур
симметрии в пространстве. Особенностью каждой из указанных
фигур симметрии является то, что соответствующая им картина
поля на всех шаровых поверхностях, концентричных с шаровым
источником, подобна, что, вообще говоря, не имеет места при
произвольной картине поля.
С аналогичным положением мы встречались уже при рассмот-
рассмотрении электростатического поля произвольной системы зарядов.
Как было показано в гл. XX, §§ 3—4, поле произвольной сис-
системы зарядов может быть представлено в виде разложения по
мультиполям разного порядка:
k=0
С ростом г роль отдельных слагаемых меняется, так что, если при
некотором значении г основную роль играет, например, слагаемое
с k — п^то с ростом г рано или поздно эта роль перейдет к сла-
слагаемому -с k=n2< пг (если только все слагаемые с k < пх не
равны тождественно нулю). Картина поля все более приближается
к симметричной картине, соответствующей мультиполю наимень-
наименьшего порядка, для которого мультипольный момент системы не
равен нулю. Так, при достаточном удалении от произвольной
системы зарядов с полным зарядом, неравным нулю, поле этой
системы близко к сферически симметричному полю точечного
заряда. Если полный заряд системы равен нулю, но дипольный
момент отличен от нуля, то на достаточном удалении поле близко
к полю диполя и т. д.
Наоборот, поле каждого отдельного мультиполя k [' с рос-
том г лишь убывает, картины же его на всех шаровых поверх-
поверхностях с центром в г = 0 в точности подобны.
В силу замкнутости системы сферических функций, мультиполи
(или системы, по создаваемому полю эквивалентные одному мульти-
мультиполю) исчерпывают все системы, обладающие этим свойством. Дей-
Действительно, предположим, что им обладает также некоторая
система, не приводящаяся к одному мультиполю. Тогда она,
согласно § 3—4 гл. XIX, может быть представлена как сумма
— 429 —

(конечная или бесконечная) мультиполей разных порядков, рас-
расположенных в точке г = г0. Но поля мультиполей разных порядков
с ростом г меняются по различным законам, и система не может
обладать требуемым свойством. Полученное противоречие и дока-
доказывает сделанное утверждение.
Свойством создавать поля, подобные на бесконечной системе
концентрических шаровых поверхностей произвольного радиуса,
и может быть определен мультиполь. В частности, под акусти-
акустическим или колебательным мультиполем мы будем понимать то-
точечный источник, создающий в однородной среде поле, имеющее
следующие свойства: а) оно удовлетворяет уравнению Гельмгольца,
б) фаза колебаний поля зависит только от расстояния до источника
(так что, в частности, в любой точке произвольной шаровой по-
поверхности с центром в точке расположения источника фаза коле-
колебаний одинакова), в) на всех шаровых поверхностях с центром
в точке расположения источника поля подобны, г) удовлетворяется
условие излучения. Излучающая система, поле которой начиная
с некоторого расстояния подобно полю мультиполя, может быть
названа приводящейся к мультиполю.
Продолжим теперь сравнение между электростатическим и аку-
акустическим полями.
Подставив в ряд E3) выражение C6) для hn (kr) при малых
значениях аргумента, получим разложение
1 E7)
Если включить здесь множители ( п " ) в состав функции
УпФ> ф)» мы получим ряд, формально полностью совпадающий
с рядом E6); поэтому к полю /?, в пределах применимости ряда E7),
приложимо то, что было сказано о поле системы электрических
зарядов.
В характере обоих полей есть, однако, существенные отличия.
Во-первых, они обусловлены тем, что при kr^>n поле давления
акустических мультиполей всех порядков убывает лишь пропор-
пропорционально —. Это следует из соотношения C7). Поэтому, в от-
отличие от электростатического поля, в котором роль мультипольных
моментов высших порядков по мере удаления от системы зарядов
становится сколь угодно малой, в акустическом поле, по мере
роста г, разница в темпе убывания полей мультиполей разных
порядков становится все менее ощутимой. В результате, зависи-
зависимость давления в акустическом поле от угловых координат с ро-
ростом г, вообще говоря, стремится не к зависимости, соответствую-
соответствующей некоторому акустическому мультиполю, но к специфической
в каждом случае зависимости. Это ясно видно также из следую-
— 430 —

щего. Пусть no<^kr. Тогда сумма членов ряда D5) сп<п0
в силу C7) приближенно равна
;рсоа
^"° Ai (kr0) tkr l*y > hn (kr0)
Входящий в это выражение ряд
е, Ф, «„)-V (-Оп-Йг7
E8)
не зависит от г и при kr—+oo, п0—> оо и определяет указанную
предельную зависимость.
Таким образом, если электростатическое поле по мере удаления
от источника сколь угодно близко приближается к полю мульти-
поля некоторого порядка (т. е. любая система неподвижных элек-
электрических зарядов приводится к мулыпиполю), то в акустическом
поле это обстоятельство, вообще говоря, не имеет места. Однако
роль мультиполей высшего порядка в акустическом поле обычно
невелика, что можно, например, ожидать, ввиду быстрого убы-
убывания членов ряда E3), обусловленного наличием множителя
1
Bл—1)!! *
Во-вторых, различие между электростатическими и акустиче-
акустическими полями обусловлено тем, что акустические поля (и вообще
колебательные поля) могут отличаться друг от друга не только
амплитудой, но и фазой, что не имеет места в случае электро-
электростатического поля. Поэтому каждый член разложений D5) и E3)
соответствует полю не одного мультиполя, а двух, отличающихся
фазой колебаний.
В силу формул D) и E8) радиальная скорость среды, обуслов-
обусловленная мультиполями с п^п0, при kr^>n0 равна
Тангенциальные компоненты скорости vH и vf, имеют порядок —,
как это ясно из выражений для операторов дифференцирования
по направлениям касательных к линиям ср = const и 6 = const:
\_д_ 1 д_
г 59 ' г sin 0 дф *
Поэтому при большом удалении от излучающей системы и малой
роли мультиполей высших порядков движение среды, в основном,
радиальное.
Пользуясь соотношением G) и полагая, что давление звукового
поля достаточно хорошо представимо^в форме
— 431 —

найдем, что интенсивность поля на большом удалении от излу-
излучателя равна
/~" 2ра "" 2аг*
где
FQ, Ф) = Л|*№. Ф. °°)|2 F1)
— так называемая функция углового распределения интенсивности
излучения, а
Q0 = 4ji/>c0 F2)
— „средняя производительность" источника. Для равномерно
пульсирующего шара F(d, cp)=l.
ЗАДАЧИ
1. Исследовать поле излучения точечного источника низкой частоты, распо-
расположенного на поверхности шара.
Указание. Источник удобно расположить в полюсе шара 6 = 0. Тогда
окажется, что
1 / 1 \ Q2
Яло = Т^ ( n + YJ ~~i » anm=bnm = Q>
где Q—производительность источника. Точечный источник следует рассматривать
как предельный случай источника, имеющего вид круговой площадки радиуса г'
и производительность (&сояг'2).
2. Исследовать поле акустического квадруполя.
§ 7. Рассеяние звука
Если звуковая волна встречает препятствие, она частично отра-
отражается от него, а частично проходит внутрь. В результате перво-
первоначальное направление распространения волны изменяется. Этот
процесс называют рассеянием или дифракцией звуковых волн.
Рассмотрим стационарное звуковое поле, которое устанавли-
устанавливается в однородной среде, характеризуемой плотностью р и ско-
скоростью звука а, при наличии в ней однородного же тела, харак-
характеризуемого плотностью р,- и скоростью звука а{. Как и выше,
звуковое поле будем характеризовать давлением р и круговой
частотой со звуковых колебаний. Среду будем предполагать запол-
заполняющей все пространство RE, за исключением объема У, занятого
телом.
Поле ро{х), которое существовало бы при отсутствии тела,
назовем падающей волной, поле Pi(x) внутри тела — преломлен-
преломленной волной, а поле ре{х), которое складываясь с падающей вол-
волной ро(х) дает действительное звуковое поле р(х) в среде,—
отраженной или рассеянной волной.
- 432 -

Ввиду однородности тела и среды, в их внутренних точках
давление удовлетворяет однородным уравнениям Гельмгольца:
4
я/
Так как ре(х) = р(х) — ро(х)у а падающая волна ро(х) также
удовлетворяет уравнению Гельмгольца, то
*==О» когда x?RE —V.
На бесконечности рассеянная волна рв{х) должна, очевидно, удов-
удовлетворять условию излучения:
limr(^-ikpe)=0, lim>. = 0.
Наконец, на границе WV тела давление и скорость колебаний
в теле и среде должны совпадать, что, в силу формулы D), при-
приведет к следующим условиям сопряжения:
1 dp/ I dpp . 1 dp*
где -j- означает дифференцирование по направлению внешней
нормали к границе области V.
Собрав воедино найденные соотношения и предполагая, что
падающая волна задана, придем к следующей задаче:
Др. ==/55^. = О, когда х ? У — WV\
эе = 0, когда x?RE—У;
F3)
. № = J% + Jd?> когда x
представляющей одну из простейших задач математической теории
диффракции.
Мы займемся этой задачей в предположении, что область V пред-
представляет шар, а падающая волна является плоской.
Введем сферические координаты г, 0, ср с началом в центре
шара V и полярной осью, направленной навстречу падающей
волне. При этом падающая волна может быть представлена выра-
выражением
po(r, Q) = Aeikrcos\ F4)
не зависящим от координаты ср. Ввиду симметрии картины рас-
рассеяния относительно полярной оси, решение дифракционной
задачи F3) также не будет зависеть от ср.
— 433 —

Следовательно, разложение рассеянной волны в ряд вида (94)
гл. XXIV по частным решениям уравнения Гельмгольца будет
иметь вид:
О)
п \^ /у U lhr\ P (rn^f)} h (br\— "I/ ^ И^ lhr\ (f\Z%\
¦Л<— Г LRi (x-\
a=o 2
где Ha+±_(kr) — функция Ханкеля первого рода. Решение для
2
преломленной волны будем искать в виде аналогичного ряда:
Л = S 6J. (V) Л (cos 0), /a (йг) = |/ g?7 ya+-L (V). F6)
в котором вместо функций Ханкеля стоят функции Бесселя, обеспе-
обеспечивающие ограниченность членов ряда при г = 0. Из выраже-
выражения E6) гл. XXIV для частных решений уравнения Гельмгольца
следует, что члены последнего ряда удовлетворяют уравнению
Гельмгольца.
Для определения неизвестных коэффициентов яа, &а, а =
— 0,1,2, ..^воспользуемся известным из теории бесселевых
функций разложением выражения для плоской волны по сфери-
сферическим функциям:
eikr cose = V Ba+ 1) i*ja (kr) Pa(cos 6).
a=o
Подставив указанные ряды в условия сопряжения и приравняв
коэффициенты при Pa(cosG), для определения коэффициентов
получим уравнения:
b«/a (ktr,)-aX {kr,) - А Bа + 1) i*ja (kr0),
%- КГ (Vo)-AаА^'о) = А А Bа+ 1) *«/;(*г0),
где г0 —радиус граничной поверхности WV. Найдя из этой системы
уравнений коэффициенты aa, ba и подставив их в ряды F5) си-
системы, найдем решение рассматриваемой дифракционной задачи F6).
ЗАДАЧИ
1. Сформулировать и решить задачу о рассеянии плоской звуковой
волны F4) на абсолютно твердом неподвижном шаре V радиуса г0.
Ответ: Формулировка задачи:
= O, когда г > г0;
lirn г[Ц^— ikpe)=O, lim /?e = 0f
^f = Aik cos Qeikrzo*\ когда r = r0.
— 434 —

Решение:
00
Ре = - А V Bа+ 1) га 4^ Л« (kr) Рл (cos 9).
Это решение получается, если во втором уравнении F7) положить р/=оо и
подставить найденные из него значения коэффициентов аа в ряд F5).
2. Показать, что когда длина волны велика по сравнению с размерами
шара V (kr0 ^1), то решение предыдущей задачи на большом удалении от
шара (kr ^> 1) может быть представлено приближенной формулой
——cos
Зл V 2
Указание. Следует воспользоваться приближенными выражениями для
бесселевых функций при малых значениях аргумента.
ДОПОЛНЕНИЕ К ЧАСТИ ВТОРОЙ*
СВЕДЕНИЯ ОБ УРАВНЕНИЯХ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА ОБЩЕГО
ВИДА
§ 1. Общий вид уравнения эллиптического типа
В соответствии с определением, данным во введении, будем
говорить, что уравнение
п п
Stt + L^+™ = /> О)
p а=1
где пц, Ь;, с и / — функции, заданные в области V, принадлежит
в этой области эллиптическому типу, если квадратичная форма
сохраняет в этой области знак и не обращается в нуль.
Число п является числом измерений области V. Ниже будут
рассматриваться только трехмерные области (л = 3), однако
результаты в равной мере приложимы как к плоским (я = 2),
так и к многомерным (п > 3) областям.
Ниже будем предполагать, что функции а/у., bh с и f непре-
непрерывны и, кроме того, что функции а/у., а также функции
имеют непрерывные первые производные. При последнем условии
уравнение A) можно преобразовать к виду
—4435 —

Дифференциальное выражение, стоящее в левой части уравне-
уравнения A) или B), будем обозначать через <Ми. При этом обозначе-
обозначении эти уравнения могут быть записаны в виде
Ли = /. C)
§ 2. Основные граничные задачи
В первой части этой книги рассматривались физические вели-
величины, удовлетворявшие уравнениям гиперболического типа. Все
эти величины характеризовали процессы, зависящие от времени.
В связи с этим для рассматривавшихся в первом разделе урав-
уравнений была характерна задача, в которой искомая величина
должна удовлетворять кроме уравнения еще граничным и началь-
начальным условиям. Мы, далее, видели, что тогда, когда процесс,
описываемый в общем случае уравнением гиперболического типа,
носит установившийся характер, то, вследствие обращения в нуль
членов, содержащих производные по времени, он описывается
уравнением эллиптического типа.
Это позволяет предполагать, что уравнения эллиптического
типа естественно связаны с физическими задачами, в которых
рассматриваются установившиеся (стационарные) состояния. В свою
очередь, установившиеся состояния физических объектов естест-
естественно считать зависящими только от условий на их границах,
но не от последовательности предшествовавших состояний. Реше-
Решения уравнений, описывающих такие состояния, должны полностью
определяться заданием одних граничных условий.
Чтобы выразиться точнее, заметим, что в задачах для урав-
уравнений гиперболического типа нам приходилось задавать на гра-
границе изучаемой области одно соотношение, в которое могли вхо-
входить искомая функция, ее первые производные и некоторые задан-
заданные функции, а в начальный момент времени—два соотношения
для искомой функции и ее первой производной по времени. Сле-
Следовательно, мы должны ожидать, что решение уравнения эллип-
эллиптического типа в частных производных 2-го порядка полностью
определится заданием одного соотношения, относящегося к гра-
границе изучаемой области—граничного условия, в которое могут
входить заданные функции, искомая функция и ее первые произ-
производные. Это предположение оправдывается при естественных
дополнительных требованиях, относящихся к гладкости искомой
функции и ее поведению на бесконечности (последнее, если реше-
решение ищется в бесконечной области). Эти требования для внутрен-
внутренних задач могут быть сведены к регулярности решения.
Вопроса об условиях на бесконечности мы касаться не будем,
ограничив себя рассмотрением только внутренних задач. В наибо-
наиболее общей форме граничная задача для уравнения эллиптического
типа может быть сформулирована следующим образом: найти
функции
— 436 —

а) являющиеся регулярными решениями уравнения C) в рас-
рассматриваемой области V,
б) на границе WV области V удовлетворяющие граничному
условию
а^ + ри = ф, когда *€?Т, D)
где а, р и ф —заданные на WV функции, причем |а| + |Р|>0,
а -т; означает дифференцирование по направлению /, заданному
в каждой точке на WV, в которой а=^=0.
В такой общей постановке граничная задача до сих пор пол-
полностью не изучена. Для математической физики наиболее важны
частные граничные задачи, с которыми мы уже встречались выше.
Их классификацию применительно к уравнению эллиптического
типа общего вида целесообразно принять отличной от ука-
указанной в гл. XIX, определив их в зависимости от вида гранич-
граничного условия следующим образом.
1. Задача Дирихле или первая граничная задача:
= f, когда x^V — OFV; u = ty, когда xgJFV. E)
2. Задача Неймана или вторая граничная задача:
= f, когда *gV—?V\ а^ + ргг = я|), когда jcg<FV, F)
где коэффициент а не обращается в нуль на поверхности SFV,
а -^ означает дифференцирование по направлению конормали к WV
(гл. XVIII, § 3),
3. Смешанная или третья граничная задача:
= f, когда x?V — ?V\ a^ + p^ = ip, когда x^lFV, G)
где коэффициент а, не обращаясь на поверхности WV в нуль
тождественноу равен нулю на части WV.
Отметим, что при нашем новом определении граничных задач,
задача Неймана, охватывает как задачу Неймана, так и, частично,
смешанную граничную задачу в прежнем смысле слова.
Перечисленные граничные задачи называют внутренними или
внешними в зависимости от того, ставятся ли они для области, ле-
лежащей внутри или вне конечной замкнутой поверхности WV.
В этой главе мы будем заниматься только внутренними задачами
Дирихле и Неймана.
Указанную выше постановку и классификацию граничных
задач распространяют также на случай двух переменных.
— 437 —

§ 3. Сопряженные граничные задачи
Рассмотрим граничное условие задачи Неймана:
а-^ + |Зи = ср, когда x$?V (афО). (8)
Умножив его на отношение —, где величина а определена фор-
ос
ос
мулой A1) гл. XVIII, приведем его к виду
? = ty, когда x??V, (9)
где g и if — известные функции. Сравнив это соотношение с пер-
первым из равенств A4) гл. XVIII, видим, что оно может быть
записано в виде
3>и = Ц, когда x^&V. A0)
Граничное условие
Qv^a^ + (g-b)v=q, когда x??V, A1)
где дифференциальное выражение Qv определено вторым из ра-
равенств A4) гл. XVIII, a ij} — некоторая функция, определенная
на оП/, назовем сопряженным граничному условию A0).
Назовем далее сопряженными граничные задачи:
o?u = f, когда x€V — WV\ Ри = Ц, когда x^WV\ A2)
сЛГу = /, когда x?V — WV\ Qv=y, когда x^&V, A3)
где (Jlu и dfv— сопряженные дифференциальные выражения, 9*и
и Qv — соответствующие им выражения, определенные равенст-
равенствами A4) гл. XVIII, а /, / и г|э, i|5—-функции, определенные со-
соответственно в изучаемой области V и на ее границе WV.
В случае граничной задачи Дирихле:
o?u = f, когда x?V — WV\ u = ty, когда x?oFV, A4)
сопряженной к ней назовем задачу:
dfv = J, когда x?V—WV\ d == гр, когда x^WV.
Легко видеть, что свойство сопряженности взаимно, причем
две взаимно сопряженные задачи всегда имеют аналогичные
граничные условия, т. е. обе являются либо задачами Дирихле,
либо задачами Неймана.
Если обе функции / и if тождественно равны нулю, то соот-
соответствующую задачу будем называть однородной. Соответственно,
сопряженную задачу будем называть однородной, если тождест-
тождественно равны нулю обе функции / и -ф. Каждой граничной за-
задаче сопряжена одна однородная задача.
— 438 —

§ 4. Фундаментальные решения. Функция Грина
Наряду с регулярными решениями уравнений эллиптического
типа важную роль играют так называемые фундаментальные ре-
решения.
Фундаментальным решением уравнения: oML = 0 называют
функцию Леей ЬЦ, х) (гл. XVIII, § 4), которая при \фх удовле-
удовлетворяет этому уравнению по координатам одной из точек (х
или I) и зависит от координат другой точки, как от парамет-
параметров. Будем писать оЛ,Ь или oMxL в зависимости от того, рассматри-
рассматриваем ли мы как переменные, по которым производится дифферен-
дифференцирование, координаты точки \ или х. Выражения оЛхи и оМ^и
будем понимать как оМхи (х) и оМм. (?).
Рассмотрим задачу Дирихле:
o?xu = f, когда x?V—WV\ u(x) = ty, когда xgdFV, A5)
где / и г|э— непрерывные функции.
Предположим, что как решение и(х) задачи A5), так и функ-
функция Леви L(|, x) дифференциального выражения о?хи непрерывны
в замкнутой области V вместе со своими первыми производными.
Применив к функции и(х) формулу Грина — Стокса C9), гл. XVIII,
получим
H JJJ )dVt. A6)
Если существует фундаментальное решение однородной задачи:
Jffid, x) = 0, когда l?V-^V-x-
G(?, x) = 0, когда \??V9 x^V — WV, A7)
сопряженной задаче Дирихле A5), и если это решение непрерывно
в области V вместе со своими первыми производными, то мы
можем положить L(?, x) = G(?, x). При этом формула A6) при-
примет вид
и (*) = - S S * ft) Qf ft. x) dSr-Ulf (I) G (I, x) dV^. A8)
$v ч " v
Таким образом, если существует решение задачи Дирихле A5)
и фундаментальное решение однородной сопряженной задачи,
причем в области V эти решения непрерывны вместе со своими
частными производными по координатам точки ?, то решение
задачи A5) можно заменить отысканием фундаментального ре-
решения однородной сопряженной задачи, после чего решение за-
задачи A5) 'определится формулой A8). Эта идея лежит в основе
способа Грина решения задач Дирихле.
Фундаментальное решение однородной задачи A7) называют
функцией Грина задачи Дирихле A5).
— 439 —

Аналогичным путем вводится функция Грина для задачи
Неймана. Рассмотрим задачу:
<Лхи = 1, когда x^V — frV; 5>и = Ц9 когда x??V. A9)
Предположив, что и (х) —решение этой задачи, непрерывное
в замкнутой области V со своими производными первого порядка,
применим формулу Грина—Стокса, что даст:
и (х) = Hw-uQrL) dS^- JJ S (Lf-vJfX)dV,.
?V V
Пусть G(|, x) — фундаментальное решение однородной задачи
<JV\G(?, х) = 0, когда izV
x;
QXjA, *) = 0, когда le^V x<tV-?V l '
сопряженной задаче A9). Если это решение непрерывно в об-
области V вместе со своими первыми производными, то, положив
L(|, x) = G(l, х), получим:
^(ly x)dVv B1)
Таким образом, если функция G(g, x) каким-либо образом найдена
и удовлетворяет необходимым требованиям гладкости, то реше-
решение задачи A9), непрерывное вместе со своими первыми производ-
производными в замкнутой области V, может быть найдено с помощью
формулы B1).
Фундаментальное решение задачи B0) называют функцией
Грина задачи A9). Употребительны также названия вторая функ-
функция Грина и характеристическая функция Неймана.
Рассмотрим две взаимно сопряженные граничные задачи и
предположим, что их функции Грина G(|, x) и G(?, а:) сущест-
существуют. По определению:
aSJSft, *)¦=(), cN\G(S, х) = 0, когда l$V-WV-x, B2)
G(|, jc)-O, G(?, x) = 0, когда 5б^У, x^V—ГУ, B3)
или
^6(S, JC) = O, QSG(|, x) = 0, когда l$?V, x^V-WV. B4)
Первое граничное условие выполняется для задач Дирихле,
второе — для задач Неймана.
Предположим далее, что функции G(?, x) и G(|, а:) имеют
производные первого порядка по координатам точки ?, непре-
непрерывные в области V — х. Тогда, фиксировав две точки x = xf и
х = х" (х' фх")у мы можем применить формулу Грина A5) гл. XVIII
к функциям G(|, xr) и G(l, x") в области V — V1(x'f p) — Vl(x\ p),
где V1(x'9 p) и Уг(х\ р) —эллипсоидальные окрестности-точек
— 440 —

х' и х?> определенные неравенствами вида B7) гл. XVIII. Приняв;
во внимание соотношения B2) — B4), получим
WV\ (x\ p) + <FV\ {x", р)
Перейдем к пределу при р —> 0. Заметив, что в силу соображений,
высказанных при выводе формулы Грина—Стокса (гл. XVIII, § 5),
справедливы следующие соотношения:
lim S $ iG & *') ?fi (%> **)- б (Б, Л Q6G (g, х')] сВе =
Р -*¦ и ^Vj (xr, р)
= -б(дс', дО,
^Vi (x"t р)
получим формулу
G (х1 х"\ = G (х'7 х') B5)
связывающую функции Грина сопряженных граничных задач.
В частности, если дифференциальное выражение >Ми самосопря-
самосопряженное, то G(|, x) = G(l, x), и из формулы B5) следует, что при
этом
G(x', x") = G{x\ xf). B6)
Таким образом, если для самосопряженной граничной задачи,
поставленной в области У, существует функция Грина G(S, x)y
непрерывная в области V — х вместе со своими первыми произ-
производными, то эта функция симметрична относительно точек | и х.
§ 5. Теоремы единственности
Положив в формуле Грина A5) гл. XVIII v=l и u = w*t
после несложных выкладок придем к соотношению:
з
а, C=1
3 ^ \
а=1 /
4)^- B7)
Пусть wx и и2 —даа решения задачи Дирихле:
= f, когда x€V—fF; и = -ф, когда x^^V, B8)
— 441 —

удовлетворяющие требованиям, при которых справедлива формула
Грина. Разность w = u1 — u2 этих решений явится решением одно-
однородной задачи Дирихле:
; = 0, когда x?V — WV\ w = 0, когда x
удовлетворяющей тем же требованиям. Применив к разности w
формулу B7), получим:
V а, 3=1 ' V
Левая часть этого соотношения неотрицательна в силу нера-
неравенства
S а КК>0 при 2«>0.
а, р=1 ^ р а = 1
Если
c-^tt-^O, C0,
то правая часть неположительна, так что равенство B9) возможно
только при условии, что обе его части равны нулю. Ввиду непре-
непрерывности функции w и нулевого граничного условия отсюда
следует, что в области V функция w—0y т. е. и1 = и2.
Таким образом, задача Дирихле при соблюдении условия C0)
имеет не более одного решения, непрерывного в области вместе
со своими производными первого порядка.
Проводя доказательство этой теоремы единственности другим
путем, можно показать, что требование непрерывности произ-
производных решения в замкнутой области V является излишним,
достаточно требовать непрерывности самого решения.
Рассмотрим задачу Неймана:
<Mu = f, когда x?V — ?V\ ^и = я|э, когда x?fV. C1)
Предположим, что их и и2 — два решения задачи, удовлетворяющие
требованиям, при которых к ним может быть применена формула
Грина. Разность w = u1 — и2 явится решением однородной задачи:
= 0, когда л;^ — WV\ ^w = a-^- + gw = 0, когда x? fV. C2)
Применив к разности w формулу B7), получим
V а, |3=1
— 442 —

Если
з
1 % Ч ftp h
с—-wzL 4^-< о, 4-—g<o, C4)
то, как легко видеть из этого интегрального соотношения, должно
быть
^- = 0 (/=1,2,3), когда x?V, C5)
в силу чего задача C2) примет вид:
) = аи = 0, когда x?V—WV\ ^w — gw = 0t когда
Отсюда следует, что если при выполнении неравенств C4) хотя бы
одна из функций g и с неравна нулю тождественно, то w = 0.
Из соотношения C3), в силу непрерывности функции w, также
следует, что w = 0, если хотя бы одно из неравенств C4) является
точным. Если же ни одно из этих дополнительных условий не
имеет места, то из соотношения C5) вытекает, что w = const.
Таким образом, задача Неймана при g=^0 и выполнении
условий C4) имеет не более одного решения, непрерывного
в области V вместе со своими производными 1-го порядка. При
g = 0 решения задачи Неймана не могут отличаться более, чем
на постоянное слагаемое. Если хотя бы одно из неравенств C4)
является точным, либо функция с отлична от тождественного
нуля, то эта постоянная равна нулю.
ЗАДАЧИ
1. Показать, что если задача Дирихле имеет не более одного решения,
допускающего применение формулы Грина, то и сопряженная ей задача имеет
не более одного такого решения.
2. Показать, что самосопряженная задача Дирихле имеет не более одного
решения, допускающего применение формулы Грина, если с<;0, а самосопря-
самосопряженная задача Неймана, если, кроме того, g > 0.
§ 6. Условия разрешимости граничных задач
До сих пор мы рассматривали граничные задачи в предполо-
предположении, что их решения, притом удовлетворяющие некоторым
дополнительным требованиям, существуют. Доказательство суще-
существования решений граничных задач представляет весьма слож-
сложную проблему, которая требует развития специального матема-
математического аппарата, далеко выходящего за рамки обычно приме-
применяемого при изучении конкретных физических приложений. Вслед-
Вследствие этого, за исключением некоторых условий разрешимости,
вытекающих непосредственно из формулы Грина, мы ограничимся
лишь изложением основных результатов, относящихся к сущест-
существованию решений граничных задач, опуская доказательства.
— 443 —

Пусть и — решение задачи Дирихле:
<Mu = f, когда x^V—ffV\ u = ty9 когда *€<FF, C6)
непрерывное в области V вместе со своими первыми производ-
производными, а V — какое-либо решение однородной сопряженной задачи:
= О, когда x?V — ?V\ v = 0, когда xglFV, C7)
удовлетворяющее этому же условию. Функции / и г|) будем счи-
считать непрерывными. При этих предложениях мы можем приме-
применить формулу Грина A5) гл. XVIII. Произведя в ней подста-
подстановки в соответствии с уравнениями C6) и C7), получим
V &V
Подобным же путем, для задачи Неймана:
o?u = f, когда x?V — #Y; Pu = ty, когда x^lFV,
получим:
J f J fv dV - J J ti-ф dS = 0, C9)
где у — решение однородной сопряженной задачи:
= O, когда л:6У—ГК; ^и = 0, когда xg(FV, D0)
непрерывное в области V вместе со своими первыми производ-
производными.
Таким образом, в отношении решений граничных задач, до-
допускающих применение формулы Грина, приходим к следующей
альтернативе: либо решения однородных сопряженных задан, не-
непрерывные в рассматриваемой области вместе со своими производ-
производными первого порядка, тождественно равны рулю, либо гранич-
граничные задачи разрешимы лишь при выполнении соответствующего
условия C8) или C9).
Рассматриваемое свойство тесно связано с условиями единст-
единственности. Действительно, если неоднородная граничная задача
имеет не более одного решения, то, как мы видели в предыду-
предыдущем параграфе, решение соответствующей ей однородной задачи
тождественно равно нулю. Поэтому единственность решения за-
задачи, сопряженной рассматриваемой граничной задаче, влечет за
собой обращение в нуль функции v и тождественнее удовлетво-
удовлетворение соответствующего условия C8) или C9). В частности, если
самосопряженная задача имеет не более одного решения, то
условие C8) или C9) выполняется тождественно.
Представляет большой интерес случай, когда теорема единст-
единственности не имеет места. Прежде чем сформулировать относя-
относящиеся сюда результаты, напомним формулировку условия Гёль-
— 444 —

дера. Будем говорить, что функция q> удовлетворяет этому усло-
условию в области У, если отношение
г%
где-г —расстояние между точками х' и х!'', а Я — некоторое поло-
положительное число, ограничено при любом выборе точек x',x"€V.
Рассмотрим дифференциальное уравнение эллиптического типа
а, 3=1 н а=1
коэффициенты которого аи, eh с (it / = 1, 2, 3) и свободный член
f определены в замкнутой области V, причем первые производ-
производные коэффициентов аи и е{ и коэффициент с непрерывны и удов-
удовлетворяют условию Гёльдера в области У, а свободный член f —
непрерывен в области V и удовлетворяет условию Гёльдера
в области V — <FV.
При этих условиях и дополнительном условии с^О задача
Дирихле
n?u = f, когда x?V — IT; и = -ф, когда x^WV D2)
имеет решение, и притом единственное, если функция г|) не-
непрерывна на границе ?V. Если выполнено условие C0), то задача
Дирихле D2) и сопряженная ей задача
= ff когда x?V — <FV\ u = ty, когда x
где функция f и гр обладают теми же свойствами, что и функ-
функции / и г|) соответственно, имеют единственное решение.
Если коэффициент с>0, то имеет место следующая альтер-
альтернатива: либо однородные взаимно сопряженные задачи
= 0у когда x?V — <FV; w = 0, когда х^У, D3)
= O, когда я; g У — ^У; v = 0, когда xgfV^, D4)
не имеют решений, отличных от тождественного нуля, и
тогда задача Дирихле D2) имеет единственное решение, либо эти
задачи имеют по одинаковому числу т линейно-независимых реше-
решений и19 и2, . .., ит и vl9 v2, . . . , vm, и тогда задача Дирихле D2)
разрешима только при выполнении интегральных соотношений
вида C8) для каждого из решений vlt v2, . . ., vm. Когда послед-
последнее условие выполнено, задача Дирихле имеет бесчисленное мно-
множество решений. Если и-—одно из них, то все остальные могут
т
быть представлены в виде ^+2 саиа, где са —постоянные.
а1
Последнее замечание показывает, что решение и задачи Ди-
Дирихле, ортогональное ко всем решениям и19 и2, ..., ит однород-
— 445 —

ной задачи D3), единственно. Действительно, пусть решение и
удовлетворяет условиям ортогональности:
UidV = 0, i= I, 2, ..., т.
Любое другое решение и задачи, согласно сказанному, предста-
вимо в виде
т
й = и + 2 саиа.
Но хотя бы при одном коэффициенте с{ Ф О, интеграл
отличен от нуля, из чего и вытекает высказанное утверждение.
Если область V достаточно мала, то задача Дирихле D2)
всегда имеет единственное решение.
Перейдем теперь к формулировке условий существования функ-
функции Грина задачи Дирихле.
Если задача Дирихле D2) имеет единственное решение и(х)9
то существует функция Грина G (?, х) этой задачи и справедлива
формула A8):
J^ ^(l)G(l, x)dV%.
Если решение задачи Дирихле существует, но не единственно,
то все же можно построить такую функцию G(?, x), называемую
обобщенной функцией Грина, что решение также представило
формулой A8). Эта функция определяется неоднозначно. На-
пример, за обобщенную функцию Грина может быть принято
фундаментальное решение граничной задачи
^fi (I, х) = 2 Va (I) va (x), когда х € V- WV\ D5)
a=i
G(i, *) = 0, когда x??V,
удовлетворяющее дополнительному требованию ортогональности:
, ...,m). D6)
При этом функция и(х), определенная формулой A8), явится
решением, ортогональным всем решениям иг, и2, ..., ит однород-
однородной задачи D3). Как указывалось, такое решение единственно.
— 446 —

Результаты, аналогичные изложенным, имеют место и для
задачи Неймана:
= ff когда x?V — ?V\ Pu = ad?+gu = qf когда x??V, D7)
при условии, что функции г|) и g непрерывны на WV.
Если с^О, g>0 или с < 0, g^O, то задача D7) имеет
единственное решение. Если же соблюдены неравенства C4) и
хотя бы одна из функций с и g не равна тождественно нулю,
то задача D7) и сопряженная ей задача с непрерывным гранич-
граничным условием имеют одно и только одно решение.
Если указанные условия не выполнены, то имеет место сле-
следующая альтернатива: либо однородные сопряженные задачи
g?u = 0, когда x^V — WV; Ти = О, когда x?<FV, D8)
<tfv = O9 когда x?V — ?V\ Qv = Ot когда x??V, D9)
не имеют решений, отличных от тождественного нуля, и тогда
задача D7) имеет единственное решение, либо эти задачи имеют
по одинаковому числу т линейно-независимых решений ult и2, ...,
ит и v19 v2, ..., vm, и тогда задача D7) разрешима только при
выполнении интегральных соотношений вида C9) для каждого из
решений v19 v2, ..., vm. Когда последнее условие выполнено, задача
D7) имеет бесчисленное множество решений, причем все они могут
т
быть представлены в виде и-\- ^саиа, где са — постоянные, аи —
a=i
какое-либо решение задачи D7). Решение и, ортогональное всем
функциям uh при этом единственно.
Если с = 0, g = 0, то т=\, иг = const, и решение задачи D7)
определяется с точностью до постоянного слагаемого.
Что касается функции Грина задачи D7), то она существует
всегда, когда решение задачи D7) единственно, причем это реше-
решение представимо с помощью формулы B1). Если единственность
решения не имеет места, то решения задачи D7) также могут
быть представлены в виде B1) с помощью надлежащим образом
определенных обобщенных функций Грина.

ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ
УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
К уравнениям параболического типа приводят задачи, свя-
связанные с процессами теплопроводности и диффузии, с распрост-
распространением электромагнитных полей в проводящих средах, с дви-
движением вязкой жидкости и др.
Простейшим представителем параболических уравнений явля-
является уравнение теплопроводности
Глава XXVI
ПОСТАНОВКА ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ. ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ
§ 1. Первая граничная задача. Теорема
о максимуме и минимуме
Постановка задачи. Пусть Q — ограниченная область про-
пространства (а:, у, г). Обозначим через Q в пространстве (х9 у, г, t)
цилиндр, основание которого есть область й и образующие ко-
которого параллельны оси О/. Пусть QT — часть этого цилиндра,
ограниченная снизу плоскостью ? = 0 и сверху плоскостью
t = T (T > 0). Часть границы цилиндра QT, состоящую из его
нижнего основания (/ = 0) и боковой поверхности, обозначим
через Г.
Рассмотрим следующую задачу: найти в цилиндре QT решение
уравнения теплопроводности
dt~~ {дх*^ду2- ^ dz*J ' к }
-• 448 —

удовлетворяющее начальному условию
u\im9~<t(x, у, г) фс, |/, *)€Q) B)
и граничному условию
t) (<€[0,Г]), C)
где S—граница области й, P — точка поверхности S. Функции
Ф и ? непрерывны, причем значения W при / = 0 совпадают со
значениями ф на границе S.
Задача нахождения решения уравнения (I) при условиях B),
C) называется первой граничной задачей для уравнения теплопро-
теплопроводности.
Теорема. Функция и(х, yt z9 t)t удовлетворяющая однород-
однородному уравнению теплопроводности A) внутри цилиндра QT и
непрерывная вплоть до его границы, принимает наибольшее и
наименьшее значения на Г, т. е. или при t = Q, или на боковой
поверхности цилиндра QT.
Так как теорема о минимуме сводится к теореме о макси-
максимуме переменой знака у и (х9 у9 z, t), то мы ограничимся дока-
доказательством теоремы о максимуме.
Обозначим через М наибольшее значение функции и(х9 у, z, t)
в цилиндре QT, а через т— наибольшее значение u(xf yf zf t)
на Г. Допустим, что существует такое решение u(xf yf zf t), для
которого М > m, т. е. для которого теорема о максимуме не-
неверна. Пусть эта функция принимает значение М в точке
(х09 у09 г0, /0), где (х09 у09 z0) принадлежит Q и 0</0<7\
Рассмотрим функцию
v(x, yt zf t) = u(x, уf zt t)-\—тг^— [(x — xoJ-\-(y—У0J-\-(г — ^0J]>
где d—диаметр области Q. На боковой поверхности цилиндра
QT и на его нижнем основании
v(x, у, t) < т +—Г- = ? + т < М,
Следовательно, v(x, yf z, t)9 так же как и и(х9 yf zf t), не прини-
принимает наибольшего значения ни на боковой поверхности QT ни
на его нижнем основании. Пусть v(x9 yf z, t) принимает наиболь-
наибольшее значение в точке (х19 у19 z1} t±)9 где (х19 у19 г±) лежит внутри
Q и 0</1^Т. Тогда в этой точке вторые производные -^ ,
~9 jg? неположительны и ^^0 (если /1<Т, то у, = 0, если
же t1 = T9 то 57^0)» откуда следует, что в точке (xl9 y19 z19 tx)
15 j\fe 645 — 449 —

должно быть
dv
С другой стороны,
dv 2
dt~~a
да 2 (д*и д*и ЬЧ\ 2 М-т 2 Af-m
что противоречит D), и теорема доказана.
Из доказанной теоремы непосредственно вытекает, что:
1) Решение первой граничной задачи A)—B) в цилиндре QT един-
единственно. В самом деле, если бы мы имели два каких-либо реше-
решения их и и2 задачи, то их разность w = u1 — u2, удовлетворяя
однородному уравнению A), обращалась бы в нуль как при / = 0,
так и на поверхности 5 области Q. Но тогда, в силу теоремы
о максимуме и минимуме, следует, что w равна тождественно
нулю в области Q при 0^/^Г, т. е. иг = и2.
2) Решение первой граничной задачи A)—-B) непрерывно зависит
от правых частей начального и граничного условий. Действи-
Действительно, если разность функций, входящих соответственно в на-
начальное и граничное условия, по абсолютной величине не
превосходит некоторого положительного числа е, то и разность
w~u1 — и2 соответствующих решений, как решение однородного
уравнения теплопроводности с малыми начальным и граничным
значениями, во всем цилиндре QT по абсолютной величине так-
также не будет превосходить е.
§ 2. Задача Коши
Постановка задачи Коши. Найти функцию и (х, t) (/ > О,
-— оо < х < оо), удовлетворяющую уравнению теплопроводности
^ = а2^ E)
dt дх1 v '
и начальному условию
u\t=o =ф(*) ( — оо<х<оо), F)
где ф(х) — непрерывная и ограниченная функция.
Докажем единственность решения задачи Коши, предполагая,
что решение и(х, t) ограничено во всей области, т. е. сущест-
существует такое число М, что \и(х, t)\<M для всех — оо < л; < оо
при любом t^O.
Пусть ^(х, t) и и2(х, t)—два решения уравнения E), удов-
удовлетворяющие одному и тому же начальному условию F). Тогда
разность
w(x, 0 = М*, t)—u2(x, t)
— 450 —

будет удовлетворять уравнению E) и начальному условию
Кроме того, w(x, t) ограничена во всей области
\w{x, OKIM*. 0I+IM*. 0К2ЛГ.
Теорему о максимуме и минимуме к неограниченной области
непосредственно применить нельзя, ибо функция w(x, t) может
нигде не достигать наибольшего или наименьшего значений.
Чтобы воспользоваться этой теоремой, рассмотрим конечную
область
Возьмем функцию
которая является решением уравнения теплопроводности E).
Легко видеть, что
v(x, 0)>ад(х, 0) = 0,
v(±L, t)^2M^\w{±L, f)\.
Применяя теорему о максимуме и минимуме к разности между
функциями v(x9 t) и ±w(x, t) в области G), будем иметь:
v{x, t)-w(x, 0>0, v{x,
откуда
— v(x, t)*^w(x
или
И*, *)\<v(x, t) = ™l±- + a*t).
Lj \ ?t J
Фиксируя значения (х, t) и устремляя L к бесконечности, по-
получим
w(x, t) = 0,
что и доказывает единственность решения задачи Коши,
Глава XXVII
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛА В БЕСКОНЕЧНОМ СТЕРЖНЕ
§ 1. Распространение тепла в неограниченном стержне
Задача о распространении тепла в неограниченном однород-
однородном стержне, боковая поверхность которого теплоизолирована,
математически формулируется следующим образом.
15* — 451 —

Найти ограниченную функцию и(х, t) (*>0, —оо<я<оо),
удовлетворяющую уравнению теплопроводности
?-«*S (t>0, -оо<*<оо) A)
и начальному условию
и\ып = у(х) ( —оо<х<оо), B)
где ф(л:) — непрерывная ограниченная функция.
Найдем сначала частные решения уравнения A) вида
u = T(t)X(x). C)
Подставляя C) в A), имеем
или
г (О
аЧ (О X (х) ~ '" '
где V — постоянная. Мы получаем, таким образом,
V (t) + a2VT @-0, X" (х) + VX (x) - 0,
откуда, отбрасывая постоянный множитель в выражении T(t):
Постоянные А и В могут зависеть от %. Так как граничные
условия отсутствуют, то параметр К остается совершенно про-
произвольным.
Согласно C) получим, что
и(х, t) = e-a2k2f[A{k)cos'kx + B(k)smkx] D)
есть частное решение уравнения A) при любых А (к) и В (К). Инте-
Интегрируя D) по параметру Я, также получим решение уравнения A):
и(х, t)= J e-a^H[A(k)coskx + B(k)sinXx]dX, E)
если этот интеграл сходится и его можно дифференцировать один
раз по t и два раза по х под знаком интеграла.
Выберем А (к) и В (К) так, чтобы выполнялось и начальное
условие B). Полагая в E) ^ = 0, получим, в силу B),
Ф(ж)= J [А (X) cos %x + В (к) sin %x] dX. F)
— О»
— 452 —

Сравнивая интеграл в правой части с интегралом Фурье для.
функции ф(л;):
1
— СО — 00
00 р СО СО -.
= gj j cos U J ф (I) cos Я.6 d| + sin %x J ф (|) sin Xg dl dX,
-GO.L-00 -CO J
мы видим, что можно удовлетворить равенству F), положив
00 СО
А М = -к I ^ №)cos Я| d|; Б (Я)=i J ф ®sin xl dl-
Подставляя G) в E), получаем:
00 СО
— 00 — СО
со со
1 Г С
я J J TV
О —со
или, изменяя порядок интегрирования,
Off 00
и(х, 0 = — f 4>(l)d% \e-a2)cos'k(l — x)d'k. (8)
- со О
Внутренний интеграл можно вычислить. Действительно, положим
откуда
Поэтому
со
гг2 cos цг dz = —~J(\i). (9)
Дифференцируя интеграл /(|i) по параметру \if найдем, что
00
J' ([x) = — J e~z2 z sin
0
причем это дифференцирование законно в силу равномерной схо*
димости получецного интеграла. Интегрируя теперь по частям^

получаем
00
j = —I JQx),
отсюда
Чтобы найти постоянную С, полагаем здесь |х = 0. Это дает
Поэтому
и, в силу (9),
2aVt
Подставив это соотношение в (8), окончательно найдем:
OD /fc у\ 2
ij (у А— \ ffW?\_ р 4,a2t Л% (\0\
и \л, L) — \ ' Vw i/— **¦&• \Lyj/
Нетрудно видеть, что функция
рассматриваемая как функция от (я, /), является решением урав-
уравнения A). Функцию A1) называют фундаментальным решением
уравнения теплопроводности (I).
Докажем, что для любой непрерывной и ограниченной функ-
функции ф(х) функция A0) удовлетворяет уравнению теплопроводно-
теплопроводности A). Для этого нам достаточно показать, что интеграл A0), а
также интегралы, полученные его формальным дифференцирова-
дифференцированием под знаком интеграла по х и t сколько угодно раз, равномерно
сходятся в любом прямоугольнике [—l^.x^.1, to^t^T]f где
t0 > 0. Действительно, дифференцируя A0) несколько раз по х
и t, мы получим сумму интегралов. Покажем, что каждый
интеграл равномерно сходится. После дифференцирования под
знаком интеграла выделяется множитель | — х в положи-
положительной степени, который остается под знаком интеграла, и
множитель t в некоторой степени, который можно вынести из-под
знака интеграла. Таким образом, мы получим сумму интегралов
— 454 —

вида
A-х)*
—х)те~ *аН dl. A2)
Произведя замену переменных
преобразуем интеграл A2) к виду
m+i *
= Bа)т+lt 2 J ф (л: + 2аа|/ате~*
— 00
Легко видеть, что этот интеграл равномерно сходится при
t^to>0, так как подынтегральная функция мажорируется
функцией
М\а\те-а\ где \<р(х + 2ааУТ)\ < М,
которая интегрируема в промежутке (—оо, оо).
Таким образом, функция и(х, t), определяемая формулой A0),
непрерывна и имеет производные любого порядка по х и t при
t > 0. Так как подынтегральная функция удовлетворяет урав-
уравнению A) при / > 0, то отсюда следует, что и функция и(х, t)
удовлетворяет этому уравнению при t > 0.
Докажем теперь, что функция A0) удовлетворяет начальному
условию B), т. е. что
lim и (х, t) = ф (д;)
при любом х из (—оо, оо). Введем вместо I новую переменную
а по формуле
а =
(>0).
Тогда формула A0) примет следующий вид:
и(х, t) = -4=r f <f(x + 2aaVT)e-al da. A3)
— 00
Отсюда вытекает ограниченность решения и {ху f) при t > О,
если |ф(х)|^М для всех х. Действительно,
СО 00
\и(х, /)|<4г f \<p(x + 2aaVT)\e-a2 da^-?= С e-«2da = M,
-оо ' -оо
ибо, как известно,
GO
—l— Ce-«'da=l. A4)
f Я J
— ao
— 455 —

Умножим A4) на ср(л:) и вычтем из A3), тогда получим:
00
и (*, 0-Ф (х) = у=- J [ф (х +аа/Г) - <р (*)] е-"'da,
— СО
откуда
со
\и(х, /)-q>(*)|<_jL- J |<р(* + 2аа/Г)-ф(*)ка'**.
В силу ограниченности функции ф(х) при любых х, t и а мы
имеем
Пусть 8 — сколь угодно малое положительное число. Можно найти
столь большое положительное число N, что, в силу сходимо-
сходимости интеграла A3), будем иметь
-N оо
- со
При этом из A4) будет следовать, что
\и{х9 0-ф(х)|<| + ^=
р
В силу непрерывности ф(л:), можем утверждать, что при всех t,
достаточно близких к нулю, и при |a|^iV
и последнее неравенство дает
и тем более
со
\и(х, t)-tp(x)\^+±-±r § e-*'da,
— 00
т. е., в силу A3), мы имеем
\U{X, О-Ф(Х)|<8
при всех t, достаточно близких к нулю. Отсюда ввиду произ-
произвольности 8 следует, что
lim и (х, t) = ф {х).
tQ

Таким образом, мы доказали, что функция
ограничена, удовлетворяет уравнению теплопроводности A) и
начальному условию B).
Единственность полученного решения для непрерывной огра-
ограниченной функции ф(дс) следует из теоремы, доказанной
в гл. XXVI, § 2.
Из формулы A0) следует, что тепло распространяется вдоль
стержня не с какой-либо конечной скоростью, а мгновенно. Дей-
Действительно, пусть начальная температура ф(л:) положительна для
a<x<p и равна нулю вне этого отрезка. Тогда для последую-
последующего распределения температур получаем
откуда видно, что при сколь угодно малых t > 0 и сколь угодно
больших х, и (х, t) больше нуля. Это объясняется неточностью
физических предпосылок, лежащих в основе теории теплопровод-
теплопроводности.
Отметим еще одно важное обстоятельство. Решение задачи
A) —B) (задачи Коши) есть функция, непрерывно дифференцируе-
дифференцируемая сколь угодно раз по х и t вне зависимости от того, будет
ли иметь производные функция ф(х) или нет. Эта гладкость ре-
решений существенно отличает однородное уравнение теплопровод-
теплопроводности, например, от уравнения колебания струны.
Выясним теперь физический смысл фундаментального реше-
решения A1) однородного уравнения теплопроводности A).
Выделим малый элемент стержня (х0 — ft, xo-{-h) около точки х0
и будем считать, что функция ф(х), дающая начальное распреде-
распределение температуры, равна нулю вне промежутка (xo — h, xo-{-h)
и имеет постоянное значение и0 внутри него. Физически можно
представить себе дело так, что мы в начальный момент времени
сообщили этому элементу количество тепла Q = 2hcpu0t которое
вызвало повышение температуры на и0 в этом участке стержня.
В последующие моменты времени распределение температуры
в стержне дается формулой A0), которая в нашем случае при-
принимает вид:
и(х, t)= С uQ—\=е~ *aH d\ =
J 2ay nt
xo-h
__ Q 1 *V ~(^Ч~Л?
— 457 —

Если мы будем теперь уменьшать h до нуля, т. е. будем счи-
считать, что то же количество тепла Q распределяется на все мень-
меньшем участке и в пределе сообщается стержню в точке х = х0, то
мы приходим к понятию мгновенного точечного источника тепла
напряжения Q, помещенного в момент времени t = 0 в точке
х = х0. От действия такого мгновенного точечного источника тепла
в стержне получается распределение температур по формуле
lim ь
h - о 2сра ,
xo +
.1 Г
2А J
A5)
xo-h
Применив теорему о среднем, будем иметь
2/г J
где
и так как |0 •
дующий вид:
¦х0 при А —+ О, то выражение A6) принимает сле-
0 1
Таким образом, фундаментальное решение A1) дает распре-
распределение температуры, которое вызывается мгновенным точечным
источником тепла Напряжения Q = cp, помещенным в начальный
момент t = 0 в точке х — %
стержня.
Графики фундаментально-
фундаментального решения «
1
v(x, t) = —¦Fr=-
V 7 2a}rnt
(П)
Рас. 47
аи
J 2aVnt
при фиксированном \ как
функции от ху в отдельные
моменты времени 0 < tx < /2<
< t9 < ... представлены на
рис. 47. Площадь под каж-
каждой из этих кривых равна
A-хJ
GO
Это означает, что количество тепла Q = cp в стержне остается
неизменным с течением времени. Из чертежа видно, что почти вся
площадь, ограниченная кривой A1) и осью абсцисс, находится
над промежутком (I — е, ? + е), где е сколь угодно малое число,
— 458 —

если только t > 0 достаточно малое число. Величина этой пло-
площади, умноженная на ср, равна количеству тепла, помещенному
в начальный момент. Таким образом, для малых значений t > О
почти все тепло сосредоточено в малой окрестности точки х = ?.
Из сказанного выше следует, что в момент времени ^ = 0 все
количество тепла помещается в точке * = ?, т. е. мы имеем мгно-
мгновенный точечный источник тепла.
Теперь нетрудно дать физическое толкование и решению A0).
Действительно, для того чтобы придать сечению х = 1 стержня
температуру ф(?) в начальный момент, мы должны распределить
на малом элементе dl около этой точки количество тепла dQ =
= cpcp(?)d? или, что то же самое, поместить в точке ? мгновен-
мгновенный точечный источник тепла напряжения dQ\ распределение
температуры, вызываемое этим мгновенным точечным источником,
согласно формуле A1), будет
Общее же действие от начальной температуры ф (?) во всех точ-
точках стержня суммируется из этих отдельных элементов, что и
дает нам полученное выше решение A0).
Мы рассмотрели распространение тепла в неограниченном
стержне. Аналогично, в случае распространения тепла в неогра-
неограниченном пространстве мы имеем уравнение теплопроводности
dt~a \дх* + ду* ' dz2
и начальное условие
^1* = о = ф(*> У, *),
и решением будет функция
— 00 — 00 — GO
§ 2. Распространение тепла в полуограниченном стержне
Рассмотрим задачу о распространении тепла в полу ограничен-
ограниченном стержне, боковая поверхность которого теплоизолирована.
Пусть конец х = 0 поддерживается при заданной температуре,
которая может изменяться с течением времени. Тогда задача
сводится к решению уравнения
эН? ~> *>о). Об)
при граничном условии
и|,.о = Ф(О (*>0) A7)
— 459 —

и начальном условии
Решение задачи A6)—A8) будем искать в виде суммы
A9)
где v и w суть решения следующих задач:
dv 2d2v
а
Решим сначала задачу (I). Решение задачи (I) может быть получено
из решения, найденного нами для неограниченного стержня.
Действительно, перепишем формулу A0) в виде
v(x, 0 = ^у- ) U(l)e~ АаН +Ф(-|)е~ iaH J d%. B0)
Удовлетворяя граничному условию, будем иметь
|е"^[ф© + фE)]^ B1)
0
Это условие наверное будет выполнено, если положить *
Ф(-?) = -ф(?) @<^<оо), B2)
т. е. функцию ф(х) нужно продолжить нечетным образом в про-
промежуток (—оо, 0).
Подставив B2) в B1), получим решение задачи (I) в виде
{l~xJ
1 ^ Г -l
v(x, 0 = —^=-jф© [в 4*" -в" *«¦< J d?. B3)
о
Если, например, начальная температура постоянна:
то из B3)
о
Разбив интеграл на два слагаемых и введя новые переменные
интегрирования
ее = ft = ~^
2а l/ ' 2а VI '
* Решение задачи (I) в классе ограниченных функций единственно.
— 460 —

получим
v(x, t)--
с с
- 2aVl
2a VI
2a VI
x
2a VT
:-?=- Г e-«>da = ^ Г е-*fa
2a VI
ИЛИ
где
B4)
B5)
— интеграл ошибок.
Переходим теперь к решению задачи II. Начнем с частного
случая i|)(tf)= 1, т. е.
ш|Л=а0=1. B6)
Легко видеть, что функция
аф, t)=l—Qf *\ B7)
будет решением задачи (II) для этого частного случая. Пусть
теперь на конце х = 0 температура поддерживалась до момента
т равной нулю, а затем равной единице. В этом случае решение
обозначим через w.(x> t). Очевидно, что до момента t—x будет
до- = 0, после же этого момента времени w. совпадает с решением
B7), если там заменить t на t — x, что дает нам
(О при 0</<т,
2aYt
при
Но тогда очевидно, что если на конце х = 0 температура, равная
единице, поддерживалась только в течение промежутка времени
(т, т + ^т), а все остальное время она была равна нулю, то соот-
соответствующее распределение температуры вдоль стержня будет
Если же на конце х = 0 в течение промежутка времени (т, x + dx)
поддерживалась температура, равная 1|э(т), а не единице, то по-
— 461 —

лучим
— *Ф (т) ~т~' dx,
откуда ясно, что если поддерживать на конце х = 0 температуру
1|э(т) при всех т, то при изменении т от 0 до t мы получим полный
эффект, сложив все элементарные эффекты, что дает нам искомое
решение задачи (II) в виде
или, так как при
дх дх
X
2aVt-x
д 2 С х г
""^УИ J 6 a~~2aVn{t — T)z/*e
о
то окончательно получим
w(x, t)=—?-=r Г ^^.г'^и-ъ&х. B8)
о
Введем вместо т новую переменную интегрирования | по формуле
—т
Тогда формула B8) запишется в виде
w(x, t) = -^
2а Т"
При х = 0 мы получим
О
т. е. решение B8) удовлетворяет граничному условию A7).
ЗАДАЧИ
1. Доказать, что неоднородное уравнение
ди д2и
а2
— 462 —

при нулевом начальном условии
имеет решение вида
Указание. Применить метод, изложенный в гл. VIII, § 5, для неодно-
неоднородного волнового уравнения.
2. Применяя метод, изложенный в § 1 этой главы, доказать, что темпера-
температура неограниченной тонкой пластинки выражается формулой
3. Дан полуограниченный стержень с теплоизоляцией боковой поверхности,
начальная температура которого известна. На конце л: = 0 происходит свободный
теплообмен с окружающей средой. Найти распределение температуры в стержне
в любой момент времени t > 0.
Ответ:
где h — коэффициент теплообмена.
Глава XXVIII
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ФУРЬЕ К РЕШЕНИЮ
ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ
§ 1. Распространение тепла в ограниченном стержне
1. Распространение тепла в стержне, концы
которого поддерживаются при нулевой темпера-
температуре. Задача состоит в отыскании решения уравнения тепло-
теплопроводности
при граничных условиях
и при начальном условии
где ср(х)-—непрерывна, имеет кусочно-непрерывную производную
и обращается в нуль при л: = 0 и х — 1.
~ 463 —

Согласно методу Фурье, ищем частные решения уравнения A)
в виде
u(x,t) = X(x)T(t). D)
Подставляя D) в A), имеем
V /<Л 7*1' /А /¦
у\ \Х) I ylrj — С
ИЛИ
T(t) X"
a*T(t) ~~~ Х(х) ~~ 'v>
откуда получаем два уравнения
Х*(х) + ХХ(х) = о'. F)
Чтобы получить нетривиальное решение уравнения A) вида D),
удовлетворяющее граничным условиям B), необходимо найти
нетривиальное решение уравнения F), удовлетворяющее граничным
условиям
Х@) = 0, Х(/) = 0. G)
Таким образом, для определения функций Х(х) мы приходим
к задаче о собственных значениях
исследованной в задаче о колебании ограниченной струны
(см. гл. X, § 1). Там было показано, что только для значений
параметра X, равных
существуют нетривиальные решения задачи (8):
Xn(x) = sm^. A0)
Значениям параметра к = Хп соответствуют решения уравнения E):
Tn(t) = ane~{~' , A1)
где ^ — произвольные постоянные. Итак, все функции
_(ппа\\
un(x, t) = Xn(x)Tn(t) = aj w / sin^ A2)
удовлетворяют уравнению A) и граничным условиям B) при любых
постоянных ап.
Составим ряд
u(x, t)^ane \ l / sin^. A3)
— 464 —

Требуя выполнения начального условия C), получим
^ A4)
/1=1
Написанный ряд представляет собою разложение заданной функ-
функции у(х) в ряд Фурье по синусам в промежутке @, /). Коэффи-
Коэффициенты ап определяются по известкой формуле
A5)
Так как мы предположили, что функция ц>(х) непрерывна, имеет
кусочно-непрерывную производную и обращается в нуль при
х = 0 и х = 1, то ряд A4) с коэффициентами ап, определяемыми
по формуле A5), равномерно и абсолютно сходится к ф(х), что"
известно из теории тригонометрических рядов [34].
Так как при t^O
то ряд A3) при t^O также сходится абсолютно и равномерно.
Поэтому функция и(ху t), определяемая рядом A3), непрерывна
в области Ь<л:</, t^O и удовлетворяет начальному и гра-
граничным условиям. Остается показать, что функция и(х, t) удов-
удовлетворяет уравнению A) в области 0<л;</, t > 0. Для этого
достаточно показать, что ряды, полученные из A3) почленным
дифференцированием по t один раз и почленным дифференциро-
дифференцированием по х два раза, также абсолютно и равномерно сходятся
в области 0 < л; < /, / > 0. А это последнее утверждение следует
из того, что при любом t > О
если п достаточно велико.
Совершенно так же можно показать существование у функ-
функции и(х, t) непрерывных производных любого порядка по х и t
в области 0 < х < /, t > 0.
2. Распространение тепла в стержне, концы
которого находятся при заданных переменных
температурах. Эта задача сводится к решению уравнения
теплопроводности A) при граничных условиях
aU=o = 1>i(O. и|*=/ = Ф,@ A6)
и начальном условии
и\ы* = ч(х), A7)
где tyt(t), i|?2(^) и ф(х) — заданные функции.
— 465 —

Решение ищем в виде ряда
со
u(x,t)^Tn(t)sm^f, A8)
где
Гв (*) = f ?«(*,*) sin ^<lx. A9)
О
Интегрируя два раза по частям, получим
Так как и(ху t) удовлетворяет уравнению A) и граничным усло-
условиям A6), то
—даЛ sin^dx. B0)
Дифференцируя теперь выражение A9) по /, получим
dTn(t)_ 2 Сди
sr—т) ж511
О
Исключая интеграл из равенств B0) и B1), получим следующее
уравнение для определения коэффициентов Tn(t):
^(О-(-1У*,@]. B2)
Общее решение этого уравнения имеет вид
2
C + ^E1JA ' / T(() A)(())^ L B3)
где, очевидно,
Ся = Гя@).
Чтобы удовлетворить начальному условию A7), требуем выпол-
выполнения равенства
и, следовательно,
Тп @) = С„ = 4 j ф (х) sin ^ Лс. B4)
О
— 466 —

Таким образом, решением задачи A), A6)—A7) будет ряд A8),
где Tn(t) определяются равенствами B3) и B4).
Рассмотрим частный случай, когда концы стержня поддержи-
поддерживаются при постоянных температурах, т. е.
^ (t) = ux = const, i|J (t) = u2 = const.
Тогда B3) принимает следующий вид
\
4- \~г) t 2 Г / \ • ял*
' е — I ср (я) sin —
- \~г) t 2 Г / \ • ял* j
е — I ср (я) sin — ах.
о
Подставляя Tn(t) в ряд A8), будем иметь
^ . ппх ю . пяд:
«(*, о=—Е '-^^ +—Е (-ir1^^
1
П=1
—2е
е
n-i
0
В силу известных соотношений
V sin ^ = ( *^г ПРИ °<1<2л:»
«=i п { 0 при g = 0, 2я,
у /_j4W-isin_ng=| у при — я<?<я
л=1 ( 0 ПрИ g = —Я, Я,
окончательно получим
—~ l-e v / / sin—4-
и{ху t)=^u1 + {u2 — ul)T + 2M ~ -e sin
п-\
ft да /яяа\2 , I
\ 2 v^ ~\~Г"/ ' • ппх Г / ч . ппх 1 /Скг\
4 — 2-4 ^ sin — \ ф (х) sm — d*. B5)
3. Распространение тепла в стержне, на кон-
концах которого происходит свободный теплообмен
с окружающей средой. Задача состоит в отыскании реше-
решения уравнения
ди о д2^
a
— 467 —

при граничных условиях
|->ш|*=о=О, g| + ftaU«/ = Of B7)
где h — коэффициент теплообмена, и при начальном условии
и|/=о = Ф(*). B8)
Согласно методу Фурье, будем искать частные решения урав-
уравнения B6) в виде
u(x,t) = X(x)T(t). B9)
Тогда получим уравнения
T(t) = 0, C0)
(х) = 0. C1)
Чтобы частное решение B9), отличное от тождественного нуля,
удовлетворяло граничным условиям B7), очевидно, нужно потре-
потребовать выполнения условий
X'@)—hX@) = 0, X'(l) + hX(l) = 0. C2)
Таким образом, мы приходим к задаче о собственных значениях
для уравнения C1) при граничных условиях C1).* Интегрируя
уравнение C1), получим
X (х) = Сг cos Хх + С2 sin Хх. C3)
Из граничных условий C2) находим
hCx — >.Са-0
(h cos XI —X sin XI) Ct + (h sin XI + X cos Xl)C2 = 0. C4)
Эта система двух однородных уравнений имеет очевидное реше-
решение Ci^Co^O, и мы получаем решение Х(х) = 0. Отбрасывая
этот случай, мы должны считать, что по крайней мере одна из
постоянных С19 С2 отлична от нуля. Тогда определитель си-
системы C4) должен равняться нулю
k ~X
hcosXl — XsmXl hsmXl + XcosXl ~~
Отсюда, после замены
р = Х1, p = hl>0, C5)
находим
-fi—p-. C6)
* В силу гл. X, § 5, все собственные значения задачи C1)—C2) поло-
положительны. Поэтому вместо X можно писать Я2.
— 468 —

Это уравнение имеет бесчисленное множество вещественны* кор-
корней, в чем нетрудно убедиться, построив графики кривых_(рис. 48)
Из чертежа видно, что в каждом из интервалов @, я), (я, 2я), ...
лежит положительный корень уравнения C6), а отрицательные
корни по абсолютной величине равны положительным.
Рис. 48
Обозначим через \ilf |л2, |л3, .. • положительные корни урав-
уравнения C6). Тогда, согласно C5), собственные значения будут
(/1=1,2,3, ...)•
C7)
Каждому собственному значению соответствует собственная
функция
I*? JLb C8)
+ sinx.
При Х = К„ общее решение уравнения C0) имеет вид
где ап — произвольные постоянные.
Таким образом, нами найдены частные решения уравнения B6)
n(,) n()n{) n (cos ^ + ^sin Щ
удовлетворяющие граничным условиям B7) при любых ап.
— 469 —

Составим ряд
x,t) = 2*ane (cos^j- + — sin-^y-J. C9)
Удовлетворяя начальному условию B8), получим
На основании теории задач о собственных значениях (см. гл. X,
§ 5), собственные функции Хп{х) ортогональны, т. е.
= 0 (пфт). D1)
0
Вычисляя квадрат нормы собственных функций C8), получим
(cosM + ±slnbfydx = ^P+V + rt , D2)
оо п
Предполагая, что ряд D2) сходится равномерно, и принимая во
внимание D1) и D2), мы найдем коэффициенты ап по следующей
формуле
Внося это выражение коэффициентов ап в ряд C9), получим ре-
решение задачи B6)—B8):
X J9(*)(|iBcos-^ + /»sinM)dx. D3)
Замечание. Когда на поверхности стержня происходит
теплообмен со средой, температура которой принимается равной
нулю, то уравнение распространения тепла в однородном стержне
имеет вид:
dv 2d2v
acv
Легко проверить, что уравнение D4) простой подстановкой
v = e'ctu
приводится к уравнению (I) для и.
— 470 —

§ 2. Неоднородное уравнение теплопроводности
D5)
1. Рассмотрим неоднородное уравнение
с начальным условием
ы/*=о = 0 D6)
и граничными условиями
и @, 0 = 0, иA, 0 = 0. D7)
При этом предполагается, что непрерывная функция f(x, t) имеет
кусочно-непрерывную производную первого порядка по х и что
при всех t >0 выполняются условия /@, t) = f(l, t) = 0.
Будем искать решение задачи D5) — D7) в виде
Тп (/) sin ^ f D8)
так что граничные условия D7) удовлетворяются сами собой.
Предположим, что функция f(x, t), рассматриваемая как функция
от х, может быть разложена в ряд Фурье:
00
f(x A_V / (f) sjn T}1 (ЛО\
где
i
f(x, Osin ^dx. E0)
б
Подставляя ряд D8) в уравнение D5) и принимая во внимание
D9), получим
ппа
откуда, заменяя —т- величиной со„
\Tn(f) = fn(f). E1)
Пользуясь начальным условием для и(х, t):
П— 1
получаем начальное условие для Tn(t):
Тп@) = 0. E2)
Решая обыкновенное дифференциальное уравнение E1) с нулевым
— 471 —

начальным условием E2), находим
Подставив это выражение в ряд D8), получим решение задачи
D5) —D7) в виде
Efi^^^^? E3)
Воспользуемся выражением E0) для fn(x) и преобразуем най-
найденное решение E3)
0 0 l я=1
. плх . tint
sin""Tsin "T
E4)
о о
где
Функция G(x, |, /) называется функцией мгновенного точечного
источника тепла*. Функция G(x, I, t) рассматриваемая как функ-
функция от х, представляет распределение температуры в стержне
О^х^/ в момент времени t, вызванное действием мгновенного
источника тепла напряжения Q = q>, помещенного в момент ^ = 0
в точке х — \ промежутка @, /), тогда как на концах стержня
все время поддерживается нулевая температура.
Если начальное условие неоднородно, то к решению E4) нужно
прибавить решение однородного уравнения теплопроводности
с заданным начальным условием и(х, 0) = у(х) и граничными
условиями D7), полученное в § 1 этой главы.
2. Рассмотрим теперь тот случай, когда начальное и граничные
условия неоднородные, т. е. требуется найти решение уравнения
при начальном условии
и при граничных условиях
E5)
E6)
E7)
* Употребительно также название функция Грина.
— 472 —

Эта задача легко сводится к задачам, рассмотренным в § 1 п, 2
и в п. 1 этого параграфа. Действительно, положим
E8)
где функция v удовлетворяет однородному уравнению
граничным условиям
w@,0 = iMQ. »(U) = i|>,W F0)
и начальному условию
»|*.» = ФС*). F1)
а функция w(x, t) удовлетворяет неоднородному уравнению
?-*&+№¦ 0. F2)
граничным условиям
a»Uo = O, w\x=l = 0 F3)
и начальному условию
Н=о = О. F4)
Очевидно, что сумма E8) является решением задачи E5)—E7).
Заметим, что задача E5)—E7) также легко сводится к задаче,
рассмотренной в п. 1, если ввести новую неизвестную функцию
v(x, t), положив
u(x,t) = v(x
где
§ 3. Распространение тепла в бесконечном цилиндре
В этом параграфе мы займемся задачей о распространении
тепла в бесконечном цилиндре, причем рассмотрим несколько
случаев.
1. Рассмотрим сначала радиальное распространение тепла
в бесконечном круговом цилиндре радиуса R, боковая поверх-
поверхность которого поддерживается при постоянной температуре,
равной нулю.
Поставленная таким образом задача приводится к интегри-
интегрированию уравнения
473

при граничном условии
«Uk-0 F6)
и при начальном условии
и\ыо = Ч(г)> F7)
где ф —заданная функция от г.
Разыскивая, согласно методу Фурье, частные решения урав-
уравнения F5) в виде
и (г, t) = T(t)w(r), F8)
мы получим два уравнения
7" (t) + а2Х2Т (t) = 0, F9)
xsf (г) + — w' (r) + Vw (г) = 0, G0)
где Я —произвольный параметр.
Общее решение уравнения G0) имеет вид (см. гл. XIII, § 1)
Так как при г—>0 Y0(kr)—>oo, то из условия конечности темпе-
температуры на оси цилиндра следует, что С2 = 0. Что же касается
параметра Я, то он находится из граничного условия F6), и
очевидно, что этот параметр может принимать бесчисленное
множество значений, определяемых по формуле
где |ЛЛ — положительные корни уравнения
Jo(P) = 0- G2)
Каждому собственному значению %% будет соответствовать соб-
собственная функция
fif) G3)
Принимая теперь во внимание уравнение F9) и F8), мы найдем,
что функции
^ (fcj G4)
удовлетворяют уравнению F5) и граничному условию F6) при
любых ап.
Составим ряд
?> G5>
п=\ J
— 474 —

и, чтобы удовлетворить начальному условию F7), потребуем вы-
выполнения равенства
(?) G6)
Написанный ряд представляет разложение заданной функции ср (г)
по функциям Бесселя в интервале (О, R). Коэффициенты разложе-
разложения G6) (см. гл. XIII, § 4) определяются по формуле
<¦-«vfo J >"»'•№)*• <77>
Подставляя выражение G7) для ап в ряд G5), получим решение
задачи F5)—F7) в виде
2. Рассмотрим теперь тот случай, когда на поверхности ци-
цилиндра происходит теплообмене окружающей средой, температура
которой принимается равной нулю. Очевидно, что задача при-
приводится к интегрированию уравнения F5) при начальном условии
F7) и при граничном условии
5? + А«ид = 0. G9)
Повторив рассуждения п. 1, получим снова уравнения F9)
и G0) и найдем:
() СЛ(М
Удовлетворяя граничному условию G9), найдем
aJo{ix) + ixJfQ(ix) = O9 (80)
где положено
lx = XR, a^hR. (81)
В гл. XIII, § 3, было показано, что уравнение (80) имеет все
корни вещественными.
Решение задачи ищем в виде ряда
(82)
П-\
где \ily \i2t |Л3, ... положительные корни уравнения (80) и каждый
член ряда удовлетворяет граничному условию G9).
— 475

Удовлетворяя начальному условию F7), получим
<83>
п—\
Но это есть не что иное, как частный случай разложения D4)
гл. XIII, когда v = 0, р = 1, и, следовательно, коэффициенты ап
определяются по формуле D5) той же главы, т. е.
!"«'•№)*• (84>
Подставляя это значение коэффициента ап в ряд (82), получим
решение задачи в виде
R
Грф(р)/ Гт) Ф ГИцгУ,
§ 4. Распространение тепла в цилиндре конечных размеров
Рассмотрим задачу о распространении тепла в круговом ци-
цилиндре радиуса R и высоты 2ft, начальная температура которого
равна ф(г, 0, г), а поверхность и основания поддерживаются
при температуре, равной нулю.
Задача, таким образом, сводится к решению уравнения
ди 2/д2и. 1 ди 1 daw , д
а + + +
при граничных условиях
ик-Л = и|,яЛ = 0, и|г==л = 0 (87)
и при начальном условии
ыо = ф(^в.г)« (88)
Применяя метод Фурье и определяя постоянные, вводимые
этим методом, через граничные условия, мы получим следующие
частные решения уравнения (86):
Jn(Xr)sm^(z + h)(AcosnQ + BsmnQ). (89)
Здесь через m обозначены целые положительные числа, как
это требует второе из граничных условий (87). Постоянная % сзя-
— 476 —

зана с корнями уравнения
•UH) = O (90)
равенством
* = ?. (91)
Это требование третьего из граничных условий (87). Что касает-
касается числа п, то оно должно быть целым, так как температура
цилиндра есть периодическая функция угла 6 с периодом, рав-
равным 2ц.
Взяв теперь сумму всех решений вида (89), распространен-
распространенную по всем п = 0, 1, 2, 3, ..., т = 1, 2, 3, ... и по всем поло-
положительным корням [хЯ1, [хя2, [хЛз, ... уравнения (90), получим
решение задачи в виде ряда:
k=l т—1п=0
X [sin ^ (г + Л)] (Akmn cos пв + Bkmn sin n9), (92)
в котором остается еще определить коэффициенты Актп и Вктп.
Положим с этой целью в, разложении (92) / = 0; тогда, прини-
принимая во внимание начальное условие (88), получим
k-i m=l
X (ЛЛтп cos я6 + Bkmn sin n6). (93)
Так как правая часть равенства (93) представляет собой раз-
разложение функции ф(г, 0, г) в ряд Фурье по cosnB и sinnB, то
коэффициенты при этих тригонометрических функциях определя-
определяются по известным формулам. Таким образом, мы будем иметь:
2я
¦1 j Ф (г, в, г) cos иб d0 =
Каждое из этих равенств представляет собой разложение функ-
функции, рассматриваемой как функция от г, в ряд по функциям
Бесселя* Мы знаем, что коэффициенты таких разложений опре-
— 477 —

деляются по формуле D3) гл. XIII, § 5, откуда получается, что
со R 2я
о о
R 2я
2
о о
т=1
R 2я
Иг<р (г'е> г) к №cos "" * * <95)
. (96)
О О
Так как функции sin^(z + ^) (т = 1, 2, 3, ...) образуют
ортогональную систему функций на ^отрезке [ — ft, Л], то
обычным приемом находим, что в разложениях (94), (95) и (96)
коэффициенты Актп, Bkmn определяются формулами:
R 2я h
2я h
J 1Гф(г'0>
00 -
R 2я
0 0 -ft
R 2Л h
v сin_— i
0 0 -ft
Подставляя эти значения коэффициентов в ряд (92), получим
окончательное решение задачи (86) —(88).
§ 5. Распространение тепла в однородном шар$
Исследуем задачу о распространении тепла в однородном
шаре радиуса R, центр которого находится в начале координат.
1. Рассмотрим сначала тот случай, когда начальная темпе-
температура шара равна ф(г), а температура его поверхности равна
г|з (t). В этом случае задача приводится к интегрированию урав-
— 478 —

нения теплопроводности
-дГ-а {-dF^ + TlFJ
при граничном условии
(98)
и при начальном условии
u\isa0 = v(r). (99)
Полагая v~ru, имеем:
A01)
v\t=0 = np(r) A02)
Задача (97) — (99) приводится, таким образом, к задаче рас-
распространения тепла в стержне, концы которого поддерживаются
при температурах 0 и Rty(t) соответственно. Решение этой задачи
приведено в § 1 [см. A8), B3) и B4)]. Используя его, оконча-
окончательно получим:
со /ппа\ 2 .
2 V^ ~ ( ~р~ ) t
И(Г) /) = _> е И/ si]
Г п-\
^-(— l)»na2n [e \* ' ^ (т) dx' . A03)
\о о J
Частные случаи: а) Начальная температура равна нулю.
Температура поверхности шара постоянна и равна и0.
v(-l)" • nnr "IT")
б) Начальная температура равна нулю. Температура поверх-
поверхности шара равна fe/, k = const.
/1=1
2. На поверхности шара происходит теплообмен с окружаю-
окружающей средой, температуру которой будем считать равной нулю.
Эта задача приводится к решению уравнения (97) при начальном
условии (99) и при граничном условии
~ + hu\r=R=0. A04)
— 479 —

dt~a
n=R
Как и в п. 1, сделаем подстановку v = ur. Тогда будем иметь
A05)
= 0, A0ф
A07)
Таким образом, задача (97), (99) и A04) приводится к задаче
распространения тепла в стержне, один конец которого поддер-
поддерживается при нулевой температуре, а на другом конце проис-
происходит теплообмен с окружаю-
окружающей средой.
Применяя метод Фурье, мы
найдем частные решения урав-
нения A05)
A08)
удовлетворяющие граничным
условиям A06) при любом С,
если К является корнем урав-
уравнения
kRcos
Положим
—l) sin AT? = 0.
A09)
KR = \i9 p = hR-l>-\, A10)
Рис. 49 тогда уравнение A09) примет
вид
|icos [i + psin |i = 0. (Ill)
Это уравнение имеет бесчисленное множество вещественных кор-
корней, в чем нетрудно убедиться, построив графики кривых (рис.49)
Из чертежа видно, что когда — 1 </? < 0, то в каждом из
) (я -)
интервалов @,
я,
)
J
, ... лежит положительный корень
V J \ J
уравнения A11), причем при возрастании п значения корней
приближаются к Bя— 1) -^- • Когда 0 < р < оо, положительные
3jx_
2
корни лежат в интервалах (-п~, я)> 1 ~о~» ^п] » ••• и ПРИ во3"
растании п приближаются к Bя—1)-^-. Отметим, что отрицатель*
ные корниA уравнения A11) по абсолютной величине равны
положительным.
— 480 —

Обозначим через \ilt \i2, щ, ... положительные корни уравне-
уравнения A11). Тогда, согласно (ПО), собственные значения будут
Каждому собственному значению соответствует собственная функ-
функция
wn(r)=sln&fu A13)
Составим теперь ряд
00
v{r, t) = ^ane\R J sin^-r. A14)
n=l
Удовлетворяя начальному условию A07), получим
00
= Eansin^r. A15)
П=1
Умножая обе части разложения A15) на sin^~ и интегрируя
в пределах от 0 до R, найдем, в силу равенств
я (О при кфп,
? sin ^ sin i^dr = { R
« « {
коэффициенты ап по следующей формуле:
о
Внося это выражение коэффициентов ап в ряд A14) и принимая
во внимание, что v — ru, получим решение задачи (97), (99) и A04)
в виде ряда
^^/^^^fn^p. (П6)
3. Обратимся теперь к исследованию общего случая, когда
температура шара зависит от всех трех координат г, 0 и ср; при
этом мы будем предполагать, что температура поверхности шара
равна нулю.
Если преобразовать уравнение теплопроводности к сфериче-
сферическим координатам /*, 0 и ср, то задача о распространении тепла
в шаре приводится к интегрированию уравнения
а ^^sinu
16 Ni 645 — 481 —

при условиях
и|г=* = 0, A18)
и|*яо==/(г, в, Ф). A19)
Ищем частные решения уравнения A17) в виде
u = T(t)v(r,Q,<f,). A20)
Подставляя это в A17), получаем
Av __ Г @ _ ,2
v а2Г(О~~ '
откуда имеем два уравнения:
T(t) = O9 A21)
= 0, A22)
где
Ас; ~ а^2 + г аг+ г2 sin e ae vsin aeJ + r2 sin2
Чтобы получить нетривиальные решения уравнения A17) вида
A20), удовлетворяющие граничному условию A18), необходимо
найти нетривиальные решения уравнения A22), удовлетворяющие
граничному условию
Ч=* = 0. A23)
Решение уравнения A22), удовлетворяющее граничному условию
A23), будем искать в виде
г,= ф(г)У(в, Ф). A24)
Подставляя в уравнение A22) и разделяя переменные, получим
1 д ( • л dY\ . I dW . «^ n /1О-Ч
чх Sin 0-^- -f -г-——-^-4-XF^O, A25)
d0 V аб у ' sin2 0 дцJ ' ' v 7
sin 0 d0 V аб у ' sin2 0 ц
^(r) = 0. A26)
Решая уравнение A25) при условии ограниченности на всей
поверхности сферы, получаем собственные значения
Л = /ф+1), A27)
которым соответствуют сферические функции (см. гл. XXI, § 1)
РЛсозе),Р^(со8е)со5тФ,Р^(созе)зттФ(т=1,2, ..., п). A28)
Рассмотрим теперь уравнение A26). Учитывая равенство A27),
граничное условие A23), а также ограниченность решения при
г = 0, получим для функции Ф(г) следующую граничную задачу:
(Г) = °' A29)
Ф@)<оо, ф|/.=я = 0. A30)
— 482 —

С помощью подстановки
уравнение 1A29) приводится к уравнению Бесселя
общее решение которого имеет вид (гл. XIII, § 1)
y = AJ I (kr) + BY i (kr). A32)
п+Т
Из условия ограниченности решения следует, что 5 = 0. Гранич-
Граничное условие A30) дает
AJ !
Так как мы ищем нетривиальные решения уравнения A29), то
Л^О и, следовательно,
J
Обозначив через \inl, \xn2i \хпг, ... положительные корни транс-
трансцендентного уравнения
J j_(|j,) = O, A33)
п + 2
находим собственные значения
т = 1, 2, 3, ... \
я = 0, 1, 2, 3,.. J- A34)
Каждому собственному значению k^n граничной задачи A22) —
A23) соответствует Bм-fl) собственных функций
vmnJ(r9 9, Ф) = у7 ' Y^(Q, Ф) A35)
(/ = — п, ..., — 1, 0, 1, ..., п),
где положено
Yvn (9, ф) - Pwv (cos 9) cos гф, F^'v) (9, ф) = Р^ (cos 9) sin гф,
(v = 0, 1, 2, ..., я).
При k — kmn общее решение уравнения A21) имеет вид
Tmn(t) = Amne'\~J\ A36)
где Атп — произвольная постоянная.
16* — 483 —

Таким образом, в силу A20), A35) и A36), все функции вида
, A37)
где
У„ (9, Ф) = аот Рп (cos 9) + Jj (ate cos ?Ф +
nft(cos9) A38)
— сферическая функция порядка п, удовлетворяют уравнению
A17) и граничному условию A18) при любых постоянных аот,
Ь
) р
и Ькт.
Составим теперь ряд
и(г, в, ф, 0= S
л = 0 m=l Я 2
Требуя выполнения начального условия A19), получим
?^^(?) 040)
Чтобы найти сферические функции Yn(b, ф) в разложении A40),
умножим обе части этого разложения на /^(cosy) и проинтегри-
проинтегрируем по поверхности сферы единичного радиуса. Тогда получим
Jt 2Я
О О
V r 0 0
д = 0 m=l V r 0 0
Принимая во внимание формулы B3) гл. XXI
Ия2я @ при кфп,
оо \2^П^(е' ф)
мы можем выражение A41) переписать в виде
И со ^
/(г, 9', <p')Pn(cosy)do = ^-j У! УЖ Ф) 1
о о m=1
— 484 —

или
__ Я2Я
Bn+\)V r
Г Г /(г, 9', cp')Pn(cosy)do = 2 УЛе
О О ^=1
2 -
A42)
Сравним это разложение с разложением произвольной функ-
функции F(r) в ряд по функциям Бесселя (см. гл. XIII, § 4):
(ИЗ)
где
R
а |хЛ/я — положительные корни уравнения A33).
Из сравнений рядов A42) и A43) находим искомое выражение
для сферических функций Yn(Q, ф), а именно:
R Л 2Я
^i 1 i /А / С»6 > ^ ^ (cos V) /„4 (*?)
A44)
Таким образом, решением задачи A17)—A19) будет ряд A39),
в котором сферические функции Yn(Q9 cp) определяются по фор-
формуле A44).
§ 6. Распространение тепла в прямоугольной пластинке
Рассмотрим тонкую однородную прямоугольную пластинку,
контур которой поддерживается при температуре 0° С. Начальное
распределение температуры задано, и задача заключается в оп-
определении температуры пластинки в любой момент времени t>0
в предположении, что тепловой обмен между боковой поверхно-
поверхностью пластинки с окружающей средой отсутствует.
Очевидно, эта задача приводится к решению уравнения
при граничных условиях
=o = "!*=, = О,
и при начальном условии
И 1*-о = Ф (*,»)• A47)
- 485 -

Согласно методу Фурье, будем искать частные решения урав-
уравнения A45) в виде произведения
u = T(t)X(x)Y(y);
тогда для определения функций Х(х), Y (у) и T(t) получим сле-
следующие уравнения:
где X2 и fx2 — постоянные.
Общие решения этих уравнений имеют вид:
X (х) == Сх cos Хх + С2 sin Хх, Y (у) = С3 cos \ix + С4 sin \xx,
Для выполнения граничных условий A46) следует положить
Таким образом, частными решениями уравнения A45), удовлет-
удовлетворяющими граничным условиям A46), будут
/ т2 п2\
-а2л2 ( ^Т+^г" ) ^ . тл . ПЛ
ипгм— Ат„е v 7 sin—xsin—г/.
«/л /л« р д и
Составим ряд
u(x,y,t)= X Атпе~аП ^р2 q21 sin^xsin^f/. A48)
Требуя выполнения начального условия A47), получим
m,n=l H Ч
Написанный ряд представляет собой разложение функции у(х,у)
в двойной ряд Фурье, и коэффициенты Атп определяются, как
нетрудно видеть, по формуле
р я
Amn = jq\l4(x, У) sin ^x sin -yydxdy. A49)
о о
Внося эти значения коэффициентов Атп в ряд A48), получим ре-
решение задачи A45) —A47).
ЗАДАЧИ
1. Дана неограниченная пластина толщиной 2R при температуре 0QC. Пла-
Пластина нагревается с обеих сторон одинаково постоянным тепловым потоком q.
Найти распределение температуры по толщине пластины в любой момент вре-
времени t > 0.
г- 486 —

Ответ:
(-1)" -("Н
nnx
/г=1
где k—коэффициент внутренней теплопроводности.
Указание. Задача приводится к интегрированию уравнения
при условиях
ди __ 2 д2и
~dt~a ~д&
= 0,
2* Температура боковой поверхности неограниченного цилиндра радиуса R
равна нулю; начальное распределение температуры в цилиндре выражается фор-
формулой
Доказать, что температура внутри цилиндра в момент времени t > 0 выражается
рядом:
где
и (г, 6, t)=2aZu {Amn C0S nQ + Bmn Sin n°) ln \j7f
R я
о -я
? я
f J г/(г, 6)/л^!^^ cos nOdr fife,
О -Я
R я
a jlix, ц2, jLi3,
0 -Я
.—положительные корни уравнения

ЧАСТЬ ЧЕТВЕРТАЯ
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
Глава XXIX
УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
§ 1. Векторные поля
Этот параграф имеет целью систематизировать и дополнить
известные читателю из курса анализа сведения о векторном ис-
исчислении.
1. Физическое пространство в математической физике рассмат-
рассматривается как некоторый данный неизменный объект, характери-
характеризуемый евклидовой геометрией. В таком пространстве всегда мо-
может быть введена ортогональная декартова система координат,
которая каждой точке пространства сопоставляет три числа —
координаты этой точки, представляющие расстояния этой точки
от соответствующих координатных плоскостей. Ниже будут рас-
рассматриваться только координатные системы, обладающие этими
свойствами. Если одна из них задана, то любая другая может
быть получена с помощью: а) движения, т. е. переноса начала и
поворота системы координат и б) отражения (в координатной
плоскости), как будем называть преобразование, состоящее в изме-
изменении направления одной из осей координат. При отражении
правая система координат переходит в левую и наоборот. Эти два
типа преобразований, т. е. движение и отражение, содержатся
в изометрическом преобразовании:
2
v=l
— 488 —
X/ = 2 «/Л + Ру. /=1,2,3,

где Xj, Xj — соответственно старые и новые координаты, Ру.
постоянные, определяющие перенос начала координат, а а-к
постоянные коэффициенты, удовлетворяющие условиям:
1, если j = k,
Ot если 1фк. \л= 1,2,3.
Из этих условий следует, что определитель преобразования
|«д| = ±1. Если |а^| = 1, то рассматриваемое преобразование
представляет движение. Если же |а^| = —1, то преобразование
не сводится только к движению, но включает еще и отражение,
вследствие чего меняется ориентация системы координат: правая
система переходит в левую, а левая —в правую.
Свойства физической среды, очевидно, не могут зависеть от
выбора той или иной системы координат. Между тем, в общем
случае, в зависимости от выбора системы координат они выра-
выражаются различными функциями координат. Для того, чтобы эти
функции определяли одно и то же физическое свойство, они должны
при преобразованиях координат также преобразовываться по опре-
определенному закону.
Пусть, например, некоторая физическая величина в каждой
фиксированной точке пространства характеризуется числом (плот-
(плотность, заряд, температура, концентрация и т. п.). При данном
фиксированном выборе системы координат такая величина пред-
представляет некоторую принимающую числовые значения функцию
f(xly x2, х3) трех вещественных переменных х19 х2, х3 — координат
точек пространства. Пусть система координат преобразована так,
что точке, которая в старой системе имела координаты х1У х2, х3,
теперь отвечают координаты х19 х2, х3. Так как значение физиче-
физической величины не зависит от выбора системы координат, то ее
зависимость от новых координат представляется функцией
/ (xv x2, х3), удовлетворяющей условию
I (Х1, Х2, %з) ~ Г (Хц %2> ^з)#
Функцию, которая при преобразовании координат преобра-
преобразуется по закону, выраженному этим соотношением, называют
скаляром. Область пространства, в каждой точке которой задан
скаляр, называют скалярным полем.
Не все физические величины могут быть представлены одной
числовой функцией. В частности, это относится к двум важным
группам величин. К одной из них принадлежат такие величины,
как ускорение, скорость, линейное перемещение, сила и т. п.,
которые в каждой точке пространства характеризуются не только
численным значением, но и направлением в пространстве. Эти
— 489 —

величины за малый промежуток времени всегда проявляются как
линейное перемещение и могут быть измерены как линейное пере-
перемещение (скорость — перемещение за единицу времени, сила — при-
причина, вызывающая линейное перемещение, она может быть изме-
измерена перемещением соответствующего пробного тела и т. д.).
К другой группе принадлежат такие величины, как угловое уско-
ускорение, угловая скорость, момент сил и т. п. Эти величины за
малый промежуток времени всегда проявляются как угловое пере-
перемещение (поворот) и могут быть измерены угловым перемещением.
Величины этой группы кроме численной величины характери-
характеризуются плоскостью поворота и направлением поворота в этой
плоскости.
Величины первой группы могут быть изображены направлен-
направленным отрезком («стрелкой»), длина которого в определенном мас-
масштабе соответствует численному значению величины, а направле-
направление— направлению, характеризующему данную величину. Чтобы
аналитически задать отрезок, соответствующий некоторой физиче-
физической величине, можно использовать ту же систему координат, что
и для описания физического пространства. Именно, зададим
направленный отрезок его проекциями на координатные оси. Тем
самым физические величины первой группы в данной фиксирован-
фиксированной системе координат аналитически будут заданы тремя функ-
функциями координат, принимающими числовые значения, равные
взятым с соответствующим знаком длинам проекций изображаю-
изображающего отрезка. Эти три функции назовем компонентами физической
величины в данной системе координат.
Как именно преобразуются компоненты при преобразовании
координат, вытекает из свойств рассматриваемых физических ве-
величин. Именно, они должны преобразоваться по тому же закону,
как проекции линейных перемещений, т. е. как разность коор-
координат двух точек. В свою очередь при поворотах и изменении
направления осей разности координат преобразуются по тому же
закону, как координаты, и не меняются при переносе начала коор-
координат.
Пусть, например, f — физическая величина рассматриваемого
типа, а /х, /2, /3 — ее компоненты в некоторой системе координат.
В соответствии со сказанным, компоненты ~flt /2, /3 величины f
в новой системе координат определяются соотношениями:
}(х19 х2, х3)^= 2 ajJA*n х2, х3), /= 1, 2, 3.
v=i
Совокупность трех функций координат, которые при преобразо-
преобразованиях координат преобразуются по закону, выраженному этими
соотношениями, т. е. как разности координат, называют поляр-
полярным вектором или просто вектором. Функции, образующие век-
вектор, называют его компонентами.
— 490 —

Обратимся к величинам второй группы. Аналогично тому,
как величины первой группы в данной точке пространства могли
быть изображены отрезком, величины второй группы могут быть
изображены отнесенной к данной точке пространства плоской
площадкой, ограниченной выпуклым контуром с заданным направ-
направлением обхода. Площадка предполагается ориентированной парал-
параллельно плоскости характеризующего величину углового перемеще-
перемещения, направление обхода контура —выбранным соответственно
направлению углового перемещения, а площадь площадки — рав-
равной абсолютному численному значению величины. Спроектируем
площадку на координатную плоскость, образованную осями 2, 3
системы координат. Направление обхода контура площадки опре-
определяет направление обхода контура проекции. Будем говорить,
что это направление положительно, если оно соответствует направ-
направлению поворота от оси 2 к оси 3 (по кратчайшему угловому рас-
расстоянию). Площадь проекции, взятую со знаком «плюс», если
направление обхода проекции положительно, и со знаком «минус»
в противном случае, назовем первой компонентой физической
величины второй группы. Аналогично проекциями на плоскости
осей 3, 1 и 1, 2 определим вторую и третью компоненты. При
этом за положительное примем направление поворота от оси 3
к оси 1 и от оси 1 к оси 2. Таким образом, в данной фиксиро-
фиксированной системе координат физическая величина окажется задан-
заданной тремя компонентами, являющимися функциями координат.
Из определения компонент физической величины второй группы
следует, что при изменении направления осей системы коорди-
координат, они преобразуются следующим образом:
При изменении направления одноименной оси * компонента
не изменяется, так как знак компоненты определяется располо-
расположением неодноименных ей осей. При изменении направления
одной из неодноименных осей знак компоненты меняется. Заме-
Заметим, что компоненты вектора преобразуются иначе: они меняют
знак при изменении направления одноименной оси и не зависят
от направления неодноименных осей. Что же касается поворотов
и переноса начала системы координат, то при этик преобразова-
преобразованиях компоненты величин второй группы преобразуются по тому
же закону, что и компоненты векторов.
Совокупность трех функций координат, которые при движе-
движениях преобразуются как компоненты векторов, а при отражениях—
по указанному выше правилу, называют аксиальным или осевым
вектором, употребительно также название псевдовектор. Функции,
образующие осевой вектор, называют его компонентами.
Легко видеть, что направленный отрезок, проекции которого
на оси координат равны компонентам аксиального вектора, пер-
перпендикулярен площадке, изображающей аксиальный вектор. На-
Одноименной названа ось, имеющая тот же номер, что и компонента.
— 491 —

правление отрезка совпадает с направлением поступательного
перемещения правого винта, который вращают в направлении
обхода контура площадки, если система координат правая, и в про-
противоположном направлении, если система координат левая. Длина
отрезка равна площади площадки. Практически для графического
изображения аксиального вектора обычно пользуются таким от-
отрезком («стрелкой»), что позволяет полярные и аксиальные век-
векторы изображать одинаковым образом. Этот способ вполне оправ-
оправдан, если при описании физических явлений используются только
системы координат, которые можно совместить движением, т. е.
системы координат одной ориентации, правые или левые. При
преобразованных же, включающих отражение, отрезок приходится
заменять другим отрезком, соответственно правилу преобразова-
преобразования компонент аксиального вектора.
Сходство полярных и аксиальных векторов в особенности про-
проявляется в общности алгебраических и дифференциальных опе-
операций с ними. Различие природы этих векторов сказывается
только в одном случае: сложение полярного и аксиального век-
вектора представляет операцию, не имеющую смысла. Практически,
когда это не может повести к недоразумениям, определения «по-
«полярный» и «аксиальный» всегда опускают, говоря просто о век-
векторах. Область пространства, в каждой точке которой задан
полярный или аксиальный вектор, называют векторным полем.
Существует простое правило, позволяющее отличить полярные и
аксиальные векторы. Изучаемое физическое явление надо зер-
зеркально отразить в плоскости, нормальной рассматриваемому век-
вектору. Если направление, в котором протекает явление, при отра-
отражении изменяется на обратное, то характеризующая его физиче-
физическая величина — полярный вектор. В противном случае явление
характеризуется аксиальным вектором.
Скаляры и векторы представляют величины, с помощью кото-
которых осуществляется инвариантное, т. е. не зависящее от выбора
системы координат, описание физических явлений. В этом состоит
значение этих величин в физике. Скаляры и векторы являются
частным случаем тензоров — величин, широко используемых в фи-
физике, но рассмотрение которых выходит за рамки этой книги.
2. Примем в дальнейшем следующие обозначения. Векторы
будем обозначать буквами латинского алфавита, набранными жир-
жирным шрифтом, компоненты векторов — теми же, но набранными
курсивом буквами с соответствующими индексами. Например,
а, Ь — векторы, а19 аг, а3-—компоненты вектора а и т. п. Чтобы
обозначить компоненту сложного выражения, представляющего
вектор, будем заключать это выражение в круглые скобки и
снизу, справа, ставить индекс, обозначающий номер компоненты.
В отношении всех векторов, которые будут рассматриваться
в этом параграфе, будем предполагать, что они заданы в каждой
точке некоторой области, т. е. образуют векторное поле.
— 492 —

Определение вектора, данное в п. 1, без труда обобщается на
случай любых криволинейных координат. Однако для простоты
в этом параграфе будем предполагать, что компоненты векторов
заданы в ортогональной декартовой системе координат. В этом
случае уравнения векторных линий поля, т. е. линий, касающихся
в каждой точке векторов а поля, имеют вид
dxx __ dx2 ___ dx3
Q>\ #2 ^з '
где компоненты а19 а2, а3 — вообще говоря, функции координат.
Многообразие векторных линий представляет инвариантную харак-
характеристику, не зависящую от используемых координат.
3. Введем символику, удобную при выкладках с векторами.
Примем обозначение суммирования, предложенное Эйнштейном:
если в некотором одночленном выражении один и тот же индекс
встречается дважды, то это выражение понимается как сумма
выражений того же вида по всем значениям, которые может
з
иметь указанный индекс. Например, вместо 2 аА> опуская сим-
символ суммирования, будем писать ааЬа. Индекс, по которому осу-
осуществляется суммирование, называют индексом суммирования.
Ради наглядности для индексов суммирования ниже используются
буквы греческого алфавита, а индексы, по которым суммирование
не производится, обозначаются буквами латинского алфавита.
Отметим, что замена обозначения индекса суммирования не меняет
значения суммы, аналогично тому, как изменение обозначения
для переменной интегрирования не меняет значения интеграла.
Например, ааЬа = а^Ь^ = а^Ь^ и т. д. При рассмотрении векторов
в трехмерном пространстве возможными значениями индексов
являются числа 1, 2, 3, что ниже будет всюду подразумеваться.
Введем символ Кронекера
$ 1, если / = &,
lh \ 0, если
Легко видеть, что
Введем далее символ
О, если среди индексов /, k> l есть равные,
+ 1, если индексы /, k, l образуют четную перестановку
чисел 1' 2' 3'
•—1, если индексы /, &, / образуют нечетную переста-
перестановку чисел 1, 2, 3.
Напомним, что четными являются перестановки 1 2 3; 2 3 1;
3 1 2; нечетными —перестановки 2 1 3; 1 3 2; 3 2 1. Круговая
— 493 —

перестановка индексов не меняет четности перестановки. Следо-
Следовательно,
€ 123 = € 231 = € 312 = 1 » € 213 == € 132 == € 321 == * •
Легко проверить, что (по греческим индексам суммирование!)
е?б?=2^=б. ""'
4. Перейдем к определению основных действий с векторами.
Суммой а + b двух векторов аи b называют вектор с компонен-
компонентами a1-{-b1, а2-\-Ь2У a3-\-b3, равными сумме одноименных компо-
компонент векторов а и Ь. Понятие суммы векторов имеет смысл
только тогда, когда оба вектора а и b одной природы, т. е.
оба полярные или оба аксиальные.
Для векторов определены три операции, называемые умно-
умножением.
Скалярное произведение a b векторов а и b определяется
равенством
а • Ь = а0Ь(Х.
Принято обозначение аа = а2. Скалярное произведение двух
полярных или двух аксиальных векторов представляет скаляр,
т. е. величину, принимающую в каждой точке пространства, где
заданы оба вектора, определенное численное значение, независя-
независящее от выбора системы координат. Скалярное произведение разно-
разноименных векторов имеет разные знаки в правых и левых систе-
системах координат. Такие величины называют псевдоскалярами.
Произведение фа вектора а на скаляр (псевдоскаляр) ф опре-
определяется как вектор с компонентами фах, фа2, qa3. Если а —
полярный (аксиальный) вектор, а ф — скаляр (псевдоскаляр), то
фа — полярный вектор. В противном случае фа — аксиальный
вектор.
Векторное произведение axb двух векторов а и b определяется
равенством
(ахЬ)у= GJarpaabr
Например, (ахЬ)х= € u,'paj>p = a2b3 — a3b2. Если оба вектора а и b —
одноименны, то их векторное произведение — аксиальный вектор,
в противном случае — полярный.
Смешанное произведение а Ьхс определяется равенством
Так как значение €jkl при круговой перестановке индексов не
меняется, то отсюда, в частности, ясно, что при круговой пере-
перестановке векторов а, Ь, с значение смешанного произведения
— 494 —

a-bxc не меняется. Если все векторы одноименны, то смешанное
произведение —псевдоскаляр. ,
Операцию дифференцирования ^— по координате Xj будем обо-
J да
значать символом dJt так что, например, дуа = -т- и т. п. По-
Построим символический полярный вектор V с компонентами д1У д2, д3,
который назовем дифференциальным оператором V (набла). Говоря,
что оператор V есть вектор, подразумевают, что алгебраические
операции с символами д;- производятся как с компонентами век-
векторов, в окончательных же выражениях им придается смысл соот-
соответствующих дифференцирований. При этом, очевидно, не безраз-
безразлично, в каком порядке стоят оператор V и остальные символы.
Например,
а • V = а А
— также дифференциальный оператор (скалярный). Его примене-
применение к вектору b дает вектор
(a- v)b=aAb,
называемый градиентом вектора Ъ по вектору а. Наоборот, выра-
выражение V • а есть, как будет показано ниже, скаляр, или псевдо-
псевдоскаляр.
Сочетание оператора V с тремя операциями умножения дает
три оператора: grad, div, rot, которые символически могут быть
обозначены как
V^grad, v-=div, VX^rot.
Первый из них (градиент) соответствует умножению V на скаляр
(псевдоскаляр), второй (дивергенция) —скалярному умножению V
на вектор, третий (ротор или вихрь) — векторному умножению V
на вектор. Применив эти операторы к скаляру ср и вектору а
соответственно получим:
а) вектор Vcp с компонентами
называемый градиентом скаляра ф,
б) скаляр (псевдоскаляр)
называемый дивергенцией или расхождением вектора а,
в) вектор с компонентами
называемый ротором или вихрем вектора а.
В каких случаях определенные выше векторы являются по-
полярными, а в каких — аксиальными, легко разобраться по ана-
аналогии с произведениями векторов.
— 495 —

Дивергенция и вихрь вектора характеризуют поведение век-
векторного поля в малом. Пусть, для наглядности, а — вектор ско-
скорости установившегося течения жидкости. Рассмотрим бесконечно
малый элемент объема жидкости, увлекаемый ее током. Тогда
значения a, div а и у rot а, сопутствующие этому элементу объема,
представят соответственно его вектор скорости линейного пере-
перемещения, скорость объемного расширения и вектор скорости
вращения.
5. Выведем теперь ряд более сложных соотношений, содер-
содержащих оператор V*
)/, f и ^-скаляры.
V-ax b = да€а?таД = ар€«Р7д«&т + &т6«рДар =
T«pdeap = b-vxa-- a-VXb.
//?p
(VX/a)y= €/e?ajap= ?Jafadaf+ €/af/aeap - (V/xa), +/(VXa)y.
a x (V X a) = 6 jafo. € 3T5^s = (fi/T6e8 — б/8бат) аад^аь = аад;.аа —
[V x (a x b)]y - € /«?de € p^e = (б/тб«5 — 6/8б«т)
da (ayfta) — da (aabj) = a;dA + Kdjij — bjdaaa — a^bj = ay V • b
V-v/ —dada/ = А/, где А — оператор Лапласа.
V *(V Ха) = да ? a, дм = С ^дд.а — 0.
^7 C 7 ^7 Р Т
[V X (V X а)]у - е /в?ав € ?т8дта8 = (б/тбв8 — б/8бвт) дад^аь =
= djdaaa — дад&, = [v(V-a)]/~Aa/.
Выпишем полученные соотношения в виде таблицы, используя
буквенные обозначения операций:
grad (fg) - / grad g + g grad f\
div / a = / div a -f a• grad /;
div ax b = b • rot a — a• rot b;
rot grad / = 0;
rot / a = f rot a + (grad /) X a;
ax rotary grada2 —(a-V)a;
rot (a X b) = a div b — b div a -f (b • V) a — (a. V) b;
div grad / = A/, A/ — —^--| —-] —;
дх[ дх2 дх3
div rot a = 0;
rot rot a = grad div a— Aa.
— 496 —

6. Рассмотрим далее некоторые интегральные формулы.
Формула Гаусса — Остроградского A) гл. XVIII в векторных
обозначениях имеет вид:
JJJdiva^-JJa.ndS.
V &V
где п —единичный вектор, направленный вдоль внешней нормали
к поверхности ?FV9 ограничивающей объем V. Произведение an
есть проекция вектора а на внешнюю нормаль. Интеграл справа
называют потоком вектора а сквозь WV.
Вообще, если S-—произвольная, не обязательно замкнутая
поверхность, целиком принадлежащая полю, то интеграл
называют потоком вектора а сквозь S или числом векторных ли-
линий, пересекающих S.
Если в объеме V diva = 0, то в силу формулы Остроградско-
Остроградского— Гаусса число векторных линий, входящих в объем У, равно
числу линий, выходящих из него. Если в некоторой части поля
diva =И=0, разобьем ее на области, в которых diva сохраняет
знак. Тогда из формулы Остроградского—Гаусса следует, что
в областях, где diva>0, число векторных линий возрастает,
а там, где diva<0,—убывает.
Об областях, где diva = 0, говорят, что они лишены источ-
источников поля. В этих областях векторные линии не могут ни на-
начинаться, ни кончаться.
Формула Стокса (гл. XVIII, § 7) в векторных обозначениях
имеет вид:
(Tn.rotadS = С
где п — единичный вектор, направленный вдоль нормали к ку-
кусочно-гладкой поверхности S, т — единичный вектор, касаю-
касающийся границы ?FS поверхности S. Направление т выбирается
так, что если смотреть из конца какого-либо из векторов п, то
т указывает направление обхода контура JFS против часовой
стрелки. Интеграл слева представляет поток вихря вектора а,
интеграл справа называют циркуляцией вектора а вдоль кон-
контура JFS.
7. Векторное поле называют безвихревым, если rota = 0. Из
формулы Стокса следует, что если контур может быть границей
поверхности, целиком принадлежащей полю, то циркуляция век-
вектора а безвихревого поля равна нулю. Если область, занятая полем,
односвязна, т. е. любой контур непрерывной деформацией можно
стянуть в точку, принадлежащую области, то любой контур может
служить границей поверхности, целиком принадлежащей полю,
— 497 —

Векторное поле а называют потенциальным, если существует
дифференцируемое скалярное поле ф, такое, что а=—grad ср.
Ввиду того, что rot grad ф = 0 потенциальное поле безвих-
безвихревое. Обратное верно, если область, занятая полем, од-
носвязна. Скаляр ф называют скалярным потенциалом поля
з.= —grad ф.
Векторное поле, дивергенция которого во всех точках равна
нулю, называют соленоидальным. Всякое соленоида л ьное поле а
может быть представлено в виде a = rot А, где А — Еектор, назы-
называемый векторным потенциалом поля а. Поскольку соленоидаль-
ное поле лишено источников, то его векторные линии либо замк-
замкнуты, либо имеют бесконечную длину.
Теорема Гельмгольца утверждает, что всякое однозначное
и непрерывное во всем пространстве векторное поле представимо
в виде
а== —grad ф + rot А,
где ф — скалярное поле, а А — векторное поле, т. е. любое до-
достаточно гладкое векторное поле может быть представлено как
сумма потенциального и соленоидального полей. Функцию ф на-
называют скалярным потенциалом у а вектор А — векторным потен-
потенциалом. Векторный потенциал А можно выбрать так, чтобы
div А = 0. Так как div grad ср —Дф, div rot А = 0, то источни-
источники div а векторного поля всегда выражаются через лапласиан
Дф скалярного потенциала и не зависят от векторного потен-
потенциала.
§ 2. Уравнения Лоренца — Максвелла
Уравнения электромагнитного поля или уравнения Лоренца —
Максвелла не могут быть выведены из других законов природы.
По существу, они являются выражением одного из фундаменталь-
фундаментальных законов природы. Обоснованием опирающейся на них электро-
электромагнитной теории является ее согласие с опытом в необычайно
обширной области применений, простирающейся от атома до
вселенной.
Важно подчеркнуть, что уравнения Лоренца —Максвелла
описывают истинное, а не макроскопическое * (усредненное) электро-
электромагнитное поле, тогда как уравнения, до сих пор встречавшиеся
в этой книге, в их приложениях к физическим явлениям давали
макроскопическое описание. Ниже будет совершен переход
* «Макроскопическое» всегда означает «усредненное по большому числу
элементов микроструктуры вещества» (молекул, ячеек кристалла и т. п.). Фи-
Физика сплошных сред оперирует только с макроскопическими величинами.
— 498 —

к уравнениям — они получили название уравнений Максвел-
Максвелла, — дающих макроскопическое описание электромагнитного
поля.
Уравнения Лоренца— Максвелла:
div Е = 4яр, C)
div H=0 D)
связывают электрическое поле Е и магнитное поле Н между
собой, а также с плотностью электрического заряда р и векто-
вектором плотности электрического тока j. Символ -^т- означает диф-
дифференцирование по времени в данной точке пространства. Вели-
Величина с—постоянная, численно равная скорости света в вакууме;
она получила название электродинамической постоянной. Вектор-
Векторные линии электрического и магнитного полей называют си-
силовыми линиями, соответственно электрическими и магнит-
магнитными.
Уравнение C) утверждает, что источниками электрического
поля являются электрические заряды. Оно может быть выведено
из закона Кулона. Уравнение D) гласит, что магнитное поле
не имеет источников. В соответствии со сказанным в предыдущем
параграфе это значит, что число магнитных силовых линий,
входящих в любой объем, равно числу линий, выходящих из него.
Поэтому магнитные силовые линии не могут ни начинаться ни
кончаться ни в одной точке поля и либо замкнуты, либо имеют
бесконечную длину. Уравнение A) представляет закон электро-
электромагнитной индукции Фарадея. Уравнение B) обобщает закон
Био и Савара, отличаясь от него наличием члена — -^-. Именно
добавление к перечисленным выше электрическим законам этого
члена, произведенное Максвеллом, оказывается кардинально важ-
важным для того, чтобы система A)—D) давала полное описание
электромагнитного поля.
Из уравнений A) и B) следует, что причинами возникновения
и изменения электромагнитного поля является не только сущест-
существование электрических зарядов — источников электрического поля,
но и движение зарядов, а также изменение во времени самого
поля. Это делает возможным существование магнитного поля,
•«- 499 —

хотя оно не имеет источников, а также существование свободного
(без зарядов и токов) электромагнитного поля*.
Продифференцировав по времени t уравнение C) и подставив
значение -щ- из B), получим
-J + divj=O. E)
Это уравнение представляет закон сохранения электрического
заряда. В самом деле, проинтегрировав E) по произвольному
объему V и применив формулу Остроградского — Гаусса, найдем,
что
dt
fv
т. е. приращение количества электричества (заряда) в объеме
за единицу времени равно направленному внутрь электрическому
току (напомним, что п —вектор, направленный из объема наружу).
Наоборот, уравнение C) следует из уравнений E) и B) с точ-
точностью до константы интегрирования. В этом легко убедиться,
проведя выкладку, обратную проведенной выше.
Взяв дивергенцию от обеих частей уравнения A), найдем,
что -^-div H = 0, откуда div H = const. Сравнение этого резуль-
результата с D) показывает, что уравнение D) определяет лишь кон-
константу интегрирования. Если, в частности, ищется электромаг-
электромагнитное поле по его значениям в начальный момент времени, то
уравнение D) должно быть принято во внимание лишь при фор-
формулировке начальных условий. Действительно, ввиду тождества
div rot E = 0, уравнение D) удовлетворяется и во все моменты
времени, если оно удовлетворяется в начальный момент. Заметим,
что это уравнение так же связано с законом сохранения магнит-
магнитного заряда, который мог бы быть записан в форме, аналогич-
аналогичной E), как уравнение C) — с законом сохранения электрического
заряда. То, что правая часть уравнения D) равна нулю, по су-
существу, выражает самостоятельный закон природы, который
гласит, что магнитный заряд не только сохраняется, но и равен
нулю.
Предположим теперь, что для системы A)—D) поставлена
задача, содержащая начальные условия, т. е. электромагнитное
* Обратим еще раз внимание читателя на смысл, придаваемый термину
«источник поля». Источниками поля являются только области поля, содержащие
электрические заряды.
— 500 —

поле ищется по его значениям в начальный момент времени
(при, возможно, других ограничительных условиях на границе,
в бесконечно удаленной точке и т. п.). Если заменить урав-
уравнения C) и D) уравнением E) и условием равенства нулю маг-
магнитных зарядов, то, как только что было показано, из этого
будут следовать уравнения C) и D) с точностью до констант
интегрирования, равенство которых нулю достаточно принять
во внимание только в начальных условиях. Например, еслц
div Н = 0 в начальный момент времени, то ввиду-^-div Н = 0,
это равенство будет иметь место и в дальнейшем.
Таким образом^ полная система уравнений электромагнитного
поля, по существу, сводится лишь к уравнениям A)—B), по-
поскольку уравнения C)—D) следуют из законов сохранения других
форм вещества —зарядов, которые отнюдь не могут быть сведены
к полям Е и Н. Законы сохранения зарядов (в частности, ра-
равенство нулю магнитного заряда), ограничивая возможности
возникновения поля, накладывают ограничения лишь на возмож-
возможные формы распределения поля в пространстве. Эти ограничения,
естественно, имеющие место во все моменты времени, и должны
быть учтены в начальных условиях, чем выражается требова-
требование, чтобы рассматриваемое поле принадлежало к числу полей,
которые реально могли возникнуть в природе.
Система A)—B) представляет систему из шести уравнений
для девяти компонент векторов Е, Н и ]. Недостающие три урав-
уравнения суть уравнения движения электрических зарядов, опре-
определяющие, совместно с законами сохранения, поле j плотности
электрического тока. Если поле j задано в функции времени, то
число неизвестных равно числу уравнений электромагнитного
поля A)—B).
Задачи для системы уравнений A)—B) с заданными токами,
которые в этом случае называют сторонними, возникают в огром-
огромном числе проблем; например, при изучении поля, создаваемого
токами в антеннах радиопередатчиков и радиолокаторов, при
расчетах полей, создаваемых движениями вещества в туманнос-
туманностях и атмосферах звезд, и т. д.
Когда система токов не задана, ситуация значительно более
сложна. Ее рассмотрению посвящен следующий параграф.
§ 3. Уравнения Максвелла
В предыдущем параграфе под Е и Н понимались истинные
поля, как бы быстро они ни менялись во времени и простран-
пространстве. Если к уравнениям A)—B) присоединить уравнения дви-
движения истинных зарядов—электронов и ионов, то, очевидно,
— 501 —

о фактическом решении уравнений не может быть речи *. Поэтому
возникает необходимость перехода от рассмотрения истинных
к рассмотрению макроскопических полей и токов, т. е. полей
и токов, усредненных по большому числу элементов микрострук-
микроструктуры вещества (молекул, ячеек кристалла и т. п.). Разумеется,
этот подход к делу есть обычная процедура, которая ведет от
физики микропроцессов к физике сплошных сред, оперирующей
только с макроскопическими величинами.
Задача, таким образом, состоит в том, чтобы из уравнений
A) —D) для истинного электромагнитного поля получить урав-
уравнения для макроскопического электромагнитного поля в среде.
Формальная замена величин, входящих в уравнения Лоренца —
Максвелла, их средними значениями приводит к появлению
в правых частях уравнений средних значений < р > и < j >
плотностей заряда и тока, которые не соответствуют никаким
макроскопическим физическим величинам, поскольку, как будет
видно из дальнейшего, они не могут быть непосредственно мак-
макроскопически измерены.
Это объясняется тем, что токи и электрические заряды,
являющиеся элементами микроструктуры, в зависимости от их
особенностей и характера взаимодействия с другими элементами
микроструктуры и электромагнитным полем, формируются в раз-
различные макроскопические величины, т. е. проявляются в различ-
различных макроскопических свойствах тел.
В среде под воздействием электромагнитного поля возможны
три основных процесса:
/. Перенос заряженных частиц. Макроскопическое проявление
этого явления называют конвективным электрическим током. За-
Заряженные частицы, могущие перемещаться на макроскопические
расстояния, называют свободными зарядами.
2. Смещение заряженных частиц разных знаков, входящих в
один элемент структуры, в целом электрически нейтральный
(молекула, ячейка кристалла и т. п.). Электрическое поле, смещая
связанные в единый элемент структуры разноименные частицы
в разных направлениях, вызывает: а) деформацию этого элемента
и появление (или изменение имевшегося) дипольного электри-
электрического момента, направленного вдоль поля, б) поворот элементов
микроструктуры, обладающих дипольным моментом, в направле-
направлении, соответствующем ориентации дипольных моментов вдоль
электрического поля. Если изменения электромагнитного поля
в пространстве и времени не слишком резки, то рассматриваемые
процессы в соседних элементах микроструктуры протекают в од-
одном направлении, приводя к электрической поляризации среды,
* Кроме того, классическое описание не приложимо к отдельным электронам
и ионам в веществе, а доступные прямому наблюдению поля в веществе яв-
являются макроскопическими.
— 502 —

т. е. к появлению у макроскопически различимых объемов среды
дипольных электрических моментов. Электрическая поляризация
может быть охарактеризована вектором плотности дипольного
момента Р, называемым также вектором плотности поляризаций
или просто поляризацией.
Вектор дипольного момента двух разноименных одинаковых
по величине зарядов е равен el, где I —вектор, соединяющий
отрицательный и положительный заряды. При изменении диполь-
дипольного момента заряды смещаются в противоположных направле-
ниях со скоростью iy-gf, что соответствует току e-rt-=gj{^)-
Отсюда очевидно, что изменение плотности дипольного момента
д?
сопровождается макроскопическим током с плотностью -^-, кото-
который называют током поляризации. Конвективный ток при опреде-
определенных условиях можно отличить от тока поляризации, поскольку
последний равен нулю в постоянном электромагнитном поле,
сохраняющем поляризацию Р неизменной.
3. Поворот дипольных магнитных моментов частиц среды
в направлении, соответствующем ориентации магнитных момен-
моментов вдоль магнитного поля. Протекание этого процесса для
соседних частиц среды в одном направлении приводит к макро-
макроскопическому эффекту, который может быть назван магнитной
поляризацией или намагничением среды.
Магнитные моменты частиц среды (молекул, атомов, ионов)
обусловлены орбитальным движением электронов и наличием
спина у элементарных частиц. Формально возникновение магнит-
магнитных моментов можно рассматривать как следствие существования
замкнутых микротоков. Полный ток сквозь любую замкнутую
поверхность S в среде, обусловленной замкнутыми токами, оче-
очевидно, равен нулю. При усреднении эти токи дадут составляю-
составляющую ()м) средней плотности тока, обладающую этим же свойст-
свойством, т. е.
где п — нормаль к S. Поэтому поле вектора <jM> соленоидально
(см. § 1) и его можно представить как вихрь некоторого вектора,
который принято обозначать символом сМ;
Вектор М называют намагниченностью среды, а вектор ?rotM —
плотностью тока намагничения.
Таким образом, в общем случае усредненную плотность тока
можно представить в виде суммы
^ F)
— 503 —

дР
плотностей )k — тока конвекции, -^—тока поляризации и
тока намагничения.
Предположим далее, что число заряженных частиц, которые
могут переноситься полем, остается при действии поля неизмен-
неизменным, вследствие чего имеет место закон сохранения
Тогда, усреднив закон сохранения E), используя F) и приняв
во внимание, что расходимость соленоидального поля равна
нулю, получим
откуда
где,рс — плотность электрического заряда, распределение которого
не зависит от времени и, следовательно, не меняется под дейст-
действием поля. Этот заряд может быть интерпретирован как заряд,
механически удерживаемый в фиксированных точках пространства.
Ниже будем считать р^О. Восстановление значения р^^О
может быть достигнуто простой заменой <р> —> <р> + рс.
Используя полученные выражения для <j> и <р> и заменив
Е и Н в системе уравнений Лоренца — Максвелла A) — D) усред-
усредненными величинами <Е> и <Н>, получим
div «E> + 4яР) = 4npk, div <H> = 0.
Вектор D = <E>-|-4ftP называют вектором электрической ин-
индукции, а вектор В = <Н> — вектором магнитной индукции. Век-
Вектор <Е>, обозначаемый ниже символом Е, и вектор <Н> — 4яМ,
обозначаемый ниже символом Н, называют соответственно
электрическим и магнитным векторами или, что то же, напря-
женностями электрического и магнитного полей в среде. Вектор
]k и скаляр p/j ниже будут обозначаться символами j и р и
называться просто плотностями тока и заряда. Выразим более
наглядно произведенную замену обозначений:
<E> + 4nP->D, <Н>-+ В, <Н>-4яМ-+Н, <Е> — Е, j, —j,
Pk-+P- G)
В этих обозначениях существует некоторая исторически сложив-
сложившаяся непоследовательность, поскольку усредненными значениями
истинных полей являются векторы, обозначаемые символами Е
и В, тогда как вместо В естественно было бы писать Н; век-
- 504 —

торами, включающими индуцированные поля 4яР и —4яМ, яв-
являются векторы, обозначаемые символами D и Н, тогда как
символ Н было бы естественней отнести к усредненному истинному
полю. Та же несообразность и в названиях: средними значениями
истинных напряженностей являются электрический вектор и
вектор магнитной индукции, тогда как индуцированные поля
включают вектор электрической индукции и магнитный вектор.
Что же касается до использования обозначений Е, Н, j и р,
совпадающих с обозначениями в A) —D), но имеющих иной
смысл, то это практически при некоторой осмотрительности не
ведет к недоразумениям.
Усредненные уравнения Лоренца— Максвелла называют урав-
уравнениями Максвелла. В новых обозначениях G) они имеют вид:
го1Е=-тж> <8>
ю4Н = ?1+!?. (9)
divD = 4np, A0)
divB = 0. A1)
Можно показать, что все входящие в эти уравнения величины
могут быть независимо измерены* макроскопическими методами
и, следовательно, имеют физический смысл, как макроскопиче-
макроскопические величины.
В отсутствии поляризующейся среды D = E, В = Ни уравнения
Максвелла приобретают вид уравнений A) —D).
Из уравнений Максвелла, так же как из уравнений Лоренца —
Максвелла, следует закон сохранения электрического заряда
в форме E) и, наоборот, из уравнений E) и (9) с точностью до
константы интегрирования следует уравнение A0). Аналогично
из (8) следует, что divB = const и, следовательно, уравнение
A1) определяет лишь константу интегрирования. Поэтому, как
и в отношении уравнений Лоренца—Максвелла, можно сказать,
что, по существу, уже два первых уравнения Максвелла (8) и
(9) образуют полную систему уравнений электромагнитного поля,
уравнения же A0) и A1), являясь следствием закона сохранения
электрического заряда и отсутствия магнитного заряда, выражают
ограничения на возможные распределения электромагнитного
поля в пространстве, что должно быть учтено при задании
начальных условий.
Система (8) —(9) содержит шесть уравнений для пятнадцати
компонент векторов Е, Н, D, В и j. В действительности, из
рассмотрения процессов поляризации и возникновения тока сле-
следует, что между векторами Е и D, между векторами Н и В, а
также между векторами j, E и В должны существовать функци-
* См., например, Зоммерфельд [28], гл. II, § 11 и 13.
— 505 —

ональные связи, вследствие чего из этих пяти векторов только
два независимы; за них принимают обычно векторы Е и Н. Если
электромагнитное поле изменяется достаточно медленно, так что
процессы поляризации успевают следовать за изменениями поля,
то соотношения между рассматриваемыми пятью векторами не
зависят от производных этих векторов по времени. Удовлетво-
Удовлетворяющие этому условию поля будем называть квазистационарными.
В подавляющем большинстве сред при Е = В = 0, т. е. при
отсутствии внешнего макроскопического поля, векторы D, Н и j
равны нулю*. Для таких сред, если, кроме того, они однородны
и изотропны в отношении электромагнитных свойств, и квазиста-
квазистационарных полей с хорошей точностью соблюдаются соотношения
D = eE, A2)
В^Н, A3)
где е и (i — не зависящие от Е и Н постоянные, получившие
наименования соответственно электрической и магнитной прони-
цаемостей среды. Соотношения A2), A3) перестают быть верными
для очень сильных полей, приближающихся к микрополям в
среде. Для плотности тока j та же степень приближения, что
в A2), A3), дается законом Ома, который может быть сформули-
сформулирован как утверждение, что плотность тока в данной точке
среды пропорциональна силе, с которой усредненное по микро-
микроструктуре электромагнитное поле действовало бы в этой точке
среды на единичный положительный заряд, движущийся вместе
со средой. Если среда неподвижна, то на единичный положительный
заряд действует сила, равная напряженности Е. Если же в рас-
рассматриваемой точке среда движется со скоростью v, то на заряд
1 D ^
действует также сила — vxB, обусловленная магнитным полем,
так что в общем случае, с учетом A3), закон Ома может быть
выражен соотношением
(?) A4)
где о — постоянная, называемая электропроводностью среды.
Во многих практических задачах, как об этом упоминалось
в предыдущем параграфе, удобно считать, что кроме токов, обу-
обусловленных электропроводностью среды, в среде существует еще
заданное поле ](е) сторонних токов, создаваемых некоторым из-
известным процессом (например, в антенне передатчика). Заменив
в уравнениях Максвелла (8) —(9) j на j+](?>) и подставив в них
A2)-—A4), приведем их к виду
)±f+ ^J««. A5)
* Это неверно для сегнетоэлектриков, ферромагнетиков и сверхпроводников,
к которым изложенные ниже соотношения непосредственно неприменимы.
— 506 —

Здесь число неизвестных уже равно числу уравнений, если ско
рость среды v считать известной.
Существуют два важных класса сред, называемых проводни-
проводниками и диэлектриками. Проводниками называют среды с высокой
электропроводностью. Перемещение зарядов в проводнике, поме-
помещенном во внешнее электрическое поле, создает поле, обратное
внешнему (поляризация проводника). В частности, как известно
из электростатики, статическое электрическое поле в проводнике
всегда равно нулю. Если внешнее поле меняется настолько
медленно, что процесс поляризации успевает следовать за его
изменениями (внешнее поле при этом называют квазистационар-
ным), то внутри проводника существует только электрическое
поле, индуцированное изменениями магнитного поля в соответ-
соответствии с первым из уравнений Максвелла A5). При этом оказы-
е дЕ ,Л г\
вается, что член — -^- во втором уравнении A5) очень мал и
с ut
в пределах точности, обеспечиваемой описанием среды соотноше-
соотношениями A2)—A4), его можно опустить. Применив операцию rot
ко второму из уравнений A5) и подставив значение rotE в первое
из них, получим
<"* — rot v х Н = —,— rot rot H + — rot f *>,
dt
откуда, ввиду div В = \x div H = 0, с помощью формул § 1 найдем,
что в средах с высокой электропроводностью
?" ^ — rotj(*>, A6)
? rot(vxH) = T^-AH + —
dt ч ; 4 л ца ' \i
где А — оператор Лапласа.
Если скорость среды v = 0, то из A6) для каждой из компо-
компонент вектора Н (в прямоугольной прямолинейной системе коор-
координат) получается уравнение теплопроводности и диффузии. Таким
образом, процесс распространения магнитного поля в электро-
электропроводной среде носит тот же характер, что и процессы диффузии
и распространения тепла, изученные в части III. В связи с этим
ниже они детально рассматриваться не будут.
Диэлектриками называют среды, не содержащие свободных
зарядов и, вследствие этого, не обладающие электропроводностью.
Для таких сред уравнения Максвелла A5) приводятся к виду
rotE=—¦?- -гт-, rot Н = —=е- И уе). A7)
С ut С ut С
Продифференцировав одно из этих уравнений по / и подставив
результат во второе уравнение, можно разделить переменные и
— 507 —

получить уравнения
.р ер.
<19>
Таким образом, электрическое и магнитное поля в диэлектриках
(и, в частности, в пустоте) удовлетворяют волновым уравнениям
(гл: I, § 1) и, следовательно, процессы распространения электро-
электромагнитного поля в диэлектриках носят волновой характер, де-
детально изучавшийся в гл. VIII. Ниже результаты гл. VIII будут
дополнены рассмотрением ряда задач, относящихся к стационар-
стационарным периодическим электромагнитным процессам, играющим
исключительно важную роль в технике.
Соотношения A2) — A9) справедливы для однородных и изо-
изотропных сред. Из (8) — (9) легко вывести уравнения для сред, в
которых проницаемости меняются от точки к точке. Эти уравне-
уравнения, однако, практически менее употребительны, так как более
сложны для решения. Чаще рассматривается случай, когда две
или несколько однородных сред соприкасаются между собой на
некоторых граничных поверхностях. Для точек граничных по-
поверхностей соотношения A2) — A9) неприменимы и должны быть
заменены граничными условиями:
4л
пх(Нг — Н,) = — jn0B, n (De — D,) = 4яриов,
nx(Ee-E,.) = 0, n.(Be-B,.) = 0.
Индексами i и е здесь отмечены предельные значения векторов
поля при приближении к поверхности раздела соответственно со
стороны среды i и среды в, п —единичный вектор нормали к по-
поверхности раздела, направленный от среды i к среде е, j пов и
Рпов — поверхностные плотности тока и заряда. Эти же условия
должны быть, естественно, соблюдены и на границах области,
занятой электромагнитным полем в однородной среде. Это пока-
показывает, что электромагнитное поле, вообще говоря, проникает
за любую границу, отделяющую различные среды.
Граничные условия B0) являются следствием уравнений
Максвелла (8) — (9) и легко выводятся с помощью формул Остро-
Остроградского— Гаусса и Стокса. В § 7 в несколько преобразованной
форме они будут выведены из уравнений Максвелла.
§ 4. Уравнения магнитной гидродинамики
Из уравнений Максвелла A5) следует, что движение электро-
электропроводной среды оказывает влияние на электромагнитное поле.
Покажем, что и наоборот, электромагнитное поле в электропро-
— 508 -

водной среде вызывает появление гидродинамических сил, влияю-
влияющих на ее движение.
Пусть р —макроскопическая плотность положительного заря-
заряда, принадлежащего положительно заряженным частицам среды,
a v+—средняя скорость этих частиц. Электропроводная среда
нейтральна (избыточный заряд проводника всегда находится на
его поверхности). Поэтому макроскопическая плотность отрица-
отрицательного заряда, принадлежащего отрицательно заряженным
частицам среды, равна — р. Среднюю скорость этих частиц обоз-
обозначим' через v__. Co стороны магнитного поля на заряды, содер-
содержащиеся в единице объема среды, будет действовать лоренцова
сила f = — p(v,+v_)xB. Сумма p(v,+v_) есть, по определе-
нию, плотность тока j. Выразив j с помощью (9) и опустив, как
и в предыдущем параграфе, член — -^ , пренебрежимо малый в
С 01
среде с высокой электропроводностью, получим
f = ^jX B = ^(rotH)xB. B1)
Вследствие столкновений между частицами — носителями тока и
другими частицами среды, сила, действующая на носители тока,
передается всей среде. Следовательно, со стороны магнитного
поля на каждую единицу объема среды действует лоренцова
сила f. Что же касается сил, действующих со стороны электри-
электрического поля, то они отсутствуют не только потому, что электри-
электрическое поле в электропроводной среде мало, но и потому, что
такая среда в среднем электрически нейтральна, так как избы-
избыточные заряды под действием электростатического отталкивания
сосредоточиваются на границе области, занятой средой.
Ввиду взаимодействия электромагнитного поля с подвижной
электропроводной средой, системы уравнений, описывающих поле
и среду, оказываются связанными между собой. Как упомина-
упоминалось, в приближении квазистационарного поля электрическое
поле в электропроводной среде мало, а основную роль играет
магнитное поле. Поэтому теория, рассматривающая квазистацио-
квазистационарные электромагнитные поля в подвижной электропроводной
сплошной среде, получила название магнитной гидродинамики.
Физическими средами, к которым практически прилагается
магнитная гидродинамика, являются плазма, т. е. сильно иони-
ионизированный газ, и жидкие металлы. Широкое развитие магнитная
гидродинамика получила в связи с проблемами звездных атмо-
атмосфер, магнитных полей в межзвездной среде, управляемого
термоядерного синтеза, плазменных двигателей и электрических
генераторов, магнитных насосов и магнитных подвесов для плавки
металла в вакууме.
Полная система уравнений магнитной гидродинамики включа-
включает, во-первых, уравнения гидродинамики (уравнение непрерыв*
— 509 —

ности, уравнения движения, уравнение состояния, уравнение
переноса тепла) с добавочными членами, учитывающими действие
на среду электромагнитного поля, и, во-вторых, уравнения
Максвелла для электромагнитного поля в движущейся среде.
Не представляет труда выписать эти уравнения. Здесь, ради
сокращения записи, выпишем их при некоторых упрощающих
предположениях.
Предполагая, что электропроводность среды высока, а вязкость
мала, пренебрежем потерями на джоулево тепло и внутреннее
трение*. Температуру среды будем считать одинаковой во всех
точках среды. При этих условиях роль переноса тепла в среде
мала и им можно пренебречь. Для всех сред, с которыми имеет
дело магнитная гидродинамика, магнитная проницаемость близка
к единице и можно положить (i = 1.
Выражения, входящие в A6) и B1) и содержащие операцию
rot, удобно преобразовать с помощью формул § 1:
rot(vxH) = (H-V)v — (v-V)H — Hdivv,
Введем далее «субстанциональную» производную
характеризующую скорость изменения величины, стоящей под
знаком производной, не в данной фиксированной точке прост-
пространства, а для определенного, участвующего в движении жидкости
элемента объема жидкости.
Взяв уравнение движения несжимаемой жидкости в форме
Навье—Стокса (см., например, гл. XXXVII, § 1) и добавив в правую
часть член, соответствующий A6), гидродинамические уравнения
можно записать в виде:
, B2)
^ B3)
где рс — плотность жидкости, а г| и ? — ее коэффициенты вязкости.
Соответственно для магнитного поля, в силу A6) и A1), получим
^ = (Н • у) v + -^ АН - Hdiv v + 4я rot j<*>f B4)
divH-0. B5)
* Отметим, что «малость» потерь, т. е. возможность пренебрежения ими,
зависит также от характера движения, а не только от значений вязкости и
электропроводности. Это же замечание можно сделать и в отношении делаемого
ниже предположения о постоянстве температуры.
— 510 —

Уравнения B2)—-B5) и представляют полную систему уравнений
магнитной гидродинамики в рассматриваемом приближении.
Отметим в связи с этими уравнениями два обстоятельства.
Из уравнения B2) следует, что роль, аналогичную давлению
р в гидродинамике, в магнитной гидродинамике играет сумма
/7+-5—Н2. Член s— Н2 называют магнитным давлением. По сво-
г оЯ оЯ
ему влиянию на движение жидкости он неотличим от гидроди-
гидродинамического давления р. Можно показать, что действие магнитного
поля на проводящую жидкость вообще сводится к магнитному
давлению ^-Н2 и магнитному натяжению ^Н2, действующему
вдоль силовых магнитных линий поля. Последнее обстоятельство,
в частности, означает, что в среде существуют силы, стремящиеся
сократить длину магнитных силовых линий.
Из уравнения неразрывности B3) и формул § 1 следует, что
Разделив уравнение B4) на рс, подставив найденное значение
для divv и заметив, что
9с dt - dt 9с ~^ pj dt'
получим
*^ = (JLV)v+ *_A-!Uifirotj<«. B6)
Выясним физический смысл первых двух членов в правой части.
Для этого примем сначала, что отличен от нуля только первый
член в правой части, т. е.
( vV. B7)
9с V 9с V J К '
По смыслу дифференцирования -^- это уравнение определяет зна-
н о Л
чение вектора — для некоторой произвольной жидкой частицы*.
9с
Рассмотрим также другую жидкую частицу, которая в некоторый
момент времени близка к первой и расположена от нее в направ-
н „ н
лении вектора —, т. е. на векторной линии поля —, проходя-
9с 9с
щей через первую частицу. Пусть 61 —направленный отрезок,
начало которого совпадает с первой частицей, а конец — со
второй. По условию в некоторый момент времени векторы —
и 61 параллельны.
* Жидкой чартицей называют элемент объема жидкости, переносимый
жидкостью при ее движении («состоящий из одних и тех же частиц жидкости»).
— 511 —

Если v —скорость первой частицы, то скорость второй частицы
в тот же момент времени равна v + Fby)v. Таким образом, за
время dt начальная точка отрезка 6/ сместится на vdt, а конеч-
конечная— на vd/-f-F1*y) vdtf т. е. изменение отрезка за единицу
времени
Это уравнение совпадает с B7), т. е. при сделанных предполо-
жениях изменение векторов — и 61 с течением времени опре-
9с
деляется одним и тем же уравнением. Поскольку оно однородно, то
•ж
из совпадения направлений векторов — и 61 в некоторый мо-
9с
мент времени следует, что их направления совпадают и во все
моменты времени, а длины векторов меняются пропорционально
друг другу. Иначе говоря, вторая жидкая частица, находившаяся
в некоторый момент времени на векторной линии поля —, про-
проходящей через первую частицу, остается на векторной линии,
проходящей через первую частицу, и во все моменты времени, а
н
длина вектора — с течением времени меняется пропорционально
9с
расстоянию между рассматриваемыми чистицами. Отсюда следует,
что жидкая линия, составленная из жидких частиц, находив-
н
шихся на векторной линии поля — в некоторый момент време-
времени, совпадает с векторной линией поля — во все моменты време-
9с
Н и -
ни, длина же вектора —, соответствующая какой-либо частице
9с
жидкой линии, меняется пропорционально растяжению жидкой
линии в месте расположения этой частицы.
Имея в виду описанную картину, говорят, что член ( V )v
V 9с J
в B6) соответствует переносу магнитного поля движущейся жид-
жидкостью, а когда другими процессами можно пренебречь, говорят,
что магнитное поле переносится током жидкости или что оно
«вморожено» в жидкость.
Предположим теперь, что в правой части B6) отличен от
с2 Н
нуля только член -—А—. Тогда уравнение B6) представляет
уравнение диффузии. В этом смысле говорят, что член -?— А —
описывает диффузию магнитного поля в жидкости.
Среды, к которым приложима магнитная гидродинамика, обычно
обладают высокой электропроводностью, вследствие чего в боль-
большинстве явлений в этих средах процесс переноса магнитного
поля является преобладающим, т. е. среда как бы скреплена
— 512 —

с магнитным полем. Это приводит ко многим интересным явле-
явлениям, играющим особенно большую роль в космических процес-
процессах. Например, магнитное поле Солнца удерживает его поверх-
поверхность в сравнительно устойчивом состоянии: многие детали на
поверхности Солнца могут наблюдаться в течение многих меся-
месяцев. Плазменные образования при столкновении не могут быстро
проникнуть друг в друга. Истечение солнечного вещества с
поверхности Солнца происходит в виде облаков, удерживаемых
от рассеивания в пространстве магнитным полем. Эти и многие
другие явления в чрезвычайно подвижной и лишенной сил
сцепления среде, какой является разряженная плазма, кажутся
совершенно парадоксальными, если не принимать во внимание
«вмороженное» магнитное поле.
§ 5. Потенциалы электромагнитного поля
Уравнения элекромагнитного поля в однородной изотропной
среде можно привести к виду, при котором число уравнений,
определяющих поле, меньше числа уравнений Максвелла. Одним
из способов такого приведения является введение потенциа-
потенциалов поля.
Используя то обстоятельство, что поле вектора В магнитной
индукции соленоидально, положим
В = rot A. B8)
Уравнение Максвелла A1) при этом выполняется тождественно.
Вектор А называют векторным потенциалом электромагнитного
поля. Подставив B8) в уравнение Максвелла (8), получим
откуда в предположении, что область пространства, занятая
полем, односвязна, следует, что сумма Е + —^т- является гра-
градиентом некоторого скаляра, который обозначим через — ср:
Е+||=-§гас1ф. B9)
Скаляр ф называют скалярным потенциалом.
Векторный потенциал определен с точностью до слагаемого,
представляющего градиент произвольной функции координат и
времени, преобразующийся при преобразовании координат как
скаляр. В самом деле, так как rot grad ij? = 0, где г|з —произволь-
—произвольный скаляр, то rot A = rot (A + grad гр). Ввиду B9) при замене
А-> А + grad г|з потенциал ср должен быть заменен на ср ~- .
С Ot
Таким образом, векторный потенциал определен с точностью до
17 №,645 — 513 —

градиента, а скалярный — с точностью до производной по вре-
времени от произвольной функции координат и времени.
Возможность произвольного выбора этой функции позволяет
не меняя физического смысла потенциалов А и ф выбрать их так,
чтобы они удовлетворяли одному произвольному дополнительному
условию. Например, скалярный потенциал q> можно принять
равным нулю. В отличие от этого в сбщем случае нельзя поло-
положить А = 0, поскольку это равенство представляет три условия,
наложенные на компоненты вектора А.
Положив D = eE, подставим B9) в уравнение Максвелла A0),
что даст
ediv ( gradcp -\—лг) = — 4лр
или
Дф_]— __. div А= -р. C0)
Наконец, положив Н — — В, подставим найденные выше вели-
величины в уравнение Максвелла (9). Это даст
, , А 4яц . ец д2А ец д
rot rot A =—- 1 Ч~1П9 ~-5
С С 01 С и\
Заметив, что rot rot A = graddiv А — ДА, получим
C1)
Уравнения C0) и C1) и дают решение поставленной задачи. Век-
Векторы поля выражаются через потенциалы соотношениями, сле-
следующими из B9) и B8):
= —gradcp ^-; Н = — rot А. C2)
s Y с dt ' ц v '
Уравнения C0) и C1), определяющие потенциалы, можно
упростить, если воспользоваться указанной выше возможностью
подчинить выбор потенциалов одному дополнительному условию
и принять условие Лоренца:
e±|2 + divA = 0.
с dt '
Тогда уравнения C0) и C1) примут вид:
i_ 4яц.
р 4л
Соотношения C2), определяющие векторы поля, по-прежнему оста-
остаются в силе.
— 514 —

Уравнения C4)—C5) удобны при рассмотрении электромагнит-
электромагнитного поля в диэлектрической среде, где j и р либо равны нулю,
либо представляют сторонние заданные величины ]{е) и р{е).
В электропроводной среде в приближении закона Ома j =oE + ]{e).
Взяв значение Е из C2) и подставив значение j в C1), получим
АЖ 4яиадА ей д2А 4яи,./„, . ./ей, дер
Если теперь выбор потенциалов подчинить условию
^ + ^«p + divA = 0, C6)
то получим
ДА_4яГал_^|А=_4^р> C7)
Здесь правая часть задана. В отличие от этого, подставив в
C0) значение divA из C6), получим
уЩ д\ 4я
Р
Л(р с2 dt с* dt* ~~ e Р'
где правая часть неизвестна. Поэтому, если векторный потен-
потенциал удалось найти, то скалярный потенциал естественнее нахо-
находить из C6). Заметим, что если после этого определить Е из C2),
4л
а р из уравнения divE = —р, то C8) удовлетворяется тождест-
тождественно.
§ 6. Периодические по времени электромагнитные поля
Важнейшим случаем волновых электромагнитных полей яв-
являются поля, периодические по времени. Это связано не только
с тем, что к таким полям приводят многие практические задачи,
в которых, например, изучается распространение радиоволн,
но и с тем, что произвольное волновое поле может быть пред-
представлено как наложение периодических по времени полей. Такое
представление в конечной области дается рядом, а в бесконеч-
бесконечной—интегралом Фурье. Ниже в этой книге будут рассматри-
рассматриваться только периодические по времени поля. Периодичность
по времени в каждой точке пространства подразумевает стацио-
стационарность — неизменность во времени — величин, однозначно
характеризующих поле в данной точке (например, амплитуд
и периода колебаний). Поэтому периодические по времени поля
стационарны.
Как и в предыдущих параграфах, будем предполагать, что
изменение электромагнитного поля во времени в каждой точке
среды происходит достаточно медленно, чтобы были справедливы
17* —515 —

соотношения D = eE, B = jxH. Закон Ома примем в форме ) = оЕ,
т. е. среду будем считать покоющейся.
Для изучения стационарных полей применим тот же прием,
как и при переходе от волнового уравнения к уравнению Гельм-
гольца, описывающему стационарное волновое поле (гл. XXIV).
Именно, заметив, что, аналогично скаляру, всякий периодиче-
периодический во времени вектор а может быть представлен в виде
a=Reae~/wt, где со —круговая частота колебаний, t—время,
а а—-вектор с комплексными компонентами, не зависящий от
времени, представим величины, входящие в уравнения Макс-
Максвелла, в виде
E=ReEe-**, H = ReHe-*°',
j = Rejir/a>', p = Rep<r/a*.
Для отыскания периодического поля достаточно найти комплекс-
комплексные амплитуды Ё, Н, j и р.
При рассмотрении стационарных полей для комплексных ам-
амплитуд Ё, Н, j и р часто сохраняют те же обозначения Е, Н,
j, p и названия электрического и магнитного вектора, плотно-
плотности тока и заряда, которые использовались в предыдущих
параграфах. Ниже также принята эта условность, позволяющая
избежать введения новых терминов и обозначений. В случае
необходимости отличить величины — комплексные амплитуды от
величин, используемых в предыдущих параграфах, будем перед
наименованием или символом величины добавлять слово «комп-
«комплексный».
Ввиду линейности уравнений Максвелла при комплексных
значениях, входящих в них зависимых переменных, веществен-
вещественные и мнимые части этих переменных не влияют друг на друга.
Поэтому для получения уравнений относительно комплексных
амплитуд в уравнениях Максвелла A5), A0) и A1) вместо под-
подстановок вида C9) достаточно (с учетом принятого соглашения
относительно обозначений) произвести замены
Е —> Ее'ш, Н -> Ие'ш9 j -> ]е'ш9 р -* р'ш,
что, после сокращения на множитель е~1Ы, приведет к системе
уравнений
rotE = ^H, D0)
го1Н = 4яо-по_вЕ + ^.(^
с с
divE = ^p, D2)
div H = 0. D3)
— 516 —

Эту систему также принято называть системой уравнений Макс-
Максвелла.
Отметим, что формально переход к уравнениям для комплекс-
комплексных величин осуществляется заменой
д
Когда комплексные величины Е, Н, j, p найдены, вещественные
векторы, использовавшиеся в предыдущих параграфах, могут
быть получены заменой Е— +ReEe~iuit и аналогично для осталь-
остальных величин.
Применив операцию div к уравнению D1) и используя D2),
получим закон сохранения заряда
D4)
Таким образом, если в поле нет сторонних закрепленных заря-
зарядов, что предполагалось при выводе уравнения A5), то отличие
плотности заряда от нуля может быть вызвано только действием
стороннего тока, т. е., иначе говоря, также внесением заряда
искусственным путем.
Применив операцию rot к D0), заметив, что согласно форму-
формулам § 1 rot rot E = — AE + grad divE, и подставив значения вели-
величин из других уравнений, получим
где
Аналогично, применив операцию rot к D1) и используя другие
уравнения, получим
ДН + k2H = — ^ rot p. D7)
Уравнения D5) и D7) суть уравнения Гельмгольца относи-
относительно компонент комплексных векторов Е и Н. При отсутствии
сторонних токов и равной нулю электропроводности, т. е. для
диэлектрических сред, они переходят в однородные уравнения
т- 1.2 со2ец
Гельмгольца с вещественным положительным значением k =¦—~ .
В этом случае (§ 5, гл. XXIV) существуют решения уравнения
Гельмгольца в виде бегущих волн, причем величина с==-^- пред-
представляет их фазовую скорость. Следовательно, фазовая скорость
бегущих электромагнитных волн
— 517 -.

В пустоте e = fx = l, т. е. электродинамическая постоянная с
представляет фазовую скорость электромагнитных волн в пустоте.
Аналогично тому, как это было сделано в § 5, можно ввести
векторный и скалярный комплексные потенциалы. Проще непо-
непосредственно в формулах § 5 произвести замену ф—>ц>е~ш>
\—+Ае~ш или, что равносильно, ^-—* — ко. Используя уравне-
уравнения C7) и C6), применение которых удобно, когда связь между
векторами j и Е выражается законом Ома, получим
> D8)
Здесь k2 то же, что выше, и определяется формулой D6).
Комплексные векторы поля определяются преобразованными
формулами C2):
E0)
Предположим теперь, что сторонние токи отсутствуют, а Е
и Н —векторы, удовлетворяющие уравнениям Максвелла. Тогда
векторы
Е' = _ Н*?н и Н' = Е E1)
также удовлетворяют уравнениям Максвелла. Это дает возмож-
возможность при отсутствии сторонних токов ввести два потенциала,
называемых векторами Герца. Эти потенциалы взаимно нахо-
находятся в отношениях симметрии, аналогичных выражаемым фор-
формулами E1).
Одним из векторов Герца является вектор
П- —А
где А — векторный потенциал. Ввиду D8) и j(e) = 0 он удовлетво-
удовлетворяет уравнению
ДП + ?2П = 0. E2)
Из E0) следует, что векторы поля выражаются через этот век-
вектор Герца соотношениями
Е = &2П + grad div П, Н = ^ rot П. E3)
— 518 —

Но в силу соотношений взаимности E1) векторы
Е = ^гоШ и H-/e2n + graddivn E4)
также удовлетворяют уравнениям Максвелла. Пусть теперь П
и П* — два вектора, удовлетворяющие уравнению E2). Образовав
для первого из них векторы поля по формулам E3), а для вто-
второго— по формулам E4), и сложив полученные выражения, по-
получим также два решения уравнений Максвелла:
+ Arotn.
Вектор П* представляет другой вектор Герца.
Вектор, используемый для образования векторов поля по
формулам E3), называют электрическим, а по формулам E4) —
магнитным вектором Герца. В зависимости от граничных усло-
условий оказывается удобным использовать либо один из векторов
Герца, либо оба вместе.
ЗАДАЧИ
1. Показать, что при отсутствии сторонних токов скалярный потенциал ф
удовлетворяет уравнению Гельмгольца
2. Найти электромагнитное поле, возбужденное в безграничном простран-
пространстве заданной системой стационарных токов j.
Указание. Можно искать векторный потенциал поля. Частными реше-
решениями уравнений Гельмгольца, удовлетворяющими на бесконечности усло-
условиями излучения, являются колебательные потенциалы (§ 6 гл. XXIV). Сле-
Следовательно, одно из решений нашей задачи может быть представлено в форме
колебательного потенциала. Это решение единственно, так как если бы было
два решения, то их разность удовлетворяла бы однородному уравнению
Гельмгольца. Но решения однородного уравнения Гельмгольца описывают
свободные поля, не содержащие источников. Поэтому решение, описывающее
поле вынужденных колебаний, может быть только одно. Компоненты вектор-
векторного потенциала, описывающего искомое поле, определяются формулами
V
3. Используя формулы E2) и E5) гл. XVIII, показать, что в цилиндри-
цилиндрических координатах (г, ф, г) уравнения Максвелла A2)—A3) имеют вид:
1 dEz
г дф
дЕг
dz
Удг Г ?'
dz
dEz to)
г дф
4JI(J —1@8
с
— 519 —
Щ1
г
С
—
с
г
J
1 п
¦ Hz*

дНг дНг 4яа— /сое р 4я .(е)
\ д 1 dHj. __4яа — кое р 4я .(е)
4. Показать, что в сферических координатах (г, 8, ф) уравнения Макс-
Максвелла имеют вид:
r sin 0 \ d0 ? Eф
г
iflrE дЕ
^ 4яа—/сое „ , 4я .(е\
sin0 \дд V дц) J с г с г
гН \ 4яа—/сое 4я (g)
?у"' с е+ с уе '
§ 7. Условия на бесконечности и граничные условия
Типичными для системы уравнений стационарного электро-
электромагнитного поля являются задачи, в которых электромагнитное
поле ищется в бесконечной области, в то время как причиной
возникновения и поддержания стационарного состояния поля
являются процессы, происходящие в конечной части простран-
пространства. При последнем условии компоненты векторов поля, а также
векторного потенциала, ввиду D5), D7) и D8), в окрестности
бесконечно удаленной точки удовлетворяют однородному урав-
уравнению Гельмгольца и можно воспользоваться результатами
§ 5 гл. XXIV/
Если в окрестности бесконечно удаленной точки электропро-
электропроводность среды конечна, то, ввиду D6), Im/r=?0 и согласно
§ 5 гл. XXIV возможны два типа решений уравнения Гельм-
Гельмгольца: экспоненциально возрастающие и экспоненциально убы-
убывающие на бесконечности. При поставленных выше условиях
физический смысл имеют только последние из них, из чего и
вытекают требования к решению на бесконечности. Вообще
достаточно потребовать не экспоненциального убывания решений,
а только обращения в нуль на бесконечности (см., например, § 9).
Если же среда в окрестности бесконечно удаленной точки
является диэлектриком, то о = 0, Imfe2 = 0 и согласно § 5
гл. XXIV наряду с решениями уравнения Гельмгольца, пред-
представляющими волны, уходящие на бесконечность, существуют
решения, представляющие волны, идущие из бесконечности.
— 520 —

Чтобы исключить эти последние, как не имеющие физического
смысла, необходимо и достаточно, чтобы решение удовлетворяло
условию излучения F2) гл. XXIV для каждой из компонент
векторов поля (или векторного потенциала).
Условие излучения в форме G0) гл. XXIV охватывает оба
случая: Im&2==?0 и Imfe2 = 0.
Перейдем к граничным условиям на поверхностях, разде-
разделяющих среды с разными свойствами.
Будем считать, что скачкообразный переход свойств одной
среды в свойства другой является предельным случаем непре-
непрерывного перехода, при ко-
котором свойства одной сре-
среды переходят в свойства
другой непрерывным обра-
образом в некоторой малой
области, примыкающей к
поверхности раздела. Са-
Самую поверхность раздела
будем считать кусочно-
гладкой. При этих предпо-
предположениях для установле-
установления граничных условий
могут быть использованы
формулы Остроградско-
Остроградского— Гаусса и Стокса.
Пусть S — поверхность
раздела двух сред, о кото-
которых будем говорить как о
среде е и среде /, и пусть \ — точка на S, а п — внешняя нормаль
к S в точке !¦. За положительное примем направление нормали
п от среды i к среде е.
Построим цилиндрическую поверхность С с осью, совпадаю-
совпадающей с нормалью п, и радиусом ah, где а—-отвлеченное число,
a h — произвольно выбранная единица длины. Пусть далее S'
и S" — поверхности, получаемые смещением поверхности S на
расстояние a2h соответственно в положительном и отрицательном
направлении нормали п. Поверхности С, S' и S" выделят неко-
некоторую замкнутую окрестность V\ точки ? с границей, образован-
образованной участками С?, 58, 5е построенных поверхностей (рис. 50).
Применив в окрестности Ve к векторам Е и Н формулу Остро-
Остроградского—Гаусса, в силу уравнений D0) и D1), получим
[toe — 4яо) Еп — 4я/^] dS = 0,
Рис. 50
с8 +se+se
с +s +s
с с о
-521 -

Символы Ent Нп и ffi означают проекции векторов Е, Н и ){е)
на нормали к элементам dS поверхностей Се, 58 и Se. При
стремлении числа а к нулю для площадей ct, se и se участ-
участков Се, 5е и 5g получим следующие оценки:
Применив к интегралу от [(toe — 4пв)Еп — 4я/??)] теорему о сред-
среднем, получим
S J [(кое-4яа)?„-4я/<f>] dS = се [(toe-4яа] ?„-4я/<Г ]срСе +
s? [(tcoe — 4яа) Еп — 4я/{/?)]ср s + se [{шг — 4яа) Еп —-
где знаки срСе, ср5е, ср5е означают, что должно быть взято
значение выражения, стоящего в квадратных скобках, лежащее
между его максимальным и минимальным значениями соответ-
соответственно на Се, Se и Se. Устремив а к нулю и используя полу-
полученные оценки, найдем, что
lim - f f [(tcoe — 4яа) Еп — 4nj«>] dS =
a -> о Se J v
= [(tcoe, - 4яа,) Ene - 4я/^] - [{шв? - 4яаг-) Eni - 4я/й>],
где значками ^ и i отмечены предельные значения величин при
приближении к точке Ъ> соответственно со стороны среды е и
среды /. Знак минус при [(кое,- — 4яа/)?„1- — 4я/^)] связан с тем,
что внешняя нормаль к участку S"e направлена в сторону, про-
противоположную внешней нормали к 5. Аналогичное соотношение
получается и для нормальных компонент вектора Н с тем лишь
отличием, что величина (/сое — 4яа) заменяется на \х, а член, за-
зависящий от плотности тока, отсутствует.
Таким образом, придем к следующим граничным условиям
для нормальных компонент векторов поля:
(кое, — 4яае) Епе — (шв? — 4яаг) Eni = 4я (jj? — /«?),
Обратим внимание на первое из них. В его правой части
стоит разность нормальных компонент плотности тока. Отличие
ее от нуля указывает на различие между притоком зарядов
к поверхности раздела и оттоком от нее. Так как каждая из
рассматриваемых нами величин представляет комплексную
амплитуду колебаний, происходящих с частотой со, то это раз-
различие между притоком и оттоком означает, что происходит
— 522 —

периодическое колебание заряда на поверхности раздела, т. е.
на этой последней располагается простой колебательный электри-
электрический слой.
Чтобы получить граничные условия для касательных компо-
компонент электрического и магнитного векторов, рассмотрим кон-
контур L, образованный
линиями пересечения
произвольной плоскости
2, проходящей через
нормаль п в точке ?, с
участками С6, Sg, Se
(рис. 51). Пусть 2Л —
участок указанной плос-
плоскости, ограниченный
контуром X. Для упро-
упрощения дальнейших вык-
выкладок введем прямо-
прямоугольную систему де-
декартовых координат с
началом в точке !¦ и ося-
осями /г, т и Ь, где п —
указанная выше нор-
нормаль, т —ось, направ-
направленная по касательной Рас. 51
к поверхности раздела,
лежащей в плоскости 2, а ось Ь направлена так, чтобы система
координат /г, т, Ь была правая.
Записав уравнения Максвелла D0) и D1) в компонентах по
осям Ь, п, г, получим систему из шести уравнений для компо-
компонент. Возьмем из этой системы два уравнения:
дЕх дЕп __ ш[ь jj
П
дНх
дп ~
' дх
Ало—/сое
4я .(е)
Проинтегрируем второе из этих уравнений по площадке
E7)
E8)
Так как ось т перпендикулярна плоской площадке SL, левую
часть последнего соотношения можно преобразовать с помощью
формулы Стокса для плоской области*, что даст
E9)
H№~^)dS==l[//nCos(/i «)+^cos(/- T)idL-
См. В. И. Смирнов [1], т. II, п. 70.
— 523 —

Контур L разобьем на части L', V и V", образуемые пере-
пересечением секущей плоскости 2 соответственно с участками S8, Se
и цилиндрической поверхностью Св (см. рис. 51). Площадку 2^
разобьем на две части 21в и 2L/, из которых одна лежит в среде е,
а другая в среде г. Вспомнив, что участки Se и 5g по условию
отстоят от поверхности раздела сред на расстояние a2h, и устре-
устремив радиус ah рассматриваемого цилиндра к нулю, получим сле-
следующие оценки:
L'" = 4a2h; на U и L" cos(Z, /i)«0,
где oLe и oLi — площадки участков lLLe и HLh a Z/, L" и L'" —
длины участков Z/, L" и L'". Кроме того, на L" тождественно
cos(/, b) = 0. Применив к соотношениям E8) и E9) теорему о сред-
среднем и используя найденные оценки, получим:
= [Я, cos (/, т)]Ср и + [Нх cos (/, T)]cpL- + 2oA [Яй cos (/, /г)]ср Ls F0)
где, как и выше, значки ср SI,., cpSIe, cpL', cpL", cpL'" озна-
означают, что должно быть взято значение выражения, стоящего
в квадратных скобках, лежащее между его максимальным и ми-
минимальным значениями на соответствующем участке.
Если электропроводность а обеих соприкасающихся сред огра-
ограничена, то и объемная плотность тока /(/} ограничена. Поэтому,
осуществив в соотношении F0) предельный переход, придем
к соотношению:
lim {[Ягсо5(/, T)]cpZ/-f[#,cos(Z, t)]cpL*} = 0. F1)
а -> о
Так как
/—1 на L', «. „ /#-. на V,
{1 L. 1шЯ = (я; L»
hnicos(/, x)={+1 Ha L.f 1шЯ, = (я; на
окончательно получим
Совершенно аналогичным путем, используя первое из уравне-
уравнений E7), найдем и граничное условие для тангенциальных ком-
компонент электрического вектора:
Таким образом, мы нашли четыре граничных условия:
(Ч — *те) Епе — №*i — 4flty) Eni = 4я Une ~ jni),
= ЕФ Нхе = НФ F3)
— 524 —

Легко, однако, Видеть, что выполнение Последних двух условий
для тангенциальных компонент автоматически влечет за собой
выполнение и первых двух условий для нормальных компонент.
Чтобы убедиться в этом, воспользуемся введенной выше мест-
местной системой координат п, т, Ъ (см. рис. 51), где п — нормаль
к границе раздела сред, а оси т и b лежат в касательной плос-
плоскости к ней. Из уравнений Максвелла D0) — D1) следуют урав-
уравнения
дЕ дЕ^ __ /соц тт
дх
d#T _ 4ла— /сое р . 4я че)
дх db с п~г с Jn •
В силу непрерывности тангенциальных компонент Ех, Еь, Нх, Нъ
правые части этих уравнений также меняются непрерывно при
пересечении границы, откуда и следуют условия F2).
Так как электропроводность многих сред очень велика, весьма
полезным является представление о проводнике с бесконечно боль-
большой электропроводностью. Такой проводник называют идеальным.
Опираясь на уравнения Максвелла, легко показать, что полное
электромагнитное поле в проводнике затухает по мере углубления
в проводник по показательному закону, причем показатель зату-
затухания пропорционален электропроводности (см., например, задачу
к этому параграфу). Поэтому при пересечении границы идеального
проводника поле должно обращаться в нуль. Это часто выражают,
говоря, что «электромагнитное поле внутрь идеального провод-
проводника не проникает».
Этим обстоятельством воспользуемся, чтобы установить усло-
условия на границе идеального проводника. Обратимся к интеграль-
интегральному соотношению E8). Оценки членов этого соотношения, на
основании которых мы пришли к граничному условию для тан-
тангенциальных компонент магнитного вектора, опирались на требо-
требование ограниченности векторов поля и плотности тока. Для
идеального проводника последнее не имеет места и оценки для
членов, зависящих от плотности тока, мы должны изменить.
Заметив, что по закону Ома компонента по оси b полной
плотности тока равна
найдем, что
Че ° Че
Интеграл JJ jbdS представляет полный ток, текущий через часть
Ъи площадки 2L, расположенную в среде е. По сказанному выше,
электромагнитное поле, а с ним и полный ток, текущий по
— 525 —

идеальному проводнику, концентрируются на его поверхности.
Следовательно, при о—+оо рассматриваемый интеграл стремится
к линейному интегралу
L
где L—часть контура площадки %и, принадлежащая границе раз-
раздела сред (рис. 51), а \'ь — компонента поверхностной плотности
тока ]' по оси Ь. При а —> 0 интеграл $ j'bdL имеет порядок 2ahj'by
вследствие чего, как легко видеть, вместо соотношения F1) придем
к соотношению
НШ {[ЯТСО8(/, T)]cpr + [#TCOS(/, T)]CPL»}=^/'.
а -> о
Приняв во внимание, что векторы поля в среде е равны нулю,
и учтя соотношения F0), окончательно получим
Это соотношение не накладывает никаких ограничений на
решение, так как в правой его части стоит функция, не входящая
в уравнения Максвелла. Наоборот, когда решение уравнений
Максвелла найдено, соотношение F4) дает возможность определить
поверхностный ток.
Вывод граничного условия для тангенциальных компонент
электрического вектора имеет исходной точкой уравнения E7),
не зависящие от плотности тока. Следовательно, как и для про-
произвольной среды, для идеального проводника получим Е.е = ЕФ
Но поскольку поле в идеальном проводнике равно нулю, то
?-? = 0 и это условие примет вид
E-j = 0. F5)
Таким образом, на границе идеального проводника должно соблю-
соблюдаться лишь одно условие, требующее обращения в нуль тан-
тангенциальной компоненты электрического вектора.
ЗАДАЧА
Полупространство хх > 0 занято средой с электропроводностью а. На гра-
границе хг = 6 задано значение электрического вектора, равное постоянному векто-
вектору Ео. Показать, что поле в среде с ростом хх затухает по показательному
закону, причем коэффициент затухания пропорционален электропроводности а.
Указание. Искомый электрический вектор удовлетворяет уравнению
где
с2 \ ~ eco
— 526 —

§ 8. Представление электромагнитного поля
с помощью двух скалярных функций
С помощью формул § 7 гл. XVIII легко показать, что в про-
произвольных ортогональных криволинейных координатах ?,, ?2, С3
уравнения Максвелла D0) — D1) имеют вид:
«?«=т4яг F6)
= тЩ? + Щ&М,Ег F7)
где /ia, ft., /zT —координатные параметры Ламе, а индексы а, |3, 7
принимают соответственно значения a=l, Р = 2, y = 3, а также
значения, получаемые круговой перестановкой чисел 1, 2, 3.
Будем считать, что сторонние токи отсутствуют, т. е. что
/а)==0 (а= 1, 2, 3). Для сокращения письма введем обозначения:
цоц , 4 лег— /сов - /дя.
— = кн> ~с = kE. F8)
При этом уравнения F6) — F7) примут вид:
щ-^Е-^КЕл = кнККрг F9)
^А??р-^А«Я« = *ЛА??Т. G0)
Предположим, что некоторая задача, поставленная для урав-
уравнений F9) —G0), допускает решения, при которых
Егф0, Ht = 0, G1)
или
?, = 0, Н,ФО9 G2)
где / — какой-либо индекс из числа индексов 1, 2, 3. Решения,
удовлетворяющие условиям G1), будем называть решениями элек-
электрического типа, а условиям G2) — решениями магнитного типа.
Для решений электрического типа из уравнений F9) при у = 1
следует, что
diJhkEk = ^hjEp G3)
где индексы /, k вместе с индексом / образуют некоторую четную
перестановку /, k, I индексов 1, 2, 3. В отличие от греческих
индексов а, C, у, которые могут означать любую четную переста-
перестановку индексов 1, 2, 3, все три индекса /, k, l мы предполагаем
фиксированными.
Из соотношения G3) вытекает, что компоненты Ej и Ek электри-
электрического вектора могут быть представлены в виде
— 527 —

где гг*—некоторая функция. Подставив эти выражения в уравне-
уравнения G0) при y = j, k и приняв во внимание, что Н1 = 01 получим
д h н - ь h^ ди* д h и -ь hlhjdu* пъ
Предположим, что коэффициенты hl9 h2, h3 представимы в виде
Лу = !>,(?/• W*(W, А*=Ф*(Е/. WH>(W. Лж = 1. G6)
Тогда, положив
и*- —
„ __ *я ди И _kE да^
где w —некоторая функция, мы тождественно удовлетворим урав-
уравнениям G5). Подставив выражения G7) для Нк и Hj в то из
уравнений G0), для которого у = 1у получим
Наконец, в силу соотношений G4), найдем, что
Таким образом, с помощью четырех уравнений из шести уравнений
F9) — G0), все компоненты векторов поля для решения электриче-
электрического типа выражены нами через некоторую функцию и.
Подставив найденные выражения компонент векторов поля в те
из уравнений F9), для которых у = /, k, получим:
Оба эти уравнения могут быть получены путем дифференцирова-
дифференцирования уравнения
где
и, следовательно, удовлетворяются, если функция и является ре-
решением уравнения (80). Тем самым мы видим, что надлежаще
выбрав функцию и, даожно построить выражения векторов поля,
удовлетворяющие всем уравнениям Максвелла.
— 528 —

Собрав воедино выражения G7) —G9) компонент векторов поля
для решений электрического типа и приняв во внимание уравне-
уравнение (80), можем записать:
E^+k2u' (82)
тт 4яа—гсое 1 ди и 4яа—шг 1 ди и с\ /qo\
Я'= с КЖи' k== с h}Wj* 1 ( '
Исследовав подобным же образом решения магнитного типа,
мы пришли бы к соотношениям:
Н Ни = j— ^ дс. , Нт = —--{-k2v\ (84)
1 do p /соц 1 dv
где v — функция, также удовлетворяющая уравнению (80).
Таким образом, если рассматриваемая задача для уравнений
Максвелла допускает представление решения в виде наложения
решений электрического и магнитного типов, то для отыскания
каждого из них достаточно найти одну скалярную функцию,
которая является решением уравнения (80) при граничных ус-
условиях, обеспечивающих выполнение граничных условий для
векторов поля. Если такая функция найдена, то векторы поля
могут быть определены по формулам (82) — (83) или (84)—(85).
Выполнение соотношений G6) является необходимым усло-
условием существования решений электрического и магнитного типов.
Можно показать, что эти условия в ортогональных системах
координат выполняются по любой координате ?г, для которой
координатными поверхностями служат либо параллельные плос-
плоскости либо концентричные сферические поверхности. Эти типы
координат, однако, и исчерпывают все случаи выполнения со-
соотношений G6).
Примерами координат, удовлетворяющих соотношениям G6),
являются ортогональные декартовы координаты (в качестве t,i
можно выбрать любую из координат), цилиндрические коорди-
координаты г, ф, z при Z>i = z, сферические координаты г, 6, ср при
Ь = г.
Рассмотрим, например, сферические координаты. Для них:
hr=l, fiQ = r, hq = rsmQ
и соотношения G6) удовлетворяются при ?j = r. Положим
При этом уравнение (80) примет вид:
r2 sin2 9
— 529 -~

С помощью подстановки:
и= гп
оно может быть приведено к уравнению Гельмгольца:
&й , 2 ди 1 д („.тЙд~и\ 1 dhx
+ + sinej +
Зная решения и и v последнего уравнения, подчиненные усло-
условиям, которые обеспечивают выполнение граничных условий для
решений соответственно электрического и магнитного типа, можно
найти все векторы поля с помощью формул, очевидным образом
вытекающих из формул (82) — (85). Функции и и v получили на-
название потенциалов Дебая.
ЗАДАЧИ
1. Предположив, что параметры Ламе hj, hk и ht системы координат ?у,
?ft, Zi не зависят от ?/f рассмотреть электромагнитное поле в пустоте, также
не зависящее от координаты ?/. Показать, что векторы поля могут быть вы-
вычислены по формулам:
Е ___f ]_du^_ ___c l_du*_ ___!_у*
J~ /со hkhi dtk y k~ ш hjht dtj ' l~ ht y
dv* и c l dv*
где и* и у* — функции, удовлетворяющие уравнению
д / hk да \ д г hj ди \ со2
Замечание. Функции г/" и у* называют потенциалами Абрагама.
Рассмотренный в этой задаче случай является единственным, кроме рассмот-
рассмотренного выше, когда электромагнитное поле может быть представлено с по-
помощью двух скалярных функций.
2. Показать, что к числу координатных систем, рассмотренных в преды-
предыдущей задаче, принадлежат системы, обладающие симметрией вращения
относительно одной из координатных осей (например, цилиндрические или
сферические координаты).
3. Показать, что в декартовых и цилиндрических координатах решения
уравнений Максвелла электрического и магнитного типа могут быть представ-
представлены с помощью соответственно электрического и магнитного векторов Герца,
у каждого из которых лишь одна компонента П3 и П* или Hz и П* отлична
от нуля. Показать далее, что можно положить: П3 (или U2) — u, П* (или E*) = v9
где и и V — функции, определенные в тексте параграфа.
§ 9. Теорема единственности
Рассмотрим имеющий большое принципиальное значение
вопрос о единственности решений системы уравнений Максвелла.
Пусть S —замкнутая поверхность, разделяющая две среды
i и е, заполняющие соответственно конечную область Vh pac-
— 530 —

положенную внутри 5, и бесконечную область Ve, расположен-
расположенную вне S. На границе S будем считать выполненными условия
сопряжения тангенциальных компонент векторов поля:
Hxi-HXe = 0.
Далее будем считать, что выполняется условие излучения, при
г —> оо:
) (^)>0, ?а->0, Яв->0, (87)
а=1, 2, 3,
где ^ — квадратный корень с положительной вещественной частью
из выражения
Входящие в последнее выражение величины отмечены индексами
е, поскольку бесконечно удаленная точка принадлежит среде е.
В дальнейшем индексы при обозначениях величин будем вводить
только тогда, когда необходимо подчеркнуть, что данная вели-
величина относится к определенной среде.
Наконец, будем считать, что электропроводность среды i
ст^О. (88)
При указанных достаточно общих условиях имеет место
Теорема единственности. Решение системы уравнений
Максвелла D0) — D1), удовлетворяющее граничным условиям (86)
и условиям излучения (87), при условии (88) единственно.
Для доказательства теоремы предположим, что существует
два решения, т. е. две системы векторов поля ЕA), НA) и ЕB),
НB), удовлетворяющих требованиям теоремы. В этом случае
разности
Е A>B)
очевидно, будут удовлетворять однородной системе уравнений
Максвелла:
(90)
граничным условиям (86) и условию излучения (87) на беско-
бесконечности. Теорема будет доказана, если показать, что векторы
Е и Н, удовлетворяющие перечисленным условиям, тождественно
равны нулю во всем пространстве.
— 531 —

Рассмотрим выражение
т— Яа7"°8 |Е|2 + -^-|Н|2 (91)
и выражение, комплексно сопряженное ему,
m^^ toa + tcos |Ej2_i^ML|H|2> (92)
Звездочкой будем отмечать величины, комплексно сопряженные
величинам, обозначаемым тем же символом без звездочки. Сумма
m + m* = i^.|E|1>0. (93)
Раскроем выражение для квадратов модулей векторов поля. По
определению
з
12
В силу соотношения (90):
с / дН
a 4ла—/о)8
откуда
7
I2
4ла—tooe
F [ I р \ = с \ р У Р
где значок о означает, что суммируемые члены получаются один
из другого круговой перестановкой индексов а, р, 7- Аналогичным
путем, используя уравнения (90), найдем, что
дх'
Подставив найденные выражения в выражение (92), получим:
т*-у\Е fe-5_f?W№--^l-
= ?*1)х^(Н$Е1 — Н*уЕ
откуда очевидно, что
О
Пусть 2—шаровая поверхность настолько большого радиу-
радиуса г, что область Vt лежит внутри нее. Легко видеть, что в силу
— 532 —

граничных условий (86), нормальная составляющая вектора Т
с компонентами
Та = (Hfi-HvEl) + {H\E,-H;e) (94)
изменяется непрерывно при пересечении поверхности раздела S.
Действительно, пусть для простоты ось ха перпендикулярна S.
Нормальная составляющая Тп вектора Т равна в этом случае Та9
а определяющие ее величины ? Ev # и #т являются компо-
компонентами тангенциальных составляющих векторов поля и, сле-
следовательно, непрерывны. А поэтому непрерывна и интересующая
нас нормальная составляющая.
В силу доказанной непрерывности нормальной составляющей
вектора Т при пересечении S, во всей области У2, лежащей
внутри 2, к функции
можно применить формулу Остроградского — Гаусса, что, в силу
соотношения (93), даст
Jj^S. (95,
Введем сферические координаты (г, 9, ср) с началом в центре,
из которого описана шаровая поверхность 2. На 2:
(96)
Пользуясь уравнениями Максвелла в сферических координатах
(задача 4 к § 6), получим:
И
г L sin в дф ^? Г\дг
Н --*- [IE +l±-
-ikE W ck E
со|л
Оценим порядок членов в правых частях этих уравнений при
^оо. В силу условия излучения (87), при г-+оо
поэтому члены, содержащие множитель —, стремятся к нулю
-- 533 —

быстрее-^. Отсюда следует, что
где о( —) означает совокупность членов более высокого порядка
малости, чем—. Подставив эти выражения в формулу (96), по-
получим
2cRek
где о (— ] означает совокупность членов порядка более высокого,
чем — . Из соотношения (95) теперь вытекает, что
Так как все члены этого уравнения неотрицательны, то нулю
равен каждый из них, а поскольку и подынтегральные выра-
выражения неотрицательны, то должно быть
= 0 в
= 0 в Ve,
= 0- (98)
В силу соотношений (97) отсюда также следует, что
Наконец, пользуясь уравнениями Максвелла в сферических ко-
ординатах, найдем, что
1 Г^-И sine-
tcoe r sin В
rsinO
— 534

откуда ясно, что радиальные компоненты Ег и Нг по порядку
величины не превосходят угловых компонент, так что должно быть
lim
а поэтому вообще
lim $J|E|2d2=lim JJ|H|2dE = O. (99)
Если а(ф0, <зеф0, то из (98) вытекает, что во всем прост-
пространстве Е = 0, а в силу уравнений (89) также и Н = 0. Если же
ое = 0, то во внешней области параметр k = ke= ®* Ее^е имеет
с
вещественное значение. Поэтому, приняв во внимание, что каж-
каждая из компонент векторов поля удовлетворяет уравнению Гельм-
гольца, мы можем воспользоваться основной леммой теории
уравнения Гельмгольца (§ 7 гл. XXIV), согласно которой вы-
выполнение условия (99) при вещественном k влечет за собой об-
обращение Е и Н в нуль во всей внешней области. Во внутренней
же .области Е и Н равны нулю в силу первого из соотношений
(98). Таким образом, теорема доказана.
Глава XXX
НАПРАВЛЯЕМЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
§ 1. Поперечно-электрические, поперечно-магнитные
и поперечно-электромагнитные волны
В этой главе мы рассмотрим ряд задач, связанных с уста-
установившимися процессами распространения электромагнитных волн
вдоль систем, обладающих свойством создавать условия, при
которых распространение волны происходит, в основном, в задан-
заданном направлении. Такие волны называют направляемыми, а на-
направляющие их системы — волноводами.
Основным приемом, которым мы будем пользоваться для упро-
упрощения рассмотрения этих задач, явится представление электро-
электромагнитного поля в виде суперпозиции волн нескольких типов.
Пусть ось х3 направлена вдоль направления распространения
волны. Это всегда можно сделать по крайней мере локально,
в данной точке. Электромагнитное поле волны определяется
шестью компонентами Е19 Е2, Е3, Hif Я2, Н3 электрического и
магнитного векторов. Представим его в виде суперпозиции двух
полей, определяемых соответственно компонентами
О, Ег, О I n
— 535 —

o, #2, o.
Наложение этих полей дает, очевидно, исходное поле. Электри-
Электрический вектор поля A) перпендикулярен направлению распро-
распространения волны, тогда как магнитный вектор имеет отличную
от нуля компоненту вдоль направления распространения. Поле B)
характеризуется обратным расположением электрического и маг-
магнитного векторов. Именно, электрический вектор имеет компо-
компоненту вдоль направления распространения, а магнитный не имеет.
В связи с этим волны, характеризуемые полем A), получили
название поперечно-электрических или ТЕ-волн (от английского
«transverse electric»), а характеризуемые полем B) — поперечно-
магнитных или ТМ-волн («transverse magnetic»). Эти названия
мы будем применять и для волн, у которых все поперечные ком-
компоненты отличны от нуля, т. е. характеристическим признаком
ТЕ- и ТМ-волн будем считать Е3 = 0 в первом случае и Я3 = 0
во втором.
Введем, наконец, еще третий тип волн, характеризуемый от-
отсутствием продольных компонент как у электрического, так и у
магнитного вектора. Такие волны характеризуются следующей
таблицей компонент:
Elf Е2, 0 \ ,ov
^ я„ о; w
и получили название поперечно-электромагнитных или ТЕМ-волн.
Из нашего рассмотрения еще не следует возможности само-
самостоятельного существования волновых процессов, характеризуемых
полями A) —C). Однако, как мы увидим ниже, волны всех трех
типов в соответствующих условиях могут существовать как само-
самостоятельные и независимые друг от друга процессы.
ЗАДАЧА
Показать, что поля вида A) — C) могут быть полями бегущей волны.
Указание. Следует исходить из уравнений Максвелла.
§ 2. Волны между идеально проводящими плоскостями,
разделенными диэлектриком
Изучим распространение плоской волны между двумя парал-
параллельными идеально проводящими плоскостями, отстоящими на
расстояние s. Расположим начало координат на одной из плоскостей.
Ось х3 будем считать ориентированной по направлению распро-
распространения волны, а ось хг — перпендикулярной к рассматриваемым
плоскостям и направленной так, чтобы уравнения плоскостей были
— 536 —

х1 = 0 и x1 = s. При этом выборе осей все величины не будут
зависеть от х2 и уравнения поля D0) —D1) гл. XXIX примут вид:
/cojbi rj дЕ2 4яа—icoe p дН2
с ^ дх * с дх *
icojLi rj дЕ± дЕ3 Ало—icoe p дНг дН3
с 2 дх дхл * с 2 дх дхл ' \ /
/cojLi rj. дЕ2 4яа—/сое ^ дН2
с дх\ с их±
где а, е и |л —соответственно электропроводность и диэлектри-
диэлектрическая и магнитная проницаемости диэлектрика, разделяющего
проводящие плоскости.
Попробуем теперь представить рассматриваемую волну в виде
суперпозиции ТЕ- и ТМ-волн (§ 1). Рассматривая систему урав-
уравнений D) видим, что она распадается на две независимые системы:
^, Eа)
дхх ' v '
4kg — tcoe p _ дНг дН3
х3 с
4яа — кое р дН2 4яа—/со8 р дН2
1^Я, = |^-^L, F6)
с 2 дх3 дхг ' v '
в первую из которых входят только переменные Н19 Н3 и Е2,
а во вторую —только ?\, ?3' ^2- Поэтому решения систем Eа, б)
и Fа, б) могут оказаться взаимозависимыми только тогда, когда
взаимозависимы граничные условия для двух групп переменных:
Н19 #3> Е* и ?i> ?"з» Н*> что в РяДе интересных задач, как мы
знаем, не имеет места.
Таким образом, если граничные условия могут быть разбиты
на две группы, в одну из которых входят только переменные Н19
#3, Е2, а в другую —только переменные Ег, Е3, Я2, и решение
системы D) существует, то его можно построить наложением ре-
решений системы Eа, б) и системы Fа, б). Но в силу соотноше-
соотношений A) — B), решение системы Eа, б) соответствует ТЕ-волнам,
а системы Fа, б)—ТМ-волнам. Следовательно, при определенных
условиях действительно могут существовать ТЕ- и ТМ-волны,
распространяющиеся независимо друг от друга.
Отыскание ТЕ- и ТМ-волн сводится к решению одного ска-
скалярного уравнения Гельмгольца. Действительно, из уравнений
Eа) и Fа) следует, что компоненты Н19 Н3 и Е19 Е3 можно по-
получить дифференцированием соответственно компонент Е2 и Я2,
так что достаточно определить эти последние. Но, как мы знаем
(§ 1 гл. XXIX), каждая из компонент векторов поля удовлетво-
— 537 —

ряет уравнению Гельмгольца *. Поэтому мы приходим к двум
уравнениям Гельмгольца, первое из которых определяет ТЕ-,
а второе ТМ-волны:
*? + *& +*•?,=<>, Gа)
1 3
™Ь*!Ь нл = о. G6)
1 3
где по D6) гл. XXIX
Перейдем к рассмотрению граничных условий.
Как мы знаем (гл. XXIV, § 1), решение уравнения Гельм-
Гельмгольца в бесконечной области определяется заданием линейной
комбинации искомой функции и ее нормальной производной на
границе области и условий на бесконечности. Если на бесконеч-
бесконечности удовлетворяется условие излучения, то решение одно-
однозначно. В этом случае, в частности, поле на бесконечности стре-
стремится к нулю. Однако в этой главе мы не будем интересоваться
такого рода решениями, так как при изучении направляемых
волн основной интерес представляют волны, не затухающие в
направлении излучения, а поэтому и не убывающие безгранично
в удаленных точках. Вследствие этого, в качестве условия на
бесконечности, введем требование, чтобы искомое решение было
ограниченным в бесконечно удаленной точке. При этом решения
уравнения Гельмгольца, очевидно, заведомо не будут единствен-
единственными, наша же цель будет состоять в том, чтобы выяснить,
какие именно типы волн охватываются этими решениями.
Займемся теперь требованиями, предъявляемыми к решению
на границе.
Согласно § 7 гл. XXIX на границе идеального проводника
должна обращаться в нуль касательная составляющая электри-
электрического вектора и нормальная магнитного, т. е. должно быть
?2 = ?3=0, (9)
Я1 = 0, A0)
причем последнее условие является следствием первого. Для
компонент Elt Я2, Я3 граничные условия писать не нужно,
поскольку скачки Elf Я2, Я3 на границе определяются индуци-
индуцированными проходящей волной электрическими слоями и поверх-
поверхностными токами. Граничные значения Е19 Я2, Я3, даваемые
решением, позволяют определить эти слои и токи.
* Это, конечно, легко устанавливается и исключением переменных из сис-
систем Eа, б) и Fа, б).
— 538 —

Покажем, что если принять:
при хг = 0 и xx = s ?2 = 0, (Па)
при jc4 = 0 и x1==s 5^ = 0, A16)
oxi
то условия (9) будут выполнены. Действительно, в силу второго
из уравнений Fа) при хх = 0 и xx=s имеем Е3=0. В силу же
первого из уравнений Eа) Н1=0у так как вдоль границы пере-
переменная Е2 не меняется (равна нулю).
Решения уравнений Gа, б) будем искать по методу разделе-
разделения переменных. Для этого искомое решение представим в ви-
виде произведения двух функций U (хг) nV(x3). После подстановки
в уравнение и разделения переменных получим
где
Г/г — кп к >
а ^—произвольное число. Общие интегралы этих уравнений:
U (хг) = Аг sin knxx + A 2 cos knx19 A2)
U (л:3)=В1е-^. + B2ev»**. A3)
Подчинив f/^) граничному условию A1а), найдем, что
А2=0,
и получим следующее выражение для собственных чисел гра-
граничной задачи, определяющей ТЕ-волны:
Отсюда, с точностью до несущественного произвольного множи-
множителя А19
Щх^зтпл^ (л=0, 1, 2, ...), A5)
причем собственное число kn=0 соответствует тривиальному ну-
нулевому решению.
Подчиняя U (хг) граничным условиям A16), получим Лх=0
и тот же спектр A4) собственных значений. Отсюда следует, что
для ТМ-волн, с точностью до несущественного множителя,
U (хг) = costing. A6)
— 539 —

Для отыскания V(x3) подставим значение &а из (8) и &*=~м2
в выражение для у%. Это даст
y%=^-^-i«X. A7)
Если электропроводность а диэлектрика, разделяющего про-
проводящие плоскости, отлична от нуля, то у* — комплексное число,
а поэтому его корень уп имеет отличную от нуля вещественную
часть. Подставив уп в A3) и заметив, что в силу условия на
бесконечности надо сохранить лишь тот член, который остается
ограниченным при возрастании х3, придем к выводу, что при афО
решение для Е2 и Я2 содержит экспоненциально убывающий
множитель. В этом случае рассматриваемый волновой процесс
экспоненциально затухает в направлении распространения.
Предположим теперь, что диэлектрик совершенный, т. е. 0=0..
Тогда
Для дальнейшего анализа это выражение удобно преобразовать,
выразив круговую частоту со через длину волны X. Имеем
где сх—скорость распространения электромагнитного поля в
диэлектрике между проводящими плоскостями. С другой стороны
V~w
<18>
В зависимости от значения %% имеем несколько случаев.
Если
то уп — вещественное число и рассуждения, аналогичные прове-
проведенным для а=7^0, показывают, что волновой процесс при дан-
данных % и п экспоненциально затухает в направлении распростра-
распространения. В частности, для К > 2s между проводящими плоскостями
возможны только затухающие ТЕ- и ТМ-волны.
Если
, 2s
— 540 —

т. е. полуволна целое число раз укладывается в интервале меж-
между двумя плоскостями, то у„=0 и данным А, и п, в силу соот-
соотношений A4), A5) и A6), с точностью до множителя соответст-
соответствуют решения
для ТЕ-волн и
2= sin nn —
S
2 = cos пп —
S
для ТМ-волн, не зависящие от координаты х2. Это означает,
что в точках любой плоскости х3—const (xx^s) электромагнитные
колебания в этих волнах происходят в одной фазе и с одина-
одинаковой амплитудой. Такие колебания представляют, очевидно,
стоячие волны. В случае ТМ-волн при п = 0 получаем постоян-
постоянное магнитное поле.
Наконец, если
то
где р„ — отличное от нуля вещественное число. В силу соотно-
соотношений A4), A5) и A6), при таких значениях К и п получим ре-
решения
2= sin nn —(В^
s \
для ТЕ-волн и
для ТМ-волн, которым соответствуют волны с амплитудами, ме-
меняющимися по законам:
Re sin nn — e-Wn**, Re sin nn — е^х*>
Re cos nn— е~^*Хз, Re cos nn —
Для большей наглядности запишем эти выражения, введя вре-
временной множитель ?~/W. Это даст
ппе Re
cos s cos
откуда ясно, что рассматриваемые волны бегущие, причем в
первой и третьей из них фаза распространяется вдоль оси х3 в
отрицательном направлении, а во второй и четвертой —в поло»
— 541 —

жительном, с одинаковой фазовой скоростью
Щ = уп- A9)
Поле ТЕ-волн обязательно зависит от координаты xv В слу-
случае же ТМ-волн при п=0 имеем волны
не зависящие от координаты х19 т. е. плоские волны. В силу
второго из уравнений Fа) в этом случае продольная компонента
электрического вектора Е3=0. Отсюда заключаем, что этот тип
волн представляет ТЕМ-волны.
ЗАДАЧИ
1. Исследовать поведение компонент Нг и Я3 в ТЕ-волне и компонент Ех и Еь
в ТМ-волне, распространяющихся между двумя параллельными идеально про-
проводящими плоскостями.
2. Исследовать распределение токов и зарядов на проводящих плоскостях
при прохождении волны.
Указание. Использовать граничные условия для Еъ Я2 и Я3.
3. Показать, что бесконечно большая скорость распространения фазы «бегу-
«бегущей» волны соответствует стоячей волне.
Указание. Воспользоваться формулой A9).
4. Исследовать, что нового будет внесено в решение задачи о распростра-
распространении волн между двумя плоскостями требованием, чтобы решение, кроме
граничных условий A1а, б) удовлетворяло еще условию излучения (гл. XXIV, § 5).
5. Исследовать распространение волн в волноводе, представляющем короб
прямоугольного сечения с идеально проводящими стенками.
§ 3. Дальнейшее рассмотрение направляемых волн
Каждая из компонент векторов электромагнитного лоля, как
мы знаем, удовлетворяет уравнению Гельмгольца. Если искать
решение уравнения Гельмгольца в форме произведения
U(xlf x2)V(х3)у мы придем к уравнению
dxt)+V dxl
которое, как легко видеть, распадается на два уравнения:
AllT АЪТ I
B0)
+ УУ=Ь> B1)
где 72—произвольное комплексное или вещественное число. Если
Y2 — комплексное или отрицательное вещественное число, то огра-
ограниченные в бесконечно удаленных точках решения V{x3) урав-
— 542 —

нения B1) представляют экспоненциально убывающие в направле-
направлении х3 функции (см., например, § 2). Соответствующие им ре-
решения U(x19 x2,)V(x3) уравнения Гельмгольца представляют
поэтому волны, экспоненциально затухающие в направлении х3.
Если же 72 — положительное вещественное число, то общий ин-
интеграл уравнения B1) равен
V {х^Вув-Ъ** + В2е1^ B2)
и решение уравнения Гельмгольца представляет суперпозицию
двух незатухающих в направлении х3 волн. Первая из них (как
это легко видеть, умножив выражение B2) на e~ioit) при 7>0
распространяется в отрицательном, а вторая — в положительном
направлении оси х3. Этот класс волн представляет особый интерес
в теории направляемых волн, поскольку к нему принадлежат
волны, которые могут распространяться вдоль волноводов без ос-
ослабления. В связи с этим в дальнейшем мы, в основном, сосре-
сосредоточим внимание на следующей задаче: какие именно волны этого
класса могут распространяться вдоль волноводов. При этом, считая,
что параметр у может быть любого знака, зависимость от xs для
каждой отдельной волны будем учитывать вводя в решение
множитель
е'т*., B3)
где у— произвольное вещественное число, получившее название
постоянной распространения. Очевидно также, что достаточно
рассматривать только случаи, когда 7>0, так как при у<0 изме-
изменится лишь направление бегущих волн, в остальном же картина
останется неизменной. Следует только помнить, что если возможна
прямая волна, то возможна и обратная.
Таким образом, задача о направляемых волнах приведена нами
к изучению полей, зависимость которых от координаты х3 дается
выражением B3). Заметим, что компоненты векторов поля при этом
будут удовлетворять не только трехмерному, но и двумерному
уравнению Гельмгольца B0), а производные по координате х3
соотношениям
& H («=1,2,3). B4)
В дальнейшем введем также следующие упрощения. В преды-
предыдущем параграфе для рассматривавшегося там случая было пока-
показано, что при распространении волн в несовершенном диэлект-
диэлектрике (офО) амплитуда бегущих волн экспоненциально убывает.
С физической точки зрения это обстоятельство является простым
следствием того, что в несовершенном диэлектрике при прохож-
прохождении волны возникают токи, а это приводит к рассеянию
энергии волны за счет джоулева тепла. В связи с тем, что изучение
этого последнего процесса не входит в нашу задачу, будем считать,
— 543 —

что распространение волн происходит в совершенном диэлектрике
( 0)
Подставив соотношения B4) и о = 0 в уравнения поля D0) — D1)
гл. XXIX и разрешив их относительно поперечных компонент,
получим для этих последних следующие выражения:
дЕ3 т\1 дН3
дхг * с дх2 '
дЕ3 ш[1 дН3
{k2-y2
{k%-y2
(k2-y2
(^-Т2)Я2 = /
' дх2 с дхх
. дН3 /сое дЕ-
^1У~^г,
dxi
,дЯ3
дх2
» _ co2efx
с ох2
/сое дЕ3
с дхг
B5)
B6)
из которых видно, что все поперечные компоненты векторов поля
при k2— у2 фО могут быть найдены простым дифференцированием
продольных компонент. Что же касается этих последних, то мы
будем искать их как решения двумерных уравнений Гельмгольца
вида B0):
дх\ ~ дх\
дх\
B7)
B8)
В особом положении находится случай ТЕМ-волн, для которых
Е3~Н3 = 0. Из B5) следует, что этот тип волн возможен только
при k2 = у2у так как при k2 Ф у2 все компоненты ТЕМ-волн должны
быть равны нулю. Подставив k2 из B6) найдем, что для ТЕМ-волн
B9)
Для определения поперечных компонент ТЕМ-волны система
B5) неприменима. Обращаясь снова к уравнениям поля D0) —D1)
гл. XXIX и подставляя у из B9), после несложных преобразо-
преобразований найдем, что в случае ТЕМ-волн система D0) —D1) гл. XXIX
сведется к четырем соотношениям:
C0)
0. C1)
дЕ,
дхх ' дх2 ' дхг дхг
Подставив в C1) выражения для #х и Я2 из C0), получим
дх\
— 544 —

Дифференцируя это соотношение по х2 и складывая с первым из
соотношений C1), продифференцированным по хи получим
дх\ ^ дх\
Аналогичным путем получаются уравнения этого же вида и для
остальных компонент, так что вообще
Л1я?1 = 0, Д1Я?2 = 0, А12Нг = 0, Д12#2 = 0, C2)
где Д12 =—Н—2~~двумерный оператор Лапласа. (Заметим, что
иХ\ их?,
уравнения C2) являются также простыми следствиями уравне-
уравнения B0) при y2 = k\)
Таким образом, и в общем случае мы имеем дело с положе-
положением, примерно аналогичным рассмотренному в § 2. Для решения
задачи о распространении ТМ- или ТЕ-волн надо найти решение
скалярного уравнения Гельмгольца, определяющего продольную
компоненту электрического или магнитного вектора, поперечные
же компоненты векторов поля могут быть найдены дифференци-
дифференцированием. Задача о распространении ТЕМ-волн приводится к урав-
уравнению Лапласа, т. е. ее решениями служат хорошо изученные
нами выше гармонические функции.
Если волновод представляет идеальный проводник, то, как
было разъяснено в § 7 гл. XXIX, на его границе должна обра-
обращаться в нуль касательная составляющая Ez электрического век-
вектора. Поэтому решения уравнений B7) — B8) или C2) должны
быть подчинены граничному условию:
на границе волновода ?\. = 0. C3)
Этим условием определяется и набор допустимых значений у2»
дающих решение задачи.
Попробуем сделать некоторые заключения из полученных общих
соотношений.
Начнем с поперечно-электромагнитных волн. Подставляя вы-
выражение B9) для у в B3) и умножая B3) на e~/W, получим
etk{xb-cxt)9 C4)
где сх s= А-——скорость распространения электромагнитных волн
V щ
V щ
в диэлектрике с проницаемостями е и |х (см. § 7 гл. XXIX).
Таким образом, ТЕМ-волна всегда представляет бегущую волну
со скоростью распространения с19 не зависящей от частоты ш.
Поэтому, в частности, любая комбинация ТЕМ-волн разных частот^
образующая волну сложного профиля, распространяется так,
что этот профиль сохраняется. Как известно из теории интеграла
Фурье, наложением гармонических волн, бесконечно протяженных
в пространстве, можно получить сложную волну (волновой пакет),
18 Ni 645 — 545 —

амплитуда которой отлична от нуля лишь в ограниченной части
пространства. По сказанному, такая волна, образованная нало-
наложением ТЕМ-волн, будет распространяться без искажения формы-,
все время оставаясь локализованной лишь в ограниченной части
пространства. Рассматриваемое свойство означает, что ТЕМ-волны
распространяются без дисперсии.
Легко видеть, что из соотношений C0) вытекает перпендикуляр-
перпендикулярность электрического и магнитного векторов в ТЕМ-волне, причем
абсолютные величины взаимно-перпендикулярных компонент
электрического и магнитного векторов взаимно-пропорциональны.
Элементарное доказательство этого утверждения представляется
читателю. Коэффициент пропорциональности
зависит только от свойств диэлектрика, в котором распространяется
волна, и получил название характеристического сопротивления
диэлектрика.
Наконец, отметим, что в силу уравнений C2), компоненты
векторов поля ТЕМ-волны представляют гармонические функции
аргументов х19 х2 в любой плоскости х3=-const. Это, во-первых,
означает, что картина поля ТЕМ-волны в любой фиксированный
момент времени совпадает с картиной статических электрического
и магнитного полей, которые возникают при аналогичных гра-
граничных условиях. Во-вторых, отсюда следует, что эти компоненты
представляют производные по х1 и х2 соответствующих потен-
потенциалов, также являющихся гармоническими функциями.
Из последнего обстоятельства очевидно, что ТЕМ-волны не могут
распространяться внутри волновода с проводящими границами,
охватывающими поле ТЕМ-волны и образующими в сечении
с плоскостью х3 = const замкнутый односвязный контур. Действи-
Действительно, заряды на поверхности проводника образуют слой, элек-
электростатический потенциал которого одинаков во всех точках. Но
гармоническая функция, принимающая постоянное значение на
некотором контуре, имеет это же постоянное значение и внутри
него. Поэтому компоненты электрического вектора (а в силу
соотношений C0) и магнитного), являющиеся производными по-
потенциала, в этом случае тождественно равны нулю и поле в вол-
волноводе отсутствует. Если, однако, поле волны не охватывается
одним проводником, то указанное обстоятельство отпадает. Поэтому
волноводом для ТЕМ-волн может служить провод, вне которого
распространяется волна, система проводов, но не, например, внут-
внутренняя поверхность полого цилиндра и т. п.
Перейдем к рассмотрению поперечно-магнитных (ТМ) волн.
В волнах этого типа составляющая Н3 = 0 и задача об их распро-
распространении, по сказанному выше, сводится к решению одного
скалярного уравнения Гельмгольца B7).
— 546 —

Прежде всего рассмотрим проблему граничных условий, ана-
аналогичную рассмотренной в § 2. Решение уравнения Гельмгольца
вполне определяется одним граничным условием, которое, в силу
C3), должно быть следующим:
на границе волновода Е3 = 0. C5)
Но решение должно удовлетворять еще одному граничному усло-
условию: касательная составляющая электрического вектора в попе-
поперечной плоскости должна быть равна нулю. Покажем, что это
условие выполняется автоматически в силу уравнений B5).
При Н3 = 0 система уравнений B5) может быть записана в сле-
следующем виде
У-У2 F _(&-у*)си __дЕд
откуда найдем, что
Ш ^2 дГг
{k2-^cH1^fL9 C7)
1 сое 2 2 сое х
т. е. поперечные составляющие электрического и магнитного век-
векторов взаимно перпендикулярны, причем абсолютные значения
взаимно перпендикулярных компонент пропорциональны. В отли-
отличие от ТЕМ-волн коэффициент пропорциональности зависит также
от свойств волновода, влияющих на значение постоянной распро-
распространения у. Так как магнитный вектор ТМ-волны является
поперечным, из сказанного вытекает также, что магнитный вектор
ТМ-волны перпендикулярен электрическому.
Пусть гр — угол между касательной Т к поверхности провод-
проводника в какой-либо точке поперечного сечения волновода и осью хх.
Производная компоненты Е3 по направлению Г, равная
дЕо дЕ
на поверхности проводника обращается в нуль в силу условия C5).
Заметив, что в силу соотношений C6) касательная составляющая
электрического вектора равна
придем к выводу, что при выполнении для точек границы гра-
граничного условия C5) выполняется и общее граничное условие
Ех = 0. Таким образом, граничное условие C5) в силу уравнений
поля влечет за собой выполнение и общего граничного условия
для электрического вектора.
18* — 547 *-

Для дальнейшего анализа воспользуемся полученным выше
при изучении теории уравнения Гельмгольца интегральным соот-
соотношением задачи 7 из § 6 гл. XXIV. Положив в нем и — Е3 и
заметив, что по B7) k2 в нем следует заменить через (k2— у2),
получим
Будем считать, что рассматриваемый волновод замкнут, т. е.
в плоскости хгх2 поле ограничено проводящими поверхностями.
За V примем объем, выделенный проводящими стенками и двумя
произвольными поперечными сечениями волновода. Тогда интеграл
в правой части рассматриваемого интегрального соотношения
обращается в нуль, так как на стенках волновода Е3 = 0, а на
секущих плоскостях —2. = -^-! = О, поскольку компонента Е3 от
х3 не зависит. По Последней причине и в левой части этого со-
соотношения пропадет один член, так что окончательно получим
При Е3 ф. О это равенство может соблюдаться только при усло-
условии, что k2 — у2 > 0- Приняв во внимание равенство B6), запишем
это условие в виде
f = -,-b\ C8)
С2
где с\= квадрат скорости распространения электромагнит-
ного поля в диэлектрике, заполняющем волновод, а б —вещест-
—вещественное число. Как мы знаем из общей теории гл. XXIV, при
заданных граничных условиях нетривиальные решения уравнения
Гельмгольца B7) существуют, вообще говоря, не для всех значений
разности b2 — k2 — у2. Значения б2, при которых существуют нетри-
нетривиальные решения (собственные числа задачи), образуют беско-
бесконечную дискретную последовательность. Пусть б? — наименьшее из
чисел этой последовательности. Тогда из C8) мы найдем, что при
со2 < со* = clb* C9)
<у2<0, т. е. у —мнимое число и мы имеем дело с затухающим
в направлении xz процессом. Таким образом, в общем случае
существует такая характеризующая волновод критическая ча-
частота соо, называемая обычно частотой отсечки, что ТМ-волны
е частотой, меньшей ш0, не могут распространяться в волноводе
без затухания.
— 548 —

Подставив в выражение B3)
Г -%¦ D0)
и умножив B3) на e~'w, найдем, что зависимость амплитуды
волны от координаты х3 и от времени для ТМ-волн в замкнутом
волноводе дается множителем
е * t
где
*=~77=7 D1)
1/ О?
— фазовая скорость, а
Я= „2jtCl D2)
— длина ТМ-волны с частотой колебаний со.
Из выражения D1) вытекает, что фазовая скорость ТМ-волн
больше скорости распространения электромагнитного поля
в диэлектрике, заполняющем волновод, и зависит от частоты коле-
колебаний. Последнее обстоятельство указывает, что при распростра-
распространении ТМ-волны имеет место дисперсия. Волновой пакет, образован-
образованный ТМ-волнами и первоначально локализованный в ограниченной
части волновода, с течением времени будет все более «расплываться»,
увеличиваясь по длине. Групповая скорость распространения
ТМ-волн (гл. XXIII, § 2) равна
l~~dy~Cl\/ со2 *
С этой скоростью распространяется центр волнового пакета.
Изучение общего случая распространения в волноводах ТЕ-волн
может быть проведено аналогичным путем. Отличие состоит только
в том, что граничные условия для уравнения Гельмгольца B8)
должны быть записаны в форме:
на границе волновода -^- = 0, D3)
т. е. приходится решать однородную задачу Неймана, а не Ди-
Дирихле. В дальнейшем же получаются те же выражения для
частоты отсечки и фазовой и групповой скорости, что и для
ТМ-волны. Убедиться в сказанном предоставляется читателю,
— 549 -

ЗАДАЧИ
1. Отношение модулей поперечных составляющих электрического и магнит-
магнитного векторов волны называется волновым сопротивлением. Показать, что вол-
волновые сопротивления ZTM и ZTE для ТМ- и ТЕ-волн даются соответственно
выражениями
^™~ш' ZTE- — .
которые в случае полых волноводов могут быть представлены в форме:
7
Zte"
2. Показать, что в цилиндрических координатах (г, ф, г) с осью г, направ-
направленной по оси л:3, соотношения B5) имеют вид:
.1 dEz /сои dHz
3. Показать, что в цилиндрических координатах, выбранных так, как
указано в предыдущей задаче, система уравнений C0) — C1) для ТЕМ-волн
имеет вид:
„ дЕг ' дгН,? ' дНг
'¦ г = 0, —=: ^ = 0.
дц) or дц>
— ¦ г = 0, —=: ^
or дц) or дц>
Опираясь на эти уравнения, показать, что произведения гЕг, гЕ^, гН
удовлетворяют двумерному уравнению Лапласа:
д ( ди\
)
§ 4. ТМ-волны в волноводе круглого сечения
Рассмотрим задачу о распространении ТМ-волн в полости
проводника, представляющей круглый цилиндр неограниченной
длины (круглая труба).
По § 3 эта задача приводится к однородной задаче Дирихле
для уравнения Гельмгольца B7), которое в цилиндрических коор-
координатах (г, ф, г) примет вид:
1 д ( дЕЛ . 1 д*ЕУ . к2и п ,ЛЛ.
г дг \ дг J ' г1 дф2 ' г ' v '
г дг \ J ф
& = k* — y\ D5)
— 550 —

Ось г здесь предполагается направленной вдоль оси полости,
по оси х3 системы координат, использованной в § 3.
Разделив переменные в D4) с помощью подстановки ?а =
= и(ф)с(г), придем к уравнениям:*
Так как функция и, очевидно, должна иметь период 2я по коор-
координате ф, то допустимые значения
/1 = 0, 1, 2, ...
Второе уравнение представляет уравнение Бесселя. Граничное
условие для Е3 дает следующее граничное условие для v:
»(О = 0, D7)
где г0 — радиус полости. Решениями второго уравнения D6),
удовлетворяющими условию D7) и ограниченными при г = 0,
являются функции Бесселя n-го порядка Jn(Snmr), где 6^ —корни
уравнения
^B(SBero) = 0. D8)
Таким образом, частные решения уравнения D4), удовлетворяю-
удовлетворяющие граничному условию Ez = 0, имеют вид
Ег, пт = К ФПТПГ) (Апт COS Пф + Впт Sin Пф), D9)
где Апт и Впт— произвольные постоянные. Каждое из решений
этого вида соответствует ТМ-волне с тем или иным расположе-
расположением узловых линий. Пользуясь соотношениями, приведенными
в задаче 2 к § 3, путем дифференцирования выражений D9) могут
быть найдены все поперечные компоненты поля.
При п — 0, т=\ корень уравнения D8) имеет наименьшее
2 405
значение 61 = 601 = -—. По C9) это значение определяет частоту
2 405
отсечки (ao = c1-Lz— . В воздухе длина волны, имеющей частоту соо,
го
равна %0 = 2,606г0У \хг. Волны, имеющие в воздухе большую
длину, не могут распространяться в рассматриваемом волноводе
без затухания. Как ясно из выражений D9), поле при л = 0 не
зависит от угловой координаты ф. При пфО поле зависит от ср,
причем имеется 2м радиальных узловых линий Е2 = 0. При т> 1
имеем также (т—1) узловых линий в виде концентрических
окружностей с центром на оси волновода. Каждой из ТМ-волн,
характеризуемых определенными значениями пит, соответствует
определенная частота отсечки
<V» = c/f4 E0)
— 551 —

где хпт — m-ik корень уравнения Jn(x) = 0. Волны с данными п
и т и частотой, меньшей (дпт, не могут распространяться в вол-
волноводе без затухания. Следует отметить, что возбуждение в по-
полости чистых колебаний высоких частот с данными пит прак-
практически затруднительно. Они, однако, в той или иной доле
присутствуют как обертоны, так же как, например, при колеба-
колебаниях мембраны.
ЗАДАЧИ
1. Пользуясь графиками функций Jт (х) * найти геометрические места точек,
в которых компоненты векторов поля достигают максимума.
2. Найти выражения, определяющие постоянную распространения и длину
волны с данными п и т в волноводе круглого сечения.
§ 5. ТЕ-волны в волноводе круглого сечения
Рассмотрение распространения ТЕ-волн проводится в полном
параллелизме со случаем ТМ-волн (§ 4) с тем лишь отличием,
что здесь мы имеем дело с однородной задачей Неймана, а не
Дирихле, для уравнения Гельмгольца:
= ° Ф'^-f), E1)
на границе волновода -^^О- E2)
Мы рассмотрим лишь отличия в картинах распространения ТМ-
и ТЕ-волн.
Частные решения уравнения E1), удовлетворяющие гранич-
граничному условию E2), имеют вид D9):
Нг,пт = Jn (*nmr) (Anm COS Пф + Впт Sin Пф),
однако собственные значения Ьпт теперь выражаются соотношением
°тп — — » @6)
где qnm — m'K корень уравнения
^2Г = 0 (л = 0, 1, 2, ...). E4)
В силу соотношения -? = — Jx (x) наименьшее из чисел qQm равно
*и =3,832, что дает для частоты отсечки волн с п = 0, т=1
3,832 л
значение (oQl=ct-—. Длина волны в воздухе, имеющая часто-
г° г—
ту ш01, равна А,01= 1,639г0К (ле. Таким образом, для ТЕ-волн
частота отсечки волн с лг = 0, т=1 в 1,59 раза выше, чем для
• См., например, Янке и Эмде [63], черт. 98а.
— 552 —

ТМ-волн. q01, однако, не является наименьшим из чисел qntt
Наименьшим оказывается корень gn=l,84, что для частот!
отсечки дает наименьшее значение ov^q ——, которому соответ
ствует длина волны в воздухе А,0 = 3,41г0]/^,е. Это означает, чт<
при заданной частоте для передачи ТЕ-волн волновод может имет!
радиус примерно на 23% меньший, чем для передачи ТМ-волн
ЗАДАЧИ
1. Решить задачи 1 и 2 к § 4 для случая ТЕ-волн.
Указание. Использовать соотношение
—^— — ~2 У п-\ \х) — Jn + i \х)\-
2. Выяснить, какие незатухающие волновые процессы могут возбуждаться
в цилиндрической полости конечной длины в идеальном проводнике.
§ 6. Волны в коаксиальном кабеле
Коаксиальным кабелем (или коаксиальной линией) называется
направляющая система, в которой волны распространяются в диэ-
диэлектрике, заполняющем пространство между двумя круговыми
проводящими цилиндрами, имеющими общую ось (рис. 52). Прос-
Простота конструкции и надежное эк-
ранирование поля внешним ци-
линдром привели к широкому рас-
пространению коаксиальных кабе-
лей в технике. Поскольку граница
диэлектрика в коаксиальном кабе-
кабеле не является односвязной, вдоль
него могут распространяться ТЕМ-
волны, частоты которых не огра-
ограничены ни условиями отсечек, ни pUCt ^
дисперсией. С рассмотрения этих
волн мы и начнем.
Введем цилиндрическую систему координат (г, ф, z) с осью 2,
направленной вдоль общей оси проводящих цилиндров. В этой
системе координат касательная составляющая электрического и
нормальная составляющая магнитного векторов на границе про-
проводников будут соответственно равны ?? и Нп так что гранич-
граничные условия будут иметь вид
на границе волновода ?"9 = #г = 0.
Но, как следует из задачи 3 к § 3, произведения гЕ9 и гНг в коль-
кольцевой области, ограниченной проводниками, являются гармониче-
гармоническими функциями. Поскольку они обращаются в нуль на границах
- 553 -

области, то по теореме § 4 гл. XIX они тождественно равны нулю
внутри области. Таким образом, в ТЕМ-волне
Из соотношений, приведенных в задаче 3 к §3, получим соотноше-
соотношения:
fr =0 ^ Е /К"Я„.
дф ' дг ' г У е v
Первое и последнее из них показывают, что поле ТЕМ-волны
в коаксиальном кабеле не зависит от ср. Второе и последнее дают
где Л—постоянная. Таким образом, в силу C4), поле ТЕМ-волны
в коаксиальном кабеле с точностью до произвольного множителя
определяется выражениями
Jk(z-ctt) Jkiz-cJ)
X* = —r , Ъг = —Т • E5)
Перейдем к ТМ- и ТЕ-волнам. Их продольные компоненты удо-
удовлетворяют уравнениям Гельмгольца D4) и E5) и граничным
условиям
Е
-О ^
-О, E6)
где г,- и гв — радиусы внутренней и внешней цилиндрической по-
поверхностей. Как и в § 4 и 5, частные решения этих уравнений
могут быть представлены в виде произведения
zn (8ИЯ|Г) (Anm cos пф + Впт sin шр), E7)
где Zn —цилиндрическая функция порядка п, п — произвольное
целое положительное число, Ьпт — собственнее значение соответ-
соответствующей задачи. В отличие от случая волноводов круглого сече-
сечения теперь, однако, нет оснований отбрасывать те решения вто-
второго из уравнений D6), которые при г = 0 обращались в беско-
бесконечность, поскольку точка г = 0 не принадлежит полю. Поэтому
следует положить
Zn Фптг) = ajn (8nmr) + ЬпУп {Ьптг),
что, в силу граничных условий E6), в случае ТМ-волн приведет
к следующим уравнениям относительно ап и Ьп:
п»г,) + bnYn (Sn/Br,) 0,1
— 554

Отличные от нуля решения этой системы существуют только
тогда, когда ее определитель обращается в нуль, т. е. если
К ФптП) Уп ФптГа) ~ К Фп^а) Yn фятП) = 0. E9)
Этим уравнением определяются для данного п собственные зна-
значения 6и1, Sw2, ..., дающие решение задачи.
В случае ТЕ-волн в систему для определения коэффициентов ап
и Ьп войдут не функции Jп и Yn9 а их производные по г.
Дальнейшее исследование распространения волн в коаксиальном
кабеле предоставляется читателю. Для определения корней урав-
уравнения E9) могут быть использованы таблицы, приведенные Янке
и Эмде [63].
ЗАДАЧА
Изучить случай, когда г -»- со (цилиндрический провод).
§ 7. Волны в диэлектрическом стержне
Выше мы рассматривали волноводы, осуществляемые с помощью
проводящих поверхностей. Замечательно, что волновод может быть
осуществлен в виде стержня из диэлектрика.
Рассмотрим такой стержень, имеющий форму круглого цилинд-
цилиндра радиуса г0 и находящийся в диэлектрической среде. В даль-
дальнейшем индексом а будем обозначать величины, относящиеся
к среде и полю в ней, сохраняя для поля в стержне те же обо-
обозначения, что были приняты в предыдущих параграфах для поля
внутри волноводов с проводящими стенками. Задачу будем рас-
рассматривать в цилиндрических координатах г, ср, z с осью г,
направленной по оси стержня.
Общая схема решения остается той же, что была изложена
в § 3 и применена в § 4. Для решения задачи также достаточно
найти только продольную компоненту электрического вектора,
после чего остальные компоненты могут быть найдены простым
дифференцированием (см. задачу 2 к § 3). Однако в рассматри-
рассматриваемом случае эта компонента будет удовлетворять двум уравне-
уравнениям Гельмгольца вида D4), одно из которых будет относиться
к стержню, а другое — к среде. Именно, для поля в стержне
будем иметь уравнение
F1)
а для поля в среде —уравнение
•га = 0, F2)
фУ1. F3)
— 555 —

Здесь мы, с учетом формулы B6), явно выписали выражение D5)
для параметров 6 и Ьа.
Покажем возможность распространения вдоль электрического
стержня незатухающих ТМ-волн с амплитудой, быстро убывающей
при удалении от стержня.
При распространении ТМ-волн на границе стержня должны
удовлетворяться условия сопряжения F3) гл. XXIX, заключаю-
заключающиеся в равенстве тангенциальных компонент поля внутри и вне
стержня:
Ez = E2a, ?«р = ??в, //<р = #?в, когда г = г0.
Здесь отсутствует условие для компонент Hz, Hzai так как в ТМ-
волнах они равны нулю. Из уравнений, приведенных в задаче 2
к § 3, следует, что эти условия эквивалентны следующим:
?*|г = г.=?гв|г = гв, F4)
б2
8 дЕ7
дг
F6)
куда входят уже только компоненты Ez и Eza.
Кроме уравнений F0) и F2), продольная компонента электри-
электрического вектора должна удовлетворять также уравнениям вида B1):
определяющим ее зависимость от координаты г. Как мы видели
в § 3, из числа решений этих уравнений следует выбрать те, для
которых зависимость от координаты г давалась бы множителями
вида eiyz и eiy«z. Из условия равенства тангенциальных компонент
при этом сразу вытекает, что
Как мы знаем (гл. XXIV § 4), частные решения системы урав-
уравнений F0), F2) и F7), имеющие требуемую зависимость от коорди-
координаты г и период 2я по угловой координате ср, могут быть запи-
записаны в форме:
Е2 = AnZn (бг) ё** cos (/1Ф + фя), F9)
Ez = BnZn фаг) e^Yo^cos (пф + флв), G0)
где Ля, В„, г|?„, фив — постоянные, a ZwFr) и ZwFflr)—цилиндри-
ZwFflr)—цилиндрические функции.
Для компоненты электрического вектора в среде, окружающей
стержень, будем искать решения, быстро убывающие с ростом г.
Из асимптотических формул гл. XIII следует, что решениями
уравнения Бесселя, быстро убывающими с ростом аргумента,
являются функции Ханкеля первого рода Яд1}(^) при мнимом
— 556 —

значении аргумента. Поэтому положим:
Zn{6ar) = H™Wr
где ($— вещественное число и
От функций Ханкеля с мнимым аргументом удобнее перейти
к функциям Макдоиальда (гл. XIII, § 7):
имеющим вещественные значения при всех вещественных значе-
значениях ?. При этом выражение G0) можем записать в виде:
Е2а = ВпКп (И e'YZcos (шр + фив). G2)
Так как поле в стержне должно быть ограничено, то в выра-
выражении F9) следует положить
что даст
Ег = AJn (бг) e^cos (мф + Ч>„). G3)
Подставив найденные выражения в граничное условие F4),
получим:
КК (К) C0S ("Ф + *«) = ВпК„ ФГО) COS (А1ф + ^ив).
Так как функции ./„(?) и К„{?>) не имеют общих корней, это соот-
соотношение может выполняться при всех значениях ф только при
условии
COS (Мф + -фя) = COS (Мф + -фяв),
откуда следует, что
¦» = ¦„*. G4)
Обратимся к граничному условию F5). При п = 0, т. е. для
ТМ-волн с амплитудой, зависящей только от координаты г, оно
выполняется тождественно. Если же п =7^=0, то из равенств F8) и
G1) и выражений для Ez = Eza следует, что граничное условие F5)
эквивалентно следующему:
Отсюда, в силу граничного условия F4), вытекает условие
Ря = —6", когда пфО, G5)
которое, с учетом соотношений F1) и F3), может быть записано
в форме:
еа|ха = е|л, когда пфО. G6)
— 557 —

Следовательно, в общем случае, при ea\ia=?e\i, ТМ-волн интере-
интересующего нас типа с индексом пфО в диэлектрическом стержне
существовать не может.
Перейдем, наконец, к граничному условию F6). С помощью
рекурентных формул гл. XIII найдем, что
1Гг*п{Ьг) = т*п(&г)-Ып+Л&г),
^ /Ся (Рг) = -=- /Ся (Рг) — р/Ся+1 (Рг).
Поэтому, подставив в граничное условие F6) выражения G2) и G3),
получим:
8 L 6/"Q^+l(^o)l _ ie L PrO^/i + l(Pro) I /77\
v г /и(бг0) J ~~p2L /c»(Pr0) J • ( n
Присоединим к этому уравнению также соотношения:
S2^-Y2> G8)
^ = yi_^Bfa . G9)
Три уравнения G7) —G9) связывают четыре величины ($, б, у
и со. Одна из них, например со, может быть поэтому задана неза-
независимо от других, после чего из уравнений G7)—G9) опре-
определятся значения C, б и у. Как было установлено, для
быстрого убывания поля при удалении от стержня параметр C
должен быть вещественным. Постоянная распространения 7 также
должна быть вещественной, так как иначе волны будут затухать
в направлении распространения. Таким образом, возникает вопрос,
имеют ли уравнения G7)—G9) в некоторой области изменения со
вещественные решения для у и C, совместимые с граничными
условиями.
Предположим сначала, что выполнено условие G6). Тогда либо
параметры б и |3 оба равны нулю, либо при вещественном значе-
значении |3 параметр б имеет мнимое значение. Читателя не затруднит
показать, что при р = б = 0 волны интересующего нас типа невоз-
невозможны. Поэтому остается только вторая возможность, о которой
мы скажем ниже.
Перейдем к общему случаю. Если число у вещественно, то из
формулы G8) вытекает, что параметр б имеет либо вещественное,
либо чисто мнимое значение.
Предположим второе. Тогда 6 = j'x, где х— вещественное число.
С помощью указанной в гл. XIII формулы:
МО = г «/„(С).
преобразуем выражение G3) к виду
Ez = A*nIn (кг) *v*cos (шр + ЦО, (80)
— 558 —

где А*п — постоянная. Подставив это выражение, а также выраже-
выражение G2) для Е2а, в граничное условие F4), найдем, что
Так как функции /и(хг0) и Кп{$г0) неотрицательны, то постоян-
постоянные А*п и Вп одного знака. Подставим теперь выражения (80) и G2)
в граничное условие F6), что приведет нас к уравнению
Это уравнение неразрешимо, так как его левая и правая части,
при Ап, Впф0, отличны от нуля и имеют разные знаки при
всех х, Р и п. В самом деле, функции /„(?) монотонно растут
с ростом аргумента ?, а функции К„(?>) — монотонно убывают.
Поэтому производные Гп(кг) и /G(xro) имеют разные знаки, из
чего и вытекает сделанное утверждение.
Таким образом, при мнимом значении параметра б мы не
можем удовлетворить граничным условиям и, следовательно, инте-
интересующих нас решений не существует. Поэтому их не может быть
и при условии G6), следствием которого является невозможность
вещественных значений б при вещественных значениях у и р.
В соответствии со смыслом условия G6), отсюда вытекает, что
ТМ-волны интересующего нас вида при п Ф 0 вообще невозможны.
Предположим теперь, что /1 = 0 и параметр б имеет веществен-
вещественное значение. Покажем, что при этом уравнения G7—79) в неко-
некоторой области изменения со имеют вещественные решения для C и у,
если
(81)
Необходимость последнего условия ясна, если сложить уравнения
G8) и G9) и заметить, что б2 + Р2>0. Достаточность вытекает
из следующего.
Зададим некоторое отличное от нуля значение величины р. Пра-
Правая часть уравнения G7) примет при этом фиксированное значе-
значение. Будем теперь изменять б. Так как функции J0{Q и J1(t))ne
имеют общих корней, то отношение
с ростом б будет бесконечное множество раз принимать неограни-
неограниченно большие и неограниченно малые значения. В силу непрерыв-
непрерывности отношения vFr0) при J0(8r0)=^0, среди Этих значений будут
и такие, и притом в неограниченном числе, для которых уравне-
уравнение G7) будет удовлетворяться. Таким образом, каждому фикси-
фиксированному значению р будет соответствовать бесчисленное мно-
множество неограниченно возрастающих с ростом индекса т значений
б = б0/7?(Р), т = 0, 1, 2, ..., являющихся корнями уравнения G7).
- $59 -

Ввиду непрерывности правой части уравнения G7) величины Sow(f})
явятся непрерывными функциями ($
Подставив 6 = 60/я(р) в уравнение G8) и сложив последнее
с уравнением G9), получим соотношение
которое, при выполнении условия (81), в некоторой области изме-
изменения частоты со определит параметры р и 80т (Р), как непрерыв-
непрерывные вещественные функции Р0(со) и бо^(со) от со. Наконец, из
уравнения G9) найдем, что
о СО2
Т = Рот (©) + -г га\1а > 0. (83)
Таким образом, при вещественных значениях б в некоторой об-
области изменения со система уравнений G7)—G9) действительно
имеет вещественные корни. Это завершает доказательство сущест-
существования ТМ-волн, указанного в начале параграфа типа.
Определим область частот, для которой ТМ-волны распростра-
распространяются в диэлектрическом стержне без затухания.
Так как, по доказанному, любому вещественному значению Р
соответствует набор значений 6j*m (P) > 0, из соотношения (82) заклю-
заключим, что любому достаточно большому значению частоты со соот-
соответствует вещественное значение параметра р. Но тогда из соот-
соотношения (83) вытекает, что и ^ > 0- Поэтому сверху область
частот, для которых ТМ-волны распространяются в стержне без
затухания, не ограничена.
Наоборот, из соотношения (82) следует, что частота волны
с данным т снизу ограничена критическим значением
... М(т)
х
— У Eii— Ea\ia
где М (т) — наименьшее значение выражения К*от(Р) + Р2.
Определим наинизшую критическую частоту со0.
Уравнение G7) при п = 0 имеет вид:
e/i (вг0) гаКг фг0)'
Из выражения G2) следует, что критические условия, при которых
поле вне стержня перестает экспоненциально убывать с ростом г,
достигаются при Р=0. Уравнение (84) при р = 0 принимает вид:
Корень 6 = 0, в силу формул (82) и (83), соответствует значениям
0K=^ = 0, при которых нет бегущей волны. Следующий корень

равен
где ао1 = 2,405 —наименьший корень уравнения */0(?)~0. С по-
помощью формул (82) и G9) найдем теперь искомую наинизшую
критическую частоту:
и соответствующее ей значение постоянной
у __ 5? 1 .
'• V 5:-'
ЗАДАЧИ
1. Показать, что ТЕ-волн с п > 0, быстро затухающих при удалении от
диэлектрического стержня, вдоль стержня распространяться не может.
2. Введя векторы Герца (гл. XXIX, § 3), показать, что вдоль диэлектри-
диэлектрического стержня, имеющего форму кругового цилиндра, могут распространяться
волны, представляющие линейную комбинацию ТЕ- и ТМ-волн.
Указание. Компоненты z векторов Герца следует задать в виде:
?.}
г = AUn (бг) е№ cos
= ВпКп ФаП еН* sin
= В;/С„ Fer) e^ cos
Глава XXXI
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ РУПОРЫ И РЕЗОНАТОРЫ
§ 1. Секториалькый рупор и секторнальный резонатор
Введем цилиндрические координаты г, <р, г и рассмотрим беско-
бесконечную область О^г^а, О^ф^а, где аи а — положительные
постоянные. Эту область будем называть секториальным рупором,
а ее границу — стенками рупора. Стенки рупора будем считать
идеально проводящими, а рупор заполненным идеальным диэлек-
диэлектриком с е = (i=l, о = 0.
Изучим возможные типы бегущих электромагнитных волн
в секториальном рупоре. Для этого воспользуемся развитым в § 8
гл. XXIX представлением электромагнитного поля с помощью
скалярных функций и и v.
Рассмотрим, например, решения уравнений Максвелла для ру-
рупора, представляющие волны электрического типа, т. е. волны,
для которых компонента Hz магнитного вектора равна нулю. Эти

волны выражаются через функцию и формулами (82) — (83)
гл. XXIX, которые в рассматриваемом нами случае примут вид:
р д2и р 1 д2и р д2и . у2 /i\
Ьг^дТТг* ^ч^Тд^дг* *Ьг = д&+1ги'у A)
#г»_" H, = ikp, #2 = 0, B)
г г дц) г дг z х '
где
k^$. C)
Функция и должна удовлетворять уравнению (80) гл. XXIX,
представляющему в рассматриваемой задаче уравнение Гельм-
гольца:
1 д ( ди\ . 1 dhi . д*и , ,, п ,,ч
— гг- [г ^- + — з-5 + ~п + k"u = 0. D
г дг \ дг j г2 дер2 dz- x '
На стенках рупора тангенциальные составляющие электриче-
электрического вектора должны обращаться в нуль (гл. XXIX, § 7), т. е.
должно быть:
Er = Ez = 0, когда z = 0 и z = a, E)
Er = Ez = 0y когда ф = 0 и ф = ос. F)
Чтобы удовлетворить этим условиям, необходимо положить:
-^ = 0, когда 2 = 0 и г = а, G)
и = 0, когда ф = 0 и ф = а. (8)
Будем искать решения задачи D) —(8) вида:
и = и1 (г) и2 (ф) и3 (г).
Общее выражение для решений уравнения Гельмгольца этого
вида дается формулой E0) гл. XXIV:
и = AZn (\xr) cos (дф -f ярп) cos (vz + ^v), (9)
где
А — произвольная постоянная, a Zn(ixr) — решение уравнения Бес-
Бесселя. Подставив это выражение в условия (8) и (9) найдем, что
фя=4, п = -т A0)
4f.v = 0, v = ^/ (m, / = 0, 1, 2, ...)
В качестве функций Zn(\xr) выберем функции Ханкеля первого
рода H%}(\ir). Как мы знаем (гл. XXIV, § 5), при таком выборе
— 562 -

функций Zn(\ir) (и только при таком выборе) наше решение пред-
представит систему бегущих волн, расходящихся на бесконечности.
При г — О наше решение будет испытывать бесконечный разрыв.
Это должно быть интерпретировано в том смысле, что отрезок
г = 0, 0 <; г <! а представляет линейный источник волн. Введения
разрывного решения можно было бы избежать, исключив из рас-
рассматриваемой области сектор г < е и задав ток на его границе
г = г, который играл бы роль источника поля. В общем выра-
выражении для решения это, однако, ничего бы не изменило.
Таким образом, общее выражение функции и для бегущей
волны электрического типа в секториальном рупоре имеет вид:
Jcosji/^, A1)
и = У J-^/2> A2)
где вместо k2 подставлено его выражение C). Отметим, что в отли-
отличие от ранее рассматривавшихся нами задач, в этом реше-
решении фигурируют бесселевы функции, порядок которых, вообще
говоря, не является целым.
Рассмотрим некоторые особенности бегущих волн электриче-
электрического типа в секториальном рупоре. Для этого воспользуемся
асимптотическим выражением F4) гл. XIII для функций Ханкеля
1-го рода, из которого найдем, что при достаточно больших зна-
значениях г:
г— . Я / Я 1
/ 2я -1-7Г 7TmJ--^r
П .. \Г" / ' ^ У рге
2
а
Предположим, что
со > пс —. A4)
При этом число \х вещественно и из выражения A3) следует, что
бегущие волны в секториальном рупоре распространяются при
больших г с фазовой скоростью с, а их амплитуда с ростом г
убывает как —==..
Если же неравенство A4) имеет обратный знак, то бегущие
волны вообще невозможны. В самом деле, при этом \х = in, где
х — вещественное число. Следовательно,
#0) (И,г) = яо) (Ыг)
а а
е~т
Умножив это выражение на е~ш, убедимся, что ему соответст-
соответствует система стоячих волн с амплитудой, убывающей по показа-
563 —

тельному закону. Таким образом, существует некоторая крити-
критическая частота
©0| = яс1(/ = 0, 1, 2, ...), A5)
такая, что при всех меньших частотах бегущие волны с данным /
невозможны. При этом значению / = 0 соответствует волна, не
зависящая от координаты z. Эта волна может быть бегущей при
всех частотах. При / > 1 волны по координате г имеют перио-
периодическую структуру.
Введем длину волны
л _2пс
соответствующую электромагнитным колебаниям с круговой ча-
частотой соо/. Из соотношения A5) найдем, что
т. е. для возможности существования бегущей волны с 1ф0, ее
длина должна укладываться в интервале 2а не менее / раз.
Обратимся теперь к выражениям A—2) для векторов поля.
Нетрудно видеть, что в общем случае при больших значениях г
компоненты Ег, Е2 и HfS векторов поля убывают с ростом г как
-у=, а компоненты Е^ и НГ — как —г— , т. е. ими, по сравнению
с первыми тремя компонентами, можно пренебречь. Если, кроме
того, 1 = 0, то ?г—0 и существенны только компоненты Ez иЯ?,
т. е. волна близка к чисто поперечной.
Предположим теперь, что с помощью идеально проводящей
перегородки, поверхность которой расположена при г = Ь, мы
отделили конечную часть рупора: O^r^b. O^z^a, O^cp^a.
Образовавшуюся при этом полость с идеально проводящими
стенками назовем векториальным резонатором.
Как мы знаем (§ 2—3 гл. XXIV), в ограниченной области
возможны свободные колебания. Поставим целью определить, какие
именно колебания электрического типа возможны в секториаль-
ном резонаторе. Для этого надо найти собственные функции за-
задачи для уравнения Гельмгольца D) в области, занятой резона-
резонатором, при граничных условиях, соответствующих колебаниям
электрического типа. Каждая из собственных функций и опреде-
определит одно из возможных колебаний, которое не может быть
представлено в виде наложения колебаний, соответствующих
другим собственным функциям. Наоборот, ввиду полноты системы
собственных функций, любое возможное колебание электрического
типа сможет быть представлено в виде комбинации найденных
нами колебаний.
— 564 —

К граничным условиям E) и F) для секториального резона-
резонатора добавится граничное условие
Ег = Е9 = 0, когда г = Ь.
Чтобы удовлетворить этому условию, надо положить
и = 0, когда г = Ь. A6)
Далее потребуем, чтобы поле в резонаторе было ограничено,
в силу чего в выражении (9) мы должны положить:
Zn(\ir) = Jn(\ir).
Чтобы выполнялось граничное условие A6), числа \х должны
удовлетворять уравнению
Через \хтч (s=-l, 2, 3, . . .) обозначим корни этого уравнения,
перенумерованные в порядке их возрастания, при значении п,
определенном соотношениями A0).
Выбор остальных величин в выражении (9) будет определен
теми же условиями, как и для секториального рупора, вследст-
вследствие чего собственные функции рассматриваемой задачи могут быть
представлены в виде:
Umls = AmlsJ я (HW) Sin ПГП ¦? COS Til ~
— т и* и,
(т, s=l, 2, 3, ...; / = 0, 1, 2, ...).
Колебания электрического типа, соответствующие этим собствен-
собственным функциям, могут быть охарактеризованы тремя числами
/Л, /, S.
Возможные частоты <umts колебаний найдем из соотноше-
соотношения A2), разрешив его относительно частот со, что даст:
Из этого выражения ясно, что наименьшая из частот свободных
колебаний равна
ЗАДАЧА
Показать, что компоненты векторов поля для волн магнитного типа в сек-
ториальном рупоре могут быть вычислены по формулам:
Е Ek ? 0
— 565 —

где у —решение уравнения D), удовлетворяющее граничным условиям
v = Q, когда 2 = 0 и г = а>
тр = 0, когда ф = 0 и ф = а.
§ 2. Сферический резонатор
Сферическую полость в проводящем материале называют сфе-
сферическим резонатором. Найдем возможные типы электромагнит-
электромагнитных колебаний в такой полости. При этом стенки полости будем
считать идеально проводящими, а среду в полости — идеальным
диэлектриком с е = |я—1.
Как и в предыдущем параграфе, с математической точки зре-
зрения рассматриваемая задача приведется к задаче на разыскание
собственных функций для сферической области.
Введем сферические координаты г, 8, ср с началом в центре
полости. В § 8 гл. XXIX мы видели, что электромагнитные
поля электрического и магнитного типа в сферических коорди-
координатах могут быть выражены с помощью потенциалов Дебая
и и v, удовлетворяющих уравнению Гельмгольца. Так как по-
потенциал Дебая: и = —, где и — функция, введенная в § 8
гл. XXIX, из соотношений (82)—(83) гл. XXIX найдем, что компо-
компоненты векторов поля электрического типа могут быть выражены
через потенциал Дебая и с помощью формул:
г дг \ дг г / ' ' Ь сЮ \ дг 1 г /'
д ( ди и \ тг п тт ik ди тт ik ди
(
sin 9дФ V дг ^ г
Аналогично, с помощью формул (84)—(85) гл. XXIX, найдем, что
компоненты векторов поля магнитного типа могут быть выраже-
выражены через потенциал Дебая v с помощью формул:
Р ~ р ik dv p ik dv
И — — {—-4-—)
тт __ 1 О
На границе г = а сферического резонатора должны выпол-
выполняться условия:
?^ = ?^ = 0, когда г = а,
— 566 —

что приведет к следующим граничным условиям для потенциалов
Дебая:
"^¦ + 7" = 0, когда г = а, A7)
v = 0, когда г = а. A8)
В § 4 гл. XXIV мы рассмотрели решения уравнения Гельм-
гольца вида uL(r) u2 F) и3(ц) и нашли их общее выражение
при 0<ср^2л, 0^6^ я:
*=- Z 1 (kr) Pnm (cos 6) cos (шФ + г|з J, A9)
1
/¦ л+JL
где m и я — целые числа. Решение рассматриваемого вида регу-
регулярно при г = 0, если
Z j (fer) = y 1 (&г).
Введя обозначение
преобразуем выражение A9) к виду
м« (cos е)cos
Подчинив это выражение граничному условию A7), получим
собственные функции рассматриваемой задачи для уравнения
Гельмгольца при этом граничном условии:
<т = in (ktr)Pnm (cos 0) cos (пщ + t|> J, B0)
где fe^, /=1, 2, 3, ..., — корни уравнения
kaj'n(ka)+jn(ba) = O.
Аналогичным образом найдем собственные функции при гранич-
граничном условии A8):
*>тш - 1'п {kj) Pnm (COS 6) СО5(Шф + 0|>J, B1)
где kp 1=1, 2, 3, ..., — корни уравнения
Формулы B0) и B1) и дают ответ о возможных типах свободных
электромагнитных колебаний в сферическом резонаторе.
ЗАДАЧИ
1. Показать, что каждой собственной частоте w^kf электромагнитных
колебаний в сферическом резонаторе соответствует 2я+1 возможных типов
колебаний.
2. Показать, что спектр частот собственных колебаний в сферическом резо-
резонаторе ограничен снизу, причем с ростом радиуса резонатора наинизшая из
возможных частот собственных колебаний убывает.
— 567 —

Глава XXXII
РАЗЛОЖЕНИЕ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ
ЗАДАЧИ ШТУРМА —ЛИУВИЛЛЯ
§ 1. Введение
В математической физике очень важны методы (например,
метод Фурье, метод интегральных преобразований и др.), при
которых решение задачи получается в форме ряда или интеграла,
т. е. в виде разложения по некоторой системе функций. Такие
разложения хорошо изучены, когда каждая из функций, по ко-
которым осуществляется разложение, зависит только от одной из
переменных, встречающихся в задаче. Чтобы найти естественную
систему функций, по которой можно осуществить разложение,
обычно необходимо найти решение некоторой граничной задачи
для обыкновенного дифференциального уравнения, получившей
название задачи Штурма —Лиувилля. В этой главе рассмотрим
элементы теории задачи Штурма — Лиувилля и сформулируем
соответствующие теоремы разложения. Вместо того, чтобы стре-
стремиться сформулировать их в форме, когда они могут быть срав-
сравнительно просто доказаны, изберем другой путь: как правило,
опуская доказательства, будем стремиться к изложению резуль-
результатов в достаточно общем виде, диктуемом практическими потреб-
потребностями. Полную теорию можно найти в [31], ряд результатов
содержится также в [4] и [56].
В этой главе будем использовать следующие общепринятые
обозначения замкнутых и открытых интервалов (х — вещественная
переменная): [а, 6], если значения х удовлетворяют неравенству
а^х^Ь] (а, 6], если а<х^Ь; [а, Ь)} если a<^x<b; (a, b)}
если а<х<Ь. Используя знак принадлежности ?, будем пи-
писать: х?[а, &], есди х — точка из [а, Ь] и т. д.
Далее, символом С3 обозначим класс (множество) функций,
имеющих непрерывные вторые производные, а через С — класс
непрерывных функций. Если ф-— функция класса С2, будем пи-
писать ф 6 С2 и т. п.
§ 2. Задача Штурма — Лиувилля
Рассмотрим обыкновенное линейное дифференциальное урав-
уравнение:
O9 A)
где /70, рх, р2—вещественные функции вещественной перемен-
переменной х?[а, b]f a I—комплексный параметр. Если при некото-
некотором х хотя бы один из коэффициентов р0, рг, р2 имеет беско-

нечный разрыв или ро = О, то говорят, что коэффициенты урав-
уравнения имеют особенность в точке х. Примем, что при а<х<6
коэффициенты уравнения A) особенностей не имеют, в конечных
же точках х — а и х — Ь особенности могут быть (такие случаи
как раз важны). Не ограничивая общности, можно принять,
что р0 >0 в (а, Ь).
Дифференциальные формы
1 Л (" (У B)
называют сопряженными. Символы L и L означают здесь правила
или, что то же, операторы, сопоставляющие функции у соответ-
ствующие дифференциальные выражения. Если рх = /?0', то Ly=^L у
и форму Lu называют самосопряженной.
1 [ -^-dx
Умножением на —е^ р» уравнение A) можно привести
к виду
Lu = —(pu')' + qu = lpu, C)
где
Р = ^*\ p = ff *=-?¦. D)
Ро Ро
а левая часть Lu уравнения —самосопряженная форма. Из ро>О
следует, что р > 0, р > 0.
Самосопряженные дифференциальные формы Lu и Lv двух
функций и?С2 и v 6 С2 удовлетворяют тождеству Лагранжа:
vLu — uLv=[pW (и, v)]', u,veC\ E)
где W (и, v) = uv'— и'V —определитель Вронского функций и и v.
Взяв интеграл от обеих частей E), получим формулу Грина:
х2
F)
Нас будут интересовать решения уравнения C), удовлетво-
удовлетворяющие однородным линейным граничным условиям с веществен-
вещественными коэффициентами. Граничную задачу с такими условиями
называют задачей Штурма —Лиувилля. Будем записывать ее в
виде системы соотношений:
lpu, х 6 (а, Ь), G)
и (a) cos а — р (а) и' (а) sin а = 0,
и (Ь) cos р — р (Ь) и' (Ь) sin р = 0, (8)
— 569 —

где вещественные числа аир удовлетворяют неравенствам:
0<а<л, 0<р<л. (9)
Если не оговорено противное, будем считать, что
|а|, | Ь| < оо; р>0, р>0 и р, р', q, p?C
при а<х</?. A0)
Задача G)—(8) всегда имеет не представляющее интереса
решение а = 0, называемое тривиальным. Нетривиальных реше-
решений при данном произвольном /, однако, может и не быть.
Поэтому содержанием задачи G)—(8) является не только отыска-
отыскание решений при данном /, но и определение совокупности
значений /, при которых существуют нетривиальные решения.
Если при некотором 1 = к задача G)—(8) имеет нетривиальное
решение и = и(х, X), то К называют собственным числом (или
значением) этой задачи, а решение и(х, к) — собственной функ-
функцией задачи, принадлежащей собственному числу X.
Частные случаи задачи Штурма — Лиувилля неоднократно
встречались раньше (например, гл. XXX). Из этого видно, что
она имеет нетривиальные решения.
Легко устанавливаются следующие свойства собственных
функций задачи Штурма — Лиувилля.
Две собственные функции, принадлежащие одному и тому же
собственному числу, линейно зависимы, т. е. отличаются лишь
постоянным множителем.
В самом деле, так как все собственные функции удовлетво-
удовлетворяют одному и тому же граничному условию (8), то, как пока-
показывает простое вычисление, определитель Вронского W (иг, и2) =
= и1и2— иг'и2 любых двух собственных функций их, и2 обра-
обращается в нуль в граничных точках. Если функции и1 и и2 при-
принадлежат одному и тому же собственному числу, то они, тем
самым, удовлетворяют одному и тому же дифференциальному
уравнению, а тогда из обращения их определителя Вронского в
нуль при каком-либо одном значении независимой переменной,
как известно, следует, что они линейно зависимы.
Две собственные функции их, и2, принадлежащие различным
собственным числам Хг и Х2фХх, на интервале [а, Ь] взаимно
ортогональны с весом р, т. е.
ь
[ иги2р dx = 0. A1)
а
Для доказательства применим формулу Грина F), положив
в ней xl = a, x2 = b, v — u2, u = u1, что ввиду G) дает
ь ъ
(К-К) S u1u2Pdx = [pW(u1, иш)] |. A2)
а а
— 570 —

Определитель Вронского двух собственных функций, как было
указано, в граничных точках равен нулю. Поэтому правая
часть A2) равна нулю. Поскольку Хг Ф К2, то из этого следует A1).
Собственные числа вещественны.
В самом деле, ввиду вещественности коэффициентов уравне-
ния G) L = L, р = р, где звездочка означает переход к комп-
комплексно сопряженной величине. Поэтому из Lu = Хри вытекает,
что Lu = lpu, т. е. если & —собственная функция, принадлежащая
собственному числу А,, то и — собственная функция, принадлежащая
собственному числу к. Если значение X невещественно, то ХфХ
и, по доказанному, функции и и и ортогональны, т. е.
b Ь
\ аи р dx = j | и |2 р dx = 0.
а а
Но так как р > 0, то и^О, т. е. и — тривиальное решение, а не
собственная функция. Поэтому невещественных собственных чисел
быть не может.
Собственные функции, принадлежащие различным собственным
значениям, линейно независимы.
В самом деле, предположим, что собственные функции иг,
ui9...,un, принадлежащие различным собственным значениям,
связаны линейным соотношением clu1Jrc1u2+ ... -\-спип = 0. Умно-
Умножив его на рих и проинтегрировав в пределах от а до Ь, ввиду A1),
получим
т. е. сх = 0, так как их ф 0. Подобным путем найдем, что и все
коэффициенты с2, с3, . .., сп должны быть равны нулю, т. е. линей-
линейной зависимости между ulf u2, . .., ип быть не может.
Лее линейно независимые собственные функции на интервале [а, Ь]
взаимно ортогональны с весом р.
Это утверждение является очевидным следствием предыдущих.
§ 3. Функция Грина
Примем для простоты, что производная р непрерывна на [а, Ь].
Тогда с помощью подстановки v = }/'rpu задача G)—(8) преобра-
преобразуется к виду
Lo = — (pv'y + qv = lv, х€(а,Ь), A3)
v (a) cos a — p(a)v'(a)sma = 0, v F) cos p— p(b)v'(b) sin p = 0, A4)
где p, q, a, p отличны от p, q, a, p в G)—(8), но удовлетво-
удовлетворяют (9) и A0).
— 571 —

Пусть ut(x, /), и2(х, /) —решения уравнения A3), удовлетворяю-
удовлетворяющие начальным условиям:
их(а, /) = sina, р(а)и'1(а, /) = cosa; A5)
и2 F, /) = sinp, р(Ь) и2(&,/) = cos p,
и W (и19 ио) = и1и'о — и'1и2 — их определитель Вронского. В силу A3)
и A5) [pW(ul9ul)]' = 09 поэтому
W{ul9 u9) = ±W{l), A6)
где функция W (/) не зависит от а; и обращается в нуль тогда
и только тогда, когда функции иг и и2 линейно зависимы, т. е.
когда u2 = cuL, где с — постоянная. Согласно A5), функция и±
удовлетворяет первому из граничных условий A4), а и2 — второму.
Поэтому, если при некотором 1-Х они линейно зависимы, то
каждая из них удовлетворяет обоим условиям A4) и, тем самым,
есть собственная функция задачи A3)—A4), а 1 = Х есть собствен-
собственное число. Следовательно, функция W (/) обращается в нуль тогда
и только тогда, когда / — собственное число. Введем функцию
U^^l)-W(l) \Ul(l,l) u2 (x,l), когда х>1.
Она определена, если / — не собственное число, непрерывна по
аргументам х и 5, удовлетворяет граничным условиям A4), а при
хФ\ — уравнению A3). При х-=\ ее первая производная испыты-
испытывает разрыв, в силу A6), равный
G'(x + 0, g; l)-G' (х-0, Е; /)=1^[a1(S, l)ut(x,t)-
Если / — не собственное число и /gC, то прямой подстановкой
легко проверить, что функция
ь
A7)
есть решение неоднородной граничной задачи для уравнения
Lv = lv + f при граничных условиях A4). Функцию G(x, ?; /) назы-
называют функцией Грина этой неоднородной задачи.
§ 4. Экстремальные свойства собственных функций
Примем, что /==0 — не собственное число задачи A3)—A4).
Это не ограничивает общности, поскольку, добавив к q произволь-
произвольное вещественное число /0, все собственные числа можно изменить
— 572 -

на 10. Пусть G(x, l)^G(x, ?, 0), тогда
b
v{x)=\G{x,l)f{\)dl A8)
a
— решение неоднородной граничной задачи
f, х?(а,Ь), A9)
и (a) cos а — /? (а) v' (а) sin а = 0, (<?(),
v ф) cos р - р ф) v' ф) sin р = 0. К }
Обозначим символом L правило или, что то же самое, опера-
оператор, которым функции f(x) в A8) сопоставляется функция v(x).
Иными словами, положим L~xf = v. Тогда, ввиду A9) и A8),
Lv = f, L'xf = v B1)
и
L'1Lv = v, LL'if^f. B2)
Это оправдывает введение обозначения L, ибо, в смысле B1)—¦
B2), операторы L и L взаимно обратны (символически: LL'1 =
= ^~^=1). Подчеркнем, что функция и в B1)—B2) удовлетво-
удовлетворяет граничным условиям A4)!
Применив операцию L~l к A3), получим lL~1v==v или
Если считать функцию G (х, ?) заданной, то (*) есть интегральное уравнение
(однородное уравнение Фредгольма второго рода) относительно неизвестной
функции v (х), функцию G (х, ?) называют его ядром. Это уравнение эквива-
эквивалентно задаче Штурма — Лиувилля A3)—A4). Его нетривиальные решения
существуют при значениях /, равных собственным числам задачи A3)—A4), и
суть собственные функции этой задачи. Уравнение (*) включает и граничные
условия A4) — они учтены в свойствах функции Грина. Никаких дополнитель-
дополнительных условий типа граничных задавать не нужно. Функция Грина G (х, ?} —
ядро интегрального уравнения (*)—служит связующим звеном между уравне-
уравнением (*) и задачей A3)—A4).
Введем обозначение
ь
(&,&)= 5 &&<**. B3)
а
где звездочка означает переход к комплексно-сопряженной вели-
величине, a gi = g1(x) и g2=g2(x)—функции с квадратом модуля,
интегрируемым на [а, Ь], или, как будем говорить,— функции
класса j?2(a, ft). Если функция g(x) принадлежит классу J?*(a, b)t
то, используя знак принадлежности ? , будем писать: g?J?2 (a, b).
Выражение вида B3) называют скалярным произведением функ-
— 573 —

ций gx и g2 на интервале [а, Ь]. Скалярное произведение суще-
существует для любых gl9 g2 ? .Sr (а, Ь).
Укажем для справок свойства скалярного произведения (g, glt g2€*^2 (я, b))\
(g, g) — вещественное неотрицательное число.
Если g?C, то из (g, g) = 0 следует, что g==zO на [at b\ (если g—кусочно
непрерывна, то из (g, g) —О следует, что g=0 почти всюду на [а, Ь]).
(fife. gl) = (gl, &)*•
Если съ с2 — числа, то (с&, c2g2) = c1c2(gli g2).
>-s
ii gi) 2 to» ^2) 2 (неравенство Коти-Б у няко веко го).
ill
^2) 2 <fei» gi) 2 + fea» ^2) 2 (неравенство Минковского).
Если функции их и а2 имеют непрерывные вторые производ-
производные и обе удовлетворяют граничным условиям A4), то
(Lul9uJ = {uuLu2), B4)
т. е., как говорят, оператор L самосопряженный. Это легко уста-
установить, записав B4) в явном виде и интегрируя по частям. По-
Положив u1 = L~1f1, u2 = L~1f2J ввиду B2), получим двойственную
к B4) формулу
(L-7i, /,) = (/!, L-1/,), B5)
т. е. оператор L также самосопряженный. Важное свойство
самосопряженных операторов: для них скалярные произведения
вида (Л/, /) вещественны. Действительно, ввиду B3), (Л/, /)* =
= (/, Л/), так что, если оператор Л самосопряженный, то
(Л/, f)* = (Af, /). Записав B5) в явном виде, легко установить,
что
G{x,l) = G(l9x). B6)
Если (gfg)=zlf говорят, что на [а, Ь] функция g нормирована
(на единицу). Для дальнейшего удобно считать, что функция /
в A8) нормирована. Обозначив символом CN множество непре-
непрерывных нормированных на [а, Ь] функций, запишем это условие
в виде: f = f?CN.
Условие нормировки (/, /)=1 и свойства "оператора L накла-
накладывают определенные ограничения на рост функций u=L~x\ .
Пусть граничные условия A4) и оператор L фиксированы. Тогда:
а) существует число В > 0 такое, что для любой функции
fC
т. е. функции и равномерно ограничены;
— 574 —

б) для любого 8 > 0 существует такое б (е) > 0, что для любой
функции f?CN и любой точки xG из [а, Ь]
\и(х) — и(хо)\<г, если (х — х0) < б (е),
т. е., как говорят, функции и равностепенно непрерывны.
Для равномерно ограниченных и равностепенно непрерывных
функций справедлива лемма: если \и\ — любое бесконечное множе-
множество таких функций, то из него всегда можно выделить последо-
последовательность иг, и2, . .., tij, ... функций и, равномерно сходящуюся
на [а, Ь\\
в) точные верхние грани значений, которые принимают выра-
1
жения | (и, f) | и \(и, и) |2 при выборе f из CiV, ограничены и сов-
совпадают:
sup (и, и)а == sup | (и, /) | = |i0 < оо, (*)
где sup означает «точная верхняя грань», a (Lt0 — общее значение
верхних граней.
Из (*) следует, что \хфО. Действительно, если (я0 = 0, то по
определению точной верхней грани (и, г/)^0, что возможно только
тогда, когда непрерывная функция и = 0. Но это невозможно,
так как Lu = J9 а (/~ /) = 1.
Задача Штурма — Лиувилля связана с экстремальной задачей
следующего типа: найти нормированную непрерывную функцию v,
такую, что при f = v выражение
ь
|(L-1 J, f) | = | S G(x, 1) f{x) f(l) dxdl |, JeCN B7)
a
достигает своей точной верхней грани.
Связь задачи A3)—A4) с этой экстремальной задачей можно предполагать,
например, на основании следующего нестрогого рассуждения. Выражение
iL], ]) | ограничено сверху, так как функции / нормированы. Его точная
верхняя грань достигается для функции ~f = v, для которой скалярное произ-
произведение (L J, /) имеет экстремум в силу условия G, f)=l- Если 7 варьиро-
варьировать (т. е. функцию f (х) заменять близкими ей функциями f (x)-\-bf (x), то
вариация (главная часть приращения) интеграла (L/, J)
6(L-i I ]) = (*[, L-*f) + (L-i I 6f). (*)
Здесь учтено, что, ввиду B5), (L~~1bf1 ]) = (&J, L~x /). В экстремуме, т. е.
при / = v, эта вариация должна обращаться в нуль в силу условия G, /) = 1
или, что то же, условия
(8/, /) + (/, 6/) = 0. (**)
Сравнивая (##) с (#), видим, что это имеет место, если
L-1v = pvt (***)
где fi—отличное от нуля вещественное число.
— 575 —

Из (#*#) следует, что v удовлетворяет граничным условиям A4) (свойство
оператора L). Применив к (###) оператор L, ввиду B2), получим:
Lv = %v, где Х = —, т. е. v удовлетворяет также и уравнению A3) и, значит,
должна быть собственной функцией, а X—собственным числом задачи A3)—A4).
Подставив (#*#) в B7), получим \(L~1v, а)|=—-т, т. е. точная верхняя грань
I A* I
выражения B7) совпадает с величиной, обратной абсолютному значению соб-
собственного числа Я задачи A3)—A4). Из справедливости изложенных соображе-
соображений и существования верхней грани у выражения B7) должно следовать суще-
существование нетривиального решения задачи A3)—A4).
Изложенные соображения действительно оправдываются.
Оказывается, что точная верхняя грань выражения B7) |i0 > О,
число Яо = — (или (—-собственное число задачи A3)—A4),
и если v0 — нормированная собственная функция этой задачи,
принадлежащая Яо, то при f = v0 выражение B7) достигает своей
точной верхней грани [х0.
Пусть далее
G, (х, |) = G (х, I) -1 о0 (х) \ (I) B8)
a=L-l[f-vo(vo,f)), fee. B9)
Функции v0 и L^1/ ортогональны. Действительно, ввиду v0 = %0Ь~\,
B5) и B9),
C0)
Кроме того,
L-\f = L-lf9 если (i;0, /) = 0. C1)
Если в B7) заменить G(x, |) на Gx (jc, |), то снова оказывается,
что точная верхняя грань полученного выражения Hi>0, число
Я, = — (или )—собственное число задачи A3) — A4), а при-
надлежащая ему нормированная собственная функция придает
этому выражению экстремальное значение. Ввиду C1), замена G
на Gj эквивалентна экстремальной задаче для B7) при дополни-
дополнительном условии (vo,f) = Q. Поскольку дополнительное условие
может только уменьшить верхнюю грань, то |?ч|^|Я0|.
Этот процесс можно продолжать шаг за шагом, причем он
не может прерваться. Действительно, для этого, скажем на /-м
— 576 —

-шаге, должно было бы быть Gj (x, %) = 0, где, аналогично B8) —B9),
Gj (х, I) = ОЛ1 (х, I) --?±_ vj.t (х) l,_x (I) и
Lj4 = L-> Г/- 't\va, f)vl feC C2)
L a=o J
Применение к правой части оператора L, ввиду L^f — Q, дало бы
т. е. любая непрерывная функция могла бы быть представлена
как линейная комбинация конечного числа дважды дифференци-
дифференцируемых функций иа, что невозможно.
Из этого следует существование бесконечной счетной после-
последовательности vl9 v2, ... собственных функций задачи A3) —A4),
принадлежащих соответственно собственным числам Xlt Я2, ... 9
удовлетворяющим неравенствам | %01 ^ ] Кг | ^... .
§ 5. Разложение по собственным функциям
задачи Штурма — Лиувилля на конечном интервале
Соотношение C2) может послужить исходным пунктом для
вывода теоремы разложения. Предварительно докажем неравенство
Бесселя:
Sl(f«, ?)J2<(?, *), ge^4a, b), C3)
a=o
где va — нормированные собственные функции задачи Штурма —
Лиувилля. Ввиду попарной ортогональности собственных функ-
функций для любого числа Af > 0
е- 2 (о., g)к, s- 2 К е) 0=(8, 8)- S 1(««. ^I2 > о-
\ а=0 3=0 р р/ а=0
Вследствие произвольности Л^ отсюда следует C0).
00
Из неравенства Бесселя вытекает, что ряд 2J *^г, 23б Яа —
а=о а
собственные числа задачи Штурма—Лиувилля, сходится. В самом
деле, пусть I фиксировано и g"(A:) = G(A:, ?). Заметив, что
а
19 № 645 — 577 —

ввиду B6), получим
о
В силу C3), для любого N
и
I
bb
a = 0 a ^ a=0 a J
Ввиду произвольности Л/" отсюда вытекает требуемый результат.
Заметим, из сходимости рассматриваемого ряда следует, что
собственные числа kj с ростом j неограниченно возрастают.
Вернемся к соотношению C2). Если /->оо, то Lj1? -^ 0.
Доказательство основано на предложениях, которые только
укажем: а) множество функций L/ равномерно ограничено, т. е.
для любых J из CN IL/!^^, где В —число; б) точные верхние
JL
грани выражений (L/, L/) 2 и \(L~1f, f)\ при выборе / из
CN совпадают.
Ввиду а) ряд в правой части C2) при / -> оо сходится рав-
равномерно. В самом деле, если f — непрерывная функция, то
_ _L
/(/»/) 2—нормированная непрерывная функция и, в силу
a),
N,
2
/J. Положим g= 2 К f)v«> гДе N
N — произвольные числа. Тогда
S
2
S
К».,
При N ->оо сумма в правой части стремится к нулю в силу
неравенства Бесселя C3), а так как она не зависит от х, то
сумма L~xg -> 0 равномерно. Отсюда следует равномерная сходи-
сходимость ряда в правой части C2) и, значит, при / -> оо последо-
последовательность Ljxf сходится к непрерывной функции. Так как
, то, ввиду б),
¦> 0 при j -+оо9
точная верхняя граница | (L/1/» /) I равна -гт—
(L71/, Ljxf) ^ —Цр . Следовательно, (Ljxf, Ljxf)
атак как предел L;Tl/ непрерывен, то L/1/ "^ 0- Перейдя в C2) к пре-
пределу / = оо и положив f = Lg, где g — функция, имеющая непре-
— 578 —

рывные вторые производные и удовлетворяющая граничным ус-
условиям A4), ввиду B2), B5) и A3), получим
8= 5Ж. 8)**> C4)
а=о
причем ряд в правой части сходится равномерно.
Итак, функция g> имеющая непрерывные вторые производные
и удовлетворяющая граничным условиям задачи Штурма — Лиувилля,
разлагается на интервале [а, Ь] в равномерно сходящийся ряд C4)
по собственным функциям va этой задачи. Ряд C4) называют
рядом Фурье, а скалярные произведения (иа, g)— коэффициентами
Фурье функции g.
Отметим, что ряд C4) содержит только собственные функции ау, являю-
являющиеся решениями экстремальной задачи § 4. Поэтому решения этой задачи
исчерпывают все линейно независимые собственные функции задачи Штурма —-
Лиувилля. Действительно, пусть v — линейно независимая собственная функ-
функция, не принадлежащая множеству собственных функций, используемых в C4),
и, следовательно (§ 2), ортогональная им. Как собственная функция, она
удовлетворяет A4) и имеет непрерывные вторые производные, поэтому может
быть разложена в ряд C4). Однако, ввиду ее ортогональности всем функциям,
по которым производится разложение, все ее коэффициенты Фурье равны нулю
и, следовательно, она тождественно равна нулю.
Сформулированная выше теорема разложения может быть
обобщена:
Пусть функция g имеет интегрируемый квадрат модуля на [а, Ь].
со
Тогда ряд Фурье 2 (и«> ё*)^ функции g сходится к ней в сред-
немf т. е.
b
lim
N
8— 2 fa*» 8)v*
C5)
Отметим, что соотношение C5) обычно записывают просто
в виде C4), оговаривая, что равенство понимается в смысле
сходимости в среднем.
Сходимость в среднем, как правило, достаточна для целей
физики, так как две функции gl9 g2, равные в среднем, т. е. та-
ь
кие, что \ \gx — gz\2dx = 0, могут отличаться друг от друга лишь
а
на множестве меры нуль (грубо говоря, на множестве точек^
столь малом, что это не влияет на значение интегралов от gl9 g2).
Две такие функции в физике обычно могут считаться эквива-
эквивалентными.
Доказательство C5) может быть основано на известном из
анализа факте, что для любой функции g класса J?2 (а, Ь) из
множества функций этого же класса можно выделить последо-
19* — 579 —

вательность и19 «2, ... функций, имеющих непрерывные вторые
е с такую последо-
0. Введем функ-
ватл 19 2, фуц, имеющ прерывные вторые
производные и сходящихся к g в среднем, т. е. такую последо-
ь
ь
вательность, что (Uj—g, Uj—g)= С \Uj—g\2dx
a
ЦИЮ
при?>г).
Она дифференцируема любое число раз по ?, в интервале от
? = т] до ?=0 убывает от 1 до 0, при ?=0 она равна нулю вме-
вместе со всеми своими производными. Пусть y\lt тJ, ...—пос-
...—последовательность сходящихся к нулю чисел и gj(x) =
= u/(x)'^r}j(b—x)^riJ(x—а). Функция gj(x) имеет непрерывные
вторые производные, при х=а и х=Ь она и ее первые производ-
производные обращаются в нуль, так что граничные условия A4) удовле-
удовлетворяются автоматически, а в интервале [я + т]/» ^ — Лу] она Рав"
на Uj(x).
Функции gj в среднем сходятся к g. Действительно,
g—gj
dx+
е-ь
1
dx+
6—ту
dx.
С ростом / интегралы от а до a-f т]у. и от ft—г|у до & стремятся
к нулю, так как т]у—"О, а функция (g"—gyN<J?2(tf, &); интеграл
же от a + rjy до b — т]у- стремится к нулю, так как последователь-
последовательность функций Uj сходится в среднем к g.
Рассмотрим неравенство
N
a=0
N
a=0
a=0
a=0
Оно
следует из
неравенства
_1 -L
+ ?2J<(gi> gi)u
2> 82J и ортогональности нормированных функций ya. Так
как функции gj удовлетворяют условиям разложения в ряд C4),
то существует число Ne такое, что при N > Nt второй член
5 правой части неравенства меньше любого заданного числа е > 0.
- 58Q -

Последний член правой части, в силу неравенства Бесселя C3),
не превосходит первого, который при достаточно большом /
становится меньше е, так как функции gy в среднем сходятся
к g. Следовательно, левая часть неравенства меньше наперед
заданного числа Зе. Это доказывает C5).
Укажем, что для граничной задачи:
Lv=—(pv')' + qv = lv, х?(а, Ь), р(а)=р(Ь),
v(a)=v(b), v'{a) = v'{b)
с периодическим граничным условием справедливо все изло-
изложенное выше, с тем лишь возможным отличием, что каждому
собственному числу соответствует не одна, а две линейно незави-
независимые собственные функции. В этом последнем случае указан-
указанные выше соотношения сохраняют вид, если линейно независи-
независимые собственные функции, принадлежащие одному собственному
числу, выбрать так, чтобы они были взаимно ортогональны (это
всегда возможно ввиду их линейной независимости).
Задача
— v" = lv, v@)=vBn)9 v' @)=о'Bя)
является примером граничной задачи с периодическим граничным
условием. Ее собственные числа образуют натуральный ряд 1, 2,
3, ... Каждому собственному числу К принадлежат две линейно
независимые собственные функции, в качестве которых могут
быть выбраны взаимно ортогональные на интервале [0, 2я] фун-
функции sin}/"A,x и собУ^х.
Наконец, упомянем, что для полной общности теоремы раз-
разложения интегралы в C5) и при вычислении коэффициентов
Фурье (va, g) должны пониматься в смысле Лебега. В этом слу-
случае справедлива также теорема Рисса—Фишера, взаимная с рас-
рассмотренной теоремой разложения: если с19 с29 ...—последова-
...—последовательность комплексных чисел, такая, что ряд |Ci|2 + |c2|2+ •••
сходится, то существует функция g (x) 6 J?2 (а, Ь)9 для которой
коэффициенты Фурье (va9 g)=cOi и справедливо разложение C5).
Если интегралы понимаются в смысле Римана, то разложе-
разложение C5) справедливо, например, для всех кусочно непрерывных
функций.
ЗАДАЧА
Показать, что если для функции g справедливо равенство Парсеваля:
<*. «)= Sic., e) p.
а=0
то она разлагается в ряд C4) в смысле сходимости в среднем.
— 581 —

Указание. Использовать равенство
Ъ N N
Я - 1
р
р
а=0 а=0
§ 6. Сингулярная задача Штурма—Лиувилля
Выше рассматривалась задача Штурма—Лиувилля для конеч-
конечного интервала [а, Ь] и уравнения, коэффициенты которого не
имели особенностей. Если коэффициенты уравнения имеют осо-
особенности на концах интервала [а, Ь], но интегралы от величин
конечны, то результаты § 5 остаются в силе.
ели же упомянутые интегралы расходятся или интервал бес-
бесконечен— в этих случаях говорят о сингулярной задаче Штур-
Штурма— Лиувилля, — то изложенная выше теория непосредственно
неприменима. Распространение ее на сингулярную задачу требует
выполнения предельного перехода: от конечного интервала к
бесконечному или от конечного интервала, не содержащего осо-
особенностей в коэффициентах, к интервалу, на одном или обоих
концах которого есть неинтегрируемые особенности. Техника
выполнения обоих этих предельных переходов аналогична, как
и результаты. В связи с этим для определенности рассмотрим
подробно только расширение теории на бесконечный интер-
интервал [а, с»), где |а| < оо.
В случае сингулярной задачи полной счетной системы соб-
собственных функций может не оказаться. Тогда место разложения
произвольной функции в бесконечный ряд по собственным функ-
функциям задачи занимает представление этой функции в форме
интеграла. Это приводит к интегральным соотношениям, таким,
как преобразования Фурье и Лапласа, оказавшимся эффектив-
эффективными при решении многих проблем техники и теоретической
физики.
Рассмотрим уравнение
Lv=—(pv')' + qv=lv C6)
в интервале [а, оо). Как и ранее, примем, что функции р, р'
и q вещественны и непрерывны, а р > 0.
Обозначим символом J?2 (а, оо) класс функций с квадратом
модуля, интегрируемым на интервале [а, оо).
Укажем без доказательства важное свойство оператора L: если
все решения уравнения Lv = lv принадлежат классу J?2(a, оо)
при некотором одном комплексном значении /, то они принад-
принадлежат этому классу и при всех комплексных значениях I.
— 582 —

Пусть %(ху I) и г|?(л;, /) — решения уравнения Lv=^lvy удовле-
удовлетворяющие начальным условиям:
%(а, Z) = sina, p(a)%'(a, l)-=— cos a, C7)
•ф(а, /) = cosa, /?(а)г|/(а, Z) = sina,' C8)
я.
Эти решения линейно независимы. В самом деле, их определи-
определитель Вронского при х=а удовлетворяет соотношению
PW(%, i|>)=l. C9)
Но, в силу тождества Лагранжа E), это равенство сохраняется
при всех х.
Из линейной независимости % и г|) следует, что с точностью
до множителя любое решение уравнения Lv=lv, отличное от i|),
можно представить в виде
v(x, 1) = %(х, 1) + т\р(х, /), D0)
где т — комплексное число.
Пусть 1т1ф0 (символ Im означает «мнимая часть»). Рассмот-
Рассмотрим многообразие решений v (x, /), удовлетворяющих вещест-
вещественному граничному условию
v(b, I) cos$+ p(b)v'(b, /)sinC=0, D1)
0<р<я, &<oo.
Условие D1) накладывает на т определенные ограничения, так
что допустимые значения т будут функцией m(l; b, P) компле-
комплексного переменного I и вещественных параметров & и р.
Покажем; что при фиксированных / и b значения т лежат
на некоторой окружности в комплексной плоскости. Переписав
D1) в форме
v'%l) tgp
^ }
v(b, /)~" р(Ь) '
v'
видим, что отношение — вещественно, а поэтому определитель
Вронского
W (v, v) = vv'— v'v=0 при x=b. D3)
Обратно, если выполняется D3), то отношение v (, ' * вещест-
вещественно. Следовательно, условие D3) необходимо и достаточно,
чтобы функция v(x, I) при некотором р удовлетворяла условию
вида D1). Подставив D0) в D3), получим
^^Л^тт— тМь—тМь+МьМь—Щ=\т-Мь\*-Щ=0, D4)
W (г|), ф)
— 583 —

где
,Rb =
(x. oc)
V (if, if)
-MbMb
x=b
W
D5)
(ф j)
x = b, \т1фО.
При вычислении Rb учтено равенство C9).
Уравнение D4) на плоскости комплексного переменного т есть
уравнение окружности с центром в точке Мь и радиусом Rb.
Подставив D0) в D1), получим уравнение этой окружности
в форме:
"%'"г4. D6)
явно выражающей зависимость значения т от значения р. При
фиксированных /, b и изменении Р от 0 до я точка т, как
легко видеть, обходит рассматриваемую окружность. Для ее
обозначения также будем пользоваться введенным выше симво-
символом т{1\ b, P), подразумевая, что когда речь идет об окружно-
окружности т{1\ b, P), то значения / и b фиксированы, а когда о функ-
функции т{1\ Ь, Р), то это — функция комплексного переменного /
и вещественных параметров Ь, р. Каждой паре значений b, l со-
соответствует своя окружность тA\ &, Р).
Пусть /с 1т/=й=0 фиксировано, а параметр b возрастает.
Установим, как при этом меняется окружность т{1\ by P).
Из D4) следует, что в точках круга \т — Мь\2—Rl^O, имею-
имеющего окружность m(/; b, P) своей границей,
W (v, v)
D7)
Равенству соответствует сама окружность m(l\ b, P). В силу
теоремы Грина F),
ь ь
\ (vLv-vLv)dx={l- I) l\v\2dx=[pW(v, *v)]x=b — [pW (v, v)]x=a,
a a
D8)
6 Ь
^Li|)- ЦЩ dx = {l- /) J | ф |2 dx = [pW ft, Щ x=b. D9)
Здесь учтено, что ввиду C7) — C8) функции г|) и г|?' веществен-
вещественны при х = а, а поэтому определитель W(ty, \p)\x=a =0. Ввиду
C7), C9) и D0) (символ Im означает «мнимая часть»)
[pW (v, v)]x=a =m—т = 2
— 584 —
E0)

Заметив, что /—/ = 2i Im /, и используя полученные соотношения,
преобразуем неравенство D7) к виду
ь
j|u|2dx<^., Im/=^0. E1)
а
Знак равенства, как и выше, соответствует положению точки т
на окружности га(/; Ь, р) и, следовательно, вещественному гра-
граничному условию D1). В этом случае
ь
(Im /) J | v |2 dx = Im га (/; 6, р). E2)
а
Далее из D9) и D5) найдем, что
E3)
Фиксируем число га. Пусть при некотором b==bi число т
лежит на окружности m(l\ bl9 р), так что в E1) имеет место знак
равенства. Так как левая часть E1) — монотонно растущая функ-
функция 6, то при 6 = 6а>61 неравенство E1) не будет соблюдено,
т. е. число га, лежащее на окружности га(/; biy Р), будет лежать
вне окружности га(/;Ь2, Р). Отсюда следует, что окружность
га (/; Ь2, р) при Ь2 > Ь± лежит внутри окружности т (/; Ъи Р). Таким
образом, с ростом b окружность m(l; b, P) сжимается и возможны
два варианта:
а) окружности т (/; Ь, р) с ростом b стягиваются к предельной
окружности т^{1\с) с радиусом 7?О0>0. Через с здесь обозначен
параметр, при изменении которого в некоторых пределах и фик-
фиксированном / величина т&A;с) принимает все значения, при-
принадлежащие предельной окружности.
Если имеет место случай предельной окружности, то все ре-
решения уравнения Lv = lv при Im 1=^0 принадлежат классу
J?2 (а, оо). Действительно, любое число га, лежащее на окруж-
окружности Шоо (/; с), лежит внутри любого из кругов с границей
тA\ Ьу Р) и, следовательно, для т — т при любом b неравенство
E1) выполняется строго. Это значит, что интеграл в левой части
E1) сходится, т. е.
v = (% + mq)eS2(a, оо). E4)
Из E3) вытекает, что и я|) 6^2 (я> °°)> а поэтому и % = v —
— mtyZ^ia, оо). Так как два линейно независимых решения
уравнения Lv = lv принадлежат классу J?2 (а, оо), то и все его
решения принадлежат этому классу;
— 585 —

б) окружности т{1\ Ь, C) стягиваются к предельной точке
т,ъA), так что Rb—+0 при Ь—> оо. Из E3) тогда следует, что
решение г|? при \т1фО не принадлежит классу J?2(a, оо), а ввиду
того, что этот вывод не зависит от выбора числа а в начальном
условии C7), то и любое решение уравнения Lv = lv, Im/=^=0,
удовлетворяющее вещественным начальным условиям, не принад-
принадлежит этому классу. Из E1), однако, следует, что при 1т1фО
существует линейно независимое от тр решение класса JF2 (а, оо),
именно:
^ °°), 1т1фО. E5)
Двух линейно независимых решений, принадлежащих классу
J?2 (а, оо), существовать не может, так как тогда и все решения
уравнения Lv — lv принадлежали бы J?2(a, оо), что противоречит
^(?i?2(a, оо). Итак, тогда, когда имеет место случай предельной
точки, уравнение Lv^lv при \т1фО имеет одно и только одно
линейно независимое решение класса J?1 (а, оо)
Так как, по сказанному выше, принадлежность всех решений
уравнения Lv — lv классу J?2 (а, оо) есть свойство оператора L,
не зависящее от значения /, то и появление при b—>¦ оо предель-
предельной точки или предельной окружности—также свойство только
оператора L. Тем самым возможны два класса сингулярных задач
Штурма — Лиувилля, соответствующих случаям предельной окруж-
окружности и предельной точки. Примеры (см., например, § 10) пока-
показывают, что эти классы не пусты.
§ 7. Разложение по собственным функциям сингулярной
задачи Штурма — Лиувилля на полубесконечном интервале
Разложение по собственным функциям сингулярной задачи,
как упоминалось, может содержать как сумму, так и интеграл.
Удобно — и фактически так обычно и поступают — использовать
интеграл Стилтьеса*. Тогда сумму можно включить в интеграл
и формулы приобретают простой вид. Укажем определение ин-
интеграла Стилтьеса, что достаточно для понимания выкладок
и смысла формул.
Пусть g(x) и о(х) функции, определенные и конечные на
интервале [а, Ь], а система неравенств: а = х0 <хх <.. -хПтш1<хп = Ь
задает подразделение интервала [a, b] на части. Составим сумму
2
a=l
E6)
Если при беспредельном увеличении числа подразделяющих точек
ха и уменьшении интервалов (*a, xai_1) сумма E6) стремится
* В. И. Смирнов [1],т. V, §2 и 48, Э. X. Г о хм а н [19], Г. Е. Ши-
Шилов [61] и др.
— 586 —

к пределу, не зависящему от выбора подразделяющих точек, то
этот предел называют интегралом Стилтьеса от функции g(x)
по функции о(х) на интервале [а, Ь\ и обозначают символом
Интеграл Стилтьеса совпадает с интегралом Римана, когда а (х) = х.
Если функция g(x) имеет интегрируемую производную, то интеграл
Стилтьеса выражается через интеграл Римана:
E7)
Нас будут интересовать интегралы по неубывающим функ-
функциям о (к), имеющим конечные разрывы (скачки), когда аргумент К
пробегает все вещественные значения от — оо до оо. Простейшим
примером является широко употребляемая «единичная ступенчатая
функция»:
| 1, когда к?[кр оо) (или, что то же, Х^Ху)
имеющая в точке % = %j разрыв (скачок) Q(KJ)— Э(Ху—0)=1.
Заметим, что эта функция определена так, что она непрерывна
при приближении к точке Яу справа. Из определения интеграль-
интегральных сумм E6) для интеграла Стилтьеса ясно, что*
Функцию, меняющуюся только в точках tk = tkJ-, принадлежа-
принадлежащих некоторой последовательности Х19 Я2, ..., где она имеет
конечные разрывы (скачки), равные су., называют ступенчатой
функцией или функцией скачков. Ее всегда можно представить
в виде суммы (конечной или бесконечной):
]cJl(X-K), E9)
где 9—единичная ступенчатая функция.
* Этот пример, в частности, показывает, что интеграл Стилтьеса может
сохранять смысл и тогда, когда соответствующего ему интеграла Римана
не существует. Отметим, что часто записывают: dQ (X—Лу) = б (Л, — Xj)dX, где
6 (k—Xf)—дельта-функция. Тогда из правил действий с дельта-функцией тоже
следует E8). Интеграл в E8) при этом, однако, также нельзя понимать
в смысле Римана: интеграл Римана от дельта-функции не существует. Правила
действий с дельта-функцией тем не менее могут быть строго обоснованы и вклю-
включение сумм в интегралы можно основывать на них.
— 587 —

Точки X, такие, что в любой их окрестности есть пара точек,
в которых неубывающая функция а (к) имеет различные значения,
называют точками роста функции о(Х). В точках роста <т(Я)
может оставаться непрерывной или иметь скачки. В общем слу-
случае нас будут интересовать неубывающие функции <т(А,), множество
точек роста которых состоит не только из точек скачков. При-
Примером может служить функция a(k) = ao(k) + a1(k)9 где о1(к) —
функция скачков вида E9), а о0(К) — неубывающая функция, не
имеющая разрывов. Ввиду E8) при такой а (К) интеграл Стилтьеса
После этих предварительных замечаний обратимся к задаче
Штурма—Лиувилля:
Lv = — (pV)' + qv = lv, x? (а, 6), F0)
v (а) sin a— p (a) vf (а) cos а = 0, v (b) cosC +p (b) vr (Ь)$Щ = 0, F1)
0<а, р <я.
Если Ь—>оо, она переходит в сингулярную граничную задачу:
Lv = — (pv'Y + qv = lv, x? (a, oo), F2)
v (a) sin а—р (a) vf (a) cos a = 0. F3)
Обозначим через {Щ последовательность собственных чисел
задачи F0)—F1) с конечным интервалом [а, Ь], а через {v)} —
последовательность ее нормированных собственных функций.
Пусть г|}(лс, /), как и выше,— решение уравнения F0), удовлетво-
удовлетворяющее начальному условию C8). Тогда оно удовлетворяет и пер-
первому из граничных условий F1). Следовательно, когда параметр I
равен собственному числу Яу. задачи F0)—F1), то ty — собственная
функция, принадлежащая K/t т. е.
rf(x) = d[y(x,tf), F4)
где с)—нормирующий множитель.
Пусть g{x)€&* (a, b)
F5)
Функцию g(x) можно разложить в ряд C4), сходящийся к ней
в среднем. При обозначениях F4)—F5) он имеет вид
2k
а=0
— 588 —

Введем функцию скачков аь(Х), имеющую скачки |с/12 при % =
Тогда ряд для g(x) можно переписать в виде
F6)
Пусть теперь верхняя граница Ъ интервала [а, Ь] пробегает
неограниченно возрастающую бесконечную последовательность
bl9 b2, ... чисел &у, а величина р в граничном условии F1) —
произвольно заданную бесконечную последовательность Pi, Р2, ...
чисел Р/, 0^ру. <я. Сопоставим каждому числу Ь;- число |Зу- с тем
же/. 1огда последовательность пар Ьх\ &2, Р2 ... определит
некоторую последовательность а19 а2, ... функций ар1 (к) из F6)
и последовательность чисел m(l\ b/y рд лежащих на окружностях
m(l\ bf, P), определенных в предыдущем параграфе.
Справедливы следующие предложения, которые приведем без
доказательства:
Из последовательности blt px; Ь2, Р2, ... можно выделить такую
бесконечную подпоследовательность, что для соответствующей ей
последовательности чисел j существуют пределы
limm(Z; Ь/9 P/) = meD(Z)> F7)
F8)
у-*-со
где Шоо (/) — предельная точка или точка предельной окружности
т» (/; с) (в зависимости от свойств оператора L)y а о(Х) — неубы-
неубывающая функция, удовлетворяющая неравенству
|а(Я,)|<ЛA+Х»), F9)
где k—положительное число. В случае предельной точки функ-
функция а (К) не зависит от выбора последовательности пар йу, Ру-.
В случае предельной окружности для каждого значения с найдется
такая последовательность пар b/f ру., что mOB(/) = m00(/; с); при
этом функция а (А,) зависит от с.
Отметим, что так как а (К) — неубывающая функция, а ввиду
F9) она ограничена на каждом конечном интервале, то число
ее точек скачков не более, чем счетно.
Если g(x)?J?2{a, оо), то существует функция
G0)
где ty(x, I)—решение уравнения F2), удовлетворяющее начальному
условию
i|> (а, /) = cos а, р (а) г|/ (а, /) = sin а,
— 589 —

и в смысле сходимости в среднем справедливо разложение
(k), G1)
где интегрирование ведется вдоль вещественной оси.
Отметим, что равенства G0) и G1) можно записать в форме
00
|ф, к) do (к) \q(t k)g(l)dl G2)
Соотношения G0) —G1) являются обобщением соотношений
F5) — F6) на сингулярную задачу. Они устанавливают возмож-
возможность разложения любой функции g (х) ? J?2 (а, оо) по функциям
Соотношения G0) — G1) можно обратить, рассматривая G0)
как разложение функции g(/), а G1) — как определение g(x).
Это часто необходимо в теоретической физике. Чтобы соотноше-
соотношения G0)— G1) были справедливы для любых функций g? J?2 (а, оо)
и gG~^2(—°°, °°), интегралы в G0) — G1) должны определяться
с помощью теории меры Лебега (это ведет к понятию интеграла
Лебега — Стилтьеса). В курсах физики об этом не всегда упо-
упоминается, так как техника выкладок практически не нуждается
в изменениях, а опасность фактической ошибки невелика: суще-
существование связи типа G0) —G1) между двумя функциями обычно
вытекает из существа физической задачи или постулируется
(квантовая механика).
§ 8. Вычисление спектральной функции
(полубесконечный интервал)
Чтобы практически осуществить разложение G0) — G1), не-
необходимо определить спектральную функцию о (К). От ее свойств
и зависит, какие именно из функций ty (x, I) участвуют в разло-
разложении. Если а (К)— функция скачков со скачками в точках Ау,
то в разложении играют роль только функции ^ (х, АД образую-
образующие в совокупности полную счетную систему. В общем же случае
множество точек роста функции а(х) может состоять из счетной
последовательности точек, где она имеет скачки, и точек, запол-
заполняющих целые интервалы вещественной оси или, быть может,
всю ось. Тогда полную систему на интервале [а, оо) образуют
функции г|? (х, А,), соответствующие как счетной последователь-
последовательности \kj\ точек скачков, так и некоторому непрерывному множе-
множеству значений А,. Разложение функции g(x)^^2(a, оо) по функ-
функциям г|)(л;, А) будет при этом включать интеграл.
Совокупность точек роста спектральной функции о (К) назы-
называют спектром сингулярной задачи F2) — F3), причем совокуп-
— 590 —

ность точек, в которых спектральная функция имеет скачки,
называют дискретным (или точечным) спектром, а совокупность
точек роста, в которых спектральная функция непрерывна, —
непрерывным спектром.
Спектральная функция о (к) определяется тем, что сингуляр-
сингулярная задача F2) — F3) — предельная в отношении задачи F0) — F1)
с вещественным граничным условием при х = Ь -* оо. Именно она
зависит от предела F7), обобщающего условие вещественности D6)
граничных данных при х = Ь. Укажем необходимые для ее вы-
вычисления соотношения без доказательства.
Если спектральная функция о (К) непрерывна в точках А, и А/, то
х
о (К) — ог(А/) = -!- Нш rim/HooOl + ^dr], G3)
¦ + о у,
л/
где интегрирование ведется вдоль прямой Im/ = e = const, прохо-
проходящей в верхней полуплоскости параллельно вещественной оси,
причем переход к пределу г = 0 происходит из верхней полупло-
полуплоскости, а то, (/) — предел F7), т. е. предельная точка или точка
предельной окружности. В последнем случае спектральная функция
зависит от параметра с. Фактически, чтобы однозначно опре-
определить о (К), нет необходимости знать зависимость т» (/; с) от с,
достаточно указать значение /nM (/) при некотором фиксирован-
фиксированном / (см. мелкий шрифт в конце параграфа).
В случае предельной точки предел F7) /пя (/)— аналитическая
функция I в полуплоскости Im / > 0 (и Im / < 0), при Im / Ф 0
Immco@ А
отношение —?—-.—> 0; если на вещественной оси есть полюсы, то
они простые, а вычеты в них отрицательны.
В случае предельного круга предел F7) т« (I) = т^ (/; с)—функ-
с)—функция, аналитическая в любой конечной части плоскости комплекс-
комплексного переменного I всюду, за исключением особых точек, являющихся
полюсами; все эти полюсы простые и расположены на веществен-
вещественной оси, а вычеты в них отрицательны; при вещественных I зна-
значения т^ (/; с) вещественны.
Скачки спектральной функции G3) приходятся на полюсы
т^ (/), положение которых, таким образом, определяет точечный
спектр.
Пусть l = kj—полюс ш9A) и l==r\ + ie. Вблизи Ау
где с.! —вычет функции т» (/) в полюсе Х/у г\ — %;- и е — малые
числа, а многоточием обозначены члены, остающиеся конечными
при / = Ау. Выберем число б > 0 столь малым, чтобы в интервале
[Ау—б, Ау + 8] функция /По, (/) не имела других полюсов кроме Ау.
— 591 -*

Это всегда можно сделать, так как полюсы—изолированные
особые точки. Тогда при Jl' = A,y—б и X = A,y-f6 спектральная
функция непрерывна и согласно G2)
—o(kj—8) = — lim Г
Я 8» +0 J
ft.j + 6
J
8» +0 J A
Aj-0
j -0
= —c-^ lim f ^)
Многоточием здесь обозначены члены, стремящиеся к нулю вмес-
вместе с б. В пределе при б—>0 получим
т. е. скачок спектральной функции а (К) в точке разрыва равен
вычету в этой точке функции т(Х) (/), взятому с обратным знаком.
Если в интервале [Х\ X] функция т» (/) не имеет полюсов,
то в G3) можно перейти к пределу под знаком интеграла. Взяв
затем дифференциал от обеих частей G3), получим
da(X) = - lim 1т/лю(А, + 1е)<й. G4)
л е-* +о
Если предел в правой части равен нулю, то do(k) = 0 и точка А,
не является точкой роста спектральной функции, т. е. не при-
принадлежит спектру. В случае предельного круга функция т^A) =
=тх (/; с) вне полюсов непрерывна и вещественна на оси А,.
Поэтому lim 1тт& (k + ie) = Immw (А,) = 0. Следовательно, в слу-
е-> +о
чае предельного круга непрерывный спектр отсутствует и раз-
разложение G1) есть бесконечный ряд.
В случае предельной точки функция т<» (/) определена однозначно. Согласно
G3) этим однозначно определен спектр и, значит, собственные функции сингу-
сингулярной задачи F2) — F3). В случае же предельной окружности для однозначной
формулировки сингулярной задачи к F2) — F3) необходимо присоединить усло-
условие на бесконечности.
Пусть moo (/0)—точка предельной окружности тФ (/0; с), соответствующей
фиксированному / = /0, и v<o (х, 10) = %{х, /0) + /72<» (/o)iM*> ^o)- Можно пока-
показать, что если \Xj\ — спектр задачи F2)— F3) при выборе на предельной окруж-
окружности /72» (/0; с) точки тж (/0), то определитель Вронского W [ty (х, /), о» (х> /0)]
при х—>¦ оо обращается в нуль, если / принадлежит спектру {Ху}, и отличен
от нуля в противном случае. Поэтому искомое условие на бесконечности можно
записать в виде
Из всего многообразия полных систем собственных функций задачи F2) — F3)
им отбирается то, которое соответствует точке т» (/0) на окружности т» (/0; с).
— 592 —

Если интервал, для которого ставится задача Штур-
Штурма—Лиувилля, конечен, но на его верхней границе х — Ь
коэффициенты уравнения имеют (неинтегрируемую) особенность,
то все изложенное остается в силе, только предельный переход
Ь —>¦ оо заменяется переходом Ъ' —+Ъ от интервала [а, Ь'], где
Ь' < 6, к интервалу [а, Ь).
Если сингулярная задача Штурма — Лиувилля поставлена для
интервала (—оо, а], то все нужные формулы получаются из
указанных выше заменой пределов а, оо интегрирования по х на
— оо, а и функции т* (/) на функцию т_оо(/), являющуюся взя-
взятым с обратным знаком пределом выражения D6) при Ъ-^ — оо.
Укажем в заключение несколько простых признаков сущест-
существования предельной точки:
х
а) <7(#)>—?> гДе k—положительное число, а интеграл Г-^
J Ур
х0
расходится при х—>оо или к точке, в которой коэффициенты
уравнения имеют особенность;
б) /?=1, q(x)^— kx2, где k — положительное число;
в) /?=1, q (х)—> оо при х—+¦ оо (отметим, что при выполнении
этих условий спектр дискретен).
§ 9. Разложение по собственным функциям сингулярной
задачи Штурма — Лиувилля на интервале, бесконечном
в обе стороны
Основное отличие задачи Штурма — Лиувилля на интервале,
бесконечном в обе стороны (или с особенностями на обоих кон-
концах интервала),— отсутствие граничных условий в обычном
смысле. Если при ±оо для оператора L имеет место случай
предельной точки, то решение задачи вообще однозначно опре-
определяется уравнением. При этом, конечно, подразумевается, что
задача на интервале (—оо, оо) — предельная в отношении задачи
на конечном интервале [х19 х2] с вещественными граничными
условиями:
Lv = — (pv)f + qv = lv, x? (xlf x2), G5)
v (хг) cos a—р (хг) v' (xx) sin а = 0; v (x2) cos р + р (х2) v' (x2) sin |3 = 0.
G6)
Пусть а—вещественное число, такое, что ху < а < х2 и ^ (х, /),
$2(х> 0—Два линейно независимых решения уравнения G5),
удовлетворяющих начальным условиям:
¦i(a, 0=1, Р(а)у[(а9 /) = 0, _
¦,(а. 0 = 0, р(а)Ъ'(а /) = 1 1 '
— 593 —

Каждое решение уравнения второго порядка является линейной
комбинацией двух его любых линейно независимых решений.
Поэтому нормированная собственная функция v;(x) задачи G5)—
G6), принадлежащая собственному числу Х;-, может быть пред-
представлена в виде
где с.-19 cj% — постоянные коэффициенты. Положим, по аналогии
с F5),
xz х2
ii @ = S к (х, I) g (х) dx, g, (/) = S ^2 (x, I) g (x) dx, G8)
Xt Xi
rjxeg(x) — функция с интегрируемым квадратом модуля на [л^, х2].
Ряд Фурье функции g(x) имеет вид
g (х) - 2 va (х) J va (I) g (I) dg = 2 2 саз^ (^, Яа) X
а=о д. а=о C, 7=1 ' ^
X J ca^ (I, K) g(l)dl=Jl 2 с с^
a = op7=l
Чтобы ряд в правой части записать в форме интегралов, введем
четыре функции скачков Ojk(X), /, k=\, 2, ..., имеющие скачки,
соответственно равные су-9 cak при значениях К, принадлежащих
последовательности собственных чисел задачи G5)—G6). Тогда
g(x)= S
P» У -
Четыре функции скачков Ojk (Я) можно рассматривать как элементы матрицы
которую называют спектральной матрицей.
Пусть i/ = i|51 —/п\|J и u = \|I + m\|J —решения уравнения G5),
удовлетворяющие соответственно первому и второму граничному
условию G6). Согласно D3) при 1т/=И=0 числа —т и т лежат
на окружностях т(/; х15 —а) и тA\ х2У Р), определяемых
соответственно уравнениями W (ulf «0 = 0, IF (a2, w2) = 0. При
#!—> — oo, Im/^0, окружность m(l\ xu —a) стремится либо
к предельной точке, которую обозначим символом —т_а>(/),
либо к предельной окружности —т_»(/, с), где с—параметр,
при изменении которого в некоторых пределах величина
—m_a, (/; с) описывает (при фиксированном /) предельную окруж-
окружность. Аналогично при х2—>• oo, Im/^0, окружность m(/;x2, (J)
стремится либо к предельной точке ш» (/), либо к предельной
— 594 —

окружности /я» (/; с). Таким образом, на интервале (—оо, оо)
возможны комбинации либо двух предельных точек, либо двух
предельных окружностей, либо, наконец, одному из концов
интервала может соответствовать предельная точка, а другому —
предельная окружность.
Независимо от свойств оператора L функции и = у^1 — m_ooip2
и v = ^1 + ^оо^2 принадлежат соответственно классам J?2 (—оо, а)
и ^2(а, оо).
Сформулируем теорему разложения для интервала (— оо, сю).
Если g(x)?J?2(— оо, оо), то существуют функции
ОС 00
~gi W = [ Ъ(х, X) g (х) dx, gt (X) = J $t (x, X) g (x) dx (80)
— 00 — GO
и неубывающие функции on(k)t о12(Х) = в21(к), o22(X)t такие, что
СО
g(x)= J ^(x, X)g1(X)doll(X)+
h(x> h)gi(X)]dcfu+ \ ^2(*> k)g2(X)da22(X). (81)
— 00
Если в точках X' и X функция Ojk (X) непрерывна, то
к
oJk(X) — Ojk(X') — — lim \ lm Mjk(y\-{-is)dr), /, k—\, 2, (82)
где
/zpw ±00 имеет место случай предельного круга, то все
М/7г—функции, аналитические в любой конечной части комплекс-
комплексной плоскости I всюду, за исключением особых точек, являющихся
полюсами.
Из (83) следует, что полюсы функций Mjk, т. е. разрывы
ojk, возможны только в точках, в которых выполняется одно
из условий
J ± . (84)
т-„ + т„ 0, + 0.
П1 — 00 '' СЮ
Может случиться (например, когда т№ = —т^ или функции
т«,, т-сс не имеют общих полюсов и одна из них вещественна
на вещественной оси), что разложение (81) приводится к виду,
аналогичному G2). Так, если полюсы функций т«, /п_» не сов-
— 595 —

падают (вследствие чего величины MJk в этих полюсах ограни-
ограничены) и под знаком интеграла (82) в выражении Im m^^^ + i)
можно перейти к пределу 8 — 0, причем Imm-oo (л)~0> то
Im m Im m
, ; ImMla=-m— 2\т +
1тМ22~ /П-оо ——ц-~—г^,
откуда
Подставив эти значения в (81), получим
а подставив сюда (80) и обозначив, как и выше, ;ф1 — т_<» гф2==^>
придем к разложению
Я (*) = J и (х, Я) daxl (к) J a (g, Я) g (g) ^. (87)
-QO - 00
§ 10. Разложение по бесселевым функциям
1. В качестве примера применения изложенной выше теории
рассмотрим разложения по функциям Бесселя.
Уравнение Бесселя
У = 0 (88)
с помощью подстановок: v=-Vxy и s2 = / приводится к виду F0)
v = lv (89)
с p=l, q= (v2—-тЧ~2> l = s2. Линейно независимыми реше-
ниями уравнения (89) являются выражения y"xJv(sx) n]/rxYv(sx)y
где /vB) и Yv (z) — функции Бесселя и Вебера (гл. XIII, § 1).
Коэффициент q имеет особенность при х = 0.
Выведем несколько формул, которые понадобятся в даль-
дальнейшем.
Пусть Zix) (z) и Z(v2)(z), z = sx—два решения уравнения Бес-
Бесселя (88). В силу тождества Лагранжа E)
— 596 -

где с—постоянная. Чтобы вычислить ее, воспользуемся форму-
формулами A4), A5) гл. XIII и положим
что даст
Многоточием обозначены члены, образующие степенные ряды
по г. Поскольку правая часть должна иметь вид у , эти ряды
тождественно равны нулю. Используя равенства r(l+v) = vF(v)
и Г(г)ГA—v) = ?r^, получим
J-v (г) /v (г) - /_v(z) /v (г) = Ц^ . (90)
Опираясь на это тождество и используя формулы A7) и F2)
гл. XIII, найдем тождества:
^ (91)
(92)
^ (93)
2. Сначала рассмотрим интервал [а, оо), где а>0. В точке а
коэффициенты уравнения (89) не имеют особенностей и приме-
применимы формулы § 7. Найдем разложение по собственным функ-
функциям задачи вида F2) — F3) с коэффициентами, соответствую-
соответствующими (89). Для простоты в F3) примем а = у или, что то же,
v(a) = 0.
а) Найдем решения %(х, /), ty(x, l) уравнения (89), удовлет-
удовлетворяющие начальным условиям C7)—C8) при ос = у, т. е. усло-
условиям
Х(а,0 = Ф'(М)=1, Х'(М) = Ч>(в.0 = 0. (94)
Из (94) и (91) следует, что функции % и я|? выражаются через
функции yrxJv(sx)n YxYv(sx) соотношениями (s = Vl):
ife(*f /)= -%Vax[Jv(sx)Yv(sa)-Jv (sa)Yv(sx)l (95)
5C (x, /) = \ sVTx [Jv (») F; (so)- J'v (sa) Y, (sx)]. (96)
— 597 —

б) Вычислим функцию /Псо(/). Из F4) гл. XIII следует, что
при Im I > 0 одно из линейно независимых решений уравнения
(89), именно Ух Н[2) (sx), неограниченно растет при х—>оо. По-
Поэтому для уравнения (89) при -\- оо имеет место случай предель-
предельной точки, а тогда для вычисления /ntt (/) можно применить
следующий прием. Согласно E4) решение v—x+m^ принад-
принадлежит J?2(a, оо). Так как в случае предельной точки линейно
независимое решение класса J?2 (а, оо) может быть только одно,
а ввиду F4) гл. XIII им является УхН[1] (sx), то v может отли-
отличаться от yxH\^\sx) только постоянным множителем, т. е.
(97)
где А — постоянная. Подставив % и г|э из (95)—(96) и приравняв
коэффициенты при Jv(sx) и Yv(sx), получим
' S-VL (98)
С помощью A4)—A7) и F1) гл. XIII легко убедиться, что
Шос (/) — четная функция ]/ I, т. е. не зависит от выбора знака
J//. Следовательно, тж (I) — однозначная функция s = V I - Ниже
принято s = yi, где значение ]// берется с неотрицательной
вещественной частью.
в) Перейдем к вычислению спектральной функции в (к).
Ввиду (98)
\s —~- =Im s .
Г H(sa)] Г Jv(sa) + iYv(sa)]
Imтж(I) = Im\s —~- =Im s . , ч , .„ . (99)
Умножим числитель и знаменатель выражения в квадратных
скобках в правой части (99) на Jv(sa) — iYv(sa). Так как функ-
функции Jv(z) и Yv(z) принимают вещественные значения при вещест-
вещественных значениях г, то, приняв во внимание (91), при Х^О,
получим
!, s, X>0, s = yi. A00)
Знаменатель выражения в правой части в нуль не обращается,
так как нули функций Jv(z) и Yv(z) перемежаются. Следова-
Следовательно, на полуоси Х^О функция Immoo(^) особенностей не
имеет и в G2) при X, У > 0 можно совершить предельный пере-
переход под знаком интеграла. Отсюда ясно, что при X > 0 спект-
спектральная функция о (к) непрерывна.
— 598 —

При А, < 0 аргумент sa = "|/A,a чисто мнимый. Используя ра-
равенство
где Kv{z) — функция Макдональда, преобразуем соотношение (99)
к виду
Функция Макдональда Kv (z) вещественна и положительна при
вещественных положительных г. Поэтому функция, стоящая за
символом Im в правой части последнего соотношения, вещест-
вещественна и не имеет особенностей Ввиду этого в G2) можно перейти
к пределу под знаком интеграла. При этом подынтегральное
выражение обратится в нуль и, значит, о(Х) = 0 при X < 0.
Поскольку \ттжA) не имеет особенностей на вещественной
оси, то можно использовать G4), что даст
rfa(X) 4l s2>0
Подставив значения я|) и do (к) в G2), для g(x)? J?2(a, oo) полу-
получим разложение
/-- р /v (sx) Yv (sa) — Jv (sa) Yv (sx) i ?• ,-
a (x) = V x \ — sds \ V с x
J ^(sa)+^(sa) J
3. Перейдем к разложениям на интервале @, а]. В точке
х = 0 один из коэффициентов уравнения (88) имеет неинтегри-
руемую особенность. Как указывалось, сингулярная задача с
неинтегрируемой особенностью аналогична задаче без особенностей
в коэффициентах уравнения, но с бесконечным интервалом изме-
изменения х в одном из направлений. Поэтому граничное условие
следует задать в точке х = а. Примем его тем же, что и выше,
т. е. v(a) = 0. Тогда для функций % и я|) справедливы формулы
(95), (96).
а) Пусть сначала v^l. Ввиду A5) и A6) гл. XIII при
х—>0 и v^l решение Y~xYv(sx) уравнения (88) не принадле-
принадлежит классу J?2 (О, а) и, следовательно, имеет место случай пре-
предельной точки. Для вычисления функции гПа,A) применим тот
же прием, что и выше. Решение v = %—Ш-.^ принадлежит классу
J272 @, а) (см. § 6), поэтому
— 599 —

где А — постоянная. Подставив сюда выражения функций % и
и приравняв множитель при функции Y)f(sx) нулю, получим
(io2)
Используя A4) гл. XIII, легко убедиться, что /п_»(/)— четная
и, следовательно, однозначная функция s=Vl. Как и раньше,
под s будем понимать значение |// с положительной веществен-
вещественной частью. При / = Я>0 мнимая часть т-^ (I) равна нулю,
так как функция Бесселя вещественна при вещественных значе-
значениях аргумента. При / = Х<0, используя F6) гл. XIII, най-
найдем, что
где функция Jv(]/'\'k\a) вещественна при вещественных значе-
значениях аргумента (гл. XIII, §7). Подставив эти выражения в A02),
убедимся, что Immoo(X) = 0 также и при А,<0. Таким образом,
функция Immw(l) вещественна при вещественных / и, следова-
следовательно, точки непрерывности функции ImmO0(/) на веществен-
вещественной оси не вносят вклада в спектральную функцию.
Полюсы т_<»(/) совпадают с нулями знаменателя первого
члена правой части A02), т. е. с корнями Xj уравнения
/v(j/Xa) = O. A03)
Вблизи нуля Ху.
-Яу.) \р„ (Via)] + ... =(/_Яу) "= х
X
а (г^
где ц + 1е = 1, а многоточием обозначены члены, которые при /,
близком к Kjf имеют меньший порядок малости, чем написанные.
Подставив это выражение в G3) (где т* (/) заменено на т^^A))
и заметив, что при малом б > 0
Kj+б б
j
= lim (arctg-J—arctg=^)=n,
8-+0
найдем скачок спектральной функции в точке К
-O) = ^. A04)
— 600 —

В разложение G1) войдут значения функций ty(x,l) только
в точках Ху, где при рассматриваемом граничном условии
ф(х, 1) = у (х, Ц = — %\ГШУч (Sja) Уv
В силу (91) и A03),
nsj-a
так что
Подставив полученные соотношения в G0)—G1) и имея в виду,
что интеграл по спектральной функции в рассматриваемом слу-
случае в соответствии с E9) и A04) сводится к сумме, после про-
простых выкладок получим:
A05)
<106)
A07)
где g(л:) — любая функция класса JP2@, a).
б) Пусть теперь 0 < v < 1. Тогда все решения уравнения (83)
принадлежат J?2 @, а) и имеет место случай предельной окруж-
окружности. При нецелом v, ввиду A7) гл. XIII, выражения (95) и
(96) могут быть записаны в виде:
-Asx)], s = Vl (Ю8)
-±y(x,l)9 s = VT. A09)
Функция —m_Q0(Z; с) является пределом выражения D6), когда
величины 6, р пробегают некоторую бесконечную последователь-
последовательность blt (V, b2, P2; ..., где йу—> 0 при /-^оо. Чтобы вычис-
вычислить этот предел, заметим, что, ввиду A4) гл. XIII, при малых
значениях sx
(Напомним, что символ О (г) означает выражение того же по-
порядка малости, что и г.) Малые члены, не влияющие на значе-
— 601 —

ние предела, для сокращения письма ниже обозначим много-
многоточием.
В силу (ПО) и A08),
откуда
:y~a V -
X s"vJv(sa) + sV_vsa + ... .
Выражение для X(b/y l)ctg^j + Xf (by, l) с точностью до члена
— 2~1|;(х, /) получается отсюда заменой множителей J^(sa) и
J_v(sa) соответственно на —sJ'v(sa) и —sjLv(sa). В зависимости
от выбора последовательности bl9 px; &2, Р2» • • • выражение
/ 2V+IctgCy-+( — v + yj&7~2V при фиксированном s = |/"/ и /—>оо
может стремиться к любому вещественному числу или ±°°.
Обозначив символом с предел этого выражения, умноженный на
Ь——г рг , ПОЛуЧИМ
2-vT(—v+1) ( v + 4" )
При изменении с от —оо до оо и фиксированном / точка
m_ao (/; с) описывает на комплексной плоскости предельную
окружность. Функция т-ъA\с) — четная функция ]/7, т. е. не
зависит от выбора знака У1. Следовательно, она — однозначная
функция /. На вещественной оси эта функция вещественна, т. е.
Im m_oo (Я) = 0, Я = Re. Поэтому точками роста спектральной
функции а (Я) могут быть только полюсы функции т-ъA\ с).
Они совпадают с нулями Ку ее знаменателя, являющимися кор-
— 602 —

нями уравнения
A,V_v(K7ia) — cJ,(V1a)=0. A12)
Скачок Cj спектральной функции о(Х) в точке Х — к^ равен вы-
вычету функции —т_<»(/;с) в этой точке. Простые вычисления
дадут:
Заменив в G0) пределы а, оо интегрирования по х на пределы
0, а и подставив в A08), получим (s? = Xy-):
где g(^)€ J?2@, а)- Подставив найденные величины в G1), при-
придем к разложению
014)
Приняв во внимание A12) и A13), легко видеть, что при с=оо
этот ряд переходит в ряд по функциям Бесселя порядка v,
а при с = 0 — в ряд по функциям Бесселя порядка —v.
в) Обратимся, наконец, к случаю v = 0. В силу A9) гл. XIII
при малых sx
где С—постоянная Эйлера. Согласно (95) и A4) тл. XIII при
малых значениях sx:
, l)=-^Va [Y0(sa) Vx-J0 (sa)±
f
— 603 —

откуда
Чтобы получить выражение для 1 Fу., /) ctg ру- + И' Fу-, /), здесь
надо заменить Уо (sa) и /0(sa) на —sY0(sa) и —sJ'0(sa) соответ-
соответственно. В зависимости от выбора последовательности Ьи (Зх;
b2i р2; ... при / —* оо отношение
может стремиться к любому вещественному числу или ± оо.
Функция —т_00(/;с) есть предел выражения D6). Подставив
значения величин и перейдя к пределу при / —>оо, fey.~>0, по-
получим
У'о (м)-^- /0 (sa) In s-cj'o (sa)
m-*(l;c) = -s \ , s = VL A16)
Yo №)—— Jo (sa) In s—cJ0 (sa)
При изменении с от —оо до оо точка т^» (/; с) описывает пре-
предельную окружность. Можно показать *, что, как и выше, функ-
функция т-<х>A;с) не меняется при изменении знака s = V~i и, сле-
следовательно,— однозначная функция I. Разложение в ряд поэтому
строится, как и выше. В частности, при с=оо получается раз-
разложение по функциям Бесселя нулевого порядка.
* Г. Н. Ватсон [14], п. 3.51, ф-ла C).
— 604 _

4. Рассмотрим, наконец, разложение по функциям Бесселя
на интервале @, оо), когда оба конца интервала сингулярны.
Выберем некоторую точку # = a>0 в качестве «опорной
точки». Она будет играть ту же роль, что точка х = а в случае
интервала (—оо, оо). Именно, пусть <ф1 и \|J — решения уравне-
уравнения —v" -\-qv~lv, удовлетворяющие начальным условиям:
Тогда (§ 6) функции u = tyx — m_»i|J и У = 'ф1 + тоог|;2 принадле-
принадлежат соответственно классам &2@, а) и J?2(a, оо). Начальные
условия A17) совпадают с (95). Поэтому 1^ = %, i|?2 = i|) и можно
непосредственно воспользоваться результатами, полученными
выше.
а) Пусть v > 1. При этом на обоих концах интервала имеет
место случай предельной точки и функции т_а,(/) и m» (Z) мо-
могут быть определены из соотношений и~A1]/'xJ^{]/'lx) и
v = A^xH^iVl x), где Аг и Л2 —постоянные. Это было сде-
сделано выше и получены выражения A06) и (97). Выше было
также показано, что функция тжA) особенностей не имеет, а
m_a>(/) вещественна при вещественном значении аргумента.
Поэтому соблюдены условия, при которых разложению может
быть придан вид (87).
Используя A02), (98) и (92), получим
2/ 1
na /v (sa) Я^ (sa)
С помощью F1), F6) и F9) гл. XIII для мнимых значений s,
т. е. для Я < 0, этому выражению может быть придан вид
Заметив, что функции /v(z) и /Cv(z) вещественны при вещест-
вещественных z, так что Im(m-00+^oo) = 0 при Я < 0, и используя
F1) гл. XIII, получим
-Im l
>Я__оо + /72ао
о,
Так как это выражение непрерывно, то в (82) для / = ?=1
можно перейти к пределу под знаком интеграла, после чего,
взяв дифференциал от обеих частей, получим
don (к) = у Л (sa) d (s3) при Я > 0; da (к) = 0 при X < 0.
— 605 —

Вычислив с помощью (95), (96) и (91) функцию
и подставив значения величин в (87), придем к разложению:
A18)
б) Перейдем к случаю 0 < v < 1. Функции т.-* (/; с) и т* (/)
определяются теперь формулами A11) и (98). Функция тф (/)
полюсов не имеет, а функция т^ф (Z; с) вещественна при вещест-
вещественных значениях аргумента. Поэтому, как и при v> 1, разло-
разложению может быть придан вид (87).
Заметив, что Н{11(г) = 1™Н{^ (г), и используя A11), (98) и
(92), получим
[H[iy(sa) s^J^(sa)-cJ,(s
^ LH{J\sa) s»J-,(sa)-cJ,(s
2i
При X > 0, т. е. при вещественных положительных значениях s,
_ ш [cJ4 (sa)—s2V У _v (
"" 2 (c — s2vJ + 2cs2V(l — cosvjt) '
Эта функция при всех значениях с непрерывна и, следовательно,
положительная часть спектра непрерывна. При к < 0, т. е. при
s = t|s|, выразив функции Н{^(sa), J*(sa) и, J^»(sa) чеРез Функ-
Функции /Cv(|s|a), /v(|s|fl) и /_v(|s|a)> получим:
—с
A19)
Эта функция вещественна и, следовательно, отрицательная часть
спектра не содержит точек непрерывного спектра. При с < 0 эта
функция непрерывна и спектр вообще не имеет отрицательной
части. Используя (90), найдем, что
— 606 —

Подставив это выражение и вычисленные выше величины в (82)
и (87), придем к разложению
x[sV.w(s?)-^°v(s?)]ffa)dS, *<0, A20)
которое при с = —oo примет вид A18).
L
_L 1
Если с > 0, то в точке |s| = c2V, т. е. при / = — с\ выра-
выражение A19) имеет полюс. Вблизи полюса
|s|«v/-v(|S|a)-^(|s|a) = c[/.v(|s|fl)-/v(|s|fl)]+...=
2с sin vrr у, /t , ч .
^(|sH)+
Многоточием здесь обозначены члены, имеющие больший порядок
малости, чем написанные. Подставив значения величин в A19),
получим
Скачок спектральной функции при \ — — cv равен взятому с об-
( X1
р фу р р
( -X1
ратным знаком коэффициенту при I X-\-cv J . Далее,
при / = —cv
_v (sx)—cJ, (sx) = c [(—
^xj J =
в силу чего
Следовательно, при с > 0 к правой части A20) надо добавить член
A21)
о
607 —

При с —+ оо, хфО функция Kv\c2Vxj убывает какe~c2V*.Следова-
какe~c2V*.Следовательно, при с=оо дополнительный член обращается в нуль и
снова, как и при с = —оо, получается разложение вида A18).
в) Пусть, наконец, v = 0. Используя A11) и (98), а также
(92) и (93), найдем, что (s = V7):
Hay(sa) Yo(sa)~^Jo(sa)\ns.
Н{01} (sa) \ Yo (sa) ~~J0 (sa) In s — cJ0 (sa)]
Далее найдем, что ввиду F1) гл. XIII, для / = Я>0, s = X2 > О,
т 1 т
1ГП ; =-л
Эта функция непрерывна при всех Я > 0. Для Я < 0, т. е. для
чисто мнимых значений s, получим
с А
1 л
Эта функция вещественна и, следовательно, отрицательный спектр
ТСС
не содержит непрерывной части. При |s| = e 2, т. е. при
Я = Я0 = е~тсС, имеется полюс, в окрестности которого
Отсюда в окрестности к =—е кС
1
Я+е
— 608 —

Предоставив остающиеся выкладки читателю, выпишем окон-
окончательный вид разложения:
2 \ м
с-] Ins J0(sx) — Y0(sx)
e+JLin.)+1
x j, (si)-y, (si)j g © di+2 Кх к0 (V* j x
QO
x
A22)
Глава XXXIII
ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
§ I. Введение
Преобразование, которым функции f{xu x21 ...,хп) ^вещест-
^вещественных переменных хи х29 ...,хп сопоставляется функция
/ l^i» • • • > Xj-i) Т> Xf + 1> • • • » хп) ^
ъ
(xlt ..., ^„1? ?, ху+1, ...9хп)К (?, т) Р @ d? A)
я— 1 вещественных переменных л^, х2, ..., #,_!, агу+1, ..., хп и пере-
переменной 7, вообще говоря комплексной, называют интегральным
преобразованием по переменной Xj. Переменную Xj называют пере-
переменной преобразования. Ради большей наглядности ниже пере-
переменную преобразования будем обозначать символом ?. Интеграль-
Интегральное преобразование A) определяется пределами преобразования
а, 6, ядром /((?, у) и весовой функцией р( ?). Пределы а, 6 могут
быть и бесконечными; свойства функций К{?>,у) и Р @ будут
установлены ниже. Функцию /(л^, .. .,#y-_1, у, х/+1, .. .,#„) назы-
называют интегральным преобразованием, а также интегральной транс-
трансформацией, изображением или образом функции f(xlf х29 ..., *и).
Ниже будет применяться преимущественно первый из этих равно-
равнозначащих терминов. Функцию f(x1$x29...9xn) часто называют
оригиналом или прообразом функции ](х19 ..., Xy_lf у, ^/+i. • • •. *п)-
Возможны интегральные преобразования сразу по нескольким
или по всем переменным. Обобщение на этот случай данного выше
20 я2 645 — 609 —

определения очевидно. Ниже будут рассматриваться преобразо-
преобразования только по одной переменной. Последовательное применение
таких преобразований, однако, эквивалентно некоторому преоб-
преобразованию по нескольким переменным.
Преобразованные функции будем обозначать теми же симво-
символами, что и до преобразования, но с каким-либо значком над
символом: чертой, волнистой чертой и т. п По какой переменной
осуществлено преобразование, будет ясно из того, от каких аргу-
аргументов зависит преобразованная функция. Например, f(y, x2, х3)—
интегральное преобразование функции f(xltx2,x3) попеременной
хх. Аргументы в тех случаях, когда это не может повести к недо-
недоразумениям, явно выписывать не будем.
Преобразование, которым функция f (хи ..., х/тт1, у, х/+1,..., хп)
снова преобразуется в функцию f(xL, х2, ... ,хп), называют обрат-
обратным интегральному преобразованию A) или просто обратным
преобразованием. При этом само преобразование A) называют
прямым.
Интегральное преобразование определено, когда интеграл
в правой части A) существует. Для практического применения
интегральных преобразований, однако, важно, чтобы существо-
существовали также обратные преобразования, которые, совместно с A),
устанавливали бы взаимно однозначное соответствие между двумя
классами функций: исходным классом функций / и классом функ-
функций /, являющихся их интегральными преобразованиями. При
этом условии можно установить соответствие также между опе-
операциями на обоих классах функций и решение задачи, заданной
для функций одного класса, привести к задаче для функций
другого класса, которая может быть проще. Решив эту последнюю,
с помощью обратного преобразования находят решение перво-
первоначальной задачи. Хорошо известным читателю примером является
операционное исчисление, основанное на использовании интеграль-
интегрального преобразования Лапласа. Здесь дифференцированию функций
исходного класса функций соответствует умножение на незави-
независимую переменную функций, являющихся преобразованиями
Лапласа. Благодаря этому задачи для обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами приводятся
к алгебраическим задачам для преобразованных функций.
Аналогична идея применения интегральных преобразований и
в задачах для уравнений с частными производными: стремятся
выбрать интегральное преобразование, которое позволило бы диф-
дифференциальные операции по одной из переменных заменить алге-
алгебраическими операциями. Когда это удается, преобразованная
задача обычно проще исходной. Найдя решение преобразованной
задачи, с помощью обратного преобразования находят и решение
исходной. Основным отличием от операционного исчисления в
применении интегральных преобразований к уравнениям с част-
— 610 —

ными производными является использование более широкого на-
набора интегральных преобразований, что важно, когда коэффици-
коэффициенты уравнений переменны.
§ 2. Условия, обеспечивающие возможность
интегрального преобразования
Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка:
f, B)
где
3 3
C)
— дифференциальное выражение второго порядка с переменными
коэффициентами, а / — заданная функция.
Выберем одну из переменных Лу=? в качестве переменной
преобразования, рассматривая остальные переменные х19 .. ., х;-_и
Xj+1, .. ., хп как параметры. Пусть а и 6>а—пределы измене-
изменения ?, которые могут быть и бесконечными. В общем случае а
и b могут зависеть от параметров ха, а Ф /. Это не исключает
полностью возможности выполнения интегрального преобразования
уравнения, однако настолько усложняет преобразованное урав-
уравнение, что стремиться к этой степени общности нет смысла.
Поэтому будем считать, что
1°. Пределы а, Ъ изменения переменной преобразования не за-
зависят от параметров ха, ыф\.
Подвергнув уравнение B) в интервале (а, Ь) изменения пере-
переменной ? интегральному преобразованию вида A), получим:
где Сх + с^с, а 7"~интегРальное преобразование свободного
члена /. Поставим целью найти достаточные условия, при
которых это интегральное соотношение может быть преобразовано
в дифференциальное уравнение относительно интегрального преоб-
преобразования
ь
п = ]иК{Ъ, т)Р(О<*? E)
а
искомой функции и.
Для сокращения письма дифференцирование по йеременноЙ
преобразования ху-=^ ниже будем обозначать штрихйми.
20* — 611 —

Предположим, что:
2°. Интегралы в левой части D) равномерно сходятся отно-
относительно параметров ха, аф]', а подынтегральные выражения—
непрерывные функции этих параметров.
3°. Дифференциальное выражение C) может быть представ-
представлено в виде
М;и + Ми, F)
где
MjU = а" S + bj Щ + ClU = а»и"+bjU'+ ClUf G)
— дифференциальное выражение, не содержащее ни производных
по переменной преобразования Лу=?, ни зависящих от нее коэф-
коэффициентов.
Это предположение равносильно двум следующим:
3°а. Коэффициенты akl и bk при k, 1ф\ не зависят от
3°б. aJk = 0 при кф\. (9)
Ввиду 2° в первом интеграле в левой части D) можно из-
изменить порядок интегрирования по ? и дифференцирования
по ха, ыф], а тогда ввиду 3°а этот интеграл преобразуется
к виду
у п
а р а^7'
Отметим, что это преобразование эквивалентно формальной
замене в F)
Ми—у Ми.
Второй интеграл в левой части D) проинтегрируем по частям:
К
д(Кр)
, v) P (9-«%—
/ а
Последняя сумма в правой части обращается в нуль ввиду 3°б.
Преобразованное уравнение не будет содержать интегральных
— 612 —

членов, если
где s2 —величина, не зависящая от ?. Тогда
Соотношение (И) примем за уравнение, определяющее ядро
преобразования при а<?<Ь (при ?> = а и ? = Ь ядро будет
определено граничными условиями). Сделаем определенные пред-
предположения о свойствах коэффициентов а;/-, bj и сх. Можно пред-
предполагать, что коэффициенты а;/, bf и сг зависят от параметров
ха9 аф\, если постулируемые ниже их свойства имеют место
равномерно относительно совокупности этих параметров. Однако
зависимость ау/-, bj и сх от ха, вообще говоря, настолько услож-
усложняет преобразованное уравнение, что в этой степени общности
рассмотрения нет смысла. Поэтому примем, что:
4°. Коэффициенты а//у Ь;- и сх не зависят от параметров
Далее предположим, что:
5°. При а < ? < b величины djj, b), сх непрерывны по ?, а ауу- > 0.
Возможность отклонения от условий 5° в граничных точках
? = а и t> — b будет обсуждена в следующих параграфах (см.
также гл. XXXII, § 1).
При условиях 5° уравнение A1) выбором весовой функции
р (?) можно преобразовать в самосопряженное (гл. XXXII, § 1).
Для этого запишем его в виде
ajj9K*+[2(ajfi)'-bj9]K'-qK = -s*pK9 A2)
где
+cl9] A3)
— непрерывная функция переменной преобразования С- Опре-
Определим функцию р условием:
(а,ур)' = Ь,.р, A4)
откуда
%Р' + (а//—Ьу)р = О.
Легко видеть, что решением этого уравнения служит функция
-f — (ah~bj) d%
р@ = в Ь/" ;; . A5)
Здесь символ j означает, что нижним пределом может быть
любая точка из интервала а ^ I ^ b определения коэффициентов
— 613 —

ujj, by. Весовая функция p(?), определенная A5), положительна
при всех ? из интервала а < ? < Ь и имеет непрерывную вторую
производную. При рассматриваемом выборе весовой функции
вследствие A4) уравнение A2) примет вид
-(pK'y + qK = s*9K, A6)
где
P = djj9, <7 = —qp. A7)
Ввиду 5° при а < ? < Ь коэффициент р > 0, а величины р" и qf
непрерывны.
Отметим, что тогда, когда ядро интегрального преобразования
удовлетворяет уравнению A1) или A6), то интегральное преоб-
преобразование слагаемого Муп в F) формально эквивалентно замене
Тем самым дифференциальная операция Mj заменяется алгеб-
алгебраической операцией умножения на —s2.
Обратимся к внеинтегральному члену в правой части A0).
При условиях (9) и A4) он равен разности
Nb-Na, A8)
где Nb и Nа — значения выражения
N = p(u'K — uKf) A9)
при ? = Ь и ? = а соответственно. При обозначении A8) и усло-
условиях 1 ° — 5° преобразованное уравнение B) примет вид
Ми — s2u=]+Na — Nb. B0)
Чтобы разность Na — Nb при надлежащем выборе ядра пре-
преобразования могла быть выражена только через заданные в за-
задаче величины, достаточно предположение
6°. Дополнительные данные задачи (граничные и начальные
условия и т. п.) распадаются на две группы, из которых первая
не содержит производных по переменной преобразования и зави-
зависящих от нее коэффициентов, а вторая не содержит производных
по параметрам ха, аф1, и представляет условия, заданные на
пределах а, Ь. Если первая группа данных содержит производные
по ха, то порядок дифференцирования по хЛ и интегрирования
по Xj=? может быть изменен.
Применение интегрального преобразования к первой группе
данных, очевидно, сводится к замене функций переменной Xj=t>
их интегральными преобразованиями. Например, граничное
условие
— 614 —

в котором по сделанному выше предположению коэффициенты
а и р не зависят от ?, преобразуется в граничное условие
\ дхк ' '
Преобразованные данные первой группы, т. е. данные первой
группы, в которых произведена замена
и—> и,
представляют полную совокупность дополнительных данных пре-
преобразованной задачи. В самом деле, вторая группа данных пред-
предполагается заданной на пределах х; = а и Xj = b9 т. е. представ-
представляет условия по переменной преобразования. Но данные по
переменной преобразования не могут входить в дополнительные
данные преобразованной задачи, поскольку она, по условию, не
должна содержать дифференциальных операций по xJ = t) или у.
Данные по лгу, однако, используются при вычислении раз-
разности Nа — Nb и, следовательно, учитываются в преобразованном
уравнении. Конкретное вычисление разности Na— Nb будет
произведено в следующих параграфах применительно к различ-
различным формам данных по переменной преобразования.
Предположение 5° исключает практически важный случай
а/у = 01 характерный для уравнений параболического типа, когда
переменная Xj — t играет роль времени. Рассмотрим этот случай
отдельно, предположив, что:
5°. Уравнение задачи имеет вид
d?+Mu = f, B1)
где Ми — дифференциальное выражение, не содержащее ни произ-
производных по t, ни зависящих от t коэффициентов.
Подвергнув уравнение B1) интегральному преобразованию
с ядром К {t, у) в пределах от ^ = 0 до t = oof получим
-f. B2)
Весовая функция р принята равной единице, а
о
Проинтегрировав по частям, получим
— 615

Преобразованное уравнение не будет содержать интегральных
членов, если
K' = — sK, B3)
где s—число, откуда
KV, У) = К @, у)е-«. B4)
Продифференцировав уравнение B3) по t, легко привести его
к виду A6):
K" = s2K. B5)
Уравнение B2) при условии B3) преобразуется к виду
. B6)
§ 3. Интегральные преобразования в конечных пределах
В этом параграфе выясним, как следует выбрать ядро пре-
преобразования, чтобы вычислить разность Na—Nb, входящую
в преобразованное уравнение B0), и установим вид обратного
преобразования при конечных пределах изменения переменной ?.
Примем сначала, что коэффициенты ау7, bf и сг удовлетворяют
условиям, указанным в 5°, также и в точках а, Ь (точнее в а
справа и в b слева, так как точки вне интервала с конечными
точками a, b не рассматриваются). Тогда условиями в точках
a, b могут быть либо граничные условия вида
[ааи' + рви]*/= а = <pe, [W + fibu]XJ= ь = Ф&, B7)
либо условия периодичности (при этом предполагается, что и
р(а) = р(Ь):
и'(а) = и'(Ь); и(а) = и(Ь). B8)
Штрихи, как и в предыдущем параграфе, означают дифференци-
дифференцирование по переменной преобразования ху-=?.
Рассмотрим граничное условие при ? = &. Ввиду A9)
Nb = [p(u'K-uK')]t=b. B9)
Умножив граничное условие B7) для Z> = b сначала на (рК\=ь
и подставив значение (рКи')^=ь из B9), а затем умножив это
граничное условие на (pK')t=b и подставив значение (pK'u)z=b
из B9), получим два соотношения:
[up (abK' + Рь*)Ы + <*bNb = Фьр (ft) К (ft, Y),
[и'р (abKf + №)]&-№„ = Ф,р (Ь) /С' (Ь, V).
— 616 —

Если abK' +pb/C = O, то они позволяют выразить значение
одной из формул:
p(b)K(b9 у), ab^0, C0)
fbb, 7), Рь^О, C1)
в зависимости от того, какой из коэффициентов аь, р& отличен
от нуля (если оба они отличны от нуля, то формулы дают оди-
одинаковые результаты). Для нижнего предела ?, = а результат
аналогичен:
Na = %p(a)K(a9 у), ав=^0, C2)
аа
Na = -faP(a)Kf(a, у), |За^0. C3)
Таким образом, когда условия 1°—6° предыдущего параграфа
выполнены, то интегральное преобразование задачи с граничными
условиями B7) может быть доведено до конца, если ядро преоб-
преобразования удовлетворяет однородным граничным условиям с теми
же коэффициентами, что и в B7). Ввиду A6) отсюда следует,
что ядро преобразования должно быть решением следующей гра-
граничной задачи Штурма—Лиувилля:
-(pK')' + qK = s2pK, C4)
КД' + раК\=а = 0, [*ЬК' + рь/С];=б = 0. C5)
Из предыдущей главы, где подробно рассмотрена задача этого
вида, вытекает, что:
1. Задача C4)—C5) имеет решения, отличные от тождествен-
тождественного нуля только при определенных вещественных значениях
параметра s2 —собственных числах задачи,— которые образуют
бесконечную возрастающую последовательность — спектр собствен-
собственных чисел:
sl<sl<sl<... C6)
2. Каждому собственному числу s* задачи соответствует одно
и только одно линейно независимое решение /CYO задачи — соб-
собственная функция, принадлежащая числу s?. Ввиду однороднос-
однородности задачи собственные функции можно произвольным образом
нормировать.
3. Собственные функции /CT(S), y = 1, 2, 3, ... попарно орто-
ортогональны с весом р, откуда следует, что нормированные с тем
же весом собственные функции удовлетворяют условию
J Kj @ Кк @р @ dl = { J' ijt kk' C7)
а
— 617 —

Ниже всюду предполагается, что собственные функции /С7(?)
нормированы в соответствии с C7).
4. Функция и(х19 xi9 ..., хп) такая, что интеграл
ь
\[u(Xl, .... xj.lt ?, xJ+1, .... xn)]*p(Qdl C8)
a
существует и равномерно ограничен относительно совокупности
значений, которые могут принимать параметры хл9 иф\, может
быть представлена в форме ряда
и(х19 х2, ..., хп) = ^иу(х19 ..., Х;_1У у, х/+19 ..., хя)/Ст@, C9)
где
xJ+1 xn)K,{l)9{l)dl, D0)
а равенство понимается в смысле сходимости в среднем. Разло-
Разложение C9) и условия, наложенные на интеграл C8), непосредст-
непосредственно следуют из условий существования разложения C5) пре-
предыдущей главы для ~_ = и.
V 9
Сравнив D0) с интегральным преобразованием E) искомой
функции и, видим, что следует положить
K{L т) = /С7(Е), D1)
где /С (?) — собственные функции задачи C4) — C5). Тем самым
в данном случае достаточно рассматривать целочисленные значе-
значения аргумента у. При каждом фиксированном целочисленном
значении y = k ядро преобразования совпадает с fe-й собственной
функцией задачи Штурма—Лиувилля C4) — C5), а интегральное
преобразование функции и — с ее k-м коэффициентом разложения
в ряд C9) по собственным функциям этой задачи.
Если уравнение для и принадлежит такому классу уравне-
уравнений, что интеграл от их решений вида C8) удовлетворяет сфор-
сформулированным выше требованиям*, то формула C9) представит
обратное преобразование. Из единственности разложения C8) —
C9) вытекает взаимнооднозначная связь между функцией и ее
интегральным преобразованием. Следовательно, решив преобра-
преобразованную задачу, автоматически получим решение исходной за-
задачи в форме ряда C9).
* Конечно, применяя интегральное преобразование, можно и не быть в
этом уверенным, а получив решение, проверить его тем или иным способом.
— 618 —

Когда по переменной преобразования заданы условия перио-
периодичности B8), то выражение A9) можно вычислить —именно оно
равно нулю, — если ядро преобразования также подчинено усло-
условиям периодичности. При этом результаты, относящиеся к за-
задаче с граничными условиями вида B7), переносятся на задачу
с условиями периодичности с единственным отличием: каждому
собственному числу s^ может принадлежать не одна, а две ли-
линейно независимые собственные функции, которые для сохране-
сохранения вида соотношений C9) — D0) должны быть выбраны взаим-
взаимно ортогональными.
Предположим, наконец, что в граничных точках а, Ъ коэф-
коэффициенты ajj, bj, cx могут иметь особенности, т. е. испытывают
бесконечный разрыв или коэффициент ау/- обращается в нуль.
Это может иметь следствием, во-первых, изменение выражения
в правой части обратного преобразования C9) и, во-вторых,
изменение формулировки условий в граничных точках а, Ь.
Если особенности в точках а, Ь достаточно слабые, то обрат-
обратное преобразование сохраняет свой вид. Более точную формули-
формулировку, что значит «достаточно слабые» особенности, читатель
найдет в начале § б предыдущей главы (для р=1). Практически,
однако, этот случай малоинтересен. В отличие от этого часто
встречаются «достаточно сильные» особенности в граничных точ-
точках. Если в одной или обеих граничных точках есть такого рода
особенности, то изменения в форме прямого и обратного пре-
преобразований, которые могут при этом появиться, того же типа,
как если бы интервал преобразования был бесконечен соответст-
соответственно в одну или обе стороны. Возможное влияние этих особен-
особенностей на форму преобразований выяснено в следующем парагра-
параграфе, посвященном преобразованиям с бесконечными пределами.
Отметим, впрочем, что такие важные разложения, как разложе-
разложение на конечном интервале по собственным функциям задач для
уравнений Бесселя (гл. XXXII, § 10, п. 3) или Лежандра
(гл. XVI, § 2), сохраняют вид C8) — C9), хотя соответствующие
уравнения имеют особенности в граничных точках.
Обратимся к условиям, которым должно быть подчинено
ядро в граничной точке ?0, где коэффициенты уравнения имеют
особенность. Практически, как правило, р(?0) — 0, а на значе-
значения искомой функции и и ее производной и' при ? = ?о накла-
накладывается одно из следующих условий:
и < оо, D2)
Мти = 0 или \impu' = 0. D3)
Типичным является условие D2), причем в тех случаях, когда
оно достаточно, чтобы обеспечить единственность решения, пер-
первое из условий D3) в общем случае слишком сильно, а второе
— 619 —

следует из D2)*. Условие D2), вообще говоря, недостаточно,
когда особенность недостаточно сильная, и тогда для обеспечения
единственности решения необходимо одно из условий D3). Если
ядро подчинить тем же условиям, что и искомую функцию, то
в обоих случаях
limN= lim p(u'K—uK') = 0. D4)
§ 4. Интегральные преобразования с бесконечными
пределами (общий случай)
Если переменная я = ?, выбранная в качестве переменной
преобразования, изменяется в бесконечном интервале, то интег-
интегральное преобразование задачи по этой переменной имеет бес-
бесконечные пределы (один или оба).
1. Выясним сначала, как следует выбрать ядро преобразо-
преобразования, чтобы вычислить разность Na—Nbi входящую в преобра-
преобразованное уравнение B0).
Если интервал бесконечен лишь в одном направлении и
в его начальной точке а коэффициенты ауу, Ь/} сх уравнения
исходной задачи не имеют особенностей, то в ней, в зависимости
от физического характера переменной xy- = ?, могут быть заданы
либо граничное условие вида
либо начальные условия, т. е. заданы и (а) и и'(а). Из резуль-
результатов предыдущего параграфа очевидно, что при задании гранич-
граничного условия для возможности вычисления Na ядро достаточно
подчинить условию
а<Д' + |ЗД = 0, D5)
тогда значение Na может быть вычислено по формулам C2)— C3).
Если же при t, = a заданы начальные условия, то значение,
определяемое A9) при ? — а, может быть вычислено всегда, и
единственное ограничение, накладываемое начальными услови-
условиями на выбор ядра, состоит в том, чтобы значение Na
было конечным. Когда в точке ? = а коэффициенты имеют осо-
особенности, то можно исходить из соображений, высказанных в
конце предыдущего параграфа.
Обычным условием в отношении искомой функции и явл-яется
обращение ее в нуль в бесконечно удаленной точке. Есте-
Естественно потребовать, чтобы выражение Nb = N<x также обраща-
обращалось в нуль в этой точке, для чего при обращении в нуль функции
* См., например, А. Н. Тихонов и А. А. Самарский [12], где
рассмотрены важнейшие случаи, а также В. И. Смирнов[1], т. III2f
п. 97—99.
— 620 —

и достаточно, чтобы значения К и К оставались в этой точке
конечными.
Преобразование по переменной t в уравнении параболического
типа будет рассмотрено в следующем параграфе в связи с
преобразованием Лапласа.
2. Выясним теперь, как следует выбрать ядро, чтобы было
возможно обратное преобразование, и установим общее выражение
для этого последнего.
Рассмотрим сначала интервал [а, оо)*, т. е. интервал с
начальной точкой а и неограниченный сверху, причем примем,
что в точке ?, = а коэффициенты уравнения A6) особенностей
не имеют. По характеру возможных изменений в форме прямого и
обратного преобразований такой интервал эквивалентен конечному
интервалу с существенной («достаточно сильной») особенностью
в одной из граничных точек. Поэтому сказанное ниже может
быть отнесено и к этому последнему случаю.
В § 7 предыдущей главы была доказана теорема разложения,
выраженная формулами G0) — G1). Сформулируем эту теорему в
более удобной здесь форме. Для этого заметим, что подстановкой
D6)
уравнение A6), определяющее ядро интегрального преобразова-
преобразования, преобразуется к рассматривавшемуся в предыдущей главе
виду
-(pVy + qv = Xvf D7)
где
D8)
Используя D6), легко подсчитать, что рассмотренные в преды-
предыдущей главе начальные условия вида
v (a) = cos a, p (a) v' (а) = sin а, D9)
а также граничное условие D5) для ядра преобразования удо-
удовлетворяются, если положить
f^4^l E0)
при аа=?0,
Отметим, что роль условий E1) прежде всего состоит в надле-
надлежащей нормировке ядра.
* Относительно обозначений интервалов см. гл. XXXII, § 1.
— 621 —

Положим теперь в G0)—G1), гл. XXXII
f E2)
и представим в форме разложения G1) не функцию f (?), а функ-
функцию /(?)Кр. Тогда получим соотношения, которые, будучи до-
дополнены указанием условий их существования, следующих из
§ 6 гл. XXXII, приведут к следующему предложению:
Пусть: 1) при а<?<оо* функции р, р[ и q, определенные
D8), непрерывны, а функция р>0; 2) функция /((?, X) при
а<?<оо удовлетворяет уравнению A6), а при ? = а граничному
условию D5) и соответствующему условию E1); 3) функция /
удовлетворяет условию
oo. E3)
Тогда существует интегральное преобразование
Р(М E4)
обратное ему преобразование
S7(^(E, ЮсЛК), E5)
(а)
гЗг функция о'(X) и коэффициенты с_г(к;) определяются коэффи-
коэффициентами р, q и условиямиу наложенными на /С(^, Ц. Равенства
E4) и E5) понимаются в смысле сходимости в среднем и уста-
устанавливают взаимнооднозначное (в рамках этого вида сходимости)
соответствие между функциями J(X) и /(?).
В частных случаях в правой части E5) интеграл или сумма
могут отсутствовать.
Правая часть E5) может быть представлена в виде интеграла
Стилтьеса**, как это сделано в предыдущей главе. Тогда
/(?)= $7(WS. V do(X), E6)
* Или при а <: ? < Ь, когда в точке Ь имеются существенные особенности
в коэффициентах. В этом случае предел оо изменения ? в следующих ниже
формулах следует заменить на Ь.
** См. начало § 6 предыдущей главы.
— 622 —

где а (к)—неубывающая функция. Члены суммы в правой части
E5) соответствуют точкам разрыва о (к). Функция а (к) опреде-
определена формулой G3) предыдущей главы. Пример вычисления
а (к)— в п. 3 § 10 предыдущей главы.
Из предыдущей главы следует также следующее предложение:
Если при комплексном к с мнимой частью Im к ;> 0 существует
решение v уравнения D7), не принадлежащее классу J?2 (а, оо),
ь
т. е. такое, что интеграл j |i>|2d? расходится при Ъ—>оо, то
а
функция а (к) определена однозначно. В противном случае суще-
существует зависящее от одного параметра многообразие функций
а (к), удовлетворяющих E5).
Формулы E4) и E6), а также E0) и E1), решают вопрос об
условиях существования прямого и обратного преобразований
на интервале а^?<Соо.
3. Когда интервал изменения переменной интегрирования бес-
бесконечен в обоих направлениях, а также, когда интервал беско-
бесконечен в одном направлении, а на другом конце интервала коэф-
коэффициенты уравнения имеют достаточно сильную особенность или
такие особенности есть на обоих концах конечного интервала,
то выражения для прямого и обратного преобразований могут
быть сложнее, чем E4)—E5). Соответствующая теорема разло-
разложения сформулирована в § 9 предыдущей главы. Приведем ее
для интервала (— сю, оо) в удобной здесь форме.
Пусть: 1) на любом конечном интервале функции /?(?)> Р'(?)
и q (Q вещественны и непрерывны, а функция р(?)>0;
2) функции КХ(Ъ, ^)» К2(?, к) удовлетворяют уравнению A6)
и начальным условиям (при произвольном конечном ^ = а):
i)'Ie=<» = 0; E7)
-a=o, [if
S I/(С) Р
3) функция /(?) удовлетворяет условию
«>. E8)
Тогда существуют интегральные преобразования
-со
00
-or
^ 623

и неубывающие функции а1Х (Я), а12 (X) и а22 (к), такие, что
00
/(?)= ifiMKAt, X)de
-со
во
+ S [
lt,b)dou(k). F0)
Если при комплексном I с мнимой частью Im I > 0 существуют
решения иг и v2 уравнения — (pvf)' + qv = lv, не принадлежащие
соответственно классам J?2( —oo, a), J?2 (а, оо), то есть такие,
что интегралы
a b
[\vjdi и Sm'<*s
расходятся при Ь—^оо, то функции ojkCk) определяются одно-
значно. В противном случае существует многообразие функций
OjkCk), зависящих от одного или двух параметров.
Интегралы Стилтьеса в правой части F0), естественно, также
могут быть представлены в форме, аналогичной правой части E5).
Формулы E9)—F0) решают вопрос об интегральных преобра-
преобразованиях по переменной, изменяющейся в интервале, не огра-
ограниченном с обеих сторон.
4. Из F0) следует, что при преобразованиях с обоими беско-
бесконечными пределами для выполнения обратного преобразования
надо знать два интегральных преобразования с линейно незави-
независимыми ядрами. Рассмотрим, например, интегральное преобра-
преобразование с ядром K(t>> ^)> удовлетворяющим уравнению
— и" = Хи1 — оо<?<оо. F1)
а) За точку а, фигурирующую в E7), примем точку ? = 0.
Тогда начальным условиям E7) удовлетворяют решения:
При Im К Ф 0 оба эти решения не принадлежат классам З?2 (— оо, 0)
и J?2@, оо) и, следовательно, функции Ojk(k) и тем самым вид
обратного преобразования F0) определяются единственным
образом.
б) Вычислим величины т_ю(/) и т» (/), входящие в формулы
для вычисления aJk (к). Для уравнения F1) функция р = 1, поэтому
функции Кг и К2 совпадают с введенными в § 8 гл. XXXII функ-
функциями -фх и г|J. Согласно § 8 гл. XXXII величины т_<„ (/) и
— 624 —

ГПсс (I) уДОВЛеТВОрЯЮТ УСЛОВИЮ, ЧТО фуНКЦИИ U1 = ^l — /Пэо^з И
и2 = ^i + т»^2 ПРИ Im / > 0 принадлежат соответственно клас-
классам J?2 (— оо, 0) и J?2 @, оо). Единственным линейно независимым
решением уравнения F1), принадлежащим при Im/>0 классу
jg?2( — оо, 0), является функция е-'^С—cos ]/"/? — /:sin|/T?.
В самом деле, заметив, что знаки Im/ и ImVt совпадают, и
обозначив j/7 = a + i"P, {5>0, получим g-'^S = ^"ia?+PSi T. е.
функция е~/Т// S экспоненциально убывает при ? —> — оо. Поэтому
должно быть
cos VTl — m..«, -^r-sinj/Г^Л (cosj/Г^ —/sinK/"?),
где Л — постоянная. Положив ?==0, получим Л = 1, следова-
следовательно,
Подобным же способом найдем, что и
т« (/) = *'J/7.
в) По формулам (83) гл. XXXII найдем, что
Подставив эти выражения в A50) гл. XXXII, получим
0,
0,
Из сформулированной в п. 3 теоремы теперь следует, что любая
функция /(?), удовлетворяющая условию
имеет интегральные преобразования
Jffe, F2)
-оо -со
зная которые, можно найти ее с помощью обратного преобразо-
преобразования:
. F3)
— 625 —

включающего оба преобразования F2).
Подставив F2) в F3) и положив s2 = ?t, после простых пре-
преобразований получим интегральную формулу Фурье:
/(?) = ^lcoss%ds J /(I)cossldl +
0 -00
00 GO
+1J sin s?ds J / (|) sin sldl F4)
или, в более компактной форме,
/ (S) coss (?-?
С помощью тождества coss(?—%) = -K-eis&~%>, отсюда легко по-
получить интегральную формулу Фурье в комплексной форме:
(l)e-^dt F5)
Из формулы F5) следует, что в рассматриваемом случае два
интегральных преобразования F2) с вещественными ядрами
можно заменить одним с комплексным ядром e~is^. Такое пре-
преобразование, рассмотренное в следующем параграфе, есть пре-
преобразование Фурье. Заменить два преобразования с веществен-
вещественными ядрами одним с комплексным ядром можно и в других
случаях, которые здесь нет возможности рассмотреть.
§ 5. Некоторые часто применяемые преобразования
с бесконечными пределами
Формулы F4), F5) и формулы гл. XXXII позволяют получить
ряд широко употребляемых интегральных преобразований.
1°. Синус-преобразование и косинус-преобразо-
косинус-преобразование Фурье. Пусть 0 ^ ? < оо — интервал изменения пере-
переменной преобразования и /(?)€<^?2@, оо). Доопределим /(?) в
интервале (— оо, 0) одним из соотношений /(—-?)=—/(?) или
/( —Q = /(?)• В первом случае, ввиду нечетности /(?),
со оо со
1 J / (|) cos sldl = 0, 1 f / (|) sin sldl =4 J Ш sin sldl.
— oo — со О
Поэтому, ввиду F4), если- выполнить интегральное преобразова-
2
ние функции /(?) с ядром — sins? и весовой функцией р=1,
— 626 —

т. е. перейти к величинам
00
F(s) = -|J/(S)sin&& F6)
0
то обратным будет преобразование
sins&s, ?>0. F7)
со
Аналогично во втором случае, т. е. при четном доопределении
/(?), найдем, что для преобразования
со
7» = !¦?/(?) cos s5d| F8)
О
обратным будет преобразование
00
/ (С) =\T(s) cos stfs, ?>0. F9)
Преобразования F6) и F8) называют соответственно синус-пре-
синус-преобразованием и косинус-преобразованием Фурье. Правая часть F7)
при ?<0 равна —/(|?|), а правая часть F9) равна /(|?|).
2°. Преобразование Фурье. Если интервал изменения
переменной преобразования — оо < ? < оо и / (?) ? J?2 (— оо, оо),
то, ввиду F5), для преобразования Фурье
fa)e-<*dt G0)
о
обратным будет преобразование
G1)
Как упоминалось выше, преобразование Фурье G0) эквивалентно
преобразованию с двумя вещественными ядрами, что очевидно
из F4).
^.Преобразование Лапласа. Пусть интервал изме-
изменения переменной преобразования есть 0^?<оо. Рассмотрим
функцию f (?)?-гС, где г —положительное число, и доопределим ее
при С < 0, положив /(?) = 0 при ? < 0. Функция /(Q6"K, до-
доопределенная указанным образом, при достаточно больших г при-
принадлежит классу J?2 (—оо, оо) даже тогда, когда функция f(t)
растет экспоненциально при t-*00- Подставив f(Qe~rK в F5)
вместо /(?) и умножив обе части равенства на ?~rC;, придем
— 627 —

к соотношению
Введя подстановку r-{-is = y, откуда ds = -?-, получим форму*
лу Лапласа — Меллина
г + i се оо
1® = Ш [ ey°dy§f(t)e-*dt, ? > 0. G2)
г — i со О
Поэтому, если
G3)
О
то
r + ico
i п —
> 0. G4)
Интегральное преобразование G3) называют преобразованием
Лапласа, а обратное ему преобразование G4) — формулой обра-
обращения Меллина.
Ядра преобразований 1°—3° удовлетворяют уравнению
и"' =—Ы, отсюда ясно, что они могут быть применены для
исключения дифференциальных операций к дифференциальным
выражениям вида и". Однако область применения преобразований
Фурье и Лапласа шире, поскольку показательная функция е^,
где т] не зависит от ?, удовлетворяет также дифференциальному
уравнению
п п
Если коэффициенты ра не зависят от ?, то правая часть этого
уравнения имеет вид произведения и на число и, следовательно,
интегральное преобразование с ядром, являющимся показатель-
показательной функцией, может быть применено к дифференциальным вы-
ражениям вида 2Ра^ы с постоянными коэффициентами. Это
сс=О
используется в операционном исчислении. Преобразование Лап-
Лапласа можно использовать также для исключения дифференци-
дифференцирования по переменной t в уравнении параболического типа
вида B1). Действительно, ядро e~sJ* преобразования Лапласа
удовлетворяет уравнению B3). Следовательно, с помощью пре-
преобразования Лапласа уравнение B1) преобразуется к виду B6).
Если решение и задачи, поставленной для уравнения B1), имеет
— 628 —

при /-^ оо не выше, чем экспоненциальный порядок роста по /,
то при надлежащем выборе Re s = r
[Ku]C\=[e~stu]\=u\t=0
о о
и преобразованное уравнение B6) примет вид
J + u\tssQ. G5)
4°. Преобразование Меллина. Предположим, что
функция /(?) в G2) равна нулю при ?<1. Произведя в фор-
формуле G2) подстановки
и опустив после проведения подстановок значки над симво-
символами, получим формулу Меллина:
г + i оо оо
r-in^ О
Она справедлива, если число г выбрано так, что
Укажем еще, для простоты без доказательства, удобное доста-
достаточное условие, при котором справедлива формула Меллина:
существуют числа % и т]2, такие, что при % < г < т]2 интеграл
\ |f (s) | ds < оо, а функция / (г + i'x) аналитична и при % -
равномерно стремится к нулю.
В силу G6), при условии G7) из
S ^8 G8)
о
следует, что
Г-Н «
^^) = i [П^П-'ds. G9)
г —too
Интегральное преобразование G8) называют преобразованием
Меллина. Оно может быть использовано для исключения из
дифференциального уравнения выражений вида:
— 629 —

5°. Интегральное преобразование с ядром
Шр=ЩШ, & = ук, а>0. (80)
l
Из разложения A01) предыдущей главы следует, что при условии
а
существует интегральное преобразование
sf)№, a>0, (81)
обратным для которого является преобразование
s*)sds, i>a. (82)
Отметим, что множитель s под знаком интеграла в правой
части (82) появился потому, что за переменную интегрирования
выбрана величина s = ]/rX, а не X.
6°. Преобразование Ханкеля следует из интегральной
формулы Ханкеля
f(Q = ]jAst)sds]f(t)Jv(st№, (83)
о о
вывод которой для функций /(?), удовлетворяющих условию
00
содержится в п. 4 § 10 предыдущей главы для v^ Of фактичес-
фактически формула (83) справедлива для v>— -^-j. Положив
J (84)
О
в силу (83), получим
J (85)
Интегральное преобразование (84) по переменной, изменяющейся
в интервале 0 < ? < оо, называют преобразованием Ханкеля.
— 630 —

Глава XXXIV
ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ КОНЕЧНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ
ПРЕОБРАЗОВАНИИ
§ 1. Колебания тяжелой нити
В качестве первого примера применения конечных интеграль-
интегральных преобразований рассмотрим задачу Даниила Бернулли о ко-
колебании тяжелой нити.
Дифференциальное уравнение малых колебаний однородной
нерастяжимой тяжелой нити, подвешенной за верхний конец,
имеет вид (гл. XIV, § 2):
дх \х дх J^ gd~~ g dt* ' V*
где d — линейная плотность нити, Х = Х(х9 /) — удельная попе-
поперечная нагрузка нити, и — отклонение нити от положения рав-
равновесия. Ось х предполагается направленной вдоль нити вверх.
Выбрав начало координат в точке, совпадающей с положением
равновесия нижнего конца нити, граничное условие можно за-
записать в виде:
и|*=0<«>, "U=/ = 0, B)
где / — длина нити.
Начальное условие в общем случае имеет вид
и|*=о = Ио(*), ~щ M="iD C)
где ио(х) и иг(х) — известные функции.
Поставим целью найти интегральное преобразование, позво-
позволяющее исключить дифференциальные операции по х.
Положим
Для этого выражения*:
Ядро преобразования является решением граничной задачи:
«|,..<~, К\,., = 0. E)
* Все обозначения соответствуют обозначениям, принятым в § 3 предыду-
предыдущей главы, с очевидным изменением индекса.
— 631 —

С помощью подстановки
г = 2*т F)
уравнение D) приведем к уравнению Бесселя нулевого порядка
Его решениями, ограниченными при z = 0, являются функции
Бесселя J0(kz). Следовательно, функции Jo [[x^x2 /, где положено
|Л7 = 2^Т, представят ограниченные при х = 0 решения уравне-
уравнения D). Чтобы удовлетворить второму из граничных условий E),
положим:
^0. G)
Корни |iY этого уравнения и определят набор собственных чи-
чисел задачи D)—E).
Ядро преобразования, нормированное в соответствии с C7)
предыдущей главы,
(8)
где
о
Для вычисления С воспользуемся формулой C8) гл. XIII, со-
согласно которой
1
Положив здесь а = /, z = 2х2 и К = -=- цт, получим:
Осуществив интегральное преобразование с ядром (8) и интер-
интервалом интегрирования (О, I) и приняв во внимание, что \ = у 1^,
преобразуем задачу A)—C) к виду*
д2~п , g - "х /пч
— + JL^u = T, (9)
* Вид преобразованного уравнения дается формулой B0) гл. XXXIII.
Поэтому для записи преобразованной задачи нет необходимости в фактиче-
фактическом выполнении всех выкладок, связанных с преобразованием, а следует
использовать указанную формулу,
— 632 —

где
о
"o (Y) = "c" J "o
T 0
0
I
Решение задачи (9)—A0) при данном значении у обозначим
через иу При этом решение и(х, t) задачи A)—C) можем запи-
записать в виде ряда
Читатель найдет для себя поучительным вычислить выражения
для мт в различных частных случаях.
ЗАДАЧИ
1. Показать, что свободные (Х==0) колебания тяжелой нити при началь-
начальных условиях C) могут быть представлены в виде ряда
00
и (x, /)= V /0 U x 2 Л Лт cos -1=-
2
где
i =Т / 2.\ f «
f «о
/
1
2. Показать, что вынужденные колебания тяжелой нити под действием
силы F (/), сосредоточенной в точке х — а@^а^\), при нулевых начальных
— 633 —

условиях могут быть представлены в виде ряда
«(МИ-Ц-У -L-~»)n~< J0\nX*J Г F (С) sin?
Указание. Сосредоточенную силу следует рассматривать как предель-
предельный случай силы, равномерно распределенной на участке нити (а—т), а + т|).
При переходе к пределу rj = O принять во внимание соотношение
dz z
3. Показать, что в условиях предыдущей задачи при F (/) = F0 since/
JL
Особо рассмотреть случай резонанса, когда при некотором у имеет место
равенство
ш- 2
Показать, что в этом случае в разложении и (х, t) появляется член, возрас-
возрастающий с течением времени t как /3.
§ 2. Колебания мембраны
Рассмотрим задачу о малых колебаниях прямоугольной мем-
мембраны, закрепленной на краях.
Дифференциальное уравнение малых колебаний плоской одно-
однородной мембраны имеет вид (гл. VIII, § 1)
^_4- — = — E!fi ^(*i> *2> t) (]],
дх\ "* дх\ с2 dt'2 T "к'
где и — смещение мембраны из положения равновесия, Z(xlf x21 t)
—давление, оказываемое на мембрану, Г — натяжение мембраны.
Плоскость, в которой лежит мембрана в положении равновесия,
предполагается совпадающей с плоскостью х19 х2. Выбрав начало
координат в вершине одного из углов мембраны и направив
оси хг и х2 вдоль исходящих из этой вершины сторон, запишем
граничные условия в форме
U k=a = U \Xl = Q = U \X2 = b = U \Х2 = 0 = 0, A2)
где а и b—длины сторон мембраны. Начальные условия примем
в общей форме:
— 634 —

Нам надо найти решение задачи A1)—A3) в прямоугольнике
Применим интегральное преобразование дважды, чтобы ис-
исключить дифференциальные операции по координатам хх и х2.
Положим
Для отыскания ядра преобразования К придем к граничной
задаче:
KU=o = ^k=e = O, A5)
нормированным решением которой служит функция
-i-sin^ при \=^-7 (Y = l. 2, 3, ...)-
С помощью интегрального преобразования в интервале О^лг^а
с ядром —sin— y*i преобразуем задачу A1) —A3) к виду:
dt
A7)
A8)
где, по принятому соглашению, чертой над символом обозначен
переход от исходных величин к их интегральным преобразованиям
с рассматриваемым ядром.
Чтобы исключить дифференциальные операции также и по
переменной х2, положим
Для отыскания подходящего преобразования придем к задаче,
совершенно аналогичной задаче A4) — A5), вследствие чего ядро
R прямого преобразования будет иметь вид —sinfxrjx2, а собст-
собственные числа (Л^ определятся выражением: jx^y r|(ri=l, 2, 3,. ..).
Осуществив в пределах 0^*а^6 преобразование с ядром
— 635 —

— sinjiTiA:2, приведем задачу A6) — A8) к виду
"(V Л) B0)
где
а Ь
и = й(у, r\9 t) = ~^u(xly х2У
о о
a b
Z^Z(yf rj, <) = -—-JJZfo, л:2, Osin-^-
и аналогичными формулами определяются величины и0 и их.
Таким образом, путем двукратного применения интегрального
преобразования задачу A1)—A3) мы привели к задаче для
обыкновенного дифференциального уравнения A9). Обозначив
решение этого последнего при начальных условиях B0) через
и (t), на основании общего выражения для обратного преобра-
преобразования, представим решение и (x2t t) задачи A6) — A8) в виде
ряда
л=1 n=i
Осуществив обратное преобразование второй раз, получим реше-
решение исходной задачи A1) — A3):
х2, *) = ? Щ(х%, t)X,(x1)= X u..r)(t)'K.l(x1)Kri(x2) =
V, r|=l
ЗАДАЧИ
1. Показать, что малые свободные колебания^ прямоугольной однородной
мембраны можно представить в форме ряда
со со
и(хъ х2, О = 5J5 51 X sin f
Y=l6=1
где
а Ь
А*-Пи
(xlt x2) sin -^ y^i sin -у-
— 7*1 s*n ~г~ ^2 dxi dx2,
CL и
— 636 —

2. Показать, что малые вынужденные колебания симметрично нагружен-
нагруженной однородной круглой мембраны радиуса а с жестко закрепленным контуром
в полярной системе координат можно представить в форме ряда
и (г, о=2 «(т. o-mv г),
у=\
где и (у, t)—решение обыкновенного дифференциального уравнения
1 а*й ..- г(у, о
при нулевых начальных условиях, ^ —положительные корни уравнения
перенумерованные в порядке их возрастания, а черта над символами указы-
указывает на выполнение над соответствующей величиной интегрального преобра-
преобразования в пределах от 0 до а с ядром
—Г го . ч rJo(Kf)-
Величины Z(r, /) и Г —соответственно давление на мембрану и ее натяжение.
§ 3. Распределение тепла в цилиндрическом стержне
Рассмотрим задачу об остывании однородного цилиндрического
стержня с круговым сечением радиуса а. Теплоотдачей с торцов
стержня будем пренебрегать, а начальное распределение темпе-
температуры в любом из его сечений и условия теплоотдачи по длине
стержня считать одинаковыми. При этих предположениях распре-
распределение тепла описывается в полярных координатах г, ф урав-
уравнением (гл. XXVIII, § 3)
где Г —температура стержня, а к — коэффициент температуро-
температуропроводности*. Начало полярных координат предполагается лежа-
лежащим на оси стержня.
Будем считать, что с поверхности стержня происходит излу-
излучение в среду с нулевой температурой. При этом граничные
условия по г будут иметь вид**
_a = O, B2)
а по ф, очевидно, должно соблюдаться условие периодичности:
Л?=. = 7'|,>.«- B3)
через а2
В гл. ХДУШ коэффициент температуропроводности был обозначен
** Условие при г = 0 связано не с физическим содержанием задачи, а с тем,
что точка г = 0 является в полярной системе координат особой,
— 637 —

Начальное условие возьмем в форме
7|t=0 = /(r, ф). B4)
Применим интегральные преобразования, чтобы исключить
дифференциальные операции по ф и по г.
Начнем с переменной ф. Положим
Я2Т1
Ядро преобразования, которое обозначим через /Ст(ф), должно
удовлетворять дифференциальному уравнению
од > -2\=:0 B5)
дер2
и условию периодичности
*U=o=#!*=.«¦ B6)
Как мы упоминали, условие периодичности может повлечь за
собой двукратное вырождение собственных чисел, т. е. каждому
из них могут соответствовать две линейно независимые собствен-
собственные функции. Взаимно ортогональными линейно-независимыми
нормированными решениями задачи B5) — B6) являются функции
— cosficp и —sin (Хф при [л=т = 0, 1, 2, ....
ЗХ JX
Положим
^2Л-1(ф)=*— sin mcp, K2m(y)= — cos тер. B7)
sin mcp, K2m(y)
Осуществив в интервале 0 ^ ср ^ 2я преобразование с этим
ядром и приняв во внимание, что значению у = 2т и значению
7 = 2т—1 соответствует одно и то же собственное число т2,
приведем задачу B1) — B4) к виду:
г дг г2 L ~~ k dt >
a = 09 B9)
{ ?"(Г)/\ C0)
где
Т = 1 Т(г9 Ф,
о
Ввиду наличия двух различных начальных условий C0) каж-
каждому значению m соответствуют два различных решения уравне-
уравнения B8). Эти решения обозначим через Т2т и Т2т^1 соответственно.
— 638 —

Чтобы исключить дифференциальные операции по г, положим
В этом дифференциальном выражении
откуда
p(r)
p (r) = arrp (r) = r,
q (r) = cp (r) = — .
Ядро преобразования Kr (г) должно удовлетворять уравнению
приводящемуся путем деления на г к уравнению Бесселя
g + |f +(К*-%)К = О, C1)
и граничным условиям
[§ R] C2)
Ограниченными при г = 0 решениями уравнения C1) являются
функции Бесселя Jm(kr). Подставив функцию Jm(hr) во второе
из условий C2), придем к уравнению
корни которого X определяют собственные числа КтЦ задачи
C1)—C2).
Положим I( (r) = F— Jm(hmrr), где С^ц — нормирующий мно-
житель. С помощью формулы D1) гл. XIII найдем, что
Выполнив в интервале 0 ^ г ^ а интегральное преобразование
с ядром g— Jm (km7r) и весовой функцией р = г, приведем задачу
B8)—C0) 7 виду:
~ + кХ'тцТ = 0, C3)
if11' C4)
/2АЯ-1, 7]>
— 639 —

где
Решением задачи C3)—C4) является функция
2m'
2m
Осуществив обратные преобразования, получим:
f =f е-<л' v-f2m'
Чч >vF » т ) 2m-l.
2^
Т(г, ф, 0= S G72Д2й;
т=1
= 2 Jm(K^)e "mT1 (/2W)TiCo
т, Т) = 1
Это и есть искомое решение задачи B1)—B4) в форме двойного
ряда.
ЗАДАЧИ
1. Показать, что решение рассмотренной выше задачи о распространении
тепла в стержне при симметричном начальном распределении температуры
(Т |/=0 = /('")) может быть представлено в форме ряда
7=1
где
а А- — положительные корни уравнения
перенумерованные в порядке их возрастания.
2. Показать, что если поверхность стержня поддерживается при постоян-
постоянной температуре T — Q, то при сохранении остальных условий задачи 1 рас-
распределение температуры в стержне в момент времени t дается формулой
7 = 1
где
— 640 —

a h*—положительные корни уравнения /0(Ал) = 0, перенумерованные в по-
порядке их возрастания.
3. Путем повторного применения интегральных преобразований решить за-
задачу о распространении тепла в прямоугольном параллелепипеде 0
О i& 0^ при начальном условии
T\t=o = f(xv х2, х3),
если при / > О его грани поддерживаются при постоянной температуре.
Указание. Уравнение теплопроводности записать в прямоугольных
декартовых координатах и последовательно исключить дифференциальные опе-
операции по Xi, x2, #з аналогично тому, как это было сделано в § 2.
Ответ:
m, n, s=\
где
а Ъ с
f (хъ х2, xs) sin — mxx sin -г пх2 sin — sx3dxldx2dx3t
CL и С
/m% Ф s2
§ 4. Распространение тепла в круглой трубе
Рассмотрим теперь задачу о распространении тепла в круглой
трубе, если распределение температуры при / = 0 в ней задано,
а затем, при / > 0, на ее внутренней и внешней стенках поддер-
поддерживается температура Г = 0. Начальное распределение темпера-
температуры будем считать неизменным по длине трубы, а теплоотдачей
с ее торцов пренебрегать. При этих предположениях придем к
задаче
дг* "*" г дг + г* ^ф2 "" k dt>
Г|г=а = Г|г=, = 0, C6)
Лы = /(^.Ф). C7)
где а и Ъ—внутренний и наружный радиусы трубы, а /(г, ф) —
заданная функция.
Исключим последовательно дифференциальные операции по ф
и по г
При исключении дифференциальных операций по ф мы нахо-
находимся в точности при условиях задачи предыдущего параграфа.
Применив в интервале 0 ^ ф ^ 2я интегральное преобразование
с ядром B7), приведем задачу C5)—C7) к виду
д*Т 1 df m* ™ 1 дТ
+ 1
C9)
, т-{?Ll m
21 № 645 — 641 —

где функции Т и /т(г) определены формулами, аналогичными
соответствующим формулам предыдущего параграфа.
Задача C8)—D0) отличается от задачи предыдущего параграфа
B8)—C0) лишь граничным условием. Поэтому, отыскивая пре-
преобразование, позволяющее исключить дифференциальные опера-
операции по г, заключим, что ядро R^ir) будет удовлетворять урав-
уравнению Бесселя:
граничные же условия, согласно C9), будут иметь вид:
KU = ^U = 0. D2)
Подчинив общее решение AJm(kr)-+ BY m(kr) уравнения D1)
условиям D2), получим:
Чтобы существовали решения, отличные от тривиального реше-
решения А = В = 0, определитель
Jm(Xa) Ym(Ka)
Jm(\b) Ym(kb)
должен быть равен нулю, что для определения собственных чи-
чисел %тц даст уравнение
Решив систему D3), найдем, что с точностью до произволь-
произвольного множителя
A = YU(\J>), B = -Jm(Xmb).
Таким образом, можно принять
СтщКп (г) = Ym (ХвчЬ) Jm (%mr) - Jm (Kmi)b) Ya (К/),
где Стт) — нормирующий множитель. Используя уравнение D1) и
уравнение для собственных чисел, найдем, что
ь
с«, - S [Ут (М)у» (К/)- Jm iK4>) Ут (
Осуществив в интервале a^r^b преобразование с ядром
(г) и весовой функцией р = г, приведем задачу C8)—D0)
— 642 —

~of + kXm1[T = О,
к виду
2m—1,
где
a
Отсюда
Осуществив обратные преобразования, получим:
^ -k\2 t
л=1
2
л=1
г, Ф, t)= 11(Т2тКйт+Тш_1К,т.1)= 2 (/«,,,cosтФ +
т= 1 т, Т| = 1
„_,, „ sin тф) [Уя (Х.,&) 1т (Хичг)-У«(Хвц&) Уи (Хячг)]г-*4Л' .
Этот двойной ряд и даст решение рассматриваемой задачи
C5)-C7).
ЗАДАЧА
Показать, что в случае, когда с внешней поверхности трубы происходит
лучеиспускание в среду с нулевой температурой, остальные же условия рас-
рассмотренной выше задачи остаются неизменными, собственные числа задачи
%2тц определяются уравнением
§ 5. Поток тепла в шаре
Задача о распространении тепла в шаре приводит к преобра-
преобразованию, в котором ядром служат сферические функции.
Рассмотрим однородный шар радиуса а, поверхность которого
поддерживается при заданной температуре Г = 0. Изучение про-
процесса установления тепла в шаре приводит нас в сферических
координатах г, 0, <р к следующей задаче. Найти решение урав-
21* — 643 —

нения теплопроводности
д*Т , 2 дТ , 1 д Г
при начальном условии
и граничном условии
|X=COS6,
1 д2Т
ra(l — jx2) дфа
ф)
1 дТ
D5)
Т\г=а = 0. D6)
Исключая дифференцирование по координате ф, найдем, что
ядро К преобразования должно удовлетворять уравнению
и условию периодичности
Как и в § 3 — 4, положим:
Кт(ср)=—cosmcp при y = 2m, — smmy при у = 2т—I,
где т—целые положительные числа.
Осуществив прямое преобразование, приведем задачу D4) —
D6) к виду:
1К 11ПЩi^ D7)
1К + 11ПA-^)Щ L.fi±
Г дг ^r*\dill[l Р } d\l\ 1 —jLX2 l I ~~ k d
f|r=0<oo, Г|г=й = 0, D9)
где Т и /Т(Э, г) — интегральные преобразования в интервале
0^ф^2я с ядром /Ст(ф) функций Т и /(г, 0, ф).
Имея в виду исключить дифференциальные операции по |л,
рассмотрим дифференциальное выражение
для которого
Ядро преобразования ^, позволяющего исключить дифференци-
дифференциальные операции по \if должно удовлетворять уравнению Лежандра:
— 644 —

для которого точки |а = ±1 являются особыми. Как мы знаем
из гл. XXI, требование ограниченности решения уравнения
Лежандра в особых точках удовлетворяется при
А, = л(л+1) (я = 0, 1, 2, ...).
При этом ограниченными в интервале—l^ji^l решениями
этого уравнения являются присоединенные полиномы Лежан-
Лежандра Рпт(\х). С помощью формулы B0) гл. XXI найдем, что
С — [\Р (ix)?du- 2б (" + m)! * B при m = 0,
mn— j l< птКГ/l "Г - 2Д + 1 (n-tn)\ > "~I При
Осуществив в интервале—1^|Л^1 преобразование с ядром
^—Рпт{\*>), приведем задачу D7) —D9) к виду:
д*Т 2 df n(n+l)f__ I
дг2 Г г дг Г2 1 k
df
П=0<оо, Г|г=с = 0? E2)
где t и /Т„(О — функции, полученные в результате последова-
последовательного применения интегральных преобразований по ф и \i к
функциям Т и f(r, 8, ф).
Исключим, наконец, дифференциальные операции по г.
С помощью подстановки
т =i-
1 1»
задача E0) —E2) приведется к виду:
Ъ do
E3)
д^^ гТг г* и~ к dtf
1 /O-~i
о|гя0<оо, у|г=л = 0. E5)
Для выражения, содержащего дифференциальные операции
по г, получим:
Р(г) = г9 р(г) = г.
Введем функцию Ks(r)f удовлетворяющую уравнению Бесселя с
полуцелым индексом:
а^ 1 дк А ,2 Vn+"J
0 F6)
3 J
— 645 —

и граничным условиям:
I /V | |г=о<00> A|r=o = U. @7)
Ограниченным при г = 0 решением этого уравнения является
функция Бесселя J \_(kr). Используя граничное условие при
г = а, придем к уравнению
J ! (ка) = 0,
корни Xns которого, перенумерованные в порядке их возраста-
возрастания, определят собственные числа задачи E6) — E7).
Ядро преобразования равно g— У j^ (knsr), где
Применив в интервале О^г^а интегральное преобразование
с найденным ядром, приведем задачу E3) — E5) к виду:
= 0, E8)
2т,
О 1 E9)
2т—1, v '
где v — соответствующее интегральное преобразование функции v,
а 3
IP"" —
ins Cns) ТГ« п + т
Решив задачу E8) —E9), найдем, что
Осуществляя преобразования, обратные проделанным выше,
последовательно получим:
S=l 2
00
~' J x (Ksr),
00 00
T (r, 0, ф, t) = \ ? ? e-*^ x (^»/) ^»» (I*) (ft*,
 m=0n, s=l n + Y
— 646 —

Последний из этих рядов и является решением рассматриваемой
задачи D4)-—D6).
§ 6. Стационарный поток тепла в параллелепипеде
Предположим, что грань лг3 = О, О^л^^а, 0^л:2<й прямо-
прямоугольного параллелепипеда 0^хг^а, О^х2^Ь, 0^х3^с под-
поддерживается при температуре TOt тогда как с остальных граней
происходит излучение в пространство с температурой, равной нулю.
Поставим целью найти установившееся распределение темпера-
температуры Т в таком параллелепипеде. При этом придем к задаче
для уравнения Лапласа:
—г ~\ г Н г = ° F0)
при граничных условиях
Исключим дифференциальные операции по хх и х2.
Ядро К преобразования, исключающего операцию дифферен-
дифференцирования по х19 должно быть решением граничной задачи
Щ. + К'К^О, F2)
дх\
= 0, \?+Нк]=0. F3)
, = 0
Подчинив общее решение A cos %хг -\-В sin %хг уравнения F2) гра-
граничным условиям F3), получим систему однородных уравнений:
Ah — BK = 09
A (h cos ka — X sin Xa) + В (X cos Xa + h sin Xa) = 0.
Решения этой системы, отличные от тривиального (Л = 23 = 0),
существуют только тогда, когда ее определитель равен нулю. Из
этого условия, после элементарных преобразований, придем
к следующему уравнению для определения собственных чисел Х^:
При Х = Хт коэффициенты А и В пропорциональны соответственно
%т и h. Таким образом, с точностью до постоянного множителя,
"и
— 647 —

решения граничной задачи F2) —F3) имеют вид
cos %тхх + т— sin %тхх. F4)
Ядро прямого преобразования будет отличаться от F4) лишь
нормирующим множителем С^1, где
а
f [cos %mxl + — sin Л^] * d*,
Осуществив в интервале 0 < a:x < а преобразование с найден-
найденным ядром, приведем задачу F0) — F1) к виду:
= 0, \^- + hT\ =0,
т rJ? 1 F6)
74 - = — — 4-hf\ =0
Совершенно аналогичным путем исключим дифференцирование
и по координате х2, после чего задача F5)-—F6) примет вид:
if = 0, F7)
где f — интегральное преобразование функции Т в интервале
0а<Ь с ядром
где
cos [у.пхг + — sin ул J,
a \in—корни уравнения
перенумерованные в порядке их возрастания.
— 448 —

Подчинив общее решение уравнения F7):
Ттп (*8) - Ат™(
граничным условиям F8), для определения постоянных Атп,
получим систему уравнений:
А +В = -^-
**тп г *^тп Q ?) »
Атп (Л + vmn) е>»« + Втп (h + vmn) e-vmnc = о,
откуда
А _
vmn-h)e-v™c CmDn
Tmn (xa) = ат
где
=
"" (
Осуществив обратные преобразования, получим решение ис-
исходной задачи F0) — F1) в форме двойного ряда
т, п= 1
X (cos \inx2-]— sin|
ЗАДАЧА
Показать, что установившееся распределение температуры в прямоуголь-
прямоугольном параллелепипеде Оа^л^^а, 0^х2^Ь, 0^х3*^с, когда его грань #8=O
поддерживается при температуре Го, а остальные грани при температуре Гз«0,
может быть представлено в форме двойного ряда:
Tfr х х\ = Ш° ^ Х
1 (Xi, х2, л8;= „
 ,^0Br+l)Bs-fl)
X sin x-' ' '7'^А sin
где
— 649 —

Глава XXXV
ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
С БЕСКОНЕЧНЫМИ ПРЕДЕЛАМИ
§ 1. Задача о колебаниях бесконечной струны
Изучение задач, в которых оказывается целесообразным приме-
применение интегральных преобразований с бесконечными пределами
интегрирования, начнем с задачи для одномерного волнового
уравнения
д^^^Ш2 W
в- области —оо <х < оо при начальных условиях:
— и^уХ), yL)
где ио(х) и и1(х) — заданные функции, обращающиеся в нуль вне
некоторой конечной области. К такой задаче мы приходим, на-
например, при рассмотрении колебаний бесконечной струны или
малых одномерных колебаний газа и т. д. под влиянием огра-
ограниченного начального возмущения
Ядро интегрального преобразования, позволяющего исключить
дифференциальные операции по х, должно удовлетворять уравне-
уравнению
и оставаться ограниченным при всех вещественных х. Последнее
требование соблюдается при всех вещественных значениях у2, т. е.
собственные числа задачи для уравнения C) имеют непрерывный
спектр. При этом
К = Ce±lvx,
из чего ясно, что следует применить преобразование Фурье.
Осуществив преобразование с ядром /C = ^-e~'v*t преобразуем
задачу A) — B) к виду*:
О, D)
= tti(Y)> E)
* Напомним, что этот результат записывается сразу на основании фор-
формулу B0) гл. XXXIII и замечаний о значении Na и Nb в § 4 гл. XXXIII.
— 650 —

где
п = й (<, у) = "и J «(*, 0е-** dx> F)
— оо
00
)=akJ «
)
о
-оо
(8)
Сходимость интегралов F) — (8) обеспечена тем, что каждая из
функций и0, их и и обращается в нуль вне некоторой конечной
области. Функция и обладает этим свойством, так как за конечный
промежуток времени возмущение, распространяясь со скоростью с,
проходит лишь конечное расстояние. Решением задачи D) — E)
является функция
и— и0 cos yet -f — sin yd.
с
Представив функции cos yet и sin yet в показательной форме,
подставим функцию и в формулу обратного преобразования Фурье:
00
-00
что даст:
00
со _
-W J" %e-n^dy. (9)
+ Ш
Сравнив первые два интеграла в правой части этого соотно-
соотношения с выражением G), нетрудно видеть, что они равны соот-
соответственно у и0(х—ct) и -^uQ(x + ct). Чтобы вычислить вторую
пару интегралов, заметим, что
-со
откуда следует, что
а
— 651 —

где а—произвольная постоянная. Полагая здесь ? равным (х—ct)
и (x + ct), без труда найдем, что сумма двух последних интегралов
в правой части соотношения (9) равна интегралу
x+ct
x-ct
Подставив вычисленные величины в правую часть соотноше-
соотношения (9), придем к решению первоначальной задачи A)—B) в форме
Даламбера:
x+ct
x-ct
С этим выражением мы уже имели дело в гл. IV, § 1.
ЗАДАЧА
Применив интегральное преобразование, вывести формулы, определяющие
колебания полубесконечной струны, закрепленной в начале координат.
Указание. Исходя из условий закрепления струны, показать, что для
исключения дифференциальных операций по х следует применить синус-преобра-
синус-преобразование Фурье.
§ 2. Линейный поток тепла в полуограниченном стержне
Рассмотрим задачу о распределении температуры в однородном
полуограниченном стержне с изолированной боковой поверхностью,
если его конец поддерживается при температуре То, а начальная
температура равна нулю. Выбрав ось х так, чтобы стержень был
расположен при х^О, придем к задаче об интегрировании урав-
уравнения теплопроводности:
при начальном условии
Л*-о = 0, A1)
и граничном условии
Т\Хш0 = Т0. A2)
Ядро К (х, X) интегрального преобразования, позволяющего
исключить дифференциальные операции по х, должно удовлетво-
удовлетворять следующим требованиям:
— 652 —

откуда вытекает, что с точностью до множителя ядро К равно
sinA,*, где 0^А,<оо. Таким образом, следует применить синус-
преобразование Фурье. Положив
К (х, А,) = — sin Але,
преобразуем задачу A0) — A2) к виду
dt я 0>
где
Т = Т(Х9 t) = -| J Г (*, /) sin Ялг^л:.
о
Отсюда
^A <Г)-
JX А
Осуществляя обратное преобразование, получим
00 00
1 p — k^
О
Приняв во снимание, что
О
преобразуем последнее соотношение к виду
р& J
Это выражение и даст решение поставленной задачи. Заметив, что
представляет так называемый интеграл вероятности, значения ко-
которого табулированы, найденное решение можно также предста-
представить в форме
— 653 —

ЗАДАЧИ
1. Показать, что распределение температуры в бесконечном однородном
стержне с теплоизолированной боковой поверхностью выражается формулой
T(X, t)-
СО
I
 Ynkt
— со
где
uo(x) = T(x, 0).
Указание. Принять во внимание, что
1 г* tv,, ...
I "¦" Ли * — IL.X
я~ J е С
— 00
и воспользоваться теоремой о свертке:
х2
Ш
X
fa)g(x-l)d%,
где / (у), g(y)—преобразования Фурье функций f (х) и g(x).
2. Показать, что распределение температуры в полубесконечном однород-
однородном стержне с теплоизолированной боковой поверхностью, конец # = 0 кото-
которого поддерживается при нулевой температуре, выражается формулой
{х~1J {х+1)
Ш
где
) = Т{х, 0).
§ 3. Распределение тепла в цилиндрическом стержне,
поверхность которого поддерживается
при двух различных температурах
Рассмотрим бесконечный однородный цилиндрический стержень
кругового сечения, температура которого в начальный момент
времени равна нулю. В последующие моменты времени поверх-
поверхность стержня на участке длиной 21 поддерживается при темпе-
температуре То, а остальная часть поверхности — при нулевой тем-
температуре. Требуется определить распределение температуры
в стержне.
В цилиндрических координатах с осью г, направленней по
оси стержня, и началом, выбранным так, чтобы плоскость г = 0
делила участок, поддерживаемый при температуре Го, пополам,
распределение температуры Т удовлетворяет уравнению
ОТ1 , 1 дТ .д*Т 1 дТ
— 654 —

начальному условию
Г|,=о=О A4)
и граничному условию
_ I То при \г\<1,
1 |г=а"\ 0 при \г\>1. A5)
Распределение температуры, очевидно, симметрично относи-
относительно плоскости 2 = 0, поэтому достаточно рассмотреть часть
стержня, расположенную в интервале 0<г^оо. При этом,
в силу симметрии,
дТ =0. A6)
дг
2 = 0
Последовательно применяя интегральные преобразования по
переменным г и ty приведем задачу A3) — A5) к обыкновенному
дифференциальному уравнению.
Ядро интегрального преобразования К(г> X), позволяющего
исключить операции дифференцирования по 2, должно удовлет-
удовлетворять уравнению
и граничным условиям:
дК
дг
Условие при 2 = 0 вытекает из соотношения A6).
Отсюда ясно, что с точностью до множителя ядро К равно
cos^2, т. е. следует применить косинус-преобразование Фурье.
Осуществив это преобразование, приведем задачу A3)—A5)
к виду
!)Fz+T~dF~~~ Т"Ж >
7F I 2 гг. sin XI
где
со
Т=Т(г, К, t) = -^lT(r, z, t)cosXzdz.
о
Для исключения операции дифференцирования по t восполь-
воспользуемся преобразованием Лапласа, после чего получим обыкно-
обыкновенное дифференциальное уравнение
— 655 —

где
00
f = f(r, X, Y)=S7(r, X, t)e'*dt,
0
и граничное условие
A8)
Решением уравнения A7), ограниченным при г = 0, согласно §7
гл. XIII, является функция /0 ([*/*) при
Принимая во внимание граничное условие A8), получим
Эта функция не имеет никаких особенностей на всей комплексной
плоскости кроме полюсов.
Отсюда по формуле обращения для преобразования Лапласа
найдем, что
b + i оо
Я7_ 1 2Г„ sin U С п /0 (И dy
7 п J е 7ЛЙТ
J е 7ЛЙТ' ( '
если только постоянная Ь может быть выбрана так, чтобы все
полюсы подынтегрального выражения располагались слева от
прямой Rev — b. Подынтегральное выражение имеет полюсы при
7=0, а также при значениях у = ут{т—1, 2, 3, ...), удовлет-
удовлетворяющих уравнению
0. B1)
Отсюда, учитывая соотношение A9), найдем, что
где \хт — корни уравнения B1). Заметив, что в силу соотношения
to(ix) = iJo(x), корни уравнения B1) чисто мнимые и равны по
абсолютной величине корням функции Бесселя J0(va), получим
(m=l, 2, 3, ...),
еде vm — корни уравнения J0(va) = 0, перенумерованные в по-
порядке возрастания.
Таким образом, все полюсы подынтегрального выражения
расположены в левой полуплоскости и на мнимой оси. Поэтому
число b можно выбрать так, чтобы все они были расположены
слева от прямой Rey = b.
— 656 —

Теперь может быть применена теорема Коши о вычетах *,
из которой следует, что интеграл в правой части B0) равен
произведению 2ш на сумму вычетов подынтегральной функции
в полюсах, расположенных слева от прямой Цеу = Ь. В точке
7 = 0 вычет подынтегрального выражения равен
/о
Вычеты же в точках у = ут равны
Так как
то знаменатель последнего выражения может быть преобразован
к виду
Составляя теперь сумму вычетов и подставляя ее в соотноше-
соотношение B0) вместо фигурирующего там интеграла, получим:
/0(Хг) 2 у vm J0(vmr) -
/0(М fl^ V^+^^fV^)
Осуществив обратное косинус-преобразование Фурье, найдем
решение поставленной задачи:
Г а) т
Г-Г 4 V p-^m1 vmU(Vmr)[p-kk't Sin A,/COS Я? ..
7 -У« ~ла 2-^ /r(v>) J^ ТпГГ^)
L *и= 1 и
2 Г /0 (Кг) sin Я/ cos lz ,. 
о J
ЗАДАЧА
Применив преобразование Лапласа, найти распределение температуры Т
в бесконечном однородном круглом стержне, если начальная температура
стержня равна нулю, а затем его поверхность поддерживается при темпе-
температуре Го
* См., например, А И. Лурье |45).
21* № 645 — 657 —

Ответ:
Т~'.
m=\ J
где \im— корни уравнения У0(ц,а) = 0.
§ 4. Установившееся тепловое состояние бесконечного клина
Рассмотрим бесконечный клин с углом раствора 2? < я. Пред-
Предположим, что боковые поверхности клина поддерживаются при
температуре, равной нулю, за исключением двух полос шири-
шириной а, примыкающих к ребру клина, которые поддерживаются
при температуре То. Найдем установившееся распределение
температуры в клине.
Введя на плоскости, перпендикулярной ребру клина, поляр-
полярные координаты г, ф с началом на ребре клина, придем к задаче
Дирихле:
дг2 ' г дг 'г2 дф2 v '
( Тп при г < а,
Г1-Ио при r>a.
Попытаемся исключить дифференциальные операции по г. Для
этого, представив уравнение Лапласа B2) в форме
Г дг*^Г дг + дф2 ~~ '
рассмотрим дифференциальное выражение
м гг 2 д*Т . ОТ
В этом выражении arr = r2, br = r, c = 0, откуда
Р (/¦) = !» P(r) = r, q(r) = 0.
Следовательно, ядро интегрального преобразования, с помощью
которого можно исключить дифференциальные операции по коор-
координате г, должно быть решением уравнения
д (гдК\ л- *2 К-0
Это уравнение принадлежит к типу уравнений Эйлера. Легко
видеть, что ему удовлетворяют функции К (г, у) = г±1ч, что при-
приводит для произведения р/С к выражению r±iv~l. Положив
y = i\i, где \i — вещественное число, мы придем к ядру г»*-1 пре-
преобразования Меллина.
— 658 —

Применив в интервале 0 <: г ^ <х> преобразование Меллина,
приведем задачу B2)—B3) к виду:
^ + ^ = 0> B4)
тч ,г — т /or\
где
О О
Правая часть уравнения B4) равна нулю, так как в рассматри-
рассматриваемом случае р@) = 0.
Возникает, конечно, вопрос, в какой мере соблюдаются усло-
условия, обеспечивающие возможность применения преобразования
Меллина. Однако помимо общих соображений, которые можно
высказать о характере убывания функции Т (г, ф) на бесконеч-
бесконечности, как гармонической функции, мы сможем это проверить
по выражению для обратного преобразования (п. 4°, § 5,
гл. XXXIII).
Подчинив общее решение ^cos [кр + В^ sin |1ф уравнения B4)
граничным условиям B5), получим:
А =т ^cosw В =0
Iх ° \1 cos [it, v-
откуда
Y/ ° \х cos [it,
Применим теперь формулу обратного преобразования, что даст
TJ + ioo
г(,-, ф) * Г т (±yco*mdp 2б
v ' Y/ 2ш J ° \ г ) cos ja? [i v ;
Т) —/со
Подынтегральное выражение имеет полюс при [i = 0 и следую-
следующий полюс при \1 = -?. При 0 < г\ < уг подынтегральная функ-
функция аналитична, равномерно стремится к нулю, когда Im|i—^±°°,
TJ + /QO
а интеграл \ | Г (|х, ф) |djx сходится при всех |ф| < ?. Последнее
*п—' °°
вытекает из оценки модуля |Г| при Imp,—-*±oo. Действительно,
положим \1 = ц-\-1ц', так что Impi = r]'. Тогда
Если т|'—»-оо, выражение \Т (r|-f-tr^', ф)| имеет порядок ^ф-С> и
экспоненциально убывает, так как ф — t < 0 в силу неравенства
2Г* — 659 —

|<р|<?. К аналогичному результату придем и при ц'—^ — оо.
Это и доказывает сходимость рассматриваемого интеграла. Таким
образом, преобразование Меллина имеет смысл во всей представ-
представляющей для нас интерес области —? < ф < ?.
В интеграле B6) путь интегрирования может быть смещен на
мнимую ось, если полюс |л = 0 обойти по малой полуокружности
(в правой полуплоскости). Интеграл по полуокружности будет
равен вычету подынтегральной функции при [л = 0, умноженному
на ш, т. е. -у 7Y Интеграл же по мнимой оси с исключенной
окрестностью точки |л = 0 будет равен главному значению интеграла
ch
2ш J ° \ r J cos [it, [i 2ni j \ r J
-too -x
Подынтегральное выражение в последнем интеграле можно упро-
упростить Именно, в выражении
достаточно сохранить только нечетную часть, так как функция
cos ( ?lny j ^| у нечетна и главное значение рассматриваемого
интеграла от этой части равно нулю. После этого подынтеграль-
подынтегральное выражение окажется четным и интегрируемым в обычном
смысле в окрестности точки ? = 0, вследствие чего интегрирова-
интегрирование можно будет вести только вдоль положительной части вещест-
вещественной оси.
Учитывая сделанные замечания, формулу B6) можно пере-
переписать в виде
О
Эта формула и решает поставленную задачу.
ЗАДАЧА
Показать, что при —? < ф < ? функция Г (г, ф) обладает следующими
свойствами:
{Т
> -—¦ при 0 < г < а,
Т
<у при г > а,
lim T (г, ф) = 0.
Г-*ос
— 660 —

Глава XXXVI
ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ КОЛЕБАНИЙ
§ 1. Введение
В этой главе рассмотрен ряд фундаментальных задач стацио-
стационарной теории излучения электромагнитных колебаний. Постановка
задач, в основном, следует монографии Г. А. Гринберга [21],
однако решение их выполнено с помощью интегральных преобра-
преобразований, что преследует важную цель еще раз проиллюстрировать
применение этих последних.
Задачи рассматриваются в предположении, что имеется лишь
одна плоская граница раздела между двумя однородными средами
(«землей» и «атмосферой»). Без существенного усложнения может
быть принято предположение, что имеется ряд параллельных
поверхностей раздела, на которых свойства сред испытывают
разрывы (слоистые среды). При этом увеличится только число
задаваемых граничных условий. Наконец, можно считать, что
свойства сред зависят от одной из координат. Все эти обобщения
содержатся в упомянутой монографии и могут быть осуществ-
осуществлены и при использовании интегральных преобразований.
Следуя Г. А. Гринбергу, будем предполагать, что распро-
распространение излучения происходит в средах, обладающих хотя бы
ничтожной электропроводностью, чем достигается достаточно
быстрое убывание поля на бесконечности, обеспечивающее сходи-
сходимость используемых при выкладках интегралов.
При рассмотрении излучения электромагнитных колебаний
удобной оказывается запись уравнений поля с помощью вектор-
векторного потенциала А (гл. XXIX, § 6). Это видно, например, из
следующего. Как было показано в § 6 гл. XXIX, векторный
потенциал удовлетворяет системе уравнений Гельмгольца
где fa (a=l, 2, 3, . . .) — компоненты вектора плотности сторон-
сторонних токов. Если сторонние токи параллельны некоторой оси
(как это, например, имеет место в ряде типов антенн), то, вы-
выбрав эту ось в качестве одной из осей декартовой системы коор-
координат, видим, что система A) удовлетворяется, если компоненты
вектора А по двум другим осям положить равными нулю. По-
Поскольку векторы поля могут быть выражены через векторный
потенциал по формулам E0) гл. XXIX, то можно ожидать, что
изучение поля в рассматриваемом случае приведется к решению
задачи для одного скалярного неоднородного уравнения Гельм-
— 661 —

гольца относительно одной из не равных тождественно нулю
компонент векторного потенциала*.
Так как кроме системы A) векторный потенциал должен еще
удовлетворять граничным условиям, то только что высказанное
соображение о возможности положить две компоненты векторного
потенциала равными нулю само по себе не имеет доказательной
силы. Однако в важнейших случаях оно полностью или частично
оправдывается, позволяя упростить задачу. Оставляя до § 5
выяснение условий, при которых рассматриваемое упрощение
возможно, заметим, что если, введя это упрощение без дальней-
дальнейшего обоснования, мы найдем решение задачи, удовлетворяющее
граничным условиям, то оно и будет искомым решением в силу
теоремы единственности решения системы уравнений Максвелла.
ЗАДАЧИ
1. Показать, что в том случае, когда диэлектрическая постоянная и про-
проводимость зависят от координат, векторный потенциал удовлетворяет уравне-
уравнениям (в декартовых координатах)
2 _ co2jli8+4л icojua
— ^2 •
Указание. Скалярный потенциал взять в обычной форме
™_ "° ( dAi i дА* , дА3
хг
дх3
и воспользоваться уравнениями Максвелла.
Заметим, что уравнение (#) кладется в основу при изучении распростра-
распространения радиоволн в слоистых средах.
2. Показать, что в цилиндрических координатах (г, ф, z) компоненты
векторов поля связаны с компонентами векторного потенциала формулами:
дАг дгК \ „ _ 1 / дАг dAz \ __ 1 f^rК дАг
дер дг J ' v ц \ дг дг ) ' z \xr \ дг дц>
1 / дгАг дЛу , дгА2
_ш_ ш д \\ ( дгАг дА9 drAz\l
9- с Лф-t- ср rfrp [ г \ дг ^ д<р ^ дг )у
ш to д Г±( дгАг дА9 drAz\l
2~cz^!k? dz [r{ дг + ду + дг )]'
* Такое приведение можно осуществлять, конечно, и не вводя векторного
потенциала, но с помощью этого последнего оно достигается наиболее естест-
естественным путем.
— 662 —

§ 2. Вертикальный излучатель в однородной среде
над идеально проводящей плоскостью
Рассмотрим ограниченную в пространстве систему вертикаль-
вертикальных токов, обладающую симметрией вращения относительно
вертикальной оси. Будем называть ее вертикальным излучателем,
а ее ось симметрии — осью излучателя. Излучение будем считать
происходящим в заполненное однородным диэлектриком полу-
полупространство („однородная атмосфера"), ограниченное горизонталь-
горизонтальной плоскостью, являющейся границей идеального проводника
(поверхность „земли").
Введем цилиндрические координаты (г, ф, г) с осью г, направ-
направленной по оси излучателя, и началом на горизонтальной плоско-
плоскости, уравнение которой в силу этого будет иметь вид: z==0.
В соответствии с § 1 для отыскания электромагнитного поля
излучателя надо решить неоднородное уравнение Гельмгольца
для компоненты Az векторного потенциала. Так как поле обла-
обладает симметрией вращения относительно оси излучателя, это
уравнение в координатах (г, ф, г) будет иметь вид:
м _ ^
___г?_ ^ м
причем компонента Az не будет зависеть от ф.
С помощью формул, приведенных в задаче 2 к § 1, найдем,
что компоненты векторов поля в рассматриваемом случае будут
равны
dAz
•I
т. е. поле вертикального излучателя представляет систему волн
со взаимно перпендикулярными электрическим и магнитным
векторами.
Согласно § 7 гл. XXIX единственное граничное условие, не
выполняющееся на границе идеального проводника тождественно,
в силу уравнений Максвелла, состоит в том, что тангенциальная
компонента электрического вектора должна обращаться на границе
в нуль. Это, в силу равенств D), будет выполнено, если положить
дА* =0. E)
дг
г
¦¦¦
2=0
Наконец, на бесконечности должно быть выполнено условие
излучения:
Нгп Лг = 0. F)
Z-+QC
— 663 —

Исключим из уравнения C) с помощью интегрального преоб-
преобразования операции дифференцирования по координате г. Рас-
Рассмотрим с этой целью дифференциальное выражение
/if Л 1 д (* дА* \ A\
r z г дг \ дг J ' v '
для которого arr=l, br = —, с = 0, откуда по формулам A7)
гл. XXXIII:
р(г) = г, p(r) = r, q = 0. (8)
Следовательно, ядро искомого интегрального преобразования
должно быть решением уравнения
Делением на г это уравнение приводится к уравнению Бесселя
нулевого порядка:
& ±? -0. (9)
ограниченными решениями которого являются функции Бесселя
J0(yr). Таким образом, следует применить преобразование Ханкеля
(гл. XXXIII, § 5, п. 4°) при v = 0. Осуществив это преобразование,
приведем задачу C) —E) к виду*:
4птг,
lim 4 = 0. A1
Общее решение уравнения A0) равно
Z
А2 (у, z) = - -^ -й-J /'/' (?, 1) [eft (*-»-е-< <« -
о
« ~f \e«* ( В\ - j ]<? (у, 0
\ 0
, A2)
где В,, S2, S*, S* — произвольные постоянные, а через q обо-
обозначен тот корень из (у2 — fe2), вещественная часть которого поло-
положительна. Так как система токов излучателя по предположению
* Напомним, что этот результат записывается сразу на основании форму-
формулы B0) гл. XXXIII и замечаний о значении Na, /)ь в § 3—4 гл. XXXIM.
— 664 —

ограничена в пространстве, вследствие чего начиная с некоторых г
функция j{gy(y, г) = /(/)(г, г) = 0, то интегралы от выражений,
содержащих множителем эту функцию, ограничены. Поэтому,
чтобы обеспечить обращение в нуль функции Az(y, z) при z-+ oo,
достаточно положить
j A3)
о
Граничное условие A1), как легко видеть, даст
В\ = В\. A4)
Подставив найденные значения постоянных в решение A2) и
доопределив функцию /(/} (г, z) для z < 0 четным образом, т. е. по-
положив /(/} (г, — г)== /</> (г, г), окончательно получим
г — z '
A5)
Обратное преобразование Ханкеля
со
А (г, 2) = jI,(Y. *)Jo(yr)yd4 A6)
даст решение поставленной задачи в форме некоторого определен-
определенного интеграла, который мы не будем здесь выписывать подробно.
Рассмотрим некоторые важные частные случаи.
Если излучатель представляет цилиндрический стержень ра-
радиуса г0, расположенный в области г0 ^ г ^ zl
в поперечном сечении стержня распределена по закону
/Г (г, г) =
где /0 — постоянная, то
7т (v, ,)=/? «AWwe-f '«^ при г»
I 0 при z < z0, г > zP
A7)
Заметим, что полный ток, текущий через поперечное сечение
стержня,
/ = 2л/0?-4^=г = 2я/аг, A8)
— 665 —

Если мы заставим г0 стремиться к нулю, одновременно увели-
увеличивая плотность тока так, чтобы величина полного тока оста-
оставалась неизменной, то получим
Нш 1?(у,г) = 1 i7 ПрИ го
г° - ° @ при г < г0, г > гх.
Этот случай соответствует вертикальному отрезку провода, попе-
поперечник которого пренебрежимо мал {вертикальный линейный ток).
Подставив выражение A9) в равенство A5), для значений г,
лежащих вне интервала (г0, г?), получим
B0)
Если точку гх сближать с точкой г0, то, пользуясь разложением
в ряды по малым разностям (гх— z0), найдем, что
Одновременно с уменьшением разности {гх — г0) будем увеличи-
увеличивать / так, чтобы произведение
сохраняло неизменное значение. В пределе, при (zl — г0)—* О,
придем к случаю колебательного электрического диполя с верти-
вертикальной осью и моментом Р, расположенного в точке г = 0, г = г0.
Соотношение B0) примет при этом вид
( ж) при г < z0l
X B1)
ГЦ. е-** (в^о + ^-^о) при z > г0.
Выражения для г < zQ и г > г0 могут быть здесь объединены
в одно:
Ая(у9 z) = ^(e-^z-z^ + e-oi2+z°i)t B2)
пригодное при всех г > 0. Подставив это выражение в фор-
формулу A6) и вспомнив, что q = V\2 — &3> получим:
да
р-\г-2о\
— 666 —

Этот интеграл может быть вычислен с помощью известной из
теории бесселевых функций формулы*
B3)
р Г Ik V(z
cl/H
Ik V(z-zo)* + r* ik V(z+zo)*
+* B4)
Эта формула допускает интересную интерпретацию.
Легко показать, что для диполя, расположенного в бесконеч-
бесконечной однородной среде, направленная вдоль его оси компонента
векторного потенциала равна
??. B5>
где R — расстояние от диполя до точки наблюдения. Сравним это
выражение с B4). Величина V(z — zoJ + r2 в B4) также пред-
представляет расстояние от диполя, расположенного в точке г = 0,
z = z0, до точки наблюдения r = r, z = z (координата <р в силу
симметрии поля может иметь любое значение). Величина же
У(z + z0J -f- r2 формально представляет расстояние от точки на-
наблюдения до точки г = 0, г = —20, представляющей зеркальное
отображение точки r=^0, z = z0 в нижнем полупространстве от-
относительно границы раздела сред (плоскость 2 = 0).
Таким образом, приходим к следующему выводу. Поле, созда-
создаваемое одиночным вертикально ориентированным диполем Р в про-
произвольной точке над идеально проводящей землей, таково же,
как поле, которое создавалось бы в этой точке при отсутст-
отсутствии земли двумя такими же вертикально ориентированными и
колеблющимися в одной фазе диполями, из которых один был бы
расположен в той же точке, что и диполь Р, а другой —в точке,
представляющей ее зеркальное отражение относительно поверх-
поверхности земли. В частности, отсюда следует, что поле диполя, рас-
расположенного на поверхности идеально проводящей земли, удваи-
удваивается по сравнению с полем, которое создавалось бы в атмосфере
при отсутствии земли. Действительно, при z — О формула B4)
даст
что равно удвоенному выражению B5)*
* См. Р. О. Кузьмин [36], схр. 151.
— 667 —

ЗАДАЧИ
1. Исходя из уравнения (*) задачи 1 к предыдущему параграфу, пока-
показать, что в случае среды, электропроводность и диэлектрическая проницае-
проницаемость которой зависят от координаты г (от высоты), вместо уравнения A0)
получим уравнение
где функция \|) = — р.
2. Показать, что при \р = а(г — z0J, где а и z0 — постоянные, однородное
уравнение, соответствующее неоднородному уравнению предыдущей задачи,
приводится к уравнению
решениями которого являются цилиндрические функции
3. Обосновать «закон отражения переменных токов в идеально проводя-
проводящей плоскости», согласно которому электромагнитное поле, созданное систе-
системой протекающих над плоскостью токов, в любой точке над плоскостью сов-
совпадает с полем, которое было бы создано в этой же точке при отсутствии
идеально проводящей плоскости системой токов, образуемых следующим об-
образом. К исходной системе токов присоединяется ее зеркальное отражение
относительно рассматриваемой плоскости. Затем направление токов в отра-
отраженной системе меняется на обратное.
Указание. Для обоснования указанного правила достаточно показать,
что отраженная система токов после изменения их направления создает
в точках плоскости поле, полностью компенсирующее поле, созданное исход-
исходной системой токов
4. Показать, применительно к условиям задачи, решенной в этом пара-
параграфе, что диполь, расположенный в точке N, создает в точке М такое же
поле, какое он создал бы в точке N, будучи расположен в точке М.
§ 3. Вертикальный излучатель в однородной среде
над средой с конечной электропроводностью
Рассмотрим теперь задачу предыдущего параграфа, но при
действии вертикального излучателя над средой с конечной элек-
электропроводностью ог В соответствии с этим будем различать
верхнюю и нижнюю среды. В случае необходимости отметить, что
данная величина относится к какой-либо одной среде, будем
пользоваться индексом е для верхней и индексом /—для нижней
среды.
Постановка задачи, очевидно, в основных чертах останется
той же, что и выше, однако теперь электромагнитное поле будет
отлично от нуля и в полупространстве г<0, в соответствии
с чем уравнение Гельмгольца C) для верхней среды необходимо
распространить и на нижнюю среду, где оно будет однородным
— 668 —

и иметь другое значение параметра k2 = kf:
™) B6)
Далее следует изменить граничное условие. Вместо обращения
в нуль на границе раздела сред тангенциальной компоненты
электрического вектора, теперь следует потребовать непрерыв-
непрерывности тангенциальных компонент векторов поля (гл. XXIX, § 7),
что, в силу D), будет выполнено, если
¦к*-
1 дА
ze
dz
1 dAzi
hj dz
¦ B7)
2 = 0
Эти выражения, очевидно, сохранят свой вид и при замене ком-
компонент Az их преобразованиями Ханкеля.
Для векторного потенциала в верхней среде останется спра-
справедливым соотношение A2), поскольку его вывод не был связан
с использованием граничных условий, а также и A3), поскольку
условия при г —> оо остаются неизменными.
Выражение для преобразования Ханкеля векторного потен-
потенциала в нижней среде можно сразу написать на основании соот-
соотношения A2). Заметив, что в нижней среде сторонние токи
отсутствуют (излучатель предполагается, конечно, расположенным
в верхней среде), вследствие чего /(// (у, г) = 0, и что из условия
стремления к нулю поля при г—*¦ — оо для нижней среды следует
положить В* = 0, получим
Ач(У. *) = 1Г-%С*"> B8)
где <7/ — корень из (y2 — kj), имеющий положительную веществен-
вещественную часть, а С — постоянная.
Для удовлетворения двух граничных условий B7) мы распо-
располагаем двумя постоянными С и В*. Используя граничные условия
B7), придем к уравнениям:
откуда
Дальнейшие выкладки проведем только для случая вертикаль-
вертикального диполя, расположенного в точке г = 0, г = г0. При этом
— 669 —

где Р — момент диполя. После несложных выкладок получим:
B9)
C0)
О < z < z0,
при z> z0,
при г<0.
При zo = O, пользуясь формулой преобразования к перемен-
переменной г, получим решение Зоммерфельда для диполя на проводящей
земле:
B>0), C1)
(r c)_
(z < 0). C2)
Эти выражения значительно сложнее для анализа, чем анало-
аналогичные соотношения в случае идеально проводящей земли.
§ 4. Магнитная антенна над средой с конечной
электропроводностью
Рассмотрим излучатель в форме круглой цилиндрической ка-
катушки с обмоткой из проводника, по которому течет ток. Такой
излучатель с вертикально расположенной осью называют верти-
вертикальной магнитной антенной.
Будем считать, что основание рассматриваемой антенны рас-
расположено на плоской границе раздела однородного диэлектрика
(атмосфера или верхняя среда) и проводника (земля или нижняя
среда). Линии тока будем предполагать концентрическими окруж-
окружностями, лежащими в плоскостях, параллельных поверхности
раздела сред, с центрами, расположенными на оси катушки.
В соответствии с соображениями, изложенными в § 1, ввиду
отсутствия в рассматриваемой антенне вертикальных токов, до-
допустим, что вертикальная компонента векторного потенциала
равна нулю. При этом предположении, в декартовых координатах
с осями хг и х2, расположенными в плоскости горизонта, для
отыскания поля магнитной антенны получим два уравнения:
4jtu .(е) /оо\
= —tit C3)
= f-t?. C4)
— 670 —

Преобразуем эти уравнения к цилиндрическим координатам
г, ф, г, что даст нам возможность исключить еще одну компо-
компоненту векторного потенциала и привести задачу к решению одного
скалярного уравнения. Ось системы (г, ф, г) направим по оси
катушки, а начало расположим на поверхности раздела сред.
Легко видеть, что компоненты произвольного вектора а, вы-
выраженные в декартовой и цилиндрической системах координат,
связаны соотношениями
аг = ах cos ф + а2 sin ф,
а<р = —аг sin ф + а2 cos ф,
откуда, приняв во внимание, что cos ф = —-, a sin ф = ~-, придем
к формулам:
гаг = 0^ + 0^,
1.
Их и используем для проведения преобразования. Умножив урав-
уравнение C3) на xlt а уравнение C4) на х2 и сложив их, с учетом
первой из формул C5), получим
Далее найдем, что
С помощью выражения E2) гл. XVIII для дивергенции вектора
также найдем, что в цилиндрических координатах
дАг . дА2= 1 fdrAr дА9\
дхг дх2 г \ дг ' Эф )
Объединяя найденные выражения и используя выражение для
оператора Лапласа в цилиндрических координатах, получим со-
соотношение
1 д (гдгАЛ. 1
Тд?\ & )~^Т
Раскрыв выражения с производными и приняв во внимание,
что ввиду осевой симметрии поля рассматриваемой антенны век-
— 671 —

торный потенциал от координаты ф не зависит, получим окон-
окончательно:
($)?(*Н«?. Об)
Аналогично, используя вторую из формул C5), получим второе
уравнение:
Поскольку ток кольцевой, то /7"= 0, и уравнение C6) удов-
удовлетворяется, если положить Аг = 0. Мы можем поэтому попытаться
искать решение, используя только уравнение C7). Если компо-
компонента Л9 будет найдена, то компоненты векторов поля смогут
быть найдены из следующих соотношений:
л И 1 дгА* C8)
которые вытекают, как читателя не затруднит проверить, из
формул задачи 2 к § 1 и выражений для векторных операций
в цилиндрических координатах. Мы не будем выписывать урав-
уравнений для обоих рассматриваемых сред раздельно, имея в виду,
что в нижней среде справедливо то же уравнение C7), но без
правой части и с соответственно измененным значением пара-
параметра k2.
На границе раздела сред тангенциальные компоненты векторов
поля должны быть непрерывны (§ 7, гл. XXIX), что, в силу
соотношений C8), даст следующее граничное условие:
^| • C9)
Как и ранее, здесь индексами е отмечены величины, относящиеся
к верхней среде, а индексами i — к нижней. На бесконечности
должно быть выполнено условие излучения. Как и в предыдущих
параграфах, будем предполагать, что внешняя среда обладает
хотя бы ничтожной проводимостью. Это, как мы знаем, автома-
автоматически обеспечивает выполнение условия излучения, причем
векторы поля экспоненциально убывают на бесконечности.
Перейдем к решению задачи. Исключим с помощью интеграль-,
ног о преобразования дифференциальные операции по координате г.
Тем же путем, как и в § 2, найдем, что ядром соответствующего
преобразования должна быть функция Jx(yr). Вследствие этого
следует воспользоваться преобразованием Ханкеля, выполнив
— 672 —

которое приведем граничную задачу C7)—C9) к виду:
D0)
D1)
! дА„.е
~~ \^в ^ 2 = 0
где
00 00
о о
Заметив, что уравнение D0) совпадает с уравнением A0), рас-
рассмотренным в § 2, его общее решение запишем в той же форме:
где 5t и В2 — произвольные постоянные, а через 9 —KV —'
обозначен корень из у2 — k2 с положительной вещественной частью.
Решение D3), вообще говоря, справедливо и для верхней и для
нижней среды, но, конечно, при различных значениях постоянных
В19 В2 и величин, зависящих от характеристик среды. Чтобы
обеспечить обращение в нуль функции А9 при г—> ± оо, для
внешней среды следует положить
D4)
а для нижней, ввиду отсутствия в ней сторонних токов, положить
Яя==?а. = 0. D5)
Учитывая граничные условия D1), для определения постоянных
Ви и В2е получим систему уравнений:
откуда
2е М + М(9 DЬ)
D7)
1
Перейдем к вычислению В1е. Плотность тока, текущего в катушке
антенны, будем считать не зависящей от г и г и равной /0 (равно-
— 673 —

мерное распределение тока). Тогда
7<e>-J /о J * ЛУП г ay при и^
I 0 при z < 0,
где г! —координата верхней плоскости обмотки катушки, а гг и
г2 — внутренний и внешний радиусы обмотки.
Пренебрежем толщиной катушки, устремив г2 к /\, но сохраним
текущий через катушку полный ток неизменным, считая плот-
плотность /0 возрастающей так, что произведение /\ =/0(r2 —rj со-
сохраняет неизменное значение. Применив теорему о среднем, при
этом получим:
~(е) \ /Wl(Yri)ri ПРИ 0^Z^Zlf
/ф =\ 0 при г<0, г>гх.
Величину /\ можно считать здесь плотностью кругового поверхно-
поверхностного тока, текущего по цилиндру г = гх. Отсюда, в силу равен-
равенства D5),
Отметим также, что для z > zx входящие в соотношение D3) инте-
интегралы имеют значения:
Устремляя zx к нулю и одновременно увеличивая /\ так, чтобы
произведение / = /1г1 оставалось неизменным, перейдем к случаю
витка радиуса г19 по которому течет ток силой /. При этом по-
получим:
г г
lim f J^e"^ d? = lim f 7^c d? = Ble = IJX {yrx) rx (z > 0). D8)
Из соотношений D6)—D8) и D4) для круглого витка получим
( 0)
6 (Z<U)-
Перейдем, наконец, к случаю магнитного диполя, для чего
устремим радиус гх витка к нулю, одновременно увеличивая / так,
— 674 —

чтобы магнитный момент витка М = пг\1 сохранял неизменное
значение. Принимая во внимание, что, в силу разложения A4)
гл. XIII, при г1—у 0 функция J1(yr1)
поручим:
е-ч«
Пользуясь обратным преобразованием Ханкеля (85) гл. XXXIII,
найдем выражение для компоненты Л? векторного потенциала
поля магнитного диполя в форме:
0
(г<0). E0)
Эти выражения формально и решают задачу о поле магнитного
диполя, расположенного на границе проводящей среды. Мы при-
придадим им, однако, другой вид и покажем, что для некоторых
случаев поле диполя может быть выражено через элементарные
функции.
Приняв во внимание, что в силу формулы B2) гл. XIII
yj1(yr) — — -j-Jo(yr)> и проинтегрировав соотношения D9) и E0)
по /*, получим:
A,— 2jt&Md4; E1)
где
E2)
E3)
Учитывая, что магнитная проницаемость большинства реальных
сред очень близка к единице, будем далее считать, что
При этом условии, умножив числитель и знаменатель подынте-
грального выражения интеграла E2) на (К?4—%—V"f—Щ), по-
— 675 —

лучим:
/7 = —
4 Jo (v) (V7=K-V?=
ft/ Kq
Воспользуемся уже встречавшейся нам выше формулой
00
JkVlF+y*
Дифференцируя ее дважды по х, получим
в силу чего вышенаписанное выражение можно записать в виде
1 д*
о (yr)Vf=Tf
E4)
Можно показать, что при z—> 0, г>0 последний интеграл стре-
стремится к нулю*. Мы опустим здесь это простое, но длинное
доказательство. При тех же условиях, в силу тождества
получим:
дг* \уг2 + г* /J2=o dz[r дг \V7* + ?> /]г=о г дг\ г ) '
* См., например, Г. А. Гринберг [21], стр. 464.
— 676 —

Произведя соответствующие преобразования в соотношении E4),
придем к формуле Ван-дер-Поля:
771—
1 1 д ( e'V elk'r\
Щ T Тг \- Т) •
позволяющей определить поле на поверхности раздела сред (по-
(поверхности земли).
ЗАДАЧ И
1. Исследовать случай, когда нижняя среда является идеальным провод-
проводником.
2. Пользуясь формулой E5), исследовать поля электрического и магнит-
магнитного векторов на поверхности раздела сред.
§ 5. Поле произвольной системы излучателей
Предположим теперь, что над плоской поверхностью раздела
двух сред, из которых одна является диэлектриком, а другая —
проводником, расположена произвольная ограниченная в про-
пространстве система токов.
Магнитную проницаемость обеих сред будем считать одинаковой
и равной единице. Поставим целью найти векторный потенциал
электромагнитного поля этой системы токов
Плоскость раздела сред примем за плоскость хгх2 прямоуголь-
прямоугольной декартовой системы координат ххх2хъ с осью х3, направленной
в сторону диэлектрика В этой системе координат компоненты
векторного потенциала системы токов удовлетворяют трем скаляр-
скалярным неоднородным уравнениям Гельмгольца:
ДЛв + ?Мв= j%] (a=l» 2, 3), E6)
а векторы поля выражаются через векторный потенциал по фор-
формулам:
LJL (Mi л-М1л-ЁА*\ -1-
_дА1 "^ дЧ J E7)
а дхп< дх
По-§ 7 гл. XXIX на границе раздела сред должны быть
непрерывны тангенциальные компоненты электрического и магнит-
магнитного векторов. В силу равенств E7) это приводит к следующим
граничным условиям для компонент векторного потенциала:
дАа __ дАа I , , 9v
дх3 *8=+о 0*8 Us=-o v°°/
1 (_Ml J- d^2 | дЛ3\| _ 1 / дАг . дА2 . dAs
W \ дхг ~"~ дх2 ' ^з у|^з=+о"" k2 \ дхх * дх2 дх9
— 677 —

где обозначения xs= + 0 и х3= —0 указывают, что берутся пре-
предельные значения соответствующих величин при приближении к
поверхности л;3 = 0 соответственно сверху и снизу. Индексы е и i,
применявшиеся в предыдущих параграфах, мы здесь не используем,
чтобы не усложнять обозначений.
Преобразуем задачу E7) — E8), исключив с помощью интег-
интегральных преобразований дифференциальные операции по перемен-
переменным хх и х2. Дифференциальные выражения по хг и х2, входящие
в систему уравнений E6), имеют вид —f-. С выражениями этого
dxf
вида мы уже встречались в § 1 гл. XXXV, где установили, что
при изменении переменной в интервале (— оо, оо) к ним следует
применять преобразование Фурье. Таким образом, мы должны
дважды применить преобразование Фурье по координатам хх и х2.
Осуществив это, придем к системе обыкновенных дифференциальных
уравнений:
J^—q*Ja = _ii /?>, E9)
dxs c
где
00 Q0
/ 1 \ о Г* Г*
1х„ F0)
-00 -ОО
00 00
-k\ F2)
и граничным условиям:
Iak=+o = Xk=-o (a=l,2,3), F3)
n («=1, 2), F4)
дх3
дхъ
F5)
Найдя решение системы E9), удовлетворяющее условию излу-
излучения на бесконечности и граничным условиям F3) — F5), мы
получим возможность, используя формулы обратного преобразо-
преобразования Фурье, представить компоненты искомого векторного потен-
потенциала поля в форме интегралов от известных величин:
00 00
Л.(*1, *.. *.)= S S 3-Gi« Ь, xjef^+budbdZ,, F6)
— 00—00
что и даст решение поставленной задачи.
— 678 —

Выкладки, приводящие к определению величин ~Ла из системы
E9) и условий F3)—F5), существенно облегчаются тем, что каждое
из первых двух уравнений E9) можно решать независимо от
остальных уравнений. Действительно, граничные условия F3)—F5)
можно разбить на группы:
3 = Н- 0 ^1 |*3=:-О,
^ дА1
дх:
= + 0
-о' F7)
F8>
F9)
Каждая из первых двух групп условий независима от остальных,
откуда и вытекает сделанное утверждение.
Рассматриваемое обстоятельство особенно существенно тогда,
когда свойства среды зависят от одной из координат (меняются
с высотой). Выбрав в качестве последней координату х3, можно
решать задачу последовательно, найдя сначала функции Ах и А2
и затем подставив их в третье уравнение (см. задачи 2 и 3).
Из условий F7)—F9) также следует, что при наличии системы
токов, параллельных границе раздела сред, нормальную к границе
составляющую векторного потенциала нельзя положить равной
нулю, так как тогда нельзя удовлетворить граничным условиям
F9) Однако, если горизонтальный ток линеен, например, для
определенности, течет вдоль оси ху, то можно положить Л2 = 0.
При этом, как мы увидим в следующем параграфе, система гра-
граничных условий F7) — F9) может быть удовлетворена.
ЗАДАЧИ
1. Составить систему уравнений, определяющих векторный потенциал поля
произвольной системы излучателей, для случая, когда свойства среды зависят
от одной из координат Применяя преобразование Фурье, привести эту систему
к системе обыкновенных дифференциальных уравнений.
Указание. Использовать систему уравнений (*) задачи 1 к § 1.
2. Показать, что система уравнений предыдущей задачи распадается на
систему двух уравнений Гельмгольца и одно уравнение с переменными коэф-
коэффициентами, причем все эти уравнения могут быть решены последовательно.
Свойства среды считать изменяющимися непрерывным образом (поверхности
раздела отсутствуют).
3. Составить граничные условия для случая произвольной системы гори-
горизонтальных токов.
4. Выяснить возможность использования преобразования Фурье вместо
преобразования Ханкеля для решения задачи, рассмотренной в § 2.
— 679 —

§ 6. Горизонтальный излучатель над средой
с конечной электропроводностью
Под горизонтальным излучателем будем понимать ограниченную
в пространстве систему токов, параллельных некоторому направ-
направлению на плоскости раздела двух сред. Направив по нему ось хи
в соответствии с замечаниями в конце предыдущего параграфа
положим компоненту А2 векторного потенциала равной нулю (ось
хЗУ как и выше, предполагается перпендикулярной поверхности
раздела сред). Тогда для определения поля горизонтального
излучателя получим два уравнения:
6 I 3 ' \ '
решения которых, в силу соотношений E8), должны быть найдены
при следующих граничных условиях на поверхности раздела:
дА, _ дАх (?2)
— Л I i ( дА1 дЛ3
3= +0 - Л3 |,,s_o, - {-+
дх3
Кроме того, на бесконечности должно удовлетворяться условие
излучения. Как и в § 5, предполагаем, что магнитная проница-
проницаемость обеих сред равна единице.
Двукратное применение преобразования Фурье по переменным
хх и х2, согласно изложенному в § 5, приведет нас к системе
обыкновенных дифференциальных уравнений вида E9):
L G4)
G5)
q2 = l2i + z>l—k2, G6)
и системе граничных условий, которым должны удовлетворять их
решения, вида F3)—F5):
^|^| dAi I _. d^i /77ч
й \ UX9 / |*8 = + О
— 680 -

Кроме того, решения системы G4) —G5) должны стремиться к
нулю при х3 —* оо по условию излучения.
Найдем сначала решение уравнения G4) при граничных усло-
условиях G7). Общий интеграл уравнения G4)*
.
G9)
где В19 В2— произвольные постоянные, a q—тот корень из q2t
вещественная часть которого положительна. Величины, относя-
относящиеся к верхней и нижней средам, будем в дальнейшем, как и
ранее, отмечать индексами е и i.
По условиям на бесконечности
(80)
Для определения постоянных Bie и Ви имеем два уравнения:
откуда
^7
В - 2gi В
Введем обозначения:
Ъ^^Ъ-л$» ^^^T^dl. (81)
о о
При этих обозначениях найдем, что
(^S )] (Хз > 0)> (82)
(83)
причем, конечно, предполагается, что в нижней среде сторонние
токи отсутствуют. В частности, при х3 = 0
(84)
Перейдем к уравнению G5). Его общий интеграл
* См. В. И. Смирнов [1], т. II, §28.
22 № 645 — 681 —

где С, и С2—произвольные постоянные. По условиям на беско-
бесконечности для верхней и нижней сред
Первое из условий G8) даст
г
в силу чего
х3>0,\
0.i (85)
x3<
Для определения С воспользуемся вторым из условий G8), кото-
которое с учетом соотношения (84) даст
Отсюда, приняв во внимание, что в силу формулы G6)
получим
Теперь компоненты Аг и Л3 векторного потенциала могут быть
представлены в форме интегралов
Aa= ) j 4^'<u,+U)d?id^ (o-l, 3), (87)
— 00 — 00
и, тем самым, задача определения поля горизонтального излуча-
излучателя решена полностью.
Рассмотрим наиболее интересные частные случаи линейной
антенны и горизонтально ориентированного диполя.
Линейную антенну будем рассматривать как предельный слу-
случай излучателя квадратного сечения с равномерно распределен-
распределенным по сечению током плотностью /0, когда сторона квадрата,
длину которой обозначим через 2а, стремится к нулю. Ось
излучателя будем считать расположенной на расстоянии x3 = h
от поверхности раздела со средней точкой на оси х3. Длину
излучателя обозначим через 2/.
Осуществляя преобразование Фурье, найдем, что
+/ а
/о \ е^хХх ^xi \ e^2*2 dx% = yy s*n & sm ?га
-/ -а
при h—а <х3<Н + а,
О при *3</i—а, х31
— 682 —

откуда
шsin u sin Ь" -S?" (eVe°~e""а) при х> >h+a-
0 при a:3^/i—а.
Устремим теперь а к нулю, одновременно увеличивая "плот-
ность тока /0 так, чтобы произведение / = 4/0а2, равное полному
току через сечение излучателя, сохраняло прежнее значение.
В результате получим:
при х3 < ft.
Аналогично найдем, что
при х3 > ft,
О при л:3 < ft.
Пользуясь этими выражениями, в силу формул G9)—(81) и (86),
получим:
-I
1 ПРИ Xg > ft,
О ПРИ Xg ^ ft,
?2?Л При Х3 > ft,
О при ;
8ш7 sin ?х/
откуда, в силу формул (82), (83) и (85), для линейной антенны:
gf)e-^] (О
Чтобы перейти от случая линейной антенну к случаю гори-
горизонтально ориентированного диполя, устремим I к нулю, но так,
22* — 683 —

чтобы произведение Р — 2П оставалось неизменным. Это даст:
(^ > 0),
(хя<0).
Из полученных соотношений легко получить формулы Гер-
шельмана и Зоммерфельда, данные ими для диполя, расположен-
расположенного на поверхности раздела сред. Положив в вышенаписанных
соотношениях /i = 0 и применив обратное преобразование Фурье,
получим:
1
л3
А3
— со
00
— со
со
_iP С
~~пс )
— со
со
ТТЛ» 1
— СО
со
— со
со
— со
со
{
Введем цилиндрические координаты (г, ср, г), направив ось г по
оси л:3 и отсчитывая угол <р так, чтобы было
кх = г cos ф, х2 = г sin ф,
а также положим
откуда, в частности, будет следовать, что
При этом первый из написанных выше интегралов может быть
преобразован к виду:
— 684 —

Согласно известной формуле теории бесселевых функций
имеем
в силу чего окончательно получим
где
Аналогичным путем также найдем, что
Л1- с J
О
J /V(V)
О
_2(fe|-fe|)P
А,- с
j
о
2(fe|-fe|)P
Л3- с COSфj
О
где
Это и есть упомянутые выше формулы Гершельмана и Зом
фельда.
ЗАДАЧИ
1. Показать, что на границе раздела сред:
2Р l d
л -
(
c(kt-kf) rdr\ г
2. Исследовать случай, когда нижняя среда — идеальный проводник.
— 685 —

Глава XXXVII
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
§ 1. Уравнения движения вязкой жидкости
В § 2 гл. VIII мы вывели уравнения движения идеальной
жидкости (уравнения Эйлера):
.%~ifc 0-1. 2.3) A)
и выяснили, что для соблюдения закона сохранения массы на-
наряду с системой A) движение любой жидкости должно удовлет-
удовлетворять также уравнению неразрывности:
3?
Напомним, что р — плотность жидкости, vi(i = lJ 2, 3) — компо-
компоненты вектора v скорости жидкости, а р—давление.
Имея в виду обобщить уравнения Эйлера на случай вязкой
жидкости, определим, как меняется импульс pv единицы объема
идеальной жидкости. Имеем
д dv; . до
Приняв во внимание формулы A) и B), после несложных, пре-
преобразований получим:
Введя символ
б.- f= \ ~ .
17 I О, 1=И=/,
запишем последнее соотношение в форме
з
где
Система уравнений C) представляет преобразованную форму сис-
системы уравнений Эйлера.
— 686 —

Чтобы выяснить физический смысл величин П/у, проинтегри-
проинтегрируем уравнения C) по произвольному объему V и применим к их
правым частям формулу Остроградского —Гаусса. Это даст
| $ДОPvidv = -ДО(? п,Л) as (* = i, 2, з),
где WV — поверхность, ограничивающая объем V, а па (а=1,
2, 3)—направляющие косинусы внешней нормали к &V. Слева
здесь стоят скорости изменения i-тых компонент импульса жидкости,
3
содержащейся в объеме V. Стало быть, величины —( ^ П/аяа )dS
\а = 1 /
представляют потоки сквозь поверхность WV количества соответ-
соответствующих компонент импульса, передаваемые из объема V за еди-
единицу времени сквозь элемент поверхности dS. Если нормаль к по-
поверхности WV направлена вдоль оси /, то
a=l
откуда ясно, что (— П/7) есть количество r-той компоненты им-
импульса, передаваемое в направлении оси / сквозь единичную
площадку, нормальную этой оси, за единицу времени. Вектор П/
с компонентами П^, П/2, П/3 будем называть потоком i-й ком-
компоненты импульса.
Выражение D) показывает, что поток импульса в идеальной
жидкости возникает вследствие действия сил давления и механи-
механического перемещения жидкости. Между соприкасающимися частями
вязкой жидкости, кроме сил давления, нормальных к границе
соприкосновения, действуют силы, лежащие в плоскости, каса-
касательной к границе, и стремящиеся уменьшить относительную ско-
скорость соприкасающихся частей жидкости. Это последнее явление
и называется вязкостью. Наличие вязкости, очевидно, должно
привести к появлению в выражении компонент вектора П,- членов,
характеризующих вязкий перенос импульса. Совокупность этих
членов мы обозначим через (—о^), в соответствии с чем вектор
П,- потока i-й компоненты импульса в вязкой жидкости определим
с помощью соотношений:
П/7 = рЬи—о'ц + pup,. E)
Зависимость величин а'ц от скорости жидкости может быть
установлена из следующих соображений. При отсутствии переме-
перемещения одних частей жидкости относительно других член а'ц должен
обращаться в нуль. Следовательно, величина о// зависит не от
dvt
самой скорости жидкости, но лишь от ее производных ^ по
— 687 —

координатам. Эту зависимость в первом приближении будем считать
линейной.
При равномерном вращении жидкости как целого относитель-
относительные движения частей жидкости отсутствуют. Следовательно, ве-
величины о'ц зависят не непосредственно от производных ~, но
OXj
лишь от таких комбинаций их, при которых из соотношения
A 9 3
1, Z, о,
3, 2, 1,
2, 1, 3,
где (о^ со2, со3 — компоненты вектора угловой скорости жидкости,
вытекает, что o}j = 0. Линейными комбинациями производных,
удовлетворяющими этому требованию, являются выражения:
3
Вектор наиболее общего вида, который можно образовать из этих
выражений, будет иметь компоненты:
а=1
где величины г) и % не зависят от скорости жидкости. Это выра-
выражение обычно преобразуют к виду:
а = 1
при котором сумма членов с i = j не зависит от т|. Величины т] и ?'
называют коэффициентами вязкости. Для реальных жидкостей
оба эти коэффициента положительны.
Заметив, что система C) связывает производные i-x компонент
импульса единицы объема жидкости с потоком этих компонент и,
следовательно, ее вид не зависит от конкретной картины сил, дей-
действующих в жидкости, для отыскания уравнений движения вязкой
жидкости подставим в систему C) выражения E) при только что
определенных общих выражениях для членов о'ц. В результате по-
получим наиболее общую систему уравнений движения вязкой жид-
жидкости:
а=1 '
A = 1, 2, 3). F)
— 688 —

Если коэффициенты г\ и ? постоянны во всей массе жидкости,
эта система примет вид:
(* = 1, 2, 3), G)
где А —оператор Лапласа. Наконец, если жидкость несжимаема, то
з
V -^. = 0, и мы придем к системе уравнений Навье — Стокса:
(8)
= —
где v = — — коэффициент кинематической вязкости.
К системе уравнений движения вязкой жидкости при решении
конкретных задач следует присоединить еще уравнение неразрыв-
неразрывности B), вид которого одинаков для идеальной и вязкой жид-
жидкостей.
Граничные условия для системы уравнений движения вязкой
жидкости установим из физических соображений.
Благодаря действию сил молекулярного сцепления, слой жид-
жидкости, непосредственно прилегающий к твердой стенке, движется
(или покоится) вместе с этой последней. Поэтому на границе,
разделяющей твердую и жидкую среды, следует принять
v{ = vic (i=l, 2, 3), (9)
где vic — компоненты скорости перемещения границы (твердой
стенки).
По тем же соображениям, скорости соприкасающихся жидкостей
на разделяющей их границе также должны быть равны. Однако,
так как граница соприкосновения жидкостей деформируема, мы дол-
должны ввести добавочное условие, что силы, с которыми жидкости
действуют друг на друга на границе, равны по величине и противо-
противоположны по направлению. Для математической формулировки по-
последнего условия заметим, что на основании второго закона Ньюто-
Ньютона компоненты вектора силы, действующей на элемент поверхности
dS, равны потоку соответствующих компонент импульса через этот
элемент поверхности. Относя силу к единице площади, для ее ком-
компонент Pt получим выражение:
3 3 4
Р; = 2 П,«яв = pv, 2 V». - 2 °/«я« (« = 1, 2, 3),
а=1 а=1 а=1
где па (а=1, 2, 3) — направляющие косинусы нормали к поверх-
поверхности, а
— 689 —

Величины, относящиеся к одной из жидкостей, будем отмечать верх-
верхним индексом а, а к другой — верхним индексом Ъ. При этом усло-
условие равновесия сил примет вид Р$а) = Pf\ Заметив, что я}а) = — п)а\
и v)a) =vf} запишем условие равновесия в окончательной форме:
i?o№na= Sa^/i. (i = l, 2, 3), A0)
а=1 а=1
где в качестве величин па можно подставить либо п^\ либо п^К
Отметим, что силу, приложенную к единичной площадке, произ-
произвольным образом ориентированной в вязкой жидкости, можно раз-
разложить на две составляющих: нормальную
a="l ' a~l w " ?= a~l и ?
и тангенциальную, выражение для которой мы выписывать не будем.
Совокупность членов в выражениях для этих составляющих, не за-
зависящую от компонент скорости vh называют напряжениями, соот-
соответственно нормальным и скалывающим (или тангенциальным).
Таким образом, граничное условие A0) представляет условие равен-
равенства напряжений в обеих жидкостях на границе их соприкосно-
соприкосновения.
Перейдем, наконец, к граничному условию на свободной поверх-
поверхности вязкой жидкости. Напряжение на свободной поверхности,
очевидно, должно быть равно нулю, что приведет к условию
3
о[лпа = 0 (i=l, 2, 3),
или
3
РЩ— 2a>a = 0> (И)
a=l
где па (а=1, 2, 3) —направляющие косинусы нормали к свобод-
свободной поверхности.
ЗАДАЧИ
1. Показать, что решения системы уравнений Эйлера A) в общем случае
не могут удовлетворить граничному условию на твердой неподвижной стенке
вида V( = 0 (i = l, 2, 3), справедливому в случае вязкой жидкости.
2. Показать, что компоненты вектора силы, действующей на единицу пло-
площади твердой плоской неподвижной поверхности, расположенной в вязкой
несжимаемой жидкости, перпендикулярно оси х1} равны
— 690 —

3. Показать, что если коэффициенты р ^ постоянны во всей массе вяз-
вязкой жидкости, то скалывающие напряжения в жидкости не зависят от давле-
давления, но лишь от ее внутреннего движения.
4. Показать, что в цилиндрических координатах система уравнений Навье—•
Стокса и уравнение неразрывности имеют вид:
2
dvr dvr Vy dvr dvr УФ
dT+Vr ~a7+7" d^+v* ai"-"^
1 dp /d2vr 1 d2vr дЧг 1 dvr 2 dvo
+ + + +
W+Vr a7+T
1 dp
duz dvz vo dvz dvz 1 dp /d*vz 1 d4z d*vz J, dvz
+V ++ +V V + + +
"a7+7 a^'
§ 2. Движение вязкой жидкости в полупространстве
над вращающимся диском бесконечного радиуса
Во всех случаях, когда нелинейные члены в уравнениях движе-
движения вязкой жидкости не равны нулю в силу данных задачи, точное
решение этих уравнений представляет значительные трудности и в
большей мере опирается на интуицию и догадку, чем на какой-либо
широко применимый метод. Примеры точных решений уравнений
движения вязкой жидкости приводятся в этом и следующем пара-
параграфах.
Рассмотрим задачу Кармана: бесконечный плоский диск вра-
вращается вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью со; надо
найти установившееся движение вязкой жидкости, соприкасающей-
соприкасающейся с диском и заполняющей полупространство над ним.
Введем цилиндрическую систему координат г, ф, z, направив
ось z по оси диска и выбрав его поверхность в качестве плоскости
z = 0.
В каждой из плоскостей z = const будем различать два дви-
движения: круговое, обусловленное вязкими силами в увлекаемой
диском жидкости, и радиальное, направленное по радиусам от
оси z и обусловленное силами инерции. Кроме того, должно
существовать вертикальное движение, восполняющее отток жид-
жидкости от оси z в радиальном движении. Скорость вертикального
движения, направленного к диску, должна возрастать по мере
удаления от диска, соответственно возрастающему общему коли-
количеству жидкости, оттекающей от оси z в части пространства меж-
между диском и рассматриваемой плоскостью.
— 691 —

Мы потребуем, чтобы осевая составляющая скорости vz на
бесконечности оставалась конечной. Это возможно только в том
случае, если скорость vr радиального оттока жидкости от оси г
неограниченно убывает с ростом г. В свою очередь это предпо-
предполагает неограниченное убывание сил инерции, что возможно толь-
только при стремлении скорости v^ кругового движения к нулю при
2->оо. При z = 0 скорость жидкости совпадает со скоростью по-
поверхности диска.
Таким образом, придем к следующим граничным условиям:
vr\z=0=0, Vy\z=0 = o)rt vz\z=0 = 0,
1>г|2=оо=0, V(?\z=x>=0, \VZ\ |2=Oo <OO.
Будем искать решение, предполагая, что скорости радиально-
радиального и кругового движений пропорциональны расстоянию от оси
вращения диска, а вертикальная скорость и давление постоянны
в каждой из плоскостей, параллельных плоскости диска. Совмес-
Совместимость этих предположений с данными задачи будет вытекать
из непротиворечивости результатов, к которым мы придем. Если
бы возникло противоречие, то пришлось бы, используя те или
иные физические соображения, выдвинуть иную гипотезу о свой-
свойствах искомого решения и сделать новую попытку прийти к не-
непротиворечивым результатам.
В соответствии со сделанными предположениями будем искать
решение в виде
где
Множители перед функциями F> G, Н и Р выбраны так, чтобы
эти функции были безразмерны, кроме того, вместо г введен без-
безразмерный аргумент ?.
Подстановка величин E) в уравнения Навье—Стокса и нераз-
неразрывности, записанные в цилиндрических координатах (см. задачу 4
к § 1), и в соотношения A2) для определения функций F, G, //
и Р приведет нас к системе обыкновенных дифференциальных
уравнений:
F2-G2 + F'H = F\ 2FG + G'H = G",
НН' = Р' + Н\ 2F + H'=0, ( }
и граничным условиям:
F|o = O G|0 = l Я|0 = 0,
<оо Ki }
Таким образом, задачу для системы уравнений в частных
производных мы привели к задаче для системы обыкновенных
— 692 —

дифференциальных уравнений, чем мы здесь и ограничимся. Отме-
Отметим лишь, что решение последней задачи в классе функций с
непрерывными первыми и вторыми производными существует.
Функции F9 G и Н были вычислены с помощью численного ин-
интегрирования. Их графики читатель может найти в книге Ландау
и Лифшица [42].
Если на основании физических соображений считать, что реше-
решения стационарных задач гидродинамики вязкой жидкости в классе
ограниченных функций с непрерывными первыми и вторыми
производными единственны, то решение системы A3), удовлетво-
удовлетворяющее граничным условиям A4), и есть искомое.
§ 3. Движение вязкой жидкости в плоском диффузоре
Рассмотрим двугранный угол, образованный двумя плоскими
стенками. Предположим, что вдоль линии пересечения стенок
происходит истечение вязкой несжимаемой жидкости, текущей
далее между стенок. Найдем установившееся движение жидкости.
Линию пересечения стенок примем за ось z цилиндрических
координат. Координату ф будем отсчитывать от плоскости, делящей
двугранный угол пополам.
По соображениям симметрии движение будем считать плоским
(чисто радиальным), вследствие чего положим:
v9 = vz = 0, vr = v(r, ф).
При этом уравнения Навье — Стокса и неразрывности (см. задачу 4
к § 1) примут вид
dv _ 1 dp ( d2v , 1 d2v , 1 dv v
V a7""~y"a7"l"VV дг* +72 дер* + г дг~г*
1 dp 2v dv п
^ = 0. A7)
На стенках скорость жидкости равна нулю, т. е.
,|ф=±«. = 0, A8)
где а—угол между стенками.
Из уравнения A7) ясно, что произведение /^ зависит только отф.
Введя безразмерную функцию
из уравнения A6) получим
1 dp __ 12v2 &и_
р дф ~" г2 с(ф '
— 693 —

откуда
Подставив это выражение в уравнение A5), получим
Левая часть этого уравнения зависит только от ф, а правая —
только от г, следовательно, они равны постоянной, которую
обозначим через 2\ix. Приняв это во внимание, получим:
Из последнего уравнения следует, что
+const,
вследствие чего давление определится выражением
где р0 — произвольная постоянная.
Первое из уравнений A9) умножим на du и проинтегрируем,
что даст
±($y -2w-2pt = 0, B0)
где (х2 — постоянная. Разделив здесь переменные, получим
1 du
откуда
и
Г* At
B2)
где иг — еще одна произвольная постоянная.
Для определения постоянных \ilt \i2 и их получим три уравнения:
а/2 а/2
\ pvr d<p = 6vp \ и d($ = Q, B3)
а/2 —а/2
U (Ф) | ф= _а = О, U (ф) | ф=_ а_= 0, B4)
первое из которых выражает требование, чтобы через любое сече-
сечение г = const проходило одинаковое количество Q>0 жидкости,
а вторые два являются следствием граничного условия A8).
— 694 —

Безразмерную величину
R^~^> B6)
характеризующую соотношение между расходом жидкости и ее
кинематической вязкостью, называют числом Рейнолъдса для
рассматриваемого течения.
Таким образом, первоначальную задачу мы привели к задаче,
в которой неизвестная функция и определяется некоторыми интег-
интегральными соотношениями. Оказывается, что при этом мы полу-
получаем возможность изучить ряд свойств решения первоначальной
задачи.
Найдем условия, при которых движение жидкости симмет-
симметрично относительно плоскости ф = 0 и скорость жидкости v на
каждой из поверхностей г = const монотонно меняется от 0 при
В точке максимума -г- =
следует, что и0 — корень уравнения
В точке максимума-^— = 0. Из соотношения B0) поэтому
вследствие чего выражение под знаком корня в уравнении B2)
можно записать в форме
где
qo=u2o + uo — fxx.
Заметив, что при ср = 0 должно быть и = uOi запишем уравнение B2)
в виде:
±
о
Здесь вместо постоянных ц^ и \i2 фигурируют две новые не-
неизвестные постоянные и0 и <70- Используя граничное условие B4),
для их определения получим уравнение
^ B7)
Подставив в граничное условие B3) выражение B1) для dq>
и приняв во внимание, что функция а(ф) симметрична относи-
относительно плоскости ф = 0, получим второе уравнение:
6Г° , Ш =R- B8)
J ^("о-?)Й2 + A + "M + ^]
о
— 695 —

Из уравнения B7) легко видеть, что а — монотонно убываю-
убывающая функция по каждому из аргументов и0 и q0. Следовательно,
это уравнение при фиксированном а определяет и0 как монотон-
монотонно убывающую функцию q0. Анализ уравнения B8) показывает,
что R, как функция и0У q0, монотонно убывает с ростом q0
и возрастает с ростом и0.
Фиксируем значение а. Наименьшее возможное значение q0
равно нулю, так как при q0 < 0 интеграл в левой части форму-
формулы B7) становится комплексным. Значению qo — O соответствует
наибольшее возможное при данном а значение w0, определяющее
наибольшее, совместимое с данным а, значение R = RKp. При
этом с ростом а величина RKp, очевидно, убывает. При R >RKp
движение рассматриваемого типа в диффузоре невозможно, так
как становится несовместимым с уравнениями B7) и B8). Более
подробный анализ (см. задачу 1) показывает, что при а—>п зна-
значение RKp стремится к нулю, а при а —* 0 значение RKp стремит-
стремится к бесконечности.
Таким образом, с ростом R при R = RKp симметричное рас-
расходящееся (v^O) при всех ф движение в диффузоре становится
невозможным и сменяется другим типом движения. Формальное
исследование соотношений B2) — B4) показывает, что функция
и (ф) при R > RKp имеет несколько максимумов и миниму-
минимумов, причем с ростом R число чередующихся максимумов и мини-
минимумов возрастает, а в точках минимума и (ф) < 0. Следователь-
Следовательно, должны существовать области как вытекающих, так и
втекающих в диффузор потоков. Практически однако такого
типа движения, при R заметно превосходящих RKp, не реа-
реализуются, так как они оказываются неустойчивыми. Именно,
при R> RKp малые внешние возмущения, а также малые откло-
отклонения граничных условий приводят к резкому изменению дви-
движения, приобретающему вследствие этого нестационарный турбу-
турбулентный характер. Число R = RKp называют критическим числом
Рейнольдса.
ЗАДАЧИ
1. Вывести формулы:
Л/2
/
J
Я/2
о
параметрически связывающие критическое число Рейнольдса RKp с углом а
между стенками диффузора. Опираясь на эти формулы, показать, что: 1) при
а -> я параметр k -*• 0 и RKp •+ 0, 2) при а -> 0 параметр k -> —-rr=r , a RKp ~+ оо.
— 696 —

Указание. Следует исходить из формул B7) и B8) при (/0 = 0и ввести
k2= ^\°2и •
2. Показать, что при конфузорном течении, когда вдоль линии пересече-
пересечения стенок происходит не истечение, а сток вязкой жидкости (Q < 0), воз-
возвратного движения жидкости не возникает, именно движение при г > 0, а < к
симметрично относительно плоскости ф = 0 и направлено в сторону линии стока
при всех значениях числа Рейнольдса: RKp ==—-.
Указание. При конфузорном течении функция и (ф) является решением
уравнения
и
2Ф
= ± Г
J
-«о
где величины w0, q0 определяются из условий
-и0
о
к — о
-и,

ЛИТЕРАТУРА
Общие курсы
1. Смирнов В. И. Курс высшей математики. Тт I — V Физматгиз
1958—1960.
2. Зоммерфельд А. Дифференциальные уравнения в частных произ-
производных физики. ИЛ, 1950.
3. Кошляков Н. С, ГлинерЭ. Б., Смирнов М. М. Дифферен-
Дифференциальные уравнения математической физики, Физматгиз, 1962.
4. Курант Р.,Гильберт Д. Методы математической физики. Тт. 1—II.
Гостехиздат, 1957.
5. Курант Р. Уравнения с частными производными. «Мир», 1964.
6. Левин В. И., Гросберг О. Ю. Дифференциальные уравнения
математической физики. Гостехиздат, 1951.
7. Морс Ф. М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. Тт. 1—2.
ИЛ, 1958, I960.
8. Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производ-
производными. Гостехиздат, 1953.
9. Положий Г. Н. Уравнения математической физики. «Высшая шко-
школа», 1964.
10. С м и р н о в М. М. Дифференциальные уравнения в частных произ-
производных второго порядка. «Наука», 1964.
11. Соболев С. Л. Уравнения математической физики Гостехиздат, 1954.
12. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической
физики. Гостехиздат, 1953.
Литература по отдельным проблемам
математической физики
13. Бейт мен Г. Математическая теория распространения электромаг-
электромагнитных волн. Физматгиз, 1958.
14. В а тс он Г Н. Теория бесселевых функций. Чч. 1—II. ИЛ, 1949.
15. В и л е н к и н Н. Я. Специальные функции и теория представлений
групп. «Наука», 1965.
16. Г е л ь ф а н д И. М„ Шилов Г. Е. Обобщенные функции и действия
над ними. Физматгиз, 1958.
17. Г л а з м а н И. М. Прямые методы качественного спектрального ана-
анализа сингулярных дифференциальных операторов. Физматгиз, 1963.
18. Г обе он Е. В. Теория сферических и эллипсоидальных функций.
ИЛ, 1952.
19. Гохман Э. X. Интеграл Стилтьеса и его приложения. Физматгиз,
1958.
20. Г р е й Э., Мэтьюз Г. Б.. Функции Бесселя и их приложения к
физике и механике. ИЛ, 1953.
— 698 —

21. Гринберг А. Г. Избранные вопросы математической теории элект-
электрических и магнитных явлений. Изд. АН СССР, 1948.
22. Г ю т н е р Н. М. Теория потенциала и ее применение к основным
задачам математической физики. Гостехиздат, 1953.
23. Дёч Г. Руководство к практическому применению преобразования
Лапласа. Физматгиз, 1958.
24. Джексон Д. Ряды Фурье и ортогональные полиномы. ИЛ, 1948.
25. Диткин В. А., Прудников А. П. Операционное исчисление
по двум переменным и его приложения. Физматгиз, 1958.
26. Дьедонне Ж. Основы современного анализа. Мир», 1964.
27. 3 и г м у н д А. Тригонометрические ряды. Гостехиздат, 1939.
28. Зоммерфельд А. Электродинамика. ИЛ, 1958.
29. К а р с л о у К. С. Теория теплопроводности. Гостехиздат, 1947.
30. К и с у нь к о Г. В. Электродинамика полых систем. Изд. ВКАС, 1949.
31. Коддингтон Э. А., Левинсон Н. Теория обыкновенных диф-
дифференциальных уравнений. ИЛ, 1958.
32. К о р е н е в Б. Г. Некоторые задачи теории упругости и теплопро-
теплопроводности, решаемые в бесселевых функциях. Физматгиз, 1960.
33. К о ч и н Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисле-
исчисления. «Наука», 1965.
34. К о ч и н Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гид-
гидромеханика. Гостехиздат, 1948.
35. Кратцер А., Франц В. Трансцендентные функции. ИЛ, 1963.
36. Кузьмин Р. О. Бесселевы функции. Гостехиздат, 1935.
37. К у п р а д з е В. Д. Граничные задачи теории колебаний и интеграль-
интегральные уравнения. Гостехиздат, 1950.
38. Ладыженская О. А. Смешанная задача для гиперболического
уравнения. Гостехтеориздат, 1953.
39. Ладыженская О. А. Математические вопросы динамики вязкой
несжимаемой жидкости. Физматгиз, 1961.
40. Ладыженская О. А., Уральцев а Н. Н. Линейные и квази-
квазилинейные уравнения эллиптического типа. «Наука», 1964.
41. Ламб Г. Гидродинамика. Гостехиздат, 1947.
42. Л а н д а у Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика сплошных сред. Гос-
Гостехиздат, 1954.
43. Лебедев Н. Н. Специальные функции и их приложения. Физмат-
Физматгиз, 1963.
44. Л е в и т а н Б. М. Разложения по собственным функциям дифферен-
дифференциальных уравнений второго порядка. Гостехиздат, 1950.
45. Лурье А. И. Операционное исчисление. Гостехиздат, 1950.
46. М и р а н д а К. Уравнения с частными производными эллиптического
типа. ИЛ, 1957.
47. Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике.
Гостехиздат, 1957.
48. Мор з Ф. Колебания и звук. Гостехиздат, 1949.
49. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной.
ГИТТЛ, 1957.
50. Ра мо С, Уиннери Т. Поля и волны в современной радиотех-
радиотехнике. Гостехиздат, 1948.
51. Рэлей. Теория звука. Тт. I—II. Гостехиздат, 1955.
52. Снеддон И. Преобразование Фурье. ИЛ, 1955.
53. Сретенский Л. Н. Теория ньютоновского потенциала. Гостехиз-
Гостехиздат, 1946.
54. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. Физмат-
Физматгиз, 1959. 1Q48
55. Стреттон Дж. А. Теория электромагнетизма. Гостехиздат. iswj.
56. Титчмарш Э. Ч. Разложения по собственным функциям, связан
— 699 —

ные с дифференциальными уравнениями второго порядка. Тт. 1—2. ИЛ, 1950,
1961.
57. Трантер К. Дж. Интегральные преобразования в математической
физике. Гостехиздат, 1956.
58. Уиттекер Э. Т., Вате он Дж. Н. Курс современного анализа.
Тт. I —II. Физматгиз, 1963.
59. Уфлянд Я. С. Интегральные преобразования в задачах теории
упругости. Изд. АН СССР, 1963.
60. Ш в а р ц Л. Математические методы для физических наук. «Мир», 1965.
61. Шилов Г. Е. Математический анализ. Специальный курс. Физмат-
Физматгиз, 1960.
62. Ш и л о в Г. Е. Математический анализ. Второй специальный курс.
«Наука», 1965.
63. Янке Е., Эмде Ф. Таблицы функций с формулами и кривыми,
Гостехиздат, 1948.
64. Я н к е Е., Эмде Ф., Л ё ш Ф. Специальные функции. «Наука», 1964.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Наименования, состоящие из нескольких слов, указаны по существитель-
существительному, стоящему в именительном падеже.
В конце указателя дана краткая таблица обозначений.
Альтернатива для решений однородной
и неоднородной граничной за-
задачи 379, 383, 388
Амплитуда комплексная 422, 516
Антенна линейная 682
— магнитная 670
Бихарактеристики дифференциального
уравнения второго порядка 114
Вектор аксиальный 491
— Герца 518
магнитный 519
электрический 519
— дипольного момента 295
— лучевой скорости 117
— магнитной индукции 504
— магнитный 504
— осевой, см.— аксиальный
— полярный 490
— электрический 504
— электрической индукции 504
Величина макроскопическая 502
Вид канонический уравнения 31, 35;
см. также соответствующие
уравнения
Вихрь вектора 240, 495
Возмущение единичное 371, 373
Волна кольцевая 368
— обратная 55
— падающая 432
— преломленная 432
— прямая 55
— рассеянная 432
— стоячая 124, 380
— сферическая 101, 380, 395
— цилиндрическая 103, 400
Волновод 535
Волны гравитационные на поверхности
жидкости 358
^, дисперсия 363
— звуковые 22, 414
, рассеяние 432
— поперечно-магнитные, см.— ТМ
— поперечно-электрические, см.— ТЕ
— поперечно-электромагнитные, см.—
ТЕМ
— стоячие 380
сферические 380
— ТЕ 536
— ТЕМ 536
— ТМ 536
— электромагнитные бегущие 541
направляемые 535
стоячие 541
Выражение дифференциальное само-
самосопряженное 229
сопряженное 229
— — эллиптического типа 232
Вырождение параболическое 38
Вязкость 510, 687
Газ, радиальные колебания 184, 191
194, 195
Гамма-функция 157
Гармоника 124
Гидродинамика магнитная 509
Гладкость решений уравнений эллип-
эллиптического типа 256
Градиент вектора по вектору 495
— скаляра 495
Граница кусочно-гладкая 225
— области 225
Грань верхняя точная 575
Группа волн 366
Давление звуковое 22
— магнитное 511
Данные Коши 109
Движение 488
— жидкости изэнтропическое 22
Дивергенция 495
— 701 —

Диполь 293
— акустический 428
— колебательный 666, 683
— магнитный 674
Диск заряженный 288, 356
Дисперсия волн 363, 546, 549
Диффракция звуковых волн, см.
рассеяние
Диффузия магнитного поля 512
Диэлектрик 507
Единственность решения, см. при
соответствующей задаче
Жидкость вязкая 509, 687
, уравнения движения 689
—, движение изэнтропическое 22
— идеальная 20
— —t уравнения движения Эйлера
21, 686
— несжимаемая 253
Задача Гаусса 315, 316
— граничная 254
внешняя 255, 377, 394, 396, 437
внутренняя 255, 377, 437
вторая, см. Неймана
Дирихле 28, 255, 268, 275, 277,
286, 326, 339, 341, 377, 393,
406, 437
1 единственность решения 263,
283, 407, 410, 442, 445
, существование решения 276
Неймана 28, 255, 286, 339, 377,
423, 437
, единственность решения 265,
266, 410, 442, 447
, существование решения 266
однородная 438
первая для уравнения тепло-
теплопроводности 450
— для уравнения эллиптиче-
эллиптического типа—см. Дирихле
сингулярная 582, 588, 593
смешанная 255, 361, 437
, единственность решения 265
, собственная функция 570
, собственное число 570
сопряженная 438
третья, см. смешанная
, спектр 590
Штурма—Лиувилля см.— Штур-
Штурма—Лиувилля
— Гурса 79
— Дирихле, см.— граничная Дирихле
— Кармана 691
— Коши 41, 50, 52, 56, 62, 76, 80,
109, 450
, единственность решения 78, 104
, непрерывная зависимость ре-
решения от начальных данных
83, 103
, обобщенное решение 62
— математической физики 12
— Неймана, см.— граничная Неймана
— о распространении тепла 28
— о собственных значениях 130, 464;
см. также—Штурма—Лиувилля
—, поставленная корректно 12
— смешанная 129, 145, 219; см.
также — граничная смешанная
— —, единственность решения 145
— Штурма-Лиувилля 130, 569, 582, 617
Закон Ньютона (для теплообмена) 25
— Ома 506
— сохранения заряда 500
Знак принадлежности ? 227
Значение собственное, см. число соб-
Излучатель вертикальный 663, 668
— горизонтальный 680
Изображение, см. преобразование
интегральное
Инверсия 260, 262
Индекс суммирования 493
Интеграл Дирихле 316
— несобственный 303
— Стилтьеса 586
Интенсивность звука 415
Интервал замкнутый 568
— открытый 568
Источник звука точечный 419, 427
— поля 497
— тепла 25, 254
— точечный 108, 281, 405, 458, 472
Исчисление операционное 610, 628
Кабель коаксиальный 553
Квадруполь 294
Класс X (а, Ь) 573
Клин, распространение тепла 658
Колебания вынужденные 137, 383
—, нерезонансная часть 388
— газа, см. газ.
— крутильные 147
— мембраны, см. мембрана
— подвешенной нити, см. нить
— свободные 137, 383, 564
— собственные 388
— стержня, см. стержень
— струны, см. струна
Компонента вектора 490
Конормаль 231
Константа разделения, см. постоянная
разделения
— 702 —

Конус Монжа 44
— Т, см.— Монжа
Корректность постановки задачи мате-
математической физики 12, 57,255
Косинус-преобразование Фурье 627,
655
Координаты биполярные 247
—, изометрическое преобразование 488
— криволинейные 241
— ортогональные 242
—, особые линии и точки 242
— сферические 243
, параметры Ламе 244
— тороидальные 247
— цилиндрические 243
, параметры Ламе 242
Коэффициент внутренней теплопровод-
теплопроводности 25, 249
— вязкости 688
— кинематической вязкости 689
— Фурье 579
Кратность собственного числа 387
Кривая характеристическая, см. ха-
характеристика
Лапласиан 248
Лемма об устранимой особенности 259
— о поведении гармонической функ-
функции на бесконечности 262
— основная теории уравнения Гельм-
гольца 409
Линия ветвления 43
— вырождения 38
— коаксиальная, см. кабель коакси-
коаксиальный
— координатная 242
— особая 43
— — системы координат 242
— параболичности 38
— силовая 499
— узловая 213, 218
сферической функции 332
— электрическая 88, 93
конечной длины 97
свободная от искажения 95
Луч 117, 119
Матрица спектральная 594
Мембрана 16, 210, 214, 222, 223, 634
Метод Грина 281
— разделения переменных 119
— Римана см.— характеристик
— стационарной фазы 371
— Фурье—см.— разделения перемен-
переменных
— характеристик 80, 90
Момент диполя 293
— дипольный, см.— диполя
— магнитный 675
— мультиполя 294
— л-го порядка 296
Мультиполь 294, 430
— акустический 430
— колебательный, см.— акустический
— осевой 294
Намагничение 503
Намагниченность 503
Напряжение нормальное 690
— скалывающее 690
— тангенциальное, см.— скалывающее
Напряженность поля 504
Натяжение магнитное 511
Неравенство Бесселя 577
— Коши —Буняковского 574
— Минковского 574
Нить подвешенная, колебания 176,
180, 184, 631, 633
Нормаль внешняя 226
Нота 124
Обертон 124, 214
Область 225
— бесконечная 226
— замкнутая 225
— конечная 226
— ограниченная —см.— конечная
— односвязная 499
— плоская 225
— сопряженная 260
Образ функции, см. преобразование
интегральное
Окрестность точки 226
Окружность предельная 585, 591, 593,
601, 602, 604
Октаполь 294
Октава 125
Оператор у (набла) 495
— дифференциальный 495
— Лапласа (А) 230, 248, 545, 689
— самосопряженный 574
Определитель Вронского 569
— функциональный, см.— якобиев
— якобиев 241
Оригинал 609
Особенность неустранимая 259
— устранимая 259
Ось мультиполя 294
— полярная 244
Отображение конформное 285
Отражение 488
Параллелепипед координатный 242
f распространение тепла 647, 649
Параметр координатный Ламе 242
, сферических координат 244
— 703 —

— цилиндрических координат
24а
Планета 319
Пластинка, распространение тепла 463,
485, 486
Плотность двойного слоя 299
— заряда 504
— простого слоя 299
— распределения источников волн 377
— тока 504
— энергии гравитационного поля
316, 318
Поверхность интегральная дифферен-
дифференциального уравнения первого
порядка 40
Поверхность координатная 242
— Ляпунова 300
— узловая 381
— уровенная 313
— — потенциала силы тяжести 319
— характеристическая 111
Поглощение среды комплексное 399
Поле векторное 492
— — безвихревое 498
, линии поля 493
потенциальное 498
соленоидальное 498
— гравитационное, плотность энергии
316, 318
— квазистационарное 506, 507
— магнитное 509
— — „вмороженное" 512
— —, диффузия 512
— —, перенос 512
— макроскопическое 502
— скалярное 489
— электромагнитное 498
периодическое по времени 515
, потенциалы 513, 518, 519, 527,
529, 530
свободное 500
— —, уравнения поля 499, 505, 515,
516, 517
— —, условия на бесконечности 520
, — на границе ергд 508, 522,
524, 526
Полиномы Лежандра 197, 290, 330
, интегральные представления 201
, норма 199
, ортогональность 199
, полнота 199
присоединенные 331
, производящая функция 203
, реккурентные формулы 204
— —, теорема сложения 338
, четность 200
Полнота системы собственных функций
}33, 386
сферических функций 337
Полоса характеристическая 47, 51
Полуплоскость 226
Полупространство 226
Поляризация магнитная 503
— проводника 507
— электрическая 502, 503
Порядок уравнения с частными про-
производными 10
Постоянная разделения 390, 392
— распространения 543
— электродинамическая 499
Потенциал векторный 498, 661, 662
электромагнитного поля 513,
518
— двойного слоя 299, 311, 312, 324
—, производные 312
— запаздывающий 107
— колебательный 404, 420
двойного слоя 404
— — объемный 404
— — простого слоя 404
— кулоновский 287
— логарифмический 323
— ньютоновский 287
— порядка п 291
— простого слоя 299, 305, 323
—, нормальные производные 306,
309, 310
— силы тяжести 319
— скалярный 498
электромагнитного поля 513
— скорости жидкости 23, 29
Потенциалы Абрагама 530
— Дебая 530, 566
Поток вектора 498
— вихря вектора 498
— компоненты импульса 687
— тепловой 25
Преобразование интегральное 609
, весовая функция 609
, переменная преобразования 609
, пределы преобразования 609, 616
, ядро преобразования 609
— координат изометрическое 488
— Лапласа 627, 655
— Меллина 629, 659
— обратное интегральному 610
— прямое интегральное 610
— Фурье 627, 650
— Ханкеля 630, 664, 669
Провод—см. линия электрическая
Проводник 250, 507
— идеальный 525
Произведение векторное 494
— скалярное векторов 494
функций 573
— смешанное векторов 494
— 704 —

Производная по направлению внешняя
306, 310 _
внутренняя 307, 310
— субстанциональная 510
Проницаемость магнитная 506
— электрическая 506
Прообраз функции 609
Процесс ортогонализации 385
Псевдовектор 491
Псевдоскаляр 494
Пучность 125, 129
Равенство Парсеваля 581
Разделение переменных 119, 390
Разложение по мультиполям 296
— по собственным функциям, см. функ-
функции собственные
Разрыв слабый 115, 117
— устранимый 310
Распределение уровенное 314, 318
Рассеяние звуковых волн 432
— энергии 398
Расхождение, см. дивергенция
Резонанс 139, 183, 388
Резонатор секториальный 564
— сферический 566
Решение Даламбера 55, 652
— обобщенное 62, 123
— регулярное граничной задачи 256
— тривиальное 570
— уравнения с частными производными
— фундаментальное 268, 439, 454, 458
• однородного уравнения тепло-
теплопроводности, физический
смысл 457
— — уравнения Гельмгольца 401
Ротор вектора, см. вихрь вектора
Ряд Дини—Бесселя 167
— обобщенный Фурье, см. — Фурье
— Фурье 112, 579
— Фурье-Бесселя 167, 175
Сеть координатная 242
Сила тяжести 319
Символ Кронекера 493, 686
Синус-преобразование Фурье 627
Система координат, см. координаты
«— собственных функций, см. функции
собственные
— характеристическая для дифферен-
дифференциального уравнения первого
порядка 47
Скаляр 489, 494
Скорость групповая 367
— лучевая 117
— фазовая 363, 367, 395, 517
•— фронта волны 116
Слой уровенный 314, 318
Сопротивление волновое 550
— диэлектрика характеристическое 546
Состояние установившееся 436
— стационарное, см. — установив-
установившееся
Спектр граничной задачи 590
— дискретный, см. — точечный
— непрерывный 591, 592
— точечный 591, 593
Стержень, колебания 64, 66, 70, 126
140, 147, 150, 154, 155
—, распространение тепла 451, 459,
463, 465, 467, 637, 652, 654
Струна 12, 54, 59, 119, 125, 126, 134,
135, 136, 142, 205, 209, 647
Сходимость равномерная несобствен-
несобственного интеграла 303
Тембр звука 124
Теорема Вейерштрасса 258
— Гельмгольца 498
— Кельвина 260, 262, 282
— о максимуме и минимуме 257, 449
— о среднем значении для гармониче-
гармонических функций 273, 283
— сложения для полиномов Лежандра
338
— Рисса — Фишера 581
— Стокса 321
Тип уравнения 29, 33, 38
Тождество Лагранжа 569
Ток конвективный 502
— линейный вертикальный 666
— намагничения 504
— поляризации 503
— сторонний 501, 506
Тон 124
— основной 124, 129, 190, 194, 217
Точка области внутренняя 225
— особая системы координат 242
• устранимая 259
— предельная 586, 591, 593, 594, 598,
605
— роста 588
Точки гармонически сопряженные 260,
262
Трансформация интегральная, см. пре-
преобразование интегральное
Труба, распространение тепла 641
Удар 70, 126
Узел 125, 129
Уравнение Бесселя 156, 390, 400, 551
— волновое 11, 23, 55, 98, 112, 375,
380, 395
f единственность решения 103
неоднородное 105
— 705 —

— Гельмгольца 376, 377, 517
— гиперболического типа 29
, канонический вид 35, 36
— крутильных колебаний 150
— Лапласа 11, 28, 248, 329, 545
, фундаментальное решение 268,
283
— Лежандра 195, 644
— неразрывности 20, 686, 689
— параболического типа 30, 448
, канонический вид 37
— Пуассона И, 248, 288, 319, 328
• , функция Грина 343
— распространения разрывов 119
— смешанного типа 38
— сферических функций 330
— с частными производными 10
квазилинейное 10, 40
линейное 10
нелинейное первого по-
порядка 44
— телеграфное 90, 375
— теплопроводности 26, 375, 448, 459
неоднородное 471
¦ и диффузии 375
неоднородного тела 26
— Трикоми 38
— ультрагиперболического типа 30
— характеристик 35, 75
— эллиптического типа 29, 435
— , канонический вид 38
Уравнения движения жидкости, см.
жидкость
— Лоренца—Максвелла 498
— магнитной гидродинамики 511
— Максвелла 499, 505, 517
— — в ортогональных криволинейных
координатах 527
, единственность решения 531
, решение магнитного типа 527
— —, — электрического типа 527
— Навье—Стокса 509, 689
— Эйлера 21, 686
— электромагнитного поля, см.— Ло-
Лоренца—Максвелла, — Макс-
Максвелла
Ускорение силы тяжести 320
Условие Гёльдера 301, 310, 445
— граничное 15, 254, 436
периодичности 591, 619, 637
сопряженное 438
— излучения 397, 401, 531
— краевое — см. — граничное
— Лоренца 514
— начальное 15
— предельное, см. — граничное
— регулярности на бесконечности 278
— сопряжения для звукового поля 433
Условия Коши—Римана 285
— на границе сред для электомагнит-
ного поля, см. поле электро-
электромагнитное
Фаза волны 395
Форма дифференциальная самосопря-
самосопряженная 229
сопряженная 229, 569
Формула Бесселя 175
— Бьеркнеса 346
— Ван-дер-Поля 677
— Гаусса 309, 314
— Грина 230, 264, 569
— Грина—Стокса 238, 239
— Дини 328
— Дирихле 264, 266 282
— Лапласа 202
— Лапласа—Меллина 628
— обращения Меллина 628
— основная теории гармонических
функций 272, 284
-— Остроградского—Гаусса 228
— Пуассона 100, 274, 326, 343
— Римана 82
— Родрига 197
— Стокса 240, 498
— Фурье интегральная 626
— Шлэфли 201
Фронт волны 115
— — задний 101
передний 101
Функции Бесселя второго рода, см.—
Вебера
, интегральные представления 169
, корни 163
мнимого аргумента 173
, ортогональность 164
первого рода 158, 171
, разложение по ним 167, 596
, производящая функция 171
, реккуррентные формулы 159, 173
— Вебера 159, 400
— гармонические 257, 262, 267, 272,
288, 300, 323, 545
, лемма о поведении на беско-
бесконечности 262
, теорема о максимуме и мини-
минимуме 257
, , —- о среднем значении 273, 283
— зональные 229
— собственные 120, 131, 132,380,384,
388, 570
, линейная независимость 571
, ортогональность 133, 570
, полнота системы 133, 337, 386
, разложение по ним 134, 579,
586, 590
— 706 —

, экстремальные свойства 575
— сферические 296, 329, 331, 332
— тессеральные 331, 332
Функция аналитическая 37
- Грина 278, 279, 281, 405, 472, 572
— Грина вторая 440
для уравнения Пуассона 343
задачи Дирихле 278, 341, 405,
439, 446
Неймана 280, 343, 346, 440,
447
обобщенная 406, 446, 447
оператора Лапласа 278
— — смешанной задачи 279
сопряженной задачи 441
— Леви 234
— Лежандра второго рода 205
— Макдональда 174
— мгновенного точечного источника
тепла 472
— Неймана характеристическая 440
— нормированная 574
— производящая для полиномов Ле-
жандра 203
для функций Бесселя 171
— Римана 82
— скачков 587
— собственная, см. функции собствен-
собственные
— спектральная 590, 591
— ступенчатая 587
— сферическая, см. функции сфери-
сферические
— углового распределения интенсив-
интенсивности излучения 432
— Ханкеля 172, 400, 407, 416
X арактеристика дифференциального
уравнения с частными произ-
производными 35, 40, 47, 54, 60,
Центр тяжести 291
Цилиндр, распространение тепла 473,
475, 476, 487, 637, 640
Циркуляция вектора 498
Цуг волн, см. группа волн
Частица жидкая 18, 511
Частота отсечки 548
— собственная 382
Число волновое 362
— векторных линий 498
— Рейнольдса 695
критическое 696
— собственное 120, 131, 380,384, 570
Шар заряженный 350, 357
—, обтекание потоком жидкости 355
—, распространение тепла 348, 478
481, 643
Электропроводность 507
Энергия гравитационного поля 316, 318
Энтропия жидкости 21
— 707 —

НЕКОТОРЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
€ 227 (glt g2) 573
€/ы 493 L 569, L 574
бул 493 j?*(a, b) 573
sign 227 b
grad, div, rot 495 \gW do(x) 587
Re, Im 377 a
eSu, tjfu 229 m A; b, P) 583, m^ (/; c) 585, m^ (/) 586
A 230 a (X) 586, 591
V 495 Q(X — lj) 587
aXb, ab, a-bxc 494 pn(X) 197
&V, ®S, §L 226 jAx) 158, KvW 159
dV, dS, dL 226 н{1)() НB)(х) т
V S L 226 v v
к ft]. I*, ft), (a. ftl. <*. ft) 566 ^W174' ^M 174

НИКОЛАЙ СЕРГЕЕВИЧ КОШЛЯКОВ A891—1958)
(КРАТКИЙ БИОГРАФИЧЕСКИЙ ОЧЕРК)
Николай Сергеевич Кошляков, известный советский ученый-мате-
ученый-математик, член-корреспондент Академии наук СССР, под руководством
и при авторском участии которого написано первое издание этой книги,
родился 11B3) июня 1891 г. в Петербурге. В 1914 г. он окончил физико-
математический факультет Петербургского университета, где слушал
лекции А. А. Маркова, В. А. Стеклова, Я. В. Успенского и др Впослед-
Впоследствии сам превосходный лектор, Николай Сергеевич часто вспоминал
лекции профессора А. А. Адамова, которого считал своим любимым
учителем.
По окончании университета Н. С. Кошляков был оставлен при нем
для подготовки к профессорскому званию, а после сдачи магистерских
экзаменов в 1917 г. по представлению акад. В. А. Стеклова направлен
в Пермский университет (в то время филиал Петербургского). В 1917—
1925 гг. Николай Сергеевич занимал должности приват-доцента, до-
доцента и, наконец, профессора в Пермском, а затем в Крымском универ-
университетах. В последнем его слушателями были такие будущие выдающиеся
ученые, как академики И. В. Курчатов и А. Д. Щербаков, проф.
Г. И. Лойцянский и др. Одновременно Николай Сергеевич продолжал
научную работу, начатую еще в студенческие годы; в 1922 г. в Ростовском
университете он защитил магистерскую диссертацию.
В 1925 г. Н. С. Кошляков был избран профессором и заведующим ка-
кафедрой общей математики Ленинградского университета. В университете
он работал до 1942 г., читая курсы анализа, дифференциальных уравне-
уравнений в частных производных первого порядка, уравнений математиче-
математической физики, специальных функций и др.
В 1926 р. Н. С. Кошляков был избран заведующим кафедрой
высшей математики Ленинградского электротехнического института
им. В. И. Ульянова (Ленина) и заведовал ею в течение 16 лет. Деятель-
Деятельность в ЛЭТИ принесла Николаю Сергеевичу славу образцового руково-
руководителя и сыграла значительную роль в повышении уровня математиче-
математической подготовки инженеров электротехнических специальностей.
В 1933 г. Н. С. Кошляков был избран членом-корреспондентом Ака-
Академии наук СССР, а в 1937 г. — членом Лондонского математического
общества.
— 709 —

В период Отечественной войны Николай Сергеевич начал и до
конца жизни вел плодотворную научно-исследовательскую деятель-
деятельность в промышленности. В 1953 г. он был награжден орденом Ленина
и удостоен звания лауреата Государственной премии.
Математические работы Николая Сергеевича относятся главным об-
образом к аналитической теории чисел, теории специальных функций
и дифференциальных уравнений. Ему принадлежит также ряд работ
по прикладным проблемам.
Педагогическая деятельность Николая Сергеевича характеризова-
характеризовалась ясностью и подробностью изложения, частым обращением к при-
примерам и задачам. Требуя от математика, физика или инженера широ-
широкой эрудиции в области литературы по специальности, Николай Сер-
Сергеевич в то же время подчеркивал важность детального изучения од-
ного-двух полных курсов или монографий по математическому анализу,
которые, по его мысли, должны были образовать как бы общий прочный
остов математических знаний. Для него самого такой монографией был
«Курс современного анализа» Уиттекера и Ватсона. К нему Николай
Сергеевич систематически обращался и знал его в совершенстве.
В технических и физических проблемах основное внимание Нико-
Николай Сергеевич уделял средствам и методам практического решения
задач, считая, что должно существовать известное разделение труда меж-
между инженерами и физиками, с одной стороны, и математиками —с другой.
Аппарат доказательств, если он носил специальный характер, Николай
Сергеевич считал для инженера и физика менее важным, но зато настой-
настойчиво требовал знания результатов, полученных с помощью этого аппа-
аппарата, свойств, специальных функций и свободного владения техникой
выкладок и простыми средствами доказательств. Такой подход к делу
позволил Николаю Сергеевичу не только выполнить ряд прикладных
работ, но и оказать значительное влияние на научный уровень выпол-
выполняемых в промышленности математических исследований, а также
воспитать учеников, плодотворно продолжающих его работу.
Н. С. Кошляков — автор широко известной в свое время книги
«Основные дифференциальные уравнения математической физики»,
выдержавшей ряд изданий (последнее в 1936 г.). По ней училось целое
поколение советских инженеров.
В 1956 году началась работа над первым изданием данной
книги, широко используемым в ряде вузов страны. Книга вышла
в 1962 г. уже после безвременной кончины Николая Сергеевича, по-
последовавшей в Москве 23 сентября 1958 г. после тяжелой болезни.
Глинер Э. Б., Смирнов М. М.
— 710 —

Кошляков Николай Сергеевич,
Глинер Эраст Борисович,
Смирнов Модест Михайлович.
Уравнения в частных производных
математической физики
Редактор А. М. Суходский
Художественный редактор В. И. Пономаренко
Художник В. Д. Стой лов
Технический редактор Н. Н. Баранова
Корректор Р. К. Иванова

Сдано в набор 29/XII-69 г. Подп. к печати 9/IV-70 г.
Формат 60x907i6- Объем 44,5 печ. л. Уч.-изд. л.
34,77. Изд. № ФМ-335. Тираж 34.000 экз. Цена 1 р. 07 к.
План выпуска литературы для вузов и техникумов
изд-ва „Высшая школа" на 1970 г. Позиция № 31.
Москва, К-51, Неглинная ул., д. 29/14,
Издательство «Высшая школа»
Ордена Трудового Красного Знамени
Первая Образцовая типография имени А. А. Жданова
Главполиграфпрома Комитета по печати
при Совете Министров СССР
Москва, М-54, Валовая, 28
Тип. зак. 645.

УРАВНЕНИЯ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ФИЗИКИ