УДК 517.95@75)
ББК 22.16+22.311
Ш95
Шубин М. А.
Ш 95 Лекции об уравнениях математической физики. — 2-е изд.,
испр. — М.: МЦНМО, 2003. — 303 с.
ISBN 5-900916-97-9
В книге изложено почти без изменений содержание годового курса
лекций по уравнениям математической физики, прочитанных автором на
экспериментальном потоке механико-математического факультета МГУ.
По сравнению с имеющимися математическими курсами акцент делается
на связи и взаимодействия с геометрией и физикой, а также на физическую
интерпретацию результатов. Книга содержит элементы теории основных
уравнений математической физики, изложенные на основе функционально-
функционального анализа и теории обобщённых функций. В частности, в книге дано не-
нетрадиционное изложение простейших аспектов теории потенциала, а так-
также обсуждаются коротковолновые асимптотики решений гиперболических
уравнений, связывающие волновую оптику с геометрической.
В конце каждого параграфа книги имеются задачи, помогающие усво-
усвоению материала и дополняющие основное содержание книги. '
Для студентов, аспирантов, научных работников — математиков и фи-
физиков.
ББК 22.16+22.311
МЦНМО выражает благодарность компании
Демос за предоставление высокоскоростного
и качественного доступа в Интернет
© ШубинМ.А., 2001, 2003.
ISBN 5-900916-97-9 © МЦНМО, 2001, 2003.

Оглавление
Предисловие 8
§1. Линейные дифференциальные операторы 10
1.1. Определение и примеры 10
1.2. Полный и главный символы 11
1.3. Замена переменной 13
1.4. Приведение к каноническому виду операторов
2-го порядка с постоянными коэффициентами . . 16
1.5. Характеристики. Эллиптичность и гиперболич-
гиперболичность 17
1.6. Характеристики и приведение к каноническому
виду операторов и уравнений 2-го порядка при
п = 2 19
1.7. Общее решение однородного гиперболического
уравнения с постоянными коэффициентами при
п = 2 22
Задачи 23
§2. Одномерное волновое уравнение 24
2.1. Уравнение колебаний струны 24
2.2. Неограниченная струна. Задача Коши. Формула
Даламбера 30
2.3. Полуограниченная струна. Отражение волн от
конца струны 34
2.4. Ограниченная струна. Стоячие волны. Метод Фу-
Фурье (метод разделения переменных) 36
Задачи 43
§3. Задача Штурма-Лиувилля 46
3.1. Постановка задачи 46

Оглавление
3.2. Простейшие свойства собственных значений и
собственных функций 47
3.3. Коротковолновая асимптотика 50
3.4. Функция Грина и полнота системы собственных
функций 53
Задачи 57
§4. Обобщённые функции 59
4.1. Мотивировка определения. Пространства основ-
основных функций 59
4.2. Пространства обобщённых функций 64
4.3. Топология и сходимость в пространствах обоб-
обобщённых функций 68
4.4. Носитель обобщённой функции 72
4.5. Дифференцирование обобщённых функции и их
умножение на гладкую функцию 76
4.6. Общее понятие транспонированного оператора.
Замена переменных. Однородные обобщённые
функции 89
Задачи 93
§5. Свёртка и преобразование Фурье 95
5.1. Свёртка и прямое произведение обычных функ-
функций 95
5.2. Прямое произведение обобщённых функций .... 97
5.3. Свёртка обобщённых функций 100
5.4. Дальнейшие свойства свёртки. Носитель и носи-
носитель сингулярности свёртки 105
5.5. Связь между свойствами гладкости фундамен-
фундаментального решения и решений однородного урав-
уравнения 107
5.6. Решения с изолированными особенностями. Тео-
Теорема об устранимой особенности для гармониче-
гармонических функций , 111
5.7. Преобразование Фурье обобщённых функций
умеренного роста 113
5.8. Схема применения преобразования Фурье для на-
нахождения фундаментальных решений 117
5.9. Теорема Лиувилля 118
Задачи 121
§6. Уравнение теплопроводности 123
6.1. Физический смысл уравнения теплопроводности 123

Оглавление
6.2. Простейшие краевые задачи для уравнения тепло-
теплопроводности и уравнения Лапласа 125
6.3. Пример обоснования гармоничности предельной
функции 127
6.4. Решение задачи Коши для уравнения теплопро-
теплопроводности. Интеграл Пуассона 128
6.5. Фундаментальное решение для оператора тепло-
теплопроводности. Формула Дюамеля 135
6.6. Оценка производных решения гипоэллиптическо-
го уравнения 138
6.7. Принцип Хольмгрена. Единственность решения
задачи Коши для уравнения теплопроводности .. 141
6.8. Схема решения первой и второй краевых задач
методом Фурье 144
Задачи 146
§7. Пространства Соболева. Обобщённое решение задачи
Дирихле • • • • 148
7.1- Пространства Я*(П) 148
7.2. Пространства Я»(П) 154
7.3. Интеграл Дирихле. Неравенство Фридрихса .... 159
7.4. Задача Дирихле (обобщённое решение) 161
Задачи 168
§8. Собственные значения и собственные функции операто-
оператора Лапласа 170
8.1. Симметрические и самосопряженные операторы
в гильбертовом пространстве 170
8.2. Расширение по Фридрихсу 174
8.3. Дискретность спектра оператора Лапласа в огра-
ограниченной области 179
8.4. Фундаментальное решение оператора Гельмголь-
ца и аналитичность собственных функций опе-
оператора Лапласа во внутренних точках области.
Уравнение Бесселя 180
8.5. Вариационные принципы. Поведение собственных
значении при изменении области. Оценки соб-
собственных значении 188
Задачи 192
§9. Волновое уравнение 195

Оглавление
9.1. Физические задачи, приводящие к волновому
уравнению 195
9.2. Плоские, сферические и цилиндрические волны . 198
9.3. Волновое уравнение как гамильтонова система . . 201
9.4. Сферическая волна от мгновенной вспышки и ре-
решение задачи Коши для трехмерного волнового
уравнения 205
9.5. Фундаментальное решение трёхмерного волново-
волнового оператора и решение неоднородного волнового
уравнения 213
9.6. Двумерное волновое уравнение (метод спуска) . . 215
Задачи 218
§10. Свойства потенциалов и их вычисление 220
10.1. Определение потенциалов 220
10.2. Функции, гладкие вплоть до Г с каждой стороны,
и их производные 223
10.3. Скачки потенциалов 229
10.4. Вычисление потенциалов 230
Задачи 234
§11. Волновые фронты и коротковолновое приближение для
гиперболических уравнений 235
11.1. Характеристики, как поверхности разрывов .... 235
11.2. Уравнение Гамильтона-Якоби. Волновые фрон-
фронты, бихарактеристики и лучи 240
11.3. Характеристики гиперболического уравнения . . . 248
11.4. Быстро осциллирующие решения. Уравнение эй-
эйконала и уравнения переноса 250
11.5. Задача Коши с быстро осциллирующими началь-
начальными данными 262
Задачи 268
Ответы и указания 270
Список литературы 294
Указатель обозначений 298
Предметный указатель 300

I shall be telling this with a sigh
Somewhere ages and ages hence:
Two roads diverged in a wood, and I —
/ took the one less traveled by,
And that has made all the difference.
Robert Frost. The Road not Taken
Теперь остаётся только вздохнуть,
О том, что со мной не случилось:
Я мог на любую тропинку свернуть,
И выбор пал на нехоженый путь.
Тогда-то всё и решилось.
Роберт Фрост. Другая дорога
(Перевод А. Вялого)

Предисловие
Не будет большим преувеличением сказать, что всё, что мы видим
(а также слышим, осязаем и т.д.), описывается уравнениями в част-
частных производных или, слегка более ограничительно, уравнениями ма-
математической физики. Среди процессов и явлений, адекватные модели
которых основаны на таких уравнениях, можно упомянуть, например,
колебания струны, волны на поверхности воды, звуковые и электромаг-
электромагнитные волны (в частности, свет), распространение тепла и диффузия,
гравитационное притяжение планет и галактик, поведение электронов
в атомах и молекулах, а также Большой Взрыв, приведший к образо-
образованию нашей Вселенной.
Не удивительно, что уравнения с частными производными образуют
сегодня огромную и необозримую область математики и математиче-
математической физики, использующую методы всей остальной математики (от
которой эта область, впрочем, неотделима) и оказывающую обратное
влияние на весьма многие части математики, физики, химии, биологии
и других наук.
Огорчительный вывод состоит в том, что ни одна книга и, тем
более, ни один учебник не могут достичь полноты в описании этой
области.
Эта ситуация типична в сегодняшней науке, однако это не облег-
облегчает задачи авторов учебников, по которым должно учиться каждое
следующее поколение студентов и аспирантов. Остаётся единственная
возможность: показать читателю «картинки с выставки», выбранные по
вкусу автора (или авторов), т. е. несколько типичных методов и задач.
При этом приходится жестоко ограничить себя в выборе материала.
В этой книге изложено почти без изменений содержание годово-
годового курса лекций по уравнениям математической физики, прочитан-
прочитанных автором на экспериментальном потоке механико-математического

Предисловие
факультета МГУ. В книге приведены задачи, разбиравшиеся на семи-
семинарах, а также входившие в домашние задания. Лекции происходили
один раз в неделю в течение всего года, а семинары в одном из семе-
семестров еженедельно, а в другом один раз в две недели.
Автору хотелось написать курс одновременно краткий и современ-
современный. Как оказалось, эти требования в известной степени противоречат
друг другу. Требование краткости заставило автора, во-первых, изла-
излагать ряд идей на простейших примерах, а во-вторых, опустить многие
вещи, которые должны были бы войти в современный курс, но силь-
сильно увеличили бы его объём. С особым сожалением я опустил уравне-
уравнение Шрёдингера, рассчитывая, впрочем, на происходивший параллель-
параллельно курс квантовой механики. По-видимому, в современном курсе урав-
уравнений математической физики стоит говорить что-то и о нелинейных
уравнениях. Утешением автору служит лишь известное высказывание
Козьмы Пруткова: «Нельзя объять необъятное».
Приведённый в конце книги список литературы содержит некоторое
количество учебников на русском языке, в которых читатель сможет
почерпнуть информацию, дополняющую содержание настоящего курса.
Разумеется, многие из этих книг пересекаются как с данным курсом,
так и между собой, однако автору показалось трудным произвести ещё
более жёсткий отбор, который читатель легко сделает по собственному
вкусу.
Добавим ещё, что задачи, приведённые в этой книге, не только ком-
комментируют курс, но и дополняют его (иногда существенно). Однако для
их решения не требуется никаких новых идей по сравнению с теми, ко-
которые изложены в тексте лекций.
Я благодарю научного руководителя экспериментального потока
С. П. Новикова и преподавателей кафедры дифференциальных уравне-
уравнений МГУ за полезные обсуждения программы и отдельных вопросов
этого курса.
Я глубоко благодарен сотрудникам издательства МЦНМО, в осо-
особенности И. В. Вялой, за добросовестную и качественную работу над
текстом книги. Качество рисунков, подготовленных М. Н. Вялым, пре-
превзошло все мои ожидания. Перевод на русский язык эпиграфа из
Р. Фроста, сделанный А. Н. Вялым, вызвал у меня немой восторг и лёг-
лёгкую зависть (как мне кажется, по качеству он заметно превосходит
все известные мне профессиональные переводы).
Я также весьма признателен Огнену Милатовичу за полезные заме-
замечания и помощь в проверке задач.
М. А. Шубин

10§1. Линейные дифференциальные операторы
§1. Линейные дифференциальные операторы
1.1. Определение и примеры
Введём обозначения, удобные при использовании функций несколь-
нескольких переменных и дифференциальных операторов. Мультииндексом а
называется набор а = (ах, ..., а„), где а,- е Z+, (т.е. ау — неотрица-
неотрицательные целые числа). Если а — мультииндекс, то мы положим |а| =
= ai + ... + an,a\ = ац\...ап\, а если дан ещё вектор a; = (xi, ..., хп) €
е С", то ха = х, ..., х"п. Если П — открытое подмножество в 1",
то через С°° (П) будем обозначать множество комплекснозначных бес-
бесконечно дифференцируемых функций в П, а через Сд°(п) — множест-
множество финитных бесконечно дифференцируемых функций в П, т. е. таких
Ф € С°°(П), что существует компакт К С П, вне которого функция ip
обращается в 0 (компакт К зависит от функции <р).
Положим
где г = у/=1; д = (дг, ..., Эп); D = (Dt, ..., Dn); Эа = в?1...^-;
Таким образом &* = ^-щ ап — оператор смешанной производ-
ной, д°: С°°(П) -ч С°°(П), Da = i-Wd".
Если / € С°°(п), то мы вместо d°f будем также иногда писать f(a\
Упражнение 1.1. Пусть / е C[a;i, ..., хп], т. е. / — многочлен от п
переменных Х\, ..., х„. Доказать формулу Тейлора
-*оГ, ал)
где суммирование ведётся по всем мультииндексам а (на самом деле
сумма конечна).
Линейный дифференциальный оператор — это оператор
вида
А= ? aa(x)Da, A.2)

1.2. Полный и главный символы 11
где аа(х) € С°°(п). Конечно, вместо Da можно написать д°, но запись
через Da удобнее, как будет видно из дальнейшего. Здесь m € Z+ и
мы будем говорить, что А — оператор порядка ^ га. Будем говорить,
что А — оператор порядка га, если он записывается в виде A.2) и
существует такой мультииндекс а, что \а\ = га и аа(х) ф 0.
Примеры.
о2 я2
1. Оператор Лапласа Д = -^ + ... + -^-5- = -{D\ + ... + D2n).
дх\ дхп
2. Оператор теплопроводности йт — Д (здесь число переменных рав-
равно п + 1 и они обозначаются t, x\, ..., хп).
3. Волновой оператор или даламбертиан П = —^ ~ А-
от
4. Оператор Штурма-Л иувилля, определяемый формулой
гдер, q e С°°((а, Ь)),п = 1,П= (а, Ь).
Операторы примеров 1)-3) — это операторы с постоянными коэф-
коэффициентами, оператор Штурма-Л иувилля имеет переменные коэффи-
коэффициенты.
1.2. Полный и главный символы
Символом или полным символом оператора А порядка га называет-
называется функция
а(х, 0 = ? аа(х)?а, xeil, ?eE", A.3)
а главным символом — функция
о»(*, 0 = ? аа(*)Г, хеп, ^€Е". A.4)
|a|=m
Символ принадлежит С°°(П)[?], т.е. является многочленом от
?i» •••! ?п с коэффициентами из кольца С°°(П), а полный символ —
однородным многочленом от ?i, ..., ?„ степени га с коэффициентами
из С°°(п).

12 §1. Линейные дифференциальные операторы
Примеры.
1. Оператор Лапласа имеет совпадающие полный и главный символы
?=& + ¦¦¦ + &¦
2. Оператор теплопроводности -г- — Д имеет полный символ
at
a(t, х, т, ?) = хт + ?2, а его главный символ равен a2(t, х, т, ?) =
=е.
3. Волновой оператор имеет совпадающие полный и главный симво-
символы
a(t, х, т, О = a2(t, х, т, О = -г2 + ?2.
4. Оператор Штурма-Лиувилля имеет полный символ а(х, ?) =
= — р(х)?2 + ij/(x)? + q(x), а главный символ а2(х, ^) = — р(ж)?2.
Символ оператора А восстанавливается по оператору формулой
а(х, О = e'ix<A(eix% A.5)
в которой оператор А применяется по х. Здесь использовано обозначе-
обозначение х ¦ ? = х\fi + ... + хп(,п. Формула A.5) получается из соотношения
Daeixi = iaeix<,
легко проверяемого индукцией по \а\. Из A.5) следует также, что одно-
однозначно определены коэффициенты аа(х) оператора А (коэффициенты
многочлена а(х, ?) при каждом фиксированном х однозначно определе-
определены этим многочленом как функцией от ?).
Полезно применить оператор А к более общей экспоненте, чем еххе- —
к экспоненте elXip^x\ где у> G C°°(fi), A — параметр. Имеет место
Лемма 1.1. Если f е С°°(П), mo e~iXip^A(f(x)eiX^^) лвляется
многочленом от А степени ^ т с коэффициентами из С°°(п), при-
причём
e-iX^A(f(x)eiX^) = Aro/(x)am(x, ц>ж) + А»"^...) + ..., A.6)
т. е. старший коэффициент этого многочлена (при Хт) равен
f(x)am(x, <рх), где <рх = \^-, ..., -j?-] = gradv? — вектор гради-
градиента <р. J п
Доказательство. Имеем

1.3. Замена переменной 13
откуда утверждение леммы получается для операторов порядка ^ 1.
В дальнейшем при нахождении произвольных DaeiXv^x\ также придет-
придется дифференцировать произведения вида f(x)elX<p^x\ где / € С°°(П).
При этом новый множитель А появляется лишь при дифференцирова-
дифференцировании экспоненты. Поэтому ясно, что
откуда и следует утверждение леммы. ¦
Следствие 1.2. Пусть А, В — два линейных дифференциальных опе-
оператора в п, к, I — «а; порядки, а а^, h — главные символы. Далее,
пусть С = А о В — композиция этих операторов, Ck+i — её главный
символ. Тогда
<*+,(*, 0 =«*(*> О &/(*>?)• A-7)
Замечание. Очевидно, что С — дифференциальный оператор по-
порядка < А -Н.
Доказательство следствия 1.2. Имеем:
C(e«v(*)) =A(A/6/(x,v?!C)eiA^)+A'-1 (...) + ...) =
= Xk+lak(x, ч>ж)Ъ,(х, ч>ж)е***) + X^'H-••) + •••
Отсюда по лемме 1.1
ck+i(x, ч>х) = ak(x, <px) h(x, ух) A.8)
для любой функции if € C°°(fi). Но тогда выбирая <?>(х) = х • ?, мы
получим фх = ? и A.8) переходит в
Ck+i(x, 0 = ак(х, ОЬ/(х, О,
что и требовалось. ¦
1.3. Замена переменной
Пусть дан диффеоморфизм х: п -> fl\, где П, ui — области в Rn.
Такой диффеоморфизм можно задавать набором функций J/i(xi, ...
..., х„), ..., yn(xi, ..., xn), yj e С°°(П), равных в точке х координа-
координатам точки х(х).
Если / G C°°(fti), то мы положим х*/ = /ох, т.е. (х*/)(х) =
= /(х(х)) или (x*f)(x) = /(t/i(x), ..., уп(х)). По существу х*f получа-
получается из / заменой переменных или переходом к координатам Х\, ..., х„

14 §1. Линейные дифференциальные операторы
от координат j/i, ..., уп. Напомним, что диффеоморфизм х имеет об-
обратное отображение х~1, также являющееся диффеоморфизмом. Ясно,
что х* является линейным изоморфизмом х*: C°°(Ui) -> C°°(fi), при-
причём (х*)~1 = (х-1)*.
Пусть дан оператор А: С°°(П) -»• C°°(fi). Определим оператор
Ai: C°°(fii) -? C°°(fii) с помощью коммутативной диаграммы
C00^) —dL^ C°°(ili)
т.е. Лх = {x*)~lAx* = (x~1)*Ax*. Иными словами,
,,u,v A-9)
где у(х) = х(х), х(у) = х~1(у). Таким образом, оператор А\ по суще-
существу является просто записью оператора А в координатах у.
Бели А — линейный дифференциальный оператор, то из A.9) и фор-
формулы дифференцирования сложной функции легко проверяется, что Ах
также является линейным дифференциальным оператором. Выясним,
как связаны главные символы операторов А и А\.
Напомним, что кокасательным вектором или ковектором в точке
х G fi называется линейный функционал на касательном пространстве
к п в точке х (касательное пространство кЯв точке х мы обозначим
через Тхп, а кокасательное пространство — множество всех кокаса-
тельных векторов в точке х — через Т*п).
Через Т*П обозначим объединение \JXT*U ^ п xW1 (так называ-
называемое кокасательное расслоение). Выбирая в каждом касательном про-
странстве Тхп базис векторов -т—, ..., -—, построим ъ Т*п двои-
ственный базис: он состоит из таких функционалов dx\, ..., dxn, что
-—1 = Sij, где Sij — символ Кронекера (бу = 0 при i ф j и
Sij = 1 при г — j). Примером касательного вектора является век-
вектор скорости кривой x(t): x@) G Тх^п. Его координаты в базисе
д д dxi | dxn i
дх~' ¦"' ~дх~ Р^11" ~dTh=o' •••' ~dT\t=o- пРимером кокасательного
вектора является дифференциал или градиент функции / G С°°(П):
это функционал на Тхп, значение которого на касательном векторе

1.3. Замена переменной 15
df(x(t)),
х@) равно . |t=0; координаты его в базисе dxb ..., dxn равны
EL EL
дхх' '"'' дхп'
Если дан диффеоморфизм к: п -> П1} то имеется естественное ото-
отображение (дифференциал отображения н):
и.: Тхп -> Тх(х)пг
и двойственное отображение на линейных функционалах
Выбирая в Тх fi, Тх(х)п\, ГД/чПх, Т*п базисы, соответственно,
?=1, мы получим, что я» име-
имеет матрицу, называемую матрицей Якоби: (я*)ы = я> а *х* име-
имеет матрицу, транспонированную к матрице х«. Заметим, что отобра-
отображения х* и *>с* являются изоморфизмами в каждой точке х ? fi.
Далее, кокасательный вектор в точке ж удобно задавать, указав па-
РУ (ж, 0> гДе С e R". С = (Съ ¦••, 6») — набор координат данного
вектора в базисе {dxj}^=1. При изоморфизме ('х»): Т*п -> T*fii
ковектору (х, ?) соответствует ковектор (у, г)), где у = х(х), ц =
Теорема 1.3. Главный символ ат оператора А принимает на век-
векторе (х, ?) то оке значение, что главный символ а'т оператора А\ на
соответствующем векторе (у, rf), т. е.
ат(х, ?) = а' (х(х), (*>f*)~1?)' A-10)
Иными словами, главный символ является корректно определённой
функцией на Т*?1 (не зависящей от выбора криволинейных координат
ей).
Доказательство. Кокасательный вектор в точке х может быть запи-
записан в виде градиента <рх (ж) функции ip € C°°(fi) в точке х. Из леммы 1.1
ясно, что ат(х, <рх(х)) не зависит от выбора координат. Но, с другой
стороны, ясно, что эта величина не зависит и от выбора функции <р с
данным дифференциалом в точке х. Поэтому главный символ коррект-
корректно определён на Т*п, что и требовалось. ¦

16 §1. Линейные дифференциальные операторы
1.4. Приведение к каноническому виду операторов 2-го порядка
с постоянными коэффициентами
Пользуясь заменами переменных, можно пытаться привести опера-
оператор к более простому виду. Рассмотрим оператор 2-го порядка с по-
постоянными коэффициентами главной части:
где a,ik вещественные постоянные, сцк = о*« (последнего всегда мож-
д2 д2 \
но добиться, не меняя оператора, поскольку ——-— = ——-— I. Не
UXiUXfc UXfcUXi/
обращая внимания на младшие члены, мы приведем старшую часть
(Ы2)
оператора А к более простому виду с помощью линейной замены пере-
переменной:
A.13)
где сы — вещественные постоянные. Рассмотрим квадратичную форму
A.14)
лишь знаком отличающуюся от главного символа оператора А.
Линейной заменой переменных г) = F?, где F — невырожденная
постоянная матрица, можно привести форму Q(?) к сумме квадратов:
ц2 ± ... ± v2r)\v=Fi. A-15)
Обозначим через С матрицу (cjtj)j/=1 замены A.13). По теореме 1.3
в координатах у оператор А будет иметь вид оператора 2-го порядка
Ах с такой квадратичной формой Qi(r)), что

1.5. Характеристики. Эллиптичность и гиперболичность . 17
где гС — матрица, транспонированная к С. Отсюда и из A.15) ясно,
что мы должны выбрать матрицу С так, чтобы было ('С) = F или
C = (tF)-1. A.16)
Тогда главная часть оператора А при замене переменных у = Сх
вида A.13) приведётся к виду
называемому каноническим.
Замечание. Оператор с переменными коэффициентами может быть
приведен к виду A.17) в одной фиксированной точке линейной заменой
переменных.
1.5. Характеристики. Эллиптичность и гиперболичность
Пусть А — дифференциальный оператор порядка т, ат(х, ?) — его
главный символ. Ненулевой кокасательный вектор (х, ?) называется ха-
характеристическим, если ат(х, ?) = 0. Поверхность (коразмерности 1)
в п называется характеристической в точке хо, если её нормаль в этой
точке является характеристическим вектором. Она называется харак-
характеристикой, если она характеристична в каждой точке.
Если поверхность 5 задана уравнением tp(x) = 0, где tp e
? C^fi), tpx\s ф 0, то её характеристичность в точке хо означает,
что ат(хо, tpx{xo)) = 0. Она является характеристикой, если
ат(х, (px(x))\s = 0.
Все поверхности уровня tp = const являются характеристиками то-
тогда и только тогда, когда ат (х, <рх(х)) = 0.
Из теоремы 1.3 вытекает, что понятие характеристичности и ха-
характеристики не зависит от выбора координат в П.
Примеры.
1. Оператор Лапласа Д не имеет вещественных характеристических
векторов.
2. Для оператора теплопроводности -х- — Д характеристическим
является вектор (г, ?) = A, 0, ..., 0) ? En+1. Поверхности t =
= const являются характеристиками. Поверхность t = |x|2 (пара-
(параболоид) характеристична в одной точке (начале координат).

18 §1. Линейные дифференциальные операторы
3. Рассмотрим волновой оператор —, ~~ А. Его характеристические
dt
векторы в каждой точке (t, х) образуют конус т2 = |?|2. Любой
конус (t — toJ = \х — хо|2 является характеристикой. В частности,
при п = 1 (т. е. при х G К1) характеристиками являются прямые
вида х +1 — const и х — t = const.
Определение.
1. Оператор А называется эллиптическим, если ат(х, ?) ф 0 при
х G fi, ? ^ 0, т. е. если Л не имеет вещественных характеристиче-
характеристических векторов.
2. Оператор А в пространстве ?, х, t G Е1, х G Еп называется ги-
гиперболическим относительно t, если уравнение am(t, х, т, ?) = О,
рассматриваемое как уравнение относительно т, при любых фик-
фиксированных t, х, ? при ? ф 0 имеет ровно m вещественных и
различных корней. В этом случае говорят иногда, что характери-
характеристики А вещественны и различны.
Примеры.
1. Оператор Лапласа Д является эллиптическим.
2. Оператор теплопроводности не является ни эллиптическим, ни ги-
гиперболическим относительно t.
3. Волновой оператор является гиперболическим относительно t, по-
поскольку уравнение т2 = |?|2 при ? ф 0 имеет два вещественных и
различных корня т = ±|?|.
4. Оператор Штурма -Лиувилля Lu = -j-fp(x) -т-«) + q(x)u элли-
эллиптичен на (а, 6), если р(ж) ^ 0 при х G (а, 6).
Как следует из теоремы 1.3, эллиптичность оператора — факт, не
зависящий от выбора координат. Гиперболичность относительно t не
зависит от выбора координат в пространстве М".
Посмотрим, что означает характеристичность поверхности xi =
= const. Вектор нормали имеет координаты A, 0, ..., 0) и при под-
подстановке в главный символ получаем
аго(ж; 1, 0, ..., 0) = Y, M*)(l, 0, ..., 0)а = a(rn,0)...i0)(x),
|a|=m
т.е. характеристичность поверхности xi = const в точке х, означа-
т. е. коэффициент при f у J -д^т
обращается в 0 в точке х.

1.6. Характеристики и канонический вид (п = 2) 19
Все поверхности х\ — const являются характеристиками тогда и
только тогда, когда O(mHi...,o)(a;) = 0.
Это замечание используется при приведении к каноническому виду
операторов 2-го порядка с двумя независимыми переменными.
Нахождение характеристик возможно, например, с помощью реше-
решения уравнения Гамильтона—Якоби ат (х, 4>х{х)) = 0: если ц> — решение
этого уравнения, то все поверхности ц> = const являются характери-
характеристиками. Интегрирование уравнения Гамильтона-Якоби проводится
с помощью гамильтоновои системы обыкновенных дифференциальных
уравнений с гамильтонианом ато(ж, ?) (см. § 11).
1.6. Характеристики и приведение к каноническому виду операторов
и уравнений 2-го порядка при п = 2
При п = 2 характеристики являются линиями и находятся особенно
просто. Рассмотрим, например, оператор 2-го порядка
-А + ..., A.18)
где о, 6, с — гладкие функции от ж, у, определённые в некоторой обла-
области П с К2, а многоточие означает члены, содержащие лишь произ-
производные первого порядка. Пусть (x(t), y(t)) — линия в п, (dx, dy) —
её касательный вектор, (—dy, dx) — вектор нормали. Линия является
характеристикой тогда и только тогда, когда вдоль неё
а(х, y)dy2 - 26(x, y)dxdy + c{x, y)dx2 = 0. A.19)
Если а(х, у) Ф 0, то в окрестности точки (ж, у) мы можем считать,
что dx ф 0 и что ж является параметром вдоль характеристики у =
= у (ж). Тогда уравнение характеристики приобретает вид
ау'2 -2Ьу' + с = 0.
Бели Ь2 — ас > 0, то оператор A.18) называется гиперболическим и
имеет 2 семейства вещественных характеристик, находимых из обык-
обыкновенных дифференциальных уравнений
а
Ь - 762 _ ас
а
A.20)
A.20')

20 §1. Линейные дифференциальные операторы
Отметим, что через каждую точку (ж, у) G fi в этом случае про-
проходят две некасающиеся характеристики. Запишем эти семейства ха-
характеристик в виде tpi(x, у) = С\ и ipi{x, у) = Съ, где щ, ip2 € С°°(П).
Таким образом, щ, ц>2 являются первыми интегралами уравнений A.20)
и A.20') соответственно. Будем считать, что gradtpi ^0и grad<p2 7^ 0
в п. Тогда grad<pi и grady>2 линейно независимы, так как характе-
характеристики из разных семейств не касаются. Введём новые координаты
f = ipi(x, у), г] = ц>2(х, у). В них характеристиками будут линии ? =
= const Hf) = const, но тогда коэффициенты при —^ и —г тождествен-
тождественно обратятся в 0, так что оператор А примет вид
называемый каноническим. Здесь р(?, rf) ф 0 (вспомним, что мы пред-
предполагали а ^ 0). Аналогично делается приведение к каноническому
виду A.21) в случае, когда с(х, у) ф 0. Вообще не обязательно от-
отдельно рассматривать эти два случая, так как использовалось лишь
существование интегралов tpi(x, у), ч>г{х, у) с описанными свойствами.
Эти интегралы можно найти и в случае обращения в 0 коэффициентов
а и с (в одной точке или в области). Этот случай можно, например,
свести к одному из предыдущих поворотом координатных осей (если
а2 + Ь2 + с2^0).
Часто рассматривают дифференциальные уравнения вида
Аи = /, A.22)
где / — известная функция, А — линейный дифференциальный опера-
оператор, и — неизвестная функция. Бели А — гиперболический оператор
2-го порядка с двумя независимыми переменными (т. е. оператор вида
A.18), где Ь2 — ас > 0), то после введения описанных выше координат
f, г/ и деления на р(?, rj) уравнение A.22) (которое в этом случае тоже
называется гиперболическим) приводится к каноническому виду
где многоточие означает члены, не содержащие 2-х производных от и.
Пусть теперь Ь2 — ас = 0 (тогда оператор A.18) и уравнение A.22)
с этим оператором называются параболическими). Будем считать, что

1.6. Характеристики и канонический вид (п = 2) 21
афО. Тогда для характеристик получается дифференциальное уравне-
уравнение
У' = \- A-24)
Найдем характеристики и запишем их в виде tp(x, у) = const, где
tp — первый интеграл A.24), причём grady Ф 0. Выберем такую фун-
функцию ф ? С°°(п), что grad<p и gradip линейно независимы, и введём
новые координаты ? = ip(x, у), т) = ip(x, у). В новых координатах опе-
ратор А не будет иметь члена —j, поскольку линии tp = const являются
характеристиками. Но тогда член с также исчезнет, поскольку
главный символ должен быть квадратичной формой ранга 1. Итак, по-
получаем канонический вид параболического оператора
A = p(?,ri)—2+--- A-25)
Для параболического уравнения A-22) канонический вид будет
Заметим, что если Ь2 — ас = 0, причём а2 -1-Ь2 -Ьс2 Ф 0, то а и с не могут
одновременно обратиться в 0, поскольку тогда будет и 6 = 0. Поэтому
всегда либо афО либо с / 0 и описанная процедура всегда применима.
Рассмотрим, наконец, случай ft2 — ас< 0, т.е. оператор A.18) явля-
является эллиптический*; уравнение A.22) в этом случае тоже называется
эллиптическим. Предположим для простоты, что функции а, 6, с явля-
являются вещественно-аналитическими. Тогда из теоремы существования
голоморфных решений комплексного уравнения
о
можно вывести существование локального первого интеграла
<р(х, у) + гф(х, у) = С,
где tp,tj> — вещественноэначные аналитические функции, grady>, gradV1
линейно независимы. Можно проверить, что после введения новых коор-
координат ? = ip(x, у), т) = ф(х, у) оператор А приводится к каноническому
виду
М$+|0+-' (L27)

22 §1. Линейные дифференциальные операторы
где р(?, г/) ф 0. Уравнение A.22) в этом случае делением на р можно
привести к виду
gf + 0 + ...=O. A.28)
1.7. Общее решение однородного гиперболического уравнения
с постоянными коэффициентами при п = 2
Как следует из изложенного в предыдущем пункте, гиперболическое
уравнение
д2и оь д2и д2и п (л „.
°ТТ + 26- я + с—, = 0, A.29)
дх2 дхду ду2
где а, Ь, с е Ш, Ь2 - ас > 0, приводится заменой переменных ? = у
г] = у — А2ж, где Ai, А2 — корни квадратного уравнения а\2 — 26А+с = 0,
к виду
0- (L30)
Предполагая, что и G С2(п), где п — выпуклая область в К2, мы
получаем, что
откуда -х- = F[r)) и далее
а»/
A-31)
гДе /> 9 — произвольные функции класса С2. В переменных ж, у имеем
тогда
Ф, У) = f(y ~ Aix) + g(y - А2ж). A.32)
Полезно рассматривать функции и(х, у) вида A.32), где /, g не обя-
обязательно класса С2, а из более широкого класса функций (например,
f,g€ Ц0С(Щ, т.е. /, g локально интегрируемы). Такие функции и
называются обобщёнными решениями уравнения A.29). Пусть, напри-
например, /(?) имеет разрыв 1-го рода в точке ?о- Тогда и(х, у) будет иметь
разрыв вдоль прямой у — Ахж = ?о-
Отметим, что линии у - А1Ж = const, у — А2ж = const являются
характеристиками. Таким образом, разрывы решений в этом случае
распространяются вдоль характеристик. Так обстоит дело и для общих
гиперболических уравнений.

Задачи 23
Пример. Волновое уравнение —^ = °2—г имеет характеристики
dt ox
х — at = const, x + at = const. Общее решение этого уравнения записы-
записывается в виде
u(t,x) = f(x-at) + g(x + at). A.33)
Заметим, что f(x — at) — волна, бегущая вправо со скоростью а,
д(х + at) — волна, бегущая влево со скоростью а. Общее решение есть
сумма или, как говорят, суперпозиция (наложение) двух таких волн.
Задачи
1-1. Привести к каноническому виду уравнения:
а) ихх + 2иху — 2ихг + 2иуу + 6uzz = 0;
б) иху — ихг + их + иу — uz = 0.
1-2. Привести к каноническому виду уравнения:
а) х2ихх + 2хуиху — Ъу2иуу — 2хих + 4уиу + 16ж4и = 0;
б) у2ихх + 2хуиху + 2х2иуу -(- уиу = 0;
в) ихх — 2иху + иуу + их + иу = 0.
1-3. Найти общее решение уравнений:
а) х2ихх - у2иуу - 2уиу = 0;
б) х2ихх - 2хуиху + у2иуу + хих + уиу = 0.

24 §2. Одномерное волновое уравнение
§2. Одномерное волновое уравнение
2.1. Уравнение колебании струны
Мы приведём здесь вывод уравнения малых колебаний струны. От-
Отметим сразу, что этот вывод не является математическим, а относится
к физике или механике, однако понимание его существенно для осо-
осознания физического смысла, во-первых, самого волнового уравнения,
во-вторых, что не менее существенно, начальных и граничных усло-
условий. Знание вывода и физического смысла помогает также нахождению
различных математических приёмов исследования уравнения (интеграл
энергии, стоячие волны и т. д.). Таким образом, выводы уравнений, от-
отвечающих различным физическим и механическим задачам, важны для
понимания математической физики и по существу являются её частью.
Итак, займемся выводом уравнения малых колебаний струны. Речь
идёт о поперечных колебаниях натянутой струны. При этом мы счита-
считаем, что всеми силами, возникающими в струне, можно пренебречь по
сравнению с натяжением, направленным вдоль струны (в частности,
будем считать струну абсолютно
гибкой, т. е. не сопротивляющейся
изгибу).
Прежде всего, выберем пере-
переменные, описывающие поведение
струны. Пусть в положении рав-
~х **ж новесия натянутая струна распо-
распорке, j ложена вдоль оси х. Вначале мы
будем рассматривать внутренние
точки струны, не обращая внимания на концы. Будем считать колеба-
колебания происходящими в плоскости (ж, у), причём каждая точка струны
смещается лишь параллельно оси у и зто смещение в момент времени t
обозначается u(t, х) (см. рис. 1). Таким образом, если фиксировать t,
то график u(t, х) как функции от х представляет собой форму струны
в момент времени t, а при фиксированном х функция u(t, x) описыва-
описывает движение одной точки струны. Вычислим длину участка струны,
соответствующего интервалу (а, Ь) на оси х. Эта длина равна
B.1)
Наше основное предположение состоит в том, что удлинением струны

2.1. Уравнение колебаний струны
25
можно пренебречь. Более точно, будем считать, что ii^ « 1 и пре-
пренебрегать их по сравнению с 1. Заметим, что если а = a(t, х) —
угол между касательной к струне и осью х, то tga = их, cos a =
1 • У>Х хт
sin a = —, При наших предположениях нужно счи-
считать, что cos qrj 1 и sin a ss ux. Если Т — Т(х) — натяжение струны,
то его горизонтальная составляю- v
щая равна Г cos а « Г, а верти-
вертикальная — Г sin a « Тих.
Напишем уравнения движения
указанного участка струны (см.
рис.2). Поскольку движение про-
происходит в вертикальном направле-
направлении (по оси у), то горизонтальные
силы, действующие на этот уча-
участок, должны быть в сумме равны нулю. Это означает, что Т(а) = Т(Ь),
что ввиду произвольности а и 6 даёт: Т(х) — Т = const. Пусть теперь
р(х) — линейная плотность струны в точке х (отношение массы бес-
бесконечно малого участка струны в точке а; к длине этого участка).
Вертикальная сила, действующая на участок струны, равна
б
(Г«-)|я=6 - (Ти,)\в=а = JTuxx(t, x)dx, B.2)
Рис. 2
если считать, что нет внешних сил. При наличии же внешних сил с
плотностью g(t, x) (на единицу массы струны), к B.2) надо добавить
ещё
6
Jp(x)g(t,x)dx. B.3)
a
Вертикальная составляющая импульса участка струны равна
б
p(x)ut(t, x)dx.
B.4)
Теперь воспользуемся известным следствием динамического урав-
уравнения Ньютона, состоящим в том, что скорость изменения импульса

2E §2. Одномерное волновое уравнение
пропорциональна сумме внешних сил. Тогда из B.2)-B.4) получим
б
[p(x)utt(t, х) - Тихх - p(x)g(t, x)] dx = О,
что ввиду произвольности а и Ь означает
р(х) ии - Тихх - р{х)g(t, x) = 0. B.5)
В частности, при р(х) = р = const и при g(t, x) = 0 мы получаем
utt - а2ихх = 0, B.6)
где а = у/Т/р.
К тому же уравнению B.6) мы пришли бы, если бы воспользовались
принципом Даламбера, приравняв нулю сумму всех внешних сил и сил
инерции.
Другим способом к B.5) можно прийти через уравнения Лагранжа.
Предположим, что внешние силы отсутствуют. Ясно, что кинетическая
энергия участка (а, 6) равна
ь
K=\Jp(x)u2t(t,x)dx. B.7)
а
Для вычисления потенциальной энергии струны, имеющей форму
графика функции v(x), x 6 (а, 6), нужно вычислить работу, необходи-
необходимую для перевода струны из положения равновесия в положение v(x).
Пусть это перемещение задаётся «кривой» v(x, a), a 6 [0, 1], причём
v(x, 0) = 0, v(x, I) = v(x). На кусок струны, соответствующий интер-
интервалу (х, х + Да;) на оси а;, действует сила
х+Ах
Tvx(x + Ах, а) - Tvx(x, a) = I Tvxx(x, a)dx.
X
Перемещение же точки с координатой х, когда а меняется от а до
а + Да, равно
а+До
v(x, а + Да) — v(x, а) = / va(x, a)da.

2.1. Уравнение колебаний струны 27
Поэтому для перемещения от а до а+Да над куском струны (а;, х+Ах)
надо совершить работу
-Tvxx(x, a)va(x, a) Ax ¦ Да ¦+• о(Ах • Да).
Интегрируя по х и по а, мы видим, что полная работа, совершаемая
над куском (а, 6), равна
1 ъ
А = — 11 Tvxxvadxda.
о а
Интегрируя по частям, получаем
6 6 б
- JTvxxvadx = -Tvxva\ba + I Tvxvxadx = -Tvxva\ba + -^ [T\vldx
a a a
и теперь, интегрируя по а от 0 до 1, получаем:
1 6
A = -Jtvx(x, a)va(x, a)\xZbada+\JTv2x{x)dx. B.8)
О a
Предположим, что концы струны находятся в точках 0 и I и что они
закреплены, т. е. их перемещения равны 0 в процессе всего движения.
Тогда можно считать, что v@, a) = v(l, a) = 0, a 6 [0, 1] и вместо B.8)
при a = О, Ь — I можно написать
i
A=\jTv2x(x)dx.
о
Отсюда ясно, что потенциальная энергия струны с закрепленными кон-
концами О, I в момент t даётся формулой
l
U=lJTu2x(t,x)dx. B.9)
о
Мы можем написать теперь лагранжиан струны
i i
= K-U= \jP(x)u2t(t, x)dx -IJTuKt, x)dx, B.10)

28 §2. Одномерное волновое уравнение
являющийся функционалом от « и щ (u(t, x) играет здесь роль набора
координат в момент t, a «*(?, х) — роль набора скоростей). Напишем
действие ft* Ldt и приравняем к 0 вариацию действия по и. Производя
обычное интегрирование по частям и считая, что &*|.. = ^UL_t = 0»
мы получим:
ti til til
S f Ldt = И p(x)ut(t, x)Sut(t, x)dxdt - \lTux{t, x)Sux(t, x)dxdt =
to to 0 t0 0
= -ff[p(x)utt(t, x) - Tuxx(t, x)]Su(t, x)dxdt,
toO
откуда ввиду произвольности Su следует, что
р{х)ии(t, x) - Tuxx(t, x) = 0, B.11)
т. е. мы снова пришли к уравнению B.5) (с g(t, x) = 0).
Отметим здесь то важное обстоятельство, что полная энергия стру-
струны равна
1 (
H = K + U = l fp(x)u2t(t, x)dx + \ (Ти\{1, x)dx. B.12)
о о
Имеет место закон сохранения энергии Н:
Энергия сохраняется при колебаниях струны с закреплёнными кон-
концами.
Проверим это, используя уравнение B.11). Имеем:
dH Г Г
— = / p(x)ut(t, x)utt(t, x)dx+ Tux(t, x)utx(t, x)dx.
о о
Интегрируя по частям во втором интеграле, мы получим
^ = Iut(t, x)[p(x)utt(t, x)-Tuxx(t, x)]dx + Tux(t, x)ut(t, x)\xxZ'o.
B.13)

2.1. Уравнение колебаний струны29
Последнее слагаемое в B.13) обращается в 0 в силу граничных усло-
условий и и|х=0 = и\х=1 = 0, поскольку тогда «t|I=0 = jt H*=o) = 0 и
аналогично щ\х=1 = 0. Первое слагаемое обращается в 0 в силу уравне-
jit
ния B.11). Итак — = 0, что и даёт закон сохранения энергии H(t) =
я г
= const.
Из закона сохранения энергии вытекает единственность решения
уравнения струны B.5) при условии, что всюду р(х) > 0, задано дви-
движение концов:
»Lo = «('). «|«=i =/'('), B-14)
и фиксированы начальные условия (положение и скорость струны):
«U=V(*). Ч=о=^(*), *G[O,q. B.15)
В самом деле, если ui, од — два решения уравнения B.5) при условиях
B.14) и B.15), то их разность v = 1*1 — 1*2 удовлетворяет однородному
уравнению B.11) и однородным граничным и начальным условия
°Uo = »Li = 0> B-16)
v\t=o = vt\t=o = 0, xG[O,q. B.17)
Но тогда из закона сохранения энергии для v вытекает, что
откуда Vt = 0 и vx = 0, т.е. v = const. В силу B.17) мы имеем теперь
v = 0, т.е. Ui = u2, что и требовалось.
В заключение заметим, что вывод уравнения струны можно было,
конечно, провести и без упрощающего предположения «^ С 1. В резуль-
результате получилось бы нелинейное уравнение, исследование которого вряд
ли можно провести простыми средствами. Уравнение же B.5) получа-
получается как линеаризация (главная линейная часть) указанного нелиней-
нелинейного уравнения. По свойствам его решений можно судить и о поведении
решений нелинейного уравнения. Заметим, однако, что при больших де-
деформациях и указанное нелинейное уравнение вряд ли будет адекватно
физической задаче, поскольку может возникнуть сопротивление изгибу
и другие неучтённые эффекты.

30 §2. Одномерное волновое уравнение
2.2. Неограниченная струна. Задача Коши. Формула Даламбера
Неограниченная струна с физической точки зрения является идеали-
идеализацией, означающей, что мы рассматриваем внутренний участок стру-
струны, считая концы достаточно далёкими, так что на рассматриваемом
интервале времени они не влияют на происходящее на данном участке
струны. Как мы увидим ниже, рассмотрение неограниченной струны
полезно и при изучении полуограниченной струны (являющейся анало-
аналогичной идеализацией) и ограниченной струны.
Переходя к математическому обсуждению, рассмотрим одномерное
волновое уравнение B.6) при i ? М, f ) 0. Естественной задачей здесь
является задача Коши: задача о нахождении решения уравнения B.6)
с начальными условиями
«1^=0 = ?»(*)» «*Lo=iK*)- B.18)
С физической точки зрения условия B.18) означают, что заданы на-
начальное положение и начальная скорость струны. Можно ожидать, что
по аналогии с конечномерными задачами механики задача Коши здесь
будет корректна, т.е. решение существует, единственно и непрерыв-
непрерывно зависит от начальных данных ip и гр. Как мы увидим сейчас, это
действительно так.
Воспользуемся найденным в § 1 общим решением уравнения B.6):
«(*, x) = f(x-at) + g(x + at). B.19)
Записывая условия B.18), получим систему двух уравнений для
определения произвольных функций / и д:
[/(*)+»(*) =?>(*). B-20)
1 - af{x) + ад'(х) = ф{х). B.21)
Интегрирование второго уравнения даёт
C. B.22)
х0

2.2. Неограниченная струна. Формула Даламбера31
Из B.20) и B.22) находим теперь
X
f
Хо
X
B-23)
B-24)
Поэтому
х—at x+at
u(t, х) = \ф ~at)-± I г{>@<% + \ф + at) + ± J
Xo Xo
u(f> x) = + I
x-at
Итак, решение u(t, x) действительно существует, единственно и не-
непрерывно зависит от начальных данных tp, гр при разумном выборе
топологий в множестве начальных данных (р, ф и функций u(t, x). На-
Например, ясно, что если решение щ построено по начальным данным щ,
rpi и при достаточно малом 6 > 0
snp\<pi(x) - <р(х)\ < 6, sup|Vi(a;) - гр(х)\ < 6, B.26)
то . .
sup \ui(t, x) - u(t, x)\<e, B.27)
*6[О,Т]
со сколь угодно малым е > 0 (более точная формулировка: для любых
е > 0 и Г > 0 найдётся такое 6 > 0, что из B.26) следует B.27)). Таким
образом задача Коши корректна.
Формула B.25), задающая решение задачи Коши, называется фор-
формулой Даламбера. Сделаем несколько замечаний по поводу её вывода и
применений.
Во-первых, заметим, что эта формула имеет смысл для любых ло-
локально интегрируемых функций faxp, давая обобщённое решение урав-
уравнения B.6). Мы будем здесь рассматривать лишь непрерывные реше-
решения. Тогда в качестве tp можно брать любую непрерывную функцию,
а в качестве ф — любую локально интегрируемую. Получаемые таким

32
§2. Одномерное волновое уравнение
образом функции u(t, x) естественно называть обобщёнными решени-
решениями задачи Коши. Мы будем рассматривать обобщённые решения на-
наравне с обычными, опуская слово «обобщенный».
Во-вторых, из формулы Даламбера ясно, что значение решения в
точке to, хо зависит лишь от значений р(х) при х = хо ± ato и от зна-
значений ip(x) при х 6 (хо - ato, ?o + ato). Во всяком случае, достаточно
знать tp(x) и гр(х) на [хо - ato, хо + ato]- Отрезок [а;0 — e*o> ^o + ato] высе-
высекается на оси х в (t, ^-пространстве характеристиками, проходящими
через точку (to, хо) (см. рис. 3). Образованный этими характеристика-
характеристиками и осью х, треугольник образует множество тех точек полуплоскости
t ^ 0 в которых значение решения полностью определяется начальными
данными на отрезке [хо — ato, ?о + ato] (этот треугольник называется
областью зависимости для отрезка [хо — ato, хо + at0]). Элементарный
анализ вывода формулы Даламбера показывает, что она верна для лю-
любого решения, определённого в треугольнике, у которого боковыми сто-
сторонами являются характеристики, а нижнее основание — отрезок [с, d]
оси х (т. е. не обязательно требовать, чтобы решение было определено
всюду в полуплоскости t ^ 0). В самом деле, из уравнений B.20), B.21)
мы находим значения f(x) и ^(а;) при х € [с, d] (если начальные данные
определены на [с, d]). Но это даёт значения u(t, х) при х - at 6 [с, d],
x+at € [с, d] т. е. когда проведенные через точку (t, x) характеристики
пересекают отрезок [с, d\ на оси х. При этом, конечно, можно считать,
что f(x) и <7(а;) определены только на [с, d\ (т. е. u(t, x) определена в
указанном треугольнике, являющемся областью зависимости отрезка
[с, d\). Физический смысл области зависимости очевиден: она состоит
из тех точек (t, x), для которых волна, движущаяся со скоростью а
от одного из концов отрезка [с, d\ и начавшая движение при t = 0, не
успевает за время t дойти до точки х.
to,xo
х0 - at0 хо + at0 x
Рис. 3
с d
Рис. 4
х

2.2. Неограниченная струна. Формула Даламбера
33
и
и
и
х
— +е
2а
х
a
Рис. б
Далее, значения начальных данных tp и ф на [с, d] не влияют на зна-
значение u(t, х), если х + at < с или ж — at > d (т. е. волна за время t не
успевает дойти от ближайшего к точке х конца отрезка [с, d] до точ-
точки х). Поэтому область, ограниченная отрезком [с, d] и лучами прямых
х + at = с, х — at = d, лежащими в полуплоскости t ^ 0, называется
областью влияния отрезка [с, d] (заштрихованная область на рис. 4).
Эта область является дополнением множества тех точек (t, x), для ко-
которых u(t, x) не зависит от значений ц>(х) и гр(х) на [с, d].
Пример 2.1. Нарисуем форму струны в различные моменты време-
времени, если ф(х) = 0, a f(x) имеет вид, изображенный выше на первом
2 Шубин М.А.

34 §2. Одномерное волновое уравнение
из графиков рис. 5, т. е. график <р(х) имеет форму равнобедренного
треугольника в основанием [с, cfj. Пусть d — с — 21. Мы будем ри-
рисовать форму струны в наиболее характерные моменты времени, ко-
когда происходит изменение её формы. Все эти рисунки вместе образу-
образуют своеобразный мультфильм о колебаниях струны, которую оттяну-
оттянули в точке , придерживая концы отрезка [с, d], а затемотпустили.
Из формулы
, ч _ ?>(ж ~ at) + Ф + at)
Щ1, X) — -
видно, что первоначальное возмущение ip(x) делится на две одинаковые
части, которые разбегаются влево и вправо со скоростью о.
Пунктиром на рис. 5 изображены разбегающиеся полуволны
ifi(x — at) ifi(x + at) ,. ч т? _
—- и —-, в сумме дающие u(t, х). Число е > О считается
достаточно малым по сравнению с характерным интервалом времени
- (достаточно, чтобы было е < — ).
а \ la)
2.3. Полуограниченная струна. Отражение волн от конца струны
Рассмотрим уравнение B.6) при х ^ 0, t ^ 0. На конце х = 0 надо
задавать граничное условие. Пусть, например, задано движение левого
конца струны:
Ч*=о = »(*), * > 0. B-28)
и обычные начальные условия, но при х ^ 0:
Задача, в которой задаются начальные и граничные условия, на-
называется обычно смешанной задачей. Таким образом, задача с усло-
условиями B.28)-B.29) для волнового уравнения B.6) является примером
смешанной задачи (иногда её называют 1-й краевой задачей для урав-
уравнения струны). Убедимся, что эта краевая задача также корректна и
решим её.
Для аналитического решения проще всего использовать тот же спо-
способ, что и в задаче Коши. Квадрант t ^ 0, х ^ 0 является выпуклой
областью, так что мы можем снова написать
u(t, x) = f(x - at) + g(x + at),
но теперь функция g(x) определена и нужна для нахождения и уже
лишь при х ^ 0 (функция f(x) по-прежнему определена при всех х),
поскольку х + at ^ 0 при х ^ 0, t ^ 0.

2.3. Полуограниченная струна. Отражение волн 35
Начальные условия B.29) определяют аналогично случаю неограни-
неограниченной струны f(x) и д{х) при х ^ О, причём получаются те же форму-
формулы. Поэтому при х — at ^ О решение даётся формулой Даламбера, что,
впрочем, было ясно и так. Но теперь можно использовать граничное
условие B.28), из которого получается, что
f(-at) + g(at) = a(t), t Z 0, B.30)
откуда
f(z)=a(-±)-g(-z), z^O. B.31)
Слагаемые в B.31) при подстановке z = х — at дадут сумму двух бегу-
бегущих вправо волн, из которых одна равна a(t ) и естественно интер-
интерпретируется как волна, созданная колебанием конца струны, а вторая
равна —д(—(х — at)) и интерпретируется как отражение от конца бе-
бегущей влево волны д(х + at) (заметим, что это отражение происходит с
изменением знака). Если левый конец закреплен, т. е. a(t) = 0, то оста-
остаётся только волна -д(—(х — at)), а если нет бегущей влево волны, то
остаётся лишь волна a(t ), индуцированная граничным колебани-
колебанием a(t).
Укажем геометрически более наглядный способ решения задачи с
закрепленным концом. Итак, мы хотим решить волновое уравнение
B.6) при t ^ 0, х ^ 0 при начальных условиях B.29) и граничном
условии
«|я=0 = 0, t > 0. B.32)
Попробуем найти решение в виде правой части формулы Даламбера
B.25), где ip(x), ф(х) являются какими-то продолжениями на всю чи-
числовую ось функций ip(x), 1р(х), определённых при х ^ 0 начальными
условиями B.29). Граничное условие даёт
-at
откуда видно, что мы достигнем цели, если продолжим (риф нечётным
образом, т. е. положим
ф) = -?>(-*). ^(*) = ~^(-«). * < 0.
Итак, мы можем построить решение нашей задачи. Единственность
его не видна сразу из этого способа, однако, к счастью, мы уже дока-
доказали её раньше.

36 §2. Одномерное волновое уравнение
Пример 2.2. Пусть конец закреплен, ф[х) = О, а график ip(x) опять
имеет вид равнобедренного треугольника с основанием [I, 31]. Нарисуем
мультфильм, описывающий форму струны. Продолжая ip(x) нечётным
образом, мы получим ту же задачу, что и в примере 2.1. Будем пункти-
пунктиром рисовать левую полуось, введение которой по существу является
просто математическим приёмом (реально существует лишь полуось
х ^ 0). Получается мультфильм, изображенный на рис. 6.
Здесь интересен момент t = —, когда вблизи конца струна не воз-
мущена. Однако в следующий момент t = —Ve возмущение возникает
Ш
за счёт начальной скорости. При t > — + е мы получаем две бегущие
вправо волны, из которых одна отрицательна и получилась отражением
от конца бегущей влево волны.
2.4. Ограниченная струна. Стоячие волны. Метод Фурье
(метод разделения переменных)
Рассмотрим колебания ограниченной струны с закрепленными кон-
концами, т. е. решим уравнение струны B.6) с начальными условиями
4=0 = ^*)' Ч=о ^Ф' *е[0,1]. B.33)
и с граничными условиями
и\х=0 = и\х=1 = 0, t > 0. B.34)
Это можно было бы сделать так же, как в предыдущем пункте, однако
мы применим другой способ, который годится и во многих других за-
задачах. Отметим, что единственность решения уже была доказана выше
с помощью закона сохранения энергии.
Будем искать стоячие волны, т. е. решения уравнения струны B.6),
определённые при х ? [0, /], удовлетворяющие граничным условиям
B.34) и имеющие вид
u(t,x)=T(t)X(x). B.35)
Термин «стоячая волна» оправдан потому, что форма струны при ко-
колебаниях вида B.35) по сути дела со временем не меняется (она лишь
умножается на множитель, зависящий от времени). Подставляя u(t, x)
в уравнение B.6) получим
T"(t)X(x)=a2T(t)X"(x).

2.4. Ограниченная струна. Стоячие волны. Метод Фурье 37
-3/ -/
X
X
X
X
X
ч
X
\ '
\—7
\У
Ч^/
V
Ч •
1 \ /
1 \ /
1 X /
/ \
V N
г' ч
j-'
1 /
1 /
\S
у
\'
S
/
!_*-_
ч^
ч
/
>
/
X
ч
X
/
X
X
ч
\
и
и
и
3/
х
I
a
х
2о
3/
х
_ 2Z
а
21
t= ~
а
х
х
Рис. в

38 §2. Одномерное волновое уравнение
Исключая неинтересный тривиальный случай, когда T(t) = 0 или
Х(х) = 0, мы можем поделить обе части полученного соотношения на
a2T(t)X(x). В результате получаем:
T"(t) _X"(x) . .
7Щ W B>36)
Левая часть этого соотношения не зависит от х, а правая от t. По-
Поэтому ясно, что обе они постоянны, т. е. что B.36) равносильно выпол-
выполнению двух соотношений
T"(t) - Xa2T(t) = 0, B.37)
Х"(х) - ХХ(х) = 0 B.38)
с одной и той же постоянной А. Далее, из граничных условий B.34)
вытекает, что
Х@) = ХA) = 0. B.39)
Задача на собственные значения
X" = XX, Х@) = ХA) = 0 B.40)
является частным случаем так называемой задачи Штурма-Лиувилля.
В общем виде мы обсудим задачу Штурма-Лиувилля позднее, а по-
пока решим конкретную задачу B.40), т.е. найдём те значения А (соб-
(собственные значения), при которых задача B.40) имеет нетривиальные
решения (собственные функции), и найдём сами собственные функции.
Рассмотрим следующие возможные случаи.
а) А = ft2, ц > 0.
Тогда уравнение X" = XX имеет общее решение
Х(х) = С\ sh par + С2 ch /j,x.
Из условия Х@) = 0 находим Сг = 0, а из условия ХA) = 0 получается,
что С\ sh ju/ = 0, откуда С\ = 0, т. е. Х(х) = 0 и, значит, число А > 0 не
является собственным значением.
б) А = 0.
Тогда Х(х) = С\х + Сг из граничных условий опять следует, что С\ =
С2 = 0 и Х(х) = 0.
в) А = -ju2, ц > 0.
Тогда имеем
Х(х) = С\ sin fix + C2 cos /j,x.

2.4. Ограниченная струна. Стоячие волны. Метод Фурье 39
Хг(х)
Рис.7
Из условия Х@) = О следует, что Сг — 0, а из условия ХA) = 0 следует,
что С\ sin ц1 — 0. Считая С\ Ф 0, получаем sin pX = 0, откуда получаем
следующий набор значений ju:
„.-hi k-1 2 B 41^
и, соответственно, собственных значений и собственных функций:
Y, oin h 19 О 491
yxfc — ЬШ —^—, К — X, Z, . . . {Z.tZ)
Нарисуем графики нескольких первых собственных функций, опре-
определяющих форму стоячих волн (см. рис. 7).
Легко найти также соответствующие значения T(t). А именно, из
уравнения B.37) с А = Ац находим:
B.43)
откуда получается общий вид стоячей волны:
i± \ / л knat , г, . knat\ . kira , л о ,о ...
Uk(t, х) = iAk cos — 1- Bk sin —-—1 sm ——, к = 1, 2, ... B.44)
Частоты колебаний каждой точки х в решении Uk равны
шк = ^р, к = 1, 2, ..., B.45)
и называются собственными частотами струны.
Теперь будем искать общее решение уравнения B.6) с граничными
условиями B.34) в виде суммы («суперпозиции») стоячих волн, т.е. в
виде
оо
,. . v^/л kirat , л - kirat\ . к-пх /п .„.
u(t, х) = 2^ (^t cos —j— + в* sm —I" ) Sln -Г" • B.46)

40 §2. Одномерное волновое уравнение
Нам нужно удовлетворить начальным условиям B.33). Подставляя
решение B.46) в эти условия, получим
fc sin ^, xe[0,l], B.47)
п*?, x€[Q,l]. B.48)
fe=i
Таким образом, функции <р(х) и ф{х) необходимо разложить по системе
собственных функций < sin -у-, к = 1, 2, ... >.
Отметим, прежде всего, что эта система ортогональна на отрез-
отрезке [0, I]. Это можно проверить непосредственно, но можно и сослать-
сослаться на общий факт об ортогональности собственных векторов симме-
симметричного оператора, отвечающих различным собственным значениям.
В качестве оператора нужно взять оператор L, равный —~ > но с обла-
dx
стью определения D/,, состоящей из функций v e С2([0, /]), для которых
v@) = v(l) = 0. Интегрированием по частям проверяется, что
(Lv, w) = (v, Lw), v,w€DL, B.49)
где скобки означают скалярное произведение в L2([0, /]):
(vuv2)= v1(x)v2(x)dx. B.50)
о
Итак, система <sin—j— > ортогональна в L2([Q, /]). Хотелось
бы установить её полноту. Будем для простоты считать, что / = тг
(общий случаи сводится к этому введением независимой переменной
у = — I, так что система имеет вид {sinkx}k=l и рассматривается
на [0, тг]. Пусть / G L2([0, тг]). Продолжим / нечётным образом на
[—тг, тг] и разложим на отрезке [—тг, тг] в обычный ряд Фурье по систе-
системе {1, cos fear, sinkx; к = 1, 2, ...}. Ясно, что это разложение не будет
содержать 1 и cos kx ввиду нечетности продолжения. Поэтому на [0, тг]
мы как раз получим разложение по системе {sinfear; к = 1, 2, ...}.
Отметим ещё, что если функция / непрерывна, имеет кусочно-
непрерывную производную на [0, тг] и /@) = /(тг) = 0, то её пери-
периодическое с периодом 2тг и нечетное продолжение также непрерывно

2.4. Ограниченная струна. Стоячие волны. Метод Фурье 41
и имеет кусочно-непрерывную производную. Поэтому она разлагает-
разлагается в равномерно сходящийся ряд по системе {sinkx;к= 1,2, ...}. Если
же указанное 2тг-периодическое продолжение принадлежит классу Ск,
а (к + 1)-я его производная кусочно-непрерывна, то это разложение
можно к раз дифференцировать с сохранением равномерной сходимо-
сходимости.
Итак, разложения в ряды B.47), B.48) существуют, причём налагая
на <р(х), ip(x) условия гладкости и некоторые граничные условия, мы
можем добиться сколь угодно хорошей сходимости этих рядов. Коэф-
Коэффициенты этих рядов однозначно определены:
j II т\~/ i —~-) \&.Ы)
/sin2 ^dz
l
= T~ *(*) sin — dx. B.52)
k™ J a
I . 2 knx ,
J sm —j-dx
о '
Подставляя эти значения Ак и Вк в B.46), мы получим решение
искомой задачи.
Метод Фурье позволяет установить и единственность решения —
мы покажем это ниже на примере более общей задачи.
Рассмотрим задачу о струне, на которую действует распределённая
сила:
ии = а?ихх + /(*, х), t>0, xe [0,1]. B.53)
Концы струны будем считать закреплёнными (т. е. выполнены условия
B.34)), а при t = 0 зададим, как и выше, начальные положение и ско-
скорость струны — условия B.33).
Поскольку собственные функции {sin kx; к = 1,2,...} образуют
полную ортогональную систему на [0, /], то любую разумную функцию
g(t, х), определённую при х G [0, /], можно разложить по этой системе с
коэффициентами, зависящими от t. В частности, мы можем написать:
u(t, x) = 2^uk(t) sin ^y-, B.54)
k-l
oo
f(t, x) = ^ Д(*) sin -j^, B.55)

42 §2. Одномерное волновое уравнение
где fk(t) — известные функции, a uu{t) нужно определить. Подставляя
эти разложения в уравнение B.53), получим
й* @ + ш2кик (t) - Д (t)] sin ^ = 0, B.56)
где L>k — —j собственные частоты струны. Из B.56) следует, в силу
ортогональности системы собственных функций, что
uk(t) + Jktuk(t)=fk(t), fc = l, 2, ... B.57)
Из начальных условий
sin =S =<?(*), B.58)
= ¦Ф(х), B.59)
к=Х
находятся ик @) и йк @), т. е. мы можем однозначно определить функции
Uk(t) и, следовательно, решение u(t, x).
Интересен, в частности, случай, когда f(t, x) имеет вид гармониче-
гармонического колебания по t, например,
f(t, х) = д(х) sinw*. B.60)
Ясно тогда, что правые части fk(t) уравнений B.57) будут иметь
вид
fk(t) = дк sinuit. B.61)
Пусть, например, дк ф 0. Тогда при ы ф и>к («нерезонансный слу-
случай») уравнение B.57) имеет колеблющееся частное решение вида
uk{t) = Uk sinuit, Uk = 29k 2, B.62)
так что его общее решение также будет иметь осциллирующий вид:
Uk{t) = Uk sinutf + Ак coswkt + Вк sinwkt. B.63)
При и> = и>к («резонансный случай») есть частное решение вида
Uk{t) = t (Мк cosojt + Nk sinujt), B.64)

Задачи 43
которое можно представлять себе как колебание с частотой ши с не-
неограниченно растущей амплитудой. Общее решение Uk(t) и функция
u(t, х) в этом случае будут неограничены.
Укажем, в заключение, что к описанной задаче сводится более общая
задача, когда концы не закреплены, но задано их движение
u\x=o = a(t), u\x=l = /?(*), *?0. B.65)
А именно, если функция щ(г, х) — произвольная функция, удовле-
удовлетворяющая условиям B.65) (например, uo(t, х) = —-—a{t) + j/3(t)), то
для v(t, x) = u(t, x) — uo(t, x) получается задача с закреплёнными кон-
концами.
Наконец, отметим, что все описанные выше задачи корректны, что
видно из их явных решений.
Задачи
2-1. а) Написать граничное условие на левом конце струны, если к
этому концу прикреплено колечко, которое может свободно скользить
по вертикальному стержню. Массой колечка пренебречь (см. рис. 8).
б) то же, что и в 2-1 а), но колечко имеет массу т;
в) то же, что и в 2-16), но колечко скользит с трением.
2-2. а) Получить закон сохранения энергии струны, если на одном
или на обоих концах выполнено граничное условие задачи 2-1а).
б) то же в задаче 2-1 б) (здесь надо учесть энергию колечка);
в) то же в условиях задачи 2-1 в) (с учётом потерь на трение).
2-3. Вывести уравнение продольных упругих колебаний стержня.
2-4. Написать граничное условие на левом конце стержня, если этот
конец свободен.
Рис. 8 Рис. 9

44 §2. Одномерное волновое уравнение
2-5. Написать граничное условие на левом конце стержня, если этот
конец упруго закреплён (см. рис. 9).
2-6. Получить закон сохранения энергии для стержня, у которого
а) концы закреплены;
б) концы свободны;
в) один конец закреплён жестко, а другой упруго.
2-7. Вывести уравнение продольных колебаний конического стерж-
стержня.
2-8. Доказать, что энергия участка струны, заключённого между
точками с + at и d — at, является невозрастающей функцией времени.
Получить отсюда единственность решения задачи Коши и информацию
об области зависимости для отрезка [с, d] и о его области влияния.
2-9. Сформулировать и доказать закон сохранения энергии для бес-
бесконечной струны.
2-10. Нарисовать мультфильм, описывающий колебания бесконеч-
бесконечной струны с начальными данными «|t=0 = 0, «t|t=0 = i>(x), где ip(x) =
= 1 при х 6 [с, d], ф(х) = 0 при х $ [с, d].
2-11. Описать колебания бесконечной струны, происходящие при t 6
6 (—оо, +оо) и такие, что некоторый участок струны (хо — е, «о + е)
покоится в течение всего времени этих колебаний.
2-12. То же, что и в предыдущей задаче, но участок струны (хо —
— е, жо + ?) покоится при t ^ 0.
2-13. Нарисовать мультфильм, описывающий колебания полуограни-
полуограниченной струны со свободным концом (граничное условие их | _0 = 0 —
см. задачу 2-1 а) и с начальными условиями и\х_0 = ф(х), ut\xz=0 = 0
график <р(х) имеет форму равнобедренного треугольника с основанием
[I, Щ-
2-14. Нарисовать мультфильм, описывающий колебания полуогра-
полуограниченной струны с закрепленным концом и с начальными условиями
ula,=o = 0, ut\x=Q = Ф{х), гДе Ф{х) — характеристическая функция
интервала (I, 31).
2-15. Получить закон сохранения энергии для полуограниченной
струны с закрепленным концом.
2-16. Вдоль стержня, левый конец которого упруго закреплен, при
t ^ 0 бежит волна sinw(t н—). Найти отражённую волну.

Задачи 45
2-17. Вдоль бесконечной струны со скоростью v < а движется ис-
источник гармонических колебаний частоты ш, т. е. «|:E_et = sin ut, t ^ 0.
Описать колебания струны справа и слева от источника. Найти часто-
частоты индуцированных колебаний фиксированной точки струны справа
и слева от источника и дать физическую интерпретацию результата
(эффект Допплера).
2-18. Описать и нарисовать стоячие волны в струне со свободными
концами.
2-19. Доказать существование бесконечной серии стоячих волн в
стержне, у которого один конец закреплен жестко, а другой упруго (см.
задачу 2-5). Доказать ортогональность собственных функций. Найти
коротковолновую асимптотику собственных значений.
2-20. На правый конец стержня при t ^ 0 действует сила, меняюща-
меняющаяся по закону F = Fq smut. Написать формулу для решения и выяснить
условия резонанса, если левый конец
а) закреплен;
б) свободен.
2-21. Правый конец стержня при t ^ 0 колеблется по закону A sin wt.
Написать формулу для решения и выяснить условия резонанса, если
левый конец
а) закреплен;
б) свободен;
в) упруго закреплен.

46 §3. Задача Штурма - Лиувилля
§3. Задача Штурма-Лиувилля
3.1. Постановка задачи
Рассмотрим уравнение
р(х)ии = (р(х)их)х - q{x)u, C.1)
более общее, чем вьгаеденное в § 2 уравнение колебаний неоднородной
струны. Попробуем упростить уравнение заменой переменных u(t, х) =
= z(x)v(t, х), где z(x) — известная функция. Оказывается, при этом
можно получить уравнение вида C.1) с р(х) = 1. В самом деле, имеем:
utt = zvu,
их = zvx + zxv,
ихх — zvxx + 2zxvx + zxxv.
После подстановки в уравнение C.1) и деления на zp получаем
tt xx
Чтобы это уравнение имело вид C.1) с р(х) = 1 нужно, чтобы было
выполнено условие:
\р'х р z р'
откуда
zx _ рх
z - 2р
и можно взять, например,
Мы всегда предполагаем, что р(х) > 0, так что эта подстановка
возможна. Итак, рассмотрим уравнение
иа = (р(х)их)х- q(x)и. C.2)
Решая его разделением переменных на отрезке [0, /] мы приходим
при условии, что концы закреплены, к следующей задаче на собствен-
собственные значения:
-ip(x)X'(x))' + q(x)X(x) = XX(x), C.3)
Х@) = ХA) = 0. C.4)

3.2. Собственные значения и собственные функции 47
Обобщением задачи на собственные значения C.3)-C.4) является
такая же задача, в которой граничные условия C.4) заменены более
общими условиями:
аХ'(О) + 0Х(О) = О, jX'(l) + SX(l) = О, C.5)
где а, /3, 7> 8 — вещественные числа, а2 + /?2 ф 0, 72 + &2 Ф 0- Та-
Такая задача называется задачей Штурма - Лиувилля. При рассмотрении
этой задачи обычно предполагают, что р е С1 ([0, /]), g ? С([0,/]) и
р(х) ф 0 при х <Е [0, /] («эллиптичность»). Мы будем для простоты счи-
считать, что р(х) = 1 и берутся граничные условия C.4). Общий случай
рассматривается аналогично. Итак рассмотрим задачу
-Х"(х) + q(x)X(x) = XX(x), C.6)
с граничными условиями C.4). Будем также считать, что
q(x) > 0. C.7)
Это не является ограничением, поскольку мы можем добиться вы-
выполнения C.7), добавляя к А фиксированную постоянную.
3.2. Простейшие свойства собственных значении
и собственных функции
Мы будем использовать следующую доказываемую в курсе обыкно-
обыкновенных дифференциальных уравнений осцилляционную теорему Штур-
Штурма.
Теорема 3.1. Пусть даны два уравнения
-у" = Ч1(х)у, C.8)
-z" = q2(x)z, C.9)
причём qi(x) ^ Я2{х). Далее, пусть у(х), z{x) — решения этих урав-
уравнений, определенные на [о, ft], причём z(a) = z(b) = 0, z(x) ф 0. Тогда
либо на интервале (а, Ь) найдётся такая точка xq, что у(хо) = 0,
либо qi(x) = q2(x) на [а, Ь] и у(х) = Cz(x), где С — постоянная.
Доказательство. Мы можем, очевидно, предположить, что а и ft —
соседние нули функции z, a также, что z(x) > 0 при х € (о, ft). Тогда
z'(a) > 0 и z'(b) < 0. Если у(х) не обращается в 0 на (о, Ь), то мы можем

48 §3. Задача Штурма-Лиувилля
предположить, что у(х) > 0 на (о, Ь). Рассмотрим определитель Врон-
Вронского W(x) = y(x)z'(x) — y'(x)z(x). Дифференцируя его, мы получаем
±W(x)=y(x)z"(x)-y"(x)z(x) = (qi(x)-q2(x))y(x)z(x)>0.
Интегрируя по [о, Ь], получаем W(b) — W(a) ^ 0, причём равенство
имеет место тогда и только тогда, когда qi(x) = q2(x) на [о, Ь].
С другой стороны, из сделанных нами предположений вытекает, что
у(а) ^ 0 и y(b) ^ 0, а тогда
W(b) - W(a) = y(b)z'{b) - y(a)z'(a) ^ 0,
с равенством тогда и только тогда, когда у (а) = у(Ь) = 0.
Сопоставляя полученные неравенства, мы видим, что при наших
предположениях W(b)-W(a) = 0, откудаqi(x) = q2(x) иу(о) = y(b) = 0.
Поскольку z(a) = z(b) = 0, решения у(х) и z(x) должны быть пропор-
пропорциональны, т.е. у(х) = Cz(x), где С — постоянная. ¦
Введём оператор Штурма-Лиувилля L = ^ + q(x), являющий-
являющийся неограниченным оператором в ?2([0, I]), считая областью опреде-
определения этого оператора множество Di, состоящее из таких функций
v(x) € С2([0, I]), что v@) = v(l) = 0. Задача Штурма-Лиувилля состо-
состоит в нахождении собственных значений и собственных векторов этого
оператора.
Оператор L симметричен, т. е.
(Lv\, v2) — (vi, Lv2), vi,v2?Dl, C.10)
где скобки (•, •) означают скалярное произведение в L2([0, l]). В самом
деле,
{Lvi, иг) — («1, Lv2) = I [—v"v2 + viv'2']dx =
о
i
/d ,- -, ,.
dx 1 1
= 0.
Отсюда вытекает, что все собственные значения вещественны,
а собственные функции, отвечающие различным собственным значе-
значениям, ортогональны в L2([0, I]).

3.2. Собственные значения и собственные функции 49
Далее, все собственные значения простые, т.е. все собственные
подпространства одномерны, поскольку любые два решения уравнения
у" + р(х)у' + q{x)y = 0, равные 0 в какой-нибудь точке х0, пропорци-
пропорциональны друг другу (и каждое по теореме единственности пропорци-
пропорционально решению, удовлетворяющему начальным условиям у(хо) = О,
у'Ы) = 1)-
Из условия q(x) ^ 0 и теоремы Штурма вытекает, что все соб-
собственные значения положительны. В самом деле, сравним уравнение
—z" + q{x)z = Xz с уравнением —у" = Ху. Если дана собственная фун-
функция z(x) с собственным значением А, то по теореме Штурма всякое
решение уравнения —у" = Ху должно обратиться в 0 в какой-то точке
отрезка [0, /]. Но если А ^ 0, то среди решений уравнения —у" = Ху все-
всегда есть решение ch у/^-Хх, нигде не равное нулю. Далее, рассмотрим
при А > 0 решение у = sin-\/Aa;, которое обращается в 0 на отрезке
[О, I] ещё хотя бы в одной точке этого отрезка, кроме 0, в точности при
v'A ^ у. Отсюда ясно, что всякое собственное значение X оператора
L удовлетворяет неравенству
A^(jj - C.11)
В дальнейшем положим для удобства к = л/А, так что основное
уравнение принимает вид
-X" + q(x)X = k2X. C.12)
Обозначим через ф = ф(х, к) решение уравнения C.12) с начальными
условиями
ф{0, к) = 0, ф'х{0, к) = к C.13)
(если q(x) = 0, то ф(х, к) .= sin foe). Мы будем считать всегда, что
к > 0. Собственные значения оператора Штурма -Лиувилля L име-
имеют вид А = к2, где к таково, что фA, к) = 0. Из теоремы Штурма
вытекает, что количество нулей функции ф(х, к), лежащих на любом
фиксированном отрезке [0, а], где а ^1, является неубывающей функ-
функцией к. Поэтому с ростом к все нули функции ф(х, к) двигаются влево.
Собственные значения соответствуют тем значениям к, при которых
в точке I появляется новый нуль. Поскольку количество этих нулей ко-
конечно при любом к, то отсюда вытекает, что собственные значения
образуют дискретную последовательность
Ai < A2 < A3 < • • •,

50 §3. Задача Штурма - Лиувилля
которая либо конечна, либо стремится к бесконечности. При этом соб-
собственная функция Хп(х), соответствующая собственному значению Ап,
имеет ровно п — 1 нулей на интервале @, /).
Легко понять, что на самом деле число собственных значений бес-
бесконечно. В самом деле, из теоремы Штурма вытекает, что число нулей
функций ф(х, к) на @, /) не меньше, чем число нулей на @, /) для соот-
соответствующего решения уравнения —у" + Му = к2у, где М = sup q(x).
Ф]
Но это решение равно sin у/к2 — Мх и число его нулей на @, /) неогра-
неограниченно растет при к -»• +оо. Итак, доказана
Теорема 3.2. Собственные значения положительны, однократны и
образуют последовательность
Ai < А2 < A3 < ...,
стремящуюся к +оо. Собственные функции Хп(х), соответствую-
соответствующие собственным значениям Ап, ортогональны. Собственная функция
Хп(х) имеет ровно п — 1 нулей на интервале (О, I).
3.3. Коротковолновая асимптотика
Опишем асимптотическое поведение больших собственных значе-
значений и соответствующих собственных функций. Получаемые при этом
асимптотические формулы часто называют коротковолновыми асим-
асимптотиками, имея в виду, что они соответствуют высоким частотам и,
следовательно, малым длинам волн в нестационарной задаче.
Поведение собственных значений легко описывается с помощью ос-
цилляционных теорем. А именно, собственные значения оператора L =
= J + Q(x) заключены между собственными значениями операто-
операторов L\ = 7 и Li = j + М, где М = max q(x). Поскольку
dx dx *e[o,i]
, T т /тгтЛ2 /irn\2 „,
собственные значения операторов L\ и Li равны ( — 1 и I — 1 + М,
п = 1, 2, ..., то мы получаем
)Чм. C.14)
В частности, отсюда следует асимптотическая формула

3.3. Коротковолновая асимптотика 51
или, если положить кп =
Найдем теперь асимптотику собственных функций Хп(х). Идея со-
состоит в том, что при больших jfe член к2Х в уравнении C.12) играет
большую роль, чем член q(x)X. Будем поэтому решать уравнение
ф" + к2ф = я(х)ф C.17)
с начальными условиями
= 0, ф'@) = к, C.18)
считая q(x) ф правой частью. При этом получится интегральное урав-
уравнение для ф = ф(х) = ф(х, к), которое можно будет решить методом
последовательных приближении. Напишем
ф(х) = Ci(x) coskx + С2(х) sinkx
и выпишем уравнения для С\{х) и Съ(х), возникающие в методе вари-
вариации постоянной:
{С[{х) coskx+ C'2{x)sxakx = Q, C.19)
- кС[ (х) sin кх + W'2 (x) cos kx = q{x^. C.20)
Решая эти уравнения, мы найдём С[ (х) и С2 (х), откуда С\ (х) и С2 (х)
определяются интегрированием с точностью до произвольных постоян-
постоянных, которые мы выберем из начальных условий:
Ci@) = 0, C3@) = l, C.21)
возникающих из C.18), если мы заметим, что С[@) = 0 в силу C.19).
Имеем тогда
о
х

52 §3. Задача Штурма-Лиувилля
откуда
X
ф{х) = sin fcx + i I sin fc(x - r) q{r) ф(т) dr. C.22)
о
Ясно, что решение ф этого интегрального уравнения удовлетворяет
C.17) и C.18), так что оно равносильно уравнению C.17) с начальными
условиями C.18). Для решения вольтперрова уравнения C.22) .методом
последовательных приближений рассмотрим стоящий в его правой ча-
части интегральный оператор А, задаваемый формулой
X
Аф(х) — / sin fc(x - т) q[f) ф(т) dr.
о
Уравнение C.22) записывается как
(i — тА\ф = sin fcx
и его решение можно записать в виде
ф=A- Ia) sin fcx = V 7^n(sin fcx), C.23)
п=0
если только ряд в правой части C.23) сходится и к нему можно почленно
применить оператор А.
На самом деле ряд в C.23) равномерно по х € [0, /] сходится при
всех к, но поскольку нас интересуют лишь большие значения к, то мож-
можно ограничиться очевидным замечанием, что он равномерно на [0, /]
сходится при больших к, потому что А — ограниченный равномерно
по к оператор в С([0,1]), а функции sinfcx имеют в С ([О, I]) норму,
равную 1. В частности, мы получаем
ф(х, к) = sinfcx + ОQV А;-»+оо. C.24)
Это и даёт коротковолновую асимптотику собственных функций
Хп = ф(х, кп), поскольку из C.16) и C.24) ясно, что
Х„(х) = sin ™ + О (i), п -* +оо. C.25)

3.4. Функция Грина и полнота системы собственных функций 53
3.4. Функция Грина и полнота систеиы собственных функций
Рассмотрим оператор Штурма-Лиувилля L = ^ + я(х) как one-
da:
ратор, отображающий его область определения
DL = {«(*) € С2 ([0, I]), «@) = v(l) = 0} C.26)
в пространство С([0, /]). Мы увидим, что при q ^ 0 этот оператор
обратим, причём обратный оператор L~l записывается в виде инте-
интегрального оператора
i
L-1f(x)=JG(x,y)f(y)dy, C.27)
о
где G € С([0, I] х [0, I)). Функция G(x, у) называется функцией Грина
оператора L. Вообще если оператор записан в виде правой части C.27),
то G(x, у) называют его ядром (в смысле Л. Шварца). Таким образом,
оператор L имеет непрерывное ядро (в смысле Л. Шварца), равное
G(x, у). Ясно, что функция G(x, у) однозначно определена равенством
C.27).
Для нахождения L 1f мы должны решить уравнение
-v"(x) + q(x)v(x)=f(x) C.28)
с граничными условиями
«@) = «@ = 0. C.29)
Это делается с помощью вариации постоянных. При этом удобно
использовать два решения у\(х), У2(х) однородного уравнения
-y"(x)+q(x)y(x)=0, C.30)
удовлетворяющих граничным условиям
2/i@) = 0, iri@) = 1; C.31)
2/2@ = 0, 2/2(О= "I- C-32)
Ясно, что решения yi(x) и у2(х) линейно независимы, поскольку 0
не является собственным значением L ввиду условия q(x) ^ 0. Теперь
пишем
«(*) = Сг(х)У1(х) + С2(х)у2(х) C.33)

54 §3. Задача Штурма - Лиувилля
и составляем обычные уравнения
| С[ (а:)»1 (я:) + С2 (х)у2 (х) = О, C.34)
1 С[{х)у[{х) + С2(х)у'2(х) = -f{x). C.35)
Определитель этой системы линейных уравнений относительно
С[(х) и С2(х) — зто определитель Вронского
W(x) = У1(х)у'2(х) - у[(х)у2(х). C.36)
Известно (и легко проверяется дифференцированием W(x)), что
W(x) = const, причём равенство W(x) = 0 равносильно линейной зави-
зависимости решений J/1 и у2. Таким образом, в нашем случае
W(x) = W = const ф 0.
Решая систему C.34), C.35) по правилу Крамера, получаем
C'1(x) = ±Ff(x)y2(x); C2(x) = -±f(x)yi(x).
Но учитывая граничные условия C.29) для функции v и граничные
условия C.31), C.32) для функций у\,у2, мы видим, что нужно выбрать
С\{х) и С2(х) так, чтобы было
Ci@ = 0, С2@) = 0.
Отсюда получаем
I
= ~ f nt)V2(?)dt, C2(x) = -±
О
Таким образом, функция v существует, единственна и дается фор-
формулой:
I
j
v(x) = ~ J
О а;
которая может быть записана в виде
i
C.37)

3.4. Функция Грина и полнота системы собственных функций 55
если функцию G(x, f) определить формулой
G(x, 0 = -±[в(х - ОУ1(Оу2(х)+в(? - х)У1(х)у2($], C.38)
где в{г) — функция Хевисайда {в(г) — 1 при z ^ 0, 6(z) = 0 при z < 0).
Отметим, что функция G(x, ?) непрерывна и симметрична, т. е.
G(x, О = G& х). C.39)
Последнее можно увидеть и без явного вычисления, поскольку опе-
оператор L~l должен быть симметричен ввиду симметричности L, а сим-
симметричность оператора L равносильна симметрии функции Грина
G(x, ?)•
Рассмотрим теперь в L2([0, l]) оператор G с ядром G(x, ^):
C.40)
о
Это симметричный вполне непрерывный оператор. По теореме
Гильберта он имеет полную ортогональную систему собственных фун-
функций Хп(х) с вещественными собственными значениями цп (здесь п =
= 1,2,...), причём цп -^ 0 при п -} оо. Имеем:
GXn = /inXn. C.41)
Если бы функции Хп оказались непрерывны, то применяя к обеим
частям C.41) оператор L, мы получили бы
лп = [мпЬХп,
откуда цп ф 0 и Ап = 1///п — собственное значение оператора L. Не-
Непрерывность Хп легко проверяется из C.41) при условии, что цп ф 0.
Вообще, если / е L2([0, /]), то G/ € С([0, I]), поскольку
||[G(x', 0 - G(x",
о
sup |
- G(x", 0| • Щ \ 1/@12^
1/2

56 §3. Задача Штурма - Лиувилля
а функция G{x, ?) равномерно непрерывна на [О, I] х [О, /]. Остаётся
показать, что оператор G не может иметь в ?2([0, I]) нулевого соб-
собственного значения. Но если и е Ь2([0,1]) и Gu = 0, то и ортогонально
к образу оператора G, поскольку тогда
(и, Gf) = (Gu, f) = 0. C.42)
В то же время в виде Gf заведомо можно представить все функции
v e Dl, поскольку тогда v = G(Lv) по построению оператора G. Но
Dl плотно в L2([0,1]), поэтому из C.42) вытекает, что и — 0.
Итак, собственные функции оператора G в точности совпадают с
собственными функциями оператора L. В частности, мы доказали пол-
полноту системы собственных функций оператора L в Ь2([0,1]).
Отметим ещё следующие свойства функции Грина, легко проверяе-
проверяемые с помощью формулы C.38):
а) G(x, ?) имеет непрерывные производные до 2-го порядка включи-
включительно при х Ф ? и удовлетворяет по х уравнению LxG(x, 0 = 0
(также при х Ф ?)• Здесь Lx = ^ + ч(х)\
dx
б) функция G(x, ?) непрерывна всюду, а её производная G'x при х = f
имеет разрыв 1-го рода, причём скачок равен — 1:
, ?) - G(? - 0, 0 =-I;
в) выполнены граничные условия
Эти свойства можно использовать для нахождения G без вариации
постоянной. Легко проверить, что G(x, ?) однозначно определена этими
условиями.
Условия а) и б) можно легко записать с использованием <$-функции
Дирака. Аккуратно мы сделаем это позже, а сейчас проведём эвристи-
эвристическое рассуждение (на «физическом» уровне строгости). Удобно сразу
использовать формулу C.27), записывающую оператор L через ядро.
Применим формально к обеим частям этой формулы оператор L и вве-
введём обозначение:
*(х, 0 = LxG(x, 0- C.43)
Получим тогда

Задачи 57
Отсюда ясно, что функция <$(х, ?) должна быть равна 0 при ? ф х и
в то же время
f
J
о
По причине трансляционной инвариантности (из C.44) вытекает, что
S(x + z, ? + z) = <$(х, ?)) ясно, что д(х, ?) должна зависеть лишь от ? — х,
так что напишем <$(х, ?) = <$(? — х). Тогда мы получаем, что функция
<$(х) должна быть равна 0 при х ф 0 и в то же время
6(x)dx = l.
Конечно, не существует локально интегрируемой функции, облада-
обладающей этим свойством, однако удобно использовать символ <$(х), если
он входит лишь под знаком интеграла, имея в виду, что
S(x)f(x)dx = f@).
«Функция» <$(х) называется 5-функцией Дирака. Она находит своё
место в общей теории обобщённых функций и понимается там как ли-
линейный функционал на гладких функциях, сопоставляющий значение
/@) функции /(х). Существует интерпретация её как точечной нагруз-
нагрузки. А именно, если на неоднородную струну действует распределённая
сила /(х), то после затухания колебаний (например, вследствие трения),
мы получим, что установившаяся форма струны v(x) должна удовле-
удовлетворять условиям C.28), C.29) и, следовательно, выражается формулой
C.37). Если вся нагрузка сосредоточена вблизи точки ?, причём сум-
суммарная нагрузка равна 1, т.е. J f(x)dx = 1, то форма струны будет
в точности G(x, ?). Этому утверждению уже легко придать точный
смысл, переходя к пределу, когда берётся так называемая <$-образная
последовательность нагрузок /п(х) (например, такая, что /n(x) ^ 0,
/п = 0 при |х — ?| ^ - и / fn(x)dx = 1) . Мы опускаем детали, которые
читатель легко восстановит самостоятельно.
Задачи
3-1. Составить интегральное уравнение для функции Ф(х) удовле-
удовлетворяющей условиям
', Ф@) = 1, Ф'@) = 0,

58 §3. Задача Штурма - Лиувилля
и пользуясь этим интегральным уравнением, найти асимптотику Ф(х)
и Ф'(х) при к -» +оо.
3-2. Пользуясь результатом предыдущей задачи, доказать существо-
существование бесконечного числа собственных значений для следующей задачи
Штурма - Лиувилля
-X" + q(x) X = XX, Х'@) = Х{1) = 0.
Доказать симметричность соответствующего оператора и ортогональ-
ортогональность собственных функций.
d2
3-3. Построить функцию Грина оператора L = ~ с граничными
dx
условиями 17@) = v(l) = 0. Дать физическую интерпретацию резуль-
результата.
d2
3-4. Построить функцию Грина оператора L = ^ + 1 с гранич-
dx
ными условиями и'@) = v'{l) = 0. Дать физическую интерпретацию
результата.
3-5. Доказать с помощью функции Грина полноту системы собствен-
л. т d2 , , ,
ных функции для оператора L = ^ + Ч\х) с граничными условиями
dx
и'@) = v'(l) = 0, соответствующими свободным концам.
3-6. Доказать, что если q(x) ^ 0, то функция Грина G(x, ?) опера-
d2
тора L = о + q(x) с граничными условиями v@) = v(l) = 0 положи-
dx
тельна при х ф О, I и ? ф О, I.
3-7. Доказать, что в условиях предыдущей задачи функция Гри-
Грина G (х, ?) представляет собой положительное ядро, т. е. матрица
(G(xi, Xj))™ =l положительно определена для любого набора точек
хи...,хпё @,1).
3-8. Разложить функцию Грина G(x, ?) задачи Штурма-Лиувилля в
ряд по собственным функциям Хп(х) и выразить через функцию Грина
следующие суммы
оо 1
a) ?f,
n=l Лп
6)*Е, h
п=1 лп
где Лп (п = 1,2,...) — набор собственных значений данной задачи.
ОО 1 °° 1
Вычислить, в частности, ?) —^ и 5Z ~4 •
п=1 И п=1 И

59
§4. Обобщённые функции
4.1. Мотивировка определения. Пространства основных функций
В анализе и математической физике часто встречаются затрудне-
затруднения, связанные с недифференцируемостью тех или иных функций. Те-
Теория обобщённых функций позволяет освободиться от этих затрудне-
затруднений. Кроме того, в её рамках содержится упоминавшаяся выше и воз-
возникающая естественным образом <$-функция Дирака. Ряд понятий и
теорем анализа в теории обобщённых функций приобретает большую
простоту и освобождается от противоестественных ограничений, не
связанных с существом дела.
Происхождение понятия обобщённой функции можно объяснить сле-
следующим образом. Пусть имеется физическая величина /(х), являющая-
являющаяся функцией от точки х ? Ж™ (например, температура, давление и т. п.).
Если мы хотим измерить эту величину в точке хо, воспользовавшись
каким-нибудь прибором (термометром, манометром и т. п.), то реаль-
реально мы измеряем некоторое среднее значение /(ж), взятое по некото-
некоторой окрестности точки хо — какой-то интеграл вида / f(x)ip(x)dx,
где <р(х) — функция характеризующая измерительный прибор и «раз-
«размазанная» где-то по окрестности точки хо. Возникает идея: не рассма-
рассматривать вообще функцию f(x), а рассматривать вместо неё линейный
функционал, сопоставляющий каждой пробной функции (р число
(f,ifi)=jf(x)<p(x)dx. D.1)
Рассматривая теперь произвольные линейные функционалы (не обя-
обязательно вида D.1)), мы приходим к понятию обобщённой функции.
Введём теперь нужные нам пространства пробных или, как говорят,
основных функций ц>. Пусть п — открытое подмножество в Ж". Введём
обозначения:
?(ft) = С°°(П) — пространство бесконечно дифференцируемых
функций в ft;
D(ft) = Со°(П) — пространство бесконечно дифференцируемых
функций с компактным носителем в ft, т. е. таких функций ip e С°°(П),
что существует такой компакт К С ft, что <?>ln\/f = 0.
Вообще носителем функции ц> 6 C(ft) называется замыкание (в П)
множества таких х € ft, что ip(x) ф 0. Носитель <р обозначается suppy>.
Таким образом supp <p представляет собой наименьшее замкнутое мно-
множество F С ft, для которого <р|п\р = 0 или, что то же самое, дополнение

60 §4. Обобщённые функции
к наибольшему открытому множеству G С П, которого <p|G = 0. Про-
Пространство D(fl) состоит тем самым в точности из тех <р ? С°°(П), для
которых suppy» представляет собой компакт в П.
Вообще, если К — компакт в Е", то введём ещё обозначение: Т)(К) =
— Сд°(К) — пространство таких функций ip € С°°(КП), что suppip С
С К.
Ясно, что D(fi) является объединением всех Т>(К) по компактам
К С П.
Наконец, мы будем использовать в качестве пространства пробных
функций также 5(Е") — пространство Л. Шварца, состоящее из та-
таких функций (р(х) € С°°(ЕП), что sup \хад^(р(х)\ < +оо для любых
z€Rn
мультииндексов а и /3.
Необходимо ввести топологию в пространствах основных функций.
Это делается с помощью систем полунорм. Дадим вначале общие опре-
определения.
Полунормой на линейном пространстве Е называется отображение
р: Е —»¦ [0, +оо), обладающее следующими свойствами:
1- Р(х + У)^ Р(х) + р(у), х,уеЕ;
2.р{Хх) = |А|р(х), х € Е, А е С.
При этом из условия р(х) = 0 не обязательно вытекает, что х = 0 (если
это так, то полунорма называется нормой).
Пусть на Е задана система полунорм {Pj}jej, где J — некоторое
множество индексов. Положим для любого е > 0
и^е = {х:хеЕ,р^х)<е} D.2)
и введём на Е топологию, в которой базис окрестностей нуля состоит
из всех конечных пересечений множеств вида Uj^, а базис окрестно-
окрестностей любой другой точки xq получается сдвигом на хо, т. е. состоит из
конечных пересечений множеств вида х0 + Uj,?. Таким образом, мно-
множество G С Е является открытым тогда и только тогда, когда вместе
с каждой точкой xq ему принадлежит некоторое конечное пересечение
множеств вида xq + Uj е. Ясно, что условие lim хп — х равносильно
п-Н-оо
тому, что lim рЛхп — х) = 0 для любого j € J.
п->+оо
Чтобы избежать постоянного упоминания о конечных пересечениях,
можно считать, что для любых j\, ji € J найдётся такое jz € J, что
И

4.1. Мотивировка. Пространства основных функций 61
при любом tp е Е (в этом случае Uj3<e С ?/j1)? П Uj2>E)- Если указан-
указанное условие не выполнено, то можно присоединить к системе полунорм
полунормы вида
Ph-ik (Ф)
что не меняет топологии, определяемой полунормами в Е. Мы будем
считать всегда, что это уже сделано.
Таким образом, мы будем считать, что базис окрестностей нуля в
Е состоит из всех множеств вида {/,-)?. Если / — линейный функционал
на Е, то условие его непрерывности равносильно существованию таких
j € J и С > 0, что
\{f,V>)\^CPi(<p), 4>?E, D.3)
где через (/, ф) обозначено значение функционала / на элементе (р.
В самом деле, непрерывность / равносильна существованию тако-
такого множества ?/j,e, что |(/, у>)| ^ 1 при tp € t/j,e, а это равносильно
выполнению D.3) с постоянной С = -.
Мы будем предполагать обычно выполнение следующего условия
отделимости:
если Pj(f) = 0 при всех j € J, то ip = 0. D.4)
Отсюда вытекает, что любые две различные точки х, у € Е име-
имеют непересекающиеся окрестности («хаусдорфовость» топологии). В
самом деле, тогда существует такое .; € J, что pj (х — у) > 0. Но тогда
окрестности х + Uj<? иу + Uj>e не пересекаются при е < ~Pj(x — у), по-
скольку если бы оказалось, что z = x + t = y + s € (х + UjtE) Л (у + t/j.e),
то мы получили бы, что
Рз(х ~У)= Pj(« - *) ^ Pi(s) + PjV) ^2e<pj{x- у).
Рассмотрим теперь наиболее важный случай, когда множество J
счётно. Тогда J можно считать множеством натуральных чисел, и на Е
можно ввести метрику, полагая

Ь2 §4. Обобщённые функции
Легко проверяются симметричность и неравенство треугольника.
Равенство х = у вытекает из условия р(х, у) = 0 благодаря требова-
требованию отделимости D.4). Легко показать также, что определяемая метри-
метрикой топология совпадает с топологией, определённой выше с помощью
полунорм. Поскольку метрика D.5) инвариантна относительно сдвига
(т.е. р(х + z,y + z) = p(x, у)), для доказательства последнего факта
достаточно проверить, что каждое множество Uj<e содержит некото-
некоторый шар Д:@) = {х : р(х, 0) < <$} радиуса д > 0 с центром в точ-
точке 0 и наоборот — всякий шар J3j@) содержит множество вида Uj>e.
Пусть вначале дано д > 0. Проверим существование таких j, e, что
Uj,e С Bs@). Если j таково, что рх(х) ^ pj(x), ...,pN(x) ^ pj(x), то
мы имеем
ft—I fc—iV-|-l
с I с
Поэтому если е<^и-^-<-, то U^e С Bg@). Обратйо, пусть
даны j и е. Существование такого д > 0, что -Bj(O) С Uj>e, вытекает из
очевидного неравенства
1 е
А именно, нужно взять 6 так, что д < —- . Тогда ввиду монотон-
ности функций f(t) = -jy+7 При * > ^' из Условия ^(ж' 0) < <J будет
вытекать, что Pj(x) < e.
Определение 4.1. Счётно-нормированным пространством называ-
называется векторное пространство, снабженное счётным числом полунорм,
причём выполнено условие отделимости.
Мы видели, что топологию в счётно-нормированном пространстве
Е можно задавать метрикой р(х, у), инвариантной относительно сдви-
сдвигов. В частности, непрерывность функций на Е и вообще любых ото-
отображений Е в метрическое пространство можно задавать на языке по-
последовательностей. Например, линейный функционал / на Е непреры-
непрерывен тогда и только тогда, когда из условия lim <pk = 0 вытекает, что
fc—>+оо
lim (/, фк)=0.
fc->+00

4.1. Мотивировка. Пространства основных функций 63
Определение 4.2. Пространство линейных непрерывных функцио-
функционалов на Е называется дуальным или сопряжённым пространством к Е
и обозначается через Е'.
Превратим теперь пространства 1>{К), ?(Q) и S(En) в счётно-нор-
мированные пространства.
1. Пространство 1>(К). Положим
= 53 sup|d<V(x)|, tp€V{K). D.6)
Тогда полунормы рт(<р), т = 1,2, ..., задают на Ъ{К) структу-
структуру счётно-нормированного пространства. Ясно, что сходимость
ipp —? ц> в топологии Т)(К) означает, что если а — любой мульти-
индекс, то daipp(x) -? daip(x) равномерно на К.
2. Пространство ?(Q). Пусть Ki, I = 1, 2, ..., — такая последова-
последовательность компактов Щ С П, что Ki С К2 С Кг С ... и для лю-
любой точки х € П найдется такое I, что точка х, входит в компакт
К{ вместе с некоторой своей окрестностью. Например, можно по-
положить
К, = {х : х е П, |х| ^ /, р(х, Эй) > у},
где дп — граница П (т. е. дп = П \ п), р — обычное евклидово
расстояние в Е". Положим
Р1{ф) = 53 «up \даф)\, ч> € ?(П). D.7)
Эти полунормы превращают ?(П) в счётно-нормированное прост-
пространство. Ясно, что сходимость ipp -? ц> в топологии ?(П) означает,
что если а — любой мультииндекс, то daipp(x) -> daip(x) равно-
равномерно на любом компакте К С П. В частности, отсюда вытекает,
что определённая таким образом топология не зависит от выбора
системы компактов Ki, описанной выше.
3. Пространство S(M"). Здесь система полунорм имеет вид
|, D-8)
а сходимость <рр —? <р в топологии S(En) означает, что если А —
любой дифференциальный оператор с полиномиальными коэффи-
коэффициентами на Е", то Aipp(x) -? Aip(x) равномерно на К".

64 §4. Обобщённые функции
4.2. Пространства обобщённых функции
Описанная выше процедура перехода от пространства Е к дуально-
дуальному пространству Е' дает возможность определить пространства ?'(П)
и 8(Ж"), как пространства, дуальные к ?(П) и 8(К"). Мы не вводили
никакой топологии в Т>($7) (естественная топология в Т>($7) вводится
нетривиально), но нам это не понадобится: мы определим сразу прост-
пространство Т>'(П), как пространство таких линейных функционалов /, на
Т)(п), что ограничение f\v(K^ непрерывно на Ъ(К) для любого ком-
компакта К С П.
Определение 4.3. а) Элементы пространства Т>'($7) называются об-
обобщёнными функциями в П.
б) Элементы пространства ?'(П) называются обобщёнными функци-
функциями с компактным носителем вП1'.
в) Элементы пространства 8'(К") называются обобщёнными функ-
функциями умеренного роста на R".
Пример 4.1. «Обычные» шли «регулярные» обобщённые функции в п.
Пусть Ь10С(п) — пространство функций на п, абсолютно интегриру-
интегрируемых по мере Лебега на любом компакте К С П. Сопоставим каждой
функции / € Lloc(fl) функционал на Т>($7) (мы будем обозначать его
той же буквой /), полагая
</,?>> = У f{x)tp(x)dx, D.9)
о
где ip с Т>($7). Очевидно, что при этом мы получаем обобщённую фун-
функцию в П (она называется в этом случае «обычной» или «регулярной»).
Важный факт состоит в том, что если две функции /i, /2 € Lloc(fl)
определяют одну и ту же обобщённую функцию, то они совпадают по-
почти везде. Это следствие следующей известной леммы.
Лемма 4.4. Пусть f e Lloc(u) и f f(x)ip(x)dx = 0 для любой функ-
о
ции <р е Т>(п). Тогда f(x) = 0 для почти всех х.
Доказательство этой леммы требует использования в той или иной
форме факта существования достаточно большого числа функций в
2)(П). Пока ещё мы не знаем, существуют ли такие нетривиальные фун-
функции. Построим некоторый запас функций, принадлежащих
'Носитель обобщённой функции будет определен позже, и тогда введённый тер-
термин получит своё оправдание.

4.2. Пространства обобщённых функций65
Прежде всего, пусть ф{Ь) = вфе'1/*, где t е R, в — функция Хеви-
сайда, т. е. 9{t) = 1 при t > О,9(t) = 0 при t ^ 0. Ясно, что ф(г) е С°°(К).
Поэтому если теперь рассмотреть в Жп функцию (р(х) = ^A — |х|2), то
мы получим функцию <р(х) е Co°(Kn), ip(x) = 0 при |х| ^ 1, <р(х) > 0
при |х| > 1. Удобно нормировать функцию ip, рассмотрев вместо неё
функцию <pi(x) = C~1ip(x), где С = /<р(х) dx. Теперь положим ipe(x) =
= е^^х/е). Тогда <р? е D(Kn), уе(х) = 0 при |х| ^ е, <р?(х) > 0 при
|х| < е и f(fE(x)dx — 1.
Введём теперь важную операцию усреднения: по функции /(х) €
€ Цос(п) построим свёртку
/?(х) = j f(x - y)<p?(y)dy = У /B/)р?(х - 2/)rf2/, D.10)
определённую при х € Пе = {х : х 6 п, р(х, дп) > е}. Из теоремы Ле-
Лебега ясно, что последний интеграл в D.10) можно дифференцировать,
причем
I D.11)
так что /е € С°°(пе). Отметим также следующие свойства операции
усреднения:
а) Если /(х) = 0 вне компакта К С П, то /е(х) = 0 вне е-ок-
рестности компакта К.
В частности, в этом случае /е е Т>(п) при достаточно малом е > 0.
б) #ал« /(х) = 1 пр« х е Пге, "»о /е(х) = 1 при х е п3е-
В частности, если / — характеристическая функция П2е, то /е е
€ 2)(П), /е(х) = 1 при х е п3?.
в) ^сл« / е С(П), то /е(х) -> f(x) при е -» +0 равномерно на любом
компакте К С П.
В самом деле,
/?(х) - Дх) =
откуда
так что утверждение следует из равномерной непрерывности /(х) на
е-окрестности компакта К.
г) Если /(х) е Цос(п), где р ^ 1, то /е -> / при е -* +0 по иорле
L"(K) для любого компакта ХсП-
3 Шубин М.А.

66 §4. Обобщённые функции
Поскольку значения fs(x) при х ? К зависят лишь от знамений f(x)
на ?-окрестности компакта К, можно считать, что f(x) = 0 при х ?
? il\Ki, где К\ — некоторый компакт в П. Будем через ||-||р обозначать
норму 1^@), т.е.
Имеем:
Ш1р =
В силу п. в) утверждение п. г) верно при / ? С(П). Но если / ? LP{U),
/ = 0 вне компакта К\, то мы можем приблизить / по норме LP(Sl)
ступенчатыми и затем непрерывными функциями, равными 0 вне ком-
компакта K-i С П. Пусть д — такая непрерывная функция на П, равная О
вне К2, что ||/ — д\\р < S. Тогда получим:
- де\\р + Шпо\\дЕ - д\\р + Шпо\\д - /||р =
/ - д).\\р + \\д - /||р ^ 2||/ - д\\р < 26,
откуда ввиду произвольности числа 5 > 0 вытекает, что
что и требовалось.
Докажем теперь утверждение леммы 4.4. Пусть / ? Lloc(?l) и
/n f{x)<p(x)dx = 0 для любой функций ip g D(fi). Но отсюда следует,
что fe(x) = 0 при всех х ? Пе. Поэтому утверждение леммы вытекает
из п. г). ¦
Лемма 4.4 позволяет отождествить функции / € L}0C(Q,) с обобщён-
обобщёнными функциями, определяемыми ими по формуле D.9). Заметим, что
запись
(/, Ч>) = I f{x)ip{x)dx D.12)
часто употребляется и для обобщённых функций / (в этом случае левая
часть D.12) является определением правой; в случае, когда правая часть
имеет смысл, это определение непротиворечиво).

4.2. Пространства обобщённых функций 67
Пример 4.2. «Регулярные» обобщённые функции в ?'(п) и S'(Kn).
Если / € Ljomp(fi), т.е. / € Lx(Kn) и /(х) = 0 вне некоторого компакта
К С П, то мы можем построить по стандартной формуле D.12) функ-
функционал на ?(fi), являющийся обобщённой функцией с компактным но-
носителем. Мы будем отождествлять / и соответствующий элемент ?'(П).
Если / е Ц0С{Шп) и
f\f(x)\(l + \x\)~Ndx<+oo D.13)
при некотором N > 0, то формула D.12) задаёт функционал на S(Kn),
являющийся обобщённой функцией умеренного роста. В частности,
D.13) выполнено, если / измерима и
+ \х\У . D.14)
Пример 4.3. 5-функция Дирака.
Это функционал, определяемый формулой
(<5(х - х0), ip(x)) = ip(x0). D.15)
Если Хо € П, то 6(х—Хо) € D'(fi) и даже б(х—Хо) € ?'(П). При любом
хо € К" ясно, что 5(х — хо) € S'(Kn). Вместо D.15) в соответствии с
вышеупомянутым соглашением часто пишут
6(х - xo)ip(x)dx = ф(х0), D-15')
хотя ясно, что 6(х — Хо) не является регулярной обобщённой функцией,
поскольку из леммы 4.4 вытекало бы в этом случае, что она равна О
почти везде вне точки хо-
Пример 4.4. Пусть L — линейный дифференциальный оператор
в К", Г — гладкая компактная поверхность в Rn, dS — элемент пло-
площади поверхности Г. Тогда формула
V^ J(Lv)\rdS D.16)
г
определяет нерегулярную обобщённую функцию с компактным носи-
носителем в К". В качестве Г можно брать компактное подмногообразие
(возможно, с краем) любой коразмерности в Мп. В этом случае в каче-
качестве dS можно брать любую плотность на Г (или дифференциальную
форму максимальной размерности, если фиксирована ориентация Г).
В частности, если Г — точка, то мы получим ^-функцию, определён-
определённую выше.

68 §4. Обобщённые функции
4.3. Топология и сходимость в пространствах обобщённых функций
Пусть ST — одно из пространств основных функций 2)(П), ?(П) или
8A8"), 3* — соответствующее пространство линейных непрерывных
функционалов на У (обобщённых функций). Мы будем рассматривать
пространство У с так называемой слабой топологией, т. е. топологией,
определяемой полунормами
М/) = |</>*>>1> vey, /ез". D.17)
В частности, сходимость Д -> / в этой топологии означает, что
(Л, *>> -» (/. ?>>• D-18)
для любого ip € ST. Мы будем использовать в этом случае и обычное
обозначение lim Д = /.
*->оо
Пример 4.5. 5-образная последовательность. Рассмотрим постро-
построенные выше функции tps(x) € Ъ(Жп). Напомним, что они обладают
свойствами:
а) <ре{х) ^ 0 при всех х;
б) f ipe{z)dx = 1;
в) ips(x) = 0 при |х| ^ е.
Докажем, что отсюда вытекает соотношение
lim <р?(х) = 6(х) D.19)
в D'(IRn). В самом деле, это означает, что
lim / ч>е{х)ф{х)Aх = 1р@) D.20)
для любой функции ф ? D(Kn). Учитывая свойство б), мы можем пере-
переписать D.20) в виде соотношения
lim
e-y+t
очевидным образом верного ввиду оценки
Ч>е{х)[ф{х)-фЩAх
\[<
\J
Отметим, что D.19) верно не только в D'(M"), но и в S^IR"), ?'(Mn)
и даже в ?'(П), если 0 € П.

4.3. Топология и сходимость 69
Последовательности «обычных» функций, сходящиеся к б-функции,
называют б-образными. Можно значительно ослабить свойства а)-в),
сохранив 5-образность последовательности. Так, в теории рядов Фурье
доказывается J-образность (например, в D'((—7г, 7г))) последовательно-
последовательности ядер Дирихле:
определяемых тем условием, что (Dk, <p) есть сумма к первых членов
ряда Фурье функции ip при t = 0. Аналогичным образом, 5-образную
последовательность в 2>'((—7г, 7г)) образуют ядра Фейера
определяемые из того условия, что (Fk, ip) есть среднее арифметиче-
арифметическое к первых частичных сумм ряда Фурье. В дальнейшем мы встретим
и ряд других важных примеров й-образных последовательностей. Отме-
Отметим, что по сути дела всегда и в более сложных ситуациях 5-образность
доказывается тем же самым приёмом, что и для ipe(x).
Пример 4.6. Обобщенные функции —тг^п' v- P- ~-
«Обычные» функции —, — переменного х ? М1 при е >
х + ге х — ге
> 0 определяют обобщённые функции умеренного роста (элементы
8'(КХ)). Оказывается, что в S^K1) существуют пределы
^- = lim -i^, -Ц- = lim —?-_ D.23)
гО ey+o х + ге x - гО ef+o x -ге v
—^- = lim -i^, -Ц- = lim —
x + гО e-y+o х + ге x - гО e-f+o x -ге
(левые части здесь по определению равны пределам, написанным в пра-
правых частях).
Проверим, например, существование предела ——— в S'(R1).
X ~г IU
Нужно доказать, что если tp € S(KX), то предел
оо
Um f rtzLdx D.24)
e-f+O J X + %?
—оо
существует и представляет собой линейный непрерывный функционал

70 §4. Обобщённые функции
от (f € $(R1). Это проще всего сделать, проведя интегрирование по
частям. А именно, имеем
^ = ]n(x + ie),
x + te dx '
где ветвь In (я + ie) выбирается произвольно (но непрерывно при всех
х ? М, ? > 0). Интегрирование по частям даёт теперь
оо оо
Г l^L dx = - f if'(x) \n(x + is) dx. D.25)
Поскольку In(x+is) = \n\x+ie\+iaxg(x+ie), то ясно, что по теореме
Лебега правая часть D.25) имеет при е -» +0 предел, равный
оо 0 оо
- f (ln\x\)<p'{x)dx-iTr [ ip'(x)dx = - f (hx\x\)ip'{x)dx-wi<p{0).
— ОО —ОО —ОО
D.26)
Поскольку In |х| € Ц0С(Щ и In |x| растет на бесконечности не быстрее
\x\s при любом е > 0, то ясно, что в правой части D.26) стоит конеч-
конечная величина, задающая непрерывный функционал от ip ? 8A8"). Этот
функционал и обозначается —.
х + «о
Изучим подробнее первое слагаемое в D.26). Имеем
оо
- I (In И) <р'(х) dx = Дто [- I In \х\ ¦ <р'(х) dx] =
-ОО |Ж|^?
= Дт, Мп\х\ ¦ ?>(х)|1? + у ^v{x)dx\ =
поскольку lim \ne[(p(e) — ip(—e)] = lim O(e)lne = 0. В частности мы
доказали, что последний предел в D.27) существует и задаёт функци-
функционал из S^K1). Этот функционал обозначается v. р. - (буквы v. р. —

4.3. Топология и сходимость 71
начальные буквы французских слов «valeur principale», что означает
«главное значение»). Таким образом, по определению
D.28)
Кроме того, теперь мы можем переписать D.26) в виде
^v. р. !-,*(*). D.29)
Аналогично получается, что
Sfi=v. р. ;+««(*). D-3°)
х-«0 "*" х
Формулы D.29) и D.30) называются формулами Сохоцкого. Из них
вытекает, в частности, что
ЦК = -2гп6(х). D.31)
i-ftO i-tO
Существование пределов в D.24) и в D.28) можно также доказать,
разложив ip(x) в сумму функции, равной <р@) в окрестности точки 0
и функции, равной 0 в точке 0. Для каждого из слагаемых существо-
существование пределов легко проверяется. Таким образом можно получить и
формулы Сохоцкого.
Обобщенные функции и v. р. — представляют собой различ-
х Д1 %\j х
1
ные «регуляризации» неинтегрируемои функции -, т. е. позволяют при-
X
°° 1
дать смысл расходящемуся интегралу J - ip{x) dx. Мы видим, что это
-оо х
- л. 1
делается неоднозначно, так что неинтегрируемои функции - можно
поставить в соответствие много обобщённых функций. Процедура ре-
регуляризации важна, если мы хотим использовать - как обобщённую
X
функцию (например, если мы хотим её дифференцировать). Такая или
подобная процедура применимы и ко многим другим неинтегрируемым
функциям.

72 §4. Обобщённые функции
4.4. Носитель обобщённой функции
Пусть fli, И2 — два открытых подмножества в R", причём Hi С
С U2- Тогда D(fti) С Т){И2). Поэтому если / € D'(fb), то мы можем
ограничить функционал / на D(fii) и получим обобщённую функцию
на ili, которая обозначается /|п . Важное обстоятельство состоит в
том, что эта операция ограничения обладает следующими свойствами:
а) Пусть дано покрытие открытого множества il открытыми
множествами ilj, j ? J, т.е. il = Ujgj^i- Тогда если f ? Ъ'(п) и
f\Qj = O,j?J, mo/ = 0.
б) Пусть опять il = Ц,€ 3 ilj и дан набор обобщённых функций
fj € D'(fy), причём fk\QknQl = Л\аьПа, для любых k, I e J. Тогда
существует такая обобщённая функция f ? D'(fi), что f\Q = fj для
любого j ? J.
Свойства а) и б) часто формулируют, говоря, что обобщённые фун-
функции образуют пучок.
Докажем важное для нас свойство а). Для этого воспользуемся «раз-
«разбиением единицы» — таким семейством функций {<Pj}jeJ, что
1) (fj ? C°°{il), Slippy С ilj]
2) семейство {<?j} локально конечно, т.е. у любой точки Xq ? il име-
имеется окрестность, в которой отлично от нуля лишь некоторое ко-
конечное число у»}!, - - -, ipjk функций из этого семейства;
Существование разбиения единицы доказывается в курсах геоме-
геометрии.
Если ip ? D(fi), то из 1) следует, что ipjip ? Ti{ilj), а из 2) и 3)
вытекает, что
S D-32)
причём сумма на самом деле содержит лишь конечное число слагаемых,
отличных от тождественного нуля, поскольку компакт supp<p может
пересекаться в силу свойства 2) лишь с конечным числом носителей
j. Если /|п =0 при любом j, то мы имеем
= 0.
откуда / = 0 ввиду произвольности ip. Это доказывает свойство а).

4.4. Носитель обобщённой функции 73
Свойство б) можно доказать, строя / € Ъ'(п) по обобщённым фун-
функциям fj € Ъ'{п]) с помощью формулы
Бели при этом ip € D(fifc), где fc — фиксированный индекс, то
поскольку &app(ipjip) С slippy П supp<p С fij П n^. Мы проверили, тем
самым, что /|п = /*, что доказывает свойство б).
Свойство а) позволяет корректно ввести для / ? Т>'(п) наиболь-
наибольшее открытое подмножество П' С П, для которого /|п, = О (П' равно
объединению всех таких открытых множеств fii с f!, для которых
/ |п =0. Тогда замкнутое подмножество F = п\п' называется носи-
носителем обобщённой функции / и обозначается supp /. Таким образом,
supp / — это наименьшее из всех замкнутых подмножеств F Си, для
которых /| 0
Пример 4.7. supp#(a:) = {0}. Вообще для обобщённой функции из
примера 4.4 носитель лежит на Г. Если supp / С F, то говорят, что /
сосредоточена на F. Таким образом, обобщённая функция вида D.16)
сосредоточена на Г.
Определим теперь носитель для обобщённых функций из ?'(П) и
S'(Kn). Это легко сделать, если заметить, что имеются канонические
вложения
?'(П) С В'(П), D.33)
S'(M")C2)'(Kn). D.34)
Они строятся исходя из вложений
В(П) С ?(П), D.35)
D.36)
которые позволяют определить с помощью ограничения функционалов
на меньшее пространство отображения
?'(П) -> В'(П), D.37)
D.38)

74 §4. Обобщённые функции
Непрерывность получающихся при этом функционалов на D(fi) и
D(ffin) вытекает из непрерывности отображений вложения
Ъ{К) С ?(П) {К — компакт в П),
Ъ{К) С S(Kn) {К — компакт в Кп).
Наконец, построенные отображения D.37), D.38) являются вложени-
вложениями ввиду того, что D(fi) плотно в ?(П), а Т)(Шп) плотно в 8A8"), так
что любой линейный непрерывный функционал на ?(П) (соотв. 8A8"))
однозначно определяется своими значениями на плотном подмножестве
D(fi) (соотв. D(Kn)).
В дальнейшем мы будем отождествлять обобщённые функции из
?'(П) и §'(Г) с их образами в 2)'(ft) vi'D'(Wl) соответственно. Имеет
место простое
Предложение 4.5. Пусть / ? D'(fi). Тогда условие / ? ?'(П) равно-
равносильно тому, что supp / является компактом в ft или, иными словами,
/ сосредоточена на некотором компакте в П.
Доказательство. Пусть / € ?'(П). Тогда функционал / непрерывен
по некоторой полунорме на ?(П), т.е.
\, D.39)
где компакт К с Ни числа С, I не зависят от у>. Но отсюда следует, что
(/, ip) зависит лишь от значений ip в сколь угодно малой окрестности
К и, в частности, f\nsK = 0, т.е. supp/ С К.
Обратно, пусть / ? Ъ'(п) и supp/ С Кг, где К\ — компакт в п.
Ясно, что если компакт К С П содержит окрестность компакта К\,
то / определяется своим ограничением на Т)(К), причём оценка D.39)
верна при <р € 1>(К) и, следовательно, вообще при <р € Ъ(п) (поскольку
(/, <р) не зависит от у|п\^)- Поэтому функционал / непрерывно про-
продолжается до функционала / ? ?'(П). Отметим, что по существу это
продолжение сводится к тому, что функцию ip € ?(П) надо разложить
в суму ip = <pi + <f2, где y>i ? 2)(П), а у>2 = 0 в окрестности supp/, и
затем положить {/, у>) = {/, y>i). Предложение 4.5 доказано. Ш
Следующая важная теорема описывает обобщённые функции с но-
носителем в точке.

4.4. Носитель обобщённой функции 75
Теорема 4.6. Пусть f € ?'(Mn), supp/ = {0}. Тогда f имеет вид
(/, V) = ? с«(9»(°)> D-40)
где число I и постоянные са не зависят от ip.
Доказательство. Поставим в соответствие каждой функции ip €
€ ?(МП) её /-струю в точке 0, т.е. набор производных
Выберем / так, что верна оценка D.39), в которой К — компакт, явля-
являющийся окрестностью нуля. Проверим, что (/, ip) зависит на самом
деле лишь от Jo(ip). Тогда утверждение теоремы станет очевидным,
поскольку дело сведётся к описанию линейных функционалов на конеч-
конечномерном векторном пространстве Z-струй в точке 0, а такие функцио-
функционалы задаются так, как написано в правой части D.40). Итак, остаётся
проверить, что из условия jlQ{ip) = 0 вытекает, что (/, ip) = 0.
Пусть х € 2)(КП), х(х) = 1 при \х\ < \, х(х) = 0 при |х| > 1. Поло-
жим Хе (х) = X (~ ) > е > 0. Ясно, что из условия supp / = {0} вытекает,
что (/, ip) = (/, XeV3) ПРИ любом е > 0. Мы выведем из условия?0{ф) = 0
тот факт, что при \а\ ^ /
sup \да [хе (х)(р{х)] I -» 0 при е -> +0. D.41)
Отсюда будет следовать, что
(/. ?>) = </. ХеЧ>) = Д
в силу оценки D.39). Осталось доказать D.41). По формуле Лейбница
да Ы*М*)] = ? са,а„ [da'Xs(x)] [да"ф)} =
а'+а"=а
= ? са,а,,е-м[(д°\)(^)][д°''ф)].
Но из формулы Тейлора вытекает, что да ip(x) — O(\x\l+l~\a I) при

76 §4. Обобщённые функции
Заметим, что |ж| ^ е на suppx(-)- Поэтому при е -ь +0
Г'Х)(^)\\да"ф)\ = О(е-\
sup e '
Отсюда и следует D.41). Теорема доказана. ¦
4.5. Дифференцирование обобщённых функции и их умножение
на гладкую функцию
Дифференцирование обобщённых функций должно быть естествен-
естественным продолжением дифференцирования гладких функций. Для того,
чтобы его определить, заметим, что если и € С1 (Л), ц> € Ф(Л), то
D-42)
или а а
/J™., Л = -L, !tL\ . D.42')
Естественно поэтому определить -— для и € Т)'(Л) по формуле
OXj
D.42') (которую мы будем записывать и в виде D.42) в соответствии с
соглашением, о котором говорилось выше). А именно, значение функ-
функционала -г— на функции у € Ъ(п) (т.е. левую часть D.42)) определим
C/X-i
с помощью правой части, имеющей смысл, поскольку -^- е Т>(Л). По-
скольку оператор ^— непрерывно отображает 1У{К) в Ъ{К) для лю-
OXj
бого компакта К С Л, то мы видим, что д— € Т>'(Л). Теперь можно
OXj
определить операторы высоких производных
да: Т)'(Л) -»¦ Т»'(Л), D-43)
где а = (ац, ..., ап) — мультииндекс, как произведения операторов
•=—, а именно д° = (¦=— ) ... (-%— ) . Другой (эквивалентный) спо-
OXj \OXl I \OXnJ
соб: надо написать формулу
D.44)
позволяющую сразу находить производные высокого порядка. Последо-
Последовательное применение D.42') показывает, что результат, получаемый

4.5. Дифференцирование и умножение на гладкую функцию 77
из формулы D.44), тот же, что и при применении да как выписанной
выше композиции операторов ——. Поскольку да непрерывно отобра-
C/Xj
жает ?(П) в ?(П) и S(Kn) в §(КП), то ясно, что оператор д" отображает
?'(П) в ?'(П) и §'(К") в §'(К"). Наконец, из формулы D.44) видно так-
также, что да является непрерывным оператором в 2)'(П), ?'(П) и §'(К").
Поэтому можно сказать, что да является продолжением по непрерывно-
непрерывности обычного оператора дифференцирования на обобщённые функции.
Такое продолжение единственно, поскольку, как мы увидим в дальней-
дальнейшем, Ъ(п) плотно в Ъ'(п). Наконец, ясно, что
supp(dau) С suppu, и ? Ф'(П). D.45)
Пример 4.8. Рассмотрим функцию Хевисайда в(х) и найдём её про-
производную в смысле обобщённых функций:
(в1, <р) = -(в, <р') = -1<p'(x)dx = V@), <р € Ч®1),
т.е.
в'(х) = 6(х). D.46)
Пример 4.9. Найдём производную да от J-функции S(x) € Т)(К").
По определению имеем
(да8(х), ф)) = (-1)№(8(х), даф)) = (-1)|а^(а)@)-
Таким образом, функционал да6(х) сопоставляет функции <р(х) чи-
число (-1Iа1^^а'@). Теорема 4.6 может быть теперь сформулирована
следующим образом: всякая обобщённая функция, сосредоточенная в
точке 0, является конечной линейной комбинацией производных 8-
функции.
Пример 4.10. Рассмотрим оператор Лапласа Д в W1 и попробуем
найти такую обобщённую функцию и € D'(K"), что
Ди = 6(х). D.47)
Такая обобщённая функция и называется фундаментальным реше-
решением для оператора Д и будет играть важную роль в дальнейшем. Ясно,
что она определена неоднозначно (мы можем добавить к ней любое ре-
решение уравнения Лапласа Аи = 0). Чтобы по возможности уменьшить

78 §4. Обобщённые функции
произвол в выборе и, воспользуемся соображениями симметрии. Опе-
Оператор Д перестановочен с поворотами Кп (или, что то же самое, не
меняет вида при ортогональном преобразовании координат). Поэтому
повернув решение и (можно легко понять, что это значит, но мы всё
равно пока рассуждаем эвристически), мы снова получим решение того
же уравнения. Но тогда можно усреднить по всем поворотам и полу-
получится решение и, инвариантное относительно поворотов. Естественно
также предположить, что и не имеет особенностей при х ф 0. Поэтому
будем искать обобщённую функцию и(х), имеющую при х ф 0 вид /(г),
где г = |ж|. Вычислим Д/(г). Имеем:
д
Отсюда
Суммируя по j от 1 до п, получаем:
A/(r) = /"(r) + ^/'(r). D.48)
Решим уравнение
f"(r) + ^f'(r) = O. D.49)
Полагая /'(г) = g(r), мы получаем для g(r) уравнение с разделяющими-
разделяющимися переменными
9(r) + g(r) 0,
из которого получается, что
g(r) = СГ-(П~1\
где С — постоянная. Интегрируя, находим отсюда:
/(r) = <7ir-<n-a> + C2, пф2,
/(г) = С11пг + С2, п = 2.
Поскольку постоянные Сч являются решениями однородного урав-
уравнения Аи — 0, то можно считать, что
f(r) = Cr2~n, пф2, D.50)
/(г) = С In r, п = 2. D.50')

4.5. Дифференцирование и умножение на гладкую функцию 79
Будем рассматривать лишь случай п ^ 2 (случай п = 1 гораздо
элементарнее и будет позже разобран в гораздо более общей форме).
Положим
ua(a:) = lnr. D-51')
Тогда функция и„(х) локально интегрируема в Кп и потому может
рассматриваться как обобщённая функция. Множитель введён
2i — 7Х
для того, чтобы при всех п было верно равенство -^ = г1"™.
В дальнейшем мы будем использовать следующую важную формулу
Грина
f(uAv - vAu)dx = /(«fr - v||) dS, D.52)
n en
где П — ограниченная область в К™ с С1-гладкой или кусочно-гладкой
границей дп; и, v ? C2(fi); n означает внешнюю нормаль к дп, a.dS —
элемент площади границы. Эта формула по существу означает пере-
переброску производных с и на v интегрированием по частям и может быть
выведена таким интегрированием по частям по каждой переменной Xj
при фиксированных остальных. Она является также частным случаем
формулы Стокса для общих дифференциальных форм:
I dw = I ш,
D.53)
an
где ш — (п—1)-форма в п, dw — её внешний дифференциал. В качестве
ш нужно взять форму
ш = Y,(-iy~l («j^ - «j^) dan Л ... Л dij Л ... Л dxn>
где запись dxj означает, что dxj пропускается. Ясно, что
duj = (uAv — vAu)dxi Л ... Л dxn,
так что левая часть D.53) совпадает с левой частью D.52). Правая часть
D.53) в этом случае может быть легко преобразована к правой части

80 §4. Обобщённые функции
D.52) (соответствующие подробности мы предоставляем читателю в
качестве упражнения).
Найдём теперь Дип в Ъ'(Жп). Имеем:
=un(x)Aip(x)dx = lim / un(x)Aip(x)dx.
Теперь применим формулу Грина D.52) с и = ип, v = ср и п = {х: е ^
^ |ж| ^ R, где R столь велико, что ср(х) = 0 при \х\ ^ R— 1. Получим,
пользуясь тем, что Аип(х) = 0 при х ф 0:
un(x)A<p(x)dx=
Ясно, что
д<? _ _&?_ дип _ дип _ _ !_„
дп~~~д7' ~дп ~ ~for~~r -
Отсюда получаем
j f У v(iB)dS, D.54)
где /„(e) = _ ?2~" при n ^ 3, /„(e) = Ine при n = 2. Поскольку
площадь сферы радиуса е в Ж" равна ov,-^" (где стп-у — площадь
сферы радиуса 1), первое слагаемое в правой части D.54) стремится к 0
при е -л +0, а второе слагаемое стремится к <rn_j</j(o). Окончательно
получаем
(Ди„, ф) = о-„_1
или
Полагая теперь
^ D.55')
мы получим, очевидно, что
Д?„(х) = S{x),
т.е. ?п(х) — фундаментальное решение оператора Лапласа в W1.

4.5, Дифференцирование и умножение на гладкую функцию 81
Замечание 4.7. О площади единичной сферы в R™.
Вычислим ап-1- Для этого рассмотрим гауссовские интегралы
оо
h= f e-*2dx,
—оо
/„ = re-wadx = />(•?+-+*;) dXl...dxn = /г.
оо
/„ = jе-г\п-1Гп-иГ.
R" Rn
Записывая 1п в полярных координатах, получим
оо
/„ j
о
Полагая г2 = t, получаем:
оо оо
/„ =<т„_1 Jе-Ч^d(Vt) = *п-г . I|t
о о
2 г
где Г — Г-функция Эйлера. Отсюда <rn-i = /"ч • В то же время при
Г(Ю
п = 2 имеем
оо
J2 = 2тг fe-r'rdr = -7re-r2|+°° = тг,
о
откуда 1у = у/п и /„ = 7г"/2. Итак,
Заметим, что эту формулу можно записать и без использования Г-
функции, поскольку значения Г( —) легко вычисляются. В самом деле,
функциональное уравнение Г(« + 1) = «Г(«) позволяет выразить Г (—)
через ГA) при чётном п и через гГ-J при нечётном п. Но из D.56)
получается при п = 1, что Г(-) = урИ (ясно, что <т0 = 2; впрочем,

82 §4. Обобщённые функции
можно было бы использовать для этой же цели <Т2 = 4тг, взяв п = 3 и
использовав соотношение Г(-) = «М^)- При п = 2 мы получаем из
D.56), что ГA) = 1, что, конечно, легко проверить и без этой формулы.
Поэтому при п = 2к + 2 мы получаем:
а при п = 2к + 1 имеем
2Bтг)*
ff2fc " B*-1)!!'
где Bfc - 1)!! = 1 • 3 ¦ 5 ¦... • Bfc - 1).
Замечание 4.8. Физический смысл фундаментального решения опе-
оператора Лапласа.
При надлежащем выборе единиц измерения потенциал и(ж) электро-
электростатического поля системы зарядов, распределённых с плотностью р(х)
в К3 удовлетворяет уравнению Пуассона
Ди = р. D.57)
В частности, для точечного заряда в точке 0 имеем р(х) = 6(х) и,
значит, и(х) — фундаментальное решение оператора А. Физический
смысл имеют лишь убывающие на бесконечности потенциалы. Ниже
будет доказана теорема Лиувилля, из которой, в частности, вытека-
вытекает, что решение и (ж) уравнения Лапласа Ди = 0, стремящееся к 0 при
|ж| —? +оо, тождественно равно нулю. Поэтому имеется единственное
фундаментальное решение, стремящееся к 0 при |ж| -^ +оо, а именно
?з(х) = — -—. Оно и задаёт потенциал точечного единичного заряда,
расположенного в точке 0. Кстати, потенциал произвольного распреде-
распределения зарядов должен, очевидно, по принципу суперпозиции задаваться
формулой
u(aO = Je3(x-y)p(y)dy. D.58)
Формально применяя оператор Лапласа, получим
Аи(х) = J8(x- y)p(y)dy = р(х),

4.5. Дифференцирование и умножение на гладкую функцию 83
т.е. выполнено уравнение Пуассона D.57). Эта выкладка может слу-
служить для вывода уравнения Пуассона, если определять потенциал сразу
по формуле D.58). Обоснование её можно получить с помощью вводи-
вводимой ниже операции свёртки обобщённых функций.
Укажем ещё смысл фундаментального решения ?2B) в К2. Рас-
Рассмотрим в К3 бесконечную равномерно заряженную нить (с линей-
линейной плотностью заряда, равной 1), расположенную вдоль оси хз- Из
соображений симметрии ясно, что её потенциал и{х) не зависит от
Хз и зависит лишь от г = \/х\ +х\. Пусть х = (ху, х2). Уравне-
Уравнение Пуассона для и приобретает вид Аи(х) = 6(х), откуда и(х) =
= — In r + С. Таким образом, в этом случае потенциал имеет вид
lit
Заметим, однако, что потенциал нити нельзя считать с помощью
интеграла D.58), который в этом случае тожественно равен +оо. Ка-
Каков же смысл этого потенциала? Это легко понять, если вспомнить, что
измеримой физической величиной является не потенциал, а электроста-
электростатическое поле, равное с обратным знаком градиенту потенциала:
Е = — grad и.
Это поле можно считать по закону Кулона и задающий его интеграл
уже сходится (в точках, лежащих вне нити). Потенциал и, восстанавли-
восстанавливаемый по Е с точностью до аддитивной постоянной, как раз и будет
равен ?2(xi, х2) + С. Другим способом можно определить этот потен-
потенциал, считая вначале нить имеющей конечную длину 21 и вычитая из
потенциала конечной нити постоянную, зависящую от I (это не влияет
на напряжённость Е!), а затем переходя к пределу при I -ч +оо. Лег-
Легко видеть, что возможен такой подбор постоянных, описанных выше,
что предел при / -ч +оо существует. Тогда этот предел будет равен
?г(#) У) + С по описанным выше причинам. Фактически мы вычли из
потенциала нити вида D.58) бесконечную постоянную, не влияющую
на Е. Такая процедура называется в физике «перенормировкой заряда»
и имеет аналоги в квантовой электродинамике.
Докажем возможность перенормировки заряда. Напишем потенциал
участка нити хз € [—I, /]:
1
, , 1 [dt
щ{х1, х2, хз) = —г- \
Vxf

84
§4. Обобщённые функции
Поскольку Vx2 + х\ + (t — Ж3J ~ \t\ при t -ч оо, естественно вместо щ
рассмотреть функцию
Vl(Xx, Х2, Х3) = -^ I
-1
\jx\
dt,
отличающуюся от щ на постоянную, зависящую от /, т. е.
_ 1 Г dt
Но теперь в формуле для t>j под знаком интеграла стоит функция
у/х\ + х\
х\
-х\-х\-х\
у/х\ + х\ + (t -
которая ведет себя при t —^ +оо как -j, так что интеграл имеет пре-
дел при I -ч +оо. Конечно, и сам интеграл, и его предел можно явно
вычислить, но для нас это не важно, поскольку предел мы уже умеем с
точностью до постоянной вычислять другим способом. >
< Умножение на гладкую функцшо вводится аналогично дифферен-
дифференцированию. А именно, если / € Lfoc(u), a ? С°°(п), <р ? 2)(П), то ясно,
что
(о/, <Р) = </, а<р). D.59)
Эта же формула может служить для определения о/ в случае, когда
/ ? Т)'(П), а ? С°°(П). Легко видеть, что при этом мы снова полу-
получим обобщённую функцию о/ е Ъ'(п). Если / ? ?'(fi), то а/ ? ?'(fi),
причём supp(o/) С supp /.
Пусть теперь / € §'(К"). Тогда воспользоваться формулой D.59)
при ср € §(К") можно в том случае, если щ ? §(К"). Более того, ес-
если мы хотим, чтобы умножение давало обобщённую функцию о/ ?
? §'(К"), то надо, чтобы оператор, переводящий ср в <ир, был непрерыв-
непрерывным оператором из §(КП) в §(КП). Для этого достаточно, например,
чтобы для функции а ? С°°(Ш*) были выполнены оценки
|5ао(ж)| ^ СаA + \х\)т", D.60)

4.5. Дифференцирование и умножение на гладкую функцию 85
где Са, тпа — некоторые постоянные. В частности, умножение на мно-
многочлен переводит §'(К") в §'(К").
Функцию / G Цос(п) можно умножить на любую непрерывную фун-
функцию а(х). Для обобщённой функции / также можно ослабить условия
на а(х), при которых определено произведение о/. А именно, пусть,
например, обобщённая функция / € Ъ'(П) такова, что при некотором
целом тп ^ 0 для каждого компакта К С il выполнена оценка
D.61)
В этом случае говорят, что / — обобщённая функция конечного
порядка (не превосходящего т). Обозначим через Ъ'т(Щ множество
таких обобщенных функций. В общем случае оценка D.61) верна лишь
с постоянной тп, зависящей от К, а мы требуем здесь, чтобы т не
зависело от К. Ясно, что если / € ?'(fi), то / имеет конечный порядок.
Если / е Цос(п), то / G Ъ'0(п).
Если / е 1Ут(п), то мы можем по непрерывности продолжить / до
линейного функционала на пространстве Фт(П), состоящем из функ-
функций класса Ст с компактным носителем, лежащим в П. А именно, ясно,
что Ът(п) = Ua- 2?го(Ю, где К — компакт в п, Ът(К) — подмноже-
подмножество в Т)т(п), состоящее из функций с носителем, лежащим в К. Вводя
в Ът{К) норму, равную правой части D.61), мы видим, что обобщённая
функция / € Ъ'т(И) продолжается до линейного непрерывного функ-
функционала на Ът{К). Поэтому она определяет линейный функционал на
Т)т(п). Например, ясно, что 8(х — хо) G 1)'0(п) при хо € П, так что
^-функция задает линейный функционал на Т>о(П). На самом деле она,
конечно, задаёт линейный непрерывный функционал и просто на С(п).
Вообще, если / € Т)'т(п) и supp / С К, то / продолжается до линейного
непрерывного функционала на Ст(п), если в Ст(п) ввести топологию,
определяемую полунормами, имеющими вид правой части D.61) с лю-
любым компактом if С П.
Пусть теперь / е 1>'т(п), и а е Ст(П). Тогда формула D.59) имеет
смысл при ip е 2)(П), поскольку тогда сир € T>m(fi). Таким образом,
произведение о/ определено при / € 1>'т(п) и а е Ст(п).
Пример 4.11. а{х)8(х) = а@)8{х) при а € С{Шп).
Пример 4.12. Пусть п = 1. Вычислим а(х)8'(х), где а е б0^1).
Имеем:
К, ip) = (8', шр) = -(8, (сир)') = -а'@)?>@) - о

86 §4. Обобщённые функции
Отсюда
а(хN'(х) = а@N'(х) - а'@N(х).
Заметим, в частности, что из условия а@) = 0 не следует ещё, что
а(хN'(х) = 0.
Пример 4.13. Формула Лейбница.
Пусть / 6 Ъ'(п), а 6 С°°(п). Докажем, что
щМ)'Щ<+°%- D62)
В самом деле, если ц> € 1>(П), то
что и требовалось.
Благодаря формуле D.62) можно дифференцировать произведение
обобщённой функции на гладкую как обычное произведение. В частно-
частности, верна формула Лейбница для производных более высокого поряд-
порядка.
Пример 4.14. Фундаментальное решение обыкновенного дифферен-
дифференциального оператора.
Рассмотрим на К1 дифференциальный оператор
d™ d
+a

где a,j — постоянные, и найдём его фундаментальное решение ? (ж), т. е.
решение уравнения Lu — 8(х). Ясно, что ?(я) определено с точностью
до решения однородного уравнения Lu = 0. Кроме того, при х ф 0
должно быть выполнено уравнение L?.(x) — 0. Поэтому естественно
искать ?(х) в виде
t{X)~\y2(x), x>0.

4.5. Дифференцирование и умножение на гладкую функцию 87
где j/i, j/2 — решения уравнения Ly = 0. Кроме того, вычитая yi(x),
можно считать, что
Е(х) = в(х)у(х), D.64)
где у(х) — решение уравнения Ly = 0. Теперь необходимо вычислить
LE(x). Ясно, что
{в(х)у(х))' = у@N(х) + в(х)у'(х),
а при дальнейшем дифференцировании возникнут производные от 6(х).
Если мы хотим, чтобы эти производные не возникли, а б-функция по-
появилась лишь на самом последнем шаге, то нужно считать, что
2,@) = у'@) = ... = j/m-2)@) = 0, 2/(т-х)@) = 1. D.65)
Такое решение у(х) существует и единственно. При таком выборе
мы получаем
(в(х)у(х))" = в(х)у"(х),
Поэтому
L{6(x)y(x)) = 6(x)Ly(x) + 6(х) = 6(х),
что и требовалось.
Почему при х ф 0 фундаментальное решение должно быть обычным
гладким решением? Это вытекает из следующей теоремы.
Теорема 4.9. Пусть обобщённая функция и 6 Ъ'((а, Ь)) является
решением дифференциального уравнения
«С") + am-i(x)u(m-iy> + ...+ ао(х)и = f(x), D.66)
где uj(x), f(x) бесконечно дифференцируемы на (а, Ь). Тогда и 6
{)

88 §4. Обобщённые функции
Доказательство. Вычитая гладкое частное решение D.66), которое,
как известно, существует, мы видим, что дело сводится к случаю, когда
/ = 0. Далее, при / = 0 уравнение D.66) известным приёмом сводится
к системе вида
v' = A(x)v, D.67)
где v — вектор обобщённых функций, А(х) — матрица, элементы ко-
которой принадлежат С°° ((а, Ь)). Пусть Ф(я) — невырожденная матрица
класса С°°, удовлетворяющая уравнению
Ф'(а;) = Л(а;)Ф(а;), D.68)
т. е. Ф •— матрица, столбцы которой образуют фундаментальную си-
систему решений для D.67). Положим v = Ф(а;)го, т. е. введём обозначение
w = ^~1(x)v. Тогда w — снова вектор обобщённых функций на (а, 6),
причём подставляя v = Ф(я)го в уравнение D.67), мы получим для го
уравнение и/ = 0. Мы видим теперь, что остаётся доказать следующую
лемму.
Лемма 4.10. Пусть и е D'((a, 6)) и и' = 0. Тогда и = const.
Доказательство. Условие и' = 0 означает, что (u, ip') = 0 для любой
функции v? € D((a, 6)). Но ясно, что функция ф 6 D((o, 6)) может быть
представлена в виде гр = tp'', где <р € D((a, 6)), тогда и только тогда,
когда
ь
A, ф) = fip(x)dx = 0. D.69)
a
В самом деле, если ф = tp1, то D.69) верно по формуле Ньютона-
Лейбница. Обратно, если выполнено D.69), то мы можем положить
ф)=
и ясно, что tp 6 D((a, 6)) л tp' — ф.
Рассмотрим отображение J: D((a, 6)) -> С, переводящее ф в A, ф).
Поскольку (и, ф) = 0 при ф 6 Кег /, то ясно, что (и, ф) зависит лишь
от 1ф, но поскольку эта зависимость линейная, то ясно, что (и, ф) =
= С(\, ф), где С — постоянная. Но это и означает, что и = С. Ш

4.6. Транспонирование. Замена переменных. Однородность 89
4.6. Общее понятие транспонированного оператора. Замена
переменных. Однородные обобщённые функция
Операции дифференцирования и умножения на гладкую функцию
являются частными случаями следующей общей конструкции. Пусть
fli, П2 — две области в К", задан какой-то оператор L: С°°(П2) ->
-> C°°(fli) и существует такой оператор *L: D(Qi) -> 2)(П2), что
(Lf, <р) = (/, *Ьр), Ч> G ©(«О, D-70)
если / 6 С°°(П2). Оператор lL называется транспонированным к опе-
оператору L. Предположим, что для любого компакта К\ С fti найдёт-
найдётся такой компакт Къ С П2, что Ь1Л)(К\) С ©(ifa) и отображение
bL: Т)(К\) -» ©(.Кг) непрерывно. Тогда формула D.70) позволяет про-
продолжить оператор L до оператора L: 1>'(П2) -> D'(ni).
Если ui = Пг = Кп и оператор *L продолжается до непрерывного
оператора bL: S(K") -> S(En), то ясно, что оператор L задаёт отобра-
отображение L: S'(ln) -> S'(Kn).
Отметим, что оператор L, построенный с помощью этой конструк-
конструкции, всегда слабо непрерывен. Это очевидно из формулы D.70), по-
поскольку \(Lf, ip)\ — это полунорма общего вида для Lf, a |(/, bLip)\ —
некоторая полунорма для /.
Примеры транспонированных операторов: а) если L = ^—, то
ЬЬ = — -—; б) если L = а(х) (оператор умножения на функцию а(х) €
CfXj
€ C°°(U)), то bL = L = а(х). В частности, операторы -— и а(х)
3
непрерывны на Ъ'(п) в слабой топологии. Оператор ^—, кроме того,
непрерывен на S'(Kn).
Приведём новые примеры. Пусть дан диффеоморфизм \: Qi -> П2.
Он обычным образом определяет отображение х*: C°°(U2) -> С00(ПО,
а именно (x*f)(x) = /(х(ж)). Ясно, что той же формулой можно опре-
определить отображение х* '¦ ЦОс№) ~~* ^ioc(^i)- Кроме того, х* переводит
D(n2) в D(Hi). Мы хотим продолжить х* Д° линейного непрерывного
оператора
Х*:Т>'(Па)-»1>'(П0- D.71)

90
§4. Обобщённые функции
Для этого найдём транспонированный оператор. Пусть ip 6
Тогда
= (/(*),
¦vCx (*))), D-72)
где*
-1
отображение, обратное к
а*
его якобиан.
Теперь ясно, что транспонированный оператор имеет вид:
PxV) (*) =
dz
D.73)
Поскольку
х
^
6 C°°(fi2), ясно, что *х* отображает 2)(Пг) в
), причём он задаёт непрерывное отображение Ъ(К\) в Ъ.{х{К\))-
Поэтому по общей схеме определено непрерывное отображение
X*: Ъ'(п2) -> D'(fti). Если fii = П2 = М™ и отображение х являет-
является аффинным преобразованием (или хотя бы совпадает с аффинным
преобразованием вне некоторого компакта), то *\* непрерывно ото-
отображает S(l") в S(Kn) (в этом случае
задано непрерывное отображение х* '¦ '
dz
= const
S'(En).
0), так что
Примеры, а) Оператор сдвига f(x) ¦-> f(x - t), где t 6 К", продол-
продолжается до линейного непрерывного оператора из D'(fi) в D'(t + П) и
из S'(Kn) в S'(En). В частности, ранее употреблявшееся обозначение
6(х — хо) согласуется с определением сдвига на хо-
б) Оператор гомотетии f(x) н-> f(tx), где t 6 К \ 0, определён
на ?'(!") и отображает D'(Mn) в D'(En). Вычислим, например, 6(tx).
Имеем:
= \t\~n j6(z)<p(z)dz.
6(tx)ip(x)dx =
Итак,
S(tx) = \t\-nS(x), t6R\0. D.74)
Определение 4.11. Обобщенная функция / ? S'(Kn) называется од-
однородной порядкатбК, если
f(tx) = tmf(x), t > 0.
D.75)

4.6. Транспонирование. Замена переменных. Однородность 91
На самом деле легко проверить, что требование / 6 S'(Mn) мож-
можно заменить включением / е D'(En) (из D.75) тогда автоматически
вытекает, что / 6 S'(En)).
Примеры.
1. Если / 6 L110C(En) и при любом t > О почти всюду по х выполнено
D.75), то / однородна порядка т как обобщённая функция.
2. б-функция 6(х) однородна порядка —п.
Легко проверяется, что „¦—f(tx) = t(-^-
Поэтому, если / однородна порядка т, то ~— однородна порядка
OXj
т — 1. Например, да5{х) однородна порядка — п — \а\.
Соображения однородности позволяют без вычислений понять, как
устроено фундаментальное решение оператора Лапласа и его степе-
степеней. А именно, обобщённая функция г2~п при п ^ 3 имеет порядок
однородности 2-яи при г ф 0 удовлетворяет уравнению Аи = 0. По-
Поэтому Дг2~п сосредоточена в нуле и имеет порядок однородности —п.
Но поскольку порядок однородности да6(х) равен — п — \а\, то ясно,
что Дг2~п = С6(х). При п = 2 имеем ДAпг) = 0 при г ф 0 и про-
изводные д—(In г) однородны порядка — 1. Поэтому ДAпг) сосредо-
точена в нуле и имеет порядок однородности —2, так что ДAпг) =
= С6(х).
Неясно заранее, почему не может оказаться, что Дг2~п = 0 в
D'(En). Мы увидим в дальнейшем, однако, что если и 6 D'(fi) и
Аи = 0, и 6 С°°(П) (и даже более того: и вещественно-аналитична
в п). Поскольку г2~~п имеет особенность в нуле, то Дг2~п ф 0, откуда
дг2-п _ С6(х), где С Ф 0. Аналогично при п = 2 имеем ДAпг) = С6(х),
С фО.
Отметим, наконец, что оператор поворота определён в D'(K") и в
S'(Kn), и это позволяет придать точный смысл рассуждениям об усред-
усреднении, на основании которых мы выше сделали вывод о существовании
сферически симметричного фундаментального решения для операто-
оператора Д.
Пример 4.15. Фундаментальные решения для степеней оператора
Лапласа.
Из соображений сферической симметрии и однородности ясно, что
для нахождения фундаментального решения оператора Дш в К" ес-
естественно рассмотреть функцию г2ш~п. Тогда мы получим, что

92 §4. Обобщённые функции
дт-1г2т-п _ Cir2~n. Может ли быть С\ = 0? Оказывается, что ес-
если 2т — п ? 2Z+ (т. е. 2т -пне является чётным неотрицательным
числом), или, что то же самое, г2т~п ? С°°(Кп), то мы получим, что
С\ ф О и, значит, Атг2т~п = С6(х), где С Ф 0. В самом деле, при г ф 0
имеем при любом а € R:
и 71 — 1 и
dr2 r <
= [а(а - 1) + а(п - 1)]га~2 =а(а + п- 2)га.
Поэтому
Ar2k-n = Qk _ п^2к _ 2)г2*-"-2)
и при последовательном применении Д к г2т~п мы будем получать
множитель вида Bт — 2)Bт — п), затем Bт — 4)Bт — п — 2) и т. д.,
откуда следует, что С\ Ф 0 при 2т — п $ 2Z+.
Поэтому при 2т — п ? 2Z+ фундаментальное решение ?^(ж) опера-
оператора Дт имеет вид ' '
?"(*) = Ст,пг2т-п. D.76)
Далее, пусть 2т — п € 2Z+, так что r2m~n — многочлен от х. Тогда
нужно рассмотреть функцию r2m~n In г. Тогда получим
(постоянная Сг зависит от п), где С\ Ф 0 и Сг Ф 0. Рассмотрим для
определённости случай n ^ 4. Заметим, что
d , 1
а -г- In г = -, так что
dr r
т-1 (r2m-n kf.J = дт-1
поскольку г2т~п — многочлен от х степени 2т — п. Здесь Сг Ф 0,
потому что г2т~п In г 0 С°°(КП), а уравнение Ди = 0 не имеет решений
с особенностями (если бы оказалось, что Сг Ф 0, то при некотором к
мы получили бы, что и = Д* (r2m~n In г) имеет особенность в точке 0

Задачи 93
и удовлетворяет уравнению Ди = 0). Впрочем, постоянную Съ можно
легко вычислить непосредственно. Таким образом, при 2т — п б 2Z+
имеем:
?™(*) = <Wm->lnr. D.77)
Задачи
4-1. Найти lim Хе{х) в ©'(Е1), где Хе(х) = —^ при х 6 (-?,?),
\е(х) = 0 при х i (-е, е).
4-2. Найти lim il>e(x) в ©'(К1), где ^е(я) = - при х 6 (-е, е),
S ) | О с
V»e(a;) = 0 при х $ (-е, е).
4-3. Найти lim -sia- в D'QR1).
е-У+О X Е
4-4. Доказать, что если / б С°°(Е), то -(/(а;) - /@)) б С°°(Е).
4-5. Найти пределы
lim
±
в ©(М).
X + tO V ^
4-6. Рассмотрим каноническую проекцию Е -> S1 = E/27rZ. Она ин-
индуцирует изоморфизм С°°E1) -> С^СЕ), где С$% — множество всех
гладких 2тг-периодических функций на И. Доказать, что этот изомор-
изоморфизм продолжается по непрерывности до изоморфизма
где ©^(Е) — множество всех 2тг-периодических обобщённых функций.
4-7. Доказать, что ряд Фурье S^°c»/*e**x сходится в ©'(М1) тогда
и только тогда, когда существуют такие постоянные С и N, что \fk \ ^
^ C(l + |fc|) . При этом если / — сумма этого ряда, то / 6 ©^(Е)
и ^ = (/, e~ikx), где скобки означают естественную двойственность
между D'EX) и С00^1).
4-8. Доказать, что всякая обобщённая 2тг-периодическая функция
(или, что то же самое, обобщённая функция на S1) является суммой
своего ряда Фурье.

94 §4. Обобщённые функции
4-9. Разложить в ряд Фурье б-функцию на 51 или, что то же самое,
обобщённую функцию
Jfe=-oo
4-10. Использовать результат предыдущей задачи для доказатель-
доказательства следующей формулы суммирования Пуассона:
*=-оо А=-оо
где / 6 5(Е1), / — преобразование Фурье функции /.
4-11. Найти все такие и 6 D'(E), что
а) хи(х) = 1;
б) хиЧх) = 1;
в) хи'(х) = 5(х).
4-12. Проверить, что функция — -—, где г = |а;|, является фунда-
фундаментальным решением оператора Гельмгольца Д + А;2 в I3.

95
§5. Свёртка и преобразование Фурье
5.1. Свёртка и прямое произведение обычных функции
Свёрткой обычных функций / и д на К" называют интеграл
E.1)
который берётся по К". Конечно, интеграл E.1) не всегда определён.
Мы будем рассматривать его в случае, когда f,gE С(К") и одна из
функций /, д имеет компактный носитель (в этом случае интеграл E.1)
имеет смысл и легко видеть, что f*g 6 С(КП)). Делая в интеграле E.1)
замену переменных х — у = z, мы получим
= Jf(z)g(x-z)dz, E.1')
т. е. свёртка коммутативна:
f*9 = 9*f. E.2)
Далее, пусть / 6 С^М"). Тогда ясно, что E.1) можно дифференци-
дифференцировать под знаком интеграла, причём мы получаем
9
Вообще, если / б Cm(En) или д 6 Cm(Kn), то
при \а\ ^ т. Операция свертки ассоциативна, т. е.
f*(g*h) = (f*g)*h, E.4)
если f,g,he C(Rn) и две из трёх функций /, д, h имеют компакт-
компактный носитель. Это можно проверить заменой переменных, однако мы
сделаем это чуть ниже другим способом.
Пусть ip € С(Е") и <р имеет компактный носитель. Тогда интеграл
г
(f*9,<p)= / f(x ~ y)9(y)v(x)dydx

96 §5. Свёртка и преобразование Фурье
можно преобразовать, заменяя х на у + z, к виду
E.5)
Отсюда в силу теоремы Фубини очевидна уже доказанная коммутатив-
коммутативность свёртки. Далее, отсюда же следует, что
((/ * Я) * h, ф) - I f(x)g{y)h(z)(fi(x + у + z)dxdydz = (f*(g* h), tp),
что даёт ассоциативность свёртки.
Отметим, что в E.5) важную роль играет функция f(x)g(y) €
€ С(Ш2п), которая называется прямым или тензорным произведением
функций / и g и обозначается / ® g или просто f(x)g(y), если полезно
указать аргументы.
Предположим, что fug финитны. Тогда в E.5) можно положить
<р(х) = е~^'х, где ? € М". Тогда получим:
E.6)
где волна означает преобразование Фурье:
№ = Jf(x)e~*xdx. E.7)
Таким образом, преобразование Фурье переводит свёртку в обыч-
обычное произведение.
Посмотрим ещё, как устроен носитель свёртки.
Введём следующее обозначение. Пусть A, BcR". Положим
А + В = {х + у: хе А, уЕВ}
(иногда А + В называют арифметической суммой подмножеств Аи В).
Оказывается, что
supp(/ * g) С supp / + supp g. E.8)
В самом деле, из E.5) видно, что если supp tpП (supp / + supp g) = 0,
то (/ * g, ф) = 0, что и даёт включение E.8).

5.2. Прямое произведение обобщённых функций 97
5.2. Прямое произведение обобщённых функций
Пусть U! С К, п2 С К, /i € D'(fti), h € D;(ft2). Опреде-
Определим их прямое или тензорное произведение /i ® /2 € D'(fti x П2).
Вместо /i ® /2 мы будем часто писать также /i(x)/2(j/), где х € fii,
j/eft2.
Пусть <р(х, у) € 2)(Пг х П2). При /j € Lloc(Uj) мы имели бы по
теореме Фубини
</i ®Л, V) = (/i(x), (My), ф, у))) = (/2Ы, (Ш, ф, у))). E.9)
Эту же формулу надо принять за основу при определении /i ® /2
для обобщённых функций. Покажем, что она имеет смысл.
Заметим прежде всего, что всякий компакт К в tl\ x П2 содержится
в некотором компакте вида К\ х К2, где Kj — компакт в ftj, j = 1, 2.
В частности, suppy? С Кi х К2 при некотором К\, К2. Далее, <р(х, у)
можно теперь рассматривать как бесконечно дифференцируемую фун-
функцию от х со значениями в Ъ(К2) (бесконечная дифференцируемость
означает, что все производные являются пределами своих разностных
отношений в топологии Ъ{К2)). Поэтому (f2{y), y(x, у)) € Ъ{К{), по-
поскольку /з является линейным непрерывным функционалом на
Отсюда следует, что имеет смысл функционал
Легко проверить, что F € 2)'(П1 х п2), причём suppF с supp/i x
х supp/2. Можно построить также функционал G € Ъ'{И\ х П2) по
формуле
(
Необходимо проверить, что F = G. Отметим, что если <р = <pi <g> <p2,
где ipj € I>(fij), т.е. уэ(х, у) = Pi(x)tp2(y), то ясно, что
Поэтому ясно, что для проверки равенства F = G достаточно дока-
доказать следующую лемму.
Лемма 5.1. В Т>(пг х Г22) плотны линейные комбинации функций ви-
вида (pi <8хр2, где <pj € D(fij). Точнее, если Kj — компакт в Qj, j = 1, 2,
и Kj — такой компакт в Qj, что Kj содержится в множестве вну-
внутренних точек Kj, то всякая функция ip € 2)(ifi x K2) может быть
в "D(Ki х К2) приближена сколь угодно точно конечными линейными
комбинациями функций вида щ ®у?2, где <pj € fe
4 ШувиьМ.А.

98 §5. Свёртка и преобразование Фурье
Доказательство. Рассмотрим следующий куб Qd в R":
Qd= {(x, y):\xj\ ^ 2' llftl < г' ^ = 1'-••'"!' / = 1' "-.
т.е. куб с центром в точке 0, со стороной d и с ребрами параллель-
параллельными координатным осям. Выберем d столь большим, чтобы компакт
К\ х Къ лежал строго внутри куба Qj. В L2(Qj) полную ортонормиро-
ванну ю систему образуют экспоненты j ехр ( —г- k-zj, А; € Z " >, где п =
= п\ +П2, z € М" и экспонента рассматривается как функция от г. Фун-
Функцию у?(х, j/) = y?(z) можно разложить в ряд Фурье
5>(^) E.10)
где
= jn I f(z)exp(—^fcz^da;. E.11)
Qd
Ряд Фурье E.10) абсолютно и равномерно на Qj сходится к <p(z),
причём его можно сколько угодно раз почленно дифференцировать. В
самом деле, интегрирование по частям показывает, что величины
Qd
ограничены по модулю постоянной Cn, не зависящей от А;, т. е.
Отсюда и следует сходимость ряда E.10) и возможность его почлен-
почленного дифференцирования.
Таким образом ряд E.10) сходится в топологии Cco{Qd)- Пусть те-
теперь X) € "D{Kj), Xj = 1 в окрестности Kj. Тогда получаем
> У) = Xi{x)X2(y)<p{x, у) =
-у),

5.2. Прямое произведение обобщённых функций 99
где fci € Z™1, fc2 € Z, к = (fci, fc2), причём ряд сходится в топологии
Ъ(К\ х Къ). Но тогда конечные суммы этого ряда дают требуемое
приближение для (р(х, у). ¦
Теперь мы можем дать
Определение. Если fj € D'(fij), j = 1, 2, то прямым или тензорным
произведением Д и /2 называется обобщённая функция на ui х fi2,
определяемая по формуле E.9) и обозначаемая Д ® /2, fi(x)f2(y) или
/i(*)®/a(»).
Легко видеть, что
supp(/i ® /2) С supp Д х supp /2, E.12)
а если fj € S'(Rn'), то Д ® /2 € S;(R+n2). Далее, легко проверяется,
что
Пример 5.1. (J(x)J(y) = 6(x, у).
Пример 5.2. Пусть t € Е1, ж € Е", p(i) € С(Е"-1).
Обобщённая функция J(t) ® р(х) € ©'(Е^) называется простым
слоем с плотностью р на плоскости t = 0. Её физический смысл со-
состоит в том, что она описывает заряд, сосредоточенный на плоскости
t = 0 и распределённый по ней с плотностью р(х). Ясно, что
E.14)
Rn — 1
я
Обобщённая функция J'(t)®p(x) называется <?войкьие слоел с плот-
плотностью р на плоскости t = 0. Её физический смысл состоит в том, что
она описывает распределение диполей, расположенных с плотностью р
на плоскости t = 0 и ориентированных по оси t. Диполем в электроста-
электростатике называют два очень близких очень больших заряда, одинаковых
по величине и противоположных по знаку, причём произведение величи-
величины зарядов на расстояние между ними является определённой конечной
величиной, называемой моментом диполя. Легко видеть, что в D'(R")
верно предельное соотношение
S'(t) в р(х) = 1ипо [%±й в р(х) - 8\$- в р(х)],
откуда и вытекает указанная интерпретация потенциала двойного слоя.

100 §5. Свёртка и преобразование Фурье
Ясно, что
(8'{t) ® р(х), tp{t, х)) = - I |?@, x)p(x)dx. E.15)
Формулами типа E.14), E.15) простой и двойной слои могут быть
определены на любой гладкой поверхности Г коразмерности 1 в f.
А именно, если р € С (Г), то можно построить обобщённые функции
и -д-(рдг), определяемые формулами
E.16)
E.17)
где dS•— элемент площади поверхности Г, an означает внешнюю нор-
нормаль к Г. Отметим, впрочем, что локально можно диффеоморфизмом
свести эти функции к описанным выше прямым произведениям S(t) ®
р(х) vi6'{t)®p(x). >
¦4 Отметим ещё следующее важное свойство прямого произведения:
оно ассоциативно, т.е. если /_,- € D'(fij), j = 1, 2, 3, то
(/i ® /а) ® /з = /i ® (/г ® /з)
в 2)'(П1 xf!2x П3)- Доказательство очевидно из того, что в D(fJi х П2 х
х Пз) в том же смысле, что и в лемме 5.1, плотны конечные линейные
комбинации функций вида <р\ ® <р2 ® у>з, где ^- €
5.3. Свёртка обобщённых функций
Из формулы E.5) ясно, что свёртку обобщённых функций f,g€.
€ D;(R") естественно пытаться определить с помощью формулы
</• Л ?>> = </(*)*М. ?>(* + »)>, ?>€©(¦?). E.18)
Однако эта формула (и сама свёртка) не всегда имеет смысл, по-
поскольку ip(x + у) $ D(R2n) при <р ф 0. Тем не менее, иногда правая
часть E.18) имеет естественный смысл. Пусть, например, / € ?'(Rn).
Тогда мы положим
(Нх)д(у), <р(х + у)) = </(х), (д(у), ф + у))), E.19)

5.3. Свёртка обобщённых функций 101
что имеет смысл ввиду того, что (д(у), ц>(х + у)) € ?(К?). Можно по-
поступить и наоборот, полагая
(f(x)g(y), ф + у)) = (д(у), (/(*), ф + у))), E.20)
что также имеет смысл, поскольку (/(ж), ц>(х + у)) € D(E?). Покажем,
что оба эти способа совпадают. Для этого возьмём такую функцию
X € D(En), что х(х) = 1 в окрестности supp/. Тогда / = х/ и мы
имеем
, Ф + у))) = (х{х)№, (д(у), ф + у))) =
= (/(*), х(х)(д(у), Ф + у))) = (/(*), (д{у), х{х
и аналогично
{№,ф + у))) =
Но правые части этих соотношении равны в силу доказанного выше
свойства E.9) прямого произведения, поскольку х{х)<р{х + у) € D(E2n).
Поэтому равны и левые части. Теперь мы можем дать
Определение. Свёрткой двух обобщённых функций f,gE D'(En),
из которых одна имеет компактный носитель, называется обобщённая
функция / *д € D'(En), определяемая по формуле E.18), понимаемой в
смысле E.19) или E.20).
Как мы видели, свёртка коммутативна, т. е.
f*9 = 9*f, f е?'AП, ff€t
Она также ассоциативна, т. е.
(f*g)*h = f*(g*h), E.21)
если две из трёх обобщенных функций /, д, h имеют компактный носи-
носитель. Это легко проверяется из ассоциативности прямого произведения,
а также из того, что
h,ip) = (f(x)g(y)h{z), ф + у + z))
и то же самое верно, если заменить (/ * д) * h на / * (д * h).

102 §5. Свёртка и преобразование Фурье
Правило E.3) дифференцирования свёртки верно и для обобщённых
функций. В самом деле,
(da(f*9), Ч>) = (-1)|а|(/*5, да<р) = (-l)M(f(x)g(y), (да<р)(х + у)),
но (daip)(x + у) можно представить в виде д?(р(х + у) или ду<р(х + у) и
тогда обратная переброска д01 показывает, что верно правило E.3):
Пример 5.3. 6(х) * f(x) = f(x), f e D;(Rn).
С алгебраической точки зрения мы видим, что операции сложения
и свёртки определяют на ?'(R") структуру ассоциативного кольца с
единицей 6(х). При этом D'(R") является двусторонним модулем над
этим кольцом.
Пример 5.4. Решение неоднородного уравнения с постоянными ко-
коэффициентами.
Определение. Пусть p{D) — линейный дифференциальный опера-
оператор с постоянными коэффициентами в R". Обобщённая функция ?(я) €
€ D'(Rn) называется его фундаментальным решением, если
p(D)E(x) = 6(x). E.22)
Тогда уравнение
p(D)u = f, E.23)
где / 6 ?'(Е"), имеет частное решение
u = e*f. E.24)
В самом деле
что и требовалось.
Пример 5.5. Пользуясь предыдущим замечанием, можно находить
без вариации постоянных частное решение неоднородного обыкновен-
обыкновенного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.
В самом деле, пусть п = 1 и p(D) = L — оператор вида
dm dm
+
-l

5.3. Свёртка обобщённых функций 103
где a,j = const. В этом случае мы можем положить
?(х) = в(х)у(х),
где у — решение уравнения Ly = 0 с начальными условиями
1/@) = i/@) =... = y(m-2>@) = о, у^-'Но) = 1.
Отсюда, если функция / € С(Ег) имеет компактный носитель, то
функция
х
(x- t)f(t)dt = f y(x- t)f(t)dt.
является частным решением уравнения Lu = f. Отметим, что посколь-
поскольку у(х — t) как функция от х удовлетворяет уравнению Ly(x — t) = 0
при любом t € К, то функция
о
(х) = f y(x-t)f(t)dt
—oo
удовлетворяет уравнению Lu?. = 0. Поэтому наряду с «i(x) частным
решением уравнения Lu — f является также функция
X
и(х) = jy(x-t)f(t)dt. E.25)
Формула E.25) даёт решение уравнения Lu = / при произвольной
функции / € С(Ег) (не обязательно финитной), поскольку факт вы-
выполнения уравнения Lu = / в точке х зависит лишь от поведения / в
окрестности этой точки, а само решение и, найденное по этой формуле,
определяется в окрестности точки х лишь значениями / на некотором
конечном отрезке.
Приведём конкретный пример: частное решение уравнения «" + « =
= / даётся формулой
х
и(х) = fsin(x-t)f{t)dt.

104 §5. Свёртка и преобразование Фурье
Пример 5.6. Потенциалы. Если ?п — фундаментальное решение
оператора Лапласа Д в I", определяемое формулами D.55), D.55'),
то свёртка и = — ?п * /, где / € ?'(Е"), называется потенциалом и
удовлетворяет уравнению Пуассона Аи = -/.
В частности, если функция / кусочно-непрерывна, то при п = 3 мы
получаем ньютоновский потенциал
а при п = 2 — логарифмический потенциал
u(x) = -±Jf(y)\n\x-y\dy. E.27)
Свёртка ?„ * / в этих примерах и при любом п локально интегрируема.
Свёртка и — — ?„ * / как обобщённая функция совпадает с обычной
локально интегрируемой функцией
и(х) = - jen(x-y)f(y)dy,
поскольку функция ?„(х — у) f(y) локально интегрируема в Е^ и мы
можем по теореме Фубини сделать в интеграле (?„ * /, ip) замены пе-
переменных, приводящие к определению свёртки обобщённых функций.
Приведём другие примеры потенциалов. Свёртка
и = -?п*р6Г, E.28)
где Г — гладкая компактная поверхность коразмерности 1 в К", р €
G С(Г), называется потенциалом простого слоя и имеет смысл потен-
потенциала системы х зарядов, распределённых по поверхности Г с плотно-
плотностью р.
Свёртка
= -?« *
E.29)
называется потенциалом двойного слоя и имеет смысл потенциа-
потенциала системы диполей, расположенных на поверхности Г, ориентиро-
ориентированных вдоль внешней нормали и с плотностью дипольного момен-
момента р(х).

5.4. Носитель и носитель сингулярности свёртки 105
Заметим, что вне поверхности Г оба потенциала E.28) и E.29) явля-
являются обычными бесконечно дифференцируемыми функциями, задан-
заданными формулами
и(х) = -1 ?„ (i - у) р(у) dSy, E.30)
г
ef) E.31)
Представляющее интерес поведение потенциалов вблизи поверхно-
поверхности Г мы более подробно обсудим в дальнейшем.
5.4. Дальнейшие свойства свёртки. Носитель и носитель
сингулярности свёртки
Изучим вначале свёртку обобщённой и гладкой функций.
Предложение 5.2. Пусть / е ?'(К"), д € СОО(МП) или / e D'(Kn),
д в С$°{Шп). Тогда f*g€C°°{Rn), причём
(/ * 9)(х) = (f(y), g(x - у)) = (f(x - у), g(y)). E.32)
Доказательство. Прежде всего, заметим, что д(х — у) является бес-
бесконечно дифференцируемой функцией от х со значениями в С°°(Шу).
Бели при этом д G Cq^K"), to носитель д(х — у), как функции у, ле-
лежит в некотором компакте, если х меняется на компакте. Поэтому
(f{y), 9{х - у)) € С°°(Е"). Равенство
следует из того, что по определению замена переменных в обобщён-
обобщённых функциях делается так, как если бы мы имели дело с обычным
интегралом. Остаётся проверить, что если <р € 2)(К"), то
или
((/ *я), ч>) = ((Ну), я(х -у)), ?»(«)
(/(«), (д(у), ф + у))) = ((f(y), д(х - у)), ф)).

106 §5. Свёртка и преобразование Фурье
Поскольку д € C°°{Rn), то это соотношение означает, что
(/(*), Jg(.y)v(x + y)dy\= J(f(y),g(x-y))v(x)dx
f(y), Jg(x-y)tp(x)dx\ = J(f(y), g(x - y))ip(x)dx,
т. е. надо доказать, что можно внести линейный непрерывный функци-
функционал / под знак интеграла. Это ясно из того, что интегральные суммы
интеграла
g(x-y)<p(x)dx,
или
рассматриваемые как функции от у, сходятся к нему в топологии
С°°(Шу), поскольку производные ду от интегральных сумм тоже будут
интегральными суммами для такого же интеграла, в котором д(х — у)
заменено на д?д(х - у). Предложение 5.2 доказано. ¦
Имеет место следующее свойство непрерывности свёртки.
Предложение 5.3. Пусть fk ->¦ / в Т>'(Шп) и д € ?'(К") или fk -? f
в ?'(МП) иде Т>'(Шп). Тогда fk*g-> f*g в D'(Kn).
Доказательство очевидно из формулы
g,v) = (/*(*), (g(y), Ф + у)))-
Следствие 5.4. С^К") плотно в V'iW1) и в ?'(!").
Доказательство. Если tpk € С?°(!п), ч>к(х) -» 8(х) в ?'(КП) при к -»
-> +оо, и / е D'(Kn), то <рк * f e C°°(Rn) и lim щ * / = 8 * f = /
fc-юо
в Ъ'(Жп). Таким образом, С°°(МП) плотно в D'(Rn). Но очевидно, что
С^°(МП) плотно в С°°(КП). Поэтому С^(Шп) плотно в D'(Kn).
Легко видеть, что если fi 6 ?'(МП) и supp/j С К, где К — компакт
в Ж" (не зависящий от I), то условие ft —> f в D'(Kn) равносильно тому,
что // -> / в ?'(КП). Но тогда из предыдущего рассуждения ясно, что
С§° (W1) плотно в ?' (
Аналогичные рассуждения показывают, что Cq°(u) плотно в ?'(П)
и в Ъ'(п), и, кроме того, С™(Шп) плотно в S'(K"). Полезность этих
фактов состоит в том, что любую формулу для обобщённых функций,
обе части которой непрерывно зависят, например, от / е D'(Mn), до-
достаточно проверять при / € С

5.5. Гладкость решений однородного уравнения 107
Предложение 5.5. Пусть f € ?'(!"), д € D'(Rn). Тогда
supp(/ * g) С supp / + supp g. E.33)
Доказательство. Надо доказать, что если ip € D(]Rn) и supp^? П
П (supp/ + suppg) = 0, то (/ * g, tp) — 0. Но это ясно из форму-
формулы E.18), поскольку в этом случае suppy>(x + у) не пересекается с
supp[/(x)t/(j/)]. ¦
Определение. Носителем сингулярности обобщённой функции / €
6 З)'(П) называется наименьшее замкнутое подмножество F С П, для
которого /|Q, p 6 С°°(П \ F). Носитель сингулярности / обозначается
sing supp /.
Предложение 5.6. Пусть f € ?'(Mn), g € D'(Kn). Гог(?о
sing supp(/ * g) c sing supp / + sing supp g. E.34)
Доказательство. Используя срезающие функции, мы можем для лю-
любого е > 0 разбить обобщённую функцию h б D'(Mn) в сумму Л = he +
+h'e, где supp fte содержится в е-окрестности sing supp h, a h'e 6 C°°(Mn).
Сделаем такое разбиение для / и для д:
f = fe + fe, 9 = 9e+ 9'е-
Тогда
/ * д = Л * & + U * ffe + /е * 9е + f'e * 9'е-
В этой сумме последние три слагаемых принадлежат С°°(МП) в силу
предложения 5.2. Поэтому
singsupp(/ * д) С sing supp(/? * де) С supp(/? * де) С supp fe + suppge.
Но последнее множество содержится в 2е-окрестности множест-
множества sing supp / + sing supp g. Ввиду произвольности е отсюда следует
включение E.34), что и требовалось. ¦
5.5. Связь между свойствами гладкости фундаментального
решения и решений однородного уравнения
Сначала докажем простую, но важную лемму.
Лемма 5.7. Пусть p(D) — линейный дифференциальный оператор с
постоянными коэффициентами, Е(х) — его фундаментальное решение,
и € ?'(МП) и p(D)u = f. Тогда « = ?*/.

108 §5. Свёртка и преобразование Фурье
Доказательство. Имеем:
?*/=?* p(D) и = p(D) ?*u = 6*u = u,
что и требовалось. I
Теорема 5.8. Пусть фундаментальное решение ?(х) оператора
p(D) бесконечно дифференцируемо вне точки 0. Тогда, если обобщён-
обобщённая функция и б 1>'(П) является решением уравнения р(Ъ)и = /, где
/ € С°°(П), mo u € С°°(П).
Доказательство. Отметим, что утверждение теоремы является ло-
локальным, т. е. его достаточно доказывать в окрестности произвольной
точки хо 6 П. Пусть х € 2)(П), х(я) = 1 в окрестности точки хо- Рас-
Рассмотрим обобщённую функцию хи и применим к ней оператор р(ТУ).
Обозначая р(Ъ)(хи) = /i, мы видим, что /i = / в окрестности точки
хо и, в частности, Хо ^ singsupp/i. По лемме 5.7 имеем:
Хи = ? * Д. ' E.35)
Теперь воспользуемся предложением 5.6. Поскольку singsuppfi =
= {0}, то мы получаем
singsupp(xu) С singsupp/i.
Поэтому хо $ singsuppxu и, значит, хо $ singsuppu, т.е. и беско-
бесконечно дифференцируема в окрестности хо, что и требовалось. ¦
Аналогичный факт можно доказать и об аналитичности решений.
Рассмотрим вначале случай однородного уравнения р{Ъ) и = 0.
Теорема 5.0. Пусть фундаментальное решение ?(х) оператора
р{Ъ) вещественно-аполитично вне точки 0. Тогда если и € Ъ'(п)
и р{Ъ)и = 0, то и является вещественно-аналитической функцией
ей.
Доказательство. Мы уже знаем, что и 6 С°°(п). Снова восполь-
воспользуемся тем же рассуждением, что и в доказательстве теоремы 5.8 и
рассмотрим формулу E.35), в которой теперь /i € 2)(П), Д(х) = 0 в
окрестности точки хо. Тогда при х близких к Хо, имеем
u(x)= J ?{x-y)h{y)dy. E.36)

5.5. Гладкость решений однородного уравнения 109
Отметим теперь, что аналитичность ?(х) при х ф 0 равносильна
возможности продолжить ?(х) до голоморфной функции в некоторой
комплексной окрестности множества Ж" \ 0 в С™ (т. е. в такой области
G С С", что G П М" = W1 \ 0. Голоморфность функции tp(z), z € G, где
G — область в С", означает выполнение одного из двух равносильных
условий:
a) <p(z) в окрестности каждой точки zq б G разлагается в сумму
степенного ряда по z — zq, т. е.
где z близко к zo, са € С и а — мультииндеке;
б) <p(z) непрерывна в G и дифференцируема по каждой переменной
Zj (т.е. голоморфна по каждому zj).
Доказательство можно найти на первых страницах любого курса
по функциям нескольких комплексных переменных (см., например, [12,
гл. 1, теор. А2]).
Заметим, что в интеграле E.36) переменная у меняется на компакте
К с К". Если фиксировать уо Ф хо, то при \z — хо| < 6, \w — уо\ < 6, где
z, w 6 С", 6 достаточно мало, можно определить E(z — w), причём это
будет голоморфная функция по z и по ю. Ясно, что тогда интеграл
определён при \z—хо| < S и голоморфен по z, поскольку мы можем диф-
дифференцировать по z под знаком интеграла. Но интеграл в E.36) можно
представить в виде суммы интегралов описанной структуры. Поэтому
можно определить u(z) при z близком к хо и u(z) будет голоморфна по z.
В частности, и(х) разлагается в ряд Тейлора в окрестности точки хо,
т. е. и(х) вещественно-аналитична. ¦
Случай неоднородного уравнения сводится к предыдущему приме-
применением теоремы Коши- Ковалевской, которую мы сейчас сформулиру-
сформулируем в удобной для нас форме.
Теорема 5.10 (теорема Коши-Ковалевской). Рассмотрим уравне-
уравнение т
|| ? aQ(x)D*u(x) = f{x), E.37)
ап<т

110 §5. Свёртка и преобразование Фурье
где аа(х), /(х) вещественно-аналитические функции в окрестности
точки 0 € К". Рассмотрим для этого уравнения задачу Коши, т. е.
задачу с начальными условиями
f^L=0 =*>,»-!(*'), E-38)
где х' б К", <Pj(x') — вещественно-аналитические функции в окрес-
окрестности точки 0 6 К". Задача E.37)-E.38) имеет единственное
решение, вещественно-аналитическое в достаточно малом шаре |х| ^
^ е пространства Шп.
Мы не будем доказывать эту теорему. Укажем лишь, что один из
способов её доказательства состоит в том, что решение и(х) ищется в
виде степенного ряда, коэффициенты которого однозначно определя-
определяются условиями E.37), E.38), а затем проводится оценка коэффициен-
коэффициентов, доказывающая сходимость этого ряда.
Отметим, что если Р = р(х, D) — линейный дифференциальный
оператор порядка ^ т с аналитическими коэффициентами в окрестно-
окрестности точки 0, причём главный символ рт(х, ?) таков, что рт@, ?) ф 0
(т.е. один из старших коэффициентов отличен от 0 в точке 0), то по-
поворотом координатных осей уравнение Ри = / можно свести к ви-
виду E.37). А именно, оси координат надо выбрать так, чтобы плос-
плоскость хп = 0 была нехарактеристической в точке 0. Поэтому уравнение
Ри = / для аналитической в окрестности 0 функции / всегда имеет
решение и(х), аналитическое в окрестности точки 0. В частности, это
всегда верно для операторов с постоянными коэффициентами. Теперь
ясно, что из теоремы 5.9 вытекает
Теорема 5.11. Пусть фундаментальное решение ?(х) оператора
p(D) вещественно-аполитично при х ф 0. Тогда если и 6 2У(П),
p(D) и = / и f вещественно-аполитична в п, то функция и веществен-
вещественно-аполитична в п.
Следствие 5.12. Если и € Т>'(п), Дти = /, где f вещественно-
аполитична в П, то и вещественно-аполитична в О.
Замечание 5.13. Можно доказать, что всякий оператор p(D) имеет
фундаментальное решение. Из теоремы 5.8 ясно, что следующие усло-
условия на оператор p(D) эквивалентны:
о) оператор p(D) имеет такое фундаментальное решение ?(х),
что?(х)еС°°(Мп\0);
б) если и е Ъ'(п) и p(D)u = 0, то и € С°°(п).

5.6. Решения с изолированными особенностями 111
Операторы p(D), обладающие таким свойством, называются гипоэл-
липтическими. Можно доказать, что необходимое и достаточное усло-
условие гипоэллиптичности имеет вид
¦» 0 при |?| ->• оо, j = 1, ..., п. E.39)
Далее, в силу теоремы 5.9 равносильны также условия:
в) оператор p(D) имеет такое фундаментальное решение ?(х),
что ?(х) вещественно-аналитична при х ф 0;
г) если и € Ъ'(п) и p(D)u = 0, то и вещественно-аналитична в П.
Можно доказать, что выполнение условий в) и г) равносильно элли-
эллиптичности оператора p(D) (в смысле § 1.).
Доказательства сформулированных в этом замечании утверждений
можно найти у Шилова [57] или Хёрмандера [55-2].
5.6. Решения с изолированными особенностями. Теорема
об устранимой особенности для гармонических функций
Рассмотрим гипоэллиптический оператор p(D), т. е. оператор p(D),
имеющий фундаментальное решение ?(х), которое при х ф 0 явля-
является обычной бесконечно дифференцируемой функцией. Само фун-
фундаментальное решение ?(х) при х Ф 0 удовлетворяет уравнению
p(D)u = 0, а при х = 0 имеет какую-то особенность. Этим же
свойством обладают производные да?.(х). Оказывается, что если осо-
особенность не выше степенной, то ничего другого по существу не бы-
бывает.
Теорема 5.14. Пусть и(х) е С°°(П\О), где п — область в Шп, 0 € П,
и пусть и(х) в П \ 0 является решением уравнения p{D)u = 0, где
p(D) — гипоэллиптический оператор. Пусть, кроме того, при неко-
некоторых С и N в окрестности нуля выполнена оценка
|w(x)| ^ C\x\~N. E.40)
Тогда и(х) можно в П \ 0 представить в виде
и(х) = J] сада?(х) + ио(х), E.41)
гдеса € С, ?(х) — фундаментальное решение дляр{П), щ{х) б С°°(П),
причём p(D)uo = 0.

112 §5. Свёртка и преобразование Фурье
Для доказательства нужна следующая
Лемма 5.15. Если функция и(х) 6 С(п \ 0) удовлетворяет условию
E.40) в окрестности точки 0, то существует такая обобщённая фун-
функция и € 1>'(п), что й\а. 0 = и.
Доказательство. Хотелось бы придать такой смысл интегралу
/ u(x)tp(x)dx, ip(x) 6 ©(П), чтобы на функциях ip 6 2)(П \ 0) он при-
принимал естественное значение (для таких ip это обычный интеграл от
финитной непрерывной функции). Для этого вычтем из функции (р её
тейлоровский многочлен в точке 0 и заметим, что при |х| —> 0
\aKN-l
Пусть х € ©(П), х(х) = 1 в окрестности точки 0. Положим
где интеграл уже определён, поскольку подынтегральная функция огра-
ограничена. Ясно, что если <р 6 1)(П\0), то (и, <р) = J u(x) tp(x) dx, посмишку
тогда tp(a)(Q) = 0 при любом а. Легко видеть также, что й 6 Ф'(П),
что и доказывает лемму. ¦
Доказательство теоремы 5.14. Ясно, что p(D) й будет обобщённой
функцией с носителем в точке 0, т. е.
p{D)u(x) = ? сада6(х).
Но тогда если положить
«о(х) = й(х) -
то мы имеем, очевидно, «о € D'(fi) и p(D)uo = 0, откуда w0 € С°°(П).
Теорема доказана. ¦
В частности, для оператора Лапласа при п ^ 3 решение уравнения
Аи = 0 (гармоническая функция), заданная в П \ 0 и удовлетворяю-
удовлетворяющая условию E.40) имеет вид суммы однородных функций порядков

5.7. Преобразование Фурье обобщённых функций ИЗ
2 — п, 2-п — 1, ..., 2-п-ри гармонической функции в п. При п = 2
такое решение является суммой coln|x|, однородных функций поряд-
порядков — 1, —2, —3, ..., — р и гармонической функции в П. В частности,
отсюда вытекает следующая теорема об устранимой особенности для
гармонических функций:
Теорема 5.16 (теорема об устранимой особенности). Пусть функ-
функция и(х) гармонична в п \ 0 и в окрестности точки 0 удовлетворяет
условию:
при п ^ 3 : lim ПхГ~2и(хI = О,
И-ю1
при п = 2 : lim [in |x| • u(x)] = 0.
Тогда и(х) гармонична в п.
5.7. Преобразование Фурье обобщённых функций
умеренного роста
Обозначим через F оператор преобразования Фурье, переводящий
функцию /(х) в
(Ff)(O = № = I f(x)e-ix<dx. E.42)
Из курса анализа известно, что преобразование Фурье задаёт изомор-
изоморфизм
причём это топологический изоморфизм (непрерывный линейный опе-
оператор, имеющий непрерывный обратный), а обратный оператор зада-
задаётся формулой
1E.43)
Ясно, что если / 6 S(Kn), то
(Ff, V) = </, FV), ч> € 8(КП). E-44)
Иными словами, *F = F. Поэтому можно, пользуясь формулой E.44)
продолжить F до непрерывного отображения F: S'(Kn) -» S'(Kn). Яс-
Ясно, что преобразование Фурье F задаёт топологический изоморфизм

114§5. Свёртка и преобразование Фурье
S'(Mn) на S'(Mn), причём обратный оператор F'1 также имеет вид
t(F~1), где F~l задано формулой E.43), т.е.
(F-lf,v) = (f,F-1tp), /€S'(M"), y>eS(ir). E.45)
Таким образом, мы умеем, например, определять преобразование
Фурье любой функции /(х), для которой выполнена оценка
При этом преобразование Фурье будет, вообще говоря, не обычной,
а обобщённой функцией из S'(Mn).
Отметим, что поскольку S(Mn) плотно в S'(Mn), то F на S^M") пред-
представляет собой продолжение по непрерывности преобразования Фурье
заданного на §(МП). Это замечание позволяет переносить ряд фактов
по непрерывности с S(Mn) на S'(Mn), не проверяя их специально. На-
Например, можно не проверять формулу E.45), так как она верна при
/ € S(Mn), if € S(M") и обе её части непрерывны по / на S^K").
Как и для / 6 8(К"), мы будем обозначать преобразование Фурье
обобщённой функции / € §'(ЕП) также через /(?).
Найдем преобразование Фурье от производной Daf. Если / 6 S(Mn),
то интегрированием по частям получаем:
= fe~ix<Daf(x)dx = f [(-Г>)ае-"«] f(x)dx =
Таким образом,
5^7@ =Г/Ю- E-46)
Отсюда
P(D)№=P@№ E-47)
для любого многочлена р(?). Таким образом преобразование Фурье пе-
переводит оператор p(D) в оператор умножения на символ р(?).
Заметим теперь, что по непрерывности формула E.47) верна и при
Пример 5.7. Вычислим преобразование Фурье 5-функции. Имеем
при ?>
(8@, ?>(?)> = (б(х), I№)*-**<*) = fvitW = A,

5.7. Преобразование Фурьв обобщённых функций 115
Отсюда
6@ = 1- E-48)
Вычислим также преобразование Фурье от единицы:
= Bтг)>@)
благодаря формуле обращения E.43). Таким образом,
E.49)
Пример 5.8. Вычислим преобразование Фурье функции Хевисайда
в(х). Удобнее всего представить в(х) в виде предела убывающих функ-
функций, для которых преобразование Фурье можно брать в обычном смы-
смысле. Это можно сделать, например, так: ясно, что в S'(Mn)
в(х) = ton 6(х)е~ех.
Имеем:
оо
/ в(х)е'ех e~ix< dx= f e-x(*+e) dx = -^— = - —*—.
о
Переходя к пределу при е —> +0, мы получаем
ЙО = -^Гда- E-50)
Заметим, что -т-0{х) = 8{х) или iDx{0(x)) = 8(х). Это согласуется с
формулами E.46) и E.48) ввиду очевидного соотношения г? I — -—— ) =
= 1. Мы могли бы попытаться использовать это соображение для на-
нахождения в(?). А именно, из того, что в'(х) — 8(х), вытекает, что
г? • ^@ = 1- Однако, обобщённая функция д(?) 6 S^M1), удовлетворя-
удовлетворяющая условию ?д(?) = 1, определена неоднозначно, хотя ясно, что она
должна быть равна -г при ? ф 0. Легко видеть, что весь произвол сво-
сводится к добавлению С5(?), где С — произвольная постоянная. Можно
было бы определить её, пользуясь определением преобразования Фурье
обобщённой функции и применив его к какой-нибудь конкретной фун-
функции v?@ G S(M1). Проще, однако, сразу воспользоваться изложенным
выше способом. >

116 §5. Свёртка и преобразование Фурье
Предложение 5.17. Пусть f € ?'(К"). Тогда /(?) ? С°°(КП) и
/(?) = </,е-«-*). E.51)
Существует такая постоянная N > О, что
Ca(l + \?\)N E.52)
для любого мультииндекса а.
Доказательство. Выберем число N и компакт К С К" так, что
E-53)
Положим #(?) = (/> е-**'*). Поскольку е~**х является бесконечно диф-
дифференцируемой функцией от ? со значениями в ?(К"), то ясно, что
g(€) e С°°(Ш%), причём
откуда следует, что для функции д(?) верна оценка E.52). Остаётся
проверить, что д(?) = /(?)> т.е. что
Но это следует из того, что интеграл J tp(?) e~%^'x d? сходится в то-
топологии C°°(R"), т.е. равномерно по х ? К (где К — компакт в К")
сходится сам этот интеграл и интегралы, полученные из него взятием
производных любого порядка.. ¦
Замечание. Условие / € С0О(Кп) с оценкой E.52) необходимы, но
не достаточны для того, чтобы обобщённая функция / имела компакт-
компактный носитель. Ясно, например, что если / ? ?'(КП), то /(?) можно
по формуле E.51) определить при ? G С и мы получим целую (т.е.
голоморфную всюду в С) функцию, удовлетворяющую условию
Оказывается, это условие на / является уже необходимым и доста-
достаточным для включения / ? ?'(К"). Этот факт является одним из вари-
вариантов теоремы Винера -Пэли и его доказательство можно, например,
найти у Хёрмандера [55-2, с. 34].

5.8. Нахождение фундаментальных решений 117
Предложение 5.18. Пусть f € ?'(КП), д € S'(Kn). Тогда
Л = №№¦ E-54)
Доказательство. Заметим, что правая часть равенства E.54) име-
имеет смысл благодаря предложению 5.17. Легко проверяется также, что
/ *g € S'(Kn), так что и левая часть E.54) имеет смысл. В самом деле,
если (р € S(Kn), то (f(y), <р(х + у)) € S(K?) ввиду оценки типа E.53).
Поэтому для <р € S(Kn) имеет смысл (f*g, <р) = (д(х), (f(y), (p(x + y)))
и при этом получается, конечно, что / * д € S'(K").
Проверим теперь E.54). Имеем при <р € §(№"):
что и требовалось. ¦
5.8. Схема применения преобразования Фурье
для нахождения фундаментальных решении
Пусть p(D) — дифференциальный оператор с постоянными коэф-
коэффициентами, ?(х) — его фундаментальное решение, причём ?(х) €
S'(K"). Преобразование Фурье ?(?) € S'(K") удовлетворяет уравне-
уравнению
р@?@ = 1. E-55)
Отсюда во всяком случае ясно, что ?(?) = 1/р(?) на открытом мно-
множестве {? : р(?) ф 0}. Если р(^) ф 0 всюду на IF1, то нужно просто
взять ?(?) = -@ й вычислить обратное преобразование Фурье. В
более сложном случае, когда р(?) имеет нули, нужно регуляризовать
-(?) в окрестности нулей так, чтобы получилась обобщённая функция
?(?), равная -(?) при р(?) / Ои удовлетворяющая уравнению E.55).

118 §5. Свёртка и преобразование Фурье
Например, при п = 1 в p(f) = f мы могли взять ?(?) = v. р. 1/?, или
?(?) = или вообще ?(f) = v. p. - + С6(?), где постоянная С про-
произвольна. Вообще нужно придать каким-то образом смысл интегралам
вида
К"
так чтобы получилась обобщённая функция с нужными свойствами.
Часто это можно сделать, например, с помощью выхода в комплексную
область (конструкция обобщённых функций — пример такого
выхода). Бывает, что -(?) локально суммируема. Тогда опять естест-
естественно считать ?(?) = -(?)• Например, для р(Т>) = Д, т.е. p(f) = f2 при
п ^ 3 мы можем положить ?(f) = -j.
Поскольку, как легко проверить, преобразование Фурье и обрат-
обратное преобразование Фурье сохраняет сферическую симметричность и
переводят однородную обобщённую функцию порядка а в однород-
однородную обобщённую функцию порядка — а — п, то ясно, что F~l ( —^ ) =
= С\х\2~п. Таким образом, здесь мы получаем уже вычисленное фунда-
фундаментальное решение ?„(ж). При п = 2 функция —j уже не интегриру-
интегрируема в окрестности нуля. Здесь необходима регуляризация. Например,
можно положить
R2
гДе х@ ? Co°(®2)i X(f) = 1 в окрестности точки 0. При этом можно
проверить, что оказывается ?2B;) = т—ln|z| + С, где С зависит от
выбора х@-
5.9. Теорема Лвувилля
Теорема 5.19. Пусть оператор p(D) имеет символ р(?), обращаю-
обращающийся в 0 {при ? ? К") лишь в точке ? = 0. Тогда если и ? S'(K"),
p(D)u = 0, то и{х) — многочлен по переменному х. В частности, ес-
если p(D)u = 0, где и(х) — ограниченная измеримая функция на Е", то
и = const.

5.9. Теорема Лиувилля 119
Замечание, а) Условие и ? §'(К") выполнено, например, если и ?
? С(Жп) и \и(х)\ ^ СA + \x\)N при каких-нибудь С и N.
б) Если р(?о) = 0 при некотором fo ф 0, то уравнение p(D)u = 0 име-
имеет ограниченное решение ег^°'х, не являющееся постоянным. Поэтому
условие р(?) ф О при f ф О необходимо для справедливости теоремы.
в) Если р(?) ^ 0 при всех f G Kn, то из условия p(D)u = 0 при
и ? §'(К") вытекает, как будет видно из доказательства теоремы, что
и = 0.
Доказательство теоремы 5.19. Применяя преобразование Фурье,
получаем:
р(Ой(О = 0. E.56)
Поскольку р(?) ф 0 при f ф 0, то ясно, что й(?) сосредоточена в точке 0.
Подробнее: если (р(?) ? Ф(ГС" \0), то ^^ ? D(K" \0), а отсюда следует,
что
/ mtt\ \ I ,ntt\ \
= 0.
Итак, suppu(f) С {0}. Поэтому
п(х)=
Но отсюда
что и требовалось. ¦
Пример. Если и(х) — гармоническая функция всюду на 1R™ и
|u(z)| ^ М, то и — const (это утверждение часто называют теоре-
теоремой Лиувилля для гармонических функций). Если и(х) гармонична на
К" и \и(х)\ ^ СA + |ж|) , то и(х) — многочлен. Те же утверждения
верны для решений уравнения &ти = 0.
Для гармонических функции можно доказать более точное утверж-
утверждение: если и гармонична и ограничена с одной стороны, т. е. и(х) ^
^ —С, 1бМп,то« = const (см., например, Петровский [43]). Это утве-
утверждение неверно уже для уравнения А2и = 0, которому удовлетворяет
неотрицательный многочлен и(х) = \х\2.

120 §5. Свёртка и преобразование Фурье
Ч Приведем один пример применения теоремы Лиувилля. Пусть при
п ^ 3 нам дана функция и(х), определенная и гармоническая во внешно-
внешности некоторого шара, т. е. при |ж| > R, причём и(х) -»• 0 при \х\ -»• +оо.
Мы хотим описать поведение и(ж) при )х\ -* Н-оо более детально. Для
этого можно поступить, например, следующим образом. Выберем фун-
функцию х(я) ? С°°(ЕП) так, что х(ж) = 0 при \х\ ^ R + 1, х(ж) = 1
при \х\ ^ R + 2. Теперь рассмотрим функцию й(х) ? С°°(ЕП), равную
Х(х)и(х) при |ж| > R и0 при |ж| < Д. Ясно, что Дй(ж) = f(x) e С?°(КП).
Проверим, что
U = ?„•/, E.57)
где ?„ — стандартное фундаментальное решение оператора Лапласа.
Ясно, что (?„ * /)(ж) -+ 0 при |ж| -> оо, а по предположению то же
самое верно для и(х) (и, значит, для й(х), поскольку й(х) = и(х) при
\х\ > R + 2). Кроме того,
так что Д(й-?п*/) = 0 всюду на К". Но по теореме Лиувилля отсюда
получается, что й — ?п * / = 0, что и требовалось.
Формула E.57) может быть записана в виде
и(х)= J en(x-y)f(y)dy, |а|>Д + 2. E.58)
Из явного вида ?п вытекает теперь, например, что
\х\
Приведённое рассуждение применимо и в более общих ситуациях.
Для гармонических функций же более детальную информацию о пове-
поведении и(х) при |ж| —? оо можно получить с помощью так называемо-
называемого преобразования Кельвина. Это преобразование переводит функцию
и(х) в функцию v(x) = |ж|2~пи ( pjj ) и сохраняет гармоничность фун-
кции (при п = 2 это замена переменной, индуцированная инверсией).
Если и(х) определена при больших \х\, то v(x) определена в проколотой
окрестности точки 0, т.е. вП\ 0, где П — окрестность точки 0. Если-
и(х) -? 0 при |ж| -? +оо, то мы видим, что v(x) • \х\п~2 -> 0 при |а:| -» 0,
а тогда по теореме об устранимой особенности v(x) гармонична всюду
в п. Заметим, что преобразование Кельвина обратно самому себе (или,

ЗадачиШ
как говорят, является инволюцией), т.е. наоборот можно выразить и
через v той же формулой и(у) = \y\2~nv ( -^ ). Разлагая v(x) в ряд
\\у\ J
Тейлора при х = О, мы видим, что и(у) в окрестности бесконечности
имеет сходящееся разложение в ряд вида
В частности, ясно, что при \у\ —> +оо
Задачи
5-1. Найти преобразования Фурье следующих обобщённых функ-
функций:
б) «(г-го), г = |*|, же К3;
sin(ro|x|) ^_
в) |jb| ,zeir,
г) ^(ж), Jfc e z+.
5-2. Найти обратные преобразования Фурье следующих обобщён-
обобщённых функций:
5-3. Пользуясь результатом задачи 5-26) найти фундаментальное ре-
решение для оператора — Д + к2.
5-4. Будем говорить, что свёртка / *д двух обобщённых функций /,
д ? D'(K") определена, если для любой последовательности \к ? "D(W),
Хк(х) = 1 при \х\ ^ к, к = 1, 2, ..., предел f * д = Urn / * (x*fl)
А—^оо
существует в D'(Kn) и не зависит от выбора последовательности Хк-
Доказать, что если f,g? Ф'(К) и носители fag лежат на полуоси
[О, +оо), то свертка f*g определена, причём операции сложения и свёрт-
свёртки превращают множество D'(R+) обобщённых функций с носителем
на [0, +оо) в ассоциативное коммутативное кольцо с единицей.

122 §5. Свёртка и преобразование Фурье
5-5. Доказать, что S^(x) * f(x) = f<-k)(x) при / е ©'(К1).
5-6. Определим для / ? L*0C(R+) операцию интегрирования форму-
формулой If = f* /(?) d?. Доказать, что If = / * в и операция I по непрерыв-
непрерывности продолжается на D'(E+).
5-7. Пользуясь ассоциативностью свёртки, доказать, что
, го = 1,2, ...,
при /6D'(
5-8. Положим х^ = $(х)хх, Re А > -1, так что Xх. ? Ь1ОС(Щ) и, в
частности, атА ? D'(E+).
Определим дробный интеграл Iх формулой
¦ f, ReA>0.
Доказать, что /А/" = /А+", Re А > 0, Re/л > 0.
5-9. Определим при всех А ? С дробный интеграл JA формулой
где к ? Z+ таково, что Re А + к > 0. Доказать, что это определение
корректно (т. е. результат не зависит от выбора к ? Z+). Доказать,
что JAP = 1Х+» при любых А, ц. Доказать, что I°f_=_f и /"*/ = /<*)
при к ? Z+ для любой обобщённой функции / ? D'(E+).

123
§6. Уравнение теплопроводности
6.1. Физический смысл уравнения теплопроводности
Уравнение теплопроводности имеет вид
^ F.1)
где и = u(t, х), t ? М, х ? Кп, Д — оператор Лапласа по х, а > 0.
Это уравнение является примером уравнения параболического типа.
Этому уравнению подчиняется температура однородной и изотропной
среды (в этом случае u(t, х) — температура среды в точке х в момент
времени t). Точно также этому уравнению удовлетворяет плотность
диффундирующего вещества, например, плотность броуновских частиц
в случае, когда частиц достаточно много, так что мы можем говорить
об их плотности и об изменении этой плотности как о непрерывном
процессе. Поэтому уравнение F.1) часто называют также уравнением
диффузии.
Вывод уравнения теплопроводности для температуры u(t, x) осно-
основан на следующих естественных физических гипотезах:
1. Количество тепла Q, необходимое для нагрева куска рассматри-
рассматриваемого вещества массы т от температуры щ до температуры
иг, пропорционально т и v.2 — щ:
Q = cm(u2 -щ)
(коэффициент с называется удельной теплоемкостью).
2. Количество тепла AQ, передающееся через площадку площади S
эа время Д? пропорционально 5, Д? и скорости ^~ роста тем-
оп
пературы и по направлению нормали п к этой площадке (закон
Фурье):
kSpAt,
On
где коэффициент к > 0 называется коэффициентом теплопро-
теплопроводности и, как и удельная теплоёмкость, характеризует свой-
свойства среды; знак минус означает, что тепло передаётся по
направлению, противоположному направлению роста темпера-
температуры.
Следует иметь в виду, что обе гипотезы являются лишь прибли-
приближениями, как и вытекающее из них уравнение F.1). Как мы увидим

124 §6. Уравнение теплопроводности
ниже, из уравнения F.1) следует, например, что скорость распростра-
распространения тепла бесконечна, что физически абсурдно. Однако в большин-
большинстве технических задач сделанные предположения и уравнение F.1) в
достаточной степени оправданы. Более точная модель теплопередачи
должна была бы учитывать молекулярную структуру вещества, что
приводит к задачам статистической физики, неизмеримо более слож-
сложным, чем решение модельного уравнения F.1).
Отметим, впрочем, что независимо от физического смысла уравне-
уравнение F.1) и аналогичные уравнения играют важную роль в математике.
Они используются, например, для изучения эллиптических уравнений.
Приведём вывод уравнения теплопроводности (при п = 3). Исполь-
Используем закон сохранения энергии (в данном случае тепла) в некотором
объёме U С К3. Будем считать, что п имеет гладкую границу дп.
Скорость изменения тепловой энергии вещества в объёме п равна, оче-
очевидно,
dt dt J
c/mdV,
где p — объёмная плотность вещества, dV — элемент объёма в К3.
Считая с = const, р — const, мы получим
dQ f ди „.
-тг = ср -rrdV.
a
Пусть теперь Р — скорость истечения тепла через границу дп. Яс-
Ясно, что
да
где п —j внешняя нормаль к дп, dS — элемент площади дп. В правой
части здесь написан поток вектора — fcgradu через границу дп. По
формуле Гаусса- Остроградского имеем:
Р = -
а
или при к = const
Р = -к I AudV.
а

6.2. Простейшие краевые задачи 125
Закон сохранения тепловой энергии при отсутствии источников те-
тепла означает, что
dU _
А" = ~R
Подставляя найденные выше выражения для -р и Р, получаем
э-^dV = / kAudV,
eft J
а п
что ввиду произвольности П даёт уравнение F.1), в котором а2 = —.
6.2. Простейшие краевые задачи для уравнения
теплопроводности и уравнения Лапласа
Физическая интерпретация уравнения теплопроводности подска-
подсказывает естественные постановки краевых задач для этого уравнения.
Простейшей является задача Коши:
I
Физический смысл её состоит в определении температуры среды во
все моменты времени t > О, если известно распределение температур
при t = 0.
Часто нам бывает незачем следить за температурой всего простран-
пространства, а важно лишь то, что происходит в области п С К". Тогда на
границе дп нужно задать дополнительные условия: например, темпе-
температуру или поток тепла. Так мы приходим к двум краевым задачам, а
именно:
Первая краевая задача:
Г"Аи' t>0,x€U;
u\t=0 = 4>(x), хеп; F-3)
и\ю = a(t, х), х ? дп, t > 0.
Вторая краевая задача получается заменой последнего из условий
F.3) на условие
ЦЦя, = /*(«,«), хедп, «>о, F.4)
где п означает внешнюю нормаль к границе дп.

126 §6. Уравнение теплопроводности
При стационарных (не зависящих от времени) граничных условиях
часто интересно бывает узнать, что происходит с температурой при
t —> +00. Предположим, что при t —> +оо существует предел v(x) ре-
решения u(t, x) уравнения теплопроводности (или, как говорят, происхо-
происходит «стабилизация» решения u(t, x)). Тогда естественно ожидать, что
v{x) удовлетворяет уравнению Лапласа Ди(а;) = 0, т. е. является гармо-
гармонической функцией. Этому утверждению очень легко придать точный
смысл, но мы не будем сейчас этого делать, чтобы не отвлекаться. Пер-
Первая и вторая краевая задачи для уравнения теплопроводности в пределе
дадут следующие задачи для уравнения Лапласа:
Задача Дирихле:
х) = О, х € п;
F.5)
vldQ=a(x), х
Задача Неймана:
{Av(x) = О, х Ей;
?!„-«.). *€ая. <66)
В этой модели задача Дирихле имеет следующий смысл: надо найти
установившуюся температуру внутри тела U, если на границе поддер-
поддерживается температура а(х). Смысл задачи Неймана: найти установив-
установившуюся температуру внутри тела ?1, если на границе задан поток тепла
/3(х).
Очевидно, что решение задачи Неймана не определено однозначно:
к нему всегда можно добавить постоянную. Далее, понятно, что ста-
стационарное распределение тепла может существовать в объёме п лишь
в том случае, если суммарный поток тепла через границу равна нулю,
т.е.
Jl3(x)dS = 0 F.7)
an
(это же вытекает из формулы Гаусса- Остроградского, согласно кото-
которой
an n
так что если v — решение задачи F.6), то выполнено условие F.7)).

6.3. Пример обоснования гармоничности предельной функции 127
В дальнейшем мы увидим, что все перечисленные задачи для урав-
уравнений теплопроводности и Лапласа разумны в том смысле, что они
однозначно разрешимы (с указанной оговоркой относительно задачи
Неймана) в естественных классах функций. Эти задачи окажутся и
корректны в надлежащем смысле, т. е. при правильном выборе про-
пространств решения существуют, единственны и непрерывно зависят от
данных задачи.
Отметим, что задачи Дирихле и Неймана имеют много физиче-
физических интерпретаций, отличных от приведённой выше. Например, малое
вертикальное отклонение мембраны u(t, Х\, Х2) и малое перемещение
u(t, Xi, X2, Х3) упругого твердого тела удовлетворяют волновому урав-
уравнению
д2и 2.
—~- = а Д«-
dt2
В стационарном случае мы опять приходим к уравнению Лапласа,
и тогда задача Дирихле, например, в случае мембраны означает зада-
задачу о нахождении формы мембраны по форме её границы. Граничное
условие задачи Неймана интерпретируется как задание вдоль границы
вертикальной составляющей силы, действующей на мембрану.
6.3. Пример обоснования гармоничности предельной функции
Возможно много вариантов такого обоснования. Мы приведём один
из них.
Предложение 6.1. Пусть решение u(t, x) уравнения теплопроводно-
теплопроводности определено и ограничено при t > 0, х 6 п (п — область в Ж").
Предположим, что при почти всех х € П существует предел
v(x) = lim u(t, x). F.8)
Тогда v(x) — гармоническая функция в п.
Замечание 6.2. Решение u(t, x) здесь можно о priori считать огра-
ограниченной измеримой функцией, понимая уравнение F.1) в смысле обоб-
обобщенных функций, однако мы увидим ниже, что оператор теплопровод-
теплопроводности имеет фундаментальное решение, бесконечно дифференцируемое
при \t\ + \х\ ф 0 и, следовательно, на самом деле u(t, х) € С°°(М+ х ?1),
где Ж+ ={t:t> 0}.
Более того, в предположениях предложения 6.1 предел в F.8) на са-
самом деле равномерен вместе со всеми производными на любом компак-
компакте К С п, т.е. является пределом в топологии С°°(П).

128 §6. Уравнение теплопроводности
Доказательство предложения 6.1. Ясно, что
lim u(t + т, х) = v(x)
при всех t > 0 и почти всех х € п. Если tp(t, х) ? 2)(Ж+ х п), то из те-
теоремы Лебега о предельном переходе под знаком интеграла вытекает,
lim / u(t + r, x)<p(t, x)dtdx - I v(x)<p(t, x)dtdx, F.9)
т-*+оо J J
или, иными словами,
lim u(t + т,х)= v(x) в
Tt + OO
(здесь v(x)) надо понимать как l<g>v, т. е. в смысле правой части преды-
предыдущей формулы). Применим к обеим частям оператор теплопроводно-
сти — — о2Дж и поменяем местами этот оператор и предельный переход
at
(зто можно делать в обобщённых функциях — например, в данном слу-
случае дело просто сводится к замене функции tp(t, x) в F.9) на другую
— •?- — о2Дж ) (fit, x) € Т>(Ш+ x п)). Тогда мы получим, что
от /
д- — о2Ах )v(x) = 0, т. е. v(x) является решением (в обобщённом смы-
Ctt /
еле) уравнения &v(x) = 0. Но, как мы знаем, тогда v(x) — настоящая
гармоническая функция, что и требовалось. ¦
6.4. Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности.
Интеграл Пуассона
Мы исследуем сейчас задачу Коши F.2). Будем вначале считать,
что <р(х) ? §(ЖП) и u(t, х) ? §(Ж?) при каждом t > 0, причем u(t, x)
является непрерывной функцией от t при t ^ 0 со значениями в S(R") и,
более того, бесконечно дифференцируемой функцией от t при t > 0 зна-
значениями в §(Ж"). Как мы увидим ниже, решение u(t, x) с описанными
свойствами существует (и в очень широком классе решений единствен-
единственно). Пока же заметим, что мы можем сделать преобразование Фурье по
х, а поскольку оператор преобразования Фурье осуществляет тополо-
топологический изоморфизм F: §(Ж") -> §(Ж?), то его можно менять местами
с производной —. Итак, пусть
от
u(t, О = / e~ix*u(t, x)dx

6.4. Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности 129
(здесь и в дальнейшем при отсутствии указания области интегрирова-
интегрирования подразумевается интеграл по Ж").
Стандартное интегрирование по частям даёт:
dx
=[m+°!|{|2] Iе'" '"<'•x)dx =
Таким образом, уравнение F.1) равносильно уравнению
Начальное же условие, очевидно, приобретает вид
u\t=0 = Ш F.И)
где ф - F<p.
Уравнение F.10) представляет собой обыкновенное дифференциаль-
дифференциальное уравнение по t с параметром ?. Оно легко решается, и мы получим
с учётом начального условия F.11):
u(t,0 = e-ta2M2m- F-12)
Взглянув на эту формулу, мы видим, что u(t, ?) действительно явля-
является непрерывной при t ^ 0 и бесконечно дифференцируемой при t > 0
функцией от t со значениями в §(Ж?). Поэтому совершая обратное пре-
преобразование Фурье, мы получим решение задачи Коши u(t, x), удовле-
удовлетворяющее описанным выше условиям.
Напишем более явную формулу. Имеем:
= Bтг)-п
Меняя порядок интегрирования (это возможно по теореме Фубини), мы
получаем:
u(t,x) = Jr(t,x-y)v(y)dy, F.13)
5 Шубин М.А.

130 §6. Уравнение теплопроводности
где
Г(*, х) = Bтг)-п Ге^«-*«21«12<ц F.14)
(по существу мы повторили выкладку, доказывающую, что преобразо-
преобразование Фурье переводит умножение в свёртку). Вычислим явно Г(?, х),
взяв интеграл в F.14). Для этого нужно выделить полный квадрат в
показателе экспоненты:
%х ¦ ? -
2taz) \ 2ta
тг ,. ix
Делая замену переменных ? j = Я1 т-е- сдвигая контур инте-
интегрирования по каждому ?j, мы получим:
|,|» Г 2 2
F(i, х) = Bтг)~пе ««2 I е~ а '*" с?7/ =
|,|2 Г 2
У
(мы сделали ещё замену переменных ? = ay/trf). Используя формулу
получим окончательно:
V(^) F.15)
4ta
Решение задачи Коши записывается в виде
называемом интегралом Пуассона.
Проанализируем эту формулу.
Заметим прежде всего, что она имеет смысл для значительно более
широкого класса начальных функций <р(х), чем класс S(En), с которого
мы начинали. Ясно, например, что если <р(х) непрерывна и
\ Ь>0, F.17)

6.4. Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности 131
то интеграл в F.16) сходится при —к~ > b, т.е. при 0 < ? < —я~. При
4а t 4а Ь
этом сам интеграл и интегралы, полученные из него взятием любых
производных по t и х, сходятся равномерно для t Е [А, В], |х| ^ R, где
О < А < В < —я~, Д > 0. Поэтому можно дифференцировать сколь-
4о о
ко угодно раз под знаком интеграла. Полученная функция u(t, x) бу-
будет при указанных значениях t решением уравнения теплопроводности
F.1). В самом деле, достаточно показать, что функция Г(?, х) является
решением уравнения F.1) при t > 0. Это можно проверить непосред-
непосредственно, а можно вместо непосредственной проверки заметить, что мы
уже знаем, что
0 = (| - а2Ах) «(*, х) = у A - а2Ах) T(t, x - yL>{y)dy
для любой функции ц> € S(En), откуда следует, что
Легко проверяется также, что в этом случае выполнено начальное
условие u\t_0 = <р(х) в смысле, что при каждом х € Еп
ljmQu(t, х) = ф). F.18)
Мы сделаем это даже двумя способами.
1-й способ. Заметим, что Г(?, х) = ?""/(-), где е — 2ауД, f(x) =
= тг~п/2ехр(-|х|2), так что /(х) ^ 0, /f(x)dx = 1 и е -» +0 при
t -> +0. Мы имеем дело с классическим й-образным семейством поло-
положительных функций (в частности, Г(?, х) -> 6(х) в D'(En) при t -> +0).
Теперь проверка F.18) проводится по стандартной схеме доказатель-
доказательства й-образности (см. §4, пример 4.5). Соответствующие подробно-
подробности, которые мы опускаем, читателю полезно восстановить в качестве
упражнения.
2-й способ. Пусть мы хотим проверить соотношение F.18) при х =
= хо- Разложим функцию tp(x) в сумму
?>(х) = <ро(х) + <pi(x),
где ipo (х) непрерывна, совпадает с <р(х) при |х — хо| ^ 1 и равна 0 при
\х — хо\ ^2. Соответственно, щ (х) непрерывна, равна 0 при |х —хо| ^ 1

132 §6. Уравнение теплопроводности
и удовлетворяет оценке F.17). Интеграл Пуассона F.16) для <р распа-
распадается в сумму таких интегралов для <ро и для <р\ (мы обозначим их
uo(t, х) и ui(t, х)). Соотношение F.18) достаточно проверить отдельно
для uo(t, х) и для ui(t, х).
Займёмся вначале функцией ui(t, х). Имеем:
, х0) = / T(i, xo - y)<Pi(y)dy.
Ясно, что подынтегральная функция стремится к 0 при t -+ +0 (по-
(поскольку lim T(t, x) = 0 при х ф 0), причём она имеет при 0 < t ^ В <
< —я" интегрируемую мажоранту (вида ехр(—е|у|2)), не зависящую от
4а b
t. По теореме Лебега lim u\(t, x0) = 0.
Остаётся рассмотреть случай финитной начальной функции. Здесь
рассуждения из примера 4.5, §4 проходят без всяких изменений. Од-
Однако есть и другой способ, основанный на аппроксимации гладкими
функциями и последующем предельном переходе. Здесь полезно внача-
вначале заметить, что имеет место
Лемма 6.3 (принцип максимума). Пусть функция u(t, x) задаётся
интегралом Пуассона F.16). Тогда
inf <p(x) ^ u(t, x) ^ sup <p(x). F.19)
eR" R
При этом если одно из неравенств здесь обращается в равенство при
каких-нибудь t > 0 и х ? К", то и = const.
Доказательство. Имеем:
u(t, х)= Г(г, х - y)<p(y)dy ^ sup <р(х) • / ГЦ, x-y)dy= sup ip(x).
J a€R" J a€Rn
Аналогично доказывается второе неравенство в F.19). Поскольку
T(t, х) > 0 при всех t > 0, х € Rn, то равенство возможно лишь ес-
если <р(х) = const почти всюду, а тогда и = const, что и требовалось. ¦
Закончим доказательство соотношения F.18). Пусть <р — финитная
непрерывная функция, щ, к = 1, 2, ..., — такая последовательность
функций из Со°(Жп), что sup \<р(х) - <Рк(х)\ -> 0 при А: -> +оо (по-
zeR»
следовательность <pk можно построить, например, с помощью операции

6.4. Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности 133
усреднения — см. § 4, п. 4.2. Пусть
«*(*, х) = I T(t, х - y)(fk(y)dy.
Поскольку <рк б §(ЖП), то lim Uk(t, x) = <рк(х) в топологии §(ЖП) (и, в
частности, равномерно на Ж"). Но по лемме 6.3
sup \uk(t, x) - u(t, x)\ < sup \<рк(х) - <р(х)\,
t>0 a€R»
t>0
откуда ясно, что lim u(t, x) = <р(х). В самом деле, если дано е > О, то
мы можем выбрать такое А:, что sup |у*(я) — <р(х)\ < |, а затем такое
to > 0, что sup \uk(t, x) — <pt(t, x)\ < | при 0 < t < t0. Отсюда ясно,
з
что
|u(t, x)-<p(x)\ ^ \u(t, x)-uk(t, x)\ + \uk(t, x)-i
< 2 sup \<pk(x) - v(x)\ + |ufe(t, x) - <pk(x)\ <e при 0 < t < t0,
что и требовалось.
Отметим ещё, что интеграл Пуассона часто имеет смысл и для обоб-
обобщённых функций (р. Например, если <р ? §'(ЖП), то он имеет следующий
естественный смысл:
u(t,x) = (<p(y),T(t,x-y)),
поскольку T(t, х — у) 6 §(Ку) при любых t > 0, х 6 Ж". Здесь также
легко проверяется, что u{t, х) —- решение уравнения F.1). Соотношение
lim u(t, •) = <?>(•) верно теперь в смысле слабой сходимости в §'A8"). В
самом деле, легко проверить, что если ф(х) G S(Kn), то
J
u(t, х)ф(х)Aх = J
( У Г(*. х -
где v(t, х) — интеграл Пуассона, соответствующий начальной функ-
функции ф(х) (проверка перестановочности интеграла по а: и операции при-
применения функционала ц> обеспечивается тем, что интеграл сходится в

134 §6. Уравнение теплопроводности
топологии §(Ж™) — см. точно такое же рассуждение в доказательстве
предложения 5.2).
Поскольку v(t, ¦) -? ф{-) при t -*¦ +0 в топологии S(Mn), то
lim / u(t, x)ij>(x)dx = (tp, ф),
t-y+O
а это и означает, что lim u(t, •) = <р(-) в §'(ЖП).
Выше мы уже отмечали, что lim F(t, х) = 5[х) в §'(К"). Это соот-
соотношение часто записывается более коротко в виде
T\u=o = S{x) F.20)
и является частным случаем только что доказанного утверждения.
Наконец, пусть оценка F.17) выполнена для любого Ь > 0 (с постоян-
постоянной С > 0, зависящей от Ь). Тогда интеграл Пуассона и, следовательно,
решение задачи Коши определены при любом t > 0. Так будет, напри-
например, если \<р(х)\ ^ Сехр(Ь|а:|2~е) при некотором е > 0, и, в частности,
если функция ifi(x) ограничена.
Если <р Е Lp(Mn) при каком-нибудьр Е [1, оо), то интеграл Пуассона
сходится в силу неравенства Гёльдера. В этом случае lim u(t, •) = <р(-)
по норме Lp(Kn) (доказательство аналогично рассуждениям, доказыва-
доказывающим сходимость усреднений по ?<р-норме — см. п. 4.2).
Легко проверить, что если <р(х) удовлетворяет оценке F.17), то для
функции u(t, x), задаваемой интегралом Пуассона, верна аналогичная
оценка
|u(i, *)| ^ Cie6'!*!2, O^t^BK^, F.21)
где постоянные Ci, bi зависят от <р и В. Оказывается, что решение,
удовлетворяющее такой оценке, единственно — мы докажем это ниже.
В то же время оказывается, что оценка
ни при каком е > 0 не обеспечивает единственность.
Единственность решения обеспечивает естественность применения
интеграла Пуассона для нахождения разумного решения (как прави-
правило, быстро растущие решения не имеют физического смысла). Напри-
Например, имеется единственность решения в классе ограниченных функций.
Благодаря принципу максимума (лемма 6.3) задача Коши корректна в

6.5. Фундаментальное решение. Формула Дюамеля 13!>
классе ограниченных функций (если ц> равномерно мало меняется, то
равномерно мало меняется и u(t, x)).
В заключение заметим, что тот факт, что T(t, х) > 0 при всех t > О,
а; € Ж", означает, что имеется «бесконечная скорость распростране-
распространения тепла» (ведь начальное возмущение сосредоточено в нуле!). Однако
функция T(t, x) быстро убывает при |а;| —> +оо, что практически рав-
равносильно конечной скорости распространения тепла.
6.5. Фундаментальное решение для оператора теплопроводности.
Формула Дюамеля
Теорема 6.4. Фундаментальным решением оператора -=— а2Дх в
Жп+1 является локально интегрируемая функция
?(*, х) = e(t)T(t, х) = BaVrt)-ne(t)exp(-te?-), F.22)
V 4о t/
где 0{t) — функция Хевисайда @(i) = 1 при t > 0, 0(t) = 0 при t ^ 0).
Доказательство. Приведём вначале эвристическое обоснование то-
того, что ?(?, х) — фундаментальное решение. Мы видели, что Г(?, х) —
непрерывная функция от t со значениями в §'(Ж?) при t ^ 0. Функция
?(f, х) = O(t)T(t, x) не является непрерывной функцией от t со значе-
значениями в §'(Ж?), а имеет при t = 0 скачок, равный 6(х). Поэтому после
применения оператора ^- мы получим S(t) <8><J(x) + f(t, x), где f(t, x) в
аналогичном смысле непрерывна по t. Но тогда
?(*, х) = 6(t) в) *(*) = *(*, *),
поскольку непрерывное по t слагаемое должно исчезнуть ввиду того,
что (дт — о2Дж l?(f, х) = 0 при \t\ + \х\ ф 0. Это важное рассуждение
позволяет писать фундаментальное решение во всех случаях, когда мы
умеем писать решение задачи Коши в виде интеграла типа интеграла
Пуассона. Однако возиться с его обоснованием мы не будем, посколь-
поскольку проще непосредственно проверить, что ?(?, х) — фундаментальное
решение.
Начнём с проверки локальной интегрируемости ?(?, х). Легко ви-
видеть, что ?.(t, х) е С°°(ЖП+1 \ 0), так что нужно лишь проверить ло-
локальную интегрируемость в окрестности начала координат. Поскольку
exp
(-i) ^ Сата при т > 0

136 §6. Уравнение теплопроводности
для любого а ^ 0, то
|?(t,«)|<Cet-" [^) = С.*""/+-W" •• F.23)
Пустьае (|-1. |),такчто-|+а > -1и-2а> -п. Из F.23) мы ви-
видим, что функция ?(?, х) мажорируется интегрируемой в окрестности
точки О G Жп+1 функцией, так что она сама локально интегрируема.
Пусть теперь f(t, х) € С^К""*). Имеем:
((|-а2Дя) ?(*,*),/(*,*)) =
= (?(«, х), (-|-а2Дя)/(*,а:)) =
?(*, х)(-%- -a2Ax)f(t, x)dtdx.
Перебросим в интеграле производную — и лапласиан Дж обратно
от
jz - а?Ахj?(f, а:) = 0 при f > 0, то в результате
получится лишь граничный интеграл по плоскости t = е, возникающий
от переброски — интегрированием по частям:
от
= | Г(е, х)/(е, x)dx.
Последний интеграл представляет собой и?(е, 0), где ue(t, x) — ин-
интеграл Пуассона с начальной функцией <ре(х) = f(e, x). Рассмотрим
ещё интеграл Пуассона u(t, х) с начальной функцией ip(x) = /@, а:).
По принципу максимума
|и(е, 0) - щ(е, 0)| ^ sup|^e(^) - Ф)\ = sup|/(e, х) - /@, х)|.
Отсюда ясно, что
и(е, 0) - ме(е, 0) ->¦ 0 при е -»¦ +0.
Но, как мы уже видели,
и(е, 0) ->¦ v?@) = /@, 0) при е -> +0.

6.5. Фундаментальное решение. Формула Дюамеля 137
Отсюда lim ие(е, 0) = /@, 0), что даёт тождество
luaQ I ?(*, *)(-! - а2Дж) /(*, x)dtdx = ДО, 0),
означающее в силу F.24) справедливость утверждения теоремы. ¦
Следствие 6.5. Если u(t, х) 6 D'(fi), где п — область в Rn+1, и
а
- а2Дж)и = 0, то и е С°°(П).
Таким образом, оператор теплопроводности представляет собой
пример гипоэллиптического, но не эллиптического оператора. Отме-
Отметим, что уравнение теплопроводности имеет бесконечно дифференци-
дифференцируемые, но неаналитические решения (например, ?(t, а:) в окрестности
точки @, х0), где х0 е К" \ 0).
Знание фундаментального решения позволяет решать неоднородное
уравнение. Например, решение u(t, x) задачи
^ - а2Ахи = f(t, x), t > 0, х е К",
F.25)
xeRn,
имеет вид
u(t, x)= J E(t-r,x-y)f(r, у)drdy + JT(t, x-y)v(y)dy =
t
= fdrf T(t -r,x-y) f(r, y)dy+ f T(t, x-y) <p(y) dy F.26)
0 R»
при надлежащих предположениях относительно f(t, x) и f(x), кото-
которые мы не будем точно формулировать. Интересен первый интеграл в
F.26). Его внутренний интеграл
v(t, t,x)= Г(* -t,x- y)f(r, y)dy
J
представляет собой решение задачи Коши
| V\T > ') X) — U, Ъ ^ Т, It
I
' * € ' F.27)
v\t=T = f(r, х).

138 §6. Уравнение теплопроводности
Представление решения задачи Коши F.25) с нулевой начальной
функцией ц> в виде
u(t, х) = / v(t, t, x)dr, F.28)
о
где v(t, t, x) — решение задачи Коши F.27) (уже для однородного
уравнения!), называется формулой Дюамеля. Аналогичное представле-
представление возможно для любых эволюционных уравнений. В частности, точно
такое же представление годится для операторов вида ^-—А(х, Dx), где
А(х, Dx) — линейный дифференциальный оператор по х с переменны-
переменными коэффициентами; разумеется а?Ах в F.27) надо в этом случае заме-
заменить на А(х, Dx). Формальная проверка очень проста: при применении
оператора ^- — А(х, Dx) к обеим частям F.28), мы получим справа
t
v(t, t, x) + f (? - А(х, Д,)) v(t, t, x)dr = v(t, t, x) = f(t, x),
0
что и требовалось.
6.6. Оценка производных решения гшюэллнптического уравнения
Напомним, что оператор P(D) с постоянными коэффициентами в
Rn называется гипоэллиптическим, если он имеет фундаментальное
решение ?(х) е Т>'(Шп) П C°°(En \ 0) или, что равносильно, всякое ре-
решение и G D'(fi) уравнения P(D)u — 0 на самом деле принадлежит
С°°(Л). Примерами гипоэллиптических операторов являются операто-
операторы Лапласа и теплопроводности.
Предложение 6.6. Пусть fit, П2 — две такие ограниченные обла-
области в К", что п% С ui (черта здесь означает замыкание в К"),
P(D) — гипозллиптический оператор в К". Тогда на решениях и е
G C°°(fli) уравнения P(D)u = 0 выполнены оценки
sup \даи(х)\ ^ Са f\u(x)\dx F.29)
x&Qs J
где а — произвольный мулътииндекс, постоянные Са не зависят от
выбора и. В частности, верны оценки
sup \даи(х)\ ^ C'Q sup \u(x)\ F.30)
(здесь С'а — другие постоянные, также не зависящие от и).

6.6. Оценка производных решения 139
Доказательство. Мы используем теорему о замкнутом графике в
следующей формулировке: если Е\, Е2 — два банаховых простран-
пространства и линейный оператор А: Е\ -» Е2 всюду определён и имеет
замкнутый график (т.е. множество пар {х, Ах}, х G Е\, замкну-
замкнуто в Ei х Е2 или, иными словами, если хп -» х и Ахп -» у, то
Ах = у), то этот оператор непрерывен (или, что то же самое, огра-
ограничен).
В качестве Е\ возьмём подпространство в ix(fii) состоящее из ре-
решений уравнения P{D)u = 0 (оператор применяется в смысле D'(fii)).
Важно, что Ei — это замкнутое подпространство в Ll{?li). В самом
деле, если ип -» и в L^fii) и P{D)un = 0, то ип -» и слабо в D'(fii),
т.е. (ип, ip) -» (и, ip) для любой функции tp е Т>(п\). Но тогда
(ип, P(D)tp) -t (и, P(D)tp) для любой функции <р G ©(f^), посколь-
поскольку в этом случае P(D)tp e D(fii). Последнее предельное соотношение
означает, что P(D)un -> P(D)u слабо в ©'(fii), откуда P(D)u = 0, что
и требовалось. Таким образом, Ei — банахово пространство. Отметим,
что на самом деле Е\ С C°°(fii) в силу гипоэллиптичности оператора
P{D).
В качестве Е2 возьмём банахово пространство таких и G С°°(П2),
что P(D)u = 0 и все производные функции и до порядка к включи-
включительно (здесь к G Z+ любое) ограничены. На Е2 введём обычную нор-
норму
sup\dau(x)\.
Если «„ -» и по норме || • \\к и P(D)un = 0, то ясно, что P(D)u = О
(в Т>'(п2)) и, следовательно, и е С°°(П2)-
Поэтому Е2 — банахово пространство (оно является замкнутым
подпространством в банаховом пространстве функций и G Ск(п2),
имеющих ограниченные производные до порядка к включительно).
Теперь рассмотрим линейный оператор А: Е\ -> Е2, переводящий
и в и\п . Проверим замкнутость графика оператора А. Надо дока-
доказать, что если «„ 4 u в Ei и Аип -> v в Е2, то v = Аи, т.е.
и = u|fi . Но из условия ип -* и в Ei вытекает, что ип -? и сла-
слабо в ©'(ПО, откуда ясно, что «n|fi2 -> «|q2 слабо в Т>'(п2). Но мы
знаем, с другой стороны, что Un|fi —> v в Е2 (и, значит, слабо в
©'(Пг))- Поскольку одна и та же последовательность не может иметь
два разных слабых предела в ©'(Пг), то v = ujfi , что и требова-
требовалось.

140 §6- Уравнение теплопроводности
По теореме о замкнутом графике оператор А ограничен. Но это
означает, что
\\u\\k^CkJ\u(x)\dx,
откуда ввиду произвольности /г следуют оценки F.29). Применяя оче-
очевидное неравенство
[\
J
\u(x)\dx^Csup\u(x)\,
мы получаем и оценки F.30). ¦
Предложение 6.6 может быть доказано и беэ использования теоре-
теоремы о замкнутом графике с помощью выражения решения через фун-
фундаментальное решение: см. доказательство того, что всякое решение
и G D'(fl) уравнения P(D)u = 0 на самом деле принадлежит С°°. Уточ-
Уточняя проведённые там рассуждения, легко получить, что если ип -* и
в ©'(П) и P(D)un = 0, то и„ -? и в топологии С°°(п). В частности,
отсюда следует, что из сходимости в L1(fii) вытекает равномерная схо-
сходимость любых производных на Пг-
Предложение 6.6 позволяет, например, получить информацию о ро-
росте или убывании производных решения уравнения P(D) и = 0, когда
аналогичная информация известна о самом решении. Приведём пример,
важный для дальнейшего.
Пример 6.1. Пусть решение u(t, x) уравнения теплопроводности
F.1) определено в полосе {t, x: t e (о, b), x € К"} и удовлетворяет
там оценке
\u(t,x)\^CeW, F.31)
где р^О, С>0, dGffi- Тогда если взять чуть меньшую полосу {t, х: t €
€ (о', Ь'), х € К"}, где о < о' < Ь' < Ь, то в ней выполнены аналогичные
оценки производных
F.32)
где постоянная р — та же, что и в F.31), а Са зависят от (п+1)-мерного
мультииндекса а и от выбора о' и Ь'.
Для доказательства надо использовать предложение 6.6, взяв
fii = {t, x: t G (о, b), \x\ < 1},
П2 = {t, x: t G (o1, b'), \x\ < ij

6.7. Единственность решения задачи Коши
и применив оценку F.30) к решению уравнения теплопроводности
uy(t, х) -u(t, х + у),
зависящему от у е ffin, как от параметра. В результате получим при
t € (а', V):
\dau(t, х)\ < Са sup \u(t,x')\^C'a sup e^'l" < О"'1'.
|se'-z|<l |x'-x|<l
t€(a,6)
что и требовалось.
6.7. Принцип Хольмгрена. Единственность решения
задачи Коши для уравнения теплопроводности
Принцип Хольмгрена состоит, если говорить совсем грубо, в том,
что единственность решения задачи Коши для уравнения
ft=A{t)u F.33)
вытекает из существования решения «сопряжённой» задачи Коши в сто-
сторону убывания времени:
F.34)
V\t=t0 = '
Здесь и = u(t), v = v(t) — вектор-функции от t со значениями в вектор-
векторных пространствах Е и Е', между которыми задано спаривание (•,•),
т. е. билинейная форма
(•, •): Е х Е' -> С.
Это спаривание должно быть невырождено в том смысле, что если
и е Е и (и, ф) = 0 для любого ф € Е', то и = 0. Далее, A(t) и A'(t) — это
зависящие от t операторы в Е и Е' соответственно, транспонированные
друг к другу в том смысле, что
(Аи, v) = (и, A'v), ueE, veE'. F.35)
rT _ du dv
Чтобы определить производные — и —, нужны какие-то топологии
ОС ОС
в Е и Е', но мы сейчас не будем придавать им точный смысл, а вместо

142 §6. Уравнение теплопроводности
этого опишем схему доказательства единственности решения задачи
Коши для уравнения F.33), которая должна служить идейной основой
такого доказательства в конкретной ситуации. Таким образом, мы от-
откладываем придание точного смысла последующим рассуждениям до
рассмотрения конкретной ситуации.
Итак, пусть u(t) — решение уравнения F.33), определённое при
О < t < Т и удовлетворяющее нулевому начальному условию u|t=0 =
= 0. Мы хотим доказать, что u(t) = 0. Для этого рассмотрим при
каком-нибудь t0 € @, Т) решение v(t) сопряжённой задачи Коши F.34).
Имеем:
= (A(t)u(t),v(t))-(u{t),A'{t)v{t)) = O, 0<t<to F.36)
Это главная выкладка, нуждающаяся в последующем оправдании и
объясняющая появление сопряжённой задачи Коши. Из неё получаем
<«(«), «(*)) = const = <u(tb), ^) = <u@), v@)) = 0. ' F.37)
(предельные переходы при t —* to и при t —? 0 тоже надо оправдывать).
Если теперь задача F.34) разрешима (и решение обладает свойствами,
позволяющими провести все предшествующие рассуждения) для такого
класса начальных данных ф, что из равенства (и, ф) = 0 при всех ф
вытекает, что и — 0, то ясно, что u(to) = 0, но тогда u(t) = 0 ввиду
произвольности to-
Теперь, вооружившись абстрактной схемой принципа Хольмгрена,
докажем единственность решения задачи Коши для уравнения тепло-
теплопроводности.
Теорема 6.7 (теорема А. Н. Тихонова). Пусть функция u(t, x) не-
непрерывна в полосе [0, Т) х К", удовлетворяет в открытой полосе
@, Т) х Rn уравнению теплопроводности F.1), и оценке
\u(t,x)\^CebW\ F.38)
Тогда еслии@, х) = 0, х e Rn, то u(t, x) = 0 во всей рассматриваемой
полосе.
Доказательство. Рассмотрим сопряжённую задачу Коши
v(t>x), t<t0,

6.7. Единственность решения задачи Коши 143
где ф G D(Kn). Выпишем решение этой задачи с помощью интеграла
Пуассона:
v(t, х) = J Г(*о - t, х - у) ф(у) dy.
Ввиду финитности функции ф это решение при t < to ~ е, где е > О,
удовлетворяет оценке
sup ехр
(- }°
где с> 0, |х| ^ R > О и R достаточно велико.
Такая же оценка верна и для любой производной dav(t, x), где а —
(п + 1)-мерный мультииндекс. Пусть to > 0 выбрано столь малым, что
С О
—5— > Ъ, т. е. to < —о". Тогда интеграл
(u(f, x), v(t, х)) = / u(f, x)v(t, x)dx
имеет смысл и равномерно сходится при 0 ^ t $C to — e. Как показывает
пример 6.1, интегралы, полученные заменой и или v на их производные
по t или х также равномерно сходятся при 0<e^t^.to-e, где число
е > 0 произвольно. Поэтому функция x(t) = («(?, ж)] «(*> х)) непрерыв-
непрерывна при t € [0, to), обращается в 0 при t = 0 и при f € @, to) имеет
производную
dx(t) _ fd(u(t,x)v(t,x)) _
dt ~ J dt
- I (gf • v + и ¦ g) dx = o2 J [(Дх«) V - и(Дх«)] dx.
Последний интеграл равен нулю, так как его можно по формуле
Грина записать в виде
ton [ \(Axu)v-u(Axv)]dS= Urn / (^ ¦ v-u- ^-)dS = О,
R-yoo J L J й->сю _/ ЧОП ОП/
\x]^R \x\=R
du dv nil.
поскольку т--|)н«'г- экспоненциально стремятся к 0 при \х\ -> +сю.
on an
Таким образом, х(*) = const = 0.
Теперь проверим, что
/u(t0, x)ip(x)dx = Ига u(t, x)v(t, x)dx
t-vto—O J

144 §6. Уравнение теплопроводности
(правая часть на самом деле равна lim x(*) = 0)- Имеем:
t—Но—0
u(t, х)v(t, x)dx= f u(t, x)T(t0 -t,x-y)ф(у)dydx =
(*о ~t,x- y)u(t, x)dx\ ^{y)dy -^-f Ju(t0, у)ф(у)<1у,
поскольку рассуждения, проводившиеся нами при рассмотрении инте-
интеграла Пуассона, показывают, что
lira T(to-t,x-y)u(t,x)dx-u(to,y)
t—tto—O J
равномерно на любом компакте в К™.
Итак, ясно, что
u(to, х)ф(х)йх = 0, 0 ^ to ^ 5, фе
если S < —я~. Поэтому u(t, х) = 0 при 0 ^ t < S.
4а о
Но теперь мы можем перейти к заданию начальных данных при
t = S и доказать, что u(t, х) = 0 уже при 0 ^ t ^ 25 и т. д. В итоге
получаем: u(t, х) = 0 во всей полосе, что и требовалось. ¦
Итак, в классе функций, удовлетворяющих оценке F.38), решение
задачи Коши для уравнения теплопроводности единственно.
6.8. Схема решения первой и второй краевых задач
методом Фурье
Попробуем решить первую краевую задачу с нулевыми граничными
условиями
-^ = а2Аи, t>0, х?п,
at
F-39)
х
методом Фурье. Если функция u(t, x) = ip(t) v(x) удовлетворяет первым
двум условиям в F.39), то мы получаем
=-А, „|вп = 0, F.40)
v(x)

6.8. Решение первой и второй краевых задач 145
откуда для v(x) получается задача на собственные значения для опера-
оператора —Д с нулевыми граничными условиями на д?1:
{-Av = Аи, же П,
При п = 1 зта задача переходит в рассмотренную нами вы-
выше задачу Штурма-Лиувилля (с простейшими граничными усло-
условиями — нули на концах отрезка). Ниже мы докажем, что зада-
задача F.41) обладает свойствами, весьма похожими на свойства за-
задачи Штурма-Лиувилля. В частности, она имеет полную ортого-
ортогональную систему собственных функций и*(ж), к = 1,2, ..., с соб-
собственными значениями А*, причём А* > 0 и А* —»• +оо при к —?
-? +00.
Из F.40) находим: ip(t) = Се~Ха *, откуда видно, что u(t, ж) естест-
естественно искать в виде ряда
F.42)
Коэффициенты с* подбираются из начального условия u|t=0 = <р(х)
и представляют собой коэффициенты разложения (р(х) по ортогональ-
ортогональной системе {и*(ж)}к=1.
Аналогично решается 2-я краевая задача
^ = а2Аи, t>0, хедп,
at
— I -0 /sn грДП
I 0 /sn грДП F-43)
Она приводит к задаче на собственные значения
- Av = Аи, же П,
*, F-44)
обладающей теми же свойствами, что и задача F.41), за одним ис-
исключением: А = 0 является собственным значением задачи F.44).

146 §6. Уравнение теплопроводности
Теперь тем же приёмом, что и для случая т» = 1, могут быть решены
более общие задачи, например:
^ = а2Аи + f(t, х), t>0, хеп,
и\хею = а(*> х)> * > 0, х G an, F-45)
. «|t=0 = Ф), хеп.
Для этого вычитанием вспомогательной функции мы добиваемся
того, чтобы a(t, x) = 0, а затем ищем решение u(t, x) в виде ряда
оо
1l(t, X) = 5^fc(t)flfc(*),
*=1
откуда для ipk(t) получаются обыкновенные дифференциальные урав-
уравнения первого порядка.
Единственность решения этих задач может быть выведена с помо-
помощью принципа Хольмгрена или получена из принципа максимума: если
u(t, х) — непрерывная в цилиндре [О, Т] х п функция, удовлетворяющая
на (О, Т) х п уравнению теплопроводности, то
)>.
I
u(t, х) ^ max< supu@, x), sup u(t, x)>. F.46)
Iх€П х?дП I
V t€[O,T]
Мы не будем доказывать этот физически естественный принцип. До-
Доказательство довольно элементарно и его можно найти, например, в
учебниках И. Г. Петровского [43] или В. С. Владимирова [10-1].
В дальнейшем мы дадим доказательство существования полной ор-
ортогональной системы собственных функций для задачи F.41). При
этом граничное условие в F.41) будет пониматься в некотором обоб-
обобщённом смысле. В аналогичном смысле будет решаться и задача Ди-
Дирихле. Всё это требует введения пространств Соболева, к теории кото-
которых мы сейчас и перейдем.
Задачи
6-1. Дан стержень длины I, боковая поверхность и концы которого
теплоизолированы. При t — 0 левая половинка стержня имеет темпе-
температуру «1, а правая — температуру u%. Найти методом Фурье темпе-
температуру стержня при t > 0. Выяснить, что будет происходить с тем-
температурой при t -? +oo. Оценить время, за которое перепад между

Задачи 147
максимальной и минимальной температурами в стержне уменьшится
вдвое (в частности, выяснить, как это время зависит от параметров
стержня: его длины, толщины, плотности, удельной теплоёмкости, теп-
теплопроводности) .
6-2. Стержень нагревается постоянным электрическим током. На
концах поддерживается нулевая температура, а боковая поверхность
теплоизолирована. Считая температуру в сечении стержня постоян-
постоянной, найти распределение температуры в стержне по данному началь-
начальному распределению, а также описать поведение этой температуры при
t -? +00.
6-3. Пусть ограниченное решение u(t, x) уравнения теплопроводно-
теплопроводности щ = а2ихх(х € К1) определено при t > 0 и удовлетворяет начально-
начальному условию и\t=Q — <р(х), где <р € С(Ш}), lim ip(x) = b, lim ip(x) = с.
Выяснить, как ведёт себя u(t, x) при t -> +00.

148 §7. Пространства Соболева и задача Дирихле
§7. Пространства Соболева.
Обобщённое решение задачи Дирихле
7.1. Пространства Н" (Я)
Пусть s e Z+, П — открытое подмножество в R".
Определение 7.1. Пространство Соболева Н"(п) состоит из таких
и е L2(Q), что даи е L2(fi) при \а\ ^ s (а — мультииндекс), где
производная понимается в смысле обобщённых Функций.
Введём в Н"(п) скалярное произведение
К v). = J2 (даи, dav), G.1)
|о|<«
где скобки (•, •) означают скалярное произведение в L2(Q). Введём так-
также соответствующую норму
Ы, = К «)* =
Г J\dau(x)\2
dx
1/2
G.2)
Ясно, что Н'(п) С Н''(п) при О *'• Далее, Я°(П) = Ь2(п). В част-
частности, каждое пространство H*(Q) вложено в L2(fi).
Предложение 7.2. Скаллрное произведение (и, v)s определяет в
Н"(?1) структуру сепарабельного гильбертова пространства.
Доказательство. Не очевидны лишь полнота и сепарабельность.
Проверим полноту. Пусть последовательность {ti*}^! фундаментальна
в Н*(?1). Это означает в силу определения нормы || • ||g, что все последо-
последовательности {9QUjt}gl1 (при \а\ ^ з) фундаментальны в L2(Q). Но тогда
в силу полноты пространства L2(fi) они сходятся, т.е. lim daUk = va
*->оо
по норме L2(Q). В частности, щ -? щ. Но тогда З^гц -> d°vo в 1)'(П),
а поскольку, с другой стороны, 9°гц -> va в D'(fi), то vQ = 9Q«o. Та-
Таким образом, vq G H"(Q), и 9°гц -> 9°vo в L2(fi) при |q| ^ s. Но это и
означает, что v.k -> Vo в ЛР(П).
Проверим сепарабельность. Отображение и н> {9°u}|Q|^g задаёт
изометричное вложение Н8(п) в прямую сумму нескольких экземпля-
экземпляров пространства L2(fi). Теперь сепарабельность Н*(п) вытекает из
сепарабельности Ь2(п). Ш

7.1. Пространства H'jil) 149
Рассмотрим подробнее случай fi = R". Пространство Н"(R") мож-
можно описать в терминах преобразования Фурье (понимаемого в обоб-
обобщённом смысле — в S'(R")).
Напомним, что по теореме Планшереля преобразование Фурье
F: и(х) н4 fi(O = f
задает изометрию L2(R?) на L2(R"), где пространство L2(R?) стро-
строится по мере Bir)~nd?. Поясним смысл этого утверждения и то, как
оно выглядит с точки зрения теории обобщённых функций. Из курса
анализа известно, что равенство Парсеваля
J\u(x)\2dx = B^)-"||«(O|2^ G.3)
выполнено при и е S(RnI^. Поскольку оператор F задаёт изомор-
изоморфизм S(R?) на S(R?), a S(R") плотно в L2(R"), то оператор F про-
продолжается до изометрии F: L2(R") -> L2(R"). Поскольку из сходимо-
сходимости в L2(R") вытекает сходимость (слабая) в §'(R"), то отображение
F: L2(RJ) -> L2(R^) непрерывно в ограничениях слабых топологий
S'(R") и §'(R?). Поэтому оно на самом деле является ограничением
обобщённого преобразования Фурье
Заметим теперь, что преобразование Фурье переводит Dau{x) в
?°й(?). Поэтому условие и е Я*(Н") — равносильно тому, что
?°й(?) 6 L2(R") при \а\ ^ s. Но вместо этого можно написать, что
J2\a\<» I^°I2|"(^)| e ^(R"). Поскольку имеют место очевидные оценки
х'Равенство G.3) при u € S(Rn) легко вытекает, например, из формулы обраще-
обращения. В самом деле:
= f
dy = Bтг)" J\u{yfdy.

150 §7. Пространства Соболева и задача Дирихле
где С > 0 не зависит от ?, то условие и 6 J?s(Kn) равносильно тому,
что A + |?|2)"/2й(?) 6 L2(Mn), а норма G.2) при п = Rn эквивалентна
норме
1/2
которую мы будем обозначать так же, как и норму G.3) (опасность
путаницы не возникнет). Таким образом, доказано
Предложение 7.3. Пространство Я*A") состоит уз тех и только
тех и 6 §'(ЕП), для которых
а норма в нём может быть задана формулой G.4).
Это предложение может служить основой для определения про-
пространств ifs(Mn) при любом действительном s. А именно, при лю-
любом s 6 Е мы можем составить пространство тех и 6 §(ЕП), что
«(О € ЦОС(ЖП) и A + |?|2)»/2«@ e L2(R"), введя на нём норму G.4).
Мы снова получим сепарабельное гильбертово пространство, которое
и обозначается Hs(Rn).
В дальнейшем нам понадобится банахово пространство С*(МП)
(здесь к 6 Z+), состоящее из функций и 6 С*(ЕП), производные ко-
которых dQu(a:), \а\ ^ к, ограничены при всех х е К". Норма в С*(!п)
задается формулой
J |. G.5)
Теорема 7.4 (теорема вложения С. Л. Соболева). При s > - + к име-
имеет место вложение
G.6)
причём оператор вложения непрерывен.
Поясним формулировку теоремы. На первый взгляд кажется, что
она бессмысленна, поскольку функцию и 6 #8(К.П) можно как угодно
изменять на любом множестве меры нуль, не меняя соответствующей
обобщённой функции (и элемента пространства H'(W1)). Изменяя же
функцию и во всех точках с рациональными координатами, мы можем
добиться того, что она будет всюду разрывной. Поэтому включение
G.6) следовало бы более точно формулировать так: если и 6 .ffs(Rn),

7.1. Пространства Н'(п) Ш
то существует и единственна функция щ 6 С* (Мп), совпадающая с ис-
исходной функцией и(х) почти всюду (для краткости вместо и\ мы снова
будем писать и). Заметим, что единственность непрерывного предста-
представителя очевидна, так как в любой окрестности точки хо 6 Мп найдутся
точки любого множества полной меры, так что изменение непрерыв-
непрерывной функции на множестве меры нуль приводит к функции, которая
разрывна во всяком случае во всех точках, где произошло изменение.
Доказательство теоремы 7.4. Докажем вначале, что имеет место
оценка
||«||(*) ^ С|Н|., U6§(R"), G.7)
где постоянная С не зависит от и. Удобнее всего действовать с помо-
помощью преобразования Фурье. Имеем:
откуда
и, следовательно,
Деля и умножая подынтегральное выражение на (l+|?|2)" и используя
неравенство Коши-Буняковского, мы получаем:
а 1/2 f . х 1/2
2(*)J ( 'f/a|rJ
а
(
Интеграл в первом из двух сомножителей сходится в силу того, что
2(k-s) < -пи, следовательно, подынтегральная функция при |?| -» +оо
убывает быстрее, чем |?|~П~Е при достаточно малом е > 0. Второй же
сомножитель равен ||u||g. В итоге при s > к + — получаем неравенст-
неравенство G.7).
Заметим теперь, что §(МП) плотно в H"(Rn) при любом s 6 R. В
самом деле, введём оператор Л8, умножающий преобразование Фурье

152 §7. Пространства Соболева и задача Дирихле
п(?) на A + |?|2)"/2. Этот оператор изоморфно и изометрично отобра-
отображает #"(Rn) на L2(Rn), переводя §(Rn) изоморфно на S(Rn). Поэтому
плотность S(Rn) в H"(Rn) вытекает из плотности §(Rn) в L2(Rn).
Пусть теперь v 6 H*(Rn), um e §(R"), um -» v в H"(Rn). Но из
неравенства G.7) следует, что последовательность ит фундаментальна
по норме || ¦ ||(fc). Следовательно, ит -» v\ в C*(Rn). Но тогда v и v\
совпадают как обобщённые функции, и, следовательно, почти всюду.
Неравенство G.7) по непрерывности верно при всех и Е H"(Rn), что
доказывает непрерывность вложения G.6). ¦
В частности, теорема 7.4 показывает, что для функций и б H"(Rn)
при s > - имеет смысл говорить об их значениях в точке.
Интересен также вопрос о том, когда имеет смысл ограничение на
подмногообразие произвольной размерности. Однако нам он в общем
виде не понадобится и мы обсудим лишь наиболее важный случай мно-
многообразия коразмерности 1. Для простоты обсудим просто случай ги-
гиперплоскости х„ = 0 в Rn. Точку х 6 Мп будем записывать в виде
х=(х\ *„), где х* еЖ».
Теорема 7.5 (теорема С. Л. Соболева о следах). Оператор ограни-
ограничения и ь+ и\х _0 при s > - продолжается (с §(Rn)) до линейного
непрерывного отображения
Доказательство. Запишем оператор ограничения через преобразо-
преобразование Фурье (для и 6 §(МП)):
и(х', 0) = ^L
Отсюда видно, что если через F' обозначить преобразование Фурье по
х', то мы получим:
Положим для краткости v(x') = и(х', 0), v(?') = F'v(x'), так что
«'.€«)*«• G-8)

7.1. Пространства Я*(П) 153
Требуемое утверждение записывается в виде оценки
IMIUi/a ^ СЦ«Н., G-9)
гДе II • IIUi/2 означает норму в пространстве Я"/2A"~1), и 6 8AП),
а С не зависит от и. Докажем эту оценку. Имеем:
иг-!/*]2 = /A+\е\2У~1/2на\2<%'. G.Ю)
Из G.8) находим при любом е > 0:
2
n
Оценим первый сомножитель. Имеем:
/A + ю'ГЧ. = /A + lf |а + 16.РГЧ. =
"Л = GA
>-»+l/2
(мы воспользовались здесь тем, что а > -, благодаря чему последний
интеграл сходится). Таким образом, G.11) записывается в виде
Используя это неравенство для оценки |w(?')|2 B G-Ю), мы получаем
требуемую оценку G.9). ¦
Замечание. На самом деле оператор ограничения и ь+ и\х _0 явля-
является эпиморфизмом H"(Wl) на Я*~1/2A"") (см., например, Хёрман-
дер [55-2, гл. II]), так что утверждение теоремы является точным (ин-
(индекс s - - не может быть увеличен).

154 §7. Пространства Соболева и задача Дирихле
Теорема7.5 означает, что если и 6 Hs(Rn), то корректно опреде-
определён след и\ „ функции и на гиперплоскости хп = 0 и он является
элементом Н
Получать его нужно так: представить и в виде предела lim um по
т—>оо
норме || • ||в функций ит 6 §(R"). Тогда следы ит\х _0 при т -» оо
имеют предел по норме || • И^^ в пространстве Я"~1/2(МП~1), причем
этот предел не зависит от выбора аппроксимирующей последовательно-
последовательности.
При желании ограничиться целыми значениями s можно восполь-
воспользоваться тем, что Я8-1/2(К"-1) с Я* (К."). Таким образом, след
"L =о Функции и 6 Н'(Шп) принадлежит Я*^).
Можно определить пространства Н'(М), где М — гладкое компакт-
компактное многообразие (без края). А именно будем писать, что и б Н"(М),
если для любого координатного диффеоморфизма х: U —> П (здесь
U — область в М, п — область в К") и для любой функции <р 6 Со°(П)
имеет место включение tp(u о f<~1) 6 Н*(Жп). Здесь и о х~^ — это
обобщённая функция и, перенесённая на О с помощью диффеоморфиз-
диффеоморфизма х~1. Она умножается на <р, чтобы получилась обобщённая функция,
носитель которой лежит в п. Тем самым, ^{иох'1) е ?'(П) с ?'(Ж"), в
частности ip{uox~1) e §'(R"), так что имеет смысл говорить о включе-
включении ц>[и о х) е HS(W). Локализация позволяет, например, доказать
следующий аналог теоремы 7.5: если п — ограниченная область с глад-
гладкой границей дп, то при s > - оператор ограничения и ь> ц| про-
продолжается (сС°°(п)) до линейного непрерывного оператора Н"(п) ->
1'
7.2. Пространства Н*(П)
Определение 7.6. Пространство Н*(п) — это замыкание Т)(п) в
Н*(п) (мы считаем, что s e Z+).
Таким образом, Н'(п) — это замкнутое подпространство в Я"(П).
Тем самым, оно само является сепарабельным гильбертовым простран-
пространством. Ясно, что
Я°(П) = Н°(п) = Ь2(Щ.
Однако уже ЯХ(П) необязательно совпадает с ЯХ(П). В самом деле,
если П — ограниченная область с гладкой границей, то, как говорилось
выше, функция и 6 ЯХ(П) имеет след u\dQ 6 Ь2(дп). Ясно, однако, что

7.2. Пространства Н"(п) 155
если и 6 Я1(П), то u|en = 0. Поэтому, например, если и 6 С°°(п) и
и^О.то^Я1^).
Пространство Я"(ft) вкладывается (и притом изометрично) также
в Я*(Е"). Это вложение продолжает вложение D(ft) С D(E"). Такое
продолжение определено по непрерывности, поскольку норма || • ||„ на
D(ft) эквивалентна норме пространства Я8(Е").
Важный факт представляет собой следующая теорема о компактно-
компактности вложения.
Теорема 7.7. Пусть п — ограниченная область в М", s, s' е Z+,
s > s'. Тогда вложение Hs (п) С Я8 (П) является компактным (вполне
непрерывным) оператором.
Напомним, что компактность линейного оператора А: Е\ -» Е% где
Е\, Еч — банаховы пространства, означает, что образ единичного шара
В\ = {а;: х 6 Ех, ЦхЦ^ ^ 1} является предкомпактным подмножеством
в Ei. Предкомпактность множества Q, лежащего в метрическом про-
пространстве Е, по определению означает, что его замыкание компактно
или, что то же самое, что из любой последовательности точек множест-
множества Q можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся к некоторой
точке пространства Е. Если Е — полное метрическое пространство,
то множество Q С Е предкомпактно тогда и только тогда, когда оно
вполне ограничено, т. е. для любого е > 0 имеет конечную е-сеть (т. е.
такое конечное множество точек х\, ..., x/f € Е, что для любой точки
х & Q найдётся такой индекс к, что р(х, Хк) < е, где р — метрика в Е).
Пусть К — компактное подмножество в К™ (компактность К в
этом случае равносильна замкнутости и ограниченности). Рассмотрим
пространство С (К) непрерывных комплекснозначных функций на К.
Пусть  С С (К). Известная теорема Арцела даёт критерий предком-
пактности 3". А именно, множество  предкомпактно тогда и только
тогда, когда оно равномерно ограничено и равностепенно непрерывно.
Равномерная ограниченность означает существование такой постоян-
постоянной М > 0, что sup|/(a;)| ^ М для любой функции / 6 9". Равно-
степенная непрерывность означает, что для любого е > 0 существует
такое S > 0, что из условия \х' - х"\ < S, где х', х" 6 К вытекает, что
\f(x') - f(x")\ < е для любой функции / 6 7.
Доказательства всех изложенных выше общих фактов о компакт-
компактности и теоремы Арцела можно найти в любом учебнике функцио-
функционального анализа — см., например, Колмогоров и Фомин [23, гл. II,
§6 и 7].

156 §7. Пространства Соболева и задача Дирихле
Отметим очевидное следствие общих фактов о компактности: ес-
если дано множество Q С Е, где Е — полное метрическое пространст-
пространство, то для предкомпактности Q достаточно, чтобы для любого е > О
существовало такое предкомпактное множество Q? С Е, что Q ле-
лежит в е-окрестности множества Q?. В самом деле, если взять ко-
конечную |-сеть множества Q?/2, то она будет е-сетью для множест-
множества Q.
Доказательство теоремы 7.7. Мы воспользуемся операцией усред-
усреднения из § 4 (см. доказательство леммы 4.4). Мы ввели там такое се-
семейство функций (ре 6 D(Rn), что supple С {х : |а;| ^ е}, ц>е ^ 0 и
J (p?(x)dx = 1. После этого по функции / 6 Lj^R") можно образовать
семейство усреднений — функции
f?(x) = I f(x- y)<pe(y)dy = / f(y)<p?(x - y)dy.
В п. 4.2 сформулирован и доказан ряд важных свойств операции усред-
усреднения. Мы будем использовать эти свойства,
Отметим теперь, что предкомпактность в Я* (П) множества 3" рав-
равносильна предкомпактности в Ь2(п) всех множеств 6TQ = {daf, f 6 6Г},
где а — мультииндекс, \а\ ^ s'.
Далее, из условия / 6 Н*(П) вытекает очевидным образом, что
daf 6 Я8~1°1(П), где \а\ ^ s. Ввиду условия s > s' ясно, что все
множества Э"о принадлежат ограниченному подмножеству в ЯХ(П).
Поэтому достаточно проверить компактность вложения ЯХ(П) С
С Ь2{Щ.
Пусть 9" = {и : и е ЯХ(П), ||u||i ^ l}. Нужно проверить, что 9"
предкомпактно в L2(fi) (или, что то же самое, в L2(Rn)). Идея проверки
такова: мы рассмотрим множество
?е = {/«(*), / 6 У}
состоящее из е-усреднений всех функций из Э". Затем мы докажем, что
при малом е > 0 множество 3" лежит в сколь угодно малой окрестности
множества Э"е (по норме L2(Rn)) и что множество Зе при фиксиро-
фиксированном е предкомлактно в С(п) (и, следовательно, предкомпактно в
L2(fi)). Из замечания, приведённого выше перед началом доказатель-
доказательства, будет вытекать предкомпактность 3" в L2(fi).

7.2. Пространства ff'(Q) 157
Отметим сразу же, что из определения обобщённых производных
легко находим при / 6 ЯХ
Иными словами, взятие обобщённой производной перестановочно с опе-
операцией усреднения.
Имеем, очевидно:
|Л(*)| ^ се J\f(y)\dy ^ ct(J\f(y)\2dyI/2, / € у
(мы воспользовались неравенством Коши-Буняковского). Таким обра-
образом, множество J? при фиксированном е > 0 равномерно ограничено
(на Rn). Далее, по аналогичной причине производные ~- = (д")
равномерно ограничены при / 6 3" и при фиксированном е > 0. Поэтому
множество Эе равностепенно непрерывно. По теореме Арцела множе-
множество Je предкомпактно в C(Rn) (можно считать, что Э"е лежит в С(К),
где К — компакт, являющийся окрестностью множества П в М"). Тем
более Зе предкомпактно в L2(Rn), а множество Э"е|п = {Л|п, Л 6 ?«}
предкомпактно в L2(fi).
Остаётся проверить, что для любого 8 > 0 найдётся такое е > 0,
что 3" лежит в J-окрестности множества Э"?. Для этого оценим норму
разности / - /? в пространстве L2(M") (норму в Ь2(К") будем сей-
сейчас обозначать просто || • ||). Вначале будем считать, что / е Т)(п).
Имеем:
f(x) - /,(*) = |[/(х) - /(я: - у)] Ve(y)dy =
± [/(*) - f(x - ty)] & (у) =
о
= / dt' J dy ^ ysdx^X ~
о i=1

158 §7. Пространства Соболева и задача Дирихле
Далее, отсюда
о
где 8 = sup 2?=i \хз\- Ясно, что ^ ^ Се, так что 6 -+ 0 при ? ->• 0.
z€supp«>
Поскольку условие / € 3" означает, что ||/||i ^ 1, то ||/ — Д|| ^ 6 при
/ € 3, / € ВД.
Теперь проверим, что оценка ||/ — /e|j ^ S верна при / € 3* (с теми
же ? и <?, что и выше) уже без условия / G D(fl). Это проверяется по
непрерывности. Ясно, что поскольку D(fi) плотно в Я1 (Л), то D(fl) П5"
плотно в?. В самом деле, если / ? 3", Д ? Ф(П) и Д -> / по норме
Я1 (ft), то ||Д||1 -> H/lli, откуда следует, что если s* = тах(||Д||ь 1),
то lim Sfc = 1. Но тогда lim вГ1/^. = lim Д = / по норме ЯХ(О) и в
*Ю fcfOO К *->0О
то же время ясно, что Цз^1 Д ||i ^ 1, так что s^1 Д € D(ft) Л 3".
Теперь воспользуемся оценкой
ИЛИ ^ 11/11,
доказываемой очевидной выкладкой:
Если / G 3", д 6 D(ft) П 3" выбрано так, что ||/ — д\\ ^ <J, то мы имеем
||Л - Pell = IK/ ~ 9)е\\ ^ * и, следовательно,
II/ - ЛИ < II/ " 511 + 115 " 5,11 + ИЛ " fell ^ 36,
откуда следует, что 3" лежит в 4й-окрестности множества 3"?, что и
требовалось. Теорема 7.7 доказана. ¦
На компактном многообразии (без края) М можно доказать ком-
компактность вложения На(М) С Н" (М) при любых s, s' G М, если s > s'.
Вложение же Я"(КП) С Я8'(К") не является компактным ни при каких
s и s'.

7.3. Интеграл Дирихле. Неравенство Фридрихса 159
7.3. Интеграл Дирихле. Неравенство Фридрихса
Интегралом Дирихле называется интеграл
где и G НХ(П). Его физический смысл состоит в том, что он равен
потенциальной энергии струны (при п = 1), мембраны (при п = 2)
или упругого твёрдого тела (при п = 3), если и(х) означает смещение
от положения равновесия, которое подразумевается малым. Легко ви-
видеть, что условие стационарности этого интеграла при деформациях,
сохраняющих «j^, т. е. уравнение Эйлера функционала Ъ(и), есть про-
просто уравнение Лапласа. В случае струны это фактически проверялось
в п. 2.1, где вычислялся лагранжиан струны. Проверим это в многомер-
многомерном случае. Пусть для простоты и е С°°(п), 8и 6 C°°(ft) и 6и\ап = О
(область П для простоты будем считать ограниченной и имеющей глад-
гладкую границу). Напишем условие стационарности: 5Ъ{и) = 0. Имеем:
/ Щ6udx = ~2 / Ди(х) * "И*)dx
(при интегрировании по частям интеграл по поверхности пропадает
ввиду того, что <fo|an = 0). Итак, условие стационарности интеграла
Дирихле при и 6 С°°(П) и при фиксированном «1^ равносильно тому,
что Аи = 0. Поэтому задачу Дирихле для уравнения Лапласа можно
рассматривать как задачу о минимизации интеграла Дирихле в классе
функций, удовлетворяющих условию u|en = <р, где <р — фиксированная
функция на дп.
Уравнение Лапласа Аи(х) = 0 легко получить и при и 6 Я1(П),
если и — стационарная точка интеграла Дирихле при допустимых ва-
вариациях 6и € Co°(fl). Это делается той же выкладкой, но вместо ин-
интегрирования по частям надо использовать определение производной
обобщённой функции.
Отметим, что на самом деле стационарные точки интеграла Ди-
Дирихле являются минимумами (это будет ясно из дальнейшего). Поэтому

160 §7. Пространства Соболева и задача Дирихле
задача Дирихле может ставиться как задача о минимизации интеграла
Дирихле в классе функций с фиксированным граничным значением.
Предложение 7.8. Пусть П — ограниченная область в Мп. Тогда
существует такая постоянная С > 0, что
dx, иеН^п) G.13)
(это неравенство называется неравенством Фридршса).
Доказательство. Обе части неравенства G.13) непрерывны на про-
пространстве Я1(П). Поскольку Н1^) является замыканием D(fl) в
то ясно, что неравенство G.13) достаточно доказать при и € D(fl)
(с постоянной С, не зависящей от и).
Пусть область П содержится в полосе {х : 0 < xn < R} (мы всегда
можем добиться этого, беря достаточно большое R и передвигая П в
К" с помощью параллельного переноса, не влияющего на выполнимость
оценки G.13)). При и G D(fi) имеем:
о
Отсюда по неравенству Коши-Буняковского
2
dxn.
о о
Интегрируя по fl это неравенство, мы получаем теперь:
>,, 2
/I
п П
В частности, отсюда следует, что неравенство G.13) верно при и G
G D(fl) с постоянной С = R2, что и требовалось. ¦
Из неравенства Фридрихса следует, что в ограниченной области П
норма || • || на Н1^) равносильна норме, задаваемой интегралом Ди-
Дирихле, а именно D(uI/2. В самом деле,

7.4. Задача Дирихле (обобщённое решение)
где || • || означает норму в Ь2(п). Неравенство Фридрихса означает, что
|Н|2 ^ СТ>(и), и G ЯХ(П), откуда
Щи) ^ \\u\\\ ^ d1)(u), и G Н1{Ъ),
что и требовалось.
Наряду с интегралом Дирихле мы будем использовать соответству-
соответствующее скалярное произведение:
На Я1 (fl) оно определяет структуру гильбертова пространства, по-
поскольку Я1(П) — замкнутое подпространство в Я1(П), а норма ||u||i
эквивалентна на Я*(П) норме [и, и]1/2 = ЩиI/2.
7.4. Задача Дирихле (обобщённое решение)
Мы рассмотрим две обобщённых постановки краевой задачи Ди-
Дирихле для оператора Лапласа. В обоих случаях существование и един-
единственность решения после проведённой подготовительной работы легко
вытекает из общих теорем функционального анализа.
Первая постановка имеет в качестве классического аналога следую-
следующую задачу (задачу с нулевыми граничными условиями для уравнения
Пуассона):
{Аи(х) = f(x), х G п,
¦ _ G-15)
Вместо граничного условия и\ш = 0 напишем:
ибЯх(П). G.16)
Теперь попробуем записать уравнение Аи = /. Пусть вначале и G
G С2(п), и\ш = 0. Тогда если v G Т>(п), то выполняя интегрирование
по частям, получим:
J JJ
Если Аи = /, то это означает, что
[«, v] = -(/, v), G.17)
TTTirRuu \Л А

162 §7. Пространства Соболева и задача Дирихле
где (•, •) — скалярное произведение в Ь2(п). Заметим теперь, что если
обе части G.17) рассматривать как функционалы от v, то эти функ-
функционалы линейны и непрерывны по норме || • ||i пространства ЯХ(П).
Поэтому G.17) верно, когда v принадлежит замыканию Ф(П) в ЯХ(П),
т. е. когда v G Я1(П).
Обратно, пусть область п ограничена и имеет гладкую границу,
и е С2(й) П Яг(П), / G Ь2(п) и G.17) выполнено при любой фун-
функции v G Н1(п). Докажем, что тогда и является решением задачи
G.15).
Вначале заметим, что из условия и G ЯХ(П) вытекает, что и| = 0.
Это вытекает иэ того, что отображение и >-? u|an продолжается до
непрерывного отображения Н1(П) -> Ь2(дп), которое переводит в 0
все функции из D(fi) и, тем самым, все функции иэ Л1^). Отме-
Отметим, что здесь мы фактически используем лишь тот факт, что если
и € С2(п) Л Я^П), то ujan = 0. Этот факт легко получить непо-
непосредственно, минуя теорему 7.5 и её распространение на случай мно-
многообразий. Укажем схему соответствующего рассуждения, йе входя в
подробности. Применяя разбиение единицы и выпрямляя локально гра-
границу с помощью диффеоморфизма, мы можем затем, рассуждая как в
доказательстве неравенства Фридрихса, получить, что
/I
u(x)|2 dSx ^ СЪ(и)
для функции и 6 С1 A7), сосредоточенной в малой окрестности фик-
фиксированной точки границы. Поэтому если u|an ф 0, то и нельзя при-
приблизить функциями из D(fl) по норме пространства ЯХ(П). Итак, если
и ? С^П) П ЙЦП), то u\gQ = 0.
На самом деле, если и G С1(П), то и обратно из условия u\gQ =
= 0 вытекает, что ЯХ(П). Этот факт может быть доказан следующим
образом. Строя ^-усреднение характеристической функции множества
п2е, где
П6 = {х:хеП, р(х, Щ^б}
мы получим такую функцию Хе € ©(^), что Хе(х) — 1 при х ? П3г и
\дахЛ*)\ < Сае~^
(постоянная Са не зависит от е). Если теперь u G Сг(П), то \eU ?
G ЯХ(П). Из условия u\qq = 0 вытекает, что если х G п \ П3е, то

7.4. Задача Дирихле (обобщённое решение) 163
\и(х)\ ^ Се, где С здесь и ниже зависит от и, но не зависит от е. Это
позволяет оценить выражение
II" - X*«
где || • || — норма в L2(fl), a D — интеграл Дирихле. Поскольку
имеет меру Лебега, не превосходящую Се, то
||« - Хеи\\2 ^ Се sup |u - Xeu\2 ^ Cl?3,
а\а3е
(и - Хеи) ^ mes(fi \ fi3?) • вир
(здесь и и ^—A — Хе) гасят друг друга). Итак и по норме || • ||i можно
приблизить функциями из С1 (ft), носитель которых — компакт в П.
Их, в свою очередь, легко приблизить функциями из Ф(П) по норме
|| • ||i с помощью операции усреднения.
Итак, условие и\да = 0 на функциях и € С^П) для ограниченной
области fl с гладкой границей равносильно включению и € Н1 (fl). Это
оправдывает замену граничного условия в G.15) включением G.16).
Далее, выполнение тождества G.17) для и ? ff1(fl) при любой фун-
функции v € ЯХ(П) равносильно тому, что Д« = / (где Д применяется
в обобщенном смысле). В самом деле, если выполнено G.17), то вы-
выбрав v € ©(П), мы получим, перебрасывая производные с и на и, что
(и, Av) — (/, v), v € D(fl), что и означает, что Д« = /. Обратно, ес-
если Аи = /, и € ЯХ(П) и / ? i2(f2), то тождество G.17) верно при
v е Т)(п), а значит по непрерывности при любом v ? ЯХ(П).
Всё зто оправдывает следующую обобщённую постановку задачи
G.15):
Пусть П — произвольная ограниченная область в Шп, f ? L2(u);
надо найти такую функцию и ? ЯХ(П), что тождество G.17) выпол-
выполнено для любой функции v ? Н1 (fl) (или, что то же самое, для любой
функции v € ©(П)).
Функцию и будем называть в этом случае обобщённым решением
задачи G.15). Выше мы видели, что если fl ограничена и имеет глад-
гладкую границу, и ? С2(п), то и является обобщённым решением задачи

164 §7. Пространства Соболева и задача Дирихле
G.15) тогда и только тогда, когда оно является решением этой задачи
в классическом смысле.
Теорема 7.9. Обобщённое решение задачи G.15) существует и
единственно.
Доказательство. Перепишем G.17) в виде
[v, и] = -(v, /) G.18)
и рассмотрим правую часть как функционал от v при v € Н1^). Это
линейный непрерывный функционал. Его линейность очевидна, а не-
непрерывность вытекает из неравенства Коши-Буняковского:
|(«, ЛИ 11/11-ИКН/НИь
где || • || — норма в Ь2(п).
По теореме Рисса мы можем (и притом единственным образом) за-
записать этот функционал в виде [v, и], где и — некоторый фиксирован-
фиксированный элемент пространства ЯХ(П). Это доказывает однозначную разре-
разрешимость задачи G.15) (в обобщённой постановке). ¦
Обобщённая постановка задачи Дирихле оставляет открытыми два
важных вопроса: 1) точное описание класса всех решений и при / е
€ Ь2(п), 2) существование более гладкого решения при большей глад-
гладкости /. Заметим, что локальные вопросы о гладкости легко решаются
тем замечанием, что если ?(х) — фундаментальное решение оператора
Лапласа в Мп, то свёртка
«о(») = (? * Л (*) = / ?(* - у) Ну) dy
а
(определённая при почти всех х) является решением уравнения Ащ = f
и, значит, Д(« — «о) = 0, т. е. и — щ — аналитическая функция в П.
Поэтому гладкость и локально совпадает с гладкостью «о и может быть
легко описана (например, если / € С°°(п), то и ? С°°(п)), как это уже
было доказано ранее). Сложнее решается вопрос о гладкости вблизи
границы. Более того, для случая негладкой границы он не выяснен до
конца и по сей день. Однако в случае, когда граница дП гладкая (класса
С°°), имеются точные (хотя и не очень просто доказываемые) теоремы,
описывающую гладкость и через гладкость /. Мы приведём две такие
теоремы без доказательства.

7.4. Задача Дирихле (обобщённое решение) 165
Итак, пусть ограниченная область ft имеет границу класса С°°.
Если / ? Н°(п), s ? Z+, то и ? Я8+2A7)ПЯ1(П). Обратно, очевидно,
что если и ? Я*+2@), то Аи = / ? Я"@). Таким образом, оператор Д
осуществляет изоморфизм:
ПЯ1(П)-*-Я8(П), s?Z+.
В частности, в этом случае все обобщённые решения (при / ? L2(Cl))
пробегают пространство Я2 (ft) П Я1 (ft).
Другой вариант точного описания гладкости имеется в шкале функ-
функций, удовлетворяющих условию Гёльдера. Будем писать, что / 6 С7 (ft),
где 0 < 7 < 1, если \f(x') - f(x")\ ^ С\х' - ж"|7, х', х" е ft (говорят
тогда, что / удовлетворяет условию Гёльдера с показателем 7)- Класс
функций Cm+7(ft), где т € Z+, 7 € @, 1), состоит из таких функций
/ ? Ст(п), что 9а/ ? С7(П) при |а| = т. Если и — решение задачи
G.15) в ограниченной области п с гладкой границей и / 6 Cm+7(fl),
где т ? Z+, 0 < 7 < 1, то u G Cra+2+7(fi).
Отметим, что такого сорта теорема неверна в обычных классах
Ск(п) даже локально, а именно, из условия / ? С(п) не следует даже,
что и е C2(fi).
Перейдём к рассмотрению обобщённой постановки обычной задачи
Дирихле
Г Аи = О,
Прежде всего возникает вопрос об интерпретации граничного усло-
условия. Мы сделаем это так: будем считать, что дана такая функция v, что
v\aa = Фщ БуДем считать, что v ? Я1(П), а граничное условие для и ин-
интерпретируем так: и — v 6 ЯХ(П). Отсюда следует, что и ? Я1 (ft). Вве-
Введение функции v избавляет нас от необходимости описывать гладкость
tp и, тем самым, от использования пространств Соболева с нецелым
индексом на дС1. Кроме того, удаётся рассмотреть случай области с
негладкой границей.
Итак, сформулируем обобщённую постановку задачи Дирихле
G.19):
Пусть дана ограниченная область Я С Ж" он Е Я1(П); найти
такую функцию и ? Я1 (ft), что Аи = 0 и и — v ? Я1 (ft).
Ha первый взгляд кажется, что эта задача сводится к предыдущей,
если искать и — v ? Я1 (ft) и обозначить / = А(и - v) = — Av. Однако
ниоткуда не следует, что Av ? L2(ft), а более общий случай мы не

166 §7. Пространства Соболева и задача Дирихле
рассматривали. Поэтому рассмотрим эту задачу независимо от первой,
тем более, что решается она столь же просто.
Из вышеизложенного ясно также, что если v G С(п), v\dQ = <р,
и € С1 (С1) и и — обобщённое решение задачи G.19), то и является
обычным классическим решением этой задачи.
Теорема 7.10. Обобщённое решение и задачи Дирихле существует
и единственно для любой ограниченной области п С Шп и для лю-
любой функции v € Н1(п). Это решение имеет строго минимальный
интеграл Дирихле Ъ(и) среди всех функций и G Я1(П), для кото-
которых и — v G Я1(П). Обратно, если и является стационарной точкой
интеграла Дирихле в классе всех функций и 6 Я1(П), для которых
и — v G Я1(П), то на самом деле интеграл Дирихле имеет строгий
минимум на функции и, причём и является обобщённым решением за-
задачи Дирихле.
Доказательство. Пусть и 6 Я1(П). Условие Аи = 0 можно записать
в виде:
(и, Aw) = 0, we
или, что то же самое, в виде
[и, w]=o, we т>(п).
Поскольку скалярное произведение [и, w] является по w непрерывным
функционалом на Н1(П), по непрерывности имеем
[и, ы] = 0, шеЯ^П). G.20)
Это условие равносильно уравнению Аи = 0. Итак, мы должны най-
найти такую функцию и G Я1(П), что и ортогональна подпространству
ЯХ(П) относительно скалярного произведения [•,], причём v - и €
G ЯХ(П). Но это означает, что и является перпендикуляром, опущен-
опущенным из v на подпространство Я1(П)! Как известно, в гильбертовом
пространстве такой перпендикуляр единствен, причём он является наи-
наименьшим по длине вектором и G Я1(П), удовлетворяющим условию
v — и G ЯХ(П). Условие стационарности и, как известно, приводит к
условию ортогональности.
Однако имеется небольшая неприятность: «скалярное произведение»
[•, •] определяет структуру гильбертова пространства на ЯХ(П), но не
на ЯХ(П). Поэтому следует слегка уточнить приведённые рассуждения.

7.4. Задача Дирихле (обобщённое решение) 167
Рассмотрим z = v - и G Я1(П), так что v = и + z. Из условия G.20)
вытекает, что
[w, v] = [w, z], w G Я^П). G.21)
Но отсюда очевиден способ доказательства существования решения.
А именно, рассмотрим [w, v] как линейный непрерывный функционал
от w на Я1(П) и представим его (по теореме Рисса зто возможно и
притом единственным образом) в виде [w, z], где z — фиксированный
элемент Я^П). Остаётся положить и = v — z. По построению z вы-
выполнено условие G.21), откуда следует G.20). Условие и — v e ЯХ(П)
очевидно.
Единственность решения очевидна из того, что если «i, щ — два
решения, то и = щ — и-х G ЯХ(П) удовлетворяет условию G.20), откуда
и = 0.
Покажем теперь минимальность интеграла Дирихле на решении и в
классе всех U\ G Я1(П), для которых u\—v G ЯХ(П). Положим z = щ—и,
так что и\ = и + z. Ясно, что z G Я1(П) и из G.20) находим
Щщ) = [ui, tii] = [u, u] + [z, z] = Ъ(и) +D(z) > Щи),
причём равенство достигается лишь при Ъ(г) = 0, т. е. при z = 0 или,
что то же самое, при и = щ.
Проверим, наконец, что если интеграл Дирихле стационарен на
функции и G ЯХ(П) в классе всех щ G Я1(П), для которых и\ — v G
G Я1(П), той — обобщённое решение задачи Дирихле (и, значит, ин-
интеграл Дирихле достигает строгого минимума на и). Стационарность
интеграла Дирихле на и означает, что
Но
-3"D(u + te)|t=0 = -jt[u + tz, и + tz]\t_0 = [u, z] + [z, u] — 2Re[u, z].
Стационарность даёт: Re[u, z] = 0 для любого z G Я^П). Но мы
можем заменить z на iz, откуда [и, z] = 0 при любом z G Я1(П), что
даёт условие G.20). Теорема 7.10 доказана. ¦
В заключение укажем без доказательства правильное описание глад-
гладкости решений по информации о функции tp в граничной задаче G.19)

168 §7. Пространства Соболева и задача Дирихле
для области п с гладкой границей. Мы уже говорили, что если и €
€ Я"(П), z € Z+, s ^ 1, то u\dQ € Н"~1/2(д$1). Оказывается, что верно
и обратное: если <р ? Н*~1/2(дп), где s € Z+, s ^ 1, то существует и
единственно решение и € Я"(П) задачи G.19) (см., например, Лионе и
Мадженес [34]).
Аналогично, если <р € Cm+7(dfi), где т € Z+, 7 ? @, 1), то сущест-
существует (и единственно) решение и € Ст+7(П).
Объединяя описанные свойства гладкости решений задач G.15) и
G.19), легко получить, что отображение
и М- {Аи, и\г}
продолжается до изоморфизма
Я8(П) -* н'-2(п) ен'-1'2{дЩ, s e z+> s ^ 2,
а также до изоморфизма
ст+2+7(П) -4 сго+7(П) е ст+2+7(ап), т е z+> 7 е (о, i).
Аналогичные теоремы могут быть доказаны и для общих эллипти-
эллиптических уравнений с общими граничными условиями, удовлетворящими
алгебраическому условию, называемому условием эллиптичности (или
коэрцитивности, накрывания, Шапиро-Лопатинского). Изложение об-
общей теории эллиптических граничных задач можно найти, например,
у Лионса, Мадженеса [34] или Хёрмандера [55-2].
Задачи
7-1. Решить методом Фурье следующую задачу Дирихле: найти та-
кую функцию и = и(х, у), что Аи = 0в круге г ^ а, где г = л/х2 + у2,
7-2. Решить методом Фурье задачу Дирихле в круге г < а для про-
произвольной граничной функции /(</з), где <р — полярный угол, т. е. найти
такую функцию и — и(х, у), что Аи = 0 в круге г ^ a, u| = f(<p).
Обосновать решение для гладкой функции /(</з). Получить в этом слу-
случае формулу Пуассона:
{а2-г2)f{a)da
а — 2arcos(tp — а) + г
о
,2 '

Задачи 169
7-3. Используя положительность ядра Пуассона
,,, N а2 —г2
К(г, <р, а) =
2n[a? - 2arcos(tp - a) + r2]'
доказать принцип максимума для решений задачи Дирихле, получен-
полученных в предыдущей задаче. Вывести из принципа максимума разреши-
разрешимость задачи Дирихле для любой непрерывной функции /(</?).
7-4. Найти функцию и = и(х, у), для которой Аи — х2 —у2 при г ^ а
и и| = 0.
lr=a
7-5. В кольце 0 < а ^.г ^Ь < +оо найти такую функцию и = и(х, у),
что Аи = 0, w|r=a = 1, g~|r=6 = cos2 Ч>-
7-6. Найти методом Фурье решение задачи Дирихле для уравнения
Лапласа в прямоугольнике O^x^a, O^j/^6. Граничные условия
имеют вид и\х=0 = <ро(у), и\х=а = (рг(у) @ ^ у ^ Ь); и\у=0 = фо{х),
и\у=ь = ^И @ ^ х ^ а); причём </зо@) = чАо(О), <ро(Ь) = V'i(O),
</3i@) = V'o(a), <fi(b) = V"i(a) (условие непрерывности граничной фун-
функции). Описать схему решения общей задачи и затем решить задачу
7ГЗ*
для следующего частного случая: (ро(у) = Ау(Ь — у), ^о(я) = В sin—,
7-7.В полуплоскости {(я, у), у ^ 0} решить задачу Дирихле для
уравнения Лапласа в классе ограниченных функций. Для этого,
воспользовавшись преобразованием Фурье по х, получить для убыва-
убывающих по х решений формулу
где <р(х) = и(х, 0). Затем исследовать общий случай ограниченной не-
непрерывной функции (р.
7-8. Выяснить, при каких n, s и a (a > —г») функция и(х) = \х\а
принадлежит пространству Hs(Bi), где В\ — шар радиуса 1 с центром
в точке 0 € К".
7-9. Принадлежит ли функция и{х) = 1, х € (—1, 1), пространству
&Ы, 1))?

170 §8. Собственные значения и собственные функции
§8. Собственные значения и собственные функции
оператора Лапласа
8.1. Симметрические и самосопряженные операторы
в гильбертовом пространстве
Пусть Н — гильбертово пространство. Напомним, что линейным
оператором в % называется совокупность двух объектов:
а) линейного многообразия D{A) С % (т. е. линейного подпростран-
подпространства, вообще говоря, незамкнутого);
б) линейного отображения A: D(A) —> %. В этом случае пишут, что
задан линейный оператор А: % —> % хотя, строго говоря, никакого
отображения % —> % не имеется, так как оператор А не определён,
вообще говоря, на всём пространстве %.
Здесь D(A) называется областью определения оператора А. Линей-
Линейные операторы можно складывать и умножать. А именно, если А\,
А2 — два линейных оператора в %, то мы полагаем D{Ai + А?) =
= D(Ai) П D(A2) и (Ai + А2)х = Ахх + А2х, х € D(AX + A2). Далее,
по определению, D{A\A2) = {х: х ? D{A2), A2x ? D(Ai)} и при этом
{AiAzjx = Ai{A2x) при х ? D(A\A2).
Положим
КегЛ = {х: х ? D(A), Ax = 0},
Im А = {х: х = Ау; у ? D(A)}.
Если КетА = 0, то определён обратный оператор А~х. А именно,
по определению в этом случае D{A~l) = Im А и А~1х = у, если х = Ау.
Если есть два таких линейных оператора А, В в %, что D{A) С D(B)
и Ах = Вх при х ? D(A), то пишут, что А С В и говорят, что оператор
В является расширением оператора А.
Оператор А называется симметрическим, если
{Ах, у) = (х, Ay), x,ye D{A). (8.1)
В дальнейшем мы введём также понятие самосопряжённого операто-
оператора (для неограниченных операторов симметричность и самосопряжен-
самосопряженность — это не одно и то же!).
Пусть А — такой линейный оператор, что D(A) плотно в %. Тогда
определён сопряжённый оператор А*. Это делается с помощью тожде-
тождества
(Ах, у) = (х, А*у). (8.2)

8.1. Симметрические и самосопряженные операторы 171
Точнее, пусть D{A*) состоит из таких у € %, что существует такой
вектор z € %, что
(Ах, у) = (x,z), хЕ D(A).
Поскольку D(A) плотно в %, то вектор z однозначно определён и мы
полагаем А* у = г.
Если оператор А имеет плотную область определения и симметри-
симметричен, то ясно, что А С А*.
Оператор А называется самосопряжённым, если А* = А (здесь под-
подразумевается, что А имеет плотную область определения и D(A*) =
Ясно, что всякий самосопряжённый оператор является симметриче-
симметрическим. Обратное, вообще говоря, неверно.
Назовем графиком оператора А множество
GA = {(х, Ах), х Е D(A)} cHxH.
Оператор называется замкнутым, если его график замкнут в % х %,
т.е. из того, чтохп €• D(A), гп-яи Ахп —> у (сходимость понимается
по норме пространства %), вытекает, что х Е D(A) и Ах = у.
Самосопряжённый оператор всегда замкнут. Более общий факт:
оператор А* всегда замкнут. В самом деле, если уп Е D(A*), у„ -* у,
А*уп —> z, то переходя к пределу в тождестве
(Ах, уп) = (х, А*уп), х € D(A),
мы получим:
(Ах, у) = (х, г), х € D(A),
откуда у ? D(A*) и А*у = z.
Если D(A) — замкнутое подпространство в % (в частности, если
D(A) = %, т. е. А всюду определён), то по теореме о замкнутом графи-
графике замкнутость оператора А равносильна его ограниченности. В част-
частности, самосопряжённый всюду определённый оператор А обязательно
ограничен.
Укажем один способ конструкции самосопряжённых операторов.
Предложение 8.1. Пусть А — самосопряжённый оператор в % и
КегА = 0. Тогда оператор А~1 самосопряжён.
Доказательство. Будем через Е1- обозначать ортогональное допол-
дополнение к подмножеству Е С %, а именно
Е± = {у:у€Н, (х,у)=0 для любого х G Е}.

172 §8. Собственные значения и собственные функции
Если дан линейный оператор А и D{A) плотно в М, то из определения
А* легко следует, что
КетА* = AтА)±. (8.3)
В самом деле, тождество (Ах, у) = 0 для любого х € D(A) в силу
(8.2) в точности означает, что у € D(A*) и А'у = 0.
Отметим, что условие Е^~ = 0 равносильно тому, что линейная обо-
оболочка множества Е плотна в М. Поэтому, если оператор А самосопря-
самосопряжен и Кег А = 0, то из (8.3) вытекает, что D(A~1) = 1тА плотно в "Н.
Таким образом, операторы А~1 и (А~1)* определены. Остаётся про-
проверить, что [А~1)* = А'1.
Условие у € D((A~1)*) и (A~l)*y = z равносильно тому, что
{А~1х, у) = (ж, z), хеЬпЛ. (8.4)
Полагая х = Af, f € D(A), мы видим, что (8.4) равносильно условию
(/, у) = (АЛ z), f e D(A),
что означает включение z € D(A*) и равенство A*z = у. Но посколь-
поскольку А* = А, то это то же самое, что включение z € D(A) и равенство
Az = у, которое можно также переписать в виде z = А~гу. Мы дока-
доказали, что условие у € D((A~1)*) с равенством (А~1)*у = z равносиль-
равносильны включению у € D^A'1)) с равенством A~ly = z. Таким образом,
(А~1)* — А~1, что и требовалось. ¦
Следствие 8.2. Пусть дан ограниченный всюду определённый сим-
симметрический оператор В и пусть Кег Б = 0. Тогда оператор А = В~1
самосопряжён.
Важность самосопряжённых операторов видна из спектральной те-
теоремы. Прежде чем её сформулировать, приведём пример самосопря-
самосопряжённого оператора.
Пусть М — пространство с мерой dpt, т. е. множество, в котором вы-
выделена «т-алгебра его подмножеств и на ней задана счётно-аддитивная
мера (со значениями в [0, +оо]). Построим обычным образом прост-
пространство L2(M, dfi), состоящее из классов измеримых функций на М,
имеющих интегрируемый квадрат модуля. Тогда L2(M, dfi) — гиль-
гильбертово пространство. Пусть а(т) — вещественнозначная измеримая
и почти везде конечная функция на М. Оператор А умножения на а(т)
определяется по формуле Af(m) = a(m) f(m), где
/ € D(A) = {/:/€ L2(M, ф), af € L2(M,

8.1. Симметрические и самосопряженные операторы 173
Такой оператор всегда самосопряжён. В самом деле, симметричность
его очевидна и надо лишь проверить, что D(A*) = D(A).
Пусть и ? D(A*), А*и = v. Проверим, что и ? D{A) и а(т)и(т) =
= v(m) при почти всех т. Рассмотрим множество
MN = {т: т?М, \а{т)\ ^ N),
и пусть XJv(m) = 1 при т € М/у и Xn(tti) = О при т $ Mn. Условие
А*и = v означает, что
/ а(т) f(m)u(m)dfi = / f(m)v(m)dfi
м м
для любой функции / € -D(-A). Заметим, что если д € L2(M, dp), то
Xn9 € D{A). Отсюда следует, что
/ a(m)g(m)u(m)dfi = / g(m)v(m)dfi
для любого д G L2(Mjv, dp). Но ясно, что (в«)|Мл, € L2(Mn, dpt), так
как функция а ограничена на Mn- Поэтому ввиду произвольности д
ясно, что аи|м = v\M . Поэтому если М = Ujv=i Mn, то аи\^ = v|~.
Поскольку функция а(т) почти везде конечна, то множество М \ М
имеет меру 0. Таким образом, а(т)и(т) = v(m) почти везде. В частно-
частности, a(m)u(m) € L2(M, dp), т.е. и € D(A) vt аи —v, что и требовалось.
Важный пример: рассмотрим пространство I2, т. е. пространство по-
последовательностей х = {«1, Х2, ...}, Xj eC, для которых 53?U \хз\2 <
< +оо. Оператор А, переводящий {х\, Х2, ¦ ¦ ¦} в {Ai^i, А2Ж2, ...}, где
Xj € Ж, определённый на тех последовательностях х, для которых
X]°11Aj|xj|2 < +00, является самосопряжённым оператором. В этом
примере М есть счетное множество, а мера каждой точки равна еди-
единице.
Операторы А\: Hi -+ %i и Ai: %2 -> 'Нг называются унитарно
эквивалентными, если существует такой унитарный оператор U:%i-?
-+ % (т. е. обратимый оператор, сохраняющий скалярное произведе-
произведение), что U~x A2U = А\ (напомним, что равенство операторов подразу-
подразумевает равенство областей определения), т. е. коммутативна диаграмма
Hi —^-+ Hi
"I I"
Н2

174 §8. Собственные значения и собственные функции
Теорема (спектральная теорема). Всякий самосопряжённый опе-
оператор в гильбертовом пространстве унитарно эквивалентен неко-
некоторому оператору умножения на функцию (см., например, Рид и Сай-
Саймон [45]).
Заметим, что унитарная эквивалентность оператора А описанному
выше оператору в I2 означает, что пространство % сепарабельно и в
пространстве % имеется ортогональный базис ipi, if2, ..., состоящий
из собственных векторов оператора А с собственными значениями Ai,
Аг, ... При этом
¦
}
Если ещё |Aj| —> +оо при j —> +оо, то говорят, что оператор А имеет
дискретный спектр. Если Кег А = 0, то дискретность спектра операто-
оператора А равносильна тому, что оператор Л всюду определён и компак-
компактен (вполне непрерывен). Это вытекает из известной теоремы о том,
что компактный самосопряженный оператор имеет ортогональный ба-
базис из собственных векторов с собственными значениями fii, fi2, •••,
причём fij -> 0 при j -> +оо.
8.2. Расширение по Фридрихсу
Приведём важный конкретный пример симметрического, но не са-
самосопряжённого оператора. Пусть А — оператор Лапласа, Л — огра-
ограниченная область в К™. Рассмотрим в L2(fi) оператор Aq, имеющий
область определения D(Aq) = Т>(п) и переводящий ip € Т>(п) в (-Д<р).
Элементарное интегрирование по частям показывает, что оператор Ао
симметричен, т.е.
(Ао<р, ф) = (<р, Аоф), <р,фе ЩП),
где скобки означают скалярное произведение в L2(fi). Этот оператор
даже не замкнут. В самом деле, легко видеть, что если ip € С2 ($7)
и supp</3 — компакт, лежащий в П, то существует такая последова-
последовательность функций щ € D(fi) (их легко получить, например, с помо-
помощью операции усреднения), что tfk -> f и Д<р* -> Aip по норме Ь2(п).
Беря (р $. 2Э(П), мы видим, что оператор Ао незамкнут. Однако его
можно замкнуть. Это значит, что мы можем определить замкнутый
оператор Ао, график которого есть замыкание графика оператора Ао

8.2. Расширение по Фридрихсу 175
(в L2(Sl) х L2(Sl)). Это значит, что если (р ? L2(il) и существует такая
последовательность tpk € Т>(п), что </з* -> </з и А(рк -> / в Ь2(п), то
мы полагаем <р € J9(.Ao) и Аоу = /. Легко видеть, что в этом случае
по-прежнему
(Ао<р, Ф) = (</>, Аоф), ф € Ъ(п),
Отсюда, в частности, вытекает, что A^ip ю)рректно определено (не
зависит от выбора последовательности <?>&) и что имеется включе-
включение
Кстати, легко видеть, что (-Ао)* = Aq (это получается предельным
переходом в тождестве, определяющем Aq).
Интересно понять, что такое А?. По определению, D(Aq) состоит
из таких и € Ь2(п), что существует такое v € L2(U), что
(v, ф) = (и, (-А)ф), феЩп).
Но это означает, что —Ди = v в смысле обобщённых функций. По-
Поэтому
D{A?) = {и : и € L2(U), Ди € Ь2(п)}. (8.5)
Описать D{Aq) не так просто. Впрочем, легко видеть, что D[Aq) С
С ЯХ(П). В самом деле {Аои, и) — D(u) (интеграл Дирихле от и) при
и € Т>(п). Поэтому если <рк -> <р, Ао<Рк -> А0<р в Ь2(п), то (Ао(<рк — ft),
fk—<fi) -> 0 при к, I -> +оо, откуда tfk -> ^ в ЯХ(П), так что ^ € ЯХ(П).
Итак, Г>(Л0) С Я^П). В то же время, из (8.5) ясно, что D(Aq)_D
D Н2(п). Отсюда следует, что А? ф Aq (например, если и € (^(п),
и\ап ^ 0) то и € Я2(П) и, значит, и € D(Aq), но в то же время, и ^
^ ЯХ(П) и, значит, u ^ D(Ao)). Таким образом, оператор Aq симметри-
симметричен и замкнут, но не самосопряжён.
Существует естественный способ конструкции самосопряжённого
расширения любого полуограниченного симметрического оператора,
которое называется расширением по Фридрихсу. По существу мы уже
применяли эту конструкцию при построении обобщённого решения за-
задачи Ди = /, и^ = 0. Теперь мы опишем расширение по Фридрихсу
в более общей абстрактной форме.
Пусть дан симметрический оператор Aq : % —> %. Он называется
полуограниченным снизу, если существует такая постоянная С, что
, ф) > -С(<р, <р), <р € D(Ao). (8.6)

176 §8. Собственные значения и собственные функции
Если к оператору Ло добавить оператор (С + еI, где е > 0, то для
нового оператора (мы снова обозначим его Ло), будет выполнена оценка
(Ао<р, (р) > е(<р, <р), <р € D(A0). (8.7)
Мы сразу будем считать, что выполнена более сильная оценка (8.7),
поскольку с точки зрения интересующей нас задачи на собственные
значения добавление (С + еI ничего не меняет (оно лишь сдвигает
собственные значения, не меняя собственных функций). Кстати, нера-
неравенство Фридрихса показывает, что в рассмотренном выше примере
сразу выполнено неравенство (8.7).
Введём скалярное произведение
[и, v] = (Аои, v), u,ve D(A0). (8.8)
Оно определяет на D(Ao) предгильбертову структуру (положительная
определённость ясна из (8.7)). Кроме того, если через || • ||i обозначить
соответствующую норму (т.е. ||u||i = [u, и]1/2), то из сходимости по
норме || • ||i вытекает сходимость по норме || • || пространства Н. В
частности, если последовательность tpk € D(Ao) фундаментальна по
норме || • ||i, то она фундаментальна по норме || • || и, значит, сходится
в П.
Обозначим через Hi пополнение D(Aq) по норме || • ||i (в примере
это пространство ЯХ(П)).
Из неравенства (8.7) и приведённых выше рассуждений ясно, что
имеется естественное отображение Hi -> Н. А именно, образ д* эле-
элемента д ? Hi определяется как предел в Н последовательности {</>*},
Фк € D(Aq), которая сходится к д в Hi. Докажем, что это отображение
инъективно.
Прежде всего заметим, что по непрерывности скалярных произве-
произведений
[if, д] = (А0(р, д*), <р € D(Ao).
Если д* = 0, то используя введённую выше последовательность {</>&},
мы получаем
[д, д] = lira [<рк, д] = lira (Ао<рк, д*) = О,
k-Юо к-*оо
откуда д = 0, что и требовалось.
Итак, имеется естественное вложение Hi С Н, и мы будем в даль-
дальнейшем отождествлять элементы пространства Hi с соответствующи-
соответствующими элементами пространства Н.

8.2. Расширение по Фридрихсу 177
Положим теперь
(8.9)
(8.10)
Мы получаем некоторый оператор А: % -> %, называемый расши-
расширением по Фридрихсу оператора Aq.
Теорема 8.3. Расширение по Фридрихсу полуограниченного опера-
оператора Aq является самосопряженным оператором А: И. —> %. Оно сно-
снова полуограничено снизу и для него
(Аи, и) > e(u, u), и? D(A),
где ? > 0 та же постоянная, что и в аналогичной оценке для опера-
оператора Aq.
Доказательство. Мы проверим, что обратный оператор А~1 суще-
существует, всюду определён, ограничен и симметричен. Отсюда будет вы-
вытекать, что оператор А самосопряжён (см. следствие 8.2).
Прежде всего, проверим, что
(Аи, v) = [и, v], u,v€ D(A). (8.11)
В самом деле, это верно при u, v G D(Aq). По непрерывности это верно
при u?D(A0), vgHi.
Теперь используем тождество
(Аои, v) = (и, A^v), и <Е D(A0), v ? D(A*Q).
В частности, это верно при u G D(Aq), v G D(A). При этом Aqu = Аи,
AqV = Av, так что мы имеем:
(Аи, v) = (u, Av) = [и, v], и G D(Ao), v G D(A).
Но отсюда, в частности,
(и, Av) = [и, v], utD(Ao), vgD(A),
а здесь можно перейти к пределу по и (если предел берется в Hi). Тогда
получим
(и, Av) = [и, v), ueHi, vGD(A). (8.12)

178 §8. Собственные значения и собственные функции
В частности, это верно при и € D(A), v G D(A). Меняя местами кии,
мы получим (8.11).
Из (8.11) следует, что
(Аи, v) = (и, Av) = [и, и], u,v? D(A). (8.13)
В частности, оператор А симметричен и
(Аи, и) = [и, и] ^ е(и, и), и G D(A), (8.14)
где е > 0 то же, что и в оценке (8.7).
Из оценки (8.14) вытекает, в частности, что КегА = 0 и опреде-
определён обратный оператор Л. При этом из симметричности А вытекает
симметричность оператора Л. Из (8.14) вытекает и ограниченность
оператора А. В самом деле, если и € D(A), то мы имеем:
откуда
IMKe^HAull, ugD(A).
Полагая v = Аи, мы получим:
НА»!! ^ е!!»!!, v G D{A~l),
что и означает ограниченность оператора А.
Проверим, наконец, что D(A-1) = Н, т.е. что Im A = Л. Мы хотим
доказать, что если / G Н, то существует такое и G D(A), что Аи = /.
Но это означает, что и eHif) D(Aq) и AqU = f, т. е.
(Aov, и) = (у>, /), v?D(Ao). (8.15)
Учитывая (8.13), мы можем переписать это тождество в виде
[<р, и] = {<р, /), ц> G D(A0). (8.16)
Теперь из теоремы Рисса ясно, что для любого / G % существует
такое и G Hi, что выполнено тождество (8.16). Остаётся проверить,
что и G D(Aq). Но это ясно из того, что благодаря (8.12) мы можем на-
наоборот переписать (8.16) в виде (8.15), что и требовалось. Теорема 8.3
доказана. ¦

8.3. Дискретность спектра в ограниченной области 179
Перейдем теперь к рассмотрению конкретного примера, который
служил для нас моделью.
Пусть Ао — оператор (-Д) на D(fi), где п — ограниченная область
в К". Как мы уже видели, сопряжённый оператор Ад переводит и в
(-Аи), если и € L2(u) и Аи € 1?(п) (оператор Д применяется здесь в
смысле теории обобщённых функций). В силу неравенства Фридрихса
оператор Ао положителен, т.е. выполнено (8.7). Построим расширение
по Фридрихсу оператора Ао. Это такой оператор А в L2(u), что
АОСАСА*О
D(A) = H1(il)nD(A*0), (8.17)
т.е.
D(A) = {u:ueH1(U), AueL2(U)}. (8.18)
По теореме 8.3 оператор А самосопряжён и положителен. Он называет-
называется обычно самосопряжённым оператором в Ь2(п), определяемым диф-
дифференциальным оператором (—Д) и граничными условиями Дирихле
и\ап = 0- Оператор А'1 всюду определён и ограничен.
8.3. Дискретность спектра оператора Лапласа
в ограниченной области
Теорема 8.4. Оператор А, определяемый в L2(Q) дифференциаль-
дифференциальным оператором (—Д) и граничными условиями Дирихле, имеет дис-
дискретный спектр. Точнее, в L2(ii) имеется ортонормированный базис
из собственных функций %j)j (j = 1, 2, ...), Vj G H1^), (—А)ф] = \jipj;
при этом Xj -> +оо при j -> +оо.
Доказательство. Сделаем вначале общее замечание о расширениях
по Фридрихсу. Пусть Ао — положительный симметрический оператор,
А — его расширение по Фридрихсу, Hi — гильбертово пространство,
полученное пополнением D(A0) по норме \\<p\\i = (Ао<р, ФI^2- Посколь-
Поскольку D(A) С Hi, то оператор А~1 отображает Н в Hi- Докажем, что
оператор А~*, рассматриваемый как оператор из Н в Hi, непрерывен.
Это проще всего вывести из теоремы о замкнутом графике. А имен-
именно, нужно проверить, что оператор А~1: Н -> Hi имеет замкнутый
график, т.е. что из условий щ -> ц> в Н, -4~V* ~* / в ^ъ вытека-
вытекает, что А~гц> = /. Но из этих условий в силу непрерывности вложения
Hi СН следует, что Л tfk -> / в Н, а в силу непрерывности операто-
оператора А~1: % -> Н мы имеем А~хц>к -» А~1<р в %, откуда А~хц> = /, что
и требовалось.

180 §8. Собственные значения и собственные функции
Вернемся к нашей конкретной ситуации. У нас "К\ = Н1(п), опе-
оператор вложения Нх(п) С Ь2(п) не только непрерывен, но и компак-
компактен. Поэтому оператор A'1: L2(fl) -f L2(?l), являющийся композици-
композицией непрерывного оператора A~l: L2(il) -> Hl(ii) и компактного опе-
оператора вложения №@) С Ь*(п), сам является компактным самосо-
самосопряжённым оператором. По теореме Гильберта оператор Л имеет в
L2(Cl) ортонормированный базис из собственных функций Vi> Ф2, •••
..., причём если fij — собственные значения, т.е. A~xipj = Pjil>j, то
\ij -> 0 при j -> +00. Отметим, что нуль не является собственным
значением оператора Л, поскольку из определения Л ясно, что
КегЛ =0.
Далее, условие A~lipj = Hji\)j можно переписать в виде ф} = Ц^Аф^
или Аф$ = \jфj где Xj = nj1. Из положительности оператора А вы-
вытекает, что А,- > 0, а из условия Hj -f 0 следует, что А^ -> +оо при
j -> +оо, что и требовалось. ¦
8.4. Фундаментальное решение оператора Гельмгольца
к аналитичность собственных функции оператора Лапласа
во внутренних точках области. Уравнение Бесселя
Мы хотим доказать аналитичность собственных функции опера-
оператора Лапласа внутри области. Поскольку собственные значения по-
положительны, то достаточно доказать аналитичность любого решения
и G D'(ft) уравнения
Au + fc2u = 0, fc>0, (8.19)
называемого уравнением Гельмгольца. Мы найдём явно фундаменталь-
фундаментальное решение оператора Гельмгольца А + А;2. Обозначим это фундамен-
фундаментальное решение через ?п (х). Если окажется, что ?n (z) аналитично
при х ф 0, то любое решение и G D'(ft) уравнения (8.19) будет анали-
аналитично в п (см. §5, теорема 5.9).
Учитывая, что оператор Д + А;2 перестановочен с поворотами, есте-
естественно искать сферически симметричное фундаментальное решение.
Пусть ?$(х) = /(г), где г = |ж|, при ж ф 0. Тогда /(г) при г > О
удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению
!^1 (r) = 0 (8.20)
(см. вычисление Д/(г) в §4, пример 4.10). Ясно, что для получения фун-
фундаментального решения надо найти решение /(г), имеющее при г -> +0

8.4. Фундаментальное решение оператора Гельмгольца 181
ту же особенность, что и фундаментальное решение ?п(ж) = ?п (ж)
оператора Лапласа. Например, если окажется, что мы нашли такое ре-
решение /(г) уравнения (8.20), что
№ = ?п(г)*(г), д 6 С2([0, +оо)), д@) = 1, (8.21)
то дословное повторение проверки того, что Д?п(х) = 6(х), приводит
к тому, что (A + k2)f(\x\) = 6(х).
Мы сведём (8.20) к так называемому уравнению Бессеяя. Это можно
сделать даже для значительно более общего уравнения
/"(г) + f f'(r) + (к2 + ?) f(r) = 0, (8.22)
где а, Р, к — произвольные вещественные (или даже комплексные) по-
постоянные. Уравнение (8.22) можно записать в виде
г2/" (г) + аг/'(г) + (/? + fc2r2) /(г) = 0.
Здесь три члена из четырёх составляют оператор Эйлера
^ + A
примененный к /. Но оператор Эйлера перестановочен с гомотетиями
прямой и имеет функции г* при любом х € С своими собственными
функциями (замена переменной г = е* переводит оператор Эйлера в
оператор, перестановочный со сдвигами по t, т. е. в оператор с посто-
постоянными коэффициентами). Поэтому естественно сделать в (8.22) сле-
следующую замену неизвестной функции
f(r)=r"z{r). (8.23)
Имеем:
/"(г) = r*z"{r) + 2*rx"V(r) + х(х -
и после подстановки в уравнение (8.22) и деления на г" мы получаем
для z(r) уравнение

182 §8. Собственные значения и собственные функции
Мы можем распорядиться параметром лг по своему усмотрению.
Первое, что приходит в голову — взять лг = — —, чтобы исчезло z' (r).
Тогда мы получим уравнение вида
z"{r) + fife2 + 4] z{r) = 0. (8.25)
Из (8.25) легко получить, что при к ф 0 решения z(r) этого уравнения
при г —> +оо ведут себя так же, как решения уравнения
и"{г)+к2и{г)=0.
Точнее, пусть, например, к > 0 (нам наиболее важен этот случай).
Тогда существуют решения z\(r) и z2(r) уравнения (8.25), имеющие при
г -> +оо асимптотики:
zi(r) = sin&r + О (i) ,
z2{r) =cos*x + 0(i). (8.26)
Это можно доказать, перейдя к интегральному уравнению аналогич-
аналогично тому, как мы это делали при нахождении асимптотики собствен-
собственных функций и собственных значений оператора Штурма-Лиувилля.
А именно, перепишем уравнение (8.25) в виде
и будем искать z (r) в виде
z (г) = Ci(r) cos кг + C2(r) sin кг.
В соответствие с методом вариации постоянной для функций Cj (r) по-
получаются уравнения
С[ (г) cos кг + C2(r) sin кг = О,
~кС[{г) sinkr + кС'2(г) coskr = —^z{r),

8.4. Фундаментальное решение оператора Гельмгольца 183
из которых получаем
p
го
ГО
г
cos ко
т-> /с
= В- J -1
Мы хотим добиться того, чтобы было Ci(r) -> А и Сг(г) -> В при
г -> +оо. Но тогда естественно взять го = +оо и написать для z (r)
выражение
оо
z{r) = A cos кг + В sin Ах + \ \ \ sin k(r - р) z{p) dp, (8.27)
к J p
p
r
являющееся интегральным уравнением относительно z (r). Перепишем
его в виде
(/ - T)z = A cos кг + В sin кг,
где Г — интегральный оператор, переводящий z(r) в последнее слага-
слагаемое в (8.27). Рассмотрим это уравнение в пространстве Сь([го, +оо))
ограниченных непрерывных функций на [го, +оо), где го > 0. Пусть
|| 21| = sup|^(r)|. Тогда ясно, что
Если го достаточно велико, то ||Т|| < 1 и интегральное уравнение (8.27)
разрешимо. Но его непрерывные ограниченные решения являются ре-
решениями уравнения (8.25), причём если z (r) — такое решение, то
оо
/1 С
~2 dp = —,
г
т. е. при г -> +оо
Qy (8.28)

184 §8. Собственные значения и собственные функции
Итак, при любых А и J5 уравнение (8.25) имеет решение с асимптотикой
(8.28). В частности, имеются решения z\(r) и Z2(r) с асимптотиками
(8.26). Ясно, что они линейно независимы. Асимптотику (8.28) можно
также записать в виде
z(r) = С sin k{r - го) + О (i) , (8.29)
откуда видно, что если z(r) вещественно (это так, например, если все
используемые постоянные вещественны), то решение z(r) имеет беско-
бесконечно много нулей, ведущих себя при г —> +оо приблизительно так же,
как нули функции sink(r — го).
Вернёмся к уравнению (8.24) и теперь выберем параметр ус так,
чтобы получилось а + 1ус = 1. Тогда мы получим для z(r) уравнение
вида
Лг) + ;*'(г) + [*2 - j?] z(r) = 0. (8.30)
Положим ещё г = А;-1ж или ж = кг. Вводя ж в качестве нового незави-
независимого переменного, мы получим вместо (8.30) уравнение для 'функции
у(х) = z(k~lx) (или z(x) = у{кх)):
у"(х) + 1у'(яО
(здесь вещественную переменную ж > 0 не надо путать с ранее исполь-
использовавшимся ж G Еп).
Уравнение (8.31) называется уравнением Бесселя, а его решения на-
называются цилиндрическими функциями.
Цилиндрические функции возникают при нахождении собственных
функций для оператора Лапласа в круге, а также при решении зада-
задачи Дирихле в круговом цилиндре конечной или бесконечной высоты
(отсюда термин «цилиндрические функции»).
Ликвидируя, как мы делали выше, у'(х) в уравнении (8.31), мы ви-
видим, что любая цилиндрическая функция имеет при ж —> +оо асимпто-
асимптотику
у(х) = 4= sinfr - ж0) + О (-) . (8.32)
Кстати, подставляя все параметры, мы видим, что уравнение (8.24)
в нашем случае (при а = 1, ус = —-, к = 1, /3 = —и2) имеет вид

8.4. ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ ОПЕРАТОРА ГЕЛЬМГОЛЬЦА 185
откуда видно, что при v = ±- уравнение Бесселя явно решается и
решения имеют вид, совпадающий с первым членом в (8.32), т.е.
у(х) = —= (A cos х + В sin x).
Vх
В частности, мы можем явно решить при п = 3 уравнение (8.20),
возникающее из уравнения Гельмгольца. А именно, беря а = 2, /? = 0,
лг = —1, мы получим, что уравнение (8.24) приобретает вид z"+k2z = 0,
откуда ясно, что при п = 3 сферически симметричные решения урав-
уравнения Гельмгольца имеют вид
f(x) —-(Acoskr + Bsinkr), г = \х\.
Фундаментальное решение получится, если А — ——. В частности,
4тг
фундаментальными решениями являются функции
eikr e~ikr cos kr
4тгг ' 4тгг ' 4тгг '
sin kr
а функция является решением однородного уравнения
(Д + к2)и{х) = 0, же!3.
Вернёмся к рассмотрению общего уравнения (8.31). Нам важно как-
то описать поведение его решений при ж -> +0. Но для этого лучше
всего попытаться искать решения в виде ряда по степеням х. Посколь-
2
ку при х -> +0 член -я играет более важную роль, чем 1, то можно
х
ожидать, что у(х) ведёт себя в нуле как решение уравнения Эйлера,
получаемого из (8.31), если убрать 1 из коэффициента при у(х). Но
решения уравнения Эйлера имеют вид линейных комбинаций функций
х" и, быть может, х" In x при подходящем выборе а. В нашем случае
мы получим подстановкой х" в уравнение Эйлера, что а = ±и. Таким
образом, естественно ожидать, что можно найти пару решении уравне-
уравнения (8.31), ведущих себя при ж -> +0 как ж±". Однако это оказывается
верно с некоторой поправкой.
Пока будем искать решения у{х) уравнения (8.31) в виде
у(х) = ха{ао + агх + о2ж2 + •••)= ацх" + aixa+1 +... (8.33)

186 §8. Собственные значения и собственные функции
Подставляя этот ряд в уравнение (8.31) и приравнивая нулю коэф-
коэффициенты при всех степенях ж, мы получим:
аа(т{(т — 1) + аца — uqu2 = О,
oi (о- + 1)<т + oi (ст + 1) - оц/2 = О,
или
(о- + к){а + к-1) + ак{и + к) + ак-2 - akv2 = О, к = 2,3,...,
ао^2 - v2) = 0, (8.34)
oi [(о- + IJ - и2] = 0, (8.35)
ofc[(a + кJ -v2] + а*_2 = 0, к = 2,3,... (8.36)
Мы можем без ущерба для общности считать, что оо ф 0 (при оо = О
можно заменить а на ст + к, где & — номер первого ненулевого коэффи-
коэффициента Ofc и затем изменить обозначения коэффициентов). Но тогда из
(8.34) следует, что а = ±v. Если v не является ни целым, ни полуцелым,
то из уравнений (8.35) и (8.36), мы находим тогда
oi = о3 = - • • = О,
_ afc-2 ак-2 _ ак-2
Если к = 2т, то отсюда получается
1 = (-l)ma0
¦1)
.. Тогда воспользовавшись тождес
sF(s) = F(s + 1), получаем
Положим ao = --г—,—г—г. Тогда воспользовавшись тождеством
2 l ^a + lj
Соответствующий ряд при a = v обозначается «7„ (ж) и называется фун-
функцией Бесселя или цилиндрической функцией 1-го рода. Таким обра-
ЗОМ) °° *ил.
Е. 1 /~\2k+i/
Ясно, что этот ряд сходится при всех комплексных значениях ж ф 0.

8.4. Фундаментальное решение оператора Гельмгольца 187
Все выкладки имеют смысл и при целом или полуцелом а = v если
v *?¦ 0 (мы можем предполагать это без ущерба для общности, так как
в уравнение входит и2). При и = —1, —2, ... можно по непрерывно-
непрерывности написать ряд (8.37), поскольку Y(z) не имеет нулей, а имеет лишь
полюса и притом лишь в точках z = 0, —1, —2, ...
Таким образом, уравнение Бесселя (8.31) при Re и *%. О всегда имеет
решение «/„(ж), имеющее вид «/„(ж) = ж"</„(ж), где ру(ж) — целая ана-
аналитическая функция от ж, причём 01,@) = —. -г ф 0. Мы не будем
искать второе решение (в тех случаях, когда оно ещё не найдено) и
не будем исследовать другие свойства цилиндрических функций. От-
Отметим лишь, что в справочниках и книгах по специальным функциям
свойства цилиндрических функций обсуждаются с той же подробно-
подробностью, с какой свойства тригонометрических функций обсуждаются в
учебниках тригонометрии. Составлены таблицы цилиндрических фун-
функций. Это же относится ко многим другим специальным функциям.
Многие из них являются, как и цилиндрические функции, решениями
некоторых линейных дифференциальных уравнений второго порядка.
Вернёмся к уравнению Гельмгольца. Мы видели, что уравнение
(8.20) сводится к уравнению Бесселя. В самом деле, оно имеет вид
(8.22) с а = п — 1, /3 = 0. Перейдём к уравнению (8.24) и возьмём
х = —-— = —-—. Тогда мы получим уравнение (8.30), в котором
i-2
откуда и = ±—-—. Поэтому, в частности, имеется решение уравнения
(8.20), имеющее вид
)
Это решение на самом деле не имеет никаких особенностей (оно
разлагается в ряд по степеням г2).
Можно рассмотреть решение
Если п нечётно, то из этой функции умножением на постоянную мож-
можно получить фундаментальное решение для оператора Гельмгольца (на
самом деле, это элементарная функция). Если п четно, то надо наряду
с Jn-a (ж) использовать второе решение уравнения Бесселя (оно назы-
называется цилиндрической функцией 2-го рода или функцией Неймана и

188 §8. Собственные значения и собственные функции
содержит In а; в разложении при х -> +0). Его можно также выразить
через Jn-2 (x) квадратурой с помощью известного приёма (например,
теорема Лиувилля даёт для второго решения линейное дифференци-
дифференциальное уравнение 1-го порядка). В любом случае, мы видим, что име-
имеется фундаментальное решение ?„ (г), аналитическое по г при г ф 0.
Отсюда все собственные функции оператора Лапласа аналитичны во
внутренних точках области.
Отметим, впрочем, что имеется общая теорема, гарантирующая
аналитичность любого решения эллиптического уравнения с аналити-
аналитическими коэффициентами. Решения эллиптического уравнения с беско-
бесконечно дифференцируемыми коэффициентами бесконечно дифференци-
дифференцируемы.
8.5. Вариационные принципы. Поведение собственных
значении при изменении области. Оценки собственных
значении
Пусть дан самосопряжённый полуограниченный снизу оператор А
в гильбертовом пространстве 71 и пусть он имеет дискретный спектр.
Пусть <р\, <р2, ... — ортонормированная полная система собственных
векторов оператора A, a Ai, Аг, ... — соответствующие собственные
значения, т.е. Afj = \j<fj, j — 1, 2, ... Дискретность спектра озна-
означает, что Aj —> +оо при j —> +оо. Мы можем поэтому считать, что
собственные значения упорядочены по возрастанию, т. е.
Ai ^ Аг ^ Аз ^ . •.,
что мы и будем предполагать в дальнейшем.
Вместо набора собственных значений удобно рассматривать неубы-
неубывающую функцию N{X), А (Е R, равную количеству собственных значе-
значений, не превосходящих А, т. е.
N{\) =
Эта функция принимает лишь неотрицательные целые значения, по-
постоянна на интервалах между собственными значениями, а в самих
собственных значениях имеет скачки, равные кратностям собственных
значений. При этом она непрерывна справа, т.е. N(X) = iV(A + 0).
Собственные значения Xj легко восстанавливаются по функции
iV(A). А именно, если А — любое вещественное число, то оно является

8.5. Вариационные принципы 189
собственным значением кратности N(X + 0) — N(X — 0) (если N(X + 0) —
- N(X - 0) = 0, то А не является собственным значением). При этом
если N(X — 0) < j' ^ N(X + 0), j — целое неотрицательное, то Xj = A.
Короче: А,- однозначно определяется из условия
N(\j - 0) < j «С N(\j + 0).
Имеет место следующее важное
Предложение 8.5. Имеет место соотношение
N(X) = sup dimL, (8.38)
LCD(A)
)(
где буквой L обозначено конечномерное линейное подпространство в
D(A) (под знаком sup написано, что sup берётся по таким L, что
(Аи, и) ^ Х(и, и), при всех и G L).
Если оператор А является расширением по Фридрихсу оператора
Ао и А не является собственным значением, то условие L С D(A)
может быть заменено более сильный условием L С D(Aq).
Доказательство. Пусть L\ — конечномерное подпространство "Н,
натянутое на все собственные векторы ipj с собственными значе-
значениями \j ^ А. Ясно, что L\ С D(A) и оператор А — XI на L\
имеет лишь неположительные собственные значения и, значит, сам
неположителен, т.е. (Аи, и) ^ Х(и, и), и € L\. В частности, мы мо-
можем взять L = L\ в правой части (8.38), Но ditnL\ = iV(A). От-
Отсюда видно, что левая часть (8.38) не больше правой. Теперь прове-
проверим, что левая часть (8.38) не меньше правой. Пусть L С D(A) и
(Аи, и) ^ \(и, и), и G L. Мы хотим доказать, что dimL ^ N(A).
Фиксируем такое подпространство L и положим М\ = Lj^ (ортого-
(ортогональное дополнение). Ясно, что если и G М\, то и разлагается по соб-
собственным функциям <pj с собственными значениями Xj > А. Поэто-
Поэтому если и G D(A), и ф 0, то (Аи, и) > \(и, и). Отсюда следует, что
LЛ М\ = 0. Рассмотрим теперь оператор Ex-.H-^V., проектирующий
на L\ параллельно М\, т.е. если и — v + w, где v € L\, w G M\, то
E\u = v.
Ясно, что KerE\ = M\. Рассмотрим теперь оператор E\\L: L ->
->• L\. Поскольку (KerE\)nL = 0, E\\L — мономорфизм. Следователь-
Следовательно, dimL ^ dim La = N(X), что и требовалось.

190 §8. Собственные значения и собственные функции
Остаётся проверить последнее утверждение предложения. Мож-
Можно считать без ущерба для общности, что (АоЩ и) ^ (и, и), и €
G D(Ao)- Будем использовать гильбертово пространство Tii, получен-
полученное пополнением D(Ao) по норме, задаваемой скалярным произведе-
произведением [и, v] = (Aqu, v), и, v G D(Ao). Вместо (Аи, v) в (8.38) мы мо-
можем писать [и, и]. Пусть || • ||i — норма в пространстве Tii- Пусть
L — любое конечномерное подпространство в D(А). В частности,
L С 7ii. Выберем в L ортогональный (в смысле Ti) базис е\, ..., ер
и пусть векторы Д, ..., /р G D(Aq) таковы, что \\ej - /,||i < 5, где
S > 0 достаточно мало. Пусть Хц — подпространство, натянутое на
/ь ¦•-. /р-
Легко видеть, что, dim L\ = dim L = р при малом S. В самом деле,
если 5Zj=i cjfj = 0, Cj G С, то умножая зто равенство скалярно на Д,
мы получаем
>(/;, /*) = 0, *=1,...,р.
Но (/,-, Д) = <Jjjt + ?jfc, где Ejk -> 0 при 6 -> 0. Поэтому матрица (<Jj* +
+ ?jfc), близкая к единичной, обратима при малом 6. Поэтому с, = 0 и
векторы fi, ..., fp линейно независимы, т.е. dimLi = р.
Далее если [и, и] ^ \(и, и), и G L, то [v, v] ^ (X + e)(v, v),.v ? Li, где
можно считать е = еE) таким, что еF) -> 0 при S -> 0. В самом деле,
если и = 53j=i Cj/j, то вектор и = Yl*=i cieii близок к и по норме || • ||i,
откуда и вытекает требуемое утверждение.
Положим теперь
Ni(X) = sup dimLi (8.39)
LD{A)
Тогда из приведённого выше рассуждения ясно, что N(\ - е) ^ Ni (A) ^
^ N(X) для любого А ? Ш и для любого е > 0. Если А не является
собственным значением, то N(X) непрерывна в точке А, откуда Ni (A) =
= N(\). Предложение 8.5 доказано. ¦
Замечание. Разумеется, N(X) восстанавливается по Ni (А) (а имен-
именно: N(\) = Ni (A + 0)).
Иногда более удобен другой способ описания собственных значений
в терминах квадратичной формы. А именно, имеет место

8.5. Вариационные принципы 191
Предложение 8.6. Имеют места формулы
Al= min (^J?), (8.40)
veD(A)\o (у, у) '
Aj+i = max min У&Л j = l, 2, ... (8.41)
dim L=j
A — расширение no Фридрихсу оператора Aq, то заменив max
ка sup и min на inf, можно вместо включения <р € Z)(A) \0 и L с )
писать <p € /?(Ло) \ 0 и L С /?(Д>) соответственно.
Доказательство. Докажем формулу (8.40). Если <р = $3jLi
6 Z?(A) (т.е. E,~i Ы2А| < +оо), то ~ 2
= ET=i\cj\2- Поэтому
причём равенство достигается при <р = (р\. Отсюда и следует (8.40).
Докажем (8.41). Пусть Ф;- — подпространство, натянутое на щ, ..., ipj.
Беря L = Ф], мы видим, что правая часть (8.41) не меньше левой. Теперь
нужно проверить, что правая часть не больше левой, т. е. что если L С
С D(A), dimL = j, то существует такой ненулевой вектор <р е L-1, что
(А<р, ip) ^ Aj+i (<p, <р). Но как и в доказательстве предложения 8.5, легко
проверить, что Ф^+i Г\ЬХ ф 0 (если бы оказалось, что Ф_,+1 Г\ЬХ =0, то
ортогональный проектор на L мономорфно отображал бы Ф^+i в L, что
противоречит тому, что dim Ф^+i = j +1 > j = dim L). Поэтому можно
взять ip € Ф^+1 П L1-, if ф 0 и тогда ясно, что (А<р, ф) ^ Aj+i(ip, <p).
Последнее утверждение предложения 8.6 проверяется так же, как в
предложении 8.5. ¦
Вернемся к собственным значениям оператора (—Д) в ограниченной
области И С Rn. Будем обозначать их Xj(ft), j = 1, 2, ..., а их функцию
распределения ./V(A) — через Nn(\). В нашем случае D(Ao) — D(ft).
Пусть теперь даны две области fii и П2, причём Hi С П2. Тогда D(fii) С
С 1)(Пг) и из предложения 8.5 следует, что
ЛГП1(АКЛГП2(А); (8-42)
поэтому
А,-(ПО ^ А,-(П2), i = l, 2, ... (8.43)

192 §8. Собственные значения и собственные функции
Собственные функции и собственные значения явно находятся, ко-
когда область ?1 есть прямоугольный параллелепипед. Пусть он имеет вид
п = @, ai)x...x@, e«).
Легко проверить, что собственные функции имеют вид
к\кх\ . кптгхп
?>*i,...,*» = ckl...kn sin -?— ... sin —^~,
где к\, ..., кп — натуральные числа, с*,...*„ — нормировочные посто-
постоянные. Собственные значения имеют вид:
Функция JVh(A) в нашем случае равна числу точек вида 1-^—, ...
... , -2— ) ? К", лежащих в замкнутом шаре радиуса \/А с центром
в точке 0. Разрешая числам к{ принимать любые целые значения, мы
получим, что точки (-^—, ..., -^ ) пробегают в Шп решётку, полу-
\ fli an /
чаемую очевидными растяжениями из целочисленной решётки. Легко
проверить, что Afo (А) при больших А оценивается с двух сторон через
объём шара радиуса л/А, т. е.
cAn/2 ^ NU(X) ^ С\п'2, (8.44)
где с, С — положительные постоянные.
Теперь заметим, что мы можем поместить в fi небольшой кубик и,
наоборот, вложить fi в достаточно большой куб. Учитывая (8.42), мы
видим, что неравенства (8.44) верны для любой ограниченной облас-
области п.
На самом деле, уточняя эти рассуждения, можно доказать следую-
следующую асимптотическую формулу Г. Вейля:
Nn(X) ~ Bтг)-пи>„ • mes П • An/2, A -> +оо, (8.45)
где ип — объём единичного шара в W, mes П — лебегов объём П.
Задачи
8-1. Пусть п — ограниченная область вК" с гладкой границей.
Пусть L — самосопряженный оператор в Ь2(п), определяемый операто-
оператором Лапласа в области Я с граничными условиями Дирихле. Функцией

Задачи 193
Грина оператора Лапласа в п называется ядро (в смысле Шварца) опе-
оператора L, т.е. такая (обобщённая) функция G(x, у), х, у G п, что
L-1f(x) = jG(x,y)f(y)dy.
п
Доказать, что
AxG(x,y) = S(x-y), G\xedu = 0,
и что G однозначно определяется этими условиями. Дать физическую
интерпретацию функции Грина.
8-2. Выяснить, какую особенность имеет функция Грина G(x, у) при
х = у G п.
8-3. Доказать, что функция Грина симметрична, т. е.
G(x, у) = G(y, x).
8-4. Доказать, что решение задачи Аи = /, и\^ = <р в области Я
записывается через функцию Грина формулой:
и(х) = JG(x,
an
где пу — внешняя нормаль к границе в точке у, dSy — элемент площади
границы в точке у.
8-5. Функцией Грина оператора Лапласа в неограниченной обла-
области п С Кп будем называть такую функцию G(x, у), х, у G п что
AxG(x, у) = 5(х — у), <?| 9П = 0 и выполнено следующее условие на
бесконечности: G(x, у) -> 0 при |а;| -> +оо (при фиксированном у G п),
если п ^ 3, G(x, у) ограничена при |а;| -> +оо и при фиксированном
у ? Я, если п = 2. Найти функцию Грина полупространства xn ^ 0.
8-6. Пользуясь результатом предыдущей задачи, написать формулу
для решения задачи Дирихле в полупространстве хп при n ^ 3. Решить
эту задачу Дирихле также с помощью преобразования Фурье по х' —
= (xi, ..., xn-i) и сравнить получившиеся результаты.
8-7. Найти функцию Грина круга в Е2 и шара в Еп.
8-8. Написать формулу для решения задачи Дирихле в круге и шаре.
Вывести отсюда формулу Пуассона из задачи 7-2 (при п = 2).
8-9. Найти функцию Грина полушара.
7 Шубин М.А

194 §8. Собственные значения и собственные функции
8-10. Найти функцию Грина четверти пространства Е3, т. е. области
{(хи Х2, х3): х2 > 0, х3 > 0} С I3.
8-11. Функция Бесселя Jv{x) задана рядом
Доказать, что если п е Z+, то J-n(x) = (-1)п«7„(ж).
8-12. Доказать, что если п (Е Z+, то уравнение Бесселя
наряду с решением Jn(x) имеет решение вида
оо
1ПХ ¦ Х~П^^СкХк, Cq ф 0.
8-13. Доказать, что разложение функции е7 '*~'' в ряд Лорана по t
(при t ф 0, оо) имеет вид
е !(*-*)= Y,Jn{x)tn.
—оо
8-14. Доказать, что разложение функции егхят<р в ряд Фурье по ip
имеет вид
оо
eixsin<p = J0(x) +
8-15. Найти собственные значения и собственные функции операто-
оператора Лапласа в прямоугольнике. Доказать, что полученные таким обра-
образом функции составляют полную ортогональную систему.
8-16. Пусть А; € Z+ и аь,\ < а*,2 < ... все нули функции Бесселя
Jk (х) при х > 0. Доказать, что
8-17. Используя результат задачи 8-16, найти полную ортогональ-
ортогональную систему собственных функций оператора Лапласа в круге.
8-18. Описать схему решения методом Фурье задачи Дирихле в пря-
прямом круговом цилиндре (конечной высоты).

195
§9. Волновое уравнение
9.1. Физические задачи, приводящие к волновому уравнению
Существует много физических задач, приводящих к волновому ура-
уравнению
ии = а2 Аи, (9.1)
где и = u(t, х), t € Ш, х € Еп, Д •— лапласиан по переменным х. Часто
встречается также более общее неоднородное уравнение
ии = а?Аи + /(*, х). (9.2)
Мы уже видели, что малые колебания струны подчиняются урав-
уравнению (9.1) (при п — 1), а при наличии внешней силы — уравнению
(9.2). Можно показать, что малые колебания мембраны удовлетворя-
удовлетворяют аналогичным уравнениям, если под и = u(t, i),ie^, понимать
вертикальное смещение мембраны от положения равновесия. Аналогич-
Аналогично, при малых колебаниях газа (звуковых колебаниях) его параметры
(например, давление, плотность, смещение частиц газа) подчиняются
уравнению (9.1) (сп = 3).
Важнейшим примером, в котором уравнения вида (9.1) и (9.2) игра-
играют важную роль, является электродинамика. Остановимся на этом не-
несколько подробнее.
Уравнения электродинамики (уравнения Максвелла) имеют вид
divE=-?-, (Ml)
-|p (M2)
divB = 0, (МЗ)
Здесь Е, В — векторы напряжённости электрического и магнитно-
магнитного полей (это трёхмерные векторы, зависящие от t и от х, х € К3),
р — скалярная функция от t и х (плотность электрических зарядов),
j — трёхмерный вектор плотности электрического тока, также зави-
зависящий от t и от х (если заряды, имеющие в данной точке и в данный
момент времени плотность р, движутся со скоростью в, то j = pv. Чи-
Числа с, ?о — универсальные постоянные, зависящие от выбора системы
единиц — скорость света и «диэлектрическая проницаемость вакуу-
вакуума».

196 §9. Волновое уравнение
Уравнения Максвелла следует для их приложений дополнить фор-
формулой для силы Лоренца — силы, действующей на движущийся заряд.
Эта сила имеет вид
»xB), (M5)
где q — величина заряда, в — его скорость, а косой крест означает
векторное произведение. Формула (М5) может служить для экспери-
экспериментального измерения полей Е и В (или, если угодно, для определения
их как физических величин).
Обсуждение экспериментальных фактов, лежащих в основе уравне-
уравнений (М1)-(М5), можно найти в учебниках физики (см., например, [52,
книги 5 и 6]).
Преобразуем уравнения Максвелла, введя скалярный и векторный
потенциалы уз и А. А именно, из уравнения (МЗ) следует, что В = rot A,
где А — векторная функция от t и от х, определённая с точностью до
такого поля Ао, что rotA0 = 0, т.е. поля Ао = gradV», где гр — ска-
скалярная функция. Подставляя выражение В = rot А в уравнение (М2),
(Л А \ Л А *
Е + -яг) = О, откуда Е + -~т = — graAip, где
<р — скалярная функция. Итак, вместо уравнений (М2) и (МЗ) можно
написать:
В = rot А, (Мб)
15Г- (М7)
Вектор-функция А называется векторным потенциалом, а скалярная
функция <р — скалярным потенциалом. Заметим, что уравнения (Мб)
и (М7) не определяют потенциалов А и <р однозначно. Мы можем, на-
например, не меняя полей Е и В, заменить А на А' и уз на уз', где
A' = A + gradV, <р' = <р-?? (М8)
(это преобразование потенциалов называется калибровочным преобра-
преобразованием). Можно использовать преобразование (М8) для получения
более простых уравнений на потенциалы. Например, используя свобо-
свободу, даваемую преобразованием (М8), мы можем получить любое зна-
значение div A' = div A + divgrad^ = div A + Аф, поскольку с помощью
решения уравнения Пуассона Аф = a(t, x), можно добиться любого
значения Аф и, следовательно, div А.

9.1. Физические задачи 197
Получим уравнения на А и ip, используя два оставшихся уравнения
Максвелла. Подставляя выражение Е через потенциалы в (Ml), полу-
получим
-Aif-^-divA=?-. (M9)
СП ?0
Подставляя Б и В в уравнение (М4), мы получаем
c2rotrotA- K-grady,- ^) = К
Используя легко проверяемое тождество
rot rot A = grad(div A) - ДА
(лапласиан справа применяется покомпонентно), мы получаем из по-
последнего уравнения
й rfi А
-c2AA + c2grad(divA)-|-^grad?j-|-^ = i. (M10)
А теперь выберем divA, пользуясь калибровочным преобразованием,
так что „
Точнее, пусть вначале даны какие-то потенциалы <р', А', мы хотим
так подобрать функцию гр в калибровочном преобразовании (М8), что-
чтобы ip и А удовлетворяли условию калибровки (МП). Но зто даёт для
функции tp уравнение вида
\Щ - Аяр = вA, х), (М12)
с ut
где в — известная функция. Мы получили неоднородное волновое урав-
уравнение.
Предположим, что мы решили это уравнение и, найдя функцию tp,
получили потенциалы <р и А, удовлетворяющие условию (МП). Тогда
второй и третий члены в (М10) исчезнут и мы получим
= i, (Mi3)
dt2
а уравнение (М9) приобретает вид
^^д ^?. (М14)

198 §9. Волновое уравнение
Таким образом, мы можем считать, что потенциалы tp и А удовле-
удовлетворяют неоднородным волновым уравнениям (М13), (М14), которые
вместе с условием калибровки (МП) равносильны системе уравнений
Максвелла. Калибровка (МП) называется калибровкой Лоренца.
Обозначим через D волновой оператор (или даламбертиан)
п = S -с2д. (М15)
от
и пусть П" означает оператор свёртки с каким-нибудь фундаменталь-
фундаментальным решением этого оператора. Тогда П перестановочен с диффе-
дифференцированиями. Предположим, что П"~^ и G~1p имеют смысл. То-
• 2
гда потенциалы А = П"— и tp = П—- удовлетворяют уравнениям
?0 ?0
(М13) и (М14). Но будет ли выполнено условие калибровки Лоренца?
Подставляя найденные А и tp в (МП), мы видим, что это условие вы-
выполняется тогда и только тогда, когда
-? + div j = 0. (М16)
eft
Но это условие означает сохранение заряда. Таким образом, если име-
имеет место сохранение заряда, то решение уравнений Максвелла можно
найти, если уметь решать неоднородное волновое уравнение.
Преобразование уравнений Максвелла к виду (М13), (М14) позволя-
позволяет легко увидеть инвариантность уравнений Максвелла относительно
преобразований Лоренца, т. е. линейных преобразований пространства-
времени К| х , сохраняющих метрику Минковского
<?dl?-dx2-dy2-dz2.
В пустом пространстве (при отсутствии токов и зарядов) потенци-
потенциалы tp и А подчиняются волновому уравнению вида (9.1) при п = 3 и
а = с. Отсюда следует, что компоненты векторов Е и В удовлетворяют
тому же уравнению.
9.2. Плоские, сферические и цилиндрические волны
Плоской волной называется решение уравнения (9.1), которое при
фиксированном t постоянно на каждой из плоскостей, параллельных
некоторой заданной плоскости. Поворотом в аг-пространстве легко до-
добиться того, чтобы рассматриваемое семейство плоскостей имело вид

9.2. Плоские, сферические и цилиндрические волны 199
х\ = const. Тогда плоская волна — это решение уравнения (9.1), зави-
зависящее лишь от t и от х \. Но тогда оно является решением одномерного
волнового уравнения
utt = a?uXlXl,
т. е. имеет вид
u(t, х) = f(xi - at) + д(хг + at),
гДе /j 9 — произвольные функции. До поворота каждое из слагаемых
имело, очевидно, вид /(г • х — at), где г G W1, \г\ = 1. Другой способ
записи: f(k ¦ х — wt), где к — уже не единичный вектор. Такой способ
применяется, чтобы сделать аргумент функции / безразмерной величи-
величиной, и чаще всего используется в физике и механике. Если t измеряется
в секундах, ахв метрах, то ш имеет размерность 1/сек, а к — размер-
размерность 1/м. Подставляя f(k-x—wt) в (9.1), мы видим, что u>2 = a2|fe|2 или
а = ттг. Ясно, что скорость движения фронта плоской волны f(k-x—wt)
1*1
(плоскости, где / имеет данное значение) равна a — уравнение такого
фронта k-x — uit = const, где к и ш таковы, что ш2 — a2|fe|2 = 0. Важный
пример плоской волны — волна e%(k-x~wt) (обычно так пишут, подразу-
подразумевая, что берётся действительная или мнимая часть). В этом случае
каждая фиксированная точка х совершает синусоидальные колебания
с частотой и>, а при фиксированном t волна синусоидально зависит от
к • х, так что происходит синусоидальное изменение по направлению
вектора к со скоростью |fe|. Вектор к часто называют волновым век-
вектором. Соотношение u>2 = a2|fe|2 называется законом дисперсии для
рассматриваемых волн (в физике встречаются и более общие законы
дисперсии вида и = и (к)). На самом деле много решений волнового
уравнения можно получить суперпозицией плоских волн с различными
значениями к. Однако мы непосредственно получим важнейшие типы
таких волн.
В дальнейшем будем считать, что п = 3 и изучим сферические вол-
волны — решения уравнения (9.1), зависящие лишь от t и от г, где г = \х\.
Итак, пусть и = u(t, г), где г = |ж|. Тогда уравнение (9.1) запишется в
виде
\utt = urr + -ur. (9.3)
Умножим обе части на г и воспользуемся тем, что
rurr + 2ur = т-о(ги).
or

200 §9. Волновое уравнение
Тогда получим, очевидно,
^{ги)и = (ги)гт, (9.4)
откуда ru(t, г) = f(r — at) + g(r + at) и
u{t, г) = f-±=^- + gCr±5ft. (9.5)
Это общий вид сферических волн. Волна г f{r — at) расходится от
точки 0 € К3, волна же г g(r + at), наоборот, сходится к ней. В элек-
электродинамике обычно рассматривают лишь волну, расходящуюся от «ис-
«источника», отбрасывая второе слагаемое в (9.5) из физических сообра-
соображений. Функция /(г) в этом случае характеризует свойства источника.
Фронтом расходящейся сферической волны естественно считать сфе-
сферу г — at = const. Видно, что скорость движения фронта по-прежнему
равна а.
Перейдём к рассмотрению цилиндрических волн — решений урав-
уравнения (9.1), зависящих лишь от ? и от расстояния до оси а;3. На самом
деле цилиндрическая волна зависит лишь от t, Х\, Х2 (и даже только от
tvip = \/х\ + ж|), так что она является решением волнового уравнения
(9.1) с п = 2. Однако удобно считать её решением волнового уравнения
с п = 3, но решением не зависящим от х3.
Один из способов сконструировать цилиндрические волны таков:
нужно взять суперпозицию одинаковых сферических волн, расходящих-
расходящихся из всех точек оси аг3 (или сходящихся ко всем точкам оси хз)- Пусть
бз — единичный вектор, направленный по оси х$- Тогда мы получим
цилиндрическую волну, написав
„(t, х)=] /A*-*ез|-аО ^ 7 fl(|s-,e3| + a0
J |x-ze3| J |x-ze3| '
-oo -oo
Положим
r = \x- ze3| = vV + (*з - zJ, p=
Ясно, что v(t, x) не зависит от ж3 и зависит лишь от t и р. Мы можем
считать в (9.6), что ж3 = 0. Тогда под знаками интегралов стоят чётные
функции от z и интеграл достаточно сосчитать от 0 до +оо. Введём
ещё г в качестве переменной интегрирования вместо z, так что
dr = - dz, dz = -dr = . dr.

9.3. Волновое уравнение как гамильтонова система 201
Учитывая, что г меняется от р до оо (при z G [0, оо)) мы получаем
ИЛИ
v(t, Р) = 2 7 , ™« | " 7 # *«>« (9.7)
p—at P+at
Все эти выкладки имеют смысл, когда написанные интегралы схо-
сходятся. Например, если /, д — непрерывные функции от ?, то достаточ-
достаточно, чтобы они при ? -> +оо вели себя так, что
М М
где М > 0. Можно показать, что формула (9.7) даёт общий вид цилин-
цилиндрических волн.
Опишем кратко другой способ получения цилиндрических волн. Ес-
Если искать цилиндрическую волну вида v(t, р) = ewtf(p), то для f(p)
получается уравнение Бесселя порядка 0:
Теперь можно взять суперпозицию таких волн (они называются «мо-
«монохроматическими»), интегрируя по и.
9.3. Волновое уравнение как гамильтонова система
Выше при п = 1 мы уже обсуждали возможность записи волнового
уравнения как уравнения Лагранжа некоторой системы с бесконечным
числом степеней свободы. Теперь сделаем кратко то же самое при п = 3,
вводя соответствующие величины по аналогии с одномерным случаем.
Кроме того, мы обсудим и возможность перехода к гамильтонову фор-
формализму. Для простоты мы будем рассматривать лишь такие функции
u(t, x), которые являются гладкими функциями от t со значениями в
5(К^), т.е. будем исследовать уравнение (9.1) в классе быстро убыва-
убывающих по х функций.
Введём терминологию, аналогичную терминологии, употребляемой
в классической механике.

202 §9. Волновое уравнение
Пространство М = S(K|) будем называть конфигурационным про-
пространством. Элемент и(х) G S(Ka) можно представлять себе как «на-
«набор координат» трёхмерной системы, причём х — это «номер» или
«индекс» координаты, а и{х) — сама координата с «номером» х. Ка-
Касательным расслоением к М будем называть прямое произведение
ТМ = ЦШ-1) х S(M^). Как обычно, множество пар {щ, v} G ТМ при
фиксированном it0 G М обозначается ТМио и называется касатель-
касательным пространством в точке it0 (это пространство берется канониче-
канонически изоморфным М, как в случае, когда М — конечномерное вектор-
векторное пространство). Элементы ТМ называются касательными векто-
векторами.
Путь в М — это функция u(t, x), t ? (а, Ь), являющаяся бесконечно
дифференцируемой функцией от t со значениями в S(E|). Скорость
пути u(t, х) в момент времени t0 — это касательный вектор {u(t0, x),
ii{t0, а:)},гдеп= -^.
Кинетической энергией называется функция К на касательном рас-
расслоении, определяемая формулой
Если дан путь u(t, x) в М, то беря при каждом t касательный вектор
{и, й} и значение на нём кинетической энергии, мы получим функцию
времени
K(u) = \J[u(t,x)]2dx,
R3
которую будем называть кинетической энергией вдоль пути и.
Потенциальной энергией назовем следующую функцию U на М:
R3
Если есть путь в М, то потенциальная энергия вдоль этого пути явля-
является функцией времени. С помощью канонической проекции ТМ -> М
функция U поднимается до функции на ТМ, которую мы снова будем
обозначать через U. Таким образом
U({и, v}) = Щи).

9.3. Волновое уравнение как гамильтонова система 203
Лагранжианом или функцией Лагранжа назовем функцию L = К —
-{/на ТЫ. Действием вдоль пути u(t, x), t G [to, h], назовем интеграл
вдоль этого пути
S = S[u] = / Ldt,
to
где
L = L({u(t, x), u(t, x)}) = \ J[u(t, x)]2dx - ? J\ux(t, x)fdx.
R3 R3
Волновое уравнение (9.1) может быть записано в виде SS = 0, где
SS — вариация (или дифференциал) функционала 5, которая берёт-
берётся по путям u(t, x) с фиксированными началом u(t0, x) и концом u(ti,
х). В самом деле, если Su(t, x) допустимая вариация пути, т.е. глад-
гладкая функция от t G [to, ti] со значениями в S(K^)i причём Su(to, x) =
= Su(ti, х) = 0, то для такой вариации пути SS имеет вид
= ^S[u + e(Su)]\e=0= I fu(Su)dxdt-a2 f f ux -5uxdxdt =
to R3 to R3
^rSudxdt + a2 ff(Au)Sudxdt = (I\-DuMudxdt,
а2
где ? = —g ~ в А* — даламбертиан.
Теперь ясно, что условие SS = 0 равносильно уравнению Пи = 0,
т.е. волновому уравнению (9.1).
Для перехода к гамильтонову формализму теперь надо было бы вве-
ввести кокасательное расслоение Т*М. Но в нашем случае на каждом ка-
касательном пространстве ТМио имеется скалярное произведение, зада-
задаваемое квадратичной формой К, что позволяет отождествить Т*Мио
и ТМио. Итак, положим T*MUo = TMUo и Т*М = ТЫ.
Гамильтониан или энергия — это следующая функция на ТЫ:
Н = Н{{и, v}) = K + U= \Jv2{x)dx + ? J\ux{x)\2dx.
R3 R3
Если дан путь u(t, x), то Н({и, й}) вдоль этого пути является фун-
функцией времени.

204 §9. Волновое уравнение
Предложение 9.1 (закон сохранения энергии). Энергия постоянна
вдоль любого пути u(t, х), удовлетворяющего уравнению Пи = 0.
Доказательство. Вдоль пути u(t, х) имеем
— = / uudx + a I ux ¦ ux ax =
R3 R3
= I uudx — a2 I Аи -udx = I (Dit) • йdx = 0,
R3 R3 R3
что и требовалось. ¦
Следствие 9.2. При любых (р, ф e §(R|) существует не более од-
одного пути u(t, х), удовлетворяющего уравнению Пи = 0 « начальным
условиям
u(t0, х) = <р(х), u(t0, x) = ф(х).
Доказательство. Достаточно проверить, что если ip = ф = 0, то
« = 0. Но это сразу следует из того, что вдоль этого пути Н = const =
= 0. ¦
Гамильтонова запись уравнения использует ещё симплектическую
форму на Т*М. Симплектическая форма должна быть задана на ка-
каждом касательном пространстве к Т*М в фиксированной точке. В
нашем случае такое касательное пространство естественно отожде-
отождествить с самим Т*М — ТМ, так что мы будем иметь Т(Т*М) =
= Т*М х Т*М = ТМ х ТМ. Элемент Т(Т*М) нужно записывать в
виде четверки {и, v, 8u, Sv}, состоящей из функций, принадлежащих
8(К71). Сама симплектическая форма будет зависеть лишь от Su, 8v-
Положим для краткости Su = a, Sv = /3. Тогда симплектическая фор-
форма, по определению, имеет вид
[{а,/3}, {«!,/?!}] =|(a/31-/3a1)dx.
R3
(это аналог употребляемой в классической механике 2-формы 52?=i dpjA
hdq,).
Полезно в качестве упражнения продумать, почему уравнение ?« =
= 0 имеет гамильтонов вид при описанном введении симплектическои
структуры. Нам это не понадобится, и мы не будем этого делать. Нам

9.4. Сферические волны и задача Коши 205
важно, однако, что преобразование фазового потока гамильтоновой си-
системы сохраняет симплектическую форму (или, как говорят, является
каноническим преобразованием). Сформулируем конкретный аналити-
аналитический факт, из которого это вытекает.
Предложение 9.3. Пусть даны два пути u(t, x) и v(t, x). Рассмо-
Рассмотрим следующую функцию от t
[и, v]= I (uv - uv)dx.
R3
Тогда если Qu = Ov = 0, то [и, v] = const.
Доказательство. Имеем:
jt[u,v] = J jt(uv-uv)dx =
R3
= I (uv - uv) dx = a? I (u ¦ Av - Ди • v) dx = 0,
R3 R3
что и требовалось. ¦
9.4. Сферическая волна от мгновенной вспышки и решение
задачи Коши для трехмерного волнового уравнения
Вернёмся к рассмотрению сферических волн и рассмотрим расходя-
расходящуюся волну
f(r-at)
г
г = |х|. (9.8)
Функция f(—at) характеризует интенсивность источника волны в
момент времени t. Интересно взять волну, испускаемую при мгновен-
мгновенной вспышке источника. Для этого положим /(?) = й(?). Мы получим
волну
S±-at) = ^-at) = ,
которой нужно ещё придать точный смысл.
Придать точный смысл волне (9.9) можно многими эквивалентными
способами. Мы будем считать её обобщённой функцией по х, зависящей
от t как от параметра.

206 §9. Волновое уравнение
Рассмотрим сначала волну (9.8) и возьмем в ней / = Д, где Д(?) €
G С^Ж1), МО > 0, Д(# = 0 при К| > 1/к и //*«)<? = 1, так что
Д @ -»• E(?) при А; -»• +оо. Теперь положим
E(г - а*) = lim Д(г - а*), (9.10)
*-voo
если предел существует в D'(M3) (или, что то же самое в ?'(Е3), по-
поскольку носители всех функций Д (г — at) лежат в фиксированном ком-
компакте). Ясно, что предел существует при t < 0 и равен нулю, так что
6(r — at)=O при t < 0. Мы увидим, что предел существует и при t > 0.
Тогда этот предел является обобщённой функцией д(г — at) G ?'(М3),
причём ясно, что
suppJ(r — at) = {х : |х| = а*}.
Поскольку - = —г бесконечно дифференцируема в окрестности
г |ж|
supp5(r — at) (при ? ф 0), то определена обобщённая функция — -,
причём
&Z«S ML-fi М0. (9.11)
г *->оо at ^
Докажем существование предела (9.10) при ООи вычислим этот
предел. Пусть tp € D(M3). Запишем интеграл (Д(г - af), ip) в полярных
координатах:
(Д(г - at), tp) = Jfk (\x\ - at) <p(x) dx =
= /I J h(r- at)ip(x)dSr dr =
О \Ц|=г
оо
= J Mr-at) j tp(x)dSr dr, (9.12)
о \|*|=r /
где dSr — элемент площади поверхности сферы радиуса г. Ясно, что
интеграл /u|_r tp(x)dSr является бесконечно дифференцируемой функ-
функцией от г при г > 0. Поскольку lim МО = ^(?)> то мы имеем, очевид-
очевидно: *^°°
1:- 'fk(r-at),ip)= J ip(x)dSat,
\x\=at

сав
9.4. Сферические волны и задача Коши 207
и, таким образом, предел в (9.10) существует, причём
F(r-at),<p)= J <p(x)dSat. (9.13)
\x\=at
Можно перейти здесь к интегрированию по единичной сфере, запи-
(E(г - at), tp) = а2*2 Г ip(iat)x') dSi.
\x'\=l
Отсюда
\x'\=l
Полезно изучить зависимость от параметра t. Из формулы (9.14)
ясно, что
,. Sir — at) „ fn ic\
hm — = 0 (9.15)
и мы по непрерывности положим — |<=о = 0- Наконец, из (9.14)
ясно, что — бесконечно дифференцируема по t при t > 0
г
(в слабой топологии). Производные по t легко вычисляются. Напри-
Например,
_ d /6jr -at)
Г ^ Г Виз .
# //л /\ j q | л2л \ I ^ ((ni\ I"' I rJQ fQ I f\\
|x'|=l '-Vl=l
Отсюда, в частности, видно, что
= 4тгаE(а;). (9.17)
dt r
(первый из интегралов в (9.16) стремится 47гоу>@), а второй к ну-
нулю).
Наконец, ввиду соотношения (9.11) ясно, что

208 §9. Волновое уравнение
Таким образом, обобщённая функция — является при t > 0
решением волнового уравнения и удовлетворяет начальным условиям
I. (9.19)
. S(r + at) n
Аналогично строится сходящаяся волна — -, которая равна 0
при t > 0, а при t < 0 является решением волнового уравнения и удо-
удовлетворяет начальным условиям
, „ *(r + «rf) Sir-at)
(все это ясно, например, из того, что — получается из — -
заменой t на — t). Кроме того, можно делать сдвиг по пространствен-
пространственным и временным переменным и рассмотреть волны
5(\x-xo\-a{t-to)) S(\x-xo\+a(t-to))
\х-хо\ ' \х-хо\ '
также являющиеся решениями волнового уравнения с начальными ус-
условиями (при t = to), полученными заменой 6(х) на 8{х — xq) в условиях
(9.19) и (9.20).
Теперь мы хотим применить теорему о сохранении симплектической
формы (предложение 9.3) к произвольному решению u(t, x) уравнения
Пи = 0 и к волне
V[t* X) —
к J
\х-хо\
Мы будем считать, что и ? С1 ([0, to] x К|) и выполнено уравне-
уравнение Пи = 0 (оператор ? применяется в смысле обобщённых функций).
Тогда форма [и, v] имеет смысл:
[и, v] = J{ui) - uv)dx = (^»(«, х), «(*, х)^ - (v(t, x), ^u(t, x)} ,
где скобки (•, •) означают значение обобщённой функции переменного
х на основной функции (t является параметром), что имеет смысл при
и € С1 (а не и € Cq°) благодаря явным формулам (9.14), (9.16). Теперь
нам необходимо соотношение [и, v] = const, которое справедливо при

9.4. Сферические волны и задача Коши 209
и е С2 и доказывается аналогично предложению 9.3 (или может быть
получено с помощью аппроксимации и и v гладкими финитными по х
решениями волнового уравнения, что можно сделать, например, с по-
помощью операции усреднения). По существу нужно лишь проверить, что
-j-[u, v] = [it, v] + [и, v], что видно, например, из явных формул (9.14),
(9.15), задающих функционалы v и v.
Теперь мы выпишем явно соотношение
(9.21)
Положим u|t=0 = tp(x), 7^|t=0 = Ф(х). Тогда
.л! _ д /S(\x-xo\+a(t-to))
/S(\X-Xo\+a{t-to)) \, =
\ \х-хо\ rv V 1*=о
S(\x-xo\-ato)
Ло
\x-xo\=ato \ \x-xo\=ato
Далее, в силу (9.20) имеем:
[и, v]\t=to = -47га(й(х - хо), u(t0, х)) = -47гаи(?0, %о)-
Поэтому соотношение (9.21) записывается в виде:
|i—Xo\=ato
Заменяя t0, ^o на <, x, мы получаем отсюда:
at, (9.22)
|»-l|=ot / |»-x|=e4
где dSat — элемент площади сферы {у : \у - х| = at}.

210 §9. Волновое уравнение
Мы получили формулу, дающую решение задачи Коши
Формула (9.22) называется формулой Кирхгофа. Сделаем некоторые
выводы из неё.
1. Решение задачи Коши единственно и непрерывно зависит от на-
начальных данных при подходящем выборе топологий (например,
если ф непрерывно меняется в С (Mr), а у> непрерывно меняется
в С1 (К3), то u(t, x) непрерывно меняется в С(М?) при каждом
t > 0).
2. Значение u(t, x) решения в момент времени t в точке х зависит
лишь от начальных данных вблизи сферы {у : \у — х\ = at}.
Предположим, что при t = 0 начальное состояние отлично от 0 лишь
в некоторой малой окрестности одной точки хо- Но тогда в момент
времени t возмущение будет отлично от 0 лишь в малой окрестности
сферы {х : \х — хо| = at}. Это значит, что возмущение распространя-
распространяется со скоростью а и при этом через некоторое малое время совсем
исчезает в каждой данной точке наблюдения. Таким образом, распро-
распространяющаяся волна имеет передний и задний фронты. Резко локализо-
локализованное начальное состояние наблюдается позднее из другой точки как
явление, столь же резко локализованное. Это явление называется прин-
ципом Гюйгенса. Благодаря тому, что принцип Гюйгенса имеет место
для волнового уравнения при п = 3, мы можем передавать информацию
при помощи звука или света. Как мы увидим ниже, при п = 2 прин-
принцип Гюйгенса уже не имеет места (раз начавшись, колебания никогда
не кончаются — например, волны на воде). Тем самым, жителям Флат-
ландии (плоского мира) было бы очень трудно передавать информацию
на расстояние.
Мы ещё не доказали существование решения задачи Коши (9.23).
Но это проще всего сделать, взяв функцию u(t, x), построенную по
формуле Кирхгофа (9.22), и проверив, что она является решением за-
задачи (9.23). Выполнение уравнения Dm = 0 можно вывести из того,
что в формуле (9.22) написана сумма двух свёрток <р* -х и
at Air r
1 S(r-at) , .. ,_,
ф * -—i - (свертки берутся по переменной х € Mr, a t считается
параметром) функций ip и ф с обобщёнными функциями по х, гладко
зависящими от t и удовлетворяющими в естественном смысле волново-
волновому уравнению (при t > 0).

9.4. Сферические волны и задача Коши 211
Мы используем другой, более удобный способ рассуждений. Что-
Чтобы не возиться с рассмотрением обобщенных функций, зависящих от
8(r-at) , ,
параметра, удобно рассмотреть — как обобщенную функцию на
Ж%х, полагая
оо
/S(r-at) . Д f/S(r-at) ,. Л ,х
( - » V0» х)) = / \ „ . ?>(*> x)) dt =
О
оо оо
= [aidt I lP(t>x)dS<4= I dtat I ?>(*, ete')d5i, jj?DA4).
0 \x\=at 0 |i'|=l
(9.24)
Из этой формулы видно, в частности, что определяемый правой ча-
частью функционал на D(E4) является обобщённой функцией и мы бу-
.. 8{r-ai) _
дем снова обозначать ее — -. Таким образом, можно считать, что
Легко видеть, что supp — = К+, где К+ верхняя пола свето-
г
вого конуса {(t, х) : \х\2 — a2t2 = 0}, а именно:
К+ = {(*, х) : \х\ = at} = {(t, x) : \х\2 - а2*2 = 0, t > 0}.
Легко проверяется также, что ?— = 0 при \t\ + \х\ ф 0. В
6(г - at) . ,..,
самом деле, — = 0 вне л", поэтому достаточно проверить, что
г
?— = 0 при t > 0. Но это ясно, например, из соотношения (9.11),
верного и в том случае, когда предел понимается в D'({(?, x) : t >
> е > 0}) при любом е > 0.
Теперь можно проверить, что правая часть (9.22) имеет вид суммы
двух свёрток
и =
(9-25)
а тогда выполнение уравнения Пи = 0 очевидно из свойств свёртки.
Начальные условия в (9.23) можно также вывести из (9.25), одна-
однако мы сделаем это непосредственно, опираясь на структуру формулы

212 §9. Волновое уравнение
(9.22). Заметим, что формула Кирхгофа имеет вид
и = иф + ^и{р, (9.26)
где
uj,(t, х) = —^- / ip(y)dSat, (9.27)
4тга t J
\y-x\=at
&uv — аналогичное выражение, полученное заменой ф на у>. Эта струк-
структура формулы Кирхгофа не случайна. В самом деле, пусть мы доказали,
что Пф — решение задачи Коши
_0 = ^. (9.28)
Докажем, что тогда vv = д- «v является решением задачи Коши
U ^U = 0. (9-29)
Уравнение Cto^ = 0 выполняется по очевидной причине, как и условие
ivlt=o = У' вытекающее из последнего условия в (9.28). Остаётся про-
проверить последнее условие в (9.29). Считая, что uv ? С2 при t ^ 0, мы
получим:
что и требовалось. Условие uv 6 C2(t ^ 0) выполнено, например, при
у> 6 C2(R3), как это видно, например, из записи и^ в виде:
= ^ I Ф{х + aty')dSi.
Из этой же записи очевидно выполнение (9.28) при ф ? С1 (К3).
Итак, если ip € C^R3), y> 6 С2(В?), то формула Кирхгофа (9.22)
даёт решение задачи Коши (9.23) (уравнение Ои = 0 выполняется в
обобщённом смысле при t > 0). Бели дополнительно считать, что ip €
6 С2 (В?) nip? С3 (К3), то и 6 С2 (В?) и уравнение Пи = 0 выполняется
в классическом смысле. Итак, задача Коши (9.23) однозначно разреши-
разрешима. Из формулы Кирхгофа ясно также, что она корректна.

9.5. Фундаментальное решение трёхмерного оператора 213
9.5. Фундаментальное решение трёхмерного волнового
оператора и решение неоднородного волнового уравнения
Положим ./. . ч
^|=^ * (9.зо)
Теорема 9.4. Обобщённая функция ?з(?, х) удовлетворяет уравне-
уравнению П?з(?> х) = 6(t, х), т. е. является фундаментальным решением
оператора Даламбера П.
Доказательство. По существу утверждение вытекает из того, что
П?3(*, х) = 0 при |*| + \х\ ф 0, E3(t, х) = 0 при t < 0, ?3(+0, х) =
ftp
= 0, "дг(+0, х) = S(x). Функцию ?з(<, х) можно рассматривать как
гладкую функцию от t (при t ф 0) со значениями !D'(R3), причём при
t = 0 она сама непрерывна, а -^ имеет скачок, равный 6(х). Поэтому
применение оператора ? = —% ~ °2^х к ?з даёт 6(t) (8> 6(х) = 6(t, x).
Приведённые рассуждения трудно сделать совсем строгими (если
стремиться к этому, то возникнет необходимость сложной возни с то-
топологией в D'(E3)). Однако можно рассматривать всё вышесказанное
как эвристику, проведя проверку соотношения П?з(?, х) = S непосред-
непосредственно. Это делается аналогично соответствующей проверке для урав-
уравнения теплопроводности (см. § 6, доказательство теоремы 6.4) и предо-
предоставляется читателю в качестве упражнения. ¦
Теперь, пользуясь фундаментальным решением ?з(?, х), мы можем
решить неоднородное волновое уравнение Пи = /, написав формулу
« = ?з*/, (9.31)
если свёртка в правой части имеет смысл. Свёртка (9.31) называется
запаздывающим потенциалом. В более подробной записи запаздываю-
запаздывающий потенциал имеет вид
сю
|«|=аг
оо
^J I - (9-32)
О |у|=вг
(здесь интегрирование во втором интеграле ведётся по у).

214 §9. Волновое уравнение
Пользуясь фундаментальным решением ?з(*, х) можно другим спо-
способом получить формулу Кирхгофа (9.22) для решения задачи Коши
(9.23). А именно, пусть решение u(t, х) задачи Коши (9.23) задано при
t > 0. Продолжим его нулём на полупространство {t : t < 0} и рас-
рассмотрим полученную обобщённую функцию и Е D'(]R4). Легко видеть,
что
. (9.33)
Решение этого уравнения, равное нулю при t < 0, можно найти в виде
запаздывающего потенциала (9.31), беря / равным правой части (9.33).
Легко видеть, что мы приходим при этом опять к формуле Кирхгофа.
Отметим ещё, что запаздывающий потенциал u(t, х), найденный по
формуле (9.32), зависит лишь от значений f{1f, x') при t' «С t и \х' — х\ =
= a(t — ?'), т. е. от значений / в точках нижней половины светового ко-
конуса с вершиной в точке t, x (слово «нижняя» здесь понимается в смысле
направления оси t). В зтом смысл термина запаздывающий потенциал.
Указанное свойство запаздывающего потенциала обеспечивается тем
фактом, что
supp?3 С К+.
Фундаментальное решение оператора П, обладающее этим свой-
свойством, единственно. Имеет место даже следующий более сильный факт.
Теорема 9.5. Существует ровно одно фундаментальное решение
оператора О, сосредоточенное в полупространстве {(t, x) : t ^ 0},
а именно, ?.3(t, x).
Доказательство. Если бы существовало два таких решения, то их
разность u(t, х) € D'(]R4) удовлетворяла бы волновому уравнению Du =
= 0 и была бы равна нулю при t < 0. Если бы и было гладкой функцией,
то из единственности решения задачи Коши вытекало бы, что и = 0
(данные Коши при t = t0 < 0 равны нулю). Мы можем, однако, сделать
и гладкой с помощью усреднения.
Пусть <ре Е DOR4), suppv, С {(t, x) : \t\ + \х\ ^ е}, <ре ^ 0 и
f<pedtdx = l, так что ipe -* 6(t, х) в D'(K4) при е -> +0. Тогда
lim (и * <ре) = и
(см. § 5, предложение 5.3). Но и * <ре е
?(и * <ре) = (Ои) * <ре = 0

9.6. Двумерное волновое уравнение (метод спуска) 215
и
supp(u * tp?) с suppu + supp ip? С {(t, х) : t ^ -е}.
Поэтому в силу единственности решения задачи Коши для волнового
уравнения и * <р? = О при любом е > 0, откуда и = 0, что и требова-
требовалось. ¦
Важность теоремы 9.5 состоит в том, что из всех фундаменталь-
фундаментальных решений она выделяет единственное, удовлетворяющее «принципу
причинности», состоящему в том, что нельзя передавать информацию
в «прошлое». Поэтому в электродинамике для решения уравнений вида
Пи = /, которым удовлетворяют скалярный и векторный потенциа-
потенциалы, используется именно это фундаментальное решение. По-видимому,
сама природа в пределах достижимой на сегодняшний день точности
эксперимента использует среди всех решений уравнения Пи = / реше-
решение и = ?з * /, удовлетворяющее принципу причинности.
9.6. Двумерное волновое уравнение (метод спуска)
Решим задачу Коши для уравнения
д2и
Щ щУ «= «<*.*b*> (9-34)
с начальными условиями
ult=o = V»(«i. «a), ¦^¦|t=0 = ^(ari,ar2). (9.35)
Идея решения (метод спуска) очень проста: введём дополнительную
переменную хз и решим задачу Коши для трёхмерного волнового урав-
уравнения utt = а2Аи (где Д — лапласиан по переменным х\, Х2, хз), но
с начальными условиями (9.35), не зависящими от х^. Тогда решение
u(t, a;i, Ж2) хз) фактически не будет зависеть от хз, поскольку функ-
функция uz(t, xi, X2, хз) = u(t, xi, X2, хз + z) является решением того же
уравнения и« = а2 Аи при любом z и удовлетворяет тем же начальным
условиям (9.35); следовательно, по теореме единственности решения за-
задачи Коши для трёхмерного волнового уравнения щ не зависит от z,
т.е. и не зависит от хз- Таким образом, решение задачи Коши (9.34)-
(9.35) существует (например, для любых tp е С2(М2), ф € С1 (Ж2)). Оно
единственно просто по теореме единственности, относящейся к трёх-
трёхмерному случаю, так как решение задачи (9.34)-(9.35) можно рассма-
рассматривать и как решение трёхмерной задачи Коши.

216
§9. Волновое уравнение
Теперь запишем u(t, xi, х%) по формуле Кирхгофа. Имеем:
u(t, x) =
I
1
dt | 4na?t
\y-x\=at I \y-x\=at
(9.36)
где у = (yi, уг, Уз), dSat — элемент площади сферы {у. у ? М3, \у -
— х\ = at}, х — (xi, X2) = (xi, X2, 0) (мы отождествляем точки Ж2 с
точками К3, имеющими третью координату 0; можно было бы придать
этой координате и любое другое значение, так как от её выбора ничего
не зависит). Преобразуем второе слагаемое в формуле (9.36), которое
мы обозначим ги:
I
(9.37)
\y-x\=at
(первое слагаемое в (9.36) имеет вид «r?v).
Рассмотрим сферу в пространстве Ж3, по которой происходит ин-
интегрирование в (9.37). Это сфера с центром в точке а; и с радиусом at
(см. рис. 10). Мы должны проинтегрировать по сфере функцию, не за-
зависящую от уз- Фактически это означает, что мы дважды интегрируем
по проекции сферы на плоскость уз = 0. Пусть dy\ йу% — мера Лебега
на этой плоскости, dSat — элемент площади сферы в точке у, проекти-
проектирующийся в элемент площади dyi dy^. Ясно, что dyi dy% = |cosQ:(y)| dSat,
где a(y) — угол между нормалью к сфере и осью уз- Но нормаль к сфе-
сфере пропорциональна вектору у — х = (j/i — х\, уг — х%, у3), имеющему
длину at. Будем интегрировать по верхней половине сферы (на кото-
которой уз > 0) и затем удвоим результат. Тогда из условия \у — х\ = at
Уз
Z!
Рис. 10

9.6. Двумерное волновое уравнение (метод спуска) 217
следует, что
Уз = \/а2*2 - (ух - xif - (j/2 - х2J,
cos а(у) = g = ±у/аЧ*-(у1-
cosa(y) д/а2*2 - (yi - х\J - (у2 - х2J '
Поэтому формулу (9.37) можно переписать в виде
Ul(tx)-±. Г ФШу
U*V> Х> - 2жа J у/аФ-Ь-хр'
где х = (жх, х2), У = (У1, У2), dy = dyx dy2.
Решение задачи Коши (9.34)-(9.35) задается формулой
-\у- х\*'
(9.38)
которая называется формулой Пуассона.
Из формулы Пуассона видно, что значение решения u(t, x) в точ-
точке х при п = 2 зависит от начальных данных ip(y) и ф(у) в круге
{у : \у — х\ ^ of}, а не только вблизи его границы (вспомним, что
при п = 3 начальные данные достаточно было знать вблизи сферы
{у :\у — х\ = at}). В частности, если (р, гр сосредоточены вблизи точки
О, то решение в какой-либо окрестности точки х будет отлично от нуля
всё время, начиная с некоторого момента. Таким образом, локализо-
локализованное возмущение уже не видно как локализованное из другой точки,
т. е. волна не проходит бесследно, а оставляет последействие (правда,
убывающее по времени как - — это видно из формулы (9.38)). Иными
словами, принцип Гюйгенса при п = 2 не имеет места.
Из формулы Пуассона методом спуска можно было бы получить
формулу Даламбера, задающую решение задачи Коши для одномерного
волнового уравнения. Впрочем, мы уже вывели эту формулу другим
способом.
Найдем ещё фундаментальное решение для двумерного волнового
оператора. Аналогично трёхмерному случаю надо решить задачу Коши
с начальными данными

218 §9. Волновое уравнение
Но из формулы Пуассона ясно, что такое решение ?г(*, х) имеет вид
). ,2, -ек2, (9-39)
||2
где 9(t) — функция Хевисайда.
Легко непосредственно проверить теперь, что функция ?г(?, х) ло-
локально интегрируема и является фундаментальным решением двумер-
двумерного волнового оператора. Последнее проверяется так же, как в трёх-
трёхмерном случае и мы оставляем это читателю в качестве упражнения.
Наконец, из формулы Даламбера ясно, что фундаментальное реше-
д2 2 д
ние для одномерного волнового оператора —,- — or—s имеет вид
от дх
?i(i, x) = —в(at- \x\). (9.40)
Задачи
9-1. С помощью разделения переменных найти цилиндрические вол-
волны в М3.
9-2. Решить «задачу о взрыве шара» в трёхмерном пространстве:
найти и — u(t, х), х 6 I3, если и« = а2Аи, «|<=0 = <р, «t|t=0 = 0,
где tp — характеристическая функция шара {х : \х\ ^ R}. Нарисовать
мультфильм поведения u(t, x) как функции от t и |а;|.
9-3. То же, что и в предыдущей задаче, но с другими начальными
условиями: u\t_0 — 0, ut|t=0 = ip, где ф — характеристическая функция
шара {а; : |а;| ^ R].
9-4. Пользуясь результатом задачи 5-1 в), написать с помощью пре-
преобразования Фурье формулу решения задачи Коши для трёхмерного
волнового уравнения (вывести таким образом формулу Кирхгофа).
9-5. С помощью преобразования Фурье по х решить задачу Коши
для волнового уравнения и« = а2Аи, и = u(t, x), x G К. Написать
фундаментальное решение n-мерного даламбертиана ? = —¦» — а2А и
от
доказать, что его особенности лежат на световом конусе
{(*)а;)ф|2=а2*2}.

Задачи 219
9-6. Выяснить, где находятся особенности фундаментального реше-
д2 д2 . д2
ния для оператора ^2 ~ ^2 ~ 4^~2 •
9-7. Пусть u(t, х) — решение задачи Копта для уравнения ии = Ди,
х = (xi, x2) € Ж2, с начальными условиями
а) Пусть if, ф известны в прямоугольнике ц € [0, о], x-i € [О, Ь\; где
можно определить и? Нарисовать в ЩХ1 jX2 область, в которой можно
определить и (при t > 0).
б) Пусть if, ф отличны от 0 в прямоугольнике х^ € [0, о], Х2 € [0, ft].
Где отлично от нуля и? Нарисовать эту область в Щ<Х1 jX2 •
9-8. Решить задачу 9-7 при х € I3 с заменой прямоугольника на пря-
прямоугольный параллелепипед. Вместо области в Rj^x рисовать её сечение
плоскостью t = 1.

220 §10. Свойства потенциалов и их вычисление
§10. Свойства потенциалов и их вычисление
Мы уже говорили о потенциалах в разных местах курса. В § 4 (заме-
(замечание 4.8) мы обсуждали физический смысл фундаментального реше-
решения оператора Лапласа в R3 и в R2. Там было объяснено, что фундамен-
фундаментальное решение ?з(ж) оператора Лапласа в R3 имеет смысл потенциала
точечного заряда, а фундаментальное решение ?г(ж) оператора Лапла-
Лапласа в М2 имеет смысл потенциала тонкой заряженной нити. Потенциал
нити нельзя определять в виде обычного интеграла (он получается рас-
расходящимся). Мы указали два способа определения этого потенциала:
восстановление его по напряжённости поля (являющейся градиентом
потенциала с обратным знаком) и придание смысла расходящемуся ин-
интегралу с помощью перенормировки заряда. Оба способа определяют
потенциал нити с точностью до постоянной, однако этого достаточно,
поскольку в конечном итоге мы интересуемся лишь напряжённостью
электростатического поля, являющейся физически измеримой величи-
величиной, в то время как потенциал является вспомогательным математи-
математическим объектом (по крайней мере, в классической электродинамике).
В § 5 (в примере 5.2) мы определили обобщённые функции, назван-
названные простым слоем и двойным слоем на плоскости t = 0 и на произ-
произвольной поверхности и объяснили их физический смысл. В примере 5.6
этого же параграфа мы ввели потенциалы простого и двойного слоев
как свёртки фундаментального решения ?п(х) с простым и двойным
слоями на поверхности.
В п. 9.1 выяснились роль и смысл скалярного и векторного потен-
потенциалов в электродинамике.
В этом параграфе мы обсудим свойства потенциалов (а также их
определения и вычисление) чуть подробнее. Однако прежде чем знако-
знакомиться с этими подробностями, мы рекомендуем читателю перечитать
указанные выше места из основного текста.
Потенциалы мы будем понимать достаточно гибко. Когда предвари-
предварительные определения, с которых мы начнём, станут непригодными, мы
изменим их так, как нам будет удобно, следя всё время за тем, чтобы
сохранились физически измеримые величины.
10.1. Определение потенциалов
Пусть ?„(а:) — стандартное фундаментальное решение оператора
Лапласа Д в К", а именно:

10.1. Определение потенциалов 221
где an-i — площадь единичной сферы в R";
В частности, наиболее важен случай п = 3:
Здесь ?з(ж) имеет физический смысл потенциала точечного заряда,
равного 1 в подходящей системе единиц, а ?г(а:) означает потенциал
бесконечной равномерно заряженной прямолинейной проволоки с еди-
единичной плотностью заряда (см., например, [52, т. 2, гл. 4, § 3 и гл. 5,
§5])
Все потенциалы имеют вид
-?„ * /, (ЮЛ)
где / € ?'(ЕП), т.е. / — обобщённая функция с компактным носите-
носителем в R". Таким образом, при п = 3 или 2 это потенциалы некоторых
распределенных зарядов.
Каждый потенциал вида A0.1) удовлетворяет уравнению
Аи = -/ A0.2)
в D'(En).
Мы будем рассматривать потенциалы следующих видов.
1. Объёмным потенциалом зарядов, распределённых с плотностью
р{х), назовем интеграл
u(x) = -Jzn(x-y)p(y)dy. A0.3)
R»
Мы будем всегда предполагать при этом, что р(у) — локально
интегрируемая функция с компактным носителем, которая явля-
является кусочно-гладкой, т.е. р ? С°° вне конечного объединения
гладких гиперповерхностей в R", на которых р может иметь скач-
скачки. То же самое предполагается относительно всех производных
дар, взятых вне этих гиперповерхностей. Примером допустимой
функции р(у) является характеристическая функция произволь-
произвольной ограниченной области с гладкой границей.

222 §10. Свойства потенциалов и их вычисление
Важнейшим свойством объёмного потенциала является то, что он
удовлетворяет уравнению
Ди = — р
понимаемому в смысле теории обобщённых функций и вытекаю-
вытекающему из того, что и = — ?„ * р и Д?„ = S.
2. Потенциалом простого слоя назовем интеграл
u(x) = -Jen(x-y)a(y)dSy, A0.4)
г
где Г — гладкая гиперповерхность в К", а — гладкая функция
на Г, dSy — элемент площади на Г. Пока мы будем считать, что
а имеет компактный носитель (в дальнейшем нам встретятся и
примеры, когда это не так). Этот потенциал удовлетворяет урав-
уравнению
Ди = — ст<$г>
где ст<$г — обобщённая функция с носителем на Г, определённая в
примере 5.2.
3. Потенциалом двойного слоя назовем интеграл
u(x) = I и"п^ y> a(y) dSy, A0.5)
г
где пу — внешняя (или еще каким-нибудь образом выбранная)
нормаль к Г в точке у, а остальные обозначения такие же, как
в предыдущем случае. Потенциал двойного слоя удовлетворяет
уравнению
где jp (а(у)<$г) — «двойной слой» — обобщённая функция, опре-
определённая в примере 5.2. И в этом случае также пока считаем, что
а имеет компактный носитель. Мы будем также предполагать,
что а € С00 (Г).
Легко видеть, что потенциалы A0.3)—A0.5) определены в М"\Г и
представляют собой бесконечно дифференцируемые функции в К"\Г
(где в случае объёмного потенциала A0.3) надо понимать Г как объ-
объединение поверхностей, где р или её производные имеют скачки). Мы

10.2. Функции, гладкие вплоть до границы 223
будем рассматривать их как обобщенные функции в М", понимаемые
как свёртки A0.1), где для объёмного потенциала / = р; в случае по-
потенциала простого слоя / = <т<$г, где
(<т6г, if) = J<j(x)<p(x)dSx
г
а в случае потенциала двойного слоя
где
<?«*>. *>-
г
Ясно, что во всех этих случаях при х € К"\Г свёртки и = —?п * /
совпадают с выражениями, задаваемыми интегралами A0.3)—A0.5).
Физический смысл потенциалов A0.3)—A0.5) ясен из того, что было
сказано выше (см. п. 5.2).
10.2. Функции, гладкие вплоть до Г с каждой стороны,
и их производные
Пусть Q — область в W1, Г — гладкая гиперповерхность в П (т. е.
замкнутое подмногообразие коразмерности 1 в О,), и и € С°°(П \ Г).
Будем говорить, что и является гладкой (или бесконечно дифференци-
дифференцируемой) вплоть до Г с каждой стороны, если каждая производная даи
непрерывна вплоть Г с каждой стороны гиперповерхности Г.
Точнее, при любом хо € Г должна существовать такая окрестность
U точки х0 в U, что U = C/+urVUC/~, где Гц = ГЛС/, U+ и U~ открыты
и ограничения и\и+ и и\и_ продолжаются до функций и+ € С°°(С/+) и
и~ е C°°(TF).
В дальнейшем нас часто будут интересовать лишь локальные вопро-
вопросы, где с самого начала можно предполагать, что U = П и вышеупомя-
вышеупомянутое разложение имеет вид П = П+ U Г U П~, причем и+ € С°°(Г2+),
и- е c°°(fF).
Наша цель — доказать, что все потенциалы являются функциями,
гладкими вплоть до Г с каждой стороны (это, в свою очередь, позво-
позволит доказать теоремы о скачках потенциалов, вычислять и применять
потенциалы). Для этого вначале мы установим некоторые вспомога-
вспомогательные леммы о функциях, гладких вплоть до Г с каждой стороны.

224
§10. Свойства потенциалов и их вычисление
Если функция и 6 С°°(П\Г) является гладкой вплоть до Г с каждой
стороны, то она однозначно определяет такую обобщённую функцию
[и] 6 1)'(п), что [и] б Цос(п) и ["]|nvr = и. Мы хотим сейчас научиться
применять к [и] дифференциальные операторы с гладкими коэффициен-
коэффициентами. Договоримся употреблять обозначение [и] только в случае, когда
и — гладкая вплоть до Г с каждой стороны.
Выбрав произвольную точку хо 6 Г, мы можем в некоторой окрест-
окрестности U этой точки построить диффеоморфизм, превращающий Г в
часть гиперплоскости {х : хп = 0}. Здесь х = {х\, ..., xn-i, ^п) =
= (ж', х„), где х' = (xi, ..., xn-i) 6 R". Этот диффеоморфизм инду-
индуцирует замену переменных, превращающую дифференциальный опера-
оператор в другой дифференциальный оператор того же порядка (см. § 1).
Таким образом, достаточно рассмотреть малую окрестность U точки
0 6 Е" и при этом можно предполагать, что координаты выбраны так,
что
Г = U П {х : хп = 0},
U± = {x:xeU, х = (х1, хп), ±хп 2 0},
а нормаль п к Г имеет вид п = @, ..., 0, 1); в частности ¦?- = -г—.
ОП ОХп
Обозначим через
и на Г, т. е.
Оп
скачок k-vs. нормальной производной функции
где к = 0, 1, 2, ... Заметим, что скачки всех остальных производных
выражаются через функции фк по формулам
если а = (а', а„), где а' — (п — 1)-мерный мультииндекс.
аг 1
Лемма 10.1. Производные ^^,
выражаются формулами
duj
дхп \.дхп.
л.
[дХп J
д2\и]
6(ХП),
6(хп)
XnOXj
(j = 1, ..., п - 1)
6'(хп),
A0.6)
A0.7)
A0.8)

10.2. Функции, гладкие вплоть до границы 225
Доказательство. Для любой функции </? G Ъ(п)
\дх~п>*) = -<
о
Ju+(x', 0)<p(x', 0)dx' -Ju-(x',
что даёт формулу A0.6). Формула A0.7) получается повторным при-
применением формулы A0.6), а формула A0.8) выводится из A0.6), если
заметить, что
д[и] _ Г ди ]
как видно из интегрирования по частям по переменной xj . Ш
Пусть теперь о € С°°(п), а = а(х', х„). Нам надо научиться умно-
умножать обобщённые функции, появляющиеся в правых частях формул
A0.6)-A0.8), на гладкие функции. Для этого прежде всего напишем
разложение Тейлора функции а(х', хп) по хп вблизи хп = 0. Оно имеет
вид
ЛГ-1
а(х', хп) = 22 ак{х')хп + х„ a.(N)(x', xn), A0.9)
к-0
где о* 6 С°°(Г), п(м) € C°°(V) (здесь V — некоторая окрестность Г) и
1
о(лг)(х', хп) = jj^jy J ??(*', ten)(l - tf'1 dt.
о
Лемма 10.2. Если ip G С°°(Г), то
а{х)(ф(х') ® 6(хп)) = [ао(х')ф(х')] ® 6(хп), A0.10)
A0.11)
8 HIvfiM» M А

226 §10. Свойства потенциалов и их вычисление
Доказательство. Ясно, что
ак(х)хкп(ф(х') ® /(*„)) = [ак(х')ф(х')] ® [х* /(*„
для любой обобщённой функции / € Ъ'(Ж). Далее,
a{N){x', xn)x^(V>(x') ® /(х„)) =
Прямое вычисление показывает, что х^б^Цхп) = 0 при р > к,
хп8'{хп) = — 8{хп), так что учитывая представление а(х', хп) в виде
A0.9), мы немедленно приходим к A0.10), A0.11). ¦
Лемма 10.3. Для любого набора функций фо, ф\, .. • фя € С°°(Г) су-
существует такая функция и ? С°°(П \ Г), гладкая вплоть до Г с ка-
ajfc
ждой стороны, что фк есть скачок производной —г ко Г для любого
дхп
к = 0, 1, ..., N.
Доказательство. Мы можем взять, например, в описанных'выше ло-
локальных координатах
N 1
Jfc=0
где 6(t) — функция Хевисайда. ¦
Лемма 10.4. Пусть обобщённая функция f ? D'(fi) имеет вид
f(x) = [fo(x)] + bo(x') ® S(xn) + h(x1) <g> 6'(xn), A0.12)
где bo,bi ? С°°(Г). Пусть А — такой линейный дифференциальный
оператор второго порядка, что поверхность Г всюду нехарактери-
нехарактеристична для А. Тогда для любого целого N ^ 0 существует такая
функция и, определённая в окрестности П' гиперповерхности Г в Я,
что
А[и) - f e CN{U'). A0.13)
Доказательство. По лемме 10.3 дело сводится к выбору функций фо,
ф\, ..., ^N+2 € С°°(Г), являющихся скачками нормальных производ-
производных функции и. Из лемм 10.1 и 10.2 ясно, что обобщённая функция
А[и] = f также имеет вид A0.12) (быть может, с другими /о, bo, b\).
Мы должны подобрать скачки фо,ф\,.--, фи+2 таким образом, чтобы

10.2. Функции, гладкие вплоть до границы 227
скачки производных —^ и —у- на Г совпадали при к = 0, 1, ..., N
(отсюда очевидным образом вытекает, что / — / € CN(Q), к чему мы
и стремимся).
Заметим прежде всего, что нехарактеристичность Г по отношению
к А означает, что оператор А может быть представлен в виде
где о € С°°(п), а(х', 0) ф 0, А' не содержит —^. Поскольку а(х) ф 0 в
окрестности гиперповерхности Г, мы можем разделить A0.13) на о(х)
и свести дело к случаю а(х) = 1. Следовательно, мы можем предполо-
предположить, что
А =¦% + А', A0.14)
где А' — дифференциальный оператор второго порядка, не содержа-
д2
Начнём с выбора такой функции ио, что
= [/о(яг)] + Ь0(х') в 6(хп) + Ых') ® 6'(хп),
где /о — любая функция (гладкая вплоть до Г с каждой стороны),
Ьо € С°°(Г). Из лемм 10.1 и 10.2 ясно, что для этого достаточно взять
ф^'(х') = bi(x'), где щ' — скачок функции щ на Г. Теперь мы можем
переписать A0.13) в виде
А[и - ио] = [Л] + 6а(аО ® 8(хп) A0.15)
с некоторыми /i и 62, где 62 € С°°(Г).
Теперь выберем такую функцию ui, что
Л[щ]=
где Ьг — такое же, как в A0.15), а Д произвольна. Если ф$ 'и щ' —
г—=• на Г, то достаточно bj
7Хп
^=0, ф[1\х')=Ь2(х').
скачки функции щ и —^ на Г, то достаточно выполнения соотноше-
ОХп
НИИ

228 §10. Свойства потенциалов и их вычисление
Полагая пг = и — ио — щ, мы видим, что условие A0.13) для и может
быть сформулировано в терминах пг как
А[й2] - [/2] € CN(U'), A0.16)
где функция /г является гладкой вплоть до Г с каждой стороны. Мы
докажем возможность такого выбора пг индукцией по N, начиная с
N = —1, где С^') означает просто множество всех функций, глад-
гладких вплоть до Г с каждой стороны.
Предположим, что мы уже выбрали такую функцию й(^+2)> что
где к — неотрицательное целое число (при к = 0 это сводится просто к
условию щ2) G С1(П'), т.е. к отсутствию скачков функций щ™ и а
v ' v ' ОХп
на Г). Выберем такую функцию v,(k+3y, что
A[uik+3)]-[f2]<=Ck(u'), A0.18)
Для этого положим «(fc+з) = «(*+2) + ик+2, где u*+2 G С*+1(П') (это
нужно для сохранения A0.17) при замене Щк+2) на и(*+з))- Ясно, что
A'[«fc+2] G Ск(п'), откуда следует, что A0.18) сводится к соотноше-
соотношению
где /* = — (-<4[u(fc+2)] — [/2]) G С*-1(П'). Этого можно добиться, поло-
положив, например,
чтобы скачки к-х производных функций —-—^-^ и Д на Г совпали.
Таким образом, мы доказали возможность провести индукцию по N,
что завершает доказательство леммы. ¦

10.3. Скачки потенциалов 229
10.3. Скачки потенциалов
Теперь мы можем доказать основную теорему о скачках потенциа-
потенциалов.
Теорема 10.5. 1) Пусть и — один из потенциалов A0.3)—A0.5). То-
Тогда и является функцией, гладкой вплоть до Г с каждой стороны.
2) Если и — объёмный потенциал, то и ? С1 (К").
3) Если и — потенциал простого слоя, то и ? С(Е"), а скачок
производной -j?z на Г равен -а, где а — плотность заряда на Г, опре-
определяющая и.
4) Если и — потенциал двойного слоя, то скачоки на Г равен (—а),
где а — плотность {диполей) на Г, определяющая и.
Доказательство. По лемме 10.4 мы можем для каждого из потенциа-
потенциалов найти такую функцию un, гладкую вплоть до Г с каждой стороны,
что Д[«лг] + / G CN(Rn) (здесь / — такая же обобщенная функция, как
в формуле A0.1)). Следовательно, Д(« — uN) = fN G CN(Wl).
Выведем отсюда, что и — uN б CN(E"). Без ущерба для общности
мы можем предположить, что «лг и /# имеют компактный носитель.
Но тогда Д(щ-«лг-?п*/лг) = 0, откуда и-«лг-?п*/лг G С°°(Шп). В то
же время легко видеть, что ?„ * //у 6 CN(Wl), поскольку представляя
эту свёртку в виде интеграла
мы можем N раз дифференцировать по х под знаком интеграла.
Итак, и — uN G CN(Rn). Отсюда производные даи с \а\ ^ N непре-
непрерывны вплоть до Г с каждой стороны. Поскольку N произвольно, мы
получаем первое утверждение теоремы.
2) Пусть и — объёмный потенциал. Ясно, что «лг € С°°(Е" \ Г). В
окрестности каждой точки гиперповерхности Г мы можем выпрямить
Г и использовать уравнение Аи = —f, получаемое заменой перемен-
переменных из уравнения Аи = — /. Поскольку оператор Д эллиптичен, опе-
оператор А тоже эллиптичен, так что Г нехарактеристична. Но тогда из
включения / G Цос(Жп) и лемм 10.1, 10.2 вытекает, что uN ? С^Е")
(если бы это было не так, то применение формул A0.6)—A0.8), A0.10) и
A0.11) привело бы к появлению сингулярной обобщённой функции типа
Фо(х') (8i 6(хп) или фа(х') ® 6'(хп) в правой части уравнения Аи = —/).
3) В окрестности точки хо G Г можно так ввести новые координаты
(х1, хп), что |х„| — расстояние от точки (х1, хп) до Г по нормали к Г.

230 §10. Свойства потенциалов и их вычисление
Тогда ¦%= и —* превращаются в -г— и —^ и утверждения 3) и 4) вы-
оп дп охп дхп
текают из лемм 10.1, 10.2 и уравнения Аи = —/, которое превращается
в Аи = —/, где А имеет вид 10.14. ¦
Замечание. Аналогичным образом можно найти скачки любых про-
производных рассматриваемых потенциалов.
10.4. Вычисление потенциалов
Мы приведем здесь простейшие примеры явного вычисления по-
потенциалов. Такое вычисление в рассматриваемых примерах становится
возможным с помощью следующих средств:
а) соображения симметрии;
б) уравнение Пуассона, которому удовлетворяют потенциалы;
в) теоремы о скачках;
г) асимптотика на бесконечности.
Как правило, из рассмотрения всех этих аспектов мы получаем даже
избыточную информацию, позволяющую проверить результат.
Пример 10.1. Потенциал равномерно заряженной сферы.
Пусть Г — сфера радиуса R в К3 с центром в точке 0. Пусть по
сфере равномерно (с поверхностной плотностью сто) распределён за-
заряд. Обозначим через Q полный заряд сферы, т.е. Q = 4тгД2<то- Най-
Найдём потенциал сферы и её поле. Обозначим искомый потенциал че-
через и.
Прежде всего, из соображений симметрии ясно, что и(х) = /(г),
где г = \х\, т.е. и зависит лишь от расстояния до центра сферы. Те-
Теперь воспользуемся тем, что вне Г потенциал и является гармонической
функцией. Поскольку любая сферически симметричная гармоническая
функция имеет вид С\ Н—-, то
г
(-, r<R;
;
j, r>R.
Здесь А, В, С, D — вещественные постоянные, которые нам необходи-
необходимо определить. Прежде всего, В = 0, поскольку функция и гармонична
в окрестности нуля. Отсюда, в частности, и = const при |х| < R, отку-
откуда следует, что Е = — gradw = 0 при |х| < R, т.е. внутри равномерно
заряженной сферы поле отсутствует.

10.4. Вычисление потенциалов 231
Для определения трёх оставшихся постоянных нужны ещё три усло-
условия на и. Их можно получить многими способами. Укажем простейшие
из этих способов.
1°. Непрерывность и(х) на Г даёт соотношение
2°. Из определения и(х) в виде интеграла ясно, что и(х) -+ 0 при |х| -*
оо. Отсюда С = 0.
3°. Рассмотрим интеграл, определяющий и(х), чуть более детально.
Имеем:
U{X) = bt] \x-y\ ~bt] ~\p\ ' JL_ JLl =
\y\=R
_ _
)x\ )x\\
\v\=R
_ Q
Отсюда ясно, что D = -—-.
4тг
Из 1°-3° находим В = С = 0, D = ?-, А= -Q-. Итак,
4тг 4тгл
-У- при |х| > R.
4тгг
Это значит, что вне сферы потенциал такой же, как если бы весь
заряд был сосредоточен в центре. Таким образом, однородная сфе-
сфера притягивает находящиеся вне её заряды так, как если бы весь её
заряд был помещен в центре. Этот факт впервые был доказан Нью-
Ньютоном, рассматривавшим гравитационные силы (Ньютон доказывал
эту теорему иначе: с помощью непосредственного рассмотрения ин-
интеграла, дающего силу притяжения).
Укажем ещё другие соображения, которые могли быть использова-
использованы для получения уравнений на А, С, D. Теперь мы можем исполь-
использовать их для проверки результата.

232§10. Свойства потенциалов и их вычисление
4°. Скачок нормальной производной потенциала и на сфере должен
рд ц фр д
-2-| = "о или D = a0R2 = —^R2 = ^,
быть равен -сто, т, е. -2-|г_д = "о или D = a0R2 =
что согласуется с найденным значением D.
5°. Значение потенциала и(х) в центре сферы равно
= 1 Г оо^= 1 2 =
4тг у Я 4тгД
4тгЯ'
М=Д
что согласуется с найденным значением Л.
Пользуясь полученным результатом, можно сразу найти притяже-
притяжение (и потенциал) равномерно заряженного шара, суммируя потенци-
потенциалы (или притяжения) сферических слоев, составляющих шар. В част-
частности, шар притягивает находящийся вне его заряд так, как если бы
весь заряд шара был сосредоточен в его центре.
Пример 10.2. Потенциал двойного слоя сферы. Рассматривается
сфера радиуса R, по которой равномерно распределены диполи с плот-
плотностью дипольного момента е*о.
Потенциал двойного слоя здесь — интеграл A0.5), где
Г = {х : х G Ш3, \х\ = R}, а(у) = а0 = const.
Вычислим этот потенциал. Это можно сделать теми же средства-
средствами, что и в предыдущем примере. Однако можно сразу увидеть, что
и(х) = 0 при |х| > R, поскольку потенциал и(х) является пределом
потенциалов простых слоев пары концентрических сфер, равномер-
равномерно заряженных противоположными по знаку, но равными по величи-
величине зарядами. При выполнении предельного перехода эти сферы сбли-
сближаются, а заряды растут обратно пропорционально расстоянию меж-
между сферами. Уже до перехода к пределу потенциал этой пары сфер
равен 0 вне наибольшей из них. Поэтому и(х) = 0 при |х| > R.
Ясно также, что и(х) = const при |х| < R и из теоремы о скач-
скачке находим (если выбрана внешняя нормаль), что и(х) = olq при
|*| < R.
Пример 10.3. Потенциал равномерно заряженной плоскости. Опре-
Определим и вычислим потенциал равномерно заряженной плоскости, с по-
поверхностной плотностью зарядов «то- Пусть плоскость имеет в Е3 урав-
уравнение хз — 0. Заметим, что пользоваться определением потенциала как
интеграла A0.4) уже нельзя (интеграл расходится). Поэтому необхо-
необходимо вначале дать новое определение потенциала. Это можно сделать

10.4. Вычисление потенциалов 233
несколькими способами. Мы укажем два из них. Первый состоит в том,
чтобы сохранить основное уравнение
Аи = -сто<*г = -<t0S{x3) A0.19)
и наибольшее возможное количество свойств симметрии потенциала
(физики часто определяют величину из соображений симметрии, не за-
задумываясь о том, чем заменить первоначальное определение). Бели бы
интеграл A0.4) в нашем случае сходился, то было бы выполнено урав-
уравнение A0.19) и следующие свойства симметрии:
а) и не меняется при сдвигах вдоль нашей плоскости, т.е. и = и(х3);
б) и инвариантно при симметрии относительно выбранной плоско-
плоскости, т.е. и(-хз) = и(х3).
Теперь попробуем вычислить функцию и(х3), пользуясь уравнением
A0.19) и выписанными свойствами симметрии. При этом окажется, что
с точностью до постоянной она однозначно определена. Поэтому можно
ввести определение потенциала плоскости, состоящее в том, что это
должна быть обобщённая функция и, удовлетворяющая A0.19), а) и б).
Из уравнения A0.19) ясно, что функция и(х3) линейна по х3 отдель-
отдельно при х3 > 0 и при х3 < 0, т. е.
{А + Вх3, х3>0;
С + ?>х3, х3<0.
Уравнение A0.19) означает, кроме того, выполнение теоремы о скач-
скачках, т. е. непрерывность и на Г (отсюда А = С) и тот факт, что скачок
производной -J— на Г равен —сто (отсюда В — D = —сто). Наконец, чёт-
ох3
ность и(х3) (условие б)) даёт ещё раз А = С и, кроме того, D = —В.
Отсюда находим В = —D = —— и
Мы закончили вычисление и.
Вспомним теперь, что наша основная цель — вычислить Е =
= — gradu. Мы видим, что поле Е направлено всюду перпендикулярно
плоскости и если считать положительным направление от плоскости,
то величина поля равна -^.
Укажем ещё два эквивалентных способа определения потенциала и.
Во-первых, можно найти Е по закону Кулона (Е задаётся, как легко

234 §10. Свойства потенциалов и их вычисление
сообразить, сходящимся интегралом!) и затем определить и из соотно-
соотношения Е = — grad и. Поскольку свойства симметрии, очевидно, выпол-
выполнены, а уравнение div E = ао6(хз) приводит к уравнению A0.19) на по-
потенциал, мы можем применить тот же способ вычисления и. Тем самым,
мы явно вычислили напряжённость Е, задаваемую довольно сложным
интегралом.
Наконец, третий способ аккуратно определить и — перенормировка
заряда в интеграле, задающем потенциал. Мы подробно комментирова-
комментировали этот способ при нахождении потенциала нити в § 4. Поэтому теперь
мы не будем на нём останавливаться, предоставляя читателю воспол-
восполнить подробности в качестве упражнения.
Задачи
10-1. Вычислить потенциал равномерно заряженной окружности на
плоскости.
10-2. Вычислить потенциал равномерно заряженного круга,на плос-
плоскости.
10-3. Определить и вычислить потенциал равномерно заряженной
поверхности прямого кругового цилиндра в К3.
10-4. Найти потенциал двойного слоя окружности в К2 и поверхно-
поверхности прямого кругового цилиндра в К3 с постоянной плотностью дипо-
диполей.
10-5. Найти потенциал равномерно заряженной сферы в К" при п ^
10-6. На расстоянии d от центра заземлённой проводящей сферы ра-
радиуса R (R < d) помещен точечный заряд величины Q. Найти полный
заряд, индуцированный на сфере.
10-7. В условиях предыдущей задачи найти индуцированное распре-
распределение заряда по поверхности сферы.
10-8. Тонкую эллиптическую проволоку зарядили, сообщив ей за-
заряд Q. Как этот заряд распределится по проволоке?

235
§11. Волновые фронты и коротковолновое приближение
для гиперболических уравнений
11.1. Характеристики, как поверхности разрывов
Пусть П — область в М", 5 — гладкая гиперповерхность в П, т.е.
замкнутое (в П) подмногообразие коразмерности 1. Пусть в П дан ли-
линейный дифференциальный оператор (см. § 1):
= a{x,D)= J2 a*{x)Da, A1.1)
где аа(х) ? С°°(п), а(х, ?) — полный символ оператора А (равенство
A1.1) является определением как А, так и а(х, ?>)). Напомним, что
а(х,О= ? М*)?°> A1-2)
так что а(х, D) получается из а(х, ?), если все ?а написать справа (как
и сделано в A1.2)) и затем заменить ? на D. Главный символ ат(х, ?)
оператора А имеет вид
ат{х, 0 = ? а°(*)Г- (И-3)
|с»|=т
Напомним, что поверхность S называется характеристикой оператора
А, если для любой точки х е S нормаль пх к 5 в точке а; удовлетворяет
условию
ат(х, пх) = 0. A1.4)
Пусть теперь дана функция и ? С°°(П\5), бесконечно дифференци-
дифференцируемая вплоть до 5 с каждой стороны (см. определение в ЮЛ). Исполь-
Используя те же обозначения, что и в § 10, мы локально имеем fl = П+и5иП~
и существуют также функции и+ ? С°°(П+), u~ G С°°(п~), что и|п+ =
= "+>и1п-="--
Отметим сразу же, что фактически может случиться, что ника-
никаких разрывов нет, т.е. и продолжается до функции из С°°(П). Бу-
Будем говорить, что S — поверхность разрыва первого рода для и, ес-
если, во-первых, и бесконечно дифференцируема вплоть до 5 с каждой
стороны и, во-вторых, для любой точки хо ? S существует такой

236 §11. Волновые фронты и коротковолновое приближение
мультииндекс а, что даи имеет разрыв в точке хо, т.е. не продол-
продолжается до функции на П, непрерывной в точке Xq. Реально это озна-
означает, что (даи+)(хо) ф (даи~)(хо). Отметим, что тогда то же са-
самое будет верно на S и при х близких к хо (с тем же мультииндек-
сом а).
Теорема 11.1. Если S — поверхность разрыва первого рода функ-
функции и € Lloc(il), являющейся в П решением уравнения Аи = /, где
/ € C°°(fl), то S — характеристика оператора А.
Доказательство. Учитывая локальный характер теоремы и инва-
инвариантность понятия характеристики относительно выбора криволи-
криволинейных координат, мы можем считать, что поверхность S имеет
вид
S = {x:xEU, xn = 0}, A1.5)
где х = (а:', хп) = (ал, ..., xn-i, xn). Поскольку нормаль к S имеет
вид @, 0, ..., 1), то характеристичность поверхности S означает, что
дт
на S обращается в 0 коэффициент при т в операторе А.' Мы бу-
ахп
дем доказывать теорему от противного. Пусть поверхность S неха-
нехарактеристична в какой-нибудь точке. Это означает, что коэффициент
дт
при „ m отличен от 0 в этой точке и, значит, вблизи неё. Но тогда
ахп
можно считать, что он отличен от 0 всюду в П. Разделив на этот
коэффициент уравнение Аи = /, мы можем считать, что оно имеет
вид
где a.j(x, D') — дифференциальный оператор в П, не содержащий про-
производных по хп (он имеет порядок ^ j, хотя это нам сейчас и не
важно).
Пусть функция и бесконечно дифференцируема вплоть до 5 с ка-
каждой стороны, П* = п П {я : ±хп > 0} и и* € СОО(П±) таковы, что
и\п± = и±. Мы хотим доказать, что и продолжается до функции из
С°°(П), т.е. скачки всех производных на самом деле равны нулю. Обо-
Обозначим эти скачки через (ра, т. е.
<ра = (dau+)\s - (dau-)\s e C°°(S), (П.7)
Как и в § 10, особую роль играют скачки нормальных производных

11.1. Характеристики, как поверхности разрывов 237
Все скачки (ра выражаются через скачки нормальных производных ф^
по очевидной формуле:
<ра=д%',фап, а=(а',ап). A1.9)
Поэтому достаточно доказать, что фк = 0, к = 0, 1, 2, ...
Вычислим Аи в Ъ'(п). По лемме 10.1
yt = ^0(ж') ® S'(xn) + фх (x1) ® S(xn) + [2-f j.
Аналогичным образом легко получить, что при любом целом к
Если теперь а' — (п — 1)-мерный мультииндекс, да = &?>, то
'^]- (и-")
^^-!-!^)] ® *'>(*») + [^ ft]
J=o
Пусть теперь a ? С°°(П). Аналогично доказательству леммы 10.2
мы получаем
а{х', хп){ф(х')®бМ(хп)) = ^a,(i')®6(?)W, A1.12)
«7=0
где ag G С°°E).
Формулы A1.10)—A1-12) показывают, что если Аи — f вне 5, то
уравнение A1.6) можно переписать в виде
т
'1'1)^)=9(х), A1.13)
где g G L^fi), aj(a;') G C°°(S), а, ф0 — скачок функции и на 5 (см.
формулу A1.8) при к = 0). Из уравнения A1.13) ясно, что д = 0,
так как левая часть A1.13) сосредоточена на S. Далее, применяя обоб-
обобщённую функцию, стоящую в левой части A1.13), к основной функ-
функции ip, равной ipi(x')x% в окрестности 5 (здесь фх ? C™{S)), мы по-
получим, что все члены, кроме первого, обратятся в 0, а первый будет

238 §11. Волновые фронты и коротковолновое приближение
равен (—\)тт\$фа{х')<р1{х')Aх'. Ввиду произвольности щ ясно, что
фо{х') = 0, т. е. функция и не может сама иметь скачка на S.
Аналогично доказывается, что и производные до порядка то — 1 не
могут иметь скачка на S. А именно, пусть р — наименьшее из всех
чисел к, для которых фь ф 0. Таким образом,
Мы хотим выделить самый сингулярный член в левой части урав-
уравнения A1.6). Это легко сделать, исходя из уже выписанных формул
A1.10)—A1.12). А именно, при нахождении нормальных производных
дки
—г при к ^ р будут получаться функции из Ь\ос{п). При к = р +1 мы
дхп
получим
и уравнение A1-6) при р ^ то — 1 приобретает вид
771—р — 1
фр{х') <8> 5(т"р"^(ж„) + J2 ai(x>) ® <*(т~р~1~')(а;п) = д{х),
где ai(x') G C°°(S), g ? Ь11ОС(П). Отсюда, как и выше, следует, что
фр = 0, что противоречит исходному предположению. Итак, ^р = 0,
при р ^ то — 1.
Докажем теперь, что фт = 0. Но это сразу ясно из уравнения A1.6),
поскольку все производные даи, где а = (а', а„), а„ ^ то — 1, непре-
непрерывны в П. Таким образом, нормальная производная порядка т также
не имеет скачка.
Рассмотрим теперь случай, когда р > т, где р — номер первой
разрывной нормальной производной (см. A1.14)). Однако этот случай
легко сводится к случаю р = т. В самом деле, применяя к обеим ча-
QP—m
стям уравнения A1.6) оператор —j^m > мы видим, что и удовлетворяет
дхп
уравнению того же вида, что и A1.6), но с показателем р вместо т. От-
Отсюда следует, что и случай р > т невозможен. Теорема 11.1 полностью
доказана. ¦
Из теоремы 11.1 вытекает, что решения эллиптических уравнений
не могут иметь разрывов первого рода описанной выше структуры.
На самом деле они всегда просто бесконечно дифференцируемы (в на-
нашем курсе это не будет доказываться). Приведённые ниже примеры

11.1. Характеристики, как поверхности разрывов 239
показывают, что неэллиптические уравнения могут иметь разрывные
решения.
Пример 11.1. Уравнение utt = а?ихх имеет решение в(х — at), име-
имеющее разрыв 1-го рода вдоль линии х = at, являющейся характери-
характеристикой. Вдоль характеристики х — at можно устроить разрыв 1-го
рода производных сколь угодно высокого порядка, рассмотрев реше-
решение u(t, х) = (х — at)N6(x - at), где N € Z+. Аналогичные разрывы
очевидным образом строятся вдоль любой характеристики (все харак-
характеристики имеют в нашем случае вид х — at — с\ и х + at = сг).
Пример 11.2. Рассмотрим более сложный случай трёхмерного вол-
волнового уравнения ии = а2Аи, и = u(t, х), х € М3. Простейший при-
пример разрывного решения можно получить, взяв сферическую волну
/j. ч 9(\x\-at) л
u(t, х) = .—-, имеющую, очевидно, разрыв 1-го рода на верх-
|х|
ней поле светового конуса {(t, х) : \х\ = at, t > 0}. Сферу {ж : |а;| =
= at} С М3 естественно называть волновым фронтом. Волновой фронт
движется со скоростью а. В геометрической оптике лучом называют
параметрически заданную (с параметром t) линию, нормальную к вол-
волновому фронту в каждый момент времени. В нашем примере лучи —
прямые линии а; = aet, где t > 0, е ? М3, |е| = 1. Иногда лучом называ-
называют просто линию, нормальную ко всем волновым фронтам (без задания
параметра). В дальнейшем мы более четко укажем терминологию гео-
геометрической оптики в связи с уравнением Гамильтона—Якоби.
Пример 11.3. Опять рассмотрим трёхмерное волновое уравнение
utt — а2 Аи, но на этот раз попробуем построить решение, имеющее
в начальный момент времени разрыв вдоль данной гладкой компакт-
компактной поверхности Г С К3. Пусть, например, Г = дп, где П — огра-
ограниченная область в R3 и начальные данные имеют вид u\t=Q = Xfi)
ut|4=0 = 0, где хп — характеристическая функция области п, равная
1 на О и 0 вне П. Попробуем понять, как будут вести себя разрывы
функции и с ростом t, исходя из формулы Кирхгофа, по которой мы
будем строить и. В формуле Кирхгофа нужно проинтегрировать Хп по
сфере радиуса at с центром в точке а;, разделить результат на 4ira?t и
затем взять производную по t. Легко видеть, что u(t, x) будет гладкой
функцией от t, х при тех t, x, для которых сфера радиуса at с цен-
центром в точке а; не касается поверхности Г, а пересекает или вообще
не задевает её. Поэтому разрывы могут быть лишь там, где описан-
описанная сфера касается Г. При малых t это множество («волновой фронт»)
есть в точности множество тех точек а;, которые лежат на расстоянии

240 §11. Волновые фронты и коротковолновое приближение
at от Г. Волновой фронт при малых t можно построить так: прове-
провести все нормали к поверхности Г («лучи») и отложить на них at в обе
стороны. Легко видеть, что на построенном так волновом фронте дей-
действительно имеется разрыв первого рода функции и. При больших t
нормали начинают касаться, пересекаться и т.д. Возникает огибаю-
огибающая семейства лучей, называемая каустикой. Особенность решения на
каустике имеет уже более сложную структуру и мы не будем этого
касаться.
Уже на этом примере видно, как в теории волн возникают объек-
объекты геометрической оптики. В дальнейшем мы рассмотрим этот вопрос
более подробно.
11.2. Уравнение Гамильтона-Якоби. Волновые фронты,
бихарактеристики и лучи
Уравнением Гамильтона - Якоби обычно называют уравнение вида
Я(.,§§)=О, - A1.15)
где Н = Н(х, ?) — вещественнозначная функция переменных х ? Rn,
? ? Е", S = S(x) — неизвестная (тоже вещественнозначная) функция,
-а её градиент. Уравнение Гамильтона-Якоби играет важную роль
в механике и физике.
Напомним кратко способ интегрирования уравнения A1.15), точнее,
связь этого уравнения с обыкновенными дифференциальными уравне-
уравнениями, известную из курсов механики и обыкновенных дифференци-
дифференциальных уравнений (см., например, Арнольд [2-2]).
Рассмотрим гамильтонову систему
Л.
(П-16)
ая
Решения этой системы (кривые (x(t), ?(?))) называются бихаракте-
бихарактеристиками (или, точнее, бихарактеристиками функции Н(х, ?)), сама
функция Н(х, ?) часто называется функцией Гамильтона или гамиль-
гамильтонианом. Про систему A1.16) говорят, что это гамильтонова систе-
система с гамильтонианом Н. Векторное поле (Щ, —Нх) в Щ.пс, определяю-
определяющее систему A1.16), называется гамильтоновым полем с гамильтониа-
гамильтонианом Н. Можно показать, что гамильтоново поле корректно определено

11.2. Уравнение Гамильтона-Якоби, бихарактеристики, лучи 241
на Т*М™. Это значит, что если считать ? кокасательным вектором,
записанным в системе координат, соответствующей заданной системе
координат в М.х (т.е. считать ?i, ..., ?п координатами кокасательного
вектора по базису dxi, ..., dxn — см. § 1), то вид системы A1.16) бу-
будет тот же самый при любом выборе криволинейных координат в М". В
курсах механики даётся инвариантное определение гамильтонова поля
на Т*М™, из которого сразу следует сформулированное выше утверж-
утверждение, но нам это сейчас не понадобится, как и само утверждение об
инвариантности, указанное для полноты картины.
Имеет место
Предложение 11.2. Гамильтониан Н(х, ?) является первым инте-
интегралом системы A1.16), m. e. H(x(t), ?(?)) = const вдоль любой биха-
бихарактеристики (x(t), ?(?))•
Доказательство. Доказательство. Имеем:
ftH(x(t), «*)) = ^х + Щ* = НХЩ + Щ(-Нх) = О,
что и требовалось. ¦
В частности, важны нулевые бихарактеристики, т.е. такие биха-
бихарактеристики, для которых Я(ж(?), ?(?)) = 0. Как показывает пре-
предыдущее замечание, достаточно, чтобы было H(x(to), ?(t0)) = 0 для
какого-нибудь to-
Рассмотрим теперь график градиента функции S(x), т.е. га-мерное
подмногообразие в 18^ вида Ts = {(х, Sx(x)), х € М."}, где Sx = ^-.
Сформулируем основное утверждение, необходимое для интегрирова-
интегрирования уравнения Гамильтона-Якоби.
Предложение 11.3. Если S — решение уравнения Гамильтона-Яко-
Гамильтона-Якоби A1.15), то гамилыпоново поле касается подмногообразия Ts в его
точках.
Доказательство. Утверждение означает, что если (x(t), ?(?)) — би-
бихарактеристика, причем (х0, ?о) = (ж(М> ?(fo)) G Ts, то
Короче:

242 §11. Волновые фронты и коротковолновое приближение
Но
|5«(*@)|i=to = Sxx(x(t))x(t0) = Зхх(х0)Щ(х0, е0),
aa; — матрица вторых производных, т.е. Sxx =
С другой стороны i{to) = —Нх(хо, ?о), так что мы должны доказать,
что
EМЯС +Я.) |Гя=0.
Но это сразу получается дифференцированием по х уравнения Га-
Гамильтона-Якоби A1.15). ¦
Из предложения 11.3 сразу вытекает
Теорема 11.4. Многообразие Ts инвариантно относительно га-
мильтонова потока (т. е. относительно сдвига по бихарактеристи-
бихарактеристикам).
Это значит, что если (x(t), ?(?)) — бихарактеристика, определён-
определённая при t G (а, 6), и ?(to) = Sx(x(t0)) при некотором t0 ?,(e, 6), то
Sx (x(t)) = ?(t) при всех t e (а, Ь).
Пользуясь теоремой 11.4, можно строить многообразие Г5, если оно
известно над подмногообразием М коразмерности 1 в Е"). Если же
над М известно и 5, то простым интегрированием по Fs строится и
5 (заметим, впрочем, что если Ts найдено, то S восстанавливается по
значению в одной точке). Следует, однако, отметить, что все эти задачи
легко исследуются локально; глобально же построить S удаётся редко.
Чаще удаётся построить продолжение Fs, уже не являющееся графи-
графиком градиента (так называемое лагранжево многообразие), что тоже
достаточно для решения большинства задач математической физики
(с отсутствием однозначного проектирования лагранжева многообра-
многообразия на М™ связано появление каустик). Однако подробное исследование
этих вопросов выходит за рамки настоящих лекций.
Укажем как строится (локально) функция S, если она сама и её
градиент известны над начальным многообразием М коразмерности 1
в М™. Если бихарактеристика L = {(x(t), ?(?))}, начинается в точке
(zo, Со), где х0 е М, Со = Sx(x0), а кончается в точке (xi, fi), то ясно,
что
- S(x0) = I Sxdx= hdx. A1.17)
L L
Назовем лучами проекции нулевых бихарактеристик над М™. Будем
рассматривать лишь нулевые бихарактеристики, начинающиеся над М

11.2. Уравнение Гамильтона-Якоби, вихарактевистики, лучи 243
в точках вида (х, Sx(x)), где х ? М. Возьмём два луча xi(t) и x2{t),
соответствующие таким бихарактеристикам. Они могут пересечься в
какой-то точке хз ? М", и тогда формула A1.17) даст в точке хз два,
вообще говоря, различных значения для S(x). По этой причине задача
Коши для уравнения Гамильтона-Якоби (определение S по значениям
S\M и SX\M) редко бывает разрешима глобально. Однако локально за-
задача Коши часто бывает разрешима. Для локальной её разрешимости
достаточно, например, чтобы лучи* описанного типа, начинающиеся в
точках М, шли в начальный момент трансверсально М. В этом случае
мы можем рассмотреть отображение /: М х (—е, е) -> М", которое
паре х0 ? М, t ? (—е, е), ставит в соответствие точку x(t) луча, на-
начинающегося в точке х0 (т.е. ж@) = х0) и являющегося проекцией
бихарактеристики (x(t), ?(?)), для которой ?@) = Sx(x0). Отображе-
Отображение / по теореме о неявной функции будет задавать диффеоморфизм
множества U х (—е, е) (где U — малая окрестность точки х0 в М, а е до-
достаточно мало) на открытое подмножество в М™ тогда и только тогда,
когда вектор i@) не касается М (это условие необходимо и достаточ-
достаточно для того, чтобы дифференциал отображения / был изоморфизмом
(ТХоМ х!^ Гя:0М™). В этом случае лучи локально не пересекаются и
задача Коши локально разрешима.
Итак, сформулируем точно задачу Коши. Дано подмногообразие
М С RJ и функция So G С°°(М). Пусть в (T*R?) \M дано подмного-
подмногообразие Гв|м, которое при естественном проектировании на Т*М даёт
график градиента So и лежит на нулевой поверхности уровня функции
Н(х, ?). Задача Коши состоит тогда в нахождении функции S, для ко-
которой S\M = So и Fs|M совпадает с заданным над М подмногообрази-
подмногообразием (которое мы так и обозначили). Если во всех точках М выполнено
описанное выше условие трансверсальности, то задача Коши имеет ре-
решение в окрестности М.
Поверхности уровня функции S называются обычно волновыми
фронтами. Мы увидим ниже, почему употребление этого термина здесь
не противоречит его употреблению в примере 11.2.
Пример 11.4. Рассмотрим уравнение Гамильтона-Якоби вида
\Sx(x)\2 = ±. A1.18)
Функция Гамильтона в этом случае имеет вид
a2'

244 §11. Волновые фронты и коротковолновое приближение
Уравнения бихарактеристик имеют вид
откуда сами бихарактеристики имеют вид
В частности, все лучи прямые (причём, это могут быть прямые любого
направления). Если такой луч является проекцией бихарактеристики,
лежащей на графике Fs градиента решения S(x) (в силу теоремы 11.4
это означает, что Sx(xo) = fo)> то вдоль всего луча мы будем иметь
М*(*)) =*(*) = & = §,
откуда луч x(t) ортогонален всем волновым фронтам 5(х) = const, ко-
которые он пересекает.
Отметим, что в общем случае лучи не обязательно ортогональны
волновым фронтам.
Одним из решений уравнения A1.18) является функция S(x) = —
в Rn \ 0. Её линии уровня {х : S(x) = t}, т. е. волновые фронты, совпа-
совпадают с волновыми фронтами из примера 11.2. Лучи в данном случае —
прямые линии, также совпадающие с лучами, о которых говорилось в
примере 11.2.^
•^ Рассмотрим ещё следующий частный случай уравнения Гамиль-
Гамильтона-Якоби:
f
где 5 = S(t, х), А = А(х, О, t € М1, х, ? € W.
Это уравнение является уравнением Гамильтона-Якоби в Ш."*1
гамильтонианом
Гамильтонова система, определяющая бихарактеристики (t(s), x(s),
)> ?(*))> имеет вид
= -Ах(х,

11.2. Уравнение Гамильтона-Якоби, бихарактеристики, лучи 245
(точка означает производную по параметру з). Из этой системы видно,
что т(з) = то, t(s) = s+to, а (х(з), f(s)) — бихарактеристика гамильто-
гамильтониана А(х, ?). Поскольку сдвиг параметра на бихарактеристике ничего
не меняет, мы можем считать, что to = 0, т.е. t = s, и понимать х и
f как функции от t. Далее, если нас интересуют нулевые бихарактери-
бихарактеристики, то мы можем произвольно задать ж@) = хо, f @) = fo> тогда tq
однозначно определено: tq = — А(хо, &>)• Таким образом, произвольные
бихарактеристики (x(t), ?(t)) гамильтониана А(х, ?) находятся во вза-
взаимно однозначном соответствии с нулевыми бихарактеристиками для
H(t, х, т, ?), начинающимися при t = 0.
Лучи, соответствующие описанным нулевым бихарактеристикам,
имеют вид (t, x{t)). В частности, они трансверсальны всем плоскостям
t = const.
Для уравнения A1.19) можно поставить задачу Коши, задав началь-
начальное условие
5|t=0 = S0(x). A1.20)
Oft
Из этого условия следует, что 5Ж|._П = -—, а из уравнения находится
11—U 0$
ол
—|t=0. Поэтому график Ts градиента функции 5 известен над плос-
плоскостью М = {(t, x) : t = 0}. Поскольку лучи идут в начальный момент
трансверсально М, то Fs можно продолжить и определить Ts, а затем
и 5 над окрестностью М.
А именно, мы должны положить в соответствии с формулой A1.17)
t
S(t, x) = 5о(жо) + У [тоdt + *(t)i(t) A],
о
где (x(t), ?(?)) — такая бихарактеристика гамильтониана А(х, ^), что
ж@) = хо, x(t) = ж, т. е. точки жо и ж соединены лучом (точка хо, разу-
разумеется, должна быть выбрана так, что исходящий из неё луч попадает
в точку ж); кроме того,
го = -А(х0, &) = -А(х0, Ц(*о)) = -A{x(t), «*))
(это означает, что соответствующая бихарактеристика гамильтониана
H(t, ж, г, 0 лежит на Ts). Итак, мы имеем
X
S(t, х) = S0(x0) + J (?dx - Adt), A1.21)

246 §11. Волновые фронты и коротковолновое приближение
где интеграл от формы (?dx — Adt) берётся вдоль такой траектории
гамильтоновой системы с гамильтонианом А, что её проекция соеди-
соединяет хо и х. Вместо A1.21) можно также написать
х
S(t, х) = So(xo) + /Ldt, A1.21')
хо
где L = ?х — А называется лагранжианом, соответствующим гамильто-
гамильтониану А, а интеграл опять берётся вдоль траектории. Формулы A1.21)
и A1.21') показывают, что функция 5 аналогична функции действия
классической механики (переменная ? G Еп играет роль импульса). Та-
Таким образом, волновые фронты являются поверхностями уровня фун-
функции действия.
Мы не будем углубляться дальше в теорию уравнения Гамильтона-
Якоби и её связи с механикой и геометрической оптикой. Подробности
можно найти в учебниках механики (см., например, Арнольд [2-2]). От-
Отметим, в частности, что мы дали здесь доказательство единственно-
единственности решения задачи Коши и способ его конструкции, но не проверили
существования решения, т. е. того, что изложенная конструкция дей-
действительно даёт решение. Это действительно так в той области, где
рассмотренная выше система лучей, начинающихся при t = 0, диф-
феоморфма системе параллельных отрезков (в частности, это верно в
малой окрестности плоскости {(?, x) : t = 0}), но мы опустим проверку
этого несложного факта. >
< Сделаем ещё одно замечание об уравнении Гамильтона-Якоби
вида A1.19). Предположим, что нас интересует не само решение, а лишь
волновые фронты
{{t,x):S(t,x) = c},
где с — постоянная. Зафиксируем одно значение постоянной и будем
рассматривать систему поверхностей
{x:S(t,x)=c},
которые лежат в Е™ и зависят от t как от параметра. Если где-то -^- ф
at
Ф 0, то можно (локально) решить уравнение S(t, x) — с относительно t
и записать эту систему поверхностей в виде
{x:S(x) = t},

11.2. Уравнение Гамильтона-Якоби, бихарактеристики, лучи 247
т. е.в виде поверхностей уровня функции 5. Как написать уравнение
на 5? Из тождества
S(S(x), х)=с
дифференцированием по х находим:
Подставляя значение Sx = — Sx • -=- в уравнение A1.19), получим
f +
?) =0. A1.22)
Рассмотрим часто встречающийся и наиболее важный для уравне-
уравнений с частными производными случай, когда А(х, f) имеет 1-й порядок
однородности по f, т. е.
А(х, Afl = ХА(х, ?), жеЕ", {61", А>0.
Мы можем считать, что г=т- < 0 (иначе заменим S на — S, что не
изменит волновых фронтов). Вынося (—-кг) и сокращая на него, мы
получим из уравнения A1.22):
А(х, Sx{x)) = 1. A1.23)
К тому же результату мы пришли бы, считая просто, что
S(t, x) = S(x) -t + c. A1.24)
Тогда уравнение A1.23) сразу получается и без требования однородно-
однородности функции А{х, ?). Роль однородности состоит в том, что в предпо-
предположении однородности уравнение A1.19) на самом деле является лишь
уравнением на направление вектора нормали к волновым фронтам и
никак не зависит от параметризации волновых фронтов и величины
вектора нормали.
Итак, если считать, что S(t, x) имеет вид A1.24) или, что А(х, ?)
однородна по f порядка 1, то волновые фронты задаются уравнени-
уравнением S(x) = t, где S(x) — уже решение уравнения Гамильтона-Якоби
A1.23), не содержащего времени t. >

248 §11. Волновые фронты и коротковолновое приближение
11.3. Характеристики гиперболического уравнения
Пока мы не обсуждали вопрос о существовании характеристик. Яс-
Ясно, что эллиптический оператор не имеет характеристик. Мы увидим
сейчас, что гиперболический оператор имеет достаточно много харак-
характеристик.
Пусть дан оператор
A = a(t, х, Dt, Dx) = ? aa(t, x)D?°D%', A1.25)
где t?R,x&Rn,a = (c*o, a') — (n + 1)-мерный мультииндекс,
aa(t, x) € C°°(fi), П — некоторая область в En+1. Напомним, что зна-
значит гиперболичность оператора А относительно выделенной перемен-
переменной t (см. § 1). Рассмотрим главный символ
am(t, х, т, О = ? aa(t, х)та°?а'. A1.26)
|a|=m
Тогда гиперболичность означает, что уравнение • '
am(t, х, т, О = 0, A1.27)
рассматриваемое как уравнение относительно т, при любых (t, x) €
€ П, ? € Еп \ 0 имеет ровно m действительных (и притом различных)
корней. Обозначим эти корни ri(t, x, ?),..., Tm(t, x, ?). Ясно, что am
является многочленом степени m по т, а из гиперболичности вытекает,
что его старший коэффициент (коэффициент при тт) не обращается
в 0 при (t, х) ? П (этот коэффициент не зависит от ? в силу формулы
A1.26)). Поскольку корни этого многочлена простые, то в этих корнях
мы имеем:
По теореме о неявной функции в окрестности tj можно разрешить
уравнение A1.27) относительно г и считать Tj(t, x, ?) гладкой функ-
функцией от (t, х, ?) локально по (t, х, ?) € п х (En \ 0), т.е. в достаточно
малой окрестности любой фиксированной точки
Далее, ясно, что в силу однородности am, т. е. тождества
am{t, х, зт, s?) = smam(t, x, т, ?),

11.3. Характеристики гиперболического уравнения 249
набор корней T\(t, х, s?), ..., rm(t, х, s?) совпадает с набором чисел
sT\(t, х, ?), ..., sTm(t, х, ?). Мы можем выбрать поэтому функции
Tj(t, х, s?) при |?| = 1, а затем продолжить их по однородности, считая,
что
Tj(t, х, sO = sTjit, х, О, s>0. A1.29)
Таким образом, мы всегда можем считать, что функции Tj(t, x, f) опре-
определены в конической по ? области, т. е. области, содержащей любую точ-
точку вида (t, х, т?) при г > 0 вместе с любой точкой (t, х, ?) при f ф 0.
Мы будем всегда предполагать это в дальнейшем вместе с гладкостью
функций Tj(t, х, ?). Таким образом, функции Tj(t, x, ?) являются глад-
гладкими вещественнозначными и однородными первого порядка по ?.
Предположим, что поверхность
{{t,x):S(t,x)=O}
(QfT ч
—, Sx ) на этой по-
поверхности удовлетворяет уравнению A1.27). Но тогда ясно, что локаль-
локально мы должны иметь при некотором j
dS (. dS\ ,,, опч
- = Tj(t,x,w) A1.30)
(опять на поверхности S = 0). В частности, мы можем в качестве 5
взять любое решение уравнения Гамильтона-Якоби A1.30). Надо толь-
только, чтобы поверхность 5 = 0 была неособой, т. е. чтобы было выполнено
условие: grad 5^0 при 5 = 0. Локально такую функцию 5 можно полу-
получить, например, решая задачу Коши для уравнения A1.30) с начальным
условием
S\t=to = S0(x), A1.31)
где gradj. So(x) Ф 0. Например, можно провести характеристику через
точку (to, xo), выбрав
So(x) = f • (х - хо),
где f € К™ \ 0. На самом деле, беря функцию 50(х) произвольной, мы
можем найти тп характеристик, пересекающихся с плоскостью t = to
по заданной произвольной неособой гиперповерхности в этой плоско-
плоскости. Это означает, что волновой фронт, заданный при t = to, может
распространяться в m различных направлениях.

250 §11. Волновые фронты и коротковолновое приближение
Можно проверить, что найденные характеристики, пересекающие-
пересекающиеся с плоскостью t = to по данной неособой гиперповерхности, на са-
самом деле не зависят от произвола в выборе начальной функции So,
если начальная поверхность {х : So = 0} фиксирована. Мы опустим
эту несложную проверку, которую можно провести, например, анали-
анализируя описанный выше способ построения решения уравнения Гамиль-
тона-Якоби. В случае п = 1 такая проверка была сделана в § 1, где
мы показали, что через каждую точку (t0, хо) € П проходят ровно две
характеристики гиперболического уравнения.
11.4. Быстро осциллирующие решения. Уравнение эйконала
и уравнения переноса
Теперь мы хотим понять, каким образом волновая оптика переходит
в геометрическую на очень коротких волнах (или, что то же самое, при
высоких частотах).
Напомним, что плоская волна с частотой ш и волновым вектором к
имеет вид
u(t,*)=e*<w*-*->=eM*-t->.
к 1
Вектор — имеет длину -, где а — скорость распространения волн.
ш а
Для трёхмерного волнового уравнения величина а постоянна, т. е. не
зависит от ш. Величину же ш можно считать произвольной, в частности,
сколь угодно большой. Таким образом, для любого вектора ко длины -
а
и для любого ш имеется плоская волна вида
u(t, х) = е^1-кох\ A1.32)
Мы можем считать теперь вектор ко фиксированным и устремить
частоту ш к +оо. Это и будет означать предельный переход к геоме-
геометрической оптике для нашего случая плоской волны.
Будем называть фазой плоской волны A1.32) величину <р = w(t —
— ко • х), стоящую в показателе экспоненты. Зафиксируем ш и ко и
будем следить за поверхностями постоянной фазы <р = const, которые
называются волновыми фронтами. При каждом t волновой фронт —
это плоскость
{x:ko-x = t + c} С К3.
С изменением времени, волновой фронт движется со скоростью а
в направлении вектора fco. Поэтому прямые, идущие в направлении ко,
естественно называть лучами.

11.4. Уравнение эйконала и уравнения переноса 251
Рассмотрим теперь общий дифференциальный оператор
А = а(х, D) = V aa(x)Da, ж € п С R",
и попробуем найти по аналогии с плоской волной A1.32) решение урав-
уравнения Аи = 0 в виде
u(x) = e<A5(*>, A1.33)
где А — большой параметр, S(x) — вещественнозначная функция, ко-
которую мы будем называть фазой.
Вычисляя Аи, мы видим, что
Ли = Amam(x, Sx{x))eiXSM + О (А), A1.34)
где ат(х, f) — главный символ оператора A (at. § 1). Не будем следить
пока за членами, обозначенными в A1.34) через О (А) (они имеют
вид многочлена от А степени не выше т— 1, умноженного на экспоненту
ex\S(x)y g0 jjg (ii 34) ясно, что если мы хотим добиться выполнения
уравнения Аи = 0 при сколь угодно больших А, то фаза S(x) должна
удовлетворять уравнению
называемому в геометрической оптике уравнением эйконала и являю-
являющемуся уравнением Гамильтона-Якоби в случае, когда главный символ
Ото (ж, f) вешественнозначен (только этот случай мы и будем рассматри-
рассматривать в дальнейшем). Уравнение A1.35) обеспечивает выполнение урав-
уравнения Аи = 0 «в первом приближении». Точнее, если и(х) имеет вид
A1.33), то уравнение A1.35) равносильно условию
Аи = О(Хт-1), А-»оо. A1.36)
Мы видим, что нахождение волновых фронтов (поверхностей посто-
постоянной фазы) сводится в этом случае к решению уравнения Гамильто-
на-Якоби.
Предположив, что для уравнения Гамильтона-Якоби A1.35) выпол-
выполнены условия разрешимости задачи Коши (например, оператор А ги-
гиперболический относительно какой-то переменной, обозначаемой че-
через t), мы можем строить волновые фронты методами геометрической
оптики, исходя из их расположения на начальном многообразии (в мо-
момент времени t = 0 в гиперболическом случае).

252 §11. Волновые фронты и коротковолновое приближение
Теперь попробуем удовлетворить уравнению Аи = 0 более точно.
Оказывается, что для этого надо искать решение и в виде
_ „i\S(x
и — е
Ч(х,Х), A1.37)
где
оо
6(*, А) = ?>(*)*"'¦
есть формальный ряд по степеням А, называемый амплитудой. Таким
образом, и = и(х, А) также является формальным рядом.
Придадим смысл выражению Аи. Легко видеть, что
m
A(f(x)eiXSW) = ettS« ? A- (Alf), A1.39)
где At — линейные дифференциальные операторы. Применяя А к fc-му
члену в ряде A1.37), мы получим
A(eiXS^ Ьк{х)\-к) = e^S(x)J^Xm-i-k ^bfc). (ц.40)
(=0
Через Аи будем обозначать ряд
оо
^Vj(x)\m-j, A1.41)
полученный применением А к каждому члену ряда A1.37), задающе-
задающего и, и последующей группировкой членов с одинаковыми степенями
А (членов, содержащих каждую степень А, будет лишь конечное число,
как это видно из формулы A1.40)). Ряд и будем называть асимптоти-
асимптотическим решением или быстро осциллирующим решением, если Аи = 0
(т.е. ряд Аи обращается в 0 в том смысле, что все коэффициенты Vj
равны 0).
Пусть и — асимптотическое решение вида A1.37). Рассмотрим ко-
конечный отрезок ряда, задающего и:
N
uN(x, A) = e^W Y, Ь№*-''• A1-42)
j=o

11.4. Уравнение эйконала и уравнения переноса 253
Тогда un — уже настоящая функция от х, зависящая от А как от па-
параметра. Ряд и — un начинается с А"^. Поэтому ряд А(и — un) на-
начинается с A~w~1+m. Но Аи = 0, так что
А{и - uN) = -AuN,
откуда видно, что
A1.43)
Таким образом, если мы знаем асимптотическое решение и(х, А), то
его конечные отрезки un{x, А) при больших А являются «почти реше-
решениями» с тем большей точностью, чем больше N.
Аналогичные соображения применимы к неоднородному уравне-
уравнению Аи = / и к граничным задачам для этого уравнения. Бели гра-
граничная задача для уравнения Аи = / такова, что она имеет един-
единственное решение, непрерывно зависящее от / (это часто получает-
получается, например, из энергетических оценок), то найдя такие un, что
Aun = /n мало отличается от / (при больших значениях А), мы уви-
увидим, что ввиду уравнения А(и — un) = / — /n приближённое реше-
решение un мало отличается от истинного решения и (мы считаем, что
un удовлетворяет тем же граничным условиям, что и и). Впрочем,
«истинное решение» имеет не больший физический смысл, чем при-
приближённое, так как в физике сами уравнения обычно являются при-
приближенными. Поэтому в дальнейшем мы будем говорить о прибли-
приближённых решениях, не вспоминая об «истинном». Отметим, впрочем,
что приближённое решение хорошо удовлетворяет уравнению лишь при
больших значениях А (при «высоких частотах» или на «коротких вол-
волнах»).
Как же находить асимптотические решения? Отметим сразу же, что
можно считать, что Ьо{х) ~Ф- 0 (если Ьо(х) = 0, то можно вынести А за
скобку и изменить нумерацию коэффициентов bj). Может случиться,
что Ьо(х) ф 0, но Ъо\ц = 0 для некоторого открытого подмножества
U С Шп. В этом случае на U и на дополнении к U надо проводить
рассмотрение отдельно. Учитывая эти замечания, будем считать, что
Ьо\ц ^ 0 ни для какого открытого С/ С П. Но тогда старший член в
ряде Аи имеет вид
\тат(х, Sx(x))bo(x)eiXSW A1.44)
и если мы хотим, чтобы он обратился в 0, то необходимо потребовать
выполнения уравнения Гамильтона-Якоби A1.35) на фазу S(x) (и если

254 §11. Волновые фронты и коротковолновое приближение
это уравнение выполнено, то старший член A1.44) обращается в 0 не-
независимо от поведения 6о(х)). Итак, пусть S(x) — решение уравнения
Гамильтона-Якоби.
Теперь попробуем подобрать bj(x) так, чтобы и следующие члены
обратились в 0. Для этого нужно более подробно выписать коэффици-
коэффициенты Vj в ряде для Аи (см. формулу A1.41)). Пользуясь введёнными
выше обозначениями, имеем, очевидно:
«i(*)= E (Л'6*Ь 7 = 0,1,2,..., A1.45)
к=0,1,2,...
где Ai — линейные дифференциальные операторы, зависящие от 5 и
определяемые формулой A1.39). Суммирование в A1.45) идёт по тем
I 6 {0, 1, ..., ш} и целым к ^ 0, для которых I + к = j и потому
сумма конечна. При j = 0 она состоит из одного слагаемого АоЬо =
= ат{х, Sx(x))bo(x). Отсюда ясно, что Aq = 0 в силу выбора фазы
S(x). Поэтому реально в A1.45) суммирование по I от 1 до т. Име-
Имеем:
v2 = Л161
Л3&0,
Отсюда условия Vj = 0, j = 0, 1, 2, ... дают, помимо уже вы-
выписанного уравнения Гамильтона-Якоби, линейные дифференциаль-
дифференциальные уравнения на функции 6,-. Эти уравнения можно записать в ви-
виде
Л1&1 = -Л2&0,
А\Ь2 — -А%Ь\ - А3Ь0,
т. е. все они имеют вид
Aibj = fit A1.46)
где Sj выражается через &о, ..., &,•_!. Уравнения A1.46) называются
уравнениями переноса. Из них видно, что важную роль играет опера-
оператор А\.

11.4. Уравнение эйконала и уравнения переноса 255
Вычислим оператор А\. Мы считаем, что фаза S(x) удовлетворяет
уравнению эйконала A1.35). Тогда оператор А\ определяется из фор-
формулы:
A(f(x)eiXSM) = eiXS^ A7" {Axf) + О (Am~2). A1.47)
Прямое вычисление, использующее формулу Лейбница, показывает,
что при \а\ = т
= Хт (Sx(x))a /(x)e'AS« + A J2<*i (S*(*))a-ej [Djf(x)] eiAS<*>+
+ Am-16a(x)/(x)eiAS^ + О (A7"),
где Dj = fc^—, fij — мультииндекс, в котором на j-м месте стоит 1,
а остальные — нули. Поскольку
то вычисляя j4(/(x)e*AS^^), мы получим:
= Am-1 [Ёfjjf \e=s.(x) (Ds /(*)) + Ф) Я*)]е<А5(г) + О (А—2),
откуда видно, что
Al = S ^1с=я,(х)-°^ + с(х) = |"~1-ь1 + с(х)> С11-48)
где L\ — дифференцирование вдоль векторного поля
Каков геометрический смысл поля V(x)? Напишем гамильтонову
систему с гамильтонианом ат(х, ^):
Х~ дГ
А™...
дх

256 §11. Волновые фронты и коротковолновое приближение
и будем брать бихарактеристики, лежащие на графике градиента S,
т.е. такие бихарактеристики (x(t), ?(*))> для которых ?(i) = Sx(x(t)).
Но тогда V (x(t)) — касательный вектор к лучу x(t), соответствующему
такой бихарактеристике. Поэтому уравнения переноса A1.46) имеют
вид
\ibA4t)) +ф«)ЬДх(*)) = /,-(*(«)), A1-50)
т. е. являются линейными обыкновенными дифференциальными урав-
уравнениями вдоль лучей. Тем самым, значение bj (x(t)) вдоль луча x(t) од-
однозначно определяется значением ftj(x@)).
Пример 11.5. Рассмотрим в качестве примера волновое уравнение в
неоднородной среде
^-f - c2(x) Ли = 0, xeR3, A1.51)
от
где с(х) — гладкая положительная функция от х. Будем по общему
рецепту искать быстро осциллирующее решение вида
u(t, х, А) =
i=o
Главный символ соответствующего волнового оператора имеет вид
так что для фазы S(t, x) имеем следующее уравнение эйконала:
2 о /dS\2
Уравнения о»зыфактеристик:
i = -2т,
f = 0,
г = le, t — -2то<т + to (<т — параметр вдоль бихарактери-
стипз). Поскольку нас интересуют лшпь нулевые бихарактеристики,

11.4. Уравнение эйконала и уравнения переноса 257
нужно также считать, что г2 = с2(х)|?|2 или г = =fc(x)|?|. Отсюда при
|?| ф 0 находим:
dx _ х 2с2 (х) ^
В частности, скорость движения луча по величине равна с(х). Отсю-
Отсюда легко следует, что с(х) будет скоростью движения волнового фронта
в каждой точке.
Из первого и последнего уравнений бихарактеристик находим также
dt —2то
Итак, x(t) и ?(?) удовлетворяют системе уравнений
^'' A1.53)
Эта система гамильтонова с гамильтонианом Я(х, ^) = ±с(х)|?|.
В частности, вдоль траекторий с(х)|?| = Но = const. Выбор постоян-
постоянной Но (определяемой начальными условиями) не повлияет на распо-
расположение лучей x(t), поскольку вместе с (x(t), ?(?)) решением системы
A1.53) является, очевидно (х(?), А?(?)) при произвольном А > 0. Поль-
Пользуясь этим обстоятельством, попробуем исключить ?(?). Заменяя |?| на
Н0/с(х), получим из A1.53)
сх(х)
Теперь подставляя найденное из первого уравнения выражение для
с (х)
во второе уравнение, мы получаем
Итак, мы показали, что всякий луч x{t) удовлетворяет дифференциаль-
дифференциальному уравнению 2-го порядка A1.56). Это нелинейное дифференциаль-
дифференциальное уравнение (точнее система из п таких уравнений). Оно может быть

258 §11. Волновые фронты и коротковолновое приближение
разрешено относительно —j", (коэффициент при этой производной ра-
CLTi
вен -я—, а мы считаем, что с(х) > 0). Поэтому задание начальных
с (х)
с
—,
(х)
()
данных х@) = хо, х'@) = Vq (штрихом обозначается производная по
t) однозначно определяет решение x(t). Однако не всякое решение x{t)
этого уравнения задаёт луч, поскольку переход от системы A1.53) к
уравнению A1.56) был не вполне эквивалентен. Рассмотрим этот во-
вопрос чуть-чуть подробнее.
Пусть x(t) — решение уравнения A1.56). Определим ?(?) по форму-
формуле A1.55), выбрав пока произвольно положительную постоянную #о-
Тогда уравнение A1.56) равносильно второму из уравнений A1.54), в
то время как первое из уравнений A1.54) просто означает, что ?(?)
получается по формуле A1.55). Таким образом, если (x(t), ?(?)) —
решение системы A1.54) при произвольном значении Щ > 0, то
x(t) — решение A1.56) и, наоборот, если x(t) — решение A1.54)
и Яо — произвольная положительная постоянная, то существует и
единственна такая функция ?(*), что (x(t), ?(?)) — решение системы
A1.54).
Как перейти от системы A1.54) к системе A1.53)? Если (x(t), ?(?)) —
решение системы A1.54), причём ?(?) ф 0, то ясно, что A1.53) выпол-
выполняется тогда и только тогда, когда с(х(?))|?(?)| = Но. Заметим, что
для этого достаточно, чтобы было с(х@))|?@)| = Н0. В самом деле,
достаточно проверить, что векторное поле
касается многообразия
Возьмём точку (х0, ?о) 6 М и кривую (x(t), ?(*)), являющуюся ре-
решением системы A1.54) и удовлетворяющую начальному условию
(х@), ?@)) = (х0, &>)• В частности, вектор скорости (х@), ?@)) совпа-
совпадает с вектором поля в точке (х0, &>)¦ Нужно проверить, что вектор
(ж@), ?@)) касается М в точке (хо, ?о)> т.е. что

11.4. Уравнение эйконала и уравнения переноса 259
Но
| (с2 (*(*)) Ш\2) Lo = 2с(х0) Ыхо) ¦ х'@)] \Ы2 + 2с2(хо)& ¦ ?@) =
= 2с(хо)[б> ¦ сх(хо)] ^Яо-^Схо)!^!2 =F #о] = О,
поскольку с(хо)|?о| = Яо ввиду того, что (хо, ?о) € М.
Итак, если с(х@))|?@)| = Н0, то решение (x(t), ?(*)) системы A1.54)
является решением и системы A1.53), откуда x(t) является лучом.
Теперь заметим, что из выражения A1.55) видно, что при каждом
фиксированном t условие c(x(i))|?(i)| = Щ равносильно тому, что
|х'(?)| = c(x(i)). В частности, если |х'@)| = с(х@)) — решение урав-
уравнения A1.56), то x(t) является лучом и |х'(?)| = c(x(t)) при всех t.
Итак, лучи x(t) выделяются среди решений уравнения A1.56) тем,
что их начальные условия х@) = хо, х'@) = vq таковы, что vq =
= с(хо).
Проверим, что лучи являются экстремалями функционала, задаю-
задающего время, за которое свет проходит кривую («принцип Ферма»), т. е.
функционала
г(г) = I f,
г
где ds — элемент длины дуги кривой Г, с = с(х) рассматривает-
рассматривается как функция на кривой Г. Экстремальность понимается по всем
вариациям, сохраняющим концы, т.е. в классе путей Г, соединяю-
соединяющих две фиксированные точки. Пусть эти точки обозначены хо и
х\. Поскольку факт экстремальности не зависит от выбора параме-
параметра, то удобно считать, что параметр меняется всё время на от-
отрезке [0, 1]. Итак, пусть Г = {х(т), г € [0, 1]}. Будем брать ва-
вариации пути Г, сохраняя условия х@) = Хо, хA) = Х\. Экстре-
Экстремальность равносильна уравнениям Эйлера-Лагранжа для функцио-
функционала
_ } \x{r)\dr
с(х(г))
о
(здесь точка означает производную по г). Это известные уравнения
Л агранжа
1
T({x(t)})=J-
±(Ёк\
drKdxJ дх

260 §11. Волновые фронты и коротковолновое приближение
\x\
для лагранжиана L = -j\. Они имеют вид:
сух)
d I 1 1 dx{r)\ + \х{т)\ , _ Q
dr \с(х(г)) |х(т)| dr / с2(х(т)) Х^ '
Разумеется, факт экстремальности не зависит от выбора параметра
и от того, в каких пределах меняется г (можно менять г на любом
фиксированном отрезке [о, 6]). Пусть теперь {x(t)} — луч с параме-
параметром t, имеющим тот же смысл, что выше (т. е. таким, как в системе
A1.53)). Мы знаем, что вдоль луча |х| = c(x(t)). Но тогда, полагая
т = t, мы видим, что уравнение Лагранжа A1.57) переходит в урав-
уравнение A1.56), которое мы выше вывели для лучей. Итак, лучи удовле-
удовлетворяют принципу Ферма. Этот результат согласуется, в частности, с
тем, что в однородной среде (т. е. при с(х) = с = const) лучи являются
прямыми.
Выпишем уравнения переноса в описанной ситуации. Для этого
нужно подставить ряд u(t, x, А) вида A1.52) в уравнение A1.51). Бу-
Будем считать, что S(t, x) удовлетворяет уравнению эйконала. Тогда ряд
— с2(х)Ди начинается с А1.
Имеем:
ut(t, х, А) = %}
3=0 j=0
оо оо
utt{t, х, А) = -\2SfeiXS ^ bj\-j + i\StteiXS ]?&,А~' +
3=0 j=0
3=0 j=0
ux(t, x, A) = i\Sxeixs ? ? ^
Au(t, x, A) = -X2S2xeixs 2 Ь3\-> + i\ASeiXS
3=0 j=0
+ 2i\eiXS ? Sx ¦ ^A^ + eiXS ?
? x
3=0 j=0

11.4. Уравнение эйконала и уравнения переноса 261
Теперь вычислим Щь — с2(х)Аи. Первые члены в выражениях для Щь
и с2(х)Ди сократятся ввиду уравнения эйконала. Приравнивая нулю
коэффициенты при всех степенях А, получим, деля на 2г:
ff + \[Stt - с2(х)Д5]б0 = 0;
l ф Р] = 0;
= 0;
-!] = 0. A1.58)
Это и есть уравнения переноса, йэ уравнений бихарактеристик вид-
видно, что поле
(Su-cP(x)Sx) = (t,-c2(x)O
касается лучей, т. е. все уравнения A1.58) имеют вид
где а(а) зависит лишь от S, f(a) зависит от S, bo, ..., bj-i, a
(t(a), x(a)) — луч с параметром а, рассматривавшимся в начале раз-
разбора этого примера. >
¦4 Укажем другой способ рассмотрения этого примера и близких
ему по структуре. Можно искать решения уравнения A1.51), имеющие
вид
u(t, х, и) = e**v(x, и), A1.59)
где ш — большой параметр, аи — формальный ряд вида
v(x, w) = e^s^^2vk{x)w-k. A1.60)
fc=0
Уравнение A1.51) для функции u(t, x, w) вида A1.59) переходит в
уравнение для v(x, ш) типа уравнения Гельмгольца
[Д + w2cT2(x)] v(x, ш) = 0. A1.61)

262 §11. Волновые фронты и коротковолновое приближение
Для функции 5(х) получается уравнение эйконала вида
<п-б2>
К тому же результату мы пришли бы, считая в исходной ситуа-
ситуации функцию S(t, х) имеющую вид S(t, x) = t — S(x). Мы не будем
сейчас выписывать уравнения переноса для функций од(х). Они имеют
структуру, близкую к структуре нестационарных уравнений переноса
A1.58).
Замечание. Уравнения переноса описывают в физических задачах
перенос энергии, поляризацию и другие важные физические явления.
Однако мы не останавливаемся на этих вопросах, относящихся скорее
к курсу физики.
11.5. Задача Коши с быстро осциллирующими начальными данными
Рассмотрим уравнение Аи = 0, где А = a(t, x, Dt, Dx), t G К, х G
6 E", и пусть А — гиперболический оператор относительно перемен-
переменной t. Рассмотрим формальный ряд
u(t, х, А) = eiXS^x) ^2 bj{t, x)\~j A1.63)
i=a
и попробуем понять, по каким начальным данным при t = 0 можно
восстановить этот ряд, если он является асимптотическим решением.
Мы будем рассматривать только такие фазовые функции S(t, ж), что
gradj. S(t, x) ф 0. Функция S(t, x) должна удовлетворять уравнению
эйконала
Om(t, X, St, Sx) = 0, A1.64)
где am(t, х, т, ?) — главный символ оператора А. Но как мы виде-
видели выше в п. 11.3, это равносильно тому, что выполнено одно из m
уравнений
Щ = n(t, х, Sx), A1.65)
где Ti(t, x, ?) (I = 1, 2, ..., m) — полный набор корней уравнения
am(t, х, т, ?). Задав начальное условие
5|t=0 = 50(х), A1.66)

11.5. Задача Коши с быстро осциллирующими данными 263
где функция 5о(х) такова, что gradx So(x) Ф О, мы можем построить
ровно т различных решений уравнения эйконала A1.64), удовлетворя-
удовлетворяющих этому начальному условию, а именно, решения уравнений A1.65)
(каждое иэ них уже имеет единственное решение). Решения уравнений
A1.65) существуют в малой окрестности плоскости t = 0, определяе-
определяемой как указано в п 11.2. В этой же окрестности функции bj(t, х) будут
однозначно определены из уравнений переноса, если задать начальные
данные
L > 3 = 0,1,2,... A1.67)
Поставим теперь задачу Коши, для уравнения Аи = 0, задавая на-
начальные данные вида:
XeiXSo{x) E^w'» (n-68)
3=0
тт-1 lt=O
3=0
Смысл этой задачи состоит в том, что мы хотим находить сколь угодно
точные (при больших А) решения уравнения Аи = 0 с быстро осцилли-
осциллирующими начальными данными, являющимися конечными отрезками
рядов, стоящих в правых частях A1.68).
Решением этой задачи уже нельзя называть просто ряд вида A1.63)
(такого может и не оказаться). Нужно брать конечную сумму таких
рядов (с различными фазами S(t, x)). Итак, рассмотрим сумму:
m
u(t, x, A) = ^2 ur(t, x, A), A1.69)
г=0
где
ur(t, х, А) = eiAsr(*'x:
з=о
Назовем сумму A1.69) решением уравнения Аи = 0, если каждое
ur(t, х, А) является решением этого уравнения. Поскольку все ряды

264 §11. Волновые фронты и коротковолновое приближение
дкиг
имеют
j=0
то начальные данные «|t=0, "t|t=0> • ••> m-1 |t=0 тоже имеют такой
вид. Поэтому имеет смысл говорить о вьшолнении начальных данных
A1.68) для u(t, х, А).
Можно рассмотреть, например, частный случай, когда ряды в
A1.68) вообще состоят из одного члена:
A1-71)
dt
:ГО —1 lt=Q
Обрывая ряд для и на достаточно далёком члене, мы видим, что
нахождение асимптотических решений даёт настоящие функции
u(t, х, А), для которых
Аи = О (\~N),
«U = eiASo(*W*) + О (\~N), A1.72)
Ч"»-1„ . ^^
^ГО-1 lf=O T-m-iv
где iV может быть сколь угодно большим.
Теорема 11.5. Описанная выше задача Коши для гиперболического
уравнения Аи = 0 (с начальными данными A1.68)) однозначно разре-
разрешима (в малой окрестности начальной плоскости t = 0).
Доказательство. Каждая из фаз Sr(t, x) должна удовлетворять
уравнению эйконала и начальному условию 5|.__ = Sq(x). Существует,
как мы видели, ровно т таких фаз S1, 52, ..., Sm. Теперь уравнения
переноса для амплитуд bj(t, x) показывают, что достаточно задать
bj |t=0 = bj,r(x), чтобы все функции bj(t, x) были однозначно опре-
определены. Итак, нам нужно показать, что начальные условия A1.68) од-
однозначно определяют функции bj<r(x). Нужно подставить « = J2™=.1 иГ

11.5. Задача Коши с быстро осциллирующими данными 265
в начальные условия A1.68) и выписать получающиеся уравнения на
функции bj(t, х), приравняв коэффициенты при всех степенях А. Пер-
Первое из условий A1.68) даёт
г=1
Второе из условий A1.68) приобретает вид:
Отг'Пи +?#U -<f м. i -°.'. • ¦ •
r=l
r=l
dku.
И вообще условие, задающее —г . „, имеет вид:
QtK "—°
fc = 0, 1, ..., т — 1; j = 0, 1, ..., где fj(x) зависит лишь от %г ,
... , bj_i. Заметим теперь, что
где rr(t, х, f) ^ 7j(t, ж, 0 при г ^ / и f / 0. Поэтому если -д-2 / 0 (а
это предполагается в рассматриваемой задаче), то система уравнений
A1.73) при фиксированном j имеет вид системы линейных уравнений
относительно Щ \t-0 — bj,r(x) с определителем, равным определителю
Вандермонда
1 1 ... 1
(in)
гп
ra-l
(гтт)
гтт
т-1
где тг = тг@, x, -x-^)- Правые части в A1.73) зависят лишь от
ОХ
Ь^ , ..., ?n_i. Поэтому последовательность систем линейных уравнений
A1.73) дает возможность однозначно определить все функции of' по
индукции. А именно, найдя Ьо,г(ж) из системы A1.73) с j = 0, мы можем

266 §11. Волновые фронты и коротковолновое приближение
определить %" (t, ж) из уравнений переноса с начальными условиями
^|t=o = &о,г(ж). Если определены Ьо, ..., bj-i, то из A1.73) находятся
функции ft]i |t=0> r = 1, ..., m, и тогда из уравнений переноса можно
определить bf(t, ж). Теорема 11.5 доказана. ¦
Укажем кратко связь теоремы 11.5 с поведением особенностей ре-
решений задачи Коши. Особенности функции f(x), как известно, связаны
с поведением на бесконечности её преобразования Фурье /(?)¦ Напри-
Например, написав формулу обращения
/(ж) = Bтг)-п J /(flefa-« de, (П-74)
мы видим, что если |/(?)| < СA +1^1)"", то / 6 C7V-n-1(En). Поэтому
для нахождения особенностей решения u(t, x) достаточно решить за-
задачу Коши с точностью до функций, у которых преобразование Фурье
по х достаточно быстро убывает при |?| —> оо.
Формулу A1.74) можно рассматривать как представление /(ж) в ви-
виде линейной комбинации экспонент е*^'х. Поскольку исходная за'дача
является линейной, для нахождения решения задачи с одним из началь-
начальных данных, равным /(ж), достаточно рассмотреть решение, для кото-
которого в начальном условии /(ж) заменено на егх'^ и потом взять такую
же линейную комбинацию решений.
Если / 6 ?'(ЖП), supp/ С К, где К — компакт в Е", то удобней
поступить несколько иначе. А именно, пусть ip 6 Co°(Rn), tp = 1 в
окрестности К. Тогда
/(ж) = V(x)f(x) = B*)-лУ/(Ov>(*)e'"«de (П-75)
и достаточно решать исходную задачу с заменой /(ж) на ip(x)etx'*. На-
Например, если /(ж) = <$(ж), ip 6 Co°(Kn), ip@) = 1, то верна формула
A1.75); поэтому решив задачу Коши
f Аи = О,
дт~1и,
I ft l*=°
A1.76)

11.5. Задача Коши с быстро осциллирующими данными 267
и обозначив решение через щ (t, х), мы можем написать
(если интеграл в каком-нибудь смысле существует — например, схо-
сходится при фиксированном t в топологии Т>'(Е?)) и тогда E(t, x) будет
решением задачи Коши
f A? = О,
A1.77)
Если мы хотим следить лишь за особенностями ?(х), то нужно сле-
следить за поведением щ{х) при |?| —> сю. Можно фиксировать направле-
направление ?, введя большой параметр А = |?| и положив ц = щ. Тогда задача
Коши A1.76) имеет вид задачи Коши с быстро осциллирующими на-
начальными данными. А именно, в A1.68) мы должны положить
S0(x) = т)-х,
ef\x) = cjl)(x) = ... = cSm-2)(x) =0, j = 0, 1, ...,
Мы можем найти решение u^(t, x) = uv(t, x, А), которое будет удо-
удовлетворять условиям A1.76) с точностью до O(X~N) при сколь угодно
большом N. Тогда условия A1.77) будут выполнены с точностью до
функций класса CN~n~l(Rn). Можно доказать, что истинное решение
задачи A1.77) будет вести себя с точки зрения поведения особенностей
как найденное приближённое решение, т. е. будет отличаться от него
на сколь угодно гладкую функцию (при большом N).
Где же лежат особенности E(t, x)? Чтобы понять это, мы должны
рассмотреть интеграл
EN(t, x) = Bir)-n

268 §11. Волновые фронты и коротковолновое приближение
где i/?,jv — сумма N + 1 первых членов ряда, задающего асимптотиче-
асимптотическое решение щ. Все эти члены имеют вид
A*
f
где А = |?|, j] = ?/|?|, Sr(t, x, т)) — одна из фазовых функций, удовлетво-
удовлетворяющих уравнению эйконала с начальным условием 5r|t_0 = Sq(x) =
= t] ¦ х, ip(t, x, г)) — функция, бесконечно дифференцируемая по всем
переменным, определённая при малых t и имеющая носитель, лежащий
в некоторой сколь угодно малой окрестности множества лучей (t, x(t)),
начинающихся в точке @, 0) (последнее получается из вида уравне-
уравнений переноса). Таким образом, мы видим, что носитель ?jv(?, x) ле-
лежит на множестве лучей, проходящих через точку @, 0). Принимая во
внимание тот сформулированный выше без доказательства факт, что
особенности ? и ?jv (с любой точностью) совпадают, мы видим, что
обобщённая функция ?(?, х) бесконечно дифференцируема вне множе-
множества лучей, начинающихся в точке @, 0).
При этом надо брать все лучи, соответствующие всем функциям
Sr(t, х, г)) при каждом г) и при каждом г = 1, ..., т. Получится набор
из т конусов с криволинейными образующими, выходящими из точки
@, 0) (при каждом г) 6 Е", \т)\ = 1, и при каждом г = 1, ..., тп получает-
получается луч, причём этот луч гладко зависит от г)). Более детальное описание
особенностей мы оставляем читателю в качестве упражнения, которое
полезно проделать для уравнений 2-го порядка, например, для уравне-
уравнения, описывающего распространение света в неоднородной среде.
Задачи
11-1. Рассмотрим уравнение utt = а2Аи, и = u(t, х), х 6 Е2. Найти
его характеристики, пересекающиеся с плоскостью t = О
а) по прямой т) ¦ х = 0 (г) 6 I2 \ 0);
б) по окружности {х : \х\ = R}.
11-2. Выяснить связь между лучами и характеристиками для урав-
уравнения ии — с2(х)ихх.
11-3. Для задачи Коши
ии = х2ихх,
Ч=о =0,

Задачи 269
написать и решить уравнение эйконала и первое уравнение переноса.
Пользуясь этим, найти такую функцию u{t, х, А), что при х ф 0 и при
Л->оо
utt - х2ихх = О (\~1) ,
Ч=о = ° (А),

270 Ответы и указания
Ответы и указания
1-1. a) Upp + uqq + urr = 0;
Замена переменных:
р = х,
(Имейте в виду, что замена переменных, приводящая уравнение к ка-
каноническому виду, неединственна; выше приведена одна из возмож-
возможных замен, в то время как существуют и другие, столь же правиль-
правильные.)
б) Upp — uqq + 2up = 0;
1-2. a) uzw - -uz - —uw - -ju = 0;
I
z = yx 3,
w = xy.
6) uzz + uww + j^uz + —uw = 0;
w = x2.
в) uww + 2uz + uw = 0;
W = X.
(x\ l\x I
- 1 + J\-\g(xyy, f, 9 — произвольные функции
одной независимой переменной.
(Здесь и в п. б) вид общего решения не является единственным.)

Ответы и указания 271
Указание. Замена переменных
Г z = ln\xy\,
| w = In |j//x|
сводит уравнение к виду 2«ztu + uz = 0, т.е. ^-B«ю + «) = 0, откуда
2ию + и = F(w) и «(г, ш) = а(ш) + exp(-w/2)ft(z).
б) и(х, у) = In - /(xj/) +g(xy); f,g — произвольные функции одной
независимой переменной.
Указание. Замена переменных
{z = ln\xy\,
w = In |j//x|
приводит уравнение к виду uww = 0, откуда u(z, w) = W(p(z)
Указание. Написать уравнение 2-го закона Ньютона для движения
колечка.
Указание. См. указание к п. а),
в) (т«« + ащ - Т«я!)|я.=0 = 0.
2-2. a) JS(t) = | /„' [/mt2(f, x) + Tu2x{t, x)] dx = So = const.
б),в) Пусть E(t) = \mu2t\x=Q + \ jj[pt^(t, x) + ^(t, x)] dx = Eo =
= const.
Тогда ?(i) = Eo = const в случае б) и E(t) - Е@) = А^р =
= - J* au2t\x=0 dt в случае в).
(Атр — работа силы трения.)
2-3. (Ши = Еихх или ии = а2ихх, где а = \jEjp.
Здесь « = u(t, x) — продольное перемещение точки, которая в
равновесии имеет координату х, р — объёмная плотность материала
стержня, Е — модуль Юнга, входящий в выражение силы, возника-
возникающей в деформированном материале, по формуле F = ES-r- (закон
Гука), S — поперечное сечение, где измеряется сила, — деформа-
деформация маленького кусочка материала стержня вокруг точки измерения

272 Ответы и указания
I -у часто называется относительным удлинением, здесь / — длина рас-
рассматриваемого кусочка в положении равновесия, а А1 — приращение
этой длины, вызванное приложенными силами).
Указание. Показать, что относительное удлинение стержня в точ-
точке, имеющей координату х в положении равновесия, равно их —
— ux(t, ж), так что сила F = ESux(t, x) действует на левую часть
стержня в соответствующем поперечном сечении. Рассмотрите движе-
движение части [х, х+Ах] стержня, напишите уравнение 2-го закона Ньютона
для этой части и возьмите предел при Дж -> 0.
2-5. (ESux - ku)\x=0 = 0.
Здесь к — коэффициент упругости пружины, т. е. сила порожденная
удлинением пружины на единицу длины.
2-в. а),б) E(t) = \/о[fru2t(t, х) + Eu2x(t, х)] dx = Ео = const.
в) E(t) = |fc«2|i=() + \ /0'[PSu}{t, x) + ESuUt, x)]dx = Eo = const.
2-7.pS(x)uu — -тг \ES(x)j- J, где S(x) — площадь поперечного се-
сечения стержня в точке, имеющей координату х в положении равновесия
(ось х направлена вдоль оси стержня).
2-9. E(t) = | /^[pu?(t, x) + Tu2x(t, x)]dx = Ео = const (возможно
+oo при всех t).
Указание. Используя результат задачи 2-8, доказать что E(t!) ^
^ E(t) для t' > t и затем обратить направление временной переменной.
2-10. См. рис. 11.
2-11. и = 0.
Указание. Решение и имеет начальные условия Коши и| =0,
J \Х=Хо '
^1 =0.
дх <х=хо
2-12.« = f(x - at), х > xQ + е, f(x) = 0 при х < х0 + е; и = д(х + at),
х < хо — е, д(х) = 0 при х > хо — е.
2-13. См. рис. 12.
2-14. См. рис. 13.

Ответы и указания
273
t = е < //2а, / = d - с
t = //2а
t = //2а + е
Ряс. 11
Указание. Используйте формулу — f*_°t ф(з)Aз = 4>(x+at)~ Ф(х—
— at), где Ф(г) = — /„* -0(s) ds. Графики функций Ф(х + at) и Ф(х - at)
нарисованы на рис. 13 пунктиром.
2-15. E(t) = | /0°° [pu2(t, x) + Tu2x(t, x)]dx = Eo = const.
Указание. См. указание к задаче 2-9.
2-16. Отраженная волна имеет вид
¦2 ,t2\—1 Г о,.,ь г / т\ к
в тех же обозначениях, что в ответе к задаче 2-3.
-,_« х + at u wa .
2-17. Слева и = sin а) , с частотой о>/ = —;— < w.
a+w a+v
х —
wa
Справа и = sina) , с частотой шг = > ш.
v v—a a—v
2-18. Стоячие волны имеют вид
Хо (х) (at + Ь) и Хп (х) (on cos u>nt + I
n = 1, 2, ..., сЛ"„(х) = cos^y2, n = 1, 2, ...; ш„ = ^y-, n = 1, 2, ...
10 Шубин М.А.

274
Ответы и указания
\t = 0|
х
= e< l/2a
= I/2a
t =
t =
t = 31/2a
t = 3//2a + e
= 2l/e
t = 21 / a + e
t = Ы/2а
t = 5l/2a + e
\t = 3l/a + e
X
t > Я/в
Рис. 12

Ответы и указания
275
^ .. -I
У'' 3/
,'Г
= e<l/a
-*-х
t = I/a + е\
t = 211 a
11 = 21/a + e
—-x
t = Ы/а
t > 31/a
Рис. 13
10'

276
Ответы и указания
0
0
0
0
\/\
1
X
г
X
X
—
Зтгж
Рис. 14
Графики первых функций Хп(х) нарисованы на рис. 14.
2-19.Граничные условия: и\х=0 = О, (ESux + ku)\x=l — 0. Стоячие
волны: Хр(х)(ар cosu}pt + bp sinupt), Xp{x) = sin -|-, ыр = -у-, где 7Р —
kl
такие решения уравнения
что 7P G (ртг, (p + 1)тг), p = 0, 1, 2, ... Система {Xp : p = 0, 1, ...}
ортогональна в L2([0, /]) и каждая функция Хр является собственной
функцией оператора L = , с граничными условиями Х@) = 0,
dx
Х'@) + аХ@) = 0, а — —. Соответствующее собственное значение
Gр\2
-J-J , а его коротковолновая асимптотика имеет вид

Ответы и указания
277
2-20. а) Резонансные частоты: шк =
, к = 0, 1,2, ...; усло-
усло2
вие резонанса: ш = шк при некотором к. Если ш ф шк, то
u(t, х) = —j-j- sin —х ¦ sino;t+
ESwcos-l a
а
2Роша2
шк1ЕЗ(шшк) 21
Если ш = шк при некотором к, то
u(t, х) =
,• 1Чь Fna2 ГЗ . , . и> хи> . ш . . ш 1
= (—1) о hrsmwt -sin— x smut -cos— x — Ljtcoscjt- sin— x +
ESIuj 1-2 a a a a J
2 . Bp+lOrx
—
Указание. Искать частное решение в виде tto = X(x) sin art, так что
выполнены граничные условия (но не начальные условия), затем найти
v = и — щ методом Фурье в случае ш ф шк. В случае резонанса ш = шк
перейти к пределу в нерезонансной формуле для и при ш —? шк.
б) Резонансные частоты: шк = —г-, к = 1, 2, ... Условие резонанса:
ш — шк при некотором к. Если ш ф шк, то
ult, x) =
. u> F0a2t
smut -cos-a;+ ^
f, k
2W
gin t. cog Лхх.
I
Если о; = шк при некотором fc, то
u(t, x) =
ESI
а ш\а
S5/ tUl ;
sin t.

278 Ответы и указания
Указание. См. указание к п. а).
2-21. а) Резонансные частоты: ш* = ^у^, к = 0, 1, 2, ...; условие
резонанса: ш = Шк при некотором к. Если ш ф Шк, то
. кпх
u(t, ж) = ^-sino;t+2^(-l) —г jTSinw/fct-sin—.
a *=1
Если а; = а;* при некотором fe, то
u(t, х) =
= (—1)*-т- — sinwi-sin— х + -sinwt-cos— x + tcasut -sin— x +
4 ' I L2u а а а а J
+ Т. (-1)P+177*^
Указание. См. указание к 2-20 а).
б) Резонансные частоты: шк = -—гг-^—, к = 0, 1, 2, ... Условие
резонанса: и = Uk при некотором fe. Если и ф ик, то
cosf
Bк
Бели а; = ujk при некотором fe, то
u(t, x) = (—1) -^-hr-sinwtcos— a; + -sina;t-sin tcoswt-cos— ¦
I L2u> а а а а J
Указание. См. указание к 2-20 а).
в) Резонансные частоты имеют вид шр = -^-, где 7р такие же, как
в ответе к 2-19, р = 0, 1, 2, ... Условие резонанса: и = ир при некото-

Ответы и указания 279
ром р. Если и) ф ujp, то обозначая 7 = —> имеем
u(t, х) = A cos — + -=^- sin — ) cos — + -==- sin — I si
\ a ESu a I \ a ESu a 1
. V^ 4Л77Р81П7р . / 7Px kl
+ 2^ -" . . о — sinwnt • I cos -Щ- + -хъ— sm
p=0B7p-sm27p)G2-72)
Бели w = ojp при некотором р, то
u(t, x) =
+
- cos 27) sinwt • sinf 7 f j - 1J J Asinwt ¦ sinf 7 Г j + 1J J
sin27J
4A77rasin7n
B7-sin27J 27 - sin27
ES-m
Указание. См. указание к 2-20 а).
3-1. Ф(ж) = cos кх + i /ox sin к(х -
Ф(ж) = cos fee + O(j^j = coskx + i fsink(x - t) cos ktq(t)dt + О (-4);
о
x
Ф'(ж) = -fcsinfcE + O(l) = -к sin kx + I cos к(х -1) cos ktq(t)dt + О (j^.
3-2. Указание. Значения fe, удовлетворяющие Ф(/) = Ф(/, к) = 0,
можно найти с помощью теоремы о неявной функции вблизи к, для
которого cos Ы = 0. Дифференцирование по к интегрального уравне-
дФ
ния задачи 3-1 приводит к интегральному уравнению для —, дающему
информацию, необходимую для применения теоремы о неявной функ-
функции.
3-3. G(x, О = } Ш - *)*

280
Ответы и указания
Физическая интерпретация: G(x, ?) — форма струны, оттянутой в
точке ? точечной вертикальной силой F = Т, где Т — сила натяжения
струны.
3-4. G(x, 0 = ^1 [Ш -
ch(f - ?) + в(х - О ch(f - х) ch {].
Физическая интерпретация: G(x, ?) — форма струны, оттянутой
в точке ? точечной вертикальной силой
F = Т, имеющей свободные концы (кон-
(концы, которые могут свободно двигаться в
вертикальном направлении) и подвергну-
подвергнутой действию упругой возвращающей рав-
равномерно распределенной силы (см. рис. 15,
где возвращающая сила реализована ма-
маленькими пружинками, присоединенными
к точкам струны и к массивному непо-
неподвижному телу).
3-6. Указание. Решение у = у{х) ^ 0 уравнения —у" + q{x)y = 0 с
9^0 имеет не более одного нуля.
3-7. Указание. Использовать неравенство (Gip, ф) ^ 0, G = L;
взять (р(х) = 52^=i сз4>е{я — Xj) с <$-образным семейством <ре.
3-8. b)T?1j:
Указание. Использовать разложение
Рис. 15
i=l
которое можно получить, например, как разложение функции <3(-, ?)
по ортонормированной системе {Xj(x), j = 1, 2, ... }.
Указание. Это — равенство Парсеваля для ортогонального разло-
разложения G = G(x, ?) относительно системы
В частном случае L = ^ на [0, тг] с граничными условиями
ах
Х@) = Х(ж) = 0 мы имеем Ап = п2 и, принимая во внимание ответ

Ответы и указания 281
к задаче 3-3, мы получаем
Е_1_ _ 7Г ^ _1_ _ П_
п2 ~ 6 ' 2^ n4 - go •
п2 6 ' 2^ n4 go •
п=1 п=1
4-1.0.
4-2.2<$(а:).
4-3. тг<5(а;).
4-4. Указание. f(x) - /@) = ? ±f(tx)dt = xf* f(tx)dt.
4-5.0 при t -> +оо; —27гг<$(а;) при t -4 —оо.
4-6. Указание. Написать явные формулы для отображения D'EJ) -4
-4 D27I.(R) и обратного к нему.
4-7. Указание. Использовать непрерывность обобщенной функции
из "D'lS1) по отношению к одной из полунорм в C°°(S1).
4-8. Указание. Использовать соображения двойственности.
4-9- ?*ez 8(х + 2кп) = i Ero€Z eimi.
4-10. Указание. Умножить предыдущую формулу на /(ж) и проин-
проинтегрировать.
4-11. а) и(х) = v. p. I + С^*) = ^5 + CWa) = ^ + С2<5(я).
б) и(ж) = In \х\ + С0(ж) + Сь
в) и(х) = -<$(ж) + Св{х) + d.
5-1. а) -2тгг6>(?).
fiU „ sin r01?|
б) 4ттг0—j|j—.
Указание. Использовать сферическую симметрию и взять ? =
, 0,0) = (?,, 0,0).
Указание. Использовать ответ к б).
2- а)
Указание. Это должно быть сферически симметричное фундамен-
фундаментальное решение оператора (-Д).

282 Ответы и указания
б) з-i-re-*"-".
47г|ж|
Указание. Учитывая сферическую симметрию, взять ? = (?i, 0, 0).
Использовать регуляризацию умножением на ехр(— е|?|). Вычислить
возникающий одномерный интеграл с помощью вычетов.
Указание. Вычислить F (—5 5 ) как в б) и перейти к пре-
\|?| - к ±ге/
делу при е —> +0.
5-3.
6-1.
Время релаксации ?г ~ —5—5- — —о = а™ > гДе * — коэффициент
47г о 40а 40«
теплопроводности, с — удельная теплоёмкость (на единицу массы и
единицу температуры), р — плотность (масса на единицу объёма), / —
длина стержня.
Указание. Первый член в написанной выше сумме намного больше
остальных по истечении времени, сравнимого с «временем релаксации».
6-2. u(t, x) = ^XA-X) + ?~ „ Ср ехр [- (РН) t] sin ^
Здесь I — сила тока, R — электрическое сопротивление стержня,
V — объём стрежня, ifc — коэффициент теплопроводности,
2 [ Г . ч I2R Л . ркх ,
Ср = Т 1 f(a:) ~ Wkx(l ~ ж)]sin idx>
о
Указание. Уравнение, описывающее процесс, имеет вид
I2R
2 I2R
= аи + —

Ответы и указания 283
t-юо v ' ' 2
Указание. Рассмотреть интеграл Пуассона, дающий явную форму-
формулу для u(t, х).
7-1.и(х,у) = а2(х2-у2).
Указание. Метод Фурье в полярных координатах дает
оо
и(г, (р) = ао + У_]т \ак cos kip + bk sin kip).
k=\
7-4. u(x, у) = ^(х*- у*) - ^(x2 - у2).
Указание. Найти частное решение ир уравнения Аи = х2 — у2 и
затем искать v = и — ир.
7-5. В полярных координатах
Указание. Метод Фурье в полярных координатах дает
u(r, <p) =
*=i
7-6. Ответ на последний вопрос:
sh
и(х,у) = В ;b sinT
h
Bр+1)тг(а-ж)
V 8АЬ sh 6
Указание. Общая схема такова.
Шаг 1. Свести задачу к случаю
= <Pi(a) = V>o@) = Mb) = ^i(O) = ^i(b) = 0,
вычитая функцию вида Aq + A\x + А2У +

284 Ответы и указания
Шаг 2. Искать в виде и = щ + и%, где ui, u% удовлетворяют урав-
уравнениям Дг*1 = Дг*г = 0 и, кроме того, t*i удовлетворяет граничным
условиям Дирихле с ipo = ^1 = 0 и теми же tp0, ipi, что и для и, иг
удовлетворяет граничным условиям Дирихле с ipo = <fi — 0 и теми же
V>o, Ф1, что и для и.
Тогда
(«, 2/) =
{ B"sh ь )sin ь '
*=1
(^ ^ sh
Ak sh — = - / (fxiy) sin -^ dy,
0
ft
„ , kira 2 f r \ . kiry ,
Bk sh — = ^ / ??о(г/) sin -^ dj/,
0
a
., , fc^rfc 2 f 1 / \ . кжх ,
Ak sh — = - Щ (x) sin -7— ax,
15 a a J b
0
a
Вк sh — = - / Vo(a;) sin dx.
7-7. Указание. Если й(?, у) = J e~^xu(x, y)dx, то — ?2й Н ^ = 0 и
««, 2/) = Ci(Oexp(-|e|j/) + С2(Оехр(Ш.
Второе слагаемое должно обращаться в 0 почти всюду, если мы
хотим, чтобы функция и была ограничена.
Поэтому й(С, J/) =
«(*, У) =
Поменять порядок интегрирований.
7-8. a G 2Z+ или a - s > -n/2.

Ответы и указания 285
7-9. Нет.
Указание. Использовать неравенство Фридрихса.
8-1. Физическая интерпретация: G(x, у) — взятый в точке х потен-
потенциал единичного точечного заряда, помещённого в точке у € ft внутри
проводящей заряженной поверхности с?П.
8-2. Та же, что и у Zn{x — у), где ?п — фундаментальное решение
оператора Д.
8-3. Указание. Использовать, что оператор L~x самосопряжён.
8-4. Указание. Использовать формулу Грина D.52) с v{x) = G(x, у)
(считая у параметром) и заменив П на П \ В(у, е), где
Затем перейти к пределу при е -> +0.
8-5. G(x, у) = — In *_* у\2 ,*а ^ч2 при п = 2,
1
при п ^ 3, где J/ = (г/i, ..., yn-i, ~Уп) Для j/ = (j/b ..., j/n_i, j/n).
Указание. Искать формулу Грина в виде
G(x, у) = Zn(x -у) + <?п{х - у),
где у & П и с — постоянная.
8-6.
и{х)= Г ten<fi(v')dy' n =
Rn-1
2 [ хп<р(у1, • • ¦, yn-i)dyi ¦ ¦ ¦ dyn-\
Указание. Использовать формулу из задачи 8-4.
8-7. Возьмём круг или шар {x:\x\<R}. Тогда
B - „).JlN -

286 Ответы и указания
7? ii
где у = —§¦ — точка, полученная из у инверсией относительно окруж-
\у\
ности (сферы) {х : \х\ = R}.
Указание. Если п = 2, то искать G(x, у) в виде
Е2(х-у)-Е2(х-у)-с(у).
Если п = 3, искать G(x, у) в виде ?„(х - у) - с(у)?п(х - у), где (в обо-
R2v
их случаях) у = —%. Показать геометрически, что если |х| = R, то
Ы
\х - г/1 1г/1
\ ^т = ^не зависит от х.
\х-у\ R
1 R2 — Ы2
8-8. и(х) = ъ1\у\=я | _ |" f(v)dSv Здесь круг (или шар)
взят в виде
U = {x:\x\<R}, f = u\m
Указание. Использовать формулу из задачи 8-4. Учесть при вычи-
слении ^—G(x, у), что при |х| = R
8-9. Для полушара {х : |х| ^ R, хп ^ 0} ответ имеет вид
G(x, у) = G0(x, у) - G0(x, у),
где Go — функция Грина шара {х : |х| < R} и у = (j/i, ..., j/n_i, -yn)
= (г/i, ...,г/„_1, г/„).
8-10.
G(x, y) = -
- г/гJ + {хз - г/зJ
1
- г/iJ + (яг + г/гJ + (яз - узJ
1
+ 0*2 - г/гJ + (хз + УзJ
1
- j/iJ + (х2 + г/гJ + (жз + УзJ
Указание. G(x, у) = е3(х-у)-е3(х-Т2у)-Ез(х-Тзу)+Е3(х-Т2Т3у),
где t2(j/i, г/г, уз) = (г/ь -г/г, г/з), Ггй/ь г/г, г/з) = (г/i, г/г, -г/з)-

Ответы и указания 287
8-11. Указание. Использовать, что Г(г) имеет простые полюса при
« = 0,-1,-2,...
8-12. Указание. Использовать формулу Лиувилля для вронскиана
двух линейно независимых решений уравнения Бесселя.
8-13. Указание. Разложить левую часть в степенной ряд по t и х и
использовать разложение Jn{x) из задачи 8-11.
8-14. Указание. Взять t = eiv в формуле задачи 8-13 и использовать
результат задачи 8-11.
8-15.Для области {х = (xj, ..., хп) : 0 < xj < a,j, j = 1 n}
i-rn smfc.'TTXj ч
собственные функции имеют вид Ц.-=1 -—-, kj = 1, 2, ..., а соб-
¦> aj
ственные значения равны
8-16. Указание. Использовать тот факт, что функции J* (а*)Пх) при
различных п являются собственными функциями одного и того же опе-
оператора
, _ d2 Id к2
dx х dx x
(на пространстве функций, обращающихся в 0 при х = 1). Этот опера-
оператор симметричен в пространстве ?2(@, 1), xdx), состоящем из функ-
функций на @, 1), имеющих интегрируемый квадрат по мере xdx.
8-17. Для круга {х : |х| < R} в полярных координатах искомая си-
система имеет вид
(ак,п определены в задаче 8-16.)
Указание. Записать А в полярных координатах и разложить соб-
собственную функцию в ряд Фурье u(r, tp) = Y,kXk(r)et'"p- Тогда ка-
каждый член Xk(r)etkv будет собственной функцией и Х*(г) удовлетво-
удовлетворяет уравнению Бесселя. Используя регулярность в 0, показать, что
Xk(r)=cJk(ar).
8-18. Указание. Для цилиндра П = {(х, у, z) : х2 + у2 < R, 0 < z <
< Н} свести задачу к случаю Аи = /, и\ш =0, затем разложить и и /

288 Ответы и указания
по собственным функциям оператора Д в П, имеющим вид
; * € Z+J и = 1, 2, ..., m = 1, 2, ...}.
9-1. u(t, x) = etu>iJo[ — p), P = \/x\ +x\. (Здесь ось цилиндра —
прямая {х : Х\ = Х2= 0}).
9-2. См. рис. 16.
1 если г ^ R — at,
u(t, r) = { - - ~- если г + at > R и - R<r -at < R,
0 если г — at ^ R.
Указание. Ввести новую неизвестную функцию v = ти вместо и.
(Здесь г = \х\.) Тогдаv(t, г) = -[ф(г+at)+ф(г—at)], гдеф — нечётное
продолжение функции rip на К.
9-3. См. рис. 17.
{t если г + at ^ R,
j- [R2 - (г - atJ] если г + at > R и \r - at\ < R,
0 если |г — at\ ^ R.
Указание. Ввести новую неизвестную функцию v = ru, r = \х\. То-
Тогда
r+at
v(t, r) = — I ^(s)ds = *(r + ot) - Ф(г -at),
г—at
где Ф(г) = — /ог ф(в) ds, ф — нечётное продолжение функции гф на Ш.
9-5. Указание. Рассмотреть задачу Копш с начальными условиями
"|t=0 = 0,ut|t=0 = ^). Тогда
u(t, х) - B7г)~п

Ответы и указания
289
Рис. 16

290
Ответы и указания
* = ? < R/2a
t = R/2a
t = R/2a + e
t = R/a
t> R/a
Рис. 17

Ответы и указания
291
О Х\
Рис. 18
Рис. 19
Рассмотрим, например, первое слагаемое. Умножая подынтеграль-
подынтегральное выражение на С100-функцию х(?)> равную 1 при |?| > 1 и 0 при
|?1 < о (это не вляяет на особенности и), попытаться найти такой
2 Q
дифференциальный оператор L — ?"=1 Cj(t, х, у, O^TTi что
Доказать, что такой оператор существует тогда и только тогда, ко-
когда \х—у\2 Ф a2t2 (здесь х, у, t считаются параметрами) и использовать
этот оператор для JV-кратного интегрирования по частям, передвигая
его с экспоненты на остальные члены.
9-6. {(*, х, у) : t>0,t2 = x2 +
Указание. Привести оператор к каноническому виду.
9-7. а) {(*, XI, х2) : 0 < t < min (|, ^i€ [t, a-t], x2 € [t, b-
(См. рис. 18: крышка гроба.)
6) {(t, xi, x2) :t> 0, dist((xb x2), П) < t}, где П = [0, о] х [0, b].
(См. рис. 19: чаша стадиона (бесконечной высоты).)
9-8. а) Пусть данный параллелепипед задан как
{(t, as, у, z) : х € [0, о], у € [0, Ь], z G [0, с]}.
Тогда ответ имеет вид
, ^ §).

292
Ответы и указания
Рис. 20
Рис. 21
Сечение гиперплоскостью t = 1 представляет собой либо меньший
параллелепипед, либо прямоугольник, либо отрезок, либо пустое мно-
множество (рис. 20).
б) {(t, х, у, z) : dist((x, у, z), П) ^ t), где П — данный параллеле-
параллелепипед. Сечение гиперплоскостью изображено на рис. 21.
10-1.
-О.
2-х
In г,
R,
где г = |х|; рассматриваемая окружность имеет вид {х : \х\ = Д}, Q —
полный заряд окружности, т.е. Q = J>y>=Ra(y)dsy, где а — плотность,
определящая потенциал.
10-2.
Qr2
u(x) =
Q Q
R,
Здесь Q — полный заряд круга {х : \х\ ^ Д}, г = |х|.
10-3. Тот же ответ, что и в задаче 10-1 с г = Vx2 + у2 в (х, у, z)-
пространстве, где ось z является осью цилиндра, R — радиус сечения
цилиндра плоскостью ху.
10-4.
, ч / "о, г < R,
и(х) — <
\ 0, г > R,
где ао — плотность диполей, г — расстояние до центра окружности

Ответы и указания 293
или до оси цилиндра, R — радиус окружности или поперечного сечения
цилиндра.
10-5.
где сфера радиуса R взята с центром в начале координат, Q — полный
заряд сферы.
Ой
10-6. Индуцированный заряд q = ~~j~-
Указание. Искомый потенциал равен 0 на поверхности сферы, сле-
следовательно, внутри сферы. Вычислить потенциал в центре сферы,
предполагая известным распределение заряда на поверхности.
Q(R2 — d2)
10-7. <т(х) = — 4, где у — точка, где расположен исходный
ЬпЩх - у\3
точечный заряд.
Указание. Пусть у — точка, полученная инверсией точки у отно-
относительно сферы (если сфера имеет вид {ж : \х\ = Д}, то у = —|П.
Поместить заряд q в точку у; тогда потенциал
Ак\х - у\ Ак\х - у\
совпадает с потенциалом всех реальных зарядов (Q и индуцированно-
индуцированного) вне сферы ввиду единственности решения внешней задачи Дирихле.
Тогда
. ч ди(х) ди /_ х
10-8. Заряд распределится равномерно вдоль всей проволоки.
11-1. a) at ± х ¦ |^7 = 0, б) at ± (\х\ - R) = 0.
11-2. Лучи и характеристики — это одни и те же кривые в плоскости
(*, х).
Указание. Использовать описание лучей как решений A1.54), удо-
удовлетворяющих \x(t)\ = c(x(t)).
11-3. u(t, x, A) = l~- exp (iXxe-1 + |<) - exp (iXxe* - |<) •

Список литературы
[1] Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными произ-
производными гиперболического типа. М.: Наука, 1978. 351с.
[2] Арнольд В. И.
1. Лекции об уравнениях с частными производными. 3-е изд., стер. М.:
ФАЗИС, 1999. xii+175 с. (Б-ка студента-математика. Вып. 2).
2. Математические методы классической механики. 4-е изд., испр. М.:
Эдиториал УРСС, 2000. 408 с.
[3] Арсения В. Я. Методы математической физики и специальные функ-
функции. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Наука, 1984. 383 с.
[4] Берс Л., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными. М..°
Мир, 1966. 351 с.
[5] Бицадзе А. В. Уравнения математической физики. 2-е изд., перераб. и
доп. М.: Наука, 1982. 336 с.
[6] Бицадзе А. В., Калиниченко Д. Ф. Сборник задач по уравнениям мате-
математической физики. 2-е изд., испр. и доп. М.: Наука, 1985. 310с.
[7] Брычков Ю. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования обоб-
обобщённых функций. М.: Наука, 1977. 287 с.
[8] Будак Б. М., Самарский А., Тихонов А. Н. Сборник задач по математи-
математической физике. 3-е изд. М.: Наука, 1980. 686 с.
[9] Вайнберг Б Р. Асимптотические методы в уравнениях математической
физики. М.: Изд-во МГУ, 1982. 294 с.
[10] Владимиров В. С.
1. Уравнения математической физики. 5-е изд., доп. М.: Наука, 1988.
512 с.
2. Обобщённые функции в математической физике. 2-е изд., испр. и
доп. М.: Наука, 1979. 318 с.
[11] Сборник задач по уравнениям математической физики / под ред.
В. С. Владимирова. 2-е изд., испр. и доп. М.: Наука, 1982. 256 с.

Список литературы 295
[12] Ганнинг Р., РоссиХ. Аналитические функции многих комплексных пе-
переменных. М.: Мир, 1969. 395 с.
[13] Гельфанд И. М., Шилов Г. Б. Обобщённые функции и действия над ни-
ними. М.: Физматгиз, 1958. 439 с. (Обобщённые функции. Вып. 1).
[14] ГилбаргД., ТрудингерН. Эллиптические дифференциальные уравне-
уравнения с частными производными второго порядка. М.: Наука, 1989. 464 с.
[15] Годунов С. К. Уравнения математической физики. 2-е изд., испр. и доп.
М.: Наука, 1979. 391 с.
[16] Годунов С. К., Золотарева Б. В. Сборник задач по уравнениям матема-
математической физики. Новосибирск: Наука (Сибирское отделение), 1974.
74 с.
[17] Гординг Л. Задача Коши для гиперболических уравнений. М.: Изд-во
Иностр. Лит., 1961. 122 с.
[18] Джеффрис Г., Свирлс В. Методы математической физики. М.: Мир,
1969-1970; Вып. 1. 1969. 423 с; Вып. 2. 1970. 352 с; Вып. 3. 1970. 344 с
[19] Егоров Ю. В., Шубин М. А. Лилейные дифференциальные уравнения с
частными производными. Основы классической теории. М.: ВИНИТИ,
1988. 262 с. (Совр. пробл. математики. Фундам. направл. Т. 30).
[20] Зельдович Я. Б., Мышкис А. Д. Элементы математической физики. М.:
Наука, 1973. 351 с.
[21] Кампе де ФерьеЖ., КемпбеллР., ПетьоГ., Фогель Т. Функции мате-
математической физики. М.: Физматгиз, 1963. 102 с.
[22] Кирхгоф Г. Механика. М.: Издательстве АН СССР, 1962. 402 с.
[23] Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функцио-
функционального анализа. 6-е изд., испр. М.: Наука, 1989. 623 с.
[24] Коренев Б. Г. Введение в теорию бесселевых функций. М.: Наука, 1971.
287 с
[25] Кошляков Н. С, Глинер Э. Б., Смирнов М. М. Уравнения в частных про-
производных математической физики. 2-е изд. М.: Высшая школа, 1970.
710 с
[26] Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. 2-е изд., испр.
М.: Гостехиздат, 1951; Т. 1. 476 с; Т. 2. 544 с
[27] Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964. 830 с.
[28] Ладыженская О. А.
1. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. 407 с
2. Смешанная задача для гиперболического уравнения. М.: ГИТТЛ,
1953. 279 с

296 Список литературы
[29] Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М.
1. Механика. 4-е изд., испр. и доп. М.: Наука, 1988. 215 с.
2. Теория поля. 7-е изд., испр. М.: Наука, 1988. 509 с.
3. Механика сплошных сред. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Гостехиздат,
1953. 788 с.
4. Электродинамика сплошных сред. 3-е изд., испр. М.: Наука, 1992.
662 с.
[30] Лебедев Н. Н., Скальская И. П., Уфлянд Я. С. Сборник задач по матема-
математической физике. М.: Гостехиздат, 1955. 420 с.
[31] Левин В. И., ГросбергЮ. И. Дифференциальные уравнения математи-
математической физики. М.: Гостехиздат, 1951. 576с.
[32] ЛереЖ. Гиперболические дифференциальные уравнения. М.: Наука,
1984. 207 с.
[33] Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач.
М.: Мир, 1972. 587 с.
[34] Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их при-
приложения. М.: Мир, 1971. 371с.
[35] Маслов В. П. Операторные методы. М.: Наука, 1973. 543 с.
[36] Маслов В. П., ФедррюкМ. В. Квазиклассическое приближение для ур-
уравнений квантовой механики. М.: Наука, 1976. 296 с.
[37] МизохатаС. Теория уравнений с частными производными. М.: Мир,
1977. 504 с.
[38] Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического ти-
типа. М.: Изд-во Иностр. Лит., 1957. 256 с.
[39] Мисюркеев И. В. Сборник задач по методам математической физики.
2-е изд., перераб. и доп. М.: Просвещение, 1975. 167 с.
[40] Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных.
2-е изд., перераб. и доп. М.: Наука, 1983. 424 с.
[41] МихлинС. Г.
1. Курс математической физики. М.: Наука, 1968. 575 с.
2. Линейные уравнения в частных производных. М.: Высшая школа,
1977. 431 с.
[42] ОлейникО. А. Лекции об уравнениях с частными производными. Ч. 1.
М.: Изд-во МГУ, 1976. 110 с.
[43] Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными. М.:
Физматгиз, 1961. 400 с.
[44] Положий Г. М. Уравнения математической физики. М.: Высшая школа,
1964. 560 с.

Список литературы 297
[45] РидМ., Саймон В. Методы современной математической физики. Т. 1.
Функциональный анализ. М.: Мир, 1977. 357 с.
[46] Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т. 4, часть 2. 6-е изд., перераб.
и доп. М.: Наука, 1981. 550 с.
[47] Смирнов М. М. Задачи по уравнениям математической физики. 6-е иэд,
доп. М.: Наука, 1975. 127с.
[48] Соболеве. Л.
1. Некоторые приложения функционального анализа в математической
физике. 3-е изд., перераб. и доп. М.: Наука, 1988. 334с.
2. Уравнения математической физики. 5-е изд., испр. М.: Наука, 1992.
431с.
[49] Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. 6-е
изд., испр. и доп. М.: Изд-во МГУ, 1999. 798 с.
[50] Трев Ж. Лекции по линейным уравнениям в частных производных с
постоянными коэффициентами. М.: Мир, 1965. 296 с.
[51] УиэемДж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977. 622 с.
[52] ФейнманР., Лейтон Р., СзндсМ. Фейнмановские лекции по физике:
в 9 т. М.: Мир, 1977-1978; т. 1-2, 1977, 439 с; т. 3-4, 1977, 496 с; т. 5,
1977, 300 с; т. 6, 1977, 347 с т. 7, 1977, 288с; т. 8-9, 1978, 524 с
[53] Уроев В. М. Уравнения математической физики. М.: ИФ Яуза, 1998.
374 с
[54] Фридман А. Уравнения с частными производными параболического ти-
типа. М.: Мир, 1968. 427 с
[55] ХёрмандерЛ.
1. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными произ-
производными: в 4 т. М.: Мир, 1986-1988; т. 1, 1986, 462 с; т. 2, 1986, 455 с;
т. 3, 1987, 694 с; т. 4, 1988, 446с.
2. Линейные дифференциальные операторы с частными производными.
М.: Мир, 1965. 379 с
[56] Шварц Л. Математические методы для физических наук. М.: Мир, 1965.
412 с
[57] Шилов Г. Е. Математический анализ. Второй специальный курс. 2-е
изд., перераб. М.: Изд-во МГУ, 1984. 207 с
[58] Эванс Л. Уравнения в частных производных. Новосибирск (в печати).
[59] ЯнкеЕ., ЭмдеФ., ЛешФ. Специальные функции. Формулы, графики,
таблицы. 3-е изд., стер. М.: Наука, 1977. 342 с

Указатель обозначений
а(х, 4) (полный символ) 11
flm(z, О (главный символ) 11
С (множество всех комплексных чисел)
Cfc*(R") 150
С7(«), Cm+7(fi) 165
D(A) (область определения оператора А) 170
dj,d,Dj = -idj,D 10
V(K) = Cg°(K) (К — компакт в R") 60
Т>(и) (интеграл Дирихле) 159
д°, ГУ (где а — мультииндекс) 10
= С§°(п) (fi — открытое подмножество в R") 59
64
*. x) 218
*, х) 218
?з(«, х) 213
?п(х) (фундаментальное решение оператора Лапласа) 80
?(fi) = C°°(fi) 59
?'(fi) 64
Ff или / (преобразование Фурье функции /) 113
f(a) =d°f (где а — мультииндекс) 10
Н'(П), Н'(п), H'(Rn) (пространства Соболева) 148, 154, 150
ImA (A — линейный оператор) 170
Jv(x) (функция Бесселя) 186
Кег А (А — линейный оператор) 170
N(X) (функция распределения собственных значений) 188
R (множество всех вещественных чисел)
S(Rn) (пространство Шварца) 60
S'(R") 64
supp (носитель функции или обобщённой функции) 59, 73

Указатель обозначений 299
у.рД 71
ха (где х € С, а — мультииндекс) 10
69
Z (множество всех целых чисел)
Z+ (множество всех неотрицательных целых чисел) 10
а! = ail... а„! (где а — мультииндекс) 10
\а\ = <*i + ... + а„ (где а — мультииндекс) 10
А (оператор Лапласа) 11
6(х) E-функция Дирака) 67
6(r - at) 206
9{z) (функция Хевисайда) 55
<7n-i (площадь единичной сферы в R") 80
D (волновой оператор или даламбертиаи) 11

Предметный указатель
Амплитуда быстро осциллирующе-
осциллирующего решения 252
Асимптотическое решение 252
Бесселя функция 186
- - первого рода 186
Бихарактеристика 240
- нулевая 241
Быстро осциллирующее реше-
решение 252
Вейля формула 192
Волна плоская 198
- сферическая 199
- цилиндрическая 200
Волновой вектор 199
- фронт 243, 250
Гамильтона функция 240
Гамильтониан 203, 240
Гамильтонова система 240
Гамильтоново поле 240
Гармоническая функция 112
График линейного оператора 171
Грина формула 79
- функция 53, 192-193
Гюйгенса принцип 210
Даламбера формула 31
Даламбертиан 11
Двойной слой 99
Действие (вдоль пути) 203
Дирака 5-функция 57, 67
Дирихле интеграл 159
Дисперсии закон 199
Дюамеля формула 138
Задача вторая краевая для уравне-
уравнения теплопроводности 125
-Дирихле для уравнения Лапласа
126
- корректная 30, 127
- Коши для уравнения струны 30
- Коши для уравнения теплопрово-
теплопроводности 125
-Неймана для уравнения Лапласа
126
Задача первая краевая для уравне-
уравнения струны 34
для уравнения теплопроводно-
теплопроводности, 125
Задача смешанная для уравнения
струны 34
- Штурма-Лиувилля 47
Калибровка Лоренца 198
Калибровочное преобразование 196
Каустика 240
Кирхгофа формула 210
Ковектор 14
Кокасательное расслоение 14
Кокасательный вектор 14
Коши-Ковалевской теорема 109
Лагранжиан 203
- струны 27
Лиувилля теорема 118
Луч 239, 242, 250

Предметный указатель
301
Максвелла уравнения 195
Максимума принцип для решений
задачи Дирихле для уравнения
Лапласа 169
- для уравнения теплопроводно-
теплопроводности 132
Мультииндекс 10
Носитель непрерывной функции 59
- обобщённой функции 73
- сингулярности обобщённой функ-
функции 107
Область влияния 33
- зависимости 32
- определения линейного оператора
170
Обобщённая функция 64
- однородная 90
- регулярная 64
- - с компактным носителем 64
- - умеренного роста 64
Обобщённое решение задачи Ди-
Дирихле 163, 165
Коши для одномерного волно-
волнового уравнения 32
Обобщённое решение одномерного
гиперболического уравне-
уравнения 22
Оператор волновой 11, 198
-гиперболический 18, 19
- гипоэллиптический 111
- замкнутый 171
-Лапласа 11
-линейный в гильбертовом прост-
пространстве 170
- линейный дифференциальный 10
-обратный 170
- параболический 20
-самосопряжённый 171
- симметрический 170
- сопряжённый 170
-теплопроводности 11
- транспонированный 89
- Штурма -Лиувилля 11
-эллиптический 18, 21
Перенормировка заряда 83
Площадь единичной сферы в R" 81
Поверхность разрыва первого рода
235
Полунорма 60
Последовательность <5-образная 68
Потенциал векторный 196
- двойного слоя 104, 222
- двойного слоя сферы 232
- запаздывающий 213
- логарифмический 104
-ньютоновский 104
- объёмный 221
- простого слоя 104, 222
-равномерно заряженной плоско-
плоскости 232
- равномерно заряженной сферы
230
- скалярный 196
Простой слой 99
Пространство дуальное 63
- сопряжённое 63
- счётно-нормированное 62
- Л. Шварца 60
Прямое произведение обобщённых
функций 99
- обычных функций 96
Пуассона интеграл 130
- формула для двумерного волново-
волнового оператора 217
- формула для задачи Дирихле в
круге 168
- формула суммирования 94
Расширение линейного оператора
170
- по Фридрихсу 175
Свёртка обобщённых функций 101
- обычных функций 95
Символ оператора 11
- главный 11
- полный 11

302
Предметный указатель
Симплектическая форма 204
Слабая топология 68
Соболева пространство Н"(С1) 154
-пространство iP(fi) 148
- теорема вложения 150
- теорема о следах 152
Собственные значения оператора
Лапласа 145, 179
Штурма- Лиувилля 38, 48
Собственные функции оператора
Лапласа 145, 179
Штурма - Лиувилля 38, 48
Сохоцкого формулы 71
Спектральная теорема для самосо-
самосопряжённых операторов 174
Стокса формула 79
Стоячие волны 36
Тейлора формула 10
Тензорное произведение обобщён-
обобщённых функций 99
- - обычных функций 96
Теорема об устранимой особенно-
особенности 113
Тихонова теорема 142
Уравнение Бесселя 184
-волновое 195
- Гамильтона-Якоби 240
-гиперболическое 20
- диффузии 123
- Лапласа 77
-параболическое 20
- переноса 254
- Пуассона 82
- теплопроводности 123
- эйконала 251
-эллиптическое 21
Фаза 251
- плоской волны 250
Ферма принцип 259
Фридрихса неравенство 160
Фундаментальное решение двумер-
двумерного волнового оператора 217
— - линейного дифференциального
оператора с постоянными
коэффициентами 102
— обыкновенного дифференциаль-
дифференциального оператора 86
— одномерного волнового опера-
оператора 218
--оператора Гельмголъца 94, 185,
187
— оператора Лапласа 77, 80
— оператора теплопроводнос-
теплопроводности 135
— степени оператора Лапласа 91
— трёхмерного волнового опера-
оператора 213
Функция, гладкая вплоть до грани-
границы с каждой стороны 223
Характеристика 17, 235
Характеристический вектор 17
Хевисайда функция 55
Хольмгрена принцип 141
Цилиндрическая функция 184
— - первого рода 186
Энергия 203
— кинетическая 26, 202
— потенциальная 27, 202
— струны 28
Ядро (в смысле Л. Шварца) 53

Учебное издание
Шубин Михаил Александрович
Лекции
об уравнениях математической физики
Научный редактор А. С. Шамаев
Технический редактор И. В. Вялая
Подготовка иллюстраций М. Н. Вялый
Издательство Московского Центра
непрерывного математического образования
Изд. лиц. ИД № 01335 от 24.03.2000 г.
Подписано в печать 21.03.2003 г. Формат 60x90/16
Усл. печ. л. 19. Бумага офсетная № 1. Печать офсетная
Тираж 2 000 экз. Заказ № 1536
МЦНМО
121002, Москва, Большой Власьевский пер., д. 11
Тел. 241-05-00
Отпечатано с готовых диапозитивов
во ФГУП ИПК «Ульяновский Дом печати»
432980, г. Ульяновск, ул. Гончарова, 14

Магазин «Математическая книга» в МЦНМО
В магазине представлен наиболее полный ассортимент
книг издательства МЦНМО. Эти книги продаются по из-
издательским ценам.
Здесь также можно найти книги по математике ведущих
издательств: «Мир», «Физматлит», УРСС, «Факториал», «Ре-
«Регулярная и хаотическая динамика», бюро «Квантум», Фонд
математического образования и просвещения и др.
В отделе школьной литературы представлен широкий ас-
ассортимент книг для школьников, учителей, руководителей
математических кружков. В отделе вузовской и научной кни-
книги можно найти учебники и научные монографии, написан-
написанные ведущими российскими и зарубежными математиками.
В магазине также имеются отделы «книга-почтой» и буки-
букинистический.
Магазин расположен по адресу: Бол. Власьевский пер., 11.
Тел. 241-72-85. E-mail: biblio@mccme.ru
http://biblio.mccme.ru