Author: Кирхгоф Г.
Tags: физика математическая физика механика теоретическая механика переводная литература издательство академия наук ссср
Year: 1962
Text
АКАДЕМИЯ НАУК СССР
Г. КИРХГОФ
МЕХАНИКА
ЛЕКЦИИ
ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ФИЗИКЕ
*
ПЕРЕВОД С ЧЕТВЕРТОГО НЕМЕЦКОГО ИЗДАНИЯ
ПОД РЕДАКЦИЕЙ
А. Т. ГРИГОРЬЯНА и Л. С. ПОЛАКА
ИЗДАТЕЛЬСТВО АКАДЕМИИ НАУК СССР
Москва 1962
Лекции по механике Г. Кирхгофа (1824—1887) являются одним из
классических произведений, посвященных теоретической механике. Несмо-
тря на то, что эта книга была впервые издана почти 90 лет назад, своеоб-
разный подход автора к проблеме основ механики и широкий охват мате-
риала делают ее интересной и полезной и в настоящее время. Поэтому
при переводе представлялось существенно важным по возможности сохра-
нить стиль и характер книги, что заставило сохранить некоторые из тех
терминов и выражений, которые устарели или не привились в науке. Так
как книга вследствие своей трудности и сжатости изложения доступна
лишь для читателей, уже достаточно сведущих в механике, и отнюдь не
может служить для первоначального изучения механики, то пояснительные
примечания даны только в тех случаях, когда это казалось существенно
необходимым. В книге не приводятся указания на современное состояние
проблем, разбираемых в лекциях, так как это значительно увеличило бы
размер книги и могло бы изменить ее характер.
В конце книги приведены краткий биографический очерк Г. Кирхгофа,
примечания и библиография его научных трудов.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Публикуемые лекции содержат почти всю область чистой механики,
т. е. учения о тех явлениях, при рассмотрении которых имеют в виду
исключительно движение, как, например, движение материальной точ-
ки, неизменяемых жидких или упругих твердых тел. Мы исходим из
предположения, что материя непрерывно заполняет пространство, и не
касаемся никаких теорий, основывающихся на молекулярной гипотезе.
В настоящих лекциях исходное положение — определение механи-
ки,— отличается от общепринятого. Обычно механику определяют как
науку о силах, и силы рассматривают как причины, которые или произ-
водят движение или стремятся его произвести. Несомненно, что это оп-
ределение оказалось чрезвычайно полезным при развитии механики;
оно полезно и при изучении этой науки, когда она поясняется приме-
рами сил, взятыми из опыта обыденной жизни. Однако это определе-
ние приводит ко многим неясностям, от которых не могут освободиться
понятия причины и цели. Эти неясности проявляются, например, в раз-
личии взглядов на то, можно ли законы инерции и параллелограмма
сил рассматривать как результаты опыта (как аксиомы) или как за-
коны, которые могут и должны быть логически доказаны. По моему
мнению, желательно, при той строгости, которую, вообще говоря, до-
пускает механика, удалить подобные неясности, даже если бы приш-
лось ограничить при этом задачу механики. Исходя из этого, я считаю,
что задача механики сводится к описанию происходящих в природе
движений, а именно, к описанию их в наиболее полном и простом
виде. Я хочу этим сказать, что все сводится только к тому, чтобы рас-
крыть происходящие явления, а не к тому, чтобы доискиваться их при-
чин. Если мы будем исходить из этого воззрения и введем представле-
ния о пространстве, времени и материи, то чисто математическим путем
придем к общим уравнениям механики. Но при этом нам не обойтись
без понятия силы, которому мы не в состоянии дать исчерпывающее
определение. Однако эта неполнота определения понятия силы не при-
водит к неясности. В самом деле, введение сил является здесь только
средством упростить изложение, а именно, выразить в кратких словах
уравнения, которые без этого термина трудно поддаются словесному
выражению. Чтобы устранить всякую неясность, достаточно так опре-
делить силу, чтобы каждое предложение механики, в котором идет речь
о силах, могло быть выражено уравнениями; это и будет иметь место
при избранном нами методе изложения.
При большом количестве материала, помещенном в относительно
малом объеме книги, нельзя ожидать, чтобы предмет механики был
исчерпан; желательно только, чтобы выбранный метод был признан
целесообразным.
Берлин, январь 1876 г.
Автор
3
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Второе издание моих лекций по механике, которое вышло в относи-
тельно короткое время после выхода первого, есть перепечатка без су-
щественных изменений первого издания. Были исправлены только не-
которые незначительные промахи, которые встречаются в первом из-
дании и частью были указаны моими учеными друзьями.
Берлин, ноябрь 1876 г.
Автор
ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ
Третье издание этой книги также есть простая перепечатка преж-
них; я постарался только исправить небольшие ошибки и недостатки,
которые там имелись.
Берлин, сентябрь 1883 г.
Автор
ПРЕДИСЛОВИЕ К ЧЕТВЕРТОМУ ИЗДАНИЮ
Четвертое издание механики Кирхгофа,— первое, которое автор уже
не мог обработать сам. Естественно, что в произведении столь выдаю-
щейся оригинальности никакие существенные изменения не должны
были быть допущены. Поэтому я ограничился здесь лишь несуществен-
ными исправлениями, которые частично были указаны мне коллегами,
частично же были намечены в рукописи, оставленной автором. Все из-
менения против третьего издания даны в примечаниях.
Хахсп, январь 1897 г.
В. Вин.
ЛЕКЦИЯ ПЕРВАЯ
(Задача механики. Определение материальной точки. Скорость. Ускорение или
ускоряющая сила. Движение тяжелой точки. Движение планеты вокруг Солнца.
Правила параллелограмма сил. Дифференциальные уравнения задачи трех
тел)
§ 1
Механика есть наука о движении; мы охарактеризуем ее задачу так:
описать полно и простейшим образом происходящее в природе дви-
жение.
Движение — это изменение положения со временем; то, что движет-
ся, есть материя. Для понимания движения необходимы и достаточны
представления о пространстве, времени и материи. Опираясь на эти
представления, механика должна стремиться достигнуть своей цели и
создать необходимые ей вспомогательные понятия, например понятия
силы и массы.
Описание движения должно быть полным. Значение этого требова-
ния совершенно ясно: не должно быть ни одного вопроса, относящего-
ся к движению, который остался бы без ответа. Не столь ясно значе-
ние второго требования, состоящего в том, что описание должно быть
простейшим. Здесь, возможно, возникнет сомнение, какое же из опи-
саний известного явления будет проще; мыслимо также, что какое-
нибудь описание некоторого явления, которое в данный момент являет-
ся простейшим, впоследствии, при дальнейшем развитии знаний, будет
заменено еще более простым. История механики дает тому многочис-
ленные примеры.
§ 2
Движение тела, т. е. части материи, всегда представляется нам очень
сложным явлением. Брошенное твердое тело вращается во время свое-
го движения то в одном, то в другом направлении; жидкость, выли-
ваемая из сосуда, меняет свою форму во время падения самыми раз-
нообразными способами. Такие вращения или изменения формы про-
исходят при всяком движении тела, но в менее резком виде. Мы начнем
с рассмотрения простейшего случая, когда все размеры тела бесконечно
малы-, такое тело называется материальной точкой.
Материальная точка также будет, вообще говоря, во время движения
вращаться и изменять свою форму; при этом, так как она бесконечно
мала, то ее положение в каждый момент можно обозначать геометриче-
ской точкой. Мы ограничимся тем, что будем исследовать изменение
ее положения, оставляя без рассмотрения ее вращение и изменение
формы.
Обозначим через х, у, z координаты некоторой материальной точки в ее
движении, отнесенном к некоторой неизменяемой прямоугольной системе
5
координат, в момент времени t. Тогда х, у, z (sy-jxyy функциями t и притом
функциями однозначными и непрерывными для всего промежутка времени
/, соответствующего продолжительности движения. Если они заданы, то
и движение, подлежащее рассмотрению, будет вполне определено. Эти
функции зависят от выбранной системы координат. Введем другую также
прямоугольную и неизменяемую систему координат, и в этой системе обоз-
начим через х', у', г' координаты точки, которые раньше были обозначены
через х, у, z; тогда, как известно, будет
х' = а-\- оцх 4- а2у - a3z,
у' =~-b 4- 3iX + 3-,// -г ?3г,
с -г Ti-v -h чуу 4- t3z,
(1)
где а, Ь, с, а, р, у — постоянные величины, зависящие от взаимного рас-
положения обеих систем; здесь а, Ь, с — значения x',y',z’ при х — 0,
у 0, 2^0, и
04 = cos (х', х),
31 = cos(t/', х),
Ti cos (г', х),
a, cos (х-', у),
р.. = cos (у', у),
= cos (s', у),
а3 cos (х', г),
Зз -- cos (у', 2),
Тз = cos (z',z),-
(2)
где (х', х)— любой из двух дополнительных до 2л углов, которые обра-
зуют между собой направления осей х и х'; остальные обозначения
аналогичны.
§ з
Движение точки может быть описано также другими способами, менее
непосредственными, но часто более простыми, чем изложенный. Это дости-
гается заданием значений х, у, z для некоторого значения t, например для
t - 0, и значений у, ~ для всех t. При этом производные могут быть
заданы как функции t, или как функции х, у, z, или в самом общем
случае как функции х, у, z и 4 каждый раз, однако, эти функции дол-
жны быть однозначны для всех систем значений, принимаемых аргумен-
тами при движении точки. Пусть при t = О
X =-~ Хп, у = уй, 2 = Z().
и для любого t
где х0, у0, z0 — данные постоянные; и, о, ш — данные функции х, у, z
и /; тогда х, у, z будут, вообще говоря, однозначно определены для
каждого значения t, как это следует из теории дифференциальных урав-
нений. Чтобы найти х, у, z, надо интегрировать дифференциальные урав-
нения (3) и получающиеся при этом три произвольные постоянные опре-
делить из условий при t = 0.
Определенные из уравнений (3) величины и, v, w называются компо-
нентами скорости точки по осям х, у, z для времени t. Сама скорость
получает при этом определенную величину и направление. Чтобы найти
ее, будем рассматривать и, v, w как прямоугольные координаты точки
относительно некоторой системы координат, начало которой произвольно,
а оси соответственно параллельны осям х, у, z. Тогда направление ско-
рости есть направление прямой, идущей от начала этой новой системы
6
координат до точки (и, v, w), а величина скорости—длина прямой. Эти
определения равнозначны следующим: величина скорости равна положи-
тельному значению корня
Уи2 + У2 + ш2,
а ее направление есть направление линии, образующей с осями координат
углы, косинусы которых суть
______v . (4)
’ y«2+v2-f-a>2 Уu24-u24~w2
Легко видеть, что скорость точки зависит единственно от ее движения,
но не от системы координат, выбранной для его исследования. Можно
убедиться в справедливости этого утверждения, если одно и то же дви-
жение отнести сначала к одной, а потом к другой системе координат и
в обоих случаях найти скорость согласно установленному определению.
Пусть в новой системе х', у'-, г' — координаты той точки, которая
в старой системе имела координаты х, у, z; тогда эти величины связаны
уравнениями (1). Дифференцируя эти уравнения и обозначая, по аналогии
с (3),
где и', V', w' — компоненты скорости точки по осям х', у', z', получим:
и' = + а2У + а3ш,
у' = ₽!« + р2у + p3w,
= Г1« + Г2и + Гз®-
Эти уравнения показывают, что и, у, w и и’, у', w' — координаты одной
и той же точки в двух системах координат, имеющих общее начало, при-
чем в одной системе они параллельны осям х, у, z, а в другой — осям
х', у', z'. Прямая линия, проведенная из общего начала в эту точку,
определяет по величине и направлению скорость, о которой идет речь;
при этом безразлично, пользоваться ли системой координат х, у, z, или
х', у', г'.
Обозначим через ds бесконечно малый линейный элемент, который точка
проходит в бесконечно малый промежуток времени; тогда
У dx2 + dy2 + dz2 = ds
и, следовательно,
У и2 + У2 + ш2 = — ,
dt
т. е. величина скорости равна бесконечно малому линейному элементу,
который точка проходит в некоторый элемент времени, деленному на
этот элемент. Введя ds, выразим через —, — , — данные в (4) косинусы
ds ds ds
углов, образуемых направлением скорости с осями координат; тогда полу-
чим косинусы углов, образуемых с осями координат касательной к траек-
тории, проведенной в точке (х, у, z) в направлении движения точки. Таким
образом, направление этой касательной и есть направление скорости.
Простейшим случаем движения будет такой, когда и, v, w постоянны.
При этом интегрирование дифференциальных уравнений (3) даст
х = х0 4- ut, у = у0 4- vt, z = z0 4- wt.
1
В этом случае траектория есть прямая, уравнения которой
х — х„ _ у — у„ = г — г„
и V W
т. е. прямая, проведенная в направлении постоянной скорости через точку
(х0, у0, г0). Такое движение точки называется равномерным.
§ 4
Движение материальной точки, вообще говоря, также вполне опреде-
лено, если для t = 0 заданы положение и скорость, а для каждого зна-
d^x d^u d?z
чения t — значения производных —, ~ . Пусть для t = О
х = х0, у = у0, z = z0,
и для любого t
— = Х, — -Y, — = Z, (5)
dt2 dt* dt* '
где величины с индексом 0 суть постоянные, а X, Y, Z обозначают дан-
, dx dy dz .
ные функции от х, у, z, — , —, — и t, однозначные для всякой системы
dt dt dt
значений аргументов.
Интегрируя дифференциальные уравнения (5) и выбрав вводимые при
этом шесть произвольных постоянных так, чтобы были удовлетворены
условия при t = 0, мы найдем х, у, z как функции от t. Определяе-
мые из уравнений (5) величины X, Y, Z называются компонентами по
осям координат ускорения точки или ускоряющей силы, действующей на
точку.
Выражения «ускорение» и «ускоряющая сила» будем сначала считать
вполне равнозначными и пользоваться при описании движения то одним,
то другим. До введения так называемой движущей силы для краткости
будем опускать слово «ускоряющая», постоянно подразумевая его.
Ускорение имеет величину и направление; его величина равна
/х2 + p + z2,
а направление образует с осями координат углы, косинусы которых суть
х y г
’ Vx*+y*+z* ’ Ух2+/2+£2
Другими словами: если рассматривать X, Y, Z как прямоугольные
координаты некоторой точки в системе координат, оси которой параллельны
осям х, у, z, то длина прямой, проведенной из начала координат в эту
точку, определит величину, а направление ее — направление ускоре-
ния.
Данное определение ускорения вполне соответствует введенному в пре-
дыдущем параграфе для скорости. К этому можно добавить исследование,
подобное проведенному в § 3. Наряду с системой координат х, у, z введем
систему к', у', z'. Дифференцируя дважды уравнения (1), которые здесь
опять имеют место, найдем:
8
4- + 3 з— , (6)
d/2 dt* dt* dt* '
d*z' d*x , d*y d*z
--- = Tl-----b Ta ~~ 4- Ts .
dt* dt* dt* dt*
или, при помощи уравнений (5) и им соответственных со штрихами,
получим:
X' = агХ + «2^ + a3Z,
Y' = М + р2У + &Z, (7)
Z' = Т1х 4- Т2у 4. Тз/.
Отсюда следует, что величина и направление ускорения, так же как
величина и направление скорости, не зависят" от системы координат,
к которой отнесено движение.
В этом параграфе, подобно предыдущему, мы ввели первые и вторые
производные координат движущейся точки по времени; но мы могли бы
ввести производную третьего и более высоких порядков. Однако опытом
установлено, что представление встречающихся в природе движений не
выиграло бы от этого в простоте, а напротив, проиграло бы. Причина
этого заключается в том, что, как можно заключить из наблюдений, во
всех встречающихся движениях вторые производные координат материаль-
ной точки по времени сами есть функции только координат и не зависят от
начальных значений координат и компонент скоростей.
§ 5
На основании введенных определений мы в состоянии теперь очень
простым способом и с большой степенью точности провести описание одного
класса движений, происходящих на Земле, а именно, движения падающих
и брошенных тел, поскольку они могут быть рассматриваемы как мате-
риальные точки и размеры их траекторий малы по сравнению с размерами
Земли, а влияние воздуха, как и движение Земли, незаметно. При этих
условиях названное движение может быть описано с помощью следующего
утверждения: на тело действует направленная по вертикали вниз постоян-
ная сила, называемая силой тяжести.
Возьмем ось z, направленную по вертикали вниз, и обозначим тяжесть
буквой g; тогда запишем дифференциальные уравнения
— = 0 ^ = 0 ^-=g
di* dt* dt*
Их интегралы суть
х = а 4* a't,
у J) 4- b't,
z — с 4- c't 4- g i2,
2
где а, b, с и а', Ь', с' — шесть произвольных постоянных, из которых три
первые дают координаты положения, а три последние — компоненты
скорости в момент t = 0.
Между величинами х и у, исключив t, можно найти линейную зависи-
мость; тело движется в вертикальной плоскости. Примем ее за плоскость
у, z, т. е. положим х = 0, и, исключая время t из второго и третьего
уравнений, получим уравнение между у и z, в которое у войдет как
9
в первой, так и во второй степени, аг — только в первой степени. Сле-
довательно, траекторией движения является парабола, ось которой парал-
лельна оси г, т. е. вертикальна. При Ь' = 0 парабола вырождается в вер-
тикальную прямую.
§ 6
Другой пример, показывающий, какое упрощение описания существую-
щего в природе движения получается при введении понятия силы,
представляет движение планеты вокруг Солнца. Оно может быть с извест-
ной степенью точности описано посредством так называемых законов
Кеплера; мы сможем объединить их в один закон, отличающийся большой
простотой.
По первому закону Кеплера планета движется так, что ее радиус-вектор,
проведенный от Солнца, описывает в равные времена равные площади; по
второму закону траектория планеты есть эллипс,
У в фокусе которого находится Солнце.
г / Примем плоскость траектории за плоскость
/ хОу, т. е. положим г = 0; если мы теперь обозначим
через X, Y, Z компоненты действующей на планету
силы, то Z = 0, т. е. сила параллельна плоскости
дД--------------% траектории. Затем поместим начало координат в
Солнце и положим
Фиг. 1 . ,о.
x = rcos<p, у = г sin ср, (8)
причем г будем считать положительным. Здесь г — длина радиуса-вектора,
проведенного от Солнца к планете в момент t, и ср — угол, который этот
радиус образует с осью х (фиг. 1); при этом за положительное направле-
ние вращения радиуса-вектора мы примем то, в котором надо повернуть
на прямой угол ось х, чтобы она совпала с положительным направлением
оси у. Предположим оси х и у выбранными так, • что ср возрастает
со временем.
Удвоенная площадь треугольника равна произведению двух сторон,
заключающих угол, на синус этого угла. Если этот угол бесконечно мал,
то синус можно заменить самим углом, при условии, что угловая единица
180°
равна----. Эту единицу мы введем раз навсегда. Следовательно, удвоен-
л
ная площадь треугольника, описываемого радиусом-вектором планеты за
время dt, есть /ЛЛр; мы положим
r2dcp = cdt. (9)
По первому закону Кеплера с постоянное и притом, вследствие сде-
ланного выбора осей, положительное. Дифференцируя уравнения (8),
получим
dx = cos ср dr — г sin q> dtp,
dy = sin ф dr + r cos ф с/ф;
перемножая их надлежащим образом с уравнениями (8) и вычитая одно из
другого, будем иметь
xdy — у dx = r2dtp.
Следовательно, в дилу (9)
откуда, приняв во внимание уравнения (5), получим
X : Y = х: у.
10
Эта пропорция показывает, что действующая на планету сила либо направ-
лена к Солнцу, либо имеет противоположное направление: другими сло-
вами, сила, исходящая от Солнца, —притягивающая или отталкивательная.
Вследствие этого можно положить
X = — R - , Y = — R у
причем абсолютная величина R определяет величину силы, и при положи-
тельном R сила будет притягивающей, а при R отрицательном — отталки-
вающей. Умножая эти уравнения на dx, dy и складывая их, приняв во
внимание соотношение
№ -|- у2 = г2,
а следовательно, и соотношение
xdx + ydy = г dr,
(П)
получим
X dx + Y dy = — Rdr.
Левая часть этого уравнения на основании (5) будет
если обозначить через v скорость планеты.
Далее, из уравнений (10) и (11), если их возвести в квадрат положить,
умножив предварительно (10) на dt, получим
Отсюда следует:
Это уравнение мы сопоставим с другим, получающимся из второго
закона Кеплера. Пусть а—-половина большой оси, е — эксцентриситет
эллиптической траектории, причем а и е — положительные величины и е
меньше единицы. Направим ось х по большой оси эллипса к перигелию,
т. е. к точке траектории, наиболее близкой к Солнцу. Тогда уравнение
траектории будет
(х + еа)2 4- =а\
1 — е2
или
ГЧ __ г2
(х ч- еа)2 + -—— = а2,
или
г2 = [а (1 — е2) — ех]2.
Извлечем корень, принимая во внимание, что г существенно положительно;
тогда получим
г =---- а (1 — е2) — ех.
(13)
Из этого следует
И
или, в силу (13),
d2r D Г а (1 — е2)
-— — К ---------------
dt2 [ г
и, в силу (12),
а (1 — с2) г2
Это выражение положительно, следовательно, действующая на планету
сила, исходящая от Солнца, есть сила притяжения; она обратно пропор-
циональна квадрату расстояния от Солнца.
Мы преобразуем теперь найденное для этой силы выражение, чтобы
ввести время обращения планеты. Обозначим его через Т. Тогда cdt по
(9) есть двойная площадь, описываемая радиусом-вектором планеты за
время dt, следовательно, сТ есть двойная площадь, ограниченная эллипти-
ческой траекторией, т. е.
сТ = а2 У1—е2 2л,
поэтому из (14) имеем
г» а аа’ 1
Д == 4л2---.
Т2 г2
Но по третьему закону Кеплера отношение а®: Т2 для всех планет
имеет одно и то же значение; из этого следует, что для любой из планет
R = ~,
г2
где М для всех планет имеет одно и то же постоянное значение, или
словами: Солнце притягивает все планеты с силой, обратно пропорциональ-
ной квадрату расстояния.
Эта теорема принадлежит Ньютону. Из нее можно посредством вычи-
сления, обратным путем, вывести законы Кеплера, следовательно, теорема
Ньютона выражает то же, что и законы Кеплера, но более просто.
Однако большая простота — не единственное и не важнейшее преимущество
теоремы Ньютона перед законами Кеплера. Основное достоинство теоремы
заключается в том, что Ньютон смог прийти, опираясь на нее, к открытию
более общего положения, чем сама эта теорема и законы Кеплера, а именно
к закону, который точно представляет движение всех небесных тел, если
эти тела рассматривать как материальные точки. Таким образом обога-
щается наше знание.
§ 7
Чтобы выразить закон Ньютона, мы должны ввести понятие силы бо-
лее общее, сравнительно с тем, которое было дано выше. В преды-
дущих параграфах мы употребляли термины сила и ускорение как
вполне равнозначащие, но после обобщения понятия силы мы будем их
различать. До сих пор мы употребляли выражение: на точку действует
всегда одна сила; теперь же будем говорить: на точку действует одно-
временно много сил, или действует система сил. При этом каждую силу
мы будем, как и раньше, определять непосредственно компонентами по
осям координат. Таким образом, если Х1; Ylt Zlt Хг, У2, Z2, ... —компо-
ненты сил, действующих на точку (х, у, z), то величина и направление
этих сил определяются прямыми, проведенными из начала к точкам,
координаты которых суть Yu Zj, Х2, У2, Z2, ... . Утверждение,
что данная система сил действует на точку, должно быть равнозначное
12
'J - h ,.Ki+ .... (15)
Система сил, действующих на точку, всегда равносильна единственной
силе, которая называется равнодействующей системы. Пусть X, Y, Z — ком-
поненты по осям координат равнодействующей данной системы; тогда
в силу (15) и (5), имеем
х==х1 + х2+ ...,
Y = Л + У2 + • • •,
Z = Zx 4- Z3 + ...
Это те же уравнения, которые в случае, когда система состоит только
из двух сил, представляют аналитическое выражение так называемого
правила параллелограмма сил. Очевидно, что если определенное движе-
ние точки происходит под действием нескольких сил, то однозначно опре-
делена лишь их равнодействующая; каждую же из сил в отдельности,
кроме одной, можно взять произвольной, а эту одну всегда можно
выбрать так, чтобы равнодействующая сделалась равной ускорению.
Только из движения, по нашему мнению, механика может черпать
определения понятий, с которыми она имеет дело. Из этого следует, что
после введения системы сил вместо простых сил механика не в состоянии
дать исчерпывающего понятия силы.
Однако введение системы сил весьма важно, так как опыт показал,
что в движениях, встречающихся в природе, всегда можно отыскать такие
системы, отдельные силы которых могут быть легче найдены, чем их равно-
действующая.
§ 8
Пример этому дает движение небесных тел. Пусть 1,2, ... —индексы
рассматриваемых тел; mv, т.2, ... — постоянные, относящиеся к каждому
из этих тел; г12 г13, ... — расстояния между двумя из них в момент
времени /; их движение можно представить себе происходящим под дейст-
вием сил, с которыми каждое тело действует на все остальные так, что,
например, тело 1 притягивает тело 2 с силой, равной т-1 -. Это и есть
Г12
закон Ньютона.
Предположим, что мы имеем только три небесных тела. Обозначим
координаты их индексами 1, 2, 3; тогда уравнения их движения запишутся
в следующем виде:
г т
13
d2x, .v.( — x« . x, — x.,
—= m3 -2------------- -4- mv —------
d/2
m, —------
r3
'31
m.
Задача интегрирования этих дифференциальных уравнений назы-
вается задачей трех тел. Эта задача до сих пор строго не решена. Еще
более трудная задача возникает для нашей планетной системы, так как
число тел, входящих в нее, больше трех.
Однако астрономы убедились, что движения в нашей планетной си-
стеме очень точно следуют закону Ньютона, так как сила взаимодей-
ствия между каждой планетой и Солнцем, между каждым спутником и
его планетой значительно превышает все остальные действующие на
них силы.
ЛЕКЦИЯ ВТОРАЯ
(Движение несвободной материальной точки. Простой маятник. Движение систе-
мы точек, для которой имеют место уравнения связей. Масса материальной точ-
ки. Движущая сила. Лагранжевы уравнения механики)
§ 1
Введение системы сил, действующей на точку, вместо одной силы
оказывает существенную помощь также и в случае, который мы сей-
час рассмотрим. В этом случае заранее известно уравнение или только
между координатами точки, или между ними и временем. Этот случай,
например, имеет место для точки, лежащей на поверхности известной
формы, по которой точка движется так, что остается с ней в соприкос-
новении. Если поверхность неподвижна, то ее уравнение и есть урав-
нение между координатами точки; если поверхность движется каким-
либо образом, то мы имеем уравнение между ее координатами и вре-
менем. Напишем это уравнение так:
Ф(х, у, z, t) == с (1)
или, короче, <р = с, причем через >с мы обозначаем постоянное. Назовем
это уравнение уравнением связи и скажем: точка несвободна, но вы-
нуждена двигаться сообразно данному условию. Однако мы не связы-
ваем с этим предложением никакого иного представления, кроме того,
что уравнение (1) действительно существует.
В приведенном случае представим движение точки, обусловленное
двумя силами; именно, положим
dt2
<Pi/
dt*
(2)
d4 = Z -J- zx.
dt-
Компоненты первой силы X, Y, Z должны быть заданы полностью, но
для компонент второй силы Хх, Yx, Zx будут установлены только выра-
жения, содержащие еще одну неизвестную величину, которую мы обозначим
через Z. Эта величина определится из уравнения связи. А именно, из него
следует, что для каждого значения t
dtp q д ср dx । dep dy , dtp dz f dcp
dt dx dt^r dy dt dz dt ' dt
15
и также
d2cp_Q е dtp d2x , dtp d2y , dtp d2z
dt2 ’ dx dt2 dy dt2 dz dt2
д2ф / dx\2 d2<p t dy\2 . д2ф MzV . д2ф
+ dx2 \ dtj dyAdti + dz2 ^7 / ' d/2
। 2 d2(P dy ,
dx dy dt dt
। 2 д2ф dx . g
dx dt dt dy dt
с^Ф dy dz
ду dz dt dt
d2<f dy 2 Ц~Ф _ q
dt ~
_ dfiy _
dt2 ’ dt2 ’ dt2
которого можно будет выразить А,
и t. Каждую из компонент Хь Ylt ZY мы положим
dt
о д2ф dz dx
дх dz d t dt
42Ф dz _ n
(3)
dz dt
d2x
вместо —.
d2z
их значения из
Подставим в последнее уравнение
(2); тогда мы получим уравнение, из
dx dy dz
через х, у, z, — , — , —
r dt dt dt
равной величине X, умноженной на некоторый не зависящий от X множи-
тель; тогда уравнение для X будет линейным, т. е. X и Хъ Уъ Z1; а также
д* ^2 ц ($2
-, — , — будут из него однозначно определены как конечные вели-
dt2 dt2 dt2
чины, если предположим, что коэффициент при X в названном уравнении
не обращается в нуль. Все движение таким образом вполне определено,
если еще заданы начальные значения координат и компонент скорости.
В основание этих выводов положено предположение, которое мы сделали
в § 4 первой лекции относительно компонент силы и которое мы всегда
будем считать имеющим место, — предположение, что эти компоненты
, д. dx dy dz ,
в общем случае суть однозначные функции от х, у, z, —, - , — и t. •
dt dt dt
Такими функциями должны быть X, Y, Z и множители при X в выраже-
ниях Хь У1; Zv В остальном названные выше множители могут быть
выбраны произвольно; в таком случае описание движения всегда будет
полным1. Но мы сделаем совершенно специальный выбор, а именно,
положим
X^X^, Yl = X^, Z1==A
dx dy dz
при этом уравнения (2) примут вид
^Хт/Э,
dt2 дх
+ а/ф
dt2 ду ’
— = z + А,д<р-.
dt2 dz
Целесообразность этого выбора основана на двух свойствах уравнений (4).
Первое из них состоит в том, что уравнения сохраняют свой вид при
перемене системы координат. Чтобы убедиться в этом, обозначим через
Ф' функцию х', у', z', t, в которую перейдет ф, если подставить в нее
вместо х, у, z их выражения через х', у', z' из уравнений (1) первой
лекции, так что
(4)
<₽' = ф,
принимая во внимание, что уравнение (1) есть тождество.
После решения
этих уравнении получим:
дх
дх'
}'i, Z; подлежат ограничению: именно, если они не зависят от
давать
ду dz
= а1, --- = «2, --- = «Ч,
дх' 2 дх' 3
1 Компоненты JV1,
скорости, то должны
ср = с, так как в противном случае точка могла бы прийти в движение, если бы Xt, К,
Z были равны нулю. Если же они содержат скорость в качестве множителя, то ком-
понента, параллельная поверхности <р=с, должна быть противоположна такой же
компоненте силы X, У, 2, как это, например, имеет место при трении (В. В и н.)
равнодействующую, перпендикулярную к поверхности
16
дх ду’ -= 3i. ду- = т., ду' dz ду'
дх ду dz
dz.' ' - Yi- dz' ” ‘2’ dz’
З.З-
отсюда следует, что
dtp' dtp , — —a, + dtp д_ Л₽
дх' dx 1 dy 2 ' dz
dtp' — dtp о L dtp о , dtp ,
- — — r2 ~Г* i
ду' dx dy dz
dtp' — dtp „ , dtp , dtp
— — c Ti 4“ T2 ”1” 3J
dz' dx dy dx
а.ч,
(5)
Умножая уравнения (4) на а2, ая, или на (315 fJ2, Зз> или на т1; у2,
у3 и складывая каждый раз то, что получится, на основании установлен-
ных в первой лекции уравнений (6) и (7) найдем
X' । ; дер'
d/3 дх'
у ...
d/3 ду' ’
d3z' ,,, , dtp'
----- "= Z -г- л — .
dt2 ' dz'
Второе свойство уравнений (4) — это то, что они удовлетворяются при
произвольном изменении формы уравнения связи
F С,
где F— произвольная функция от <р, и С — значение, принимаемое ею при
Ф- г. Тогда вместо уравнений (4) получим
dt2 dx
dt2 dz
где L — новая неизвестная величина, которая определяется из уравнения
F С или, что то же самое, из уравнения <р с.
Но так как
др dFdtp dF dF <Др dF dF_dt{
dx dfp dx dy Pep dy dz dtp dz
то уравнения (6) будут тождественны уравнениям (4), если положить
L * F.
дер
Уравнения (4) и уравнение <р с можно выразить словами следующим
образом: на рассматриваемую материальную точку действует сила, компо-
2 I Кирхгоф 17
ненты которой суть X, Y, Z; в то же время ее движение подчинено
условию ф = с.
.. - .. , дер , дф „ дф
Мы будем считать силу, компоненты которой суть л—, л,---, л — ,
дх ду dz
следствием того, что точка вынуждена двигаться соответственно связи
ср = с. Направление этой силы перпендикулярно к поверхности, уравнение
которой при фиксированном значении t есть
ф'= с;
следовательно, если обозначить через п нормаль к этой поверхности, то.
как известно,
—; ЙЕ.; ЙЕ- = cos (пх): cos (пу): cos (иг)
дх ду dz
и величина этой силы равна абсолютному значению выражения
Не исключена возможность, что уравнения (4) будут не единственными
обладающими двумя указанными выше свойствами — выполняться для
каждой системы координат и всякой формы уравнения связи, — если силы
(X, Y, Z) даны по величине и направлению. Этими же свойствами обла-
дают уравнения
если h является постоянной или произвольно заданной функцией от
Эти уравнения, взятые вместо уравнений (4), действительно годят
ся для описания некоторого движения, именно такого движения, при
котором, как принято говорить, делается заметным трение. Мы удер
жим уравнения (4) вследствие их большой простоты.
§ 2
Изложенным в предыдущем параграфе методом мы воспользуемся
для описания движения простого маятника. Такой маятник получается,
если тело, подвешенное нитью к неподвижной точке, рассматривают как
материальную точку. При этом предполагают нить нерастяжимой и в
остальном ее влиянием пренебрегают. Пусть тело надлежащим обра-
зом приведено в движение; тогда оно движется так, что остается на
шаровой поверхности, описываемой радиусом, равным длине нити, во-
круг точки привеса. Допустим еще, что выполнены предположения, ко-
торые были изложены в § 5 первой лекции при исследовании движения
18
свободно брошенного тела; тогда движение маятника будет описано с
помощью выражения, показывающего, что на него действует сила тя-
жести, причем он вынужден оставаться на указанной шаровой поверх-
ности.
Введем систему координат, начало которой поместим в точке подве-
са и ось z которой направлена вертикально вниз, и обозначим через I
длину нити; тогда это утверждение будет выражено следующими урав-
нениями:
dt2
d2z
dt2
= g+^Z,
(8)
X2 у2 + z2 = I2.
Из последнего уравнения следует:
хdx 4- у dy + z dz = О,
а из трех первых, умножив их на dx, dy, dz, сложив и интегрируя, получим
dx2 J- dy2 + dz1 = (2gz + h) dt2, (У)
где h обозначает произвольное постоянное.
Умножив два первых из уравнений (8) на (— у) и (+ х), складывая и
интегрируя, получим еще
xdy — ydx'—cdt, (10)
где через с обозначено второе произвольное постоянное.
Введем теперь вместо прямоугольных координат полярные и положим
х = I sin О cos w,
у = I sin Osina), (11)
z = I cos 0;
отсюда следует
dx — I cos 0 cos wdft — I sin 0 sin w dw,
dy = I cos 0 sin w d® + I sin 0 cos w dw,
dz = — I sin 0 dO.
Из этих уравнений имеем
dx2 4- dy2 + dz2 = I2 (dO2 sin2 0 dw2),
x dy — ydx = l2 sin2 0 dw,
и вместо уравнений (9)—(10) получим
I2 (dO2 sin2 0 dw2) = (2g/ cos 0 -J- ti) dt2,
(12)
I2 sin2 0 dw — c dt.
2*
19
Отсюда следует
( 2 — cos '0' + У —
\dt > I 1~
с-
/4 sin3 ф ’
Интегрируя это уравнение, мы получим О как эллиптическую функцию
t. Пусть $ найдено; тогда, интегрируя второе уравнение (12), получим w.
Если с = 0, то из второго уравнения (12) следует, что w = const, и из
(11) найдем, что движение происходит в вертикальной плоскости, и по
первому из уравнений (12) имеем
pV=2 ^cosfl+ * .
\dt ! I Р
(13)
В зависимости от значения h движение, представляемое этим уравнением,
таково, что или абсолютное значение О’ безгранично возрастает со временем,
или изменяется между некоторым минимумом и максимумом. Мы иссле-
дуем только второй случай, когда маятник совершает колебания. Обозначим
амплитуду колебаний, т. е. наибольшее значение О, через а; тогда — = О
di
для О — а; следовательно, в силу (13)
0 = 2 — cos а 4- — .
I Р
Вычтем это уравнение из (13), получим
У = 2 — (cos О' — cos а) = 4 — f sin2 — — sin2 —
dt J I I k 2 2 '
Положим
тогда
sin — = sin — sin ф;
2 2
Пусть T — продолжительность одного простого колебания; тогда Т най-
дется интегрированием этого уравнения между пределами от Ф = — а до
Ф = 4- а, т. е. от ф =
до ф = 4- ; таким образом,
Пусть а мало; тогда, пренебрегая его четвертыми степенями, получим
1 . , 1 . , а .
---- ------= 1 -4 — sin2 — 51п2ф;
j/" 1 — sin2 — sin2 -Qi
далее, так как
Я
к ЗШ2фб(ф -- — ,
о
20
то
Т л 1Z— [ 1 + — sin2 ~ ,
или
“ g \ 16 /
Если а бесконечно мало, то
' g
Случай бесконечно малых колебаний легко разобрать и без предположе-
ния, что они плоские.
Если колебания, т. е. х и у, бесконечно малы, то I — z также беско-
нечно мало; а именно, оно будет второго порядка, когда х и у первого
порядка малости, как. это вытекает из (8), уравнение четвертое. Третье
из этих уравнений выражает, что с точностью до величин второго порядка
и два первых дают
__ g (У у __ g
— %» — ч>
dP I dP' I
Общие интегралы этих дифференциальных уравнений:
х = a sin jZу 14- a' cos д/~ t,
у — b sin jZу 14- b’ cos jZу t,
где a, b, a', b' — произвольные постоянные. Исключим t из этих двух
уравнений, решив их относительно синуса и косинуса и приравняв единице
сумму квадратов найденных значений; тогда найдем, что уравнение траек-
тории тяжелой точки есть уравнение эллипса. Из выражений для х и у
следует, что продолжительнсть одного оборота
Т = 2 л т/~~- .
r g
§ 3
Рассмотрим теперь наиболее общий случай, встречающийся в механике
материальной точки. Именно, рассмотрим систему материальных точек
1,2, ... Обозначим буквами х, у, z с индексами 1,2, ... их координаты в
момент t. Между этими координатами и временем должны быть известны
п независимых между собой уравнений, которые мы напишем так:
Ф = с, е, . .. (14)
причем под Ф,ф, ... мы подразумеваем функции координат точек, а под
с, е, . . . постоянные. Мы дадим дифференциальным уравнениям движения
точек форму, соответствующую той, в которой были представлены в § 1
дифференциальные уравнения для одной точки, движение которой подчи-
2 4
нено одной связи. Движение каждой из точек мы представим как об уело
вленное п 4- 1 силами, причем из всех рассматриваемых сил одна для
каждой точки должна быть задана полностью, для остальных должны
быть установлены выражения, которые содержат п неизвестных величин.
Именно, мы положим
d2xr = X 1 5Ф_ L
dt2 mL dxi dxL
dt2 «i dyt dyv
d2zL 2t | дф । И дф ।
dt2 ml dzr dzr
d2x2 = X2 + — + +
dt2 m2 dx2 m2 dx2
(15)
Здесь Хх, Y х, Zx Х2, • • - — компоненты сил, которые в каждом случае
применения уравнений должны быть заданы как функции координат и
компонент скорости точек и времени; mlt т2, ... — положительные
постоянные, которые также должны быть даны; Z, ц,...— п неизвест-
ных, которые будут однозначно определены из п линейных по отноше-
нию к ним уравнений
^2Ф _ Q = 0 *
Л2 ’ dt2
которые должны быть развернуты по образцу уравнения (3).
Уравнения (15) имеют место для каждой прямоугольной системы коор-
динат, если положить, что силы (Хх, Ylt Zx), (Х2, Уз, 22), ... не зависят
по величине и направлению от системы координат. Доказательство этого
предложения надо вести таким же образом, как было доказано аналогич-
ное предложение в § 1; именно, следует умножить уравнения, относящиеся
к каждой точке системы, на <хх, а2, а3, или рх, 02, £3, или ух, у2, у3 и в
каждом случае, соответственно, сложить их.
Уравнения (15) получим для каждой формы уравнений связи, если мы
по-прежнему будем так называть уравнения (14), но они имеют место
также и тогда, когда мы уравнения (14) заменим:
F = С, G = E,... ,
где F, G,...— п независимых между собой функций от <р, ф, ... , и С,
Е,...— постоянные значения, которые эти функции принимают при <р=с,
ф = е, ... Величины %, р, ... должны быть заменены другими, которые мы
обозначим через L, М, ... и которые определяются из уравнений
h = L —+ Мд—,
dtp д <р
д ф дф
(16)
Мы убедимся в правильности этого положения, если, обозначив через
с какую-нибудь из величин хх, уъ zx, х2, у2, ... , заметим, что
д F dF dtp д F Зф
дх д q> дх д ф дх
следовательно, если имеют место уравнения (16), то
Ld-F^ ; 4 ...
дх дх дх дх
Заметим, что уравнения (15) перестали бы быть годными для каждой
системы координат или для каждой формы уравнений связи, если бы рав-
1
ные множители —, входящие в уравнения, относящиеся к первой точке,
гщ
мы заменили бы различными множителями из какой-нибудь вертикальной
или горизонтальной строки. Кроме того, нетрудно убедиться, что уравне-
ния (15) не единственные, которые обладают только что доказанными
свойствами; такие уравнения легко составить по образцу уравнений (7);
уравнения (15) не теряют значения также и в том случае, если рассма-
тривать тъ т2,... не как постоянные, но как произвольные переменные
величины. Однако опыт учит, что при таком обобщении уравнений (15)
мы не выиграли бы в простоте описания встречающихся в природе движе-
ний.
Количества ти т2,... мы назовем массами материальных точек 1,2,...
Изменим форму и обозначения уравнений (15). Умножим уравнения (15)
соответственно на ть т2,...; при этом появятся произведения т1 Х1(
Ylt гщ Zx, т2 Х2, т2 Y2, • •.; эти произведения мы обозначим опять через
Хх, Ylt Zb Х2, Y2, ... и будем называть их компонентами по осям коор-
динат движущей силы, действующей на массы /га1( т2, ... или на мате-
риальные точки 1, 2,... Относительно введенного здесь понятия движу-
щая сила мы можем сказать следующее: она всегда соответствует уско-
ряющей силе и имеет определенную величину и направление; направление
обеих одно и то же; величина движущей силы равна величине ускоряющей,
умноженной на массу, на которую она действует; движущие силы, дейст-
вующие одновременно на точку, складываются совершенно так же, как
ускоряющие. До сих пор речь шла исключительно об ускоряющих силах;
теперь мы будем говорить только о силах движущих, и ради краткости
опускать слово движущая.
Если на систему точек, массы которых тъ т2, , подчиненную связям
Ф = с, ф = е,... , действуют силы, компоненты которых суть Хь Ylf Z1(
Х2, Y2,... , то это означает, что движение точек удовлетворяет следу-
ющим уравнениям:
Это и есть основные уравнения механики материальных точек, которые
были впервые установлены Лагранжем в его «Аналитической механике».
Величины X -<₽-, % А, —--------компоненты силы, действующей на
5X1 дуг 5zi
точку 1; эта сила по величине и направлению не зависит от принятой
системы координат, что следует из рассмотрения, аналогичного проведен-
ному в § 1.
Эти силы являются следствием того факта, что точка 1 вынуждена
двигаться сообразно условию ср = с.
Рассмотрим следующий пример:
Ф = у р*1 — х2)2 + (У1 — У2? + (21 — ?2)2] ;
это уравнение показывает, что точки 1 и 2 неизменно связаны между
собой. Вследствие этой связи, как сказано выше, на точки 1 и 2 дейст-
вуют силы, компоненты которых суть
Цх! — х2), К(У1 — уг), —г2).
и
(-'-2 (//г Vi)> (^2 21),
таким образом эти силы одинаковы по величине, и обе направлены вдоль
линии, соединяющей точки 1 и 2.
ЛЕКЦИЯ ТРЕТЬЯ
(Принцип. Даламбера. Работа, Принцип Гамильтона. Потенциал, или силовая
функция. Равновесие. Принцип возможных перемещений)
§ 1
Данные в предыдущей лекции дифференциальные уравнения (17) для
движения системы материальных точек предполагают введение прямоу-
гольной системы координат, которую мсжно выбрать произвольно. Эти
уравнения мсжно привести, как мы теперь покажем, к такой форме, при
которой они уже не будут связаны с выбором какой-либо определенной
системы координат.
Рассмотрим положение точек, соответствующее некоторому определен-
ному значению t, и представим себе, что этим точкам сообщено бесконечно
малое отклонение из этого положения. При этом координаты хь ylt zlt х2,
у2, z2, ... получат приращение, ссответственно дхь di/i, 6х2, dy2, ...
Эти компоненты перемещения, кроме того, что они бесконечно малы,
должны еще удовлетворять условию быть совместными с уравнениями
связей <р = с, ф = е, ... или, что то же самое, должны удовлетворять
уравнениям
V -ф- дх = О, у дх - 0, .. . , (1)
^дх ^дх
в которых х означает какую-нибудь из величин х1; уъ zlt х2, у2, . и
знак Е выражает, что сумма распространяется на все эти величины.
Подобные перемещения называются возможными в противоположность
действительным, настоящим, которые имеют место в некоторый элемент
времени dt. Время может входить явно в уравнения связей ф = с, ф = с,... ,
что не будет исключением; в этом случае выражение: перемещения должны
быть совместными с уравнениями связей не имеет определенного значе-
ния; его значение прежде всего определяется уравнениями (1). Возможные
перемещения будут при этом соответствовать уравнениям связей, в кото-
рых время рассматривается как постоянное. Например, пусть точка будет
вынуждена оставаться на шаровой поверхности, движущейся с данной
скоростью; тогда возможным перемещением будет перемещение, отнесенное
к неподвижному шару.
Умножим дифференциальные уравнения (17) предыдущей лекции на
дхь дг/i, dzt, дх2, ду2> ... и сложим их; тогда с помощью уравнений (1)
получим
где сумма распространяется на всю систему точек.
Это уравнение, если прибавить, что оно пригодно для всех возможных
перемещений, вполне равносильно с уравнениями (17). Мы получим урав-
25
нение (2) из (17), если выведем (17) из (2), т. е. если покажем, что вели-
чины А, ц, ••• , входящие в уравнение (17), для всех значенийудовлет-
воряют уравнениям (1). Это вытекает из исследования, относящегося к
теории линейных функций.
Выражаемая уравнением (2) теорема носит название принципа Далам-
бера.
§ 2
Преобразуем еще уравнение (2).
Выражение
Хдх + Убу + Z6z
называется работой силы (X, У, Z) на перемещении (дх, бу, бг) ее точки
приложения; если ввести в рассмотрение величину силы и перемещения,
то это выражение равно произведению силы на перемещение и на косинус
угла между ними. Оно не зависит от системы координат и положительно
или отрицательно в зависимости от знака косинуса. Пусть будет дана
система сил, действующих на различные точки или имеющих общую точку
приложения; тогда распространенная на все силы сумма
2(Хбх+ Y6y + Z6z)
называется работой системы сил для рассматриваемых перемещений.
Если силы имеют общую точку приложения, то работа их равна работе
их равнодействующей, так как компоненты равнодействующей по осям
координат равны суммам соответствующих компонент отдельных сил.
§ 3
Положим в уравнении (2)
3(Хбх + Убу-У Z6z) = U',
т. е. U‘ обозначает работу сил (X, У, Z) для рассматриваемых перемеще-
ний.
£ Величины х, у, z суть функции времени; также и величины дх, бу, бг
мы можем и будем рассматривать как функции времени, которые только
должны быть бесконечно малы и удовлетворять уравнениям (1).
Тогда получим
As rd (dx . \ dx dtix
— dx = — — dx-------------. (4)
dt* dt \dt / dt dt ' ’
Если ’при данном, остающемся неизменным, значении t величина х
d'‘ dx
изменяется на дх, то изменяется также мы обозначим приращение -
dx
через д —. Из этого определения следует:
dt
&dx d(x Ц- bx') dx dbx
dt dt dt dt
Отсюда получаем
dx dbx dx &dx 1 . ( dx\2
----= — 6— = — d — I ,
dt dx dt dt 2 \dt ]
если обозначить через d вообще изменение, которое получает поставленное
за этим значком выражение, когда х, у, г изменяются на дх, бу, бг.
26
Поэтому вместо (4) получим
d2x . d /dx \ 1 fdx\2
— d х = -- — dx--------d — -
dt2 dt [dt / 2 [dt]
Вместо x сюда могут быть подставлены также у или г. Далее, если
обозначаемое значком d изменение назовем вариацией, то, так как вариация
суммы равна сумме вариаций частей, получим
(5)
Входящую в последний член предыдущего уравнения сумму назовем оки^й
силой системы и обозначим ее через Т; тогда будем иметь
г = <6)
где через v обозначена скорость.
Поэтому, приняв во внимание [уравнение [(3), вместо уравнения (2),
получим
- S m (d-bx + d-?by+ - dz) = dT + U'. [(7)
dt [dt dt dt J L
Правая часть этого уравнения не зависит от системы координат; но и в
левой эта зависимость только кажущаяся, так как выражение
dx . , dy . , . dz ,
— dx 4- — dy 4---dz
dt dt dt
представляет произведение скорости v на перемещение (dx, dy, dz) и на
косинус угла между ними.
Преобразуем еще уравнение (7), умножим его на dt и проинтегрируем
между двумя произвольно выбранными значениями t, которые обозначим
через tn и tr. Тогда получим
ч
rvi (dx t , dy . , dz s \ "]
m — 6x 4- — dy 4-----dz
[dt dt a dt /J
“• t.
dt(dT + U'),
(8)
где поставленные в левой части значки 'обозначают разность значений,
стоящих в прямых скобках, для t = tr и t = t0. Наложим на вариации dx,
dy, dz новое ограничение, положив, что для t = t0 и t = они все обра-
щаются в нуль; тогда будем иметь:
О =
\dt(dT + IT),
t.
(9)
Принципом Гамильтона называется следующее утверждение: уравнение
(9) имеет место для всех бесконечно малых вар гаций положения точек,
совместимых со связями, которым подчинено их движение, и обращаю-
щихся в нуль для t —10 и t = tv Мы вывели принцип Гамильтона из
27
принципа Даламбера, т. е. из уравнения (2); покажем теперь, что можно
поступать также и наоборот.
Воспользовавшись данными в (3) и (6) определениями и тождеством
(5), мы приведем уравнение (9) к виду
О = V dt У' (т d~x — X дх + ( т — — y \ by +
^0
, i d-г c
+ m----------Z dz.
\ dP I
Теперь заметим, что значения дх, by, bz могут быть положены рав-
ными нулю для всех элементов времени, которые лежат в интервале от
t = t0 до t = tlt за исключением одного, а для этого элемента равными
некоторому произвольному перемещению; тогда очевидно, что для этого
элемента времени уравнение (2) имеет место; но так как этот элемент
времени может быть выбран произвольно, то оно всегда имеет место.
Принцип Гамильтона, Даламбера и лагранжевы дифференциальные
уравнения (17) предыдущего параграфа оказываются, таким образом,
вполне равносильными.
§ 4
Большое преимущество принципа Гамильтона заключается в том, что с
помощью его в дифференциальных уравнениях движения системы мате-
риальных точек можно относительно легко заменить прямоугольные коор-
динаты другими переменными.
Пусть plt р2, ... будут какие-нибудь величины, определяющие положе-
ния точек, т. е., иными словами, все х, у, z могут быть выражены в
функции только этих переменных.
Если х есть какая-нибудь прямоугольная координата некоторой точки,
то
dx дх dp2 дх dp2 .
—. —------------ - .
dt dpL dt др-г dt
и
v дх ~ дх s .
дх = — Ьр! -Г — Ьр2 + . . . . ,
opt др2
где производные — , —, ... рассматриваются как функции от plt рг, ..
дрх др2
Компоненты силы X, Y, Z, входящие в выражение (3) для U', которые,
„ , dx , „
вообще, являются функциями величин х, — иг, после введения р будут
dt
функциями величин р, d~ и /; само U' становится при этом однородной
dt
линейной функцией от [Ьр с коэффициентами, зависящими от р, и /.
Далее, Т — однородная функция второй степени величин — , коэффициенты
dt
которой зависят от р; ЬТ — однородная линейная функция Ьр и
д—, коэффициенты которой содержат величины р и —. Поэтому выражение
dt dt
ЬТ U' имеет вид
(10)
28
где сумма распространена на все др и где Р и Q — функции величин р,
dp и t.
dt
Величины р не должны необходимо быть независимыми между собой;
между ними и временем могут существовать уравнения связей. Уравнение
(9) тогда должно выполняться только для возможных перемещений др,
т. е. таких, которые удовлетворяют уравнениям связей, если рассматри-
вать в них время как постоянное. Величины др могут быть представлены
в виде однородных линейных функций независимых между собой беско-
нечно малых величин, которые обозначим через еь е2, ... ; число этих
величин равно разности между числом величин р и числом существующих
между ними уравнений связей; в этих функциях коэффициенты при вели-
чинах е зависят от р и времени.
Продифференцируем по t уравнения, представляющие указанным выше
, ddp
образом др; тогда величины — - выражаются линеиными однородными
dt
функциями величин ей—, коэффициенты которых содержат р, — и t.
dt dt
Следствием этого является следующее выражение для дТ -ф U' взамен
(Ю):
где сумма распространена на все е и величины R и 5 — функции pt
— nt. Отсюда вместо (9) получим
dt
+ (11)
to
для любых бесконечно малых величин е, которые только должны удовлет-
ворять условию обращаться в нуль для t = t0 и t = tr. Но так как
qde. d /о \ dS
S — = — (Se)----------e,
dt dt ' dt
то вместо (11) получим
Так как величины e могут быть выбраны совершенно произвольно при
одном лишь условии, чтобы они обращались в нуль на пределах интегри-
рования, то из этого следует (из рассуждения, аналогичного примененному
при выводе принципа Даламбера из принципа Гамильтона), что коэффициенты
при каждом е должны обращаться в нуль, и таким образом дифферен-
циальными уравнениями движения будут уравнения
dS __
dt
§ 5
В одном случае, часто встречающемся при исследовании, уравнение (9),
выражающее принцип Гамильтона, может быть представлено в более
простой форме. Это будет тогда, когда определяемая уравнением (3) работа
U' равна вариации (соответствующей возможному перемещению) некоторой
29
функции величин, определяющих положение точек, и времени. Такая фун-
кция, если она существует, называется потенциалом сил, или силовой
функцией. Обозначим ее через U', тогда будем иметь
U'=bU, (12)
и уравнение (9) можно будет написать так:
б
0 = б^(Т+<7). (13)
ц
Обозначим через й интеграл, вариация которого по (13) обращается в
нуль; тогда это уравнение есть необходимое условие того, чтобы й имело
максимум или минимум. В самом деле, обозначим через х прямоугольную
координату какой-нибудь точки; если бы дй не было равно нулю для
некоторой системы возможных вариаций бх, то, изменив все знаки, можно
было бы получить вторую систему вариаций, а именно систему, для кото-
рой бй имело бы противоположный знак. Следовательно, й при изменении
величин бх могло бы быть как увеличено, так и уменьшено, т. е. оно не
имело бы ни максимума, ни минимума.
Однако уравнение (13) не есть достаточное условие того, чтобы Й
имело непременно максимум или минимум.
Пусть х опять будет координата некоторой точки и X — соответствен-
ная компонента действующей на точку силы; тогда, согласно (12) и (3),
Из этого выражения видно, что если существует потенциал, то силы, как
и потенциал, могут зависеть только от координат и времени, но не от
скорости.
Из (14) также следует, что если действуют совместно две системы
сил, каждая из которых имеет потенциал, то для них также существует
потенциал, равный сумме потенциалов отдельных систем.
Пусть силы будут вполне заданы как однозначные функции координат
и времени; тогда потенциал, если он существует, найдется интегрирова-
нием по координатам; при этом появится добавочная произвольная постоян-
ная. Таким образом, потенциал определен только до аддитивной постоян-
ной, не зависящей от координат, которая может быть выбрана произ-
вольно. При этом может также случиться, что потенциал будет много-
значной функцией.
Некоторые примеры, в которых существует потенциал, мы уже
рассматривали.
Для одной точки массы т, на которую действует сила тяжести g.
если ось 2 направлена по вертикали вниз, мы имеем
X = О, Y = О, Z = mg.
Эти уравнения могут быть соединены в одно:
U = mgz.
Для силы, с которой какая-либо планета притягивается к Солнцу,
имеем
X = — тМ Y = — тМ — , Z = — тМ - ,
г3 г3 г3
где г2 = х2 + у2 + 22; т — масса планеты; М — масса Солнца при подхо-
дящем выборе единиц измерения массы; начало координат находится в
30
Солнце, рассматриваемом в состоянии покоя. Положим
,, тМ
Для произвольного числа небесных тел, которые действуют друг на
друга по закону Ньютона, имеет место выражение (если воспользоваться
обозначениями, которые были применены в конце первой лекции)
II _ К? т 2
где сумма пзята по геем ксмСееенгям из каждых двух масс От], т2, ..
§ 6
Покой есть частный случай движения. Та часть механики, которая его
рассматривает, называется статикой. Для перехода к случаю покоя мы
должны предположить, что начальные скорости равны нулю, что связи
Ф = с, ф = е, ... не зависят от времени и что действующие силы таковы,
что вызываемые ими ускорения обращаются в нуль. О таких силах гово-
рят, что они находятся в равновесии. Как условие равновесия найдем из
уравнений Лагранжа (17) второй лекции:
o = x1 + ^+^ + ...,
1 dxt dxt
0 = г1 + х^+ !?* +...,
dzj dzx
0 = хг + ^- + ^- + ...
дх%
Ф = с, ф = е,...
Согласно принципу Даламбера, т. е. уравнению '(2), это условие состоит
в том, что для всех виртуальных перемещений
0 = 2 (Xdx + Уду + Zdz),
т. е. работа всех соответствующих сил равна нулю. Теорема, утвержда-
ющая, что это выражение есть условие равновесия, носит название
принципа возможных перемещений (или также скоростей). Если силы имеют
потенциал U, то условие их равновесия состоит в том, что для каждого
виртуального перемещения точки
dU = 0.
Это уравнение имеет место, когда значение U есть минимум или максимум,
однако если это уравнение выполняется, то оно не обязательно дает мини-
мум или максимум для функции U.
ЛЕКЦИЯ ЧЕТВЕРТАЯ
(Теорема живой силы.. Устойчивость равновесия. Теоремы о движении центра
тяжести. Движение системы вокруг ее центра тяжести. Теоремы площадей
Моменты вращения)
§ 1
Из общих уравнений движения материальных точек, которые мы рас-
сматривали в двух последних лекциях, мы, при определенных допущениях,
сделаем теперь некоторые выводы относительно условий, которым под-
чиняется движение.
Связи не содержат времени, это — первое предположение, которое мы
примем. Пусть смещения, получаемые точками при их движении за эле-
мент времени dt, суть виртуальные смещения, которые определены урав-
нением (1) третьей лекции. Поэтому в производимых в третьей лекции
вычислениях можно всюду вместо знака д поставить знак d, который
означает, что речь идет об изменениях, происходящих в действительном
движении за элемент времени dt. Проделав это в уравнении (2) и проин-
тегрировав его, найдем
Т\-То = ^(Xdx+Ydy + Zdz), (1)
^0
где То и Тг — значения живой силы в произвольно выбранные моменты
времени t0 и tt. Понятие работы, введенное уравнением (3) третьей лек-
ции, до сих пор определено только для бесконечно малых смещений. Те-
перь мы обобщим это понятие и будем говорить также о работе сил при
конечных перемещениях точек их приложения, понимая под этим сумму
значений работ при бесконечно малых смещениях, равных в сумме конеч-
ным смещениям. Уравнение (1) показывает, что приращение, получаемое
живой силой системы в некоторый интервал времени, равно работе действую-
щей силы при смещениях, которые претерпевают точки. Эта теорема на-
зывается теоремой живой силы.
Пусть действующие силы имеют потенциал (7, и он не содержит вре-
мени; в этом случае правая часть уравнения (1) представляет собой раз-
ность значений, которые принимает U при t = и t /0; уравнение мож-
но поэтому записать в виде
Т U + h, (2)
где /z = const. Пусть U — однозначная функция, тогда, если все точки си-
стемы вернуть в исходное положение, то живая сила также примет зна-
чение, которое она имела прежде. Эта теорема известна под названием
теоремы о сохранении живой силы.
В случае, если на систему не действует никакая сила или если дей-
ствующие силы находятся в равновесии, то живая сила постоянна.
32
§ 2
Теперь мы применим уравнение (2) к теории равновесия, которую дал
Дирихле (Crelle's Journal, Bd. 32, стр. 85). В предыдущей лекции при опре-
делении равновесия уже упоминалось, что речь идет только о таком слу-
чае, когда связи не зависят от времени, а следовательно, выполняется
предположение, лежащее в основе настоящего изложения. Кроме этого,
чтобы можно было применить уравнение (2), положим, что действующие
силы имеют потенциал U, который также не содержит времени. По заме-
чанию, сделанному в конце предыдущей лекции, равновесие между сила-
ми имеет место в положении системы, когда U достигает максимума. В та-
ком положении равновесие обладает замечательным свойством — устойчи-
востью. Это свойство не сохраняется, если в положении равновесия U имеет
минимум или не имеет ни минимума, ни максимума. Чтобы пояснить это
свойство, представим себе систему в момент времени t = 0 в положении,
которое бесконечно мало отличается от упомянутого положения равнове-
сия, и примем также, что все точки имеют бесконечно малые скорости.
Пусть Um — максимальное значение U, которое, следовательно, соответ-
ствует положению равновесия. Тогда по уравнению (2) Т + (Um — U) —
константа, а именно, бесконечно малая константа, так как при t = 0 и
Т и Um — U — бесконечно малые величины. Поскольку Т — положительная
величина, то можно заключить, что Um — U никогда не принимает по-
ложительного конечного значения. Переведем затем систему из положения
равновесия (или бесконечно близкого к нему) в некоторое отличное от не-
го положение, тогда, как следует из понятия максимума, Um — U — ко-
нечная положительная величина. Отсюда следует, что при сделанных пред-
положениях система только бесконечно мало отклоняется от положения
равновесия. При этом Т в каждой точке остается бесконечно малым, как
и в положении равновесия.
§ 3
Примем теперь, что связи, которым подчинено движение точек, такого
вида, что они допускают смещение точек в направлении оси х без изме-
нения их относительного положения. К такому смещению (которое мы
обозначим через и') можно применить уравнение (2) третьей лекции, выра-
жающее принцип Даламбера. Тогда мы должны положить в этом уравне-
нии
дх = ы', бу = 0, 6z = 0;
отсюда получим, опуская множитель и',
2<»^ о)
Мы замечаем, что работа действующей силы для этого смещения равна
и'^Х. (4)
Пусть возможны также смещения системы в направлении оси у и оси
г без изменения относительного расположения точек; тогда находим ана-
логично
2^=2^ и <5>
Преобразуем эти уравнения, введя некоторые новые обозначения. Поло-
жим
М =2т,
Mg = ^jnx, Mr] = ~^ту, Mg — ^тг; (6)
3 Г. Кирхгоф
33
М называют массой системы, g, q, g — координатами ее центра тяже-
сти. Очевидно, что по этому определению центр тяжести системы не за-
висит от выбора системы координат. В самом деле, введем наряду с си-
стемой х, у, z, вторую систему х', у'. z', как мы это уже неоднократно
делали; умножим уравнения (1) первой лекции (которые в этом случае
имеют место) на т, просуммируем их по всем точкам системы и получим
аналогично уравнениям (6)
A-lg' = ^пх', Mr]' = ^ту', Mg' = ^mz';
разделив на М, имеем
g' = а+ 04g + а2т] + a3g,
= b + 31В + РгЛ +
g' = с + fig + y2q + ГзВ,
т. е. уравнения, которые означают, что g', q', g' и g, q, g являются коорди-
натами одной и той же точки в двух системах координат.
Так как массы — положительные величины, то центром тяжести систе-
мы точек является определенная средняя точка; это значит, что каждая
координата центра тяжести заключена между наибольшим и наименьшим
значениями соответствующих координат отдельных точек системы.
Полезно отметить, что при вычислении положения центра тяжести
данных масс произвольные группы их могут быть представлены сконцен-
трированными в их центрах тяжести и что центр тяжести масс, лежащих
на одной прямой, находится на этой же прямой. Правильность первого
утверждения следует непосредственно из уравнений (6), содержащих опре-
деление; правильность второго очевидна, если принять прямую, на кото-
рой должны лежать массы, за ось х; в таком случае у = 0, z = 0 и, сле-
довательно, т] = 0 и g = 0.
Употребляя введенные обозначения, можно записать уравнения (3) и (5)
в виде
"5 = 3х- «g-2Z; <7>
эти формулы выражают так называемые теоремы движения центра тя-
жести. Их можно свести в одну теорему: центр тяжести системы масс
движется так, как если бы в нем была сосредоточена вся масса системы
и на него действовали бы все. силы. При этом движение системы может
быть подчинено произвольным связям; они должцы только допускать сме-
щения в трех взаимно перпендикулярных направлениях без изменения от-
носительного расположения точек.
Пусть действующие силы таковы, что при смещении, параллельном оси
х, их работа равна нулю; тогда по уравнению (4) SX = 0; это уравнение,
а также оба аналогичных — для осей у и z — выполняются, если силы име-
ют потенциал, зависящий только от относительного положения точек.
В действительности потенциал не изменяется, если все соответственные
координаты точек изменяются на одну и ту же величину. В качестве при-
мера можно привести нашу планетную систему, если пренебречь влиянием
неподвижных звезд. Тогда уравнения (7) дают
^ = 0 = 0 = о-
dt"- ’ dfl ’ dt*
т. е. центр тяжести движется прямолинейно с постоянной скоростью. Эту
теорему называют теоремой сохранения движения центра тяжести.
34
Пусть на точки системы не действуют никакие силы, кроме силы тя-
готения, тогда уравнения (7) (если принять ось z направленной вертикально
вниз) имеют вид
^ = О)^1 = о,^ = я-
dt2 di2 dt2
(8)
это значит, что центр тяжести движется по параболе, как отдельная тя-
желая материальная точка. Примером является жесткое тяжелое тело,
которое можно рассматривать как систему жестко соединенных друг с
другом материальных точек; что их бесконечно много — в данном случае
несущественно.
§ 4
Приведенные примеры показывают, что иногда в особо простых слу-
чаях можно указать движение центра тяжести системы материальных то-
чек. Рекомендуется относить движение точек не к неподвижной в простран-
стве системе координат, а к системе, начало координат которой совпадает с
движущимся центром тяжести, а оси имеют постоянные направления. Но при
такой координатной системе нельзя непосредственно использовать уравне-
ния, которые мы установили для неподвижных систем.
Введем наряду с неподвижной в пространстве системой координат х,
у, z вторую, подвижную — к', у',z', в которой для каждой точки имеют
место соотношения
X =£ + %', У = П+/, z = £4-2',
где |, £ — данные функции времени. В новых координатах уравнение (2)
третьей лекции, выражающее принцип Даламбера, имеет следующий вид:
n vV d2x' , d2g -Д. , ,
О = | tn -- --- 4~ т — — X । бх -|-
Zd ( dt2 dt2 .!
+ (tn+ tndi-ri — Y \ dy' +
V dt2 dt2 )
+ tn
d2z’
-------h tn
di2
dt2
dz',
и это уравнение должно выполняться для всех возможных вариаций
dx', dy', dz'\ т. е. принцип Даламбера можно применять в одной и той
же форме как в движущейся, так и в покоящейся системах координат,
если только к каждой силе (X, У, Z) добавлять силу, компоненты которой
d2t d2ri
— tn——т—L,
dt2 dt2
d2t
— m-
dt2
Если точка (g, т), £) является центром тяжести системы масс, для ко-
торых выполняется теорема сохранения движения центра тяжести (напри-
мер, центр тяжести нашей системы планет), то эти дополнительные силы
равны нулю; массы движутся вокруг центра тяжести так, как будто он
неподвижен.
Если (В, Л, 0 — центр тяжести системы материальных точек, на кото-
рые действует только сила тяжести и которые связаны друг с другом так,
что в направлениях осей координат возможны перемещения без изменения
их относительного расположения, то будут иметь место уравнения (8)
(если по-прежнему ось z направлена вертикально вниз); и одновременно
X = О, У = О, Z = mg.
3
35
Отсюда следует, что точки движутся вокруг центра тяжести так, как
если бы они не подвергались действию сил и их центр тяжести находился
бы в покое.
§ 5
Наконец, предположим, что связи точек системы таковы, что они до-
пускают вращение вокруг оси z без изменения относительного положения
точек. Положим
x = pcos6’, у — р sin 'б’,
тогда бесконечно малому вращению вокруг оси z соответствует увеличе-
ние всех углов 6, относящихся к отдельным точкам системы, на такую
же бесконечно малую величину, которую мы обозначим г'; отсюда имеем
для такого вращения
дх = — р sin б г' = — у г',
ду =’р cos б1 г' = хг',
dz = 0;
при сделанном предположении эти величины можно подставить как вирту-
альные смещения в уравнение (2) третьей лекции. По сокращении множите-
ля г' получаем
о)
Мы отмечаем, что работа действующей силы для упомянутого вращения
равна
г'3(хУ —уХ); (10)
множитель при г' в этом выражении, или правую часть уравнения (9), на-
зывают моментом вращения действующей силы относительно оси z.
Как мы уже видели при рассмотрении первого закона Кеплера в первой
лекции,
d2y d2x __ d / dy dy \ __ d (
dt2 dt2 dt\ dt dt) dt V dt )
и p2 dti — удвоенная площадь, которую радиус-вектор р описывает при
возрастании б- за элемент времени dt. Поэтому уравнение (9) можно запи-
сать следующим образом:
(11)
Это уравнение выражает так называемую теорему площадей для
плоскости ху.
Если момент вращения силы относительно оси z равен нулю, то урав-
нение (11) интегрируемо и дает
ут <16
/ I /пр2 = const.
Выраженную этим уравнением теорему называют теоремой сохранения
площадей для плоскости хОу.
Рассуждения, которые мы провели для оси z, будут справедливыми
для осей х и у, если соответствующим образом заменить х, у, z.
Если силы имеют потенциал, который зависит только от относительно-
го расположения точек, то он не изменяется при вращении системы во-
круг какой-либо оси координат; поэтому момент вращения сил относитель-
но каждой оси координат равен нулю; если связи точек допускают вра-
щение вокруг каждой оси координат, то теорема сохранения площадей
имеет место для каждой координатной плоскости. Примером этого является
наша планетная система.
ЛЕКЦИЯ ПЯТАЯ
(Определение положения твердого тела. Бесконечно малое смещение твердого
тела. Винтовое движение. Зависимость момента вращения системы сил от осей
координат. Главный момент вращения)
§ 1
В предыдущей лекции, чтобы сделать выводы из принципа Даламбера,
мы рассматривали специальные бесконечно малые смещения, которые мо-
гут происходить с системой материальных точек, жестко связанных между
собой, а именно, смещение в определенном направлении и вращение вокруг
определенной оси. Теперь мы рассмотрим произвольные бесконечно малые
смещения, возможные для таких систем.
Введем две прямоугольные системы координат, одна из которых свя-
зана с упомянутой системой или телом (можно называть его как угодно),
другая задана в пространстве. Пусть x,y,z,— координаты точки тела в
первой системе, g, т], £ — координаты той же самой точки — во второй;
тогда
g = а + ар; + а2у + a3z,
я = 3 + Pi* + З2У + Рз2> 0)
£ = Т + Т1* + КУ + Тз2,
где двенадцать величин a, Р, тзависят от относительного расположения
систем координат, т. е. от положения движущегося тела. Величины а, р, у
без индексов — это значения |, л, £ Для х —0, у = 0, z = 0, а девять
остальных являются косинусами углов, которые оси х, у, z образуют с
осями £, т], £. Из этого геометрического смысла названных величин сле-
дует, что, наоборот,
x = «i(g — a)+Pi(n — P)+TiU — Г),
// = a2(| — «)+Р2(П — P) + r2(S — Y), (2)
Z = a3(B —a)+ p3(n —P) + r3(^ —T).
На основании уравнений (1) и (2) уравнение
(^-a2) + (n-P)2 + (S-r)2 = *2 + № + 22
превращается в тождество. Отсюда следует:
«1 + Pi + Ti = 1, a2a3 4- р2р3 Y2T3 = 0,
а1 4" Ра + Та = 1, аза1 4- Р3Р1 + ТзТх = 0, (3)
аз + Рз + Тз = 1 > аха2 4- PiP2 + Y1Y2 = 0
37
и
а1 4~ а2 4" аз = 1 . 31Т1 + З2Т2 4” ЗзТз = О,
31 4~ Р2 + Зз = 1 , Т1«1 + Т2«2 + Тза3 -= О, (4)
Y1 4" Тз 4” Тз — 1, ai3i Ч* агЗа 4" азЗз = О>
т. е. получим шесть независимых друг от друга соотношений между де-
вятью косинусами углов в двух различных формах. Из них вытекают и
другие соотношения, которые понадобятся нам в дальнейшем. Если раз-
решить уравнения (1) относительно х, у, z, то получатся выражения, со-
впадающие с уравнениями (2). Отсюда, если положить
Д -- (З2Т3 З3Т2) Ч~ 31 (Тг®з ' Тз^г) Ч~ Ti (®гЗз — ^зЗз)- (5)
следует
„ _ ЗзТз — ЗзТз
О ___ Т2а3-- Тза2
” Д
„ ___ ДаЗз — азЗг
Возведем в квадрат эти уравнения и сложим их; принимая во внима-
ние уравнения (3), получим
Д2 = 1,
отсюда
(а2 + За + Та) (аз Ч- Зз + Тз) (®ааз + ЗгЗз Ч" ТгТз)2 — 1,
что равносильно
(ЗгТз — ЗзТа)2 Ч- (Тз«з — Тзаг)2 4~ (а23з — «зЗа)2 = 1 •
Д может иметь значения 4- 1 или — 1, но при движении тела не может
изменяться скачками от одного значения к другому. Представим себе, что
тело находится в положении, при котором совпадают направления осей х
и осей у и т), тогда ах = 1, В2 = 1, Тз = 4- 1 или — b в то время как
другие шесть косинусов обращаются в нуль, как это следует из уравне-
ний (3) и (4); это означает, что ось z имеет то же самое направление, что
и ось g, или противоположное. В первом случае, как показывает уравне-
ние (5), Д = + 1, во втором Д = — 1. Системы координат х, у, z и g, т),
ь должны быть выбраны так, что первый случай имеет место, если они,
как говорят, конгруентны. Тогда
а1 — ЗгТз ЗзТг>
31 — Тгаз Тзаз»
Ti = агЗз азЗг-
(6)
Уравнения (1) остаются неизменными, если в них одновременно произ-
вести циклическую перестановку индексов 1, 2, 3 и букв х, у, z; при такой
замене Д также не изменяется; аналогичной заменой в уравнениях (6) по-
лучим
38
«2 = РзГ1 — Р1Тз,
«3 = Р1Т2 — РгТь
₽2 = Тз«! — Т1аз> Зз = ГЛ — Г2«1, (7)
Гг = «з31 — а13з> Тз = «13г — а2₽1.
Между девятью косинусами а, р, у существует шесть независимых друг
от друга соотношений; поэтому косинусы должны выражаться через три
независимых величины. Выразим их следующим образом.
Между а3, 03, у3 существует одно уравнение
аз + За + Тз = 1 '•
эти величины мы можем выразить через две независимые величины ft и ф,
положив
а3 = cos <р • sin ft,
Зз = sin <р • sin ft,
Y3 = cos ft,
но тогда будет выполняться приведенное уравнение. Через ft и ф величи-
ны а3, Р3, уз определяются однозначно; обратное, однако, не имеет места.
Кроме того, что ft и ф могут быть увеличены на произвольный угол,
кратный 2л, знак ft может быть выбран произвольно, если заданы а3, р3,
у3. Знак ft можно изменить на противоположный, нужно только увеличить
при этом ф на л. В каждом отдельном положении тела значения ft и ф
должны выбираться произвольно, насколько допускают приведенные выше
соображения. Для каждого нового положения, которое непрерывно следу-
ет из данного, эта неопределенность в выборе значения ft и ф увеличива-
ется вследствие предположения, что они непрерывно изменяются с изме-
нением положения тела, ft и ф имеют простой геометрический смысл;
ft — угол, который образуют друг с другом оси z и ij; ф — угол, который
описывает плоскость, проходящая через ось £, если из положения, при
котором плоскость параллельна оси £, она переходит в положение, парал-
лельное оси z; поворот при этом осуществляется в том направлении, в ка-
ком плоскость должна быть повернута на прямой угол, чтобы стать па-
раллельной оси т]. Величины ft и ф — полярные координаты точки на сфе-
рической поверхности, соотнесенной оси z; полюсы поверхности соответ-
ствуют направлению оси g. Угол ф отсчитывается по большому кругу,
образуемому плоскостью g, g.
Между косинусами у2> Тз существует соотношение
2 I 2 < 2 1 .
Т1 + Тг+ Тз = 1>
мы выполним это условие, если положим
y1 = cosfsinft, у2 = sin f-sin ft, y3 = cosft.
Если даны Yj, y2, Тз. то тем самым определяется f с точностью до
слагаемого, кратного 2л, так как ft уже определено; ft — угол, который
описывает плоскость, проходящая через ось z, если из положения, при
котором она параллельна оси х, плоскость переходит в положение, при
котором она параллельна оси £. При этом поворот происходит в направле-
нии, в каком плоскость должна быть повернута на прямой угол, чтобы
стать параллельной оси у. Величины ft и f — полярные координаты той
точки на сферической поверхности, которая задается направлением оси £,
полюс поверхности определяется направлением оси z, а большой круг, цо
которому отсчитывается угол f, параллелен плоскости zx.
39
Зная пять величин: а3, Р3, у3, у2, можно теперь с помощью уравне-
ний (6) и (7) однозначно вычислить четыре другие величины аь а2, ₽<>;
взяв те из этих уравнений, которые выражают ocj и р2, получим
«1 (1 — lb = — «зТ1Гз — ЗзГг.
Зг (1 — Тз) = — «зТ1 — ЗзТзТз,
а взяв уравнения, которые выражают а2 и рь найдем
«2 (1 — т!) = — «зТзТз + ЗзТь
31(1—тЬ= а3у2 — ЗзТ1Тз-
Подставляем сюда значения а3, р3, у3, уъ у2, тогда множитель 1 — у|
сокращается, т. е. уничтожается sin2l>; отсюда имеем
aj = — cos <р • cos f • cos ft — sin ср • sin f,
3i = — sin cp • cos f cos ft 4- cos ф • sin f,
Yx = cos f- sin fl1,
a2 = — cos ф • sin f cos ft4- sin ф • cos f, (8)
32 = — sin ф • sin f cos ft — cos ф • cos f,
y2 = sin f- sin fl’,
a3 = cos ф • sin ft,
p3 = sin ф-sin ft,
y3 = cos ft.
§ 2
Рассмотрим теперь бесконечно малое смещение, которое получает тело,
а вместе с ним и система координат х, у, г. Изменение, которое испыты-
вают некоторые рассматриваемые величины, обозначим через б. Тогда из
уравнения (1) следует
б£ = ба 4~ хд«! 4- уба2 + z6a3,
бп = бр + x6pi + убр2 + ?бр3, (9)
б'С = бу 4- хбф14- убу2 4- 2бу3.
Три величины ба, бр, бу могут быть выбраны произвольно, но это не от-
носится к девяти величинам ба1( бр1(...; они могут быть выражены через
три независимые величины, например через 6ft, бф, б/, с помощью урав-
нений (8). Выберем вместо 6ft, бф, 6f, чтобы сохранить симметрию формул,
три другие бесконечно малые величины, которые обозначим через л', X',
р', и определим их следующими уравнениями:
л' = 316Т14- З26Т2 + ЗзбТз.
X' = r^aj 4- ф2ба2 4- т3ба3, (10)
р — адбРх 4- а2б32 4- а3бр3.
40
Объединив эти уравнения с теми, которые получаются из уравнений (4),
именно с уравнениями
О = ajfiaj + a26a2 + a36a3,
О = Pi5Pi + р26р2 + p3ep3,
о = Y16Y1 + Т2бу2 + ТзбТз,
— л' = Т1брх у2бр2 у3брз,
— X' = счбгх + а2бу2 + а3бу3,
— ?' = Pi6<Xi + р2ба2 + р36а3,
можно выразить девять величин 6а!, б₽ь... через л', X', р'. Найдем,
принимая во внимание уравнения (3):
баг = Y1X' — Pip', 6₽i = a1p'—Т1Л', 6rx = pxn'— ахХ',
ба2 = у2Х'— р2р', бр2 = а2р' — у2л', 6у2 = р2л'— а2Х', (11)
ба3 = у3Х' — Рзр', 603 = а3р' — у3л', 6у3 = рзл'— а3Х'.
Уравнения (9) вследствие (11) имеют вид
6g = ба(g — у) X'— (п — Р) р',
бП = 60 +(В — а)р' — (g — г) л', (12)
6g = бу + (п — Р) л' — (g — а) X'
или
6g = ба — уХ' + Рр' + gX' — пр',
бп = бр — ар' + ул' — gp' — gn', (13)
6g’= бу — Р«' + аХ' + пл' — gX'.
Введем следующее определение. Назовем бесконечно малое смещение
какой-либо системы материальных точек составленным из нескольких бес-
конечно малых смещений системы, если изменение координат каждой точ-
ки равно сумме изменений координат соответственных слагающих смеще-
ний. Это определение относится к ортогональной системе координат, ко-
торую нужно ввести; но формулы преобразования ортогональной системы
координат, которые мы уже неоднократно употребляли, показывают, что
смещение, которое можно считать составленным из нескольких других,
является таким же относительно любой другой системы координат. Они
показывают также, что два смещения точки складываются как две силы,
действующие на точку, а именно, согласно теореме о параллелограмме.
Смещение нашего тела, представленное уравнениями (12), может по-
этому считаться составленным из шести смещений, а именно, из таких,
которые имеют место, если шесть величин ба, бр, бу, л', X', р' отличны
от нуля.
Пусть только бу отлично от нуля, т. е. 6g = 0, бп = 0, 6g = бу, это
означает, что тело претерпевает сдвиг на бу в направлении оси g, при ко-
тором все линии в нем остаются параллельными себе. Пусть только 6a
или только бр отлично от нуля, тогда тело претерпевает такой же сдвиг
в направлении оси g на 6a или в направлении оси п на бр. Пусть л' = 0.
41
К' — 0, р' = 0, тогда тело испытывает аналогичный сдвиг в направлении
и на длину линии, проекции которой на оси g, л, £ равны ба, б₽, бу.
Пусть только р' отлично от нуля, тогда уравнения (12) будут
б£ = -(Л-Р)р', 6n=(g-a)p', б£ = 0.
При движении, определенном таким образом, точки линии g = а, л — Р
остаются на своих местах; такое движение называют вращением вокруг
данной линии, как вокруг оси. Точка вне оси проходит при таком движе-
нии расстояние
/б£2 + 6л2 = р"К(^-«)2 + (П-Р)2,
вернее — расстояние равно абсолютному значению этого выражения. Оно
равно абсолютному значению р', если (g— а)2 + (л— Р)2 = 1; следователь-
но, абсолютное значение р' есть угол вращения. Если р' положительно,
то для точек тела, для которых g— а положительно, бт] тоже положи-
тельно. Таким образом тело вращается в том направлении, в каком дол-
жна вращаться некоторая его прямая линия, чтобы, описав прямой угол,
перейти из положения, при котором она параллельна оси g, в положение,
при котором прямая параллельна оси л- Если р' отрицательно, то враще-
ние происходит в противоположном направлении.
Пусть л' или X' отлично от нуля, тогда тело вращается вокруг пря-
мой л = р, Z = у или вокруг прямой g = у, £ = а на расстоянии, равном
абсолютному значению л' или X'; направление вращения определяют по
только что сформулированному правилу, если при этом изменить по циклу
буквы g, Л» £ и л', X', р'.
Посмотрим теперь, как складываются три таких вращения, если они
одновременно имеют место. Уравнения (12) дают тогда
6g = (g-r)%'-(n-P)p',
бт] = (g —а)р'—(g —т)л',
^ = (Л-3)л' —(В-а)Х'.
Проследим за точкой тела, для которой
(^-а):(П-Р):(^-г)=л':Х':р', (14)
а поэтому для нее
6g = 0, бт] = 0, 6^ = 0;
это означает, что рассматриваемое движение—вращение, ось которого за-
дана уравнениями (14). Квадрат расстояния, которое пробегает какая-либо
точка, т. е. 6g2 + бл2 + 6g2, легко может быть приведен к форме
(л'2 + X'2 + р'2) ((g - а)2 + (л - ₽)2 + (g — Y)2) -
— (л' U — а) + X' (л — Р) + р' (£ — Г))2-
Выберем теперь точку (g, л. g) так, чтобы
(|-а)2 + (л-р)2 + (£-т)2 = 1
и
л'(£-«) + Х'(П-Р) + р'(£-Г) = 0,
т. е. так, что линия, которая соединяет ее с точкой £ = а, л — ₽» g = Т>
имеет длину, равную единице, и перпендикулярна к оси вращения (прохо-
42
дящей через точку); тогда пробегаемое расстояние ]/"л'2 + X'2 -ф р'2 опре-
деляет угол поворота.
Определим теперь направление вращения. Для этой цели установим
для оси вращения некоторое направление, одно из двух противоположных,
которые мы можем выбрать согласно уравнениям (14); а именно, положим
косинусы углов, образованных осью вращения с осями координат, равными
______п'_____• _____________________________81______ (15)
/я-2_|_х'2_|_ р'2 ’ уя'2_|_х'2 + р-2 ’ ул'2 Х'2 р-2 ’
где квадратные корни берутся с положительным знаком. Мы будем счи-
тать вращение вокруг определенной оси положительным или отрицатель-
ным, смотря по тому, в каком из двух противоположных направлений оно
происходит; установим также, что знак вращения не переходит в проти-
воположный, если ось вращения меняется вследствие непрерывного изме-
нения л', X', р' (л', X', р' не обращаются в нуль одновременно). Мы мо-
жем и впредь считать положительным вращение, определенное некоторы-
ми значениями л', X', р', вокруг определенной оси, заданной выражениями
(15). Пусть л' = О, X' = 0, тогда имеем положительное вращение вокруг
оси, направленной так же как ось g, или противоположно ей, смотря по
тому, положительно или отрицательно —Д_-. Поэтому положительное вра-
Ур'2
щение вокруг оси g получим в том направлении, в котором некоторая
прямая линия должна повернуться на прямой угол, чтобы из положения,
когда она параллельна оси g, прямая перешла в положение, при котором
она параллельна оси т]. Чтобы пояснить представление о положительном
вращении вокруг некоторой оси, заметим еще следующее.
Выберем систему координат следующим образом. Пусть фигура чело-
века расположена так, что линия, проведенная от ног к голове, парал-
лельна оси g, и человек смотрит в направлении оси т], тогда ось g будет
направлена вдоль правой вытянутой руки. Положительное вращение фигу-
ры переместит ее правую сторону вперед. Положительное вращение вокруг
некоторой оси также переместит правую сторону фигуры вперед в случае,
если фигура человека расположена так, что ось вращения идет от ног к
голове.
После проведенного рассуждения мы будем рассматривать л', X', р'
как координаты точки в системе координат g, т], g, тогда направление ли-
нии, проведенной от начала координат к этой точке, дает нам такое на-
правление оси вращения, которое имеет место при положительном враще-
нии вокруг нее.
Легко заключить поэтому, что значения л', X', р', соответствующие
определенному вращению, изменяются с системой координат; они изменя-
ются как компоненты скорости или силы — их называют также компонен-
тами вращения по координатным осям.
Необходимо заметить, что каждое бесконечно малое смещение тела
(представленное уравнениями (12)) можно рассматривать как составленное
из вращения вокруг известной оси, проходящей через произвольно вы-
бранную точку g = а, Л = ₽, g = у, и из сдвига, когда все линии тела
остаются параллельными себе.
Рассуждения, совершенно аналогичные проведенным при рассмотрении
уравнений (12), можно провести с уравнениями (13). Положим
ба — тХ'_+ Рр' = X',
6Р — ар' + -ул' = ц',
(16)
бу — рл' 4- аХ' = v';
43
это дает
6g'=?<+:gX'-np',
бп =К+Др'ь->', (17)
6g = у' + п31',—;gx'.
Отсюда можно заключить, что упомянутое смещение тела может рассмат-
риваться как составленное из вращения вокруг оси, проходящей через
начало координат g, t], g (компоненты этого вращения л', X', р'), и из
сдвига, компоненты которого А', ц', v'. Компоненты вращения те же,
как если бы была взята ось вращения, проходящая через точку g = а,
т] = р, g = г, но компоненты сдвига отличны от тех, которые даны урав-
нениями (12).
Уравнения (17) действительны для любой системы координат; выбе-
рем ее подходящим образом в зависимости от рассматриваемого смеще-
ния. В этом случае возможно значительное упрсщение. Полагаем ось g
параллельной оси вращения, которое оказывается некоторой частью сме-
щения при этой системе координат; в таком случае имеем л' = О, X' •= О
и уравнения (17) примут вид
6g = А' — т]р',
бп = ц' gp',
б? = v'.
Отсюда следует, что имеется такая прямая линия, а именно линия, па-
раллельная оси g, для точек которой 6g = 0 и бп = 0. Уравнения этой
линии
А.' —Пр' = О, p' + gp' = O.
Совместим с ней ось g; тогда А' = 0и ц' =к0,"^следовательно,
6g = — пр',
бп = gp',
6g = v'.
Представлю иное этими уравнениями движение называют винтовым движе-
нием, а ось g — его осью; оно составлено из вращения вокруг оси и сдви-
га в ее направлении. Таким образом, самое общее бесконечно малое дви-
жение системы точек, жестко соединенных между собой, является винто-
вым движением.
§ 3
Смещения всех точек рассматриваемой системы или тела мы выразим
уравнениями (17) посредством шести взаимно независимых бесконечно ма-
лых величин А', р', v', л', X', р', которые относятся к системе коорди-
нат g, n, g- Смещение тела состоит здесь из вращения вокруг оси, про-
ходящей через точку g = 0, т] = 0, g = 0 и сдвига; А', р', v' являются
компонентами сдвига; л', X', р'— компонентами вращения по осям g, n, g-
Подобным образом смещения всех точек можно выразить шестью другими
независимыми друг от друга величинами, определяющими положение си-
стемы координат х, у, z перед смещением тела. Назовем эти шесть вели-
44
чин и', v', w', р', q', г' и определим их следующими уравнениями:
и' = aj6a + 0x60 + Ti6Y,
v' = a26a'4-"0260 + Т26Г, (18)
w' = a36a’+ [MP + Гзбу»
И
p' = a36a2 + 03602 + Гзбуз,
q' = a16a3'4- 0хб03'4- ГхбГз, (19)
г' — a26aj 4* 0з60х + Y26Y1-
Если соединить три последних уравнения с теми, которые получаются ва-
риацией уравнений (3), т. е. с уравнениями
О = Лх6«х 4~ Р1601 4- Т1бТь
О — a26a2 4“ 0гб02 4- Y26Y2,
О = a36a3 4- 0зб0з 4- ТзбГз,
— р'= a26a3 4- 02603 4- ТгбГз,
— q' = a36«i 4- 0з601 4- ТзбГх,
— г' = «хба2 4- 0x602 4- Т16Г2,
то найдем, принимая во внимание уравнения (4),
6ax = a2r'— a3g', ба2 = а3р' — ар', Ь<х3 = ар]' — а2р',
б0х = 02f/ — 0з9'> ^02 = 0зР 0irZ, б0з = 019 0гР , (20)
бТх = ТгГ' — Тз9' , [бТз = ТзР' — Yi'"', бГз = Y19' ~ ГгР'-
Составим компоненты смещения точки (х, у, z) или, что то же самое, точ-
ки (5, Л. ?) по осям х, у, z, т. е. подсчитаем значения выражений
«16^4-016^4-716?,
аг654- 02бл 4- Т26?,
а36? 4- 036л 4- Гзб?;
находим тогда из уравнений (9), с помощью (18) и (20)
и' 4- zq' —• yr',
v‘ 4- xr'— zp', (21)
W 4- УР' — xq'.
Эти выражения имеют ту же форму, что и уравнения (17) для 6g, бл» б?;
из них следует, что смещение, о котором идет речь, может рассматривать-
ся как составленное из вращения вокруг оси, проходящей через точку
х = 0, у = 0, z = 0, и сдвига, компоненты которых по осям х, у, z равны
соответственно р', q', г' и и', v', w'.
Поскольку р', q', г' и л', Х',р' являются компонентами одного и того
же вращения по осям х, у, z и по осям g, л, ?, то согласно сделанному
45
нами на стр. 43 замечанию, должно быть
р' = о^л' Ц- РД' + Yip',
q' — а2л' 4- (22)
г — а3л 4* РзХ' 4- ТзР'•
Эти уравнения легко получаются из (19) и (11), если принять во вни-
мание (6) и (7).
Более сложны уравнения, которые выражают и', v’, w' через X', ц',
v', л', X', р'; они получаются из (18) и (16):
и' = аА' 4- ' + Yiv' 4- (Г1Р — 31Т)я' 4- (а^ — Г1«)Х' 4- (Рх.а — а^) р',
V' = а2Х' 4- р2ц' 4- y2v' 4-.(Г2₽—'ЗгГ)л' 4-(агГ —Г2«)Х' 4" (₽2<xJ— <xa₽) Р',
w' = a3V 4- ₽зН'4-Гз^' 4-(ТзЗ — ЗзТ)^' 4- (а3т — т3а)Х' 4-(Зз» —»зЗ)р'-(23)
§ 4
Дополним эти объяснения еще следующими замечаниями.
По определениям работы и составного бесконечно малого смещения ра-
бота сил, действующих на систему материальных точек при каком-то бес-
конечно малом смещении системы, которое может рассматриваться как со-
стоящее из нескольких, равна сумме работ тех же сил на слагающих
смещениях. Пусть смещение таково, что относительное расположение то-
чек остается при нем неизменным; тогда работа при таком смещении мо-
жет быть представлена как
Хи' 4- 4" Zes/ 4- Мхр' 4” М yq' 4~ Mzr' (24)
или также
SX' 4- Нр' 4- Qv' 4- М^л’ 4- AfT1X'4- Л1;р', (25)
причем X, У, Z, S, Н, Q означают суммы компонент сил по осям х, у, г
и Л, Мх, Му, Мг, Мь М-ц, М% — моменты вращения сил относитель-
но осей х, у, z и g, Л, (4 это следует из замечаний, которые были сдела-
ны в прошлой лекции о сумме компонент и моментах вращения системы
сил. Оба выражения, установленные для работы, должны быть равны друг
другу, поскольку выполняются уравнения (22) и (23). Подставляя в них
значения и’, v', w', /?', q’, г' и приравнивая коэффициенты при К', ц', v',
л', X', р', получим
Е = (ХуХ 4- <x2V 4- <x3Z,
Н = ЗхХ 4- 4- Рз2,
Q = 4- у2У + y3Z,
Mi = (Т1р - РхТ) X 4- (Г2₽ - ₽2Г) у 4- (Г2₽ - РзТ)2 4-
4- &1МХ 4- a2/Wv 4~ ®344г,
Мп = (air — Г1«) 2С 4* (®гТ — Т2а) У 4* («зТ — у3а) Z 4-
+ РхМе 4“ &Му 4" Рз-^г,
— (Pi# — осхР) X 4- (р2ос — «г?) У 4- (Рза — азЗ) 4-
4- Т1МХ 4- ТгМу 4- узм2.
46
Эти уравнения показывают, как изменяются суммы компонент и мо-
менты вращения системы сил при переходе от одной ортогональной систе-
мы координат к другой. Три последних из этих уравнений существенно
упрощаются, если обе системы имеют общее начало координат; это озна-
чает, что а = 0, р = 0, у = 0; уравнения тогда примут вид
= OC^/VIx 4~ <Х%Му 4“
= Pi 'Wx + РзМу 4- p3Mz,
= TiMx + ъМу + ГзМг,
или также
= ajMj Ц- РхМц 4- YiMj,
Му — oCjMj 4- Рг/Иц 4" Тг/Wj,
Мг — a3Mj 4- Рз/Иц + Y3Mg,
и они показывают, что если Мх, Ми, Мг рассматриваются как ортогональ-
ные координаты точки в системе х, у, z, то положение этой точки не за-
висит от направления осей координат. Момент вращения относительно той
оси, которая проходит через эту точку и начало координат, называется
главным моментом вращения.
Если вместо системы сил имеется одна сила, компоненты которой
X, Y, Z и точка приложения которой имеет координаты х, у, z, то по
определению момента вращения, данному формулой (10) прошлой лекции,
Мх — yZ — zY, My = zX — xZ, Mz = xY — yX.
В таком случае ось главного момента вращения перпендикулярна к направ-
лению силы и линии, которая соединяет начало координат и точку (х, у, z)\
тогда
ХМх 4- YMy 4- ZMz = 0
и
х/Их 4~ уМу 4" zMz = 0.
Главный момент вращения равен
Мх 4- Му 4~ Мг,
или
У (х2 4- У2 4- z2) (X2 4- 4- Z2) — (хХ 4-^4- zZ)2 ;
это означает, что он равен абсолютному значению произведения расстоя-
ния точки (х, у, z) от начала координат на величину силы и на синус угла,
который направление силы образует с линией, соединяющей начало коор-
динат с точкой (х, у, z).
ЛЕКЦИЯ ШЕСТАЯ
(Живая сила движущегося твердого тела. Моменты инерции. Главные оси. Диф-
ференциальные уравнения движения твердого тела для случая, когда оно сво-
бодно, и для случая, когда одна его точка закреплена)
§ 1
Если система жестко соединенных материальных точек движется, то
смещение, которое она претерпевает за элемент времени dt, нам известно
из прошлой лекции. Поэтому мы можем во всех выведенных в пятой лекции
формулах вместо 6 поставить d, т. е. показать, что смещение происходит
за элемент времени dt. Тогда все бесконечно малые величины, обозначен-
ные буквами со штрихами, должны быть пропорциональными dt; каждую
из них мы представим в виде произведения dt на соответствующую вели-
чину, обозначенную буквой без штриха. Буква со штрихом обозначает ком-
поненты сдвига или вращения, без штриха — соответствующие компоненты
скорости или скорости вращения в момент времени t.
Согласно выражениям (21) пятой лекции,
и Ц- zq — yr,
v 4- xr — zp, (1)
w-^yp — xq
являются компонентами скорости точки по осям х, у, z в момент времени t
движение можно считать состоящим из вращения вокруг оси, проходящей
через точку х = 0, у = 0, z = 0, и сдвига; р, q, г — компоненты скорости
вращения; и, v, w — компоненты скорости сдвига.
Из выражений (1) возведением в квадрат и сложением находим квад-
рат скорости точки (х, у, z); обозначим ее массу через т, а живую силу
системы через Т; тогда
2Т = Zm {(« + zq — yz)2 + (у + xr — zp)2 -j- (w + yp — xq)2},
где сумма берется по всем материальным точкам системы. Это уравнение
в развернутом виде выглядит следующим образом:
2Т = (и2 4- v2 + ®2) 2/тг 4- 2 (иг — wq) 2 mx 4-
4- 2 (wp — иг) 2 my 4- 2(uq — vp) 2 mz 4~
I - p2 2 m (y2 4 z2) q2l-tn (z2 4- xi) + r2 S m (x2 4~ y2) — (2)
— 2qr 2 myz — 2rp 2 mzx — 2pq 2 tnxy,
оно показывает, что T—однородная функция второй степени шести аргу-
ментов и, и, w, р, q, г, коэффициенты которой зависят от масс точек, их
48
относительного расположения и положения осей х, у, z. Общая однород-
ная функция второй степени шести переменных содержит 21 независимый
друг от друга коэффициент; Т содержит их только 10, и это число под-
ходящим выбором системы осей можно свести до четырех.
Для доказательства этого утверждения рассмотрим прежде всего дви-
жение, при котором и — 0, v = 0, w = 0, и, следовательно, тело (опять
назовем так нашу систему) вращается вокруг точки х — 0, у = 0, г = 0.
Тогда
2Т = р2 2 m (у2 -ф z2) -ф q2 2 пг (z2 -ф х2) + г2 2 m (х2 -ф у2) —
— 2qr 2 myz — 2rp 2 mzx — 2pq 2 mxy,
и тело вращается вокруг оси, совпадающей с линией, которая может быть
проведена от точки х = 0, у = 0, z = 0 к точке х = р, у = q, z = г, со
скоростью вращения, равной длине этой линии. Положим Т = у, тогда
точка (/?, q, г) лежит на поверхности
1 = р2 2 m (у2 -ф z2) -ф q2 2 m. (z2 -ф х2) -ф г2 2 m (х2 -ф у2) —
— 2qrlLmyz— 2rp^mzx — 2pqZmxy, (3)
т. е. на поверхности второго порядка, центр которой совпадает с началом
координат х, у, z. Каждый проведенный из этой точки радиус-вектор по-
верхности равен скорости вращения, которую должно иметь тело, если
оно вращается вокруг радиуса-вектора и обладает живой силой, равной у.
Из этой характеристики поверхности следует, что она не зависит от на-
правления осей х, у, г; если совместить их с главными осями поверхно-
сти, то члены с множителями pr, rq, pq должны исчезнуть; следовательно,
2 myz = 0, 2 mzx = 0, 2 mxy — 0
1 = р2 2 m {у2 + z2) -ф q2 2 m (z2 -ф x2) -ф r2 2 m (x2 -ф y2)
уравнение поверхности. Из того, что коэффициенты при р2, q2, г2 в этом
уравнении являются положительными, можно заключить, что поверхность —
эллипсоид. Главные оси эллипсоида называют также главными осями тела
для начала координат х, у, z.
При произвольных направлениях осей координат выражение 2 m (х2 -ф у2)
называют моментом инерции тела относительно оси г; он равен квадрату
радиуса-вектора эллипсоида (3), который совпадает с осью г. Положив
р = 0 и <7 = 0, получим г равным длине этого радиуса-вектора, а из урав-
нения (3) имеем
2ffl(x4y2) = i
Моменты инерции относительно главных осей эллипсоида (3) называют
главными моментами инерции тела для начала координат х, у, z; они
равны обратным квадратам его полуосей.
Момент инерции тела относительно оси данного направления изменяется,
если эта ось переместится параллельно самой себе. Каково будет это из-
менение, легко увидеть, если наряду с системой координат х, у, z ввести
другую — хь г/ь zt. Пусть х, у, z и х1( уъ Zx — координаты одной и той
же точки; тогда
Хх = а -ф х, Ух = ь -ф у, Zx ~ сz,
4 Г. Кирхгоф
49
где a, b, с — постоянные; поэтому
2 т (xf + у‘{) = 2 т (х2 + у2) + (а2 + b2) 2 т + 2ct 2 tnx + 2bZ ту.
Встречающиеся здесь суммы 2 тх и "Lmy являются координатами х и
у центра тяжести тела, умноженными на массу тела; поэтому если поме-
стить начало координат х, у, z в центр тяжести, то эти суммы исчезнут,
и мы будем иметь
2 т (xi + i/i) = 2 т (%2 + у2) + (а2 + Ь2) 2 т.
Так как ось z может иметь произвольное направление, то это уравне-
ние выражает следующую теорему; момент инерции тела относительно про-
извольной оси равен моменту инерции его относительно оси, которая па-
раллельна данной и проходит через центр тяжести тела, плюс произведе-
ние массы тела на квадрат расстояния центра тяжести от данной оси.
После сделанного разъяснения легко определить положение, которое
должна иметь система координат, чтобы выражение для живой силы Т,
данное уравнением (2), было приведено к наиболее простой форме. Для
этой цели за начало координат х, у, z выбирается центр тяжести тела и
в качестве осей х, у, z — главные оси для центра тяжести. Тогда уравне-
ние (2) примет вид
2Т — (и2 -ф и2 -ф щ2) 2 m + р2 2 m (у2 -ф г2) +
+ q2 2 m (z2 + х2) + г2 2 m (х2 + У2)-
§ 2
Теперь выведем дифференциальные уравнения движения свободного
твердого тела из принципа Гамильтона, а следовательно, получим уравне-
ние (9) третьей лекции. Для этого необходимо составить вариацию живой
силы ЬТ и выражение работы действующих сил U' для какого-либо изме-
нения положения тела и преобразовать сумму ЬТ 4- U’ к форме
2te+$JV
\ at /
где величины е бесконечно малы и не зависят друг от друга (они вызва
ны изменением положения тела). Дифференциальными уравнениями движе-
ния будут
= R- (4}
at
Мы вновь примем обозначения предыдущей лекции; для е мы можем вы-
брать обозначения либо и’, v’, w’, /?', q', г’, либо к', ц', v', л', X', р';
таким образом, мы получим искомые дифференциальные уравнения в двух
формах, каждая из которых имеет свои 'преимущества. Работа U' в тре-
буемой форме в первом случае дается выражением (24), во втором — вы-
ражением (25) предыдущей лекции.
Но необходимы некоторые вычисления, чтобы составить выражение для 57’.
Как мы уже доказали, Т зависит только от и, v, w, р, q, г и посто-
янных, следовательно,
дТ . , , дТ . . дГ. . дТ . , дТ . , дТ .
6Т = -- би4+ - - бо + — б® + - Ьр + - б<?4+ — бг. (5)
ди <dv dw др dq dr
Прежде всего выразим шесть вариаций бы, би, bw, bp, bq, br через и’,
v', w', p’, q', г'. Этого мы достигнем, вспомнив, что вариация производ-
ной функции равна производной вариации функции.
50
По уравнению (18) предыдущей лекции
ба = ащ' + а2п' + а3да'
и по замечанию, сделанному в начале этой лекции,
da , ,
— = аАи + а2и + а310.
dt
Составим теперь уравнение
dba с da
----= б — ,
dt dt
и так как по уравнению (20) прошлой лекции
6aj = а2г'— а3д', ба2 = а3р'— агг', ба3 = а^' — а2р', (6)
а также
da, da2 da,
- = a2r — asq, =a3p — w, -f = a,q — a2p, (7j
dt dt dt
то получается
[0 = aj ( -----бы vr' — v’r 4- w'q — wq' +
\ dt J
+- a2 ------бп + wp' — w'p -I- u'r — ur'} +
+ a3 — — баУ + ttq — и q + v p — vp .
\ dt ,/
Обратим внимание на то, что вычисления, которые привели нас к этому
результату, верны и в том случае, если в них вместо а подставить р или
у; найденное уравнение остается справедливым и при таком изменении. Из
сказанного и из уравнений (3) прошлой лекции следует:
с du' , , , ,
он =------(- vr — v г + wq — wq ,
dt
бп = — + wp' — w'p + u'r — ur', (8)
dt
. dw' , , , , ,
бш — — - -г и q — и q 4- v p — vp .
Чтобы найти 6/7, bq, br, развернем уравнение
d6a, „ da,
— = 6 - ,
dt dt
используя (6) и (7); таким образом,
0 = “г ( 77 ~ ~ Р'ч]— аз ( - bq -и гр' - r'p j .
\С1/ \ at
Это уравнение остается правильным, если вместо а подставить р или у, а
также если одновременно изменить по циклу индексы 1, 2, 3 и буквы р,
4*
51
q, г. Отсюда и из уравнений (3) прошлой лекции следует:
5 ЛР' , I f
Ър = ~1т + С1г
dt
bq=^^- + rp'—г'р, (9)
d/J
<. dr', , ,
= -—A-pq —РЯ-
at
Выразим теперь du, bv, dw, dp, bq, br через X', p', v', я', X', p'; для
этой цели используем уравнения
— = apt + а2У + asw, ба = X' 4- уХ' — 0р',
dt
второе из которых входит в уравнения (16) предыдущей лекции. По урав-
нениям (11) предыдущей лекции имеем
ба, = тД'— Зхр', ба2 = у2Х'— р2р', ба3 = у3Х'— рзр'
и, кроме того,
d3 п , о , п dr
-f = рщ + р2ц 4- р3да, - = Y1U 4- у2и = уэш.
dt dt
.. .da d6a . . . . .
После этого уравнение б — — переходит в а^Ьи 4- &гЬи 4- а3бш =
dt di
... j. r dx' оФ'
” dt ' ‘ dt P dt ’
Можно теперь одновременно изменить по циклу буквы
а, 3, 7-
X, ц, v,
л, X, р;
поэтому также
р1би 4- Р2^ + P3to = + a dp- - г
dt at at
_ . si s dv' , n dn' d^’
Xibu + y26u 4- Тзбш -= — 4-P — — a—.
dt dt dt
откуда следует (по уравнениям (3) предыдущей лекции):
. dX' . D , dv' ,
bu = ax — 4- Pi — + Т1 4-
dt dt dt
+ (Tip — Р1Т) 4- («1Т — T1“) % 4- (Pia — ajp) ,
dt dt di
. dX', „ dp' dv' ,
dv — a2 — 4- p2 — 4- T2 ~ 4~
dt dt dt
4- (T2P - P2T) + (a2T - T2*) + (P2a - a2₽) ,
dt dt dt
(10)
52
« dX' . n dll' , dv' ,
bw = a3 — + З3-7-+ 7з— +
dt dt dt
+ (7зЗ - Зз7) + («з7 - 7з«) + (Зз« - азЗ) %
at at dt
Чтобы найти bp, bq, br, развернем уравнение
da-i __dSctj
dt dt
подставив в него
t/Cll А Л/ f Г\ /
-= a2r — a.3q, 604 - T1X' — 31P',
at
а также приняв во внимание
бос2 = 7г^ РаР , ~у = Згг '
at
Ьа3 = 73X' — Ззр', = y2r — x3q,
dt
получим
а2бг — asbq = 7j — Зх .
at at
Отсюда следует при циклической перестановке букв а, 3, у и л, X, р
32бг — З3б<7 = ах — Yi ,
at at
^r — 'Tsbq = 3i^ — <Xi^ •
Эти три уравнения дают вместе с уравнениями (6) и (7) предыдущей лекции
s d~t' , г, d%' dp'
bq = а2 — + 32 + 7з щг .
dt dt dt
& dn' , n dy’ . dp'
br = a3 — + 33 -A- + 7з yy .
dt dt dt
(Юа)
из чего при замене индексов 1, 2, 3 и букв р, q, г также следует
. dn' , r> d%' . dp'
bp = «i -- + 31 + Ti -
dt dt dt
Подставим теперь данные уравнениями (8) и (9) выражения для бп,
бп, bw, bp, bq, br в уравнение (5) для ЬТ, вместо U' подставим выраже-
ние (24) предыдущей лекции и преобразуем уравнение (4), расположив ряд
для е по степеням и', v', w', р', q', г'. Получаем таким образом
d dT dT dT ,
= r - — q h
dt du dv dw '
d dT dT
. — = p — — r P
dt dv dw du
d dT dT dT ,
-- q - - — p h
dt dw du M du
Z,
(12)
53
и
d дТ дТ дТ . дТ дТ . ..
----— ау-----v----hr-----q -~ + Мх,
dt др dv dw dq dr
£дТ_ dt dq dT dT , dT dT ... W- + p- r-+My, (13) dw du dr dp
d дТ дТ дТ , дТ дТ . ..
----= v------и----h q ----р - + Мг.
dt dr du dv dp dq
ряд для е по степеням л', ц', v', л', X', р'; получаем в
Используем выражения для би, би, бау, 6/7, bq, br из уравнений (10) и (11)
а для U' — выражение (25) предыдущей лекции и преобразуем уравнение
(4), расположив
этом случае
d / дТ , дТ . дТ
— — <Х1 --------1~ «2 ~ + «3 --
dt \ ди dv dw
Z
(14)
d [ дТ , дТ
~ Ti + 72 —
at \ ди dv
и
(713 - 317) ~ + (7аЗ - Зз7)" - + (7зЗ - Зз7) +
ди dv dw
(«17 — 7i«) г- + («27 — 72») — + (аз7 — 7з«) — +
Л1С
£
dt
(15)
(Pi« — «13)
, дТ
+ а~
др
дТ , /О ОЧ &Т I /О 0\ ST I
,—Н3г« — «гЗ) - + (Зз« — «зЗ) ---------Ь
ди dv dw
, дТ , дТ
72 — + 7з J-
dq dr
Пусть на тело не действуют силы, тогда уравнения (12) и (13) не содер-
жат никаких других неизвестных функций, кроме и, v, w, р, q, г, а
уравнения (14) и (15) допускают непосредственное интегрирование. Уравне-
ния (14) выражают теоремы о движении центра тяжести, уравнения
(15)—теоремы площадей для случая, который мы рассматриваем.
§ 3
В полученных формулах предполагалось, что тело свободно; положим
теперь, что одна его точка закреплена, и выберем ее за начало координат
систем х, у, z и §, т]> Тогда
и = 0, v = 0, w = 0;
но также обращаются в нуль и и', v', w' и X', ц', v' и поэтому лишаются
смысла уравнения (12) и (14), которые мы получили из принципа Гамиль-
54
Уравнения (13)
гона, приравняв нулю коэффициенты при этих величинах,
примут вид
дТ — г dT Л
dt др dq dr
d_dT дТ n - — dT __ r
dt dq dr dp
d дТ дТ dT
— - = q - — p —
dt dr dp dq
+ My,
z
:л уравнения (15) при принятом ограничении а = 0, р =0, у =
(16)
0 превратятся в
dt 1 ' dT , dT , dT\ ~r -—r <Xq . - 1 =
dq dr J
d dt (Vr- k dp , 4 dT T P2 д- dq dr J =
d_ , > dT , dT . dT\ = Mt.
Ti “ -г Г2 -- । 7 з ,
dt I „ dp dq dr J
(17)
ЛЕКЦИЯ СЕДЬМАЯ
(Интегрирование дифференциальных уравнений движения твердого тела, которое
вращается вокруг закрепленной точки и на которое не действуют никакие силы.
Устойчивость вращения вокруг оси наибольшего и наименьшего моментов инер-
ции. Случай равенства двух из трех главных моментов инерции. Вращение тя-
желого твердого тела вокруг неподвижной точки. Интегрирование полученных
дифференциальных уравнений при некоторых предположениях)
§ 1
Дифференциальные уравнения движения твердого тела вокруг непод-
вижной точки, полученные в предыдущей лекции, т. е. уравнения (16) и
(17), можно проинтегрировать в специальных случаях. Первый случай тот,
когда не действуют никакие силы. В этом случае уравнения имеют вид
и
£<5T dt dp d_dT dt dq d_dT dt dr dT dT = r q - , dq dr дТ дТ = P r — , dr dp дТ дТ = 4, P T’ dp dq
d 1 ' dT . дТ дТ \ n
dt \ ai dp +азал) 0’
d^ dt d , \ dp ' dT + V-°’ dq dr J дТ . дТ \
dt ' Yi—+ T2 . dp dq dr f
О)
По замечанию, сделанному в конце § 4 четвертой лекции, они имеют
место также при движении свободного тяжелого тела вокруг центра
тяжести.
По объяснению, данному в предыдущей лекции, Т — однородная функция
второй степени переменных р, q, г; допустим, что оси х, у, z совпадают
с направлением главных осей тела для начала координат, и обозначим
через Р, Q, R моменты инерции тела относительно этих осей; тогда
2Т =Рр2 + Qq2 + Rr2,
а следовательно,
дТ п дТ п дТ п
--^Рр, ~ = Qq, - = Rr.
др dq dr
56
Уравнения (1) примут при этом вид
pJ = (Q~W.
at
Q^ = (R-P) rp,
at
R± = (P-Q)pq.
dt
(4)
Чтобы найти их интегралы, сравним их с другими известными дифферен-
циальными уравнениями, которые мы получим. Обозначим через и и ф две
действительные переменные, связанные уравнением
dip
Ф
и = \ .----------- _ ,
J у 1 — х2 sin2 ip
в котором х обозначет действительную правильную дробь и квадратный
корень взят с положительным знаком. Тогда и — однозначная непрерывная
функция ф и наоборот, так как производная — всегда имеет конечное
dip
положительное значение. Кроме того, и пробегает все значения от—оо
до ф- оо, когда их пробегает ф. В таком случае ф называют амплитудой
и по модулю х и записывают так: ф = ат и.
Ради краткости положим в дальнейшем
У 1 — х2 sin2 ф = Д ф,
dip * . п
где Дф — непрерывная положительная величина и - Дф. При этом спо-
собе обозначения имеем тождественные уравнения
d cos ip . . ,
----- = — Sin фДф,
du
d sin ip , . .
----= cos фДф,
du
’= — х2 sin ф cos ф.
du
Положим в них
u = W+pi, р = асозф, <7 = &з1пф, г = сДф, (5)
где под X, ц, а, Ь, с подразумеваются действительные постоянные. Тогда
получим
dp а'>.
— =-------qr,
dt be
dq bt,
- = - rp,
dt ca
57
Эти уравнения той же формы, что и уравнения (4); они тождественны
уравнениям (4), если
Q — R ак
Р ~ Ьс ’
R-JL = ; (6)
Q са
_ х2 с'-
R " ab
Пусть шесть постоянных х, А, ц, а, Ь, с определены согласно этим
уравнениям и так, что все они действительные и х2 меньше единицы,
тогда в уравнениях (5) мы имеем интегралы уравнения (4), а именно общие
интегралы, так как из шести названных постоянных только три определены
уравнениями (6), а три другие остаются произвольными. Они должны
определяться по значениям, которые переменные р, q, г принимают при
t = 0; обозначим их через рй,. q0, г0.
Чтобы найти значения, которые приписываются постоянным х, к, ц,
а, Ь, с, мы исходим из двух интегралов уравнений (4), которые легко
получаются. Именно, умножим эти уравнения на р, q, г (или на Рр, Qq,
Rr) и сложим их; тогда после интегрирования получим
Рр2 + Qq2 + Rr2 = const
и
Р2/?2 Ц- Q2</2 + R2r2 = const.
В момент времени, в который ф или, что то же, ат(Мф- ц) равно крат-
ному 2л, созф = 1, simp = 0, Д ф = 1; поэтому из этих уравнений следует
Ра2 + Rc2 = Рр2й + Qq2 + Rr2,
Р2а2 + R2c2 = Р-р2 4- Q2q2 + R2r2
или
P(P-R)a2==P(P-R)p2 + Q(Q-R)<72, (7)
R(Р-R)c2 ---QAP-Q)<72 + R (P - R)r2.
Эти уравнения дают значения для а2 и с2, а именно — положительные
значения, если, как мы это теперь примем, Q по своей величине есть
среднее трех моментов инерции Р, Q, R. Определяем затем из уравнений
(6) Ь2, к2 и х2; делением и умножением первых двух и затем делением
первого уравнения на третье получаем
Q(Q-R)
К2 = С2 (Q-R)
PQ ’ (8)
с2 R (Q — 2?) ’
При сделанном относительно момента инерции Q предположении Ь2, А2,
х2— положительные величины; но не всегда х2 меньше единицы. Пусть
последнее условие не выполняется, тогда, чтобы выполнить его, достаточно
поменять ось х и ось z или (если хотят, чтобы новая и старая системы
58
координат были конгруентными) считают, что новая ось х направлена,
как прежняя ось z, а новая ось z направлена противоположно прежней
оси х. При этом меняются значения Р и R и одновременно значения рг и
г2, а поэтому также и значения а2 и с2 уравнений (7) и, следовательно,
значение х2, данное уравнением (8), превращается в обратную величину.
Уравнения (8) не заменяют полностью уравнений (6), из которых они
выведены. Однако пусть это сделано; тогда нужно рассмотреть еще одно
из них, например первое, и взять одинаковыми знаки обеих его частей.
По этому уравнению будут определены знаки величин а, Ь, с, если
знаки других установлены. Мы возьмем X положительным; первое уравне-
ние (6) определяет тогда знак Ь, если известны знаки а и с. Поэтому
нужно выбрать знак с определенным образом из уравнений
р0 = a cos am ц, q0 = b sin am ц, r0 = c A am g,
(9)
которые имеют место вследствие уравнений (5), и это последние уравнения,
которым мы должны еще удовлетворить. Из третьего уравнения следует,
что если ц действительно (каким оно и должно быть), то с должно иметь
тот же знак, что и г0, тогда А ат р, положительно. Знак а мы можем
выбрать произвольно, мы примем его равным р0; тогда знак Ь определяется
первым уравнением (6).
Уравнения (9) служат для определения последней из введенных шести
постоянных — величины ц. Из первого уравнения находим два значения
для amp., если мы установим (что мы и хотим сделать), что эта величина
лежит между — у и + у , так как вследствие уравнений (7) а2 больше,
чем р2. Второе уравнение снимает остающуюся при этом двузначность,
поскольку оно показывает, что ат ц заключена между — у и нУлем или
между нулем и
в зависимости от того, противоположны или одинаковы
знаки qS} и Ь.
Из найденных действительных значений ц или тр следует затем, согласно
сделанному ранее замечанию, только одно действительное значение ц.
Этим доказано, что уравнение (5) есть интеграл уравнения (4) и входящие
в него постоянные определены однозначно. Остается еще установить угол,
который определяет положение тела в пространстве неподвижных координат
В, т]> £ в каждый момент времени.
Для этой цели обратимся к уравнению (2), из которого получаем,
интегрируя и используя значение Т, данное в (3):
а^Рр + + з-зРг =
&Рр + + friRr - В,
(Ю)
XiPp + r2Q<7 + XsRr = С,
где А, В, С — постоянные. Между этими и введенными ранее постоянными
существует некоторое соотношение; возводя в квадрат и складывая урав-
нения (10), получаем
Р2р2 + Q2q2 + Р2г2 = А2 + В2 + С2;
отсюда следует
А2 + В2 + С2 = Р2а2 + R2c2. (11)
Если рассматривать Рр, Qq, Rr как прямоугольные координаты точки
в системе х, у, z, то уравнения (10) показывают, что А, В, С являются
59
координатами этой же точки в системе координат g, т], Эта точка не
изменяется со временем, так как А, В, С являются постоянными; отсюда
прямую, проведенную через эту точку из начала координат, можно при-
нять за ось Пусть это сделано, тогда А = 0, в = 0 и, согласно (11)
С = УР2а2 + Р2с2, '
где величина корня берется положительной. После этого получают из
уравнений (10), если их умножить на аь у1( или а2, Р2, у2, или а3, рз, у3
и каждый раз складывать:
Рр Qq Рг /1 сч
Ti = —----=---Тг = Тз = —----------(12)
Vpw + &С2 Vpw + rw ypw + w
Введем в уравнения (8) пятой лекции определенные углы О', f, <р, которые
определяют положение тела в каждый момент. Устанавливаем сначала О
из уравнения
Тз = cos О;
для некоторого положения тела можно при этом выбрать О между — л
и Ц- л, или, как отмечено при рассмотрении уравнений (8) пятой лекции,
можно выбрать О произвольно между нулем и л. Последнее из уравнений
(5) показывает, что г2 не может быть больше, чем с2; по последнему
уравнению (12) у|или cos2 О не достигают значения единицы, и таким об-
разом Ф не переходит границ Ойл. Можно отметить, что О' не прево-
сходит также значения у, так как г не может обратиться в нуль.
Для определения f имеем
Yx = cos f sin О, у, = sin f • sin О
и два первых уравнения (12). Этим самым для одного положения тела f
определено однозначно, если еще установить, что для него f лежит между
нулем и 2л; решение, что f изменяется непрерывно с изменением положе-
ния тела, определяет тогда f однозначно также для каждого другого
положения, которое принимает тело при движении. Остается еще выяснить
значение <р. Имеем, таким образом,
tg Ф = -,
а3
откуда следует
cos2 ф =------
1-Тз
и поэтому
__ аДЗз — ЗДвз
Но из уравнений (20) пятой лекции
d$3 = (3i<7 — $2p)dt, da3 = (ct1q — a2p)dt,
следовательно, принимая во внимание уравнения (6) и (7) пятой лекции,
Д' (13)
71 +И
60
Поэтому как следствие уравнения (12) получаем
dtp = /Р2а2 + R2c2 РрЧ~ Qq’— dt.
Р2Р2 + QV
Вспомним об интеграле уравнений (4), из которых выводятся уравнения
(7); тогда мы можем записать
dcp = У Р2а2 + R2c2
Ра? + Re2 — Rr2 di
Р2а? + /?2с2 — R2r2
или, если подставить значение г из (5),
, т.Гга г ।—тГг Ра2 + Яс2’/.2 sin2 ат (77 + ц) ,
dro = V Р2а2 + R2c2-----------------------------------------dt.
Р2а2 + R2c2v? sin2 am (77 + M-)
(И)
Интегрирование этого уравнения приводит к эллиптическому интегралу
третьего рода.
§ 2
Интегралы задачи вращения тел, на которое не действуют никакие
силы, вокруг неподвижной точки интересно применить к случаю, при ко-
тором модуль эллиптической функции, встречающейся в этих интегралах,
т. е. х, есть нуль или бесконечно малая величина. Эллиптические функции
сводятся тогда к тригонометрическим.
Данное в (8) выражение для и2 показывает, что х бесконечно мало,
если а — бесконечно мало, с — конечно и Р, Q, R — какие-нибудь величины,
а2
не принимающие только значении, для которых множитель — в выраже-
нии для х2 становится бесконечно большим. По первому уравнению (8) b
также будет бесконечно малым. Уравнения (7) показывают, что а беско-
нечно мало, если таковы р0 и q0, что мы и предположим. Уравнения (5)
дают тогда, если пренебречь бесконечно малыми величинами высших по-
рядков:
р — a cos (kt + |i), q — b sin (kt + pi), r = с У1 — x2 sin2 (kt + p).
Что касается значений О, f, ф, то последнее из этих уравнений дает
совместно с последним уравнением (12) (если подставить х2 его значение
и пренебречь бесконечно малыми величинами высших порядков)
. , Ра2 ( Р . Р — Q' 2 । \
sin2u = —-------р —- sin2 (kt + ц)
Rc2\R ‘Q — R
(15)
Поэтому sin 0’ — бесконечно малая величина. Пусть, как мы теперь примем,
ось z выбрана так, что г или (что то же) с положительно, следовательно,
положителен cos О, поэтому и по общему предположению, сделанному
относительно О, О само бесконечно мало и при этом положительно, т. е.
уравнение однозначно определяет О'.
Далее имеем
tg f = р- fg W + Ю-
Ра
Угол ф, который вместе с О’ определяет положение оси z, легче всего
найти следующим путем. Рассуждением, аналогичным тому, которым мы
61
вывели уравнение (13), получаем
г2
tg f = ~~ , cos2f = ------- ,
df Ti dT2 — 12 rfYi _ Ti (ТзР — Т1Г) — Тг (Т2Г — Тз?)
т! + 12 т21 + т1
Тз (TiP + 12?) — (Y1 + 1$ г
=-----------------i---— dt.
Ti + ?2
Вследствие уравнения (13) отсюда получаем
df — cos tidy — rdt. (16)
Так как при нашем выборе О бесконечно мало и г бесконечно мало от-
личается от с, то, пренебрегая бесконечно малыми величинами, имеем
Ф f + ct + const,
где постоянная интегрирования определяется по начальному значению <р.
Вследствие предположения, которое сделано при выводе уравнений (8),
осью z может быть ось наибольшего или наименьшего, но не среднего
главного момента инерции. Проведенные вычисления показывают, что
если мгновенная ось вращения при t = 0 бесконечно мало отклонена от
оси наибольшего или наименьшего главного момента инерции, то она
всегда остается бесконечно близкой к этой оси. Поэтому говорят, что
вращение тела вокруг оси наибольшего и вокруг оси наименьшего главных
моментов инерции устойчиво. Пусть тело может вращаться также вокруг оси
среднего главного момента инерции, тогда уравнения (4) выполняются, если
предположить р — 0, q = 0, г = const; но это вращение неустойчиво, т. е.
если бесконечно мало отклонить мгновенную ось вращения при t = 0 от
рассматриваемой главной оси, то это отклонение станет конечным с тече-
нием времени (хотя бы но истечении бесконечно большого промежутка
времени). Именно, пусть р0 и q(, бесконечно малы, т. е. в силу уравнений
(7) и (8) х2 бесконечно мало отличается от единицы, эллиптические функ-
ции f, которые входят в уравнение (5), превращаются в показательные
функции, и обсуждение этого случая приводит к высказанной теореме, что,
однако, не должно здесь рассматриваться.
§ з
Последнее из уравнений (8) показывает, что х обращается в нуль, если
Р — 0; мы рассмотрим теперь этот случай, т. е. случай равенства двух
главных моментов инерции. Уравнения (7) дают:
«2 = Ро + <7о, с = г0.
Уравнениям (6) (которые выражают то же, что и уравнения (8), но сни-
мают неопределенность относительно знака, которую оставляют эти урав-
нения) удовлетворяют, полагая
, . R — P
о а, л — гп — - - .
Р
при этом уравнения (5) примут следующий вид:
р = ]/ Ро + <7о cos W + И). <7 = |/Гро + <7о sin (М + ц), г = г„.
62
Уравнения (12) дают
cos а = —-------—
У P*(P* + q*) + &rl
и, следовательно, cos ft = const и
tgf = tg(M +ц),
что значит
f = Xt + р, + пл,
где п—целое число. Из уравнения (16) следует, наконец,
cos О-ср = f + rot + const = (А + r0) t + const,
или, если для А и cos'О' подставить их значения,
У P2(p2a + q20) + R2r't
ср =------------------ t + const,
р
что еще проще, чем уравнение (14).
§ 4
Рассмотрим теперь вращение тяжелого твердого тела вокруг непод-
вижной точки. Рассуждения четвертой лекции приводят к способу нахож-
дения двух интегралов дифференциальных уравнений, относящихся к этой
задаче; теорема о живой силе дает один интеграл, теорема площадей
относительно горизонтальной плоскости — второй. Примем ось g направлен-
ной вертикально вниз, обозначим координаты центра тяжести тела через
g, т], g, массу — т и силу тяжести — g. При обозначениях, употребляемых
в уравнениях (16) и (17) шестой лекции, имеем тогда по формулам, уста-
новленным в конце пятой лекции,
, Л4п = — mgl, = 0.
Если ось z проходит через центр тяжести, a s обозначает расстояние
ее от неподвижной точки и при этом
g = a3s, т) = p3s, g = y3s,
то получим
Мх = — mgsya, Му = mgs^, Л42 = 0.
Отсюда уравнения (17) шестой лекции дают
где С — постоянная. Это уравнение выражает теорему сохранения пло-
щадей для плоскости gOr],
Уравнения (16) шестой лекции примут вид
d dT dT dT
dt dp = r - dq — Я- mgs^, dr
d dT dT dT ,
dt dq dr r ,—h mgs\1, dp (17)
d dT dT dT
— = q - - — p — .
dt dr dp dq
63
Умножим их на р, q, г и сложим, чтобы интегрированием получить урав-
нение, которое выражает .теорему о живой силе. Так как Т—однородная
функция второй степени переменных р, q, г, то
дТ , дТ , дТ 2Т = р \-а - + г - ; др dq dr
поэтому dT дТ dp dT dq dT dr dt dp dt dq dt dr dt
откуда следует dT d dT , d dT , d dT — _ p u q r dt dt dp dt dq dt dr
Приняв во внимание, что
t/v •>
Г1<7 —ТгР--,7 >
at
найдем
Т = mgsy3 + Н,
(18)
(19)
где Н — постоянная.
Найти третий общий интеграл рассматриваемых дифференциальных
уравнений не удается. Мы упростим нашу проблему, прежде всего предпо-
ложив, что ось z, т. е. линия, проходящая через неподвижную точку и
центр тяжести тела, есть главная ось для неподвижной точки. Можно
затем так выбрать оси х и у, чтобы они являлись двумя другими глав-
ными осями, так что имеет место данное уравнением (3) выражение для Т..
Примем теперь, кроме того, что Р = Q; в таком случае последнее уравне-
ние (17) интегрируемо и дает
г = const.
Одновременно уравнения (16а) и (19) превращаются в
Р (PTi + ЯЪ) + РПз = с>
Р (р2 + <72) + Pr2 = 2mgsy3 + 2Н.
(20)
Введем теперь снова углы О, ср, f, определяемые уравнениями (8) пятой
лекции. Тогда уравнение (18) можно записать в виде
sin О= т2Р — ТР7, (21)
dt
а уравнение (13) в виде
sin2f> = Т1р + у2у. (21а)
at
Возведя в квадрат и сложив эти уравнения, получим
(р2 + q2)dt2 — d&2 + sin20vPp2.
Поэтому уравнения (20) преобразуются в следующие:
Р sin2O с/ср = (С — Rr cos О) dt,
Р (iPY2 + sin2O dcp2) = (2tngs cos О + 2H — Rr2) dt2.
(22)
64
Так как в них не входят сами переменные и /, а только их дифферен-
циалы, то, интегрируя эти уравнения, можно представить ср и t как функ-
ции переменной 6, а также О и ср как функции /; после того как это сде-
лано, уравнения (16) позволяют вычислить также f как функцию t. Функции,
к которым мы придем таким образом, являются эллиптическими функциями.
§ 5
Мы проведем приведенные выше вычисления только для некоторых
специальных случаев. Примем прежде всего, что р и q при t = 0 обра-
щаются в нуль, т. е. что в момент времени t = 0 мгновенная ось враще-
ния есть ось г. Уравнения (21) показывают, что тогда при t = 0 обраща-
ются в нуль также и , и . Пусть Од — значение Ф при t = О,
тогда по уравнениям (22)
О = С — Rr cos
и
О = 2mgs cos Од + 2Н — Rr2.
Эти же уравнения, следовательно, примут вид
Р sin2O dtp = Rr (cos Од — cos •&) dt,
(23)
P (dO2 sin26 dtp2) = 2mgs (cos О — cos Oo) dt2.
Исключаем из них dtp и вводим вместо Од и О половины этих углов; по-
лучаем тогда
Р2 sin2 — cos2 — с/О2 =
2 2
( sin2 -°— sin2 -- 'j bimgsP sin2 cos2 ---
\ 2 2 z { 2 2
— R2r2 f sin2 — - — sin2 I dt2.
V 2 2 Jj
Положим теперь
sin = sin2 — RI2 cos2 ф,
2 2
где R1 —- постоянная.
Отсюда найдем
sin ~~ cos dO = 2R12 sin ф • cos ф йф.
(24)
(25)
Уравнение (24) приобретает поэтому множитель Л42соз2ф и по сокра-
щении его дает
4Р2М2 sin2 фй ф2 =
= ^4rngsP ^sin2-’-М2соз2ф) ^cos2-—- + M2cos2 ф R2r2M2 cos^j dt2,
Множитель при dt2 представляет собой функцию второй степени относи-
тельно соз2ф, а также и относительно sin2xp; определим величину М так,
чтобы член этого множителя, не зависящий от зш2ф, обращался в нуль;
5 Г. Кирхгоф
65
тогда делением на sin2ip это уравнение приводится к форме
dip2 — А,2(1 —x2sin2ip)dZ2, (26)
где Л их — известные постоянные. Пусть затем М2 должно быть опре-
делено из квадратного уравнения
bmgsp ^sin2 — TH2) ^cos2 + Л12 j — /?2г2М2 = О
п пусть
— 'imgs р + cos Оо) + р~г~
№
2 imgsPM2
'imgsp (2Л42 + cos So) 4~ R2r-
Квадратное уравнение для Л12 можно записать так:
/И* + Л42 ( 4- cos |-------- sin2t>0 = О,
\ 'ungsP ' \
и один его корень положителен, другой отрицателен; мы выберем поло-
жительный, т. е. мы положим
7И2 =-- — [---------cos О0 + l/" I cos i)0 У 4- sin2 •&J ,
2 ( imgsP 0 ? UrngsP ° J
где корень берется с положительным знаком. Поэтому
А,2 ;=1 Z72£s.'|/r (JLl-4cos$0V 4- sin2 О,,
P У \4mgsP 1
R2r2
1 — 2x
----- 4- cos ц0
bmgsP
/?2Г2 \ 2
4 cos т>0 4- sin2 т>0
imgsP
Полученное для 1 — 2x2
ключено поэтому между
записать интеграл уравнения (26)
выражение заключено между — 1 и 4-1
О и 1; V
за-
положительно. Отсюда мы можем
ip = am(M 4- ц),
Mod x,
где ц — произвольная постоянная интегрирования.
Мы исследуем далее случай, когда г может считаться бесконечно боль-
шим. Тогда х = 0, и, следовательно,
ip = л/ 4- ц (27»
и по (25)
sin2 У sin2 — M2cos2(/d у- ц),
кроме того,
44 2 == sjn2 ф
£2Г2
X = Rr-.
2Р
С6
Поэтому •О колеблется с бесконечно коротким периодом между двумя
бесконечно близкими границами. Интегрирование первого из уравнений (23)
облегчено тем, что в левую часть его вместо 0 можно подставить ttu;
тогда это уравнение, принимая во внимание (25) и (27), имеет вид
Р sin2O0 dtp COs2i|? dtp,
или после подстановки значения М2
dtp -------------------------------соз2ф dty.
Так как
$ cos2 ср = i +
то отсюда следует при использовании (27)
Ф ~~ — у- sin 2ф j + const
или, так как 7 бесконечно велико по сравнению с г, то, пренебрегая
бесконечно малыми членами,
mgs , , ,
ср — — - t 4- const.
Rr
Угол f, наконец, легко получается из (16), если подставить туда 0о вместо
О; находим
f = ср cos О0 — rt + const,
или
/= — COS ttd'j t — const.
§ 6
Вместо предположения, которому мы следовали в предыдущем параг-
рафе, именно, что р и q исчезают при t - 0, мы примем теперь, что при
/—О всегда г = 0. Тогда уравнения (22) примут следующий вид:
Р sin2 4 dtp -- Cdt,
Р (г/О2 - sin20 dcp2) 2 (mgs cos 0 -j- Н) dt2.
(28)
Они с точностью до обозначений тождественны уравнениям (12) второй
лекции, из чего следует, что в рассматриваемом здесь случае прямая
линия, проходящая через неподвижную точку и центр тяжести тела, дви-
жется так, как простой маятник известной длины. Эта длина I определя-
ется уравнением
I =-- -Р- .
ms
Пусть постоянная С в уравнениях (22) или, что то же, постоянная с
в уравнениях (12) второй лекции равна нулю, тогда
Ф = const
d -7- \
___I = (h. — sin2 —-
dt j I \ 2
(29)
где /i — произвольная постоянная. Она должна быть положительной, так
как положительна левая часть уравнения (29), но она может иметь любое
значение между нулем и + оо. Пусть /г < 1, тогда можно положить /г =
= sin2 , считая приблизительно, что а лежит между нулем и л. Пусть
а — амплитуда упомянутого выше колебания, которое совершает тело или
маятник; возьмем
л а
sin — = sin — sin
2 2
тогда, как уже многократно отмечалось,
и, следовательно,
ip = am j/'-Sj- 4~ Ц j , Mod sin "7 ,
где р. — произвольная постоянная, или
sin = sin sin am Н- ц ) , Mod sin
Пусть, однако, в уравнении (29) h > 1, тогда можно положить
h = 1 ,
X2
где х — действительная правильная дробь; таким образом получаем
/ d-^-X2
I----— I = — { 1 — х2 sin2
\ dt ) ж V 2
или
где [т также означает произвольную постоянную и где х может считаться
положительным или отрицательным в зависимости от того, увеличивается
или уменьшается & при возрастании t.
ЛЕКЦИЯ ВОСЬМАЯ
(Измерение силы тяжести. Маятник. Маятник, соответствующий простому. Обо-
ротный маятник. Опыты Бесселя с маятником. Влияние воздуха. Изменения силы
тяжести с высотой и географической широтой)
§ 1
Мы уже многократно рассматривали как примеры для объяснения об-
щих понятий и законов механики те движения, причиной которых считают
силу тяжести', рассмотрим эти движения подробнее и вначале разъясним,
как измеряется сила тяжести. Для этого нам послужит наблюдение ко-
лебаний тяжелого тела, которое способно вращаться вокруг горизонталь-
ной оси. Такое приспособление называют маятником, а именно сложным
маятником — в противоположность простому маятнику, о котором мы
уже говорили. Допустим, что сила тяжести — постоянная ускоряющая сила.
Рассмотрим маятник как твердое тело и пренебрежем влиянием воздуха,
движением Земли и трением оси вращения; тогда мы сможем очень легко
вычислить движение такого маятника. Положение последнего в некото-
рый момент определено одной переменной; выберем в качестве ее угол д,
образованный плоскостью, проходящей через ось вращения и центр тя-
жести маятника, и вертикальной плоскостью, проходящей через ось враще-
ния. Согласно § 5 четвертой лекции, имеем теорему площадей относи-
тельно плоскости, перпендикулярной к оси вращения, так как связи точек
маятника допускают вращение вокруг нее; эта теорема дает дифференци-
альное уравнение для такого угла. Обозначим величину силы тяжести — g,
массу маятника—т, расстояние от его центра тяжести до оси вращения—s,
момент инерции маятника относительно этой оси — fe; таким образом по-
лучим дифференци? г,ное уравнение
d-xi- ms . а
-----= — g — Sin V.
dP & К
Согласно § 2 второй лекции, оно совпадает с теми уравнениями, которые
имеют место для плоских колебаний простого маятника в случае, если
длина I этого маятника удовлетворяет уравнению
К_
ms
I =
(1)
Этот простой маятник называют соответствующим данному; при одина-
ковой амплитуде он имеет тот же период колебания маятника, что и дан-
ный. Если I определено по (1) с помощью измерения частей маятника
и период колебания маятника Т, соответствующий бесконечно малой амп-
литуде, установлен наблюдением, то g находят из уравнения
69
Несколько простых примеров могли бы пояснить способ, каким может
быть найдено I.
Предположим, маятник состоит из однородного шара и нити, массой
которой можно пренебречь. Центром тяжести шара, как и центром тяжести
каждого однородного тела, является центральная точка; итак, s равно
расстоянию центра шара от начала координат.
Определение момента инерции требует немного больше расчета.
Пусть dm — элемент массы тела, который имеет координаты х, у, z;
тогда момент инерции тела относительно оси z равен
^dm (х2 4~ г/2).
Предположим теперь, что тело имеет постоянную плотность ц и является
телом вращения, ось вращения которого — ось х. Положим:
у — г cos ф, z — г sin ф;
тогда этот момент инерции будет равен
ц dx rdr dtp (х2 4- r2 cos2 ф),
или, так как интегрируем по ф от нуля до 2л и так как
2 Л
СОЭ2фС?ф = л,
о
то момент инерции равен
2л ц ^dxrdr
Здесь х и г представляют прямоугольные координаты точки поверхности,
которая возникла при вращении тела.
Допустим, что тело является шаром радиуса R и начало координат —
его центр. Тогда указанная поверхность является плоскостью большого
круга. Положим
х = р cos ip, г = р sin ip,
тогда интеграл (2) преобразуется в интеграл по р от нуля до R и по ip —
от нуля до л, и вместо dxdr можно подставить pd pdip; отсюда
ее 8
лц \ I рМр (1 + cos2 ip) sin ip dip = — лцТ?3
о о
или, если т обозначает массу шара т= —- лц/?3, то интеграл равен —/пУ?2.
3 5
По теореме, введенной в § 1 шестой лекции, момент инерции шара маят-
ника относительно оси вращения маятника равен
т s2 R2^
и из уравнения (1) длина соответствующего простого маятника равна
s+ 2-^.
5 5
70
Вычислим теперь момент инерции цилиндра с пло тностью ц, длиной L
и радиусом R относительно оси, которая перпендикулярна к оси цилин-
дра и проходит через ее центр. Этот момент, данный выражением (2),
равен
+ L-
2 яр. dxr dr ( х2 -f- ,
L о '
отсюда получим
лцЛТ?2
12
(L2 J- 3£2)
или, если опять обозначить массу через т, то
т = лцЛТ?2,
т. е. момент инерции равен
Пусть цилиндр — тонкая, длинная проволока, тогда без значительных
ошибок можно оставить только одно слагаемое
ml..'
12
После этого мы можем вычислить длину I простого маятника, который
соответствует маятнику, состоящему из шара и проволоки. Пусть т2 и
rrii — массы шара и проволоки, з, и з2 — расстояния их центров тяжести
от точки подвеса, Rr — радиус шара, Ь, — длина проволоки; тогда
S1 - Ry 4- Л,, з2 - Ь .
Пусть опять т — масса всего маятника из — расстояние центра тяжести
от точки подвеса, тогда, согласно теореме о центре тяжести системы масс,
приведенной в § 3 четвертой лекции, имеем
ms mxsx 4- m2s2.
Пусть, кроме того, для шара момент инерции относительно оси вращения маятника тЦ s2^ 25Rl}
и для проволоки
Отсюда по (1) 4+ 2 1 -= 5 т1 з m3 L> si + Г m1 2
Пусть R± и L2 измерены и определено отношение — , тогда можно, сле-
т1
довательно, вычислить I.
71
§ 2
Подобным образом поступают и в случае, 'если ’’различают в маятнике
более двух частей; однако всегда нужно предполагать, что каждая отдель-
ная часть маятника однородна. Метод для измерения тяжести, который
свободен от такого сомнительного предположения, основан на применении
так называемого оборотного маятника.
Он состоит из жесткого стержня, который несет две параллельные
призмы, перпендикулярные к направлению стержня; их острия направле-
ны противоположно друг другу. На стержне укреплен один или более
грузов. Каждая призма может служить осью вращения маятника. Вообще
длины соответствующих простых маятников будут различными в зависи-
мости от того, на какой призме колеблется оборотный маятник; подходя-
щим выбором положения груза или грузов можно достичь того, что для
обеих призм период колебаний при одинаковых амплитудах будет одним
и тем же; это значит, что простые маятники, соответствующие обеим
призмам, имеют одну и ту же длину I. В этом случае по (1) имеем
__ ms\ -I- k
mst
I mS^ + k
ms2
где m — масса маятника, k — его момент инерции относительно оси, кото-
рая параллельна обеим призмам и проходит через центр тяжести, и s15
s2— расстояния центра тяжести от соответствующих призм. Из этих урав-
нений следует:
/ ($1 S2) = Si s2
или, предполагая, что sy не равно s2,
/ = Si + s2.
Пусть теперь выполняется еще то условие, что центр тяжести лежит в
плоскости обеих призм, тогда st + s2 — расстояние между призмами, и из-
мерением этого расстояния можно получить длину соответствующего про-
стого маятника без разделения массы на части.
§ 8
Другой путь избрал Бессель в своих известных «Исследованиях о длине
простого секундного маятника» *, чтобы освободиться от предположения
об однородности частей маятника и одновременно исключить другую при-
чину ошибок, которая состоит в следующем. Ось вращения маятника об-
разуется обычно призмой, которая покоится на горизонтальной подставке.
Но острие призмы представляет не математическую линию, а узкую часть
цилиндрической поверхности очень большой кривизны; это означает, что
ось вращения маятника лежит не точно в плоскости, которая несет призму,
и определяется неточно. Аналогичная ненадежность остается при любом
другом способе подвешивания маятника. Бессель использовал два маятника,
которые были образованы одним и тем же шаром, одной и той же приз-
мой и двумя стержнями, разность длин которых измерялась с предельно
возможной точностью.
* Abhandlungen der Berliner Akademie fur das Jahr 1826.
72
Отсюда и из времени колебаний обоих маятников можно было вычис-
лить длину каждого соответствующего простого маятника без предполо-
жения, что шар однороден и острие призмы — математическая линия.
§4
При опытах с маятником не надо упускать из виду влияние, которое
оказывает воздух на движение маятника. Разрешение этой задачи отно-
сится целиком к гидродинамике, так как это влияние нельзя выяснить
без определения движения, в которое воздух приводится маятником. Здесь
уместно привести некоторые исторические сведения.
Если тело покоится в воздухе, то воздух оказывает на его поверхность
давление, равнодействующая' которого направлена вертикально вверх, равна
весу вытесненного воздуха и имеет точкой приложения центр тяжести
вытесненного воздуха. Можно принять, что при колеблющемся маятнике
силы давления вытесненного воздуха имеют ту же величину, что и при
покоящемся маятнике, тогда влияние воздуха на время колебания легко
могло бы быть определено. Обозначим через т' массу вытесненного воз-
духа, через s' — расстояние ее центра тяжести от оси вращения маятни-
ка, и предположим ради простоты, что этот центр тяжести лежит в одной
плоскости с центром тяжести маятника и его осью вращения; тогда мо-
мент вращения, который влияет на маятник, был бы
— (ms — m's') g sin
и следовательно, дифференциальное уравнение движения маятника
= —(tns-—m'.s')gsin О
и длина I соответствующего простого маятника равна
К
ms — m's'
Это уравнение не исчерпывает влияния воздуха на время колебания маят-
ника. Говорят, что маятник увлекает за собой некоторую массу воздуха
и что поэтому момент инерции маятника возрастает. Как это и должно
быть, можно подставить
l = K±m's'^ (3)
ms — m's'
где К — неизвестное число, зависящее от формы маятника и его периода
колебания, а также от свойств воздуха, но не от массы маятника и под-
разделения его на части. Бессель определял X экспериментально; для этого
он использовал два маятника одинаковой формы с близкими периодами
колебания, но с различными массами.
При оборотном маятнике влияние воздуха на период колебания снима-
ется, если маятник симметричен относительно обеих призм. Это условие
может быть выполнено, только если распределение массы несимметрично
относительно обеих призм, потому что в противном случае было бы
Sx = s2 — такой случай мы можем исключить. Достигают этой цели, рас-
сматривая, например, две одинаковые линзы, расположенные симметрично
относительно стержня маятника, из которых одна полая, а вторая сплош-
ная.
73
При ранее употреблявшихся обозначениях, если имеет место равенство
периодов колебания для обеих призм, то по (3)
L k -|- ms2 +
msi—tn's'
П
k 4- ms‘ 4- m’s 'X
1------------------• (4)
ms2 — ms
откуда следует
/ -- So,
точно так же, как в случае если бы воздух не оказывал никакого влия-
ния. Предположение относительно симметрии формы маятника, которое
мы сделали для этого заключения, существенно; если бы это было не так,
то s' и X имели бы различные значения в обоих уравнениях (4).
§ 5
Опыты с маятником, которые производились в различных местах, по-
казали, что сила тяжести не одинакова на поверхности Земли и над ней;
например, если подниматься вверх, то тяжесть уменьшается. Это измене-
ние силы тяжести становится понятным, если исходить из учения Ньютона,
что тяжесть есть следствие притяжения.
Две массы т и т1, которые находятся одна от другой на расстоянии
t\, действуют друг на друга по законам гравитации с силой, потенциал
которой при подходящем выборе единицы массы равен . Пусть дей-
г 1
ствует несколько масс тг, притягивающихся к массе т, тогда эта сила
имеет потенциал
“2 4-
Вычислим потенциал для случая, когда массы т± — части Земли, при
предположении, что Земля — шар и ее плотность одинакова на равных
расстояниях от центра. Представим себе массу, которая имеет постоянную
плотность (х и заполняет пространство между двумя концентрическими
шаровыми поверхностями с радиусами Я и Я + dR. Потенциал этой массы
относительно единицы массы, которая находится на расстоянии г от центра
шаровой поверхности, т. е. потенциал силы, с которой масса действует на
единицу массы, равен
ц./?2 dR t ( sinarfa dg-----, (5)
J J — 2Rr cos о
где корень берется с положительным знаком и интегрирование ведется по
w от нуля до 2л, по д — от нуля до л. Первое интегрирование непосред-
ственно выполнимо, второе возможно, если вместо переменной ft ввести
р = У"/?2 + г2 — 2Rr cos'O’.
Так как тогда
pdp = Rr sin ftd "ft,
то если обозначить через p" наибольшее, а через p'—наименьшее значения
р, выражение (5) в этом случае принимает вид
М------(р — Р ).
г
74
Но
р" = Я + о
и р' равна той из величин У? — г и г — R, которая является положитель-
ной; это значит, что р' = г—R, если точка, к которой относится потен-
циал, лежит вне шарового слоя, и р' = R— г, если она находится внутри
его. Поэтому в первом случае выражение (5) равно
4я7?2 dR
во втором
ц 4лУ? dR.
Таким образом доказано, что потенциал, о котором шла речь, для каждой
внутренней точки — постоянная величина, а для каждой внешней имеет
такую величину, как если бы масса шарового слоя была сконцентриро-
вана в его центре.
При сделанных относительно Земли предположениях ее потенциал от-
носительно тела, которое находится вне Земли, имеет такую величину,
как если бы в ее центре была сконцентрирована вся масса, а притяже-
ние к Земле, которое испытывает тело, обратно пропорционально квадрату
его расстояния от центра Земли. С этим согласуется результат опыта
с маятником — уменьшение веса тела при увеличении высоты подъема.
Согласно опытам с маятником вес изменяется также на поверхности Земли
или, что то же, на уровне моря. Очень приближенно можно сказать, что
он независим от географической долготы места наблюдения, но изменяется
географической широтой. Обозначив ее через ф и взяв за единицу времени
секунду, имеем на основании опытов с маятником с большой точностью
g = 9m, 8309 ( 1 — _
S \ 191 J
(6)
Тот факт, что вес изменяется с географической широтой места иссле-
дования, рассматривается как следствие вращения Земли — это должно
быть показано в следующих лекциях.
ЛЕКЦИЯ ДЕВЯТАЯ
(Влияние вращения Земли на движение тел на ее поверхности. Центробежная
сила. Отклонение свободно падающего тела от отвесной линии. Опыт с маят
ником Фуко)
§ 1
При исследовании движения тяжелых тел мы использовали систему
координат, которая связана с Землей, и все-таки применяли те же диф-
ференциальные уравнения движения в пространстве неподвижной системы
координат. Поскольку Земля движется, то здесь заключается неточность,
которую мы теперь найдем и устраним. С этой целью мы должны рас-
смотреть, каковы будут изменения в дифференциальных уравнениях дви-
жения, если они даны в подвижной системе координат вместо покоящейся.
В особом случае мы разрешили эту задачу уже в § 4 четвертой лекции,
а именно, в случае, когда оси системы координат при их движении со-
храняют свое направление; и мы показали, что если при этом система
координат движется с постоянной скоростью и в одном направлении, то
мы получим те же самые дифференциальные уравнения, что и при поко-
ящейся системе координат. Центр Земли движется по своей орбите вокруг
Солнца так близко к движению с равномерной скоростью в неизменном
направлении, что к движению на Земле в системе координат, начало ко-
торой есть центр Земли и оси которой имеют постоянные направления,
без заметных ошибок можно применить дифференциальные уравнения,
которые имеют место в подвижной системе координат.
Но иначе, нежели с поступательным движением Земли, обстоит дело
с движением ее вокруг оси, которое оказывает заметное влияние на дви-
жения тел относительно Земли. Чтобы найти это влияние, представим
себе систему материальных точек, на которые действуют произвольные
силы и которые подчинены любым уравнениям связей; рассмотрим поло-
жения, которые имеют эти точки в момент времени t одновременно в двух
системах координат, из которых одна покоится в пространстве, другая
движется. Пусть m—масса одной из точек; х, у, г— ее координаты:
X, У, Z — составляющие действующей на нее силы в момент времени t
в покоящейся системе координат; х', у’, z', X', У', Z' — эти же величины
в движущейся системе координат; наконец, бх, бу, бг — виртуальные из-
менения х, у, г и бх', бу', бг' — соответствующие вариации х', у', г'.
Тогда по принципу Даламбера
о= (в
Введем в это уравнение буквы со штрихами вместо букв без штрихов.
При этом мы используем то, что
X бх + У бу + Z бг = X' бх' 4- У бу' + Z' бг'.
76
гак как оба эти выражения представляют работу одной и той же силы
для одного и того же смещения точки ее приложения; в остальном мы
проводим расчет только при допущении, что
х = х' cos wt + у' sin wt,
у = —х'smwtу'coswt,} (2)
z = г'
где w — постоянная; это значит, что мы рассмотрим задачу в предположе-
нии, что движущаяся система координат вращается в определенном на-
правлении с постоянной угловой скоростью w вокруг оси z', при этом
совпадают начала координат систем и ось z совпадает с осью z'. Из
уравнений (2) следует:
бх = бх' cos wt + бу' sin wt,
(3)
бу = — бх' sin wt -г бу' cos wt,
6z = 5z',
далее
dx dx' , , dy' . , , . , . , ,
--- -- - COS wt -1 — Sill Wl — wx sin wt + Wt] cos wt,
dt dt--------------dt
-y— =-----sin wt -|--- cos wt — wx’ cos wt — Wt]' sin wt,
dt dt di
dz dz'
'.dt dt
и
d2x d2x' , . d2y' ,
= —cos wt—^-sintw—
dt2 dt2 dt2
— 2w dx- sin wt -i- 2w -y— cos wt — w2x' cos wt — w2y’ sin wt,
dt dt
d‘-y d2x’ • , . d-y' ,
dr- dr ' dt
— 2w cos wt — 2wsin wt -j~ w2x' sin wt — w2u' cos wt,
dt dt
d2z __ d2z'
dt'2 dt2
После этого уравнение (1) принимает следующий вид:
О — V (т ------X' — mwW + m2w бх' +
dr dt J
•- (tn ---Y' — mw2y’ — m2w dx- бу' + j tn —---Zr } 6z'. (4)
dr ” dt I v \ dr J '
Это уравнение того же вида, что и уравнение (1); из него следует, что
вращение системы координат х', у', z' можно отбросить, если к силам
(X', У', Z'), которые действуют на материальные точки, еще добавить
определенные силы, составляющие которых
т w2x'— 2w—J^--j, т ^w2y'г-2w, 0 (5)
относятся к точке с массой т.
77
Если система материальных точек находится в относительном покос
в системе х', у’, z', то = 0, —У = 0; тогда выражения (5) приво-
дятся к виду:
mw2x', та)гу', 0.
Сила, которая имеет эти составляющие, перпендикулярна к оси враще-
ния, т. е. оси z', направлена от нее и имеет величину
mw2\Xх‘2 -L- у'2.
Эту силу называют центробежной. Для системы материальных точек,
которые без изменения их относительного расположения вращаются вокруг
оси с постоянной угловой скоростью, можно (чтобы выяснить соотноше-
ния между силами, которые действуют на нее) отбросить вращение, если
к этим силам добавить центробежную силу, вызванную вращением.
Эта теорема допускает еще обобщение, которое мы хотим получить.
Мы предполагаем, что уравнения условий меж-
г \ ДУ координатами х', у', z’ не содержат време-
х \ /''X "v. /z< ни; изменения dx', dy', dz', которые претерпе-
\ вают х' у', г'за. элемент времени dt, являются
/ / \ виртуальными изменениями х', у', z', и могут
/ \ быть подставлены в уравнение (4) вместо fix',
I N/ j 6//', Ъг'. Сделав это, мы получим
\ ] 0 - ----— mw2x'^dx' -
----Y’ -mcYy’ ] dy' - - (6)
Фиг- 1 (т _ Z'}dz'.
Это уравнение совпадает с тем, к которому приходят, если пренебрегают
вращением системы координат и вводят при этом соответствующие цент-
робежные силы. Если далее число уравнений условий между координатами
х', у', г’ так велико, что мгновенное положение системы определяется
одной переменной величиной, то можно вычислить из (6) эту переменную
величину, а следовательно, и получить закон движения системы. Из этого
следует, что при сделанных теперь допущениях необходимость принимать
во внимание вращение системы координат полностью заменена введением
центробежной силы.
Этот результат важен для движения тел на Земле; он показывает, что
можно отказаться от рассмотрения вращения Земли, если добавить к дей-
ствующим на тело силам соответствующие этому вращению центробежные
силы, предполагая, что положение системы определено посредством одной
переменной величины и что уравнения условий между координатами в не-
подвижной на Земле системе координат не содержат времени. Тяжесть—
это равнодействующая притяжения к Земле, которое испытывает единица
массы по законам гравитации, и центробежной силы, возникающей вслед-
ствие вращения Земли; эта равнодействующая и есть та сила, которая изме-
ряется в опытах с маятником, рассмотренных в предыдущей лекции.
Посмотрим теперь, как после этого должна была бы изменяться тя-
жесть по величине и направлению на поверхности Земли, если Земля — шар и
ее плотность на одинаковом расстоянии от центра была бы одинаковой.
Расстояние рассматриваемого тела от центра Земли, т. е. радиус Земли,
мы назовем 7?; направленное к центру Земли и отнесенное к единице
78
массы притяжение к Земле — G; угол, который образует проведенный к
телу радиус Земли с экваториальной плоскостью, обозначим ср, и через щ
обозначим угловую скорость Земли. Ось г' направим по оси вращения Зем-
ли, ось х'—по пересечению ее экваториальной плоскости с меридианом
тела (фиг. 1). Тогда составляющие силы тяжести g но осям координат бу-
дут равны
— (G— aAR)cos<p, 0, — Gsincf.
Из этого следует
g- Gj/^l—2w-q- cos2 ф + (“q— У cos2 ф , (7)
и если обозначить географическую широту места наблюдения через ф, то
она будет означать угол между экватором и вертикалью, т. е. направле-
нием силы тяжести, и
tgip = tg<p--Ц--- (8)
w2R
1—----
G
При допущении, которое мы сделали о форме и свойстве Земли, G равно
значению, которое g имеет на полюсе, следовательно, по уравнению (6)
прошлой лекции (если единицей времени будет секунда)
G = 9т, 8309.
Далее приближенно имеем
R _L 40 000 ООО"2
2л
IV — --------- ,
24-60-60
из этого следует
w^R ____________________________________ 1
G ~ 291
Эта дробь так мала, что при наших наблюдениях ее квадратом (по срав-
нению с единицей) можно пренебречь. Сделав это, получим из уравнений
(7) и (8)
g -- G ( 1— соз2ф'| ,
tgф = tg Ф ( 1 ф- ) .
Поэтому ф — ф также очень мало, так что можно подставить
tg-ф = tg Ф +,
COS2 ф
откуда затем следует
С той же точностью имеем
g — G ( 1 — —cos2 ’
ф — ф -1 - sin 2ф —— .
2 G
Первое из этих двух уравнений того же вида, что и уравне ние (6) пре-
дыдущей лекции, выведенное из опытов с маятником; но числовые коэф-
фициенты при cos2 ф в обоих существенно различны. В основе этого ле-
жит то, что Земля не является, как мы это принимаем, шаром; вследствие
ее вращения она является очень приближенно эллипсоидом вращения,
и поэтому притяжение к ней тем больше, чем больше географическая ши-
рота места исследования. Но не будем подробнее останавливаться на этом
вопросе.
§ 2
На движение тела по отношению к Земле вращение последней ока-
зывает еще влияние, кроме того, которое представляется центробежной
силой.
Исследуем его для свободной тяжелой материальной точки.
Пусть х', у', z' — координаты точки в момент времени t в неподвижной
системе координат на Земле, ось z' которой является осью Земли. Обоз-
начим через X', Y', Z' составляющие силы тяжести по осям координат, т. е.
составляющие равнодействующей притяжения к Земле и центробежной
силы. Тогда
dt2 dt
~у'- Y' + 2w ~x'~ , (9)
dt* dt
&z'_ _ 7,
dt2 ~
Так как в этих уравнениях не встречаются сами координаты, а входят
только их производные функции, то они остаются справедливыми, если оси
координат перенести без изменения их направления; итак, мы можем начало
координат совместить с положением, которое занимает рассматриваемая
точка в t ----- 0; ось z' должна тогда быть параллельной оси Земли. Состав-
ляющие силы тяжести, строго говоря, не постоянные, но мы рассмотрим
их как постоянные, т. е. предположим, что путь, который описывает точка,
бесконечно мал по сравнению с размерами Земли. Обозначим силу тяжести
буквой g, географическую широту места наблюдения — фи направим ось
у' перпендикулярно к меридиану. Пусть положительные направления х' и
z идут от Земли, тогда
X' = —£С05ф, Y' =0, Z' = —£зтф. (10)
Теперь вместо системы координат х', у', z' должна быть введена новая —
х, у, z, так что ось у совпадает с осью у', ось z имеет направление силы
тяжести, и, следовательно,
X =0, Y -0, Z -- g.
Теперь можно получить:
.V = — х’ sin Ф + z' COS ф,
У = у',
г = — х' cos ф — z' sin ф.
80
Продифференцируем эти уравнения дважды по t, используя (9), (10) и
уравнения х' = —х sin ф — z cos ф, у' = у.
d'lx п , dy
-----=2w cos ф — — ,
d/2--dt
~~у— =~- —2w / sin ф + cos ф V (11)
d/2 \ dt dt I ' ’
d2z , n , dy
- - - ц + 2w cos ф - -.
d/2 dt
Зти уравнения можно интегрировать без дополнительных предположе-
ний известным методом; мы упростим их интегралы, допустив, что можно
пренебречь членами порядка w‘iy. Начальные значения ----- , на-
dt dt dt
зовем а, 0, у; тогда мы прежде всего получим из (11)
- J— = а. -|-2а) sin ф • у,
dz , , , г.
-у = Т J- gt +2w cos ф • у,
at
а используя это — при упомянутом допущении — получим
= р —2w (a sin ф -г У cos ф) t — w cos ф • gt2.
Это же предположение ведет далее к уравнениям
х --- at шр sin ф t2,
st3
у — fit — w (a sin ф у cos ф) t2 — w cos ф ,
2 — у/ + Wfi COS ф j t2.
Пусть начальная скорость равна нулю; это означает, что а, р, у равны
нулю, и тогда эти уравнения будут
х = 0,
, gi3
у = — w cos ф ,
2-_=
2
отсюда следует
(12,
Свободно падающее тело отклоняется поэтому вследствие вращения
Земли от вертикальной линии в направлении, перпендикулярном меридиану.
Отклонение происходит в сторону вращения Земли, т. е. на восток. Рай-
хом поставлены в Фрайберге опыты, при которых было
ф=-50°57', g-9^,811, х = 158'”,5.
Уравнение (12) дает отсюда у- = 27тт, 5; Райх нашел у =28mm,4.
5 Г Кирхгоф
81
§ 3
Теперь мы исследуем движение простого маятника, который может
свободно вращаться вокруг точки подвеса, но с учетом вращения Земли.
Мы воспользуемся той же системой координат, к которой относится
уравнение (11), ось z этой системы направлена вертикально вниз. За начало
координат примем положение равновесия тяжелой точки маятника, / — его
длина. Тогда имеем уравнение условия
х2 4~ У2 4~ G — 2)2 ~ I2.
и дифференциальные уравнения движения примут вид
----=2az> sinф - - 4- лх,
dt*--dt
-у- . = .-2ю f зтф 4- созф —) 4 Ку-, (13>
dt* \ <4 dt)
= g +2w cos ф 4- К (z — I).
Интеграл уравнений найдем, если их помножим на dx, dy, dz, сложим и
проинтегрируем; тогда получим
dx2 4- dy2 + dz2 — (2gz + H)dt2, (14)
где H — произвольная постоянная. Чтобы найти второй интеграл, образуем
из (13)
d*y d*x п i i dx , dy\ n . dz
x—-------у-----=—2аг>зшф x---------—2шсозфх---------------. (15)
dt* dt* \ dt dt ) dt
Это уравнение, вообще говоря, неинтегрируемо; но его можно проин-
тегрировать, если допустить, что колебания маятника бесконечно малы.
Пусть х и у — бесконечно малые первого порядка по сравнению с Z; тогда
г будет второго порядка малости, а именно
z = *24-»*
2/
Поэтому последний член в уравнении (15) третьего порядка малости, в
то время как другие — второго. Пренебрегая ими, имеем
х dy — ydx = (с — w sin ф (х2 4- У2)) dt, (16)
где с — новая произвольная постоянная. Теперь уравнение (14) приведем к
виду
dx2 + dy2 = (х2 4- у2) 4- И ) dt2. (17)
Подставляем в (16) и (17)
х — г cos 0, у = г sin О,
где г и ® — полярные координаты тяжелой точки, получим
г2 dO — (с — r2w sin ф) dt,
dr* 4- г2 dO* = ( г* 4- Я) dt*.
\ I /
82
Если мы положим
9 4- tw sin ip = f>, (18.
то первое из этих уравнений примет вид
г2 d$ ~ cdt, (19
а второе
dr2 + г2 d62 ~= ----w2 sin2) г2 -t Н 4 с2ш sin 4 'j dt2 (20
Введем вместо И другую произвольную постоянную h с помощью уравне
ния
Н + с2а> sin “ф = h
при условии, что w столь мало, что его квадратом можно пренебречь
уравнение (20) запишем следующим образом:
dr2 + г2d&2 = ( г2 4-h\ dt2.
\ f
Уравнения (19) и (20) можно легко проинтегрировать до конца; они согла
суются с уравнениями, в которых пренебрегают вращением Земли. И;
этого следует, что они не содержат w, т. е. останутся неизменными, если
подставить в них w =0. Подставляем w =0, тогда 0 — 9, и г и О будут
полярными координатами тела маятника. Если принять во внимание вра-
щение Земли, то этими полярными координатами являются
г и 9, и между 9 и О существует соотношение (18). Отсюда сле-
дует, что относительное движение маятника по отношению к вращающейся
Земле такое же, каким было бы абсолютное движение маятника, если бы
Земля была неподвижной, но в действительности Земля вращается с угло-
вой скоростью w sin ф вокруг вертикальной линии, проходящей через точкх
подвеса.
Этот результат подтвержден опытами, поставленными Фуко.
ЛЕКЦИЯ ДЕСЯТАЯ
(Относительные перемещения частей тела. Расширение линии, поверхности,
объемного элемента. Изменение бесконечно малой частицы твердого тела сла-
гается из поступательного перемещения, вращения и растяжения по трем взаим-
но перпендикулярным направлениям. Главные удлинения. Движение по поверх-
ности тела и по поверхности соприкасания двух тел)
§ 1
До сих пор наши исследования относились к материальной точке и твер-
дому телу. Последнее мы рассматривали как систему материальных точек,
неизменно связанных между со зол. Нам не нужно было обсуждать, как
расположены точки — непрерывно или нет, и не надо было принимать во
внимание, что число их бесконечно велико.
Мы обратимся теперь к исследованию движения нетвердого тела, час-
тицы которого испытывают относительные перемещения. Строго говоря,
это имеет место для всех тел природы. Исходным пунктом этого иссле-
дования будет предположение, что тела состоят из сплошной растяжимой
материи и что движение в этих телах непрерывно изменяется с изменением
положения тела. Значение этого предположения выступит яснее, когда мы
его выразим уравнениями. Пусть а, Ь, с — координаты некоторой мате-
риальной точки тела в момент t0 и х, у, z — координаты той же точки в
момент t. Тогда х, у, z будут непрерывными функциями четырех непре-
рывно изменяющихся аргументов a, b, с, t. Материальная точка тела, ко-
ординаты которой в момент будут
a -J- da, b -ф db, с + de,
н момент t имеет координаты
х 4~- dx, у -j- dy, z 4 dz,
где
. дх , , дх ,, , дх ,
dx =------da 4------db 4-----de,
да db дс
. ди , . ди ,, . ди ,
dy —— da 4----— db 4----— de,
да db дс
dz - da 4- db 4~ —Z— de.
da db de
Эти уравнения составляют основу исследований, к которым мы приступим.
Можно da, db, de рассматривать как координаты в момент t0 точки
тела относительно системы координат, оси которой параллельны осям преж-
ней системы, но начало которой взято в точке 0; прежние координаты
этой точки а, Ь, с. Три координаты одной и той же материальной точки
84
da, db, de в момент t в той же системе координат будут
х — а + -dx—da 4- —— db + de,
да db дс
у — b + da + —db 4- -у- de,
да db дс
. dz , dz ,, , дг ,
2— с 4- - -da-.--db 4----de.
да db дс
(1)
Так как da, db, de произвольны и мы можем не обращать внимания
на то, что они должны быть бесконечны малы, то выражения (1) позво-
ляют судить о том изменении, которое получают бесконечно малые час-
тицы за промежуток времени от t0 до t. Характеристикой этих выражений
является то, что они линейны относительно da, db, de. При развитии след-
ствий, которые отсюда вытекают, мы будем пользоваться некоторыми но-
выми обозначениями, но потом вернемся к тем, которые использовались дс
сих пор.
§ 2
Пусть £, т), £ — координаты материальной точки тела. Предположим,
что это тело деформируется так, что если обозначить через т]*, Г ко-
ординаты той же точки после деформации, то
В" =--- «1 + ЯиВ + alaTi 4- С!13Ъ,
П" = а24-а21£4-а22т] 4-а2з?> (2!
£ — а3 4' <2з1§ + ^ззЛ 4~ аззь,
где величины а — постоянные. Исследуем эти деформации. Мы предполо
жим при этом, что величины а не бесконечны, и что если
ё - Ьц (Г — aj + b2l (n" — а.2) + b31 (Г — а3),
Л-=&12(£ а1) 4” ^22 (л а2~) 'Ф ^32 (Г- 41). (3
с — bls(g' -4 &2з (В — 4:) 4" b33 (£," — а3)
суть решения уравнений (2), то величины b также имеют определенные нс-
бесконечные значения. Если обозначить через D определитель величин.
о!1г> • • > т. е.
i alt al2 а13 j
D I $21 $22 $23 I ♦ (4'
I $31 $32 $33 I
го согласно решению (3), требуется, чтобы D не обращалось в нуль. Мы
будем предполагать, что при непрерывном изменении тела D не обраща-
ется в нуль. Тогда D будет всегда положительным, а именно, равно еди-
нице, и положительно, если уравнения (2) будут
Г-Г Г-Г
Прежде всего очевидно, что точки тела, первоначально расположенные
в одной плоскости, в плоскости же и останутся, потому что линейному
соотношению между т]", £" соответствует линейное соотношение между
8Г
г|, g, и наоборот. Прямые линии при этом будут также прямыми и па-
раллельные параллельными же и останутся, потому что g", ц", £" беско-
нечны, когда g, я, g бесконечны, и обратно.
Дальнейшие рассуждения мы можем несколько пояснить следующим
замечанием. Представляемую уравнениями (2) деформацию тела мы можем
рассматривать как составленную из двух, следующих одна за другой.
Кроме двух рассмотренных до сих пор состояний тела вообразим себе
третье, промежуточное состояние, и обозначим через г]' g' координаты
з этом состоянии той точки, которой соответствуют координаты g, rj, g и
й", Д Тогта уравнения (2) мы можем заменить следующими
с" at + g',
•Г Ог + П'. (5)
ая + g'.
i - allfe "Г а1211 4* а13^>
ч' ---- «21ё + а2гЧ + a23g, (б)
Г.' a31g + a32Ti + a33g.
’Представляемые уравнениями (5) изменения тела есть смещение без изме-
нения относительного положения его точек и без вращения; проекции этого
смещения на оси координат равны а2, ая. Обратимся теперь к иссле-
дованию деформации, данной уравнениями (6), являющейся частным слу-
чаем деформации, представленной уравнениями (2).
Рассмотрим прямую линию тела, проходящую через начало координат.
Пусть а, р, у — косинусы углов, образуемых с осями, г — длина этой ли-
тии перед деформацией, а', £', т'- г' — соответствующие величины после
реформации; тогда
g га, ц = r$, g = ту,
g' -.т г'а', ц' - г'р', g' - г'т';
(следствие (6) имеем
г'а' - г(апа г а1г$ + а)3у),
г'р' - г («21« + 4-(7мт), (7)
г’т' ----- г(п31а 4- а32р 4- а33т).
Рассматриваемая, линия изменяется по величине и направлению. Значение
-----1 называется ее удлинением. Оно вычисляется так же, как и изме-
г
тение направления из (7), если принять во внимание уравнение
а'2-, р'2 4- у'2 = 1 •
Параллельные линии получают равные удлинения и равные изменения
направления, так как параллелограмм остается параллелограммом. Найдем
теперь изменение величины и направления, испытываемое плоской поверх-
ностью. Выберем за таковую треугольник, координаты вершин которого в
начальном состоянии тела суть
о, о, о, g.„ л., ;i,
5г,
Пг,
и- после деформации
О» 0, 0> Si, Tli> Zi> ?2, Л21 ?2-
Наряду с принятой системой координат введем другую — х, у, г, относительно
которой предположим, что она может быть приведена вращением в поло-
жение, при котором оси х, у, г соответственно совпадут с осями g, л, £,
и положим вообще
g = cqx + а2у + а32,
Я = + р2у + Зз2,
£ = Т1Х 4- у2у 4- y3z.
В начальном состоянии тела примем за плоскость х, у плоскость упомяну-
того треугольника. Тогда будем иметь
Ci — а1Х1 4" «2^1» S2 = а1-^2 4" агУг>
П1 = Р1*1 4- Р2У1, т1г = 31*2 + ЗгУг,
Cl = YjXi 4- ЪУъ Ц = ГЛ + ГгУг,
откуда, принимая во внимание уравнения (6) и (7) пятой лекции, получим
— Лг^гх ~ аз(*хУг хгУ1)>
С1В2 ^2?i — РзС^хУг хгУ1)’ (8)
^хЛг — езЛх = Гз — Х2У1)-
Обозначим через s площадь упомянутого выше треугольника в начальном
состоянии тела; тогда
±2s = Xjt/2 —x2t/i,
где знак левой части определяется тем, что s должно быть положительно.
Обозначим далее через а, 0, у косинусы углов, которые образует одна из
двух нормалей к плоскости треугольника, т. е. ось z или ей противопо-
ложное направление, с осями g, rj, С; тогда
±2sa = т]1Ъ2 — Пг£1,
±2sfJ — С1С2 — t4£x,
±2sy == С1Л2 — £2П1,
где должны быть взяты три верхних или три нижних знака. Подобные же
исследования по отношению к треугольнику после деформации в аналогич-
ных обозначениях приводят к уравнениям
±2s'a' = т]& — лХ,
±2s'p'=^2 —(9)
±2з'т' = ЩП2— gX,
где s' — площадь, а' р", у' — косинусы углов ее нормали с осями коор-
динат после деформации и где равным образом должны быть взяты три
87
верхних или три нижних знака. Из (6) также получаем
Лз?! — (а22азз ^гз^за) (Л1?з Ла^х) 4" (а2заз1 а21°зз)(?1§2 — ^гВх) 4'
4- (^21^32 °22а31) (?1Лг £гЛ1)- (Ю)
Это уравнение примет более простой вид, если введем определение вели-
чины b из уравнений (3). Именно
&и — 1 / D (°22азз — а2зазг).
^12 — 1 , . ~D '•а'23а31 а21аЗЗ/<
&13 — 1 / ~ ~ (с21а32 w22a31)>
где D обозначает определитель величин а. Преобразуем помощью этих
выражений уравнение (10) и добавим два уравнения, коте ые могут быть
составлены аналогичным путем; тогда получим
± s'а' = sD (bua 4- W 4- 61зГ),
± s Р = sD (b21a 4- &22Р 4~ &2зТ), (11)
± s'y' = sD(b3la 4- &32Р + b33x),
где в левых частях должны быть одновременно взяты положительные или
отрицательные знаки. Мы уже предположили, что состояние тела изменя-
ется непрерывно и притом так, что D не обращается в нуль. Если мы те-
перь установим, что нормаль, определенная через а, р, у, не меняет знака,
то в формулах (11) должен быть взят положительный знак, так как он
имеется в начале деформации и не может измениться на обратный. В са-
мом деле, если бы это произошло, то s' должно было бы быть равным
нулю, в то время как s отлично от нуля, так как левые части уравнений
(И) не могут одновременно обратиться в нуль, т. е. три точки тела, ко-
торые первоначально не лежали на одной прямой, должны были бы нахо-
диться на ней после деформации. Поэтому
s'a' = sD(bnx 4- &12р 4- 613у),
s'p' = sD (&21a 4- &22Р 4- &гзТ)> (12)
s'r' --= sD (b3la 4- (?32p + &33t).
Из этих уравнений можно вычислить изменение направления и расширение
данной поверхности; так называется значение -s-----1. Эти уравнения при-
S
годны, впрочем, не только для треугольника, который мы рассматривали,
но и для каждой части его плоскости, потому что она может быть состав-
лена посредством сложения и вычитания таких треугольников. Уравнения
(12) пригодны также и для параллельных площадей, потому что линии,
параллельные и равной длины, такими и останутся.
Найдем, наконец, объемное расширение, соответствующее деформации
тела, представляемой уравнениями (6). Для этого вообразим себе в теле в
его начальном состоянии цилиндр, ограниченный двумя перпендикулярными
поперечными сечениями. Обозначим через s площадь основания, через г —
длину оси, через а, р, у — косинусы углов, образуемых одним из двух ее
88
направлений с осями координат. После деформации цилиндр сделается ко-
сым. Пусть теперь s' — площадь основания, г' — длина оси его цилиндра,
далее пусть а', р', у' — направляющие косинусы основания и а" ,[Г, у"—
направляющие косинусы оси цилиндра. Тогда будут применимы уравнения
(12), и по уравнениям (7) имеем
г'а" г (аца ф- а12{3 + «гзУ),
г'Р" г (о21а + а2,.3 а23г),
г'г" •= г («31» + а32₽ + а33т).
Перемножим эти уравнения, соответственно, с уравнениями (12) и сложим
произведения. Обозначим объем цилиндра перед деформацией через т, после
деформации — через т'; тогда будем иметь
т = rs,
х' = r's'(a'a"+ Р'Р" + т'т").
Заметим далее, что при данном в (3) определении величин b уравнения (3)
должны сделаться тождественными, если подставить в них значения g", г)', ь’
из (2). Отсюда получим девять соотношений между величинами а и Ь; из
них, подобно предыдущему, составим уравнение
т' —т£>. (13)
Объемное расширение, т. е. -------1, будет поэтому равно D—1. Это
Г
выражение пригодно не только для цилиндра, но и для любой части тела,
потому что такая часть может быть составлена из цилиндров.
Мы присоединим к этому одно замечание, на которое будем ссылаться
в дальнейшем. Пусть
Пь U
Лг,
5з> Лз, Сз
— координаты трех точек тела до деформации;
< с
^2, Лг, ^2>
Лз,
— координаты тех же точек после деформации; тогда будут иметь место
уравнения, которые получатся из уравнений (6), если в них буквы g, г],
Л', f снабдить индексами 1, 2 или 3. Шестикратный объем тетра-
эдра, имеющего вершинами эти три точки и начало координат, перед или
после деформации равен абсолютному значению определителя из начальных
или конечных девяти координат. Следовательно, на основании (13) отно-
шение этих определителей равно + D\ именно равно + D, так как оно
равно единице вместе с D, когда деформация обращается в нуль. Под-
89
ставим вместо D его значение из (4); тогда получим
£1 ^1 £1 Si Л1 gi #11 #12 #13
11 'Пз = S2 Л2 ?2 #21 #22 #23
S3 Из gs S3 Лз ?з #31 #32 #33
Это уравнение не зависит от того, какое значение имеют буквы I', rf, g',
g, т], g, и требует только, чтобы между ними существовали уравнения,
составленные по образцу уравнений (6); оно выражает известное предло-
жение теории определителей.
§ 3
Данное уравнениями (2) изменение тела мы рассматривали как состав-
ленное из двух, представленных уравнениями (5) и (6); первое из них яв-
ляется смещением. Покажем теперь, что второе может быть разложено
на вращение тела вокруг начала координат и на деформацию, которую
будем называть растяжением по трем взаимно перпендикулярным на-
правлениям. Наряду с системой координат g, г), g введем другую с тем
же началом координат, и обозначим через х, у, z координаты относительно
этой системы некоторой материальной точки тела в его начальном состоя-
нии. Вообразим себе теперь, что состояние тела изменилось так, что, обоз-
начив через х', у', г' новые координаты той же точки относительно той
же самой системы координат, будем иметь
х' = щх,
У' = (14)
г' = psz.
где Ц1, ц2, Цз должны быть положительными константами.
Мы назовем эти деформации растяжениями в направлениях осей х, у,
г. Они имеют ту особенность, что частицы, первоначально расположенные
на оси, на ней же и останутся. Расширения, имеющие место в направле-
ниях осей, мы назовем главными растяжениями', их величины суть gj — 1,
ц2—1, Цз—1. После того как имело место это растяжение, вообразим,
что тело вращается вокруг начала координат вместе с осями х, у, г.
Тогда несмотря на это вращение координаты рассматриваемой материаль-
ной точки относительно этих осей не изменятся и останутся равными
х', у', z'.
Пусть теперь g, rj, g— координаты той же самой материальной точки
в системе (gi]g) в начальном состоянии тела и g', ту', g'— координаты той
же точки после растяжения и вращения. Далее обозначим косинусы углов,
образуемых осями х, у, z с осями g, г), g перед вращением, через
“1 31 Гь
«2 За Гг>
аз Зз Тз>
а после вращения — через
ai 31 т«>
#2 Зг Тг>
аз Зз Тз,
так что, согласно ранее примененному способу обозначения, а, р, у соот
ветствуют g, т|, g, а индексы 1, 2, 3 соответствуют х, у, г. Тогда будем
яо
иметь
х = <*i£ + РД1 + Г1£.
У — аг5 + ЗгЛ +
Z = аз& + РзП + 7зъ
t' = а'хх’ 4- а'2у’ + а3и',
П' = ₽!»' + &у' + ?'3z',
= ч'1Х’ + ЪУ’ + Тз*'.
(15)
(16)
Подставив в (16) значения х', у', г' из (14) и потом вместо х, у, г их
значения из (15), получим
V 5(аХН1 + аХш -Г ®зазЦз) + й (?Xhi + МгШ + Рз^зНз) +
+ £ (naini + Г2ОЧН2 + ТзазНз)>
П' •= S(ai₽^i + «2З2Ц2 + ЛзнзЦз) + П (PiPxHi + Р2З2Н2 + РзРзЩ) +
+ ? (YiPiVi + Г2Р2Н2 + ГзРзЦз),
Г -= g (а1Т1'ц! + а2у2ц2 + а3у3ц3) + й (PitIm-i + Р2Г2Ц2 + РзТз'цз) +
-Г S (Т1Т1Н1 + Т2Т2Н2 4- ГзТзНз)- (17)
Эти уравнения того же вида, как (6); подходящим выбором восемнад-
цати величин а, р, у и трех величин р. их можно сделать тождествен-
ными с (6). Для этого имеем девять уравнений, выражающих равенство
коэффициентов уравнений (6) и (17), и двенадцать соотношений между
величинами а, р, у. Отсюда следует, как это будет показано ниже, что
каждое из уравнений (6), определяющих деформацию тела, может быть
рассматриваемо как составленное из вращения и растяжения, как оно
представлено уравнениями (14).
Каким образом можно вычислить а, ₽, у, ц, покажет следующее ис-
следование. Допустим, что между g, т], t существует соотношение
+ (18)
г. е. рассмотрим материальные точки тела, которые первоначально нахо-
дились на сфере, описанной единичным радиусом вокруг начала координат.
Тогда, если использовать данное в (3) значение Ь, то уравнения (6) дадут
следующее соотношение между g', tj'
0us 4“ 52|Т]'+ 531g )2(512g 4~ 522т) 4-^32^)“ 4
-+ (513g' + &23п' 4- йззь')2 = К
(19)
г. е. уравнение поверхности второго порядка, а именно эллипсоида, так
как если мы положим
g' = r'a', п' = г'$', - г'у',
го оно при верхних значениях а.', Р', у' дает действительные конечные
значения для г'. Таким образом, рассматриваемая частица после деформа-
ции, представленной (4), будет расположена на этом эллипсоиде.
Из уравнения (18) следует теперь на основании (15)
х2 + У2 ф- z2 = 1,
и далее, с помощью (14),
х'а | у'2 , г'2
Hi ‘ Н2 Из
Если принять во внимание положение осей х, у, z после вращения, кото-
рое мы рассматриваем как часть изучаемой деформации, то это уравнение
представит тот же самый эллипсоид, что и уравнение (19). Будем искать
с помощью последнего главные оси эллипсоида; получим для длин его
полуосей значения р.1, ц.,, ц3, а для косинусов углоз, которые они обра-
зуют с осями г], значения а', [3', у'. Если мы положим
Г4№4-?'2 = 1.
то подобным же образом найдем
(аи£ + а12т) + а1з£)2 + (а21£ + + а2з£)2 4~ (^з1В + ^зг1! 4“ азз?)2 — Е
v&2 + yly2 + = 1
как уравнения второго эллипсоида, если только оси х, у, г имеют поло-
жение, которое они занимали перед этим вращением. Полуоси этого эл-
1 1 1
липсоида равны —, —, — и косинусы углов, которые они образуют
Iх! М-2 Из
с осями g, т|, 'Q, имеют значения а, р, у.
§ 4
Вычислим вращения, величины и направления главных удлинений, соот-
ветствующих уравнениям (6), только для случая, когда полная деформа-
ция бесконечно мала. Тогда главные растяжения [ij— 1, ц2— 1, ц3—1.
которые мы обозначили через Х1( Х2, Х3, будут бесконечно малы так же,
как и разности а' — а, р'— р, у'—у, которые мы обозначим через
ба, бр, бу
с индексами 1, 2, 3. В силу существующих соотношений между а, р, у,
уравнения (17) при пренебрежении бесконечно малыми высших порядков
примут вид:
£'•—£ = £ (а^ ф- а2Х2 + азЛ,3 ф 04604 ф- 04604 ф- 04604) ф-
4~ Г) («iPAi + 04Р2А,2 ф- азр3А,3 ф- Pj6o4 ф- Р26а2 ф- Р3604) +
+ £ (апЛх + а2у2Х2 -ф а3у3Х3 ф- угбо4 ф- у2ба2 ф- у3ба3),
Т] — т| = g (pj.04^1 ф- Рг^г^г ф~ Рзаз^з 4* 046Р1 ф- ос2бр2 ф- 046Р3) -т
+ П (₽^х+ 3^2 + рз% + Рхбрх ф- р2бр2 ф- р3бр3) + (20}
4- К, 4- РгТг^г 4- РзГз^з 4" Гхбрх ф- у2бр2 у3бР3),
92
С — S = Ъ (Г1«Л1 + Т2«2?-2 + Тз“з^з + МУ1 4- МУг + «з'^Гз) +
4- 1] (У1Р1Л1 ~i~ ТгРг^г 4" ТзЗз^з 4~ Pi^Ti 4* Рзбу., 4~ Рз^Уз) 4“
4- £ (Ti^i 4- УгХ2 4- УзХ3 4- Т1 бТ1 + Тг^Тз 4“ Уз^Тз)-
Варьируя соотношения между величинами а, р, у, получим шесть соотно-
шений между величинами а, р, у, 6а, 6р, бу, которые были даны в § 2
пятой лекции при выводе уравнений (10).
Вследствие этих соотношений, сравнивая уравнения (20) с уравнениями
(6), получим
— 1 -- а1л1 -j- а2Х2 "4 азХ3,
-- 1 pjAq + р.Д2 -j- р343,
изз — 1 ~ + 7-2^2 + 7зХ3,
= Р1ГЛ 4-р2У2^ 4-РзТзЧ (21)
=-. Т1а1Х1 + у2а2Х2 + у3а3Х3,
'" ~ aiPi^i 4~ ЯгРз^г + «зРз^з-
В § 2 пятой лекции показано, что величины
МТ1 4- МУг 4- Рз^уз, ytdaj 4~ у2ба2 4- Т:;баа. а-б^ + а26р2 + а3б₽3,
которые мы обозначали там через л', У/, о', суть компоненты вращения
по осям g, г), £. Следовательно, сравнивая уравнения (20) и (6), найдем
выражения этих компонент
д?2--О-2Ч д 14-- « i — а12 (22)
Значения величин а, р, у, X мы получим следующим образом. Из
уравнений (21) легко найдем, с помощью соотношений между а, р, у
(ап - I - Х1) аг 4- д- Т1 0,
£21±£11 а, л. (,,г2 _ i __ з, + Т) _ 0> (23)
£21+£и а1 + 31 + (t/33 1 МТ1 0.
Так как здесь аь рь уг не могут быть одновременно равны нулю, потому
что сумма их квадратов равна единице, то определитель этих уравнений
должен обратиться в нуль, т. е. Xj должно быть одним из корней куби-
ческого уравнения
'-11 1 ’ Л ai2 a-xi (7f! -т- я пт
/ У.
+ а12 а-2—1 — X а.^ -Ъ «42 - 0
а гл 4“ а13 О оо Q 23 «33-1 - X
4м 2
(24)
93
Уравнения (23) будут также иметь место, если поставим индекс i
вместо 2 или 3 при буквах а, р, у, X, откуда следует, что Х2, л,
суть три корня уравнения (24). Если один из них выбран в качестве Х1(
то из уравнений (23) определятся соотношения а1( рь ур, сами эти вели-
чины, до знака одной из них, который остается произвольным, определя-
ются через присоединение уравнения
а!+Р?+т?= 1.
Подобным же образом получим значения а2, р2, у2 и а3, р3, у3. Знаки
одной из величин а2, р2, у2 и а3, р3, у3 также могут быть выбраны про-
извольно.
Заметим, что объемное расширение
Н1Ц2Ц3 — — (1 4~ М 0 + М U + \з) — 1 = Aj 4- л2 4- Х3,
как это вытекает из трех первых уравнений (21), равно
cii 1 — 1 4- п22 — 1 Ч- «23 — 1 •
(25)
§ 5
Возвратимся теперь к § 1. Из полученных в нем результатов можно
заключить, что деформация, которую получает какая-нибудь частица тела,
размеры которой бесконечно малы, при движении в какой-нибудь элемент
времени, может быть рассматриваема как составленная из смещения, вра-
щения и растяжения, характеризуемых уравнениями (14). Компоненты
смещения суть
х — а, у — Ь, г— с.
Материальная точка, которая не получает перемещения при вращении и
растяжении, есть точка с начальными коэффициентами а, Ь, с; после де-
формации ее координаты будут, следовательно, х, у, г. Компоненты вра-
щения, величины и направления главных растяжений, как и всех растя-
жений, могущих возникнуть, мы найдем из выведенных для них формул,
если положим
дх _ дх дх
Яп - gg - «12 - gp «13 - gg >
“21==Й’ а™^7Гс' (26)
_____dz _ dz __ dz
«31-=^, u32
Деформация, которую получит рассматриваемая часть тела в элемент
времени dt, бесконечно мала; поэтому к ней применимы формулы, ^.выве-
денные в § 4. Для этого обозначим через х, у, г те величины, которые
до сих пор обозначали через а, Ь, с, и напишем х 4- dx, у + dy, г+ dz
вместо х, у, г. Вместе с тем положим
dx — udt, dy = vdt, d2 — wdt,
t. e. обозначим через и, v, w компоненты скорости в момент времени ;
в точке (х, у, г). Тогда уравнения (26) будут иметь вид
1 и ап — 1 = ^-dt, 11 дх du aiz - j-ydt, du .. = dzdt-
dv = dxdt' aY, — 1 —dt, r oy « %-dt, dz
a^^dt, м дх dw ,, a™ — -s- dt, 32 dy i du> ам ~ dz d^'
(27)
94
Вследствие уравнений (22) компоненты скорости вращения в точке (х, у, г)
во время t суть
1 /div dv' 1 I ди dw\ 1 /dv ди <
2 \ду dz / ’ 2 \дг дх / ’ 2 ду>
(28)
и, по (25), объемное расширение, которое здесь происходит в элемент
времени dt, равно
/ ди dv dw \
I j—т—д— ) dt.
\dx ‘ dy dz J
(29)
§ в
Обратимся теперь ^рассмотрению внешней^поверхноспш ~ движущегося
тела; докажем (в предположении непрерывности движения), что она всегда
будет образована одними и теми же материальными точками. В самом
деле, вообразим себе материальную точку * Р, которая в некоторое мгно-
вение не лежит на наружной поверхности, и рассмотрим часть тела, пред-
ставляющую бесконечно малый шар, описанный в это мгновение вокруг
точки Р. Согласно нашим исследованиям, в каждое, другое мгновение эта
часть станет эллипсоидом с центром в точке Р. Из этого следует, что
материальная точка, которая хотя однажды не лежала на наружной по-
верхности, никогда не будет на ней находиться; это есть не что иное,
как предыдущее предложение, только высказанное другими словами. Что-
бы выразить его аналитически, предположим, что уравнение наружной по-
верхности в момент времени t будет
f(x, у, z, /)=- О,
(30)
и рассмотрим материальную точку, которая в момент времени t лежит на
наружной поверхности. Та же точка лежит на ней и во время t-\-dt, так
как если f = 0, то также равно нулю изменение, которое получит /, когда
t возрастет на dt и одновременно х, у, г возрастут на udt, vdt, wdt;
таким образом,
df
dt
dL
dx
dL
dy
ft ~ 0.
dz
(31)
Наружная поверхность тела состоит из поверхностей, которыми оно
соприкасается с другими телами. Пусть (30) будет уравнением одной из
таких поверхностей и пусть иг, vlt и ut, v2, w2— компоненты скорости
в точке соприкосновения (х, у, г) первого и второго тела; тогда из урав-
нения (31) получим
5/ df df df
+ и1 + и1 Т" + "а- ~ 0
dt Ldx 1 ду 1 1 dz
и
df df df df
-Д7 + T" + Vi a------------Ь W2 -г- 0.
dt ' dx dy dz
• Материальной точке здесь не может быть приписано никакое растяжение. Физи
ческсе значение граничного условия усматривается непосредственно, если уяснить себе,
что компонента скорости точки координат поверхности по нормали к ней должна сов-
падать со скоростью в том же направлении, имеющейся налицо в рассматриваемой
точке, вследствие значений, приписываемых и, о, t». При движении жидкости условие
можно выразить так, что наружная поверхность должна быть всегда образована ли-
икями тока (В. Вин).
95
Вычтем эти уравнения одно из другого; обозначим через п одно из двух
направлений нормали в точке (х, у, г) и воспользуемся тем. что
df д[ df
cos : cos ' cos ’
тогда получим
u-i COS (lix) 4-- V] COS (пу) -4- Wt COS (nz) -•=- ll2 COS (fix) -+- V2 COS (ny) -T- w.2 cos (nz).
(32)
Это уравнение выражает, что компоненты скорости по нормали к гранич-
ной поверхности двух тел имеют одно и то же значение.
Возможно также допустить, что в одном теле имеется поверхность,
по которой скорость изменяется скачком. Мы можем тогда рассматривать
две части, на которые тело разделяется поверхностью, причем, если она
не замкнута, то любым образом может быть дополнена до замкнутой,
как два тела. Тогда уравнение (31) будет также иметь место.
ЛЕКЦИЯ ОДИННАДЦАТАЯ
(Давления. Зависимость компонент давления от направления и положения элемен-
та поверхности, к которому оно относится. Равенство давлений на обеих сторо-
нах поверхности соприкосновения двух тел. Внутренние силы. Значения компо-
нент сжимающей силы в жидкостях и упругих твердых телах)
§ 1
Для простоты представления движений тела полезно, кроме сил, ко-
торые мы до сих пор рассматривали и которые действуют на частицы
тела, ввести другие силы, распределенные по его поверхности. Эти силы
называют давлениямих. Давление, действующее на элемент поверхности
тела, подобно движущей силе, приложенной к точке; ему присущи неко-
торая величина и некоторое направление. Мы будем говорить о компо-
ненте давления по известному направлению, его моменте вращения отно-
сительно некоторой оси, его работе для известного перемещения в том
же смысле, как о силе такого рода, который мы до сих пор рассматри-
вали. Давление пропорционально величине элемента поверхности, к кото-
рому оно относится.
&•. Мы не будем пытаться давать более полное определение этого обоб-
щенного понятия силы, так же как и раньше мы не дали его для более
частного случая. Мы только хотим установить, что произойдет с движе-
нием тела, когда даны силы, действующие на его частицы, и давления,
распределенные по его поверхности.
Для системы материальных точек, которые связаны между собой так,
что допускают смещение в любом направлении и вращение вокруг каж-
дой оси, без изменения относительных Компонент, применимы выведенные
в § 3 и 5 четвертой лекции теорема о движении центра тяжести и тео-
рема площадей. Мы будем рассматривать тело как такую систему мате-
риальных точек.
Пусть на частицы тела действуют известные силы и на частицы его
поверхности известные давления; тогда это предложение должно быть
равносильно шести уравнениям, выражающим теорему о движении центра
тяжести и теорему площадей, если только одни эти силы и давления
принимаются в расчет.
Если dx — элемент объема тела, ц— плотность этого элемента, то
]\,Xdx, pYdx, pZdx
— компоненты действующей на него силы; далее, пусть ds — элемент по-
верхности, п — направленная внутрь тела нормаль к нему,
Xnds, Ynds, Znds
— компоненты действующего на элемент ds давления, х, у, z — координа-
d2x d2 и d2z
ты точки объема dx или поверхности ds и, наконец, —, —,---------компо-
dt* dt* dt*
ненты ускорения этой точки.
7 г. Кирхгоф 97
По только что данному определению и согласно уравнениям (3) и (9)
четвертой лекции имеем
f* d2x (* f' \ р — dx = \pX dx \ Xnds, (1)
f d'2 у Г (* \ p dx = рУ dx + \ Yn ds.
f d2z \ p — dx ,) at2 = pZ dx + Zn ds
И 5и! / d2z У dt2 d2y \ Z—; )dX = at- ) p (yZ — zY)dx 4- (yZn — zYn)ds,
Jи ! ( d2x d2z\ x — ] dx = at2 ) p (zX — xZ) dx + J (zXn — xZn) ds, (2)
( d-У X--7 \ dt2 d2x\ Ц —TV dx = J at2 / p (xY — yX) dx + (xYn — yXn) ds.
§ 2
Каждая частица тела сама есть тело, к которому могут быть прило-
жены уравнения (1) и (2). Из этого следует, что обозначения Х„, Yn, Zn
должны иметь смысл также для каждого элемента поверхности, взятой
внутри тела. Их значения зависят от положения элемента поверхности и
от направления нормали п к нему. Мы найдем зависимость от последнего,
если напишем уравнения (1) для частицы тела, размеры которой беско-
нечно малы. Положим, что они будут бесконечно малыми первого порядка;
тогда, если предположить конечность сил и ускорений, интегралы
с d2 х с
\ и, — dx и \ рХ dx
J at- J г
будут бесконечно малыми третьего порядка. Интеграл
§ Х,Д$ (3)
есть, таким образом, бесконечно малое второго порядка. Мы рассмотрим
этот вывод на примере прямоугольного параллелепипеда, ребра которого
имеют длины а, Ь, с и произвольные направления. Применительно к этому
параллелепипеду мы можем интеграл (3) написать так:
Ьс (Ха + Ха) + са (Хь + Хь) + ab (Хс X'),
причем обозначения Хо, Хь, Хс относятся к трем его граням, проходя-
щим через произвольно выбранную вершину, а Хо, Хь, Хс относятся к
противоположным граням. Из того, что указанная сумма должна быть бес-
конечно малым третьего порядка, если а, Ь, с—первого, и такими же
могут быть также отношения а : b : с, следует, что
Ха + Ха, Хь 4- Хь, хс + X'
обращаются в нуль, т. е. что, вообще говоря, Хп получает то же абсо-
лютное значение, но изменяет знак при перемене направления нормали п
на противоположное. Пользуясь этим результатом, мы покажем теперь,
9 8
как Хп может быть выражено через значения, которые оно имеет, когда
нормаль п параллельна оси х или оси у, или оси г; эти значения Хп мож-
но обозначить через Хх, Ху, Xz. Вообразим бесконечно близко к элементу
поверхности, к которому относится Хп, со стороны, в которую направлена
нормаль п, точку; проведем через нее три плоскости, параллельные пло-
скостям координат. Таким образом получится тетраэдр, для которого со-
ставим интеграл (3). Пусть s — площадь грани тетраэдра, к которой от-
носится Хп', тогда соответствующий ей элемент интеграла есть sXn. Чтобы
найти элемент последнего, относящийся к грани, перпендикулярной к оси
х, надо различать два случая, когда внешняя нормаль параллельна поло-
жительному направлению оси х или ему противоположна. В первом слу-
чае величина площади есть s cos (пх) и соответствующая величина X есть
— Хх, во втором эти две величины суть — s cos (пх) и Хх. Таким образом,
относящийся к обоим случаям элемент интеграла (3) будет
— Xxs cos (пх).
Так как подобное заключение приложимо в отношении двух остальных
граней тетраэдра, то весь интеграл (3) равен
” s [Хп — Хх cos (пх) — Ху cos (пу) — Xz cos (nz)].
Так как это выражение должно быть высшего порядка, чем $, то
Хп = Хх cos (пх) + Ху cos (пу) + Хг cos (nz). (4)
Вследствие этого соотношения интеграл (3) будет порядка малости выше
второго для каждой частицы тела, размеры которой первого порядка ма-
лости, так как
§ ds cos (пх) = 0, § ds cos (пу) = 0, ds cos (nz) = 0. (5)
Эти уравнения легко получаются из следующего предложения, которое
мы будем применять неоднократно.
Если V есть однозначная, непрерывная функция координат х, у, z
точек некоторого замкнутого объема, dr — элемент этого объема, ds—
элемент его поверхности и п, направленная внутрь объема, нормаль к
ds, то
f dV f
\ дх dr -= — \ V cos (пх) ds,
f dV f
dr = — V cos (ny) ds, (6)
e dV (•
dr — — V cos (nz)ds.
Мы убедимся в правильности этих уравнений, если подставим в их
левые части dxdydz вместо dr и про введем интегрирование по х, у или z.
Достаточно положить в них V = 1, чтобы получить уравнения (5).
Поступая подобным же образом, мы можем добавить к уравнению (4)
два аналогичных; тогда получим
Хп = Хх cos (пх) + Ху cos (пу) + Xz cos (nz),
Yn = Yx cos (nx) + Yy cos (ny) Yz cos (nz), (7)
Zn = Zx cos (пх) -r Zy cos (ny) 4- Zz cos (nz).
7*
99
тела по
Входящие сюда девять величин Хх, Ху, ... мы будем, вообще, предпо-
лагать однозначными и непрерывными функциями х, у, г, Изменение
их скачком может произойти единственно только на поверхностях сопри-
косновения различных тел. Тогда для какой-нибудь части одного
уравнениям (4) и (6) будем иметь
С (• /дХ, дХ„ дХД
\Xnds = — \ ^ + -! Z UT
\ дх 1 ду 1 dz J
и отсюда, в силу первого из уравнений (1),
С I d2x , dX,. дХ„ дХД
\ J.I -77J - 1-lX + + -Г- dx = 0.
i \ dP дх ' ду dz )
тела, то
в нуль.
Гак как это уравнение должно иметь место для каждой части
множитель при dx под знаком интеграла должен обратиться
К полученному таким образом уравнению мы по-прежнему можем доба-
вить два подобных; тогда получим
р,
|Л
Н
42 X и X dXx dXV d>Y
’ df* dx с>У dz ’
d?y =~ uY — dYx dYy dYz
df* Глл dx dy dz ’
d*z dZx dZ , dZ,
— fi.Z — У
‘ dt* dx dy dz
(8)
D а-у а2 г „
Введем эти значения ц и ц — в первое из уравнении (2), пользуясь
гем, что вследствие (6) имеем
dY । Z dx = dx \ zYx cos (nx)ds,
dYv A z dx dy zYy cos (ny)ds,
' dY z -r- dx --- dz zT2cos(rtz)t/s + Y2dx,
dZx , y-Z-dx = s dx yZx cos (nx) ds,
dZ„ , 1» Л
у dx = J dy \ уZy cos (ny) ds Д- \Zydx,
dZ. y^r- dx s dz yZz cos (nz) ds,
и опираясь на два последних из уравнений (7); таким образом получим
J(y2-Z,)dT-O.
Отсюда следует, что
Yz -Zy.
К этому уравнению можем добавить два аналогичных; тогда будем иметь
Yz = Zy, Zx — Х2, Ху = Y х. (9)
100
§ 3
Давление на элемент поверхности, вообще, наклонно к нему, но в
каждом месте имеются три взаимно перпендикулярные площадки, к кото-
рым давления перпендикулярны. Мы докажем это предположение следу-
ющим образом.
Пусть будет п — нормаль к элементу поверхности, на который дейст-
вует перпендикулярное давление, и р — величина этого давления: тогда
Хп = pcos(nx), Yn = рcos(пу), Zn = рcos(nz).
Следовательно, по (7),
(Хх — р) cos (пх) Ху cos (пу) 4- Х2 cos (nz) =- О,
Yx cos (пх) + (Yy — р) cos (пу) 4- Yz cos (nz) = 0, (10\
Zx cos (nx) + Zy cos (ny) + (Zz — p) cos (nz) = 0.
Эти уравнения в связи с уравнением
cos2 (пх) + cos2 (пу) cos2 (nz) = 1
определяют четыре неизвестных; р, cos (пх), cos (пу), cos (nz). Вследствие
соотношений (9) эти уравнения того же вида, как те уравнения, к кото-
рым приходят при нахождении длины и направления полуоси поверхно-
сти второго порядка, уравнение которой есть
Xx^+Yy^ + Z£2+2Yz^ +2ZxU+2Xu^=\, (11)
где g, л, £'—текущие координаты. В самом деле, обозначим через р
длину радиуса-вектора, образующего с осями координат углы, косинусы
которых а, 3, у; тогда, так как
£ = ра, П = рР, Ъ = PY,
уравнение (11) примет вид
1
= XxaZ + + Z2r2 + 2У2рТ 4- 2ZxTa + 2Х^. (12)
Г
Мы найдем полуоси поверхности, если будем искать максимум и минимум
1
выражения при условии
а2 4- З2 4~ Т2 — 1 = 0.
Для этого служат уравнения
(Хх-Х)а + Х2/3 4-Х2Г = 0,
Yxa 4- (Уу— А.)3 4- Г2у = 0, (13)
Zxa. 4- Zy3 4- (Z2 — X) у = 0,
которые дают для А. кубическое уравнение
хх-у Ху, xz
Ух, Уу-У Yz = 0.
zx, Zy, Zz — K
пн
Три корня последнего соответствуют трем полуосям и дают обратные
величины их квадратов, что легко видеть, если умножить уравнения (13)
на а, р, у, сложить и сравнить результат с (12). Мы сделаем уравнения (10)
тождественными с уравнениями (13), если положим
р = X, cos (nx) -= a, cos (пу) = [3, cos (nz) - у.
Отсюда следует, что главные оси поверхности (11) суть нормали к пло-
щадкам, к которым давления перпендикулярны. Величины этих давлений
равны обратным величинам квадратов полуосей этой поверхности. Эти давле-
ния называют главными, их направления—главными осями давлений.
Обозначим через рг, р2, ря главные давления, через а, 0, у с индек-
сами 1, 2, 3—-косинусы углов, которые главные оси давлений образуют
с осями координат; тогда из уравнений (13), если принять во внимание
соотношения, выражающие взаимную перпендикулярность главных осей,
получим
Хл --- р^ + р2а’- 4- /73а“,
У у --- Р1Р? + Р&\ +
22 = Р1У* 4- РаД 4- РзТ3> п ..
Zy -- Р1Р1У1 Jr Р2Р2У2 + РзЗзТз,
Zx Xz-- Pifi&i 4- РгУга2 4~ РзТзаз,
Ху = УД--- p^jPj 4- р2а2р2 4- р3а3р3.
§ 4
На поверхности соприкосновения двух тел компоненты давления Хх,
Ху,... могут претерпевать разрыв; если п — нормаль к поверхности сопри-
косновения, то Хп, Yn, Zn все-таки будут непрерывны, если предполагать,
что силы, распределенные по поверхности соприкосновения, не бесконечно
велики. Чтобы это доказать, рассмотрим любую конечную часть поверх-
ности соприкосновения, во всех точках ее проведем нормали и на них по
обе стороны отложим отрезки бесконечно малой длины в. К заполненному
этими отрезками объему применим уравнения (1). Входящие сюда интег-
ралы по dx бесконечно малые порядка е; взятые по ds интегралы должны
быть того же порядка малости. Для этого необходимо, чтобы значения
Хп, Yn, Zn на обеих сторонах поверхности соприкосновения не различались
между собой на конечные величины. При этом надо заметить, что в то
время как в уравнениях (1) мы понимали под и нормаль к ds, направлен-
ную внутрь рассматриваемого объема, то здесь мы определили п как одну
из двух нормалей к поверхности соприкосновения. Отсюда следует, что п
на одной стороне здесь и там имеет одно и то же значение, а на другой
направлена противоположно2.
§ 5
После того как во второй лекции мы получили лагранжевы уравнения
движения для системы дискретных материальных точек, мы вывели из них
в третьей лекции принцип Даламбера и из него принцип Гамильтона.
С уравнениями, полученными нами теперь для движения тела, мы произве-
дем действия, которые соответствуют тем, которые раньше привели нас
к принципу Гамильтона. Обозначим, как это мы делали до сих пор, через
х, у, z — координаты некоторой материальной точки тела в момент I.
а через бх, by, bz — составляющие бесконечно малого возможного переме-
щения этой точки. Возможные перемещения здесь совершенно произвольны
102
и должны только непрерывно изменяться с положением точки. Умножим
уравнения (8) на бх, бу, бг, сложим их, умножим на элемент объема dx,
занимаемого телом в момент t, и проинтегрируем по этому объему. Мы
обозначаем при этом через dx известную совокупность материальных то-
чек, массу которых назовем dm, так что
lidx = dm. (15)
Мы воспользуемся тем, что
дХ д(Х дх) ддх
— бх^ х —Хх--------------,
дх дх дх
и преобразуем соответственным образом восемь аналогичных членов. Тогда,
при помощи уравнений (6) и (7), придем к сумме
^dm (Хбх + Yby + Z6z) + ^ds (Хлбх 4- Ynby + Z„6z), (16)
где через ds обозначен элемент поверхности тела. Эта сумма есть работа,
которую при рассматриваемом перемещении произведут силы, действующие
на частицы тела, и давления, распределенные по его поверхности; мы
обозначим ее через U'. Тогда, используя уравнения (9), получим
п (• , /'d-x . , d-y . . d-z . \ ,,,
О = \ dm { —• бх + - бу + - бг — U — F , (17)
J dP dt2 dt2 J v
где
v ддх . „ дду „ ddz
дх ду dz
Уравнение (17) выражает принцип Даламбера для нашего тела, Для
случая равновесия будем иметь условие
O = t/' + F', (19)
выражающее принцип возможных перемещений.
При этом вычислении существенно предположение, что в рассматривае-
мом теле компоненты давления Хх, Yу,... и перемещений бх, бу, бг
повсюду непрерывно изменяются с положением тела, потому что без этого
не могло бы быть оправдано применение уравнений (6). Вообразим теперь
систему тел, для каждого из которых в отдельности это предположение
выполнено. На поверхности соприкосновения двух тел те или другие компо-
ненты давлений или перемещений могут иметь разрыв, как мы это видели
в § 4 этой и в § 6 предыдущей лекции. Особенностью этого разрыва
является то, что Хп, Yп, Zn (где п обозначает для обоих тел внутреннюю
нормаль) для обоих тел имеют противоположные значения, и что компо-
ненты перемещения (бх, бу, бг) по нормали равны между собой. Составим
уравнения (17) для всех тел, заменив в них U' и F' их значениями из
(16) и (18), и возьмем их сумму для всех тел. Сумма соответственных
интегралов, под знак которых входит dm или dx, может быть представле-
на одним интегралом, распространенным на массы или объем всей системы.
Сумма интегралов, под знаком которых стоит ds, слагается из интеграла,
который распространен на поверхность всей системы, и интегралов (того
же вида), относящихся к поверхностям соприкосновения каждых двух тел.
Каждый элемент бх, бу, бг встречается в соответственном интеграле дваж-
ю:
ды, как принадлежащий поверхности двух тел. Рассмотрим только такие
перемещения бх, бу, бг, которые и на поверхности соприкосновения тел
не претерпевают разрыва, тогда множитель при ds
Хпбх + Yn6y + Zn6z (20)
на обеих сторонах поверхности соприкосновения имеет противоположное
значение. Вследствие этого интегралы, относящиеся к поверхности сопри-
косновения, обратятся в нуль, и уравнения (17) и (19) будут иметь место
при значениях U' и F', определяемых (16) и (18), также и для системы
тел, на поверхностях соприкосновения которых компоненты давлений пре-
терпевают разрыв. Это, вообще, не будет иметь места для перемещений,
непрерывность которых нарушается на этих поверхностях, но верно в слу-
чае, который мы будем подробно разбирать для поверхностей соприкосно-
вения, когда давление, компоненты которого суть Хп, Yn, Zn, всюду нор-
мально к этим поверхностям. В самом деле, в этом случае выражение (20)
имеет для обоих тел противоположные знаки, так как оно равно произ-
ведению величины равнодействующей компонент давления Хп, Yn, Zn, на
компоненту перемещения (бх, бу, 6z) пр той или другой из двух норма-
лей к ds, причем эти компоненты должны иметь противоположные значе-
ния ®.
Умножим уравнения (17) на dt и проинтегрируем их для произвольного
промежутка времени; тогда, тем же способом и при тех же обозначениях,
какими мы пользовались при рассмотрении системы дискретных материаль-
ных точек, мы получим
t tl
^dm^6x+^6y+^ 6z)]*= ^dt(6T + U' +F), (21)
где через T обозначена живая сила
Предположим еще, что вариации бх, бу, бг все обращаются в нуль при
t = /0 и t = t^, тогда уравнение (21) примет вид
ц
0 = ^dtlfiT + U’ + F'). (22)
^0
Это — выражение принципа Гамильтона для рассмотренного теперь случая.
Мы видим, что при желании применить принцип Даламбера или прин-
цип Гамильтона к телу, частицы которого получают относительные переме-
щения, надо к работе U' сил X, Y, Z и давлений, действующих на поверх-
ность, добавить величину F', определяемую уравнением (18). Эту последнюю
можно рассматривать как работу некоторых сил для рассматриваемых
перемещений. Иногда эти силы называют внутренними, и в противополож-
ность этому внешними силами — силы, работу которых обозначают через U'
§ 6
Опыт учит, что для достижения простейшего описания движения тела
можно допустить, что компоненты давления Хх, Yy... для каждой беско-
нечно малой частицы тела зависят только от состояния и изменения состо-
яния этой частицы. Выражения, которыми можно представить компоненты
давления, различны для разных классов тел.
104
Рассмотрим сперва жидкости. Если отвлечься от явлений, которые,
наблюдаются как следствие трения, то здесь можно положить
Обозначим общее значение Xx, Yy, Zz через p и назовем его просто давле-
нием в рассматриваемой точке в момент t.
Уравнения (7) показывают, что элемент поверхности любого направле-
ния испытывает одно и то же перпендикулярное давление р. Это тот
самый случай, на который было указано при исследовании выражения (20).
Уравнения (8) примут вид
d-x v др
ц — = цл--------- ,
d/a дх
dP ду
d-z v др
ц----—- р/------— .
dP dz
(23)
ydx не зави-
элемент вре-
К этим трем уравнениям между пятью неизвестными х, у, г, ц, р добав-
ляются в качестве четвертого уравнения соотношение между давлением р
и плотностью, которое обусловлено природой жидкости, и пятое уравнение,
которое мы получим следующим образом. Пусть dx — объем некото-
рой совокупности материальных точек в момент /; тогда pdx есть масса
этой совокупности [как об этом уже говорилось в (15)], т. е.
сит от времени. Обозначим изменения, получаемые ц и dx в
мени dt, через dy. и ddx', тогда
dp, ddx_____q
р dx
расширение,
Второй член в левой части этого уравнения есть объемное
происходящее за время dt, равное по (29) предыдущей лекции
(ди , dv , dw \ ,,
---------------dt,
\ дх ду dz )
где через и, v, w обозначены
(я, у, г), т. е.
компоненты
скорости в момент
t в точке
dx
и = •— ,
dt
dt
dz
W = ----
dt
Отсюда следует, что
dp
dt
dv . dw \ q
ду dz J
Для определяемой соотношением (18) величины F' получим
г-, (’ , / дЪх . dt>u , ддг \
F = \ dxp --+
J \ дх ду dz J
(24)
(25)
Рассуждая так же, как при выводе уравнения (24), найдем
др ,д(бх) ,д(Лу) д (dz) __ п
~~~~ ~~Г" "г- . - V f
р дх ду dz
105
откуда
F' = — J dtp - и- = — dmp - .
Представим себе, что с помощью существующего между р и ц соотноше-
ния составлено выражение
причем нижнему пределу этого интеграла может быть дано какое-нибудь
неизменное значение; тогда будем иметь
и
F' -= — б fdrn.
Так как F' обозначает работу внутренних сил, то из этого можно
заключить, что для нашей жидкости внутренние силы имеют потенциал,
равный
— fdm.
Во многих случаях изменение плотности так незначительно, что прибли-
зительно можно рассматривать жидкость как несжимаемую. Тогда в урав-
нениях (23) п будет постоянно, и уравнение (24) примет вид
^ + 2Д+_^_ = 0. (26)
дх ду дг
По данному уравнением (25) выражению для Д' оно будет равно нулю, если
дЬх . ддц . Эда п
----Г Н--------= О,
дх ду дг
т. е. если вариация плотности равна нулю. Под возможным перемещением
несжимаемой жидкости понимают только такое, при котором плотность не
меняется; поэтому для несжимаемой жидкости для всех возможных переме-
щений F' = 0, принцип . Даламбера, принцип возможных перемещений и
принцип Гамильтона применимы для нее в той же форме, как для системы
дискретных материальных точек.
§ 7
Рассмотрим теперь упругое твердое тело, причем предположим, что
все его точки могут получать лишь бесконечно малые отклонения от поло-
жения, при котором все компоненты давления равны нулю. Далее предпо-
ложим, что тело одинаково по своим свойствам по всем направлениям или,
как говорят, изотропно. Для такого тела допускают, что главные давле-
ния имеют то же направление, как и главные удлинения, и являются
линейными однородными функциями последних. Мы обозначим главные
давления через р2, р3, соответствующие главные удлинения через А.1(
Л2, Д. и положим
Pl = - 2К + 0 (^ + Х2 ф- %3)1,
Рг •--- - 2К [Х2 + О (X, к2 + Х3)], (27)
Рз - 2К [7.3 -г 0 (^-i Jr А.2 -j- 7-;J)],
10 (i
причем под К и 0 мы подразумеваем постоянные, зависящие от природы
тела. Эти уравнения составлены так, что получаются одно из другого
посредством какой-нибудь перестановки индексов 1, 2, 3. Пусть аь (Зь
Тъ а2, 02, у2, а3, р3, у3 — косинусы углов, образуемых направлениями
главных давлений и главных удлинений с осями координат; тогда имеют
место уравнения (14), а также уравнения (21) предыдущей лекции, если
приписать величинам ап, а12,... некоторые определенные значения. Эти
значения определены посредством уравнений (26) предыдущей лекции.
Изменим примененные там обозначения. Пусть х, у, z — координаты мате-
риальной точки тела в предполагаемом нами состоянии, при котором все
компоненты давлений равны нулю; х + у + Л, £ + £ —-координаты той же
точки в момент t, так что под £, л, ь подразумеваются бесконечно малые
перемещения точки в момент t. Тогда из уравнений (25) получим
1 д1 ац — 1 = дх dt <У/ «И = - - , 13 dz
дп a2i = , дх а,., — 1 = , ду dr, 23 дг (27а)
dt «31 = — , дх а Cloo — « ду азз 1 — “д- • dz
Соединим уравнения, из которых получились уравнения (21) предыдущей
лекции, с уравнениями (24) и (27) этой лекции; тогда получим
\ dz ду
(28)
\ ду дх )
Эти уравнения без изменения пригодны для всякой системы координат, как
это следует из их вывода.
При измененных обозначениях уравнения (8) примут вид
цХ — дХх дХу дХг
d/2 дх ду dz '
Д2Ч U Щ2 рУ — dYx дУу dYz (29)
дх ду dz ’
!' — Щ- pZ — dZx ~д7 _dzy~ ду dz
Если бы мы не сделали предположения, что £, Л, Ь бесконечно малы (это
требуется для того, чтобы X, Y, Z были также бесконечно малы), то мы
107
должны были бы в правых частях повсюду заменить х, у, z через х -f-
У + П, z+ ?•
Упомянутое предположение делает это необязательным; оно дает
также право рассматривать в этих уравнениях р, как постоянное.
Вычислим еще определяемую уравнениями (18) величину F'. Для сокра-
щения положим
dir У у = —L , dt , Zx = X- + d%
У ду dx dz
Z dl , Xy Ух ~~~ Щ dr]
dz У dy ' dx
тогда это уравнение будет иметь вид
F' — f dx (Ххдхх + Уу^Уу + Z26z2 У?by- + Zx6zx + ХуЬху}.
Положим
[d 1 4
<+ + *1 + 2 У г + V П + V +9 + у у + ^)а], (3°)
или, что то же самое,
f = - К [Ал + + 6 (Ку + К + Х3)2];
тогда найдем
(31)
Отсюда следует, что
или, так как при пренебрежении бесконечно малыми высшего порядка можнс
рассматривать dx как постоянное, то
F' = 6 fdx.
Из этого следует, что здесь внутренние силы также имеют потенциал,
именно, потенциал, равный § fdx.
То же самое имеет место и для неизотропных тел, например кристал-
лов. Для них также существуют уравнения (31), в которых f обозначает
однородную функцию второй степени от шести аргументов: хх, уу, zz, уг,
гх, ху, но которая, однако, имеет иную форму, чем данная выражением (30).
§ 8
Мы опять возвратимся к исследованию жидкости и составим выражения
компонент давления для случая, когда должно быть принято во внимание-
трение жидкости. Обозначим через и, v, w компоненты скорости в точке
108
(х, у, z) в момент согласно объяснениям, данным в предыдущей лекции,
относительное давление внутри бесконечно малой частицы жидкости в мо-
мент t зависит от шести величин:
ди dv dw dv , dw dw , du du . dv
dx ’ dy ’ dz ’ dz dy ' dx ' dz ’ dy dx
Если они обращаются в нуль, то относительное давление не имеет места,
но возможны смещения и вращения частицы, как целого. Мы предположим
также, что в этом случае трения нет, т. е. величины
Хх — р, Yy — p, Zz — p, Yz, Zx, Xv (33)
при подходящем выборе р обратятся в нуль; в самом деле, в § 6 мы
предположили относительно этих величин, что если можно пренебречь
трением, то они всегда равны нулю. Мы примем далее, что величины (33) —
это линейные функции величин (32), и положим
v сж ди „ , ( dv . dw \
Хх = р — 2k — , Yz = — fe — + — ,
дх V дг ду )
ду \ дх дг )
v nt. л/ , / du . da \
Zz = p — 2/г- , Ху == — k — + — ;
дг \ ду дх J
где через k обозначена некоторая константа жидкости. Эти уравнения, как
и аналогично составленные уравнения (28), обладают свойством оставаться
неизменными при любой замене системы координат4.
Три уравнения, которые мы получим после подстановки в (8) этих зна-
чений компонент давления, содержат, в предположении, что жидкость рас-
сматривается как несжимаемая (исследованием этого случая мы и ограни-
чимся), четыре неизвестные функции, именно х, у, z, р, так как и, v, w —
производные х, у, z по t. К ним добавляется условие несжимаемости
ди . dv . dw g
дх ду дг
Выражения, которыми в трех последних параграфах представлены
компоненты давления, рассматриваются как произвольные предположения.
Они могут быть сделаны, так как при любых предположениях относительно
компонент давления всякое движение тела будет представлено уравнения-
ми (8), лишь бы силы X, Y, Z были выбраны подходящим образом. Сделан-
ные предположения отличаются тем, что при них произвольные движения
тела если не вполне точно, то с высокой степенью приближения получают-
ся при простом значении этих сил.
Предметом следующей лекции будет исследование выведенных уравне-
ний при простейших предположениях относительно названных сил. Мы позна-
комимся в этой лекции с предположениями, хорошо согласующимися
с действительностью.
ЛЕКЦИЯ ДВЕНАДЦАТАЯ
(Гидростатика. Равновесие жидкости возможно только при силах, имеющих од-
нозначный потенциал. Свободная поверхность жидкости есть эквипотенциальная
поверхность. Тяжелая жидкость. Тяжелая вращающаяся жидкость. Вращающая-
ся жидкость, частицы которой притягиваются одной точкой или между собой по
закону Ньютона. Сжатие Земли. Давления, которые жидкость производит на со-
суд, в котором она заключается, или на погруженное твердое тело. Принцип
Архимеда)
§ 1
Познакомимся теперь ближе с механикой жидкостей и сперва с гид-
ростатикой, т. е. с учением о равновесии жидкостей. Для равновесия
жидкости из уравнений (23) предыдущей лекции получим
.V - ' ’
р. дх
v 1 др
Y = - - ,, f (1)
И ду v '
z=x др,
[1 dz )
где мы обозначили через р давление, через р— плотность, через X, Y,
Z — компоненты силы, относящейся к единице массы в точке (х, у, г).
К этому добавим соотношение между р и р; тогда одна из этих величин
может быть выражена как функция другой. Положим, что в уравнениях
(1) р выражено как функция от р, т. е. эти уравнения представляют
X, Y, Z как частные производные по х, у, z одной функции. В самом
деле:
v dU ,, dU 7 ди
А = - , Y = , Z — ,
дх ду dz
если положить
и =-Adp. (2)
i и
Таким образом, силы X, Y, Z имеют потенциал, и только при этом усло-
вии возможно равновесие. Далее, для этого необходимо, чтобы потенциал
U был однозначной функцией координат х, у, z внутри наполненного
жидкостью объема, потому что уравнение (2), в котором р обозначает
однозначную функцию р, представляет U так же, как однозначную
функцию р, а р имеет в каждой точке указанного пространства одно
единственное значение. Если U задано, то из уравнения (2) можно найти
давление как функцию от U, но только до постоянного, которое остается
неизвестным. Поэтому на всякой поверхности равного потенциала давление
остается одним и тем же. Если будем рассматривать жидкость как несжи-
110
маемую, т. е. ц как постоянное, то уравнение (2) дает
Р = Ро + P-U,
где р0 обозначает неизвестное постоянное. Для газа приближенно, соглас-
но закону Мариотта, получим
Р = ср,
где через с обозначена постоянная; отсюда найдем
1g р = --и.
Р» с
Если две разнородные жидкости соприкасаются по некоторой поверх-
ности, то на основании рассуждения, приведенного в § 4 одиннадцатой
лекции, для каждой точки этой поверхности в обеих жидкостях р должно
иметь одно и то же значение. Допустим, что потенциал для обеих один и
тот же, но плотность, соответствующая одному и тому же давлению,
различна; пусть будет щ—плотность одной жидкости, ц2 — другой. Обо-
значим через dp и dU изменения, которые получают р и U, когда мы
переходим от одной точки поверхности соприкосновения к бесконечно
близкой точке той же поверхности; тогда из (2) имеем
p^dU = dp и = dp.
Эти уравнения дают
dp = 0 и dU = О,
т. е. поверхность соприкосновения есть поверхность равного давления и
равного потенциала; поэтому она также перпендикулярна к направлению
силы в каждой ее точке.
Если жидкость граничит с пустым пространством, то это может слу-
читься только по поверхности равных давлений. Мы будем предполагать
в этом случае давление на поверхности равным нулю.
§ 2
Если тяжесть есть единственная внешняя сила и если рассматривать
земной радиус как величину бесконечно большую, то поверхность раздела
двух разнородных жидкостей или поверхность, которою жидкость отгра-
ничена от пустого пространства, есть горизонтальная плоскость.
Мы вычислим теперь поверхность жидкости для некоторых более
сложных случаев. Представим себе сперва тяжелую жидкость в сосуде и
предположим, что эта система вращается вокруг вертикальной оси с
постоянной угловой скоростью и притом так, что относительное положе-
ние частей остается неизменным. В этом случае, на основании объяснений,
данных в § 1 девятой лекции, мы можем отвлечься от вращения, если
присоединим к действующим силам соответствующую центробежную силу.
Направим ось z нашей системы координат по оси вращения вниз, обозна-
чим через g тяжесть и через w угловую скорость, причем если Т озна-
чает продолжительность одного оборота, то
2л
W =
т
Тогда мы можем положить потенциал тяжести равным gz и потенциал
центробежной силы равным (х2 + У2), откуда следует
U =^gz + ~ (х2 + у2).
111
Приняв это выражение для U равным постоянному, мы получим уравне-
ние поверхности жидкости. Следовательно, имеем параболоид вращения,
ось которого совпадает с осью z.
Подобным же образом может быть рассмотрен следующий случай.
Жидкая масса, частицы которой притягиваются началом координат по
закону Ньютона, вращается вокруг оси z с постоянной угловой ско-
ростью w. Найдем форму поверхности этой массы при равновесии.
Обозначим через G величину притяжения на единицу массы, находящейся
на расстоянии 7? от начала координат, и через г — расстояние переменной
точки жидкости от начала. Тогда мы имеем
, , GR2 . W2 , „ , 24
и =------1- -- (х2 + у2).
г 2
Это выражение, приравненное постоянному, дает уравнение искомой
поверхности. Преобразуем его, для чего положим
z = г sin ф,
и выберем 7? так; чтобы на поверхности г = 7? для ф = —. Это предпо-
ложение определяет постоянное, которое в уравнении поверхности оста-
валось неопределенным, и дает
Предположим, что угловая скорость w так мала, что второй член правой
части этого уравнения можно рассматривать как бесконечно малый по
сравнению с первым, и примем во внимание только бесконечно малые
низшего порядка. Тогда найденное уравнение может быть написано так:
п / . . W2R 2 А
г = 7? 1 + -— соб2ф .
\ 2G )
Оно представляет сжатый на полюсах сфероид. Сжатием его называют
х w2R
дробь ~; это разность между полярным и экваториальным диаметрами,
2G
разделенная на один из них.
Земля также есть слегка сжатый сфероид. Положим для нашей жид-
кости 7? равным половине полярного диаметра Земли и G равным тяжести
на полюсе Земли. Исходя из произведенного в конце § 1 девятой лекции
, 1 т-
вычисления, мы получим сжатие жидкого сфероида равным —. 1 радус-
ными измерениями сжатие Земли найдено почти вдвое большим. Однако
частицы Земли притягиваются по закону Ньютона не только к центру
Земли, но и между собою.
Чтобы подойти ближе к отношению, которое имеет место для Земли,
вычислим форму равновесия жидкой массы, вращающейся вокруг оси z
нашей системы координат с угловой скоростью w, частицы которой при-
тягиваются между собой по закону Ньютона. Но эту задачу мы можем
решить, и то не вполне, предполагая жидкость однородной и несжимае-
мой. Если w лежит между известными границами, то, как показывает
вычисление, формой равновесия жидкости является эллипсоид. Считая,
что жидкость ограничена эллипсоидом, можно определить его оси. Реше-
ние этой задачи много труднее, чем предыдущей, потому что здесь
потенциал действующих сил не задан прямо, но зависит от искомой формы
жидкости.
112
Представим себе эллипсоид
х2+Уг+г1
а2 Ь2 с2
(3)
наполненный массой, плотность которой равна единице; возьмем такую
единицу массы, чтобы она действовала по закону всемирного тяготения
на равную массу, помещенную в единице расстояния, с силой, равной
единице. Потенциал этого эллипсоида в точке (х, у, г) назовем Q, т. е.
положим
J г
где dx — элемент объема эллипсоида, г — расстояние этого элемента от
точки (х, у, г). Тогда, если эта точка лежит внутри эллипсоида или на
поверхности, как мы узнаем впоследствии (в § 1 восемнадцатой лекции),
Q = const — л (Дх2 + By2 Д- Cz2),
где
д.-
du n > (* du
---------, В = abc \-------------
(a2 + u) N J (b2 + u) W
о
C = abc
du
(c2 + u)N
N = ]/\a2 + u) (6a + u) (c2 4- u). (4)
Пусть теперь эллипсоид, определяемый уравнением (3), будет фигурой
равновесия нашей жидкости; тогда
(/ = цП + ^(х2+г/2)
и это U должно иметь постоянное значение для всех точек, соответствую-
щих уравнению (3). В таком случае надо так определить некоторую вели-
чину М, чтобы
. . tv2 М
и 2 а2
„о , w2 М
-мв + - = -ья.
Исключим М из этих уравнений и положим
Ц)2
v = —;
2 л у.
(5)
тогда получим
а2 (Д — V) = &2 (В — v) = сгС.
(6)
Это двойное уравнение служит для определения отношений а: Ь: с. Дей-
ствительно, величины Д, В, С зависят только от этих отношений, потому
что если подставим в уравнениях (4) па, nb, пс, п2и соответственно вместо
а, Ь, с, и, то Д, В, С не изменятся. Когда отношения а:Ь:с будут
определены, тогда сами полуоси найдутся из условия, что жидкость имеет
данный объем.
8 Г. Кжрхгоф
113
Предположим теперь, что искомый эллипсоид есть эллипсоид вращения,
ось вращения которого совпадает с осью г. При таком предположении
а = b и А = В.
Тогда уравнения (6) обратятся в одно
а3 (Д — и) — с3С. (7)
Так как а3, с2, А, С и v—величины положительные, то необходимо,
чтобы а2А было больше сгС и, как показывают выражения (4) для Л и С,
чтобы а3 было больше с2. Таким образом, эллипсоид будет сжатым.
Для трехосного эллипсоида интегралы, представляющие А, В, С, будут
эллиптическими; в нашем же случае они выражаются через круговые
функции. Положим
введем ьмесю и новое пслсжыельгсе переменное интегрирования х
равнением
тогда легко найдем
А = -[(1 + к2) arc tgX —X),
Xs
С = 2^±^(Х —arc tgX),
где arctgX должен быть взят между нулем и Уравнение (7) превра-
тится в
v = (3 + arc ~ 3>- (8)
Заметим, не приводя доказательства, что уравнение это ни при каких
положительных значениях и не может иметь более двух действительных
корней и имеет таковых два, когда v лежит между нулем и 0,2246.
В этом случае получается два эллипсоида вращения, с помощью которых
можно изобразить форму жидкости. Если v можно рассматривать как
бесконечно малое, то их легко найти. В этом случае один из двух дейст-
вительных корней уравнения (8) бесконечно мал, другой бесконечно велик.
Для бесконечно малого корня имеем
, л л V , А1
arctg X = X — ,
О с)
и отсюда
v = -- X2 или X = — V 15ц ; (9)
15 2 ’
для бесконечно большого корня
arctg X -= ~ ,
и отсюда
114
Когда v приближается к нулю, один из этих эллипсоидов приближается
к шару, а другой — к бесконечному диску.
Уравнения (6) не требуют, чтобы эллипсоид, для которого они состав-
лены, обязательно был эллипсоидом вращения. Как впервые заметил
Якоби, получается также и трехосный эллипсоид, если и лежит ниже
известной границы (а именно, ниже 0,1871), который представляет форму
равновесия жидкости. Когда v приближается к нулю, он приближается
к бесконечному круговому цилиндру, ось которого перпендикулярна к оси
вращения жидкости.
Земля — немного сжатый эллипсоид вращения. Посмотрим, можно ли
получить точно ее сжатие, если мы отождествим ее с нашей жидкостью.
Для этого прежде всего предстоит найти значение, которое надо дать
величине и. Оно определится из уравнения (5), где вместо w должна
быть подставлена угловая скорость Земли и вместо ц — ее средняя плот-
ность. Но последняя должна быть выражена в единицах, в которых мы
приняли за единицу массы такую, которая притягивает по закону
Ньютона равную массу, помещенную на единице расстояния, с силой,
равной единице. Легче всего мы определим ц, если введем в вычисление
тяжесть на полюсе, которую опять обозначим через G. Обозначим через R
половину полярного диаметра Земли и допустим (такое допущение здесь
можно сделать), что Земля шарообразна; тогда будем иметь
G = Rh,
3
откуда следует, что
2 w*R 2 1 Iй
v _______= — • — = — .
3 0 3 291 436
Если будем рассматривать эту дробь как бесконечно малую, [то из
уравнения (9) получим
Из определения X непосредственно получается
откуда следует, что — есть сжатие. Отсюда сжатие Земли было бы
Из градусных измерений
оно найдено близким к -
300
Причину
равно
этого
расхождения надо искать в том, что Земля неоднородна и что ее плот-
ность по мере приближения к центру возрастает.
§ з
Рассмотрим теперь давления, производимые жидкостью на твердое
тело, с которым она находится в соприкосновении, и найдем суммы их
компонент по осям координат и моменты вращения5 относительно этих
осей.
Рассмотрим сначала жидкость, вполне наполняющую замкнутый сосуд.
Чтобы решить поставленную задачу, воспользуемся уравнениями, которые
определяют, вообще говоря, понятие давления, именно уравнениями (1) и (2)
одиннадцатой лекции. Они показывают, что если равновесие существует,
то сумма компонент6 и моментов вращения давлений, производимых сосу-
дом на жидкость, .оавна и противоположна сумме компонент и моментов
вращения сил, действующих на частицы жидкости. Но давления, произ-
водимые жидкостью на сосуд, равны и противоположны давлениям, про-
изводимым сосудом на жидкость, как это было другими словами и в
8*
115
более общей форме выражено в § 4 одиннадцатой лекции. Отсюда сле-
дует, что сумма компонент и моменты вращения давлений, испытываемых
сосудом от жидкости, равны сумме компонент и моментам вращения сил,
действующих на частицы жидкости.
Это предложение имеет место также, если сосуд не замкнут или не
вполне наполнен жидкостью и имеет свободную поверхность, по которой
граничит с пространством; мы докажем это, если заметим, что давление
на свободной поверхности равно нулю.
Представим себе теперь твердое тело, которое погружено в жидкость.
Пусть ds — элемент его поверхности, п— направленная внутрь тела нор-
маль к ds, a Xnds, Ynds, Znds— компоненты давлений, производимых
жидкостью на ds; тогда имеем
Хп = р cos (их), Yn = р cos (пу), Zn = р cos (nz).
Поэтому искомые суммы компонент и моменты вращения будут
cos (их) ds и jj р [у cos (nz)— z cos (ny)] ds,
§ p cos (ny) ds cos (nx) — x cos (nz)] ds,
p cos (nz) ds ^p [x cos (ny) — у cos (nx)] ds.
При некоторых условиях эти интегралы можно преобразовать в интегралы,
распространенные по объему тела, воспользовавшись предложением, выра-
женным уравнениями (6) одиннадцатой лекции. Для этого необходимо,
чтобы для пространства, занимаемого телом, могла быть найдена функция
координат точки, непрерывная и однозначная, которая принимала бы на
поверхности названного пространства такие же значения, что и р. Положим,
что такая функция дана. Обозначим ее также через р, а элемент указанного
пространства через dr; тогда, согласно упомянутому предложению, те же
интегралы будут иметь вид
— £--dr и —f f у —— zdp\dx,
J дх j \ dz ду J
-№dx -Uz^-X^dX,
i dy J \ dx dz)
-tdpdx -AK^-y^dx.
J dz \ dy dx]
Поэтому суммы компонент и моменты вращения давлений, которые жид-
кость производит на тело, равны и противоположны суммам компонент и
моментам вращения оси, действующим на частицы тела таким образом,
что на каждый элемент объема dr действует сила, компоненты которой
суть — dr, — dr, dpdx.
дх ду dz
Это предложение можно так обобщить, что оно будет верно и для
случая, когда жидкость имеет свободную поверхность, на которой давле-
ние равно нулю, и тело не вполне погружено в жидкость. Чтобы рас-
смотреть этот случай, предположим, что мы нашли функцию х, у, z,
которая в точках поверхности соприкасания тела и жидкости имеет то же
значение, как и давление на этой поверхности. Предположим далее, что
эта функция однозначная и непрерывная в части пространства, занимае-
мого телом, которая ограничена только что названной поверхностью н
116
поверхностью, на которой функция равна нулю, т. е. поверхностью, кото-
рая должна быть ограничена линией, по которой свободная поверхность
жидкости пересекает поверхность тела. Тогда предыдущее вычисление,
сделанное для вполне погруженного тела, пригодно без дальнейших изме-
нений и к этому случаю, если только приложить его не ко всему объему,
занятому телом, а к только что определенной части этого объема.
Доказанное предложение приводит к так называемому принципу Архи-
меда, если предположить, что на жидкость не действуют никакие другие
силы, кроме тяжести. Мы возьмем ось z направленною вертикально вниз
и обозначим тяжесть через g; тогда давление в жидкости определится из
уравнений
^ = 0,
дх
dp- = Q, =
ду dz
и из соотношения, существующего между р и ц. Мы найдем искомую
функцию р для занятого твердым телом пространства из тех же уравне-
ний; другими словами: в каждой точке этого пространства величина р
должна быть взята такою же, как в той же горизонтальной плоскости в
жидкости. Из этого следует, что, как говорят, производимые жидкостью
на тело давления имеют равнодействующую, которая равна и противопо-
ложна весу вытесненной жидкости и имеет точку приложения в ее центре
тяжести.
ЛЕКЦИЯ ТРИНАДЦАТАЯ
(Капиллярные явления. Потенциал капиллярных сил. Главный радиус кривизны
и линии кривизны. Увеличение поверхности при бесконечно малых перемещениях
ее точек. Дифференциальные уравнения поверхности соприкасания двух тяжелых
жидкостей. Граничные условия. Величина силы, удерживающей в равновесии
тело, способное двигаться только в одном направлении и соприкасающееся
и двумя жидкостями. Примеры такой силы)
§ 1
В капельных жидкостях обнаруживаются некоторые явления, которые
называются капиллярными явлениями и рассматриваются как действия
капиллярных сил. Эти явления состоят частью в том, что свободная
поверхность такой жидкости или, как мы будем более общо и точно
выражаться, поверхность раздела двух жидкостей не представляет гори-
зонтальной плоскости. Эти же явления состоят и в т'ом, что на твердое
тело, которое отчасти погружено в капельную жидкость (или, как мы
предпочитаем говорить, чтобы удержать в равновесии тело, соприкасаю-
щееся с двумя жидкостями) должны действовать силы, которые не мо-
гут быть полностью определены по принципу Архимеда. Лаплас первый
основал теорию капиллярных явлений; при этом он исходил из гипотезы,
что капиллярные силы — это силы притяжения между частицами тел,
которые при возрастании расстояния так быстро убывают, что при изме-
римых расстояниях перестают быть заметными. Позднее эту гипотезу
обосновал Гаусс* более строго, чем это удалось Лапласу, и пришел при
этом к принципу, который мы можем выразить так: если два разнородных
тела соприкасаются по некоторой поверхности, то следствием этого явля-
ются силы, имеющие потенциал, который равен величине поверхности
соприкасания, умноженной на некоторую постоянную, зависящую от при-
роды обоих тел7. Эти силы называются капиллярными силами.
Этот принцип послужит основанием наших исследований капиллярных
явлений, к которым мы здесь приступим. При этом мы будем предпола-
гать, что кроме капиллярных сил на жидкость действует только сила
тяжести, и будем рассматривать жидкости как несжимаемые, а твердые
тела — как неизменяемые. Мы будем исходить из принципа возможных
перемещений, но чтобы приложить его к случаю действия капиллярных
сил, надо сперва вывести выражение для увеличения, получаемого поверх-
ностью, когда точки ее получают бесконечно малые перемещения. Мы
могли бы при этом основываться на уравнениях (12) десятой лекции, но
предпочтем решить задачу непосредственно.
§ 2
Вообразим прямую линию, проходящую через точку (х, у, г) и обра-
зующую с осями координат углы, косинусы которых суть а, у. Пусть
5, л, £ — текущие координаты этой линии. Тогда
* Principia generalia theoriae figurae fluidorum in statu aequilibrii; Carl Friedrich
Gauss Werke, Bd.V, S. 29.
118
£ — х = га, т] — у = гЗ, С, — z = гу,
где г — расстояние между этими точками, взятое положительным или
отрицательным, в зависимости от того, лежит ли точка (5, Л, £) от точки
(я, у, г) в направлении, определяемом косинусами а, [В, у, или в проти-
воположном. Далее, вообразим вторую прямую, уравнения которой при
соответственных обозначениях будут
§ — Xi = г^!, л — У1 = Г1Р1, £ — Zi = Г1Т1.
Эти линии, вообще, не пересекаются. Они пересекутся, если шесть пре-
дыдущих уравнений удовлетворяются надлежащими значениями пяти
величин g, л, г, t\, или, что то же, если уравнения
х — — га,
У — У1= Г10! — гр,
Z — Zi = — П
удовлетворятся надлежащими значениями двух величин г и Если это
имеет место, то г и г± обозначают расстояния точки пересечения от точек
(я, у, г) и (яь У1, Zi), взятые положительными или отрицательными.
Пусть теперь (я, у, г) и (я1; yt, zj будут две бесконечно близкие
точки поверхности тела, а, Р, у и аь pt, уг—косинусы углов, которые
соответственные нормали, направленные внутрь тела, образуют с осями
координат. Мы будем применять знак d для обозначения приращения рас-
сматриваемых величин при переходе от первой точки ко второй; тогда
условием пересечения обеих нормалей будет то, что уравнения
— dx = rda + adr,
— dy = rdp + pdr,
— dz = rd у ydr
должны быть удовлетворены при подходящем выборе г и dr. Умножим
эти уравнения на а, р, у и сложим их; отсюда, принимая во внимание,
что по сделанному определению
adx + fidy 4- ydz == О
и
ada 4- pdp + ydy = О,
получим
dr = 0.
Следовательно, уравнения, которые должны быть удовлетворены, обраща-
ются в
dx = — rda, dy = — rdp, dz — — rdy.
Одно из этих уравнений есть следствие двух других, так как, если мы
умножим их на а, р, у и сложим, то получим тождественное уравнение.
Таким образом, условие пересечения нормалей состоит в том, что два из
этих уравнений могут быть удовлетворены подходящим выбором г.
Возьмем уравнение поверхности, о которой здесь говорится, в виде
z —z(x, у) = 0, (1)
где второе z есть знак функции, которая должна быть дана, и я, у
выбраны как независимые переменные, которые определяют точку поверх-
119
ности и соответствующие ей значения косинусов а, р, у. Тогда два пер-
вых из трех предыдущих уравнений обращаются в
, (да , , да , X
ах — — г — ах -----dy ,
\ дх ду /
, [Эр , др , X
dy-—г ах Ц-- ау ]
\дх ду ]
или в
/ да , 1 X , , да , п
{-~ + ~}dx-Y---dy = Q,
\\дх г / ду
(2)
др , /др 1 X , „
f dx + ' + — X dy = 0.
дх \ду г )
Они могут быть удовлетворены подходящим выбором значения отношения
dy :dx, если г будет корнем квадратного уравнения
да 1 X /др 1 X да др _ q
дх г J \ду г J ду дх
(3)
Пусть г' и г" — корни этого уравнения, dx',' dy' и dx", dy" — значения
dx, dy, соответствующие им, удовлетворяющие уравнениям (2); тогда г' и
г" будут главными радиусами кривизны поверхности тела в точке (х, у),
и линейные элементы поверхности, проекции которых суть dx', dy'
и dx", dy", будут элементами двух проходящих через эту точку линий кри-
визны.
Главные радиусы кривизны всегда действительны и линии кривизны
взаимно ортогональны. При доказательстве этого утверждения мы сделаем
некоторое предположение относительно системы координат, которая до
сих пор оставалась произвольной. Это позволит нам в приводимом ниже
доказательстве получить для главных радиусов кривизны и линий
кривизны значения, не зависящие от системы координат. Из уравнений (1),
представляющих рассматриваемую поверхность, вообще, следует:
Л . U . -- -- - .-------. I ,
дх ду
а_______dz 3 dz
Т дх ’ т ду ’
(4)
так что
отсюда
или
ду дх] ду дх
Выберем систему координат так, чтобы было у= 1, т. е. так, чтобы
ось z была параллельна нормали к поверхности в рассматриваемой точке,
направленной внутрь тела. Тогда а и 3 обратятся в нуль, и выведенное
уравнение даст
да __др
ду дх
(5)
120
Отсюда следует, что последний член левой части уравнения (3) есть
квадрат и, далее, что левая часть формулы (3) отрицательна, если
_1
г
да 1
— ИЛИ —
дх г
53.
ду ’
но она будет положительна, если принять г бесконечно малым. Из этого
можно заключить, что уравнение (3) имеет два действительных корня, но
они могут быть как положительными, так и отрицательными. Главный
радиус кривизны положителен, если соответственный центр кривизны
(т. е. точка, координаты которой при принятых в начале этого параграфа
обозначениях мы назвали g, т], £) лежит от точки (х, у, z) со стороны
нормали, проведенной внутрь тела, и отрицателен в противном случае.
Оба радиуса кривизны положительны для выпуклой поверхности тела и
отрицательны для вогнутой; один положителен, другой отрицателен, если
поверхность в одном направлении выпукла, в другом вогнута.
Чтобы доказать, что линии кривизны взаимно ортогональны, будем исхо-
дить из уравнений
—dx" = — (+ -'j dy",
дх [ду г")
которые следуют из уравнений (2). Перемножим их и воспользуемся тем.
что
так как из уравнений (3) следует, что
A + + (6)
г’ г" дх ду)
Таким образом, будем иметь
— dx'dx" + —dy’dy" — Q.
дх ду
Введем теперь систему координат, для которой существуют уравнения
(5), и т = 1; тогда это уравнение примет вид
dx' dx" + dy' dy" — 0.
Так как проекции обоих рассматриваемых элементов на ось z в принятой
теперь системе координат (которые должны быть обозначены через dz' и
dz") равны нулю, то это равенство выражает, что оба элемента взаимно
перпендикулярны.
При помощи понятий главного радиуса кривизны и линий кривизны
теперь легко вычислить увеличение, получаемое частью поверхности тела
при бесконечно малом перемещении ее точек. Предположим сперва, что
перемещения всюду имеют место в направлении нормалей. Обозначим через
v величину перемещения в направлении внешней нормали, величину, кото-
рая непрерывно изменяется от точки к точке поверхности. Вообразим
поверхность, разделенную на бесконечно малые прямоугольники двумя
системами бесконечно близких линий кривизны; пусть будут dl' и dl"—
смежные стороны такого прямоугольника в начальном состоянии
поверхности; следовательно, dl’dl" есть его площадь. При перемещении
121
dl' изменится на dl’ (1 + v) > a Ha j ’ эт0 будет иметь
место, каковы бы ни были знаки г' и г". Поэтому площадь прямоуголь-
ника получает при перемещении приращение
dl'dl"^ + ^ V,
а вся площадь, элемент которой обозначим через ds, получит приращение
f , / 1 , 1 \
\ ds —-----v.
J \г' г" У
Во-вторых, мы рассмотрим случай, когда точки поверхности будут сме-
щены в ней самой таким образом, что опять перемещения будут изме-
няться непрерывно. Тогда увеличение площади будет выражаться интегра-
лом, взятым по периметру. Обозначим через dl элемент периметра; через
т — нормаль к dl, касательную к поверхности и направленную внутрь
периметра; через р. — проекцию перемещения элемента dl на направление,
противоположное пг, тогда приращение площади будет
dl ц.
Положим, что точка может получить произвольное бесконечно малое и
непрерывно изменяющееся перемещение. Пусть е будет величина и направ-
ление этого перемещения; оно может быть рассматриваемо как составленное
из двух таких перемещений, которые мы только что рассматривали. Из
этого следует, что увеличение, получаемое частью поверхности, равно
сумме двух написанных выше интегралов, если приписать количествам v
и р. известные значения, т. е. положить
v = — е cos (ле), р = — е cos (me),
где п — направленная внутрь тела нормаль к ds. Отсюда искомое увеличение
части поверхности тела будет
— ds (4- е cos (пе) — die. cos (me). (7)
§ з
Полученный результат дает нам возможность найти работу капилляр-
ных сил для бесконечно малого перемещения части системы, на которую
они действуют. Предположим, что кроме капиллярных сил действует сила
тяжести, для которой также надо будет найти работу при таких переме-
щениях. Цримем ось z координатной системы направленной вертикально
вниз, обозначим через g тяжесть, через dx — элемент объема тела и через
р — его плотность. Тогда потенциал силы тяжести по отношению к телу
будет
g^pzdr, (8)
и изменение, полученное этим интегралом при рассматриваемом перемеще-
нии, представит работу, которую надо вычислить. Как уже сказано, мы
будем предполагать тело несжимаемым; поэтому ц должно иметь всегда
одинаковое значение. Вследствие этого изменение интеграла (8) для каких-
нибудь возможных перемещений может быть представлено интегралом,
взятым по поверхности тела, в который войдут только перемещения частей
поверхности. В самом деле, при принятом предположении единственной
причиной изменения интеграла (8) можно считать изменение пределов инте-
122
грирования. Пусть будет ds — элемент поверхности тела, 8 — перемещение,
п—направленная внутрь тела нормаль к ds; тогда
ds е cos (ne)
представляет элемент объема, выключаемый, если cos (пе) положителен,
и включаемый, если cos (ив) отрицателен. Следовательно, приращение
интеграла или работа тяжести, о которой идет речь, будет
— gp^dszscos(ne). (9)
Перемещения 8 вследствие несжимаемости тела должны быть связаны
некоторым уравнением: интеграл
$
должен оставаться неизменным; согласно предыдущему, мы видим, что это
условие выражается уравнением
О = ds 8 cos (и е). (10)
Введем теперь некоторые свойства поверхности раздела различных
жидкостей. Пусть 1 и 2 — две соприкасающиеся жидкости, Д12 — постоян-
ная, произведение которой на поверхность соприкасания дает потенциал
капиллярных сил, действующих вследствие соприкасания, щ и р.2 — их
плотности. Рассмотрим произвольную конечную часть их поверхности
соприкасания. Назовем dsl2 — элемент этой части, пг — направленную
внутрь жидкости / нормаль к dsl2, г' и г" — главные радиусы кривизны
этого элемента, считаемые положительными, если поверхность жидкости
/ выпуклая. Предположим, что только точки выбранной части поверхности
перемещаются бесконечно мало, тогда как остальные точки поверхности
соприкасания различных тел остаются на своем месте; именно, мы пред-
положим, что они перемещаются так, что точки краев сохраняют свое
положение и объем обеих жидкостей остается неизменным. Если е есть
перемещение элемента ds12, то необходимо, вследствие уравнения (10),
на основании последнего определения, чтобы
^(/s128cos (/^е) = 0. (11)
Если это условие выполнено, то по принципу возможных перемещений,
как это следует из значения выражений (7) и (9), должен быть равен нулю
также интеграл
ds128 cos (/Tie) Г А12 ( 4 + -М + g (Hi — Иг) z| (12)
г L V г / J
Для этого необходимо, чтобы выражения, стоящие в (11) и (12) под знаком
интеграла, были пропорциональны, т. е. чтобы
•^12 ~ + g (Мн Иг)2 = (13)
где через X обозначено постоянное. Это и есть дифференциальное уравне-
ние поверхности раздела двух жидкостей. Оно может быть представлено
в несколько более простом виде подходящим выбором плоскости х, у.
Если плоскость хОу изменяется, то изменяется значение z в определенной
точке, в то время как первый член левой части уравнения (13) остается
123
неизменным; таким образом, Л. также изменяется и может, следовательно,
обратиться в нуль при подходящем выборе плоскости хОу. В этом случае
уравнение (13) примет вид
Аг (/ + 7) +g(m — g2)z = 0. (14)
Плоскость, которую нужно взять за плоскость хОу, чтобы это уравнение
имело место, называется плоскостью уровня. Если для поверхности раз-
дела двух жидких частей, которая только что была рассмотрена, г' и г"
бесконечно велики, то она совпадает с плоскостью уровня, как это видно
из уравнения (14).
Рассмотрим теперь линию, по которой примыкают друг к другу три
жидкости. Мы обозначим эти жидкости через 1,2,3, через d/123— элемент
линии, через т12 — нормаль к этому элементу, касательную к поверхности
раздела жидкостей 1 и 2 и направленную внутрь линии, и дадим буквам
m23, т31 и Л23, Л31 значения, аналогичные тем, которые приписаны буквам
т12 и Л12. Предположим, что точки названной линии бесконечно мало
смещены, вследствие чего элемент Л123 получит смещение е. Тогда беско-
нечно близкие к линии частицы жидкости также получат смещения, притом
только такие, при которых объем ни одной из жидкостей не изменится.
При помощи выражения (7), на основании принципа возможных перемеще-
ний, заключаем, что
dl 123 е [Д12 cos (m12e) 4- Л23 cos (m23e) + Д31 cos (m31e)] = О,
откуда следует, в силу произвольности е,
Д12 cos (m12e) + X23cos (m23e) + Л31 cos (m31e) = 0, (15)
где е — произвольное направление. Это уравнение есть то самое, которое
выражает, что три силы, с величинами Д12, Л23, Л31, направления которых
перпендикулярны к Л123 (направления m12, т23, т31), действующие на одну
точку, находятся между собою в равновесии. Обозначим углы (m31, т12),
(m12, m23), (m23, т31) через wlt w2, w3; это те углы, которые образуют
между собой две из трех плоскостей, касательных к трем поверхностям
раздела, в элементе dll23. Тогда уравнение (15) выражает тот факт,
что треугольник, стороны которого находятся между собой в отношении
Д23 Ai Аг, имеет углы л — л — w2, л — w3, или что
sin w3: sin w2 : sin w3 — Л23 : Л31: Л12. (16)
Рассмотрим теперь случай, подобный только что изложенному, но
который отличается от него тем, что тело 3—не жидкость, а твердое тело
или, что означает здесь то же самое, неизменяемое тело. Сверх того, его
поверхность, там, где она встречает поверхность раздела жидкостей 1 и 2,
не должна иметь острых ребер; тогда направления т23 и т31 будут про-
тивоположны. Примем перемещение е параллельным т31; тогда уравнения
(15) также имеют место, и мы получим
COSU^ --31- . (17)
Лц
Уравнения, которые могут быть составлены по образцу уравнений (16) и
(17), суть граничные условия, которые служат для ближайшего определе-
ния интегралов дифференциальных уравнений, составленных по образцу
(13) и (14).
124
§ 4
Прежде чем интегрировать при известных предположениях дифферен-
циальные уравнения поверхности раздела двух жидкостей, выведем выра-
жение для силы, которая должна действовать на твердое тело, чтобы
удержать его в равновесии, если оно находится в соприкосновении с двумя
жидкостями и может двигаться в данном направлении. Мы по-прежнему
обозначим твердое тело цифрой 3, жидкости — цифрами 1 и 2. Примером
служит твердое тело, погруженное в воду. Этот пример мы положим
в основание нашего исследования и обозначим воду через 1, воздух через 2.
Сперза мы допустим, что часть
поверхности твердого тела, у которой
лежит край поверхности воды (т. е.
линия, элемент которой мы называли
r//ia3), есть часть вертикального цилин-
дра с любым поперечным сечением
и что тело может двигаться в верти-
кальном направлении. Кроме собствен-
ного веса тела, мы ищем силу Z, ко-
торая должна действовать по верти-
кали вниз, т. е. в направлении оси г,
чтобы имело место равновесие. Мы
найдем ее, если применим принцип
возможных перемещений к некоторо-
му перемещению нашей системы.
Представим себе, как показано на
фиг. 1, некоторую поверхность F,
которая заключает твердое тело и которою ограничена некоторая часть
каждой жидкости. Дадим всем точкам системы такое возможное переме-
щение, что все точки, лежащие вне поверхности F или на ней, остаются
на своих местах; твердое тело смещается на е' по вертикали вниз; части-
цы жидкости двигаются так, что точки края поверхности воды не получат
никакого изменения, и объем каждой жидкости остается неизменным.
Допустим, что при этом всем частицам жидкости, которые соприкасаются
с телом, вплоть до частиц, лежащих бесконечно близко к пограничной
поверхности обеих жидкостей, будет дано такое же смещение, как твер-
дому телу. Работа силы Z для этого перемещения равна
Ze'.
(18)
Чтобы найти работу капиллярных сил и силы тяжести, мы сохраним ранее
принятые обозначения, но будем понимать под ds12 элемент части поверх-
ности раздела 1 и 2, лежащей внутри поверхности F, и обозначим через
U периметр горизонтального поперечного сечения цилиндра, из части кото-
рого, по предположению, образована часть поверхности твердого тела. При
рассматриваемом перемещении часть поверхности соприкасания 1 с 3 уве-
личится на t/e', в то время как поверхность соприкасания 3 и 2 точно
на столько же уменьшится, вследствие чего, принимая во внимание выра-
жение (7), получим работу капиллярных сил
(• /1 1А
(А31 — Д23)(7е' — А12 \ ds)2 ( — 4- —) е' cos^e).
(19)
Наконец, с помощью выражения (9), найдем работу силы тяжести
g (Hi — Нз) е' § ds31 z cos (n3z) + g (ц2 — ц3) е' ds33 cos (n3z) —
— g (Hi — Ha) \ dslt ze cos (nxe). (20)
125
Сумма выражений (18), (19), (20) должна быть равна нулю. Выберем за
плоскость хОу плоскость уровня и принимая во внимание, что тогда имеет
место уравнение (4), получим
0 =-- Z + (Л31 — Лаз) U + g (Щ — Нз) rfs3i z cos (/г3?) + g (ц2 — g3) x
X \dsi3 z cos (n3z). (21)
Дадим этому уравнению еще другую форму. Если через ds обозначим
элемент поверхности замкнутого пространства, через п— направленную
внутрь его нормаль к ds, то ds z cos (nz), распространенный на всю по-
верхность, равен отрииателгному объему этого пространства, как это сле-
дует из предложения, выражаемого уравнениями (6) одиннадцатой лекции.
Заметим, что этот интеграл, распространенный на любую частъ плоскости
хОу или на любую часть цилиндра, параллельного оси z, обращается в нуль;
поэтому можно будет найти значение, которое он полу«ит, если будет
распространен на ограниченную часть указанной замкнутой поверхности.
Именно эту часть можно привести к замкнутой поверхности добавлением
поверхности, составленной из куска цилиндра, параллельного оси z, и
куска плоскости хОу. Оба интеграла, входящие в уравнение (21), можно
поэтому выразить через два объема. Построим поверхность, которая огра-
ничена кривой края воды и составлена из части вертикального цилиндра
и части плоскости уровня.
Предположим, что вся эта поверхность лежит внутри твердого тела;
тогда она разделит его на две части, из которых одна находится в сопри-
косновении с жидкостью 1, другая — с обеими жидкостями; объемы этих
частей назовем Vx и V2; тогда
ds31 z cos (n3z) = — Vt и ds23 z cos (n3z) = — V2.
Введем еще угол из (17); при этом уравнение (21) примет вид
Z = g (Hi — Цз) + g (Нз — Из) Уг + An cos wxU.
§ 5
Рассмотрим теперь случай, в котором только что изложенное заклю-
чается как частный случай. Пусть неизменяемое тело 3 имеет произволь-
ную форму и смещается в произвольном направлении, которое мы обозначим
через р. Требуется найти силу Р, действующую на тело в направлении р.
кроме соответствующей компоненты собственного веса, так, чтобы при этом
имело место равновесие. Вообразим, что тело смещено в направлении р на
&'. Соприкасающиеся с ним частицы жидкости должны получить равные
смещения, в то время как частицы, которые лежат на и вне поверхности
F, должны оставаться на месте, и элементы ds12 должны получить такое
смещение е, чтобы было выполнено условие несжимаемости. Поверхности,
элементы которых были обозначены через ds3l и ds23, при этом не изме-
няются; напротив, край поверхности раздела двух жидкостей получает
смещение. Обратив внимание на это, путем исследования, аналогичного
тому, которое послужило для вывода уравнения (21), и выбрав опять за
плоскость хОу плоскость уровня, мы получим
0 = Р + g (ц! — ц3) ds31 z cos (п3р) -г
+ g (р-2 — Из) \ ds23 z cos (п3р) — Л12 J dl123 cos (тХ2р). (22)
126
Применим сперва это уравнение к случаю, когда направление р опять
совпадает с направлением z. Пусть тело 3 будет горизонтальной пластин-
кой, поверхность края которой есть часть кругового вертикального цилиндра.
Ее нижняя поверхность должна соприкасаться с жидкостью 1, так что
край последней есть линия, элемент которой мы называли d/123. Если мы
рассмотрим край нижней поверхности как бесконечно узкую площадь
бесконечно большой кривизны, то вместо этого нам следует сказать, что
названная линия должна лежать в этом крае. Очевидно, что результат
уравнения (22) один и тот же как при одном толковании, так и при другом.
Обозначим через V объем пластинки, через f— площадь, а через U—пери-
метр ее оснований, через zn — значение z для нижней поверхности, через
<>0 — угол между направлением т12 и продолжением^, радиуса пластинки,
представленный на фиг. 2, причем
(щ12р) = О0 — ,
и допустим, что поверхность раздела двух жидкостей есть поверхность
вращения, ось которой совпадает с осью пластинки. Тогда уравнение (22)
примет вид
0 = Р + g (Из — Иг) V — g (И1 — Из) zj — Л12б/ sin О0. (23)
Значение г0 может быть изменяемо внутри известных границ и с ним также
изменяется ’О',,. Как связаны эти величины, мы найдем при изучении формы
поверхности раздела двух жидкостей.
Применим теперь уравнение (22) к случаю, когда направление р гори-
зонтально; примем его за направление оси х. Если ds есть элемент поверх-
ности замкнутого пространства, п— направленная внутрь его нормаль к
ds, то интеграл
( ds z cos (пх) (24)
обращается в нуль, как это показывает первое из уравнений (6) одиннад-
цатой лекции. Из этого следует, что коэффициент при в (22) обра-
щается в нуль и что оба члена этого уравнения, содержащие поверхност-
ные интегралы, объединяются в один
g (Hi — Иг) ds3l z cos (пях). (25)
Далее, получившийся здесь интеграл можно представить как распростра-
ненный по части поверхности твердого тела, лежащей между плоскостью
хОу и границей поверхности раздела обеих жидкостей; для этого стоит
только заметить, что интеграл (24) также обращается в нуль, если он
взят по части плоскости хОу. Предположим, что граница поверхности
раздела обеих жидкостей не пересекает плоскости хОу, т. е. вся лежит
выше или ниже ее. В обоих случаях мы обозначим через ds3 элемент наз-
ванной части поверхности твердого тела. Тогда выражение (25) примет вид
± g (Hi — Иг) ds3 z cos (п3х),
127
где верхний знак относится к первому, нижний ко второму случаю, в пред-
положении, что нижняя жидкость по-прежнему жидкость 1. В этом случае
уравнение (22) имеет вид
° = Р ± g (Мч — Нг) ds3 z cos (п3х) — Л12 С dl123 cos (m12x). (26)
Продолжим вычисление в предположении, что твердое тело есть пер-
пендикулярная к оси х пластинка, длина которой b в направлении оси у
очень велика. Близ нее со стороны отрицательных х находится другая,
параллельная ей твердая пластинка равной или еще большей длины.
Оба случая, которые надо различать в уравнении (26), представлены на
фиг. 3 и 4. Элементы ds3 и dllt3 в большей части параллельны оси у.
U
Фиг. 4
теми же из них, для которых это не имеет места, в двух предыдущих
интегралах можно пренебречь. На наружной стороне подвижной пластинки
имеем
± (т12х) = — у,
на внутренней
щ1 + ^.
Поэтому взятый по dli23 интеграл в уравнении (26) обращается в нуль.
Далее, на наружной стороне пластинки cos (п3х) = — 1, на внутренней он
равен -|-1. Наконец, можно положить ds3 = ldz, если добавить условие,
что нижней границе интеграла должно соответствовать меньшее значение
г, а верхней — большее. Поэтому в обоих различных случаях уравнение
(26) примет вид
P = g(Hi — НгИ
г'2 —г*2
2
если значение z для границы обеих жидкостей на внутренней поверхности
подвижной пластинки обозначим через г', а на внешней через г". В зави-
симости от того, будет ли это выражение для Р положительно или отри-
цательно, обе пластинки оказывают друг на друга кажущееся притяжение
или отталкивание.
Как зависят z' и z" от природы жидкостей и пластинок, а также от
расстояния между ними, покажет изучение формы поверхности раздела
двух жидкостей.
ЛЕКЦИЯ ЧЕТЫРНАДЦАТАЯ
(Интегрирование дифференциальных уравнений для поверхности соприкасания
двух тяжелых жидкостей в случае, когда эта поверхность есть поверхность вра-
щения и когда расстояния рассматриваемых точек от оси вращения очень малы
или очень велики. Первое и второе приближение)
§ 1
Займемся теперь интегрированием дифференциального уравнения для
поверхности раздела двух жидкостей 1 и 2. Примем за плоскость хОу
плоскость уровня; тогда уравнение будет иметь вид дифференциального
уравнения (14) предыдущей лекции
(1)
где
_ 2________
g (щ—щ)
Примем постоянное А12 отрицательным. Только при этом условии воз-
можно устойчивое равновесие, так как, согласно данному в § 2 четвертой
лекции разъяснению, для него необходимо, чтобы потенциал действующих
сил имел максимум; однако максимум не может иметь места для повер-
хности несжимаемой жидкости, простирающейся в область положительных
значений, а, следовательно, поверхность должна простираться в отрица-
тельную сторону. Далее, обозначим более плотную жидкость через 1,
менее плотную — через 2; тогда а2 будет положительно. Если мы опре-
делим а тоже как величину положительную, то это будет длина, что
видно из уравнения (1). Тогда из уравнений (4) и (6) предыдущей лекции
будем иметь
1 । 1 — _ I3! '
г' + г" ~ ду)
где через а, р, у обозначены косинусы угла, который образует с осями
координат нормаль к поверхности, направленная внутрь жидкости 1. Отсюда
следует
dz dz
дх п ди
а =----------------, В =---------- -- ,
-| / / dz \ 2 I dz \ 2 ' , dz \ 2 . dz \ 2
V<+U)+U)
9 Г. Кирхгоф
129
и по (1)
(2)
где корень должен быть взят положительным или отрицательным в зави-
симости от того, положительно или отрицательно у. Это уравнение в част-
ных производных мы превратим в обыкновенное дифференциальное урав-
нение, если предположим, что поверхность, о которой здесь говорится,
будет частью поверхности вращения, ось вращения которой совпадает
с осью г. Положим
где корень взят положительным; тогда
dz х dz dz у dz
dx и du dy и du
и уравнение (2) обращается в
dz
и —
а2 1 d du
г =-------—------------
2 и du 1 / I az \2
г 1 ( 7/
' \аи
(3)
Здесь мы можем рассматривать и и z как прямоугольные координаты
точки кривой, гю которой поверхность пересекается с плоскостью, прохо-
дящей через ось г. Поэтому уравнение (3) мы можем преобразовать, введя
угол б', для определения которого прежде всего положим
дополним это определение уравнением
dz
Этим уравнением О определено с точностью до добавочной постоянной,
кратной 2л; при этом можно принять, что О’ изменяется по кривой непре-
рывно. Из полученных для sin О и cos О выражений следует, что
- = tg О,
(4)
т. е. О — угол, который образует касательная к кривой с осью и и который
описывает прямая, вращающаяся от оси и до положения, параллельного
касательной, в том направлении, в котором она должна быть повернута
на у , чтобы принять направление оси г. На основании уравнения т = cos'О
здесь также можно сказать: & есть угол, который проведенная внутрь более
плотной жидкости нормаль пх образует с осью z и который описывает
130
прямая, вращающаяся от оси z в том же направлении до направления п1.
Тогда уравнение (3) примет вид
а2 1 d , . ,г-..
z=—(nsinO). (5)
2 и du
Мы будем интегрировать уравнения (4) и (5), которые вместе заменяют
уравнение (3), только для случаев, когда для точек рассматриваемой
поверхности и очень мало или очень велико.
§ 2
Предположим сперва, что и бесконечно мало. Этот случай приблизи
тельно осуществляется, например для поверхности жидкости в тонкой
вертикальной трубке кругового сечения, погруженной в большую массу
воды, или для поверхности малой капли ртути, лежащей на горизонталь-
ной стеклянной пластинке. Из (5) следует, что в этом случае, вообще
говоря, z бесконечно велико. Допустим, что это имеет место, но что для
различных точек рассматриваемой кривой разность значений z не беско-
нечно велика. Обозначим через z0 одно из этих значений; тогда вместо
(5) мы можем здесь написать
_ а2 1 Г d (и sin fl) "I
° 2 и I du J
ИЛИ
, const
zau 4-------
и
- a2 sin &,
где const означает постоянную интегрирования. Она обращается в нуль,
если, как мы предположим, ось z пересекает поверхность жидкости, потому
что для и = 0 левая часть найденного уравнения сделается бесконечно
большой, правая же обратиться в бесконечность не может. Равным образом
относительно z0 мы примем, что должно быть г = г0 при ц = 0. Тогда мы
имеем
/12
и = — sin О, (6)
го
при этом 0 = 0 для и = 0, если, как мы предположим и как это имеез
место в обоих приведенных примерах, в точке (и = 0, г = z0) более плот-
ной жидкостью является нижняя.
Продифференцируем уравнение (6) и перемножим результат с уравне-
нием (4); тогда получим
dz = —- sin О dO;
г»
отсюда, интегрируя и принимая во внимание, что z = z„, при 0 = 0 будем
иметь
а2 а2 ,,
z — z()---=--------cos О. (7)
г0 20
Уравнения (6) и (7) показывают, что поверхность жидкости есть шар,
, а2
радиус которого равен абсолютному значению — и центр которого имеет
20
координату z, равную z0 + —. Более плотная жидкость ограничена здесь
20
выпуклой поверхностью, если zn положительно, и вогнутою, если z0 отрш-
9* 131
цательно. Значение zn обусловлено углом wt, который определяется из
уравнения (17) предыдущей лекции. Рассмотрим, например, свободную
поверхность жидкости в вертикальной трубке радиуса /?; тогда
и = R,
ft = wL--------It-
2
подставив эти значения в уравнение (6), получим
а2
z0 =-----COS w±.
(8)
Часто встречается случай, когда Wi = 0; это происходит, когда твер-
дое тело, о котором говорится, смочено жидкостью /. В этом случае
уравнение (8) дает
поверхность жидкости в трубке будет полушарием.
Пусть значения и не бесконечно малы, но просто малы; тогда найден-
ные уравнения представляют первое приближение. Найдем теперь второе
приближение. Из уравнения (5) следует:
a2 sin ft
zudu,
если будем предполагать, что ось z пересекает поверхность.
Подставим z0 4-(z — z0) вместо г, где по-прежнему z0 есть значение z
при и = 0; тогда имеем
и
2 Р
a2 sin ft = гйи -|-----\ (z — z0) и du.
О
Мы придем к формулам первого приближения, именно к уравнению
(6), если пренебрежем здесь членом с интегралом; найдем второе прибли-
жение, если выразим с помощью уравнений (6) и (7) величины (z — z0) и
и через О. При этом мы получим
a2 sin О = zou + 2 V —-— (1 — cos ft) sin О cos ft dft
\г0 / sin ф J
о
или
zou = a2 sin ft —
sin ft
2 1 — cos3 ft
3 sin ft
(10)
Дифференцируя это уравнение и перемножая результат с уравнением (4),
придем к уравнению, интегрируя которое, получим z как функцию ft.
В случае вертикальной трубки радиуса R уравнение (10) дает значение
z0 более точное, чем определенное из (8). Чтобы его найти, можно в член,
которым различаются уравнения (10) и (6), подставить z0 из (8). Если
трубка смачивается, то таким же путем получим
__ -“1 —Я
0 " R 3 ’
£32
§ 3
Уравнения (4) и (5) можно интегрировать дальше, полагая и бесконечно
большим. Положим
и = ип + х, (И)
где и0 обозначает бесконечно большую постоянную величину, выбранную
так, что для точек, которые будут рассматриваться, х будет конечно.
Выполним в (5) дифференцирование по и\ тогда, пренебрегая членами,
бесконечно малыми по сравнению с конечными, получим
z = a? rfsin fr (12>
2 dx ' К
и уравнение (4) будет иметь вид
dz — \.g$dx. (13)
Это — те же уравнения, которые можно было бы получить непосредственнс
из (2), в прямоугольных координатах х, у, z, предполагая, что z не зависит
от у. Перемножив их меж ту собой, получим интегрируемое уравнение, и
интегрированием его найдем
z2 = const — a2 cos О,
или также
z2 — 2а2 (ft — cos2
(14)
где h. — произвольное постоянное. Оно необходимо должно быть положи-
тельным, потому что г2 положительно, но может быть больше или меньше
единицы. Эти случаи существенно различны. Если /г)>1, то z не может
обратиться в нуль, а также не может переменить знака. Это получим
согласно уравнению (1) для кривизны кривой, текущие координаты кото-
рой— х и z; напротив, О может быть равно нулю или 2л, т. е. сущест-
вует точка, в которой касательная горизонтальна, и более плотная жидкость
лежит под менее плотной. Если /г<)1, то имеем обратное, т. е. в этом
случае нет такой касательной и О не может быть равно нулю или 2л; но
г может равняться нулю, т. е. существуют точки, лежащие в плоскости
уровня, в которых кривизна равна нулю.
Для случая h 1 положим
(15)
Обозначим по-прежнему через Дф, взятый положительным, корень
У1—Zs2sin2ip; тогда уравнение (14) будет иметь вид
z2
~ A21*5’
или, если обозначим через с максимум г, когда z положительно, и минимум
г в противном случае причем
, 2а2
с2 = — ,
/г2
z = сДф.
(17)
13S
(16)
то
Из уравнения (12) имеем
z = a? cos 2 ф —
dx
откуда на основании (17) следует, что
<ли
с cos 2гр йф
2 Дф
(18)
где нижняя граница обоих интегралов есть произвольное постоянное. Для
случая /г<Д положим в (14)
h = cos2 у = k2, (19)
где под i мы понимаем значение, которого О не может превзойти, но
может достигнуть. Далее возьмем
отсюда имеем
coS' = cos-sinib;
2 2
z2 = 2а2 cos2 — cos2ф.
2
Таким образом, для окончательного определения ф мы получим
Z =
j/2 a cos cos ф.
(20)
(21)
Для одной точки рассматриваемой кривой можно принять & лежащим
между нулем и 2л и, следовательно, у лежащим между нулем и л; так
как по (20) sin у не может обратиться в нуль, то у всегда лежит между
названными границами, и мы из (20) получим
sin^- =- Дф.
/равнение (12) здесь примет вид
z = — а2 (1 —2Д2ф) cos — С0" —,
2 Дф dx
эткуда в связи с (21) будем иметь
х = - + а V2 J Дф </ф, (22)
где нижней границей обоих интегралов по-прежнему является произволь-
ное постоянное.
§ 4
Выведенные уравнения мы приложим теперь к случаям, когда модуль
эллиптических интегралов, к которым мы пришли, бесконечно мал или
равен единице. Положим сперва в уравнениях (17) и (18) k бесконечно
134
малым. Тогда, разлагая по степеням k, мы найдем
7 , fe2 . , , \ ( , Й2 Ь2 \
г = с 1--------sin2 ib = с 1------------— cos2 tb
I 2 I 4 4
и, воспользовавшись тем, что
sin2 ф dip = --
sin 2ib , ,
------ + const,
4
будем иметь
ck2
х = — sin 2ф + const.
Эти выражения z и х показывают, что кривая, о которой говорится, есть
круг, радиус которого равен абсолютному значению — или по (16) равен
а2
—. Если жидкость заключена между двумя параллельными вертикальными
2с
пластинками, которые ею смочены и находятся между собой на расстоянии
2е, то этот круг должен касаться пластинок;
равен е, и, так как с отрицательно, то должно
В случае, когда имеют место уравнения (21)
что k, как и cos , бесконечно малы, получим
его радиус должен быть
< а2
быть с — — - .
2е
и (22), в предположении,
z = a j/2 cos у cos ip, х = ip 4- const;
следовательно,
z = a 1^2 cos у cos f-y— + const) .
Это уравнение изображает синусоиду. Чтобы дать пример, когда имеет
место эго уравнение, вообразим горизонтальную пластинку, под нижней
поверхностью которой находится небольшое количество смачивающей ее
жидкости. Жидкость может быть в равновесии, если профиль ее имеет
форму АСВ (фиг. 1), причем предполагается, что расстояние точки С от
прямой АВ не бесконечно мало, при этом
АВ
/2
Наконец, при k = 1 уравнения (17) дают тот же результат, что и урав-
нения (21) и (22). Чтобы избежать необходимости введения двойногб знака,
мы допустим в приложениях, что О выбрано между нулем и 2л, следова-
тельно, по (15) ip лежит между — и + у. При использовании вто-
рого случая будем предполагать, что для I, которое может быть равно
нулю и 2л, выбрано то из этих значений, при котором знак cos — согла-
135
суется со знаком г. Если эти условия соблюдены для одной точки рас-
сматриваемой кривой, то они будут иметь место для всех точек ее, лежа-
щих на конечном расстоянии, потому что О не может выйти из границ
О, 2л, и z знака не меняет; таким образом, случай, который мы здесь
рассматриваем, является пограничным между двумя случаями, в которых
входящее в уравнение (14) количество h больше или меньше единицы.
Вследствие этого cosip положительно, и отсюда
cos ф = Дф.
Пользуясь тем, что
С = ]g tg 1 /'ф _|_ ±') + const,
J cos гр 2 \ 2 )
будем иметь
* =с Н- fg т + cos о +const’
\ 2 4 2 /
z = с sin — , (23)
с = -j- a ]/2.
Фиг. 2 дает приблизительное представление о виде кривой, представ-
ляемой этими уравнениями. Часть этой кривой может изображать профиль
поверхности жидкости. Таков, например, случай, когда плоская пластинка
погружена в произвольном направлении в большую массу воды.
§ 5
Полученные в двух предыдущих параграфах уравнения можно рас-
сматривать как первое приближение для случая, когда поверхность жид-
кости есть поверхность вращения, ось вращения которой совпадает с осью
г, и при котором радиус и для рассматриваемой точки очень велик. Мы
положили там, как видно из (11),
и = и0 + х
и рассматривали и0 как очень большую постоянную величину. Найдем вто-
рое приближение следующим путем. Уравнения (4) и (5), которые надо
интегрировать, можно написать так:
Перемножив их между собой, преобразуем член
a2 sin -ft dz
и
которым пренебрегали в первом приближении; именно, заменим и через и0
и воспользуемся уравнением, имевшим место в первом приближении. Таким
образом, мы получим уравнение, которое может быть проинтегрировано и
из которого z может быть выражено как функция от О. После этого можно
будет с помощью уравнения (4) представить также и как функцию О. Огра-
ничиваясь случаем, для которого в первом приближении имеет место
136
уравнение (23), найдем указанным способом
a3 sin S cos dS
zdzzp----------------- = — sin О dO,
2 /2 u0 2
где, как и в следующем, из двух знаков должен быть взят нижний или
верхний в зависимости от того, положительно или отрицательно z.
Отсюда, интегрируя, будем иметь
1 + cos3 —
2
z = + а ]/2 sin — I 1 — —
“L 2 I 3 J/2
(24)
Эго уравнение можно применить к случаю, который мы рассматривали
в предыдущей лекции и к которому относятся уравнения (23), именно
к случаю, когда горизонтальная круглая пластинка своей нижней поверх-
ностью касается жидкости. Предположим теперь, что поверхность жид-
кости простирается в бесконечность, и обозначим через и0 радиус пластинки,
через z0 и — значения г и О при и = и0. Если z0 и О0 имеют те же
значения, как указано выше, то уравнение (24) дает соотношение между
обеими величинами, на которое там было указано.
Мы не будем продолжать изучение капиллярных явлений и при наших
дальнейших исследованиях не будем принимать в расчет капиллярные
силы. При рассмотрении этих явлений мы не пользовались понятием давле-
ния, которое играет важную роль в общих уравнениях гидростатики и
гидродинамики. Это понятие сохраняет также и здесь свое значение.
В жидости, на которую действуют капиллярные силы, давление изменяется
внутри точно так же, как если бы этих сил не было, но бесконечно близко
к поверхности оно изменяется бесконечно быстро. Именно, капиллярные
силы, действующие на частицу, лежащую на конечном расстоянии от по-
верхности, равны нулю, но на поверхнссти они дают бесконечно большую
равнодействующую. Поэтому мы встретили бы большие затруднения при
исследовании капиллярных явлений, если бы пожелали использовать это
понятие; мы избежали этого, следуя по другому пути, впервые указанному
Г ауссом.
ЛЕКЦИЯ ПЯТНАДЦАТАЯ
(Гидродинамика. Дифференциальные уравнения Лагранжа и Эйлера. Вращение
жидких частиц. Вихревые линии и вихревые нити. Потенциал скоростей. Много-
значный потенциал скоростей в многосвязном пространстве)
§ 1
Обратимся теперь к гидродинамике и в первую очередь к тем движе-
ниям жидкостей, при которых трение не проявляется заметно. Мы займемся
здесь рассмотрением уравнений уравнений (23) и (24) одиннадцатой лекции, т. е. дгх v др ц — = цл г , dP дх d-y ..др = (D dP ду d2z др Ц == U.Z , dP dz
du. , {ди , dv . dw\ ,,
— + ц-----------------=0.
dt \дх ду дг )
(2)
к которым добавим соотношение между давлением р и плотностью ц.
Преобразуем сначала уравнение (2), которое выражает, что элемент
массы остается неизменным при движении, и которое обыкновенно назы-
вается уравнением неразрывности, Обозначим через х0, у0, z0 координаты
той материальной точки жидкости в момент t0, которая в момент t имеет
координаты х, у, z. Тогда отношение объемов, содержащих эту точку
в моменты t и /0, есть определитель
дх дх дх
дха ду0 дга
ду ду ду
дхв дув дга
dz dz dz
dxa dy„ dz9
как это следует из уравнений (13) десятой лекции, если мы заметим, что
величины, обозначенные через а, Ь, с в уравнении (26) той же лекции,
обозначены здесь через х0, у0, z0. Поэтому условие, что этот определитель,
умноженный на ц, не зависит от t, равносильно уравнению (2). Обозначим
через а, Ь, с какие-нибудь независимые между собой величины, которые
определяют материальную точку, координаты которой в момент t суть
138
х, у, г. Тогда имеем девять уравнений, которые могут быть получены
из одного
дх
да
дх дха дх дуа дх дг0
--- .-------------- —
дх6 да-ду0 да-----dz0 да
заменой х на у, г или а на Ь, с. Если положим
дх дх дх
да db дс
ду ду ду = D.
— — — - - —
да db дс
dz dz dz
да db дс
(3)
то следствием этих уравнений, на основании теории определителей (см.
конец § 2 десятой лекции), будет
дх дхл дх ду» дх дга дх0 да Зл-о db дха дс
D — ду_ ду ду ду» дУц дУо
дха дУо dzo да db дс
dz dz dz дг0_ dz0 дг0
дх0 дУа dz0 да db дс
Отсюда следует, что уравнение (2) может
1*0 не зависит от времени, т. е. уравнением
d(liD) = q
dt
быть заменено условием, что
(4)
Умножим уравнения (1)
на —, или на - , или на —;
да db дс
ду * „ ду „ „ ду
да db дс
дг dz dz
» — » » — » » —,
да db ' дс
и каждый раз будем складывать их; тогда получим
1^ = 0.
ц да
(5)
d2x___\ дх . / d2y____ у \ ду / d2z___2^ — I 1 = 0
dt2 J dt) [dt2 ) db^~ [dt2 / db ‘ ц db
Уравнения (4) и (5) известны под названием лагранжевых уравнений
гидродинамики; в них х, у, z, р рассматриваются как функции независимых
переменных a, b, с, t.
139
Поверхность жидкости, по § 6 десятой лекции, должна быть всегда
образована из одних и тех же частиц. Представим себе уравнение ее как
уравнение между х, у, z, t; тогда, если х, у, z будут выражены через
а, Ь, с, t, то t исключается; уравнение поверхности должно быть урав-
нением между а, Ь, с. Второе условие, которое должно быть выполнено
на этой поверхности, т. е. на поверхности соприкасания жидкости с дру-
гим телом, получим из § 4 одиннадцатой лекции: элемент поверхности
соприкасания должен с каждой стороны испытывать одно и то же давление.
Преобразуем еще уравнения (5). Положим сначала
Р = С dp (6)
J ц
и предположим, что в интервале, в котором введено соотношение, сущест-
вующее между р и ц, нижний предел выбран произвольно. Далее, сделаем
предположение, что силы X, У, Z имеют потенциал V, так что
dv у — dV Z — —
дх ду dz
Тогда уравнения (5) примут следующий более простой вид:
d2x дх d2y ду d2z dz _ dt2 да di2 да dt2 да _ a da
d2xdx d2y ду . d2z dz _ dt2 db + dt2 db + dt2 db ~ = ~rhP}4 (7) db
d2x dx , d2y dy d2z dz di2 de "T” dt2 de dt2 de _ д (V — P) de
Если жидкость несжимаема, то уравнение (4) перейдет в
(8)
dt
и по (6) можно положить
Р = -р. (9)
и
§ 2
В приложениях часто оказывается более удобной, чем лагранжева,
другая форма гидродинамических уравнений, так называемая эйлерова.
В ней скорости и, v, w и давление р представляются функциями х, у, z, t.
Мы имеем
так что
d2x __du d2y _dv d2z _dw .
d/2 dt ’ dt2 ~ dt ’ dt2 ~ dt ’
припомним теперь, что d обозначает приращение, которое получает стоя-
щая за ним величина, относящаяся к той же материальной точке, в эле-
мент времени dt, т. е. приращение, которое она получает во время увели-
140
чения t на dt при неизменных а, Ь, с. Если а, Ь, с останутся неизменными,
то х, у, z возрастут соответственно на udt, vdt, wdt, когда t увеличится
на dt\ отсюда следует, что
du __ди
dt dt
ди , ди
- 4-U —
дх ду
ди
dz
Из этого уравнения мы получим такие же уравнения, если под знаком
производных заменим и на v, или w, или ц. Введем сюда определяемую
уравнением (6) величину Р и предположим, что действующие силы имеют
потенциал V; тогда вместо уравнений (1) и (2) получим
du , du , du , du k u h V - - 4- w - = dt dx dy dz d (V — P) dx
dv . dv , dv , dv h U h V — 4- W — = dt dx dy dz -d(V-pL, (10) dy
dw , dw , dw . dw - + u k v к w - = dt dx dy dz = d(V-P) dz
dp I д (ни) j д (ни) д (uw) _ q
dt дх ду dz
(П)
и
Для элемента поверхности соприкасания жидкости с другим телом, по
уравнению (32) десятой лекции, получим, что компоненты скорости по нор-
мали имеют для обоих тел одно и то же значение; к этому условию надо
присоединить еще второе, что элемент поверхности с каждой стороны
испытывает одно и то же давление.
Если жидкость несжимаема, то Р получает здесь также значение (9),
и уравнение (И) принимает вид
du dv , dw n
дх ду dz
(12)
§ з
Мы видели в десятой лекции, что изменение, получаемое бесконечно
малой частицей тела при движении его, слагается из смещения, вращения
и известного рода растяжения, и имели в (28) выражения для компонент
скорости вращения. Обозначим через л, X, р эти компоненты; тогда, как
мы там нашли,
„ dw dv
2л ----------,
ду dz
2Х =
dz дх
n dv ди
2р =-----------.
дх ду
(13)
Выведем теперь для вращения частицы жидкости известную теорему,
открытую Гельмгольцем*, предполагая, что действующие силы имеют
потенциал; при этом будем исходить из уравнений (7).
* Borchard's Journal fur die reine und angewandte Mathematik, Bd. 55.
141
Дифференцируя второе из них по с, третье по b и вычитая результаты
один из другого, мы получим уравнение, которое можно интегрировать по
t, так как
д / d2x дх \ д / d2x дх \ _____дх дс дх_ \ дЬ
дс \dt2 db ) db дс / db di2 дс dt2
( Идх
j / d
1 дх Яс
dt \db dt
дх дЬ
дс dt /
d (дх ди дх ди
dt \ дЬ дс дсдЬ
Получим аналогичные соотношения, заменяя в этом выражении и и х
через v и у или ши z. Из этого интегрируемого уравнения круговой пере-
становкой букв а, Ь, с можно получить два других. Обозначим через А'.
В', С три не зависящих от t величины; тогда
ди дх ди дх . dv ду dv ду , dw дг дЬ дс дс дЬ dw дг ==2Л', '
дсдЬ дЬ дс дс дЬ дЬ дс
ди дх ди дх , dv ду dv ду dw дг dw дг = 2В', (14)
да дс 1 1 дс да да дс дс да да дс дс да
ди дх ди дх । dv ду да дЬ дЬ да dv ду , dw дг да дЬ дЬ да dw дг = 2С.
дЬ да да дЬ
Эти уравнения можно привести к более простому виду. Для этого прежде
дх дх дх rr
всего умножим их на , —, — и сложим. Тогда члены, содержащие и,
да дЬ дс
пропадут; члены, зависящие от v, объединятся с такими же, зависящими от
w, если ввести производные от а, Ь, с по х, у, г.
Вообразим, что уравнение, которое представляет х, у, г как функции
а, Ь, с, t, разрешено относительно а, Ь, с, так что эти величины будут
функциями х, у, z, t. Обозначим через da, db, de и dx, dy, dz соответ-
ствующие изменения, которые получают а, Ь, с и х, у, z, в то время как
t остается неизменным. Уравнения
da да , . да , .да , ~-dx-\-- dy dz, dx dy dz
db db , db , . db , = - dx 4— dy 4 dz dx dy dz
de dc , .de , , de , — — dx -j- dy -j— dz dx dy dz
будут тогда решениями уравнений
dx dx , , dx ,, , dx , = - da-\— db 4 dc. da db dc
dy ^da + ^db+^de da db dc
dz dz, . dz ,, dz , = da 4— db 4— dc. da db dc
(42
Отсюда следует, что
да _ 1 /дхду дудх
dz D дс дЬ дс
дЬ _ 1 /дх ду_ду дх
dz D \дс дх дс да
дс__ 1 /дхду_ду дх
dz D \дадЬ дадЬ
где D имеет значение, данное в (3). Отсюда мы получим члены, содержа
щие v, уравнения, в которое мы преобразуем уравнения (14), именно
„ / dv да , dv db . dv дс \
Z-*' I I I I I
\ да дг db dz дс dz J
т. е.
D^.
dz
Подобным же образом найдем, что член этого уравнения, зависящий от
w, равен
— D —,
ду
поэтому левая часть примет вид
D ( — ——V или по (13), —2Dn.
\дг ду )
Положим еще
А' = — ДцП, В' = — Вц£>, С' = — QiD,
причем А, В, С будут также независящие от t величины, так как, по (4),
произведение р.0 не зависит от t. Добавляя к составленному уравнению
еще два, которые получим из него при замене хил на у и X или на z
и р, будем иметь
[ . дх . пдх ,
л = ц, Д----И В — Д- С — ,
\ да дЬ дс J
Х=ц(Д^Д-В^Д-С^, (15)
\ да дЬ дс)
( , dz . Ddz , ndz\
г \ да дЬ дс)
Мы подразумеваем под а, Ь, с какие-нибудь величины, определяющие
частицу жидкости; при исследовании уравнений (15) мы примем, что а, Ь,
с — координаты частицы в момент t = 0. Значение величин Д, В, С легко
при этом истолковать; действительно они суть значения, которые получают
—, - , — при t — 0. Отсюда прежде всего вытекает такое следствие:
и р. ц
если частица жидкости не вращается в момент t — 0, т. е. если для нее
в этот момент л, X, р равны нулю, то для нее Д, В, С, а также, по (15),
л, X, р для каждого момента времени должны быть равны нулю. Частица
жидкости, вращение которой в какой-нибудь момент было равно нулю,
никогда не будет вращаться.
Второе заключение, которое может быть выведено из уравнений (15),
следующее. Пусть а, Ь, с и а Д- da, b Д- db, с Д- de будут начальные коор-
143
динаты двух бесконечно близких частиц, так что х, у, z и х + dx, у dy,
z -\-dz суть координаты тех же частиц в момент t. Предположим далее,
что da, db, de выбраны так, что
da: db: de = А : В: С,
т. е. так, что в момент t — 0 прямая, соединяющая обе частицы, совпадает
с осью вращения. Эта двойная пропорция равносильна уравнениям
da = Ae, db — Be, dc = Ce,
где e обозначает бесконечно малую независимую от t величину. Подставим
получающиеся отсюда для А, В, С значения в уравнения (15); тогда
последние примут вид
dx = — е, dy = — е, dz = — в, (16)
ц н н
т. е. будем иметь
dx : dy : dz = л : X : р.
Это соотношение означает, что прямая, соединяющая две рассматриваемые
частицы, всегда совпадает с их осью вращения.
Обозначим через k скорость вращения, т. е. положим
k = Ул2 + X2 + р2;
тогда уравнения (16) дадут
/г = — /dx2 + dy2 + dz2, (17)
е
.т е. скорость вращения изменяется со временем так, что остается пропор-
циональной произведению плотности на расстояние между обеими частицами.
Выраженному уравнениями (16) и (17) предложению мы дадим еще
другую форму. Вообразим в некоторый момент исходящую из некоторой
точки жидкости линию, направление которой всюду совпадает с направле-
нием оси вращения частиц, через которые она проходит; такую линию мы
будем называть вместе с Гельмгольцем вихревой линией. Тогда уравнения
(16) показывают, что все частицы жидкости, которые в некоторый момент
лежат на вихревой линии, в каждый другой момент также находятся на ней.
Поэтому мы можем говорить об изменении, которое получает вихревая
линия со временем, причем мы устанавливаем, что вихревая линия всегда
проходит через одни и те же частицы жидкости. Чтобы выразить иначе
доказанное уравнением (17) предложение, введем новое определение. Мы
будем понимать под вихревой нитью бесконечно тонкую нить, которая
будет вырезана из жидкости вихревыми линиями, проходящими через точки
контура бесконечно малой площади. Мы можем говорить об изменениях,
которые испытывает вихревая нить со временем, установив, что вихревая
нить всегда содержит одни и те же частицы жидкости. Рассмотрим беско-
нечно короткий отрезок вихревой нити и обозначим через I его длину,
а через q — его поперечное сечение; тогда pql есть его масса, которая не
изменяется со временем. Но, по (17), скорость вращения этого отрезка
пропорциональна y-Z, откуда следует, что qk постоянно, т. е. что произве-
дение скорости вращения на поперечное сечение бесконечно короткого
отрезка вихревой нити не изменяется с течением времени.
Докажем еще одно свойство того же произведения qk. Пусть dx — эле-
мент объема некоторой произвольной частицы жидкости, ds — элемент
144
поверхности этой частицы и п—направленная внутрь не нормаль к ds. Тогда,
согласно предложению, которым мы уже неоднократно пользовались,
будем иметь
С dr (dlz + 'j = — ds [л cos (пх) + X cos (пу) -ф р cos (nz)],
J («Эх dy dz) J
или равно
— ds k cos (kn), (18)
где k обозначает одновременно направление оси вращения и величину
скорости вращения. Но из уравнений (13) следует, что множитель при
dr, а вместе с ним и интеграл левой части уравнения (18) обращаются
в нуль. Поэтому обратится в нуль и интеграл правой части. Это предло-
жение мы применим к части нити, ограниченной двумя перпендикулярными
к ней поперечными сечениями. Пусть q' й q" — площади этих сечений,
k' и — соответствующие значения скорости вращения. Для одного из
поперечных сечений
cos (kn) = 1,
для другого
cos(£n) = — 1,
в то время как для остальных частей поверхности этот косинус обра-
щается в нуль. Поэтому доказанное предложение дает
q'k' = q"k".
Произведение скорости вращения на поперечное сечение вихревой нити,
которое не изменяется со временем для одной и той же ее части, также
остается неизменным в данный момент для всех частей нити.
О гею щ заключаем, что вихревая нить не может прерваться внутри
жидкоети. Вихревая нить либо оканчивается на поверхности жидкости,
либо оказывается замкнутой.
§ 4
Если все частицы рассматриваемой жидкости не вращаются в некото-
рый момент, то, согласно доказанному в предыдущем параграфе предло-
жению, они не будут вращаться никогда. Тогда всегда вследствие урав-
нений (13),
dv_______________________dw dw___ди ди___dv
дг ду дх дг ду дх
Эти уравнения показывают, что существует функция х, у, z, t, которую
мы обозначим через ср, обладающая свойством:
dip dw dw
U — - , У = , W = - .
дх ду дг
Гельмгольц назвал эту функцию ср потенциалом скоростей. Если движе-
ние вполне определено, так что и, и, w суть определенные функции
х, у, z, t, то потенциал скоростей еще определен не вполне; в его выра-
жении остается произвольной функция t, так как уравнения (19) един-
ственные, которым ср должна удовлетворять и из которых она должна
быть определена.
Введем значения и, v, w из (19) в эйлеровы уравнения (10), умножим
их на dx, dy, dz и сложим; тогда получим интегрируемое уравнение
10 Г. Кирхгоф 145
и после интегрирования будем иметь
dt "Г 2 L W J "Г \dy J ^2 J J :
где С обозначает величину, не зависящую от х, у, г, но которая может
зависеть от t. Действительно, если возьмем частные производные этого
уравнения по х, у или 2, то придем к уравнениям, которые получаются
из (10) и (19). Не умаляя общности, можем положить С = 0, тогда
(20)
если предположим, что мы надлежащим образом выбрали добавочную
функцию от t, входящую в <р. Для некоторого определенного случая <р
будет найдено с точностью до добавочной постоянной, не зависящей ни
от t, ни от х, у, 2 и остающейся произвольной. При этом мы предпола-
гаем, что V вполне дано, т. е. определено вместе с добавочной произволь-
ной функцией t, входящей в его выражение, если только заданы силы.
Уравнение неразрывности в форме Эйлера, а именно уравнение(11), после
введения потенциала скоростей будет иметь вид
Потенциал скоростей не всегда однозначная функция х, у, z, t. Он
может быть и многозначным, но при известном условии и притом только
некоторым образом, что мы сейчас и покажем.
Пусть <р' и <р"— два значения <р для некоторой системы значений х,
у, z, /; тогда разнрсть <р'— <р" должна оставаться неизменной, если при
неизменном / точка (х, у, г) непрерывно перемещается в жидкости, причем
<р' и <р" всегда будут принимать такие значения <р, которые непрерывно
получаются одно из другого. В самом деле, производные <р' и <р" по
х, у, 2 должны быть между собою равны, так как они суть скорости и,
v, w. Если потенциал действующей силы V однозначен, то эта разность
не может также изменяться со временем. Действительно, так как Р,
согласно его определению (6), однозначно, так же как р и р,, то из (20)
следует, что 5ч>- может иметь только одно единственное значение. Теперь
dt
мы должны найти еще условие, при котором может иметь место много-
значность <р. Так как <р' — <р" не зависит от времени и места, как мы
только что видели, предполагая рассматриваемую жидкость связной, то
нам необходимо установить, при каком условии в некоторый момент и
в некоторой точке эта разность может быть отличной от нуля.. Одно зна-
чение <р мы можем здесь выбрать произвольно благодаря добавочной
постоянной, которая остается произвольной в <р; мы положим ее равной
нулю и посмотрим, может ли (р иметь здесь отличное от нуля значение.
Найдем значение ср для некоторой точки (х, у, z), которая отлична от
выбранной (для рассматриваемого момента); для этого соединим эти
точки произвольной линией, которая только не должна выходить из границ
жидкости, и возьмем интеграл, распространенный по этой линии:
(udx + vdy + wdz). (22)
Продолжим эту линию до замыкания в первоначально выбранной точке;
тогда интеграл (22) может дать отличное от нуля значение для этой точки;
146
в этом случае <р многозначна. Но если для всех линий такого рода инте-
грал (22) будет равен нулю, то <р однозначна. Вообразим теперь, что такая
линия может быть непрерывно изменяема в другую так, чтобы ни при
каком из промежуточных положений данное для нее условие не было
нарушено. При этом рассматриваемый интеграл может изменяться непре-
рывно или совсем не изменяться. Первый случай не может иметь места,
потому что многозначная функция для одной системы значений аргумен-
тов не представляет ряда значений, непрерывно вытекающих одно из
другого. Следовательно, интеграл не изменяется. Если линия бесконечно
мала, то интеграл равен нулю; но он будет равен нулю и для всякой
линии, которая указанным образом может быть приведена в бесконечно
малую.
Итак, потенциал скоростей должен быть однозначен, если замкнутая
линия, которая может быть проведена в жидкости в некоторый данный
момент через данную точку, может быть непрерывным изменением, без
выхода из жидкости, стянута в эту точку. Выполнение этого условия
зависит от формы пространства, содержащего жидкость. Область простран-
ства, для которой это условие выполнено, называют односвязной. Это
название вытекает из другого свойства такой области, которое необходимо
согласуется с указанным выше, именно, из свойства, что поперечным
сечением область можно разделить на две отдельные части. Под попереч-
ным сечением мы разумеем здесь поверхность, которая вся лежит внутри
области, не пересекая себя, и вполне ограничена линией пересечения
с поверхностью области. Примером односвязного пространства является
полый шар или шар, из которого вырезан меньший. Следует обратить
внимание, что во втором примере для ограничения односвязного простран-
ства применена несвязная поверхность. Односвязному пространству про-
тивопоставляют дву-, трех- и вообще многосвязное пространство. Двусвяз-
ное пространство есть такое, которое надлежаще выбранным поперечным
сечением может быть обращено в односвязное. Трехсвязное —такое, кото-
рое одним подобным сечением может быть обращено в двусвязное, и т. д.
Пример двусвязного пространства представляет кольцо или шар, из кото-
рого вырезано кольцо. Здесь нет необходимости строго обосновывать
понятие о связности и притом приводить доказательство, что оба указан-
ных признака для односвязного пространства согласуются между собой.
В тех простых случаях, где мы будем пользоваться этим понятием, это
легко усмотреть непосредственно.
ЛЕКЦИЯ ШЕСТНАДЦАТАЯ
(Несжимаемая жидкость. Потенциал масс, сосредоточенных в одной точке или
непрерывным образом распределенных по поверхности или по объему. Потенциал
двойного слоя. Теорема Грина. Представление некоторой функции V, которая
удовлетворяет в некоторой области уравнению AV = 0 и вместе со своими пер-
выми производными однозначна и непрерывна, через сумму потенциалов просто-
го слоя и двойного слоя, распространенных по поверхности области. Условия,
достаточные для определения V. Линии тока и нити тока. Случай, когда рассмат-
риваемая область простирается в бесконечность. Многозначные решения уравне-
ния Дф=О. Потенциал масс, зависящий от двух координат).
§ 1
Мы будем теперь заниматься движением несжимаемой жидкости в пред-
положении, что существует потенциал скоростей. Уравнение (21) преды-
дущей лекции переходит для несжимаемой жидкости в следующее:
52<р d2q> <Э2ф = 0
дх* "Г ду* ' дг*
Рассмотрим здесь решение этого дифференциального уравнения в част-
ных производных. Уравнение для краткости будем изображать через
Аср = 0. (1)
Вначале выведем некоторые свойства однозначных решений этого
уравнения.
Пусть г — расстояние точки (х, у, z) от точки (а, Ь, с), т. е.
г = У {х — ау + (у — ьу + (z — су,
и m — постоянное; тогда - (2) Г
будет частным решением уравнения (1). В самом деле, мы имеем
д - г а — х дх г3 А г_ _ 2 (а — Л-)2 _ 1 дх* г3 г3 ’
д1- г Ь — у ду г3 д* 1 г _ 3 <Ь — у)2 1 ду* г3 г3
1 д - г __ с — г дг ~~ г3 ’ 1 д* - z)2 1 дг* г3 г3 ’
148
поэтому
А — = 0 вместе с А — = 0.
г г
Мы будем называть выражение (2), как мы это делали раньше, потен-
циалом массы т относительно точки (х, у, г), но при этом допустим, что
масса может быть как положительной, так и отрицательной. Этот потен-
циал будет непрерывным во всем пространстве за исключением точки,
в которой находится масса, где он делается бесконечным. В бесконечно
удаленной области потенциал и его производные бесконечно малы. Обозна-
чим потенциал через U, а через R (по величине и направлению), прове-
денную из начала координат—прямую в точку (х, у, z); тогда величины
RU, R2-~, RidU, R2~
дх ду дг
при возрастании R до бесконечности будут приближаться к значениям
т, —mcos(7?x), —т cos (Ry), —т cos (Rz)
в предположении, что точка (а, Ь, с), так же как и начало координат,
лежит на конечном расстоянии.
Уравнение (1) линейно и однородно, откуда следует, что сумма реше-
ний также является его решением; поэтому
2?
есть также решение, где каждый член суммы различается значениями а,
Ь, с и т. Мы будем называть это выражение потенциалом масс, лежащих
в точках (а, Ь, с). Он непрерывен всюду, за исключением тех точек, где
он делается бесконечно большим. Обозначим его через U и оставим для
R то значение, которое было ей придано; тогда, при возрастании R до
бесконечности, величины
RU, Rid-, R*9-, R2 —
дх ду dz
будут приближаться к значениям
2т, —cos(7?x)2m> —cos (Ry) —cos(7?z)2m- (3)
§ 2
Рассмотрим теперь потенциал масс, непрерывно заполняющих некото-
рый объем. Пусть dx—элемент этого объема, k — плотность в нем и г—его
расстояние от точки (х, у, г); поэтому
Во всех точках (х, у, г), которые лежат вне заполненного массами объема,
на конечном расстоянии от его поверхности, этот потенциал
имеет те же свойства, как и выше. Именно, он удовлетворяет уравнению
(1), всюду непрерывен и, если точка (х, у, z) удаляется на бесконечность,
выражение (3) сохраняет свое значение, если заменить 2т интегралом
\kdr. Внутри заполненного массами объема U есть также непрерывная
149
функция х, у, z, но она уже не удовлетворяет уравнению (1), как мы это
сейчас увидим. Именно, введем полярные координаты вместо прямоуголь-
ных а, Ь, с, по которым производится интегрирование, причем положим
а = х + г sin ft cos w,
b ~ у 4-r sin ft sin®,
c = z + r cos ft;
тогда
и
dx = r2 dr sin ft dft dw
kr dr sin ftdftd®.
Нижний предел г есть нуль, если точка (х, у, z) лежит внутри про-
странства, которому принадлежит dx, и отличен от нуля в противном
случае; он будет конечен или бесконечно мал в зависимости от того,
лежит ли рассматриваемая точка на конечном или бесконечно малом рас-
стоянии от поверхности этого объема. Но так как величина, умножаемая
на дифференциал drdftdw, для бесконечно малых значений г не становится
бесконечно большой, то во всех этих случаях U имеет определенное конеч-
ное значение и изменяется непрерывно с перемещением точки (х, у, z).
Найдем теперь одну из первых производных 17 и выберем для
’ ди
этого —. Мы имеем
dz
dU
dz
(4)
1
и —
или, так как г,
также
есть
функция Z — с, то
д -
следовательно,
dU
dz
С dk dx
J дс г
а
или, наконец,
dU (* , k , , , Cdkdx
— = \ ds — cos (nz) +l —,
dz J r J de r
(5)
если обозначить через ds элемент поверхности наполненного массами
объема, а через п — направленную внутрь объема нормаль к ds. Второй
интеграл, входящий в уравнение (5), есть потенциал того же рода, как
U, только плотность массы в точке (а, Ь, с) есть не k, а - . Первый ин-
дс
геграл мы можем обозначить как потенциал массы, распределенной по
поверхности, которой принадлежит ds, с плотностью k cos (nz). Мы употре-
бляем здесь слово плотность в другом смысле, чем до сих пор.
Пусть будет V потенциал относительно точки (х, у, г) некоторой массы
плотности h, распределенной по поверхности, элемент которой есть ds\
отсюда
(• h ds
150
Плотность h должна быть конечной и должна изменяться непрерывно
по поверхности с конечными размерами, нигде не имеющей бесконечно
большой кривизны. Мы докажем, что для точки, которая лежит бесконечно
близко к поверхности, V конечно и не испытывает разрыва при переходе
точки через поверхность. Систему координат, которую мы можем выбрать
произвольно, расположим так, чтобы начало координат находилось на
поверхности; точку, к которой относится V, возьмем на оси г, направив
ось перпендикулярно к поверхности. Тогда нам необходимо будет найти
V для бесконечно малых положительных и отрицательных значений z.
Вообразим, что из поверхности вырезана некоторая часть круговым цилин-
дром, ось которого есть ось z, а радиус R бесконечно мал, но сравни-
тельно с z бесконечно велик и от z не зависит. Часть V, которая отно-
сится к массе, находящейся на вырезанном куске поверхности, обозначим
V/, другую часть V обозначим через V — Vx; эта часть не обращается
в бесконечность и не будет непрерывной при переходе z через нуль.
Выясним, обладает ли Ух таким же свойством. Выберем при этом новую
единицу длины, и именно так, чтобы z было конечно. Тогда R будет бес-
конечно велико, и еще высшего порядка будет радиус кривизны поверх-
ности. Вырезанный кусок поверхности станет при этом плоским кругом
бесконечно большого радиуса R, а его плотность h. должна быть рас-
сматриваема как постоянная. Поэтому
V, = 2л/г
R
С pdp
J |/ р2 za
О
т. е.
Vi = 2nh(YR2 + z2 — Y z2),
(7)
где Y& обозначает абсолютное значение z. Возвратимся теперь к перво-
начальной единице длины, при которой Я и z бесконечно малы и при
которой V, вообще, конечно. Тогда, пренебрегая бесконечно малыми,
получим Vx = 0. Отсюда следует, что V остается конечным и непрерывным
при переходе точки, к которой относится потенциал, через поверхность,
на которой находятся массы.
На основании уравнения (7) сделаем еще и другое заключение. Из него
следует, что
дг \ /<- г'1 V г2 J
или, так как R бесконечно велико по сравнению с z, то
^=-2^-,
dz \z2
т. е. — = — 2л/г, если z положительно, или равно 2л/г, если z отрица-
дг
тельно.
„ д (V — Vt)
Производная —-------- изменяется непрерывно при переходе z через
дг
дУ . .
нуль; отсюда следует, что — возрастает скачком на — 4лй, когда г пере-
дг
ходит через нуль от отрицательных значений к положительным. Добавим
,. дУ дУ
к этому, что так как у не получает при этом никакого скачка, и —
остаются непрерывными.
Чтобы освободиться от зависимости от определенной системы координат,
которой мы пользовались при выводе этих предложений, обозначим,
в согласии с ранее примененным способом, через п нормаль, которую мы
151
выше обозначали через z, и оставим систему координат х, у, г неопреде-
ленной. Если точка (х, у, z) проходит в направлении нормали п сквозь
, дУ . ,
элемент поверхности as, то возрастает на — 4 л/i и, как это следует
' дп
из формул, относящихся к преобразованию прямоугольных координат.
дУ дУ_ дУ
дх ду dz
возрастут на
— 4n/icos(nx), —4n.li cos (пу), — 4п/г cos (nz). (8)
Назовем одну из двух сторон поверхности внутренней, другую — внешней
и обозначим через п, и па соответственно направленную нормаль к ds\
тогда получим
Обратимся теперь к исследованию определяемого уравнением (4) потен-
циала U масс, заполняющих объем. Мы уже видели, что на поверхности
этого объема само U остается непрерывным; мы видим теперь, что то же
ди ди ди ~
самое имеет место в отношении , - , —. Сто следует из уравнения
дх ду дг
(5) и тех двух уравнений, которые получим из него после замены z и с
на х и а или у и Ь, потому что определяемое из уравнения (6) V не
получит разрыва на поверхности, элемент которой ds. Мы могли бы дока-
зать непрерывность первых производных U на поверхности заполнен-
ного массами объема, вводя полярные координаты, как при доказа-
тельстве непрерывности самого U. Иначе обстоит дело со вторыми произ-
водными U. Из (5) и (9) следует, что
д-U , dPU . I. t \ iirw
а—+ л—= — cos (n»z)> (10)
drifdz dnadz 4 ' ' '
и с помощью выражений (8) найдем, что если точка (х, у, z) приходит
извне в объем, наполненный массами, то
d4J_ d2U d2U
дх2 ’ ду2 ’ дг2
34J д2Ц д2Ц
ду dz дг дх дх ду
скачком увеличиваются соответственно на
— 4л& cos2 (пх), —Aak cos2 (ny), —Auk cos2 (nz),
— 4nk cos (ny) cos (nz), —• 4ak cos (hz) cos (nx), —4л/г cos (nx) cos (ny).
r' « * z t i d2U d2U
Следовательно, скачок, который при этом получает Дс т. е. 4-----------
\ дх2 ду2
1 &U\ л л Z.
+ ~2 ) , будет равен — 4л/г.
Таким образом будем иметь во внешнем пространстве &U = 0 и в
объеме, наполненном массами, бесконечно близко к поверхности
ДС = — 4л&. (11)
152
Однако это уравнение имеет место не только бесконечно близко к поверх-
ности, но также и во всем заполненном массами объеме. Чтобы доказать
это, представим себе, что этот объем разделен на две части поверхностью,
которая проведена бесконечно близко к точке (х, у, z), и назовем ту
часть U, которая относится к массам той части, где находится точка<
(х, у, z). Тогда будем иметь
Д (U — <7г) - О
и
Д^! = — 4л&,
откуда следует уравнение (11).
§ 3
Мы будем теперь искать потенциал распределения масс, которое
определим следующим образом. Обозначим через ds элемент поверхности,
по которой распределены массы, п •— ее нормаль. Представим себе, что
точки поверхности перенесены по нормали п на бесконечно малые длины,
которые могут непрерывно изменяться; таким образом образуется вторая
поверхность, бесконечно близкая к первой, элементы которой соответ-
ствуют элементам первой. Вообразим массу, распределенную по каждому
элементу второй поверхности, в точности равную по величине, но проти-
воположную по знаку массе, находящейся на соответственном элементе
первой поверхности. Обозначим через i взятое отрицательным произведение
плотности массы, расположенной на элементе ds первой поверхности,
на расстояние, считаемое положительным в направлении п до соответ-
ственного элемента второй поверхности, и будем считать это произведение
конечным. Тогда потенциал U7 в точке (х, у, z) такого распределения
масс представится формулой
С д~
= i—^—ds, (12)
J дп
где а, Ь, с по-прежнему обозначают координаты ds и дифференцирование
по п относится к смещению точки (а, Ь, с). Такое распределение масс мы
будем называть двойным слоем и в противоположность этому то распре-
деление, потенциал которого определен уравнением (6), простым слоем.
Величину I можно было бы назвать плотностью двойного слоя.
Выражение (12), данное для U7, может быть преобразовано. Имеем
где через (г, п) обозначен угол, который образует прямая, проведенная
от точки (х, у, z) к элементу ds, с направлением нормали п. в этом месте.
Обозначим через dK кажущуюся величину площади элемента ds, видимого
из точки (х, у, z), т. е. кусок шаровой поверхности, описанной радиусом,
равным единице, из точки (х, у, z), как центра, который вырезается кону-
сом с вершиной в (х, у, z) и с направляющими по периметру ds; тогда
получим
1
д-
±dK,
153
где надо взять верхний или нижний знак в зависимости от того, положи
телен или отрицателен cos (гх). Если этот косинус не меняет знака на
всей поверхности, которой принадлежит ds [это условие соблюдается
всегда, когда из точки (х, у, z) нельзя провести касательных к поверх-
ности], то
W=±\idK, (13)
где по-прежнему надо взять верхний или нижний знак в зависимости от
того, положителен или отрицателен cos (гп). Если это условие не соблю-
дено, то поверхность можно разделить на части, из которых каждая ему
удовлетворяет, и представить W как сумму выражений вида (13).
Посмотрим теперь, будет ли непрерывно W в том случае, когда точка
(х, у, z) неограниченно приближается к поверхности, которой принадлежит
ds, или проходит сквозь эту поверхность. Если здесь может иметь место
разрывность, то она может происходить только от частей поверхности,
бесконечно близко прилегающих к точке (х, у, г). Возьмем опять начало
координат на поверхности, как это мы делали при выводе уравнения (7),
дадим оси z направление нормали п и будем искать значение IF для
случая, когда х = 0, у = 0 и z бесконечно мало.
Представим себе, что из поверхности вырезан кусок круговым цилинд-
ром, ось которого есть ось z и радиус которого равен R, и положим, что
R бесконечно мало сравнительно с размерами поверхности, но бесконечно
велико сравнительно с z и от z не зависит. Обозначим через IFL ту часть
W, которая происходит от этого куска поверхности. Так как поверх-
ность шара с единичным радиусом равна 4л, то при пренебрежении бес-
конечно малыми получим из уравнения (13)1
для z отрицательного IF, = — 2л/,
для z положительного IFX = + 2л/.
Так как в обоих этих случаях не зависит от z, то W не может быть
бесконечно большим при z бесконечно малом, и так как увеличивается
скачком на 4л/, когда z, возрастая, проходит через нуль, то это имеет
место и для IF.
Чтобы найти д-р, составим для IFX выражение, в котором мы не будем
пренебрегать величинами, обращающимися в нуль вместе с z. Мы придем
к этому выражению при помощи уравнения (12); оно дает
а — * / \
IFX = — Л — ds = 2л/ \ —zpdp— = 2л/ —----------------г---- .
J аг д (р2+г2)’/г \ уг2 у^2 + гг '
Отсюда следует, что
^ = -2л/ —
dz (^2+z2)/’
или, так как z бесконечно мало сравнительно с R,
аГ1 _ _ 2л_1
аг’ — >
Из того, что —f не зависит от z и имеет одно и то же значение для поло-
аг
аг, п
жительных и отрицательных значении г, следует, что - для z=0 конечно и
дг
непрерывно. Следовательно, определяемый из уравнения (12) потенциал
двойного слоя IF конечен также на его поверхности, но получает увели-
154
чение скачком на 4ni, когда точка (х, у, г) в направлении нормали п
dW
проходит сквозь его поверхность; напротив, производная — остается на
дп
ней конечной и непрерывной.
Если система координат выбрана произвольно, то производные — ,
дх
dW dW
— , — при переходе через рассматриваемую поверхность претерпевают
разрывы, так как скачок, получаемый W, вообще говоря (т. е. если i изме-
няется на поверхности), зависит от места, в котором точка пересекает по-
верхность. Но если i постоянно9, то эти производные не претерпевают
разрыва на поверхности; мы напомним об этом при определении много-
значного потенциала скоростей в многосвязном пространстве.
§ 4
Выведем теперь одно предложение (теорему Грина), из которого можно
получить важнейшие свойства функций, которые могут быть потенциалами
скоростей.
Пусть dr — элемент вполне ограниченного объема, х, у, z — его коор-
динаты, U и V — две функции х, у, z. Сложим тождества
ди дХ । и дгХ _ А (и
дх дх дх2 дх \ дх /
ди.дХ + = - (и—\
ду ду ду2 ду \ ду ) ’
ди ЗУ У-у = д_ / у <т
dz dz dz2 dz \ dz /
умножим на dr и проинтегрируем по объему. Мы будем предполагать,
дУ дУ дУ л
что U и , — , — однозначны и непрерывны в объеме, которому принад-
дх ду dz
лежит dr, и обозначим через ds элемент поверхности этого объема,
через п— направленную внутрь, объема нормаль к ds. Тогда из уравнений
(6) одиннадцатой лекции, которыми мы так часто пользовались, получим
[dr + + дХ + имл =
J \дх дх ду ду dz dz )
С , т, Г5У , к , дУ , . . дУ . . "1
= — \ dsU — cos (пх) -----cos (пу) -)--cos (nz)
J L<?x dy dz J
ИЛИ
f . fdUdV . dUdV . dudv\ w f. r, дУ ,,л.
I ат — - H -4- = — \ dru\y — \ dsu -. (14)
J, dx dy dy dz dz / J J dn
~ „ r c ,, dU dU dU
Это уравнение называется теоремой Грина. Если У и - , — , — также
дх ду дг
однозначны и непрерывны в рассматриваемом объеме, то при выводе
формулы (14) можно будет переставить U и V ; тогда получим
fds (udV—VdU'\ = f dr(VA(/— i/AV).
J \ dn dn ) J
155
Если, кроме
получим
того, U и V будут решениями уравнения (1), то тогда
, Л/ dV i/dU \ п
\ dsiU — V = О
J \ дп дп /
(15)
Мы будем постоянно в этой лекции обозначать через V такую функ-
цию, которая в рассматриваемом пространстве удовлетворяет уравнению
AV = 0 и вместе со своим! первым; про вводными однозначна и непре-
рывна. Положим далее в уравнении (15) U равным постоянному, что
допустимо; тогда оно превратится в
, ду
ds
дп
= 0.
(16)
Если будем рассматривать V как потенциал скоростей, не зависящий
от времени, то это уравнение можно легко истолковать некоторым опре-
деленным образом. Оно выражает, что объем жидкости, входящий в еди-
ницу времени в рассматриваемую область, равен нулю, если будем рас-
сматривать объем выходящей жидкости как отрицательный объем входя-
щей.
Положим далее в уравнении (15)
U = -1, г = У(х — и)2 -г (у — Ь)2 4- (г — с)2,
г
Это допустимо, если точка (я, Ь, с) лежит вне объема, элемент которого
назван dr. Если теперь точка (а, Ь, с) лежит внутри первоначально рас-
сматриваемого объема, то уравнение (15) применимо к части его, которая
останется, если из него выключить бесконечно малый шар, описанный
вокруг точки (а, Ь, с) как центра. Поверхность этого шара должна быть
принята во внимание при составлении названного уравнения. Пусть dS —
элемент последней, в то время как ds обозначает элемент поверхности
первоначально рассматриваемого объема; тогда получим
dS3 У
г дг
С dsdV_
J г дп
где в левой части формулы г равно бесконечно малому радиусу шара.
Второй интеграл этой части обращается в нуль, потому что, вводя поляр-
ные координаты, имеем
dS = г2 sin ftdftdw.
Первый будет равен 4лУ, где V относится к точке (а, Ь, с). Отсюда для
V получим
1
д —
,, 1 С / т/ г 1 С ds д V .
V =— \dsV-- —— -. (17)
4л ,! dn 4л г дп
Это уравнение представляет значение V для произвольной точки рассмат-
риваемого объема как сумму потенциалов простого слоя масс и двойного
слоя, причем эти слои лежат на поверхности объема и их плотность для
, 1 дУ 1 „
элемента as равна соответственно — - и - V. Это уравнение показы-
4 л дп 4 л
вает, что высшие производные V по координата?»! также непрерывны
во всем пространстве.
156
Положим теперь в уравнении (14)
тогда будем иметь
U = V;
, ,,dV
dsv — .
dn
(18)
Будем рассматривать V как потенциал скоростей, и примем плотность
жидкости равной единице; тогда левая часть этого уравнения есть удвоен-
ная живая сила ее; мы имеем, таким образом, выражение этой живой силы
через интеграл, взятый по поверхности.
§ 5
Теперь из установленных в предыдущем параграфе уравнений выведем
следствия. Преимущественно мы постараемся найти условия для полного
определения функции V, но при этой обратим ‘внимание также на свойства
этой функции, интересные и в других огнолениях.
Уравнение (17) дает возмокность вычпсл ггь V для каждой точки рас-
сматриваемого объема, если для всех точек поверхности даны значения V
dV тт й ,,
и . Но все значения не могут быть заданы произвольно; напротив, V
dt
вполне определено для всего объема, если для всей поверхности дано V
или для одной части поверхности дано V, а для другой
dV
dn
и V будет
определено до произвольной постоянной, если известно для всей
dn
поверхности. Эго предложение вытекает из уравнения (18).
Действительно, пусть для одной части поверхности V = 0, для другой
dV п
— = 0; тогда правая часть этого уравнения оэращается в нуль; следова-
дп
тельно, обращается в нуль также и левая, и, так как это есть сумма
членов, которые не могут быть отрицательными, то, следозательно, каждый
член равен нулю, т. е. V постоянно во всем объеме. Далее, так как V = 0
для части поверхности, то оно будет иметь это значение всюду. Пусть
,, о 0V
теперь значение V для одной части поверхности и - для другой имеют
dn
данные значения, не равные нулю; пусть и У2.— две функции, которые
соответствуют этим значениям; тогда \\ — V2 удовлетворяет сделанным
ранее для V предположениям, откуда следует, что для всего объема10
V!=V2.'
Подобное же исследование покажет, что если для всей поверхности
— = 0, то V равно некоторой неопределенной постоянной, и если для
dn
0V ,,
всей поверхности— дано, то V определено для всего оэъема до произ-
dn
вольной постоянной.
Заметим, однако, что из всех функций V + U, которые на поверхности
рассматриваемого объема получают данные значения и в нем однозначны
и непрерывны, функция V, которая имеет эти значения на поверхности,
дает интегралу
Й =
Г / + V) Vд_ 1 д +И i2, < W )21
L l dx J t dy / ( dz J J
157
наименьшее значение из всех возможных. В самом деле, мы имеем
Й =
!'дV\2 ,dV 2 idV
\дх / ' ду J \dz / J
г 2
ГдЕдУ , dVd// , dVd(71 , С dx Г / \2 , fduy
[ дх дх ду ду дг dz ] ' г |_ \дх / \ду / (dz /
(19)
Правильность высказанного утверждения следует из того, что третий
из этих интегралов постоянно положителен, а второй обращается в нуль
вследствие уравнения (14), так как AV = 0 и на поверхности U ~ 0. Обоз-
начим второй из трех членов правой части уравнения (19), который, вообще,
при бесконечно малом U того же порядка малости, что и U, через 6Q;
тогда SO = 0, если V обладает предполагаемым здесь свойством. Это
замечание оказывается полезным, когда требуется в уравнение AV = 0
вместо прямоугольной системы координат ввести другую. Мы применим
его для такого случая.
§ 6
Представим себе шар, описанный вокруг точки (а, Ь, с) произвольным
радиусом R, который целиком лежит внутри рассматриваемого объема, и
применим к нему уравнение (17). Второй интеграл этого уравнения обра-
1
д —
Г 1
тится в нуль вследствие (16), и ---= —; тогда мы ползаем
V = ——- f Vds.
4 л/?2 J
(20)
Это уравнение имеет следующий смысл: значение V в центре шара
равно среднему арифметическому значений V в точках поверхности шара,
т. е. значение V в центре шара лежит между наибольшим и наименьшим
значением V на его поверхности. Так как это имеет место, каким бы
малым ни был взят шар, то V во всем рассматриваемом пространстве,
имеющем любую форму, не может достигать ни максимума, ни минимума;
все значения, которые V получает, лежат между наибольшим и наименьшим
значениями его на поверхности. Если значения на поверхности равны нулю,
то везде V = 0, и если V задано для поверхности, то оно будет известно
и для всего пространства. Таким образом мы доказали вторым способом
предложение, уже доказанное в предыдущем параграфе; этот способ имеет
некоторое преимущество по сравнению с ранее примененным, которое
сделается очевидным в ближайших параграфах.
Из предложения, что V внутри рассматриваемого пространства не
может иметь ни максимума, ни минимума, можно вывести, что
также не достигает здесь максимума, хотя может иметь минимум. Таким
образом, если мы будем представлять себе И как потенциал скоростей, то
наибольшая скорость должна быть на границе объема.
Чтобы доказать это, представим опять шар внутри рассматриваемого
п fdV\ I dV\ idV\
объема. Обозначим через 0 его центр, через - , — , — — значе-
\дх J, \ду ,, \dz I,
dV dV dV
ния — , — , — в центре, причем последние обозначения относятся к по-
дл- ду дг
верхности шара.
158
Мы докажем это предложение, если выясним, что не для всех этих
точек может быть
/£У',2 /йух2, V , /dvv /on
\dx / w / Г kdz J Л ‘ \ду ‘ >dz
с- i‘dV\ (dV\ i'dV\
Если j ) одновременно обращаются в нуль, то пра-
вильность этого утверждения очевидна непосредственно; поэтому этот
особенный случай мы можем исключить. Подходящим выбором направле-
ния оси х всегда можно достигнуть того, чтобы
п dV ..
Производная— имеет те же свойства, которые предположены у V.
дх
dV
Отсюда следует, что если — не для всех точек шаровой поверхности
дх
постоянно, то на ней имеется точка, для которой
/dV\2 /dV\2
\дх ) (дх у0
Но при сделанном выборе системы координат
/dV '2> /'dVV
[ду / ’
(22)
\dz / ~ ^dz Д
Достаточно 'сложить эти три соотношения, чтобы убедиться в правиль-
dV
ности доказываемого положения для случая, когда — не постоянно на
дх
всей шаровой поверхности. Но если последнее постоянно, то для всех
точек шаровой поверхности
/dV\2„ / dVY2
U / “ kdx '
„ dV dV
Если при этом — и — не для всех этих точек обращаются в нуль,
ду dz
то получатся точки, для которых по меньшей мере в одном из соотноше-
ний (22) будет иметь место верхний знак, и для них будет существовать
неравенство, которое противоречит (21). Если, наконец, для всех точек
dV OV dV n
шаровой поверхности — постоянно и — = — = 0, то обе величины, кото-
dx ду dz
рые сравниваются между собой в (21), будут всегда равны между собой.
В этом случае три производные от V будут иметь для всех точек внутри
шара одно и то же значение. Тогда скорость всюду имеет одну и ту же
величину и одно и то же направление.
Мы свяжем с уравнением (20) еще другое предложение. Допустим, что
в некоторой части рассматриваемого объема V = 0. Если V --- 0 не во всем
объеме, то пусть будет дана часть его, пограничная с первой, в пределах
которой V отлично от нуля и не меняет знака. Представим шаровую
поверхность, центр которой лежит в той части объема, где V — 0, а сама
поверхность частью лежит в этом объеме, частью же в том, где V отлично
159
от нуля и остается с одним и тем же знаком. Тогда из уравнения (20)
следует, что V отлично от нуля в центре шара. Это противоречие пока-
зывает, что если V обращается в нуль в части рассматриваемого объема,
то оно должно обращаться в нуль во всем объеме. Рассуждая так же,
как указано в предыдущем параграфе, получим далее, что если V дано
для некоторой части объема, то оно будет определено во всем объеме.
Если V в одной части объема постоянно, то оно сохранит это значение и
во всем объеме.
„ Л дУ дУ ду _
Если для части объема три производных — , — , — оэращаются в
дх dti дг
нуль, так что V постоянно, то отсюда следует непосредственно, что они
обращаются в нуль также и для всего объема. Докажем, что это должно
дУ дУ дУ
иметь место и тогда, когда , —
дх ду
некоторой поверхности. Для этого
дящей из некоторой произвольной
циальным уравнениям
dx : dy : dz
, — павны нулю только для всех точек
дг
будем перемещаться по линии, исхо-
точки и удовлетворяющей дифферен-
_дУдУ_дУ
дх ду дг
которая, следовательно, перпендикулярна к поверхности V = const. Мы
будем называть ее линией тока, потому что, есл ! мы будем представлять
V как не зависящий от времени потенциал скоростей, тб вдоль нее будет
происходить течение жидкости. Ее про .оджение может сделаться неопре-
деленным12 только там, где все три производные V обращаются в нуль;
через каждую же точку, в кого юл этот случай не имеет места, проходит
только одна линия тока. Объем, образованный линиям i тока, прилегающими
непрерывно одна к другой, мы будем называть нитью тока. Если дана
поверхность, для всех точек которой скорость равна нулю, в то время
как вбл 13 I поверхности имеет место двпкецие, то нити тока оказываются
на этой поверхности. Рассмотрим часть такой нити тока, которая ограни-
чена с одной стороны подобной поверхностью, а с другой — поперечным
СУ
сечением, для каждого элемента которого — отлично от нуля и имеет
дп
одни и те же знаки. К этой части нити тока применим уравнение (16).
Заметив, что для всякого элемента боковой поверхности, образованной
дУ ,
линиями тока, —• оэращается в нуль, мы получим, что интеграл
дп
РУ
дп
распространенный по поверхности рассматриваемого сечения, равен нулю
Эго противоречит условно, согласно которому это поперечное сечение
могло быть выбрано. Отсюда следует, что не суцэсгвует позерхностл, на
которой скорость равна нулю, если дв ъкен те, вообще, имеет место, т. е.
если V отличается от постоянной. Поэтолу скорость может обращаться в
нуль только вдоль линий или в точках. Но также и на них н itu тока не
могут оканчиваться, как показало бы исследо ;ан ie, вполне подобное при-
веденному. Все пространство, к которолу относится V, состоит из нитей
тока, которые оканчиваются на его поверхности. В самом деле, линия тока
не может зтыкаться, потому что мы предположили, что '/ есть одно-
значная непрерывная функция к, у, z и что на линии тока в направлении
течения V постоянно возрастает13.
Рассмотрим теперь отрезок нити тока, ограниченный с одной стороны
поверхностью V7 — const, а с другой — ;ю иерхноегью, огран тлвающей рас-
сматриваемый объем. Пусть dS и ds будут элементы oie.ix гран пшых
площадей, N и и — их нормали, направленные внутрь. Тогда из уравнения
160
(16) следует, что
и притом
(23)
где верхний или нижний знак должен быть взят в зависимости от того,
возрастет ли V в направлении нормали или наоборот. Если для всех
А * дУ п
точек поверхности рассматриваемого объема будет — = 0, то уравнение
дп
(23) показывает, что для всех точек внутри него будет — = 0, т. е. V
dN
постоянно. Таким образом мы пришли другим путем к предложению,
доказанному в предыдущем параграфе.
§ 7
Мы до сих пор предполагали, что объем, в котором мы рассматривали
V, вполне ограничен. Теперь предположим, что этот объем простирается
в бесконечность, так что он только частью ограничен замкнутой конечной
поверхностью или незамкнутой поверхностью, простирающейся в бесконеч-
ность. Представим себе, что границы объема дополнены одной или
несколькими поверхностями, лежащими к бесконечности. Тогда к этому
объему можно применить все предыдущие предложения. При этом надо
обратить внимание только на то, что поверхность его бесконечно велика и
поэтому бесконечно малые величины, умноженные на элементы этой
поверхности, при интегрировании могут дать конечную величину.
Мы доказали в § 5, что если на поверхности V обращается в нуль,
то V = 0 везде. Доказательство, с помощью которого мы пришли в § 5
к этому предложению, неприменимо здесь по приведенным соображениям,
1/ дУ
если только мы не введем в рассмотрение порядок величин V и — в
дп
бесконечности. Напротив, заключения, из которых мы вывели это предло-
жение в § 6, сохраняют силу также и здесь. Как на особый случай
исключительной важности, мы укажем на следующее: если во всем нео-
граниченном пространстве V конечно и непрерывно и известно, что V
обращается в нуль в бесконечности, хотя и неизвестен его порядок в
бесконечности, то отсюда необходимо, чтобы V всюду было равно нулю.
3 V
Далее, в § 5 и 6 мы доказали предложение, что если — обращается в
дп
нуль на поверхности, то V должно быть постоянно. Это предложение без
ограничения здесь неверно; необходимое ограничение легко вывести из
исследования, которое мы произвели в конце предыдущего параграфа.
Размеры вполне ограниченного пространства, о котором идет речь, могут
(быть конечны или бесконечны, но если
распространенный на любую часть его поверхности, обращается в нуль,
то всюду V равно постоянному. Если — дано до величин определенного
дп
здесь порядка, то V будет определено до добавочной постоянной 14.
Для некоторых задач гидродинамики, которыми мы будем заниматься,
мы установим еще следующее положение. Пусть рассматриваемое прост-
11 Г. Кирхгоф
161
ранство будет частью ограничено конечными замкнутыми поверхностями и
по всем направлениям будет простираться в бесконечность. Пусть — дано
дл
для каждой из этих поверхностей, и предположим, что в бесконечности
дУ dV dV ,
—, — , — обращаются в нуль, но порядок величины производных в беско-
дх ду dz
вечности не указан. Если будем представлять себе V как потенциал ско-
ростей, то последнее обстоятельство мы можем выразить следующим
образом: жидкость покоится в бесконечности. Мы докажем, что V опре-
делено при этом до добавочного постоянного.
Представим себе вокруг точки (а, Ь, с) в жидкости шаровую поверх-
ность, описанную постоянным бесконечно большим радиусом; обозначим
через dS элемент этой шаровой поверхности и через ds — элемент перво-
начально заданой граничной поверхности. В силу уравнения (17) значение
V в точке (а, Ь, с) будет
д -
4л J дп 4 л J г дп
1 Г1/ЛС 1
4л/?2 J 4л7? J дп
Из этих четырех членов последний обращается в нуль, так как R беско-
нечно велико. В самом деле, положим
1 (* . д У .. ,п
— \ds — = — М, (24)
4л j дп
де М — данное конечное число; тогда из (17) будем иметь
— [dS — == фМ
4 л J дп
Третий из этих четырех членов есть среднее арифметическое значение
V для элементов бесконечно большой шаровой поверхности; следовательно,
он равен постоянному. Действительно, если точка (а, Ь, с) сместится на
конечную длину вместе с описанной вокруг нее шаровой поверхностью,
то значения V, относящиеся к единственному элементу dS, получат беско-
dv dV dV . '
нечно малые изменения, так как — , —,— бесконечно малы в бесконеч-
ен ду dz
ности. Таким образом, среднее арифметическое этих изменений будет также
бесконечно мало, и таковым же будет изменение, получаемое названным
членом. Если С означает это постоянное, то отсюда имеем
1
д -
V — С - — £ dsV--'r-— — .
4 л J dn 4 л г г дп
Это уравнение позволяет судить о порядке величин, производных К
в бесконечности. На шаровой поверхности, списанной бесконечно большим
радиусом R вокруг начала координат, с точностью до величин, стремящих-
ся к нулю по сравнению с данными, если М конечно, мы получаем
V — С = М ,
R
дУ __ М
дп ~ R2 ’
162
Таким образом, если для элемента первоначально данной граничной по-
верхности производные и, следовательно, по (24), М даны, и dS озна-
дп
чает элемент произвольной части бесконечно большой шаровой поверхно-
сти, то интеграл
до величин, обращающихся в нуль, определен, и на основании изложен-
ного выше результата V будет определено до добавочной постоянной.
Рассмотрим еще более частный случай. Рассмотрим движение жид-
кости, в которой движется известным образом твердое тело. Тогда
поверхности тела суть те поверхности, элементы которых мы обозначали
через ds. Здесь М — 0, потому что для каждого из тел
равно нулю. В самом деле, умножая этот интеграл на элемент времени
dt, мы видим, что он равен измененью в этот элемент времени вытеснен-
ного телом объема жидкости, т. е. его собственного объема. На основа-
нии предыдущего рассуждения движение жидкости будет определено вполне,
если еще будет установлено, что в бесконечности жидкость находится в
покое. Оно будет также определено, если вместо этого условия ввести
условие, что жидкость заключена в твердую неподвижную шаровую по-
верхность бесконечно большого радиуса, описанную вокруг начала коорди-
о . ' dV
нат. В самом деле, для всякого элемента этой поверхности — в точности
дп
равно нулю. В обоих этих случаях движение жидкости одно и то же, по-
тому что в каждом из них
J дп
распространенный на любую часть названной шаровой поверхности, обра-
щается в нуль.
§ 8
После этих разъяснений об однозначных решениях дифференциального
уравнения Дф = 0, мы займемся многозначным решением, которое может
быть, как мы видели в конце предыдущей лекции, потенциалом ско-
ростей в многосвязном пространстве. При этом мы ограничимся рассмот-
рением двусвязного пространства. Те заключения, которые мы сделаем по
отношению к этому случаю, легко можно распространить на случай связ-
ности более высокого порядка.
Вообразим, что данное двусвязное пространство превращено попереч-
ным сечением в односвязное. Тогда в нем, если для одной точки выберем
одно из значений ф, то ф будет функцией однозначной. На обеих сторо-
нах сечения ф может иметь различные значения, однако только такие, что
Ф получает один и тот же скачок, в каком бы месте поперечного сечения
мы через него ни переходили. При этом производные ф по х, у, z не
имеют скачка.
Предположим теперь, что выбранное сечение продолжено произвольно
наружу так, что получится некоторая вполне ограниченная поверхность,
часть которой, лежащую внутри даннного пространства, представляет рас-
сматриваемое сечение. Обозначим через ds элемент этой поверхности, через
п— нормаль к ds, направленную в одну сторону от поверхности, и поло-
11*
163
жим, как в уравнении (12),
W = i С - - ds, (25)
J дп
причем будем понимать под i постоянное. Это W, на основании предыду-
щего исследования (§ 3), в данном двусвязном пространстве есть однознач-
ная функция, удовлетворяющая уравнению A hZ = 0 и обладающая тем свой-
ством, что ее про 13зо дные непрерывны. Она сама также непрерывна вне
рассматриваемого сечения. Если точка (х, у, г) переходит через него в
направлении нормали п, то IE получает скачком изменение на 4ш. Поло-
жим теперь, что постоянное I выбрано так, что этот скачок имеет ту же
величину, что и скачок ф на этом сечении; тогда ф — IE будет на нем не-
прерывно, и если мы положим
ф = у 4-IE, (26)
то Е будет обладать всеми свойствами, которыми обладает функция, преж-
де обозначенная этой буквой.
Уравнение (26) определяет для каждой! точки рассматриваемого про-
странства только одо значение ф. Мы можем видоизменить IE так, чтобы
уравнение (26) представляло все значения ф. Для этого мы должны опре-
делить IE вместо (25) уравнениями
dW . д С 3 г , д№ . д Сд г , dW . д
- - = i - \ ~ds, — = i - I — ds, = i -
дх дх J дп ду ду J дп dz dz
с дополнением, что 1Е всюду непрерывно, причем оно будет многозначным.
Можно упомянуть, что IE есть потенциал электрического тока, текущего
по границе поверхности, элемент которой обозначен через ds, с напряже-
нием I относительно магнитного полюса с единицей магнетизма, координа-
ты которого — х, у, 2.
§ 9
Рассмотрим теперь еще один случай, который будет часто встречаться,
именно случай, когда функция Е не зависит от одной из координат (напри-
мер, от г).
Применим уравнение (17) к объему, который вполне ограничен цилин-
дрической поверхностью, ось которой параллельна оси z, или несколькими
такими цилиндрическими поверхностями, и двумя плоскостями, параллель-
ными плоскости хОу, уравнения которых можно представить в виде
2 = — у и 2 — х- При этом мы будем рассматривать у как величину, бес-
конечно большую сравнительно со всеми значениями, которые принимают
х и у в этом объеме, и даже сравнительно с такими, которые мы будем
считать бесконечно большими. Координаты точки, к которой относится Е
в левой части уравнения (17), обозначим по-прежнему через а, Ь, с и по-
ложим с = 0. Тогда для элементов ds, для которых z = ± у, г будет бес-
конечно велико по сравнению с другими рассматриваемыми данными, и оба
интеграла уравнения должны быть поэтому распространены только на по-
граничную цилиндрическую поверхность. Положим для нее ds = dld2, при-
чем мы понимаем под dl элемент границы части плоскости хОу, которая
лежит внутри рассматриваемого объема; тогда будем иметь
+y А — +Y
V^\\dldz-L v_ _i_ ^1dzdV
4л <•' J дп 4л J J г дп
—Y —V
164
Положим теперь р2 = (а — х)2 + (Ь— у)2, следовательно г2 = р2 + г2, и
,, dV
воспользуемся тем, что V и — не зависят от г и что нормали п пер-
дя
пендикулярны к оси z; далее, так как г бесконечно велико относительно
р, то
+v _____
С dz = J Т + Ур2 -и2 = 2 ] 2т .
ДУр2 + г2 ё_т + |/ра + г2 %’
и, наконец, как это следует из уравнения (16),
dl — = 0.
дп
Отсюда получим
v =
д 1g р . 1 (* ,, дУ ,
—4----\ dl -- 1g р.
дп 2л J дп
(28)
Применим это уравнение к кругу, описанному радиусом R вокруг точки
а, Ь) и образующему часть площади, к которой относится V; мы будем
иметь
V =
так как значение V в центре круга равно среднему арифметическому зна-
чений на периферии. Отсюда можно заключить, что на рассматриваемой
площади V не обладает ни максимумом, ни минимумом и что если.оно по-
стоянно на периферии, то и всюду имеет постоянное значение. Также
/ дУ\2 ,ду\2
\да J \db J
не может иметь внутри поверхности максимума, хотя и может иметь ми-
нимум. Если поверхность, к которой относится V, представляет безгранич-
ную плоскость хОу, причем V в бесконечности обращается в нуль, то оно
, м дУ п
равно нулю всюду; если в бесконечности у не равно нулю, но — = 0 и
да
дУ л v
— = 0, то эти уравнения имеют м есто всюду, т. е. У постоянно, так как
db
производные V обладают таким же свойством, как и V.
Мы добавим здесь еще следующее предложение. Пусть будет df— эле-
мент некоторой конечной части плоскости хОу; k — функция его коорди-
нат, р — расстояние этого элемента от точки (х, у) той же плоскости в
U = — 2 kdf 1g р; (29)
тогда U есть функция х и у, которая вместе со своими производными
первого порядка однозначна и непрерывна на всей плоскости хОу, вну-
три поверхности, элемент которой обозначен через df, она удовлетворяет
уравнению
где k относится к точке (х, у), а вне ее удовлетворяет уравнению
d2U d4J
дхг + ду- = °'
Чтобы доказать это предложе ние, рассмотрим потенциал Q цилиндра,.
165
параллельного оси z, поперечное сечение которого есть площадь, элемент
которой мы обозначим через df. Пусть уравнения его оснований будут
г = ± т, где у — постоянное, бесконечно большое относительно координат
всех точек, для которых должно быть вычислено Q. Предположим, что
этот цилиндр заполнен массой, так что k есть плотность той нити, кото-
рая соответствует элементу df. Обозначим еще через с ординату г точки
цилиндра; тогда для точки (х, у, z) будем иметь
+т
о _ С С kdf
-y
или, на основании (27),
Q = — 2 df (1g р — 1g 2т),
it, согласно (29), получим
Q - U -t 21g2T \kdf. (30)
Если заметим теперь, что второй из двух членов правой части урав-
аения (30) постоянен, далее, что во всяком рассматриваемом объеме Q
вместе со своими первыми и вторыми производными однозначно и непре-
рывно (AQ внутри цилиндров равно —4л/г, а вне его равно нулю), то от-
сюда получим предыдущий результат.
Укажем еще, что если точка (х, у) удаляется в бесконечность и R
означает ее расстояние от начала координат, то по данному в (29) опре-
делению
L? __ 2 1g R [k df, dU= — 2- <\kdf, й df,
J dx R2 J dy
c. e. U будет бесконечно велико, но его первые производные обратятся
нуль.
ЛЕКЦИЯ СЕМНАДЦАТАЯ
(П реобразование уравнения Д<р = 0 к произвольным ортогональным координа-
там. Эллиптические координаты. Течения по линиям, пересекающим нормально
систему софокусных эллипсоидов. Представление потенциала скоростей этих те-
чений как потенциала слоя. Объем жидкости, протекающей через сечение в еди-
ницу времени. Сопротивление. Линии тока, пересекающие нормально систему
софокусных гиперболоидов)
§ 1
Каждое решение дифференциального уравнения в частных производных
Дер = 0, первые производные которого по х, у, г однозначны и непрерыв-
ны в некотором пространстве, представляет возможное движение несжи-
маемой жидкости в этом пространстве. В общем случае потенциал скоро-
стей будет зависеть от времени, но мы займемся теперь только тем слу-
чаем, когда это не имеет места, т. е. когда в каждой точке потенциал
скоростей не изменяется с течением времени. Такое движение называют
~ dm dw dw
установившимся. Так как , , — — составляющие скорости по осям
дх ду дг
координат, то скорость везде перпендикулярна к поверхности <р = const;
движение происходит по линиям, перпендикулярно пересекающим эти по-
верхности; поэтому эти линии называются, как это было упомянуто выше,
линиями тока. Если жидкость ограничена неподвижными стенками, то для
. df п
всех элементов стенок должно быть = 0, или, что то же самое, эти
дп
стенки должны быть образованы линиями тока. Одним из способов нахож-
дения решений этого дифференциального уравнения, представляющих не-
которые движения жидкости, является введение вместо х, у, z новых ко-
ординат. Мы будем пользоваться этим способом и для этого преобразуем
уравнение Дер к новым координатам, которые назовем через и, v, w. При
этом мы можем рассматривать функцию ср как однозначную и непрерыв-
ную, потому что если в данном пространстве <р этим свойством не обла-
дает, то можно будет разделить это пространство на такие части, что
для каждой части <р будет однозначной непрерывной функцией или систе-
мой однозначных непрерывных функций, которые, если <р есть потенциал
скоростей, различаются между собой добавочными постоянными. Тогда
для каждой такой части будет иметь место дифференциальное уравнение,
которое мы выведем при сделанном предположении. Уравнение А<р = О
можно преобразовать, применяя теорему, доказанную в конце § 5 преды-
дущей лекции, именно теорему, что при Дер = 0 будет
6Q = О,
где £2 есть интеграл
167
распространенный Мы имеем на любую область, на поверхности которой <р задано. dx — — du + — dv + — dw, du dv dw dy = -4'du + — dv + — dw, (2) du dv dw dz = d- du + — dv + — dw. du dv dw
Допустим, что место уравнения u, v, w обладают таким свойством, при котором имеют dx dx । dy dy । dz dz _ g du dv du dv du dv dx dx , du dy , dz dz n 1~ ~ H = 0, (3) dv dw dv dw dv dw dx dx dy dy dz dz g dw du dw du dw du
и положим 1 /dx\2 (дУ\2 ( ^z\2 U2 \du J [duJ \du J ’ ± = + (-V (4) V2 \dvj \dv) \dv) ’ 1 / dx \ 2 . / dy \ 2 , / dz \ 2 W2 \ dw J \ dw / \ dwI
при том ограничении, что U, V, W положительны. Тогда из уравнения (2)
получим
dx2 + dy2 + dz2 =
(5)
Из этого можно заключить, что если рассматривать dx, dy, dz как коор-
динаты точки, бесконечно близкой к точке (х, у, z) относительно системы
координат, начало которой есть (х, у, z) и оси которой параллельны осям
du dv dw
х, у, z, то jбудут координатами той же точки относительно
второй системы прямоугольных координат с тем же началом, но оси ко-
торой имеют другое направление. Представим уравнения (2) в виде
dx _у dx du . у dx dv . ^,dx dw
duU dv V dw W ’
du = Udy- + V-y-+W^ —
duU dvV dwW ’
__ц dz du . у dz dv , dz dw .
du U dvV ' dw W
du dv dw „
тогда множители при —, , — суть косинусы углов, образуемых меж-
ду собой осями обеих систем. Уравнениям, выражающим du, dv, dw через
168
dx, dy, dz, можно придать такой вид:
ди ди ди
du дх , . ду , , дг ,
— = — dx + - dy Н— dz,
и и и и
dv dv dv
dv дх , , — = — dx 4- V V dz , — dz, V
dw dw dw
dw
W
dx , , dy , , dz ,
— dx + — dy H------dz.
w w w
Отсюда 15 следует:
и
(6)
du dv du dv , du dv
dx dx dy dy dz dz ’
dv dw dv dw dv dw
dx dx dy dy dz dz
dw du dw du dw du
------j- —------.
dx dx dy dy dz dz
(7)
Три последних уравнения выражают тот факт, что поверхности
и = const, v = const, w = const
пересекаются взаимно ортогонально, в силу чего и, v, w называют орто-
гональными координатами. Этим условиям должны удовлетворять и, v, w,
если соблюдены уравнения (3), и наоборот, если выполняются эти условия,
то существуют уравнения (3). Из заключения, которое мы сделали по по-
воду уравнения (5), следует далее, что элемент объема dx можно поло-
жить равным
du dv dw
U V ’ W ’
если взять du, dv, dw положительными.
Далее имеем
dtp d7 dtp du . dtp du dtp dw = — H - 1-
du dx dv dx dw dx
dtp dtp du , dtp dv , dtp dw
dy du dy dv dy dw dy
dtp dtp du dtp dv dtp dw
dz du dz dv dz dw dz
169
так что по (6) и (7),
(лу I /*ру = (/2 р u/2 (*₽У.
\ дх J \ду ) \дг ) \ди ) \dv J \dw I
Поэтому уравнение (1) примет вид
й = Wdudvdw\U- ( d*Y + -- f^y + m2i.
JJJ Lvr \ди / UV \dw ) J
Если Дф =» 0 и ф задано на поверхности рассматриваемой области, то
й получает значение минимум, т. е. для произвольного дф, которое толь-
ко должно обращаться в нуль на поверхности16, должно быть
O — V\\dudvdw(Л₽^+ Л бФМф +J
\VIFdu ди WU dv dv UV dw dw J
если слагаемые этого интеграла проинтегрируем по частям, т. е. произве-
дем такие же действия, посредством которых были выведены уравнения
(14) предыдущей лекции, и воспользуемся тем, что на поверхности дф — О,
то получим
du dv dw
дф,
0 =
или, наконец,
0 <L i и Ё?у±_ д । v 5ч>\ д_ э (117 Эг₽\ ж)
du\VWdu) Г dv\WU dv / ' dw \ U V dw J ' ' ’
Это заключение основано на предположении, что пределы интегрирования
по и, v, w соответствуют границам рассматриваемого пространства — пред-
положение, которое выполняется всегда, если мы разобьем пространство
надлежащим образом на части и будем рассматривать эти части в отдель-
ности.
Заметим еще, что уравнение (8), представляющее искомое преобразова-
ние уравнения Дф = 0, не изменится, если знак одной из величин U, V, W
мы изменим на противоположный. Следовательно, сделанное нами предпо-
ложение, что эти величины должны быть положительными, излишне для
настоящего результата.
§ 2
Предположим теперь, что и, v, w — так называемые эллиптические ко-
ординаты, и докажем, что они ортогональны.
Уравнение
представляет поверхность второго порядка, центр которой совпадает с
началом координат и главные оси которой совпадают с осями координат.
Пусть
а2 > Ь2 > с2;
тогда расстояния фокусов главных сечений от центра будут
/а2 —Ь2, /а2 —с2, УЬ2 — с2.
Две первые пары фокусов лежат на оси х, третья лежит на оси у.
Таким образом фокусы не зависят от X, и потому поверхности, представ-
170
ляемые уравнением (9) при различных X, называются софокусными. Чтобы
эти поверхности были действительными, X должно лежать между + оо и
— а2. По значениям X они распадаются на три группы. Если
4-оо > X > — с2,
то три члена левой части уравнения (9) положительны; поверхность есть
эллипсоид, который каждой из трех осей координат пересекается в дей-
ствительных точках. Если
— с2 > X > — Ь2,
то только два первых из трех членов положительны, а третий отрицате-
лен; поверхность пересекается в действительных точках только с осями х
и у, но не с осью z. Эта поверхность есть однополостный гиперболоид.
Если, наконец,
—b2 > X > —а2,
то лишь первый из трех членов положителен; поэтому только одна ось х
пересекает поверхность в действительных точках. Следовательно, это дву-
полостный гиперболоид. Таким образом при данных а, Ь, с через каждую
точку х, у, z проходит одна поверхность каждого из трех родов. Дей-
ствительно, уравнение (9) есть уравнение третьей степени относительно X,
и три корня его всегда лежат в трех указанных интервалах. Чтобы убе-
диться, что между ос и — с2 должен лежать один корень, надо обратить
внимание на то, что левая часть уравнения обращается в нуль для
X = 4- оо и равна 4“- 30 для X = — с2 4- е, где е означает положительную
бесконечно малую величину, т. е. левая часть уравнения для первого зна-
чения X будет меньше, а для второго больше, чем правая. Между — с2 и
— Ь2 должен лежать корень, потому что левая часть равна —со для
X = — с2 — г и + оо для X = —Ь2 4- г. Из аналогичного рассуждения сле-
дует, что и между —Ь2 и —а2 точно так же должен лежать корень. Три
корня уравнения (9), соответствующие точке (х, у, z), называются ее эл-
липтическими координатами. Обозначим их через и, v, w и положим, что
и > v > w.
Тогда будем иметь
х2 , у2 . z2 , . ,
—- г ----------------1--------= 1, -t- оо > и > — с2,
а2 4* и Ь2 4- и с2 4- и
у2 //2 ?2
----------Г '— = 1, — С2 > V > — Ь2,
а2 4* f b2 + v с2 + v
у2 //2
----------__ У--------р .... — = 1; — у2 > w > — а2.
а2 4- ш Ь2 w с2 4-
(Ю)
Поэтому каждой точке (х, у, z) соответствует только одна система зна-
чений и, v, w. Пусть, наоборот, даны и, v, w; тогда х2, у2, z2 будут опре-
делены однозначно, потому что их придется вычислять из линейных урав-
нений, но знаки х, у, z останутся неопределенными; таким образом, каж-
дой системе значений и, v, w будет соответствовать вообще восемь точек,
каждая из которых лежит в одном из восьми координатных углов.
Проще всего найдем выражения х2, у2, z2, если заметим, что так как
и, п, w должны быть корнями уравнения (9), то для каждого значения X
должно быть
х2 , у2 г2 ______________j (ц — X) (р — X) (w — X)
а2 4-Х Г Ь2 4- с2 + X ~ (а2 4- X) (Ь2 4- X) (с2 4- X) ’
(И)
171
и приравняем здесь а24-Х, или Ь2 + к, или с2 + X бесконечно малой
величине. Тогда получим
(а2 + и) (а2 + г?) (а2 4- ш)
(а2 — Ь2) (а2 — с2)
(&2 + и) (&2 + у) (Ь2 4- w)
(Ь2—с2) (Ь2 — а2)
(с2 4- и) (с2 4- г’) (с2 4*ш)
(с2 — а2) (с2 — Ь-)
(12)
Выведем еще одно следствие из тождественного уравнения (11). Диф-
ференцируя его по к, получим
х2 , У2 |__________Z2____ _
(а2 4-Л)2 (Ь2 + М2 (с2 4-Л)2
= (и-Х)(р-Л)(^-Х) / 1 1 , 1 ,__1___.__1 ,_1 \ .
(а2 4- Л) (Ь2 4- к) (с2 + X) \и —Хи —?>Л % а2-)-*."1- Ь24-% с«4-Х / ’
полагая и — к, или v — к, или w— к бесконечно малыми, будем иметь
х2 . у2 . z2 ______________________ (и — у) (и — w)
(а2 4-и)2 (Ь2 4- и)2 (с2 4- и)2 ~ (а2 4-и) (й2 4-и) (с2 4-и) ’
____Х1_ь_У*_______________1(v-«) (j 3)
(а2 4- 02 (b2 4- у)2 (с2 + у)2 (а2 4- у) (Ь2 4- у) (с2 4- у)
X2 . у2 . Z2 ___________________ (ш — и) (w — у)
(а2 4- ш)2 (Ь2 + ш)2 (с2 + w)2 (а2 + ш) (Ь2 + (с2 + “О
К этим уравнениям добавим те, которые получим из уравнений (10), вы-
читая их одно из другого; это будут уравнения
---------Х1----------1--------у2----------]-----------z2-----------= о,
(а2 4- и) (а2 4-0 (Ь2 4- “) (Ь2 4- у) (с2 4- “) (с2 4- у)
---------х2----------1---------У2----------।-----------22---------= о,
(а2 4- у) (а2 4- (Ь2 4- и) (Ь2 4- ш) (с2 4~ у) (с2 4- “О
(14)
х2।у2,z2
(а2 4- w) (а2 4- “) (Ь2 4- (Ь2 4- и) (с2 4- w) (с2 4- «)
Взяв частные производные уравнений (12) по и, v, w и деля каждый
раз результат на то уравнение, из которого он выведен, мы найдем
дх 1 X дх __ 1 X дх 1 X
ди 2 а2 4- и ду 2 а2 4- у ’ дш 2 а2 4- ш ’
ду 1 У дУ _ _ 1 У ду 1 У (
ди 2 Ь2[- и ’ dv 2 Ь2 4- у dw 2 Ь2 4- w ’
дг 1 Z дг _ 1 2 дг 1 Z
ди 2 С2 4- и ’ ду 2 с2 4- у dw 2 с2 4- ш
172
Из уравнений (15) и (14) будем иметь уравнение (3), которое является
критерием того, что и, v, w представляют ортогональные координаты. Из
уравнений (15), (13) и (4) можно вычислить U2, V2, И?2; они дают
IJ2 4 (°2 + ц) <Ь2 + «) (с2 + ц)
(и — V) (и — а)
уз = 4 (a2 + v)(62 + 0(c2 + v) , (j 6)
(v — w) (v — и)
jj/2 _ 4 (°2 + <с'2 + w)
(w — и) (w — v)
Присовокупим к этим еще одно уравнение, которое получается из (15)
и которым мы воспользуемся впоследствии. Из тождественного уравнения
и = и,
в котором в правой части и должно быть выражено через х, у, z, а х,
у, г — через и, v, w, следует
, ди дх , ди ди , ди dz
1 == - + + -;
дх ди ду ди dz ди
следовательно, на основании (15), будем иметь
а2 + и дх Ь- - \-иду с2 + и dz
Производные и, v, w по х, у, z легко вычислить из производных
х, у, г по и, v, w при помощи соотношений
ди дх = и2дх, ди dv дх = 1/2 дХ , dv dw dx dw
ди = и2 ду, dv = V*dy, dw = IF2^, (18)
ду ди ду dv dy dw
ди = U2dz, dv = 1/2 дг , dw = U72—,
dz ди dz dv dz dw
которые получаются из замечания, сделанного в предыдущем параграфе
.. „ ... du dv dw
по поводу коэффициентов уравнении между dx, dy, dz и — , , — .
Посмотрим теперь, каковы будут те поверхности, в которые перейдут
поверхности и = const, v = const, w =-- const, когда и, v или w будут при-
ближаться к границам интервала, в котором они должны заключаться.
Мы найдем эти поверхности из уравнений (10).
Пусть и = оо; тогда первое из этих уравнений определяет бесконечно
большой шар, радиус которого равен У и.
Пусть будет и = — с2 + г, где по-прежнему г — бесконечно малое по-
ложительное количество; тогда это уравнение дает
А Л''“ 1 Ч2 1
z = 0 и--------Ь —----< 1,
а2 — с2 Ь2 — с2
и, следовательно, представляет площадь, лежащую внутри эллипса плос-
кости хОу, полуоси которого имеют длины У а2— с2, у Ь2— с2 и напра-
вления осей совпадают с осями х и у.
173
Пусть v — — с2— ч; тогда из второго из этих уравнений следует
z = 0 и
X2
а2 — с2
> 1;
Ь2 — с2
но это — уравнение части плоскости хОу, лежащей вне только что назван-
ного эллипса.
Если v = — Ь2 + г> то имеем
X2
у — 0 и
а2 — Ь2 й2 — с2
1;
но этим определяется площадь, представляющая связную часть плоскости
г, х, ограниченную гиперболой, уравнение которой получим из предыду-
щего неравенства, если заменим знак неравенства знаком равенства,
Пусть w — — Ь2 — г', тогда
У = 0 и
х2
а2 — ft2
1,
чем будут представлены обе несвязные части плоскости zOx, ограничен-
ные той же самой гиперболой.
Пусть, наконец, ш = —а2 4-е; тогда будем иметь
х = О
без дальнейших ограничений, т. е. поверхность, о которой идет речь, есть
вся плоскость yOz.
Таким образом, все эти поверхности, вместе взятые, представляют
бесконечно большой шар и три плоскости координат. Одновременно усма-
триваем, что равенство двух из трех величин и, v, w имеет место только
для эллипса у2 />2 2 = 0, — г—у- 1, (19) _ с2 ' ft2 _ с2
где и, = V = — С2,
и для гиперболы _ у2 ^2 у = 0, — — = 1, (20) а2 — й2 Ь2 — с2
где v — w — — Ь2.
Плоскости этих кривых взаимно перпендикулярны, и каждая из кривых
проходит через фокус другой.
Если бы понадобилось рассмотреть вместо точки пространства (х, у, г)
точку (у, г) плоскости, то имели бы место заключения и формулы, ана-
логичные только что полученным.
§ з
Чтобы составить уравнение (8)
,,с. и V
с помощью (1 о) значения — , —
v ' VW WU
в эллиптических координатах,
F
, —, т. е. получим
UV
найдем
U V
(а2 4 и>(Ь2 Д и) (с2 4- и) (v — w)-
4 (а2 и) (Ь- 4- г) V) (a2-i-cj) (b-у-ш) (C2-f-ui)
Следовательно, — есть функция и, умноженная на функцию с и w
у Ц7
Ясно, что соответственные предложения имеют место для -- и —
На этом обстоятельстве основывается возможность представить дифферен-
циальное уравнение, о котором идет речь, еще проще, если ввести вместо
и, v, w некоторые функции только одной из этих величин. Действительно,
пусть их — функция только и; тогда
Stp Sep du,
ди дих du
гак что
U Sep___ U du, Sep
VW ди ~ VW du дих'
Теперь на основании сделанного замечания можно так определить функ-
, S<p
цию иь чтобы в этом уравнении множитель при не зависел от и;
ди,
при этом мы будем иметь
д [ U Sep\ __ U / duA^ S2ep
ди ди) ~~ VW [du ) qu\ '
Обозначим через п3 и соответственным образом составленные функции
у и w и умножим уравнение (8) на UVM; тогда это уравнение примет
8ИД
(/2 / dU1y S2<p + у2 fdt^y S2<p + ^2 d2ep = Q
X du / ди* / ди* X dw*
Заметим, что непосредственно будем иметь
/Scp\2 . / Sep \ 2 . / dtp X 2 _
\Sx / \S#) \Sz /
на основании выражения, которое мы получим для левой части этого
уравнения при выводе уравнения (8).
Требуемые условия для их, vx, wx будут соблюдены, если положим
Р (a2 -J- и) (Ь- + и) (с2+ и) ’
dvx = -==^==^, (23)
V —Щ2 -т V) -i- V)(A 4- и)
у (а2 XJ (U2 -I- W) (A~t-W)
Тогда уравнения (21) и (22) преобразуются в следующие:
______1 S2cp_______ 1 S2<p 1 S2cp_______________g
(“ — V) (и - О’) ди[ — а') (Ь' — “) ди[ № — “) (О’ — У) дш{
(у — а.’)-Ф — (ts — и) |3’ф + (и — у) = 0 (24)
ди* dv* dw*
или
175
Для одной точки значения иъ vlt wt и знак перед корнем в (23) мож-
но выбрать произвольно; но тогда для остальных точек эти знаки должны
быть определены так, чтобы J345, были непрерывны в той области,
в которой они должны быть непрерывны.
§ 4
С первого взгляда на дифференциальное уравнение (24) можно опреде-
лить некоторые его частные решения: таковыми должны быть сами ult vlr
Исследуем ближе первое из них, т. е. положим
Ф = «ь
Тогда поверхности <р = const будут софокусными эллипсоидами и =
= const. Будем рассматривать гр как потенциал скоростей; тогда линии
тока, которые должны быть перпендикулярны к этим эллипсоидам, будут
образованы линиями пересечения гиперболоидов v = const и w = const. Эти
линии образуют, чего мы не будем здесь доказывать, систему линий кри-
визны, которые имеют общими эти гиперболоиды17. В частном случае,
когда а = Ь, это будут гиперболы, плоскость которых проходит через ось
г, имеющие фокусы на окружности, в которую тогда „переходит эл-
липс (19). Через каждую точку площади указанного эллипса всегда про-
ходит одна из этих линий, пересекающая ее перпендикулярно. В беско-
нечности, где и бесконечно велико, на основании уравнений (12) отноше-
ния х2: у2: z2, а следовательно, также и отношения х : у : z, не зависят
от и, т. е. эти линии тока обращаются в прямые линии, проходящие че-
рез начало координат и направленные к нему или от него. Квадрат ско-
рости вследствие уравнения (25) равен
---------------
(и — v)(u — w)
или, по первому из уравнений (13), равен
----------------------F-----г----------5----------;----г- (26а)
Г X2 у2 Z2 ' ’
(а2 -|- и) (Ь2 + и) (с2 + и) , „ . ~„ + ~7~ ’ ~ , 2 , С?
L (а2 + и)2 (Ь2 + и)2 (с2 + и)2 J
Отсюда следует, что скорость всюду на конечном расстоянии имеет опре-
деленное, конечное, непрерывно изменяющееся значение, за исключением
только точек эллипса (19), для которого и — I», где она бесконечна.
В бесконечности скорость равна
2
г2
если г означает расстояние рассматриваемой точки от начала; в самом де-
ле, мы видели в предыдущем параграфе, что тогда и = г2. Направление
движения в каждой точке есть одно из двух направлений, которое имеет
проходящая через эту точку линия тока. Отсюда следует, что <р или иг,
176
даже если не принимать во внимание добавочную постоянную, которая
остается произвольной, еще может иметь различные ветви19. Несомненно,
что направление движения внутри жидкости не может скачком измениться
на противоположное, но это возможно на поверхности, которой нару-
шается связность жидкости. Изменение направления движения на проти-
воположное соответствует перемене знака корня в первом из уравне-
„ ди, ди, ди,
нии (23), так как при перемене этого знака —11, — изменяют свои
дх ду dz
знак на обратный. Внутри жидкости этот корень не может изменить зна-
ки, не обращаясь в нуль; он равен нулю на поверхности неоднократно
упомянутого эллипса (19), и только для нее имеем и =— с2. Если его
площадь не представляет пограничной поверхности, то при переходе через
эту площадь знак корня должен измениться; в самом деле, du меняет
знак, так как—с2 есть наименьшее значение, которое только может при-
нять и, и сверх того ut при движении вдоль этой линии тока может или
только возрастать или только убывать20. Ни в какой другой точке жидко-
сти не может быть перемены знака корня. Из этого следует, что движе-
ние, представляемое уравнением q> = иъ невозможно, если в жидкости
нет поверхности, нарушающей ее связность21. В качестве такой поверх-
ности может служить каждая из поверхностей, ограниченных эллипсом
(19). Тогда можно представить себе, что из каждого элемента выбранной
поверхности с обеих ее сторон жидкость вытекает или поглощается. Если
предположить, что вся поверхность лежит на конечном расстоянии, еще
„ < ди>-
можно принять, что в оесконечности ut обращается в нуль и что ди от-
рицательно; поэтому при принятом для скорости обозначении для бес-
конечно большого г
‘)
.
г
Этим будет определено вполне22. Если поверхность изменяется, то в
силу этого изменяется только в пространстве, описанном этой поверх-
ностью при ее изменении.
Покажем, что можно представить в виде суммы потенциалов про-
стого слоя масс и двойного слоя, которые лежат на выбранной поверх-
ности. Для этого вообразим, что последняя заключена внутри замкнутой
поверхности, элемент которой обозначим через ds, а нормаль к ds, направ-
ленную внутрь, через п. Тогда для какой-нибудь внешней точки, по урав-
нению (17) предыдущей лекции и его обобщению, сделанному в § 7 той
же лекции, получим
I
п д “ ,,
1 , г [ \ ds dui
«1 --- — \ ds «1 —----\ — х- . (27)
4л J дп 4л Р г дп ' '
Теперь представим себе поверхность, элемент которой обозначен через ds,
составленную из двух кусков поверхности, совпадающих с проведенной
вначале поверхностью, ограниченной эллипсом (19), и из бесконечно тон-
кой трубчатой поверхности (внутри нее проходит кривая, ограничивающая
эллипс), перпендикулярные сечения которой — круги бесконечно малого
радиуса г, с центрами в точках этого эллипса23. Распространенные на эту
трубчатую поверхность оба входящих в выражение (27) интеграла обра-
щаются в нуль, потому что щ для р = 0 не бесконечно. Действительно,
для р=0 значение и{ не обращается в бесконечность21, но будет равно
7 - --d-.......... — - 2 ? ,dL=z. - .... (28)
J У (а2 + и) (Ь* Н- и)(с* и) J |/(а2 — с3 -д *3) (Ь2 — с2 -х2)
12 I Кирхгоф 177
Мы убедимся, что действительно первый из входящих в (27) интег-
ралов, распространенный на трубчатую поверхность, обращается в нуль,
, 1 1
д - д -
г г
если заметим, что — или, что то же самое, — имеет на ней всюду ко-
дл др
нечные значения, а площадь трубчатой поверхности есть величина поряд-
тт ди, ди,
ка р. Что касается второго из двух интегралов, то - , т. е. —, всюду
дп др
бесконечно велико, но р 1 бесконечно мало, так как uY для р = 0 не бу-
др
ди, du, ди
дет бесконечно велико и —, т. е. , может быть разложено в ряд
др ди др
по восходящим дробным степеням р25. Так как поверхность трубки есть
величина порядка р, то отсюда следует, что второй интеграл, распростра-
ненный на поверхность трубки, также обращается в нуль. Поэтому при
составлении уравнения (27) надо принимать в расчет только тот кусок
поверхности, который совпадает с первоначально взятой ограниченной
эллипсом (19) площадью. Мы будем теперь понимать под ds элемент этой
поверхности за исключением бесконечно узкой полоски, прилегающей к
пограничному эллипсу. Тогда в оба интеграла уравнения (27) каждый эле-
мент ds войдет дважды. Мы будем различать обе стороны этого элемента
как внутреннюю и внешнюю, а именно, внутренней должна быть та, с
которой нельзя пройти в бесконечность, не проходя через поверхность,
которой принадлежит ds, или через площадь эллипса (19). Далее, пусть
п—нормаль к ds, направленная внутрь; обозначение под знаком интег-
рала мы будем относить к внутренней стороне ds, тогда как для внешней
стороны мы воспользуемся обозначением и/. Тогда уравнение (27) перей-
дет в
д-1-
«1 = -1- С ds («х—u/) - j- С _ “1V (29)
4п J дп 4л J г \дп дп /
эта формула представляет и} в том виде, в каком эта величина и должна
быть выражена.
Допустим, что поверхность, элемент которой обозначен через ds, есть
площадь самого эллипса (19); тогда первый из двух входящих в (29) ин-
тегралов обратится в нуль, так как для площади эллипса и — — с2 и,
следовательно, t/j и имеют данное в (28) значение 26. Тогда
С ds ,
«1 = \ --«;
следовательно, представлено как потенциал простого слоя масс плот-
ности
__ _ 1 (duj _ ди' \
4л \ дп дп /
За п здесь может быть взята по произволу направленная в ту или дру-
гую сторону нормаль к площади эллипса. Воспользуемся тем, что эта
площадь пересекается нормально линиями тока; тогда из определения
г2
скорости, данного в (26а), причем-------должно быть исключено при
С2 + и2
помощи первого из уравнений (10), получим27
Л /(а2_с2)(Ь2_с2)-|/
F а3—с2 Ь2,—с*
178
Найдем непосредственно массу всего слоя, приняв во внимание сделанное
выше замечание, что на бесконечности иг — —; отсюда следует, что эта
масса28 равна двум.
Попутно мы отметим, что эти результаты особенно важны для учения
об электричестве, так как они позволяют изучить распределение коли-
чества электричества на проводящей эллиптической пластинке. Количе-
ство электричества, сообщающее проводнику потенциал, равный единице,
определяет его емкость. Следовательно, по (28) емкость эллиптической
пластинки с полуосями ]Ла2 — с2 и УЬ'1— с2 равна обратной величине ин-
теграла 29:
00 .
£ -------Х. (30)
J у (а3 — с2 + х2) (Д- — с2 4-х2) v 7
Если поверхность, элемент которой обозначен в (29) через ds, не есть
площадь эллипса (19), то найденное здесь выражение для иг годится так-
же для всего пространства, за исключением части его, заключенной меж-
ду названными выше поверхностями. В этом случае по каждой линии
тока «j возрастает совершенно так же, как в предыдущем случае оно
здесь убывало. Представим себе, что названная поверхность продолжена
в бесконечность и притом так, что лежащая на конечном расстоянии
часть ее совпадает с частью плоскости хОу, внешней относительно эллип-
са (19); тогда на каждой линии тока в части ее, лежащей на конечном
расстоянии, движение не изменяет своего направления. Лежащая вне эл-
липса часть плоскости хОу образует твердую стенку, вдоль которой дви-
жутся частицы жидкости30. В то время как с одной стороны ее в беско-
нечности U] — 0, с другой стороны31
00 j
. С dx
th = 4 -................ .
J У (а2 — с2 -f- х2) (b2 — с2 Д- х2)
Рассмотренные здесь значения может принимать потенциал скоростей
жидкости, заполняющей пространство, ограничиваемое поверхностью, об-
разуемой линиями, уравнения которых v = const, w — const. Этот случай
имеем, если жидкость ограничена твердой стенкой, образованной каким-
нибудь однополостным гиперболоидом v = const, и наполняет односвязное
пространство, ограниченное этой поверхностью. Найдем для этого случая
объем жидкости, протекающей в единицу времени через поперечное сече-
ние; под этим названием мы подразумеваем какую-нибудь не пересекаю-
щую себя поверхность, вполне ограниченную линчей пересечения со стен-
кой. Это сечение делит наполненное жидкостью пространство на две от-
дельные части', поэтому задача сводится к тому, чтобы найти объем
жидкости, проходящей из первой части во вторую. Обозначим через ds
элемент поперечного сечения, через п—направленную внутрь второй
части нормаль к ds; тогда искомый объем будет равен
Этот интеграл не зависит от формы и положения поперечного сечения,
что следует из уравнения (16) предыдущей лекции. Поэтому, чтобы най-
ти его значение, мы можем выбрать в качестве поперечного сечения часть
шаровой поверхности, описанной бесконечно большим радиусом г. Возьмем
нормаль в направлении течения; тогда, как мы видели раньше,
duL _________________________________ 2
дп г2
12» 179.
Предположим, что часть шаровой поверхности, отсеченная гиперболичес-
кой стенкой, равна
Кг2,
т. е. мы обозначим через К отверстие асимптотического конуса гипербо-
лоида; поэтому искомый объем жидкости будет равен
2К-
Применим теперь одно выражение, введенное для электрического тока,
к рассмотренным здесь движениям жидкости. Именно, мы будем говорить
о сопротивлении жидкости, протекающей в пространстве, ограниченном
твердой стенкой и двумя поверхностями равных потенциалов скоростей;
мы будем под этим подразумевать разность значений потенциала скоро-
стей на обеих поверхностях, разделенную на объем жидкости, проходя-
щей в единицу времени через поперечное сечение. Тогда сопротивление
пространства, ограниченного рассмотренным гиперболоидом и простираю-
щегося в обе стороны в бесконечность, будет равно
2 “ dx
- *\ -----------• (31)
к J у (а2 — с2 + х2) — с2 + №)
Исследование, произведенное для частного решения дифференциального
уравнения (24), может быть с некоторыми изменениями применено к ре-
шениям ф = vt и ф = Отметим для них только следующее. Каждое
из них представляет возможное движение жидкости, линиями тока в них
будут того или другого рода линии кривизны эллипсоидов и = const.
Каждая из этих линий будет замкнутой. Если линии тока не прерываются
поверхностями, из которых жидкость вытекает или в которые вливается,
то, следовательно, потенциал скоростей многозначен и наполненное жид-
костью пространство должно быть многосвязным. Это пространство всег-
да может быть ограничено твердыми стенками, образованными линиями
тока.
Положим ф = vp, тогда линиями тока будут линии пересечения эллип-
соидов и — const и двуполостных гиперболоидов w = const. Жидкость
может заполнять двусвязное пространство, лежащее вне такого эллипсо-
ида и представляющее часть связного пространства, ограниченного одним
из этих гиперболоидов. По (25) квадрат скорости равен
_ 4
(и — w)(v — и)
следовательно, скорость будет бесконечна на эллипсе (19), где v — и, и
на гиперболе (20), где и = w. Обе эти линии лежат не внутри занятного
жидкостью пространства, а на его границе, когда эллипсоид переходит
в эллипс (19), а гиперболоид — в обе не связанные части плоскости xOz,
ограниченные гиперболой (20).
Положим ф = wp, тогда линиями тока будут линии пересечения эллип-
соидов и -= const с однополостным гиперболоидом V = const. Жидкость
может заполнять двусвязное пространство, ограниченное одним из этих
гиперболоидов. Квадрат скорости по (25) равен
__ 4_____
(w — и) (w — I')
Здесь скорость бесконечна только па гиперболе (20), которая лежит не
внутри указанного пространства, а на его границе, если гиперболоид
180
переходит в связную часть плоскости zOx, которая ограничена гипербо-
лой (20).
Продолжим исследование движения, представляемого уравнением ср=ш1(
для случая, когда жидкость ограничена стенкой, представляющей поверх-
ность вращения, ось которой есть ось z. Тогда мы имеем а =-Ь или,
скорее, должны принять а — b бесконечно малым, чтобы можно было
воспользоваться выведенными формулами. Линиями тока будут круги,
плоскость которых перпендикулярна к оси z и центры которых лежат
на этой оси. Остается только вычислить еще скорость. Если а — b беско-
нечно мало, то w, которое всегда лежит между — а2 и — Ь2, отличается
бесконечно мало от — а2; поэтому квадрат скорости равен
4
(л2 и) (а2 1- V)
Но при таком предположении суммирование двух из первых уравнений
(12) даст
Х2 + у2 = ;
а2 — с2
откуда следует, что скорость равна
2_______
У(а2 — с2) (х2у2)
Так как потенциал скоростей имеет измерение: скорость, помножен-
ная на длину, то, чтобы сохранить физический характер уравнений, сле-
дует в § 5 добавить к <р постоянный множитель с размерностью, обрат-
ной размерности потенциала скоростей W.
ЛЕКЦИЯ ВОСЕМНАДЦАТАЯ
(Потенциал однородного эллипсоида. Потенциал однородного бесконечно длин-
ного цилиндра. Покоящийся эллипсоид в текущей жидкости. Линии тока в слу-
чае, когда эллипсоид обращается в эллипсоид вращения или в шар. Твердое те-
ло, движущееся в жидкости данным образом', исследуется движение жидкости.
Случай, когда тело—эллипсоид или шар. Движение в жидкости двух тел. Бли-
жайшее рассмотрение случая двух бесконечно малых шаров)
§ 1
При некоторых движениях жидкостей, которые мы рассмотрим здесь,
полезно знать потенциал эллипсоида, наполненного массой постоянной плот-
ности. Мы не будем выводить выражения этого потенциала. Но приведем
его выражение непосредственно и, следуя по весьма простому пути, ука-
занному Дирихле*, докажем его правильность. Пусть уравнение поверх-
ности эллипсоида
его плотность равна единице, и его потенциал в точке с координатами
х, у, z пусть будет И. Мы сопоставим известные свойства, которыми должно
обладать П. Вследствие уравнения (11) шестнадцатой лекции, если точка
(х, у, z) лежит внутри эллипсоида, должно быть
ДП = —4л;
если она лежит вне, то
ДП =0.
,т „ dTl d£l д<1 ,,
Далее И, ------, ----, -----должны быть однозначны и непрерывны во
дх ду дг
всем пространстве, и И должно в бесконечности обращаться в нуль.
Эти свойства однозначно определяют П, как это показывает следующее
рассуждение. Положим, что существуют две функции х, у, г, которые
обладают этими свойствами, и пусть (7 — их разность. Тогда U имеет та-
“ л, j пи dU dU dU
кие свойства во всем пространстве: ДсУ =0; и, , , одно-
му-----------------------------------------------------------ду-дг
значны и непрерывны; в бесконечности U =0. Но тогда, согласно разъяс-
нению, сделанному в § 7 шестнадцатой лекции, всюду U =0. Пусть будет,
как в предыдущей лекции, w— наибольший корень кубического уравнения
у2 //2 у 2
—-----Г У------—=1; (2)
а2 -|- и b2 -j- iz с2 -|- и
если точка (х, у, г) лежит вне эллипсоида (1), то и положительно и пред-
ставляет единственный положительный корень этого уравнения; на поверх-
* Crelle’s Journal, Bd. 32, S. 80.
,82
ности эллипсоида и 0, Тогда будем иметь для внешней точки
х2 у2 Z2
оо 1-------------—- -----------
о о С ji а2 Л ft2 4- А с2 4- А
Й = лаЬс \ ал ------ -- (3)
I Уф2 4~ A) (ft2 4-А) (с2 4-А)
для внутренней
оо X2 _ У2 Z2
о 1,(41 ч2 4- А ft2 4“ А с2 "И 'Л ,,,
й = лаЬс \ ал — ..— -. (4)
о У(а2 4- Л) (Ь2 4- Л) (с2 4- А)
Чтобы доказать правильность этого утверждения, нам нужно только по-
казать, что функция, данная уравнениями (3) и (4), обладает свойствами,
которые определяют Й. Для этого продифференцируем уравнения (3) и (4)
сперва по х. Для внешней точки мы получим
ЭЙ г, (* йЛ
---— 2лаЬсх \------------------- ,
дх Лф24~А) Уф2-r A) (ft2 4-А) (с2-г А)
(5)
так как член, происходящий от переменности нижнего предела, обращается
в нуль вследствие уравнения (2); для внутренней точки
Эй
дх
СО
ЧлаЬсх
О
_______________db_______________
Ф2 4- A) V(a2 4- Л) (Ь2 4- А) (с2 + Л)
(6)
г-, UiZ U-Z t-j
Пусть аналогичные уравнения составлены для ----- и-----. При этом
ду dz
dQ Эй dSi
заметим, что й,-----, ----,-----не претерпевают разрыва на поверхности
дх ду dz
эллипсоида, где и =0, и, следовательно, однозначны и непрерывны всюду.
Продифференцируем уравнения (5) и (6) еще раз по х; тогда для внешней
точки получим
Э2Й о г. — —- 2лаЬс х ди а2 4- и дх
дх2 У (а24~ и) (Ь2 4- и) (с2 4- и)
______________________дЛ____________________
(а2 4- А) У ф2 + А> (ft2 4- Л) (с2 4- Л)
а для внутренней
дх2
j 4 U/V
___2 л, а о с \--------------------------------------------
д (а2 4- А) У ф2 4- Л) (Ь2 4- А) (с2 4- А)
v W (У
Складывая с этим уравнением соответствующие уравнения для------------- и ----
ду2 дг2
и пользуясь тем, что
С / 1 J______L _1______1 '|____________________________
' \а2 4- Л ' Ь2 4- Л ' с2 + Л / Уф2 + л) Ф2 + А) (с2 4- А)
___________________2___________________
У (а2 4~ A) (ft2 4-А) (с2 4-А) ’
183
для внутренней точки мы получим
ДП — 4л;
для внешней, если еще добавим, что по уравнению (17) предыдущей лекции
х ди у ди z ди _
---------------:-------1--------— - j,
а2 + и дх ft'2 -4- и ду с~ + и дг
будем иметь
АП = 0.
Наконец, чтобы убедиться в том, что определяемая уравнением (3)
функция П в бесконечности обращается в нуль, надо только заметить, что
вследствие уравнения (2) и бесконечно велико на бесконечности.
Добавим к этому еще определение потенциала цилиндра, наполненного
массой с плотностью, равной единице, уравнение боковой поверхности ко-
торого есть
и уравнения оснований суть
Z — у и z - -г у,
где у должно быть рассматриваемо как величина бесконечно большая по
сравнению с а, b и с координатами точек, к которым потенциал относится.
Обозначим последний через П; тогда по уравнению (30) шестнадцатой лек-
ции будем иметь
Й =. 2jwHg2r4- U, U -^ -2^dflgp, (7)
где df — элемент площади, ограниченной эллипсом —----И = 1, z = 0,
а'2 62
р •— расстояние этого элемента от точки (х, у, 0), если (х, у, г) есть точка,
к которой относятся U и Q. По проведенному в шестнадцатой лекции ис-
следованию U определено с точностью до произвольной постоянной, если
оно со своими первыми производными однозначно и непрерывно на всей
плоскости хОу и удовлетворяет уравнению
d2U . d2U . d2U , d2U п
дх2 ду2 дх2 ду2
что зависит от того, лежит ли точка (х, у) внутри или вне указанного эл-
dU ди л , ,, „
липса, а —— и на бесконечности обращаются в нуль. U будет обла-
дать этими свойствами, если положим для внутренней точки
/ т'2 у2 ,, и 1 Г а2 -1- X Ь2 -|- X , U лао 1 \ ! ах 4 У J У (а2 X) (ft2 и- X) а для внешней точки / х2 у2 /и' 1— — — г 7 1 1 С а'2 + X Ь2 + X U --- nab \ ! —— da \ J V(а2 + X) (ft'2 4- X) -1—Igu'j, (8) 4 1—(9)
184
при этом под и' понимаем бесконечно большое постоянное, а под и — по-
ложительный корень уравнения
X2 У2 „ |
а2 + и Ь'г -i u
Это вытекает из рассуждений, подобных рассуждениям первой части этого
параграфа.
Для доказательства того, что эти выражения для U не вводят иного
постоянного, кроме содержащегося для U в формуле (7), надо только по-
казать, что если мы положим х2 4- у2 ----- р2, где о2 бесконечно велико, но
бесконечно мало по сравнению с и', то получим из (9)
U = —2nab 1g р.
Это следует из того, что при сделанном предположении и — р2, и
и'
(тР-тИ lg"'~21gP-l.
р2
Нетрудно произвести интегрирование, указанное в выражениях (8) и (9).
Тогда для внутренней точки найдем
U -•= nab f 21g — - + 1 — 2л ----tayi-. (Ю)
\ a -I- b J а b
Если эллипс превращается в круг радиуса а, то это уравнение дает
U = ла2(1—21g а) — лр2,
где по-прежнему х2 4- у2 = р2; для внешней точки при этом будем иметь
U = —2ла21g р.
§ 2
Положим32
д<1 , ,.
<₽==Л4'&-----Z’ (И)
где М означает постоянное, a Q имеет данное уравнением (3) значение;
тогда в пространстве, внешнем относительно эллипсоида (1), ф удовлетво-
ряет уравнению Л<р =0.
Поэтому уравнение (11) представляет возможное движение жидкости в
этом пространстве. На бесконечности имеем
ЛР „„О _о
дх ду ’ dz
следовательно, в бесконечности жидкость течет со скоростью, равной еди-
нице, в направлении, противоположном оси z. Мы покажем, что постоян-
ное М можно определить так, чтобы на поверхности эллипсоида (1) было
0.
дп
Если постоянное определено именно так, то уравнение (11) пригодно для
случая, когда жидкость движется определенным образом в бесконечность
185
и в ней покоится эллипсоид (1). Обозначим через па нормаль к элементу
поверхности эллипсоида, направленную внутрь жидкости, нормаль же,
направленную внутрь эллипсоида, обозначим через п,; тогда получим усло-
вие, которое должно быть выполнено при надлежащем выборе М:
<Э2Й / X
М ——- = COS (па, Z),
дпадг
или, так как по уравнению (10) шестнадцатой лекции
dnftz dnftz
ТО
М .= (4лМ — 1) cos (naz).
dnftz
Мы ввели вместо производной по па производную по у, так как оп-
ределяемое из уравнения (4) значение Q для внутренней точки проще, чем
определяемое уравнением (3) для внешней точки. Действительно, для внут-
ренней точки по уравнению (4) имеем выражение
Q = const — л (Ах2 + By2 + Cz2),
которым пользовались уже в двенадцатой лекции и где А, В, С суть по-
стоянные, значения которых были определены уравнением (4) той же лекции.
Отсюда следует, что
д й = — 2лС ~-z~ = 2лС cos (naz).
dnftz dni
Поэтому уравнение (12) будет выполнено, если мы положим
М----------—. (13)
2л (2— С)
Если для установившегося движения жидкости с потенциалом скоростей
этот потенциал <р известен, то определение линий тока потребует еще ин-
тегрирования дифференциальных уравнений
dx-.dy.dz-. (14)
дх ду дг
интегралы которых, содержащие две произвольные постоянные, дают урав -
нения линий тока.
Если ф есть функция двух аргументов: z и Ух2-]-у2 [условие, которое
в рассматриваемом здесь случае будет выполнено, если эллипсоид (1) есть
эллипсоид вращения и а = &], то интегрирование уравнений (14) приводится
к квадратурам. В самом деле, положим
Vx2+y*= р
и будем рассматривать ср как функцию z и р; тогда получим
. <Эср <Э<р х <Эср _ <Э<р у
дх др □ ду др р
186
Поэтому одно из уравнений (14) будет
xdy — ydx = 0, (15)
откуда следует
— const,
У
т. е. каждая линия тока лежит в плоскости, проходящей через ось (г).
Из (15) в связи с уравнением
xdx + ydy = pdp
получается далее
dx = ^-,
р
вследствие чего второе из уравнений (14) примет вид
Но из уравнения Дф = 0 можно убедиться, что интегрирующий множитель
этого уравнения есть р, т. е. левая часть уравнения
рdp — рДг == 0 (16)
dz др
есть полный дифференциал. Действительно, мы имеем
д2ф д2ф х2 , дф У2
дх2 др2 р2 др Рз ’
д2ф д2Ф Д _ дф
dt/2 др3 р2 ' др рЗ
откуда следует Дф д2<р дг2 д2ф , 1 др2 р 0 др
или д дф \ _ д /
дг 1 и дг J др Р др г
(17)
чем и доказано высказанное утверждение. Таким образом, существует функ-
ция U переменных г и р, имеющая то свойство, что
dU дф ди______________ дер
dz Р др др дг’
если она найдена, то мы получим
U = const
как интеграл уравнения (16) и как уравнение линий тока.
Пусть будет известна функция V переменных z и р, для которой
dV d2V . d2V . 1 dV
• =- ф и ДУ = 1-1-- 0;
дг-------------------------------------дг2 др2 р др
тогда можно будет положить
(18)
187
так как при этом будут удовлетворены оба уравнения (17). Следовательно,
уравнение линий тока будет
<31/ ,
Р — ~ const.
ф
В случае движения жидкости, представляемого уравнениями (11) в пред-
положении, что а — Ь, условиям (18) можно удовлетворить, положив
V -- М Q — - -i- ! ;
2 4
тогда уравнение линий тока будет
р ( /И — const. (19)
\ dp 2 I
Если эллипсоид вращения превращается в шар радиуса R, то для внеш-
ней точки будем иметь
Q - RS _1_ .
3 г
.. до.
Из этого, пользуясь предложением, что - — не претерпевает разрыва на по-
дг
2
верхности шара, можно вывести, что С= —, и, следовательно, по (13),
з
М — - -. Отсюда следует, что
8л
и что уравнение линий тока есть
Р“ Р— —— j const.
Положим, что величина, обозначенная в этом уравнении через const,
равна нулю; тогда мы удовлетворим этому уравнению, полагая р =0 или
г = R. В этом случае линия тока состоит из отрезка оси г, лежащего вне
шара, и из полукруга, по которому поверхность шара пересекается с по-
луплоскостью, ограниченной осью z и проходящей через ось р. В точках,
в которых части оси z встречаются с этим кругом, т. е. в точках р -0 и
z = ± /?, скорость равна нулю, как это следует из уравнений
и
Лр R3 3zp
др 2 г3 '
которые, вообще, определяют компоненты скорости по осям z и р. Эти
точки обладают тем свойством, что никакая частица жидкости, лежащая в
данный момент на конечном от них расстоянии, никогда не может их
достигнуть. Вычисление показывает, что необходимое для этого время бу-
дет бесконечно велико. Мы покажем это для частиц, лежащих на назван-
тт ., р, <3<р 3 /z2 , \
ном полукруге. Для такой частицы г — R; следовательно, у- = — 1——1J,
188
dz 3 / \
и потому ~2----1 b Обозначим значение t, для которого z - О,
через /0; тогда интегрированием получим
1g
R-z
R + z
откуда действительно получаем
t -- ос для z — R.
§ з
Выведенным уравнениям мы можем придать еще другое, отличное от
прежнего, значение. Согласно разъяснению, данному в § 4 четвертой лек-
ции, для системы координат, оси которой движутся поступательно с пос-
тоянной скоростью, пригодны те же дифференциальные уравнения движения,
как и для неподвижной.^ Представим себе, что оси х, у, z неизменно свя-
заны с эллипсоидом и движутся с ним в некотором направлении с посто-
янной скоростью; тогда выведенные в предыдущем параграфе формулы
будут пригодны для движения жидкости относительно эллипсоида. До-
пустим, что движение происходит в направлении оси z со скоростью, рав-
ной единице, так что при этом абсолютная скорость частиц жидкости в
бесконечности равна нулю.
Рассмотрим теперь случай, в котором указанный случай заключается
как частный. Предположим, что в жидкости, покоящейся в бесконечности,
движется известным образом неизменяемое тело произвольной формы; тре-
буется найти движение жидкости. При этом допустим, что существует
однозначный потенциал скоростей; тем самым мы исключаем из задачи те
случаи, когда тело заполняет многосвязное пространство, а, следовательно,
и жидкость также занимает многосвязное пространство.
Воспользуемся обозначениями пятой лекции и введем две прямоуголь-
ные системы координат, одна из которых (g, т), g) неподвижна в прост-
ранстве, а другая (х, у, z) неподвижна в теле; напишем уравнения между
координатами одной и той же точки в обеих системах:
g - -- а д- о^х + а2у 4- a:iz,
П = Р -I- Pi* 4- р2у 4- Р32, (20)
g -- у -ь YjX + 4- у3г.
Обозначим далее через и, v, w компоненты скорости начала координат
системы х, у, z по осям х, у, z и через /?, q, г — компоненты угловой
скорости тела относительно тех же осей. Тогда выражения (1) шестой
лекции, именно выражения
и zq — yr,
v 4- xr — zp, (21)
w УР— X(b
будут компонентами скорости точки тела (х, у, z) по осям х, у, г; они
будут также компонентами скорости жидкой частицы по тем же осям,
если последняя находится с телом в относительном покое.
189
Из последнего можно заключить, что если мы отнесем к, у, z к этой
же жидкой частице, то получим
dx dt <Эф , = u—zq+yr, dx
dy dt <Эф , = 1 v — xr + zp, dy
dz dt <Эф , = w — yp + xq. dz
Интегрирование этих уравнений дает относительное движение всех жид-
ких частиц по отношению к телу, если и, v, w, р, q, г — известные функ-
ции t и ф. Если бы мы пожелали найти их абсолютное значение, то
надо было бы вычислить g, ц, £ из уравнений (20), пользуясь определен-
ными значениями х, у, z.
Посмотрим теперь, как определить ф. Обозначим через п направленную
внутрь жидкости нормаль к элементу поверхности тела; тогда выражения
(21), по умножении их на cos(nx), cos (ny), cos(nz) и после сложения, да-
дут компоненту скорости рассматриваемого элемента на направление п, но
- <Эго
эта компонента должна быть равна ——, т. е.
дп
= (и + zq — yr) cos (пх) + (v + xr — zp) cos (ny) 4- (u> + yp — xq) cos (nz).
dn
К этому добавляются следующие условия: в бесконечности —
дх ду
обращаются в нуль; в объеме, наполненном жидкостью, Дф = 0 и
дг
dtp да> <Эф Т1
—— , ——, — однозначны и непрерывны. Что ф однозначно, мы уже
дх ду дг
допустили; не ограничивая общности, мы можем предположить, что ф
также непрерывно, так как пока оно определено только через свои про-
изводные. Согласно разъяснению, сделанному в § 7 шестнадцатой лекции,
Ф определено здесь до добавочной постоянной; оно будет определено
вполне, если мы примем, а это допустимо, что оно обращается в нуль в
бесконечности. Все эти требования будут удовлетворены, если мы положим
ф = Цф1 + + ®Фз + m + <7Фб + Гфв (22)
и определим шесть функций ф1( Ф2,... так, чтобы каждая из них удов-
летворяла уравнению Дф=0, заданным для ф условиям непрерывности и
обращалась в нуль в бесконечности, а на поверхности движущегося тела
удовлетворяла уравнениям
d<Pi dn = cos (пх), _^ЧЧ_ dn = у ф cos (nz) — z cos (ny),
<9<f3 [дп — cos (ny), дфв dn = z cos (nx) — X cos (nz), (23)
Зфз дп = cos (nz), дф6 dn = X cos (ny) — у cos (nx).
Этими условиями функции фх, ф2,... вполне определены; они не зависят
от движения тела, но зависят исключительно от его формы. Если тело
представляет эллипсоид, уравнение поверхности которого есть уравнение
190
(1), то функции cpj, ср2, • • • легко определить на основании результатов § 2.
Именно, пользуясь принятыми там обозначениями и принимая для нормали
п данное здесь направление, мы получим
Л2О
— = 2л (2— A) cos (пх),
Л2О
------= 2л (2— В) cos (пу), (24)
дпду
=2л (2— С) cos (nz).
дп dz
Отсюда прежде всего будем иметь
1 да 1 да 1 <52
Ф, =---------------, <р2 =-------------, ф„ ------------------.
2л (2— Л) дх 2л (2—В) ду 2л (2—С) dz
Далее, мы можем заметить, что если N обозначает определенное постоян-
ное, то
,, / да да \ я /ог“\
Фе = N [х ---------у—- , (25)
X, ду дх )
или, что то же самое,
если положить
х = р cos ft, у = р sin О.
Все поставленные для ф6 условия будут удовлетворять определенным
выражениям при любом значении N, за исключением последнего из урав-
нений (23), которое выполняется только при некотором определенном зна-
чении N. Именно, вследствие уравнений (24) и уравнений
= —2лАх, да = —2лВу,
дх ду
= cos (пх), дп ду дп = cos (пу),
это уравнение примет вид
х cos (пу) — у cos (пх) = 2aN [х cos (пу) (2— В + А) — у cos (пх) (2— А + ф)].
Оно линейно и однородно относительно х и у; на этом основании и так как
cos (пх): cos (пу) — х- : - у - ,
а2 Ь2
можно положить, что х и у соответственно равны a2cos(nx) и й2соэ(пу);
тогда в обе части уравнения cos (пх) cos (пу) войдет общим множителем. По
сокращении на этот множитель мы получим
.
2л [2 (а2 — Ь2) + (А — В) (а2 + Ь®)]
Выражения, подобные (25), которым определено ф6, можно составить
и для ф4 и ф6.
Если а2 — й2 обращается в нуль, т. е. если эллипсоид переходит в эл-
липсоид вращения, ось которого совпадает с осью г, то отношение
191
{A — В): (a2 — b2), а также и N получают легко определяемые значения. Но
множитель при N в уравнении (25), а следовательно, и <рв обращается в
нуль.
Если эллипсоид превращается в шар радиуса R, то
ср4 =0, <р8 =0, <р6 =0,
т. е. вращение шара вокруг его центра не оказывает никакого влияния на
движение жидкости. Далее, согласно сделанному в § 2 определению, бу-
дем иметь
(26)
где
Поэтому для шара мы имеем
(27)
Это ф удовлетворяет
на поверхности шара условию
—— и cos (пх) v cos (ny) 4~ w cos (nz).
дп
Здесь уместно упомянуть, что найденное для <р выражение согласу-
ется с потенциалом молекулярного магнита, находящегося в центре шара,
магнитная ось которого имеет направление движения, и магнитный момент
которой равен скорости центра, умноженной на
R3
, относительно полюса,
2
лежащего в точке (х, у, z) и содержащего единицу магнетизма. Это сле-
дует из того, что скорость в точке (х, у, z) по величине и направлению
равна силе, с которой этот молекулярный магнит действует на полюс.
Движение шара в жидкости впервые было исследовано Дирихле*, эл-
липсоида — Клебшем **.
§ 4
В предыдущих параграфах мы предполагали, что на конечном рассто-
янии жидкость ограничена только поверхностью движущегося твердого тела.
В этом случае следует отнести потенциал скоростей <р к системе коорди-
нат, неподвижно связанной с телом, потому что тогда он зависит исклю-
чительно от формы тела и его движения в рассматриваемый момент. Если
кроме данного тела на конечном расстоянии находятся еще другие твер-
дые тела, которые движутся или покоятся, то потенциал скоростей всегда
будет зависеть от относительного положения всех тел. Тогда целесообразно
отнести его прямо к неподвижной в пространстве системе координат. Мы
будем теперь представлять себе, что в бесконечной жидкости на конеч-
ном расстоянии движутся два твердых тела и что система осей х, у, z
неподвижна в пространстве. Пусть и, v, w — компоненты скорости точки
первого тела, и', v' w' — точки второго, р, q, г — компоненты угловой ско-
* Monatsberichte der Berliner Academie, 1852, S. 12.
** Crelle’s Journal, Bd . 52, S. 103 u. Bd.53, S. 287.
192
роста по осям, параллельным осям координат для первого тела, р', q’, г’ —
соответствующие величины для второго. Тогда, соответственно уравнению
(22), можно положить
Ф = Пф! + W‘2 + ®Фз + РФ4 + ?Ф5 + Гфв +
+ w'cp' н- о'ф' + ьу'фз + р'ф4 + q’^ + г'фв,
где <р1т <ра,..., ф1, ф2, • • — функции х, у, z, которые зависят не
только от движения обоих тел, но и от их мгновенного положения.
Каждая из них должна в наполненном жидкостью пространстве
удовлетворять уравнению Дф = 0, а также быть однозначной
и непрерывной вместе со своими первыми производными, обращаться в
нуль на бесконечности и на поверхности обоих тел удовлетворять некото-
рым двум уравнениям. А именно, пусть а, Ь, с и а’, Ь', с' — координаты
двух точек, компоненты скоростей которых обозначены через и, v, w и и’,
и', w'; тогда на поверхности первого тела должно быть
д<Рх дп — cos (пх), ЛР1 дп =0,
dq>2 дп = cos (пу), _дф£ дп = 0,
5<р3 дп = cos (nz), 3Фз дп =0,
5<р4 дп = (у — b) cos (nz) — (z — с) cos (пу), дф4 дп =0,
д((ь дп — (z — с) cos (пх) — (х — a) cos (nz), дп = 0,
d(f, дп = (х — a) cos (пу) — (у — b) cos (пх), дп = 0.
и на поверхности второго
* .0, дп 5<р, = cos (пх), дп
* =0, дп * =0, дп <^2 , ч - = cos (пу), дп 5ф_ — = cos (nz), дп
* =0, дп 5ф, = (у — b) cos (nz) — (z — с') cos (пу), дп
* -0, дп дфг - —= (z — с) cos (пх) — (х — a’) cos (nz), дп
-о, дп 5ф' = (х — a ) cos (пу) — (у — b ) cos (пх).
Эти уравнения, которые соответствуют уравнениям (20), выведены
таким же путем, как и последние. Указанные условия определяют вполне
двенадцать функций Фи ф2, ...
13 Г. Кирхгоф
193
Простейшим случаем будет тот, когда оба тела — шары, и точки (а, Ь, с)
и (а', Ь', с') — их центры. Тогда условия, определяющие ср4, <р5, <рв,
Ф', ср', ср', приведут к тому, что эти шесть функций обращаются в нуль,
и, следовательно, мы получим
ср = «epi + иср2 + дасрз + w'cp; + «'ср; + ш'ср;.
В этом случае с помощью так называемых шаровых функций можно
найти выражение <р в виде бесконечного ряда, всегда сходящегося и тем
быстрее сходящегося, чем больше расстояние между шарами по сравнению
с их радиусами. Мы не будем касаться здесь теории шаровых функций,
и потому наметим только в общих чертах способ решения названной задачи
и определим результат лишь постольку, поскольку он будет необходим
для дальнейших исследований.
Шаровые функции непосредственно позволяют найти функцию U, кото-
рая вне одного шара удовлетворяет дифференциальному уравнению ДО=0,
однозначна и непрерывна вместе со своими первыми производными, обра-
. ди
щается в нуль на бесконечности и на поверхности шара — получает
дп
произвольно заданное непрерывно изменяющееся значение. Из бесконечного
числа подобных функций можно составить сходящийся ряд для потенциала
скоростей жидкости, в которой таким образом движутся два шара. Чтобы
это показать, назовем шар, центр которого—а, Ь, с, первым, а другой —
вторым.
Составим функцию Ult для которой на поверхности первого шара
будет —1 = — , т. е. равно и cos (пх) +w cos (ny) + w cos (nz), и функцию U',
дп дп
dU. д<ь
для которой на поверхности второго шара будет------= — , т. е. равно
дп дп
и' COS (пх) + и'COS (пу) + w' cos (nz), и положим
= Vi.
Тогда это Vj будет первым членом ряда, представляющего <р. Функция
Ф — Vi должна для обоих шаров удовлетворять условиям, что на первом
д (ф — Vi) __
дп дп
и на втором
д (ф — Vx)___ди±
дп дп
Составим функции иг и О', для которых на первой шаровой поверхности
дп дп
и на второй
_ диг
дп дп
и положим
О2 + О' = 1/2;
тогда Vz будет вторым членом ряда для ф. Теперь для первой шаровой
поверхности должно быть
д(Ф-У1-У2)_ ди’2
дп дп
194
для второй
д (<р — V1 — У2)___________ди2
дп дп
Положим
U3 + U'3 = Кз,
причем Ua и U'3 должны быть определены так, чтобы на первой шаровой
поверхности
дЦз = _ ди2
дп дп
и на второй
ди, __ ди2
дп дп
Продолжая таким образом дальше, мы получим
Ф : — Vi + V2 + V3 +...
Этот ряд везде сходится, чего, однако, мы здесь не будем доказывать.
Если радиусы обоих шаров рассматривать как бесконечно малые сравни-
тельно с расстоянием между шарами, то при этом каждый последующий
член ряда будет бесконечно мал сравнительно с предыдущим. Каждая из
величин V2, V3,... сама выражается в шаровых функциях бесконечным
рядом, который обладает также свойством, что каждый следующий член
бесконечно мал сравнительно с предыдущим, если радиусы шаров беско-
нечно малы сравнительно с расстоянием между ними. Если при таком
предположении желательно вычислить ср с точностью только до величин
известного порядка, то можно принимать в расчет лишь ограниченное число
величин V и для каждой .из них ограниченное число членов.
Величины Uj и U^, а также и величина Vi могут быть найдены непо-
средственно из уравнения (27). Обозначим расстояния точки (х, у, z) от
центров обоих шаров через гиг', радиусы их через R и 7?' и восполь-
зуемся тем, что г есть функция (х— а), (у — b), (г— с), г' — функция
(х— а'), (у — b'), (z— с'); тогда получим
(28)
Сумма этих двух выражений, т. е. Vj, определяет значение <р в первом
приближении. Примем R и R' за бесконечно малые первого порядка и рас-
стояние между системами за конечную величину; тогда для того, чтобы
при этом потенциал скоростей и скорость были, вообще говоря, конечны-
ми, и, v, w, и', v', w' должны быть бесконечно большими третьего поряд-
ка. Тогда на шаровых поверхностях <р со своими первыми производными
должны быть бесконечно велики.
На конечном расстоянии от шаровых поверхностей уравнение <р =
дает скорости до бесконечно малых величин, но не на самих поверхностях.
Чтобы получить их на этих поверхностях, надо составить U2, но при этом
надо принять в расчет члены высшего порядка. Это приводит к тому,
что U2 и 67' опять надо будет вычислять из уравнения (27). Чтобы найти U2>
13*
195
следует составить
ди[
для первой шаровой поверхности —
дп
т. е.
—- = —- cos (пх) Ч----------- cos (пу) Ч------- cos (nz).
дп дх ду дг
Подставим сюда вместо U’ его значение (28), введем вместо производ-
ных по х, у, z, производные по а', Ь', с', взятые с обратным знаком.
Заменим, что допустимо при требуемой точности, г’ на г0, где г0—рас-
стояние между центрами шаров, следозательно, получим
Г о = — а'У + (Ь — Ь’)2 Ч- (С — с')2
и заменим производные
дЦъ
дп
ди[
~~дп
по а’, Ь', с производными по а, Ь, с; тогда
1 1 1
Р2 Р2 - р2 ~\
и' —— 4- v' ----— + w' —— cos (nx) —
да2 да db да дс /
1
Р2 —\
“о 1 /м<л
да2
1
Р2 -~~
Гп
дЬ2
д2 -1-
Гп
дс дЬ
дЬ дс /
Р2 -Ь
____[п_
дс2 .
ш'
1
Р2 ----
г о
Р2
да дЬ
Го ,
д2
, 1 \ 1
Р2 - \ Р —
г О I __ Г |
дс дс J да
-Мр-1-
R’*_ I
2 \
, Р2-1-
2 \ дЬ да
р'з ! а2
ы'_Сд.
2 \ дс да
Вместе с тем по (27) будем иметь
4 \ да2
1
рз
и'----- Ч~ а'
дЬ да
I
«52. +
4 \ дс да
Соответственно будет
2 4 \ да2
( л ’А.
^’3 и д_ .
’Г' 4 \ аьра '
4 \ деда
дЬ2
V ------
дс дЬ
1
Р2 - -
" о
дЬ дс J дЬ
л 1 \ , 1
рз - \ р - -
£)' ---— ) ——
Pj2 J дс
Мр4
д2
-Ь w —
да дс J да'
а2 — \а-,-
- w —с I----------i
db дс / дЬ'
1 \ 1
Р2 - - \ Р —
1 r \ г
4" 14У --- |----
дс дЬ дс2 J дс'
да дЬ
д2
—— 4
дЬ2
д2^
(29)
4
V
W
Составим с помощью этих значений U2 и U'„ уравнение ф — Vx 4-
тогда оно даст также и на шаровой поверхности скорости с точностью
до бесконечно малых величин и значение <р со включением бесконечно
малых величин первого порядка. Мы будем выполнять вычисление так.
чтобы <р на каждой шаровой поверхности было определено с такой же
точностью. Чтобы найти <р, надо еще преобразовать значения Ul и опре-
деляемые (28). Займемся определением ф для первой шаровой поверхности.
Величину —, входящую в выражение для Uv разложим по степеням
£96
х — а, у — b, z — с, которые являются бесконечно малыми первого порядка,
причем необходимо принять во внимание только первые степени. Так как
х — а = R cos (пх), у — b = R cos (пу), z — с = R cos (nz),
то поэтому можно положить
— = — + 7? —— COS (пх) Н--------------— COS (пу) + —— cos (nz)
г' r0 L да дЬ дс
отсюда получим
пп'ч / д2 — д2 — д2 —\
4------ (и' —г-^ + V —— 4- w’ —— ) cos (пх) н-
2 ' да2 да дЬ да дс '
1
д2 —
и'—^-
дЬ да
дЬ2
+ w'-----— ) COS (ny) -f-
db дс К
1 1
2 ' дс да дс дЬ
1
д2 т )
w' -----— j COS (nz).
дс2 '
Далее из (28) следует
р
иг=----------[и COS (пх) + v COS (ny) + w cos (nz)],
2
так как
1 1 1
3 __ Q ___ i __
----= 2— cos (nx),----------= •— cos (ny),------------- -— cos (nz).
da R2 v db R2 v de R2
Воспользуемся этими соотношениями, чтобы составить также определен
ное (29) выражение для U2, и заметим, что U'2 высшего порядка малости,
чем U2, тогда для первой шаровой поверхности с требуемой степеньк
точности мы получим
р
ср =----— [и cos (пх) v cos (пу) 4- w cos (nz)} 4-
+ W/Jl
2 4 да
1
-tSSZ.
4 ' db да
, д2-1-
4 v деда
дЬ
1
д2 -г
_^ +
да дЬ
1
д2 —
Го
дЬ2
д2 —
V' —
дс дЬ
дс
д2 —X
w'-----—
да дс '
д2 — \
1
д2 —
£)' ---—
дс2
со s (nz).
(30-
д ~
-|- W
Значение ср на поверхности второго шара мы найдем, если перестави*
в этом выражении буквы со штрихами и буквы без штрихов.
Более общая задача, чем изложенная здесь, разрешена Бьеркнесом
(Bjerknes) в его мемуаре: «Sur le mouvement simultane de corps spheriquej
variables dans un fluide indefini et incompressible, presente a la societe de?
Sciences de Christiania le 15 sept. 1871».
ЛЕКЦИЯ ДЕВЯТНАДЦАТАЯ
(Дифференциальные уравнения движения тела в жидкости, на которое дейст-
вуют данные силы. П рименение к этому случаю принципа Гамильтона. Движе-
ние тел при отсутствии внешних сил. Упрощение задачи через предположение не-
которой симметрии Шар. Тело вращения. Движение в жидкости двух бесконеч-
но малых шаров. Силы взаимодействия между ними.)
§ 1
При рассмотренных в предыдущей лекции движениях жидкости, прости-
рающейся во всех направлениях в бесконечность, обусловленных движением
твердого тела, мы предполагали движение тел заданным. Теперь мы будем
заниматься задачей, как определить это движение, если даны силы, дейст-
вующие на тело и жидкость. При этом относительно силы, действующей
на жидкую частицу, мы будем предполагать, что она имеет однозначный
потенциал, так как предположение о существовании потенциала скоростей,
которое мы там приняли, мы удержим и здесь.
Чтобы решить эту задачу, можно вычисленное с помощью уравнения (20)
пятнадцатой лекции давление, производимое жидкостью на элемент поверх-
ности тела, ввести в дифференциальное уравнение движения неизменяемого
тела. Эго можно сделать более коротким путем, если исходить из принци-
па Гамильтона, который применим также и к настоящему случаю, как мы
это показали в § 6 одиннадцатой лекции, и который применялся Томсоном
и Тэтой * в подобных случаях.
Обозначим через m массу материальной точки, принадлежащей безраз-
лично твердому телу или жидкости, через g, т), g— координаты ее в мо-
мент времени t относительно неподвижной в пространстве системы коор-
динат, через U' — работу всех действующих сил для бесконечно малых
возможных перемещений их точек приложения, каковым перемещениям
будет соответствовать обозначение б, наконец, через Т—живую силу всей
системы. Тогда по принципу Гамильтона получим
б б
Г Ki ) С
j = \dt(dT + U'), (1)
to to
где сумма взята как по всем массам, так и по всем координатам каж-
дой массы, и /0, V означают какие-нибудь два значения t. Относительно
вариаций 6g, к которым будем применять это уравнение, установим следу-
ющее: для твердого тела должны быть как для t = t0, так и для t = t'
все 6g = 0. При t -= t0 то же самое должно иметь место для жидкости.
Для варьированного движения, т. е. для движения, при котором g-j-dg,
П + 5ц, g 4~ 6g — координаты массы m в момент t, должен существовать
потенциал скоростей, как и для движения, которое мы ищем. Тогда из
значений 6g для частиц твердого тела будут вполне определены значения
для всех частиц жидкости. Последние, вообще, не обращаются в нуль
* Handbuch der theoretischen Physik von W. Thomson und P. G. Tait. Немецкий
перевод, т. I, стр. 296.
198
для t = t'; однако, как мы это покажем, левая часть уравнения (1) обра-
щается в нуль. Если, согласно сделанному определению, обозначим через
dr элемент заполненного жидкостью объема и через ц — ее плотность, то
левая часть уравнения (1) будет равна
|i£ dr f Аб£ + -*1бп + —бИ
J V dt dt dt I
для . Но мы имеем
dg __ 5<p dr] ___ d(f dt ____ d<p
dt dl ’ dt dr] ’ dt dt,
поэтому это выражение равно
J \ dt, dr] dt, I
Вместо условия, что жидкость покоится в бесконечности, введем пред-
положение, что она заключена в бесконечно большую твердую шаровую
поверхность. Согласно доказанному в конце § 7 шестнадцатой лекции, оба
эти предположения равносильны. Обозначим через ds элемент поверхности
тела или упомянутого шара, через п — направленную внутрь жидкости
нормаль к ds; тогда искомая величина после интегрирования по частям
превратится в
f , / 56g , 56r] . ddt, \
— Н \ dtcp 5 + —1 +
J ( dl 5.1 dt, J
— |i ds<p (6g cos (ng) + 6t] cos (пц) dg cos (ng).
Благодаря несжимаемости жидкости, вообще, имеем
di an di
Для каждого элемента поверхности тела при t = t’ имеем
dg cos (ng) + бц cos (пц) + 6g cos (ng) = 0,
потому что для этого момента времени вариации координат точек тела
должны обращаться в нуль33 и то же самое уравнение имеет место для
каждого элемента ограничивающей шаровой поверхности, так как последняя
неподвижна.
Поэтому уравнение (1) примет вид
г
0 = *\dt(ST + U'). (2)
^0
Живая сила Т рассматриваемой системы составляется из живой силы
твердого тела и жидкости. Первая по уравнению (2) шестой лекции есть
однозначная функция второй степени и, v, w, р, q, г с постоянными
коэффициентами; вторая, именно
2 J L\ dx / \ дУ / V dz / J
или, что то же самое,
_JLCdscp^L,
2 J дп
вследствие уравнения (22) предыдущей лекции, есть точно такая же функ-
ция. Поэтому Т есть также однородная функция и, v, w, р, q, г
с постоянными коэффициентами, значения которых зависят от формы тела,
его массы и распределения ее так же, как и от плотности жидкости.
Работа U' слагается из работы сил, действующих на тело, и работы
сил, которые будут действовать на частицы жидкости. Относительно пос-
199
ледних мы должны предположить, что они имеют однозначный потенциал.
Из этого следует, что если бы твердое тело было заменено жидкой массой,
однородной с внешней, то работа совокупности сил для перемещений всей
жидкой массы была бы равна нулю34, поэтому работы сил, действующих
на действительно имеющуюся жидкость, равны отрицательной работе сил,
действующих на воображаемую жидкую массу, заменявшую твердое тело.
Уравнение (2) во всем согласуется с тем, из которого в § 2 шестой
лекции мы вывели дифференциальные уравнения движения твердого тела
в пустоте. Поэтому эти дифференциальные уравнения, именно уравнения (12)
и (13) или (14) и (15) упомянутой лекции, имеют место также и для рас-
сматриваемого случая, только здесь X, Y, Z, Мх, Му, Мг обозначают
слагающие равнодействующей и момента вращения относительно осей х, у, г\
S, Н, Z, М^, M,], /Uj обозначают составляющие равнодействующей и мо-
мента вращения относительно осей g, т], £ сил, действующих на тело,
и взятых со знаком минус сил, которые действовали бы на жидкость,
вытесненную телом, если бы таковая была. Кроме того, коэффициенты
в выражении Т имеют здесь другие значения.
§ 2
Предположим теперь, что на твердое тело и жидкость не действуют
силы. Однако результаты, к которым мы при этом придем, годятся также
и в некоторых случаях, когда действуют силы, например в случае дейст-
вия тяжести, причем тело имеет всюду постоянную плотность, равную
плотности жидкости. Тогда уравнения (12) и (10) шестой лекции будут
— I — I = р-----г — ,
dt \ dv ) dw ди
dt \ dw J ди dv ’
d
dt
d ( дТ \ дТ дТ , дТ дТ
---- -- и----------------W р г— ,
dt--\-----dq ) dw------ди--------дг-----------др
d ( дТ \ дТ дТ , дТ дТ
dt \ dr ) ди dv др dq
Сперва обратим внимание на частное решение этих уравнений. Мы
удовлетворим им, если положим р = 0, q = 0, г == 0, а и, v, w равными
постоянным, отношения которых удовлетворяют условию
дТ дТ дТ
u:v:w = - -: —: —.
ди dv dw
Тогда левые части уравнений (3) обратятся в нуль так же, как и правые,
так как и, v, w, р, q, г постоянны. Заметив, что, если р, q, г обращаются
в нуль, то Т будет однородной функцией второй степени и притом такой,
которая постоянно положительна,, так как живая сила не может быть
отрицательной, мы видим, что определение отношений и : v : w из приведен-
ного выше условия аналогично с определением главных осей некоторого
эллипсоида, именно эллипсоида, уравнение которого есть
Т = const,
если рассматривать и, v, w как прямоугольные координаты точек. Возь-
мем оси и, v, w параллельно осям х, у, z; тогда направление главных
200
осей означенного эллипсоида суть три взаимно перпендикулярных и неиз-
менных в теле направления, в каждом из которых тело может поступатель-
но перемещаться в жидкости без вращения с постоянной скоростью. Других
направлений, в которых скорость остается постоянной, не существует, если
эллипсоид не есть эллипсоид вращения; но если имеет место этот случай,
то направление оси вращения и каждое из перпендикулярных к нему
направлений обладает указанным выше свойством. Этим свойством об-
ладает всякое направление, если эллипсоид есть шар.
Мы не рассматривали, при каких условиях указанное движение будет
устойчивым, т. е. при каких условиях всегда р, q, г будут бесконечно
малы, когда и, v, w до бесконечно малых имеют приведенные выше зна-
чения в какой-нибудь момент времени.
Не вводя дальнейших ограничений, можно найти три интеграла урав-
нений (3); для этого умножим их на
дТ dT
u, или на —, или на —
ди др
дТ dT
и dv dq
ТО) dT dT
dw dr
dT
р 0
du
0 dT
q
dv
0 dT
г — —
dw
дТ , дТ . дТ , дТ , дТ , дТ
-----|_у-----1- w----j- р-----\-q-----\-r-~
ди dv dw др dq dr
_i_ дТ dv dT dw . dT dp dT dq dT dr .
dv dt dw dt dp dt dq dt dr dt ’
и каждый раз сложим. Заметим, что при пользовании первой системой
множителей по известному предложению, относящемуся к однородным функ-
циям, получим
2Т = и
и
_ дТ
dt ди dt
отсюда
dT d дТ , d дТ , d дТ . d дТ . d дТ , d дТ
~ = и—-------1- v------1- w------1- р------1- q ------1- г----,
dt dt ди dt dv dt dw dt dp dt dq dt dr
таким образом
2T = L,
PLVjl ( Д4 dT dT . dT dT . dT dT
du J \ dv / \ dw J ’ du dp dv dq dw dr
где через L, M, N обозначены произвольные постоянные.
Шесть других интегралов рассматриваемой задачи мы получим из
второй формы ее дифференциальных уравнений (14) и (15) шестой лекции,
если положим в них Е, H,Z, М^, Л4П, равными нулю. Первые уравне-
ния дадут
dT
ди
. дТ . дТ .
+ а2 —----F а3 = А
dv dw
31 +02 + Зз = В
ди dv dw
дТ , дТ , дТ „
Ti — + Тг - - + Тз — = С,
ди dv dw
(5)
201
а вторые при помощи предыдущих —
дТ . дТ дТ я, п „г,
“1 V- + а2 Т + аз — = А + By — ср,
др dq дг
о дТ о дТ о дТ „ я
31 F Зз — 1' Зз — — В + Са — Ау,
др dq дг
дТ , дТ дТ „
Ti ----F Уг ~ + Уз - - = С + Др — Вас,
др dq дг
(6)
где А, В, С, А', В', С—произвольные постоянные, и двенадцать величин
а, р, у имеют значения, данные уравнениями (20) предыдущей лекции.
Два последние уравнения (4) суть следствия уравнений (5) и (6),
и постоянные М и N могут быть выражены через постоянные А, В,... , С.
Действительно, возводя в квадрат уравнения (5) и складывая их, а потом
перемножив уравнения (5) с уравнениями (6), при посредстве уравнений (4)
и соотношений, существующих между косинусами, получим
А2 + В2 + С2 = М,
АА’ 4- ВВ' + СС = N.
Если и, v, w определены из уравнений (3) как соответственные функ-
ции t, то полное решение предложенной задачи, т. е. определение
двенадцати величин а, 0, у, требует выполнения квадратур, как мы это
теперь покажем.
Относительно произвольных постоянных А, В, С, входящих в урав-
нение (5), можно, не нарушая общности рассматриваемого движения,
положить, что 4 = 0, В = 0иС положительно; для этого надо только
, 5- TJ < дТ дТ дТ
выбрать направления оси Именно, будем рассматривать —, —
ди dv дан
как компоненты скорости точки по осям х, у, z; тогда уравнения (5)
показывают, что компоненты этой скорости по осям ту £ равны постоян-
ным А, В, С. Дадим оси £ направление этой скорости; тогда А и В будут
равны нулю, между тем как С будет положительно. Умножим при этом
предположении уравнения (5) на а, 0, у, или на а2, 02, у2, или а3, р3, у3
и каждый раз сложим их; тогда получим
1 дТ 1 дТ 1 дТ
» — > Тз — •
С ди " С dv ’ С dw
(7)
Чтобы найти шесть других косинусов, введем определяемые из урав-
нений (8) пятой лекции углы 4, f, <р. Тогда будем иметь
У! = cos f sin О, у2 = sin /sin Y3 = cosd, (8)
откуда определим f и Для определения <р введем уравнение (13) седь-
мой лекции, именно уравнение
dvdl.
Т/ + Тз
из которого следует, что
dtp — С
дТ дТ
рди +с> dv
дТ \2 / дТ \2
ди) +\ди )
Наконец, чтобы выразить координаты а, 0, у начала системы х, у, г
как функции /, положим входящие в уравнение (6) постоянные А' и В'
равными нулю, также не нарушая этим общность рассматриваемого дви-
202
жения. Мы выберем произвольно только положение оси потому что,
как это следует из уравнений (6), изменение значений Д' и В' может быть
компенсировано добавлением произвольных постоянных р и а.
Тогда два первые уравнения (6) дадут
1 / дТ , дТ , дТ \
Р — ~ а1 ~ F «2 ~--------1" а3 —
С \ др dq дг I
и у определится из уравнения
= T1W + Т2У +
dt
т. е,
dy 1 I дТ . дТ , дТ \
dt С \ du dv dw )
§ 3
Число постоянных, входящих в выражение для Т, вообще, равно 21;
но при известных условиях это число можно уменьшить, бла! одаря чему
облегчается интегрирование дифференциальных уравнений (3). Подобное
упрощение имеет место, если поверхность тела и распределение в нем
масс симметрично относительно некоторой плоскости. Чтобы показать это,
примем во внимание сначала ту часть Т, которая образована живой силой
жидкости. Удвоенную величину этой живой силы положим равной
aiiW2+2a12«n + 2П13иш + 2апир + 2a15uq 4- 2a16«r 4- а22р2-\-
4- 2а23цш + 2a2ivp 4- 2a25vq 4- 2a2evr 4- Язз^2 + • •
Тогда это выражение, как мы видели в § 1, равно
— ц dstp — .
.) дп
Вследствие уравнения (22) предыдущей лекции отсюда имеем
«и = — Р- ( dsqy 5fP1,
J дп
а12 = — ц dsipic!<f>2
дп
— р, £ dscpo,
J дп
(9)
Введем теперь предположение, что поверхность тела симметрична
относительно плоскости xOz, т. е. что если х, у, z — координаты точки
поверхности, то последняя содержит также точку (х, — у, z). Две такие
точки будем называть соответственными. Тогда в двух соответственных
точках поверхности вследствие уравнений (23) предыдущей лекции
d(pi 0ф3 дф5 дер*
-5-1, - , - - имеют равные и противоположные по знаку - , , 1 значения.
дп дп дп дп дп дп
Отсюда можно доказать, что в каких-нибудь двух соответственных точках
наполненного жидкостью пространства с?1г ср3, <р5 имеют равные и проти-
воположные <р2, <р4, <рв значения. Действительно, обозначим через <р1 зна-
чение <Pj в точке (х, — у, z), понимаемое как функция х, у, z (координат
точки, к которой относится <р4); тогда фх — <рх удовлетворяет тому же
дифференциальному уравнению в частных производных и тому же усло-
вию неразрывности, что и <р, и как <р, функция <рх — <рх в бесконечности
203
равна 0; на поверхности же тела
(Фт — ф') _
dn ~~ ’
отсюда следует, что срх = <рг.
Аналогичным способом можно доказать высказанное утверждение для
<р2, Фз.....Так как вследствие этого для соответственных элементов
поверхности тела ф1; <р3, ф6 также имеют равные и противоположные
Ф2, Фа, Фе значения, то уравнения (9) показывают, что обращаются в нуль
те значения а, одному индексу которых соответствует ряд 1, 3, 5, а дру-
гому—ряд 2, 4, 6.
Удвоенная живая сила тела, если обозначить через dm элемент его
массы, имеющей координаты х, у, г, как это уже дано уравнением (2)
шестой лекции, равна
j dm {и2 + v2 + w2 + (у2 + z2) р2 + (г2 4~ х2) q2 + (х2 4- у2) г2 4-
4- 2х (vr — wq) -f- 2у (wp — иг) +
4- 2z (uq — vp) — 2yzqr —• 2zxrp — 2xypq}.
Если распределение масс симметрично относительно плоскости хОг, то те
члены, которые содержат множители
wp — иг, qr, pq,
обратятся в нуль. Поэтому если положим, вообще, удвоенную живую
силу тела равной
Ьпи2 + 2b12uv -{- 2b13uw -)-2Ьцир + ...
-J- b22v2 2&2з vw 4- 2b2pvp 4- ...,
то, как легко видеть, обратятся в нуль те Ь, у которых одному индексу
соответствует ряд 1, 3, 5, а другому — ряд 2, 4, 6.
Отсюда следует, что если положим
2Т = спи2 4- 2c12uv 4- 2c13uw -j- 2cuup 4- • • •
4" c22v2 4- 2с2зЦЩ 4- ...
то обратятся в нуль те с, при которых один индекс есть 1, 3 или 5, а
другой 2, 4 или 6, лишь бы тело как по форме, так и по распределению
масс было симметрично относительно плоскости хОг.
Если такая симметрия имеет место относительно плоскости хОу или
плоскости uOz, то вместо рядов 1, 3, 5 и 2, 4, 6 войдут ряды 2, 1, 6 и
3, 5, 4 или 3, 2, 4 и 1, 6, 5.
Пусть теперь тело будет симметрично по форме и распределению
масс относительно двух взаимно перпендикулярных плоскостей; примем
их за плоскости хОг и yOz\ тогда получим
2Т = с1±и2 4- c22v2 4- c33w2 4- ci4p2 4- cbbq2 4- cMr2 4- 2clbuq 4- 2c2ivp.
Мы еще более ограничим рассматриваемый случай, предположив, что
существует еще одна пара перпендикулярных плоскостей, проходящих
через ось г, относительно которых имеет место симметрия. Введем вторую
систему координат х', у', г', в которой плоскости x'Oz' и y'Oz' суть
эти плоскости симметрии; тогда для одной и той же точки
х = x'cos О 4- t/'sin &,
у = — x'sin 4- t/'cos •&,
г = z',
204
где через О обозначен один из углов, образуемых плоскостью хОг с
плоскостью x'Oz'. Обозначим буквами со штрихами те величины относи-
тельно новой системы координат, которые в старой системе были обозна-
чены буквами без штрихов; тогда одновременно получим
и = «'cos О + y'sin О, р = p'cos О'+ g'sin "О,
и = — «'sin О’ 4- 0'0050", q = — p'sin О' + g'cos О,
w — w', г = г'
и
2Т = СИЫ'2 СггО' 4" CS3W Сир' 4" С55<? сббГ +
+ 2c15zz'7' + 2cMv'p’.
Положим оба выражения 2Т равными друг другу; тогда получим
уравнение, которое должно быть тождеством на основании соотношения
между и, v, w, р, q, г и и’, v’, w', р', q', г'. Выразим шесть первых
величин через шесть последних; тогда, сравнивая коэффициенты при u’v',
p'q' и и'р' — v'q’, найдем
сп — Ч>2 = 0, с44 с55 = 0, с15 4* с24 = О
и из сравнения коэффициентов остальных членов увидим, что величины с'
равны соответственным величинам с. Отсюда имеем
2Т = сп (м2 + о2) + c33w2 + см (р- + <?2) + c66r2 + 2с15 (uq — vp).
Это выражение можно еще упростить, выбирая надлежащим образом
начало координат на оси г. Чтобы это показать, введем наряду с систе-
мой координат х, у, z вторую —х', у', г', которую выберем так, чтобы
для каждой точки
х = х’, у = у', z = г' + а.
При обозначениях, подобных примененным, получим
и = и' — aq’, р = р',
v = v' + ар', q = q',
w = w', г = г'
и
cu («2 + и2) 4- с33и2 + С44 (р2 + 72) 4- c66r2 + 2с15 (uq — vp) =
=-• Сц (и 4- v' ) 4" c33w 4- с44 (р 4- q ) 4* -4- 2с15 (и q — v р ),
откуда следует, что
Сц = Сц, Сдз ~ Сзз> Сев = Свв,
сы = с44 4- 2йС15 4- а2с'п,
С15 = 4-15 4~ асц.
Отсюда вытекает, что если начало г' выбрано произвольно, то а мо-
жет быть определено так, чтобы
С15 = 0.
Тогда получим
2Т = сп (м2 4- и2) 4- с33и2 4- с44 (р2 4- q2) 4- W2- (Ю)
Предположения, положенные в основу этого вывода, выполняются,
когда форма тела и расположение масс соответствуют телу вращения.
Но они могут быть также выполнены в различных других случаях,
205
например, когда тело есть однородная прямая призма или однородная пря-
мая пирамида с квадратным или правильным шестиугольным поперечным
сечением; в подобных случаях мы будем говорить, что оно имеет характер
тела вращения.
Пусть имеем тело вращения относительно двух взаимно перпендику-
лярных осей, т. е. оно есть или шар, в котором массы распределены
симметрично относительно центра, или имеет характер тела вращения
относительно двух перпендикулярных осей, что будет, например, в случае
однородного куба или однородного правильного октаэдра. Возьмем эти
оси за две оси координат; тогда
27’ = сп (ы2 + V2 4- w2} + с44 (р2 + q2 ф- г2).
Определенное этим выражением Т оказывается той же формы, как
живая сила самого твердого тела; только его масса и моменты инерции
относительно осей координат кажутся увеличенными вследствие наличия
жидкости. Задача об определении его движения в жидкости также и в
случае действия произвольных сил такова же, как задача об определении
его движения в пустоте. Пусть тело — шар; тогда увеличение момента
инерции жидкости не имеет места; увеличение массы, если 7? означает
радиус, на основании уравнения (26) предыдущей лекции и вследствие
уравнения (9) будет равно
1 4л
- -3 -R
т. е. половине массы вытесненной шаром жидкости.
§ 4
Положим теперь, что движущееся в жидкости тело есть тело враще-
ния или имеет характер такового, так что получим уравнение (10). В этом
случае уравнения (3) можно интегрировать до конца. Последнее из них
будет
— = 0, т. е. г .-= const;
dt
остальные будут
du
Си ~ = cnvr — c33wq,
dv
Си ~ = — cuur -i- c33wp,
dt
сзз~ = Cu(liq—vp), (11)
dt
C44 = (Cll С3з) VW + (C44 С6в) У >
dt
Cm = (c.33 — cn) иш + (c66 — c44) pr.
dt
Вместо a, v, p, q здесь надо будет ввести четыре других переменных.
По уравнениям (7), (8) и (10) имеем
-= IgA
и
поэтому можно положить
и = s cos f, р = О COS (f + ф).
v — ssinf, q о sin (f + ф),
причем
и2 + v2 = s2, р2 + q2 = о2,
up + vq — socosip, uq — up = sosin41.
206
Пользуясь еще тем, что отсюда
sds = udu + vdv, ado — pdp qdq,
s2df = adv— vdu, o2 (df J- dty) = pdq — qdp,
легкр найдем из уравнений (11)
dw . .
С33 - - = C11S.C7 Sin Ip,
dt
ds
= — c33w sin гр,
at
= (C33 —Cn)№sinip, (12)
dt
df s
cL1 — = c33w — cos ip — cur,
dt ' s
chb Г/ \ s C34C44 o'] . .
c44 = (C33— Q1)-----------~ leicosip + W-
at L ° cn s I
Три интеграла этих уравнений мы имеем в уравнениях (4). При вновь
введенных обозначениях они таковы:
СцЯ2 + c33w2 + с44о2 + св6г2 = L,
CnS2 + ci3w2 = М,
с33с66шг -ф cuc44sa cos ip = N.
Введем новые постоянные a, b, g, a', b', g', которые определенным
образом свяжем с L, М, N и величинами с; тогда те же самые уравне-
ния можно написать так:
s = — a'w2,
a = УЬ— b'w2,
socosip == g~ g'w.
Отсюда следует, что
so sin ip —Y(a. — a'w2)(b — b'w1) — (g — g'w)2.
Первое и четвертое из уравнений (12) при этом дадут
dt =c-ss------------------------- dw ,
сп V (а — a'w*) (b — b w*) — (g — g wg ’
= _|_ /£зз A 2 tg — wdw
\cu J {a — a'w2) У (a - a'w*) io — b'w*) — (g — g'w)*
Эти уравнения интегрируются, что дает интегралы уравнений (12).
§ 5
Мы приведем вычисление движения лишь для одного случая, который
рассмотрен в предыдущем параграфе как частный случай и характери-
зуется начальными значениями величин и, v, w, р, q, г. Уравнения (И)
будут удовлетворены, если положим
v =0, р = 0, г =0
и надлежащим образом определим и, w, q~, тогда движение имеет ту
особенность, что плоскость хОг остается неподвижной в пространстве.
207
Вследствие сделанного предположения два из уравнений (11) будут вы-
полнены тождественно, а три остальных дадут
du
си -=— c33wq,
dt
dw
сзз = Cuuq>
dq / \
С4 1 ,, — (С33 4.1) UW-
dt
Сравнив их с тождественными уравнениями
d sin am ) t . ... , ,
-----------= л cos am am m,
dt
d cos am 71 . . ... , ,
-----------= — л sin am Mix am m,
dt
dXamXt л , . ,
-------= — A.R2sin am M cos am M,
dt
в которых применен способ обозначения, разъясненный в § 1 седьмой
лекции, и где k означает модуль эллиптических функций, заметим, что
они будут удовлетворены, если мы величинам и, w, q дадим значения
/sin am тсозатЛ/, пДат%/
и определим надлежащим образом постоянные k, X, /, т, п. Две из этих
постоянных остаются при этом опять произвольными; онй суть две из
произвольных постоянных интегрирования, которые должны содержать
полные интегралы рассматриваемых дифференциальных уравнений; третье
может быть введено прибавлением добавочной постоянной к t. Дан-
ные значения могут быть распределены между и, w, q так, чтобы все
рассматриваемые величины были действительны и К было правильной
дробью. Чтобы сделать это, будем исходить из уравнений
спи2 -ф с33щ2 + с44<?2 -= L,
с\и2 + c233w2 = М,
в которые перейдут уравнения (4) при определенном (10) значении Т и
при сделанном относительно V, р, г предположении и которые являются
интегралами дифференциальных уравнений, о которых идет речь. Заметив,
что при выполнении указанного выше требования cos2am и Д2ат убывают,
в то время как sin2am возрастает, сделаем заключение; из второго из
этих уравнений следует, что одна из величин и и w должна быть выра-
жена через sinam, так как вследствие этого уравнения и2 и w2 должны
изменяться одновременно в противоположном смысле. Далее, из обоих
уравнений получим
41 (с33 — 41) «2 + 4)з44<72 = const,
(13)
4з (41 — Сзз) а)2 + 41С14?2 = const.
Так как сп, с33, с44 — величины положительные (потому что Т никогда
не может быть отрицательным), то из свойства эллиптических функций
следует, что и или w должны быть выражены через sinam в зависимости
от того, меньше сн или больше, чем с33. Каждый из этих случаев распа-
дается опять на два, которые различаются знаком одной из входящих в
(13) постоянных. Пусть си будет меньше с33, тогда и должно быть выра-
208
жено через Дат, a w через cosam, так как cosam для некоторых зна-
чений аргумента обращается в нуль. Если постоянное отрицательно, то
имеет место обратное. Подобное исследование приложимо и к случаю,
когда сп больше с33.
Относительно формул, которыми в этих четырех случаях выражаются
все неизвестные задачи как действительные функции времени, мы отсы-
лаем к сошнению*, в котором разобран также случай движения тела
вращения в жидкости, когда V, р и г не равны нулю, случай, в котором
начало координат системы х, у, z движется по винтовой линии.
§ 6
В § 4 предыдущей лекции '"мы вычислили потенциал скоростей для
случая, когда в жидкости двигаются за данным образом два шара, радиу-
сы которых бесконечно малы сравнительно с их расстоянием. Поэтому
теперь мы можем составить дифференциальные уравнения движения этих
шаров, если на них действуют данные силы. Для этого необходимо вы-
числить живую силу жидкости. Если положим плотность жидкости рав-
ной единице, то живая сила равна интегралу
распространенному на обе шаровые поверхности. Значение последнего для
первой шаровой поверхности получим из уравнения (30) предыдущей лек-
ции, если воспользуемся тем, что здесь
5<₽ = и cos (nx) + и cos (ny) 4- w cos (nz),
dn
ds cos (nx) = 0, ds cos (ny) = 0, ds cos (nz) = 0,
dscos2(nx) = ^dscos2(ny) = dscos2(nz) = 7?2,
ds cos (ny) cos (nz) = ds cos (nz) cos (nx) = ds cos (nx) cos (ny) — 0.
Заменив в полученном таким образом из уравнения (30) выражении
буквы со штрихами на буквы без штрихов, найдем значение того же
интеграла для второй шаровой поверхности. Таким образом будем иметь
- 7?2 (и2 + у2 + и»2) + - (и'а 4- v’1 + w'2) + V,
3 3
где
V= —aRsR'3
1 1
д2 - д2 —
ии' —- 4- (vw' 4- v'w) —— 4-
да2 db дс
1 1
д2 — д2 —
+ т' +
дЬ2 дс да
1 1
д2 — д2 —
4- ww' -—г* 4- (uv' 4- u’v) ~-r* .
дс2 да db
(14)
Это выражение точно до бесконечно малых величин, если будем рас-
сматривать расстояние шаров как конечное и скорости жидких частиц на
конечном расстоянии от шаров тоже как конечные. Чтобы получить
• К i г с h h о f f. Ueber die Bewegung eines Rotationskorpers in einer FIQssigkeit.
Borchardt’s Journal, Bd. 71.
(4 F. Жлрхгоф
209
живую силу всей системы, надо прибавить еще живую силу шаров. Мы
примем, что каждый шар имеет центр тяжести в центре и не вращается.
Пусть т и т' будут массы шаров; тогда живая сила их равна
— (ц2 р2 + ш2) 4- ? (w'2 + w'2 + to'2).
2 2
Если имеет место вращение шаров вокруг их центров, то оно проис-
ходит совершенно так же, как если бы жидкости не было, и не имеет
никакого влияния на движение жидкости и центров шаров.
Обозначим через X, Y, Z и X', Y', Z' суммы компонент сил, дей-
ствующих на оба шара; тогда дифференциальные уравнения движения их
центров, т. е. точек (а, Ь, с) и (а', Ь', с') по принципу Гамильтона, т. е
по уравнениям (2), будут
da db - —и, -- — V, dt dt de — = w, dt
da' , db' , = U , — — У , dt dt de' , — = w dt
d dT dT , v dT , v
= — + x, = -— + X
dt du da dt du' да'
d dT dT , ,z d dT дТ , ,z,
= ‘ + = H У
dt dv db dt dv' db'
d dT dT . „ d dT дТ ,
= - + z. = -+ Z'
dt dw de dt dw' дс'
(15)
Мы не будем здесь исходить при интегрировании этих уравнений из
частных предположений относительно сил X, Y, Z, X', У', Z', но вычис-
лим из них, какие значения должны иметь эти силы, чтобы шары двига-
лись при этом известным образом. Мы рассмотрим при этом только
случай, когда каждый шар будет обладать равномерным движением, так
что и, v, w и и', v', w' будут постоянными. Если бы имелся только
один шар, то он двигался бы равномерно, если бы никакие силы не
действовали на него; поэтому силы, компоненты которых суть —X, ;—У,
— Z и —X', —У', — Z', можно рассматривать как те силы, с которыми
действуют друг на друга оба шара. Вследствие предположения, что и, v,
w, и', v', w' постоянны, мы должны в уравнения (15) вместо Т подста-
вить выражение для V (14).
Положим
тогда
,, др . дР , дР
V = и-----Ну - + w -
да db дс
Так как Р не зависит от и, то отсюда следует,
что
<ЭУ _ дР
ди да
и затем далее, из того, что
лучим
d dV _dV _
dtди да
Р есть функция а — а’, b — Ь',
д ( ,дР . , дР , ,дР\
----и - - 4- у - 4- w
да \ да db дс )
С — с , по-
210
Это выражение равно X. Поэтому —X, — Г, — Z суть частные про-
изводные по а, Ь, с выражения
1
52 -
м'2—г»
Эй2
1
32 -
£
Lo + _l_o + w'2 4
’ de2 ‘
1 -
32 —
__Го
da db J ’
1
52 -
_£o
d&2
£
-t- 2v’w' —r°- + 2w'u' —r° + 2u'v’ —'
db дс деда ?• '
aR3R’3
и, как это получится из подобного же вычисления, —X’, —У", —Z'
суть частные производные по а’, Ь', с' выражения
- nR3R'3
1 1 1
32 — 32 - - 32 —
„2 .У» + „2 _ '0 + Ш2
да2 дЬ2 дс2
1 1 11
32 — 32 - 32 —
+ 2vw — °- + 2wu —+ 2uv - r°
db дс дс да да db.
Здесь следует обратить внимание на то, что сила, с которой один шар
действует на другой, не зависит от скорости последнего, и что силы,
с которыми шары взаимодействуют, вообще, не явлются равными и про-
тивоположными. Это имеет место только тогда, когда скорости обоих шаров
равны по величине и одинаковы или противоположны по направлению. Мож-
но упомянуть, что сила, с которой второй шар действует на первый, имеет
ту же величину, но противоположное направление с силой, с которой
магнитная молекула, находящаяся на втором шаре, действует на молекулу
первого, если магнитные оси обоих параллельны направлению движений
второго шара и магнитные моменты их равны произведению его скорости
на
и 7?'3j/n.
Если R = Rr, и —и', v--=v' и w =—w', т. е. существует симметрия
относительно плоскости хО у, то частицы жидкости, которые в некоторый
момент лежат в этой плоскости симметрии, в ней же и остаются; тогда
можно, не изменяя движения, принять эту плоскость за неподвижную
стенку. Отсюда мы можем прийти к случаю движения одного шара вблизи
плоской стенки. Установленные формулы дадут силу, с которой стенка
действует на шар.
Не представит трудности подобным же образом вычислить силы, с
которыми взаимодействуют шары в случае, когда ii, v, w, и', v’, w' пе-
ременны во времени. Если это имеет место, то можно найти среднюю
силу, с которой действует один шар, совершающий малые колебания, на
другой, покоящийся.
14*
ЛЕКЦИЯ ДВАДЦАТАЯ
(Вихревое движение. Прямые и параллельные вихревые нити. Движение несколь-
ких подобных нитей бесконечно малых сечений. Прямые вихревые нити, запол-
няющие сплошным образом цилиндр эллиптического сечения. Круговые вихревые
нити с общей осью. Движение вихревого кольца и двух вихревых колец беско-
нечно малого сечения)
§ 1
До сих пор мы рассматривали только такое движение несжимаемой
жидкости, при котором для каждой частицы существует потенциал ско-
ростей. Допустим теперь, что для некоторых частиц это не имеет места,
так что, согласно § 3 пятнадцатой лекции, в жидкости имеются вихревые
нити. Мы будем предполагать, что вихревые нити целиком находятся
в конечной области, что жидкость, наполняющая все пространство, по-
коится на бесконечности и что скорости и, о, w в точке (х, у, г) изме-
няются непрерывно с х, у, г. Производные и, v, w по х, у, г мы не
будем считать непрерывными, но будем предполагать, что для них воз-
можен конечный скачок на некоторых поверхностях.
Обозначим через g, т), £ компоненты скорости вращения в точке
(х, у, г); тогда по уравнению (13) пятнадцатой лекции будем иметь
2t —
ду дг ’
дг дх
_____до__ди
дх ду'
Далее, вследствие несжимаемости жидкости, мы имеем
5“ + ?Н + ^ = 0. (2)
дх ду дг
Прежде всего покажем, что и, v, w вполне определены, если £, т], £
заданы всюду. Положим, что существуют две системы значений и, v, w,
удовлетворяющих указанным условиям; разность их обозначим через
a', v', w'. Тогда будем иметь
dw'__до' _ q ди' dw' _ Q до' ди' __ q
ду дг дг дх ’ дх ду
т. е. и', v', и> —частные производные некоторой функции, которую мы
обозначим через <р. Далее, они непрерывны во всем пространстве и равны
нулю в бесконечности. Для <р' уравнение (2) переходит в уравнение
Дф'= 0. Для определения функции ф', определенной пока только свои-
212
ми производными, мы можем еще дополнительно положить, что ф'
должна быть всюду непрерывна; тогда <р' будет также и однозначной,
так как пространство, которое мы рассматриваем, односв?Тзко. Но по
предложению, доказанному в § 7 шестнадцатой лекции, отсюда следует,
что ф' = const; следовательно, и' = 0, v = 0, w' — 0.
Положим
dW дУ
U =--------,
ду дг
dU dW
v = -- ----,
дг дх
дУ dU
W =--------,
дх ду
где через U, V, W мы обозначим три новых неизвестных функции; тогда
уравнение (2) будет удовлетворено. Уравнения (1) также будут удовлет-
ворены, если положим, что
и
At/ = — 2g, ДУ = —- 2п, Д№ = — 21
dU , дУ . dW „
----1----1----= О.
дх ду дг
(4)
Три первых из этих уравнений! будут удовлетворены вследствие уравне-
ния (11) шестнадцатой лекции, если положим
U = .L С ефг
2л J г
(5)
2л i г
Ц7 = X С t
2л J г
где dx — элемент заполненного вихревыми нитями объема, и г — расстоя-
ние его от точки, к которой относятся U, У, U7. При этом U, V, IF
со своими первыми производными непрерывны во всем пространстве и
равны нулю в бесконечности, откуда следует, что и, о, w также непре-
рывны и обращаются в нуль в бесконечности. Что последнее из уравне-
ний (4) будет также удовлетворено, покажет следующее исследование
Из трех первых уравнений (4) мы получим
д ПИ = _2 + X + Н ;
\д.г ду дг J \дх ду дг !
поэтому, вследствие уравнений (1)
. (dU , дУ , dW\n
Z\ --•-----”Г - •• I — V.
(<Эх ду дг /
. dU.dV dW
Функция ----]-----)---сверх того непрерывна во всем пространстве
дх ду дг
и обращается в нуль в бесконечности. Ее производные по х, у, z также
всюду непрерывны, за исключением, может быть, поверхности, ограничи-
вающей наполненное вихревыми нитями пространство. Надо будет дока-
зать, что и здесь также эта функция не имеет скачка. Пусть ds — элемент
этой поверхности, гу — внутренняя, па — внешняя нормаль к ds\ тог-
да, согласно предложению, выраженному уравнением (10) шестнадцатой
21?
лекции, имеем
&и_ дп£дх дп£ду dflW дп£дг , d2U ОТ- 7 ч ь = 2g cos (П/, х), dnadx + ЛЛ~ = ~ 2rl cos (tli, у), дпаду , д^ 05- 7 + — 2g cos (rtz, z), dnadz
откуда следует, что
д /dU , dV , dW\ . д /dU , dV . dW\ Orf. , . ,
, + — + - - = - 2 [gcos(rtz, x)4-
dni \dx dy dz / dnQ \dx dy dz)
+ T] cos(n6 y) + gCOS (/?/, z)].
Но, по данному в § 3 пятнадцатой лекции определению вихревой нити,
выражение, стоящее в правой части этого уравнения, равно нулю.
Поэтому выражение
£ /дЦ_ dV dW\
дп£ ду dz /
не получит скачка на поверхности, ограничивающей заполненное вихревы-
ми нитями пространство. Согласно разъяснению, данному в § 7 шестой
лекции, отсюда приходим к последнему из уравнений (4).
Этим доказано, что если для некоторого момента g, г], g даны для
всех частиц вихревой нити, то из уравнений (3) и (5) можно найти ско-
рости и, v, w всех частиц для того же момента. Из уравнений
dx du dz
— = и, -- = v, — = w
dt dt dt
можно затем найти перемещения, получаемые какой-нибудь части-
цей жидкости, а следовательно, и элементом вихревой нити, в элемент
времени dt. Но из перемещений, получаемых в это время вихревой части-
цей, по доказанному в § 3 пятнадцатой лекции предложению можно вы-
числить соответственные изменения g, ц, g. Поэтому, если g, т], g заданы
для момента времени t, то они определены также для момента времени
t + dt\ следовательно, движение жидкости вполне определено, если даны
g, т|, g только для одного момента.
Уравнения (3) и (5) показывают, что каждый элемент вихревой нити
dr дает определенные части значений компонент скорости и, v, w; эти ча-
сти суть
1 1
2л V ду 11 дг )
I L Ц
(,т- ( Л Г rl-L ). (6)
2л \ dz дх /
Если рассматривать эти величины как компоненты скорости, то на-
правление их перпендикулярно к оси вращения элемента dr и к линии г.
Первое следует из того, что выражения (6), умноженные на g, т], g, дают
сумму, обращающуюся в нуль; второе — из того, что эти выражения,
дг дг дг т т
умноженные на,-, - , дают сумму, равную нулю. Нетрудно наити
дх ду дг
214
величину равнодействующей скорости; она равна
V Р -п2 | Ц2 Sln fr
2л к г2 ’
где О — угол между направлением оси вращения элемента dr и направле-
ния линии г. Двузначность, которая остается в отношении направления
скорости, исчезнет, если мы заметим, что это направление непрерывно из-
меняется с местом и вблизи рассматриваемой частицы вихревой нити опре-
делено направлением ее вращения. ЛАожно упомянуть, что скорость, о ко-
торой идет речь, согласуется по величине и направлению с силой, с кото-
рой действует элемент электрического тока, находящийся на месте эле-
мента dr и имеющий Направление оси вращения, на магнитный полюс, ко-
ординаты которого суть х, у, Z.
Мы выведем еще замечательные выражения для живой силы жидкости.
Обозначим ее опять через Т и положим, чго плотность жидкости равна
единице; тогда
Т = -- J dr (и2 + V2 + щ2), (7)
где интегрирование распространено на область, ограниченную замкнутой
поверхностью, все точки которой лежат в бесконечности. Какова будет
форма этой поверхности, безразлично для значения Т, как покажет вы-
числение, которое мы сейчас сделаем. При посредстве уравнений (3) урав-
нение (7) дает
Каждую из шести частей, на которые может быть разложен этот ин-
теграл, мы проинтегрируем по частям по х, у или z. Функции U,V, W и
и, v, w всюду непрерывны и в бесконечности будут бесконечно малыми.
При этом, если R означает расстояние точки, к которой они относятся,
от некоторой точки, лежащей на конечном расстоянии, то величины RJ,
RV, RX7, и R2u, R2v, R2w не будут бесконечно большими, если R беско-
нечно велико. Отсюда найдем
или по (1)
T = \dr(Ul +Vn + W- (8)
Обозначим через dr’ второй элемент объема, через т)', £'— значе-
ния g, т), 5 для него и через г — расстояние между элементами dx и dx’\
тогда, вследствие уравнений (5), здесь можно будет также написать
т = ~ (^' + гпГ + К')- (9)
§ 2
Прежде чем применять полученные в предыдущем параграфе уравне-
ния, выведем соответственные уравнения для случая, когда движение
всюду параллельно одной плоскости, плоскости хОу, и не зависит от ко-
ординаты z рассматриваемой точки. В этом случае вычисления будут мно-
го проще, чем рассмотренные в § 1. Представим себе, что жидкость огра-
ничена двумя стенками, параллельными плоскости хОу, между ними жид-
кость должна простираться в бесконечность и там находиться в покое.
При сделанном предположении уравнения (1) дают
g = 0, т] = 0
215
dv ди
дх ду
(Ю)
Из этого следует, что вихревые нити параллельны оси (z). Так как они
здесь не изменяют своей длины, то, по доказанному в § 3 пятнадцатой
лекции предложению, для какой-нибудь частицы жидкости £ не должно
зависеть от времени.
Пусть для некоторого момента даны значения £ как функции х и
у, тогда для того же момента мы найдем и и v из уравнения (10) и урав-
нения
0__ди dv
дх дх'
выражающего условие несжимаемости. Эти уравнения в связи с утверж-
дением, что и и v всюду непрерывны и обращаются в нуль на бесконечно-
сти, определяют и и v однозначно и дают
ду ’ dk ' (11)
17-df 1g р,
где df — элемент плоскости хОу, к которому относится £, и р— расстоя-
ние его от точки (х, у) плоскости хОу. Оба утверждения легко могут быть
доказаны при помощи разъяснения, сделанного в § 9 шестнадцатой лекции,
совершенно таким же путем, каким соответственное предположение было
доказано в предыдущем параграфе.
Если и и v определены из (11), то из уравнений
пользуясь тем, что £ для каждой частицы остается постоянным, найдем
движение частиц, к которым относятся хи//.
Уравнение (11) показывает, что каждая вихревая нить, поперечное се-
чение которой есть df, дает известные части значений и и и, а именно
1 ^dfdp 1 t,dfdP
---- и — .
л р ду л р дх
Если будем рассматривать их как компоненты некоторой скорости, тс,
ее направление перпендикулярно к линии р, а величина равна
Л р
Положим расстояние между обеими стенками, параллельными плоско-
сти хОу, ограничивающими жидкость, равным единице и найдем выраже-
ние для живой силы путем, аналогичным тому, каким следовали при вы-
числении живой силы в предыдущем параграфе; тогда Т получится беско-
нечно большим, если только не будет
^L,df-- О.36
Определим величины х() и у0 из уравнений
x<S^df ^x^df, l/u^df ^y^df. (.12)
Обозначим через £ плотность массы, распределенной по элементам df
плоскости хОу, тогда х0 и уп будут координатами центра тяжести всех
наличных масс. Мы будем называть точку с координатами х0, у0 центром
тяжести вихревых нитей. Эта точка не изменяет своего положения,
как показывает следующее исследование.
216
Так как £ и df, относящиеся к одной и той же частице, не зависят от
времени, то из уравнений (12) следует, что
d^^df = \u^df, %^df=\v'Qdf.
at d J dt J J
Подставим здесь вместо и и v их значения из (11); тогда, если обоз-
начим через df' второй элемент плоскости хОу и через р — расстояние
между элементами df и df', получим
d^^df=-±\\tt'dfdf'y-^,
dt i Л J J p2
d^\tdf=--\\^' dfdf'x~X
dt J л J J P2
Каждый из этих двойных интегралов равен нулю.
В самом деле, каждая пара элементов площади, по которой произво-
дится интегрирование, встречается в нем дважды; первый раз элемент df
считается за первый, а элемент df за второй, и другой раз наоборот.
Но при перестановке букв со штрихами и букв без штрихов интегрируе-
мые величины получают противоположное значение, поэтому элементы
каждого из двойных интегралов уничтожаются попарно.
Отсюда следует, что
dxg_Q dyt_____q
dt ’ dt
т. е. центр тяжести вихревых нитей не изменяет своего места со време-
нем.
§ з
Полученные в предыдущем параграфе предложения мы применим те-
перь к случаю, когда имеется налицо только одна или несколько вихре-
вых нитей бесконечно малого поперечного сечения. Допустим сперва, что
существует только одна такая нить и положим для нее
^df^nr, (13)
при этом мы будем рассматривать т как конечное; тогда £ должно иметь
бесконечно большое значение. Мы не предполагаем £ постоянным, ио знак
его не должен меняться; тогда центр тяжести нити лежит всегда внутри
или бесконечно близко к поперечному сечению. Для всех точек, лежащих
на конечном расстоянии от вихревой нити, вследствие уравнений (11),
имеем
д№ д№ 1 ,
и =. и —----------, W =;--------т 1g р,
ду дх л
где начало р есть произвольная точка поперечного сечения нити. Величины
W, и, v бесконечно близки к нити, а внутри нити, вообще, бесконечно
велики, и значения их зависят от ее поперечного сечения и значения £
для отдельных частиц этого поперечного сечения. Для центра тяжести
нити, согласно предложению, доказанному в конце § 2, м и v равны нулю.
Поэтому мы можем сказать, что вихревая нить остается на своем месте,
хотя, вообще, поперечное сечение ее изменяется и ее центр тяжести со-
впадает в различные моменты с различными частицами жидкости. Каждая
частица жидкости, находящаяся от этого центра тяжести на конечном
расстоянии, описывает около него круг с постоянной скоростью
т
Лр ’
217
Пусть теперь имеется несколько точно таких нитей, как рассмотренная
выше; /Пр т2,... — соответственные значения интеграла (13) для них; хъ
У1> у2 —координаты их центров тяжести в момент времени t\ plt
р2,... — расстояния их до точки (х, у). Тогда для всех точек, лежащих на
конечном расстоянии от вихревых нитей, будем иметь
dW dW 1 ,
« = ,~> v =--: — —, UZ =;-------2j 'gP<>
ду дх я "
где сумма взята по всем индексам. Центры тяжести этих нитей движутся;
однако для центра тяжести каждой нити части функций и и v, которые про-
исходят от этой нити, равны нулю. Из этого следует, что если мы отнесем
и»1 к центру тяжести нити с индексом 1, предполагая, что каждые две
нити находятся на конечном расстоянии друг от друга, то будем иметь
«1 = 5-. «1 = — -. ^1 =------O«2lgpi2 + "t3lgpi3+ • •),
dyt dxi л
где Pi2, Pis. • • • означают расстояния центра тяжести нити 1 от центров
тяжести нитей 2,3... Уравнения, составленные по этому образцу, можно
написать так:
_ др т аУ* _ др
dt dxL dt дх2 (14)
P = — 1 V mim21g p12,
где сумма взята по всем сочетаниям индексов по два.
Мы можем найти некоторые интегралы уравнений (14), как бы велико
ни было число нитей. Значение Р останется неизменным, если хь х2,.. .
или z/j, z/2,... мы увеличим на одну и ту же величину, откуда следует,
что
2^ = о „ 3^-. = о.
а», ау,
т, е.
2 "2Л = const и 2 ад = const. (15)
Эти интегралы не дают ничего нового; они выражают уже доказанное
предложение, что общий центр тяжести вихревых нитей остается в одном
и том же положении.
Умножим уравнения первой строки в (14) на dylt dy2,..., второй стро-
ки на — dxlt —dx2,... и сложим их; тогда получим
dP — 0, т. е. Р = const. (16)
Четвертый интеграл мы найдем, если вместо прямоугольных координат
введем полярные следующим рассуждением. Пусть будет
Х1 ~ Pi cos &!, х2 = р2 cos t)2,... ,
z/j = рх sin у2 = р2 sin #2,....
Дифференциальные уравнения (14), вследствие такой подстановки, при-
мут вид
dpx dP
«iPi^T = —. J
dfa _ dP
mipi — — - .
dt dpi
dp2 дР
— -—, • ,
dt ду2
dn, дР
> ад-2-- = ——
dt ора
(17)
218
Из того обстоятельства, что Р по (14) остается неизменным, если углы
Oi, Ф2, - • • возрастут на одну и ту же величину, следует, что
2F = °-
Поэтому уравнения верхней строки (17) дают
2 miPi= c°nsi-
(18)
Выведем одно следствие из уравнений (17) нижней строки. Пусть в то
время как углы Фь Ф3> • остаются неизменными, р1( р2,... увеличиваются
1 , , .
в отношении -, так как lg рь 1g р2,... увеличится на log гг; тогда величи-
п
ны р12 возрастут также в отношении 1 : п, а величины log р12 — на 1g п.
При этом, по (14), возрастет и Р на
— 1g п 2 «1^2-
Отсюда следует, что
SdP 1
WT ~ — л 2
или
дР 1 vr
Р1— =-----2mim2>
др! Л
и поэтому вследствие уравнений (17)
2 d-®! = — 2 tnitn2. (19)
Л
Если имеем три нити, то задача об определении их движения приво-
дится к решению уравнений и выполнению квадратур. Именно, введем как
искомые переменные рь р2, р3, Ф2— Ф1( '0’3 — и Ф1( умножим затем
уравнения (15) сначала на cos sin Фр а потом на —sin О,, cost^ и каж-
дый раз сложим их; тогда, решая полученные таким образом уравне-
ния и уравнения (16) и (18), можно выразить четыре из переменных рр
р2, Рз> А — А через пятое 0:1 — ФР Положим, что остальные переменные
выражены через р±; тогда из (19) и уравнения
40. дР ,,
=. —----at,
дР1
которое входит в систему (17), можно посредством квадратур найти и
( как функции р! *.
Очень легко определяется движение вихревых нитей, когда таковых
имеется только две. Возьмем их центр тяжести за начало координат; тогда
будем иметь
^01 _
dt dt
Уравнения (16) и (18) дадут
рг — const, р2 = const,
и из (19) следует, что
^51 = = А т'т‘’- (20)
dt dt л mxpj -j- zrz2p2
Vergl. Gzobbli. Inaugural-Dissertation, Gottingen, 1877.
210
С такой угловой скоростью обе вихревые нити вращаются относительно
их центра тяжести. При этом
Ш1Р1 н= т2р2 = О,
где надо взять верхний или нижний знак в зависимости от того, будут
ли т1 и т2 иметь одинаковые или противоположные знаки, т. е. в зависи-
мости от того, вращаются ли обе нити в одинаковом или в противоположном
направлениях. Из (20) следует, что
р 1
dt Л Р2±Р1’
р2 — 1- т'
dt л Рз ± Pi
Особое исследование требуется для случая, когда
т2 = —
Тогда центр тяжести нитей лежит в бесконечности, р! и р2 бесконечно
велики, но разность их длин конечна и равна расстоянию нитей друг от
друга. Движение нитей происходит так, что они движутся с равными
скоростями, перпендикулярными к прямой, соединяющей их. Эта скорость
равна
дщ 1 тг
рх— или--------—
dt л р2 — рТ
Частицы, лежащие между обеими вихревыми нитями, двигаются в том
же направлении. Частица, находящаяся посредине между нитями, движет-
ся с учетверенной скоростью нитей.
Частицы жидкости, лежащие в некоторый момент в плоскости, деля-
щей пополам расстояние между нитями и пересекающей его перпендику-
лярно, остаются в этой плоскости. Поэтому рассматриваемое движение
жидкости может существовать также, если плоскость будет заменена
твердой стенкой. Тогда можно, рассматривая жидкость по одну сторо-
ну этой стенки, прийти к случаю одной вихревой нити, которая движется
параллельно ограничивающей жидкость твердой стенке.
§ 4
Теперь мы приложим выведенные в § 2 уравнения к случаю, когда
имеющиеся вихревые нити непрерывно сливаются одна с другой и обра-
зуют цилиндр конечного поперечного сечения. Допустим, что £ имеет од-
но и то же значение для всех точек поперечного сечения и что последнее
в некоторый момент времени есть эллипс. Вычисление покажет, что тогда
все условия задачи будут удовлетворены при предположении, что это се-
чение будет всегда эллипсом, оси которого сохраняют постоянную длину
и вращаются с постоянной угловой скоростью. Представим уравнение ли-
нии, ограничивающей поперечное сечение в момент времени t, в виде
Г(х, у, t) = 0.
Так как эта линия всегда состоит из одних и тех же частиц жидкости
то для нее, согласно разъяснению к уравнению (31) десятой лекции,
должно быть также
dF , dF . dF
—Ь и h V —
dt dx dy
220
или, вследствие уравнений (11),
(21)
dt ду дх дх ду
Положим теперь, что
F = апх2 + 2а12ху 4- а22у2 — 1,
где «и, а12, а22— некоторые функции t. Введем наряду с системой ко-
ординат х, у вторую — х',у', оси которой совпадают с главными осями
эллипса, о котором идет речь. Представим уравнение его в виде
у ' 2 /»' 2
-- + ]
а2 fe2
и положим
х = х cos 4- у sin ft, у' = —х sin ft 4- у cos ft; (22)
тогда будем иметь
a2d2an = b2 cos2 ft 4- a2 sin2 ft,
a2b2a12 = (b2 — a.2) cos ft sin ft, (23)
a2b2a22 = b2 sin2 ft 4- a2 cos2 ft,
где ft зависит от t, но а и b постоянные. Как найти определяемое (11)
значение W, показано уравнением (10) восемнадцатой лекции; именно, мы
будем иметь
W — const------— (bx'2 4- ау'2)
а 4- Ь
для каждой точки внутри вихревых нитей или на их границе.
Отсюда для каждой такой точки имеем
W = const------Ц- (Ацх2 4- 2Л1аху 4- А22у2),
С1 О
где
Лп = b cos2 ft 4- ci sin2 ft,
Д12 = (b — a) cos ft sin ft, (24)
A22 = b sin2 ft 4- ci cos2 ft.
Поэтому уравнение (21) будет выполнено не только на границе, но так-
же для всякой точки поперечного сечения вихревых нитей, если только
ft будет определено как функция t так, что будут удовлетворены три
уравнения
(а + 6) — = 4£ (ацЛ12 — Oi2^ii)>
at
(а + Ь)^ = 2^(а11А22-а22А11),
at
(а 4~ Ь) ~ = 4£ (П12Л22 — а22Л12).
at
Уравнения (23) и (24) показывают, что это будет иметь место, если мы
положим
=, 2Г аЬ
dt Ь (а 4- Ь)2‘
221
С такой скоростью эллиптический цилиндр, образованный вихревыми ни-
тями, вращается вокруг своей оси, но при этом нити получают также от-
носительные смещения. Мы найдем их, если координаты х', у', относящи-
еся к одной и той же частице, выразим через время. Посредством иссле-
дования, которое мы уже сделали по отношению к уравнениям (2) девятой
лекции, и пользуясь тем, что компоненты скорости по осям х’ и у' суть
dW dW
— и-------,
ду’ дх’
из (22) найдем
rfx' _ dv? , dfl. dy' ~ dW х, dfl. dt ду' dt ’ dt dx' dt ’
т. е. dx' Xa? , dy' 2tb2 = : у , — = : X . dt (a + b)* dt (a + by
Положим ради краткости 2£ —°-— = К, (а+ьу
т. е. обозначим через А, угловую скорость, с которой вращается рассмат
риваемый эллиптический цилиндр; тогда интегралы этих уравнений будут
х' = ах cos (Kt + у.), у' = bx sin (Kt + ц),
где х и у, — постоянные интегрирования и определяют частицу жидкости,
к которой относятся х’ и у'; первое из них должно быть правильной
дробью, так как проделанное вычисление годится только для частиц жид-
кости, образующих вихревые нити. Вычислим х и у по х' и у' при помо-
щи уравнений (22) и выберем начало отсчета времени так, чтобы О’ и t обра-
щались в нуль одновременно. Тогда получим
х = ах cos (Kt + Р) cos Kt — bx sin (Kt + p) sin Kt,
или
у = ах cos (Kt + p) sin Kt + bx sin (Kt p) cos Kt,
a 4- b . ч , a — b
x = —— x cos (2Kt p) -----------;— x cos p,
2 2
a + b x a — b
у = —— x sin (2Kt p-)-----------— x sin p.
Эти уравнения показывают, что каждая из рассматриваемых частиц
жидкости движется с постоянной скоростью по окружности и описывает
ее за время —. Радиусы и центры этих окружностей для различных то-
чек различны.
Если одна из главных осей может быть рассматриваема как бесконечно
большая сравнительно с другой, то К обращается в нуль; следовательно,
линия, в которую превращается эллипс, не вращается. Если а = Ь, то
ь
К = частицы круга, в который тогда переходит эллипс, вращаются без
изменения своего относительного расположения вокруг центра с угловой
скоростью
§ 5
Приложим теперь выведенные в § 1 уравнения к случаю, когда все вих-
ревые линии суть круги, имеющие общей осью ось г. Если это состояние
осуществляется в некоторый момент времени, то оно будет иметь место
222
всегда. Положим
р = Ух2 + у2,
тогда форма и длина каждой вихревой линии в какой-нибудь момент вре-
мени определится двумя переменными риг. Траектория частицы жидко-
сти лежит в плоскости, проходящей через ось г, и ее уравнение есть
уравнение между риг.
Положим
x = pcosft, y = psinft,
тогда при сделанном предположении
S = —osinft, T] = OCOSft,
где б не зависит от О. Из последнего уравнения
ний (5) будем иметь
W = 0
и, следовательно, по (3) 'получаем
dV ди dV
и = — , 0 =—, w = -~-— -
dz dz дх ду
£ = 0,
и последнего из уравне-
ди
Обозначим через dx' элемент объема, через о', О', р', г' — значения
о, О, р, г для него и через г — его растояние от точки (О, р, г) или (х, у, z);
тогда из (5) следует, что
[J — 1 С б' Sl'n fl' dx' у_1 Р s' cos fl' dr'
2л J г ’ 2л J г ’
причем имеем
dx' — р' dy' dz' d$',
г2 = (z' — z)2 + p'2 + P2 — 2p'p cos (O' — 0).
Введем вместо О' величину
<р = О' — О
и заметим, что по ф можно будет интегрировать от нуля до 2л и что
2 Л
р sin ср оср
J V(z'—z)2 + р'2 + р2 — 2р'р cos ср О’
о
тогда получим
U =—SsinO, 17 = Seos О, (26)
где S не зависит от О. Положим
2Л ,
р cos ср аср
J -^)2 + р'2 + p2-2p'pcos ср' = # К2' — 2)> р'> р1>
О
тогда будем иметь
S = ± j’J о'р' dP’ dz'R. (28)
Обозначим еще через s компоненту скорости по направлению, в кото-
ром р возрастает, т. е. положим
и = s cos О, v = s sin 6-;
223
тогда из уравнений (25) и (26) получаем для обеих определяемых
нент скорости s и w:
д (Sp) д (Sa)
sp = —л ’ WP = —г2-
dz др
При этом для каждой частицы жидкости будем иметь
др дг
S = —, w=
dt dt
компо-
(29)
Для живой силы жидкости найдем из (8):
Т — Sadr,
Т = 2л ^Spadf,
Т = ^Rp'pa'adf'df,
или
(30)
или также
где df’ и df — поперечные сечения имеющихся вихревых нитей.
Что касается значения функции R, то, положив
Ф = л — 2ф,
из (27) найдем, что
Я
2
= __4 С(1 — 2 sin2 ф) dtp
» У (г' — z)2 -f- (р' + р)2 —4рр' sin2 ф
или, если положим
/;2 __ 4Р'Р
(z'-z)2 + (p' + p)2 ’
я Л
2 2
К = С — , Е = ( У1 — ^2 sin2 Ф^Ф,
J yi— л2зш2ф J
о о
ТО
R = -4=rff———— £] .
Урр’ L \ J
(31)
Выполним теперь исследование, аналогичное тому, которое мы произ-
вели в § 2 в связи с уравнением (12). Эго последнее существенно осно-
вывалось на том, что функция
1g/(х'-х)®+ («/'-«/)*
обладает свойством иметь для производных по х и у противоположные
значения, если переставить буквы со штрихами и буквы без штрихов;
отсюда следует, что
° = f JPP aa'dfdf’
или, на основании уравнения, которое получим из (28) дифференцированием
по г,
п (• dS ,с
° = \ Р — odf.
J dz
224
По (29) это уравнение можно представить в виде
? psodf = 0, или ? р — adf = О
j j dt
или
p2adf = const, (32)
гак как adf для каждой вихревой нити не изменяется со временем.
Это уравнение влечет за собой другое. Прологарифмируем выражение
для k2 и от полученного уравнения возьмем частные производные по р и
г; тогда найдем
2 dk___(z' — z)2 + р'2 — р2
А Рйр “ (z'-z)2 + (p' +р)2 ’
(33)
_2 dk _ ____2z (z' — z)
k 5z “ (z' —z)2 + (p'+p)2 ’
следовательно,
2 / dk . dk \ z'3 — z3 + p'2—• p3
k\J dp dz) (z'-z)2 + (p' -hp)2
Так как k не изменяется от перестановки букв со штрихами и букв
без штрихов, то отсюда заключаем, чго выражение
dk dk
р — 4- 2 -
dp dz
получает при такой перестановке противоположное значение. На основании
(31) такое же свойство имеет выражение
dR / dk dk ,
— р----h z -) ,
dk \ dp dz)
или, что то же самое, так как
dR _dRdk_i^R_ dR_dRdk
dp dk др 2 p dz dk dz
такое же свойство имеет выражение
op 02 Л
Отсюда следует, что
Щр^ + 2^ + ^R^p’pacS'dfdf' = 0,
или, при посредстве уравнения (28), также
\fpF+2rJrl5)padf=0-
J \ dp dz 2 )
Гак как
dS = д(8р) ___ s
др др
го отсюда по (29) и (30) получаем
с / . ,, т
\ дар — sz) podf — — ,
J \
или, наконец,
= £ (34,
j j 1 Кирхгоф 225
Прибавим сюда еще уравнение
Т = const;
оно выражает закон сохранения живой силы, который имеет место в
настоящем случае.
§ 6
Теперь мы исследуем случай, когда имеется только одна вихревая нить
бесконечно малого поперечного сечения. Пусть размеры поперечного сече-
ния будут бесконечно малыми длинами порядка е; положим
m = adf (36)
и допустим, что ш конечно. Тогда о (мы предположим, что оно всюду
j
имеет один и тот же знак) будет порядка —. Далее, пусть будут
Р — Ро> ? — *0
уравнения окружности, о которой мы пока предположим только, что она
лежит внутри или бесконечно близко к вихревой нити; ниже мы определим
ее точнее. Тогда для всех точек, которые лежат на конечном расстоянии
от этой окружности, по (28) имеем
= ^PPo^tz —z0,p,p0);
отсюда можно при помощи (29) и (31) вычислить скорости s и w для этих
точек. Но р0 и z0 суть функции времени; их можно найти, если определим
движение любой частицы жидкости; здесь именно необходимо рассмотреть
такие частицы, которые лежат бесконечно близко к окружности (р0, г0),
т. е. на вихревой нити.
Для таких частиц S, s и w бесконечно велики; посмотрим, какого
порядка они должны быть.
Вследствие уравнения (28) величина S внутри вихревой нити того же
порядка, как и 7? для значений р, z, р', г', соответствующих двум окруж-
ностям, расстояние между которыми порядка е. Положим
Ь2 = 1 - = (z'-?)2 + (P'-p)2 .
1 (г'_г)2 + (р< +р)2’
отсюда заключаем, что S того же порядка, как Д, для значения klt кото-
рое имеет порядок е. Чтобы найти его, заметим сперва, что если fej бес-
конечно мало, то, пренебрегая бесконечно малыми, имеем
Л
2
Е == cos фЛр = 1.
О
Напишем далее выражение
Л
2 ф'
v С , Г dq>
А — \ ---- - + I :
д у cos2 ф + б2 sin2ip "у sin2cp + й2 cos2<p
226
и допустим, что ip' бесконечно мало, но бесконечно велико сравнительно
с ftp Тогда, с точностью до бесконечно малых, имеем
л , , -ф 2 Ф' к .= с _^_+ С J COStf Jyr₽2 + ,2
Отсюда следует, что АГ - Igtg + ~
т. е. равно 2 kx
таким образом K^lgr-
Поэтому S внутри вихревой нити будет порядка 1g е. Того же порядка,
согласно уравнению (30), будет и живая сила Т. Чтобы определить из
уравнений (29) и (28) порядок величин s и да, мы должны найти порядок
dR dR dR , , 1/Г
— и —, т. е. порядок — при бесконечно малом kx. Из уравнении, опре-
dp dz dk
деляющих К и Е, и из уравнения
я
2
Q _ С 1 — sin2 лр + k~ sin4 ip ,
~~ J (1 — sin2 ip>’/2
0
которое получается из тождества
sin ip cos ip __________________________1 —-2 sin2 ip-f-£a sin4 ip
У1 (1 — fe2 sin2 ip)3/’
легко найдем, что
dK _ E — k'^R d_E __ _ R — E
dk ^2 ’ dk k
dR
Из этого следует, что если kt бесконечно мало, то— будет порядка
dk
Так как, согласно (33), производные — и — порядка kx, то— и —
k2 Эр dz др дг
будут порядка — .
Внутри вихревого кольца kx имеет порядок е; уравнения (29) и (28)
приводят нас к заключению, что здесь скорости s и да будут порядка— .
8
Теперь мы определим точнее значения величин р0 и z0, которые уже
введены, но еще не вполне определены. Мы определим их уравнениями
ро adf =--- p2odf,
z0^p2adf = zp2odf.
(37)
Так как мы предположили, что о всюду имеет один и тот же знак,
то в этом случае окружность (р0, z0) лежит внутри вихревой нити или
15*
227
бесконечно близко к ней. Из (32) и уже многократно использованного
обстоятельства, что о if не зависит от времени, следует, что р0 также не
изменяется со временем. Но велич ша z0 изменяется со временем; посмо-
трим, каким образом. Из уравнений (37) и (36) следует, что
и отсюда далее
mpoZ0 — ^z?2(Jdf,
Wo 77 = l\P2^adf + 2<\zP 7 adf-
at J dt J dt
Поэтому уравнение (34) можно написать так:
mpl dz° = 21 + з f zp dP adf'
dt 4 л } dt '
(38)
Первый член правой части
бесконечно большое постоянное
это следует из уравнения (32), в связи с тем, что разность значений z,
dp 1 г г
заключающихся в них, порядка е, но — порядка —. Из этого следует, что
dt е
dz
^2 —величина бесконечно большая, порядка 1g е, и если пренебречь конеч-
ными величинами по сравнению с бесконечно большими порядка 1g е,—
этого уравнения, как мы видели, есть
порядка 1g е; второй член конечен, как
постоянная.
Поэтому вихревая нить, сохраняя тот же самый радиус, движется
поступательно в направлении оси z со скоростью —. Здесь скорость имеет
dt
тот же знак, что и т или о; это следует из уравнения (38), так как
Т — величина положительная. Эго предложение мы можем выразить еще
другим способом. По разъяснению, сделанному относительно выражения
(6), жидкость течет через все части площади круга, ограниченной вихревой
нитью, которые находятся от нее на конечном расстоянии в направлении
оси z или противоположном в зависимости от знака о. Из определения а,
данного в начале § 5, следует, что в точках, для которых угол, обозна-
ченный там через Ь, обращается в нуль, будет о = т]. Из определения
положительного вращения, сделанного в § 2 пятой лекции, вытекает, что
движение происходит в направлении оси г, если только г) положительно
при О’ = 0. Из этого следует, что вихревая нить движется в том же
направлении, в котором жидкость течет через ограниченную ею площадь
круга.
Эги результаты были впервые получены Гельмгольцем в его сочинении
«Об интегралах уравнений гидродинамики, соответствующих вихревым
движениям» (Borchardt’s Journal, Bd. 55). Он заключает его следующим
замечанием:
«Мы можем теперь в общих чертах рассмотреть также, как две коль-
цеобразные вихревые нити, имеющие одну и ту же ось, будут влиять друг
на друга, так как каждая, кроме собственного передвижения, следует еще
движению частиц жидкости, вызываемому другой нитью. Если они имеют
одинаковое направление вращения, то обе передвигаются в одну и ту же
сторону; движущаяся впереди нить будет расширяться и замедлять свое
движение, следующая же за ней суживается и передвигается быстрее.
Если скорости передвижения не слишком различны, то второе кольцо
догонит первое и пройдет сквозь него. Затем то же явление повторяется
с первым, т. е. кольца будут поочередно проходить одно через другое.
Если вихревые нити имеют равные радиусы и равные, но противопо-
ложные скорости вращения, то они будут приближаться друг к другу под
взаимным влиянием; наконец, когда они подойдут весьма близко друг к
228
другу, то взаимное сближение их будет происходить все слабее, расши-
рение же, напротив, будет происходить с возрастающей скоростью. Если
обе вихревые нити вполне симметричны, то для частиц, лежащих в сре-
динной плоскости, скорость, параллельная оси, равна нулю. Поэтому, не
возмущая движения, мы можем вообразить здесь твердую стенку, и таким
образом получим случай одного вихревого кольца, направляющегося к
твердой стенке.
Я замечу еще, что движения круглых вихревых колец легко наблю-
дать в действительности, если быстро продвинуть на небольшое расстоя-
ние параллельно поверхности воды на половину погруженный в нее кру-
жок (или имеющей приблизительно форму полукруга кончик ложки) и
затем быстро его вынуть; тогда в жидкости остаются половины вихревых
колец, ось которых лежит на свободной поверхности. Таким образом,
свободная поверхность образует плоскость, проходящую через ось и
ограничивающую массу воды, что не вызывает никакого существенного
изменения в движении. Вихревые кольца передвигаются поступательно,
расширяются или суживаются под влиянием других вихревых колец совер-
шенно так же, как мы это вывели теоретически».
ЛЕКЦИЯ ДВАДЦАТЬ ПЕРВАЯ
(Функции комплексного переменного. Их применение к нахождению действитель-
ного движения жидкостей. Подобное в малых частях отображение некоторой
части плоскости на другую. Линейные функции. Многозначные функции. Изобра-
жение одного серпа на другом)
§ 1
Один из наиболее интересных случаев движения жидкости предста-
вляют жидкие струи, образующиеся при истечении жидкости. До сих пор
не удалось решить вычислением задачу о таком движении для случая,
когда потенциал, скоростей, существование которого предполагается,
зависит от трех координат х, у, z, но это вычисление возможно в пред-
положении, что потенциал скоростей есть функция только х и у.
Упрощение, которое получают гидродинамические задачи при таком пред-
положении, мы уже видели в одном примере предыдущей лекции. Глав-
нейшее основание этого упрощения лежит в том, что уравнение в частных
производных, которому удовлетворяет потенциал скоростей,
, д2Ф = о
дх2 ду2
удовлетворяется действительной и также мнимой частью функции ком-
плексного переменного х 4* iy.
Положим
z = х + iy
и составим какое-нибудь аналитическое выражение, содержащее z, которое
обозначим через Z и которое, кроме действительных величин и z, может содер-
жать еще i. Преобразуем его по правилам, известным для действительных
величин, считая i за неизвестное действительное постоянное, но при этом
положим
г2 = — 1.
Как известно, таким образом можно привести Z к виду
Z = Х + 1У,
еде X и Y суть действительные функ ции х и у. При этом z и Z назы-
ваются комплексными величинами, х и X, iy и iY — их действительными
и мнимыми частями, Z — функцией z. Две комплексные величины
называются равными, если равны между собой их действительные и
мнимые части. Взятый со знаком « +» корень ]/~х1-\~ у2 называется моду-
лем z.
При этих обозначениях имеем
dZ dZ dZ .dZ . dZ dZ
- =---- , — = l —, поэтому I — = ----- ,
dx dz dy dz dx dy
:!30
т. е.
.дХ дУ дХ , .дУ
дх дх ду ду
следовательно,
5Х _ = _ ЗХ (П
дх ду ’ дх ду
Эти два уравнения мы можем рассматривать как определение функции Z
z37, более общее, чем приведенное выше. Из них следует, что
32Х , сРХ = 0 &1у 4.о
дх2 ду2 1 дх2 ду2
0
дх дх ду ду
Последнее уравнение выражает, что линии X — const и линии У = const
взаимно ортогональны.
На основании сделанного разъяснения мы найдем возможное движение
жидкости, если возьмем для Z любое выражение, содержащее z, и за по-
тенциал скоростей ф примем одну из двух величин X и У; тогда другая
из них будет иметь также простое значение. Обозначим ее через ф; тогда
ф = const
будет уравнением линий тока.
Рассмотрим некоторые простые примеры. Возьмем сперва Z = lg z;
z
следовательно, z = е. .
Положим
х. = г cos tt, у = г sin Ф,
откуда следует, что
г (cos ft + i sin ft) = ex (cos Y + i sin У),
или
X = lgr, Y = 0,
где под Igr понимается действительное значение этой величины.
Отсюда мы имеем или
Ф = Igr и ф = О,
или
Ф = О и ф = Igr.
В первом случае линиями тока будут проходящие через точку z — О
прямые, а линиями равного потенциала скоростей — описанные вокруг
этой точки круги; во втором случае имеем обратное. В обоих случаях
1 тт
скорость равна —. Две линии тока всегда можно заменить твердыми
г
стенками без изменения движения между ними. Поэтому выведенные фор-
мулы пригодны, если две из прямых, проходящих через точку z = 0, или
два из описанных вокруг этой точки как центра круга будут заменены
твердыми стенками.
Чтобы получить второй пример, возьмем
Z = Ig Z~C1- ,
Z —с2
где через 4 и с2 обозначены две комплексные постоянные. Положим
Ci = Qi + iblt сг := а2 + ib2
231
и
х — аг = rx cos f>b x — a2 = r2 cos t%,
у — 61 = r1sintt1, у — d2 = r2sintt2,
откуда следует, что
x = ig -1-, y = - e2.
Гг
Положим <p = X, ip = Y; тогда, как покажет элементарное геометри-
ческое исследование, линиями тока будут дуги кругов, соединяющих точки
z = сг и z = с2. К одной из этих двух точек жи кость притекает, а из
другой вытекает. Линиями равного потенциала будут круги, описанные,
как на диаметре, на отрезке между двумя точками, расположенными
гармонически относительно точек z = q и z = с2. Какие-нибудь две линии
тока, например обе части проходящего через эти точки круга, могут быть
заменены твердой стенкой. Положим наоборот, что <р = Y, гр = X; тогда
обе системы кругов поменяются ролями.
Мы придем к частному случаю течения, рассмотренного в семнадцатой
лекции, если положим
Z = arcsinz; следовательно, z = sinZ.
Тогда
У , —У
• v е 4~ £
х = sin X-------,
2
откуда следует, что
х2______у2 = j
sin2X cos2X
4х2_____।____4у2 _ ।
/ У , -У\2 ' / у —У\2 ~
(е +е ) \е +е )
Уравнения X—const и Y = const представляют здесь систему софокусных
гипербол и эллипсов, фокусы которых имеют координаты х= ± 1, у =0.
§ 2
В уравнении (1) предыдущего параграфа мы дали определение того,
что X + IY или Z есть функция х + iy или z, которое не предполагает,
что аналитическое выражение для Z задано. Исходя из этого, мы дока-
жем теперь, что если Z есть функция z, то также и наоборот, г есть
функция Z.
Положим
М2 = (ах \2+ (дХ\2= (дХ\2 + Ж2 =.
\ дх / [дх/ [ду ) [ду }
[ду ) ) \d* / \dy )
= дХдУ_дХдУ.
dx dy dy dx
все эти выражения равны между собой вследствие уравнения (1). Решая
тождественные уравнения
। дх дХ . дх дУ q ду дХ ду дУ
дХдх д У ду ’ дХ дх дУ дх
232
получаем
д_*_дХ дх^дУ
дХду дУ ду’ дХ ду ' дУ ду
дх 1 дХ ду 1 дУ
дХ ~ М2 дх ’ дХ~ ЛР дх
дх__ __ i дХ_ д_у_ _ _1_ дУ
дУ ~ ЛР ду ’ дУ ~ Л4а ду ’
и отсюда следует, на основании уравнения (1), что
дх ______________________ду дх ___ ду
дХ~дУ дУ ~ ~ дХ ’
чем и доказано высказанное утверждение.
Если функции Z = X + IY и Z' = X' + iY' суть функции г, то ZZ’ также есть г. Действительно, ZZ' = XX' — YY' + 1 (ХУ' + Х'У);
далее д(ХХ'-УУ') vdX' , v, дХ „дУ' „,дУ — А А — I I , дх дх дх дх дх д(ХУ'+Х'У) __хдУ' х,дУ у дХ' у,дХ ду ду ду ду ду д(ХХ'-УУ') vdX' v,dX ^дУ' v,dY = А г А Y I — , ду ду ду ду ду д(ХУ'-Х'У) = хдУ Х>дХ+удУ ,у,дХ дх дх дх дх дх
и отсюда, на основании уравнений (1) и уравнений
дХ^_дУ^ дУ дХ'
дх ду дх ду
следует:
д(ХХ’-УУ') д(ХУ'-\-Х'У) д(ХУ' + Х'У) д(ХХ'-УУ')
= и — —
дх----------------------------------------------------------ду-dx-ду
Рассмотрим теперь производную
dZ dX + idY
т. е. ----!-- ;
dz dx + idy
она равна
(дХ дУ\ (дХ <ЭУ\
+ ' л- Ах+ У + 1:т~ ]dy
\дх дх I \ду ду /
dx + idy
ИЛИ, ПО (1),
дХ . .дУ
--------------------------------------(-г — •
дх дх
Следовательно, производная не зависит от dx и dy и является функ-
цией х и у. Она есть функция г, в чем убедимся, если возьмем част-
ные производные уравнений (1) по х.
Если в некоторой конечной части плоскости хОу величина Z есть од-
нозначная функция г, т. е. X и Y — однозначные и непрерывные функ-
233
ции х и у, удовлетворяющие уравнениям (1), то, как мы покажем,
есть также однозначная непрерывная функция z в той же области.
Пусть X и Y будут две однозначные непрерывные функции х и у для
некоторой части плоскости хОу, элемент которой обозначим через df;
пусть dl — элемент граничной линии этой части, п — направленная внутрь
нормаль к dl. Тогда, согласно предложению, неоднократно применявше-
муся нами, имеем
С (9Х dY\ г
~ ду) ~ )dl cos ~~ Y cos
f fdX 9Y\ C @)
J # (, + 97 ) = “ )dl C0S (ny>> + Y cos
Преобразуем прежде всего эти уравнения, вводя вместо двух углов
(пх) и (пу) один угол. Будем считать вращение прямой положительным,
если оно происходит в том же направлении, в котором должна быть по-
вернута на прямой угол ось х, чтобы совпасть с осью у. Обозначим через
v угол, на который должна быть повернута в положительном направле-
нии прямая, параллельная оси х, для того, чтобы прийти в положение,
параллельное нормали п. Тогда получим
cos (пх) = cos v, cos (пу) = sin v.
Подставим эти значения cos (их) и cos(пу) в уравнения (3), полагая,
что Z, т. е. X -j- IY, есть функция z, т. е. х 4- iy, причем левые части
уравнений обращаются в нуль; умножим второе на i и сложим его с пер-
вым. Тогда получим
О — Z dl (cos v + i sin v).
Обозначим через dz приращение, получаемое z, когда точка (х, у), или
точка z, как мы будем ее называть, проходит элемент dl в направлении,
которое получила бы нормаль п, повернутая на прямой угол в отрица-
тельном направлении. Тогда будем иметь
Г ( я\ ( л \ "1
dz = dl\ cos I v--j + z sin I v---f = — idl (cos v 4- i sin v), (4)
откуда следует, что
0 = ^Zdz.:w (5)
Пусть
с — а Ц- lb,
где через а и b обозначены координаты точки поверхности, элемент которой
мы назвали df. Подставим в уравнение (5), что допустимо, -j-- вместо
Z, и приложим его этой к площади, за исключением круга, описанного
бесконечно малым радиусом вокруг точки с.
На периферии этого круга имеем
z — с = г (cos v -j- z sin v),
и отсюда по (4) получаем
dz ________________________________ . dl
z — с г ’
следовательно,
С 2
\-----dz — — i‘2xZc,
J z — с
234
где Zc есть значение Z в точке с. Отсюда следует, наконец, что
где интегрирование должно быть распространено на граничную ли-
нию рассмотренной выше области z в направлении, указанном уравне-
нием (4). Направление это мы определим еще другим образом. Вооб-
разим, что мы находимся по плоскости хОу и, глядя вдоль положитель-
ного направления оси х, видим положительное направление оси у сле-
ва. Тогда направление интегрирования должно быть таким, чтобы во
время хода границы области z сама область z оставалась слева. Это
можно выразить еще иначе, если область z представляет односвязную
площадь, т. е. такую, которая может быть ограничена единст-
венной, не пересекающей себя, замкнутой линией. Вообразим прямую
линию, проведенную от точки такой площади к точке ее границы, и
заставим эду последнюю точку совершить полный обход границы в том
или другом направлении; тогда прямая линия поворачивается на угол
2л в положительном или отрицательном направлении. Мы будем назы-
вать обход положительным, если линия поворачивается на 2л в поло-
жительном направлении. Тогда интегрирование в (6) должно соответ-
ствовать положительному обходу. Если область z не представляет од-
носвязной площади, но граница ее состоит из нескольких замкнутых
линий, то ее можно обратить в односвязную поперечными сечениями,
т. е. линиями, из которых каждая соединяет две точки двух замкну-
тых граничных линий. В этом случае обе стороны каждого поперечного
сечения следует рассматривать как принадлежащие границам области;
z
при этом входящий в (6) интеграл не изменится, так как---------одно-
z— с
значная непрерывная функция z до тех пор, пока не будет z=c.
Уравнение (6), которое мы могли бы вывести из уравнения (28) шест-
„ dZ
надцатои лекции, доказывает высказанное утверждение, что в той же
области, как Z, есть однозначная непрерывная функция z. Мы присое-
диним к уравнению (5) еще одно следствие. Пусть будет Z непрерывная
однозначная функция z в односвязной части плоскости z. Вообразим
произвольную линию, проведенную из некоторой точки z0, или (х0, у0),
к точке z той же области и рассмотрим интеграл
\ Z dz = W = U + iV,
взятый по этой линии в направлении от’ z0 к z. Заменим эту линию какой-
нибудь другой, проведенной от z0 к г; тогда мы можем применить урав-
нение (5) к площади, ограниченной этими двумя линиями. Мы получим,
что для обеих линий W имеет одно и то же значение, следовательно, оно
не зависит от выбора линии. Поэтому W есть функция х и у, следовате-
льно, U7 есть функция г, так как мы имеем
и = jj (X dx — Y dy),
Хц.Уо
x,y
V (X dy + Y dx),
и отсюда
dU dV dU dV
_______— Y _____ — ___ -
dx dy ’ dy dx
235
§ 3
Обозначим через х и у прямоугольные координаты точки некоторой
плоскости; мы можем также рассматривать X и Y как прямоугольные
координаты точки другой плоскости. Если Z будет функцией z, то
также z должно быть функцией Z; в соответственных друг другу об-
ластях z и Z, которые мы будем рассматривать, Z должно быть одно-
значной непрерывной функцией z, и z однозначной непрерывной функ-
цией Z. Тогда, согласно доказанному в предыдущем параграфе, и
dZ dz
& есть также однозначная непрерывная функция z, a dz — такая же
функция Z. Ни одна из этих производных не может сделаться беско-
нечной, и поэтому каждая из них не может быть ни нулем, ни бесконеч-
ностью.
Положим
dZ
= Л4 (cos О' + i sin О),
где М — модуль этой производной, есть положительная величина, опре-
деляемая уравнением (2). Так как - не зависит от dx и dy, то"Л4 и О —
функции х и у. Из предыдущего уравнения получаем
dX + idY = М (cos О + i sin O)(tk + idy).
т. e.
dX = M (cos О dx — sin О dy),
dY = M (sin О dx + cos О dy).
Положим, что плоскости Z и z совпадают с материальной плоско-
стью, ось X — с осью х, ось У — с осью у, и будем рассматривать х и у
как координаты материальной точки при одном состоянии плоскости,
X, Y — как координаты той же точки в измененном состоянии плоско-
сти; тогда в уравнениях (7) мы будем иметь частный случай уравне-
ний, рассмотренных в десятой лекции. По уравнениям (7) можно найти
изменение, полученное бесконечно малой частью плоскости; они пока-
зывают, что это изменение состоит: из смещения, из вращения на поло-
жительный угол д и из растяжения, одинакового для всех направле-
ний, при котором все линейные размеры увеличиваются в отношении
1 : М. Из этого заключаем, что бесконечно малая часть материальной
плоскости остается себе подобной. Изменение, которое она получает,
мы можем представлять себе непрерывным и произведенным так, что
М не делается ни нулем, ни бесконечностью; если оно происходит та-
ким образом, то направление положительного обхода рассматриваемой
части, если она односвязна, не останется при этом неопределенным и
не может измениться скачком; следовательно, оно остается неизмен-
ным. Теперь откажемся от представления, что плоскости г и Z совпа-
дают с одной материальной плоскостью; тогда все-таки останется в
силе, что соответственные бесконечно малые части этих злоскостей бу-
дут между собой подобны и направления положительного обхода во-
круг них будут взаимно соответственны, если эти части односвязны.
Рассмотрим соответственные конечные куски обеих плоскостей; они
не будут, вообще, подобны друг другу, но это будет иметь место для
всех бесконечно малых частей их. Эти части благодаря соотношению,
существующему между Z и г, как говорят, в малых частях подобно ото-
бражаются один на другой. Точкам границы одного куска соответству-
ют исключительно точки границы другого; действительно, внутренней
точке одного не может соответствовать точка границы другого, так как
бесконечно малому кругу, центром которого является первая точка.
236
должен соответствовать бесконечно малый круг, центром которого яв-
ляется вторая точка. Если один из этих кусков ограничен замкнутой
линией, т. е. является односвязным, то таким же должен быть и другой.
Положительному обходу на одном куске соответствует положительный
обход на другом.
§ 4
Предположение, что Z и z суть однозначные функции одна другой,
будет выполнено без ограничения их области, если одна из них есть
целая линейная функция другой.
Совместим ось X с осью х, ось Y с осью у и будем рассматривать,
как прежде, X, Y и х, у как координаты одной и той же точки плоско-
сти х, у при ее двух различных состояниях. Тогда уравнение
Z = а lb + z
будет соответствовать смещению плоскости на а параллельно оси х и
на b параллельно оси у. Уравнение
Z = (cos а + i sin а) z,
из которого вытекают уравнения
X = х cos а — у sin а,
Y = х sin а + у cos а,
представляет вращение плоскости на угол а. Уравнение
Z = mz,
где т означает положительное постоянное, представляет растяжение пло-
скости, при котором все линии увеличиваются в отношении 1 : т, сохра-
няя свое направление, и точка 2 = 0 остается на своем месте. Во всех
этих случаях, т. е. всегда, когда Z есть целая линейная функция г,
подобны также конечные соответственные области обеих переменных. По-
ложим Z равным дробно-линейной функции z, т. е.
где через а, р, у, d обозначены комплексные постоянные; тогда Z и z
равным образом будут непременно однозначными функциями одна другой,
но они не непрерывны всюду. Если у -j- dz = 0, то бесконечно Z, если
3 — 6Z = 0, то бесконечно z, и непрерывность в обоих случаях нарушится.
Чтобы иметь возможность применить предложения, которые мы вывели
в предположении, что Z и z однозначные непрерывные функции одна
другой, ограничим область z двумя замкнутыми линиями, из которых
одна, бесконечно малая, содержит точку т + dz -= 0, другая же линия
бесконечно удалена. Тогда область Z будет также ограничена бесконечно
малой и бесконечно большой замкнутыми линиями, из которых малая со-
ответствует большой граничной линии области z и наоборот.
При соотношении между z и Z, выражаемом уравнением (8), каждой
окружности на плоскости z соответствует окружность на плоскости Z.
Чтобы доказать это, введем две новые переменные z' и Z', причем поло-
жим
г = а 4- bz', Z - А BZ'
и выберем комплексные постоянные а, Ь, А, В так, чтобы уравнение (8)
превратилось в
1
Z - .
237
Чтобы получить уравнения, из которых определяются а, Ь, А, В.
надо только, чтобы одна из величин z' и Z' обращалась в нуль, когда
другая обращается в бесконечность, и если одна равна единице, другая
получит то же значение. Из этого следует, что
3 —Дб = 0,
Г + ад 0,
а + а? = ВЬд.
Соответственно этим уравнениям всегда можно подобрать значения а, Ь,
А, В, если только д не равно нулю; но в этом случае Z есть линейная
функция z и мы можем его исключить, так как для этого случая рас-
сматриваемое предположение уже было доказано. Окружности же в пло-
скости z' соответствует окружность в плоскости Z'. Действительно, если
z' = х' + iy', Z' = X' + iY',
то
1 х' — iy'
Х + tY = х' + >у' = х'2 + у'1. ’
следовательно,
х' у’
vt ___________ У'=__________
х'аН-//'2’ х'^^
и
X' , У'
х = х'2 + у'2 ' У ~ Х'* + У'2
Если между х' и у' существует уравнение
ai (х'2 + у'2) + а^х' + а3у' + at = 0,
то из него получим уравнение между X' и Y':
ах + агХ' — а3У' + а4(Х'2 + К'2) = 0,
т. е. окружности в плоскости z' соответствует окружность в плоскости
Z'. Но так как, согласно предыдущему, окружности в плоскости г
соответствует окружность в плоскости z' и окружности в плоскости ?
соответствует окружность же в плоскости Z, то, следовательно, каждой
окружности в плоскости z соответствует окружность в плоскости Z.
В уравнения (8), определяющие соотношение между г и Z, входят
три независимых комплексных постоянных, именно отношения а : Р : у : б,
так как эти четыре величины можно умножить на одно и то же
постоянное, не изменяя соотношения. Эти три постоянных можно опре-
делить из трех линейных уравнений так, чтобы три любые точки а, Ь, с
плоскости z попарно соответствовали трем любым точкам А, В, С пло-
скости Z. Тогда окружности, которые можно провести через точки
а, Ъ, с и А, В, С, будут также соответственными. Мы обозначим пло-
щади, ограниченные этими окружностями, через f и F. Они будут соот-
ветственными, если только точка у + бг=0 не лежит внутри окружности
f; действительно, тогда f будет односвязной областью г, и ей должна
соответствовать односвязная часть области Z. Но если точка у + бг=0
лежит внутри площади f, то f и F не будут соответственными, но каж-
дой из этих площадей соответствует дополнительная площадь круга,
если назовем дополнительной площадью f ту часть области г, которая
останется по исключении f. Действительно, тогда надо будет исклю-
чить из площади f бесконечно малую часть, содержащую точку
у+бг=0, чтобы получить из нее часть области г. Но границе этой бес-
конечно малой части будет соответствовать бесконечно большая зам-
238
кнутая линия в плоскости Z. Очевидно, что это заключение годится
также для случая, когда f и F— две какие-нибудь односвязные части
плоскостей z и Z, границы которых соответственны одна другой. Соот-
ветственны ли эти площади или их дополнительные площади, легче
всего решить посредством следующего исследования. В случае, когда
точка y+6z=0 лежит внутри /, превратим поперечным сечением дву-
связную площадь, которая образуется после исключения из f бесконеч-
но малой части, содержащей точку y+6z=0, в односвязную, и прове-
дем соответственное поперечное сечение в дополнительной площади F.
Припомним теперь положение, что если z и Z— однозначные непрерыв-
ные функции одна другой, то соответственные обходы вокруг соответ-
ственных односвязных площадей будут одного знака, и назовем через
а, А, Ь, В, с, С соответственные точки граничных линий f и F; тогда
увидим, что эти площади оказываются сами соответственными, если
обходы вокруг них abca и АВСА одного знака, и что в противном слу-
чае площадям f и F соответствуют их дополнительные площади.
Окружностям, проходящим через точки а, b плоскости z, соответ-
ствуют в плоскости Z окружности, проходящие через соответственные
точки А, В и пересекающиеся под такими же углами, так как одна
плоскость в бесконечно малых частях подобно изображается на дру-
гой. Если точка В удаляется в бесконечность, то проходящие через точ-
ку А круги сделаются прямыми линиями. Мы будем называть серпом
площадь, ограниченную двумя круговыми дугами; если же одна из
двух вершин удаляется в бесконечность, то будем называть эту пло-
щадь клином. Поэтому уравнения (8) позволят любой серп плоскости
г отобразить на любой серп равного угла плоскости Z так, что вер-
шинам первого а, b будут соответствовать вершины второго А, В и
сверх того будут соответственными две произвольно выбранные точки
границы с и С при условии, что с и С выбраны так, что обходы вокруг
серпов abca и АВСА будут одного знака. Частным случаем такого ото-
бражения будет отображение серпа на клин равного угла.
§ 5
В предыдущем параграфе мы приняли, что Z и z без ограничения
суть однозначные функции одна другой; теперь мы положим, что меж-
ду этими переменными установлено соотношение, вследствие которого
Z и г, вообще, суть многозначные непрерывные функции одна другой.
Но они могут рассматриваться как однозначные, т. е. каждой точке об-
ласти Z будет соответствовать одна точка области z и наоборот, если
надлежащим образом разграничить эти области.
Путь будет z0 значение г, или, как мы будем выражаться, точка
плоскости z. Если ей соответствует много значений Z или много точек
плоскости Z, то выберем из них одну Zo. Тогда достаточно малой обла-
сти z, содержащей точку Zo, соответствует подобная в малых частях
область Z, содержащая точку Zo, совершенно так, как если бы мы име-
ли дело с безусловно однозначной функцией. Отношение соответствен-
ных бесконечно малых размеров повсюду будет определено модулем
„ dl
производной — Теперь будем понемногу расширять границы обеих
dz
областей, причем бесконечно малые части плоскости z будем изобра-
жать на плоскости Z, и наоборот, сохраняя подобие в отношении, опре-
деленном указанным выше модулем. При этом мы будем избегать то-
dZ
чек, в которых __обращается в нуль или бесконечность и в которых,
dz
следовательно, это отношение было бы нулем или бесконечностью. Мо-
жет случиться, что в то время как область z ограничена замкнутой, не
пересекающей себя линией, соответствующая линия плоскости Z пере-
239
секает себя; тогда две части области Z совпадают и z перестает быть
однозначной функцией Z; пока это не имеет места, z есть однозначная
функция Z, Отсюда мы сделаем следующее заключение.
Если область z не содержит точки, в которой равно нулю или
dz
бесконечности, если она ограничена замкнутой не пересекающейся ли-
нией и соответствующая последней линия плоскости Z себя не пересе-
кает, то эта линия ограничивает область Z, точки которой однозначно
соответствуют точкам области z. Тогда
позначные функции одна другой. При
бесконечно близко подходить к точкам,
в этих областях Z и z суть од-
этом границы области z могут
dZ
для которых есть нуль или
dz
бесконечность; только в таком смысле мы можем говорить, что такие
гочки могут лежать на граничной линии области.
Мы приведем некоторые относящиеся сюда отображения, которые
нам придется применять в дальнейшем.
Положим сперва
Z = Zn,
О)
где п означает действительную постоянную. Положим
X = /?cos9, x = rcosd,
У = 7? sin 9, у — г sin d,
тогда из этих уравнений следует, что
R = гп, 9 = nd.
Кругу г = const соответствует круг R = const, прямой О — const соответ-
ствует прямая 9 = const. Вообразим себе область z, ограниченную двумя
кругами г = const и двумя прямыми d = const; тогда границами области
Z будут два круга R = const и две прямые 9 = const. Меньший из кругов
может быть выбран бесконечно малым, большой — бесконечно большим.
Тогда обе области будут два клина неравных углов. Если эти углы на-
зовем а и Л, то
А = па.
Соответствие между z и Z будет однозначным, если ни один из углов
а и А не больше, чем 2л. Так как
dz
то для z = 0 производная равна нулю или бесконечности в зависимо-
сти от того, будет ли п больше или меньше единицы.
Найдем теперь, как можно отобразить один на другой два серпа раз-
личных углов так, чтобы соответствовали друг другу обе вершины и две
произвольно выбранные точки на их границах. При этом мы предполо-
жим (и в подобных случаях будем предполагать, не оговариваясь), что
точки границ, которые должны соответствовать друг другу, выбраны так,
что соответствующие обходы рассматриваемых площадей имеют один знак.
Предполагая, что между z и Z существует уравнение (9), положим
г'—с, Z' — С,
, z = fe-^—1 и Z <7 • (10)
Z — С\ 1л —
Вследствие этого два клина, изображающих области z и Z, перейдут со-
ответственно в два серпа с углами а и Л в плоскостях г' и Z', вершины
У10
которых лежат в точках z' = с(, z' == с2, Z' = Сь Z' = С2. Комплексные
постоянные /г и К могут быть выбраны так, чтобы две соответствующие,
впрочем произвольные, точки границы клина соответствовали двум любым
точкам границы серпа. Исключим z и Z из уравнений (9) и (10) и положим
тогда получим
Z' —С
N-y,-----
Z —С;
(И)
Этим уравнением оба серпа отображаются один на другом так, что соот-
ветственными являются обе вершины и точки, которые были произвольно
dZ'
выбраны на границах. В вершинах — равно нулю или бесконечности
в зависимости от того, больше А или меньше, чем а.
Теперь мы покажем, как могут быть отображены один на другом два
серпа различных углов, чтобы три произвольные точки границы одного
соответствовали трем произвольным точкам границы другого. Предполо-
жим, что серп в плоскости Z', к которой относится уравнение (11), пол-
ный круг; следовательно,
А = л.
Две какие-нибудь точки его границы мы можем рассматривать как его вер-
шины. Опуская штрихи при буквах z' и Z', получим
а
N
Z-C1
Z — С 2
\z — v2
(12)
Определим постоянные /V, С(, С2 в этол уравнении, так чтобы при
любых точках границы серпа плоскости z соответствовали трем точкам,
взятым в плоскости Z; при этом серп отобразится на площади круга так,
что граница его пройдет через эти три точки. Теперь введем опять новое
переменное г' и вообразим себе в плоскости г серп, вершины которого
лежат в точках 2' = ci и г' = с\ и угол которого есть а'. Положим
затем
АГ
Z-C(
2~С2
(13)
и определим постоянные М', С1( С2, так чтобы три любые точки границы
этого серпа соответствовали тем трем точкам плоскости Z, которые были
уже взяты при рассмотрении серпа на плоскости г. Тогда оба серпа бу-
дут отображены на один и тот же круг, следовательно, также один
на другой, и именно так, что три точки, произвольно взятые на одной
границе, соответствуют трем точкам, произвольно выбранным на другой
границе. Мы получим уравнение межцу z и z', которое это выражает,
исключая Z из (12) и (13); при этом одна из двух величин
Л л
а , / а'
/г —С1 , /г - ci । (14)
\г — сг / ’ \ г' — сг j
будет выражена как дробно-линейная функция другой. Три постоянные,
которые входят в эту функцию, определяются тремя парами точек, кото-
!6 Г. Кирхгоф
241
рые должны соответствовать друг другу. Как новое следствие, рассмот-
рим случай, когда один из двух серпов переходит в полосу, ограничен-
ную двумя параллельными прямыми, и рассмотрим еще этот случай. Пред-
положим, что
— с1~сг = т (cos у + i sin у);
тогда т обозначает половину расстояния между вершинами серпа, пред-
полагаемого в плоскости г, у — угол, который прямая, соединяющая вер-
шины, образует с осью х. Пусть далее 2и и 2с будут длины дуг окруж-
ностей, образующих серп, выраженные в частях
и радиуса так, что
/ s'/'/iX Z v — и — а;
/X / / I
/ / \ \ пусть, наконец, Ъ будет ширина серпа, т. е.
' / i расстояние между точками пересечения его
/ / \ границы с линией центров кругов, ограничи-
/ /то \ вающих серп (фиг. 1). Тогда из простого
\ / / \. \ геометрического рассмотрения мы получим
\[/ Хл
b = tn tgy — tg v I. (15)
Фиг. 1 \ “ /
Серп превратится в полосу указанного вида, если т сделается бесконечно
большим, a v и и, и следовательно также а, бесконечно малыми. Тогда
ширина b получится из (15):
, та
Ь = -
и у будет углом, образованным с осью х направлением длины полосы
Обозначим еще общее бесконечно большое значение — сг и с2 — черес
с; тогда для выражения
л
которое отличается от первого из
множителем, именно множителем (—
выражений (14) только постоянным
1)“ , получим
ля я
Положим теперь, что а приближается к нулю, в то время как ас сохра
няет постоянное значение; тогда отсюда следует, как показывает разло-
жение по биноминальному закону, что
—— ZJIC
\с2 —г ,1
(cos 7-/sin т)
(16)
ЛЕКЦИЯ ДВАДЦАТЬ ВТОРАЯ
(Жидкие струи. Струя, вытекающая из сосуда определенного сида. Струя, встре-
чающая плоскую стенку. Плоская стенка в потоке бесконечной ширины. Давле-
ние на эту стенку)
§ 1
При установившемся движении несжимаемой жидкости, при котором
существует потенциал скоростей ср и не действуют внешние силы, вслед-
ствие уравнения (20) пятнадцатой лекции имеем
где через р обозначено давление, через С — постоянное, и плотность жид-
кости положена равной единице. Отсюда следует, что давление убывает,
когда скорость возрастает, и делается равным — ос, когда скорость равна
бесконечности. Но, согласно опыту, давление в жидкости не может опу-
ститься ниже некоторого отрицательного значения без того, чтобы не про-
изошел разрыв жидкости, причем нарушилась бы и непрерывность движе-
ния. Тот факт, что вода образует струю, вытекая из отверстия сосуда в
покоящуюся воду, объясняется именно этим. До сих пор мы предполагали,
что скорость движения воды всюду непрерывно изменяется; теперь же
сделаем другое предположение — будем считать, что существуют такие
поверхности, по обе стороны от которых прилегающие к ним частицы
жидкости имеют различную скорость; но при этом поставим условие, что-
бы давление не опускалось ниже известного предела. Это условие равно-
сильно требованию, чтобы скорость не превышала некоторого значения,
зависящего от постоянного С. Поверхность, на которой скорость изменя-
ется скачком, аналогична поверхности раздела двух различных жидкостей;
на двух сторонах ее давление и компоненты скорости по нормали должны
иметь одно и то же значение. Мы ограничимся исследованием случая, когда
имеется только одна область движущейся жидкости, ограниченная покоя-
щейся жидкостью. Отсюда следует, что поверхности раздела должны быть
образованы линиями тока и скорость на них должна иметь всюду одно и
то же значение. Мы положим это значение равным единице. Предположим
далее, что потенциал скоростей зависит только от двух координат х и у.
Рассмотрим переменные
z — х + iy, w = <р + 1ф
и постараемся определить гл как функцию z, так чтобы были удовлет-
ворены поставленные условия. При этом воспользуемся тем, что
ф — const
2'43
есть уравнение линий тоха. Выведем выражение для скорости из приве-
денного ниже исследования. Мы имеем
следовательно,
dw дер । . дф
dz дх дх
дер . дер
дх ду
dz
dw
= t, = g + Zrj = p (cos й + i sin 0)
Положим теперь
(2)
(3)
и будем рассматривать g и p как прямоугольные координаты точки на
плоскости, которую будем называть плоскостью g.
Выберем ось g параллельно оси х, ось р параллельно оси у; тогда
сравнение уравнений (2) и (3) показывает, что если из точки g = 0 про-
вести в точку g прямую л 1н.ию, то длина ее р равна обратной величине
скорости, а направление есть направление скорости в точке г.
Границы пространства, заполненного рассматриваемой жидкостью или,
иначе говоря, границы области z, составляются из трех различных частей.
Одна часть образована л тлям I, через которые жидкость втекает и выте-
кает; вторая — твердыми стенкам а, для них ф -const; наконец, третью
составляют поверхности, по которым движущаяся жидкость соприкасается
с покоящейся; мы будем называть их свободыш границами; для них также
ф — const, но, кроме того, р = 1. Чтобы найти такое движение, мы будем
рассматривать <р и if как прямоугольные координаты точки некоторой пло-
скости, которую назовем плоскостью w. Сделаем соответственные предпо-
ложения относительно областей w и g: найдем такое соотношение между
w и g, которое позволило бы обе эти области сделать подобными в малом
и отобразить одну на другую, а затем с помощью (3) вычислим из него z.
Область z, соответствующая областям w и g, определяет пространство,
наполненное движущейся жидкостью.
§ 2
Примем теперь за область w полосу, границы которой выражаются
уравнениями
ф = ф0, ф = — оо,
ф = Фо + Ь, ф = -ф оо,
где через ф(> и Ь обозначим две постоянные, а за область g примем серп;
уравнением одной из его дуг язллегся
р = 1,
а для внутренних его точек всюду р > 1. Согласно сделанному в § 5 пре-
дыдущей лекции разъяснению, составим уравнение между w и g, с помо-
щью которого одну область возможно отобразить на другой. Это уравне-
ние определит w и g как однозначные функции внутри этой области; при
этом три точки одной границы будут соответствовать трем произвольным
точкам другой границы. Положим, что
g = gi ДЛЯ ф = — ОО,
£ == Ь2 ДЛЯ Ф = + ОО,
2 В
и возьмем точку на дуге круга р — 1, точку — на другой дуге
круга границы ооласти На определяя третью пару соответственных то-
чек и не вникая ближе в уравнение меж;у w и уже к.ежно в общих
чертах указать характер области z и движения жидкости при сделанных
пред положениях.
Из уравнения
z = £ dw,
которое следует из (3), заключаем, прежде всего, что область z простира-
ется в бесконечность (так как такова и область w), а £ нигде не обраща-
ется в нуль. Пусть Z] будет точ-
кой ПЛОСКОСТИ Z ДЛЯ ф - — оо, и
г2—точкой, для которой ф= 4- оо,
так что z, и z2, которые лежат в
бесконечности, соответствуют точ-
кам и £2- Проведенные из точки
£ = 0 к точкам и 42 прямые ли-
нии будем обозначать (по величине
и наира тению) через р4 и р2, при-
чем величина р2 = 1; тогда в Zj (и
на конечном от него расстоянии,
где направление движения есть на-
правление р4) скорость равна ,а
Pi
в z2 (и на конечном от него рас-
Фиг. 1
стоянии, где направление движения
есть направление р2) скорость рав-
на единице. Повсюду область z есть
подобное в малом отображение области w, при котором все длины увеличе-
ны в отношении 1 : р. Поэтому мы имеем при z2 область, конгруентную
w, а b есть ширина потока; при гх эта ширина равна р^. При zx грани-
цами потока должны быть твердые стенки, при z2— свободные границы.
Свободные границы могут быть, вообще, частями границы области z, ко-
торые соответствуют частям границы области С, для которых р= 1, в то
время как части границы области £, представляющие твердые стенки, со-
ответствуют частям второй дуги круга на границе области £. Пусть £3 и
э4 будут вершинами серпа, образованного в области £, z3 и z4— соответ-
ствующие точки в области г. Каждая из этих двух точек представляем
конец твердой стенки и начало свободной границы. Фиг. 1 наглядно вос-
производит области £ и z; толстые линии на ней представляют твердые
стенки, тонкие линии — свободные границы; последние изображают форму
струй, вытекающих из сосуда, форма же сосуда определяется первыми.
Отметим еще одну особенность, которую имеют точки z2 и z4. Линин
тока, проходящие через них, имеют в этих точках касательные; они па-
раллельны линиям р3 и р4 плоскости £. Однако z3 и z4 будут точками
перегиба и притом единственными для этих линий тока; это следует из
того, что всюду касательные параллельны линиям р, проведенным через
соответствующие точки плоскости £. Мы предполагаем при этом, как по-
казано на фигуре, что из точки £0 нельзя провести ни одной касательной
к дуге круга £3^4.
Найдем радиус кривизны в точках z3 или z4. Пусть dl будет элемент
линии тока и dq>—изменение потенциала скоростей на этом протяжении; так
1
как — есть скорость, то тогда
Р
= — или dl = pdep.
dl р
24Е
Воспользуемся опять величиной О, определенной уравнением (3); тогда для
радиуса кривизны в dl получим выражение
pdtp
или, так как для каждой линии тока ф постоянно и поэтому можно под-
ставить dw вместо dtp, придем к выражению
<4>
Введем здесь d£ вместо d$; вследствие уравнения (3) получим
lg S = 1g Р + i®,
следовательно, (5)
d^ dp , ., n
— = — -f- id&.
p
Если теперь мы предположим, что dl принадлежит свободной границе
струй, то р = 1; следовательно, dp = 0 и
поэтому приведенное в (4) выражение радиуса кривизны станет
... dw
— •
dC
Пусть точка z бесконечно близка к точкам z3 и z4; следовательно,
точка £ будет также бесконечно близка к точкам £3 и £4; тогда — сде-
dz
лается бесконечно малым в предположении, что угол при вершинах серпа
на плоскости £ меньше а, так как соответственные части областей £ и а>,
для которых £ отклоняется бесконечно мало от с3 и £4, можно рассмат-
ривать как части клина, которые взаимно отображаются посредством со-
отношения, существующего между w и t,. Отсюда следует, что рассматри-
ваемые радиусы кривизны бесконечно малы40.
Если dl принадлежит твердым стенкам, то dp не равно нулю. Диф-
ференцируя соотношение между р и #, которое представляет вторую дугу
круга, ограничивающую область £, получим уравнение между dp и dtt, из
которого, в связи с уравнением (5), dO может быть выражено через du,
если вторая дуга перейдет в прямую линию; в этом случе уравнением ее
будет О = const, т. е. d& = 0. Отсюда получается для радиуса кривизны
dw ,
выражение, содержащее — множителем и, следовательно, обращающееся
d£
в нуль, когда точка z приходит в точку z3 или z4. Но в этом исключи-
тельном случае радиус кривизны бесконечно велик и перескакивает от бес-
конечности к нулю, когда точка г переходит через точку za или z4.
§ S
Применим теперь вычисление, намеченное в предыдущем параграфе, к
одному частному случаю. Пусть из двух окружностей, ограничивающих
область одна — полуокружность, для которой р == 1, другая же имеет
бесконечно большой радиус; точка делит пополам полуокружность, и
точка t,! лежит в бесконечности на прямой, проведенной через точки £ = О
и ^2- На фиг. 2 представлены области £ и z для этого случая. На ней,
кроме границ областей, показаны введенные нами оси g, я и х, у.
246
Возьмем в качестве границ полосы, образующей область линии ш,
ф = 0 и -ф = л;
гогда, по данному в связи с выражением (14) предыдущей лекции прави-
Для нахождения трех постоянных С, С' и К мы имеем, по сделанному
уже определению, два условия
для — — i°° ф = — оо,
для Z = — I ф = + оо.
К этому добавим произвольно третье
для £ = 1 ш = 0.
Отсюда получим
К=- — 1, С= 1, С' = —1;
следовательно,
/g— 1Xа _ t~ew
+ 1 ' “ 1 + ew ’
Отсюда определим £ и получим квадратное уравнение
(ь _ 1)2 £_ - & + 1)2 д . 2-.1 = о,
1. е.
£2_ 2^-®+ 1 =0,
откуда следует, что
= (7)
Определим знак перед корнем, приняв, что для ф = оо величина £ дол-
жна быть бесконечной (но не нулем); этим корень определен для всей об-
ласти w, так как мы знаем, что для этой области £ есть однозначная
функция w. Теперь по (3) имеем
z = (e~w + Ye~zw — 1) dw,
где нижняя граница интеграла может быть выбрана произвольно и сделана
равной нулю. Тогда точка г = 0 соответствует точке £ = 1; следовательно,
247
есть точка, обозначенная через z4. Интегрирование первого члена выраже-
ния, найденного для z, производится непосредственно; чтобы проинтегри-
ровать второй, введем вместо w переменную интегрирования У e~2w— 1.
Таким образом получим
z = 1 — e~w — + arctg / <Е2иГ=^1, (8)
где arctg для w = 0 обращается в нуль. Отсюда надо определить границы
области 2.
Если = 0 и <р изменяется между 0 и —оо, то из (8) следует, что
х = 1 __ е-ф _ 4- arctg /F2*"— I, у = О,
где корень (как всякий действительный корень) положительный, и arctg
лежит в первом квадранте. Это уравнение представляет отрицательную
ось х, которая образует твердую стенку. Отсюда для <р = — оо и ф = О
имеем
х = 1 — 2е~ф + , У = 0.
Если ф имеет постоянное бесконечно большое отрицательное значение, и
ф возрастает от нуля до л, то
х = 1 — 2е ф cos ф + ~ ,
у — 2в-<₽ sin i|).
При этом заключении мы предположили, что arctg и, т. е.
и
С du
1 + ’
о
не изменяет своего значения, когда точка и двигается по бесконечно уда-
ленной прямой. Уравнение (9) представляет полуокружность, центр кото-
рой имеет координаты х=1+”,у = 0, и радиус равен 2е—Ч!. Через эту
полуокружность жидкость течет к центру со скоростью, равной обратной
величине ее радиуса. Для ф = — оо и ф = л имеем
х = 1 + 2е“<р + п-, у = 0.
Если ip — л и ф лежит между — оо и нулем, то
х = 1 4- е~ч + у е~2<р — 1 4- л — arctg р/”ё~гч>— 1, у— 0,
где опять arctg надо выбрать в первом квадранте. Эти уравнения пред-
ставляют часть оси х между точками х = 2 4- л и х = оо; ось также
должна быть твердой стенкой. Для = л, ф = 0, так же как для
ф = 0, ф = 0, как это вытекает из уравнения (7), -- = оо; w — 0 и
dw
w — оо являются единственными двумя точками области w, в которых это
имеет место. Отсюда следует, что точка х = 2 4~ л, у = 0 должна быть
обозначена через z3. Если ф = л и <р положительно, то, так как
arctg iu = z-lg-----
2 1 — и
248
и у теперь должен быть отрицательным, мы получим
х — 1 4- е 45 + л,
1 !а 1 + V
2 Ь 1-У\_е~2*
Эта линия есть свободная граница струй.
Для т|> =- л, <р = -]- оо имеем
х — 1 + л, у = 1 — 1g 2 — ф.
Пусть ф будет постоянной бесконечно большой положительной величи-
ной, a гр пусть убывает от л до нуля; тогда
х = 1 + ч|5;
у = 1 — 1g 2 — ф.
Эти уравнения представляют линию длиной л, параллельную оси х, для
которой у ~ — оо. Через эту линию жидкость течет со скоростью, рав-
ной единице, в направлении отрицательной оси у.
Для ф = + °° и = 0 имеем
х = 1, у = 1 — 1g 2 — ф.
Положим, наконец, гр = 0 и ф положительным; тогда получим
х = 1 — е
У =
1 —е-2’’— 1 lg-1 + VA-e Z
2
Представленная этими уравнениями линия есть вторая свободная гра-
ница струй. Положив в этих уравнениях Ф = 0, мы возвратимся таким
образом к точке г = 0, от которой мы исходили при нахождении границ
области z.
§ 4
Перейдем теперь к задаче, для которой только что рассмотренный слу-
чай является частным. Область w будет ограничена, как прежде, линиями
гр = 0, ф = — оо,
гр = л, ф = + оо;
область же £ ограничена дугой круга (описанного из точки £ = 0 ради-
усом, равным единице), имеющей длину а; в концевых точках дуга £ имеет
значения £3 и £4. Эту область £, на основании разъяснения, сделанного в
связи с уравнением (9) предыдущей лекции, можно отобразить подстанов-
кой
Л
7 __
л — ъ
на область переменного Z, которая ограничена полукругом с радиусом,
равным единице, продолжением радиусов, проведенных в его конечные
точки, и бесконечно большой концентрической полуокружностью. Значения,
249
которые получает Z для = аз и ^ = ^4, мы обозначим через Z3 и Z4,
так что
Л л
___ <- а у ______ ci
3 — t>3 » ^4 — •
bio область Z на конечном расстоянии совпадает с областью и, которую мы
рассмотрели в предыдущем параграфе, а поэтому ее можно изобразить на
области w уравнением
z-z3\2 = к ew-C
Z — Zt) ew—C'
в которое перейдет уравнение (6). Отсюда следует такое соотношение
между t, и w:
ew — C
= К--
е”-?
(Ю)
Обозначим опять через щ и £3 произвольно выбранные точки границы
области С, для которых
Ф = — оо и <р = + если сверх того мы
определим еще две точки границ областей £ и w как соответственные
одна другой, то найдем постоянные /(, С, С.
Возьмем точку в бесконечности, £2 — на дуге круга, описанного ра-
диусом, равным единице. Соответствующие области £ и z показаны на фиг. 3.
Части области г, для которых ф = — оо или ф = 4~ оо, лежат в бес-
конечности. Твердые стенки прямолинейны на всем протяжении и имеют
направление р3 и р4. Струя в беско-
нечности имеет направление р3 и
ширину л.
Рассмотрим еще один особый
относящийся сюда случай. Пусть
будет
<х = 2л, £3 = ^4 — i, == i
и для w == 0
£ = г, z — 0.
Фиг. 4
Области £ и z представлены на
фиг. 4.
250
Применив уравнения (10), мы введем величины и хотя ?3
и равны между собой, корни и /i;4 не будут равными — они
противоположны. В самом деле, один из них можно перевести в другой
по пути, лежащему в области точки £. Поэтому, а также вследствие усло-
вий, что
ДЛЯ ф = — оо £ = оо,
ф — + ОС £ = — i,
w = 0 £ = I,
приведенное выше уравнение перейдет в
/УГг:УГ\2 __ i-ew
m+ ~ i + e” ’
г. е.
УГе~а-'г1 =о.
Сумма двух значений уХ, которую отсюда получим,"равна 2]/"7е~”,
произведение их равно + i; сумма двух значений £ равна 2г(2е-2а’—1) и
их произведение равно — 1. Поэтому для £ имеем уравнение
— 2^i(2e-2w — 1)—1 = 0, ~
из которого следует \
£ = (ге"20' - 1 + 2e~w Уе~™ -~1). |\ \
Знак входящего сюда корня определен тем, что при \ \
Ф — — оо должно быть £ — оо, но не £ = — оо. \ \
Сле довательно, из уравнения
О»
2 = £ dw
будем иметь Фиг- 5
z = — Z[<Г™ ч- w- 1 + /7^-1 _ ]g + j"] ,
причем для w = 0 логарифм обращается в нуль.
Когда ф = 0 и ф убывает от нуля до — оо, то по предыдущему будет
х = 0,
У = — [е-2<р + ф — 1 4- е~ч |/ е~2<₽ — 1 —1g (Уе-2<₽ — 1)].
Эти уравнения представляют отрицательную ось у.
Когда ф имеет постоянное бесконечно большое отрицательное значение
и ф возрастает от нуля до л, то
х — — 2е'-2ф sin 2ф 4- 2ф.
у — — 2е~3<р cos 2ф — 2ф -4 1 4- 1g 2.
Если ф =- л и ф отрицательно, то
х = 2л,
У = - [е~2<₽ 4- Ф - 1 + е~*Уе~^-\ - 1g /е^-1) |.
251
Эти уравнения представляют вторую твердую стенку, которая, следо-
вательно, находится на расе ояяии 2л от первой. Ширина струи на осно-
вании предыдущего общего исследования равна л.
Рассмотренный случай жидкой струи был впервые математически обра-
ботан Гельмгольцем*.
Дадим точке с2 на круге р = 1 другое положение, не вводя никаких
других изменений в предположения, принятые на фиг. 5; тогда границы
области z будут такой формы, как представлено на фиг. 5. Эти границы
пересекаются; соответственное им движение жидкости невозможно.
§ 5
Теперь сделаем относительно области w другое предположение. Пусть
область w ограничена линиями
. л
ф = — у , Ф = — ос,
Ф = + 2 > Ф = + °°
и обеими сторонами линии, для которой
ф = 0 и ф > 0.
Приводимое ниже исследование покажет, что эту область можно также
изобразить на серпе.
Область, которая получится из этой, если не считать линию ф = 0,
<р > 0 принадлежащей границе, изобразим на круге плоскости Z уравне-
нием
tw 1 -4- Z
6 ,
1 — Z
(П)
причем так, что для
Ф = — оо, Z — — 1,
ф = ф- оо, Z = -f- 1,
w= i —, Z — i.
2
Радиус круга в этом случае равен единице, его центр есть точка Z = 0,
которая соответствует точке w = 0. Когда ф = 0, ф > 0, Z действи-
тельно и меньше единицы. Линии ф = 0, ф > 0 соответствует радиус,
проведенный из точки Z = 0 в точку Z = 1. Следовательно, уравнение (11)
отображает область w, введенную в начале этого параграфа, на область
переменного Z, которая ограничена упомянутым выше кругом и радиусом.
Эту последнюю область при помощи соотношения
Z = Z'’
отобразим на полукруг радиуса R =
л
равен — ,
при вершине этого серпа
1 в плоскости Z', как на серпе; угол
и для его вершины Z' = ± 1. Следо-
* Monatsberichte der Berliner Akademie. April. 1868.
252
вательно, рассмотренная выше область w отобразится на этом серпе со-
отношением
w 1 -j- 7,'
е = —1—г
1-z-
и, согласно разъяснению, сделанному в § 5 двадцать первой лекции, может
быть отображена на всяком другом серпе, и притом так, что три любые
точки его границы будут соответствовать трем любым точкам границы дру-
гого серпа.
В качестве границ области £ возьмем опять полукруг радиуса, равного
единице, и бесконечно большую дугу круга и примем, что если *2,
есть три точки полуокружности, то
для ф = — оо £ = £i,
ф < 0, ф = + оо £ = £2,
ф > 0, ф = + оо £ = ;3.
В этом случае легко уяснить общий характер области z. На фиг. 6 пред-
ставлены области w и z.
Из бесконечности приходит струя, которая там имеет ширину л, ско-
рость, равную единице, и направление радиуса рг; в бесконечность ухо-
л
дят две струи, которые там имеют
ширину
скорость, равную едини-
це, и направления р2 и р3. Границы первой струи переходят во внешние
границы последних по линиям, соответствующим дугам круга ^^2 и u^g.
Внутренние границы двух струй, уходящих в бесконечность, переходят
одна в другую по линии, которая является частично свободной границей,
частично твердой стенкой. Концы последней соответствуют вершинам об-
ласти t, и некоторым двум точкам области w, для которых ф = О, ф > 0.
Вся стенка находится на конечном расстоянии и представляет прямую,
параллельную бесконечно большой дуге границы области £, поскольку
последняя лежит на конечном расстоянии. В этой области находится точка,
соответствующая точке w = 0, где скорость равна нулю, и линия тока
раздваивается.
Изучим подробнее еще один случай, хотя частично мы его уже рас-
сматривали.
Пусть границами области £ будут те границы, которые представлены
на фиг. 6, но область w будет бесконечной плоскостью, которая ограни-
чена двумя сторонами линии ф = 0, ф > 0. При этом пусть будет для
W = оо £ — — I,
w = 1 £ = ± 1;
253
последнее условие выполнено, так как точка а> = 1 встречается дважды
в границе области w и поэтому должна соответствовать двум точкам об-
ласти £. Соотношение между w и с помощью которого области обоих
переменных отображаются одна на другую, легко найти из следующего
рассуждения. Соотношением
w — Z2
область w будет отображена на полуплоскости Z таким образом, что для
W ~ оо Z — оо,
1 Z = ± 1.
Эта область Z есть круг бесконечно большого радиуса; на нем серп, вос-
производящий область ?, изобразится при помощи соотношения
/1 —_ 1 —z
'Г+1/ ~i + z’
так что будет
£ = — Z, Z = ОС,
c = +l, Z-+1,
£ = -1, Z = -l.
Отсюда получим соотношение между £ и w
/1 —= 1 —УЙ>
U+d i + Vw'
Отсюда найдем
1=0;
V W
следовательно,
(12}
Определим знак второго корня (из двух значений, входящих сюда), при-
няв, что » Для оо; знак первого же определится тем, что для
w = 0 £ бесконечно, а не равно нулю, так как в области £ нет значений,
модуль которых был бы меньше единицы. Положив еще, что z и w обра-
щаются в нуль одновременно, мы получим из (12)
1 + arcsin Ук/,
где arcsin равен нулю для w — 0. Для твердой стенки Уш” действителен
и изменяется от —1 до +1; следовательно, для нее у = 0, а х изменя-
ется между
— 2—— и 2 + — .
2 2
Фиг. 7 представляет для рассматриваемого случая области и г
254
Поток бесконечно большой ширины, всюду имеющий в бесконеч-
ности скорость, равную единице, и направление отрицательной оси у,
встречает стенку шириной 4+л, перпендикулярную к оси у; по свобод-
ным границам, идущим от концов стенки, он соприкасается с покоя-,
щейся жидкостью.
Фиг. 7
§ 6
Теперь мы произведем исследование давления, испытываемого твер-
дой стенкой при таком движении жидкости, какое было изучено в дан-
ной лекции. Давление р в какой-нибудь точке движущейся жидкости,
определим из уравнения (1):
р == С—
В покоящейся жидкости давление постоянно; "'мы обозначим его че-
рез Со. На свободной границе движущейся и покоящейся жидкости, по
обе ее стороны, давление одинаково и равно р = 1. Отсюда следует, чтс
Со-С —-,
0 2
так что
Пусть теперь dl будет элементом стенки, которая с одной стороны
соприкасается с движущейся жидкостью, а с другой — с покоящейся.
Превышение давления первой жидкости над давлением второй, которое
испытывает стенка, мы будем называть для краткости давлением на эле-
мент dl:
Чтобы с помощью этого выражения вычислить давление на конечную
часть стенки или на всю стенку, целесообразно ввести как переменную
интегрирования w. Как мы уже видели в конце § 2, dl = pdcp, или, так
как для стенки ф = 0, то dl — pdw. При этом заметим, что dtp и dw,
так же как dl, должны быть взяты положительными. Тогда давление,
испытываемое элементом dl, равно
1 / 1 \ ,
— р--------dw.
2 V р 7
255
Для дальнейшего вычисления мы ограничимся случаем, когда стенка
прямая и параллельна оси х. Тогда на ней £ действительно, и, следова-
тельно,
Р = + *>
где знак должен быть определен условием, что р положительно.
Следовательно, давление, испытываемое всей стенкой, равно
где интегрирование распространено на всю стенку, и знак должен быть
выбран так, чтобы все элементы интеграла были положительны.
В случае, изображенного на фиг. 5, вследствие уравнения (12) имеем
I /4-М -1/(~Г
2 с U и ш Е
Так как на протяжении стенки возрастает от —1 до 4-1, то да-
вление, испытываемое стенкой, в этом случае равно л.
§ 7
Теперь, наконец, мы освободились от некоторых предположений, сде-
ланных в этой лекции с целью упрощения формул.
В уравнении, представляющем движение жидкости рассматриваемого
w
вида, введем - вместо w, где п — положительное постоянное; тогда но-
п
вое уравнение представит движение, в котором линии тока останутся
прежними, скорость всюду будет пропорциональна п, давление, испыты-
ваемое стенкой, пропорционально /г2.
n z w
Введем в то же уравнение и вместо z и w, где т опять поло-
zn т
жительное постоянное: тогда это видоизмененное уравнение представит
новое движение, в котором линии тока подобны прежним, а скорость в
соответственных точках та же. Линейные размеры линий тока пропорцио-
нальны т, также пропорционально пг и давление, испытываемое стенкой.
Если плотность жидкости равна не единице, а у., то давление, испы-
тываемое стенкой, пропорционально у. Возвратимся еще раз к исследова-
нию течения, изображенного на фиг. 5, но положим, что I есть длина
стенки, и — скорость движения жидкости на свободной границе или в
бесконечности, у. — плотность жидкости. Тогда давление, испытываемое
твердой стенкой, равно
ЛЕКЦИЯ ДВАДЦАТЬ ТРЕТЬЯ
(Движение воздуха или другой сжимаемой жидкости, на частицы которой не дей-
ствуют никакие силы. Случай, ко^да существует потенциал скоростей, и скорость
есть величина бесконечно малая. Вывод условий, определяющих потенциал ско-
ростей. Плоские волны; отраж.ение последних. Шаровые волны. Вычисление по-
тенциала скоростей из начальных данных для случая, когда воздушная область
безгранична. Движение неизменяемого шара в воздухе. Колебания шара. Интен-
сивность производимых тонов. Колебание двух малых шаров)
§ 1
До сих пор мы изучали движение жидкости только в предположении,
что ее можно рассматривать как несжимаемую; теперь будем учитывать
изменение ее плотности. К явлениям, которые нам придется здесь изу-
чать, относятся преимущественно ззучовыг колгбания воздуха. Будем под
жидкостью здесь подразумевать воздух, хотя производимые вычисления
пригодны для всякой жидкости. Предположим, что существует потенциал
скоростей, что силы не действуют и скорость всюду изменяется непре-
рывно. Обозначим для точки (х, у, z) в момент t через ср потенциал ско-
ростей, через р — давление, через ц — плотность. Тогда из уравнений (20),
(21) и (6) пятнадцатой лекции получим
где обозначенный через Р интеграл можно вычислить из соотношения,
существующего между р и ц, прдчем нгжний предел интеграла может
быть выбран произвольно. Мм ограничимся исследованием случая, когда
скорости, так же как изменения давленая и плотности, можно рассмат-
ривать как бесконечно малые. Прежде всего тогда можно положить
dp = a2dy,
(4)
где через а обозначено положительное постоянное, которое, как мы уви-
дим, представляет скорость распространения звука в воздухе. Положим
далее
р, = |д.0(1 + о), (5)
причем под ц.о мы будем понимать постоянное, бесконечно мало отличающе-
еся от у,; величину о мы назовем сгущением в точке (х, у, г) в момент t.
]7 Г. Кирхгоф
257
Примем во внимание только члены низшего порядка; тогда, полагая,
что о и Р одновременно обращаются в нуль, из (3), (4) и (5) будем иметь
Р = а?о,
а из (1) и (2)
+ а2 о = О,
dt
(6>
дз + дф = о.
dt
Отсюда найдем для <р дифференциальное уравнение в частных производных
д = а2Дф.
(7)
„ „ dtp д® д®
По определению потенциала скоростей, , , Y являются компонен-
dx dy dz
тами скорости, и по уравнению (6) выражение— 1 ^Ф есть сгущение в
a2 dt
точке (х, у, г) в момент t. Поэтому все эти величины будут найдены,
если известна ф как функция х, у, z, t с точностью до постоянного,
независимого от этих четырех аргументов. Докажем, что уравнением (7)
Ф вполне определено, если Ф и будут даны для t = 0 как функции
х, у, z, и для всех элементов поверхности, ограничивающей рассматри-
дф
ваемую массу воздуха, -
dn
будет дано как функция /, и ф будет пред-
положено непрерывным. Обозначим через dx объем, занимаемый элемен-
том массы воздуха в момент t; умножим уравнение (7) на d(f dx и про-
интегрируем по т. Тогда уравнение (7) перейдет в следующее:
J С / _ 2^2 С Дф^х (g}
dt J \dt / j dt
так как член, который при раскрытии левой части (8) появится в ней
вследствие того, что dx изменяется с временем, будет высшего порядка
малости сравнительно с остальными членами. На этом же основании будем
иметь
-- С Г('ЛП2+
dt J Цм / \ду J \dz J J
c/ddcp- дйф
= 2 ) I d - • дф _1_ JL
\ dx dx dy
ddcp
dtp dt
dy dz
dfp dx.
dz '
Правая часть этого уравнения, а вместе с нею и левая, на основании
выраженной уравнением (14) шестнадцатой лекции теоремы Грина, равна
9 С дф
~ idt
Д ф dx — 2 дф
,) dt dn
где через ds обозначен элемент поверхности массы воздуха и через
п — направленная внутрь этой массы нормаль к ds', это предложение
применимо также и в том случае, когда ф многозначно, так как все
258
производные <р по х, у, г и t однозначны. Поэтому уравнение (8) при-
мет вид
dx = — 2
dtp dtp
dt дп
ds.
Это выражает теорему живых сил для случая, который мы рассматриваем.
Если для всех элементов поверхности, при всяком значении времени,
= 0, то найденное уравнение интегрируется и дает
дп
f Г1 / / а₽ v+ \2+ (W] dx = с,
J |_а2 \^ / \дх ) к ду) \ dz / J
где С — не
зависящая от t величина. Если для t — 0 всюду ф и обра-
щаются в нуль, то С — 0. Тогда ф не зависит от х, у, г, t, т. е. всегда
и везде <р = 0. Итак, мы докажем, что если ф удовлетворяет дифферен-
циальному уравнению (7), для t = 0 функции <р и обращаются в нуль,
dt
и на поверхности для всякого значения времени
dtp =0>
дп
ТО,
вообще.
Ф = 0. Отсюда следует, что если и <р2 удовлетворяют уравнению (7),
для t = 0 имеют место равенства
dtp, dtp2
Ti = ф-2 и у = ,
dt dt
и на поверхности будет
depi________________________________dtpa
дп дп
то, вообще, имеем
<Р1 = Фа-
Для некоторого промежутка времени для каждой точки массы возду-
ха ф можно выразить более простым образом через значения ф и -Ф , к0.
dt
торые они имеют в начальный момент. Чтобы показать это, воспользуемся
частным решением уравнения (7), которое выведем в следующем пара-
графе.
§ 2
Предположим, что ф не зависит от х и у\ тогда уравнение (7) перей-
дет в следующее:
(9)
Положим
х = г — at, у = z + at,
причем величинам х и у дано новое значение; тогда получим
= а21 52f₽ । й2<р _ 2 й2фЗ
dt" kdx2 ду"- дхду)'
d2tp _ d2tp . d2tp . 9 d2tp
dz2 dx2 dt/2 дхду'
следовательно, уравнение (9) примет вид
* У = о.
дх ду
17
259
Отсюда следует, что 5cp- не зависит от у; поэтому ф должно быть суммой
дх
функции х и функции у. Следовательно, общим решением уравнения (9)
будет
Ф = Л1(г — at)+F2(z + at), (10)
где Fj и F2 означают произвольные функц ни указанных аргументов.
Положим, что
Ф — Fj (z — at),
я Fj имеет переменное значение только тогда, когда аргумент лежит
между нулем и е. Тогда в момент t ф имеет переменное значение только
тогда, когда z лежит между at и at + е, и именно то самое значение,
которое должно быть для этого момента t. Говорят: волна постоянной
формы распространяется в направлении оси z со скоростью а.
Если
Ф = Г2(г + а/),
F2 имеет переменное значение только тогда, когда аргумент лежит вну-
три некоторого интервала, то мы имеем волну, которая распространяется
с той же скоростью в противоположном направлении. Самое общее дви-
жение, представляемое уравнением (10), соответствует случаю, когда име-
ются две волны или две системы волн, которые распространяются со
скоростью а в направлении оси z и в противоположном.
Предположим, что имеется твердая стенка, для которой z = I, так что
для этого значения z всегда должно быть = 0. Пусть для рассматри-
ваемой массы воздуха 2<СЛ и положительно, и пусть в момент t = 0
имеется одна волна, которая движется в направлении оси z, но не дости-
гает этой стенки. Тогда для t = 0 и для достаточно малых значений t
имеем
Ф = Fi (z — at);
функция Fj(x) будет при этом определена для всех значений х, которые
меньше I, с точностью до добавочной постоянной, через сгущения или
через скорости, которые имеют место в момент t = 0. Она будет вполне
определена для этих значений х, если мы еще примем, что Fj(x) = 0,
когда х близко к значению I. Применим уравнение (10) к нашему случаю;
тогда мы должны положить F2(y) = 0 для всех значений у, меньших I;
для больших значений аргумента определим F2 из условия, которое
должно быть выполнено для z = I.
Действительно, обозначим через Fx и F2 производные от Fr и F2, взя-
тые по их аргументам; тогда для положительных значений t должно быть
FJ/ — at)+ F'2(lat) = 0,
или, если положим, что для всех значений у, больших I, y = l-\-at, то
/ч(*/) = — Fit'll —у).
Проинтегрируем это уравнение, умножив его на dy и выбрав постоянные
интегрирования так, чтобы Г2(у) оставалась непрерывной при у = /;
тогда получим
F2 (г/) = Ft (2/— г/).
Это уравнение применимо только для случая, когда у > /; его можно
распространить также и на случай, когда y<ZP в котором F2((/) = 0,
«ели F1(x), определенная до сих пор только для значений х, меньших,
260
чем I. Мы примем значения х> I равными нулю. Тогда в общем случае
будем иметь
ф = F^z — at) + Л (2/ — z — at). (11)
Второй член в этом выражении представляет волну, которая движется в
направлении, противоположном оси z; о ней говорят, что она отражен-
ная, так как она возникает вследствие отражения от стенки при z = I.
Мы еще упростим рассматриваемый случай, предположив, что I беско-
нечно велико и Fi(x) обращается в пуль для бесконечно больших поло-
жительных значений х. Тогда для конечных значений t уравнение (11)
будет
Ф = Fi (z —at),
т. е. движение происходит так, как если бы стенки при z = I не было
Для бесконечно больших значений t последнее уравнение неприменимо
В любом месте оно удовлетворяется до тех пор, пока отраженная от
стенки волна не достигнет его.
Мы исследовали плоскую волну, теперь рассмотрим сферическую.
Положим
г = /х2 + у2 + z2
и допустим, что, помимо t, ф зависит еще только от г. Так как в этом
случае
Д<р = ^+1 ,
<Эт2 г дг
то уравнение (7) перейдет в
^Ф _ а2 / ^ф ! 2 Лр \
dt2 [дг2 ~г дг Г
или, по умножении на г, в
# (фг) _ а2
dt2 дг2
Это уравнение того же вида, как (9); его общим решением является
Ф = — Fi (г — at) + -- F2 (г + at), (12,
Г г
где Fi и Fs — по-прежнему произвольные функции.
Этим уравнением представлены две системы шаровых волн, из кото-
рых одна распространяется от начала наружу, другая же идет снаружи
к исходной точке со скоростью а. Но при распространении этих волв
скорость и изменение плотности не повторяются от волны к волне, кам
в случае плоских волн. Вследствие множителя , эти величины пр>-
г
расширяющихся волнах убывают, а при сходящихся возрастают.
§ 3
Теперь все подготовлено к доказательству предложения, сформулиро
ванного в конце § 1. Пусть U и V — две функции прямоугольных коор
динат х, у, z, которые вместе со своими первыми производными непре
рывны внутри ограниченного односвязного объема, dx — элемент этогс
объема, ds — элемент его поверхности и п — направленная внутрь нормалк
к ds. Тогда по теореме Грина имеем
[dx(UtW — VbU) = {ds (vdU — U—\.
J j \ дп dn J
В этом уравнении положим U равным потенциалу скоростей ф, здесь
рассматриваемому, т. е. удовлетворяющему уравнению (7), и выберем V
гак, чтобы было
*V = t№.
dt'1
Тогда имеем
Сс/т(фДУ—ИДф) = 1 ^с/т(ф5^ —
J a2 J I df1 dt2 I
1 де. dV dm \
= - - \ Л । q>----V М ,
а2 Л J \ dt dt /
и, следовательно, получим, если обозначим через Т любое значение /,
taf*(vs<p^<Psl'') = 1 :г (i3)
J J \ дп дп I a2 I J V Л dt IJ
о о
Зозьмем начало координат в любой точке объема воздуха, к которому
относится ф, и положим
V = -(r4-a-) t г = Ухг + у* +??
Г
Из смысла уравнения (12) следует, что V удовлетворяет установленному
для него дифференциальному уравнению в частных производных. Отно-
сительно функции F мы примем, что она имеет отличные от нуля значе-
ния только тогда, когда ее аргумент лежит между at' и at' + е; здесь
функция F положительна. Пусть при этом
О at' at' + s < аТ,
ut'+г
f F(r)dr — 1
at"
и 8 бесконечно мало. Тогда F{r) дол к аэ иметь бесконечно большое зна-
чение порядка 1 . Огранич im объем, элемент которого </т, двумя шаро-
е
выми поверхностями, общий центр которых лежит в начале координат.
Радиус одной из шаровых поверхностей бесконечно мал по сравнению с 8.
Радиус другой — R равен кратчайшему расстоянию от начала координат
до поверхности объема воздуха, к которому относится ф. Величина f
должна быть при этом выбрана так, чтобы
at ' -р 8 R.
Прежде чем с учетом этих предположений раскрыть уравнение (13),
гаметим, что интеграл
-ф^к
\ дп дп '
распространенный по шару рад!уса R, обращается в нуль для всех поло-
, 1/ dV dV\
жительных значении I, потому что и и । или, что то же самое,—
дп \ дг /
для них равны нулю. Интеграл,!, распространенные по бесконечно мало-
му шару, равны
£ ds Vdtf = О,
J дп
dsq> = — 4лф0/; (at),
J дп
262
где <pn — значение <р в точке г — 0 в момент t, как в этом легко убедим-
ся, если выразим ds в полярных координатах. Поэтому, произведя интег-
рирование по t, найдем, что левая часть уравнения (13) равна
4 л
а
Фо.
где фп относится к моменту f.
Выражение, стоящее в прямых скобках правой части уравнения (13),
обращается в нуль при t = Т, потому что V и при этом равны нулю.
dt
Чтобы вычислить значение этого выражения при t = 0, введем полярные
координаты г, со и обозначим через F' производную функцию F по ее
аргументу. Тогда правая часть уравнения (13) будет
s'n ftdutrdr — а?' (г)ф] .
где на до положить t = 0 в ср и в и интегрировать по 0 от нуля до л,
dt
по ю — от нуля до 2л и по г — от нуля до R.
Интегрирование по г можно выполнить. Действительно, имеем
\rdrF^ = at' Лр,
J v dt dt
о
R R
rdrF’ (r) <p = [rcpF(r)]R — \ d (r<₽^ F (r)dr —— д ,
J о dr dt'
о 0
где в <p и д'Р в правой части равенства положено г = at'. Поэтому урав-
нение (13) дает
4лф0 = sin О dt} dw 4- д .
Это выражение определяет значение ф в точке г = 0 в момент t по
значениям J на шаровой поверхности и значение ср в точках, олизких к
шаровой поверхности, описанной радиусом at' вокруг точки г = 0. в мо-
мент /. Эга точка может быть прэсззальнэ выбрана в рассматриваемом
оба.емс воздуха и t' также может быть взято произвольно, тол&ко оно
должно лежать в интервале от нуля до . Если ф и при t = 0 да-
fl dt
ны всюду, то таким образом можно определить ф в каждой точке и для
некоторого промежутка времени. Есл i объем воздуха рассматривать как
беспредельный, то тогда ф определ ыся вполне.
§ 4
Раньше мы нашли движение твер (ого тела в неподвижной жидкости,
предполагая, что ее можно рассматривать как несжимаечуо. Теперь мы
рассмотрим движение твердого тела при простейших предположениях,
учитывая изменение плотности жидкости. Рассмотрим движение, для
которого
д Г/7 (г — at) 1 ,.
Ф = ” . (14)
дг |_ г J
где через г по-прежнему обозначена л шля, проведенная из начала коор-
динат в точку, к которой относится ф; F — некоторая функция, которой
263
мы можем произвольно распорядиться. Это выражение можно принять
за потенциал скоростей, так как око удовлетворяет уравнению (7). Рав-
нозначащим уравнению (14) будет уравнение
д
дг
Г F (г — at) 1 дг
L r J dz ’
ИЛИ
д Г F (г — at) 1 „
ф= — —-------- | COS V,
если мы обозначим через О угол между направлением оси г и г. Тогда
dtp
компоненту скорости частицы воздуха по направлению г, т. е. , опре-
дг
делим из уравнения
d<p _ d=
dr ~ dr2
COS ft ,
Пусть R будет частное значение г и
^[F{RR =f(0' (15)
Тогда для г = R имеем
5<р = f (0 cos ft-
dr 1
Отсюда следует, что уравнение (14) годится для случая, когда твердый
шар радиусом R, центр которого расположен бесконечно близко от нача-
ла координат, движется в направлении оси z так, что f (/) есть его бес-
конечно малая скорость в момент Z. Если f—произвольная функция, то
уравнение (15) послужит для определения F. Действительно, обозначив
первую и вторую производные функции F по ее аргументу через F' nF',
будем иметь
I 1 = i F{R~at)aF>+i r(R-at>>-
oH* L A J А А2 К
Положим
F (R — at) = U(f), или, короче,
rr, n t\ i cU a,f t п /\ d2tJ
тогда получим r (R — at) =- , F (R — at) — — - ,
a dt a2 dt2
и уравнение (15) примет вид
R3 aR2 dt a':R dt2
Интегрирование этого уравнения не представляет никакой
Пусть A,j и Х2 будут корни квадратного уравнения
2 +2 а К + А,2 == О,
R2 R
т. е. пусть
“ (1 + 0. “ (1 - о, i =
А А
тогда будем иметь
(16)
(17)
трудности.
U = + U2e^,
264
если иг и иъ будут определены как функции t из уравнений
= о,
dt dt
К dU1 eKlt + ^2 -2 = a2Rf (t),
dt dt 1 v ’
т. e. если
>1-*2 J AJ-?! J
где нижними границами обоих интегралов являются произвольные посто-
янные. Если определим U, то <р найдем из (14) и (16); второе из них
дает
F(r — at)=U (t-r^-}. (18)
\ й /
Предположим относительно функции f(Z), что она обращается в нуль при
всех отрицательных значениях t, т. е. что шар начинает двигаться в мо-
мент t = 0. Положим одновременно, что нижний предел обоих интервалов
в выражениях Щ и U2 равен нулю; тогда U (0 обратится в нуль при всех
отрицательных значениях t\ также обратятся в нуль ф и при t = 0 и
при г > R. Следовательно, сделанные предположения соответствуют случаю,
когда при t = 0 скорость и сгущение для всех частиц воздуха равны нулю.
При этом
F (г — at) = 0, если at < г — R\
любая частица воздуха остается в покое, пока существует это неравенство.
Для положительных значений tf(t) может еще быть выбрана произвольно.
Предположим для нее
НО = с,
где с означает постоянное, или (что в результате приводит к тому же)
предположим, что в то время, как t возрастает от нуля до бесконечно
малого значения, f(t) растет непрерывно от нуля до постоянного значения с
Тогда получим
и (0 = [ -1 - 1) - 1 (ew_ 1) 1 ,
Aj — Л2 L Ai Aj J
или, если ввести значения и Х2,
Отсюда по (18), при at > г — R, имеем
г г~%~
с/ л Л3с , r ’ 1г—R — at . л\1
F(r —а/) = —I 1—* cos --------------------+ -Н.
Для очень больших значений t будет
г- / А Я3с
F (г — at) = — ,
и потенциал скоростей получит то же значение, как прежде, при нахож-,
дении движения шара в несжимаемой жидкости.
Так же легко вычислить U и в том случае, если для положительных
значений t будет
f (/) = с cos v.at, (19)
265
где х — постоянное. Мы легче придем к цели, если воспользуемся заме-
чанием, что функция, принимаемая за /(/), представляет действительную
часть выражения ceixut', введем эту показательную функцию вместо f(t) в
выражение для U и затем удержим его действительную часть. Этот спо-
соб верен потому, что если мы положим f (Г) равным сумме двух функ-
ций /, то получим для U сумму таких выражений, которые будут иметь
место для U, если положить f (/) равным той или другой из предыдущих
функций; сверх того, U должно быть действительно, если действительно
f(/). Тогда найдем, что U (t) равно действительной части выражения
Отсюда для очень больших значений t получаем
U = A cos х it 4- В sin х it,
(20)
где А и В—постоянные. Так как это выражение для U есть действитель-
ная часть выражения
(Л — IB) (cos xnZ 4- i sin xa/),
то она должна удовлетворять уравнению
№ . I I ________________
2 14-х/? — 1 1 — -X.R+ 1
или уравнению
RV
А — 1В =----------------------,
2 — X2/?2 + ily.R
откуда следует, что
А = R*c 2 - K'R2 ,
4 + х4/?4
В = R*c 2*R - ,
4 4- х4/?4
/Л2 4- В2 = Rc
/4 4- X4/?4
Эти значения легко найти также из уравнения (17), если подставить
туда выражения f (I) и U из (19) и (20).
Для потенциала скоростей, пользуясь (18) и (14), из (20) получим
д Г . cos х <г— R—al) sinxlr — R — at) 1 „
<p = Л---------------------- — В------------------- COS 0. (21)
dr [ г г J
При движении воздуха, как оно представлено этим уравнением, если
ха лежит между известными границам!, существует простой топ. Высота
тона обусловливается названной выше величиной, или, что то же самое,
продолжительностью колебания частицы воздуха; определим эту величину
как продолжительность двойного колебании, т. е. 2я/хд. Обратное этому
количество называется числом колебан ш тона. Протяжение, на которое
распространяется волна за время одного колебания, т. е. 2^/х, называется дли-
ной волны тона. Под интечеивность'о тона известной высоты мы будем
подразумевать величину, которая пропорциональна квадрату наибольшего
сгущения частиц воздуха, т. е. пропорциональна максимальному значению,
, др \2
которое получает К 1 для определенного момента времени. При движе-
266
нии воздуха, представленном уравнением (21), интенсивность тона зависит
от г и 0; от г — довольно сложным образом. Что касается О', то интенсив-
ность просто пропорциональна cos2 О'. Следовательно, она равна нулю в
плоскости, проведенной через центр колеблющегося шара перпендикулярно
к направлению колебаний.
§ 5
В восемнадцатой лекции мы разобрали случай, когда два бесконечно
малых шара движутся в несжимаемой житкосги. В этом случае для всех
частиц жидкости, не лежащих бесконечю близко к этим шарам, потенциал
скоростей можно положить равным сумме значений, которые он имел бы,
если бы в жидкости был только один из двух шаров. Если же жидкость
изменяет плотность, то это не имеет места. Представим себе.два беско-
нечно малых шара равных размеров, центры которых совершают беско-
нечно малые маятникообразные колебания но оси z, так что скорости их
в каждый момент равны и противоположны по направлению. Пусть г и
г' — расстояния точек, к которым откосится Ф, от центров шаров; движе-
ние воздуха, аналогичное рассмотренному в конце предыдущего параграфа,
при соответствующем выборе начала счета времени, будет представлено
уравнением
д Г sin х (г — at) sin х (г' — at) 1
Ф ~ dz L г 7 J ’
где С — постоянное.
Найдем точки, в которых интенсивность тока равна нулю, т. е. 7
di
всегда обращается в нуль; для них получим
д I sin xr sin хг' \ _g д , cos хг _cos xr' \ g
dz \ г г’ ./ dz V г г' I
Обозначим через р расстояние точки, к которой относится ф, от оси г;
тогда эти два уравнения будут уравнениями между р и г. Поэтому в
общем случае интенсивность тона может обратиться в нуль только на
отдельных окружностях, для которых общей осью является ось г. Но мы
получим поверхность, на которой интенсивность равна нулю, если _ , т. е.
если длина волны тона бесконечно велика по сравнению с г и г'. Тогда
первое из этих двух уравнений будет выполнено всюду, й второе обра-
тится в
д ( 1 — 1 О
dz\r г' !
или в
дг | (z — ср н- к (г + ср ф
если для центров двух шаров будет z = с и z — с. Это уравнение
представляет поверхность вращения, направляющая кривая которой имеет
гиперболическую ф°РмУ> проходит через центры обоих шаров и имеет
л । 1/1
асимптоты, образующие с осью z углы, косинусы которых равны + |/ -
Опытным путем доказано, что вблизи концов звучащего камертона
находятся такие поверхности, по которым интенсивность тона обращается
в нуль.
267
ЛЕКЦИЯ ДВАДЦАТЬ ЧЕТВЕРТАЯ
(Простые тоны. Применение теоремы Грина к потенциалу скоростей простого
тона. Плоские волны. Стояние и движущиеся колебания. Собственные тоны стол-
ба воздуха. Колебания воздуха в открытой трубе. Резонанс. Шаровые волны.
Колебания воздуха в области, размеры котовой бесконечно малы по сравнению
с длиной волны. Кубическая трубка. Вычисление резонанса и высота тона кубиче-
ской трубки для эллиптического или круглого отверстия. Вычисление резонанса
и высота тона цилиндрической трубки при известных условиях)
§ 1
Познакомимся ближе с движениями воздуха, которые соответствуют
простому тону, и установим ряд тех частных решений для применяюще-
гося здесь дифференциального уравнения, которые имеют значительный ин-
терес для акустики, а именно для теории труб. Для простого тона с числом
колебаний п. потенциал скоростей имеет вид
<р = ф'соз2лп^ + ф"з!п2лп/, (1)
где ф' и ф’— функции х, у, г. Из уравнений (7) предыдущей лекции
следует, что каждая из них удовлетворяет дифференциальному уравнению
в частных производных
Д ф + х2ф = 0, (2)
если положим по-прежнему
2лл
X = — .
а
Прежде чем перейти к рассмотрению частных случаев, напомним, что
дает формула Грина по отношению к функциям, которые во вполне огра-
ниченном пространстве удовлетворяют этому дифференциальному уравнению
и вместе со своими первыми производными однозначны и непрерывны.
Решением уравнения (2) будет
cos xr
- *
г
где г — расстояние переменной точки от какой-нибудь постоянной точки.
Это легко доказать непосредственным вычислением или же можно вывести
из уравнения (12) предыдущей лекции. В уравнение, которое является
исходным при исследовании в § 3 предыдущей лекции и выражает теорему
Грина, подставим
причем начало радиуса г предполагается в объеме, в котором ф имеет
указанные свойства; применим эту формулу к тому объему, который
останется от всего предыдущего, если исключить из него бесконечно ма-
лый шар, центр которого совпадает с началом радиуса г. Таким же ис-
268
следованием, какое мы произвели в § 3 предыдущей лекции, и при
простейших предположениях § 4 шестнадцатой лекции мы найдем
cos v.r
д —
. 1 С < , г 1 С j cos xr дф
ф = — \ ахф----------\ as -- ,
4л J дп 4л J г дп
где в левой части равенства ф относится к началу г, и ds означает элемент
поверхности первоначально взятого объема. Мы обращаем внимание на то,
что, как это показывает уравнение, при предположениях, сделанных1 отно-
сительно ф, все высшие производные ф непрерывны.
Рассмотрим теперь случай, когда ф, а следовательно также и ф (мы будем
обозначать как каждую из двух величин ф' и ф"), не зависит от х и у.
Тогда уравнение (2) будет
и его общий интеграл есть
ф = A cos xz + В sin nz.
Поэтому мы имеем
Ф = (Д' cos xz + В' sin xz) cos 2nnt + (A" cos xz + B” sin xz) sin 2лп/, (3)
где Д', В', А", В" — произвольные постоянные. Это уравнение можно
также представить в следующем виде:
Ф = A cos х (z — z0) cos 2лп (t — t0)A~ В sin x (z — z0) sin 2лп (t — tn).
где Д, В, z0, ta — новые постоянные, или, при надлежащем выборе начала г
и начального момента времени,.
Ф = Д cos xz cos 2n.nt + В sin xz sin 2лл/. (4)
Разберем сперва случаи, когда Д, или В, или А — В, или А + В
обращается в нуль.
При В = 0 будет
Ф = Д cos xz cos 2лл/,
= — хД sin х z cos 2nnt,
dz
cr = — -1 <?<₽ = - A cos xz sin 2лл/.
a2 dt a
Пусть £ — перемещение частицы воздуха в момент времени /ив направ-
лении оси z от некоторого положения, именно от ее среднего положения;
тогда, так как £ — бесконечно малое, то
а; = сф
И dt dz ’
д
£ =-----sin xz sin 2лщ.
a
Из этого следует, что каждая частица воздуха движется совершенно
д
так же, как точка маятника при бесконечно малых колебаниях: — sin xz
а
или абсолютное значение этой величины называется амплитудой', 2n.nt
или избыток этого числа над кратным 2л — фазой колебаний рассматри-
ваемой частицы. Фаза для каждого мгновения всюду одна и та же, но
амплитуда изменяется с z. Обозначим через X длину волны, т. е. положим
. 2л .
Лг "= - \
X
269
тогда амплитуда равна нулю там, где z кратное , и будет максимум
X
там, где z нечетное кратное ; первые места называются узлами, вто-
4
рые пучностями. Сгущение а изменяется по такому же закону, как пере-
мещение £, но его максимум имеет место в узлах, а в пучностях оно
обращается в нуль. Совершенно то же самое имеет место, когда в урав-
нении (4) обращается в нуль Л, но не В.
Колебания этого рода, именно такие, при которых фаза в некоторое
мгновение всюду одинакова, называют стоячими колебаниями.
Если
то колебания называются бегущими; тогда
Ф = A cos х (z + at),
dp = — х Д sin х (z A^at),
дг
А cos х (z at),
а
а = — — д? = । Д a sjn х (z -4- at).
a2dt 'a ~
от того, взят ли верхний или нижний знак, колебания
в направлении оси z или в противоположном. Здесь
одна и та же, фаза для некоторого мгновения изменя-
В зависимости
расп ростран яютс я
амплитуда всюду
ется от места к месту.
Представляемое уравнением (4) движение, если постоянные А и В не
удовлетворяют ни одному из сделанных предположений, можно рассмат-
ривать как составное из каких-нибудь двух из четырех разобранных видов
колебаний. Непосредственно из уравнения (4) находим
й<₽ = — и A sin xz cos 2xnt + xB cos xz sin 2n.nt —
dz
= x У A2 sin2 xz + b2 cos2 xz • sin (2лп/ — 6),
=------ У A2 sin2 xz + d2 cos2 xz • cos (2лп£ — 6),
a
о = x A cos xz sin 2ant — к В sin xz cos 2xnt =
a a
= — УA2 cos2 xz d2 sin2 xz •' sin (2ant — e).
a
где
tg 6 = 1 tg tg 8 = tg X2.
В A
Для каждого момента здесь изменяется вместе с z как амплитуда, так и
фаза; амплитуда нигде не обращается в нуль.
Если Л2>»В2, то максимум амплитуды имеет место при z, кратном
X ТЛ
максимум ее — при z нечетном, кратном —. 1акже и здесь первые места
4.
называют узлами, последние пучностями, и здесь также сгущение имеет
максимум в узлах и минимум в пучностях.
270
Если масса воздуха ограничена твердой, перпендикулярной к оси г,
плоекjc гыо, то для последней должно быть
д<р = 0
дг
Из предыдущего исследования вытекает, что места, в которых ско-
рость постоянно равна нулю, имеются только при стоячих колебаниях, а
потому в этом случае колебания должны быть стоячими, и пограничная
плоскость должна быть узлом.
Если масса воздуха ограничена двумя твердыми плоскостями, перпен-
дикулярными к оси z, то каждая из них должна быть узлом, и расстоя-
ние между ними должно быть кратным от длины полуволны. Вообразим,
что между этими стенками масса воздуха ограничена твердой цилиндри-
ческой трубкой произвольного поперечного сечения; это допустимо, так
как требуемое условие на стенках трубки, именно условие = 0, соблю-
дено вследствие того, что ф не зависит от х и у. Пусть для концов
трубки будет
z = 0 и z = Г,
тогда, следовательно,
где h — целое число. Определенные при данном значении I числа п носят
название чисел колебаний так называемых собственных тонов рассматри-
ваемого воздушного столба. Такие колебания могут происходить соответ-
ственно уравнению
Ф = A cos xz cos 2лч (/ — Q,
где А и tn — произвольные постоянные. Предположим теперь, что попе-
речное сечение трубы 2 = 0 неизменно, а поперечное сечение z = I полу-
чает снаружи такое движение, что в момент / будет иметь скорость
G cos 2n,nt
в направлении оси 2, где G и п означают любые данные постоянные.
Этому выражению всегда должно быть равно значение — при 2=/; отсюда
дг
следует, что
G п
Ф =----------cos xz cos 2лпЛ
л sin х/
При таком движении поперечного сечения 2 = / движение частицы суще-
ственно зависит от величины х/; оно будет бесконечно при sinx/ = 0,
т. е. если п соответствует одному из собственных тонов воздушного
столба.
Эти условия будут приблизительно соблюдены для стеклянной трубки,
закрытой двумя пробками, из которых одна неподвижна, а другая, слабо
подвижная, соединена с острием камертона или другим телом, которое
может сильно колебаться. Если это тело производит колебания, продол-
жительность которых приблизительно равна продолжительности колебаний
собственного тона ограниченного столба воздуха, то последний приходит
в колебания столь интенсивные, что мелкий порошок, насыпанный в труб-
ку, приходит в движение, и положение узлов может быть с точностью
определено. Причина того, что ни при каком значении п движение воз-
духа не возрастает безгранично, заключается в том, что стенки трубки
не абсолютно тверды, подвижная трубка не вполне плотно пригнана и,
главное, в трении воздуха. На описанном явлении основывается метод
Кундта для измерения скорости распространения звука в различных газах.
271
§ 2
Представим себе, как и в нашем последнем исследовании, столб воз-
духа длиной /, но положим, что в поперечном сечении z =•- 0 равна нулю
не скорость, а сгущение. Если поперечное сечение z = I представляет
твердую стенку, то колебания возможны согласно уравнению
Ф = A sin v.z cos 2лл (/ — /0),
если cos х/ — 0, т. е. I равно нечетному кратному длины четверти волны.
Если сечение z — I движется так, что его скорость в момент t равна
G cos 2лп/, то
Ф = —-— sin xz cos 2ant. (5)
x cos х/
Д. Бернулли, Эйлер и Лагранж полагали, что если цилиндрическая
трубка при z = 0 сообщается с бесконечным воздушным пространством,
то сгущение здесь всегда равно нулю, так что воздух в трубке, с одной
стороны открытой, а с другой закрытой, может колебаться соответственно
установленному уравнению. Гельмгольц* показал, в каких пределах верно
это предположение. Оно подразумевает, что размеры поперечного сечения
бесконечно малы по сравнению с длиной трубы и длиной волны. При
этом на бесконечно малом участке при открытом конце труба может быть
расширена иля сжата. Тогда для внутренних точек трубы, лежащих на
конечном расстоянии от отверстия, .установленное уравнение дает потен-
циал скоростей, верный до бесконечно малой дробной части его значения,
при условии, что I не равно (с точностью до бесконечно малых) нечетному
кратному четверти волны. О зависимости движения внутри грубки и вне ее при
этих предположениях нельзя получить никаких указаний. Не делая таких
предположений, мы исследуем теперь колебания воздуха в открытой с
одной стороны трубе, размеры поперечного сечения которой бесконечно
малы сравнительно с ее длиной и длиной волны.
Вообразим объем воздуха, простирающийся в бесконечность, следова-
тельно, только отчасти ограниченный стенками. Предположим, что часть
этой стенки образована параллельной оси z цилиндрической трубой, кото-
рая вблизи ее отверстия может отклоняться от цилиндрической формы;
размеры ее поперечного сечения мы будем рассматривать как конечные,
ее длину и длину волны — как бесконечно большие, причем х тогда бес-
конечно мало. Допустим, что внутри трубы на бесконечно большом рас-
стоянии от отверстия имеются плоские волны. Положим, что начало z
расположено в области плоских волн, но так, что рассюяние его от
отверстия еще бесконечно мало сравнительно с длиной волны, и возьмем
положительное направление оси z к основанию трубы. Поперечное сече-
ние z = 0 делит весь рассматриваемый объем воздуха на две части, кото-
рые мы и будем иметь в виду. Для одной части, которая вся находится
в трубе и для которой z всюду положительно, имеет место уравнение
(3), т. е.
Ф -= (A' cos xz Ь В' sin xz) cos 2nnt (Д" cos xz + В" sin xz) sin 2nn7; (6)
для другой — общее уравнение (1), т. е.
ф = ф' cos 2лэ;/ -р ф" sin 2лп/.
Для полученного сечения z = О оба выражения для ф и для получающе-
го , , „
гося из него г должны быть равны между сооои, так как плотность и
скорость должна всюду изменяться непрерывно. Соответствующее урав-
* Theoric der Lultschwingungen in Rohren mit offenen Enden. Crelle’s Journal,
Bd 57.
272
нение мы составим после того, как преобразуем второе выражение для <р
Введем в него частные значения ф' и ф", соответствующие некоторому
движению поперечного сечения z = 0, которые мы обозначим через f
и f". Пусть
Ф = f cos 2ant 4- Г sin 2л/!!1,
если для поперечного сечения z = 0 имеет место соотношение
— = cos 2лп^
дг
и на остальной части границы объема воздуха, к которому относятся ф'
и ф", то производная ф по нормали обращается в нуль. Тогда f и f"
являются функциями х, у, z, обладающими такими свойствами, что для
поперечного сечения z = О
Из этих частных решений дифференциального уравнения, которому удов-
летворяет ф, мы получим более общее, если помножим их на постоянный
множитель с и прибавим к t постоянное 6. Положим
Ф = с [/' cos 2лл (t Ц- 6) f" sin 2лл (t + б)];
тогда для поперечного сечения z = 0 будем иметь
= с cos 2лп (t ф- б),
причем на остальной части границы выполнено прежнее условие. Будем
рассматривать с и б как переменные; тогда в каждом месте наибольшее
сгущение пропорционально с, интенсивность же тона пропорциональна с3,
но она при этом изменяется в зависимости от места. Введем вместо с и
б две другие переменные величины с' и с", причем положим
с' = с cos 2лпб, с" — — с sin 2лпб;
тогда
Ф = (c’f — c"f")cos 2лп/ + (с7" + c"f') sin 2лпг;
для поперечного сечения z — О
— с’ cos 2лп£ 4- с" sin 2лШ,
дг
и интенсивность тона пропорциональна
с'2 + с"2.
Сравним теперь это выражение с выражением для области плоских
волн (6) и запишем условие, чтобы для поперечного сечения z — 0 оба
эти выражения привели к одинаковым формулам для сгущения и ско-
рости. Обозначим значения, которые и f" имеют в сечении z = 0, через
/о и )0: тогда с помощью (7) получим для них
А' =• с7о — с'7о, *В' — с',
(8)
А" - C’fi + с'7;, хВ" = с".
Предположим теперь, что поперечное сечение трубы z — I (где I порядка
длины волны) получает извне такое движение, что скорость его в момент
18 Г. Кирхгоф
273
t в направлении оси г равно G'cos2nnz. Тогда это выражение должно
_ д<Р
быть равно тому значению у-, которое получается вследствие уравнения
(6) при z -- I, т. е. должно быть
G — х (— A' sin х/ -j- В' cos х/),
0-х (— A" sin х/ 4- В" cos х/).
Исключив из этих уравнений и уравнений (8) величины А', В', А", В‘.
получим
G - с' (cos х/ — xf0 sin х/) + c”x.fa sin х/,
,9)
0 - c’nf0 sin к1 — с" (cos х/ — xf0 sin х/).
Если известны постоянные f0 и (0, то из этих уравнений легко можно
найти значения с' и с", и из (8) — значения А', В', А", В"; если известны
также функции f и f", то движение будет определено во всем подлежа-
щем рассмотрению объеме воздуха.
Особый интерес представляет знание величины с'~ с"2, которая, как
мы видели, пропорциональна интенсивности тона в какой-нибудь точке
внешнего объема воздуха. Если возведем в квадрат и сложим уравнения
(9), то найдем
(cos xZ - xf’ sin xZ)2 -J- (x/” sin xZ)2
Если l изменяется, в то время как G и х сохраняют одни и те же значения, то
уравнение интенсивности тона изменяется периодически, принимая по-
переменно значения максимума и минимума. Так как с'2+ с'л равно обрат-
ному значению однородной функции второй степени переменных cos х/ и sin х/,
то мы определим его максимум и минимум из уравнения
tg 2х/ т,
где у означает постоянное, зависящее от коэффициентов этой функции,
или, если по-прежнему обозначим через к длину волны, из уравнения
tg 4л у - у.
Если 1т — одно из значений I, соответствующее максимуму силы тона, то
отсюда остальные максимальные и минимальные значения I будут равны
соответственно
1т 4 h
И
lm п- (2А+ 1)А ,
4
где h—целое число.
На одном примере, в котором мы доведем вычисление до конца, мы
убедимся, что х/о есть число бесконечно малое; если принять это, во
внимание, то уравнение (10) показывает, что для максимума силы тона
будет
cos х/ — xf0 sin х/ — 0,
(П)
274
т. е.
tg х/ - -- ,
Ч
с'2 4- с"2 =- G2—---- G2 ~~~~ ,
(xfo sin х/)2 х2/’
и что значение этого максимума бесконечно велико сравнительно со зна-
чением силы тона в случае, когда уравнение (11) не удовлетворено. Так
же убедимся, что это правило верно при данном значении I и при пере-
менной высоте тона, т. е. при переменном х.
Определим угол ха из уравнения
tg ха - x/v
тогда уравнение (10) примет вид
В упомянутом примере мы видим, что при известных условиях
также бесконечно мало; тогда можно положить
§ 8
В предыдущем параграфе мы предполагали, что вся граница части
объема воздуха, к которой относятся ф' и ф", за исключением попереч-
ного сечения z = 0, находится в покое, и поперечное сечение z = I полу-
чает некоторое движение. Теперь мы предположим, что другая часть
этой границы получает известное движение и поперечное сечение z = I
находится в покое. Чтобы иметь в виду определенный случай, мы будем
представлять себе, что перед отверстием трубы находится звучащий ка-
мертон, поверхность которого принадлежит, следовательно, к указанной
границе. Для случая, когда камертон колеблется определенным образом
и поперечное сечение z = 0 находится в покое, мы положим потенциал
скоростей для точки внешнего объема воздуха равным
F' cos 2nnt + F" sin 2лл/,
а для случая, когда камертон находится в покое, и поперечное сечение
? -- 0 движется, так что для него'
cos 2 ли/,
dt
возьмем потенциал скоростей равным
f cos 2nnt + Г sin 2nnt.
Тогда/7' и F" являются некоторыми функциями переменных х, у, z, которые
имеют то свойство, что для z = 0 будет
и f' и f" имеют то же значение , как в предыдущем параграфе.
18* 275
Если камертон звучит и поперечное сечение з - 0 движется, так что
для него
— = с' cos 2nni + с" sin 2лп/,
dz
то
Ф (F' 4- c'f' — c"f") cos 2nnt + (F" Ц- c'f" 4~ c"f') sin 2nnZ. (13)
Для области внутри трубы по-прежнему имеет место уравнение (6). По-
ставим условия, чтобы оба выражения <р и оба выражения
<?Ф
dz
которые
получим для z = 0, были бы равны между собой для всех значений t\
тогда при помощи (7) и (12) найдем
А' = Fo + c'fo — с'7о, хВ' = с',
А" ---= f; 4- c'f“0 + c"f'a, иВ" = с".
где через Fo и Fo обозначены значения F' и F" при z = 0. Если, как
мы предположим, поперечное сечение z = 0 находится в покое, то из (6)
следует, что
A' sin v.1 — В' cos х/ = 0,
A" sin х/ — В" cos х/ = 0.
Из этих уравнений мы получим
с' (cos х/ — xf0 sin xZ) -f- c">tf0 sin xZ = xF0 sin xZ,
c'xf0 sin х/ — c" (cos xZ — xf0 sin xZ) = — xF0 sin xZ,
и отсюда далее
,„a = (f;24-
(cos x/ — z/() sin x/)2 4~ (x/0 sin x/)2
(14)
Движение в простирающемся в бесконечность объеме воздуха вслед-
ствие уравнения (11) можно рассматривать как уравнение, составленное
из того, которое имело бы место, если бы поперечное сечение z = 0 было
в покое, в то время как камертон двигался бы данным образом, и неко-
торого другого уравнения. Относительно этого другогр уравнения говорят,
что оно происходит от резонанса трубы. Интенсивность тона, производи-
мого резонансом, пропорциональна с'2 4- с"2. Если I меняется, то эта вели-
чина имеет максимум, равный
при
tg xZ ,
(15)
и минимум, равный нулю, если
sin xZ - 0.
Воспользуемся тем, что хД, — число бесконечно малое, и будем счи-
тать максимумы резонанса конечными; тогда из (14) следует, что резо-
нанс будет бесконечно мал, пока х/ отличается от каждого корня уравне-
276
ния (15) на любое конечное количество. Это верно также, когда I посто-
янно и х переменно. Если перед отверстием трубы поддерживать движе-
ние, которое можно рассматривать как составленное из различных тонов,
то только те из этих тонов будут весьма усилены резонансом, которые
соответствуют уравнению (15).
§ 4
Исследование, аналогичное произведенному в трех предыдущих пара-
графах этой лекции для плоских волн, можно произвести для сферических
волн. Решением дифференциального уравнения, которому удовлетворяет
потенциал скоростой вследствие уравнения (12) предыдущей лекции, будет
<р — (A' cos хг + В' sin xr)cos 2лп/ +
Г
+ — (Л" cos хг л- В" sin яг) sin 2лЩ.
г
Это уравнение того же вида, как уравнение (3), и может привести к
таким же заключениям, как последнее. Соответствующее уравнению (16)
движение возможно в объеме воздуха, ограниченном двумя кон-
центрическими сферическими поверхностями, точки которых надлежащим
образом движутся в радиальном направлении, или двумя такими же сфе-
рическими поверхностями и неподвижной конической поверхностью с
вершиной в центре сферы.
Частным случаем уравнения (16) является уравнение
<р = - - (Л cos хг + В sin хг) cos 2лл (t — tQ). (17)
Оно представляет стоячие волны. При таком движении на некоторых
сферических поверхностях сгущение всегда равно нулю; радиусы их опре-
деляются из уравнения
Л cos хг + В sin хг = 0.
На других поверхностях — узлах — обращается в нуль скорость, радиу-
сы же узлов удовлетворяют более сложному уравнению
cos хг 'sin хг
d----- d----------
А ------- + В ----г—~ = 0,
dr dr
т. е.
Л (cos хг 4- хг sin хг) + В (sin хг — хг cos хг) = 0. (18)
Если сферические поверхности, ограничивающие массу воздуха, непод-
вижны, и R и R'— их радиусы, то движение, представляемое уравнени-
ем (17), возможно, если х имеет такое значение, что уравнение (18)1
может быть удовлетворено при г — R и г = R', при Л и В, не обращаю-
щихся одновременно в нуль. Усл овием этого является уравнение
, / r> г>/\ v.(R — R’)
tgx(R-R) =---------------- ,
v ' 14- ^RR’
которое при R’ = 0 перейдет в более простое
tg *R — х7?.
Эти уравнения определяют собственные тоны рассматриваемой массь
воздуха.
277
Другим частным случаем уравнения (16) является уравнение
А В
<р = — cos (xr — 2nnt) -4-sin (xr — 2nnt); (19)
r ' r
оно представляет волны, которые из их центра распространяются наружу.
Заменим в (19) минус в cos и sin на плюс; тогда будем иметь волны, иду-
щие снаружи к центру.
Вычисление, подобное тому, которое мы произвели в § 2 и 3 'относи-
тельно бесконечно тонкой цилиндрической трубы, может быть применимо
и для конической трубы, имеющей бесконечно малое отверстие при вер-
шине, сообщающейся с бесконечным воздушным пространством и с дру-
гой стороны ограниченной сферической поверхностью с центром в вер-
шине.
§ 5
Рассмотрим теперь для плоских и сферических волн третий род коле-
баний, соответствующих простому тону. Мы займемся здесь колебаниями
объема воздуха, все измерения которого бесконечно малы сравнительно
с длиной волны тона. Размер объема воздуха примем за конечную, вели-
чину, длину волны —- за бесконечно большую; тогда величина х будет
бесконечно малой. Применим опять способ обозначений, принятый для
уравнений (1) и (2), т. е. положим
Ф --- ф' cos 2mt — ф" sin 2nnt
и будем понимать под ф любую из двух зависящих от х, у, z величин
ф' и ф". Уравнение (2), а именно
Аф 4- х2ф =- 0, (20)
если х бесконечно мало и ф не бесконечно велико по сравнению со
своей производной, перейдет в уравнение
Аф = 0,
которому удовлетворяет потенциал скоростей для несжимаемой жидкости.
Каждое однозначное решение его мы можем принять за ф; ф должно
быть однозначно, даже если объем воздуха будет многосвязным,
гак как сгущение, а также , должны быть однозначными. Тогда в
каждый момент воздух движется как несжимаемая жидкость. Обозначим
через ds элемент поверхности объема воздуха и через п— направленную
внутрь нормаль к ds; тогда будем иметь
?ds—~0. (21)
«' дп
Если ^-.удовлетворяющее этому условию,'дано, то, следовательно, всегда
дп
дана также некоторая функция ф, содержащая дополнительное произ-
вольное постоянное и удовлетворяющая уравнению Дф = 0*.
* В своем сочинении: «Allgemeine Lehrsatze in Beziehung auf die im verkehrten
Verhaltnisse des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstossungs-Kraf-
te» Гаусс установил теорему, что для вполне ограниченного пространства всегда име-
ется функция, непрерывная и однозначная со своими первыми производными, которая
удовлетворяет уравнению Дф=0 и принимает на поверхности любые данные значе-
ния. Аналогичным способом можно доказать изложенное выше. Однако относительно
полной строгости доказательства возникли сомнения; эти же сомнения могут появиться
« при другом доказательстве.
278
Если условие (21) не соблюдено, то уравнение (20) решается следую-
щим образом. Положим
X2
где С и U не зависят от х, С — постоянное, U — функция х, у, г,
которая должна быть надлежащим образом определена. Тогда для U
получим дифференциальное уравнение в частных производных42
At7 + С — 0.
Мы удовлетворим этому уравнению, если положим
U = — Й + V,
4л
где й — потенциал массы (плотность которой равна единице), заполняю-
щей рассматриваемый объем воздуха, и V — решение уравнения
Д1/ = 0.
Если надлежащим образом выбрать постоянную С, то это решение
может быть таким, что -- получит любые значения. Мы имеем
дп
д^ С дП _^dV ,
дп 4л дп дп
так как
го надо положить
С С , (* , <91Ь
— \ds - — \ds — ,
4л J дп д дп
или, так как
U.s - = 4лТ,
дп
где 7' обозначает объем рассматриваемой массы воздуха,
СТ = ( ds . (22)
' дп
Т огда
ф = - + —Й + V. (23)
х2 4л
Решение уравнения (20) приводит к теории так называемой кубичес-
кой трубки. Под этим названием подразумевают сосуд, размерами кото-
рого являются величины одинакового порядка, сообщающийся с беско-
нечным воздушным пространством через маленькое отверстие. Если в
отверстие дуть надлежащим образом, то возникает тон. Мы будем рас-
сматривать размеры сосуда как конечные, размеры отверстия — как бес-
конечно малые, а длину волны тона — как бесконечно большую. Для
этого можно применить исследование, которое было произведено в § 2
и 3 для цилиндрической трубы. Сперва мы будем иметь в виду случай,
когда одна часть стенки сосуда, которая не должна достигать края
отверстия, получит некоторое периодическое движение.
Представим себе сферическую поверхность, описанную вокруг отвер-
стия — центра — радиусом, который бесконечно мал, но сравнительно с раз-
мерами отверстия он бесконечно велик.
279
Часть этой поверхности, лежащую внутри сосуда, будем называть
нулевой поверхностью; ее элемент обозначим через ds0; она соответствует
поперечному сечению z = О цилиндрической трубы. Примем, что для
всех элементов поверхности 0 скорость направлена по радиусу и равна
ему по величине. Такое предположение допустимо, по крайней мере, для
случаев, в которых вычисление будет доведено до конца. Это выяснится
из того, что при сделанном предположении для всего рассматриваемого
объема воздуха можно найти <р, которое непрерывно со своими первыми
производными всюду, как и на поверхности 0.
В случае, когда давление на поверхности 0 таково, что
? ds0 ^5 = cos 2лл/,
д дп
где п — направленная внутрь сосуда нормаль к dsn, предположим, что для
какой-нибудь точки части всего рассматриваемого объема воздуха, про-
стирающейся в бесконечность и ограниченной поверхностью 0, будет
<р = f cos 2nnt Ц- f" sin 2лп1.
При этом f и f означают некоторые функции х, у, z, имеющие то
свойство, что
{dsodf- = l,^so^ = 0. (24)
J дп J дп
Тогда для случая, когда движение на поверхности 0 происходит по урав-
нению
£ dsn — = с' cos 2nnt + с" sin 2лл/,
,) °дп
получим
(р = (c'f — c"f) cos 2mt -f- (c'f -f- c"f) sin 2nnt\ (25)
интенсивность тона всюду пропорциональна c'2-fc"2.
Во второй части рассматриваемого объема воздуха, вполне ограничен-
ной поверхностью 0 и стенкой сосуда, каждая из двух величин ф' и ф"
удовлетворяет уравнению (23). Обозначим значения С для этих функций
через С и С". Так как функция <р непрерывна на поверхности 0, то,
если пренебречь членами, бесконечно малыми сравнительно с принимае-
мыми во внимание, отсюда следует, что
С' = x2(c'fo —с'7о),
(26)
С = х2 (с' /; + с” f'o),
где fo и fo представляют значения f и f" для какой-нибудь точки поверх-
ности 0. Два других уравнения получим, когда на поверхности 0 так-
же непрерывно. С одной стороны, из (25) с помощью (24) следует, что
{dsod-~- = c’, {ds0^~ = c".
j дп J дп
Будем называть часть стенки сосуда, которая получает движение снару-
жи, поверхностью I и обозначим элемент ее через ds;. Пусть движение
будет таким, что
£ dsi 5— = G cos 2лп£,
\ дп
280
где п — направленная внутрь сосуда нормаль к dst, G — постоянное.
Тогда уравнение (22) дает
G4-^ds0-— = С'Т,
J дп
Cds0-*- = C"T,
J ° дп
если Т — объем сосуда; отсюда имеем
G + c' = С'Т,
с" = С'Т.
Подставив сюда вместо С и С" их значения из (26), найдем
с'(1-х2/;Т) + с"х2/оТ = — G,
cWf"0T — с" (1 — n2fBT) = О,
и отсюда
с'2 + с"2 =_______________________—_______.
(1-х7;л2+и;т)2
Из одного примера мы увидим, что второй член в знаменателе этого
выражения есть число бесконечно малое. Применив это замечание, мы
можем заключить, что интенсивность тона бесконечно велика сравнитель-
но со значениями, которые она имела прежде, если только
1 _ tff'oT = 0. (27)
Допустим теперь, что стенки сосуда находятся в покое и тон задается
извне сосуда, например колеблющимся камертоном. Для этого случая
можно применить исследование, подобное приведенному в § 3. Для бес-
конечного воздушного пространства, если поверхность 0 покоится, будем
иметь
<р = F' cos 2nnt + F" sin 2nnt,
причем
, OF' n f , dF’ „
ds0 — = 0, и \ dsa — — 0.
dn J dn
Если для поверхности 0 будет
dsn — = с' cos 2nnt 4- с" sin 2nnt,
J 0 dn
то тогда имеем
<p = (F' + c'f — c”f") cos 2nnt 4- (F" 4- c'f 4- c"f') sin 2nnt.
Положим опять для пространства, ограниченного стенкой сосуда и по-
верхностью 0,
х2<р = С cos 2nnt 4- С" sin 2nnt;
dtp
тогда из условия, что <р и — непрерывны
дп
уравнения
на поверхности 0, получим
С = х2 (F'o 4- c’f’ - c"f0), с’ = СТ,
С = х2 (F"o + Сf'B + c"fB), с" = СТ,
281
где через Fo и F« обозначены значения F' и F" для какой-нибудь точки
поверхности 0. Отсюда следует, что
rfTF, = с' (1 — х^Т) + cWf0T,
*?TF"n - - c'tffBT + с"(1 -
и далее
с,2 + (F^F^T*
(i-xv^n+HJn2
Этой величине пропорциональна интенсивность тона, производимого
резонансом. Если >c2fBT бесконечно мало, то эта величина бесконечно ве-
лика сравнительно со значениями, которые она имела прежде, если только
имеет место уравнение (27). Это уравнение определяет тон, который воз-
никает, если дуть в отверстие надлежащим образом.
§ 6
В уравнениях, приведенных в § 2, 3 и 5 для цилиндрической и куби-
ческой трубки, встречаются две постоянные — fB и которыми сущест-
венно обусловливается резонанс; теперь мы постараемся вычислить эти
постоянные для некоторых случаев. При этом необходимо определить
потенциал скоростей для всего рассматриваемого объема воздуха и для
движения, которое в цилиндрической трубе поддерживается ее основа-
нием, в кубической же трубе — произвольной частью сосуда. Это опять-
таки возможно при некоторых определенных предположениях относитель-
но ограничения объема воздуха. Мы примем, что для расстояний от
отверстия порядка длины волны или больших, простирающихся в беско-
нечность, объем воздуха или ничем не ограничен, или ограничен частью
произвольной конической поверхности, вершина которой расположена в
отверстии. Обозначим через г расстояние переменной точки от этой вер-
шины и допустим, что для значений г порядка длины волны или боль-
ших, имеет место уравнение (19)
A R
Ф = — cos (хг — 2ant) -sin (хг — 2 ля/), (28)
г г
т. е. что для значений г указанного порядка величины имеются сфери'
ческие волны, которые распространяются наружу. Допустимость этого
предположения оправдывается тем, что при нем можно найти ф, удов-
летворяющее всем условиям, которые должны быть выполнены.
Представим себе, что вокруг начала г описан шар, который опять
лежит в области сферических волн, но радиус его бесконечно мал срав-
нительно с длиной волны. Назовем его поверхностью 1, элемент его
обозначим через ds1; а внешнюю нормаль к этому элементу через п.
Чтобы иметь возможность совместно рассматривать цилиндрическую и
кубическую трубки, назовем поверхностью 0 то поперечное сечение каж-
дой трубки, которое прежде обозначали как сечение г = 0. Мы уже
предположили, что расстояние ее от отверстия бесконечно мало сравни-
тельно с длиной волны. Две поверхности 1 и 0 делят все рассматривае-
мое воздушное пространство на три части. Для каждой из двух внешних
частей мы установили выражение ф уравнениями (21), (23) и (28); мы
должны еще составить уравнение для средней части, ограниченной по-
верхностями 0 и 1, и именно такое, чтобы ф и — были непрерывны на
дп
поверхностях 0 и 1. Размеры этой части бесконечно малы сравнительно
282
с длиной волны. Обозначим опять через ф любую из двух функций ф'
и ф"; тогда, согласно разъяснению, сделанному в § 5, для ф можно
взять решение уравнения Лф = 0, лишь бы было выполнено уравнение
(21), которое при наших теперешних обозначениях будет иметь вид
dSo^ + cdS1^ = O:
°дп ,) дп
это условие может быть удовлетворено наряду с другими. Мы можем
тогда рассматривать ф как потенциал скоростей несжимаемой жидкости,
которая движется так же, как воздух в некоторый момент. Согласно
предположению, сделанному нами в § 2 и 5, найдем также, что ф во
всех точках поверхности 0 имеет одно и то же значение. В самом деле,
мы предположили там, что поперечное сечение 2 = 0 лежит в области
плоских волн, и здесь, что скорость во всех точках поверхности 0 пер-
пендикулярна к ней. Из уравнения (28) следует, что на поверхности 1
ф также имеет во всех точках равные значения. Для твердой стенки,
соединяющей края поверхностей 0 и 1, будет — = 0. Отсюда, после рас-
дп
суждений, приведенных в семнадцатой лекции, получим
где W означает постоянное, зависящее от формы объема, лежащего
между поверхностями 0 и /, которое мы назвали там сопротивлением
этого объема (этот термин мы заимствовали из учения об электричестве).
Функции f и f, найти значения которых для точек поверхности 0
составляет нашу задачу, поскольку они относятся к точкам на поверх-
ностях 0 и 1 или между ними, представляют частный случай рассматри-
ваемой теперь функции ф; поэтому в уравнении (29) можно положить
ф = f и ф = f. Положим, что это сделано; обозначим затем через fi и у
значения f и f" в точках поверхности I. Пусть rY будет радиус этой
поверхности и К— отверстие конуса, который ограничивает простирающе-
еся в бесконечность воздушное пространство в достаточном удалении от
отверстия, как мы это предположим. Тогда из (28), на основании того,
что кгг бесконечно мало, следует
у = ± + Вк, ft = Ах — ~ ,
ri ri
(30)
\ dS1 д''- - - КА, { dsr = КВ.
j дп ,) дп
Для цилиндрической трубы
для поверхности 0 по (7) имеем
^=1,^ = 0;
дп дп
следовательно, если Q означает
поперечное сечение трубы, то
Cds0—= Q, Usnd/- -0. (31)
J дп J дп
С помощью (30) и (31) уравнения (29) дают
W \ /
283
следовательно,
A = Q , В = 0,
Л
f0 =q(w+ , /; = х<3.
Выражение для f'o можно представить проще. Эта величина, согласно
первоначальному ее определению, не должна зависеть от ги которое
должно быть известного^порядка величины, но в остальном может быть
выбрано произвольно. Поэтому W должно известным образом зависеть
от г1Ф В условия (29), из которых должно быть определено IF, х не
входит; поэтому, не изменяя этого условия, можно в нем положить х = 0.
Поэтому требование, что лг1 должно быть бесконечно малым, не ограни-
чивает величины, которая может быть дана при определении IF.
Теперь, изменяя обозначения, мы обозначим той же буквой IF значение W
при /д — оо; тогда получим
fo = QiF, = (32)
Л
Для кубической трубки вместо уравнений (31) войдут уравнения (24),
именно
ds0 ~ = 1, ds0 д- = 0,
J 0 дп } "дп
между тем как уравнение (30) будет по-прежнему иметь место. Поэтому
здесь из (29) получим
f'. = W, fl=^. <33>
Л
§ 7
Найдем теперь значение IF для некоторых случаев. Эта задача отно-
сится к движению несжимаемой жидкости. Те исследования, которые мы
произвели в § 4 семнадцатой лекции относительно течений в несжимае-
мой жидкости по нормалям к софокусным эллипсоидам, мы приложим к
кубической трубке, сделав предположение, что поверхность сосуда вблизи
отверстия и на бесконечно большом от него расстоянии, сравнительно
с его размерами, есть однополостный гиперболоид. Составим уравнение
этого гиперболоида
№ , у2 z2 .
— 1
а2 Ь2 с2
и обозначим через К отверстие его асимптотического конуса; тогда, на
основании выражения (31) семнадцатой лекции, получим
СО
9 л Hr
IF = - \ - - - .......... . (34)
К J у (a2 -f- с2 + xi) [bi 4- ci + J(i)
О
Положив с = 0, придем к случаю отверстия в тонкой плоской стенке,
ограниченного эллипсом с полуосями а и Ь\ при этом будет
К = 2л.
Положим еще
а = b = R',
тогда отверстие будет кругом радиуса R и
1
1F = —.
2R
284
Для тона наисильнейшего резонанса, или тона, получаемого при надле-
жащем дутье в отверстия, в этом случае получим по (33) и (27)
, 27?
X2 = ---- .
Т
(35)
Положим теперь
2лп
X = ----,
а
где через п обозначено число двойных колебаний в единицу времени,
через а — скорость распространения звука в воздухе. Примем за единицу
времени и длины секунду и миллиметр; положим для атмосферного су-
хого воздуха при температуре 0JC
а = 332 260
и введем вместо радиуса R площадь отверстия 3; тогда из (35) получим
4 _
п = 56174 .
Задолго до того, как этот теоретический результат был выведен Гельм-
гольцем, Зондхаусс представил результаты своих опытов относительно
тонов кубической трубки формулой
4 _
п = 52400 .
Ут
Теперь вычислим также сопротивление W для известного рода цилинд-
рической трубки. Мы предпошлем этому следующее. Пусть на части
плоскости хОу некоторой координатной системы будет распределена мас-
са переменной плотности h, и пусть V будет потенциал этой массы в
точке (х, у, z). Тогда в двух точках, которым соответствуют равные
значения х и у и противоположные значения z, потенциал V имеет равные
значения. Отсюда следует, во-первых, что при бесконечно малом z потен-
циал V имеет всегда одно и то же значение, будет ли z положительно
или отрицательно, что мы могли бы заключить из общего предположе-
ния, что потенциал простого слоя масс непрерывен при переходе через
слой. Во-вторых, отсюда следует, что — для z - 0 на обеих сторонах
dz
плоскости хОу имеет противоположные значения. Соединим это с пред-
ложением, выраженным уравнением (9) шестнадцатой лекции, причем
если направление гу совпадает с направлением оси z, то для бесконечно
малого z найдем
dV г, ,
— = — 2лп при z положительном,
и
dV , о ,
— = + 2лп при z отрицательном,
откуда, между прочим, следует, что для части плоскости хОу, свободной
от масс, для которой, следовательно, h = 0, производная обращается
dz
в нуль.
Обозначим теперь через ds элемент части плоскости хОу, которую
назовем площадью 3, через г — расстояние точки (х, у, z) от ds, через
285
е — такую функцию координат ds, что всегда, когда точка (х, у, г) лежит
на площади S, будет
С eds _ ।
' z
наконец, через с — произвольное постоянное. Рассмотрим функцию ф пе-
ременных х, у, г, которую определим тем, что положим для отрицатель-
ных значений z
, (* eds . С ds
ф = \-----1- С \ -
J Г J Г
и для положительных значений z
, (• eds , С ds , п . .
ф =• — \ — + с \ —F 2 + 4ncz.
j г J г
Это ф во всем пространстве удовлетворяет уравнению Дф = 0; далее оно
имеет то свойство, как это следует из предпосланных замечаний, что ф и
на площади S непрерывны, между тем как на остальной части пло-
скости хОу претерпевают разрыв. Действительно, в точках площади S на
одной, как и на другой стороне будет
। 1 . С ds
ф - 1 -J- с \ ,
= 2л (е + с); (36)
дг
далее, на плоскости хОу вне площади S на стороне отрицательных z
будет
^-=0,
дг
и в бесконечности для отрицательных значений z
для положительных
ф = О,
ф — 2 + 4лсг.
(37)
Теперь определим область для точки (х, у, z), которая вполне огра-
ничена следующими поверхностями: полусферой, описанной вокруг начала
координат бесконечно большим радиусом со стороны отрицательных z;
частью плоскости хОу, лежащей между границей этой полусферы и границей
площади S; частью плоскости, для которой z имеет бесконечно большое
положительное значение L, и частью поверхности, проходящей через край
S и пересекающей ортогонально поверхности ф = const, причем эта по-
верхность для бесконечно больших положительных значений z обращается
в цилиндрическую поверхность, параллельную оси z. В этой области
функция обладает всеми свойствами потенциала скоростей несжимаемой
жидкости. Если рассматривать ее как таковую, то бесконечно большую
полусферу и плоскость z = L можно рассматривать как поверхности рав-
ного потенциала, а остальные граничные поверхности — как твердые стен-
ки. Обозначим через Q поперечное сечение трубы, принадлежащей этой
области, при бесконечно больших положительных значениях z; тогда
из (37) для сопротивления W пространства, наполненного рассмат-
риваемой жидкостью, получим
2 -ф 4лсД if 1 \
W ~ incQ Q~ 2лс/ '
286
Это выражение для 117 можно привести к другому виду.
Положим
^ds = S, § eds ---- у,
т. е. обозначим через S величину площади (которая уже была так обо-
значена), через у — электрическую емкость площади S. Вычислим из (36) и (37)
объем жидкой массы, проходящей в единицу времени через поперечное
сечение, и приравняем друг другу полученные таким образом выражения;
тогда будем иметь
2л (у + cS) = 4лс<2,
т. е.
7
2Q —S
следовательно,
U7
1 ( 2Q — S \
L -I- .
Q \ /
Если площадь S, или, как мы будем теперь выражаться, отверстие
1
трубки, есть эллипс, то для -- имеет место выражение (30) семнадцатой
лекции; но в этом случае трудно найти форму трубы, т. е. поверхности,
которые пересекают ортогонально поверхности ф = const и проходят че-
рез край отверстия. Это относительно легче для круглого отверстия, так
как тогда стенки трубки являются поверхностью вращения и для вычис-
ления ее можно будет воспользоваться способом, указанным в § 2 восем-
надцатой лекции. Если площадь 5 есть круг радиуса то
2R!
Обозначим через 7? радиус поперечного сечения Q; тогда получим
1 / л
W = — L + --
Q \ 4
2/?2 — Rf \
Ъ /
Если при этом еще 7?! - 7?, то отсюда находим
Для последнего случая Гельмгольц произвел вычисление стенки трубы и
нашел, что она имеет почти точно цилиндрическую форму. Радиус ее не
меньше 7? и максимум этого радиуса равен приблизительно 1,02 R.
ЛЕКЦИЯ ДВАДЦАТЬ ПЯТАЯ
(Движение несжимаемой жидкости, на частицы которой действуют силы. Исте-
чение тяжелой жидкости из отверстия в сосуде. Теорема Торричелли. Установив-
шееся движение жидкого эллипсоида, частицы которого взаимно притягиваются
по закону всемирного тяготения. Установившееся движение жидкого эллипсоида
относительно вращающейся системы координат. Бесконечно малые колебания, тя-
желой жидкости. Волны тяжелой жидкости конечной высоты. Неустановившееся
движение жидкого эллипсоида, частицы которого притягиваются по закону
всемирного тяготения)
§ 1
В предыдущих исследованиях мы предполагали, что на частицы жид-
кости силы не действуют; теперь будем считать, что силы действуют, но
при этом ограничимся случаем, в котором рассмотрим только несжимае-
мую жидкость.
Если существует потенциал скоростей <р и действующие силы имеют
потенциал V, то по уравнениям (20) и (21) пятнадцатой лекции имеем
и
А<р = 0, (2)
где р означает давление, а плотность положена равной единице. Если
пространство, наполненное рассматриваемой жидкостью, односвязно, и
дф
если для всех элементов его поверхности задано, то, как мы видели,
уравнение (2), в которое силы не входят, вполне определяет движение.
Чтобы определить движение при указанных предположениях, знание сил
не является необходимым (оно необходимо, если надо найти изменение
давления с изменением места и времени; для этого служит уравнение (1)).
д<р
Но если для одной части поверхности жидкости дано а для другой —
давление, то действующие силы существенно влияют на движение, и это
движение можно вычислить только с помощью уравнения (1).
Пусть тяжесть будет единственной действующей силой; предположим,
что ось z направлена вертикально вниз. Тогда мы можем положить
V = gz.
Обозначим временно полную скорость через и, тогда уравнение (1) при-
мет вид
дф 1
gz~- р =-= gt- -1- у у2. (3)
Теперь представим, что жидкость содержится в покоящемся сосуде и
вытекает струей из его отверстия. На поверхность жидкости в сосуде и
288
на поверхность струи атмосфера производит постоянное давление. Если
размеры отверстия достаточно малы по сравнению с размерами сосуда,
то возможно движение, при котором поверхность жидкости в сосуде в
каждый момент времени бесконечно мало отклоняется от горизонтальной
плоскости; скорость на этой плоскости бесконечно мала и производные
компонент скорости по времени также всюду бесконечно малы. Мы и
рассмотрим это движение. Применим уравнение (3) сначала к точке по-
верхности струи, потом к точке поверхности в сосуде, соединим оба ре-
зультата и заметим, что
д f I Эф Эф Эф \ 4з
— \ д dx + dy + ч - dz
dt д \дх 1 dy dz J
бесконечно мало, если интегрирование будет произведено по линии, кото-
рая соединяет обе рассматриваемые точки и при этом полностью лежит
в жидкости; тогда получим
v = ]/~2gz,
где v — скорость в точке, выбранной на поверхности струи, z — глубина
этой точки над поверхностью в сосуде. Это уравнение выражает так на-
зываемую теорему Торричелли.
О форме струи при современных средствах анализа можно сказать
лишь очень мало. Это неудивительно, так как уже в случае, когда силы
не действуют, можно найти форму струй единственно только в предполо-
жении, что поток плоско-параллельный. Предположим, что размеры попе-
речного сечения струи бесконечно малы; тогда можно рассматривать дав-
ление, которое на поверхности струи, вообще, равно атмосферному, как
постоянное для всей струи, кроме части, лежащей бесконечно близко к
отверстию, где компоненты скорости изменяются бесконечно быстро. Возь-
мем часть струи, ограниченную двумя бесконечно близкими поперечными
сечениями; тогда отсюда можно заключить, что она движется как сво-
бодная материальная точка под действием силы тяжести, т. е. по пара-
боле с вертикальной осью. Если рассматривать движение как установив-
шееся, то струя есть траектория, которую описывают все частицы, т. е.
парабола.
Такое заключение можно применить также к несколько более общему
случаю. Если жидкость течет через бесконечно узкую щель, прямую или
кривую, и в последнем случае замкнутую или незамкнутую, тогда жид-
кость образует бесконечно тонкий слой, в котором давление надо рас-
сматривать как всюду одинаковое. Поэтому любая частица ее движется
как материальная точка, а именно, по параболе с вертикальной осью, и
если движение установившееся, то жидкий слой составлен из таких пара
бол, проходящих через отдельные точки щели.
§ 2
Теперь займемся установившимся движением несжимаемой жидкости при
котором, кроме силы тяжести, действуют другие силы и нет потенциала ско-
ростей. Мы будем говорить о жидкости, частицы которой притягиваются ме-
жду собой по закону Ньютона и на поверхность которой действует постоян-
ное давление. Мы докажем, исходя из эйлеровых уравнений гидродинамики,
что эта жидкость может иметь некоторое установившееся движение, в то вре-
мя как поверхность ее будет трехосным эллипсоидом, между осями которого
существует некоторое определенное соотношение. Для этого предположим,
что между компонентами скорости и, v, w и координатами х, у, z точки,
19 Г Кирхгоф
28'1
к которой относится скорость, существуют уравнения
ы = апх + а12у + al3z,
v — а21х 4- вггУ + <22з2>
(4)
ш = а31х + а32у + a33z,
в которых девять величин ап, ai2, . . . —постоянные. Уравнение (12) пят-
надцатой лекции дает для них условие
Си 4- а22 4- Озз — 9. (5)
Подставим значения и, v, w из (4) в уравнения (10) пятнадцатой лекции;
тогда левые части этих уравнений сделаются линейными однородными
функциями х, у, z, правые части будут такими же функциями, если
надлежащим образом выбрать величину Р (которая равна р, так как мы
положим плотность равной единице),
жидкости
Составим уравнение поверхности
22
С2“ =
х2 у2
~а2 + Ь2
(6)
тогда
V = const — л (Ах2 + By2 4~ Cz2), (7)
где А, В, С — постоянные, определяемые уравнениями (4) двенадцатой
лекции, если единицы массы длины и времени выбраны так, что сила,
с которой притягиваются две массы, равна произведению масс, разделен-
ному на квадрат расстояния между ними. Мы достигнем этого, если
приравняем р однородной функции второй степени х, у, z, умножен-
ной на постоянное. Одновременно мы достигнем и того, что давление
будет постоянным на поверхности, если положим
( X2 у2 Z2
р = const 4- О I 1 — q2— Ь2- -
(8)
Приведенные выше дифференциальные уравнения будут удовлетво-
ряться для всех значений х, у, z, если приравняем между собой коэф-
фициенты при них; тогда вследствие (7) и (8) получим
°нсп + ai2a2i 4~ <71заз1 — а2 — 2л.А,
^11^12 4“ 012^22 4~ 13^:12 — О,
а11С13 4" С12а23 4" а13а33 = 9,
й21а11 4- а22а21 4- а23°31 = 9,
2з
С21а12 4- й-22а22 4- а23а32 ~ (, 2 2лВ,
G2ia13 4~ ^22а23 4- а23а33 = 9,
а31а11 4- а32а21 4- <2з3а31 = О,
G31a12 4- G32a22 4- а33а32 ~ О,
2з
G3iQi3 4" аз2<2гз 4~ йззазз = С2 — 2лС.
(9)
Должно быть выполнено еще условие, что частицы поверхности долж-
ны на ней же и оставаться; по уравнению (31) десятой лекции для
этого необходимо, если существует уравнение (6), чтобы
их VU WZ
----t- — 4-----= о
а2 т t>- т С2 v>
т. е. чтобы это уравнение, вообще, было удовлетворено.
290
Отсюда получим шесть уравнений
Йц — 0, ^22 “ ^33 —
а12 а21 „ а23 а32 „
а2~ '' b~ ~ U’ Ь2 + С2 = U’
a-al ч- 013 = о
с2 г а2
(10)
Вследствие первых трех из этих уравнений, уравнение (5) будет удов-
летворено, и уравнения (9) примут более простой вид
^12^21 "Ь ОЧз<2з1 — 2лД, 013^32 ~ 0, Cti2d23 — О
2s
О23«32 + С21С12 = 4,2 2Л,В, С21а13 = 0, <223^31 = 0, (11)
2а
«зАз + a32°23 = С2 — 2лС> «32021 = о, апа12 = 0.
Эти и три последних из уравнений (10) могут быть удовлетворены мно-
гими системами значений неизвестных. Мы можем им удовлетворить,
если положим
с1з — 0, Огз = 0, q3i = 0, а32 = О,
так что из девяти величин ап, а12, . . . останутся только две — а12 и а2] —
отличными от нуля. Тогда уравнения (10) и (11) превратятся в
а12 | а21 ___ _
а2 ' Т2' = U’
2а 2- 2а
О12О21 = —2- — 2л.А = — 2лВ, 0 = —2— 2лС,
или, если положим
O12O21 ===: — х2
и исключим а, в
а b
012 = у х, а21 = —— х,
\ ( х2 \
А — 62В — — = с2С.
2л: ) \ 2л /
Это двойное уравнение — то же самое, что и уравнение (6) двенадца-
той лекции, если положить величину, обозначенную там через и, равной
X2
2—, т. е., так как мы приняли здесь 1, положить величину, обозна-
ченную там через W, равной х. Отсюда следует, что движение, опреде-
ляемое уравнениями
а Ь
и —-г- ъу, v —---хх, w = О,
Ь а
может иметь место, если жидкость образует эллипсоид, который может
вращаться, как твердое тело, вокруг оси z с угловой скоростью х. Со-
гласно сделанному выше разъяснению, мы получим три таких эллипсо-
ида — два сплюснутых эллипсоида вращения, осью вращения которых
является ось z, и один трехосный, в предположении, что х лежит внутри
некоторых границ. Если жидкость образует один из двух эллипсоидов
вращения, то рассмотренные тут и там движения совершенно одинаковы,
ио они различны в случае трехосного эллипсоида.
Движение части трехосного жидкого эллипсоида, которое мы здесь
определили, открыто Дирихле*; исследование, которое привело нас к
* Abhandl. der Konigl, Gesellschaft der Wissenschaften zu Gottingen, Bd.8, 1860.
291
характеристике этого движения, можно так обобщить, что оно даст дви-
жение, для которого только что рассмотренное будет представлять один
частный случай, а движение, при котором трехосный эллипсоид враща-
ется, как твердое тело, как другой частный случай.
Предположим, что жидкость ограничена эллипсоидом, который вра-
щается вокруг одной из своих осей с постоянной угловой скоростью X.
Отнесем движение всех жидких частиц к системе координат, оси кото-
рой являются осями эллипсоида; пусть ось z будет осью вращения, урав-
нение (6) по-прежнему уравнением эллипсоида. Согласно исследованию,
относящемуся к выражению (5) девятой лекции, при составлении диффе-
ренциальных уравнений движения можно будет отвлечься от того, что
система координат вращается, если только к компонентам силы (относя-
щейся к единице массы), действующей по осям х и у на жидкую части-
цу, соответственно добавить
Х2х— 2Хо и X2z/4-2Xn.
Предположим, что движение, отнесенное к указанной системе коор-
динат, установившееся; тогда уравнения (10) пятнадцатой лекции при
помощи уравнений (7) и (8) дадут
ди ди ди / 2о \
и 4- о ш - = —-------------2лД 4- X2 х — 2Хо,
дх 1 ду ' dz \ а2 ) ’
dv dv dv ( 2s я \
и д- u j—f- w — I --------2лВ 4- X2 j у 2А.Ы,
dx ' dy dz \ b2 । । i
dw dw dw ( 2s \
м + v J- w д- = —„---------2лС z.
dx dy ‘ dz \ c2 )
Подставим в эти уравнения вместо и, v, w их значения из (4); тогда они
должны быть удовлетворены для всех значений х, у, z, если только
имеют место девять уравнений, левые части которых являются левыми
частями уравнений (9), и правыми частями их служат выражения
2s
----2лА + А,2 — 2Хаг1, — 2Хц23, — 2Хц23,
2s
2Хап, ------------2лВ -+- A2 4- 2Ха12, 2Ха13,
2s
О, О, — — 2лС.
С2,
К этим девяти уравнениям надо добавить неизмененные уравнения (5) и
(10), если предположенное движение возможно. Всем этим условиям
можно удовлетворить, полагая
= 0, tZ22 — 0, = О,
^13 == ^23 = ®31 = ^32 ~ О
и
° 12 Я21 „
~а? + Ь2 " U’
2s 2*
а12а21 = —г----2лА + X2 — 2Хаг1 = — 2лВ 4- А2 4- 2Ха12,
2s
О = -V- — 2лС.
с2
292
Положим опять
а b
а12 =и, а21 — — --к, следовательно, u12a2J — — х2, и исключим ст;
тогда получим два уравнения между 2-, х, а, Ь, с:
а2 (х2 4- А2) : 2xAczft = 2л (а2А — с2С),
(12)
Ь2 (х2 4- A2) -h 2кХаЬ - 2л (Ь2В - с2С). ' 1
Пусть а, Ь, с заданы произвольно, тогда х и А могут быть вычислены
из этих уравнений. Найденные значения, которые могут быть перестав-
лены, не всегда, однако, будут действительными, т. е. представляемое
этими уравнениями движение не всегда будет возможным. Мы не будем
здесь определять границы области, в которой должны лежать
отношения а:Ь:с, чтобы уравнения (12) давали действительные значения
х и А. Простейший случай, в котором это имеет место, есть тот, когда
Ь2 ~~ с2 и аг с2;
в этом случае второе из уравнений (12) примет вид
с(х2 + А2) 4- 2хАа = 0.
§ 3
Когда рассматриваемое движение установившееся или когда его можно
свести к установившемуся, если отнести движение к подвижной системе
координат (такое движение рассмотрено в конце предыдущего параграфа),
то предпочитают пользоваться эйлеровыми уравнениями гидродинамики,
а не лагранжевыми. Применение уравнений Эйлера удобно также тогда,
когда перемещения и скорости бесконечно малы (подобные случаи состав-
ляют предмет двух предыдущих лекций). Одним из этих случаев мы будем
заниматься здесь, именно случаем бесконечно малых колебаний тяжелой
несжимаемой жидкости.
Предположим, что существует потенциал скорости ср; тогда дифферен-
циальное уравнение в частных производных, с которым нам придется иметь
дело> будет по-прежнему Аср = 0. Предположим, что жидкость отчасти
ограничена твердыми стенками; тогда для всех элементов стенок будет
^ = 0. (13)
дп
Предположим далее, что жидкость имеет и свободную поверхность, бес-
конечно мало уклоняющуюся от горизонтальной плоскости, на которую
действует постоянное давление. Сперва мы должны найти граничные усло-
вия, которым удовлетворяет ср на этой свободной поверхности. Примем
плоскость хОу координатной системы бесконечно близкой к свободной
поверхности, ось z направим по вертикали вниз. Тогда в уравнении (1)мы
можем положить
V = С + gz,
где С — постоянное, которым мы можем произвольно распорядиться. При-
мем скорости за бесконечно малые величины первого порядка; тогда,
пренебрегая бесконечно малыми второго порядка, будем иметь
C + g2-p = ^.
dt
Положим С равным постоянному давлению, действующему на поверхность,
и применим это уравнение к поверхности; тогда получим
= (14)
01
29?
Отнесем его к некоторой частице жидкости на поверхности, продифферен-
цируем по t и, пренебрегая бесконечно малыми второго порядка, входя-
щими в правую часть этого уравнения, получим
<?<р ___д2<р
ё дг ~ dt2 ‘
(15)
В это уравнение вместо z должны быть подставлены бесконечно малые
значения, которые соответствуют поверхности 44; вместо этого можно
положить в нем z = 0.
Уравнения (13) и (15) представляют граничные условия, соответственно
которым надо определить <р. Им легко удовлетворить в некотором частном
случае. Положим
<p = ZL/ (16)
(17)
(18)
и допустим, что Z есть функция z и t, U — функция х и у. Тогда
уравнение (13) может быть удовлетворено, если жидкость сбоку ограни-
чена вертикальной цилиндрической поверхностью, а снизу — горизонталь-
ным дном. Для поверхности следует положить
^ = 0,
дп
для дна
™ 0.
дг
Вследствие (16) уравнение А<р = 0 примет вид
d2U . d2U\ , ,,d2Z
-4- — I -4- (J--
дх2 ду2 J дг2
ему можно удовлетворить, полагая
- - = x2Z,
дг2
dW , d2U
-J- - = — х2Д,
дх2 ду2
где х должно быть постоянным. Если для дна
z = h,
го из (19) и (18) следует, что
(19)
(20)
(21)
где е — основание натуральных логарифмов и М — функция t. Она
определяется из уравнения (15), которое вследствие (16) и (21) будет
d2M еиЛ_е-иЛ
• = — р-х М\
dt2------------[ e~nh.
отсюда следует, что
М = A cos2л, (22)
где А и t — две произвольные постоянные и
Т^2л./Х£1+еГЛ.
(23)
2М
Уравнение, получаемое из (16) с помощью (21) и (22) в предположе-
нии, что U может быть определено соответственно (20) и (17), представ-
ляет движение, при котором каждая частица жидкости совершает колеба-
ния продолжительностью, равной Т. Полученное для Т выражение
существенно упрощается в случаях, когда можно рассматривать х/г как
бесконечно большое или бесконечно малое. В первом случае
т _ 2зт_
VgX ’
во втором, как показывает разложение показательных функций,
7 — __2п_
х gh
Определим функцию U только для простейшего случая. Положим, что
горизонтальное поперечное сечение жидкости представляет прямоугольник,
стороны которого параллельны осям х и у, и что U не зависит от у.
Тогда уравнение (20) будет
и общий интеграл его равен косинусу
cos х(х — х0),.
где х0— произвольное постоянное, умноженное на второе произвольное
постоянное. Если для стенок, которыми жидкость ограничена в направле-
нии оси х, будет
х = 0 и х = I,
го уравнение (17) требует, чтобы для этих значений х было
d-U = 0;
За-
мы удовлетворим ему, если положим
х0 = 0, х = у, (24)
где п — целое число. Поэтому имеем
[п (h—z) п (h—z) "1
/ л , / я
е + е J
Все требуемые условия будут также выполнены, если положим ср равным
сумме таких выражений, одним из которых является указанное .выше, и
которые отличаются одно от другого значениями целого числа п и
постоянными А и t0; следовательно, можно также положить
п (h—z) п (h—z)
Ф V MncosT-2л Ч-B„sin 2л^ (е 1 4- е 1 'I cos--л,
\ ‘ п 1 п j \ ) 1
где сумма взята по п, Ап, Вп—произвольные постоянные и Тп — вычи-
сляемое из (23)' и (24) значение Т. Заметим, не входя в подробности, что
постоянные Ап, Вп можно определить с помощью так называемых рядов
Фурье так, чтобы движение соответствовало любым начальным состоя-
ниям, т. е. чтобы для t = 0 и для поверхности г величины — и т
g dt dz
согласно (14), были равны данным произвольным функциям х.
295
Разберем еще случай, когда жидкость можно рассматривать как
неограниченную в направлении х, т. е. когда ни для какого значения х
не надо удовлетворять граничному условию. Тогда уравнения (24) не будут
иметь места, и если мы возьмем
х
2л
X ’
где X произвольно, то найдем
<p = /lcos^ — 2л 1 +е 1
(25)
Представленное здесь движение осуществляется волнами, распространяю-
щимися вдоль оси х, длина которых есть X и скорость распространения
X
равна - , т. е. равна
Эта скорость зависит, вообще, от длины волны; но этой зависимости не
будет, если рассматривать X как величину бесконечно большую сравни-
тельно с глубиной /г; в этом случае она равна
Если, напротив, h бесконечно велико сравнительно с X, то скорост>
распространения равна
Л/'В-
V 2л '
Траекторию частицы жидкости найдем следующим путем. Пусть х
у, z + £ будут координатами частицы в момент t, координатами которой
в момент t = 0 были х, у, г; тогда
dg = д<Р d'S = <Эф
dt дх ' dt dz '
т. е., по (25),
h—z h—z
d? Л2л / 2Л Г 2Я\ / t х \ _
- =---------е — е cos-------------------------2л,
dt X \ > \Т X )
откуда следует, что
— 'j 2л — cos — 2л 1 ,
X ) X J
. ЛТ/\~2Я “М2Я\ г • /' t , • т2л 1
-о ) |51п(--т)2я+ s,nr | .
296
Исключая отсюда t, получим
< S х2л \ г , £ , х2л \ г ,
- - — cos - I -+- sin -Ь -- --- ~ 1,
'а К 1 'с X •
где положено
Это — уравнение эллипса, полуосями которого являются горизонтальная
и вертикальная линии, длины их соответственно а и с. Если h бесконечно
велико, в то время как Хиг конечны, то а = с; все частицы жидкости
описывают круги*.
§ 4
Применим теперь лагранжевы дифференциальные уравнения гидроди-
намики к некоторым движениям несжимаемой жидкости, на частицы кото-
рой действуют силы, а на свободную поверхность производится постоян-
ное давление. Первым рассмотренным случаем будет тот, когда в тяжелой
жидкости известным образом распространяются волны конечной высоты.
Положим опять плотность равной единице, выберем ось z направленной
вниз по вертикали и предположим, что движение всюду происходит
параллельно плоскости xOz. Тогда, если положим b = у, уравнения (7)
пятнадцатой лекции дадут
dtxdx !
dt'1 да
+ ^ = 0,
да
(26)
d2x дх / d2z
di2 дс ' [di2
др
дс
Уравнения (8) и (3) той же лекции примут вид
dD Q дх dz дх дг
di да дс дс да
Здесь а и с могут быть какими-нибудь переменными, значения которых
вместе с у однозначно определяют частицу жидкости. Для этого необхо-
димо только, чтобы во всем наполненном жидкостью объеме D не обра-
щалось ни в нуль, ни в бесконечность. В остальном значения а и с мы
можем оставить пока не определенными. Покажем, что указанные уравне-
ния будут удовлетворены; если положим
х-—a = rsinl0’, z— c-rcosO,
(27)
ft = — -'i 2л,
к X т )
где Л и Т — два постоянных и г — функция с, которой мы можем
распорядиться, как нам угодно, то каждая частица движется по кругу
с постоянной скоростью, так что Т есть продолжительность обхода.
* Vergl. Holtzmann. Programm der Polytechnischen Schule in Stuttgart, 1858.
297
Из принятых для х и z выражений следует, что
дх . , 2л п дх dr . „
— = 1 4----------г cos v, — — — sin 'О',
да Z дс de
дг
да
2л . „ дг , , dr а
— г sin и, — = 1 j cos О',
% дс de
(28)
так что
г. , , 2л dr . i'dr , 2л \ а
D = 14----г----Н -4------rlcosO.
к de \dc к )
Так как D должно быть независимым от t, а О' от него зависит, то,
следовательно,
dr 2л
— =------г
de к
и
D = 1 +^г-.
к de
Первое из этих уравнений дает
ЗЯ
г = Re К‘,
(29)
(30)
(31)
где R — произвольное постоянное.
Из принятых для х и z выражений следует, что
d*x /2л\2 .a d2z /2л \» а
—• = — — г sin О', — = — — г cos О.
dP \т J dP \Т )
Подставляя эти значения в уравнение (26) и пользуясь (28)
получим
и (29),
др _ /2л — g\ 2ЛГ sjn ф
да \Т* к J
др__ /2л
дс (Г2
е | 2лг cos О' 4- g--— г2.
к J Т*к
Мы удовлетворим обоим уравнениям, если установим соотношение между
А и Т, которые оставались до сих пор произвольными,
g _ 2л
к Г*
и определим р как функцию одного только переменного с, так что
4Я
de I %2 /
Если р « р0 для с = 0, то из этого уравнения следует
4Я
Р = Ро + g р-1 - е К С
| А \
Свободная поверхность должна все время состоять из одних и тех же
частиц, и давление на ней должно быть постоянным; мы удовлетворим
обоим этим условиям, если положим, что для свободной поверхности
будет
Р = Ро, и с = 0.
298
может превзойти некоторого значения, для того
точке жидкости не обращалось в нуль. Из (30) и
В остальном мы примем, что жидкость не ограничена; тогда а изменяется
от — оо до + оо, с — от нуля до + оо.
Постоянное R не
чтобы D ни в какой
(31) следует, что
4rt
D = 1— (—
1 Л )
следовательно, /? не
может быть больше, чем
Л
2л ’
(32)
Уравнение свободной поверхности в момент t получим выраженным
через х и г, если положим в (27) с = 0 и исключим а и ft; поэтому оно
есть результат исключения из уравнений
х — -- t = R sin ft + — О,
Т 2л
2 = R cos ft.
X.
Так как х и t входят здесь только в комбинации х-------1, то поверх-
X л
ность перемещается со скоростью — в направлении оси х без изменения
формы. Для какого-нибудь значения t пересечение ее с плоскостью хОг
есть циклоида; круг, качением которого она описана, имеет радиус R,
центр его движется — по оси х; точка, описывающая циклоиду, находится
А,
на расстоянии ~ от центра. Если R получит значение, приведенное в (32),
то циклоиды будут иметь точки заострения (возврата).
В рассмотренном здесь случае не существует потенциала скоростей;
частицы жидкости вращаются вокруг оси у. Обозначим через X угловую
скорость; тогда из уравнений (15) и (14) пятнадцатой лекции получим
dx dx dz , dz
д — д — д — д —
___ dtdx j________________$z
да дс дс да да дс дс да
следовательно, по (28) и (29) будем иметь
— 2£>Х = —г-
ЛТ de
Разобранное в этом параграфе движение открыто Герстнером*, позд-
нее его самостоятельно исследовал Ранкин **.
§ 5
Возвратимся опять к исследованию жидкости, которую мы рассматри-
вали в § 2, т. е. к жидкости, частицы которой притягиваются по закону
Ньютона и на поверхность которой действует постоянное давление. При
этом мы опустим сделанное там предположение, что движение жидкости
установившееся или может быть приведено к таковому, если отнести его
к соответствующим образом выбранной подвижной системе координат.
* Theorie der Wellen sammt einer daraus abgeleiteten Theorie der Deichprofile von
Franz Gerstner. Прага, 1804.
** London Philos. Transactions, 1863, Part. I, p. 227.
299
Как показал Дирихле в цитированном уже в сочинении (§ 2), мы получим
возможные движения такой жидкости, если допустим, что координаты
каждой частицы являются линейными функциями их начальных значений и
что вначале жидкость образует эллипсоид.
Подразумевая теперь под а, Ь, с начальные значения х, у, z, предста-
вим уравнение поверхности для момента / = 0 в виде
а2 Ь2_ , с^_
Л2 7~ 52 7 С2
(33)
и положим
х = ага + -ф YjC,
у = а2а + р26 + у2с, (34)
z = а3а + + у3с,
где девять величин а, р, у означают подлежащие определению функции
t. Прежде всего они должны удовлетворять уравнению
«1 Pi Ti
а2 Рг Тг
аз Рз 7з
(35)
Их начальными значениями являются
«1 = Рг = Тз = 1,
а2 ~ Pi — аз = Yi = Рз = Тг — 0;
начальные значения их производных по t могут быть любыми, с тем
лишь ограничением, что они должны удовлетворять условию; получаемому
дифференцированием (35), т. е. условию
। <*Тз _ q
dt dt dt
Уравнение (33) есть также уравнение поверхности в момент подставим
в него х, у, г вместо а, Ь, с; пользуясь (34), найдем, что жидкость всегда
образует эллипсоид с центром в начале координат, оси которого по вели-
чине и направлению зависят от времени.
Потенциал жидкости V в момент t относительно внутренней точки
(х, у, z) равен сумме однородной функции второй степени и некоторой
не зависящей от х, у, г величины. Так как V обладает этим свойством,
если оси х, у, z совпадают с главными осями эллипсоида, то оно не
утратит его, если вместо такой системы координат введем другую с тем
же началом координат. При посредстве (34) отсюда следует, что
V = Н — Ка2 — Lb2 — Me2 — 2K'bc — 2L'ca — 2M'ab, (36)
где семь вновь введенных букв означают функции времени, выражающиеся
известным образом через девять функций а, Р, т и три постоянные А, В, С.
Наконец, положим
, , /. а2 Ь2 с2 \
р = const T-о 1--------------,
\ А В С J
где о — некоторая неизвестная функция t.
Этим предположением мы удовлетворим условию, что давление на
поверхности постоянно, и уравнения (7) пятнадцатой лекции будут ли-
нейны и однозначны относительно а, Ь, с. Все условия задачи будут
300
удовлетворены, если десять функций времени: аъ р1( у1т а3, у2, а3, 03,
Т3 и в, будут определены из следующих уравнений:
«1 d2“i _1_ « d2aa Д_ П - —Т- Oto ' "4“ Oto dt* dt* dt* — 2K + — , A*
«1 d2?i , „ a2 — dt* dt* - -4- Oto = 3 dt*
<Х1 d2Ti i n d2Y2 dt* dt* — 2L’,
01 d2«i „ d2a2 lt*+^~M* + 03— = H3 dt* — 2M',
01 rf23i , в i2p2 dt* P2 dt* dp — 2L + 2- , B* (37)
01 d-^ + p2 ЁД2 d<2 H dt* 1 o d2T3 __ + P3 It* ~ -2K’,
Т1 d2a, . d2a« 1 + Тз dt* dt* । d2^3 + ~ dt* — 2L',
Yi v rf203 dt* dt* +Ts dt* ~ -2K',
Т1 rf2Tl 1 „ ^T2 dt* dt* + 7»^- dt* — 2A4 + — . C*
Семь интегралов этих уравнений можно получить на основании общих
исследований, которые мы произведем. Три из них следуют из уравнений
(14) пятнадцатой лекции, если ввести в них значения х, у, z из (34); они
показывают, что три выражения
01 - П + 0з 5 + Зз - Тз -
dt dt dt dt dt dt
v da-l „ <*T1 „ d"(2 da3 „ df3
Yi — ai ,7 + Тг — — a2 - ~ + Тз ~77 — a377 >
dt dt dt dt dt dt
dBl n d«l t „ d?2 О <^2 , „ d$3 p ^«3
ai —-----Pi *77 + a2 "j? — 02 7, , + a3 ~T. Рз —
dt dt dt dt dt dt
(38)
имеют постоянные значения. Четыре других определятся из следующих
соображений. Мы убедились в § 6 одиннадцатой лекции, что для такой
жидкости, как рассматриваемая, принцип Даламбера применяется в той же
форме, как для системы отдельных материальных точек. Поэтому из
разъяснения, сделанного в четвертой лекции, следует, что для рассматри-
ваемого движения применимы теорема живых сил, теорема сохранения дви-
жения центра тяжести и теорема сохранения площадей. Составим сперва
уравнение, выражающее теорему живых сил.
Обозначим через dx элемент массы жидкости, который в момент t = О
имеет координаты а, Ь, с; тогда живая сила Т в момент t определяется
через
2 J L \ <Lt / \ dt ) \dt ) J
Подставим здесь вместо ~значения, взятые из (34), и восполь-
301
зуемся тем, что
a2 dr
--АВС-,
3 5
be dr — О,
f&Mt = — ABC52,
J 3 5
\ ca dr — 0,
(39)
c2dx = — ABC-.
3 5
abdx = 0;
эти уравнения легко получить, если положить dx = dadbdc и ввести
вместо а, Ь, с новые переменные интегрирования^, . Тогда най-
дем
Далее, пусть будет U потенциал всех действующих сил; тогда он равен
U = J Vdx,
или, как мы будем выражаться, равен потенциалу жидкого эллипсоида
самого на себя. Согласно предположению, которое доказано в нижесле-
дующем примечании*, он равен - объема, умноженного на потенциал
5
этого объема в его центре тяжести, т. е.
U = — АВС-Н,
15
* Потенциал массы плотностью, равной единице, заполняющей эллипсоид, уравнение
поверхности которого
х2 у2 z2
- +"- + - =1,
а2 Ь2’ с2
относительно внутренней точки х, у, г, по уравнению (4) восемнадцатой лекции, будет
равен
оо х2 у2 Z2
с 1 —------------— —-— —------------
\ а3 4- ' ft'2 + X с2 + А.
nabc j ал —, - —— ;
о V (а2 4 л) (ft3 -j- л) (с2 -|- л)
коэффициенты при х2, у2, г2 в этом выражении, как уже замечено на стр. 112—ИЗ, зависят
только от отношений а, Ь, с, но не от абсолютных значений этих величин. Отсюда сле-
дует, что потенциал массы с плотностью единица, заполняющей объем, ограниченный
двумя поверхностями
и
х2 у2
Ь2
г2
г
X2 у2
а2 + Ь2
z2
с2
•%
относительно точки, лежащей во внутренней пустой полости, постоянен и равен значению
302
где И имеет значение, определяемое из (36). Теорема живых сил гласит,
что между Т и U существует уравнение
Т — U + const.
Закон сохранения движения центра тяжести в применении к нашей задаче
дает только тождество, им подтверждается правильность сделанного пред-
положения, что центр жидкого эллипсоида остается на месте.
Теорема сохранения площадей дает три интеграла; она показывает,
что выражения
dz du \ ,
у----z—\dx,
dt dt )
т. е., согласно (34) и (39), выражения
Д2 (а3 —1 — Л1 + В2 fр3 — Зх — + С2 f Тз — — Ti —. (40)
\ dt dt) V dt dt) \ dt ‘ dt ) K 7
Д2 /а ^L2 _ а B2 /р ^2
\ dt dt J \ dt
R \ I Л2 I v _______ у
। c ll~ T2“~
dt \ dt dt
равны постоянным.
§ 6
Сделаем теперь упрощающее предположение, что главные оси жидкого
эллипсоида всегда сохраняют одни и те же направления. В этом случае
надо вместо (34) положить
х = а^а, у = 2 = ^зс>
в центре, т, е.
„ С dX
каЬс (п ‘ — п2) \ , если п > п.
J У (а2 + Л) (Ь2 + X) (с2 + X) ‘ -
о
Чтобы найти теперь потенциал эллипсоида, полуоси которого а, Ь, с, самого на
себя, найдем сперва потенциал его относительно слоя, ограниченного двумя поверх-
ностями, которые подобны его поверхности, подобно расположены и имеют полуоси
ап, Ьп, сп, и а (п 4- dn), Ь (п -|- dn), с (п 4- dn). Этот потенциал состоит из двух частей,
из которых’ первая происходит от масс, лежащих снаружи слоя, вторая от масс, заклю-
ченных внутри слоя. Первая часть равна
со
4л (• dX
— abc Зп2 dn nabc (1 — п2) \~т-------------------- ,
3 ^(а24-Х)(Ь24-Х)(с2 4-А)
о
Вторую часть найдем, если заметим, что потенциал массы М относительно массы М:
равен потенциалу массы М' относительно массы М
со
4л Р d\
— abc п3 4 5 * nabc 2п dn \ —---------------.
3 3 У(а2+л)(Ь2 + ^Ж+л)
о
Складывая эти выражения и интегрируя сумму их по п от нуля до единицы, получим
искомый потенциал эллипсоида с полуосями (а, Ь, с) самого на себя
00
4 4к Р d*
- - . - abc \ ’.
5 3 J V(a24-X)(b24-X)(c24-X)’
о
чем доказано высказанное в тексте
предложение.
303
следовательно,
а2 4- а3 Pi --- рз у, у2 .= 0.
Тогда значения величин Н, К, L получим из сравнения уравнения (36)
с уравнением
а2а2 B2fe2 у2с2
а^2 + К 32В2 + л т2С2 + X
V(а2Л2 + л) (₽|В2 + Л) (Т2С2 + Л)
V =-- лАВС \ dK
о
и уравнения (37) дадут для определения четырех неизвестных функций а,,
fe, ^з> ° соотношения ОЭ
d2a. - — — 2лАВС { — —. А2 ' N аМ2 + X О 1
dt" 03 R2 = — — 2лАВС , В2 ? N р2В2 + Х ОЭ 2
г Тл dt* , __ 2лАВС { — —-— , С2 ,) N Т2С24-Х 0 J
«АТз - 1 -
где положено
К (аМ2 + (Р^2 + М (ТзС2 + М = Л'.
Выражения (38) будут равны нулю; вращения нет, для движения сущест-
вует потенциал скоростей. Также равны нулю выражения (40). Первый
интеграл дает теорема живых сил. К квадратурам задача не приводит-
ся.
Направления осей жидкого эллипсоида можно считать постоянными
также тогда, когда он есть эллипсоид вращения, ось вращения которого
совпадает с осью г. Также и при этом предположении уравнения (37)
могут быть удовлетворены. В этом случае уравнение поверхности, выра-
женное через а, Ь, с, имеет вид
а2+ b" с2 1.
Л2 ' С2
выраженное через х, у, z, оно может быть представлено в виде
У2--Г У2 | J
X2 1 Z2 " ’
причем X и Z означают тогда полуоси. Составим условия того, что оба
эти уравнения при помощи (34) должны быть тождественными; найдем
7) 0. Ь 0, «з-0, 3:, 0,
Л1=±₽2, «2-Т31,
где надо выбрать оба верхних или оба нижних знака. Мы устраним эту
двузначность, если допустим, что положительно, и примем во внима-
ние уравнение D Г, тогда получим
И] Р2, а2 - — Pj.
304
OO 1
V --- nA2C dA, Тз -
0
При этом уравнение D = 1 будет
(а? + ₽?)Тз= h
и мы найдем
X2 = - , Z2 = С2у32,
Тз
х — аха 4- рД у = — рха + агЬ, z — у3с.
Отсюда будем иметь
а2 4 Ь2 'i?2
~ Л- T.V- ~^С2 + Х
(А2 4 ТзО VТ3С2 + А
причем из сравнения этого уравнения с (36) получим значения Н, К, L...
Воспользовавшись этим, мы приведем уравнения (37) к следующим:
оэ
ах -аА -+- рх d-^- = — — 2лА2С f-------,
dt2 di2 A2 J (Л*4 Тзл)2 Уч23С2+ №
Тз - =
dt2 C2
— 2x42C J
0
3
(A2 -F ТзМ (т|С2 4М2
(аГ|-р?)Тз= 1.
Один из интегралов общей задачи, определяемой (38) и (40), можно
получить из этих уравнений, другой — из теоремы живых сил. Оба эти
интеграла в рассматриваемой теперь задаче могут быть сведены к квадра-
турам. Исследование их позволит определить в общих чертах колебания,
производимые поверхностью эллипсоида вращения. Относительно этого
исследования мы сошлемся на цитированное уже в § 2 сочинение Дирихле.
Относительно более общих исследований, касающихся движения жидкого
эллипсоида, части которого притягиваются по закону Ньютона, сошлемся
на сочинение Римана, которое находится в девятом томе известий Коро-
левского общества наук в Геттингене. (Abhandl. der Konigl. Gescellsch. der
Wissensch. zu Gottingen.)
20 Г Кирхгоф
305
ЛЕКЦИЯ ДВАДЦАТЬ ШЕСТАЯ
(Трение несжимаемой жидкости. Вывод дифференциальных уравнений и гранич-
ных условий. Течение жидкости по длинной цилиндрической трубе. Введение до-
пущений, что жидкость прилипает к твердому телу, с которым соприкасается, и
что скорости бесконечно малы. Равномерное вращение в жидкости шара отно-
сительно диаметра, или эллипсоида вращения относительно оси симметрии в слу-
чае, когда снаружи жидкость не ограничена, или ограничена концентрической
шаровой поверхностью, или соответственно поверхностью софокусного эллипсои-
да. Вычисление момента сил, действующих на шар или эллипсоид. Сопротивле-
ние шара, равномерно поступательно движущегося в жидкости. Вращательные
колебания шара. Колебания шара при которых центр движется вперед и назад
по прямой линии)
§ 1
Закончим наши исследования по гидродинамике рассмотрением неко-
торых случаев движения несжимаемой жидкости, при которых сказывается
влияние трения. Дифференциальные уравнения для таких движений мы
установили уже в одиннадцатой лекции. Обозначим по-прежнему через
и, v, w компоненты скорости в момент t в точке (х у, z), и положим
Хх = р —2fe —,
г дх
У^р-2вЛ,
ду
-у ы.
Z2 р — 2k ,
дг
(П
где k — обусловленная трением постоянная жидкости, р — неизвестная
функция х, у, z, t', выразим компоненты ускорения так, как это было
сделано в § 2 пятнадцатой лекции. Тогда дифференциальные уравнения,
о которых идет речь, если принять, что на частицы жидкости не дей-
ствуют силы, и обозначить плотность жидкости через ц, будут
ди , ди . ди , ди , 1 /дхх , дх , \
-----\-и----1- v----w -Н—------------.1----------|~0,
dt дх ду дг ц у дх ду дг у
dv . dv.dv dv . 1 х . дУ
—(- и—i-o—I-! -
dt дх ду дг ц \ дх ду
dw , dw dw dw . 1 / &Z dZ dZ \
----cu ko \-w -4— 1 2-4--1=0,
dt дх-------------------------------------ду-дг u у dx-dy dz J
du dv .dw q
dx dy dz
(2)
306
Подставляя сюда вместо Хх, Yy, ... их значения из (1) и пользуясь
четвертым из уравнений (2) для упрощения остальных, получим
ди , ди , ди 4 и-—4 v — dt дх ду , du -- w - dz ±dP ' ,ix dx k Л An =
dv , dv , dv dv . 1 dp /г .
—да и — да- да — —— - — Ау
dt dx dy dz H dy ц
dw . dw , dw ) U 1- V — dw -I - w -- 4. J d;' A . Ада .x.--
dt dx dy dz [x dz
du . dv . - dw ~ 0.
dx dy dz
О,
О,
О,
(3)
На поверхности жидкости, т. е. на поверхности соприкасания ее с дру-
гим телом, которое может быть твердым или жидким, должны быть
выполнены известные условия: некоторые из них могут быть взяты из § 6
десятой лекции и § 4 одиннадцатой. Обозначим через ds элемент поверх-
ности соприкасания и через п — направленную внутрь рассматриваемой
жидкости нормаль к ds; тогда компоненты скорости частицы по направле-
нию нормали п с обеих сторон ds должны иметь равные значения; для
этой частицы Хп, Yn, Zn также должны иметь равные значения. Но эти
условия недостаточны для нахождения решений дифференциальных урав-
нений (2) или (3); их необходимо дополнить гипотезой. В некоторых слу-
чаях удобной оказывается гипотеза, что сами и, v, w для частиц, распо-
ложенных по обеим сторонам ds, имеют равные значения, так что частицы
двух тел, которые раз соприкоснулись, останутся в соприкосновении
навсегда. Сделаем еще некоторое обобщение предлагаемой гипотезы.
Отнесем и, v, w к частице рассматриваемой жидкости, прилегающей к ds;
ых, V,, — к частице с другой стороны ds; тогда, как упомянуто, будет
(и — ut) cos (пх) + (у — Vi) cos (пу) + (да — дах) cos (nz) = 0.
Мы можем рассматривать и — ult v — у1; да — дах как компоненты относи-
тельной скорости соприкасающихся частиц и, следовательно, выразить
это уравнение так, что эта относительная скорость перпендикулярна к п,
т. е. параллельна ds. Вообразим, что давление, действующее на ds, т. е.
давление, компоненты которого по осям координат — Хп, Yn, Zn, разло-
жено на две компоненты, одна из которых параллельна п, другая парал-
лельна ds. Согласно данной гипотезе, вторая компонента имеет направле-
ние, противоположное относительной скорости, и пропорциональна ей.
Аналитическое выражение этой гипотезы мы найдем из следующего рас-
суждения. Выражение
Хп cos (пх) + Yn cos (пу) + Zn cos (nz)
сть компонента давления, производимого на ds по направлению п. Умно-
жим это выражение на cos(nx), cos (пу), cos(nz); тогда мы получим ком-
поненты по осям координат этой компоненты давления; вычтем эти про-
изведения из Хп, Yn, Zn; тогда разности дадут компоненты по осям ко-
ординат той параллельной ds составляющей, которая действует на ds. От-
сюда по приведенной гипотезе следует, что
Хп — [Хп cos (пх) + Yn cos (пу) Ц- Zn cos (nz)] cos (пх) = A (ux — и),
Yn — [Xn cos (nx) + Yn cos (ny) + Zn cos (nz)] cos (ny) = A (yx — y), (4)
Zn — \Xn cos (nx) 4- Yn cos (ny) + Zn cos (nz)] cos (nz) = А (шх — да),
где A — постоянное, зависящее от природы жидкости и соприкасающегося
тела.
Допустим, что А бесконечно велико; тогда уравнения (4) приведут
к более частной, упомянутой прежде гипотезе, по которой и = ult v = vlt
20*
307
w - - wL. Другой предельный случай будет, когда 7. 0. В этом случае
уравнения (4) дают
Xn:Yn'- Zn = cos(пх): cos(пу): cos(nz),
в чем легко убедиться, если разделить их на cos(rax), cos (пу), cos (nz) и
вычесть по два одно из другого. В этом случае давление, компонентами
которого являются Хп, Yn, Zn, нормально к поверхности; это должно
иметь место, если соприкасающееся тело есть жидкость, в которой можно
пренебречь трением.
§ 2
Теперь будем искать частные решения уравнений, установленных в пре-
дыдущем параграфе. Сперва мы положим, что
и =- 0 и v — О,
т. е. движение всюду параллельно оси z. Тогда первое, второе и четвер-
тое из уравнений (3) примут вид
др_ == о дР _,= о dw __ О
дх ’ ду ’ dz
т. е. р не зависит от х и у, w—от z. Третье из уравнений (3) будет
dw . др , / d2w . d2w \ п
ц----И -----k------------ = О,
dt dz \ дх2 ду2 )
откуда, согласно только что сделанному замечанию, следует, что
др-с.
dz
, I d2w
k -----
\дх2
d2w \ dw
~~ dt
где с не зависит от х, у, z и, следовательно, есть функция одного пере-
менного t. Мы введем в рассмотрение еще более частное предположение,
допуская, что движение установившееся; тогда с постоянно и
dp
dz
k\------1- — = c
\ dx2 dy2 J
(5)
Соответственно этому уравнению жидкость может двигаться в твердой и
неподвижной цилиндрической трубе, параллельной оси z. Составим гра-
ничные условия, которые должны быть выполнены на внутренней поверх-
ности такой трубы. Из (1) в нашем случае получается
Хх = р, У',, == Zy = — k
ду
Yy = p, Xx — Xz — —k
дх
Zz = p, Х^ух = о,
и так как
cos (nz) О,
то из уравнений (7) одиннадцатой лекции следует, что
Хп = р cos (пх), Yn = р cos (пу), Zn = — k Г3® cos(nx) 4- — cos (пу)
ду
и
Хп cos (пх) + Yn cos (пу) -ф Zn cos (nz) = p.
308
Положим в уравнениях (4), которые будем рассматривать как гранич-
ные условия, = vL = Wi = 0; тогда два первых уравнения будут удов-
летворены тождественно, а третье даст
k Г5- cos -i- cos (ny) 1 = Kw,
L5x dy J
или, что то же самое,
Допустим теперь, что поперечное сечение есть круг радиуса R, центр
которого лежит в плоскости 2 = 0, и чт о движение на равных расстоя-
ниях от этой оси одинаково. Положим
р = У Хг+ у-\
тогда второе из уравнений (5) будет
d^w 1 dw с
dp3 р dp k
откуда следует, что
+ Algp + B,
4 я
где А и В — произвольные постоянные. Первое из них должно обра-
щаться в нуль, так как w не должно обращаться в бесконечность для
р = 0; второе получим из (6), т. е. из условия, что при р = R будем иметь
dw Л
— = — - - zjy,
dp k
откуда следует, что
таким образом
-7Г (я2
W \ Л )
Постоянное с найдем из первого из уравнений (5), если будут известны
значения р для двух значений z. Пусть будет р = р0 для z = 0 и р = р
для z = /; тогда
Pl ~~ Ра
с =---—--.
I
Обозначим через Q объем жидкости, протекающей в единицу времени
в направлении оси z через поперечное сечение; тогда
R
Q = 2л \ wp dp',
следовательно.
Q = л I (7)
Ski \ ' X )
Этот результат приближенно имеет место в том случае, когда тяжелая
жидкость вытекает в атмосферу из обширного сосуда по горизонтальной
очень длинной и тонкой трубке. Тогда можно выбрать поперечные сечения
z=0 и z = Z на таком расстоянии от концов трубки, которое велико срав-
нительно с поперечными размерами последней, но мало сравнительно с I,
309
и приравнять р0 давлению, которое имеет место в трубке, когда жидкость
покоится, a pi — атмосферному давлению.
Измерения количества вытекающей жидкости при таком расположении
произведены Пуазёйлем. Он нашел, что
Q = К R*,
I
где К — величина, которая остается неизменной, когда изменяются р0, I
или R. Сравнение этого уравнения с (7) приводит прежде всего к заклю-
чению, что К рассматривалось как бесконечно большое; следовательно,
было неявно допущено, что жидкие частицы, прикасающиеся к стенкам
трубы, к ним прилипают. Далее, найденные для К значения позволяют
вычислить k для испытуемой жидкости.
§ 3
Дальнейшие исследования трения жидкости, которые мы произведем,
упростим предположением, что жидкие частицы, соприкасающиеся с твер-
дым телом, прилипают к нему и что скорости бесконечно малы. Вслед-
ствие последнего, уравнения (3) обратятся в
ди , др dv , др
н----l _ц_ -- йА//, ц — 4- — = kw,
dt dx dt dy
(8)
+ ^ + *L+^ = o.
dt dz dx‘. dy dz
Если движение установившееся, то они перейдут в
— — kAu, др- = feAv, др- — k&w,
дх dy dz
(9)
ди . dv . dw n
dx dy dz
Решением этих уравнений будет
, dW d\V n
p — const, u——, v =-------------, tw = 0, (10)
dy 'dy
если W удовлетворяет уравнению
AIF = const.
Поэтому мы можем в (10) положить
W = у , г = /x2+y2+z2,
где с — постоянное, и будем иметь частные решения наших дифферен-
циальных уравнений в виде
р — const, и — — — у, v = — х, w ~ 0. (11)
Г3 г3
Представляемое ими движение легко поддается обозрению. Исследования,
которые мы произвели раньше в § 5 четвертой лекции, показывают, что
точки, для которых
и = — фг/, v = фх, w = 0,
(12)
310
где ф означает постоянное, не изменяют своего относительного расположения
и движутся так, как если бы они принадлежали твердому телу, которое
вращается с постоянной угловой скоростью ф вокруг оси z. Вследствие
уравнения (11) условие (12) будет выполнено для точек сферической
поверхности, описанной произвольным радиусом г вокруг начала коорди-
нат, если положить
Если в жидкости находится твердый шар, уравнение поверхности
которого есть г — гг и который вращается с постоянной угловой скоростью
фх вокруг оси z, то уравнения (11) представят возможное движение жид-
кости, если положить в них
С ~
Если жидкость ограничена двумя концентрическими сферическими
поверхностями, уравнениями которых являются г = и г = г2» из которых
первая (меньшая) вращается с угловой скоростью ф1 вокруг оси г, вторая
(большая) покоится, то уравнения (10) дадут возможное движение, если
положим в них
UZ^-l(x2 + z/2)
г г
и надлежащим образом определим постоянные b и с. При этом предполо-
жении относительно W будем иметь
и — (— +b]y, v==f— 4-b^x, w = 0, (13)
\г3 / \г3 J
и граничные условия будут выполнены, если положим
Ф1 = — +ь, 0 = — + ь,
4 Л
откуда следует, что
Если шар радиуса гх должен вращаться с постоянной угловой скоро-
стью, то в направлении движения должен действовать вращательный
момент М, который должен быть равен моменту вращения давления,
производимого на жидкость. Пусть ds будет элемент поверхности шара
и п — совпадающая с продолжением радиуса нормаль к ds; тогда
М = ds (xYn — уХп); (14)
но мы имеем
У„ = -- (xYx + yYy + гУг), Хп = - (хХх + уХу + гХг),
Г г
и по (1) и (13)
Хх = Р — 6fec -у- , Yz = Z„ = 3fec ~ ,
г5 гь
Yy ^p + 6kc^-, Zx = Xz = — 3kc — , (15)
г* гъ
Zz = р, Ху =- Yx = 3kc x*~yL ;
311
в этих уравнениях надо всюду положить г = /у. Отсюда получаем
следовательно,
М - 3kc f ds (х2 + у2)
М J
или, так как
J х2 ds = у'2 ds ^ z'2ds г4,
то
М = 8nfec.
Так как в это выражение г не входит, то оно не получит никаких
изменений, если положить г = гР
Уравнения (10) могут быть также применены к случаю, когда жидкость
ограничена двумя сэфокусными эллипсоидами вращения с осью вращения z,
при условии, что внешний эллипсоид покоится, а внутренний вращается
с постоянной угловой скоростью Ф1 вокруг оси г. Составим уравнение
внутреннего эллипсоида
^±^ + -2-^1 (16)
а2 4
и обозначим через Q потенциал массы, равной единице, одинаковой плот-
ности-, наполняющей ограниченное эллипсоидом пространство, относи-
тельно внешней точки (х, у, z). В случае, когда жидкость рассматривается
как неограниченная извне, что мы сперва и предположим, можно удов-
летворить граничным условиям, если положить
W = cQ
и соответственно определить постоянное с. Действительно, вследствие
уравнения (3) восемнадцатой лекции имеем
X2 4-
а2 4- Л. с24- ?.
(а2 4" х) V с2 4- л
где о означает положительный корень уравнения
х2 4- У2 г2
ai + ° с2 4- <5
поэтому уравнения (10) дадут
если положим
и = — фу, v — фх, w 0,
। *3 (* dK
= — С \-------------.
2 J (<4 + W V с2 + х
Следовательно, точки жидкости, лежащие на эллипсоиде, определенном
значением о, и софокусным с эллипсоидом (16), движутся так, как если
бы они принадлежали твердому телу, вращающемуся с угловой скоростью
ф вокруг оси z; тогда значение с определится из уравнения
2 J (а2 + л)2 /с2 + X
(17)
312
Для момента вращения, который должен действовать на эллипсоид,
чтобы сообщить ему соответственное вращение, здесь также имеет место
уравнение (14). Вычисление момента можно упростить, сделав замечание,
которое связано с определением сил давления, данным уравнениями (1)
и (2) одиннадцатой лекции. Применим последнее из этих уравнений
к произвольной части жидкости, приняв во внимание, что движение уста-
новившееся, скорости бесконечно малы и силы не действуют на частицы
жидкости; тогда получим
^ds(xYn-yXn) = 0,
где ds — элемент поверхности, ограничивающей выбранную часть, п— нор-
маль, направленная внутрь к ds. Пусть теперь эта часть будет ограни-
чена эллипсоидом и бесконечно большой концентрической сферической
поверхностью. Тогда только что сделанное замечание показывает, что М
равно интегралу
^ds(xYn — уХп),
распространенному на бесконечную сферическую поверхность, причем под
п подразумевается нормаль, совпадающая с продолжением радиуса. Но
в бесконечности здесь также имеет место уравнение (15); следовательно,
в данном случае также будет
М = 8л/гс, (18)
где с определяется из (17).
Если жидкость ограничена извне покоящимся эллипсоидом
х2 + У2 | г2 _ J
а2 с2
софокусным с эллипсоидом (16), так что
2 2 2 2
«2 —«1 = С2 —С],
то надо положить
И7 = сй -А(хМ-У2)
так определить b и с, чтобы было
. 3 f dk . ,
= - - с I-------r + b,
2 J (а2 + Л)2]/>1 + Х
ОЭ
О = - с \---------------+ ь,
2 J(a2 + X)2f С2 + Л
откуда следует, что
2 2
а—а
2 1
ф1 = Ас [ ---------(19)
2 J (а2 -Н)2 Vс2 + Л
При вычислении момента вращения, который должен действовать на внут*
ренний эллипсоид, чтобы сообщить ему требуемое движение, с помощью
выражения (14) мы установим, что постоянное b сюда не входит, и полу-
чим момент выраженным через с совершенно так же, как если бы жид-
кость была не ограничена извне; следовательно, здесь пригодно также
уравнение (18), если значение с будет взято из (19).
313
§ 4
Из уравнений (9) следует, что
Ар = 0.
Допустим, что р соответствует этому условию, и определим функцию V
так, чтобы она удовлетворяла уравнению
AV = -р;
k
тогда уравнения (9) будут удовлетворены, если мы положим
dV , , W., dV , ,
и —----г и , V =-----ко , Ш =------к W
дх ду дг
и выберем и', и', w' так, чтобы было
Ап' = 0, Ди' = 0, Да/ = 0
и
ди' , dv' , dw' 1
---------1---------- = о.
дх ду дг-----------k
Поэтому мы можем положить
<5-
— р = 2с — , и' = 0, v' = 0, w' = —— ,
k дг г
и, так как
то
ai „
V = az + b — + с —
дг дг
где а, Ь, с — произвольные постоянные. Их можно определить так, чтобы
для некоторого значения г, которое можно обозначить R, было
и = 0, v = 0, w = 0;
для этого имеем уравнения
ЗЬ Ь , с
- = с, а —— ,
Р- R3 R
для которых следует, что
, R3a 3Ra
Ь =- --, С = —— .
4 4
Тогда уравнения (20) представят движение жидкости, которая на беско-
нечности всюду течет в направлении оси z со скоростью айв которой
покоится шар, описанный вокруг начала координат радиусом R.
314
Пусть Z будет сила, которая должна действовать на шар в направле-
нии оси z, чтобы удержать его на месте; тогда
Р г* /Ус
Z = \ dsZn = \ (xZx + yZy + zZz), (21)
<) J г
где ds означает элемент поверхности шара, описанного вокруг начала
координат радиусом г, и должно быть взято г = R. Но вместо этого
значения г можно также выбрать любое большее, потому что из третьего
из уравнений (1) одиннадцатой лекции вытекает, что
ds Zn = О,
если ds есть элемент поверхности, ограничивающий любую часть жид-
кости. Есть некоторая выгода принять в уравнении (21) г бесконечно
большим; действительно, тогда можно при вычислении Zx, Zv, Zz из урав-
нений (1) при помощи (20) пренебречь членом с множителем Ь. Для бес-
конечно больших г найдем
XZ2 UZ2 Z3
Zx — — 6kc ~т > Zy =- — Gkc ~ > Zz = — Gkc —
Л fO if f’O fO
и поэтому
1 f
Z = — Gkc — J z2ds = — 8л/гс или Z = 6nfeRa.
(22)
На основании замечания, неоднократно использованного нами, полу-
ченное уравнение годится также в случае, когда система координат, к ко-
торой оно относится, вместо того чтобы покоиться, движется поступа-
тельно в каком-нибудь направлении с постоянной скоростью. Пусть она
движется в направлении оси z со скоростью — а; тогда мы найдем, что
жидкость в бесконечности покоится и в ней движется щар радиуса R
в направлении оси z со скоростью — а. Уравнение (22) дает сопротивле-
ние, которое при этом испытывает шар.
§ 5
Примем уравнения (8) еще для двух случаев, а именно: для неустановив-
шегося движения и для случая колебаний шара в неограниченной извне
жидкости, находящегося под действием некоторых сил.
Указанные уравнения будут удовлетворены, если положим
р = const
и выберем и, v, w так, чтобы было
ц du ц dv ц dw
~kdt = ^U’ ~kdt=^U’ ~k"dt = ДаУ’
ди dv dw n
dx dy dz
Мы решим эти уравнения, если положим
и определим W уравнением
315
k dt
(23)
Допустим теперь, что W — функция двух переменных t и г, где через г
обозначена опять величина х2 + у2 -ф z2; тогда мы имеем
1 dW 1 dW п
и = — - у, v —----------х, w — 0.
г dr г дг
Эти уравнения представляют движение, при котором точки, лежащие на
расстоянии г от начала координат, движутся так, как если бы они при-
надлежали твердому телу, вращающемуся вокруг оси z с угловой ско-
ростью ф, где
, 1 dW
Ф -=----—
г dr
(24)
Поэтому мы можем допустить, что в жидкости находится шар, для по-
верхности которого г = R и который вращается вокруг оси z с угловой
скоростью, равной значению ф, получаемому из выражения (24) при
r = R.
Если М есть момент давления, которое упомянутый шар производит
на жидкость, то здесь также имеет место уравнение (14), и вычисление,
аналогичное тому, которое мы применили к этому уравнению, даст
.. 8л . , д / 1 dW \ п
М = — kr4— ------- для г = R.
3 dr \ г dr
Пусть О — угол, на который повернулся шар из некоторого положения
к моменту t, так что
= ф для г = R; (25)
at
далее, пусть М' будет момент сил, которые действуют на шар (кроме
давлений, производимых жидкостью), и /(— момент инерции шара; тогда
К = м’ — М.
Это уравнение, если дано М', составляет граничное условие для функции
W, которая до сих пор была определена только дифференциальным урав-
нением в частных производных; положим, что
М' = — <a2iub,
где а — произвольное постоянное; тогда это условие, если продифферен-
цируем его по t, примет вид
аз dW 8л , . d ( 1 d2W \ , К d"W „
----------kr4 - Н-----------------= 0 для
г dr 3 dr \ г drdt) г dr dt2
Уравнение (23), которое можно представить в виде
И d(rW) _ д2 (rW)
k dt dr2
имеет частное решение
R
Г Се^ - е v k ,
(26)
(27)
где Сир — произвольные постоянные. Последнее из них можно опреде-
лить так, чтобы было удовлетворено уравнение (26); для этого необхо-
димо, чтобы р было корнем уравнения
316
i -1/--M<a‘2+ W-Wl/ - P2 (3А-31/ =0.
\ I/ И ) 3 у g \ ц у JI I
(28)
При /г О корни последнего суть
Допустим, что k столь мало, что, как и при k = 0, из пяти корней
два комплексны и имеют отрицательную действительную часть, и положим
в (27) р равным одному из этих корней. Тогда скорость на бесконечности
будет равна нулю. При этом W будет комплексным, но действительная
часть выражения (27), установленного для U7, принятая за W, также удо-
влетворит уравнениям (23) и (26). Выберем за W эту действительную
часть; положим тогда
р = — а + b V—T,
вычислим О с помощью (24) и (25) из W, обозначим через С новое дей-
ствительное произвольное постоянное и перенесем начало отсчета времени;
тогда найдем
& = Се(“г-ьгй sin ЧаЫ.
Это уравнение определяет производимые шаром колебания. Обозначим
через Т продолжительность простого колебания и через б — логарифмиче-
ский декремент колебаний, т. е. натуральный логарифм отношения двух
последовательных амплитуд; тогда будем иметь
Т = -я , б == (б2 — а2) Т = л.
2ab 2аЬ
Легко найти а и Ь, если можно рассматривать k как бесконечно малое, и
из членов, зависящих от k, принять во внимание только члены низшего
порядка. Обозначим для этого значение, принимаемое р при k = 0, через
Зо и положим
Р - Ро + s;
представим уравнение (28) в виде
F(p) = O
и обозначим
F' (3) =
тогда е вычислим из уравнения
F(po)+eF'(Po)=O.
Таким образом получим
F (р0) = f £Др*, F' (р0) - 4
О
следовательно,
£ 2---/Л /би-- .
3 к
Обозначим через То продолжительность колебания шара в случае, когда
жидкость не производит на него никакого действия, т. е. положим
а
317
тогда получим
/л , Г л
а -I /-----е, b = 1 / —
У 2Т0 у 2Т0
и
Т = То ( 1 + е Л = е /2л7\
Частное решение уравнений (23) и (24), которое мы только что полу-
чили, предполагает известное начальное состояние жидкости; теперь мы
будем искать частное решение, соответствующее другому начальному
состоянию. Решением уравнения (23) будет
/ -Pi/м
U7 = . _ЦСе V k -!- С'е v k ) ,
Г '
где С, С и р—произвольные комплексные постоянные; они удовлетворяют
условию (26), если между этими постоянными существует уравнение
0==cklZ ~~R?\№ + W) + ^Rti/ >(3~-
'Л г и / з у и \ ,ы
f ~k \ 1 ₽
-31/ - Яр + RT Не r fe +
+ 7 + М(а2+ W + Z2 (Z +
( \ И- / 6 г г \ Н
+ 31/ -ЯР+Я2Р2)р у •
Это уравнение определяет отношение С: С' при любом р. Выражение,
которое получим для W таким способом, будет комплексным, действи-
тельная часть его также удовлетворит уравнениям (23) и (26). Примем
эту действительную часть за W, тогда в бесконечности скорость, вообще,
будет бесконечной. Но как исключение скорость может в бесконечности
обратиться в нуль, когда одна из двух постоянных равна нулю или
постоянное р будет чисто мнимым. Первый случай есть тот, который мы
только что рассмотрели и к которому относится уравнение (27), второй
приводит к новым решениям, которые мы хотим найти.
Следующее исследование приведет нас к колебаниям шара, находяще-
гося в жидкости с трением, центр которого движется вперед и назад по
прямой линии. Одно частное решение уравнения (8) есть
d2P д2Р д-Р
и — - , V =----, W =--,
дх dz ду dz dz2
— _ й2₽.
dzdt ’
если
кР - 0.
Второе будет
d2W d2W d2W d2W
и = •---, V = W =------------- - ,
dx dz dy dz dx2 dy2
P-0,
если
318
dt
Поэтому упомянутые уравнения должны быть удовлетворены также выра-
жениями
и дЦР+W)^ v = d* (Р + Г) w _ дЦР + W) дЧР + W)
дх дг ду дг дх2 ду2
д2Р
р = — Ц-----,
dzdt
при
\Р = О, ШР - и —’ . (29)
dt
Теперь допустим, что Р и W — функции только двух переменных г и /;
тогда мы получим
хг д Г 1 d(P + im
г дг |_ г dr J
у __ У2 д Г 1 d (Р + 1П 1
г dr I г dr J
(30)
__ _ х2 + У2 д_ Г 1 d (Р + Г) 1 _ 2_ d(P+W)
г дг [_ г dr J г дг ’
_ gz д2р
V г dzdt
Далее, положим, что для г — R будет
д Г 1 g(P + 1F)-| = 0;
дг [_ г dr J
тогда для г — R будет
„ п 2 д (Р + 1F)
и = 0, v = 0, w =----------—!---,
г ds
(31)
(32)
и полученные уравнения представят возможное движение для случая,
когда в жидкости находится шар, для поверхности которого г = R и
который движется в жидкости в направлении оси z со скоростью, равной
2 д (Р + W) п
------1—1—’ для г = R.
г дг
Пусть Z будет сумма компонент по оси z давлений, которые шар
производит на жидкость; тогда имеет место уравнение (21), т. е.
Z=^(xZx+ yZy+zZz).
Заметим, что по (1)
<7 , , г, , / dw , dw . dw\ , ( du. . dv , dw\
xZx + yZu+zZz = zp — k lx —+ y-- +z -] —klx — + y-- +z — ] ;
\ dx dy dz ) \ dz dz dz >
й далее, что
x2 ds = J y2 ds = 22 ds = r4,
и, пользуясь уравнением (31), найдем из (30)
,, 4л „ ( о , д2 Г 1 д (Р + W) d2P I ) п
Z = — г2 ! 2 kr —----5- —L — ц----- I для г = R.
3 ( dr2 L г dr drdtj)
319
Пусть теперь t, означает перемещение шара к моменту t из некоторого
определенного положения, так что
— = w для г = R; (33)
dt
пусть будет т — масса шара и Z' — сила, которая действует на шар в
направлении оси г, кроме давления жидкости; тогда
Положим, что
Z' = -а2?,
где а означает произвольное постоянное; тогда соответственно уравнению
(26) получим
2а2 d (Р + W) _ 4л г2 5 ( 2kr Г 1_ д(Р+1ГП _ 1 2т дЦР + W) = Q
г дг 3 dt ( дг2 [ г dr J Ц dr dt И г дг dt2
(34)
для г = R.
Мы удовлетворим обоим принятым для Р и W уравнениям, (29) если
положим
Р--Ве$г*Г ---= Се₽ч - е V к , (35)
г г
где В, С и р — произвольные постоянные. Условия (31) и (34) дают для
этих постоянных два уравнения, которые линейны и однородны относи-
тельно В и С и из которых можно вычислить отношение В'. С и р. При
помощи дифференциальных уравнений (29) из (31) для r = R легко найдем
дг 3 k
Й2_Г 1 д (Р + W)
дг2 г дг
и потом из (34)
О = (а3 + /ир1) W — — r2p2 ($k — — цр2гИ ,
3 \ dr J
или, так как для каждого значения г будет
= Е. R2 £ zr
k г dr
то
О - а2 + mp4 + Rp3 (pR*p2 — 9 /^Rp + 9/0. (36)
Положим
4л „п ,
— R|i = т ,
з
обозначив таким образом массу вытесненной шаром жидкости; тогда это
уравнение для k = 0 перейдет в
О = а2 + (т + у) р4,
320
откуда следует, что если k достаточно мало (что мы и допустим), то
четыре корня уравнения лежат вблизи значений
V >»+"
Выберем для [3 один из двух корней с отрицательной действительной
частью; тогда в бесконечности скорость будет равна нулю. При этом
выражения (35) для Р и W будут комплексными, но действительные части
этих выражений также удовлетворят уравнениям (29), (31) и (34), и эти
действительные части мы примем теперь за Р и W. Положим по-прежнему
Р = — а + b ,
вычислим при помощи (32) и (33) £ по Р и W, обозначим через С новое
действительное произвольное постоянное и перенесем начало отсчета вре-
мени; тогда получим
£ = Се<аг~Ь!>' sin2aW,
причем опять для периода колебаний Т и для логарифмического декре-
мента б получим выражения
Т = я , 6 --(/Р — а2)Т.
2аЬ
Примем k бесконечно малым; тогда отсюда и из уравнения (36) на осно-
вании вычисления, подобного произведенному в предыдущем параграфе,
найдем
где
Не представляет трудности определить другое частное решение уравнений
(29), (31) и (34), соответствующее другому начальному состоянию жид-
кости, чем указанное выше. Последнее имеет выдающийся интерес потому,
что позволяет очень близко учесть влияние, которое производит воздух
на колебания маятника, состоящего из шара и тонкой нити. Относительно
указанного мы сошлемся на сочинение Стокса (Trans. Cambridge Philos.
Soc., vol. IX, part. 2, p. 8) и Эмиля Мейера (Borchardts Journal, vol. 73).
2] Г. Кирхгоф
ЛЕКЦИЯ ДВАДЦАТЬ СЕДЬМАЯ
(Равновесие и движение упругого твердого тела. Вывод дифференциальных урав-
нений для тела, обладающего различными упругими свойствами по разным на-
правлениям. Число упругих постоянных, вообще, 21; оно уменьшается при нали-
чии плоскостей симметрии и для изотропного тела сводится к двум. Задача о
равновесии имеет только одно решение. Когда на частицы тела не действуют си-
лы, то оно может быть в равновесии, если компоненты сжатия постоянны. Все-
стороннее сжатие, коэффициент упругости. Равновесие изотропных цилиндров,
на поверхности оснований которых известным образом распределены давления.
Продолжение вычисления для случая кругового сечения. Равновесие полого ша-
ра, на поверхности которого действует постоянное нормальное давление)
§ 1
Обратимся теперь к исследованию равновесия и движения упругого
твердого тела. Общие дифференциальные уравнения для этой задачи, при
известных предположениях, уже составлены в § 7 одиннадцатой лекции.
Сохраним эти предположения и сделаем выводы из приведенных уравне-
ний. Принятые там обозначения применим и здесь, только перемещения
g, т|, £ будем обозначать здесь через и, v, w. Таким образом, представим
себе тело, точки которого могут быть приведены в такое относительное
положение, что совокупные компоненты давления на них равны нулю.
Состояние, в котором тело тогда находится, мы назовем естественным.
Обозначим через х, у, z координаты точки тела, когда оно находится в
каком-нибудь положении в своем естественном состоянии, а через х + и,
у + v, z + w — координаты той же точки в момент и, v, w — бесконечно
малы. Положим
du xx = —, dx dv , dw Уг = 2у= +— , dz dy
dv У у — , > ду Zx = Xz dw , du dx dz (1)
dw Zz= ~ , dz Xy — y> du . dv ‘ dy dx
и обозначим через f некоторую однородную функцию второй степени
шести аргументов хх, уу,.. .с постоянными коэффициентами; тогда получим
dxx
у _ df
" дУу'
7 _ Of
1 ~ К’
у ~ 7 _
dyz
zx = xz=^-,
dzx
Xy = Yx = ~
dxy
(2)
322
и
d2u р— — рХ— дХх _дХу
дР дх ду дг
dYx dY„ dYz
р— = рУ— У (3)
дР дх дУ дг
ц - - = = [iZ — дгх
дР дх ду дг '
где р, — плотность, X, Y, Z — компоненты ускоряющей силы, действу-
ющей в точке (х, у, z). Функция f при этом обладает таким свойством,
что fdx (где dx — элемент объема) есть потенциал сил, зависящих от
относительного перемещения частей тела, т. е. сил, которые мы уже
назвали внутренними. Из этого замечания следует, что значение f для
какого-нибудь состояния бесконечно малой части тела, содержащей точку
(х у, z), не зависит от принятой системы координат, но коэффициеннты,
входящие в f, которые называются постоянными упругости, обусловлэны
направлением координатных осей. Число этих постоянных, вообще гово-
ря, 21, но если тело симметрично и направления осей координат выб-
раны надлежащим образом, то число их может быть значительно умень-
шено.
Положим
f = ^114 + 2а12ххуу + 2а13ххгг + 2аиххуг + 2а15ххгх -1- 2а16ххху +
+ аиУу + %а2зУугг + 2а«,.уууг 2a2iyyzx -ф 2aVly;iXy 4-
+ Яззгг 2aMzzyz 4-... (4)
и будем считать, что в отношении упругости тела плоскость Оху есть
плоскость симметрии, если выражение f не изменится, когда ось z при-
мет противоположное направление. Если направление оси z изменится на
противоположное, то z и w примут противоположное значение, х, у, и,
и не изменятся. Поэтому вследствие уравнений (1) xxt уу, zz, ху сохранят
свое первоначальное значение, но у2 и zx изменят знак на обратный. При
этом выражение (4), определяющее f, для которого хх являются аргумен-
тами, должно остаться без изменения, т. е.
«14» «21» «34» «46’
«15, «25, «35, «56
должны обратиться в нуль. Поэтому, если плоскость хОу есть плоскость
симметрии, то
f = ацх} + 2а12 ххуу + 2а13ххгг 4- 2п1вхххй +
-j- сс^Уу + 2а^Лу,,гг -4 2а1йууху 4- a^z2z 4- 2aMzzxy a66xj) 4- (5)
4“ а^Уг 4~ 2aVtyzzx 4- <255Zx.
Если плоскости х, у и у, z — плоскости симметрии, то
f — апхх 4- ог2Уу + o^zz 4- о.ыу2 4- ci^z2 4- o.Wix2y 4-
4- 2a^yyzz 4- 2а13ггхх 4- 2а12ххуу, (6)
откуда следует, что тогда плоскость zOx есть также плоскость симметрии.
Если три координатные плоскости суть плоскости симметрии, следо-
вательно, имеет место уравнение (6), и если это уравнение удовлетво-
ряется также при перестановке осей х и у, то плоскости у, z и z, х
21*
323
следует называть равнозначными плоскостями симметрии. При переста-
новке осей х и у, хх и уу, так же как гх и уг перейдут одно в другое,
в то время как гг и ху останутся неизменными; при этом данное (6)
выражение f не должно изменяться; следовательно, должно быть
Ян = а%2, = а55, al:i — а%з.
Отсюда следует, что если три плоскости координат будут равнознач-
ными плоскостями симметрии, то
f = ап (хх + у2у + zl) + 2cz23 (yyzz + z2xx + xxyy) + au (yl + z* + х*у). (7)
Примером такого случая является каменная соль *.
Тело называется изотропным, если выражение f одинаково в каждой
системе координат. Чтобы найти выражение f для такого тела, мы можем
исходить из выражения (7), в котором искомый случай содержится как
частный.
Заменим в уравнении (7) постоянные а11,а23, аи другими постоянными
К, О, L; тогда будем иметь
f ~ — К Г Хх 4- i/y 4- Zz + ~ У г 4~ -- Zx + — Ху + 0 (хх + уи 2г)2] +
i d* d d
+ Т (^х 4~ у у 4~ zl). (8)
Заметим, что
хх + У у + 2г
и
2 , 2 . 2 1 1 2 1 1 2 I 1 2
Хх + У у 4~ Zz + — IJz 4- —- Zx 4- — Ху
d d dt
останутся неизменными при перемене системы координат; чтобы доказать
это утверждение, мы введем главные удлинения, обозначив величины их
через
^1» ^2, Л3,
а через
Л1, 31, Т1» а2, р2» Т2, Л3, Зз, Тз
обозначим косинусы углов, которые образуют направления этих и главных
удлинений с осями координат. Тогда, по уравнениям (21) десятой лекции
и (27а) одиннадцатой, имеем
Хх — а1 ^>1 4- Л2 ^2 4“ а3 ^3,
У у — 31 ^1 4~ Зг ^2 4- Зз ^з,
z2 = ri ^i + Тз ^2 4- Тз ^3,
— Уг — 31ТА1 4- ЗгТг^-г 4“ ЗзТз^-з,
— 2х = Т1«Л1 4- Т2«2^2 4- Тз^зЧ,
— Ху= ajPjXj 4- ЯгРг^г 4~ азЗз^з>
откуда при помощи соотношений, существующих между величинами а, 0,
Y, вытекает правильность нашего утверждения. Одновременно мы убеж-
даемся, что выражение в уравнении (8), умноженное на L, зависит от
направления осей координат. Чтобы уравнение (8) выполнялось в каждой
* Untersuchung der Elasticitatsverhaltnisse des Steinsalzes. Inauguraldissertation von
Woldemar Voigt, 1874.
324
системе осей координат, необходимо
L = 0.
Таким образом мы пришли к такому же выражению для изотропного
тела, какое уже было дано уравнением (30) одиннадцатой лекции.
§ 2
Для случая равновесия уравнения (3) перейдут в более простые
дХх дХ„ дХ7
цХ = I У 4—-— ,
дх ду дг
dYx dY„
цк = J у + 7~ ’
дх ду dz
dZx , dZu , д7-г
pZ =
дх ' ду дг
К этому добавляется следующее условие: если даны давления, действу-
ющие на элементы поверхности тела, то для этих элементов компоненты
Xn, Yn, Zn (где по-прежнему через п обозначена направленная внутрь тела
нормаль) полностью определяются. Кроме того, эти значения и значения
X, У, Z должны удовлетворять шести известным соотношениям, а именно:
суммы их компонент и моментов относительно осей координат должны
обращаться в нуль, как это вытекает из уравнений (1) и (2) одиннадцатой
лекции.
Величины и, v, w этими условиями еще не вполне определены; они
входят как в уравнения (9), так и в граничные условия только через хх,
Уу, zz, yz, zx, Ху. Если положим, что последние определены, то и, v, w
надо будет найти из дифференциальных уравнений (1). Когда будут най-
дены выражения для и, и, ш, удовлетворяющие этим уравнениям, к ним
можно добавить соответственно и', и', w', если
ди' n dv' . dw'
—, и =-------р----,
дх dz ду
dv' r, dw’ , du'
— , U —-------+---,
dy dx ' dz
dw' n du' . dv'
f xj --- “1“ — — '
dz dy dx
(10}
Легко найти самое общее решение этих уравнений. Действительно, диф-
ференцируя каждое из них еще раз по х, у и z, мы получим, что сово-
купность вторых производных и', v', w’ по х, у, z обращается в нуль;
поэтому и' г у', w' будут линейными функциями х, у, z с постоянными
коэффициентами. Подставляя эти функции в (10), мы найдем между этими
коэффициентами такие соотношения
и' = а0 4- bz— су,
v' = 60 + сх — az,
w' = с0 + ay — bx,
где а0, b0, с0, а, Ь, с—произвольные постоянные. Изменение состояния
тела, соответствующее прибавлению этих выражений к и, v, w, согласно
разъяснению, сделанному в пятой лекции, состоит из смещения и враще-
ния вокруг начала координат, компоненты которых соответственно а0, Ьи,
325
с0 и а, Ь, с. Иначе говоря, изменению величин а0, Ьй, с0,и, Ь, с соответ-
ствует изменение положения тела и перемещение его в естественное
состояние из того положения, для которого были вычислены перемеще-
ния и, v, w. Если и, v, w должны быть определены вполне, когда опре-
делены хх, уу, ... , то должны быть еще установлены условия для опре-
деления шести постоянных а0, Ьо, с0, а, Ь, с. Такими условиями будут,
например, условия, что для х = О, у = 0, z = 0 будет
и — 0, о = 0, w — О,
— = О, — = О, — = 0. (И)
dz дг дх ' '
Из трех первых условий следует, что начало координат не получает
никакого перемещения; значения же трех последних легко уясняются при
помощи уравнений (7) десятой лекции. При принятых там обозначениях,
как показывают уравнения (27а) одиннадцатой лекции, три последних из
уравнений (11) будут
CZ13 = 0, #23 = 0, U-21 = 0;
поэтому уравнения (7) десятой лекции примут вид
г'а' = г (апа 4- а12р),
г'Р' = га228,
г' Т' = г (а31а +а32₽ + а33г).
Откуда следует, во-первых: если а = 0 и р = 0, то а' = 0 и ₽'=0, т. е.
линейный элемент, параллельный оси z и проходящий через начало коор-
динат, не претерпевает вращения; во-вторых: если 3 = 0, то также [Г =0,
т. е. элемент площади, параллельный плоскости zOx, проходящий через
начало координат, остается параллельным себе.
Если бы мы пожелали в уравнениях (1) принять хх, уу, ... за произ-
вольные функции х, у, г, то, так как эти уравнения содержат только три
функции и, v, w, подлежащие определению, возникает некоторое про-
тиворечие. Заметим, что они совместны всегда, когда хх, уу, ... не за-
висят от х, у, z, хотя имеют произвольные значения. Действительно,
пусть и, v, w — линейные функции х, у, д; тогда двенадцать коэффициен-
тов можно определить так, чтобы хх, уу, ... получали любые данные
значения и одновременно были удовлетворены условия (11).
Мы воспользуемся этим замечанием, чтобы вывести важное свойство
функции f, которое до сих пор не было упомянуто. Предположим, что
когда на части тела не действуют никакие силы и на его поверхность —
никакие давления, и тело подчинено условиям (11), оно находится в
устойчивом равновесии, если всюду и = 0, v = 0, w = 0. Тогда, согласно
значению f из'§ 2 четвертой лекции при условиях (11), интеграл
$
должен иметь максимум, если всюду и = 0, v = 0, w = 0, т. е. если всюду
хх, у у, ... обращаются в нуль. Этот максимум также должен иметь место,
если хх, уу ... подлежат ограничению, а именно: что они не зависят от
х, у, z, но значения их остаются произвольными. Поэтому f должно
иметь максимум для хх = 0, уу = 0, ... , если рассматривать хх, уу, ...
как независимые переменные. Так как f есть однородная функция указан-
ных аргументов, то это выражение равнозначно следующему: f не может
быть положительным и обращается в нуль только при обращении в нуль
каждого из его аргументов. Последним свойством f не обладает, если тело
представляет сжимаемую жидкость без трения. Мы можем рассматривать
таковую как изотропное тело, для которого постоянные К и 9, введен
326
ные для изотропного тела, имеют такие значения, что К = 0 и 7(0
конечно. В этом случае f обращается в нуль всегда, когда хх +yy+zz=O.
Из того, что f никогда не положительно и обращается в нуль только
когда каждый из аргументов равен нулю, следует далее, что и, v, w
будут определены однозначно уравнениями (9), а также условиями, что
на поверхости Х„, У„, Zn имеют заданные значения, и уравнением (И).
Чтобы доказать это, надо только показать, что эти условия приведут к
и = 0, v = 0, w = 0, если X, Y, Z, Хп, Yn, Zn всюду обращаются в нуль.
Для этого сложим уравнения (9) после умножения их на udx, vdx,
wdx и проинтегрируем по объему тела. С полученным таким образом
уравнением проделаем преобразование, подобное приведшему нас к урав-
нению (18) одиннадцатой лекции. Тогда, пользуясь тем, что
2f = Хх Хх + YуУу + Zz ZzТ- Yг yz Т- Zx Zx + Ху Ху,
найдем для данного случая
$ fdx = 0.
Но отсюда следует, на основании свойства, которым обладает f, что хх,
Уу, всюду обращаются в нуль, и потом далее, что и, v, w также всюду
обращаются в нуль.
Если устранить условия (11), то уравнения (9) и значения Хп, Yп, Zn
определят, как мы будем выражаться, состояние тела, именно относи-
тельное смещение его частей, в то время как положение тела останется
неизвестным.
§ з
Если силы X, Y, Z обращаются в нуль, то уравнения (9) примут вид
дХ дХ„ дХ
0^- xJ------------------------у--\-г ,
дх ду дг
dYr dY„ dYz
0 = --+--^+—, (12)
дх ду дг
dZ, dZ dZ
0 = -х+ - .
дх ду дг
Составим частные решения этих уравнений, совместимые с условиями (1).
Мы получим такое решение, если шесть компонент давления Хх, Yy, ...
приравняем любым постоянным. Действительно, тогда величины хх, уи, ...
сделаются постоянными, и, как мы уже это видели в предыдущем пара-
графе, уравнения (1) в этом случае будут удовлетворены и и, v, w ока-
жутся линейными функциями х, у, z. Последнее обстоятельство ука-
зывает, что при таком предположении изменение, которое тело претерпевает
при переходе из своего естественного состояния, является таким, что
новые координаты каждой его точки будут линейными функциями старых,
так что каждая плоскость перейдет в плоскость, каждый шар — в эллип-
соид.
Пусть будут
Хх = Yy = Zz = р,
Yz =ZX = Ху = 0,
где р — постоянная; тогда каждый элемент площади внутри тела и
каждый элемент его поверхности испытывает перпендикулярное давле-
ние, равное р. При произвольной форме тела этот случай осуществляется,
когда тело погружено в жидкость, на которую производится увеличенное
давление; влиянием тяжести при этом пренебрегаем. В этом случае, вообще
говоря, тело не остается себе подобным; это имеет место, только если
327
тело изотропно или если тело имеет три равнозначных взаимно перпен-
дикулярных плоскости симметрии. Под всесторонней сжимаемостью тела
мы будем понимать объемное расширение для р = 1, взятое с обратным
знаком. Для изотропного тела (исходя из уравнений (28) одиннадцатой
лекции) всестороннюю сжимаемость положим равной
3
2К(14-30)
Если
Хх, Y у, Ху, Yz, Zx
обращаются в нуль и Zz имеет постоянное значение, то любой элемент
плсщади, параллельный оси z, не испытывает никакого давления, а эле-
мент, перпендикулярный к этой оси, испытывает перпендикулярное
давление Zz. Этот случай осуществляется, когда тело имеет форму пря-
мого параллельного оси z цилиндра с произвольным поперечным сечением,
причем боковая поверхность его остается свободной, а на каждый элемент
площади оснований производится перпендикулярное постоянное давление
Тогда значение выражения
_2Z
Zz
называется коэффициентом упругости вещества в направлении оси г; он
всегда зависит от направления оси z, кроме случая, когда тело изотропно.
Для изотропного тела, вследствие уравнений (28), он равен
§ 4
Если тело изотропно, то нетрудно найти самое общее решение урав-
нений (12), совместимое с условиями (1) при
Хх = 0, Ху = 0, Yy = 0.
Если, кроме того, тело ограничено цилиндрической поверхностью, парал-
лельной оси z, и ее двумя поперечными сечениями, то это решение можно
приспособить к случаю, когда циллиндрическая поверхность свободна и
на элементы поперечного сечения действуют давления, суммы компонент
которых и моменты заданы произвольно. Такое решение имеет особенную
важность, потому что оно характеризует с большей точностью изменение
формы цилиндрического стержня, на концы которого действуют произ-
вольные давления; необходимо только, чтобы длина стержня была велика
по сравнению с размерами поперечного сечения. В двух следующих лек-
циях мы будем подробно заниматься вопросами изменения формы тонкого
стержня, причем прежде всего введем предположение, что размеры его
поперечного сечения бесконечно малы, в то время как длина конечна.
Исследования, которые мы сейчас произведем, с одной точки зрения имеют
более частный, а с другой — более общий характер, чем последующие.
Чтобы получить указанное решение, установим сперва, какие соотно-
шения должны быть между шестью величинами хх, уи, ... , чтобы были
выполнены уравнения (1); мы получим последние, установив уравнения,
из которых должны быть вычислены ио хх, уу, ... функции и, v, w, если
они существуют. Представим себе, что из точки (х = 0, у = 0, z = 0),
которую возьмем внутри тела, проведена произвольная линия в точку
(х, у, г). Проекции элемента ее на оси координат обозначим через dx, dy,
dz. Если и0 есть значение и при х = 0, у = 0, z — 0, то тогда имеем
, (• [ди , , ди , , ди j \
и = «0 + \ dx + — dy + - dz .
J dy dz J
328
Здесь надо рассматривать — как непосредственно заданное, потому что
ди ди „ .
оно равно хх, а — и — надо прежде всего вычислить. Из уравнений (1)
легко следует, что
д2и дх ду = д^и _дУ_х __дУу_ д2и _ £ (,дгх .дху\ ду ’ ду2 ду дх ’ ду дг 2 \ дх ду дг }
д2и дх дг _дхх д2и __ д2и_дгх дгг дг ’ дудг 2 \ дх ' ду дг ! дг2 дг дх
Эти значения должны быть подставлены в уравнения
ди _ ду /ди\ . Г / д2и , , д2и , , д2и , ' \ду 'о J \дхду ду2 дудг
ди дг (ди\ . f* ( д2и , . д2и , , д2и , \ \дг 1о J \дх дг ду дг дг2 )
в которых индекс 0 имеет только что указанное значение. Выражение
ди . ,
взятое для , именно хх, есть функция х, у, г; такими же функциями
ии ии
должны быть и выражения, полученные для — и - , т. е. они должны
ду дг
быть независимы от пути интегрирования; следовательн о входящие под
знак интегралов выражения должны быть полными дифференциалами.
Условия этого выражаются пятью уравнениями:
। д^у_д2ху
ду2 дх2 дх ду
д2гт д2хг д2гг
— ------х ==----х_ ,
дх2 дг2 дг дх
2
2
д^хх ду дг д2Уг •н дх2 = д2Ух | дг дх д2гх дудх
&Уу д2гг 4 х д2г = 4- д2ху
дг дх ду2 дх ду дгду
д2г. *ху д2х, z I &yz
дхду дг2 дудг ! дх дг
(13)
~ ди ди ди ,
То обстоятельство, что выражения, получаемые для будут
дх ду дг
частными производными только одной функции, не приводит при этом ни
к каким новым условиям.
Заменив в произведенном исследовании и на о или w, мы получим
таким образом только одно новое уравнение
_|_ d2Z* =
дг2 ду2 ду дг
(14)
которое надо добавить к уравнениям (13).
Подставляя в уравнения (1) полученные выражения для первых произ-
водных и и соответственные для первых производных v и w, мы
убедимся, что они будут выполнены для всех значений х, у, г, если
329
( du\ (ди\ i'dv\ i'dv\ Idw\ (dw\ -
только , — , — , - - , — — будут выбраны так, что они
\dyl0 \dz Г о \dz'o \дх 'о \dxjo\dy'o
будут удовлетворены в точке х = 0, у = 0, z = 0.
В результате этих исследований находим, что уравнения (13) и (14)
являются полными условиями того, что ы, о, w, в соответствии с урав-
нениями (1), могут быть определены как функции от х, у, г. Чтобы
найти соотношения, которые при этом должны быть между компонентами
давлений Хх, Yу, ... , надо только заметить, что хх, уу, ... — линейные
однородные функции этих давлений, коэффициенты которых известным
образом зависят от постоянных упругости.
Мы уже видели, что уравнения (1) совместимы с предположением,
что Хх, Yy, ... имеют любые постоянные значения. Теперь мы видим, что
они позволяют также принять за Хх, Yy, ... любые линейные функции
х, у, г, так как уравнения (13) и (14) содержат только вторые произ-
водные по х, у, г.
Положим, что тело изотропно; тогда по уравнениям (28) одиннадцатой
лекции получим
Хх = — |хл------(Хх + Yy 4- Zz) 1 ,
2К L 1 + 36 v у ’ J
Уу = \Уу~ Лзо + Y* + ZA ’
[ 1 -j- 30 J
__4 Г А
zz = — Zz-------— (Хх + Yy + Zz),
2Х L l + 30v y ’
1 xz
У г == к К
Zx =
-z
К
Ху — - к Ху.
Введем далее предположение, что Хх = 0, Ху-- = 0, ^ = 0; (15)
тогда отсюда будем иметь 1 0 „ — ^Zt 2К 1 + 30 1 0 „ t} у ~— ^Zi у 2К 1 + 30 1 1 + 20 Z- — —— “ 2К 1 + 30 ' Уг Zx ==~KYz’ ^~kZx’ -0. (16)
При этом уравнения (12) будут dX.L = о, I1-2 = 0, dz dz dZz axz dYz (17)
dz dx dy
Поэтому и из уравнений (13) и (14) найдем +Z7 d2Z. <32Zz —? = 0, —± = o, — dr2 dy2 dz2 0 <^2 = d2Yz _ 1 + 30 dy dz dx2 0 d2Zz d2Xz d2Zz = 0, —z- = 0, dx dy d2Xz dxdy d2Yz
1 + 30 dx dz dy2 dx dy '
330
Первые четыре из этих шести уравнений показывают, что Zz есть линей-
ная функция относительно каждой из величин х, у, z и не содержит
произведения ху, поэтому
Zz = а Ч- arx Ч- а2у + z (b + ^х + Ь2у), (18)
где a, at, а2, b, Ьг, Ь2 — произвольные постоянные. Вследствие этого два
последних уравнения примут вид
д / dYz дхг. е ,
дх\ дх ду ) 1+зе
д (dh^.dXz\ -_______6
ду \ дх ду J 1 + 30 Г
Отсюда следует, что
у5 — j ~ = с + ту те ~ Ь^’ (19)
дх ду 1 + 30
где с — произвольная величина, которая не зависит от х, у и, вследствие
(17), не зависит также от г. Присоединим к этому уравнению уравнение
= — (Ь + Ь±х + Ь2у), (20)
дх ду
которое следует из (17) и (18). Положим, что Xz и Yz— разности значе-
ний Хг и Yz в двух различных решениях уравнений (19) и (20); тогда
дУ' дХ' Л дХ' дУ’
—-------- = 0, — Ч------= 0;
дх ду дх ду
следовательно,
Xi = —, Yz = —, а-й+^ = 0. (21)
дх ду дх"- ду*
Поэтому можно определить общее решение уравнений (19) и (20), если
найдено частное. Но последнее найдем, приняв за Xz и Yz выражения
второй степени от х и у, определив надлежащим образом их коэффи-
циенты; при этом остается еще некоторый простор для произвола. Таким
образом, общим решением уравнений (19) и (20) будет
v Ь с
Xz =-----х-----у —
2 2 у
с
г — —X----у —-
2 2
2
b
2
bL 1 + 20 . , 2\ Ь2 1 + 40 . 3Q
—L— (х + У )---------- —— ху Ч-----, .п_.
4 1 + 30 2 1 + 39 дх (22)
1 -f- 20 , , , b,. 1 + 40 , дП
—-----(х2 Ч* у-)— —!— ху Ч---------,
1 4- 30 ’ 2 1Ч- 30 * ду
где Q должно быть выбрано соответственно уравнению (21).
Положим теперь, что рассматриваемое тело ограничено цилиндрической
поверхностью, параллельной оси z, и двумя перпендикулярными попереч-
ными сечениями, а выведенные формулы применим к случаю, когда цилин-
дрическая поверхность свободна от давлений. Пусть dl будет элемент
контура нормального к оси z сечения, п — направленная внутрь его нор-
маль к dl; тогда должно быть
0 = Хх cos (их) j- Ху cos (пу) Ч~ Хг cos (nz),
0 = Yx cos (пх) Ч* Yy cos (пу) Ч* Yz cos (nz),
0 — Zx cos (nx) 4- Zy cos (ny) 4- Zz cos (nz).
331
На основании уравнений (15), а также того, что cos(nz) = 0, первые два
из этих уравнений выполнены, а третье будет
О = Х2 cos (пх) + У2 cos (пу). (23)
Подставив сюда Хг и К2 из (22), получим выражение для
— cos (пх) Н--cos (пу), т. е для — ,
дх ’ ду 4 ’ дп
которое определяет 'функцию Q, данную пока только уравнением (21),
с точностью до аддитивной постоянной, значение которой безразлично.
Чтобы существовала функция, удовлетворяющая поставленным для О
условиям, как мы видели в шестнадцатой лекции, должно быть
( — Л = 0. (24)
j дп
Составим это уравнение с помощью (22) и (23); тогда из него получим
что обращается в нуль сумма членов вида
Vcos (пх)dl или cos (ny)dl,
где V — функция х и у, непрерывная по всему поперечному сеченик
цилиндрического тела. Но если df есть элемент поперечного сечения, то,
соответственно уравнениям (6) одиннадцатой лекции, имеем
С V cos (пх) dl = — f — df,
J J дх
С V cos (ny) dl = — f — df.
i J dy
Расположим ось z так, чтобы
^xdf = 0 и ydf — 0,
t. e. выберем за ось z прямую, проходящую через центры тяжести по-
перечных сечений; тогда из уравнения (22) ясно, что уравнение(24) прев-
ратится в
b df — 0, т. е. b — 0.
Шесть остальных постоянных, которые мы ввели,
а, аъ а2, Ьъ Ь2, с
остаются неопределенными и могут быть выбраны так, чтобы суммы ком-
понент и моментов давлений, действующих на элементы концевых сече
ний, именно величины
\Xzdf, \Yzdf, \Zzdf,
J J V
^(yZz-zYz)df, ^(zXz —xZz)df, ^(xYz-yXz)df,
принимали любые данные значения.
Мы продолжим вычисления только для случая, когда поперечное
сечение тела есть круг радиуса R, следовательно, уравнение контура его
есть
х2 + у2 = R2.
332
Уравнение (21) будет удовлетворено функцией
Й = А1Х + А2у + В. (х3 - 3 ху*) + В2 (у3 - Зх*у),
де Ai, А2,
□ни могут
как
Bi, В2 — произвольные постоянные. Здесь надо показать, что
быть определены так, что — получит требуемое значение. Так
дп
cos (пх) — — cos (пу) — — — ,
R R
го
-Rdn
<Э£2 , <Э£2
х-------Н — ,
дх ду
что равно
А1Х 4- А2у 4- ЗВТ (х3 — Зху2) 4- ЗВ2 (У9 — Зх2у),
«ли, так как — относится только к контуру поперечного сечения,
дп
— R—~ Alx 4- А2у + 3Bi (x3 — 3 xy*) + 3B2 (y3 — 3x*y) +
dn
4- (Cix+C2y)(x* + y2-R)2,
где Ci,C2 — две новые постоянные. С другой стороны, из уравнений (22)
и (23) следует, что
- R ~ К1 + 29)*2 + (3 + 109> У2] +
дп 4(14-39)
+ 1(3 + 100) *2 +(1 + .29) у*}.
Оба выражения, составленные для — сделаются тождественными
если положить
At Ьд. 3±8?
8 14-30
А2 = R* ,
8 14-39
_bi 1 4-49
24 1 4- 30 ’
bi 3 4-89
8 1 4- 39 ’
_ b2 1 4-40
24 1 4- 30 ’
b2 3 4- 89
8 1 4- 30 ’
При этих значениях Аъ А2, Въ В2 уравнения (22) будут
Y- с , М3 4-89) (Я2-х’)-У2 14-40b8v//
2^ 8 1 4-30 1 4-30 4 У
V - с - 1+46-. , M3 4-80)(l?2-j/4-x2
2 2 1-430'7” 8 14-39
к которым мы добавим уравнение
Zz == а + ctix 4- а2у 4- z (bix 4- b2y).
Вычисление постоянных a, alt а2, blt b2, с по суммам компонент и момен-
тов давлений, действующих на конец цилиндра, здесь очень просто. Мы
333
примем этот конец за плоскость хОу и воспользуемся тем, что
( x2df — y2df = — У?4,
j J 4
xydf — J x2ydf = xy2df = 0;
тогда найдем
f XJf = £ (yZz - zYz) df = a2 R*,
J 4 J 4
f Yzdf = b2 R\ {(zXz — xZz)df — — a1nRi,
J 4 J 4
ZJf = aaR2, J (xYz — yXz) df = c *- R*.
Относительно дальнейшего и более общего исследования выведенных в
этом параграфе формул мы сошлемся на Клебша * и Сен-Венана **.
§ 5
Для изотропного тела, вследствие уравнений (28) одиннадцатой лекции,
если положим
ди , dv , dw
—h - -j----= а
дх ду дг
и по-прежнему обозначим
№р + ^Ф + ^ф==Д(Р)
дх2 ду2 дг2
мы сможем представить уравнения (3) в виде
ng = их + К Гди + (1 + 29g ] ,
dt2 L arj
П^-рУ + НДо -н (14-29)^1 ,
di2 L ду]
ng = + (14-29) g .
dt2 L дг J
(25)
(26)
Для случая, когда существует равновесие и на части тела не действуют
никакие силы, последние перейдут в
0 = Ди+ (1 + 20)^ ,
дх
О = До -+-(1 + 26)(27)
ду
0 = Ди»+ (1 + 20)- ,
дг
откуда следует, что
0 = До.
Легко найти частное решение уравнений (25) и (27), значение которого
представляет интерес. Для этого предположим, что о —а, где а означает
произвольное постоянное, и
dV dV dV
и = —, v — —, w = — ,
дх ду дг
* Theorie der Elasticitat fester Korper von A. Clebsch. Leipzig, 1862.
** Mem. sur la flexion des prismes. Liouville Journal, dexieme serie, t. 1, 1856.
334
где V удовлетворяет уравнению
ДУ = а.
Соответственно этому можно положить
V = - г2 + -,
Ь г
где
г2 = х2 + у- + г2,
и b — новое произвольное постоянное. Тогда для компонент давления
получим выражения Хх = - 2К + Yz = ~2Kd2V~, \дх2 ) дудг
Yy = — 2K (— +0а), Zx = — 2К d"V-, \ ду2 J дг дх
Zz = -2K( '— + еА Ху = — 2К д—, ч дг2 J дх ду
т. е.
= —2К[(1 + 39)-| — ± + У2 = — 2К^Ь,
Yy = — 2/сГ(1 + ЗО) —— Ь- + 3-^dl, Zx = — 2К — Ь,
L 3 г8 г5 J г6
z2 = —2К Г(14-30)--—6+ —б], XУ = — 2К — Ь.
I 3 г8 г5 rs
Эти значения Хх, Yy, ... имеют свойство удовлетворять уравнениям
(Хх — р) х + Хуу + Xz z = О,
Y Хх + (Y у — р)у+ Yzz = О,
Zxx + Zyy + (Z2 — р) z = О,
если положим
р = -2К [(1 + 39)4 + 2 М .
3 г3 J
Вспомнив определение понятия главного давления, данное в § 3 один-
надцатой лекции, сделаем заключение, что прямая, проведенная через
начало координат и точку (х, у, z), имеет направление главной оси
давления для этой точки, и величина соответствующего главного давле-
ния есть данное для р выражение. Так как это выражение есть функция
г и содержит две произвольные постоянные, то далее следует, что
установленные формулы могут быть приспособлены к случаю, когда тело
ограничено двумя сферическими поверхностями, описанными вокруг
центра — начала координат, на каждую из которых действует постоянное
перпендикулярное давление. Если гх и г2 — радиусы двух шаровых поверх-
ностей и рх и р2 — соответствующие давления, то а и b определяются из
уравнений
Pi = —2К [(1 + 39)4 + 2-1 .
L 3 ,3J
pa = -2K[(l + 39)4 + 2 М .
L 3 r3 J
335
ЛЕКЦИЯ ДВАДЦАТЬ ВОСЬМАЯ
(Конечные деформации бесконечно тонкого первоначально цилиндрического
стержня. Расширение бесконечно малого элемента последнего. Упрощение, про-
исходящее от того, что сечение есть эллипс, или его плоскость есть плоскость
симметрии. Потенциал сил, производимых расширением. Живая сила стержня.
Равновесие стержня под влиянием сжимающих сил, приложенных по концам
его. Аналогия относящейся сюда задачи с задачей о движении твердого тела
вокруг неподвижной точки. Стержень может представлять винтовую линию
Равновесие изогнутого стержня, бывшего первоначально винтовой линией)
§ 1
Теперь мы будем рассматривать равновесие и движение тел, размеры
которых в каком-либо направлении можно считать бесконечно малыми.
К ним могут быть отнесены тонкие стержни и пластинки. Тела, которые
мы будем рассматривать, могут испытывать конечную деформацию, причем
расширения не перестают быть бесконечно малыми. Мы можем применить
нашу теорию также и к таким случаям, когда можно, разбив тело на
части с измерениями одного порядка, применить выведенные выше урав-
нения сначала к одной из этих частей.
Вообразим тело (или часть тела), все размеры которого одного порядка,
равного бесконечно малой величине I, и составим для него условия рав-
новесия. Сюда относятся прежде всего уравнения (9) предыдущей лекции,
т. е. уравнения
дХх йА'„ дХ
рХ 1 V ~Г "Г Z
дх ду дг
dY, дУ„ дУ,
цУ -ь —+
дх ду дг
dZx dZ dZ?
,uZ — 4_ ...Я +
дх ду дг
(1)
Пусть g будет функцией переменных х, у, z, причем
g = 0
есть уравнение поверхности тела, и g положительно внутри тела, п
по-прежнему обозначает направленную внутрь нормаль к элементу поверх-
ности.
Тогда будем иметь
cos(nx): cos(ny): cos (nz) — — -.д— ,
дх ду дг
33G
и косинусы имеют те же знаки, как соответственные производные, так
как д~ положительно. Отсюда имеем на поверхности
дп
где корни должны быть взяты положительными, и Хп, Yn, Zn надо рас-
сматривать как данные.
Чтобы и, v, w были вполне определены, примем еще, что положение
тела в его естественном состоянии (исходя из которого определяются
и, V, ш) выбрано так, что для начала координат, которое должно нахо-
диться внутри тела, т. е. для х = 0, у = 0, z = 0, будут иметь место
равенства
о о /л du г, dv л dv п /г,,
и = 0, v = 0, w = 0, — = 0, - = О, - = 0. (3)
dz dz дх
Теперь положим
х = ix', у — iy', z = iz'\ (4)
тогда вследствие сделанного предположения х', у', z', будут в теле
конечны; пусть будет
g' = 0
уравнение между х', у', г', соответствующее поверхности, так что g'
содержит только конечные постоянные.
Вообразим, что произведена подстановка (4) также и в уравнения (1),
(2) и (3). Положим
- du Xx = — , dx' • dv , dw dz dy
> dv У и — TV ’ dy' • dw , du zx-~- ! , dx' dz'
• dw dz ' du , dv Xn = 1 , dy' dx'
и обозначим через Хх, Ху, ... выражения, которые получим, если заменим
хх, уу, ... через хх, у у... в выражениях, представляющих Хх, Ху, ...
как функции хх, уу, ...; таким образом получим
dX' dx' dX'„ dX' i- — + = px dy’ dz' и
dYx dx' dY.. dY’ + (5) dy dz
dZ dZ dZ,
dx' dy' dz' M
22 Г. Кирхгоф
337
Значения и, v, w, которые получаются из (5), (6) и (7), могут быть
представлены как суммы членов, из которых одни удовлетворяют урав-
нениям (6) и (7), но вместо уравнений (5) — тем уравнениям, которые
получаются из (5), если заменить в них правые части нулем; другие же
удовлетворяют уравнениям (5) и (7), но вместо уравнений (6)—тем,
которые получаются из (6), если заменить в них правые части нулями.
ПерНые из указанных членов будут порядка iXn, iYn, iZn, вторые —
порядка 12Лц, г2Уц, 1^. Следовательно, последние бесконечно малы по
сравнению с первыми, если мы примем, что сила X, Y, Z не бесконечно
велика сравнительно с Хп, Yn, Zn, т. е. что относительные перемещения,
которые вызываются в теле конечных размеров первыми, не бесконечно
велики по сравнению с перемещениями, вызываемыми в том же теле
вторыми силами. Следовательно, при этом предположении для каждого
бесконечно малого тела уравнения (5) надо заменить уравнениями, кото
рые из них получатся, когда положим правую часть равной нулю, т. е
уравнения (1) надо заменить уравнениями
дХ дХи дХ „
— + ----5 = 0,
дх ду дг
dZ dZu dZ, п
_2Ц. + _? = 0.
дх ду дг
Произведенное исследование одновременно показывает, что и, v, w будут
порядка iXn, iYn, iZn-, того же порядка будут производные и, и, w по
х,' у,' z'\ следовательно, производные и, v, w по х, у, z одного
порядка с Хп, Yn, Zn.
Эти же результаты имеют место и в случае движения, и уравнения
(8) заменяют уравнения (3) предыдущей лекции, если только ускорения
дги d2v д-и> „
— . — , — не переходят границ, принятых для силы X, Y, Z. Это сле-
dt2- dt2 dt2
дует из того, что для перехода от равновесия к движению надо заменить
v *7 хл д2и , г д2и d2w
X, Y, Z на X-------------, Y------,2--------
dt2 dt2 dt2
§ 2
Теперь положим, что тело, о котором идет речь, есть бесконечно
тонкий в естественном состоянии цилиндрический стержень. Введем
систему прямоугольных осей. Предположим, что одна ось проходит через
338
центры тяжести поперечных сечений, а две другие параллельны главным
осям поперечного сечения, проходящим через его центр тяжести. Возьмем
на первой оси точку Р, обозначим расстояние ее от начала стержня через
s и рассмотрим три линейных элемента, которые проведены через Р в
направлении трех осей; их можно назвать 3, 1,2, причем за 3 примем
элемент, направленный по длине цилиндра. Когда исходное состояние
тела изменится, эти три элемента, вообще, не будут более перпенди-
кулярны друг другу, но образуют угол, который отличается от прямого
на величины порядка расширений, которые имеют место. Пусть положе-
ние точек стержня вблизи Р будет отнесено к системе координат (с
началом в точке Р), ось z которой имеет направление линейного элемента
Зи плоскость zOx которой проходит через линейные элементы 3 и /. Пусть
в этой системе координат х + и, у + v, z+w будут координатами неко-
торой точки стержня после деформации; х, у, z — координаты той же
точки, когда стержень находится в естественном состоянии и в положе-
нии, при котором линейные элементы совпадают с осями х, у, z. При
этих предположениях выполняются уравнения (3) и (11) предыдущей
лекции, как это вытекает из сделанного там замечания; далее, на поверх-
ности стержня имеет место уравнение между х и у, затем могут быть
записаны следующие соотношения:
xdxdy = 0, ydxdy = 0, xydxdy = 0, (9)
где интегрирование должно быть распространено по поперечному сечению;
наконец, каждая материальная точка стержня будет характеризоваться
некоторыми значениями х, у и s + z.
Пусть далее £, л, £ —координаты точки Р после деформации
стержня относительно произвольно выбранной в пространстве системы
координат, которая имеет то свойство, что оси х, у, z при вращении
могут быть сделаны соответственно параллельными осям g, л> Ъ-
Пусть
«1 Pi Ti
а2 ?2 Т2>
аз Рз Тз
косинусы углов, которые оси £, Л, £ образуют с осями х, у, z, так что
индексы 1, 2, 3 относятся соответственно к осям х, у, z\ эти девять
величин, так же как £, л. в случае равновесия будут функциями одного
переменного s, в случае движения — функциями s и t.
При этих обозначениях выражения
& + а± (х + и)+ а2 (у + у) + а3 (z 4- ш),
Л + Pi(x + “)+ ЫУ + у)+ Рз(г + аУ), (Ю)
£ + Г1(*+ «) + Т2(у + 0 + Гз(2 + И»)
будут координатами относительно осей £, Л, £ той точки, координаты
которой относительно осей х, у, г будут х-\-и, y-\-v, z-\-w. Выражения
(10) должны быть функциями s + z, так как значения z + s, х и у
определяют материальную точку стержня. Поэтому частные производные
этих выражений по z и по s должны быть равны между собой; следова-
тельно, будем иметь
ди , dv , /, , dw \ ди , dv . dw
«1 — + а2 — 4" аз ( 1 ~г — — а1 д 4- — + а3 —
dz dz \ dz) ds ds ds
+ f 4- 7?(x + «) + %+ v) 4- ^(z + 4
ds ds ds ds
22*
339
дг дг » дг 1 ds ds ds
+ + (x +. H) + dh (у + v) + (z +
ds os as as
du . dv . f л , dw\ da . dv . dw .
7i - + r2 - + 7з 1 -I- - = 7i - + 72 - + 7з — +
dz dz \ dz J ds ds ds
4- f (x + ы) + T- w\
ds as as ds
Умножим эти уравнения последовательно на а1( р1( у1( на а2,р3,у2 и на
«3. Зз, Тз и каждый раз сложим их. Положим при этом
так как по сделанному определению
то отсюда следует, что
У = а3(1 + о), ^ = р3(1 + а), J = r3(l + o) (12)
as as as
Положим далее
и о есть расширение, которое получает элемент ds.
da.., , г. , dr.,
Р=--а3—+ 3з—+73^,
as ds ds
,_a *>+|3 * + Tlfe,
ds ds dt
ds ds ds
(13)
Сравним эти выражения с выражениями для р',
пятой лекции и вспомним значение, приданное там
qr, г' уравнений (19)
р', q', г'\ тогда мы
увидим, что pds, qds, rds — это углы, на которые повернется система
осей х, у, z вокруг осей х, у, z, когда начало ее опишет элемент ds.
Количество rds называется кручением части стержня, соответствующей
элементу ds, а р и q будут обратными радиусами кривизны проекций
элемента ds на плоскости у, г и х, г.
С помощью шести соотношений, существующих между косинусами
а, р, 7, и тех, которые получим из них, дифференцируя их по s, будем
иметь
= + + —г(у + о),
dz ds
dv dv ... \ / , \
— = -- + r (X + u) — p (Z + w),
дг ds
dw dw , , . , / , 4 ,
-- = + Р(У+ v) — q(x-\-u)+ a.
dz os
Опираясь на сделанное в конце предыдущего параграфа замечание, мы
ди dv dw ,
примем, что — , — , — бесконечно велики сравнительно с и, v, w, если
дг дг дг
только будем давать z значения одного порядка с размерами поперечного
п ди dv dw
сечения стержня. Примем далее, что — , — <— одного порядка с и, v, w-
ds ds ds
340
Пользуясь, кроме того, тем, что и, v, w бесконечно малы сравнительно
с х, у, г, мы получим уравнения в виде
ди
— = qx — ry,
dz
dv
-- = rx — pz,
dz
dw
— = py — qx + o.
dz
Интегрируя, найдем
U = Uo + у z- — ryz,
v = v0+ rxz -|z2, (14)
w = (py — qx + o) z,
где u0, v0, wd — функции x и у, именно такие, в которые обращаются
и, v, w при z = 0. Эти функции можно определить из уравнений (8), (2)
и (3).
Найденные для и, v, w выражения дадут
ди0 dw0 .
Х ~ дх ’ У г = — + ГХ, ду
Уу ~ , ду дшп == —-° — гу, 15) дх
, дип , dv0
2г = py —qx + о, Ху = —!? + — .
ду дх
Все эти значения независимы от z, вследствие чего уравнения (8)
более простой вид
дХ дХ„
= о,
дх ду
dYx дУ
у = о,
дх 1 ду
dZx dZ
— + —у = 0.
дх ду
примут
(16)
Допустим, что первоначально на цилиндрическую поверхность стержня
не действуют никакие давления и пусть q — функция х и у, приравняв
нулю которую, получим уравнение контура поперечного сечения; тогда
уравнения (2) при q = 0 дадут
х/^ + х,у_о,
дх ду
Yxd/+Yydg^Q, (17)
дх ду
Zx dg + Zyd^ = 0.
дх ду
Два уравнения из уравнений (3) будут выполняться тождественно, осталь-
ные требуют, чтобы при х = 0 и у = 0 было
ио = 0, ио = 0, о>0 = 0, —° = 0. (18)
341
Уравнения (17) мы вывели в предположении, что давления, действую-
щие на боковую поверхность стержня, равны нулю. Но мы можем сохра-
нить те же уравнения, когда эти давления имеют любые значениия, не
превосходящие, однако, некоторых границ. Они должны йметь таке зна-
чения, чтобы давления с величинами такого же порядка вызывали в
теле, все размеры которого одного порядка, только расширения,
бесконечно малые сравнительно с определяемыми (15). Пренебрегая
при этом величинами, которые должны были бы образовать правые части
уравнений (17), мы пренебрежем тем самым только величинами бесконечно
малыми по сравнению с отдельными членами левых частей.
Подставляя в уравнения (16) и (17) вместо Хх, Ху,... их выражения
через хх, уу,... и вместо последних — значения, данные (15), однозначно
определим из уравнений (16), (17) и (18) величины и0, v0, w0 как линейные
однородные функции р, q, г, о. Чтобы доказать это предположение, до-
статочно показать, что когда р, q, г, сг обращаются в нуль, то указанные
уравнения могут быть удовлетворены только при иа = 0, и0 = 0, w0 — 0.
Это достигается таким же рассуждением, каким было доказано подобное
предположение в § 2 предыдущей лекции. Если u0, v0, w0 выражены таким
образом, то уравнение (15) дает хх, ху,... как линейные функции р, q,
г, о. Точно такими же функциями будут компоненты давления Хх, Ху,....
и f будет однородной функцией второй степени тех же четырех эле-
ментов.
Сделаем одно замечание, которое существенно расширит примени-
мость наших рассуждений. Вообразим, что стержень переведен из его
естественного цилиндрического состояния силами, действующими внутри,
и давлениями, которые действуют на концы его один раз в одно, другой раз в
другое состояние. Пусть второе из этих состояний характеризуется через хх,ху,
... , р, q, г, а, а первое—хх,у у, , р', q', г', о'. Если стержень будет пере-
веден из первого состояния во второе, тогда разности хх — хх, ху— ху,...
определят происходящие при этом расширения совершенно так же, как
сами хх ху, ... определяли расширения при переходе стержня из его ци-
линдрического состояния в то, которое мы назвали вторым. Эти рассуж-
дения могут быть отнесены также к тому случаю, когда в естественном
состоянии (названном нами первым) стержень имеет не цилиндрическую
форму, а искривлен и скручен так, как это соответствует значениям р', q',
г'. Следовательно, в этом случае компоненты давления Хх, Ху,... и вели-
чина f являются такими же функциями хх — хх, ху — ху>..., какими они
были ранее от хх, ху,..., и такими же функциями р — р', q — q',
г—г', о — о', какими они были от p,q,r, о, так как хх — хх, ху — х'у —
такие же линейные функции р — р', q—q', г—г', сг — о', как хх, ху,...
функции р, q, г, а.
Это замечание важно тогда, когда вещество тела изотропно. Пользуясь
им, всегда можно представить уравнения равновесия и движения беско-
нечно тонкого стержня, поперечное сечение которого всюду имеет одина-
ковую форму, когда он в его естественном состоянии как-нибудь искрив-
лен или скручен. При этом величина, которую мы обозначили через о',
может быть положена равной нулю.
§ з
Относительно легко определить и0, v0, wg, когда поперечное сечение
стержня—эллипс, каковы бы ни были постоянные упругости. Положим со-
ответственно этому предположению
, хг у"
ё - — ^2 ~~ Ьг-
342
Тогда уравнения (16) и (17) (последнее не только при g = 0, но вообще)
будут удовлетворены значениями
Хх = 0, Уу —0, Ху = 0,
Zx = cA Z„==—с-,
&2’ « аг
где с — произвольное постоянное. Из этих уравнений вместе с входящим
в (15) уравнением
= py — qx + о
и с помощью соотношений, существующих между шестью величинами
хх, ху,... и шестью компонентами давления, можно выразить хх, уу, хи и
гх, zy как линейные функции хи у. Три первых из них при помощи
уравнений (15) приведут к определению и0, v0, два последних — к опре-
делению w0. Чтобы эти определения были возможны, необходимо
^'х д^Уу _ дЧу
ду2 ‘ дх2 ’ дхду
и
dyz дх2
дх ду
Первое из этих уравнений, которое получим, рассуждая так же, как
при выводе уравнений (13) и (14) предыдущей лекции, выполнено вслед-
ствие того, что хх, у у, Ху — линейные функции относительно х и у. Вто-
рое определяет величину с. Интегрирования, которые должны быть про-
изведены при вычислении и0 и v0, введут три произвольные постоянные;
интегрирование, которое определяет w0, вводит одно. Эти постоянные вы-
числяются непосредственно так, чтобы были выполнены уравнения (18).
Таким образом получим и0, v0, ш0 как функции второй степени х и у.
Упрощения в определении «0, v0, w0 будут иметь место при произволь-
ной форме поперечного сечения, когда плоскость его есть плоскость сим-
метрии. В этом случае по уравнениям (5) предыдущей лекции имеем
;~'Хх — й.цХх а^яУу -'г + ®1вХу,
1
“ Уу — O2lXx + + °23Zz + a26Xy.
1
у Zz + а31хх 4- а^Уу + ai3zz + а36хг„
4 Ху - ав1Хх + ай2уу + авзгг + амху,
1 7
2 — аМгУ I Gis2.r>
1 7
“Zx — ct^Zy + a5eZx,
где
— fl21> Q13 — °31> - • •
Поэтому на основании уравнений (15) последнее из уравнений (16) будет
а6Б^ + 2ц45^ + а44^-°-0
5Б дх2 45 дх ду ду2
(19)
343
и последнее из уравнений (17) будет
Г / <ta0 , \ . / dw0 \ 1 dg .
( л« + ") + ““ ( л ~ J а? +
+ O„(^+rx')+a<s(sp-r!,)lsJ = 0. <20)
L \ ду ,/ \ дх / ] ду
Из этих уравнений и третьего из уравнений (18) надо определить о>0
Из остальных уравнений (16), (17) и (18) — и0 и у0; мы удовлетворим им,
если положим
Хх = 0, Yy = 0, Х, = 0. (20а)
Действительно, решив эти уравнения относительно хх, уу, ху, получим для
этих величин линейные функции х и у, причем 2Z должно быть заме-
нено его значением из (15). Вследствие этого возможно определить и0 и
оо соответственно уравнениям
ди0 dv0 ди0 . dv0
дх У ду У ду дх
интегрирование которых вводит три произвольных постоянных, надлежа-
щим выбором которых можно удовлетворить уравнениям (18).
§ 4
Когда и0, v0, w0 найдены, то надо будет еще определить р, q, г, о в
случае равновесия как функции s, а в случае движения как функции
sat. Для этого можно в первом случае пользоваться принципом воз-
можных перемещений, во втором — принципом Гамильтона. Следовательно,
в обоих случаях прежде всего необходимо составить выражение потенци-
ала сил, производимых расширением. Обозначим, как прежде, через f одно-
родную функцию хх, ху,...\ тогда этот потенциал равен
fdx dyds,
где интегрирование по х и у распространяется по поперечному сечению,
а по s — по длине стержня. Подставим здесь вместо хх, уу,... их значе-
ния из (15); так как эти значения являются линейными однородными
функциями р, q, г, сг, то f будет однородной функцией второй степени
р, q, г, о, коэффициенты которой зависят только от х и у. Теперь по-
ложим
F = ^fdxdy, (21)
тогда F будет однородной функцией второй степени р, q, г, о с по-
стоянными коэффициентами и потенциал будет равен
^F ds.
Обозначим через U' работу сил, действующих внутри, и работу сил дав-
ления, действующих на боковой поверхности и на концевых сечениях
стержня при некотором изменении количеств р, q, г, сг; далее, обозначим
через Т живую силу. Тогда условие равновесия будет
U' + б^Г ds = 0, (22)
и для движения можно будет написать уравнение
dt [U' + б Г + б F ds] = 0. (23)
344
Чтобы получить значение Т, надо продифференцировать выражения (10)
по t, умножить суммы квадратов производных на 1/2 элемента массы
т-т ди dv dw х
стержня и проинтегрировать по стержню. При этом - , —, — пренебре-
жем как бесконечно малыми сравнительно с членами, с ними складывае-
мыми, и положим 2 = 0, что возможно, так как выражения (10) есть
функции s + z, и s мы рассматриваем как переменное. Тогда произ-
водные этих выражений будут
д£ . да, , да,
dt dt dt’
Сумма квадратов этих выражений, умноженная на dxdy и проинтегриро-
ванная по сечению стержня, с учетом уравнений (9) будет
гру+ру+рук^ + [ (dZ / VdZ / [dt 1 |_ \ d/ / \ dt / \ dt ) J J L \ dt J \ dt J \ dt ) J J (24)
Положим теперь
_р = а2^з + р .^3 dT_3 2 dt 12 dt 12 dt ’
dt dt dt ' (25)
dt dt dt
Далее, из уравнений, которые могут быть составлены по образцу
уравнений (20) пятой лекции, мы получим
ъ,Т + (5Г+
dt ) \ dt ) \ dt )
да2\2 /дМ 2 / dT_2V р2
dt ) \ dt J \ dt )
Заметим теперь, что, вследствие уравнений (12), ^-3, ^3, ^3, не могут
- , dE dn dt
быть бесконечно велики по сравнению с если предположить,
что производные этих величин по s не бесконечно велики по сравне-
нию с ними. Отсюда следует, что Р и Q не могут быть бесконечно ве-
dg dr] dt, п
лики по сравнению с между тем как относительно R этого
утверждать нельзя. И, наконец, последнее замечание: из трех интегралов,
входящих в выражение (24), два последних бесконечно малы по сравне-
нию с первыми, поэтому это выражение равно
[(«)’+(*)+( *)] +Л
345
Положим
dx dy — X, (%2 dxdy = х (26)
и обозначим по-прежнему плотность через ц; тогда получим
^Н<;)’<7+ЙГМ- <*>
§ 5
Рассмотрим теперь ближе равновесие стержня в предположении, что
на части его не действуют никакие силы и только по концевым сечениям
его приложены силы давления. Но вместо того чтобы применить при
этом принцип возможных перемещений, мы будем исходить непосред-
ственно из определения давления, данного уравнениями (1) и (2) один-
надцатой лекции. Применим его к части стержня между двумя любыми
поперечными сечениями. Обозначим через А, В, Г суммы компонент дав-
ления по осям g, т], £, которое производится на элементы некоторого по-
перечного сечения s (со стороны частей стержня, для которых s имеет
меньшее значение по сравнению с частями, для которых s имеет большее
значение), и через Ма, Мр, /Ит— моменты этих давлений относительно
тех же осей; тогда, предположив, что существует равновесие и внутри
стержня никакие силы не действуют, мы получим
А = const, В = const, Г = const,
Ма — const, /Ир = const, /Ит = const.
Если для одного конца стержня s = 0, для другого s = I и I поло-
жительно, то тогда А, В, Г, Ма, /Ир, Му равны суммам компонент и мо-
ментов вращения давлений, производимых извне на элементы поперечного
сечения s = 0. Для другого конца такое же значение имеют — А, — В,
— Г, — Ма, — /Ир, — мг
Теперь мы введем моменты давлений, от которых происходят Ма, /Ир,
Му, относительно осей х, у, z, соответствующих выбранному значению s,
и обозначим их через Мх, Му, Мг. Одновременно мы выберем (что всегда
возможно) ось £ так, чтобы было А = 0, В = 0 и Г отрицательно или
равно нулю. Тогда, вследствие выведенных в § 4 пятой лекции соотноше-
ний, мы получим
Ма = «i/Их + агМу + а3Л4г + гД = const,
/Ир = PjMx -ф 4~ Р3/Иг — эГ = const, (28)
/И7 = Y1MX + f2My + Y.3'WZ = const.
Продифференцируем эти уравнения no s, помножим их на а1г р1( или
а2, ₽г> Тг, или ®з> Зз> Тз и каждый раз сложим. Вследствие соотношений,
существующих между девятью косинусами, и уравнений (12) и (13), по-
лучим
= гМу — уМг + у2Г,
dM.,, /Г»П\
= рМг — гМх— т2Г, (29)
dM
-^=ямх — рму.
Теперь мы выведем, в каком отношении находятся моменты Мх, Му, Мг
к выраженной в предыдущем параграфе функции F. Для этого рассмотрим
346
приращение df, которое получит f, когда состояние стержня вблизи попе-
речного сечения, соответствующего некоторому постоянному значению s,
изменится так, что р, q, г, а возрастут на др, dq, дг, бег.
Прежде всего получим
= Ххдхх -|- У уду у -г Zzdzz + У гдуг + Zxdzx -Т Худху,
гак как Хх, Уу,... .— частные производные f по хх, уу,... . При по-
мощи уравнений (15) будем иметь
df = Ххд —° + Yvd + Zz (удр - xdq + бег) 4-
дх ду
+ У2 fб —° 4- хдг] + Zx ('б — удг} + Худ(~°- + ^}.
\ ду J \ дх / \ ду дх I
Умножим это уравнение на dxdy и проинтегрируем по поперечному се-
чению стержня. Тогда, по (21), левая часть его есть dF. Правую часть
преобразуем при помощи уравнения
О = \dxdy (Ххб д“° + Ууд 5°- + О +
J I дх ду ду
это уравнение мы получим интегрированием по частям, приняв во внима-
ние уравнения (17), в которых можно подставить cos(nx) и cos(ny) вместо
и если умножить уравнения (16) на dxdyduB, dxdy dv0, dxdydw0,
сложить и проинтегрировать по поперечному сечению. Положим
Z = dx dy Zz,
Mx = ^dx dyyZz,
My = — J dxdyxZz>
Мг= ^dxdy (xYz — yXz),
где через Z обозначена компонента силы F по оси z, и Мх, Му, Мг име-
ют те значения, которые приняты в уравнениях (28) и (29). Таким образом,
отсюда получим
6F = Мхдр + Mydq + Мгдг + Zdo,
откуда следует, что
dF «« dF .. dF ..
— = Мх, - = Му, — = Мг,
др dq дг
(30)
<9 5
Следовательно, функция 2F есть однородная функция второй степени
р, q, г, о, коэффициенты которой зависят от постоянных упругости и по-
стоянных поперечного сечения стержня. Поэтому имеем
zf = ТзГ = А0во + Л01р + Ао2<7 + Ао3г,
ds
~~^МХ^ АщО + Апр 4- А12<7 + А13г, (31)
др
— Му = -Т Ai2q + ^2зг>
dq
= Мг = Л30сг -Т А31Р + Л32<7 + А33г,
дг
347
где Аоо, Ао1,... = А10, Ап,... — упомянутые коэффициенты. Величины их
не одного порядка. Так как о—отвлеченное число, а р, q, г — числа,
обратные длинам, то те А, которые содержат один раз индекс О,
должны иметь одним измерением меньше, чем те, в которые этот индекс
не входит, и одним измерением больше, чем А00. Но длины, кото-
рые входят в выражения величин А, будут порядка размеров сечения,
следовательно, бесконечно малы. Поэтому Ао1, Л02, А03 должны быть бе-
сконечно малы сравнительно с Аоо и бесконечно велики сравнительно с
другими А. На этом основании мы не можем пренебречь в (31
содержащим о, хотя о бесконечно мало, но р, q, г мы должны
ривать как конечные. Из (31) (первое уравнение) следует, что
__ _ MtP ~Н 71дзГ — ТзГ
^00
Подставим это значение о в выражения (31) для Ж, Му,
пустим, что Г не бесконечно велико по сравнению с Ж> Му, Mz\ тогда
из выведенных соотношений между величинами А вытекает, что входя-
щим туда членом, зависящим от Г, как бесконечно малым по сравнению
с Мх, Му, Мг, можно пренебречь. Тогда мы получим эти моменты как
линейные однородные функции р, q, г. Их можно представить следу-
ющим образом. Пусть G будет функцией р, q, г, в которую перейдет
dF
F, если при помощи уравнения = 0 выразить а в ней через р, q, г;
тогда
,, dG .. dG .. dG
Мх = -, Му^- -, Ж = -
др dq дг
членом,
рассмат-
(32)
Мг и до-
Действительно, когда о будет выражено из = 0 через р, q, г, то
df _ 3G.
др др ’
в самом деле, если бы G мы получили из F, заменив о произвольными
функциями р, q, г, то
dG _ dF dF ds
др др ds др
и подобные же выражения имели бы место для соответственных производ-
ных по q и г. Таким образом, уравнения (29) принимают вид
д dG dG dG . „
as др dq dr
d dG dG dG n ,.5A
as dq dr dp
d dG dG dG
----=q p - -
ds dr dp--dq
Эти уравнения, в которых G означает однородную функцию второй
степени р, q, г с постоянными коэффициентами, имеют такой же вид,
как уравнения (17) седьмой лекции, которые относятся к вращению тя-
желого твердого тела вокруг неподвижной точки. Для полного их согла-
сования достаточно положить в (34) s = t, 6 = 7 и Г равным произведе-
нию веса тела на расстояние его центра тяжести от неподвижной точки.
При этом значения девяти косинусов а, р, у и величин р, q, г будут оди-
наковы. Так как там за ось z была принята прямая, проведенная через
центр тяжести и неподвижную точку, а здесь осью z является касатель-
348
пая к стержню, то получаем: тяжелое неизменяемое тело, вращающеесе
вокруг неподвижной точки, всегда соответствует стержню в том смысли
что прямая, проходящая через неподвижную точку и центр тяжести
всегда параллельна касательной к оси стержня при условии, если s = t
Если решена задача о вращении, то, чтобы найти форму стержня, надо
еще составить уравнения
§ в
Задача о вращении тяжелого тела вокруг неподвижной точки, как
было разъяснено в седьмой лекции, неразрешима в общем виде. Решение
возможно лишь в том случае, когда на тело не действует тяжесть. Это
будет случай, когда Г = 0, т. е. сумма компонент сил давления по любо-
му направлению, действующих на элементы конца стержня, обращается
в нуль. Второй случай, когда задача о вращении может быть решена, это
тот, когда тяжесть действует на тело, но телом является тело вращения,
и неподвижная точка расположена на оси вращения. В данном случае
это возможно тогда, когда между постоянными упругости стержня и по-
стоянными его поперечного сечения существуют некоторые соотношения.
Эти соотношения существуют, как это будет видно из изложенного, если
вещество стержня изотропно и его поперечное сечение есть круг.
Для изотропного тела, по § 1 предыдущей лекции,
f -- — К pd + У у + Zz + — Уг + Z* + — Ху + 6 (Хх + У у + Z2)2|.
Поэтому из уравнений (20а) следует, что
Уравнения (19) и (20) примут вид
, d2w0 = q
дх- + ду-
и для g = 0 будем иметь
\ дх ) дх \ду ) ду
Если мы предположим, что поперечное сечение стержня есть круг,
g = х2 + у2 — const.
(35)
(36)
то
При этом значении g из (35), (36) и (18) следует, что
щ0 = 0.
Поэтому уравнения (15) дадут
zz = py — qx+o, уг = гх, хг = —гу.
Следовательно,
f2 = — ft — qX + + + 1 г2 (х2 + у2)].
По (21), если воспользуемся определенными в (26) величинами х и X,
будем иметь
F = — КрШ?Д(р2+(?2) + Д Г2 +
[1 + 29 2 2 1 +20 J
349
Отсюда мы получим, наконец, для определяемой выражением (33) функ-
ции G:
G = Г.^(Р2 + 72) + г2]. (37)
Этим доказано указанное выше предложение, что для изотропного стерж-
ня круглого поперечного сечения G — такая же функция р, q, г, как
живая сила тела вращения, вращающая его вокруг точки оси симметрии, и
кроме того показано, что общее решение уравнения (34) для стержня
указанных свойств может быть найдено таким же путем, как для соот-
ветственной задачи о вращении тела в § 4 седьмой лекции. Мы ограни-
чимся тем, что найдем решение для некоторого частного случая. Положим
Ai = _ Кх Азз = -Кк (38)
1 ~г~ 2л
и введем определяемые уравнениями (8) пятой лекции углы ft, <р, f, причем
f здесь имеет значение, отличное от того, которое оно имело до сих пор.
Тогда уравнения (34) примут вид
Ди dp- = rq (Au — А33) + Г sin f sin ft,
as
Al у = rp (Л33 — Au) — Г cos f sin ft,
as
^ = 0.
ds
К ним мы добавим уравнения
~ = р sin f — q cos f,
ds
sin ft ~ = p cos f + q sin f, (40)
ds
- - = cos ft —- — r,
ds ds
которые получаются из уравнений (21), (13) и (15) седьмой лекции при
помощи уравнений (8) пятой лекции, если заменить t на s. Заметим, что
уравнениям (39) и (40) можно удовлетворить, предположив ft — const.
Решение, которое имеется в этом предположении, именно то, какое мы
хотим составить; оно соответствует движению тяжелого тела вращения,
вращающегося вокруг точки оси симметрии, при котором эта ось описы-
вает прямой конус вокруг вертикали. Если ft постоянно, то первое из
уравнений (40) будет
0 = р sin f — q cos f,
следовательно, можно написать
р = V р2 + 72 cos f, q = Ур2 4- q'2 sin f, (41)
где знак перед ]/ р'2 + q2 остается неопределенным.
Поэтому два первых уравнения из уравнений (39), если умножим их
на р и Q и сложим, дадут
р2 + <72 = const,
в то время как из третьего следует, что
г = const.
3 50
Далее, если обозначить произвольные постоянные через <р0 и f0, то два
последние уравнения (40) примут вид
Ф Фо —
Ур- + д- с
sin ft
f-f0 =
\ tgft '
(42)
Остается еще удевлетворить одному из двух первых уравнений (39). Под-
ставим вместо р или q их значения из (41), тогда оно превратится в
уравнение между постоянными, именно уравнение
„ , Vn'i + „г , „ sin ft
0 = Лц — — лзз + Г —-....... (43)
Чтобы найти форму стержня, которая удовлетворяет составленным урав-
нениям, надо еще развернуть уравнения (34а). Положим в них соответ-
ственно уравнениям (8) пятой лекции
а3 = cos ф sin О, рз — sin ф sin О', y3 = cosO;
при вычислении £ и ч примем во внимание, что, согласно (42),
ds =
sin ft
Ур2 + <72
dtp
и выберем надлежащим образом начало координат
f. sin2 ft . sin2 А
Е = sin ф, н =--------, cos ф,
Vp2 + <72 Ур2 + <72
£, л, тогда получим
g = s cos О.
(44)
Стержень образует винтовую линию, ось которой есть ось g, а радиус
цилиндра, на котором она лежит, равен
sin2 if
Vp2+<72’
величина шага винта есть
2л sin ft cos ft
У Р2 + <72
(45)
(46)
Давление, которое должно быть произведено извне на концевое сечение
стержня s = 0, чтобы он находился в равновесии при произвольных задан-
ных значениях постоянных О, У р2+ q2 и г, можно определить из {43).
Чтобы получить полную аналогию между задачей о равновесии упругого
стержня и задачей о вращении тяжелого твердого тела, мы выбрали ось g
так, чтобы Г, если оно не обращается в нуль, было отрицательным.
Основываясь на этом предположении, мы рассмотрим его как условие,
которому должны удовлетворять значения О, р2+ q2, г, чтобы из урав-
нения (41) не получались положительные значения Г. Это условие отпа-
дает, если мы откажемся (что мы и сделали) от полноты аналогии и оста-
вим положительные и отрицательные значения для Г. Остается еще найти
моменты Ма, Л4р, Мл. Прежде всего из (33), (37) и (38) получим
Л4Х = Лцр, Ми — Anq, Мг — А33г;
вместо этого по (4) можно написать
М - А Ур^ + я* М — А
1У1Х — Ли-----7- ~ Т1» Му— Лц Т2»
sin# sin#
м, - л„
Sin ft tg ft
351
Подставив эти значения в уравнения (28), опираясь на соотношения между
девятью косинусами аг, а2,... и на уравнения (43) и (44), найдем
Ма =--- 0, /Ир = о,
Му Ап УР2+ <72 sin ft + A33rcosft.
Упомянем еще один относящийся сюда частный случай. Если между
постоянными ft, р2-\~ q\ г существует соотношение
tg а , (47)
то f, как это следует из (42), постоянно, именно равно f0. Тогда, по (41),
будут постоянны также р и q, как и г. Трем величинам р, q, г могут
быть даны любые постоянные значения, причем надо только надлежащим
образом выбрать величины /о, г. Следовательно, случай, когда
р, q, г постоянны, входил в рассмотренный прежде. Так же и в этом
случае стержень образует винтовую линию; радиус цилиндра, на котором
она лежит, равен
Ур- + .
Р3 + Г2 ’
величина шага винта равна
2лг
р2+</2 + г2 ’
на основании выражений (45) и (46), если принять во внимание, что из (47)
следует, что
cos ft =------------, sin ft = —q--—, (48)
Ур2 + (?2 + г2 ур2+-92+г2
где знак корня р2+ <?2-ф г2 должен быть определен соответствующим
образом.
§ 7
Рассмотрим теперь пример на равновесие изотропного искривленного
в естественном состоянии стержня. Согласно сделанному в конце § 2
разъяснению, чтобы перейти от случая первоначально прямого изотропного
стержня к случаю первоначально искривленного, мы должны поставить
в выражение функцию f вместо р, q, г, р — р', q — q', г — г', где р’, q', г'
представляют значения, которые получат р, q, г, если стержень из состоя-
ния, когда он был прямым, перейдет в свое естественное состояние. Произ-
ведем эту подстановку в F и G; тогда останутся в силе все те заключения,
которые были связаны с функцией f в § 4 и 5, и будут иметь место
уравнения (34).
Если поперечное сечение стержня есть круг, тогда вместо уравнений (39)
будем иметь следующие:
Ли d(p-q) = А^г _ r,) + г sinsin ф,
as
Ai ~= A33p (r — r’) — Anr (p — p') — Г cos f sin ft, (49)
as
= Anlqtp — p')~ p(q—q')l
as
К ним надо добавить неизмененными уравнения (40).
352
Функции р', q', г’, вообще говоря, будут функциями s, которые обусловле-
ны начальной формой стержня. Предположим, что они постоянны, исходя
из сделанного в конце предыдущего параграфа примечания, что первона-
чально стержень представляет винтовую линию. Тогда уравнениям (49)
и (40) можно удовлетворить предположением, что р, q, г есть также
постоянные, т. е. предположением, что стержень останется винтовой лини-
ей. При таком предположении последнее из уравнений (49) дает
р' д'
р д
и оба других сведутся к одному
0 = Anr I 1 — — Л33 (г — г') + —.—,
11 ( р I 334 ур2 + (р + г2
если воспользоваться тем, что по (41) и (48)
sin f sin , cos f sin .
]/p2 + q2 -J- r2 /p2 + q2 + r2
Но уравнения (40) будут выполнены, если положить
cos О = —г--—,
Ур2+(/2 + г2
Ф = Фо + sYp2+ q2+ Г2,
tgf =
р
Эти уравнения выведены в предыдущем параграфе из уравнений (40)
в предположении, что О’ и f постоянны.
Тогда далее получим
и если воспользуемся тем, что
Мх = А11(р — р'), Ми-= Au(q — q'), Л42 = А33(г — г'),
то будем иметь
Ма = 0, Мр = 0,
= Лп НЛ f 1 - + А33 .
1 /д2 + 92+г2 ( р । Vp3 + ?2 + f2
23 Г. Кирхгоф
ЛЕКЦИЯ ДВАДЦАТЬ ДЕВЯТАЯ
(Бесконечно малые деформации бесконечно тонкого первоначально цилиндриче-
ского стержня. Изгиб и кручение в -случае изотропного и ненапряженного стерж-
ня. Изгиб напряженного стержня. Метод Гравезанда определения коэффициентов
упругости проволоки. Изгиб горизонтальной проволоки от собственного веса.
Продольные и крутильные колебания стержня. Поперечные колебания ненапря-
женного стержня. Поперечные колебания слабо напряженной и сильно напря-
женной струны)
§ 1
Теперь исследуем дальше равновесие и движение бесконечно тонкого
цилиндрического стержня в предположении, что смещения его частей
бесконечно малы, следовательно, что р, q, г бесконечно малы. Сперва мы
будем иметь в виду случай, когда стержень находится в равновесии и на
его части силы не действуют. Тогда будут иметь место уравнения (34)
предыдущей лекции. Так как изменения девяти косинусов аь ... по
всей длине стержня бесконечно малы, то в них можно рассматривать тд
и у2 как постоянные, полагая, что сами они конечны, так что отклонения
частей стержня от направления силы не бесконечно малы. Этот последний
случай мы пока исключим. Тогда мы можем положить
Т1Г = А, у2Г = В,
причем мы понимаем под А и В постоянные. Вследствие этого при пренеб-
режении бесконечно малыми высшего порядка указанные уравнения будут
d dG D d dG . d dG n ,,.
- D, = — A, = U, (1)
ds dp-------------------------------------------------------ds dq-ds dr
и эти уравнения справедливы также, какова бы ни была система коорди-
нат tj, £, хотя уравнения (34) предполагают определенное направление
оси £. Мы убедимся в этом, если заметим, что величины р, q, г по своему
значению не зависят от системы осей т), £, так же как коэффициенты,
входящие в функцию G. Интегрированием этих уравнений получим р, q, г
выраженные как линейные функции з, содержащие три произвольные
dG dG
постоянные; их можно определить по значениям, которые имеют —, — ,
др dq
, т. е. моменты Мк, Му, М2 на одном конце стержня. Оси g, г), £ мы
выберем так (что возможно), чтобы направление осей х, у, г всюду беско-
нечно мало отклонялось от их направления. Тогда а1; р2> Тз будут беско-
нечно мало отличаться от единицы и а2, а3, р3, Pj, Т2 будут беско-
нечно малы. Поэтому из уравнений
da3
— p--a2-~--
ds
da3
ds
da,
r = a, —i
2 ds
'2 ,
ds
1 ds
'2 "7~
ds
+ Т2
+ Т1
+ Т2
ЁТ3
ds
dy3
ds
^Ti
ds
354
следует, что
iWa ц_________ da3 r________ j£3i
ds ds ds
Приняв во внимание уравнение (12) предыдущей лекции и заменив рд
на ф, получим
_________d+ _ d2| dij)
ds2 ’ ds2 ’ ds
(2)
Интегрируя эти уравнения, мы найдем g и т] как функции третьей
степени, а ф — как функцию второй степени s. Тогда и т] определят
изгиб, а ф — кручение стержня. Мы сделаем рассматриваемый случай более
частным, предположив, что вещество стержня изотропно, но сечение его
оставим неопределенным. Обозначим определенный в конце § 3 двадцать
седьмой лекции коэффициент упругости, т. е. величину
2£
через £; положим
1 +зе
1 + 20 ’
(3)
и воспользуемся тем, что оси х и у были выбраны так, что
^xdxdy — Q, ^ydxdy^=Q, ^xydxdy = Q.
Исследование, подобное произведенному в начале § 6 предыдущей
лекции, позволит найти F и G. Величина, обозначенная там через иа0,
должна содержать множитель г. Пользуясь этим, найдем
F - — (*# + *2P2 + pr2 + Хо2), (4)
где р — постоянное, которое для случая круглого сечения стержня равно
1 + 26 + -л2 .
1 + 36 2
для поперечных сечений другой формы р равно этому выражению, умно-
женному на числовой множитель, который для эллиптической формы
можно легко найти с помощью вычисления, произведенного в § 3 преды-
дущей лекции. Из (4) следует далее, что
G ------(>М2 + х,р2 + рг2).
Поэтому уравнения (1) дадут
Е%2 -р- = —В, Ек1 ~q- А, == 0.
ds ds ds
Пусть для двух концевых сечений стержня s = 0 и s = /, причем I поло-
жительно. Тогда А и В можно определить как суммы компонент по осям
х и у внешних сил давления, действующих на конец стержня s = 0.
Вместо А и В введем суммы соответственных компонент внешних давле-
ний, действующих на другой конец стержня. Обозначим их через X' и У';
тогда получим
Д = —X', В = —У',
и, следовательно,
£х2 = У', £хд - = — X', — = 0.
ds ds ds
23‘
355
Проинтегрируем эти уравнения и выразим постоянные интегрирования
через моменты внешних сил давления, действующих на конец s = I, отно-
сительно соответствующих этому концу осей х, у, г. Обозначим эти мо-
менты через М'х, М', Mz, тогда для s = I, на основании уравнений (33)
предыдущей лекции, получим
Еп2р = М'х, Eu-yq = М'у, Ерг = Л4'_
Отсюда для других значений s следует
Екър = М’х — Y' (/ — s), Extf = М'у + Х’ (I — s), Ерг = M'z.
Отсюда, при подходящем выборе системы координат g, л, при помощи
уравнений (2) получим
Еп& = -- Гх' ( I — -М + М'}, Е%2т) = — ГГ' (l — -М — М’
1S 2 [ \ 3 / »] 2 L \ 3 /
Ерф = /Vi's.
На двух первых уравнениях основан часто применяемый способ
определения коэффициента упругости Е при помощи измерений изгиба
стержня. Когда коэффициент упругости найден, третье уравнение позволяет
определить постоянное 9, входящее в выражение р, если произвести
измерение кручения стержня. Пуассон высказал предположение, что для
всех тел, какие мы здесь рассматриваем, в должно быть равно
1
2
Это
предположение не может быть с уверенностью ни доказано, ни опроверг-
нуто, потому что ни для одного тела нельзя с уверенностью утверждать,
что оно однородно и изотропно.
§ 2
В предыдущем параграфе мы исключили случай, когда направление
частей стержня с точностью до бесконечно малых отклонений совпадает
с направлением силы, которую в предыдущей лекции мы обозначили
через Г. Теперь мы рассмотрим этот случай. При этом мы воспользуемся
принципом возможных перемещений и будем исходить из уравнения (4).
Для р, q, г мы возьмем их значения из (2). Чтобы получить выражение
для о, положим
ь = s+ (О,
где ® обозначает бесконечно малую величину. Так, по определению о,
данному уравнением (11) предыдущей лекции, имеем
\ as I \ as ) \ ds /
и отсюда следует (если мы оставим не определенным отношение, в кото-
ром находится между собой порядок бесконечно малых величин g, л. ®), что
+ (5)
ds 2 L \ ds ) \ ds / J
Следовательно, выражение работы, производимой силами, обусловленными
деформациями, при которых перемещения g, т), о>, ф получают прираще-
ния 6g, бг], 6ю, 6ф, т. е. выражение
i
ds,
О
356
где 0 и I взяты как значения s, соответствующие концам стержня, вслед-
ствие уравнений (4), будет
d?l d26g
1 ds2 ds2
d2t] d26r) , dip ddt|:
ds2 ds2 P ds ds
о
/ d6a> i dS, ddE,
\ ds ds ds
dt] d&t]
ds ds
Интегрированием по частям это уравнение можно привести к виду
— Е I ds Гхг — — Л. — (о —) "I 6g —
J L ds* ds \ ds J J
(6)
Наложим на вариации 6g, бт), б — , б — , б®, 6ф ограничение, что
ds ds
для s — 0 они обращаются в нуль, и составим выражение для работы силы
давления, действующей извне на концевое сечение стержня, для которого
s = I. При помощи выражения (24) и уравнений (18) и (19) пятой лекции,
а также уравнения (12) предыдущей лекции, мы найдем эту работу,
которая будет равна
£X'6g + У'бг] +rZ’te - <б + <6 + М'бф, (7)
х ds у ds
где вариации взяты при s = I, величины X', У', М’х, М" Л4' имеют те
же значения, как в предыдущем параграфе, и Z' означает сумму компонент
по оси z той силы давления, к которой относятся предыдущие буквы.
Условием равновесия будет условие, что сумма выражений (6) и (7)
должна обращаться в нуль при произвольных значениях входящих в нее
вариаций. Получающиеся отсюда уравнения содержат результаты, анало-
гичные выведенным в предыдущем параграфе для изотропного стержня,
но в более общем виде, так как охватывают исключенный там случай.
Для кручения ф здесь получим то же выражение, которое было най-
дено ранее. Далее следует, что о постоянно и определяется из уравнения
£Хо = Z'. (8)
С помощью этого значения о каждая из величин g и л, определяющих
изгиб, может быть вычислена из соответствующих дифференциальных
уравнений и граничных условий. Далее, из уравнения (5) можно найти
d<o
-j— и, если принять, что м обращается в нуль одновременно с s, опре-
делить само со.
Дифференциальное уравнение для g будет
£Х1 _ Z’ = 0. (9)
ds* ds2
357
К нему добавляются граничные условия, при которых для s = 0 должно
быть
S = 0, 4” = ° <1у)
ds
и для s — I
Ек^ = М’, Еп^ —Z’ = (11)
ds2 « 1 ds3 ds V ’
Если Z' не бесконечно велико по сравнению с X', то второй член
левой части последнего из этих уравнений бесконечно мал по сравнению
с правой частью; тогда указанное уравнение примет вид
ЕХ1—— X'.
ds3 '
гл
Из предположения, что ---- и - — величины одного и того же порядка,
ds3 ds
следует также, что Z' бесконечно мало сравнительно с £Х1, а отсюда
следует, что уравнение (9) примет вид
= 0.
ds4
Таким образом мы получаем то самое значение для g, которое было
выведено в предыдущем параграфе.
Для т] можно провести то же самое рассуждение, что и для
§ 3
Чтобы применить выведенные в предыдущем параграфе более общие
формулы для изгиба к частному примеру, мы займемся способом опреде-
ления коэффициента упругости, предложенным Гравезандом и очень удоб-
ным для тонкой проволоки. Способ состоит в следующем: между двумя
зажимами натягивают горизонтально проволоку, к середине ее привеши-
вают груз и наблюдают понижение середины. Половину этой проволоки
мы можем рассматривать как стержень, к которому относятся наши фор-
мулы; точку, в которой привешен груз, как конец s = 0. Ось g направим
по вертикали вверх. Тогда стержень будет находиться в плоскости g, £
при г) = 0; I будет равно половине длины стержня; £ — наблюдаемое
понижение для точки s = 0 и X' — величина привешенного груза. Здесь
М'а и Z' не заданы непосредственно, но для определения этих величин
мы имеем условие, что для s = I должно быть
= О И СО = (О ,
ds
где со' означает удлинение, которое получает половина проволоки вслед-
ствие натяжения между зажимами.
Положим
или, что по (8) одно и то же,
й2 = ~ о. (12)
Тогда уравнение (9) примет вид
dsi ds2
358
Интегралом этого уравнения, удовлетворяющим условиям (10) при s = 0,
будет
g = A(ehs — hs— 1) + B(e-hs + hs— 1),
где А и В — произвольные постоянные. Для них условия (11) дают
Exj/i3A (еы -ф e~hl) = hM'y — e^hlX’,
Ек^В (ehi + e~w) = /гМ' ф- еыХ',
между тем как из того, что —— для s = I обращается в нуль, следует, что
A (ehl — 1) -j- В (— е~м + 1) = 0.
Из этих трех уравнений получим
м ы ы ы
ЫГ(е2 +е 2)= — (е 2 — е 2)Х',
М_ _ Л/ _ й/
£xx/iM(e~2 + е 2 ) = — е 2 X',
hl hl hl
E^h3B(e2+e 2) = e’2X'.
Обозначим через g' значение g для s = l и положим для сокращения
hl
—- = р; тогда отсюда найдем
= ___1 еР~е~РУ из)
4Ezt р2 - р ер 4- е р /
Чтобы по этому уравнению вычислить коэффициент упругости Е, надо
еще определить р. Из (5) и (12) следует
Но
. „ %, ,, , I с / dt V ,
4р2 — = © I -)-------- \ —s- ) ds.
к 2 ds J
о
Х’12
ЬЕ*!
поэтому если введем в предыдущее уравнение из (13), то оно примет вид
4р2 -i- = со 7 +
3 1
2 е2Р + е~2Р + 4 - V — (е2р - е~2р)
(И)
Множитель при g'2 всегда положителен, о/ мы будем считать положитель-
ным. Отсюда следует, что если одна из величин со'/ и g'2 или они обе
бесконечно велики по сравнению с —- , то р должно быть бесконечно
большим. Это приблизительно осуществляется в случае, о котором идет
речь. Поэтому в первом приближении будем иметь
х’13 1 л 2 *1 ч । ?'2
4Ехх р2 % 2
359
следовательно,
£Xg'(«7 + -^) =Х73.
Если бы мы приняли во внимание члены следующего порядка малости,
то должны были бы воспользоваться уравнениями
Х'Р 1
4Ех± р2
1-------к 4р2 = и7 +
Р / А.
по второму из которых можно найти р, если в правой части подставить
вместо р его первое приближение.
Заметим еще следующее. Множитель при g'2 в уравнении (14) не
делается бесконечным ни для какого конечного значения р; отсюда сле-
дует, что если (£>'1 и g'2 бесконечно малы сравнительно с -^1-, то р дол-
жно быть бесконечно малым. Поэтому в этом случае уравнение (13) дает
= х’р
§ 4
Теперь мы приведем пример равновесия стержня, на части которого
действуют силы. Представим себе проволоку, натянутую горизонтально
между двумя зажимами, и найдем изгиб, который она претерпевает при
действии на ее частицы силы тяжести. f
Пусть ось g направлена вертикально вниз; обозначим через g тяжесть,
через ц. — плотность проволоки. Тогда из выражения (6) следует, что
Х1±1_Хо^1 = ^, — = о.
ds* ds2 Е ds
Если для концов проволоки s = I и s = — I, то для этих значений s
должно быть
g = 0 и — = О,
ds
и если со' означает удлинение, полученное половиной проволоки вследст-
вие натяжения, то
Эти уравнения можно трактовать совершенно так же, как те уравнения,
которые мы исследовали в предыдущем параграфе. Однако мы ограничим-
ся здесь рассмотрением только предельных случаев, когда Xj бесконечно
велико или бесконечно мало по сравнению с Ха (или по сравнению с Х/2а,
что то же самое, так как мы рассматриваем I как конечное).
Если х^ бесконечно велико по сравнению с Ха, то составленное для |
дифференциальное уравнение будет иметь вид
ds* Екг
d2t , d*^ „
в предположении, что —не бесконечно велико по сравнению с —. Этому
ds2 ds*
уравнению и четырем граничным условиям можно удовлетворить, полагая
g=^-(/2-S2)2.
24£х,
360
Величина хг будет бесконечно велика по сравнению с Ла, если "/й/ и £
бесконечно мала по сравнению с размерами поперечного сечения проволоки.
Если, напротив, одна из величин ]Л(о' и § или они обе бесконечно
велики по сравнению с размерами поперечного сечения, то хг будет беско-
нечно мало по сравнению с Ла, и дифференциальное уравнение для g
примет вид
d’-£ = __Н£
ds2 Еа
в предположении, что —®- не бесконечно велико по сравнению с .
Интегралом этого уравнения, удовлетворяющим условию, что для s = ±Z
значение g обращается в нуль, будет
§ = ^5(/2-s2).
xr di ,
Условие, что для концов проволоки —— также обращается в нуль, здесь
ds
. , di,
выполнено быть не может; бесконечно близко к концу проволоки -
ds
изменяется бесконечно быстро, бесконечно велико вблизи конца по
d2E
сравнению с — , и упрощенное дифференциальное уравнение непригодно.
ds2
Для определения а получим уравнение
а = у_ + лт
I <з \ Е<з )
§ 5
Следующие рассуждения будут относиться к колебаниям бесконечно
тонкого стержня. Мы ограничимся случаем, когда колебания бесконечно
малы и стержень первоначально был прямой и изотропный. Нетрудно
найти дифференциальные уравнения движения с помощью принципа Гамиль-
тона из выражений (6) и уравнения (27) предыдущей лекции. В последнем
надо прежде всего принять во внимание, что, основываясь на изложенных
выше предположениях, по уравнению (25) предыдущей лекции будем иметь
R = -^,
dt
или, если мы опять введем ф вместо
Далее, положим по-прежнему
С = S + и
и введем определяемые уравнением (3) постоянные хт и х2; тогда указан-
ное уравнение примет вид
т - f Н В Г+(vr+
Отсюда получим для
<5\ 'Г dt
361
следующее выражение:
— yl^dsdt б^ + ^-бп + ^б®) —H(x1 + x2)^dsd/^6i|3, (15)
если для границ времени положим вариации 6g, бп, 6®, бф равным нулю.
Исследуем частные случаи. Сперва мы примем, что стержень при своем
движении остается прямым, т. е. положим
g = 0 и п = 0.
Так как по (5)
то принцип Гамильтона приводит к дифференциальным уравнениям
д2ш Е д2а>
dt2 ц ds2
и
32ф __ Ер
dt2 ц (Xi + z2) ds2
Первое из них определяет продольные колебания, второе — крутильные
колебания стержня. Оба они одинаковой формы (формы, которую мы уже
рассматривали в двадцать третьей лекции). Они представляют волны,
которые распространяются с постоянной скоростью частью в том.направ-
лении, в котором s возрастает, частью же в противоположном. Скорость
распространения продольных волн равна
/I-
крутильных
тЛ-----------
V Ц (*! + Х2)
Вследствие как продольных, так и крутильных колебаний стержень
может давать простые тоны. Легко вычислить соответствующее им число
колебаний и положение узлов. Достаточно будет показать это для про-
дольных колебаний, так как крутильные отличаются от них только другим
значением скорости распространения. Представим дифференциальное урав-
нение движения в виде
д2о> о 32ш
— = а2 — ,
dt2 ds2
причем через а мы обозначим скорость распространения продольной волны,
и положим
® = и sin 2mt,
где и будет функцией одного переменного s; тогда п есть число колеба-
ний тона. При этом для и получим обыкновенное дифференциальное
уравнение
d2u /2лп\2
ds2 \ a )
его общий интеграл будет
. . 2лп . п 2лп
и = A sin — s + В cos — s,
а а
где А и В — произвольные постоянные. Теперь надо различать три случая:
случай двух неподвижных концов, двух свободных концов и случай, когда
362
один конец неподвижен, а другой свободен. Для неподвижного конца
всегда будет
ю = 0, следовательно и = 0;
для свободного, как это вытекает из выражений (6),
— 0, следовательно — = 0.
ds ds
Пусть будет для концов стержня
s = 0 и s = I.
Если оба конца неподвижны, то мы удовлетворим требуемым для и усло-
виям, полагая
где h — целое число. Если оба конца
свободны, то имеем
и = В cos
2лл
-----s,
а
причем п имеет то же значение. Если первый конец неподвижен, а второй
свободен, то
и = A sin 2лп s, п = (21г — 1) —.
а 41
При каждом из этих колебаний имеются точки, для которых и =0 и
которые, следовательно, остаются в покое; такими точками являются узлы.
Для них в трех различных случаях при k, равном целому числу, имеем
§ 6
Теперь отбросим предположение, что стержень остается прямым, но
предположим, что ф и ц равны нулю. Совершенно так же можно тракто-
вать случай, когда ф =0 и § =0.
Из выражений (15), (16) и (5), при применении принципа Гамильтона,
следует, что
dt2
е45._£1(««1=о,
X ds* ds \ ds /
32ш г, 3s п
ц--------Е------=0,
dt2 ds
(16)
да . _1_ / 3g V
ds 2 \ 3s /
363
К этому надо добавить условия для [концевых сечений стержня s = 0 и
s = Z, которые должны быть взяты из выражения (6). Мы получим част-
ное решение этой задачи, если положим
и =0 и о =0.
При этом для § мы получим из (16) дифференциальное уравнение в част-
ных производных
Для свободного конца по (6) должно быть
^=0 и ^=0,
ds2 ds3
а для конца, который закреплен так, что не может ни отклоняться, ни вра-
щаться, должно быть
g=0 и —’-=0.
ds
Допустим, что стержень дает простой тон с числом колебаний п, и
положим
I = и sin2nnZ,
(17)
где и означает функцию s, которая удовлетворяет дифференциальному
уравнению
d4u
ds*
= (2лп)а и.
Etc,
Введем постоянное р, определяемое уравнением
и^(2я/г)2= (18)
Exj. \ I )
тогда общий интеграл последнего уравнения будет
ps ___________________________________________ ps ps ps
л Ps । n ps , ,y e 1 -4- e 1 , гу e 1 — e '
и — A cos ——h В sin ——h C-----—----------k D----------
I I 2 1 2
где А, В, C, D — произвольные постоянные. Четыре граничных условия
определяют три из них и дают для р трансцендентное уравнение, корни
которого, принимая во внимание (18), показывают, какие значения может
принять число п.
Если конец s =0 свободен, то два условия, подлежащих выполнению,
дают
С = А и D = В;
следовательно,
ps
cos —
I
и =
ps ps
+ B sin-^ + e---e~^-
I 2
(19)
Если свободен также конец s = I, то должны выполняться уравнения
. Г ер + е ₽ "] । о Г е₽ —е р 1 л
Д —z:--------cos р -ф В \--------------sin р =0,
L 2 J L 2 J
Г рР — р Р ”1 Г р Р - р Р *1
А -----------j- sin р + В ---------— cos р =0.
364
Они определяют отношение А: В и дают для р уравнение
ер+е~р п V
-------- — cos р
2------/
2
+ sin2 р =0,
ер + е р
2
т. е. уравнение
cos р
ер + е~р
2
Корнями этого уравнения будут значения х, соответствующие точкам пе-
ресечения кривых, уравнения которых суть
2
у = COS X и у =-----------.
ех + е~х
Исследование этих уравнений показывает, что р =0 есть четырехкратный
Зя
корень; ближайший больший корень несколько больше, чем — ; следую-
5л 2 ,
——, и так далее, причем корни тем больше
кратному -у-, чем выше их порядок. Ве-
бесконечной продолжительности колебания,
щий несколько меньше, чем
приближаются к нечетному
личина р = 0 соответствует
никакого тона. Для сильнейшего тона стержня,
приблизительно будет -у-, т- е- Р =4,712.
более точное приближение, если вычислим р из
следовательно, не
для его основного
Мы получим
уравнения
дает
тона,
для
него
2
cos р = --------------
зх зп
из которого получается р == 4,730. Поступая подобным образом, мож-
но найти все корни рассматриваемого уравнения с любой степенью точно-
сти.
Узлы определяются из уравнения
и =0,
которое, если положим
S
— — х,
/
будем иметь вид
/ е₽_е-₽ . \ ( ерх + е~рх , \
---2------SHI р) -------------hcospxj =
/ ер + е~р \ /еР*_е-₽* . \
= -----9-----cos р ] ---------н Sin рх .
\ z / \ * /
По вычислениям Штрельке* значения х для первых тонов таковы
Тон 1 Тон 2 Тон 3
0,2242 0,1321 0,0944
0,7758 0,5 0,3585
0,8679 0,6415 0,9056
Если конец s = I неподвижен, в то время как конец s = 0 свободен,
* Dove’s Repertorium der Physik, III, 11C.
365
то уравнение (19) также имеет место, но для определения А: В и р по-
лучим
. / ер + е~р \ ,, / ер — е~р . \ п
Д / - — + cos р I + В 1--------------И sin р I =0.
/ рР _ a Р \ / рР _1— Р & \
А (---------— sinp j + В (— -----------1- cosp 1 0,
откуда следует, что
корень этого уравнения несколько больше, чем
несколько меньше, чем , ближайший
2
5л „
— , и т. д. Для узлов, полагая опять
е'рх \
-----Ь cos рх =
-е~рх , • )
—-------4 sin рх .
Меньший положительный
(точно 1,375); следующий
следующий несколько больше
5
- - — х, получим
ер + е~р .
—----+ sir ,
\-----------------------2 / ( 2
/ ер + е~р \ j ерх
-- I ---+ cos Р ) (---
Рассмотрим еще случай, когда конец s = 0 свободен, а концу s - I
сообщено некоторое периодическое движение. Пусть будет для s = I
t-a sin 2nnt, --^= В sin 2ant,
ds
(20)
где a, 3 и n — данные постоянные. Тогда мы удовлетворим дифферен-
циальному уравнению для g в частных производных и соответственным
для s =0 граничным условиям, взяв уравнения (17) и (19), если вычислим
р из (18). Условия, поставленные для s =/, дают
/ еР -I „р , / еР _ ~р \
<х =--- А [-— л- cos р] -L В ( — - + sin рj ,
I п л/е₽ — е Р • \ . о I е₽ + е Р I \
— 3 = Д /------------sin р j -г в -Т----4 cos pj ;
эти два уравнения, вообще, вполне определяют А и В. Только когда оп-
ределитель коэффициентов при А и В обращается в нуль, т. е. когда р и
п соответствуют одному из простых тонов, издаваемых стержнем со сво-
бодным и заделанным концами, А и В будут неопределенны (если при
этом отношение a: 3 имеет некоторое определенное значение) и бесконечны
при других значениях этого выражения.
Подобным же образом можно трактовать случай, когда вместо урав-
нений (20) для конца s == I существуют уравнения
Е •= a! cos 2wiZ, = 3' cos 2nnt.
ds
Полагая § равным сумме этих выражений, мы будем знать движение
стержня в случае, когда для s = I
£ a sin 2nnt 4- a' cos 2nnt,
-- = 3 sin 2nnt 4- 3' cos 2ant.
ds
366
§ 7
Теперь мы будем искать частные решения уравнений (16), при которых
и и а не обращаются в нуль и которые относятся к поперечным колеба-
ниям струны. Струной называется натянутый стержень, поперечные раз-
меры которого достаточно малы даже сравнительно со смещениями его
частей. Во втором члене первого из уравнений (16) встречается множитель
—1 ; этот множитель порядка поперечного сечения. Мы будем предпола-
гать, что поперечное сечение так мало по сравнению с имеющимися сме-
щениями, что названный член бесконечно мал по сравнению с третьим
членом этого уравнения. Тогда уравнения (16) примут вид
= hl. 2.L । а
Е dt2 ds ds ds2
|i 32ш ds
iT ht2~ ~ ~ds~ ’
3(0 . 1 / 3g \2
0 —-------L „— /-----I
ds 2 \ ds J
К этому мы добавим условия, что
для s =0, § =0, й=0,
s = I, % —0, (о = со',
(21)
где (о' — постоянное. Эти данные показывают, что оба конца стержня
закреплены; значение <о' определяет натяжение, которое дано струне.
Мы будем искать только такие движения, при которых беско-
нечно мало по сравнению с
32Е
—При таком предположении
вых уравнений (21) следует, что бесконечно мало по
3s
из двух пер-
сравнению с
35 3g , 32g 3s 3g x За
5—1_ q —; но если бесконечно мало по сравнению с —,
3s 3s ds2 ds ds ds
to a—- должно быть бесконечно велико по сравнению с ------------ и тем бо-
ds2
лее бесконечно велико по сравнению
бесконечно мало по сравнению с
За
ний (21) будет
3s
За 3g п
—-. Поэтому первое из уравне-
3s 3s
1L= а
Е dt2 ds2 '
(22)
гл д'5 < 32g
Из того, что -----бесконечно мало по сравнению с ст——, следует, что
3s 3s2
тем более бесконечно мало по сравнению с ст, поэтому ст не зависит
3s
от s. Таким образом из третьего уравнения (21) имеем
и, следовательно, по (22)
JL = Г^_ + 1 С ( У js]
Е dt2 [ I 21 ds ) J ds2 ‘
0
367
Это уравнение существенно упрощается, если натяжение струны доста-
точно велико, именно, если со' настолько велико по сравнению с что
можно пренебречь вторым членом (по сравнению с первым) в множителе
при Прежде чем перейти к ближайшему рассмотрению этого случая,
мы выведем некоторые частные решения уравнения (23), которые при-
годны, как бы ни было мало натяжение.
Положим
„ • ms
Ё = и sin------л
I
где т — целое число, и — неизвестная функция от t. При этом те усло-
вия, которые должны быть выполнены при s =0 и s = I, будут удовлет-
ворены. Мы удовлетворим также уравнению (23), если определим и из
дифференциального уравнения
d2u / тл V Е Г со' . /тл\2 „
--- = — ---- — и --------- 4- --- и2
d/2 ( I J р. [_ I \ 21 )
(24)
Его общим интегралом будет
и = a cos am h (t — modx,
где а и ta означают два произвольных постоянных, h. и х — два постоян-
ных, которые известным образом зависят от а. Действительно, при таком
предположении получим для и
--- = ft2w Z 1_2х2 + \ •
d/2 \ Я2 )
это уравнение отождествим с (24), если положим
2^2___ т2л2а2
т2л2а2 +4/ш' ’
/г2 = ———— (т2л2а2 4-4/со').
43 ц
§ 8
Обратимся к исследованию случая, о котором было уже упомянуто,
когда натяжение струны так велико, что вторым членом множителя при
—=- в уравнении (23) можно пренебречь. Тогда это уравнение примет вид
3s2
32g _ £ со' д2?
dt2 p. / ds2
К этому добавляются условия, что для s =0 и s = I | обращается в нуль.
Такое дифференциальное уравнение мы рассматривали неоднократно,
последний раз — при исследовании продольных и крутильных колебаний
упругого стержня. Среди рассмотренных там случаев находится также
случай, в котором должны быть выполнены такие же граничные условия,
как и здесь; определенное уже частное решение, а также все, что было
сказано о возможных простых тонах и соответственных узлах, годится и
здесь. Из указанных там частных решений мы составим теперь более об-
щее для поперечных колебаний струны. Чтобы несколько сократить фор-
мулы, введем такие единицы длины и времени, чтобы I = л и продолжи-
тельность простого колебания при основном тоне была равна л. Тогда
одним частным решением будет
§ = sin mt sin ms,
368
другим
g — cos mt sin ms,
где m означает любое положительное целое число.
Поэтому решением будет также выражение
g = 2 (Ат sin mt 4- Bm cos mt) sin ms,
где Am, Bm — произвольные постоянные, и сумма взята по т от т =1 до
т — ос. Этому решению можно придать такой вид, чтобы § и при
dt
t ~ 0 для всей струны были произвольными заданными функциями s.
Полагая, что для t =0 будет иметь место
-^- = U',
dt
где U и U' — функции s, которые произвольно заданы в интервале от
s =0 до s == л, мы тем самым требуем, чтобы для этого интервала было
и = ^Вт Sin ms,
U' = 2 тАт sin ms. ' '
Предполагая, что функции U и V могут быть представлены в таком
виде, мы легко можем найти значения постоянных Ат и Вт (если т и
т' — два различных целых числа):
Л
sin ms sin m's ds ~ 0,
0
и если m — любое целое число, то
Л
\ sin2 msds — —.
J 2
о
Это предложение легко доказать, воспользовавшись соотношениями
2sin ms sin m's = cos (m — m') s — cos (m + m') s,
2sin2 ms = 1 — cos 2ms.
С помощью этого предложения найдем из (25), что
Л
2 (*
Вт = — \ U sin ms ds,
л i
о
л
тАт = — \ Ur sin ms ds.
п J
о
Дирихле* впервые строго доказал, что U и U' всегда могут быть пред-
ставлены таким образом, причем он показал, что бесконечный ряд (так
называемый ряд Фурье)
2 Ст sin ms,
в котором коэффициенты определены из уравнения
2 С
Ст~ — I f(s) sin ms ds,
л J
* Dove’s Repertorium der Physik, I, 1952, Crelle’s Jourmal, B(i. IV, S. 157.
24 Г. Кирхгоф
369
сходящийся, если f(s) означает произвольную функцию s, всюду одно-
значную конечную и непрерывную для всех значений s между Ойл.
Найдем еще и другое решение рассмотренной задачи о колебании струны.
Оставим принятые единицы длины и времени прежними, т. е. положим
опять длину струны и продолжительность простого колебания основного
тона равными л; тогда дифференциальное уравнение для перемещения £
примет вид
52g дЦ
дР ’
и его общим интегралом будет
I — ф (t + s) 4- ф (t — s),
где ф и ф — две произвольные функции указанных аргументов. Из усло-
вия, что для s =0 переменное g всегда обращается в нуль, следует, что
о = ф(О + Ф(О.
поэтому
g = ф(/+ s) — ф(г — s);
из условия, что для s = л всегда будет g =0, следует, что
Ф {t -f- л) = ф {t — л)
или
Ф(х +2л) = ф(х),
т. е. ф есть периодическая функция с периодом 2л. Отсюда можно будет
определить ф и, следовательно, g, если будет найдено ф для интервала
от х — — л до х = + л. Но для этого необходимо знать начальное состо-
ние струны. Пусть опять для t =0 будет
g = U, =
dt
где U и U'—функции s, которые заданы в промежутке от s =0 до
s = л. Тогда для этого интервала должно быть
U = Ф(5) — ф(— s), U’ = ф' (s) — ф' (— s),
где ф' — производная ф, взятая по аргументу. Умножая последнее
уравнение на ds и интегрируя его, мы получим
U' ds = ф (s) + ф (— s),
где нижняя граница интеграла есть произвольное постоянное; и далее
Ф (s) = — U 4—— U' ds,
2 2 t)
= ±-\U'ds.
Этими уравнениями ф (s) определено для интервала от s = — л до s =
= +л, а также и в общем случае, с точностью до аддитивной постоян-
ной. Значение последней, однако, не влияет на значение g, так как g
равно разности двух значений ф.
ЛЕКЦИЯ ТРИДЦАТАЯ
(Равновесие и движение бесконечно тонкой, первоначально плоской, изотропной
пластинки. Расширение малой части пластинки. Потенциал сил, производимых
расширением. Бесконечно малая деформация. Равновесие при предельных пере-
мещениях. Дифференциальные уравнения поперечных колебаний свободной пла-
стинки. Интегрирование последних для круглой пластинки. Поперечные колеба-
ния напряженной мембраны)
§ 1
Исследования, подобные приведенным в последних лекциях относительно
бесконечно тонкого упругого стержня, могут быть применены к бесконечно
тонкой упругой пластинке. Равновесием и движением такой пластинки мы
и займемся теперь, но при этом будем иметь в виду только тот случай,
когда пластинка в естественном состоянии будет плоской.
В среднюю плоскость пластинки, т. е. в плоскость, находящуюся по-
средине между параллельными наружными поверхностями, введем, при
естественном состоянии пластинки, прямоугольную систему координат и
обозначим через Sj и s2 координаты относительно этой системы точки Р
средней плоскости. Далее мы представим себе три линейных элемента 1,
2, 3, выходящих из точки Р, из которых два первых параллельны осям
Sj и s2, а третий к ним перпендикулярен. Мы примем, что после дефор-
мации пластинки эти три линейных элемента определяют оси прямоуголь-
ной системы координат, к которой мы будем относить точки, лежащие
вблизи Р. Предположим, что точка Р будет началом координат, линейный
элемент 1 будет лежать на оси к, и плоскость элементов 1 и 2 образует
плоскость х, у; тогда последняя будет касаться в точке Р искривленной
деформацией средней плоскости, ось у образует бесконечно малый угол с
элементом 2, ось же z— бесконечно малый угол с элементом 3. Пусть
относительно этой системы координат х + и, у + v, z -ф- w будут коорди-
натами материальной точки пластинки после деформации, в то время как
х, у, г будут координатами той же точки относительно той же системы
координат в естественном состоянии пластинки, когда линейные элементы
1, 2, 3 совпадают с осями х, у, z. Тогда и, v, w будут такими функци-
ями X, у, Z, ЧТО ДЛЯ X =0, у =0, Z —0 должно быть
а п а до п dw п dw п 45
и =0, п=0, w =0, -------=0, ------=0, - - =0. (1)
дх дх ду '
Далее, пусть g, ft, g будут по-прежнему координатами точки Р после
деформации относительно произвольной неподвижной в пространстве сис-
темы координат, и а1( р1( ft, а2, 02, ft, а3, Зз, Тз — косинусы углов, образуе-
мых осями х, у, г с осями g, г), g, так что индексы 1, 2, 3 соответст-
вуют буквам х, у, z, буквы а, 3, у соответствуют буквам g, ft, g. Отно-
сительно системы (grig), координаты материальной точки, характеризуемой
значениями -ф х, s2 + у, z, после деформации будут
5 + ai (х + и) + а2 (У + и) + аз (z + w)>
Л + Pi (х + и) + ₽2 (у + п) + Рз (z -ф w), (2)
& + Ti (х + и) -ф ft (у + и) -ф- Тз(* + оу).
24*
371
Эти величины будут функциями Sj + х и s2 + у, и потому их производ-
ные по х будут равны производным по s1( и их производные по у — про-
изводным по s2. Таким образом мы получим две следующие системы урав-
нений:
. du \ , dv . dw du , dv .
b ~ - + «2 —---------h «3 - — al -— + «2 ——' + «;
dx j dx dx asj osj
+ (x + u) 4- - “2 (y 4- v) -j- -^“3 (z + w).
C/Sj C/Sj OS± OSL
I du 'l ' R dv _l_ R dw — R du _l_ R dv _l_ R
+ - I T P2 "4---------Г Рз — ~ — Pl —-------j- p-2 ----Г Рз
dx / dx dx dsL ds±
+ -*1- + (x + «) 4- (У + v)+ (z+ ^)-
0$! dsi 0S1 dSi
, du \ . dv , dw du . dv . dw
T -- + T2 — + Тз - = Ti - - + Тг -----------------------F Тз ~
dx J dx dx ds± dst dsx
(У + v) + 5"3 (Z + w),
vSi uSj
4L 4.
dst
ди
ds.
ди
ds.
dw
dsL
dw
5sj
(3)
и
du , i , , dv \ , dw du , dv , dw
ai --F «2 1 + —- + a3 — — — al - - 4- a2 "7 F «3
dy \ dy ) dy ds2 ds2 ds2
+ (* + “) + 42 (У + «) + T (z + “»)>
ds2 ds2 ds2 ds2
.s-‘”=h +₽, 4+p,
dy os2 ds2 os2
)+ 4₽2 (y 4-v) +-J4z + ai),
ds2 ds2
du . f 1 t dv \ . dw du . dv . dw
Tj — + Г2 1 + -- + Тз , = Ti 4- + Тг — + Тз , -
dy \ dy / dy ds2 ds2 ds2
+ -5 + ?’ (*+")+ ^’ to + ») + -? to + *
ds2 ds2 ds2 uSj
р1-й“- + ₽а( 1+-
dy \ а
+ 1г + _a3i
ds2 ds2
Уравнения каждой из этих систем умножим на аь [Jj, Ть потом на
аа, ₽2» Тг» потом на а3, Зз, Тз и каждый раз сложим их. При этом положим
(4)
гт ан ап at
Но —- : - : — - можно рассматривать как отношения косинусов углов,
as, asj dsi
которые образует после деформации линейный элемент 1 с осями ц,
и так как этот линейный элемент и после деформации совпадает с осью
X, то
dsx dst dst
Отсюда следует, что
4- =«1(1+00, iL^Ml+oO, A-=T1(1 + <T1). (5)
uSj ds± ds^
Обозначим через (2,g) (2,ц), (2,£) углы, которые образует после деформа-
372
ции линейный элемент 2 с осями g, т), g; тогда получим
—- : — cos (2,g): cos (2,r]): cos(2,g),
ds« ds2 ds2
и потому
= (1+ <r2)cos(2,g), = (1+ (T2) cos (2,H), -J- = (1+ o2)cos(2,g).
os2 os2 ds2
Косинусы же углов, образуемых после деформации линейным элементом
2 с осями х, у, z, мы найдем из уравнений (7) десятой лекции, опираясь
на уравнения (27а) одиннадцатой лекции (в которых надо подставить и, v,
W вместо g, г), g), если пренебрежем величинами высшего порядка малости
по сравнению с выражениями расширений
ди
дУ
( dw \
I ду Jo
1,
о
п f ди \ f dw \ ди dw п г>
где ( - и ( - — значения - - и-------при х = у = z = 0. Второе
\ ду Jo \ ду /0 ду ду
из этих значений f dw- ) обращается в нуль по (1). Обозначим первое
\ ду о
через т, так что т означает бесконечно малый угол, на который отлича-
ется от прямого угла после деформации угол, образуемый линейными эле-
ментами 1 и 2; отсюда следует, что
cos(2,g) = а2 + ajT, cos(2,n) = ₽2 + Pit, cos(2,g) = у2 + Tit,
и поэтому ds2 — (a2 + aiT) (1 + °г),
Положим далее dr) ds2 Jg ds2 Pi = a3 Pi = ai = (₽2 + M(l+a2), (6) = (T2 +TiT)(l+ o2). v$i OSi aSi osj dsi
Г1 = a2 Pi = a3 P2 = ®i r2 = a2 _^1+p2^1 - + T2^ (7) vSj C/Sj^ C/Sj 5а, „ d[32 5y2 , + Рз , ' + Тз — , OS<£ 0$2 </$2 + H. T’ + T. -J’- uS% US2 m$2 «’ + p, + T, ; os2 ds2 os2
тогда уравнения, полученные таким образом из уравнений (3), примут вид
— = +<7i(z+№)-ri(y + 0+a1(
дх dsr
= Т" + ri + u) — Pi <z +
дх dsx
dw dw , , । , / । \
~ — ' + Pi (У + y) — Pi + u),
dx dsx
373
и
= + ?2 (z + ш) _ Г2 (у + V) + т (1 +
ду ds2
= ~Г~ + Г2 (х+и)~ Рг (Z + да) + 02.
ду ds2
dw dw , / , \ i , \
— = —- + Pz (У Н- V) — <?2 (х + «).
ду <9s3
Рассуждая так же, как для соответственных уравнений при исследо-
вании бесконечно тонкого стержня, мы убедимся, что эти уравнения мо-
гут быть упрощены следующим образом:
ди ~д7 = qiZ — riy+ Oi, du dy = q2z — r2y + t,
dv dv = r2x — p2z + g2
дх dw =- rrX — PiZ, dy dw
дх = Р1У — qix, dy = РгУ — q*x-
Но здесь возможно еще дальнейшее упрощение. Выведенные для --------и
дх
ди dv dv dw dw ,,
---, —• и -----, ----- и — выражения должны при дифференцирова-
ду дх ду дх ду
нии по х и у давать одинаковые функции, откуда следует, что
Г1 =0, г2—0, Pi + q2—0,
и, следовательно,
ди , _ ди . _
-—- = qiZ+Oi, v = “ Л2 + т>
дх ду
dv dv
— = — P1Z, ~~ = — p2Z + СГ2,
дх ду
dw dw
- - = Р1У — У1Х, — = р2у — PiX.
дх ду
Отсюда интегрированием найдем
и = и0 — pi yz + qyzx + Gix + ху,
v = v0 — p2yz — PiZX + o2y,
w = да0-----у- x2 + Pixy + у-У2.
где м0, v0, да0 — значения м, v, w при x =0 и у =0. Поэтому имеем
. dv0
Хх = qiZ +аъ Уг =
dz
Уу = — Рг? + <Т2, Zx= (8)
dz
Zz = х = —2piZ + т.
dz
Все эти величины независимы от х и у, поэтому тем же свойством обла-
дают также компоненты давления Хх, Yy, Zz, Yz, Zx, Xy, и уравнения (8)
двадцать восьмой лекции примут вид
dX7 п d,Y п dZz
_±. =о, —— =0, —г- =0.
dz dz dz
374
Теперь допустим, что на обе стороны пластинки действуют давления, ве-
личины которых такого порядка, что они могут произвести в теле, все
размеры которого являются величинами одного порядка, только расшире-
ния, бесконечно малые сравнительно с теми, которые имеются в пластинке.
Тогда можно будет, вначале для поверхности пластинки, а потом на ос-
новании выведенных уравнений, вообще, положить
Хг=0, Уг=0, Zz=0. (9)
При этом мы пренебрежем в выражениях расширений и потенциала вы-
зываемых ими сил (которое составим ниже) только членами, бесконечно
малыми по сравнению с удержанными.
Уравнения (9), в связи с условием (1), что для z =0 величины u0, vt,
w0 обращаются в нуль, приведут к определению ы0, v0, w0. Если вещество
пластинки изотропно, что мы будем предполагать, то эти уравнения будут
Хг =0, Уг =0, Zz + - (хх + У у) =0
1+ 6
или
duo a dvo a dwa 0 -г \
=0, --* = Т—- [(р2 —1/1)г — — сг2]
dz dz dz 1 + 0
и из (8) получим
хх = q±Z + (Tj, уг =0,
У у = — PiZ + а2, гх =0,
2г— -4- [(Рг — ?l)z— Ch — СГ2], ху => — 2pYZ + Т.
1+ и
Так как
f — — К Гх2 + у у + А. 4—Уг 4—— Zx 4—— хгу 4- 6 (x.v 4" У у 4-2 )2 I»
( Л (L Л J
то отсюда следует, что
f = — К 4- <h)2 4- (p2z — о2)2 4-(2piz — т)2 4-
4- —°- [(р2 — 71) г — — сь>]2| .
1+ о j
Определим уравнениями z — h и z - — h поверхность пластинки и поло-
жим
F = f dz\
—h
тогда будет
F = - 4 [4 + Р* +2Pi + ГГ7 - Р^] ~
3 |_ 14-0 J
—20 £ о2 4- сГг 4—~ т2 4- (ai 4- °г)2^ *
и интеграл
\>F dsYds.,,
распространенный по средней плоскости пластинки, будет потенциалом сил,
вызываемых этой деформацией. Шесть неизвестных величин а1; а2, т, plt
р2, qlf которые являются функциями от Sj, s2 и входят в выражение F,
могут быть все выражены через производные g, т}, £ по Sj и s2; ch и
о2 определяются уравнениями (4), т получим из уравнения
(1+О1)(14-О2)т = -^-^- + -^_Ёп_+_^ (10)
dst ds2 dst ds2 ds2 ds2
375
которое вытекает из уравнений (5) и (6), после перемножения и сложения
их; тогда из уравнений (5) можно будет найти аь рь а из уравнений
(6) найти а2, (32, Т2- Зная эти шесть косинусов, можно будет вычислить по
известным формулам а3, (З3, 73. Наконец, уравнения (7) позволят тогда
определить через sx и s2 функции Pi, р2, qr.
Если пластинка получит конечное искривление, то при вычислении
формы, которую она может принять, вместо уравнений (4) и (10) вос-
пользуемся следующим уравнениями (так как ах, а2, т бесконечно малы)
/ 5g V , / 5Ч V , / д? \2 1
- — + - — + ---------- =1,
\ 5s, / \ 5sj ) \ dsY )
5s2 /
5g 5g 5n
5sj ds2 dsj
31L Д- JL =o
5s2 5sx 5s3
которые показывают, что o1( <т2, т обращаются в нуль, т. е. что элементы
средней плоскости не претерпевают деформации.
Поверхность, удовлетворяющая этому условию, называется разверты-
вающейся поверхностью46. Чтобы найти зависимость между формой плас-
тинки, силами и давлениями, которые должны действовать на пластинку
так, чтобы было равновесие, можно исходить из принципа возможных пе-
ремещений. Также и при этом можно принять <г2 и т равными нулю,
потому что при таком предположении можно удовлетворить уравнению,
определяющему принцип возможных перемещений. Поэтому в случае плас-
тинки с конечным искривлением можно написать
F =-----1 К/г3 к? + pl +2р[ + -2 й (?1 - рУ\.
з L 1+ ° J
Мы не будем подробно рассматривать этот случай, но сошлемся на книгу
«Теория упругости твердого тела» Клебша, в которой впервые исследо-
вана конечная деформация бесконечно тонкой пластинки.
§ 2
Если пластинка искривлена бесконечно мало, то надо будет найти
бесконечно малые перемещения точек средней плоскости, причем здесь
уже нельзя пренебречь величинами а1( сг2, т. Определим теперь для этого
случая выражение F, введя вместо sr и s2 обозначения х и у.
Выберем систему осей £, г), £ так, что £ бесконечно мало, g бесконечно
мало отличается от х, л — от у, и положим
g = х 4- и, П = y + v.
Итак, мы предположили, что и, v и £ бесконечно малы по сравнению с тол-
щиной пластинки, т. е. по сравнению с h; это предположение существенно
потому, что из двух членов, из которых слагается F, один содержит
множитель /г3, другой только h. При таком предположении достаточно
принять во внимание в обоих членах только первые степени производных
и, v, Тогда уравнения (4) и (10) дают
ди ди ди . dv
Qi = --- , <4 =---- , Т =------j----,
дх ду ду дх
376
уравнения (5) и (6) дают
/У, 1 /УЛ . dv dt,
дх ’
₽i=4L> ₽2=1> дх Рз= - ду
dt, dt Y1 = - - , Тг = - ’ дх ду Тз = 1,
и, наконец, уравнения (7) дадут
d2t п, —• — д2^ Я1 = — - А-. дх2
- - > Г2 дх ду ду2 ’
Отбросим предположение, что и, v, £ бесконечно малы сравнительно
с hr, тогда для ръ р2 qlt которые входят только в член функции F, ум-
ноженный на й2, всегда можно взять выведенные выражения, но при
вычислении о1т о2, т, которые входят в член функции F, содержащий
множителем h, мы должны принять во внимание некоторые члены выс-
шего порядка. Пренебрежем в F только теми членами, которые бесконечно
малы по сравнению с удержанными, если положим
„ ди , 1 / dt, V
Qi = — н----------- - ,
дх 2 \ дх )
„ _ ди . 1 / dt V
<7 2 —------р - ----- . (11)
ду 2 \ ду ) ’
ди , dv , dt dt
Т =-------1-----Н - - •
ду дх дх ду
Вычислим работу, производимую силой, возникающей при расширении,
т. е. вариацию
6\\ F dxdy.
(12)
Она состоит из двух частей, из которых первая содержит множитель й3,
вторая — множитель й; развернем сперва первую часть. Она будет иметь
вид
-L. р.+ ny,
3 J д дх2 J \дхду } \ ду2 / 1+ 0 \ дх2 ду2 J /
(12а)
Каждый член этого выражения можно преобразовать так же, как и пер-
вый член. А именно:
б И dxdy ( ^-)2 = 2 dxdy=2
J J дх2 ] J J дх2 дх2
{{dxdy\^(d^dbi}-
J J L дх дх2 дх )
=2 ссdxdyг m _А .
дх3 дх J J J L дх \ дх2 дх J дх \ дх3 / дх* J
Обозначим через dl элемент контура средней плоскости пластинки, через
п — направленную внутрь нормаль к dl', тогда это выражение будет равно
2 {{dxdy д^- 6g — 2 {dl cos (nx) ( — — 6g) .
J <) dx4 J \ dx2 dx dx3 )
С первой частью входящего сюда простого интеграла мы произведем
еще одно преобразование. Припишем элементу dl одно из двух возмож-
ных направлений, именно то, которое получит ось х, если система коор-
динат будет повернута так, что ось у сделается параллельной нормали п.
377
Далее мы обозначим через <р угол, который опишет прямая, когда из по-
ложения, в котором она параллельна оси х, будет повернута так, чтобы
она стала параллельной п; при этом направление поворота должно быть
таким, что при повороте на прямой угол она стала бы параллельной оси у,
если прежде была параллельной оси х. Тогда
56£ 56£ . . 5б£ , ,
- ъ - * sin ф + cos ф, COS (ПХ) = COS ф.
дх dl дп
Пользуясь тем, что интегрирование по / производится по замкнутому
контуру, получим
С 56£ С д , 52£ \ ...
\dl ъ sin ф cos ф — - = — \ dl — sin ф cos ф Sc,;
,) дх2 dl J dl \дх2 j
откуда получим
2 £ £ dl Г cos ф -|- -3- ( -^ sin ф cos ф | "1 б£.
J J Ld/з dl ' дх2 ( J
Преобразовав соответственным образом остальные члены, на которые рас-
падается выражение (12а), найдем, что это выражение равно
4 1 4- 20 f С , , ; d*t, , о d*t , d*t, \ .,
= — -Kh3-------\\dxdy -4-2-—:---------h - 6L 4-
3 1 + 30 J J \дх* дх2ду2 ду*)
4 1д2^ , , о д2Ц . , d2t . , , 0 /54 . 32^4
-I— Kh3 \dll- соз2ф4-2——sin фсозф + - sin2 ф 4------- + >
3 J (5x2 5x5г/ v т ду2 т 14-0\5х2 ду2) J
— — Kh3 {dl[d Г ( — — д 'г sin ф cos ф 4- (sin2 ф — cos2 ф) ] 4-
3 J (5/ (\5х2 ду2) т дхду j
-О cosq)+ )sinq4j6E.
дуду2 ) \дх2ду ду3) J)
Оно составляет часть работы, определяемой функцией (12).
Другая ее часть, которая содержит множитель /г, на основании
нений
4-1 + 2R Г । д\
(13)
bv +
(4) и (10) будет равна
(* Г 1 0 "1
+ 4Kh. \ dl\ ат cos <р + - - т sin <р 4-(ах + а2) cos ф би 4
J L 1 -j- 0 J
+ «Mi, du [?» + -' ^ + -4—Л—1 Л” ’
«j J L dy 2 дх 1 + 6 ду
4- 4Kh dl <т2 sin ф 4- у х cos Ф + уу- (ffi -
. л гх/ С С J J (д Г5£ , 1 5£ . 0 dt
4- ^Kh \ \ dx dy - > о, + - > т + — >
J d (5x L dx 2 ду 1 0 dx
. 5 Г dt, । 1 dt, . 0 5£ , . ,
4-- - nd---------t4--------(cti-4- ct2)
dy\_dy 2 dx 1 4-0 51/ 7
। л ixl С л ( Rd? i 1 5£ 0 5f,
4~ 40 \ d/ cos ф - ffi 4-- t4-----------(<
J ( [dx 2 ду 1 4-0 5x'
, . Г5Е , 1 dt, . 0 dt,
+ sin Ф <Ta 4- - 4- —. (Hi + Oj
[~dy 2 дх 1 4- 0 dy
урав-
(И)
378
Далее мы покажем, как можно применить выражения (13) и (14), сум-
ма которых определяет работу сил, производимых расширением, для пе-
ремещений, определяемых значениями Su, bv,
§ 3
Рассмотрим пластинку, на которую не действуют никакие силы. Пред-
положим, что точки ее края укреплены так, что для них £ = 0, а и и и
имеют заданные значения; требуется найти и, V, £ для случая равновесия.
Мы удовлетворим уравнениям, которые дает принцип возможных пере-
мещений, если положим £ = 0 и определим из уравнений
2(1+ 20)^.+(1 + 9)
ОХ2
2(1 + 29)^ + (1 + 9)
ду3
+(1 + 30)-^- = О,
ду- дх ду
+ (1 + 30)= О
дх3 ду дх
(15)
так, чтобы у края и и v принимали заданное значение.
Пластинка, которая находится в таких условиях, называется напря-
женной', она называется равномерно напряженной, когда
и = ах, v = ау,
где а — постоянное; очевидно, что этими выражениями уравнения (15)
будут удовлетворены.
§ 4
Дальнейшие применения, которые мы дадим выражениям (13) и (14),
относятся к колебаниям, и именно к так называемым поперечным колеба-
ниям пластинки. При этом мы воспользуемся принципом Гамильтона и
прежде всего заметим, что если обозначим через Т живую силу, через
ц — плотность пластинки, то
-г / СС л j Г {ди\ъ /<Эи'\2 /3£\2"1
Т <= [x/z \ \ dx dy 1,1 + ( дг j 4" I ;, I >
J J L J \dt J J
причем интегрирование распространено по поверхности пластинки. Отсюда
следует, что
6^Tdt = -2lih^dtdxdy^du + ^dv + (16)
Предположим, что край пластинки или неподвижен или свободен, так
что силы давления, действующие на него, не производят никакой работы.
Тогда принцип Гамильтона будет выражен уравнением
S Т dt + S F dt dx dy = О,
(17)
члены которого имеют значения, определяемые (16), (13) и (14).
В том случае, если край пластинки свободен и £ бесконечно мало
по сравнению с толщиной пластинки, мы можем допустить, что и
и и равны нулю, причем, сделав это, мы придем к уравнениям для по-
перечных колебаний пластинки. Они будут иметь вид
д% 2 1 + 29 h3K / . д*£ ।.
dt3 3 1 + 6 ц \ дх* дх3 ду3 ду* ) ’
379
а для края пластинки найдем
0 = —— cos2<p -4-2 — - sin ср cos q> + - sin2<p 4---------------- - 4~ —— ,
дх2 дх ду ду2 1 + 0 \ дх2 ду2 )
d2L дК \ , d2£ / • 2 2 I
------------ sin ф cos ф 4 — (зш2ф — СОЭ2ф) +
дх2 ду2 / дх ду J
14-20 Г / дК , дК \ , / d3£ , d3£ \ . 1
— - - 4— - cos ф + —— 4----------------- sin ф . (18)
14-0 L\ дх3 дхду2 \дх2 ду = ’ 1 1
0 =
sin ф .
До сих
круглой
путем.
Положим
пор удалось найти решение этих уравнений только для случая
пластинки. Мы придем к решению в
этом случае следующим
предположение соответ-
тон, продолжительность
2 i+2Q h2K
3 1 + 0 [х *
£ = U sin(4X2a/),
где U — функция х и у, а л — постоянное. Это
ствует случаю, когда пластинка дает простой
двойного колебания которого равна . При этом для U получим диф-
ференциальное уравнение в частных производных
16W = - - + 2 -^U— + —.
dx4 дх2 ду2 ду1
К этому надо добавить граничные условия, которые найдем из (18), под-
ставив U вместо £. Предыдущее дифференциальное уравнение в частных
производных можно заменить двумя уравнениями:
dx2 ду2
4WJ = ™
дх2
ди2
Сложив эти уравнения и вычтя из
U = S + D,
них
V = S — D,
получим
4VS = + 32S
дх2 ду2
_4X2D = 32D- + ^
дх2 ду2
Введем вместо прямоугольных
х = г cosip,
координат полярные, так что будет
у = г sin гр;
отсюда получим
4VS =
дг2
- 4X2D =
дг2
1 dS 1 d2S
г dr г2 Sip2 ’
1 дР 1 д2Р
г дг г2 dip2
Мы удовлетворим этим уравнениям, полагая
S = A cos mpX, D — В cos nip Y,
380
уравнения примут вид
1 dx / п2 . . \ ..
где п — целое число, А и В — произвольные постоянные, X и Y — функ
ции г, которые удовлетворяют уравнениям
— + — dX — l'-n- + X = О,
dt2 г dr \ г2 )
— + A dY — { "2- — 4Х2^) Y = 0.
dr2 г ’
Положим Кг = х, тогда эти
d2X ।
dx2 х dx \ х2 ’ J
^+£^_/nt_4Ny = 0_
dx2 x dx \ x2 )
Найдем частное решение первого из этих уравнений, если положим
X = Аохх + А2хх+2 + Aixx+i 4- ...;
тогда
—— + хЛохх-1 2) Л2хх+1 4- (х 4- 4) Л4хх+3 + . .. ,
dx
dX = х(х — 1) А0хх~2 + (х 4- 2)(х + 1) А2хх + (х 4-4) (х 4~3) Л4хх+2 4- .. .,
dx2
и указанное уравнение примет вид
0 = Ло (х2 — и2) хх~2 — 4Аохх 4- Л2 [(х 4- 2)2 — п2] хх — 4А2хх+2 4-
4- Л4 [(х 4- 4)2 — н2] хх+2 — 4Aixx+i
Мы удовлетворим ему, если положим
х2 — п2 = О,
Л2[(х4-2)2-п2] = 4Л0,
Л4 [(х 4-4)2 — п2] = 4Л2,
Этим уравнениям мы удовлетворим, если положим,
х = п,
д _ Ло д _ Л2 д _____Л4
1-«4-1 2-«4-2 3-«4-3
где Ло — произвольное постоянное. Таким образом, частным решением
(которое мы обозначим через Хп) составленного для X дифференциаль-
ного уравнения будет
Хп =----------( 1 + —-- +----------------
l-2-З...л 1-П4-1 1-2.«4-1-«4-2 J
и соответственно для Y,
= —x-*~ +---------**----------..X
1-2...« \ 1-«4-1 l-2.«4-l.«4-2 I
Легко заметить, что оба эти бесконечных ряда сходятся при любых
значениях их аргумента.
Упомянем еще о других частных значениях X и Y, хотя они не
найдут применения в настоящей задаче. Положим
X = WXn,
381
так что
dx dx dx
d?X_ = w d*Xn I 2 dXn dw |
dx2 dx2 dx dx
d2W
n dx2 ’
Умножим эти уравнения последовательно на
/ Z12 , л 1
1
и потом сложим их. Так как X и Х„ есть решения рассматриваемого
дифференциального уравнения, то мы получим
dx2 у х dx ,1 dx
dW
или, если положим ---= w ,
dx
dW'
W
dXn
1 , n dx
x
п,
т. е.
или
следовательно,
О,
lg W" + lg X + 21g Хп = const,
W = const —1— ;
хХл^л
W = const - dx
\ ,г.
/Г
где нижний предел интеграла может быть выбран произвольным. Поэтому
вторым частным значением X будет
dx
'хХ^п
X,
и соответственно для Y
X =
л' л
постоянное. Но эти
видно из выражений
для г = 0,
бесконечны и потому не могут найти применения, если пластинка, как
мы предполагаем, представляет полную площадь круга.
Поэтому мы положим
S — A cos пф Хп,
где х() — произвольное
значения X и Y, как
для Хп и Yn, для х = 0, т. е.
D = В cos пф Yn
А, В, А, так, чтобы удовлетворить
и постараемся определить постоянные
обоим граничным условиям.
Обозначим радиус пластинки через
торое мы сделали при выводе выражения (13) для направления, в кото-
ром возрастает I, и для угла <р, мы будем иметь, кроме того, это видно
и из фиг. 1,
а. На основании определения, ко-
I = аф и = 180° -J- ф.
382
Следовательно, выведенные из (18) граничные условия будут
_ d2U . о / d2U . 1 ди . 1 d2U \
dr2 1 + 0 \ дг2 г дг г2 dip2 )
1 _d_[d2U________1 dt/ \ , 1 + 20 О (d2U 1 dl/ 1 ОЧМ
г2 dip \ дг dip г dip / 1 + 0 дг \ дг2 г дг г2 dip2 )
или, если воспользоваться тем, что
4W = — 4
дг2
1 dU 1 дЧ)
г дг г2 dip2 ’
то
0 = — + 4Х2 —— V,
дг2 1+0
0 _ 1 dsU______1_ d2l/_ , 4^21+20 дУ
~ г2 dr dip2 г3 dip2 1+0 дг
Выразим теперь U и V через S и D, S и D — через Хп, Yn и вторые
производные Хп и Yn, которые при этом войдут, — через силы Хп,
Yn и их первые производные при посредстве составленных для этих
функций уравнений. Положим еще
тогда мы найдем, что для г = а, т. е. х = Ха, должны быть удовлетво-
рены уравнения
г dX и г dY п
0 = Л п2Х„ —х(п2 —4ух2) — +в п2У„— х (п2 + 4ух2) —-2- ,
L дх J L dx J
Г dX„ -1 г dyn 1
0 = Л (и2 + 4ух2)Х„ —х—2- +В (п2 —4Тх2)У„ — х-/ .
dx ах I
Обозначим определитель их через Д, тогда X получим из трансцендент-
ного уравнения
Д = 0
и отношение А: В определим из любого из двух предыдущих уравнений.
Обозначим через Хтл корень уравнения Д = 0 и положим
Wnm = Хп
dK„ I
4 ух2) — х —I
dx J (x—aXrtm)
dX„
'п (п2 + 4тх2)Хл — х
L dx J (x=aXnm) ;
тогда
£ = C sin (4X„ma/) Wnm cos mp,
где C—произвольное постоянное. Узловые линии, соответствующие то-
нам, определяемым Х,т, имеют уравнения
cos m|) = 0 и Wnm — 0.
Первое из них представляет систему п диаметров, образующих равные
углы между собой; второе — систему концентрических кругов. Относи-
тельно вычисления тонов и узловых кругов сошлемся на одну из работ*.
* Kirchhoff. Ueber das Gleichgewicht und die Bewegung einer elastichen Schei-
be. Grelle's Journal, Bd. 40.
383
§ 5
Составим, наконец, дифференциальное уравнение для поперечных ко-
лебаний напряженной мембраны. Мы придем к этим уравнениям, если
рассмотрим пластинку, закрепленную по краю, когда части ее перемеща-
ются в ее плоскости и и V, а эти перемещения удовлетворяют уравнениям
(15). Эти перемещения должны быть столь велики по сравнению с тол-
щиной пластинки, чтобы при составлении уравнения (17) можно было
пренебречь выражением (13) (по сравнению с (14)), и столь велики по
сравнению с £, чтобы уравнения (11) можно было представить в виде
ди
ai =
дх
dv __ ди . dv
ду ' ду дх
Уравнение (17) будет выполнено, если примем, что и и v не зависят
от времени, и определим £ из дифференциального уравнения
д2^ __ 2% д Г ди д’’, 1 / ди . dv \ дС 0 / ди dv \ й? 1
dt2 ц дх L дх дх 2 ду дх ) ду 1 + 0 \ дх ду I дх J
. 2К. д Г dv д£ . 1 / ди . dv \ дС . 0 / ди dv \ dt 1
р. ду L ду ду 2 \ду дх ) дх 1 + 0 ( дх ду / ду J
и условия, что на краю оно обращается в нуль.
Перемещения и, v должны удовлетворять дифференциальным уравне-
ниям (15), но при этом они могут быть многозначными функциями х
и у. В случае, о котором уже говорилось, когда мембрана равномерно
напряжена, можно положить
и = ах,
v = ау.
где а — постоянная. Тогда дифференциальное уравнение для £ будет
д2£ _ 2К_ £+ 30 / дК d2t \
dt2 ~ р 1+0 ( дх2 ду2 / '
Его можно легко решить, если мембрана прямоугольная или круглая.
Тогда легко вычислить тоны, которые может давать мембрана, и узло-
вые линии, им соответствующие. При прямоугольной форме мембраны
будем иметь дело только с тригонометрическими функциями, при круглой
форме — с функциями, которые при исследовании колебаний круглой
пластинки мы обозначили через Yn. Это так называемые басселевые функ-
ции. Узловые линии прямоугольной мембраны — прямые линии, парал-
лельные ее сторонам, круглой мембраны—диаметры (которые образуют
между собой равные углы) и круги (концентрические пластинки с краем
в виде круга).
ПРИЛОЖЕНИЯ
ГУСТАВ РОБЕРТ КИРХГОФ
Биографическая справка
Густав Роберт Кирхгоф родился в Кенигсберге 12 марта 1824 г.
Об был младшим сыном советника юстиции Карла Фридпиха Кирхгофа.
В детстве Кирхгоф был живым и разговорчивым мальчиком; при-
сущий ему в зрелом возрасте замкнутый и молчаливый характер выра-
ботался в нем лишь впоследствии.
Густав Кирхгоф и его братья посещали Клейнгорскую гимназию в
Кенигсберге; уже в гимназические годы определились способности Гу-
става к математике и физике. Один из братьев Густава впоследствии
работал врачом в Берлине, другой — советником суда. Между братья-
ми велась оживленная переписка, из которой можно почерпнуть неко-
торые сведения о характере Густава.
Закончив в 18 лет гимназию, Кирхгоф в 1842 г. поступил на физико-
математический факультет Кенигсбергского университета. Университет
дал ему глубокое математическое образование. Среди его преподавате-
лей были известные математики и физики: Ришело, Бессель, Якоби,
Франц Нейман. Наибольшим авторитетом среди студентов в Кенигс-
бергском университете в то время пользовался Франц Нейман (1798—
1895), а в Берлинском — Густав Магнус (1802—1870).
Эти два физика вошли в историю науки не только благодаря значе-
нию их личных работ, но и как основатели физических школ. Под их
влиянием развивались такие выдающиеся ученые XIX в., как Гельм-
гольц, Кирхгоф и Клаузиус.
Магнус был центром притяжения главным образом для физиков-
экспериментаторов. У него была домашняя лаборатория, которую он
предоставил в общее пользование. С 1843 г. на квартире Магнуса соби-
рался коллоквиум, который послужил основанием образованному в
1845 г. Берлинскому физическому обществу. Идею организации обще-
ства подал Дю-Буа-Реймон. Основная организационная роль принад-
лежала физику Карстену. Первыми членами общества были Гельм-
гольц, Вернер Сименс и Клаузиус.
Франц Нейман был «отцом и Нестором» математической физики;
он постоянно подчеркивал значение математики, дающей ясное и точ-
ное знание. Под математической физикой в то время разумелась физи-
ка, оперирующая дифференциальными уравнениями на основе пред-
ставления о непрерывности материи. Именно в таком виде она разви-
валась Францем Нейманом. Во Франции ее разрабатывали главным
образом Фурье и Коши; в Англии в сороковых годах XIX в.— Стокс и
В. Томсон.
Сам Нейман перешел от вопросов чистой математики к математи-
ческой физике под влиянием работ Фурье. В течение 50 лет (с 1826 г.)
он работал в Кенигсберге. Основанная Якоби и Францем Нейманом
25
387
так называемая кенигсбергская школа была первой крупной, длитель-
ное время процветавшей школой, имевшей влияние далеко за предела-
ми Кенигсберга.
В семинаре Неймана Кирхгоф сделал в 1845 г. свою первую науч-
ную работу по электричеству. Влияние Неймана явно сказалось на изящ-
ной математической форме физических исследований Кирхгофа; он
безусловно был самым выдающимся из учеников Неймана.
Кирхгоф в молодости сомневался в своем призвании, но под влия-
нием Неймана твердо решил посвятить себя изучению математики и
физики. В университетские годы он писал брату Отто: «Нейман являет-
ся теперь моим главным учителем, что я констатирую с большим удо-
влетворением... Благодаря ему кончились мои колебания относительно
того, какой науке себя посвятить. Я решил посвятить себя физике, не-
смотря на скучные наблюдения и скучные расчеты» *.
В 1846 г. Кирхгоф закончил Кенигсбергский университет. Философ-
ский факультет университета выхлопотал для него редко присуждав-
шуюся стипендию на поездку с научной целью в Париж. По-видимому,
осуществлению этой командировки помешали политические события во
Франции **.
В 1848 г. Кирхгоф защитил диссертацию при Берлинском универ-
ситете и был зачислен приват-доцентом. В том же году он стал дей-
ствительным членом молодого Берлинского физического общества.
Благодаря помощи Магнуса и Якоби через два года Кирхгоф был
приглашен в качестве экстраординарного профессора физики в Бре-
славль. Кирхгоф попал в Бреславль в 1850 г., а через год туда приехал
из Марбурга Роберт Вильгельм Бунзен (1811—1899). И хотя Бунзен
уже через год перешел в Гейдельбергский университет, между учеными
завязалась большая личная и научная дружба, продолжавшаяся в тече-
ние всей жизни.
Перейдя в 1852 г. в Гейдельбергский университет в качестве про-
фессора химии, Бунзен постарался привлечь туда Кирхгофа. В 1854 г.
ему удалось это сделать, так как после отъезда Жоли освободилось
место профессора физики. Кирхгоф отказался от приглашения в Бонн
на место Плюккера, в Берлин на место Магнуса и принял предложе-
ние Бунзена о переезде в Гейдельберг. Через четыре года туда приехал
Гельмгольц (тогда — профессор физиологии), позже — математик Ке-
нигсбергер. Постепенно образовалась гейдельбергская школа матема-
тической физики, продолжавшая традиции кенигсбергской школы.
В Гейдельберге Кирхгоф работал 20 лет (до 1874 г.) и написал свои
лучшие работы. Здесь проходила его совместная деятельность с Бун-
зеном, приведшая к открытию спектрального анализа.
Вскоре после приезда в Гейдельберг Кирхгоф женился на дочери
своего университетского преподавателя математики Ришело.
С 1863 г. значительно улучшилась обстановка работы Кирхгофа.
В новом здании университета ему была отведена большая лаборато-
рия и рядом квартира. Однако вскоре он повредил ногу и вынужден
был долгое время пользоваться костылем. В 1869 г. его постигло боль--
шое несчастье: умерла жена. 2 июля 1869 г. Киргорф писал Дю-Буа-
Раймону, с которым его связывала большая личная дружба: «Я имел в
жизни много незаслуженного счастья; теперь ко мне пришло несчастье.
Разрушена моя семья. Я хочу отвлечься научными занятиями, но ра-
бота удается плохо. Нож, которым я хочу резать, тупой». ***. Однако, не-
смотря на жалобы на плохую работоспособность, Кирхгоф в этом же
году написал три работы.
* Naturwiss., Н. 11, 1925, S. 208.
** Е. Варбург пишет, что Магнус и Якоби посоветовали Кирхгофу потратить день-
ги на жизнь в Берлине, и ничего не говорит о политических событиях того времени.
*** Naturwiss., Н. 11, 1925, S. 109.
388
В 1872 г. он женился вторично.
Несмотря на ряд лестных приглашений, Кирхгоф не хотел покидать
Гейдельберга, друзей, к которым был очень привязан. Но из-за недо-
статка средств Гейдельбергский университет приходил в упадок, и
друзья Кирхгофа постепенно переезжали в другие университеты. При-
вязанность Кирхгофа к этому городу постепенно охладевала, и он от-
кликнулся на приглашение (уже третье) переехать в столичный уни-
верситет в Берлин.
В 1873 г. в Берлине приступили к строительству большой физиче-
ской лаборатории. Однако из-за болезни глаз и острой боли в ноге экс-
периментальные занятия стали для Кирхгофа невозможными, и он
ушел целиком в работы по математической физике.
В 1875 г. Крихгоф стал профессором теоретической физики Берлин-
ского университета, но уже в 1876 г. перестал читать лекции и стал за-
ниматься исключительно исследовательской работой. В 1881 г. он был
избран ректором Берлинского университета, но по состоянию здоровья
отказался. Однако в зимний период 1885/86 г., собрав последние силы,
он прочел свой последний курс лекций.
В Берлине Кирхгоф прожил до самой смерти, которая наступила в
1887 г. от опухоли в мозгу.
Таковы основные вехи жизни Кирхгофа.
Русские физики высоко ценили научные труды Кирхгофа. Уже в
1863 г. он был избран членом-корреспондентом Петербургской Акаде-
мии наук по представлению Б. С. Якоби и Веселовского. С 1870 г. он
был членом Берлинской Академии наук и корреспондентом Парижской
Академии наук.
А. Г. Столетов писал, что во время своей поездки в Берлин он «имел
счастье несколько лет пользоваться лекциями и частными беседами
Кирхгофа и смог пристально всмотреться в личность знаменитого учи-
теля... Простота обращения, неутомимая внимательность в отношении
к учащимся, постоянная деятельность и самообладание мысли, дар
сжатой, но отчетливой речи,— вот что нас поражало в Кирхгофе. Во
всем сказывались сильная воля, чувство долга, высокое и чуждое вы-
сокомерия самолюбие, любовь к порядку, терпение, упорная работа*.
Для Кирхгофа, как об этом свидетельствуют все его ученики, была
характерна исключительная научная добросовестность и правдивость.
Он часто применял в своих лекциях слова «пожалуй», «вероятно», когда
не был окончательно уверен в достоверности какого-либо положения.
В 1873 г. к Кирхгофу приезжал петербургский физик Боргман; в
1875—1876 гг. Умов во время своей поездки за границу знакомился с
постановкой практических работ по физике у Кирхгофа. Он представил
Кирхгофу свою статью «О стационарном движении электричества на
проводящих поверхностях произвольного вида». Кирхгоф опубликовал
в 1875 г. работу на эту тему, использовав результаты Умова **, но из-
менив доказательство.
Преемником Кирхгофа по кафедре теоретической физики стал Макс
Планк.
Вся жизнь Кирхгофа была посвящена работе. Больцман хорошо ска-
зал: «В жизни Кирхгофа не было ничего выдающегося, что соответ-
ствовало бы необычайности его гения. Его жизнь была обычной жиз-
нью немецкого профессора университета. Великие события происходили
исключительно в его голове»***.
Кирхгоф уделял серьезное внимание преподавательской деятельно-
сти. Лекции его производили очень большое впечатление на слушате-
лей и привлекали к нему учеников изо всех стран.
* А. Г. Столетов. Г. Р. Кирхгоф. Природа, № 2, 1873, стр. 178.
* * В своих письмах Умов выражал недовольство этим поступком Кирхгофа.
* ** L. Boltzmann. Populare Schriften. Leipzig, 1905.
25 Г- Кирхгоф
389
Кирхгоф сочетал в себе математический талант с умением наблю-
дать и экспериментировать. Опыты его были точными и изящными,
часто производились с приборами собственного изобретения. Он орга-
низовал практический семинар, целью которого было облегчить для
слушателей переход от прочитанных курсов к самостоятельной работе.
В этом семинаре участники его знакомились с классическими методами
физических измерений. Результаты всех работающих сравнивались
между собой и с результатами, уже принятыми в науке. Темами для
работ служили, например, измерения длины волны света, теплоты, вы-
деляющейся при растворении соли и др. Каждый слушатель в начале
года выбирал определенный день в неделю, когда он работал в физиче-
ском кабинете над избранной темой и задачей.
Учениками Кирхгофа были многие выдающиеся физики и матема-
тики: Макс Планк, Ф. Клейн, Карл Пирсон, Артур Шустер и др.
Крупный немецкий физик Макс Лауэ писал, что своим решением посвя-
тить себя физике он был обязан опубликованным лекциям Кирхгофа.
Решающим фактором было «сознание того, как много можно высказать
о природе при помощи математических методов» *. Макс Планк отмечает
в автобиографии, что под руководством Кирхгофа он значительно расши-
рил свой научный кругозор.
Все слушавшие Кирхгофа отмечали, что он не говорил ни одного
лишнего слова и в короткое время сообщал богатейший материал. Од-
нако тщательная обработанность лекций, «в которых была взвешена и
стояла на своем месте каждая фраза» **, была связана с некоторой су-
хостью и однообразием читаемого курса, на что указывали Планк,
Клейн и др.
В отличие от лекций Гельмгольца, Кирхгоф в своих лекциях никог-
да ничего не говорил о себе, проявлял большую скромность. По словам
Ф. Клейна, «он читал наизусть гладко обработанную рукопись и скорее
позволил бы себе посреди лекции заглянуть в нее, чем дал бы повод
обвинить себя в небольшом отступлении от нее» ***.
Характеризуя мировоззрение Кирхгофа, В. И-Ленин говорит****, что
он признавал объективное существование изучаемой в науке реальности
и объективную истинность человеческого познания.
Т. Н. Горнштейн
* М. Лауэ. История физики. Пер. с нем. М., Гостехиздат, 1956, стр. 174.
** М. Планк. Сб. статей. М., 1958, стр. 12.
*** Ф. Клейн. Лекции по истории математики в XIX столетии. М„ ОНТИ, 1935,
стр. 262.
**** См. В. И. Ленин. Сочинения, изд. 4, т. 14, стр. 153.
ПРИМЕЧАНИЯ *
1 Обычно эти силы называются поверхностными силами; отнесенные к единице по-
верхности, они называются напряжениями.
2 Если мы возьмем для нормали п к поверхности соприкасания некоторое опреде-
ленное направление, то направления внутренних нормалей к противоположным поверх-
ностям рассматриваемого бесконечно малого объема будут — одно совпадать с установ-
ленным направлением нормали к поверхности соприкасания, а другое ему противопо-
ложно. Поэтому, обозначая здесь через Хп компоненту давления, взятую по установ-
ленному направлению нормали к поверхности соприкасания, мы будем иметь в инте-
грале J Xnds формулы (1) Хп положительным на одной стороне бесконечно малого
объема и отрицательным — на противоположной.
3 В случае разрывности перемещений, возможные перемещения двух прилегающих
частиц поверхности соприкасания двух тел состоят из общего перемещения по нормали
и скольжения одной по другой.
4 Эти уравнения могут быть выведены таким же способом, как (28), причем мно-
житель при постоянном 0 отпадает вследствие предположенной несжимаемости жид-
кости.
6 Под моментом вращения здесь подразумевается проекция на ось равнодействую-
щего момента сил давления.
6 Под суммой компонент давления по оси здесь подразумевается проекция на ось
равнодействующей давления.
т Поверхность жидкости можно уподобить упругой перепонке; элементарная работа,
потребная для растяжения поверхности, пропорциональна приращению поверхности, сле-
довательно, элементарная работа капиллярных сил при сжатии поверхности пропор-
циональна бесконечно малому уменьшению поверхности, т. е. потенциал капиллярных
сил пропорционален поверхности.
8 Сумма интегралов|</х31г • соз(пзх) + \ds23z cos(n3x) =0, так как эта сумма равна
интегралу, распространенному по всей поверхности тела 3.
9 При бесконечно малом перемещении, параллельном поверхности, приращения
функции V7 с той и другой стороны поверхности отличаются друг от друга на 4л».
аи
10 Задавая V и —— на поверхности, мы определяем функцию V однозначно и вну-
ап
три объема; другими словами, не может существовать двух различных функций Vi и
V2, удовлетворяющих уравнению Лапласа внутри объема и рассматриваемым условиям
на его поверхности.
11 Для этого надо взять ось х в направлении скорости течения жидкости в центре
шара.
12 В этом месте линия тока, вообще, разветвляется на несколько линий.
13 При перемещении вдоль линии тока в выражении для приращения потенциала
dV , dy dV
скоростей dV — - - dx + — dy — dz дифференциалы dx, dy, dz пропорциональны
dx dy dz
dV dV dy
производным — , —, —; следовательно, dV пропорционально
dx dy dz
(dV_ у /dVV idV у
\ dx J \ dy ) k dz J
.. n dV*
и Если ----- и ---- даны с точностью до величин, для которых рассмотренный
dn dn
f (у, _ у2)
здесь интеграл равен нулю, то \ ds--------— 0, следовательно, Vi — V2 = const.
J dn
* Примечания составлены Л. С. Полаком.
25*
391
14 Тогда коэффициенты при dx, dy, dz в предыдущих уравнениях являются теми же
самыми косинусами.
19 Т. е. мы ищем вариацию бй, соответствующую рассматриваемой вариации бф
функции <р.
17 Теорема Иоахимсталя. См., например, Э. Гуре а. Курс математического анализа,
г. I, § 250.
is В § 2 мы видели, что и — + оо представляет шар с бесконечно большим радиусом
Г = У и .
18 Функция tit выражается эллиптическим интегралом, причем точки разветвления
подынтегральной функции суть — а3, — Ь!, —с3 и оо; многозначность ut является след-
ствием обхода вокруг этих точек на плоскости переменного и.
зв Напомним, что здесь ф = и, есть потенциал скоростей, который непрерывно воз-
растает или убывает вдоль линии тока (лекция шестнадцатая, § 6).
(Эи, ди{ ди,
21 Вычисляя компоненты скорости ---, ------, —— при помощи формул (18),
дх ду дг
(16), (15) и (12), можно показать, что на площади эллипса (19), когда и = — с3, будет
ди, диг ди
= = 0, тогда как — =р 0, и можно убедиться, что при переходе через эту
дх-------ду-дг
diti ,
площадь ----- изменяет знак на обратный.
дг
22 На основании данного выше значения скорости на бесконечности и принятого уело-
du, du, 2 2
вия относительно знака —— имеем — -— = — — , откуда и, = — .
du dr г2 г
23 Заключить обвод эллипса в трубчатую поверхность необходимо потому, что,
как это следует из формулы (26), на обводе эллипса и = о =—с2 скорость обращается
в бесконечность и необходимо убедиться, что интеграл имеет смысл.
24 с2 + и=х2. Значение и, выбрано так, чтобы при и=оо было и, = 0.
25 Первый член разложения содержит р"‘/«.
26 Так как для обеих сторон эллипса и, имеет одинаковое значение, равное интег-
ралу (28), взятому вдоль края разреза, проведенного в плоскости и от точки —с2 до
бесконечности.
27 Квадратный корень из формулы (26а) при и =—с2 дает искомое значение du,t
чтобы получить ^2., надо обойти вокруг точки —с2, что изменит знак корня на обрат-
du
яый.
1 f dui
28 Применяя формулу § 7 предыдущей лекции М — -— \ dt —— , найдем, что
4л J дп
М=2.
29 Потенциал в точке пластинки дан формулой (28), а электрическая масса равна
двум.
30 Вычисляя, как указано в примечании 21, компоненту скорости ^1, мы найдем,
дг
что при V——с2 она равна нулю. Заметим, однако, что на обводе эллипса (19) скорость
обращается в оо.
31 Для перехода на другую сторону разреза надо в плоскости переменного и вы-
полнить интегрирование вдоль обеих сторон разреза (—с2, оо) от бесконечно удален-
ной точки, лежащей с одной стороны разреза, до бесконечно удаленной точки, лежащей
с другой стороны разреза, взяв за начальное значение для и значение нуль. Интеграл
вдоль этого пути равен удвоенному интегралу (28).
32 Здесь следует добавить к ф постоянный множитель, имеющий измерение, обрат-
ное скорости W.
33 Левая часть предыдущей формулы представляет выражение нормального к телу
перемещения жидкой частицы, прилегающей к поверхности тела; так как в момент
?=/, тело неподвижно, то это нормальное перемещение должно быть равно нулю.
34 При замене тела жидкостью мы получим односвязное пространство, заполнен-
ное жидкостью, покоящейся в бесконечности.
35 Так как произведение площади поперечного сечения q вихревой нити на угло-
вую скорость не зависит от времени, a q постоянно вследствие постоянства массы
Я длины элементарной вихревой нити, то £ также не зависит от времени.
36 Живая сила прямолинейной вихревой нити бесконечно велика, порядка логариф-
мической бесконечности, так как, с одной стороны, скорость на бесконечности не убы-
вает достаточно быстро, а с другой стороны, вблизи бесконечно тонкой вихревой нити
скорость бесконечно велика; но если мы имеем, например, две вихревые нити (пару вих-
рей с угловыми скоростями +£ и —£), то скорость на бесконечности равна нулю и жи-
вая сила для вихревых нитей конечной толщины будет конечной. Поэтому вихри на-
блюдаются обыкновенно парами.
392
87 Условия (1) суть необходимые и достаточные условия того, чтобы функция Z
была аналитической функцией г. См., например, Э. Гуре а.. Курс магматического
анализа, т. II, § 261.
38 Эта теорема принадлежит Коши. См., например, Э. Г у р с а. Курс математиче-
ского анализа, т. II, § 281.
39 Эта теорема принадлежит Коши. См. там же, § 295.
40 Когда точка £ описывает стороны бесконечно малого клина с вершиной и о
углом при вершине а, точка w описывает бесконечно малый прямолинейный отрезок.
Следовательно, мы имеем (см. предыдущую лекцию, § 5)
w = At",
где па=л. Поэтому
, л
аш „ , -- —1
---Ап7: =- ЛяС а
dt,
и если а<л, то при £=0 производная равна пулю. Заметим, что соотношение (а) можно
получить из соотношения, представляющего изображение серпа плоскости £ на области
плоскости W7, ограничиваясь бесконечно малыми частями этих областей, прилегающими
к рассматриваемым точкам, и соответственно удерживая лишь члены низшего порядка
малости.
41 Первая задача есть задача Дирихле, вторая — задача Неймана. В настоящее вре-
мя существование функции ф для задачи Дирихле установлено в весьма общих случаях.
42 Если можно пренебречь величиной £2U.
(• / дф дф dtp X
48 Так как \ —-—ах +-------------а у ф-----аг | равно разности значений потен-
J \ дх ду дг /
циала скоростей в двух рассматриваемых точках, и движение отличается бесконечно
мало от установившегося.
44 На поверхности г будет функцией х, у, причем при сделанных предположениях
абсолютное значение этой функции в рассматриваемой области бесконечно мало.
45 Производные равны нулю, вследствие принятого направления оси х и плоско-
сти хОу.
46 Этот термин в таком понимании не удержался в науке.
БИБЛИОГРАФИЯ НАУЧНЫХ ТРУДОВ Г. КИРХГОФА *
1. Uber den Durchgang eines elektrischen Stromes durch eine Ebene, insbesondere
durch eine kreisformige.— Ann Phys. u. Chem. Poggendorff. Leipzig, 1845, Bd 64,
S. 497—514; 1846, Bd 67, S. 344—349.
To же,—Ges. Abhandl., 1882, S. 1—22. Cm. № 61.
To же, на фр. яз. под загл.: Memoire sur la propagation de I’electricite dans une
plaque conductrice.—Ann chim. et phvs. Paris. 1854, t. 40, p. 115—127.
2. Uber die Auflosung der Gleichungen, auf welche man bei Untersuchung dei
linearen Verteilung galvanischer Strome gefiihrt wird.— Ann. Phys. u. Chem. Poggen-
dorff. Leipzig, 1747, Bd 72, S. 498—508.
To же,—Ges. Abhandl., 1882, S. 22—23. Cm. № 61.
3. Note relative a la theorie de 1’cquilibre et du mouvement d’une plaque elastique.
C. r. Acad, sci., Paris, 1848, t. 27, p. 394—397.
4. Uber die Anwendbarkeit der Formein fur die Intensitaten der galvanischen
Strome in einem Systeme linearer Leiter auf Svsteme, die zum Teil nicht aus Fnearen
Leitern bestehen.— Ann. Phys. u. Chem. Poggendorff. Leipzig, 1848, Bd 75, S. 189—205.
To же.— Ges. Abhandl., 1882, S. 33—49. Cm. № 61.
Tcf же, сокращ. на фр. яз. под загл.: Memoire sur les formules qui representent
i’intensite des courants electriques circulant dans un systeme de conducteurs non linea-
ires.— Ann. chim. ct phys. Paris, 1854, t. 40, p. 327—333.
5. Note sur les vibrations d’une plaque circulaire.— C. r. Acad sci. Paris, 1849, t. 29,
p. 753-756.
6. Bestimmung der Konstanten, von welcher die Intensitat induzierter electrischer
Strome abhangt.— Ann. Phys. u. Chem. Poggendorff. Leipzig, 1849, Bd 76, S 412—426.
Тоже —Ges. Abhandl., 1882, S. 118—131. Cm. № 61.
7. Uber die Ableitung der Ohm’schen Gesetze, welche sich an die Theorie der Elek-
trostatik anschliefit.— Ann. Phys. u. Chem. Poggendorff. Leipzig, 1849, Bd 78, S. 506—513.
To же.— Ges. Abhandl., 1882, S. 49—55. См. № 61.
To же, сокращ. на фр. яз. под загл.: Demonstration des lois de Ohm, fondee sur
les principes ordinaires de I’electricite statique.— Ann. chim. et phvs. Paris, 1854, t. 41,
p. 496—500.
To же, сокращ. на англ. яз. под загл.: On a deducation of Ohms laws, in connexion
with the theory of electro-statics.— London, Edinburgh a. Dublin Philos. Hag. a. J. Sci.
London, 1850, v. 37, p. 463—468.
8. Uber das Gleichgewicht und die Bewegung einer elastischen Scheibe.— J. reine
u. angew. Math. Crell. Berlin. 1850, Bd 40, S. 51—88.
To же.— Ges. Abhandl., 1882, S. 237—279. См. № 61.
9. Uber die Schwingungen einer kreisformigen elastischen Scheibe.— Ann. Phys. u.
Chem. Poggendorff. Leipzig, 1850, Bd 81, S. 258—264.
To же,—Ges. Abhandl., 1882, S. 279—285. Cm. № 61.
10. Uber die Gleichungen des Gleichgewichtes eines elastischen Korpers.— Sitzung-
sber. Math.-Naturwiss. KI. Kaiserl. Acad. Wiss. Wien, 1852, Bd 9, S. 762—773.
11. Uber den induzierten Magnetismus eines unbegrenzten Zylinders von weichem
Eisen.— J. reine u. angew. Math. Crell. Berlin, 1854, Bd 48, S. 348—376.
To же.— Ges. Abhandl., 1882, S. 193—223. CM. № 61.
12. Uber die Leitungsfahigkeit fiir Elektrizitiit von Kalium, Natrium, Lithium, Magne-
sium, etc.— Ann. Phys, u Chem. Poggendorff. Leipzig, 1857, Bd 100, S. 178—193.
13. Uber die Bewegung der Elektrizitat in Drahten.— Ann. Phys. u. Chem. Poggen-
dorff. Leipzig, 1857, Bd 100, S. 193—217, 251—252.
To же.— Ges Abhandl., 1882. S. 131 —154. Cm. № 61.
To же, на англ. яз. под загл.: On the notion of electricity in wires.— London, Edin-
burgh a. Dublin Philos. Mag. a. J. Sci., London, 1857, v. 13, p. 393—412.
* Библиография составлена Ю. X. Копилевич.
394
То же, на фр. яз. сокращ. (со след, статьей, № 14) под загл.: Du mouvement de
I’electricite dans les conductems—Ann. chim. et phys. Paris, 1859, t. 57, p. 238—256.
14. Uber die Bewegung der Elektrizitat in Leitern.— Ann. Phys. u. Chem. Poggen-
dorff. Leipzig, 1857. Bd 102, S. 529—544.
To же,—Ges Abhandl., 1882, S. 154—168. Cm. № 61.
To же, на фр. яз. сокращ., вместе с предыдущей статьей, см. № 13.
15. Uber das Sonnenspectrum.—Verhandl. Naturhist.-Med. Vereins zu Heidelborg,
1857-1859. S. 251—255.
16. Uber einen Satz der mechanischen Warmentheore und einige Anwendungen des-
selben.— Ann. Phys. u. Chem. Poggendorff. Leipzig, 1858, Bd 103, S. 177—206.
To же.— Abhandlungen fiber mechanische Warmentheorie, 1898, S. 31. Cm. № 72.
To же.—Ges. Abhandl., 1882, S. 454—482. Cm. № 61.
17. Bemerkung liber die Spannung des Wasserdampfes bei Temperaturen, die dem
Eispunkt nahe sind — Ann. Phys. u. Chem. Poggendorlf. Leipzig, 1858, Bd 103, S. 206—
109.
To же. —t Ges Abhandl., 1882, S. 482—485. Cm. № 61.
To же.— Abhandl. fiber mechanische Warmentheorie, 1898, S. 32—35. Cm. № 72.
18. Uber die thermodlektrische Spannungsreihe.— Ann. Phys. u. Chem. Poggendorff.
Leipzig, 1858, 103, S. 412—428.
19. Uber die Spannung des Dampfes von Mischungen aus Wasser und Schwefel-
saure.— Ann. Phys. u. Chem. Poggendorff. Leipzig, 1858, Bd 104, S. 612—622.
To же,—Ges. Abhandl., 1882, S. 485—494. Cm. № 61.
To же.— Abhandlungen liber mechanische Warmentheorie, 1898, S. 3—45. Cm. № 72.
20. Uber die Frauenhofer’schen Linien.— Monatsber. K. Preuss. Akad. Wiss. Berlin,
1859, S. 662-665.
To же.— Ann. Phvs. u. Chem. Poggendorff. Leipzig, 1860, Bd 109, S. 148—150.
To же,—Ges. Abhandl., 1882, S. 564—566. Cm. № 61.
To же.— Abhandlungen liber Emission and Absorption, 1898, S. 3—5. Cm. № 72.
To же, сокращ.— J. prakt. Chem. Erdmann. Leipzig, 1860, Bd 80, S. 480—482.
To же, на фр. яз. под загл.: Note sur les raies de Frauenhpfer.— Ann. chim. et
phys. Paris, 1860, t. 58, p. 254—256.
Io же.— J. Pharmacie et Sci. accessoires. Paris, I860, t. 37, p. 388—389.
To же, на англ. яз. под загл.: On the simultaneous emission and absorption of rays
of the same definite refrangibiIity.— London, Edinburgh a. Dublin Philos. Mag. a. J. Sci.
London, 1860, v. 19, p. 195- 197.
21. Uber den Zusammenhang zwischen Em'ssion und Absorption von Licht und
Warme.— Monatsber K- Preuss. Akad. Wiss. Berlin. 1859, S. 783—787.
To же.— Ges. Abhandl., 188, S. 566—571. Cm. № 61.
To же.— Abhandlungen liber Emission und Absorption, 1898, S. 6—10, Cm. № 72.
22. Uber das Gleichgewicht und die Bewegung eines unendlich diinnen elastischen
Stabes.— J. reine u. angew. Math. Crell. Berlin, 1859, Bd 56, S. 285—313.
To же.— Ges. Abhandl., 1882, S. 285—316. Cm. № 61.
23. Erwiderung auf die Bemerkungen des Herrn Wlillner beziiglich der Spannung
des Wasserdampfes von wasserigen Losungen.— Ann. Phys. u. Chem. Poggendorff. Leip-
zig, 1859, Bd 106, S. 322—325.
24. Uber das Verhii 1 tnis's der Querkontraktion zur Liingendilatation bei Stiiben von
federhartem Stahl.— Ann. Phys. u. Chem. Poggendorff. Leipzig, 1859, Bd 108, S. 369—392.
To же,—Ges. Abhandl., 1882, S. 316—339. Cm. № 61.
To же, на англ яз под загл.: On the relation of the lateral contraction to the lon-
gitudinal expansion in rods of spring steel.— London, Edinburgh, a. Dublin Philos. Mag.
a. J. Sci. London, 1862, v. 23, p. 28—47.
To же, сокращ. на фр. яз. под загл.: Memoire sur le rapport de 1’allongement a
la contraction transversale dans les barreaux d’acier trempe.— Ann. chim. et phys. Pa-
ris, 1860, t. 59. p. 498—505.
25. Uber den Winkel der optischen Axen des Aragonits fur die verschiedenen Frauen-
hofer’schen Linien.— Ann. Phvs. u. Chem. Poggendorff. Leipzig, 1859, Bd 108, S. 567—
575.
To же.— Ges. Abhan!., 1882, S. 557—564. Cm. № 61.
To же, сокращ. на фр. яз. под загл.: Note sur la mesure des angles des axes opti-
ques de 1’arragonite relatifs aux diverses raies de Frauenhofer.— Ann. chim. et phys.
Paris, 1860, t. 59, p. 488—491.
26. Uber einen neuen Satz der Wiirmenlehre.— Verhandl. Naturhist.-Med. Vereins
Heidelberg, 1859—1860, S. 16—23.
To же.— Polytechn. J. J. G. Dingier u. E. M. Dingier. Stuttkart, 1860, Bd 157,
S. 29—36.
To же, на англ. яз. под загл.: On a new proposition in the theory of heat.— Lon-
don, Edinburgh a. Dublin Philos. Mag. a. J. Sci. London, 1861, v. 21, p. 241—247.
27. (Совместно c R. W. Bunsen). Chemische Analyse durch Spectralbeobach-
tungen.— Ann. Phys. u. Chem. Poggendorff. Leipzig, 1860, Bd 110, S. 160—189; 1861,
Bd 113, S. 337—425.
To же.— J. prakt. Chem. Frdmann Leipzig, 1860, Bd 80, S. 449—477.
To же.— Ann. Chem. u. Pharmazie Liebig, Wohler u. Kopp, 1861, Bd 118, S. 349—361.
395
То же.— Ges. Abhandl., 1882, S. 598—625. Cm. № 61.
To же.— Ostwa'ds Klassiker der exacten Wissenschaften. Leipzig, 1895. № 72, Hera
usg. v. W. Ostwald, 74 S. Ann. chim. et phys. Paris, 1861. t. 62. p. 452—486; 1862,
t. 64, 257—311.
To же. на англ. яз. под загл.: On chemical analysis by spectrum observations.—
Quart. J. Chem. Soc. London, 1861, v. 13, p. 270—288.
To же.— London, Edinburgh a. Dublin Philos. Mag. a. J. Sci. London, 1861, v. 22,
p. 329—349, 398—510.
28. Auszug aus einem Schreiben an Frdmann (Uber die Frauenhofcr’schen Linien).—
J. prakt Chem. Erdmann. Leipzig, 1860, Bd 80, S. 483—486.
To же., на англ яз, под загл.: On the chemical analysis of the solar atmosphere.—
Chem. News or J. Pract. Chem. London, 1861, v. 3, p. 115—116
29. Ober das Verh.'iliniss zwischen dem Emissionsvermogen und dem Absorptions-
vermogen der Korper fiir Wiirme und Licht.— Ann. Phys. u. Chem. Poggendorff. Leipzig,
1860, Bd 109, S 275—30!
To же,—Ges Abhandl., 1862, S. 571—598. Cm. № 61.
To же.— Abhandiungen fiber Emission und Absorption, 1898, S. 1—36. Cm. № 72.
To ж°, на фр. яз. под загл.: Note sur le rapport entre le pouvoir emissif et le pou-
voir absorbant des corps pour la chaleur et la lumiere.— Ann. chim. et phys. Paris, 1860.
t. 59, p 124—128; 1861. t. 62, p 160—192.
30. Untersuchungen liber das Sonnenspektrum und die Spektren der chemischen
Elemente.— Abhandl. Kgl. Akad. Wiss. Berlin, 1861 (Phys.), S. 63—95; 1862 (Phys.),
S. 227—240.
To же, отдельным изданием [вместе с № 29]— Berlin, 1862.
То же, на фр. яз. под загл.: Recherches sur le spectre solare et sur les spectres des
corps simples.— Ann. chim. et phys. Paris, 1863, t. 68, p. 1—45.
To же. на итал. яз. под загл.: Sullo spettro solare, е sugli spettri degli element!
chimici.— Nuovo cimento. Pisa, 1862, t. 16. p. 199—232.
31.. Uber die Verteilung dor Elektrizitiit auf zwei leitenden Kugeln.— J. reine u.
angew. Math. Crell. Berlin, 1861, Bd 59. S. 89—110.
To же.— Ges. Abhandl., 1882, S. 78—100. cm. № 61.
32. Letter on the chemical analxsis of the solar atmosphere.— London, Edinburgh
a. Dublin Philos. Mag. a. J. Sci. London, 1861, v. 21, p. 185—188.
33. (Совместно c R. W Bunsen). Die Spectren der Alkalien und alkalischen
Erden.— Z. analyt. Chem. Fresenius, Wiesbaden, 1862, Bd I, S. 1—2.
34. (Совместно c R. W. Bunsen). Kleiner Spectralapparat zum Gebrauch in Labo-
ratorien.— Z. analyt. Chem. Fresenius. Wiesbaden, 1862, Bd 1, S. 139--I40.
35. Sur le principe de I’egalite des pouvoires emissifs et absorbants.— Ann. chim.
et phys. Paris, 1863, t. 68, p. 184—186.
36. On standards of electrical resistance.— Electrician. London, 1863, v. 4, p. 51.
37. Zur Geschichte der Spectralanalyse und der Analyse der Sonnenatmosphare.—
Ann Phys. u. Chem. Poggendorf. Leipzig, 1863, Bd 118, S. 94—111.
To же.— Ges. Abhandl., 1882, S. 625—641. Cm. № 61.
To же, на англ. яз. под загл.: Contributions towards the history of spectrum analy-
sis and of the analysis of the solar atmosphere.— London, Edinburgh a. Dublin Philos.
Mag. a. J. Sci. London, 1863, v. 25, p. 250—262.
38. Recherches sur le spectre solaire et sur les spectres des corps simples.—Ann.
chim. et phys. Paris, 1861, v. 1, p. 396—411.
39. Zur Theorie der Entladung einer Leydener Flasche.— Ann. Phys. u. Chem. Pog-
gendorff. Leipzig, 1864, Bd 121, S. 551—566.
To же.— Ges. Abhandl., 1882, S. 168—182. Cm. № 61.
To же, на фр. яз. под загл.: Sur la theorie de la decharge d’une bouteille de Leyde.—
Arch. Sci. phys. et natur Geneve, 1864, t. 21, p. 370—381.
40. Uber das Ziel der Naturwissenschaften. Akad. Vortrag, 1865.
41 Sur les taches solaires.— C. r. Acad. Sci. Paris, 1867, t. 64, p. 396—400; 1867,
v. 65, p. 644—646, 1046
42. [Schreiben gegen Faye’s Einwiirfe gegen die neuere Ansicht uber Entstehung der
Sonnenflecke].-- Astron. Nachrichten. Kiel, 1867, Bd 69, S. 16—22.
43. Uber den EinfluB der Warmenleitung in einem Gase auf die Schallbewegung.—
Ann. Phys. u. Chem. Poggendorff. Leipzig, 1868, Bd 13, S. 177—193.
To же.— Ges. Abhandl., 1882, S. 540—556. Cm. № 61.
To же, сокращ. на фр. яз. под загл.: Influence de la conductibi 1 ite des gaz pour la
chaleur sur la vitesse du son.—Ann. chim. et phys. Paris, 1868, v. 15, p. 491—492.
44. Uber die Krafte. welche zwei unendlich diinne, starre Ringe in einer Fliissigkeit
scheinbar auf einander ausiiben konnen.— Monatsber. K. Preuss. Akad. Wiss. Berlin,
1869, S. 881—887.
To же.— J. reine it. angew. Math. Crell. Berlin, 1870, Bd 71, S. 263—273.
To же,—Ges. Abhandl., 1882, S. 404—416. Cm. № 61.
45 Zur Theorie freier Fliissigkeitsstrahlen.— J. reine u. angew. Math. Crell. Berlin.
1869, Bd 70, S. 289—298.
To же.— Ges. Abhandl., 1882, S. 416—441. Cm. № 61.
396
46. Uber die Bewegung eines Rotationskorpers in einer Flussigkeit.— J. reine u,
angew. Math. Crell. Berlin, 1870, Br 71, S. 237—262.
To же.— Ges. Abhandl., 1882, S. 376—403. Cm. № 61.
47. Zur Theorie des in einem Eisenkorper induzierten Magnetismus. (1870).—Ann.
Phys. u. Chem. Poggendorff. Leipzig, 1871, Erganzunsband 5, S. 1 —15.
To же.— Ges. Abhandl., 1882, S. 223—237. Cm № 61.
48. Vorlesungen fiber mathematische. Physik. Mechanik. Leipzig, 1874, Zweite Aufl.
Leipzig, 1877, 466 S.
49. Uber die stationaren elektrischen Stromungen in einer gekriimmten leitenden
Flache.— Monatsber. K- Press. Akad. Wiss., Berlin, 1875, S 487—497.
To же,—Ges. Abhandl., 1882, S. 56—66. Cm. № 61.
50. Uber die Reflexion und Brechung des Lichtes an der Grenze krystallinischer Mit-
tel.— Abhandl. K. Akad. Wiss. Berlin, 1876, Phys. Abt. 2, S. 57— 84.
51. Zur Theorie des Kondensators.— Monatsber. K. Preuss. Akad. Wiss. Berlin, 1877,
S. 144—162.
To же.—Ges. Abhandl., 1882, S. 101 — 118. Cm. № 61.
52. Zur Theorie der Bewegung der Elektrizitat in unterseeischen oder unterirdischen
Telegraphendrahten.— Monatsber. K. Preuss. Acad. Wiss. Berlin, 1877, S. 598—611.
To же,—Ges. Abhandl., 1882, S. 182—193. Cm. № 61.
53. Uber stehende Schwingungen einer schweren Fliissigkeit.— Monatsber. K. Preuss.
Akad. Wiss. Berlin, 1879, S. 395—409.
To же.— Ges. Abhandl., 1882, S. 428—442. Cm. № 61.
54. Uber die Transwersalschwingungen eines Stabes von veranderlichem Quer-
schnitt.— Monatsber. K. Preuss. Akad. Wiss. Berlin. 1879, S. 815—828.
To же.— Ann. Phys. u. Chem. Wiedemann. Leipzig, 1880, Bd. 11, S. 501—512.
To же.— Ges. Abhandl., 1882, S. 339—351. Cm. № 61.
55. Uber die Messung elektrischer Leitungsfahigkeiten.— Monatsber. K. Preuss. Akad.
Wiss, Berlin, 1880, S. 601—613.
To же.— Ann. Phys. u. Chem. Wiedemann. Leipzig, 1880, Bd 11, S. 801—811.
To же.— Ges Abhandl., 1882, S. 66—77. Cm № 61.
56. (Совместно c G. Hansemann). Uber die Leitungsfahigkeit des Eisens fiir die
Warme.— Ann. Phys. u. Chem. Wiedemann. Leipzig, 1880, Bd 9, S. 1—47.
To же.— Ges. Abhandl., 1882, S. 495—539. Cm. № 61.
57. (Совместно c G. Hansemann). Versuche fiber stehende Schwingungen des
Wassers.— Ann. Phys. u. Chem. Wiedemann. Leipzig, 1880, Bd 10, S. 337—347.
To же.— Ges. Abhandl., 1882, S. 442—454. Cm. № 61.
58. (Совместно c G. Hansemann). Uber die Leitungsfahigkeiten der Metalle
fiir Warme und Elektrizitat.— Ann. Phys. u. Chem. Wiedemann. Leipzig, 1881, Bd 13,
S. 406—422.
To же,—Ges. Abhandl., 1891, S. 1—17. Cm. № 70.
59. Bemerkungen zu dem Aufsatze des Herrn Voigt «Theorie des leuchtenden Pun-
ktes» (1880).— J. reine u. angew. Math. Crell. Berlin, 1881, Bd 90, S. 34—38.
To же.—Ges. Abhandl., 1891, S. 17—22. Cm. № 70.
60. Zur Theorie der Lichtssrahlen.— Sitzungsber. K. Preuss. Akad. Wiss. Berlin, 1882,
S. 641—669.
To же.— Ann. Phys. u. Chem. Wiedemann. Leipzig, 1883, Bd 18, S. 663—695.
To же.— Ges. Abhandl., 1891, S. 22—54. Cm. № 70.
To же, на фр. яз. под загл.: Sule changement sur la theorie des rayons lumi-
neux.— Ann. sci. Ecole Normale Superieure. Paris, 1886, t. 3, p. 303—342.
61. Gesammelte Abhandlungen. Leipzig, 1882, 641 S.
62. Uber die elektrischen Stromungen in einem Kreiszylinder.— Sitzungsber. K. Preuss.
Akad. Wiss. Berlin, 1883, S. 519—524.
To же,—Ges. Abhandl., 1891, S. 54—59. Cm. № 70.
63. Zur Theorie der Diffusion von Gasen durch eine porose Wand.— Amn. Phys. u.
Chem. Wiedemann. Leipzig, 1884, Bd 21, S. 563—575.
To же.— Ges. Abhandl., 1891, S. 78—91. Cm. Ks 70.
64..U ber die Formanderung, die ein fester elastischer Korper erfahrt, wenn er magne-
tisch oder dieiektrisch polarisiert wird.— Sitzungsber. K. Preuss. Akad. Wiss. Berlin,
1884, S. 137—156.
To же.— Ann. Phys. u. Chem. Wiedemann. Leipzig, 1885, Bd 24, S. 52—74.
To же.—Ges. Abhandl., 1891. S. 91 —113. Cm. № 70.
65. Uber einige Anwendungen der Theorie der Formanderung, welche ein Korper
erfahrs, wenn er magnetisch oder dielektrisch polarisiert wird.— Sitzungsber. K. Preuss.
Akad. Wiss. Berlin, 1884, S. 1155—1170.
To же.— Ann. Phys. u. Chem. Wiedemann Leipzig, 1885, Bd 25, S. 601—616.
To же.— Ges. Abhandl., 1891, S. 114—131. Cm. № 70.
66. Zur Theorie der Gleichgewichtsverteilung der Elektrizitat auf zwei leitenden
Kugeln.— Sitzungsber. K. Preuss. Akad. Wiss. Berlin, 1885, S. 1007—1013.
To же.— Ann. Phys. u. Chem. Wiedemann. Leipzig, 1886, Bd 27, D. 673.
To же,—Ges. Abhandl., 1891, S. 131—137. См. № 70.
67. Beweis der Existenz des Potentials das an der Grenze des Betrachteten Raumes
gegebene Werte hat fiir den Fall dafi diese Grenze eine uberall convexe Flache ist.— Acta
math. Stockholm, 1890—1891, t. 14, p. 179—183.
397
68. Vorlesungen fiber mathematische Physik. Zweiter Band. Mathematische Optik.
Herausgeg. v. K. Hensel. Leipzig, 1891, 272 S.
69. Vorlesungen fiber electricizat und Magnetismus. Herausgeg. v. M. Planck. Leip-
zig, 1891, 228 S.
70. Gesammelte Abhandlungen. Nachtrag. Herausgeg. v. L. Boltzmann. Leipzig, 1891.
71. Vorlesungen fiber die Theorie der Warme. Herausgeg. v. M. Planck. Leipzig, 1894,
210 S.
72. Abhandlungen uber Emission und Absorption. Herausgeg. v. M. Pianck.— Ost-
walds Klassiker d. exakten Wissensch. № 100. Leipzig, 1898, 41 S.
73. Abhandlungen fiber mechanische Warmenlehre. Herausgeg. v. M. Plack.— Ost-
walds Klassiker d. exakten Wissensch., Ks 101. Leipzig, 1898, 48 S.
О ЖИЗНИ И ДЕЯТЕЛЬНОСТИ Г. КИРХГОФА
1. А. Г. Столетов. Г. Р. Кирхгоф,—Природа, СПб., 1873, № 2, с. 174—499.
То же, отд. изд. М., 1873.
То же, в кн.: А. Г. Столетов. Собрание сочинений, т. 2. М.— Л., 1941, с. 31—52.
2. Б. М е н ш у т к и н. Краткий очерк истории развития спектрального анализа.
Одесса, 1895, с 17—20.
3. А. В. Нетушил и Г. Р. Фабрикант. Г. Ф. Кирхгоф.— Электричество, 1957,
К° 10, с. 71—73.
4. Б. И. Степанов. О законе Кирхгофа.— Изв. АН БССР. Минск, 1954, № 4,
с. 125—129.
5. Т. Н. Горн штейн. Густав Роберт Кирхгоф и его исследования по тепловому
излучению.— Труды Института истории естествознания и техники. М., 1960, т. 34,
с. 110—156.
6. R. Helmholtz. Gustav Robert Kirchhoff.— Deutsche Rundschau. Berlin, 188,
Bd. 54, S. 232—245.
To же на англ. яз.— Annual Report of the Board of regents of the Smithsonian
Institution. Washington, 1889, S. 527—540.
..7. L. Boltzmann. G. R. Kirchhoff, Festrede des 301 Grfindungstages des Karl-
Franzenes Universitat zu Graz, geh. 15.ХП 1887.
To же, в кн.: L. Boltzmann. Populare Schriften. Leipzig, 1905.
8. W. Voigt. Zum Gedochniss von G. Kirchhoff.— Abhandl. K. Ges. Wiss. Gottin-
gen, 1889, Bd. 35 (Math.), S. 1—10.
9. A. Cotton. The present status of Kirchhoff's law. The Astrophys. J. Chicago,
1889, v. 32 p.
10. E. Warburg. Zur Erinnerung an Gustav Kirchhoff.— Naturwissenschaften. Ber-
lin, 1925, H. 11, S. 205—212.
11. (Некролог)—Ber. Dtsch. chem. Ges. Berlin, 1887, Bd. 20, S. 2771—2ТП.
12. (Некролог)—Lumiere electrique. Paris, 1887, t. 26, p. 194—195.
13. (Некролог) — Nature. London, 1887, v. 36, p. 606—607.
14. (Некролог) —Proc. Amer. Acad. Arts a. Sci. Boston, 1888, v. 23, p. 370—375.
15. (Некролог)—Sitzungsber. Nath.— Phys. KL К. B. Akad. Wiss. Munchen, 1889,
Bd. 18, S. 181 — 186.
16. (Некролог) —Proc. Roy. Soc. London, 1890, v. 46, p. VI—IX.
СОДЕ РЖА Н И Е
Предисловие ........................................................... 3
Предисловие ко второму изданию ...... ................. 4
Предисловие к третьему изданию............................................ 4
Предисловие к четвертому изданию........................................... 4
Лекция первая.
(Задача механики. Определение материальной точки. Скорость. Ускорение
или ускоряющая сила. Движение тяжелой точки. Движение планеты вокруг
Солнца. Правило параллелограмма сил. Дифференциальные уравнения зада-
чи трех тел).............................................................. 5
Лекция вторая.
(Движение несвободной материальной точки. Простой маятник. Движение
системы точек, для которой имеют место уравнения связей. .Масса материаль-
ной точки. Движущая сила. Лагранжевы уравнения механики) .... 15
Лекция третья.
(Принцип Даламбера. Работа. Принцип Гамильтона. Потенциал, или сило-
вая функция. Равновесие. Принцип возможных перемещений) .... 25
Лекция четвертая.
(Теорема живой силы. Устойчивость равновесия. Теоремы о движении цент-
ра тяжести. Движение системы вокруг ее центра тяжести. Теоремы площа-
дей. Моменты вращения)....................................................32
Лекция пятая.
(Определение положения твердого тела. Бесконечно малое смещение
твердого тела. Винтовое движение. Зависимость момента вращения систе-
мы сил от осей координат. Главный момент вращения)........................37
Лекция шестая.
(Живая сила движущегося твердого тела. Моменты инерции. Главные оси.
Дифференциальные уравнения движения твердого тела для случая, когда
оно свободно, и для случая, когда одна его точка закреплена) ... 48
Лекция седьмая.
(Интегрирование дифференциальных уравнений движения твердого тела, ко-
торое вращается вокруг закрепленной точки и на которое не действуют ни-
какие силы. Устойчивость вращения вокруг осей наибольшего и наименьшего
моментов инерции. Случай равенства двух из трех главных моментов инер-
ции. Вращение тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки. Интегри-
рование полученных дифференциальных уравнений при некоторых предпо-
ложениях) ................................................................56
Лекция восьмая.
(Измерение силы тяжести. Маятник. Маятник, соответствующий простому.
Оборотный маятник. Опыты Бесселя с маятником. Влияние воздуха. Изме-
рение силы тяжести с высотой и с географической широтой) .... 69
Лекция девятая.
(Влияние впащения Земли на движение тел на се поверхности. Центробеж-
ная сила. Отклонение свободно падающего тела от отвесной линии. Опыт
с маятником Фуко) ........................................................76
Лекция десятая.
(Относительные перемещения частей тела. Расширение линии, поверхности,
объемного элемента. Изменение бесконечно малой частицы твердого тела
слагается из поступательного перемещения, вращения и растяжения по трем
взаимно перпендикулярным направлениям. Главные удлинения. Движение
по поверхности тела и по поверхности соприкасания двух тел) ... 84
399
Лекция одиннадцатая.
(Давления. Зависимость компонент давления от направления и положения
элемента поверхности, к которому оно относится. Равенство давлений на
обеих сторонах поверхности соприкосновения двух тел. Внутренние силы.
Значение компонент сжимающей силы в жидкостях и упругих твердых
телах).....................................................................97
Лекция двенадцатая.
(Гидростатика. Равновесие жидкости возможно только при силах, имеющих
однозначный потенциал. Свободная поверхность жидкости есть эквипотен-
циальная поверхность. Тяжелая жидкость. Тяжелая вращающаяся жи ткость.
Вращающаяся жидкость, частицы которой притягиваются одной точкой или
между собой по закону Ньютона. Сжатие Земли. Давления, которые жид-
кость производит на сосуд, в котором она заключается, или на погруженное
твердое тело. Принцип Архимеда) . , ............................. 11G
Лекция тринадцатая.
(Капиллярные явления. Потенциал капиллярных сил. Главный радиус кри-
визны и линии кривизны. Увеличение поверхности при бесконечно малых
перемещениях ее точек. Дифференциальные уравнения поверхности соппи-
касания двух тяжелых жидкостей. Граничные условия. Величина силы, удер-
живающей в равновесии тело, способное двигаться только в одном направ-
лении и соприкасающееся с двумя жидкостями. Примеры такой силы) . 118
Лекция четырнадцатая.
(Интегрирование дифференциальных уравнений для поверхности соприка-
сания двух тяжелых жидкостей в случае, когда эта поверхность есть поверх-
ность вращения и когда расстояния рассматриваемых точек от-оси вращения
очень малы или очень велики. Первое и второе приближение) .... 129
Лекция пятнадцатая.
(Гидродинамика. Дифференциальные уравнения Лагранжа и Эйлера. Враще-
ние жидких частиц. Вихревые линии и вихревые нити. Потенциал скоростей.
Многозначность потенциала скоростей в многосвязном пространстве) . . 138
Лекция шестнадцатая.
(Несжимаемая жидкость. Потенциал масс, сосредоточенных в одной точке
или непрерывным образом распределенных по поверхности или по объему.
Потенциал двойного слоя. Теорема Грина. Представление некоторой функ-
ции V, которая удовлетворяет в некоторой области уравнению ДГ = 0 и
вместе со своими первыми производными однозначна и непрерывна, через
сумму потенциалов простого слоя и двойного слоя, распространенных по
поверхности области. Условия, достаточные для определения V. Линии тока
и нити тока. Случай, когда рассматриваемая область простирается в беско-
нечность. Многозначные решения уравнения Д<р = 0. Потенциал масс, завися-
щий от двух координат)....................................................148
Лекция семнадцатая.
(Преобразование уравнения Д<р=0 к произвольным ортогональным коорди-
натам. Эллиптические координаты. Течения по линиям, пересекающим
нормально систему софокусных эллипсоидов. Представление потенциала
скоростей этих течений как потенциала слоя. Объем жидкости, протекающей
через сечение в единицу времени. Сопротивление. Линии тока, пересекающие
нормально систему софокусных гиперболоидов)............................ 167
Лекция восемнадцатая.
(Потенциал однородного эллипсоида. Потенциал однородного бесконечно
длинного цилиндра. Покоящийся эллипсоид в текущей жидкости. Линии
тока в случае, когда эллипсоид обращается в эллипсоид вращения или в
шар. Твердое тело, движущееся в жидкости данным образом, исследуется
движение жидкости. Случай, когда тело — эллипсоид или шар. Движение
в жидкости двух тел. Ближайшее рассмотрение случая двух бесконечно ма-
лых шаров)........................................................ . 182
Лекция девятнадцатая.
(Дифференциальные уравнения движения тела в жидкости, на которое
действуют данные силы. Применение к этому случаю принципа Гамильтона.
Движение тел при отсутствии внешних сил. Упрощение задачи через предпо-
ложение некоторой симметрии. Шар. Тело вращения. Движение в жидкости
двух бесконечно малых шаров. Силы взаимодействия между ними) . . 198
Лекция двадцатая.
(Вихревое движение. Прямые и параллельные вихревые нити. Движение
нескольких подобных нитей бесконечно малых сечений. Прямые вихревые
нити, заполняющие сплошным образом цилиндр эллиптического сечения.
Круговые вихревые нити с обшей осью. Движение вихревого кольца и двух
вихревых колец бесконечно малого сечения)............................... 212
400
Лекция двадцать первая.
(Функции комплексного переменного. Их применение к нахождению дейст-
вительного движения жидкостей. Подобное в малых частях отображение
некоторой части плоскости на другую. Линейные функции. Многозначные
функции. Изображение одного серпа на другом)............................230
Лекция двадцать вторая.
(Жидкие струи. Струя, вытекающая из сосуда определенного вида. Струя,
встречающая плоскую стенку. Плоская стенка в потоке бесконечной ширины.
Давление на эту стенку).................................................243
Лекция двадцать третья.
(Движение воздуха или другой сжимаемой жидкости, на частицы которой не
действуют никакие силы. Случай, когда существует потенциал скоростей, и
скорость есть величина бесконечно малая. Вывод условий, определяющих по-
тенциал скоростей. Плоские волны; отражение последних. Шаровые волны.
Вычисление потенциала скоростей из начальных данных для случая, когда
воздушная область безгранична. Движение неизменяемого шара в воздухе.
Колебания шара. Интенсивность производимых тонов. Колебания двух
малых шаров)....................'.......................................257
Лекция двацать четвертая.
(Простые тоны. Применение теоремы Грина к потенциалу скоростей про-
стого тона. Плоские волны. Стоячие и движущиеся колебания. Собственные
тоны столба воздуха. Колебания воздуха в открытой трубе. Резонанс. Ша-
ровые волны. Колебания воздуха в области, размеры которой бесконечно
малы по сравнению с длиной волны. Кубическая трубка. Вычисление резо-
нанса и высота тона кубической трубки для эллиптического или круглого
отверстия. Вычисление резонанса и высота тона цилиндрической трубки при
известных условиях).....................................................268
Лекция двадцать пятая.
(Движение несжимаемой жидкости, на частицы которой действуют силы.
Истечение тяжелой жидкости из отверстия в сосуде. Теорема Торричелли.
Установившееся движение жидкого эллипсоида, частицы которого взаимно
притягиваются по закону всемирного тяготения. Ус1ановившееся движение
жидкого эллипсоида относительно вращающейся системы координат. Бес-
конечно малые колебания тяжелой жидкости. Волны тяжелой жидкости
конечной высоты. Неустановившееся движение жидкого эллипсоида, части-
цы которого притягиваются по закону всемирного тяготения) . . 288
Лекция двадцать шестая.
(Трение несжимаемой жидкости. Вывод дифференциальных уравнений и
граничных условий. Течение жидкости по длинной цилиндрической трубе.
Введение допущений, что жидкость прилипает к твердому телу, с которым
соприкасается, и что скорости бесконечно малы. Равномерное вращение
жидкости шара относительно диаметра или эллипсоида вращения относи-
тельно оси симметрии в случае, когда снаружи жидкость не ограничена, или
ограничена концентрической шаровой поверхностью, или соответственно
поверхностью софокусного эллипсоида. Вычисление момента сил, действую-
щих на шар или эллипсоид. Сопротивление шара, равномерно поступательно
движущегося в жидкости. Вращательные колебания шара. Колебания ша-
ра, при которых центр движется взад и вперед по прямой линии) . . 306
Лекция двадцать седьмая.
(Равновесие и движение упругого твердого тела. Вывод дифференциаль-
ных уравнений для тела, обладающего различными упругими свойствами по
разным направлениям. Число упругих постоянных, вообще, 21; оно умень-
шается при наличии плоскостей симметрии и для изотропного тела сводится
к двум. Задача о равновесии имеет только одно решение. Когда на частицы
тела не действуют силы, то оно может быть в равновесии, если компонен-
ты сжатия постоянны. Всестороннее сжатие, коэффициент упругости.
Равновесие изотропных цилиндров, на поверхности оснований которых из-
вестным образом распределены давления. Продолжение вычисления для
случая кругового сечения. Равновесие полого шара, на поверхности которого
действует постоянное нормальное давление) ............................. 322
Лекция двадцать восьмая.
(Конечные деформации бесконечно тонкого, первоначально цилиндрического
стержня. Расширение бесконечно малого элемента последнего. Упрощение,
происходящее от того, что сечение есть эллипс, или его плоскость есть плос-
кость симметрии. Потенциал сил, производимых расширением. Живая сила
стержня. Равновесие стержня под влиянием сжимающих сил, приложенных
ио концам его. Аналогия относящейся сюда задачи с задачей о движении
401
твердого тела вокруг неподвижной точки. Стержень может представлять вин-
товую линию. Равновесие изогнутого стержня, бывшего первоначально винто-
вой линией).............................................................336
Лекция двадцать девятая.
(Бесконечно малые деформации бесконечно тонкого первоначально цилиндри-
ческого стержня. Изгиб и кручение в случае изотропного и ненапряженного
стержня. Изгиб напряженного стержня. «Метод Гравезанда определения ко-
эффициентов упругости проволоки. Изгиб горизонтальной проволоки от соб-
ственного веса. Продольные и крутильные колебания стержня. Поперечные
колебания ненапряженного стержня. Поперечные колебания слабо напряжен-
ной и сильно напряженной струны)........................................354
Лекция тридцатая.
(Равновесие и движение бесконечно тонкой первоначально плоской изотроп-
ной пластинки. Расширение малой части пластинки. Потенциал сил, произ-
водимых расширением Бесконечно малая деформация. Равновесие при пре-
дельных перемещениях. Дифференциальные уравнения поперечных колебаний
свободной пластинки. Интегрирование последних для круглой пластинки.
Поперечные колебания напряженной мембраны).........................371
прил оже ния
Густав Роберт Кирхгоф. Биографическая справка (Т. Н. Горнштейн) . . 387
Примечания (Л. С .Полак)...............................................391
Библиография научных трудов Г. Кирхгофа................................394
Густав Кирхгоф
Механика.
Лекции по математической физике
Утверждено к печати
Институтом истории естествознания
и техники
Академии наук СССР
Редакторы Издательства Г. Г. Гуськов и В. М. Медер
Художник С. В. Крылов
Технический редактор Т. В. Полякова
РИСО АН СССР № 5-14В. Сдано в набор 6/VII 1962 г.
Подп. в печать 25/Х—1962 г.
Формат 70Х108!/1в Печ. л. 25.25 + 1 вкл. 34.75 усл. печ. л.
Уч.-издат. л. 24,4 (24,3+1 вкл.) Тираж 5300
Изд. .Na 269. Тип. зак. № 5259.
Цена 1 р. 91 к.
Издательство Академии наук СССР.
Москва, Б-62. Подсосенский пер..
2-я типография Издательства АН СССР,
Москва, Г-99, Шубинский пер., 10
ОПЕЧАТКИ И ИСПРАВЛЕНИЯ
Страница Строка Напечатано Должно быть
114 13 св. введем н введем
127 14 сн. нуль, нуль8,
176 7 сн. бесконечна. бесконечна18.
387 4 св. Об Он
Г. Кирхгоф. Механика.