Р-адический анализ и математическая физика - Владимиров В.С., Волович И.В., Зеленов Е.И.

Author: Владимиров В.С. Волович И.В. Зеленов Е.И.
Tags: математическая физика
Year: 1994
Similar
Уравнения математической физики
Что такое математическая физика
Сборник задач по уравнениям математической физики
Text
                    В.С.Владимиров, И.В.Волович, Е.И.Зеленов
Р-АДИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
М.: Физматлит, 1994.—352 с.
Впервые в отечественной литературе излагаются результаты исследований по
использованию р-адического анализа в теоретической и математической физике.
Дается введение в теорию р-адических чисел и неархимедову геометрию,
приводится большое число результатов по интегральному исчислению, теории
обобщенных функций и псевдодифференциальных операторов над полем р-
адических чисел. Излагаются элементы классической и квантовой механики над
полем р-адических чисел, включая спектральную теорию квантового р-адического
гармонического осциллятора. Описаны применения р-адического анализа к
квантовой теории поля, теории струн, квантовым группам, теории случайных
процессов.
Для математиков и физиков-теоретиков—студентов старших курсов,
аспирантов, преподавателей и научных работников.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение 7
I. Анализ над полем/>-адических чисел 19
§ 1. Поле /7-адических чисел 19
1. /7-адическая норма 19
2. /7-адические числа 21
3. Пространство /7-адических чисел Qp 23
4. Квадратичные расширения поля Qp 27
5. Полярные координаты и окружности в поле Qp(Vs) 30
6. Отображение Qp в R 31
7. Пространство Q° 34
§ 2. Аналитические функции 35
1. Степенные ряды 35
2. Аналитические функции 37
3. Алгебра аналитических функций 39
4. Функции е*, ln(l+x), sin x, cos x 40
5. Теорема об обратной функции 46
§ 3. Аддитивные и мультипликативные характеры 48
1 Аддитивные характеры поля Qp 48
2. Мультипликативные характеры поля Qp 52
3. Мультипликативные характеры поля Qp(Vs) 56
§ 4. Интегрирование 57
1. Инвариантная мера в поле Qp 57
2. Замена переменных в интегралах 58
3. Примеры вычисления интегралов 61

4. Интегрирование в Q° 67
§ 5. Гауссовы интегралы 74
1. Гауссовы интегралы по окружностям Sy 75
2. Гауссовы интегралы по кругам Ву 86
3. Гауссовы интегралы по Qp 88
4. Дальнейшие свойства функции XJa) 89
5. Пример 94
6. Исследование функции S(a,q) 99
§ 6. Обобщенные функции 101
1. Локально постоянные функции 101
2. Основные функции, п= 1 103
3. Обобщенные функции, п= 1 106
4. Линейные операторы в ?>' 109
5. Основные и обобщенные -функции, п>\ 111
6. Прямое произведение обобщенных функций 112
7. Теорема о «ядре» 113
§ 7. Свертка и преобразование Фурье 114
1. Свертка обобщенных функций 114
2. Преобразование Фурье основных функций 118
3. Преобразование Фурье обобщенных функций 126
4. Пространство L2 129
5. Умножение обобщенных функций 131
§ 8. Однородные обобщенные функции 134
1. Однородные обобщенные функции 134
2. Преобразование Фурье однородных обобщенных функций и Г- 142
функция
3. Свертка однородных обобщенных функций и SB-функция 151
4. Однородные обобщенные функции многих переменных 155
II. Псевдодифференциальные операторы над полем/>-адических чисел 163
§ 9. Оператор Z>« 163
1. Оператор Z>a, a ф -1 163
2. Оператор ZH 167
3 Уравнение Da\\f=g 173
4. Спектр оператора Z>a в Qp, a > 0 175
5. Ортонормированный базис собственных функций оператора Z>a 176
6. Разложения по собственным функциям 185
§ 10. Операторы типа Шредингера 187
1. Ограниченные снизу самосопряженные операторы 187
2. Критерии компактности функций в ?2(Q°) 190
3 Оператор типа Шредингера а *+ V 191
4. Оператор Z>a, a>0, вВг 195

5. Оператор Z>«, a>0, в ST 199
6. Оператор Z)a+V(|x|p), a>0, в Qp, (p ф 2) 201
7. Оператор т+У(\х\р), a>0, в L2 (Qp), p ф 2 203
8. Наименьшее собственное значение 205
9. Оператор Z)a+V(|x|p), a>0, в Qp, (p ф 2) (продолжение) 208
10. Пример потенциала V(|x|p)=|x|pa, a>0, p Ф 2 211
11. Оператор Z)«+V(|jc|p), a>0, вне круга (р ф 2) 212
12. Обоснование метода 217
13. Дальнейшие результаты о спектре оператора Z)a+V(|x|p) 220
14. Нестационарное уравнение типа Шредингера 221
III />-адическая квантовая теория 225
§ 11. р- адическая квантовая механика 225
1. Классическая механика над Qp 226
2. Представление Вейля 227
3. Свободная частица 231
4. Гармонический осциллятор 233
5. Лагранжев формализм 236
6. Фейнмановские континуальные интегралы 241
7. Квантовая механика с/7-адичнозначными функциями 245
§ 12. Спектральная теория в/7-адической квантовой механике 248
1. Гармонический анализ 249
2. Теория операторов 250
3. Теорема о размерностях инвариантных подпространств 251
4. Исследование собственных функций 259
5. Системы Вейля и когерентные состояния 264
6. Симплектическая группа 273
7. Исследование собственных функций при р = 3 (mod 4) 277
§ 13. Системы Вейля. Бесконечномерный случай 286
1. Алгебры Вейля 287
2. Положительные функционалы 288
3. Представление Фока 290
4. Эквивалентность L-фоковских представлений 295
§ 14. /7-адические струны 298
1. Дуальные амплитуды 298
2. /7-адические амплитуды 3 00
3. Адельные произведения 304
4. Струнное действие 306
5. Пространство модулей и тэта-функции 307
6. Многопетлевые амплитуды 310
7. Жесткая аналитическая геометрия и/?-адические струны 313
§ 15. ^-анализ (квантовые группы) и/7-адический анализ 317

1. /7-адический интеграл и ^-интеграл 317
2. Дифференциальные операторы 318
3. Спектры ^-деформированного осциллятора и/ьадической модели 319
§ 16. Случайные процессы над полем/7-адических чисел. 320
1. Случайные отображения и марковские процессы 320
2. Броуновское движение на/7-адической прямой 325
3. Обобщенные случайные процессы 327
4. Квантовая теория поля 328
Библиографический обзор 330
Список литературы 338

ВВЕДЕНИЕ
В математической физике со времен Ньютона и Лейбница
применяются вещественные числа. Если встречается какая-
либо практическая задача, обычно для ее решения выписы-
выписываются соответствующие уравнения, разумеется над полем
вещественных чисел R. Вопрос, почему нужно испочьзовать
именно вещественные числа, даже не задается. Почему так
происходит? Дело в том, что физические процессы происходят
в пространстве и во времени, а, как хорошо известно, про-
пространственно-временные координаты задаются вещественными
числами. В качестве физического пространства еще со времен
Евклида рассматривается вещественное трехмерное евклидово
пространство R3. Как известно, важное дополнение к этой
точке зрения было сделано Риманом и Эйнштейном введением
римановой геометрии, но в существенном математической
моделью для пространства до настоящего времени остается R3,
а для пространства-времени R .
Эти представления стали настолько привычными, что К3
часто воспринимается как реальное физическое пространство.
Мы хотели бы подчеркнуть, что евклидово пространство К3 -
это не более чем математическая модель для реального
физического пространства. Для того чтобы убедиться, что
евклидово пространство К3 является хорошей моделью для
физического пространства, следует проверить на опыте
соответствующие геометрические аксиомы элементарной школь-
школьной геометрии. Для этого необходимо измерять с очень
высокой точностью длины отрезков, углы и т.д. Однако в
квантовой теории с учетом гравитации имеется следующий

результат. Если Аж - погрешность в измерении длины, то,
оказывается, имеется неравенство
а* * гр1 * /сз , A)
где h - постоянная Планка, с - скорость света и G - грави-
гравитационная постоянная. Величина I очень мала, порядка
10" 3 см, она носит название планковской длины. Мы не будем
здесь обсуждать вывод фундаментального неравенства A),
которое имеет долгую историю. Подчеркнем, что в силу A)
невозможно измерение расстояний меньших планковских.
Обратимся теперь к аксиомам евклидовой геометрии. В
списке аксиом имеется так называемая аксиома Архимеда,
которая впервые была выделена и проанализирована Веронезе и
Гильбертом. Она заключается в следующем. Рассмотрим прямую
линию и выберем на ней два отрезка а и 6 с началом в одной
точке. Аксиома Архимеда гласит, что, прикладывая меньший
отрезок а вдоль прямой достаточно большое число раз, мы в
конце концов превзойдем больший отрезок Ъ. По существу эта
аксиома описывает процедуру измерения. Мы сравниваем два
масштаба а и 6. Иногда аксиому Архимеда называют аксиомой
измеримости. Она означает, что мы должны иметь возможность
измерить сколь угодно малые расстояния. Однако, как мы
знаем, в силу неравенства A) в реальном физическом прост-
пространстве это невозможно. Таким образом, мы приходим к
выводу, что геометрия обычного евклидова и, более общо,
риманова пространства неадекватно описывает свойства реаль-
реального физического пространства на очень малых расстояниях.
Имеется соответствие между геометрическим и аналити-
аналитическим описанием при помощи числовых координат: условно
говоря,
геометрия <—> числовая система.
Как хорошо известно, обычная евклидова геометрия опи-
описывается при помощи вещественных чисел. Если мы отка-
отказываемся от использования евклидовой геометрии для описания
малых расстояний в физическом пространстве, это означает,
что вместо вещественных чисел мы должны использовать
8

какую-то другую числовую систему. Какую именно? Что могло
бы быть исходной точкой нового подхода?
Обратим внимание на то, что в повседневной жизни и в
научных экспериментах мы никогда не имеем дела с бес-
бесконечными десятичными дробями, т.е. с иррациональными веще-
вещественными числами. Результаты любых практических действий
мы можем выражать только в рациональных числах. Конечно,
имеется общепринятая уверенность в том, что если мы будем
проводить измерения со все большей точностью, то в принципе
мы можем получить сколь угодно много знаков после запятой и
интерпретировать результат как вещественное число. Однако
это идеализация и, как явствует из предыдущего обсуждения,
мы должны быть осторожны с такими утверждениями, итак,
примем в качестве нашей отправной точки поле рациональных
чисел D. Геометрическому понятию расстояния соответствует
аналитическое понятие нормы на Q, т.е. функции |а;| со
свойствами
1) |ж| ь 0, причем \х\ = 0 «=» х - О,
2) \ху\ = \x\\y\,
3) \х*у\ * \x\-\y\
для любых рациональных чисел х, у. Какие нормы существуют
на Q? Имеется замечательная теорема Островского, описы-
описывающая все нормы. Оказывается, любая норма на 0 экви-
эквивалентна либо обычному абсолютному значению, либо р-аЭи-
ческой норме для некоторого простого числа р, где р-ади-
ческая норма \х\ определяется следующим образом. Пусть р -
простое число. Представим рациональное число х в виде
v m
х — р —, где т и п - целые, которые не делятся на р, такое
представление однозначно. Тогда
\х\р = 1//. B)
Несмотря на некоторую, на первый взгляд, искусственность
этого определения, подчеркнем, что в силу теоремы Остров-
Островского других норм на 0 нет. Нетрудно проверить наличие
свойств 1) - 3) для \х\ . Фактически вместо неравенства

треугольника 3) имеет место более сильное неравенство
3') |ж+у|р
Норма, которая удовлетворяет неравенству 3'), называется
неархимедовой. Пополнение поля рациональных чисел D по
обычной норме приводит к полю вещественных чисел R.
Аналогично, пополнение поля рациональных чисел О по /?-ади-
ческой норме |а;| приводит к полю /?-адических чисел О для
любого простого р.
Любое вещественное число может быть записано в виде
десятичной дроби, т.е. ряда
со
U ^
10 2Л
C)
Аналогично, любое р-адическое число может быть записано в
виде ряда
со
Х = ^ I anP"> D^>
п=О
где а - целые, 0 з a s р-1. Если а * 0, то представление
п п О г
D) однозначно. Заметим, что в отличие от C), где имеем
ряд по степеням малого параметра 1/10, в D) имеем ряд по
степеням простого числа р. Ряд D), очевидно, сходится по
р-адической норме.
Выражение D) можно считать за определение ^-адичес-
кого числа. Арифметические действия сложения, умножения и
т.д. с />-адическими числами вида D) производятся как со
степенными рядами. Любое рациональное, в частности, отри-
отрицательное число, может быть представлено в виде ряда D).
Например,
-1 = (р-1) * (р-1)р + (р-1)р2
Введенные К.Гензелем в конце XIX века />-адические
чцсла составляют неотъемлемую часть теории чисел, алгеб-
алгебраической геометрии и других разделов современной мате-
математики .
10

Геометрия неархимедова пространства удивительно непо-
непохожа на евклидову геометрию - это вытекает из свойства нор-
нормы 3). В частности, все треугольники здесь равнобедренные.
Два разных шара в неархимедовой геометрии не могут частично
пересекаться, возможно лишь, что либо один из них содер-
содержится внутри другого, либо они не имеют общих точек. Это
напоминает поведение двух капель ртути. Поле р-адических
чисел D имеет естественную иерархическую структуру: каждый
диск состоит из конечного числа непересекающихся дисков
меньшего радиуса; поле Q гомеоморфно канторовскому множе-
множеству на вещественной оси.
Итак, мы приходим к следующей картине. В основе
фундаментальной физической теории должны лежать раци-
рациональные числа, на очень малых расстояниях важную роль
должны играть ^-адические числа, а на больших - вещест-
вещественные. Это приводит к необходимости переработки основ
математической и теоретической физики, начиная с клас-
классической механики и кончая теорией струн, с использованием
теории чисел, р-адического анализа, алгебраической гео-
геометрии. Это огромный по объему материал, и в настоящей
книге мы не сможем охватить зсе его аспекты. Цель этой
книги - дать введение в те разделы р-адического анализа,
которые оказались наиболее близкими к приложениям и описать
некоторые из разделов р-адической математической физики.
Неархимедова геометрия и р-адический анализ приме-
применяются в физике не только для описания геометрии на малых
расстояниях, но и в рамках традиционной теоретической физи-
физики для описания сложных систем типа спиновых стекол или
фракталов. Мы находимся только в начале р-адической мате-
математической физики. Мы надеемся, что р-адические числа
найдут применения в таких областях, как теория турбу-
турбулентности, биология, динамические системы, компьютеры,
проблемы передачи информации, криптография и других естест-
естественных науках, в которых узучаются системы с хаотическим
фрактальным поведением и иерархической структурой.
Книга начинается с изложения р-адического анализа. В
основном рассматривается два типа анализа: один - в котором
изучаются функции типа /: 0 -» 0 , и другой - в котором
изучаются комплекснозначные функции /: 0 -» С. Вкратце мы

касаемся также свойств функций вида /: R -» Q .
р
Анализ функций из 0 в D строится во многом ана-
р р
логично обычному вещественному анализу. Например, экспо-
экспонента определяется формулой
e =
где ж с 0 и ряд сходится по р-адической норме для \х\ < 1
при р * 2. Производные определяются обычным образом, только
с использованием />-адической нормы. Они обладают стандарт-
стандартными свойствами. Выписываются дифференциальные уравнения -
обыкновенные и в частных производных, изучаются свойства их
решений. Уравнения />-адической классической механики для
гармонического осциллятора имеют вид
X = —, Р = - —,
вр ах
где гамильтониан Е равен
Р '
Здесь время t, координата X = X{t) и импульс; Р = P(t) явля-
являются р-адическими переменными.
Для />-адичнозначных функций отсутствует естественный
аналог интеграла Лебега. Напротив, для функций вида
/: О -» С имеется теория интегрирования, поскольку на Q ,
р р
как и на любой локально компактной группе, есть мера Хаара.
Однако возникают проблемы с дифференцированием таких функ-
функций.
Комплекснозначная экспонента (характер) определяется
выражением
Хр(х) = ехр2иг{ж},
где {х} - рациональная часть ряда D). Характер х (х) и
мера Хаара dx используются для построения теории преоб-
12

разовавия Фурье комплекснозначных функций f(x),
f(x)XpUx)dx.
Комплекснозначную функцию f(x) нельзя дифференцировать в
обычном смысле по />-адическому аргументу х. Поэтому при
построении теории обобщенных функций роль условия диффе-
ренцируемости в пространстве основных функций выполняет
условие локальной постоянности /(ж). Аналогом оператора
дифференцирования является псевдодифференциальный оператор
f(x)-f(y)
dV- F)
\x-y\
p
Как сравнить результаты р-адической теории с вещественной?
Для этого вспомним, что непосредственно наблюдаются только
рациональные числа. Следовательно, нужно исследовать рацио-
рациональные точки соответствующих решений. Например, для гармо-
гармонического осциллятора E) рассмотрим рациональные решения
уравнения
Р 2+ X г = 1 G)
траектории в фазовом пространстве.
Как известно, рациональные решения уравнения G)
даются формулами
т2-п2 2тп
р - . г -
тг+п2 тг+пг
где тип- целые. Таким образом, мы имеем бесконечное мно-
множество рациональных точек на алгебраической кривой G), и
вив фазовой траектории р-адического гармонического осцил-
осциллятора экспериментально неотличим от фазовой траектории
вещественного осциллятора. Разумеется, для других систем
ответ будет другим, так как число рациональных точек на
алгебраической кривой существенно зависит от вида кривой.
13

Квантовая механика гармонического осциллятора задается
тройкой
Ц,@р), V(z),U{t)), (8)
где L @ ) - гильбертово пространство квадратично сумми-
суммируемых по мере Хаара комплекснозначных функций на Q , ^(z)
- унитарное представление группы Гейзенберга - Вейля в
L (О ) , т.е. представление канонических коммутационных со-
2 р'
отношений, и U(t) - оператор эволюции, в данном случае -
сужение унитарного представления метаплектическои группы на
абелеву подгруппу. В книге проводится изучение спект-
спектральных свойств оператора эволюции, т.е. разложение пред-
представления U(t) на неприводимые. Как соотносится р-адическая
квантовая механика с обычной? Имеет место следующая формула
exp 2ixi{k2t-kx) = ц X (k3t-kx) (9)
р
для рациональных к, t и х. Таким образом, волновая фунхция,
описывающая эволюцию свободной частицы в общей квантовой
механике, так называемая плоская волна, может быть пред-
представлена как произведение волновых функций р-адических
частиц. Это можно интерпретировать, сказав, что обычная
точечная частица на самом деле состоит из р-адических
частиц, подобно тому как элементарные частицы состоят из
кварков.
Формулы типа (9) носят название эйлеровских или адель-
ных произведений. Известным примером такого типа формул
является эйлеровское представление для дзета-функции
1
С(*) =
р l~p's
Аналогичное представление имеет место для пропагатора в
теории поля
— = ТТ \kZ\
14

для рациональных к, а также в р-адической теории струн.
Разработка формализма математической и теоретической
физики над полем р-адических чисел представляет значи-
значительный интерес даже независимо от возможных приложений,
так как способствует более глубокому пониманию формализма
стандартной математической физики. Можно высказать следу-
следующий принцип. Фундаментальные физические законы должны
допускать формулировку, инвариантную относительно выбора
числового поля. Таким образом, мы включаем в игру не только
поля рациональных, вещественных и ^-адических чисел, но и
произвольные поля.
Имеются различные формулировки квантовой механики и
квантовой теории поля, эквивалентные над полем вещественных
чисел. Над полем ^-адических чисел они перестают быть
таковыми.
В выражении для действия в евклидовой формулировке
р-адической квантовой механики используется оператор F):
S = I \<p(x)l?<p(x) + m2p2(x)~\dx, A0)
ID
здесь ip - вещественнозначная функция р-адического аргу-
аргумента. Эквивалентность квантовой механики (8) и квантовой
механики, основанной на действии A0), в настоящее время не
ясна. Один из вариантов действия для р-адической евклидовой
теории поля имеет вид
5 = p(k)a(k)p(-k)dk + V{r(x))dx.
где a(k) - некоторая функция от А; и V(tp) - потенциал
взаимодействия. При наличии действия дальнейшая теория
строится по обычным правилам теоретической физики, т.е.
изучаются классические уравнения, континуальные интегралы и
т.д.
15

Современная теория струн началась, как известно, с
амплитуды Венециано
А(а,Ь) = \х"-1A-х)ь-Чх = — , A1)
J Г(а+6)
где а и Ь - параметры, зависящие от импульсов сталки-
сталкивающихся частиц. Функция жа - это мультипликативный харак-
характер на вещественной оси. Можно интерпретировать A1) как
свертку двух характеров. Тогда обобщением амплитуды Вене-
Венециано будет следующее выражение
A2)
где К - поде, у - характер, dx - мера на К. Для различных
К, в частности, для К вида R, С, ID или F - поля Галуа,
Р Ч
получаем формулы, играющие важную роль в теории струн и
теории чисел. Амплитуды Венециано являются частным случаем
более общей амплитуды Коба - Нильсена, абстрактная форма
которой имеет вид
А = Иг (х -х )dx .. .dx .
В качестве К можно выбрать поле />-адических чисел и, таким
образом, прийти к теории ^-адических дуальных амплитуд и
струн. В развитии />-адической математической физики важную
роль сыграла адельная формула
i \w
открытая Фройндом и Виттеном.
Возможно другое обобщение формулы A1), использующее
р-адическую гамма-функцию. На этом пути возникают интерес-
16

ные связи с суммами Якоби и Z-адическими когомологиями кри-
кривых Ферма над полями Галуа.
Обнаружилась неожиданная связь р-адического анализа с
g-анализом и квантовыми группами, и, таким образом, с
некоммутативной геометрией. В g-анализе рассматриваются
своеобразные конечноразностные аналоги функций из обыч-
обычного анализа, g-анализу уделяли внимание еще Эйлер, Гаусс и
другие. Сферические функции на квантовых группах являются
^¦-специальными функциями. Мера Хаара на квантовой группе
SU B) выражается через д-интеграл
f(x)dx = A-q) lf(qn)qn. A2)
Здесь 0 < q < 1 и f(x) - вещественная функция. С другой
стороны, интеграл по мере Хаара на Q имеет вид
\p)
f(\x\p)dx = (l - i) 1Пр-п)р-\ A3)
Видим, что при q = 1/р выражения A2) и A3) совпадают.
Имеются и ряд других удивительных соответствий д-деформаций
и р-адического анализа.
Приведем в заключение основные направления применений
.р-адического анализа в математической физике:
геометрия пространства-времени на малых расстояниях;
обобщение формализма теоретической физики на другие
числовые поля;
классический и квантовый хаос; изучение сложных систем
типа спиновых стекол и фракталов;
адельные формулы, позволяющие разложить некоторые
физические системы на более простые составляющие;
стохастические процессы и теория вероятностей;
связи с д-анализом и квантовыми группами.
В заключительной части введения приведем короткий
путеводитель для читателя. Мы стремились к тому, чтобы не
требовать от читателя предварительных сведений из />-ади-
ческого анализа. Нет необходимости читать книгу после-
17

довательно в порядке расположения параграфов. Взаимо-
Взаимозависимость материала, изложенного в. различных параграфах,
очень простая. После прочтения первых двух пунктов A.1 и
1.2), содержащих определения р-адической нормы и р-ади-
ческих чисел, можно переходить к чтению любого другого
параграфа.
* * *
Мы хотели бы выразить благодарность всем нашим друзьям
и коллегам за многочисленные полезные обсуждения вопросов,
рассмотренных в настоящей книге.

ГЛАВА I
АНАЛИЗ НАД ПОЛЕМ jP-АДИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ
§ 1. Поле р-адических чисел
1. ^-адическая норма. Через 2 обозначим кольцо целых
рациональных чисел, 1 = {0,±1,±2, . . .} ; через TL+ - множество
натуральных чисел, 2 = {1,2,...}.
Пусть D - поле рациональных чисел. Абсолютное значение
\х\ любого х е О удовлетворяет следующим характерным свой-
свойствам :
(i) \х\ г 0, причем \х\ = 0 <=» х = О,
(ii) \xy\ = \х\ \у\, у е Q,
(iii) \х+у\ ^ |а;| + |2/| , у е 0.
Любая функция со свойствами (i) - (iii) называется нормой.
Пусть теперь р - простое число, р = 2,3,5,...,137,...
В поле 0 введем другую норму \х\ по правилу
|0|р = 0, \х\р = р-*<х), A.1)
где целое число 7(ж) определяется из представления
х = р* ^, т, п, ч = r(x) e 1 A.2)
и целые числа т и п не делятся на р. Норма \х\ называется
р-адической нормой.
Примеры.
|6|з = |15|з = 1/3, |1/4|г = |3/4|2 = 4, |137|2 = 1.
Норма \х\ обладает характерными свойствами (i)
(iii) нормы даже в более сильной форме, а именно,
1) | а; | г О, причем | х \ = О <=» х = 0,
2) \ху\р = \х\р\у\р,
3) \х+у\р * тах(|Ж|р,|г/|р).
19

В случае, когда |ж| * |у| , мы имеем равенство
3') |ж+у|р = тах(|ж|р,|у|р).
При р = 2 мы также имеем
3") \х+у\2 s 1/2|ж|р, если \х\г = |г/|2.
¦ Свойства 1) и 2) очевидны. Докажем свойства 3).
Действительно, если х и у = р —, представлены в виде
A.2), то в силу A-1) \х\ = р~* и \у\п = Р * ¦ Пусть, для
определенности, min(r,r') = К. Тогда
'Г 'I = / • A-3)
р
„у-у
Целое число пп' не делится на р, а целое число тп' +пт' р
может делиться на р. Поэтому г(х+у) > ц = min^,?') и,
следовательно,
т.е. неравенство 3) установлено.
Если же г' > Т, то в A.3) целое число тп' +пт' р* ~* не
делится на р. Поэтому -у(х+у) = г и
= тах(|а,-|
р,
2
т.е. равенство 3') установлено. При р = 2 и |ж|
= |g/| = 2 в A.3) числа /я, п, т' , п' - нечетные и, зна-
значит, число тп' +пт' четное, а число пп' нечетное, так что
у (х+у) ь чг+1 и, следовательно,
\х+у\г * 2"*-1 = J|a:|2,
т.е. неравенство 3'') доказано. ¦
Заметим, что норма \х\ может принимать лишь счетное
число значений р~*, г е I.
Норма \х\ определяет ультраметрику на 0 (из-за нера-
неравенства 3)). Эта норма неархимедова. Действительно,
\пх\ s |ж| для любого п е 1 .
Имеет место следующая
Теорема островского. Нормы \х\ и \х\ , р = 2,3, . . . ,
исчерпывают все нетривиальные неэквивалентные нормы поля
рациональных чисел 0.
Обозначим \х\ю - \х\ > х е 0. Справедлива следующая
20

ч(адельная) формула
П \х\ = 1, х е 0, х * О. A-4)
¦ Действительно, разлагая рациональное число а: на
множители
а а а
X = Е р J? • • • J? jE— 11 j
где р - различные простые числа и а е I (j - 1,2,...,п),
в силу A-1) и A.2) получим
-а а а
J
откуда и следует формула A.4). ¦
2. р-адические числа. Пополнение поля О по р-адичесхой
норме образует поле 0 р-адических чисел (характеристики
О). Поле 0 аналогично полю IR = В вещественных чисел,
р со
получаемых пополнением О по норме \х\ = \х\ .
Любое ^-адическое число х * О однозначно представ-
представляется в каноноческом виде
„ _ ЭТТ(„ „ и.™ и2, \ /о 1 \
где г = г (ж) е Z и а: - целые числа такие, что
Osyp-1, io>0(i=0,l,...).
Отмгтим, что ряд справа в B.1) сходится по норме
\х\ , поскольку общий член его имеет оценку
Представление B.1) аналогично разложению любого
вещественного числа х в бесконечную десятичную дробь
х = ±lOr(zo + жДО + а;Д0-2 ^ ...),
? ё I, xi = 0,1,. ..,9, а;о > О,
й доказывается аналогично.
Представление B.1) означает, что любое р-адическое
число х есть предел по />-адической норме последовательности
рациональных чисел
Г (XQ + X + ... + X рП) , П -» оо I.
Если х е 0 представлено в виде B.1), то |a;f. = р~* и
21

выполнены свойства 1) - 3) р-адической нормы.
Представление B.1) дает рациональные числа тогда и
только тогда, когда, начиная с некоторого номера, числа х ,
j = 0,1, ... образуют периодическую последовательность.
Пример.
-1 = р-1 + (p-i)p + (p-i)p2 + ...
С помощью представления B.1) определяется дробная
часть {х\ числа х е О :
1 jp p
{О, если ?(х) 2 О или х = О,
pr(a;o+a;ip+...^|r|_iplrl-1), если г(х) < 0.
Нетрудно убедиться, что
pr s {х} ? 1-рГ, если г(х) < 0. B.3)
Пример. {1/6} = 2/3.
Сумма двух р-адических чисел х вида B.1) и
представляется в каноническом виде
х+у = pr(x+y)(VCip+C2p2+---)- 0 * с. ± р-1 , cq > О,
причем числа V(х+у) и с однозначно определяются из ра-
равенства
методом неопределенных коэффициентов по модулю ^. Анало-
Аналогично определяется канонический вид и для произведения ху.
Уравнение а+х = 0 однозначно разрешимо в ID при любом
о е 0 , причем х = (-1)а = -а; уравнение ах - 1 также одно-
р
значно разрешимо в 0 при любом а е 0 , а * 0, причем
х = 1/а. (Для определения канонической формы числа 1/а
используется метод неопределенных коэффициентов по модулю р
в уравнении ах = 1.)
Таким образом, в D мы можем совершать обычные арифме-
р
тические операции: сложение, вычитание, умножение и деле-
деление. Это означает, что О есть поле.
р
Поле О является коммутативно-ассоциативной группой по
р
сложению; 0=0 \{0} является коммутативно-ассоциативной
группой по умножению; Q* называется мультипликативной груп-
22

пой поля D .
р
р-адические числа х, для которых \х\ ^ 1 (т.е.
t(x) t О или {ж} =0), называются целыми р~адическими чис-
числами, и их множество обозначается Ж . Множество Z - под-
р р
кольцо кольца D ; 1 плотно в 1 . Целые числа х е 1 , для
р + р р
которых \х\ = 1, называются единицами в Z .
Совокупность элементов I из ! , для которых |ж| < 1
(т.е. ?(я) г 1 или |ж| s 1/р) образуют главный идеал коль-
кольца 2 ; очевидно, что этот идеал имеет вид р2 . Поле вычетов
р р
TL /pi состоит из р элементов. В мультипликативной группе
р р
поля 2 /pTL существует единица т) * 1 (при р * 2; т) = 1 при
Р Р
р = 2) порядка р-1 такая, что элементы 0,т),тJ,. . . , тI"
образуют полный набор представителей классов вычетов поля
Примеры. При р = 3 т) = -1. При р = 5 77 = 2.
Так как числа 0,1,...,р-1 образуют также полный набор
представителей классов вычетов поля 1 /pi , то из представ-
представления B.1) вытекает второе каноническое представление
любого р-адического числа х * О,
х = Р1м{х'о*х11р*х'грг*...), B.4)
x't = 0,1,т,,...,т7Р~г, х'о * О, (У = ОД,...).
о
3. Пространство р-адических чисел О . В силу неравен-
неравенства 3) п. 1 норма в поле Q удовлетворяет неравенству тре-
треугольника
|ж+у|р * тах(|ж|р,|у|р) * |ж|р+|у|р, х,у <= 0р.
Поэтому в О можно ввести метрику
р(х,у) = \х-у\р.
При этом О становится полным метрическим пространством¦ Из
р
представления B.1) следует сепарабельность О .
р
Обозначим через В (а) круг радиуса р' с центром в
точке а е О и через S (а) - его границу (окружность)
Ву(а) = {х: \х-а\р s /J, Sy = jx: |x-o|p = /}, у € Z.
Ясно, что В (а) - абелева группа по сложению и
\х: \х-а\р < р7} = В71(а), Ву{а) = U Jy# (а) ,
23

Vе) = Ve
П V) = <ab U Va) = U Sr^ = V (ЗЛ)
у • у Г
При о=0 обозначим Я @) = Ву и 5 (О) = 5у.
Лемма 1. Если Ь е В (а), то В (Ь) = В (а).
ш Пусть х е В (Ь) ¦ Тогда
\х-а\ = |a:-b+ft-«| s тах(|а:-Ь| , |6-a| ) ¦< р*,
т.е. х е В (а), так что В (Ь) с В (а) . Так как а е В (Ь) ,
у у у у
то по доказанному 5 (в) с В (Ь) к, следовательно, ^r(a) =
= vfe)- ¦
Следствие 1. Круг В (а) и окружность S (а) - открыто-
замкнутые множества в D .
Следствие 2. Всякая точка круга В (а) является его
центром.
Следствие 3. Любые два круга в й либо не имеют общих
р
точек, либо один совершится в другом.
Следствие 4. Всякое открытое множество в О есть
р
объединение не более чем счетного числа кругов без общих
точек.
Лемма 2. Если множество М с Q содержит две различные
р
точки а и Ъ, а * Ъ, то его можно представить в виде
объединения непересекающихся открыто-замкнутых (в М) мно-
множеств М и М таких, что а е М , Ь е М .
ш Рассмотрим три возможных случая.
1) а = О, \Ъ\ = р*; в качестве М и М2 можно взять
множества М = М п В к М = М п (Q \В ).
У > у; тогда М^ = М п В ,
2)
— M c\
з) 1
а =
а =
0
мР =
@р\5у
Й1р =
р-*(а
Ъ , а
о' 1
РГ,
)•
/ =
= К
\ь\
\ь\
р
р'
,а
= /'
Ь = p'r {b^b^p+bjp2* . . . ) ,
= K-i>\ * К' \а'ЬК = рУ"к-
Тогда М1 = Мп Brki(a), * = М: п (Q^B^^a)) . .
Лемма 2 утверждает, что всякое множество пространства
Q , состоящее из более чем одной точки, несвязно. Другими
р
словами, связная компонента любой точки совпадает с самой
24

этой точкой. Таким образом,
О - вполне несвязное пространство,
р
Прослеживая доказательство леммы 2 для случая, когда
множество М состоит только из двух точек а и Ъ, убеждаемся,
что существуют непересекающиеся окрестности этих точек. Это
значит, что пространство О хаусдорфово.
Лемма 3. Для того чтобы множество К с Q было компак-
р
том, необходимо и достаточно, чтобы оно было замкнутым и
ограниченным в Q .
р
ш Необходимость условий очевидна. Докажем их доста-
достаточность. Так как Q - полное метрическое пространство, то
для доказательства компактности ограниченного замкнутого
(бесконечного) множества К достаточно доказать его счетную
компактность, т.е. что каждое бесконечное множество М с К
содержит хотя бы одну предельную точку. Пусть х е М, тогда
\х\ = р~*ы) < С (М ограничено), так что i(x) ограничено
снизу. Рассмотрим два случая.
1) у(х) неограничено сверху на М. Тогда найдется
последовательность {х , к -» ю} с Л/ такая, что у (ж ) -» ю,
k ~yk k
к -» ю. Но это значит, что | ? | = р -» О, А; -> <», т.е.
х -> О, А; -> ю, в О иОеА".
* р
2) у (х) ограничена сверху на М. Тогда найдется такое
число у , что множество М содержит бесконечно много точек
у
вида р °(х +х р+х »+...), О ^ х ^ р-1, х * О. Так как х
принимает р-1 значений, то найдется такое число а ,
1 s а ^ р-1, что М содержит бесконечно много чисел вида
у °
р °(ао+ х р+х рг+. . .) и т.д. В результате получим последо-
последовательность а , 0 ^ а ^ р-1, о, * О, j = 0,1,... Искомая
J J У °
предельная точка есть р °(ао+а р+а рг+. . .) е К (К замкну-
замкнуто) . ш
Следствие 1. Всякие круг В (а) и окружность S (а) -
компакты.
Следствие 2. Пространство 0 локально компактное.
р
Следствие 3. Всякий компакт можно покрыть конечным
числом кругов фиксированного радиуса без общих точек (см.
следствие 3 из леммы 1) .
Следствие 4. В пространстве 0 справедлива лемма Гей-
р
25

не - Бореля: из каждого бесконечного покрытия, компакта К
можно выбрать конечное покрытие К.
Пример 1. Окружность S можно покрыть (р-1)р*~у "'
кругами В ,(а), г > г', без общих точек с центрами
О s а * р-1, aQ * О.
Это покрытие назовем каноническим покрытием окружности S .
и Любую точку х = р~* (хо+хр+. . .) 6 S можно предста-
представить единственным образом в виде х = а+х', где а вида C.2)
и х' € В ,. Поэтому
S = U [а+В \ = U В {а)
Осталось заметить, что круги В , (а) не имеют общих точек,
так как в силу C.2) их центры {а} отстоят друг от друга на
расстояние г р . Число кругов равно (р-1)р ~1, см.
следствие 3 из леммы 1. ш
Пример ?,. Круг В можно покрыть р"'11 кругами В , (а) ,
V > ц', без общих точек с центрами
а = р'г(%+й1Р+---+аг.у..1/"У'), C.3)
г - ц,ц-1,...,ц'+1, О s flj * р-1, aQ * О.
Это покрытие назовем каноническим покрытием круга В .
ш Вытекает из примера 1, если заметить, что
в = в и и s
и множества В , и S не имеют общих точек. Количество кру-
кругов равно
i+(p-i) у рг-*'- = i^p-iI-!^- = p-r-r; .
Размерностью полного метрического пространства X назы-
называется наименьшее целое число п такое, что для любого
покрытия пространства X существуют вписанное в него под-
подпокрытие кратности «+1. (Кратностью покрытия называется
наибольшее целое число т такое, что в этом покрытии сущест-
существует т множеств с непустым пересечением.)
26

Теорема. Размерность пространства D равна О.
р
ш Пространство 0 - полное метрическое. Из каждого
р
покрытия 0 можно выделить подпокрытие 0 без общих точек
(см. следствие 4 из леммы 1); это означает, что « = О в
определении размерности О , т.е. dim О =0.
4. Квадратичные расширения поля О . Пусть с - такое
р
р-адическое число, которое не является квадратом никакого
другого р-адического числа, с * О . Присоединим к полю О
число (символ) Vc; множество элементов вида z = x+yVc,
х,у е О , называются квадратичным расширением поля О ; оно
обозначается О (Vc). Элементы х+у/Е можно складывать и
умножать по обычным правилам при дополнительном условии
= с.
Очевидно, х+у/с = О тогда и только тогда, когда х =
= у = 0. Поэтому уравнение
(x+yVc)z = 1, x+yVc * 0,
имеет единственное решение в О (v^), равное
х у
ж -су х -су
(Заметим, что знаменатель в D.1) хг-су2 * О, иначе с было
бы квадратом р-адического числа.)
Таким образом, квадратичное расширение О (Vc) образует
поле. Обозначим через Q (v^e) мультипликативную группу поля
(
р
Выясним теперь, какие р-адические числа не являются
квадратами р-адических чисел и какие имеются неизоморфные
квадратичные расширения поля О .
Напомним, что число а е Z называется квадратичным вы-
вычетом по модулю р, если уравнение
х2 = a (mod p)
имеет решение х е 2; в противном случае а называется квад-
квадратичным невычетом по модулю р. Для обозначения этих утвер-
утверждений используется символ Лежандра
1, если а - квадратичный вычет по модулю р,
-1, если а - квадратичный невычет по модулю р.
О, если а ¦ 0 (mod p).
27
ш-

Лемма. Для того чтобы уравнение
х2 = а, 0 * а = /(a)(w+-"-)' D-2)
О i а з р-1, а * О,
имело решение х е О , необходимо и достаточно выполнение
условий:
1) у(а) - четное число,
= 1, если р * 2; а = ag = О, если /> = 2.
ш Необходимость. Если уравнение D.2) имеет решение
х = pvlx)(xo+xtp+...), 0 а ^ а р-1, жо * О,
то
откуда следует, что 7 (а) = 2-ц(х) - четное число и
(ао\
а = х2 (mod р) , если р * 2, т.е. I— = 1.
При р - 2 имеем
г ,х +х2 . -I
A-1-х 2+. . .) =2 П-+ —'у +х 2 +. . . D.4)
и, следовательно, а = а =0.
Достаточность. Пусть а удовлетворяет условиям 1) и 2).
Построим решение х уравнения D.2). Положим
Г(х) = A/2)г(а).
Пусть р * 2. Из D.3) следует, что число х должно
удовлетворять условиям
x2q = aQ (mod p), 1 s x s p-1.
Такие xq существуют, так как 1 s a,Q < р-1, — = 1. Из
D.3) также следует, что остальные числа х должны удов-
удовлетворять условиям
2хох} = a*Ni (mod p) , О s ^ a p-1, j = 1,2,..., D.5)
где целые числа N зависят лишь от х ,х ,...,х . Поэтому
j о' 1' ' j-i '
числа х последовательно (однозначно) определяются из усло-
условий D.5), поскольку число 2х не делится на р.
о
Пусть р = 2. Из D.4.) следует уравнение
28

x A+x)
a s + x (mod 2) ,
з 2 2
которое всегда разрешимо при аз - О, 1 (а^, %г = О, 1). Из
D.4) также следует, что остальные числа х должны удов-
удовлетворять условиям
х} = aj+1+^ (mod 2), х} = 0, 1 , j = 3, 4, . . . , D.6)
где целые числа N зависят лишь от х ,х ,. . . ,х . Поэтому
числа х последовательно (однозначно) определяются из усло-
условий D.6). ¦
Из доказанной леммы вытекают такие следствия.
Пусть т) - единица, не являющаяся квадратом никакого
— I = -1. Этот факт мы будем
v [ри р * 2 в качестве -q можно
взять единицу, введенную в п. 2.)
Следствие 1. При р * 2 числа с =тъ с - Р' > Е - PV
не являются квадратами никаких р-адических чисел.
Следствие 2. Всякое р-адичаское число х можно предста-
представить в одном из четырех видов: х = с у2 , где у е Q , с =
= 1, с1 = т), сг = р, сз = рп.
Следствие 3. Существует только три неизоморфных квад-
квадратичных расширения поля 0 : 0 (Vc ), j = 1,2,3.
Следствие 4. При р = 2 числа с^ = 1+2 = 3, с2 =
= 1+4 =5, сз = 1+2+4 =7, е4 = 2, eg = 2A+2) =6, cg =
.= 2A+4) = 10, е? = 2A+2+4) = 14 (или, эквивалентно, с =
= 1,±2,+3,±6^ и их взаимные произведения не являются
квадратами никаких 2-адических чисел. Всякое 2-адическое
число х можно представить в одном из восьми видов: х =
= е у2, где у е 0 , cq = 1. Поэтому существует семь
неизоморфных квадратичных расширений поля 02: 02(v/? ) ,
j = 1,2,...,7.
Следствие 5. Факторгруппа ®*/Q*2 состоит из четырех
элементов с , j = 0,1,2,3, при р * 2 и из восьми элемен-
элементов Cj, j = 0,1,...,7, при р = 2.
Отметим также: при р = 3 (mod 4) в качестве числа 77
можно взять -1, так как
29

p-1
при p ш 3 (mod 8) или p = 5 (mod 8) в качестве т) можно
взять 2, так как —] = -1, в силу формулы
A) ¦ и
= -1.
Следствие б. Для того чтобы уравнение х - -1 имело
решение в О , необходимо и достаточно, чтобы р = 1 (mod 4) ;
при этом существует два решения уравнения х = -1, которые
мы будем обозначать ±х.
Следствие 7. При р s 3(mod 4) справедливо равенство
\хг+уг\р = max(|a:|J,|»|J). D.8)
В частности, если х +у =0, тох=у=0.
ш В проверке равенства D.8) нуждается лишь случай
|ж| = \у\ . Если бы было \х2+у2\ < \хг\ = \у\2, то срав-
сравнение
Х1 ~ ~
было бы разрешимо, и, следовательно, -1 было бы квадра-
квадратичным вычетом по модулю р, что противоречит D.7). ¦
5. Полярные координаты и окружности в поле О
(
Пусть е г О*2. Любой элемент z поля О (v^e) однозначно пред-
представим в виде z - x+Vcy, х,у е О (см. п. 4). Числа (х,у)
называются декартовыми координатами элемента z; элемент
z = x-Vcy называется сопряженным к- z; множество элементов
z e О (v^F) , удовлетворяющих уравнению
р
zz = хг-су2 = с , с * 0, E-1)
называется «окружностью» в О (v^e) (с центром в 0) .
Очевидно, равенство z~z = 0 эквивалентно -г = 0.
Обозначим через 0* множество чисел с е 0 вида
* р>с * р
E.1); О - подгруппа группы О . По лемме п. 4 число с из
О* может быть представлено в виде с = гг или с = /сг , где
г е О* и /с г 0*г. Но тогда /с = сг'2 € О* _ и, значит,
jp p р>с
/с = vv, v е D (i)
30

Пара чисел (р,сг), где либо р = г, сг = г' z, либо
р = vr, cr = v'^r'^z, называется полярными координатами точ-
точки z € О (Vc), z = per, cm = 1. Ясно, что (-р,-(г) также
р
полярные координаты точки ,г.
Особую роль играет единичная «окружность» в О (v^e)
zz = 1, определяемая равенством E.1) при с = 1. Элементы
этой «окружности» образуют группу по умножению, которую
обозначим С .
Найдем параметрическое представление «окружности» С
х2-су2 = 1. E.2)
У
Вводя параметр t = , из уравнения E.2) получаем
1+х
E.3)
х 2/ * е 0 .
1-е*2 1-е*2 р
Множество С - компакт в Q (VE) .
ш Замкнутость С очевидна, докажем ого ограниченность
(см. п. 3). При \ctz\ > 1 имеем |1±е*2| = \st2\ , и в
силу E.3) \х\ =1; при |eia| < 1 имеем |1+е?2| = 1, и в
силу E.3) \х\ = 1; при \ctz\ = 1 мы докажем, что
|1-е*2| = 1 и в силу E.3) \х\ = |1+е*2| ^ 1. Объединяя
три случая, из E.2) получим \х\ s 1, а также из уравнения
E.2) следует \у\г s \с\'г, (х,у) е С?, так что С^ огра-
ограничено .
Осталось доказать, что из условия |с*2| =1 следует
|1-е? | =1. Пусть р * 2. В п. 4 установлено, что в ка-
качестве с достаточно взять числа т), р и т\р. Яо с = р или
с = т\Р противоречат равенству \ct2\ = 1. Поэтому с = т). Но
уравнение 1—т?о*о = 0 (mod p) неразрешимо, иначе т) было бы
квадратичным вычетом по модулю р, что противоречит лемме
п. 4). Поэтому | -i\t2\ = 1. При /> = 2 доказательство ана-
аналогично, однако оно сложнее, ш
б. Отображение О в IR. Построим взаимно однозначное и
непрерывное отображение <р множества р-адических чисел Q в
р
некоторое подмножество <p(Q ) вещественных чисел К.
Для х е О определим p(z) по формуле
31

p(x) = \x\ I xp-2k , F.1)
k = 0
где числа x , 0 ^ x^ * p-1, xq * О, определяются канони-
каноническим разложением B.1) числа х.
Упорядочим числа множества Q следующим образом: х
предшествует у, х < у, если: либо \х\ < \у\ , либо при
\х\ = \у\ существует такое целое число j s О, что
Уо = хо, %х = хх, .-., У^ = х^, х.<у.. Ясно, что
выполнена аксиома транзитивности: если у < х и х < z, то
у < z. Q - вполне упорядоченное множество; при этом х > О,
X е О \{0}.
Лемма. <р(х) > <р(у) тогда и только тогда, когда х > у.
ш Достаточность. Пусть х > у и \х\ > \у\ * О, т.е.
\х\р * Р\у\р- Имеем <р(х) * ] ж | р и
<р(у) =
Следовательно,
<p(x)-v(y) a | as I
= a; = у , x > у при некотором 7 - О. Тогда
Пусть теперь |*|р = |у|р и a;Q = j/q, 3^=
при
<P(X) 2 I Д71
J
V\V Zvk + l»lp
¦^ k-o 1
Следовательно,
<p(x)-<p(y) ^ \x\/2i\x-y- 1^ > 0.
/^
Необходимость. Если <р(х) > <p(y), то по доказанному
ситуации: либо х = у, либо х < у быть не могут. ¦
Из доказанной леммы следует, что отображение <р взаимно
32

однозначно.
функция р непрерывна.
ш Как и при доказательстве леммы установим следующую
оценку
\ч>(х)-р(у)\ * р\х-у\^, х,у 6 0р ,
из которой следует непрерывность отображения <р: 0 -» R. ¦
Обозначим К = р(® ). Структура множества К дается сле-
следующей теоремой.
Теорема. Множество К есть счетный набор непересека-
непересекающихся совершенных нигде не плотных множеств {типа канто-
ровых) лебеговой меры нуль ¦
ш Так как 0 = U S (см. п. 3), то
р T6Z Г
к = и к к = <p(s¦), к ,-, к = и, г * г ¦ (б.з)
yeZ ' ' ' '
Изучим структуру множества К (структура остальных
множеств К аналогична) .Так как 1 s <р(х) < р, х б Sq, to
Рассмотрим следующую систему непересекающихся интер-
интервалов на [1,р)¦
К =
j = l,2,...,n , eQ * 0, en * p-1.
Обозначим
I = U Iе, I = UJ.
n с n n=o n
Мера Лебега множества J равна
n = 1 % р-
p(p-i) (р-1)г -
- = p_i. F.4)
Используя лемму, можно доказать, что I r\ К -в, т.е.
33

ни при каких х е SQ ни одно из неравенств
п - 2 n n
У с У21 + < 9(х) < У е У21 * Р'2", п = О, 1, ...,
=o 3 р+1 j=o J
j=o 3 р+1 j=o
не имеет места. Кроме того, используя лемму о вложенных
отрезках, установим, что [1,р) = К v I. Отсюда и из F.4)
вытекает, что лебегова мера множества К равна 0. Прове-
Проведенный процесс построения множества \1,р)\1 = К с точ-
точностью до несущественных деталей совпадает с известным
процессом построения канонического канторова совершенного
множества на отрезке [0,1] и поэтому доказательства осталь-
остальных свойств множества Kq аналогичны доказательствам соот-
соответствующих свойств канторова множества, ш
7. Пространство 0" = 0 хО х. ..хЮ состоит из точек х =
р р р р
= (xt,x ,. . . ,х ) , х е 0 , j = 1,2,..., п, и снабжено нор-
нормой
МР = тах КЬ х е °р- GЛ)
Эта норма неархимедова, так как
\х+у\р * maxC^l^ly^), x,y e Q\ G.2)
Проверим это:
max \x+y I s тахтах(\х \ \у \ ) =
= max( max |a; I , max \y I ) = max( |a;| , |j/| ).
l<jiti J p lijin J p p p
Пространство Qn полное метрическое локально компактное
вполне несвязное.
Введем скалярное произведение
{х,у) = xiy1+x1Vi+---*xnya> Х>У 6 °р-
Справедливо неравенство
К*»»IР s Mplvlp> ж^ 6 °р- G-3)
Обозначим через ? (о) шар радиуса р* с центром в точке
" ()
a б 0" и через 5 (о) - его границу (сферу); В @) = В к
5 @) = S , у б Z. В (а) и 5 (о) - открыто^за "
Нетрудно проверить: если о = (<*j»<*2> • • • ><»п) » то
34

§ 2. Аналитические функции
В этом параграфе рассматриваются аналитические функции
в поле р-адических чисел.
1. Степенные ряды. Сначала рассмотрим числовой ряд в
поле р-адических чисел
00
Обозначим через S п-ю частичную сумму ряда A.1)
п
Sn = Ya n = 0,1,2,...
п Ло k
Сходимость ряда A-1) к его сумме 5" (р-адическому
числу) определяется как |5-5| ->0, п -» оо; при этом пишем
Свойства рядов в поле D существенно отличаются от
р
свойств рядов в поле вещественных (или комплексных) чисел.
Например, существует только абсолютная сходимость рядов.
Более того, справедлива следующая
Лемма 1. Ряд A.1) сходится тогда и только тогда, ког-
когда | afc | -» 0, к -> оо.
¦ Необходимость условия очевидна:
Для доказательства достаточности воспользуемся крите-
критерием Коши. Так как \а \ -»0, А;->оо, то для любого с > 0
существует такое N = N , что для всех к > N выполнено нера-
неравенство |ак| < е. Поэтому для любых натуральных « > N и
т > N
т
15" -5 I = I У a I s max I о I < с.
Таким образом, последовательность частичных сумм фунда-
фундаментальна и, значит, ряд A.1) сходится. ¦
Из леммы 1 следует, что сумма ряда A.1) не зависит от
порядка суммирования.
2* 35

Теперь рассмотрим р-адический степенной ряд
00
/(*) = lfkx\ /k e 0 A.2)
к = О
определяющий функцию f(x) со значениями в О для тех
х б О , для которых он сходится.
р
Определение. Число Д = А(/) называется радиусом сходи-
сходимости ряда A.2), если он сходится при всех \х\ s А и
расходится при \х\ > Д.
Заметим, что Д может принимать значения О или р*,
¦у е Z. В последнем случае ряд A-2) сходится равномерно в
(открыто-замкнутом) круге В , поскольку по лемме 1
п
Y/кж | з max |/ | Л11 —> 0, т,п -» »,
<=¦ 'р a<k5n Р
и отределяет непрерывную функцию f(x) в 2? .
Для нахождения радиуса сходимости ряда A.2), как и в
вещественном случае, введем число г = г(/) по формуле
k-»oo
или, обозначая г = ра,
^ ^ . A.3')
In p k-»« А;
Лемыа 2. Ряд A.2) сходится при всех \х{ < г и расхо-
расходится при \х\ > г.
т Пусть \х\ < г. Тогда \х\ = A-2е)г, где 0 < с з
s 1/2. Из A-3) следует, что существует N- N такое, что
при всех к > N справедливо неравенство
I f I1/k < !
и, таким образом,
По лемме 1 ряд A.2) сходится в точке х.
Пусть теперь \х\ > г. Тогда \х\ = A+2с)г, где
с > 0. Из A-3) следует, что существует подпоследователь-
подпоследовательность {nk, к -» »} такая, что
.46

Следовательно, начиная с
неравенство
/
некоторого N = N , справедливо
k
к Р
Поэтому
и ряд A.2) расходится. •
Отметим, что г не обязательно является целой степенью
числа р, т.е. число ег в A.3') не всегда целое (см. примеры
в п. 4).
Соотношения между числами Л(/) и г(/) даются следующей
леммой, вытекающей из лемм 1 и 2.
Лемма 3. R{f) a r{f), причем если р7 < r(f) < pT+1,
у е 2, то R(f) = р"; если же r(f) = рг, дао либо R(f) = рг,
либо R(f) = /-1.
Отметим еще, что в случае г(/) = р*,
г е 2, сходимость
\х\ = р*
ряда A.2) на окружности \х\ = р*, как и в вещественном
случае, требует особого исследования.
2.Аналитические функции.
Определение, функция f(x) называется аналитической в
круге В , если она представляется в этом круге сходящимся
степенным рядом A.2). (Очевидно, всегда можно считать
*(/) = РГ, он. п. 1.)
Аналитические функции в круге обладают рядом обычных
свойств: например, они образуют кольцо относительно обычных
операций сложения и умножения. Однако имеются и отличия:
например, суперпозиция аналитических функций может оказать-
оказаться не аналитической функцией.
Рассмотрим ряды при п = 0,1,...
fM(x) =
B.1')
= У
ktre
fx**n,
n
B.1")
ЗУ

полученные из ряда B.1) почленным дифференцированием и ин-
интегрированием соответственно, f(z) = fm(я)• Эти функции
называются производной и первообразной порядка « соответ-
соответственно.
Ясно, что для радиусов сходимости рядов B.1) справед-
справедливы неравенства
Д(/('П>) * *(/) * Ч/Ш), » = 1,2,... B.2)
Для получения более точной информации о радиусах схо-
сходимости рядов B.1) докажем
1 i/k
|jfc| г * к б Z , lim |A;| = 1. B.3)
Р + k>kZ P
ш Действительно, пусть к е 2 , \к\ = р ю, так что
к = р"к , где т а О - целое и к е [1,»-1] - целое. Тогда
о о
In к - In к In А;
т - г
In р In р
In к
и, таким образом, |/Ь| = р'ш г р 1п р = — и
р к
m
lim |A;| = lim p~ k =
к.->оо,кб2 Р k->oo,k€Z
In к - In к
= lim р к ln р = 1: ш
>,ksZ
Применяя формулу A.3) к рядам B.1) и пользуясь соот-
соотношением B.3), получаем
г(/<п)) = r(f) = r(/(-n)), » = 1,2,... B.4)
Отсюда и из леммы 3 п. 1 следует: если р* < г(/) <
< Рг*\ то ад = р7 и
Л(/ы) = Л(/) = Д(/(-п)), » = 1,2,... ; B.5)
если же г(/) = р1, то, учитывая неравенства B.2), получаем:
1) •#(/) = р*, и тогда либо справедливы равенства
B.5), либо, начиная с некоторого п а 1,
38

Л(/(п)) = *(/) = рЛ(/(-"), я * по; B.5')
2) •#(/) = р*'1, и тогда либо справедливы равенства
B.5), либо, начиная с некоторого « ь 1,
±Л(/(п)) = *(/) = Д(/("п)), я * я,. B.5»)
Формулы B.5) можно интерпретировать следующим обра-
образом: аналитическую функцию в круге можно почленно диф-
дифференцировать и интегрировать любое число раз, причем при
дифференцировании радиус сходимости может увеличиться в р
раз, в то время как при интегрировании этот радиус может
уменьшиться в р раз.
Как мы видим, ситуация несколько отличается от случая
поля вещественных чисел.
3. Алгебра аналитических функций. Обозначим через А
множество функций, аналитических в единичном круге В .
Такие функции, и только они, задаются рядами A.2), для
которых выполняется условие (см. л. 1) |/ | -» О, к -» ».
Множество А - линейное над полем О . На множестве А
р
введем норму по формуле
|/| = max |/| /« А. C.1)
Проверим, что функционал C.1) действительно является
нормой, причем неархимедовой.
¦ Пусть |/| =0, / е А, т.е. max |/ | =0, откуда
OSk<oo Р
/ = 0, к = 0,1,..., и, значит, / = 0. Пусть а е D , а * О.
к р
Тогда
|о/| = max|a/Jp = |a|pmax|/Jp
Наконец, если /,д е А, то
и » «^ и ' ь к ' в
к р
max max [|/Jp,kjJ
к
<
39

Теорема. Пространство А является банаховой алгеброй.
т Докажем полноту пространства А. Пусть последователь-
последовательность ¦</", п -» ml, /"б А, фундаментальна. Так как
1/ЧЛ = *ах \f - Гк|р,
OS-k<«
то последовательности \f, n -> ю1 фундаментальны при каждом
к = ОД,., и, следовательно, сходятся к некоторым / при
л -» » равномерно по А; (см. п. 3 §1) и, таким образом,
lim / = lim lim^ = lim lim /J| = 0.
k-»n> k-H» n->oo n-*« k-»ep
Поэтому функция
/(*) = У /У
принадлежит А и
lim I/--/I = lim max |/^ - /I = 0,
n-Ho n->oo OSk<oo
что и доказывает полноту пространства А.
Пусть /,д е А к h = fg. Тогда Л е А (см. п. 2) и
Следовательно,
|А| = тах|Лк|р = max
^ тахтах |/j|pIVjlP s max\f]\p maxl^klp = ШШ- ¦
Замечание. Алгебра А называется алгеброй ограниченных
степенных рядов и является частным случаем алгебр Тейта.
4. Функции ех, 1пA+г), sin ж, cos x. Эти функции как
и в вещественном случае задаются рядами
40

-- -x if- <4-i)
У—x\ D.2)
к
sin x = Y -^ii— жгк+1, D.3)
kt-o B/U1)!
cos x = У •*—i—ж21с. D.4)
kto B*)!
Чтобы изучить сходимость этих рядов, нам потребуется
оценка |п!| для любого п е 1 .
Пусть п - натуральное число, п s ps+1-l, s e 2 . Тогда
его можно однозначно представить в виде суммы
Обозначим
s
з = У п . D.6)
Отметим, что
Hm f= = 0. D.7)
, neZ
Теперь докажем равенство
n-s '
п
|»!|р = / 7ГГ, я е Z+. D.8)
ш Степень Л^(п), в которой число р входит сомножителем
в я!, равна
41

здесь [о] - целая часть числа о.
Используя представление D.5) и обозначение D.6),
получаем
п-п п-п -п р п-п -nv-...-п р"
М(п) = —^ + °—L- + ... + 2—Ц_ °— =
7* Т1ж ^——— ... 7*
р-1 ° p-i r р-1 s p-i
n-s _ в n-s
» » --« (-)Л
р-1 р-1 р-1 р-1
откуда и следует равенство D.8). ¦
Функция ех определяется рядом D.1), (ех)' = ех.
Учитывая равенства D.7) и D.8) для радиуса г(ех)
(см. п. 2), получаем
k-s
r(ex) = lim|/b!|1/k = lim р к(р'1} = р р D.9)
к-»оо Р к->ю
При р * 2 из D.9) имеем
Поэтому
Л(е*) = Л((ех)(п)) = Л((ех)'-П)) = 1, р * 2. D.10)
При р = 2 из D.9) имеем г(ех) = 21. Исследуем
сходимость ряда D.1) на окружности \х\ = 2'1. Пусть х = 2
и i = 2°. Тогда sk = 1 и в силу D.8)
Поэтому на окружности |ж|2 = 2 ряд D.1) расходится.
Следовательно, по лемме 3 п. 2 Л(ех) = 1~г, откуда выво
дим
42

Л(е«) = Л((е"Iп)) = Л((е"I-П)) = 2"z, „ « 2. D.11)
Итак, при любом р ряд D.1) для ех можно почленно ин-
интегрировать и дифференцировать любое число раз в том же
круге сходимости.
Обозначим через G круг сходимости ряда D.1) - адди-
аддитивную группу \х\ з 1/р при р * 2 и \х\ * 2 при р = 2.
С помощью ряда D.1) проверяется соотношение
eV = е*+у, х,у * G .
р
Докажем равенства
D.12)
|е*-1|р = |s|p, |е*|р
D.13)
¦ Второе равенство следует из первого. Для его доказа-
доказательства предварительно установим неравенства
(l-k)
р-2
, р * 2,
D.14')
к\
г1'*, р = 2,
D.14")
при а; е С , А; е 2 . Неравенства D.14) вытекают из
равенства D.8). Пусть р * 2. Тогда
„к - 1 I
I*!
(l-k)
р-2
поскольку в силу D.6) s a 1. Аналогично при р = 2.
Пользуясь неравенствами D.14), имеем D.13):
|е*-1| =
1 1р
*!
= |Ж| тах = |Ж(
поскольку
43

k\
< 1, к = 2,3,..., x e <? .
p
Функция 1пA+а;) задается рядом D.2). Его радиус г в
силу B.3) равен
гAпA+л;)) = lim \к\г/* = 1.
k-И), keZ Р
| г 1, jfc € Z Поэтому
Однако в точке х = 1 ряд D.2) расходится, так как
D.15)
/), D-16)
Функция 1пA+х) обладает свойством
которое проверяется с помощью ряда D.2).
Докажем равенство
|1пA+х)| = \х\, х е С .
D.17)
Учитывая неравенство B.3) \1/к\ s к, имеем D.17):
= \х\ шах \х\
= ж
поскольку
Ik-11 к-'11
< 1, к = 2,3,.. ., х е С .
г-2% р=2,
Обозначим через J мультипликативную группу
p
J = [x e О : 1-lefi).
p ^ p pj
Заметим, что мультипликативность множества J следует из
тождества
l-sj/ = 1-х+1-у+A-х) A-у).
44

Из соотношений D.13), D.17), D.12) и D.16) вытека-
вытекает, что функция е" осуществляет изоморфизм аддитивной груп-
группы G на мультипликативную группу J . Обратный изоморфизм
осуществляется функцией In x = 1пA+х-1), и справедливы ра-
равенства
In ех = х, х е Gp, elnx = х, х е J , D.18)
проверяемые непосредственно с помощью рядов D.1) и D.2).
Функции sin х и cos x определяются рядами D.3) и
D.4). Эти ряды, как и в случае функции е*, сходятся в G ,
и справедливы соотношения
|sin х\ = \х\ , |cos х\ = 1, х е G . D.19)
Справедливы стандартные тригонометрические формулы,
устанавливаемые с помощью рядов D.3) и D.4), в част-
частности
cos2a; + sin2a; = 1, еХх = cos ж+rsin х, х е О , D.20)
где тг2 = -1, теЮ,рк1 (mod 4) (см. п. 4 § 1).
Функции
е«, cos х, 5А?-2, ±2ll±*l D.21)
являются квадратами р-адических функций в G (при р = 2
функции е* и "^ *ж^ являются квадратами в 0 лишь при
X р
\х\г * 2-э).
¦ Эти утверждения вытекают из критерия п. 4 § 1 и из
тех фактов, что нормы функций D.21) равны 1 (см. формулы
D.13), D.17) и D.19)), и справедливо следующее канони-
каноническое разложение (см. B.1) п. 2 §1) этих функций:
1 + с^{х)р + ..., р * 2, 1 + сэ(а;Jэ, р = 2. D.22)
Пусть р * 1. Для е* представление D.22) следует из
D.13),
и из аналогичных оценок для остальных функций D.21) (нужно
45

использовать оценки D.14') и неравенство B.3)).
При р = 2 ситуация сложнее. Пользуясь оценками D.14")
имеем при \х\ а 2~2
хгк
|cos х - 1| з max -—— * \х\^ max 21" = 2"э,
+ BA)!
2 keZ
Isin z ~2k
- 1
? max
2
ex и
)
справедливы лишь при \х\ s 2 ". Представление D.22) дока-
доказано . ¦
„ 1 . . sin х
Наконец отметим, что функции sin г и tg x =
СОЬ Jb
отображают взаимно однозначно G на G . Обратными функци-
р р
ями являются
B*0 !
arcsin х = У х * , х е G , D.22)
- (_i)k
arctg x = У a;2ktl, a; e G , D.23)
к=о 2^+1 р
причем
|arcsin z| = |arctg'z| = \х\ .
5. Теорема об обратной функции. Пусть f(x) - аналити-
аналитическая функция в круге В (а) и /' (о) * 0, |/' (а) | = рп.
Тогда найдется такой круг В (а), р s r, что f отображает
его на круг В (Ь) , b - /(в), взаимно однозначно, обратная
функция д{у) аналитична в круге В (Ь) и справедливо ра-
равенство
g.(b) = —__. E.1)
/'(а)
¦ Применяя классическую теорему об обратной функции,
заключаем, что существует круг В (о) достаточно малого
радиуса у , р s г, который функция / взаимно однозначно
отображает на некоторую окрестность U(b) точки Ь, обратная
функция д(у) аналитична в U(b) и имеет место равенство
46

E.1). Осталось доказать, что U(b) = В ^(b) ПРИ достаточно
малом рР.
Поскольку /(ж) - аналитическая функция в круге В (а),
то она представляется в виде ряда (см. п. 2)
00
f(x) = f(a)+f'(a)(x-a)+(x-a)z ? а^х-а)*'2, E.2)
k = 2
причем
Обозначим
|aj /k -» О, А; -» ю.
max \a | /u) = p', s e Z.
k=2, 3,... P
Тогда, выбирая р < n-s (p s r), из E.2) будем иметь
| 1к\рх-а\р= |/< (а) \Jx-a |р,
т.е.
|/(х)-6|р = |/'(а)|р^-в|р, х с 2?р(а). E.3)
Из E.3) следует, что
/(/?р(а)) = U{b) с ?р+пF) E.4)
и найдется такая точка х' е S (а), что
Следовательно, f(x') - у' е 5 (&) п U(b). Поэтому ряд для
обратной функции
9(У) = а+д'(Ь)(у-Ь) + ...
сходится в точке у' е S F) и, значит, в круге В (Ь) .
Уменьшал, если нужно, радиус р^*п, добьемся того, чтобы
функция д(у) также удовлетворяла равенству типа E.3)
\9(у)~а\р = \д'(Ь)\р\у-Ь\р = jj^ \y-b\p, у « В^.
Отсюда следует, что
с Вр(а) = g(U(b)).
47

§ 3. Аддитивные и мультипликативные характеры
Поле О является аддитивной группой. Обозначим О* =
= О \{О} его мультипликативную группу.
1. Аддитивные характеры поля 0 . Аддитивным характером
поля Q называется характер аддитивной группы 0 , т.е.
непрерывная (комплекснозначная) функция х(х), заданная на
О и удовлетворяющая условиям
•|*О)| = 1, х{х+у) = х{х)х(у), х,у е пр. A.1)
Аналогично определяется и (аддитивный) характер поля О (Vc)
и группы В , у € 2; В - подгруппа группы Q .
Очевидно, всякий аддитивный характер поля О является
р
характером и любой группы В .
Функция
Xp(Zx) = expBiM{&c}p) A.2)
при каждом фиксированном ? € О есть аддитивный характер
поля Q и группы 3'. Это следует из соотношения для дробных
р т
частей (см. п. 2 § 1)
{х+у}р = {x}p+{i/}p-N, N= О, 1.
Наша задача - доказать, что формула A.2) дает общее
представление аддитивных характеров поля Q и группы В .
Пусть х - произвольный аддитивный характер. Из A.1)
имеем
*(О) = 1, х(-х) = х{х) =
= Х-\х), х{пх) = [[*(*)]", я с Z. A.3)
Изучим сначала характеры группы В . Пусть х * 1 - та-
такой характер.
Докажем, что существует такое k e 2, что
х(х) ¦ 1, г с Як. A.4)
¦ ¦ Так как *(О) = 1, |я;(ж)| = 1 и х(х) - непрерывная
функция на В , то можно выбрать так ветвь функции In x(x) =
в iarg х(х), чтобы она была непрерывной в О и arg *(О) = 0.
48

В частности, существует такое к « Z, что |arg х(х)\ < 1 при
всех х « В . Учитывая, что пх е #кпри любых » е Z+ и
х « 2?к, заключаем из A.3)
|n arg z(z)| = |arg x(nx)\ < 1,
откуда выводим |arg х(х) | < 1/я при всех я е Z+. Это зна-
значит, что arg*(ж) = О и х(х) ш 1, х в В . т
Считаем, что в A.4) круг В ~ максимальный со свой-
свойством х{х) ¦ 1; так что, если х(х) * 1 в В, то к < у.
Докажем для любого целого числа г, к < г s у,
равенство:
k), зл = 1,2,...,ру-"-1, A.5)
где т не зависит от г.
¦ Для г = у A-5) следует из A.4) и A-3)
1 = х(р~*) = х(р~Г*7-*) = [*(/>"*)]
Для к < г < у оно следует из
\РГ'Г
[1 р
ехрBпг/ярк"у) = ехрBпг/ярк"Г)
Представим число /я в A.5) в виде
- П У-к-1 _rj ч _i
к ^ к У+к-1 У+1
и обозначим 6 = »т, |?| = » |л»| ар~ Р '-Р и
|С| а р" • Тогда представление A.5) принимает вид при
к < г s г
х(р'г) = х (р~го, зе е о , |е| > р'г. A.6)
р р р
Пусть теперь х е В \В^. Такое а; представимо в виде
49

при некотором г, к < г а г¦ Отсюда, пользуясь A-6) и
A.4), получаем представление:
Х{х) = Хр(&), П е 0р, |€|р > Р"У. A.7)
¦ х(х) =
Таким образом, доказано, что любой характер группы В
имеет вид A.2) при ? = 0 или |?| г Р**1 •
' р
Пусть теперь х(%) * 1 - аддитивный характер поля 0 .
Тогда по доказанному в круге В , yal, он представляется в
виде
вр,
Докажем, что в круге В х представляется в виде
¦ Замечая, что Ду+1 = В^ и 5 , В п S = в, дока-
докажем сначала представление A.9) на сфере 5 . Любой
элемент х е 5 можно представить в виде
х = р-7'1хоч-х- , Зхо = 1,2,...,р-1, х' е Ву.
50

Тогда при некотором Р = 0,1,...,р-1 будем иметь A.9)
= [*р<€1оУ1г)]*о/'*р(€<11>*') =
В силу A.8) формула A.9) справедлива и в В '. т
Продолжая этот процесс в круге В' , получим
х(х) = xp(Z™x),
= од,...,^i,
и т.д. В результате в 0 получим представление
р
вр.
Таким образом, любой аддитивный характер поля Q пред-
представляется в виде A.2) с некоторым ? е 0 .
Итак, мы установили, что отображение ? н-» х (??) есть
гомеоморфизм аддитивной группы поля 0 на группу аддитив-
р
ннх характеров. Это отображение взаимно однозначно. (Так
как из равенства х (? х) = х {К х) ПРИ всех х е 0 следует
р 1 р 2 р
?t = ?2.) Таким образом, мы доказали теорему.
Теорема. Группа аддитивных характеров поля 0 изомор-
р
фна его аддитивной группе 0 , и соответствие f i-» x (?з:)
р р
задает этот изоморфизм.
Обозначим
ЯГ (z) = ехр(-2пга:) , х е R. A-Ю)
51

Тогда справедлива следующая (адельная) формула
V *„(*) = 1, а; е 0. A.11)
р = 2 Р
¦ Пусть х - произвольное положительное рациональное
число:
-а -а -а
где а е 1^, р - простые числа к N - целое число, не деля-
делящееся ни на одно из чисел р , j = 1,2,... ,п. Из теории сра-
сравнений первой степени следует, что число х представимо в
виде
N N N
х = -± + -1+...+ -± + М A.12)
«.
при некоторых vV € Z+, I ? N < р -1 и М е 2. Из A.12)
получаем, что
{х}р = ~гг> {х}р = °» р ***>!>
j
откуда и следует равенство A.11):
00 П
П X¦ (х) = п X {х) =1
= ехр|2пг Y j^[n = ехрBлга;).
Наконец, отметим, что любой аддитивный характер д; поля
О (Vz) (см.п. 4 § 1) имеет вид:
(
= ЯГp(VO*p(eav), «^«а • О • A-13)
2. Мультипликативные характеры поля Q . Мулыпиплика-
р
тивнын характером поля Q называется характер мультиплика-
мультипликативной группы 0 , т.е. непрерывная (комплекснозначнал) фун-
функция п(х), заданная на 0 и удовлетворяющая условию
п(ху) = п(х)п(у), х,у « О*.
52

Аналогично определяется и ^мультипликативный; характер поля
О (Ус) и подгруппы S группы О*, а также «окружности» С =
= iz е О (VE): zz = 1> - подгруппы мультипликативной группы
поля О (v*F) .
Любой ыулыаипликативиыи характер л поля 0 имеет вид
р
ir(*) = |s|«-liro(|a!|pa0, !"„(*') 1Р = 1, « с С, B.1)
где по - характер группы Sq; обратно, всякий характер nQ
группы SQ продолжается до мультипликативного характера по-
поля Q по формуле B.1).
¦ Пусть л - мультипликативный характер поля 0 . Любой
^ р
элемент х е Q представляется в виде (см. п. 2 § 1)
х = Jа;|-1а;', х' = \х\ х е 5 ,
' 'р * ' ' Р О'
и поэтому справедливо представление B.1)
П(Х) = ла^ПпО*') = Л(р")п (*') =
'p
= [п{р)]\(х') =
где обозначено \х\ = р'", п(р) = р1а¦ ш
Заметим, что множество характеров компактной группы SQ
дискретно.
Из B.1) следует, что поA) = 1.
Пусть то(а:) * 1 - мультипликативный характер группы S .
Тогда найдется такое k е 1 , что
яо(а0 ¦ 1, * « 2?_кA) = {x e 0p: |a:-l|p S р^. B.2)
¦ Аналогично доказательству соответствующего утвержде-
утверждения A.4) для аддитивного характера группы В (см. п. 1
§ 4) и следует из условий: nQ(l) = 1, |77o(z)| = 1 и nQ(x) -
непрерывная функция на SQ. ш
Наименьшее к е 1 v {0}, для которого выполнено равен-
53

ство B.2), называется рангом характера л (х) .
Существует только один характер ранга О: nQ(x) ¦ 1,
так как 5, с 2?оA).
Пусть ранг к характера по(х) положителен. Представляя
число х е S в виде (см. п. 2 ? 1)
х = хо+ххр+... = (xQ+xip+...+xk_1pk~1)(l+Npk)
при некотором N е В и поэтому 1+Npk е В A), имеем
Поэтому по(х) зависит лишь от x(j,xi,... ,х^ .
Докажем, что если к а 2, то
р-1
][ по(хо*Х1рч-...+хк1рк'1) = 0. B.3)
¦ Найдется такое число N= 0,1,...,р-1, что
р = я A+Np ) * 1.
(Иначе ранг характера я (х) был бы меньше к.) Поэтому
р-1
р-1
р-1
р-1
Яо(
54

откуда и следует равенство B.3). ¦
Примеры мультипликативных характеров.
1) *(*) = И*, по(х>) = 1.
{1, если х е 0 ,
1'с р*2. B.4)
-1, если х t О ,
где е - р-адическое число, не являющееся квадратом, и О
- подгруппа группы Ю , состоящая из элементов х е 0 , пред-
р р
ставимых в виде (см. п. 5 § 1)
х = аг-еЬг, (а,Ь) * О, а,Ъ е Ор. B.5)
Чтобы убедиться, что функция B.4) действительно опре-
определяет мультипликативный характер поля 0 , достаточно пока-
показать, что
rang 0*/t>* = 2, rang 0* /ИЗ*2 = 2. B.6)
Р Pi С Р i С Р
Пусть р * 2. Вп.4§1 было доказано, что ранг
О*/И* равен 4. Поэтому для доказатель
силу 0 с 0 с О достаточно установить, что
р р.с р
группы О*/И* равен 4. Поэтому для доказательства B.6) в
с 0 с О
* * О* * О*. B.7)
р р.с р v '
Нужно рассмотреть три случал: с = т), т\р, р, где т) -
ица, т) « О*2
р
Докажем, что
единица, т? « О*2 (см. п. 4 § 1) .
pv * 0* . т) * 0* , т) с 0* . B.8)
^ р,Ч р.рЧ р>р v ^
Это будет означать, что 0* * О*.
J р.с р
¦ Пусть, напротив, pi\ € 0* , т.е. prj = o2-tj62 при не-
некоторых а,Ь е О , b * О. Но последнее равенство невозможно
р
ни при каких а,Ь * О. Действительно, переписывал его в виде
убедимся, что: 1) при |Ь2/р| < 1 число 1+Ь2/р есть квадрат
р-адического числа (см. п. 4 § 1), и тогда рт\ было бы квад-
55

ратом; 2) при \Ь2/р\ > 1 число 1+р/Ьг было бы квадратом и
тогда т) было бы квадратом; 3) \Ь/р\ = 1 невозможно. Ана-
Аналогично доказываются и остальные утверждения B.8).
Теперь докажем, что б *0 . Пусть е = tj, тогда tj e
* р>с р *
€ Q . Пусть с = p,pv- Тогда -с е О , так как уравнение
Р»ч р>?
B.5) е(-1+Ь2) = о2 разрешимо при Ь = 1 и а = О. ¦
Замечание. Для р = 2 B.6) принимает вид
rang 0*/D*>c = 2, rang 0*>c/D*2 = 4.
3. Мультипликативные характеры поля Q (/ё") . Согласно
п. 5 § 1 каждый элемент z поля 0 (v'e) представляется в виде
z = г<т либо в виде z = ircr, где г е Q и vi>«sO , v e 0 Ыс)
р р р
исгсг=1 (т.е. сгеС).
Пусть n(z) - мультипликативный характер поля Q (т/с) .
Обозначим через п и п его сужения соответственно на поле
О и на «окружность» С . Тогда имеем
р с
п(га) = ni(r)n2(ff), n(vrv) = nx{v)Ti2{r<r) . C.1)
Из равенства pa = (-р) (-сг) получаем условие
П1(-1)п2(-1) = 1. C.2)
Далее, поскольку
v = vvv/ v, vv е 0 , f/ v e С ,
имеем равенство
пг(у) = nx(vv)n^v/ v). C.3)
Обратно, пусть л и п произвольные мультиплика-
мультипликативные характеры соответственно поля 0 и «окружности» С"с,
связанные соотношением C.2). Определим функцию n(z) на
мультипликативной группе O*(v'e) по формулам C.1) и C.3)
для некоторого v e О*(Vc), vv t О*2. Построенная функция
n(z) будет мультипликативным характером поля О (v'e) .
Замечание. Множество мультипликативных характеров пг
компактной группы С дискретно.
56

§ 4. Интегрирование
В этом параграфе будет развита теория интегрирования
комплекснозначных функций р-адических аргументов и даны
примеры вычисления конкретных интегралов.
1. Инвариантная мера- в поле б . Поскольку поле 0 об-
р р
разует локально компактную коммутативную группу по сло-
сложению , то в О существует мера Хаара - положительная мера
dx, инвариантная относительно сдвигов, d(x+a) = dx. Усло-
Условимся меру dx нормировать так, чтобы
f dx = 1. A.1)
При таком соглашении мера dx единственна.
Для любого компакта К с 0 мера dx определяет положи-
р
тельный линейный непрерывный функционал на С(К) по формуле
\f(x)dx, / e C{K).
К
Здесь С{К) - пространство непрерывных функций на К с нормой
«Лст|/@|
Пусть А обозначает измеримое множестро в О (не обя-
обязательно ограниченное, например, А = О). Множество измери-
измеримых функций, заданых на Л, для которых
\\f{x)fdx < „ (р*1),
А
обозначим через lP(A); iP = X^@ ) . В if (А) введем норму
J
Пространство 1?(А) можно рассматривать как подпрост-
подпространство L" = L"@ ), состоящее из тех и только тех функций
из iP, которые обращаются в нуль почти везде вне А.
Пусть О - открытое множество в б . Отметим, что мно-
множество функций (р е С(О), supp p с Кт где К пробегает произ-
произвольные компакты, содержащиеся в О, плотно в lP(O)¦ (Здесь
57

и впредь supp (p обозначает носитель функции <р.)
Обозначим через ^ (°) > ^Pioc = ^вс(**)» множество
функций f{x), заданных на О, и таких, что / е I?(К) для лю-
любого компакта К с О.
Ясно, что lf{0) с if @). Если О - открытый компакт,
то IP(O) = LPjO).
Функцию / е L1 назовем интегрируемой (в несобствен-
несобственном смысле) на 0 , если существует
N
lim f f{x)dx =>lim Y Г f(x)dx. A.2)
N-»oo {, H-»oo у = -а> i
Этот предел называется интегралом (несобственным) функции /
по 0 и обозначается Гf(x)dx, так что
р J
О
р
\f{x)dx = I I f(x)dx. A.3)
p t
Аналогично введем и несобственный интеграл относи-
относительно точки а е 0 : если / е L (О \{я}), то
р
N
I f f Т 1 <Лт — 1 1 1П \ I f (HTx A ИГ
I J \ X) U X — 11Ш ) I J yXjUX.
°Р :::: г-ч^)
2. Замена переменных в интегралах. Сначала докажем
формулу
d(xa) = \a\pdx, a e 0*. B.1)
¦ При любом а € 0 мера d(xa) инвариантна относи-
относительно сдвигов, а потому она отличается от меры dx на
множитель С(а) > О, d(xa) = C(a)dx. Отсюда следует, что
С(а) - непрерывная функция, удовлетворяющая условию С(аЬ) =
= С(а)С(Ь), т.е. С есть мультипликативный характер группы
б и поэтому имеет вид B.1) п. 2 § 3:
С(а) = |а|«-\(а'Ь |(*'I = 1, в; с Sq, « e С.
Но С(а) > О, и поэтому nQ(x') = 1. Следовательно, С(а) =
58

= |o| , a € С. Найдем a. Так как В есть объединение
взаимно не пересекающихся множеств рВ+к, к = О,1,...,р-1
(см. п. 3 § 1), меры которых равны, то mes(^0) = p-mes(pBQ)
и,' значит, d(xp) = 1/pdx, т.е. С(р) = 1/р = \р\ . Таким об-
образом, a = 2, С(а) = \а\ , и справедливо B.1). ¦
Применяя формулу B.1) к интегралу, получим
\f{x)dx --= |в|р | f{ay+b)dy , а * 0. B.2)
К К-ъ
Покажем, как использовать эту формулу для вычисления
простейших интегралов.
Пример 1.
dx = /, у е 2. B.3)
Вытекает из
I dx =
Пример 2.
Вг
формул
J dx =
B.
'_-¦>
1)
V)
и B.2):
- i,-i.
B.4)
Вытекает из B.3):
f dx = f dx - Г dx.
S В В
Г У У-1
Таким образом, «площадь» окружности в 0 положи-
р
тельна!
Пример 3.
(|| )
Q
Р
Вытекает из A.3) и B.4). В частности:
59

Пример
Пример
4.
5.
к
lp"IrfZ
B.5)
In Р
dx = . B.6)
1
Г ln|a:| dx = -A - |)
В Р v
ру = .
Здесь мы воспользовались равенством
Замечание. Инвариантная мера d x мультипликативной
группы б поля б имеет вид
р р
р
¦ Вытекает из B.1)
d*{ax) = \ax\'U(ax) - \х\'Чх = d*x, a e О*. ¦
Общая замена переменных в интеграле. Пусть а(у) -
аналитическая функция, гомеоморфно отображающая открытый
компакт К с О на (открытый) компакт К с Q , причем
1 р р
а' (у) * О, у € К1- Тогда для любой f e С (К) справедлива
формула
jf(x)dx = J \<т'(у)\ f(cr(y))dy B.8)
К *
¦ Так как интеграл есть линейный непрерывный функ-
функционал на С(К) (см. п. 1), то формулу B.8) достаточно
доказать для локально постоянннх функций, множество которых
60

плотно в С(Х) (см п. 2 § 6). Значит, равенство B.8) доста-
достаточно доказать для f(x) а 1, т.е.
\dx = | \a'(y)\pdy. B.9)
К К^
Покроем компакт К^ конечным числом кругов В (у ) без общих
точек- (см. п. 3 § 1) достаточно малого радиуса рР так,
чтобы
в Во(Ук) и при обратном отображении круг В (у^) переходил
на круг В (zfc), zk = <г(у ) (по теореме об обратной фун-
функции п. 5 § 2). Отсюда, пользуясь формулой B.3), получим
равенство B.9)
dx = I | dx =
Примеры. Если / интегрируема на 0 , то (см. A.4))
1
\ f(x)dx = Г /(-W: B.10)
р р
Справедливы также формулы (см. п. 4 § 2)
\f{x)dx = |/(sin y)<fy = J/(tg y)dy. B.11)
G G G
р р р
(x)dx = J/(ln y)dy, \f{x)dx = \f(ey)dy. B.12)
G J J G
p p p p
3. Примеры вычисления интегралов. В дополнение к п. 2
§ 4 приведем ряд примеров вычисления интегралов.
61

Припер 6. г е 1,
J xp(Zx)dx =
C-1)
¦ При I ? I s p~* \%x\ si и поэтому
p л
следовательно, в силу B.3)
= 1 и,
J zp(€a:)da; = J dx = р*.
В
Если же |?| а р"Г+1, то при \х' \ = р* \%х' \ =
= j С |р| ж' |р а р, тах что хр(?х') т 1. Поэтому, совершая за-
замену переменной х = у-х', получим, что искомый интеграл ра-
равен нулю:
J Xp(Zx)dx = J xp(t(y-x'))dy = Хр(-Цх>)^ Xp(Zy)dy.
В ()
Вг(х>)
Здесь мы воспользовались тем свойством, что В (х') = В ,
I s Р* (см. п. 3 § 1). ¦
если
Пример 7. у € 2,
Г
j хр
О,
п-**г
C.2)
¦ Вытекает из C.1), так как
J xp(Zx)dx = J xp(&)dx - J xp(&)dx.
В
У-1
Пример 8. Если Yp~7\f(p~J)\ < », то
r=o
62

C.3)
¦ Вытекает из формул A.3) и C.2). Обозначая |?| =
N Р
р , имеем
Пример 9.
(?x)dx - О, ? * О. C-4)
0
р
Вытекает из C.3) при /si.
пример 10.
Г \x\«-\(Sx)dx = -ILjj-I еГа, Re а > О. C.5)
j р р j___ « р
0
p
Вытекает из C.3) при / = |arjot~1:
63

Пример 11.
l Р
1п\х\х (tx)dx = ici:1
о р-
г Pln Р
Г 1п\х\х (tx)dx = -ici:1, e * о.
р-1
Вытекает из C.3) при / = 1п|а;| :
р
00
-|) If7*] =
Здесь мы воспользовались равенством B.7). ¦
Пример 12.
/— \ | j. | со 2_ -2У
—^—- dx = A-i) ——^—- *?р~г— -. C.7)
О
р
Вытекает из C.3) при / = 1/( \х\г+тг) :
Из формулы C.7) вытекает асимптотика
Jm^S
Р
64

1 p
IX
p
-p'1 1-p-3)
Заметим, что в вещественном случае аналогичный интег-
интеграл равен
хг+т2
и, следовательно, экспоненциально убывает при |?|-»оо.
Пример 13.
Г dx = р7'1, г е 1, к = 1,2,...,р-1. C.10)
¦ В силу инвариантности меры rfa; относительно сдвигов,
из формулы B.4) имеем :
р-1
\ dx = /A-i) = ^ | dx= (р-1) \ dx,
S k" Sk Sk
откуда и следует формула C.10). ¦
Пример 14.
dx = р7A--), у € 1, к = 1,2,...,р~1. C.11)
¦ Вытекает из формул B.1) и C.10):
Г dx = Г dx - Г dx = р7 A - i) - Р7'1 ¦ ¦
у'о у у' о~
65
3 В.С.Владимиров и др.
sr'xo

Пример 15.
J Р '
1 € 1, к = 0,1,2,...,р-1, I = 1,2,...
Пример 16.
Sr' ^VV
dx = p7'1'1, C.13)
, Oskzp-1, ko*0, 1=0,1,...
Пример 17.
dx = /""'(I - j), C.14)
Пример 18.
p2+p
\l-x\a dx = —, Re a > 0. C.15)
¦ Пользуясь формулами C.11) и C.14), получим
C.15);
5 S ,x *
о о' о
11-я | "'Va; + |1-а;|
> , 5^=1,^=0,3^*0
66

г
dx + p1~a dx
i+ A) + (i) .... A ) . .
P p«K P' рзоЛ Р1 У p l-p'a p
Пример 19.
In p
In 11-я | dx = . C.16)
P P-l
I rl -1
Действуя, как в примере 18, получим
lnjl-zl dx = In 1 dx + In - dx +
1 'P J P J
So So,xo*l 5^=1,^*0
- In i- da; ¦/...=
«5* x =1 x =0 з; *0
о' о ' i ' 2
= In i(l " ~)( ~ + — + •••] = ln~
Здесь мы воспользовались равенством B.7). ¦
4. Интегрирование в 0". Инвариантная мера dx на О
р р
стандартным образом распространяется до инвариантной меры
на 0п (см. п. 7 § 1): dx = dx dx ...dx , и все сказанное в
п. 1 для 0 переносится на О". Сведение-многомерного интег-
р р
рирования к одномерному обеспечивается следующей теоремой.
Пусть функция f(x,y) переменгых х е 0п и у е 0т такова, что
Теорема Фубини (о перемене порядка интегрирования).
функция f(x,
повторный интеграл
Г \f(x,y)\dy ]dx
существует. Тогда функция f интегрируема на 0п+т, сущест-
67

вуют все повторные интегралы от нее и они равны:
{[ [/(.„
y)dy\dx = f(x,y)dxdy =
f{x,y)dx\dy D.1)
ош о
р р
р р
Обратно, если функция f абсолютно интегрируема на Оп+1°, то
р
все интегралы в D.1) существуют и справедливы равенства
D.1).
Справедлива формула замены переменных: пусть х = х(у)
(т.е. xi = х1(у1,уг, . . . ,yj , г = 1,2,...,п) - гомеоморфное
отображение открытого компакта Л^сО" на (открытый) компакт
jf с 0°, причем функции х (у) - аналитические в К и
р i 1
дх(у) „дх и
det = detl^-il * О, у е К
ay »°i/j11
Тогда для любой f e L1 (К) справедливо равенство
дх(у)
Г Г Зх{у)
\f(x)dx = det f(x(y))dy. D.2)
J J ay p
m Доказательство формулы D.2) проводится по индукции
по п как и в вещественном случае с использованием одномер-
одномерной формулы B.8). ¦
Отметим еще аналог теоремы Лебега о предельном пере-
переходе под знаком интеграла: если последовательность
{/ , &-»т} функций f € L1 (Qn) сходится почти всюду в Оп
(относительно меры dx) к функции f(x), и существует ф е
€ ^'@") такая, что почти всюду в Оп
k p
,то справедливо равенство
lim |/k(a;)da;= | f(x)dx. ' D.3)
к->со J J
0n
p
68

Пример 20. Функция
Klp2+ Kip
г1-а
локально интегрируема в Оп, если 2а < п.
р
¦ Пользуясь формулой B.4), имеем
0 0 О
2.
v *v *. .. *v =o
12 n
-2v
г
-2v
*...2v ^-а
Отметим равенство
min
Osa si
= min
L a J
Продолжая наши оценки, получим
1/ +. ..+V
1 2 n-1
)
n N
Пример 21. p = 3 (mod 4),
69

|(C,OIP
при условии
- f
(е,-0
D.4)
1
1=0
я Обозначим искомый интеграл через J(?). В силу его
симметрии по С = (С1?С2O формулу D.4) достаточно доказать
при |CJ *|€21Р- Обозначим \?.1\V = P~*> \
Пользуясь равенством
= Р~"> N - м-
(см. п. 4 § 1) и формулами C.1), C.2) и C.3), получим
ID Li ж j =s [a; I
p ' 2'p ' 1 ' p
70

1
P
i
откуда и следует формула D.4), если заметить, что
В частности, для пропагатора
G = (\(х,х)\р+а?у1
(ср.C.7)) формула D.4) принимает вид
dx =
+m
-гц
. D.6)
Отсюда, как и в случае пропагатора C.7), заключаем, что
правая часть равенства D.6) положительна и имеет при
I (?>О | -» о» асимптотику

D.7)
Пример 22. р = 1 (mod 4) ,
-1
г,0
(СО
D.8)
при условии
Г=о
Существует решение т е О уравнения т = -1 (см.
п. 4 § 1). Замена переменных
1 2 1 2 1 12
det
дх
— I = -2т
ЗУ
дает
где обозначено
Поэтому искомый интеграл ./(О принимает вид
72

MD
D.9)
Применяя к повторному интегралу в D.9) формулу C.3)
дважды, получим формулу D.8):
ДО =
73

§ 5. Гауссовы интегралы
Интегралы вида
\х (a,T2->-bx)dx
называются гауссовыми. Здесь мы рассмотрим те случаи, когда
множеством интегрирования является окружность S , круг В и
все пространство О . В частности, будет получена важная
р
формула
ш\ ' а
Вычисление гауссовых интегралов при р * 2 основывается
на суммах Гаусса
р-1
— \Vj>, если р = 1 (mod 4),
|г — /р. если р s 3 (mod 4),
где т - целое число., не делящееся на р. —I - символ Лежан-
дра (см. п. 4 § 1).
Здесь мы использовали важную для дальнейшего теоре-
теоретико-числовую функцию А (а) : 0* -> С:
А» = •
(«)
1, если гг(а) четное,
——1, если г(а) нечетное, р = 1 (mod 4),
-— г, если г(а) нечетное, р з 3 (mod 4)/
1 Г ei П
— 1+(-1) г;|, если у(в) четное,
•2L J
1 а\ аг
—A+г)г (-1) , если у(а) нечетное.
74

Отметим простейшие легко проверяемые свойства функции
|Лр(а)|р = 1, Ар(а)Ар(-в) = 1, а * О,
А (ас2) = А (а), а,с * 0.
п. 4.
вид
Дальнейшие свойства функции А (а) будут приведены в
В терминах функции А (а) сумма Гаусса (*) принимает
*|_) = \f{m)Vp, p * 2.
(*)
1. Гауссовы интегралы по окружностям S ¦
к
Пример 1, р * 2, I с I = 1, у е Z,
' р
xp(c(x-y)*)dy =
0.
1,
о,
,=/..
A.1)
При г s О и \х\ s р~', у е S имеем
\с(уг~2ху)\р = \c\p\(y2-2xy)\p
max
a max
и поэтому
75

Искомый интеграл в силу B.4) п. 4 § 2 равен
X (ez2) dx = p*(l - \)х(еж2)
Хр(
При г s О и |а;| = р'**1, у € S имеем |cj/2|
= рг1 s 1 и
Искомый интеграл в силу C.2) п. 3 § 4 равен
(схг)\ х {-2cxy)dy = -р7''х (схг)
р р
S
При у s 0 и | ат | = р", N ? --Ц+2, у е S имеем
N-7 Уо'
где Z но зависит от у . Тогда, принимая во внимание
формулу C.13) п. 3 § 4 при I = Л+у-1, для искомого интег-
интеграла получим выражение
р-1 р-1
... X ехрBпгХ) J expf^v^.J =0.
у =0 г/ =0
Действуя аналогично, убедимся, что в случаях у г 1, |а;|
76

р" искомый интеграл равен 0, а в случае у - 1 |#| = Р*
он равен
Zp(e(a;-y) )dy =
Xp(c(x-y)z)dy =
dy =
в силу формулы C.13) п. 3 § 4 при I = у-1.
Пример 2. р * 2, |е| = 1, у е Z,
О,
О,
О,
у=1, A.2)
¦ Аналогично примеру 1. Некоторые отличия имеют следу-
следующие случаи.
При 7 = 1, \х\ si, у е S имеем
| max
| max
77

Поэтому
Хр(ер(х-у)г) = хр(сруг)хр(ср(хг-2ху) = хр
Но '
= ^ у*
и в силу C.10) п. 3 § 4 и (*) искомый интеграл равен
2 р-1 2
—~\dy = У ехр\2ni--
При у = 1 и | а: | = р. у е S имеем
V(V»>--] }P =
и, значит, исходный интеграл равен
р-1
si
С Л/
_ г
(С Л/ \ г \
2пг-^—\ - exp 2ni\cpx2\ - Л (ep)v^ - х
78

При г > 2 и \х\ = р*, у <= S имеем
-"] }р =
2е
Как и в примере 1, интеграл по той части S , где х *
* Уо, равен О. Поэтому исходный интеграл равен интегралу по
той части S , где xq = у , и т.д.
Xp(cp(x-y)z)dy =
S ,y =x ,y =x
Xp(ep(x-y)z)dy
1 c
ехрГ2лг-р&21 = \ (cp)-/p.
Здесь мы опять воспользовались формулами C.13) п. 3
§ 4 при I = у-1 и (*). ¦
79

Пример 3. р = 2, |е|2 = 1, г е 1,
о,
1,
о,
(с),
**1»
1*1г=2,
аМ=^
1*1а*2Т,
т=1,
1=1,
1=1,
уг2,
A.3)
т Аналогично примерам 1 и 2. Особые случаи следующие.
При 7=1, \х\ s 1, у е S имеем
\с(хг-2ху)\г s max ( |jc|*, 12xy |J ^ max (l^lv
и поэтому хг(с(х2-2ху)) = 1 и
Искомый интеграл равен
X2(cyz)dy =
5 ^
При 7 ~ \, \х\ = 2, у е S имеем
\с(х-у)г\г= \(х-у)г\2=
80

X7(c(x-y) ) = 1, и искомый интеграл равен
У = 2fl - i]= 1.
При у ? 2, |ж|2 = 2 , у е S имеем
= L(y ,у ,... .у \ - —(х -у )v
\УО>УХ> 'U2Z-iJ о 1 1УУ2
и искомый интеграл равен
X2(c(x-y)z)dy = Х2(с(ж-уJ
5" ,v =ж 5" ,« =х ,у =х
Г'У1 1 Г'У1 l'y2 2
X2(c(x-yJ)dy.
S ,y =x ,.. .,y =x
Для последнего интеграла имеем
Следовательно, искомый интеграл равен
у =0
уу-1
4 2
81

Здесь мы воспользовались формулой C.13) п. 3 § 4 при I =
Пример 4. р = 2, |с|2 = 1, у € Z,
о,
-1.
1,
АаBс),
О.
0,
2л2Bс),
О, .
¦г =/"
A.4)
у=2.
¦ Аналогично примерам 1-3. Особые случаи следующие.
При у = 1 и |ж| = 4, у е S
С1 С2
4 2
и искомый интеграл равен
4 2
2 2 /2 8 4 2
expbnffi + — + —}]dy = exp\2ni{- + — + —11 =
J L Is 4 2 JJ L l8 4 2 J-l
82

При у = 2 и \х\г = 2N, N s 1, у s Sz имеем
18 4 2 2 2 ^ 8
и искомый интеграл равен
СЕ
+ -1 + —
4 2
A e M
i + _i + — = 2X Bc).
8 4 2 J-l г
При у>3и[ж[ = 2 , у e S имеем
2 'tf
и искомый интеграл равен
xz{2z{x-y)z)dy.
5 ,г/ =-х
В последнем интеграле имеем
83

Поэтому искомый интеграл равен
l l
I l
k=o j=o
= 1 + e711 + 2expfHi(l+2C/Cjl =
С С
J 2
С С
= 2^±?(-1) Ji 2 = 2Л Bc)
•" 2
Пример S. p * 2, \a\
(aa; +bx)dx =
0,
Z,
A.5)
Пусть a = crp , где a = с или сг = cp, \c\ =1 (см.
п. 4 §1). Яо условию |а|
р
2-2*
и при о- = с N ь l-y, a
при а = ер N & 2-у. Совершая в интеграле замену переменной
интегрирования р'"х = у, dx = p'"dy, получим
X (р'г ax2+bx)dx = р~
р
>bp"y)dy =
Пользуясь формулами A-1) при а = е и
84
1 и A.2) при

<т = ср и N+ъ ? 2, получим для искомого интеграла выражения
1,
если
Ьрш
N *t
= р , сг=е,
Л (ср)-/р, если
р
Ьр*
= p , a=cp,
в остальных случаях.
Объдиняя эти случаи и учитывая, что 1 = X (с), р" - \а\
1/2
Р
при а = с, А (ер) = А (а) , р" 1/г = \а\1/г при о- = ер, a
также р \р /2а\" = \а\ , получаем формулы A.5).
4-2*
Пример 6. р = 2, |о| i 2"', г « I,
(аж +bx)dx =
4а
2а
2а
=2Г,
A.6)
¦ Как и в примере 5 с использованием формул A.3) и
A.4). ¦
Формулы A-5) и A.6) допускают объединение.
Пример 7. 14а | ь рг , у е 2,
(аа; -+bx)dx =
о,
2а
2а
A.7)
Пример 8. р * 2, \а\ = р , 7 s 1,
{axz+bx)dx -
A.8)
Так как а = рг1~*с, |е| = 1, то после подстановки
85

pt^x = у искомый интеграл принимает вид
ъР-^
Хр\ср[у +
S
Р7'1* х Up\y + dj/.
pI 4JJ pL I- 2ep > -1
При \Ь\ s р'**1, поскольку
р
Ьр-**1
2cp
формулой A.2) при г = 1 и |ж| s p:
р, воспользуемся
, -7<!
при 161 г р'°*г имеем
i p
р , и формула A.2) при
= 1 и
дает 0.
2.Гауссовы интегралы по кругам
Пример 9. р * 2, у si,
ах *bx)dx =
B.1)
а При I a I » ^ 1 имеем I ace I =|alla;| si и,
. p p ' ' p ' p
значит, x (ax) = 1, и формула B.1) следует из формулы
C.1) п. 3 § 4
X (bx)dx =
В
Пусть теперь \а\ р' > 1, |а| - р ', N= 1,2,..,,
86

a = ср
2^~гп
|e| =1. Совершая замену переменной интегри-
интегрирования х = рн*у, dx = p*~"dy, \y\ = р"~*\х\ * р", полу-
получим для искомого интеграла
Б
"N. B.2^!
у'
pH~*
При \b/a\p >
I р ' I p
.„ay _ „2
т.е.
lp > i«l/° = Р"
имеем
> pK¦ Принимая во внимание, чго в B.2)
|cj /?2' г р2, у' = 1,2,. . . ,N, замечаем, в силу формул C.1)
п. 3 § 4 и A.7), что все интегралы в B.2) равны 0, и
формула B.1) доказана.
При \Ь/а\ s р*, т.е. |У6| а р", для интеграла,
стоящего слева в B.2), получим выражение B.1):
Р х\- -
4с
Б
'Ч - А
= 1аГ1/а*.|-
4а
f'
р
ЯГ
'j/ = \a
2
р(е2/ ) 2.
-1/2х
р р
' = \
* 1
_
4а;
0
-1/2
Р ХР
,2
4а
поскольку интегралы, стоящие под знаком суммы равны 0, в
силу формулы A.7).
Случай
2*'3"
> 1,
Мр =
N = 1,2,...,
а = ерр2*'3", |с| =1 рассматривается аналогично. При этом
используется также и формула A.8). ¦
87

Пример 10. р = 2, у ч. TL,
X (axz+bx)dx =
, \а\2г'>=2,
4а
B.3)
где
1, если|6| -p ,
0, если|6j *p*.
¦ Рассматривается как и в примере 9. Отдельно рассмат-
рассматриваются случаи \а\ 2г* = 2 и | а 12227 = 4. ¦
Формулы B.1) и B.3) допускают объединение.
Пример 11. у € I,
X (axz+bx)dx =
В.
р*п(р*
Ар(а)|2а|р1-Л:р|-:-
2a
, |4a|
B.4)
3.Гауссовы интегралы по Q .
Пример 12. a * О.
a: = Ap(a) 12a |
C.1)
¦ Вытекает из формулы B.3) при у -» <». ¦
Отметим, что формула, аналогичная C.1), справедлива и
88

в вещественном случае Q = R:
Xm(axz+bx)dx = Аю(в) |2а|^1/2л:ю[-|^], а * О, C.2)
ID
ш
где обозначено \а\ = \а\ , х = ехр(-2пга;) и
Лю(а) = ехр^-г| sign а| =
1-г
, если а>0,
1+г
, если а<0.
C-3)
¦ Формула C.2) вытекает из классической формулы
со
exp(-iax2-ibx)dx =
/2
= Аш(а)|2аГ1/2ехр[г^-Ь а * 0, C.4)
"¦ 4а'
если воспользоваться выражением для х (х) - вх.р(-2пгх) (см.
п. 1 § 3). ¦
4. Дальнейшие свойства функции А (а). Докажем равен-
р
ство
А.р(а)АрF) = Ap(a+6)Xp(i + \), а,Ъ,а+Ъ <= О*. D.1)
¦ Вытекает из формулы C.1):
z)dy = А(а)А(Ь)|2аГ1/2|2&Г1/г
Xp{ax2)dx\xp(byz)dy = Ар(а)Ар(Ь)|2аГ1/2|2&
р р
Q2 Q О
р р р
= \xp(a(x-yJ)xp(by2)dxdy =\
О
x2)dx\ xpUa+b)y2-2axy\dydx =
Q
р
(а+Ъ)\2а+2Ъ\-1/гх [-
'р pI
Q
р р
() (
р р
89

I -1/2
= A
Интегралы, входящие в эту цепочку вычислений, фактически
берутся по кругам конечных радиусов (зависящих от а и Ь)
(см. п. 1 §4). Поэтому применение теоремы Фубини здесь
обоснованно. ¦
Справедлива адельная формула
Л А (а) = 1, а € 0*. D.2)
г^р^ю р
¦ Произведение D.2) сходится для всех рациональных
а * О, так как только конечное число сомножителей в нем от-
отлично от единицы. Пусть рациональное число а * 0 имеет вид
а а а а
а = ±2 °р11рг 2...рпп, а} € Z (J = 0Д,...,«),
где pi,p2,.'. . ,рп - различные простые числа, отличные от 2.
В силу соотношения А (о)А (-а) =1, 2 ^ р < о, формулу
D.2) достаточно установить для чисел а > 0, так что
Аю(а) = ехр(-г^) . В силу соотношения А (асг) = А (а), фор-
формулу D.2) достаточно установить для чисел а вида
а = 2 \р2...Рп, «о = 0,1..
Пусть aQ = О. Обозначим через Z, 0 з I < я, число
простых чисел вида 4jV+3 в множестве (р ,р ,...,р ) , так что
п-1 - число простых чисел вида AN+1 в этом множестве. Отме-
4
тим, что произведение чисел вида 4.N+1 есть снова число
такого же вида, а произведение чисел вида 4^+3 есть число
вида 4/V+1, если число сомножителей четно, и вида 4^+3, если
90

число сомножителей нечетно.
Тогда
П
, если р =1 (mod4) ,
, если р =3 (mod4);
X (а) = 1, если р * 2, р * pj? j = 1,2,
Поэтому
П
[.3]
Принимая во внимание свойства символа Лежандра, в частнос-
частности, закон взаимности
p-t q-1
i 2 2
(р и q - простые нечетные числа), получим
п
п
п
1 S J ,kSn
J*k
=
V1 V1
1A-1)
П (-D 2 2 = (-1) 2 • D.4)
Отсюда и из D.3) следует формула D.2) при а =0:
TT \(a) =
in
Пусть теперь а = 1. Обозначим через I ,1 ,1 , 0 z I +
91

+ 1+1 s n, число простых чисел вида 8N+3, 8jV+5, 8N+7 в
множестве (р ,р , . . . ,р ) соответственно. Отметим, что
произведение чисел вида 8./V+1 есть число такого же вида, а
произведение чисел вида 8N+j (j = 3,5,7) есть число вида
8N+1, если число сомножителей четно, и вида 8N+j, если
число сомножителей нечетно. Поэтому
1+?
-, если I ,1 ,1 четны или I ,1 ,1
лу ' 1 ' г' з 1' г' :
нечетны,
'-, если Z; нечетно, I ,Z3 четны или
I четно, I ,1 нечетны,
1- ъ
, если I нечетно, I ,1 четны или
VI 2 is
I четно, I ,1 нечетны,
2 ' 1 ' 3 '
, если I нечетно, Z ,1 четны или
VZ 3 2 1
I четно, I ,1 нечетны;
3 ' 2 ' 1 '
D.5)
тт
i, если р =1 (mod4),
П
, если р =3 (mod4) ;
А. (а) = 1, если р * 2, р * р , j = 1,2,...,п.
р J
Следовательно, действуя как и в D.4) и пользуясь фор-
формулой D.7) п. 4 § 1, получим
ТТ *,(«) = г"^1^
2<р<ш Р j=l
IS J ,k<n
92

V1
'tt(-i)" тт 1^, р
= г ' 3(-1) ' 2(-1)
= (~1)V
откуда, пользуясь D.5), выводим D.2):
1 2
Замечание. Функция, аналогичная Л (а), рассматривалась
А. Вейлем для локально компактных полей. Функция Л (а) свя-
р
зана с символом Гильберта.
По определению символ Гильберта (а,6), а,Ъ е Q , равен
р 2
1 или -1 в зависимости от того, представляет форма ах +
-zz
дает свойствами:
+Ъу -zz число 0 в поле Q или нет. Символ Гильберта обла-
обла(а,Ь) = (b,a), (aa2,6C2) = (a,6),
(а,-а) = 1, (а1аг,Ь) = (а^б) («2,6)
и при р * 2
= (!»), |е|р=
(а,-е) = sign а, с * Q*2
(см. B.4) п. 2 § 3).
Справедлива формула
Л (а)А F) = (а,6)л (об), a,b e Q*. D.6)
¦ Пусть р * 2. В силу свойств символа Гильберта и
функции А (а), доказательство равенства D.6) сводится к
93

рассмотрению следующих случаев (см. п. 2 § 1):
1) а = b = с, 4) а = с, Ь = р,
2) а = 6 = р, 5) а = с, b = ср,
3) а = b = е/>, 6) а = /), 6 = ер, |е| = X,
для которых формула D.6) проверяется элементарно.
Из формулы D.6) при Ъ = -еа следует формула
Л (а)А (-еа) = sign а Л (-с).
Р р Ер
5. Пример 13. р * 2,
;<
|ж| ^ |а|" , ?(а) четное;
\х\ з —\а\ 1/г, у(а) нечетное; E.1 )
р -/р р 2
г i i-2
- еР - I, |*|р . , |р
Здесь функция S(a,q) определяется формулой
94

Из равенства E.1 ) следует асимптотика
- |у I
е р xp(a(x-yJ)dy ~
Р*+Р3 1
v (oar2) + 0\ , 1*1 -> -. E.3)
Пусть г(«) четно, |а] = р , N е 1. Тогда |а|
р ' при у 5: -N+1. Искомый интеграл равен
V=-a
x(a(x-yf)dy =
^
xp{-2axy)dj
?
ЯГр(ва:2
. E.4)
При \х\ ^\а\'г г = р~" имеем х (ах) = 1, * (-2ажу) =
= 1, г/6 S , v*-N,
2а
= \х\ *
р
i*-N+l, и в силу
р
формул A.7) и E.4) искомый интеграл выражается формулой
У=-и
-2N -2Jf
-P P
95

При | a: | >|a|/2 = р'н имеем \2ax\ = / г p"*1, и в
силу формул E.4), A.7) и C.2) § 4 искомый интеграл равен
['" _2УГ 2!1-М) Г
? е"р I dy + е'р \ х (-2axy)dy
7=-» J J
5 5
e"p I x {-2axy)dy + У t p x {ay -2axy)dy\
*Ж= 1 —N I
-M
= ) e ^ (й2: ) P A ~ ¦?;) ~ e я;(
-2М-2У г-гк
p
Пусть у (a) нечетно, \а\ = p2N+1, N e. Ж. Тогда |a|
27 при г * -N+l и | a I = p17 при r = -N. Искомый ин
теграл равен
"" г? Г
? e"p x (ax2)\ x (~2axy)dy *
r=-» p j
-2N
e"p я
5
-N
96

2*
. E-5)
При \х\ s l/Sp\a\-uz = р
имеем х (ах ) = 1,
р
-1/2 = р-н-1
) = 1, у е S , / * -ЛГ-1,
> -N+1, и в силу формул A.7) и A.8) искомый интеграл
выражается формулой E.1 ):
•pJ
При |а;| >/)"" имеем |2«а:| = р**рн*г, и в силу формул
E.5), A.7), A.8) и C.2) § 4 искомый интеграл равен
EЛ3):
-м ,
2-у Г
) е р х (ахг) dy +
г--« р J
у
2I-M+1)
-2axy)dy
2У Г
е~р х (ахг)\ х {ay2-2axy)dy
P P
= A - !)*Р(в*2) I е"р
-2У
2С-М+1) Г
е'р Хр(ах2) х (-2axy)dy
97

_ I I 2
" X >
При | х | = р'н имеем |2аж| = pN+1, и в силу формул
E.5), A.7) и A-8) искомый интеграл опять выражается
формулой E.1 ) :
-N- 1
У е-*г7Х(ахг)р*A - 1) +
•Jf=-m
-2N
е"р лгр(аж2) ^ (ayz-2axy)dy
е"р х (еж2) ^ (ауг-2аху)dy =
р J р
= A - ^
.-"-'г.
так как
ieiP e
г, . -г
Пример 14. р = 2,
i), |Ж|г ^ |а|;1/2, E.6,)
98

,-), |ж| = 2|аГ1/2, E.6 )
если г(в) четно;
, \х\ s !_иг1/г. E.6 )
|ж|2=|а|21/2; E.64)
если у(а) нечетно;
\х\г =
|/2, E.6s)
-16 | х |  | а |
- 2е
E.6б)
Интегралы E.6) вычисляются аналогично E.1) при р * 2.
Из формулы E.6g) следует асимптотика
192
б. Исследование функции 5(a,q). Функция S(a,q) опреде-
определена формулами E.2).
функция S(a,q) - целая по а, удовлетворяет функцио-
функциональному уравнению
4* 99

e"a = S(a,q) - qS(aqz,q) F.1)
и вещественна при вещественных а (положительная при q г О) .
Она имеет асимптотики
S(a,q) ~ е'а + #(е~ач ), а -> -» (|?| < 1), F.2)
5(o,ff) ~
С (In се,?) + O(e'a/qZ), а -» -н» (О < ? < 1), F.3)
00
х 2к
к = -оо
вещественно-аналитическая положительная периодическая
функция с периодом 2|In q|.
¦ Перечисленные свойства, кроме асимптотики F.3),
непосредственно вытекают из представлений E.2).
Докажем F.3). Представим функцию S в виде
2к °° -2к
^(а,}) = ) q е - ) q e . F.5)
к = -ю к=1
Полагая а = ех и используя функцию F.4), перепишем равен-
равенство F.6) в виде
C(ln a,q)
S(a,q) = ф(а), F.6)
•fa.
где остаток
удовлетворяет оценкам
|e-a/q2 < #(о) < Cqe"a/q2, a ^ 2,
а функция C(x,q) Т = 2|ln <71 -периодическая:
;,g).
100

¦ Из формул E.1t), E.12), E.6t), E.6з) и F.3) выте-
кает асимптотика интеграла при J a J ~х -» « (р = 2,3,...)
г -1х~уIz
е р Xp(ayz)dy ~
у(о) четно,
О
г(а) нечетно.
F.7)
§ 6. Обобщенные функции
1. Локально постоянные функции. Комплекснозначная фун-
функция f(x), заданная на Q , называется локально постоянной,
если для любой точки х е О существует такое число I (x) e
е Z, что
') = f(x), \х'
„Их)
Множество таких функций обозначим через & = g(D ) .
Очевидно, всякая функция из S непрерывна на 0 . Мно-
р
жество & - линейное над полем С.
Лемма 1. Пусть / е & и К - компакт в 0 . Тогда сущест-
р /\
вует число I e 2 такое, что f(x+x') = f{x), \ х' | з pl\^x e
¦ Пусть К содержится в круге , В . Лемму 1 достаточно
доказать для компакта В^. По лемме Гейне - Бореля (см.
следствие 4 из леммы 3 § 1) из покрытия IВ (х) , х е В \
|l(x) Nl
компакта В можно выбрать конечное подпокрытие (без общих
точек)
|JBi(xk)(a:1'), k = 1,2,...,*}.
Обозначим I .= min I (хк) . Тогда для любой точки х е
к
101

e B1fk\(xk) и для всех х' е В будем иметь
f{x+x') = .f(x*+x-x*+x') =f(x),
поскольку
\х-х*+х' | s max
Примеры.
1-. I a-1 efe°.
max
•У г П и1 »1 гР ¦v = 7
Z . \ Jj \ \l\ у \ X \ I € Ь . 7 € а. ?
где П(<) =1, 0< «si, n(<) = 0, * > 1.
3. Zp(a;), Xp(xz) e S.
4. S(a;o-/fc) е &, к = 1,2,.. . ,р-1,
где
1, аго=*,
О, xQ*k.
A.1)
5. Пусть К - открыто-замкнутое множество в О (см.
р
п. 3 § 1) и в (а;) - его характеристическая функция. Тогда
к
в е е.
Обозначим через А (х) характеристическую функцию круга
()
А
вк-. ьк(х) = а(р-кнр), * с I.
Лемма 2. Всякая функция f из ё во всяком круге В^
представляется в виде
N-1
р
/(*) = У /(aV)A (аг-о"), х s i? A.2)
при некоторых I е 2 и а? е В^ таких, что круги Bi(a ),
v = 1,2,... jp"'1, образуют каноническое покрытие круга Вц.
т По лемме 1 существует число ?'е 2 такое, что
f(x+x') * f(x), х е' Вш, х' е Bt, I s N.
102

При N = I утверждение леммы очевидно (при а1 = 0) . Пусть
I < N. В силу п. 3 § 1 (пример 2) круг В^ можно покрыть
кругами В (а?), v = 1,2,.. . ,р*~1, без общих точек с цент-
центрами а" вида
а1 = 0, а" = р-г(ао+а1р+...+аг_1_1рг-1-1),
г = N,N-1,...,1+1, 0 s а s р-1, aQ * О
(каноническое покрытие круга 2?^) . Поэтому
' p
[О, х*Вш.
Значит, если х е В , то справедливо равенство A.2):
N
N-l N-1
Р Р
f(x) = I f(x)^(x-av) = I f(av)^(x-av). ш
Сходимость в ? определим следующим образом: / -* О при
к -> ю в Ш, если для любого компакта А" с О
fk(x) =L=^ 0, к -> со
( > означает равномерную сходимость).
2. Основные функции, я = 1. Основной функцией назовем
всякую функцию из S с компактным носителем. Множество ос-
основных функций линейно, его обозначим через X) = В@ ) .
Пусть <р е X). Тогда по лемме 1 § 6 существует такое I e
е Ж, что
ш(х+х') = (р(х) , х' б В , х е 0 .
1 р
Наибольшее такое число I назовем параметром постоянности
функции <р, I = 1(<р) .
Обозначим через XI = XI (Q ) множество функций из Е с
N N р
носителем в круге В^ и параметром постоянности г I. Имеет
место вложение
XI с D1, , N s N' , 1*1'.
103

Примеры.
1. ду(а;) - п(р~'\х\р) б В*, у с Z.
2. 5(|а;|р-/) е В*, у е 2,
где
B.1)
О, _
где функция S (х -к) определяется формулой A.1).
4. Если К - открытый компакт, то 0 е Т>.
5. Ау(х)хр(х) е В^, I = min(r,O), г е г.
По лемме 2 § 6 всякая функция <р из Т)^ представляется в
виде
N-1
Р
1> = 1 ' Р
при некоторых av e В^, не зависящих от <р и таких, что круги
В (av), v = 1,2,... ,р*~х, не имеют общих точек и покрывают
круг tfN.
Отсюда следует, что пространство в' конечномерно, име-
имеет размерность р"~ и функции
Ь^х-а ) , v = 1,2,. . . ,р ' ,
образуют (ортогональный) базис в вЧ
Сходимость в В определим следующим образом: <р -> 0 при
fc -> м в В означает, что
(i) ч> е В1, где iV и J не зависят от к,
k N
хСш
Р
(ii) р > О, fc -> оо.
Эта сходимость задает топологию в В в смысле Шварца.
Пространство Е полное, т.е. для всякой сходящейся в
себе последовательности {<рк, к -> «} функций из В, *>,,"*>; -*
-* О, к,1 -* оо, в В, существует функция <р е В такая, что (рк -*
-* (р, к -* оо, в В.
104

Непосредственно из определений вытекает: х
В = lim ind В , В = lim ind В1. B.3)
Докажем утверждение: В@ ) плотно в С{К) .
¦ Пусть / е С(К) и с - произвольное положительное чис-
число. Существует число у е Ж такое, что \f(x)-f(a)\ < е, коль
скоро х е В (а) п К, а е К.
Так как компакт К можно покрыть конечным числом кругов
В (аУ) без общих точек (см. следствие 3 из леммы 3 § 1), то
характеристические функции Д (х-а ) этих кругов обладают
свойством
? Л?(ж-а1') = 1, х € К; B.4)
v
кроме того, A (x-av) e В (см. пример 1). Поэтому
/y(a;) = I f{av)^(x-av) 6 В,
и в силу B.4)
||/-/у|с(к)< max l\f(x)-f{av)\^(x-av) < c? A^z-a") = с. .
хек v v
Пусть О - открытое множество в ID . Пространство основ -
р
них функций В(О) определяется как совокупность основных
функций из В@ ) = В, носители которых содержатся в О.
В(О) - подпространство пространства В; его свойства анало-
аналогичны свойствам В, как и в случае поля К.
В(О) плотно в iP(О), pal, р < м.
¦ Вытекает из тех фактов, что в(©) плотно в С(К) , где
К - произвольный компакт, содержащийся в О, и С(К) плотно в
LP(O) (см. п. 1 § 4). ¦
В пространстве В(О) справедлива теорема о «разложении
единицы»: пусть открытое множество О представлено в виде
объединения не более чей счетного числа кругов В (ak),
к
к = 1,2,..., без общих точек, О = U В (а). Тогда характе-
к 7к
ристические функции А (х-ак) кругов В (а ) дают разложе-
Ч к
ние единицы в О,
105

?'
(х-аГ) = 1, х € О. B-5)
В заключение докажем следующую лемму.
Лемма. Для того чтобы <рк -» 0, к ¦* а, в Х>, необходимо и
достаточно выполнение условия (i) и одного из условий
(ii ) | <р (x)a>(x)dx -> 0, к -> «, <р е Ъ.
2 J k
О
р
¦ Условия (ii ) и (ii ) необходимы. Докажем их доста-
достаточность. Из условий (i) и (ii ) следует условие (ii) в си-
силу представления B.2). Осталось доказать, что из условий
(i) и (ii,) следует условие (ii ). Пусть это не так. По ус-
условию (i) <р е Е1, к = 1,2,... Тогда найдется подпоследо-
подпоследовательность iip (a), i -> ооI такая, что в некоторой точке
а е В <р (а) -> С * 0, ъ -> ю (число С может быть и беско-
бесконечным) .
Тогда на основной функции А (х-а) = п(р'1 \х-а\ ) полу-
получим противоречивую цепочку равенств
lim Г ipk(x)^i(x-a)dx = 0 = lim Г pk (х)п(р~1 \х-а \ )dx =
k->oo j, 1->оо ц 1
р р
= lim Г pk (x)dx = lim ip (x) \ dx = Cpl * 0. ¦
1"*ЮВ (а) ' 1->"° ' В (а)
3. Обобщенные функции, п = 1. Обобщенной функцией
назовем всякий линейный функционал / на V, /: <р -» (f,<p),
ip е Ъ. Это множество обозначим через Ъ' = D' @ ) .
В' - линейное множество: линейная комбинация \f+{i.g
обобщенных функций / и g из Ъ' (Аид- любые комплексные
числа) определяется равенством
(А./ + ug,q>) = А(/,р) + ц(д,<р), <р е V.
Сходимость последовательности if , k -» «I обобщенных функ-
функций / из V определяется как слабая сходимость функци-
функционалов: /к -» 0, к -? т, в D' означает, что (/к>?>) -» О,
106

к -» оо, для любой ч> € Ю.
Важным свойством линейных функционалов на 2> является
их непрерывность: если f -» О, it ¦» », в D, то (./г,<Рк) -* О,
к -> ».
Это вытекает из следующей леммы.
Лемма. Если Л - линейный оператор из Ю в линейное
топологическое пространство М, то А - непрерывный опера-
оператор из Ъ в М.
¦ Пусть <р -> 0, к -> ю, в Е. Тогда р е Е1 при некото-
к к N
рых N и Z и в силу представления B.2) п. 2 § 6
N-1
р
к i> = i к ' к
Отсюда, в силу линейности оператора А, имеем:
N-1
Р
Aip^(x) = ? <p^(av)AL (x-av) -> 0, к -> ю, в М. ¦
Таким образом, Е' есть совокупность линейных непрерывных
функционалов на Ъ, т.е. V - сильно сопряженное простран-
пространство к пространству Ъ. Поэтому для изучения пространства Е'
можно применять общие теоремы функционального анализа. При
этом теория существенно упрощается по сравнению с соответ-
соответствующей теорией над полем К: достаточно проверить линей-
линейность функционалов, и тогда их непрерывность будет авто-
автоматически следовать.
Пространство Ъ' полное.
¦ Пусть последовательность ifk, к -> col функционалов /^
из Е' сходится в себе, / -/ -» 0, к,1 -* п, в Е', так что
для любой <р е Е последовательность чисел \{f^,<p), к -> ш I
сходится в себе, и, следовательно, существует число С(<р)
такое, что
liin (/ ,<р) = С(<р). C.1)
Очевидно, построенный функционал линеен на Ю. Положим
= (f,<p), f е Ъ' . Равенство C.1) показывает, что f -* f,
к -> со, в Ъ' . ш
107

Всякая функция / € L определяет обобщенную функцию
/ е D' по формуле
(/,*>) = lf(x)V(x)dx, C.2)
О
р
и соответствие C.2) между функциями / е L1 и обобщенными
функциями / е V взаимно однозначно.
Ообщенная функция / обращается в нуль на открытом мно-
множестве О, f(x) = О, х е О, если (/,<р) = 0 для всех <р е
е ъ@). Аналогично определяется равенство обобщенных функ-
функций / и д в О, т.е. f(x)-g(x) - О, х б О.
Поскольку в С справедливо «разложение единицы» (см.
п. 2 § 6), то понятие носителя (supp) обобщенной функции /
вводится стандартным образом, как и в случае поля К: же
е supp / эквивалентно тому, что / не обращается в нуль ни в
какой окрестности точки х.
Пример 1. S-функция Дирака
(8,<р) = р@), <р е Ъ. C.3)
Ясно, что supp 8 = {0}.
Обратно, всякая f е Ъ' , для которой supp / = \0),
представляется в виде f = Cs, где С - постоянная.
т Пусть <р е Ю и I - ее параметр постоянности, так что
<р(х) = ?>@), \х\ s р1. Пусть т| - другая функция из V
такая, что г\(х) = 1, \х\ з р1. Тогда
(/,*) = (f,V9) = 9@) (f,v) = C(i,9), С = U,r,). .
Пример 2.
8 (х) = pkQ(pi\x\ ) -» S(x), k -> со в В' . C.4)
¦ Пусть (р е р и I - параметр постоянности <р. Тогда при
всех к г -I будем иметь
Г k к kf
,ip) = р пСр \х\ )<p(x)dx = р\ ip(x)dx =
J P J
о в
Р -к
108

dx = p@) =
Замечание. Предельное соотношение C.4) эквивалентно
такому:
Sk(x)<p(x)dx -> <p@) , к -* <в, q> e V. C.4')
О
р
Предельное соотношение C.4') справедливо для всех функций
(р, непрерывных в точке 0.
4. Линейные операторы в V вводятся как сопряженные к
соответствующим линейным операторам в Т>: пусть А - линейный
оператор из В в В, тогда сопряженный оператор А*: Ъ' -» Ъ'
определяется формулой
(A*f,p) = U,Aip), <р с ъ, f б V . D.1)
Ясно, что A f е Ъ' и А - линейный и, значит, непрерывный
оператор из Ъ' в Ъ' в соответствии с леммой п. 3 § 6.
Конкретное выражение для оператора А получим примене-
применением формулы D.1) к функциям / е L1 после преобразования
интеграла (см. C.2))
(f,A9) = lf(x)(Ap){x)dx
,A9) = l
к виду (A*f ,<{,).
В соответствии со сказанным произведение af, a e 8,
'/е Ъ' , определяется формулой
(af,<p) = (f,aq>), ip e Ъ. D.2)
Пример 1. а(х)б{х) = а@)в(х).
Пример 2. Если / е Е' и supp / с В , то
/ = Ав(а;)/. D.3)
Пример 3. Если / g V и supp / - открыто-замкнутое
множество, то
f. = esuPPr W' D-4)
109

где в - характеристическая функция множества supp /
suppf
(см. пример 5 п. 1 § 6).
Линейная замена переменной у = ах+Ъ, а * 0, в обоб-
обобщенной функции f{y) в соответствии с формулой D.1) опреде-
определяется равенством
{f(ax*b),p\ = if (у), Л-5-1], 9 е Ю. D.5)
\ I \ \а\ ^ > >
'p
0\
Пример 4. (§(х-а;),<р) = <р(х).
Операцию отражения (а = -1, Ъ = 0) /(ж) -> f(-x) будем
обозначать ^С^) = f{~x)•
Пример 5. S(х) = 5(х), т.е. 5(ж) - четная функция .
Обозначим через S' = &'@ ) сильно сопряженное к S
пространство, т.е. пространство линейных непрерывных функ-
функционалов на е. Ясно, что 8' с V .
Теорема. Для того чтобы обобщенная функция / е V
принадлежала Е', необходимо и достаточно, чтобы supp / был
компактом.
¦ Достаточность сразу следует из формулы D.3).
Необходимость. Пусть / е S' и supp / - неограниченное
множество в О . Тогда найдется последовательность точек
р
ixk, k = 1,2,... I, ж" е supp /, такая, что |жк| -> «, к ->
-> ю. Это значит, что существуют окрестности В (хк) , ? *
k
< у, и функции ю g Ъ(В (х )) такие, что (/,ш ) = 1, к =
к Ук
= 1,2,...
С другой стороны, *>к -» 0, к -» ш, в ? (см. п. 1 § 6), и
поэтому (/,?> ) -» 0, Д; -» «>. Противоречие показывает, что
supp / не может быть неограниченным. ¦
Пусть О - открытое множество в 0 . Пространство
3D'(О) - совокупность линейных (и, значит, непрерывных)
функционалов на Е(О).
Если О - открыто-замкнутое множество, то всякая / е
е В'(О) допускает продолжение до F е В'@ ) .
¦ В этом случае eQ(x) e S (см. пример 5 п. 1 §6), и
требуемое продолжение /"> дается формулой
110

I -1
Пример 6. Функция е р принадлежит L (Q \{0}) и
поэтому принадлежит V @ \{0}). Она допускает продолжение
(регуляризацию) до обобщенной функции / из Ъ' по формуле
(fo,<p) =
Ip1
\х\*\ \х\>\
Этот факт не имеет места в случае поля R!
Всякая обобщенная функция f e V (О) допускает сужение
/-, е Р'(С) на любое открытое множество О' с О по правилу
(fo,,<P) = (/,*>), V « D(O')-
Обратно, в пространстве В'(о) справедлива теорема о
«кусочном склеивании»: пусть открытое множество О представ-
представлено в виде объединения не более чем счетного числа кругов
В (ак), к = 1,2,'..., без общих точек, и пусть заданы f e
е V (В (а )) . Тогда существует единственная / е В' (О)
такая, что /
= /, * = 1,2,...
' к
¦ Следует из теоремы о «разложении единицы» §6. Иско-
Искомая обобщенная функция определяется формулой
f{x) = Y A (x-ak)f (х) , х б О. >
5. Основные и обобщенные функции, п > 1. Теория
основных и обобщенных функций в 0п, я > 1 (см. п. 7 § 1),
строится аналогично теории в ® ; и все результаты в
надлежащей формулировке остаются справедливыми. При этом
шар
В7(а) = 1х е 0^ : |ж-а|р * ру|, а = (а4 ,аг, . . . ,aj ,
есть произведение кругов
Параметр постоянности I (см. п. 2 § 6) является вектором,
I = {1,1,...,1), где I - параметр постоянности по пере-
переменной х , j =1,2,...,»; I = min I .
J l<J<n
111

Формула B.2) п. 2 § 6 принимает вид: всякая <р g Х)^,
I = (Zx, 1г, ¦ ¦ ., 1п) представляется в виде
n (N- 1 )
Р
1> = 1 1 п Р
при некоторых а = (а, а , ...а ) е В , не зависящих от ip.
12 n N
При I = I = . . . = I = I формулу E.2) можно в силу
E.1) переписать в виде
nN-nl
р
где А (х-аУ) - характеристическая функция шара Bi(av).
В теории преобразования Фурье произведение х?- следует
заменить на скалярное произведение
6. Прямое произведение обобщенных функций. Пусть даны
обобщенные функции / е D' @п) и д е. Ъ' @*) . Их прямое
р р
произведение f(x)xg(x) определяется формулой
. F.1)
Поскольку в силу представления E.2) п. 5 § 6 основная
функция <р из E@n+m) представляется в виде конечной суммы
D(O'), F.2)
то оператор <р н-> ! <?(«/) ,?>(ат,g/) I - линейный иэ Ю@п+|°) в
Е@п), и, следовате^
- линейный на И (О'
силу F.1) и F.2),
J
Е@п), и, следовательно, функционал, стоящий справа в F.1)
- линейный на U(tTn) . Итак, f(x)xg(y) е В'@n+m) . Но, в
p, F.3)
так что прямое произведение коммутативно:
f(x)xg(y) = g(y)xf(x). F.4)
112

Из F.3) следует также, что прямое произведение f(x)x
непрерывно по совокупности сомножителей / и д: если
/к -* О, к -> оо, в V @п) и дк -> д, к -» со, в D' @т) , то
/kx^k -4 0,* -» -, в Е'@р.
При 5=1 равенство F.4) эквивалентно равенству
[f(x),f v(x,y)dy\ = | [f(x)Mx,y))dy, <p e C(OJ"). F.5)
Qm (Dm
Аналогично прямое произведение вводится и для обобщен-
обобщенных функций из Ъ' (О).
Пример. S (х) = S(xi)xS(xz)x. . .xS(xJ .
7. Теорема о «ядре». Напомним, что все линейные опера-
операторы и функционалы, заданные на V, непрерывны (см. п. 3
§ 6).
Всякая обобщенная функция F из V @п+1°) определяет
линейный оператор A: D@n) —» Е'(Qm) по формуле
p G.1)
Справедливо и обратное утверждение.
Теорема. Пусть В(<р,ф), <р е »@п), ^ ^ ?>@т) , - били-
билинейный функционал. Тогда существует единственная обобщенная
функция F е V (О"*1") такая, что
р
>) , <р б В@ ), ф е В(От) . G.2)
¦ Так как всякая Ъ(х,у) из 2)(Оп+т) представляется в
р
виде конечной суммы
Ф(ж,?/) — / <р (х^ф (у) у <Р € -^(®)? ^ € Z)(Qm)
V
(см. E.2) п. 5 § 6), то билинейный функционал B(ip,ф) зада-
задает некоторый линейный функционал
на ю@п+т) и, таким образом, F e D' @п+ш) и справедливо
113

равенство G.2). Ясно, что F единственна, ш
Следствие 1 (теорема Шварца о ядре). Пусть <р -* А(<р) -
линейный оператор из С@п) в V (Qm) . Тогда существует един-
единственная обобщенная функция F е Ю' @ш+п) такая, что спра-
р
вёдливо равенство A.7).
Обобщенная функция F(x,y) называется ядром опера-
оператора А.
Следствие 2. Всякая билинейная форма B(tp,t/i), <p e
е »@п), ф б D@m), непрерывна.
§ 7. Свертка и преобразование Фурье
В этом параграфе мы изучим наиболее важные линейные
операции над обобщенными функциями - операции свертки и
преобразования Фурье, а также связанную с ними операцию
умножения.
1. Свертка обобщенных функций. Последовательность -j i) ,
k -> в>[, у) еС, назовем Х-последовательностью, если сущест-
существует такое N & Ж, что
Чк(а;) = Ак(аг) = п(р-к\х\р), к * N.
Очевидно,
Т) (х) —> 1, к -* <а, В S.
Последовательность -jAk, к -* ю\ назовем канонической 1-пос-
-jAk, к -* ю\
ледовательностыо.
Пусть / и g - обобщенные функции из V . Их сверткой
f*g назовем функционал, определяемый равенством
(f*g,p) = lim lf(x)xg(v),b.(x)9(x+y)}, A.1)
если предел существует для любой <реТ>. Правая часть ра-
равенства A.1) определяет линейный функционал на Ю и, сле-
следовательно, f*g е Ю' (см. п. 3 § 6). Отметим, что равенство
A.1) эквивалентно следующему.-
114
(f*9><p) = lim \f(x)xg(y),\(x)<p(x+y)\, ip e С,

для любой 1-последовательности |ij , к -> «Л.
Аналогично определяется свертка g*f:
(g*f,<p) = lim \g(y)xf(x),b(y)<p(x+y)). (!•!')
k-»oo *¦ '
Теорема. Если свертка f*g, f,g e T>' , существует, то
существует и свертка g*f и они равны:
f*g = g*f.
¦ Пусть ip g X), так что <р е V1 при некоторых N, I e 2.
По формуле E.2') п. 5 § 6 функция <р представляется в виде
конечной суммы
N-1
р
<р{х) = I С b{x-av)
v=i
при некоторых av e В^ и комплексных С . Поэтому теорему
достаточно доказать для основных функций вида
9v(x) = \(x-av).
По условию свертка f*g существует. Применяя формулу
A.2) к 1-последовательности
получим
(f*g,<pj =
к-»ш
= lim [f{z)xg{y),b(-x+av)liAx+V-av)}.
Учитывая легко проверяемое тождество при к > I
р
продолжим наши равенства
(f*g,<Pv) = lim [/(а:)>ед(у),А (у)А (аг+y-ffl1')] =
= lim [/(а;)хр(г/),А (j/)p (ж+у)| = (g*f,<p).
к->ю
Здесь мы воспользовались коммутативностью прямого произве-
произведения (см. п. 6 § 6) и формулой A.2). ¦
115

Отметим формулу: если свертка f*g существует, то
f*9 = f*9, A-3)
где операция отражения / определена в п. 4 § 6.
Если д е Х>' и supp g с В^, то свертка f*g существует и
справедливо представление
(f*9,v) = [/(х)хд(у),ьщ(у)<р(х+у)}, <р 6 в. A.4)
¦ Воспользуемся определением A.1) и формулой D.3)
п. 4 § 6. При всех <р е Т) имеем:
{f*9,<p) = lim {f(x)xg(y),\(y)<p(x--y)) =
k->oo * I
k->oo
= lim
,A
= lim (f(x)xg(y),&H(y)&k(y)<p(x+y)) =
k->» <¦ '
поскольку
Ak(j/)AH(j/)p(x+j/) —¦ Ьн(у)<р(х+у) , k -> ш, в ?
Из представления A-4) следует, что свертка f*g непре-
непрерывна по совокупности fug: если / -*0, к-*а, вЪ',д -*
-> д, к -> », в Ю' , supp #k с ^n, mo /k*?k —> О, А; -> ш, в В' .
¦ Вытекает из непрерывности прямого произведения, см.
п. 6 § 6. ¦
Пример 1.
f*S = f = 5*f, / е В'. A.5)
¦ Следует из A.4) и F.1) п. 6 § 6
Пример 2. Если / е V , то
к —> /, к -> оо, В Ю' , A.6)
где последовательность {6 , к -» оо} определена в C.4) п. 3
§ 6.
116

¦ Вытекает из A.5) и C.4) п. 3 § 6
/*S _> ,/*5 = /, к -> ю в ?>' , A-6')
в силу непрерывности свертки. ¦
При д = ф е Ю свертка /*0 е 5, и формула A.4) прини-
принимает вид
() [ } ж е Qp; A.7)
при этом параметр постоянности функции /*^г не меньше пара-
параметра постоянности функции ф.
¦ Пусть ^ е Е^. Тогда, пользуясь формулой F.5) п. 6
§ 6 из A.4), получаем представление A.7):
О О
р р
О
р
так как ф(у)<р(х+у} е Е@ ) . Остальные утверждения следуют
из представления A.7). ¦
Пример 3. Если / с В' , то
Ak(/*Sk) —> /, к -> ее, в D' ,
причем Д (/*5к) б J).
Пример 3 показывает, что всякая обобщенная функция
/ е V есть слабый предел основных функций, т.е. X) плотно в
В' .
Формула A.4) позволяет написать равенство
Поэтому определение свертки A.1) эквивалентно такому:
9 —> f*9, к -> т, вС. A-8)
117

Из определения A-1) следует что supp (f*g) содержится
в замыкании множества
¦)?: ? е 0 , ? = х+у, х е supp f, у е supp pi.
В частности, если supp / с В , supp д с В , то supp(/*<?) с
N N
Таким образом, множество обобщенных функций с носи-
носителем в В образует сверточную алгебру (коммутативную и
ассоциативную) с единицей, в которой роль единицы играет S-
функция.
В заключение отметим еще один критерий существования
свертки: пусть функции f и д е L (О ) ь существует функ-
функция а е L (О ) такая, что
1ос р
I f{x-y)g{y)dy —» q(x) , k -» », в V .
k
Тогда свертка f*g существует и равна q: f*g = q.
ш Вытекает из определения свертки A.1):
(f*g.<p) = lim f(x)\ L(y)g(y)<p(x+y)dydx =
О С
= lim <p(C) f(SL-y)g(y)dydZ = з(?)(р(?)^С <р е V. ¦
k-»« J J J
О В О
p k p
2. Преобразование Фурье основных функций. Пусть tp e D.
Ее преобразование Фурье р определяется формулой
5@ = Л*)|@ = I xp(ax)<p(x)dx, ? 6 ор. B.1)
Лемма. Если <р е D , то <р е В" , т.е. операция р н-> ip -
линейна (и, следовательно, непрерывна) из Е в Т>.
ш Докажем, что ?>(?) =0, |?| > р'1. Совершая в B.1)
118

замену переменной интегрирования х = х'+а, \а\ = р1, полу-
получим
Г
= х (^{x'+a))ip(x'-'-a)dx' =
J Р
О
)|
о
- B-2)
Но \?.а\ = \?\ \а\ > 1. Поэтому для любого ?, |?j >
1
найдется талое а е О , ja| = /г1, что х (Са) * 1 (см. п. 1
§ 3). Отсюда и из B.2) следует, что д>(?) =0, |?| > р'1,
т.е. р е V .
Докажем, что
?' е В_ц, С б 0р,
т.е. параметр постоянности функции <р не меньше -N. Имеем
XpUx)<p(x)dx -
О
р
поскольку |§'ж| = If'l \х\ * 1 и х (?,'х) = 1. ¦
•''^ 'р ' ' р' ' р pv y_
Теорема. Преобразование $уръе <р н-> ip - линейный изо-
изоморфизм V на V, причем справедлива формула обращения
B-4)
и равенство Парсеваля - Стеклова
\р(х)
)W{x)dx = ?(C)?(C)rfC, <Р,Ф е в, B.5)
Ю О
р р
И9

а также эквивалентное ему равенство
<Р,Ф
V.
B-5')
в В силу леммы, операция р t-> <р отображает Ю в Ю.
Чтобы доказать, что это отображение сюръективно и взаимно
однозначно, достаточно установить формулу обращения B.4).
Пусть ip-e В . Исходя из B.1), имеем
~ j *„<-*)¦
В В
О В
р -1
B.6)
В первом интеграле справа в формуле B^6) <р(х') = <р(х) и
X (?(х'-х)) - 1, и он равен (см. B.3) п. 2 §6)
Второй интеграл справа в B.6) равен О в силу формулы C.1)
п. 3 § 4. Формула обращения B.4) доказана.
Для доказательства равенства B.5) обозначим .$(?) =
= •»)(?) е Е и тогда ф(х) = г)(х), приведем его к эквивалент-
120

ному равенству B.5'):
<p(x)v(x)dx = ?
ID ID
р р
которое проверяется непосредственно
Г
ip(x)v(x)dx = ч>(х)
ID ID 0
р р р
= ч@ v(x)x (?x)dxd% = I
J J J
ID ID 0
p p p
Пример 1.
ak= V k e z-
где функции S и Д определены в п. 3 § б и п. 1:
Формула B.7) есть другая запись формулы C.1) п. 3 § 4.
Пример 2.. ? е Z,
- ^"^(ICI -P'7*%) , B.8)
где функция 6(|:cl -p*) определена в п. 2 § 6.
Формула B.3) есть другая запись формулы C.2) п. 3
§ 4.
Пример 3. у е 1, к = 1,2,...,р-1,
к). B.9)
121

¦ Искомая величина в силу B.7) равна
г,1-У
= р
О в противном случае
Пример 4. |4а| & р2'27,
.2 _2
§ 5.
. B.10)
Формула B.10) есть другая запись формулы A.7) п. 1
Пример 5. р*2, \а\ = р1'27, 1 б 1,
1 ' п
1'^- BЛ1)
Формула B.11) есть другая запись формулы A.8) п. 1
§ 5.
Пример 6. р*2, | а | р2* > 1, тг е 1,
. B.12)
Формула B.12) есть другая запись формулы B.1) п. 2
§ 5.
122

Пример 7. р = 2, у е Т.,
, B.13)
Формулы B.13) есть другая запись формул B.3) п. 2
§ 5.
р-1
Пример 8. р * 2, у е *2, ? т)(?) = О,
где
р-1
pVy), B-14)
J]t,'(*)=O. B.15)
Искомое преобразование Фурье сводится к интегралу
1 = I v(xQ)xp(tix)dx.
Если [?| s р"', то ^ (€#) = 1 и
р"г
v(x)dx = /-1
= О;
если
(т.е. N+y-1 > 1), то
и, следовательно, как и в примере 24 п. 1 § 5, /=0. Если
123

же |?| = р1'*, то
i ¦> ip
, и в <:илу B.15)
р-1
Пример 9. Re ос > О,
¦ Совершая подстановку ? = а:?, rft = |€j rfa;, обозначая
I "'С I = / и пользуясь формулой C.2) п. 3 § 4, для иско-
искомого преобразования Фурье получим равенство B.16):
r=-<»
= ki;
= ui;
a-i
-а '
1_р-* i-p"
124

Отметим формулу
](О = \а\;\[- &}F[*][a}> V € », а*О. B.17)
В частности,
/•[*>(-*)] @ =
*"[*>(*-*)] (С) =ZpFC)^[*)](e). B-18)
а Формула B.17) непосредственно следует из B.1)
= <p(ax+b)xp(Zx)dx =
p
<p(x')x ?77" \dx' = \a\ ¦}
0
p
Всякая функция <р е V представляется в виде
N
N-1
P
p(x) = У p(av)x (xav)s (x) B.19)
ИГ1 p "N
при некоторых a e II , не зависящих от ip.
m По лемме <p e XfN и представляется в виде B.2) п. 2
N-1
Р
для некоторых av а В . Применяя к этому равенству обратное
преобразование Фурье и пользуясь формулами B.18) и B.7),
получим представление B.19). ¦
Из представления B.18) вытекает, что множество триго-
тригонометрических полиномов
V ко н ечно
плотно в С(К) и, значит, в LZ(K) для любого компакта К с
125

с О ; здесь М - любое счетное всюду плотное подмножество
р
О .
р
¦ Поскольку Ю плотно в С{К), см. п. 2. ¦
3. Преобразование Фурье обобщенных функций. В соответ-
соответствии с формулой D.1) п. 4 § 6 преобразование Фурье J обо-
обобщенной функции / е D' введем по формуле
(.7,9) = (f,P), Р « »• C-1)
Поскольку оператор р i—» р линеен из Ю в 2) (см. п. 2),
то функционал, стоящий справа в C.1), линеен на V, так что
J е V и. оператор / i—> 7 непрерывен из V в D' (см. п. 4
§ 6).
Справедлива формула обращения
/ = /•[УС-О], / е »'» С3-2)
что преобразование Фурье f i—> 7 есть линейный изомор-
изоморфизм V на V .
т Формула C.2) вытекает из формулы B.4) и
определения C.1) ¦
В случае / = ф € X) формула C.1) совпадает с равен-
равенством B.5'), и поэтому введенное преобразование Фурье
C.1) является расширением классического преобразования
Фурье B.1).
Формулы B.16) и B.17) переносятся на обобщенные
функции
(С) = 1«|-Ч( !^[](!)
[]O,- C-4)
где обобщенная функция f{ax+b) определена в п. 4 § 6.
Если / е Z1, то формула C.1) эквивалентна формуле B.1)
р(^)/(х)^, € е Ор. C.5)
р
Если f e L1 и существует такая а € L1 , что
1ос 1ос
f(x)xp(?x)dx —» ?(?), к -» oo, в D',
126

то преобразование ёурье J существует и равно q: J = q.
ш Вытекает из непрерывности операции преобразования
Фурье в 25' и из формулы C.5): действительно, если
[||pj(z) —> /, к -> «., в ©',
то
[() = \f(x)xp(tx)dx -» J, к -» со, в »',
В
к
откуда в силу единственности предела заключаем, что J — q. ¦
Аналог теоремы Римана - Лебега. Если / e L1, то J -
непрерывная функция на 0 и 7(?) —> О, |?| -> ю.
¦ Непрерывность 7(?) следует из представления C.5) по
теореме Лебега о предельном переходе под знаком интеграла
(см. п. 4 § 6), в силу мажорации
Докажем, что 7(?) —* О? l?i ~* "¦• ^ак как Ю плотно в
Z1 (см. п. 2 § 6), то найдется такая <р е 2), что
г
J
с,
р
где с > О - любое наперед заданное число. По лемме п. 2
?>(О =0, |?| > »" при некотором N € Т.. Поэтому
р
. г .
17@1 =
о о
р р
5 \fix) ~ <p(z)\dx + |(р(С)| < с, если
\f(x) - <p(x)\dx
р
Пример 10.
5=1,1=5 C.6)
¦ Вытекают из C.1) и C.2):
E,(р) = (в,р> = р@) = |(p(a;)da; = A,*>), м »• ¦
р
127

Пример 11. Формула C.7) п. 3 § 4 принимает вид
р ' ' р р
Пример 12. Формула B.11) п. 2 § 5 принимает вид
/fx/.aa^jU) = Лр(а)|2а|р1/2*р[ 1, а*0. C.8)
Пример 13.
А (а)\2а\'1/гх ( ] —* 3(?), \а\ -> 0, в D' . C.9)
р 'р р! 4а) 'р
я Вытекает из C.8), поскольку в силу C.6)
?) —¦> 1 = 5, а —» 0, в D' . в
Теорема. Для того чтобы f e W и supp / с В^, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы J e S и параметр постоянности J
был не меньше -N; при этом справедливо равенство
C.10)
т Необходимость. Воспользовавшись формулами D.3) п. 4
§ 6 и F.4) п. 6 § 6, из C.1) выводим представление
C.10):
,p) = [f(x) Г6.ц
О
р
(а;),Дм(а;)^р(^))(р(С)аге.. <р е D.
Q
р
Далее, если ?' е i? то |f'a;| s 1 и ^ (?'х) = 1 при х е В и
-Н ' р р "
так что параметр постоянности / не меньше -N.
Достаточность. Пусть J e & и ее параметр постоянности
не меньше -JV. Применяя преобразование Фурье к равенству
f(x+x') = f(x), х е 0р, |а:' |р ^ ^N,
128

и пользуясь формулой C.4), получим равенство
Xp(xx')f(x) = f{x), x e 0p.' C.11)
Но для любого х, \х\ > рн, существует такое х' е 5 , что
Хр(хх') * 1. Из C.11) следует, что f(x) = 0, \х\ > /,
т.е. supp / е В . ш
4. Пространство L2 определено в п. 1 § 4. Для / е I?
при обозначении нормы \f\2 индекс 2 будем опускать:
J/fl =. |/| . В 1? введем скалярное произведение
U,9) = \f(x)g(x)dx, f,g 6 I?,
О
р
так что |/|2 = (/?/) - Справедливо неравенство Коши - Буня-
ковского
\(f,9)\ * mm, f,g * l\
В терминах скалярного произведения равенство Парсеваля -
Стеклова B.5) принимает вид
(<Р,Ф) = (Ч>Л), 9,* е ». D.1)
Теорема. Преобразование Лурье / i—> J отображает I? на
I? взаимно однозначно и взаимно непрерывно. При этом
?(С) = 1» [ f(x)xUx)dx в L2; D.2)
у-»*» J
Вг
справедливы формула обращения
f{x) = Иш [ ?(С)х (-*€)«<€ в I? D.3)
Г-» + «о J
Вг
и равенство Парсеваля - Стеклова
if,9) = 0,~9), |/| = |?|, f,9 « i2- D-4)
¦ Пусть / е X2. Тогда / = п^р'1 \х\ )/ е Z1 при всех
1 9Q
5 В.С.Влалимиоов и nD. ¦i:'

у е Z и /у —> /, г -> +*, в L2:
\fr(x)\dx = \f(x)\dx
О В
p у
* РГ/2|/|,
О, У -> +oo.
Поэтому J|/
у(Л) = | f(x)xn(^x)ax € l n
(cm. C.5)) и справедливо равенство Парсе валя - Стеклова
D.1) (поскольку 23 плотно в L , см. п. 2 § 6)
|7у| = |/у| ~* 1/1, У"» *-» D-5)
|7у-7у,| = |/у-/у.| -> О, У,У ч +«. D.6)
Предельное соотношение D.6) показывает, что последо-
последовательность \j , у -» +оо I сходится в себе в L2. По теореме
Рисса - Фишера существует функция F е Ьг такая, что J -> F,
у -» +оо, в Z2. С другой стороны, J -* J, У -» +оо, в D' . Таким
образом, 7 = F е X2, J •* J, У -» +<*> в Z2, и представление
D.2) доказано, причем |7 || -» |7|, у -» +оо.
Отсюда и из D.5) следуют равенства D.4). Формула
обращения / = F 7(-?) , в силу D.2), принимает вид D.3).
Таким образом, оператор / i—> J отображает L2 на себя, вза-
взаимно однозначно и взаимно непрерывно. ¦
Следствие. Оператор / н-> J преобразования $урье уни-
унитарный в L2.
Ортонормальный базис в L2 специального вида будет
построен в п. 4 § 9.
130

Лемма. Для любой функции / е L справедливо равенство
lim р-7/2\ \f(x)\dx = О.
J
D.7)
J
В
у
¦ Пусть е > О и / е L2. Существует такое N, что
(" \f{x)\zdx < §!.
Q \В
Считая у > N и применяя неравенство Коши - Буняковского,
получим
\f{x)\dx = р-
\f{x)\dx *
В
„-Г/2
I/W
\в
ire
1/2
k'
„-У/2
В
если у таково, что
\dx
^ В
м-у
2
11/11 < I- ¦
5. Умножение обобщенных функций. Назовем последова-
последова-ju, &->оЛ, и €©, 5- последовательностью,
тельность
существует такое N € Ж, что
если
= в (i) = р*П(рк\х\), к * N.
Последовательность -|ё , к -» ml
5-последовательностью.
Как установлено в п. 3 § 6
назовем канонической
и —»5, &-»<», в 23'.
131

Если -ji), fc-»ool - 1-последовательность, то ее преоб-
преобразование Фурье \v , к -* »1 - S-последовательность, и на-
наоборот (см. B.7)).
Пусть даны обобщенные функции / и д из D' . Их про-
произведением f-g назовем функционал, определяемый, равенством
9,9) = lim (<?,(/*«.>), E.1)
если предел существует для любой if e Т>. Правая часть равен-
равенства E.1) определяет линейный функционал на Ю, так что
f-g € Ю'.
Равенство E.1) эквивалентно равенству (ср. A.8))
(f-9,9) = И
для любой 5-последовательности Ы^, к -? ml.
Определение E.1) можно переформулировать в виде:
fg = lim (f*S )g,
кЧи
если предел существует в Ю'.
Аналогично определяется и произведение g-f:
gf = lim f(g*8k), E.1')
если предел существует в Ю' .
Пример 1. Пусть / и д непрерывны на 0 . Тогда их про-
произведение f-g существует и совпадает с поточечным произ-
произведением f(x)g(x).
ш В силу E.1), A.7) и C.4') п. 3 § 6 для любой <р е
е D имеем
tf-9,4>) = li [
lim ^(х)(р(ж) f{y)sir{x-y)dydx
О
132

= lim I g(x)V(x)\ S.(€)/(
k-*» J J
0 0
p p
ЖШ g(x)9(x)f(x-G)dxdt = I f(x)g(x)V(x)dx,
0
= lim
0 0 0
p
откуда выводим (f-g)(x) = f(x)g(x). ¦
Замечание. Утверждение в примере 1 остается справед-
справедливым и для тех / и д из L1 , для которых функция
1ос
I
g(x)9(x)f(x-Z)dx E.2)
О
р
непрерывна в 0, например, если / е Lp и д е L4 , i + А =
loc loc p Q
= 1, Р S 1.
Припер 2. Если / е D' и а е <?, то произведение а-/'
существует и совпадает с произведением о/, введенным в п. 4
§ 6.
¦ В силу E.1), A.7) и C.4') п. 3 § 6 для любой
<р е D имеем
(a-f,9) = lim [f,{a*S )
k-*n ^
= lim [f(x),\ a(y)a (x-y)dy<p{x)\ =
k-X» *¦ j '
С
p
= lim
С
p
= lim I a (€)(/(*) ,f(*)e(*-
к-»и J *•
0
p
откуда вытекает, что о-/=а/. Здесь мы воспользовались ра-
равенством F.4) п. 6 § 6. ¦
Если / и д е С и supp g с В , то справедливо равен-
равенство
F[f*g] = 7-я. E-3)
133

¦ Пользуясь формулами C.1), A-4) и C.10), при всех
ip e D имеем
= У* 9,9) =
Q
p
Q
р
о
р
откуда выводим F\f*9\ = ffJ = ~9Ш1', поскольку 5 е ? (см. при-
пример 2). Здесь мы воспользовались равенством F.5) п. 6 § 6.
¦
Теорема. Пусть / и д е 23' . Для люго чтобы существовало
произведение f-g, необходимо и достаточно, чтобы существо-
существовала свертка f*g- При этом справедливы равенства
-g\ = J*~g, F\f*g\ = 1-~я- E.4)
¦ Вытекает из определений свертки, произведения, пре-
преобразования Фурье и из равенств
kf)*.gj - (J*Sk)-g, k e 1. .
Следствие. Если f-g существует, то существует и g-f и
они равны
f-9 = 9-f. E.5)
¦ Вытекает из коммутативности свертки, см. п. 1. ¦
§ 8. Однородные обобщенные функции
1. Однородные обобщенные функции. Пусть я(а;) - мульти-
мультипликативный характер поля О (см. п. 2 §3), п(ху) =
= п(х)п(у), х,у е 0*. Обобщенную функцию / из V назовем
однородной степени однородности п(х), если для любых <р е D
134

и t e 0 выполнено равенство
р
т.е. в силу D.5) п. 4 § 6
to) = U(t)f(x), t € О*. A.1')
Замечание. Равенство A.1') позволяет говорить о зна-
значении однородной функции / в точке х = 1:
Опишем все однородные обобщенные функции.
Согласно п. 2 § 3, все мультипликативные характеры
п(х) можно представить в виде
п(х) ш па{х) = \х\*-\(х), A.2)
где л(/>) = р1'01 и л (х) - нормированный мультипликативный
(i) = 1 A^(^I = 1); A-з)
характер поля О такой, что
л (ж) - характер группы S .
Если л(ж) г 1 - мультипликативный характер поля 0 , то
р
n{x)dx = О, г е Z. A-4)
¦ Так как л(ж) * 1, то найдется такое число а е Q ,
|а| = 1, что л(а) * 1. Совершая замену переменной интегри-
интегрирования х = ах' в интеграле A.4), получим равенство A.4):
Г Г Г
n(x)dx = п(ах')d(ax') = л(а) п(х')dx' . ш
S S
Сопоставим характеру л (х) обобщенную функцию л из 23'
по формуле
Г .. .
A.5)
135
= |

Для Re « > 0 интеграл A.5) абсолютно сходится, опре-
определяя голоморфную функцию; для остальных а определим его
посредством аналитического продолжения.
В дальнейшем мы будем пользоваться следующим опреде-
определением: обобщенная функция / е V , зависящая от комплекс-
комплексного параметра а, называется голоморфной в области С с С,
если для всех f е Ю функция a i-> (/ ,<p) голоморфна в С.
па ~ голомоРФная Функция в области Re a > О. Ее анали-
аналитическое продолжение дается формулой
(па,<р) = f \x\«-\(x)[9(x)M0)]dx
Bo
о \в
р х о
x\a~1ni(x)dx, if e 39. A.6)
В
о
Последний интеграл справа в A.6) при ni(x) * 1 равен О, в
силу формул A.3) п. 1 § 4 и A-4)
[ \x\«-\{x)dx = I р"{а-и\ nx{x)dx = О;
J Р 7 = -<я j
при ni(x) = 1 этот интеграл в силу формулы B.5) п. 2 § 4
равен
5
Во
Поэтому представление A.6) можно переписать в виде
(ira,
5о
136

\z\«-\(z)9(x)dz
0 \B
р х о
1-р-
1-р
О,
-a
если
A.8)
если и (а;)*1.
Обобщенная функция и при п (х) * 1 - целая по ос; при
ret (x) sin голоморфна по а всюду за исключением точек
2kni
, к = 0,±1,..., A.9)
In p
где она имеет простые полюса с вычетом
р-1
pin р
-S(x). л
однородная обобщеная функция степени однородности п (х).
т Вытекает из представления A.8). Первый интеграл
справа в A-8) есть целая функция а, так как функция
<р(х)-<р(О) равна 0 в окрестности точки О. Второй интеграл в
A.8) - также целая функция по а, так как функция ip(x)
имеет компактный носитель. Поэтому при п^ (х) = 1 функция
{па,<р) имеет вид
1-р-'
а а 1-р-'
где <р - целая функция. Поэтому (па,р) голоморфна по a
всюду, кроме точек a , к = О,±1, . . ., определяемых равен-
равенством A.9), где она имеет простые полюса, причем
Res (и .(i) = Res
1-р'
р-1
pin р
Однородность обобщенной функции ,тг вытекает из A-1) и
A.5) при Re a > О
"-J
tx'
137

= Ha(t)\t\p(nu,1>), tp € V, t € 0*,
и в силу принципа аналитического продолжения. т
Далее, в (а;) - однородная обобщенная функция степени
однородности \х\ '.
Введем обобщенную функцию Т по формуле.
К
<р{х)-<р(О) С р(х)
dx + -—dx> v € 23- С1-10)
р О \В р
о р о
не является однородной степени однородности
dx =
IT I ¦< 1 т >
X\p-L Pip'
p{)
dx' + dx' =
,*>) - 9@) f ^
1
если О < \t\ < 1, ip e V, ip(O) * 0. ¦
p
Лемма. Если f , г = 1,2,. . . ,n - однородные обобщенные
функции степени однородности п^ соответственно удовлет-
1
воряют соотношению ?/ = 0 и все ос различны, то / = / =
¦ При всех ip e Ю из A.1) имеем
138

1 i
Отсюда, полагал t = р", N е 2, и пользуясь A.3), получаем
равенство
JP ' (/,,*>) = О, N е Z,
откуда выводим (f1,9) = U2>4>) = ¦•¦ = (/»*>) = О, т.е.
А = /2= .-•-/„-о. .
Следующая теорема дает описание всех однородных обоб-
обобщенных функций.
Теорема. Всякая однородная обобщенная функция степени
однородности па(х) = \x\a~ln^(x) есть Спа, если п^(х) ш 1,
или при л1(х) s 1, если а * О; всякая однородная обобщенная
функция степени однородности ло(х) = \х\~ есть С&, где С -
произвольная постоянная.
ш Пусть f ш О - однородная обобщенная функция степени
однородности л (х), причем п (х) т 1, а если тт (х) =1, то
а * О.
Сначала докажем, что существует такое число С*0, что
для любой <р е Ъ, <р@) = О, справедливо равенство
(/,?>) = С{па,9). A.11)
Носитель / содержит точки, отличные от 0. (В противном слу-
случае было бы / = G5 (см. п. 3 § 6) и / была бы однородной
обобщенной функцией степени однородности |а;|" , что исклю-
исключено.) Поэтому найдется такал функция и е V, ш@) = О, что
(/,и) = 1, (я ,ы) * О. В силу A.1) имеем
откуда выводим равенство
[/(aO,u(f))- dt = (ла,?), р с », *)@) = О. A.12)
О р
О
р
Так как и(х) и »)(а;) обращаются в нуль в окрестности О, то
139

и в силу формулы F.5) п. 6 § 6 из равенства A.12) выводим
A.13)
О
р
Во внутреннем интеграле в A.13) совершим замену переменной
интегрирования (при каждом фиксированном х * 0)
х Iх' р
t = —, dt = dx1
\х'\\
(см. п. 2 § 4). В результате получим
, , L,fM r*)W-> i, ]
("«»»»; = \f\x)>\ «(* ^(yj ,.2 rfar =
v. J \x \D * ¦ )
\ 1Р
р
0
p
о -p
p
Здесь мы опять воспользовались формулой F.5) п. 6 § 6,
поскольку
1
Применяя опять свойство A.1) (а;' * 0!) в правой части ра-
равенства A.14), получим равенство A.11)
=
О
р
в котором С = 1/(тг ,ы) .
Из равенства A.11) следует: либо / = Сп , либо
140

supp(/-Crc ) = {0}. Но последнее невозможно, тале как в про-
противном случае было бы f~Cn = С S, где С - некоторая пос-
постоянная, что в силу леммы возможно лишь при С^ = 0 и,
значит, f-Cn = 0.
Пусть теперь / * О - однородная обобщенная функция
степени однородности 1хГ1. Предположим, что supp / содер-
р •
жит точки, отличные от 0. Тогда, повторяя дословно преды-
предыдущие рассуждения, убедимся в справедливости формулы A.11)
и при л (х) = \х\~*:
(f,<p) = Л f(*)—, f « *>, »@) =0 (С * 0). A.15)
р
В терминах обобщенной функции 9 (см. A.10)) ра-
равенство A.15) можно переписать в виде
1 l*lp J
Поэтому
/ - С?-±- = CtS,
где С - некоторая постоянная. Обобщенная функция f-C^S -
однородная степени однородности | а:| ~*, в то время как У
не является таковой. Полученное противоречие и доказывает,
что supp / не содержит точек, отличных от 0, и, следо-
следовательно, / = CS. т
Вычислим интеграл при Re а < 0 (см. §4):
dx =
1 ; га Х~^
) в = - . A. 1о )
чп/ / " _/v ^ /
У1чг о
При а * а = , к = 0,±1,..., этот интеграл опреде-
k In р
лим с помощью аналитического продолжения. В силу формул
A.7) и A.16) справедливо равенство
141

1 ¦ p
О \х\
' p
+ I \х\а'Ых = 0, a * a , к = 0,±l,... A.17)
J
I x I >1
p
Поэтому формула A.8) при л (х) = 1 принимает вид
= J и;
<р е V, а * ак, к = О, + 1,... A-18)
бщенну
степени однородности «-1, если
Будем называть обобщенную функцию \х\ ' однородной
2. Преобразование Фурье однородных обобщенных функций
и Г-функция. По теореме п. 1 все однородные обобщенные
функции степени однородности л (х) - \х\ п (а;) - это Сп ,
кроме случая п^(х) =1 и « = О; в случае и (а;) = 1 и а = О
- это С& (С - произвольная постоянная).
' Преобразование $уръе однородной обобщенной функции п^
есть однородная обобщенная функция л степени однородности
па1(х)\х\;1 = i^V1^)-
¦ Вытекает из формул C.3) §7.3 и A.1'):
Поэтому л „(?.) пропорциональна однородной обобщенной
функции |СI~ \ (С), т.е.
Множитель пропорциональности Г (л ) называется Т-функцией,
142

соответствующей характеру л (х)•
Полагая в формуле B.1) ? = 1 и пользуясь A.3), полу-
получим равенство
= { \x\«-\(.x)Xf(x)dx. B.2)
ID
p
Интеграл в правой части равенства B.2) понимается как
сумма аналитических продолжений по параметру а интегралов,
стоящих в правой части равенства B.3)
I" \x\«-\(x)Xf(x)dx = f \x\*\(x)Xf(x)dx *
О I а;I
p ' ' p
I" \x\«-\(x)Xp(x)dx. B.3)
|
Докажем функциональное соотношение для Г-функции
Заметим, что формула B.4) напоминает соотношение
sin nt
для классической Г-функции.
¦ Применяя обратное преобразование Фурье к равенству
B.1), получим (см. п. 3 § 7)
Так как п'а |?|" - однородная обобщенная функция сте-
степени однородности n"*(^)|g| (см. п. 1), то ее преобразо-
преобразование Фурье - однородная обобщенная функция степени
однородности
143

Поэтому, пользуясь опять формулой B.1), имеем
откуда в силу B.5) следует формула B.1):
Пусть п (х) т 1 и к > 0 - ранг характера nt(x). Тогда
где число
удовлетворяет соотношениям
т Принимая во внимание равенство A.4), из B.2) и
B.3) выводим
о
Г (л ) = У р "*'| п. (x)dx +
р 7=-«
\x\f>l \x\p*p
Последний интеграл сходится абсолютно при Re a < О,
определяя там голоморфную функцию. Вычислим его.
\
Совершая в интеграле по S замену переменной интегрирования
144

x = p~rt, dx = p*dt,
получим
7 = 1
s
Iп' *p p
\(t)x (p'rt)dt, B.10)
s
0
поскольку, в силу A-3), ni(p'r) = л^р) = 1.
Докажем, что
nx(t)xp(p~rt)dt = О, г * t, r € I(. B.11)
So
Пусть г ? 1• Имеем
Xp(p'rt) =
Далее, поскольку ранг характера п (t) равен к г 1, то ni(t)
зависит лишь от t ,t ,.. . ,t _ и при А; ? 2 справедливо ра-
равенство (см. B.3) п. 2 § 3)
р-1
t =о
к- 1
Поэтому при 1 s у < к B.11) следует из
S
о
р-1 р-1 р-1
1=11=0 1=01- • J
О 1 к-2
р-1
при Н i< r B.11) следует из
145

)-l p-1
I I
x
p-1
x
l
= О.
Теперь равенство B.6) следует из B.10) и B.11).
Для получения свойств B.8) и B.9) чисел B.7) вычис
лим преобразование Фурье функции <5(|а:| -рк)л1(х):
=
т.е.
0,
Ю' N=0'
N*0,
При вычислениях мы обозначили |?| = р", С = |?| С и
воспользовались формулами B.7) и B.11).
Из B.12) в силу равенства Парсеваля - Стеклова (см.
п. 4 § 7) следует равенство B.9):
Для доказательства равенства B.8) применим к равен-
146

ству B.12) обратное преобразование Фурье:
;|€|p-l)^J. B.13)
Для вычисления преобразования Фурье функции
-1)п1 (?) заметим, что ранг характера я"*(С) равен к.
Обозначая |а;| = р", х' = \х\ х, из B.7) и B.11), как и
выше, получим
О,
т.е.
Отсюда и из B.13) вытекает равенство B.8)
Из формул B.6) и B.8) выводим
Г (л )Г (л) = рака (я )рB-°"ко (я) =
pv a7 pv а ' у р,к 1' p,kv I 7
Сравнивая формулы B.14) и B.4), получим
или, заменяя я la;! вал ,
а ' ' р а
N*k,
B.14)
147

Гр(яа |*|р) =РкГр(яа). B.15)
Формулу B.15) можно расматривать как аналог равенства
) =" tV(t) для классической Г-функции.
Пусть теперь л (х) ¦ 1, т.е. ранг характера ^(я)
равен 0. В этом случае обозначим
Формула B.4) принимает вид
Г (а)Г A-а) = 1. B.16)
р р
Докажем формулу
Г («) = —. B.17)
р 1-р'а
т Принимая во внимание равенства B.5) п. 2 § 4 и
C.2) п. 3 § 4, из B.2) - B.3) выводим представление
B.17):
Г (а) = [ И"* (x)dx +
|
J р r=i J p
Из B.17) выводим: Г (а) голоморфна в плоскости а за
исключением точек
2пгк
а = , к = 0,±1,..., B.18)
In р
р-1
где она имеет простые полюса- с вычетом ; Г (а) имеет
pin р р
простые нули в точках 1+а , к = 0,±1,-..
Из формулы B.1) выводим
148

= Г (а)|е|"а, а * ак, к = 0,+1,... B.19)
Наконец, отметим, что обобщенная функция
" гр(«)
голоморфна по а за исключением точек
2кпг
\+а = 1 + , к = 0,±1,...,
In р
г - а
где она имеет простые полюса с вычетом - —г |ar| ; при
этом
/а = S, к = 0,±1,... B.20)
¦ Вытекает из результатов пп. 1 и 2. Вычислим
lip I'p
Res = lim (a-l-a ) =
a-i*akr (a) a-»i*a Г (a)
p-1 «
p
-e-i-a
J c+a
ш—1*1, k - -
k
e->° 1-/ Pln P
Далее, из формулы A.8) п. 1 имеем при у с Ю
где j>a - целая функция. Отсюда следует формула B.20)
т.е. /а ^ в, а -» ак, в D'
Пример. Пусть (см. п. 2 § 3)
149

^, р * 2.
Тогда
±/signe(-l)p"-1/2, Е=р, рч,
B.21)
е=п.
¦ При с = р и рт? ранг характера п (ж) равен 1. (Так
как любое х « 0 вида зт = 1+pt, \t\ < 1, является квадра-
квадратом р-адического числа, см. п. 4 §1). Теперь, пользуясь
равенством B.8) при к - 1,
из B.6) получим B.21).
При е = v sign а; = 1, если т(х) четные, и sign а- = -1,
если у(а;) нечетные (см. нижеследующую лемму). Следователь-
Следовательно, я^(гс) s 1 и
In р
и, таким образом,
(яв) = Г fa
а р1
In
1-р
1П р
1-р
пг
1 п р
откуда и вытекает B.21). ш
Лемма. Пусть р * 2 и с - единица, с t Q*2. Число х е
е О принадлежит О с тогда и только тогда, когда у(ж)
четно.
Пусть х е О* принадлежит О* , т.е. представляется в
Р Р>Е
виде
х = аг - еЬг, а,Ь « О , (о,6) * О-
B.22)
150

Если бы г(х) было нечетно, то мы имели бы сравнение
ао - еоЬо s °
и, значит, eQ - квадратичный вычет по модулю р, что проти-
противоречит тому, что е t О*2 (см. п. 4 § 1).
Обратно, пусть х « 0 и у(я) четное. По теореме Шевал-
ле сравнение
а2 - с Ь2 - х с2 = О (mod р)
О 0 0 0 0 ч *'
имеет нетривиальное решение (а ,Ь ,с ), причем с * О
(иначе при с = 0 сравнение B.23) имело бы нетривиальное
решение, что исключено). Следовательно, уравнение
а2 - cb2 - хсг = О
о о
разрешимо при с * О. Отсюда следует представление B.22)
,а ч г ,Ъ
и и
3. Свертка однородных обобщенных функций и S-функция.
Пусть
njx) = \х\*-\(х) и п'$(х) = \х\*;\{х)
~ мультипликативные характеры поля О и л и п„ - соответ-
соответствующие им однородные обобщенные функции, а и ? * а (см.
п. 1).
Свертка п *п' существует и голоморфна в трубчатой
области Re а > О, Re f3 > О, Re (а+C) < 1, является однород-
однородной обобщенной функцией степени однородности
и выражается формулой
=
©
р
= s^irpisi^Oyr;)^), (з-i)
где 2 (я ,п') называется 2- функцией, соответствующей харак-
151

терам па(х) и п'Лх),
а В силу результатов л. 1 § 7, свертка я *п' локально
интегрируемых функций я (х) и л'(х) существует, является
локально интегрируемой функцией и выражается интегралом
C.1):
о
р
который абсолютно сходится в трубчатой области Re a > О,
Re Э > 0, Re (а+|3) < 1> определяя в ней голоморфную функцию
параметров (а,/3) Действительно,
В
к
вк
\tx\"~lni(tx)\x-tx\&~1n>i(x-tx)d(tx) =
X
1*1 *ркм
где К - произвольный компакт, содержащийся в Q .
р
Из формулы C.1) следует, что свертка л *п' - однород-
однородная функция степени однородности |rc|a+^"V (я)я' (а;) . ¦
Для параметров (а,/3), лежащих вне области Re a > О,
Re /3 > 0, Re (a+|3)<l> свертка па*п'а определяется с помощью
аналитического продолжения правой части равенства C.1) по
(a,(S). Наша ближайшая задача - выразить S-функцию через
152

Г-функции и определить максимальную область, в которую про-
продолжается свертка я *п' .
а р
Поскольку па*по " однородная функция степени однород-
однородности
то, применяя к равенству C.1) формулу B.1), получим
С другой стороны, применяя к свертке л *п' формулу преоб-
а р
разования Фурье (см. п. 5 § 7) и опять используя формулу
B.1), получим
-гр(«в)гр(^)|с|^(я1Я;)-ЧО- C-4)
Сравнивая равенства C.3) и C.4), получим формулу
При этом равенство C.1) принимает вид
(па*п^ (х) = Ix^inn'^ix). C.6)
При (л я') (я) * 1 обобщенная функция |а;|а*^(л1л'1) (я)
- целая (см. п. 1) и Г (лдл'|а;| ) - целая и не обращается в
нуль (см. п. 2), и поэтому область голоморфности функции
C.6) определяется особыми точками функции Г (л )Г (Пд):
если п (х) т 1 и л' (х) * 1 - это целая функция; если
л (х) * 1 и л' (х) * 1, то особые точки - это линии а = а^,
к = 0,±1,...; если л (х) ш 1 и л'(я) ¦ 1, то особые точки -
это линии /3 = а , /fc = 0,±1,...
При л (я) з л' (я) s 1 особыми точками являются линии
а = «к, к = 0,±1,..., /3 = ак, А; = 0,±1,..., а+|3 =
153

При п^(х) т 1 к п' (х) = тг (ж) особыми точками явля-
являются линии а+/3 = 1+а , к = 0,±1,... В этом случае
где к - ранг характера и .
ш Формула C.7) вытекает из формул B.6) и B.8):
Пусть ni(x) ш п'(х) = 1. Как и в п. 2, обозначим
При этом формулы C.1) и C.5) принимают классический вид
I -г I a~l*. I f I &'1 — И ft* а\\г\а*@~1 С* ЯЛ
гр(«)гр(э)
В (а,|3) = . C.9)
р Р (а+8^
С учетом B.16) формула для В (а,/3) принимает симмет-
симметричный вид
где а+C+7 = 1.
Д
к е Z:
Докажем равенства при Re a, Re /9, R.e (a+/9) * -1+а ,
¦ При Re а, Re /3, Re (а+|3) > -1 произведение |а;|а-|2т|^
^у Л Р Р
существует в Т>' в смысле п. 5 § 7 и равно |а;| р, так что
справедливы равенства C.11) и C.12). Действительно, функ-
154

ции |х|а и \х\ принадлежат L1 , а функция (см. E.2) § 7)
| \x\y(x}\x-^pdx
О
р
непрерывна в точке ? = О для любых р « Z), в силу мажорации
Cbax(|a;|«, |*| J), * е supp
и теоремы Лебега о предельном переходе под знаком интегра-
интеграла.
Для остальных а и f3 равенства C.11) и C.12) получа-
получаются аналитическим продолжением правых частей по а и р. ¦
Аналогично, если / е В и Re a, Re /3, Re (a+<3) * ~1+ak>
то
4. Однородные обобщенные функции многих переменных.
Результаты пп. 1-3 переносятся без существенных изменений
на однородную функцию |я|а~п степени однородности а--1,
зависящую от п переменных х = (х ,х ,. . . ,х ),
(см. п. 7 § 1).
Прежде всего покажем, что
\x\a'ndx = -, Re a > О. D.1)
Во
\dx
Формула D.1) при п = 1 совпадает с A.7).
ш Индукцией по п. При п = 1 формула D.1) верна. Пред-
Предполагая ее верной при п, докажем справедливость ее при п+1.
155

Обозначая х = (х,х^), х = {х^,х ,... ,х ) , .и пользуясь
теоремой Фубини (см. п. 4 § 4), убеждаемся в справедливости
формулы D.1) и при л+1:
г а_п_1 г _ а
I I "^ I ^*Х = I I \3'?3' . / I
I ' • р J n* p
в в
о о
"If I
О \Х S\Х \
1 ' р ' п + 1 'р
I
\х\ >\х \
1 'р ' п+ 1 '
dx
х |
n+l ' р
В
-I I
1р I п*1'р
~ 1_р-а + j i.p-а*! X»*i ~ J '^i IР J Ip xn*i ~
В В В
о оо
1-1 л -П ^ -1 ^ «~П 1 »*~П~
-Р 1-р 1~Р 1-Р 1-р
1-P"a l-p"a+l 1-p"" l-p""*' l-p"a
Введем обобщенную функцию |ж|*"п « D'(Оп) по формуле
(ср. A.6))
Р Ч О
1-р
. D.2)
156

Обобщенная функция |а;|а~п голоморфна всюду за исключе-
исключением точек A.9)
2kni
а = , к = 0,±1,...,
" In р
где она имеет простые полюса с вычетом
!—
рп1п
Справедлива формула преобразования Фурье
;а, а * «k, k = 0,±1
где Г" - п-мерная Г-функция (Г1 = Г )
|
р
При п = 1 формула D.4) совпадает с формулой B.19).
Формула D.4) следует из более общей формулы
где ?,х е Qn, | (х,т) | = тах[|а;| ,\т\ I, m * О.
ш Это следует из предельных соотношений
|/я|ап[|/я?| ] —» 0, /и -> О,
в D'(On) (Re a > п) и из непрерывности операции преобразо-
преобразования Фурье (см. п. 3 §7). Таким путем равенство D.3)
доказывается при Re a > n и далее используется аналитичес-
аналитическое продолжение по а. ¦
¦ Для доказательства формулы D.5) применим метод ин-
индукции по п. Сначала докажем эту формулу для п = 1,
Q
p

Воспользовавшись формулами C.1) п. 3 § 4, B.16) п. 2
§ 7 и B.19), получим формулу D.6):
J [max(|*|p,MJ]%
Ир>Мр
+ F\\x\a~-
Пусть формула D.5) верна при п и докажем ее для ин-
индекса п+1, т.е. при х,? s On+1
р
] ^^Jf^] D-7)
Обозначая
х=
n+1), x,% e О»,
158

и, пользуясь теоремой Фубини, получим
р
I jmax |5|p,
О"
где
'p 1
а+172, D.8)
159

Здесь мы воспользовались формулой C.1) п. 3 § 4.
Пользуясь формулой B.16) п. 2 § 7, вычислим 1^.
тР>мр
i»ip<mp*ieipl
Infill!? I ] x
1-p
-1
- ic.
i-a
!-„'
a-i,
„-« i%»i'p !_p-«
Подставляя значения интегралов I я I в D.8),
160

получим искомое выражение D.7)
^^
Действуя как и в п. 2 и пользуясь формулой D.5),
получим формулу, обобщающую формулу C.8)
рр рр «к, D.9)
где
Bj(«,P) = Г^(а)Г^(^)Г^(-а-|3+п). D.10)
С учетом свойства (см. D.4), ср. B.16))
D.11)
6 В.С.Владимиров и др.
161

равенство D.10) принимает классический вид
В°(а,/3) = — - . D-12)
Отметим симметричное выражение для
D.13)
где а+р+г = »•
Замечание. Формулы п. 4 с точностью до обозначений
приведены в работе В. А. Смирнова. Они используются в пос-
построении теории возмущений в р-адической евклидовой кван-
квантовой теории поля с пропагатором вида

ГЛАВА II
ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
НАД ПОЛЕМ jD-АДИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ
Псевдодифференциальным оператором (над полем р-адичес-
ких чисел) в открытом множестве О с 0" назовем оператор А
вида
( A\h\ (тЛ — I n (? rU/(?W (— (? yW АР y *= f)
Jn
действующий на комплекснозначные функции ф{х) р-адических
аргументов х е О. Здесь функция ф предполагается заданной
на всем пространстве 0п и продолженной нулем вне О,
р
ее преобразование Фурье,
О
Функция а(?,х), ? е 0n, x e С, называется символом опера-
оператора А.
§ 9. Оператор if"
Оператор if1: ф и» Д^ф определяется как свертка /
(см. п. 3 § 8) с ф:
1/ф = f *ф, а. * -1.
if1 - псевдодифференциальный оператор с символом |?|а>
в силу формулы преобразования Фурье свертки
1. Оператор if', a * -1. В силу результатов §8, обоб-
обобщенная функция
163

голоморфна по а всюду на вещественной оси за исключением
р-1
простого полюса а = 1 с вычетом - ; при этом fo(x) =
pin р
= 8(х) и (см. C.8) и C.9) § 8)
Пусть обобщенная функция ф из V @ ) такова, что свер-
свертка / *ф существует (а * -1). Оператор В^ф = f а*ф назовем
при а > О оператором (дробного) дифференцирования порядка
а, а при « < О - оператором (дробного) интегрирования по-
порядка -а; при а = О 1Рф ~ 8*ф - ф - тождественный оператор.
Пример 1. Аналог первой производной (а = 1, D1 = D):
рг
D* = f *Ф =
Если ф е D, то эта формула в силу A.18) §8 принимает вид
J
Q
р
или, в силу B.19) §8,
(Оф)(х) = I"
О
р
Пример 2. Производная ?>ai//, а > О, на функциях ^ е С
дается выражением
о
р
или, эквивалентно,
(х) = |?|а^(?)я: (-?a;)rf?- A-2)
Q
р
Пример 3. Первообразная Д^ф, а < О, а * -1, на функци-
функциях ф е D дается выражением (см. B.19) §8)
1-ра
р
или, эквивалентно,
164
A.3)
О

{If1*) (x) =
f ICi;
A.4)
Пусть обобщенная функция i/i е 8' и а^^+р * -1. Тогда
справедливы равенства
iflPili = Jf*&^ = ^Vtf. A.5)
¦ Вытекают из формул C.13)-C.14) § 8 и B.19) § 8.
поскольку j ? S (см. п. 3 § 7). ¦
Из формул A-5) при & = -а следуют равенства
= ф =
, ф ш в' , а * tl.
A.6)
Замечание. Равенства A-5) остаются справедливыми и
для тех обобщенных функций ф е V , для которых свертки
f-a*(f-fi**}' f-ft*(f-a**} И f-a-р** сУи<ествУЮ1:' в ю' • Сущест-
Существование этих сверток как условие справедливости равенств
A.5) существенно, как показывает следующий пример: пусть
а > О и ф = 1, тогда /_а*1 = ^[|?|р«(СI = О, свертка /д*1
не существует и равенства A.6) несправедливы:
/
г"
= о,
не существует.
Пример 4. а е R, 0 э а * О,
lfXp(ax) = |а|«жр
¦ Вытекает из равенства B.19) §8 и
A.7)
165

(см. п. 3 § 7),
/¦[>*„(«*)] = F[f_a*Xp(ax)] = F[f^]-F[Xp(ax)] =
= |e|««(?+e), A.8)
а), а=-1,
и из существования произведений
(О
= О.
Применяя обратное преобразование Фурье к равенству A.8),
получим формулу A.7). *
Пример 5. a e IR, 7 e Z. Пусть
Тогда
D*i(x) = р
Как и в примере 4 имеем:
•(О = аA?1
A.9)
[г— * |»
Пример 6.aeR, reZ, |2a|
. A.10)
Вытекает из формулы A.9) при /(?) = х (а?2) в силу
166

формулы B.10) п. 2 § 7. ¦
p-i
Пример 7. р * 2, reZ, V t)(?) =0,
к1
lp-/)- (i.li)
¦ Как и в примере 6, следует из формулы B.14) п. 2
§ 7. .
2. Оператор D'1. Наша задача - распространить оператор
и на а = -1 так, чтобы на классе обобщенных функций
0 е ?' , @,1) = О, оператор if' был бы непрерывен по а в
точке а = -1 и были бы справедливы равенства A.5) при всех
вещественных а и /3.
Прежде всего докажем лемму.
Лемма 1. Для того чтобы обобщенная функция f e 8' ,
supp / с В^, удовлетворяла условию
(/,1) = (/,Ди) = О, B.1)
необходимо и достаточно, чтобы
7@ = О, С « /?_n. B.2)
¦ Необходимость условия B.2) вытекает из результатов
п. 3 § 7. Пусть выполнено условие B.1). Так как параметр
постоянности функции 7@ не меньше -N, то при всех ? е В
—N
7@ = 7@) = (/>AN) = 0, в силу представления C.10) п. 3
§ 7. Обратно, если выполнено условие B.2), то, выбирая
<р е V, supp <р с В v,
|
Q
р
получим условие B.1):
О =
Q
р
о
р
На основных функциях <р е V таких, что Г q> dx = 0,
Q
р
справедливо предельное соотношение
167

Ua,4>) -» ~^Гр\ ln\x\f9(x)dx, a -» 1.
B.3)
р
¦ Существование предела и формула B.3) следуют из
предельного соотношения
x\a'1<p(x)dx =
10
(<Х-1 ) In х
Ib
-1
<a-i)in
-(l-p-a)<p(x)dx
р-1
Pin p
a;, а
10
Возможность перехода к пределу под знаком интеграла обеспе-
обеспечивается теоремой Лебега (см. п. 4 § 4), в силу мажорации
(ОС-1 ) In I х I
-1
1-е
-(<Х-1 ) In p
, х е supp if, |a-l| s 1,
при некотором С = C(p,supp <р). ш
Обозначим через / регулярную обобщенную функцию
р-1
1И
р-1
B.4)
Положим
ZTV = Д*0, 0 6©'. B.5)
предельное соотношение:
Л~аф -^ D'1^, а -» 1, в»', B.6)
есяа 0 е S' удовлетворяет условию B.1).
¦ Пусть supp ф с В^ и <р е с Пользуясь теорией свертки
(см. п. 1 § 7), при всех а > О, а * 1 имеем
168

= \fa(x)g(x)dx, B.7)
о
р
поскольку
i \ i . . >
С.
Далее, в силу формулы F.5) п. 6 § 6 (так как А (у)<р(х+у) е
е D(Q2)) и условия B.1)
Р г
()) (
Р г
g{x)dx = \\li(y) ,b(y)<i>{x+y)\dx =
\ \ ™ )
>К(у)\ q>(x+y)dx\ =
J
\
J
О
р
О О
р р
•х = О,
' J
О
р р
так что функция д удовлетворяет условию B.1). Поэтому,
пользуясь предельным соотношением B.3), из B.7) и B.5)
выводим B.6):
Г
'%,*) = fa{x)g(x)dx
р р
С
р
= (D ф,и>} ос -> 1. ¦
Докажем формулу
1
7.Ш = ^ + | «(С), B.8)
1
где обобщенная функция Я определена в A.10) п. 1 § 8.
¦ Из формулы C.6) п. 3 § 4 следует, что преобразова-
преобразование Фурье функции fx(x) совпадает с функцией |?|, где ? *
169

О. Поэтому (см. п. 3 § 6)
7Х(О -
B.9)
Для определения постоянной С применим обе части равенства
B.9) к основной функции AQ = Aq (функции А определены в
п. 1 § 7). Пользуясь интегралом B.6) §4, получим
Ifp*1
р-1
Если ф е 6' и удовлетворяет условию B.1), то по лем-
лемме 1 |К?) обращается в нуль в окрестности точки ? = О.
Поэтому в силу B.8)
Отсюда, как и выше, убеждаемся, что формулы A.5) справед-
справедливы для всех вещественных <х и /з, если ф е &' ,
= О.
Лемма 2. Если <р е V, supp ^ с В^, то при \х\ > р
[fa(x'),,(*-*•)} =
j=r-T~y|ar|a <p dx' ,
B.10)
Р-1
dx' ' a=1
¦ Пусть а * 1. При |ar| > р" <р(х) = О и |a:-j
у е supp p и формулы A.1), A.3) дают B.10):
| = \х\ ,
170

j p j
0
0
p
О
p
Аналогично рассматривается и случай а = 1. ¦
Докажем равенства
/ */ = / = / */ , а ь 0. B.11)
J1 •*-а •*i-а J-л J\' ч 7
¦ При а = О / =6 и равенства B.11) верны. Пусть
а > 0. Тогда по определению свертки (см. п. 1 § 7) при всех
<р е Т) для любой 1-последовательности чт) , к -» ю I имеем
= lim
Г г
m T? (%)f (#) \f (у) ?Ф\%+%
ДС^) [/.(Х(г/)^B;п'
ID
p
Возможность перехода к пределу под знаком интеграла и
существование последнего интеграла следует из теоремы Ле-
Лебега (см. п. 4 § 4) и леммы 2 в силу мажорации при к ± N
\х\р
Итак, свертка f *f существует и, значит, существует
свертка / */ и они равны. Для ее вычисления рассуждаем
следующим образом. Существует произведение ?г'7 а и
справедливо равенство
//.J =71-7.e (см. п. 5 § 7)
Принимая во внимание формулы B.19) §8 и B.9), перепишем
последнее равенство в виде
171

Нетрудно убедиться, что при а > О
Поэтому
откуда в силу B.19) §8 вытекают равенства B.11)
Л*/- = '[Klf1] = А-- ¦
Из B.11) при а = -1 следуют соотношения
С2-12)
Теперь докажем такое утверждение: если ф <= &' , то при
а г О существуют О^СР'ф и IJpD'1^ и они равны дР~'ф:
D'1^ = /?""> = .flW B.13)
или, эквивалентно,
А* (/-«**) = А-«** = М/Н- Bл4)
¦ Воспользуемся теорией свертки п. 1 § 7. Пусть <р е D.
Тогда при всех а; е О
где ^(ж) = 1ф(У) ,<р(я+У')) е »• Поэтому свертка
существует и равна Д а*Ф-
О
р
в силу равенства B.11). Аналогичное рассмотрение и для
свертки
172

Из равенств B.13) при а = 1 следуют равенства
Б'хОф = ф = Ш'хф, ф е ё' . B.15)
Подытожим наши результаты в виде следующей теоремы.
Теорема. Формулы B.5)
справедливы, если a,p,a+/3 * -1 или а г 0,/3 = -1; если ф е.
е &' удовлетворяет условию B.1) {ФА) = О, то эти формулы
справедливы при всех вещественых аир. При этом Л^ф непре-
непрерывно зависит от а в V .
Замечание. Оператор if', a * -1, определяется однород-
однородной обобщенной функцией / степени однородности -<х-1; при
a = -1 это свойство утрачено: оператор /Г1 определяется
р-1
функцией - —т In|а:| , которая не обладает свойством одно-
однородности.
3. Уравнение Е^ф = д. Рассмотрим уравнение
1?ф = д, д «= ?', a <= R, C.1)
относительно неизвестной обобщенной функции ф е D'. Решение
уравнения C.1) ищется в классе тех ф е V , для которых
свертка / *ф существует в С (и равна д) (см. § 7).
Теорема 1. При a > О любое решение уравнения C.1)
выражается формулой
ф = Г«д + С, C.2)
где С - произвольная постоянная; при a s О решение уравне-
уравнения C.1) единственно и выражается формулой C.2) яри С =
= О.
¦ Тот факт, что В~ад есть решение уравнения C.1)
следует из формул A-6) и B.15). Осталось исследовать
решения однородного уравнения
0*Ф = f.a** = О. C.3)
Применяя к уравнению C.3) преобразование Фурье (см.
п. 5 § 7), получим ?_а(О-#(О = О. Так как 7_а(О * О при
173

О (см. B.19) § 8 при а * -1 и B.8) при а = -1), то
= °> С * О и, следовательно, ф = Cs(?), ф = С.
Докажем, что при a s О С = 0. При а = О это так. Пусть
а < О и С * О, т.е. / л*1 = О. Поскольку
то, выбирая функцию у е Т) такую, что j <p(x)dx = 1, получим
10
р
противоречие
О = (/_а*1,<р) = lim /_a(x)Ak(ar) <?(x+y)dydx =
К > k-»oo J J
Q Q
p p
= I / (x)dx * lim [ / (x)dx = —. .
J k-»oo J
Bo K\x\ ±pk
I Ip
Теорема 1' . Для того чтобы существовало решение у
уравнения C.1) такое, что $(О обращается в нуль в
окрестности С = 0, необходимо и достаточно, чтобы g удов-
удовлетворяла условию B.1). При этом решение ф = D g един-
единственно, непрерывно по а е Ш в V и справедливы формулы
ш Необходимость. Пусть ф - решение уравнения C.1) и
ф ш 0 в окрестности ? = 0. Тогда
г\лРф] = f\/ *ф] = /„,@-0@ = 5@,
откуда следует, что <7(О = О в окрестности ? = 0. По лем-
ме 1 g б &' удовлетворяет условию B.1).
Достаточность. Пусть g e S' удовлетворяет условию
B.1). По лемме 1 р(О = 0 в окрестности ? = О. Так как
постоянная С * 0 не удовлетворяет условию B.1), то по тео-
теореме 1 существует единственное решение ф = D' g уравнения
C.1), удовлетворяющее условию B.1):
Остальные утверждения теоремы сразу следуют из теоремы
п. 2. ¦
174

4. Спектр оператора if в 0; а > О. Оператор if -
псевдодифференциальный с символом |?|а (см. п. 1):
Q
р
Он определен на тех функциях ф из гильбертова пространства
Lz@ ) = L2 (см. п. 4 §7), для которых \Е\аф е I?. Это
р _а
множество, - обозначим его через Х)AГ), - называется облас-
областью определения оператора if в 10 . При этом
р
D.1)
10
р
р D-2)
о
р
Равенства D.1) и D.2) непосредственно следуют из
равенства Парсеваля - Стеклова: |Z?a^,(p = I/1 Lfl'fy ,/"U>| I ;
здесь {¦,•) - скалярное произведение в гильбертовом про-
пространстве L2(cm. п. 4 § 7).
Определенный таким образом оператор if* - самосопря-
самосопряженный и положительный:
f > °, 0 * Ф е
так что спектр оператора LT лежит на полуоси х г 0.
Рассмотрим задачу на собственные значения
??ф = \ф, ф е L2(Qp). D.3)
Пусть Л = О. В п. 3 было установлено, что при Л = О
уравнение D.3) имеет единственное решение в D' ф з const.
Таким образом, ^ s 1 является обобщенной собственной функ-
функцией оператора if*, соответствующей собственному значению
Л = О. Тем не менее Л = О не есть собственное значение
оператора if1.
175

Далее, ran if* (область значений оператора if1) плотна в
L2.
¦ Это вытекает из того факта, что уравнение
if1^ = <р, <р е V, Г if dx = 0
О
р
имеет решение ^ = D~a<p из области T)(lfL), поскольку J> e Ю и
(по лемме 1 п. 3 р(?) = О в окрестности точки С = О), а
множество функций jf>eX>: |(pdar = ol- плотно в L2 по лемме,
Q
р
которую мы сейчас докажем. ¦
Лемма. Множество основных функций <р из Т>, удовлетворя-
удовлетворяющих условию Г <pdx = 0, плотно в L2.
О
р „
¦ В силу равенства Парсеваля-Стеклова |у>| = Jpfl (см.
п. 4 § 7) и леммы 1 п. 3 достаточно доказать плотность в I?
множества функций
= ^ е »: 5@ = 0, € • *„, 3^€
Но в п. 2 § 6 доказано, что d[o \{0}| плотно в L2\0 \{0}| «
- ?2@р) = L\ ш {Р ' КР ]
Пусть теперь Л > О. Переходя в уравнении D.3) к прео-
преобразованию Фурье, получим эквивалентное уравнение
Отсюда заключаем, что искомые точки спектра Л (в данном
случае - собственные значения) имеют вид
Лм = рш, N е Z, D.4)
и соответствующие (нормированные) собственные функции имеют
представление
; = 1, ЛГ € Z. D.5)
5. Ортонормированный базис собственных функций .опера-
.оператора jf. В качестве функций р в D.5) выберем следующую
176

систему локально постоянных функций на S : при р * 2
п,»,с1
= р
-
= 2,3,...,
= 0,1,...,р-1, ео * О, У = 0,l,...,Z-2;
1-N
2 „
E.1")
= 1,2,...,р-1, Z = 1, е = 0;
при р = 2
1-N
1 2 ,
= 2,3,..., А; = 0,1, е, = 1+е 2+...+Е, 21;
1-W
= 2 2 га[*2"'2е), Z = 1, к = 0,1, е = О. E.2")
В результате получим следующую систему нормированных
собственных функций, преобразования Фурье которых в силу
D.5) и E.1) равны: при р # 2
х
при р = 2
177

"^ = 22 X2(e2Y)s(\Z\2-2") x
22N-1-
2, E.4')
К.ь.с
l-K
Применяя к функциям E.3) и E.4) обратное преобра-
преобразование Фурье и пользуясь формулами B.7) - B.10) п. 2
§ 7, получим следующие собственные функции оператора Da,
соответствующие собственному значению х = р , N е 2: при
р * 2
I рода
(J = 2,3,..., к = 1,2,...,р-1, е = е+ер+... +е р")
E.5')
II рода
(I = 1, fc = 1,2,...,р-1, с = О)
N-1
Со(ж) = P^n^lxl^^fcp-"*); E.5»)
при р = 2
I рода
(Z = 2,3,..., * = 0,1, е, = l+c^.-.+c^1)
N-1
х ж2(е121-211гг2+21-')-к;г) E.6')
178

II рода
(I = 1, к = 0,1, е = О)
if|a;-Jfc2H~3|2-21'H]. E.6";
Собственные функции E.5) - E.6) принадлежат прост-
пространству V и удовлетворяют условию
E.7)
Q
поскольку в силу E.3) - E.4) ф @) = 0 (см. лемму 1
п. 2). Собственные функции I рода удовлетворяют также усло-
условию
N.k.e
= о, г=2,з,...
E.8)
Ортогональность собственных функций при различных jV
следует из формул E.3) - E.4). Ортогональность функций
при различных I и фиксированных jV следует из формул E.5) -
E.6). Ортогональность функций I рода при фиксированных JV и
I и различных е следует из формулы B.10) п. 2 § 7: при
р * 2
х х
[с1 р^х^+к'pl~*~*x\dx =
*** О
1-2N
179

поскольку Cj * е', так что
|Vc;|
2-2 A-Ю
(к-к')р1
При р = 2 - аналогично. При фиксированных N, I и е) и раз-
различных Jfc собственные функции E.6) ортогональны, в силу
формулы B.8) §7:
= [
'^x^dx = О, Z * 2,
=0,
Итак, при р - 2 собственные функции E.6) образуют
ортонормированную систему в L (Q ) .
При р * 2 собственные функции II рода E.5") орто-
ортогональны при различных к (и фиксированном N), в силу формул
E.3"). Система же собственных функций I рода E.3') не ор-
ортогональна при различных к (и фиксированных N,1 -л с^ .
Для построения ортонормированной системы собственных
функций достаточно ортогонализировать систему функций
{ф1 , к = 1,2,. . . ,р-1 \. Докажем, что в качестве такой
ортонормированной системы можно взять следующую систему
функций I рода:
Н+1-1
E.9)
к = 1,2,...,р-1.
180

Сначала установим соотношения
E.10)
' EЛ1)
где е' = - ^г- и Jfc' определяется сравнением
-2е /fc s /fc'(mod p), к' = 1,2,...,р-1.
E.13)
Формула E.10) следует из E.3') и E.9) в силу
соотношения при х е S
Далее, пользуясь соотношениями
р-1
! f(*-j)«
1-lar.l- j- = Ух. р
, = -1
E.14)
из E.10) выводим формулу E.11)
р-1
?*.(- ?]<«,« ¦
Р\ L* р 1 27 I N, 1, С
181

р-1
— У (-1 + рб )ю' (х) =
в силу равенства
р-1
1
р-1
Наконец, формула E.12) следует из E.11), E.2'), E.13) и
E.14):
*p(e/)«(l€|pV)xp(-^-
2N-1
V2) х
24
182

Из представления E.11) следует, что функции E.9) -
собственные функции оператора if1. Таким образом, построена
ортонормированная система E.9) собственных функций опера-
оператора if1 при р * 2, N е I:
I рода
(I = 2,3,..., к = \,2,...,р-\, с, = ео+с1Р+...+сьвр1-а)
N+I-1
II рода
(I = 1, к = 1,2,...,р-1, с = О)
Полнота. Докажем полноту построенных ортонормирован-
ных систем функций E.6) и E.15) в Z2(© ). Для этого
достаточно доказать полноту их преобразовании Фурье на лю-
любой окружности 5 , N е Z, поскольку
со
Z2@ ) = У ®L2(SH). E.16)
Р N=-00
Для доказательства этого достаточно доказать справедливость
равенства Парсеваля - Стеклова на плотном множестве функций
в L2(SH) (см. п.- 2 § 7).
Пусть р * 2. Если |<т| = р~", то х («То") = 1 на 5 и,
значит, в силу E.2")
р-1 N-l_ р-1
i = У 5 (х -к) = р 2 У У- (С) , €. е 5 .
k=l k=l
Пусть |<г| = p"N+1. Тогда при ? е Бц
183

 ,k*
h
Пусть \a\ = p"H+n, я г 2. Тогда при
Поэтому и в силу E.14) С1 =0, если I * я; при
с"
N,k,C
При фиксированных Z = »z2 и Я;= 1,2,. . . ,р-1 число
собственных функций E.15') равно (р-1)рп~2. Поэтому
«о р-1
с"
N,k,e,
так что равенство Парсеваля - Стеклова выполнено.
Пусть р = 2. При |<г|2 = 2"" или |<г| = 2"N+1 Жг(€<г) =
= const на 5 и, таким образом, в силу E.4") х (€f) ~
N 2
р * 1, имеем
на 5н. При |<т|2 = 2'"+п, я г 3, как и в случае
184

Поэтому С1 = О, если 1+1 * я, и при 1+1 - п
С*"
(сг)
= 2"
При фиксированном I = П-1 а 2 число собственных функций
E.6') равно 2-21 = 2п'2. Поэтому
" I I
С1
Наконец, отметим, что функции вида
\хр(х<г), |ст|
E.17)
удовлетворяют уравнению D.3) при Я = X = ран, в силу
A.7).
Таким образом, мы пришли к следующей теореме:
Теорема. Спектр оператора if1 состоит из счетного числа
собственных значений А^ = рая, N е Ж, каждое из которых
бесконечной кратности, и точки X = О (предельная точка
собственных значений), образующих существенный спектр.
Существует ортонормированныи в L (О ) базис собственных
функций E.6) при р = 2 и E.15) при р * 2. Собственные
функции принадлежат С@ ) и удовлетворяют условяы E.7) и
р
E.8). Точке Я = О соответствует единственная обобщенная
собственная функция ф(х) - 1; собственным значениям Я
соответствуют обобщенные собственные функции вида E.17).
6. Разложения по собственным функциям. Для единообра-
единообразия записи при р = 2 собственные функции E.6)
N. к> С
переобозначим через
. Из результатов пп.4 - 5 выте-
кает следующая теорема о разложении по собственным функциям
/р1 оператора 1Г:
N, к, С
Z, 1=1,2}..., fc =
185

Теорема. Всякая функций f e L @ ) разлагается в ряд
*урье по собственным функциям чр' \ оператора if1:
где
О
р
Ряд F.2) сходится в Z2(Q ), и справедливо равенство Парсе-
валя - Стеклова
« = -• 1=
Другими словами, L @ ) разлагается в прямую сумму
конечн/эмерных собственных подпространств (серий) Ь1, N е Z,
г г 1,
При р * 2 подпространства Ь^, 1*2, натянуты на соб-
собственные функции I рода E.15'), так что dim fI =
= (р-1)гр1'2; Ьг натянуты на собственные функции II рода
E.15"), так что dim f? = р-1. При р = 2 ^, I г 2 натянуты
на собственные функции I рода E.6'), dim Ь1 = 21; Ь1
натянуты на собственные функции II рода E.6"), dim Ь1 =
= 2.
Замечание. Нетрудно убедиться, что построенные соб-
собственные функции оператора if1, а > О (см. , например, фор-
формулы E.5) и E.6)) при комплексном сопряжении переходят
либо в себя (вещественные), либо в другие собственные 'фун-
'функции из той же серии (комплексные). Поэтому комплексная
собственная функция E.5) и E.6) дает вклад в dim Ь1,
равный 1, а не 2, как это имеет место в классической мате-
математической физике.
186

§ 10. Операторы типа Иредингера
Оператором типа Шредингера назовем псевдодифференци-
псевдодифференциальный оператор вида
Аф = а*ф + V-ф.
Символом оператора А является функция
5@ + V(x),
где а(?) - преобразование Фурье (обобщенной) функции а(х);
функция V(x) называется потенциалом. Простейшим примером
таких операторов может служить оператор if1 = / *, а>0. Его
символ есть |€|а (см. п. 1 § 9).
1. Ограниченные снизу самосопряженные операторы. Пусть
А - самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве If
с (плотной) областью определения Т>{А) . Обозначим: р(А) -
резольвентное множество, а(А) - спектр и Я(х) - проектор-
нозначная спектральная мера оператора А,
\d(f(\)9,t), <Р,феЪ(А).
= I XdP(X), (А<р,ф) = I
СГ(А) а (А)
Пусть X е (г(А) . Скажем, что X принадлежит существен-
существенному спектру а (А) оператора А если проектор
Я(Х+е) - Я(х-е) A.1)
бесконечномерен для всех е > О/ если проектор A.1)
конечномерен при всех О < е < cQ, то X принадлежит дискрет-
дискретному спектру а ^(А) оператора А.
Таким образом,
<т(Л) = <т \А) и <т (Л) 9 & (¦") ^ & (¦") = ^/
X е ал1 (А) тогда и только тогда, когда X - изолированная
точка спектра <г(А) и X - собственное значение оператора А
конечной кратности. Оператор А, для которого сг(Л) =
= crdsc(-^)j называется оператором с дискретным спектром.
Другая классификация точек спектра <г(А) основывается
на разложении спектральной меры </Я(х) (точнее, мер
<1G>(\)ф,ф), ф е Й) на сингулярную, абсолютно непрерывную и
непрерывно сингулярную части. Это дает соответственно
<г (А) - чисто точечную, а (А) - абсолютно непрерывную и
187

а (А) - непрерывно сунгулярную части спектра о-(А) ,
а(А) = а (А) и а (А) и а (А).
v J РР ас4 ' «Ing
Однако эти множества могут пересекаться.
Теперь предположим, что самосопряженный оператор А
ограничен снизу, т.е. существует такая постоянная С, что
(Аф,ф) = СМ2, ф е V{A). A.2)
Замкнутую билинейную форму, порожденную оператором А,
обозначим А(<р,ф); ее область определения обозначим через
Q(A) э V(A), так что
А(р,ф) = (А<р,ф), <р,ф е Ъ(А). A.3)
Обозначим через X (А), к = 1,2,..., числа, определяемые
принципом минимакса
X (А) =
= sup inf —. A-4)
Имеет место следующая
Теорема. Пусть А - ограниченный снизу самосопряженный
оператор в гильбертовом пространстве Н с областью опреде-
определения V{A); пусть А{ф,ф) - соответствующая билинейная форма
с областью определения Q(A). Следующие условия эквивален-
эквивалентны. t
A) Оператор (А-\)~ компактен при некотором X е р(А);
B) Оператор (Л-Х) компактен при всех X е
C) Множество функций
е V{A): \ф1*а,
компактно при всех а > О и Ь > О;
D) Множество функций
{ф е Q(A): M*a,
компактно при всех а > О и Ь > О;
E) Существует ортонормированный базис
{(Рк е Ъ{А), к = 1,2,...,J-
собственных функций оператора А, соответствующих собствен-
собственным значениям jxk, k = 1,2,.. А,
188

причем каждое X - конечной кратности,
A.5)
A.6)
F) Хк(>1) -».,*->., A.7)
где числа Лк(Л) определяются из принципа миниыакса A.4).
Другими словами, при выполнении одного из условий A)
- F) выполнены и остальные условия, и спектр <т(А) =
= IX = Лк, к = 1,2,... - дискретный, причем Хк = X (Л) -»
-» ю, jfc -» ю.
Пример 1. Пусть потенциал Г(|х| ) ограничен снизу и
конечен в 0: С s V(\x\ ) <«, жеО. Оператор типа 1ре-
дингера
аф = if* * к(Мр)*, « > -1, A-8)
с символом
и областью определения
ограничен снизу и симметричен в гильбертовом пространстве
1г@ ) . Он допускает самосопряженное расширение 3 по Фрид-
рихсу с помощью замкнутой ограниченной снизу билинейной
формы
,*) = f
о
о о
р р
= AГг<р,1р/2ф) * (У9',ф), A.9)
область определения которой есть
Q(A) = [V е Хг@р):
Ясно, что
НА) с
Пример 2. Многомерные операторы типа Иредингера с
символами
189

1 P ¦ a'p
где потенциал V e ?™oc(On) и V(z) t -C, x e On, дают приме-
примеры ограниченных снизу симметричных операторов в ?2@п) .
2. Критерии компактности функций в ?2@п). Так как
пространство 0" локально компактно, то ряд критериев ком-
компактности функций вещественных аргументов непосредственно
переносятся и на комплекснозначные функции р-адических ар-
аргументов, например, лемма Арчела - Асколи:
Если бесконечное множество М непрерывных функций на
компакте К с 0п ограничено в С{К) и состоит из равно-
равностепенно непрерывных функций на К, то из М можно выбрать
последовательность, сходящуюся в С(К).
Пусть G - открыто-замкнутое множество в 0п (например,
р
шар В , сфера S , внешность шара В : Qn\B , внешность сферы
5 : Qn\S , все пространство 0п и т.д.). Пространство L2(G)
(см. п. 1 § 4) нам будет удобно рассматривать как множество
тех функций из L @п), для которых носитель содержится в G,
т.е. всякая функция / из L2(G) будет считаться заданной во
всем 0п и равной О почти всюду вне G.
Определения.
1. Будем говорить, что множество функций М с L2(G)
состоит из равностепенно непрерывных в целом в L2{G)
функций, если для любого е > О существует такое п = п е I,
что для любой функции f из М справедливо неравенство
\f(x+h)-f(x)\2dx < с VA е Вп.
G
2. Будем говорить, что множество М с L2(G) состоит из
функций с равностепенно непрерывными LZ(G)-интегралами на
бесконечности, если для любого е > О существует такое N =
= N е Ж, что для любой / е М справедливо неравенство
\f(x)\2dx < с.
.1
3. Будем говорить, что измеримая вещественная функция
F(x), заданная на множестве G с 0п, стремится к +а> на бес-
бесконечности (т.е. F(x) -> +а>, \х\ -» «о, х е G), если G -
неограниченное множество и для любого М > О существует
такое N = N е Z, что F(x) > М при |а;| г pN, x e G.
190

Аналог критерия Рисса - Колмогорова о компактности.
Для того чтобы множество М с L2(G) было компактным в LZ{G) ,
необходимо и достаточно, чтобы оно удовлетворяло условиям:
A) ограничено в LZ(G);
B) состоит из равностепенно непрерывных в целом в
L2(G) функций;
C) состоит из функций с равностепенно непрерывными
L2(G)-интегралами на бесконечности.
Переходя к преобразованию Фурье, из критерия Рисса -
Колмогорова получаем такой критерий компактности.
Для того чтобы множество М с L2(G) было компактным в
LZ(G), необходимо и достаточно, чтобы были выполнены ус-
условия A) и C) и условие
B') множество \g = J. f е м\ состоит из функций с
равностепенно непрерывными Z2@n) -интегралами на бесконеч-
р
ности.
Из последнего критерия сразу следует аналог критерия
Реллиха. Если множество функций М с LZ(G) ограничено в
L2(G) и удовлетворяет условиям
*С, f * И, B.1)
о"
р
,(x)\f(x)\zdx s С, f * M, B.2)
G
где сг(?) и р(х) - положительные функции, стремящиеся к +»
на бесконечности, и число С не зависит от /, то М компактно
в L2{G).
Замечание. В случае ограниченной области G условия C)
и B.2), естественно, отсутствуют.
3. Оператор типа Шредингера a*+V¦. Оператор a*+V¦ = А
- псевдодифференциальный,
(Аф)(х) = |в(О#(О* (-(«,€))<*€ + V(xL>(x). C.1)
р
Будем рассматривать оператор А в гильбертовом пространстве
L2(G), где G - открыто-замкнутое множество пространства 0п.
Поэтому в C.1) х пробегает множество G. Символом оператора
А является (обобщенная) функция
191

5@ * к(«), ^e;,^i;.
Предполагаем, что а(С) и ^(ж) - функции, ограниченные сни-
снизу, локально ограниченные и стремятся к ¦/¦* на бесконечности
в Оп и G соответственно. Вез ограничения общности можно
р ^
считать, что функции о(?) и V(x) положительны.
В качестве области определения оператора А возьмем
множество
Ю(А) = [» е L\G): аф * L2^), Уф е L2(<?)].
При сделанных предположениях оператор А симметричен и поло-
положителен. Соответствующая билинейная форма
А(ф,р) = f o(O?(Of(O<*e + \v(xLi(x)J^jdx C.2)
,р) = f o(O?(Of(O<*e + \v(x
n G
On
р
с областью определения
Q(A) = [# е Z2(G): S1/2 ф е
замкнута и положительна. Поэтому оператор А допускает
(единственное) самосопряженное расширение (по Фридрихсу) "к
с областью определения Z>C) = ?){А*) n Q(A) с Q(i<) , причем
А(ф,<р) = (Я#,|>), р,ф € »(Я).
Соответствующая C.2) квадратичная форма имеет вид
. C.3)
р
Гк(аг) |*(ж) |а<*аг,
6
«Краевая> задача для оператора А на множестве G
ставится так: пусть / е I?(G), найти функцию <р из Ъ{1),
удовлетворяющую уравнению
A(р)(х) - \<р(х) + f(x), х е G. C.4)
При / зе О получаем задачу о спектре оператора А.
Замечание 1. «Граничные» условия в «краевой» задаче
C.4) спрятаны в определении квадратичной формы C.3), в
которой предполагается, что функции ф обращаются в нуль вне
G.
В силу аналога критерия Релиха (см. п. 2) любое огра-
192

ничейное в L2(G) множество М, для которого
А(у,ф) * Ъ, ф е М,
при некотором Ь > О, компактно в L2(G).' Отсюда, пользуясь
теоремой п. 1, выводим, что к оператору А применима тео-
теория Гильберта - Шмидта, а именно, справедлива следующая
Основная теорема. Пусть функции а(С) и ^'(х) ограничены
снизу, локально интегрируемы и стремятся к +а> на бесконеч-
бесконечности в 0п и G соответственно. Тогда спектр оператора А =
= a*+V¦ дискретный и состоит из вещественных собственных
значений A sA з ..., А -»+а>, ?-»а>; каждое собственное
значение - конечной кратности. Соответствующие соб-
собственные функции ipk e Z>C) образуют ортонормальный базис в
L\G),
3<Pk = \<Pk, (\,<Р}) = 5kj, k,j = 1,2,... C.5)
Справедлив вариационный принцип
А = min , C.6)
1ф(р)о ji2ki g^g
причем min в C.6) реализуется на собственной функции
ф = /р , соответствующей собственному значению А .
При А * Afc, k = 1,2,..., оператор C-х) вполне не-
непрерывен, так что уравнение C.4) однозначно разрешимо в
DC) при любой / е L2(G) и его решение выражается формулой
C 7)
При А = А решение уравнения C.4)' существует тогда и толь-
только тогда, когда f ортогональна ко всем собственным функ-
функциям, соответствующим собственному значению А ,
(/>V|) = °» j = 0,1,...,пк-1, C.8)
где як - кратность AR; эяо решение выражается формулой
,|, ) 1
c V ,
C.9)
где с - произвольные постоянные.
Замечание 2. Основная теорема остается справедливой и
7 В.С.Владимиров и др. 193

для тех ограниченных снизу псевдодифференциальных опера-
операторов, для которых символ а(?,х) локально итегрируем и на
0"Х!(? и обладает тем свойством, что всякое множество функций
р
вида
nG
L\G):
OnxG
р
компактно в L2(G).
Обращение основной теоремы. Если оператор А = a*+V• в
0п типа Шредингера с символом вида
г<Эе Я и К локально ограниченные и ограниченные снизу функ-
функции, таков, что числа X (Л), к = 1,2,..., определяемые
принципом минимакса A.4) по квадратичной форме
|2rfa;, C.10)
p p
таковы, что Л. (Л) ->», k -> ю, /по У-»», |?| -><» и К -» оо,
к р
ш Рассмотрим сначала случай п = 1. Пусть F(|x| ) не
стремится к ю при \х\ -> т. Тогда найдутся число К > 0 и
р
последовательность целых чисел р -> оо, fc -» » такие, что
* К, к = 1,2,... C-11)
На функциях I рода (см. E.15') п. 5 § 9 для р*2 и E.6')
п. 5 § 9 для р = 2) (р2 (ж), для которых
I 2 О -Р
Р Рк-2
= —р
р-1
квадратичная форма C.10) принимает значение
О
р
194

p-
Q
p
и, следовательно, в силу C.11) ограничена по к числом
( 2'Pv\
sup Яр + К.
По теореме п. 1 множество функций
ч>1-р ,iJX) ' * = 1'2"
должно быть компактным в Z2@ ), что несовместимо с орто-
ортогональностью этой системы. Полученное противоречие и дока-
доказывает, что К(|ж| ) -» оо, \х\ -» ю.
Аналогично доказывается, что Я(|?|)-»оо, |^| -»оо.
Предполагая, что это не так, для соответствующей последова-
последовательности целых чисел р -* а, к -» оо, функции, аналогичные
C.12), выбираются в виде
asx)> к = 1'2'---}- (з-13)
При я > 1 доказательство проводится аналогично. В ка-
качестве ортонормальных систем функций нужно взять произведе-
произведения функций C.12) и C.13) с различными аргументами. ¦
4. Оператор D , а > 0 в В . Вычислим в явном виде все
собственные значения и все собственные функции оператор^
и , рассматриваемого в круге В с 0 , г е 1.
По основной теореме п. 3 спектр оператора if1 (его сим-
символ есть |?|а) в круге В дискретный, а собственные функ-
функции образуют ортонормированный базис в L (В ). В соответст-
соответствии с принятыми определениями собственными функциями опера-
оператора if' в В являются те собственные функции оператора if1 в
0 , носители которых содержатся в В . Собственные функции
р ~ г
оператора и в О вычислены в п. 5 § 9.
Предварительно убедимся в справедливости следующей
леммы.
Лемма. Пусть функция f(\x\ ), х е О , такова, что
1
Г=о
при некотором а > О. Тогда
195

pa(pa+p-2)
1 [ -«-1 f
\v\<\*\p
\v\>\*\p
, x e Op. D.1)
В частности, при f(\x\ ) = П р'г|ж| 1, г е 1,
г е z,
JOL „ г»
р -1
По определению оператора Jf1 (см. п. 1 § 9) имеем
D-з)
W - /V/(I«
- I - I
Но, обозначая |ж| = р , имеем
p 111 I
196

откуда и из D.4) следует равенство D.1).
Равенство D.2) следует проще из D.4): если \х\
з рг, то
(Iff) (х) = - —!—- [ \y\-«-ldy =
Г (-a) J р
р м/
'p
1
-(«¦!) Г „Г _
Г (-a)r=r+i
Р 1«с1) Р~
Равенство D.3) следует из D.1) при х е 5 . ш
Пусть р*2. Собственные функции I рода р1 (см.
E.15') п. 5 § 9) с номерами l-N s r имеют носители в В , с
номерами 1-N > г обращаются в нуль в В . Собственные функ-
функции II рода (р1 (см. E.15") п. 5 § 9) с номерами 1-N s
s г имеют носители в В , с номерами 1-Ж > г обращаются в 1
в В^. Но по лемме функция \jiQ{x)sl, x e B^, является собст-
собственной функцией оператора Da в В , соответствующей собст-
собственному значению
^ a<i>
Равенство D.2) при Ф0(х) ¦ 1 и х е В принимает вид
Ф0
Так как собственные функции <р1 оператора Ла в О
образуют ортонормированный базис в Z2@), то перечисленные
выше собственные функции оператора Ег в В образуют орто-
197

нормированный базис в 1?{В). В частности, кратность соб-
собственного значения Ло равна 1.
Итак, получены следующие собственные значения и орто-
нормированный базис собственных функций оператора if, a > О
в В при р * 2:
\> =
кратность 1;
\ = pail-T), II рода <r>J>0W, 3 = 1,2,....,р-1,
кратность р-1;
лк = /""-г), I Poaa^.rjje {x),
j = 1,2,...,/>-1, I = 2,3,...,*, е,,
II рода <pl_rj0(x), j = 1,2,..., р-1,
суммарной кратности
(р-1J+(р-1Jр+... + О-1J/'2+р-1 = (р-1)/'1, * = 2,3,...
Пусть р = 2. Среди собственных функций I рода (р'
(см. E.6') п. 5 § 9), носители которых содержатся в В , -
те, для которых l+l-N s г; остальные обращаются в нуль в
В . Среди собственных функций II рода ip1 (см. E.6")
г я,J»O
п. 5 § 9) - те, для которых 1-N s г при ;'=-0и 2-N а г при
j = 1. (Заметим, что носитель функции ip1 содержится в
5 .) Кроме того, при 1-jV > г ip1 (х) » 1 в В , а при
2-jV > г р1 о(х) s 0 в 5г. По лемме фо з 1 есть
собственная функция оператора IT ъ В , соответствующая
собственному значения Xq; \q - простое собственное
значение.
Итак, получены следующие собственные значения и
ортонормальныи базис собственных функций оператора if1 в В
при р = 2:
кратность 1;
кратность 1;
198
\> -
= 2аA-г), II рода
= 2аB-г), II рода <r>j>0(*), 3 = 0,1,

кратность 2;
Xk = 2a(k-r), I рода ^_rjf. (яг),
Z = 2,3,...,*-l, j = 0,1, e,,
II рода v[_rj0(x), 3 = 0,1,
суммарной кратности
2(l*-2+...+2k~3)+2 = 2", * = 3,4,
5. Оператор J?**, a > О, в 5 . Как и в случае круга В ,
вычислим в явном виде собственные функции и собственные
значения оператора if* на окружности 5 с О , г. е Т..
Пусть р*2. Среди собственных функций I рода (р1
(см. E.15') п. 5 § 9), носители которых содержатся в S -
те, для которых 1-N = г; остальные обращаются в нуль вне
5р. Среди собственных функций II рода (р* (см. E.15")
п. 5 § 9) таких нет. Их отличные от О следы на 5 - это
функции
1, «/*) = xvWlx), j = 1,2,...,р-1, х 6 ?р. E.1)
Функции E.2) линейно зависимы на S , поскольку
р-1 р-1 р-1 .
Yv(x) = Yz ОУ'аО = 5]са:р[2яг-а;| = -1, х е S .
j=i J j=i p j=i l ^ ;
Оставшиеся функции iv , j = 1,2,...,p-l\ линейно
на 5 поскольку (см. C.2) п. 3 § 4)
независимы
E.2)
и поэтому
г-1) (p-t)
-Р
р-1 -1 ... -1
-1 р-1 ... -1
= ргр-г-а * о.
-1 -1 ... р-1
В качестве базиса функций E.1) выберем функции
E.3)
199

j = 1,2,...,p-2.
По лемме п. 4 § 10 функция ф (х) в 1 - собственная
функция оператора Гг, соответствующая собственному значению
(см. D.3))
-v
Функции же 1ф , j = 1,2,...,р-2\ пропорциональны на S
соответственно функциям
, j = l,2,...,j>-2 E.5)
(см. E.16") п. 5 § 9), и поэтому являются собственными для
оператора Ег, соответствующими собственному значению
Aj = paA'r).
Резюмируем: при р * 2 оператор if1 ъ S , г е Т., имеет
следующие собственные значения и нормированный базис соб-
собственных функций:
ра+р-2 /Г
— —— Р , (р ( X 1 = Р V я- , ( О . О )
р -1 ^
кратности 1;
от-г)
Р
р-г/2
кратности р-2;
200

\ = palk'r)> C,.«W' E-8>
кратности (p-l)V~2, fc = 2,3,...
Перечисленные собственные функции взаимно ортогональны
в Lz{Sr), кроме функций \ч>1_г 3 = 1>2,...,p-2v, для кото-
которых в силу E.3)
, если j=k+l или k=j+l,
E.9)
О , если з*к, j*k+l, k*j+l.
При р = 2 собственные значения и ортонормальный базис
собственных функций оператора if1 в 5 имеют вид:
2 ^
Хо = ~S7i ' "о^) = 2 ' кратности 1;
= 2аB'г), 1»г_г10(ж), кратности 1;
_ 2°"k+1-r) k ( \ - О 1
кратности 2k~l, к = 2,3,....
б. Оператор tfx+V(\x\ ), а > О, в 0 (р * 2). Рассмот-
рим оператор типа Шредингера i< = J?^+K(|a;| ) (см. пример 1
п. 1) в предположениях, что потенциал К(|я| ) - конечная
ограниченная снизу функция и К(|а;| )-»<», \х\ -» ».
Оператор А ограничен снизу и самосопряжен, если в качестве
его области определения %>(А) взять множество тех и только
тех функций ф из L @ ), для которых Аф е L @ ) . Он
(
удовлетворяет условиям основной теоремы п. 3. В частности,
его спектр дискретный. Пусть X , X , X ,... - его собствен-
собственные значения, XQ * \^ s Х2 а . .., <pQ, ^, р2, ... - его
собственные функции
= 0,1,2,....
201

Все собственные функции I рода р1 (см. E.15')
M>J>ei
§ 9) являются собственными функциями оператора А, соответ-
соответствующими собственным значениям
> 1 = 2,3,..., N е Z. F.1)
Кратность А1 не меньше, чем
А
I
у
где (х,у) - различные решения уравнения
р«* + К(ру-Х) = ран + Kfp1-), у = 2,3,..., х е Z. F.2)
Это число конечно по основной теореме п. 3.
Далее, собственные функции II рода (см. E.16") п. 5
§ 9) и E.5))
а:)], F.3)
N-1
-—6
3 = 1,2,...р-2
являются собственными функциями оператора А, соответ-
соответствующими собственным значениям
^J, Же Z. F.4)
Как найти недостающие собственные функции оператора А?
Как следует из результатов п. 5 § 10, подпространство,
натянутое на те собственные функции E.15') §9 и F.3), у
которых носители содержатся в окружности S , re Z:
-r.j.e ' N+r = 2>3>--> 3 = 1,2,...,р-1, с,;
pir }, j = 1,2,...,р-2}, F.5)
имеет коразмерность 1 и ортогонально к 1 в LZ(S ). Другими
словами, всякая функция ф из Z2@ ), ортогональная ко всем
р
собственным функциям F.5) при всех г е Z, есть постоянная
202

на каждой окружности S , разлагается по ортогональному
каноническому базису |в(|а:| -р7), 7 е 2V в ?2@ ):
*|Р) = X v(|a:|p"pr)' *г= *(рГ>- F-6)
Множество функций ф из Х2@ ) вида F.6) образует
гильбертово пространство Х2@ ) - (замкнутое) подпространс-
подпространство Х2@ ). Оно изоморфно гильбертову пространству I пос-
последовательностей Ф = -Iff* , у « Z у с нормой
причем
7. Оператор 1]Р+У(\х\ ), а > О, в Х2@ ), р * 2. Предва-
Предварительно докажем утверждение
Пространство Х2@ ) инвариантно относительно операции
преобразования §урье.
т Это вытекает из формулы C.3) §4: преобразование
Фурье функций из С@ ), зависящих только от |а:| (плотного
в Х2@ ) множества) есть функция такого же класса. Так как
подпространство Х2@ ) замкнуто в Х2@), а операция
преобразования Фурье непрерывна в Х2@ ) (см. п. 4 §7),
это утверждение справедливо и для всех функций из -?2@ ) • ¦
Из доказанного утверждения следует, что оператор А
преобразует область Т)(А) л -?2@ )> где %>(А) - область опре-
определения оператора А (см. п. 6), в Х2@ ) (поскольку его
символ |?|а+Р( |а<| ) зависит лишь от |?| и |ж| ).
Обозначим через А сужение оператора А на подпрост-
подпространство Z^@ ). Его область определения есть c(^0) =
= Т>(А) л Z^@ ) . По лемме п. 4 оператор Aq на функциях ф из
И(А ) имеет вид
где К - положительный интегральный оператор,
203

(Кф)(\х\р) = jx(|z|p,
G.2)
с симметричным вещественным ядром
1
.-a-i
,-a-t
В терминах последовательностей
тор AQ принимает вид
G.3)
ZJ- опера-
G.4)
77'
РГр(-«)
р-1
7'=7,
G.5)
(-а)
Матрица X ,, 7>7' е Z, симметризуема.
Наша задача - исследовать спектральные свойства опера-
оператора А .
Оператор AQ - ограниченный снизу и симметричный в
Z^(O ) с областью определения ?(^0) = %>(А) л L*(® ). Он
удовлетворяет условиям теоремы п. 1 с И = Z2@ ). В част-
частности, его спектр - дискретный, т.е. состоит из собственных
значений
цк, к = 0,1,...I:
204

каждое д конечной кратности п ; соответствующие собствен-
собственные функции Фк(\х\ ),
А ф — д ф , ф €2)(j4),Aj = O,1,...? (Т.6)
Ok k k к О7
образуют ортонормировалныи базис в ^@ ) •
8. Наименьшее собственное значение. Здесь мы докажем,
что наименьшее собственное значение А оператора типа Шре-
дингера
А = If + k(|z|J, a > О,
простое, удовлетворяет оценкам
inf F(pr) < AQ <
Aq = д , и ему соответствует (единственная) положительная
собственная функция фо(\х\ ) из Ю(Ао) .
ш Для наименьшего собственного значения Л оператора А
справедлив вариационный принцип (см. пп. X, 3)
(*,#)(*,10
Л = inf = (А<р ,<р ) =
° W И2 ° °
oo ofo), (8.2)
причем ядро КI| я; | ,\у\ I интегрального оператора К обладает
свойством; H(t,х) < 0 при t*T и H(t,t) > О (см. G.5)); в
(8.2) ip (x) - любая собственная функция оператора А, соот-
соответствующая Л . Без ограничения общности можно считать <р
вещественной.
Докажем сначала, что ч>0(х) t О, х е О .
¦ Пусть, напротив, существуют ограниченные окрестности
U(x') и V(x") точек х' и х" такие, что ро(ж) > О, х е f/(a;')
и ^„(ж) < О, а; е F(a;"), так что .
(и всегда |» (а:) | t (р (ж), х е О ) .
205

Введем последовательность функций
из с@ ) с Т>(А) с носителями в В \В , так что i/i -* Ч> , N -*
•> п в i . Отсюда и из замкнутости квадратичной формы A(i/i,yi)
(см. п. 1) и (8.2) следует
inf
= inf
Далее, при достаточно большом N U(x') u V(x") с ^„\^ и,
таким образом,
где число т) > 0, равное
Ч = -4
U ( х' ) V(x")
Из (8.4) выводим
(*) \\ФК(У) \)dxdy * т,, (8.4)
x(\*\p,\v\p}i>H(xL>H(y)dxdy
206

Q О
p p
\l>H(z)ZdX.- 7, =
= (Афш,фш) - V-
Отсюда, учитывая, что Цф1 | Ц = \\ф \\ . выводим неравенство
(А\ФШ\,\Ф„\)
2 _ 7 7
II 1 II *
которое в силу (8.3) противоречит вариационному принципу
(8.2). .
Аналогично доказывается, что любая собственная функция
ф (\х\ ) оператора А , соответствующая наименьшему собст-
О р О
венному значению д , неотрицательна.
Докажем, что 0 (|а;| ) > 0, же О.
¦ Пусть, напротив, существует такое ц е Z, что
ф (рг) = 0. Тогда, интегрируя уравнение
по окружности S и обозначая ф = 5 |а;| ~РГ\ е 23@), полу-
получим противоречие
(Vo'*) = [к>А,
поскольку
= О,
Отсюда следует, что д - простое собственное значение.
т Бели бы нашлась другая линейно независимая собствен-
собственная функция ф, соответствующая до, то по доказанному
*&оA^1 ) > О, х е Q , и можно построить их линейную комби-
комбинацию, принимающую как положительные, так и отрицательные
значения, что противоречиво. ¦
Из вариационного принципа (8.2) с очевидностью следу-
207

ет, что Л а д . Но Л < д быть не может, иначе собствен-
собственные функции <р (х) г 0 и ф (\х\ ) > О должны быть орто-
ортогональными в L (О ), что невозможно. Следовательно, А = \xq
и ю (х) = ф (\х\ ) фактически зависит от \х\ . ¦
О О'р Р
Оценки (8.1) следуют из вариационного принципа (8.2).
Нижняя оценка очевидна
\ =
ъ V(\r\ \iliz(\'r\ ~\dr > inf V(\t\ Л
0 p
p
Для получения верхней оценки (8.1) подставим в (8.2)
I* = \(а:) = п(р"Г|
Поскольку
I2 = „Г А
|Ау|2 = pi, дт
(см. п. 2 § 7), а также ^> * А и AQ - простое, то
= infp-*[(|?|«Ay,Ar) * J K(|x|p)d*]
xnf р' ? о? +
rezl J
5Г
Г
-г
9. Оператор //*+F(|a;| ), a > О, в О (р * 2) (продолже-
(продолжение). Подытожим результаты пп. 6 - 8 в виде следующей тео-
теоремы .
Теорема. Спектр оператора IjP+V(\x\ ) дискретный и сос-
состоит из следующих собственных значений и им соответствуют
следующие (нормированные) собственые функции, образующие
базис в L2(Q ) :
208

Наименьшего собственного значения XQ кратности 1,
собственная функция Ф0{\х\ ) > О, ж е О .
Собственных значений ц , к = 1,2,.. ., и -» », к -* а,
кратности
пк + (р-2)ы + (р-1)г ?р1 (9.1)
i =i
где и - число решений Iflr, г - 1,2,...,u \ уравнения
дк = paN + F(/-N), N « Z, (9.2)
¦{(A^Z^), г - 1,2,...,6 J- - все решений уравнения
Дк = Ра" + V(P~*) , If е I, I = 2,3,. . ., (9.3)
собственные функции суть:
*кмA*1р)> * = О,1,...,«к-1,
9Hti(x), N = It, j = 1,2,...,р-2, г = 1,2,...,ык,
j = 1,2,...,p-X, г = l,2,...,ftk.
Собственных значений
a; = paH - rip1'*) * Uk, N e г, к с Z+, (9.4)
кратности
СН уН-2
I =1
гае 11 - число решений \х , г = X,2,...,t\ \ уравнения
г) у » - 1,2,...,с Л - «с* ршттния уравнения
1 "J
209

^ = Р** * V(p1-*), x € Z, I = 2,3,...; (9.7)
собственные функции суть:
?>Hj0z), tf = а*, > = 1,2,...,р-2, г = l,...,v
'net1)' *SIi' ^ = J/"j. J = 1,2,. . . ,р-1, г" = 1, - . - ,с .
Собственных значений
Л* = р0 + К(р1'") • дк, * а', (9.8)
N е Z, Z = 2,3,..., А; е Z+, If' e Z,
кратности
(р-1)г I Z1 2, (9.9)
{N 1 N 1 1
(х ' ,у ' ), г = 1,2,...,d V - все решения уравнения
11 H.1J
Лн = pttX + К(^У"Х)' * е г> V = 2,3,..., (9.10)
собственные функции суть:
1
N.j.Cj ' 1 i
j = 1,2,...,р-1, г = l,...,dN>].
Замечание 1. Перечисленные в теореме собственные
функции взаимно ортогональны, кроме функций
для которых имеют место соотношения E.8) при каждом N е Ж.
Замечание 2. Собственная функция 1<<о(|:г| ) > О, соот-
соответствующая наименьшему собственному значению XQ, определя-
определяет основное состояние физической системы («вакуум»);
«вакуум» - единственный. Собственные функции, отвечающие
собственным значениям кратности >1, определяют «вырожден-
«вырождении е> возбужденные состояния.
210

10. Пример потенциала f(|z| ) = |s|a> <* > О, р * 2.
Для потенциала \х\а результаты п. 9 допускают уточнения.
Оценки (8.1) принимают вид
2{р-1)ра
0 < Ло
Ло
Для дальнейшего нам понадобится следующая
Лемма. Все решения диофантова уравнения
рсс« + раи = ра, ^ Г> N>M>Xty . Z, « * ^-|,
имеют вид N = х, М - у или N = у, М = х.
ш Без ограничения общности можно считать, что
N = max(N,M,x,y).
Если предположить, что N * х и N * у, тогда х+1 ? N,
уч-Х s N и, следовательно,
, р«* + р* = р«- + р« > ра»,
что невозможно для a t ——. Следовательно, либо N = х (и
In р
тогда М = у), либо ^ = j/ (и тогда М = х). ¦
Из доказанной леммы следует, что уравнение
*' = Рах - Ра(у~х), i,y * г., n,x e г, (ю.2)
имеет всего два решения х - N, у = I к х = 1-N, у = I, если
I * 2N, и одно решение х = N, у = I, если ? = 2N. Отсюда
следует, что в теореме п. 9 возможны следующие случаи. Если
a s ——', то ы может принимать лишь значения О и 2, в
In р " k к
последнем случае для решений N я N уравнения (9.2)
справедливо соотношение N к= 1-Nk; Ъ может принимать лишь
211

значения О и 1, если I = 2N, и 0 и 2, если I * 2N; в
последнем случае решения уравнения (9.3) имеют вид (A^,Z*),
(Zk-V,Zk); 7ik = 2, и для решений ж" и ж" уравнения (9.6)
справедливо соотношение хн = 1-х", с = О; d может
2 1 П П» 1
принимать лишь значение 1, если I = 27V, и значение 2, если
Z * 2JV, в последнем случае решения уравнения (9.10) имеют
вид (*J'l,tfl), (^1-<-1,^1).
В заключение отметим: если <р - собственная функция
оператора Ег+\х\ , соответствующая собственному значению Л,
то ее преобразование $урье <р - также собственная функция,
соответствующая тому же собственному значению X, так что
п
f(x) = Усю(х), х с О A0.3)
k=l
где \<р , к = Х,2,...,п\ - собственные функции, соответ-
соответствующие собственному значению Л, я - кратность X и с
некоторые постоянные.
т Уравнение
ifip + \х\а<р = \<р
при преобразовании Фурье переходит в себя (см. п. 4 § 9):
|C|Jf + iff = Xf. ¦
Замечание. Для собственных функций I рода ф1 (х)
(см. E.16') §9.5) формула A0.3) упрощается, в силу E.12)
п. 5 § 9:
^,j,e (*) = ¦'J-h.j'.c'^' e# = ~3F' •7' s -2V(mod рЬ
т.е. собственные функции серии Ь1 (Z г 2) при преобразо-
ваяии Фурье переходят в собственные Функции серии h „ и
принадлежат одному и тому же собственному значению X (ср.
п. 6 § 9).
11.Оператор lf+V(\x\ ), а > 0, вне круга (р * 2). Обо-
Обозначим через G = Q \В = \х е 0 : \х\ г р'\ внешность
« р*»-1 ^ р lip * )
круга ^s_j, s € 1. Рассмотрим оператор А = lf+V(\x\ ) в
множестве G в предположениях п. 6 о потенциале К(|х| ).
212

Как и в п. 6 заключаем, что базис собственных функций
оператора А в L2{G ) состоит из тех собственных функций
(?а2)ир,у которых носители содержатся в G ,
Я | J S
|ж| ), к = 0,1,..., опе-
опер (?а2)ир,
а также из собственных функций
ратора AQ в
соответствующих собственным значениям ик
Попытаемся найти в явном виде
' * =
Предварительно отметим следующее равенство, вытекающее из
леммы п\ 4 (см. также п. 7)
х е 0р, г е 1 (а > 0), A1.2)
где
Г<7,
Г=7,
A1.3)
С =
P = —
Пусть
р-1
.("«У
р ¦
) - собственная функция оператора ^ в G
- соответствует собственному значению д и удовлетворяет
213

условию ф(р') * 0. Будем искать ее в виде формального ряда
по ортогональному каноническому базису
, 7 =
Тогда в силу A1.2) и A1.4) будем иметь при х е G
'О = У dP*{\x\-f) =
= I dr I хгуа(ир-/) -
s?r<oo -m<y<oo
-p')fx d + X x d)
- P I
s? г <oo
Обозначим
Zp'ard = <d .
Г S
214

Тогда равенство A1.6) с учетом A1.3) примет вид
|р) = s(\x\p-p-)[Pn-')a -
где обозначено
= 1 - р"*""»'. A1.9)
т
Подставляя выражения A1.8) и A1.5) в уравнение A1.1),
при |ж| - р* получим
т.е.
V(pr) = u, (U-10)
dr = udr, r = 5+1, s+2, ... A1-11)
Формула A1.11) определяет рекуррентную формулу для
определения коэффициентов d :
-Рыа+Гр I сг7р-«Ч7
ssysr-l
dr = Ь A1.12)
U- pU-rUX - V(pF)
d = 1, г = s+1, s+2, ...
215

при условиях (см. обозначение F.4))
д * pn'r)a->-V(pr) = AJ_r, r = s+1, s+2, ... A1.13)
С помощью равенства A1.10) исключим из равенств
A1.12) и A1.7) неизвестную величину
- М>:~ - »)
и в результате получим рекуррентное соотношение
A1.14)
d = 1, г = s+1, s+2, ...,
и трансцендентное уравнение для определения неизвестных
собственных значений д = д ,
S*lSr<€»
при условиях A1.13).
Формула A1.8) принимает вид
Jf4>(\x\p) = I d'rs(\x\p-pr), A1.16)
где
's = [д -
К =
Приведенные рассуждения носят формальный характер,
поскольку сходимость рядов A1.5), A1.15) и A1.16) здесь
не рассматривалась. Подытожим наши результаты в виде Сле-
Следующей теоремы.
Теорема. Пусть собственное значение ц оператора AQ в
G удовлетворяет условиям A1.13) и соответствующая ему
216

собственная функция ф(\х\ ) удовлетворяет условию ф(р") *
* О. Тогда ф(\х\ ) представляется рядом A1.5) в G , причем
коэффициенты d s d (д) удовлетворяют рекуррентному соот-
соотношению A1.14) и и удовлетворяет трансцендентному уравне-
уравнению A1.15). Обратно, всякое (вещественное) решение д урав-
уравнения A1.15), удовлетворяющее условиям A1.13), является
собственным значением оператора Aq в G^, а функция ф(\х\ ),
построенная по формулам A1.5) и A1.14), является соответ-
соответствующей собственной функцией и удовлетворяет условию
4>(р*) * О.
12. Обоснование метода. Исследуем сходимость рядов
A1.5), A1.15) и A1.16). Для этого оценим коэффициенты d
при г -> оо. Из формул A1.9) и A1.13) следуют оценки
!-р-а-1 <С<1, s s ц < г-1,
L , г "» +ю- С12-1)
Отсюда и из A1.14) (при фиксированном д) вытекает рекур-
рекуррентная оценка
p'a7\dr\, ds = 1, г г s+1. A2.2)
Выберем целое число sq a s таким, чтобы было
sq
= Q < 1. A2.3)
(Ряд A2.3) сходится, так как X1 ~ V(p*) -> +ш, у -» +ш.) И
перепишем рекуррентное неравенство A2.2) в виде
|<и ? -.—i—[с + р Z p"arirfyi)' r г v1' A2-4)
Iй Л1-Г1 s sysr-i
о
где обозначено
С = \H-X\_J * р I Pa7\d7\.
217

Вводя новую последовательность
Тг = Ир(д-х|_р)|, г = а0, ао*1, ..., A2.5)
перепишем рекуррентное неравенство A2.4) в виде
7"в = \dB (д-xj e |, Г г SQ+1. A2.6)
so so ~so
Отсюда выводим оценку
* I 1
? , r a s , где М = max С,7" .
1-3 ° i ( *0)
A2.7)
ш Неравенство A2.7) докажем методом математической
индукции по г. Это неравенство верно при г = sq. Считая его
верным для а +1,.. . ,г, докажем его для г+1. Из A2.6) с
учетом A2.3) имеем'
Т * С + р У р-"г 1 * Jf fl
Из оценки A2.7) и в силу A2.5) и A2.1) следует
оценка (при некотором М)
1
Ы I s М , Г a S. A2.8)
- |^(/)Г
Из полученной оценки следует, что ряд A1.15) сходится.
Тепер:
ет условию
Теперь предположим, что потенциал К(|з;| ) удовлетворя-
\v'\\x\v)dX= A - i) I /-?--
A2.9)
p
В этом случае в силу A2.8) ряд A1.5) сходится в LZ(G ),
поскольку ? pr|rfr|2 < ш, так что ф е ^(^ ) •
218

Докажем оценку
|d;| * *2p-(a+1/2)r, r * s, A2.10)
где числа d' определены в A1.17).
¦ Пользуясь оценками A2.8) и A2.9) при г г s имеем
при некоторых М и 1С. Здесь мы воспользовались неравенс-
неравенств-ом
\v(Pr)\
вытекающим из A2.9). ¦
Из оценки A2.10) следует, что ряд ? pr\d'\2 cxo-
з<г<ш
дится и, таким образом, ряд A1.16) сходится в Lq(G^) , т.е.
е L2(G ) . Отсюда в силу уравнения A1.1) следует, что
L
?ф е ^(G ) , так что
Таким обра,зом, функция |*(|ж| ) принадлежит области опреде-
определения Ъ{А ) (см. пп. 6-7) и, следовательно, является соб-
собственной функцией оператора А . Отметим также, что из усло-
условия Уф е I?Q следует сходимость- ряда
I pTV\pT)\dX < - A2.11)
219

Подытожим наши результаты в виде следующей теоремы.
Теорема. Пусть потенциал V(\x\ ) удовлетворяет условию
A2.9), собственное значение ц. оператора AQ в G удов-
удовлетворяет условиям A1.13), а соответствующая ему соб-
собственная функция ф(\х\ ) такова, что ф(р') * О. Тогда коэф-
коэффициенты d , вычисленные по рекуррентной формуле A1.14),
определяют эту функцию по формуле
а собственное значение д удовлетворяет трансцендентному
уравнению A1.15); при этом сходится ряд A2.11).
Замечание. Открытым остается вопрос о том, можно ли
изложенным методом получить все собственные функции опера-
оператора AQ в G .
13. Дальнейшие результаты о спектре оператора if1*
*V(\x\ ), а > О, в О (р *¦ 2), получены А. Н. Кочубеем в
предположении, что потелциал Р(|а:| ) вещественен и локально
ограничен. При доказательствах он использовал результаты
п. 5 § 9. Приведем без доказательства его результаты.
Обозначим через f) и h гильбертовы пространства,
натянутые на собственные функции I и II рода соответственно
(см. E.16) §9), так что L2(Q ) = Ь ©Ь , и через Л и А -
р 1 2 12
сужение оператора ^ на 1| и fj соответственно. (Доказано,
что подпространства f) и Ь приводят оператор А.)
1. Если последовательность у(р*), г = 1,2,... у
не
имеет конечных предельных точек, то спектр оператора Аг
чисто дискретный и оператор А имеет полную систему собст-
собственных функций.
Напомним (см. п. 6), что спектр оператора А известен
- он чисто дискретный и состоит из собственных значений
^ аН 1"), N е 1, I = 2,3,...
Пусть #(а) - функция распределения собственных зна-
значений оператора А , т.е. количество собственных значений (с
учетом их кратностей), меньших, чем А.
2. Пусть V(\x\ ) ~ С\х\&, \х\ -> », где С > О и 0 > О,
и существует такое N, что V(\x\ ) * Р(|2/| )> если \х\ *
220

\v\p, l*lp > p"> \v\p > /• Тогда
- 0A), А ¦+ +Ю.
3. Если V{\x\ ) -» 0, \х\ -» «, то
сг (А ) = {О}.
essV 2-* V J
4. Если V(\x\ ) -> 0, \х\ -» О, то сг (Л) совладае/n с
множеством конечных предельных точек последовательности
'), г -* -
5. Если
У \v(pr)\ < оо, A3.1)
то спектр оператора А^ (и, следовательно, спектр оператора
А) чисто сингулярный.
Пример. Для потенциала V(\x\ ) = sin(o|a:| )., о е Ш,
условие A3.1) выполнено и tresB(^2) = [-1,1] для почти всех
в.
14. Нестационарное уравнение типа Шредингера с потен-
потенциалом V(x) относительно волновой функции ф(Ь,х) имеет вид:
A4.1)
При V(x) = 0 получаем уравнение для свободной частицы
^ty = О. A4.2)
I 1р
Общее решение ф уравнения A4.2) в классе обобщенных
функций С(О2) дается формулой
t(t,x) = *(t,x), A4-3)
где 9(ki,k2) - произвольная обобщенная функция из D'(О2) с
носителем на многообразии \k \ = \к /2\2.
т Переходя в уравнении A4.2) к преобразованию Фурье,
получим уравнение
221

откуда следует, что
supp
В том случае, когда
к
2
формулу A4.3) перепишем в виде
О
р
Формулу A4.4) можно интерпретировать как разложение
решения \ji(t,х) по плоским волнам
-t - кх\. A4.5)
(Чтобы убедиться, что плоские волны A4.5) удовлетворяют
уравнению A4.2), достаточно воспользоваться формулой диф-
дифференцирования A.7) §9.)
Для плоских волн справедлива адельная формула (см.
A.И) §3)
У*р(?~*" Н= 1г k>t>x e °'
связывающая р-адические, плоские волны A4.5) с класси-
классическими плоскими волнами
*„(§-* - Аж) = _ехр[-2я*(|-* -**)]. A4.7)
При р ш 1 формула A4.4) дает волновую функцию - ядро
оператора эволюции свободной частицы (см. ниже п. 3 § 11)
¦ 1/2
силу формулы C.8) §7 волновая функция К(р) удовлетворяет
222

начальному условию (см. C.9) §7)
Х<р)(а:) -¦ S(x), t -* О, в »' (О ). A4.9)
*¦ р
Теперь рассмотрим классическое уравнение Шредингера
для свободной частицы
дф ¦ дгф
— - ш—; = °- A4.Ю)
at оп ах
Соответствующая волновая функция есть (см. C.2) §5)
:Г - xk\\dk =
-- *k)dk = *„(*> щ *„[- т-}> A4Л1)
Х^ю)(а:) -¦ S(x), t -4 0, в »'(К) . A4.12)
Здесь обозначено (см. C.3) §5)
( л 1
Хю(?) = exp -i^sign t\.
Для волновых функций справедлива адельная формула
VVP)(:r) = 1, t,x e 0, t * 0, A4.13)
р=2
вытекающая из адельных формул A-4) §1.1, A.11) §3 и D.2)
§5.
Имеет место аналогия между «фазами» A (t) и X (t). В
СО Р
соответствии со знаком t вещественное время R можно пред-
представить как объединение трех множеств без общих точек: двух
секторов: Ш* (сектор будущего), где X (t) = е7Т/4 (т.е.
t > О) ; К" (сектор прошедшего), где X (t) = ein/t (т.е.
? < 0); и точки t = 0 (настоящее).
Аналогично, р-адическое время 0 можно представить
р
следующим образом (определение X (*) см. §5).
При р з 1 (mod 4) - объединение (без общих точек) двух
секторов: 0+, где X (t) = 1, О", где X (t) = -1, и точки
р р р р
t = 0.
При р s 3 (mod 4) - объединение (без общих точек) трех
секторов: О*, где X (*) = 1, О*1, где A (t) = ±i, и точки
р р р р
t = 0.
223

При р * 2 - объединение (без общих точек) четырех сек-
торов: О*, где Х2(«) = etm/A, О*1, где \At) = ге±ш/\ и
точки t = 0.
Задача Коши для уравнения A4.10) в области R*xR с
начальной (обобщенной) функцией Ф0(х) из »'(К) ставится
так: найти решение ili(t,x) уравнения A4.10) в области
(t ,х) с К*хК1, удовлетворяющее начальному условию
*(t,x) -» Ф0(х), t -» +0, в 23'(R).
Аналогично, задача Коши для уравнения A4.2) в сек-
секторе, скажем, Е*хО с начальной (обобщенной) функцией ф (х)
р р °
из 25' (О ) ставится так: найти решение ф(г,х) уравнения
р +
A4.2) в секторе (t,x) с QxO , удовлетворяющее начальному
условию
*(t,x) -» *0(х), t -» 0, t е О*, в »'@р)-
Решение задачи Коши для уравнения A4.10) дается фор-
формулой
t(t,x) = S(t,x)*tAx) = \s(t,x-x')t(x')dx',
где g(i,a;) - фундаментальное решение уравнения A4.10):
Здесь 6(t) - функция Хевисайда: 6(t) =1, t a 0, в(<) = О,
t < 0:
Интересно отметить, что фундаментальное решение урав-
уравнения A4.2) в классе V (О2) не существует.
р
¦ Пусть для определенности р * 2, и существует решение
6? е »' (О2) уравнения
в О2. Переходя к преобразованию Фурье и пользуясь формулой
A.7) §9, для обобщенной функции §(?,?) получим противо-
противоречивое равенство
поскольку левая часть этого равенства обращается в нуль в
открытом множестве

ГЛАВА III
D-АДИЧЕСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
§ 11. р-адическая квантовая механика
В настоящей главе излагаются основы квантовой механики
над полем р-адических чисел и детально исследуются простей-
простейшие и важнейшие модели - свободная частица и гармонический
осциллятор. Оказывается, уже эти простейшие модели имеют
замечательно богатую структуру.
Исследование р-адической квантовой механики представ-
представляет значительный интерес как с математической точки зре-
зрения, так и с физической. Как возможные физические примене-
применения отметим рассмотрение моделей с неархимедовой геометрией
пространства-времени на очень малых расстояниях, а также в
теории процессов в сложных средах. Кроме того, распростра-
распространение формализма квантовой теории на поле р-адических чисел
представляет интерес даже независимо от возможных новых
применений, поскольку дает возможность лучшего понимания
формализма обычной квантовой теории.
Можно ожидать, • что изучение р-адической квантовой
механики будет полезно и для чисто математических иссле-
исследований в теории представлений, теории чисел м р-адическом
анализе. Напомним в этой связи, что квантовомеханическое
представление Вейля (см. ниже) нашло, как известно, широкие
применения в теории чисел и теории представлений, однако с
точки зрения квантовой теории оно отвечает лишь простейшей
свободной невзаимодействующей системе. Нет сомнений, что
изучение нелинейных взаимодействующих систем даст возмож-
возможность получить еще более глубокие математические резуль-
результаты .
Выше, при изложении р-адического анализа, мы рассмат-
рассматривали функции р-адического аргумента со значениями в поле
8 В.С.Владимиров и др.

р-адических чисел О , а также со значениями в поле ком-
комплексных чисел С. Соответственно возможны различные вари-
варианты формулировок классической и квантовой механики. Ниже
будут рассмотрены формулировки, которые представляются нам
наиболее естественными. Мы начнем с исследования форму-
формулировки, которая задается тройкой (-^г@ ) >V(z) ,U(t)), где
V{z) - представление Вейля коммутационных соотношений, U(t)
- унитарное представление аддитивной подгруппы поля р-ади-
ческих чисел, задающее динамику. Квантовая механика будет
получена при помощи квантования классической р-адической
механики.
1. Классическая механика над Q . Начнем с рассмотрения
р
р-адического аналога классических гамильтоновых уравнений.
Уравнения Гамильтона имеют вид
ан аи
Р = , Я = —• A-1)
dq dp
Здесь все величины: координаты q = q(t) , импульсы
р = p(t), гамильтониан И = ff(p,q) и время t принимают зна-
значения в Q . Мы будем рассматривать только аналитические
функции q(t), p(t) и H(p,q), производные понимаются в
смысле п. 2 § 2. Рассмотрим простейшие модели свободной
частицы и гармонического осциллятора.
Свободная частица. Гамильтониан имеет вид
Н=—р2, A.2)
1т
здесь т е О , т * 0. Уравнения Гамильтона
р
1
Р = 0, q = -р; р@) = р, q@) = q,
имеют единственное решение в классе аналитических функций
при всех t e E вида
Р
p(t) = P, q(t)= q + -t. A.3)
Гармонический осциллятор. Гамильтониан имеет вид
р2 /пи2
где т,и) € О , т * 0.
р
226

Уравнения Гамильтона
Р
р = -mu2q, д = -; р@) = р, д(О) = q,
имеют решение того же вида, что и в вещественном случае
1
q(t)
Здесь
1
cosut ^r-sinuj^
A.6)
cosut
T =
Свойства функций sincj* и cosuf рассмотрены в п. 4 § 2,
они задаются рядами D.3) и D.4) из § 2, которые сходятся в
области G , задаваемой неравенствами
р
1 1
\u>t\ s — при р * 2 и \oit\_ s -г при р = 2.
Область G является группой относительно сложения: если t,
р
t' e G , то t+t' e G . При таких t и f имеет место груп-
р р
повое соотношение
Т Т ,= Т , A-7)
t t' t+t' y '
На фазовом пространстве V = D хЕ зададим кососимме-
р р
трическую билинейную форму
5(z,z') = p'q - pq' , A-S)
где 2 = (g,p) е К, г' = (з',р') е F. Пара {V,В) образует
симплектическое пространство.
Имеет место соотношение
B(Ttz, Ttz>) = B(z,z>), t e Gp, A.9)
т.е. динамика осциллятора задает однопараметрическую группу
симплектических автоморфизмов пространства {V,В). Это же
верно и для динамики свободной частицы A.3).
2. Представление Вейля. Здесь будет построена кванто-
квантовая механика, в которой состояния описываются комплексными
волновыми функциями р-адического аргумента.
8*
227

Обычная квантовая механика начинается с представления
канонических коммутационных соотношений
[q,p] = г
в пространстве L (R) . В Шредингеровском представлении опе-
ратор q реализуется как оператор умножения, а р - как опе-
оператор дифференцирования. Однако в р-адическом случае х е
е О , а ф(х) е С, и операция умножения на х: ф(х) -» хф(х),
р
не определена. К счастью, в этой ситуации возможен выход из
положения за счет перехода к представлению Г.Вейля. Именно,
рассматриваются унитарные операторы в L (К)
е1рч: ф(х) н-> 4i(x+q); е'чр: ф(х) h-> е1хрф(х) .
В таком виде их можно обобщить на ^-адический случай. Рас-
Рассмотрим в L (О ) унитарные операторы
2 р
U : ф(х) ь-> $(x+q), V : ф(х) ^ хBрх)ф(х),
ч р
где q,p,x е О и % - аддитивный характер на О (см. § 3).
р р
Семейство унитарных операторов
V(z) = x{-qp)UVv, z = (q,p) e 0^ B.1)
удовлетворяет соотношению Вейля
W(z)V(z>) = x(B(z,z'))V(z+z'). B.2)
Оператор W(z) действует следующим образом:
?(г)ф{х) = хBрх+рд)ф(х+9). B.3)
Выражение B.3) удобно записать в виде
= \к(г;х,у)ф{у)<1у. B.4)
Семейство операторов ?(z) задает представление группы
Гейзенберга - Вейля, состоящей из элементов (z,a), z e V,
а е О , с групповой операцией
р
{z,a)'(z',а') = {z+z', ы-нх'+B(z,z')). B.5)
228,

Представление группы Гейзенберга - Вейля задается фор-
формулой
(*,«) I-» x{*)W{z) B.6)
Заметим, что пара (Z2@), W(z)), где операторы W(z)
определяются формулой B.4), есть частный случай системы
Вейля (см. п. 7 § 11).
В обычной квантовой механике использование представ-
представления Вейля является вопросом удобства. Как видно из изло-
изложенного, в р-адической квантовой механике это¦по существу
единственный способ корректного задания канонических комму-
коммутационных соотношений.
Рассмотрим теперь вопрос о задании динамики в р-ади-
ческой квантовой механике. В обычной квантовой механихе
сначала задается квантовый гамильтониан, и затем по нему
строится оператор эволюции U(t). Разумеется, классический
р-адический гамильтониан следует использовать для эвристи-
эвристических соображений. Опишем здесь соответствующую конструк-
конструкцию. Как известно, обычная процедура квантования заключа-
заключается в том, что каждой функции f{p,q) из некоторого класса,
заданной на фазовом пространстве, сопоставляется оператор /
в L (К) . При этом соответствие / »-» / должно удовлетворять
некоторым естественным требованиям. Вообще говоря, проце-
процедура квантования неоднозначна и существуют разные кванто-
квантования. Если функция f(p,q) есть преобразование Фурье неко-
некоторой функции <р(а,р)
ПР,Я) = \eiM***9(a,ti)dauIft = i(p,q), B.7)
R2
то квантование Вейля заключается в построении оператора
где р и q - операторы импульса и координаты. Такая теория
квантования в R2 по существу тесно связана с теорией псев-
псевдодифференциальных операторов. Этот способ квантования мож-
можно обобщить на р-адический случай. Именно, пусть на р-ади-
229

ческом фазовом пространстве V = О задана комплексно-
значная функция / из »@2). Она представляется в виде ин-
р
теграла Фурье (см. § 7)
=
J
, q> e 25(О2) .
О2
Всякой такой функции / по аналогии с B.4) сопоставим
оператор в L @ )
2Ч
. Г
где ^(а,C) = *Ч-г) - унитарный оператор B.1). Функция
f(P>Q) называется символом оператора /. Отметим сущест-
существенное отличие описанного квантования р-адической теории от
вещественной - такой метод не дает возможности квантовать
полиномиальные функции f(p,Q), так как такие функции
принимают значения в <й , а не в С.
р
В вещественном случае для описания динамики системы
обычно начинают с построения оператора Гамильтона и дока-
доказательства его самосопряженности. В ^-адическом случае этот
способ не применим. Для построения оператора эволюции можно
рассуждать следующим образом.
Как известно, в вещественном случае символ U(t) можно
задать и в виде функционального фейнмановского интеграла.
Естественно ожидать, что в ^-адическом случае соответ-
соответствующее ядро будет выражаться функциональным интегралом
B.8)
1 t
о
причем интегрирование выполняется по классическим ^-ади-
ческим траекториям с граничными условиями q@) = х, q(t) =
= у. Здесь L(q,'q) - р-адический Лагранжиан, L(q,'q) e О .
В формуле B.8) имеется в виду, что интеграл Г Ldt = S(t)
-1 о
понимается как функция, обратная к операции дифферен-
дифференцирования, т.е. S(t) = L, 5@) = О, S(t) e О .
р
230

Мы рассмотрим ниже простейшие случаи свободной частицы
и гармонического осциллятора. В этих случаях формула B.8)
действительно приводит к правильному ответу. Как и в
вещественном случае будет показано, что К (х,у) ~
~ x(S (?)) , где S (t) - действие, вычисленное на класси-
классической ^-адической траектории.
3. Свободная частица. Динамику свободной квантовой
частицы, отвечающую классическому гамильтониану A.2),
зададим в импульсном представлении при помощи перехода к
преобразованию Фурье. Пусть ф е L (О ) и ф(к) - ее преобра-
преобразование Фурье.
Как известно (см. п. 4 §7), преобразование Фурье
F: ф I-* ф яв!яется унитарным опера юром в I.(ffl )• Оператор
эволюции в импульсном нредстаьлеьии (f{i) зададим формулой
П{Г)ф(к) = х\^Лф{к), t б о ,
(Am ) р
а в координатном представлении
U(t) =
C.1)
C.2)
Получаем семейства унитарных операторов V(t), U{t), причем
выполняются соотношения
f)(t)U(f) =V(t+f), t,f 6 ID ,
C.2)
U(t)U(f) = U(t+t>), t,f
C.3)
Вычислим ядро К оператора эволюции в координатном
представлении. Рассмотрим семейство регуляризованных опера-
операторов
C.4)
где
*„ — * =
х\—*],
О,
231

Последовательность операторов ^„(*) сильно сходится к
при N -> ю:
lim \D
N-»oo
N-»oo
= lim \$(k)\zdk = 0, ф e Z @ )„ t e ID . C.5)
j 2 p p
@
2 p
1*1 „>*>"
1 „
Соответственно последовательность операторов ^„(*)
сильно сходится к U(t).
Пользуясь теоремой о преобразовании Фурье свертки
C.5) из § 7, выполним обратное преобразование Фурье в
соотношении C.3):
\Z-t\\** = \Kt (х-у)ф(уLу, C.6)
О
*Г='к1*-*||(€)« I x.\*-t + kt\dk. C.7)
где
1*1 pV
Интеграл C.7) был вычислен в § 7 (формула B.3)). Отметим,
в частности, что функция К" (?) имеет компактный носитель.
Переходя к пределу N -» ш в формуле C.6) в пространстве
L (О ), имеем при t * О
О
р
где интеграл в C.8) понимается как несобственный, сходя-
сходящийся по норме в L (О ) .
Ядро К^{х-у) имеет вид, см. C.1) § 7,
t * 0. C.9)
232

При t = 0 имеем
Ко{х-у) = S(x-y). C.10)
Интересно отметить, что функциональное соотношение D.1) из
§ 5 для функции X (а) вытекает из равенств C.3), C.9) без
использования явного выражения функции X (а) через символ
Лежандра. Из приведенных формул вытекает соотношение для
свободной эволюции оператора Вейля V(z) B.2):
U(t)?(z)U(t)'1 = V(zt), t e ID , C.11)
где
- классическая эволюция свободной частицы.
Подведем итог. Квантовая механика свободной частицы
над полем 0 задается тройкой (L (О ), W{z), U(t)), где
?{z) - унитарное представление группы Гейзенберга - Вейля
B.3), U(t) - унитарный оператор эволюции C.8), причем
выполняются соотношения B.2) и C.11).
4. Гармонический осциллятор. Квантовая механика гармо-
гармонического осциллятора над полем О задается тройкой
р
(L @ ), W{z), U(t)), где W(z) - унитарное представление
группы Гейзенберга - Вейля B.3), a U(t) - такой унитарный
оператор эволюции, что выполняются соотношения
U{t+f) = U(t)U{f), t,f e G , D.1)
р
U(t)V(z)U(tyi = W(T z), t e G , z e V, D.2)
t p
где классическая эволюция T^z задается формулами A.5),
A.6). В дальнейшем мы положим т = и = 1.
Определим оператор U(t) на основных функциях ф е ЗР(О )
следующим образом:
Г
, t e G , D.3)
233
О
р

где ядро К^(х,у) имеет вид
( 4^ И) ** 0, D.4)
Выражение D.4) не определено в нулях функции sin t.
Заметим, что единственный нуль у этой функции может быть
только при t = 0. Это следует из соотношения D.19) в § 2,
Isin t\ - \t\ при t e G .
i >p i ip p
Теорема. Формула D.3) задает унитарное непрерывное
представление группы G в гильбертовом пространстве L (О )
и переводит D(D ) на себя.
ш Это следует из вида ядра D.4), согласно которому
при t * 0
Отсюда видно, что оператор &'(?) при t * О есть композиция
унитарных операторов и переводит 23@ ) на 35@ ) . При t = О
оператор U(Q) = J.
Докажем групповое свойство D.1) на 25(Е ) при р г 3.
Пусть tfi(z) = 0 при j-г] * р1 и U(t')ф{у) = О при |j/| > ^м
(*' * 0). Тогда
U(t)U(t')*(x) = I Jt(a:,v) I Kt,(y,z)^(z)dydz =
I Jt(a:,v) I Kt,(y,
f It(x,y)Kt,(y,z)dydz =
Л (t)X if)
рч ' рч '
\tf\Y2
sint sin?
234

Для вычисления внутреннего интеграла в D.5) исполь-
используем формулу B.3) из § 5. Обозначим
1 1 ¦ _
?J __ — i —¦ """" у О —
2х
2z
tgt tgf sint sin*'
Тогда, считая что t+f * 0, имеем
и =
tg(t+t')
t+f
tt'
D.6)
D.7)
Поскольку левая часть в D.5) не зависит от М, при дос-
достаточно больших U (фиксированных t,t',х) число М мы можем
выбрать сколь угодно большим и поэтому воспользуемся верх-
верхней строкой в формуле B.8) § 5. Имеем далее
xsint'+zsint
b н
—Р
2о
р
-и
V
t+f
Поэтому
Итак,
dyx \-у2\ + ——
I *„" l ltgt tgf
= \
X X
1
tgt
X
1 1
tgt'J
z
tt'
t+f
sint sin*'
tgt'
. D.8)
Учитывая соотношение D.1) из § 5, преобразуем выражение
tg(*+*')
для А :
р
tgt tgt'
(l-tg*tg*')tg*tg*'
t+f
tt'
= A (t)'l\ (t')"'x (<+*'). D.9)

Примем во внимание соотношение
tgt tgt' [siat sint'J (tgt tgt'
()
tg(t+t') sin(t-t-t')
Собирая вместе соотношения D.5), D.8), D.9) и
D.10), получаем
V(t)U(t')t(z) =
2xz
ITT ;
p
Таким образом, групповое свойство D.1) доказано для t, t' ,
t+t' * 0. Случай, когда один из этих параметров исчезает,
доказывается аналогично, проще, поскольку К (х,у) = s(x-p).
Случай р = 2 рассматривается аналогично, я
Замечание. Как видно из приведенных рассуждений, в
р-адической квантовой механике в отличие от стандартной
финитная волновая функция при эволюции может остаться фи-
финитной, например, волновая функция из 25(Q ). Можно оценить
р
область распространения.
Для проверки соотношения D.2) вычисляется интеграл
\Kt{x,y)W{z;u,v)K_t(v,y)dvdt = V(Tt*iX,y),,_ D.11)
где ?(z;u,v) - ядро B.4).
5. Лагранжев формализм. В п. 1 § 11 рассматривался
гамильтонов формализм р-адической одномерной классической
мехники, в настоящем разделе для этого же случая излагается
Лагранжев формализм. Начнем рассмотрение с определения
интеграла аналитической функции и обсуждения его свойств.
Пусть функция /: О -» О - аналитическая в круге В
(см. § 2), точки в и 6 лежат в круге В' , который строго
содержится в В. Под интегралом функции / в пределах от а до
6 понимается следующее р-адическое число:
Ь
f(x)dx = /(-1JF) -/M>(«), E.1)
236

первообразная /(-1) аналитической функции определена в п. 2
§ 2. Заметим, что /" определена в точках в и b в силу
условия а,Ь е В' с В (см. п. 2 §2). Формула E.1) опре-
определяет р-адичнозначный функционал на множестве аналитичес-
аналитических в круге В функций. Свойства этого функционала отражены
в следующей лемме.
Лемма, интеграл (8.1) обладает свойствами:
b Ъ Ъ
1. U\f+ug)dx = \jfdx + njgdx, \,ц е 0р.
а а а
ebb
2. \fdx + ffdx = \fdx, a,b,c e B' .
а
b
r b r
3. \fgdx = fg - \fg'dx.
J a J
a a
4. Если для любой аналитической в круге В функции h,
удовлетворяющей условиям
А(о) = h{b) = О,
выполнено условие
Ъ
\fhdx = О,
mo f s о.
¦ Свойства 1 и 2 непосредственно следуют из определе-
определения интеграла; свойство 3 вытекает непосредственно из опре-
определения интеграла и формулы производной произведения.
Докажем свойство 4. Представляя функции / и h в виде
степенных рядов и учитывая сходимость этих рядов в точке в,
получаем:
О3п<в>
\fhdx = У (/А) , E.2)
О о*„<« П+1
где
Ло = А(о) = О,
АF) = У Н(Ъ-аУ = О,
237

OlkSn
Вводя обозначение rf = 6-а * 0 и меняя в формуле E.2)
порядок суммирования, получаем:
6 hj
jfhdx = I // I — . E.3)
Коэффициенты h функции h при яг2 определим произ-
произвольно (лишь бы выполнялось условие \h da \ -» 0, я -» со), а
коэффициент h определим по формуле:
h = - у Ли".
2?п<со
Подставляя последнюю формулу в E.3), получаем:
= Г/Arfi = У —^— У n—hda*\ E.4)
a O5k<a> 2?<
F
a
С учетом последней формулы утверждение 4 леммы можно пере-
переформулировать следующим образом: если для любых ^-адических
чисел h , п г 2, удовлетворяющих условию |Л dn \ -» О,
П П р
я -» ю, выполнено равенство F = 0, тогда / = О для всех к =
= 0,1,... Предположим, что лемма не верна. Тогда найдем
такое т, что / * О. Коэффициенты h , я г 2, определим по
m n
формуле:
f I, n=p*-m-l,
h = "
A-я)й [ О, п*р*-т-1,
где М е N, рн z w+3. Подставляя выражение для Л в E.4) и
вводя обозначение:
Л/
k к+2 '
- п*) -
к = 0, 1,
v с*
к-т+р
получим
^ = 0. E.5)
Аналогично доказательству сходимости ряда для перво-
первообразной аналитической функции (см. п. 2 § 2) легко дока-
доказать, что
238

г (Л = г
откуда следует, что ряд
I
OSk<oo
(к+г)(к-т)
-*kL
I
k~m
E.6)
сходится. Поскольку lim p = О в ID , то
# P
lim
I
OikSH
k*m
7 M
k-m+p
I
OikiH
k-m
при любом натуральном N > т. В силу сходимости ряда E.6)
найдется не зависящая от М и N константа такая, что
lim
V
< С.
Следовательно, найдется С' > С, что, начиная с некоторого
М, выполнено неравенство
с
I
k-m+p*
< С' .
E.7)
м С'
Выбирая М таким образом, чтобы р > —-— , и. принимая во
1 m ' р
внимание неархимедовость р-адической нормы и неравенство
E.7), получаем:
I -±
к-т+р*
I
к-т+р*
V С
= /К
k*rt
Переходя к пределу при N -> ю с учетом E.5) из пос-
последней формулы получаем:
откуда / =0. Полученное противоречие доказывает лемму. ¦
Лагранжев формализм для ID строится по аналогии с лаг-
ранжевым формализмом для К. Как ивп. 1 q к t - соответ-
соответственно координата и время - принимают значения в О , функ-
функция <?(<) аналитична в круге В' э В, тогда (см. п. 2 § 2)
239

производная q(t) также аналитична в В' . Будем рассматривать,
только такие лагранжианы L(q,q), которые являются аналити-
аналитическими р-адичнозначными функциями во всей плоскости пере-
переменных д и q; в этом случае значение L(t) = L(q(t) ,q(t))
лагранжиана L(q,q) на траектории q(t) есть аналитическая в
круге В функция переменной t.
Действие S определим как ^-адичнозначный функционал на
множестве траекторий по формуле:
Ь
S[q\ = { L(q(t),q(t))dt, E.8)
а
где интеграл понимается в смысле E.1).
Вариационную производную действия S определим по
аналогии с вещественным случаем:
sS[q] dS[q+ch]
Sq de
где e e 0 , h(t) - произвольная аналитическая в круге В
р
функция, удовлетворяющая условиям h(a) = h(b) = 0. Действие
E.8) стационарно на траектории q(t), если выполняется
условие
~~s7~ r=q = °"
Теорема. Если действие E.8) стационарно на траектории
q(t), то вдоль этой траектории справедливо уравнение Эйлера
- Лаграижа:
d (dL) dL
— — = 0. E.9)
dt\dq) dq
m По условию теоремы
d r r dL dL' \
—S[q+eh] ft = N —h + —h \dt = 0. E.10)
de J v 3? d'q i
Используя утверждение З леммы, получаем
\ dL- dl ,b b. d (dL) b. d (dL)
—h dt = —h\ - f — — Л dt = - Г — —\h dt.
а d'q aj U д dt\dq) J dt[dq)
Подставляя последнее выражение в E.10), имеем:
240

I \ — — \h dt = 0,
*а I dt^- dq > dq >
откуда, с учетом утверждения 4 леммы, следует утверждение
теоремы. ¦
Классическая траектория q (t), проходящая через точки
q и q , определяется как решение уравнения E.9) с гранич-
граничными условиями: q(t^) = q^, ?(*2) = <72j значение действия
S [*,<], соответствующее этой траектории, вычисляется по
формуле:
t
6. Фейнмановские континуальные интегралы. Один из воз-
возможных путей построения фейнмановского континуального ин-
интеграла предложен в п. 2 (формула B.8)). В настоящем раз-
разделе дается строгое обоснование этого способа с помощью ме-
метода конечных аппроксимаций и вычисляется ядро оператора
эволюции р-адического гармонического осциллятора.
Рассмотрим ^-адическую систему с лагранжианом L(q,q) -
аналитической функцией во всей плоскости переменных q и q;
траектория q(t) - аналитическая функция в круге В . Выберем
целое число п < N и построим покрытие круга В кругами
В^(а ) , j = 0,1,.. . ,р"'п-1, радиуса рп без общих точек (см.
п. 3 § 1, пример 2). В каждом из кругов покрытия выберем по
одной точке t , j - ОД,. . . ,р"~п-1, причем считаем, что
t = О и t = t. Для каждой пары точек (t ,t ), j -
о »N~n-l ^ ¦'+1
= 0,1,...,р"'п-2, построим классическую траекторию q (см.
п. 5), удовлетворяющую условиям:
a (t ) = q , q (t ) = q ,
значение действия на каждой такой траектории имеет вид:
j=0,1,...,p"'n-2. Символ !L(q(z),q(z))dx, в формуле B.8)
о
будем понимать следующим образом:
241

\L(x)dx = lim У I L\q (x),q (x)\ dx =
n->- 00
N-n
OSJip -2
Формулу F.2) можно рассматривать как аппроксимацию
произвольной траектории отрезками классических траекторий.
Параметр п определяет степень аппроксимации.
С учетом формулы F.2) конечную аппроксимацию
К(а)(х,у) ядра оператора эволюции запишем в виде:
P" -2
ID ID Nn
p p OSjSp -2
где q = x, q = у, n - степень аппроксимации, С
О N-n n
P "I
нормировочный множитель.
Если существует предел К{п) (х,у) при п -» со, то он
определяет ядро оператора эволюции:
В случае гармонического осциллятора лагранжиан имеет
вид
L{q,'q) = \{qz-i2) >
а уравнение Эйлера - Лагранжа:
—- * q = 0. F.3)
dtz
Решение уравнения F.3) с краевыми условиями
имеет тот же вид, что и в вещественном случае:
q sin* -о sin* q cost -a cost
4i 1 +1 * 1+1 i м 1+1*1+1 1
q (t) = cost - sint,
где *,?*1+1j* 6 G (см. п. 1).
С помощью простых, но трудоемких вычислений, полностью
242

аналогичных соответствующим вычислениям в вещественном слу-
случае, можно получить следующее выражение для 5^i[i,*1 + 1] :
а 1 м-и
F.4)
Используя интегралы, вычисленные в п. 3 § 5, докажем
следующую лемму.
Лемма, имеет место формула:
i» I
0<lSk-l I 1 ' р
Q Q
Р Р
¦х2+хг
X X
1 1 + 1
sin a
os 1 <k-i
OS I<k-I
1/2 p
dx ..¦dx
x x
О k
2tg( I a,) sin( I aj.
OSi Sk-1
F.5)
где к € Ж, к г 2, а € О , ) ^ | s -, г=ОД,. . . ,fc-l, функ-
функция X (а) определена в § 5.
¦ Доказательство проведем по индукции. При к = 2
формула F.5) путем элементарных преобразований сводится к
формуле C.1) §5. Предположим, что формула F.5) верна для
к = п и докажем ее справедливость при к = п+1. Обозначая
выражение в правой части формулы F.5) через F(a ,...,a )
и сумму У а через А , получим:
OS I <k-l
_ Р
" р Q
р
По предположению индукции имеем:
хг+х2
к k
2tga
X X
k k
sina
X (-2a
pv n
F(ao,...,au) =
n+l
+ 1 х
sin A 2tera
n-1 l
243

*f»p|-! -l-.f— —
dx .
С учетом формулы C.1) § 5 последнюю формулу можно пере-
переписать в виде:
С 1 1ч
X (-2а )Х (-2А )Х +
р п р "' p\2-t.eA 2-t.fm. J
I 1/2
X
X X
a A f L_ + J_) I
u л _ j ¦»- 1 i
n-1
(О . nti. г
sirii4 sin/i J 1
sma
2tgar
f J
. F.6)
Используя свойства функции A (a) (см. п. 4 § F),
получаем:
Г 1
2tga
sin(a
4
= X
2sina si
2a
= X Ba )X B^ )x (-
pv n' p4 n-ly p4
Аналогично, используя свойства функций sin x и cos x
(см. п. 4 §2), выражение под знаком нормы приводится к
виду:
i 1 1
a А
tga
= \А | .
Дальнейшее доказательство леммы сводится к элементарным
преобразованиям под знаком характера в правой части формулы
F.6). ш
Для вычисления ядра К^(х,у) для осциллятора выберем
нормировочный множитель С в виде:
244

Тогда аппроксимация порядка п ядра К^(х,у) будет иметь вид:
Л' (&•?/) = тт
X
О О
р
С учетом леммы имеем:
Полученная формула совпадает, с точностью до несущест-
несущественных множителей, с ядром оператора эволюции гармоничес-
гармонического осциллятора, построенным в п. 4 (см. D.4)).
7. Квантовая механика с р-адичнозначными функциями. В
предыдущем разделе мы рассмотрели формализм р-адической
квантовой механики с комплекснозначными функциями. В нас-
настоящем разделе мы обсуждаем подход к р-адической квантовой
механике с р-адичнозначными функциями.
Напомним формализм вторичного квантования в обычной
квантовой механике в терминах операторов рождения и унич-
уничтожения. Через I обозначим гильбертово пространство после-
последовательностей / = (/,/,...) комплексных чисел со ска-
скалярным произведением
00
(/,<?) = I —/„?„• G.1)
п=о я!
245

Операторы рождения и уничтожения а и а действуют по
следующим правилам:
a*fn = /n+i, o/n = nfni, n = О, 1, ..., G.2)
и удовлетворяют каноническим коммутационным соотношениям:
а,а* = аа -а*а = 1 G.3)
в некоторой области в I . Гамильтониан гармонического ос-
осциллятора имеет вид:
Р. = ыа*а, G.4)
где и - вещественное число. Можно рассмотреть более общий
гамильтониан
И = Но + V, G.5)
где V, например, полином от операторов а и а. Эволюция во
времени дается уравнением Мредингера
30
г— = Щ, G.6)
3t
где ф = ф(г) - вектор из I . Для самосопряженного оператора
Н имеем
*(*) = е"ин0(О). G,7)
Отметим, что выражения G.1) - G.5) могут быть непос-
непосредственно распространены на случай р-адической квантовой
механики, если рассмотреть пространство последовательностей
/ = (/0»/j>--0 у-адических чисел со скалярным произведе-
произведением
со
(/,<?) = Х/П<?п> G-8)
где ряды сходятся в ID . Проблема заключается в том, что
р
теория операторов в подобных ?>-адических гильбертовых про-
пространствах недостаточно развита по сравнению с соответ-
соответствующей теорией в комплексных гильбертовых пространствах.
Ниже мы кратко изложим у-адическое интегральное исчис-
исчисление и его применение в ^-адической квантовой механике с
р-адичнозначными фунциями, которая была развита в работах
А.Ю.Хренникова. Через О (V°c) обозначим квадратичное расши-
р
рение поля ID . Выберем р > О и через А обозначим простран-
246

ство аналитических функций на шаре
Up = \х е °Р: \х\р s Р)>
принимающих значения в О (Vx) и снабженное топологией,
определяемой нормой
Ц/1 = max|/Jp%
если ¦
со
Проективный предел пространств А
А - lim proj A
является неархимедовнм пространством Фреше. Через А' мы
обозначим двойственное к А пространство и будем использо-
использовать обозначение
г
ip(x)u{dx) =
для действия д е А' на функцию (р е А. Любая обобщенная
функция д е А' имеет преобразование Лапласа Ь(ц), которое
принадлежит индуктивному пределу пространств функций ана-
литичных в 0}рестности нуля. Гауссово распределение на О
это по определению обобщенная функция v € А' , имеющая сле-
следующее преобразование Лапласа:
L(y){x) = e1'4.
На пространстве А определим скалярное произведение по
формуле:
if, 9) = \f(x)g(x)u(dx).
Пополнение пространства А по соответствующей норме
есть по определению р-адическое гильбертово пространство
L (О ,v(dx)). В этом пространстве развита теория псевдодиф-
псевдодифференциальных операторов.
247

§ 12. Спектральная теория
в р-адической квантовой механике
Обсудим постановку задачи о спектре для гармонического
осциллятора. В стандартной квантовой механике над полем ве-
вещественных чисел изучаются спектральные свойства оператора
Гамильтона. В р- адической квантовой механике мы не имеем
оператора Гамильтона, поэтому следует выразить спектральные
свойства в терминах группы U(t) . Рассмотрим сначала гармо-
гармонический осциллятор в стандартной квантовой механике, и
пусть U(t) - соответствующий оператор эволюции, который за-
задает унитарное представление аддитивной группы вещественных
чисел К. Разложение представления U(t) на неприводимые име-
имеет вид
LzW = „to*»' (О-1)
где инвариантные подпространства Л натянуты на полиномы
Эрмита. Соответствующее уравнение для собственных функций
имеет вид
U(t)iD2 = е пфг, ф « Ип. @.2)
Здесь и - известные собственные числа для гармонического
п
осциллятора, которые интерпретируются как уровни энергии.
Аналогично, изучение спектральных свойств р-адического гар-
гармонического осциллятора связано с разложением представления
U(t) группы G на неприводимые.
Решение этой задачи разбивается на следующие этапы:
описание харахторов группы G , см. § 3;
вычисление размерностей инвариантных подпространств
исследование явных формул для собственных функций опе-
оператора эволюции U(t).
Мы установим разложение, аналогичное @.1), @.2),
Za@) =• е Иа, @.3)
осе!
р
U(t)t = x(at)t, ф е Иа. @.4)
Как известно, в стандартной квантовой механике для
гармонического осциллятора инвариантные подпространства И
п
одномерны, т.е. отсутствует вырождение. Спектральные же
248

свойства р- адического гармонического осциллятора существен-
существенно богаче. В частности, при р ¦ 1 (mod 4) имеет место бес-
бесконечное вырождение как инвариантного вектора (вакуума),
так и возбужденных состояний. При р = 3 (mod 4) имеется
единственный вакуумный вектор, а кратность вырождения воз-
возбужденных состояний равна р+1. При р = 2 имеются два ваку-
вакуумных вектора, а кратность вырождения возбужденных состо-
состояний равна 2 или 4.
В этом параграфе проведено также исследование соб-
собственных функций при помощи унитарного преобразования к но-
новому представлению.
Приведем вначале необходимые для дальнейшего сведения
из гармонического анализа и теории операторов.
1. Гармонический анализ. Пусть G - локально компактная
коммутативная группа. Всякое неприводимое унитарное пред-
представление группы G одномерно, поэтому описание представ-
представлений сводится к описанию характеров группы G. Характером
группы G называется комплекснозначная непрерывная функция
Х-. G -> С со свойствами х(д+д') = х(д)х(д'), \х(д)\ = 1, где
д и д'. - любые элементы группы G. Множестзо характеров,
снабженное операцией поточечного умножения и топологией
равномерной сходимости на компактах, является локально ком-
компактной коммутативной группой, которую будем обозначать G.
Группа G называется дуальной группой к G или двойственной
по Понтрягину. Группа G компактна тогда и только тогда,
когда G дискретна. Имеет место теорема двойственности Пон-
трягина: G = G.
Пусть U(g) - унитарное непрерывное представление груп-
группы С в гильбертовом пространстве И. Тогда имеет место пред-
представление
U(g) = \x(g)dE(x), (l.i)
с
где dE(x) - спектральная мера на G.
Пусть группа G компактна. На группе G существует инва-
инвариантная мера dg (мера Хаара). В этом случае меру Хаара бу-
будем нормировать условием
249

\dg = 1.
A.2)
Множество характеров Ь - lxa(g), а е l\, где а - абс-
абстрактный индекс, нумерующий характеры, образует полную ор-
тонормированную систему в L,(С)»
где 6 д - символ Кронекера, L (С) - гильбертово простран-
пространство комплекснозначных функций, квадратично суммируемых по
мере Хаара на G.
В этом случае гильбертово пространство Н допускает
разложение в ортогональную прямую сумму
И= ®И A.4)
l
где Н - максимальное подпространство, представление в ко-
котором кратно х (з) • Эрмитов проектор на // имеет вид
Ра = }*«
(9)U{g)dg, a e I. A.5)
В силу A.4), A.5) формула A.1) принимает вид
U{g) = I ха(д)Ра. A-6)
Имеет место соотношение
U(g)Pa = ха{д)Ра. A.7)
2. Теория операторов. Пусть А - ограниченный оператор
в гильбертовом пространстве И и {ф }ю - ортонормированный
базис в Н. Следок оператора А называется выражение
Tr A = l (фп, Афп). B.1)
п = 1
След существует не для всякого оператора, кроме того, след
может зависеть от выбора ортонормированного базиса. Имеют
место следующие утверждения: '
1) Пусть А - положительный ограниченный оператор в If.
Тогда сумма в правой части B.1) сходится (к конечному или
бесконечному пределу) и не зависит от выбора базиса.
2) Пусть А - положительный ограниченный оператор в И,
250

T - последовательность положительных ограниченных операто-
операторов, сходящаяся к тождественному в сильной топологии. Тогда
справедливо равенство
lim Тг (Т AT ) = Тг А.
n n
п-»оо
3) Пусть К - компакт, <1х - положительная мера на К.
Пусть А - интегральный оператор в L {К) с ядром А(х,у), не-
непрерывным на компакте К*К. Тогда след оператора А корректно
определен (не зависит от выбора базиса и конечен) и спра-
справедлива следующая формула:
Тг А = \A(x,x)dx.
К
3. Теорема о размерностях инвариантных подпространств.
Характеры группы В были изучены в § 3. Напомним, что
группа G совпадает с В при р > 3 и с В г при р = 2. Из
п. 1 § 3 следует, что характеры группы G имеют вид x{a-t) ,
где а е I . Множество I состоит при р ? 3 из элементов а
р р
вида
а - О либо а = р~* (<xQ+a p+¦ ¦ -+а гР*~2) >
где у = 2,3,4,..., О s ttj < р-Х, «о*0, j = 0,1,...,у-2. При
р = 2 множество / состоит из элементов вида
а = О либо а = 2"ГA+а 2+а 22+. . .+« 2У'3) ,
1 2 У ~3
где у = 3,4,..., О s в] s I, j = 1,2,...,у-3.
В соответствии с п. 1 § 11 оператор
? = \G Г1 Г
а р I
x(-«t)U(t)dt,
G
р
где
Г f 1/р при ?,
|<? | = \dt = J C.1)
J 1 1/4 при р=2,
G
р
является проекционным оператором на подпространство И =
= Р И, В = L (Q ) , причем # является инвариантным подпро-
подпространством для представления U(t) и представление в ffa
кратно x(ott) . Имеет место следующая теорема о размерностях
подпространств В :
251

Теорема, инвариантные подпространства И' имеют сле-
следующие размерности:
При pal (mod 4) dim И = *> для любого а в I .
При р ¦ 3 (mod 4) для а = О dim И = 1/ для \а\ = рг
и четных 7*2 dim И = р+1.
При р = 2 для а = 0 или |а| = 23 dim # = 2/ Эля
|а| а 24,а = 1 dim Я = 4.
Для остальных а е I dim# =0.
р а
Для доказательства теоремы используем следующее
Предложение 1. Размерность подпространства Н , а в I ,
а Р
выражается через след проектора Р по формуле
dim Иа = Тг Ра. C.2)
Доказательство предложения легко получается при помощи
выбора соответствующего базиса в пространстве И.
Для вычисления следа оператора Р будем использовать
утверждения 2) и 3) из п. 2. Определим в L (Q ) ограни-
ограниченный оператор ы по формуле
ыпф(х) = П(р-"\х\р)ф(х), ф € ia@p), C.3)
где
A, ,
Q(a) = C.4)
[О, а>1.
Поскольку П(?>~п|*| ) -* 1 равномерно на каждом компакте при
п -> ю, то w -+ Е в сильной топологии (Е - тождественный
оператор). В силу утверждения 2) из п. 2 имеем следующее
соотношение:
Тг Ра = lim Тг(ыРаып). C.5)
В силу определения оператора Р D.1) имеем
C.6)
Рассмотим подынтегральное выражение C.6). Используя
выражение D.4) из § 11 для ядра К (х,у) оператора эволюции
U(t) и утверждения 3) из п. 2, получим при t € G , t * О,
252

u>U(t)L>n) = \
ft(x,x)dx =
_*|2**tg|j<te.
C.7)
\x\sp»
В силу формулы B.3) § 5 имеем
x(ay2)dy =
f
при |a| si.
C-8)
Преобразуем последний интеграл в C.7) к виду C.8):
I х hxhMdx = р" Г х
i • П 111
¦Г'(
Здесь использованы соотношения
А
при
при 11!
Ц/Р~1' (з-9)
Isintl = \t\ , I cos* t = 1.
I lp iip^i ip
Поэтому в силу C.7) и C.9) имеем
Tr(w U(t)co ) = •
n n
при \t\ *p ,
1/2 У " 'p y '
р" ПРИ l*lps
C.10)
Далее рассмотрим случай р г 3. Подставляя C.10) в C.6),
получим при п = 1,2.,...
253

-X(-at)dt. C.11)
Обозначим первое слагаемое в C.11) через J и представим
его в виде
У = р
___
C.12)
Поскольку мы интересуемся пределом при п -* », то для любого
заданного а выберем п такое, что |ap2n| = p'2n\a\ s 1.
Тогда
х(-<хргпт) = 1, Jx = р
li
z. C.13)
p
Вычисление J производится следующим образом:
Jx = Р
= P
так как
-Jf
У четн |т| =р
ISkSp-
Iх
X
У четв
dx =
C.14)
Здесь е = 1 при р = 1 (mod 4) и е = г при р = 3 (mod 4)
Поэтому
254

Я1 -*] ¦¦'
Обозначим второе слагаемое в D.11) через
*!(*)
1*1.
-X(-cct)dt.
C.15)
C.16)
Предложение 2. Пусть п г 1. Тогда имеет место равенство
(р-1)Bя-1) при а=0, psl (mod 4),
' р-1)Bn-N)-l при I ос I -р", 2zN<2n, p=X (mod 4),
iip ,
при <х=0, р=3 (mod 4),
1-р
(-1)
при
(mod 4).
¦ Заметим, что поведение функции Л2(?) зависит от р.
При р ш 1 (mod 4) Л2(?) = 1 при всех t: при р г 3 (mod 4)
\z(t) - (-1)у, если \t\ = р*.
р р
В случае а = О, р = 1 (mod 4) имеем
J2 =
„-У
= (р-1)Bя-1). C.17)
В случае |<х| = р", 2 z N s 2п, р н 1 (mod 4), пользуясь
формулой D.2) § А, имеем
= P
)
1*1
-р
О , ya-^2,J
255

1 " 3 " 1 =
J
в случае а=0, р а 3 (mod 4) имеем
- C.18)
C.19)
-2n+lSy<-l
Наконец, в случае ja| =/>", 2 < N < 2n, p = 3 (mod 4), имеем
= P
1-1/p,
, r=-tf+l,
0 ,
= P I (-l)y(l - |j - ("I)"*1- C-20)
-2n+l<y<-N *¦ >
Последнее выражение равно 1 при четном ^ и равно -р при
нечетном Ж. Формулы C.17) - C.20) доказывают предложение
2. ¦
Поскольку
то в силу формулы C.15) и предложения 2 получаем следующее
Предложение 3. Пусть дани натуральное число п и р-ади-
ческое число а такие, что р п г |<х| . Тогда имеет место ра-
равенство
при <х=0, ^sl(mod 4),
(р-1) BЛ-ЛГ+1) при \а\ =р", 2zN?2n, ^=l(mod 4),
1 при <х=0, ps3(mod 4),
0 при |ос | =р", N нечетное, 2sNs2n, ^s3(mod 4)
р+\ при j ос | =pV, N четное, 2*N*2n, ^s3(mod 4).
Переходя в предложении 3 к пределу при п -> т с учетом
формул C.2) и C.5), получаем доказательство теоремы для
р * 2.
Рассмотрим теперь случай р = 2. Вместо формулы C.11)
(для р г 3) имеем при р = 2
256

\t\.
-X{-OLt)dt
1*1
-X(-at)dt = Jt + J2. C.21)
Аналогично предыдущему доказывается, что Ji = 2. Далее, при
а = 0 имеем
1*1
причем с учетом выражения для
t = 2r(l+2tt+...) имеем
2 I *i
Поэтому
J, = 4< f -i^-(-l)*1 =
из @.2) § 5, для
= 4г
\ "- !
J2 = 4<
1*1а=2' |*|а=2
Пусть теперь |a|2=2N, ^<2n. Тогда имеем
2Т (-1) lz(-a*)rf* =
= 4г
где
9 В.С.Владимиров и др.
=0. C.22)
Щ-, C.23)
257

(-l)\(-at)dt = /0(r) -
-9»
I (-1) 'zC-atJdt, У=ОД
При |*|2 s 2"" имеем |a*|2 s 1. Тогда /0(у) = /Ду) и
/(у) = О. При |<|2=2"N+1 имеем {at} = 1/2. Тогда также
/о(у) = Д(у) и /(у) =0. При |<|2=2-N+2 имеем {at} = 1/4+
+ (ai+*i)/2. Тогда
/о(у) = еа:р|2я»|| ^ ^]| f dt = г(-1)%.
До
а У-2 N+2
Аналогично /Ду) = -*(-1) 2 . Поэтому при \t\z = 2 ,
т.е. при r=-N+2, f{-N+2) = 2'"+1г(-1) J. Наконец, при
|?| г 2'н+3 имеем /0(у) = /j(y) и /(у) = 0. Таким образом,
доказано следующее
Предложение 4. При р = 2 имеет место формула
0 , <х=02 или |<х|2=23,
С учетом этого предложения доказательство теоремы
закончено.
Замечание. В силу теоремы x(at) являются собственными
значениями оператора эволюции U(t) тогда и только тогда,
когда число а имеет вид
а = 0 или а = р~* (ао+а^р+. . . +a-^,JPS~Z>) >
0 з <Xj s p-\, aQ * 0/ j = 0,1,..-,У-2,
причем при р = 1 (mod 4) у = 2,3,4,5,..., а лри р =
з 3 (mod 4) у = 2,4,6,...; при р = 2
258

a = 0 или a=S"r(l+2+«2-22+.. .+ауз-2у),
7 = 4,5,...; «j = 0,1; j = 2,3,...,у-3.
Это множество индексов обозначим J . Числа из J аналогичны
р р
«уровням энергии» в стандартной квантовой мехцнике.
4. Исследование собственных функций. До настоящего
момента мы работали в пространстве L @ ), причем действие
оператора эволюции U(t) на функции из этого пространства
имело довольно сложный вид D.4) § 11, что затрудняло его
спектральный анализ.
Рассмотрим вначале случай р = 1 (mod 4). В этом случае
поле О содержит квадратный корень из -1, т.е. существует
р
такой элемент т € Q , что т = -1. Мы совершим унитарное
р
преобразование и перейдем к новому представлению (будем
называть его 3- представлением), в котором действие опера-
оператора эволюции задается весьма просто. Используя это пред-
представление, мы получим явные выражения для собственных функ-
функций оператора эволюции. Для функций / е L (О ) введем инте-
2 р
тральный оператор 3 с ядром типа Гаусса по формуле
\f(z)dz. D.1)
(*) = Г.
Предложение 1. Оператор 3 D.1) унитарный в L (б-) ,
переводит E(Q ) на себя и справедлива формула обращения
Q
р
f{z) = U|za -xx -2xzh[f](x)dx. D.2)
Предложение вытекает из представления
х) = x{txz)F\f(z)x - \zz Ba:), D.3)
которое есть композиция четырех унитарных операторов. ¦
Мы будем говорить, что формула D.1) задает переход к
3-представлению. В 3-представлении динамика описывается
следующей теоремой:
9*
259

Теорема 1. Пусть р * 1 (mod 4). Тогда для любой функ-
функции / из L @ ) справедлива формула
= 3[/(е'х\0](*Ь |*|р * 1/р. D.4)
Пусть сначала / е 3D @ ), тогда по предложению 1
3[/] € Е@р), и пусть
= О при \z\>p* и
= О
р
при \у\ 2 рн. В силу формул C.8), C.9) из § 11 после из-
изменения порядка интегрирования имеем
х
I
2x
sint
2z\y\dydz. D.5)
Для вычисления внутреннего интеграла в D.5) исполь-
используем формулу B.1) § 5.
Положим
Тогда
а = х __!_, Ь = -^-
tgt sint
xsint-cost
sin*
2г.
1*1.
> 1
D.6)
D.7)
при \t\ s I/;». Заметим, что так как левая часть D.5) не
зависит от М при М -» », то мы можем выбрать число М сколь
угодно большим. Поэтому при вычислении интеграла восполь-
воспользуемся верхней строкой в формуле B.1) § 5. Имеем далее
—V
2а
x+zsint
xsint-cosi
= р~*\х + zsint |
D.8)
Переменная z принадлежит кругу \z\ a jjn, следователь-
следовательно, р~ \zsint\ s 1 при достаточно большом М и \t\ s 1/p.
Далее, переменная х тоже принадлежит конечному кругу, пос-
260

кольку она входит в аргумент D.8) функции" Q
—Р
1а
которая не исчезает только при р~ \x+zsint\ a 1. Поэтому
при таких значениях параметров
Ь
а
—р
2а
= 1.
D.9)
Теперь заметим, что cost-xsini = Ь2 с некоторым Ь €
€ О . Поэтому, используя соотношения @.3) § 5, имеем
cos?-Tsin*1 Г 1
X (а) = А I А
п "• -. [р| •.
sini J ( sin*
= A -
Таким образом, применяя D.7), D.8), D.9) и D.10),
получаем при описанных значениях параметров
dyx\\r --Ц
tgt
[sin*
2z
У =
\У\Р*Р*
1-1/2
P
sint
rsin* - cos*
D.11)
Следовательно, выражение D.5) преобразуется к виду
1 1
U2
tgi sint(cosi--csint)
х
X Г /(*)*[- \г
z sint+2zx)
\dz. D.12)
cost-xsinij
Воспользуемся соотношениями

cost +— sint
tgt sini(cosi-Tsint) cost - xsint
x sint -xcost + sint x
2 cost-xsint 2(cost-rsint) 2
eTt = cost + -csint.
Выражение D.5) приобретает вид
#(*K[/](z) = x{xx2)\ dz(e'xtz)x - Ъ2 + 2 га; , D.13)
J J
Q
p
что совпадает с D.4) на функциях / € X>(Q ). По непрерыв-
непрерывности формула D.4) продолжается на все пространство
Таким образом, динамика в 3-представлении в силу D.4)
дается простой формулой
/(*) и» f(e-ztz), f € ?2@р). D.14)
Можно рассматривать 3- представление как своеобразный р- ади-
ческий аналог представления вторичного квантования, хорошо
известного в стандартной квантовой механике.
В 3- представлении построим явные формулы для всех соб-
собственных функций оператора эволюции.
Найдем, наример, инвариантные векторы («вакуумы»),
т.е. элементы f(z) e L (О ), удовлетворяющие соотношению
= *, |*| s 1/р. D.15)
Для этого найдем инвариантные векторы в 3- представле-
представлении, т.е. функции / € L (Q ), удовлетворяющие соотношению
f(e-xtz) = f(z), \t\p s 1/p. D.16)
Заметим, что любое ненулевое р- адическое число z e О*
однозначно представляется в каноническом виде z = ргекеа,
262

где \а\ а 1/р. Динамика, задаваемая формулой D.14), сво-
сводится к замене
z = pVea н-> e'xtz = pre*ea-xt, D.17)
т.е. числа у и к в каноническом виде не меняются. Это
означает, что любая функция f(z) из L @ ), которая зависит
только от у и к, будет общим решением соотношения D.16),
т.е. будет инвариантным вектором. Эквивлентно, если z e О
имеет каноническое представление z = p*(z +z р+. . .) , то
любая функция /(.г) = f(\z\ ,z ) из L (О ) будет инва-
инвариантным вектором, и любой инвариантный вектор будет иметь
такой вид.
Приведем явный вид инвариантных векторов в исходном
представлении. В силу формулы D.1) имеем
- \ z2 + 2xz\f(\z\p,zo)dz =
р
x), D-18)
где
*7ill(x) = | dzxUx2 - \z2 + 2xz\.
\z\=p*
z=k
Вычисления показывают, что
В частности, при f(\z\p,zQ) = n(|z|p), 5(/-|z|p), у =
= 1,2,..., из D.18) получим вакуумные векторы:
фо(х) = П(Ир), *о(а;) = Я;(т2:2M(/ - \х\р), г = 1,2,...
Таким образом, мы видим, что размерность * вакуумного
подпространства бесконечна, что согласуется с теоремой из
п. 3.
263

Для возбужденных состояний, т.е. для векторов ф из
В , уравнение
U(tL,a = хЫ)Фа, <х 6 Jp, а * О, \t\p * 1/р, D.19)
после перехода в 3-представление ф =3[/ ] запишется в виде
/a(e-TV) = x{«y)fa(z), \t\p* 1/р. D.20)
учитывая формулу D.17), находим, что общее решение урав-
уравнения D.20) есть
/a(*) = 4>{\z\p,zo)x{-axa), D.21)
где <р - произвольная функция из L (О ), зависящая от пара-
параметра а. Подставляя выражение D.21) в D.1), получим явное
представление для всех собственных функций задачи D.19)
= I xItx2 - ?zz + 2xz - axa
<p(\z\p,zo)dz,
i
ID
*¦ к p
где z = p с е .
5. Системы Вейля и когерентные состояния. В основе
формализма р-адической квантовой механики, рассмотренной в
пп. 2-4 § 11 лежит представление Вейля коммутационных
соотношений. Представляет интерес изучение свойств этого
представления вне связи с конкретными моделями. В част-
частности, один из вопросов - описание таких представлений с
точностью до унитарной эквивалентности. Начнем рассмотрение
этого вопроса с изложения некоторых элементарных фактов из
геометрии симплектических пространств.
Пусть V = 02n, nil, В - невырожденная симплекти-
р
ческая форма на V, тогда пара (V,В) называется симплек-
тическим пространством. Подпространство пространства V по
определению невырождено, если сужение формы В на это под-
подпространство невырождено. Если (V,В) - симплектическое про-
пространство, то V представляется в виде прямой ортогональной
относительно формы В суммы своих двумерных невырожденных
подпространств h , i = 1,2,...,п (так называемых гиперболи-
гиперболических плоскостей):
v = © а :
264

В каждой из таких плоскостей А выберем базис (е ,/), г =
= 1,2,...,п , удовлетворяющий условию
Построенный таким образом базис j(e >/),г = l,2,...,ni
пространства V удовлетворяет условиям
(ех,е}) = (Д./р = О,
(et»/j) = - (A'ej) = 5,j' *>3 = 1,2,...,я.
и называется симплектическим. Матрица формы 5 в этом базисе
имеет канонический вид
Всюду далее считаем, что в пространстве V фиксирован сим-
плектический базис и форма В имеет канонический вид. Спра-
Справедливо неравенство:
\B(z,z')\p * |*||*'Ь E-1)
z,z' е V, а норма | • | определена в п. 7 § 1. Под прямой
суммой двух (и, аналогично любого конечного числа) конечно-
конечномерных симплектических просранств (V ,В )®{V2,B ) понимает-
понимается конечномерное симплектическое пространство (V,В), где
V = Vi@Vz и
Пусть теперь (V,В) - 2п-мерное симплектическое прост-
пространство над О . Системой Вейля над (V,В) назовем пару
(H,W) , где И - гильбертово пространство, ? - отображение из
V в семейство унитарных операторов на И, удовлетворяющее
условию (соотношению Вейля):
W{x)W{y) = х(В(х,у))?(х*у), E.2)
265

где х,у € V, х (€) - аддитивный характер поля О , удовлет-
удовлетворяющий условию:
* 1, |?|р * р (см. п. 1 § 3),
причем отображение ? непрерывно в сильной топологии на
множестве унитарных операторов на И.
Прежде чем переходить к изучению свойств системы
Вейля, отметим, что для построения новых систем Вейля из
уже имеющихся можно использовать операции прямой суммы и
тензорного произведения.
Пример 1. Система Вейля (Lz@ ) ,V) над пространством
(V = О xQ ,B), где операторы W(z), z e V, определяются по
формуле B.3) § 11.
п
Пример 2. Тензорное произведение t® (L (О ),?) п
систем Вейля из примера 1 есть система Вейля (L @п),?(п))
над пространством (О ,В), где
Vм {z) = lv(z), z = (*,,...,*„) € йг\
i =i v
(Здесь мы воспользовались естественным изоморфизмом
Обозначим через Vq следующую компактную подгруппу
аддитивной группы пространства V:
VQ = lx e V: Jarjslj. E.3)
Пример 3. Пусть (F,5) - произвольное конечномерное
симплектическое пространство над 0 . Гильбертово простран-
пространство .?* определим как замкнутое подпространство в L (V)
следующего вида:
6 L2(V): ф(х+х>) = Х(В(х,х'))ф(х),х> 6 V^, E.4)
а семейство операторов P(z), z e V, по формуле
^(*)#(«) = «(*(*,*))¦(*-*), * € К, # « Z*. E.5)
Тогда пара (L*,f?) есть система Вейля над (V,В) .
266

¦ Унитарность операторов P(z), z e V, очевидна. Доста-
Достаточно проверить соотношение Вейля E.2).
' ,x-z))<t>(x-z'-z) =
Аналогично проверяется, что операторы P(z), z e V, перево-
переводят L* в Lx. ш
Исследование свойств систем Вейля над р-адическим
симплектическим пространством существенно опирается на
понятие вакуумного вектора. Докажем следующую теорему.
Теорема 1. Для любой системы Вейля {H,V) над прост-
пространством (V,В) существует вектор ф е И такой, что спра-
справедливо равенство
?{х)фо = фо E.6)
для всех х е V . Вектор фо назовем вакуумным вектором сис-
системы (H,W) .
ш Прежде всего отметим, что V (как и V) является ком-
коммутативной группой относительно сложения.
Пусть х,у е V . Тогда справедливы неравенства (см.
E.1))
\В{х,у)\р * \x\\y\ * 1.
Учитывая свойство характера
*(€) s 1, |€|р * 1, E-7)
получаем, что сужение {И,V ) системы Вейля (Я,?) на
VQ{WQ = V\4 ) есть унитарное представление группы VQ в
о
пространстве В. Действительно, соотношение Вейля E.2) при
сужении на (В,W ) принимает вид
W )
x,y 6 Vo.

Таким образом, изучение сужения системы Вейля (Л,Уо) на V
эквивалентно изучению унитарного представления компактной
коммутативной группы V .
По известной теореме из теории представлений, непри-
неприводимые унитарные представления компактной коммутативной
группы одномерны (т.е. являются характерами этой группы).
Группа VQ характеров группы V (двойственная по Понтрягину)
изоморфна факторгруппе V/V , Vq * V/VQ (см. п. 1 § 3) и в
силу невырожденности формы В всякий характер группы V
имеет вид
Х*(аО = х{В{а,х)), х с Vq,
где а - произвольный представитель класса эквивалентности
а е V/VQ. В силу E.7) **(#) не зависит от выбора пред-
представителя а е а. Таким образом, пространство представления
Н допускает разложение в ортогональную прямую сумму
И= © Л E.8)
V/У а
о
где И - максимальное подпространство, представление в
котором кратно ЛА(ж). В силу E.8) найдется такое а е V/V ,
что И не тривиально. Обозначая через | • || норму в про-
пространстве И, выберем элемент ф е И^, удовлетворяющий усло-
условию 1^1 = 1. Тогда в качестве искомого вектора ф можно
выбрать вектор
\, а 6 а 6 V/Vq. E.9)
Действительно, пользуясь соотношением Вейля E.2) и усло-
условием ф е И , при х е V получаем
Следующее важное понятие - это понятие системы коге-
когерентных состояний.
Пусть Фо е И - вакуумный вектор системы Вейля (H,W).
Из каждого класса эквивалентности а е V/V выберем по
одному представителю а е а, семейство таких представителей
268

обозначим через J . Построим следующее семейство векторов
Ф с И:
Ф = L = ?{а)фо, а € j\. E.10)
Пусть а и а принадлежат одному и тому же классу экви-
эквивалентности а е V/Vo- Тогда, пользуясь формулами E.2),
E.6) и E.7), получаем
.
Следовательно, \Ф \ не зависит от выбора представителя в
классе a e V/VQ.
Семейство векторов E.10) назовем системой когерентных
состояний (КС) системы Вейля (В,W). Основное свойство сис-
системы КС отражает следующая теорема.
Теорема 2. Пусть в пространстве И существует един-
единственный (с точностью до множителя) вакуумный вектор Фо
системы Вейля (H,W). Тогда система КС системы Вейля (В,W)
образует ортонормированныи базис в И.
ш Докажем, что подпространство И (см. E.8)) натяну-
натянуто на вектор ф = ?{-а)Ф0- Действительно, при х е Vq имеем
?{х)ф = УA)У(-а)ф0 = х{ЪВ{х,-а))У(а)фо = Х{В{2а,х))ф,
таким образом, ф е Ига- Обратно, пусть ф е И2а, \Ф\ = 1-
Тогда, в силу формулы E.9) и единственности вакуумного
вектора, получаем:
следовательно, ф = У(-сс)ф . Дальнейшее доказательство непо-
непосредственно вытекает из разложения E.8) ¦
Замечание. Мы видим, что над полем р-адических чисел
введенная система когерентных состояний образует ортонорми-
ортонормированныи базис, в отличие от вещественного случая, где
когерентные состояния образуют переполненную систему.
269

Для дальнейшего рассмотрения нам потребуются следующие
определения.
Система Вейля (ff,V) называется неприводимой, если не
существует подпространства пространства В, отличного от ну-
нулевого и самого И, инвариантного относительно действия опе-
операторов W{x), х е V. Будем говорить, что (В,?) представля-
представляется в виде прямой суммы систем Вейля {И ,?)
,V),
1
если выполнено условие И = © И и подпространства И^ инва-
инвариантны относительно действия операторов W(x), х е V.
Семейство вакуумных векторов системы Вейля (В,W)
образует подпространство И пространства И, которое будем
называть вакуумным подпространством системы (H,W). В под-
подпространстве HQ фиксируем некоторый ортонормированный базис
1\.
Справедлива следующая
Теорема 3. Система Вейля (В,W) неприводима тогда и
только тогда, когда вакуумное подпространство Hq этой сис-
системы одномерно. В противном случае (И,W) представляется в
виде прямой суммы следующего вида:
{И,?) = © (И ,V) ,
1 el
где подпространство И^ натянуто на векторы
{*а = W^<> a 6
¦ Пусть HQ одномерно и фо е HQ - вакуумный вектор сис-
системы (H,W). Допустим, что {И,1/) приводима. Тогда существует
подпространство И' пространства И, отличное от нулевого и
самого И, инвариантное относительно действия операторов
?(х), х е V. Рассмотрим систему Вейля (Н' ,W). Согласно
теореме 1 существует вакуумный вектор ф' этой системы. В
силу единственности вакуумного вектора имеем ф' = ф .
Согласно теореме 2 семейство векторов
ф — W\OL)<p у CL 6 </ >
J
270

образует ортонормированный базис в В, но ф е В' , следова-
следовательно В' = В. Полученное противоречие доказывает неприво-
неприводимость системы (H,W).
Пусть теперь Bq не одномерно. Докажем, что при i * j
подпространства В к В ортогональны. Для этого, в силу
определения этих подпространств, достаточно доказать спра-
справедливость формулы
§ = °, x,V с V, i,j с/,»* j. E.11)
Пусть z е V . В силу унитарности оператора W(z) и формул
E.2) и E.6) имеем:
= [хBВ(г,х))У(х)ф1о,ХBВ(г,у)IГ(у)ф^ =
= xBB(z,x-y)) [*(х)ф10,У{у)ф^ . E.12)
Для любых х,у е V, х-у « V , всегда можно найти такое z ¦=
€ Vo, что xBB{z ,х-у)) * 1, ив этом случае из E.12)
следует E.11). В случае х-у е V при i * j имеем:
\1^ = 0.
Формула E.11) доказана.
Рассмотрим теперь пространство Л = © И и докажем,
что Ъ = В. Допустим обратное и рассмотрим ортогональное
дополнение "Вх к "Ё в Н. В силу унитарности операторов ?(_х) ,
х е V "HL инвариантно относительно действия этих операторов.
Рассмотрим систему Вейля (Н ,V) . По теореме 1 существует
вакуумный вектор фо этой системы, который удовлетворяет
соотношению
?(х)фо = фо,хеУо,
следовательно, фо е Н , что невозможно в силу условия В с
с "В. Полученное противоречие доказывает справедливость фор-
формулы
В = В = ® В .
271

Инвариантность подпространств И , г щ I, относительно дей-
действия операторов W(x), х е V, непосредственно вытекает из
определения этих подпространств. ¦
В качестве приложения теоремы 3 докажем неприводимость
систем Вейля из примеров 1-3. Для этого, согласно теоре-
теореме, достаточно показать одномерность вакуумных подпрост-
подпространств .
¦ Пусть ф е L (О ) - вакуумный вектор системы Вейля
(L (О ),V) из примера 1. Тогда бн удовлетворяет соотношению
(см. "B.3) § 11)
XBpx+pqL>o(x+q) = Фо(х) , E.13)
где z = (q,p) е Vq = B<yBQ, х е О. Полагая в E.13) q = О,
получаем формулу
х{2рх)фо(х) = Ф0(х),
из которой следует, что
supp фо с \х е 0р: хBрх) = 1, р е Bq \ = BQ.
Полагая в E.13) р = 0, получим
^о^) = *0(х+4)> x'q 6 По-
Последовательно, ф (х) = Сп(|ж| ), где П(|а;| ) - харак-
характеристическая функция BQ (см. п. 2 §6), С - произвольная
постоянная. Таким образом, вакуумное подпространство И
системы (L2(Q ) ,W) одномерно.
Неприводимость системы Вейля (X (Qn),(/'п)) непосред-
непосредственно следует из неприводимости системы Вейля (L (О ),V)
и определения тензорного произведения систем Вейля. Ваку-
Вакуумный вектор этой системы имеет вид:
Ф1оп)(х) = n(|*|) « nod*,!,,,* = (v••»*„) 6 °р-
Неприводимость системы Вейля (Lx,V) из примера 3 дока-
доказывается аналогично неприводимости (L @ ),?). Вакуумный
вектор в этом случае имеет вид ф (х) = П(|ж|). ¦
Из теоремы 3 непосредственно вытекает
272

Следствие 1. Всякая система Вейля представляется в
виде прямой суммы неприводимых систем Вейля.
По определению, назовем две системы Вейля (В,W) и
(Ji,V) над пространством (V,В) эквивалентными, если
существует унитарный оператор U: И -» В, удовлетворяющий
условию
Ш(х) = V(x)U, х е V. E-14)
Докажем еще одно следствие теоремы 3.
Следствие 2. Неприводимые системы Вейля над прост-
пространством (V,В) эквивалентны.
т Пусть {B,V) и (Й,Р) - неприводимые системы Вейля над
пространством (V,В) . В силу теорем 1-3 для каждой из этих
систем существует единственный с точностью до множителя ва-
вакуумный вектор фо € И и ф е Н и пространства В и В натя-
натянуты на базисы из когерентных состояний
E.15»)
E.15»)
Построим унитарный оператор U: В -> Н, по формуле
ифа = фа, а 6 JQ. E.16)
Легко убедиться в том, что оператор E.13) удовлетворяет
условию E.14). Действительно, соотношение E.14) доста-
достаточно установить для базисных векторов ф и ф . Используя
формулы E.12), E.15), E.16) и замечание о произвольности
выбора представителей J , получаем:
а фо = х(В{х,а))Ш{х+а)фо =
= Х(В(х,а))иФ^а = Х(В(х,а))ф^а = X(B{x,a))V{x+a)\ =
6. Сиыплектическая группа. По определению, симплекти-
ческой группой SpBn,Q ) назовем группу линейных авто-
автоQ )
О2"
морфизмов пространства V = О2", сохраняющих симплектическую
273

форму. Каждому элементу д е SpBn,Q ) можно поставить в со-
соответствие матрицу (</l.) j I * i,j s 2п, в некотором базисе.
Под нормой матрицы д будем понимать величину
\д\ = max \g | F.1)
* V
Отметим, что для д s SpBn,Q ), det g = 1. Нас прежде всего
будет интересовать подгруппа группы SpBn,Q ), определяемая
следующей леммой:
Лемма, семейство матриц G = ig e SpBn,0 ): |р|| = 11
образует подгруппу группы SpBn,B ).
¦ Докажем, что для любого элемента g e SpBn,Q )
справедливо неравенство
Ы * 1- F.2)
Действительно, пользуясь определением det g и свойствами
нормы F.1), получаем
1 = |det g\ * max \g ...g \ * \g\2Ti.
V 1=S1 1 ?2n 1 2n V
1 2n
Пусть теперь g,h.e G- Докажем, что gh e G. Пользуясь фор-
формулами F.1) и F.2), получаем
max
151 , JS2n
Аналогичным образом убеждаемся, что если д е G, то д'1 е G:
1 < || «Г11 * max ч _,
р
где M - дополнительный минор элемента gi в матрице д. ш
Замечание 1. Построенная группа G есть симплектическая
группа SpBn,Z ) над кольцом 2 целых р-адических чисел.
Она является максимальной компактной подгруппой группы
SpBn,Qp).
Замечание 2. В случае п = 1 группа матриц
t € G V, построенная в § 11 и задающая эволюцию классичес-
274

кого гармонического осциллятора, является подгруппой груп-
группы G.
Пусть д € SpBn,0 ), х е V. Через дх обозначим следую-
следующий элемент пространства V:
i = 1^х}. F.3)
Формула F.3) определяет действие группы SpBn,Q ) на про-
пространстве V.
Рассмотрим произвольную неприводимую систему Вейля
(H,W) на пространстве {V,В). В силу того, что 8рBя,0 )
действует на V транзитивно и сохраняет симплектическую
форму, получаем, что (В,V ), V (х) = V(gx), является непри-
неприводимой системой Вейля на (V,В). Следовательно, по след-
следствию 2 теоремы 3 п. 5 существует унитарный оператор U(g) :
И -» И, удовлетворяющий условию
U(g)V{x) = V(gx)U(g), g 6 SpBn,0p), x e V. F.4)
Построенное таким образом семейство операторов {U(д),
д е SpBn,Q )} образует проективное представление группы
SpBn,0 ) в пространстве Н, которое становится унитарным на
двулистном накрытии группы SpBn,0 ) (так называемой
метаплектической группе). Нас будет интересовать сужение
этого представления на подгруппу G. Заметим также, что в
силу неприводимости системы Вейля (ff,W), формула F.4)
определяет U(g) однозначно с точностью до фазового мно-
множителя. При я = 1 оператор эволюции U(t), t e G , кванто-
квантового р-адического гармонического осциллятора, построенный в
п. 4 § 11, есть не что иное, как представление подгруппы
\т , t e G I группы G, определяемое по формуле F.4) с по-
помощью системы Вейля (/-2@ ) ,W\ из примера 1 п. 5.
При п > 1 аналогичный оператор можно построить с
помощью тензорного произведения п операторов U{t) одно-
одномерного осциллятора, используя систему Вейля (?2(ЮП) ,W{n))
из примера 2 п. 5. В обоих случаях определяемое формулой
F.4) представление оказывается унитарным (а не
проективным). То же самре справедливо и для всей группы G.
А имевно, справедлива следующая
275

Теорема 1. Семейство операторов {U{g), д е <?}, удов-
удовлетворяющих соотношению F.4) для некоторой неприводимой
системы Вейля (В,W) над пространством (V,В), образует
унитарное представление группы G в пространстве И.
т В силу эквивалентности неприводимых систем Вейля ут-
утверждение теоремы достаточно доказать для произвольной фик-
фиксированной неприводимой системы Вейля. В качестве такой
системы выберем систему Вейля (LX,V) из примера 3 п. 5.
В пространстве L определим семейство операторов
{U(g) , g е G} по формуле:
V{9)f(z) = fg(z) = /(g-'z), f <= Z*. F.5)
Легко убедиться в том, что V{g), g e G, переводит Lx в
L . Действительно, при / е L , z' е V , g e G справедливы
равенства
= x(J()-1i,j'V))/(A) = x{B{z,z'))fq{z).
Используя определения операторов F(^) и ^(p), не сос-
составляет труда проверить выполнение соотношения F.4) для
системы Вейля (Iх,V) и операторов t/(g), д е G.
Действительно, при / € Lx имеем:
V{g)V{z)f(x) = V(g)\x(B(z,x))f(x-z)\ = v
= X(B(gz,x))f(g-1(x-gz)) = F(<7*)/(<fV) = P(gz)U{g)f(x) .
Очевидно, что семейство операторов {D(g), д е G} обра-
образует унитарное представление группы G в пространстве Lx. Из
неприводимости системы Вейля (Lx,F) следует, что оператор
U(g), д. € G, удовлетворяющий соотношению F.4), определен
однозначно с точностью до фазового множителя,следовательно,
произвольное представление {U(<?), дев}, удовлетворяющее
условию теоремы 1, также является унитарным (не проектив-
проективным) . ¦
Изучение свойств системы Вейля дает возможность полу-
{л
U(g), д € G\
)
группы G, определяемом формулой F.4).
276

Будем говорить, что вектор ф е И является собственным
векторам представления j^(^), g e G\ в пространстве В, если
он обладает свойством:
и{д)Ф0 = ь(д)Ф0,
где \(д) - комплексное число, по модулю равное 1.
Справедлива следующая
Теорема 2. Пусть (H,W) - неприводимая система Вейля
над (У,Б); {U(g), g e G} ~ унитарное представление группы G
в В, определяемое условием F.4). Тогда вакуумный вектор фо
системы Вейля {В,!/) является собственным вектором пред-
представления {U{g), g e G}.
ш По условию вектор фо е В обладает свойством ?{г)фо =
= Фо, z € V . Так как VQ инвариантно относительно действия
g е G, то справедливо равенство:
V (г)ф - ф F.6)
и, следовательно, Фо - вакуумный вектор неприводимой систе-
системы Вейля {В,? ). С другой стороны, из F.4) следует, что
U(g)<t>0> g e G, - также вакуумный вектор (В,У)'. С учетом
F.6) и теоремы 3 п. 5 отсюда следует утверждение теоремы.¦
7. Исследование собственных функций при р a 3 (mod 4) .
Как отмечалось, исследование спектральных свойств гармони-
гармонического осциллятора, построенного в п. 4 § 11 эквивалентно
исследованию представления группы Т матриц вида
(cos* sin*1)
, tzG (см. A.6) § 11),
-sin* ?j p
задаваемого формулами D.3) - D.4) § 11. Эта задача пол-
полностью решена для случая р ш 1 (mod 4) (см. п. 4), однако
для случая р ш 3 (mod 4) вычислены лишь размерности собст-
собственных подпространств (см. п. 3).
Исследование представления группы Т тесно связано с
исследованием более широкой группы S матриц вида'
а Ь
а,Ь е 0 , аг+Ъг = 1.
-Ь а) р
277

В рассматриваемом случае р ш 3 (mod 4) группа 5 компактна
(см. п. 5 § 1) и является подгруппой группы SpB,Z ).
Для исследования собственных функций фазовое простран-
пространство V = О хО классической системы удобно рассматривать
р р ___^
как квадратичное расширение поля 0 : К а о ( / -1 ') (см.
п. 4 §1)- Вводя обозначение г = у -1 ', элемент z e
е 0 ( / -1 ') можно однозначно представить в виде z = x+iy,
через z обозначим сопряженный элемент из ID ( / -1 '): z =
= x-iy, х,у е п . Группа 5 изоморфна подгруппе мультипли-
р
кативной группы 0*( / -1 ') поля О ( / -1 ) следующего вида:
{/): zx =
Введем также функцию elt: G —» О* (у -1 ') по формуле:
elt ~ cost + isint, t s G .
p
Эта функция удовлетворяет соотношению:
Группа Г изоморфна подгруппе 0 ( / -1 ') следующего вида:
Т
Очевидно, что группа Т есть подгруппа группы S. Более
того, справедлива следующая
Лемма 1. Группа S изоморфна (при р ¦ 3 (mod 4)) прямо-
прямому произведению циклической группы порядка р+1 Z и
группы Т:
S * Z х Т. G.1)
р+1 v '
¦ Дадим набросок доказательства. Из равенства a2+fc2 =
= 1, a,6eO при р s 3 (mod 4) следует, что либо |а| = 1,
|6| s 1, либо |tt| s 1, |6| = 1 (см. п. 4 § 1).
Отсюда и из того факта, что функция sin t отображает
взаимно однозначно G на G (см. п. 4 § 2), легко доказать,
что любое а+ъЪ е 5 представляется в виде:
a+ib - (a +ibQ) • (cost+isint) = (a+ib)elt
278

при некотором t € G и aQ и bQ, удовлетворяющих соотношению
а2 * Ь\ * I (mod p). G.2)
Множество пар (в ,Ь ), удовлетворяющих G.2), изоморфно не-
некоторой подгруппе мультипликативной группы F ( /-1 ') квад-
квадратичного расширения поля F . Эта подгруппа является цик-
р
лической (как любая подгруппа мультипликативной группы ко-
конечного поля). Порядок этой группы равен числу различных
решений сравнения G.2), которое может быть вычислено ме-
методом гауссовых сумм, и равно р+1. ш
Прежде чем переходить к исследованию собственных функ-
функций, нам потребуются следующие свойства квадратичного рас-
расширения 0 ( / -1 '). Через с обозначим фиксированный элемент
из 10 ( / -1 ') такой, что её = -1.
Лемма 2. При р = 3 (mod 4) любой элемент z е 0 (у -1 ')
можно представить в виде:
z = reVeiT, G.3)
(Г ч
~Л = 1; к = k{z) = 0,1; с - образующая
Z ?Т () 01 () 6"
(
группы Z и ?/Т; n = n(z) = 0,1,...,/?; т = x(z) e 6" .
¦ Пусть z е 10 ( / -1 ') . При р ж 3(mod 4) возможны два
2 2
2
случая: либо 2Z = а2, либо 2Z = -в2, а е О (см. п. 4 § 1).
В первом случае выберем в качестве г квадратный корень из
zz, принадлежащий О*2: r=v zz , тогда —zeS, к = О и
р '
формула G.3) вытекает из G.1). Во втором случае
/ — *2 1
г = v-zz б О и —z e S, к = 1. Дальнейшие рассуждения
очевидны. ¦
Представление G.3) будем называть полярным разло-
разложением элемента z е О ( / -1 ') . Как следует из леммы 2, по-
полярное разложение определяет на О ( / -1 ') четыре функции:
*(*): 0р(/Г7^ {0,1};
n(z): в*(/Г7-» {0,1,..
G .
р
279

По построению, эти функции обладают следующими свойст-
свойствами:
г(ег\) = r{z), *(е*4*) = *(*),
п(ег'У) = n{z), x(eUz) = x(z) * t, G.4)
Менее очевидные свойства этих функций отражает следующая
Лемма 3. Пусть z,z' € 0*( / -1 '), причем ||г||гр, \z' ||
з 1 (г' е F ). Тогда справедливы соотношения:
2) k(z+z') = k(z),
3) n(z+«') = я(г).
¦ Пусть z = x+iy yi z' = x'+гу' удовлетворяют условиям
леммы.
1) Путем элементарных преобразований получаем формулу:
- - - * '+w')
r{z+z') - r(z) = -.
r(z+z')+r(z)
Поскольку r e Q*2, то (r(z+z')) +(r(z)) aO (mod p) к, та-
p О 0
ким образом,
\r(z+z') + r(z)\p = max i\r(z+z')\p, \r(z)\pj =
= max ||z+z'|, izH = \r(z)\ . G.5)
Из равенств ||г:|) = |г(г)| = тах||ж| ,\у\ \ следуют неравен-
неравенства:
1*1Р * \г(*)\р, \У\Р - \r(z)\p. G.6)
Из G.5) и G.6) получаем:
<) - r(z)\ s __L_
\7(z)\
280

2) Из построения функции k(z) следует, что она зависит
только от первого члена канонического разложения р- адичес-
кого числа zz: k{z) = Tc((zz)o).
Соотношение же ((z+z')(z+z')) = (zz)o вытекает из
оценки:
\ - zz\ = \z' z' +1{zz'+z' z)\ < \zz\ .
3) В силу равенств ||.г|| = \r{z)\ = тах||ж| ,\у\ \ вы-
выполнено одно из двух условий: либо \х\ = \r(z)\ , \у\ &
s |r(z)|p, либо |j/|p = \r(z)\p, \x\p ± \r{z)\p. Пусть, для
определенности, имеет место первый случай. Из определения
функции n(z) и леммы 1 следует, что если \у\ <\r(z)\ , то
= "Iff
если же | у | = |г(.г)| , то
n(z) = я
Пусть имеет место второй случай (первый рассматрива-
рассматривается аналогично, проще). В силу утверждения 1) леммы, ра-
равенств \х\ = \у\ = |r(z)| ? p и оценки
имеем:
П.
о I 'о
Обозначая через S символ Кронекера, на О ( / -1 ')
определим функции:
5» = 5n>n(z,' » = 0, 1, ..., р.
Из определения этих функций и свойств функций n(z) и
k(z) имеем:
281

supp 5e'c(z) n supp Sc'c(z) = 0 при n * m; G.7)
ScJc(z+z') = 6l-°(z), |z| = p, |z'| * 1; G.8)
m ^ ' ю ^ ^ ' p * V*/
Как отмечалось в п. 7 § 11, с каждой неприводимой сис-
системой Вейля над пространством (V = Q хО ,5) связано пред-
р р
ставление для гармонического осциллятора. Например, в п. 3
§ 11 осциллятор рассматривается в представлении, которому
соответствует система Вейля из примера 1 п. 5. В случае
р s 3(mod 4) исследование собственных функций удобнее про-
проводить в представлении, которому соответствует система Вей-
Вейля (X ,Р) из примера 3 п. 5. Напомним, что в этом случае
пространство представления имеет вид:
[?С — 1 f е L (О -хО } ' f (r+r' Л — v(R(г г' }\f(r\ IIг'II < 1 I
а представление U(t) группы Т определяется по формуле:
U{t)f{x) = /(е-*Чяг), t 6 <Ур, / 6 Х^,
представление К(^) группы 5 определяется по формуле:
V{z)f(x) = f(zx), z e 5, / б X*.
В таком представлении задача отыскания собственных функций
осциллятора эквивалентна нахождению при каждом а е / (см.
п. 3) полной системы линейно независимых решений следующей
системы уравнений в L (V) :
f(e-ltz) = x{«t)f(z),
G.10)
f(z-z') = X(B(z,z'))f(z), nz'lisl.
Принимая ва внимание теорему о размерностях инвариантных
подпространств (п. 3) для случая р = 3 (mod 4), сразу можно
сказать, что при а е / , |а| = р2**1, к = 0,1,..., система
G.10) не имеет решений; при а - 0 она имеет единственное с
точностью до множителя решение, а при а е J она имеет
линейно независимых решений.
282

Явные формулы для собственных функций даются следующей
теоремой.
Теорема. Пусть р s 3 (mod 4). При а = 0 любое решение
системы G.10) пропорционально
При а е J , а * 0, р+Х линейно независимых решений системы
G.10) даются формулами:
ФПа(*) = Sl(z)sl{z)n(\r(z)-a\p)x(-ax(z)), G.11)
где т -
т Тот факт^ что Ф0(г) является решением G.10), про-
проверяется прямой подстановкой. Пусть теперь а е J , а * О.
р
Функции G.11) при различных п линейно независимы (более
того, из G.7) следует, что они ортогональны). Кроме того,
из G.9) следует, что функции G.11) удовлетворяют первому
уравнению системы G.10).
При «eJ (а*0) |а| г р , следовательно, \а\ - р-
Учитывая это неравенство, подставляя функции G.11) во
второе уравнение системы G.10) и пользуясь свойством 1)
функции r(z) из леммы 3 и формулой G.8), получаем
= X(B(z,z'))sl(zNl(z)n(\r(z)-a\p)X(-*x(z)).
Согласно G.7) последняя формула эквивалентна следующей:
B(z,z')) = 1, G.12)
где • ,
Ах = x(z+z')-r(z), z-- r(z)cmcnelTU),
z- = r(z')cacneizlll), z+z' = г(^г')еюспег'т(г+г#).
С учетом последних равенств форму B(z,z') можно пре-
преобразовать к виду:
B(z,z') = B(z,z+z') = r(z)r(z+z')(cl)"B(eiZiz) ,eiTiI*1'}) =
. G.13)
283

Для дальнейших рассуждений нам потребуется следующее
равенство: (при р ¦ 3 (mod 4))
Цега-егь|| ^ |«-&|р, а,Ъ е Gp. G.14)
Действительно:
|e4-eib| = |ег(а-ь)-1|| = max|| cos(a-b)-l |p, | sin(a-ft) |pj- =
= |sin(a-b)|p = \a-b\p.
Используя G.14) можно доказать оценку:
|аДт| s 1. ("-15)
Действительно:
= |а| "(-''iT()
|р
= lr(z+z')eixlI+z>) - r(z)eixu'l = |z'"| * 1.
Используя формулы G.13) и G.15) и неравенства |г(г)-о| s
s 1, |г(г+г')-о| s 1, выражение G.12) перепишем в эквива-
эквивалентной форме:
х(иЬт + (-l)VsinAT:) = 1. G.16)
Из свойств функции sinz, отмеченных в п. 4 § 2, легко сле-
следует оценка (при р ш 3 (mod 4))
G.17)
С учетом G.15) и G.17) выражение G.16) преобразуем к
виду:
*((« + (-l)V)Ax) = 1. G.18)
Таким образом, функции G.11) удовлетворяют второму урав-
уравнению системы G.10), если о, а и m удовлетворяют соотно-
284

шению G.18) при любых Ах е G . Легко видеть, что указанные
в условии теоремы о и да удовлетворяют равенству
а + (-l)V = О,
откуда следует G.18). ¦
Теорема дает возможность построить собственные функции
осциллятора при р т 3 (mod 4) в любом представлении. А
именно, справедливо следующее следствие.
Следствие. Пусть (И',?) - неприводимая система Вейля
над пространством (Q xQ ,B) с вакуумным вектором ф . Тогда
собственные функции осциллятора в представлении (Л,?)
даются формулами:
г
G
р
где а е J , п = 0,1,...,р, а и т те же, что и в Теореме.
¦ Рассмотрим систему Вейля (L ,Ф) с вакуумным вектором
ф =П(|г|) и соответствующее представление для гармони-
гармонического' осциллятора.
Легко убедиться в том, что оператор S: L* —>
—> И,определяемый формулой
?{г)ф<йг, ф е L*, G.20)
есть унитарный оператор (см. п. 7 § 11). Подставляя в
формулу G.20) собственные функции осциллятора в представ-
представлении (L*,f?) ф"(г), получаем
X \*V*l
(y)Scn(y)il(\r(y)-a\p)x(-az(y)) x{B(-z,y))u(\y-z\) .
V
Поскольку интегрирование в последней формуле осуществляется
фактически по ограниченной области \у\ = |г[ = \а\ , то
возможна перемена порядка интегрирования. С учетом формулы
285

V
получаем
V
e
Пользуясь свойствами функций Se(y),Sc(y) и полярным разло
жением, из последней формулы имеем
Отбрасывая несущественный ненулевой множитель, получаем
требуемое выражение для собственных функций осциллятора. ¦
Замечание 1. Аналогично представлению U{t), t e G ,
группы Т можно построить унитарное представление V(g) , д е
е S, группы S. В этом случае, используя теорему и формулу
G.1), легко доказать, что собственные подпространства
представления V(g) одномерны, а собственные функции сов-
совпадают с собственными функциями представления U(t) (с той
лишь разницей, что функции фп при различных п соответствуют
различным собственным подпространствам).
Замечание 2. Исследование собственных функций при
р s 3 (mod 4) (т.е. решение системы G.10) можно провести
без использования теоремы о размерностях инвариантных
подпространств.
§ 13. Системы Вейля. Бесконечномерный случай
Через (V,В) обозначим бесконечномерное симплектическое
пространство над 0 . Подпространство U с V называется невы-
р
рожденным, если ограничение формы В на U - невырожденная
симплектическая форма на U. Через F обозначим множество
всех конечномерных невырожденных подпространств пространст-
пространства V.
Системой Вейля над (V,В) (см. п. 5 § 12) называется
пара {H,W), где И - комплексное гильбертово пространство, а
286

? - отображение из К в множество унитарных операторов на Е,
удовлетворяющее условиям
V{x)?{y) = Хр{В{х,у))?(х+у)
для всех х,у е V, причем ограничение ? на любое подпрост-
подпространство U е F непрерывно в сильной топологии.
Напомним, что в случае dim V < ш (см. п. 4 § 12) все
неприводимые системы Вейля унитарно эквивалентны (теорема
единственности Стоуна - фон Неймана) и любая система, Вейля
представляется в виде ортогональной прямой суммы непри-
неприводимых систем. Однако в случае dim V = со это не так.
1. Алгебры Вейля. Пусть (В' ,?) - некоторая система
Вейля над (V,В), U e F и Hit (Л,?) - (/^-алгебра, порожденная
семейством операторов {?(х), х е U}. Так как dim U < а, ис-
используя теорему Стоуна - фон Неймана, нетрудно доказать
следующую лемму.
Лемма 1. Для любых двух систем Вейля (ff ,V ) и {Л ,? )
над (V,В) и любого U e F существует единственный
*-изоморфизм а алгебр Ш^{Л^,? ) и JH (Н ,V ), удовлетворя-
удовлетворяющий условиям
«(Уг(а0) = W2(x)
при всех х е U.
По определению алгеброй Вейля системы Вейля {Л,?) над
(V,В) называется <7*-алгебра U(ff,?), получаемая замыканием в
равномерной топологии объединения алгебр Hit (ff,?) по всем
U e F:
= и
U€F
Как уже отмечалось, в случае dim V = » теорема Стоуна
- фон Неймана не имеет места. Однако в этом случае справед-
справедлива следующая <7*-алгебраическая версия указанной теоремы.
Теорема 1. Для любых двух систем Вейля (Е ,? ) и
{Д2,?^) над {V,В) существует единственный *-изоморфизм «
алгебр и(Е ,У) и и(Ег,?2), удовлетворяющий условию
а(?1(х)) = ?г(х).
для всех а е х.
т Алгебры Ж (Е,?), U e F, образуют частично упоря-
287

доченное множество относительно вложения. В силу леммы 1 и
леммы Цорна существует единственный ^-изоморфизм а *-алгебр
U Jit (В ,W ) , i = 1,2. Изоморфизм а непрерывен в равномер-
ueF U
ной топологии (как всякий *-морфизм ^-алгебр) и, таким
образом, однозначно продолжается до требуемого ^изоморфиз-
^изоморфизма а. ¦
2. Положительные функционалы. Комплекснозначкый функ-
функционал и: V -» С на симплектическом />-адическом простран-
пространстве (V ,В) будем называть положительным, если выполнены
условия
(i) и@) = 1;
(ii) для любых наборов Л ,. . . ,\ е С и х , . . . ,х е V
справедливо неравенство
(iii) и непрерывен при ограничении на любое подпрост-
подпространство U е /.
Положительные функционалы являются естественным инс-
инструментом при изучении циклических систем Вейля. По опре-
определению, циклической системой Вейля над (V,В) называется
тройка (Н,?,<р), состоящая из системы Вейля (Н,У} над (V,В)
и вектора <р е И, ||р| =1, такого, что замыкание линейной
оболочки множества {?(x)ip, x e V} совпадает с В. Две цикли-
циклические системы Вейля {В ,V ,1?^ и {В ,? ,<р2) эквивалентны,
если существует унитарный оператор U: Н -» В^, удовлетворя-
удовлетворяющий условиям Uip = ip и UW (x)U~l = V (х) при всех х е V.
Изучение произвольных систем Вейля сводится к изучению цик-
циклических, поскольку любая система Вейля может быть пред-
представлена в виде ортогональной прямой суммы циклических сис-
систем.
Положительные функционалы на (F,В) и циклические
системы Вейля над (V,В) тесно связаны. В частности, легко
заметить, что если (B,?,ip) - циклическая система Вейля над
{V,В), то отображением» определяемое по формуле
ц(х) = (v,V(x)r), B.1)
определяет положительный функционал на (К,В) . Справедливо и
288

обратное утверждение.
Теорема 2. Для любого положительного функционала д на
(V, В) существует циклическая система Вейля (Я,?,<р) над
{V, В) такая, что соотношение B.1) справедливо для всех
х е V. Такая система Вейля единственна с точностью до экви-
эквивалентности.
т Существование системы Вейля с указанными свойствами
докажем с помощью явной конструкции.
Пространство И. Через К обозначим векторное простран-
пространство комплекснозначных функций на V, отличных от нуля в ко-
конечном числе точек из V. На пространстве К определим неот-
неотрицательную эрмитову форму и полунорму по формулам:
<f,9> = ? f{u)!{v)n(v-u)xf(B{4,v)),t,g e К,
fl/Г = </>/>•
Пусть Л^ - замкнутое подпространство в К, состоящее из
элементов с нулевой полунормой. Тогда на пространстве K/N
форма <•,•> естественным образом индуцирует положительную
эрмитову форму и, таким образом, K/N снабжается структурой
предгильбертова пространства. Искомое пространство Н полу-
получается пополнением пространства K/N относительно введенного
выше скалярного произведения.
Отображение W. На пространстве К определим следующее
семейство унитарных операторов №{х), х е V:
P(x)f(u) = Xp{{Bx,u))f{u-x), f <= К.
Эти операторы удовлетворяют соотношениям Вейля (этот факт
уже проверялся, см. п. 4 § 12, пример 3)). Легко видеть,
что операторы f?(x), х е V, изометричны. Следовательно, кор-
корректно определены следующие операторы ?(х), х е V, на K/N:
?{х) [/Wy] = V(x)f + N, х е V, f e К,
которые однозначно продолжаются до требуемых унитарных опе-
операторов на Л.
Циклический вектор выберем в виде
10 В.С.Владимиров и др.
289

A, «=0,
О, и*0.
Проверка выполнения свойства B.1) для построенной системы
Вейля (H,?,ip) является легким упражнением.
Единственность. Пусть (Н ,? ,<р ) и {И ,? ,<р ) - две
циклические системы Вейля, отвечающие одному и тому же по-
положительному функционалу д. Через Ъ (соответственно If)
обозначим линейную оболочку семейства векторов {W (x)tp ,
х е V} в Я (соответственно {? (х)<р , х е V} в И ) . Формула
11? (-rSat — V (-гЛт т с V
определяет оператор U: Ъ -» t . Легко заметить, что U -
изометрический оператор:
= Хр(В(х,у))ц(у-х) =
Так как пространства Ъ и Ъ плотны в Н, то U может быть
однозначно продолжен до унитарного оператора на В с нужными
свойствами. ¦
Замечание. Утверждения пп. 1-2 и их доказательства
полностью аналогичны соответствующим утверждениям в вещест-
вещественной теории.
3. Представление Фока. Оказывается, что в р-адическом
случае представления коммутационных соотношений (системы
Вейля) тесно связаны с понятием решетки в р-адическом век-
векторном пространстве.
Пусть V - />-адическое векторное пространство (конечно-
или бесконечномерное) . По определению решеткой L в V назы-
называется Z -подмодуль пространства V, не содержащий ненулевых
подпространств и поглощающий пространство V (т.е. для любо-
любого х е V существует А е О* такое, что Xa:~i~?). В конечно-
конечномерном случае (dim V < <ю) данное определение совпадает с
традиционным определением решетки как конечно порожденного
290

Z -подмодуля V, содержащего базис V. Легко убедиться в том,
что в нормированном векторном пространстве (^,|-||) над О
подмножество V = {х е V: ||a;||sl} (единичный шар) является
решеткой. Данный пример показывает важность этого понятия
для представлений коммутационных соотношений в />-адическом
случае (см. п. 4 § 12, определение вакуумного вектора, ко-
когерентных состояний и т.д.). В некотором смысле V есть об-
общий пример решеток. Чтобы пояснить это утверждение, заме-
заметим, что решетка L с V является абсолютно выпуклым поглоща-
поглощающим подмножеством пространства V (непустое подмножество
А с V абсолютно выпукло, если при всех х,у е А и Х,д е Т
р
имеем Хх+цу е А) . Для решетки L с V определим IR -значный
функционал на V по формуле
Pl(x) = inf | а I
(p - аналог функционала Минковского). Легко видеть, что р
является неархимедовой нормой на V, индуцированную этой
нормой топологию на V для краткости назовем i-топологией.
Заметим, что решетка L теперь может быть представлена в
виде
L = ji б V: pL(x) s lj.
Пусть теперь (V,В) - симплектическое пространство над
О и L - некоторая решетка в V. Подмножество L пространст-
пространства V, определяемое по формуле
L* = {х 6 V: В(х,у) s lp vj/ e l\,
является решеткой в V и называется двойственной решеткой.
Если L = L*, то ? - самодвойственная решетка. Свойства
определенной выше операции во многом аналогичны свойствам
обычной операции ортогонального дополнения относительно
формы В и поэтому приводятся без доказательства.
Лемма 2. Пусть L.L ,L - решетки в (V,В). Тогда
справедливы утверждения:
(i) (О* = L>
t (ii) (L1+LJ* = L**L*,
JO*
291

(iii) (L^L2)* = L*+L*.
Связь самодвойственных решеток и систем Вейля непо-
непосредственно видна из следующей леммы..
Лемма з. Пусть L - самодвойственная решетка в (V,В) .
Тогда функционал д : V -» С, определяемый по формуле
l,
0, ,
является положительным функционалом на V.
т Необходимо показать, что для любых наборов Л , ...,Л
1 П
комплексных чисел и х ,. . .,х элементов V справедливо нера-
1 п
венство
й О.
Поскольку д (х) = О для всех х t L, указанное неравенство
достаточно проверить для случая, когда все х^, г = Х,...,п,
имеют вид
= а + и(
е L,
для некоторого а е V. Для этого случая имеем:
1SI,
IS i , JSn
IS I Sn
0.
¦Пусть L - самодвойственная решетка в (V,B). По опре-
определению фоковским представлением (или L-фоковским представ-
представлением) коммутационных соотношений назовем представление,
описываемое циклической системой Вейля (H,?,ip), соответ-
соответствующей функционалу д (в смысле теоремы 2 настоящего па-
параграфа) .
Вектор (р назовем вакуумным вектором. Отметим, что в
силу результатов п. 4 § 12 любое непрерывное неприводимое
представление коммутационных соотношений для конечномерного
пространства V является фоковским представлением.
Как и в конечномерном случае, определим систему коге-
292

рентных состояний. Для этого из каждого класса а е V/L вы-
выберем по одному представлению и через У обозначим семейство
таких представлений. По определению семейство векторов в //
фа = \w(cl)<p, a 6 у}
образует систему когерентных состояний. Указанную систему
Вейля {H,V,ip) для кратности будем называть i-системой Вей-
ля. Эта система обладает следующими свойствами:
Теорема 3. Пусть L - самодвойственная решетка в прост-
пространстве (V,В) и {H,?,ip) - соответствующая ей L-система Вей-
Вейля . Справедливы следующие утверждения:
(i) ?(x)ip = ip для всех х е L;
(ii) системы когерентных состояний образуют орто-
нормированный базис пространств Н;
(iii) система Вейля (H,W,ip) неприводима;
(iv) отображение V непрерывно в L-топологии на V и
сильной топологии на множестве унитарных операторов Н.
ш (i) В силу соотношения
= (<p,V(x)<p) =
1,
C.1)
О, xtL,
достаточно показать, что замыкание К линейной оболочки мно-
множества векторов {?{x)ip,x e L) в Н одномерно. Тогда найдется
ненулевой вектор ф <= К вида
ортогональный к <р. Таким образом, справедливо равенство
(XCL
но в таком случае
= I СаС& = 0.
а,реь a,/3eL
Полученное противоречие доказывает утверждение (i).
(ii) Из формулы C.1) видно, что множетсво ф =
- {W{a)f,a e У} когерентных состояний образует оргонормиро-
ванную системы векторов в Н. Пусть ф - произвольный вектор
из И
293

(lev
(сумма в правой части конечна). Поскольку для всякого |3 е V
найдутся такие а е У и и е L, что /3 = а.+ и, принимая во вни-
внимание утверждение (i) доказываемой теоремы, последнюю фор-
формулу можно переписать в виде
где V = С у (-В(а.и)) . Осталось заметить, что множество
векторов \ji указанного вида образует плотное множество в
пространстве Н (поскольку (R,W,tp) - циклическая система
Вейля) и, таким образом, когерентные состояния образуют ба-
базис пространства П.
(iiij Из утверждения (ii) доказываемой теоремы видно,
что любой ненулевой вектор из Н является циклическим, что
эквивалентно неприводимости (H,W,<р) .
(iv) Пусть ф - произвольный ненулевой элемент прост-
пространства И. Тогда, в силу утверждения (ii):
и для произвольного х е L (т.е. р (х)*1) имеем
\\?{х)ф-ф\ = 1 У (l-XpBB(a,x))CaV(a)v\\ --¦
= I \Са\г\1-ХрBВ(а,х))\г. C.2)
В силу сходимости ряда ? \С \2, для любого е > О найдется
такое А > 0, что справедливо неравенство
Кроме того, для всех pt(x) < ^ и p](a)sA имеем
|^,«)| ? Р(х)р(а) * 1
294

и, следовательно, х BВ(а,х)) = 1. Таким образом, для всех
х е U8 = \у € V: pL(j/) < min{l,i} = б|
из формул C.2) и C.3) имеем:
I \Са\2\1-ХрBВ(а,х))\г *
о (а)>А
-2 I \Ca\z<e.
aeST.o (on >Д
l
Следовательно, отображение V непрерывно в укаиншьм смысле
в окрестности точки х = О, непрерывность в других точках
следует из соотношений Вейля и непрерывности в нуле, ш
Доказанная теорема показывает, что свойства Z-систем
Вейля аналогичны свойствам систем Вейля над конечномерными
симплектическими пространствами (см. п. 4 § 12). Это оправ-
оправдывает название «фоковское» для соответствующего представ-
представления коммутационных соотношений.
4. Эквивалентность Z-фоковских представлений. Напом-
Напомним, что в случае dim V < т все неприводимые системы Вейля
унитарно эквивалентны, однако это не так в случае dim V =
= т. Возникает естественный вопрос об эквивалентности двух
Z-фоковских представлений для различных решеток L.
Пусть Z и Z - самодвойственные решетки в простран-
пространстве (V,Б) . Будем говорить, что L и L совпадают почти
всюду, если существует подпространство U пространства V
конечной коразмерности, для которого справедливо равенство
L n U = L n U.< Следующая теорема дает ответ на поставлен-
поставленный выше вопрос об эквивалентености Z-фоковских представле-
представлений.
Теорема 4. Пусть Zj и L^ - самодвойственные решетки в
пространстве (V,В). L^- и L^-фоковские представления ком-
коммутационных соотношений унитарно эквиапентны тогда и только
тогда, когда L^ и L^ совпадают почти всюду.
¦ Необходимость. Пусть (// ,? ,<р ) и {Н .V ,ip ) - соот-
295

ветственно L - и L -система Вейля над (V,Б) . Поскольку
(Н ,?^) и (Е ,?z) унитарно эквивалентны, существует уни-
унитарный оператор U: Н -» И , ¦ удовлетворяющий при всех х е V
соотношениям
Через v: V -» К обозначим следующее отображение:
v(x) =
Докажем соотношение
v{x) =
0> xtl+L.
¦D.1)
D.2)
Действительно, в силу соотношений Вейля и теоремы 3(i) п. 3
для всех х е Ь^ и х^ е L имеем
Для • re « Zj+? в силу соотношения (L+L )* = L^ n Lz (см.
п. 3) найдется такой элемент у е L л ?2,что В(х,у) t Z и,
таким образом, * BВ(х,у)) * 1 (напомним, что рассматрива-
рассматривается случай р * 2). Таким образом, справедливы формулы:
и, следовательно, v(a:) = О.
Пусть d(L ,L ) обозначает порядок группы (L +L )/L . В
силу теоремы 3(ii) п. 3, формулы D.2) и равенства Парсева-
ля - Стеклова имеем
296

1 = И», II2 = Wtp II2 = У (Up ,W (a)(p )
aev/L
и, таким образом, d(L ,L ) < т. Легко заметить, что
d(L ,? ) < а тогда и только тогда, когда L и L совпадают
почти всюду.
Достаточность. Пусть L и L2 совпадают почти всюду и,
следовательно, d(L ,L) < <ю. Построим вектор ф2 е Н2 по
следующей формуле: >
Заметим, что выражение под знаком суммы в формуле
D.3) не зависит от выбора представления в смежном классе
a e L I(L л L ) . Пользуясь соотношениями Вейля для произ-
произвольного х е L , имеем:
D.4)
Кроме того, в силу теоремы 3(ii) и равенства Парсевалж -
Стеклова справедлива формула
||02|2 = d-\L^,L2) I I^2(«)*>2||2 = 1, D.5)
поскольку группы L /(L п ^2) и (L^+L^ /L2 изоморфны и их
порядки совпадают.
Из формул D.4) и D.5) следует, что {В2,? ,ф ) есть
L -система Вейля. Следовательно, циклические системы Вейля
(Н ,V ,ip ) и (Н ,? ,ф ) эквивалентны в силу теоремы 2 п. 2,
и системы Вейля (Н ,V ) и {И2>? ) унитарно эквивалентны. ¦
297

14. р-адические струны
В этом параграфе будут изложены элементы теории р-ади-
ческих струн. В начале будут приведены выражения для так
называемых дуальных амплитуд. Затем будут рассмотрены р-
адические аналоги этих выражений и исследованы их свойства.
1. Дуальные амплитуды. Истоки современной теории струн
берут начало, как известно, в дуальной теории сильных вза-
взаимодействий элементарных частиц. Сильные взаимодействия ад-
ронов должны описываться функциями (амплитудами рассеяния),
которые удовлетворяют некоторым общим требованиям, таким
как лоренц-инвариантность, унитарность и др.. Построить фун-
функции, удовлетворяющие этим требованиям, - весьма нетриви-
нетривиальная задача. В 1968 г. Г. Венециано предложил следующую
функцию, описывающую взаимодействие четырех частиц:
A(s,t) = \dx х-«1а)-1A~хУам-\ A.1)
Пусть к , к , к^, к - релятивистские n-мерные импульсы
сталкивающихся частиц. Их квадраты- равны массам частиц, ко-
которые должны быть отрицательны (так называемые тахионы) :
**= К)' " (*1J " ¦•• - (О' = - A-2)
Переменные s и t имеют вид
а = (*1+*2)г, t = (кг+кг)г, A.3)
вводится также переменная и = (к +&3J, причем имеем s+t +
+и = -8. Выполняется закон сохранения энергии-импульса:
ki + кг + кз + *« = 0- С1-4)
Наконец, функция a(s) в A.1) линейна:
a(s) = 1 + 2s- С1-5)
Бета-функция A-1) может быть выражена через гамма-функцию
Эйлера:
(())(())
A(s,t) = , A.6)
Г(-а(в)-(О)
где

Г (а) = \хл-1е'Чх. A.7)
Амплитуда Венециано A-1) обладает свойством симметрии
A(s,t) = A{t,s) A.5)
(так называемая кроссинг-симметрия). Она может быть пред-
представлена в виде
" (a(*)+l)(a(*)+2)...(a(*)*n) 1
A.9)
Равенство формул A.8) и A.9) выражает свойство дуальнос-
дуальности: одна и та же амплитуда может быть записана либо как
сумма по полюсам в г-канале (формула A.8)), либо по полю-
полюсам в s-канале (формула A.9)).
Асимптотика A(a,t) при больших s и фиксированных i
имеет вид
.4(s,*) ~ sait), A.10)
так называемое реджевское поведение. Было показано, что для
выполнения условия унитарности, размерность пространства-
времени должна быть я =26.
Обобщение амплитуды Венециано на случай рассеяния N
частиц носит название формулы Коба - Нильсена, она имеет
вид
Г N-2 N-2 -k^k "кг"к]
\ = П dxi П l^jl \1~xi\ Х
J i=2 j=2
-к -к
или в более симметричном виде
Г N -к -к
J I =1 1S1 <mSN
где
dV = dx dx dx (x -x )'1 (x -x )'x(x -x )'x
и x , x , x - произвольным образом выбранные из х ,. . . ,х
а Ь с ' IN
различные переменные. Деление на dV в A.12) соответствует
выделению объема группы SLB,K) из выражения
OQQ

A --. J^.^n^lV*/'^ ^1ЛЗ)
инвариантного относительно группы SLB,K) дробно-линейных
преобразований переменных х .
Имеется также другой набор дуальных амплитуд (Вирасоро
- Шапиро), отвечающих интегрированию по комплексной плос-
плоскости
Г N l/2k -k
В = \ Tid2z n \zrz I • (I-14)
J 1 =4 42 i , JSN
Формула A.14) получается из симметричного относительно
SLB,С)-преобразований выражения
Г
J i
N 1/2к • к
ТТ<*Ч П \*rzJ ' "
=1 lSl<mSN
выделением объема группы SLB,C). Здесь кг = -8, г =
= 1,...ЛГ.
Для четырех частиц имеем
Г 1/2к -к 1/2к -к
Bt = \d2z\z\ J 4|1-^| 2 4- AЛ6)
С
В теории струн амплитуды A.1) отвечают открытым струнам, а
A.16) - замкнутым струнам. Отметим, что приведенные выра-
выражения- для амплитуд рассеяния являются только первыми чле-
членами в так называемом разложении по числу петель для струн-
струнных амплитуд.
Аналогично A.16) можно вместо A.1) рассмотреть выра-
*ение
At = \dx\x\ *
2 *, A.17)
где интегрирование идет по всей вещественной оси. Тогда
получаем симметричное соотношение
Л4 = A{s,t) + A{t,s) + A(u,s). A-18)
2. р-адические амплитуды. Как показало развитие мате-
математической физики за последние 20 лет, простые формулы
A.1) привели после соответствующего развития к весьма со-
содержательной современной теории струн. Поэтому представляет
значительный интерес математическое•обобщение этих выраже-
выражений. В соответствии с двумя представлениями A-1) и A.6)
300

были предложены два возможных пути обобщения, либо через
интегральное представление, либо через Г-функцию. Здесь мы
рассмотрим интегральное представление. Можно интерпретиро-
интерпретировать интеграл в A.1) или в A.17) как свертку двух мульти-
мультипликативных характеров на вещественной оси, поскольку \х\а
- это характер. Поэтому предлагается следующее обобщение.
Пусть К - поле, г (х) и го(х) ~ мультипликативные характеры
на К, где а и /3 - некоторые параметры, от которых зависят
эти характеры. Положим
= \7a(x)rp(l-x)dx, B.1)
к
где dx - мера на J5'. При различных выборах поля К и харак-
характеров ч эта формула дает как известные, так и новые ампли-
амплитуды. В частности, при Та(х) = \х\а-пля -К = К получим выра-
выражение A.17), а для К = С получим выражение A.16).
Рассмотрим случай К = О , г (х) = \х\а'1, Va(x) =
= la;^, где аир- комплексные параметры. Формула B.1)
тогда определяет S-функцию, рассмотренную в п. 3 § 8:
\x\v \1 х\ р ах- Kz-Z)
Q
р
Интеграл B.2) абсолютно сходится в области, где Re a > О,
Re р > 0, Re (<х+/3) < 1. В § 8 (формула C.9)) приведено вы-
выражение 8-функции B.2) через Г -функцию,
гр(«)гр(Ю
S (a,(S) = , B.3)
где • 1а
или, в более симметричном виде,
2р(а,/3) = Гр(а)Гр(р)Гр(г), B.5)
где
а + р + г = 1. B.6)
Положив в B.3) а = -a(s), /3 = -а(?), где a(s) опреде-
определяется формулой A.5), a s и t - формулами A.3), получаем
301

простейшую р-адическую дуальную амплитуду 8 (-a(s),-a(t)).
В силу соотношения
ct(s) + a(t) + а(и) = -1,
используя B.5) и B.6), ее можно записать в симметричном
виде
i.p-aix)-!
В (-а(в),-«(*)) = П ^г- B-8)
x=s,t,u 1-p
Формула A.13) допукает непосредственное обобщение на
р-адический случай: •
[ П<4 ТТ \хГХшС'т- B-9)
P
= [
J
1=1
о"
Р
После выделения объема группы SLB,0 ) из B.9) получаем,
аналогично A.11):
тт 1*,-*! "• BЛ°)
1 * Р
[
о"-3
Интеграл B.10) может быть вычислен в явном виде, аналогич-
аналогично B.8).
Интересно отметить, что приведенные р-адические дуаль-
дуальные амплитуды могут быть получены по правилам квантовой те-
теории поля из лагранжиана, соответствующего следующему нели-
нелинейному уравнению
р-а/2ф = фр. B.11)
Здесь ф = ф(х) - вещественное поле в п--мерном вещественном
пространстве-времени с координатами х = (х ,. . . ,х. ), d -
оператор Даламбера,
а2 а2 з2
За:2 дхг дхг
О 1 п-1
B.12)
Уравнение B.11) имеет статическое солитонное решение очень
простого вида
-1 Г х р-1 ]
Ь <2ЛЗ)
302

где х = (х ,...,х t ¦
Будем использовать обозначения
В(а,р) = \dx\x\a'1\l-x\$'1, B.14)
R
а + 0 + г = 1. B.15)
Лемма 2.1. инеет место следующая формула для функции
BЛ4) , ч СA-«) СA-Э) СA-г)
Я(«,р) = , B.16)
С(°0 С О) С (г)
гЭе ^ - дзета-функция Римана, аргументы и и /3 лежат в об-
области а > О, р > О, а+/3 < 1, а у задается формулой B.15).
а Разбивая область интегрирования в интеграле B,14)
на три части, преобразуем его к виду
Г(«)Г(Э) Г(р)г(т) Г(г)Г(а)
В(а,$) = + + . B.17)
() () ()
Используя соотношение для гамма-функции
тг
Г(.т)ГA-ж) =
sinnx
и выполняя тригонометрические преобразования, 1физодим фор-
формулу B.17) к виду
B(a,fi) = |cos^cos^cos^r(a)rf/3)r(r). B.18)
Воспользовавшись функциональным соотношением для дзета-
функции
и соотношением B.15), преобразуом B.18) к виду
СA-«) СA-Э) СA-г)
Ж/v Й~\ — ¦
¦** V,w ?Р) ~ • ¦
С(а) С(б) <(у)
Замечание. Отметим полученное состношение между дзета-
и гамма-функциями:
Г(а)Г(р) Г(р)Г(г) Г(у)г(«)
+ + =
Г(а+C) Г(|3+у) Г(у+а)
<A-а) C(l-P) C(l-r)
С(«) СО) 5(у)
где
а + /3 + у = 1.
303

3. Адельные произведения. Имеет место следующая
Теорема 3.1. Пусть значения вещественных параметров а
и /3 лежат в области
а < -1, C < -1. C.1)
Тогда справедливы следующие соотношения для функций B.3).
B.16):
с() с(е) с(Ю
ТТ(-1)ЯВ(«,Э) = — — , C.2)
р р сA) СAЭ) <(*)
С() С(Э) С(/з)
р«^)| =————- -, C.3)
р Р С(«) С(Э) С(-«-Э)
причем произведения в C.2), C.3) по всем простым р схо-
сходятся абсолютно.
а Перепишем выражение B.3) в виде
или, с учетом B.15), в виде
!-,«-' I-/-" !.,1-т
V-« ¦-гут Т7" 1^- C'4>
В области значений параметров C.1) имеем г > 2 и
Bf{a,p) < 0. C.5)
Используя формулу Эйлера @.1) из п. 7 § 7, находим из
C.4)
С(-«) С(-Р) С(-г)
(«,C) =
-, C-6)
304

т.е. соотношение C.2). Произведение в C.6) сходится абсо
лютно. Действительно, как известно, для абсолютной сходи
мости произведения
необходима и достаточна абсолютная сходимость ряда
Имеем
и при а < -1 A.13)
,--1
< т.
Аналогично доказывается сходимость произведений по р для
остальных двух сомножителей в C.4). Формула C.3) следует
из C.2) с учетом леммы 2.1. ¦
Замечание. В работе Фройнда и Виттена приводится сле-
следующая замечательная формула
B(a,fl) \[В(а,р) = 1. C.7)
р
Однако, к сожалению, произведение в C.7) расходится и ре-
результат зависит от выбора регуляризации.
Покажем, что имеется связь формул C.2), C.3) и C.7)
с формулой Тэйта. Из формулы B.2) из § 7 для 0(а) = 1 сле-
следует соотношение
(у ) \у l1"^ , C.8)
здесь в произведения включен случай р = а>, /3 - вещественный
параметр. Функции <р {х ) здесь должны принадлежать прост-
пространству Брюа - Шварца. Однако положим формально
m (~ \ _ г I _„\ « (-у п}
Ч> |Л ) — \ L Jj\ . I О .У I
р р • ' р ч '
где а - вещественный параметр, и покажем, что тогда соотно-
305

шение C.8) приводит к формуле C.7). Действительно, имеем
а, р * »,
» а, р = .,
где
1-ра
С,М = ГТГ5' * *
1-р
Поэтому, согласно C.8),
p
так как
1-ра
(о) = -2Bя)—аз1п^ГA+а)П
ЛС (о) 2Bя)з1п^ГAа)П
р р 1-р
Таким образом, получаем соотношение C.7). Если вместо
C.9) положить
то придем к соотношению ^3.3).
4, Струнное действие. Мы обсудили амплитуду Венециано
и ее обобщения. В действительности, эти амплитуды - только
первые члены в так называемом петлевом разложении. Полный
ответ имеет вид
со
А(к к \ = V A (к к \
1 n h?.Q h i м
Л (U L \ _
hv \7 W
306

= \du(x) fexpf-^A ¦*(?(?? ;тI nrf5 D.1)
Здесь Z - компактная ориентированная поверхность рода h,
€ , j = l,...,lf, - координаты N точек на этой поверхности,
<*Si = Л(?рй2^, g($)=det 5а^(€), где 5(ХC - метрика на Zh,
а,р = Л., 2, М - пространство модулей Римановых поверхнос-
тей рода h, х - локальные координаты на М , С(?,С;Т) ~ Фун-
Функция Грина скалярного лапласиана на Z , й!д(г) - мера на М ,
к ,...к - импульсы частиц (тахионов), к е IR , j = 1,...N.
Имеем также к = 2, к +.. .+к = О.
J IN
Более детально мы рассмотрим это выражение в следующем
разделе. Здесь же мы отмстим, что эта формула получается из
следующего формального функционального интеграла
^е'1, D.2)
N
где б (к) = &il ? к^ , б - функция Дирака. Классическое дей-
действие / в формуле D.2) имеет вид:
I = \ ^г^за^а^е^, D.3)
X = Xr(t?,), ц - 1, ¦ ¦ ¦ ,d, - отображение из Z в IRd, 3 J
= X^(?) , вершинный оператор V{k) имеет вид
V(k) =
\
Символы \Dg А и IDX11] означают, что интегрировать следует
L aPJ L J j,
по всем метрикам на Zfc и всем отображениям X*.
5. Пространство модулей и тэта-функции. Действие J об-
обладает двумя бесконечными группами симметрии. Одна из них -
группа вейлевских растяжений, которая действует по правилу
о о н-» effo „. Она называется конформной группой Вейля. Дру-
ОСр up
гая группа симметрии - это группа диффеоморфизмов Diff, или
группа перепараметризаций Т, . Диффеоморфизмы из связной ок-
307

рестности единицы называются локальными диффеоморфизмами.
Группа таких диффеоморфизмов обозначается через Diff . Су-
Существуют также глобальные диффеоморфизмы, которые не лежат
в связной окрестности единицы. Пространство
М = -{метрики на Е [ / Diff -Weyl
h ^ hj
называется пространством модулей. Пространство М - комп-
h
лексное многообразие комплексной размерности 0 для h = 0, 1
для h = 1 и ЗЛ-3 для Л г 2. Более обширное пространство
Т = |метрики на Е | / Diff Veyl
называется пространством Тейхмюллера. Группа всех диффео-
диффеоморфизмов по модулю локальных диффеоморфизмов называется
группой классов отображений (или модулярной группой) . Рас-
Рассмотрим слой S пространства метрик, трансверсальный к дей-
действию групп Diff и Veyl. Подобласть в S, в которой не
существует пары точек, связанных глобальным диффеоморфиз-
диффеоморфизмом, называется фундаментальной областью модулярной группы.
Конформный класс метрики определяет комплексную структуру
на Е .
п
Первая группа гомологии J5T (Е ,1) имеет 2Л образующих.
Выберем симплектический базис {а ,...,а ,Ь ,. . .Ь } 1-циклов
на I , удовлетворяющий следующим условиям на числа Пересе-
чения:
Любые два симплектических базиса связаны преобразова-
преобразованием из симплектической модулярной группы SpBA,Z). Прост-
Пространство голоморфных 1-форм на Zh имеет базис {ш ,...шь},
однозначно определяемый условиями
ы =6 , г , j = 1,...h.
J ,iJ
Матрица т = (т ),
308

к
называется матрицей периодов ка X и является комплексной
симметричной АхА-матрицей с положительно определенной мни-
мнимой частью. Выбрав точку Q e Z , с каждой точкой О на Г
Oh n
свяжем комплексный А-компонентный вектор f(Q) с помощью
отображения Якоби:
Q
Q >-* ft(Q) - f«v * = !-•••*•
Этот вектор единственный с точностью до периодов т. Следо-
Следовательно, / есть элемент комплексного тора
Т(Т } - ITh/7h + T7h
называемого многообразием Якоби пространства ? .
h
Тэта-функция определяется для z € J(^h) следующей сум-
суммой:
e(z,x) = ^ ехр(гяп1тп + 2nintz) .
Тэта-функция с характеристиками а,C е l/2Zh определяется по
формуле
е| "[(^..т) = ехр(гппЧ/3 + 2яга1(г+C))в(г+та+C,т) .
Четность числа 4а*^3 называется четностью характеристики
{«,/9}-
Прим-форма Е(ш,^) определяется как голоморфная диф-
дифференциальная форма на ?hx? веса (-1/2, 0)х(-1/2, 0):
E-1)
где
309

Е(ш,?) не зависит от выбора четной характеристики {а,C} и
обращается в нуль только при ш = ?.
На пространстве #h существует мера, связанная с голо-
голоморфной структурой пространства модулей. В соответствии с
теоремой Мамфорда линейное расслоение
К ® X3 E.2)
над пространством модулей голоморфно тривиально. В послед-
последней формуле К - каноническое расслоение пространства моду-
модулей, т.е, наибольшая внешняя степень кокагательного рассло-
расслоения, X - наибольшая внешняя степень расслоения голоморфных
1-форм на поверхности. Существует единственное голоморфное
нигде не обращающееся в нуль сечение F расслоения К®\~г .
Пусть v ,. . .,v - аналитические координаты на М
(Л г 2), тогда
du = \F(v) B(det Imx)~13dv*dv E.3)
есть мера на М , где
dv = dv Л ... Л dv
1 3h-3
6. Многопетлевые амплитуды. Для определения функцио-
функционального интеграла D.2) используется процедура квантования
калибровочных теорий. Можно утверждать, что амплитуда D.2)
имеет вид
...*„;«), F.1)
где T(k ,...k;v) определяется Гауссовым интегралом
= 8(k) expfJj;^^^)) П
Последнее выражение может быть записано при помощи формы
E.1): .
310

T(k ...k;v) = Гп /(€,€)
J ><J
F.2)
В частности, для тора (Л = 1) имеем
я [
(Imv)
где
г =1 г <s
В формуле F.2)
n(v) = е
к -к /2
- это функция Дедекинда,
,1п2 |а:К , A-х) а {1-шпх) A-шп/х)
х{х,ш) = expl 1 _____ п -—-.
Интегрирование проводится по фундаментальной области
Mt = {v е С: Imw > О, (Re u|sl/2} и
„2ЯИ
„2-TlVr
; 1, г = 1,. . .J
Интеграл в формуле F.3) инвариантен относительно модуляр-
модулярных преобразований из SLB,Z). Этот интеграл расходится, и
необходимо использовать процедуру регуляризации. Проблема
расходимости исчезает в теории суперструн. Амплитуда рас-
рассеяния четырех безмассовых частей в теории суперструн схо-
311

дится к, однопетлевая амплитуда имеет следующий простой
вид:
d?x Г 3 .2 , Лк.'3
——i П dvr ТТ (*r.)
ухШХ) J г =1 г <s
М
1
Требование модулярной инвариантности струнной меры d\±
позволяет в случае маленького рода выразить меру в терминах
модулярных форм. Для рода h = 2 можно использовать верхнюю
полуплоскость Зигеля Н для описания пространства модулей
Более точно, М изоморфно пространству #/SpD,Z) по
модулю класса эквивалентности пространства диагональных пе-
периодических матриц. Мера du на И^ должна иметь вид
|2/т,тч—13
dtx = |/(т)Г(Aег1тт)-13Пйт . F.4)
.
Голоморфная функция f'• Н -* С называется модулярной формой
рода Л и веса &, если / удовлетворяет соотношению:
fUAx+B)(Cx+D)~{\ = det {Cx
для всех
С Z?
SpBA,Z).
При модулярных преобразованиях имеем
П dx . i—> det (Cx+D) ~3 Ц dx
det Imx
det Im т
|det(Cx+D) |2
следовательно функция /" в формуле E.5) должна быть моду-
модулярной формой веса 10. Кольцо модулярных форм рода два из-
известно. Существует единственная модулярная форма ф веса
10, обращающаяся в нуль на диагональных периодических мат-
матрицах ,
произведение берется по четным характеристикам.
312

Таким образом имеем:
dtx = |*lor
nrfr
1SJ
7. Жесткая аналитическая геометрия и р-адические стру-
струны. Как следует из вышеизложенного, в теории струн исполь-
используется теория Римановых поверхностей, в частности простран-
пространство модулей и тэта-функции. Для развития р-адической тео-
теории струн необходимо иметь р-адический аналог комплексного
анализа, включая основной принцип аналитического продолже-
продолжения . Поле р-адических чисел 0 вполне несвязно, поэтому для
этих целей не подходит «наивное» понятие аналитичности,
рассмотренное в § 2. Однако соответствующая теория была
построена Тэйтом и другими. Она называется жесткой аналити-
аналитической геометрией.
Основная идея заключается в том, чтобы осуществлять
аналитическое продолжение только по отношению к определен-
определенным допустимым открытым покрытиям жесткого пространства.
Аналитические функции большз не рассматриваются на всех от-
открытых подмножествах такого пространства; необходимо огра-
ограничиться допустимыми открытыми множествами, которые образу-
образуют так называемую топологию Гротендика. Существует нетриви-
нетривиальное понятие связности для такого пространства. Такой
жестко аналитический подход использовался для униформизации
алгебраических кривых и его же естественно использовать для
р-адических струн. Ниже кратко рассматриваются некоторые
аспекты жесткой аналитической геометрии.
Пусть Т = K<z ,...z> - кольцо степенных рядов, схо-
сходящихся в шаре
? = \(х . . ,х ) е ??: \х \ ^ 1 г = 1
К - полное неархимедово поле, например, 0 .
¦Аффиноидной алгеброй А над К (или алгеброй Тэйта) на-
называется J-алгебра, являющаяся конечным расширением Т . Это
п
означает, что существует гомоморфизм J-алгебр Т -» А, кото-
который превращает А в конечнопорожденный Т -модуль. Простран-
Пространство Sp(.4) максимальных идеалов алгебры А называется аффи-
ноидным пространством. Каждая аффиноидная алгебра А имеет
313

вид Т /I для некоторого идеала I с Т и является банаховым
пространством. Можно отождествить Sp(A) с точками х е Б по
правилу f(x) = 0 для всех f <= I.
Пусть X = Эр(Л) и / ,/,.../ е Л не имеет общих нулей
на X. Тогда подпространство U с X,
U = {
называется рациональной областью. Мы определим топологию
Гротендика на X, взяв в качестве открытых множеств в,се ра-
рациональные области. Топология Гротендика на топологическом
пространстве X определяется следующим образом. Пусть F -
семейство открытых подмножеств X и Cov(#) - набор покрытий
множества U с X. Пара (F,Cov) называется топологией Гротен-
Гротендика, если выполняются следующие условия:
1) ф,Х е F и для U,V e F выполнено V n V e F,
2) {U} е Cov(?0 Для всех U е /,
3) если U е Cov(?Q и V с ?/, f/,F e F, то U n К б Cov(F)
4) если U e Cov(^) и (^) е Cov(tf), то ul<i e Cov(^) .
i
Элементы множества F называются допустимыми открытыми
множествами, элементы Cov(?/) -'допустимыми покрытиями U.
С рациональной областью U ассоциируется аффиноидная
алгебра
А
Таким образом, можно определить предпучок О на X,
строя А для каждого допустимого открытого множества U. Ос-
Основной результат состоит в том, что в действительности О
является пучком для топологии Гротендика. Пространство X =
= Эр(Л) с топологией Гротендика и структурным пучком 0^
называется аффиноидным пространством. Аналитическое прост-
пространство X определяется следующим образом: X имеет топологию
Гротендика и пучок О такой, что существуют (X) е Cov(X),
для которых (X ,0 \Х) - аффиноидные пространства.
Пример. Если X - полная невырожденная неприводимая
кривая над К с полем функций К{Х) , то для любой / е К(Х) ,
f * О, множество X = {х е X: \f(x) | s 1} является допусти-
допустимым аффиноидным подмножеством X. Аффиноидная алгебра О
есть пополнение множества алгебраических голоморфных функ-
функций на X .
314

Униформизация X есть представление X в виде К/Г, где Y
- аналитическое пространство и Г - бесконечная группа, дей-
действующая разрывно на Y. Как известно, верхняя полуплоскость
униформизует кривые рода д г 2 над С.
Проблема униформизации кривых над неархимедовым полем
К более сложна. Прежде всего рассмотрим эллиптическую
кривую X. Если X определена над С, то X имеет униформизацию
С/Г, где Г - решетка. Подобного рода униформизации нет для
неархимедова поля К. Если мы положим Г = 2+2-т с 1ш т > О,
то можно построить другую униформизацию X, используя
экспоненциальное отображение. Можно получить униформизацию
С /<д> кривой, где <q> - мультипликативная группа с
образующей q = е пгх. Эта уииформизация имеет аналог для
неархимедова поля К. Для q е К*, \q\ < 1, аналитический тор
X = К*/<q> есть эллиптическая кривая, называемая кривой
Тэйта. j-инвариант j(q) кривой X удовлетворяет условию
|У(<?)| > 1- Редукция кривой X есть рациональная кривая с
особенностями над К, где К обозначает поле классов вычетов
поля К.
Для униформизации полной несингулярной кривой X рода
д ? 2 используется униформизация Шоттки. Группой Шоттки Г
называется разрывная конечно порожденная подгруппа группы
PGLB,J), не имеющая элементов конечного порядка. Эта груп-
группа имеет хорошую фундаментальную область: F = Р-Bд откры-
открытых дисков). Через L обозначим множество предельных точек
действия Г на Р. В этом случае (P-L)/Г есть аналитическое
пространство, аналитически изоморфное полной несингулярной
неприводимой кривой рода д. Такая кривая называется кривой
Мамфорда. Существуют развитая теория автоморфных форм, мно-
многообразие Якоби, матрица периодов, неархимедова верхняя
полуплоскость Зигеля и тэта-функции. В частности, можно
определить прим-форму
x-r(v) V-r(x)
Е{х,у) = (х-у) п' — ——
ГеГ Х-г(х) у-г(у)
и попытаться использовать ее в р-адической теории струн,
просто заменяя комплексные переменные на р-адические. Если
же мы хотим развивать теорию струн более систематическим
315

образом, следует начинать с классического р-адического дей-
действия и затем его квантовать. Вспомним, что замкнутые стуны
соответствуют римановым поверхностям без границы, а откры-
открытые струны римановыми поверхностями с границей.
Можно рассматривать кривую X, снабженную жесткой ана-
аналитической структурой как неархимедов аналог комплексной
римановой поверхности без границы. Тогда определение X на-
наводит на мысль, что аффиноидное пространство есть неархиме-
неархимедов аналог комплексной римановой поверхности с границей.
Можно попытаться определить «наивную» границу X как мно-
множество В = {х е X : |/(ж) | = 1}. Однако таким образом опре-
определенная граница сильно зависит от выбора /. Используя
жесткую геометрию, мы можем определить каноническую границу
аХ. таким образом, что В с дХ{.
Подход к р-адической теории струн, основанный на
р-адическом аналоге классического струнного действия, в
настоящий момент отсутствует. Можно попытаться использовать
SLB,Q )-симметрию оператора D и рассмотреть действие
¦л
dxdy,
где F - фундаментальная область группы Шоттки. В действи-
действительности, можно получить р-адические древесные амплитуды
из этого действия для F = О . Это также наводит на мысль
р
интерпретировать мировую поверхность открытой р-адической
струны как пространство Т/Г, где Т - дерево Брюа - Титса,
Т = PGLB,0 )/PGLB,2 ) и Г - группа Шоттки. Дерево Т -
связный бесконечный граф без петель. Каждая вершина графа Т
соединяется ребрами с р+1 соседней вершиной. Отметим, что
для каждого компактного подмножества X в Р существует ка-
каноническое дерево Т{Х).
Открытым остается вопрос о струнной мере на р-адичес-
ком пространстве модулей. Может быть наиболее последова-
последовательный подход к р-адической теории струн следует начинать
с теории над глобальным полем рациональных чисел 0 в соот-
соответствии с обсуждением во введении.
Можно ожидать, что замечательная жесткая аналитическая
геометрия найдет применение в р-адической гравитации.
316

§ IS. g-аналйз (квантовые группы) и р-адический анализ
В этом параграфе мы хотим обсудить некоторое замеча-
замечательное соответствие между квантовыми группами (д-анализом)
и р-адическим анализом.
1. р-адический интеграл и g-интеграл. Квантовая группа
SU B) - это алгебра Хопфа с образующими а и с, удовлетво-
удовлетворяющими квадратичным соотношениям. Как было показано Воро-
новичем, существует мера Хаара т на SU B) .
ч
Предложение 1. Мера Хаара на SU B) совпадает с мерой
Хаара на поле р-адических чисел Q в случае q = 1/р.
ш Известно, что группа когомологий /^(SU B)) есть С,
ч
следовательно, существует единственный линейный фунционал
J: Г3 - С,
такой, что I rf? = 0 для ? е Г , где через Гп обозначен мо-
модуль n-дифференциальных форм. Для координатного кольца
группы SU B) имеем
где т - мера Хаара, ш - дифференциальные формы на SU B) .
Если / - полином по ее , то справедлива формула
m{f) = A--q2)lf(q2n)Q2n, 0 < q < 1.
п=0
Это есть известный интеграл Джексона в д-анализе:
f(x)dqx = A-q) lf(q")qa. A.1)
Напомним, что интеграл по 0 по мере Хаара имеет вид:
р
te = A- |)Х/(<Г)<Г- A.2)
317

Таким образом, видно, что A.1) совпадает с A.2), если
т.е.
f{x)dux = J f{\x\p)dx.
Существует следующее обобщение предложения 1. Рассмот-
Рассмотрим оператор
(l-p )\x\
f
f /(«/И }-~, x 6 G,
J v -'1-p
\u\=l
где / e L]OC(G)> G= USv, S^ = ||ж|р = рЛ. Тогда справед-
¦уев
ливо равенство
\f(x)dx =
G В
где
f»(r)dqr = A
в
2. Дифференциальные операторы. В этом разделе рассмат-
рассматривается связь между дифференциальными операторами в д-ана-
лизе и р-адическом анализе. В g-анализе имеется следующий
оператор дифференцирования:
f(x)-f{qx)
V<*> s-7ГТ— BЛ)
4 {1~д)х
318

Также используется следующий оператор:
В р-адическом анализе, если мы рассматриваем вещест-
веннозначную функцию /(ж) р-адической переменной х, мы не
можем использовать стандартное определение дифференцирова-
дифференцирования, поскольку нельзя умножить р-адическое число на вещест-
вещественное. В § 9 рассматривался следующий оператор:
Ограничиваясь рациональными х в формулах B.1) и B.2),
легко заметить, что выражения B.1) и B.2) весьма похожи,
в частности, оба оператора нелокальны.
3. Спектры ^"Деформированного осциллятора и р-адичес-
кой модели. Рассмотрим связь между спектрами </-деформиро~
ванного осциллятора и р-адической модели.
Спектр р-адического уравнения
Вф(х) * Г(|а;|рЖа0 = Еф
для случая
имеет следующие собственные значения:
Р'п-Рп
Е = [п] = , р е Z. C.1)
Для g-деформированного осциллятора
аа* - qa*a = g"N, [N,a*]=-a, [N,a] = a*,
спектр был найден Биденхарном:
И = а а, И\п> = [n]q\n>. C.2)
319

Видно, что в случае
1 =|
¦выражение C.2) дает р-адический спектр C.1).
В § 10 было показано, что спектр более общего уравне-
уравнения
?Рф(х) * Г(\х\р)ф(х) = Еф, а > О,
имеет следующее семейство собственных значений:
Ь I = 1,2,3,.../ п = 0,±1,...
Подобный спектр возникает для ^-деформированного уравнения
Шредингера.
§ 1-6. Случайные процессы над полем р-адических чисел
В этом параграфе излагаются элементы теории случайных
и обобщенных случайных процессов над полем р-адических
чисел. После сводки основных определений по теории случай-
случайных процессов мы рассматриваем броуновское движение на
р-адической прямой как марковский процесс. Затем рассмат-
рассматриваются обобщенные случайные поля на пространстве обобщен-
обобщенных функций.
1. Случайные отображения и марковские процессы. Изме-
Измеримым пространством называется пара {П,?}, где П - мно-
множество, Т. - а--алгебра подмножеств п. Набор {n,7L,P}, где
{П,?} - измеримое пространство, а Р - счетно аддитивная не-
неотрицательная мера на ?, удовлетворяющая условию
Р{0) = 1, A.1)
называется вероятностным пространством. Элементы А е ?
называются событиями, а Р,{А) называется вероятностью собы-
события А.
Случайной величиной ? = ?(ш) называется Z-измеримая
вещественная функция на П, т.е. ff1 (S) е 2 для любого боре-
левского множества S на вещественной прямой К1.
Случайная величина ? порождает вероятностную меру Рр
на К1, определяемую соотношением
A.2)
320

для любого борелевского множества S на R1. Мера Р- называ-
называется распределением величины ?.
Условная вероятность Р(А\В) любого события А при гипо-
гипотезе В, если Р(В) * О, определяется выражением
Р(АпВ)
Р(А\В) = .
Р(В)
Пусть F - произвольная <г-алгебра, содержащаяся в ?, ?
- случайная величина на вероятностном пространстве (п,Т.,Р) ,
математическое ожидание которой отсутствует. Условным мате-
математическим ожиданием случайной величины ?[ относительно
а-алгебры F называется случайная величина E{%\F}, F - изме-
измеримая и удовлетворяющая при произвольном В s F равенству
Uclfbtf» = UdP.
В В
Условная вероятность P{A\F} относительно сг-алгебры F
определяется как частный случай условного математического
ожидания, если положить ? = Хк(и>) - характеристическая
функция множества А. Именно, при фиксированном А условная
вероятность P{A\F) есть /"-измеримая случайная величина,
удовлетворяющая при любом В е F уравнению
= Р(А п В).
В
Условная вероятность Р{А\?} относительно случайной
величины ? определяется выражением
P{A\F) = P{A\FK),
где F~ = iB:B = ^EI), S- измеримые борелевы множества в
ОН - <г-алгебра, порожденная отображением ?.
Пусть X ~ некоторое множество, {У,В} - измеримое про-
пространство. Случайным отображением множества X в измеримое
пространство {У,В} называется отображение ? = ?(ж,ш): X х П
-» Y, являющееся при произвольном фиксированном X измеримым
11 В.С.Владимиров идр.
321

отображением {П,Е} в {Y,B}, т.е. такое, что для любого
В е В
{ы б П : ?(ж,ш) е В} е ?.
Ниже будут рассмотрены два примера случайных отображе-
отображений. Первый, когда X есть подмножество (полуось) веществен-
вещественной прямой, - в этом случае вместо х будем использовать
обозначение t и называть случайное отображение случайным
процессом ?.(t) . Аргумент t интерпретируется как время. В
другом примере X есть пространство обобщенных функций
D'(Юп) . Здесь случайное отображение будет редуцироваться к
обобщенному случайному полю.
Пусть п - любое натуральное число, х , к = 1,2,. . . ,п,
- произвольные точки в X. Меры Р (В) на Вп вида
Рхх ...х (*) = ^{?(^,"),?К^),...,?(а;п,ш) « tf}, В « вп,
называются частными распределениями случайного отображения
?(ж). При достаточно широких предположениях семейство част-
частных распределений определяет случайное отображение.
Рассматриваются марковские процессы ? = %{t) полуоси
t ь 0. Пусть Y - полное метрическое пространство, В -
а-алгебра борелевских множеств Y. Случайный процесс ?[ =
= €(*);> * а О, со значениями в Y называется (однородным)
марковским, если выполнены следующие условия:
1) для любых 0 s t < t < . . . < t < t и В е Б выпол-
выполняются соотношения для условных вероятностей
(mod P)
2) существует функция P(t,х,В), которая:
(i) S-измерима по х при фиксированных ?,2?;
(ii) при фиксированных t,x является вероятност-
вероятностной мерой на пространстве (Y,В,Р);
322

(iii) удовлетворяет уравнению Чепмена-Колмогорова
P(s+t,x,B) = \p(s,x,dy)P(t,y,B), s,t ь 0;
Y
(iv) с вероятностью 1 совпадает с условными ве-
вероятностями
P{t,x,B) = P^(s+t) e B\([(s) = ж}, s,t > 0.
Функция P{t,x,B) называется переходной функцией марковского
процесса ?(*)• Если на {У,В} задана вероятностная мера ц. и
задана функция P{t,х,В), удовлетворяющая условиям 2), (i) -
(iii), то существует марковский процесс ?(<) с такой пере-
переходной функцией.
Часто удобнее работать с переходной плотностью. Пусть
ц. - неотрицательная мера в {Y,Б}. Функция p(t,х,у), t > О,
х,у е Y, называется переходной плотностью, если выполнены
условия:
1) p(t,x,y) * О, t > О, х,у е Y,
2) p(t,x,y) при фиксированном t > О является ВхВ-изме-
римой функцией от х,у,
3) \p{t,x,y)u{dy) si, * ь О, х е Y,
Y Г
4) p(s+t,x,z) = \p{s,x,y)p(t,y,z)u(dy),
Y
s,t г О; х,z e Y.
Если задана переходная плотность p(t,x,y), то функция
1^ p(t,x,y)n(dy) , t>0, xeY, Be.%,
В
{х), t=0.
определяет переходную функцию, которая соответствует неко-
некоторому марковскому процессу.
Переходная функция по формуле
TJ(x) ^ \P(t,x,dy)f(y), t * 0,
Y
11*

определяет семейство линейных опраторов в банаховом прост-
пространстве Е всех ограниченных измеримых комплекснозначных
функций f(x), х е Y, с нормой
I/I = sup|/(a;)|.
Семейство T^,t ь 0, является сжимающей полугруппой операто-
операторов, т.е. операторы Т ограниченные при t ь О, и выполня-
выполняются условия:
jf I i 1, f г О.
Инфинитезимальный оператор А этой подгруппы называется так-
также инфинитезимальным оператором функции P{t,х,В) . Область
определения D состоит из всех функций /, для которых
предел в соотношении
Af(x) = lim \\ \p{t,x,dy)f{y) - f(x)
t~»O L у
существует равномерно относительно х е Y.
Пусть С@ ) - пространство непрерывных ограниченных
функций на О . Марковский процесс является стохастически
р
непрерывным, если
lim Tf = / V/ е С@ ),
t-»o р
и называется феплеровским, если
ГС(О ) с C(Q ) V* > 0.
Имеется следующий критерий. Если для переходной функ-
функции P(t,x,B) для любого компакта В выполняются следующие
условия:
VS г О
lim sup P(t,x,B) = О, (А)
t-»o
и че>0
324

lim sup P(t,x,U(x)) = О, (Б)
t-»0
где U (x) - шар радиуса с с центром в точке х; а V'(х) =
= Y\U (х), то соответствующий марковский процесс является
ограниченным, непрерывным справа и не имеющим разрывов вто-
второго рода с вероятностью 1.
2. Броуновское движение на р-адической прямой. Как из-
известно, броуновское движение на вещественной прямой может
быть описано при помощи уравнения диффузии
аи д2и
at ax2
B.1)
Решение уравнения B.1) задает функцию переходных ве-
вероятностей броуновского движения, рассматриваемого как мар-
марковский процесс. Здесь мы рассмотрим уравнение
§^-aJfU B.2)
и сопоставим ему марковский процесс, который будем называть
броуновским движением на р-адической прямой. Вещественно-
значная функция U = U(t,x) в B.2) зависит от переменных
? s R и i е Q , постоянной о > О и а ь 1.
р
Рассмотрим фундаментальное решение задачи Коши
U(x,0) = <р{х) B.3)
для уравнения B.2) при а = 1.
Рассмотрим следующую функцию:
p{t,x,y) = p(t,x-y) = I x(k(x-y))exp(-t\k\«)dk, B.4)
Q
p
где t > 0, x.y e Q , a > 0.
p
Теорема 1. функция p(t,x,y) B.4) удовлетворяет всем
условиям 1) - 4) для переходной плотности при Y = Q ,
n(dx) = dx - мера Хаара на Q и, следовательно, определяет
марковский процесс ?(*), который мы будем называть броунов-
броуновским движением на р-адической прямой.
325

Замечание. В отличие от винеровского процесса, траек-
траектории которого непрерывны, не существует непрерывных функ-
функций из вещественного отрезка в Q .
р
Приведем доказательство теоремы для а = 2.
Рассмотрим функцию
Г
;О) =
-ЧС12
p(Z)dZ t > О, х е Qp. B.5)
Q
р
Она обладает свойствами:
(i) Kt(x) > 0,
(ii) \Kt(x)dx = 1,
Q
p
(iii) Kt(x) —> S(x), t + +0, в V ,
(iv) K^*Kt, = #т/ , *,*' > 0.
2
Пользуясь формулой C.3) п. 3 § 4 при /(а) = е~ш ,
имеем:
xt(«) = (i-|)|a:|;1j^-
llpj/ [ - ^ >0
- свойство (i);
-ЧС12
4 - \
Q
p
- свойство (ii);
326

ie * pl
= 5
- свойство (iii);
Пользуясь теоремой п. 4 § 7, получим
P] = ^
- свойство (iv). ¦
В силу свойств (i) - (iv) функция К (%) является пере-
переходной функцией марковского процесса.
3. Обобщенные случайные процессы. Пусть L - некоторое
локально выпуклое пространство, L' - двойственное простран-
пространство и {?},?,./'} - вероятностное пространство. Линейное отоб-
отображение ф из L в множество случайных переменных на {Q,X,P}
называется обобщенным случайным процессом на L. Множество
) с А с
называется цилиндрическим множеством, где <р е Z, г = 1,...
.;.,п, Л - борелевское множество в Кп. Цилиндрическое Мно-
Множество N- - это такое подпространство в L', для которого
ф{<1>) = О для всех ч>, принадлежащих к подпространству в L,
порожденному щ ,...<р ¦ Семейство цилиндрических множеств Z
In О
образует алгебру. Цилиндрической мерой д называется вещест-
веннозначная функция д(с) на ZQ, удовлетворяющия условиям:
(i) 0 s д(с) s 1 для любого с е Zq,
(ii) ц(Го) = 1,
(iii) если множество с есть объединение пересекающихся
цилиндрических множеств с ,...с .... с основанием N, то
1 п
00
п
00
д(с) =
(iv) д(с) = inf n(U) для любого С, где U пробегает
все цилиндрические множества,¦содержащие U.
Если L - ядерное пространство, то цилиндрическая мера
ц. может быть продолжена до счетно аддитивной меры на X, где
327

S - борелевская а-алгебра, порожденная S . В соответствии с
теоремой Минлоса, если J: L*C - непрерывная функция поло-
положительного типа и J(O) = 1, то существует вероятностная ме-
мера д на {L',s} такая, что
J(p) = ехр({ф(р))Aц(ф).
L'
J называется характеристической функцией ц.. Пусть В(<р,ф) -
непрерывное скалярное произведение на ядерном пространстве
L. Тогда
А*) =
есть непрерывная характеристическая функция и, таким обра-
образом, существует вероятностная мера ц. на {?',S}, удовлетво-
удовлетворяющая равенству
-^(р,*)) = exp(iф(<p))dц.(ф) .
Мера ц называется гауссовой мерой на L' и ф{ч>) назы-
называется гауссовским процессом с нулевым средним и ковариа-
цией В(<р,<р).
4. Квантовая теория поля. Через L = и@п) обозначим
пространство вещественных основных функций, которое рассма-
рассматривалось в § 6. Это локально выпуклое ядерное пространс-
пространство. Пусть
где d{k) г с > О - некоторая функция. Это скалярное произве
дение задает гауссовский обобщенный процесс. Если положить
а(к) =
i =i
и2
/и2, т > О,
р
то по аналогии с евклидовой формулировкой квантовой теории
поля можно назвать соответствукяций гауссовский процесс
свободным скалярным р-адическим квантовым полем. Это поле
328

инвариантно относительно действия группы S0(n,0 ). Другой
естественный выбор функции а(к) следующий:
а(к) = [к\ + т2, \к\ = max j/fcj .
р-адический белый шум получается при а(к) = 1. Мера йд фор-
формально может быть записана в виде
-S @)
~ е Ъф,
где свободное действие дается формулой
ф{х)а(О)ф{х)йх. C.1)
Qn
р
В последней формуле a(D) - некоторый псевдодифференциальный
оператор. Выражение C.1) не определено для произвольных
обобщенных функций ф(х), поэтому необходима перенормировка
или ограничение на подпространство. В р-адической теории
струн полагают a(D) = D в формуле C.1).
Для описания взаимодействия необходимо построить не
гауссову меру, соответствующую действию
= so(o)
для некоторой функции У(ф) .
Г У(ф(х))<1х
р

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ ОБЗОР
В настоящем разделе кратко по главам обсуждается лите-
литература, касающаяся основных идей и результатов р-адической
математической физики. Эта область математической физики
связана с различными разделами математики. А именно, она
тесно связана как с традиционными областями математики,
имеющими давнюю историю, такими как теория чисел, так и с
современной абстрактной алгебраической геометрией и теорией
представлений. Список литературы содержит также книги по
р-адическому анализу. Этот список не полный, включенные в
него книги рассматриваются как более подходящие для совре-
современных применений в математической физике. Список содержит
ссылки кале на чисто р-адические темы, тат: и на приложения.
В список также включены физические статьи, связанные с
р-адической математической физикой. Мы заранее приносим из-
извинения за любые ошибки и за возможные пропуски.
Введение
Мы не стремимся дать обзор огромного количества литера-
литературы по исследованям структуры пространства-времени, отме-
отметим лишь несколько ссылок по данному вопросу. Общие матема-
математические вопросы, касающиеся физического пространства, об-
обсуждались многими авторами, в частности, Паункаре [172] и
Г. Вейлем [227].. Риман [177] рассматривал как непрерывные
(знаменитая Риманова геометрия), так и дискретные модели
пространства. Наше интуитивное понимание свойств простран-
пространства выражается в аксиомах элементарной геометрии. Полный
список геометрических аксиом был приведен в знаменитом тру-
труде Гильберта «Glundlagen der Geometry» [104]. Роль аксиомы
Архимеда и возможность построения неархимедовой геометрии
отмечались Веронезе и Гильбертом.
Абсолютное ограничение на измерения длины в квантовой
гравитации и теории струн обсуждалось в [176, 171, 147,
330

229, 200, 109, 220] и [7, 94]. Как писал Виттен, «сущест-
«существуют основания верить, что в теории струн нет расстояний
меньше чем фундаментальная длина VU... На расстояниях мень-
меньше v'a исчезает, как мы знаем, не только физика, но и лока-
локальная физика. Там нет расстояний, нет времени, нет энергии,
нет частиц, нет локальных сигналов - только дифференциаль-
дифференциальная топология или ее теоретико-струнный преемник» [232] .
Гипотеза о возможной неархимедовой р-адической структу-
структуре пространства-времени на планковских масштабах была пред-
предложена Воловичем [221]. Подчеркивалась также роль рацио-
рациональных чисел, выдвигалась идея флюктуирующих числовых по-
полей [219-221].
р-адические числа были введены в 1899 году К. Гензелем.
Книги Коблица [121], Малера [138] и Шикхофа [186] могут
служить введением в р-адические числа и в р-адический ана-
анализ. В качестве начального чтения по алгебре и теории чисел
можно использовать книги: Боревич, Шафаревич [37], Костри-
кин [126], Ленг [128], Серр [189], Виноградов [204] ,
А. Вейль [225].
Возможная роль р-адического анализа в математической
физике в контексте суперанализа и суперсимметрии отмечалась
Владимировым и Воловичем [221].
Применение ультраметричности в физике твердого тела об-
обсуждалось Мезардом, Паризи, Раммалем, Сурласом, Тулузом и
Вирасоро [157, 178]. Матрица Паризи [169], описывающая
иерархическую структуру, естественным образом приводит к
ультраметричности.
Обсуждение возможной роли теории чисел в физике можно
найти в работах Манина [142, 145], Атьи [25], Ботта [39].
Комментарии к литературе, касающейся р-адического ана-
анализа, р-адической квантовой механики и теории струн, приво-
приводятся ниже по главам.
Глава I
р-адическому анализу посвящены работы [8, 38, 61, 82,
85, 121, 122, 179, 186] .
Гомеоморфизм (см. п. 6 § 1) пространства р-адических
чисел на некоторое канторово подмножество поля вещественных
331

чисел R был построен Зеленовым [240]. При изложении теории
аддитивных характеров мы следуем подходу, изложенному в
книге Понтрягина [172]. Гауссовы интегралы на произаольной
локально компактной абелевой группе рассмстривались А.Вей-
лем [225]. Явные вычисления в случае поля О р-адических
чисел были осуществлены авторами [212, 215,- 218] и неза-
независимо Алакоком, Рюэллем, Тираном, Верстегеном и Вайерсом
[3, 128] и Мериком [151]. Теоретико-числовая функция А бы-
была введена и исследована Владимировым и Воловичем [212] и
Алакоком с соавторами [3] . Доказательство адельной' формулы
для X публикуется впервые.
Теория обобщенных функций над произвольной локально
компактной группой была развита в работе Брюа [43] и над
локально компактным несвязным полем Гельфандом, Граевым и
Пятецким-Шапиро [82]. Мы излагаем элементы этой теории,
следуя [206]. Отличительной чертой теории р-адических обоб-
обобщенных функций по сравнению с обобщенными функциями Собо-
Соболева - Шварца над полем вещественных чисел [205] является
непрерывность любого линейного функционала (из линейности
следует непрерывность). Теория свертки и произведения
обобщенных функций, использующая преобразование Фурье, была
впервые развита Владимировым [206]. В случае одномерных
обобщенных функций мы следовали книге Гельфанда, Граева и
Пятецкого-Шапиро [82] и статье Смирнова [193] в многомерном
случае. Свойства двумерной функции Грина рассматривались
Бикуловым [35] .
Глава II
Понятие псевдодифференциального оператора на простран-
пространстве 0п было введено Владимировым [208]. Необходимые сведе-
сведения из спектральной теории, использованные в этой главе,
можно найти в книгах Рида и Саймона [175], Данфорда и Швар-
Шварца [60] и Иосиды [237].
Нелокальный оператор дробного дифференцирования и ин-
интегрирования if* был определен и изучен Владимировым [206]
(см. также [15, 168, 196, 245]).
Спектральная теория оператора if1, a > 0, действующего
на Q , была построена Владимировым [207], при этом был най-
332

ден ibhuk вид собственних функций (см. также [218]). Орто-
нормированный базис собственных функций оператора if* (вклю-
(включая р = 2) для Q впервые приводится в п. 5 § 9.
Спектральная теория псевдодифференциального оператора
вида a*+V(x) на открыто-замкнутом множестве G (ограниченном
или неограниченном) с ограниченными снизу и стремящимися к
+» на бесконечности функциями а{€.) и V(x) была построена в
[208]. Найдены также явные выражения для собственных функ-
функций и собственных чисел оператора Da, а > О, в диске В и
на окружности S (для р * 2). В настоящей главе воспроиз-
воспроизводятся эти результаты, включая случай р = 2, приводится
обращение основной теоремы в более сильной форме.
Метод построения инвариантных собственных функций
^(|а;| ) р-адического оператора Шредингера if" + V(x) был
развит Владимировым и публикуется здесь впервые. Дальнейшее
развитие спектральной теории оператора D + V(x) в Q без
условия на бесконечности было сделано Кочубеем [123].
Разбиение поля Q на секторы было предложено Влади-
р
мировым [207].
Стационарные и нестационарные р-адические уравнения
Шредингера рассматривались Владимировым и Воловичем [214].
Глава III
По поводу оснований квантовой механики см., например,
Дирак [52], Макки [137], Маслов [149], Холево [107].
Формализм />-адической квантовой механики, основанный на
тройке (Z2(Q), V(z), U(t)), был предложен Владимировым и
р
Воловичем [212, 213]. Этот формализм возник как квантование
р-адической классической механики. Немного отличающийся от
этого подход рассматривался Фройндом и Олсоном [74], Алако-
ком и др. [3] и Мериком [154]. Вместо динамического опера-
оператора в этих подходах используется унитарное представление
коммутативной группы и, таким образом, они применимы только
для квадратичных гамильтонианов. Различные возможности пос-
построения р-адической квантовой механики рассматривал Паризи
[168] . Лагранжев формализм и фейнмановские интегралы по
траекториям коротко обсуждались [213], впоследствии этот
подход развивался Зеленовым [240]. Другая возможность пост-
333

роения р-адической квантовой механики, основанная на веро-
вероятностных мерах на пространстве обобщенных функций, также
отмечалась в [213].
Помимо р-адической квантовой механики с комплекснознач-
комплекснозначными волновыми функциями представляет интерес и рассмотре-
рассмотрение квантовой механики с р-адичнозначными волновыми функци-
функциями [212] . Общий подход к квантовой механике с р-адично-
значными функциями, основанный на теории гауссовых распре-
распределений, был развит Хренниковым [114, 116 120] . р-адическое
гильбертово пространство обсуждалось Байодом [29]. Все ука-
указанные выше подходы эквивалентны в случае поля вещественных
чисел, в случае же поля р-адических чисел в настоящий мо-
момент имеется лишь неполная информация о связи между различ-
различными подходами. Отметим, что при построении р-адической
квантовой механики существенно использовались идеи и ре-
результаты Г.Вейля [227], Макки [136], Сигала [187] и А.Вейля
[225]. По-видимому, теория Жаке и Ленглендса [81] будет
полезна при дальнейшем развитии р-адической квантовой меха-
механики.
В последнее время значительные усилия были направлены
на изучение спектральной теории в р-адической квантовой
механике. Неожиданным свойством этой теории является нали-
наличие богатого спектра для весьма простых систем (р-адический
гармонический осциллятор). Спектральная теория для р-ади-
ческой квантовой механики была построена авторами [218],
сходные результаты были получены Рюэллем и др. [182] и Ме-
риком [151].
Исследование р-адических систем Вейля в конечеомерном и
бесконечномерном случаях, изучение когерентных состояний и
собственных функций в случае р = 3 (mod 4) было проведено
Зеленовым [241-243] .
Формулировка р-адической теории струн с р-адичнознач-
ными и комплекснозначными амплитудами как свертки характе-
характеров была предложена Воловичем [219-221]. Фройнд и Олсон
[73] внесли существенный вклад в эту теорию, рассмотрев
р-адические SB-функции в качестве струнных амплитуд. Фройнд
предложил использовать р-адический анализ для упрощения вы-
вычислений в случае рассмотрения вещественных систем. Связь
р-адической теории струн с гипотезой Вейля в теории чисел
334

обсуждалась Гроссманом [95]. Идея адельного подхода выд-
выдвинута Маниным [145]. Важная адельная формула была отмечена
Фройндом и Виттеном [75]. Проблемы регуляризации этой фор-
формулы и альтернативная адельная формула были рассмотрены
Арефьевой, Драговичем и Воловичем [16].
Пятиточечная р-адическая струнная амплитуда рассматри-
рассматривалась Маринари и Паризи [146] и Фрэмптоном и Окада [65] .
Ж-точечная р-адическая амплитуда изучалась Фрэмптоном и
Окада [65, 68] и Брекке и др. [40, 42]. Они получили эффек-
эффективную теорию с замечательным солитонным решением. Интерес-
Интересные статьи Фрэмптона, Нишино, Окада и Убриако [69, 164,
165, 167] посвящены р-адическим <г-моделям.
Действие, рассмотренное в п. 4 § 16, изучалось в кван-
квантовой теории поля Паризи [168], Арефьевой и Воловичем [15] ,
Лернером и Миссаровым ]131] , в теории струн - Спокойным
[196] и Зангом [245]. Указанное действие использкет опера-
оператор D, предложенный Владимировым, р-адические многопетлевые
амплитуды на дереве Брюа - Титса рассматривались Чеховым,
Мироновым и Забродиным [238, 44, 45].
Пункты 4 - 6 § 14, посвященные многопетлевым амплиту-
амплитудам, являются очень кратким введением в обширную современ-
современную литературу по теории струн. Укажем некоторые источники
материала, представленного в этих разделах. Хорошим кратким
введением в теорию струн является давний обзор Шерка [184] .
Замечательный источник информации по теории струн - книга
Грина, Шварца, Виттена [92]. Многопетлевые вычисления,
основанные на методе континуальных интегралов, предложенном
Поляковым [173], представляют самостоятельную область
исследований; более детально различные аспекты многопетле-
многопетлевых вычислений рассмотрены в [6, 31, 87, 108, 143, 203] .
Многопетлевые вычисления тесно связаны с геометрией ком-
комплексных многообразий [93, 162]. Свойства пространства мо-
модулей, рассмотренные в п. 5 § 14, получены Мамфордом [160,
161] и Делинем и Мамфордом [50]. По поводу р-адических
групп Шоттки и р-адической униформизации см. Манин [141] и
Геррицин и Ван дер Пут [85] .
Жесткая аналитическая геометрия была введена Тейтом
[198] . Она рассматривалась в работах Геррицина и Ван дер
Пута [85] , Боша, Гюнцера и Реммерта [28] и Фрезнела и Ван
335

дер Пута [72]. Теория р-адических дифференциальных уравне-
уравнений представлена в книге Дворка [61] .
Жерве [86] выдвинул идею использования р-адических пе-
переменных для расширения конформной симметрии на многомерный
случай.
Подход к р-адической теории струн с р-адичнозначными
амплитудами, использующий гамма-функцию Мориты, был предло-
предложен Воловичем [221] и Гроссманом [95]. Посредством формулы
Гросса - Коблица этот подход приводит к теории струн над
полями Галуа. Струнные амплитуды Галуа - Венециано - Якоби
[221] могут быть выражены в терминах действия Фробениуса на
пространстве этальных когомологий. Этот подход связан с
теорией мотивов и Z-функций [158, 100, 48, 49, 28].
Виттен выдвинул предположение, что на малых расстояниях
в квантовой теории поля появляется фаза, в которой восста-
восстанавливается общая ковариантность. Эта фаза описывается
топологической квантовой теорией поля - теорией без локаль-
локальных распространяющихся степеней свободы. Эта теория связана
с когомологиями различных пространств модулей [233] , [51] .
По-видимому, естественный следующий шаг - рассмотреть ана-
аналогичные теории над р-адическими числами и другими число-
числовыми полями. Отметим, что методы современной квантовой тео-
теории поля оказались полезными при исследовании свойств про-
пространств модулей римановых поверхностей [99, 170, 234,
124] .
Параграф 15, касающийся связей между g-анализом и кван-
квантовыми группами, в основном следует работе Арефьевой и
Воловича [22]. Другие связи между этими теориями отмечались
Макдональдом [134] и Фройндом [78, 79] . В последние годы
происходило интенсивное развитие теории квантовых групп.
Приведем лишь некоторые ссылки: Дринфельд [58], Джимбо
[80], Фаддеев, Решетихин и Тахтаджан [62], Воронович [235],
Манин [144]. g-деформированный осциллятор рассматривался
Биденхарном [34] и Макферлайном [135]. Общий подход к
некоммутативной геометрии развивался Конном [47]. Неком-
Некоммутативное дифференциальное исчисление рассматривалось Вес-
сом и Зумино [224]. О возможных применениях квантовых групп
в теории поля см. Арефьева и Волович [24]. Курнвиндер [125]
обсуждал связь между д-анализом и квантовыми группами.
336

Случайные процессы и обобщенные случайные процессы рас-
рассматривались многими авторами.. Отметим, в частности, Аль-
беверио и др. [4], Гельфанд и Виленкин [83], Гихман и Ско-
Скороход [88] , Аккарди, Фригейро и Льюис [2] , Хида [103] и
Хейер [102]. Вероятностный подход к квантовой теории поля
рассматривается в книгах Глимма и Джаффе [89] и Саймона
[91].
В последнее время новые интересные подходы к описанию
структуры пространства-времени были выдвинуты в работах
Беннета, Нильсона и Пичека [33], Альвареца, Сеспедеса и
Вердагуера [4] и Айшема, Кубышина и Рентелна [111]. Основ-
Основная квантовая переменная в этом подходе - метрика на мет-
метрическом пространстве. Такой подход должен естественно
включать в себя и ультраметрику.
Первые шаги в изучении р-адических уравнений Эйнштейна
и квантовой р-адической гравитации были предприняты в рабо-
работах Арефьевой, Воловича, Драговича и Фрэмптона [20, 71, 21,
54, 57] .

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. S.Abyankar: Local analytic geometry. N.Y.: Academic
Press, 1964
2. L.C.Accardi, A.Frigerio and J.T.Lewis: Quantum stocha-
stochastic processes. Publications RIMS 18, 97 A982)
3. L.C.Alacoque, P.Ruelle, E.Thiran, D.Verstegen and
J.Weyers: Quantum amplitudes on p-adic fields. Phys.Lett.
211B, 59-62 A988)
4. S.Albeverio, T.Hida, J.Potthoff and L.Streit: Dirich-
let forms in terms of white analysis. Rev. Mod. Phys. 1,
291-323 A990)
5. E.Alvarez: Phys. Lett. 210B, 73-78 A988); E.Alvarez,
J.Cespedes and E.Verdaguer: Dynamical generation of space
time dimensions. Preprint CERN-TH.5764/90 A990)
6. L.Alvarez-Gaume, J.-B.Bost, G.Moore, P.Nelson and
C.Vafa: Bosonization on Higher Genus Riemann Surfaces.
Comm.Math.Phys. 112, 503-569 A987)
7. D.Amati, M.Ciafaloni and G.Veneziano: Phys.Lett. 197,
81 A987); Int.Mod.Phys.ЗА, 1615 A988); Phys.Lett. 216, 41
A989)
8. Y.Amis: Les nombres p-adiques. Presses Universitaires
de France, 1975
9. Y.Andre: G-functions and Geometry. Aspects of Mathema-
Mathematics E13, Vieweg, 1988
10. G.E.Andrews: q-Series: Their development and applica-
application in analysis, number theory, combinatorics, physics,
and computer algebra. In «Regional Conference Series in
Math.» v.66, Amer.math.Soc., Providence, RI,1986
11. С.Ю.Аракелов: Теория пересечений на арифметической
поверхности. Изв. АН СССР, сер. матем. 38, 1179-1192 A974)
12. В.И.Арнольд: Математические методы классической меха-
механики. М.: Наука, 1989
13. I.Ya.Aref'eva: String Field Theory. In «Conformal In-
variace and String Theory», eds.P.Dita and V.Gergescu, Bos-
336

ton: Acadic Press,1989
14. I.Ya.Aref'eva: Physics at the Planck Length and p-adic
Field Theory. In «Differential Geometry Methods in Theore-
Theoretical Physics», ed. L.L. Chau and W.Nahm, N.Y.: Plenum
Press, 1990
15. I.Ya.Aref'eva and I.V.Volovich: String, gravity and
p-adic space-time. In «Quantum Gravity», eds. M.A.Markov,
V.A.Berezin and V.P.Frolov, World Scient, 1988
16 I.Ya.Aref'eva, B.Dragovic and I.V.Volovich: On the ade-
lic string amplitudes. Phys.Lett. B209, 445-450 A988)
17. I.Ya.Aref'eva, B.Dragovic and I.V.Volovich: On the p-
adic summability of the anharmonic oscillator. Phys.Lett.
B200, 512-514 A988)
18. I.Ya.Aref'eva, B.Dragovic and I.V.Volovich: Open and
closed p-adic strings and quadratic extensions of number
fields. Phys.Lett. B212, 283-289 A988)
19. I.Ya.Aref'eva, B.Dragovic and I.V.Volovich: P-adic
superstrings. Phys.Lett. B214, 339-346 A988)
20. I.Ya.Aref'eva, B.Dragovic, P.Frampton and I.V.Volo-
I.V.Volovich: Wave function of the universe and p-adic gravity.
Mod.Pays. Lett A6, 4341-4358 A991)
21. I.Ya.Aref'eva and P.H.Frampton: Beyond Planck energy
to non-Archimedean geometry. Mod.Phys.Lett. A6, 313-316
A991)
22. I.Ya.Aref'eva and I.V.Volovich: Quantum groups par-
particles and non-Archimedean geometry. Phys.Lett. B268 179-
193 A991)
23. I.Ya.Aref'eva and I.V.Volovich: Quantum group gauge
fields. Mod. Phys. Lett. A6, 893-906 A991)
24. R.Askey: The q-gamma and q-beta functions. Appl.Anal.
8, 125-146 A978)
25. M.F.Atiyah: Commentary on the article of Manin. Lect.
Notes in Math, llli, pp.103-109, Springer, 1985
26. M.F.Atiyah and R.Bott: The Yang-Mills equation over
Riemann surfaces. Phil. Trans. R. Soc. London A308, 523-
615 A982)
27. J.Atick and E.Witten: The Hagedorn transition and the
number of degrees of freedom of string theory. Preprint
IASSNS-HEP-88/4 A988)
339

28. F.Baldassarri: p-Adic interpolation of Evans sums and
deformation of the Selberg integrals: an application of
Dwork's theory. In «Special Differencial Equations». Proc.
of the Taniguchi Workshop, p.7-35, 1991
29. J.M.B. Bayod: Productos Internos en Espacios Normados
no Arquimedianos. Memoria presentada para optar al grado de
Doctor en Ciencias (Seccion de Matematicas). Univ. de Bil-
Bilbao, 1976
30. J.M. Bayod, N. De Grande-DeKimpe and J.Martinez- Mau-
rica: p-Adic functional analysis. N.Y.: Marcel Dekker,
Inc., 1992
31. A.A.Belavin and V.G.Knizhnik: Algebraic geometry and
the geometry of quantum strings. Phys. Lett.Bl68, 201
A986)
32. S. Ben-Menahem: p-adic iteractions. Preprint TAUP-
1627- 88, 1-17 A988)
33. D.L.Bennett, H.B.Nielsen and I.Picek. Phys. Lett.
B208, 275-284 A988)
34. L.C.Biedenharn: J.Phys. A.Math.Gen. 22, L873 A989)
35. А-.Х.Бикулов: Исследования р-адической функции Грина.
ТМФ 87, 376-390 A991)
36. J.-M. Bismut, H.Gillet and C.Soule: Analytic torsion
and holomorphic determinant bundles I, II, III. Conmi. Math.
Phys. 115, 301-350 A988)
37. З.И.Боревич, И.Р.Шафаревич: Теория чисел. М. : Наука,
1985
38. S.Bosch, U.Guntzer and R.Remmert: Non-Archimedean Ana-
Analysis. Berlin: Springer-Verlag, 1984
39. R.Bott: On the shape of the curve. Advances in Mathe-
Mathematics, 16, 144-159 A975)
40. L.Brekke, P.G.O.Freund, E.Melzer and M.Olson: Adelic
N-point amplitudes. Phys.Lett. B216 A989)
41. L.Brekke and M.Olson: p-Adic diffusion and relaxation
in glasses. Preprint UTTG-16-89, EFI-89-23 A989)
42. L.Brekke, P.G.O.Freund, M.Olson and E.Witten:
Non-archemedean string dynamics. Nucl. Phys. B302, 365-402
A988)
43. F.Bruhat: Distributions sur un groupe localemont com-
compact et applications a 1'etude des representations des
340

groupes p-adiques. Bulletin Soc.Mathem. de France 89, 43-
75 A961)
44. L.Chekhov: A note on multiloop calculus in p-adic
string theory. Mod. Phys. Lett. A4, 1151-1158 A989)
45. L.O.Chekhov, A.D.Mironov and A.Zabrodin: Multiloop
calculations in p-adic string theory and Bruhat-Tits trees
I,II. Preprints ITP-89-41E, 42E A989); Mod.'Phys. Lett.
A4, 1127-1235 A989)
46. G.Christol: Solutious algebriques des equatious diffe-
renielles p-adique. Prog. Math. 38, 51-58 A983)
47. A.Connes: Non Commutative geometry. Publ. Math. IHES,
62 A986)
48. P.Deligne: Hodge Cycles on Abelian Varieties. In P.De-
ligne, J.S.Milne, A.Ogus and Shih Kuang-yen: «Hodge Cycles,
Motives and Shimura Varieties». Lect. Notes in Math., -
No.900, pp.9-100, Springer-Verlag, 1982
49. P.Deligne: Valeurs de functions L et periodes g'integ-
rales. Proc. Symp. Pure Math. v.XXXIII, 313-336, Amer.Math.
Soc. Providence, 1979
50. P.Delinge and D.Mumford: The irreducibility of the
space of curves of a given genus. Publ.I .H.E.S. 36Д969
51. R.Dijkgraaf, H.Verlinde and E.Verlinde: Notes on Topo-
logical String Theory and 2D Quantum Gravity. Preprint
PUPT-1217, IASSNS-HEP-90/80 A990)
52. P.A.M.Dirac: The principles of Quantum Mechanics. Ox-
Oxford: At the Clarendon Press, 1958
53. B.G. Dragovic: Adelic summability of perturbation se-
series. Preprint IF- 19/89, 1-15 A989)
54. B.G. Dragovic, P.H.Frampton and B.V.Urosevic: Classi-
Classical p-adic space-time. Mod.Phys.Lett. A5, 1521-1528 A990)
55. B.G. Dragovic: p-Adic perturbation series and adelic
summability. Phys.Lett. 256B, 392-396 A991)
56. B.G.Dragovic: On factorial perturbation series. Pre-
Preprint IF-91-11, 1-8 A991)
57. B.G.Dragovic: On signature change in p-adic space-
times. Mod. Phys. Lett. A6, 2301-2307 A991)
58. V.G.Drinfeld: Quantum groups. In Proc. Intern. Congr.
Math., Berkeley, 1986, pp.798-820
59. Б.А.Дубровин, С.П.Новиков, А.Т.Фоменко: Современная
341

геометрия. Методы и приложения. М.: Наука, 1986
60. Н.Данфорд, Дж.Шварц: Линейные операторы. Т.2. Спект-
Спектральная теория операторов в гильбертовом пространстве. М.:
Мир, 1966
61. B.M.Dwork: Lectures on p-adic differential equations,
N.Y.: Springer-Verlag, 1977.
62. Н.Ю.Решетихин, Л.А.Тахтаджян, Л.Д.Фаддеев: Квантование
групп Ли и алгебр Ли. Алгебра и Анализ 1, 178-206 A989)
63. G.Fallings: Calculus on arithmetic surfaces. Ann. of
Math. 119, 387-424 A984)
64. Г.М.Фихтенгольц: Курс дифференциального и интеграль-
интегрального исчисления. М.: Наука, 1969
65. P.H.Frampton and Y.Okada: The p-adic string N-point
function. Phys.Rev.Lett. 60, 484-488 A988)
66. P.H.Frampton, Y.Okada and M.R.Ubriaco: Dn adelic for-
formulas for the p-adic string. Phys.Lett. B213, 260-264
A988)
67. P.H.Frampton, Y.Okada and M.R.Ubriaco: New p-adic
strings from old dual models. Phys.Rev. D39, 1152-1156
A989)
68. P.H.Frampton and Y.Okada: Effective scalar field the-
theory of p-adic string. Phys.Rev. D37, 3077-3079 A989)
69. P.H.Frampton and H.Nishino: Theory of p-adic closed
strings. Phys.Rev.Lett. 62, 1960-1964 A989)
70. P.H.Frampton: p-Adic number fields and string tree
amplitudes. In «Problems in high energy physics and field
theory». Proc. of the XI workshop, Protvino 1988, Nauka,
1989
71. P.H.Frampton and I.V.Volovich: Cosmogenesis and pri-
primary quantization. Mod. Phys. Lett. A4, 1825-1832 A990)
72. J.Fresnel and M.van der Put: Geometrie Analytique Ri-
gide et Applications. Boston: Birkhauser, 1981.
73. P.G.O.Freund and M.Olson: Non-archimedean strings.
Phys. Lett. B199, 186-190 A987)
74. P.G.O.Freund and M.Olson: Nucl. Phys. B297, 86-102
A988)
75. P.G.O.Freund and E.Witten: Adelic string amplitudes.
Phys. Lett. B199, 191-194 A987)
76. P.G.O.Freund: Real, p-adic and adelic strings. Procee-
J42

dings of IXth Int. Congress on Mathematical physics, Swan-
Swansea, 1988, Adam Hilder, 282-285 A989)
77. P.G.O.Freund: Scattering on p-adic and on adelic sym-
symmetric spaces. Preprint EFI-90-87, 13-17 A990)
78. P.G.O.Freund: in Superstrings and Particle Theory,
L.Clavelle and B.Harms eds., World Sci., Singapore, 251
A990)
79. P.G.O.Freund: On the quantum group - p-adic connec-
connection. Chicago preprint A991)
80. M.Jimbo: A q-difference analogue of U(<?) and the Yang-
Baxter equation. Lett.Math.Phys. 10, 63-69 A985)
81. Э.Жаке, Р.Ленглендс: Автоморфные формы на GLB). М.:
Мир, 1973
82. И.М.Гельфанд, М.И.Граев, И.И.Пятецкий- Шапиро: Теория
представлений и автоморфные функции. Обобщенные функции,
вып.6. М.: Наука, 1966
83. И.М.Гельфанд, Н.Я.Виленкин: Некоторые применения гар-
гармонического анализа. Оснащенные гильбертовы пространства.
Обобщенные функции, вып.4. М.: Наука, 1961
84. L.Gerritzen: p-Adic Siegel halfspace. Groupe Etude
Anal. Ultrametrique 3, J9, 1981/82
85. L.Gerritzen and M. van der Put: Schottky Groups and
Mumford Curves. Lecture Notes in Mathematics, v.817. Ber-
Berlin: Springer-Verlag, 1980
86. J.L.Gervais: p-Adic analyticity and Virasoro algebras
for conformal theories in more than two dimensions. Phys.
Lett. B201, 306-310 A988)
87. S.W. Giddings: Fundamental strings. Preprint HUTP-
88/A061 A988)
88. И.И.Гихман, А.В.Скороход: Теория случайных процессов.
Т.1-3. М.: Наука, 1971-1973
89. Д.Глимм, А.Джаффе: Математические методы квантовой фи-
физики. Подход с использованием функциональных интегралов.
М.: Мир, 1984
90. J.A.Gracey and D.Verstegen: The 0(N) Gross-Neveu and
supersymmetric cr-models on p-adic fields. Mod. Phys. Lett.
A5 243-254 A990)
91. N.De Grande-De Kimpe and L.Van Hamme (eds.) Procee-
Proceedings of the Conference on p-adic analysis, Houthalen,
343

Brussel: Vrije Universiteit Brussel, 1986.
92. М.Грин, Дж.Шварц, Э.Виттен: Теория суперструн. Т.1,2.
М.: Мир, 1990
93. Ф.Гриффите, Д.Харрис: Принципы алгебраической геомет-
геометрии. Т.1,2. М.: Мир, 1982
94. D.Gross and P.F.Mende: String theory beyond the Planck
scale. Nucl.Phys. 303, 407 A988)
95. B.Grossman: p-Adic strings, the Weyl conjectures and
anomalies. Phys.Lett. B197 101-105 A987)
96. B.Grossman: The adelic components of the Dirac opera-
operator. J.Phys. A21, L1051-L1060 A988)
97. B.Grossman: Adelic conformal field theory. Phys.Lett.
B215, 14-19 A988)
98. B.Grossman: Arithmetic Directions in Topologycal Quan-
Quantum Field Theory and Strings. Preprint Rockefeller Univ.
D0E/ER40 325-52-Task.В. A988)
99. J.Hazer and D.Zagier: The Euler characteristic of the
moduli space of curves. Invent. Math. 185, 457-486 A986)
100. Б.Хартсхорн: Алгебраическая геометрия. М.: Мир, 1981
101. F.Herrlich: Moduli and Teichmuller space for degenera-
degenerating curves. Proc. Conf. p-adic anal. Hendelhoef, 1986,
pp.83-95
102. Х.Хейер: Вероятностные меры на локально компактных
группах. М.: Мир, 1981
103. Т.Хида: Броуновское движение. М.: Мир, 1987
104. D.Hilbert: Grundlagen der Geometrie, Leipzig, 1930.
105. Z.Hlousek and D.Spector: Scattering amplitudes in p-
adic string theory. Phys.Lett. B214, 19-25 A988)
106. Z.Hlousek and D.Spector: p-Adic string theory. Pre-
Preprint CLNS 88/832, 1988
107. А.С.Холево: Вероятностные и статистические аспекты
квантовой теории. М.: Наука, 1980
108. E.D'Hoker and D.Phong: The geometry of string pertur-
perturbation theory, Preprint PUPT-103, 1988
109. G.'t Hooft: Nucl.Phys, В256Д985: Gravitational Col-
Collapse and Quantum Mechanics. Lectures given at the 5th Ad-
Adriatic Meeting on Particle Physics. Dubrovnik, 1986
110. C.J.Isham, Topological and global aspects of quantum
theory. In «Relativity, groups and topology II», eds.
344

B.S.DeWitt and R.Stora , 1983
111. C.J.Isham, Y.Kubyshin and P.Renteln: Quantum norm the-
theory and the quantization of metric topology- Class. Quant.
Grav. 7, 1053-1074 A990)
112. E.Kani: Potential theory on curves. NSERC preprint,
1987
113. G.Kato: Trobenius map of Fermat curves for p-adic
strings. Princeton preprint, 1988
114. А.Ю.Хренников: Квантовая механика над неархимедовыми
числовыми полями. ТМФ 83, 406-418 A990)
115. А.Ю.Хренников:Квантовая механика над расширениями Га-
луа числовых полей. ДАН СССР 315, 860-864 A990)
116. А.Ю.Хренников: Математические методы неархимедовой фи-
физики. УМН 45, 79-110 A990)
117. А.Ю.Хренников: Псевдодифференциальные операторы на не-
неархимедовых пространствах. Дифф. уравн. 26, 1044-1054
A990)
118. А.Ю.Хренников: Вещественно-неархимедова структура про-
пространства-времени. ТМФ 86, 177-190 A991)
119. А.Ю.Хренников: Обобщенные функции и гауссовские конти-
континуальные интегралы по неархимедовым функциональным про-
пространствам. Изв. АН СССР сер. матем. 55, 780-814 A991)
120. A.Yu.Khrennikov: p-Adic quantum mechanics with p-adic
valued functions. J. Math. Phys. 32, 932-936 A991)
121. Н.Коблиц: р-Адические числа, р-адический анализ и дзе-
дзета-функции. М.: Мир, 1982
122. N.Koblitz: p-Adic analysis: a short course on recent
work. London: Cambridge University Press, Mathematical So-
Society Lecture Notes, series 46, 1980.
123. А.Н.Кочубей: Операторы типа Шредингера над полем р-
адических чисел. ТМФ 86, 323-333 A991)
124. M.Kontsevich: Intersection theory on the moduli space
of curves and the matrix Airy functions. Max- Planck- Ins-
Institute preprint MPI/91-77 A991)
125. T.H.Koornwinder: Orthogonal polynomials in connection
with quantum groups. In «Orthogonal Polynomials: Theory and
Practice», ed.P.Nevai, NATO ASI Series C, v.294. Kluwer
Academic Publ., 1990
126. А.И.Кострикин: Введение в алгебру. М.: Наука, 1977
345

127. С.Ленг: Основы диофантовой геометрии. М.: Мир, 1986
128. С.Ленг: Алгебра. М.: Мир, 1968
129. D.R.Lebedev and A.Yu.Morosov: An attempt of p-adic
one-loop computations. Preprint ITEP 163-88 A988)
130. E.Y.Lerner and M.D.Missarov: p-Adic Feynman string
amplitudes. Commun. Math.Phys. 121,35-48 A989)
131. Е.Ю.Лернер, М.Д.Миссаров: Скалярные модели в р-адичес-
кой квантовой теории поля и иерархические модели. ТМФ 78,
248-257 A989)
132. L.Leroy: Particle in a p-adic box. Mod.Phys.Lett. A5,
1359-1364 A990)
133. J.L.Lucio and Y. Meurice: Asymptotic properties of
random walks on p-adic spaces. Preprint U. of Iowa 90-33,
1-5 A990)
134. I.G.Macdonald: Orthogonal polynomias associated with
root systems, preprint
135. A.J.Macfarlane: J.Phys.A.Math.Gen. 22, 4581 A989)
136. G.W.Mackey. Unitary Group Representations in Physics,
Probability, and Number Theory. N.Y.: Addison-Wesley Publ.
Сотр., Inc, 1989
137. G.W.Mackey: Mathemetical foundation of quantum mecha-
mechanics. N.Y.: A.Benjamin, 1963
138. K. Mahler: p-Adic numbers and their functions, London:
Cambridge University Press, Cambridge tracts in mathematics
76,1980.
139. B.Mandelbrot: The Fractal Geometry of Nature. Freeman,
1982. N
140. Yu.I.Manin and V.G.Drinfelds Periods of p-adic Schot-
tky groups, J.reine angew. Math., 262/263, 239 A973)
141. Ю.И.Манин: р-Адические автоморфные функции. Итоги нау-
науки и техники. Современные проблемы математики. 3, 5-92
A974)
142. Yu.I.Manin: New dimensions in geometry. Lect. Notes in
Math, nil, 59-101, Springer, 1985
143. Yu.I.Manin: Quantum strings and algebraic curves.
Proc. Int. Cong. Math., Berkeley, 1286-1296 A986)
144. Yu.I.Manin: Multiparametrie deformations of €he gene-
general linear supergroup. Comm.Math.Phys. 123, 163 A989)
145. Yu.I.Manin: Reflections on Arithmetical Physics. In
346

«Conformal Invariace and String Theory», eds. P.Dita and
V.Gergescu, p.293-303. Boston: Acadic Press, 1989
146. E.Marinari and G.Parisi: On the p-adic five point fun-
function. Phys.Lett. 203B, 52-56 A988)
147. M.A.Markov. Progr.Theor.Phys., Suppl. 85 A965)
148. A.Marshakov and A.Zabrodin: New p-adic string ampli-
amplitudes. Phys. Lett. A991)
149. В.П.Маслов: Асимптотические методы и теория возмуще-
возмущений. М.: Наука, 1988
150. В.П.Маслов: Операторные методы. М.: Наука, 1973
151. Y.Meurice: Quantum mechanics with p-adic numbers. Int.
J. Mod.Phys. A4, 5133-5137 A989)
152. Y.Meurice: A path integral formulation of p-adic quan-
quantum mechanics. Phys.Lett. 245B, 99-104 A990)
153. Y.Meurice: A discretization of p-adic quantum mecha-
mechanics. Comm. Math. Phys. 135, 303-312 A991)
154. Y.Meurice: The classical harmonic oscillator on Galois
and p-adic fields. Intern. Journ. of Mod. Phys. A4, 2211-
2233 A989)
155. Y.Meurice: Quantum mechanics with p-adic time. Pre-
Preprint CINVESTAV-FIS-12-89, 1-14 A989)
156. Y.Meurice: Symanzik's Field Theory on p-adic Spaces.
Iowa Preprint, A991).
157. M.Mezard, G.Parisi, N.Sourlas, G.Toulouse and M.A.Vi-
rasoro. J.Phys.(Paris) 45, 843 A984)
158. Д.Милн: Эталькые когомологии. М.: Мир, 1983
159. M.D.Missarov: Random fields on the adele ring and Wil-
Wilson's renormalization group. Ann. Inst. H.Poincare 49, 357-
367 A989)
160. D.Mumford: An analytic construction of degenerating
curves over complete local fields. Composito Math. 24, 129
A972)
161. D.Mumford: Stability of projective varieties. Enseign.
Math. 23, 39-100 A977)
162. D.Mumford: Tata lectures on Tetha I,II. Boston: Birk-
hauser, 1983,1984
163. М.А.Наймарк: Нормированные кольца. М.: Наука, 1968
164. H.Nishino, Y.Okada and M.R.Ubriaco: Effective field
theory from a p-adic string. Phys.Rev. D40, 1153-1157
347

A989)
165. H.Nishino and Y.Okada: Beta function approach to p-
adic string. Phys Lett. B219, 258-262 A989)
166. Y.Okada: p-Adic string amplitude. Nucl.Phys. B6, 177-
182 A989)
167. Y.Okada and M.R.Ubriaco: Renormalization of 0(N) Non-
Nonlinear cr-Model on a p-adic Field. Phys.Rev.Lett. 61, 1910-
1913 A988) A3, 639-643 A988)
168. G.Parisi: On p-adic functional integrals. Mod. Phys.
Lett. A4, 369-374 A988)
169. G.Parisi. J.Phys. A13, 1887-1892 A980)
170. R.C.Penner: Perturbation series and the moduli space
of Riemann surface. J.Diff.Geom. 27, 35-59 A988)
171. A.Peres and N.Rosen: Quantum limitation to the measu-
measurement of gravitational field. Phys.Rev.118, 335-376 A960)
172. H.Poincare: La Science et l'Hypothese. Paris: Flamina-
rion, 1923.
173. A.M.Polyakov: Quantum geometry of bosonic strings.
Phys.Lett.B103, 207-212 A981)
174. Л.С.Понтрягин: Непрерывные группы. М.: Лаука, 1973
175. М.Рид, Б.Саймон: Методы современной математической
физики. Т.1. Функциональный анализ. М.: Мир, 1977; Т. 4.
Анализ операторов. М.: Мир, -1982
176. T.Regge. Nuovo Cimento 7,215 A958)
177. В.Riemann: Uber die Hypothesen die der Geometrie Zug-
runde leigen. Nachr. Ges. Gottingen, Bd.13, S.133 A868)
178. R.Rammal, G.Toulouse and M.A.Virasoro: Ultrametricity
for physicist. Rev. Mod. Phys. 58, 765-821 A986)
179. A.van Rooij: Non-archimedean functional analysis.
N.Y.: Marcel Dekker Inc., 1978.
180. B.O.B.Roth: A general approach to quantum fields and
strings on adeles. Phys. Lett. B213, 263-268 A988)
181. P.Ruelle, E.Thiran, D.Verstegen and J.Veyers: Adelic
string and superstring amplitudes. Mod. Phys. Lett.A4,
1745- 1753 A989)
182. P.Ruelle, E.Thiran, D.Verstegen and J.Weyers: Quantum
mechanics on p-adic fields. J. Math. Phys. 30, 2854-2859
A989)
183. Z.Ryzak: Scattering amplitudes from higner dimensional
348

p-adic world sheets. Phys. Lett. B208, 411-416 A988)
184. J.Scherk: An introduction to the'theory of dual models
and strings. Rev. Mod. Phys. 47, 123-165 A975)
185. W.H.Schikhof: Non-Archimedean Harmonic Analysis. Ph.D.
Thesis, Rotterdam University, 1967.
186. W.H.Schikhof: Ultrametric calculus. An .introduction to
p-adic analysis. Cambridge University Press, 1984.
187. И.Е.Сигал: Математические проблемы релятивистской фи-
физики. М.: Мир, 1968
188. И.Р.Шафаревич: Основы алгебраической геометрии. Т.1,2.
М.: Наука, 1988
189. Ж.-П.Серр: Курс арифметики. М.: Мир, 1972
190. Ж.-П.Серр: Алгебры Ли и группы Ли. М.: Мир, 1969
191. Б.Саймон: Модель ?(ф) евклидовой квантовой теории по-
поля. М.: Мир, 1976
192. V.A.Smirnov: Renormalization in p-adic quantum field
theory. Mod.Phys.Lett. A6, 1421-1427 A991)
193. V.A. Smirnov: p-Adic Feynman amplitudes. Preprint MPI-
Ph/91-48, 1-13 A991)
194. О.Г.Смолянов: Анализ на топологических векторных про-
пространствах и его применения. М.: Изд. МГУ, 1979
195. C.Soule: Geometrie d'Arakelov des surfaces arithmeti-
ques. Seminare Bourbaki, 1988-89, No.713, Asterisque 177-
178 A989), p.327-343
196. B.L.Spokoiny: Quantum geometry of non-Archimedean par-
particles and strings. Phys Lett. 207B, 401-406 A988)
197. B.L.Spokoiny: Non-Archmedean geometry and quantum me-
mechanics. Phys.Lett. B211,120-125 A989)
198. J.Tate: Rigid Analytic spaces. Invent.Math. 12, 257-
293 A971)
199. E.Thiran, D.Verstegen and J.Weyers: p-Adic Dynamics.
J.Stat.Phys. 54, 893-913 A989)
200. H.-J.Treder. In «Relativity, Quants and Cosmology»,
ed. F.de Finis, N.Y., 1979
201. M.R.Ubriaco: Fermions on the field of p-adic numbers.
Phys.Rev. D41, 2631-2636 A990)
202. M.R.Ubriaco: Field quantization in nonarchimedean
field theory. Preprint LTP-012-UPR
203. E.Verlinde and H.Verlinde: Chiral bosonization, deter-
349

minats and string partition functions. Preprint Utrecht,
1986
204. И.М.Виноградов: Основы теории чисел. М.: Наука, 1972
205. В.С.Владимиров: Обобщенные функции в математической
физике. М.: Наука, 1976
206. В.С.Владимиров: Обобщенные функции над полем р-адичес-
ких чисел. УМН 43, 17-53 A989)
207. V.S.Vladimirov: p-Adic analysis and p-adic quantum
mechanics. Ann. of the NY Ac. of Sci: Symposium in Fron-
Frontiers of Math. A988)
208. В.С.Владимиров: О спектре некоторых псевдодифферен-
псевдодифференциальных операторов над полем р-адических чисел. Алгебра и
Анализ 2, 107-124 A990)
209. V.S.Vladimirov: An application of p-adic numbers in
quantum mechanics. In «Selected topics in Statistical me-
mechanics», 22-24 August 1989, Dubna, USSR, World Scientific,
1990, p.282-297
210. V.S.Vladimirov: Applications of p-adic numbers in ma-
mathematical physics. Delph: Culturel Center, 1989
211. В.С.Владимиров, И.В.Волович: Суперанализ. Дифференци-
Дифференциальное исчисление. ТМФ 59, 3-27 A984)
212. В.С.Владимиров, И.В.Волович: р-Адическая квантовая ме-
механика. ДАН СССР 302, 320-322 A988)
213. V.S.Vladimirov and I.V.Volovich: P-Adic Quantum Mecha-
Mechanics. Comimin.Math.Phys. 123, 659-676 A989)
214. V.S.Vladimirov and I.V.Volovich: P-adic Schrodinger-
type equation. Letters in Mathem. Phys. 18, 43-53 A989)
215. V.S.Vladimirov and I.V.Volovich: A vacuum state in
p-adic quantum mechanics. Phys. Letters B217, 411-414
A989)
216. В.С.Владимиров, И.В.Волович: Применение р-адических
чисел в математической физике. Труды МИАН 200, 88-99 A991)
217. В.С.Владимиров, И.В.Волович, Е.И.Зеленов: Спектральная
теория в р- адической квантовой механике и теория пред-
представлений. ДАН СССР 310, 272-276 A990)
218. В.С.Владимиров, И.В.Волович, Е.И.Зеленов: Спектральная
теория в р- адической квантовой механике и теория пред-
представлений. Изв. АН СССР сер. матем. 54, 275-302 A990)
219. И.В.Волович: р-Адическое пространство-время и теория
350

струн. ТМФ 71, 337-340 A987)
220. I.V.Volovich: Number theory as the ultimate physical
theory. Preprint CERN-TH. 87, 4781-4786 A987)
221. I.V.Volovich: p-Adic string. Class.Quantum Grav. 4,
L83-L87 A987)
222. I.V.Volovich: Harmonic analysis and p-adic strings.
Lett.Math.Phys. 16, 61-66 A988)
223. I.V.Volovich: p-Adic quantum theory and strings. In
Proceedings of IXth Int. Congress on Mathematical physics,
Sweansea, 1988, Adam Hilger, 286-293 A989)
224. J.Wess and B.Zumino: Covariant differential calculus
on the quantum hyperplane. Preprint CERN-TH-5697/90 A990)
225. A.Weil: Sur certains groupes d'operateurs unitaries.
Acta Math, ill, 143-211 A964)
226. А.Вейль: Основы теории чисел. М.: Мир, 1972
227. Г.Вейль: Теория групп и квантовая механика. М.: Наука,
1986
228. H.Weyl: Philosophy of Mathematics and Natural Science.
Princeton University Press, 1949.
229. J.A.Wheeler: Superspace and the Nature of Quantum
Geometrodynamics. In C.M.DeWitt and J.A.Wheeler, eds.,
Battell Rencontres: 1967 Lectures in Mathematical Physics,
pp.242-307. N.Y.: Benjamin, 1968
230. B.De Witt: The Quantization of Geometry. In
«Gravitation: an Introduction to Current Research», ed.
L.Witten, N.Y.: J.Wiley and Sons, 1962
231. E.Witten: Free fermions on an algebraic curve. In
Proc. of the Symposium on the Mathematical Heritage of Her-
Herman Weyl, Durham, North Carolina, 1987
232. E.Witten: The search for higher Symmetry in String
Theory, Preprint IASSNS-HEP-88/55 A988)
233. E.Witten: Topological Quantum Field Theories. Comm.
Math. Phys. 117, 353-391 A988)
234. E.Witten: Two dimensional gravity and intersection
theory on moduli space. Surveys in Diff. Geom. 1, 243-289
A991)
235. S.Woronovicz: Comm. Math. Phys. Ill, 613 A987); 122,
125 A989); Publ. RIMS Kyoto Univ. 23, 117 A987)
236. H.Yamakoshi: Arithmetic of strings. Phys. Lett. B207,
351

426-428 A988)
237. K.Yosida: Functional analysis. Springer-Verlag, 1965
238. A.V.Zabrodin: Non-archimedean strings and Bruhat-Tits
trees. Mod. Phys. Lett. A4, 367-376 A989)
239. Е.И.Зеленое: р-Адическая квантовая механика при р=2.
ТМФ 80, 253-264 A989)
240. E.I.Zelenov: p-Adic path integrals. J.Math.Phys. 32,
147-152 A991) 12
241. Е.И.Зеленов: р-Адическая квантовая механика и когерен-
когерентные состояния. 1. Системы Вейля. ТМФ 86, 210-220 A991)
242. Е.И.Зеленов: р-Адическая квантовая механика и когерен-
когерентные состояния. 2. Собственные функции осциллятора. ТМФ 86,
375-384 A991)
243. E.I.Zelenov: Representations of commutation relations
of p-adic systems of infinitely many degrees of freedom. J.
Math. Phys. 33, 178-188 A992)
244. E.I.Zelenov: p-Adic Heisenberg group and Maslov index.
Comm. Math. Phys. 155, 489-502 A993)
245. R.B.Zhang: Lagrangian formulation of open and closed
p-adic strings. Phys.Lett. B209, 229-232 A988)

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение 7
Глава I
Анализ над полем р-адических чисел 19
§ 1. Поле р-адических чисел 19
1. р-адическая норма 19
2. р-адические числа 21
3. Пространство р-адических чисел О 23
4. Квадратичные расширения поля О 27
р
5. Полярные координаты и окружности в поле О Ыс) 30
р
6. Отображение О в R 31
7. Пространство 0п 34
§ 2. Аналитические функции 35
1. Степенные ряды 35
2. Аналитические функции 37
3. Алгебра аналитических функций 39
4. Функции ех , ln(l+:r), sin х, cos х 40
5. Теорема об обратной функции 46
§ 3. Аддитивные и мультипликативные характеры 48
1. Аддитивные характеры поля 0 48
р
2. Мультипликативные характеры поля О 52
3. Мультипликативные характеры поля О {¦/€) 56
§ 4. Интегрирование 57
1. Инвариантьая мера в иоле О 57
р
2. Замена переменных в интегралах 58
3. Примеры вычисления интегралов 61
4. Интегрирование в 0п 67
р
§ 5. Гауссовы интегралы 74
1. Гауссовы интегралы по окружностям 5 75
2. Гауссовы интегралы по кругам В 86
3. Гауссовы интегралы по О 88
р
3

4. Дальнейшие свойства функции Л (о) 89
5. Пример 94
6. Исследование функции S(a,q) 99
Обобщенные функции 101
1. Локально постоянные функции 101
2. Основные функции, п = 1 103
3. Обобщенные функции, я = 1 106
4. Линейные операторы в D' 109
5. Основные и обобщенные функции, я > 1 111
6. Прямое произведение обобщенных функций 112
7. Теорема о «ядре» 113
Свертка и преобразование Фурье 114
1. Свертка обобщенных фунюхий 114
2. Преобразование Фурье основных функций 118
3. Преобразование Фурье обобщенных функций 126
4. Пространство I? 129
5. Умножение обобщенных функций 131
Однородные обобщенные функции 134
1. Однородные обобщенные функции 134
2. Преобразование Фурье однородных обобщенных
функций и Г-функция 142
3. Свертка однородных обобщенных функций и В-фун-
кция 151
4. Однородные обобщенные функции многих перемен-
переменных 155
Глава II
Псевдодифференциальные операторы над полем р-адических
чисел . .; 163
§ 9. Оператор if 163
1. Оператор if, а * -1 163
2. Оператор В'1 167
3. Уравнение ЕРф = д 173
4. Спектр оператора if в О , а > 0 175
р
5. Ортонормированный базис собственных функций
оператора if 176
6. Разложения по собственным функциям 185

§ 10. Операторы типа Шредингера 187
1. Ограниченные снизу самосопряженные операторы 187
2. Критерии компактности функций в I? (О " ) 190
3. Оператор типа Шредингера a*+V- 191
4. Оператор if, а > 0, в Вт 195
5. Оператор if, а > О, в 5f , 199
6. Оператор lf+V(\x\ ), а > 0, в 0 (р * 2) 201
7. Оператор Da+V{\х{ ), а > 0, в L2 @ ), р * 2 .. 203
8. Наименьшее собственное значение 205
9. Оператор lf+V(\x\ ),а>О,вО (р * 2) (про-
(продолжение) 208
10. Пример потенциала V(\x\ ) = \х\а, а > 0, р * 2 211
11. Оператор Da+V{\x\ ), а > 0, вне круга (р * 2) 212
12. Обоснование метода 217
13. Дальнейшие результаты о спектре оператора
1Р+У(\х\ ) 220
14. Нестационарное уравнение типа Шредингера 221
Глава III
р-адическая квантовая теория 225
§ 11. р-адическая квантовая механика 225
1. Классическая механика над О 226
р
2. Представление Вейля 227
3. Свободная частица 231
4. Гармонический осциллятор 233
5. Лагранжев формализм 236
6. Фейнмановские континуальные интегралы 241
7. Квантовая механика с р-адичнозначными функци-
функциями 245
§ 12. Спектральная теория в />-адической квантовой меха-
механике 248
1. Гармонический анализ 249
2. Теория операторов 250
3. Теорема о размерностях инвариантных подпрост-
подпространств 251
4. Исследование собственных функций 259
5. Системы Вейля и когерентные состояния 264
6. Симплектическая группа 273

7. Исследование собственных функций при р ¦ 3
(mod 4) 277
§ 13. Системы Вейля. Бесконечномерный случай 286
1. Алгебры Вейля 287
2. Положительные функционалы 288
3. Представление Фока 290
4. Эквивалентность i-фоковских представлений .... 295
§ 14. р-адические струны 298
1. Дуальные амплитуды 298
2. р-адические амплитуды 300
3. Адельные произведения 304
4. Струнное действие 306
5. Пространство модулей и тэта-функции 307
6. Многопетлевые амплитуды 310
7. Жесткая аналитическая геометрия и р-адические
струны 313
§ 15. g-анализ (квантовые группы) и р-адический анализ 317
1. р-адический интеграл и g-интеграл 317
2. Дифференциальные операторы 318
3. Спектры g-деформированного осциллятора и р-
адической модели 319
§ 16. Случайные процессы над полем р-адических чисел. 320
1. Случайные отображения и марковские процессы .. 320
2. Броуновское движение на р-адической прямой 325
3. Обобщенные случайные процессы 327
4. Квантовая теория поля 328
Библиографический обзор 330
Список литературы 338