Author: Владимиров В.С.
Tags: анализ физико-математическая литература общественная функция
Year: 1981
Text
В. С. ВЛАДИМИРОВ
УРАВНЕНИЯ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ФИЗИКИ
ИЗДАНИЕ ЧЕТВЕРТОЕ,
ИСПРАВЛЕННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ
Допущено Министерством вьичиего
и среднего специального оп/нпооинич СССР
и Ы1чссг«е учебника
для студентов физических и механика математических
специальностей высших учебных заведений
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРЛ^'РЫ
1981
22.16
В 57
УДК 517
В л а д п м и [> о и В. С,. Уравнении математической физики.—*
пзд 4-е. — М.: Па>кя. I лампа» редакция физико-матемгпической ли-
литературы, 1981. — 512 с.
Основная особенность курса — широкое использование концеп-
концепции обобщенного решения Поэтому в книге содержится специальная
глаиа, посвященная теории обобщенных функций.
Книга является учебником для студентов и аспирантов — мате-
математиков, физиков и инженеров с повышенной математической под-
подготовкой.
Василий Сергеевич Владимиров
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Редактор В. В. Абгарян
Техн. редактор "Ел В. Морозова
Корректор М. Л. Меднедская
ИБ № 11781
Сдано и набор 26.11.80. Подписано к печати 20.07 81. Формат 84хЮ8'/эг. Бу-
Maia him. № 3. Литературная гарнитура. Высокая меч.пь. Условн. печ.
л. 2G.b.S. •-'). изд. л. 28,08. Тираж 30 000 л;з. Заказ №. 1631. Цена 1 р. 20 к.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математический литературы.
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект. 15.
Ордена Октябрьской Революции, ордена 1 рудопого Красною Знамени Ле-
Ленинградское пронзводпвенно паническое объединение «Печатный Двор»
имени А. М. Горького Союзиолиграфпрома при Государственном комитете
СССР но делим (м'ытельпв, полиграфии и книжной юрговля. 197136. Ленин-
Ленинград. П к<Г\ Чкалочский пр.. 15.
Оглечатано в тип. Л» 2 нзд-ва «Наука»,
Moihiu, Шубинский пер., 10. Зак. 953.
(? с изменениями.
поп Издательство «Паука>.
2020.5 -089^ Главная редакция
" п 6 81. 17020о0000 физико-математической
Uj3@2j 81 лширспуры, 198}
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к чстпортпму ичд.'чшю 8
Глава !
Постановка краевых задач математической физики 11
§ 1. Некоторые понятия и предложения теории множеств, тео-
теории функций и теории операторов 11
1. Точечные множества в Rn (II). 2 Классы функций С^ (G) и
С& (g) (li). 3. Пространство непрерывных функций С G) A5).
4. Интеграл Лебега (!*>). 5. Интегралы Лебега, зависящие от па-
параметра ('23) 0. Интегралы типа потепцинлм ('24). 7. Пространство
Функций if2 (<7> (J7) 8 Ортонормальпые системы (ii ) 9. Полные
ортонормальпые системы (.i'2) 10. Лит иные операторы и функ-
функционалы (.«) II. Линейные уравнения (J«) 12 Эрмитовы опе-
операторы (II).
§ 2. Основные уравнения математической физики 43
I Уравнение колебаний (-13). 2. Уравнение диффу?ии D7). 3. Ста-
unoHdpiioe уравнение D0) 4. Уравнение переноса E1). 5 Уравнения
газо-гидродинамики E2). 6. Ур.шношы Максвелла E'J). 7. Урав-
Уравнение Шредингера E1). 8. Уравнение Клейнл — Гордона — Фока
и уравнение Дирака E4)
§ 3. Классификация квазилинейных дифференциальных урав-
уравнений второго порядка 55
I. Классификация уравнений в точке E5). 2. Выражение опера-
оператора Лапласа и сферических и цилиндрических координатах (ЯЧ).
3. Характеристические поверхности (характеристики) E9). 4. Ка-
Канонический вид уравнений с двумя независимыми переменны-
переменными (rtl) 5. Пример. Уравнение Трикоми (>7).
§ \. Постановка основных краевых задач для линейных диффе-
дифференциальных уравнений второго порядка 68
I. Классификация краевых задач (t>S). 2 Зтдача Кош и G0).
3. Роль характеристик в постановке задачи Коши G1). 4. Крае-
Краевая задача для уравнений эллиптического типа О'). 5. Смешан-
Смешанная задача G4) 6. Другие краеиые задачи G5). 7. Корректность
постановок задач математической физики G6). 8. Теорема Коши —
Ковалевской GЬ>. 9. Пример Адамара G9). 10 Классические и
обобщенные решения (t'0).
Глава II
Обобщенные функции 82
§ 5. Основные и обобщенные функции 82
1. Введение (Я2). 2. Пространств основных функций Д5 (85).
3. Пространство обобщенных функций 'X/ (^9). 4 Полнота про-
пространства обобщенных функций i' ('„О) 5. Носитель обобщенной
функции (92). 6. Регулярные обобщенные функции D4). 7. Сингу-
Сингулярные обобщенные функции (%) 8. Формулы Сохоцкого (;о>.
9. Линейная замена переменных и обобщенных функциях (99).
10 Умножение обобщенных функций AU1). 11. Упражнения (Ufi).
1*
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 6. Дифференцирование обобщенных функций 103
1. Производные обобщенной функции AИ.Ч). 2. Спойстпа обобщен-
обобщенных производных (НИ). 3. Перпообр.мня» обобщенной функции
(К>7) 4. Примеры. '1 - 1 (ПН) Г) Примеры. // ~;-'2 (lift), fi Упраж
нения A24).
§ 7. Прямое произведение и сиерткл пПобпимшых функции . . . 126
I. Определение прямого произведения (Mi). 2. Коммутптишюсть
прямого проитс/К'ПИя AШ>). 3 Дальнейшие сиоЛпрл прямого про-
нзиедеиия (Ми). 1 Свертки обобщенных функций (М-') Г>. С'.койстиа
сверчки (i.li) (i Существом.шие спертки (I.4S) 7 ОерточноЯ ал-
алгебр, i обобщенных функций X' ('•>•')• 8 Урпингния п снерточной
•(лгебре %'у (I42). 9. Регуляризация обобщенных функций (Ш).
Ю. Примеры сверток. Ньютонов потенциал A45). II. Упраж-
Упражнения 11)
§ 8. Обобщенные функции медленного роста 149
I. Пространство основных функций У (I49). 2. Пространство
обобщенных функций медленного роста У (I5U). 3. Примеры
обобщенных функций медленного роста (I5'2) 4. Структура обоб-
обобщенных функций с точечным носителем (I53). 5. Прямое ироизне-
дение обобщенных функций медленного роста (\ЪЪ) Ь Снертка
обобщенных функций медленного роста A5/).
§ 9. Преобразование Фурье обобщенных функций медленного
роста 158
I. Преобразование Фурье основных функций из У AВД)- 2. Пре-
Преобразование Фурье обобщенных функций из У A60). 3 Сиойства
преобразования Фурье AЬ2>. 4. Преобразование Фурье обобщен-
обобщенных функций с компактным носителем AЫ). 5. Преобразогишие
Фурье свертки Aво). 6. Примеры, п=\ A65). 7- Примеры. п^г2
A/U). 8. Упражнения A74).
§ 10. Преобразование Лапласа обобщенных функций (опера-
(операционное исчисление) 175
I. Преобразование Лапласа локально интегрируемых функций
A70) 2. Преобразование Лпмлпсл обобщенных функций A/н).
3. Свойства преобразования Лапласа A7'Н). 4. Обратное преобра-
преобразование Лапласа Aй1). б. Примеры и применения A85). 6 Упраж-
Упражнения A88).
Глава III
Фундаментальное решение и задача Кош и 190
§ II. Фундаментальные решения линейных дифференциальных
операторов 190
I. Обобщенные решения линейных дифференциальных уравне-
уравнений (I9U). 2 Фундаментальные решения AУ^). 3. Уравнения с пра-
правой частью A94). 4 Метод спуска AУ5). 5. Фундаментальное ре-
решение линейною дифференциального оператора с обыкновен-
обыкновенными производными A98). 6. Фундаментальное решение оператора
теплопроводности 1198). 7. Фундаментальное решение волнового
оператора A99). 8 Фундаментальное решение оператора Лап-
Лапласа '202) 9. Фундаментальное решение оператора Гельмгольца
B0.'') 10. Фундаментальное решение оператора Коти — Римина
B05) 11 Фундаментальное решение оператора переноса B15).
12. Упражнения B06).
§ 12. Волновой потенциал 208
I. Свойства фундаментального решения волнового оператора
B08). 2. Дополнительные сведения о свертках B10) 3. Волновой
потенциал B13). 4. Поверхностные волнопые потенциалы B16).
§ 13 Задача Коши для волнового уравнения 22<
I. Задача Коши для обыкновенного линейного дифференциаль-
дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами B20). 2. Поста-
ОГЛАВЛЕНИЕ
носка обобщенной задачи Коши для волнового уравнения B22).
3. Решение обобщенной задачи Коши B24). 4 Решение класси-
классической задачи Коши B2ti). 5. Упражнения B27)
§ II. Распространение волн 229
1. Наложение волн и области илияиия B29). 2 Распространение
волн в пространстве B3U). 3. Распространение волн на плоскости
B12). 4. Распространение волн на прямой B85) 5. Метод распро-
распространяющихся волн B38). 6. Метод отражений. Полубесконечная
струна B41). 7 Метод отражений. Конечная струна B43). 8. Не-
Нелинейные волновые уравнения B45).
§ 15. Метод Римана 247
1. Решение злдачп Гурся B17). 2. Формула Грина B52). 3. Функ-
Функция PiiMiiiio B52). 4. Задача Киши B5(i).
§ 16. Задача Коши для уравнения теплопроводности 260
I. Тепловой потенциал B60). 2. Поверхностный тепловой потен-
потенциал B63). 3. Постановка обобщенной задачи Коши для уравне-
уравнения теплопроводности B65). 4. Решение задачи Коши B6t>). 5. Уп-
Упражнения B67).
Глава IV
Интегральные уравнения . , 270
§ 17. Метод последовательных приближений 271
1. Интегральные уравнения с непрерывным ядром B71). 2. Пов-
Повторные ядра. Резольвента B75). 3. Интегральные уравнения
Вольтерра B78). 4. Интегральные уравнения с полярным ядром
B8U). 5. Упражнения B85).
§ 18. Теоремы Фредгольма 286
1. Интегральные уравнения с иырожденным ядром B80). 2. Тео-
Теоремы Фредгольма для интегральных уравнений с вырожденным
ядром BSV). 3. Теоремы Фредгольмч для инте1ральиых уравнений
с непрерывным ядром B92,). 4. Следствия из теорем Фредгольма
B%) 5. Теоремы Фредгольма для интегральных уравнений с по-
полярным ядром B99). 6. Упражнения C01).
§ 19. Интегральные уравнения с эрмитовым ядром 301
П. Интегральные операторы с эрмитовым непрерывным ядром
C02). 2. Лемма Арчела — Асколи C03) 3. Интегральные ууав-
неиия с эрмитовым непрерывным ядром C04) 4 Интегральные
уравнения с эрмитовым полярным ядром C07).
§ 20. Теорема Гильберта — Шмидта и ее следствия . 308
I. Теорема Гильберта—Шмидта для эрмитова непрерывного
ядра C0<Х). 2. Билинейное разложение повторных ядер C12).
3 Билинейное разложение эрмитова непрерывного ядра C13).
4. Решение неоднородного интегрального уравнения с эрмитопым
непрерывным ядром C15). 5. Положительно определенные ядра
C17). 6. Распространение теории Гильберта — Шмидта на инте-
интегральные уравнения с эрмитовым полярным ядром (.US). 7. Тео-
Теорема Ентча C20). 8 Метод Келлога C22). 9 Теорема Мерсера C25).
Глава V
Краевые задачи для уравнений эллиптического типа 327
§21. Задача на собственные значения 327
I. Постановка задачи на собственные значения C27). 2. Формулы
Грина C23). 3 Свойства оператора L C2У). 4. Свойства собствен-
собственных значений и собственных функций оператора L C31). 5. Фи-
Физический смысл собственных значений и собственных функ-
функций C35).
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 22. Задача Штурма — Лиуииллн 336
I. Функция I pinui (.Мь) 1 (ведение зпд.пи Штурм» - ^1и> ни лля
к интегральному уришм-шии (НО). 3. I uohiih.i собствен и ыч чна-
чений и собственных iby ч к им il (f41). 4. Нахождение сяПгтпсниых
значении и собегнпшмх Функции СШ)
§ 23. Функции Ьссселя 345
1. Определение и простейшие спопЧтпа функции Бесселя C45).
2. Свойство ортогональности (<И7). 3. Рекуррентные соот ношения
для функций Весеоли 0W). 4. Корни функции Бесселя C50)
5 Краевая задача ни ообегтчтые значения для уравнение Бес-
Бесселя C52). ft. Неоднородная краевая задача для уравнении Бес-
Бесселя C54). 7. Полнота функций Бесселя C53). 8. Другие цилин-
цилиндрические функции C57). 9. \'пряжнгння C58).
§ 24. FapiMOHHqecKHe функции 359
I. Формула Грина C60). 2. Распространение формул Грина C62).
3. Теорема о среднем арифметическом C64). 4. Принцип макси-
максимума C65). 5. Следствия из принципа максимума (ЗЪ7>. t>. Стира-
Стирание особенностей гармонической функции C68). 7. Обобщенно-
гармонические функции C69) 8. Дальнейшие свойстиа гармони-
гармонических функций C7и). 9. Аналог теоремы Лиувилля C71). 10. По-
Поведение гармонической функции на бесконечности C72). П. Уп-
Упражнения C74).
* 25. Сферические функции 374
I. Определение сферических функций C74). 2. Дифференциальное
уравнение для сферических функций C76). 3. Полиномы Лежандра
C/7). 4. Произподящая функция <379). 5 Присоединенные функ-
функции Лежандра C82). 6. Сферические функции (-<S3> 7 Формула
Лапласа C8э} 3. Шаровые функции C87) 9. Упражнения C87).
§ 26. Метод Фурье для задачи на собственные значения .... 388
1. Общая схема метода Фурье C88) 2. Примеры C90).
§ 27. Ньютонов потенциал , , 394
1. Объемный потенциал C95). 2. Потенциалы простого и двойного
слоя C96) 3. Физический смысл ньютоновых потенциалов C99).
4. Поверхности Ляпунова D00). 5. Свойства потенциалов простого
и двойного слоя на поверхности S D05). 6. Разрыв потенциала
двойного слоя D07). 7. Разрыв нормальной производной потен-
потенциала простого слоя D09). 8. Упражнения D11).
§ 28. Краевые задачи для уравнений Лапласа и Пуассона в про-
пространстве 412
1. Постановка основных краевых задач (-112). 2 Теоремы един-
единственности решения краевых задач D13). 3. Сведение краевых
задач К интегральным уравнениям D15). 4. Исследование инте-
интегральных уравнений D18). 5. Решение задай Дирихле и Неймана
для шара D22).
$ 29. Функция Грина задачи Дирихле 423
1 Определение и свойства функции Грина D23). 2. Примеры по-
построения функции Грииа (метод отражений) D26). 3. Решение
краевой задачи с помощью функции Грина D29). 4. Формула
Пуассона D30). 5. Сведение краевой задачи к интегральному
уравнению D31). 6. Свойства собственных значений и собствен-
собственных функций D34). 7 Упражнения D36).
§ 30. Уравнения Гельмгольца 438
1. Условия излучения Зоммерфельда D38). 2. Однородное уравне-
уравнение Гельмгольца D39). 3. Потенциалы D41). 4. Принцип предель-
предельного поглощения D43). 5. Принцип предельной амплитуды D44).
6- Краевые задачи для уравнения Гельмгольца D45). 7. Внешние
краевые задачи для шара D47). 8. Упражнения D48).
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 31. Краевые задачи для уравнения Лапласа на плоскости 449
I Постановка и единственность решения основных краевых за-
задач М49). 2. Логарифмический потенциал D50). 3. Разрешимость
краевых задач A54) 4 Решение краевых задач для круга D57).
5- Функция Грина задачи Дирихле A59) 6 Решение задачи Ди-
Дирихле для односвязной области N01). 7. Упражнения D62).
Глава VI
Смешанная задача ' , 464
§ 32. Метод Фурье 464
I Однородное гипорЙо-п скос уравнение D65) 2. Неоднородное
гиперболическое yp.iuiKiun- ()'>7). J. 11.фаболическое уравнение
DоЧ). 4 Урапненис Шроднигерл (I7(i>. 5. Эллиптическое уравне-
уравнение D71) Ь Примоиы (й'1). 7. Упражнения D/'J).
§ 33. Смешанная задача для уравнения гиперболического типа 479
I Классическое решение. Интеграл энергии D79). 2. Единствен-
Единственность и непрерывная зависимость классического решения D^2).
3 Функции, непрерывные в ?г (G) DX5). 4. Обобщенное решение
D-S8). 5. Рдинстпеппость и непрерывная зависимость обобщенного
решения (>91). 6. Существование обобщенного решения D92).
". Сугцествопание классического решения D95).
$ 31 Смешанная задг.ча для уравнения параболического типа 497
I Классическое решение. Принцип максимума D98). 2. Единст-
Единственность и непрерывная зависимость классического решения
E00). 3. Обобщенное решение (эи1) 4- Существование обобщенного
решения (•¦*.'») 5 Существование классического решения Eи4).
Литература 505
Предметный ^казакмь , 509
I MM III» .'UUilll l< 41 I Ml PI ОМУ ИЗДАНИЮ
Поп роение и исследование математических моделей физических
явлений составляет предмет математической физики. Математиче-
Математическая физика развивалась со времен Ньютона параллельно развитию
физики и математики. В конце XVII в. было открыто дифференциаль-
дифференциальное и интегральное исчисление (И. Ньютон, Г. Лейбниц) и сформу-
сформулированы основные законы классической механики и закон всемир-
всемирного тяготения (И. Ньютон). В XVIII в. методы математической фи-
физики начали формироваться при изучении колебаний струн и стерж-
стержней, а также задач, связанных с акустикой и гидродинамикой;
закладываются основы аналитической механики (Ж. Даламбер,
Л. Эйлер, Д. Бернулли, Ж. Лагранж, П. Лаплас). В XIX в. идеи ма-
математической физики получили новое развитие в связи с задачами
теплопроводности, диффузии, упругости, оптики, электродинамики,
нелинейными волновыми процессами и т. д.; создаются теория по-
потенциала и теория устойчивости движения (Ж- Фурье, С. Пуассон,
К. Гаусс, О. Коши, М. В. Остроградский, П. Дирихле, Б. Риман,
С. В. Ковалевская, Д. Стоке, А. Пуанкаре, А. М. Ляпунов, В. А. Стек-
лов, Д. Гильберт). В XX в в математическую физику включаются
задачи квантовой физики и теории относительности, а также новые
проблемы газовой динамики, переноса частиц и физики плазмы.
Многие задачи классической математической физики сводятся к
краевым задачам для дифференциальных (интегро-дифференциаль-
ных) уравнений — уравнений математической физики. Основными
математическими средствами исследования этих задач служат тео-
теория дифференциальных уравнений (включая родственные области:
интегральные уравнения и вариационное исчисление), теория функ-
функций, функциональный анализ, теория вероятностей, приближенные
методы н вычислительная математика.
Изучение математических моделей квантовой физики потребовало
привлечения новых областей математики, таких как теории обоб-
обобщенных функций, теории функций многих комплексных переменных,
топологических и алгебраических методов.
С появлением ЭВМ существенно расширился класс математи-
математических моделей, допускающих детальный анализ; появилась реаль-
реальная возможность ставить вычислительные эксперименты. В этом
интенсивном взаимодействии теоретической физики и современной
математики создаются качественно новые классы моделей современ-
современной математической физики.
Среди задач математической физики выделяется важный класс
корректно поставленных задач, т. е. задач, для которых решение
существует, единственно и непрерывно зависит от данных задачи.
Хотя эти требования на первый взгляд кажутся совершенно естест-
ПРЕДИСЛОВИЕ К ЧЕТВЕРТОМУ ИЗДАНИЮ
венными, их тем не менее необходимо доказывать в рамках приня-
принятой математической модели. Доказательство корректности — это
первая апробация математической модели: модель непротиворечива
(решение существует), модель однозначно описывает физический
процесс (решение единственно), модель мало чувствительна к по-
погрешностям измерений физических величин (решение непрерывно
зависит от данных задачи).
В этой книге изучаются в основном корректно поставленные
краевые задачи для дифференциальных уравнений классической ма-
математической физики. Однако в отличие от традиционных способов
изложения уравнений в книге широко используется концепция обоб-
обобщенного решения. Обобщенные решения возникают при изучении
интегральных соотношений типа локального баланса, и учет этих
решений приводит к обобщенным постановкам краевых задач ма-
математической физики.
Точное определение обобщенного решения опирается на понятие
обобщенной производной и вообще, обобщенной функции. Аппарат
теории обобщенных функций служит удобным средством для иссле-
исследования линейных краевых задач математической физики в обоб-
обобщенной и классической постановках. Поэтому специальная глава
в этой книге посвящена изложению теории обобщенных функций.
Ряд разделов книги излагается на языке функционального ана-
анализа (на элементарном уровне), что, с одной стороны, подводит
читателя к чтению современной научной литературы, а с другой
стороны, приводит к значительным сокращениям изложения.
В книге принята следующая схема расположения материала.
В главе 1 излагается постановка и классификация основных крае-
краевых задач математической физики, а также приводятся некоторые
необходимые для дальнейшего сведения из анализа. Глава II со-
содержит элементы теории обобщенных функций, включая преобра-
преобразование Лапласа обобщенных функций (операционное исчисление).
В главе III строятся фундаментальные решения для дифференци-
дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами и исследуются
обобщенная и классическая задачи Коши для волнового уравнения и
уравнения теплопроводности. Особенность изложения состоит в том,
что в обобщенной постановке задачи Коши начальные условия
включаются в мгновенно действующие источники; это позволяет
построить ее решение в виде свертки источника с надлежащим об-
образом выбранным фундаментальным решением. Специальный пара-
параграф посвящен задаче Коши для уравнения гиперболического типа
с двумя переменными (метод Римана). Глава IV содержит теорию
интегральных уравнений с полярным ядром. Доказываются теоремы
Фредгольма, Гильберта — Шмидта, Ентча, Келлога и Мерсера.
В главе V рассматриваются задачи на собственные значения для
уравнений эллиптического типа, включая задачу Штурма—Лиу-
вилля, а также краевые задачи для уравнений Пуассона и Гельм-
гольца в пространстве и для уравнения Лапласа на плоскости.
Излагается элементарная теория гармонических функций, а также
функций Бесселя и сферических функций. В главе VI изучаются
смешанные задачи для уравнений гиперболического и параболиче-
параболического типов в классической и обобщенной постановках. Излагается
метод Фурье и дается его обоснование,
Предисловие к четвертому изданию
Многие параграфы книги содержат задачи для упражнений. Ряд
задач сформулирован в виде теорем, которые являются сущест-
существенным дополнением к основному материалу. Для упражнений
можно также рекомендовать «Сборник задач по уравнениям мате-
математической физики» П. С. Владимирова, В. П. Михайлова, Л. А. Ва-
шарипа, X. X. Каримовой. Ю. В. Сидорова, М. И. Шабунина,
Наука, 1974.
Эта книга является расширенным изложением лекций по курсу
«Уравнения математической физики», читанных автором в течение
многих лет студентам Московского физико-техническою института.
Она рассчитана па студентов и аспирантов — математиков, физиков
и инженеров с повышенной математической подготовкой.
Пользуюсь случаем выразить искреннюю благодарность всем
лииам, чья конструктивная критика способствовала улучшению на-
настоящего и предыдущих изданий книги. В особенности я благода-
благодарен Н. Н. Боголюбову, С. Л. Соболеву, В. П. Михайлову,
Л. Д. Кудрявцеву, Б. М. Степанову '.X. X Каримопой, 10. Н. Дрож-
жинову, В. А. Ильину, И. А. Киприяиову, В. В Жаринову, IO. П. Кр.ч-
венкову и В. Д. Чарупшикову.
Я также весьма благодарен II Я Владимировой за помощь
при оформлении рукописи и чтение корректур.
1979 г.
В. С. Владимиров
ГЛАВА I
ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
§ 1. Некоторые понятия и предложения теории
множеств, теории функций и теории операторов
Пусть А — произвольное множество. Вели элемент а
содержится (не содержится) в множестве А, то это будем
записывать так: оеЛ(аё=Л). Пусть В — другое мно-
множество. Обозначаем A cz В включение А в В, А —В —
совпадение А с В, А [] В — объединение А и В, А(]В —
пересечение А и В, А\В — дополнение б до Л (рис. 1),
А х В — произведение А и
В (множество пар (а, Ь),
а е А, Ь е В), ф — пустое
множество.
1. Точечные множества
в /?". Обозначим я-мер-
ное вещественное евклидо-
евклидово пространство через Rn, Рис. 1.
а его точки через х = (хи
*г, ••-, х„), у, I и т. д., где */t i = 1, 2, ..., л, — коор-
координаты точки х. Символами (х, у) и I x
AUB
обозначим ска-
скалярное произведение и длину (норму) в Rn:
(X, У) =
Хгу% + . . . + Хпуп,
Таким образом, число \х — у\ есть евклидово расстояние
между точками хну.
Множество точек х из R'1, удовлетворяющих неравен-
гтву \х — xo\<.R, называется открытым шаром радиуса
R с центром в точке х„. Этот шар будем обозначать
U(xa; /?); UR=U@; R).
Последовательность точек хи = (xlk, хгк, ..., хпк), k =
— I, 2, ..., называется сходящейся к точке х в Rn,
Xk-rx, k—>-о~, если \хи -л'1->0, /г-»-оо. Последователь-
'2 ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. 1
мость хк, k—\, 2, ..., называется сходящейся в себе в
Rn, если \хк — *p|->0v k-^оо, р-*сп.
Следующее предложение выражает свойство полноты
пространства Rn (принцип сходимости Коши). Для того
чтобы последовательность точек сходилась в Rn, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы она сходилась в себе в Rn.
Множество называется ограниченным в Rn, если су-
существует шар, содержащий это множество.
Следующее предложение выражает свойство компакт-
компактности пространства Ra (теорема Больцано — Вейерштрасса).
Из всякого бесконечного ограниченного множества в Rn
можно выбрать сходящуюся последовательность.
Точка Хо называется внутренней точкой множества,
если существует шар U (хо\ е), содержащийся в этом мно-
множестве. Множество называется открытым, если все его
точки внутренние. Множество называется связным, если
любые две его точки можно соединить кусочно-гладкой
кривой, лежащей в этом множестве. Связное открытое
множество называется областью. Точка х0 называется
предельной точкой множества А, если существует после-
последовательность xk, k—\, 2, ..., такая, что xk^A, хкФ
Фх0, Хц-*-Хъ, &->-go. Если к множеству А добавить все
его предельные точки, то полученное множество называ-
называется замыканием множества А и обозначается А\ ясно,
что А а А. Если множество совпадает со своим замыка-
замыканием, то оно называется замкнутым. Замкнутое ограни-
ограниченное множество называется компактом. Окрестностью
множества А называется всякое открытое множество, со-
содержащее А', е-окрестностью Аг множества А называ-
называется объединение шаров U (х\ е), когда х пробегает А: Ле =
= U и& е)-
\е А
Функция Хд(х), равная 1 при х^А и 0 при хЩД,
называется характеристической функцией множества А.
Справедливо следующее предложение о покрытии
(лемма Гейне — Боре ля). Если компакт К покрыт систе-
системой открытых шаров, то из этого покрытия можно вы-
выбрать конечную подсистему, покрывающую К.
Пусть G —область. Точки замыкания С, не принад-
принадлежащие G, образуют замкнутое множество S, называе-
называемое границей области G, так что S = G\G. Например,
границей открытого шара U (x0; R) является сфера | х —
I)
НИКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ И ПРЕДЛОЖЕНИЯ
13
— xo\ = R. Эту сферу будем обозначать 5 (*„; R)\ SR =
= S @; R).
Будем говорить, что поверхность S принадлежит классу
Ср, р>=1, если в некоторой окрестности каждой точки
xoeS она представляется уравнением и>Хо(х) — 0, причем
grad мХо (х) Ф 0 и функция ыХо (х) непрерывна вместе со
всеми производными до порядка р включительно в упо-
упомянутой окрестности. Поверхность S называется кусочно-
гладкой, если она состоит из
конечного числа поверхно-
поверхностей класса С1.
Впредь мы будем рассмат-
рассматривать только области с ку-
кусочно-гладкими границами;
через п = пх обозначим еди-
единичный вектор внешней нор-
нормали к границе 5 в точке
xeS. Пусть точка х0 лежит
на кусочно-гладкой поверх-
поверхности S. Окрестностью точ-
точки х0 на поверхности S на-
называется та связная часть множества SQU(xo\ R), которая
содержит точку х0.
Ограниченная область G' называется подобластью,
строго лежащей в области G, если G'czG', при этом пи-
пишут G'mG. В силу леммы Гейне —Бореля существует
такое число е>0, что G'S^G (рис. 2).
2. Классы функций O(G) и CP(G). Пусть а = (аь
«2, • • •, ап) — целочисленный вектор с неотрицательными
составляющими а, (мультииндекс). Через Daf(x) обознача-
обозначаем производную функции f{x) порядка \а\—а.1-\гаг-\-...
Рис. 2.
naf /у\ _
1У }
d '
¦¦¦ , Хп)
D°/(*)=/(*);
= (Dlt D2, .... Da), Dj = JL, / = 1, 2, .... /i.
Для низших производных мы иногда будем употреблять
и такие обозначения: fx., fxx. и т. д. Мы будем пользо-
пользоваться также следующими сокращенными обозначениями;
хл — х%*х%*...х*п, а\ =a,!a2! ...an\.
14 ПОСТЛНООКЛ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. Т
Множество (комплексных) функций /, непрерывных
вместе с пронзгодными Daf(x), \а\-^:р @^ р<со),
в области G, образует класс функций О F). Функции /
класса Q'(G), у которых псе производные Daf(x), \ а \ ^ р,
допускают непрерывное продолжение на замыкание G,
образуют класс функций О'(О); при этом под значением
Daf(x), xeS, \а\- р, понимаем WmDaf(x') при х'->
-+х, х' е G. Класс функций, принадлежащих О (G) при
всех р. обозначим через С' (G); аналогично определяется
и класс функций C^(G).
Таким образом, класс С0 (G) состоит из всех непре-
непрерывных функций в G, а класс С0 (G) можно отождествить
с множеством всех непрерывных функций на G_. Для со-
сокращения записи обозначаем C{G) — CU{G), С (G) = C° (G).
Иногда аргумент G или G у класса Ср будем опускать.
Пусть функция [ (х) задана на некотором множестве,
содержащем область С В этом случае принадлежность
f классу Ср (G) означает, что сужение / на G принадле-
принадлежит CP(G). Например, функция Я(х) = 0, х<0; И @) =
= 2; Н(х) = \, х>0, принадлежит классам Cy'(x^0)
и С" (х~: 0), причем если Н рассматривается как функ-
функция класса С^(х-^0), то ее значение в 0 следует считать
равным 0, а если Я —функция класса См(х>?0), то ее
значение в 0 следует считать равным 1 (в соответствии
с определениями).
Введенные классы функций представляют собой ли-
линейны множества, т. е. из принадлежности функций /
и g кскому-либо из этих классов следует принадлежность
этому же классу и любой их линейной комбинации
kf-{- \ig, где X и [я —произвольные комплексные числа.
Функция / называется кусочно-непрерывной в /?•', если
существует конечное или счетное число областей Gk,
k = \, 2, ..., без общих точек с кусочно-гладкими гра-
границами таких, что каждый шар покрывается конеч-
конечным числом замкнутых областей {Gk} и /gC((jj),
k=\, 2, ...
Кусочно-непрерывная функция называется финитной,
если она обращается в нуль вне некоторого тара.
Пусть феС(/?л). Носителем непрерывной функции ф
называется замыкание множества тех точек, 1де ф(л:)^0;
носитель ff обозначаем supp ф.
$ I] НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ И ПРЕДЛОЖЕНИЯ 15
Таким образом, функция (р (х) финитна тогда и только
тогда, когда supp ср ограничен.
3. Пространство непрерывных функций С (Г). Пусть
Т — замкнутое множество, например замыкание G или
граница S области G. Обозначим через С (Т) класс не-
непрерывных и ограниченных на Т функций. Снабдим класс
С (Т) нормой, положив
|, fe=C(T). A)
Норма A) обладает следующими тремя характерными
для нормы свойствами:
a) I'/lc^O' l'/llc = 0 тогда и только тогда, когда / = 0;
b) IIVh — I ^ 11 / 1с. где "К — любое комплексное число;
c) il / 4-g lie < fl Л'с+ ! g "с (неравенство треугольника).
Вообще всякое линейное множество, снабженное нор-
нормой, обладающей свойствами а) —с), называется линей-
линейным нормированным пространством.
Таким образом, С (Т) — линейное нормированное про-
пространство.
Последовательность функций fk, k=\, 2, ..., из С(Т)
называется сходящейся к функции f^C(T) в простран-
пространстве С (Г), fk-+f, 6-v.v, в С(Т), если к/,.-/!>;-». О,
k-^oo. Очевидно, сходимость fk-^f, &->-oo в С (Т) эк-
эквивалентна равномерной сходимости последовательности
функций fk(x), k=\, 2, ..., к функции f(x) на мно-
множестве Т:
х<=Т
jk{x) z
Последовательность функций fk, k=\, 2, ..., из С(Т),
называется сходящейся в себе в С (Г), если || fk — fp \\c -*¦ О,
k—»-1л.', р-*-со.
Следующее предложение выражает свойство полноты
пространства С (Т) (теорема Коши). Для того чтобы
последовательность функций из С (Т) сходилась в С (Г),
необходимо и достаточно, чтобы она сходилась в себе
в С(Т).
Справедливы следующие полезные предложения.
Теорема Вейерштрасса. Если G — ограниченная
область и f^Cp((i), то для любого е>0 существует
полином Р такой, что
1 Da/~ DaP |с <е при всех \а\^р.
16 ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. I
Лемма Дин и*). Если монотонная последователь-
последовательность непрерывных функций на компакте К сходится
в каждой точке к непрерывной функции на К, то она
сходится равномерно на К.
Ряд, составленный из функций uk^C(T), называ-
называется регулярно сходящимся на Т, если ряд из абсолют-
абсолютных величин \uk(x)\ сходится в С(Т), т. е. сходится
равномерно на Т.
Множество <Jt а С (Г) называется равностепенно-непре-
равностепенно-непрерывным на Т, если для любого е>»0 существует такое
число 6е, что при всех /е^ имеет место неравенство
l/(*i) — /(*г) I <е» как только |*, — х2|<8е, хи х2<=Т.
Функция /gCG) называется непрерывной по Гель-
деру на Т, если существуют такие числа С>0 иа, 0<
<а^1, что при всех х^Т и ^еТ справедливо не-
неравенство
если а=1, то функция /(х) называется непрерывной по
Липшицы на Т.
Пусть функции f (х) и со (л:) заданы в окрестности
точки х0 (конечной или бесконечно удаленной). Будем
писать:
/ (х) = О [со (х)] или / (а:) = о [со (я)], лг^-лг0,
f(x) л
если отношение±ЛА ограничено или стремится к 0 при
(О (X)
х-*-х0 соответственно.
4. Интеграл Лебега. Говорят, что множество A cz R'
имеет меру нуль, если для любого е>0 оно может быть
покрыто шарами суммарного объема <.&.
Из этого определения вытекает, что всякое подмно-
подмножество множества меры нуль имеет меру нуль и объеди-
объединение не более чем счетного числа множеств меры нуль
также имеет меру нуль. Например, рсякое счетное мно-
множество и всякая кусочно-гладкая поверхность имеют
меру нуль.
Говорят, что некоторое свойство выполняется почти
везде в области G с /?", если множество точек области G,
которые не обладают этим свойством, имеет меру нуль;
") См., например, В. И. Смирнов [2], гл. I.
* 1] НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ И ПРЕДЛОЖЕНИЯ I7
при этом вместо «почти везде в /?"» будем говорить
просто «почти везде».
Считаем, что все функции заданы во всем простран-
пространстве Rn и почти везд^ конечны.
Функция / называется измеримой, если она совпадает
почти везде с пределом почти везде сходящейся последо-
последовательности кусочно-непрерывных функций.
Из этого определения следует: если функции /ист
измеримы, то функции f-\-g, fg, max(/, g), mini/, #K
/| и f/g, если ?#0, также измеримы; всякая функция,
совпадающая почти оезде с пределом почти везде сходя-
сходящейся последовательности измеримых функций, измерима.
Множество A a Rn называется измеримым, если его
характеристическая функция %л(х) (см. § 1.1)*) изме-
измерима.
Неизмеримые функции (и множества) устроены весьма
неправильно, и ни одна из них не построена в явном
виде; можно только теоретически доказать их существо-
существование, используя так называемую аксиому выбора. Это
говорит о том, что все функции и множества, которые
нам могут встретиться, будут измеримы. Поэтому в
дальнейшем будем предполагать, не оговаривая этого
каждый раз, что все рассматриваемые множества изме-
измеримы, а функции измеримы и почти везде конечны.
Пусть f (х) — кусочно-непрерывная финитная функция.
Элемент объема в Rn обозначим через dx = dxldxi...dxn,
так что п-кратный интеграл Римана функции / по Rn
сокращенно запишем в виде
U (х) dx = \ \... J / (*ь х2, ..., х„) dxxdx%... dxn.
Rn
Пусть (вещественная) функция f{x) совпадает почти
везде с пределом неубывающей последовательности ку-
кусочно-непрерывных функций fit(x), k — \, 2, ...с огра-
ограниченной последовательностью интегралов (Римана)
\fu{x)dx, k=\y 2, ... Предел неубывающей ограниченной
последовательности этих интегралов называется интегра-
интегралом Лебега функции f и обозначается символом ^f(x)dx,
*) Ссылка вида § 1.2 означает пункт 2 § 1.
18 ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. 1
так что
Класс таких функций обозначим через <?'г.
Чтобы это определение было корректным, нужно до-
доказать, что интеграл Лебега функции f^X* не зависит
от последовательности \fk\.
Прежде всего докажем: если f<=%\ f(x)^O почти
везде и \fk} — последовательность, определяю.цая интеграл
Лебега функции /, то
\fk(x)dx^-0. B)
ft-oo J
Для доказательства B) возьмем произвольное е>0.
Пусть числа R "> 0 и М>0 таковы, что /i(x) = 0,
1 х | > R и /t (х) "-т — М, х е UR, так что и
/*(*)=> 0, |*|>Я, Ы*)^-М, xe=URt
k = \, 2, ... C)
Обозначим через А множество тех точек шара UR, в ко-
которых разрывна хотя бы одна из функций /*(*), ^=1,
2, ... или fk(х) -?*/(х), ^^-оо. Множество А имеет меру
нуль и, значит, его можно покрыть шарами U (х/, г,-),
/=1, 2, ..., сумма объемов которых <е. Итак, на ком-
компакте K = UR\\JU(Xj', г,) функции fk{x) непрерывны и
i
fkix)^*-f{x) ^0, k-*"zo, и потому для любой точки х из
К найдется такой номер N* и такое число гх, что
[кх(х')> — в, x'^U(x\ rx) П К. Таким образом, ком-
компакт К покрыт системой открытых шаров U (х; гх), х^К.
По лемме Гейне— Бореля из этого покрытия извлечем
конечное покрытие, и пусть /Vo — наибольший из соответ-
соответствующих номеров Nх. Так как функции fk(x) не убы-
убывают, то, в силу выбора номера No,
Отсюда и из C) при всех ?>Л/0 имеем:
J fk (x) dx ^ \ /у, (х) dx ^ \ fNa (x) dx ^
^-г\ dx-M^ \ dx^-*(\ dx+M),
§ 11 НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ И ПРЕДЛОЖЕНИЯ 19
что ввиду произвольности е и влечет требуемое неравен-
неравенство B).
Пусть теперь {gj} — другая последовательность, опре-
определяющая интеграл Лебега функции /s^b. Тогда из
неравенства lim [/„ (л*) — gf (х)] = / (х) — gj (x) ^ О (почти
везде) следует, в силу B), неравенство
lim \ [/* (х) - gj (х)] dx = lim J fk (x) - \ gj (x) dx => 0,
/e-«oo /f-»oo
7=1 2
И ПОТОМУ
/-«•со ' fe-«oo
Меняя ролями последовательности \fk\ и {g,\, получим
обратное неравенство, и, следовательно, справедливо тре-
требуемое равенство
lim ^ fk (x) dx= lim \gj (x) dx.
k—'CO /-.-00 *
Вещественная функция f (x) называется интегрируемой
no Лебегу {суммируемой), если она представима в виде
разности функций класса %+:
/iM-/2W, /,g^, / = 1,2. D)
Число
называется интегралом Лебега функции /. Класс функ-
функций, интегрируемых по Лебегу, обозначим через X. Все
функции класса X измеримы и почти везде конечны.
Чтобы оправдать это определение, нужно показать,
что интеграл Лебега функции f (^? не зависит от пред-
представления D).
Действительно, если
то fi-\-g2=:gi + h- Отсюда и из свойства аддитивности
интеграла Лебега для функций класса <%+ вытекает тре-
требуемое равенство
\ /, (х) dx-\f2 (л) dx = \gt (х) dx~[g2 (x) dx.
20 постановка краевых задач Ггл. т
Комплекснозначная функция / (х) называется интегри-
интегрируемой но Лебегу \<=?, если Re/e^ и lm/eJ?;
число
\ Re/ (x) dx + i \ Im / (x) dx = J / (х) dx
называется интегралом Лебега функции /.
Будем говорить, что функция / (х) интегрируема по
Лебегу на измеримом множестве A, fe:?(A), если
fXA <= %\ число
\f{x)tA{x)dx= \f(x)dx
л
называется интегралом Лебега функции j no множеству А.
Функция j(x) называется локально интегрируемой по
Лебегу в области G, f e XUk. (G), если /е^(С) для всех
измеримых G'^G. Обозначаем: %u-,c{R'1) — 3?\oc-
В соответствии с этими определениями всякая кусочно-
непрерывная финитная функция интегрируема по Лебегу,
и ее интегралы Римана и Лебега совпадают. С другой
стороны, существуют функции, интегрируемые по Лебегу
и неинтегрируемые по Риману, например функция Ди-
Дирихле:
), х иррационально,
, л: рационально.
Интеграл Лебега функции fo(x) равен 0 (/ое <?"+).
Можно показать, что если функции f(x) и |/(*)[ ин-
интегрируемы по Риману (возможно, в несобственном
смысле), то они интегрируемы и по Лебегу, и их инте-
интегралы в обоих смыслах совпадают.
Имея в виду этот факт, впредь мы будем называть
интегрируемые по Лебегу функции просто интегрируе-
интегрируемыми функциями.
Интеграл Лебега обладает следующими основными
свойствами (некоторые из них следуют непосредственно
из определений, доказательства других можно найти, на-
например, в книгах Ф. Рисса и Б. Секефальви-Надя [1],
гл. II и А. Н. Колмогорова и С. В. Фомина [1], гл. V).
а) Если $<=:?, jj j / (*)! dx — 0, то f (x) — 0 почти везде,
и обратно.
§ 1] НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ И ПРГДЛОЖЕНИЯ 21
b) Если / е <#, то |/| е «5?; если / измерима и |/| <= «#,
шо / е <#". /7/?ы этол* справедливо неравенство
\\f(x)dx\^\\f(x)\dx.
c) ?Ъш ge<5?, / измерима и \f{x)\<,g(x) почти
везде, то f е «5?, & справедливо неравенство
\\f(x)\dx^\g(x)dx.
Отсюда следует, что всякая ограниченная (измеримая)
функция интегрируема по Лебегу на любом ограничен-
ограниченном (измеримом) множестве. В частности, если Л—огра-
Л—ограниченное (измеримое) множество, то интеграл Лебега
\ dx = J хА (х) dx
А
существует; он называется мерой Лебега множества А.
Ясно, что мера Лебега ограниченной области с кусочно-
гладкой границей совпадает с ее объемом.
d) Интеграл Лебега линеен {аддитивен) относительно
подынтегральной функции: если /е«^, ge^1 иХи \х —
комплексные числа, то \f-\-\ig^.% и справедливо равен-
равенство
e) Абсолютная непрерывность интеграла
Лебега: если / е X (G), то для любого е >» О сущест-
существует такая G'<z=G (рис. 2), что
J \f(x)\dx<e.
C\G'
f) О переходе к пределу под знаком и н-
тег рала Лебега.
Теорема Лебега. Пусть последовательность (изме-
(измеримых) функций fk(x), k = \, 2, ... сходится почти везде
к функции /(х). Если существует функция g^X такая,
что | fk (x) j ^g(х) почти везде, k=\, 2, .... то f e <3? и
1 im \fk(x)dx = \>f (x)dx.
Теорема Б. Леви. Если неубывающая (почти везде)
последовательность fk(x), k=\, 2, ... функций из X
22 ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. I
сходится почти везде к функции f (х) и последователь-
последовательность интегралов $ fk (x) dx, k = \, 2, ... ограничена, то
lim \fk(x)dx =\f{x)dx.
g) Замена переменных в интеграле Лебега.
Пусть преобразование х = х(у) класса С1 (G), т. е.
X/f — лд- \У\- yo» • • • » Уп/i " — ' > *• •> •••> "t Xff fcr L/ \U),
взаимно-однозначно отображает область G на область Gu
и D (x ) — якобиан этого преобразования.
Для того чтобы f (х) е X (G), необходимо и доста-
(X \
— ) е X (Gx). При эпюм спрасед-
у 1
ливо равенство
*= j l[x(y)]\D[xy)\dy.
h) Теорема Фубини (о перемене порялка
интегрирования в интеграле Лебега). Пели
функция f(x, у), заданная на Rn^m, x^Rn, y^Rm,
измерима и существует повторный интеграл Лебега
функции \[(х, у)\
» y)\dx]dy<oo,
то f е X. Обратно, если f е X, то интегралы Лебега
$/(*, y)dx, \}{x, y)dy
существуют почти везде, интегрирчемы по Лебегу, и
справедливы равенства
$[$/(*. y)dy\dx = \f{x, y)dxdy = \\\f{X> y)dx]dy.
Отметим, что если функция j (х, у) неинтегрируема,
то повторные интегралы могут и не существовать или не
4 1| НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ И ПРЕДЛОЖЕНИЯ
быть равными, например:
(^ + ?/2J
Замечание. Интеграл Лебега по кусочно-гладкой поверх-
поверхности 5 строится аналогично. При этом для функций f(x, у), за-
заданных на RnxS. сохраняется соответствующая теорема Фубини.
5. Интегралы Лебега, зависящие от параметра. Усло-
Условия, при которых имеет место непрерывность по пара-
параметру и возможно дифференцирование под знаком интег-
интеграла, для интеграла Лебега менее ограничительны, чем
для интеграла Римана.
Из теоремы Лебега о переходе к пределу под знаком
интеграла Лебега (см. § 1.4, f)) непосредственно вытекает
следующее утверждение.
Пусть функция f (х, у), заданная на RnxA, AczRm,
непрерывна по у на множестве А при почти всех х е Rn
и существует интегрируемая функция g(x) такая, что
при каждом у е А \ f (х, у) \ ^ g (x) почти везде. Тогда
интеграл \f(x, y)dx есть непрерывная функция на А.
Справедлива следующая
Теорема (о дифференцировании под знаком инте-
интеграла Лебега). Пусть функция f(x, t), заданная на
RnX(a, b), имеет непрерывную по t в (а, Ь) производную
ft (x, i) при почти всех х^ Rn и существует интегри-
интегрируемая функция g (х) такая, что при каждом t e (a, b)
I ft (x, t) | < g (x) почти везде; пусть, далее, при некото-
некотором t0 е (а, Ь) существует интеграл ^ / (х, t0) dx. Тогда
функция \f(x, t)dx^Cl{a, b) и справедливо равенство
-%**. E,
Доказательство. По предыдущему утверждению
функция J /т (%, т) dx непрерывна по т в (а, Ь). Далее,
пользуясь теоремой Фубини (см. § 1.4, h)), при всех
24 ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. I
t ^ (a, b) имеем
= $/(*, t)dx-\f(x, to)dx,
откуда, дифференцируя по t, получаем равенство E) и
остальные утверждения теоремы.
6. Интегралы типа потенциала. Пусть функция р {у)
(абсолютно) интегрируема на ограниченной области
Gci?" и обращается в нуль вне G. Интеграл
-У
называется интегралом типа потенциала. Такие инте-
интегралы часто встречаются в математической физике.
Докажем сначала справедливость оценки
?
F)
Действительно, если \x\^2R, то \х —
\y\>R ПРИ всех IУ! < ^» и поэтому
если же \x\<2R, то \х — у\<,\х\-\-
dy - С
J
*/(/?:«)
Здесь ал — площадь поверхности единичной сферы в #я.
Оценка F) доказана.
Из F) вытекает, что при всех /?>0 существует пов-
повторный интеграл
А тогда, по теореме Фубини (см. § 1.4, h)), интеграл
I (х) существует почти всюду и представляет собой
локально интегрируемую функцию в Rn (см. § 1.4).
§ 1)
НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ И ПРЕДЛОЖЕНИЯ
25
Вне области G интеграл / (х), в силу результатов § 1.5,
есть бесконечно дифференцируемая функция и все ее
производные получаются дифференцированием под знаком
интеграла
Докажем, что при всех C
D$l (х) = О(\х\-а~$), jx|->oo. G)
Действительно, пусть G a UR и | х | > R', тогда
\x — y\^\x\ — \y\^\x\ — R при всех y^G. Отсюда,
принимая во внимание оценку
я 1
х—,
при \x\>R получим
\9{у)
х—у\
I
Р (У) \dy,
откуда и следует G) (см. § 1.3).
Теорема. Пусть функция р ограничена, \()\
почти везде в G. Тогда интеграл I^Cp(Rn), где р —
наибольшее целое число такое, что а-\-р<с.п. Соответ-
Соответствующие производные функции I {х) получаются диффе-
дифференцированием под знаком интеграла.
Доказательство. Докажем, что / (х) — непрерыв-
непрерывная функция в #я. Фиксируем х0^ Rn и возьмем произ-
произвольное е >• 0. Тогда
-U
М
9 (У)
1 [т
X — I
dy
: i\\
х—У\а
dy.
Первое слагаемое справа, в силу опенки F), не превсс
ходит 2МСаг)я-а и потому может быть сделано < Q при
26
ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
ГГЛ. I
достаточно малом г\. Во втором слагаемом подынтеграль-
подынтегральная функция равномерно непрерывна по (х, у) в области
\х — Хо\^~, \у — Xq\7szi\, (/s6 и обращается в нуль
при x = xQ\ поэтому этот интеграл может быть сделан
<-g при всех x^U(xQ\ б), если б достаточно мало,
б^^. Итак, нашлось такое число б, что | / (xQ) — /(х) [-<
< |- + -% = 8 при всех | х — х01 < б. Это и значит, что функ-
функция /(л:) непрерывна в (произвольной) точке хое/?п,
т. е. /еС(Л").
Пусть а+1-<п. Продифференцируем подынтегральное
выражение в / (х) по xh i = i, ..., п, и рассмотрим
функции
I, w - J р to) ^7 77^. *=с
В силу оценки
X — I
1
х — у\а+1
рассуждение, полностью аналогичное тому, которое мы
только что проделали для интеграла / (х), показывает,
что функции /,- (х) непрерывны в Rn.
Докажем, что
п.
(8)
Для этого применим то же рассуждение, что и при дока-
доказательстве теоремы § 1.5. Имеем
U(x) dXi =
XJ
J f j
хЧ 10
p (y)
*/
— ' \Xi, ...» Xi-i, C,-, ..., Xn) / (X\, ..., Xf_i, X[, ..., #я),
откуда, дифференцируя по ?,-, получим равенство (8).
Законность перемены порядка интегрирования в преды-
$ II НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ И ПРЕДЛОЖЕНИЯ 27
дущих равенствах вытекает из существования повторного
интеграла
Р (У) 1 dy 1 , у ^- ялп it v9 I Г1 Dn-a-l
"* ^ 'wa I Si — *i | LK
111
в силу теоремы Фубини (см. § 1.4, h)). Здесь мы вос-
воспользовались оценкой F), предполагая, что Gcz.UR.
Таким образом, мы доказали, что l^Ci(Rn) и до-
допустимо дифференцирование один раз под знаком инте-
интеграла / (х). Если же a-f 2<ся, то, применяя предыдущие
рассуждения к функциям /,(*), установим, что /е
е С2 (R") и допустимо дифференцирование два раза под
знаком интеграла I (х)\ и т. д. Теорема доказана.
Пусть функции <з%" (л\ у), <зЖ\(х, у) и &%\(х, у) не-
непрерывны на GxG. Аналогично предыдущему устанавли-
устанавливается, что интегралы
(х, у) С Ж\(х, tf)jrt{y', у)
непрерывны на G и GxG, если a<n и
соответственно.
Замечание. Все сказанное об интеграле / (х) без существен-
существенных изменений переносится и на интеграл типа потенциала вида
Su, 0<a<n-l.
J T^y
где S —ограниченная кусочно-гладкая поверхность и р —ограничен-
—ограниченная функция на 5.
7. Пространство функций X2(G). Совокупность всех
функций /, для которых функция |/(х)|2 интегрируема
на области G, обозначим через ?2(G).
Множество функций Х% (G) — линейное.
Действительно, если f^.%i(G) и ge<#2(G), то из
неравенства
вытекает, что и их любая линейная комбинация
также принадлежит X%(G).
28
ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
[ГЛ. Т
Установим важное неравенство (неравенство Коши
Буняковского): если / и g^X2(G), то
f(x)g(x)dx
\/~\\g(x)
* g
dx.
Действительно, поскольку / и g e i?2 (G), то при всех
действительных X \f\-\-h \g\ e ^(G), а потому
G G G
Следовательно, дискриминант этой квадратичной формы
неположителен, т. е.
_G I G G
откуда и вытекает требуемое неравенство Коши — Буня-
Буняковского.
Отметим дискретный аналог неравенства Коши —Бу-
—Буняковского. Обозначим через /2 множество последователь-
последовательностей комплексных чисел а — \аг, аг% ...}, для которых
а и2 = 2 | а* |2 < оо. Если а = \ak\ е= /2 и & =
/2, то
/оо Г оо
i, i * Г * i *
fe = 1 * R = \
Если /e«^2(G) и G —ограниченная область, то
функция f(x) интегрируема на G.
Действительно, применяя неравенство Коши — Буня-
Буняковского при g=l, получим
(9)
На множестве функций =S?2 (G) введем скалярное
произведение и норму по формулам
НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ И ПРЕДЛОЖЕНИЯ
29
превращая тем самым ?г (G) в (линейное) нормированное
пространство. Здесь и, {х) — функция, комплексно сопря-
сопряженная с g (х).
Очевидно, введенное скалярное произведение обладает
свойствами:
= G?. fh
, h).
Кроме того, в терминах нормы и скалярного произведе-
произведения неравенство Коши — Буняковского принимает вид
Из этого неравенства вытекает следующее неравенство
М инков: кого:
f + g\^Ui + \gl /. ge^(G). A0)
Действительно,
! H-
Таким образом, мы видим, что норма || || удовлетво-
удовлетворяет условиям а) —с) § 1.3.
Последовательность функций /fr, k= I, 2, ..., из =5f2 (G)
называется сходящейся к функции f<=:J?2(G) в простран-
пространстве =5f2(G) (или в среднем в G), если ||/^ — /|->0, /г-*-сх>;
при этом будем писать
Следующее предложение выражает свойство полноты
пространства X2(G) (теорема Рисса —Фишера*):
если последовательность функций /fc, k—\,2,...t из Х2 (G)
сходится в себе в ?г{С1), т. е. yft< — fp\\-+0, &—>-oo, p->-j>:,
то существует функция / е =5f2 (G) такая, что || //, — /" |-> 0,
/г->схэ; лры 5тол/ функция / единственна с точностью до
значений на множестве меры 0.
Пространство =5f2 (G) относится к классу так называ-
называемых гильбертовых пространств.
Множество функций <Л, a?2(G) называется плотным
в %2(G), если для любой /e«5f?(G) существует последо-
*) См. Ф. Рисе и Б. Секефальви-Надь [IJ, гл. II.
30 постановка краевых злллч ггл т
вательность функций из oft', сходящаяся к / в ?2{G).
Например, множество С (G) плотно в ?2{G), отсюда сле-
следует, что и множество полиномов плотно в J€2(G), если
G — ограниченная область (в силу теоремы Вейерштрасса
(см. § 1.3)).
8. Ортонормальные системы. Функции / и g из J€2(G)
называются ортогональными, если (/, g) — 0\ функция f
из ?., (G) называется нормированной, если I'/ii— 1. Система
функций {ф/,! из <^2(G) называется ортонормальной в ^2{G),
если (ff/., ф/) = 6/,|, где bki — символ Кронекера: bki = 0.
*#!, бн=1.
Примером ортонормальной системы в Jf2(—л> л)
является тригонометрическая система
гп./И— '._/j»*jf ? — 0 -+-1
Конечная или счетная система функций \<ри] назы-
называется линейно независимой, если для любого конечного
набора чисел \ск\, ?\ск\Ф0, невозможно тождество
k
Всякая ортонормальная система {ф/,} состоит из ли-
линейно независимых функций.
Действительно, в противном случае при некоторых
(комплексных) числах \ск\, из которых только конечное
число отлично от нуля, мы имели бы равенство
^У]с/,Ф/, = 0, откуда, в силу ортонормалыюсти системы
к
получили бы
Всякая система гр>х, г|J, ... линейно независимых функ-
функций из %<2,(G) преобразуется в ортонормальную систему
фь ф2 ... следующим процессом ортогонализации Шмидта:
m — _^1_ гп - ^2-(Ф2. Ф1)Ф1
ф1""(|^Г ф2~[^-(^ <Pi)<PiT "" п
_ Ук — Wfr. 9»-i)9fe-i —•»•—(Ф»> фОф!
Ф* L Ум - Wft. Фл-i) Ф*-1 - — - (Ф*. ФО Ф11 ' " '
НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ И ПРЕДЛОЖЕНИЯ
31
Пример. Если в пространстве <?2 (—1» 1) ортогона-
.'III кшать по Шмидту систему степеней 1, х, хг, ..., то
получится система нормированных полиномов Лежандра.
Пусть система функций <pk, k = \, 2, ..., ортонор-
м.ип.па в <X2(G) и I^X^iG). Числа (/, фЛ) называются
коэффициентами Фурье, а формальный ряд
A2)
— рядом Фурье функции / по ортонормальной системе {фл}.
Пели система функций ф^, k=\, 2, ..., ортонормальна
а У j (G), то дл я каждой / е <^2 (G) и любых (комплексных)
чпа.1 «,, а2, ..., tfjv, Л^ = 1, 2, ..., справедливо равенство
А ¦ 1
N
К/,ФЛ)-ал|2. A3)
k = 1
Донотнителыю, обозначая
)n^)~ y^(f, «ЫФь ск = A, <Г*) — я*, A4)
получим при / = 1, 2, ..., Л/
/- 2 (/. ф*)ф*. ф/1=(/> ф/)- 2 (/» ф*)(ф*. ф/)=°-
\ к - I / А = 1
(!лсдоиатсльно,
A;=
k=\
N
Лг == 1
=
I
N
k, t=l
.V. 1 = 1
Л/
fc = 1
о1куда, в силу A4), вьпекае! равенство A3).
32
ПОСТЛНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
ГГЛ. 1
Из равенства A3) вытекает неравенство
ф*) фл
/ -
A5)
Далее, полагая в A3) аи — 0, /г — 1, 2, ..., Л/, получаем
равенство
/ - Z </. ф*) ф*
F, ф*)|2-
Л = 1
Из равенства A6) вытекает неравенство
2 к/,
A6)
A7)
называемое неравенством. Бесселя.
Из неравенства Бесселя и из теоремы Рисса — Фишера
(см. § 1.7) следует, что ряд Фурье A2) сходится в <^2(G)
к некоторой функции /i из %<z(G) {но не обязательно к /!)
Кроме гого, из равенства A6) и из теоремы Рисса —
Фишера (см. § 1.7) вытекает такое предложение. Для
того, чтобы ряд Фурье A2) сходился к функции / в X2{G),
необходимо и достаточно, чтобы было выполнено равенство
Нарсеьаля — Стеклова (уравнение замкнутости)
2 кл
г=
= !7ii2.
A8)
9. Полные ортонормальные системы. Пусть система
функций фь ф2, ... ортонормальна в %2(G). Если для
любой f^JC2(G) ее ряд Фурье по системе {ф,,} сходится
к / в <%i(G), то эта система называется полной (замкнутой)
в ?*(G) (ортонормальным базисом в ^^(G)). Примером
полной ортонормальной системы в Хг @, 2л) служит
тригонометрическая система. Из этого определения и из
результатов § 1.8 вытекает
Теорема 1. Для того чтобы ортонормальная система
{ц>к\ была полной в ?2(G), необходимо и достаточно,
чтобы для любой функции [ из %2 (G) было выполнено равен-
равенство Парсеваля —Стеклова (уравнение замкнутости) A8).
Теперь докажем следующую теорему.
Теорема 2. Для того чтобы ортонормальная система
[Фл] была полной в %%(G), необходимо и достаточно, чтобы
«I]
НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ И ПРЕДЛОЖЕНИЯ
33
каждую функцию f из множества <М, плотного в <5?2(С/),
можно было сколь угодно точно приблизить в Хг (G) линей-
линейными комбинациями функций этой системы.
Необходимость условия очевидна; докажем его доста-
достаточность. Пусть f^J?2(G) и 8>0 —любое число. Так
как o/ft плотно в ?2(G)> т0 существует /0 е <Л такая, что
e
"'
A9)
По условию функция /о сколь угодно точно приближается
в %ъ (G) линейными комбинациями функций системы {фа}.
Поэтому найдутся такие числа т, си с2, ..., ст, что
/в"
e
2*
Отсюда и из A9), в силу неравенства Минковского,
получаем
k = 1
fr - I
Но тогда, в силу неравенства A5), и подавно
N II
что и требовалось установить.
Следствие. Если G — ограниченная область, то
в %ъ (G) существует счетная полная ортонормальная
система полиномов.
Действительно, множество полиномов с рациональными
коэффициентами плотно в ?г (G) (см. § 1.7), счетно и его
можно сделать ортонормальным, используя процесс орто-
гонализации Шмидта (см. § 1.8).
Лемма. Пусть области G cz Rn и D cz Rm ограничены,
система функций tyj(y), /=1, 2, ..., ортонормальна и
полна в &-2.Ф) и при каждом /=1, 2, ... система функ-
функций <ру(х), k=\, 2, ..., ортонормальна и полна в Хг (G).
Тогда система функций
Xkf (х, у) - ф*у (х) у\у(у), *, / = 1, 2 B0)
ортонормальна и полна в
34 ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ |ТЛ. I
Доказательство. Ортонормалыюсть системы
в X>(GxD) устанавливается легко, а именно:
GXD
D
= (ф*Л Ф*7') V = (ф*/| Ф*'/'
Докажем полноту этой системы в J?2(GxD). Так как
C(GxD) плотно в Jtz(GxD) (см. § 1.7) то, по теореме 2,
для этого достаточно установить справедливость равенства
Парсеваля — Стеклова для всех /eC(GxD). Пусть /е
^.C(G\D). Так как система {ify} полна в %.2{D), то при
каждом j;eG справедливо равенство Парсеваля — Стеклова
(см. § 1.8)
!2=
y)?dyt B1)
/ = 1 D
где
а, (*)=$/(*, y)b(y)dy. B2)
В силу ограниченности области D функции ify интегри-
интегрируемы на D (см. § 1.7), и, поскольку /eC(GxD), a, e
еС(б) (см. §. 1.5).
Так как при каждом / = 1, 2, ... система {ц>к/} полна
в ^(G), то справедливо равенство Парсеваля — Стеклова
(см. § 1.8)
2 ifl*/lf ==$!*/(*)№ B3)
где, в силу B2), B0) и теоремы Фубини (см. § 1.4),
/ dx =
G |_
У) <Ри/(х) ty (у) dx dy =*
1
J
dy =*
. B4)
§ 11 НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ И ПРЕДЛОЖЕНИЯ 35
По лемме Дини (см. § 1.3) ряд B1) сходится равно-
равномерно на G. Интегрируя этот ряд почленно по области G
и пользуясь равенствами B3) и B4), для функции / полу-
получаем требуемое равенство Парсеваля — Стеклова
2 I! 1«*/Г= 2 к/. wi2=$ $i/(*. y)\xdxdy=*\f?.
Лемма доказана.
Замечание. Все сказанное о пространстве Хг{(У)
переносится и на пространства X2(G\ p) или X2(S) со
скалярными произведениями
(Л ё)р = J Р (х) f (x) g (x) dx, f, ge=X2 (G; p);
G
(/. g) = lf(x)g(x)dS, Ug&XtiS),
где вес pgC(C), p(x)>0, a:s<j и S — кусочно-гладкая
поверхность.
10. Линейные операторы и функционалы. Пусть o/ft
и ©^' — линейные множества. Оператор L, преобразующий
элементы множества <Ж в элементы множества &г*, назы-
называется линейным, если для любых элементов / и g из <Л
и комплексных чисел Я и \х справедливо равенство
При этом множество cJC — qMl называется областью опре-
определения оператора L. Если Lf = f при всех f^a?, то
оператор L называется тождественным (единичным) опе-
оператором. Единичный оператор будем обозначать через /.
Пусть на линейных множествах aS и &f определены
сходимости элементов с непрерывными линейными комби-
комбинациями, например, если fk-+f и gk-+g, /г->оо в <г?, то
и Xfk-f iigk-*¦ Я/ + \ig, fc-^-oo в с^. Линейный оператор L,
переводящий с^ в ®^\ называется непрерывным из&#в ®^",
если из сходимости fk-^f, &->oo в ok следует сходимость
L/fe->-L/, A->oo в ©^\ Отсюда вытекает: для того чтобы
линейный оператор L был непрерывным из <Л в @^\ необ-
необходимо и достаточно, чтобы L/fe->0, fc-voo в ©4^, коль
скоро /л->-0, &->оо в с^.
Пусть <Л и э/'" — линейные нормированные простран-
пространства с нормами \\м и у |^ соответственно (например,
36 ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ГГЛ. Т
Линейный оператор L, перево-
переводящий сМ- в р-Г, называется ограниченным из 4 б ®4^,
если существует такое число С>0, что для любого /е<^
справедливо неравенство
\\LfU^C\\!U- B5)
Из этих определений вытекает: ес/ш линейный оператор L
ограничен из о€ в &i \ то он и непрерывен из <М в &V*.
Действительно, если /л->0, &—>-со в <JC, т. е.
|/JU->0, k-+co, то \Lfk\^^C\\fk\M.
и потому L/ft-*0, k-^оэ в &^\ Это и значит, что опе-
оператор L непрерывен из <Jl в ®-f\
Множество Ju линейного нормированного пространства
<Jt называется ограниченным в <^, если существует такое
число А, что \\fiM<.A при всех /ео®.
Пусть линейный оператор L переводит <Ж в е^! и
линейный оператор /<" переводит ъ-1\ в ?.f. Линейный
оператор КЦ — КЩ), переводящий <Л в у/", называется
произведением K.L операторов К и L; в частности, Kpf =
KK1fK1Kf Kl ° L
Частным случаем линейных операторов являются линей-
линейные функционалы. Если линейный оператор / преобразует
множество элементов o/fl в множество комплексных чисел If,
f e сЖ, то / называется линейным функционалом на мно-
множестве (Л. Значение функционала / на элементе / —
комплексное число // — будем обозначать через (/, /). Таким
образом, непрерывность линейного функционала / означает
следующее: если /<?->0, &->-оо в <Ж, то последовательность
комплексных чисел (/, fk), &->co, стремится к 0.
Будем говорить, что последовательность /ь /2,... линей-
линейных функционалов на <М слабо сходится к (линейному)
функционалу / на <Л, если она сходится к / на каждом
элементе / из е^, т. е. (lk, /)->¦(/, /), &->оо.
Линейный функционал ) на множестве <Л zd <Л назы-
называется продолжением линейного функционала /, заданного
на (Л, если (/, /) = (/, /), \<=<Л.
Примеры линейных операторов и функ-
функционалов.
а) Линейный оператор вида
Kf=\M{x, y)f(y)dy, лгеС, B6)
$ !J НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ И ПРЕДЛОЖЕНИЯ 37
называется (линейным) интегральным оператором, а функ-
функция $С (х, у) — его ядром. Если ядро &С e<^2(GxG),
\ \Ж{ху y)\*dxdy = C*<oo, B7)
GXG
то оператор /С ограничен (и, следовательно, непрерывен)
из Хг(р) = <Ж в ^2(G)=^T.
Действительно, применяя неравенство Коши — Буня-
ковского, теорему Фубини (см. § 1.4) и пользуясь B7),
при всех / е <#2 (G) получим неравенство
G\G
G LG
т. е.
которое и означает, что оператор К ограничен из Хг (G)
в X%{G).
Аналогично, линейный оператор А
!; 2, ..., B6')
для которого
I) , <2Г)
ограничен (и стало быть непрерывен) из /2 в h (см. § 1.7),
причем
b) Линейный оператор вида
2 2 |оц (*)!=?О, т>0, B9)
|a,=m
называется (линейным) дифференциальным оператором
порядка т, а функции aa (л:) — его коэффициентами. Если
коэффициенты aa (л:) — непрерывные функции на области
GczRn, то оператор L переводит Ст(Ь) = <Л в C(G)=®^*.
Однако оператор L не является непрерывным из C(G)
38 Постановка краевых задач [гл. 1
в C(G). В самом деле, последовательность
в то время как последовательность
la | ^m ia| ^ m
не имеет предела в С (С). Отметим попутно, что оператор L
определен не на всем пространстве C{G), а лишь на его
части — на множестве функций Ст (G).
с) Линейный оператор
Ц = 2 И ЯГ» (х, У) D«f (у) dy + аа (х) Щ (х) ]
C0)
называется (линейным) интегро-дифференциальным опе-
оператором.
d) Примером линейного непрерывного функционала /
на -^z(G) служит скалярное произведение (/, /) = (/, g),
где g —фиксированная функция из ^2(G). Линейность
этого функционала следует из линейности скалярного
произведения по первому аргументу (см. § 1.7), а в силу
неравенства Коши — Буняковского он ограничен:
и, следовательно, непрерывен.
11. Линейные уравнения. Пусть L — линейный опе-
оператор с областью определения e/ftL. Уравнение
Lu = F C1)
называется линейным (неоднородным) уравнением. В урав-
уравнении C1) заданный элемент F называется свободным чле-
членом (или правой частью), а неизвестный элемент и из
<JtL — решением этого уравнения. Если в уравнении C1)
свободный член F положить равным нулю, то полученное
уравнение
Lu = О C2)
называется линейным однородным уравнением, соответ-
соответствующим уравнению C1).
В силу линейности оператора L совокупность решений
однородного уравнения C2) образует линейное множество;
f !] НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ И ПРЕДЛОЖЕНИЯ 39
в частности, ы = 0 всегда является решением этого урав-
уравнения.
Всякое решение и линейного неоднородного уравнения C1)
(если оно существует) представляется в виде суммы част-
частного решения и0 этого уравнения и общего решения и соот-
соответствующего линейного однородного уравнения C2),
и = ио + ". C3)
Действительно, если и — произвольное решение урав-
уравнения C1), Lu = F, u<=<MLt a «0 —частное решение этого
уравнения, Lun = F, uQ^<J(L, то, в силу линейности опе-
оператора L, их разность «-«0 = «е^ и удовлетворяет
однородному уравнению C2):
Lu = L(u — u0) = Lu — Lu0 = F — F — 0.
Этим доказано представление C3) для решения и.
Отсюда непосредственно выводим: для того чтобы
решение уравнения C1) было единственным в a?L, необ-
необходимо и достаточно, чтобы соотвеп.ствующее однородное
уравнение C2) имело гиолька нулевое решение в <ML.
Пусть однородное уравнение C2) имеет только нулевое
решение в <JCL. Обозначим через <?i'L область значений
оператора L, т. е. (линейное) множество элементов вида
{Lf\, где / пробегает <JlL. Тогда для любою F <= <ML
уравнение C1) имеет единственное решение u^a?Lt и,
таким образом, возникает некоторый оператор, сопостав-
сопоставляющий каждому элементу F из <МL элемент и из <JtL —
решение уравнения C1). Этот оператор называется обрат-
обратным оператором к оператору L и обозначается через L~l,
так что
u = L~lF. C4)
Оператор L~\ очевидно, является линейным и преобразует
<Mi на qSi. Непосредственно из определения оператора L,
а также из соотношений C1) и C4) вытекает:
т. е.
LL~l = I и L'lL = /.
Если линейный оператор L имеет обратный L'1, то
системы функций |фл] и [Ь[,<\ одновременно линейно незави-
40 ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
симы. (При этом, естественно, предполагается, что все
)
Действительно, если система {q>} линейно зависима,
то при некоторых {ck}, из которых только конечное число
отлично от нуля, мы имели бы ^сл^к = 0ш откуда, при-
меняя оператор L, получим ^]cfc/xpfe = 0, т. е. система
к
\L<pfc\ линейно зависима. Обратно, если система {Lyk}
линейно зависима, **?ickLyk = 0, то, применяя оператор
k
L, получим
2 2 = 0,
гак что система {ф*} линейно зависима.
Рассмотрим линейное однородное уравнение
Lu=Xu, C5)
где Я — комплексный параметр. Это уравнение имеет нулевое
решение при всех Я. Может случиться, что при некоторых X
оно имеет ненулевые решения из <ML. Те комплексные
значения X, при которых уравнение C5) имеет ненулевые
решения из ©#ь называются собственными значениями
оператора L, а соответствующие решения — собственными
элементами (функциями), соответствующими этому соб-
собственному значению. Полное число гA^г^со) линейно
независимых собственных элементов, соответствующих дан-
данному собственному значению X, называется кратностью
этого собственного значения; если кратность г — 1, то Я
называется простым собственным значением.
Если кратность г собственного значения X оператора
L конечна и иь и2, ..., иг — соответствующие линейно
независимые собственные элементы, то любая их линейная
комбинация
"о = с1и1 + с2«2 + -.- + ^«г C6)
также является собственным элементом, соответствующим
этому собственному значению, и формула C6) дает общее
решение уравнения C5) Отсюда и из формулы C3) выте-
вытекает: если решение уравнения
Lu = hu-\-f C7)
$ 1] НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ И ПРЕДЛОЖЕНИЯ 41
существует, то его общее решение представляется формулой
где и* —частное решение C8) и ck, k=\, 2, ..., г,—
произвольные постоянные.
12. Эрмитовы операторы. Линейный оператор L, пере-
переводящий р#? cz Хг (G) в c5f2 (G) называется эрмитовым, если
его область определения *#, плотна в <S?2 (G) и Для любых
/ и g из с///, справедливо равенство
(Lf, ?) = (/, Lg). C9)
Выражения (Lf, g) и (L/, /) называются соответственно
билинейной и квадратичной формами, порожденными
оператором L.
Для того чтобы линейный оператор L был эрмитовым,
необходимо и достаточно, чтобы порожденная им квадра-
квадратичная форма (Lf, f), j^<JCL, принимала только вещест-
вещественные значения.
Действительно, если оператор L эрмитов, то в силу C9),
(Lf, /) = (/, Lf) = (Lft /), /s^,
так что квадратичная форма (Lf, f) принимает только
вещественные значения.
Обратно, если квадратичная форма (Lf, f) принимает
только вещественные значения, то при всех / и g из
имеем
\ f + ig)-(Lf, f)-(Lg, g)] = 0,
\m[(Lg, f) + (Lf, g)] =
, f + g)-{Lf, f)-
и, стало быть,
(Lf, g) = Re (Lf, g) + i Im (Lf, g) =
= Re (Lg, f)-i\ m (Lff, /) = (^5Г7) = (Л
так что оператор L эрмитов.
Линейный оператор L, переводящий <>ML c= i?2 (С)
в с5^2 (С?) называется положительным, если <^х, плотна
42 ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ГГЛ. 1
В Хг (О) И
(L/, /KsO, feaSL.
Из доказанного утверждения следует, что всякий поло-
положительный оператор эрмитов.
Теорема. Если оператор L эрмитов (положитель-
(положительный), то все его собственные значения вещественны (неот-
(неотрицательны), а собственные функции, соответствующие
различным собственным значениям, ортогональны.
Доказательство. Пусть Яо — собственное значение
а «о — соответствующая нормированная собственная функ-
функция эрмитова оператора L, Lu0 = Аом(). Умножая скалярно
это равенство на и0, получим
(Lu0, wo) = (Xomo, и0) = Х0(и0, Но) = К !1 «о li" =- V D0)
Но для эрмитова (положительного) оператора квадратич-
квадратичная форма (L/, /) принимает только вещественные (неот-
(неотрицательные) значения, и, стало быть, в силу D0),
Ао—вещественное (неотрицательное) число.
Докажем, что любые собственные функции щ и мя,
соответствующие различным собственным значениям А,
и Яо, ортогональны. Действительно, из соотношений
из вещественности Ях и Я2 и из эрмитовости оператора L
получаем цепочку равенств
М«ь «г) = (^1«1. uz) = (Lult м2) = (иь Lu,) =
= («1, Я2ы2)=*А2(Нь «г),
т. е.
Отсюда, поскольку Х1фХ2, вытекает, что (иъ «2) = 0.
Теорема доказана.
Предположим, что множество собственных значений
эрмитова оператора L не более чем счетно, а каждое
собственное значение —конечной кратности. Перенумеруем
все его собственные значения: %г, л2, ..., повторяя Xk
столько раз, какова его кратность. Соответствующие
собственные функции обозначим через ии и.2, ..., так
чтобы каждому собственному значению соответствовала
только одна собственная функция uk:
/?=1, 2, ... D1)
§ 2] ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 43
Собственные функции, соответствующие одному и тому же
собственному значению, можно выбрать ортонормальными,
используя процесс ортогонализации Шмидта (см. § 1.8).
При этом опять получатся собственные функции, соответ-
соответствующие тому же самому собственному значению. По тео-
теореме § 1.12 собственные функции, соответствующие раз-
различным собственным значениям, ортогональны.
Таким образом, если система собственных функций \ии}
эрмитова оператора L не более чем счетна, то ее можно
выбрать ортонормальной:
(Luk, и,-) = М"*. ui) = Xkbki. D2)
Замечание. Все сказанное в §§ 1.7—1.9, 1.12 о пространстве
J?2 (G) с очевидными изменениями справедливо и для его дискретного
аналога /2, и тем более для всех конечномерных подпространств
пространства /2.
§ 2. Основные уравнения математической физики
Математическое описание многих физических процессов
приводит к дифференциальным и интегральным уравне-
уравнениям или даже к интегро-дифференциальным уравнениям.
Весьма широкий класс физических процессов описывается
линейными дифференциальными уравнениями второго
порядка (см. § 1.10)
п п
/,/=1 ; /=|
В этом параграфе мы рассмотрим характерные физи-
физические процессы, сводящиеся к различным краевым
задачам для дифференциальных уравнений.
1. Уравнение колебаний. Многие задачи механики
(колебания струн, стержней, мембран и трехмерных объ-
объемов) и физики (электромагнитные колебания) описываются
уравнением колебаний вида
р д? = div(p grad u)-qu + F (x, t), B)
где неизвестная функция и(х, t) зависит от п(п=\, 2, 3)
пространственных координат x = (xlt х2, ... хп) и времени t;
коэффициенты р, р и q определяются свойствами среды,
где происходит колебательный процесс; свободный член
44 ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ГГЛ. I
F(x, t) выражает интенсивность внешнего возмущения.
В уравнении B), в соответствии с определением опера-
операторов div и grad,
Продемонстрируем вывод уравнения B) на примере
малых поперечных колебаний струны. Струной называется
натянутая нить, не сопротивляющаяся изгибу.
Пусть в плоскости (х, и) струна совершает малые
поперечные колебания около своего положения равновесия,
совпадающего с осью х. Величину отклонения струны
от положения равновесия в точке х в момент времени t
обозначим через и(х, /), так что и — \х{х, t) есть уравне-
уравнение струны в момент времени t. Ограничиваясь рассмот-
рассмотрением лишь малых колебаний струны, мы будем пренеб-
пренебрегать величинами высшего порядка малости по сравнению
с tga = |^.
Так как струна не сопротивляется изгибу, то ее натя-
натяжение Т (х, t) в точке х в момент времени t направлено
по касательной к струне в точке х (рис. 3). Любой участок
струны (а, Ь) после отклонения от положения равновесия
в рамках нашего приближения не изменит своей длины:
и, следовательно, в соответствии с законом Гука, величина
натяжения \Т(х, t)\ будет оставаться постоянной, не за-
зависящей от х и i, | Т (х, t) | = 7V Обозначим через F (х, I)
плотность внешних сил, действующих на струну в точке х
в момент времени / и направленных перпендикулярно
оси х в плоскости (х, и). Наконец, пусть р (х) обозначает
линейную плотность струны в точке х, так что прибли-
приближенно р (х) Ах — масса элемента струны (х, х-\-Ах).
Составим уравнение движения струны. На ее элемент
(х.х-\-Ах) действуют силы натяжения Т(х-\-Ах, t),
— i(x, t) (рис. 3) и внешняя сила, сумма которых,
согласно законам Ньютона, должна быть равна произве-
произведению массы этого элемента на его ускорение. Проектируя
§ 2] ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
46
это векторное равенство на ось и, на основании всего
сказанного получим равенство
, t) A* = p (х)
. C)
Но в рамках нашего приближения
tg a ,
ди
—
дх*
а потому из C) имеем
д*и (х, t) _ г 1 [ ди
х, t) ди(х, Q
дх дх
откуда при Дх->0 следует равенство
&и___т д*и . F
D)
Это и есть уравнение малых поперечных колебаний
струны. При F ФО колебания струны называются выну-
вынужденными, а при F — 0 — свободными.
JC
Если плотность р постоянна, р(х)=р, то уравнение
колебаний струны принимает вид
д2и 9 д'ги . f -г-.
F Т
где /=—, а a2 = —^ — постоянная. Уравнение E) мы
будем также называть одномерным волновым уравнением.
46 ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ГГЛ. I
Уравнение вида B) описывает также малые продольные
колебания упругого стержня
где S(x) — площадь поперечного сечения стержня и Е(х)—
модуль Юнга в точке х.
Из физических соображений следует, что для одно-
однозначного описания процесса колебаний струны или стержня
необходимо дополнительно задать величины смещения и
и скорости ut в начальный момент времени (начальные
условия) и режим на концах (граничные условия).
Примеры граничных условий.
а) Если конец х0 струны или стержня движется
по закону [х (t), то
b) Если на правый конец лг0 струны действует задан-
заданная сила v(/), то
ди_ _ у (О
дх х=х0 ~ То '
Действительно, в этом случае
i0 дх
с) Если правый конец х0 стержня закреплен упруго
и а — коэффициент жесткости закрепления, то
в соответствии с законом Гука.
Аналогично выводится уравнение малых поперечных
колебаний мембраны
F- G)
Если плотность р постоянна, то уравнение колебаний
мембраны
1 «
будем называть двумерным волновым уравнением.
ОСПОППЫС \'РМШЕПИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 47
Трехмерное волновое уравнение
¦и . аз« , а2
описывает процессы распространения звука в однородной
среде и электромагнитных волн в однородной непроводя-
непроводящей среде. Этому уравнению удовлетворяют плотность
газа, его давление и потенциал скоростей, а также состав-
составляющие напряженности электрического и магнитного
полей и соответствующие потенциалы (см. § 2.6).
Мы будем записывать волновые уравнения E), (8)
и (9) единой формулой:
? «и-/. A0)
где Па — волновой оператор (оператор Даламбера):
А —оператор Лапласа:
дх-х "г дх^'--+ дх%'
2. Уравнение диффузии. Процессы распространения
тепла или диффузии частиц в среде описываются следую-
следующим общим уравнением диффузии:
р— = div (р grad и)-qu + F(x, t). A1)
Выведем уравнение распространения тепла. Обозначим
через и(х, t) температуру среды в точке x = (xlt x2, х3)
в момент времени t. Считая среду изотропной, обозначим
через р(х), с(х) и k(x) соответственно ее плотность,
удельную теплоемкость и коэффициент теплопроводности
в точке х. Обозначим через F (x, t) интенсивность источ-
источников тепла в точке х в момент времени t. Подсчитаем
баланс тепла в произвольном объеме V за промежуток
времени (t, t-\-At). Обозначим через S границу V, и пусть
я —внешняя нормаль к ней. Согласно закону Фурье
через Поверхность 5 в объем V поступает количество тепла
Q, = Г k p- dS Л/ = f (/jgrad и, п) dS Л/,
ё ?
48 ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ГГЛ. I
равное, в силу формулы Гаусса — Остроградского,
Qj = jj div (k grad и) dx Ы.
v
За счет тепловых источников в объеме V возникает коли-
количество тепла
Q2 = J F (х, t) dx АЛ
v
Так как температура в объеме V за промежуток времени
(t, t-\-&t) выросла на величину
то для этого необходимо затратить количество тепла
v
С другой стороны, Q3 = Q1+Q2 и потому
откуда, в силу произвольности объема V, получаем
уравнение распространения тепла:
cp-^^div (kgrad и) + F(x, t). A2)
Если среда однородна, т. е. с, р и k — постоянные,
то уравнение A2) принимает вид
^ A3)
где
2 k t F
а2 = —. / = —.
ср ' ' ф
Уравнение A3) называется уравнением теплопроводности.
Число п пространственных переменных xlt x2, ..., хп
в этом уравнении может быть любым.
Как и в случае уравнения колебаний, для полного
описания процесса распространения тепла необходимо
задать начальное распределение температуры и в среде
# Щ ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 49
(начальное условие) и режим на границе этой среды
(граничное условие).
Примеры граничных условий, а) Если на
границе S поддерживается заданное распределение темпе-
температуры М01 ТО
и Is» «о- (И)
Ь) Если на S поддерживается заданный поток тепла мь
то
, да
~R~dn
A5)
с) Если на S происходит теплообмен согласно закону
Ньютона, то
^ \ O, A6)
где h — коэффициент теплообмена и и0 — температура
окружающей среды.
Аналогично выводится и уравнение диффузии частиц.
При этом вместо закона Фурье нужно пользоваться законом
Нэрнста для потока частиц через элемент поверхности AS
за единицу времени: AQ = — D ,- Д5, где D (х) — коэффи-
коэффициент диффузии и и (л\ t) — плотность частиц в точке х
в момент времени t. Уравнение для плотности и будет
иметь вид A1), где р обозначает коэффициент пористости,
p = D и q характеризует поглощение среды.
3. Стационарное уравнение. Для стационарных про-
процессов F (x, t) = F (x), и (х, t) = u (x) уравнения колебания
B) и диффузии A1) принимают вид
F(x). A7)
При р = const и <7 = 0 уравнение A7) называется уравне-
уравнением Пуассона:
Д« = -/, f=Fj; A8)
при f = 0 уравнение A8) называется уравнением Лапласа:
Ди = 0. A9)
Для полного описания стационарного процесса необ-
необходимо еще задать режим на границе —одно из граничных
условий A4) — A6).
ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗЛЯЛЧ
ГГЛ. !
Пусть в волновом уравнении A0) внешнее возмущение
f(x, t) периодическое с частотой со и амплитудой а2/(х),
f(x, t)=a2f(x)ei(»'.
Если искать периодические возмущения и (х, t) с той же
частотой и неизвестной амплитудой и(х),
и(х,
B0)
то для функции и(х) получим стационарное уравнение
Ш1 -f- К U = / \Х) , К = -^j- ,
называемое уравнением Гельмгольца.
К краевым задачам для уравнения Гельмгольца при-
приводят задачи на рассеяние (дифракцию). Например, пусть
задана приходящая (из
бесконечности) плоская
волна eik(a-x\ |a| = l,
&>0, которая подвергает-
подвергается изменению из-за нали-
наличия некоторого препятст-
препятствия на границе 5 ограни-
ограниченной области G (рис. 4).
Препятствие можно зада-
рис> 4. вать, например, с помо-
помощью условия «Ь = 0 или
V(X)i
дп
= 0. Это препятствие порождает рассеянную волну
v(x). Эта волна вдали от рассеивающих центров будет
близка к расходящейся сферической волне
eik\xi
о(\х\-*).
B1)
Поэтому при \х\
условиям вида
оо волна v (х) должна удовлетворять
B2)
называемым условиями излучения Зоммерфельда. Суммар-
Суммарное же возмущение и(х) вне области 6 складывается
из плоской и рассеянной волн:
}+ »(*)• B3)
§ 2] ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 51
Отметим попутно, что функция /(s), s = т~т» фигури-
| X |
рующая в B1), называется амплитудой рассеяния', она
зависит, кроме того, от падающего импульса ka.
4. Уравнение переноса. Если длина свободного пробега частиц
значительно больше их размеров, то для описания процесса распро-
распространения частиц вместо уравнения диффузии используется более
точное уравнение, так называемое уравнение переноса (кинетическое
уравнение). Выпишем уравнение переноса при следующих предполо-
предположениях: 1) Скорости всех частиц одинаковы и равны v. 2) Столкно-
Столкновения частиц между собой пренебрежимо редки. 3) Частицы сталки-
сталкиваются с неподвижными ядрами среды; /(*) — их средняя длина
свободного пробега в точке х. 4) При столкновении частицы с непо-
неподвижным ядром в точке х происходит одно из следующих трех слу-
случайных событий: а) с вероятностью р, (лг) частица рассеивается на
ядре, отскакивая от него, как упругий шарик; Ь) с вероятностью
р% (х) частица захватывается ядром; с) с вероятностью р3 = 1—pj — р2
частица делит ядро, в результате чего появляется \(х)^>\ таких же
частиц (при этом считается, что частица, разделившая ядро, исче-
исчезает). 5) Распределение частиц по направлениям как после рассея-
рассеяния, так и после деления равномерное (изотропное).
Обозначим через п(х, s, t) плотность частиц в точке х, летящих
в направлении s — {Si, s2, s3), |s|= 1, в момент времени t и через
F (х, 5, /) —плотность источников. Тогда функция ty = vn — поток
частиц —удовлетворяет следующему интегро-дифференциальному урав-
уравнению:
|^ + («, grad^) + a^ = ^ ^(х, 5', t)ds' + F, B4)
где a==-j-, h = px-{-\p3. Это есть односкоростное уравнение переноса
для процессов с изотропным рассеянием. Вывод более общих урав-
уравнений переноса и их исследование см. Г. И. Марчук [1] и В. С. Вла-
Владимиров [1].
Если процесс переноса стационарный,
F(x, s, t) = f(x, s), ty(x, s, 0 = ¦$(*. s),
то уравнение переноса B4) принимает вид
(s, gradx|>) + cn|> = gl ?ф(д, sW+/. B5)
Для полного описания процесса переноса частиц необходимо
задать начальное распределение потока частиц г|э в среде (начальное
условие) и режим на границе этой среды (граничное условие). На-
Например, если область G, где происходит процесс переноса, выпуклая,
то граничное условие вида
s, /) = 0, xe=S, (s, nx)<0, B6)
52
ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
ГГЛ. I
выражает отсутствие падающего потока частиц на область G извне
(рис. 5).
Наконец, отметим, что уравнение переноса описывает процессы
переноса нейтронов в ядерном реакторе, переноса лучистой энергии,
прохождения уква1Г0В через
вещество, движения газов и
другие.
5. Уравнения газо-гидроди-
1д намики. Рассмотрим движение
идеальной жидкости (газа), т. е.
жидкости, в которой отсутст-
отсутствуют силы вязкости. Пусть
V(x, /) = (&,, иа, у3) — вектор
скорости движения жидкости,
р(х, /)—ее плотность, р(х, t)
—давление, f (х, /) — интенсив-
интенсивность источников и F(x, 0 =
= (Ft, F2, /^ — интенсивность
массовых сил. Тогда эти вели-
величины удовлетворяют следующей
нелинейной) системе уравнений, называемых уравнениями гидродина-
гидродинамики (газовой динамики):
А B7)
Рис. 5.
B8)
Уравнения B7) и B8) называются соответственно уравнением
неразрывности и уравнением движения Эйлера. Чтобы замкнуть эту
систему уравнений, необходимо еще задать связь между давлением и
плотностью:
Ф(Р, Р)=0, B9)
так называемое уравнение состояния. Например, для несжимаемой
жидкости уравнение состояния имеет вид р = const, а для адиабати-
адиабатического движения газа
рр~х = const, х = —,
где ср и cv — удельные теплоемкости газа при постоянном давлении
и постоянном объеме соответственно.
В частности, если жидкость несжимаема (р = const) и ее движе-
движение потенциально (V = — grad и), то из уравнения неразрывности B7)
следует, что потенциал и удовлетворяет уравнению Пуассона A8).
в. Уравнения Максвелла. Пусть в некоторой среде имеется пере-
переменное электромагнитное поле. Обозначим: Е(х, t) = (E\, Ег Е3) —
напряженность электрического поля, Н (х, t) = (Ht, Нг, /^ — напря-
напряженность магнитного поля, р(х) — плотность зарядов, е — диэлектри-
диэлектрическая постоянная среды, ц — коэффициент магнитной проницаемости
среды, /(х, t)—(fx, /2, /3) —ток проводимости. Тогда эти величины
удовлетворяют следующей (линейной) системе дифференциальных
§ 21 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 63
уравнений, называемых уравнениями Максвелла:
div(e?)==4np, div([A//) = O, C0)
дГ> <3l)
У+±1. ,32,
где c = 3- 1010 см/сек — скорость света в пустоте.
Уравнение C1) выражает закон Фарадея, а уравнение C2) —за-
—закон Ампера.
Отметим частные случаи уравнения Максвелла.
а) р = 0, 8 = const, ц.= const и /-ХЕ (закон Ома), X — const.
Применяя к уравнениям C1) и C2) оператор rot и пользуясь урав-
уравнениями C0), для компонент векторов ? и Н получим так называе-
называемое телеграфное уравнение:
е at К 8Ц
b) /=0, е = const, [i = const. Вводя четырехкомпонентный элект-
электромагнитный потенциал (<p0, <p), =(<Pi, ф2, Фз)» представим решение
уравнений Максвелла в виде
? = grad90--^, //-lrotq>. C4)
При этом компоненты электромагнитного потенциала должны удов-
удовлетворять волновым уравнениям
4лс2
pj^-p, ааф = 0 C6)
и условию Лоренца
&^ 0. C6)
с) Если процесс стационарный, то уравнения Максвелла превра-
превращаются в уравнения электростатики
4np, rot?=0 C7)
и в уравнения магнитостатики
Лп
div(iA//) = 0, rot//=—/. C8)
При е = const электростатический потенциал ф0 удовлетворяет,
4л
в силу C5), уравнению Пуассона A8) при f= р.
При преобразовании уравнений Максвелла мы пользовались сле-
следующими формулами векторного анализа:
divgrad = A, rot rot —grad div - Л/,
rotgrad = 0, div rot = 0.
54 ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ГГЛ. I
7. Уравнение Шредингера. Пусть квантовая частица массы т0
движется во внешнем силовом поле с потенциалом V (х). Обозначим
через ур(х, t) волновую функцию этой частицы, так что | ty (x, t) ]2 &x
ееть вероятность того, что частица будет находиться в окрестно-
окрестности и(х) точки х в момент времени /; здесь Дх —объем и (х). Тогда
функция 1|? удовлетворяет уравнению Шредингера
и$~я>+1'* <39)
где ft= 1,054 • 1СГ27 эрг • сек—постоянная Планка.
Если энергия Е частицы имеет определенное значение, то такое
состояние ее называется стационарным. В этом случае волновая
функция ty(x, t) имеет вид
где волновая функция ^(дс), в силу C9), удовлетворяет стационар-
стационарному уравнению Шредингера
-~^+V\p = E^>. D0)
При V = 0 (свободная частица) уравнение Шредингера D0) превра-
превращается в однородное уравнение Гельмгольца B0).
Как и для уравнения Гельмгольца, в задачах на рассеяние на
потенциале V необходимо требовать выполнения условий излучения
Зоммерфельда B2) на бесконечности (при k = V2m0E fr, ?^=0)*).
8. Уравнение Клейна — Гордона — Фока и уравнение Дирака.
Волновая функция ф (х0, х), Xv*=*ct, х=(хъ х2, хэ), где с —скорость
света, описывающая свободную релятивистскую (псевдо)скалярнуто
частицу массы т0, удовлетворяет уравнению Клейна —Гордона —Фока
(? + mg)(p = 0. D1)
Для описания свободной релятивистской частицы массы т0 со
спином 1/2 (электрон, протон, нейтрон, нейтрино и др.) служит
четырехкомпонентная волновая функция (спинор)
Она удовлетворяет уравнению Дирака —системе четырех линейных
дифференциальных уравнений первого порядка:
2yk wk -mo1)w {xo> x)=°' D2)
*) См. например: Д. И. Блохинцев [1], гл. IV и XIII, А. Мес-
сиа [1], гл. П.
f Sf КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИИ 85
где /-единичная матрица я yk—матрицы Дирака (в реализации
Паули):
Y1'
Y3-
Уравнение Дирака есть результат матричной факторизации уравне-
уравнения Клейна —Гордона —Фока, ибо*)
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
—I
0
0
J
0
0
i
0
0
0
i
0
0
0
0
0
—1
— i
0
0
0
0
0
0
—1
0
0
]
0
0
0
—1
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
—1
0
0
2 ^)у 2
§ 3. Классификация квазилинейных
дифференциальных уравнений второго порядка
Прежде чем формулировать математические постановке
краевых задач для линейных дифференциальных уравни-
ний второго порядка необходимо классифицировать эти
уравнения.
1. Классификация уравнений в точке. Рассмотрим
квазилинейное (линейное относительно всех старших про
изводных) дифференциальное уравнение второго порядка
A)
с непрерывными коэффициентами а,-,- (х). Выясним прежде
всего, по какому закону преобразуются коэффициенты ау
при произвольной неособенной замене независимых пере-
переменных у = у(х), т. е.
yi = yi(xi, х2 хп), / = 1, 2 п\
*) См. Н. Н. Боголюбов и Д. В. Ширков [1], § 6.
56 ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ГГЛ. I
Так как йфО, то в некоторой окрестности можно выра-
выразить переменные х через переменные у, х = х(у). Обозна-
Обозначим и (х (у)) = п (у); тогда й(у(х)) = и(х). Имеем
п
ди у дп dyi
dxi jLi dyi dxi *
1 = 1 n n C)
d*u _ д fdu \_ у дЧ dy[dyk у дй д*у{
дх[ дх/ ~ dxj \dxi) ~~ Zd dyt dyk dxi dxf ' ^ dyt dxt dx,-'
Подставляя выражения (З) в уравнение A), получим
n dIldJlLAX дА X
-J^L X n IlJlLA-X А X n J^L-
Ь ду{ dyk L Uij dfr дх,- "*" L ду( L °iJ dxt дх,-
к. 1=1 i, i = 1 / = 1 i, I = I
}* (У, ", gradw)=O. D)
Обозначая теперь через а^ новые коэффициенты при вто-
вторых производных:
п
\ ^ / \ difi дук /Сч
&lk \У) ~ / &и {%) я— д— » (")
^hJ OXi OXj
I, /=1
перепишем уравнение D) в виде A):
п
jLi xv'du,dyk vy> '
к, / =
Фиксируем точку хо\ обозначим Уо = у(хо), a/t-= У1\хо)г
Тогда формула E) в точке х0 запишется в виде
G)
Полученная формула преобразования коэффициентов а^
в точке х0 совпадает с формулой преобразования коэффи-
коэффициентов квадратичной формы
п
(8)
§ 3] КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ 57
при неособенном линейном преобразовании
п
2 fcO, (9)
переводящем форму (8) в форму
к. /=1
Итак, чтобы упростить уравнение A) в точке х0 с по-
помощью замены переменных B), достаточно упростить в этой
точке квадратичную форму (8) с помощью неособенного
линейного преобразования (9). Но в курсе линейной алгебры
доказывается, что всегда существует неособенное преобра-
преобразование (9), при котором квадратичная форма (8) прини-
принимает следующий канонический вид:
г т
2>*- 2 q], m^n; A1)
1=\ 1=г+\
кроме того, в силу закона инерции квадратичных форм
целые числа г и т не зависят от преобразования (9) *).
Это позволяет классифицировать дифференциальные урав-
уравнения A) в зависимости от значений, принимаемых коэф-
коэффициентами Qij в точке х0.
Если в квадратичной форме A1) т = п и все слагаемые
одного знака (т. е. либо г = т, либо г = 0), то уравнение A)
называется уравнением эллиптического типа; если т = п,
но имеются слагаемые разных знаков (т. е. \ ^г-^п— 1),
то уравнение (I)—гиперболического типа (при г = \
или г = п—\ — нормально-гиперболического типа); наконец,
если т<с.п, то уравнение A) — параболического типа (при
т = п—\ и г = 1 или г = п — \— нормально-параболиче-
нормально-параболического типа).
Подчеркнем, что приведенная классификация зависит
от точки х0, так как числа гит зависят от х0. Напри-
Например, уравнение Трикоми
*) См., например А. И. Мальцев [1J, гл. VI и Д. В. Беклеми-
Беклемишев [1], гл. VIU.
Э8 ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ГГЛ. 1
— смешанного типа: при у<С 0 — гиперболического типа,
при #;>0 — эллиптического типа, а при у = 0 — параболи-
параболического типа.
Пусть коэффициенты аи в уравнении A) постоянны, и
пусть преобразование (9) приводит квадратичную форму (8)
к каноническому виду (И). Тогда линейная замена неза-
независимых переменных
преобразует уравнение A) к следующему каноническому
виду:
щ- 2 й+ф». *.
1 * 1Г+\ '
Примеры. Уравнение Лапласа — эллиптического типа,
волновое уравнение —гиперболического типа и уравнение
теплопроводности — параболического типа.
2. Выражение оператора Лапласа в сферических и
цилиндрических координатах. Для иллюстрации преобра-
преобразований § 3.1 найдем выражение трехмерного оператора
Лапласа Д(л = 3, а/; = 6у, Ф = 0) в сферических и цилинд-
цилиндрических координатах.
а) Сферические координаты (рис. 6):
x1 = rsin б cos ф, х^ — г sin 8 sinq>, *3 =
Имеем
^--, 1-1,2,3 Дг-7,
дЬ _ cos 9 cos ф дВ __ cos В sin (р
дх^ 7 • ~дх3 ~~ г ¦
дв sine до cos 9
АИ =
дх3 - г » "v r\ sine'
дф sin ф (Эф cos ф <3ф л » п
длг, г sine олг2 rsmO' дх3 ^
Подставляя эти выражения в формулу D), при п
ay=bi, и Ф = 0 и собирая подобные члены, получим
§31
КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИИ
59
A
i
Рис. 6.
Г
\г
Рис. 7.
Ь) Цилиндрические (полярные) координаты
(рис. 7):
Производя аналогичные, более простые, выкладки, получим
.1.*LjlJ!L, A5)
Г2 C?(f%i OZZ
3. Характеристические поверхности (характеристики).
Пусть функция о)(х), x = (xlt x2, ..., хп)> п^2, класса С1
такова, что на поверхности со(х) = 0 grad (о (х) Ф 0 и
A6)
/ = i
Тогда поверхность со (х) = 0 называется характеристиче-
характеристической поверхностью (или характеристикой) квазилинейного
дифференциального уравнения A), а уравнение A6) —
характеристическим уравнением. При п. = 2 характеристи-
характеристическая поверхность называется характеристической линией.
Предположим, что каждая поверхность семейства со (л:) —
— С = 0, а<С<Ь, есть характеристика уравнения A).
Поскольку на каждой характеристике gradw^O, то
это семейство заполняет некоторую, достаточно малую,
область G, через каждую точку которой проходит одна
и только одна характеристика. Пусть (OGCfG), Тогда,
если в преобразовании B) взять f/i = (o(*'), то, в силу E)
GO
ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
ГГЛ. I
и A6), коэффициент аи обратится в нуль в соответствую-
соответствующей области G. Поэтому знание одного или нескольких
семейств характеристик дифференциального уравнения дает
возможность привести это уравнение к более простому
виду.
Примеры характеристик.
а) Волновое уравнение (см. A0) § 2.1). Его
характеристическое уравнение имеет вид
Поверхность
A7)
называемая характеристическим конусом с вершиной
в точке (х0, (о), есть характеристика волнового уравнения.
Характеристический конус A7) является границей
конусов
Г+(*о, to) = \a(t-to)>\x-xo<]
и
Г-(*о. to) = [—a(t-to)>\x-xn\l
называемых соответственно конусами будущего и прошлого
с вершиной в точке
(*<ъ ^о) (рис. 8). Обо-
Обозначаем Г! =Г±@, 0).
Волновое уравнение
имеет и другое семейст-
семейство характеристических
поверхностей — семейст-
семейство касательных плоско-
плоскостей к характеристиче-
характеристическим конусам
at + (x, Ь) = С, A8)
где b = (bit b2 bn),
bk и С —любые вещест-
вещественные числа, причем
Ь \
Рис. 8.
\Ь\ \.
Ь) Уравнение теплопроводности (см. A3) § 2.2).
Его характеристиками, очевидно, является семейство пло-
плоскостей * = С.
$ 3] КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИИ 61
с) Уравнение Пуассона (см. A8) § 2.3). Оно
не имеет (вещественных) характеристик, ибо из характе-
характеристического уравнения
»• »=°
вытекает, что gradco = 0 на (о = 0, что невозможно.
4. Канонический вид уравнений с двумя независимыми
переменными. В § 3.1 рассмотрен способ приведения ква-
квазилинейного дифференциального уравнения второго порядка
к каноническому виду в каждой отдельной точке, где
задано это уравнение. В связи с этим возникает вопрос:
нельзя ли одним и тем же преобразованием B) привести
уравнение A) к каноническому виду A3) в достаточно
малой окрестности каждой точки? Чтобы такое приведение
можно было сделать для любого уравнения, необходимо,
чтобы число условий
alk = 0, 1фк% I, ? = 1, 2, ..., п\
Ян = е/йц, / — 2,3 п\ йцФ0,
где 8/ = 0, db 1, не превосходило числа неизвестных функ-
функций ylt /=1, 2, ..., п:
li2_zil + «-K«, т. е. л^2.
Покажем, что для п = 2 (и, очевидно, для п=\) это при-
приведение всегда можно сделать.
Рассмотрим квазилинейное дифференциальное уравне-
уравнение второго порядка с двумя независимыми переменными
причем предполагаем, что коэффициенты a, b и с принад-
принадлежат классу С2 в некоторой окрестности и нигде в ней
не обращаются в нуль одновременно. Для определенности
можно считать, что афО в этой окрестности. Действи-
Действительно, в противном случае может оказаться, что сфО.
Но тогда, меняя местами х и у, получим уравнение,
у которого а ФО. Если же а и с обращаются в нуль
одновременно в какой-либо точке, то ЬфО в окрестности
62 ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ГГЛ. Т
этой точки. В таком случае после деления на 2Ь урав-
уравнение A9) уже будет иметь канонический вид B6).
Переходя к новым переменным
l = l{x,y), i\ = r\(x,y), |еС2, т]еС2, Я(|^|)#О, B0)
приведем уравнение A9) к виду
где, в силу E),
дх; ' дхду ' \ду) '
' +2
>, dv ' дх ду ' \ду)
Потребуем, чтобы функции \(х, у) и г\(х, у) обращали
в нуль коэффициенты а и с, т. е., в силу B2), удовлет-
удовлетворяли уравнениям
g
Так как й^=0, то уравнения B3) эквивалентны линейным
уравнениям
? + М*. ^/)| = 0, Й + Х,(х, у)|=0, B4)
где
г5 - b+V~d
_
1~
& — Ь% ас
Согласно классификации, изложенной в § 3.1, воз-
возможны следующие три типа уравнений A9):
I. Гиперболический тип, если d>0.
П. Параболический тип, если d = 0.
III. Эллиптический тип, если d<cO.
Рассмотрим отдельно все эти три случая.
§ 3] КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИИ 63
1. Гиперболический тип, d>Q. В этом случае
уравнение A9) приводится к каноническому виду
| Ф = 0. B6)
Отметим, что замена переменных p = ?-f Л» а = ? — т)
приводит уравнение A9) к другому, эквивалентному, кано-
каноническому виду:
Для доказательства представления B6) установим суще-
существование хотя бы одной пары решений ?, т} уравнений
B4), удовлетворяющих условиям B0). Отметим, что Ях и
i2 ^ С2. Установим сначала связь этих решений с харак-
характеристиками уравнения A9).
Предположим, что существуют решения уравнений B4)
такие, что gradH^O и grad т]^0в рассматриваемой окрест-
окрестности. Тогда, по определению (см. § 3.3), кривые
Ъ(х, у) = Си Ч(х, У) = Сг B8)
определяют два семейства характеристик уравнения A9).
Для дальнейшего нам понадобится следующая
Лемма. Пусть функция со (л:, у) класса С1 такова,
что ^ Ф 0. Для того чтобы семейство кривых со (х, у) =
= С давало характеристики уравнения A9), необходимо и
достаточно, чтобы выражение со (л-, у) = С было общим
интегралом одного из обыкновенных дифференциальных
уравнений
? = М*. У). % = h{xt У). B9)
Уравнения B9) называются дифференциальными урав-
уравнениями характеристик уравнения A9).
Доказательство. Пусть со (л;, у) — С — семейство
характеристик уравнения A9). Из условия j-^O следует,
что кривые со (х, у)=С заполняют некоторую окрестность.
Поэтому функция со удовлетворяет в этой окрестности
одному из уравнений B4), например уравнению
ai+M*. у)*,=°- B4)
64 ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ГГЛ. I
Далее, на каждой характеристике со (х, #)= С справедливо
соотношение
*? + *??.=о.
дх ' ду dx
Отсюда и из B4') заключаем, в силу условия -^фО, что
ю(я, у) = С есть общий интеграл первого из уравнений B9).
Обратно, если со (х, у) = С есть общий интеграл одного
из уравнений B9), например уравнения ^/'=Я1(х, у), то,
в силу C0), на каждой линии со (л;, у)—С выполняется
соотношение B4'). Но по теореме существования и един-
единственности решения для обыкновенных дифференциальных
уравнений через каждую точку из рассматриваемой окрест-
окрестности проходит одна интегральная кривая со (л;, у) = С этого
уравнения. Поэтому уравнение B4') удовлетворяется во
всех точках этой окрестности. Отсюда заключаем, поскольку
сое С1, д~ф0, что кривые со (л:, у)=С являются харак-
характеристиками уравнения A9). Лемма доказана.
На основании доказанной леммы общие интегралы урав-
уравнений B9): ? (х, y) = Ci и г\ (х, у) = С2 такие, что ? и tj e С1,
ч- ^0 и v^O, определяют два семейства характеристик
уравнения A9). Как следует из общей теории обыкновен-
обыкновенных дифференциальных уравнений *), такие интегралы
существуют в, возможно, меньшей окрестности. При этом,
поскольку ^-еС, то I и ц^С2 и, в силу B9) и B5),
л (Ь ч\ __ Щ дЗ _ дЛ дЗ _ ^1 дЗ а -1\-
\х, у) ~ дх ду ду дх ~ ду ду ^2 х) ~
Vd д? ду\
= 2^,-л'#0. C1)
а дуду ^ v '
Таким образом, семейства характеристик B8) образуют
семейства координатных линий (рис. 9) и функции %(х, у)
и Ц (х> У) можно принять за новые переменные. При этом
в уравнении B1) будет а = с = 0 и, в силу B2) и B9),
Разделив уравнение B1) на коэффициент 25=^0, получим
уравнение в канонической форме B6).
*J См., например, Л. С. Понтрягин [1J, гл. IV.
§3]
КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИИ
65
II. Параболический тип. Пусть d==0 в неко-
некоторой окрестности. Тогда уравнение A9) приводится к кано-
каноническому виду
Р + Ф = 0. C2)
В 'этом случае, в силу B5), Лх = Я2 = — е С2, так что
дифференциальные уравнения B4) совпадают и сводятся
к одному уравнению
дх' а ду'
C3)
Поэтому имеется одно се-
семейство 1(х, у) = Сх харак-
характеристик уравнения A9),
определяемое, в силу лем-
леммы, общим интегралом
уравнения у' = — таким,
др Рис 9
что -рфО\ при этом ?еС2.
(/Ц
В качестве второго семейства координатных линий выберем
прямые х~С2. В результате замена переменных
дает, в силу B2) и C3),
' дх'ду*
Разделив уравнение B1) на коэффициент с = а=^0, получим
уравнение в канонической форме C2).
III. Эллиптический тип, d<0. Пусть коэффи-
коэффициенты а, Ъ и с уравнения A9) —аналитические функции
переменных (х, у) в окрестности некоторой точки (см. § 4.8).
Тогда smo уравнение приводится к каноническому виду
?т + 7г + Ф = 0- C4)
Ос,2 ux\z '
В этом случае, в силу B5), коэффициенты \\ и Л2 урав-
уравнений B4) — аналитические функции, причем при веще-
вещественных (х, у) Хх — Яа. Из теоремы Крши — Ковалевской
Я В. С. Владимиров
66 ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ГГЛ. I
вытекает (см. § 4.8), что в достаточно малой окрестности
существует аналитическое решение со (х, у) уравнения *)
+ М* У)^ <24>
удовлетворяющее условию ~ф§. Положим
«. со (л, у) + 1й{х, у) (й{х, у) — п{х, у)
5 = ^ , Х\ 2i ,
где ffi = ? — rr] — функция, комплексно сопряженная с со=*
= Ц-*Л» она удовлетворяет второму из уравнений B4):
Функции I и т]е С00 и, в силу C5) и C1), их якобиан
отличен от нуля:
- q f u \jvj wiii f — п
2» а ду ду а
да>
Поэтому функции I и у] можно взять за новые переменные.
Посмотрим, какой вид примет уравнение A9) в этих пере-
переменных. По построению функция со удовлетворяет уравнению
/да)\2 . п, д(о дш , /д©\9 п
\dxj ' дх ду ' \ду}
Отделяя здесь вещественную и мнимую части и поль-
пользуясь C5), получим
идхдх^и\дхду
Принимая во внимание формулы B2), заключаем отсюда,
что а = с и Ь = 0 в переменных ?, ц. Далее, так как
*) Решение существует и без предположения об аналитичности
коэффициентов а, Ь и с, см. И. Н. Векуа [1], гл. II. Предположение
об аналитичности коэффициентов позволяет . использовать теорему
Коши — Ковалевской о разрешимости уравнения B4') с комплексными
коэффициентами в классе аналитических функций (при d < 0 это урав-
уравнение называется уравнением Бельтрами).
КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ
67
t/<0 и ^=7*= 0, то й = сфО. Разделив уравнение B1) на
й = сФ0, приведем его к каноническому виду C4).
5. Пример. Уравнение Трикоми. Как отмечалось в
§3.1, уравнение Трикоми
д2и
A2)
принадлежит к смешанному типу: при #<0 оно гипер-
гиперболического типа, а при у ~> О — эллиптического типа,
ибо d = — у. Уравнение Трикоми представляет интерес
Рис. 10.
для газовой динамики, причем в области гиперболичности
1/<0 оно соответствует сверхзвуковому движению, а в
области эллиптичности #>0 — дозвуковому движению.
При #<0 уравнения характеристик B9) принимают
вид у' = ±^г=. Поэтому кривые (рис. 10)
^~~ У
являются характеристиками уравнения Трикоми. Преоб-
Преобразование
приводит уравнение Трикоми к каноническому виду
68 ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ |ТЛ. I
Если же t/>0, то, в соответствии в теорией § 3.4,
-2-
со = -2- х — i Yy* и подстановка типа C5):
приводит уравнение Трикоми к каноническому виду
дЧ , дЧ , 1 дй л _ л
§ 4. Постановка* основных краевых задач
для линейных дифференциальных уравнений
второго порядка
В этом параграфе мы сформулируем математические
модели для ряда характерных физических процессов,
которые сводятся к различным краевым задачам для линей-
линейных дифференциальных уравнений второго порядка.
1. Классификация краевых задач. Как было показано
в § 2, линейное дифференциальное уравнение второго
порядка
^ -qu + F(x, t) A)
описывает процессы колебаний, уравнение
p-^-=div(pgradM)-<7M + /r(*, /) B)
описывает процессы диффузии и, наконец, уравнение
F(x) C)
описывает соответствующие стационарные процессы.
Пусть G с ^ — область, где происходит процесс, и
5 —ее граница, которую считаем кусочно-гладкой поверх-
поверхностью. Таким образом, G есть область изменения аргу-
аргументов х в уравнении C) — область задания уравнения C).
Областью задания уравнений A)- и B) будем считать
цилиндр IJ,T=Gx@, Т) высоты Тис основанием G. Его
граница состоит из боковой поверхности 5х[0, Т] и двух
оснований: нижнего йх{0\ и верхнего йх{Т\ (рис. 11).
Будем предполагать, что коэффициенты р, р и q урав-
уравнений A) —C) не зависят от времени t\ далее, в соот-
соответствии с их физическим смыслом, будем считать, что
ПОСТАНОВКА ОСНОВНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
69
О
цТ
р(*)>0, p(x)>0, q(x)>?0t x^G. Наконец, в соответ-
соответствии с математическим смыслом уравнений A) —C), не-
необходимо считать, что p^C(G), р^Сгф) и ^g
eelC(G).
При этих предположениях, согласно классификации
§ 3, уравнение колебаний A) — гиперболического типа,
Чравнение диффузии B) — параболического пиша и стацио-
стационарное уравнение C) — эллиптического типа. Таким обра-
образом, различие в типах рассматриваемых уравнений тесно
связано с различием физи-
физических процессов, описывае-
мых этими уравнениями.
Как отмечалось в § 2, что-
чтобы полностью описать тот или
иной физический процесс, не-
необходимо, кроме самого урав-
уравнения, описывающего этот
процесс, задать начальное со-
состояние лот процесса (нача-
лииыс усмшп) и режим-на гра-
границе и>й области, п которой
происходит угот процесс {гра-
{граничные условия). Математиче-
Математически это связано с неединствен-
неединственностью решения дифференци-
дифференциальных уравнений. Действи-
Действительно, даже для обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений л-го порядка общее решение зависит от п произ-
произвольных постоянных. Для уравнений же в частных
производных решение, вообще говоря, зависит от произ-
произвольных функций; например, общее решение уравнения
«*=0 в классе функций, зависящих от переменных х и
(/, имеет вид и(х, y)=f(y), где / — произвольная функ-
функция класса С2. Поэтому, чтобы выделить решение, описы-
иающее реальный физический процесс, необходимо задавать
дополнительные условия. Такими дополнительными усло-
условиями и являются краевые условия: начальные и граничные
условия. Соответствующая задача называется краевой зада-
задачей. Различают, таким образом, следующие три основных
типа краевых задач для дифференциальных уравнений.
а) Задача Коши для уравнений гиперболического и
параболического типов: задаются начальные условия,
Рис. п.
70 ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. I
область G совпадает со всем пространством Rn, гранич-
граничные условия отсутствуют.
b) Краевая задача для уравнений эллиптического типа:
задаются граничные условия на границе 5, начальные
условия, естественно, отсутствуют.
c) Смешанная задача для уравнений гиперболического
и параболического типов: задаются и начальные и гра-
граничные условия, G^Rn.
Опишем подробнее постановку каждой из перечислен-
перечисленных краевых задач ъпя рассматриваемых уравнений
2. Задача Коши. Для уравнения колебаний D) (гипер-
(гиперболический тип) задача Коши ставится следующим обра-
образом:, найти функцию и(х, t) класса С2(*>0) ОС1 (*^0),
удовлетворяющую уравнению A) в полупространстве />0
и начальным условиям при t — -\-0:
ди
При этом необходимо, чтобы FeC(/>0), ио е С1 (Ra),
«isC (Rn).
Для уравнения диффузии B) (параболический тип)
задача Коши ставится так: найти функцию и(х, t)
класса C2(f>0)f|C(tf ^0), удовлетворяющую уравнению
B) в полупространстве />0 и начальному условию при
* = 4-0:
При этом необходимо, чтобы FgC(/>0), u0e С(Rn).
Приведенная постановка задачи Коши допускает сле-
следующее обобщение. .Пусть даны квазилинейное дифферен-
дифференциальное уравнение второго порядка гиперболического
типа
п п
д2и \) дЪи , VI д2и ,
и i — I (.= 1
i /тч ( * &и ди ди\ /оч
+ Ф(*. Uu,^, ..., ^ ш), F)
кусочно-гладкая поверхность 2l = [t = v(x)] и функции
и0 и Mj на 2 (данные Коши). Задача Коши для уравне-
уравнения F) состоит в. нахождении в некоторой части области
«41
ПОСТАНОВКА ОСНОВНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
71
t>(y(x)t примыкающей к поверхности 2» решения и(х, t),
удовлетворяющего на 2 краевым условиям
i ди ,-ч
W S = «О» 5~ == ttl» (')
от* s
где л —нормаль к 2» направленная в сторону возрастаю-
возрастающих t (рис. 12).
у
\ /
/
у
У
t
\/
/\
/\
V
\/
Л
>;
д
д
X
\ /
V /
/\ /
Л
Рис. 12.
Я. Роль характеристик в постановке задачи Коши,
Предположим, что поверхность X принадлежит классу С2
(см. § 1.1) и ни в какой своей точке не касается харак-
юристической поверхности (см. § 3.3) уравнения F), т. е.
ни 21 выполнено неравенство
(8)
/./-1
Преобразуем задачу Коши F) —G) к задаче Коши,
п которой данные Коши заданы на плоскости т = 0. Для
угого вместо переменной t введем .ноЪую переменную
x~t — a(x). При этой замене переменной уравнение F)
для функции
й(х, т) ==«(*, т+а(А:)) (9)
и окрестности поверхности 2 принимает вид (см. § 3.1)
я я
Ь I-
*=»!
72
ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
ГГЛ. I
поскольку, в силу (8), «оот^О на v. При этом поверх-
поверхность X переходит в плоскость т = 0, а краевые условия
G), в силу (9), принимают вид
*|t-n = «|z=M*). ^T
Т-0
Ы
(И)
Осталось найти ? на JJ. Дифференцируя первое из
краевых условий G), ип(х) = и(х, а(л:)), по xh получим
п соотношений на ?
ди0 _^дида .ди . - ~
dx-t dt dxi ~* dxi' ~ ' *
Дифференцируя функцию и (х, i) по нормали
1 { —лЛ А = 1/~1 Ч-lgrad сг|2,
A2)
и учитывая второе из краевых условий G), получим еще
одно соотношение на ?:
ди
1
ди да
A3)
Система линейных алгебраических уравнений A2) —A3)
однозначно разрешима относительно величин ?-, / = 1, 2,...
.... л, (
W Б
определитель
<3о
а^я
1
д
каждой
1
Л
и
1
д
да
дхг
точке поверхности
0
... 1
1 За
~ Д дх'п
= (—
так как ее
Замечание. С другой стороны, если поверхность ? совпадает
с характеристической поверхностью уравнения F), то соответствую-
соответствующая задача Коши F) — G) может и вовсе не иметь решения, а если
и имеет таковое, то оно может быть не единственным.
Для доказательства сказанного достаточно привести пример.
Рассмотрим задачу Коти для уравнения uxf = 0 сданными на характе-
характеристике ? = 0:
S 1] ПОСТАНОВКА ОСНОВНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 73
1л'ли решение поставленной задачи существует, то из уравнения и из
пгорого начального условия вытекает необходимое условие разреши-
разрешимости ее: «f(.v) = O. Таким образом, решение задачи может существо-
нлгь лишь при «х (х) = const = а. В этом случае, если и0 <= С2, реше-
решение действительно существует и, как легко убедиться, дается форму-
формулой
и(х, t)*=
где с @ —любая функция класса С2 (t^O), удовлетворяющая усло-
ниям с@) = с' @) = 0. Решение не единственно!
4. Краевая задача для уравнений эллиптического типа.
Краевая задача для уравнения C) (эллиптический тип)
состоит в нахождении функции и (х) класса Ci(G)(]C1(G),
удовлетворяющей в области G уравнению C) и гранич-
граничному условию на 5 вида
ди
где а, р и и —заданные непрерывные функции на 5, при-
Выделяют следующие типы граничных условий A4):
Граничное условие I рода (ос = 1, Р=0)
«!s--=«o. A5)
Граничное условие II рода (а = 0, р* = 1)
ди
дп
S
Граничное условие III рода (Р=1,
ди
A6)
s = u, A7)
Соответствующие краевые задачи называются краевыми
задачами I, II и III рода.
Для уравнений Лапласа и Пуассона (см. § 2.3) крае-
краевая задача I рода
А« = — /, и |s = «в A8)
называется задачей Дирихле; краевая задача II рода
называется задачей Неймана.
74 ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ГГЛ. I
Аналогично ставятся краевые задачи для уравнения
C) и во внешности ограниченной области G (внешние крае-
краевые задачи). Отличие состоит в том, что, помимо гранич-
граничного условия A4) на S, задаются еще условия на беско-
бесконечности. Такими условиями, например, могут быть:
условия излучения Зоммерфельда B2) § 2.3 —для уравне-
уравнения Гельмгольца или Шредингера (см. § 2.7); условия
вида
и(х) = О(\) или и(х) = о(\), |*|-*оо B0)
— для уравнения Пуассона; принадлежность i|5 к %z(R3)
для собственных функций уравнения Шредингера D0)
§ 2.7 и другие.
'5. Смешанная задача. Для уравнения колебаний A)
(гиперболический тип) смешанная задача ставится следую-
следующим образом: найти функцию и (х, t) класса С2 (Цт) П
ПС1(Д7). удовлетворяющую уравнению A) в цилиндре
Цт, начальным условиям D) при 2 = 0, х^О (на нижнем
основании цилиндра Цт) и граничному условию
(на боковой поверхности цилиндра Цт), При этом необ-
необходимо должны быть выполнены условия гладкости
, uo<=Cl(G), utfsCiG), чеСEх[0, Т])
и условия согласованности
*uo + f>d-^\s = v\(-o. B1)
Аналогично для уравнения диффузии B) (параболи-
(параболический тип) смешанная задача ставится так: найти функ-
функцию и(х, t) класса С2(ЦТ)(] СЩТ), grad*w е= С (Цт),
удовлетворяющую уравнению B) в Цт, начальному усло-
условию E) и граничному условию A4').
Замечание. Решения поставленных краевых задач с глад-
гладкостью С1 вплбть до границы области задания уравнения существуют
не всегда. Поэтому иногда приходится отказываться от требования
такой гладкости и требовать, например, чтобы решение было только
непрерывным вплоть до границы области. Эта постановка является
естественной в задачах, не содержащих первых производных в крае-
краевых условиях, например, для уравнений B) и C) с граничным усло-
условием I рода. Если же в краевые условия входят первые производные,
ПОСТАНОВКА ОСНОВНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
75
то в каждом конкретном случае необходимо указывать смысл, в кото-
котором должны быть выполнены эти краевые условия. Например, для
смешанной задачи для уравнения A) выполнения второго из началь-
начальных условий D)- можно требовать в смысле Хг (G):
да
dt
О,
B2)
для задачи Неймана для уравнения Лапласа выполнения граничного
условия A6) можно требовать в следующем смысле:
х' -*-х, х' е G, хе <= — пх-
B3)
6. Другие краевые задачи. Сформулируем еще две
краевые задачи, часто встречающиеся в математической
физике.
Рис 13.
а) Задача Гурса. Пусть дано линейное дифферен-
дифференциальное уравнение гиперболического типа с двумя неза-
независимыми переменными в каноническом виде (см. § 3.4)
dU ' 'dU ' =/(*, У) B4)
с непрерывными коэффициентами а, Ь и с в замкнутом
прямоугольнике П, П = @, хо)х(О, у0). Требуется,найти
функцию и (х, у) класса С1 (П) П С (П), иху е С (П) *), удов-
удовлетворяющую уравнению B4) в прямоугольнике П и при-
принимающую заданные значения на его сторонах у = 0, 0 ^
и дг = О, 0^у^у0 (рис. 13):
"U-o = <P2(#). B5)
*) И тогда иху = иух в П (см., например, Л. Д. Кудрявцев [1],
§ 21).
76 ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ГГЛ. I
При этом необходимо должны быть выполнены условия
гладкости
/€=С(П), ф1еС([0,4 Ф2еС([0, уо\)
и условие согласованности <Pi(O)=cp2(O).
Отметим, что в задаче Гурса задается одно краевое
условие на двух пересекающихся характеристиках урав-
уравнения B4).
Ь) Задача Трикоми для уравнения Чап-
Чаплыгина. Уравнение Чаплыгина имеет вид:
v , ч дги д2и
где
K@) = 0t K'(y)>0,
при К(у) = у уравнение B6) превращается в уравнение
Трикоми (см. § 3.5).
Пусть односвязная область G в плоскости (х, у) раз-
разделена параболической линией г/ = 0 уравнения Трикоми
на две части: эллиптическую Gx (#>()) и гиперболическую
Gi(y<.0). Предположим, что область Gi в у>0 ограни-
ограничена кусочно-гладко и кривой So, которая оканчивается
в точках Xi и х2, Хх<.х2, на оси х, а область G2 в у<.0
ограничена двумя пересекающимися характеристиками St
и 52 уравнения B6) (ср. § 3.5), проходящими соответст-
соответственно через точки хг и х2 на оси х (рис. 14).
Требуется найти функцию и (х, у) — класса С2 (Gx U G2) fl
nC1(G)DC(G), удовлетворяющую уравнению B6) в об-
областях G1 и G2 и принимающую на дуге 50 и на одной
из характеристик, например на Slt заданные значения
и|5в = м0, м|5, = ф. B7)
При этом необходимо, чтобы uq^C(Sq), ф^СEх) и
)
) P()
7. Корректность постановок задач математической
физики. Поскольку задачи математической физики пред-
представляют собой математические модели реальных физиче-
физических процессов, то их постановки должны. удовлетворять
следующим естественным требованиям:
а) Решение должно существовать в каком-то классе
функций <ЖХ.
$ 4] ПОСТАНОВКА ОСНОВНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 77
b) Решение должно быть единственным в некотором
классе функций <Жг.
c) Решение должно непрерывно зависеть от данных за-
задачи (начальных и граничных данных, свободного члена,
коэффициентов уравнения и т. д.). Непрерывная зависи-
зависимость решения и от данною задачи и означает следующее:
пусть последовательность данных uk, k=\, 2, ..., в ка-
каком-то смысле стремится к й и uk, k — l, 2, ... , «—со-
«—соответствующие решения задачи: тогда должно быть uk-+ и,
k-^сю, в смысле сходимости, выбранной надлежащим
образом. Например, пусть задача приводится к уравнению
Lu = F, где L —линейный оператор, переводящий (Л в W,
где <Ж и ®4^ — линейные нормированное пространства.
В этом случае непрерывная зависимость решения и от
свободного члена F будет обеспечена, если оператор L~l
существует и ограничен из ®4^ в <Л (см. §§ 1.10 и 1.11).
Требование непрерывной зависимости решения обусловли-
обусловливается тем обстоятельством, что физические данные, как
правило, определяются из эксперимента приближенно, и
поэтому нужно быть уверенным в том, что решение задачи
в рамках выбранной математической модели не будет су-
существенно зависеть от погрешностей измерений.
Задача, удовлетворяющая перечисленным требованиям
называется корректно поставленной (по Адамару), а мно-
множество функций Mi П М2 — классом корректности. Задача,
не удовлетворяющая хотя бы одному из условий а) —с),
называется некорректно поставленной.
К некорректно поставленным задачам часто приводят
обратные задачи математической физики: по некоторой
информации о решении прямой задачи восстановить неко-
некоторые неизвестные физические величины, определяющие
эту задачу (источники, краевые условия, коэффициенты
уравнения и т. д.).
Новый подход к некорректно поставленным задачам
предложен А. Н. Тихоновым [1]*).
В этой книге мы устанавливаем корректность постав-
поставленных основных краевых задач для линейных дифферен-
дифференциальных уравнений второго порядка в том или ином
классе, а также изучаем качественные свойства решений
*) См. также А. Н. Тихонов, В. К. Иванов и М. М. Лаврентьев
[1], М. М. Лаврентьев [1], А. Н. Тихонов и В. Я. Арсенин [1].
78 ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. I
и методы построения (точных или приближенных) реше-
решений этих задач.
Пример. В теории обыкновенных дифференциальных
уравнений доказывается (см., например, В. В. Степанов
[1], гл. II), что задача Коши
y'=f(x> У), У{Хо) = Уо
поставлена корректно, если функция f(x, у) непрерывна
по (х, у) и удовлетворяет условию Липшица по у (см.
§1.3) в некоторой области, содержащей точку (*0, уо).
8. Теорема Коши — Ковалевской. В этом пункте мы
выделим, довольно общий класс задач Коши, для которых
решение существует и единственно. Прежде всего введем
два определения •).
1) Система N дифференциальных уравнений с N неиз-
неизвестными функциями мь ы2» • • •. Wat
^L = ф. (*, t> ult u2 uN D?°DaxUjt ...), B8)
i=l, 2 N,
называется нормальной относительно переменной tt если
правые части Ф; не содержат производных порядка выше
ki и производных по t порядка выше &*—1, т. е.
Например, волновое уравнение, уравнение Лапласа и
уравнение теплопроводности нормальны относительно
каждой переменной х\ волновое уравнение, кроме того,
нормально относительно t.
2) Функция f{x), A^=(Jfi, x2, ..., х„), называется ана-
аналитической в точке х0, если в некоторой окрестности этой
точки она представляется в виде равномерно сходящегося
степенного ряда
|а|>0 |а|>0
(точка Хо может быть и комплексной). Если функция f(x)
аналитична в каждой точке области G, то говорят, что
она аналитична в области G.
*) Используемые ниже обозначения введены в § 1.2.
f 4] ПОСТАНОВКА ОСНОВНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 79
Для нормальной относительно t системы уравнений
B8) .поставим следующую задачу Коши: найти решение
«1, щ, ..., uN этой системы, удовлетворяющее~начальным
условиям при t = tQ:
ttmf » »»•••»< » >»•••» »
B9)
где ф/Л (л:) — заданные функции в некоторой области
GczR\
Теорема Коши — Ковалевской. Если все функ-
функции (pik (x) аналитичны в некоторой окрестности точки
Хо и все функции Ф,(л:, t, ..., Ujaoai...an, •'¦) аналитичны
в некоторой окрестности точки
то задача Коши B8) — B9) имеет аналитическое решение
в некоторой окрестности точки (х0, t0) и притом един-
единственное в классе аналитических функций.
Для доказательства этой теоремы решение ии u2t ...
..., uN в окрестности точки (лг0, t0) ищется в виде сте-
степенных рядов
Из начальных условий B9) и из уравнений B8) последо-
последовательно определяются все производные D*?*D*Ui в точке
(лг0, U). Равномерная сходимость рядов C0) в некоторой
окрестности точки (лс0, to) доказывается методом мажорант.
Единственность построенного решения в классе аналити-
аналитических функций следует из теоремы единственности для
аналитических функций.
Подробные доказательства теоремы Коши — Ковалевской
содержатся, например, в книгах И. Г. Петровского [1],
Г. Н. Положего [1] и В. П. Михайлова [1].
9. Пример Адамара. Теорема Коши — Ковалевской, не-
несмотря на ее общий характер, полностью не решает во-
вопроса о корректности постановки задачи Коши для нор-
нормальной системы дифференциальных уравнений. Дейст-
Действительно, эта теорема гарантирует существование и
единствен несть решения лишь в достаточно малой окрест*
80 ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ (ГЛ. I
ности, или, как говорят, в малом', обычно же эти факты
требуется установить в наперед заданных (и отнюдь не-
немалых) областях, или, как говорят, в целом. Далее, на-
начальные данные и свободный член уравнения, как пра-
правило, оказываются неаналитическими функциями. Нако-
Наконец, может вовсе не быть непрерывной зависимости
решения от начальных данных. Это показывает пример,
впервые построенный Адамаром (см. Ж. Адамар [lj):
Решение задачи Коши
для уравнения Лапласа
д*и дги
есть
uk(x, t) =-p-si
1 *
Если &-¦>- +со, то -r-sin&A:=?0; тем не менее при хФ /я,
/ — w> — *» • • •»
uk(x, t) = —p-sinkx-/*-0, Л-*оо.
Таким образом, задача Коши для уравнения Лапласа по-
поставлена некорректно (в смысле определения § 4.7).
Тем не менее возможны корректные постановки этой задачи.
Например, в классе функций, ограниченных фиксированной посто-
постоянной, эта задача поставлена корректно при условии, что ее реше-
решение существует (последнее требование приводит к вполне определен-
определенным ограничениям на множество допустимых начальных данных и0
и «i). О корректных постановках задачи Коши для уравнения Ла-
Лапласа и методах их решения см. М. М. Лаврентьев [1].
10. Классические и обобщенные решения. Изложенные
в предыдущих пунктах постановки краевых задач харак-
характеризуются тем, что решения их предполагаются доста-
достаточно гладкими и они должны удовлетворять уравнению
в каждой точке области задания этого уравнения. Такие
решения мы будем называть классическими, а постановку
соответствующей краевой задачи — классической постанов-
постановкой. Таким образом, классические постановки задач уже
предполагают достаточную гладкость входящих в задачу
данных. Однако, в наиболее интересных задачах эти дан-
§ 4] ПОСТАНОВКА ОСНОВНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 81
ные могут иметь довольно сильные особенности. Поэтому
для таких задад классические постановки уже оказы-
оказываются недостаточными. Чтобы поставить такие задачи,
приходится отказываться (частично или полностью) от тре-
требований гладкости решения в области или вплоть до гра-
границы, вводить так называемые обобщенные решения. Но
тогда встает вопрос о том, какие функции можно назы-
называть решениями уравнения. Чтобы сделать это, необходи-
необходимо существенно обобщить понятие производной и вообще
понятие функции, т. е. ввести так называемые обобщен-
обобщенные функции. Изучению этого вопроса целиком посвя-
посвящается следующая глава.
ГЛАВА TI
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
Обобщенные функции впервые в науку были введены
П. Дираком [1J в его квантомеханических исследованиях,
в которых систематически использовалась знаменитая
6-функция. Основы математической теории обобщенных
функций были заложены С. Л. Соболевым ([2], 1936 г.)
и Л. Щварцем ([2], 1950—1951 гг.). В дальнейшем тео-
теория обобщенных функций интенсивно развивалась мно-
многими математиками. Быстрое развитие теории обобщенных
функций стимулировалось главным образом потребностями
математической физики, в особенности теории дифферен-
дифференциальных уравнений и квантовой физики. В настоящее
время теория обобщенных функций далеко п-родвинута
вперед, имеет многочисленные применения в физике и ма-
математике и прочно вошла в обиход математика, физика и
инженера *).
§ 5. Основные и обобщенные функции
1. Введение. Обобщенная функция является обобще-
обобщением классического понятия функции. Это обобщение,
с одной стороны, дает возможность выразить в математи-
математической форме такие идеализированные понятия, как, на-
например, плотность материальной точки, плотность точеч-
точечного заряда или диполя, плотность простого или двойного
слоя, интенсивность мгновенного точечного источника,
интенсивность силы, приложенной в точке, и т. д. С дру-
другой стороны, в понятии обобщенной функции находит
отражение тот факт, что реально нельзя, например, изме-
измерить плотность вещества в точке, а можно измерить лишь
•) См. Н. Н. Боголюбов, А. А. Логунов и И. Т. Тодоров [1],
И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов И], В. С. Владимиров [2. 31, Р. Стри-
тер, Ач Вайтман [1], Р. Йоет [I], Г. Времерман [1], Л. Шварц [1],
Л. Хёрмандер |1].
§ 8] ОСНОВНЫЕ -И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ 83
его среднюю плотность в достаточно малой окрестности
этой точки и объявить это плотностью в данной точке;
грубо говоря, обобщенная функция определяется своими
«средними значениями» в окрестностях каждой точки.
Чтобы пояснить сказанное, попытаемся определить
плотность, создаваемую материальной точкой массы 1.
Считаем, что эта точка совпадает с началом координат.
Чтобы определить эту плотность, распределим (или,
как говорят, размажем) массу 1 равномерно внутри шара
Ue. В результате получим среднюю плотность
I 0, |*|>e.
Примем сначала в качестве искомой плотности (мы ее
обозначим через 6(л:)) поточечный предел последователь-
последовательности средних плотностей ft(x) при е->0, т. е.
4- со, если х = О,
(I)
О, если хфО. v ;
От плотности б естественно требовать, чтобы интеграл от
нее по любому объему V давал бы массу вещества, за-
заключенного в этом объеме, т. е.
1, если OgK,
О, если OgK.
Но, в силу A), левая часть этого равенства всегда равна
нулю. Полученное противоречие показывает, что поточеч-
поточечный предел последовательности fe(x), г->0, не может
быть принят в качестве плотности Ь(х).
Вычислим теперь слабый предел последовательности
функций f&{x), e->0, т. е. для любой непрерывной функ-
функции ф найдем предел числовой последовательности
при е->0 (см. § 1.10).
Покажем, что
е-*0
Действительно, в силу непрерывности функции
ф(лг) для любого т];>0 существует такое ео>0, что
84 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ \ТЛ. II
1 ф (х) — ф @) | < Tj. коль скоро | х | < е0. Отсюда при всех
^ получаем
\х\<е
что и утверждалось.
Таким образом, слабым пределом последовательности
функций /8(л:), е-*0, является функционал ф@), сопо-
сопоставляющий каждой непрерывной функции <р(х) число
Ф @) — значение ее в точке х = 0. Вот этот-то функционал
и принимается за определение плотности Ь(х)\ это и есть
известная б-функция Дирака.
Итак, fe(x)->-6(x), е-*0, в том смысле, что для любой
непрерывной функции ц>(х) справедливо предельное соот-
соотношение
$М*)Ф(*)<**-> F, Ф), е-*0,
где символ F, ф) обозначает число ф @) — значение функ-
функционала б на функции ф.
Чтобы восстановить теперь полную массу, нужно
подействовать функционалом (плотностью) б (х) на функ-
функцию ф(*) = 1, (б, 1)=1@) = 1.
Если в точке * = 0 сосредоточена масса т, то соот-
соответствующую плотность следует считать равной пгб (х).
Если масса m сосредоточена в точке х0, то ее плотность
естественно считать равной тб(х — х0), где (т6(х — х0), ф) =
= тф(лг0). И вообще, если в различных точках xk, k —
— \t 2, ..., jV, сосредоточены ма«сы mk, то соответствую-
соответствующая плотность равна
N
2 mkb(x-xk).
Таким образом, плотность, создаваемая материальными
точками, не может быть описана в рамках классического
понятия функции, и для ее описания следует привлекать
объекты более общей математической природы —линейные
непрерывные функционалы (обобщенные функции).
§ 5] ОСНОВНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ 85
2. Пространство основных функций 2&. Уже на при-
примере 6-функции видно, что она определяется посредством
непрерывных функций как линейный непрерывный функ-
функционал на этих функциях (см. § 1.10). Непрерывные
функции, как говорят, являются основными функциями
для б-функции. Эта точка зрения и берется за основу
определения произвольной обобщенной функции как
линейного непрерывного функционала на пространстве
достаточно «хороших» (основных) функций. Ясно, что чем
уже пространство основных функций, тем больше суще-
существует линейных непрерывных функционалов на нем.
С другой стороны, запас основных функций должен быть
достаточно велик. В этом пункте введем важное простран-
пространство основных функций &f.
Отнесем к множеству основных функций & = & (Rn)
(см. § 1.2) все финитные бесконечно дифференцируемые
в Rn функции. Сходимость в ® определим следующим
образом. Последовательность функций <р1? ф2, ... из &
сходится к функции ф (из &f\ если: а) существует такое
число R > 0, что supp фЛ a UR\ b) при каждом а =
(
0*Ф* (х) —т* Da<P (x), ? -*¦ со.
В этом случае будем писать: ф^-^ф, &->-оо в 2&.
Линейное множество ?$ с введенной в нем сходимо-
сходимостью называется пространством основных функций 20.
Операция дифференцирования ?рф(#) непрерывна
из ?$ в &'.
Действительно, если Фй->>0, ^-^оо в ^, то а) ф*(л:) = О,
| х \ > R при некотором R>0 и Ь) при каждом а
Но тогда: a) supp ?>рфл cz UR\ b) при каждом а
если ^->-оо, что, в силу определения сходимости в &,
и означает, что D&yk-*-Q, ^-^-oo в 2&. Это и значит, что
оператор Dp непрерывен из 22F в 2& (см. § 1.10).
Аналогично, операции неособенной линейной замены
переменных у(Ау-\-Ь) и умножения на функцию ае
е С°° (/?"), a(x)ip(x), непрерывны из В в 3f.
86
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
ГГЛ. П
Совокупность основных функций, носители которых,
содержатся в данной области G, обозначим через ^(С);
таким образом,
&f (G) с & (Rn) = &.
В связи с приведенным определением возникает вопрос:
существуют ли основные функции, отличные от тожде-
тождественного нуля? Ясно, что такие функции не могут быть
Рис. 15.
аналитическими в Rn (см. § 4.8). Примером основной
функции, отличной от нулевой, является «шапочка»
(рис. 15)
/ \ I С е е«—|х|« \х\ <о
Q)g (AJj== л е » I I ~~-~ »
I 0, |*1>е.
Постоянную Се выберем так, чтобы
J <ое (at) dx = 1,
т. е.
§5]
ОСНОВНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
87
Легко проверить, что
*)—р-©! (-¦¦¦).
Следующая лемма дает другие многочисленные при-
примеры основных функций.
Лемма 1. Для любой области G и любого числа
е > 0 существует функция г\ е С°° (Rn) такая, что
(a, b) изображен на
(График функции г\(х) при
рис. 16.)
7}(Х)
\1
а-Зе а-е а
Ь b+e b+Je х
Рис. 16.
Доказательство. Пусть х(*) — характеристиче-
характеристическая функция множества G2e: %(х) = \, дгеО2е; %(*) — О,
#€=G2e. Тогда функция
обладает требуемыми свойствами. Действительно, так как
e = ^e, J «е (*) dx == 1, то (рис. 17)
О < tj
о)е (х —
= J ю8 (S) dg = 1;
r\(x)=
U(x;e)
U (л:; е)
о,
Лемма доказана.
88
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
ГГЛ. II
Из леммы 1 вытекает следствие: если область G огра-
ограничена и G' <s G, то существует функция ц е= @> (G)
такая, что 0 ^ т) ^ 1 и
Следующая лемма
утверждает, что запас
основных функций до-
достаточно велик.
Лемма 2. Множе-
Множество !2& (С) плотно в
Доказательст-
Доказательство. Пусть /б=«5?2(С) и
е> 0 —любое число. В
силу свойства абсолют-
Рис 17 ной непрерывности ин-
интеграла Лебега (см.
§ 1.4, е)) существует такая область G'<^G, что
B)
Так как множество полиномов плотно в X2{G') (см. § 1.7),
то существует полином Р такой, что
т- B/)
Теперь выберем подобласть G"<g=C, настолько близкую
к области С, чтобы
(Г)
G'\G"
?.
Возьмем функцию т] из '§& (С) такую, что 0^т]^1
т] (х) = 1, j:gG" (по следствию из леммы 1 такие функции
существуют). Тогда Рц е ^ (G) и, в силу неравенств B),
B') и B"),
$
G'
G'
\f-P\*dx + 2
что и требовалось.
G\G'
Q'\Q"
§ 5] ОСНОВНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ 89
3. Пространство обобщенных функций ?$'. Обобщен-
Обобщенной функцией называется всякий линейный непрерывный
функционал на пространстве основных функций 2$.
В соответствии с обозначениями § 1.10 значение функ-
функционала (обобщенной функции) / на основной функции ф
будем записывать (/, ф). Обобщенную функцию / будем
также формально записывать в виде /(х), подразумевая
под х аргумент основных функций, на которые действует
функционал /.
Расшифруем определение обобщенной функции /.
1) Обобщенная функция / есть функционал- на J?,
т. е. каждой ф е J? сопоставляется (комплексное) число
(/, Ф).
2) Обобщенная функция / есть линейный функционал
на &, т. е. если фб^, i^eJ? и Л, \i — комплексные
числа, то
3) Обобщенная функция / есть непрерывный функцио-
.нал на &, т. е. если ф^-^О, &->оо в ^, то (/, ф/,)->-0,
k—>-оо.
Обозначим через &' = @'(Rn) множество всех обоб-
обобщенных функций.
Множество ^' — линейное, если линейную комбинацию
V+H? обобщенных функций fug определить как функ-
функционал, действующий по формуле
(V+P& Ф) = Л.(Л ф) + й(г, ф), фе^.
Проверим, что функционал hf-\-\ig — линейный и не-
непрерывный на J?, т. е. принадлежит &>'. Действительно,
если фе^, ijje^ и а, р —любые комплексные числа,
то по .определению,
и потому этот функционал —линейный. Непрерывность
его'следует из непрерывности функционалов f и g: если
Фа-^0, ^-*-оо в i§?, то
90 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ ГГЛ. ц
Определим сходимость в §&' как слабую сходимость
последовательности функционалов (см. § 1.10): последо-
последовательность. обобщенных функций /ь h, ... из Sf1 схо-
сходится к обобщенной функции /ef', если для любой
фЕ^ (fkt ф)->-(/. ф)» &-*сю. В этом случае мы будем
писать /*->/, k-^-oo в J?'. Линейное множество ^' с вве-
введенной в нем сходимостью называется пространством
обобщенных функций ?&'.
Замечание. Линейные функционалы на ®$ не обязаны быть
непрерывными на ?$'. Однако в явном виде не построено ни одного
линейного разрывного функционала на &f\ можно только теоретичен
ски доказать их существование, используя аксиому выбора.
4. Полнота пространства обобщенных функций &'.
Весьма важным является свойство полноты простран-
пространства @f*.
Теорема. Пусть последовательность /ь /2, ...из ?$'
такова, что для каждой фе^ числовая последователь-
последовательность (fkt ф) сходится при /г->оо. Тогда функционал f
на Sf % определенный равенством
(/, ф)= lim {fk, ф), фе^,
k —»оо
также является линейным и непрерывным на <%?у /п. е.
Доказательство*). Линейность предельного функ-
функционала доказывается просто:
= lim (fk
Ф, \J)e^.
Докажем его непрерывность. Пусть фу->0, v->>oo в 3\
нам нужно, доказать, что '(/, фу)-^-0, v->-oo (см. § 5.3).
Допуская/ противное и переходя, ес.ли нужно, к подпо-
подпоследовательности, можно считать, что при всех v =»
= 1, 2, ... выполнено неравенство | (/, фу) | ^ 2а при неко-
некотором а>0. Так как
(/, Фv)= Пт (/ft, фу),
*) Это элементарное доказательство взято из книги Г. Е. Ши-
Шилова 11], § 9,
§ 51 ОСНОВНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ 91
то для каждого v = 1, 2, ... найдется такой номер kv,
что j(/ftv, фу)|^я. Но это невозможно в силу леммы,
следующей ниже. Полученное противоречие и доказывает
непрерывность функционала /. Теорема доказана.
Лемма. Пусть последовательность функционалов
/ь /г. ••• И3 ®' удовлетворяет условиям теоремы и по-
последовательность основных функций фь <р2, . ..из & стре-
стремится к О в J?. Тогда (/ft, <pfe)->-0, fc->oo.
Доказательство. Допустим, что лемма неверна.
Тогда, перейдя,если необходимо, к подпоследовательности,
можно считать, что |(/л, ф*)|$гс>0. Сходимость фл к 0
в &J означает, что а) Фл(х) = 0, |дс|># при некотором
#>0;' Ь) при каждом а
ОаФ* (л;) zX 0, k -*- оо.
Поэтому, переходя, если нужно, опять к подпоследователь-
подпоследовательности, можно считать, что
Положим г|зй = 2*ф*'> тогда
р |а|^й = 0, 1, ..., C)
\pk->0, ^->оо в ^ и любой ряд вида ^ \|зЛу(дс) сходится
v
в ^; в то же время
I (/*, ¦*) I = 2* | (/*, ф») | ^ 2V-v сю, ^-^оо. D)
Теперь построим' подпоследовательности {/*v} и |г|)*у}
следующим образом. Выберем fkt и %, такими, чтобы
|(/ft,, *Ы1^2- (Эт° можно сделать в силу D).) Пусть fkj
и "Ф*/* /—It ¦••» v~ li Уже построены; построим fkv и tykv-
Так как -фл —^0, k-+do в ^, то (/ft , \|5ft)-v0, ^-^-oo,
/ = 1, ..., V—1, и поэтому найдется такой номер N, что
при всех k^N
Далее, поскольку
92 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. II
то найдется такой номер Nt^N, что при всех k^Nx
Наконец, в силу D), выберем такой номер kv^Nlt что
|(l|(
Таким образом, в силу E) —G), построенные fk и
таковы, что
|(/ 4)|< '1V1
| (/*v. **v) | ^ "i; | (/*v. %) | + v + 1. (9)
Положим
В силу (З) этот ряд сходится в J?, и, следовательно, его
сумма \|з е ^ и
оо
(/*v. *) = (/*v. K)+ 2(/v **у).
Отсюда, принимая во внимание неравенства (8) и (9),
получаем
2/-v *>
/=v+l /=v+l
т. e. (/ftv, \|5^->oo, v-voo. Но это противоречит соотно-
соотношению (/ь г|з)-*>(/, г|з), ^->оо, что и доказывает лемму.
5. Носитель обобщенной функции. Обобщенные функ-
функции, вообще говоря, не имеют значений в отдельных точ-
точках. Тем не менее можно говорить об обращении в нуль
обобщенной функции в области.
Обобщенная функция / обращается в нуль в области G,
если (/, ф) = 0 для всех фе^ (G); этот факт будем зал и-
§51
ОСНОВНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
93
сывать так: / = 0, x^G или /(л;) = 0, j;eG, В соответ-
соответствии с этим определением, обобщенные функции / и g
называются равными в области G, если / — g = 0, ^eG;
при этом пишем: f = g, xeG. В частности, обобщенные
функции f и g называются равными, f = g, если для всех
фе^ (Л Ф) = (?, ф).
Пусть обобщенная функция / обращается в нуль
в области G. Тогда она, очевидно, обращается в нуль и
в окрестности каждой точки этой области. Справедливо и
обратное.
Лемма. Если обобщенная функция f обращается
в нуль в окрестности каждой точки области G, то она
обращается в нуль и в
области G.
Доказательст-
Доказательство. Пользуясь преды-
предыдущим замечанием, мож-
можно считать окрестности
шарами. Нам нужно
доказать, что (/, ф) = О
для любой ф е ^ (G).
Фиксируем произволь-
произвольную функцию . ф из
Ф (G). Компакт suppcp
содержится в области G.
Поэтому по лемме Гейне —Бореля (см. § 1.1) suppcp мож-
можно покрыть конечным числом шаров V (xk\ rk), k = 1, 2,...
...,N (ц>), в которых / обращается в нуль. Возьмем умень-
уменьшенные шары U {xk\ r'k), r'k<.rk, &=1, 2, ..., N, все еще
покрывающие supptp (рис. 18). По следствию из лем-
леммы 1 § 5.2 существуют основные функции hR (x) такие, что
Рис. 18.
\ rk).
Обозначим
h(x)'
По построению h(x)^\ в окрестности suppcp. Поэтому
(U {xk; rk)) и ф (х) =
94 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ Г™. II
Отсюда
(. S ф*)= S & я>*)в°-
Лемма доказана.
Пусть /eJ?', Объединение всех окрестностей, где / = О,
образует открытое множество 0h которое называется нуле-
нулевым множеством обобщенной функции /. По лемме в каж-
каждой области, содержащейся в 0f, / = 0; далее, <&f есть
наибольшее открытое множество, в котором / обращается
в нуль.
Носителем обобщенной функции / называется допол-
дополнение 0f до Rn\ носитель / обозначим supp/, так что
supp/ = Rn\@f\ supp/ —замкнутое множество. Если
supp/ —ограниченное множество, то обобщенная функ-
функция / называется финитной.
Из этих определений выводим: а) в любой области,
лежащей вне supp/, обобщенная функция / обращается
в нуль, т. е.
(/, <р) = 0, ф?^, supp/Пsuppф = ф; A0)
Ь) носитель / состоит из тех и только тех точек, ни
в какой окрестности которых / не обращается в нуль.
Замечание. Доказанная в этом пункте лемма допускает сле-
следующее обобщение. Пусть /ej^' и G — область в Rn. Тогда / инду-
индуцирует линейный функционал fQ на ?0 (б), действующий по формуле
(fQ> Ф) = (/. ф). фе^(б).
Функционал fQ непрерывен на %%} (G) в следующем смысле: если
Фл-»-0, к-*-со' в б$ и supp <pft с: G' <g G, то (fQ, фл) -»-0, к-*-оо.
Функционал /0 назовем локальным элементом обобщенной функции /
на G (сужение / на G).
Таким образом, всякая обобщенная функция индуцирует в каж-
каждой области свой локальный элемент. Справедливо и обратное: из
всякой совокупности согласованных локальных элементов можно
«склеить» единую обобщенную функцию. Точнее, справедлива следую-
следующая теорема «о кусочнтом с к л ей в.а н и и». Пусть семей-
семейство областей {Ga} покрывает Rn и для каждого а задан линейный
непрерывный функционал fa на & (Ga), причем если Ga[)Ga,=? ф,
то /a=/a'i х eGanCa,. Тогда существует единственная обобщенная
функция f е ?$'г имеющая /о своими локальными элементами на Ga
при всех а.
6. Регулярные обобщенные функции. Простейшим при-
примером обобщенной функции является функционал, порож-
f 5J ОСНОВНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ 95
даемый локально интегрируемой в Rn функцией f(x):
if, ф)-$/(*Ж*)<*х. Фе^. A1)
Из свойства линейности интеграла следует линейность
этого функционала:
J / (x№q> (х) + цг|> (х)] dx =>
а из теоремы о предельном переходе под знаком интеграла
следует его непрерывность на ®\
(/, Ф*)= \ f(x)q>k(x)dx-+0, fc-voo,
если ф*-*-0, ?->оо в ^. Таким образом, функционал A1)
определяет обобщенную функцию из J?'.
Обобщенные функции, определяемые локально инте-
интегрируемыми в Я" функциями по формуле A1), называются
регулярными обобщенными функциями. Остальные обобщен-
обобщенные функции называются сингулярными обобщенными
функциями.
Лемма (дю Буа-Реймон). Для того чтобы ло-
локально интегрируемая в G функция f (x) обращалась в нуль
в области G в смысле обобщенных функций, необходимо и
достаточно, чтобы f(x)=O почти везде в G.
Доказательство. Достаточность условия оче-
очевидна. Докажем его необходимость. Пусть а —произволь-
—произвольная точка области G. Найдется такой замкнутый шар
U (а\ г), который целиком содержится в области G и
в котором, следовательно, / = 0 в смысле § 5„.5. Так как
при каждом k = (ku k2,...., kn) функция
~(k, X)
"§k(x)—e& о>е(л:--а),
где со8 — «шапочка» (см. § 5.2), принадлежит & (G), то
Таким образом, все коэффициенты Фурье по тригономет-
тригономет\ее ' /
U
рической системе \ее ' / функции /(лг)сое(# — а), инте-
интегрируемой на шаре U (а; е), равны нулю. Отсюда еле-
96 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ {ГЛ. II
дует *), что эта функция равна нулю почти везде и, стало
быть, f(x)=O почти везде в этом шаре. Так как а — про-
произвольная точка области G, то [(х)=0 почти везде в G.
Лемма доказана.
Всякая локально интегрируемая функция в Rn опре-
определяет по формуле A1) регулярную обобщенную функ-
функцию. Из леммы дю Буа-Реймона следует, что всякая
регулярная обобщенная функция определяется единствен-
единственной **) локально интегрируемой в #л функцией. Следо-
Следовательно, между локально интегрируемыми в Rn функ-
функциями и регулярными обобщенными функциями сущест-
существует взаимно однозначное соответствие. Поэтому мы будем
отождествлять локально интегрируемую функцию f(x) и
порождаемую ею по формуле A1) обобщенную функцию —
функционал (/, (р). В этом смысле «обычные», т. е. ло-
локально интегрируемые в Rn, функции являются (регуляр-
(регулярными) обобщенными функциями.
Из леммы дю Буа-Реймона вытекает также, что оба
определения .носителя непрерывной функции, данные
в § 1.2 и § 5.5, совпадают.
Наконец, отметим, что если последовательность />(*),.
й=1, 2, ..., локально интегрируемых функций в Я" схо-
сходится равномерно к функции f{x) на каждом компакте,
то она сходится к f (х) и в &' (Rn).
Действительно, для любой фе^ имеем
(fk, Ф) = $ /* (х) Ф (х) dx-+l [ (х) ф (х) dx = (/, ф), k-+ oo.
Будем говорить, что обобщенная функция / принадле-
принадлежит классу CP(G), /eO(G), если в области G она совпа-
совпадает с функцией /о (х) класса Ср (G), т. е. для любой
ф?^ (G)
if. Ф)-$/о (*)Ф (*)««*.
Если к тому же /0 е Ср (G), то будем говорить, что / при-
принадлежит классу CP(G).
7. Сингулярные обобщенные функции. В соответствии
с определением, данным в предыдущем пункте, сингуляр-
сингулярную обобщенную функцию нельзя отождествить ни с ка-
*) См., например, Г. М. Фихтенгольц [1], т. III, гл. XX и
А. Н. Колмогоров и С. В. Фомин [1], гл. VIII.
**) С точностью до значений на множестве меры нуль.
§ S] ОСНОВНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ 97
кой локально интегрируемой функцией. Простейшим при-
примером сингулярной обобщенной функции является
6-функция Дирака (см. § 5.1)
F, ф) = ф@), фе^.
Очевидно, 6g^', 6(л:) = 0, хфО, так что supp8 = {0}.
Докажем, что б (х) — сингулярная обобщенная функция.
Пусть, напротив, существует локально интегрируемая в
Ra функция f(x) такая, что для любой функции фе= J?
Ф@). A2)
Так как ад (*) е= J?, если фб^, то из A2) вытекает
5 / (*) *i<P (х) dx = ххц> (х) |,_0«* 0 = {Xif, ф)
при всех ф?^; здесь л^ —первая координата х. Таким
образом, локально интегрируемая в Rn функция xj(x)
равна нулю в смысле обобщенных функций. По лемме
дю Буа-Реймона, xJ(x)~0 почти везде, и, стало быть,
/(*) = 0 почти везде. Но это противоречит равенству A2).
Полученное противоречие и доказывает сингулярность
6-функции.
Пусть (ое (*) — «шапочка» (см. § 5.2). Докажем, что
<ое(*)->6(х), б-> + 0 в Г. A3)
Действительно, по определению сходимости в &' со-
соотношение A3) эквивалентно равенству
lim [(йг(х)ц)
По непрерывности функции ф(х) для любого т)>0 су-
существует такое е0 > 0, что | ф (х) — ф @) | < т), коль скоро
|л:|<е0. Отсюда, пользуясь свойствами «шапочки» а>е(х),
при всех е^е0 получаем
что и утверждалось.
Исходя из вида приближающей последовательности
ыг(х), 6-^-4-0 (рис. 15), обобщенную функцию 6 (л:) удобно
изображать графически, как это показано на рис. 19.
4 В. С. Владимиров
98
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. II
Обобщением б-функции является простой слой на по-
поверхности. Пусть 5 — кусочно-гладкая поверхность и
fx(x) — непрерывная функ-
ция, заданная на S. Вве-
хо дем обобщенную функцию
% ц65, действующую по пра-
правилу
-2$(х-зс0) (^б5, Ф) = \ \i (х) ф (х) dS,
S
Рис- 19. Л Л,
Очевидно, juo5 e J? ;
^sW=0, а:ё 5, так что
supp ji85 с: 5. Обобщенная функция (д65 называется про-
сть/л сло^л« на поверхности S с плотностью ц.
Замечание. Локально интегрируемые функции и б-функции
описывают распределения (плотности) масс, зарядов, сил и т. д.
(см. § 5.1). Поэтому обобщенные функции называются также распре-
распределениями (distributions, см. «П. Шварц [1, 2]). Если, например,
обобщенная функция / есть плотность масс или зарядов, то выраже-
выражение (/, 1) есть полная масса или заряд соответственно (если / имеет
смысл на функции, тождественно равной 1; эта функция не принад-
принадлежит @}\); в частности, (б, 1)=1; (/, \) = ^f (x) dx, если /—(абсо-
/—(абсолютно) интегрируемая функция на Rn.
8. Формулы Сохоцкого. Введем линейный функцио-
функционал с?51 —, действующий по формуле
Докажем непрерывность этого функционала на ?$.
Пусть ф*->0, k-^сю в Bt т. е. <pA(x) = O, |x|># и
Da(pk(x)zZQ, k-^oo. Тогда
R
\ \^k{x')
R
-R
Таким образом,
max
UK Л
§ б] ОСНОВНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ $9
Обобщенная функция &> — совпадает (в смысле § 5.6)
с функцией — при х Ф 0. Она называется конечной частью
(partie finie) или главным значением интеграла от —.
Установим теперь равенство
$^x. ФЕ^. A4)
Действительно, если у(х) = 0 при \x\>R, то
R
lim {^
"Я
=Ф(О) lim (~7tdx+ lim
Gt
e--fO С* гь е-4-0 J
Hm arctg* + fy
Соотношение A4) означает, что существует предел по-
1 i
следов а тел ьности . , е-> + 0 в С?~, который мы обо-
обозначим .q, и этот предел равен — iлб (х) + <& — • Итак,
—г-^тг = — /лб (л:) + ^ —. A5)
Аналогично,
A5')
X — I
Формулы A5) и A5') называются формулами Сохоц-
кого ([1], 1873 г.). Они широко используются в квантовой
физике.
9. Линейная замена переменных в обобщенных функ-
функциях. Пусть f (x) — локально интегрируемая в Rn функ-
функция и x = Ay-\-b, det А Ф 0, — неособенное линейное пре-
преобразование пространства Rn на себя. Тогда для любой
100 ОБОБЩЕННЫ! ФУНКЦИИ ГГЛ. И
ф?^ ПОЛУЧИМ
Это равенство мы и примем за определение обобщенной
функции f{Ay-\-b) для любой f(x)^&':
<ЦЛу+Ь), Ф) = (/. "ffi,"*'1), 4>s*-. A6)
Так как операция <р (*)-»-ф [Л-1 (х— fr)] линейна и непре-
непрерывна из §t в & (см. § 5.2), то функционал f(Ay-{-b)t
определяемый правой частью равенства A6), принадле-
принадлежит &'.
В частности, если Л —вращение, т. е. А'=*А~1 и
Ь = 0, то
если Л —подобие (с отражением при с<0), Л =с/,
и Ь = 0, то
я (су), Ф>-р?т(л ф(?))*
если Л = /, то
Обобщенная функция f(x-\-b) называется сдвигом обоб-
обобщенной функции f{x) на вектор 6. Например, 6(х — х0) —
сдвиг 6(х) на вектор —х0 — действует по формуле
Изложенное позволяет определить сферически-симмет-
сферически-симметричные, центрально-симметричные, однородные, периоди-
периодические, лоренцеинвариантные и т. д. обобщенные функции.
Например, обобщенная функция / называется инвари-
инвариантной относительно группы Лоренца (лоренцеинвариант-
ной), если f(Ax)=f(x) для всех преобразований Л из
группы Лоренца (т. е. для всех линейных преобразова-
преобразований А в Rn, сохраняющих квадратичную форму х\ —
I 8| ОСНОВНЫЕ И ОБОБЩЁННЫЕ ФУНКЦИИ 101
Непосредственно из определения A6) вытекает, что
операция линейной замены переменных линейна и непре-
непрерывна из 3' в *&':
о в 3\ если fk-*0, jfe-^oo в 3*.
10. Умножение обобщенных функций. Пусть f(x) —
локально интегрируемая в Rn функция и о^еС00^"),
Тогда для любой <ps^ справедливо равенство
(af, <p) = $a(x)/(x)cp(x)dx = (/, <ир).
Это равенство мы и примем за определение произведения
af обобщенной функции / е $Р* с бесконечно дифферен-
дифференцируемой функцией а:
(af, Ф) = (/, шр), Фе^. A7)
Так как операция умножения на функцию a^C^iR")
линейна и непрерывна из J? в 22) (см. § 5.2), то функ-
функционал af, определяемый правой частью равенства A7),
принадлежит 3'.
Из определения A7) вытекает, что операция умноже-
умножения на функцию а^С°° {Rn) линейна и непрерывна из 3'
в 3>*\
= Я (af) + |i (ag), /,ge ^';
-*-oo e J?', если /ft-v0, Л->со в ^'.
', mo справедливо равенство
/ = Л/, A8)
где т] — любая функция класса С°°(/?я), равная 1 в окрест-
окрестности носителя /.
Действительно, для любой фе^ носители/ и A — tj)ф
не имеют общих точек, а потому, в силу A0),
Примеры:
а) а(хN(х) =
так как при всех ф?^
(об, ф) = (б, шр) = а
102 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. II
так как при всех 9Gf (R1)
Возникает вопрос: нельзя ли определить произведение
любых обобщенных функций так, чтобы это произведение
опять было обобщенной функцией? Для локально интег-
интегрируемых функций их произведение не обязано быть та-
ковым \например, \|*| 2) =\х\~1 в R1). Подобное имеет
место и для обобщенных функций: Л. Шварцем показано,
что такое произведение, которое было бы ассоциативно и
коммутативно, определить нельзя. Действительно, если бы
оно существовало, то, пользуясь примерами а) и Ь), мы
имели бы противоречивую цепочку равенств:
0 0^ (хЬ(х))дь(Ь(х)х)дь
Чтобы определить однозначно произведение обобщенных
функций fug, достаточно, чтобы они обладали, грубо говоря,
свойствами: насколько / «нерегулярна» в окрестности (произ-
(произвольной) точки, настолько g должна быть «регулярной»
в этой окрестности, и наоборот. Например, естественно
считать б (х — а) б (х — Ь) = 0, если а Ф Ъ\ а (х) б (х) —
— а@N(х), если функция а(х) непрерывна в окрестности
точки 0.
11. Упражнения, а) Доказать, что функции
1 — 71 1 . х 1 е е . „ х
« 4е — sin — , - - о . „, —= sin2 —
2 /ne ' nx
стремятся к б (х) при e-*--fO.
b) Доказать предельные соотношения при /->4-°°'
pixt p-ixt
-I—+ 2m6(*),
x — iO
pixt e~'xt
0, -> — 2m (x), /me'^' ->- 0,
te (/) e»-*' -*¦ i6 (x).
с) Доказать, что ряд
сходится в gfi' при любых ak.
f б] ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ
d) Доказать, что 6S (x) -*• О, R -*¦ оо в 6$'.
cos kx
e) Доказать, что & *¦ О, k-*-co в ??>'(/?')» гДе
,Ф =Vp
cos/ис
— оо
f) Пусть aEf (R"), a^O, ^ сь (л:) rfjtr = 1. Доказать, что
-+8(х), е-* 4-0 в
g) Доказать равенство
h) Пусть /—финитная обобщенная функция в R1 и т]—произ-
т]—произвольная функция из & (Я1), равная 1 в окрестности supp /. Положим
Доказать, что: 1) /(г) не зависит от выбора вспомогательной функ-
функции т); 2) /(г) —аналитическая функция при г е supp /; 3) /(г) =
-о(|77)' г-1"оо; 4) hx+te)-}(x-i») + f(x), e-н»-fO в ^'(/?»);
б) /?>B)e}«*»jZ), Аг=1, 2, ...
Функция 7B) называется представлением Коши обобщенной
функции / *).
§ 6. Дифференцирование обобщенных функций
Обобщенные функции обладают рядом удобных свойств.
Например, при надлежащем обобщении понятия производ-
производной любая обобщенная функция оказывается бесконечно
дифференцируемой, сходящиеся ряды из обобщенных функ-
функций можно почленно дифферейцировать бесконечное число
раз.
1. Производные обобщенной функции. Пусть /г
еС^"). Тогда при всех а, \а\^р, и ф?^ справед-
справедлива формула интегрирования по частям
¦) См, Г. Бремерман [1], ч. 11.
104 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ ГГЛ. II
Это равенство, мы и примем за определение (обобщенной)
производной Daf обобщенной функции /<=«^':
Проверим, что Da/GJ?'. Действительно, поскольку
/€=^', то функционал Daf, определяемый правой частью
равенства A), линейный:
и непрерывный:
ибо если ф*->-0, ^->оо в ^, то и D^->0, Л->-оов Ш&
(см. § 5.2).
В частности, при / = б равенство A) принимает вид
(Da6, ф) = (— 1)|а1Саф@), фе=^.
Обозначим {Daf(x)\ классическую производную (там,
где она существует). Из определения обобщенной произ-
производной вытекает, что если обобщенная функция / е=
&Cp{G), то
(в смысле определений §§ 5.5 и 5.6).
2. Свойства обобщенных производных. Справедливы
следующие свойства операции дифференцирования обоб-
обобщенных функций.
а) Операция дифференцирования Da линейна и непре-
непрерывна из 3" в Й1'\
, k-+oo в ®\ если /ft-v0, k-+oo в &'.
Докажем непрерывность. По определению производной
при всех ф е= 2& имеем
что и означает, что Da/ft->-0, ^->-<do в <&'¦ (см. § 5.3).
Линейность доказывается аналогично.
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
105
В частности, если wfi (х) — «шапочка» (см. § 5.2), то
в ®*. B)
Соотношение B) вытекает из соотношения A3) § 5.7.
Например, аде(х)->б' (х), е-»-+0 в 3'. * Последова-
Последовательность ы'е(х), е-»--{-0. изображена на рис. 20. Поэтому
Рис. 20.
обобщенную функцию 6' (х) удобно изображать графиче-
графически, как это показано на рис. 21.
Ь) Любая обобщенная функция бесконечно дифференци-
дифференцируема.
Действительно, если / е ^
то
в свою оче-
и т. д.
с) Результат дифференцирования не зависит от по-
порядка дифференцирования. Например:
/es
C)
106 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
В самом деле, для любой ф?^ получаем
ГГЛ. IT
откуда и вытекают равенства C) (см. § 5.5).
И вообще
D^f = D* (DP/) = DP (D*/).
D)
d) Если /e J?' и a^Cco(Rn), то справедлива форму-
формула Лейбница для дифференцирования произведения af (см.
§ 6.10).
РИС. 21.
Например:
(В)
Действительно, если ф —любая основная функция, то
д (аф) да
а/
да
да с
df , да
откуда и вытекает равенство E) (см. § 5.5).
е) Если обобщенная функция f = 0, х е G, то и Daf «в О,
xeG, так что suppDa/с:supp/.
§ 6J ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ Ю7
В самом деле, если fsf (G), то Da<p e 0& (G), а по-
потому
, Ф) = (-l)i«i (/, D«cp) = 0, Фе^(G),
что и означает Da/ = 0, #<=G (см. § 5.5).
f) ?слм ряд
2 и* (*) = ¦$(*).
составленный из локально интегрируемых функций uk (x),
сходится равномерно на каждом компакте, то его можно
почленно дифференцировать любое число раз и полученные
ряды будут сходиться в &'.
В самом деле, поскольку при любом /?>0
Р |x|<J?
SP W = 2 "* W ==t 5 (x), p^ со,
то Sp-^S, p->*oo в I?' (cm. § 5.6). Но тогда, в силу а),
Р-+ОЭ в ^',
что и утверждалось.
Отсюда, в частности, вытекает: если
F)
то тригонометрический ряд
2 a^ikx G)
ft=—00
сходится в &' (R1).
Действительно, в силу F) ряд
1-ГП+2
V
Ad (i
сходится равномерно в R1', следовательно, ряд, пред-
представляющий его производную порядка /7Z + 2, сходится
в &' (R1) я совпадает с рядом G).
3. Первообразная обобщенной функции. В этом пункте
считаем п=\. Всякая непрерывная функция/(*) имеет
108 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ П"Л. П
(единственную с точностью до аддитивной постоянной)
первообразную ^~1Hx)f
/(} (х) = $ f (I). d\ +G, /(-х>' (х) - / (х).
Равенство f(~l)'=*f мы и примем за исходное для опреде-
определения первообразной произвольной обобщенной функ-
функции /.
Обобщенная функция /(-1) из ЗУ (R1) называется перво-
первообразной обобщенной функции f из <%>'(R1), если /(-*>'— Д
т. е.
(/(-1), Ф')»-(/, ф), Фе<^. (8)
Равенство (8) показывает, что функционал /^"х) задан
не на всех основных функциях, а только на их первых
производных. Наша задача — продолжить этот функционал
на все J? (в смысле определения § 1.10), причем так,
чтобы продолженный функционал /г(~1) был линейным и
непрерывным на ^, и выяснить степень Произвола при
таком продолжении.
Предположим сперва, что /(~Х) — первообразная f —су-
—существует. Построим ее. Пусть ф —произвольная функция
из &(Rl). Представим ее в виде
где (о8 (х) — «шапочка» (см. § 5.2) и
- J [ф(*')-М*')$
Докажем, что |е^, Действительно, г|э е С°° (R1) и
|() = О, х< — max(R, е), если ф(д;) = О, |х|>R. Далее,
при jt>max(#, e)
в силу нормировки C) § 5.2. Таким образом, \|з (д:) = О,
jjc|>max(/?, e). Следовательно, i^eJ?.
Применяя функционал f(~1] к равенству (9,), получим
4 в] ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 109
т. е., учитывая (8),
(/(-1), ф) (/, ^) + С$фA)^, ф€2<^, A1)
где обозначено С = (/(-1), юг). Итак, если ^-^ — первооб-
первообразная / — существует, то она выражается равенством A1),
где \|з определена формулой A0).
Теперь докажем обратное: при любой постоянной С
функционал /I-1*, определенный равенствами (И) и A0),
дает первообразную /.
Действительно, функционал р-г\ очевидно, линеен.
Докажем его непрерывность на &. Пусть ф*->-0, &->-со
в 3% т. е. фЛ(х)-=0, |*|># и ф^)(х)z?0, &->-оо.
А тогда, по доказанному,
\x\>max(R, e),
и, очевидно, \|)^а) (х) zfc 0, Л-*оо, т. е.
Поэтому, в силу непрерывности / на ^, имеем
(P-1). Ф») — (f, *») + С J Ф» (I) dg -* 0, Л -ни оо,
что и утверждалось. Следовательно, fr-v e ^'. Осталось
проверить, что /(-1) является первообразной /. В самом
деле, заменяя в A0) ф на ф' и учитывая, что §Ф'(?)^?=0,
получим \|)яф, и тогда из A1) вытекает равенство (8),
что и требовалось. Таким образом, доказана следующая
Теорема. Любая обобщенная функция f имеет един-
единственную, с точностью до аддитивной постоянной, пер-
первообразную, и всякая ее первообразная /г(-1) выражается
формулой
(/<Л Ф) (Л ») + «:, Ф), Фе^, A2)
где \J> определяется равенством A0) и С — произвольная
постоянная*
Доказанная теорема утверждает, что решение диффе-
дифференциального уравнения
A3)
no
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
|ГЛ. It
существует в В' (R1) и его общее решение имеет вид и =
= /'-1* + С, где /<-1) — некоторая первообразная / и С — про-
произвольная постоянная. В частности, если / — непрерывная
функция, то всякое решение в В*
уравнения A3) — классическое. На-
Например, общее решение, уравнений
и =0 в &' есть произвольная по-
постоянная.
Аналогично определяется и пер-
первообразная /Г(~я) порядка п обоб-
обобщенной функции /, /(-«) (л) = Д
Применяя доказанную теорему к
рекуррентной цепочке для /<-*> —
первообразных порядка k, —
Рис. 22. ' '
а:
заключаем, что /<-л) существует и единственна с точ-
нестью до произвольного аддитивного полинома степени
я-1.
4. Примеры, л=1.
а) Вычислим плотность зарядов, соответствующих
диполю с электрическим моментом 41 в точке * = 0
на прямой.
Этому диполю приближенно соответствует плотность
зарядов — 6(* — е)—-Ь(х), е>0 (рис. 22). Переходя
здесь к пределу при е->-+0 в &f:
заключаем, что искомая плотность равна — б' (х).
Проверим, что полный заряд диполя равен 0:
, 0)«0,
а его момент равен 1:
(-6', Х) =
§6] ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 111
Рис. 23.
{fix,}
х
Рис. 24
b) Пусть функция f(x) такова, что [еС'(Кг0) и
/еС'(^^о) (рис. 23). Покажем, что (рис. 24)
Г = {/'(*)} +[Л*. 6 (*-*о), (И)
где [/]Хо — скачок f(x) в точке л:0:
Действительно, если фе
(/', Ф)=~(/, Ф')=-$/(*) ф'
=[/ {хо + 0) -/ (хо ~ 0)] Ф
то
+ J {/' (х)} Ф (jc) rfx =
В частности, если б—функция Хевисайда:
е (л:) = 1,
то
A5)
В теории электрических цепей функция Хевисайда
называется «единичной ступенькой», а S-функция — «еди-
«единичным импульсом». Формула A5) утверждает, что «еди-
112
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. II
яичный импульс» есть производная от «единичной сту-
ступеньки».
Замечание. Первообразная б-функции есть б(х)-f-С, где
С—произвольная постоянная (см. § 6.3). Таким образом, 6(х) вос-
восстанавливается как первообразная своей обобщенной производной б (*);
с другой стороны, б(х) не восстанавливается как первообразная своей
классической производной {6'(*)} = 0, хФО.
с) Если же функция f(x) имеет изолированные разрывы
1-го рода в точках {xk} и {/'(дт)} — кусочно-непрерывная
функция на Rl, to формула A4) естественно обобщается:
/'ЧП*)} + 2 И*,«(*-**). A6)
k
Формулу A6) удобно получать локально, в окрестности
каждой точки xk, с использованием формулы A4) и тео-
теоремы «о кусочном склеивании» (см. замечание § 5.5).
\2rc
-2tC
Рис. 25.
В частности, если
2л-периодическая функция (рис. 25), то
A7)
k — — оо
Мы видим, таким образом, что обобщенные и" класси-
1еские производные, вообще говоря, не совпадают!
d) Докажем формулу
00 00
^_ ^ ёъ*= 2 в(*-2*я). A8)
§6] ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ ПЗ
Для этого разложим 2л периодическую функцию
(дОЛс'-!¦-¦?, *е[0, 2я)
(функция fo определена в § 6.4, с)) в равномерно сходя-
сходящийся ряд Фурье:
О
eikx
В силу результатов § 6.2, f) этот ряд можно почленно
дифференцировать в ^' любое число раз. Дифференцируя
его дважды и учитывая A7), получим
00 «1
г— ' л. V
fr = — со
что и требовалось.
О
Рис. 26.
2л
Отметим, что левая часть равенства A8) есть ряд Фурье
00 1
2я-периодической обобщенной функции 2 b(x
fe=—со
график которой изображен на рис. 26.
е) Покажем, что общее решение уравнения
в &'(R1) дается формулой
т— I
B0)
где ^ — произвольные постоянные.
П4 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. II
Поскольку при всех (ре^ и & = 0, 1, ..., т— 1
х|Вф) = (—l)*Ff (j
то
()
и, следовательно, обобщенная функция B0) удовлетворяет
уравнению A9).
Докажем, что формула B0) дает общее решение в *&'
этого уравнения. Пусть х\ (х) — основная функция, равная 1
в окрестности точки х = 0. (По лемме 1 § 5.2 такая функция
существует.) Тогда любая функция ф из &f представляется
в виде
т—\
где
лЬ(г\— _L -/^ -/^ V Ф<А" @)
Функция 1|)е^, так k«ik она финитна и бесконечно
дифференцируема; бесконечная дифференцируемость ее
в точке, х = 0 следует из формулы Тейлора
k — m
справедливой в некоторЪй окрестности (где т]=1) точки 0
при всех N ^т.
Следовательно, если «е^'-решение уравнения A9),
то, в силу B1),
(т—\ >
«. л(*)
т—\
ft=0
m—I m—1
== 2 (-1)*с*ф1*чо)= 2
Ck== ^] (w Л^ )
что и требовалось установить.
$ 6J ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ П5
Замечание. Полученный результат непосредственно следует
из более общего утверждения о том, что всякая обобщенная функ-
функция, у которой носитель есть точка,
представляется в виде линейной
комбинации б-функции и ее про-
производных в этой точке (см. § 8.4).
Отметим, что в классе локаль-
локально интегрируемых функций урав-
уравнение A9) имеет единственное ре-
решение и = 0.
f) Проверим, что функция Рис. 27.
S(t)=B(t)Z(t), где Z(t) есть
решение однородного дифференциального уравнения
LZ =е Z<«> + ax(t) ZC"-1' +... + М0 Z = 0,
удовлетворяющее условиям
Z @) = Г @) =... = Z^-2) @) = 0, ZC"-1) @) = 1,
удовлетворяет уравнению L% = 6(t).
Действительно, пользуясь формулой A4), получаем
V @ = б (о г @, ,.., Я1-1» @ = 9 @1{ЯгХ) @.
откуда
что и утверждалось.
5. Примеры, л^э2.
а) Обобщением — б' (х) является двойной слой на
поверхности. Пусть S —кусочно-гладкая двухсторонняя
поверхность, я -г- нормаль к S (рис. 27) и v (я) — непре-
непрерывная функция, заданная на S. Введем обобщенную
функцию — ^(v65), действующую по правилу
<fi)^'. SUPP [~ Ж (v^)] с S.
Очевидно,
Обобщенная функция — у- (v85) называется двойным слоем
на поверхности 5 с плотностью v(jc), ориентированным
Пб ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ ГГЛ. II
по нормали п. Эта обобщенная функция описывает плот-
плотность зарядов, соответствующуТю распределению диполей
на поверхности S с поверхностной плотностью момента v (x)
и ориентированных вдоль заданного направления нор-
нормали я на 5 (ср. § 6.4, а)).
Ь) Пусть область G имеет кусочно-гладкую границу «S
и функция /sC1 (G)ПС1 (GO, где Сг = Rn\G. Тогда
'=1'2 п> B2)
где п — пх— внешняя нормаль к S в точке xeS и
[f]s — скачок функций / при переходе извне через поверх-
поверхность 5:
lim f(x')- lim f(x')-\f]s(x), x&S.
x'-*x, Jt'sGi x'-*x,x'e.Q
Для получения формулы B2) воспользуемся формулой
Грина и определением простого слоя (см. § 5.7):
(nxt)
Щ + № cos («с,) 6S, Ф), Ф
с) Пусть в условиях примера Ь) функция
^. Тогда
dxi дх/
Для получения формулы B3) продифференцируем
равенство. B2) по Xj и при дифференцировании функции
\ д \ воспользуемся опять формулой B2):
f 6} ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ П7
Полагая в B3) i=*j и суммируя по i**l, 2, .,., л,
получаем
л
А/ - {А/} + J -^ (Ws cos (ях«) 6s) +
м ^-1
:os (я^) 6S. B4)
Принимая во внимание равенства
л
2 "^Г№ C0S (л*'} б5)" 7К"(^5 в*>' Bб)
перепишем формулу B4) в виде
Докажем формулу ф5). При всех фе^ имеем
( s,
n
5 /=1
Формула B6) устанавливается аналогично.
Полагая в формуле B7) / = 0, xgG1( получим
l^ B8)
Это есть вторая формула Грина, записанная в терминах
обобщенных функций. Применяя обе части равенства B8)
к основной функции ф, получим эту формулу в обычной
118
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
ГГЛ. II
записи:
B9)
Если G — ограниченная область, то формула B9) справед-
справедлива для всех феС2@).
d) Пусть п = 2. Вычислим Д1п|х|. Функция 1п|л:|
локально интегрируема в'/?2. Если хфО, то1п|*|еС0,
а поэтому Da\n\x\={Dalnlx\} (см. § 6.1). Следовательно,
переходя к полярным координатам
(см. A5) § 3.2), получаем
А 1 I I 10
Пусть 9
(A In |*|, ф) =
= (In | х |, Аф) =
)
C0)
, suppфс: UR. Тогда
х | Аф (х) dx =
Рис. 28.
In
Применяя формулу B9) при / = 1я|*| и G = \z<.\x\<.R\
(рис. 28) и учитывая C0), получим, далее
(A In j x ], ф) = 1 im
3
im I \
A In | x j ф dx +
5„ S,
С I да> " 1 \ .If
е—0^ ^ д ' xl '*х I / е-0 8 g
= lim f~ J [ф (у) - ф @)] dS + 2лф @I = 2лф @) = Bяб, ф).
I 8
Таким образом,
Аналогично при п^З получим
Д Т7ТЙ=а = — (« - 2) М W»
C1)
C2)
§ 6] ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ 119
где ал — плогДадь поверхности единичной сферы в Rni
п
2к*
Г —эйлеров -интеграл (гамма-функция):
оо
Г(г)=5<гГ-МЛ
о
е) Проверим, что функции
Ш (х\ ^= —— —~—— » Ш (х\ ^= —— ¦ /qo\
v ' 4л | х | v ' 4я |xf *¦ '
при л = 3 удовлетворяют уравнению
Ч^Ь{х). C4)
Действительно, так как функции cos к \ х \ и \ х I sin k\x\
бесконечно дифференцируемы, то при дифференцировании
функции | х I'1 eik i *' можно пользоваться формулой Лейбница
(см. § 6.2, d)). Учитывая равенства
д 1 х/ д Ik
а_^_ eik\x\a__
SxfJJ] |xj»f dx/ |
и пользуясь формулой C2) при п«=3, получаем
~ eik i *! « — 4яг* " '6
что и утверждалось,
f) Пусть
120 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ |ТЛ. II
Докажем, что
§-й2Д? = 8(*, 0- C5)
Функция ${х, t) локально интегрируема в
поскольку ? = 0, /<0; ?^=0, t^O и при 0
-1- <36>
Если ?>0,"то ?еС°°, а поэтому
— -а2А©э = ™- --)S— -тг-— ? = 0. C7)
Пусть фе^(/?л+1). Учитывая равенство C7), получаем
=— Iirn у \ © (х, /) (-чт -|- п
?
= lim \б(х, е) ф(л
е-0
е)[ф(лг, е) — ц>(х, 0)]dx =
в—о"
г, C8)
так как, в силу C6),
, в)-ф(х,
6] ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ
Докажем теперь соотношение'
»(*. *)=¦
1
DлаЧ)п/2
Действи1ельно, пусть ф
121
5 &'(Rn). C9)
г. Тогда, учитывая, что
в силу C6), получаем при /
соотношение C9):
:, t)dx +
@)-(б, Ф).
Формула C5) следует из соотношений C8) и C9).
Отметим, что предельное соотношение C9) справедливо и
на ограниченных функциях, непрерывных в точке 0.
g) Пусть x —
Докажем, что
Па*1 = Ь{Х, t). D0)
Функция Ш\ локально интегрируема в R2 и обращается
в нуль вне замыкания конуса будущего Г+ (рис. 29).
122 ОБОБЩВННЫЕ ФУНКЦИИ ГГЛ. II
Пусть фе^, Тогда
О —а/
r a/
a Сгаф(о<,<) ftp (-at, fl
dt л 2
о
~ 2 J
*P(a<, Q»
ai~"
дх
о
Б J а7 dx+2 J Tx
dt
1 ?[dy(at, t) dip (at,
о
о о
-|ф@, 0) + -1ф@, 0) = (б, ф),
что и доказывает равенство D0).
h) Пусть bSr — простой слой на сфере \х\=г (см. §5.7).
Установим справедливость соотношения (формула Пицетти)
lA8, r-»0 в ST. D1)
Действительно, при всех (ре^1 при r-*-Q имеем
§'6J
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
123
2л
так как
= О, V 5«5; ds = 6ft/ V S| rfs
s,
slds = on_x \ sin"-2 9 cos28db = ап.г \ A
о о
n— 1
rt-1
я —3
2
2 ' 2
Здесь В — эйлеров интеграл (бе-
(бета-функция):
В (p. q)=*
i) Пусть n = 2, z — x+iy,
2 — x—iy, dz = dx-\-idy. Диф-
Дифференциальный оператор
dz 2 \дх ' " ду)
называется оператором Коши —
Римана. Пусть
0 G
и / (х,
8
Рис. 30.
где
\
Границу 5 области G предполагаем кусочно-гладкой ли-
линией; за положительное направление на 5 принимаем то
направление, при движении по которому область G остает-
остается слева, как это принято в ТФКП (рис. 30). Используя
124 ОБОБЩЕННЫЙ ФУНКЦИИ ГГЛ. !!
формулу B2), выводим
tcos ^> +' cos <Л0] в* D2)
Применяя обе части равенства D2) к основной функ-
функции ф, получаем формулу, аналогичную формуле B9):
я И/ф tcos (/u)+*cos
6
т. е.
D3)
j) Докажем, что
— — = яб (х и) (А4)
Функция — локально интегрируема в R2. Поэтому,
пользуясь формулой D3) при /=— и G = [e<|zJ</?]
(рис. 28), при всех фе^, suppфс:UR, получаем
д \ \ fid
-к
2л
,= шр @) = (яб, ф),
что и требовалось.
6. Упражнения, а) Доказать, что
I б) ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 125
где
b) Показать, что стоящие справа обобщенные функции являются
общими решениями в jg?' (R1) уравнений:
*|.
«й * PR *
X X
*V — 1, «=^4-^9 (ж)+сяб (дс)—^—,
„II
где
(^ггт» ф)= \ Г71 <**+ \ ТТГ^»
\ 1*1 / J . 1*1 . J 1*1
Обратим внимание, что классические решения дифференциальных
уравнений первого порядка содержат лишь одну произвольную
постоянную!
с) Доказать равенство
л (х) б' (х)=- а' @) б (х) + а @) б' (х), ее О (Я*).
d) Доказать: если /е &$' и /(х) = 0, х<д:^ то существует един-
единственная первообразная /<-1), обращающаяся в нуль при
e) Доказать равенство
f) Доказать: если обобщенная функция инвариантна относительно
всех сдвигов, то она—постоянная.
g) Доказать, что система обобщенных функций Dab{x), \a\ — m,
т = 0, 1, .... линейно независима.
h) Доказать, что ряд
00
2 аф<*> (x-k)
СХОДИТСЯ В &$' При ЛЮбыХ Ctfc.
i) Доказать, что общее решение в <%}' уравнения хяи{т) = 0,
п>т, есть
т — \ п — \ т— 1
где сЛ и dA — произвольные постоянные.
126 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. II
§ 7. Прямое произведение
и свертка обобщенных функций
1. Определение прямого произведения. Пусть f (х) и
g (у) — локально интегрируемые функции в пространствах
Rn и Rm соответственно. Функция f(x)g(y) также будет
локально интегрируемой в R"-m. Она определяет (регуляр-
(регулярную) обобщенную функцию, действующую на основные
функции ф (х, у) е ?0 по формулам
(f(x)g(y), 4>) =
= lf(x)\g{y)v(xt y)dydx = (f(x), & (у), ф(лг, у))), A)
(g(y)f(x), 4>) = lg(y)f(x)v(x, y)dxdy =
<f{x), q>(*. у))). (Г)
Эти равенства выражают теорему Фубини (см. § 1.4, h))
о совпадении повторных интегралов с кратным. Равенство A)
мы и примем за определение прямого произведения f(x)-g(у)
обобщенных функций / (*) е &' (/?") и g(y)&&>' (Rm):
tf{x)-g(y), Ф) = (/(*), (g(y), ф(д:, y)))t фе^(/Г). B)
Проверим, что это определение корректно, т. е. что
правая часть равенства B) определяет линейный непре-
непрерывный функционал на & (Rn^m).
Предварительно докажем следующую лемму.
Лемма. Для любых g^&' (Rm) «ф?^ (Rn+m) функ-
функция ty(x) = (jg(y), ц>(х, у)) принадлежит & (Rn), причем
при всех а
, у)). C)
Далее, если Ф&->0, &-*-оо в & (Rn+m), то
Доказательство. Так как при каждом x^Rn
ц(х, y)^&(Rm), то функция г|)(х) определена в Rn.
Докажем, что она непрерывна в Rn. Фиксируем точку х,
и пусть Xk-*-x, k-*-co. Тогда
t у), fe-^оов SSP{Rm)t D)
§ 7} ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ И СВЕРТКА 127
так как, в силу фе^(^л+ш), носители q>(xk, у) ограни-
ограничены в Rm независимо от k (рис. 31) и при всех |3
, у),
Поскольку функционал g(y) непрерывен на J? (Rm), то
из D) вытекает непрерывность функции ^(х) в точке х:
Докажем теперь формулу C). Фиксируем точку х и
обозначим hi = @, .... h, ..., 0). Тогда
так как, в силу (ре^(/?ад), носители %(ft° ограничены
в #т независимо от h и при всех р
A-»»0.
Поскольку ge &'(Rm), то, пользуясь E), получаем
откуда и вытекает справедливость формулы C) при
0\ 0
Применяя снова эти рассуждения к полученной формуле,
убеждаемся в справедливости формулы C) при всех а.
Так как, вместе с q>, D^eJ?^), то из формулы C)
заключаем по доказанному, что Ь°Ч)з (х) — непрерывная
функция в Rn при всех а. Таким образом, ipeC00 (Rn).
Далее, функция ij)(x)финитна в Rn, ибоф(лг, y)=0,\x\>R
128
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. II
(рис. 31), а потому $(x) = (g, 0) = 0 при этих х. Следова-
Следовательно, i|isf (Rn).
Пусть cpfcOt, #)-»-0, /г->оо в 3 (Rn+m). Докажем, что
•фл (*)_>. О, &->оо в ^ (Rn): Так как носители срА(х, у)
ограничены в Rn+m независимо от k, то, как мы видели
выше, носители %(х) также ограничены в Rn независимо
от k. Поэтому осталось доказать, что при всех а
D°^i
*€=#"
•оо.
Пусть это не так. Тогда найдутся такие число ео>О,
индекс а0 и последова-
^ тельность точек xk, что
suppf(xk,y)
Рис. 31.
? = 1,2,... F)
Так как носители tyk
ограничены в R" неза-
независимо от k, то из F)
следует, что последовате-
последовательность xk, k = 1, 2,...,
также ограничена в #я.
Поэтому по теореме Бо-
льцано— Вейерштрасса
(см. § 1.1) из нее мож-
можно выбрать сходящуюся подпоследовательность
i-*oo. Но тогда
Отсюда, в силу непрерывности функционала g на
из формулы C) получаем
(Rm),
чтЪ противоречит неравенствам F). «Лемма доказана.
Вернемся к определению прямого произведения. По
только что доказанной лемме ty(x) = (g(y), ц>(х, у)) е
е &! (Rn) для всех fsf (Rn+m). Следовательно, правая
часть равенства B), равная (Д $), имеет смысл для любых
обобщенных функций f и g и, таким образом, определяет
функционал на S1 (Rn+m). Далее, из линейности функцио-
функционалов fag следует линейность этого функционала.
§ 7] ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ И СВЕРТКА 129
Докажем; что построенный функционал непрерывен
на & (Rn+m). Пусть фд->-0, ?-*оо в & (Rn+m). Тогда по
лемме
а потому, в силу непрерывности функционала / на §0 (Rn),
(/(*). (#(*/). Ф*(*. У)))-*-®, k-+cat что и означает непре-
непрерывность линейного функционала, стоящего в правой части
равенства B).
Таким образом, функционал f (x) •#(#) е= $&' (tf"+m), т. е.
является обобщенной функцией.
2. Коммутативность прямого произведения. Пусть даны
обобщенные функции /eJ?'(/?") и g<=&'(Rm). Наряду
с прямым произведением f(x)-g(y)?B соответствии с фор-
формулой B); определяется прямое произведение g(y)-f(x):
, Ф) = (?(</), (/(*), Ф(х, у))), ФЕ^(ГМ). B')
Оказывается, что
f(x)-g(y)=g(y)-f(x), G)
т. е. операция прямого произведения коммутативна.
Действительно, на основных функциях ф е ^ (i?"+m)
вида
N
Ф(х, У)^^и{(х)vt(у), щ<=@(Rn), vt^B (Rm), (8)
i —i
равенство G) вытекает из определений B) и B'):
/ N \ N
(f(x)-g(y), Ф)= /, 2 ut{g, vt) = 2 (/
Чтобы распространить равенство G) на любые основные
функции, докажем лемму о том, что множество основных
функций вида (8) плотно в @> (Rn+m) (ср. § 1.7).
Лемма. Для любой функции ф?^(Rn+m) существует
последовательность основных функций cpfe (х, у), k = 1, 2, ...,
вида (8), сходящаяся к ф в &) (Rn+m).
Доказательство. Пусть носитель ф(х, у) содер-
содержится в таре UR (рис. 32). По теореме Вейерштрасса
5 В. С. Владимиров
130
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
ГГЛ. II
(см. § 1.3) существуют полиномы Pk{x, у)< k=l, 2,...
такие, что
Da4>-DaPk\<~ при всех |а
и |х|2
. (9)
Пусть е(х) и h{у) — основные функции, равные 1 в шаре
радиуса ^ и 0 вне шара радиуса 2R (по лемме 1 § 5.2
такие функции существуют). Тогда последовательность
основных функций
y) = e(x)h(y)Pk(x, у), 6=1, 2
обладает требуемыми свойствами. Действительно, ф^ имеют
I !2 1I2 8R2
ру
вид (8), их носители содержатся в шаре I х !2 +1У
9
8R2
р
и, в силу (9), при любых
а и &^г |а|
R
2R 21ZR \х\
Рис. 32.
где Са — некоторые числа,
не зависящие от k. Это
значит, что ф*-»-ф, k-*-oo
в J? (Rn+m). Лемма дока-
доказана.
Пусть ф—произволь-
ф—произвольная основная функция из
Sf (Rn+m). В силу доказан-
доказанной леммы существует последовательность фь ф2, ... ос-
основных функций вида (8), сходящаяся к ф в & (Rn+m).
Отсюда, пользуясь непрерывностью на &) (Rn+m) функциона-
функционалов f(x)- g(y) и g(y)f(x) (см. § 7.1) и доказанным ра-
венств'ом G) на функциях вида (8), получим равенство
G) и в общем случае:
(f(x)-g(y), ф)=
= Hm (g(y)-f(x), <p*)«
3. Дальнейшие свойства прямого произведения.
а) Операция прямого произведения f (x)- g (у) линейна
и непрерывна относительно f (из &'(Rn) в &' (/?л+т)) и
« 71 ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ И СВЕРТКА ГЗГ
относительно g (из <%>' {Rm) в В' {Rn+m))> например:
[V (х) + иЛ (*)] • ? (у) = X [/ (х) • gr (у)] + и [/t (х
если
Докажем непрерывность. Пусть фе^^). По лем-
лемме § 7.1 i|)(*) = (?(//), ц>(х, j/))G^(i?"). Поэтому, поль-
пользуясь определением B) прямого произведения, получаем
(fk(x)-g(y), Ф) = (/И^), (g(y). V(x
что и требовалось.
Ь) Ассоциативность прямого произведения:
если [б^'(^), g<=&'(Rm) и Ле^'Щ то
/ (*) • Iff (у) • А (г)J = [/ (х) • g (у)] • Л (г). A0)
Действительно, если фее ^ {Rn*mirk)t то
, (g(y)-h(z), Ф)) =
, (Л (г),
с) Дифференцирование прямого произве-
дени я:
W\l(x)'g(y)] = irf(x).g(y). A1)
В самом деле, если ф ^. 2$ (Rn+m), то (см. § 6.1)
= (g(y),.(Daf(x), <f>)) = (D«f(x).g(y), ф).
d) Умножение прямого произведения: если
a <= С00 (/?«), то
в (х) [}{x)-g (У)] = a(x)f (х). g (у). A2)
Действительно, если ф ее J^ (/?n+m), то (см. § 5.10)
(a(x)\f(x)-g(y)]t <p) =
, Ф).
б*
132 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИЙ ГГЛ. П
е) Сдвиг прямого произведения:
A3)
В самом деле, если фб^^), то (см. § 5.9)
. у), 4) = <J(x)-g(y), ф(*-й, у)) =
f) Говорят, что обобщенная функция вида f{x)-\(y)
не зависит от у. Она действует по правилу: если ф е
е^г(^я+|И), то
{ $ d) /, Ф) =
Таким образом, получено равенство
, J Ф (х, у) dy) = J (/(*), ф (*, У)) dy, A4)
справедливое для всех}' ^ &>' (Rn) и фе^(^л+и).
4. Свертка обобщенных функций. Пусть/(д:) и g(*) —
локально интегрируемые функции в R", причем функция
h{x)^\\g{y)f{x-y)\dy
также локально интегрируема в Rn. Сверткой f*g этих
функций называется функция
\ ). A5)
Отметим, что свертки f*g и ]/| * \g\ —h существуют
одновременно и удовлетворяют неравенству | (/ * g) (x) \ ^
*^h(x) (при почти всех *), так что свертка f*g оказы-
оказывается также локально интегрируемой функцией в Rn
(см. § 1.4, Ь)). Поэтому она определяет (регулярную) обоб-
обобщенную функцию, действующую на основные функции
(fG^(Rn) по правилу:
ф) =
<» 7] ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ И СВЕРТКА 133
(в силу теоремы Фубини, см. § 1.4, h)), т. е.
(/*?, V) = ]n*)g(yL>(x + y)dxdy, «ре^(П A6)
Отметим три случая, когда условие локальной инте-
интегрируемости функции h(x) выполнено и, стало быть,
свертка f*g существует и определяется формулой A5).
1) Одна из функций f или g финитна, например
<=;URt:
S h(x)dx= J \g(y)\ J \f(x-y)\dxdy
vr uRt uR
S
uRt
2) Функции f и g обращаются в нуль при х<.0 (п = \):
R Rx
= \\\g{y)\\f{x-y)\dydx =
5 \\
- R 0 0
3) Функции / и g интегрируемы на R":
{x)dx = \\g{y)\\\f{x-y)\dxdy =
гак что в этом случае свертка f*g интегрируема на Rn.
Будем говорить, что последовательность \у]ь} основных
функций из &> (Rn) сходится к 1 в Rn, если:
а) для любого компакта К найдется такой номер N,
что y]k(x) — l при всех дге/С и k^N\ Ъ) функции \i\k\
равномерно ограничены в Rn вместе со всеми производ-
производными, | Dar)b(x)\<ZCa> x^Rn, k = \, 2, ..., а —любое.
Возможный график функций последовательности Т1* (х),
fe = l, 2,..., при п — \ изображен на рис. 33.
Отметим, что такие последовательности всегда суще-
существуют, например: щ(х) =т|( ^ ), где т) е S1, т](а:)= 1 в (Уь
Докажем, что равенство A6) можно переписать в виде
(/*g, y)=\\m(f(x)g(y), цк(х\ у)ц>(х + у)), A6')
ft ->со
134 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ ГП ТТ
где T]fe (x; у), k—\, 2,..., —любая последовательность,
сходящаяся к 1 в R2n.
а?
Рис. 33.
Действительно, по доказанному функция
Co\f(x)g(y)q>(x-[-y)\
интегрируема на R2n и
k=\, 2,...
Далее,
f(x)g(y)r)k{x\ у)ф(x + y)-^f(x)g(у)ф(x + y),
&—>-оэ почти везде в R2n.
Применяя теорему Лебега (см. ^ 1.4, f)), получим равенство
= 1 i m \ f (x) g (у) щ (г, у) ц){х + у) dx dy,
k -»OQ
что, в силу A6), эквивалентно равенству A6').
Исходя из равенств A6) и A6'), примем следующее
определение свертки. Пусть пара обобщенных функций /
и g из J7' (Rn) такова, что их прямое произведение / (х) ¦ g (у)
допускает продолжение (см. § 1.10) (f(x)-g(y), y{x-\-y))
на функции вида ср (х + у), где ф — любая функция из Ъ (Rn),
в следующем смысле: какова бы ни была последователь-
последовательность {цк\ функций из & (R2n), сходящаяся к 1 в R2n,
существует предел числовой последовательности
lim (/(*
и этот предел йе зависит от последовательности {т]л[.
Отметим, что при каждом к функция цк(х\ у.)ц>(х-\-у)
принадлежит & (R2n), так что наша числовая последова-
последовательность определена.
§ 7J ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ И СВЕРТКА 135
Сверткой f*g называется функционал
(/*?, 4>)~(f(x)'g(y)t ф(*-р-*/)) =
= \im(f(x)g(y), цк{х\ у)ч>(х+у)), Фе^(^). A7)
k -*оо
Докажем, что функционал f*g принадлежит &' (Rn),
т. е. является обобщенной функцией. Для этого, в силу
полноты пространства 3' (Rn) (см. § 5.4), достаточно уста-
установить непрерывность линейных функционалов
))t k = \, 2,..., A8)
на ?> (Rn). Пусть фу-»-0, v-^оэ в Ш(Rn). Тогда
поскольку т)/е е S' (R2n). Отсюда, в силу непрерывности
функционала f(x)-g(y) на 3 (R2n) (см. § 7.1), получаем
(f(x)-g(y), r\k{x\ yL>v(x-\-y))-*0, v->oo,
что доказывает непрерывность функционалов A8) на J? (Rn).
Заметим, что, поскольку ф(х + #) не принадлежит & (R2n)
(она не финитна в R2nl), правая часть равенства A7)
существует не для любых пар обобщенных функций / и g,
и, таким образом, свертка существует не всегда.
Пример. Свертка любой обобщенной функции f с
б-функцией существует и равна f,
Действительно, пусть фе^(R") и {r\k} — любая после-
последовательность функций из 3 (R2n), сходящаяся к 1 в R2n.
Тогда r\k(x; 0) ф (х)->ф(д;), ?->оо в 3 {Rn)t и поэтому
lim (/ (х) ¦ 6 (у), щ (jc; у) ф (х + у)) =
Л-*оо
= lim (f(x), т)к(х; 0)ф(х))-(/, <р).
к -+ оо
Отсюда, в силу определения A7), следует, что свертки
/*6 и б*^ существуют и равны /, что и утверждалось.
Замечание. Смысл формулы / = /*б состоит в том, что вся-
всякую обобщенную функцию / можно разложить по б-функциям, что
формально часто записывают так:
136 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ \ГЛ. II
Именно эту формулу и и/меют в виду, когда говорят, что всякое
материальное тело состоит из точечных масс, всякий источник состоит
из точечных источников if т. д.
5. Свойства свертки.
а) Линейность свертки. Свертка f*g—линей-
f*g—линейная операция из 3' в &)' относительно f и g в отдель-
отдельности, например:
при условии, что свертки f*g и fi*g существуют.
Это свойство свертки непосредственно следует из опре-
определения A7) и из линейности прямого произведения
f(x)-g(y) относительно / и g в отдельности (см. § 7.3, а)).
Отметим попутно, что свертка /*g, вообще говоря,
не является непрерывной операцией из J?' в ^' относи-
относительно / или g, например: 6(х — k)-*0, /г->оо в J?' (R1),
но
b) Коммутативность свертки. Если свертка
f*g существует, то существует и свертка g*f и они
равны:
A9)
Это утверждение вытекает из определения свертки и
из коммутативности прямого произведения (см. § 7.2):
(J*g, ф)= Um(f(x)-g(y), щ(х\ у)ц>(х + у)) =
/г -*оо
«= lim (g(y)-f(x), r)k(x; у)ц>(х + у)) = (g*/, ф), фе#,
с) Дифференцирование свертки. Если свертка
f*g существует, то существуют свертки D°-f*g и f*Dag,
причем
B0)
Это утверждение достаточно доказать для каждой
первой производной Dh /=1, 2 п. Пусть (pe^fi?11)
и л*(*"» У)' k—\, 2, .... — произвольная последователь-
последовательность функций из ?$ {Rin), сходящаяся к 1 в R2n. Тогда
послеповательноегь г]* + -г-. ?=1. 2, ..., функций из
ОХ/
& [R2n) также сходится к I в R2n. Отсюда, пользуясь
$ 7] ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ И СВЕРТКА 137
существованием свертки /*g (см. § 7.4), получим следую-
следующую цепочку равенств:
= Нт (—
+ jIm (fix) -g(y), (л* + ^) Ф (дс + У)) -
— Нт (f(x)-g(y), л*ф(^ + У))в
fe—»00
= lim (D;f(x)-g(y), г)Лф(л;4-^)) +
/ ^/, Ф),
откуда и следует первое равенство B0) для D}. Второе
равенство B0) следует из первого и из коммутативности
свертки (см. § 7.5, Ь)):
Из равенств B0) вытекают равенства
?>«/ = Da6*/ = б* Da/, /е=<^'. B1)
Отметим, что существование сверток Da/*g и /*Dag,
|a|^l, недостаточно для существования свёртки /*g
и справедливости равенства ba/*g = /*Dag, например:
6'«1=6*1 = 1, но 6*Г = 6*О = О. Другими словами,
операция свертки, вообще говоря, не ассоциативна:
(8*6')* 1=6'* 1 = 1, но 8*F'*1) = 6*О = О.
d) Сдвиг свертки. Если свертка f *g существует,
то существует и свертка f (x-\-h)*g(x), причем
h&R\ B2)
т. е. операции сдвига и свертки коммутируют.
Действительно, пусть щ(х\ у), & = 1, 2 —любая
последовательность функций из^ (R2n), сходящаяся к 1
в R2n. Тогда при любом /jg Rn последовательность
— h\ у), k = 1, 2, ..., сходится к 1 в Rin. Теперь,
CS
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
ГГЛ. 1!
пользуясь определениями сдвига (см. § 5.9) и свертки
(см. § 7.4), при всех ipef(^) получаем
Uf*g)(x
= lim {[(x)'g(y), t\k(x — h; у) ч> {х - h + у)) =
k -* CO
= (f(x+h)*g(x), ф),
что и требовалось. Здесь мы воспользовались формулой
A3) для сдвига прямого произведения.
6. Существование свертки. Установим некоторые доста-
достаточные условия (помимо указанных в § 7.4), при которых
свертка заведомо существует в &'.
Теорема. Пусть / — произвольная и g — финитная
обобщенные функции. Тогда свертка f*g существует в &'
и представляется в виде
фе^( B3)
где ц —любая основная функция, равная 1 в окрестности
носителя g. При этом свертка непрерывна относительно
f и g в отдельности: 1)
если //,-И
i то fb *2-
2)
¦>U, /е->оо в 2р\
/**?-»-О, k-*-oo в @>'\
если g/g -*• 0, k —>- оо в
и яри некотором R
a UR, то f *gk-"*-O,
Доказательство.
Пусть supp gczUR, г) —
функция из ?& (Rn), рав-
равная 1 в окрестности suppg-,
и suppr\aUR. (По лемме I
§ 5.2 такие функции суще-
существуют.) Пусть, далее, ф —произвольная функция из <3 (Rn),
supp ф cz UA и r\k (х; у), k = 1, 2, ..., — последовательность
функций из & {R2"), сходящаяся к 1 в R2n (см. § 7.4).
Тогда при всех достаточно больших k
Ц(у)Цк(х\ у)ц>(х-\-у) = ц(у)у(х-\-у). B4)
Для доказательства равенства B4) достаточно устано-
установить, что функция ц(у)ф\х-\-у) ^&(R2n). Но это сле-
Рис. 34.
ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ И СВЕРТКА
139
дует из того, что она бесконечно дифференцируема и ее
носитель содержится в ограниченном множестве (рис. 34):
[(*, у): \x+y\<At \y\^R)dUA+RxDR.
Учитывая теперь соотношение B4) и равенство g = r\g
(см. (8) § 5.10), убеждаемся в справедливости формулы B3):
(/*g, <p)=- Hm (J(x)-g(y)t ць(х; у)у(х + у)) =
ft —»00
= Пт (/ (х) -T](y)g (у), т)Л (х; y)q>(x + у)) =*
k—CQ
= lim (f(x)-g(y)t r)(y)r\k(x;
ft -*00
Непрерывность свертки f#g относительно fug выте-
вытекает из представления B3) и из непрерывности прямого
произведения f{x)-g (у)
относительно / и g в от-
отдельности (см. § 7.3, а)).
При этом в случае 2) ус-
условие supp gu cz UR дает
возможность выбрать
вспомогательную функ-
функцию г], не зависящую
от k. Теорема доказана.
7. Сверточная алгеб-
алгебра обобщенных функ-
функций $Ь\. Совокупность
обобщенных функций из
<?&' (R1), обращающихся
в нуль при t<iO, обо-
обозначим через Л?4"
Теорема. Пусть f
f*g существует в &'+
if*g, ф) =
где т), (/) и у\.г (t) — любые функции класса С00 (R1), равные 1
в окрестности полуоси [0, оо) и 0 при достаточно боль-
больших отрицательных t. При этом свертка непрерывна
относительно f и g в отдельности, например: если /*->-0,
fc-»-oo в 20' и L е ^х, то fk*g-+O. /г->оо в &',
е ^+ «gE &F+. Тогда их свертка
и представляется в виде
140 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ ГГД. Ц
Доказательство. Пусть ф@~любая функция из
& (R1), причем supp ф cz (— Л, А)\ x\k (t; т), k = 1, 2,..., —
любая последовательность функций из .27 (R2), сходя-
сходящаяся к 1 в R2 (см. § 7.4); %(/), 1=1» 2,—любые функ-
функции со свойствами, указанными в теореме, причем г),@ = 0,
t<C — б,-; можно считать, что Л > 6L и Л>62. Тогда при
всех достаточно больших k справедливо равенство
%@Л2(т)ти('; т) ф (* +т) = тц С) %(*)ф (' + *)• B6)
Для доказательства равенства B6) достаточно уста-
установить, что функция тн @ ТЬ (т) ф(* + т) ^ & (R2)- Но это
следует из того, что она бесконечно дифференцируема,
а множество
[(*, т): ^^-бь т^-б2, \t + x\^A],
в котором содержится ее носитель, ограничено в #2
(рис. 35).
Далее, по построению гц @ = 1 и т]2 (т) = 1 в окрест-
окрестности носителей /@ и g(x) соответственно. Следовательно,
по формуле (8) § 5.10
Учитывая теперь эти равенства и равенство B6), убеж-
убеждаемся в существовании свертки /*g в &'(Rl)'u в
справедливости формулы B5):
, Ф)= lim (f(t)-g(T), i\k(t;
- lim (t\i(t)f(t)-iH(T)g(x)t
ft-* 00
= lim {f.(t)-g(T)t 4i(t)r\i(T)
fe-*oo
Докажем, что /*g = 0 при <«<0, т. е. что/*^е^+.
Пусть ф g ^ (¦/?') и Биррфсг[^<0]. Так как носитель
ф—компакт в R1, то, в силу.леммы Гейне —Бореля (см.
§1.1), 5иррф<з:[г< — е] при некотором е >0. А тогда,
выбирая вспомогательные функции % (/) и r\2(t) равными
О При t< — 8/2, ПОЛУЧИМ Т]х (/) Т]2 (Т) ф (t + Т) = О В /?2,
откуда и из представления B5) вытекает (/*g", ф) =
= (? (О •?(*)» 0) = 0» что и утверждалось (см. § 5.5).
$ 71 ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ И СВЕРТКА 141
Непрерывность свертки f*g относительно / и g в
отдельности следует из представления B5) и из непрерыв-
непрерывности прямого произведения f(t)'g(x) относительно / и g
в отдельности (см. § 7.3, а)). При этом вспомогательные
функции rji или тJ можно выбрать не зависящими от /*
или gk соответственно. Теорема доказана.
Следствие. Свертка обобщенных функций из &'+
обладает свойством ассоциативности (и коммутативно-
коммутативности):
= (/1*/2)*/з = /2*(/1*/з). B7)
Действительно, пусть вспомогательная функция r\(t)
удовлетворяет условиям теоремы. Тогда, в силу представ-
представления B3), при всех фе^^1) будем иметь
, л
= ((/2*/з)(т), (МО. л (О Л
Здесь мы воспользовались леммой § 7.1, согласно которой
(МО. лЮлГОФ^ + тЙе^Д1).
Учитывая теперь равенство
[/2 (т) • /з (т')] л (т) л (х1) Л (т + т') = [/2 (т) • /3 СО] л (т) л (О
(см. (8) § 5.10), продолжаем нашу цепочку равенств:
Меняя местами /lt /2 и /3 в полученном равенстве и поль-
пользуясь коммутативностью (см. § 7.2) и ассоциативностью
(см. § 7.3, Ь)) прямого произведения, убеждаемся в спра-
справедливости равенств B7).
Определение. Линейное множество ©^ называется
алгеброй, если на нем определена операция умножения,
линейная относительно каждого множителя в отдельности.
Алгебра <э^ называется ассоциативной, если всегда х (yz) =
= (ху) г; алгебра orf называется коммутативной, если
всегда ху — ух.
142 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ П*Л. !Г
Доказанные в этом пункте теорема и следствие из нее
утверждают, что ^+ образует ассоциативную и комму-
коммутативную алгебру, если в качестве умножения взять опе-
операцию свертки #; &'+ называется сверпючной алгеброй.
Единицей в алгебре ?Р\ является б-функция, так как
8. Уравнения в сверточной алгебре <39+. В алгебре <^+
рассмотрим уравнение
a*u=f, B8)
где аи/ — известные, а и — неизвестная обобщенные
функции из ^+. Решение уравнения B8) при / = б, если
оно существует, называется фундаментальным решением
сверточного оператора а* и обозначается аг1. Другими
словами, а-1— обратный элемент к а в алгебре i^+,
а # а~х = б.
Теорема. Если а-1 существует в &'+t то для любой f
из ?$'+ решение уравнения B8) в §2J\ существует, един-
единственно и выражается формулой
и = а-1 * f. B9)
Действительно, свертка a~l*f ^. &'+ и удовлетворяет
уравнению B8):
а * (аг-1 * /) = (а * а-1) */ = б*/: = /:.
Так как однородное уравнение а * м0 = 0, соответствующее
уравнению B8), имеет в J?+ только нулевое решение:
а'1 * (а * м0) = (а*1 * а) * м0 = б * «о = и0 = а-1 * 0 = О,
то решение уравнения B8) единственно в J?+ (см. § 1.11).
Доказанная теорема сводит задачу решения уравнения
B8) при произвольной f из J?+ к решению его при кон-
конкретной /==б, т. е. к нахождению а*1.
Следующее предложение весьма полезно при построе-
построении фундаментальных решений в алгебре ^+: если а\1
и йа1 существуют в &'+, то
(а± * Яг)'1 = «Г1 * «з1. C0)
Действительно,
(ах * а2) * (at' * а.2') = (а2 * ах)«(a
= аг * (б * а^1) = а2 * а^' = б.
$ 71 ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ И СВЕРТКА ИЗ
В § 10, используя методы ТФКП, мы построим опера-
операционное исчисление на некоторой подалгебре алгебры 3\.
А сейчас ограничимся определением в алгебре У)'+ опе-
операторов дробного дифференцирования и интегрирования.
Введем обобщенную функцию /а из J?+, зависящую
от вещественного параметра а:
{
1/;+,,
Проверим, что
/а*/р=Га+р. C1)
Действительно, если а>0 и РХ), (см. § 7.4)
- Г(а)Г(р) ~^> **>- г (а
Если же а з^О или Р^О, то, подбирая целые числа
т> — а и п> — Р, получим
/a * /p = /a -f m * /p + n«— (la+m * /p+nj = /a + p + m + n — /a+j*.
что и требовалось.
Рассмотрим сверточный оператор /а* в алгебре &+.
Так как /0 = б, то из C1) вытекает, что фундаментальное
решение /«' оператора /а* существует и равно /-а: /а1 =/-а-
Далее, при целых п<;0/„ = б(я) и потому fn*u = б1п1*ы = и{п),
т. е. оператор /я * есть оператор гс-кратного дифференци-
дифференцирования. Наконец, при целых
(/я * "IЛ) = /-я * (/я * И) = (/-л * /я) * « = б * И = И,
т. е. /л*« есть первообразная порядка п обобщенной
функции и (см. § 6.3). Поэтому оператор /а* называют
оператором дробного дифференцирования при a < 0 и дроб-
дробного интегрирования при а>0 (а- также оператором
Римана — Лиувилля).
144 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ (ГЛ. It
9. Регуляризация обобщенных функций. Пусть / —
обобщенная функция и \|) — основная функция. Поскольку
•ф финитна, то свертка /*ф существует по теореме § 7.6.
Докажем, что
f** = (f{y). Ъ(х-у))<= С°°(/?-). C2)
Действительно, в силу B3) при всех (pef имеем
где вспомогательная функция rj e S? и равна 1 в окрест-
окрестности носителя г|?. Замечая теперь, что функция q>(#)X
Xty(x-y) принадлежит С?) (R2n), и пользуясь равенством
A4), получаем равенство C2):
У)), Ф). фе^.
Бесконечная дифференцируемость правой части равенства
C2) устанавливается, как.и при доказательстве леммы § 7.1.
Пусть сое (х) — «шапочка» (см. § 5.2). Тогда бесконечно
дифференцируемая функция
/е (X) = f * We = (/ (У), ©е (* — У»
называется регуляризацией обобщенной функции /.
В § 5.7 было доказано, что coe(x)->6(jc), e-*--f 0 в &'.
Отсюда, пользуясь непрерывностью свертки /*(о8 отно-
относительно сое (см. теорему § 7.6), получаем
&'. C3)
Итак, всякая обобщенная функция есть слабый пре-
предел своих регуляризации.
Пользуясь этим утверждением, установим более силь-
сильный результат.
Теорема. Всякая обобщенная функция f есть слабый
предел основных функций, т. е. множество ?$ плотно в 3'.
Доказательство. Пусть /е(х) — регуляризация f
и т]е (х), е->-Н 0, — последовательность основных функций,
равных 1 в шаре Uuer Тогда последовательность основных
функций т]е(jc)/e(x), е-^- +0, стремится к/ в &', поскольку
$ 7\ ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ И СВЕРТКА 145
для любой q\i= &, в силу C3), имеем
, ф) = Jim (fe, г\ец>)= lim (/e, ф) = (/, ф),
что и утверждалось.
Замечание. Из полноты пространства "?}' (см. § 5.4) вытекает
обратное к теореме утверждение: всякий слабый предел локально
интегрируемых функций есть обобщенная функция из 5?'. Поэтому
теорию обобщенных функций можно строить, исходя из слабо сходя-
сходящихся последовательностей обычных функций. По поводу этого под-
подхода см. П. Антосик, Я. Микусинский, Р. Сикорский [1].
10. Примеры сверток. Ньютонов потенциал, а) Пусть
/() —непрерывная функция в /?-л\{0} с интегрируемой
особенностью в 0 и \ibs (x) — простой слой на ограничен-
ограниченной кусочно-гладкой поверхности S с непрерывной плот-
плотностью \i (см. § 5.7).
Их свертка /*цб5 — локально интегрируемая функция
в Rn — выражается интегралом
/ ¦ ц65 = '$ ц (у) f(x-y) dSy. -/34)
s
Это утверждение вытекает из представления B3):
b) Пусть р — обобщенная функция. Свертка
V% = l7U*P, rt^3' V^2 = In-|4j-*p, n = 2, C5)
называется ньютстовым (при л = 2 логарифмическим)
потенциалом с плотностью р.
Если р — финитная обобщенная функция, то потен-
потенциал Vп существует в 3' и удовлетворяет уравнению
Пуассона
« = — (п-2)а„р, п^З; AV2 = — 2 яр, л «2. C6)
146 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. IT
Существование потенциала V„ вытекает из теоремы
§ 7.6. Пользуясь B0) § 7.5 и C3) § 6.6, заключаем, что
при п^З потенциал V~n удовлетворяет уравнению Пуас-
Пуассона C6):
= — (п — 2) апб * р = — (п — 2) а„р;
аналогично поступаем и в случае п = 2.
с) Если р —финитная (абсолютно) интегрируемая
функция на /?л, то соответствующий ньютонов (логариф-
(логарифмический) потенциал Vn называется объемным потенци-
потенциалом (потенциалом площади).
©бъемный потенциал Vn — локально интегрируемая
функция в Rn — выражается интегралами
X y' C7)
(y)\n [xl_y dy, n^2.
Это утверждение вытекает из формулы A5) для
свертки финитной интегрируемой функции р с локально
интегрируемой функцией \х\2~п, п^З, и — In | х\, /2 = 2.
d) Пусть S— ограниченная кусочно-гладкая двухсто-
двухсторонняя поверхность с выбранным направлением нормали
п на ней и \х и v —непрерывные функции на 5. Пусть
— простой и двойной слои на 5 с поверхностными плот-
плотностями ц и v (см. § 5.7 и § 6.5, а)). Порождаемые ими
ньютоновы (логарифмические) потенциалы
»n65i n 2;
C8)
^3; C9)
называются соответственно поверхностными потенциалами
простого и двойного слоя с плотностями \i и v.
$ 7] ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ И СВЕРТКА 1 47
Поверхностные потенциалы VT и У'п — локально ин-
интегрируемые функции в Я" — выражаются формулами
<40)
, л = 2;
D1)
Формулы D0) являются частными случаями формулы
C4). Докажем для определенности формулу D1) для по-
потенциала Vn\ п^З. Пользуясь представлением B3) для
свертки и определением двойного слоя, при всех фб^
получаем
откуда и следует требуемая формула D1).
Дифференцирование под знаком интеграла здесь обес-
обеспечивается теоремой § 1.6, а перемена порядка интегри-
интегрирования—теоремой Фубини (см. § 1.4, h)) в силу сущест-
148 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. I!
вования повторного интеграла
д 1
dxdSu.
~~ .) unu ; x — у у -
дпу \х-
11. Упражнения* а) Доказать равенство
b) Доказать: supp [f (x) •?(#)] = supp /xsuppg.
c) Доказать: для того чтобы обобщенная функция / (х) не зави-
зависела от X;, необходимо и достаточно, чтобы —- = 0.
uxi
d) Доказать: для того чтобы обобщенная функция не зависела
от х„ необходимо и достаточно^ чтобы она была инвариантна относи-
относительно все)| сдвигов по *,-.
e) Доказать:
supp (/ * g) сх [х: х = у + г, у е= supp /, г a supp g].
f) Доказать: если обобщенная функция f не зависит от х,-, то
таким же свойством обладает и свертка f*g. (Указание: воспользо-
воспользоваться с) или d).)
g) Пользуясь I), доказать: если свертка / * 1 существует, то она
совпадает с постоянной.
h) Проверить равенства:
-у^е-& a>0;
3)
i) Доказать, что
здесь введено обозначение */*=/*...*/ (k раз).
j) Пользуясь формулой C1), показать, что функция
_ sin яа Ь g' (I) ^
о
есть решение интегрального уравнения Абеля
X
\ I» б\ц ^=^(х)» g@) = 0, geCJ(^0), 0<а<1.
J V1* — »/
§ 8] ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ МЕДЛЕННОГО РОСТА 149
к) Доказать равенство
eaxj * eaxg = еох у * g)j f, g e= ®'+.
1) Доказать: если / е jg?' (/?'), /*ipe &"+ при всех ф е 3 (х <
<0), то /е ^.
m) Обозначим через §' пространство финитных обобщенных
функций со сходимостью: /fc->0, А-»-со в <?7, если a) /^-*-0, /?->oo
в ^' и Ь) существуе! такое /? > О, что supp /^ с: (/л при всех k =
= 1, 2, ...
Доказать теорему: для того чтобы оператор L, действующий из
<?' в &, представлялся в виде свертки, Lf=fn*f, где /0 е ^', не-
необходимо и достаточно, чтобы он был линейным и непрерывным из
#' в <?)' и коммутировал с операцией сдвига (см. § 7.5, d)). При
этом элемент /0 — единственный и /0 = Z,6.
§ 8. Обобщенные функции медленного роста
Одним из мощных средств для решения задач матема-
математической физики является метод преобразования Фурье.
В § 9 будет изложена теория преобразования Фурье для
так называемых обобщенных функций медленного роста
(tempered distributions). Поэтому сначала нужно изучить
класс обобщенных функций медленного роста.
1. Пространство основных функций ??. Отнесем к
множеству основных функций ^ = ^(Яп) все функции
класса С00(/?"), убывающие при |*|->оо вместе со всеми
производными быстрее любой степени \х\~1. Сходимость
в о/ определим следующим образом: последовательность
фуНКЦИЙ фь ф2, ... ИЗ S* СХОДИТСЯ К фунКЦИИ ф?^,
Ф/г-*-ф, k^-oo в ?*, если для всех аир
Очевидно, d?7 — линейное пространство. Кроме того,
& cz ?* и из сходимости в & следует сходимость в S*.
Действительно, если ф*->Ф, k-*-oo в 3, то, по-
поскольку носители фй ограничены независимо от k, спра-
справедливо предельное соотношение A) при всех а и Р, ко-
которое и означает, что ф/,->ф, &->оо в ??.
Однако 37 не совпадает с 3\ например, функция
е-.х\* принадлежит S", но не принадлежит 3.
Тем не менее 3 плотно в J7, т. е. для любой ф s p5*
существует последовательность ц>к е Зу k=\, 2, ..., та-
такая, ЧТО ф*->ф, k—УСО В <3?'.
150 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ ГГЛ. II
Действительно, последовательность функций из §7
ФА(х) = ф(х)т] (|), fc=l, 2
где т] е ^ и т] (х) = 1, | х | < 1, сходится Кфв^.
Операции дифференцирования D\(x) и неособенной
линейной замены переменных у(Ау-\-Ь) непрерывны из S*
в 3й. Это вытекает непосредственно из определения схо-
сходимости в пространстве 3".
С другой стороны, умножение на бесконечно диффе-
дифференцируемую функцию может вывести за пределы мно-
множества 4?% например: rU|1eu|!=li^.
Пусть функция qgC"(Rn) растет на бесконечности
вместе со всеми производными не быстрее полинома:
\D«a(x)\^Ca(\-\-\x\)ma. B)
Множество таких функций обозначим через 6^.
Операция умножения на функцию а^вм непрерывна
из ?? в &>.
Действительно, из неравенства B) вытекает: если
фе^, то ац&З*, и если ф*->0, &->оэ в ет*, то при
всех аир
т. е. Дф^-^О, &-»-оо в S*.
2. Пространство обобщенных функций медленного
роста 3". Обобщенной функцией медленного роста на-
называется всякий линейный непрерывный функционал на
пространстве основных функций S?. Обозначим через
<&"'=*??' (Rn) множество всех обобщенных функций мед-
медленного роста. Очевидно, ©^' — линейное множество (ср.
§ 5.3). Сходимость в 4У" определим как слабую сходи-
сходимость последовательности функционалов: последователь-
последовательность обобщенных функций fu /2, ... из S*" сходится к
обобщенной функции /е^', /й~>/, k-+co в 3е", если
для любой фб^(/*, ф)->-(/, ф). k-^-oo. Линейное мно-
множество 3е' с введенной в нем сходимостью называется
пространством обобщенных функций медленного роста 3е"'.
Из этих определений непосредственно вытекает, что
3*" cz J?' и из сходимости в 3*' следует сходимость
в &'.
§ 8] ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ МЕДЛЕННОГО РОСТА 151
Действительно, если /ee^'t то /е^', так как
02? а ?^ и из сходимости в J? вытекает сходимость в ??
(см. § 8.1). Далее, если /*->(), &->оз в &f', то (fk, ф)->-
->-0, &->-оо, при всех ф из J? с а?" и, стало быть,/л-> О,
fc-*-oo в ®*.
Теорема (Л. Шварц). Для того чтобы линейный
функционал f на еУ принадлежал ??' (т. е. был непре-
непрерывным на <?У), необходимо и достаточно, чтобы сущест-
существовали такие числа С>0 и р^О, р —целое, что для
любой ф?^ справедливо неравенство
|(/, ф)|<С[ф|р, C)
где
||1Р= sup (\ + \x\y\
n
Доказательство. Достаточность. Пусть ли-
линейный функционал / на ?? удовлетворяет неравенству
C) при некоторых С>0 и р^О. Докажем, что /е<^'.
Пусть ф/,->-0, /г->-оо в <^. Тогда |!ф*|1р->, k-+oc, а
потому | (/, ф/,) ] <С||ф^|!р—»-0, ^-^-оо. Это значит, что
/—непрерывный функционал на ?/''.
Необходимость. Пусть /е©?7'. Докажем, что
существуют числа С>0 и р^О такие, что для любой
фЕG справедливо неравенство C). Пусть, напротив,
указанных чисел С и р не существует. Тогда найдется
последовательность функций фА, 6=1, 2 из S" та-
таких, что
К/, Ф*)|^«Ф*«*. D)
Последовательность функций
' *«1. 2, ....
стремится к 0 в о/, ибо при
. фа '*
Отсюда и из непрерывности функционала / на S? сле-
следует, что (/, -фЛ)->0, fe->oo. С другой стороны, неравен-
неравенство D) дает
Полученное противоречие и доказывает теорему.
152 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ ГГЛ. IT
Смысл доказанной теоремы состоит в том, что всякая
обобщенная функция медленного роста является непре-
непрерывным функционалом относительно некоторой нормы
I |р (как говорят, имеет конечный порядок).
3. Примеры обобщенных функций медленного роста.
а) Если f (х) — локально интегрируемая функция мед-
медленного роста на бесконечности, т. е. при некотором
то она определяет регулярный функционал f из <?У" по
формуле A1) § 5.6,
(Д Ф) = ^(*)ф(*)^ фе^ E)
Однако не всякая локально интегрируемая функция
определяет обобщенную функцию медленного роста, на-
например, ех~^<§?' (R1).
С другой стороны, не всякая локально интегрируемая
функция, принадлежащая е?'', имеет медленный рост.
Например, функция (cos ех)' = — ех sin ex не является
функцией медленного роста, но тем не менее она опреде-
определяет обобщенную функцию из <§?' по формуле
((cose*)', ф) = — \cosex4>' (x)dx, ф?^.
Замечание. Пользуясь теоремой Л. Шварца (см. § 8.2)
можно доказать *), что всякая обобщенная функция из S?' явля-
является производной от непрерывной функции медленного роста. Этим
объясняется название 3" — пространство обобщенных функций мед-
медленного роста.
Ь) Если f —финитная обобщенная функция из &', то
она единственным образом продолжается на (Р* как эле-
элемент из ?*" по формуле
(/. Ф) = (/, ЛФ). Фе^, F)
где j] e J? и т] = 1 в окрестности носителя /.
Действительно, линейный функционал (/, т]ф), стоящий
в правой части равенства F), непрерывен на еУ\ если
фА-*-0, &->-оо в ^, то т1Фй->-0, k-*-co в ?&t и потому
-0, /г-»-оо.
*) См. Л. Шварц [2J, гл. VII.
§ 8] ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ МЕДЛЕННОГО РОСТА 153
Единственность продолжения функционала / на 3?
следует из плотности j? в ?? (см. § 8.1). В частности,
продолжение F) не зависит от вспомогательной функ-
функции Т).
с) Если f^oT", то и каждая производная Da/e<^'.
Действительно, поскольку операция дифференцирова-
дифференцирования Dacp непрерывна из S* "в S* (см. § 8.1), то правая
часть равенства
есть линейный непрерывный функционал на яУ (ср. § 6.1).
d) Если J<=?" и detA=?O, то f {Ay + Ь) g^'.
В самом деле, поскольку операция преобразования
ц\АЛ(х — Ь)] непрерывна из ?* в ?Р (см. § 8.1), то пра-
правая часть равенства
есть линейный непрерывный функционал на <&" (ср. § 5.9).
е) Если ff=<&" и а<=Ъм, то af <=¦&".
Действительно, поскольку операция умножения на
функцию а из Ьм непрерывна из & в ?* (см. § 8.1), та
правая часть равенства
есть линейный непрерывный функционал на <§? (ср.
§ 5.10).
4. Структура обобщенных функций с точечным носи-
носителем.
Теорема. Если носитель обобщенной функции f есть
точка {0}, то она единственным способом представляется
в виде
т
/(*)= 2 CaD«b(x). G)
|a|=0
Доказательство. Так как обобщенная функция /
имеет носитель {0}, то /ее^' (см. § 8.3) и, в силу A8)
§ 5.10, при всех &0
где г) (х) — основная функция, равная 1 в окрестности
точки 0 и равная 0 при |*j>l. Далее, по теореме
154 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. IT
Л. Шварца (см. § 8.2) справедливо неравенство
К/, <p)|<C|q>U фе^, (9)
при некоторых т^О и С>0, не зависящих от ф.
Пуст[ь ф —произвольная функция из &. Положим
Применяя неравенство (9) к функции г|>* и пользуясь
тем, что
получим
К/, ъ)\
= С sup
IPI
d max , 2 1 DY(P^ W 11 DP~Yrl I**) i
IPI
max
Но, в силу (8), (/, т|)А) не зависит от k. Следовательно,
по доказанному
(/ j)(/, t)
ft-» 00
Отсюда, пользуясь (8) и A0) при k=\, получаем пред-
представление G):
(т .
Л*1+
|ai=O
где обозначено
§ 8] ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ МЕДЛЕННОГО РОСТА 155
Докажем единственность представления G). Пусть
2
oci=*o
— другое представление /, так что
т
2 (ca-c;)D«6(*)=o.
:a,=o
Применяя это равенство к моному х$, ||5[^яг, получаем
т
0= 2 (Ca-C
= 2 (-niai(Ca-c;)F,
т. е. Ср = Ср. Теорема доказана.
5. Прямое произведение обобщенных функций мед-
медленного роста. Пусть /(л;)Е^"(/?л) и g(y) ^.S*' (Rm).
Поскольку в/'' а ?0', то прямое произведение f {x)-g(y) e
<=&' (Rn>m) (см. § 7.1).
Докажем, что [(x)-g(y) =*<&" (Rn+m).
По определению функционала f(x)-g(y) (см. § 7.1)
(I(x)-g(y), Ф) = (/(лг), (g(y), ф(дг, у))). (И)
Докажем, что правая часть равенства A1) есть линейный
непрерывный функционал на оУ (Rn+m).
Для этого установим следующую лемму, аналогичную
лемме § 7.1.
Лемма. Для любых g^<?"(Rm) и фе^(^я)
функция
> Ф(*. y))^^{Rn)
и справедливо равенство
D«y(x) = {g(y), Daxq>(x, у)). A2)
Кроме того, если Фа->-0, fc-»-oo в ?? (Rn+tn), то
<рь(х, у))-+0, k^oo в ?"'(Rn). A3)
Доказательство. Как и при доказательстве лем-
леммы § 7.1, устанавливаются справедливость равенства A2)
156 обобщенные функции ггл. и
при всех а и непрерывность его правой части. Следова-
Следовательно, 1}?еСм(/?л). Докажем, что г|?е<^ (Rn). Так как
g(y)(=?"{Rm) и при каждом xzeR" y(x, y)(=S? {Rm),
то, по теореме Л. Шварца (см. § 8.2), найдутся такие
числа С>0 и р^гО, что для любых фЕ^^), а и
хе/?1 справедливо неравенство
\(§(У), 1%<Р(х, У))\^С sup (\+\y\)p\DlD^(x, y)\.
Отсюда, в силу A2), при всех x^R" получаем нера-
неравенство
sup (l + |0|')|x*0jD?q>(*f 0)|. A4)
Так как фЕ^^"™), то из неравенства A4) вытекает,
что ^^S^{Rn).
Докажем теперь предельное соотношение A3). Пусть
Фд.->0, к-*-со в u?-(Rn+m). Отсюда, применяя неравен-
неравенство A4) к последовательности q>k, &—>-оо, получаем
x(=Rn
sup (l+\\)p\*DlI%\
т. е. г|)л-*-0, ^->оо в <?7 (Rn). Лемма доказана.
Из доказанной леммы вытекает, что правая часть ра-
равенства A1), равная (/, г|э), где $(x) = (g(y), ц>(х, у)),
есть линейный и непрерывный функционал на 4? (Rn+m),
так что f(x\-g(y)<=?" (Rn+m) (ср. § 7.1).
Прямое произведение обобщенных функций медленного
роста коммутативно- и ассоциативно в я?"\
Эти утверждения вытекают из соответствующих свойств
прямого произведения в 3' (см. § 7.2 и § 7.3, Ь)) и из
того факта, что J? плотно в S? (см. § 8.2).
В частности, равенство /(*)• 1 (</) = 1 (y)-f(x), где /е
е &" (Rn), означает, что
(Л ]Ф(х, У)dy) = $(/, Ф(х, у))dyt Фе^(R«+m). A5)
Наконец, прямое произведение f(x)-g(y) обобщенных
функций f e &' (Rn) ttgG^' (Rm) линейно и непрерывно
§ 8] ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ МЕДЛЕННОГО РОСТА 157
относительно f (из 3е" (Rn) в 47" (RnJrtn)) и относитель-
относительно g (из &" (Rm) в &" (R"+m)).
Доказательство аналогично соответствующему доказа-
доказательству для пространства 3' (см. § 7.3, а)).
6. Свертка обобщенных функций медленного роста.
Пусть /еет*" и 'g —финитная обобщенная функция. Тогда
свертка f*g существует в 22>' (см. § 7.5). Докажем, что.
f*g принадлежит <??' и представляется в виде
(/-*?, Ф) = (/(*)•?(#), ч\(У)<Р(х + у)), (ре^, A6)
где у\ —любая функция из <%?л равная 1 в окрестности
носителя g.
Действительно, по теореме § 7.6 формула A6) спра-
справедлива на основных функциях ср из <®. Докажем, что
правая часть равенства A6) определяет линейный непре-
непрерывный функционал на е?\ Пусть фе^(/?л). Тогда,
в силу финитности функции г|, У)(у),<р(х-{-у) ^<?7?(R2n), и
так как f (x) -g (у) — линейный функционал на 4r {R2n),
то правая часть A6) —линейный функционал на ?Р (Rn).
Докажем его непрерывность. Пусть срл->0, ^->оо в о?.
Тогда при любых а, р, у
x(=Rn, yf=;Rn
, (х + у)] ZZ 0, ^-^оо,
и потому
*0, k-+<x> в
Поскольку f(x)'g(y)eEc?"(R2n) (см. §8.5), то отсюда
следует непрерывность правой части A6) на 3" (Rn):
Итак, /*§бУ.
Обозначим ё7"+ = ®\[\4?\ где ^'+— сверточная
алгебра, определенная в § 7.7. Докажем, что если f и
g^<&"+, то f*g^<S?'+ и представляется в виде
Ф) =
), фе^Я1), A7)
где Hi и гJ — любые функции класса (^(R1), равные 1
в окрестности [0, оо) и 0 при больших отрицательных t.
Действительно, по теореме § 7.7 формула A7) спра-
справедлива на основных функциях ф из d> (R1). Докажем,
158 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ ГГЛ. И
что правая часть равенства A7) определяет линейный
непрерывный функционал на S*(R1). Пусть фЕ^"^1),
Тогда, в силу свойств функций v\i(t) и т]2(т), гц(<)%(т)X
Хф(/ + т) ge<^(/?8) и правая часть A7) —линейный функ-
функционал на of (R1). Докажем его непрерывность. Пусть
Ф*->-0, &-»-оо в <?? (R1). Тогда, как и выше,
тц (9 Л!СО<Р*(* + *)-> 0, ^->со
Поскольку f(t)-g(%) <^e7"(R2) (см. § 8.5), то отсюда сле-
следует непрерывность правой части A7) на ??(R1). Итак,
g
Мы видим, таким образом, что совокупность обобщен-
обобщенных функций &"+ образует сеерточную алгебру —под-
—подалгебру алгебры ?$\ (см. § 7.7).
§ 9. Преобразование Фурье обобщенных
функций медленного роста
Замечательное свойство класса обобщенных функций
медленного роста состоит в том, что операция преобразо-
преобразования Фурье не выводит за пределы этого класса.
1. Преобразование Фурье основных функций из о?.
Поскольку основные функции из ?? абсолютно интегри-
интегрируемы на Rn, то на них определена операция преобразо-
преобразования Фурье F:
При этом функция ^[ф]^) — преобразование Фурье функ-
функции ф (х) — ограничена и непрерывна в Rn. Основная
функция ф (л;) убывает на бесконечности быстрее любой
степени \х\~1. Поэтому ее преобразование Фурье можно
дифференцировать под знаком интеграла любое число раз:
D«F[ф] (I) = J Aх)аФ (х)ё№. *)dx = F[(ix)«<p](l), A)
откуда ясно, что F[q>] ge C°° (Rn). Далее, такими же свой-
свойствами обладает каждая производная Daq>t а потому
= \ О«Ф (х) ё л- *> dx = (— it)" F [Ф] (I). B).
Наконец, из формул A) и B) получаем
^. C)
4 91 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 159
Из равенства C) вытекает, что при всех аир вели-
величины !pDxF[ф] (!) равномерно ограничены по | е Rn:
D)
Это значит, что Fj^JeeP7 (см; § 8.1). Итак, преобразо-
преобразование Фурье переводит пространство <?У в себя.
Отметим, что пространство основных функций Щ пре-
преобразование Фурье в себя не переводит, поскольку пре-
преобразование Фурье финитной функции есть аналитическая
функция и, стало быть, либо не финитна, либо нуль.
Так как преобразование Фурье F[y] функции ф из ??
1'сть интегрируемая и непрерывно дифференцируемая
<|)ункция на Rn, то, как это следует из общей теории пре-
преобразования Фурье*), функция ф(лг) выражается через ее
преобразование Фурье /"[/pj(?) с помощью операции об-
обратного преобразования Фурье F-1:
Ф(л:) = /^[/Чф]Н/Ч/^[ф]}, E)
где
BHF
$5^б»^1)]. F)
Из формул E) и F) следует, что всякая функция <р
из ?Р есть преобразование Фурье функции \|э = 77-1 [ф]
из of, ф = /7['ф], и если /г[ф] = 0, то и ф = 0. Это зна-
значит, что преобразование Фурье F преобразует S^ на 4Р и
притом взаимно однозначно.
Лемма. Операция преобразования Фурье F непрерывна
из ?? в <&>.
Доказательство. Пусть фА ->- 0, k-* сю в оУ. Тогда,
применяя D) к функциям фА, при всех аир получим
откуда следует, что
т. е. F[yk]-+0, k-^co в 3* (см. § 8.1). Лемма доказана.
*) См., например, Л. Д. Кудрявцев [1], гл. VII.
160 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ РГЛ. II
Аналогичными свойствами обладает и операция обрат-
обратного преобразования Фурье F-1.
2. Преобразование Фурье обобщенных функций из ?*'.
Пусть сперва / (х) — (абсолютно) интегрируемая функция
на /?". Тогда ее преобразование Фурье
является непрерывной, ограниченной в Rn функцией и,
следовательно, определяет обобщенную функцию из ©?":
Пользуясь теоремой Фубини (см. § 1.4, h) о перемене по-
порядка интегрирования, преобразуем последний интеграл:
= J/(х) JфЦ) ё*•*>d\dx=\f (х) F[Ф| (х)dx,
Это равенство мы и примем за Определение преобра-
преобразования Фурье F[f] любой обобщенной функции медлен-
медленного роста /:
(FW. V) = (f, FW). /е^', Фе^. G)
Проверим, что правая часть этого равенства опреде-
определяет линейный непрерывный функционал на '??у т. е. что
F\J\.<?7". Действительно, так как /г[ф]ее?" при всех
ф" (см. § 9.1), то (/, ^[ф]) есть функционал (оче-
(очевидно, линейный) на <§?. Пусть фА->0, k-^сю в 3?'. По
лемме § 9.1 /г[ф/г]->0, к-^оо в 4?% и потому, в силу
/е^", </, ^[флр-^О, Л->-оо, так что функционал
(/, /^[ф]) — непрерывный на <^.
Таким образом, операция преобразования Фурье F
переводит пространство S*' в <?У".
Более того, F — линейная и непрерывная операция из
&" в ?".
Линейность F очевидна. Докажем ее непрерывность.
Пусть ft-*0, fe-voo в &". Тогда, в силу G), при всех
фе^1 получим
§ 91 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 161
Это и означает, что F\fk]-*-0, &->оо в <?У\ т. е. опера-
операция F непрерывна из ??' в <Ф*'.
Введем в ?7" еще одну операцию преобразования
Фурье, которую обозначим через F-1:
Докажем, что операция F~l является обратной к опе-
операции преобразования Фурье F, т. е.
[/]] = /. /е^'. (9)
Действительно, из E) —(8) при всех q><= &^ получаем
равенства
[/П, ф).
откуда и вытекают формулы (9).
Из формул (9) следует, что всякая обобщенная функ-
функция / из я?" есть преобразование' Фурье обобщенной
функции g = /r[/] из <&"* f = F[g]f и если F[f] = O, то
и / = 0. Таким образом, мы доказали, что преобразования
Фурье F и F'1 преобразуют ?" на ?" взаимно одно-
однозначно и взаимно непрерывно.
Пусть /(*, у) г ?" (Rn+m)t где xs=Rn, yt=Rm. Вве-
Введем преобразование Фурье Fx [/] по переменным х =
— (*ь -^2. •••> JC/i), положив для любой ф (|, ?/) ее^ (Rn^m)
(Ю)
Как и в лемме § 9.1, устанавливается, что
. У) = ]<?(%
и операция ^|[ф] непрерывна из вУ (Rn+m) в ^(/?я+т),
так что формула A0) действительно определяет обобщен-
обобщенную функцию Fx[f](l, у) из &" (Rn+m).
Пример. Покажем, что
Q В. С Владимиров
162 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ ГГЛ. II
Действительно,
(F[8(x-xo)l <P) = (S(*-*o), /г[ф]) = /г[ф](^о)==
= JФil)ei(s» *„)dl = (е«б- *•>, ф), фб^.
Полагая в A1) хо — Ь, получим
F[6] = l, A2)
откуда
так что
F[1] = Bjt)«6F). A3)
3. Свойства преобразования Фурье.
а) Дифференцирование преобразования
Фурье. Если /е<^', то
D*F[f] = F[(ixrf]. A4)
Действительно, пользуясь B), при всех ф?^ по-
получим
откуда и следует формула A4).
В частности, полагая в A4) /=1 и пользуясь форму-
формулой A3), имеем
. A5)
b) Преобразования Фурье производной.
ЕСЛИ /е<гР", ТО
F[D*f]-(-%)*F\f]. A6)
В самом деле, пользуясь формулой A), при всех
фб^ получим
(F[D*fl Ф) = (^а/,
], Ф),
откуда и следует формула A6).
В частности, полагая в A6) / = 6 и пользуясь форму-
формулой A2), имеем
F[D*b] = (- i|)« F [6] = (- ЦГ. A7)
91 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 163
с) Преобразование Фурье сдвига. Если /е=
=«?", то
Действительно, при всех фЕ^" имеем
(F[f(x-x0)], <p) = (f(x-x0),
откуда и следует формула A8).
d) Сдвиг преобразования Фурье. Если /е=
€=^', то
/г[/1A+У = /г[^^^]^). A9)
В самом деле, пользуясь формулой A8), при всех
фЕ^ ПОЛуЧИМ
= (/, <?<«. -*>F [?]) = (<?'«••*>/, F [# e(F[^«•.*)/], ф),
откуда и следует формула A9).
е) Преобразование Фурье подобия (с от-
отражением). Если /е^7', то при всех вещественных
0
B0)
поскольку при всех феЕе^ имеем (см. § 5.9)
(F[f {cx)]t ф) = (/ (ex), F[ф]) = —- (/,
Ф
^Преобразование1 Фурье прямого произ
ведения. Если f^S^'{Rn) и gE^f(^m), то
ё (У)] = ^ I/ (*) • F [g] (г))] =
= Fy [F [/] A) >g(y)] = F[f] (I) • F [g] (ri). B1)
164 ОБОБЩЁННЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. II
Действительно, при всех ф(?, т)) e <§? (Rn*m) имеем
'. Ф)= "
откуда и следуют равенства B1).
g) Аналогичные формулы справедливы и для преобра-
преобразования Фурье Fx, например: если / (х, у) е S^' (Rn+m), то
l
4. Преобразование Фурье обобщенных функций с ком-
компактным носителем.
Теорема. Если / — финитная обобщенная функция,
то ее преобразование Фурье принадлежит классу дм и
представляется формулой
П/Ш = (/(*), т](х)^.*>), B3)
где ц —любая функция из &, равная 1 в окрестности
носителя /.
Доказательство. Учитывая равенства F) §8.3
и A6) § 9.3, при всех'фее^ получаем
Замечая теперь, что
Л (х) Aл:)а ф (S) е^> *> е
и пользуясь формулой A5) § 8.5:
из предыдущих равенств выводим равенство
(D«F [/], Ф) = J (/, т) (х) (а)а в' «• *>) Ф F) d?,
из которого вытекает, что
DaF[[]a) = Q, Mx) (ix)ae^- % B4)
Отсюда при а = 0 следует формула B3).
$ 91 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 165
Из представления B4), как и при доказательстве
леммы § 7.1, выводим, что DaF[/]eC(/?"), так что
F[/]er(n Далее, по теореме Л. Шварца (см. § 8.2)
существуют такие числа С>0 и р^О (р — целое), при
которых справедливо неравенство C) § 8.2. Применяя это
неравенство к правой части равенства B4), получаем
оценку
I W [f] (I) | = [ (/, т| (х) AхГ е* «• *)) | ^ С | ц (x) (ix)« ё «• *) |p =
= C sup (\+\x\)P\D^[y\(x)xaei^ *>]|<
IP l<p, x(=Rn
<>Са(\ + \1\)р, gs/?«,
из которой и вытекает, что F[f]^QM (см. § 8.1). Тео-
Теорема доказана.
5. Преобразование Фурье свертки. Пусть / е о?" «
g —финитная обобщенная функция. Тогда
FU*g] = F[g]F[f]. B5)
Действительно, в силу §8.6 свертка /* g e <^" и пред-
представляется в виде
(f*g, Ф) = (/(*). («[(У). Л(У)Ф(* + У))). фе^,
где т|е^, tj = 1 в окрестности suppg. Учитывая это
представление, при всех ф?^ получаем
(ff (У), л (У) J Ф (
Принимая во внимание, что, по теореме § 9.4, F[g] ё 8Л,
и пользуясь формулами A5) § 8.5 и B3), преобразуем
полученное равенство:
= (/. J Z7 W F) Ф (Ю ^(Ь *> dl) - (/, F [F М Ф]) =
= (П!1 F[gW = (F[g]F[fl Ф),
откуда и вытекает формула B5).
6. Примеры, п = \.
a) F[HR-\x\)]= §e!*dx = 2s^. B6)
b) f[e-«^J = ^e"b. B7)
166 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИЙ
Действительно,
(ГЛ. II
= I f
2a
Осталось доказать, что линия интегрирования ^
в последнем интеграле может быть сдвинута на вещест-
вещественную ось, т. е. что при всех а
B8)
По теореме Коши при любом Rz>0 имеем
где контур С/? =
a 4i
-* + «, B9)
изображен на рис. 36.
"а
о
Рис. 36.
Но на отрезках /* =
а потому справедливо равенство
Hm
§ 91 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 167
откуда, пользуясь B9), получаем равенство B8):
lim \ er-Vd? = lim / \ + $\ <?-*•#«=
e-°*do
— 00
с) FI^HVne"*'11. C0)
Действительно, из сходимости несобственного инте-
интеграла (интеграла Френеля)
5
— 00
вытекает равномерная сходимость по ? на каждом конеч-
конечном интервале несобственного интеграла
оо N
\ eixi + l'^dx= lim \
юо
= lim \ g\+8/ 4edx = e 4* lim
С
ео J
оо _
Таким образом, мы доказали равенство C0) поточечно
при условии, что преобразование Фурье понимается как
несобственный интеграл. Докажем справедливость этого
равенства в ?". Пользуясь полученным результатом, при
всех фе^, suppфcz (— R, R) имеем
N R
lim \ е^ \ ф
R
lim \
N -* оо _
Л1-оо
N
lim ?
168 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. II
откуда заключаем о справедливости равенства C0) на
основных функциях из 3. Но 3 плотно в -?f (см. §8.1).
Поэтому это равенство справедливо на основных функ-
функциях из ?^'.
d) F[Q] = n6(t)-\-i&j, C1)
F [В (— x)] = лб (I) - i& j. C1')
Действительно, при всех а>-0 имеем
oo
F [6 (x) eax] = f e-ax+lx* dx = y-^. C2)
Так как
В(х)е-ах-+Ъ(х), a-v + 0 в ?Р\
то, переходя к пределу при а-^ + 0 в формуле C2) и
пользуясь непрерывностью на ©^'преобразования Фурье
(см. § 9.2), выводим:
C3)
Применяя теперь формулу Сохоцкого A0) § 5.8,. полу-
получаем равенство C1). Равенство C1') устанавливается ана-
аналогично.
е) F[^] = -2C-21n|||, C4)
где С —постоянная Эйлера,
1
1 —
И обобщенная функция ^ту, определена в § 6.6, Ь).
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 169
Действительно, при всех фе^ имеем
= \ f-^ ax-j- l -
i
Jf^fj9(g)(ef*--l)d6rfx+ J ,7
1 00
= 2f f fP(g)C0S^~1^lrfA;4-2 f f Ф
III
\ —й dudl-2
ill oo
I cos«— 1 , . d (* sin
fp'(l) \ —
oo
откуда и вытекает формула C4).
f) В § 6.4, d) было установлено равенство
e1'^. C5)
ft = — 00 ft = — 00
Нетрудно видеть, что ряды в равенстве C5) сходятся
в <=&*". Пользуясь формулой AJ), перепишем равенство C5)
в виде
со го
ft = — oo ft = — со
170 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ ГГЛ. II
Применяя это равенство к ф?/, получим
2я 2 &(x-2nk), ф =2я 2
\ft=—оо / ft = — оо
ft = —ОО
2
ft = —оэ ft = —оэ
т. е.
2л 2 ФB^)= 2
Равенство C6) называется формулой суммирования
Пуассона.
Полагая в формуле C6)
получим
ft=s.—00 ft= — ОО
Формула C7). применяется в теории эллиптических
функций.
7. Примеры, /1^=2.
а) Пусть квадратичная форма
п
2 at/XiXj = (Axt x), А=*(ац),
вещественна и положительно определена:
(Ах, х)^о\х\2, о>0.
Тогда
т-я/г • — /6 д-it)
Для получения формулы'C8) с помощью неособенного
вещественного преобразования х=*Ву приведем квадра-
квадратичную форму (Ах, х) к диагональному виду
(Ах, х) = (АВу, Ву) = (В'
$ 9} ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 171
так что
А-1 = ВВ\ det/3(detBJ=l.
Отсюда, пользуясь формулой B5), получаем
р те- (Ах, х)j = \е~(Ах< х) +' <*• к) dx =
= | det В | J е-< аву> ВУ> +' E. *у) dy =
Jet Л
b) Аналогично, пользуясь формулой C0), получим
v-vm*** ' ¦ C9)
с) Пусть 6c (a;) — простой слой на сфере S# в Я3.
Тогда
^||li. D0)
Действительно, так как &sR— финитная обобщенная
функция, то, применяя формулу B3), получим
л 2л
St 0 0
d) Пусть п*=2. Введем обобщенную функцию ^тл
из ?*', положив при фе^
172 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. II
Тогда
( Г^) — 2я In 111 - 2яС0, D1)
где
и Jo — функция Бесселя (см. ниже, § 23).
Действительно, при всех фе^1 справедлива цепочка
равенств
«J
II
+ f
2л
2л
yJ<P(E) J
§91 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 1/3
откуда и вытекает равенство D1).
е) ^[тЬт' С-? + <Л. D2)
Применяя к обеим частям равенства D4) § 6.5 пре-
преобразование Фурье, получим
Так как у —локально интегрируемая функция в R2, то
последнее равенство можно разделить на ? в <??' (R2).
В результате получим формулу D2).
D3)
Действительно
(Я-!«.)
2л
V\-u*
Здесь мы воспользовались формулой 6.554, 2) из спра-
справочника И. С. Градштейна и И. М. Рыжика [1].
Учитывая, что функция \х\-* локально интегрируема
в /?3, при всех ф е <^ получаем следующую цепочку
174
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. II
равенств:
lim
Я-» оо
I x |< R
6. *>
\xi<R
= lim
'«J J S
0 0 0
Я 1
im J<p(D J J e<!
-*°° о —i
^ ISI p cos e
Так как
С JE
sin II | p-
Ф
cos 111 R С cos 11| p
R
dp
.) P2 ~" /? '
то возможен предельный переход при R-+oo под знаком
интеграла в последнем члене равенств D5). В результате,
учитывая, что
получим
откуда и следует формула D4).
8. Упражнения. Пользуясь формулами C1) и C1') и равенством
«^р- = — I & -Л (см. § 6.6 а)), показать, что
10] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ/ЛАПЛАСА 175
a) F [sign x] = 2i' & ~, F \& -] = in sign |;
b)
-*!!!. F[|x|]=-2^;
c) F [6 (x) x] = - iji6' (?)-#* |g.
d) Доказать, что ряд
2 (x-k),
fe=— 00
сходится в ^" (R1) и
Г со
2 «*«(*-*>
[ft = — 00
e) Пользуясь теоремой § 8.4, доказать: если / s ^' (Rn) сфери-
сферически-симметрична (т. е. f (Ax) = f (х) для всех вращений А в Rn)
или лоренцеинвариантна (см. § 5.9) и supp/={0}, то соответственно
f (х) = Р (A) fi (x) или f(x) = P (П)б(^), где Р—-некоторый полином.
f) Пусть / е ^' (>?л) и supp / с: Ua\ пусть далее т} —любая функ-
функция клагса <!2) (Rn), равная 1 в окрестности носителя /. Доказать,
что функция
Uz) = if (i). г\A)е*{г' l)), z = (г, ..., гп) = х + iy D6)
не зависит от ч\, целая и удовлетворяет при некотором
любом е>0 оценке
| J (x + iy) | ^Сее<а + е>^' A + 1 х \)т- D7)
Обратно, если целая функция / (г) удовлетворяет при любом е > О
оценке D7), то существует (единственная) / <= jg?' (Rn), supp / czUa
такая, что имеет место представление D6) (теорема Пейли —
Винера — Шварца).
§ 10. Преобразование Лапласа обобщенных функций
(операционное исчисление)
Метод преобразования Лапласа является одним из
мощных средств для решения задач математической физики.
В приложениях, например в теории электрических цепей,
этот метод часто называют операционным исчислением
(Хевисайда). Основы теории преобразования Лапласа обоб-
обобщенных функций заложены Л. Шварцем [3] и Лионсом [1].
В целях простоты мы ограничимся здесь изложением тео-
W ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ ГГЛ. II
рии преобразования Лапласа обобщенных функций с одной
независимой переменной. *)
I. Преобразование Лапласа локально интегрируемых
функций. Пусть /(/) — локально интегрируемая функция
в R\ /@ = 0, f<0 и
\f(t)\^Aent при t-^ + oo. A)
Интеграл
со
jr(p) = \f(f)erP*dt, p = a + ia>, B)
6
называется преобразованием Лапласа функции /.
Функция of (р) — аналитическая в полуплоскости <5~>а,
(О
причем a^(p)Z^0, a-> + oo.
Действительно, в полуплоскости a>a подынтеграль-
подынтегральная функция в B), в силу A), имеет оценку
и, следовательно, абсолютно интегрируема. Поэтому инте-
интеграл B) сходится равномерно во всякой замкнутой полу-
полуплоскости a^a-fe, 8>0, определяя тем самым анали-
аналитическую функцию J2" (р) при а>»<2, стремящуюся к 0 при
а-> + со равномерно по со.
Формула B) в терминах преобразования Фурье при-
принимает вид
Эту формулу мы и примем за исходную при определении
преобразования Лапласа обобщенных функций.
Пример.
p'
а>0. C)
2. Преобразование Лапласа обобщенных функций.
Обозначим через &'+ (а) совокупность обобщенных функ-
функций /(/) из 3+ (см. § 7.7), обладающих тем свойством,
*) См. также В. А. Диткин и А. П. Прудников [1] и Ю. А. Брыч-
ков и А. П. Прудников [1J.
§ 101 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА 177
ЧТО
f (t) e-a( е= ?*'+ при всех о>а*). D)
Определение <??"+ см. в § 8.6; «?%. ~ сверточная алгебра.
Очевидно, что <^+ (а^ cz J?+ (й2), если а^Яа-
Справедливо включение-. S*'+ cz J?+ @).
Действительно, если /" е е?*"', supp /" cz [0, со), ц — любая
функция класса С°° со свойствами: т)(/) = 0, /<~б,
г)({) = 1, *> —6/2, б>0 — любое, то при всех а>0
Л @ <га'е= ^, / = т]/" (см. § 5.10), и поэтому
(t) e~Qt e ^'
/+(), mo bf^&+(a), b^
f(kt)e=&+(ka), k>0\ f(t)eb<=&
Эти утверждения непосредственно следуют из опреде-
определений (см. § 8.3).
Если f и ge^^a), то /*g-e^+(a) и справедливо
равенство
if * 8) e~at = fe~at * ge~at, а > я. E)
Действительно, пользуясь формулой A7) § 8.6, при
всех а>а и фе^(^) имеем
а'-?(фг<", тц (/) т]2 (т) <p (t + т)) =
g (т), Л1 @ Л« (т) ^-а ('+т) Ф
откуда и следует равенство E). Так как /е-ст/ и ge~a' e ^+
и S*'+ — сверточная алгебра (см. § 8.6), то из E) следует,
что (f*g)e-at(=e7"+, a>a, т. е. f*g^&'+(a).
Мы доказали, таким образом, что 3'+ (а) — сверточная
алгебра', она является подалгеброй сверточной алгебры 3+
(см. § 7.7).
В частности, если f е ^+ (а), то / (t — т) = /* б (t — т) е
е^'+(а), т^0; /(«> = /*б^>е^+(а), т = 1, 2,...;
если о^О, то/п-я первообразная/(от) = б*...*б*/е^+(о),
m раз
/п=1, 2, ... (с»!. §§ 6.3 и 7.8).
*) Обычно в качестве а берется inf тех а, для которых имеет
иесто D).
178 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. !Т
Пусть [е^+(й): Из условия D) вытекает, что при
каждом о>а обобщенная функция f(t)e~Qt обладает пре-
преобразованием Фурье, и поэтому
at\(~<o) = 2nF-1 [f (t)*-«](со) е «*", F)
Фиксируем произвольное число ao>a. Докажем, что
f{p) = {f{t)er°*% Ti @ *-<"-*•>9. °><*о, G)
где т) (/) —произвольная вспомогательная функаия, введен-
введенная выше.
Действительно, пусть о>о0>а и феУ. Тогда
(of (a + to), ф) = (F [/ (<) е-<"] (- со), Ф) =
Ч Ti (/) И°-°о>' J ф
Но при каждом о~>о0
т) @ е-(а-°»> '-'^ф (со) е ^ (/?2).
Поэтому интеграл в последнем выражении можно вынести
за знак функционала (см. A5) § 8.5), и мы получаем
откуда и вытекает формула G).
<JF (р) — аналитическая функция в полуплоскости о~>а
и в каждой полуплоскости о^Оо^а справедлива формула
дифференцирования
J-(m) (р) = Ц ф e~o0t^ ^ (^ (_ ^« е-(р-о„) ^ /72 = 1, 2, ... (8)
Доказательство этого утверждения аналогично дока-
доказательству леммы § 8.4, если учесть, что
„-(р+Др-ao) t р-{р-оа) t
Др->0 в &.
Функция аГ (р) называется преобразованием Лапласа
обобщенной функции /(t) из ^\{а).
В операционном исчислении (обобщенную) функцию
/ (/) называют оригиналом, функцию «F (р) — изображением
<> 10] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА 179
и этот факт записывают так:
/(*)«—F<p), o>a. (9)
Отметим, что между оригиналами f(t) и изображениями
аГ (р) имеется взаимно однозначное соответствие *). Это
утверждение вытекает из определения F) и из взаимной
однозначности операции преобразования Фурье (см. §9.2).
Очевидно, преобразование Лапласа — линейная операция:
если fk{t)*+Pk{p), o>ak, h=\, 2, то и
@ *¦ Wx (p) + ^% (p), a > max (au a%).
Пример.
6 (t — t) «e> e~xP, p — любое, т. 5=0. A0)
3. Свойства преобразования Лапласа.
а) Дифференцирование преобразования
Лапласа. Если /е J?+(a), то
да = 0, 1, ... A1)
Действительно, (-/)и/е^(о) (см. § 10.2). Применяя
формулы G) и (8) к (—t)mf, при всех а >ао> а получим
соответствие A1):
(__ t)m f (t) <- ((— t)m f (t) е-°<1, ц (t) er^p-rt 0 =
/ (, r\ (t) (— t)me-(P-°J 0 = fW (p).
b) Преобразование Лапласа производной.
Если /е^+(а), то
fi«)(t)*+ppf(p), а>а, /и = 0, 1,... A2)
Это соответствие достаточно доказать при /я = 1. Мы
знаем, что /' eJ?+(a) (см. § 10.2). Поэтому
Г @ - *" [/' @ ^в1 (- со) = F [(/ @ е-"')' + о/ @ <г°'] (-
= (а + ш) F [/ @ ег«] (- а>) =
что и требовалось.
с) Сдвиг (смещение) преобразования Ла-
Лапласа. Если f&.3'+{a), то
A3)
*) Поэтому соответствие (9) симметрично.
180 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ ГГЛ. II
В § 10.2 показано, что/ (t)eKt&&+ {a -f Re Я); поэтому
в силу § 9.3, d),
/@^'~/4/@^-o'U-co) =
= F [f {t) e-io-» f] (_ (o) = aF (p - X).
d) Преобразование Лапласа подобия. Если
/е Ь'+{а) и ^>0, то
/W-4^(|), o>ka. A4)
Действительно, f(kt)<=&+(ka) (см. § 10.2) и, в силу
§ 9.3, е),
/ (kt) ~F\f (kt)е-'](-(о) = F[f (kt)e~* *'l(~u))-
е) Преобразование Лапласа свертки. Если
и gs^+(a), /*->#¦ и ^-ь>>, а>я, то
так что преобразование Лапласа мультипликативно.
Мы имеем f*g^ 3'+(а) (см. § 10.2) и, пользуясь фор-
формулами E) и G), при всех о*>о0>а получаем
(/ * г) @ **(if*g) @ e-ffe', -n @ е-{р-°в) 0 =
Но Tj^Je-^^'e^", и поэтому по формуле A7) § 8.6
будем иметь
if * 8) @ - (/ @ e-ae' •«(т) е-ст»т, % @ т|2 (т)
Учитывая теперь, что при некотором выборе вспомога-
вспомогательных функций т]ь % и т| справедливо тождество (рис. 37)
% (t) % (т) т) (/ + т) = t|i (t) т|а (т),
и пользуясь определением прямого произведения в S"
(см. § 8.5), получаем формулу A5):
if * 8) @ ~ (/ @ e-aef • 8 (т) e-ffet, % @ Лг (т) e
= (/(t) e-°e', т)! (t) e-<p-°J0 (gr (т) ?-ст»т, % (т)
если еще раз учесть формулу G).
10]
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
181
f) Преобразование Лапласа сдвига (запаз-
(запаздывания). Если fe^+ а) и т^О, то
ст>а. A6)
(см. § 10.2) и, в силу
¦erx*JF{p).
В самом деле, / (/ — т) е ^+ (
A5) и A0),
/(*-т)=/*6(*-т)
g) Преобразование Лапласа первообраз-
первообразной. Если f^&l(a)t а^О, то
/<"
m)
Действительно, /(~т)
A5) и C),
о>а, т = 0, 1, ... A7)
У+(а) (см. § 10.2) и, в силу
т раз
4. Обратное преобразование Лапласа. Возникают за-
задачи: 1) дать внутреннее опи-
описание изображений алгебры
^+ (а) и 2) как по данному
изображению восстановить
(единственный) оригинал?
Ответы на эти вопросы со-
содержатся в следующей основ-
основной теореме.
Предварительно введем
класс Н(а) — совокупность
функций ef (p), аналитиче-
аналитических в полуплоскости а>а
и удовлетворяющих следую-
следующему условию роста: для лю-
бых е>0 и jjo~>a существуют числа Се(а0)
==¦ т (do) ^ 0 такие, что
//////////////у
Рис. 37.
0 и т
СТ>СГо.
A8)
Очевидно, Н (а) — алгебра с обычным умножением анали-
аналитических функций.
Основная теорема. Для того чтобы f(t) принад-
принадлежала &'+(а), необходимо и достаточно, чтобы ее пре-
преобразование Лапласа & (р) принадлежало Н {а) При этом
184 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ ГГЛ. IT
Рассмотрим теперь общий случай. Фиксируем произ-
произвольные Ь^а, о0~>а и целое k>m(a0)-f 1 и введем
функцию
аналитическую в полуплоскости а>а и удовлетворяющую
при всех aXJo оценке типа B0):
Съ(о0)е™ \+\р\"
По доказанному существует непрерывная функция ^ из
^+(а0) такая, что
О+ 100
М> = Ш $ Si(P)eptdP++fiiPh °>^o. B4)
о — too
Отсюда, пользуясь формулой A2), выводим
Обозначая
заключаем, что /e^+(a0) (см. § 10.2), f(t)++e?(p),
о>о0 и, в силу B4), справедливо представление A9).
Осталось заметить, что построенная обобщенная функция f
из 3+(о0) (для любого ao>a) единственна и поэтому она
не зависит от выбора вспомогательных параметров Ь^а,
а0 > а и k > т (а0) + 1. Но тогда / е ^+ (а) и f (t) ~ F (р),
а>а. Теорема доказана.
Следствие. Пусть функция аГ (a + ico) абсолютно
интегрируема по а на R1 при некотором о>а. Тогда
справедлива классическая формула обращения
О + (ОО
/@ = 2^7 J S(P)e"dp.
a -to
Для доказательства достаточно заметить, что в фор-
формуле A9) возможно дифференцирование под знаком интег-
§ 10] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА 185
рала k раз (см. § 1.5), и далее воспользоваться ра-
равенством
Доказанная теорема устанавливает взаимно однозначное
соответствие *-> между алгебрами '&)'+ (а) и Н (а), причем
это соответствие линейно и мультипликативно- Такие
алгебры называются изоморфными.
Замечание. Пользуясь техникой обобщенных функций, можно
доказать *), что всякая функция У- из алгебры Н (а) удовлетворяет
более сильному, чем A8), ограничению роста: для любого ао>а
существуют числа С (а0) 5= 0 и М = М (а0) ^ О такие, что
|.F<p)|*?C@e)O+ p\M), <т>о0.
5. Примеры и применения.
а) Ь{т]A-т)^рте-тР, р-любое, т^>0, т = 0, 1,... B5)
Вытекает из формул A0) и A2).
^^ «-0.1....">. B6)
Вытекает из формул C), A1) и A3).
с) Пусть / — функция из ^+ (а), /еСл(^0) и /<-»• aF,
о>а. Тогда
п—1
{/«"ЧО^Р"^"^)- 2 РЧ + О)^*-*-1, о>а. B7)
fe=0
Действительно, пользуясь формулой A4) § 6.4 п раз
и учитывая при этом, что f(l)—Qt t<iO, получим
(t)\ =/(«> - /i*» (+ 0) ei"-*-1' @.
Eткуда, в силу A2) и B5), следует формула B7).
d) Пусть / и g —локально интегрируемые функции
из ^+(с), geC'(^O) и /¦¦«гГ, ^*^^, о>а. Тогда
i B8)
*) См. В. С. Владимиров [2], § 26.
**) Соотношение б (/) — - часто записывают так: 1 ¦•— — , что
представляется не соьсем удачным.
182
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
ГГЛ. II
при всех bs^a, а>о0>а и целых k>m(а0) +1 справед-
справедливо представление
A9)
a —loo
Рис, 38.
причем правая часть
A9) не зависит от Ь,
а и k.
Доказательст-
Доказательство. Необходи-
Необходимость. Пусть /е
е J?+ (а). Тогда ее пре-
преобразование Лапласа
oF (p) — аналитическая
функция в полуплоско-
полуплоскости о>а (см. § 10.2) и
при любом ао>йв по-
полуплоскости а >• а0
имеет место представле-
представление G). Применяя к
этому представлению
теорему Л. Шварца (см.
§8.2), при любом е>0 и некоторых Се(о0)
= т(ао)^О получим оценку A8)
|оГ(р)|<-С(а0) sup
, о>о0,
так что /еЯ(а).
Достаточность. Пусть зГ е Я (а). Нужно доказать,
что функция «F (р) есть преобразование Лапласа обобщен-
обобщенной функции /из O&'jr (а), представимой формулой A9).
Рассмотрим сперва случай, когда функция еГ(р) при всех
удовлетворяет оценке
Тогда интеграл
B0)
<T-j-/oo
(a>e) B1)
а — too
§ 10] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА 183
сходится равномерно по t на каждом конечном промежутке,
определяя непрерывную функцию /(/), — оо<;/<;оо.
Докажем, что f(t) не зависит от а>я. Пусть а2>
a. По теореме Коши имеем
J 0, B2)
T(d)
где контур Г (d) изображен на рис. 38. Учитывая, что
в силу B0),
at
[ ea'&+t>da „„-+0,
J [(a-aJ + d2]a/9
и переходя к пределу в равенстве B2) при с!-*- + оо, получим
J J(p)eP<dp= \ аГ(р)еРЧр,
<JX — ^ОО (Jj — 100.
что и требовалось установить.
Перепишем равенство jB1) в эквивалентной форме:
/ (t) = ^ \<f (о + ш) ё** Ad, a > a. B3)
—оо
Пользуясь оценкой B0) и считая о>о0>а, оценим/^):
(ао)
Пусть t<C — е. Устремляя в полученной оценке а к +оо,
выводим f@ = 0. Отсюда, ввиду произвольности е>0,
заключаем, что/@ = 0, ^<0. Из B3) следует также, что
f(t)e~at(=^f и
JT (р) = 2Л5-1 [/ @ <г°'] (©), a > a.
Итак, /s^+(e), [(t)~>o?(p), o>a.
188 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИЙ (ГЛ. И
В силу B5) имеем
«(р-А*)*!... (р-Хя)Ч
и поэтому, в силу е)
п7^, ст>я= max Re A,. C3)
Разлагая ^-t на простейшие дроби:
<?(/>)"
у — ]
и пользуясь B6), из C3) получаем
+ Л C4)
В силу единственности фундаментального решения
оператора q* в алгебре ^+ (см. § 7.8), функция ?(/)
совпадает с фундаментальным решением, построенным
в § 6.4, [) (в случае постоянных коэффициентов).
6. Упражнения, а) Пусть /а (/), — со < а <оо —обобщенная
функция, введенная в § 7.8. Доказать что
где за ра принимается та ее ветвь в полуплоскости о > 0, для которой
ра>0 при положительных р;
Ь) М0«"-?
а>0.
е) Пусть \ak\^c(\+k)m, k=0, I, .... Доказать, что
2 efc6(/-ft)- 2 а^-ьр, о>0.
101
Преобразование лапласа
189
f) Пусть f(t) — периодическая функция с периодом Т (абсолютно)
интегрируемая на периоде (рис. 40). Доказать:
т
9@ /<0-
f @ е~р' d<>
о
g) Проверить, что
1) (о cos *)* #=6@, 8 @=6'@+в@:
2) М cos 0* ?=6@, ? @ = 6" @ + 36@ +49 (OsM;
3) ?+2 (всое0*?«=6@, ?@ = 6@— 26@ в' A—0;
4) в*и, + 6'*ы1 = 6@, 6*Ui + 6'*«2 = 0,
«,@ = -6@-в@ в', ы8 @ = 0
h) Пользуясь формулой B7), показать, что
1) ' + М0 @)
= (/ (т) в-в «r-T)
"' @)
2) и" + ш«и - / @, и @) =
t
«@ = — \ / (т) sin со (/ — т) dT + «o cos to/ + ы,
при этом предполагается, что / s С (/ ^ 0) П ^+ («)¦
Рис. 40.
1) Пусть ?х —решение уравнения g*<fj = 6 в алгебре J?+ (a),
причем ^х е С1 (^5:0). Пользуясь интегралом Дюамеля B8), показать,
что решение в алгебре &+(а) уравнения g*u = f, где /—локально
интегрируемая функция из j^+(a), выражается формулой
t
j) Доказать, что
М+Р2
к) Пользуясь j), доказать равенство
a>0.
sin t =
\ h(t— т)Л(т) dr.
186 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. И
В самом деле,
, o>a,
и поэтому
(p), a>a.
Формула B8) называется интегралом Дюамеля. Она
широко используется в теории электрических цепей,
е) Уравнения в алгебре J?+(a) имеют вид
g*" = /, B9)
где g и /— известные и и — неизвестный элементы из @>+(а).
Все сказанное в § 7.8 относительно алгебры &+ остается
справедливым и для алгебры &+ (а). В дополнение к § 7.8
отметим следующий результат:
Для того чтобы оператор g* имел обратный g-1*
в алгебре &'+ (а), необходимо и достаточно, чтобы е
<= Н (а), где g(t)~$ (р), о>а\ при этом g~l (t) «+ —г,
а>а.
Это утверждение непосредственно следует из эквива-
эквивалентных, в силу A5), равенств ^#^-1 = б, ?(р)^~г~. = 1,
?
I ¦
и из установленного в основной теореме взаимно
однозначного соответствия меж-
П? . ду элементами алгебр &'+(а)
> и Н{а).
f) Рассмотрим электрическую
цепь, состоящую из сопротивле-
сопротивления R, самоиндукции L, емко-
емкости С и источника э. д. с. e(t),
включаемого в момент времени
рис 39 t~Q (Рис- 39)- Тогда в соответ-
соответствии с законами Кирхгофа си-
сила тока в цепи / (t) удовлетворяет интегро-дифференциаль-
ному уравнению
9
§ 10} ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА 187
ИЛИ
g*i = e, C0)
где
? (t) = L6' @ + /?б @ 4- ^ 6 @ е= <Г4 @).
Найдем обратный оператор a*=g~J*. Имеем
•Л, а>0,
и поэтому, в силу е) и Ь),
а@- ' р
ср
/
Таким образом,
a(t) = z%e~*L'(<*cos cot -?Ls\n
и решение уравнения C0. выражается формулой (см. §7.8)
г. C1)
о
Формула C1) в явном виде выражает реакцию, или
отклик, i{t) цепи на входной сигнал e(t). В теории элек-
электрических цепей g(t) называется импедансом (обобщенное
сопротивление) цепи, а а(() — адмитансом (обобщенная
t
проводимость). Нетрудно видеть, что а * 8 = J а (т) d% есть
о
отклик цепи на «единичную ступеньку» 0 (функцию вклю-
включения).
g) Найдем обратный оператор ?* к оператору q*, где
q (t) = 6(m) (t) 4- afl1"-1) (t) 4-... 4- om6 @, C2)
то есть
-4— fl.fi —— Л
• • • t **m%J ^^ v«
ГЛАВА III
ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ
И ЗАДАЧА КОШИ
В этой главе теория обобщенных функций применяется
к построению фундаментальных решений и к решению
задачи Коши для волнового уравнения и для уравнения
теплопроводности. При этом задача Коши рассматри-
рассматривается в обобщенной постановке, что позволяет включить
начальные условия в мгновенно действующие источники
(типа простого и двойного слоя на поверхности / = 0).
Таким путем задача Коши сводится к задаче о нахожде-
нахождении такого (обобщенного) решения данного уравнения
(с измененной правой частью), которое обращается в нуль
при /<сО. Последняя задача решается стандартным мето-
методом—методом суммирования возмущений, порождаемых
каждой точкой источника, так что решение ее представ-
представляется в виде свертки фундаментального решения с пра-
правой частью.
Исследуется также задача Коши для гиперболического
уравнения с двумя переменными (метод Римана).
§ П. Фундаментальные решения линейных
дифференциальных операторов
Для построения фундаментальных решений линейных
дифференциальных операторов с постоянными коэффи-
коэффициентами применяется метод преобразования Фурье.
Этим методом, естественно, могут быть получены только
фундаментальные решения медленного роста.
1. Обобщенные решения линейных дифференциальных
уравнений. Пусть
т
2 aa(x)D«u=f(x), Ы®\ A)
Ю! = о
— линейное дифференциальное уравнение порядка т с
коэффициентами аа е С°° (Rn). Вводя дифференциальный
•> 111 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 191
оператор
т
Цх, D)« 2 М*)Да,
а| =0
иорепишем это уравнение в виде
L(xt D)u = f(x). (Г)
Обобщенным решением уравнения A) в области G
называется всякая обобщенная функция «е^', удовле-
пюряющая этому уравнению в области G в обобщенном
смысле, т. е. для любой ф е ^ (С) (см. § 5.2)
(L(xt D)u
Равенство B) равносильно
(и, L* {x, D) ф) =
[де
т
1 U | =
Действительно,
/ m
(L(Xt D)U, ф)=( 2 аа^а
\ а 1 ¦= 0
, ф) = (/, ф)-
равенству
(/, ф), ф? ^(С
| (—\упЮа(аацз)
= 0
\ m
' |а| = 0
г),
1.
>а«, ф) =
B)
B')
C)
2 2
|а| =0 !а i =0
= («, 23 (-1)|а|Да(аа
1 а; = 0
Ясно, что всякое классическое решение является и
обобщенным решением. Обратное утверждение сформу-
сформулируем в виде следующей леммы.
Лемм'а. Если f&C(G) и обобщенное решение и(х)
уравнения A) в области G принадлежит классу Cm(G)t
то оно является и классическим решением этого уравне-
уравнения в области G.
Доказательство. Так как u&&'[)Cm{G)t то
классические и обобщенные производные функции и до
порядка т включительно совпадают в области G (см.
$ 6.1). Поскольку « — обобщенное решение уравнения A)
192 ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ. III
в области G, то непрерывная в G функция L(x, D)u — f
обращается в нуль в области G в смысле обобщенных
функций. По лемме дю Буа-Реймона (см. § 5.6)
L(x, D) и (х) — / (х) = 0 во всех точках области G, так что
и удовлетворяет уравнению A) в области G в классиче-
классическом смысле. Лемма доказана.
2. Фундаментальные решения. Пусть L — дифферен-
дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами,
Оа (х) = аа:
т
L(D)= 2 "aDa, L*(D) = L(-D). D)
lal =0
Фундаментальным решением (функцией, влияния) опе-
оператора L(D) называется обобщенная функция 1е^',
удовлетворяющая в R" уравнению
L(D)g = 6(x). E)
Фундаментальное решение Ш (х) оператора ?(?*),
вообще говоря, не единственно; оно определяется с точ-
точностью до слагаемого ?<>(*), являющегося произвольным
решением однородного уравнения L(D)?Q = 0.
Действительно, обобщенная функция Ш (х)-\-?0(х)
также является фундаментальным решением оператора
цру.
Лемма. Для того чтобы обобщенная функция % из ?*'
была фундаментальным решением оператора L (D), необ-
необходимо и достаточно, чтобы ее преобразование Фурье
Р\Щ удовлетворяло уравнению
где
Доказательство. Пусть Ше47" — фундаменталь-
фундаментальное решение оператора L(D). Применяя преобразование
Фурье к обеим частям равенства E), получим
F[6} = \. G)
« 11] ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 19.°
Принимая во внимание формулу A6) § 9.3, имеем
o| = 0
m
= 2 aa(-itY*Fle] = L(-it)F№ (8)
la =0
отсюда и из G) вытекает, что F[?] удовлетворяет урав-
уравнению F).
Обратно, если |е^'' удовлетворяет уравнению F),
lo, в силу (8), Ш удовлетворяет уравнению G), откуда
следует, что t удовлетворяет уравнению E), т. е. яв-
является фундаментальным решением оператора L(D)
Лемма доказана.
Доказанная лемма сводит задачу построения фунда
ментальных решений медленного роста линейных диф
ференциальных операторов с постоянными коэффициен
мами к решению в 3"' алгебраических уравнений вида
РA)Х = \, (9)
где Р — произвольный полином.
Как видно из уравнения (9), всякое его решение из
"J)' (если таковое, существует) должно совпадать с функ-
функцией -р-рр- вне множества NР нулей полинома Р (|),
Отсюда следует, что если №РФф, то решение уравне-
уравнения (9) не единственно: разные решения отличаются
друг от друга на обобщенную функцию с носителем в
Л//>. Например, различными решениями уравнения \Х — \
являются обобщенные функции
Н-ю* 6-ю
и * '
отличающиеся друг от друга на выражение вида const б (I)
(см. формулы Сохоцкого A5) и A5') § 5.8).
Если функция р-тгт- локально интегрируема в Rn, то
она (точнее, определяемый ею регулярный функционал)
является решением в ??' уравнения (9). Если же функ-
функция р-щ- не является локально интегрируемой в Rn, то
194 ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ. III
возникает нетривиальная задача о построении в <?У" реше-
решения уравнения (9). Л. Хёрмандером [2j доказано, что
уравнение (9) всегда разрешимо в ?7"% если Р(?)^ёО.
Обозначим через ге§р7?Г какое-либо решение из <?У"
уравнения (9). Построение этого решения существенно
зависит от структуры множества Ы\> и может быть про-
проведено для каждого конкретного полинома Р.
Таким образом, уравнение F) всегда разрешимо в ?*",.
Следовательно, всякий линейный дифференциальный опе-
оператор L {D) с постоянными коэффициентами имеет фун-
фундаментальное решение медленного роста, и ьто решение
дается формулой
3. Уравнения с правой частью. С помощью фундамен-
фундаментального решения Ш (х) оператора L (D) можно построить
решение уравнения
L(D)u=f(x) A1)
с произвольной правой частью /. Точнее, справедлива
следующая
Теорема. Пусть /eJ?' такова, что свертка ? * /
существует в ?Р'. Тогда решение уравнения A1) суще-
существует в ^' и дается формулой
u = ?*f. A2)
Это решение единственно в классе тех обобщенных
функций из &>'\ для которых существует свертка с Ш.
Доказательство. Пользуясь формулой дифферен-
дифференцирования свертки (см. B0) § 7.5) и учитывая равенство E),
получим
t> Ml ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 195
Поэтому формула и — ?*/ действительно дает решение
уравнения A1).
Докажем единственность решения уравнения A1) в
классе тех обобщенных функций из ~2)' у для которых
свертка с Ш существует в 3>\ Для этого достаточно уста-
установить, что соответствующее однородное уравнение
L(D)u = 0
имеет только нулевое решение в этом классе (см. § 1.11).
Но это действительно так в силу
Теорема доказана.
Следствие. Если ие^' и свертка и*% суще-
существует в &', то справедливо равенство
m = L(D)m*?. A3)
Физический смысл решения м = ?#/. Пред-
Представим источник f (х) в виде «суммы» точечных источни-
источников f(lN(x — I) (см. замечание в конце § 7.4):
В силу E) каждый точечный источник f(lN(x— l) опре-
определяет влияние /(?) Ш(х — Ъ). Поэтому решение
есть наложение (суперпозиция) этих влияний.
4. Метод спуска. Рассмотрим линейное дифферен-
дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами в
пространстве Rn+1 переменных (х, t) = (хъ x2t ..., хп> t)
( |)=/(*)-6(*), f<B®'{R% A4)
где
L{D> <?)= 2?м0>+м0)
ц = I
и Lq(D) — дифференциальные операторы по переменным*.
Пусть обобщенная функция и из &'(Rn+l) допускает
продолжение на функции вида ф(х) 1 (t), где ф?^(Rn),
7*
196 ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И ЗАДАЧА КОШИ |ГЛ. Ill
в следующем смысле: какова бы ни была последователь-
последовательность основных функций r\k(l), k=\, 2, ..., из «& (R1),
сходящаяся к 1 в R1 (см § 7.4), существует предел
lim {и, ф (х) T)k (/)) = (и. ф (х) 1 @) A5)
k
и этот предел не зависит от последовательности {r\k\.
Обозначим функционал A5) через и0,
(и0, Ф) = («, ф(*I@) = Iin (", y(xLk(t)), ц><=&(R"). A6)
k
Очевидно, при всяком k функционал (и, ц> (х) цк {())
линейный и непрерывным на ?0 {R"), т. е. принадлежит
?#' (Rn). Поэтому, по теореме о полноте пространства
J?'(Rn) (см. § 5.4), и предельный функционал и0 ^ &' (R")-
Приведем два примера на построение продолжения «0-
а) Пусть и{х, О"~"ФУнки>ия такая, что функция
^ | и {х, t)\dt локально интегрируема в Rn. Тогда ио(х) —
локально интегрируемая функция в R" и представляется
интегралом
00
ио(х)= $ u(xt t)dt. A7)
— оо
Действительно, в этом случае функция и (х, t) локаль-
локально интегрируема в Rn+1 и, в силу теорем Лебега и
Фубини (см. § 1.4), предел A5)
lim (и, ф (*) x\k (t)) = Hm [u(x, t) q> (x) щ (t) dxdt—
A-*oo fe-+co
CO
= 5 и (x, t)q> (x) dxdt = 5 ф (x) 5 и (Xi t) dtdx
— 00
при всех fEf (Rn) существует и Hi зависит от после-
последовательности {r)fe}. Отсюда, в силу A6), и вытекает фор-
формула A7).
Ь) Пусть и = /(*)• 6(/), где le=3'(Rn). Тогда uo = f
в силу
(«о, ф)= lim («, ф(ДГ)Ла(О)= lim {f(x)-6(t), ф (дг) т|* (/)) =
fe-»oo * -»оо
= lim
§11] ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 197
Теорема. Если решение «ef (Rn+1) уравнения A4)
допускает продолжение A6), то обобщенная функция и0
из &' (Rn) удовлетворяет уравнению
L0(D)u0 = f(x). A8)
Доказательство. Пусть r\k(t), 6 = 1, 2, ..., —
последовательность функций из В (R1), сходящаяся к 1
в R1. Тогда при q=\, 2, ... последовательности функций
"ППО + Л^ЧО. ? = 1, 2, ..., также сходятся к 1 в R1 и,
следовательно, при всех ф из ^ (Rn) (ср. § 7.5, с))
Mm (и, <р (*) <> @) = lim (и, Ф (*) [щ (/) + <> (/)]) -
ft —»оо /г — оо
- lim (u, ф(*)г)ПО) = («о. Ф)-К, <р) = 0. A9)
fe
fe-»GO
Учитывая A9), проверим, что обобщенная функция и0
удовлетворяет уравнению A8):
(U(D)u0, ф) = («0, Le(—D)V)= lim (и,L,(—
ft— 00
-lim (и, Lo(—
/г -»со
= lim (LlD.^u, <s>(x)r\k(t))= lim (
Л — ооХ \ °'/ / ft —oo
-lim tf(x)
ft — 00
Теорема доказана.
Изложенный метод получения решения ио(х) уравне-
уравнения A8) с п переменными через решение и(х, t) уравне-
уравнения A4) с п+1 переменными называется методом спуска
по переменной t.
Метод спуска особенно удобно использовать для по-
построения фундаментальных решений. Действительно, при-
применяя доказанную теорему при / = б(*), получаем: если
Ш(х, t) — фундаментальное решение оператора lId, ^) —
допускает продолжение ?0 вида A6), то обобщенная функ-
функция
($о> ф) = (?, Ф (х) 1 @), ф е 9 (Rn)t B0)
19? ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ ТП
есть фундаментальное решение оператора L0(O); в част-
частности, если &(х, t) такова, что функция ^\Ш {х, i)\dt
локально интегрируема в Rn, то
оо
?о(*)= $ ?(*, О Л. B1)
— оо
Фундаментальные решения ?0 и ?' удовлетворяют- соотно-
соотношению
Физический смысл этой формулы состоит в том, что Шо (х)
есть (не зависящее от t) возмущение от источника б (х) • 1 (/),
сосредоточенного на оси t (ср. § 11.3).
5. Фундаментальное решение линейного дифференци-
дифференциального оператора с обыкновенными производными.
В § 6.4, f) (см. также § 10.5, g)) было показано, что
фундаментальное решение этого оператора выражается
формулой
где Z(t) удовлетворяет однородному уравнению LZ = 0
и начальным условиям
Z @) = Г @) =... = Z^-2> @) = 0, Zi"-1) @) = 1.
В частности, функции
*(О = в(Ое^', B2)
«@-6@^ B3)
являются соответственно фундаментальными решениями
операторов
й
6. Фундаментальное решение оператора теплопровод-
теплопроводности.
f
=b{x, I). B4)
§ II] ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 199
В § 6.5, f) было показано, что решение уравнения B4)
выражается формулой
9**>-1г$згг& B5)
и, следовательно, эта функция является фундаментальным
решением оператора теплопроводности.
Выведем формулу B5) методом преобразования Фурье.
Для этого применим преобразование Фурье Fx (см. § 9.2)
к равенству B4):
и воспользуемся формулами B1) и B2) § 9.3:
Fx [6 (х, t)] = Fx [б (х) • 6 @] = F [б] (I) • 8 @ -1 G) • 6
В результате для обобщенной функции t (?, t) =
= ^[^](l, t) получаем уравнение
1181 F. 0 -1 F) •«@. B6)
Пользуясь формулой B2) с заменой а на аа|?|2, заклю-
заключаем, что решением в <?" уравнения B6) является функ-
функция
Отсюда, применяя обратное преобразование Фурье F|l и
пользуясь формулой C8) § 9.7, получаем равенство B5):
Bд)«
7. Фундаментальное решение волнового оператора.
П-&«= 6 <*.'). B7)
Применяя к равенству B7) преобразование Фурье Fx
и действуя, как в предыдущем пункте, вместо уравнения
B$) для обобщенной функции F* [?«] = ?« (|, t) получаем
200 ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И ЗАДАЧА КОШИ 1ГЛ. Ill
уравнение
—^тпг \-a2\l\2en(l, t) — \(l)-6(t). B8)
Пользуясь формулой B3) с заменой а на а[? |, заклю-
заключаем, что решением в <??' уравнения B8) является функция
Следовательно,
Шп (х, t)=F? [I, F, 0] = s @ /ч1 [!il5^yn} B9)
Пусть п = 3. Тогда из формулы D0) § 9.7 выводим
откуда и из B9) получаем
*»<*• Ъ = Ш[**« W-У?б (flV- I-^l2)» C0)
причем обобщенная функция §3 действует по правилу:
оо
'а/
Аналогично, пользуясь формулами B6) § 9.6 и D3)
§ 9.7, получим (ср. § 6.5, g))
C2)
Для получения фундаментального решения Ш2(х, t),
x=(xlt x2), воспользуемся также методом спуска по пе-
переменной х3 (см. § 11.4). Для этого нужно показать, что
^s(*t *з, 0 допускает продолжение A6) на функции вида
ф(*. 0Н*з), где фе^(П
Пусть т)д, е &) (R1) и последовательность цк(х3), k =
«= 1, 2, ..., стремится к 1 в /?'. Тогда, пользуясь C1),
« III ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
при всех ф €= ?} (R3) получим
201
at
4ла2
J 7 J Ф (*,
6 s
at
= («а, Ф (ДГ, 0 I
так что- этот предел существует и не зависит от последо-
последовательности \у\ь). Отсюда, при-
меняя формулу B0)„ заключаем,
что при всех фб^ (R3)
, 01 Ы) =
Преобразуем последний интег-
интеграл. Так как ф не зависит от
х3, то, заменяя поверхностный рис 41.
интеграл по сфере Sa( — [\x\2 +
-|-Ха = а"/2] на удвоенный интеграл по кругу |дг
(рис. 41), получим
2яа J
fl(fl^-|x[)
, t)dxdt.
откуда и следует формула C2) для Шг.
Аналогично, пользуясь формулой B1), получаем ме-
методом спуска по переменной х^ формулу C2) для
202 ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И ЗАДАЧА КОШИ {ГЛ. III
фундаментального решения %х (х, t):
00
, /\ f Jf lv v i\rtv
'% •/ ~" I ©2 \^> ^2» »/ 4^2
— 00
oo
Inn .) V Я2/2 1-2 y2
— со
YuhTZ
6{at — \x
2a '
8. Фундаментальное решение оператора Лапласа.
№„=6(х). C3)
В § 6.5, d) было показано, что функции
JP /v\ ' Inlvl S? i v\ I v 1-1+2 1л ~-~^ О 1ОЛ \
©2 \Xj = я— Ш | л |, сЛ (a; — — j- „.-— | л | , n ^ o, \O^)
являются фундаментальными решениями оператора Ла-
Лапласа. Вычислим эти фундаментальные решения методом
преобразования Фурье. Применяя преобразование Фурье
к равенству C3), получим
C5)
Пусть п = 2. Проверим, что обобщенная функция
— ^ггтг (см. § 9.7, d)) удовлетворяет уравнению C5):
Действительно,
Г 11|2ф(?)-1Г2ф(Р1ь-о^ , f
3 \гТ% §+ 3
1 !б"
3
I8K1
Следовательно, в соответствии со схемой § 11.2 можно
положить
<s II] ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 203
Отсюда, пользуясь формулой D1) § 9.7, получаем
slnw+?- C6)
Так как постоянная удовлетворяет однородному урав-
Q
нению Лапласа, то, отбрасывая в C6) слагаемое ~t
убеждаемся, что фундаментальное решение Ш2{х) можно
выбрать равным ^ In | x I.
Пусть теперь п^З. В этом случае функция — |i|~a
локально интегрируема в Rn и потому, в соответствии
с § П.2,
Отсюда при п = 3, пользуясь формулой D4) § 9.7, по-
получаем
«.М —5Г7Г- <37>
Аналогично вычисляется и ^л(д:) при /г>-3.
Особенно просто Шп{х), п ^ 3, строится методом спуска
по переменной * (см. § 11.4) из фундаментальных реше-
решений оператора теплопроводности или волнового оператора.
Например, пользуясь формулой B1), из B5) при а=1
получаем формулу C4):
4л4
9. Фундаментальное решение оператора Гельмгольца.
= 6(.к). C8)
204 ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ. III
В § 6.5, е) было показано, что
».W — ШТг g'W = -V^ <39>
— фундаментальные решения оператора Гельмгольца при
я = 3. Формулы C9) справедливы и при комплексных k.
Вычислим Ш2 (х) методом преобразования Фурье. Из C8)
имеем
(-|112 + *2)Н?2]=1. D0)
Возьмем решение уравнения D0) в виде
и, следовательно, в силу непрерывности преобразования
Фурье,
?2 (х) = F-1
2л
e I lim lim
2п
Здесь использовалась формула 6.532, 4) из справочника
И. С. Градштейна и И. М. Рыжика [1J; H{J\ /=1, 2, —
функции Ханкеля (см. § 23.8); пределы понимаются
в смысле сходимости в пространстве <г?".
Итак, функции
?2(х) = -{ я;» (^|х|), I,(*> = { я;2' (*!дг|) D1)
— фундаментальные решения оператора Гельмгольца при
2
'.•Ill ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 205
При п — 1 фундаментальные решения удобно взять
и виде (см. § 11.5)
D2)
ik -2ike
10. Фундаментальное решение оператора Кош и —
Римана.
йШ = Ь(х,у). D3)
В § 6.5, j) было показано, что
*<*•»>-*?• <44>
11. Фундаментальное решение оператора переноса*).
-- -q~ + (s, grad Ш,) + aSs = б (x, t), \ s | = 1. D5)
Применяя к равенству D5) преобразование Фурье Fx,
для обобщенной функции Fx[8s]=z%3(?, t) получаем
уравнение
\_djIa1j)+[a_t{Sf mis(L i)s=ul).6{t) {46)
Отсюда, пользуясь формулой B2), заключаем, что ре-
решением из &" уравнения D6) является функция
Применяя теперь обратное преобразование Фурье
и пользуясь формулой A1) § 9.2 при xo = vts:
получаем фундаментальное решение оператора переноса
?,(*, t) = vt{t)ravtb(x-vt5). D7)
*) См. § 2.4,
206
ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ. Ill
Для вычисления фундаментального решения Ш%{х)
стационарного оператора переноса
(s, grad^) + a^ = 6(jc) D8)
воспользуемся методом спуска по переменной t (см. § 11.4).
В результате, в силу D7), при всех q <= 3 G?3) получим
-vts), <p(x))dt =
= v] e~avf(p(vts)dt = )
о о
откуда, в силу B0), вытекает, что
\Х ,2
bis'А
Из D9), в частности имеем
1$
5,
4л х 2<
D9)
E0)
12. Упражнения, а) Пользуясь формулой B9), показать, что
обобщенные функции
п-З
^ 2
/г ^ 3 — нечетное,
E1)
2па
/г ^ 2 — четное,
являются фундаментальными решениями волнового оператора Па.
Ь) Доказать, что фундаментальными решениями оператора
Клейна —Гордона—Фока П + /л? (см. § 2.8) являются обобщенные
функции
2л 4л V xf,— х 2
И D" (x0, x) — Dr(—x0, x); здесь Jl — функция Бесссмя.
ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 207
с) Доказать, что обобщенные функции
. E3)
D-(x0, x) =
удовлетворяют уравнению Клейна — Гордона — Фока и соотношению
Обобщенные функции />*, Da, D+ и D~ —играют важную роль в кван-
квантовой теории поля *).
d) Пользуясь формулой D3) § 2.8, показать, что матрица четвер-
четвертого порядка
х) = - I i 2 \k J- + "V I Dr (xQ, x), E4)
где Dr определена в E2), есть фундаментальное решение оператора
Дирака (см. § 2.8)
3
Г 21 k
е) Пользуясь формулой C9) § 9.7, показать, что функция
2ft/"x E5)
является фундаментальным решением одномерного оператора Шре-
дингера
f) Показать, что функция
есть фундаментальное решение итерированного оператора Лапласа Л*
при 2k < п.
в) Доказать, если функция и е <$' (Rn+l) такова, что свертка
и * [о (х) • 1@] существует, то существует функционал и0 (см. A6)), и
*) См. Н. Н. Боголюбов и Д. В. Ширков llj.-гл. II.
208
ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ. III
справедлива формула
м*[б(х)- !(/)] = «„(*)• 1@-
h) Доказать: если функция ? ; и (х, t) dt локально интегрируема,
го
и*[Ь(х).\ @1 =$«(*. г) dr.
§ 12. Волновой потенциал
1. Свойства фундаментального решения волнового опе-
оператора. Фундаментальными решениями волнового опера-*
тора при я=1, 2 и 3 являются (обобщенные) функции
(см. формулы C2) и C0) § 11.7)
2а
2па V а-Р — \ х |2
w=УНб (^2 -1х V-
Функции Шх и ?2 локально интегрируемы, а обобщенная
at
Рис. 42.
at
Рис. 43.
функция ?3 действует на основные функции
по формуле C1) § 11.7:
(/?*)
A)
Носители функций Шх и Шг совпадают с замыканием конуса
будущего Г+ (рис. 29), а носитель обобщенной функции $3
совпадает с границей [at = \х |] этого конуса. На рис. 42—44
схематически изображены графики фундаментальных реше-
решений ?ь ?2 и %ь в момент времени *.
121
ВОЛНОВОЙ ПОТЕНЦИАЛ
209
Пусть f(x, 0e ^'(Rnil) и <р(х) е= <3? (/?").
Введем обобщенную функцию (/(х, /), (pW)e^'(i?1),
действующую по формуле
((/(*, 0. Ф(*)). 10 = (Л Фф). Ф@б^(П B)
Из этого определения вытекает следующая формула:
Действительно, при всех \J) e «^ (У?1) имеем
0,
= (-0
откуда и следуют равенства C).
Будем говорить, что обобщенная функция fix, t) при-
принадлежит классу Ср, 0<^ ^
?< р ^ ос, по переменной t
в (а, Ь) (соответственно на
[а, Ь]), если для любой ф е
= & iRn) обобщенная функ-
функция (fix, t), (fix)) принадле-
принадлежит классу Ср ia, b) (соответ-
(соответственно С ([а, Ь])) (см. § 5.6). о
Лемма. Фундаменталь -
ные решения Enix, t), n=\,
2, 3, принадлежит классу С^°
по переменной t в [0, оо) и удовлетворяют предельным со-
соотношениям при t-
0
at
Рис. 44.
О,
Ьп (X, t)
dt
ьп (х, t)
dt*
¦О в @4Rn). D)
Доказательство. Пусть п = 3 и ф€=^г(/?3). Из
A) вытекает, что
, 0,
Ф (х)dS = Ш U iats) ds. E)
4
Так как правая часть равенства E) бесконечно диф-
дифференцируема по t в [0, оо) в смысле § 1.2, то, следова-
следовательно, ?3 принадлежит классу С^по t в [0, оо). Кроме
210 ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ. Ш
того, из E) вытекает, что
(?.(*. О, Ф (*))-*0, г~> + 0. F)
Далее, пользуясь формулой C) при / = ?$ и-&=1, 2,
из формулы E) получим при f
1 U ф (rts) ds + /л * $ q> (ofc) ds - Ф @) = F, ф), G)
s i
\ d С , t d2
2rt dt ,) 4л d/
s, s,
ибо функция
§ Ф (afs) cfs = jj ф (— ais) ds
s, s,
— четная бесконечно дифференцируемая по /, а потому
ее первая производная при / = 0 равна нулю. В силу
произвольности ф? У (№) предельные соотношения F) —
(8) эквивалентны соотношениям D) при п = 3.
Пусть теперь « = 2, 1 и фЕ i% (Rn). Тогда при
at
at
J J
-a/ -1
Отсюда, как и при п — 3, вытекают все утверждения
леммы.
2. Дополнительные сведения о свертках. Установим
еще один признак существования свертки.
Теорема. Пусть обобщенные функции f ugU3&' (Rn+1)
таковы, что f (x, t) = 0, / < 0 и supp g cz Гh. Тогда свертка
/*? существует в &' (Rnil) и при всех фе1
«: 12] ВОЛНОВОЙ ПОТЕНЦИАЛ 211
представляепк.я в виде
(/*?. Ф) =
= (/F. t)-g(y, т), п^пЫт|(оН*-|/у|8)ф(Ц-у, <+-т)), (И)
г| (т) — любая функция класса C^iR1), равная О при
— 6 и 1 np« f> — E F « е — любые числа, б > е > 0).
зтол* свертка f#g обращается в нуль при t<.0 и
непрерывна относительно / и g в отдельности: 1) если
/л-»-0, /г->оо в ^'(#я+1), /\ = 0, ^<0, mo /**g-^0,
?->оо в ^'(/?"+1); 2) еглы gk-+0, ^^6о в ^'(/?я+1),
supped Г1-, то /*§*-> 0, Л-^оо в ^'(Я1).
Доказательство. Пусть ф(х, 0 — произвольная
функция из ^(/?"+1), 5иррфсз(/д и rjA(|, /; г/, т), ft =
= 1, 2, ..., —последовательность функций из &> (R2n+2),
сходящаяся к 1 в /?2л+2 (см. § 7.4) Тогда при всех доста-
достаточно больших k
у,
ззя|). A2)
Для доказательства равенства A2) достаточно устано-
установить, что функция ij)^ C2> (R2nh2). Но это следует из того,
что она бесконечно дифференцируема, а множество
в котором содержится ее .носитель, ограничено, поскольку
оно содержится в ограниченном множестве (см. рис. 35)
Далее, по построению x](t) = \ в окрестности носителя
/ (I, 0 и г] (т) г] (ah* — | у |2) = 1 в окрестности носителя
g{y> т)- Следовательно (см. A8) § 5.10),
Учитывая теперь эти равенства и равенство A2), убеж-
убеждаемся в справедливости формулы A1):
" k—> со
lim (/F, 0 -g(y, х), ур„) = (/(?, о .g@, т),
212 ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ. III
Докажем, что /*g = 0, /<0. Пусть ср(л:, /))
и supptyd [/<0]. Так как носитель ср— компакт в Rn+1,
то найдется такое число 621> 0, что supp феи [t^ — 6j].
с
А тогда, выбирая б <; ~, получим
T](/)ii(T)T)(fl2T2-|f/!2)9(S + f/, / + т)=0, A3)
откуда, в силу A1), (f*g, ф) = 0, что и утверждалось.
Непрерывность свертки f*g относительно / и g сле-
следует из представления A1) и из непрерывности прямого
произведения /(?, t)-g(y, т) относительно / и g в отдель-
отдельности (см. § 7.3, а)). При этом вспомогательную функцию г\
можно выбрать не зависящей от k. Теорема доказана.
Замечание. Доказанная теорем я легко обобщается на тот
случай, если конус будущего Г+ заменить па произвольный замкну-
замкнутый выпуклый конус С, не содержащий целом прямой
Отметим, что частный случай этой георемы (при /i = 0) установ-
установлен в § 7.7.
Докажем формулу: если g(x, t) e &' (Rn+l), suppg с
с:Г+ и и (х) 6= &' (Rn), то
g*[u(x)-6(t)] = g(x, t)*u(x), A4)
причем обобщенная функция g (x, t)*u (x) действует по
правилу
(g(x, t)*u(x), <р) =
= (g(y, t) • и (Z), Ma2t2-\y\2)q>(y±h, 0),фе^(/?П A5)
Действительно, полагая в формуле (И) f — u(x)-6(t),
при всех (pGj? (/?л-+1) получим
(?•[«(*)-6 @], Ф) =
= (ё(У> т) • и (I) ¦ б @, т](т) г)(/)л(а2т2- \у\*)ч(у + Н, т + /)) =
)) =
A6)
Поскольку носитель g(y% т) содержится-в полупростран-
полупространстве т 0, то, в силу A8) § 5.10, g — ^(x)g. Далее,
функция
-1 у |2) ф {у +1, х) г ^ (
' l-.'l ВОЛНОВОЙ ПОТЕНЦИАЛ 213
Поэтому, продолжая равенства A6) и учитывая A5), полу-
получим равенство A4):
(./>* [и (х) -6@], ф) =
= (g(x, 0 *«(*). ф)-
Чдесь последнее равенство получено в силу теоремы § 7.6.
Пользуясь теперь формулой A4) и правилами диффе-
дифференцирования прямого произведения (см. § 7.3, с)) и
гнертки (см. § 7.5, с)), при всех k = \, 2,... получаем
равенства
^ d8?d±*u(x). A7)
3. Волновой потенциал. Пусть обобщенная функция
I (х, () из i^'(/?"bl) обращается в нуль в полупространстве
/<0. Обобщенная функция
'де <&п — фундаментальное решение волнового оператора,
называется волновым потенциалом с. плотностью /.
Так как supp^czf+, то, по теореме § 12.2, волновой
потенциал Vn существует в &'(Rnl) и представляется
в виде
(Vn, Ф)«(*«(У, T)-f(S. Т'),
ч(х)у](т')г)(аЧ*-\у?)ц>(у+1 т + т')), фе^(П, u ;
где tj(t) —любая функция класса Cx(Rl), равная 0 при
т<; — б и 1 при т > - е; б и е — любые, б > е > 0. Кроме
rorof по той же теореме волновой потенциал Vп (х, t)
обращается в нуль при /<[0 и непрерывно зависит от
плотности / в С/''(R*-1). Наконец, по теореме § 11.3, этот
потенциал удовлетворяет волновому уравнению
Дальнейшие свойства волнового потенциала Vn суще-
существенно зависят от свойств плотности /.
Если [ — локально интегрируемая функция в R!'+1t то
V п —локально интегрируемая функция в %_П['1 и
214 ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И ЗАДАЧА К.ОШИ [ГЛ. III
выражается формулами
У*(Х>Ъ=Ш* 3 ,,-*¦ ^ B0)
0 У (л:; a(/ -T))
б x—a'u—x)
Докажем формулу B0). Пусть фе^(^). Так как
/ — локально интегрируемая функция в R1, то, учитывая,
что / = 0 при t<iO, и принимая во внимание формулу
A) и теорему Фубини, из представления A8) получаем
(Уз, Ф) = (^з(у, т),
. т), ч(т)ч(аН*-\у?)^(х--у, t-x)<p(xt t)dxdt) =
= 1^2 \ Ф (*. О
'a/
Это значит, что потенциал V9 — локально интегрируемая
функция в R* и представляется в виде
Совершая в этом интеграле замену переменных х — у = \,
получаем формулу B0).
Аналогично, с соответствующими упрощениями, выво-
выводятся формулы B0') и B0") для потенциалов V2 и W
Сопоставим каждой точке (х, t), t>0, открытый конус
Г9{х, /) = Г"(х, 0П[0<т</]
121
ВОЛНОВОЙ ПОТЕНЦИАЛ
215
першиной (х, t), основанием U (х; at) и боковой поверх-
поверхностью В (х, t) (рис. 45); здесь Г" (х, /) —конус прошлого
(см. § 3.3).
Рис. 45.
Теорема. Ест /еС2(/?;0) при я = 3 и 2, ./е
<= С1 (t -г- 0) при п = 1, то потенциал Vn ^C2(t$s 0) и
удовлетворяет оценке
\V3{x, t)\
Wn(X, OK;
и начальным условиям
'- max |/F, т)|,
f max |/(g, x)|, « = 1,2,
Го (х, t)
л
/-0
= 0.
B3)
Доказательство. Докажем теорему при п — 3.
Замена переменных y = atr)', f>Q, преобразует формулу B1)
к виду
;,A~Jtll))rfT|- B4)
и,
Так как /g^^O) и подынтегральное выражение в B4)
имеет интегрируемую особенность, то1/3еС2(/^0) (см. 1.5).
Из представления B4) следует также оценка B2) для
216 ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И ЗАДАЧА КОШИ (ГЛ. III
потенциала Уз'
Ws(x, /)|<? max |/(g,x)| f -^- = * max \f(l,
Так как К3^С2(^^0), то из оценки B2) вытекают на-
начальные условия B3).
Пусть теперь я = 2. Замена переменных % = x-\-atx\t
r = t — at, ?>-0, преобразует представление B0') для потен-
потенциала V2 к виду
т/ / а /2 Г f f(x+ah\i t — ai) . , /пл1.
из которого непосредственно и вытекают требуемые свой-
свойства этого потенциала.
Свойства потенциала Vx следуют из представления B0").
Теорема доказана.
Замечание. Волновой потенциал V3 (x, t) называется также
запаздывающим потенциалом. Это название связано с тем, что согласно
формуле B0) значение потенциала V3 в точке х в момент времени
/>0 определяется значениями источника /(?, т), | е U (x\ at), взя-
тыми в ранние моменты времени т = ^—: s_L, причем время запаз-
запаздывания — \х—1| — это то время, которое необходимо для прихода
возмущения из точки ? в точку х. Другими словами, V9(x, t) зави-
зависит лишь от значений источника /(?, т) на боковой поверхности
В (х, t) конуса Г„ (х, () (см. рис. 45).
4. Поверхностные волновые потенциалы. Если f =
— Ui(x)-S(t) или f = uo(x)b'(t), где u0 и их произволь-
произвольные обобщенные функции из &>'(Rn), то соответст-
соответствующие волновые потенциалы
IT = S«•["!(*)•«@1, V»" = Si,•["(>(*)• 8'(*)]. n = l, 2, 3,
называются поверхностными волновыми потенциалами
(простого и двойного слоя с плотностями их и и0 соот-
соответственно).
В силу формул A4) и A7) § 12.2 волновые потен"-
диалы Уя1 и Vn' представляются в виде
VT = ?*(*> t)*Ul(x), B5)
г» = д&п(х, t) т ио {х) ^ ^_ {Щп {х^ t) #
S 121 ВОЛНОВОЙ ПОТЕНЦИАЛ 217
причем обобщенная функция %п (х, t)*u(x) действует в
соответствии с формулой A5).
Лемма. Поверхностные волновые потенциалы Vn] и
V'n принадлежат классу С°° по переменной if в [0, оо) и
удовлетворяют начальным условиям при t-*--\-oo
V'n°'(x, g-*0, dvT^'t)-^u1(x)e^'(Rn), B7)
B8)
Доказательство. По лемме § 12.1 обобщенная
функция %п{х, t) принадлежит классу С30 по переменной
/ в [0, оо). Далее, при каждом *>0 носитель ?„ (х, t)
содержится в шаре uat и, следовательно, равномерно
ограничен в Rn при t-^tQ^O. Поэтому, пользуясь тео-
теоремой § 7.6 о непрерывности свертки в В\ заключаем,
что при всех (pef (Rn) .
) oo), ^ = 0, 1, ...
Отсюда, в силу равенств C) и (J7),
elk
^1-[*.(х, t)* Bl(X)], <р) - (^%^.в,(х),
выводим, что ($п(х, t)*ux(x), ф)еС°°[0, оо). Это и зна
чит, в силу B5), что потенциал У„' (х, t) принадлежит
классу С°° по t в [0, оо). Заменяя их на и0, выводим из
B6), что таким же свойством обладает и потенциал Vn'.
Докажем предельные соотношения B7). Учитывая
предельные соотношения D) и пользуясь непрерывностью
свертки %п{х, t)*ul(x) в 3' (Rn), получаем при tf 0
V'n°'(x, t) = $n(x, t)*ul(x)-^0»u1(x) = 0 в
dV'n (x, t) д rv . .. . ., д%я (x, t)
¦fir-L=-\?{X t)*Ul(x)]= щ
-»-б*и1 = «1(х) в &1 (Rn).
Аналогично устанавливаются и предельные соотно-
соотношения B8). Лемма доказана,
218 ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ. III
Дальнейшие свойства поверхностных волновых потен-
потенциалов Vn' и У,}' существенно зависят от свойств плот-
плотностей щ и и0.
Если их — локально интегрируемая функция в Rn, то
поверхностный потенциал V'n" — локально интегрируемая
функция в R"*1 и выражается формулами
I »iit)dS, B9)
S(x; at)
B9')
x-i-at
UxiDdl. B9")
x— at
Установим формулу B9). Так как функция «i — ло-
локально интегрируемая в R:\ то, пользуясь формулами
B5), A5) и A), при всех ф?^(^) получаем
= («а (У, 0. Л (a2*2 -1 у |2) J «i Ш Ф (y+t,-1) dl) =
1
^ I i"^*-^*, t)dxdSydt^
4ла2
о
u,(x-y)dS,dxdt,
откуда следует, что Vj, локально интегрируема в
представляется в виде (ср. с формулой C4) § 7.10)
\ul{x-y)dSu.
Совершая в этом интеграле замену переменных х — у —
= |, получим формулу B9). Аналогично, с соответству-
соответствующими упрощениями, выводятся формулы B9') и B9")
для потенциалов V*' и V\ul.
Теорема. Если uoezC*{Rn), «igC2^") при п=»3
и 2; uo^C2(R^, ы^С1^1) при п = \, то потенци-
потенциалы Vn' и Vn' принадлежат- классу С2 {t ^0) и
1*1 ВОЛНОВОЙ ПОТЕНЦИАЛ 219
1цI>влетворяют оценкам
\VT(x, t)\^t max \Ul(l)\\ C0)
S(x\ at)
| VT (x, t) | < t max | ux (g) |, n - 1, 2; C0')
U (*; at)
\VT{x, D^max \uo(l)\ + at max igradiie(g)|. C1)
IKi"^, OK max \u9(l)\+at max |gradM0F)|, (ЗГ)
U {л; at) U(x;at)
\V\u(x, OK max | m0 (g) | C1")
S
начальным условиям
У'п0>
о,
i(x), C2)
-0. C3)
Доказательство. Пусть п = 3. Совершая в фор-
форму^1 B9) замену переменных x—^ — ats, t>0, получим
представление
V?(x, t) = 6-^ [ui(x-ats)dst C4)
из которого следует, что У'30> удовлетворяет оценке C0)
и принадлежит классу C*(t^O), поскольку г^еС2^3).
Дифференцируя формулу C4) по t и пользуясь B6), по-
получим представление для потенциала У91':
at6 (t) С
тг1 \ (graaxuo(x — ats), s)ds,
откуда вытекает, что У'3и удовлетворяет оценке C1):
I Vg11 (я, 01 <; тах[ и0 (х — ats) \-\-ai max| (grad^и0(х—ats), s)\^
is 1=1 ls;=i
^ max | «о (S) | + at max | grad^ «0 (x) |
S(x, at) S{x;at)
и принадлежит классу C2{t^0), поскольку uo&C3(R3).
При п — 2 замена переменных ? = х— atx\ при t>0
преобразует представления B9') и B6) для потенциалов
220 ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ. III
У'ч0> и V'i' к виду
2Л J /1
2л
_ afij^l J ferad^o^^JJ dif],
откуда и вытекают требуемые свойства гладкости и
оценки C0') и (ЗГ) для потенциалов VT и 1/j", например,
: f
= / max
1
РФ
Соответствующие свойства потенциалов V\o> и V\1'
следуют из представлений B9") и B6), например:
Теперь установим справедливость начальных условий
C2) и C3). В силу B7) и B8) эти условия выполнены
в смысле сходимости в пространстве &'(Rn). Но по
доказанному функции VT (x, t) и V'n'(x, t) принадлежат
классу C2(t^O). Следовательно, эти функции удовле-
удовлетворяют условиям C2) и C3) в обычном смысле. Теорема
доказана.
Замечание. Формулы B9), B9') и B9") формально следуют
из формул B0), B0') и B0"), если в них положить /(?, т) = «, (%) х
хб(т) и «проинтегрировать» б (т).
§ 13. Задача Коши для волнового уравнения
В этом параграфе мы применяем теорию обобщенных
функций к решению (обобщенной) задачи Коши для вол-
волнового уравнения.
1. Задача Коши для обыкновенного линейного диф-
дифференциального уравнения с постоянными коэффициен-
коэффициентами. Прежде всего решим задачу Коши для обыкновен-
§ 13] ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ 22!
ного дифференциального уравнения с постоянными коэф-
коэффициентами:
A)
«<*>@) = м*. 6 = 0, 1 п-\, B)
где /С(^0)
/()
Пусть и (/) — решение задачи Коши A) —B). Продол-
Продолжим функции и (t) и /(/) нулем на ^<0. Обозначая про-
продолженные функции через и и / соответственно и поль-
пользуясь формулами A4) § 6.4 и начальными условиями B),
получим
к—1
/=0
Отсюда и из уравнения (I) заключаем, что
Lfi = \Ы (t)\ + иоб^-1» (О -Н (alUo -h mi) o^-2) @ +...
n-l
... + (aa.lUo +... + ai"«-* + "«-1) б @ = / @ + 2
fc=o
где
Таким образом, функция и в обобщенном смысле удовле-
удовлетворяет в R1 дифференциальному уравнению
. C)
Построим решение уравнения C). Функция Ш(() =
= 8(/)Z(/), где LZ = 0 и
Z@) = Z'@)=... = Z("-2l@)=0, Z("-1)@) = l, D)
есть фундаментальное решение оператора L (см. § 11.5).
Поскольку t и правая часть уравнения C) принадлежат
сверточной алгебре обобщенных функций <&\ (см. § 7.7),
то, по теореме § 11.3, решение уравнения C) существует
222 ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ. Ill
и единственно в ^)\ и выражается сверткой
= Q(t)\Z(t-T)f (т) dx + 8 (t) 2 chZ™ Ц). E)
0 fe=0
Здесь мы учли равенства
$M(t)=[B(t)Z(t)]W = B(t)Z^(t), 6 = 0, I n-l,
справедливые в силу D) (см § 6.4, f)).
Таким образом, решение и (t) задачи Коши A) —B),
будучи продолжено нулем на /<СО, удовлетворяет урав-
уравнению C), решение которого единственно в алгебре &>'+.
Поэтому формула E) при />0 дает искомое решение за-
задачи Коши A), B):
и (t) = j Z (/ - т) / (т) dx + 2 ск&» {t). F)
о *=о
В частности, формула F) для задач Коши
и' + аи = /(/), ы@) = ыо; G)
и" + а*и = /(/), м(О)=«о, и'@)=«1 (8)
принимает соответственно вид
и (t) = 5 ^«-"Ч / (т) rft + "о^-^; (9)
о
t
= i- f sin a (t - т) f (x) dx+u0 cos at+ 1*!^^. A0)
M(/) = i- f si
2. Постановка обобщенной задачи Коши для волно-
волнового уравнения. Схема решения задачи Коши, изложен-
изложенная в предыдущем пункте для обыкновенного линейного
дифференциального уравнения с постоянными коэффици-
коэффициентами, применяется для решения задачи Коши для вол-
волнового уравнения
De«-/(*, О, (И)
ди
—— ti() \Л>), -j. 1*1 ,\ ЛI. \\ ?tl
Считаем, что f^C(t^ 0), Мо^СЧЯ") и uxz
13)
ЗАДАЧА КОШИ Д.ЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ
223
Предположим, что существует классическое решение
к(х, t) задачи Коши A1)—A2). Это значит, что функ-
функция и класса С2 (t >• 0) П С1 (t ^ 0) удовлетворяет уравне-
уравнению A1) при (>0 и начальным условиям A2) при t-+-
-^ + 0 (см. § 4.2).
Продолжим функции и и / нулем при /<0, положив
о, /<о, ( о, /<о.
Покажем, что функция и (х, t) удовлетворяет в RnJrl
волновому уравнению
Ax)b(t). A3)
имеем цепочку ра-
раДействительно, при всех
венств
=5 3 "Поф
5
0 Rn
О Rn
**. O)dx
Rn
откуда и вытекает равенстио A3).
224 ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ. Ill
Равенство A3) показывает, что начальные возмущения
w0 и их для функции й(х, t) играют роль источника
ио(х)-Ьг (t) + tii(x) -b(t), действующего мгновенно при
? = 0; при этом начальному возмущению и0 соответствует
двойной слой ио(х) ¦ 6' (/), а начальному возмущению
их — простой слой ux(x)-b{i) на плоскости /=0. Далее
классические решения задачи Коши A1) —A2) содер-
содержатся среди тех решений уравнения A3), которые обра-
обращаются в нуль при /<0. Это дает основание назвать
задачу об отыскании (обобщенных) решений уравнения
A3), обращающихся в нуль при *<0, обобщенной зада-
задачей Коши для волнового уравнения. Но в таком случае
в уравнении A3) правую часть можно считать обобщен-
обобщенной функцией.
Итак, введем следующее определение. Обобщенной за-
задачей Коши для волнового уравнения с источником
F e 02>' (Rn+l), назовем задачу о нахождении обобщенной
функции «е &' (R"^1), обращающейся в нуль при /<0
и удовлетворяющей волновому уравнению
nnu^F(x, t). A4)
Уравнение A4) эквивалентно следующему (см. § 11.1):
для любой фе^(/?Я|1) справедливо равенство
(и, ПвФ) = (/=¦, ф). A4')
Из уравнения A4) 'следует, что необходимым усло-
условием разрешимости обобщенной задачи Коши является
обращение в нуль F при /<<0. Сейчас будет показано,
что это условие является и достаточным.
Замечание. При выводе уравнения A3) мы фактически до-
доказали равенство
Поы ={?<*"(*, t)} + u(x, +<))• 6'(/)+«,(*, +0)-6@, A5)
справедливое для любой функции и е C2(t > 0) ПС1 (t $s0), обраща-
обращающейся в нуль при t <-0 и такой, что \3аи е С (t >: О).
3. Решение обобщенной задачи Коши.
Теорема. Пусть fE^'f/?"!), причем F = Q при
t <c 0. Тогда решение соответствующей обобщенной за-
задачи Коши существует, единственно и представляется
в виде волнового потенциала
u = $,,*F A6)
$то решение непрерывно зависит от' F в &>*,
<) 13] ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ 225
Доказательство. По условию правая часть F
уравнения A4) обращается в нуль при ?<0. Поэтому
по теореме § 12.2 свертка F с фундаментальным реше-
решением in волнового оператора существует в 3' (Rn+1) и
обращается в нуль при /<0. По теореме § 11.3 реше-
решение уравнения A4) существует и единственно в классе
обобщенных функций из &' (Rn+1), обращающихся в нуль
при ?<0, причем это решение выражается сверткой A6).
Докажем непрерывную зависимость построенного ре-
решения и от F в ^'(R^1). Если F* = 0, *<0 и Fk-+F,
/г-»-оо в ?$' (Rn+1), то, в силу непрерывности свертки
(см. теорему § 12.2), из A6) получаем
Теорема доказана.
Следствие 1. Всякая функция и (ху t) класса
C2(t>0)flCl(t^0), обращающаяся в 0 при /<0 u та-
такая, что Па«еС(?^0), представляется в виде
и{х, t) = Vn(x, t) + VT(x, t) + Vnl'(x, t), A7)
где Vn —волновой потенциал с плотностью {Па"}, VT и
Vn' — поверхностные волновые потенциалы простого и
двойного слоя с плотностями щ (#, 0) и и(х, 0) соответ-
соответственно.
Действительно, функция и(х, t) удовлетворяет урав-
уравнению A5) и, следовательно, по теореме § 13.3, пред-
представляется в виде суммы A7) трех волновых потенциа-
потенциалов с указанными' плотностями.
Следствие 2. При F—.щ (х) • б (t)-\-и0 (х) • &' (t) ре-
решение и(х, t) обобщенной задачи Коши принадлежит
классу С°° по переменной t в [0, оо) и удовлетворяет на-
начальным условиям A2) е смысле слабой сходимости:
и(х, t) ^
A8)
Действительно, по лемме ^ 12.4 потенциалы VT и V'n
принадлежат классу G°° по t в [0, оо) и удовлетворяют
начальным условиям B7) и B8) из § 12.4. Следовательно,
их сумма V'n+V'n, являющаяся в силу A6) решением
обобщенной задачи Коши при F = «д.(х) • 6 (t) -f и0 (х) • б' (/),
8 13. С. Владимиров •
226 ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И ЗАДАЧА КОШИ 1ГЛ. III
принадлежит классу С° по t в [0, со) и удовлетворяет
начальным условиям A8).
Пример. Обобщенное решение задачи Коши
дается формулой
На этом примере видно, что разрывы у начальных данных
(или у их производных) распространяются вдоль харак-
характеристик. Это явление наблюдается у всех уравнений
гиперболического типа (см., например, формулы A9) —A9")
§ 13.4 и B3) § 15.4).
4. Решение классической задачи Коши. Из теорем
§§ 12.3, 12.4 и 13.3 при F(x, t)=f(x, t) + ul(x)-6(t) +
+ u0 (x) • 6' (t) вытекают следующие утверждения о разре-
разрешимости классической задачи Коши для волнового урав-
уравнения.
Пусть / е= С2 (/5&0); «»еС(]?") и ^еС8^") при
п = 3, 2; /еС1(/^0), ИоеС2^1) и их е= С1 (R1) при
/г=1. Тогда классическое решение задачи Коши A1) —A2)
существует, единственно и выражается
формулой Кирхгофа при л = 3:
x-
uo(t)dS\; A9)
S (*; at)
формулой Пуассона при л = 2:
2ла J J
0 t/(x, a(<— t;
«i (I) dl
§ 13] ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ 227
формулой Даламбера при п = 1:
t x-i-a(t-x) x + ot
О дс—a(t — т) x—a/
[«(* + e*) + «(-aO]- A9")
Это решение непрерывно зависит от данных /, и0 и их
задачи Коши в следующем смысле: если эти данные изме-
изменяются так, что
| grad (и0 - fi0) I
(последнее неравенство нужно только при п = 3 и 2), то
соответствующие решения и и и в любой полосе O^t^T
удовлетворяют оценкам:
\и(х, t)-u(x, /)|<-у-в+ 7Ъ,+ 80 + 07456, л = з, 2;
Резюмируя, можно сказать, что задача Коши для вол-
волнового уравнения поставлена корректно (см. § 4.7), причем
С2 (t > 0) П С1 (t 5г 0) — класс корректности классической
задачи Коши и &' (Rna) —класс корректности обобщенной
задачи Коши (см. теорему § 13.3).
Замечание. Изложенный метод решения задачи Коши для
волнового уравнения без существенных изменений переносится на
случай любого числа п пространственных переменных, а также на
задачи, у которых данные Коши заданы на произвольной простран-
ственноподобной поверхности (см. § 4.3). Более того, этот метод
применим к задаче Коши для произвольных уравнений гиперболи-
гиперболического типа с постоянными коэффициентами. Такое уравнение харак-
характеризуется тем, что оно обладает фундаментальным решением с носи-
носителем, заключенным в выпуклом конусе, не содержащем целой прямой
(см. Л. Хёрмандер [1], гл. V). Впервые в явной форме этот метод
был применен С. Л. Соболевым [2] A936 г.) для решения задачи
Коши для гиперболического уравнения второго порядка (см. также
Ж- Адамар [1]).
5. Упражнения, а) Пользуясь фундаментальным решением опера-
оператора Дирака (см. § 11, 12, d)), показать, что решение задачи Коши
я*
228 ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ. Ill
для уравнения Дирака (см. § 2.8)
выражается формулой
3
~ imADr {х°'х) *
(
Свертка матрицы с вектором определяется по обычным правилам
с заменой операции умножения на операцию свертки *.
b) Пользуясь фундаментальным решением оператора Клейна —
Гордона —Фока (см. § 11, 12, Ь)), показать, что решение задачи Коши
для уравнения Клейна — Гордона—Фока (см. §2.8) выражается
формулой
и - Dr (хо, х) * их (*)+ а/Уа(*°' Х) * и0 (х).
c) Показать, что решения смешанных задач
? а« = 0, и |/_о = «/ !/-о = О. 0<х, t<co,
1) «1л:-о = *М0, 2) «х1л:-о = 'Ф1(О, где функции г|;0 и ty непре-
непрерывны в [0, со) и обращаются в 0 при t < 0, задаются соответственно
формулами
1) „(ж. 0 = -2а'^
2) ы (x,t) = -2a*$t (x, 0 *г|) i(/)=—a J фt (т) rfr.
d) Пользуясь фундаментальными решениями B2) и B3) § 11.5,
установить, что задачи Коши
эквивалентны соответственно следующим интегральным уравнениям:
t
и {t) = \ е-а('~ър (т) и (т) di+U(/rat,
i
u(t)—~ l sin a (t —т) р (г) и (т) dr-i-u0 cos at+иг ——.
о
e) Пусть обобщенная функция F финитна. Доказать, что решение
и(х, t) соответствующей обобщенной задачи Коши для волнового
14)
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН
229
уравнения в /?4 обладает свойством: для любой ограниченной области
а с Ra существует такое число T*=T{G), что и(х, 0 = 0, xeG, t>T.
f) Пусть / = 0 и функции и0еС8(й2) и щ <= С2 (R2) финитны.
Доказать, что соответствующее решение и (х, t) задачи Коши для вол-
волнового уравнения в /?8 обладает свойством: для любой ограниченной
области G с R* существует постоянная /С = К (G) такая, что
и(х, 0|<j
t>0.
g) Показать, что Частные решения л-мерного волнового уравне-
уравнения Di« = 0 (см. § 2.1) вида Л-—Л определяются дифференциальным
\ I ¦* I /
уравнением
В частности:
и(х, t)
и(х, t) = <
и (х, 0 = <
t-\x
t+\x\
<1'
§ 14. Распространение волн
В этом параграфе будет дана физическая интерпретация
решений волнового уравнения, полученных в § 13.
1. Наложение волн и области влияния. Пусть задан
источник F (x, t), обращающийся в нуль при *<0. Реше-
Решение и (х, t) обобщенной задачи Коши для волнового
уравнения с источником F (x, t) выражается согласно
формуле A6) 13.3 волновым потенциалом с плотностью F:
u = ?n*F.
Физический смысл этой формулы (см. § 11.3) состоит
в том, что возмущение и (х, t) в точке х в момент времени
*>»0 представляет собой наложение (суперпозицию, сумму)
элементарных возмущений
F(l, т)*„(*-&. *-*).
порождаемых точечными источниками
230
ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ. III
когда точки (?, т) пробегают множество, где сосредото-
сосредоточенно возмущение F. В этом состоит принцип наложения
волн (см. § 11.3).
Из принципа наложения волн следует, что возмуще-
возмущение и от источника F, сосредоточенного в множестве Т
(т. е. supp F czT) может достичь лишь тех точек полу-
полупространства t^O, которые состоят из объединения носи-
носителей %п{х — I, t — i), когда точка (?, т) пробегает мно-
множество Т. Полученное таким путем множество М (Т)
называется областью влияния множества Т,
supp
М(Т)=
A.
Ясно, что вне множества М (Т) будет покой, другими
словами supp иен М (Т),
если supp F с Т.
Конкретная реализация
принципа суперпозиции
существенно зависит от
структуры носителя фун-
фундаментального решения
?„(х, t) и, стало быть, от
числа п пространственных
переменных (см. § 12.1).
Это, в свою очередь, опре-
определяет особенности в ха-
характере распространения
волн в пространстве, на
плоскости и на прямой.
2. Распространение волн в пространстве. Из выражения
для фундаментального решения трехмерного волнового
оператора
Рис. 46.
X =
, ЛГ3),
вытекает, что возмущение Ш9 (х, t) от точечного, мгновенно
действующего источника b(x)-b(t) к моменту времени />0
будет сосредоточено на сфере радиуса at с центром в точке
х = 0 (рис. 46 и 44). Это значит, что такое возмущение
распространяется в виде сферической волны \х «a^ дви-
движущейся со скоростью а, причем после прохождения этой
141
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН
231
полны опять наступает покой. В этом случае говорят, что
и пространстве имеет место принцип Гюйгенса.
Отсюда, в силу принципа наложения волн (см. § 14.1),
вытекает, что возмущение и от произвольного источника F,
сосредоточенного в Т, может достичь лишь тех точек,
которые состоят из объединения Гранин a(t — т) = |аг — ||
конусов будущего Г+(?, т), когда их вершины (?, т) про-
пробегают множество Т (рис. 47), так что
М(Т)= U грГ+(|,т).
F. Т>6= Т
При этом возмущение и(х, t) (запаздывающий потенциал)
при *>0 полностью определяется значениями источника
М(Г)
Попой
Рис 47.
Рис. 48.
F (?, т) на боковой поверхности В (х, t) конуса Го (х, t)
(см. § 12.3, замечание и рис. 45). В этом состоит мате-
математическая формулировка принципа Гюйгенса.
В частности, если возмущение F сводится к начальному
возмущению вида
F(x, t)^
A)
то и(х, t) при f>0 полностью определяется значениями
иоA) и нх(?) на сфере S(x, at), т. е. в точках границы
основания конуса Го (х, t).
Пусть теперь возмущение A) сосредоточено в компакте К
плоскости < = 0, т. е. _suppwocz/(, suppt/jC/C. В силу
сказанного в точку х^К возмущение придет в момент
времени /0= и будет дшлвовать в этой точке в течение
232
ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ. III
времени
D-d
, где d и D — минимальное и максимальное
р
ней огибающей сфер
расстояния от точки х до точек множества К (рис. 48).
При t> — =-t\ в точке х снова наступает покои.
Таким образом, в момент времени U через точку х
проходит передний фронт волны, а в момент времени tt
через эту точку проходит задний фронт волны. При
этом в момент времени / передний фронт будет внеш-
' at), когда ? пробегает К, а задний
фронт —внутренней оги-
• бающей этих сфер (рис.
49).
Другими словами, к
\S(?;at) моменту времени t>0
возмущение распростра-
распространяется на область, за-
заключенную между пе-
передним и задним
"Покой фронтами. Рассматривая
эту картину при всех
t^zQ, заключаем, что в
пространстве R* перемен-
переменных (х, t) это возму-
возмущение будет сосредото-
сосредоточено на объединении
границ | х — % | = at конусов будущего Г+ (?, 0), когда их вер-
вершины (I, 0) пробегают компакт К (в плоскости т = 0),
т. е. на М (К).
3. Распространение волн на плоскости. Из формулы
для фундаментального решения двумерного волнового
оператора
Рис. 49.
вытекает, что возмущение &2 (*. 0 °т точечного, мгновенно
действующего источника б (х) • б (t) к моменту времени
/>>0 будет сосредоточено в замкнутом круге радиуса at
с центром в точке л: = 0 (рис. 50). Таким образом, наблю-
наблюдается передний фронт волны \x\ = at, движущийся на
плоскости со скоростью а. Однако в отличие от простран*
ственного случая за передним фронтом возмущение на*
блюдается во все последующие моменты времени, так что
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН
233
<адний фронт волны отсутствует. В этом случае говорят,
что на плоскости имеет место диффузия волн. При этом
принцип Гюйгенса, очевидно, нарушается.
Чтобы понять, почему происходит диффузия волн,
на плоскости, заметим, что фундаментальное решение
&2 (х, t), рассматриваемое как функция четырех переменных
/
Локой
Мой
(х, х3, t), представляет собой возмущение от мгновенного
источника 6 (х) ¦ 1 (х3) • 6 (/), сосредоточенного на оси х3
(см. § 11.7),
От такого источника в R3 возмущение распространяется
в виде цилиндрической волны \x\^at, передний фронт
которой \х\ =at движется со скоростью а перпендику-
перпендикулярно оси Хз (рис. 51). После прохождения переднего
фронта возмущение сохраняется бесконечно долго.
Действительно, в силу принципа Гюйгенса (см. § 14.2)
в данную точку (лг0, 0) е Rs в момент времени />0 воз-
возмущение от источника 8(хI (xs) • б (t) будет приходить
из тех точек сферы | х — хо\г-\-х1 = аЧ2, которые лежат на
оси аг3, т. е. из точек (рис. 51)
Отсюда следует, что при
= ^0 в точке (дг0, 0)
будет покой: в момент времени t0 через эту точку прой-
пройдет передний фронт волны (возмущение придет из точки
* = 0); во все последующие моменты времени f>t0 в эту
234
ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ. Ill
точку будут приходить одинаковые возмущения из ючек
± Аа, и, стало быть, в ней будет наблюдаться отличное
от нуля суммарное возмущение (задний фронт волны от-
отсутствует).
Из наличия диффузии волн на плоскости в случае то-
точечного начального возмущения 6 (а:) • б (/) следует, что
диффузия волн наблюдается и для произвольного возму-
возмущения F(x, t), ^ = 0, *<0.
Действительно, в силу принципа наложения волн
(§ 14.1), возмущение и от источника F, сосредоточенного
Локой
Рис. 52.
в Т может достичь лишь тех точек, которые состоят из
объединения замыканий конусов будущего Г+(?, т), когда
их вершины (I, т) пробегают множество Т (рис. 52), так
что
М(Т)
, т).
F.
При этом и(х, t) при />»0 полностью определяется зна-
значениями источника F(l, т) на замыкании конуса Г« (х, t)
(см. рис. 45). (В этом состоит математическое содержа-
содержание понятия «диффузия волн»).
В частности, если F — начальное возмущение видаA),
то и(х, t) при г?>0 полностью определяется значениями
мо(?) и "i(?) в круге U (x\ at), т. е. на основании конуса
Го (х, t). Поэтому если начальное возмущение сосредото-
сосредоточено на К, то к моменту времени />0 возмущение и(х, t)
234
ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ. Ill
точку будут приходить одинаковые возмущения из ючек
it Aat и, стало быть, в ней будет наблюдаться отличное
от нуля суммарное возмущение (задний фронт волны от-
отсутствует).
Из наличия диффузии волн на плоскости в случае то-
точечного начального возмущения 6 (а:) • б (t) следует, что
диффузия волн наблюдается и для произвольного возму-
возмущения F(x, t), F = Q, t<0.
Действительно, в силу принципа наложения волн
(§ 14.1), возмущение и от источника F, сосредоточенного
Локой
Рис. 52.
в Т может достичь лишь тех точек, которые состоят из
объединения замыканий конусов будущего Г+(?, т), когда
их вершины (?, т) пробегают множество Т (рис. 52), так
что
М(Т)
т).
F.
При этом и(х, t) при />»0 полностью определяется зна-
значениями источника F(l, х) на замыкании конуса Т'п (х, t)
(см. рис. 45). (В этом состоит математическое содержа-
содержание понятия «диффузия волн»).
В частности, если F — начальное возмущение видаA),
то и(х, t) при г?>0 полностью определяется значениями
ио(?) и Ui(l) в круге D (x\ at), т. е. на основании конуса
Го (х, t). Поэтому если начальное возмущение сосредото-
сосредоточено на К, то к моменту времени * >0 возмущение и(х, t)
236
ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ. III
скости лг = 0. Отметим, что в этом случае передний фронт
состоит из двух плоскостей х = at их = — at, движущихся
со скоростью а направо
и налево соответственно
относительно плоскости
Лоюй % / N\ I Поной * = 0 (рис. 54). После
прохождения переднего
фронта волны возмуще-
возмущение сохранится беско-
/ нечно долго.
Действительно, в си-
силу принципа Гюйгенса
(см. § 14.2) в данную
точку (х0, 0, 0)е=#3
в момент времени ?>»0
возмущение от источника б(х)-\(х2, *3)-6@ будет при-
приходить из тех точек сферы | х — х0,2 + Х1 + А = а2/2, кото-
которые лежат на плоскости # = 0, т. е. из точек окружно-
окружности (рис. 54)
= f0 в точке (х0, 0, 0)
Рис. 54.
Отсюда следует, что при
будет покой; в момент времени t0 через эту точку прой-
пройдет передний фронт волны (возмущение придет из точки 0);
во все последующие моменты времени t > t0 в эту точку
будут приходить одинаковые возмущения из точек окруж-
окружности Aat и, стало быть, в ней будет наблюдаться отлич-
отличное от нуля суммарное возмущение (задний фронт волны
отсутствует).
Из наличия диффузии волн на прямой в случае точеч-
точечного начального возмущения б (л;) • б (t) следует, что диф-
диффузия волн наблюдается и для произвольного начального
возмущения Ui(x)-b(t).
Рассмотрим теперь мгновенный точечный источник
вида б(лг)-б'(?). По теореме § 13.3 этот источник поро-
порождает возмущение
$х(х, f) = ?i(*, 0*[8(*)-6'(f)] =
dSt(xf t) _ia.,, , h _ l с. , | ,v ,9s
Ш ~2a'dt VKat-\x\)- 2 °K^-\x\). D)
Отсюда видно, что возмущение %i (дг, t) в момент времени
будет сосредоточено только в двух точках x = zhat,
Ml
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН
237
так что после прохождения фронта волны \x\=at снова
наступает покой. В этом случае имеет место принцип
Гюйгенса.
Для произвольного начального возмущения вида
uo(x)-b'(t) возмущение и(х, t) при t>Q полностью опре-
определяется значениями иоA) в точках x±at, т. е. в точках
границы основания конуса 17 (х, t) (рис. 45). Это возму-
возмущение, в силу теоремы § 13.3, дается формулой
и = Шх{ху 0 * ["о (*) • 6'@] = #i (
Отсюда, учитывая равенства B), при f
и(х, t) = g б (at — | х |) * м0 (*) =
t)*uo(x).
0 получаем
C)
Физический смысл формулы C) состоит в том,
что начальное возмущение ио(*)-б'(О ПРИ ^>0 как бы
распадается на два подобных возмущения 2-u0(x+:at)t
каждое половинной интенсивности (рис. 55).
Рис. 55.
В соответствии со сказанным области влияния отрезка
К = [Ь, с] для начальных возмущений u1(x)-b(t) и
и0 (х) • б' (t) имеют вид, указанный на рис. 56 и 57.
Таким образом, на прямой для начального возмущения
их (х) • б (t) имеет место диффузия волн, а для начального воз-
возмущения и0 (х) • 6' (/)—принцип Гюйгенса. Для произвольно-
произвольного возмущения F, F (x, t) — 0, / <с 0, могут иметь место либо
принцип Гюйгенса, либо диффузия волн, либо их нало-
наложение. Физические интерпретации и геометрические по-
построения аналогичны рассмотренным в § 14.2 и § 14.3
соответственно.
238
ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ. III
5. Метод распространяющихся волн. Изложим другой
метод —метод распространяющихся волн —решения клас-
t
\ м(к)
Лош
Поной
0 b К с х
Рис. 57.
сической задачи Коши для одномерного однородного вол-
волнового уравнения
D«« = 0, D)
" |/-о = "о (х), щ |/_о — Mi (x). E)
Прежде всего докажем следующую лемму.
Лемма. Для того чтобы функция и(х, t) класса С2
была решением волнового уравнения D) в некоторой обла-
области, необходимо и достаточно, чтобы в этой области
она представлялась в виде
и(х, t)=f{x-at) + g{x + at), F)
где / (?) " g (л) ~ Функции класса С2 в соответствующих
интервалах изменения переменных \ и г\.
Доказательство. Функция F) удовлетворяет
уравнению D), так как
*ji = а*Г (х - at) + a*g" (x + at) = a*^.
Обратно, пусть функция и(х, t) класса С2 удовлетво-
удовлетворяет уравнению D) в некоторой области. Представим урав-
$ 14] РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН 239
пение D) в каноническом виде. В соответствии со ска-
сказанным в § 3.4 его дифференциальные уравнения харак-
характеристик имеют вид
dx dx
и, следовательно, замена переменных
t—x — at, r\ — x + at G)
приводит уравнение D) к каноническому виду
Интегрируя это уравнение по ?, получим
дй
где % — некоторая функция класса С1. Интегрируя теперь
полученное уравнение по tj, запишем функцию и в виде
где / и g—некоторые функции класса С2. Переходя к ста-
старым переменным х и t по формулам G), выводим из (8)
представление F) для решения и(х, t). Лемма доказана.
f(x-at)
Xq~QG JCq
Рио. 58
Физическая интерпретация решения (б).
Функция f(x — at) описывает возмущение, которое из
точки х0 в момент времени ? = 0 приходит в точку х =
= хо + at в момент времени t (рис. 58). Поэтому эта функ-
функция представляет собой волну, двигающуюся направо со
скоростью а. Аналогично функция g(x-\-at) представляет
собой волну, двигающуюся налево со скоростью а (рис. 58).
240 ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ. Ш
Общее решение F) волнового уравнения D) есть наложе
ние этих двух волн.
С помощью представления F) общего решения волно
вого уравнения D) классическое решение задачи Кошя
D) —E) строится следующим образом.
Предположим, что решение и (xt t) этой задачи суще-
существует. Тогда, по лемме § 14.5, это решение представ-
представляется в виде F) с функциями / и g из класса C?(RX),
Для того чтобы решение и (х, t), удовлетворяло началь-
начальным условиям E), необходимо, чтобы функции fug
удовлетворяли соотношениям
т. е.
/(?)+*(?) = «о(В, ?(?)-/(Н) = МмГ)^' + С, (9)
Sr
где С—некоторая постоянная. Решая уравнения (9) отно-
относительно неизвестных функций / и g,
и подставляя полученные выражения для / и g в фор-
формулу F), получаем формулу Даламбера (см. § 13.4)
x + at
j «xF)dg. A0)
к —at
Непосредственной проверкой убеждаемся, что формула
Даламбера A0) действительно дает классическое решение
задачи Коши D)-E), если uo<=C2(Rl) и в^С1^1).
Это решение единственно (см. § 13.4).
Замечание. Для построения решений уравнения колебаний
струны мы воспользовались основным свойством характеристик, со-
состоящим в том, что на характеристике ц== const это уравнение при-
приводится к обыкновенному дифференциальному уравнению относи-
относительно функции Ы? (?, У]) с независимой переменной |, и поэтому
решение строится при помощи квадратур. Это свойство характера*
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН
241
стик —наличие уравнений с меньшим числом переменных, связываю-*
щих значения неизвестной функции и ее производных, — лежит
п основе ряда важных методов интегрирования (квазилинейных)
уравнений гиперболического типа (см. § 15).
6. Метод отражений. Полубесконечная струна. Изло-
Изложенный в предыдущем пункте метод распространяющихся
волн решения задачи Коши для уравнения D) позволяет
решать некоторые смешанные задачи для этого уравнения.
Для определенности рассмотрим смешанную задачу (см.
§ 4.5), описывающую колебание полубесконечной струны
х>0 с закрепленным левым концом
«U-o = 0. A1)
Предварительно докажем, что всякое классическое ре-
решение и(х, t) волнового уравнения D) в квадранте х>0,
*>0, удовлетворяющее условию A1), представляется
в виде
и(х, t) = g{x-\-at)—g{—x + at), geC^/?1). A2)
Действительно, по лемме § 14.5 решение и(х, t) пред-
представляется в виде F), где /(?)еС*(/?х) и g(ri)e
gC2(ti>0). Отсюда, учитывая условие A1), получим
откуда и следует представление A2).
Физическая интерпретация решения A2).
Это решение представляет собой наложение двух волн:
Л./
-g(-x+at)
-g(-x+at)
Рис. 59.
Рис. 60.
волны g{x-\-af), движущейся со скоростью а налево, и
волны — g(—x-\-at), движущейся с той же скоростью на-
направо. Пусть волна g (x -\- at) движется по полубесконеч-
полубесконечной струне х> 0, закрепленной в точке х = 0. Тогда волна
~~g(—x-\-at) будет двигаться по полуоси х <; 0 на-
навстречу волне g{x-\-at) (рис. 59). В некоторый момент
242 ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ. III
времени эти волны встретятся в точке х = 0 и, наклады
ваясь друг на друга, дадут нулевое возмущение в этой)
точке. При дальнейшем движении волна g(x-\-at) ока-
окажется за пределами струны, в то время как волна
— g(—x~\-at) перейдет на саму струну. В результате на
струне будет наблюдаться отражение волны g(x~\-at) от
конца струны х = 0 с изменением знака (рис. 60).
Построим теперь решение смешанной задачи D) — E) —
A1). Всякое классическое решение и{х, t) этой задачи,
в силу A2), допускает нечетное продолжение и (х, t) no x
класса C2(R2), и это продолжение удовлетворяет урав-
уравнению D) в R2. Отсюда и из условий E) вытекает, что
решение и (х, t) удовлетворяет начальным условиям
и |м> = «о (х), Щ |,_0 = йх (х), A3)
где й0 и йх — нечетные продолжения функций щ и их со-
соответственно. Но решение такой задачи Коши единственно
и представляется формулой Даламбера A0) с заменой и0
на «о и щ на йь если йо&С? (R1) и й, е С1 (R1). Эти
последние условия будут выполнены, если
«о €= С2 (х $г 0),. «i gC1!^ 0), tt0 @) = ul @) = и, @) = 0.
A4)
Итак, если выполнены условия A4), то решение сме-
смешанной задачи D) —E) —(И) существует, единственно
и задается формулой
x+at
и(х, t) ==~2~[wo\x-\-at)-\-и0(x — at)\ -\- „- \ w1(g)dg, A5)
Пусть теперь x — at^O. Тогда
и формула A5) принимает вид
х+а(
и (х, t)=l [щ (х + at) + uo(x~at)] + ±a § мх (I) d?, A6)
ж—а/
S Щ
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН
243
Пусть теперь x — at^O. В этом случае
й0 (х - at) = — и0 (—x + at), пг (?) = — их (—
х —at ^1^0,
и формула A5) принимает вид
и (х, 0 = у [«о (х + at) - иь {at - х)} + i
x+at
A)
A7)
О ^ д: ^ at.
at—x
Как видно из формулы A7), в точку (х, t),
приходят две волны: прямая волна из точки (x-{-at, 0)
и один раз отраженная волна из точки (at — х, 0) (совпа-
(совпадающая с прямой волной из фиктивной точки (x — at, 0),
см. рис. 61).
Аналогично рассматривается смешанная задача для
полубесконечной стру-
струны *;>0 со свободным
левым концом:
Здесь также имеет
место отражение волн /
от конца струны х = 0, /'
но уже без изменения x-at at-x x+at х
знака.
7. Метод отражений. ио- 6I
Конечная струна. При-
Применим метод отражений, изложенный в предыдущем пунк-
пункте, для решения смешанной задачи для конечной струны
О^лг^/с закрепленными концами:
и\х.о = и\х.1 = 0. A8)
Сначала докажем, что всякое классическое решение
и (х, t) волнового уравнения D) в полуполосе 0<.х<1,
f>0, удовлетворяющее условиям A8), представляется
в виде
( '
Действительно, по лемме § 14.5 решение и (х, t) пред-
представляется в виде F), где /(|)еС2(|</) и (
244
ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ. III
С2(т|>0). Отсюда, учитывая условия A8), получим
- B0)
Эти соотношения определяют продолжение функций fug
на всю ось с сохранением класса С2. В самом деле, ра-
равенство g(?>) = — /(—?)• распространяет функцию g на
интервал (— /, со). А тогда второе из равенств B0), за-
записанное в виде /(т]) = — gB/ — ц), распространяет функ-
функцию / на интервал (—со, 3/) и т. д. В результате такого
продолжения функции fug будут принадлежать классу
(У(№) и удовлетворять соотношениям B0). Отсюда выте-
вытекает представление A9) и 2/-периодичность функции g:
Решение A9) показывает, что имеет место отражение
волн от обоих концов х — 0 и х=1 с изменением знака.
Отсюда следует, что движение стру-
струны — периодическое по времени с
2/
периодом — (рис. 62).
Теперь построим решение сме-
смешанной задачи D)—E)—A8). Ес-
Если классическое решение и(х, t)
этой задачи существует, то, в си-
силу A9), оно допускает 2/-периоди-
ческое нечетное продолжение п (л:,
t) по х относительно точек х = 0
и * = /.и это продолжение при-
? надлежит классу C2(R2) и удов-
удовлетворяет уравнению D) в R2. От-
Отсюда и из условий E) вытекает,
что функция и (х, t) удовлетворяет
начальным условиям A3), в которых функции й0 и пх —
соответственно —2/-периодические нечетные продолжения
функций и0 и и, относительно точек х — 0 и х = 1.
Рассуждая теперь, как и в предыдущем пункте, за-
заключаем, что если функции и0 и их удовлетворяют усло-
условиям
х0 г
Рис. 62.
«1еС»([0. /]). «i@) = «!(/) = 0,
B1)
141
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН
245
in решение смешанной задачи D) —E) —A8) существует,
гдинственно и дается формулой
x+at
uo(x-at)]+~-
±
,. B2)
х — at
Пусть точка (х, t) расположена так, как показано на
рис. 63. Тогда формула B2) в этой точке принимает вид
и (х, t) = | [ио (у) - «о (Р)] - ~ ]
Действительно, пользуясь правилом отражений, имеем
«о (^) = «о (?). #о (с) = — «о (Р),
откуда' и из B2) вытекает формула B3). Она показывает,
что в точку (л:, t) приходят две волны: одна волна —из
Kt
x-at
Ь-l
0 f У1
Рис. 63.
точки р (один раз отраженная от конца х = 1), другая
волна — из точки у (по одному разу отраженная от кон-
концов х=/ и х = 0) (рис. 63).
8. Нелинейные волновые уравнения. Аналог метода Даламбера
построения решений линейного волнового уравнения с двумя пере-
246
ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ. III
менными, изложенный в §§ 14.5—14.7, применим и к некоторым не-
нелинейным уравнениям. Ищем частные решения нелинейного уравнения
, ...)=0 B4)
в виде
F{u D«a, ...)=0
«(*)=/E). ? = ('. *)-*6.
где / и х0 — постоянные векторы. В силу B4) функция / должна
удовлетворять обыкновенному дифференциальному уравнению
B5)
B6)
B7)
F{f /а/(|а|). -) = 0.
Примеры. 1) Уравнение Кортевега— де Фриза
/F)-
2) Уравнение Лиувилля
/(Ю-In
а>0.
g>0,
B8)
B9)
C0)
где ф и ^—произвольные функции класса С3, удовлетворяющие усло-
условиям ф' > 0 и \р' > 0.
Решениями уравнения B8) является функция
и (х, t) = 1
3) Уравнение Sine—Гордон (ср. § 1.8)
Uff — ихх = — g sin и, g > 0,
C1)
C2)
МЕТОЛ РИМЛНА
Решения <27), B9) и C2) имеют характер «уединенной волны»
м\ понедение при / = 0 и дго = О изображено на рис. 64 соответст-
соответственно Такие решения называются солитонными.
Волны B7) и C2) характеризуются тем, что их энергия ко-
конечна:
— 00
Перечисленные уравнения возникают во многих нелинейных за-
задачах распространения волн *). Они также представляют интерес
для квантовой теории поля как модели с нетривиальным взаимодей-
взаимодействием.
§ 15. Метод Римана
В этом параграфе мы изложим метод Римана для ре-
решения задачи Коши для линейного уравнения гиперболи-
гиперболического типа с двумя независимыми переменными, приве-
приведенного к каноническому виду
, дги . ди . иди
1 + а+ь
1. Решение задачи Гурса. Для уравнения A) рас-
рассмотрим задачу Гурса (см. § 4.6, а))
Функции а, Ъ и с предполагаются непрерывными на замк-
замкнутом прямоугольнике П, где П = @, хо)х(О, у0); реше-
решение и(х, у) ищется в П.
Допустим, что /еС(П), q^eOtfO, x0)] и ф2 е
eC^fO, у()]). Сведем задачу Гурса A) —B) к эквивалент-
эквивалентной системе трех интегральных уравнений, предполагая,
что решение и = С1(П) (и тогда иадЕС(П)).
Пусть и(х, у) — решение этой задачи, «еС^П). По-
Положим
ди ди /о,
Ш=1>> dy=W- <3>
*) См. Дж. Уизем [1J.
248 ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ. Ш
Тогда уравнение A) и условия B) примут соответствен-
соответственно вид
?y = ^~f-av-bw-cu, D)
v l^o = ф! (x), w U-o = Фз (У). E)
Из C) —E) немедленно получаем систему трех интеграль-
интегральных уравнений относительно трех функций и, v и w:
Vw{x,y')dy\
б
У
¦av-bw-cu)(x, y')dyf,
о
't y)dx\
F)
Обратно, пусть функции и, v и w непрерывны на П
и удовлетворяют системе интегральных уравнений F).
Докажем, что функция и е С1 (П) и является решением
задачи Гурса A) —B). Действительно, из F) непосредст-
венно следуют равенства D), ^- = w a
,y')dy'=V,
6
так что функция и&С1 (П) и удовлетворяет уравнению
A) в П:
tavbwcu
МЕТОД РИМАНА
249
Кроме того, функция и удовлетворяет и граничным усло-
1Н1ям B):
у
" !„-о = Ф1 (х), иU.0 = Ф1 @)-f \w@, у')dy'»
о
- Ф1 @) + \ & (у') dy' = ф1 @) + ф2 (у) - Ф2 @) = ф2 (у).
о
Таким образом, задача Гурса A) —B) эквивалентна си-
системе интегральных уравнений F). Поэтому достаточно
исследовать эту систему.
Решение системы F) будем строить методом последо-
пательных приближений, положив
«о = Фх (х), v0 = ф; (х) + J / (х, у') dy\
о
\ y)dx'\
о
y')dy\
, y')dy',
G)
Докажем для всех (х, у)е-П и
\ир(х,
', y)dx'\
= l. 2,...
, 1, ... оценки
(8)
±
(9)
где
М = max[max|Mo!,
(х+У)Р
'Wo I, maxjic'o!],
250 ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И ЗАДАЧА КОШИ |ГЛ ПТ
При р = 0 оценки (9), очевидно, выполнены. Покажем,
что неравенства (9) останутся справедливыми и при за-
замене р на р-\-\. Сделаем это, например, для vp+i. Из
рекуррентных соотношений (8) и из неравенств (9) имеем
\ + \c\)(x, y')dyl
¦+y)p+1-
что и утв'ерждалось. Из оценок (9) следует регулярная
(см. § 1.3) сходимость рядов
2> S
р=0 Р=0 р=0
которые мажорируются равномерно сходящимся на П
рядом
оо
^^^ A1)
Построенные функции и, v и w непрерывны на П. Дока-
Докажем, что они удовлетворяют системе F). Установим это,
например, для первого из уравнений F). Суммируя пер-
первое из рекуррентных соотношений (8) по р от 0 до N и
пользуясь G), получим
Л' у Л/—1
2 м*. *)=q>i(*)+J 2 М*. *W, "-I, 2t...
р=0 0 р=0
Переходя в этом равенстве к пределу при N-*-oo и
пользуясь равномерной сходимостью рядов A0), полу-
получим первое из уравнений F).
Докажем единственность решения системы уравнений
F) в классе С(П). Для этого достаточно доказать, что
соответствующая однородная система F) имеет только
нулевое решение (см. § 1.11). Пусть w*, v* и w* — реше-
решение однородной системы F), \u*\*^M, \v*\^M и
15]
МЕТОД РИМЛНА
251
M. Так как функции ир = и*, vp = v* и wp = w*
удовлетворяют рекуррентным соотношениям (8), то, по
доказанному, для них справедливы оценки типа (9):
и*(х,
, .... р=1, 2,...
Переходя к пределу при p-voo, получаем u* = v* =
— w* = О, что и требовалось.
Докажем непрерывную зависимость решения от дан-
данных /, ф! и ф2. Пусть f, (pj и ф2 —другие данные, причем
\f-f |
J
Обозначим через и и и соответствующие решения за-
задачи Гурса. Тогда найдется такая постоянная С, что
их - й
I Uy — й
uxy - й
ху
С (е + е2 + е; + е2 + е^),
CCe + ei + e;+ 83 + 83),
С (е + е2 + е( + е2 + е^). J
A3)
Действительно, функция и —и есть решение задачи
Гурса с данными / — J, ф1 —ф!Иф2 —ф2. По доказанному
функции и — й, v — vww — w, определяемые соответствую-
соответствующими рядами A0), мажорируются на П величиной (И),
max [max | ио — по |, тах|и0 — ^о!> max\wo — wQl
т. е., в силу G) и A2), величиной
у
max
max IФ1 — фх |, max
max
-J)(*, y)dxf
еК(х»+у9)
Отсюда, а также из соотношений C) и из уравнения A)
следуют оценки A3).
Резюмируем полученные результаты в виде следую-
следующей теоремы.
252 ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ. III
Теорема. Если функции а, Ь, с, f непрерывны на П,
q^eDtfO, *<>]), фа^С1^, уо]), ф1@) = фа@), то реше-
решение задачи Гурса (\) — B) в классе С1 (П) существует,
единственно и непрерывно зависит от данных f, фь ф2
в смысле A2) —A3).
2. Формула Грина. Пусть функции а, Ь, ах и_Ьу не-
непрерывны на замкнутой ограниченной области G с ку-
кусочно-гладкой границей 5 и л-внешняя нормаль к S.
Тогда для любых функций и и v класса С1 (б) и таких,
что иху и vxy непрерывны на G, справедливо равенство
(формула Грина)
где L* — дифференциальный оператор, формально сопря-
сопряженный с оператором L (см. C) § 11.1),
L*v= *v d{av) d{bv) 1 cv.
Формула A4) получается интегрированием по обла-
области G тождества
vLu — uL*v —
д I v ди и dv , \ . д (v да и ди
и применением к интегралу в правой части формулы
Гаусса — Остроградского *).
3. Функция Римана. Функцией Р.имана оператора L
называется функция <М (х, у\ \у г\), удовлетворяющая
условиям:
1) функции еЯ\ <МХ> (Му и <Мху непрерывны по сово-
совокупности переменных (х, у,_%, tj) на П X П;
2) при каждой (I, г\) е П функция <М удовлетворяет
уравнению
Цх.У)С%(х, у\ I, т)) = 0, (х, л)еП,
*) Для областей на плоскости эта формула часто называется
формулой Грина.
ir.l
МЕТОД РИМАНА
и условиям на характеристиках
х
\b{x\r\)dx'
Из условий A5) выводим:
253
и у = \] (рис. 65)
A5)
В соответствии с этим определением функция Римана
* (*» у\ ?, л) оператора L* непрерывна на П X П вместе
У
Уо
п4
"г
(ivf
П2
Рис. 65.
о производными еЯ'*, &% и <$%> удовлетворяет уравнению
L(Xt у)в%* = 0 на П и условиям на характеристиках л:=?
так что
х 9
[Ъ (*', ч) dx' -Jo (I, У) dy>
I , <&*\х.х = е ч
<^*A, ч; S, ч)«1,
A5*)
A6*)
A7*)
Теорема. Если функции а, 6, с, ах и Ьу непрерывны
на П, то функция Римана & существует, единственна и
254 ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И ЗАДАЧА КОШИ (ГЛ. Ill
справедливо равенство
<&{*, у\ I, л) = ^*E. Л' х, </)¦ A8)
где cffl*—функция Римана оператора L*.
Доказательство. Так как характеристические
данные A5) принадлежат классам С1 ([0, х0]) и С1 ([0, у0])
соответственно, то по теореме § 15.1 при каждой (|, т)) е
е П существуют и единственны решения четырех задач
Гурса в прямоугольниках Пь П2, П3 и П4 *) (рис. 65)
для уравнения L*u = 0 с данными A5). Это решение
обозначим через сМ {х, у, ?, tj).
По построению функция ^непрерывна по (х, у) на П,
функции <МХу <MV и сМху непрерывны по (х, у) на П,-, i =
= 1, 2, 3, 4 (теорема § 15.1). Докажем, что o%v непре-
непрерывна по (д\ у) на П. Для этого рассмотрим задачу
Гурса в прямоугольнике П2иГТ3 для уравнения L*v = 0
с данными на характеристиках х=? и у = 0:
у
\a(l>y')dy'
v fa = ^ , v |у_0 = ^ (х, 0; I, т)). A9)
Так как данные A9) принадлежат классу С1, то по тео-
теореме § 15.1 существует единственное решение v e
еС^ПаиПз). Поэтому v = s% на П2 и, следовательно,
к = е^ на ГГ3. Таким образом, g^? e С1 (П2и П3). Анало-
Аналогично доказывается, что <ffi e С1 (П^ у П4). Но на линии
* = ?, в силу второй из формул A7), функция е^у не-
непрерывна. Поэтому off у непрерывна по (х, у) на П. Ана-
Аналогично доказывается, что и сМх непрерывна по (#, у)
на П. Но тогда из равенства Цх,У)з% = 0, (x, y)^Uit i —
= 1, 2, 3, 4, вытекает, что <Мху непрерывна по (х, у) на П
и удовлетворяет уравнению L*x< y)dff = 0 на П.
Непрерывность функций <М\ <МХ> <MV н_е%ху по совокуп-
совокупности переменных (*, у, I, ц) на ПхП следует из не-
непрерывности этих функций по (х, у) на П и из непрерыв-
непрерывной зависимости решения задачи Гурса от данных A5)
в смысле A2)-A3).
*) Если точка (%, г\) лежит на границе П, то соответствующие
прямоугольники П,- вырождаются.
15]
МЕТОД РИМАНА
255
Докажем равенство A8). Пусть точки (?, г|)еП и
(?,, 1|,)еП. Считаем для определенности ii<? и
i),<;ti. Применяя формулу Грина A4) к функциям и —
~<5%*(х, у\ ?ь тц) и v = ek(x, у, ?, г\) и к области G —
-\(х, у):Ъ<х<1, г\г<у<г\\ (рис. 65) и пользуясь
равенствами L*o^ = 0, La^*=0, A5)-A7) и A5*) —
A7*), получим соотношение A8):
Hi
111
y=n I
Л1
если ?i"<i и 1]! < »|. Аналогично рассматриваются и
остальные случаи. По непрерывности равенство A8)
остается справедливым на П хП. Теорема доказана.
Пример. Функция Римана для уравнения
= 0, с—постоянная, имеет вид
<#(*, у, ht 7|) = Л, [V-Mi
1де JQ — функция Бесселя (см. ниже, § 23).
256
ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ. Ш
Физический смысл функции Римана.
Пользуясь формулой Грина A4), можно показать (ср.
§ 6.5, g)), что функция
%{х> У> I, ч)-8(*-?H(у-1|)а*(*. у; I, л)
удовлетворяет уравнению
Цх,у$(х, у; I, г\) = Ых-1M(у-ц).
Поэтому функцию Ш можно истолковать как возмущение
в точке (х, у), порожденное точечным источником интен-
интенсивности 1 в точке (I, г]). Таким образом, функция Ш
является естественным обобщением фундаментального
решения (см. § 11.2) на уравнения с переменными коэф-
коэффициентами гиперболического типа.
Рис. 66.
4. Задача Коши. Пусть G обозначает треугольную
область, ограниченную характеристиками ? = *<> и г\ = у0
и отрезком гладкой кривой 2=[т) = а(|)]. Для опреде-
определенности считаем, что кривая 2 проходит через точки
(лго, 0) и @, у0) (рис. 66). Предполагаем, что кривая 2
нигде не касается характеристик, т. е. о'(|)<0, 0«^
|<0
Поставим следующую задачу Коши для уравнения A)
в области G (см. § 4.2). Найти функцию и(х, у),
ueC1(G)t uxy^C{G), удовлетворяющую уравнению A)
в G и данным Коши на X:
du
dri
v = «х-
B0)
МЕТОД РИМАНА 257
Как показано в 5 4.3, задание и и — на Б эквива-
° on
лонтно заданию и, иу (или их) на 2, в силу соотношений
cos(/i*) = ^, cos(*y) = —I, Д = /ГТК?; B1)
«* Is + иу |2 а' = wox Is, «x 2-^- - uy \z ~ = Wj. B2)
С помощью функции Римана представим решение
кщачи Коши A) —B0) в явном-виде.
Теорема. Если 2 — кривая класса. С2, функции а,
Ь, с, ах и by принадлежат С(Ti), /gC(C), uo[x, а(л:)]е
<= С2 ([0, х0]) и Ui [х, а (х)] е С1 ([0, лг0]), то решение задачи
Коши A) — B0) существует, единственно и выражается
формулой Римана
у; х, у) +
у у{, х, у) +
Чу
f Oft? OU Цц "B/г | дп \ j I ¦ I nfffHlzdy) B3)
У / ОТ) 2 GТ| / J J **
г^е СХ1/ и 2ху —части области G и кривой 2, лежащие
между характеристиками ? = л; и т] = #; ^/ = а(л:1),
г/! = а(л:) (см. рис. 66).
Доказательство. Пусть и(х, у) — решение зада-
задачи Коши A) — B0). Так как f = Lu<=C(G), то
uxy^.C(G). Фиксируем точку (х, у) из области G. При-
Применяя формулу Грина A4) к функциям u(|, rj), v =
= effl (I, tj; x, у) и к области GXi/, получим
B4>
258 ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ. III.
Пользуясь соотношениями <15) — A7), преобразуем пер*
вые два слагаемых в правой части равенства B4):
J \ 2 д| 2
xt х,
и(х, y)-ju(xlt у)<М {хи у\ х, у),
и аналогично:
= -2 и (х, у) — -2 и (х, ух) <$ (х, yt; х. ц).
Подставляя полученные выражения в формулу B4), по-
получим представление B3).
Докажем единственность решения задачи Коши A) —
B0). Действительно, если w — решение соответствующей
однородной задачи (т. е. при / = 0 uo = Mi = O и тогда,
в силу B2), их |s =uy\z =0), то формула B3)- сразу
даст м = 0, что эквивалентно единственности (см. § 1.11).
Осталось доказать существование решения задачи
Коши A) —B0). Для этого достаточно .установить суще-
существование решения этой задачи при uo = Ui = O. Действи-
Действительно, вводя новую неизвестную функцию
v = u-uo[x, o(x)]-[y-o(x)]uy[x, a(x)],
мы придем к уравнению A) с измененной правой частью
/х и нулевыми данными Коши на 2. Из условий гладко-
гладкости функций м0, «1 и- а следует, в силу B2), что
иу[х, а(л:)]еС1([0, *„]), и потому Lv = fx<=C(G).
Таким образом, осталось проверить, что функция
и(х, */)= J «#F, л", х, у)f^ i\)dldT\. f^C(G), B5)
Xjf
есть решение задачи Коши A) —B0) с нулевыми дан-
данными Коши. Очевидно, «eC(G) и и|г=0. Далее, в
$ 151 МЕТОД РИМАНА 259
силу формулы A8)
йЯF, л; х, у)=<Я*(х, у\ I, л), B6)
так что функции <&Х(Ъ, ~г\', х, у), <МУЦ, г\\ х, у) и
¦ r#xy (?, Л» х, у) непрерывны на'ПхПи L{x,y)G% (I, tj; *, у)=0.
Поэтому формулу B5) можно дифференцировать по х и у
по классическим правилам дифференцирования интегралов
по переменной области,
У
^(jt, Г); X,
Gxy
b у, х,
с, У* *, у)fix,
Из этих формул заключаем, что ugC1 (б), иХя
и м^|2=0. Пользуясь равенствами A6), B6) и A7*),
убеждаемся что и удовлетворяет уравнению Lu = f,
Lu=
a ix, у) <М ix, tj; х,
f у; х,
X,
J [
, y)dt+f=f.
9*
260 ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ. III
Теорема доказана.
Отметим некоторые качественные следствия, вытекаю-
вытекающие из формулы Римана B3). Из этой формулы видно,
что решение задачи Коши в точке (х, у) полностью опре-
определяется значениями данных /, *н0 и их в замкнутой тре-
треугольной области 0ху — области зависимости точки (х, у)
(ср..§ 14.4). Поэтому, если эти данные изменять вне фикси-
фиксированной области Gx*y* (с соблюдением надлежащих свойств
гладкости), то и решение будет меняться лишь вне этой
области. Таким образом, мы приходим к следующему
выводу: ас данному решению задачи Коши-, зафиксирован-
зафиксированному в области Gx*y*, можно присоединить вдоль харак-
характеристик ? = х* и ц~у*, вообще говоря, различные реше-
решения, являющиеся его продолжением.
Замечание. Существование классического решения задачи
Коши для уравнения колебаний струны установлено при всех / е
eC'U^O) (см § 13.4). Здесь мы доказали существование решения
задачи Коши для уравнения A) при всех f<=C(G). Ослабление тре-
требований на f связано с тем что решение уравнения A) ищется
в более широком классе функций «еС1 (G), иху е С (G) (в этом
случае ы^=^
§ 16. Задача Коши для уравнения теплопроводности
Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности
стрбится методом, аналогичным методу, изложенному
в § 13 для решения этой задачи для волнового уравнения.
1. Тепловой потенциал. В § 11.6 было показано, что
функция
является фундаментальным решением оператора теплопро-
теплопроводности. Эта функция неотрицательна, обращается в нуль
при <<0, бесконечно дифференцируема при (*, t)=?@, 0)
и локально интегрируема в ?л+1. Более того (см. § 6.5, f))»
\ A)
Ж(х, t)-+b(x)t t-+ + Q в &'(Rn). B)
График функции Ш(л:, t) при различных *>0 (fi<
*2<^з) построен на рис. 67.
101 -ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ' УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 261
Фундаментальное решение %{х% t) дает распределение
юмпературы от точечного мгновенного источника 6 (х) • б (t).
Поскольку %(х, 0>0 при всех 7>0 их <=/?", то, стало
iii.iTb, тепло распространяется с бесконечной скоростью.
11о это 'противоречит опыту. Следовательно, уравнение
теплопроводности недостаточно точно качественно описы-
описывает механизм передачи тепла. Тем не менее это уравнение
лает хорошее количественное согласие с опытом (например,
при больших х и малых t величиной Ш(х, t) с большой
точностью можно пренебречь). Более точное описание про-
процессов переноса (тепла, частиц) дается уравнениями пере-
переноса (см. § 2.4).
Пусть обобщенная функция f&.&' (Rn+1) обращается
п нуль при Л<0. Обобщенная функция V=g*/, где
% — фундаментальное решение оператора теплопроводности,
называется тепловым потенциалом, с плотностью f.
Если тепловой потенциал V . существует в J' )
то, в силу теоремы § 11.3, он удовлетворяет уравнению
теп лоп роводности
-
C)"
Из теоремы § 7.6 следует, что если / — финитная обоб-
обобщенная функция и обращается в нуль при t < 0, то тепло-
тепловой потенциал заведомо существует в i?'(/?yi+1):
262 ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ. III
Выделим еще один класс плотностей /, для которых
тепловой потенциал существует. Пусть <Л — класс функций,
обращающихся в-нуль при t<iO и ограниченных в каж-
каждой полосе O-^t^T.
Теорема. Если f^o?, то тепловой потенциал V
с плотностью / существует в 'классе <JC и выражается
формулой
t | х | ,2
V(x,t)=\\ '(!lZL_ e'^^dldx. D)
. J Jn [2aV n{t — t)J
Потенциал V удовлетворяет оценке
\V(x, t)\^t sup |/(|, x)|, *>0, E)
и начальному условию
x<=Rn
V(x, O=ztO, ^-^ + 0. F)
Если к тому же функция f s С2 (/ > 0) и все ее про-
производные до второго порядка включительно ограничены
в каждой полосе, то 1/еС2(/>0)ПС1 (t^0).
Доказательство. Так как функции % и / локально
интегрируемы в #"+1; то их свертка
существует и является локально интегрируемой функцией
в /?л+1, если функция
h{x, t)=) J |/(|, т)|8(х-Б, i-%)dld%
Or"
локально интегрируема в Rn+1 (см. § 7.4). Проверим, что
это условие выполнено. Так как /i = 0 при /<:0, то до-
достаточно установить, что функция h удовлетворяет оценке
E) при *>0. Это следует из равенства A) в силу теоремы
Фубини:
h(xt /)<; sup
= / sup |/(g, т)|, t>0. G)
«> 16] ЗАДАЧА К0Й1И ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 263
Таким образом, тепловой потенциал У=<?*/ представ-
представляется формулой D). Так как |l/|^/i, то этот потенциал
обращается в нуль при tf<CO и, в силу G), удовлетворяет
оценке E). Это значит, что KEal. Из оценки E) сле-
следует, что V удовлетворяет начальному условию F).
Совершая в формуле D) замену переменных интегри-
интегрирования
? = х — 2а Vs У> T = t — s,
представим ее в виде
i
Rn
Пусть функция /?^(/^0) и все ее производные до
второго порядка включительно содержатся в классе <Л.
Тогда, пользуясь теоремами о непрерывности и дифферен-
дифференцируемое™ интегралов, зависящих от параметра (см. § 1.5),
из формулы D') и из равенства
ОУ {х, t) 1 Г С df ( от/~ 4 \ |„ 2 А .
-^-2 = 1^72 \ \ aKX-Zaysy, t-s)e-lv> dyds
_л/2 \ \ dt
Я J i) и(
0 Rn
выводим, что функции У, Vx., Vt, Vx.x., Vx.t непрерывны
при t^O, a Vtt непрерывна при />>0. Теорема доказана.
2. Поверхностный тепловой потенциал. Тепловой по-
потенциал V[0} с плотностью f=uo(x)-6(t) называется по-
поверхностным тепловым потенциалом (простого слоя с плот-
плотностью «о).
К о» = g * [Uo (х) • б @] = § {х, t)
Если и0 финитна в Rn, то поверхностный, тепловой
потенциал V@) заведомо существует в &>' (R^1) (см. §7.6).
Следующая теорема дает еще один признак существо-
существования поверхностного теплового потенциала и его свойства.
Теорема. Если и0 (х) — ограниченная функция в Rnf
то поверхностный тепловой потенциал V@) существует
264 ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ. III
в оЖ, принадлежит классу С° (t >> 0), представляется
интегралом Пуассона
и удовлетворяет неравенству
(х, 0|<sup|tt0(E)|.- *>0. (9)
к тому же функция и0 (х) непрерывна в Rn, то
потенциал К^О)еС(/^0) и удовлетворяет начальному
условию
o = u0(x). A0)
Доказательство. Так как функция
h(x, t) = [\uo{t)\${x-l, t)dl
обращается в нуль при /<0, а при f>0, в силу A),
удовлетворяет оценке (9):
h(x, 0
то эта функция локально интегрируема в R^1. Следова-
Следовательно, поверхностный тепловой потенциал У10' —
= %(х, t)*uo(x) представляется формулой (8) (см. §7.4);
1Л°>(*. O = S"o(g)^(A:-g, t)dl, (8')
обращается в нуль при t<iO и, в силу неравенства
0\^h, удовлетворяет оценке (9). Это значит, что
Далее из формулы (8) следует; что У(о) )
(см. § 1.5).
Пусть теперь и0— непрерывная ограниченная функция
в Rn. Докажем; что потенциал 1Л°>еС(^0) и удовлет-
удовлетворяет условию A0).
Пусть (х, t)-^(x0, 0), t>0 и е>»0 — произвольное
число. В силу непрерывности uQ(x) существует такое
число,. б>0, что. | «оE) — «о(*о)I<е при |? — хо|<26.
Поэтому, если |jt — x0j<6, то \х — у — *О|<26, если
'. 1Г.) ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 265
,//;<б, и в силу A) и (8') при f>0 имеем
Второе слагаемое в A1) также можно сделать <е за счет
/-*-0, так что при некотором бд^б
|л:-х„|<бь J
Теорема доказана.
Замечание. Формула (8) формально вытекает из формулы D).
если в ней положить / (&, т) = и0 (?) • 6 (т) и «проинтегрировать» б (т),
3. Постановка обобщенной задачи Коши для уравне-
уравнения теплопроводности. Схема решения задачи Коши,
изложенная в § 13.1 для обыкновенного линейного диф-
дифференциального уравнения, применяется и для решения
задачи Коши для уравнения теплопроводности
d? t), A2)
Считаем feC(^^O) и uo^C(Rn). Предположим что
существует классическое решение и (х, t) этой задачи.
Это значит, что и еСг(/>0)ПС(/^О), удовлетворены
уравнение A2) при ^>0 и начальное условие A3) при
/-»-0 (см. § 4.2).
Продолжая функции и и / нулем при ?<0, как и
в § 13.2, заключаем, что продолженные функции й и f
удовлетворяют в Rn+l уравнению теплопроводности
^^tfAu + Kx, 0 + «о (*)•«('•)• (Н)
Равенство A4) показывает, что начальное возмущение
и0 для функции fi(x, t) играет роль мгновенно дейст-
действующего источника uo(x)b(t) (типа простого слоя на
266 ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ. Ш
плоскости / = 0) и классические решения> задачи Коши
A2) —Q3) содержатся среди тех решений уравнения A4),
которые обращаются в нуль при t<iO. Это дает основание
ввести следующее обобщение задачи Коши для уравнения
теплопроводности.
Обобщенной задачей Коши для уравнения теплопровод-
теплопроводности с источником F <= ?#' (Rn+1) назовем задачу о нахож-
нахождении обобщенной функции «g^' (R"*1), обращающейся
в нуль при t<iO и удовлетворяющей уравнению тепло-
теплопроводности
^ = a*bu + F(x, t). A5)
Уравнение A5) эквивалентно следующему (см. § 11.1): для
любой ф <= & {RmX) справедливо равенство
ф)- О5')
Из уравнения A5) следует, что необходимым условием
разрешимости обобщенной задачи Коши является обра-
обращение в нуль F при t <c 0.
Замечание. Уравнение A4) фактически есть тождество
аДЫ=|^аДи| + Ы(х, +0).6@. A6)
справедливое для любой функции и <= С2 (t >0)ПС (/^ 0), обращаю-
обращающейся в нуль при /<0 и такой, что ut — й2АиеС(/^0).
4. Решения задачи Коши.
Теорема. Пусть F (x, t) — f(x, t) + щ (х) ¦ б (/), edej ^<Л>
и «о — ограниченная функция в Rn. Тогда решение соответ-
соответствующей обобщенной задачи Коши существует «и единст-
единственно в классе <Л и представляется формулой Пуассона
0 Rn
Решение и непрерывно зависит от f и и0 в следующем
смысле: если
« 16] ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 267
то соответствующие решения и и и в любой полосе
О ^ t ^ T удовлетворяют оценке
\и(х, t)\-u(x, t)\^Te + e0. A8)
Если к тому же feC2(/^0), все ее производные до
второго порядка включительно принадлежат классу <Л и
uo^C(Rl), то решение и{х, /) — классическое.
Доказательство. В силу условий теоремы сверт-
свертка Ж с правой частью F уравнения A5) существует в <Л
и представляется в виде суммы A7) двух тепловых потен-
потенциалов V и V[0), и эти потенциалы выражаются форму-
формулами D) и (8) соответственно (см. теоремы §§ 16.1 и 16.2).
Таким образом, по теореме § 11.3 формула A7) дает реше-
решение обобщенной задачи Коши для уравнения теплопровод-
теплопроводности и это решение единственно в классе o/ft. Непрерыв-
Непрерывная зависимость решения и от данных задачи / и и0 выте-
вытекает из оценок E) и (9).
Если функции '/" и «о удовлетворяют дополнительным
условиям гладкости, сформулированным в теореме, то по
теоремам §§ 16.1 и 16.2 построенное обобщенное решение
и е C2(t>0) (]С (t^O) и удовлетворяет начальному усло-
условию A3). По лемме § 11.1 и (х, /) удовлетворяет уравне-
уравнению A2) в каждой точке области t i>0. Поэтому и — класси-
классическое решение задачи Коши A2) —A3). Теорема доказана.
Резюмируя, можно сказать, что задача Коши для урав-
уравнения теплопроводности поставлена корректно (см. § 4.7),
причем С2 (t > 0) fl C(t Ss 0), D* и <=<^, j a I < 2 — класс кор-
корректности классической задачи Коши и сЛ —класс кор-
корректности обобщенной задачи Коши.
Замечание. Единственность решения задачи Кои*и для урав-
уравнения теплопроводности можно установить в более широком классе,4
а именно в классе функций, удовлетворяющих в любой полосе 0 ^
T оценке
(См. А. Н. Тихонов [2].)
5. Упражнения, а) Показать, что решениями смешанных задач
2) илЬ_
268 ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ. III
являются соответственно функции
1) и{х, 0 = #(*. О « "о (х) - № д °1*' ^
4e"
2aY- '
2) и (x, t) = Ш (к, t) * Л„ (л;) — 2Ф% (х, t)*ty (t) =
Здесь моеС([О, оо)) ограничена, н0 и й0 —ее нечетное и четное про-
продолжения соответственно и ij) е С ([0, оэ)), tjj=.O, f<0.
b) Пусть функция ио{х) ограничена в #л и обладает шаровым
предельным средним
\x-KR
Доказать, что решение и (х, i) соответствующей задачи Коши для
уравнения теплопроводности стабилизируется к а при t-*~co, т. е.
\X\<:R
lim и (х, t) X о, R — любое,
t-*co
с) Пользуясь фундаментальным решением оператора Шредингера
(см. § 11. 12, е)) показать, что задача Коши для одномерного уравне-
уравнения Шредингера (см. § 2.7) сводится к интегральному уравнению
t m0 x — |i*
1 / m0 y/2 ,^L
-у\-2ж; * •
d) Пользуясь фундаментальным решением оператора переноса
(см. § 11.11), показать, что задача Коши для уравнения переноса
§ 16] ЗАДАЧА К011Ш ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 269
(см. § 2.4) сводится к интегральному уравнению
\j?(jc, s, t) — <xhv f f\Jj[*—у (t—т) s, s', x\e~av<t~tids' dx -\-
6s,
t
¦\-v \F[x—v (t—x) s, s, x] e~avit~xt rfx+TjJo (x — vts, s) eravt.
о
e) Показать, что задача Ксши для уравнения Бюргерса *)
щ + иих=а?ихх, и |,_о = и0 (х)
с помощью замены ы = — 2а2-^ сводится к «задаче Коши для урав-
ф J r
нения теплопроводности
Г 1 г 1
Ф/=а2Ф^ ф1/-о=ехр —^-j. \ uo{l)dl \.
I V I
L о J
f) Проверить, что уравнение Кортевега -г- де Фриза (см. § 14.8)
имеет решение типа двух «уединенных волн» *)
и(х, /) = 2
где
= exp [— /a"/ (x — a/f—*/)], fl/ > 0, / = 1, 2,
Указание: воспользоваться подстановкой и = 2( ±*) .
\ Ф/др
g) Показать, что нелинейное уравнение Шрёдингера
'"^ + "лгл:+^|а|2м = 0, v>0
имеет решения типа солитонных (см. § 14.8)
"(*> 0 =
v chKa (а; — ж0 — at)
*) См. Дж. Уизем [1], гл. 4 и 17.
ГЛАВА IV
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Интегральными уравнениями называются уравнения,
содержащие неизвестную функцию под знаком интеграла.
. Многие задачи математической физики сводятся к ли-
линейным интегральным уравнениям вида
\ f(x), A)
G
Ч>(х) = Х\Ж(х, y)y(y)dy+J(x) B)
G
относительно не?1звестной функции ср (а:) в области G с Rn.
Уравнения A) и B) называются интегральными уравне-
уравнениями Фредгольма первого и второго родов соответственно.
Известные функции <%? (х, у) и f (х) называются ядром и
свободным членом интегрального уравнения; X— комплекс-
комплексный параметр.
Интегральные уравнения Фредгольма первого рода
здесь рассматриваться не будут.
Интегральное уравнение B) при / = 0
ц>(х) = 1\Ж(х, y)y{y)dy C)
с
называется однородным интегральным] уравнением Фред-
Фредгольма второго рода, соответствующим уравнению B).
Интегральные уравнения Фредгольма второго рода
ф (х) = IJ Ж* (х, у) $ (у) dy + g (x), B*)
G
¦ (*) = * $#"•(*, y)*(y)dy, C*)
G
где а%Г* (х,. у)=^(у, х), называются союзными к уравне-
уравнениям B) и C) соответственно. Ядром Ж* (х, у) называется
эрмитово сопряженным (союзным) ядром к ядру &?{xt у).
$ 17] МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ 271
Мы будем записывать интегральные уравнения B), C),
B*) и C*) сокращенно, в операторной форме:
где интегральные операторы К и /С* определяются ядра-
ядрами Ж (х, у) и о%Г* (х, у) соответственно (см. § 1.10):
, y)f(y)dy,
$(*, y)f(y)dy.
G
К интегральным операторам и уравнениям примени-
применимы все определения и факты, изложенные в §§ 1.10—1.12.
Кроме того, оказывается полезным следующее определе-
определение: то комплексное значение X, при котором однородное
интегральное уравнение C) имеет ненулевые решения из
<%z(G), называется характеристическим числом ядра
Ж (х, у), а соответствующие решения — собственными-
функциями этого ядра, соответствующими этому характе-
характеристическому числу. Таким образом, характеристические
числа ядра Ж (х, у) и собственные значения оператора К
взаимно обратны, а их собственные функции совпадают.
§ 17. Метод последовательных приближений
1. Интегральные уравнения с непрерывным ядром.
Предположим, что в интегральном уравнении B) область G
ограничена в Rn, функция [ непрерывна на замкнутой
области G и ядро о%?(х, у) непрерывно на GxG (такие
ядра будем называть непрерывными).
Напомним определение норм в пространствах, if2 (G)
и С(G) и скалярного произведения в X2{G) (см. §§1.3
и 1.7):
(Л g)=]f(x)gWx, f, g<=Xt{G)\
G
= max | / (л-) |,
x&Q
272 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV-
Лемма. Интегральный оператор К с непрерывным
ядром Ж (х, у) переводит if2 (G) в. С (G) {и, следовательно,
C(G) в C(G) и X2(G) в if2(G)) и ограничен, причем
/ ?=¦<?, (G), D)
/eC(S), E)
/e^2(G), F).
где
М= max \Ж{х. у)\, V = -J dy.
G
Доказательство. Пусть / е <?2 (G). Тогда / — абсо-
абсолютно интегрируемая функция на G (сгИ. § 1.7) и, по-
поскольку ядро о&(х, у) непрерывно на GxG, функция
(/С/) (х) непрерывна на G. Поэтому оператор К переводит
if2(G) в C(G) и, в силу неравенства Коши — Буняков-
ского, ограничен:
= max ! (Kf) {x) i = max
y)f(y)dy
Аналогично, проще, доказываются неравенства E) и F).
Лемма доказана.
Для того чтобы интегральный оператор К с непре-
непрерывным ядром &С (х-, у) был нулевым в X2(G), необходимо
и достаточно, чтобы Ж (х, у) = 0, xgG, y^G.
Достаточность условия очевидна, а необходимость
вытекает из леммы дю Буа-Реймона (см. § 5.6): если при
всех fzE%z(G)
(Kf) (x) = $ Ж (х, у) f (f)dy sO, x e G,
G
TO
9?{x, г/) = 0, xgC, yt=G.
Таким образом, мы установили взаимно однозначное
соответствие между непрерывными ядрами и соответствую-
соответствующими им интегральными операторами.
Аналогично доказывается такое утверждение: если
{Kfr g)-=0 при всех f и g из ^(G), то К=0 и, стало
быть, &С (х, i/) = Q.
§ 17] МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ 273
Будем искать решение уравнения B) методом после-
последовательных приближений, положив <р@) (x)=f(x)t
$ 'll+f. G)
G
Р = 1, 2, ...
Докажем, что
ф(р)= ? W*/, P-0, 1, .... (8)
где /С* —степени оператора /С (см. § 1.10).
Действительно, при р = 0 формула (8) верна: <р@)=/.
Предполагая эту формулу верной при р и заменяя в рекур-
рекуррентной последовательности G). р на р+1, получаем
формулу (8) при р+1:
2
=0 fe==0
Таким образом, формула (8) верна при всех р.
Функции (Кр[) (х), р = 0, 1,..., называются итерациями
функции /.
По лемме § 17.1 итерации / непрерывны на G и
в силу E) удовлетворяют неравенству
т. е.
|Kp/lc*?(MV)'|/b р = 0, 1, ... (9)
Из этой оценки следует, что ряд
называемый рядом Неймана, мажорируется числовым рядом
сходящимся в круге |^1<Щ7* Поэтому при этих I ряд
A0) сходится регулярно (см. § 1.3) по ;себ, определяя
274 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV
тем самым непрерывную на G функцию- ц>(х). Это значит,
в силу (8), что последовательные приближения ф(р) (х) при
р —>-оо равномерно стремятся к функции <р{х):
о"
причем,.в силу A1), справедлива оценка
A3)
Докажем, что функция ф.(л:) удовлетворяет интеграль-
интегральному уравнению B). Действительно, переходя к пределу при
р-^оо в рекуррентном соотношении G) и пользуясь равно-
равномерной сходимостью последовательности ср(р) (х) к ф (х) на
G, получаем
Ф (л:) = lim ф<л» (х) = \\Ж (х, у) Vim ф'р-" (у) dy +/ (х) =-
G
Докажем единственность решения уравнения B) в клас-
I
се Х2(и), если 1^1<Ш7- Для этого достаточно показать,
что однородное уравнение C) имеет только нулевое решение
в этом классе (см. § 1.11). Действительно, если ф0 е
е ^2 (G) — решение уравнения C), фо = Я/Сфо, то, по
лемме § 17.1,
откуда, благодаря неравенству \X\MV<.\, следует|ф01 = 0,
т. е. фо = 0, что и требовалось установить.
Резюмируем полученные результаты в следующей
теореме.
Теорема. Всякое интегральное уравнение Фредголь-
ма B) с непрерывным ядром $? (xf у) при \^\<Z тту имеет
единственное решение ф в классе С (G) для любого свободного
члена f^.C(G). Это решение представляется в виде регу-
регулярно сходящегося на G ряда Неймана A2) и удовлетворяет
оценке A3). Другими словами, в круге \ k | <; -^ существует
и ограничен обратный оператор {I —XK)'1,
§ 17] МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ 275
Замечание. Методом последовательных приближений можно
пользоваться для приближенного решения интегрального уравнения B)
при достаточно малых | Я |.
2. Повторные ядра. Резольвента. Предварительно
убедимся в. справедливости равенства
(К/. ?) = (/, К**), / и. ?<=#8(G). A4)
Действительно, если / и g<= ^2(G), .то, по лемме § 17.1,
К/ и K*gG^2(G), и поэтому
=]\lW(xt y)f(y)dy]g(x)dx =
G[_G J
Лемма. Если Kit i — \, 2, —интегральные операторы
с непрерывными ядрами &?{ (х, у) соответственно, то опе-
оператор Кз = К2Кг —интегральный с непрерывным ядром
Жв(х, у)=]Ж2(х, у')^1(у', y)dy\ A5)
G
При этом справедлива формула
(**/(,)• = Kf/CJ. A6)
Доказательство. При всех / е X 2 (G) имеем
(Jf, ^/') J ^i (^/', У) / (У) dy dy' =
G
S
I G
откуда и вытекает формула A4). Очевидно, ядро е^3(л:, у)
непрерывно при x^G,'y^G.
Принимая во внимание равенство A4), при всех f и
g e <%2 (G) получаем
т. е.
(f, K%g-KlK$g)=0,
и, следовательно, Kf=K*K*, что и эквивалентно равен-
равенству A6). Лемма доказана.
276 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV
Из доказанной леммы следует, что операторы Кр =
= К(Кр-1) = (Кр-1)К, р = 2, 3, ...,-интегральные и их
ядра &Рр(х, у) непрерывны и удовлетворяют рекуррентным
соотношениям: e#*i(x, у)—Ж(х, у),
Жр(х, у)=\Ж(х, у')Жг.1 {у', У)dy' =
G
-J^V-ifr у')Ж(у\ y)dy\ A7)
G
Ядра &р(х, у) называются повторными ядрами ядра
Ж(х, у).
Из рекуррентных соотношений A7) вытекает, что
повторные ядра удовлетворяют неравенству
р-1, 2, ... A8)
Из оценки A8) следует, что ряд
I 1(х, у), шб, iieE, A9)
мажорируется числовым рядом
сходящимся в круге 1М<уЩ7- Поэтому ряд A9) сходится
регулярно при x&G, y^G, !^1^д^~Б при любом
8>0. Следовательно, его сумма непрерывна в (jxGxU \
Wv
и аналитична по X в круге 1^КдП7« Обозначим сумму
ряда A9) через <М (х, у>; X):
оо
&(х, у; Х)=2 А.*ЯГт(д?, у).
Функция е^ (х, у, X) называется резольвентой ядра
Ж(ху у).
Теорема. Решение ф интегрального уравнения B)
с непрерывном ядром <$ (х> у) единственно в клаёсе С (G)
при 1М<дГу и ^Ая At°6°eo f^O(G) представляется через
§ 17] МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ 277
резольвенту & (х, у; к) ядра &С {х, у) по формуле
Ф (*) = / (х) + Я J & {х, у; I) f (у) dy. B0)
а
Другими словами, справедливо операторное равенство
Щ<^у, B1)
где R — интегральный оператор с ядром <& (х, у; X).
Доказательство. По теореме § 17.1 решение ф
уравнения B) единственно в клабсе С@) при 1^!<д>п
и для любой /еС(б) представляется в виде равномерно
сходящегося ряда Неймана A2). Подставляя в этот ряд
выражения итераций Kkf через повторные ядра $?к {х, у)
и пользуясь равномерной сходимостью ряда A9) для
резольвенты <М\ху у, Я,), получаем формулу B0):
Ф (х) = J h 2 ^Жы (х, у)] f (У) dy + f(x) =
оL а=о J
= Я$^(х, у;
о
Теорема доказана.
Докажем, что повторные ядра (К*)р(х, у) и резоль-
резольвента е^# (х, у; X) эрмитово сопряженного ряда Ж* {х, у)
выражаются через повторные ядра Жр(х, у) и резольвенту
исходного ядра Ж(х, у) по формулам
W), (х, у) = Ж1(х, у), р - 1, 2, ..., B2)
<М* (х, у; Х)^Ш(у, х\ 1\ \Ц<тг- B3)
Равенство B2) следует из формулы A6), согласно
которой
{Ж*)р = {Жр)\ р=1, 2, ...
Так как \Ж*(х, у)\ — \Ж{у, х)\^М, то, по доказан-
доказанному, ряд A9) для резольвенты е^* (х, у; X) ядра &С* (х, у)
сходится при лее б., y^G, \^\<.-щ?- Отсюда, пользуясь
2/» ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
равенством B2), получаем формулу B3):
со оо
[ГЛ. IV
,-x\ X).
Из B3) получаем
, х;
:, у; I), \к
MV
и, следовательно, в силу B1) справедлива формула
Замечание. Можно доказать, что резольвента <М (х, у, X)
непрерывного ядра Ж (х, у) допускает мероморфное продолжение на всю
плоскость комплексного переменного
Я, причем полюсами ее являются ха-
характеристические числа ядра <Ж(х, у).
Это предложение ниже будет доказа-
доказано для вырожденных и для эрмито-
эрмитовых ядер.
3. Интегральные уравнения
Вольтерра. Пусть п = 1, область
G.ecTb интервал @, а) и ядро
&? {х, у) обращается в нуль в
треугольнике 0 <.х <у<.а (рис.
68). Такое ядро называется яд-
ядром Вольтерра. Интегральные
уравнения A) и B) с ядром Вольтерра принимают вид
B4)
а х
Рис. 68.
и называются интегральными уравнениями Вольтерра
первого и второго родов соответственно.
Интегральные уравнения Вольтерра первого рода диф-
дифференцированием сводятся к уравнениям второго рода
' 17] МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ 279
«чти Ж (х, у) и №х(х, у) непрерывны при О^у^х^а,
/,'(х, х)Ф0, хе[0, а], /еС!([0, а]) и /@) = 0. Инте-
i ральные уравнения Вольтерра первого рода здесь рас-
рассматриваться не будут.
Предположим, что в интегральном уравнении B4)
/еС([0, а]) и ядро &(х, у) непрерывно в замкнутом
треугольнике О^у^х^а (см. рис. 68). В таком случае
Ж(х> У)\*^М и интегральный оператор
(КП(*) = \ж(х, y)f{y)dy
о
переводит С ([0, а]) в С ([0, а]).
Как и для уравнения Фредгольма (см. § 17.1), опреде-
определим последовательные приближения ф(р) по формуле:
J] p = l, 2, ... B5)
fe=0
Итерации /Cp/sC([0, а]) и удовлетворяют оценке
^ р = 0, 1, ... B6)
Докажем оценку B6) по индукции по р. Для р = 0
оценка B6) верна. Предполагая ее верной при р— 1,
докажем ее для р:
|(K'f) (х) j = | К (К'-Ч) \ = \\ж(х, у) (К"-1?) (у)dy
Из оценки B6) вытекает, что ряд Неймана A0) мажр-
рируется на [0, а] сходящимся числовым рядом
B7)
и потому сходится регулярно по х на [0, а] при любом к,
определяя непрерывную функцию ф(я). Таким образом,
в силу B5) последовательные приближения ф(р) при р-*-оо
280 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV
равномерно стремятся к функции ф:
Ф<"> (х) ?^Д ф (*) = 2 л* (/С*/) (х), р-> оо. B8)
При этом, в силу B7), справедлива оценка
\^k^Uke^Ma. B9)
Переходя к пределу при p-vco в рекуррентном соот-
соотношении B5) и пользуясь равномерной сходимостью после-
последовательности ф(/з) к ф на [0, а], заключаем, что построенная
функция ф (х) удовлетворяет интегральному уравнению B4).
Докажем единственность решения уравнения B4) в клас-
классе С([0, а)] при любом X. Для этого достаточно показать,
что соответствующее однородное уравнение имеет в этом
классе только нулевре решение (см. § 1.11). Действительно,
если ф„ — решение однородного уравнения B4), фо = М(фо, то
Фо = ХК (а/Сфо) = Wtyo = ... = Х*Крц>о, Р = 1, 2, ...
Применяя к этим равенствам оценку B6):
Р=1, 2,...,
и устремляя р к ос, получаем фо(л:) = О, *е[0, а], что
и утверждалось.
Сформулируем полученные результаты в виде следую-
следующей теоремы.
Теорема. Всякое интегральное уравнение Вольтерра
B4) с непрерывным ядром $? (х, у) при любом X имеет
единственное решение ц> в классе С([0, а]) для любого сво-
свободного члена /еС([0, а]). Это решение представляется
регулярно сходящимся рядом Неймана B8) и удовлетворяет
оценке B9)
Следствие. Непрерывное ядро Вольтерра не имеет
характеристических чисел.
4. Интегральные уравнения с полярным ядром. Ядро
где <2%" (х, у) ^C(GxG), называется полярным ядром', если
а <. у, то $? (х, у) называется слабо полярным ядром.
§ 17] МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИИ 281
Для того чтобы ядро Ж (х, у) было полярным, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы оно было непрерывным при
хФу, xeG, y^G и удовлетворяло оценке
\(х, у)\^ x_yia , a<n, xgG, леС
Действительно, необходимость условия очевидна, а до-
достаточность следует из представления
w I \ affix, у) х — у |а'е п ^ ^
Ж(х, у) = —к'х_у,а-г—. 0<8</г-а,
где функция
Ж{х, у) = Ж(х, у)\х-у\а»
непрерывна на GxG.
Лемма 1. Интегральный оператор К с полярным
ядром off (х, у) переводит C(G) в C(G) ^2(G) в <%г@) и
ограничен:
C0)
C1)
где
N = max J | X (х, у) | dy, М* - max J1 ж* (х, у) \dy.
xeiG а x<=g a
Доказательство. Пусть f^C(G). Тогда функция
непрерывна на G_ (см. § 1.6), так что оператор К пере-
переводит C(G) в C(G) и справедливо неравенство C0):
||/(/lie = max
, y)f(y)dy
, у) \dy = M-\J \\c
282 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV
Пусть fei?2(G). Пользуясь неравенством Коши —
Буняковского, получаем
f y)?(y)dy
G\G
'dx
(x, y)\ V\M\x, У)
$$ \X(x, y')\dy'[\X(x,
GG G
откуда следует, что оператор К переводит ?г (G) в Хг (G)
и справедливо неравенство (Э1).
Лемма доказана.
Пользуясь доказанной леммой и повторяя рассуждения
§ 17.1, заключаем, что теорема § 17.1 -остается справед-
справедливой и для интегрального уравнения B) с полярным
ядром Ж (а:, у) в ограниченной области GxG с заменой
MV на N: если [X\<Cjr, то в классе C(G) существует
единственное решение для любой f^C(G) и это решение
представляется рядом Нейманц, регулярно сходящимся на G.
Лемма 2. Если a%i(x, у) —полярные ядра,
4 ъ<п, / = 1,2,
I х — У I '
и область G ограничена, то ядро
\ у', y)dy'
\
G
также полярное, причем
.(*. У)К|лс,у|^«,-«. если a1 + a2>n, J
3(х, у)\^Аа\1п\х — у\\-гАъ, если al-{-a2 = n; J
ъ{х, у) непрерывно на GxG, если а! + а2<;/2.
Доказательство. Представляя полярные ядра
i{x, у) в виде
§ 17]
МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ
283
где <Жi (x, у) — непрерывные функции на 0x0, перепишем
ядро й?з (х, у) в виде
— а2), е>0
Если а1-|-а2<п, то при e<-g (п —
ядро <2Г3 (х, у) непрерывно на
GxO (см. § 1.6). Если же ах +
-f-a2^rt, то, рассуждая, как и
в § 1.6, заключаем, что <№3(х, у)
непрерывно при хФу, xeG,
1/еС
Таким образом, для доказатель-
доказательства леммы осталось установить
оценки C2) при а1-\-<х2^п. При-
Принимая во внимание оценки для
ядер e%i(x, у), имеем
Рис. 69.
Переходя в этом интеграле к новым переменным интегри-
интегрирования ц = х — у' и заменяя полученную область интегри-
интегрирования на большую —шар UD, где D — диаметр области G
(рис. 69), выводим оценку
Обозначая
\
' — У
и совершая в последнем интеграле замену переменных
интегрирования Т) = г1, dr\ = rnd\, получаем
\l
ia« i s—11^1
C3)
284 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV
В силу |s| = l интеграл в первом слагаемом представляет
собой равномерно ограниченную величину
S I6,«»i^-5itt'<i4e' C4)
Учитывая при |?|>-2 неравенство
оценим
.J<
второй интеграл:
^2«.
<
1 * 6
2-а„.
In —,
D
г
— 2аМ7 1 С
если с
л-1-а,-а2ф
х 4- а — п
C5)
Из оценок C3) —C5) и вытекают оценки C2). Лемма
доказана.
Из доказанной леммы следует, что все повторные ядра
Жр (х, у) полярного ядра !Ж (х, у) — полярные и удовлетво-
удовлетворяют оценкам
\Жр(Х, У)\:
если ра — (р—
C6)
Ар\\п\х-у\\+Вр,
если ра — (р — 1)я = 0.
Начиная же с номера р0 = I —-— + 1 повторные ядра
а%р(х, у) непрерывны. (Здесь [t] обозначает целую чаоть
числа ^^0.)
Отсюда, пользуясь леммой 1 § 17.4 и рассуждая, как
в § 17.2, выводим, что резольвента полярного ядра Ж\х, у)
2
= <&i{x, у, *,) + «#,(*, У'< я) C7)
§ it] МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ 285
представляет собой сумму двух слагаемых: полярного
слагаемого
Ро-2
и непрерывного слагаемого
со
Л(х, у, Я) = 2 *w*«(*. У)- C8)
При этом ряд C8) сходится равномерно при xgG, г/е= О,
(Я|^-тт — е, при любом е>0, определяя непрерывную
функцию <М%{х, у, Я) npHxeG, t/e= G, |Я|>^- и анали-
аналитическую по Я в круге |Я|<уу-
Из сказанного следует, что теорема § 17.2 остается
справедливой для интегрального уравнения B) с полярным
ядром Ж(х, у) при условии, что i^i<tt« Далее, фор-
формулы B2), B3) и B1*) для (Ж*)(х, у), <&*{х, у\ Я) и.
(/ — Я/С*)-1, очевидно, также сохраняются, если|Я|<-^
5. Упражнения, а) Доказать, что резольвента е% (х, у; К) непре-
непрерывного ядра Ж (х, у) удовлетворяет интегральному уравнению Фред-
гольма при | Я | MV < 1:
у; Я)-Я$йГ(*. у'-)<&(у', у; l)dy' + &?{x, у).
b) Пусть ядро с/?*(х, у) интегрального уравнения Фредгольма
B) принадлежит J?2(GxG). Пользуясь оценкой B8) §. 1.10, доказать
сходимость в Хг (G) метода последовательных приближений для любой
/ s^(G), если ]Х|С< 1.
c) Доказать, что резольвента ядра Вольтерра аналитична Во всей
плоскости комплексного переменного Л. (целая функция).
d) Пусть Ж е= С (д; ^ 0), Ж(х) = 0, х<0. Доказать, что обоб-
обобщенная функция
есть фундаментальное решение оператора (б — Ж) * в алгебре j^+
(см. §§ 7.7 и 7.8). При этом ряд для & (х) сходится равномерно
в каждом конечном промежутке и удовлетворяет интегральному
286 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1ГЛ. IV
уравнению Вольтерра
х
<tf (х) = \ Ж (х-
о
Функция cffl{x — у) является резольвентой ядра Ж {х —у) при \—\.
е) Доказать, что при К, < I интегральное уравнение Милна
имеет единственное решение (р = 0 в классе ограниченных функций
на [0, со).
f) Доказать что при Х< 1/2 решение интегрального уравнения
00
(р(х) = \ \* е~"\х~у' (р {у) dy+/(х) единственно в классе ограни-
— 00
ченных функций в Rx и выражается формулой
— ОО
g) Для интегрального оператора Пайерлса
,— а ' * —и !
доказать оценку N = N* ^ -- A — e~ttD), где D — диаметр области
ОС
GcR\
§ 18. Теоремы Фредгольма
В этом параграфе для интегрального уравнения Фред-
Фредгольма
ф = ЯКф + / (I)
с непрерывным ядром Ж (х, у) и союзного к нему урав-
уравнения
Ф-Я/СЧ + * A*)
будут доказаны теоремы разрешимости Фредгольма.
1. Интегральные уравнения с вырожденным ядром.
Ядро n
%x)gi(y), B)
где fi и g;<=C(G), называется вырожденным ядром.
114 теоремы фредгольма 887
Без ограничения общности можно считать, что системы
фун-кций \fh l^i^N] и \gi, \s^i^N\ линейно неза-
независимы. Действительно, если это не так, то, например,
fN (х) = cji (х) + ... -f cA--1fN.1 {x)
и ядро Ж (х, у), в силу B), принимает вид
Ж(х, у)-
Действуя подобным образом, через конечное число шагов
добьемся того, что в представлении B) системы функций
{//} и \gi\ окажутся линейно независимыми.
Рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма с вы-
вырожденным ядром B)
N
<Р (х) = Я 2 /«(*) J gi (У) Ф A/) dy+f{x) C)
j = l G
и союзное к нему уравнение
Решения ф и г|з интегральных уравнений C) и C*)
будем искать в классе C(G).
Покажем, что эти уравнения сводятся к системам ли-
линейных ал(ебраических уравнений и потому могут быть
исследованы и решены известными методами линейной
алгебры.
Перепишем уравнение C) в виде
^i 1 D)
» = i
где
Ct = J ф (У) gi (У) dy = (ф, &) E)
с
— неизвестные числа. Умножая равенство D) на gk(x),
интегрируя по области G и пользуясь E), получаем сле-
следующую систему линейных алгебраических уравнений
288 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV
для неизвестных чисел ct,
N
ск - Я 2 ci \ gk (x) U (х) dx-\-\gk (x) f (x) dx. F)
i = 1 G О
Обозначая
«*.- *= J gu (x) fi (x) dx, ak = J / (x) g* (x) dx = (/, ?*). G)
G G
перепишем систему F):
N
c, = ^^'OLkiCi + ak, k=\,2,...,N. (8)
i = i
Вводя матрицу А и векторы с и а:
A = {*ki), с = {сх\ с2, ..., с^), а = (аъ а2, ..., а^),
представим систему (8) в матричной форме:
с = 1Ас-\-а. (9)
Докажем, что интегральное уравнение C) и алгебраи-
алгебраическое уравнение (9) эквивалентны. Действительно, если
ФeC(G)— решение уравнения C), то, как мы только что
показали, числа с, = (ф, fifj), t=l, 2, ..., /V* удовлетво-
удовлетворяют системе (8). Обратно; если числа с,-, t = l, 2,..., N,
удовлетворяют системе (8), то функция <p(j&), построенная
по формуле D), непрерывна на б и, в силу G), удовлет-
удовлетворяет уравнению C):
*!; h(x) ]gt(y)
t=l G
i=l G I k=\
= * 2 /,• W k - Я 2 W* - at) = 0.
Обозначим через D (X) определитель системы (9),
D(X) = det(/-U), A0)
и через Mki (к) — алгебраическое дополнение матрицы
I — XA. Ясно, что D (к) и Mki (Я) — полиномы по Я, при-
причем D (к) ф 0, ибо D @) = det / = 1,
§ 18} ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМА 289
Пусть (комплексное) число Pi таково, что D(k)^Q.
По теореме Крамера решение алгебраической системы (9)
единственно и выражается формулой
щх^МыМъ, ?=1,2 N. (И)
i = 1
Подставляя найденное решение A1) в формулу D) и
вспоминая определение чисел ak, получим решение инте-
интегрального уравнения C) при D(k)^0 в виде
n
(J)W==DW 2 ^ikWi(x)\gk{y)f{y)dy + f{x). A2)
i, k = 1 С
С другой стороны, по теореме § 17.2 при достаточно
малых X (и тогда D (к) Ф 0) это решение выражается через
резольвенту <М (х, у, К) по формуле B0) § 17.2. Следо-
Следовательно,
N
2 М(Х)Ь(х)8(у) A3)
Таким образом, резольвента <ffl (x, у\ X) вырожденного
ядра есть рациональная функция Я, и, стало быть, до-
допускает мероморфное продолжение на всю плоскость ком-
комплексного переменного Я (см. § 17.2Г замечание).
2. Теоремы Фредгольма для интегральных уравнений
с вырожденным ядром. В предыдущем пункте мы по-
построили в явном виде решение интегрального уравнения
с вырожденным ядром. Здесь мы продолжим исследование
таких уравнений и установим условия их разрешимости.
Как и уравнение C), приведем союзное к нему урав-
уравнение C*) к эквивалентной системе линейных алгебраи-
алгебраических уравнений. Имеем
% , D*)
г=1
где. d; = (i|), /,-) — неизвестные числа. Соответствующая
система линейных алгебраических уравнений, эквивалент-
эквивалентная уравнению C*), имеет вид
d* = l2 M/ + &*. * = 1, 2, N, (8*)
10 В. С, Владимиров
290 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV
где
Р*« = J fk (х) nt (x) dx = *ik, bk = (g, fk). G*)
G
Таким образом, система. (8*)—союзная к системе (8):
d=lA*d + b, (9*)
где
A*=$ki)~(<xib) = A', d={du d2, ..., dN),
b = (bu b2, ..., bA).
Из курса линейной алгебры известно*), что определи-
определители и ранги матрицы и ее транспонированной совпадают.
Поэтому, в силу A0),
det (/ - ЪА*) = del (/ - Ы') = det {I-\A') = D (Я), I
rang (I-IA*) = rang G-L4') = rang (I -XA) = q. J
Могут представиться два случая.
I. й(Х)ФО. Тогда <7=/V и системы (9) и (9*) одно-
однозначно разрешимы при любых а и Ь. Следовательно,
уравнения C) и C*) также однозначно разрешимы при
любых / и g и эти решения даются формулами D) и D*)
соответственно.
II. D(^) = 0. Тогда q<N и, в силу A4), однородные
системы (9) и (9*) имеют ровно по'N — q линейно неза-
независимых решений:
c{s) = p9 t
s=l, 2, ..., iV —7.
Однородные интегральные уравнения C) и C*) будут
также иметь ровно по N — q линейно независимых реше-
решений, определяемых формулами D) и D*) соответственно:
N N
ф5 (х) = Я 2 cj«>/. (х), г|M (*) = *?
г = I г = 1
s = l, 2, ..., iV-<7.
*) Используемые здесь сведения из линейной алгебры содер»
жатся, например, в книге Д. В. Беклемишева [1J, гл. V.
§ 18] ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬ.МА 291
Докажем линейную независимость полученных ск$тем
решений {ф5, \ ^s<: N — q\ и |г|M, \ ^s^N — q\. Пусть
найдутся такие числа ps, s = \, 2, ..., N — q, что
N — Q
2 Ps4>s(x) = Q, xe=G,
s = I
т. е., в силу A5),
1=1 S = I
Отсюда, в силу линейной независимости системы функций
{//, 1 sc-i^/V}, вытекают равенства
2Vq, / = i, 2 лг.
Поскольку система векторов \c{s), 1 <; s ^s N — q) линейно
независима в RN, то из последних равенств вытекает
ps = b, s = 1, 2 /V — q, что и доказывает линейную не-
независимость системы решений {q>v|. Аналогично устанав-
устанавливается линейная независимость системы решений {tys\.
Далее, для разрешимости системы (9) при D (>,.) = О
необходимо и достаточно выполнение следующих условий
ортогональности *):
N
(а, Ф») = S fl^?} = °> s = l,2 N-q. A6)
1 = 1
Условия A6) эквивалентны условиям
b(x)dx = 0, s = \, 2, .... N-q,
G
поскольку, в силу A5) и G),
i=IC i=l
Итак, доказаны следующие теоремы, называемое тео-
теоремами Фредгольма.
*) Это есть геометрическая форма теоремы Кронекера — Капелли.
10*
292 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ \ТЛ. IV
Теорема 1. Если D (Я) Ф О, то уравнение C) и союз-
союзное к нему уравнение C*) однозначно разрешимы при
любых свободных членах fug.
Теорема 2. Если D(Я) = 0, то однородные уравне-
уравнения C) и C*) имеют одинаковое число линейно независи-
независимых решений, равное N — q, где q — ранг матрицы I — ЯЛ.
Теорема 3. Если О(Я) = 0, то для разрешимости
уравнения C) необходимо и достаточно, чтобы свободный
член f был ортогонален ко всем решениям г|>5, s = 1, 2,...
..., N —jq, союзного однородного уравнения. C*).
Из теорем 1 и 2 следует, что характеристические числа
вырожденного ядра совпадают с корнями полинома./?(Я)
и, следовательно, — их конечное число. Далее, из фор-
формулы A3) для резольвенты вытекает, что ,характеристи-
,характеристические числа вырожденного ядра совпадают с полюсами
его резольвенты (см. замечание § 17.2).
Замечание. Может оказаться, что функции /; и gt в пред-
представлении B) вырожденного ядра зависят . от комплексного пара-
параметра Я, а именно: пусть /,• (а:; К) и g{ (x; Я) непрерывны по (х, X)
в Gxf/о) и аналитичны по А. в круге и&. В этом случае теоремы
Фредгольма 1 — 3 остаются справедливыми при условии, что |X|<w.
Докажем, что определитель D (Я) — аналитическая функция
в круге |Я|<ю. Действительно, элементы матрицы А, вычисляемые
по формуле G):
— аналитические функции в круге | Я | < со. Поэтому, в силу A0),
D (К) — аналитическая функция в этом круге, причем Ь(Я)^О
3. Теоремы Фредгольма для интегральных уравнений
с непрерывным ядром. Доказанные в предыдущем пункте
теоремы Фредгольма для интегральных уравнений с вы-
вырожденным ядром допускают распространение на инте-
интегральные уравнения с произвольным непрерывным ядром.
Идея доказательства состоит в том, что непрерывное ядЬо
представляется в виде суммы вырожденного ядра и доста-
достаточно малого непрерывного ядра. Это дает возможность,
пользуясь результатами § 17 о разрешимости интегральных
уравнений с малым ядром, свести соответствующее инте-
интегральное уравнение к интегральному уравнению с вырож-
вырожденным ядром, для которого теоремы Фредгольма уже
установлены. Отсюда будет следовать вывод о справедли-
§ 18] ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМА 293
вости теорем Фредгольма для интегральных уравнений
с непрерывным ядром в ограниченной области.
Итак, пусть ядро Ж(х, у) непрерывно на GxG. По
теореме Вейерштрасса (см. § 1.3) его можно приблизить
сколь угодно точно полиномами, т. е. для любого е>0
существует такой полином
&(Х, У)= 2 ЯсчЛЛ A7)
ЧТО
у)-&(х, у)\<г, x<=G, ye-G.
Таким образом, ядро Ж (х, у) представляется в виде
Ж(х, у) = &(х, y) + G(x, у), A8)
где ^(дс, у) — вырожденное ядро (полином) и &(х,у)—
малое непрерывное ядро, \&(х, */)|<е, xgC, y^G-
В силу A8) интегральное уравнение Фредгольма при-
принимает вид
A9)
где Р и Q — интегральные операторы с ядрами & {х, у) и
& {х, у) соответственно, причем P-\-Q = f(.
Покажем, что при |Я[<1^гг'в классе С (G) интеграль-
интегральное уравнение A9) эквивалентнр интегральному уравне-
уравнению с вырожденным ядром. Для этого введем новую не-
неизвестную функцию Ф(х) по формуле
ф = ф _ Я?ф. B0)
По теореме § 17.2 функция ср однозначно выражается
через Ф по формуле
, B1)
где Я— интегральный оператор с ядром & (дс, у\ Я)-— ре-
резольвентой ядра й(х; у). В силу B0) и B1) уравнение
A9) принимает следующий эквивалентный вид:
B2)
где
T^p + XPR, B3)
Вспомним, что резольвента & (х, у, Я) непрерывна по
(х, у\ к) в GxGxU 1 и аналитична по 1 в круге'|Я|<;
294 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ГЛ. IV
<-тг (см. § 17.2). Отсюда, принимая во внимание
лемму § 17.2, заключаем, что оператор Т — интегральный
с непрерывным ядром
*-{х, у', Х) = &(х, у) + к$&(х, у')<М(у\ у\ X)dy'.
G
Далее, из A7) вытекает, что <?Г (х, у, А) — вырожденное и
аналитическое по Я в круге \к\<а-у.
Теперь преобразуем союзное интегральное уравне-
уравнение A*). В силу A8) К* — Р* + Q*, и поэтому уравне-
уравнение A*) принимает вид
A9*)
Применяя оператор (/ — 1Q*)-1 к уравнению A9*) и поль-
пользуясь равенством B1*) § 17.2,
приведем его к эквивалентному уравнению
+ g) =
B4)
Обозначая
gi = (I + lR*)g, g = U-ty*)gi B5)
и учитывая, что, согласно формулам A6) § 17.2 и B3),
перепишем уравнение B4) в виде
г|) = ЛГ*Ч> + ?ь B2*)
Таким образом, при | Я|<^ в классе С(G) интеграль-
интегральное уравнение A) эквивалентно интегральному уравне-
уравнению B2) с вырожденным ядром <&~ (дс, у\ Я), аналитиче-
аналитическим в круге |^|<-j7, а союзное к нему -уравнение A*)
эквивалентно уравнению B2*), союзному к уравнению B2).
Но для уравнений B2) и B2*) справедливы теоремы
Фредгольма" 1—3 и определитель D (Я) — аналитическая
функция в круге 1^-К^р (см. § 18.2, замечание). Отсюда,
§ 18] ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМА 295
пользуясь эквивалентностью этих уравнений исходным
уравнениям A) и A*), получаем следующие теоремы
Фредгольма для интегральных уравнений с непрерывным
ядром. Совокупность этих теорем называется альтерна-
альтернативой Фредгольма.
Альтернатива Фредгольма. Если интеграль-
интегральное уравнение A) с непрерывным ядром разрешимо eC(G)
при любом свободном члене /еС(б), то и союзное к нему
уравнение A*) разрешимо в C(G) при любом свободном
члене g^C(G), причем эти решения единственны (пер-
(первая теорема Фредгольма).
Если интегральное уравнение A) разрешимо в C(G)
не при любом, свободном члене /, то
1) однородные уравнения A) и A*) имеют одинаковое
(конечное) число линейно независимых решений (вторая
теорема Фредгольма);
2) для разрешимости уравнения A) необходимо и доста-
достаточно, чтобы свободный член f был ортогонален ко всем
решениям союзного однородного уравнения A*) (третья
теорема Фредгольма).
Доказательство. При Х = 0 альтернатива Фред-
Фредгольма, очевидно, справедлива. Поэтому считаем Х=?0 и
в предыдущих построениях выберем е<щр.
Пусть уравнение A) разрешимо в С@) при любом
/еС(б). Тогда эквивалентное ему уравнение B2) с вы-
вырожденным ядром также будет разрешимо в С@) при
любом /. Отсюда, применяя теорему 3 § 18.2, заключаем,
что D(к)ФО. А тогда, по теореме 1 § 18.2, уравнение B2)
и союз«ое к нему уравнение B2*) однозначно разрешимы
при любых / и gi из C(G). Но функции gx и g взаимно
однозначно выражаются по формулам B5). Следовательно,
эквивалентные уравнения A) и A*) однозначно разре-
разрешимы в C(G) при любых / и g. Первая теорема Фред-
Фредгольма доказана.
Если уравнение A) разрешимо в C(G) не при любом/,
то и эквивалентное ему уравнение B2) с вырожденным
ядром также разрешимо в C(G)*He при любом /. Отсюда,
по теореме 1 § 18.2, заключаем, чю D(k) = 0. Но тогда,
по теореме 2 § 18.2, однородные уравнения B2) и B2*)
имеют одинаковое (конечное) число линейно независимых
решений в C(G). Поскольку функции Ф и ф связаны
296 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV
соотношениями B0), то и эквивалентные им однородные
уравнения A) и A*) имеют одинаковое (конечное) число
линейно независимых решений в C(G) (см. § 1.11). Вто-
Вторая теорема Фредгольма доказана.
Далее, по теореме 3 § 18.2, для разрешимости урав-
уравнения B2) при D(X) = 0, необходимо и достаточно,, чтобы
свободный член / был ортогонален ко всем решениям
союзного однородного уравнения B2*). Но решения г|)
эквивалентных однородных уравнений A*) и B2*), равно
как и правые части / эквивалентных уравнений A) и B2),
одни и те же. Следовательно, для разрешимости уравне-
уравнения A) в рассматриваемом- случае необходимо и доста-
достаточно, чтобы свободный член / был ортогонален-ко всем
решениям союзного однородного уравнения A*). Третья
теорема Фредгольма дока:ана.
Докажем теперь четвертую теорему Фре,д-
гольма:
В каждом круге \k\^R может находиться лишь /сс-
нечное число xapat теристических чисел ядра &С (х, у).
Доказательство. Выберем е = „ . Тогда при
|Я|<R + 1 будет IЯ |<^. Поэтому при | Я \<R4-1 одно-
однородные уравнения A) и B2) эквивалентны. Следовательно,
в круге |Я !<;/?+1 характеристические числа ядра
Ж {х, у) совпадают с корнями уравнения D(A)=0 (см.
§ 18.2). Поскольку ядро ^Г (х, у\ Я) аналитично. по Я
fi круге |:Я|</?-|-1, то D(к) — аналитическая функция
в этом круге (см. § 18.2, замечание). Отсюда по свойству
единственности аналитических функций *) заключаем, что
в круге | Я j ^ R может находиться лишь конечное число
корней уравнения ?(Я) = 0, а значит, и ядро Ж (*, у)
может иметь только конечное число характеристических
чисел. Теорема доказана.
4. Следствия из теорем Фредгольма. Из четвертой
теоремы Фредгольма следует, что множество характери-
характеристических чисел непрерывного ядра не имеет конечных
предельных точек и, знаиит, не более нем счетно. (Это
множество может быть и пустым, как, например, для
ядра Вольтерра, см. § 17.3.)
*) См., например, Ю. В. Сидоров, М. В. Федорюк и М, И. Ша-
бунин \\\, гл. П.
$ 18] ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМА 297
Далее, из второй теоремы Фредгольма вытекает, что
кратность каждого характеристического числа конечна.
Следовательно, все характеристические числа ядра
е5Г(х, у) можно перенумеровать в порядке возрастания
их модуля:
..., B6)
повторяя в этом ряде ЯА столько раз, какова его крат-
кратность. Соответствующие собственные функции обозначим
через срь (р2, ... и каждому характеристическому числу \k
из B6) сопоставим собственную функцию срй:
<Р* = **/СФ», k=\% 2, ...*). B7)
По второй теореме Фредгольма Хь Х2, ... — все харак-
характеристические числа ядра <Ж* (х, у), причем кратности Xk
и lk одинаковы. Соответствующие собственные функции
обозначим через г|)Л:
1>* = **К*1>*. * =1,2, ... B7*)
Собственные функции фА и tyk непрерывны на G.
Докажем, что если \кф\и то
(Ф*. *|) = 0. B8)
Принимая во внимание равенство A4) § 17.2, из B7)
и B7*) получаем
(Ф*. %) = (Фь U4-)aM%, %) = ?Чф*, %),
откуда, в силу \кф\г, и следуют равенства B8).
Отметим, что А?'и фА, k = \, 2, ...,—характеристи-
...,—характеристические числа и соответствующие собственные функции
повторного ядра $?р(х, у).
Это утверждение вытекает из равенств B7), согласно
которым
КК*, Л = 1, 2, ... B9)
Обратно, если ц и ц> — характеристическое число и
соответствующая собственная функция повторного ядра
Жр(х, у), то по крайней мере один из корней Xf, /=1,
*) Если А,^ — не простое характеристическое число, то соответст-
соответствующие ему фа можно выбирать .различными способами и поэтому
соответствие B7) между Яд и <рл неоднозначно.
298 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV
2, ..., р, уравнения № = \л является характеристическим
числом исходного ядра а%{х, у).
Это утверждение следует из равенства
(цК? -1) ср = (—1 )р-х {КК -/)... (КРК - /) ф = 0. C0)
Действительно, если
C1)
то, в силу C0), (^/С —/)г|) = 0, и потому ^ — характери-
характеристическое число ядра &? (х, у). Если же -ф = 0, ч. е.,
в силу C1),
то, повторяя предыдущее рассуждение, получим: либо
Xj—характеристическое число ядра Ж(х, у), либо
(VC-/)...(MC-/)<P = 0 и т. д.
Переформулируем теперь альтернативу Фредгольма
в терминах характеристических чисел и собственных функ-
функций.
Если "Кф-Хъ, k = \, 2, ..., то интегральные уравне-
уравнения A) и A*) однозначно разрешимы при любых свобод-
свободных членах.
Если A = Afe, то однородные уравнения
имеют одинаковое (конечное) число rk s? 1 линейно незави-
независимых решений — собственных функций фь фА+1,..., ц>к+г _,
.ядра Ж (л:, у) и собственных функций tyk, г|)л+1,..., \|?fr tr _j
ядра $?* (л:, г/), соответствующих характеристическим
числам Xk и lk (rk — кратность \k и \k).
Если % = %ky то для разрешимости уравнения A) не-
необходимо и достаточно, чтобы
(/, г|)А+,-) = 0, t=0, I rk-\. C2)
Замечание. Изложенный процесс сведения, интегрального
уравнения A) к интегральному уравнению B2) с вырожденным ядром
указывает на следующий способ приближенного решения уравнения (I)
при любых X: 1) ядро $? (х, у) приближается полиномом ^ (х, у)
(или другим каким-либо вырожденным ядром), 2) для малого ядра
&(х, у) = ЗР{х\ у) — д^(х, у) методом § 17.2 приближенно строится
резольвента р% (х, у, X), 3) составляется интегральное уравнение B2)
с вырожденным ядром 3~ (х, у; %), 4) методом § 18.1 строится реше-
решение Ф уравнения* B2) и, наконец, 5) по формуле B1) находится
решение <р уравнения A).
§ 18]
ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМА
299
5. Теоремы Фредгольма для интегральных уравнений
с полярным ядром. Распространим теоремы Фредгольма
на интегральные уравнения с полярным ядром (см. § 17.4)
где о%"(х, #) —непрерывное ядро на GxG и G — ограни-
ограниченная область.
Докажем, что для любого 8>0 существует такое выро-
вырожденное ядро еУ (х, </),что
max \\Ж{х, у)-®{х% y)\dy<e, C3)
x<=GG
max \ | Ж* (х, у) - ^* (х, y)\dy< в. C3*)
x&GG
Действительно, ядро
Х(х, у), \х-±
, У)=
непрерывно и при достаточно большом
±.
и аналогично
J , у)-Х*(х,
300 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV
Далее, приблизим непрерывное ядро х (х, у) вырожден-
вырожденным ядром at- (x, у) (см. § 18.3):
I Sr^ /v fi\ ?7b I v 11\ ^^ V ("V it it f~"' (r
I °**s lЛ» t/1 ~~^ G/ 1Л. WI I ^^^ от/ I " *-» t Ц ^-* •
Отсюда следует возможность аппроксимации полярного
ядра Ж (л:, у) вырожденными ядрами в смысле C3) — C3*):
max \^\<Ж {х, у) — <гР(х, y)\dy^
s^max \\o%(x, y) — %(x, y)\dy-\-
x<=GG
+ max J \X{x, y)-&(x, y)\dy<~-{-~ ^ dy = B.
Аналогично устанавливается и оценка C3*).
Итак, для любого е>«0 полярное ядро Ж'(л;, у) пред-
ставимо в виде Ж(х,.у) = &{х, у)-\-&{х, у), где ^(л:, у) —
вырожденное ядро и Ш(х, у) — малое полярное ядро, удо-
удовлетворяющее, в силу C3) —C3*), оценкам
(*, y)\dy<e, max J|fi*(x, y)\dy<z.
xe
Повторяя теперь рассуждения §§ 18.3 и 18.4 и поль-
пользуясь результатами § 17.4 о разрешимости интегральных
уравнений с малым полярным ядром, заключаем,-что все
теоремы Фредгольма и их следствия переносятся и на
интегральные уравнения с полярным ядром.
Отметим, что все собственные функции полярного ядра
ГЖ(х, у), принадлежащие ^2(G), принадлежат C(G).
Действительно, если (ро = ^<Афо, фр^^а(^), то фо=
=^о/СрФо- Но при достаточно большом р ядро ЗРр(х_, у)
интегрального оператора Кр непрерывно (см. § 17.4).
А тогда, по лемме § 17.1, фо = ^/(рсро ^C(G), что и утвер-
утверждалось:
Замечание. Теоремы Фредгольма остаются справедливыми и
для интегральных уравнений с полярным ядром на ограниченной
кусочно-гладкой поверхности S:
Х? ф(у)*
§ 19] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЭРМИТОВЫМ ЯДРОМ 301
где ядро i% (х, у) равномерно непрерывно на SxS и показатель а
меньше размерности поверхности S (см.- И. Г. Петровский [2], § 8).
6. Упражнения, а) Доказать, что если Ж (t)— непрерывная
2л-периодическая функция и
я
J Ж (t) е^ Ш Ф 0, k-целое,
—я
ТО
— характеристическое число и соответствующая собственная функция
ядра Ж (х — у), s— л < х, у < я.
Ь) Доказать, что если Ж @ — (абсолютно) интегрируемая функ-
функция на R1 и F [Ж] (ц) ф 0, то
— характеристическое число и соответствующая собственная функция
ядра $? (х — у), —оэ<х, у<со.
с) Доказать, что Я = 1/ характеристическое число ядра
cos(xy), Q<.x, у < оо и ему соответствуют собственные функции
. <х>
о
/(х) + у - ^ cos (xy) f (у) dy,
где /(*) — любая функция из c5f2@, оо).
Отметим, что для интегральных уравнений с ядрами примеров Ь)
и с) теоремы Фредгольма несправедливы (области интегрирования
в них неограничены!).
§ 19. Интегральные уравнения с эрмитовым ядром
Ядро &С {х, у) называется эрмитовым, если оно совпа-
совпадает со своим эрмитово сопряженным ядром, Ж (х, у) =
= <%•*(*, у).
Соответствующее интегральное уравнение
<р(х) = Х \W&y)v(y)dy + f{x) A)
G
при вещественных X совпадает со своим союзным, иоо
Д ¦«-»/(. Это уравнение удобно рассматривать в простран-
302 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV
1. Интегральные операторы с эрмитовым непрерывным
ядром. Пусть К — интегральный оператор с эрмитовым
непрерывным ядром &С {х, у). Этот оператор переводит
«5^2 (G) (G — ограниченная область) в ^2ф) (см. § 17.1) и
эрмитов (см. § 17.2 и § 1.12):
(К/, g) = (/, Kg), f.geX*(б) = <ЛК. B)
Обратно, если интегральный оператор К с непрерыв-
непрерывным ядром Ж (х, у) эрмитов, то это ядро эрмитово.
Действительно, из равенства B), следует эрмитовость
ядра Ж(х, у) = Ж*(Х) у) (см. § 17.1).
Из формулы B2) § 17.2 следует, что все повторные
ядра &Ср (х, у) эрмитова непрерывного ядра &? (*, у) эрми-
эрмитовы:
Ж%{х, у) = {Ж*)р(х, у) = Жр(х, у).
Лемма. Интегральный оператор К с непрерывным
ядром &? {х, у) переводит всякое ограниченное множество
из %z{G) в множество, ограниченное в С(G) и состоящее
из равностепенно-непрерывных*) функций на G.
Доказательство. Пусть В — ограниченное множе-
множество из i?2(G): |/КЛ, /gB. По лемме § 17.1 опера-
оператор К переводит множество В в множество, ограниченное
в C(G): {Kflc^MVV Л, /ей. Далее, так как ядро
&Р(х> У) равномерно непрерывно на GxG, то для любого
существует такое число б>-0, что
как только \х'-'— x"l<6, x't x" и */<=С. Отсюда, поль-
пользуясь неравенством D) § 17.1 с заменой <Ж(х, у) на
Ж(х', у) — Ж(х", у), при всех /еВ получаем
\(Kf)(x')-(Kf)(x")\ =
\[Ж(х', у)-Ж(х", y)]f(y)dy
G
как только \х' — *"|-<б, х' jc"g= G. Это значит, что мно-
множество {(/<7)(х), /еВ} состоит из равностепенно-непре-
равностепенно-непрерывных функции на G. Лемма доказана.
*) Определение множества равностепенно-непрерывных функций
содержится в § 1.3.
§ 191 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЭРМИТОВЫМ ЯДРОМ 303
2. Лемма Арчела — Асколи. Если бесконечное множе-
множество В ограничен) в С (К), где К—компакт, и состоит
из равностепенно-непрерывных функций hi К, то из него
можно выбрать сходящуюся в С (К) последовательность.
Доказательство. Как известно, множество точек
с рационапьными координатами счетно. Поэтому все такие
точки множества К можно перенумеровать: хъ х2, ...
По условию множество чисел {/(а), / е В\ ограничено.
Могут представиться два случая.
1) Это множество бесконечно. Пользуясь теоремой
Больцано — Вейерштрасса (см. §1.1), из него выберем
сходящуюся последовательность /V (хх), k=\, 2, ...
2) Это множество конечно. В этом случае найдется
последовательность функций /V'(*)» k = \t 2, .....прини-
.....принимающих в точке хх одинаковые значения.
Далее, поскольку множество чисел |Д" (х2), k=l, 2,...}
ограничено, то из него выберем описанным выше спосо-
способом сходящуюся подпоследовательность Д2 (*2), k = 1, 2 ....
и т. д.
Рассмотрим теперь диагональную последовательность
fk(x) = iik)(x), k=\, 2, ..., функций множества В. Для
любой точки xt числовая последовательность /*(*;). &=
= 1, 2, ..., сходится, ибо по построению при k^i эта
последовательность содержится в сходящейся последова-
последовательности Д° (я,-),, k = 1,'. 2, ...
Докажем теперь, что последовательность fk, k=\t 2, >..,
сходится равномерно на К. Пусть е>0. Поскольку эта
последовательность состоит из равностепенно-непрерывных
функций на /С, то найдется такое число б, что при
k = l, 2, ...
коль скоро \х — #'|<с6, х и х' е К. Так как К — огра-
ограниченное множество, то из множества точек xlt x2, ...
можно выбрать конечное число их: хх> аг2, .... х{, / = /(е),
так, чтобы для любой точки ле/( нашлась точка xit
l^i^l, такая, что \х — jc,-I<6 Вспоминая, что после-
последовательность //,(*), k=\, 2, сходится на точках xlt
х2, . , Xi, заключаем, что найдется такое число N = N (е),
что
1/П^-/Д^)|<з> btP2*N,i = \t2 /. D)
ОД ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГГЛ. TV
Пусть теперь х — произвольная точка множества К. Выби-
Выбирая точку xit l^i^l, такую что |дг —*j|<6, в. силу C)
и D) получаем
причем N не зависит от х. Это значит, что последователь-
последовательность fk, k = \, 2, ..., сходится в себе в С (К). По тео-
теореме Коши (см. § 1.3) эта последовательность сходится
в С (К) к некоторой функции из С (К). Лемма доказана.
3 а м-е ч а н и е. Лемма Арчела — Асколи выражает свойство ком-
компактности любого ограниченного в С (К) множества, состоящего из
равностепенно-непрерывных на /С функций. Лемма § 19.1 утверждает,
что интегральный оператор с непрерывным ядром переводит всякое
ограниченное множество из X2 (G) в множество, компактное в С (G).
Всякий оператор, обладающий таким свойством, называется вполне
непрерывным из %%{G) в C(g).
3. Интегральные уравнения с эрмитовым непрерывным
ядром. Не всякое ядро, отличное от тождественного нуля,
имеет характеристические числа; например, как было по-
показано в § 17.3, ядра Вольтерра не имеют таковых. Тем
не менее справедлива следующая
Теорема. Всякое эрмитово непрерывное ядро
УС (л:, у) 3=0 имеет по крайней мере одно характер исти-
истина кое число, и наименьшее по модулю характеристическое
ьисло Xi удовлетворяет вариационному принципу
пЦ= »Р 7ТГ <5>
Доказать ль с-т во. Обозначим через v точную верх-
верхнюю грань функционала fl/C/l на множестве функдий / из
^2 (О) с единичной нормой:
v= sup \Kfl F)
Из оценки F) § 17.1 вытекает, что на функциях этого
множества \\Kfl^MV, а потому v^M.V. Кроме того;
очевидно, v^O. Докажем, что v>0. Действительно,
если v = 0, то, в силу F), мы имели бы ЦК/!=¦(), т. е.
Kf*=O при всех /е<5?2(С), и потому Ж(х, #)ззО, x&Qt
y&G (см. § 17.1), вопреки предположению.
i 191 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЭРМИТОВЫМ ЯДРОМ 305
Из определения точной верхней грани v вытекает
существование последовательности ft, 6 = 1, 2, ..., Ц/л||¦¦
*¦* 1, такой, что ч
->v, 6->oo; G)
кроме того, справедливо неравенство
-v |t /С/ [U /e=#2(G). (8)
Докажем теперь, что
K*fk - v2/* -v 0, k -> со в %г (G). (9)
Действительно, пользуясь B), (8) и G), получаем
I К1/* - v2/, f «(К2/* - vV*
что и эквивалентно предельному соотношению (9).
По лемме § 19.1 последовательность функций Kfk*
k—\, 2, ..., ограничена в С{G) и состоит из равносте-
равностепенно-непрерывных функций на G. А тогда, по лемме
Арцела — Асколи (см. § 19.2), существует подпоследова-
подпоследовательность ^i — Kfkp t = lt 2, ..., сходящаяся в С(Q)
к функции ij5eC(C), || ijj — % ||с-> 0, i-»-oo. Отсюда, поль-
пользуясь оценками D) и E) § 17.1 "и ссютношением (9), полу-
получаем
М V fi /С (* - %) |с + v21| яр - ifc |с +1К (К% - v*fk.)\)c
и, следовательно,
Докажем, что г|)^0. Из предельного соотношения (9)
следует, что
н, следовательно, |/Cij)/|->v2, i-voo. С другой стороны,
на леммы § 17.1 вытекает, что j/Cfr||j/ty| i
306 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ГЛ IV
Таким образом, |/CiJ5| = v2>0, откуда и следует, что
0
Итак, построенная функция -ф является собственной
функцией ядра Ж2(х, у), соответствующей характеристи-
характеристическому числу -g. А тогда по крайней мере одно из
чисел ±— является характеристическим числом ядра
Ж(х, у) (см. § 18.4). Таким образом, построенное харак-
характеристическое число Xj по модулю равно — и, стало быть,
в силу F), удовлетворяет . вариационному принципу E).
Осталось установить, что Ах —наименьшее по модулю
характеристическое число ядра Ж (х, у). Действительно,
если Яо и ф0 — характеристическое число и соответствую-
соответствующая собственная функция, АоКфо = фо> то, в силу E),
1 . г /с/ :i _ ii/СФп'! i
и потому [AjI^IAqI. Теорема доказана.
Как было установлено в § 19.1, интегральный опера-
оператор К с эрмитовым непрерывным ядром Ж(х, у) эрмитов.
По теореме § 1.12 характеристические числа ядра 'Ж (х, у)
вещественны, а собственные функции, соответствующие
различным характеристическим числам, ортогональны.
Кроме того, по четвертой теореме Фредгольма множество
характеристических чисел не более чем счетно, а по вто-
второй теореме Фредгольма кратность каждого характери-
характеристического числа конечна. Поэтому система собственных
функций оператора К не более чем счетна и эту систему
можно выбрать ортонормальной (см. § 1.12).
Принимая еще во внимание доказанную теорему и
теоремы Фредгольма (см. § 18.3), для интегральных урав-
уравнений с эрмитовым непрерывным ядром Ж(х, у)щ?О по-
получаем следующие утверждения:
Множество характеристических чисел \к^} не пусто,
расположено на вещественной оси, не имеет конечных
предельных точек; каждое характеристическое число
имеет конечную кратность, системе! собственных функ-
функций {ф*} может быть выбрана ортонормальной,
19] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЭРМИТОВЫМ ЯДРОМ 307
Если КфХк, k—\, *2, ..., то уравнение A) однозначно
разрешимо при любом свободном члене f^C(O). Если
A = Xk, то для разрешимости уоавнения A) необходимо и
достаточно, чтобы
(f, Ф/м,0=О, ; = 0, 1 rk-\,
где фл> срЛт1, ..., y>k+rk-i — собственные функции, соответ-
соответствующие характеристическому числу Xk, и гk — крат-
кратность Xk.
4. Интегральные уравнения с эрмитовым полярным
ядром. Все результаты, установленные в § 19.3 для ин-
интегральных уравнений с эрмитовым непрерывным ядром,
остаются справедливыми и для интегральных уравнений
с эрмитовым полярным ядром.
Действительно, для таких интегральных уравнений
справедливы теоремы Фредгольма и их следствия (см.
§ 18.5).
Далее, для эрмитова полярного ядра &С(х, у) все по-
повторные ядра <&р{х, у) эрмитовы и полярные, причем
при р^ро= —^~И-1 эти ядра непрерывны (см. § 17.4).
Осталось распространять на эрмитовы полярные ядра
Ж (х, #)^ё0 теорему § 19.3. Обозначим
v= sup \\Kf\\. A2)
Тогда, в силу &? {х, у)фО и неравенства C1) § 17.4,
0<v<^ N = N*. Как и при доказательстве теоремы
§ 19.3, из A2) вытекает существование последователь-
последовательности fk, k=\, 2, .... 1 fk|=1, такой, что
K2/*-v*/*->0, &->оо в Xt(G).
Отсюда, применяя неравенство C1) § 17.4 при р=\, 2, ...
получаем
= 1 (К2?-2 + v«/C^-* + ../+ v«p-»/) (K2fk - v2/.) I ^
_ V2fk | _^ Q, A: -> OO,
т. е.
K2pfk-v*Pfk-+0, k-+oD*Z2{G). A3)
Но при 2р^ро' ядро $Сгр(х, у) непрерывно. Поэтому,
как и при- доказательстве теоремы § 19.3, из предельного
308 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. IV
соотношения A3) вытекает, что -^ — характеристическое
число ядра <$%р(х, у). А тогда, поскольку ядро Ж(х, у)
эрмитово и, значит, все его характеристические числа
вещественны, по крайней мере одно из чисел it — яв-
является характеристическим числом At этого ядра (см.
§. 18.4). Отсюда и из A2) вытекает справедливость вариа-
вариационного принципа E) для характеристического числа Аь
Очевидно, Яг — наименьшее по модулю характеристическое
число ядра Ж(х, у). Этим завершается распространение
теоремы § 19.3 на эрмитовы полярные ядра.
§ 20. Теорема Гильберта — Шмидта и ее следствия
1. Теорема Гильберта — Шмидта для эрмитова непре-
непрерывного ядра. Пусть Аь Я2 ... — характеристические числа
эрмитова непрерывного ядра Ж'(xt у)фО, расположенные
в порядке возрастания их модуля, | А*|^|Я21<;..., и
фь фг» ... — соответствующие ортонормальные собственные
функции, (фл, ф,-) = би.
Как мы знаем, характеристические числа Хк вещест-
вещественны, а собственные функции q>k(x) непрерывны на G',
при этом множество {Xk} либо конечно, либо счетно;
в последнем случае [A.A|-voo, k-*-oo. Далее, в силу тео-
теоремы § 19.3 справедливо неравенство
y/I, /e^,(G). A)
Отметим еще неравенство *)
Х(х,у)Г<1у, xe=G. B)
(Ниже, в § 20.2, будет показано, что в неравенстве B)
фактически имеет место знак равенства.)
Неравенство B) при фиксированном х е G представ-
представляет собой неравенство Бесселя (см. § 1.8) для функции
3% (х, у), коэффициенты Фурье которой по ортонормаль-
•) Если ядро Ж {к, у) имеет конечное число характеристических
чисел Xv Яа, .... XN, то будем считать Xk=--co, k > N,
§20J ТЕОРЕМА ГИЛЬБЕРТА - ШМИДТА И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ 309
ной системе \ц>к(У)\ равны
Введем последовательность эрмитовых непрерывных
ядер
*i\*t{y) C)
Соответствующие интегральные эрмитовы операторы /Ор)
действуют по формуле
J ^Ч>» /s^,(O). D)
Докажем, что Яр+1, Яр+2, ... « фр+1, фр+2. ••• образуют
все характеристические числа и собственные функции
ядра &м{х, у).
В самом деле, в силу () имеем
так что Kk и фА, й ^р +1, —действительно характеристи-
характеристические числа и собственные функции ядра &%{р)(х, у).
Обратно, пусть Хо и ф0 — характеристическое число и со-
соответствующая собственная функция ядра &%{рУ(х, у),
т. е., в силу D),
ф0 = Яо/С^Чо = Я0/(ф0 - Хо 2 ——
Отсюда при k=\, 2, ..., р получаем
р
фл)~Ао 7, 5
Я0<ф0, /Сф*) - К 2
310 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV
а потому, в силу E), фо = Ао/Сфо. Таким образом, Яо н
Фо — характеристическое число и соответствующая собствен-
собственная функция ядра Ж(х, у). Поскольку q;0 ортогональна
ко всем собственным функциям фь ф2, .. •, ФР, то следо-
следовательно, Яо совпадает с одним из характеристических
чисел Хр lt Яр+2, ... и фо можно считать равной фй при
некотором k^zp+\.
Таким образом, Я^ц —наименьшее по модулю характе-
характеристическое число ядра Ж(р) (л\ у). Применяя неравен-
неравенство A) к этому ядру и учитывая D), получаем нера-
неравенство
TvTT' f^^(G), F)
2^ TvTT
P = l, 2, ...
Пусть эрмитово ядро Ж(х, у) имеет конечное число
характеристических чисел: Яь Я2, ..., XN. По доказан-
доказанному эрмитово ядро qK(N) (x, у) не имеет характеристи-
характеристических чисел, а потому, по теореме § 19.3, atf{N)(x, у)з=0,
так что, в силу C),
т. е. ядро Ж (х, у) вырожденное.
Отсюда, вспоминая, что вырожденное ядро всегда имеет
конечное число характеристических чисел (см. § 18.2),
выводим такой результат: для того чтобы эрмитово не-
непрерывное ядро было вырожденным, необходимо и доста-
достаточно, чтобы оно имело конечное число характеристи-
характеристических чисел.
Будем говорить, что функция [(х) истокообразно пре»
ставима через ядро Ж (х, у), если существует функция
/ie<^2(C) такая, что
/(*)«$ЯГ(х, y)h(y)dy, x<=G. (8)
G
Теорема Гильберта —Шмидта. Если функция
f(x) истокообразно представима через эрмитово непрерыв-
непрерывное ядро Ж(х, у), f = Kht то ее ряд Фурье по собствен-
собственным функциям ядра ЗР(х% у) сходится регулярно (и, зна-
§20] ТЕОРЕМА ГИЛЬБЕРТА - ШМИДТА И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ 311
чит, равномерно) на 0 к этой функции:
(л
(9)
Доказательство. Так как f = Kh, h^<?2(G), то,
по лемме § 17.1, f^C(G) и коэффициенты Фурье функ-
функций / и ft по собственным функциям \ц>к\ ядра Ж (*, у)
связаны соотношением
(Л Ф*) =
A0)
Если ядро Ж (х, у) имеет конечное число характери-
характеристических чисел, то, в силу G),
и теорема Гильберта — Шмидта доказана.
Пусть теперь ядро &С (*, у) имеет бесконечное число
характеристических чисел. В этом случае ;А,*|->-оо, k-*-oo.
Поэтому, в силу F) и A0), ряд (9) сходится к / в Xt(G):
(Л, Щ)
V+1
¦о,
-СО.
Осталось доказать, что ряд (9) сходится регулярно
на G. Пользуясь неравенством Коши — Буняковского' и
неравенством B), при всех р и q получаем
'(А,
k=P
:(Af
. (II)
312 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV
В силу неравенства Бесселя
правая часть неравенства A1) стремится к 0 при р, а-^оо.
Это и значит, что ряд (9) сходится регулярно на G. Тео-
Теорема доказана.
Приведем некоторые следствия из теоремы Гильбер-
Гильберта—Шмидта.
2. Билинейное разложение повторных ядер. Докажем,
что повторное ядро <%р{х, у) эрмитова непрерывного ядра
Ж(х, у) разлагается в билинейный ряд по собственным
функциям этого ядра
- У
= 2, 3, ... A2)
регулярно сходящийся на GxG.
В силу формулы A7) § 17.2 при каждом y^G ядро
&р(х, У) истокообразно представимо через ядро Ж(х, у'),
а потому, по теореме Гильберта — Шмидта, оно разлагается
в регулярно сходящийся ряд Фурье по собственным функ-
функциям этого ядра:
Жр (дг, у) = 2 № (х\ у), qk) щ (х).
Так как ядро &?р{х, у) эрмитово, то
№Р(х, У), ср*) =$&?,•(*, yL>k(x)dx =
Таким образом, равенство^ A2) доказано и ряд в A2) схо-
сходится регулярно по х е G при-каждом y^G.
В частности, полагая в формуле. A2) р = 2, х — у и
учитывая, что, в силу A7) § 17.2,
, у') Ж {у'
\ 'Ж '\\M{x, y)\*dy,
§20] ТЕОРЕМА ГИЛЬБЕРТА - ШМИДТА И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ 313
получаем равенство
Из леммы Дини (см. § 1.3) следует, что ряд A4) схо-
сходится равномерно на G. Отсюда, используя неравенство
Коши — Буняковского
i
Я \4>k
(У)
Ч
я, ./>¦¦*
заключаем, что ряд A2) сходится регулярно на* GxG.
Интегрируя равномерно сходящийся ряд A4) почленно
и учитывая нормировку собственных функций, получаем
формулу
00
A5)
3. Билинейное разложение эрмитова непрерывного
ядра. Исследуем сходимость ряда A2) при р= \, а именно
докажем^, что эрмитово непрерывное ядро Ж{х, у) разла-
разлагается в билинейный ряд по своим собственным функциям
сходящийся в
равномерно по i/ей, т. е.
оо.
A7)
Равенство A3) при р=1 показывает, что при каждом
[/еб коэффициенты Фурье ядра &С(х, у} поортонормаль-
ной системе {ф*(*)} равны "Щ~. Поэтому, применяя фор-
формулу A6) § 1.8, получаем равенство
I
314
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. IV
откуда, в силу равномерной сходимости ряда A4), заклю-
заключаем о сходимости билинейного ряда A6) к ядру &С (х, у)
в смысле A7).
Из A7) следует, в частности, что ряд A6) сходится
к ядру &?{х, у)-в Хг(Gx.G), т. е.
dxdy-^0, /?-*-oo. tA8)
fc= I
Для билинейной формы (/С/, g) докажем формулу
00
,js? _ч V1 (/> 4>к) (§' Фа) ? ~ . v //~ч
A9)
Действительно, поскольку f^X2{G), то, по теореме
Гильберта — Шмидта,
причем этот ряд сходится равномерно на р. Умножая
этот ряд на функцию g из d62(G) (и, следовательно, абсо-
абсолютно интегрируемую на G, см. § 1.7) и почленно инте-
интегрируя его по области G, получаем формулу A9):
= 1
. ф*)
ft = 1
Я/,
Полагая в формуле A9) / = #, получим представление
квадратичной формы (/С/, /) в виде
B0>
Формула B0) представляет собой обобщение формулы
приведения к главным осям квадратичной формы с конеч-
конечным числом переменных.
§20] ТЕОРЕМА ГИЛЬБЕРТА - ШМИДТА И ЕС СЛЕДСТВИЯ 315
4. Решение неоднородного интегрального уравнения
с эрмитовым непрерывным ядром. Построим решение неод-
неоднородного интегрального уравнения
ф = Я/С(р + / B1)
с эрмитовым непрерывным ядром Ж (х, у).
Если кфкк, k = \, 2, ..., и f^.C(G), то (единствен-
(единственное) решение ф ингйегрального уравнения B1) представ-
представляется в виде равномерно сходящегося на 0 ряда (форму-
(формулой . 1мидта)
Ф (х) = Я
Действительно, при X=?Xkt k=\, 2, ..., решение
интегрального уравнения B1) существует и единственно
в С (и) при любом свободном члене /gC(G) (см. § 18.3).
По теореме Гильберта — Шмидта функция Кц> разлагается
в равномерно сходящийся ряд Фурье по собственным
функциям ядра &С (х, у). Поэтому
= X
Вычислим коэффициенты Фурье (ср, ф^). Из уравнения B1)
имеем
— ^- (ф, Ф*) + (/, ф*)
и, следовательно,
откуда, в силу B3), вытекает формула Шмидта B2).
По теореме Гильберта — Шмидта
316 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ГЛ. TV
причем ряд сходится равномерно на 0. Поэтому формула
Шмидта B2) принимает вид
«м-* 2^ 2jct$5
со
^^. B4)
= 1
Далее, из регулярной сходимости билинейного ряда A2)
при р = 2 следует равномерная сходимость билинейного
ряда
00
ф* (*) фа- (у)
и его сумма есть непрерывная функция похе(/, У^&,
ХфХк, k = \, 2 и мероморфная 'по X с простыми
полюсами Xk. Следовательно, при X^=Xkt k~l, 2, ...,
в формуле B4) можно поменять порядок суммирования
и интегрирования, в результате чего получим
x). B5)
С другой стороны, по теореме § 17.2, при малых X
решение уравнения B1) выражается через резольвенту
е#(*. у\ X) адра Ж{х, у) по формуле B0) § 17.2. Следо-
Следовательно,
^ (х, у;Х) = Ж (х, У) + Х2 ^f^f. B6)
Таким образом, резольвента е% (х, у; X) эрмитова
непрерывного ядра Ж (х, у) допускает мероморфное про-
продолжение на всю плоскость комплексного переменного X
с простыми полюсами Xk и вычетами
rk-l
@. B7)
§ 20] ТЕОРЕМА ГИЛЬБЕРТА - ШМИДТА И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ 317
где фь фА+1 ф*+/-л-1 — собственные функции ядра
Ш (х, у), соответствующие Я*, и гА — кратность Xk (см. заме-
замечание § 17,2).
Пользуясь равенством A6), перепишем формулу B6)
в виде
*Ш® B8)
причем билинейный ряд сходится в ?2(GxG) (см. § 20.3).
Замечание." Формула B2) остается справедливой и
при А,'=А,у, если, в соответствии с третьей теоремой
Фредгольма,
(/, ф/+/)=0, t=0, 1 rj-\.
В этом случае решение уравнения B1). не единственно
и его общее решение, согласно формуле C8) § 1.11,
дается формулой
г,-1 .
Ъ 2 W, B9)
где ct —произвольные постоянные.
5. Положительно определенные ядра. Ядро &(х, у)
называется положительно определенным, если сорувет-
ствующий оператор К * положителен (см. § 1.12), т. е.
(Kf, /)^0, feXt(G).
Всякое положительно .определенное ядро $С (х, у) эрми-
эрмитово.
Действительно, поскольку оператор К эрмитов (см*.
§ 1.12), то и его ядро'<2/?*(лг, у) эрмитово (см. § 19.1).
Для того чтобы эрмитово непрерывное ядро &С (х, у)
было положительно определенным, необходимо и доста-.
точно, чтобы все его характеристические числа kk были
положительными.
Действительно, если Я^>0, то в силу B0), (/С/, /)^
^0, /e^2(G), так что ядро Ж (х, у) положительно опре-
определенное. Обратно, если ядро &? (х, у) положительно
определенное, то
(*ф;-ф*)^0, т.е. ЯЛ>0.
318 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV
Если Ж (х, у) — положительно определенное непрерыв-
непрерывное ядро, то справедлив следующий вариационный принцип:
i= sup Ш*. Л=1, 2 C0)
(f, ф{.) = 0, ? = 1. 2 At —1
причем supremum в C0) достигается на любой собствен-
собственной функции, соответствующей характеристическому
числу Xk.
Действительно, пользуясь формулой B0) и учитывая
неравенства А,- ^ А* > 0, i ^ k, при всех f e X2 (G) таких,
что (Д ф,-) = 0, t=l, 2 k—l, получаем
i = I
и, стало быть, в силу неравенства Бесселя справедливо
неравенство
W, /) ^ 1
С другой стороны, при / = Фа; имеем
(*Ф»>,?*)=М1-. C2)
Неравенство C1) и равенство C2) устанавливают спра-
справедливость вариационного принципа C0).
Полагая в C0) k=\, получаем
1= sup (-^А C3)
Л» fe^2(G> II'"
6. Распространение теории Гильберта — Шмидта на
интегральные уравнения с эрмитовым полярным ядром.
Теорема Гильберта — Шмидта и следствия из нее, уста-
жовленные в этом параграфе для интегральных уравнений
с эрмитовым непрерывным ядром, переносятся и на
интегральные уравнения с эрмитовым слабо полярным
ядром (см. § 17.4)
I Л У i *
Действительно, для таких ядер справедливы резуль-
результаты § 19. .Поэтому, как показывает "анализ доказатель-
§ 20] ТЕОРЕМА ГИЛЬБЕРТА - ШМИДТА И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ 319
ства теоремы Гильберта —Шмидта, для распространения
этой теоремы на слабо полярные ядра достаточно устано-
установить следующую лемму.
Лемма. Интегральный оператор К со слабо поляр-
полярным ядром & (х, у) переводит Х2 (G) в C(G) и ограничен:
C4)
где
L2 = max \\Ж{х, у)\Чу.
дгео G
Доказательство. Пусть f^X2{G). Пользуясь
неравенством Коши — Буняковского, при всех x^G
имеем
. y)f(y)dy
W) (х) | =
Далее, из результатов § 1.6 вытекает, что функции
~0f {y) dy* \1^{Xt y) {2 dy
C5)
непрерывны на 0. Поэтому оператор К переводит J62(G)
в С (б) и неравенство C4) следует из неравенства C5).
Лемма доказана.
Пусть теперь эрмитово ядро &%(х, у) — полярное, а<,п.
Для таких ядер справедливы «результаты § 19. Поэтому,
как это следует из доказательства теоремы Гильберта —
Шмидта, ряд (9) сходится в X2(G). Учитывая теперь, что
при Р^/?1 = [2(/г1а)]+1 повторные ядра Жр(х, у) эрми-
эрмитовы и слабо полярные (см. §§ 17.4 и 19.4), заключаем,
что билинейные ряды A2) сходятся регулярно при р^2рх.
Далее, формулы A9). и B0), а следовательно, и все резуль-
результаты § 20.5 сохраняются. Формула Шмидта B2) оста-
остается справедливой с заменой равномерной сходимости на
сходимость в J62(G).
Замечание. Рассмотрим интегральное уравнение
C6)
320 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. 1У
где ядро Ж {х, у) эрмитово и вес р (у) — положительная и непрерыв-
непрерывная функция на G. Замена неизвестной функции ^=К.рф преобра-
преобразует уравнение C6) к эквивалентному интегральному уравнению
G
с эрмитовым ядром Vp {х) р (у) Ж (х, у). Переходя к исходному урав-
уравнению C6), убеждаемся, что теория Гильберта — Шмидта без измене-
изменений переносится и на интегральное уравнение C6) с неэрмитовЫм
ядром р (у) Ж (х, у), если его рассматривать в пространстве ?2 (G; р)
со скалярным произведением (/, g)p (см. § 1.9, замечание).
7. Теорема Ентча. Многие Задачи математической
физики сводятся к интегральным уравнениям с вещест-
вещественным эрмитовым ядром. Такие ядра называются сим-
симметричными; они удовлетворяют соотношению Ж {Xt у) —
= &(У, *)¦
Собственные функции симметричного ядра Ж (х, у)
можно выбрать вещественными.
Действительно, если Фо = ф1 + *'ф2 — собственная функ-
функция ядра Ж (х, у), соответствующая характеристическому
числу Хо:
Фо = Ф1 + *Ф2 = ^о^Фо
то, в силу вещественности Ж {Хгу у) и Ао, заключаем отсюда,
что отличные от нуля вещественная и мнимая части ф! и
ф2 функции фо также являются собственными функциями,
соответствующими Хо:
р&К (х, у) назовем положительным ядром, если
Ж (х, у)>0; xeG, y&G.
Очевидно, если* ядро Ж (х, у) поло-жительно, то и все
его повторные ядра Жр(х, у) положительны.
Теорема Ент^ча, Если симметричное полярное ядро
Ж(х, у) положительно, то его наименьшее по модулю
характеристическое число' А^ — положительное и простое',
соответствующая собственная функция q>x(x) положи-
положительна в G.
Доказательство. Пусть Xx— наименьшее по модулю
Хвещественное) характеристическое число симметричного
положительного полярного ядра Ж (х, у) и фг.— произ-
произвольная вещественная -собственная функция, соответст-
соответствующая kif ф! = Я1/(ф1. Тогда XI — наименьшее характери-
§ 20] ТЕОРЕМА ГИЛЬБЕРТА-ШМИДТА И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ 321
стическое число положительно определенного полярного
ядра Ж* (х, у) и ф1 — собственная функция, соответству-
соответствующая Х\, y1 = k2lK2q>i.
Докажем, что ^ (х) не может менять знак в области
G, т. е.
IФ1W4>i(У) I = Ti WФ1 (У). x<=G, </gG.
Действительно, в противном случае, в силу непрерыв-
непрерывности функции <pi(x) (см. § 18.5), нашлись бы такие*
окрестности V (х'\ г) с G и О (у'\ р) с: G, что
I Ф1 (х) I! ф1 (у) | > Ф1 (*) ф1 (У), х е= U (*'; r), y<=U (у'; р),
и потому, в силу условия <з# (х, i/)>0,
6 G
что противоречит вариационному принципу C3).
Докажем, что функция cpi (x) не может обращаться
в нуль в области G и, стало быть, может быть выбрана
положительной в G.
Действительно, в противном, случае найдется точка
х' е G такая, что
откуда, в силу условия <%?.{х, t/)X), следует противоре-
противоречие: чнДО-зО, y(=G.
Из положительности ф\ (х) следует положительность
Ль ибо ЙГ(х, у)>0 и Лх = ^>0.
Ф1
Докажем, что Ax — простое характеристическое число.
Действительно, если бы существовала линейно незави-
независимая с ц>1 вещественная функция ф2, соответствующая
Ль то при всех вещественных с их линейная комбинация
Фг + Сфг также была бы вещественной собственной функ-
функцией, соответствующей Ль и, следовательно, по доказан-
доказанному она не могла бы обращаться в нуль в области- G,
что ввиду произвольности с невозможно. Теорема дока-
доказана.
11 В. С. Владимиров
322 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV
Замечание. Теорема Ентча справедлива для любого полярного
положительного ядра (без предположения его (симметрии). Соответ-
Соответствующая теорема справедлива и для матриц с положительными эле-
элементами; в этом'случае она называется теоремой Перрона.
8. Метод Келлога. Для приближенного нахождения
наименьшего по модулю характеристического числа Хх и
соответствующих ему собственных функций эрмитова
полярного ядра &? (х, у) применяется метод последова-
последовательных приближений Келлога. Пусть вещественная функ-
функция ф@) из %<i(G) не ортогональна ко всем собственным
функциям, соответствующим Ях. Составим последователь-
последовательности
Л(Р) —
где ф(р)==КрФ10) —итерации функции ф<0) (см. § 17.1).
Члены Я(р) и ф(Р) (а;) этих последовательностей и прини-
принимаются за приближения к | ^ | и к соответствующей соб-
собственной функции ф!(л:).
Дадим Обоснование метода Келлога для интегральных
уравнений с симметричным слабо полярным положитель-
положительным ядром. По теореме Ентча для таких ядер Яг —поло-
—положительное и простое, так что 0<;Я1<|Я2|^, ...; соот-
соответствующая собственная функция ф1(л:) положительна
при х е G; собственные функции ц>к.(х) вещественны
(см. § 20.7).
Теорема*). Пусть Ж(х, у) — симметричное слабо
полярное положительное ядро. Тогда для любой функции
Ф@) (х) $= 0, | ф*0) ||=1, последовательность {Я(р)} сходится,
монотонно убывая, к Хг и последовательность {ф{р} схо-
сходится к ф1 в %гF) и в C(G), причем справедливы оценки
^-, р-2,3,...; C8)
:1, Р-1, 2, ...; C9)
^., р=2, 3 D0)
где с=»(<Р<в>, ф!>, La = max5!^(xt у)\Чу.
*) См. В, С, Владимиров [1).
§ 201 ТЕОРЕМА ГИЛЬБЕРТЛ-ШМИДТА И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ
323
Доказательство. По теореме Гильберта — Шмидта
(см. §§20.1 и 20.6) имеем
=t
рй(зс), р = 1, 2 D1)
где, в силу неравенства Бесселя,
00
2 4^|Ф@I2 = 1, <* = (Ф@),Ф*). «1>0, D2)
и ряды D1) сходятся равномерно по
Из равенств D1), в силу (ф/,
равенства
со .
вытекают
= 1, 2, ... D3)
Докажем, что последовательность Я(р), /? = 1, 2, ...,
монотонно.убывает и Х^^Х^
Действительно, пользуясь неравенством Коши — Буня-
ковского, получаем
откуда и из C7) следуют неравенства
Далее, из вариационного принципа E) § 19.3 (см. также
§ 19.4) выводим
f _
0) |/С/1 = *ь
Р = 1, 2
что и утверждалось.
Принимая во внимание равенства D3), получаем
Нр)
1 ^
1
Л'
2
-Ль р-2,3,... D4)
324
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. IV
итметим неравенства, справедливые при
- D5>
Применяя первое из неравенств D5) при
00
?т\С\1 UW ^ L\c
2
к правой части равенств D4) и пользуясь D2), получим
неравенства C8):
2 UJ L
c
Докажем оценки
ф<р>
P=l, 2, ...; <7*0, Г, ...
Пользуясь формулами D1) и D3), получаем
i
я?+pt i(p+*> il
1)ф1
У i*.
Li %p
i\2 1
С47)
f—2
§ 201 ТЕОРЕМА ГНЛЬБЕРТЛ-ШМИДТЛ И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ
325
Применяя второе из неравенств D5) при
00 00
к правой части равенств D7) и учитывая D2), получаем
неравенства D6):
ф'Р>
— Ф1
Неравенства C9) вытекают из неравенств D6) при
<7 = 0 в силу C7). Докажем неравенства D0). Учитывая
неравенство C4) § 20.6*, получаем
- ф111с =!
-ФЦ
К
,' ф'Р1
Ф'р\1
Применяя к правой части полученного неравенства не-
неравенство D6) при q =5 1 с заменой р на р — 1, получим
оценки D0). Теорема доказана.
Замечание 1. Доказанная теорема о сходимости метода Кел-
лога справедлива и для симметричных полярных положительных1
ядер. При этом оценки D0) имеют место при-р^2р! (см- § 20.6).
Замечание 2. Аналогично доказывается, что метод последова-
последовательных' приближений § 17.1 при | X
грешностью О
сходится в С (G) с по-
поесли- ядро &С (х, у) эрмитово и полярное.
9. Теорема М'ерсера. Если эрмитово непрерывное ядро
Ж (х, у) имеет конечное число отрицательных характери-
характеристических чисел, то его билинейный ряд A6) сходится
регулярно на GxG.
Предварительно докажем лемму.
Лемма. Если непрерывное ядро. Ж (х, у) — положи-
положительно определенное, то,
&С(х, х)^0, *<=&
Доказательство. Ядро <№(х, у) эрмитово (см. § 20.5),
¦ тогда №{х, х)=*Ж(х, х) вещественно. Если бы суще-
326 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ГЛ. tV
ствовала такая точка xogG, что Ж(*0, хо).<.0, то по
непрерывности нашлась бы такая окрестность U a G
точки х0, что Ree%(x, t/)<0, x^U, y^U. Выбирая
непрерывную неотрицательную функцию ц(х)фО с носи-
носителем в U, получим
Ф)= $ $ЯГ(*
и и
что противоречит положительной определенности ядра
Ж (х, у). Лемма доказана.
Доказательство теоремы Мерсера. Эту тео-
теорему достаточно доказать для положительно определенных
ядер Ж (х, у) в силу результатов § 20.1. А тогда и все
ядра &?{р) (х, у), определяемые формулой C), будут не-
непрерывными положительно определенными (см. § 20.5).
По лемме Ж^ (х, x)^zO, x&G, так что
"b-k ~~~~ ' "~~~ ' '
Отсюда, используя неравенство Коши — Буняковского,
V
L
заключаем о равномерной сходимости по х на G ряда" A6)
при каждом у ее G. (Напомним,, что этот ряд сходится
к ядру &? {х, у) в Хг (G) равномерно по у ее G, см. § 20.3).
Следовательно, в равенстве A6) можно положить х = у,
и мы получаем равенство
ч"\ = <РГ(я, х). D9)
По лемме Дини (см. § 1.3) ряд D9) сходится равномерно
на G, а тогда из неравенства D8) следует регулярная
сходимость билинейного ряда A6). Теорема доказана.
Следствие. В условиях теоремы Мерсера
{х, x)dx. E0)
ГЛАВА V
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ
ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
В этой главе изучаются краевые задачи для уравнений
эллиптического типа, в частности, теория потенциала
для уравнений Лапласа и Пуассона в пространстве и
на плоскости и'для уравнения Гельмгольца в пространстве.
Кратко излагается также теория функций Бесселя и
сферических функций.
Если не оговорено особо, то область G предполагается
ограниченной, а ее граница 5 — кусочно-гладкой поверх-
поверхностью. Обозначим через Gi внешность G, G1 = Rn\Qt
GLJ5UG /?
§ 21. Задача на собственные значения
1. Постановка задачи на собственные значения. Рас-
Рассмотрим следующую линейную однородную краевую задачу
для уравнения эллиптического типа (см. § 4.4):
— d\v(pgradu)-\-qu=:\u, xsC, A)
Предполагаем (см. § 4.1 и § 4.4), что
C1^ ?€=C(G), p(x)>0, q(x)^
Пусть 50 —та часть S, где a(x)>0 и р(х)>0 одно-
одновременно.
Задача A) —B) состоит в нахождении функции и(х)
класса C2(G)(]Cl(G), удовлетворяющей уравнению A)
в области G и граничным условиям B) на границе 5.
Очевидно, задача A) —B) всегда имеет нулевое решение.
Это решение не представляет интереса. Поэтому задачу
328 "УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. V
A) —B) необходимо рассматривать как задачу на соб-
собственные значения (см. § 1.11) для оператора
L = — div (р grad) + q.
К области определения oSL оператора L_(cm. § 1.10)
отнесем все функции {(х^ класса С2 (GjJ] Сх{^)х удовлетво-
удовлетворяющие граничному условию ^2) и условию L/e=5f?(G).
По лемме 2 § 5.2 &> (G) плотно в =?2 (G), а ® (О), очевидно,
содержится в aSL. Поэтому <Ml плотно в Хг (G).
Итак, задача A) —B) состоит в нахождении тех зна-
значений X (собственных значений оператора L), при которых
уравнение
Lu = Ы D)
см
имеет ненулевые решения и (х) из области определения
(собственные функции, соответствующие этому собствен-
собственному значению).
Замечание. Собственные функции гладкости С1^) существуют
не всегда. Поэтому в некоторых задачах требование гладкости ослаб-
гч т / ди
ляется. Это естественно для краевых задач Ьрода не содержащих -^- ,
\ on
. § 4.4). Для остальных краевых задач под -=— на S понимают
так называемую правильную нормальную производную (см. § 4.5,
замечание; § 24.2).
2. Формулы Грина. Если «еС5(С) ПС1 (G) и v e= С1 (G),
го справедлива первая формула Грина:
\ vLudx== ^ p 2J||^A- \ Pvd?tdS+ \ <?uvdx. E)
б G i=l* * S G
Для доказательства формулы E) возьмем произвольную
область 6' с кусочно-гладкой границей S', строго лежащую
в области G (рис. 70). Так как hgeC2(G), to и <=&{&)
и, следовательно,
J vLudx— J v[—div(pgrad w)-f qu]dx =
' ' Q'
§21]
ЗАДАЧА НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
Д29
Пользуясь теперь формулой Faycca — Остроградского
(см. § 2.2), получаем
2
pvMdS'+
G'
Устремляя в полученном равенстве С кСи пользуясь
тем, что и и уеС1^), заключаем, что предел правой
части существует и, следовательно, существует предел
левой части и справедливо
равенство E). При этом интег* ,л
рал слева в E) необходимо
понимать как несобственный. s
то справедлива вторая фор-
формула Грина:
\ (vLu — uLv) dx =
Рис. 70.
Для доказательства формулы F) в первой формуле
Грина E) поменяем местами и и v:
и вычтем полученное равенство из равенства E).. В резуль-
результате получим вторую формулу Грина F).
В частности, при*р = 1, <7 = 0 формулы Грина E) и F)
превращаются в следующие (ср. с формулой B9) § 6.5):
V (v Am — и Ay) dx — \ Iv ? — и \
3. Свойства оператора L. Оператор L эрмитов:
Ф)
УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
ГГЛ. V
Действительно, так как функции_/ и g принадлежат
области <>SL, то L/ е Хг (G) и Lg = Lg^X2 (G) и вторая
формула Грина F) при u — f и u = g принимает вид
= (Ь/, g)-(f, Lg) =
i
Далее, функции fug удовлетворяют граничному
условию B):
* =0. (И)
По предположению C) а + р>0 на S. Поэтому однород-
однородная система линейных алгебраических уравнений (И)
имеет ненулевое решение (a, J3), и, значит, ее определитель
равен нулю, т. е.
1 дп
- д8
дп 8дп
= 0.
Учитывая полученное равенство, из формулы A0) поду-
подучаем равенство (9), которое и означает, что оператор L
эрмитов (см. § 1.12).
Пусть / е aSL. Полагая в первой формуле Грина E)
u=s/ и v = f и учитывая, что L/e^2(^), получаем
= f
(L/, /)= \p|grad/|'dx-
dS +
A2)
Из граничного условия B) следует, что
^~= —^/, если р(*)>0, х
f — О, если р (лг) = 0, Xi
S.
Подставляя эти соотношения в равенство A2), получаем
выражение для квадратичной формы:
= {
?
, A3)
где 50—та часть 5, где оф)>0 и Р(х)>0.
§ 21] ЗАДАЧА НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ 331
Квадратичная форма (L/, /), f^.<JCLy называется
интегралом, энергии.
В силу предположений C) в правой части A3) все три
слагаемых неотрицательны. Поэтому, отбрасывая второе
и третье слагаемые и оценивая снизу первое слагаемое,
получаем неравенство
Ш, f)^\p\g
G
т. е.
a/. A^Po«|grad/||2, f€=ULt A4)
где po = minp(x); в силу непрерывности и положитель-
положительности функции р на G, ро>О.
Из неравенства A4) вытекает, что оператор L —поло-
—положительный (см. § 1.12), т. е.
Щ, /)^0, /е.*ь A5)
Отсюда, в частности, опять следует эрмитовость опера-
оператора L (см. § 1.12).
4. Свойства собственных значений и собственных
функций оператора L.
Все собственные значения оператора L неотрицательны.
Это утверждение вытекает из положительности опе-
оператора (см. § 1.12).
Собственные срункцйи оператора L, соответствующие
различным и собственным значениям, ортогональны.
Это утверждение вытекает из эрмитовости оператора
(см. § 1.12).
Собственные функции оператора L можно выбрать
вещественными.
Это утверждение вытекает из вещественности опера-
оператора L (ср. § 20.7). Действительно, пусть ^ — (веществен-
(вещественное) собственное значение и и0 — соответствующая собствен-
собственная функция оператора L,
Lu0 = Хоио, и0 е c?L. A6)
Тогда, отделяя в равенстве A6) вещественную и мнимую
части, получаем, что отличные от нуля вещественная и
мнимая части собственной функции uo = Ui + iu2 также
являются собственными функциями, соответствующими
собственному значению Яо, Ъщ — Уф^ /=1, 2.
332 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА- [ГЛ. V
Лемма. Для того чтобы Я = 0 было собственным
значением оператора L, необходимо и достаточно, чтобы
q = 0 и а=уО. При этом Я. = Q-— простое собственное зна-
значение и ы„ = const — соответствующая собственная функция.
Доказательство. Необходимость. Пусть Я =
= 0 — собственное значение оператора L и и0 — соответ-
соответствующая собственная функция, так что Luo = O, uo
Применяя к функции и0 формулу A3-), получаем
0 = (Lu0, Uo)=|
G o
откуда, учитывая предположения C), выводим
р grad и0 = 0, qu0 = 0, xeeG,
т. е. м0 = const =^ О и q = 0. Из граничного условия B)
для .собственной функции ио = const следует, что ос = О.
Необходимость условий доказана. При этом установлено,
что ио»= const— единственная собственная функция, соот-
соответствующая собственному значению Л = 0, т. е. это соб-
собственное значение —простое.
Достаточность. Если #.= 0 и а = 0, то, в силу C),
Р>0 и задача A) —B) превращается в следующую:
ди
= 0,
для которой w0 = const есть собственная функция, соот-
соответствующая собственному значению X = 0. Лемма доказана.
При п ^> 2 будем считать, что в граничном условии B)
либо Р = 0, либо р = 1, т. е. это условие имеет вид
либо и
— 0, либо 0-
= 0, а^0. A7)
Тогда, если граница S рбласти G — достаточно гладкая
поверхность и коэффициенты р>0, q^0 и а^0 —доста-
—достаточно гладкие функции, справедлива следующая
Теорема 1. Множество собственных значений опера-
оператора L не имеет конечных предельных точек', каждое соб-
собственное значение имеет конечную кратность. Всякая
функция из aSL разлагается в регулярно сходящийся ряд
Фурье по собственным функциям оператора L..
Эта теорема будет доказана для двух частных случаев:
1) для задачи Штурма—Лиувилля (см. § 22) и 2) для
§ 211 ЗАДАЧА НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ 333
задачи Дирихле (см. § 28). Доказательство этой теоремы
содержится в книгах В. П. Михайлова [1], гл. IV и
О. А. Ладыженской [1], гл. П.
На основании приведенной теоремы и предыдущих
утверждений все собственные значения оператора L можно
перенумеровать в порядке возрастания их величины:
0<Xj<A2<..., Я^-^оо, 6->-оо, A8)
повторяя в этом рядч кк столько раз, какова его кратность.
Соответствующие собственные функции обозначим через
Хх, Х2, ..., так что в ряде A8) каждому собственному
значению Xk соответствует собственная функция Xk,
LXk = XkXk, k=\, 2, ..., Xk^aSL.
При этом собственные функции \Хь) можно выбрать веще-
вещественными и ортонормальными (см. § 1.12), так что
Далее, всякая функция / из e#L разлагается в ряд Фурье
по бртонормальнойг системе {Xf!},
со
/(*) = 2 (/, Хк)Хк(х), B0)
и этот ряд сходится регулярно на G. Но <Ли плотно
в %2(G) (см.^ § 21.1). Отсюда и из теоремы § 1.9 вытекает
следующая
Теорема 2. Система собственных функций опера-
оператора L полна в ^2(G).
Пусть / е qSl- Умножая ряд B0) скалярно слева на
Lf и учитывая, что Lf^X2(G), получаем формулу для
интеграла энергии
Теперь установим следующий вариационный принцип
(ср. § 20.5):
Я*=. inf ЩК * = 1, 2,..., B2)
334 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ТЛ. V
причем infimum в B2) достигается на любой собственной
функции, соответствующей собственному значению Xk.
Действительно, пользуясь формулой B1) для квадра-
квадратичной формы (Lf, /) и учитывая неравенства A8): Я,,-^
^^ft^-0, i^k, при всех f^aSL таких, что (/, Х,)^0,
i=l, 2, .... k — 1, получаем
со оо
а/, />= 2 ш, x&^h 2 к/, х()\к
i—k i=k
Но, в силу теоремы 2, справедливо равенство Парсеваля
(см. § 1.8)
S к/, */);2=2! к/, Xi)\2=
и потому
С другой стороны, при f = Xk, в силу A9), имеем
Этим установлена справедливость вариэционного прин-
принципа B2).
Полагая в B2) k=l, получаем, в частности,
Ч/Г
Применяя формулу B1) к функдиям
r\P = f-Z(f> Xt)Xu p = l, 2, ...,
из <Ли и учитывая, что
получаем
4 2П задача на Собственные значения 339
Отсюда и из сходимости ряда B1) следует, что
(Lr\p, тгр)->0, р-*со. B3)
Применяя неравенство A4) к функциям г\р и учитывая B3),
полу1а?м при
11 grad Т1Р | р =
grad/-2 (Л *.-
1
(Li\pt
Полученное соотношение означает, что
оо
grad f(x)=* 2 (Л **) grad ХЛ (х), B4)
причем ряд B4) сходится к gradf в %2{G).
Итак, лолучена следующая
Теорема 3. Если f^<J?Lt то ряд B0) можно диф-
дифференцировать почленно по .*,-, i = l, 2, ..., п, один раз
и полученные ряды B4)будут сходиться к J~ в X2(G).
OXi
Замечание. Полученные результаты соответственно распро-
распространяются и на краевую задачу на собственные значения для урав-
уравнения Lu = Xpu, где вес р(х) >0 — непрерывная функция на G, если
эту задачу рассматривать в пространстве Xt(G; p) (ср. § 1.9, заме-
замечание).
5. Физический смысл собственных значений и соб-
собственных функций. При р = 1 и р = 0 задача на собствен-
собственные значения A) —B) принимает вид
= Xu, tt|s = 0. B5)
Как известно *), собственные значения задачи B5)
определяют уровни энергии квантовой частицы, движу-
движущейся во внешнем силовом поле с потенциалом
^ +оо, хеО.
Соответствующие собственные функции являются волно-
волновыми функциями стационарного оператора. Шредингера
*) См., например, Д. И. Блохинцев [1], гл. VIII и Мессиа [1J.
336 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. V
(см. § 2.7),
-Ли + У(лг)м-Ям. B6)
Как будет показано в § 32, собственные значения
оператора L. определяют собственные частоты колебаний
ограниченных областей (объемов, мембран, струн, стерж-
стержней и т. д.), а соответствующие собственные функции —
амплитуды гармонических колебаний.
Наименьшее собственное значение стационарного опе-
оператора переноса (см. § 2.4) определяет также критичность
ядерного реактора, а соответствующая собственная функ-
функция — плотность нейтронов в реакторе в критическом
состоянии.
§ 22. Задача Штурма — Лиувилля
При п — \ задача на собственные значения A) —B)
§21.1 называется задачей'Штурма — Лиувилля,
Lu*s-(pu'y + qu=*ku, 0<х<1, A)
hiti @) - Л2и' @) = 0, Нф (/) + Нги! (/) = 0. B)
В соответствии с условиями C) § 21.1 считаем
реС»([0, /]), ?€ЕС([0, /]), р(х)>0, д
Напомним, что область определения cSi оператора L
состоит из функций и(х) класса С2@, /) f| ^2 ([0, /]), «"е
е«^2@, 0»чудовлетворяющих граничным условиям B).
Выражение A3) § 1.3 для квадратичной формы
(L/, /), f^Q^L, принимает следующий вид:
(последние слагаемые выпадают при /ц = 0 или Я2 = 0
соответственно).
1. Функция Грина. Предположим, что Я>==0 не есть
собственное значение оператора L; это значит, в силу
леммы § 21.4, что либо <7^0, либо Нгф0, либо НХФ§.
Рассмотрим краевую задачу
C)
§ 221
ЗАДАЧА ШТУРМА - ЛИУВИЛЛЯ
337
где /gC(O, /)П^г(О, /). Так как Л = 0 не есть соб-
собственное значение оператора L, то решение краевой за-
задачи C) в классе <ML единственно (см. § 1.11). Построим
решение этой задачи.
Пусть Vi и Vi — ненулевые (вещественные) решения
однородного уравнения La = 0, удовлетворяющие условиям
hlv1@)~h2v\@) = 0, Я,1;2@ + ^Н0=0. D)
Из теории обыкновенных линейных дифференциальных
уравнений следует, что такие решения всегда сущест-
существуют и принадлежат классу С2 ([0, /]). Решения vx и v2
линейно независимы. Действительно, в противном случае
Vi(x) = cvz(x) и, следовательно, в силу D) решение v\
удовлетворяет и второму граничному условию B). Это
значит, что Vi является собственной функцией оператора
L, соответствующей собственному значению А, = 0, вопреки
предположению. Поэтому определитель Вронского
у, (х) v2 (х)
w(x) =
[о, q.
v[(x) v'2(x)
Кроме того, имеет место тождество Остроградского —
Лиувилля *).
p{x)w(x) = p(Q)w@)t xe=[0, /]. E)
Будем искать решение задачи C) методом вариации
произвольных постоянных,
и (х) = d {x}vx (х) +С2 (х) v2 (х). F)
В соответствии с этим методом функции С[ и С'ч должны
удовлетворять системе линейных дифференциальных
уравнений
—?¦ G)
с определителем w(x)=?0. Решая эту систему и пользуясь
тождеством E), получим
(8)
0
~~p
vl
»i -
v2
0
I
P
р @) w @) '
р @) w @) *
*)' См., например, Л. С. Понтрягин [I], гл. 3.
Ш УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. V
Чтобы удовлетворить граничным условиям B), поло-
положим С2@) = 0, Ci(/) = 0, поскольку, в силу D) и G),
М @) - М' @) = h [d @) Vl @) + С2 @) vt @)] -
- h2 [С. @) v[ @) + С; @) Vl @) + С2 @) и; @) + q @) иг @)] =
- Сг @) [Лл/0) - h2v[ @)] + С2 @) [М2 @) - A,ui @)] = 0,
и аналогично для конца х = 1. Интегрируя (8) при усло-
условиях Ci(/) = 0, C2@) = 0, имеем
р@)ш@)
Подставляя полученные выражения в F), находим
искомое решение задачи C) в виде
«(*) =
Г х 1 Л
L о х J
или
и (х)= S & (х, у) f (у) dy, (9)
о
где
' У> - p@)w @) \
Функция $(х, у) называется функцией Грина краевой
задачи C) или оператора L.
Итак, доказан следующий результат:
Лемма. Если К = 0 не есть собственное значение
оператора L, то решение краевой задачи C) существует,
единственно и выражается формулой (9).
Перечислим, свойства функции Грина Э (я, у), вытекаю-
вытекающие непосредственно из формулы A0).
1) Вещественна и непрерывна в замкнутом квадрате
П = [0, /]х[0, /] и принадлежит классу С2 в замкнутых
221
"ЗАДАЧА ШТУРМА - ЛИУВИЛЛЯ
339
треугольниках
[О ^ х ^ у ^ /] и [0 *
(рис. 71).
2) Симметрична:
?(х, у) = $(у, х), (х, t/)efl.
3) На диагонали х = у скачок производной $х равен
, т. е.
Р(У)
д$(у + О, у) д9{у-О, у)
дх дх
1
Р(У)'
, I).
4)" Вне диагонали х — у удовлетворяет однородному
уравнению
Lx?(x, */) = 0, хфу, (х, (/)еП.
5) На боковых сторонах квадрата П удовлетворяет
граничным условиям B):
Пример. Функция Грина
краевой задачи
имеет вид
A-х) у,
Ф и з и ч е с к-и й смысл
функции Грина. Из свой- Рис _
ств 1)ш 3) и 4) вытекает, что
при каждом у е (О, I) функция
Грина ${х, у) удовлетворяет в обобщенном смысле (см.
§ 11.1) уравнению
Поэтому ^(л:, ^/) есть возмущение, порождаемое точеч-
точечным источником интенсивности 1, находящимся в точ-
340 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. V
ке у. Таким образом, функция Грина $(х, у) является
естественным обобщением фундаментального .решения
(см. § 11.2) на уравнения с переменными коэффициентами
при наличии граничных условий (описывающие процессы
в неоднородных ограниченных средах).
2. Сведение задачи Штурма — Лиувилля к интег-
интегральному уравнению. Покажем, что задача Штурма —
Лиувилля сводится к интегральному уравнению Фред-
гольма с вещественным, симметричным и непрерывным
ядром 9(х, у).
Теорема. Краевая задача
«Git, fe=C(O, /)П«#г(О, О
при условии, что Х — 0 не есть собственное значение one-
pimopa L, эквивалентна интегральному уравнению
i i
]*{x, y)f(y)dy, A2)
о
иеС([0, /]),
где & (ас, у) — функция Грина оператора L.
Доказательство. Если и(х) — решение краевой
задачи A1), то, применяя лемму § 22.1 с заменой f на
ku-\-f, получим
о
т.е. и(х) удовлетворяет интегральному уравнению A2).
Обратно, пусть функция uogC([0, /]) удовлетворяет
интегральному уравнению A2). Рассмотрим краевую задачу
Lu = kuo-\-f, и
По лемме § 22.1 единственное решение этой задачи
дается формулой
и (х) = 5 & (х, у) [Хи0 (у) + / (у)] dy = щ (х),
о
откуда следует, что и0 s <^L и удовлетворяет уравнению
Lu0 = Яи0 + Л
т. е. «о есть решение краевой задачи A1). Теорема до-
доказана.
§22] ЗАДАЧА ШТУРМА - ЛИУВИЛЛЯ 34)
При / = 0 краевая задача (И) превращается в за-
задачу Штурма — Лиувилля и, следовательно, задача
Штурма —Лиувилля A) —B) эквивалентна задаче на
собственные значения для однородного интегрального
уравнения
и (х) =**.$* (х, y)u(y)dy A3)
о
при условии, что Я = 0 не есть собственное значение опе-
оператора L.
Теперь освободимся от предположения, что А, = 0 не
есть собственное значение оператора L. Для этого заме-
заметим, что, в силу леммы § 21.4, ц = 0 не есть собственное
значение задачи Штурма — Лиувилля
«**|ш. A4)
hiu @) - hiU' @) = Нхи (/) + Иги' (/) = 0. A5)
Но o&l^o&LiC*. поэтому задача A4) —A5) эквивалентна
задаче A) —B) при \i = X+1.
Следовательно, задача Штурма —Лиувилля A) —B)
эквивалентна интегральному уравнению
i
y)u{y)dy> A6)
где $i(x, у) —функция Грина оператора Lv
3. Свойства собственных значений и собственных
функций. Таким образом, установлена эквивалентность
задачи Штурма —Лиувилля A) —B) задаче на собст-
собственные значения для однородного интегрального уравне-
уравнения A6) с симметричным (и, стало быть, эрмитовым)
непрерывным ядром $i(x, у). При этом собственные зна-
значения Я. задачи A) —B) связаны с характеристическими
числами ц ядра $i(x, у) соотношением ц = Я,+1, а соот-
соответствующие им собственные функции совладают. По-
Поэтому для задачи Штурма — Лиувилля справедливы все
положения теории интегральных уравнений с симмет-
симметричным непрерывным ядром, развитые в §§19, и 20.
В частности, множество собственных значений {Я*} этой
задачи не пусто и не имеет конеч'ных предельных точек;
собственные значения вещественны и конечной кратности;
342 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА ГГЛ. V
собственные функции \Xk] можно выбрать вещественными
и ортонормальными; Х^еС^О, /]).
Но задача Штурма — Лиувилля имеет ряд специфиче-
специфических свойств. Отметим некоторые из них.
Собственные значения неотрицательны.
Это утверждение доказано в § 21.4.
Множество собственных значений счетно.
Действительно, если бы это множество было конеч-
конечным {Xlt Я2, ..., XN\y то ядро $i(x, у) имело бы пред-
представление (см. § 20.1)
±?Ш A7)
Но Х*еС2([0, /]), и поэтому представление A7) проти-
противоречит свойству 3.) функции Грина &i(x, у). Полученное
противоречие и доказывает наше утверждение.
Каждое собственное значение — простое.
В самом деле, пусть Xt и Х2 — собственные функции,
соответствующие собственному значению Яо. Это значит,
что эти функции удовлетворяют уравнению A) при К =
=«= Хо и граничным условиям B). Из первого граничного
у ловия B)
hxXx @) - АЛ' @) = 0, АЛ @) - A2Xj @) = 0
вытекает в силу предположения /ii + АгХ), чт0
Х2@) -ХЦ0)
Х[@)
X2@)
= 0,
т. е-, определитель Вронского для решений Хх (х) и Х2 (х)
уравнения A) при Я = Я0 в точке д; = 0 обращается
в нуль.. Поэтому эти решения линейно зависимы. Это и
значит, что Яо — простое собственное значение задачи
Шту рма — Лиувилл я A) — B).
Теорема (В. А. Стеклов). Всякая функция f из eSL
разлагается в регулярно сходящийся ряд Фурье по соб-
собственным функциям {Xk} задачи Штурма—Лиувилля,
2ГСЛ **)**(*). 08)
Доказательство. Так как f&eSL, то
t(O. О-
§ 22] ЗАДАЧА ШТУРМА - ЛЙУЁИЛЛЯ" 343
НО e/fCix—JCLi И ПОТОМУ /ее^?,. ТаКИМ ОбрЭЗОМ, фуНК-
ция / является решением краевой задачи
причем, по построению (см. § 22.2), Я, = 0 не есть соб-
собственное значение оператора L\. Обозначим через- $\ (х, у)
функцию Грина оператора Ц. По лемме § 22.1 функция/
выражается интегралом
/<*)=$$,(*, y)h(y)dy,
о
т. е. истокообразно представляется через эрмитово непре-
непрерывное ядро &i{x, у). По теореме Гильберта — Шмидта
(см. § 20.1) функция / разлагается в регулярно сходя-
сходящийся ряд Фурье по собственным функциям ядра $х (х, У).
Но собственные функции ядра $i(x, у) совпадают
с собственными функциями оператора L\, которые в свою
очередь совпадают с собственными' функциями \Xk) опе-
оператора L. Теорема доказана.
Таким образом, для задачи Штурма —Лиувилля верна
теорема 1 § 21.4 и следствия из нее. В частности, си-
система собственных функицй задачи Штурма —Лиувилля
полна в «5?2 @, /).
Замечание. Другими методами В. А. Стеклов доказал более
сильное утверждение: всякая функция /еС1 ([0, /]), удовлетворяю-
удовлетворяющая условиям /@) = /(/) = 0, разлагается в регулярно сходящийся
ряд Фурье по собственным функциям задачи Штурма—Лиувилля
A)—B) (см. В. А. Стеклов [1], ч. I, гл. V).
4. Нахождение собственных значений и собственных
функций. Изложим процесс вычисления собственных зна-
значений и собственных функций задачи Штурма — Лиу-
Лиувилля A)—"B). Пусть их(х\ X) и иг{х\ А,) —решения урав-
уравнения A), удовлетворяющие начальным условиям:
Ml@; Х) = 1, и[ф\ А,)=0; ы2@; А,) = 0, и^@\ А,) = 1.
Тогда функция
и (г, X) = h2u1(x A
удовлетворяет уравнению A) и первому из граничных
условий B). Чтобы удовлетворить второму из граничных
344 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. V
условий B), необходимо положить
\(l; Я)-f-
Корни Яь Я2, ... полученного трансцендентного уравнения
и дадут все собственные значения задачи Штурма — Лиу-
Рис. 72.
вилля A) —B). Соответствующие собственные функции Xk
определяются по формуле A9) при Я = ЯЛ,
Xk{x) = u(x) Xk) = thux{x\ X*) + Ma(*'» К), Л=1, 2, ...
Пример. Вычислим собственные значения и собствен-
собственные функции задачи Штурма — Лиувилля при р = 1, д = О,
— и" = Хи, и@) = «(/) = 0. B0)
Для этого выпишем общее решение дифференциаль-
дифференциального уравнения B0)
и (х) = Ci sin VJ,x + С2 cosYXx
и подберем произвольные постоянные Ci и С2 и пара-
параметр X так, чтобы удовлетворить граничным условиям
B0) и условию нормировки | а] = 1. Условие и @) = 0 дает
Са = 0, а условие ы(/) = 0 дает YlX — kn, k = ±: I ±2, ...,
так что
Из условия нормировки
1 = J и f =.С* \ sin2 —?-dx = ^5-
i l 2
§.231 ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ 345
имеем Ci=l/ -у, и, следовательно,
sin-"/-» * = 1. 2, ... B1)
Из построения следует, что других собственных функ-
функций задача B0) не имеет. Система собственных функций B1)
полна в «3f2(O, 0 (см. § 22.3).
Графики собственных функций Xk(x), Л=1, 2, '3,
изображены на рис. 72.
§ 23. Функции Бесселя
Рассмотрим уравнение
х2и" + *и' + (х2 - v2) и = 0, A)
называемое уравнением Бесселя. Всякое решение этого
уравнения, не равное тождественно нулю, называется
цилиндрической функцией. Отметим, что коэффициенты
уравнения A) не удовлетворяют условиям § '22.
1. Определение и простейшие свойства функций Бес-
селя.-Рассмотрим при —oo<;v<;oo функцию
Эта функция представима в виде
Jv(x) = x4v(#), C)
где /v (С) — целая функция,
MD -
(А)
fc = 0
Действительно, в силу признака Даламбера ряд D)'
сходится, равномерно на всяком комцакте плоскости ком-
комплексного переменного ? и поэтому определяет целую
функцию /v(?>.
Таким образом, при v = 0, ± 1, ... Jv(x) — однозначная
аналитическая функция, а при v^O, ±1,.,. Jy(x)-*~
346 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. V
многозначная аналитическая функция; выделим ту ветвь
ее, где *v>0 при х>0.
Проверим, что функция Jv(x) удовлетворяет уравне-
уравнению A). Пользуясь соотношением Г (z +1) = гГ (г), получим
xVv (х) + xJ'y, (х) - vVv (х) =
VT) + 2fe + V~V2U2y
fe-0
(—1)* (x\*k+v
ГС
=4 21
А = 0
что и утверждалось.
Цилиндрическая функция Jx(x) называется функцией
Бесселя порядка v.
В частности,
(б)
Если v>0, ф целому числу, то функции Jv(x) и
yv (x) — У-v (д:) линейно независимы. Это следует из B)
в силу
J vgfc-1, -2,... F)
Если же v = /г — целому числу, то
J-n (*) = (-0л.М*), G)
так что функции Jn {x) и У_л (л:) линейно зависимы.
23] ФУНКЦИИ БЁССЕЛЯ 347
Докажем равенство G). Учитывая, что Г(--?) = оо,
= 0, 1 из B) имеем
(-1)»
_
Г (s -f- 1) Г (s + /г 4-1) \ 2
s=0
Отметим, что при v = n — целому неотрицательному
числу —второе линейно независимое решение Yn(x) урав-
уравнения Бесселя A) обладает свойством
Это утверждение вытекает из формулы Остроград-
ского — Лиувилля (см. E) § 22.1) при р(х) = х,
откуда
хЛ (х)'
так что
Выбирая в (9) хп достаточно-малым и пользуясь асимпто-
асимптотикой F), из (9) получаем (8).
2. Свойство ортогональности. Если (Xi и ца — вещест-
вещественные корни уравнения
0. A0)
то при v> —1
i
J xJv (Hi*) Jv (Ц2л:) djf = 0, \i\ Ф ill',
о
1
l
= j [i; (mi)]2 + i A - ?1Д (Mi). A2)
343 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. V
Доказательство. Пусть Hi и \i2 — любые веще-
вещественные числа. Функции Jv(\iiX) м Jv(\hx) удовлетворяют,
в силу A), уравнениям
Первое из этих уравнений умножим на Jv(ii2x), а вто-
второе—на Jv(\iix), затем вычтем почленно одно из другого
и проинтегрируем по интервалу @, 1). В результате
получим
= (и! - Hi) S ^Л (и1-«) -Ммг*) ^,
о
или
Но из B) при *->¦
и поэтому
= 0*1-1*1)$*
0
4-0 имеем (ср.
х) r(v+1)^
F))
Г + О(.
Jv (\i2x) dx.
A3)
Л (ja2a0 = О
«Таким образом, в силу условия v ;> — 1 левая часть равен-
равенства A3) обращается в нуль при х = 0 и мы получаем
1
J х Jv (цхх) Jv (ц2х) dx —
Если теперь \1г и (х2 — корни уравнения A0):
ИЫ-О, A5)
§ 23] ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ 340
а числа а и р не равны нулю одновременно, то опреде-
определитель линейной системы A5) равен О,
Отсюда и из A4) следует свойство ортогональности A1).
Пусть (^ — корень уравнения A0). Переходя в равен-
равенстве A4) к пределу при \i2-+\ii и пользуясь правилом
Лопиталя и уравнением A), получим формулу A2):
3. Рекуррентные соотношения для функций Бесселя.
Справедливы следующие рекуррентные соотношения:
Jv.(x) = Jvl(x)-^Jv(x), A6)
Jv(x) = -Jv+l(x) + ~Jv(x). A6')
Действительно, формула A6) следует из B):
k—0
(—j)*
X \2НУ _ у
2 У ~ х
Аналогично устанавливается и формула A6').
Формулы A6) и A6') можно переписать в виде
ъ1*"Мх)] = М1-1(х). A7)
350 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. V
Отсюда получаем при т = 0, 1, ...
x^Jx.m (x), (Щ
В частности, из формул E), A8') и A8) при т = 0, 1, ...
имеем
Наконец, вычитая формулы A6) и A6'), получаем еще
одно рекуррентное соотношение:
^v+i (*) - 7 ^v (х) + /v-i (х) = 0. B0)
4. Корни функций Бесселя. Докажем следующие свой-
свойства корней уравнения A0) при v>—1. (При E = 0 это
уравнение определяет корни функций Бесселя.)
Теорема. Корни уравнения A0) при v>—I— веще-
вещественные, простые, кроме, возможно, 0; они симметрично
расположены относительно точки 0 и не имеют конечных
предельных точек.
Доказательство. Вещественность корней. Из фор-
формулы B), в силу вещественности а, р и Г (?) при веще-
вещественных |, получаем Jv(x) — Jv(x),
v(ji)=aJ
Поэтому, если jx —корень уравнения A0), то |1 — также
его корень. Если цгфр.г, то, применяя фюрмулу A1) при
И1 = М-> № — №> получим противоречие:
О ;= J хJv (\ix) Jv (fix) dx = 5 x I /v (цл:) |2 d*.
о о
Поэтому fA2 = fl2, т. е. либо ц — вещественное, либо \х —
мнимое числа: u = m, афО вещественно. Но последний
§ 23? Функции йсселя 351
случай не имеет места, поскольку, в силу B) и Г(?)>0,
(ia) + piaJv (id) =
Симметрия корней и отсутствие конечных предельных
точек следуют из представления (см. C))
«Л (Ц) + fW; (И) = ^ [(« + И /v (fi2) -f рц«/С (И2)]
и из того факта, что нули целой функции не могут иметь
конечных предельных точек.
Докажем простоту корней. Пусть ро> 0 — корень урав-
уравнения A0) кратности ^2, так что
«Л (Ы + РМС (Ио) = 0,
Mo)=O B1)
в силу уравнения A). Из равенств B1) заключаем: а) либо
jv (Ио) = у; (ji0) = О, Ь) либо a2-f p2(n02-v2) = 0. Случай
а) невозможен в силу теоремы единственности решения
уравнения A), поскольку точка цо> 0 не особая для него.
Докажем, что случай Ь) также невозможен. Для реали-
реализации Ь) необходимо р>0 и
Подставляя это выражение в первое из равенств B1) и
возводя в квадрат, получим
что, в силу A2), приводит к противоречивому равенству
Теорема доказана.
На основании установленной теоремы положительные
корни уравнения A0) можно перенумеровать,
352
УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
[ГЛ. V
располагая их в порядке возрастания величины
№<&><... B2)
Выпишем для примера первые три корня J0(x):
цГ = 2,4048, |С = 5,5201, ^0> = 8,6537.
Примерные графики функций J0(x) и Ji(x) = — J'0(x)
приведены на рис. 73.
Рис. 73.
Выпишем без доказательства асимптотическое выра-
выражение для функции Jy,(x):
O(Ar'>.), *-*+<*>• <23)
Отсюда вытекает приближенная формула для корней Jv (x):
(v) Зл я
f
5. Краевая задача на собственные значения для урав-
уравнения Бесселя. Пусть' v ^ 0. Рассмотрим краевую задачу
на собственные значения
X
B4)
A)-0, B5)
где 7 = rain(v. !)¦ а^О, Р^О, а + р>_0. К области
определения o?lv оператора Ц отнесем функции и(х)
класса С2(@, 1]), удовлетворяющие граничным условиям
B5) и условию х~*'*Ьуи е %г @, 1); e^iv плотно в Х% @, 1).
§ 23} ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ 353
Из определения a?Lv непосредственно вытекает: если
и е aSLx, то
Lvw?==#2@, 1) и хи'(х)-*0, х-+0. B6)
Оператор .Lv — положительный (и, стало быть, эрми-
эрмитов, см. § 1.12), причем
^^, B7)
0
U ?E u/(Ci
(при Р = 0 последнее слагаемое в* B7) выпадает).
Действительно, B7) следует из B5) и B6):
i 1 1
{Lxu, «)= ^ Lvuudx = — [.(xu')'udx + \2 С iiiild* =
6о о
j i
о
о
1 1
= ? х | и' |2dx + v^ j -^Дх + f I «A) I2-
о о
Каждое собственное значение к оператора Lv неотри-
неотрицательное и простое. Для того чтобы Л = 0 было собст-
собственным значением оператора Lv, необходимо и достаточно,
чтобы v = 0 и а = 0; ему соответствует (единственная)
собственная функция u(x) = const.
Действительно, из неотрицательности квадратичной
формы (Lxu, и) следует неотрицательность собственных зна-
чен-ий Я.; при этом, как и в § 21.4, устанавливаем, что
%=0 тогда и только тогда, когда v = a = 0, и ему соот-
соответствует собственная функция и = const. Простота X
доказывается так же, как и в § 22.3.
Пусть (д0>0—корень уравнения A0). Тогда из урав-
уравнения Бесселя A) и из F) следует,• что Яо = цб — собст-
собственное значение и Jx (цох) — соответствующая собствен-
собственная функция оператора Xv. Обратно, пусть Яо — (положи-
(положительное) собственное значение и ич (х) — соответствующая
12 В. С. Владимиров
354 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. V
собственная функция оператора Lv. Тогда (см. § 23.1)
«v {х)=сх jv (Vh x)+c2rv (ia; х).
Но из первого граничного условия B5) и из F) и (8)
следует, что С2 = 0. А тогда uv (х) = Ci/V (V^-o х) и из вто-
второго грани.чного условия B5) следует, что jio = ]/rAo есть
корень уравнения A0).
Таким образом,
AivL|iiv? и /v(^jc), *=1, 2, .... B8)
— все собственные'значения и соответствующие собствен-
собственные функции оператора Lv.
6. Неоднородная краевая задача для уравнения Бес-
Бесселя. Пусть А, = 0 не есть собственное значение опера-
оператора Ц, т. е. либо v>0, либо при v = 0 a>0. Поль-
Пользуясь методом § 22.1, построим функцию Грина &v(x, у)
оператора Lv.
Пусть v>0. Функции ^v и atv —линейно независи-
независимые решения уравнения Lvw = 0. Поэтому функция
vx (x) = xv удовлетворяет первому граничному условию
B5) и функция
6
удовлетворяет второму граничному условию B5). По-
Поэтому, в соответствии с формулой A0) § 22.1, функция
$х(х, у) при некотором схф0 имеет вид
Пусть v = 0 и а>>0. Функции 1 и In x — линейно не-
независимые решения уравнения. Lou — 0. Поэтому v1(x) =
a
C0)
Решение краевой задачи
/еС(@, 1J), х-^/е^8@, I) C1)
§ 231 ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ 355
единственно и выражается формулой
u(x) = \$v{x, y)f{y)dy. C2)
о
Это утверждение устанавливается так же, как и в
§ 22.2. Единственное различие связано с первым гранич-
граничным условием B5). Проверим его выполнение. Пусть
v>0. Тогда, пользуясь B9) и неравенством Коши—-Бу-
няковского, получаем
\и{х)\ =
у |//-
х-+0, что. и требовалось. Аналогично, проще, рассматри-
рассматривается и случай v = 0.t
7. Полнота функций Бесселя. Введем пространство
^2[@, 1)' а:] —функций со скалярным произведением и
нормой (см. § 1.9, замечание):
(/, gh = \ xf (х) g (х) dx, || / |U = VWTThc-
0
В силу результатов предыдущего пункта, как и в
§ 22.2, заключаем, что если А = 0 не есть собственное
значение оператора LVt то задача на собственные значе-
значения B4) — B5) эквивалентна задаче на собственные зна-
значения для однородного интегрального уравнения
л
и (х) = X J % (х, у) уи (у) dy, и ее С ([0, 1]). C3)
о
Переходя к новой неизвестной функции v(x) = \rxu(x)i
приведем интегральное уравнение C3) к эквивалентному
12*
356 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. V
виду (ср. § 20-.6), замечание):
v(х) = Я JУТу$х(х, у)v(у)dy, уеС([0, 1]). C4)
В силу B9) и C0) ядро Уху$х(х, У)Ф®> вещественно,
непрерывно и. симметрично. Поэтому к интегральному
уравнению. C4) применима теория Гильберта — Шмидта
(см, §§ .19 и 20). В частности, существуют собственные
значения *Г, 6=1, 2, .... и VxJv(\/W]x), k= 1, 2,
...,—соответствующие'собственные функции (см. § 23.5),
ортогональные в ^2@. 1)-
Таким образом, мы доказали, . что краевая задача
B4) — B5) имеет собственные значения Ajv) <; ABV) <;..,,
являющиеся квадратами положительных корней |i?.v) урав-
уравнения A0); соответствующие собственные функции J^in^x),
fc = 1, 2,..., образуют ортогональную систему в X[@, 1); а;],
причем, в силу A2)
IЛ (|*Г х) |; = 1 [К (мГ1)]2 + j A - jjr) Л (^')- <35>
Справедлива следующая
Теорема. Есла и е c^iv, то функция Утх и (х) раз-
разлагается в регулярно сходящийся ряд Фурье по системе
функций VxJvdii^x), k=\, 2
ft==l V v * /
Доказательство аналогично доказательству тео-
теоремы В. А. Стек лова (см. § 22.3). "Если u<=<JlL , то
Lvm = /(a;), где /еС(@, 1]), x-^f^X^O, 1) (см. § 23.5).
По доказанному (см. § ?3.6) функция и(х) выражается
через ядро $v(x, у) по формуле C2), т. е.
1
Ухи(х)= \'Уху\(х, у)Щ-йу.
Таким образом, функция. Ух и (х) истокообразно предста-
вима через вещественное непрерывное симметричное ядро
Уху$у{х, у). По теореме Гильберта — Шмидта (см. § 20.1)
f Щ ФУНКЦИИ ВЕССЕЛЯ 357
эта функция разлагается в регулярно сходящийся ряд
Фурье по собственным функциям |/*Уv (j4v)jc) этого ядра.
Если же A,=»0 есть собственное значение оператора
Lv (т-. е. при v = a*=0, см. § 23.5), то, как и в § 22,
достаточно рассмотреть задачу
Теорема доказана.
Множество функций \\fxu (л:), и <= <^z.v} плотно в
%i(Q, 1). По теореме каждую функцию вида Ухи(х), и^.
s okz.v, можно сколь угодно точно приблизить в «5f2 @, 1)
линейными комбинациями ортогональной системы функ-
функций VxJvifflx), &=-Л, 2, ... Отсюда по теореме § 1.9
следует, что эта система пЪлна в <%г@, 1).
Итак, доказано: система собственных функций Vv(f4v)*)»
* —1, 2 полка в %г[{0, .1); х].
8. Другие цилиндрические функции. Наряду с функ-
функциями Бесселя Jv(x), большое значение для приложений
имеют другие типы цилиндрических функций*). К их
числу относятся:
функции Ханке ля первого рода
функции Ханкеля второго рода
sin
функции Неймана
N ^
cos nv ~~
*) Более подробное изложение можно найти в книгах В. И. Смир-
Смирнова C], гл. VI. А. Н. Тихонова и А. А. Самарского [Ц, дополне-
дополнение II и В.' Я. Арсенина [1], гл. XI, А. Ф. Никифорова и В. Б. Ува-
Уварова [1], гл. III.'
358 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. V.
Функции мнимого аргумента
Таким образом,
г. B1 /V -a;V f ^7)
Пользуясь асимптотическим выражением B3) для
Jv(x)t получим при *->--|-оо
C8X)
W = У~ sin (д: - f v - ^) + О (лг-/г), C9)
' D0>
)]. D1)
f
Аналогично, пользуясь F), получим при
9. Упражнения, а) Пользуясь формулами A6) и A7), доказать,
что при у>—1 положительные корни функций Jv (jc) и ./v+i(*)
разделяют друг друга, т. е.
о < ^!
b) Доказать равенство
«=—oo
с) Пользуясь b), доказать
6, n-0. 1, ...
241 ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
d) Доказать равенство
359
е) Доказать формулу при v > —
, т = 0, ± I, ...
J
f) Пусть функция / (| х |) абсолютно интегрируема на Rn, и
для нее справедлива формула обращения преобразования Фурье.
Доказать, что ее преобразование Фурье равно
2—п оо
О ~2~
•)dr = ,
D2)
и справедлива формула обращения
2—71 СО
/(л) = BлГл/2/-~^ 7я_2(ф)рл/2/1(р)ф. <43)
6 Т~
Формулы D2) и D3) называются прямым и обратным преобра-
преобразованиями Ханкеля порядка —^— соответственно.
§ 24. Гармонические функции
В этом параграфе изучаются основные свойства гар-
гармонических функций.
Вещёственнозначная функция и(х) класса C2(G) на-
называется гармонической в
области G, если она удовле-
удовлетворяет уравнению Лапла-
Лапласа Аи = 6 в этой области.
При я=1 гармониче-
гармонические функции сводятся к
линейным функциям и по-
потому их теория интереса
не представляет. Поэтому
в дальнейшем будем счи-
считать п 2
tn(x)
Рис. 74.
Нетривиальным примером гармонической функции
при хфО является фундаментальное решение оператора
360 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА- [ГЛ. V
Лапласа (см. § 11.8)
График функции Щп (х) изображен на рис. 74. _^
1. Формула Грина. Если u<=C*(G) и и(х) = 0, хШО,
го при xe=S справедлива следующая формула Грина:
(n-2)ae i L|*-if|«-i5 " W a% | x-y |H
1 0)
Другими словами, функция и представляется в виде
суммы трех ньютоновых (логарифмических) потенциалов:
и (х) = Уп (х) + VT (х) + П" (*), B)
где (считаем для определенности
— объемный потенциал с плотностью — -.—=г—{Дм};
V*—*/ ап
x_yln-2 dn dSy
— потенциал простого слоя на S с поверхностной плот-
1 ди
V? (х) =-in«§-n W= ^-1 и (у)
— потенциал двойного слоя на 5 g поверхностной плот-
плотностью — т-—от— и.
(л2)о
§ 24J ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 361
Докажем формулу Грина A) при п^З. Применяя
формулу B7) § 6.5; с) к функции и и учитывая, что
Г ди ди
Ы
получим
? C)
Ы, Г ди 1 ди
Так как функция и финитна, то ее свертка с фундамен-
фундаментальным решением Шп оператора Лапласа существует
(см. § ?.б). Поэтому, применяя формулу A3) § 11.3 и
пользуясь равенством C), для функции и получаем пред-
представление
и = tn * Дм =» %п * {Aw} — tn * [^ 6S) - Шп *^
Отсюда, пользуясь определением ньютоновых потен-
потенциалов и формулами C7), D0) и D1) § 7.10, получаем
формулу Грина A) при п^З. Случаи п~-2 рассматри-
рассматривается аналогично.
Формула Грина A) справедлива и для функций и
класса Ci(G)f]C1(G), если в ней интеграл по области G
понимать как несобственный (ср. § 21.2). (Этот интеграл
может сходиться не абсолютно.)
Для доказательства применим формулу Грина A) ко
всякой подобласти^ G'gG с кусочно-гладкой границей и
перейдем к пределу при G'->G. Пользуясь предположен-
предположенной гладкостью функции и, убедимся в справедливости
формулы Грина A) и в этом случае.
Для гармонической в области G функции и класса
С1 (G) формула Грина A) принимает следующий вид:
! С Г *
п-2)о„ J Vx-y\n-
- ' Г fin '
s
Bj
362 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. V
Поверхностные потенциалы KIT (х) и V'n1 (х) можно
непрерывно дифференцировать вне S под знаком инте-
интеграла бесконечное число раз, и эти потенциалы — гармони-
гармонические функции вне S. Отсюда и из формулы E) выте-
вытекает, что всякая гармоническая функция бесконечно диф-
дифференцируема *).
Замечание. Формула Грина E) выражает значения гармо-
гармонической функции в области через ее значения и значения ее нор-
нормальной производной на границе этой области. Эта формула анало-
аналогична формуле Коши для аналитических функций. Легко заметить
также аналогию между формулой Грина в форме B) и сходной
формулой A7) § 13.3 для волнового уравнения.
2. Распространение формул Грина. Пусть граница 5
области G — поверхность класса С1 (см. § 1.1) и функ-
функция «gC^G). Будем говорить, что функция и имеет
правильную нормальную производную**) на S, если равно-
равномерно по всем atgeS существует предел нормальной про-
производной дд ПРИ х'->х, *'<==—я*, и этот предел обо-
ди ди (х)
значаем ^«^. так что
дпх -> дпх *
Из этого определения следует, ^что если правильная
нормальная производная существует, то она непрерывна
на S и является обычной нормальной производной. Далее,
равномерно по всем xeS существует предел и(х') при
х'-+х, х'^ — пх. Этот предел обозначим через и(х), так
что meC(S) и
х г" S
u(x') tt "(*)> х'-+х, х'<=—пх. F)
Доопределенная таким путем функция и(х) будет не-
непрерывной на G, т. е. u^C(G).
Действительно, пусть x'k-*XGS, 4eG. Точка x'k
лежит на нормали — nXk к некоторой точке ^gS, т. е.
x'k = xk--]r6knXk (рис. 75) и б*-*•€), k-*-co. Пользуясь не-
*) И даже аналитическая (см. § 4.7).
••) Этот термин введен А. М. Ляпуновым [1J.
I Ml
ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
363
прерывностью фу
я.. ijf\
ченностью
ди {xf)
dnXk
нкции и на 5 и равномерной ограни-
<СС, х'ge G, &-»-oo, имеем
и(х)-и D) К I и (х) - ы (xk) \ + \и (хк) - ы(хн) |
Рис. 75.
Очевидно, для функций класса С1 (G) правильная нор-
нормальная производная всегда
существует.
Пусть 5 — поверхность
класса С2. В каждой точке
#e=S отложим по внутренней
нормали — я*отрезок постоян-
постоянной длины б. Множество кон-
концов х' этих отрезков описы-
описывается уравнением
X' ан X — ЬПХ. F)
В силу леммы Гейне—Бореля
(см. § 1.1) при достаточно ма-
малом б это множество образует некоторую замкнутую поверх-
поверхность класса С1, которую обозначим через Sft и назовем
поверхностью, параллельной поверхности S (рис. 75).
Нормаль пх> в точке х' =x — bnx<=S6 направлена
вдоль нормали nXt x^S, если SgeC2"
Действительно, пусть л:—-произвольная точка* на_ S и
x = x(t), t^ 0 — произвольная кривая класса» С1 на S,
проходящая через х, х = х@). Тогда х' (t) = x (t) — 6пх{П,
t^O — кривая класса С1 на .Sfi, проходящая через точку
х'=х — Ьпх. Дифференцируя по i очевидное тождество
| х (t) — х' (t) |2 = б2 (см. рис. 75), получим
dx
х х * dt)~\x~x ' 4t
dx'
G)
откуда, полагая t = 0 и учитывая, что касательна-я к кри-
кривой в точке х ортогональна к нормали пх, выводим
= 0.
(8)
Это означает, ввиду произвольности выбранной кривой,
что нормаль пх ортогональна к касательной плоскости
поверхности 56 в точке х', т. е. пх — пк,, что и утвер-
утверждалось.
364 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО THIJA [ГЛ. V
Лемма. Пусть граница S области G — поверхность
класса С2 и функция и из C2(G) имеет правильную нор-
нормальную производную ~ на S. Тогда для любой f~
справедливо равенство
6-0 SJ anx' g anx
где 5e — поверхность, параллельная S.
Доказательство. Так как нормали пх и пк> в
точках atgeS ил:'=л: — 6rtx ge 56 направлены одинаково, то
в силу определения правильной нормальной производной
и непрерывности функции / на G. Из предельного соот-
соотношения A0) и вытекает равенство (9). Лемма доказана.
Из этой леммы вытекает, что следующие формулы
Грина остаются справедливыми для поверхностей S
класса С2 и для функций, имеющих правильную нормаль-
нию производную на S: формула E) § 21.6, если и CG
Lu e X2 (G), q- существует и v е= С1 (G) f\C(G); фор-
формула F) § 21.6, если и, t»e=C2(O), — и ~ существуют',
формула (J) § 24.1, если u^C2(G) и ~ существует.
Действительно, применим перечисленные формулы
Грина к любой подобласти, ограниченной поверхностью 56,
параллельной 5. Переходя в этих формулах к пределу
при 6—»~0 и пользуясь предельным соотношением (9),
убедимся в справедливости формул Грина при сформули-
сформулированных предположениях.
3. Теорема о среднем арифметическом. Предварительно
докажем следующее утверждение: если гармоническая
в области G функция и е= С1 (G) (или если ~ существует
на S и S (= С2), то
$
A1)
§24J
ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
365
Равенство A1) вытекает из первой формулы Грина G)
§ 21.2 при v = \.
Теорема о среднем арифметическом. Если
функция и (х) — гармоническая в шаре UR и непрерывная
на UR, то ее значение в центре этого шара равно сред-
среднему значению по сфере SR,
A2)
Доказательство. Применяя формулу Грина E)
для точки л: = 0к любому шару |*|<;р, р</?, и поль-
пользуясь формулой A1), при я 5=3 получим равенство A2):
«(°) = йг=:
(«-2)
д
1
;dS\
Так как функция и (х) непрерывна на замкнутом шаре UR,
то равенство A2) сохраняется и при p~+R. Случай п = 2
рассматривается аналогич-
аналогично. Теорема доказана.
4. Принцип максиму-
максимума. Пользуясь теоремой о
среднем арифметическом,
установим следующий
принцип максимума
для гармонических функ-
функций.
Теорема. Если функ-
функция и (х) -ф. const — гармо-
Рис. 76,
ническая в ограниченной
области G и непрерывна на G, то она не может прини-
принимать свои минимальное и максимальное значения в обла-
области G, т. е.
min u(x)<.u(x)<.n\axu(x), ^sG. A3)
Доказательство. Пусть, напротиь, функция и(х)
принимает свое максимальное значение М в некоторой
366 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. V
точке х0 е G,
М = и(хо) — тахи(х). A4)
Так как х0 — внутренняя точка области G, то сущест-
существует шар U(х0; Го) наибольшего радиуса г0, содержа-
содержащийся в G (рис. 76).
Докажем, что
и{х)==М, x^U(xo\ro). A5)
Из A4) следует
и(х)^М = и(х0), xt=U(x0; г0). A6)
Если бы в некоторой точке х' е U (хо\ г0) было и (х') <
<М, то, по непрерывности, неравенство и(х)<М имело
бы место и в некоторой окрестности их> точки х''. Но то-
тогда, применяя к сфере S (лг0; р), где p = |*' — хо\, фор-
формулу среднего арифметического A2) и пользуясь неравен-
неравенством A6) и неравенством и(х)<.М, хе^, получаем
S (
S (x0: p) S (xr0; p)
что противоречит П4). Итак, тождество A5) установлено.
Возьмем теперь произвольную точку ^еС, лежащую
на границе шара U (xQi r0) (рис. 76). По доказанному
и (xi) = М. Применяя предыдущие рассуждения^ точке хи
заключаем, что и(х) = М в наибольшем шаре U (xx\ ry) d
cz Qt и т. д. В силу леммы Гейне — Бореля за не более
чем счетное число шагов таким путем исчерпывается вся
область G, и, значит, и(х)==М, jcgG, вопреки предпо-
предположению.
Полученное противоречие показывает, что первона-
первоначальное предположение неверно; поэтому функция и(х)
не может принимать свое максимальное значение в обла-
области G. Отсюда, заменяя и на — ы, заключаем, что функ,-
ция и(х) не может принимать свое минимальное значение
в области G. Теорема доказана.
Из доказанной теоремы вытекает, что гармоническая
функция не может иметь внутри области ни локальных
максимумов, ни локальных минимумов»
§24)
ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
367
5. Следствия из принципа максимума.
а) Если функция ii^.C{G) — гармоническая в G, то
и(х)\
В частности, если и \s = О, то и (х) = О, х е G.
Это утверждение следует из неравенства A3),
dt и (х) s^ max ± ы (л;) < max | и(х)\, «е(
A7)
Будем говорить, что (обобщенная) функция и{х) не-
непрерывна на бесконечности и принимает там значение а,
и{ос) = а, если она непрерыв-
непрерывна вне некоторого шара и
и(х)-+а при |*|-*-оо.
Ь) Если функция u^CiOi)
— гармоническая в области
6 и м(оо) = 0, то
|и(х)|^таХ|И(х)|, л:
A8)
= 0 и
Рис. 77.
о частности, если
и (ос)—0, то м(л:J=и, л:еС/1.
Действительно, пусть шар UR содержит G. Тогда
5U5/? есть граница области Qr — Gi[)Ur (рис. 77). При-
Применяя к этой области неравенство A7), получаем
\и{x)j ^ max \u (x)\ ^maxjw(x)\ + max \u{x)\, x&.QR.
Так как м(оо) = 0, то
max \u\x) |-»-0, R-^oo.
Поэтому, переходя в полученном неравенстве к пределу,
при R-^сю, получим неравенство A8).
с) Если последовательность функций ии и2, ..., гар-
гармонических в области G и непрерывных на G, равномерно
сходится на границе S, то она равномерно сходится и
на G,
368 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. V
Это утверждение вытекает из неравенства A7):
| ир (х) — uq (х) | <max | ир(х) — ид (х) \~+0,
р, <7~>сю, x<=G. A9)
Аналогичное утверждение справедливо и для области
d—R^G при условии, что ый(оо) = 0.
6. Стирание особенностей гармонической функции.
Для гармонических функций справедлива следующая тео-
теорема о стирании особенностей, аналогичная соответствую-
соответствующей теореме для аналитических функций.
Теорема. Если функция и (х) — гармоническая в обла-
области G\{0} и удовлетворяет условию
и(х) = о(\$п(х)\), *->0, B0)
где Шп — фундаментальное решение оператора Лапласа, то
она гармонически продолжается в точку {0}.
Доказательство. Пусть f/^tgG. Введем функ-
функцию й(х), равную и(х) в UR и 0 вне UR. Эта функция
локально интегрируема, и, в силу C) § 24.1, функционал
^ ^ B1)
обращается в нуль на всех основных функциях, равных
нулю в окрестности точки {0}. Это 'значит, что обобщен-
обобщенная функция B1) либо равна 0, либо ее носитель есть
точка {0}. Тогда, по теореме § 8.4, эта обобщенная "функ-
"функция представляется в виде конечной комбинации произ-
производных от б (л:), т. е.
т
|а| =0
Так как функция и финитна, то ее свертка с фунда-
фундаментальным решением Шп существует (см. § 7.6). Поэтому,
применяя формулу A3) § 11.3, из B2) получаем пред-
представление
в - «. • да—*.
m
ia|-
«0
f
m
¦ 2 ca?
la|=0
)аШп (л:).
B3)
§ 24] ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 369
Так как поверхностные потенциалы Vn' и V'n] — гармони-
гармонические функции в шаре UR (см. § .24.1), то из B3) и из
условия B0) вьпекает, что все са = 0, так что функция
— гармоническая в шаре UR. Теорема доказана.
7. Обобщенно-гармонические функции. Вещественно-
значная непрерывная функция и(х) называется обобщенно-
гармонической в обласхи G, если она удовлетворяет в этой
области уравнению Лапласа, т. е.
(Aw, 4)) = \lu(x)b<p(x)dx^0, феЕ^(С). B4)
7. Очевидно, всякая гармоническая функция является
обобщенно-гармонической. Справедлива и обратная.
Теорема. Всякая обобщенно-гармоническая функ-
функция и{х) в области G бесконечно дифференцируема и, сле-
следовательно, гармонична в этой области.
Доказательство. Ввиду локального характера
теоремы можно считать, что и^С(П). Продолжим функ-
функцию и нулем вне <j, и пусть и — продолженная функция.
Применяя формулу A3) § 11.3, получим представление
й — №*%п, B5)
где $„—фундаментальное решение оператора Лапласа.
Так как Ай = Ды = 0, x^G и Дй = Д0 = 0, x^ Glt то
suppAwczS. Поэтому, по теореме § 7.6, для свертки
Дй$ имеет место представление
= (Аи (у), г) (у) J Шп (х - у) ф (х) dx)t ф г ®% B6)
где т) —произвольная функция из ^, равная 1 в окрест-
окрестности S.
Пусть G'tgiG. Выберем в B6) вспомогательную функ-
функцию у\ такую, что suppt\f\Gr — ф (рис. 78). Поскольку
фундаментальное решение Шп (х — у) — бесконечно диффе-
дифференцируемая функция при хФу, то при выбранной ц и
всех ф е ^(С)
370
УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
[ГЛ. V
Применяя теперь к правой части равенств B6) фор-
формулу A4) § 7.3, f); получаем
й@), r\(y)$a(x-y))dxt фЕ^(С'),
откуда, в силу B5), следует равенство (ср. C4), § 7.10)
Из этого представления, как и при доказательстве
леммы § 7.1, выводим, что MeC°°(G'). Отсюда ввиду
произвольности области G' G
G'
gzG вытекает, что
веС00^). Поэтому
функция и{х) удовлет-
удовлетворяет уравнению Лап-
Лапласа в области G в клас-
сическом смысле (см.
/Ж/$РуМ § 1.11), т. е. является
Ш \^^^^^^ гармонической в G. Тео-
^ рема доказана.
8. Дальнейшие свой-
свойства гармонических
функций. Отметим два
следствия, вытекающих
из установленной в. 24.7 эквивалентности понятий обоб-
обобщенной гармоничности и гармоничности.
а) Если последовательность ии и2, ... гармонических
в области G функций слабо (в частности, равномерно на
каждом компакте К czG или монотонно) сходится к функ-
функции и е C(G), т. е.
Рис. 78.
u(x)y(x)dx,
, B7)
то и — гармоническая функция в G.
Действительно, каждая функция последовательности
{uk\ удовлетворяет интегральному соотношению B4). Но
тогда, в силу B7), и предельная функция и{х) из C(G)
также будет удовлетворять равенству B4), т. е. является
обобщенно-гармонической и, следовательно, гармонической
функцией в области G.
Ь) Если функция и gC(G) такова, что для каждой
точки ^eG существует такое число г0 = г0{х)>0, что
4 24? ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 371
при всех г <; г0 выполнено условие среднего арифметического
"W = -^ \u(x-y)dSy, B8)
то и {х) — гармоническая функция в области G.
При доказательстве можно считать, что u^C(G);
пусть и — продолженная нулем вне G функция и. Возь-
Возьмем G'<^G. По лемме Гейне — Бореля (см. § 1.1) най-
найдется такое число ro = rQ(G') >0, что при всех ^eG' и
r-<Zr'o для функции и (л:) будет выполнено равенство B8).
Составим свертку
[j)u' <29>
где 6s, — простой слой на сфере S, (см. § 5.7). Исполь-
Используя формулу C4) § 7.10, а), перепишем свертку B9)
в виде
/rU) = ^rr \u(x-y)dSu-u-M
M
Отсюда, в силу B8), следует, что при всех r<rofr (х) — 0,
jteG'. С другой стороны, пользуясь предельным соот-
соотношением D1) § 6.5, h) и непрерывностью свертки
(см. § 7.6), из B9) получаем
следовательно, Д« = Ди = 0, xgG', Отсюда ввиду произ-
произвольности Gi €= G заключаем, что функция и (х) — обоб-
обобщенно-гармоническая и, значит, гармоническая в обла-
области G.
9. Аналог теоремы Лиувилля. Для гармонических
функций во всем пространстве Rn справедлива следую-
следующая теорема, аналогичная теореме Лиувилля для анали-
аналитических функций.
Теорема. Если u<^S" удовлетворяет уравнению
Йапласа во всем пространстве Rnt то и —полином.
Доказательство. Применяя к равенству Аи =
=¦ 0 преобразование Фурье, получим (см. § 9.3, Ь))
— | ^ |2 Z7 [«] A) = 0, откуда вытекает, что F[u] = 0, ?^0,
Т. е. либо F[u} = 0, либо носитель F[u] есть точка {0}.
372
УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
[ГЛ. V
По теореме § 8.4 F[u] представляется в виде
jot 1=0
откуда следует, что и — полином. Теорема доказана.
Следствие. Если функция и— гармоническая в Rn
и удовлетворяет неравенству
|и(*)|<СA+|*1Г, *€=Я«, т^О,
то и — (гармонический) полином степени ^т.
10. Поведение гармонической функции на бесконеч-
бесконечности. Пусть точка х лежит вне шара UR. Совершим пре-
преобразование инверсии
*^_ R* _ К2
I X |2 ' ; X* |
Точки х и х* называются
симметричными относитель-
относительно сферы SR. Симметричные
точки удовлетворяют соотно-
соотношению
\X\\X | — К , [61)
и поэтому преобразование ин-
инверсии взаимно однозначно
преобразует внешность шара
UR на UR\{0) (рис. 791
Пусть функция и (х) — гармоническая вне шара UR.
Функция
к *\ C2)
Рис. 79.
называется преобразованием Кельвина функции и(х).
Докажем, что при преобразовании Кельвина гармонич-
гармоничность сохраняется, т. е. функция и* (х*) гармонична
в UR\{0).
Докажем это для /г = 3 (для п Ф 3 доказательство ана-
аналогично). Для этого перейдем к сферическим координа-
координатам (см. § 3.2). Пусть х = (г, б, ф) и и(х)=й(г, б, ф).
Тогда, в силу C0) и C1), х* = (р, 6, <р), р = ^ и, э
f 241 ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 373Г
силу C2),
и*(**) = й* (р,е,<р) = !-а(^, е,
Поэтому
р2 sin2 9 д<р2 "~ # [dr2 ¦+¦ г дг "т" r> sin 0 <Э0 \ <Э6 ,
дп-й1 _ г& г
откуда и следует требуемое утверждение.
Теорема. Пусть функция и (х) — гармоническая вне
шара UR и при |л:]->оо и(х) = о(\) (п^З), и (л:) = 0A)
(л = 2). Тогда
Оам(л:) = 0A/[л:!п-2+|а:), |л:|->со, C3)
. Если.же « = 2, то
Нт«(х)=а, Ixl-^-oo, C4)
|je|-^c^(i«| -1). C5)
Доказательство. Совершая преобразование Кель-
Кельвина C2), получим функцию и* (ли*), гармоническую
в (//j\{0} и удовлетворяющую при |jc*|->0 условию
и*(х*\- ] f°A)> '
и 1 ^ I *•!•"'\ОA), если п = 2,
т. е. в обоих случаях
а* (**) = о(| ?л(**)|), | -жг* | —*-0,
По теореме о стирании особенностей гармонической функ-
дии (см. § 24.6) заключаем, что функция и* (х*) гармо-
гармоническая в шаре UR. Совершая обратное преобразование
Кельвина, для функции и(х) получим представление
из которого «и вытекают результаты C3) — C5). Теорема
доказана.
Аналогично для п — 2 доказывается (ср. §24.5); если
и(х) — гармоническая в области Qv непрерывна на G%
374
УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
1ГЛ. V
и и(х) = О(\), \х
| и(х)
, то
max | и (х) |,
х е
C6)
11. Упражнения, а) Пользуясь теоремой о среднем арифметиче-
арифметическом (см. § 24.3), доказать следующую модификацию этой теоремы:
если функция и (х) — гармоническая в шаре UR и непрерывная иа
п.
пр, то " (°) — Т"с
b) Пользуясь а), доказать теорему Лиувилля: если функ»
ция и (х) — гармоническая в Rn и ограничена сверху (или снизу), то
и(х) — const.
c) Пользуясь утверждением Ь) § 24.8, доказать следующий ана-
аналог принципа симметрии Римана —Шварца: пусть гра-
граница области G содержит от-
х» крытое множество 2, лежащее
в плоскости хп — 0, функция
и (х) гармоническая в G и обра-
обращается в нуль на 2, тогда не-
нечетное продолжение функции
и(х) в область G, симметрич-
симметричную к G относительно плоско-
плоскости хп — 0, есть гармоническая
функция в области G U 2 (J G
(рис. 80).
d) Доказать теорему: если
к — линейный непрерывный
функционал на & (G) (см. § 5.5,
замечание) и удовлетворяет уравнению Лапласа в области G, то и —
гармоническая функция в G.
e) Пользуясь d), доказать: если обобщенная функция и удовлет-
удовлетворяет условию Коши —Римана ^г = 0 в области Gc:/?Vto она ана-
литична в G.
f) Пользуясь методом § 24.9, доказать теорему Лиувилля для
аналитических функций.
g) Доказать формулу Грина E) для функций, гармонических
в Gi = Rn\G, имеющих правильную нормальную производную на
S<=C* и и (оо) = 0.
§ 25. Сферические функции
Рассмотрим еще один класс специальных функций,
важный для математической физики.
1. Определение сферических функций. Сферической
функцией (сферической гармоникой) порядка / = 0, 1, ...
называется всякий однородный гармонический полином
степени /, рассматриваемый на единичной сфере St a R*.
Рис. 80.
§ 251. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 875
Таким образом, между сферическими функциями Yt(s),
s^Su порядка / и однородными гармоническими поли-
полиномами щ{х), x^Rn, равенство
Yl{s)"'1ПЙ
устанавливает взаимно однозначное соответствие.
Сферические функции Yt и YV различных порядков
ортогональны в Хг (S{)t
(Ylt Yr) = J Yi (s) Yr (s) ds = O, 1ф V. B)
Si
Действительно, применяя формулу Грина (8) § 21.2
для шара Ux к гармоническим полиномам
щ (х)-\х Г Yt (^-), и, (х) = | х Г Yr (-^j,
получаем
Si
.что и требовалось установить.
Для примера вычислим все сферические функции У/,
/==0, 1, ..., на окружности Sx (n = 2). Это удобно де-
делать в полярных координатах (г, ц>), 0 <г<оо, 0=^ф<
<2я. Применяя к гармоническому полиному
г*У,(<Р) C)
оператор Лапласа (см. A5) §^3.2), для сферической функ-
функции У/ получаем дифференциальное уравнение
откуда
, / = 0, 1, .,. D)
Итак, сферические функции на окружности — это триго-
тригонометрические функции. При этом, в силу C) и D),
Щ (*) = г1 («/ cos /ф + bt s in /ф) = at Re z' + bz Im zl%
376 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. V
дает общий вид однородного гармонического полинома
степени / в R2.
Наша задача — вычислить все сферические функции Yi,
/ = 0, 1, ..., на сфере Sx- при « = 3.
2. Дифференциальное уравнение для сферических функ-
функций. Найдем дифференциальное уравнение для сфериче-
сферических функций на сфере Sx при я = 3. Это удобно делать
в сферических координатах (г, б, ц>), 0^г<оо, 0^8=^
<;я, 0^ф<с2л. Применяя к гармоническому полиному
М*) = г%(е, Ф) E)
оператор Лапласа (см. A4) §3.2), для сферической функ-
функции Yi получаем дифференциальное уравнение
Решения уравнения F) будем искать в классе функций
C*{SX).
Для того чтобы функция Y t была сферической функ-
функцией порядка I, необходимо и достаточно, чтобы она
принадлежала классу Cx(Si) и удовлетворят уравне-
уравнению F).
Необходимость условий уже доказана. Докажем их
достаточность. Пусть функция Y^C™ (Si) есть решение
уравнения F). Тогда фУнки>ия "/. построенная по фор-
формуле E), удовлетворяет уравнению Лапласа в сфериче-
сферических координатах и, значит, гармонична в #3\{0}. Кро-
Кроме того, эта функция ограничена в окрестности точки
# = 0. По теореме о стирании особенностей гармонической
функции (ем. § 24.6) функция «/ — гармоническая в R3:
Дглее, эта* функция —однородная степени /. Отсюда, ис-
польвуя аналог теоремы Лиувилля (см. § 24.9), заклю-
заключаем, что и{ (х) — однородный гармонический полином сте-
степени /. Это и значит, что функция Yt есть сферическая
функция порядка /.
Для нахождения решений уравнения F) применим ме-
метод Фурье. В соответствии с общей схемой этого метода *)
ищем решение Yt уравнения F) в виде произведения
Г,(8, ф) = ^(со8 0)Ф(Ф). G)
*) Более подробно этот метод изложен в §§ 26 и 32.
§ 251 СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ W7
Подставляя выражение G) в уравнение F) и деля его
на s^-. получим
Ф(ф)
Левая часть равенства (8) не зависит от 0, а правая —
от ф. Следовательно, каждая из этих величин не зависит
ни от 0, ни от ф, т. е. является постоянной величиной.
Обозначая эту постоянную через v, из равенства (8) для
неизвестных функций Ф и Ф и параметра v получаем
уравнения
0, (9)
Чтобы функция G) была однозначно определена на
сфере Si, необходимо, чтобы Ф была 2л-периодической
функцией. Но такие решения уравнение (9) имеет лишь
при v = m2, m = 0, I, ..., причем
Ф(Ф) = ^ф. (И)
Таким образом, задача нахождения сферических функ-
функций свелась к уравнению A0) при v = m2, т = 0, 1, ...
Совершая в этом уравнении замену переменной ji = cos0,
для функции е?* (ц) получаем уравнение
^. A2)
Решения уравнения A2) в точках ±1 должны принимать
конечные значения |^(ztl) j<oo.
3. Полиномы Ле^андра. При т==0 уравнение A2)
принимает вид
[Ц-Ц2)^7 + /(/+1)^ = 0. A3)
Проверим, что полиномы
'M^11I /01
называемые полиномами Лежандра, удовлетворяют урав-
уравнению A3). Равенство A4) называется формулой Родрига.
378
УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
[ГЛ. V
Действительно, полагая Wi = {\it — \I и дифференци-
дифференцируя тождество
/+1 раз, получаем
Таким образом, функция W\n и, следовательно, полином
@>i удовлетворяют уравнению A3).
Выпишем первые четыре полинома Лежандра:
Графики этих функций изображены на рис. 81.
Рис. 81.
Из формулы A4) непосредственно следует, что
^/A) = 1. A5)
Полином Лежандра ^t — единственное линейно неэави-
ммое решение уравнения A3) б классе С2([—1, 1J).
Действительно, для всякого решения ^еС2^-1, 1])
уравнения A3) в силу формулы Остроградского — Лиу-
вилля (см. E),§ 22.1) при р(ц) = 1 — ц2 справедливо со-
соотношение
откуда следует, что а~0. Поэтому определитель Врон-
Вронского для решений oPi и & обращается в нуль тожде-
f Щ СФЕРИЧЕСКИЕ. ФУНКЦИИ 379
ственно, и, следовательно, решения ^и^ линейно за-
зависимы.
Полиномы Лежандра образуют ортогональную систему
«#«(-1, 1).
В самом деле, так как полином Лежандра &t (ц) удов-
удовлетворяет уравнению A2) при т = 0, то, в силу A1) и G),
&l (cos 0) е С°° (Si) и удовлетворяет уравнению F). Сле-
Следовательно, $>( (cos 6) — сферическая функция порядка /
(см. § 25.2). Но сферические функции различных поряд-
порядков ортогональны в X2(Si) (см. § 25.1). Поэтому
1
2я J в»|Цг) «*|» (|i)d|i-
—1
я 2л
= 55^ (cos 9) frv (cos 0) sin 0 dQ dq> = 0, /=?/'.
о о
Замечание. Полином Лежандра ^ является собственной
функцией оператора —[A—ц2) $"]', соответствующей простому
собственному значению >.=/(/+1). Роль граничных условий здесь
играют условия конечности решения <$> (|я) в точках ±1. Отметим,
что функция 1 —\хг обращается в нуль на концах основного интер-
интервала {—1, 1) и потому не удовлетворяет условиям $ 22.
4. Производящая функция. Пусть х--(г, 0, ф) и у =
= @, 0, 1). Разложим функцию
\x-y\ V l--2rcos6 + r2 Y(L~refi){i-re-iQ)
в ряд по степеням г,
00
Pi-Jcose+r»= 2 fl<(cos е>^ <17)
Ряд A7) сходится при |г|<1 и 6е[0, л], и его можно
почленно дифференцировать по г и 0 бесконечное число
раз, причем полученные ряды будут сходиться равномер-
равномерно по (г, 0) на [—Го. /\}]х[0, л] при любом го<1. При-
Применяя к равенству A7) почленно оператор Лапласа и учи-
учитывая, что функция A6) гармонична в шаре |*|<;1,при
всех re (О, 1) получаем
00
0 = 2 л lai (cos 6) ^]=
380 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ.
Отсюда следует, что каждое слагаемое в последней сумм
обращается в нуль, и, следовательно, функции а{(\х) удое
летворяют уравнению A3). Поэтому Щ (у) = С^ (ц) (сы
§ 25.3) и разложение A7) принимает вид
00
= У С&% (cos б) г*. A8
Для определения постоянных Ct положим в A8) 0 = 0 \
воспользуемся равенством ^/A)=1. В результате по
лучим
откуда следует, что d = 1.
Итак, справедливо разложение
A9)
Функция A — 2/-ji + aJL * называется производящей функ-
функцией для полиномов Лежандра.
Из формулы A9) легко получить рекуррентные соот-
соотношении между полиномами Лежандра:
(/+l)^/4(M)-B/+l)^(fx)-|-/^-i(lu) = 0, B0)
B/+ 1) 0s, (ц) = 0»,'+, (ц) -^/-1 (М). B1)
Для этого, дифференцируя тождество A9) по г и р, и
умножая затем на 1 — 2гц-\-г2, получим тождества
оо °°
(И - г) 2 ^ (и) г1 = A - 2/> + /-2) И ^ (й) г1'1,
2
/to
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях г, по-
получаем соотношения B0) и
- 2ц <^; (^ + ^J+i (И). B2)
§ 25} СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Дифференцируя равенства B0), имеем
381
Исключая из этого соотношения и соотношения B2) про-
произведение [^/(ц). получим равенства B1).
Докажем формулу
B3)
Для этого один из множителей ^ подынтегральной
функции выразим через ofy-i и <#V2 по формуле B0).
Пользуясь ортогональностью полиномов gPi и йР^, по-
получим
—1
—1
2/
Выражая произведение jiufy по формуле B0) и пользуясь
ортогональностью полиномов cTVi и cTVi, получим
19ч t =
+
—1
2/ — 1
откуда и вытекает формула B3):
Система полиномов Лежандра аР1} 1 = 0, 1, ..., полна
в#«(-1, 1).
Это утверждение вытекает из теоремы § 1.9 и из тео-
теоремы Вейерштрасса (см. § 1.3), согласно которой множе-
множество полиномов, а следовательно, и множество линейных
комбинаций полиномов Лежандра плотно в С([—1, 1]) и,
8начит, в <5?2(—I, 1).
382 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. V
Таким образом, всякая функция /е^2(—1. О разла-
разлагается в ряд Фурье по полиномам Лежандра
/=0
сходящийся в с5?2(—1, 1) (см. § 1.9).
5. -Присоединенные функции Лежандра. Проверим, что
функции
B4)
называемые присоединенными функциями Лежандра, удов-
удовлетворяют уравнению A2).
Действительно, производя в уравнении A2) замену
для функции 2 получим уравнение
/-m2-rn)z = 0. B5)
С другой стороны, дифференцируя уравнение A3) т раз,
убедимся, что производная <И"° удовлетворяет уравнению
B5). Следовательно, присоединенные функции Лежандра
$>'" удовлетворяют уравнению A2).
Умножая уравнение B5) на A — ц2), перепишем его
для z = <Hw) в виде
B6)
При каждом т^О система присоединенных функций
Лежандра оР™, l = m, tn-\-l, ..., ортогональна в
Хг{—1, 1), причем
|| =
1 lf (l — m)\
Это утверждение верно при т = 0 для полиномов Ле-
Лежандра ^i — ^i (см. §§ 25.3 и 25.4). Отсюда, пользуясь
определением функций &Т и формулой B6) с заменой m
§ 25] СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЗНЗ
на т — 1, получаем
i
1
— 1
1
— 1
что и требовалось установить.
Яри каждом т^-0 система присоединенных функций
Лежандра ^Т, / = m, m+1, ..., полна в «#8(—1, 1).
Действительно, бозьме^ произвольную функцию / из
класса 3{—1, 1), плотного в =5?2(—1, 1) (см. § 1.7).
Тогда
Ю^^(-1, О-
По теореме Вейерштрасса (см. § 1.3) функцию г|э можно
сколь угодно точно приблизить в С([—1, 1]) полиномами
и, следовательно, линейными комбинациями производных
3F\m\ l = m, m-fl, ... Отсюда следует, что функцию/
можно сколь угодно точно приблизить в с5?2(—1, 1) линей-
линейными, комбинациями функций системы ^Г, l — m, m+1
что, в силу теоремы § 1.9, и доказывает полноту этой
системы.
6. Сферические функции. В силу G), A1) и B4) полу-
получена следующая совокупность решений уравнения F):
(cos6) cosmq>, m = 0, 1, ..., /;
in|m|cp, m = —1, —2,...,—/, B8)
или в комплексной форме:
Yf F, tp) = &T (cos 6) <rf*«\ B8)
384
УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧВСКОГО ТИПА
[ГЛ. V
Эти функции, очевидно, принадлежат классу G° (Si).
Поэтому У?(Ъ, ф) — сферические функции (см. § 25.2).
Распределение знаков сферической функции К| (в, ср)=
= 15 sin2 б cos 8 cos 2ф на единичной сфере изображено на
рис. 82.
Сферические функции Yf, т — 0, dbl,..., dzl, порядка I
линейно независимы, и их линейные комбинации
lm)Y?
Yi(s)= ? alm)Y?(s)
B9)
с произвольными коэффициентами а((т) также являются
сферическими функциями по-
порядка /.
Сферические функции {Y™}
образуют ортогональную и пол-
полную систему в ^(^i), причем
Vfil 9тт ~~*~ Огп ' '."*!/• /^Л\
|| / I || — ^Л О/ -L- I A—т Л1 ' \° >
Рис. 82.
Действительно, тригономет-
тригонометрическая система {eimv, m=0,
1, ...} ортогональна и полна
в =5?2 @. 2л) и при каждом
т = 0, 1, ... система присоединенных функций Лежандра
{с?*/ (ц)> 1 = т, т-\~ 1, ...} ортогональна и полнав<5?2 (—1,1)
(см. § 25.5). Поэтому, по лемме § 1.9, система функции
{? / = 0, 1, .... ш = 0, 1,..., /}
ортогональна и полна в Хг[{—1, 1)х@, 2л)], и, следо-
следовательно, система сферических функций {УТF, ф)} орто-
ортогональна и полна в X2 («Sj). Формула C0) вытекает из B7):
я 2л
О О
1
2л
— 1
Полнота ортогональной системы сферических функ-
функций \уТ} означает, что всякая функция / из Хг (SA) раз-
§ 251 СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИЙ 385
лагается в ряд Фурье по этим функциям:
со I со
/(*) =2 2 dr)YT(s)^^Yl(s)t C1)
сходящийся в c5f2Ex). В соответствии с C0) коэффи-
коэффициенты а\т) ряда C1) вычисляются по формуле
л 2л
о о
C2)
Пусть Q/ (s) — произвольная сферическая функция по-
порядка /. Тогда (Qi, Yr) = 0, 1ф1' (см. § 25.1), и в раз-
разложении C1) для функции Qi остается только одно сла-
слагаемое Yt, так что Qf = W Итак, доказано:
Сферические функции {YT) исчерпывают все линейно
независимые сферические функции', формула B9) дает общее
выражение для сферической функции порядка I.
Замечание. Сферические функции Y7, т = 0, ± 1,...
..., it/, являются собственными функциями оператора
Бельтрами
dY\ I d*Y v -
sine
соответствующими собственному значению Я = /(/+ 1) крат-
кратности 2/ +1.
7. Формула Лапласа. Пусть Yt(s)—сферическая функ-
функция порядка /..Применяя формулу Грина E) § 24.1 для
шара 0г к гармоническому полиному rlYt(s)t получим
при г< 1
\х — $'
s'. C3)
13 В. С. Владимиров
386
УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
1ГЛ. V
Но в силу A9)
1
\x—s'
д 1
St
. s'))r*t C4)
V \x-s'
00
Sl df>Vp*-2rp(s, s'
C5)
причем ряды C4) и C5) сходятся равномерно по (s, s')
при каждом г<11 (см. § 25.4). Подставляя выражения
C4) и C5) в формулу C3) и производя почленное инте-
интегрирование, получаем
/(S)=_L ff/y^s') У
+ Ki(sf)
oo
2
s'))rk+
-I
fsf))r* ds'
J
4л
, s'))ds', r<\:
fc=O 5,
Отсюда ввиду произвольности г вытекает следующая
важная интегральная формула для сферических функций:
Y, (s1) ®k ((s, s')) ds' =
r(SN». C6)
Применяя формулы разложения C1) —C2) к функции
f (s') = ^b/((s> s')) и учитывая формулу C6), получим фор-
формулу сложения для полиномов Лежандра:
= 2
)- C7)
Заменим в равенстве C1)^s на s'. Умножая это равен-
равенство на ^((s, s')), интегрируя его почленно по s'eS!
§ 25] СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 387
и пользуясь формулой C6), получаем формулу
у* <s) = 2Чг \ f ^ ^* «s> s'))ds'- <38)
Si
Формула C8). сразу дает все коэффициенты в сферической
функции Ykt участвующей в разложении C1) произволь-
произвольной функции /ecS?2(Si). Она называется формулой Лап-
Лапласа.
8. Шаровые функции. Построим решения уравнения
Лапласа Аы = 0 в R3 методом разделения переменных
в сферических координатах (г, 0, ф). В этих координатах
уравнение Лапласа имеет вид (см. § 3.2)
где м(г, 0, (p)=*M(rsin0 costp, r sin 0 sin qp, rcos0).
В соответствии с общей, схемой метода Фурье ищем
решение и уравнения C9) в виде произведения
и (г, 6, <р) = бЯ(г)УF, <р). D0)
Подставляя это выражение в уравнение C9), для функ-
функций <М и Y получаем уравнения
(гя<зЯ")'-|*з# = 0, D1)
1 д
где ц — неизвестный параметр. При этом FeCJ0E1).
При ц = /(/-|-1), / = 0, 1 уравнение D2) имеет
решения класса С00 (Si), и этими решениями являются
сферические функции Y'P, /н = 0, ±1,..., ±1 (см. §25.6).
Уравнение D1) при ц = /(/+1) имеет два линейно неза-
независимых решения: г1 и r~ul.
Таким образом, в силу D0), уравнение Лапласа имеет
следующий набор линейно независимых решений:
г%(9, ф). И-%@, Ф), / = 0, 1 D3)
где r'Yi — гармонический полином степени / и r~l~xYi —
гармоническая функция в /?3\{0}. Функции D3) назы-
называются шаровыми функциями.
9. Упражнения, а) Доказать: <^/(—ц) = (—1)'й^/(ц).
Ь) Пользуясь формулой A9), доказать оценку | ofy (ц) j ^ 1,
|ie[-l. 1].
13*
388 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА П*Л. V
c) Пользуясь рекуррентными соотношениями B0) и B1), доказать,
что корни «^/(ц), 1^\, вещественные, простые, лежат в (—1, 1) и
что
d) корни полиномов 6^1 (ц) и cT^j (ц) перемежаются.
e) Доказать тождество
л
0
f) Пользуясь формулой C6), доказать следующую теорему
Функа—Хекке. Если Ж (у.) е= Х\ (— 1, I) и j Ж (ц) &h (ц) d\k ф 0,
то Xff = j и K^(s), m = 0, ±1, ..., ±k— харак-
2л \ Ж (\и) йРн Ы.) d\i
-1
теристическое число и соответствующие собственные функции инте-
интегрального уравнения
J
g) Пользуясь е), а также формулой с) § 23.9) доказать, что
lim
§ 26. Метод Фурье для задачи
на собственные значения
Для определения собственных значений и собственных
функций многомерных, эллиптических операторов, допу-
допускающих разделение переменных, применяете» метод
Фурье.
1. Общая схема метода Фурье. Разобьем независимые
переменные на две группы: х — (хи x2t ..., хп) и у=*
—(#1, Уг • • •» Ут), и пусть GczRn — область изменения х
и D cz Rm — область изменения у. Обозначим через S и Г
границы областей G и D соответственно. Тогда (SxD)\)
(J(dxF) есть граница области GxDcRn+m.
В области GxD рассмотрим следующую краевую
задачу на собственные значения для уравнения эллипти-
эллиптического типа:
Xu, A)
ои+|>^
ди
= 0, *. + «?) -0, B)
§ 26] МЕТОД ФУРЬЕ 389
где L и М — эллиптические операторы, не зависящие от у
и х соответственно; функции а, E не зависят от у и функ-
функции у, б не зависят от х.
Будем искать собственные функции задачи A) —B)
в виде произведения X(x)Y(y),
и(х, y) = X{x)Y{y). C)
Подставляя это выражение в уравнение A), получаем
У (у) LX (х) + X (х) MY (у) = XX (х) Y (у),
откуда
LX (х) __ . MY (у)
Х(х)-А Y (у) ' W
Левая часть равенства D) не аависит от у, а правая —
от х. Следовательно, эти выражения не зависят ни от х,
ни от у, т. е. равны постоянной. Обозначая эту постоян-
постоянную через ц и полагая v = X — ц, из D) получаем два
уравнения:
LX = |iX, E)
MY = vY. F)
Таким образом, уравнение A) расщепилось на два
уравнения E) и F), или, как говорят, переменные разде-
разделились; при этом дополнительно появился неизвестный
параметр [я.
Для вывода граничных условий для функций X (х) и
У (у) подставим произведение X (*) У (у) в граничные усло-
условия B). В результате, после сокращений, получим
Итак, краевая задача на собственные значения A) —B)
распалась на две краевые задачи на собственные значе-
значения E) — G) и F) — (8) с меньшим числом независимых
переменных. Обозначим через [xk, Xk {x)t k= 1, 2, ..., и V/,
Yj(y), /=1, 2, ..., все собственные значения и собствен-
собственные функции операторов L и М соответственно. В силу C)
ukJ(x, y) = Xk(x)Yj{y)t k, /=1, 2, ..., (9)
390 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. V
суть собственные значения и собственные функции исход-
исходной краевой задачи A) — B).
Замечание. Пусть ортонормальные системы собственных функ-
функций {Xk} и {Y}\ полны в <5f2(G) и X2{D) соответственно (см. § 21.4).
Тогда по лемме § 1.9 система собственных функций {XkYA ортонор-
мальна и полна в X2(GxD). В этом случае формулы (9) дают все
собственные значения и собственные функции краевой задачи A)—B).
2. Примеры.
а) Рассмотрим кр-аевую задачу на собственные значе-
значения для прямоугольника П = @, /)х@, т) с границей L
(рис. 83):
В соответствии с общей схемой метода Фурье эта
задача распадается на две одномерные краевые задачи:
-Х" = цХ, Х@; = Х(/) = 0; A1)
_F" = vy, У@) = У(т) = 0. A2)
Собственные значения и собственные функции этих крае-
краевых задач вычислены в § 22.4:
^ ft-1, 2, ...; A3)
/='.2,... A4)
Из A3) и A4) в соответствии с формулами (9) полу-
получаем следующие собственные значения и собственные
функции краевой задачи A0):
к, 1 = 1, 2....
Так как построенные ортонормальные системы соб-
собственных функций {Xk\ и {Yj} полны (см. § 22.3), то в
силу замечания § 26.1, других собственных значений и
собственных функций задача A0) не имеет. Отметим,
что собственные значения Xk] могут повторяться, т. е.
hkj = Xk0j0 при некотором наборе номеров (k, /). Количе-
Количество таких повторений, равное числу решении в целых
26]
МЕТОД ФУРЬЕ
,891
числах уравнения
иг /а ьг /а
дает кратность собственного значения A.feoyo. Например,
при / = т = 1 кратность Х47 = X7i = А,18 = Я81 равна 4
B 7272 42 12 + 82 82+12
/77
/7
Рис. 83.
Рис. 84.
Ь) Рассмотрим краевую задачу на собственные значе-
значения для круга и# (рис. 84):
-Аи = Хи, u\Sr = 0. A6)
Эту задачу удобно решать в полярных координатах х =
= гcoscp, # = rsin(p, 0^л<!/?, 0^ф*С2я. В этих
координатах задача A6) для функции й(г, ф) =
= и (г соБф, Л51пф) принимает вид (см. § 3.2)
1 д I дй\ 1 дЧ л~ ^/о ч л
К граничному условию при r = R необходимо еще до-
добавить граничное условие при г = 0. Это условие состоит
в том, что функция й должна быть ограниченной в
окрестности точки л = 0. Далее, функция и, очевидно,
должна быть 2я-периодической относительно ф.
Применяя к задаче A7) метод Фурье, для функции
"(Л <р) = ё#(г)Ф(ф) получаем две одномерные краевые
задачи:
A8)
)=0. A9)
392 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА 1ГЛ. V
Собственные значения и собственные функции задачи
A8) легко вычисляются {тригонометрические функции):
* = 0, 1,... B0)
Далее, уравнение A9) есть уравнение Бесселя (см.
§ 23). Ограниченное в нуле решение о% (г) этого уравне-
уравнения при [i==k2 выражается функцией Бесселя JkiV^r).
Чтобы получить собственные значения Я, нужно вос-
воспользоваться вторым граничным условием A9),
JkiyXR) = 0, т. е. VXR = \i)k), где ц\к\ / = 1, 2,..., —
положительные корни функции Бесселя Jft(ji). Отсюда
следует, что
(«) т \ : I о /91 \
— собственные значения и собственные функции краевой
задачи A9) при \i = k2. Выбирая нормирующие множи-
множители ckj такими, что
получим ортонормальную и полную систему {<s$k/\ в
#i[@, Я)\ г) (см. § 23.7).
Из B0), B1) и B2) получаем, что
-^|y;(fi(fe))|' /=1,2,..., B3)
суть собственные значения и собственные функции крае-
краевой задачи A7), а значит, и задачи A6)*).
*) Строго говоря, пока установлено лишь, что функции Ху удо-
удовлетворяют уравнению A6) при А, —Х^ в UR\{0). Но из равенства
(см. § 23.1) следует, что ЛуеС00^) (ср. § 30.2). Поэтому урав-
уравнение A6) будет удовлетворено и в точке x—Qt
МЕТОД ФУРЪЁ
Нули собственной функции Im XS4
изображены на рис. 86.
По лемме § 1.9 система собственных функций {XkJ\
ортонормальна и полна в
¦%2(Ур), и поэтому других
собственных значений и
собственных функций за-
задача A6) не имеет.
с) Рассмотрим краевую
задачу на собственные зна-
значения для трехмерного ша-
шара UR:
-Д« = Хи, «|S/? = 0. B4)
Эту задачу удобно решать
в сферических координа-
координатах (г, 8, ф), Q^r<R,
0 ^ 8 ^ л, 0 < ф < 2л. В Рис 85.
этих координатах задача
B4) для функции и (г, 8, ф) = и (г sin 8 cos ф, г sin 0 sin ф,
г cos 8) принимает вид (см. § 3.2)
1 д ( . лдй \ 1 дЩ
/* дг
г2 sirTe ае Is ае j г2 sin2 б
|й{0, 9, ф)|<оо, u(R, 8, ф) = 0,
и (г, 8, ф) = й(л, 8, ф-f 2л). B6)
В соответствии с общей схемой метода Фурье собст-
собственные функции задачи B5) —B6) ищем в виде произ-
произведения <М (г) Y (8, ф). Разделяя переменные, для функций
Y и <М получим краевые задачи
От? /-.о/О ч. /лу\
oo, <&(R) = 0. B8)
При ц = /(/+1), / = 0, 1, ... задача B7) имеет ре-
решения и этими решениями являются сферические функ-
функции Y?t m = 0, ±1,..., ±/(см. §25.6). При ц = /(/+1)
уравнение B8) для функции е%1=Уге%! превращается
в уравнение. Бесселя__(см. § 23)-
394 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. V
Поэтому ограниченным в нуле решением уравнения B8)
является функция
J7i+1. B9)
Чтобы удовлетворить граничному условию е??(#) = 0,
необходимо положить в B9) Vk R = \ij ~2' /, где \i\ *) —
положительные корни функции Бесселя J \ (ц). Итак,
r(B. ф).
C0)
/ = 0, 1, .... / = 1, 2 т = 0, ±1 ±/,
— собственные значения и собственные функции краевой
задачи B4). Выбирая нормирующие множители Сцт та-
такими, что (см. формулы C5) § 23.7 и, C0) § 25.6)
и учитывая ортогональность и полноту функций Бесселя
в <#2[@, R)\ г] (см. § 23.7) и сферических функций в
^(^i) (см- § 25.6), в силу леммы § 1.9 заключаем, что
система собственных функций C0) ортонормальна и
полна в %?.{Up), поэтому других собственных значений
и собственных функций задача B4) не имеет.
Аналогичным образом рассматривается и краевая задача
§ 27. Ньютонов потенциал
Этот параграф посвящен более детальному изучению
свойств ньютонова потенциала в трехмерном пространстве
(см. § 7.10). Этот потенциал определяется как свертка
§ 27J НЬЮТОНОВ ПОТЕНЦИАЛ 395
обобщенной функции р (плотности) с функцией
V =ТТТ*Р= — 4л&з*р.
I * I
Потенциал V удовлетворяет уравнению Пуассона
B)
Основы классической теории потенциала заложены
А. М. Ляпуновым [1] в конце прошлого века.
1. Объемный потенциал. Если р —(абсолютно) инте-
интегрируемая функция на G и р(дг) = О, xgG1 = /?3\^i to
ньютонов потенциал V, называемый объемным потенциа-
потенциалом, выражается'интегралом
-0^dy C)
и представляет собой локально интегрируемую функцию
в Rn (см. § 7.10, с)).
Если реС(С) и G — ограниченная область, то объем-
объемный потенциал V принадлежит классу С1 (Я3), гармоничен
в Gx и
Действительно, так как G — ограниченная область и
р^С(О), то по теореме § 1.6 интеграл C) принадлежит
С1 (Я3), и по формуле G) § 1.6
|*|-oo.
При хёб потенциал V (х) допускает непрерывное
дифференцирование под знаком интеграла в C) бесконеч-
бесконечное число раз, так что V ^^(Gx). Отсюда и из уравне-
уравнения B) вытекает, что AV = O, x^Gu т. е. потенциал
V'— гармоническая функция в области Gx (по лемме § 11.1).
EcAu-pe=Cl(G)(\C{G), то V<=C2{G).
Для доказательства возьмем подобласть G' <ш G с ку-
кусочно-гладкой границей S' и внешней нормалью п' (рис. 86).
При этом потенциал V разобьется на сумму двух объем-
объемных потенциалов Vi и ]/2, V ^Vi + V^, где
G\G'
396
УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
[ГЛ. V
По доказанному Vx s С1 (R's), У2 e Сл (G'j. Дифференцируя
потенциал У, как свертку, получим (см. § 7.5, с))
Так как p1^Cl(G')t то по формуле B2) § 6.5
grad p! = {gFad px} — pn'6S'.
Подставляя полученное выражение в D) и пользуясь
формулой C) для объемного потенциала и формулой D0)
§ 7.10 для потенциала простого слоя, получим
grad У!(*) = -j-L * {grad px} - -щ * p/i'6S' =
* ' ') а С Р(У)п' jo /е\
S'
Первое сла/аемое в правой части E), как объемный по-
потенциал с плотностью gradp еС(б'), принадлежит классу
С1 (/?3), а второе — классу
СМ(С). Следовательно,
grad Vx (= С1 (С), т. е.
KieC2^'). Но тогда и
У = У1 + У2еС2(С)и, вви-
ввиду произвольности G'eG,
УеС2(С), что и требова-
требовалось доказать.
2. Потенциалы просто-
простого и двойного слоя. Пусть
S — ограниченная кусочно-гладкая двухсторонняя *) по-
поверхность, п — выбранное направление нормали к нейиц
и v — непрерывные функции на 5. Ньютоновы потенциалы
1 с т/п^ 1 д
Рис. 86
называемые потенциалами простого и двойного слоя соот-
соответственно, выражаются интегралами
V И \У) j о /л\
\ \х — у\ у> Ф'
S
/ v д 1
~dryJx^y-\dSy
G)
*) Та сторона поверхности 5, к которой примыкает нормаль п,
считается положительной, а противоположная сторона — отрицатель-
отрицательной (рис. 86 и 87). '
-§27J
НЬЮТОНОВ ПОТЕНЦИАЛ
397
и представляют собой локально интегрируемые функции
в Rz (см. § 7.10, d)). Эти потенциалы удовлетворяют
уравнению Пуассона:
(8)
¦™ дп
Фиксируем точку х0 на S, и пусть л0 — нормаль в ней
к 5. Дифференцируя формулу F) при jc'sS по направ-
направлению л0 и пользуясь равенством
з
дп0 \х—у\ Li v ^lJ \х — у 3 jc —j/8 х ;
где
— угол между вектором t/ — я и нормалью л0
(рис. 87), получаем выражение- для нормальной произ-
производной потенциала простого слоя:
д 1 .с
Аналогично, в силу равенства
з
д 1 VI
= 7 COS
X— I
A1)
где ф,ур —угол между вектором х — ц и нормалью я
(рис. 87), формула G) для потенциала двойного слоя
398 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. V
V(l) принимает вид
$- A2)
Потенциалы V(o) и V{1) — гармонические функции вне
поверхности S, 1/@)gC(/?3) и
Эти свойства потенциалов V@) и VA) выводятся из
представлений F) и A2) и из уравнений (8), подобно тому,
как это делалось для объемного потенциала (см. § 27.1).
Теперь покажем, что потенциал двойного слоя У[1) (х)
с плотностью v = 1 равен
0, jeeC^^XC, A3)
если S—граница области G.
Пусть хеС. Тогда найдется шар U(x, го)шС Гра-
Граница области G\U (xs r0) состоит из поверхностей 5 и
Рис.
S(x\ r0) (рис. 88). Поскольку функция \х — уl'1-^гармо-
уl'1-^гармоническая при хфу, то, применяя к области G\U (x, rQ)
формулу (И) § 24.3, получим
S (x; r0)
Принимая во внимание A1) и учитывая, что cosq)Xi/ = l
н.9 сфере \x-y\=rQ, из A4) выводим первое цз,
§ 27J
равенств A3):
НЬЮТОНОВ ПОТЕНЦИАЛ
399
г1 cosq
О «у
|дс —yj = /
Пусть теперь x^G^. Так как функция \x-y\~1 —
гармоническая в й, то, применяя формулу A1) § 24.3,
имеем
^ = 0, A5)
что, в силу A1), и доказывает вторую из формул A3).
Замечание. Формулы (Г5) можно обобщить на случай про-
произвольной поверхности S (Гаусс): если х е S, то потенциал Vn) (х)
с плотность'ю v = 1 равен телесному углу, под которым поверхность S
видна из точки х (с учетом знаков сторон поверхности).
3. Физический смысл ньютоновых потенциалов. Потен-
Потенциал У=у—г*р с произвольном (финитной) плотностью р
| X |
удовлетворяет уравнению Пуассона AV = —4лр. Поэтому V
есть ньютонов или кулонов
потенциал, создаваемый мас-
массами или зарядами, распре-
распределенными в пространстве с
плотностью р. В частности,
непрерывное распределение
масс или зарядов создает
объемный потенциал; если же
массы или заряды сосредото-
сосредоточены на поверхности, то они
создают (ньютонов или кулонов) потенциал простого слоя;
если на поверхности сосредоточены диполи, то создавае-
создаваемый ими кулонов потенциал есть потенциал двойного слоя.
Для примера вычислим (кулонов) потенциал VA> (r, /),
создаваемый диполем с моментом +1 в точке 0, ориенти-
ориентированным в направлении /, |/| = 1. 'Этот потенциал со-
создается распределением (см. § 6.4, а))
Рис. 89.
400
УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
(Т-Л. V
(рис. 89), и поэтому
т. е.
д 1 _ созф
12 »
A6)
где ф —угол между векторами х и /. На рис. 90 изобра-
изображены поверхности уровня потенциала V™ {х\ I) (эквипо-
тенциальные поверхности -—? =
Из формул A2) и A6)
ного слоя представляет
тенциалов
следует, что потенциал двой-
двойсобой «сумму» элементарных по-
посоздаваемых диполями на поверхностиг S с плотностью
момента v(y) и ориенти-
ориентированных по нормали я.
4. Поверхности Ля-
Ляпунова. Дальнейшие
свойства потенциалов
простого и двойного слоя
устанавливаются в пред-
предположении, что 5—по-
5—поверхность Ляпунова.
Замкнутая ограниченная
поверхность S называ-
называется поверхностью Ля-
Ляпунова, если в каждой точке х е S существует нормаль
пх, непрерывная по Гёльдеру на S, т. е. существуют
числа С>0 и сс>0, а^1 такие, что
Рис. 90.
х, y(=S.
A7)
Из этого определения вытекает, что поверхности Ля-
Ляпунова содержатся в классе поверхностей С1; с другой
стороны, всякая ограниченная замкнутая поверхность
класса С2 есть поверхность Ляпунова (при а=1).
Для поверхности Ляпунова 5 существует такое число
го>0, 4Сг"<1, что для любой точки x^S окрестность
ux = S[)U(x', гй) пересекается прямой, параллельной нор-
$ 27J НЬЮТОНОВ ПОТЕНЦИАЛ 401
мали пх, в единственной точке, либо вообще не пересе-
пересекается.
Действительно, в прошеном случае, из услэвчя глад-
гладкости поверхности S следозало бы, что на куске их нахо-
находились бы две точки #! и уг, для которых угол между
нормалями пих и пУг был бы тупым, (пУ1, /fys)<0, что
противоречило бы неравенству A7):
На куске их выберем локальную систему прямолиней-
прямолинейных координат {ylt yi, y3) с началом в точке х и ось у3
Уз
Рис. 91
направим вдоль нормали,, по — пх, а оси у^ и у2 напра-
направим вдоль единичных орт / и J соответственно (рис. 91).
В силу сказанного, в этих координатах поверхность их
можно задать уравнением
= /@1. Ух)-. /еС'Й, /@) = 0, A8)
где а —проекция их на плоскость (ylt y2), причем
в силу A7)
|/г~/го|<С|г/|а, у(= их, *<=S (n = ny). A9)
402
УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
= их вытекают оценки
[ГЛ. V
Из A9) при всех
|(/2, /)|=|(Л-Л0, /)
К«. УI = 1(я-яо, 7) +(«о. 7
(Л, /20) = (л-/20,
^20)
Учитывая, что на поверхности их справедливы соот-
соотношения
tyi (л> яо) '
из B0) выводим неравенства
(я, О
(я. «о) '
(л, л о)
, леи,. B1)
Обозначая р = \гу\-\-у\, из B1) выводим
и
С1 г/ |а
а. B2)
Отсюда, пользуясь неравенством
i/i
{а,
dp'
выводим |/|^р/2. Далее, учитывая A8) и пользуясь
опять B2), получаем
Итак, установлены неравенства
l^l^T. [1/з|^2Ср^^2С|1/|1+а, у ей,. B3)
«27J
НЬЮТОНОВ ПОТЕНЦИАЛ
403
Лемма 1. Если S — поверхность Ляпунова, то
I cos
ЗС |*-
х, y<=S,
B4)
| x, yt=S, x'€=nx, B5)
где С —постоянная в неравенстве A7).
Доказательство. На основании сказанного, оценки
B4) и B5) достаточно установить для всех у из (произ-
(произвольной) окрестности ux = S()U(x', r0). Оценка B4) сле-
следует из оценок A9) и B3):
COS <рху\ =
••?
Уз\
Докажем теперь оценку B5) на их. Пользуясь опре-
определением углов ц>х'у и tyx>y (см. формулы (9) и A1)) и
неравенством Коши — Буняковского (см. § 1.7), при всех
у^их и /е/?3 получаем оценку
fcos
? [cos {поуд- cos
Н(л> О
и, следовательно, в силу B0),
| COS Ц>х'у + COS tyx'y
~ cos
2 —
V3 С | г/ |a.
Отсюда, пользуясь неравенством B3) и замечая, что
р<:\х' — у\, лг'е/io, при всех у^ихн ^'ел0 получаем
оценку B5):
Лемма доказана.
Лемма 2. Если S — поверхность Ляпунова, то суще-
существует такая постоянная К, что
Sy^K, x'<=R\ B6)
х'-у
404 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. V
Доказательство*). Если расстояние от точки х'
до S не меньше —, так что \х'— у\>?-?, y^S, то ин-
интеграл B6) равномерно ограничен числом /Сх = — \ dS.
Пусть теперь расстояние от точки х' до S меньше ^,
так что существует точка x^S такая, что \х — **|*=
= 6<—. Нетрудно убедиться, что точка х' лежит на
нормали п0 или —щ к 5 в точке х. Для определенности
мы будем считать, что х' е л0, так что в локальных коор-
координатах *' = @, 0, 6) (см. рис. 91). Разобьем интеграл B6)
на два:
|СО8ф,
С 1С06Ф
*-У1 , о _ С ICOS(»V
В силу оценки
первый интеграл справа в B7) равномерно ограничен
числом Kv
Оценим теперь второй интеграл справа в B7). Заме-
Замечая, что (рис. 91)
и пользуясь оценками B3) и B5), получаем оценку
cos ух>у | < | cos q>x>y + cos ^Х'У | +1 cos yx.y I ^
2Cp.a+i+6 Л
Поэтому
Первый интеграл справа в B8) равномерно ограничен
(см. § 1.6). Для оценки второго интеграла справа в B8)
*) Идея взята из книги С Г. Михлина [1], гл. 18,
§ 271 НЬЮТОНОВ ПОТЕНЦИАЛ 405
перейдем к локальным координатам (см. рис. 91)
< 1 б ? dyi dy
dyi dy* • B9)
[p2 + F-i/3J]Vj
здесь мы воспользовались третьим неравенством B0).
Тогда, в силу B3), \у3\^р/2 и, стало быть,
Учитывая полученное неравенство, продолжим оценку B9):
, оо 2л р (jn с1(р
j Iх' — у I* ~~~~ J (Р2 + 62)*/l! ^~~ J J (Р +0 >
и о 0 0
х
Лемма доказана.
5. Свойства потенциалов простого и двойного слоя на
поверхности 5. Предполагая границу S области G поверх-
поверхностью Ляпунова, установим некоторые свойства потен-
потенциалов V(<>) и V{1) на S. Имеют место равенства
— 4л, x(=Gy
— 2я, *e=S, C0)
0, х <= Glt
j\x-y\* у
Для доказательства равенств C0), в силу A3), оста-
осталось рассмотреть случай ^eS. Выбрасывая из 5 окре-
окрестность ux = S(]U(х, гоу точки х, получим
S.. C1)
Так как хШй\Ц(х, г0) (рис. 92), то применяя форму-
формулу A1) § 24.3 к области G\U(x\ г0) к функции \х—у\~х
и действуя, как и в § 27.2, получим.
406
УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
(ГЛ. V
Поэтому при стягивании и_х в точку х(го->0) первый
интеграл справа в C1) стремится к —2л; (рис. 92). Вто-
Второй же интеграл справа в C1), в силу оценки B4), схо-
сходится абсолютно и потому стремится к нулю при их-*-х
(см. § 1.6). Поэтому, переходя в C1) к пределу при
"*->-*, получим формулу C0) при *e«S,
S(x}r0)
Рис. 93.
Потенциал двойного слоя V(l) (лг) — непрерывная функ-
функция на S.
Действительно, в силу неравенства B4), справедли-
справедливого на поверхности Ляпунова S, потенциал V{1) (x), опре-
определяемый формулой A2), есть интегральный оператор
с полярным ядром
cos Уху с
а потому переводит всякую функцию veCE) в функ-
функцию V|1)gC(S) (см. § 1.6; ср. с леммой 1 § 17.4).
Докажем теперь, что интеграл
где tyxy — угол между вектором у — х и нормалью пм,
есть непрерывная функция х на S.
Действительно, замечая, что
(рис. 93), из B4) выводим оценку
-j/|a, х,
C3)
C4)
$ 27} ньютонов потенциал 407
из которой, как и для потенциала V{1\ следует непре-
непрерывность интеграла C2) на 5.
В соответствии с формулой A0) обозначим интеграл
/ооч dVIO) (х)
C2) через ^ »
dV{0> (х)
-яг2
С
dV) (x)
Функция дп называется прямым значением нормаль-
нормальной производной потенциала простого слоя на поверхно-
поверхности S; по доказанному она непрерывна на «S.
Отметим еще, что потенциал простого слоя К(о) (х) —
непрерывная функция на S, поскольку V{0) &G(R9)
(см. § 27.2).
6. Разрыв потенциала двойного слоя.
Теорема. Если S — поверхность Ляпунова «ve C(S)t
то потенциал двойного слоя VA) принадлежит С (G) и
С ((ji) и его предельны? значения V+ и V- на S извне и
изнутри S выражаются формулами
V% (x) = 2nv (x) + Vtl> (x) = 2*v (*) + \ v (y) j~^dSy, C6)
Vlll (x) = — 2nv (x) + K<x) (jc) =
i* rnsm_..
5«. C6')
Доказательство. Введем функцию
W(x't x)=
s
Функция W(x', x) при jc'=xgS, в силу C0), равна
IP (*, *) = f * (У) ^S<«„ + 2nv (x) = 2яу (x) + VM (x).
C7)
Функция W (x, x) непрерывна на S в силу непрерыв-
непрерывности плотности v и потенциала V^ly на S (см. § 27.5).
408 уравнения вллиптическрго типа р\я. у
Докажем, что
дсе5
W (хг, х) zt W {х, х), x'-+X(=S. C8)
Пусть е>-0. Так как функция v равномерно непре-
непрерывна на 5, то существует такое число б = бе;>0, что
при всех х е S имеет место неравенство
\ б), C9)
где К— число, входящее в неравенство B6).
Оценим разность
\W(x', x)-W(x, x)|<
+ f \|v(y)-v(x)
V D0)
В силу неравенств C9) и B6) первый интеграл справа
в D0) не превосходит е/2,
е
4*
Г /|со»ф
Далее, подынтегральная функция в D0), как функция пере-
менных (х, х', у), равномерно непрерывна при \х — х'\^-^, ,
х е S, у е S\m^ и обращается в нуль при х' =х. Поэтому
найдется такое б' ^ -^, что при всех х' е (/ (#; б') второй
интеграл справа в D0) будет меньше у. Следовательно,
\W(x', x)-W(x, ^)|<| + | = e, xTe(/(x; б'), *e=S,
что >i доказывает предельное соотношение C7).
Считая xr e Gt и пользуясь формулой C0), представим
потенциал КA) (а:') в виде
^ ', х). D1)
ЯЛ НЬЮТОНОВ ПОТЕНЦИАЛ
Переходя в этом равенстве к пределу при x'-*-x&S,
х' e (?i и учитывая предельное соотношение C8), получаем
откуда следует, что V{1) e С (G1) и, в силу C7), справед-
справедливо равенство C6).
Другой случай рассматривается аналогично. Теорема
доказана.
Из формул C6) и C6') следует соотношение
4nv(x) = Vt4.t(x)-V4)(x), xe=S. D2)
Замечание. Формулы C6) и C6') аналогичны формулам Сохоц-
кого A5) и A5') § 5.8.
7. Разрыв нормальной производной потенциала про-
простого слоя.
Теорема. Если S — поверхность Ляпунова u (IE
^C{S), то потенциал простого слоя Vi0) имеет правиль-
ные нормальные производные l-gjp) и (-gjjr) на S извне
и изнутри S, причем
D3)
^. D3')
Доказательство. Пусть V'{1) — потенциал двойного
слоя на 5 с плотностью \\. Введем функцию
и докажем, что при x'-+x^S, х'^ пх
W.x{x\ x)X^Wx{x, x) = ™^ + VW(x). D4)
По доказанному (см, § 27.5) функция Wi(x, x) непре-
непрерывна на S,
410 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. V
Пользуясь формулами A0) и A2), представим функцию
Wx в виде интеграла:
Зададим е>0. Оценим разность
— и!»
\*—V
dSyt ux = S(\U{x\ 6). D5)
В силу оценок B4), B5) и C4) первый интеграл
справа в D5) не превосходит (абсолютно) сходящегося
интеграла
и потому может быть сделан < -~ при достаточно малом
б = бе. Далее подынтегральная функция в D5), как
функция переменных (х, х', у), равномерно непрерывна
при \х — х' |^"з » *eS, y&S\ux и обращается в нуль
при а:/=а:. Поэтому найдется такое -число 6'^-^-, что
при всех х' е (/ (дс; б') второй интеграл справа в D5)
будет меньше у. Следовательно,
\Wi(x\ x)-Wi(x, х)\<г, x'e=U(x; б')', х'еепх, *e=S,
что и доказывает предельное соотношение D4).
По теореме § 27.6 Vll)eCF) и
Поэтому предельное соотношение D4) при х'-+-х&
S, x' e пх принимает вид
§ 27J НЬЮТОНОВ ПОТЕНЦИАЛ 411
откуда заключаем, что правильная нормальная производ-
/dVl0> 1
ная (-§?-) на 5 извне существует (см. § 24.2) и, с учетом
формулы C5), выражается равенствами D3).
Другой случай рассматривается аналогично. Теорема
доказана.
Из формул D3) и D3') следует соотношение
ю. xsS. D6)
Замечание. Можно доказать, что если плотность ц непре-
непрерывна по Гёльдеру на S (см. § 1.3), то потенциал К<0) принадлежит
классам С1 F) и С1^) (см., например, С. Л. Соболев [I], л. XV).
8. Упражнения, а) Показать, что потенциал простого слоя для
сферы So с плотностью ц = 1 равен
b) Пользуясь а), показать, что объемный потенциал для шара
с плотностью ц=1 равен
V(x) =
с) Показать, что для шара V^ объемный потенциал с плотносгью
/(|х |) равен
R
R
d) Пользуясь с), показать: если \ /(р)р2ф=0, то
b
R
V(x) = -^ f/(р)р'ф.
3 i
e) Доказать, что если поверхность Ляпунова 5 ограничивает
выпуклую область, то постоянную К в неравенстве B6) можно взять
равной 4я.
412 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. V
§ 28. Краевые задачи для уравнений Лапласа
и Пуассона в пространстве
J. Постановка основных краевых задач. Будем.изучать
следующие четыре краевые задачи I и II родов для трех-
трехмерного уравнения Лапласа (см, § 4.4). Считаем область
G такой, что Gi=R3\G есть область.
Внутренняя задача Дирихле: найти гармоническую
в области G функцию u^C(G), принимающую на 5 за-
заданные (непрерывные) значения M<j.
Внешняя задача Дирихле: найти гармоническую в об-
области Gx функцию и, принимающую на 5 заданные (непре-
(непрерывные) значения uj и обращающуюся в 0 на бесконеч-
бесконечности.
Внутренняя задача Неймана: найти гармоническую
в области G функцию и, имеющую на S заданную (непре-
(непрерывную) правильную нормальную производную и].
Внешняя задача Неймана: найти гармоническую в
области C?i функцию й е С (G^, имеющую на S заданную
(непрерывную) правильную нормальную производную ut
(нормаль внутренняя) и обращающуюся в 0 на беско-
бесконечности.
Аналогичные краевые задачи ставятся и для уравнения
Пуассона
Ды = -/, A)
причем требуется, чтобы weC2(G)f|C(?) Для внутренних
задач и ue C2(Gi)f|C(?i), w(oo)=xO для внешних задач.
Подстановка
^il^dy B)
сводит внутренние краевые задачи для уравнения Пуас-
Пуассона к соответствующим внутренним краевым задачам
для уравнения Лапласа, если /е СЧС)[\С(С).
Действительно, в этом случае объемный потенциал
V &€*№) П С1 (G) и удовлетворяет уравнению Пуассона
A) (см. § 27.1). А тогда, в силу B), функция, v должна
удовлетворять уравнению Лапласа и соответствующему
граничному условию.
Для внешних краевых задач поступаем аналогично
(если объемный потенциал с плотностью / существует и
обращается в 0 на бесконечности).
§ 281 УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА И ПУАССОНА 413
Отметим, что преобразование Кельвина (см. § 24.10)
позволяет сводить внешние краевые задачи для уравне-
уравнения Лапласа к внутренним, и наоборот.
Наконец, обратим внимание, что для задач Неймана
(внутренних и внешних) необходимо предположить, что
5 е С1; далее, существование у решения и (х) правильной
нормальной^ производной на 5 влечет ее непрерывность
на G или Gx соответственно (см. § 24.2)
2. Теоремы единственности решения краевых задач.
Докажем теоремы единственности решения краевых за-
задач, поставленных в § 28.1.
Теорема 1. Решение уравнения Пуассона единст-
единственно в классе обобщенных функций, обращающихся в 0
на бесконечности.
Доказательство. Достаточно установить, что
уравнение Лапласа имеет только нулевое решение в
классе обобщенных функций, обращающихся в 0 при
|д-|->со. Но это вытекает из аналога теоремы Лиувилля
(см. § 24.9).
Теорема 2. Решение внутренней или внешней за-
задачи Дирихле единственно и непрорывно зависит от гра-
граничного значения и$ или и$ соответственно в следующем
смысле: если \ut — й(Г |^е на 5, то соответствующие
решения и и и удовлетворяют оценке
\и{х)-й{х)\^г, xe=G (x&Gi). C)
Доказательство. Применяя неравенства A7) и
A8) § 24.5 к гармонической функции и — и,
\и(х) — й(х) I<,max | и$ (х) — ut (x)|, ^еб (хе бх),
получим все утверждения теоремы.
Будем говорить, что поверхность Ляпунова S —до-
—достаточно гладкая поверхность, если для нее справедлива
формула Грина G) § 21.2 для функций и класса C2(G)(]
(]C(G), имеющих правильную нормальную производную
на 5 и Да е Хг (G), и для функций v класса С1 (G) (]С(Ь).
В силу сказанного в §§ 24.2 и 27.4 ограниченные
замкнутые поверхности класса С2 — достаточно гладкие
поверхности.
414 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. V
Теорема 3. Если S — достаточно гладкая поверх-
поверхность, то решение внутренней задачи Неймана опреде-
определено с точностью до произвольной аддитивной постоян-
постоянной. Необходимым условием разрешимости этой задачи
является равенство
\и {x)dS + \f{x)dx = G. D)
S О
Доказательство. Если и и й —два решения вну-
внутренней задачи Неймана, то их разность r\^C(G) —
гармоническая функция в G и имеет нулевую правиль-
правильную нормальную производную на 5. Применяя формулу
Грина G) § 21.2 при ы = и = т}, получим
f
откуда следует, что gradt] = 0, x^G, так что т) = м —
— и — const.
Необходимость условия D) разрешимости внутренней
задачи Неймана вытекает из формулы (8) § 21.2 при
v= 1, согласно которой
f «7^5= <\~dS = ^budx^ — ifdx,
S $ G G
если и — решение этой задачи. Теорема доказана.
Физический смысл условия D) состоит в
том, что стационарный поток тепла (несжимаемой жид-
жидкости, напряженности электрического и магнитного по-
полей, см. § 2) через замкнутую поверхность S равен сум-
суммарной величине всех источников (зарядов), находящихся
внутри 5 (закон сохранения).
Теорема 4. Если S — достаточно гладкая поверх-
поверхность, то решение внешней задачи Неймана единственно.
Доказательство. Пусть и и и — два решения внеш-
внешней.задачи Неймана. Тогда их разность^rj е С (Gx)— гар-
гармоническая функция в Сь имеет нулевую правильную
нормальную производную на 5 и rj(oo) = 0. По теореме
§ 24.10 функция ц удовлетворяет неравенствам
-^, |x|-*oo. E)
§ 281 УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА И ПУАССОНА 415
Применяя формулу Грина G) § 21.2 при и = « = т)
к области QR (рис. 77), получим
Igrad лРЛг= J л U *S + f I ? «« = J „ ?dS. F)
Q^ S SR SR
Но из оценок E) вытекает, что при R-^-oo
Поэтому, устремляя в равенстве F) R к со, получаем
откуда следует gradrj = O, т. е. r\(x)= const, x&G\.
Так как т] (оо) = 0, то г| = и — й = 0, * <= Gb Теорема до-
доказана.
3. Сведение краевых задач к интегральным уравне-
уравнениям. Выпишем формулу Грина E) § 24.1 при /i*=3:
G)
Формула G) справедлива для функций иеС(б), гармо-
гармонических в G и имеющих правильную нормальную про-
производную на 5, если 5 —достаточно гладкая поверх-
поверхность (см. § 28.2).
Из теорем единственности для задач Дирихле и Ней-
Неймана (см. § 28.2) следует, что; вообще говоря, не суще-
существует гармонической функции и с произвольно задан-
заданными значениями и и -^— на S. Поэтому формулу Грина
G) нельзя непосредственно использовать для решения
поставленных краевых задач, подобно тому как мы это
делали для решения задачи Коши (см. §§ 13.3 и 16.4).
В этом состоит существенное различие между краевой
задачей для эллиптических уравнений и задачей Коши.
Пользуясь теорией ньютонова потенциала, сведем за-
задачи Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа к ин-
интегральным уравнениям Фредгольма с полярным ядром.
416 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. V
Далее, иелользуя теорию интегральных уравнений, до-
докажем разрешимость этих краевых задач.
Пусть 5 —достаточно гладкая поверхность. Ищем ре-
решение задач Дирихле (внутренней и внешней) в виде
Потенциала двойного слоя
где v — неизвестная непрерывная плотность на 5. Функ-
Функция VA) — гармоническая в G и Gu принадлежит клас-
классам С@), С(Огун C(S) и VA)(co) = 0 (см. §§ 27.2, 27,5
и 27i>). Поэтому, чтобы потенциал VA) давал решение
внутренней или внешней задачи Дирихле, необходимо и
достаточно, чтобы соответственно были выполнены ра-
равенства
Vil(x) = uf(x), *eS, (8)
где V:? — предельные значения V(l) изнутри и извне 5.
По теореме о разрыве потенциала двойного слоя (см.
§ 27.^) равенства (8) принимают вид
*<=S. (9)
Равенства (9) представляют собой интегральные уравне-
уравнения Фредгольма относительно неизвестной плотности v.
Вводя вещественный параметр Я и ядро
перепишем интегральные уравнения (9) в единой форме:
\ *e=S. A1)
5
При этом для внутренней задачи Дирихле А = 1 и
/ = —^-, а для внешней задачи Дирихле К = —1 и
f «* "
' 2л '
Аналогично решение задач Неймана (внутренней и
внешней) ищем в виде потенциала простого слоя;
§ 281 УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА И ПУАССОНА 417
где [I — неизвестная непрерывная плотность на 5. Функ-
Функция V@) — гармоническая в G и Gb непрерывная в R3,
{dV<°'\ e
имеет правильные нормальные производные (—^—]_на о
изнутри и извне 5 и У@)(^о) = 0 (см. §§ 27.2 и 7.7).
Поэтому, чтобы потенциал У(о) давал решение внутренней
или внешней задачи Дирихле, необходимо и достаточно,
чтобы соответственно были выполнены равенства
(x) = uf(x), xe=S. A2)
По теореме о разрыве нормальной производной потенциала
простого слоя (см. § 27.7) равенства A2) превращаются
в интегральные уравнения Фредгольма
C9S "фу.,,
(y)jJII^tdSy = u+(x), x^S, A3)
относительно неизвестной плотности ji.
Из равенства Vpxy = %x, x, i/gS (см. § 27.5), и из A0)
следует, что ядро интегральных уравнений A3) разно
е#*(г/, х) = Ж*(х, у), так что уравнения (9) и A3) —союз-
—союзные друг другу. Вводя параметр X, перепишем интеграль-
интегральные уравнения A3) в единой форме:
р(х) = Х]Ж*(х, y)n(y)dSy+g(x), xeS. (И*)
s
При. этом для внутренней задачи Неймана X—-—1 и
g=Tr-, а для внешней задачи Неймана Я = 1 и g = — -^-.
Для поверхности Ляпунова S функция cos ф^ непре-
непрерывна на 5x5 и, в силу леммы 1 § 27.4, удовлетворяет
оценке
\cosyxy\^3C\x'-y\at a>0.
Поэтому, в силу A0), ядро Ж(х, у) непрерывно при
#е5, y^S, хфу и удовлетворяет оценке
зс
и, следовательно, является полярным ядром (см. § 17.4).
Таким образом, для интегрального уравнения A1) и
союзного к нему уравнения A1*) применимы все положения
теории Фредгольма (см замечание § 18.5).
14 В. С. Владимиров
418 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. V
4. Исследование интегральных уравнений. Докажем
сначала, что Я~1 не есть характеристическое число
ядра <№* (х, у). Пусть, напротив, Я = 1 —характеристиче-
—характеристическое число этого ядра и ц*-соответствующая ему соб-
собственная функция,
^ (х) = J Ж* (х, у) ii* (у) dSy = ~ \ v* (У) ^j dSy,
A4)
Собственная функция \i*^C(S) (см. § 18.5). Построим
потенциал простого слоя V@) с плотностью ц*. Функ-
Функция V(o) гармонична вне S, непрерывна в R3 и V@)(oo) — О
(см. § 27.2). Далее, в силу формулы D3) § 27.7 и урав-
уравнения A4), ее правильная нормальная производная на 5
извне равна нулю. Отсюда, по теореме 4 § 28.2 о един-
единственности решения внешней задачи Неймана, заключаем,
что V{0)(x)s&0, хеС^и, в частности, V(O) |s —0. Но тогда,
по теореме 2 § 28.2 о единственности решения внутренней
задачи Дирихле, У{о)(х)=з0г jcgG. Итак, У(О>(*) s=0,
x^R3. Отсюда, пользуясь формулой D6) § 27.7, заклю-
заключаем, что ja* (*) = 0, xeS.
Таким образом, Я = 1 не есть характеристическое число
ядра б%Г* (х, у). Отсюда, по второй теореме Фредгольма,
А,= 1 также не есть характеристическое число ядра &?{х, у).
А тогда, по третьей и первой" теоремам Фредгольма,
интегральные уравнения A1) и A1*) при Я= 1 однозначно
разрешимы при любых непрерывных / и g. Следовательно,
справедлива
Теорема 1. Внутренняя задача Дирихле и внешняя
задача Неймана разрешимы при.любых непрерьшных дан-
данных щ и ut, и их решения представляются потенциалами
двойного и простого слоя соответственно.
Теперь из формулы C0) § 27.5,
следует, что Я=*—1 есть характеристическое число ядра
«з^(х, у) и vs=l —соответствующая ему собственная
функция. Докажем, что это —простое характеристическое
число. Для этого, в силу второй теоремы Фредгольма,
§ 28] УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА И ПУАССОНА 419
достаточно показать, что А, = —-1 —простое характеристи-
характеристическое число ядра <&* {$, у). Пусть цо — соответствующая
собственная функция,
* (х, у) ^ (у) *Sy = —^\ т^Х N (У) dSy.
S ' * '
A5)
Собственная функция [iogC(S) (см. § 18.5).
Составим потенциал простого слоя с плотностью ц0,
Функция V{0) гармонична вне S, непрерывна в R3 и
У@)(хз) = 0 (см. § 27.2). Далее, в силу формулы D3')
§ 27.7 и уравнения A5), ее правильная нормальная про-
производная на 5 изнутри равна нулю. Отсюда, по теореме 3
§ 28.2 о единственности решения внутренней задачи
Неймана, заключаем, что 1/@) (х)===С — const, x ^ G.
Докажем, что СфО. Пусть, напротив, V<0) {х)==0,
jcg6 и, в частности, V@)|s = 0. Но тогда, по теореме 2
§ 28.2 о единственности решения внешней задачи Дирихле,
1Л°>(*) = 0, jceCi. Итак, 1Л0)(*) = 0, x(==R3. Отсюда,
пользуясь формулой D6) § 27.7, заключаем, что [io(je)=O,
х е S, что невозможно.
Пусть pi0 — другая собственная функция ядра а^1* (*, у),
соответствующая характеристическому числу Х = —1. По
доказанному потенциал простого слоя V@) с плотностью^
равен постоянной СфО на 0. Но тогда потенциал про-
с ~ с
стого слоя -qV0— V{0) с плотностью ^гИ-о — рЬо равен нулю
на G, откуда следует, что эта плотность тождественно
равна нулю на S, т. е.
Поэтому Х = —1—простое характеристическое число ядра
$С* (х, у) и, стало быть, ядра Ж (х, у).
Нормируем собственную функцию \i0 так, чтобы
14*
420 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. V
Потенциал простого слоя V@) с плотностью ц0 называется
потенциалом Робена.
Физический смысл потенциала Робена:
это есть потенциал, создаваемый зарядами на проводящей
поверхности S, а его плотность
. . 1 / dV{0>
есть плотность зарядов, которая устанавливается на этой
поверхности. При этом полный заряд
называется емкостью проводника S.
Вернемся к уравнениям A1) и A1*) при Х = —1.
По третьей теореме Фредгольма интегральное уравнение
A1*) при Х = —1 разрешимо тогда и только тогда, когда
свободный член g ортогонален к 1. Итак, справедлива
Теорема 2. Внутренняя задача Неймана разрешима
при любой непрерывной функции uj, удовлетьоряюицгй
условию ортогональности
\u\{x)dS = b, A8)
s
и ее решение представляется потенциалом простого слоя.
Далее, для разрешимости уравнения A1) при X ——1
необходимо и достаточно, чтобы свободный член / был
ортогонален к ц0. Таким образом, внешняя задача Дирихле
имеет решение, представимое потенциалом двойного слоя,
при любой непрерывной функции Uq, ортогональной к плот-
плотности (х0 потенциала Робена
lub(x)\io(x)dS = 0. A9)
s
Условие разрешимости A9) возникло за счет того,
что решение внешней задачи Дирихле искалось в виде
потенциала двойного слоя и, следовательно, от решения
заранее требовалось убывание О(\х\-2) при |а'|-»-оо.
Однако в постановке этой задачи требуется лишь, чтобы
решение обращалось в 0 на бесконечности. Чтобы учесть
и такие решения и тем самым избавиться от условия A9),
поступаем следующим образом.
* 28) УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА И ПУАССОНА 421
Считаем ОеС Ищем решение внешней задачи Дирихле
в виде суммы потенциала двойного слоя Va) с неизвестной
плотностью v на 5 и ньютонова потенциала -^j от заряда
в точке л: = 0 неизвестной величины а,
Соответствующее интегральное уравнение A1) принимает
вид
J +^~-^. B1)
По доказанному для разрешимости интегрального урав-
уравнения B1) необходимо и достаточно, чтобы
O. B2)
Так как ОеС, то, в силу A7),
i
а потому условие разрешимости B2) принимает вид
] B3)
Таким образом, справедлива следующая
Теорема 3. Внешняя задача Дирихле разрешима
при любой непрерывной функции Uq и ее решение пред-
представляется в виде суммы потенциала двойного слоя и
потенциала
Замечание. Пусть выполнены условия разрешимости A8) и
B3). Тогда общие решения интегральных уравнений B1) и A1*) при
К — — 1 содержат по одной произвольной постоянной Сх и С соответ-
соответственно: v(x)-f-Ctt (л (х)-\-С[ло(х). Отсюда, в силу формул C0) § 27.5
и A7), опять получаем, что решение внешней задачи Дирихле един-
единственно (и, значит, не содержит постоянной С), а решение внутренней
задачи Неймана определено с точностью до аддитивной постоянной С\.
422 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. V
5. Решение задач Дирихле и Неймана для шара.
Построим решения задач Дирихле и Неймана (внутренней
и внешней) для шара UR.
Пусть / — заданная непрерывная функция на сфере SR.
Тогда / (Rs) разлагается в ряд Фурье по сферическим
функциям
/№)=|; К, (s)f s€=Slt B4)
где, в силу C8) § 25.7,
\^((s, s'))ds'.
s,
Ряд B4) сходится в <%2(SR) (см. § 25.6). Предположим,
что этот ряд сходится в C(SR).
Тогда
и (г, б, Ф)= 2 (?)'К'(9' ф)' r<R>
— решение внутренней задачи Дирихле с но=/;
— решение внутренней задачи Неймана с wf*=/ при
условии, что
SR
, Ф). r > /?, B8)
/=0
— решение внешней задачи Дирихле с Uq—[\
/=0
— решение внешнем задачи Неймана с w[=/.
Действительно, ряд B5) состоит из гармонических
полиномов (см. § 25.8) и по предположению сходится
* 29] ФУНКЦИЯ ГРИНА ЗАДАЧИ ДИРИХЛВ. 428
в C($R). Поэтому этот ряд сходится в C{UR) (см. § 24.5),
определяя функцию и, гармоническую в UR (см. § 24.8),
непрерывную на UR и принимающую, в силу B4), знач-
чения f на SR. Это и значит, что ряд B5) дает решение
внутренней задачи Дирихле для uiapaUR с и6=Д
На основании признака Абеля *) ряд
сходится вместе с рядом B4) в C(SR). Отсюда, повторяя
предыдущие_рассуждения, заключаем, что ряд B6) схо-
сходится в C(UR) и определяет^ функцию и, гармоническую
в UR и непрерывную на UR. Далее, этот ряд можно
почленно дифференцировать по г,
со
да (г, б, ф)
дг
поскольку ряд C0), в силу признака Абеля, сходится
в C{U.R). Наконец, сумма ряда C0) на SR согласно B4)
совпадает с f, если функция / удовлетворяет условию B7)
разрешимости внутренней задачи Неймана (см. § 28.4).
Это и значит, что ряд B6) дает решение внутренней
задачи Неймана для шара UR с u[ = f при выполнении
условия разрешимости B7).
Аналогично доказывается, что ряды B8) и B9) опре-
определяют решения соответствующих внешних краевых задач.
§ 29. Функция Грина задачи Дирихле
1. Определение и свойства функции Грина. Функцией
Грина {внутренней) задачи Дирихле для" (ограниченной)
области G называется функция & (х, y)t x e= G, у <= G,
удовлетворяющая следующим- свойствам:
1) При каждом у е= С представляется в виде
где функция g(.v, у) — гармоническая в G и непрерывная
на G по х.
•) См. Г. Л}. Фихтенгольц [1J, т. Ц,
424 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА ГГЛ. V
2) При каждом г/ее G удовлетворяет граничному условию
0. B)
Из условий 1) и 2) вытекает, что функция & (х, у) —
гармоническая пох в области G\{#}, непрерывная в G\i#},
обращается в нуль на S и стремится к + оо при х-*~у.
Отсюда, в силу принципа максимума (см. § 24.4), вытекает,
что & (xt f/)>0, ateeG, f/eG. Далее, гармоническая
функция g(xt у) удовлетворяет граничному условию
откуда следует, что g(x, y)<.0t л;е5, y^G. Но тогда,
в силу принципа максимума, это неравенство сохранится
и в области G, т. е. g(xt */)<0, xeG, у eG. Итак,
в силу A), функция Грина удовлетворяет неравенствам
0<^(л:, у)< 4л1]х_у{ , ^G, j/eC, д:#у. D)
Из единственности решения задачи Дирихле (см. § 28.2)
вытекает, что функция Грина «?(х, у)
единственна (если она существует).
Физический смысл функ-
ции Грина. Из определения функ-
функции Грина &(х, у) следует, что при
каждом !/еС она удовлетворяет в
обобщенном смысле уравнению Пуас-
Пуассона кх?(х, у)= — Ь(х — у), xgeG,
и обращается в нуль на границе 5.
Рис. 94. Поэтому функцию & (х, у) можно ин-
интерпретировать как кулонов потен-
потенциал (см. § 27.3), порождаемый внутри заземленной прово-
дящеи поверхности 5 зарядом +-j^» находящимся в точ-
точке j/e G (рис. 94).
Функция g(x, у) непрерывна по совокупности перемен-
переменных (х, у) в GxG.
Пусть хп ее (/, уо ее G и (х, у) -»- (х0, у0), х &Gt y^G.
Пользуясь непрерывностью функции g(x, у) по х, прин-
§ 29] ФУНКЦИЯ ГРИНА ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ 425
ципом максимума и равенством C), получаем
\g{x0, yo)-g(x, y)\<,
', Uo)-g(x, у) К
-О,
1
\g(x0, yo) — g(x, у0) -\~max —
x'es 4Л
\x'—y
что и доказывает непрерывность функции g в точке (х0, у0).
Теорема. Если S — достаточно гладкая поверхность,
то функция Грина <Р (х, у) существует, имеет правиль-
правильную нормальную производную —{*' у на S при всех y^G
и симметрична:
?(х, у) = ?(у, х), xeeG, y^G. E)
Доказательство. Достаточно установить суще-
существование симметричной функции g(x, у), обладающей
при каждом y^G следующими_свойствами по х: гармо-
гармоническая в G, непрерывная на G, удовлетворяет гранич-
граничному условию C) и имеет правильную нормальную про-
производную на 5.
Фиксируем y^G. Функция —-r-\x — y\-1, jceGj,
есть, очевидно, решение внешней задачи Неймана с гра-
граничной функцией
С другой стороны, по теореме 1 § 28.4 это решение
представляется в виде потенциала простого слоя
с непрерывной плотностью \х (у', у) по у' е 5. Поэтому,
в силу единственности решения внешней задачи Неймана
(см. § 28.2, теорема 4),
Потенциал ]/@) гармоничен в G и непрерывен в R3
(см. § 27.2) и, в силу G), удовлетворяет граничному
условию C). Поэтому
= 5
g(x, у) = 1Л°> (х, у) = 5 jtzr?\ dSy., xeeG. (8)
420 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА ГГЛ. V
Отсюда по теореме § 27.7 следует, что функция g(x, у)
имеет правильную нормальную, производную (изнутри)
на 5 и эта производная, в силу формул D6) § 27.7
и F), равна
Щ^1 L * * x^S. (9)
7
0--L т- x^S.
»/ 4л дпх \х—у\
Осталось доказать симметрию функции g(xt у). При-
Применяя формулу Грина A3) § 28.3 к функции g(xt у) и
пользуясь граничными условиями C) и (9) и формулой (8),
при всех х е G и у е G получаем
-I?fi/ и)
4я ) [ | х-У | дпу. g{y ' У) дпу, Ix-
Теорема доказана.
Из симметрии функции g(x, у) вытекают следующие
дополнительные свойства ее: непрерывная по (х, у) в GxGt
при каждом х е G — гармоническая по у в G, принимает
значение —-т-\х — уI1 при y^S и имеет правильную
нормальную производную s[x' на S.
Otly
2. Примеры построения функции Грина (метод отра-
отражений). Для построения функции Грина для. области
с достаточно широкой группой симметрии весьма эффек-
эффективным оказывается метод отражений. Этот метод мы
проиллюстрируем на ряде примеров.
§29?
ФУНКЦИЯ ГРИНА ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ
427
а) Шар, UR. Пусть y(=URt уфО и
\y\\y*\ = R\
*
*
У*=У
ка
\у\>
A0)
при пре-
— симметричная точка относительно сферы
образовании инверсии (см. § 24.10).
Ищем функцию Грина в виде
1 п
v » У)— 4л |х — у\ 4л \х—у* |
где — 4n" ~ неизвестный заряд в симметричной точке у*.
Функция
— гармоническая в UR
и принадлежит классу
C°(UR). Подберем ве-
величину а так, чтобы
функция & {х, у) обра-
обратилась в нуль на гра-
границе SR. Для этого за-
заметим, что при \x\=-R
треугольники Оху* и Оху
подобны: один угол у
них общий, а прилегаю-
прилегающие стороны, в силу
A0), пропорциональны
(рис. 95). Поэтому при \х\ =
R I
\У\
и, следовательно, в силу (И), необходимо положить a =s
= -?-. Итак,
R справедливо соотношение
х-у*\
. У) =
1
4л \х — у
4п | у | | х —
1
4я|х —у[ 4n f х j у [»— yR*\
есть функция Грина для шара. Формула A2) сохраняет
силу и при у = 0:
428
УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
[ГЛ. V
Ь) Полупространство, *3>0*). Пусть точка
у = (уи yz, r/з) лежит в этом полупространстве, у3>0.
Точка д = (уи у2, —Уз) называется симметричной с точкой у
У*
R
Рис. 97.
относительно плоскости *3 = 0 (рис. 96). Нетрудно видеть,
что функция Грина для полупространства a:3>0 опреде-
определяется формулой
4л | x — у
4л | х — у
с) Полу шар, |х|<#, д:3>0. Пусть точка у лежит
в этом полушаре; у*— точка, симметричная с у относи-
относительно сферы SR\ у и у* — точки, симметричные с у и у*
относительно плоскости х3 = 0 (рис. 97). Функция Грина
выражается формулой
У) =
1
— у\
4л
1 +
х — у
R
4л I у
(Н)
d) Двугранный угол, х2 > 0, xs > 0. Пусть точка
У — (Уи Уч> Уз) лежит в этом двугранном угле, у2>0,
t/з >0; у и у' — точки, симметричные с у относительно
плоскостей *3 = 0 и х2 = 0 соответственно; у' — точка, сим-
*) Эта область неограничена (см. также пример d)). Функция
Грина 3? {х, у) для таких областей, кроме условий 1) и 2), должна
удовлетворять условию &(х, у)->-0 при \х\-*-са, y^G,
§291
ФУНКЦИЯ ГРИНА ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ
429
метричная с у относительно плоскости х3 = 0 (рис. 98).
Функция Грина имеет вид
1 1
(*. У)— 4л \х — у\
4л i х—у
1
4л ' х — у'
4л \х—у
-п- A5)
Аналогично строится функция Грина и для двугран-
двугранного угла раствора — .гдеп—целое, п
У'г-
JC,
Рис. 98.
3. Решение краевой задачи с помощью функции Грина.
Впредь в этом параграфе будем считать, что 5 — доста-
достаточно гладкая поверхность (см. § 28.2). Рассмотрим внут-
внутреннюю задачу Дирихле для уравнения Пуассона
Аи =-
A6)
где / е= Хг (G) П С (G) и и0 ее С (S). Как установлено § 28.2,
решение этой задачи единственно.
Теорема. Если решение и(х) задачи A6) имеет пра-
правильную нормальную производную на S, то оно представ-
представляется формулой
y)f(y)dy, A7)
Доказательство. По условию решение ue
gC2(G)C\C(G), имеет правильную нормальную производ-
производную на 5 и &u~ — f,f^ %%{G) HC(G). Применяя к функ-
функции и(х) формулу Грина A) § 24.1 при п = 3 и учитывав
430 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. V
A6), получим
+ 4л J \х-у\ dy> X^G'
G
Далее, при каждом *eG функция^ (л:, у) гармоническая
по у в G, непрерывная по у на G и имеет правильную
нормальную производную ^ ' у' на 5 (см. § 29.2). При-
у
меняя к функциям и {у) и g(x, у) формулу Грина (8) § 21.2,
выводим равенство
x<=G.
Прибавляя это равенство к равенству A8) и пользуясь
A) и C), получаем формулу A7). Теорема доказана.
4. Формула Пуассона. Вычислим теперь нормаль-
нормальную производную функции Грина для шара VR на сфе-
сфере SR. Пользуясь выражением A2) для этой функции, по-
получим
(X, У)
дп
R
д\ у | [ 4 л | х- у | 4л \х\ у]2 — i
= ±1\
4л др[
К I х 12+р2 — 2 [х | pcosv
R
2/>2
х | Р cos у
» = /?
4л/? (/?2-i-| х |2_2/? | х | cos у)*/г 4л/? | х — у
И формула A7) для шара UR при / = 0 принимает вид
I л I *^ А . Ill»/
Это и есть формула {интеграл) Пуассона. Она аналогична
формуле Коши для аналитических функций.
§ 291 ФУНКЦИЯ ГРИНА ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ 431
Докажем, что формула Пуассона A9) дает решение
внутренней задачи Дирихле для шара Ur
Ди = 0, u\Sr~uo B0)
для любой непрерывной на SR функции и0.
Действительно, решение и (х) этой задачи существует
для любой непрерывной функции и0 и единственно (см. § 28).
Во всяком меньшем шаре Up, p<.R, функция и (х) является
решением задачи Дирихле с граничным значением и |5р и
принадлежит классу CX(UP). Поэтому, по теореме § 29.3,
это решение представляется интегралом Пуассона A9), т. е.
Переходя в этой формуле к пределу при р-># и поль-
пользуясь непрерывностью и (х) на UR и граничным условием
B0), получаем представление A9), что и требовалось.
5. Сведение краевой задачи к интегральному уравне-
уравнению. Рассмотрим в области G краевую задачу для урав-
уравнения Пуассона
Ди = -/(*), u\s = 0, ue=C*(G)f\C(G), B1)
где /e=«#2(G)nC(G).
Предварительно докажем следующую лемму.
Лемма. Если /еС(С), то функция
y)f(y)dy B2)
— гармоническая в области G.
Доказательство. Так как функция g(x, у) непре-
непрерывна по (*, у) в GxG и гармонична по х в G (см. § 29.1),
тоКеС(б)и для любой ф е ^ (G) справедливы равенства
J V\(х) Дер(х)dx = \{\g(х, у)f (у)dy\ ДФ(х)dx =
так как g удовлетворяет уравнению Лапласа (см.§29.1).
Поэтому функция у (х) — обобщенно-гармоническая и, зна-
значит, гармоническая в области G (см. § 24.7). Лемма
доказана.
432 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. V
Теорема. Если f ^CX{G){\C{G), то (единственное)
решение задачи B1) выражается формулой
и(х) = \?(х, y)f(y)dy B3)
G
и имеет правильную нормальную производную на S.
Доказательство. Докажем, что формула B3) дает
решение задачи B1). Пользуясь A), перепишем B3) в виде
суммы двух слагаемых:
u(x) = V(x) + V(x), B4)
где V — объемный потенциал с плотностью — и функ-
функция V определена равенством B2).
По предположению /eCMG)f|C (G). Поэтому объемный
потенциал V е С2 (G) П С1 (С) и удовлетворяет уравнению
Пуассона B1) (см. § 27.1). По лемме функция 1/(д;) —гар-
—гармоническая в области G. Итак, в силу B4) функция
«eC2((J) и в области G удовлетворяет уравнению Пуас-
Пуассона B1).
Докажем, что u^C(G) и обращается в нуль на S.
Для этого достаточно показать, что
\u(xf)\z?0, x'-+x, x'eeG. B5)
Пусть е>0. В силу оценок D) найдется такая под-
подобласть G'<sG (рис. 99), что (см. § 1.6)
\ y)f(y)dy
G\G'
4л J \x'-y\ y ^ 2
G\G'
B6)
Но функция g(x\ у) равномерно непрерывна по (*' у)
на GxG' (см. § 29.1), и поэтому, в силу A), функция
Грина &{х', у) равномерно непрерывна по (xf, у) на
(G\G")xGr, где G" — любая подобласть такая, что G' ш
<^G"mG (рис. 99). Поэтому, учитывая, что функция
& (х' у) обращается в нуль при x's5, y&G', заклю-
заключаем, что найдется такая достаточно близкая к G подоб-
подобласть G" <gG, что
II
29]
ФУНКЦИЯ ГРИНА ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ
433
откуда и из неравенства B6) вытекает неравенство
(х', y)f{y)dy
, y)f(y)dy
\ y)f(y)dy
G\G'
справедливое при всех х' е G\G". Это и доказывает пре-
предельное соотношение B5).
Докажем, что функция и (х) имеет правильную нор-
нормальную производную на S. Так как 1/еС1 (R3) (см. §27.1),
то, в силу B4), для этого достаточно установить, что
функция V (х) имеет правильную нормальную произ-
производную на 5. По доказанному К <= С (G) — гармони-
гармоническая в G и удовлетворяет граничному условию V
— — V |s. Построим потенци-
потенциал простого слоя V{0) с непре-
непрерывной плотностью, решаю-
решающий внешнюю задачу Нейма-
nacut = -d~\s (см. § 28.4).
Объемный потенциал — V (х)
также является решением этой
задачл (см. §27.1). Поэтому,
в силу единственности реше-
решения внешней задачи Неймана
(см. § 28.2), заключаем,
что Vw(x) = — V(x), xezGv
В частности, 1/@) \s = — V \s.
Отсюда, по теореме о един-
единственности решения внутренней задачи Дирихле (см. §28.2),
получаем, что V (x) — V{0) (x), x e G. Поскольку потенциал
простого слоя V{0) имеет правильную нормальную произ-
производную (изнутри) на S (см. § 27.7), то, следовательно, и
функция V обладает таким же свойством. Теорема дока-
доказана.
Теперь установим, что краевая задача
Рис. 99.
u\s = 0, и €= С2(G) (]C(G) B7)
434 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. V
эквивалентна интегральному уравнению
u(x)=l&{x,y)[hi(y) + f(y)]dy, иеС(С), B8)
G
если f^Cl{G)[\C(G).
Действительно, пусть функция и еС(G) есть решение
интегрального уравнения B8), т. е., в силу A),
dy + I ё(*' ^^{y) + f<y)\dy. B8')
Первое слагаемое справа в B8') есть объемный потенциал
и потому принадлежит классу С1 (R3) (см. § 27.1), а вто-
второе слагаемое есть гармоническая функция в области G
(см. лемму). Поэтому «еС1 (G) и, следовательно, Am -f
-f f е С1 (G) П С (С). По теореме §29.5 функция «(*) есть
решение краевой задачи B7).
Обратно, если функция щ (х) есть решение краевой
задачи B7), то она является (единственным) решением
краевой задачи B1) с заменой / на Хи1 + [. Так как
kitx + f^ С1 (G) f\CF), то, по теореме, это решение выра-
выражается интегралом B3) с заменой / на Хиг-\-[, т. е. функ-
функция их удовлетворяет интегральному уравнению B8). Этим
доказана эквивалентность задач B7) и B8).
6. Свойства собственных значений и собственных функ-
функций. Рассмотрим однородную краевую задачу на собствен-
собственные значения" (внутреннюю задачу Дирихле)
Ди + Хи = 0, w|5 = 0, uezC2(G)f\C(G). B9)
В § 29.5 было показано, что задача B9) эквивалентна
задаче на собственные значения для однородного интег-
интегрального уравнения
и (х) = Я $ ? (х, у) и (у) dy, «sC (С), C0)
G
с симметричным (и, стало быть, эрмитовым) ядром &(xt у)
(см. § 29.1).
Докажем, что ядро & (х, у) слабо полярное (см. § 17.4).
Для этого функцию g(x, у), заданную и непрерывную на
(GxG)U(GxG) (см. § 29.1), продолжим на Gx G, полагая,
в соответствии с C),
§ 29] ФУНКЦИЯ ГРИНА ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ 435
При таком продолжении функция g(x, у) непрерывна на
GxG, кроме тех точек, где х~у, */<=?. А тогда, всилу
A), функция Грина & (х, у) непрерывна при x<=G, у gG,
хФу и, стало быть, в силу D), ядро & (х, у) слабо поляр-
полярное (а= 1, /г = 3).
Поэтому для уравнения C0) справедливы все положе-
положения теории интегральных уравнений с симметричным слабо
полярным ядром, доказанные в §§ 19 и 20. Но собственные
значения и собственные функции краевой задачи B9) сов-
совпадают с характеристическими числами и соответствующими
собственными функциями ядра j? (х, у). Это дает возмож-
возможность для краевой задачи B9) полностью доказать теорему 1
§21.4, а также установить и некоторые другие свойства
этой задачи.
Теорема. Множество собственных значений \kk] крае-
краевой задачи B9) не имеет конечных предельных точек, причем
А*;>0; кажсо ? собственное значение Xk имеет конечную крат-
кратность. Наименьшее собственное значение Xt — простое, а соот -
ветствующая ему собственная функция Х1(х)>0, *e G.
Собственные функции \Xk) можно выбрать вещественными
и ортонормальными; Xk&C2(G)f\C(G); они имеют пра-
правильную нормальную производную на S. Всякая функция f
из с^д *) разлагается в регулярно сходящийся ряд Фурье
по собственным функциям \Хк\.
Доказательство. Отсутствие конечных предельных
точек у множества \Lk\ и конечная кратность каждого
собственного значения ik следуют из теорем Фредгольма
(см. § 1*8.5). Из вещественности и эрмитовости ядра 9 (х, у)
вытекает, что собственные функции \ХЬ) можно выбрать
вещественными и ортонормальными (см. §§ 19.4 и 20.7).
Собственная функция Xk е С2 (G) П С {G) и является
решением при А = ЯА краевой задачи B9) и интегрального
уравнения C0). Поэтому, по теореме § 29.5, Xk(x) имеет
правильную нормальную производную на S. Отсюда и из
формулы Грина G) § 21.2 при u = v = Xk вытекает, что
$
о
Простота Ях и положительность Хг (х) в G вытекают
из теоремы Ентча (см. § 20.7), так как, в силу D), ядро
& (х,- у) положительное.
*) То есть /ёс*(ОПС1@). ^e^j(G) и /|в=-0 (см. § 21.1).
436 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА \ГЛ. V
Пусть /еа^д. Тогда функция f (х) является (един-
(единственным) решением краевой задачи
где /1 = -Д/еС@)П^2(С). По теореме §29.3 функ-
функция fix) истокообразно представима через ядро ъ(х, у), и,
следовательно, по теореме Гильберта — Шмидта (см. § 20.6)
она разлагается в регулярно сходящийся ряд Фурье по
собственным функциям \Xk). Теорема доказана.
Таким образом, для краевой задачи B9) верны тео-
теорема 1 § 21.4 и следствия из нее. В частности, система
собственных функций {Xk} этой задачи полна в %%(G).
Замечай ие. Пользуясь замечанием § 27.7, можно доказать,
что собственные функции Хь eCl (G); кроме того, Х^ е С°° (О)
(см. § 30.2).
7. Упражнения, а) Пользуясь формулой Пуассона A9), доказать
неравенство Гарнака
справедливое для любой функции и (х) :>0, гармонической в шаре VR
и непрерывной на U%.
b) Пользуясь неравенством Гарнака, доказать теорему: всякая
возрастающая последовательность гармонических функций в области G
сходится (равномерно на каждом компакте К a G) или к гармони-
гармонической в 6 функции, или к + °°-
c) Доказать равенство
i *• !x I
d) Пользуясь с), доказать, что интеграл Пуассона
1 С |sj2-/?2 dS )x
\y\ = R
дает решение внешней задачи Дирихле для шара Un.
e) Показать, что n-мерный интеграл Пуассона
1 С #2-U!2 . wo
^ J ;х-у|" "°(У) dS°
Ч/ > = R
дает решение внутренней задачи Дирихле для шара U,
§ 29) ФУНКЦИЯ ГРИНА ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ 437
f) Показать, что решения задач Дирихле и Неймана для полу-
полупространства х3 > 0 представляются соответственно формулами
*з Г "о (У) л с J_ С (У)
2л J \х-у\*аЪ* 2л J |*-у
о о
если к„ (У) —О (| у I1"8), "! (у) =0A у I"8), ! у I ->оо при любом 8 > 0;
g) Пусть G —выпуклая ограниченная область в /?:!. Доказать,
что краевая задача для стационарного уравнения переноса (см. § 2.4)
(s, grad ф) + сир=ХА (х) ф (х) +/ (х),
(х, s')ds', х|з(х, s) = 0. ^eS, (s, п*)<0,
эквивалентна интегральному уравнению Пайерлса (см. § 18.5, g)).
е-о.1
Здесь Ь/еС (G), Л (л:) > 0, a > 0.
ft) Пользуясь g) и теоремой Ентча (см. § 20.7) доказать: цре
характеристические числа {Хь} однородного уравнения Пайерлса
положительны, Xt — простое, соответствующая ему собственная функ-
функция ф! положительна, система собственных функций {ф^} полна
в %? (G; К).
\) Доказать следующий принцип максимума: если функция и (х)
класса С2 (G)f\C (G) удовлетворяет в ограниченной области G диф-
дифференциальному неравенству
Lu = — div(pgrad u) + q(x) us^O, p>0,
то либо M=^0 на G, либо и (х) принимает свой (полежительный)
максимум на G на границе S.
j) Пользуясь i), доказать: если функция и е С2 (G)[}C (G) есть
решение краевой задачи
)u = F (x), u\s = v(x), C1)
то справедливо неравенство
1 " Не (G) ^ -Г И F 1!С (С) + " V !'C (S) v ¦-
к) Пользуясь j), доказать единственность решения задачи C1)
в классе C^fflOG (G) и его непрерывную зависимость от F и v
в норме С (при условии q0 > 0).
1) Доказать, что решение краевой задачи
дп
5
единственно в классе С2 (G) П С1 (G), если q ф. 0 или а ^ 0.
438 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. V
т) Пусть L — положительно определенный оператор, т. е.
(L«, u) >0, uee/f/z., ифО. Доказать: для того чтобы функция и0
из Л!L была решением уравнения Lu — f, J<=:jC2{G) необходимо и
достаточно, чтобы она сообщала в *МL минимум функционалу
(Lu, u)-2Re(f, и);
решение и0 единственно в вМL.
§ 30. Уравнение Гельмгольца
Уравнением Гельмгольца называется уравнение (см. § 2.3)
Au + k*u = — f(x). A)
При k = Q оно превращается в уравнение Пуассона. Тео-
Теория уравнения Гельмгольца близка к теории уравнения
Пуассона, однако имеются некоторые особенности, свя-
связанные с неединственностью решения (при &2>0).
Уравнение A) будем рассматривать в трехмерном про-
пространстве, п = 3. Соответствующие фундаментальные реше-
решения выражаются формулами (см. § 11.9)
gi*l*! e-ik\x\
В дальнейшем считаем &>0.
1. Условия излучения Зоммерфельда. Как было пока-
показано в § 28.2, решение уравнения Пуассона во всем про-
пространстве единственно в классе (обобщенных) функций,
обращающихся в нуль на бесконечности. Для уравнения
Гельмгольца это утверждение уже не имеет места, по-
поскольку соответствующее однородное уравнение
Аи + k2u = 0 B)
«имеет в R3 ненулевое решение
обращающееся в 0 на бесконечности.
Чтобы выделить класс единственности решения для
уравнения Гельмгодьца в неограниченных областях,
являющихся внешностью ограниченных областей, нужно
потребовать дополнительных ограничений на поведение
решения на бесконечности. Такими ограничениями являются
$ 30] УРАВНЕНИЕ ГЕЛЬМГОЛЬЦА 439
условия излучения Зоммерфельда (см. § 2.3):
и(х)=*0(\ x]-1), ¦^jj — iku(x) = o(\x\'1), |лг|->оо C)
или
и(х) = 0A хИ), *№ + iku{x) = o(\x№, |х|-»-оо. C)
В дальнейшем (см. § 30.5) будет выяснен физический
смысл условий излучения: условия C) соответствуют рас-
рассеянным волнам (уходящим в бесконечность), а усло-
условия C) — падающим волнам (приходящим из бесконечно-
бесконечности). Нетрудно проверить, что фундаментальные реше-
решения Ш{х) и %(х) удовлетворяют условиям излучения C)
и C) соответственно. Заметим, что для гармонических
функций (& = 0) условия излучения вытекают только из
одного требования: и(оо) = 0 (см. § 24.10). С другой сто-
стороны, можно показать*), что при k>0 всякое решение
однородного уравнения Гельмгольца, удовлетворяющее
второму из условий.излучения C) или C), удовлетворяет
и первому условию:
в(*)-О(|*|-*).
2. Однородное уравнение Гельмгольца. Решения одно-
однородного уравнения Гельмгольца B) обладают свойствами,
аналогичными свойствам гармонических функций. Отме-
Отметим некоторые из них.
a) Если функция u^C(G) удовлетворяет в области G
уравнению B) в обобщенном смысле, то меС00(О). '
Это утверждение доказывается так же, как и для
гармонических функций (см. § 24.7).
b) Пусть граница S области G —достаточно гладкая
поверхность (в смысле § 28.2). Если функция u^C(G)
удовлетворяет в области G уравнению B) и имеет пра-
правильную нормальную производную на S, то справедливы
формулы
1 f IV
и {х)=«я J [т^тт-ш1 -и
и(х) = — \ —; ^Ш. — ц(ц\-—е —idS,,. D)
s
*) См. И. Н. Векуа [2].
440 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА {ГЛ. V
Доказательство этих формул аналогично доказатель-
доказательству формулы Грина E) § 24.1 для гармонических
функций.
с) Если обобщенная функция и из <§7" удовлетворяет
во всем пространстве однородному уравнению Гельмгольца,
то we %M.
Действительно, применяя к уравнению B) преобразо-
преобразование Фурье, получим (—| %,\2-{-k2) F[u] = 0, откуда сле-
следует, что F[u] = 0 при \l\=?k, т. e. F[u] — финитная
обобщенная функция. Но тогда, по теореме § 9.4,
d) Будем говорить, что обобщенная функция и(х)
удовлетворяет условиям излучения C) или C), если она —
класса С1 вне некоторого шара и удовлетворяет усло-
условиям C) или C).
Если обобщенная функция и удовлетворяет во всем
пространстве R3 однородному уравнению Гельмгольца и
условиям излучения C) или C), то и(х) = 0, x^R3.
Действительно, пусть решение и уравнения B) удов-
удовлетворяет условиям C>. Тогда и е ??' и, в силу с), и е
еСх(/?3). Применяя формулу D) к шару UR произволь-
произвольного радиуса R, при \x\<.R получаем
1 С \eikx
SR
eik\x~y\[du
- f
4л }
Принимая во внимание условия C)
где tj(/?)->0 при R^-oo, и неравенства
§ 301 УРАВНЕНИЕ ГЕЛЬМГОЛЬЦЛ 441
оценим последний интеграл при больших R:
Устремляя в правой части полученного неравенства R
к оо, заключаем: и(л:) = 0, что и требовалось установить.
Аналогично рассматривается и случай условий C).
Замечание. Справедливое более общее утверждение *): если
граница S области G —достаточно гладкая поверхность, функция
«еС (G{) удовлетворяет однородному уравнению Гельмгольца в обла-
области Gx = R3\G, имеет правильную нормальную производную на S,
удовлетворяет условиям излучения C) или C) и граничным условиям
ди
=0 или v-
дп
= 0, то и(х) = 0,
3. Потенциалы. Пусть р —обобщенная функция.
Свертки
UI .. _ f,— ik\x\
V =
являются аналогами ньютоновых потенциалов (см. § 27).
Если р финитная, то эти потенциалы принадлежат <§f"
(см. § 8.6) и удовлетворяют уравнению Гельмгольца (см.
§ П.З)
2а = — 4яр.
Таким образом, решения уравнения Гельмгольца A)
существуют в &" для любой финитной обобщенной функ-
функции / и представляются потенциалами
и = — ?*/, п — — ^*/. E)
При этом решение единственно в классе обобщенных функ-
функций, удовлетворяющих условиям излучения C) или C)
(см. § 30.2, d)).
*) См. И. Н. Векуа [2J, В. И. Смирнов [2\, гл. IV, $ 2.
442
уравнения эллиптического типа
[гл. v
Если ре_С(б) и р(*) = 0, x&G^
циалы V к V выражаются интегралами
Jk\X — y\
to потен-
потен\ y\
_ p(y)dy.
Эти потенциалы принадлежат классу C1(Ra)(]C°°(G1)f
удовлетворяют в области Gt однородному уравнению B)
и условиям C) и C) соответственно.
Это утверждение доказывается так же, как и для
объемного ньютонова потенциала (см. § 27.1). В проверке
нуждается лишь второе из условий излучения. Считаем
GczUR, \x\>R, и, следовательно,
\x\-R^\x\-\y\^\x-y\^\x\ + \y\^\x\ + R F)
при всех y^G. Тогда (ср. § 30.2, d))
и потому, в силу неравенств F),
A*1 — R
Аналогично рассматривается и потенциал V.
Если р = |иб5 или р=« — ^-(v6s), где ц, и vgC(S),to
соответствующие потенциалы V и V представляют собой
аналоги поверхностных потенциалов простого и двойного
слоя и выражаются интегралами:
О. -— ik\X— у\
п Jk | X — у\
х) = ) -jj^j f^ (У)dSy,
§ 301 УРАВНЕНИЕ ГЕЛЬМГОЛЬЦА 443
Свойства потенциалов V{0), K@), Va) и V{1) аналогичны
свойствам соответствующих ньютоновых потенциалов
(см. § 27). Вне поверхности S эти потенциалы бесконечно
дифференцируемы, удовлетворяют однородному уравне-
уравнению B) и условиям излучения C) или C) соответственно,
причем V@) и К@)еС(/?3). Если S — поверхность Ляпу-
Ляпунова, то потенциалы Vм0) и \/[0) имеют правильную нор-
нормальную производную на S извне и изнутри S и эти про-
производные равны соответственно
д
я;
потенциалы двойного слоя V[1) и V{1) принадлежат классу
С (Щ П С (Gi) П С (S), и их предельные значения на S извне
и изнутри S равны соответственно
- ± 2лv (х) + J v (у) ±-e^^dSy, (8)
с л „— ib\x —у\
Г (х) = ± 2nv (jf) + I v ((/) ^- x_yj dSy. (8)
4. Принцип предельного поглощения. Добавим к ле-
левой части уравнения Гельмгольца член /ем:
Aue + (*2-fi'e)ue = — /(jr). (9)
При 8^=0 для любой финитной обобщенной функции/
уравнение (9) имеет единственное решение в классе ??'
и это решение выражается сверткой
Действительно, свертка A0) существует в 3е" (см.
§ 8.6) и удовлетворяет уравнению (9), ибо функция
4л
-f- iE I лг,
есть соответствующее фундаментальное решение (см.
§ 11.9). Единственность решения уравнения (9) в классе 47"-
444 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА ГГЛ. V
вытекает из единственности решения однородного урав-
уравнения
т. е. уравнения
Пусть /sCF), f(x) = 0, xeGx. В этом случае ре-
решение A0) уравнения (9) записывается в виде интеграла
-f
4я }
A1)
Переходя в формуле (И) к пределу при в-^+0 или
е-*-—0 и полагая }/&2d: Я) = ± &, получим, в силу E),
решения и или п уравнения A), удовлетворяющие усло-
условиям C) или C) соответственно:
/I
¦ ik \ x —
Таким образом, имеет место следующее утверждение,
называемое принципом предельного поглощения: решение
уравнения A), удовлепгворяющее условиям C) или C) есть
(равномерный по х) предел единственного решения уравне-
уравнения (9) при е -*¦ ± 0 соответственно.
Принцип предельного поглощения позволяет выделить
единственное решение уравнения Гельмгольца, не забо-
заботясь о его поведении на бесконечности; при этом полу-
полученное решение автоматически будет удовлетворять усло-
условиям излучения C) или C).
5. Принцип предельной амплитуды. Этот принцип со-
состоит в том, что решения и или п уравнения A), удов-
удовлетворяющие условиям C) или C), являются соответственно
пределами
м(*)= lim в**'Мх, 0. A2)
< —+ 00
й(*)= lim e-iklv-(x, t)= lim eiktv.(x, -t), A2)
— oo
30]
УРАВНЕНИЕ ГЕЛЬМГОЛЬЦА
445
где v± (x, t) — решение (обобщенной) задачи Коши для вол-
волнового уравнения с правой частью В (t) e+ iktf (x) и с нуле-
нулевыми начальными данными:
\Z\v± = B{t)e+iktf{x), v±(x, 0 = 0, *<0. A3)
Действительно, пусть функция /eC(G), /(я) = 0,
х е Gx. Тогда единственное (обобщенное) решение v+
задачи Коши A3) выражается с помощью волнового по-
потенциала (см. § 13)
4л
х—\
Пусть G
<х-у
v+(x, 0= _
и Ос: t)
UR. Тогда \х-,
t при всех у gG, если t
A4)
у
Поэтому формула A4) в области
вид
х -\-R и, следовательно,
x\ + R (рис. 100).
x\-{-R принимает
/
e-ikt
т. е., в силу E),
¦f(y)dy,
v+(x, t) =
откуда и вытекает предельное соотношение A2) дляы(л:).
Аналогично рассматривается
и случай решения п{х).
Таким образом, решение
уравнения Гельмгольца (L),
удовлетворяющее условиям
излучения C) или C), можно
рассматривать как амплиту-
амплитуду установившегося колеба-
колебания, полученную с помощью
предельного перехода из не-
неустановившихся колебаний,
вызванных периодическим
внешним возмущением с ча-
частотой k и амплитудой f (х).
При этом предельная ампли-
амплитуда и {х) соответствует рас-
рассеянной волне, а амплиту-
амплитуда й (х) — падающей волне.
6. Краевые задачи для уравнения Гельмгольца. Пусть
граница 5 области G — достаточно гладкая поверхность
Рис. 100.
446 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. V
(в смысле § 28.2), a G, = R3\G — область. Задачи Дирихле
и Неймана (внутренние и внешние) для уравнения Гельм-
гольца ставятся так же, как и для уравнения Пуассона
(см. § 28.1). При этом для внешних задач требуется,
чтобы на бесконечности решение удовлетворяло услсшиям
излучения C) или C).
Если k = k2 не есть собственное значение внутренней
задачи Дирихле или Неймана для уравнения Лапласа,
то решение соответствующей внутренней краевой задачи
для уравнения Гельмгольца единственно.
Отметим, что множество исключительных значений k,
при которых нарушается единственность решения внут-
внутренних краевых задач, счетно (см. §§ 21.4 и 29.6)
Решения поставленных краевых задач для однород-
однородного уравнения Гельмгольца строятся методом теории по-
потенциала, подобно тому как это делалось в § 28 для
уравнения Лапласа.
Решение задачи Дирихле (внутренней и внешней,
удовлетворяющей условию C)) ищется в виде потенциала
двойного слоя V[U с неизвестной плотностью v^.C{S).
В силу (8) функция v должна удовлетворять интеграль-
интегральному уравнению
v(x) = X$an*, y)v(y)dSy+.f{x). *geS, A5)
где
ъ = A -ik\x-y\)-—-Ц
дпу \x—yl v ' vu\x — i/12
При этом А=1 и /= —— соответствуют внутренней за-
даче Дирихле и Я=—1 и / = ^ — внешней.
Решение задачи Неймана (внутренней и внешней,
удовлетворяющей условию C)) ищется в виде потенциала
простого слоя V@) с неизвестной плотностью fxeC(S).
В силу G) функция ц должна удовлетворять интеграль-
интегральному уравнению, союзному к уравнению A5),
|л(*) = Х$ЯГ*(х, y)\L(y)dSy + g(x), xeS, A5*)
s
причем к = — 1 и g = ^ соответствуют внутренней задаче
Неймана и ^=1 и g =— —¦ —внешней.
§ 301 УРАВНЕНИЕ ГЕЛЬМГОЛЫ1А 447
Применяя теоремы Фредгольма к интегральным урав-
уравнениям A5) и A5*) и пользуясь теоремой единственности
(см. § 30.2, замечание), как и для уравнения Лапласа
(см. § 28.4), получим следующую теорему.
Теорема. Если X = k2 не есть собственное значение
внутренних задач Дирихле и Неймана для уравнения Ла-
Лапласа, то краевые задачи (внутренние и внешние) для одно-
однородного уравнения Гельмгольца однозначно разрешимы
в виде соответствующих потенциалов при любых непре-
непрерывных граничных значениях*).
Замечание. К краевым задачам для уравнения Гельмгольца
приводят задачи на рассеяние (дифракцию) (см. § 2.3). Различные
применения рассмотрены в гл. VII книги А. Н. Тихонова и А. А. Са-
Самарского [1].
7. Внешние краевые задачи для шара. Рассмотрим
внешнюю краевую задачу для шара радиуса R
r (p),
1 \ ди ., / 1
— , 7j iku = o[ —
r /' дг \r
r-+oo.
Как показано в § 30.6, эта задача имеет единственное
решение. Построим его. Для этого разложим функции
и (г, 8, ср) и «о (б, ф) в ряды по сферическим функциям
(см. § 2516):
оо /
2 2 B, ф),
о /
«о(9, Ф) = 2 2 alnY?(Bt ф).
/ = 0м = - /
Неизвестные коэффициенты разложения е^{т должны
удовлетворять уравнению, (см. § 26.2, с))
[7]/m = 0) A6)
граничному условию
<&im{R) = alm A7)
*) Разрешимость внешних краевых задач имеет место при всех
значениях параметра k2 (см. И. Н. Векуа [2]).
448 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. V
и условиям излучения
r-+co. A8)
Общее решение уравнения A6) имеет вид
где Н1п — функция Ханкеля (§23.8). Учитывая асимптоти-
асимптотические формулы C8) § 23.8 для этих функций, видим, что
условиям A8) удовлетворяет лишь функция -^zHn> i (kr),
так что с2 = 0. Чтобы удовлетворить условию A7), доста-
точно положить Ci = jjtT)—7гб\' Подставляя найденные
значения сх и с2 в A9), получим искомое решение и в виде
Аналогично рассматривается и внешняя краевая за-
задача II рода.
8. Упражнения, а) Пусть р —финитная обобщенная функция.
Доказать, что потенциалы V и V с плотностью р удовлетворяют
условиям излучения C) и C) соответственно.
Ь) Пусть функция и(х) класса C{VR) удовлетворяет однород-
однородному уравнению Гельмгольца в шаре UR. Доказать аналог теоремы
о среднем арифметическом:
5,
c) Пусть k2 лежит в плоскости комплексного переменного z
с разрезом: Imz = 0, Rez;>:0. Доказать, что решение уравнения
Гельмгольца единственно в классе ?Р'.
d) Показать, что в я-мерном случае условия излучения Зоммер-
фельда
( }.~"\ а (
обеспечивают единственность решения уравнения Гельмгольца.
§ 31) УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА НА ПЛОСКОСТИ 449
в) Построить теорию потенциала для уравнения Гельмгольиа
при k2<0.
f) Доказать: если f e <$' (Rn) удовлетворяет однородному урав-
уравнению Гельмгольца в области G, то / е С°° (С), k2 — любое (комп-
(комплексное) число.
g) Доказать: если функция и (х) гармонична в области Gx и
ы(со) = 0, то она удовлетворяет условиям излучения (при k = 0).
h) Распространить формулы D) и D) на функции иеС(Gi),
удовлетворяющие в области Gx уравнению B), имеющие правильную
нормальную производную на S и удовлетворяющие условиям излу-
излучения C) и C) соответственно.
§ 31. Краевые задачи
для уравнения Лапласа на плоскости
Для точки (х, у) плоскости R2 удобно употреблять
обозначения z = x-\-iy- или 2 = x — iy. Считаем: G — огра-
ограниченная область в /?2 с кусочно-гладкой границей S.
Большинство результатов, полученных в §§ 27, 28 и
29 для краевых задач трех переменных, переносится к
и на двумерньге краевые задачи с заменой фундаменталь-
фундаментального решения ^зС*)^ — j ~ на фундаментальное реше-
ние ^2B)-=к^ 1п| 2 [. Однако в постановках и решениях
этих задач возникают некоторые различия, связанные
с особенностью поведения фундаментального решения <Ё2
на бесконечности.
1. Постановка и единственность решения основных
краевых задач. Основные краевые задачи для уравнения
Лапласа на плоскости ставятся так же, как и соответст-
соответствующие задачи в пространстве (см. § 28.1), за исключе-
исключением того, что для внешних задач от решения требуется
лишь ограниченность* при \z\^oo (а не обращение в 0).
Предполагаем, что G1 = /?2\G — область.
Из результатов §§ 24.5 и 24.10 следует1, вели функция
и (г) — гармоническая в Gt, непрерывная и ограниченная
на Сь то
\lmu(z)=a, |*|-»-со, A)
z
|-*oo, B)
^ u(z)\, ?eCj. 0)
15 В. С. Владимиров
450 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА ГГЛ. V
Линия Ляпунова и достаточно гладкая линия опреде-
определяются так же, как и в случае пространства (см. §§ 27.4
и 28.2); неравенство B6) § 27.4 в этом случае прини-
принимает вид
Справедливы следующие теоремы единственности для
основных краевых задач для уравнения Лапласа.
Решение внутренней или внешней задачи Дирихле един-
единственно и непрерывно зависит от граничных данных и^
или и% соответственно.
Если S —достаточно гладкая линия, то решение вну-
внутренней или внешней задачи Неймана определено с точ-
точностью до произвольной аддитивной постоянной, причем
\ui(z)dS = 0 или [u;(z)dS=*0 D)
s $
— необходимое условие разрешимости соответствующей
задачи.
Доказательство этих утверждений подобно доказатель-
доказательствам теорем 2, 3 и 4 § 23.2. Некоторое отличие возни-
возникает в связи С появлением необходимого условия разре-
разрешимости G) внешней задачи Неймана. Докажем это.
Пусть и (z) — решение внешней задачи-Неймана с гранич-
граничной функцией и\ на S. Так как и гармонична в Gx и
имеет на 5 правильную нормальную производную, рав-
равную — Ui, то, применяя формулу (8) § 21.2 при v=i
к области QR (см. рис. 77), получим
I
u{(z)dS +
Переходя в,, этом равенстве к пределу при R -»- со и поль-
пользуясь оценкой B), получаем условие D).
2. Логарифмический потенциал. Логарифмический по-
потенциал определяется как свертка обобщенной функции р
с функцией —ln|z| (см. § 7.10):
V = — ln|z|*p =—2я?а*р. E)
Логарифмический потенциал V удовлетворяет уравнению
Пуассона
I SI? УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА НА ПЛОСКОСТИ 451
Частными случаями логарифмического потенциала яв-
являются: потенциал площади
G)
потенциал простого слоя
V^-ln-jj-*^^ U(C)ln174^T^t (8)
и потенциал двойного слоя
I
г\ дп
1 С* COS (D,r
dSr. (9)
Эти потенциалы обладают следующими свойствами:
Если рЕС(б), то потенциал площади К
гармоничен в G^ и при | г | -> оо
\j [T) A0)
, кроме того, psC1 (G), то VsC2(G).
Если цеСE), то потенциал простого слоя
C(/?Jj, гармоничен вне S и при |г|-*-оо
) (И)
Если S —линия Ляпунова, то потенциал V(b) {z) имеет
правильные нормальные производные (-^—J и (-^—j «со
извне и изнутри S, причем
COS tb,r
]7^-d5;, A2)
A2')
452
УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
(ГЛ. V
Если veCE), то потенциал двойного слоя V(l} гар-
гармоничен вне S и
oo.
Если S — линия Ляпунова, то
—2я,
\
i
— я, *eS,
0, x e Gj.
A3)
A4)
Потенциал VA)(z) принадлежит классам C(G), C(GX)
и C(S), и его предельные значения V+ и V— на S извне
и изнутри S выражаются формулами
A5)
A5')
Доказательство этих свойств аналогично соответствую-
соответствующим доказательствам для трехмерного- случая (см* § 27).
Некоторое различие имеется лишь при доказательстве
оценок A0) и A1). Докажем оценку k A0). Оценка A1)
доказывается аналогично. Пользуясь G), имеем
A6)
Пусть 0 лежит в шаре UR и |zj>2#. Тогда при всех
С е G справедливы неравенства
откуда и из A6) следует оценка A0):
§ 311 УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА НА ПЛОСКОСТИ 453
Физический смысл фундаментального ре-
решения %ъ (z). Вычислим электростатический потенциал
V {г, х3), создаваемый зарядами, лежащими на оси х3,
с линейной плотностью — т^, т. е. с распределением
р (г, х3) = — j- 6 (г) • 1 (*3). Метод спуска по переменной х3,
изложенный в § 11.4, здесь не проходит. Несколько мо-
модифицируя этот метод, определим потенциал V (z, х3) как
предел при N-^-oo потенциалов Vn{z, х3), создаваемых,
зарядами, лежащими на отрезке |#3|=^jV оси xs, с линей-
линейной плотностью — т^-, т. е. с распределением
Этот потенциал есть свертка pN с.—4л$3 (см. § 27) плюс
произвольная постоянная cN *),
—N
A9)
Чтобы обеспечить существование конечного предела Vи
при Л/-^схэ, положим в A9) cN = 2^\nBN). В результа-
результате получим
V (z, xs) = lim VN (г, ^3) = ^ In' | z |. 1 (^3).
Таким образом, фундаментальное решение Ш2 (г) =
г=2^1п|г| есть электростатический потенциал, создавае-
*) В классе функций, обращающихся в 0 на оо, потенциал
U (г, х3) не существует. : "оэтому и потенциалы VN (г, х3) будем вы-
выбирать из более широкого класса функций (в данном случае —огра-
—ограниченных на оо).
454 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА 1ГЛ. V
мый зарядами, лежащими на оси х3, с линейной плот-
плотностью — ^ (ср. § 11.4).
3. Разрешимость краевых задач. Предположим, что
граница 5 области G —достаточно гладкая линия и G,=
= R* \ G — область.
Как и в §. 28.3, решение внутренней задачи Дирихле
ищем в виде потенциала двойного слоя
B0)
решение внешней задачи Дирихле —в виде суммы потен-
потенциала двойного слоя VA) и неизвестной постоянной а;
решение задачи Неймана (внутренней или внешней) —
в виде потенциала простого слоя
B1)
Для неизвестных плотностей v и ц и числа а, в силу
формул A2), A2'), A5) и A5'), получаем интегральные
уравнения
\ ге5, B2)
Ц ze=S, B2*)
s
с полярными (союзными друг другу) ядрами
При этом Л=1, / = — ^ соответствуют внутренней и Я=
= —1, / = "е~а —внешней задачам Дирихле; Я=«—1,
g = ^J- — внутренней и, Я=1, g = —^- — внешней задачам
Неймана.
Пусть jm — непрерывное решение уравнения B2*) при
Х« 1 и g = L. Интегрируя это уравнение по кривой S
a
§ 31} УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА НА ПЛОСКОСТИ 455
и пользуясь B3) и A4), получаем
f |i(C>rfS—1 fitf
т. е.
^ ±$ B4)
Докажем, что A,= l не есть характеристическое число
ядра <??"*(г, ?). Пусть, напротив, к — 1 — характеристи-
характеристическое число этого ядра и ц* — соответствующая ему
обственная функция,
(г) = f Ж* (z, С) |i* (С) ^ = i J j^^ ц» (С) dSt,
B5)
Тогда ц*еСE) и, в соответствии с B4) (при tti" = 0)
l0. B6)
Построим теперь ^потенциал простого слоя У(о) с плот-
плотностью ц*. Функция V@)eC(/?2) гармонична вне S и,
всилуB6) и A1), К(в)(°о) = 0. Далее, в силу A2) и
B5) ее правильная нормальная производная на 5 извне
равна 0. Отсюда, пользуясь единственностью решения
внешней задачи Неймана и внутренней задачи Дирихле
(см. § 31.1), как и в § 28.4, заключаем, что |/@)(z)s=0,
zg/?2, и, следовательно, ц*(г) = 0, ге5, что противо-
противоречиво.
По теоремам Фредгольма уравнения B2) и B2*) при
А, = 1 однозначно разрешимы в С E) при любых непре-
непрерывных fag. При этом для решения |i уравнения B2*)
при Х = \ и g = ^- справедливо соотношение B4).
Поэтому, если выполнено условие D), то, в силу (И),
К(в)() = 0. Итак, доказана
466 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. V
Теорема 1. Внутренняя задача Дирихле разрешима
при любой «'gC(S). Внешняя задача Неймана разре-
разрешима при любой «i"eC(S), удовлетворяющей условию
разрешимости D).
Из формулы A4) вытекает, что Х = —1 есть харак-
характеристическое число ядра &(z, ?) и v ва 1 — соответст-
соответствующая ему собственная функция. По второй теореме
Фредгольма X — — 1 — характеристическое число союз-
союзного ядра Ж* (г, ?)• Пусть ц0 — соответствующая собст-
собственная функция,
$f^!Y ^s. B7)
Мы знаем, что fxoeC(S) (см. § 18.5). Докажем, что
B8)
Пусть, напротив, С*=0. Составим потенциал простого
слоя с плотностью |10 (потенциал Робсна):
io (С) In [zj_?| dS%. B9)
Функция V(o)e=C(/?2) гармонична вне 5 и, в силу усло-
условия С=0, V@)(oo) = 0 (см. §31.2). Далее, из A2') и B7)
вытекает, что ее правильная нормальная производная
на 5 изнутри равна нулю. Отсюла, так как решение
внутренней задачи Неймана единственно с точностью до
аддитивной постоянной, заключаем, что У(о) B) = const ==
= СЬ ге=б. Но тогда, в силу единственности решения
внешней задачи Дирихле (см. §30.1), Vм0' (г) =СЬ z е=Съ,
и, следовательно, цо(г)=О, zeS, что невозможно.
Таким образом, СфО. Отсюда, рассуждая, как и в
§ 28.4, заключаем, что К = —1 — простое характеристиче
ское число ядра &С* {z, ^) и, стало быть, ядра <#?(г, Q.
Нормируем собственную функцию ц0 так, чтобы С—1.
По доказанному соответствующий потенциал Робена
Y^ (z) =• const 2 €Е G.
По третьей теореме Фредгольма инте!ральные уравне-
уравнения B2) и B2*) при А,=—1 разрешимы тогда и только
3D
УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА НА ПЛОСКОСТИ
457
тогда, когда их свободные члены / и g ортогональны
к собственным функциям j.i0 и 1 соответственно. Для
внешней задачи Дирихле это условие принимает вид
т. е., в силу B8) (при С — \), оно всегда может быть
удовлетворено за счет надлежа-
надлежащего выбора постоянной а,
, ^—i~^lC
о. — \ U(\ \zj [до \Z) ao. KyVf
s
Итак, справедлива следующая
Теорема 2. Внешняя за-
задача Дирихле разрешима при
любой Ua^C(S). Внутренняя
задача Неймана разрешима при
любой и\ еС(S), удовлетворяю-
удовлетворяющей условию разрешимости D).
4. Решение краевых задач
для круга. Для окружности Sp
интегральные уравнения B2) и B2*) легко решаются, и
это дает возможность построить решения краевых задач
для круга UR в явном виде.
Действительно, в силу соотношения (см. рис. 101)
Рис. 101.
получаем
2л/?
, С), г,
Поэтому интегральные уравнения B2) и** B2*) прини-
принимают единый вид:
2лЯ
= R. C2)
Решая это уравнение (см. § 18.1), получим:
C3)
l?l=tf
458 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. V
при Я = 1, / = —— (внутренняя задача Дирихле);
a =
«
C4)
2nR
I
при Я«= — 1, / = ~——' (внешняя задача Дирихле);
ц (г) = — «Г СО. если \ wr(QdS = O C5)
при Я = —1, / = -^- (внутренняя задача Неймана);
цB)= Ui (г), если \ w,u(C)d5 = 0 C6)
при Я = 1, / = L (внешняя задача Неймана).
Подставляя выражение C3) для плотности v(z) в по-
потенциал двойного слоя B0) и пользуясь формулами A4)
и C1), получим решение внутренней задачи Дирихле:
«м- S К $
т.. е. это решение представляется формулой (интегралом)
Пуассона
Аналогично, подставляя выражения C4) для плотно-
плотности v(z) и постоянной а в сумму У{1)(г) + а, получим
§ 31] УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА НА ПЛОСКОСТИ 459
решение внешней задачи Дирихле:
5 «j^lli^.^, \2\>R. C8)
IS1-*
Наконец, подставляя выражения C5) и C6) для
плотности \х (г) в потенциал простого слоя B1), получим
соответственно решения внутренней и внешней задач
Неймана:
и(«)—I ? ^(Qln-rJ-^-dSf + C, |*|<*f C9)
|г|>Я. D0)
5. Функция Грина задачи Дирихле. Функцией Грина
(внутренней) задачи Дирихле для (ограниченной) обла-
области 6 называется функция &(z, ?), обладающая свой-
свойствами (ср. с § 29.1): при каждом ? <= G представляется
в виде
где функция g(z, ?) — гармоническая в С и непрерывная
на G по г и удовлетворяет граничному условию
0. D2)
Из принципа максимума вытекает, что функция Грина
удовлетворяет оценке
0<^(z, tx-JLln-fJ^-, zeG.^O, г^$, D3)
где ?) — диаметр области G. Функция Грина «?B, С)
облагает и всеми остальными свойствами, изложенными
в § 29.1.
Пусть теперь G — односвязная юблзсть, ограниченная
кусочно-гладкой кривой 5, и w~w(z) — функция, кон-
конформно отображающая область G на единичный круг
|м>|<1 (рис. 102). Тогда функция
конформно отображает область G на единичный круг
| со | < 1, причем точка ? е G переходит в 0. Поэтому эта
460 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. V
функция при каждом ? т G представляется в виде
(о (г, С)«(г-?Жг. Q, D5)
где функция г(>^2, ?) — аналитическая в области G,
*(Z,?)^0, 2SG И 1|>€=C(G)*).
Проверим, что функция
^ ^B, g) D6)
функция Грина задачи Дирихле для области G.
Рис. Ю2.
Действительио, и« DВ) вытеквет, что функция D6)
представляется в виде D1), причем функция
как вещественная часть аналитической функции
lnty(t, 0» f (г» 0^0» гармонична в G и, непрерывна на
б. Далее, в силу равенства |ш(z, С) 1 = 1, ге^, функ-
функция D6) удовлетворяет и условию D2).
Для примера построим функцию Грина для круга
1*|<#. Функция
отображает Kwr \z\<CR на единичный круг |(о!<1,
причем точка X переходит bjO. Поэтому, в силу D6),
есть функция Грина для круга \z\<iR.
*) См., например, М. А. Евграфов [1J гл. V и IX.
§ 31} УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА НА ПЛОСКОСТИ *в!
6. Решение задачи Дирихле для односвязной области.
Метод конформных отображений позволяет получить
представление для решения задачи Дирихле для любой
односвязной области. Это представление является обоб-
обобщением формулы Пуассона.
Сначала, пользуясь равенством
представим формулу Пуассона C7) в виде
</(») = Re^r С Uo(q|±?.|l# D8)
IEI-Я
Лусть функция и0 непрерывна на границе 5 односвяз-
односвязной области G. Пусть, далее, функция z = z(w) конформно
отображает круг |ю|<;1 на область G и w*=w(z) —
обратное отображение (рис. 102). Тогда геС(^); пред-
предположим, что w&Cl(G). При этом отображении функция
uo(z) перейдет в функцию uo[z(w)], непрерывную на
окружности |да| = 1. По формуле D8) построим решение
задачи Дирихле для круга |да|<1 с граничной функ-
функцией uo-[z(a>)](
U (w) = Re -jr—т \ tin \z (co)l .
!(ol==l
Переходя в этой формуле к старым переменным z и
?, да»=>ш(г), о)»=а}(|),, получим искомое решение задачи
Дирихле- для области G с граничной функцией и0:
и (z) = Re-тг-г- \ w0 (С) У w т У ,\fj w w dt z s C. D9)
'' 2Я1 j ' a» (Q) — ю (г) ш (^
Замечание. Как известно, вещественная и мнимая части ана-
аналитической функции являются гармоническими функциями. Обратно,
если функция и (г) — гармоническая-, то, построив сопряженную функцию
получим аналитическую функцию / Щ — а ($ + iv (at), у которой веще-
вещественная часть есть функция и (г). Это дает возможность использовать
аппарат теории аналитических функций при решении и исследовании
краевых задач для гармонических функций на плоскости (см.
М. А. Лаврентьев и Б. В. Шабат [1J).
462
УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
[ГЛ. V
7. Упражнения, а) Пользуясь формулой D2) § 6.5 и фундамен-
фундаментальным решением —оператора Кошн —Римана (см. § 11.10), вывести
формулу Коши — Грина: если и е С1 (G)|"|C(G), то справедливо
представление
г-
s
b) Пользуясь а), доказать: если и е С1 (G) Л С (G) и удовлетворяет
/словию Коши —Римана, —^- = 0, геб, то и (г)—аналитическая
дг
функция в области G и справедлива формула Коши
1
2я1
С "(С) ^_| "(г), геб;
с) Показать, что потенциал простого слоя для окружности
г |«- R с плотностью ц =* 1 равен
Itl-Я
Я.
d) Пользуясь с), показать, что логарифмический потенциал
площади для круга |г|<# с плотностью р=1 равей
е) Показать, что следующие функции являются функциями Грина
задачи Дирихле:
1
-Lin
i
2я
In
2я
г —i
для полуплоскости
для полукруга | г \ < R, у > 0;
г1-
для четверти плоскости х > 0, у > 0 *)»
для полосы 0<#<д*)»
*) См. примечание на стр. 428.
§ 3tJ УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА НА ПЛОСКОСТИ 463
f) Показать, что решения задач Дирихле и Неймана для полу-
полуплоскости у>0 представляются соответственно формулами
—оо —op
если
u0(l) = O(\lti-*), u1 = 0(|||-1-e), |6|-»-oo при любом е>0.
g) Пусть функция ф(б) разлагается в равномерно сходящийся
ряд Фурье на [0, 2л],
Доказать, что
решение внутренней задачи Дирихле для круга | г < R с и^ «=ф;
со
а(•)-»«,+ Т *
* -!
решение внешней задачи Дирихле с и^=ф;
оо
^(a*cos kb+bk
решение внутренней задачи Неймана с и7 = Ф при условии до =
оо
Rk+l
— решение внешней задачи Неймаиа с и;["=ф при условии
ГЛАВА VI
СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА
В этой главе будет рассмотрена смешанная задача для
уравнений гиперболического и параболического типов и
дано обоснование метода Фурье.
§ 32. Метод Фурье
Одним из наиболее эффективных методов решения мно-
многомерных краевых задач является метод Фурье (разделе-
(разделения переменных). В § 26 этот метод был применен к крае-
краевым задачам на собственные значения. В атом параграфе
метод Фурье формально применяется к решению краевых
задач для уравнений различных типов. Обоснование ме-
метода Фурье для решения смешанных задач для уравнений
гиперболического и параболического типов будет дано
в следующих параграфах этой главы.
Пусть оператор L определяется дифференциальным
выражением
Lu = — div(pgradu)-|-<7", xeO,
и граничным условием
аи f
дп
= 0,
причем функции р(х), q(x), а(х) и р (л:) удовлетворяют
условиям C) § 21.1.
Предполагаем, что собственные значения {Xk\ опера-
оператора L положительны, 0<c^i^K^'-., а соответствую-
соответствующие собственные функции {Xk\,
вещественны и образуют полную ортонормальную систему
в пространстве Х^{Ь\ р) со скалярным произведением
/. ?)р ° весом р(лг)>0, леб, реС(О). (Достаточные
«32]
МЕТОД ФУРЬЕ 465
условия, при которых реализуются эти предположения,
даны в § 21.4.)
1. Однородное гиперболическое уравнение. Рассмотрим
в бесконечном цилиндре Z/oo = Gx@, ос) смешанную задачу
для однородного уравнения гиперболического типа
(см. § 4.5):
д2и , /tY
*), x <= G; B)
El*-0- <^°- C>
Сущность метода Фурье состоит в следующем: построим
достаточное количество решений уравнения A), представ-
представляемых произведением
T(t)X(x) D)
и удовлетворяющих граничному условию C); из этих реше-
решений составим линейную комбинацию, удовлетворяющую
начальным условиям B); при некоторых условиях естест-
естественно ожидать, что полученная линейная комбинация
будет удовлетворять уравнению A) и граничному усло-
условию C). т. е. будет решением задачи A) — B) — C).
Итак. ищем решение уравнения A) в виде произведе-
произведения D), причем от функции X (х) потребуем, чтобы она
удовлетворяла граничному условию C). Подставляя выра-
выражение D) в уравнение A) и деля его на рТХ, получим
ГЦ) __ LXjx) /(-ч
Г @ - р (*)*(*)' {О)
Левая часть равенства E) не зависит от х, а правая —
от t. СлеД°ватсльно» каждая из этих величин не зависит
ни от $> ни от U т. е. является постоянной величиной.
Обозначая эту постоянную через —Я, (ср. §26.1) из равен-
равенства E) Для неизвестных функций Т и X и параметра Я
получим уравнения
'" " " F)
Г + Я.Г-0. G)
Следовательно, уравнение A) распалось на два уравне-
уравнения F) и G) с меньшим числом независимых переменных,
Т. е., Кгак говорят, переменные разделились.
466 СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ГГЛ. VI
Решения Х(х) уравнения F) должны удовлетворять
граничному условию C). Поэтому в качестве X и X можно
взять собственные функции Xk и собственные значения X
оператора L. Общее решение уравнения F) при А, = А
имеет вид
Tk @ = ak cos Vh t + bksin Vh t, (8)
где ak и ^ — произвольные постоянные.
Таким образом, в силу D) и (8), построено счетное
число частных (линейно независимых) решений уравне-
уравнения A):
Тк @ Xk (х) = (с* cos VK t + h sin УК t)Xk{x), (9)
*=1. 2
удовлетворяющих граничному условию C) и содержащих
¦произвольные постоянные ак и bk. Всякая конечная сумма
решений (9), естественно, опять будет удовлетворять урав-
уравнению A) и граничному условию C).
Составим формальный ряд
00 ОО
2 Т*@**<*)= 2 (akcosVht+bks\nVrkt)Xk(x). A0)
Коэффициенты ak и bk выберем такими, чтобы ряд A0)
формально удовлетворял начальным условиям B):
т. е., в силу полноты ортонормальной системы {Хк\
в X%(G\ p),
? ^, ^ = -р^г(и1, Х*)р. A1)
Итак, для решения и(х, t) смешанной задачи A) —
B) — C) получено формальное разложение по собственным
функциям {Хь} оператора L,
, 0-2 («*-с°* Vht + bh sin Vh t) Xk (x). A2)
§ S2J МЕТОД ФУРЬЕ 467
Этот ряд назовем формальным решением смешанной за-
задачи A) —B) —C); k-Pi член ряда A2), равный
где
представляет собой так называемое гармоническое колеба-
колебание с собственной частотой Y~).k и амплитудой NkXk (x).
Последовательность чисел }/%, VK, ¦ •• называется спек-
спектром собственных частот колеблющейся системы.
2. Неоднородное гиперболическое уравнение. Изложим
другой, более общий, вариант метода Фурье, пригодный
дпя построения формального реления смешанной задачи
также и для неоднородного уравнения гиперболического
типа
p^- = -Lu + F(x, t). A3)
При каждом f>0 разложим решение и(х, t) задачи
A3) — B) — C) в ряд Фурье по собственным функциям \Хк)
оператора L,
и (х, t)=%Tk @ Xk (x), Tk @ = (и, Х*)р. A4)
В силу B), A4) и (И) неизвестные функции Tk (t) должны
удовлетворять начальным условиям:
Тк @) = $ р (х) и (*, 0) Хь (х) dx = (ы0, Хк)р = а„,
G
П @) = j p (х) д-^^-X%k (x) dx = (ии Х*)р = УК Ьк.
A5)
Составим дифференциальное уравнение для функций Тк.
Умножая скалярно уравнение A3) на X* и производя
формальные выкладки, получим
[
, Xk),
468 СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ГГЛ. VI
т. е., в силу A4), функции Тк удовлетворяют уравнению
где
ck @ = С7. **) = 5 Р (*. О ** (*) <**•
G
Решая задачу Коти для уравнения A6) с начальными
условиями A5), имеем (см. § 13.1)
Тк @ =
t
\ ck(т)sinyTkit-т)dx. A8)
б
Подставляя выражение A8) в ряд A4), получим формаль-
формальное решение смешанной задачи A3) — B) — C):
a*cos}/%* + &*sin
\ с*(т>sin^ ('-т)dT\
Отметим, что первые два слагаемшх в ряде A9),
в силу A2), дают формальное решение смешанной задачи
при г = 0; третье слагаемое есть решение этой задачи
при «о = «1 = 0.
Пусть Ио = ™О и
F (х, 0 = С sin (a*) p (д) Хй (х). B0)
Тогда
ал = Ьл=*0, ck (t) = С sin (oH (Xit Хл)р = Сб^ sinco(
и, следовательно, в силу A8),
t
Tk (t) = y^r \ Sin (<DT) Sin УТы (t -T)dT =
w2 - А, ч } л,
§ 32] МЕТОД ФУРЬЕ 469
Поэтому формальный ряд A9) сводится к единственному
слагаемому
и(х, 0= .С. ,д- sin 1/~M-sin оИ*,(*), B1)
О)-2 — А; } А; /
которое является фактическим решением задачи. При
% решение B1) принимает вид
и (х, t) = -^{^у=^- -1cos Vht) Xi(x). B2)
Из формулы B2) следует, что под действием перио-
периодического внешнего возмущения B0) с частотой, равной
одной из собственных частот У%, амплитуда колебаний
Рис. 103.
неограниченно возрастает при tf-voo, т. е., как говорят,
имеет место явление резонанса (см. рис-. 103).
3. Параболическое уравнение. Рассмотрим в цилиндре
#oo = Gx@, сю) смешанную задачу для уравнения пара-
параболического типа (см. § 4.5):
0; B3)
; B4)
5*0. B5)
Для построения Нормального решения смешанной за-
задачи B3) — B4) — B5) используем метод Фурье в форме,
данной в § 32.2. В соответствии с этим методом решение
470 СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА |ГЛ. V!
u(x, t) ищется в виде ряда A4). Для функций Tk{t) по-
получим задачу Коши:
П + Х»Г-с*@, П@) = аА, fc=l, 2 B6)
где ck(t) и а* определяются равенствами A7) и A5) соот-
соответственно. Решая задачу Коши B6), получим (см. §.13.1)
П @ - ake- V + J сА (т) *-V-T) dx, A7)
о
и, следовательно, формальное решение смешанной задачи
B3)—B4) —B5) выражается рядом
и(х, 0= S ffl^-**' + Jс*(т)e-V-*>dt]xk(x). B8)
4. Уравнение Шредингера. Смешанная задача для
уравнения Шредингера (см. § 2.7)
^^ <29>
C0)
C1)
рассматривается так же, как и смешанная задача B3) —
B4) —B5). Для функций Tk имеем следующую задачу
Коши:
ОП-Ь„Тк = 0, 7*(О) = а* = (ч>о, Хк), C2)
откуда
Г*@«а*Г*Ч C3)
и, следовательно, формальное решение смешанной задачи
B9) —C0) —C1) выражается рядом
Ч>(*. 0-Se*e"?V^*W. C4)
где Xft — собственные функции оператора L при р=к—,
q = V и р»1.
5. Эллиптическое уравнение. Рассмотрим в конечном
цилиндре #i.= Gx@, /) краевую задачу для уравнения
§ 321 МЕТОД ФУРЬЕ 471
эллиптического типа:
'); C5)
, xezG; C6)
Формальное решение этой задачи ищем в виде ряда A4).
Неизвестные функции Т* (t) должны удовлетворять урав-
уравнению
n-XkTk=ck(t), Ы, 2,..., C8)
и граничным условиям
Г»(О)«(«о. Xk)p = ak, Г*@-(и,, Xk)p = bk; C9)
функции ck(t) определяются равенством A7).
Построим решение краевой задачи C8) — C9). Функ-
Функция
At)T(t)a b
удовлетворяет уравнению C8) и граничным условиям
Vk @) = vk A) = 0. Поэтому эта функция выражается фор-
формулой (см. § 22.2)
$ dT, D0)
о
где
— функция Грина краевой задачи (см. § 22.1)
-v" + Xkv = -ck(t), о @) = и @ = 0.
Следовательно,
472 СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ГГЛ VT
Таким образом, формальное решение граничной за-
задачи C5) — C6) — C7) выражается рядом
v ' jU * shYx»! shKX»/
shYx»! shKX»/
я =1 t
-$**('. T)cfc(x)dT **(*). D2)
о J
6. Примеры.
а) Колебание закрепленной струны. Эта
задача сводится к решению смешанной задачи в полу по-
полосе @, /)х@; оо) для одномерного волнового уравнения
(см. § 2.1):
О»и = 0. u|/-o = Mo(*), "J/-o = "i(*J>
и U-o = и \x-i = 0.
Соответствующая задача на собственные значения есть
задача Штурма —Лиувилля:
Поэтому (см. § 22.4)
kna \й v /
) X(
sm-r, k = \, 2
и формальное решение задачи D3) выражается рядом
"<* 0 I
7 I (^ ^)sin*p, D4)
где
а* = \ «о (*) sm -у- dx, bft =-^- ^ и, (х) sin -у- dx.
о 6
Каждое гармоническое колебание
2 . ^лх
ns
к=== 1, J», ...,
образует стоячую волну с собственной частотой
амплитудой
§ 321
МЕТОД ФУРМ*
Нули у/, /2 = 0, 1,..., k, амплитуды называются цпмми,
,5
а ее точки экстремума
I, я = 0, 1 k~\, ~пуч-
ностями этой стоячей волны (рис. 104).
Гармоническое колебание TiXt с наименьшей собст-
собственной частотой \/гХ1 = у называется основным тоном;
остальные гармонические ко-
колебания Г2Х2, T3XSt ... с соб-
собственными частотами
2ла лГ\— Ъзу.а
— —J- > V л3 — —J—, ...
к-2
образуют ряд последователь-
последовательных обертонов.
Решение D4) складывает-
складывается из отдельных тонов (ос-
(основного тона и обертонов),
и их суммарное действие при-
приводит к созданию тембра
звука, издаваемого струной.
Ь) Распространен ие
тепла в ограничен-
ограниченном стержне. Рассмот- Рис 104
рим смешанную задачу для
одномерного уравнения теплопроводности:
к-3
D6)
Формальное решение задачи D5) выражается рядом
и(х, 0=7
a"e
i^. D6)
Ограничиваясь первым членом ряда D6), получим при
ближенное решение задачи D5):
.. 2а. — ^7Г~< . л*
и(х, t)^i~e l sin у.
с) Колебания закрепленной мембраны.
Задача сводится к решению смешанной задачи для дву
474 СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА [ГЛ< VI
мерного волнового уравнения:
Q,u = 0, и\^о = щ(хI щ\(^=*их{х), u|s = 0. D7)
Соответствующая задача на собственные значения прини-
принимает вид
Для прямоугольника @, /)х@, т) (см. § 26.2)
ч 2 .
)
h / = 1 2
и формальное решение задачи D7) выражается двойным
рядом
00
/ А 4
И [Xt U, Г) = ;—
-4- — * sin—sin^-, D8)
где
; т
/ m
/m f С , , . knx . iny
J J 1V ' Vl I m
Для круга UR{m. § 26.2)
^-0, 1, ...; / = 1, 2, ....
где njfc) — положительные корни уравнения Jk(\i) = Q.
Формальное решение задачи D7) выражается двойным
рядом
и(х, У, 0
f
ш 2 2* Kcos
D9)
f 89f МЕТОД ФУРЬВ 475
где
R 2л
Uo{x' y)
R 2л
d) Формальное решение смешанной задачи для дву-
двумерного уравнения теплопроводности,
"ls = 0, E0)
имеет вид: для прямоугольника @, /)х@, т)
00 /frt It \
/ 4 V ~nta\ti +ZTI • knx . iny
U(x,y,t) = ^ 2 aVe ' smTsmm;
для круга t/^
е) Колебание шарового объема. Рассмотрим
смешанную задачу D7) для трехмерного шара UR. Соот-
Соответствующие собственные значения и собственные функ-
функции вычислены в § 26.2, с) (формулы C0) и C1)).
Формальное решение задачи выражается рядом
/=еО/?= 1 me —
} 2
E3>
476 СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА [ГЛ, VI
где
aljm ==
R я 2л
+1
/? я 2я
f) Формальное решение смешанной задачи E0) для
трехмерного шара UR выражается рядом
J
2/ + 1 (/-I ml)! l
g) Рассмотрим в шаре 6V смешанную задачу для
уравнения Шредингера:
«Х№ E5)
Ч» 1/-о =—Ч»о <-»), ^^ = 0,
с потенциалом V, зависящим только от |х|. Соответ-
Соответствующая задача на собственные значения принимает вид
или, в сферических координатах,
д (г2дХ\ ¦ 1 д ( дХ
[ (г
j a @, е, фI<оо, л (Я, е, Ф)=о.
§ 323 МЕТОД ФУРЫ!
Собственные значения и собственные функции
задачи E6) определяются методом разделен им перемен-
переменных. Полагая
Шу(В, Ф)
и действуя, как и в § 25.8, получим
1 У iv\ V
/ = 0, 1, ...; /=1, 2, ..,; т = 0, ±1 ±/,
где кц и G%i]{t), /=1, 2, ..., —собственные значения и
собственные функции одномерной краевой задачи
Формальное решение задачи E5) выражается рядом
ы/, а- 1 X X X пп g-lv 2/+l (<—|m|)i
"^'O-htZZ Z a"m<? l+e««(/ + |m!)! x
х^;(г)УГ(е, Ф), E7)
где
R n2n
j
\ \ j
0 0 0
Собственные значения Я/у определяют уровни энергии
квантовой частицы; индексы / и т называются соответ-
соответственно орбитальным (азимутальным) и магнитным кван-
квантовыми числами. *)
h) Формальное решение задачи Дирихле
E8)
в прямоугольнике @, а)х@, /) выражается рядом
со ^ ^ sin^
и(х, (/)=¦- ? (a*, sh kn \- bt, sh — ] —т—^, E9)
*) См., например, А. Мессиа ? 1J, гл, IX.
478 СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА [ГЛ. VI
где
fl* = з "о (*)sin ir dx> ь*e J w* Wsin ind*-
о о
i) Рассмотрим задачу Дирихле в трехмерном цилиндре
URx@, h):
Аи-0, m|S/? = M*), «|.-o = «U-a = 0. F0)
В цилиндрических координатах (г, ф, г) (см. § 3.2) реше-
решение и(х, у, z) = u(r, z) не зависит от угла ф, и поэтому
задача F0) принимает вид
u{R,z) = uQ (г), й (г, 0) - й (г, К) = 0.
Решая краевую задачу F1) методом разделения перемен-
переменных, и (г, z) — <M{r)l{z), для функций <М п Z получим
краевые задачи
7"-^ =0, |б#@)|<оо.
Решения этих краевых задач легко находятся,
где /в —функция Бесселя мнимого аргумента (см. § 23.&).
Формальное решение задачи F1) и, стало быть, за-
задачи F0) выражается рядом
(*) • km /соч
ak > *' sin-^-, F2)
( 4
где
§ 33] УРАВНЕНИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 479
7. Упражнения, а) Доказать: если и%' е Хгф, /), ио(О) — щA) =
= ul @) = и @ = 0, и* е «5?й @, /), их@) = «i(/) = 0, то ряд D4)
представляет классическое решение задачи D3).
b) Доказать: если <е<5?й@; /), «0 @) = «о @ = °» т0 РЯД D6)
представляет классическое решение задачи D5).
c) Доказать: если «0 и ut е С2 (G), uQ js = uf |s = 0, то ряд
ч Т Г/
дает решение следующей задачи Дирихле для уравнения Лапласа
в цилиндре Gx@, I):
§ 33. Смешанная задача для уравнения
гиперболического типа
В этом параграфе будет рассмотрена смешанная за-
задача для уравнения гиперболического типа (см. § 4.5):
и)-qu + F(x, t)w-Lu + F(x, t), (I)
, oo);
, x&G\ B)
0. C)
Предполагаем, что функции p, p, q, а и |5 удовлетво-
удовлетворяют условиям § 32; G —ограниченная область, и ее гра-
граница 5 —кусочно-гладкая поверхность, ~Sq — та часть S,
где а(х);>0 и j5(*)>0 одновременно.
1. Классическое решение. Интеграл энергии. Класси-
Классическим решением смешанной задачи A)-т-B) — C) назы-
называется функция и(х, t) класса С2(Z/№)ПС1 (Доо), удовлет-
удовлетворяющая уравнению A) в цилиндре Цт, начальным усло-
условиям B) на нижнем основании и граничному условию C)
на боковой поверхности этого цилиндра.
Необходимыми условиями существования классическо-
классического решения задачи (I) —B) —C) являются следующие
480
СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА
[ГЛ, VI
условия гладкости:
и условие согласованности
, UleC(G),
iz? =0
дп s
При изучении краевых задач для гиперболических
уравнений весьма эффективным оказывается метод инте-
интегралов энергии. Пусть
и (х, t) — классическое ре-
решение задачи A) — B)—C).
Интегралом энергии назы-
называется величина
«Т
*х.
X,
So
представляющая собой сум-
сумму кинетической и потен-
потенциальной энергий колеб-
колеблющейся системы в момент
времени t.
Пусть и(х, t) — классическое решение задачи {{) — B) —
C) и F <=С Щоо)- Тогда справедливо соотношение
h
F(x,
D)
где
Для доказательства возьмем произвольные число е > 0
и область G'eGc кусочно-гладкой граиицей 5' (рис. 105).
Умножая уравнение A) на ~, интегрируя по цилиндру
(/' х(е, Т) и пользуясь первой формулой Грина (см. § 21.2),
§ 33] УРАВНЕНИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 481
получим
$ F
О'х(е. Г)
G' e e 0'
T
J
е LC
dudu ,с, .
ди.Л.. 1
$Тя2
Шреходя здесь к пределу при е-»-0 и G'->G и поль-
пользуясь тем, что и г Сг{Цт) и F^C{L[t), получаем равенство
о
-И'??
Из граничного условия C) вытекают соотношения на 5
^ = — -| и, если р > 0; и = 0, если р = 0. Поэтому
г г
- j ] PsimdSdt -J 3 "р "я dSd'=г J "т "I. dS>
0 5 0 So S,
откуда и из E), заменяя Т на t, получаем формулу D).
Теорема доказана.
Следствие. При F = 0 равенство D) принимает вид
Л«) = Л@), /2*0. F)
Физический смысл равенства F) состоит
в том, что полная энергия колеблющейся системы при
отсутствии внешних возмущений не меняется со временем
(закон сохранения энергии).
1$ В. С. Владимиров
482
СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА
[ГЛ VI
2. Единственность и непрерывная зависимость класси-
классического решения. Применим метод интегралов энергии
для доказательства единственности и непрерывной зави-
зависимости классического решения смешанной задачи A) —
()
Дифференцируя равенство D) по /, получим
t ^ 0.
2У (О У (/) = ? F (х, 0 —%-Q-
G
G)
Применяя к правой части равенства G) неравенство
Коши — Буняковского, выводим неравенство
2УУ
(8)
Учитывая теперь, что р(х)>0, реС(^) и, стаю
быть, р(х)^р0 при некотором ро>О, получаем цепочку
неравенств
ди\
dt
т. е.
Аналогично убеждаемся в справедливости оценки
Ро
(9)
(Ю)
где ро = т\пр(х), ^еО, ро>-0.
Подставляя неравенство (9) в неравенство (8) и со-
сокращая на J, выводим неравенство
Интегрируя полученное дифференциальное неравенство,
для функции J получаем оценку
,/@ ^ у @) +-^ f iF\<h.
(И)
§33] УРАВНЕНИИ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
Из оценок (9), A0) и A1) выводим оценки
F||dx, t^
1 J @)
||gradu|3<l/"|y@)+-rS=f|F|rfr,
' Ро К popo .1
483
A2)
A3)
Теперь оценим функцию | и [;. Дифференцируя равенство
и |,2 =
, t) dx
по t, пользуясь неравенством Коши — Буняковского и
учитывая неравенство A2), получаем
ди
т. е., после сокращения на 2||и||,
Интегрируя это дифференциальное неравенство, имеем
t v
0 0
где | м|!0 —значение функции |и| в точке / = 0, т. е.
= I «о I2
иЦ = \ и2 (х, 0) dx = J «S
G G
«о I,2.
Меняя порядок интегрирования в последнем интеграле,
получим искомую оценку
Ро
M
Ро J
а
. A4)
Теперь, пользуясь оценками A2), A3) и A4), докажем
следующую теорему.
16*
484 СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА [ГЛ. VI
Теорема. Классическое решение задачи A) — B) — C)
единственно и непрерывно зависит от и0, ut и F в том
смысле, что если F^C(U,T), РеС(Цу) и
то соответствующие {классические) решения и(х, t) и
«(*» 0 удовлетворяют при O^t^T неравенствам
11 grad* и - grad* и | |< С (е0 +< + е, + Те), A7)
|ar-fi/«C(el + e; + ei + 71B)t A8)
причем число С не зависит от и0, их, F, t и Т
Доказательство. Для доказательства единствен-
единственности достаточно установить, что классическое решение
и {х, t) -однородной задачи A) — B) — C) (при «0 = и, = О
и F = 0) единственно, т. е. и {х; t) = 0, {х} t) e Доо (см. §1.11).
Но это вытекает из неравенства A4), поскольку «в =0,
У@) = 0 и ^=0.
Для доказательства непрерывной зависимости составим
разность т} = « — й. Функция т\ является классическим
решением задачи A) —B) —C) с заменой F, м0 и щ на
F—Р, «о-'йо и Ui — ui соответственно. Пользуясь нера-
неравенствами A5), для решения г\ оценим величину интеграла
энергии У8@):
P J («о - й0)* dS <V max p (x) ef + Vmax p (x) (
«eff
где V — объем области G, a — площадь куска 50 и С? — число
большее, чем числа V max р, V max р и V max <7 + о max р ~.
Таким образом, получена оценка
). A9)
§-33] УРАВНЕНИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
Применяя теперь к решению г\ неравенство A4),
t
to
и пользуясь неравенствами A5) и A9), получим при всех
/€=[0, Т] оценку A6):
при надлежащем выборе постоянной С.
Аналогично, с помощью неравенств A2), A3) и A9),
устанавливаются и неравенства A7) и A8). Теорема дока-
доказана.
Доказательство существования классического решения
задачи A) — B) — C) представляет значительные трудности.
Чтобы обойти эти трудности, как и для задачи Коши,
введем понятие обобщенного решения этой задачи; суще-
существование же обобщенного решения устанавливается более
простыми средствами. Прежде чем приступить к этой
программе, изучим более подробно функции из %i(G),
зависящие от параметра.
3. Функции, непрерывные в X^{G). Пусть при каж-
каждом t e [a, b] функция и (х, t) принадлежит %г (G). Функ-
Функция и(х, t) называется непрерывной в X2(G) no перемен-
переменной t на [а, Ь], если для любого / е [а, Ь]
и(х, П-*и(х, 0, t'-+t в Xt(G).
Из этого определения вытекает: если функция и(х, t)
непрерывна в 3St{G) по t на [а, Ь], то норма $и(х, t)[
непрерывна по t на [а, Ь\, для любой /е Х^ (G) скалярное
произведение (и(х, t), f) непрерывно по / на [а, Ь\,
Me^,(Gx(a, b))t если интервал {а, Ь) конечен.
Действительно, непрерывность |wi следует из нера-
неравенства
486 СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА [ГЛ. VT
вытекающего из неравенства Минковского. Непрерывность
(и, /) следует из неравенства Коши — Буняковского
\(и(х, Г), f)-(u(x, (), f)\^\\u(x, t')-u{x, 0111/11.
Принадлежность и к X2(Gx(a, b)) следует из конечности
(а, Ь), непрерывности ;|иР и равенства
Ь b
$$!«(*, t)\*dxdt = \\u{x, t)fdt.
aG a
Последовательность функций uk{x, t), k=\, 2,...,
называется сходящейся к функции и (х, t) в Хг (G) равно*
мерно по t на [а, Ь], если
Iuk(x, t)-u(x, t)J ZX 0. ?-*сю;
при этом будем писать
й-^-оо в «5f2(G>.
Из этого определения следует, что
ил->ы, *->-со в ^2Cjx(fl, b));
\\uk(x, t) rl? Jи (х, 0,1, А->оо.
Лемма 1. ?слм последовательность функций иk(x, t),
k=\, 2, ..., непрерывных о %г(G) no t на [а, Ь], сходится
к функции и(х, 0 б %г(в) равномерно по t на [а, в], то
и(х, t) — непрерывная в X2(G) no t на [а, Ь] функция.
Доказательство. Возьмем произвольное е>-0.
Существует такое число т—тг, что
[ит(х, t)-u(x, 0!;<f» t<=\a, b].
По условию функция ит {х, t) непрерывна в Хг (G) по
t е-[а, Ь\. Поэтому существует такое число б = бе, что
Следовательно, пользуясь неравенством Минковского,
получаем
lu(x, t')-u(x, 0KI«(*. О-««и. 01 + 1 ««и. П —
-ит(х, t)\ + ]um(x, t)-u(x, 0!1<| + f + f = 8
при всех |f —f'|<fl, ^', /s[a, b]. Лемма доказана.
33]
УРАВНЕНИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 487
Последовательность функций ик(х, i), k = \, 2, ...,
называется сходящейся в себе в ?i\G) равномерно по t
на [а, Ь\, если
uk — up
Лемма 2. Если последовательность функций uk(x, t),
k=\, 2, ..., сходится в себе в Хг(G) равномерна по i на
[а, Ь], то существует функция и (х, t), непрерывная в Хг (G)
по t на [а, Ь] такая, что
[а. Ь]
uh —^ и, /г->-оо в X2{G).
Доказательство. По теореме Рисса — Фишера
(см. § 1.7) при каждом / е [а, Ь\ существует функция
и(х, t)^?2(G) такая, что
uk-*~u, &-»-oo в X^(G). B0)
Далее, можно выбрать подпоследовательность ukt(x, t),
i = \, 2 такую, что
К+1(*. t)-uk.{x, t)\<X-, t<=E[a, b]. B1)
Но, в силу B0), при каждом / е [а, Ь]
и= lim w*p = «*, + («ft,+1-«
р -¦оо
и потому, в силу B1),
J-+ —L /-1 о
2'+' *'' ~ 2'-1' ~ ' '' * *''
2'
откуда следует, что подпоследовательность iukA сходится
к и в X2(G) равномерно по / е [а, Ь\. А тогда из нера-
неравенства
и* - и
заключаем, что последовательность |uft} сходится к функ-
функции и в %2{G) равномерно по I на [а, Ь]. По лемм1е 1
функция и (х, t) непрерывна в Х% (G) по / на [а, Ь\. Лемма
доказана.
488 СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА [ГЛ. VI
4. Обобщенное решение. Пусть существуют последо-
последовательности функций Fk^C (Доо), «йо ^ С1 (б) и ukl e C(G),
k = l, 2, ..., такие, что 1) при ?->-оо
^F в <5?2(G) при любом Т>0,
, gradufto-»-grad«o в X2
в
B2)
2) при каждом &=*1, 2, ... существует классическое
решение uk(%, t) смешанной задачи
^*. 0. A')
B')
Докажем, что существует функция и(х, t), непрерывная
в Xt(G) no t на [0, оо) и такая, что при любом Г>0
<е=10. Т]
щ \ цг ^ooe^(G). B3)
Функцию и(а:, /) назовем обобщенным решением задачи
A)-B)-C).
Действительно, применяя неравенство A6) теоремы
§ 33.2 к разности uk—up, при всех <е[0, Т\ и Г>0
получаем
~ max \\Ffc-F
откуда, в силу B2), следует, что последовательность \uk)
сходится в себе в X2{G) равномерно по t на [0, Т]. По
лемме 2 § 33.3 существует функция и(х, t), непрерывная
в ?ъ(G) по t .на [0, со) такая, что при любом Т^>0 спра-
справедливо предельное соотношение B3).
Из определения обобщенного решения вытекает, что
всякое классическое решение задачи A) — B) — C) является
и обобщенным решением ее и для существования рбобщеы-
« 331 УРАВНЕНИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 489
ного решения необходимо выполнение условий: F непре-
непрерывна в Хг (G) по / на [0, ос), и0 е С (С), grad и0 e %i{G)
и tt,e^(G).
Установим теперь дополнительные свойства обобщен-
обобщенных решений.
а) Обобщенное решение и(х, t) задачи A) —B) —C)
удовлетворяет уравнению A) в обобщенном смысле, т. е.
для любой <ре^(Доо) выполнено интегральное соотно-
соотношение
J (^ }^(xt t)q>dxdt. B4)
Действительно, пусть ф?^ Щ^)» тогда supp ф с Цт
при некотором Т>0. Умножая уравнение (Г) на функ-
функцию ф и интегрируя по цилиндру Цт, получим
f [p^-div(pgraAulf) + qu^q>dxdt= f F^dxdt.
В интеграле, стоящем в левой части этого равенства,
интегрированием по частям перебросим операцию диф-
дифференцирования на основную функцию ф (см. F) § 21.2).
Поскольку ф обращается в нуль в окрестности границы
цилиндра Цт, внеинтегральные члены при этом исчезнут
и в результате получим
\
йт
Учитывая теперь, что, в силу B3) и B2),
uk-+u и Fk-*-F, ?-*оо в %г(Ц
и переходя в последнем равенстве к пределу при k-+-oo,
получим интегральное соотношение B4).
Ь) Обобщенное решение и(х, t) обладает первыми
{обобщенными) производными щ, grad и, непрерывными
в %ъ(О) по t на [0, ос), причем при всех Г>0
B5)
grad«, k-*-co в <%%(G). .
Действительно, применяя неравенство A8) теоремы
§ 33.2 к разности uk — up, при всех *е[0, Т] и Г>0
490 СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА (ГЛ. VI
получим
)uk дир
Ж ~ ~дГ ^ С ^"Uk0 ~ up° "с + ИIgrad Uk{) ~~ grad up° '' +
max_|!Fft-Fp|i),
откуда, в силу B2), следует, что последовательность
производных -~, k=\, 2, ..., сходится в себе в Хг{в)
равномерно по t на [0, 7"] при всех Т>0. По лемме 2
§ 33.3 существует функция п(х, t), непрерывная в %2{G)
по t на [0, со), такая, что при всех Т>0
*ut fc->co в %г(в). B6)
С другой стороны, из B3) следует, что uk-*-u, 6->co
в 3' (функции uk и и считаем продолженными нулем
вне цилиндра Ц^). Отсюда, пользуясь непрерывностью в rJ3'
операции обобщенного дифференцирования (см. § 6.2, а)),
заключаем, что
дик ди , Ггъ,
ж~+ш> k-^cc в в ¦
Применяя полученное соотношение к основным функциям
Ф из ^ Щоо) и учитывая B6), выводим
du
0T, ф
1 uq>dxdt*-\ -0~q>
откуда вытекает равенство (см. § 5.5)
щ=й, (х, 0еДю.
Таким образом, в силу B6), доказано первое предель-
предельное соотношение B5). Второе соотношение B5) доказы-
доказывается аналогично.
с) Обобщенное решение и (х, t) удовлетворяет началь-
начальным условиям. B) в следующем смысле:
||W-Uo|!_>0, |||grad,(u-«o)ii->O, |и,_И1|-М), t-+0. B7)
Для доказательства перейдем к пределу при /г->оо
в неравенстве
\и(х, О)-ио(х);1^\\и{х, 0)-щ(х, О)\\-\-\\икО(х)-ио(хI
§ 33] УРАВНЕНИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 491
используя предельные соотношения uh(x, 0)-*-u(x, 0) и
uk0(x)-*u0(x) в ?2(G). В результате получим и(х, 0) =
= ио(х). Отсюда, в силу непрерывности функции и(х, t)
в 56<l{G) по t e [0, ос), убеждаемся в справедливости
первого предельного соотношения B7). Аналогично,
используя свойство Ь), получим и остальные соотноше
ния B7).
Вопрос о том, в каком смысле обобщенное решение
и(х, t) удовлетворяет граничному условию C), подлежит
дальнейшему выяснению.
5. Единственность и непрерывная зависимость обоб-
обобщенного решения. Докажем, что оценки A2), A3) и A4)
остаются справедливыми и для обобщенного решения
и(х, t) задачи A) — B) — C).
Действительно, пусть uk(x, t), k = \, 2, .... — после-
последовательность классических решений задачи (Г) — B')—C'),
сходящаяся к обобщенному решению и(х, t) в смысле B3).
Применяя к решениям uk неравенство A4), получим
' _ r\ i Р. II dr t :> О С9Я\
Ро J
О
где
Л @) = | f (pMli + р | grad uk012 + quU) dx +
G
So
Пользуясь тем, что, в силу B3) и B2) (см. § 33.4),
*<=[0. Г] /е [0, Т]
\щ\ ~~Х\и\- \Fk\\ "tll^l, 7^>0 —любое;
«о \\с ->- 0, |[| grad uk011| ->-1| | grad «011|;
и переходя к пределу в B8) и B9), убедимся в справед-
справедливости оценки A4).
Оценки A2) и A3) устанавливаются аналогично, если
воспользоваться предельными соотношениями B5).
Из оценок A2), A3) и A4), как и для классического
решения, вытекают единственность обобщенного решения
задачи A) —B) —C) и его непрерывная зависимость от
и0, их и F в смысле тсоргмы § 33.2.
*92 СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА [ГЛ VI
6. Существование обобщенного решения. В § ^32 2
было построено формальное решение задачи A) — [Z) — F)
в виде ряда Фурье по собственным функциям {Лу} опе-
оператора L,
u(*.t)-2Tj{t)Xj(X), C0)
где
+
= 4и«1, */)р. 0W = (f' X>>- C2)
г Л/
Возникает задача обоснования методаФурье, т. е.
выяснения условий, при которых ряд w°) сходится и
дает обобщенное или классическое PeUI®H^\ P
Предположим, что u,6dt, «ieJ>*(°) и ^ непре-
непрерывна в if, (С) по t на ГО, оо). Докажем, что при этих
условиях ряд C0), представляющий формальное решение
задачи A)_B)-C), сходится в Xt(G) равномерно по t
на [0, Г] при всех Г>0 и определяет обобщенное реше-
решение и (х, t) этой задачи. t
Действительно, пользуясь теоремами разложения 1,
2 и 3 § 21.4 (см. замечание), представим функции и0,
grad«0, щ и 1 в виде рядов Фурье по собственным функ-
функциям {Xj} оператора L,
М*)=|>,Х;(*). C3)
оо со
grad мр (х) = 2 щ grad Xy (jc), «i (*) = S V ^ 6'Х>(х)' C4)
/)=р(*) So(o*/^ C5)
где ah Ь, и с, (/) определены формулами C2), причем
функции cj(t) непрерывны на [0, оо) im $м.<5). при
этом ряд C3) сходится в С (С), а ряды C4) сходятся
#(G)
в
§ 33] УРАВНЕНИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 493
Докажем, что ряд C5) сходится в %%{G) равномерно
по t на [О,. Т] при любом Т>0. Действительно, при
каждом t е [0, оо) для функции ?*' справедливо равен-
равенство Парсеваля — Стек лова (см. § 1.8)
Каждый член ряда C6) представляет собой неотрицатель-
неотрицательную непрерывную функцию c*(t), и этот ряд сходится
к непрерывной функции (см. § 33.3). По лемме Дини
(см. § 1.3) ряд C6) сходится равномерно на любом
конечном промежутке [О, Т]. Отсюда, оценивая остаток
ряда C5) в #2(G),
L(x) 2 Cj(t)Xj(x)l <maxp.(*)| 2 c}(t)УШ*/(x)Г =
1 l**k II t(=G || /«»* 1
¦р с 2 ci (о ** (о (*/. **b - c 2c/ w.
заключаем, что этот ряд сходится в %9(G) равномерно
по *е[0, Т] при любом Т>0.
Обозначим через uk, uMt un и Fk k-e частные суммы
рядов C0), C3), C4) и C5) соответственно, например:
k
tiii {х> ч== X / / (') X} {х), к = 1, 2, ...
Так как
Г/ @- - hT, (t) + c, @, Tj s С2([0, оо)),
= 0,
Ху 65 С» (С) ПС» (б).
то функции а* принадлежат С2 (Ц^) П С1 (Д^), удовлетво-
удовлетворяют уравнению (Г)
2 i—
494 СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА [ГЛ VI
граничному условию C') и начальным условиям B')
a«fc _ у у у- и х ( \ —
Таким образом, построена последовательность uk(x, /),
Л = 1, 2,..., классических решений задачи (Г) — B') — C')
таких, что справедливы предельные соотношения B2).
В § 33.4 было доказано, что эта последовательность
(и, стало быть, формальный ряд C0)) сходится в <%2 (G)
равномерно по t на [0," Т] при всех Г>0 к обобщенному
решению и(х, t) задачи A) —B) —C). Построенное обоб-
обобщенное решение и(х, t) обладает свойствами а), Ь) и с),
установленными в § 33.4. Итак, доказана следующая
Теорема. Если u0^oSL, Ui^^X2(G) и F непрерывна
в X2(G) no t на [0, со), то обобщенное решение задачи
A) —B) —C) существует и представляется рядом C0) —
формальным решением этой задачи.
Замечание. При п=\ справедлива теорема вложения: если
I' cs ?ъ @, /), то / е= С ([0 /]) и
Действительно, из равенства
X
/(*) = / (*о) + J Г (х') dx\ х0 е [0. I]
следует, что /еС([0, /]). Отсюда, выбирая точку xo s [0, /] такой,
что
= ~ [ \f{x')\dx',
о
и пользуясь неравенством Коши —Буняковского, получим (*):
х I
1 С
I /' (X1) \dx' s$ — X \f (*') | dx' -f-
6
1
Q
§ 331 УРАВНЕНИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 495
Пользуясь эгой теоремой и неравенствами A3) и A4), можно
усилить результаты §§ 33.2, 33.4—33.6, в частности: последователь-
последовательность uk(x, I), &-»оо сходится равномерно на любом Цт — [0, 1]Х
Х[0, Т] к обобщенному решению и(х, (), непрерывному на Ц^.
7. Существование классического решения. Возникает
задача: выяснить, при каких условиях обобщенное реше-
решение C0) задачи A) — B) — C) является классическим
решением. Нетрудно убедиться, что ряд C0) представляет
классическое решение этой задачи, если он и ряды,
полученные однократным дифференцированием по всем
аргументам, сходятся равномерно в любом конечном
цилиндре Цт, а ряды, полученные дву-кратным дифферен-
дифференцированием, сходятся равномерно на любом компакте
из Z/№. Доказательство же возможности почленного диф-
дифференцирования ряда C0) в общем случае представляет
значительные трудности. Поэтому мы ограничимся рас-
рассмотрением смешанной задачи с двумя переменными (xt t)
в полу полосе /^ = @, /)х@, ос):
д*и д I ди\ nt ,„7.
«!/-<> = «о (*), И/1/-о = М*). 0<х^/, C8)
hxu — h2ux |*_o = #i« 4- Нъих \x.i = 0, t^O. C9)
Предполагаем все Ял>0. Собственные функции \Xk)
образуют полную ортонормальную систему в ^2@t 0
(см. § 22.3) и удовлетворяют интегральному уравнению
(см. § 22.2)
Xk(x) = h^(x, y)Xk(y)dy, D0)
о
где $ (х, у) — функция Грина оператора L (см. § 22.1).
По теореме Мерсера (см. § 20.9)
причем ряд D1) сходится равномерно на [0, /|.
Докажем равномерную на [0, /] сходимость
D1)
рядов
ц * L ц
496 СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ГГЛ. V?
Равномерная сходимость первого ряда D2) вытекает
нэ интегрального уравнения D0)
X'k{x) }
-тг~у*х>у) "(у) у~**> *).
равенства Парсеваля—Стеклова (см. § 1.3)
и из леммы Дини (см. § 1.3). (В силу свойств функции
Грина $(х, у) последний интеграл есть непрерывная
функция на [0, /}) Равномерная сходимость второго ряда
D2) вытекает из равномерной сходимости первого ряда D2)
и ряда D1) и из дифференциального уравнения
X'k (х)= -?МX'k (х) + qix)-Kk Xk (х).
Для задачи C7) — C8) — C9) выпишем ряд C0), пред-
представляющий обобщенное решение этой задачи (см. § 33.6):
«(х, 0 = S (fl*cosVTkt-f 6*sin V%0X,(*), D3)
X»). D4)
Сначала докажем: если u0 e <JCL и «i e «Sfa @, /), mo
ряд C0) сходится равномерно на Ц^ (к непрерывной
«я Дсо Функции и (х, 0)-
Действительно, так как и0 е e#i, то L«o e ^?2 @. 0 и
Xk).
Отсюда, учитывая обозначения D4), в силу равенства
Парсеваля — Стеклова (см. § 1.8), получаем
2 XI | ak |а = | WA 2 ** I ** I1 H Hi f. D5)
Применяя к ряду D3) неравенство Коши — Буняковскога
и учитывая равномерную сходимость ряда D1) и сходи-
сходимость рядов D5), убедимся в регулярной сходимости
* 341 УРАВНЕНИЕ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
Ряда D3) на Ц-
*=!
Теперь докажем теорему о сугшгпюишши клшгпче
ского решения задачи (Л7) (Щ - (ЗУ).
Теорема. Если и0, Lu0 и иг принадлежат <JCt, me
ряд C0) представляет классическое решение задачи C7)—
C8)— C9), причем и^&Щ^).
Доказательство. В силу условий теор§мы, KM W
в D5), получаем
= !/.•«,Л ^XJI^HU»1. D1)
из сходимости рядов D6) и и:* равномерной сходимости
рядов D1) и D2) следует регулярная сходимость на #да
ряда D3) и всех рядов, полученных почленным диффе-
дифференцированием его по х и t один и два раза. Теорема
доказана.
Замечание. Первое строгое пЛосиоялние мггоди Фурм для
двух переменных было дано В. Л. ОтекЛЬным |l|i ДЛЯ мноГМ *•••<
менных —см. О. А.. Ладыженская [IJ.
§ 34. Смешанная задача для уравнения
параболического типа
В этом параграфе будет рассмотрена смешанная за-
задача для уравнения параболического типа (см. § 4.5)
p-? = div(pgradu)-qu + F(x, t) = — Lu+F(;x, t), A)
(х, 0eZ4, = Gx@, oo);
и[ыо = и9{х), шб; B)
a" + P5|s = u(^ 0 (*.0е5х[0, оо) C)
при условиях § 32.
498 СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА [ГЛ. VI
1. Классическое решение. Принцип максимума. Клас-
Классическим решением смешанной задачи A) —B) —C) на-
называется функция и{х, t) класса С2(Д0О)П^(Дсх),
gradxtt еС(Доо), удовлетворяющая уравнению A) в ци-
цилиндре Д^, начальному условию B) и граничному усло-
условию C).
Необходимыми условиями существования классиче-
классического решения задачи A) —B) —C) являются следующие
условия гладкости:
F<=C(LIJ, uozeC1(G), ve=C(Sx[0, cc)),
и условие согласованности
= v (х, 0).
дп
S
При изучении краевых задач для уравнения парабо-
параболического типа весьма полезным является следующий
Принцип максимума. Пусть функция и(х, t)
класса С?(х<=Сг 0<Ц^Т)[\С(ЦТ) удовлетворяет урав-
уравнению A) в ЦТ. Тогда, если F(x, t)^0 в цилиндре Цт,
то либо ws^O на ЦТ, либо функция и(х, t) принимает
свой (положительный) максимум на цилиндре ЦТ на
нижнем основании Gx{0} или на боковой поверхности
Sx[0, T] его, т. е.
и(х, /)^гпах[0, max u(x, t), max u(x, t)], ^,
x<=G, <=0 '
Доказательство. Предположим противное, т. е.
пусть функция и (х, t) принимает положительные значе-
значения в некоторых точках цилиндра Z/K н0 не достигает
своего (положительного) максимума ни на его нижнем
основании Gx\0\, ни на боковой поверхности 5х[0, Т].
Это значит, что найдется точка (л:0, f0), xo^G, 0<^0^
^Т, такая, что
, max* u(x, t), max u(x, /)] =
= M>0. E)
Обозначив
e = u(x0, to)-M>O, F)
$34] УРЛВПППИГ ПЛРЛПОЧИЧГСКОГО ШИЛ 499
построим функцию
v(x, t)~n(x, t) I I -¦—.
Тогда
v(x, t)^u(x, Г ' F
и, в силу F), при всех {х, t) из Gx{0\ или 5х[О, Т)
имеем
С Б
Отсюда следует, что функция v также принимает свое
(положительное) максимальное значение на Цт в некото-
некоторой точке, (л:', V), /eG, 0<f s^7\ причем
Выпишем необходимые условия максимума функции
v в точке (х\ V):
Из этих условий, а также из неравенства G) вытекает,
что в этой точке
р ~ - div (pgrad и) -f qu- F =
что противоречит уравнению A). Это значит, что нера-
неравенство E) неверно и, следовательно, справедливо про-
противоположное неравенство D), что и требовалось уста-
установить.
Заменяя « на — и и F на — F из принципа макси-
максимума получим
Принцип минимума. Если функция и(х, t)
класса С2 {х eG, 0 < t ^ Т) П С Щ?) удовлетворяет урав-
500 СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА |ГЛ. VI
нению A) в Цт и F^O в Цт, то справедливо неравен-
неравенство
и(х, 0S2tnin[0, min "(*, t), min u{xt t)]. D')
2. Единственность и непрерывная зависимость клас-
классического решения. Применим принципы максимума и
минимума для установления единственности и непрерыв-
непрерывной зависимости классического решения смешанной за-
задачи A) —B) —C) I рода, т. е., когда в граничном усло-
условии C) а=1 и р = 0:
u\s = v(x, t), (x, /)eSx[0, йс) (Зх)
(Требование grad*« е Щ^) для краевых задач I рода
излишне; см. замечание. § 4.5.)
Пусть и(х, ^ — классическое решение задачи A) —
B) —Ci) и FeCfZ/oo). Фиксируем Г>0 и обозначим
o, г]),
Составим функцию
~t, pe«minp(*)>0. (8)
р0
Функция х является классическим решением смешанной
задачи A) — B) — C0 с заменой F и и на f — -?- М — ?¦ Ш и
Ро Ро
М
v—rrt соответственно. Учитывая, что
F - ? М - -4- Mt < 0, (х, t) € Цт\
м
o-JL/^Afb (дс, 0е5х[0, Г],
Ро
и пользуясь неравенством D), получаем оценку
X=^max(M0, Mi),
т. е., в силу {8),
и(х, t)^:—Т + тахШо, М\), (х, t)^LlT.
Аналогично, вводя функцию
§ 34] УРАВНЕНИЕ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 501
и пользуясь неравенством D'), получим противополож-
противоположную оценку:
и(х, t)^-~T-max(Mn, Л4,), (*, t)eHT.
?0
Итак, еоли. и(х, t) — классическое решение задачи A) —
B) — C,) и FeC(HM), то при любом Т>0 справед-
справедлива оценка
|l"fic(ar)<max['||V<:(c), it>!V:<sx[o. т})] + -—IFk(uT). (9)
Пользуясь полученной оценкой, докажем следую-
следующую теорему.
Теорема. Классическое решение задачи A) — B) — Ci)
единственно и непрерывно зависит от и0, v и F в том
смысле, что если
\F-Fк(пТ) ^е, | «о-Яок (а) <е0, \
j
mo соответствующие (классические) решения и(х, t) U
й(х, t) удовлетворяют неравенству
iu-uk(UT)^max(eOt ei) + ~e. (И)
Доказательство. Единственность решения выте-
вытекает из того, что, в силу оценки (9), однородная задача
A) — B) — Ci) (при «о^О, о = 0 и F = 0) имеет только
нулевое классическое решение (см. § 1.11).
Для доказательства непрерывной зависимости соста-
составим разность т] = м — й. Функция т) является класси-
классическим решением задачи A) — <2) — (Зх) с заменой F, и0
и v на F — ]?tuo — uonv — v соответственно. Применяя
неравенство (9) к функции г\ и пользуясь оценками (ГО),
получим оценку A1). Теорема доказана.
3. Обобщенное решение. Как и для уравнения гипер-
гиперболического типа, введем понятие обобщенного решения.
Пусть существуют последовательности функций Fk e
sCEs), y,e=C(Sx[0, оэ)) и u,0eC(G), Л-1.. 2, ...,
такие, что 1) при &->-оо
Fk-+F в СЩТ)> vk~*v в СEх[0, Т]) \
при любом Г>0; и.о-^wo в C(G)\ }
502 СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА [ГЛ. VI
2) при каждом 6=1, 2, ... существует классическое
решение смешанной задачи
дик
= - Luk+Fk(x, t), (Г)
И* l*=0 = «АО (*), B')
DT s = Vk{x' ()- C)
Предположим, что существует функция и(х, t)t непре-
непрерывная на цилиндре Ц.а и такая1, что при любом Г>0
ик-+и, fc^oo в СЩт). A3)
Функцию и(х, t) назовем обобщенным решением задачи
Из определения обобщенного решения задачи A) —
B) —C) вытекает (ср. § 33.4): всякое классическое
решение этой задачи является обобщенным решением ее;
для существования обобщенного решения необходимо выпол-
выполнение условий: FeC(Z/oo), v ^C(S х[0, со)), аоеС(C);
обобщенное решение удовлетворяет начальному условию B);
обобщенное решение удовлетворяет уравнению A) в обоб-
обобщенном смысле, т. е. для любой фе^(Цоо) выполнено
интегральное соотношение
—p^ + Lq>)dx dt=* § F(х, t)<pdxdt. A4)
Докажем, что для краевой задачи A) — B) — (Зх) после-
последовательность \uk) равномерно сходится на любом Цт-
Действительно, применяя неравенство (9) к разности
Uk — Up, при всех Г>0 получаем
: шах [| ик0 - ир0 Цс(и), I vk - vp \\
откуда, в силу A2), следует, что последовательность \uk)
сходится в себе в СЩт). Поэтому существует функция
и{х, 0» непрерывная на Дот и такая, что последователь-
последовательность \uk\ сходится к и в С (Цт) при любом Г>0 (см.
§ 1.3).
Докажем, что оценка (9) остается справедливой и для
обобщенного решения и(х, t) задачи A) — B) — (Зг).
$ 341 УРАВНЕНИЕ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 503
Действительно, пусть uk (*, /), & = 1, 2,..., — последо-
последовательность классических решений задачи A) — B) — (Зл),
равномерно сходящаяся к обобщенному решению и (х, t)
на любом цилиндре Цт- Применяя к решениям uk оценку
(9), при всех Г>0 получаем
li uk к(Цт) ^ max [|| ик0 [с <с). I ^* к <s х [о. п>] +
I Т || р - _ /1 C.v
-Гро *ГС(ЦГ) /
Учитывая предельные соотио1иения A2) и A3) и переходя
к пределу в неравенстве A5) при ?->-оо, убедимся в
справедливости оценки (9).
Из оценки (9) вытекают единственность обобщенного
решения задачи (I) — B) — Ci) и его непрерывная зааиси-
мость от Uq, v и F в смысле теоремы § 34.2.
4. Существование обобщенного решения. Существова-
Существование обобщенного решения докажем для смешанной задачи
A)-B)-C) при F = 0 и t> = 0:
В § 32.3 было построено формальное решение, задачи A6)
в виде ряда Фурье по собственным функциям {Xj} опера-
оператора L,
оо
и(х, 0=2 aIexitXi(x), ц = (и0, X})Q. A7)
Предположим, что uu^<Jt-L. Докажем, что при этом
условии ряд A7), представляющий формальное решение
задачи A6), сходится равномерно на Ц& и определяет
обобщенное решение и {х, t) этой задачи.
Действительно, пользуясь теоремой разложения 1
§ 21.4 (см. замечание), представим функцию м0 в виде
регулярно.сходящегося на G ряда Фурье по собственным
функциям оператора L,
оо
м*)= 2 afxt(x)- (is)
/ = 0
Обозначим через ик и uka частные суммы рядов A7) и A8)
соответственно. Функции uk, k — \, 2,..., являются клас-
классическими решениями задачи A6) с заменой и0 на им,
504 СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА \ТЛ. VI
причем им-*-и0, fc-»-oo в C(G). Поскольку все А/>0, то
ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда
A7), мажорируется на /(«> равномерно сходящимся рядом
на б,
Поэтому последовательность [uk) сходится равномерно на
Цю к обобщенному решению и(л\ /) задачи A6). Итак,
установлена
Теорема. Если щ^.<Ж^ то обобщенное решение
задачи A6) существует и представляется регулярно схо-
сходящимся на Доо рядом A7)—формальным решением этой
задачи.
5. Существование классического решения. Как и в
§ 33.7, ограничимся рассмотрением смешанной задачи с
двумя переменными (*, t) в полуполгсе Ц& = @, /)х@, оо):
д ( ди\ ,f.v
[Р) A9)
B0)
, tT&O. B1)
Теорема. Если цое<>#/., то ряд A7) дает классичес-
классическое решение и(х, t) задачи A9) —B0) —B1), бесконечно
дифференцируемое по t при *>0, О^х^/.
Доказательство. По теореме § 34.4 aeC(Z/or).
Далее, пользуясь равномерной сходимостью рядов D1) и
D2) § 33.7 и сходимостью первого ряда D5) § 33.7, как
и в § 33.7, устанавливаем регулярную сходимость рядов
(при любом е>0). При этом нужно учесть, что величины
X/<rV равномерно ограничены при / = 1, 2
Теорема доказана.
ЛИТЕРАТУРА
Ж.Адамар
1. Задача Коши для линейных уравнений с частными производи
ными гиперболического типа. — М.: Наука, 1978.
A. А н т о с и к, Я. Минусинский, Р. Сикорский
1. Теория обобщенных функций. Секвенциальный подход.—М.:
Мир, 1976.
B. Я А рсен ин
1. Методы математической физики и специальные функции. — М.:
Наука, 1974.
Д. В. Беклемишев
I. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. —М.: Наука,
1980.
A. В. Бицадэе
1. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1976.
Д. И. Блохинцев
1. Основы квантовой механики.—М.: Наука, 1976.
Н. Н. Боголюбов, А. А. Логунов и И. Т. Тодоров
1. Основы аксиоматического подхода в квантовой теории поля. — М.:
Наука, 1969.
Н. Н. Боголюбов и Д. В. Ширков
1. Введение в теорию квантованных полей. — М.: Наука, J976w
Г. Б ремерм аи
1. Распределения, комплексные переменные я преобразования
Фурье. — М.: Мир, 1968.
Ю. А. Брычков и А. П. Прудников
1. Интегральные преобразования обобщенных функций.—М.: На-
Наука, 1977.
Б. М. Б уда к, А. А. Самарский и А. Н. Тихонов
1. Сборник задач по математической физике. — М.: Наука, 1972.
И. Н. Век у а
1. Обобщенные аналитические функции.—М.: Физматгиз, 1959.
2. О метагармонических функциях. — Труды Тбилисского матем.
нн-та, 1943, XII, 105—174.
B. С. Владимиров
1. Математические задачи односкоростной теории переноса частиц. —
Труды матем. ин-та АН СССР, 1961, 61, 3—158.
2. Методы теории функций многих комплексных переменных. —М.:
Наука, 1964.
3. Обобщенные функции в матема1ической физике. — М.: Наука,
1979.
506 ЛИТЕРАТУРА
В. С. Владимиров, В. П. Михайлов, А. А. Вашарин,
X. К- Каримова, Ю В. Сидоров и М И. Шабунин
1. Сборник задач по уравнениям математической физики.—М.:
Наука, 1974.
И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов
1. Обобщенные функции, вып. 1,-1959, вып. 2, 3,. 1958. —М.: Физ-
матгиз.
И. С. Градштенн и И. М. Рыжик
1. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений.—М.: На-
Наука, 1971
П. Дирак
1. Основы квантовой механики.—М.: Гостехиздат, 1932.
В. А. Диткин и А. П. Прудников
1. Операционное исчисление. — М.: Высшая школа, 1975.
М. А. Евграфов
1. Аналитические функции. — М.: Наука, 1968.
A. Земанян
1. Интегральные преобразования обоэщенных функций.—М.: Наука,
1974.
B. А Ильин
1. О разрешимости смешанных задач для гиперболических и пара-
параболических уравнений. УМН, 1960, XV, вып. 2, 97—154.
Р. Йост
1. Общая теория квантованных полей.—М.: Мир, 1967.
А. Н. Колмогоров и С. В. Фомин
1. Элементы теории функций и функционального анализа.—М.:
Наука, 1976.
Н. С. Кошляков, Э. Б. Глинер иМ. М. Смирнов
1. Уравнения в частных производных математической физики. —
М.: Высшая школа, 1970.
Л. Д. Кудрявцев
1. Основы математического анализа, тт. I — П. — М.: Высшая
школа, 1981.
Р. Курант и Д. Гильберт
I. Методы математической физики, тт. —I —П.—М.: Гостехиздат,
1951.
М. М. Лаврентьев
1. О некоторых некорректных задачах математической физики.
-М.:Изд-во СОАН, 1-962.
М. А. Лаврентьев и Б. В. Шабат
I. Методы теории функций комплексного переменного.—М.: На-
Наука, 1973.
О. А.Ладыженская
1. Краевые задачи математической физики. — М.: Наука, 1973.
Ж.-Л. Лионе
1. Support dans ia transformation de Laplace.— JL Analyse Math.,
1952—1953, 2, 369-380.
A. M. Ляпунов
1. Собрание сочинений. — M.: изл-во АН СССР, 1954, т. 1.
А. И.. М а л ь ц е в
1. Основы линейной алгебры. — М.: Наука, 1975.
JIHTFPATVPA 507
Г. И. М а р чу к
1. Методы расчета ядерных реакторов.—М.: Госатомиздат, НМЛ.
Л. М о с с и а
1. Квантовая механика, т. 1. — М.: Наука, 1978.
B. П. Михайлов
'1. Дифференциальные уравнения в частных производных.— М.: На-
Наука, 1976.
C. Г. М и х л и н
I. Курс математической физики. — М.: Наука, 1968.
Л. Ф. Никифоров, В. Б. Уваров
1. Специальные функции математической физики.— М.: Наука,
1978.
С. М. Н и к о-л ь с к и и
1. Курс математического анализа, тт. 1—II.—М.: Наука, 1975.
П. Г. Петровский
1. Лекции об уравнениях с частными производными.—М.: Наука,
1970.
2. Лекции по теории интегральных уравнений. — М.: Наука, 1965.
Г. Н. П о л о ж и й
1. Уравнения математической физики.— М.: Высшая школа, 1964.
Л. С. П о нт р я г и н
1. Обыкновенные дифференциальные уравнения.— М.: Наука, 1974.
Ф. Рисе и Б. Секефалььи1гадь
I. Лекции по функциональному аьализу.—М.: Мир, 1979.
Ю. В. Сидоров, М. В. Феяорюк и М. И. Шабунин
1. Лекции но теории функций комплексного переменного.—М.:
Наука, 1976.
B. И. Смирнов
1. Курс высшей математики, т. II. —М.: Наука, 1967.
2. Курс высшей математики, т. IV, ч. 1.—М.: Наука, 1974.
3. Курс высшей математики, т. Ill, ч. 2. — М.: Наука, 1974.
М. М. Смирнов
1. Задачи по уравнениям математической физики. — М.: Наук*,
1975.
C. Л. Соболев
1. Уравнения математической физики.—М.: Наука, 1966.
2. Methode nouyelle a resoudre le probleme de Cauchy pour lit
equations lineares hyperboliques normales.— Матем. сб., I Old
1 D3), 39 — 72.
Ю. В. Сохоцкий
1. Об определенных интегралах, употребляемых при
в ряды.—С.-Петербург, 1873.
В. А. С т е к л о в
lT Основные задачи математической физики, ч. I — II.—
1922-1923.
В. В. Степанов
1. Курс дифференциальных уравнений. — М.: Физматгия,
р. Стритер и А. Вайтман
1. РСТ, спин и статистика и все такое.—М.: Наука,_ \Ш\,
А. Н. Тихонов
1. О методах решения некорректно поставленных задач. Труды
международного конгресса математиков (Москва-I960). ¦ М.:
Мир, 1968, 720-722,
508 ЛИТЕРАТУРА
2. Theoremes d'unfclte pour 1'equation de la chaleur. Матем. сб.,
1935, 42, 199-216.
A. H. Тихонов и В. Я. Арсенин
1. Методы «решения некорректных задач.—М.: Наука, 1974.
А. Н. Тихонов, В. К. Иванов и М. М. Лаврентьев
1. Некорректно поставленные задачи, сб. «Дифференциальные
уравнения с частными производными».—М.: Наука, 1970,
224-23..
А. Н. Тихонов и А. А. Самарский
1. Уравнения математической физики.—М.: Наука, 1977.
Г. М. Фихтенгольц
1. Курс дифференциального и интегрального исчисления, тт. I — III.
— М.: Наука, 1970.
Дж. У и з е м
1. Линейные и нелинейные волны.—М.:Мир, 1977.
Л. Хёрмандер
1. Линейные дифференциальные операторы с частными производ-
производными. — М.: Мир, 1965.
2. О делении обобщенных функций на полиномы. —Сб. Матема-
Математика, 1959, 3, 5, 117-130.
Л. Шварц
1. Математические методы для физических наук. — М.: Мир, 1965.
2. Thtorie des distributions, v. I —II.—Paris, 1950—1951.
3. Transformation de Laplace des distributions. — Medd. Lunds.
Univ. mat. Semin. (Supplementband), 1952, 196—206.
Г. Е. Шилов
1. Математический анализ. Второй специальный курс—М.: На-
Наука, 1965.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Адамара пример 80
Адмитаис 187
Алгебра 141
— сверточиая $' 142
3>> (а) 176
У'+ 158
- Н (а) 181
Альтернатива Фредгольма 295, 298
Ар чела — Асколн лемма 303
Бесселя неравенство 32
— уравнение 345
— функция 346
Бета-функция 123
Билинейное разложение
313
Бюргерса уравнение 269
Воляовое уравнение 45—47
Волновой оператор (Даламбера) 47
— потенциал 213, 216
Вольтерра уравнение 278
— ядро 278
Вырожденное ядро 286
Гамма-фуикция 119
Гармоническая функция 359
Гармоническое колебание 467
Гарнака неравенство 436
Гельмгол,ьца уравнение 50. 438
Гидродинамики уравнения 52
Гильберта — Шмидта теорема
318
Грина формула 252, 360
—• — вторая 329
— — первая 328
— функция задачи Дирихле 423, 459
— _ — Штурма — Лиувилля 338,
339
Гурса задача 75, 247
Гюйгенса принцип 231
Даламбера оператор 47
— формула 227. 240
Данные Коши 70
Двойной-слоА ±11.
Ди'рака уравнение 84
— о-функция 84, 97
Дирихле задача 73, 412
Диффузии уравнение 47,
Диффузия волн 233, 234
Дробного дифференцирования опара»
тор 143
— интегрирования оператор 143
Йю^Ьуа-РеАмона лемма 95
юамеля интеграл 186
Ентча теорема 320
Задача Гурса 75, 247
— Дирихле 73, 412
— корректно поставленная 77
— Коши 69. 70
— — обобщенная 224, 266
— краевая 69, 70, 73
ядер 312, — Неймана 73, 412
-г смешанная 70, 74, 464
— Трнкоми 76
— Штурма — Лиувилля 336
Запаздывающий потенциал 216
Зоммерфельда условия излучения 6О(
439
Изображение 178
Импеданц 187
Интеграл Гаусса 399
— Дюамеля 186
— Лебега 20
— Пуассона 430
— типа потенциала 24
— Френеля 167
— энергии 331, 480
Интегральное, уравнение 27Q.
310. —" — Вольтерра 278
— — Милна 286
— — Пайерлса 286
— — с вырожденным ядром 286
— — с полярным ядром 280
— — с эрмитовым ядром 301
— — Фредгольма 27-0
— — —однородное 270
— — — союзное" 27Q
Истокообразная представимость- 310
Итерация функции 273
Квантовое число магнитное 477
— — орбитальное 477
Келлога метод 322
Кельвина преобразование 372
Кирхгофа формула 226
Классическое решение 80, 479
Клейна — Гордона — Фока' ypatttt*
ние 54
510
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Колебание гармоническое 467
Колебаний урапнение 45
Колебания мембраны 473
1— струны 472
— шарового объема 475
Колебательный контур 186
Конечная часть 99
Конус характеристический 60
Конусы будущего и прошлого 60
Кортевега — де Фриза уравнение 24Г>
Коши задача 69, 70
— представление 103
— принцип сходимости 12
— теорема 15
— формула 462
Коши — Буняковского неравенство
28
Коти — Ковалевской георема 79
Коши — Римана оператор 123
Лапласа оператор 47
— преобразование 176. 178
— — обратное 181
— уравнение 49
— формула 387
Лежандра полиномы 377
— присоединенные функции 382
Лейбница формула 106
Лемма Ар чела — Асколи 303
— Гейне — Бореля 12
— Диии 16
— дю Буа Реймона 95
Лиувилля теорема .171, 374
— уравнение 246
Логарифмически й потенциал 145, 450
Локальный элемент 94
Лоре'нцеинвариантность 100
Ляпунова поверхность 400
Магнитостатики уравнения 53
Максвелла уравнения 53
Мерсера т:орема 325
Метод Келлога 322
— отражений 241, 243, 426
— —, конечная струна 243
— —, полубесконечная струна 24'
— распространяющихся волн 238
— Римана 247
— спуска 197
— Фурье 388, 464
Мннковского неравенство 29
Неймана задача 73, 412
— ряд 273
— функция- 357
Неравенство Бесселя 32
— Гариака 436
— Коши — Буняковского 28
— Минковского 29
Носитель 1 4, 94
Нулевое множество 94
Ньютонов потенциал 145, 394, 399
Обертон 473
— влияния' 230
Обобщенная, задача Коши 224, 266
Обобщенная функция 81, 89
— — медленного роста 150
— — регулярная 95
— — сингулярная 05. 96
— — финитная 94
Обобщен но-гармони ческа я функция
369
Обобщенное реиюние 81, 191
Объемный потенциал 146, 395
Оператор волновой (Даламбера) 47
— дифференциальный 37
— дробного дифференцирования 143
— — интегрирования 143
— интегральный 37
— интегро-дифференциальный За
— Коши — Римаиа 123
— Лапласа 47
— линейный 35
— непрерывный 35
— обратный 39
— ограниченный 36
— Пчйсрлса 286
— положительный 41
— Римуна — Лиувилля МЗ
— эрмитов 41
Операционное исчисление 175
Оригинал 178
Основной тон 473
Основные функции 85, 149
Пайерлса оператор 286
Парсеваля — Стеклова равенство 32
Пейли — Винера — Шварца теорема
Первообразная 108
— порядка п 110
Переноса (кинетическое) уравнение
Э 1
Перрона теорема 322
Пицетти формула 122
Поверхность Ляпунова 400
— характеристическая 59
Повторные ядра 276
Полиномы Лежаидра 377
— —, формула сложения 386
Положительно определенное ядро 317
Полярное ядро 280
Порядок (о. ф ) 152
Потенциал волновой 213, 216
— — поверхностный 216
— двойного слоя 146, 396, 451
— запаздывающий 216
— логарифмический 145, 450
— ньютонов 145, 394, 399
— объемный 146, 395
— плошадей 146, 451
— простого слоя 14о, 396, 451
— Робена 420
— тепловой 261
— — поверхностный 263
Правильная нормальная производная
362
Представление Коши 103.
Преобразование Кельвина 372
— Лапласа 176, 178
— — обратное 181
— Фурье 158, 160. 162, 164. 165
— — свертки 166
Преобразования Ханкеля 369
ПРЕДМЕТНЫЙ УКЛЗЛТГЛЬ
511
Пример Адамара 80
Принцип Гюйгенса 231
— максимума 365, 498
— минимума 499
— предельного поглощения 441
— предельной амплитуды 444
— симметрии Рнмана — Шварца 374
— суперпозиции воли 230
— сходимости Кош и 12
Присоединенные функции Лежандра
382
Производная 104
— правильная нормальная 362
Производящая функция 380
Пустой слр_й__98.
Пространство обобщенных функции
?' 90
— — — медленного роста У 150
— основных функций 'X, 85
— — — У 149
— С, С «?),__С «?). Ср (G). Cp (G).
С«(С), С» (G), С°° (С), С°° (G) 14
— С (Г) 15
— ЗЬ* 142
— Ы (а) 176
— <g" 149
— JB, (G) 27
— 3" 158
Процесс ортогонализацин Шмидта 30
Прямое произведение 126, 155
Пуассона интеграл 430
— уравнение 49
— формула 170, 430
Пучность 473
Равенство Парсеваля — Стеклова 32
Разделение переменных 389, 465
Распределения 98
Регуляризация 144
Резольвента 276
Резонанс 469
Римана метод 247
— функция 252
Рисса — Фишера теорема 29
Робена потенциал 420
Родрига формула 377
Ряд Неймана 273
— Фурье 31
Свертка 132. 135; 157
СвёрточнЪя алгебра ?' 142
Ъ\ <а) '7.6
— — 2"+ 158
Сдай г 100
Сн-мметричиые ядра 320
Слабо полярное ядро 280
Смешанная задача 70 74. 464
Собственные значения -40. 328
— функции 40. 271. 328
— частоты 467
Сохоцкого формулы 99
Союзное интегральное уравнение 258
Спектр собственных частот 46L7JT
Стеклова теорема 342
Суперпозиции волн принцип 230
Сферическая функция 374, 383
Сходимость в себе 15
— в среднем 29
— в С (Т) 15
— н 'J) 85
— в 2/ 90
— в Уг (G) 29
— п У 14 9
— в У 150
— равномерная 15
— слабая 90
Т>леграфное уравнение 53
Теорема Вейе.рштрасса 15
— Гильберта — Шмндта 310, 318
— Еитча 320
— К&ш и 15
— Коши — Ковалевской 79
— Лебега 21
— Б. Лепи 21
— Лиувнлля 371, 374
— Мерсера 325
— «о кусочном склеивании» 94
— о среднем арифметическом 365
— Пейли — Винера — Шварца 175
— Перрона 322
— Рисса — Фишера 29
— Стеклова 342
— Фубнни 22
— Функа — Хекке 388
— Шварца 151
Теоремы Фредгольма 291, 295. 296
Тепловой потенциал 261
— — поверхностный 263
Теплопроводности уравнение 48
Трикоми задача 76
— уравнение 67
Узлы 473
Уравнение Бесселя 345
— Бюргсрса 269
— волнопое 45—47
— Вольтерра 278
— Гельмгольца 50, 438
— гидродинамики 52
— гиперболического тина 57, 62, 64
— движения Эйлера 52
— Дирака 54
— днффузин 47, 49
— замкнутости 32
— Клейна — Гордона — Фока 54
— колебаний 45
— Кортевега — де Фриза 246
— Лапласа 49
— линейное 38
— Лиувилля 246
— магнитостатики 53
— Максвелла -S3
— неразрывности 52
— нормально-гиперболического тип)
— нормально параболического типа
57
— Пайерлса 286
512
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Уравнение параболического типа 57,
62. 65
— переноса (кинетическое) 51
— Пуассона 49
— смешанного тнла 58
— состояния 52
— Sine — Гордон 246
— телеграфное 53
— теплопроводности 48
— Трикемя 67
— Чаплыгина 76
— Шредннгера 54, 470
— электростатики 53
— эллиптического типа 57, 62, 65
— эллиптическое 470
Условия граничные 46, 69
— излучения Зоммерфельда 50, 439
— начальные 46, 69.
Финитная функция 14, 94
Формула Грина 252, 360
— — втооля 329
— — первая 328
— Даламбера 227, 240
— Кирхгофа 226
— Коти 462
— Коши — Грииа 462
— Лапласа 387
— Лейбница 106
— Пицегти 122
— Пуассона 170, 430
— Родрнга 377
— сложения для полиномов Лежанд-
— ра 386
— суммирования Пуассона 170
— Шмндта 315
Формулы Сохоцкого 99
Фредгольма альтернатива 295, 298
— интегральные уравнения 270
— теоремы 291, 295, 296
Френеля интеграл 167
Фубннн теорема 22
Фундаментальное решение 192
— — волнового оператора 199
— — линейного дифференциального
оператора 198
— — оператора Гельмгольца 203
— — — Днрака 207
— — — Клейна — Гордона — Фока
206
— — — Кошк — Римаиа 205
— — — Лапласа 202
— — — переноса 205
— — — теплопроводности 198
ШрЗдингера 207
— — сверточного оператора 142
Функа — Хекке теорема 388
Функции Лежандра присоединенные
382
— сферические 374, 383
— — ортогональность 379, 384
— — полнета 381, 384
— Ханкеля 357
— шаровые 387
Функционал линейный 36
Функция Бесселя 346
— — корни 350
— — ортогональность 347
Функция Бесселя, полнота 356
— — рекуррентные соотношения
349
— влияния !92
— гармоническая 359
— Грнна задачи Дирихле 423, 4Б9
— — — Штурма — Лнувнлля 338,
339
— измеримая 17
— мнимого аргумента 358
— Неймана 357
— нормированная 30
— обобщенно-гармоническая 369
— Римана 252
— суммируемая 19, 20
— финитная 14, 94
— цилиндрическая 345, 357
Фурье коэффициенты 31
— метод 388, 464
— преобразование 158, 160, 162, 164,
— ряд 31
Ханкела преобразования 359
— функции 35/
Характеристическая линия 59
— поверхность (характеристика) 59
Характеристический конус 60
Характеристическое уравнение 59
— число 271
Цилиндрическая функция 345, 357
Чаплыгина уравнение 76
Шаровые функции 387
Шварца теорема 151
Шмндта процесс ортогонадиэацнн 30
— формула 315
Шредннгера уравнение 54, 470
Штурма — Л иу вилл я задача 336
Эйлера уравнения движения 52
Эйлеров интеграл 119, 123
Электромагнитный потенциал 53
Электростатики уравнение 53
Эллиптическое уравнение 470
Эрмитово ндро 301
Эрмитово сопряженное ядро 270
Ядра повторные 276
— симметричные 320
Ядро Вольтерра 278
— вырожденное 286
— интегрального оператора 37
— — уравнения 270
— непрерывное 271
4- положительно определенное 317
— полярное 280
— слабо полярное 280
— эрмитово 301
— — сопряженное 270