Text
Библиотека
Кибернетического
Сборника
ПЕРЕЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
КОМБИНАТОРНОГО АНАЛИЗА
Сборник переводов
под редакцией
Г. П. ГАВРИЛОВА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР*
"** Москва 1979
УДК 519.21
Сборник статей по теории переЧИСJ1СНИЯ одному из IIаибо
лее CTpOIIHbIX разделов комбинаторноrо анализа, методы и резуль
таты KOToporo широко применяются не только в математике, но и
в друrи:х областях науки экономике, физике, химии. По своей
тематике сборник близок к известноЙ советскому читателю книrе
Ф. Харари п Э. Палмера «Перечис.пение rрафов» (М., «Мир»,
1977). В нем представлены классические работы по теории пере
числения (Редфилда, Пойа и Оттера) и: наиболее важные COBpe
менные направления и результаты (де Брёйна, Рота, Бендера
и др.).
Книrа полезна всем специалистам по дискретной математике.
а также научным работникам, инженерам, аспирантам и CTyдeH
там, использующим методы комбинаторноrо анализа.
Редакция литературы по математическим наукам
1702070000
20203 039
П 39 79
041 (01) 79
@ «Мир», 1979
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Теория перечисления один из центральных разделов ком-
()инаторноrо анализа, ero наиболее развитая ветвь, отличающая-
-ся четкостью постановок задач,и ясно очерченными методами их
решения. Она имеет мноrочисленные приложения не только
.внутри самой математики (например, в теории представлений
рупп, алrебрах Ли, теории специальных функций), но и в друrих
областях естествознания (таких, как структурная химия, стати
..стическая' физика, м-олеку лярная биолоrия).
На'чала этой теории заложены в работах А. Кэли, опублико
ванных во втоеой половине девятнадцатоrо столетия и посвящен
яых перечислению деревьев и связанных с ними химических
.структур. Хотя в первой половине нашеrо века интерес к теории
nIеречисления периодически возобновлялся, но это было связано
13 основном с «увлечением» отдельных талантливых исследовате
лей одиночек какой либо конкретной идеей перечисления и по
'.пытками создания стройной последовательной теории на базе
tНовейших математических методов Toro времени. Наиболее важ-
lIЫМИ работами указанноrо периода являются статьи Дж. [. Ред-
'филда и д. Пойа, переводы которых представлены в настоящем
<сборнике.
Только начиная с пятидесятых rодов нашеrо столетия неболь
1ll0Й ручеек исследований по теории перечисления стал превра
щаться в мощный поток с несколькими полноводными рукавами.
Интенсивное развитие этой теории было вызвано потребностями
хибернетики, дискретной математики, химии, биолоrии и друrих
наук. ЭВМ предоставили orpoMHbIe .возможности для развития
'и алrоритмической реализации перечислительных методов., Teo
рия перечисления приобрела широкий Kpyr поклонников и пре
.данных труя{еников. С новой силой засверкали идеи 20 40 x ro..
6 Предисловие редактора перевода
дов нашего века, были «извлечены» из архивов работы
Дж. Г. Редфилда и Д. Пойа, появился ряд весьма тонких и глу-
глубоких работ по перечислительной тематике, использующих мощ-
мощный аппарат современной математики. Подробнее с историей
развития теории перечисления читатель может познакомиться
в обзоре, помещенном в конце сборника.
В наше время нередко случается, что при решении перечис-
перечислительных задач «переоткрываются» многие известные теоремы
теории перечисления. Это происходит в основном из-за плохой
информированности исследователей, работающих в смежных об-
областях естествознания. Минимизация затрат энергии исследова-
исследователей в подобных ситуациях — одна из целей настоящего сбор-
сборника.
Включение в сборник переводов классических работ
Дж. Г. Редфилда, Д. Пойа и Р. Оттера позволит читателю до-
достаточно быстро освоить содержательную сторону теории, что
существенно облегчит понимание тех довольно формализованных
конструкций, которые характерны для ее современных направ-
направлений.
В сборнике представлены также переводы нескольких статей
по наиболее важным современным направлениям теории пере-
перечисления: работа Д. Дубиле, Дж.-К. Рота и Р. Стенли (шестая
часть широко известного цикла «Основы комбинаторной тео-
теории»), посвященная комбинаторной теории производящих функ-
функций, являющихся мощным инструментом при решении ¦ перечис-
перечислительных задач, обзор Н. Дж. де Брёйна по разнообразным
обобщениям основной перечислительной теоремы Пойа, а также'
обзор Э. Бендера по асимптотическим методам.
Ограниченный объем сборника не позволил, однако, позна-
познакомить читателя с целым рядом весьма интересных работ, вы-
вышедших за последнее десятилетие, — работами Рида [1], Гольд-
мана и Рота [2], Рудволиса и Снаппера [3], Уайта [4] и других"
«перечислителей».
Мы надеемся, что эта потеря несколько компенсируется вклю-
включением в сборник обзора «О некоторых тенденциях теории пере-
перечисления». Заметим, что в указанном обзоре почти ничего не го-
говорится о сравнительно «тихом» периоде в развитии теории —
с 1937 года (после выхода работы Д. Пойа) до начала шестидеся-
Предисловие редактора перевода
тых годов, — поскольку этот период достаточно хорошо освещен
в книге [5], в статьях Ф. Харари (см. литературу в книге E]),
а также в работе Н. Дж. де Брёйна [6].
Сборник будет полезен специалистам по дискретной матема-
математике, а также научным работникам, инженерам, аспирантам и
студентам старших курсов университетов и технических вузов —
всем, кто в своей работе использует идеи и методы комбинатор-
комбинаторного анализа.
Список литературы
{1] Read R. С. The use of S-functions in combinatorial analysis.— Canad. !.
Math., 1968, 20, 808—841.
J2] Goldman J., Rola G.-C. On the Foundations of Combinatorial Theory IV:
Finite Vector Spaces and Eulerian Generating Functions.—Studies in Appl.
Math., 1970, 49, № 3, 239—258.
J3] Rudvalis A., Snapper E. Numerical polynomials for arbitrary characters. —
/. Comb. Theory, 1971, 10A, 145—159.
[4] White D. E. Redfield's theorems and multilinear algebra. — Canad. J. Math.,
1975, 27, № 3, 704—714.
15] Харари Ф., Палмер Э. Перечисление графов: Перев. с англ. — М.: Мир,
16] де БрёТш Н. Дж. Теория перечисления Пойа: Сб. Прикладная комбинатор-
комбинаторная математика (под ред. Беккенбаха Э.): Перев. с англ. — М.: Мир, 1968.
Г. П. Гаврилов
ТЕОРИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ, ПРИВЕДЕННЫХ ПО ГРУППЕ <
Дж. Г. Редфилд
Как будет далее установлено, между предметами теории ко-
конечных групп и комбинаторного анализа очень много общего.
Поэтому довольно поразителен тот факт, что обе области до сих
пор развивались самостоятельными путями, причем их взаимо-
взаимосвязь не изучалась и крайне редко делались ссылки на резуль-
результаты из другой области, за исключением весьма элементарных.
Связь, устанавливаемая в настоящей статье между двумя
указанными областями, имеет следующую форму: каждой группе
подстановок сопоставляется определенная симметрическая функ-
функция. На базе этих функций и специальных операций дифферен-
дифференцирования, тесно связанных с операциями Хаммонда и Мак,-Ма-
гона, развивается некоторая теория, являющаяся в определенном
смысле расширением макмагоновои теории диаграмм на шахмат-
шахматной доске [1, стр. 224 и далее]. С принятой здесь точки зрения
теорию Мак-Магона можно рассматривать как частный случай,
в котором изучаемые группы являются лишь прямыми произве-
произведениями симметрических групп, действующих на различных мно-
множествах элементов, и в котором мы имеем дело с наборами объ-
объектов, разбитых по видам и произвольно перемещаемых внутри
каждого вида. В расширенной теории рассматриваемые группы
могут быть совершенно произвольного типа. Таким образом, мы
можем охватить значительно более широкое многообразие ком-
комбинаторных задач. Некоторые из них ранее были решены при
помощи частных приемов, но даже относительно них достигается
общность взгляда. Один класс таких задач, разительный ввиду
наличия удобной геометрической интерпретации, а в остальном
не более важный, чем некоторые другие, имеет дело с конфигу-
конфигурациями, базирующимися на многоугольниках и многогранниках.
Ясно, что группы вращений для них лежат вне класса групп для
диаграмм на шахматной доске.
В то же время почти каждая задача, которую мы можем ре-
решить, выдвигает другие задачи, не поддающиеся разработанным
1 Redfield J. H. The theory of group-reduced distributions, Amer. J. Math.,
49, N3 A927), 433—455.
,© Перевод на русский язык, «Мир», 1979.
10 Дж. Г. Редфилд
здесь методам, однако их, по-видимому, можно решить с по-
помощью усовершенствованных методов такого же типа. Поэтому
подкрепляется убеждение, что в этой пограничной области сле-
следует проводить значительно более интенсивные исследования.
Хотя в данной работе главным предметом внимания будет комби-
комбинаторный анализ, некоторые из полученных ниже результатов не-
небезынтересны и с точки зрения теории групп; можно ожидать,
что дальнейшая работа в этой области обогатит оба направ-
направления.
1. Предварительные определения
Возьмем семейство А (п, q) из nq элементов, разбитых на q бло-
блоков (ranges) 5Ь52,.. .,Sq по «элементов в каждом. Образуем со-
соответствия, называемые далее блок-соответствиями; тип каждого
соответствия определяется представлением, в котором блоки за-
записываются в q строк так, что получается прямоугольная табли-
таблица из п столбцов. Блок-соответствия считаются совпадающими,
если их таблицы состоят из идентичных столбцов, порядок кото-
которых не учитывается. Таким образом, число возможных блок-со-
блок-соответствий равно (n\)q~i.
Каждому блоку Sr(r=l, 2,..,q) сопоставляется некоторая
заданная группа подстановок (его блок-группа) GT степени п
и порядка пгг, действующая на элементах блока Sr. Эти q групп
индуцируют группу Г степени (п\)ч-1 и порядка ni\m2 ... т„,
элементами которой являются (п\)ч-1 блок-соответствий, переме-
перемещаемых группой Г между собой '. Вообще говоря, группа Г не
транзитивна, т. е. группы Gu G2, . . ., Gq, индуцирующие ее, не
преобразуют каждое блок-соответствие в другое. Такое преоб-
преобразование, однако, возможно внутри любого из некоторого чис-
числа 8 замкнутых классов, на которые заданными группами
Gu G2, ... , Gq разбиваются (п\)ч~1 блок-соответствий. Эти классы
будем называть здесь распределениями, приведенными по груп-
группе'2 (они представляют собой области транзитивности группы Г).
1 Необходимые общие сведения iu теории абстрактных ipyini и ipynn под-
подстановок можно найти в книге М. Холла «Теория групп» (М., 1962, гл. 1, 2, 5).
В статье под группами подстановок понимаются (более общо) группы с дей-
действием, т. е. пары вида (G, ф), где G — абстрактная группа, гр — гомоморфное
отображение группы G. в симметрическую группу подстановок, действующих
на некотором множестве М (см. Г. Биркгоф, Т. Барти, «Современная приклад-
прикладная алгебра», М., 1976, гл. 7). Автор называет элементы множества М элемен-
элементами группы подстановок, а элементы G в их действии на М, определяемом
Ф, — операциями. Представление ф не обязательно является изоморфизмом,
т. е. разные операции могут действовать как одинаковые подстановки. —
Прим. перев.
2 В данном переводе будет использоваться также термин редуцированные
распределения. — Прим. ред.
Теория распределений, приведенных по группе 11
Обозначим символом N {Gr; р'11, р2, . . .) число таких опера-
операций, содержащихся в группе Gr, которые в обычном цикловом
представлении обладают jii циклами порядка ри л2 циклами по-
порядка р2 и т. д.
Разбиение вида {pl\ p'i2, ¦ ¦ .)> указывающее порядки различ-
различных циклов у конкретной операции из группы, будет называться
цикловым типом (cycle-partition) этой операции. Таким образом,
операция (abc) (de) (fg) (h) имеет цикловой тип C, 22, 1).
Теорема. Пусть на семействе А (п, q) заданы блок-группы
Gu G2,.. ., Gq порядков mu m2,..., mq соответственно. Тогда число
8 определяемых этими блок-группами распределений (приведен-
(приведенных по соответствующей группе) выражается в виде
0 = V. {(Pilpl: ..л1!л2!...)"™1//@1; р\\ р\\ ...)х
ГП\ГП2- ¦ -trtq j^
XN(G2; p\\ p\\ ...)... N(Gq; p\\ pl\ ...)},
где сумма берется по всем разбиениям (рт{\ pl\...) числа п.
Доказательство. Так как блок-группы действуют на различ-
различных множествах (блоках) элементов, операции из различных
блок-групп перестановочны другие другом. Прямое произведение
блок-групп — это группа степени qn, абстрактно изоморфная
группе Г, определенной выше. Группу Г можно назвать группой
блок-соответствий.
Пусть у — операция из Г, и пусть J(у) обозначает число блок-
соответствий (т. е. элементов группы Г), которые неподвижны от-
относительно у. В сумму 2/(y), взятую по всем tnitn2 .. . tnq опе-
операциям из Г, каждое блок-соответствие Pi вносит «вклад», рав-
равный числу операций из Г, относительно которых блок-соответст-
блок-соответствие Pi неподвижно. Пусть /С(Pi) — число операций в группе Г,
оставляющих Pi неподвижным.
Если Pi неподвижно относительно vi и \>2, то оно неподвижно
также относительно уГ\ У~\ у\\2 и угуь Следовательно, все
операции из Г, оставляющие неподвижным р1; образуют под-
подгруппу V] порядка K(fii), являющегося делителем числа niiX
Xm2 . . . mq.
Пусть 1, «2, "з, • •., ик([и) — все операции из U\, a v2 — опера-
операция из Г, не принадлежащая Ux. Тогда v2 преобразует Pi в блок-
соответствие Рг, отличное от Pi, но принадлежащее тому же са-
самому распределению, приведенному по группе. Ясно, что Pi пре-
преобразуется в р2 каждой из операций v2j u2v2, u%v2,...,
и что Р2 неподвижно относительно операций из множества
{1, t>2 ч2^2у v7lu3v2, ..., V2 ««-(Ы^Ь образующего подгруппу U2
12 Дж. Г. Редфилд
группы Г, изоморфную подгруппе U\. Используя операции v3, vt_
и т. д., можно аналогичным способом перевести Pi в каждое
блок-соответствие, принадлежащее тому же распределению (при-
(приведенному по группе), которому принадлежит pt. Принимая во-
внимание, что порядок группы делится на порядок каждой из ее
подгрупп (см., например, Miller, Blichfeldt and Dickson, «Finite
Groups», p. 22), легко получаем, что (приведенное по группе)
распределение б, содержащее блок-соответствие рь состоит из
т1т2 ... mq/K(fii) блок-соответствий. Но каждое блок-соответ-
блок-соответствие в б «подсчитывается» K(fii) раз в сумме 2/(у). Значит,
само б подсчитывалось /C(Pi)-[mim2 ... mq/(Kfii)]-=mim2 ... т9
раз. Так как число т.\т2 ... tnq не зависит от AT(Pi) и остается
одним и тем же для любого из 9 (приведенных по группе) рас-
е
пределений', то 9=У J {уIщт2.. .тг
7
Остается вычислить 2/(у). Сначала заметим, что J(y) = 0 для
каждой операции у, определяемой множеством операций, кото-
которые взяты из блок-групп и :ie вес из которых имеют одинаковый
цикловой тип. В самом деле, если на любое блок-соответствие Pi
воздействовать некоторой операцией (неединичной), скажем, из:
Сь то блок-соответствие изменится. Чтобы сохранить его, оче-
очевидно, необходимо применить к каждому из блоков S2, S3, • • •> Sc?
операцию с тем же цикловым типом, что и у операции, уже вы-
выполненной на Si. Если же первая операция является единицей
группы d, то и все остальные также должны быть единицами
своих блок-групп.
Предположим далее, что у определяется q операциями g\, g2y
• ¦-,gq с цикловым типом (р!1, р\\ ¦ ¦ ¦) у каждой. Запишем эти
операции в цикловом представлении в q строках так, что они об-
образуют прямоугольную таблицу с циклами равной длины друг
над другом. Элементы, составляющие столбцы, будут тогда оп-
определять блок-соответствие Рь которое не изменяется под воз-
воздействием у- Рассмотрим теперь первую строку таблицы. Опера-
Операция gi содержит jii циклов порядка рх. Каждый из них можно
переписать так, чтобы он начинался с любого из своих символов,,
а сами циклы можно переставлять как одно целое п\\ способами.
Так получается р*'п\1 вариантов, а когда то же делается с п2 цик-
циклами порядка р2 и остальными, получается pVp*' ¦.. я.\\ л2 ! ..,
эквивалентных представлений одной операции gi. Согласование
порядка циклов в q строках таблицы не нарушается, но вместо
одного блок-соответствия Pi теперь имеется pl'pl2- ¦ .л^ я2\.. .
1 Это утверждение является формулировкой леммы Бернсайда в примене-
применении к группе Г. — Прим. перев.
Теория распределений, приведенных по группе 13
блок-соответствий (включая fh), которые не меняются под воз-
воздействием у- Подобные вариации могут быть произведены на
каждой из q—1 оставшихся строк таблицы. Но, если все строки
варьируются, каждое появляющееся блок-соответствие будет
повторяться pVp*'- ¦ -^H л2!. . . раз, так как перестановки целых
столбцов таблицы не меняют блок-соответствие, которое она
представляет. Очевидно, мы получим все различные блок-соот-
блок-соответствия по одному разу только в том случае, если зафиксируем
одну строку в качестве исходного базиса и будем независимо
варьировать оставшиеся q—1 строк. Таким образом, находим, что
общее число J (у) различных блок-соответствий, не изменяемых
операцией у, равно (p^pl'- ¦ .лг\ п2\. . .)9~1- Следовательно,
где суммирование включает каждую операцию у из Г, которая оп-
определяется множеством операций из Gu G2,. .., Gq, имеющих оди-
одинаковый цикловой тип. Отсюда прямо вытекает утверждение тео-
теоремы в терминах N{Gr; р*1, р\*', . . .).Ш
2. Операции дифференцирования Пии1
В предшествующем изложении, чтобы достичь большей общ-
общности, мы не использовали теории симметрических функций, к ко-
которой удобно обратиться теперь. Всюду в дальнейшем будут рас-
рассматриваться только целые рациональные симметрические функ-
функции (многочлены). За подробностями отсылаем к книге [1,
часть I, гл. I], обозначений которой будем здесь в основном при-
придерживаться. Однако для удобства можно напомнить, что мы
имеем дело с симметрическими функциями от некоторого множе-
множества v переменных, или символических количеств, cti, 02,..., av.
Число v не задается, так. как обычно выражения, зависящие от
его значения, не используются.
Разбиение (числа ш) вида < ри р2,. . ., рь. > , заключенное в
угловые скобки, где не предполагается, что вес k частей обяза-
обязательно различны, означает сумму ^af/af,*.. .afft по всем различ-
различным наборам (ib i2,...,ih), таким, что в наборе нет одинаковых
элементов и каждый элемент набора принадлежит множеству
целых чисел {1, 2, 3,.. ., v}. В качестве специальных обозначений
используем следующие: пишем sw вместо < w ) , aw вместо (\w >
1 В оригинале использ>ются соответственно символы Ц и 1\ , взятые
из астрономии (восходящий и нисходящий узлы планет). — Прим.. перев.
14 Дж. Г. Редфилд
и hw вместо суммы ^ (I'i1, l'i\ ¦..), взятой по всем разбиениям
(/i\ l\', ...) числа w. Например,
Мак-Магон [1, часть I, гл. 1] привел формулы для выражения
S-, а- и /f-функций друг через друга. Их можно вывести методом
неопределенных коэффициентов или иным путем из следующих
тождеств для производящих функций:
— а2х). . .A — а*х) =
= 1 — а1х-\-а2х'2 — а3х3-\-.. .= (А)
Исходя из операторов дифференцирования Хаммонда, Мак-
Магон сопоставил символ dw функции sw, a Dw — функции aw.
Здесь, однако, будет использоваться равносильное соответствие
между Ью и функцией sw, а также между Dw и hw. Поступая так,
можно заменить некоторые чередующиеся знаки плюс и минус
в наших выражениях всюду на плюс.
Удобно в качестве основного взять оператор 6W, который
Мак-Магон [1, стр. 36] определяет так:
^+h+fl+ (В)
Покажем, что оператор бг» эквивалентен w(d/dsw). Это очень
простое соотношение Мак-Магон не использовал.
Приравнивая логарифмы величин, обратных третьему и чет-
четвертому выражениям из (А), получаем
log{l + /M:+A2-K2 + -. .) = 5^ + ^-52^2 + у53л:3 + - • • • (С)
Действуя оператором б,г на правую часть выражения (С)
и равным ему оператором
на левую часть, получаем
xw + hlXw+l + h2xw+2 л- ¦ ¦ ¦
1 + hix + h2x2 + ...
Теория распределении, приведенных по группе 15
= bwSl-x+Yb^-x2+-- ¦+ ~~Ksw-xw + ... . (D)
Левая часть соотношения (D) приводится к xw. Приравнивая
члены, содержащие одинаковые степени х, находим, что 6№su = 0>
если w=?v, тогда как bwSw = w, так что
Отсюда следует, что ь[\ь{\.. s™;s™*.. . =0 всякий раз, когда
(Xi\ Хг", ... ) и (рТ1, №*, ...) —различные разбиения одного и
того же числа, в то время как 8^8хаа. • •¦Sxjs'j. • .=x'i1>i\ • -Л! 'г--- •
Введем новую операцию П: считаем по определению
s[\s[\... П s™?s™?... равным ь{\ь[\.. .«">"/• .. и принимаем соотно-
соотношение (А-{-В) П С~(АГ\С)-\-(ВГ\С), выражающее дистрибутив-
дистрибутивный закон операции [") относительно сложения. Легко видеть,
что ; макмагоновы выражения D[\D[\.. .h™lh™l .. или D^D™;. ..
.. .h[\h{\... совпадают с h[\h[\... П /СС- • ••
Расширим определение оператора ["): будем записывать
s[\s[\- .. П stMl- • • П • • • П sl'A\ ¦ ¦ ¦ (Для q „сомножителей") в виде
(k^te'.. ./j!^!. .. )q~1, и в то же время результатом будет 0, если
не все сомножители соответствуют одному и тому же разбиению
(h\ h', . . .). Оператор [") > так расширенный, дистрибутивен
относительно сложения и коммутативен, но результат нельзя
разложить в более простые П-операции, и закон ассоциативности
здесь неприменим.
Другая новая операция (J определяется посредством соотно-
соотношения
«Ы1,. • • и*Ы\. ¦ -=ФЫ:- • • n sl'A\. • •) sfox*. • • •
с учетом равенства {AJrB)]jC = {A \JC) + (B\JC). Выражение
s\[s[l. ¦ • U s™,1^2 ... обращается в 0 (как и в случае с операцией П ),
когда A{\ \'2\ .. .) и ([х™1, [х™2, ...) — различные разбиения.
Операции П и U связывают только симметрические функции рав-
равных весов, но операция (") дает просто число, тогда как опера-
операция U дает симметрическую функцию, вес которой совпадает
с весом «сомножителей». Очевидно, операция (J коммутативна,
дистрибутивна относительно сложения и ассоциативна, так что
можно, не опасаясь двусмысленности, не использовать скобки в
выражении Л, 1И2 1Мз1) ••• U/lg. Легко проверить также, что
(ЛВ)С = ЛЛ (В U С) =Л ЛЯ П С.
16 ' Дж. Г. Редфилд
3. Редуцированная функция группы !(РФГ)
Для произвольной группы подстановок G степени п и поряд-
порядка т РФГ определяется как симметрическая функция 2
в которой N имеет тот же смысл, что и в разд. 1, а сумма берется
по всем разбиениям (р\\ pl\ ¦ ¦ .) веса п. РФГ не полностью ха-
характеризует свою группу, так как одинаковыми РФГ могут об-
обладать две или большее число различных групп подстановок
(изоморфных, или конформных3).
РФГ для симметрической и знакопеременной групп степени п
в обозначениях Мак-Магона — это соответственно hn и hn + an.
Действительно, симметрическая группа степени п содержит все-
всевозможные операции всех цикловых типов, какие можно обра-
образовать на п элементах. Рассматривая цикловой тип(/п', $*, ¦ • •)'
сначала запишем в цикловом представлении типичную опера-
операцию, помещая знаки пробела «—» на местах, которые должны
занять п элементов. Так, для циклового типа C, 22) степени 7
следует записать ( ) ( ) ( ). Далее пробелы можно
заполнить п элементами сц, аг,..., ап в любом порядке. Это дает
п\ символов операций, которые, однако, не все различны, ибо
каждый цикл из рг элементов может начинаться с любого своего
элемента, а если имеется лг таких циклов, то их можно перестав-
переставлять пг\ способами, причем это можно делать независимо для
каждого значения г. Все эти варианты суть различные обозначе-
обозначения одной и той же операции. Поэтому число различных опера-
операций с цикловым типом (р[\ pl°, ...) в симметрической группе
етепсни п равно
а РФГ имеет вид
п\ _*,_*, \ VI / sl%\-
Но это есть выражение hn через s-функции, данное Мак-Магоном
П, стр. 7].
1 В оригинале — «the group-reduction function» (или, сокращенно, GRF).—
Прим. ред.
2 По современной терминологии РФГ — это цикловой (или циклический)
индекс (или цикловой индикатор) группы подстановок, переменные которого
трактуются как соответствующие симметрические функции. — Прим. перев.
3 В действительности, как показал Пойа (см. настоящий сборник, стр. 65),
цикловые индексы могут совпадать и у неизоморфиых групп. — Прим. перев.
Теория распределений, приведенных по группе 17
Знакопеременная группа степени п содержит четные подста-
подстановки соответствующей симметрической группы, и ее РФГ поэ-
поэтому такова:
2
— V
где суммирование включает только цикловые типы, соответствую-
соответствующие четным подстановкам, т. е. имеющие четное число четных
частей. Выражение ап через s-функции [1, стр. 6] отличается от
выражения для hn только тем, что члены, соответствующие раз-
разбиениям с нечетным числом четных частей, имеют отрицательный
знак. В сумме hn + an эти члены взаимно уничтожаются, а члены,
соответствующие разбиениям с четным числом четных частей,
удваиваются. Если возникающий при этом множитель 2 вынести
за знак суммы, то неуничтожившиеся коэффициенты в сумме
остаются такими же, как в выражении hn, и, таким образом, мы
находим, что РФГ знакопеременной группы равна, как указано
выше, hn + an.
РФГ циклических групп очень важны как в теоретическом,
так и в практическом отношении. Через Сус (/?"', р\\ ...) обо-
обозначим РФГ циклической группы, порожденной операцией с цик-
цикловым типом{р[\ рг', ...), являющимся разбиением степени w
данной группы. Понятно, что порядок группы есть наименьшее
общее кратное чисел р\, р2, ... . Такая группа транзитивна тогда
и только тогда, когда она порождается операцией, цикловой тип
которой есть одночленное разбиение числа w. В этом случае лег-
легко проверяется, что
.где 1, а,, р,.. ., w — все делители числа w, а ср(?) — число нату-
натуральных чисел, включая 1, меньших %, и взаимно простых с ним '.
Таким образом, CycF) = (l/6)(s?-f-s2 + 2s3-f2ss)- урфГинтран-
зитивной циклической группы коэффициенты такие же, как
и у РФГ транзитивной циклической группы того же порядка, но
¦буквенными частями членов являются произведения s-функций,
соответствующие цикловым типам порождающей операции и ее
степенен. Таким образом, Сус C, 22) = A/6) (S1-J-S2S1 +2s3si-f-
l
РФГ диэдральнон группы, возникающей из транзитивной цик-
циклической группы степени w, будет обозначаться Dih (w). Для
1 Эта функция называется часто ф-фуцкцией Эйлера. — Прим. ред.
18 Дж. Г. Редфилд
нечетной и четной степеней имеем соответственно
Din BA+ 1)~ СусBА+ 1) + -1-А;
DihBA)=—СусBА) + —«*+ —s**?.
2 4 4
Легко видеть, что алгебраическое произведение двух или бо-
более РФГ есть РФГ прямого произведения сомножителей, дейст-
действующих на различных множествах символов.
Перечисляющее выражение для приведенных по группе рас-
распределений можно теперь записать в виде
Это непосредственно следует из теоремы разд. 1 и определения-
операции П, данного в разд. 2.
Для каждой группы G степени п выполняются соотношения
AnnGrf(G)=l и hn(jGri(G) = Qrf(G). Действительно, пусть в
Grf(G)коэффициентом при s*p\s*p\. .. является А(р\\ р\\ . ..). В
hn коэффициентом при sp\s"p\.. . является \1{р\1р1' ¦.. лх\ я2!...)
[1, стр. 7]. Тогда
А {р\\ р\\ . . .) sp%\. . . П sp\sl\. . .;{p\'pl\ . .Я1! л2!. . :) =
= А (pV, pl\ ¦ ¦ •)
в силу разд. 2. Таким образом, hn П Grf (G) ~"ZA (pi1, p2*,...)f
где суммирование ведется по'всем разбиениям {pV, P2\- ¦ ¦) чис-
числа п. Но это является суммой коэффициентов функции Grf(G).
а мы знаем из определения РФГ (разд. 3), что эта сумма рав-
равна 1. Аналогично из
A (PV, р\\ .. .) s;%\. .. [}s~p[sTp\.. .!(pVpl'. ¦ .ях! л2!.. .) =
(pi1, /72 , • • -)SP\SP\. . .
непосредственно следует, что U-ироизведение hn с любой симмет-
симметрической функцией (включая любую РФГ) степени п проста
воспроизводит исходную симметрическую функцию.
Если hn-hh\П Grf (G) = 1, то G по крайней мере й-кратно тран-
зитивна, и обратно. В самом деле, пусть в семействе имеются
всего два блока Si и S2, и пусть блоку Si соответствует группа G,
а 52 — группа Я, у которой РФГ является hn-hh\ . Тогда Н —
прямое произведение симметрической группы, действующей на
множестве из п—k символов, и единичной группы, действующей
на множестве из k других символов. В качестве элементов блока
Теория распределений, приведенных по группе 19
S2 можно взять п—k одинаковых символов а, переставляемых
между собой всеми возможными способами, и еще k различных
символов Рь Рг, • • •, Рл. ни один из которых не перемещается опе-
операциями из Я. Пусть элементами блока Si являются уь Y2. • • •> Y«-
Если группа G по крайней мере й-кратно транзитивна, то k эле-
элементов блока S[, которые спарены с символами рь р2, • . -,Р&
в произвольном блок-соответствии, могут быть заменены (с по-
помощью некоторой содержащейся в G операции) на любое задан-
заданное множество, состоящее из k элементов блока Sb причем лю-
любым из k\ возможных способов. С другой стороны, п—k элемен-
элементов а могут быть переставлены любым заданным способом при
помощи подходящей операции, содержащейся в Я. Таким обра-
образом, от любого блок-соответствия можно перейти к любому дру-
другому посредством операций из биЯдак что имеется только одно
приведенное по группе распределение и hn~hhi (]Grf(G) = l. Но
если группа G не является й-кратно транзитивной, то не всякое
^-элементное подмножество блока Si можно сопоставить симво-
символам Рь р2,..., Pft и найдется более чем одно приведенное по груп-
группе распределение, т. е. hn^hhk\ Л Grf (G)> 1. Итак, утверждение
и его обращение доказаны.
Если /zn-]/zif| Cif (G) =t, то группа G имеет t областей транзи-
транзитивности. Действительно, пусть, как и прежде, блоку Si соответ-
соответствует группа G, а блоку S2— группа Я с РФГ, равной hn-\h\.
Тогда в качестве элементов блока S2 можно взять п—1 одинако-
одинаковых символов а и еще отличный от них символ р. Отправляясь
от произвольного блок-соответствия, в котором какой-либо эле-
элемент у из блока S\ соответствует элементу р, различными опера-
операциями из G можно заменить у на те и только те элементы из
блока Si, которые лежат в той же области транзитивности, что
и элемент у. В то же время операции из Я, которые воздейст-
воздействуют только на элементы а, объединяют в одно приведенное по
группе распределение все блок-соответствия, в которых отдель-
отдельный элемент из Si спарен с р. Значит, возникает приведенное по
группе распределение для каждой из t областей транзитивности
группы G и hn-\hif\Grl(G) =t.
Удобно, коль екоро это имеет смысл, но не ведет к двусмыс-
двусмысленности, говорить о РФГ как о транзитивной, циклической, сте-
степени п и т. д., когда рассматриваемая группа обладает соответ-
соответствующим свойством.
Примеры приложений
1) Требуется найти число различных конфигураций, которые
можно получить, помещая «сплошной» узел 9 в каждую из ка-
каких-либо 4 вершин куба и «полый» узел О в каждую из 4 ос-
20 Дж. Г. Редфилд
тальных вершин, если конфигурации, различающиеся только
расположением ', не считаются различными.
Группа вращений куба абстрактно изоморфна симметриче-
симметрической группе на 4>символах, а в действии на 8 символах, представ-
представляющих вершины, имеет РФГ такого вида:
Группа всех подстановок, действующих на узлах и не меня-
меняющих расцветки узлов, есть прямое произведение двух симмет-
симметрических групп 4-й степени на различных множествах символов,,
и РФГ является
4 ==
16 s3si+ 96
+ 64S3S1+ 12s4s?
Вычисление hi [\V осуществляется следующим образом:
lXlx l8x8! =40320
9x9x2*x4! = 3l 104
64 ,<8x32l2xi2!J= 18432
36x6x42x2!= 6 912
Произведение порядков: E76x24= 13 824) 96 768
Число конфигураций: h\[\V = 7
Следует не забывать, что рассматриваются только те цикло-
цикловые типы, которые представлены во всех РФГ и входят в них как
слагаемые. Эта «ортогональность» произведений s-функций отно-
относительно fluU сильно упрощает вычисления. Однако в данном
случае и обычно, когда один из сомножителей является одночле-
одночленом от /f-функций, было бы проще использовать D-операторы и
вычислять D\ V по правилам, которые дал Мак-Магон [1, стр. 43].
Сами конфигурации, показанные ниже, нельзя найти с по-
помощью предложенных нами методов. Их следует находить, как
1 Две конфигурации, составленные (каждая) из восьми «заполненных*-
вершин куба, считаются одинаковыми (совпадающими, эквивалентными), если*
одна получается из другой с помощью вращений куба в пространстве.— Прим..
ред.
Теория распределений, приведенных по группе
и во всех других случаях, производя детальный анализ соответ-
соответствующей группы, и это, конечно, может быть очень трудоемким
делом (кроме отдельных простых случаев или таких ситуаций,,
когда имеется специальный аппарат).
U)
E)
F)
G)
Наряду с рассмотренным примером можно привести без до-
доказательства несколько других простых результатов.
Так, например, если в V вместо каждой переменной sr под-
под'
ставить ' хг+уг, то получим многочлен
х» _|_ хчу + 3xhf- + Зхьу* + 7x4/
*/6 + ЪхЧ/ -f xif+у8,
в котором коэффициент при хгу6~г перечисляет различные воз-
возможные конфигурации с t узлами © и 8 — t узлами О.
Сумма коэффициентов в указанном выше выражении равна
23, что представляет общее число конфигураций, когда число-
вершин обоих цветов не фиксировано. Это перечисление достига-
достигается также подстановкой 2 вместо каждой переменной sr в V. Ана-
Аналогично, если имеется k цветов, то подставляем число k вместо
каждой переменной ¦>>. Так, при 3 цветах имеем A/24) C8 + 9-34 +
+ 8-34 + 6-32) =333 возможных конфигураций.
Если в V вместо каждой переменной sr подставим 1/A—хг),
то получим бесконечный ряд
в котором^коэффициент при х' перечисляет различные конфигу-
конфигурации, возникающие при размещении в вершинах куба целых
неотрицательных чисел с выполнением условия: сумма всех 8 чи-
чисел всегда равна t. При t = 2 имеем следующие 4 конфигурации:
0-1-0
\
—о
\
—о
\
о—
\
—1
\
1 Именно такие подстановки переменных составляют
Пойа. — Прим. перев.
основу метод»
22 Дж. Г. Редфнлд
Если в V вместо каждой переменной s2k подставить 2, а вме-
вместо каждой переменной s2h+i подставить 0, то будут перечислены
конфигурации, в которых можно менять цвет любой вершины на
противоположный путем подходящего вращения куба '. Нахо-
Находим, что это число есть A/24) @ + 9-24 + 0 + 6-22) = 7, и, в самом
деле, как легко видеть, все 7 показанных выше конфигураций об-
обладают описанным свойством. В других аналогичных случаях от-
отмеченное совпадение не всегда имеет место. Так, для 12 вершин
икосаэдра существуют 24 различные конфигурации с 6 вершина-
вершинами каждого цвета и только 16 из них «переставляют цвета»
с помощью вращений.
2) Рассмотрим правильный и-угольник. Начиная с произволь-
произвольной из его вершин, прокладываем замкнутый маршрут, состоя-
состоящий из прямолинейных отрезков, соединяющих каждую вершину
со следующей в произвольном порядке. Требуется найти число
получающихся различных конфигураций, если не принимаются
во внимание различные расположения и выбор начальной вер-
вершины маршрута.
Если проводить различие (а) между маршрутами, проходи-
проходимыми в противоположных направлениях, и (б) между конфигу-
конфигурацией и ее отражением, то в качестве блок-групп получаются
две циклические группы степени и порядка и, а число конфигу-
конфигураций равно Сус(п)(]Сус(п). Так, например, если я = 6, то имеем
= JL F!-f-23 • 3! _|-22• З2 • 2!-f 22 • 6) = 24.
Если не учитывать только одно из указанных различий (а)
и (б), то число конфигураций есть Cyc(n)f\Dih(n). Для « = 6 бу-
будем иметь
-i- (si+si + 2sl + 2s6) П -?¦ (s?+3&? + 4s23 + 2s32+2s6) =
1 А это уже метод подсчета самодополнительных конфигураций (см., на-
лример, Ф. Харари, «Теория графов», М., «Мир», 1973, стр. 225, или Ф. Хара-
ри и Э. Палмер, «Перечисление графов», М., «Мир», 1977, стр. 170). — Прим.
перев.
Теория распределений, приведенных по группе
23.
На диаграммах, показанных ниже, не учитывается разли-
различие (а):
02)
A3)
(Щ
Если задавать направление обхода при помощи стрелок, то
из каждой указанной выше диаграммы получатся две, но они не
различаются в случаях C), D), A1) и A2), так как обращение
направления здесь эквивалентно вращению на 180° вокруг оси,,
проходящей через центр фигуры перпендикулярно ее плоскости.
Остальные 10 пар различны и увеличивают общее число до
14 + 10 = 24, как и было подсчитано выше.
Если снять оба различия (а) и (б), то перрчисление дается
произведением Dih (n) f\D\h (п). Для я = 6 имеем
5s
6) П
12
2sl + 2s6) =
Ц
И действительно, диаграмма A2) является отражением диаграм-
диаграммы A1), а A4) — диаграммы A3); таким образом, число различ-
различных конфигураций теперь сокращается до 14—2 = 12.
4. Разложение [J-произведений
Теорема. Если Grf(G^flGrf(G2) f~l . . . П Grf(Gq) =6, то
Grf(Gi)UGrf(G2) U ... U Grf(Gf/) можно представить как сумму
Ф1 + Ф2+ ••• +Фе из 9 РФГ Ф , которые следующим образом
можно взаимно однозначно сопоставить всем 8 редуцированным
распределениям Ь\, бг,.. .,6е, определяемым группами Gi, G2,. . .,
..., Gq. Если Фа соответствует распределению 8а, а р — произволь-
произвольное блок-соответствие из 8а, то те операции любой блок-группы
Gr, которые оставляют р неизменным, будучи выполненными в
сочетании с подходящими подобными операциями из остальных
групп Gi, образуют подгруппу, РФГ которой является Фа. (Для
различных р, принадлежащих тому же б, эти подгруппы подобны*
но необязательно совпадают.)
24 Дж. Г. Редфилд
Доказательство. В доказательстве теоремы из разд. 1 мы ус-
установили, что
6 = V J (y) mxm,. . ./»
Q,
а в разд. 3 было показано, что это выражение можно записать
в виде Grf (Gi)DGrf (G2)П • • • П Grf (Gq). Мы видели также (разд.
1, доказательство), что всякий раз, когда J (у) не обращается
в 0, операция у определяется множеством операций из G\, G%. ..,
..., Gq, которые все имеют одинаковый цикловой тип, скажем
{р\\ /?2% ¦ • •)• Если теперь присоединить к каждому J (у) бук-
буквенный сомножитель s'p[Spl. . ., который представляет цикловой
тип (рг{\ рТ, •••), характеризующий операцию у, то очевидно,
что модифицированное выражение
J(Y) sTD%\.. .jmxm2.. .mq
равно Grf(G,)UGrf(G2) U ... LJGrf(G9).
Ho 2^(Y) „слагается" из единиц, так что
содержит слагаемое s?'s?',. • .для каждого случая, когда некото-
некоторое блок-соответствие Pi сопоставляется операции у циклового ти-
типа (pV, pT'\- ¦ •), которая оставляет pi неизменным. Обратим
внимание на слагаемые fy|s?",. • •, отвечающие одному блок-соот-
блок-соответствию рь Пусть 1)\ — группа всех операций, сохраняющих рь
/C(fh) — ее порядок. Тогда все эти слагаемые sTp\sl\..., взятые
вместе, дают выражение, равное произведению /C(fh) на РФГ
для группы U\. Группы U2, Uz, ¦¦¦ , отвечающие блок-соответст-
блок-соответствиям Рг. Рз. • • •, лежащим в том же самом приведенном по группе
распределении, в котором содержится pi, подобны группе L\,
а поэтому имеют такие же РФГ. Если распространить наше сум-
суммирование на все это приведенное по группе распределение, ко-
которое содержит m\m.2... тя/К($\) блок-соответствий, то полу-
получится выражение
где Фа означает РФГ, принадлежащую безразлично какой из
групп Uu U2,.... Наконец, учитывая все 0 приведенных по груп-
группе распределений, имеем
т1т2.. .от9(Ф, + Ф2+-- • + фе).
где Фь Ф2, . . .,Фе — полное множество РФГ, типичным предста-
представителем которых является Ф,. Но, так как мы уже использовали
Теория распределений, приведенных по группе 25
все слагаемые Sp^s^. .., последнее выражение должно быть рав-
равно 2 J (у) sl\sTp\... . Отсюда находим:
=GrfiQ1)UGrf(Q2)U---UGrf(Q,).
Итак, доказано, что упомянутое в теореме разложение теоре-
теоретически возможно во всех случаях. ¦
Но пока не найдено никакого общего метода, позволяющего-
действительно осуществлять такое разложение для U-произведе-
ния заданных РФ Г. Более того, если [^произведение включает
сомножители, которые могут принадлежать двум или большему
числу различных групп, то разложение может не быть однознач-
однозначным.
Так, например, РФГ xU(s\+Zs-iS\) соответствует двум аб-
абстрактно изоморфным, но различным группам
Q, = {1, (ab)(cd)(e){f), (ab)(c)(d)(ef), (a)(b)(cd)(ef)}
Q2={1, (ab)(cd)(e)(f), (ac)(bd)(e)(f), (ad)(bc)(e)(f)}. '
Они обе иитранзитивны и имеют по 3 области транзитивно-
транзитивности, что подтверждается равенством
но их области транзитивности имеют степени 2, 2, 2 и 4, 1, 1 со-
соответственно. Произведение /is^itl'Msi + SsIsi2) = '/4F51 +6s|«i)
имеет два разложения: 3 ['/гE i +shi)] и 2 ['Ms 16 + 3«2«1 )] + «i ;
первое соответствует группе Qi, а второе — группе Q2.
Обращаясь к примеру, в котором шла речь о конфигурациях
на кубе (разд. 3, пример A)), имеем
Л* U A/24) (si + 9s2 -f Ssls] + 6S4) =
= A/24)G0s?+54s2+32s3S?+124).
Оно разлагается на семь РФГ:
A)
B)
C)
D)
E) и F)
G)
¦26 Дж. Г. Редфилд
где номера справа указывают соответствие между составляющи-
составляющими РФГ и семью диаграммами, приведенными в разд. 3. Чита-
Читатель может легко проверить, что каждая из этих РФГ есть РФГ
группы вращений, которая не изменяет цвета узлов соответствую-
соответствующей конфигурации на кубе. Разложение
i/4 (sJ+sJ + 2sJ) + 2 [V, (s? + 2&?)] +4 [V, (*?+$]
алгебраически возможно и не содержит ничего, кроме обыкно-
обыкновенных допустимых подгрупп, однако оно не имеет смысла. Это
дает некоторое представление о трудности общей проблемы раз-
разложения '.
5. Частные случаи разложения
Разложение U-произведений в сумму РФГ может быть вы-
выполнено однозначно в двух важных частных случаях.
Случай 1. Теорема. Если все из сомножителей Fit F2,..., Fq
являются РФГ вида h[\h[\..., то функция <P = .FiU^2U ••• U Fq
есть сумма таких РФГ, каждая из которых также представляет
собой мономиальное произведение h-функций. Это разложение
находится из представления функции Ф через s-функции путем
преобразования ее при помощи формул Мак-Магона [1, стр. 6]
в выражение, составленное из h-функций.
Доказательство. Пусть имеется q блоков Si, S2, ..., Sq, соот-
соответствующих группам G\, G2,..., Gq, и каждая группа Gr имеет
РФГ вида hTp[hrpl.... В качестве элементов для любого блока Sr
возьмем р\ символов каждого из п\ видов, р% символов каждого
из яг видов и т. д., так что GT допускает всевозможные переста-
перестановки среди символов одного вида, но не допускает никаких
взаимных «обменов» символов разного вида. Запишем блоки
в прямоугольную таблицу из q строк и п столбцов, причем эле-
элементы каждого блока располагаются в строке в произвольном
порядке. Так, для 3 блоков (по 7 элементов в каждом) с РФГ
Л3л|, АзЛь А4Л2А1 мы могли бы иметь следующую таблицу:
А А В А С В С
a b b а с b a
а у а а [1 а р
1 См. в связи с этой проблемой статьи Foulkes Н. О. (a) On Redfield's
group reduction functions, Canad. J. Math., 15 A963), 272—284; F) On Red-
field's range-correspondences, Canad. I. Math., 18 A966), 1060—1071.— Прим.
ред.
Теория распределений, приведенных по группе 27
Такая таблица символически представляет некоторое блок-
соответствие, которое не меняется от перестановки целых столб-
столбцов. Но такие перестановки целых столбцов допускаются груп-
группами G\, G2, — , Gq тогда и только тогда, когда элементы, пере-
переставляемые в каждой строке, одинаковы; и любое множество
подобных столбцов допускает относительно групп G\, G2, ... , Gq
вес свои возможные перестановки. Таким образом, группа допу-
допустимых перестановок столбцов для произвольного блок-соответ-
блок-соответствия является прямым произведением симметрических групп,
имеющим РФГ вида h\\h\\.... В приведенном выше примере
столбцы Ааа и ВЬа встречаются по два раза, а остальные
столбцы — по разу, так что представленное блок-соответствие
допускает группу, у которой РФГ есть ft22/ii3. To же самое спра-
справедливо для каждого блок-соответствия и каждого приведенного
по группе распределения, относящегося к изучаемой задаче.
Отсюда следует, что LJ-произведение всех РФГ можно разло-
разложить в сумму РФГ, каждая из которых является произведением
Л-функций.
Поскольку U-произведение дает симметрическую функцию,
а всякая симметрическая функция имеет однозначное представ-
представление в виде линейной комбинации произведений й-функций, то
отсюда следует, что такое представление, найденное по упомяну-
упомянутым выше формулам, дает требуемое разложение. В
Диаграммы на шахматной доске. Теория Мак-Магона для
диаграмм на шахматной доске подпадает под этот случай [1,
часть V, гл. II]. Коэффициент при hx\h\l... в разложении [J-произ-
ведения мономиальных произведений й-функций перечисляет
диаграммы, в которых семейство чисел, появляющихся в раз-
различных занятых ячейках диаграммы, образует разбиение
(^i\ ^2a,---). Используя три или большее число сомножителей,
можно посчитать аналогичные диаграммы размерности три или
более; их теория, хоть и не столь явно представленная, как эта,
содержится в книге [1, часть .II, гл. V]. Пример, данный Мак-Ма-
гоном на стр. 85—86, можно рассматривать как перечисление
трехмерных блочных диаграмм, имеющих спецификации 2, 1, 1;
2, 1, 1 и 2, 2 размещения единиц для соответствующих 2-мерных
строк, столбцов и слоев1. Перечисляющим выражением для всех
таких диаграмм будет следующее Г) -произведение: й2й]2 Й2
1 Очевидно, имеется в виду следующая задача. Требуется перечислить
всевозможные размещения с повторениями 4 единиц в ячейках пространствен-
пространственной прямоугольной решетки размера 3X3X2, где в первой ЗХ2-строке поме-
помещены 2 единицы, а во второй и третьей— по одной (и то же — для столбцов),
а в обоих ЗхЗ-о.лоях помещены по 2 единицы. —Прим. перев.
•28 Дж. Г. Редфилд
П /?22=38. Соответствующим U-произведением будет
Й2А? U h\=
= V2 (si+s2sb U V2 (si + s2s?) U lU {si+2525?+st) =
2 2 2
так что существуют 34 «унитарные» диаграммы с одной едини-
единицей в каждой из 4 занятых ячеек и 4 диаграммы с 2 единицами в
одной занятой ячейке и одной единицей в каждой из 2 других
ячеек. Если в выражения Мак-Магона, содержащие величины
Ьц (см. там же), подставить вместо каждой величины by, функ-
функцию Лц, то получится выражение U-произведения черезЛ-функции.
Случай 2. Теорема. Если из сомножителей Fu Fi, ..., Fq
хоть один является РФГ циклической группы (скажем,
Cyc(Xi1, X21,...)), то функцию O = Fi\jF2 LJ ••• U Fq можно предста-
представить в виде суммы РФГ циклических групп, где каждая РФГ
равна либо самой функции Сус(Xf", Ц',...), либо РФГ цикличе-
циклической группы, порожденной некоторой степенью операции цикло-
еого типа (k'',fo*,...). Это разложение осуществляется следую-
следующим образом. Устраним из Ф член Cs'^s™*... , соответствующий
операции наивысшего имеющегося порядка, путем вычитания
некоторого подходящего выражения ?Сус(цГ", ih1',...), пред-
представляющего собой умноженную на число k РФГ циклической
группы, порожденной этой операцией. Аналогичным образом
преобразуем остаток Ф—ACyc'([xf', ]$*,¦..), и процесс продолжа-
продолжаем до тех пор, пока все~члены функции Ф не будут устранены.
Вычитающиеся в описанном процессе РФГ образуют требуемое
разложение.
Доказательство. По теореме из разд. 4 каждое слагаемое, вхо-
входящее в Ф, представляет собой РФГ некоторой подгруппы ка-
какой-либо из групп', отвечающих рассматриваемым функциям
Fi. Но одна из этих групп является по предположению цикличе-
циклической, и ее подгруппами могут быть только она сама и цикличе-
циклические группы, порожденные степенями ее образующей.
Если Ф не содержит членов, соответствующих операциям бо-
более высокого порядка, чем порядок операции, представляемой
членом CsjT.'s"/..., то этот член должен «вкладываться» некото-
некоторой компонентой Cyc(|xJ"', \х"',...) функции Ф, причем эта ком-
компонента повторяется такое число раз k, которое достаточно, что-
1 Каждому слагаемому соответствует подгруппа одной вполне определен-
определенной, связанной именно с этим слагаемым группы. — Прим. ред.
Теория распределений, приведенных по группе 29
бы компенсировать коэффициент С. Те же соображения приме-
применимы к последовательным остаткам, получающимся после вычи-
вычитания выражения кСус(\>.?\ у-2 *,..¦) и его аналогов, в
Так, например,
Л3Л2иСусC, 2) =
(S\ + 4s2s? + 3slSl + sA + 32) U l(si + s2s\ + 2s3s\ + 2s3s2) =
= -L A20s? + 48s2s? + 24s3s\ 4- 24s3s2) =
= _L A0
6
Вычитая Сус C, 2), т. е. 1/6(si5 + S2Si3 + 2s3sI" + 2s3s2), получа-
получаем >/6(9si5 + 3s2Si3). Вычитая далее CycB, I3), т. е. V2(si5 + S2Si3),
приходим к выражению «i5. Вычитание из него функции СусA5),
т. е. si5, дает 0. Поэтому
, 2) + СусB, 13) + СусA5).
6. Взятие производных от редуцированных
функций для изоморфов '
Пусть функция ф зависит от п аргументов. Зафиксируем
набор (щ, ct2, ..., а„) значений аргументов. Если значение функ-
функции (р на наборе (аь аг, ..., ап) не меняется при любой переста-
перестановке значений ai, осуществляемой с помощью произвольной
операции из заданной группы Н степени п и порядка \i, но изме-
изменяется в том случае, когда ее, переставляются произвольной опе-
операцией, не принадлежащей группе Н, то функция <р на всех на-
наборах, получаемых из набора (сц, аг, ..., ап) всевозможными пе-
перестановками значений аи принимает ровно n\/\i различных
значений. Это хорошо известный результат, но здесь мы можем
указать специально, что он легко устанавливается с помощью
простого применения теории редуцированных распределений:
надо в качестве одного блока взять п значений аргументов сц,
а?, ..., а„ с РФГ Gri(H), a в качестве второго блока — п фикси-
фиксированных позиций для аргументов функции ср с группой, состоя-
состоящей из единичной подстановки на п элементах (в качестве со-
соответствующей блок-группы); ее РФГ есть Sin. Тогда получаем:
Grf(#) всегда имеет вид A/р.) (sin +...), гДе опущенные члены
1 Под изоморфом (или производной группой) понимается группа подста-
подстановок с индуцированным действием, т. е. с действием, которое определяется
ее исходным действием и заданным соответствием между исходными и новы-
новыми элементами. — Прим. перев.
30 Дж. Г. Редфилд
не влияют на П-произведение sin П A/ц) (sin+ ...) =n!/fi, что и
является числом различных значений, которые может принимать
функция ср. Нет необходимости считать ф какой-либо особой ал-
алгебраической или иной функцией; это просто символ, который
мы согласились рассматривать эквивалентным всякому подоб-
подобному символу, получающемуся из него при помощи любой опе-
операции из Н, примененной к значениям его аргументов.
Любая перестановка п значений аргументов аг- определяет
соответствующую перестановку n\l\i значений функции ср, а по-
поскольку все щ находятся в одинаковом положении по отноше-
отношению к позициям, которые они занимают в символе ф(—, —, ...,
..., —), то все подстановки на множестве {сц, аг, ..., ап} заданно-
заданного циклового типа Р (разбиение числа п) соответствуют подста-
подстановкам на значениях функции ф, имеющим один и тот же цикло-
цикловой тип Р' (разбиение числа n!/fi).
РФГ всякой группы G степени п можно преобразовать (со-
(согласно установленному выше соответствию) в РФГ некоторой
группы G' степени n!/fi, индуцированной группой G. В этом пре-
преобразовании все коэффициенты функции Grf(G) не меняются:
изменяются только буквенные символы Sxi, *x", • • ¦ (согласно со-
соответствию цикловых типов). Индуцирование не обязательно
является изоморфизмом, а РФГ, определяемые различными
группами Н, не всегда различны.
Примем для РФГ производной группы G' обозначение
Grf (Я) d1 Grf (G). Введем также следующим образом понятие
«степеней» циклового типа: если Р означает произвольное раз-
разбиение, то Рк означает разбиение, являющееся цикловым типом
k-й степени uh произвольной операции-перестановки и, которая
имеет цикловой тип Р. Так, например, если Р— D, 3), то имеем
/>=/*=/»=/>" = D, 3); P2 = pio=C, 22);
/м=/з9 = D, 13); Я4 = Я8==(з, I4);
ps=-.B2, Р); Я12 = A7).
Теорема. Всякой операции порядка | и циклового типа Р
из группы G степени п соответствует в производной группе G'
с РФГ Grl(H)^Gvl(G) операция циклового типа AЛ\ аА\
JA?,..., %At), где 1, а, р | — делители числа \, А{ — коэф-
коэффициенты в выражении Л, Сус (Р) -f Ла Сус (Р*) -f Лр Сус (Я?) -f ...
... -f A^s", полученном путем разложения функции Grf (Я) LJCyc (P)
в соответствии со случаем 2 из разд. 5.
Доказательство. Введем для функции ср новое обозначение:
Теория распределений, приведенных по группе 31
ь котором /, g, ..., / и р, q, ..;, г— перестановки множества
{1, 2, ..., п}, а столбец типа "s указывает, что ag занимает q-ю
позицию в старом обозначении <р(—, —, ..., —). Значение ново-
нового «символа», очевидно, не изменяется от перестановки столбцов.
Эту чисто изобразительную инвариантность следует отличать от
специальной инвариантности, определяемой группой Я, действу-
действующей на одной лишь верхней строке.
Все элементы оц и р^ можно рассматривать как два блока Sa
и S3 с Я в качестве группы, соответствующей Sa\ блоку 5ц со-
сопоставляется циклическая группа С, порожденная некоторой
операцией и порядка | и циклового типа Р, так что Grf(C) =
--Сус(Р). Яусть Ti — наименьшее целое число, такое, что опе-
операция иц, выполненная на элементах р3- заданной функции ср,
дает «символ» ф', эквивалентный ср ввиду инвариантности отно-
относительно Я. Тогда ti должно быть делителем |, а операции и,
и2, ... , ы" последовательно дадут ц символов epi, <р2, ..., ерп-ь ср,
попарно различных при инвариантности, определяемой группой
Я. В циклической группе С", в которую Я преобразует группу
С, операция и будет, таким образом, представлена операцией и'
степени л!/ц и циклового типа Р', причем Р' является разбиением
числа n\l\i, содержащим часть ц, поскольку одним из циклов опе-
операции «'является (фф1ф2... фп-i). С другой стороны, двухстрочный
символ ф можно прочесть как блок-соответствие, которое не изме-
изменяется только под действием операций, являющихся комбинация-
комбинациями операции t№ или одной из ее степеней, с подходящей подобной
операцией из Я. Но и*1 порождает циклическую группу с РФГ
Сус(Рч), и поэтому функция Grf(//)UGrf(C)=Grf(//)UCyc(P)
имеет (по теоремам разд. 4 и 5 (случай 2)) аддитивную компо-
компоненту Cyc(Pi), соответствующую части г\ в Р'. Расширение это-
этого на все U-произведение устанавливает тогда правило, сформу-
сформулированное для нахождения Р'.
Пример. Возьмем функцию Grf (Я) —h%hi. Поскольку ее поря-
порядок равен 3!2! = 12, то она преобразует всякую РФГ степени 5 в
производную РФГ степени 51/12=10. Мы видели выше (разд. 5,
случай 2), что tt3fr2UCycC, 2)=CycC, 2)+СусB, 13)+СусA5).
Функция СусC, 2) отвечает группе, у которой порядок, равный
6, имеет делители 1, 2, 3, 6. Имеем Р= C, 2), Р2=<C, I2). Р3 =
= B, I3)f pe=(i6)> a также Л1=Л3 = Л6=1, Л2 = 0, откуда
AД>, 2Л», Зл>, 6Л«) = F, 3, 1). Итак, получено соответствие, цик-
цикловых типов C, 2) и F, 3, 1). Кроме того, поскольку соответст-
соответствие между двумя групповыми операциями, определяемое на
языке цикловых типов, влечет аналогичное соответствие между
равными степенями этих операций, то сразу получаем: C, I2)
соответствует (З3, 1), B, I3) —B3, I4) и (I5) —A10). Дальнейшие
соответствия задаются разложением /i3/J2llCycD, 1) =СусB2,1) +
32 Дж. Г. Редфилд
+ 2СусA5), а именно D, 1) соответствует D2, 2) и B2, 1) —
B4, l2), и разложением h3h2\JCycE) =2 Cyc (l5), а именно E)
соответствует E2). Для полного множества из 7 разбиений чис-
числа 5 имеем:
Разбиения числа 5: E) D,1) C,2) C, I2) B2, 1) B, I3) A5)
Разбиения числа 10: E2) D2,2) F,3, 1) (З3, 1) B4, I2) B3, I4) A10)
Это множество соответствий служит для построения изо-
морфа степени 10 из любой группы степени 5. Таким образом,
Vf,Ei5+4s5)=CycE) переходит в 75(si10+4s52) =CycE2). А беря
в качестве G симметрическую группу степени 5, имеем из
1
индуцированную РФГ
Последняя функция является типичным представителем клас-
класса редуцированных функций вида hn-nhztf hn (степени п(п—1)/2
и порядка л!), связанных с перечислением симметричных ирреф-
лексивных бинарных отношений (aliorelative dyadic «relation-
numbers») [2, стр. 301], заданных на области из п элементов.
Если изображать элементы области узлами О, а структуру от-
отношения— «связующими» звеньями, то для 5 узлов возможны
10 различных звеньев. Если изображать только 4 из 10 звеньев,
то получим показанные ниже конфигурации, которые перечисля-
перечисляются выражением h^h^ihsh^d hs) =6:
Конфигурации E) и F), содержащие изолированные узлы,
не соответствуют, согласно принятым определениям, никаким
отношениям на области из пяти элементов. В действительности
мы подсчитали число отношений определенного типа на областях
из пяти или менее элементов, и, чтобы удалить избыток, надо
вычесть соответствующее число отношений для областей из че-
четырех или менее элементов. Таким образом, имеем
h(,hif](h3hidhb)—h2hi fl (Wu) =6—2 = 4.
Теория распределений, приведенных по группе 33
Подставляя s, = 2 для всех г (см. разд. 3, пример A)) в вы-
выражения hn-2fi2dhn при различных значениях п, находим, что
общее число симметричных иррефлексивных бинарных отноше-
отношений на области из п элементов таково:
Число элементов в области: 12 3 4 5 6 7
Число отношений: 0 1 2 7 23 122 888 ...
Другие классы отношений можно перечислить аналогичным
образом. Так, для асимметричных иррефлексивных бинарных
отношеиий используем функции hn-2hi2 <^hn', для симметричных
иррефлексивных тернарных отношений — функции !in-3h3 <3 hn;
для иррефлексивных тернарных отношений, симметричных толь-
только по двум аргументам, — функции hn-^hnh) c?/in-
Иногда возникает не изоморфизм, а /-кратный гомоморфизм;
в таком случае каждая производная операция повторяется / раз;
это дает внутри скобок в записи РФГ старший член, равный jsin.
После вынесения множителя / за скобки РФГ принимает обыч-
обычный вид, так что не возникает никакого исключения из пра-
правила нахождения соответствующего выражения для функции
Grl(H)tf Grf(G).
Другие изоморфы можно получить, используя в качестве пре-
преобразующей функции вместо Grf(#) произвольную симметриче-
симметрическую функцию, являющуюся суммой двух или более РФГ надле-
надлежащей степени. 'Гак, для перечисления симметричных бинарных
отношений, на которые не накладывается требование иррефлек-
иррефлексивности, используются функции (hn-2h2+hn-ihi) c$hn. Такие
изоморфы обязательно интраизитивны. С другой стороны, когда
в качестве преобразующей функции используется единственная
РФГ, производный изоморф может быть интразитнвен, и если
он таков, то можно получить еще несколько пзоморфов, отбра-
отбрасывая некоторые из транзитивных составляющих. Однако общая
проблема фактического разделения интранзптивной РФГ на
транзитивные составляющие еще не решена и, по-видимому,
тесно связана по природе и сложности с разложением U-произ-
ведений в суммы РФГ.
Несколько важных общих соотношений таковы (для групп
G и Н степени п, порядок группы Н равен \i): /г„ cfGrf (G) =Si
для всякой группы G; функция (hn + an) cfGrf(G) равна
V2(si2 + s2) или S]2 в соответствии с тем, имеет или не имеет груп-
группа G нечетные подстановки; hn-ih\tfGTi (G) =Grf (G);
2—1751
34 Дж. Г. Редфилд
7. Нахождение РФГ по заданным образующим
Если два символа аир лежат в одном цикле одной из задан-
заданных образующих группы G, РФГ которой нужно найти, то они
принадлежат одной области транзитивности группы G. Иссле-
Исследуя данные образующие с этой точки зрения, можно найти число
Э областей транзитивности. Если записать Grf(G) в общем виде:
A/т) 2,N{G;pil, pl\...) sTp%]..., то соотношение/^*! Г) A/л») X
X ~2jN(G; р'{', P22,---)sTp\sKp2...~ft является уравнением отно-
относительно т (порядка группы G) и всех значений «величины4» N.
Далее, беря любую известную группу Н степени п и порядка ц,
можно образовать функцию ср, «зависящую» от исходных п сим-
символов и инвариантную относительно группы Н; затем можно
найти вид новых образующих, содержащих уже по л!/р, симво-
символов и соответствующих исходным образующим. Эти новые
образующие порождают изоморф, РФГ которого равна
Grf (#)с? Grf (G); получаем еще одно уравнение:
где 9' находится из рассмотрения новых образующих в точности
так же, как ранее было найдено Э. Продолжая действовать та-
таким же образом, но с использованием различных других групп
в качестве Н, можно найти в принципе достаточное число урав-
уравнений и определить т и все значения N. Однако в практических
ситуациях некоторые из изоморфов будут иметь довольно высо-
высокие степени. Эту трудность .в определенной мере можно умень-
уменьшить, выбирая группы Н как можно более высокого порядка.
Однако необязательно образовывать столько же уравнений,
сколько неизвестных. Так, например, не производя никаких вы-
вычислений, мы знаем, что Grf(#)(]Grf(G) есть целое положи-
положительное число. Аналогично s{\sll-..[)Grf (G)—положительное
число или 0 для каждого разбиения (Xi\ V,- ¦¦) числа п; в то же
время легко показать, что если Н' — подгруппа группы Н, то
Gr\{H')[\Qr\{G)^Gr\(H)r\Grl{G). Эти и подобные соотношения
обеспечивают многообразие сравнений и диофантовых нера-
неравенств, которых в сочетании с частью множества определяющих
уравнений зачастую бывает достаточно для нахождения Grf(G).
Даже когда такое упрощение удается, могут возникнуть со-
сомнения, имеет ли этот метод существенные преимущества перед
альтернативной (во многих случаях, разумеется, нереализуемой)
процедурой: вывести все множество операций группы из задан-
заданных образующих и затем построить РФГ, подсчитывая операции
Теория распределений, приведенных по группе 35
различных цикловых типов. Здесь, скорее лишь в качестве ил-
иллюстрации, приводится принцип, на котором, вероятно, может
базироваться эффективный метод. В настоящее время на прак-
практике, имея дело с группами высоких порядков, мы должны пола-
полагаться на частные приемы.
8. Возможные алгебраические формы РФГ
Сравнения и диофантовы неравенства, упомянутые в разд. 7,
образуют множество необходимых условий, выполняющихся в
тех случаях, когда данная симметрическая функция есть РФГ
какой-либо существующей группы. Используя их, мы можем оп-
определить возможные формы РФГ, имеющих заданные свойства
(например, принадлежность к классу групп с заданными сте-
степенью и порядком). Зачастую таким способом можно установить
несуществование определенных классов групп или уменьшить
число возможностей. Однако на этом пути мы не можем дока-
доказать существование какой-либо предполагаемой группы, и пол-
полное множество чисто алгебраических достаточных условий еще
ие обнаружено, хотя ничто не говорит о невозможности достиже-
достижения этой цели. Такие методы могли бы быть полезными при про-
проверке списков групп (в частности, составленных Кэли и др. [3])
на наличие пробелов '.
Список литературы
1] MacMahon P. A. Combinatory Analysis, vol. I. Cambridge, 1915.
2] Whitehead A. N., Russell B. Principia Matematica, vol. II. Cambridge, 1910.
3] Cayley et al. Quarterly Journal of Mathematics, XXV, p. 71 etc.
1 Историю вопроса, дополнительную литературу и дальнейшие коммента-
комментарии см. в статьях Ф. Харари и Э. Палмера, The enumeration methods of Red-
fied, Amer. J. Math., 89 A967), 373—384, и Р. К. Рида, The use of S-functions
in combinatory analysis, Canad. J. Math., 20 A960), 808—841. Краткие биогра-
биографические сведения о Редфилде содержатся в книге Ф. Харари и Э. Палмера
«Перечисление графов», М., 1977 (гл. 4). — Прим. перев.
КОМБИНАТОРНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ ДЛЯ ГРУПП, ГРАФОВ
И ХИМИЧЕСКИХ СОЕДИНЕНИЙ^
Д. Пойа г"
ОГЛАВЛЕНИЕ
Разделы стр.
1—6 Введение . 36
I. ГРУППЫ
7—12 Определения 46
13—18 Подготовительные задачи 49
19—20 Определение числа неэквивалентных конфигураций для произ-
произвольной группы подстановок 55
21—23 Частные случаи 58
24 Обобщение 62
25—27 Соотношения между цикловым индексом и группой подстано-
подстановок 63
П. ГРАФЫ
28—37 Определения 70
38—45 Посаженные деревья 79
46—52 Свободные деревья 88
53 Вычислительный аспект 93
54 Замечания о группе автоморфизмов свободного топологического
дерева 95
III. ХИМИЧЕСКИЕ СОЕДИНЕНИЯ
55—59 Общие вопросы 96
60—65 Специальные вопросы 104
IV. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ- ПОВЕДЕНИЕ РАССМОТРЕННЫХ
КОМБИНАТОРНЫХ ЧИСЕЛ
66—74 Теоретико-функциональные свойства . . 114
75—79 Асимптотические значения коэффициентов некоторых степенных
рядов 124
80—86 Число структурных изомеров парафинов 129
Список литературы .__ • . 135
Введение -1'
1. Эга работа продолжает исследования Кэли. Кэли неодно-
неоднократно обсуждал комбинаторные задачи, относящиеся к подсчету
«деревьев»2. Ряд его задач допускает химическую интерпретацию:
1 Polya G. Kombinatorische Anzahlbestimmungen fur Gruppen, Graphen
und chemische Verbindungen, Ada Math., 68 A937), 145—254.
2 Кэли [11—18]. Цифры в квадратных скобках после фамилий отсылают
к краткому списку литературы на стр. 135, в который включены лишь чаще
всего цитируемые труды, наиболее близко связанные с работой. Дополнитель-
Дополнительные указания читатель найдет в книге Кёнига [25].
© Перевод на русский язык, «Мир», 1979.
Комбинаторные вычисления для групп 37
число рассматриваемых «деревьев» равно числу определенных
(теоретически возможных) изомерных химических соединений.
Обширные численные расчеты Кэли были проверены и час-
частично исправлены многими авторами, особенно химиками. Под-
Подлинный прогресс, на мой взгляд, впервые принесли публикации
двух американских химиков (фон Хенце и Блейра), которые не
только значительно развили расчеты Кэли, но также улучшили
метод и осуществили вычисление дальнейших классов соедине-
соединений '. С другой стороны, без непосредственной связи с вопросами
Кэли благодаря Ланну и Сениору2 стало известно, что некото-
некоторые числа изомеров находятся в тесной связи с группами под-
подстановок.
В предлагаемой работе с разных точек зрения будет расши-
расширен круг вопросов, обсуждавшихся Кэли, изложено их отноше-
отношение к теории групп подстановок и к некоторым функциональным
уравнениям и приведены асимптотические вычисления соответ-
соответствующих величин. Результаты отражены в последующих четы-
четырех частях, о содержании которых подробнее рассказывается
ъ дальнейших разделах введения. Отдельные результаты иссле-
исследования, которое здесь подробно представлено, уже были кратко
-изложены ранее3.
2. Для групп подстановок рассматривается одна комбина-
комбинаторная задача, с которой следует познакомиться из-за ее общно-
общности и простоты решения.
Чтобы ясно продемонстрировать близкое родство этой задачи
"С начальными элементами комбинаторики, представим ее на
«дном конкретном примере.
Имеется 6 шаров трех различных цветов: 3 красных, 2 синих
.и 1 желтый. Шары одинакового цвета мы считаем неразличимы-
неразличимыми. Сколькими способами можно распределить эти 6 шаров по
шести углам октаэдра, свободно перемещаемого в пространст-
пространстве'} («Распределить» означает сопоставить каждому углу шар.)
Если бы октаэдр был фиксирован в пространстве, так что
шесть вершин своим положением характеризовались бы как
индивидуально различные, например как верхняя и нижняя, пе-
передняя и задняя, левая и правая вершины, то, как известно из
элементарной комбинаторики, ответ был бы
Однако суть дела заключается в том, что вершины не являются
ли индивидуализированными, ни полностью неразличимыми, но
1 Блейр и Хенце [2—7].
2 Ланн и Сениор [271.
Пй [3034]
3 Пойа [30—34].
38 Д. Пойа
относятся к неразличимым те и только те из упомянутых 60 рас-
расположений, которые могут быть переведены друг в друга враще-
вращениями октаэдра A°) '.
Для ответа на поставленный вопрос нужно точно учесть под-
подстановки, которые порождаются двадцатью четырьмя вращения-
вращениями группы октаэдра, действующей на множестве его вершин. Эти
подстановки мы разложим на циклы и каждому циклу заданного
порядка поставим в соответствие переменную: циклу 1-го порядка
(вершине, неподвижной при вращении) поставим в соответствие
fj, циклу 2-го порядка (транспозиции) —f2, циклу 3-го порядка —
/з и т. д. Подстановке, разлагающейся в произведение циклов,.
не имеющих общих элементов, поставим в соответствие произ-
произведение таких переменных, которые соответствуют отдельным
циклам. Тогда отдельным вращениям октаэдра будут соответст-
соответствовать следующие произведения:
fI6 — «покой», ему отвечает «тождественная подстановка»
6 вершин, состоящая, очевидно, из шести циклов первого по-
порядка;
/i2f4 — поворот на 90° вокруг диагонали;
fi2f22 — поворот на 180° вокруг диагонали;
f23 — поворот на 180° вокруг линии, соединяющей середины
противоположных ребер;
fz2 — поворот на 120° вокруг линии, соединяющей центры про-
противолежащих граней.
Можно заметить, что эти пять типов представляют соответ-
соответственно
1, 6, 3, 6, 8
вращений из всей группы. Возьмем среднее арифметическое
24 произведений, которые сопоставляются 24 вращениям; возни-
возникающий при этом многочлен от переменных f\, f2, fz, U
назовем цикловым индексом группы подстановок, порожденной
октаэдрической группой на шести вершинах октаэдра.
Решение поставленной комбинаторной задачи получается с
помощью следующего правила: подставим в цикловой индекс
и разложим полученное таким образом выражение по степеням
х, у, z; коэффициент при x3y2z в этом разложении и будет требуе-
требуемым числом. Он равен трем, что легко установить, изобразив
1 В этом и аналогичных случаях см. примечания переводчика, вынесенные
в конец статьи. — Прим. ред.
Комбинаторные вычисления для групп 39
эти конфигурации на чертеже. Заметим еще, что привлеченный
панее для сравнения случай, относящийся к элементарнейшей
комбинаторике, в котором 6 вершин рассматривались как инди-
индивидуально различные, подходит под действие того же самого
правила: так как вершины индивидуально различны, они допу-
допускают лишь тождественную подстановку, т. е. группу подстано-
подстановок, состоящую из одной-единственной подстановки шестого по-
порядка; ее цикловой индекс есть fi6, и число
6!
31211!
есть как раз коэффициент при хъу2г в разложении (x+y + zN.
В части I обсуждается мотивированное предыдущим приме-
примером общее понятие «конфигураций, которые эквивалентны отно-
относительно группы подстановок», обосновывается объявленное
правило в его общей формулировке и кратко рассматриваются
различные связанные с этим вопросы.
3. Согласно Кэли, «деревом» будем называть геометрическо-
комбинаторное образование, состоящее из «точек» и «ребер»
B°); каждое ребро соединяет две точки; в одной точке встреча-
встречается любое число ребер; все образование связно, и притом связь
при заданном числе точек осуществляется наименьшим возмож-
возможным числом ребер. Потому число точек превосходит число ребер
и в образовании не может быть замкнутых путей.
Различают однореберные, двухреберные, трехреберные и т. д.
точки дерева по числу ребер, встречающихся в данной точке;
однореберная точка называется также концевой точкой дерева.
Можно выделить произвольную концевую точку дерева и на-
назвать ее «корнем»; дерево, в котором выделен корень, называют
«посаженным деревом» C°); точки посаженного дерева, отличные
от корня, называются «узлами». Если в дереве корень не выде-
выделен, так что все точки рассматриваются как равноправные, то в
противоположность посаженному дерево называют «свободным».
С топологической точки зрения два дерева, в которых отно-
отношения связи совпадают, рассматриваются как неразличимые;
точную формулировку этого определения (и некоторых подобных
менее знакомых определений) см. в разд. 34 и 35.
Будем использовать обозначения
тп— число топологически различных свободных деревьев с
п точками;
Тп — число топологически различных посаженных деревьев
с п узлами.
Уже Кэли предложил замечательный способ нахождения чи-
чисел т„ и Тп. Определение хп проще, чем Tnj так как представле-
40
Д. Пойа
ние «свободных» деревьев содержит на один компонент меньше,
чем посаженных; напротив, оказалось, что с аналитической точки.
зрения Тп проще, чем тп: тп можно вычислить очевидным обра-
образом тогда, когда Тп уже известно. Для вычисления Тп Кэли со-
составил удивительное уравнение:
= х{ 1 -х)~т> A -х2)~т'A -х'л)-т°...A
хп)~тп.
A)
которое понимается как равенство степенных рядов относительна
х и посредством сравнения коэффициентов допускает рекуррент-
рекуррентное определение чисел Ти Т% Тз, ¦¦¦ ¦ Из уравнения A), осуще-
осуществляя просмотр фигур, находим,
7\=1, Т2=1, Т3 = 2, Г4 = 4, Т5 = 9,...
(ср. подборку первых членов ряда A) с перечисленными поса-
посаженными деревьями на рис. 1, где самые нижние точки изображе-
изображены стрелками, а узлы — кружочками).
Если ввести производящую функцию топологически посажен-
посаженных деревьев
t (х) =-- Тхх + Т2х2 + Т^ + ... + Тпх" + ...,
B)
то уравнение Кэли A) можно понимать как функциональное
уравнение для t(x), представимое в следующих двух эквивалент-
эквивалентных формах:
t(x)=xe 1
2 '"
t(x)
1!
(х) t (х2) + 2t (д
2!
31
x+
4' x"
Рис. I
Комбинаторные вычисления для групп 41
Каждая из них имеет свои преимущества: формула (Г) служит
исходным пунктом для асимптотического вычисления Тп и т„,
а формула (Г')—исходным пунктом для обобщений D°).
(В общем члене ряда в правой части A") можно узнать введен-
введенный цикловой индекс симметрической группы п-н степени.)
Если взять уравнение Кэли в новом виде A"), то, правильно
трактуя содержащиеся в нем теоретико-групповые указания,
можно вычислить произвольно много чисел, аналогичных Тп
и т„.
Назовем здесь только два числа, которые будут обсуждаться
в дальнейшем:
р„— число таких топологически различных свободных деревь-
деревьев, которые содержат лишь однореберные и четырехреберные
точки и притом содержат ровно п четырехреберных точек;
Rn— число таких топологически различных посаженных де-
деревьев, которые содержат лишь однореберные и четырехреберные
точки и притом содержат точно п четырехреберных точек.
Хотя определение чисел р„ и Rn с чисто геометрическо-
комбииаторной точки зрения выглядит несколько искусственно,
они относятся друг к другу аналогично числам хп и Тп: можно
определить р„ из Rn, a Rn— как коэффициент в разложении в
степенной ряд производящей функции:
»-\-..., C)
которая удовлетворяет функциональному уравнению
4. Имеется химический, а не только геометрическо-комбина-
терный смысл, который оправдывает обстоятельное рассмотре-
рассмотрение чисел рп и Rn-
Дерево, включаемое в число рп, которое содержит наряду с
•п четырехреберными еще лишь однореберные точки, обязательно
имеет 2/г + 2 точек последнего рода и, следовательно, всего Зя + 2
точек (см. разд. 36). Если п. четырехреберных точек и2« + 2 одно-
реберных точек представляют соответственно четырехвалентные
атомы углерода С и одновалентные атомы водорода Н, то из
дерева получается структурная формула парафина, т. е. химиче-
химического соединения с молекулярной формулой СпН2п+2, и притом
топологически различным деревьям с указанными числами точек
л и 2п+2 соответствуют структурно различные, но одинаково
42 Д. Пойа
составленные изомерные парафины с упомянутой формулой
СпН2п+2. Следовательно,
р„ — число структурно-изомерных парафинов с молекулярной
формулой СпН2п+2, и аналогично
Rn— число структурно-изомерных спиртов с молекулярной
формулой СпН2п+\ОН; при этом в качестве «корня» помечается
та концевая точка дерева, которая представляет радикал —Off
(остальные 2п+ 1 концевых точек представляют Н).
На химический смысл геометрическо-комбинаторных чисел
рп и Rn следует обратить внимание потому, что понятия органи-
органической химии обосновывают рассмотрение многих аналогичных
чисел, которые также могут быть определены чисто геометриче-
ско-комбинаторно и вычислены посредством аналогичных рас-
рассуждений. Перечислим здесь важнейшие числа в химической
терминологии; их комбинаторное определение требует осторож-
осторожности и более длинного объяснения (см. разд. 33—36). В даль-
дальнейшем используем следующие обозначения:
оп — число стереоизомерных парафинов с молекулярной фор-
формулой СпН2п+2;
Sn — число стереоизомерных спиртов с молекулярной форму-
формулой Cnffon+iOH;
у.п — число структурно-изомерных парафинов с молекулярной
формулой СпН2п+2 без асимметричного атома углерода;
Qn — число структурно-изомерных спиртов с молекулярной
формулой СпН2п+\ОН без асимметричного атома углерода.
Оказывается, что эти пары чисел оп и Sn, и„ и Qn также до-
допускают аналогичное вычисление, как и предыдущие пары тп
и Тп, рп и Rn. Можно свести ап к Sn, xn к Qn, а числа Sn, Qn
получаются как коэффициенты соответствующих производящих
функций
"+..., E)
"+... F)
из соответствующих функциональных уравнений
s(x)l + x , G)
о
q(x)=l+xq(x)q(x>). (8)
Простейшую аналитическую природу среди функций q(x), r(x),
s(x), t(x) имеет q(x), функциональное уравнение для которой
(см. (8)) равносильно следующему замечательному разложению
Комбинаторные вычисления для групп 43
непрерывную дробь:
1
д(х) = -
X
1 — —
1 —¦
1 —
1 —
I—...
Части II и III содержат доказательства высказанных относи-
относительно чисел Qr,, Rn, Sn, Tn, r,n, р„, оп, т„ утверждений и обсуж-
обсуждение некоторых дальнейших геометрическо-комбинаторных и
соответственно химическо-комбинаторных чисел.
5. Часто отмечают, что число изомеров в гомологических ря-
рядах быстро растет с ростом числа атомов С. На основе предыду-
предыдущего эти замечания можно существенно уточнить и указать важ-
важные точные и асимптотические выражения для чисел изомеров.
То, что, действуя таким образом, мы получаем асимптотические
оценки, наиболее ясно показывает, как мне кажется, что мы на-
находимся на правильном пути.
Из комбинаторного определения путем несложных рассужде-
рассуждений (см. разд. 36—37) легко получаются неравенства
i<Qn<R«<s«, Rn<rn, (Ю)
PB<#BOPb> ов<5в<Лзп, Г„<Г„<ЯТ„. A1)
Путем менее очевидных комбинаторных рассмотрений (разд. 41,
43, 45) получаем далее
) ^<±Bn-"\. A2)
п \п— 1 /
Обозначим радиусы сходимости четырех рядов q(x), r(x), s(x),
t(x) (в указанной последовательности) через х, р, а, т. Нера-
Неравенства A0) и A2) дают при предельном переходе неравенства
между х, р, а, т, однако, несомненно, более слабые, чем соотно-
соотношения, которые получаются при надлежащем обращении с функ-
функциональными уравнениями (Г), D), G), (8):
1>*>Р>°, Р>т, A3)
44 Д. Пой а
'>?• Т>Т>Т-
Определение радиусов сходимости х, р, а, т является первым
шагом к асимптотическому вычислению соответствующих ком-
комбинаторных чисел. Далее удается установить теоретико-функци-
теоретико-функциональное поведение четырех степенных рядов q{x), г{х), s{x),.
t{x) на границе крута сходимости. Каждый из них имеет на гра-
границе своего крута сходимости лишь одну-единственную особую
точку, которая лежит на положительной части вещественной
оси, и притом эта особая точка является для q(x) полюсом пер-
первого порядка. Напротив, для r(x), s(x), t(x) она является ал-
алгебраической точкой ветвления первого порядка, и притом та-
такой, в окрестности которой функция остается ограниченной.
Отсюда можно легко установить асимптотическое поведение
Qn, An, О,,, Тп.
Для формулировки результатов будем использовать следую-
следующие обозначения и терминологию. Если
lim ^~=C
Л-*оо ifл
и С является положительным числом @<С<оо с исключением
границ!), то будем писать
Ап^Вп A5)
и употреблять следующее выражение, равнозначное формуле
A5): Ап асимптотически пропорционально Вп"; предел С будем,
при этом называть «коэффициентом пропорциональности». Отно-
Отношение «асимптотическое равенство»
означает, следовательно, больше, чем A5), а именно, во-первых,
что имеет место A5) и, во-вторых, что коэффициент пропорцио-
пропорциональности равен 1.
То, что получается на указанном теоретико-функциональ-
иом пуги, можно с помощью только что определенной записи-
выразить так:
Q,ax-", «.ar's^ Sn^^«n~y\ Tn^x-"n~3h, A6)
откуда далее можно вычисли: ь
хяжх-«, Р„^р-«й-5/2, а„^3-«й-5/2, хп^х-пп-Ы\ A7)
Отметим еще как особенно простое соотношение
Qn-2V A8)
Комбинаторные вычисления для групп 45
Важность этих результатов, пожалуй, больше бросается в глаза,
если некоторые обобщения соответствующих асимптотических
формул для Rn и рп изложить в химических терминах.
Число структурно-изомерных углеводородов с формулой
СпН2п+2-2\>. асимптотически пропорционально о~пп2 . Если
(.1 = 0, это есть результат для парафинов и, следовательно, для
рп. При ц=1 коэффициент пропорциональности очень прост, а
именно равен 'Д-
Пусть X', X", X'", ..., XV)— различные между собой однова-
одновалентные радикалы. Число структурно-изомерных веществ с фор-
формулой CnH2n+2-i X'X" ... XV) асимптотически пропорционально
р-ппB/-л)/2_ эти вещества можно называть "I раз замещенными
парафинами"; радикалы X', X", ... , XV> должны отличаться друг
от друга и от алкилов. При / = 0 утверждение дает асимптотиче-
асимптотическое поведение для р„, при 1=1 —для Rn. Коэффициент пропор-
пропорциональности имеет вид LX1, где L и К — некоторые не завися-
зависящие от I числа.
Число изомерных гомологов бензола с молекулярной форму-
формулой С6+пН6+2п асимптотически пропорционально числу изомер-
изомерных спиртов СпН2п+\ОН, и притом коэффициент пропорциональ-
пропорциональности равен [r5(p) +r(p)r2(p2)]/2. Точно так же рост чисел изо-
изомеров в других гомологических рядах (например, в рядах, исхо-
исходящих из нафталина или из антрацена) происходит асимпто-
асимптотически пропорционально числу изомеров Rn ряда спиртов, и
коэффициент пропорциональности можно легко вычислить, исхо-
исходя из циклового индекса группы подстановок поддающихся за-
замещению мест основного соединения гомологического ряда.
6. Предыдущие четыре раздела не дали полной картины со-
содержания последующих четырех частей; многие вопросы, пред-
представляющие определенный интерес, остались неупомянутыми.
Чтобы не увеличивать чрезмерно объем работы и справиться с
массой деталей, пришлось в отдельных местах, которые пред-
представляются менее важными, отказаться от подробного обсужде-
обсуждения и ограничиться кратким эскизом. Дело в том, что не только
определения, но также формальные вычисления и даже эвристи-
эвристические рассмотрения иногда оказываются более важными, чем
подробные доказательства, и поэтому больше всего пострадали
последние. В частности, при рассмотрении нескольких аналогич-
аналогичных предложений приводится лишь одно доказательство, а дру-
другие предоставляются читателю, быть может, с указанием отли-
отличий от проведенного доказательства. Легкие рассмотрения сходи-
сходимости чаще всего пропускались без упоминания.
46 Д. Пойа
I. ГРУППЫ
Определения
7. Приступаем теперь к тому, чтобы в должной общности
сформулировать задачу, которая была поставлена при обсужде-
обсуждении примера в разд. 2. Обобщение примера происходит в двух на-
направлениях: с одной стороны, нужно заменить «раскрашен-
«раскрашенные шары», о которых шла речь в разд. 2, общими сложными
образованиями, которые в дальнейшем будут называться «фигу-
«фигурами», с другой стороны, нужно заменить рассмотренную в
разд. 2 специальную группу подстановок, порожденную враще-
вращениями октаэдра, более общей группой подстановок.
Приведем теперь необходимые определения сначала для фи-
фигур, потом для групп подстановок. При этом потребуется воз-
возможно более конкретный язык с пространственно-наглядными
образами, и в одном месте автор позволил себе ввести несуще-
несущественную специализацию, которую затем в конце можно будет
легко устранить-
8. Запас фигур. Рассмотрим ряд различающихся между собой
объектов Ф', Ф", Ф'", ..., Ф'Ч ..., которые мы назовем фигурами.
Совокупность этих фигур назовем запасом фигур [Ф].
Фигура Ф(Х> содержит три категории раскрашенных шаров: сст
красных, & синих, Yx желтых (А= 1,2,3,...I . Будем коротко
говорить так: фигура Ф<х> имеет содержание шаров (ах, $\, У\).
Можно задать много фигур, которые содержат одно и то же
число шаров каждого цвета. Пусть число фигур с содержанием
шаров (k, I, m) будет аЫт E°). Назовем степенной ряд
2 2 2
0 1 0 0
2
ft = 0 1 = 0 m = 0 ft l,m
перечисляющим степенным рядом F°) запаса фигур [Ф].
Предполагается, что числа ahim конечны. О сходимости сте-
степенного ряда A.1) не говорится ничего: он служит обычно толь-
только для формального объединения системы коэффициентов
проводимыми ниже чисто алгебраическими операциями.
В примере из разд. 2 мы имели дело лишь с тремя различ-
различными фигурами: первая состояла из одного красного, вторая —
из одного синего, третья — из одного желтого шара; они имели
соответственно содержание шаров A, 0, 0), @, 1, 0), @, 0, 1).
Перечисляющий степенной ряд этого запаса фигур есть
1 В рассмотрении трех категорий вместо произвольного числа категорий
и состоит несущественное ограничение, упомянутое в конце разд. 7.
Комбинаторные вычисления для групп 47
Ряд B), рассмотренный в разд. 3, также является перечис-
перечисляющим степенным рядом; запас фигур охватывает топологи-
топологически различные посаженные деревья; роль «шаров», содержа-
содержащихся в фигурах, играют узлы посаженных деревьев.
Имеется лишь одна категория шаров, и соответственно это-
этому ряд зависит только от одной переменной. На рис. 1 показа-
показано, как фигуры (посаженные деревья) с одинаковым содержа-
содержанием шаров (числом узлов) можно представить объединенными
в один член перечисляющего ряда.
9. При известных обстоятельствах может быть выгодно фи-
фигуре фМ поставить в соответствие переменную, которую можно
спокойно обозначить той же самой буквой Ф}\ Рассмотрим ряд
а'у^г^-{-... -|-Ф<х>л:ях </?xz7x +... = ^ ®xay$zt. A.2)
Суммирование ^ распространяется на весь запас фигур [Ф] и Ф
[Ф]
обозначает общую фигуру из запаса [Ф1 с содержанием шаров
(а, р, у). (Эти обозначения будут сохраняться в дальнейшем.)
Ряд A.2) назовем фигурным степенным рядом запаса [Ф].
Если положить ф/ = ф" = ф"' = ... =1 в фигурном ряде, то он
превратится в перечисляющий степенной ряд. Эта очевидная
связь рядов A.1) и A.2) будет полезна в дальнейшем.
10. Группа подстановок. Рассмотрим группу ф подстановок
порядка h и степени s.
Говорят, что подстановка имеет тип [/ь /2, /3, ..., is], если она
содержит /1 циклов первого, /г циклов второго и т. д. и js циклов
s-ro порядка; цикл первого порядка формируется с помощью
непереставляемого объекта. Понятно, что циклы не имеют об-
общих элементов, так что
= s A-3)
есть общее число переставляемых объектов. Мы будет обозна-
обозначать число подстановок группы ф, имеющих тип [/i, /2, .., /«], че-
через hhU,..]s. Очевидно,
причем суммирование ведется по всем типам, т. е. распростра-
распространяется на все неотрицательные целочисленные системы решений
ju /2, ••-, js уравнения A.3). (Это значение символа "V сохра-
(Я
нится в дальнейшем.)
48 Д. Пойа
Пусть fu /2, ..., fs — независимые переменные. Рассмотрим мно-
многочлен
jw-VM1-//'. A-5)
задание которого сводится к заданию системы чисел Л,-,/,.../
Многочлен A.5) назовем цикловым индексом1 группы ф. Цикло-
Цикловой индекс есть однородный многочлен веса s, если переменной
fa придается вес а (а—Л, 2, ..., s) (ср. с. A.3)). Коэффициенты
циклового индекса суть неотрицательные рациональные числа,
их сумей а равна 1, а наименьший общий знаменатель — h.
(В разд. 2 приведен цикловой индекс рассмотренной там
группы подстановок порядка 24 и степени 6.)
11. Теперь мы должны связать группу подстановок ф и за-
запас фигур [Ф].
Будем представлять себе s объектов, переставляемых h эле-
элементами группы ф, в виде s определенных мест в пространстве.
(В примере разд. 2 s=6 и б мест пространства образуют б вер-
вершин октаэдра.) Перенумеруем эти s мест номерами 1, 2, 3, ..., s
и установим на а-м месте произвольную фигуру Ф<т из запаса
[Ф] (для а=1, 2, ..., s); так возникает конфигурация (Фь Ф2, -..,
<DS). Подчеркнем, что повторения разрешаются, т. е. одна и та
же фигура из запаса [Ф] может встречаться на многих и даже
на всех местах одной и той же конфигурации. Две конфигура-
конфигурации (Фь Ф2, ..., Фз) и (Ф/, Ф2', ..., Ф/) называются равными,
если
Ф1=ф;, Ф?=Фг,..., ф,=ф;,
т. е. если они дают одинаковое заполнение s мест фигурами из
[Ф]. Конфигурация (Фь Ф2, ..., Фя) имеет содержание шаров (k,
I, т), если s фигур Фь Ф2, ..., Фя вместе содержат k красных, /
синих и т желтых шаров.
Пусть
S^f1 2 3 ••• s ) A.6)
есть подстановка s объектов; конфигурация (Фь Фг, •••, Ф.ч) с по-
помощью S переводится в (Ф,,, Ф,-,,..., Ф/5). Говорят, что две кон-
конфигурации эквивалентны относительно ф, если в ^ найдется под-
подстановка, которая переводит одну конфигурацию в другую.
Каждая конфигурация эквивалентна относительно ф самой
себе, так как ф, конечно, содерл<ит тождественную подстановку.
1 В одной более ранней публикации [33] вместо «цикловой индекс» упот-
употреблялся термин «симметрическая формула».
Комбинаторные вычисления для групп 49
Однако и неравные между собой конфигурации могут быть эк-
эквивалентны относительно ф. Те конфигурации, которые эквива-
эквивалентны друг другу относительно ф, образуют транзитивную систе-
систему. Все конфигурации из одной и той же транзитивной системы
имеют одно и то же содержание шаров.
Обозначим через Ahim число отличных друг от друга тран-
транзитивных систем, образованных из конфигураций с содержанием
шаров (k, I, m). Другими словами, АЫт есть число конфигура-
конфигураций с содержанием шаров (k, I, m), неэквивалентных относи-
относительно „<?.
12. Общая задача, которая в качестве очень частного случая
охватывает пример из разд. 2, может быть теперь сформулиро-
сформулирована так: заданы запас фигур [Ф], группа подстановок ф и оп-
определенное содержание шаров (k, I, m). Найти число A him тех
конфигураций, образованных из [Ф], которые неэквивалентны от-
относительно $ и обладают заданным содержанием шаров (k,
I, m).
Объединим искомые числа Ащт в степенной ряд
Щ A,-.imxkylzm^ Aklmx*y!z'n=F(x,y,z), A.7)
А«С 1 = 0 m = 0 k,l,m
который можно назвать перечисляющим степенным рядом неэк-
неэквивалентных конфигураций. Решение поставленной задачи будет
состоять в том, что перечисляющий степенной ряд F(x, у, z) не-
неэквивалентных конфигураций будет выражен через перечисляю-
перечисляющий степенной ряд f(x, у, z) заданного запаса фигур [Ф] с ис-
использованием циклового индекса данной группы подстановок ф.
Подготовительные задачи
13. Обсудим сначала частный случай, сформулированный в
разд. 12 общей задачи, когда ,?> есть симметрическая группа ©s
подстановок степени s. В этом случае одна конфигурация экви-
эквивалентна любой другой, которая получается из нее с помощью
произвольной из s\ подстановок. То есть при установлении эк-
эквивалентности не важно, в каком порядке занимают s фигур
конфигурации s мест, важно лишь, какие фигуры находятся в
конфигурации. Следовательно, в рассматриваемом частном слу-
случае Jp = @s число А/,/,,, означает число различных сочетаний с
повторениями s фигур из запаса [Ф] с общим содержанием ша-
шаров (k, I, m). При этом ввиду особого значения чисел Аыт,
обусловленных специализацией $ = @s, обозначим определенный
посредством A.7) степенной ряд через Fs(x, у, z). Мы хотим
сразу определить все ряды Fi, F2, F3, ....
50 Д. Пойа
Если выполнить умножение
'х2^у2^г2^-\-...) х
X A + иФ"х^у^г1' + и2Ф"Ф"х2*>у^>г2^ -f ...) X
X
[Ф]
то каждое сочетание с повторениями s фигур Фь Фг, ..., Фв, име-
имеющих вместе содержание шаров (k, I, m), будет представлено
членом
следовательно, если в произведении A.8) положить
Ф' = Ф"=Ф"' = ... = 1, A.9)
то коэффициент при usxhylzm будет искомым числом Аыт, а ко-
коэффициент при us — искомым степенным рядом Fs(x, у, z). Об-
Обратим внимание на то, что произведение A.8) можно записать
также в виде
= ехр (—2log A —
\ [Ф] /
= ехр (-j V ФхгуЮ + -у V Ф**?'у2*z2t + .. Л , A.10)
V [Ф] , ¦ [Ф] /
и что первая сумма под знаком экспоненты в последней строке
представляет фигурный степенной ряд A.2) запаса фигур [Ф].
Таким образом, при A.9) из A,8) (и соответственно A.10))
получаем
7! {X, у, z)-\-U2F2{X, У, 2)+ • • • +U'FS(X, У, Z)+ . . . =
П П П
ft = 0 1 = 0 m = 0
yf(z,y,z) %-j
A.11)
Комбинаторные вычисления для групп 51
Чтобы получить третью строку этой формулы из третьей строки
A.10), нужно наряду с заключительным замечанием в разд, 9
еще дополнительно принять во внимание, что при A.9) также
будет
Сравнивая, наконец, коэффициенты при us в первой и послед-
последней строках A.П), получаем
Fs(x, у, z) = ~\* : - ]-fh(x, У, z)x
*1 JmJ j1l\nhl21\..jsls's
A)
(x2, y\ z*)...f}s(xs, y\ z°), A.12)
где (в обозначениях разд. 10) суммирование распространяется
на все типы подстановок s объектов.
14. Незначительное изменение предыдущего вычисления да-
дает число сочетаний без повторений s фигур из запаса [Ф] с'об-
с'общим содержанием шаров (k, I, m). Назовем эти числа ВМт и
положим
Если выполнить умножение
A.13)
то каждое сочетание без повторений s фигур с общим содержа-
содержанием шаров (k, I, m) будет представлено членом
Следовательно, если в произведении A.13) выполнить предпи-
предписанную посредством A.9) подстановку, то с помощью подобных
вычислений, как и раньше, получим
x, у, 2) + и2О2(л, у, z) + ...-^usGs(x, у, 2) + ...=-
= exp^/(x, у, z)-^f{x2, у*, 2*) + !!Lf{jfi, y\
52 Д. Пойа
и, сравнивая коэффициенты, находим
Qt(x, У, г) = ±- V
X
I Л! I'1 U\2/'. . lAs's
(j)
X/>¦(*. У. Z)/1*(X2, У2, Z^)...f^(X\ У*. «*)• A- 14)
15. Предыдущее позволяет нам решить общую задачу разд.
12 еще в одном частном случае, а именно для знакопеременной
группы 9(s степени s. Действительно, рассмотрим две конфигу-
конфигурации С и С", содержащие по s фигур из запаса [Ф]. Когда С и
С" эквивалентны относительно Я.,?
Для этого необходимо, чтобы С и С были эквивалентны
относительно @8, т. е. чтобы Си С" содержали одинаковые со-
сочетания (с повторениями) s фигур.
В одном случае это необходимое условие является также и
достаточным: если в общем для С и С сочетании какая-либо
фигура Ф встречается дважды, то, добавляя в случае надоб-
надобности к подстановке, переводящей С в С, транспозицию двух
мест, занятых в С указанной фигурой, можно во всех случаях
добиться того, чтобы С переводилось в С" четной подстановкой.
Сочетание, в котором не все фигуры различны, приводит отно-
относительно Я., лишь к случаю одной транзитивной системы конфи-
конфигураций.
Напротив, как легко сообразить, сочетание, в котором все
фигуры различны, приводит к случаю с ровно двумя транзитив-
транзитивными системами относительно 9ts- Так получается правило: для
того чтобы получить число всех различных относительно $s тран-
транзитивных систем конфигураций, нужно к числу сочетаний с
повторениями прибавить еще число сочетаний без повторений.
Тем самым перечисляющий степенной ряд для неэквивалент-
неэквивалентных относительно 9ts подстановок есть
Fs(xy у, z) + Gs(x, у, z). A.15)
16. Основная теорема. Чтобы единообразно воспринять ре-
результаты A.12) и A.15), полученные при специальных предпо-
предположениях .§ = ©g И $ = 9ls, ВСПОМНИМ О ТОМ ', ЧТО
s!
есть число всех тех подстановок s объектов, которые имеют тип
[/ь /2, ..., /«]• Следовательно, в смысле определения разд. 10 цик-
См., например, [37, стр. 235—236] (или [4*]).
Комбинаторные вычисления для групп
ловой индекс симметрической группы @.s есть
,. sl г-/М-.../Я A.16)
U)
а цикловой индекс знакопеременной группы 9ts можно записать
так:
Видно, что A.12) так же связан с цикловым индексом A.16), как
A.15) (принимая во внимание A.12) и A.14)) с A.17).
Договоримся теперь о следующем. «Подставить в цикловой
индекс функцию /(*)» означает: положить
/i = /(¦*), /2 = Я*2), /з=/(*3), .... A. 18)
«подставить в цикловой индекс функцию f(x, у)» означает: до-
доложить
/!=/(*,«/), /2 = f(X2,lf), /3 = /l*3, У3),--
и т. д. для функций любого числа переменных. После этой до-
договоренности мы можем оба полученных до сих пор частных,
результата (для $ = ©„ и ф=Яя) выразить равнозначно следую-
следующим образом:
Чтобы получить перечисляющий степенной ряд неэквивалент-
неэквивалентных относительно группы, подстановок ф конфигураций из запа-
запаса фигур [Ф], нужно подставить перечисляющий степенной ряд
для [Ф\ в цикловой индекс для §.
Сформулированное таким образом высказывание справедли-
справедливо, как это скоро будет доказано, для произвольной группы
подстановок ф. Это общее высказывание, охватывающее все
группы подстановок, будет в дальнейшем именоваться основной
теоремой (части I).
17. Основная теорема относится, конечно, и к тому частно-
частному случаю, когда группа подстановок $ степени s имеет поря-
порядок 1, т. е. содержит лишь тождественную подстановку, так что
две нетождественные конфигурации считаются неэквивалентны-
неэквивалентными и цикловой индекс есть /?. Если «перевести» это утвержде-
утверждение на «обычный язык», то придем к хорошо знакомому резуль-
результату, содержащемуся, например, в решении следующей извест-
известной общей задачи, которую для s = 3 (при этом общность не
ограничивается!) можно сформулировать так.
54 Д. По in
Даны перечисляющие степенные ряды для трех запасов фигур
[Ф], PF], [X], которые мы соответственно обозначим f, g, h. Тре-
Требуется найти перечисляющий степенной ряд для троек фигур
(Ф, W, X), где Ф, W, X независимо друг от друга пробегают со-
соответствующие запасы фигур [Ф], [ЧЧ, [X].
Нужно еще пояснить, что понимается под перечисляющим
степенным рядом для троек фигур (Ф, W, X); это есть степенной
ряд от трех переменных х, у, г, в котором коэффициент при
xhylzm задает число тех троек (Ф, W, X), три фигуры Ф, W, X
которых имеют общее содержание шаров (k, I, m), т. е. содер-
содержат вместе k красных, / синих и m желтых шаров.
Число шаров 3 сортов в Ф обозначим (как и прежде) через
а, р, у; в?- через а', р', у' и в X — через а", р", у". Каждой
тройке (Ф, W, X) поставим в соответствие произведение перемен-
переменных ФЧ*Х Фигурный степенной ряд произведений есть
|Ф] I*'] [X]
[Ф] [*¦] [X]
т. е. равен произведению соответствующих степенных рядов. Под-
Подставив сюда единицы вместо всех переменных Ф', Ф", ..., W,
V, ..., X', X", ..., получим: искомый перечисляющий степенной
ряд есть произведение заданных рядов. В этом изложении мы
уже освободились от несущественного ограничения числа множи-
множителей числом 3. Здесь действует известный со времени Эйлера
элементарный принцип, которому можио дать следующую редак-
редакцию: если отдельные элементы последовательности некоторого
упорядочения могут выбираться независимо друг от друга, то
перечисляющий степенной ряд упорядочения есть произведение
перечисляющих степенных рядов отдельных элементов.
18. Ответ на следующую задачу еще лучше пояснит общее
в строении формул A.12) и A.14).
Пусть задан перечисляющий степенной ряд A.1) запаса фи-
фигур [Ф] и тип [j\, /2, ..., /s] подстановки A.6) Требуется найти пе-
перечисляющий степенной ряд тех конфигураций (Ф\, Фг, ..., Фв)
s фигур из запаса [Ф], которые подстановкой A.6) переводятся
сами в себя.
Обозначим через ХЫт (S) число таких конфигураций с со-
содержанием шаров (k, I, m), которые с помощью подстановки
A.6) переводятся сами в себя; следовательно, ищется степенной
ряд
А, /, т
Комбинаторные вычисления для групп 55
Конфигурация (Ф,, ф2, ..., Фв) тогда и только тогда переводит-
переводится с помощью A.6) сама в себя, когда
Ф- = Ф( Ф = Фп Ф; =Ф A 19\
li I' 'j . .!>•••> :s s- \ ¦ Г
Пусть теперь (a, b, c, ..., k, I) —один из циклов, содержащих-
содержащихся в подстановке A.6), и пусть Л —его длина (его порядок). Если
конфигурация (Фь Ф2, ..., Фв) при выполнении A.6) переходит
/ъ себя, то некоторые из X равенств A.19) означают, что
т. е. фигуры, связанные циклически между собой посредством
A.6), должны быть равны друг другу. Напротив, в каждом цик-
цикле можно одну фигуру выбрать свободно из запаса [Ф].
Конфигурацию, переводимую подстановкой A.6) в себя, мы
можем, следовательно, понимать как упорядочение /1+/2+ ...
... + /*.+ ... +js циклов. Фигуры внутри одного и того же цикла тож-
тождественны друг другу, фигуры в различных циклах можно выби-
выбирать независимо друг от друга из запаса [Ф]. Если содержание
шаров одной фигуры, находящейся в некотором цикле длины X,
есть (k, I, m), то общее содержание шаров фигур, находящихся
в том же цикле, есть (Xk, Xl, Xm); значит, этому циклу соответ-
соответствует перечисляющий степенной ряд
f(x\ у\ г*),
и искомый перечисляющий степенной ряд для конфигураций, ко-
которые переводятся с помощью S в себя, согласно принципу, вы-
высказанному в конце разд. 17, есть (Произведение /1 + /2 + •-• + /»
множителей:
ft, l,m
= /'>(*. «Л z)fi*{x2, y2, z2).../'*(**, ys, z°). A.20)
Определение числа неэквивалентных конфигураций
для произвольной группы подстановок
19. Чтобы решить общую задачу разд. 12, рассмотрим опре-
определенную тройку чисел k, I, m и совокупность всех конфигура-
конфигураций с содержанием шаров (k, I, m) (точно k красных, / синих,
т желтых шаров). Пусть С —одна определенная из этих кон-
конфигураций.
Выберем среди h различных подстановок группы ф
Si, S2, S3, ..-, Sh
такие g подстановок, которые переводят С в себя (по крайней
'Мере одна такая подстановка существует, именно тождествен-
56 Д. ПоГч
лая). Эти g подстановок образуют, ках известно, группу ©;
© имеет порядок g; © есть подгруппа группы ,§.
Число тех различных конфигураций, в которые может быть
переведена С подстановками из ф, т. е. которые эквивалентны С
относительно ф, как известно, равно h/g. Каждая из этих h/g
конфигураций переводится в себя ровно g подстановками из ф,
а именно подстановками некоторой сопряженной с © подгруппы
группы ?>. Итак, каждая эквивалентная С конфигурация дает
вклад точно в g членов суммы
X*to(Si) + X>tm(S2) + ... + Xilm(Sh) A-21)
(обозначение разд. 18) и вносит, таким образом, в эту сумму g
единиц. Но число конфигураций, эквивалентных С относительно
ф, равно, как говорилось, h/g. Поэтому весь класс этих эквива-
эквивалентных С конфигураций, т. е. вся определяемая с помощью С
транзитивная система, вносит в сумму A.21)
h ,
-¦g = k
единиц. Все различные транзитивные системы эквивалентных
-относительно ^«конфигураций дают в A.21) одинаковый вклад
h. Следовательно,
Xklm(S1)+Xl!lm(S2)^... + Xklm(Sh) = hAklm. A.22)
Искомая производящая функция A.7) получается из A.22) и
A.20):
k.l. m
"Г k,l,m
(б )
A.23)
При этом ^V распространяется на все h подстановок S, принад-
лежащих группе ^. В этой сумме можно объединить подстанов-
подстановки с одинаковым типом [j\, /2, ..., js]', их число было обозначено
в разд. 10 через hjxH...,s. При этом объединении по типам фор-
формула A.23) принимает вид
Комбинаторные вычисления для групп 57"
^ujjsf{ у,
U)
.../>*{х*, у', г*). A.24)
Если обратить внимание на определение A.5) циклового индек-
индекса группы ф, то найдем общую теорему, высказанную в конце
разд. 16 лишь на основании примеров, вполне подкрепленную
доказательством G°).
20. В предыдущем .изложении встречаются лишь простейшие
теоремы теории групп, которые непосредственно связаны с поня-
понятием группы. При условии несколько большей предварительной
подготовки доказательство можно получить иначе. (В дальней-
дальнейших разделах не будут употребляться ни следующие привлека-
привлекаемые понятия теории представлений, ни другие замечания этого
раздела.)
Конфигурации (Фь Ф2, ..., Ф5) с содержанием шаров (k, 1,/п),
образованные из заданного запаса фигур [Ф], при каждой пере-
перестановке s мест при помощи заданной группы претерпевают, и
сами некоторую перестановку, и эти перестановки образуют
представление %)ыт заданной группы ф. Здесь S)wm, как и ф, есть
некоторая группа подстановок: ф переставляет точки, а &ыт—
конфигурации, построенные на s местах, переставляемых груп-
группой ф. Определенная в разд. 18 и вычисленная с помощью фор-
формулы A.20) величина Xkim{S) является характером той подста-
подстановки из $>him, которая соответствует подстановке S из ф. Число
Аыт, согласно его определению в разд. 11, равно числу различ-
различных транзитивных систем группы подстановок 3W, но это чис-
число, согласно известной теореме', есть среднее арифметическое
характеров Xhim(S) группы подстановок 3W, и формула A.22)
почти доказана. Чтобы'полностью доказать A.22) на выбранном
пути, нужно еще заметить, что Ahim в A.22) есть среднее ариф-
арифметическое характеров группы &ыт также и тогда, когда &ыт
есть не точное, а сокращенное представление группы ?>; в таком
случае- порядок группы 3>щт не равен h, но есть лишь делитель
h (8°). Из этой связи вытекает следующее предложение:
Пусть ф — группа подстановок, S — некоторая подстановка
«з ф типа \]\, /2, ..., js], f(x, у, z) —произвольный степенной ряд
от х, у, z с неотрицательными целочисленными коэффициентами
и k, I, m — тройка натуральных чисел. Тогда коэффициент при
xhylzm в разложении A.20) есть характер подстановки S некото-
некоторого определяемого с помощью f(x, у, z) и k, I, m представле-
представления группы ф.
1 См., например, [38, стр, 120, теорема 102].
58 Д. Пой а
Профессор И. Шур сообщил мне вывод этого утверждения из
известных теорем теории представлений.
Многочлен A.5), соответствующий группе подстановок ф,
который здесь назван цикловым индексом, в случае, если ф —
симметрическая группа, в теории представлений называется
главной характеристикой группы ф. Г-ну Шуру автор обязан
указанием на то, что цикловой индекс произвольной группы под-
подстановок, которая является, конечно, подгруппой некоторой под-
подходящей симметрической группы, также имеет значение для
представления этой симметрической группы '. Но мы не можем
здесь далее останавливаться на связях вышеизложенного с тео-
теорией представлений.
Профессор Шур также указал на одно соображение Фробе-
ниуса2, которому очень близко рассуждение, использованное в
разд. 19.
Частные случаи
21. Некоторые группы подстановок. В позднейших примене-
применениях основной теоремы, сформулированной в разд. 16, чаще все-
всего встречаются следующие хорошо известные специальные груп-
группы подстановок, все имеющие степени s (т. е. переставляющие s
объектов):
©,, — симметрическая группа на s объектах, порядка si;
Sis — знакопеременная группа на s объектах, которая содер-
содержит четные подстановки и имеет порядок s!/2;
3s — циклическая группа на s объектах, степени и порядка s,
порожденная циклической подстановкой s объектов;
S)s — группа диэдра порядка 2s, содержащая подстановки,
которые «претерпевают» s вершин жесткого правильно-
правильного s-угольника при всех 2s «совпадающих» движениях3
s-угольника;
6S — группа подстановок степени s порядка 1, содержащая
лишь одну тождественную подстановку.
В основную теорему разд. 16 входят цикловые индексы рас-
рассмотренных групп подстановок. Цикловой индекс <3S установлен
в A.16), а индекс 9ts— в A.17). Для небольших значений s эти
цикловые индексы имеют следующий вид:
1 [36, стр. 59—60].
2 [21, § 1].
3 Имеются в виду вращения s-угольника вокруг его центра и отражения
относительно осей симметрии. — Прим. перев.
Комбинаторные вычисления для групп 59
/l + 3/1/2+2/3
6
6/f/2 + 3/| + 8/1/3 + 6/4
24
2/з
1^3;
(ад
Цикловые
(&)
ш
/i-
индексы для (§„,
2s ^
k | s
1*
3
Ь 3/!+ 8/1/3
12
3s, S)s даны ниже
/ь
-i-Хг'ч-
Цикловой индекс для @3 очевиден; для 3s, так же как и для35я,
его легко найти. Как в формуле для 3s, так и в формуле для 3>«
суммирование производится по всем делителям k числа s. В фор-
формуле для ©« верхняя строка справедлива для нечетных s = 2a—1,
а нижняя — для четных s = 2a. Частные случаи для малых зна-
значений s содержатся в предыдущей таблице, так как
«1 = ®Ь «2 = «2, 32=@2, Зз = % $3= ©3
22. Два запаса фигур. Отметим два частных случая запасов
фигур, которые уже рассматривались в литературе для произ-
произвольных групп подстановок.
а) Запас фигур состоит из п фигур, каждая фигура содер-
содержит только один шар, две различные фигуры содержат шары
разных цветов. Короче говоря, запас фигур состоит из различно
окрашенных шаров, и перечисляющий степенной ряд этого запа-
запаса есть
60 Д. Пойа
Задача разд. 12 для этого запаса фигур формулируется так.
Дана некоторая произвольная группа ф подстановок степени s
и п неотрицательных целых чисел k\, k2, ..., kn, сумма которых
есть s. Сколькими способами, неэквивалентными относительно ф,
можно на s местах конфигурации «построить» s шаров, среди
которых имеются k\ первого, k2 второго и т. д. kn некоторого -
л-го заданного цвета?
Согласно разд. 16, решение дается подстановкой
в цикловой индекс для ф и отысканием коэффициента при
Х\х Х21. ¦ ¦ хпп в однородном многочлене степени s, возникшем
при подстановке. (Задача разд. 2 есть частный случай этой за-
задачи.)
В несколько иной формулировке эта задача обсуждалась уже
Ланном и Сениором ', которые указали .на ее связь с химией (см.
разд. 56) и получили решение в виде, довольно отличном от пред-
представленного здесь. Можно показать, что решение Ланна и Сенио-
ра есть некоторая особая вычислительная процедура, связанная
с приводимой здесь. На деталях следует, возможно, остановить-
остановиться в другом месте.
б) Имеется только один сорт шаров, и для каждого заданно-
ного числа k в запасе [Ф] имеется в точности одна фигура, со-
содержащая k шаров. В этом случае перечисляющий степенной
ряд запаса фигур есть
1 X
Конфигурация с содержанием k шаров, построенная на s местах
из фигур этого запаса, является некоторым упорядочением s не-
неотрицательных целых чисел k\, k% ..., ks с суммой k:
(&,, k2,..., ks).
Поставив в соответствие каждому месту некоторую переменную
(месту о переменную иа, где а=1, 2, ..., s), можно представить
конфигурацию как произведение
u\'u\\..ass A.26)
степени
а группу подстановок ф — как группу подстановок s перемен-
переменных «1, «2, ..-, us. Задачу разд. 12 теперь можно сформулировать
1 См. [27].
Комбинаторные вычисления для групп 61
так: на сколько транзитивных систем относительно группы ф
распадаются произведения вида A.26)? Два произведения при-
причисляются к одной транзитивной системе тогда и только тогда,
когда они могут быть преобразованы с помощью ,0 друг в друга.
Сумма всех произведений A.26), принадлежащих одной и той
же транзитивной системе, остается, очевидно, инвариантной от-
относительно всех подстановок из ф. Легко, видеть, что искомое
число есть не что иное, как число линейно независимых целых
рациональных однородных абсолютных инвариантов k-й степени
группы ф.
Согласно основной теореме (разд. 16), это число есть коэффи-
коэффициент при xh в разложении той функции от х, которая возникает
при подстановке A.25) в цикловой индекс ф, т. е. возникает тог-
тогда, когда f(x, у, г) в A.23) приобретает частный вид A.25). Эта
функция есть
IV I r = _LV_J_. A.27)
(i?j ) (v ^
В обеих частях, как в A.23), суммирование ведется по всем под-
подстановкам S группы ф; в правой части под S понимается подста-
подстановочная матрица с s строками и s столбцами (с s элементами
1 и s2—s элементами 0); Е— единичная матрица. Как нетрудно
убедиться, под знаком суммирования в знаменателе слева и
справа стоит детерминант матрицы Е—xS (по существу, харак-
характеристический многочлен S).
Мы показали, что в разложении в ряд Маклорена выражения
A.27) коэффициент при xh есть число линейно независимых ин-
инвариантов k-й степени группы подстановок ф, и тем самым дока-
доказали важный частный случай одной теоремы Молина'.
23. Следствия. Много очень частных случаев задачи, постав-
поставленной в разд. 12 и решенной с помощью основной теоремы, раз-
разрозненно уже встречались в литературе. Один, несколько более
широкий частный случай, возникающий из сочетания цикличе-
циклической группы 3s с обсуждавшимся в разд. 22 (а) запасом фигур,
есть случай «циклических перестановок с повторениями». Из-
Известные результаты2 наиболее непосредственно получаются из
основной теоремы. При сочетании симметрической и знакопере-
знакопеременной групп с рассмотренным в разд. 22 (а) запасом фигур мы
новым путем придем к классическим формулам относительно
1 См. [28]. Сравните с формулой A2), которая относится к любым конеч-
конечным группам линейных подстановок, а не только к группам подстановок, как
наша формула A.20). На эту работу также указал профессор Шур.
2 См. B2].
62 Д. Пойа
симметрических функций и вместе с тем к дальнейшему под-
подтверждению общего соображения.
В дальнейших примелениях чаще всего встречаются рассмот-
рассмотренные в разд. 13—15 частные случаи симметрической и знако-
знакопеременной групп @s и 9ls. Как там указывалось, три многочлена
от переменных /ь /г, ..., fs-
образованные из цикловых индексов Fs и Fs + Gs этих групп,
имеют следующее свойство: если в эти многочлены подставить
(в смысле разд. 16) перечисляющий степенной ряд заласа фигур
[Ф], то в соответственной последовательности образуются пере-
перечисляющие степенные ряды для сочетаний из s фигур запаса
[Ф] — произвольных, различных и содержащих одинаковые эле-
элементы. В разд. 21 уже были указаны выражения Fs для наимень-
наименьших значений s; здесь мы сделаем то же для Gs и Fs—Gs (симво-
(символически отмечая происхождение из обоих цикловых индексов):
2-e2)
в-®з)
2
1 — of if 2 + -ijZ
/t — 6/?/2 4- 3/1 4- 8/i/s — <
v 24
B62—St2) /2,
Bв3-Яз) /i/2.
Из комбинаторного смысла (или из учета разд. 14 без рассмот-
рассмотрения комбинаторного смысла) вытекает следующий, нужный
в дальнейшем изложении факт: если в разность цикловых индек-
индексов для 2ts и @s подставить степенной ряд с неотрицательными-
целочисленными коэффициентами, то получится степенной ряд
с неотрицательными целочисленными коэффициентами.
Обобщение
24. Здесь будет дан набросок одного обобщения задачи
разд. 12, который, хотя и не играет в дальнейшем никакой роли
(помимо несущественного замечания в разд. 65), может быть
полезен в сходных вопросах.
Комбинаторные вычисления для групп 63
Пусть дана некоторая группа подстановок ф степени s + t, и
пусть при этом ф интранзитивна; s + t объектов, переставляемых
группой ф, распадаются на два класса, из которых один содер-
содержит s объектов, а другой — t объектов, и ни один объект из од-
одного класса никогда посредством ф не переставляется с объек-
объектами другого класса. (Мы различаем две интранзитивные систе-
системы лишь для примера; после рассмотрения этого случая легко
производится обобщение на п таких систем.) Объекты, пере-
переставляемые группой ф, мы представим себе как s + t точек
пространства; в s точках первого класса помещены s фигур из
запаса [Ф], в t точках второго—t фигур из некоторого запаса
[W]. Так возникает конфигурация
(<&!, Ф2,...,Ф,; Ч-ь ЧГ21...,ЧГ,). A.28)
Требуется найти число неэквивалентных относительно ф конфи-
конфигураций вида A.28) с содержанием шаров (k, I, m).
Для решения рассмотрим какую-либо подстановку S группы
ф. В цикле 5 встречаются точки либо только первого, либо толь-
только второго класса. Пусть тип S будет [j\ + ki, /2+^2. •••> jm + km, ...];
среди jm + km циклов длины пг, содержащихся в 5, jm должны'со-
должны'содержать лишь точки первого класса с фигурами из [Ф] и km —
только точки второго класса с фигурами из [W], так что
Рассмотрим многочлен от s + t переменных /i, /2, ..., fs, gi, gi, .-;gt
сумма распространена на все подстановки S из ф. Обозначим
перечисляющий степенной ряд для [Ф] через f(x, у, г), а для
[W] — через g(x, у, z). Искомое число есть коэффициент при
xhylzm в разложении степенного ряда, которое получается, если
в A.29) положить
/» = /(*'. У". z% gn = g(xn, у", z«), я=1, 2, 3,....
Соотношения между цикловым индексом
и группой подстановок
25. Свойство циклового индекса, выраженное в основной тео-
теореме (разд. 16), является характеристическим для него; цикло-
цикловой индекс однозначно определяется этим свойством. Говоря бо-
более строго, справедлива следующая теорема:
Пусть многочлен г|)Gь /г, ••-, fs) от s переменных /ь /2, .... /s
так связан с заданной группой подстановок ф степени s, что для
произвольного запаса фигур [Ф] и его перечисляющего степенно-
64 Д. Пойа
го ряда f(x\, x2, Хз, ¦¦¦) справедливо следующее: если подставить
в многочлен iff/i, /2, ..., fs) переменные
/i = /0*i> х2,...), /2=/(х1 Л2,...),...,
/, = /(*?, xs2,...), A.30)
то из ty возникает перечисляющий степенной ряд для конфигу-
конфигураций, образованных из запаса фигур [Ф] и неэквивалентных от-
относительно ф. Такой многочлен необходимо является цикловым
индексом.
Цикловой индекс группы ф обозначим через ?(/ь /2, ..., /«); он,
во всяком случае, обладает свойством, которое мы постулирова-
постулировали для ф(/ь /г, •¦-, /s). Нужно показать, что оба многочлена г|з и ?
тождественны, т. е. что при разложении по переменным /ь /2, ...,/«
они имеют одинаковые коэффициенты.
Используем предположение для частного запаса фигур, пе-
перечисляющий степенной ряд которого имеет вид
f(Xu Х2, ..., *„)
(п шаров различных цветов, см. разд. 22(а)). Предположение
означает, что при подстановке
A.31)
и разложении по переменным Х\, х2, ..., хп многочлены фи J
имеют одинаковые коэффициенты, т. е. что в силу A.31) тож-
тождественно по Х\, х2, ... , х„ выполняется равенство
A.32)
Выберем теперь n>s; как известно, если s^.n, то между пер-
первыми s степенными суммами A.31) от п переменных Х\, х2, —, хп
не может существовать никаких алгебраических соотношений1;
следовательно, очевидно, что левая часть в A.32) как многочлен
от f], /2, ... , fs обращается тождественно в нуль, что и требова-
требовалось доказать.
26. Теперь можно по-новому осветить поставленный в разд. 12
вопрос, решение которого было завершено в разд. 19, т. е. точнее
описать, в какой мере его решение зависит от структуры фигу-
фигурирующей там группы ф. Назовем две группы подстановок оди-
одинаковой степени, для которых задача разд. 12 при произвольно
заданных запасе фигур и содержании шаров имеет одинаковое
решение, комбинаторно эквивалентными (это означает, что
здесь число различных категорий шаров не ограничено тремя,
См., например, [8, стр. 263, теорема 3].
Комбинаторные вычисления для групп 65
а произвольно). Обстоятельное определение звучит так. Две
группы подстановок $\ и ^2 одинаковой степени называются ком-
комбинаторно эквивалентными, если из произвольного запаса фигур
[ф] с произвольным содержанием шаров (си, аг, .-•) можно обра-
образовать ровно столько же конфигураций (Фи Фг, ... , Ф«), неэкви-
неэквивалентных относительно ф\, сколько и относительно $2-
Из высказанного в разд. 16 и полностью доказанного в
разд. 19 основного результата этой части совместно с доказан-
доказанной в предыдущем разд. 25 теоремой непосредственно получаем:
две группы подстановок комбинаторно эквивалентны тогда и
только тогда, когда они обладают одинаковыми цикловыми ин-
индексами.
Между тем, возвращаясь к определению циклового индекса
посредством явной формулы A.5), далее получаем1: две груп-
группы подстановок комбинаторно эквивалентны тогда и только
тогда, когда подстановки одной группы можно таким образом
взаимно однозначно поставить в соответствие подстановкам дру-
другой, что соответствующие друг другу подстановки имеют одина-
одинаковые типы при разложении на циклы.
Интересно заметить, что две комбинаторно эквивалентные
группы подстановок не обязаны быть тождественными2. Они не
обязаны быть и изоморфными одна другой как абстрактные
группы. А именно пусть р — нечетное простое число и m — целое
число, большее 2 (простейший пример: р — 3, /п = 3). Как извест-
известно, имеется3 неабелева группа порядка рт, все элементы кото-
которой, за исключением единичного, имеют порядок р. Обозначим
через $i регулярное представление этой группы как группы под-
подстановок, а через фи — регулярное представление абелевои груп-
группы порядка р'п и типа (р, р, ..., р). Здесь ?i и ?2 суть группы
подстановок порядка и степени рт; они комбинаторно эквива-
эквивалентны: каждая их подстановка, за исключением тождествен-
тождественной, разлагается на циклы одинаковым образом, именно на р'"~1
циклов длины р, и цикловой индекс обеих есть
—\
1 Если ограничиться, как в разд. 22 (а), фигурами, которые состоят лишь
из одного шара, то теорема изменится (сильнее в отношении необходимое™
и в меньшей степени в отношении достаточности). Так измененная теорема
здесь доказана (см. разд. 25); она сформулирована и наполовину (достаточ-
(достаточность) доказана уже Л айном и Сениором [27, стр. 1053]. Другая полонина
доказательства любезно сообщена Сениором; рассуждение отлично от пред-
представленного нами в разд. 25.
2 Ланн и Сениор [27, стр. 1053].
3 См. [9, стр. 143—144]. .
3-1751
66 Д. Пойа
27. Обсудим несколько случаев, в которых цикловой индекс
группы, построенной из нескольких заданных групп, можно обо-
обозримым образом построить из цикловых индексов заданных
групп.
Пусть даны две группы подстановок © и ф; обозначим для
них соответственно
g, Л —порядок,
г, s — степень,
<р, ф —цикловой индекс.
Обозначим через guu...tr число таких подстановок, находя-
находящихся в группе ©, тип которых есть [iu i2, ..., ir]. Тогда цикловой
индекс группы © есть
9=-j^gutt...ir/[lA:..fir\ A.33)
(О
цикловой индекс ф, согласно A.5), есть
л/,..//ГЛ'а-//5. A-34)
Объекты, переставляемые с помощью ©, обозначим Х\, х2, ..., хт,
а переставляемые с помощью $ — уи у2, ... , ys. Подстановки обе-
обеих групп имеют соответственно вид
О/ Xi, Х2,..., Хь,...,Хг \ j. I i/j,..., Уз,..:,У3 \ ,. qr\
= [ . п = A. 60)
\Ху, Х2',...,Хр>,...,Хг'/ \У1>,— ,УЯ',-.;У*' I
Построим теперь из © и ? две новые группы подстановок. Пер-
Первая строится очень просто и хорошо известна; вторая более ин-
интересна.
Прямое произведение @Х|). Выберем из © и ^ по одной про-
произвольной подстановке G и соответственно Н, что можно сделать
gh различными способами. Паре G, Н поставим в соответствие
подстановку объектов хи х2, ..., хт, Уъ у2, ..., ys, а именно под-
подстановку
(•^11 *^21 • • ¦» *^г * У1 * ^2»• • •» У s \
Ху, Х2',...,ХГ', уу, у2',...,Уз' /'
т. е. одновременно выполним обе данные в A.35) подстановки.
Полученные таким образом gh подстановок r+s объектов, оче-
очевидно, образуют группу, которую мы обозначим через ©Х? и
назовем прямым произведением групп © и ,§. Понятно, что
©Х? интранзитивна. Очевидно (см. разд. 17), что цикловой ин-
индекс группы ©Хф равен <рг|).
Комбинаторные вычисления для групп 67
Аналогичным способом можно определить прямое произведе-
произведение ©ХфХ^Х... произвольного числа групп подстановок
@, |), ^, ... • При этом построении прямого произведения степени
складываются, а порядки, как и цикловые индексы, перемножа-
перемножаются.
Сплетение A0°) ©[?]. Выберем из @ некоторую подстановку
G, а из ф всего г подстановок Ни Н2, ..., #р, ..., Нт, и притом
независимо друг от друга (так что среди Нр могут такж? встре-
встречаться одинаковые). Выбор можно осуществить ghr различными
способами. Пусть G задана посредством A.35); положим
и f "¦¦'«') (p=1- 2>-'г)- (L36)
Рассмотрим следующие rs объектов, расположенных в г строках:
Zu, Z12,.. ., Zis,
Z2M Z22,---,Z2s, A.37)
Системе \ + r подстановок G, Hu H2, ..., Hp, ..., Hr соответ-
соответствует следующая подстановка rs объектов:
\Zi'it,..., Z\'\s,..., Zp'pi, Zp'p,,..., Z?'?s,..., Zr'ri,..., Zr>rs I
Это значит, что G производит перестановку строк прямоуголь-
прямоугольника A.37) (грубую перестановку1). Подстановка G действует
на все строки, в том числе и на р-ю строку, которую она должна
отобразить в р'-ю строку; при этом Яр указывает, в какие s объ-
объектов р'-й строки должны перейти s объектов р-й строки.
Составленные таким образом ghr подстановок rs объек-
объектов образуют, очевидно, группу подстановок, которую мы
обозначим ®[ф]. В качестве названия можно было бы выбрать
следующее: «^-сплетение вокруг ©».
Геометрическо-кинематический пример. Правильный мно-
многогранник имеет г граней, каждая из которых имеет е углов;
s — некоторое число, кратное е (допустимо также s = e). В цент-
центре каждой грани восстановлена внешняя нормаль, и эта' нормаль
служит осью некоторого колеса.
Все г колес равны; каждое имеет s равноотстоящих спиц и
может остановиться в s различных положениях: в каждом поло-
положении на «выделенный» угол соответствующей грани «ориенти-
1 Авторство этого меткого названия принадлежит Р. Ремарку.
3*
68 Д. Пойа
рована» некоторая другая спица. Правильный многогранник
допускает g движений — вращений, совмещающих его с самим
собой. При этих движениях на г гранях действует группа под-
подстановок © поряда g и степени г. Под движением колес понима-
понимается поворот от одной «остановки» к другой. При движениях на
s спицах действует группа подстановок ф; она циклична, имеет
порядок и степень s. При сочетании всех движений многогранни-
многогранника и колес на rs спицах действует группа подстановок порядка
gsr и степени rs, т. е. группа @[]
Строки прямоугольника A.37) проявляют особое отношение
к подстановкам группы @: если под воздействием какой-либо
из этих подстановок некоторый элемент одной строки переходит
в элемент другой строки, то при указанной подстановке все эле-
элементы строки, названной первой, перейдут в элементы второй
строки: строки прямоугольника A.37) суть области импримитив-
импримитивности группы ®[ф]. Те подстановки группы @[ф], которые каждую
из этих областей импримитивности переводят в себя (грубые
подстановки являются тождественными), образуют подгруппу.
Она имеет порядок hr и является прямым произведением
IJXIJX...XIJ, составленным из г множителей, и нормальным де-
делителем группы ©[?], причем фактор-группа по ней есть @. Сим-
Символически
Представим себе, что rs элементов из A.37) являются некоторы-
некоторыми местами пространства, и поместим на каждое место фигуру
из запаса [Ф]; так возникнет конфигурация
Фц, Ф12,...,Фи,
Ф2„ Ф22,...,Ф2„ A. 38)
Фг1, Фг2,...,Ф„.
Каждая строка этой конфигурации называется частичной кон-
конфигурацией. Две частичные конфигурации
ФрЬ Фр2,...,Фр* И ФрМ,, Фр'2',..-,Фр'*'
можно рассматривать как эквивалентные, если в группе ф най-
найдется подстановка
И
такая, что
-i!2-').
\hh...is I
Комбинаторные вычисления для групп 69
(одинаковы или различны р и р', здесь не важно). Все частичные
конфигурации, эквивалентные заданной, мы рассматриваем как
неразличимые, как одну и ту же большую фигуру. Перечисляю-
Перечисляющий степенной ряд для различных больших фигур, которые мо-
могут быть составлены из заданного запаса фигур [ф], получается
из A.34), если подставить туда (в смысле разд. 16) перечисляю-
перечисляющий степенной ряд для [Ф].
По структуре группы ©[?] можно судить, будут ли две конфи-
конфигурации вида A.38) эквивалентны или неэквивалентны относи-
относительно ©[?]— в зависимости от того, будут ли г больших фигур,
поставленных в г строках, образовывать конфигурации на г ме-
местах, эквивалентные или неэквивалентные относительно ©. Что-
Чтобы получить перечисляющий степенной ряд для конфигураций
из rs фигур Ф, неэквивалентных относительно ©[.§], необходимо
образовать перечисляющий степенной ряд для конфигураций из
г больших фигур, неэквивалентных относительно ©, и, следова-
следовательно, подставить (в смысле разд. 16) в A.33) перечисляющий
степенной ряд для больших фигур (т. е. функцию A.34), куда
уже вместо / подставлен перечисляющий степенной ряд для [Ф]).
Таким образом, нужно, полагая
Y^sft, A. 39)
образовать
?[t]=J2fw,.#4'' A-40)
(О
и вместо / подставить перечисляющий степенной ряд для [Ф].
Из разд. 25 теперь следует: цикловой индекс группы ©[?] есть
выражение ср[ф], заданное с помощью A.40), где tyu ty2, •••—
краткие обозначения многочленов, определяемых согласно A.39),
от независимых переменных /ь /2
Характеристику обеих новых групп подстановок, образован-
образованных здесь из заданных групп подстановок @ и ф, т. е. «прямого
произведения» и «сплетения», дает следующая таблица:
Группа
Степень
Порядок
Цикловой индекс
© ?
г s
g h.
<? Ф
@Х|)
r + s
gfi
•РФ
©[•§]
rs
ghr
70 Д. Пойа
II. ГРАФЫ
Определения
28. В ближайших разделах, чтобы заложить прочную основу
для последующих вычислений, будут чисто аксиоматически-ком-
аксиоматически-комбинаторно описаны те образования, которые химики называют
«структурными формулами» и «стереоформулами», по крайней
мере в той степени, в какой это необходимо. Чтобы это описание
было обозримым и недвусмысленным, начнем изложение не-
несколько издалека; в частности, сначала повторим некоторые из-
известные определения теории графов, чтобы с желаемой четко-
четкостью установить терминологию. (При этом кое-что из того, что
уже «неофициально» было сказано во введении, еще раз будет
высказано «официально».)
В терминологии будем возможно меньше отклоняться от пре-
прекрасной книги Кёнига \ которую здесь можно было бы принять
за образец. Наиболее существенные отклонения, которые при-
пришлось ввести в интересах конкретных целей настоящей работы,
будут указаны особо.
29. То, что в «полных обозначениях» называется «связным
конечным графом без петель», будет в дальнейшем кратко име-
именоваться просто «граф».
Граф — система, содержащая в конечном числе элементы
двоякого рода: точки и ребра. Между двумя элементами различ-
различного рода, т. е. между ребром и точкой, определено некоторое
отношение именуемое основным отношением. Существование
между точкой Р и ребром а основного отношения выражают так-
также словами: «Р ограничивает а» (при случае также другими
«геометрическими» оборотами, такими, как: «а оканчивается в
Р», «а исходит из Р» и т. п.). Выполняются следующие два ус-
условия:
I. Каждое ребро ограничено двумя различными точками.
II. Элементы графа, точки и ребра, в силу основного отноше-
отношения образуют связную систему. Иначе говоря, переходя от эле-
элемента к элементу, связанных посредством основного отношения,
можно из произвольного элемента достичь любой другой.
Условие I означает, что каждое ребро, встречающееся в гра-
графе, находится в основном отношении точно с двумя точками.
Число ребер, состоящих в основном отношении с заданной точ-
точкой (ограниченных точкой), не ограничено никакими условиями;
1 Кёниг [25]. Читателю не нужно овладевать «теорией графов»; для пер-
первоначального понимания основного содержания этой статьи достаточно «экспе-
«экспериментально» уяснить себе встречающиеся высказывания о графах с помощью
самостоятельно нарисованных фигур.
Комбинаторные вычисления для групп 71
мы специально подчеркиваем, что оно может быть любым нату-
натуральным числом, а также нулем. Точка, которая не ограничивает
никакого ребра, не связана ни с одним ребром и, следовательно,
вообще ни с каким другим элементом в смысле условия II. Таким
образом, она должна в силу этого условия составлять самостоя-
самостоятельный граф. Граф, который состоит из одной-единственна^
точки, называется одноточечным графом К
30. Рассмотрим произвольный граф; число его точек обозна-
обозначим через р, число ребер — через s.
Случай /? = 0, s = 0 (случай «нулевого графа») исключается
из рассмотрения. Если s = 0, так что никаких ребер нет, различ-
различные точки не могут соединяться между собой; в этом случае,
следовательно, ввиду условия II имеем р=1, т. е. одноточечный
граф. Если s^ 1, то /?^2 ввиду условия II. Как можно показать
на основе условий I, II2, между pus существует связь, состоя-
состоящая в том, что число
=ц B.1)
неотрицательно; ц называют числом связности графа. Граф с
числом связности 0 называют деревом. Дерево, следовательно,
есть граф, который при заданном числе точек р обладает наи-
наименьшим возможным числом ребер, а именно р—1.
Точка, которая ограничивает ровно к отрезков, называется
k-реберной точкой. Однореберная точка называется также кон-
концевой точкой. Пусть pk — число ^-реберных точек, за исключе-
исключением случая одноточечного графа ро = О. Имеем
+ -=P B-2)
и ввиду условия I
Op0+\pl + 2p2 + ...+kpk + ... = 2s. B.3)
31. Отличное от одноточечного графа дерево, некоторая кон-
концевая точка которого воспринимается как отличающаяся от
всех других точек, называют посаженным деревом3; выделен-
выделенную, единственную в своем роде, концевую точку называют кор-
корнем и единственное ребро, ограниченное корнем,— стволом
посаженного дерева. Точки посаженного дерева, отличные от кор-
корня, называют узлами4. На рисунках, представляющих посажен-
1 Введение одноточечных графов составляет наиболее существенное откло-
отклонение принятой здесь терминологии от кёниговой.
2 Кёниг [25, стр. 54].
3 Но не «корневым деревом» [25, стр. 76]. Здесь подчеркивается, что вы-
выделяется не любая, а лишь концевая точка дерева.
4 Слово «узел» имеет, следовательно, специфическое значение и (в отли-
отличие от принятого Кёнигом [25, стр. 1]) употребляется лишь для некорневых
точек посаженного дерева.
72 Д. Пойа
ные деревья, узлы будут указываться кружками, а корень —
стрелкой (см. рис. 1, 2, 3).
Деревья, в которых ни одна из точек не отмечена как корень,
там, где необходимо подчеркнуть различие, будут называться
свободными деревьями.
Пусть Р — точка дерева В, a Q — другая точка, ограничиваю-
ограничивающая ребро, исходящее из Р. Точки Р и Q и (возможно) другие
такие точки В, которые не связаны с Р без участия точки Q
(такие, которые могут быть связаны с Р только через Q), обра-
образуют вместе с ребрами, которые они ограничивают с обеих сто-
сторон, некоторое дерево (частичное дерево в В). Этим деревом
будет посаженное дерево, в качестве корня которого рассматрива-
рассматривается Р и ствол которого ограничен точками Р и Q. Такое поса-
посаженное дерево называется ветвью ' дерева В, порожденной точ-
точкой Р. Для пояснения этого определения заметим, что если В
содержит ровно р точек, то все ветви В, порожденные Р, вместе
содержат р или больше точек, но содержат точно р—1 узлов (см.
на рис. 2 (а) и (р) ветви, порожденные точкой М).
32. Точки произвольного графа можно распределить по
классам, и притом произвольно с само собой разумеющимся
ограничением, что каждая точка графа принадлежит ровно од-
одному классу, т. е. классы должны попарно не пересекаться и
вместе содержать все точки графа. (Точки одного класса можно
представлять себе как шары одинакового цвета или как атомы
одного и того же химического элемента.)
В посаженных деревьях мы различаем два класса точек: кор-
корни и узлы, и в этим состоят два ограничения: корень должен
быть однореберной точкой, единственной в своем классе. В об-
общем случае никаких ограничений такого рода не существует;
распределение точек по классам можно производить произволь-
произвольно; ничего особенного с числом ребер распределение делать не
должно. Если классов так же много, как и точек, т. е. две раз-
различные точки принадлежат различным классам, то можно гово»
рить о графе с индивидуально различными точками. Этому край-
крайнему случаю противопоставляется тот, в котором все точки гра-
графа принадлежат одному классу.
33. Пучок ребер A1°) образует fe-реберная точка Р некото-
некоторого графа вместе с ограниченными ею отрезками2; точка Р
1 Следовательно, ветвь всегда рассматривается как посаженное дерево.
В этом заключается небольшое отличие нашего понятия ветви от принятого
у Кёнига [25, стр. 70].
2 Не «звезду» (ср. Кёниг [25, стр. 50]). Я подчеркиваю, что пучку ребер»
принадлежит лишь одна точка; цучок ребер не является графом, так как при-
принадлежащие ему ребра ограничены лишь с одной стороны.
Комбинаторные вычисления для групп
73
называется центром пучка ребер. Перенумеруем k ребер, выхо-
выходящих из центра, номерами 1, 2, 3, ..., k.
Приведем некоторые соображения, возникающие в связи с
этой нумерацией.
а) Представим себе пучок ребер лежащим на плоскости, а
ребра — прямолинейно выходящими из центра. Пронумеруем
ребра в такой последовательности, в какой их встречает по-
подвижная точка, обегающая центр против часовой стрелки. В за-
зависимости от сектора плоскости, с которого стартует подвижная
точка, можно получить k различных нумераций. Эти k различ-
различных нумераций переводятся друг в друга подстановками группы
порядка и степени k—-циклической группы подстановок 3ft-
м
Р
А ВС
Рис. 2. :
б) Пусть k — A. Представим себе центр пучка ребер располо-
расположенным в средней точке правильного тетраэдра, а четыре ребра,
выходящие из него, направленными в четыре вершины тетраэд-
тетраэдра. Присвоим каждому ребру тот же номер, что и соответствую-
соответствующей вершине тетраэдра, а вершины тетраэдра перенумеруем так,
чтобы тетраэдр имел правую ориентацию (т. е. если смотреть
вдоль ребра A, 2) тетраэдра из вершины 2 в сторону вершины 1,
и иметь перед собой ребро C, 4), то вершина 3 должна быть сле-
слева, а вершина 4 — справа).
Таким образом, существует 12 различных способов перену-
перенумеровать 4 ребра пучка. Как можно убедиться, при четной пере-
перестановке первоначальных номеров нумерация сохраняет правую
ориентацию, а при нечетной перестановке она переходит в про-
противоположную нумерацию с левой ориентацией1. Тем самым все
1 12 четных перестановок 4 вершин тетраэдра соответствуют вращениям,
которые совмещают правильный тетраэдр с самим собой.
74 Д. Пойа
12 различных нумераций переводятся одна в другую посредст-
посредством 12 подстановок знакопеременной группы степени 4 — груп-
группы 914.
в) Снова рассмотрим общий пучок k ребер, и притом рассмот-
рассмотрим его топологически, т. е. не обращая внимание на то, лежит
ли он на плоскости, или в пространстве, или где-либо еще. Тогда
все возможные k\ нумераций, которые переводятся одна в дру-
другую подстановками симметрической группы @/{, одинаково допу-
допустимы.
Подведем итог: когда пучок ребер рассматривается как «пло-
«плоский», «пространственный» или «топологический», перестановка
номеров относится соответственно к группе 3ft. $4 или @&. Обра-
Обратим внимание, что после нумерации ребер и установления соот-
соответствующей группы подстановок наглядный смысл слов «пло-
«плоский» и «пространственный» исключается, и дальнейшее рас-
рассмотрение может проводиться чисто комбинаторно.
34. После этой подготовки мы подошли к сути вопроса. Можно
теперь кратко и полно, освободившись от всяких деталей, и все
же для ряда частных случаев надлежащим образом сформули-
сформулировать, когда два графа рассматриваются как различные и ког-
когда как неразличающиеся. Вместо слова «неразличающиеся» бу-
будем употреблять слово «конгруэнтные», вместо «различные» —
«неконгруэнтные».
Пусть имеются два графа G и G' и в каждом точки распре-
распределены по классам, а ребра всех пучков пронумерованы ', при-
причем каждому k (k=l, 2, 3, ...) соответствует группа @ь относя-
относящаяся к й-реберным пучкам.
Графы G и G' называются конгруэнтными тогда и только тог-
тогда, когда существует однозначное и однозначно обратимое ото-
отображение G на G', с помощью которого
(I) каждое ребро отображается в ребро,
(II) каждая точка отображается в точку того же класса, '
(III) основное отношение остается выполненным,
(IV) в каждом пучке ребер индуцируется подходящая пере-
перестановка номеров ребер, принадлежащая соответствую-
соответствующей группе.
Два последних условия подробнее будут объяснены ниже.
Отображение описанного вида G на G' будем называть конгру-
конгруэнтным отображением. Два элемента, таких, что отображение
их друг на друга при некотором конгруэнтном отображении
a priori не исключено природой этих элементов, также можно
1 При более полной нумерации ребер в пучках каждое ребро получает два
номера, которые никак не связаны друг с другом.
Комбинаторные вычисления для групп 75
называть конгруэнтными друг другу и в этом смысле [(I), (II)]
говорить:
Некоторые два ребра конгруэнтны друг другу.
Точки одного класса конгруэнтны друг другу, разных клас-
классов — неконгруэнтны.
.Под условием (III), согласно которому «основное отношение
остается выполненным», естественно понимать следующее: если
Р и Р' — точки, о и о' — ребра, Р и о принадлежат G, а Р' и о'
принадлежат G' и отображение переводит Р в Р', <т в о', то о' тог-
тогда и только тогда ограничивается Р', когда Р ограничивает а.
Условие (IV) нужно прокомментировать подробнее. Если Р —
центр, а 0ь <Х2> •••. <*ь суть пронумерованные ребра некоторого
/г-реберного пучка (с центром Р), принадлежащего G, то, со-
согласно условиям (I), (II), (III), имеем отображение этих k+l
элементов на k + \ элементов Р', о/, ог', ..... о/ пучка ребер в G',
но при этом нумерация соответствующих друг другу ребер не
обязана быть одинаковой. Изобразим отображение с помощью
стрелок указанным способом:
Я— Я',
¦>
O2',...,Ojft
тогда под индуцированной подстановкой будем понимать
'1 2 З...Л
h h h-h
Условием (IV) требуется принадлежность этой подстановки
группе ®k, которая относится к ^-реберному пучку.
Просматривая еще раз условия (I)—(IV), легко убеждаем-
убеждаемся, что определенная здесь конгруэнция графов есть рефлексив-
рефлексивное, симметричное и транзитивное отношение между графами.
Обратим внимание на то, что в условии (IV) речь идет не о ка-
какой-то совокупности, а о группе подстановок.
35. Насколько можно судить, введенное определение конгру-
конгруэнтности и неконгруэнтности (неразличимости и различимости)
двух графов существенно для точного установления смысла, в
котором нуждаются химические формулы, в особенности «струк-
«структурные формулы». Ограничимся тем, что выясним смысл чисел,
которые можно вычислить в настоящей части на основе этого
определения. При этом пока откажемся от химической термино-
терминологии, которая будет введена впервые в ближайшей части, упо-
употребляя чисто геометрическо-комбинаторную, а также привлечем
для сравнения химически неинтересное «плоское» понимание
графов.
76 Д. Пойа
В данном определении конгруэнтности двух графов заключе-
заключено много специальных случаев. Специализация может прово-
проводиться в трех направлениях: рассматривают отдельные графы;
точки графов особым образом делят на классы; группы, соответ-
соответствующие пучкам ребер, определяют особым образом.
Для целей этих трех видов специализации служит следующая
терминология.
С-графом называется граф, в котором нет точек, ограничива-
ограничивающих пять или более ребер. Следовательно, в обозначениях
разд. 30 С-граф характеризуется тем, что
ps = p6 = p7 = ...=0. B.4)
С—Н-графом называется граф, который, за исключением кон-
концевых точек, имеет лишь четырехреберные точки, т. е. удовлет-
удовлетворяет условию
Ро = 0, р2 = р3=0, р5 = р6 = р7=... = 0. B.5)
В свободных деревьях будем все точки относить к одному клас-
классу, если ясно не указывается противоположное (в настоящей ча-
части это случится лишь в разд. 45).
В посаженных деревьях будем различать только два класса
точек: узлы и корень, так что все узлы можно рассматривать как
принадлежащие одному классу, пока ясно не упомянуто противо-
противоположное (как в разд. 45).
В качестве соответствующих групп будем вводить лишь груп-
группы, рассмотренные в разд. 33. Если ^-реберному пучку соответ-
соответствует симметрическая группа ©& {k=\, 2, 3, ...), то два графа,
которые конгруэнтны в смысле определения разд. 34, называют
топологически неразличимыми, а неконгруэнтные в этом смыс-
смысле — топологически различными.
Если й-реберному-пучку соответствует циклическая группа
Sk (k—h 2, 3, ...), то два графа, конгруэнтные в смысле разд. 34,
называются планарно неразличимыми, а два неконгруэнтных
графа — планарно различными '.
Для С—Я-графов (и только для них!) понятие конгруэнтно-
конгруэнтности можно установить так, что для четырехреберных пучков со-
соответствующей будет объявлена знакопеременная группа 214-
(Для однореберных пучков условие (IV) не имеет значения,
если выполняются условия (I) — (III), так как существует лишь
одна группа подстановок степени 1.) Два С—Я-графа, конгру-
конгруэнтные относительно 914. называют пространственно неразлнчи-
1 Здесь не существенно, что при изображении «планарно» понимаемого
графа на плоском листе бумаги возникают такие пересечения ребер, которым
не соответствуют никакие точки графа. «Планарно» понимаемый граф не
имеет никакого отношения к графам рода нуль (см. Кёниг [25, стр. 198]).
Комбинаторные вычисления для групп 77
мыми, а неконгруэнтные в этом смысле — пространственно раз-
различными.
Различие свободных посаженных деревьев имеет дело с усло-
условием (II) разд. 34. Для свободных деревьев это условие можно
сформулировать так: «некоторые пары точек конгруэнтны меж-
между собой», а для посаженных деревьев так: «узлы конгруэнтны
друг другу, корни конгруэнтны друг другу, корень не конгруэнтен
ни одному узлу». Различие «топологического», «планарного»
и «пространственного» связано с условием (IV), которое для
топологических графов, собственно, не имеет значения.
36. После предыдущего изложения данные во введении опре-
определения чисел Тп и Тп получают вполне определенный, чисто
комбинаторный смысл. Комбинаторное определение других упо-
упомянутых во введении чисел xn, pn> On, Qn, Rn, Sn связано с
С—Я-деревьями, поэтому прежде всего подробнее рассмотрим
эти образования.
а) Обозначим число четырехреберных точек С—Я-графа че-
через п; следовательно, р\ = п в обозначениях разд. 30. Тогда ра-
равенства B.5) в сочетании с B.1), B.2) и B.3) путем исключения
s и р дают:
/», = 2я4-2 —2|». B.6)
В частности, С—Я-граф с п четырехреберными точками тогда
и только тогда является С—Я-деревом, когда число его конце-
концевых точек есть 2п+2, а общее число его точек равно З/г + 2. По-
Посаженное С—Я-дерево с п четырехреберными точками имеет
2/г+1 отличных от корня концевых точек; следовательно, всего
Зя+ 1 узлов.
б) Некоторые четырехреберные точки С—Я-дерева называют
асимметричными; именно те, из которых выходят четыре топо-
топологически различные ветви. (Точка М на рис. 2 (а) асимметрич-
асимметрична.) Совершенно так же звучит определение асимметричной точ-
точки посаженного С—Я-дерева. Нужно еще добавить, что та ветвь,
которая выходит нз некоторой четырехреберной точки Р и со-
содержит корень всего посаженного дерева, отлична от остальных
трех ветвей, выходящих из той же точки Р. Эта ветвь содержит
единственную в своем роде точку, которая не конгруэнтна ни
одной из точек остальных трех ветвей. (Точка К посаженного де-
дерева на рис. 2(Л) асимметрична; если бы это дерево рассматри-
рассматривалось как свободное, а не как посаженное, то точка К не была
бы асимметричной.)
Приступим теперь к комбинаторному определению упомяну-
упомянутых чисел.
Числа On, ри, Хп относятся к свободным С—Я-деревьям, чис-
числа Sn, Rn, Qn — к посаженным С—Я-деревьям с п четырехребер-
четырехреберными точками. Для свободных С—Я-деревьев (соответственно
78 Д. Пойа
для посаженных С—Я-деревьев) с п четырехреберными точками
следующие числа означают:
о„ (соответственно 5„) —число всех пространственно различ-
различных деревьев;
ри (соответственно Rn)—число всех топологически различ-
различных деревьев;
кп (соответственно Qn) —число таких топологически различ-
различных деревьев, которые не имеют асимметричных точек.
(Относительно соответствия данных здесь комбинаторных
определений с приведенными во введении химическими опреде-
определениями см. разд. 55.)
Для пояснения этих определений упомянем следующие важ-
важные сами но себе связи.
Переход от ри к кп, как и переход от Rn к Qn, есть переход
от некоторого множества к подмножеству. Поэтому
?п>*п, Rn>Qn- B-7)
Переход от ри к о„, как и переход от Rn к Sn, состоит в измене-
изменении соответствующей группы четырехреберных пучков, в пере-
переходе от @4 к 914- То, что подстановка, индуцированная отображе-
отображением (см. разд. 34, условие (IV)), принадлежит подгруппе 2Ц>
есть более ограничительное условие, чем то, что она принадле-
принадлежит полной группе @4. При переходе от группы к подгруппе
число неэквивалентных конфигураций не может уменьшиться.
Поэтому
< %<Sn. B.8)
37. Между понимаемыми топологически С—Я- ичС-графами
существует взаимно однозначное соответствие, отмеченное еще
Кэли, которое при выделении посаженных деревьев и корней
можно выразить следующим образом: удалим из С—Я-графа
каждую концевую точку и каждое ребро, ограниченное концевой
точкой, исключая все же корень и ствол, если речь идет о поса-
посаженном дереве. Тогда перейдем от С—Я-графа к соответствую-
соответствующему С-графу, и притом от посаженного С—Я-дерева к соответ-
соответствующему С-дереву с тем же самым корнем и стволом. (Пере-
(Переход на рис. 2 от (а) к (у) и от (А) к (С).) Можно перейти
обратно от С-графа к С—Я-графу, если к каждой точке С-гра-
фа, за исключением, возможно, имеющегося корня, добавить
столько @, 1, 2, 3 или 4) новых ребер, чтобы возникла четы-
рехреберная точка и вновь присоединенные ребра оканчивались
новыми концевыми точками. (Переход на рис. 2 обратно—^от
(Y) к (а) йот (С) к (Л).)'
1 Если С—Я-граф содержит п четырехреберных точек, то соответствую-
соответствующий С-граф имеет п точек, если он не является посаженным деревом, и п+\
точек в случае посаженного дерева. В первом случае нужно исключить п=0,
Комбинаторные вычисления для групп 79
Если это соответствие проследить для С—Я-графов, перечис-
перечисляемых с помощью р„ и Rn, то легко усмотреть следующее но-
новое значение этих чисел:
р„ есть найденное при топологической точке зрения число
свободных С-деревьев с п точками, Rn — число посаженных
С-деревьев с п узлами. Другими словами, р„ есть число таких
специальных топологически различных свободных деревьев с п
точками, точки которых ограничивают самое большее четыре
ребра;
Rn есть число таких специальных топологически различных
посаженных деревьев с п узлами, узлы которых ограничивают
самое большее четыре ребра.
Сравним к тому же определение чисел хп и Тп, данное во
введении (разд. 3). Переход от ти к ри, как от Тп к Rn, есть пе-
переход от некоторого множества к его подмножеству. Поэтому
*«>Р». Tn>Rn. B.9)
Посаженные деревья
38. С этого момента мы будем предполагать, что группа ®и,
соответствующая ^-реберному пучку, транзитивна (для k = l,
2, 3, ...). Это предположение во всяком случае выполняется для
групп ©ft, 3ft. 214, которые характеризуют соответственно тополо-
топологическую, планарную и пространственную точки зрения.
Ствол посаженного дерева 5 ограничивается двумя точками;
одной из них является корень, другую назовем главным узлом
или кратко К (ср. рис. 2 {А)). Пусть К есть й-реберная точка.
Из k ветвей, берущих начало в К, одна (которую в обыденной
речи ветвью назвать было бы нельзя) содержит ствол и корень S;
остальные k—1 ветвей мы будем называть главными ветвями
посаженного дерева S. Пронумеруем главные ветви. Каждая
главная ветвь содержит некоторое выходящее из К ребро, кото-
которое принадлежит пучку с центром в К и имеет некоторый номер.
Этот номер присваивается соответствующей ветви.
Мы утверждаем, что можно найти посаженное дерево S',
конгруэнтное S, главные ветви которого имеют номера 1, 2, ...
..., k—1. Это основывается на транзитивности группы ©ь. А имен-
именно эта группа содержит подстановку, которая переводит в k тот
номер, который при нумерации пучка ребер с центром К выпа-
выпадает стволу 5. Применяем эту подстановку к номерам пучка ре-
во втором случае (для посаженных деревьев) можно допустить п=0; при
этом соглашении взаимно однозначное соответствие становится всеобщим и
исключается рассмотрение нуль-графов. При обратном переходе от С-
к С—//-графам четыре новых ребра добавляются к одной и той же точке
лишь тогда, когда С-граф является одноточечным.
80 Д. Пона
бер и оставляем все остальное в 5 без изменения. Соответствую-
Соответствующее этому посаженное дерево S' обладает требуемым свойством
(ср. с разд. 34,в частности (IV)).
39. Рассмотрим теперь посаженные деревья, k—1 главных
ветвей которых имеют номера 1, 2, ..., k—1. Соответственно
занумерованные главные ветви посаженного дерева S обозначим
через Фь Ф2, ..., Фк~\ и поставим в соответствие дереву 5 кон-
конфигурацию его главных ветвей
(Ф,, Ф2, •-, Фь_])-
Слово «конфигурация» здесь будет употребляться в том же
самом смысле1, что и в разд. 11. Конгруэнтные главные ветви
рассматриваются как одинаковые, неконгруэнтные главные вет-
ветви— как разные фигуры. Так как каждую, главную ветвь можно
понимать как посаженное дерево (разд. 31), то запас фигур
содержит все попарно неконгруэнтные посаженные деревья.
Два посаженных дерева, главные ветви которых образуют
одинаковые конфигурации в смысле определения разд 34, не-
несомненно, конгруэнтны2. Могут ли различные конфигурации
главных ветвей принадлежать конгруэнтным посаженным дере-
деревьям ?
Пусть для посаженного дерева 5' символы К', k', Ф/, Ф2', ...
..., Ф»_1 имеют те же значения, что и К, k, Ф\, Ф2, ..., Фи~\ для 5.
Если S и S' конгруэнтны друг другу (см. в разд. 34 условия (I) —
(IV)), то при конгруэнтном отображении корень 5 должен соот-
соответствовать корню S', ствол S — стволу S' и точка К — точке К';
таким образом, k — k'. Так как при нумерации ребер в пучках с
центрами К и К' оба ствола получают один и тот же номер k,
то индуцированная подстановка должна иметь вид
/1 2...Л-1 ftv BЛ0)
\i{ i2... ift_i kl
и она должна принадлежать группе ®и (разд. 34, (IV)).
Наконец (конгруэнтные главные ветви рассматриваются как
тождественные фигуры), должно быть
1 Мы можем, если хотим сохранить пространственное представление, от-
отмеченное в разд. 11, указать некоторые k—1 мест в пространстве для k—1
от.шчных от К концевых точек k—1 главных ветвей.
2 Для обстоятельного обоснования этого вывода нужно рассмотреть два
посаженных дерева 5 и 5', одинаково занумерованные главные ветви которых
конгруэнтно отображаются друг на друга, и построить из этих k—1 отображе-
отображений конгруэнтное отображение S на S'. Подробности здесь опущены; подоб-
подобную экономию будем позволять себе и в дальнейшем.
Комбинаторные вычисления для групп 81
Подстановка B.10) принадлежит ®и, причем той подгруппе @й,
которая оставляет k на месте. Эта подгруппа, которую мы будем
понимать как группу подстановок степени k—1 (она перестав-
переставляет номера 1, 2, ..., k—1), кратко называется соответствующей
подгруппой. Наличие равенств B.11) можно теперь, используя
терминологию разд. 11, выразить так: конфигурации (Фь Фг, ...
..., Фк-\) и (Ф/, Фг', •••, Ф»-1 ) эквивалентны относительно соответ-
соответствующей подгруппы. Если еще раз в обратном порядке просмот-
просмотреть это рассуждение, то получим следующий результат: два по-
посаженных дерева тогда и только тогда конгруэнтны друг другу,
когда'они имею! одинаковое число главных ветвей и конфигура-
конфигурации их главных ветвей эквивалентны друг другу относительно
соответствующей подгруппы.
В зависимости от группы @л, 214 или Зл соответствующие под-
подгруппы суть ©ft_i, 91з=3з или S/j_i. Эти случаи сыграют свою
роль в дальнейшем.
40. Рассмотрим теперь посаженные С—Я-деревья с п четы-
рехреберными точками. Число топологически различных среди
них обозначим через Rn, число пространственно различных —
через Sn, число планарно различных — через Рп.
Главный узел посаженного С—Я-дерева является или кон-
концевой, или четырехреберной точкой.
Если главный узел К является концевой точкой, то все поса-
посаженное дерево состоит из К, корня и из ствола, связывающего
обе эти точки; ни четырехреберных точек, ни главных ветвей не
имеется. Не существует также двух неконгруэнтных посаженных
деревьев этого вида; причем безразлично, рассматривать ли то-
топологическую, пространственную или «плоскую» конгруэнтность.
Таким образом,
R0 = S0 = P0=\. B.12)
Если главный узел посаженного С—Я-дерева 5 есть четырех-
рсберная точка, то S имеет три главные ветви, и эти ветви со-
содержат вместе точно на один четырехреберный узел меньше, чем
все S. Таким образом, имеется ровно столько же неконгруэнтных
посаженных С—Я-деревьевсячетырехреберными узлами, сколь-
сколько неэквивалентных отнасительно соответствующей подгруппы
конфигураций трех посаженных С—Я-деревьев, содержащих
вместе п—1 четырехреберных узлов (в предположении, что
и^1) (ср. с рис. 2(А) и (В)). В зависимости от того, понимаем
ли мы конгруэнтность топологически, пространственно или пла-
планарно, из трех заданных, отличных друг от друга главных ветвей
можно образовать 1, 2 или 6 различных конфигураций и, следо-
следовательно, различных посаженных деревьев с четырехреберными
точками.
82 Д. Пойа
В зависимости от того, понимается ли конгруэнтность топо-
топологически, пространственно или планарно, посаженные С—Н-
деревья будут перечисляться степенными рядами
22 ^
о о о
Обозначим соответствующие подгруппы символами
®з, Яз, S3;
цикловые индексы этих подгрупп суть (см. разд. 21)
6
Соответственно этим трем случаям, опираясь на основную тео-
теорему' части I (разд. 16), с учетом особого положения случая
п = 0 получаем равенства, которыми кратко с помощью перечи-
перечисляющих степенных рядов выражаем разъясненную ранее связь:
«.число неконгруэнтных посаженных С—Я-деревьев равно числу
неэквивалентных конфигураций трех посаженных деревьев».
-/s^ , B.14)
О
B. 15)
41. Принимая во внимание B.12), B.13) и B.14), получаем
объявленные функциональные уравнения D) и G). Соотношение
B.15) вместе с B.12) дает трехчленное уравнение 3-й степени
для определения р(х), которому, как известно, удовлетворяет
ряд1
л-1
Следовательно,
Я.--Ч 3"Л. - B.16)
п \П—\ }
Обратим еще внимание, что переходу от Sn к Рп соответствует
переход от &з к @з— от группы к подгруппе. Тем самым (анало-
(аналогично B.8)) получаем
Sn<Pn- B.17)
См., например, Полна н Сегё [39, задача III 211, стр. 155 и 355].
Комбинаторные вычисления для групп 83
42. Среди посаженных С—Я-деревьев с п четырехреберными
узлами рассмотрим топологически различные деревья, которые
имеют точно а асимметричных точек. Их число обозначим че-
через Rna. Очевидно,
+ - = fl». ¦ B.18)
и, согласно одному из предыдущих определений (разд. 36),
$no=Qn- B.19)
Положим
у2 + ...) = Ф(х, у). B.20)
л=0
Очевидно,
D D 1 /О 9 П
*\0 — *V-00 — \ /
Поэтому предположим, что и^1, и рассмотрим посаженные де-
деревья, соответствующие числу Rn. Каждому такому посаженному
дереву отвечает конфигурация трех его главных ветвей, и при-'
том, так как теперь соответствующей подгруппой является @з,
она зависит лишь от того, какие посаженные деревья являются
главными ветвями, и не зависит от их нумерации. То есть группа
©з зависит лишь от сочетания главных ветвей.
Для каждого из посаженных деревьев, соответствующих числу
Rna, имеет место один из следующих двух случаев:
1) Главный узел не является асимметричной точкой. В этом
случае три главные ветви не все различны между собой и со-
содержат вместе а асимметричных точек.
2) Главный узел является асимметричной точкой. В этом
случае все три главные ветви различны и содержат вместе а—1
асимметричных точек.
В обоих случаях три главные ветви содержат вместе п—1
четырехреберных узлов. Принимая во внимание особое положе-
положение случая п = 0, на основе результатов, собранных в разд. 23
(взяв B@з—9?з) для первого случая и (91з—@з) для второго), по-
получаем, что
Ф(х, у)~1-\-хФ(х, у)Ф(х2, у2)-\-
, ..„ФЗ(х, у) -ЗФ(лг, -у)Ф(*а, у?) + 2Ф(ЛЗ, ц/3)
—|— лу — • 1 ?. ? ? )
6
Теперь в силу B.18), B.20) и C) имеем
Ф(л:, 1)=г(лг), B.23)
а вследствие B.19), B.20), F)
Ф(л:, O)=?(jc). B.24)
84 Д. Пойа
В самом деле, при г/=1 функциональное уравнение B.22) пере-
переходит в D), а при у = 0 — в объявленное уравнение (8).
43. Теперь приступим к рассмотрению произвольных поса-
посаженных деревьев с общим числом п узлов. Число топологически
различных среди них обозначим через Тп, число планарно раз-
различных— через Рп- Наряду с перечисляющим степенным рядом
B) рассмотрим еще ряд
Легко видеть, что
T^P^l. B.25)
Если п^2, то посаженное дерево имеет главные ветви; их
число, как в разд. 38, обозначим через k—1. Эти k—1 главных
ветвей содержат вместе п—1 узлов; подгруппа, соответствующая
их конфигурации, есть <5h-\ или Qk-i в зависимости от того, идет
ли речь о топологически или планарно различных деревьях.
Число конфигураций главных ветвей, неэквивалентных относи-
относительно <Ok-x и дающих вклад в Тп, получаем, согласно разд. 16,
как коэффициент при х"~' в ряде, возникающем при подстанов-
подстановке t(x) в цикловой индекс группы <&k-\ (ср. с формулой A.12),
а для частных случаев — с разд. 21). Число конфигураций глав-
них ветвей, неэквивалентных относительно бд-i и дающих вклад
в Рп, является коэффициентом при хп~1 в ряде th~l(x). Полагая
А = 2, 3, 4, ... и учитывая особый случай п=\ вместе с B.25),
получаем
., B.26)
B.27)
В левых частях перечислены неконгруэнтные посаженные де-
деревья; правые части перечисляют конфигурации главных ветвей,
неэквивалентные относительно соответствующей подгруппы; эти
конфигурации суть конфигурации посаженных деревьев одного
и того же рода, и, согласно разд. 39, их существует столько же,
сколько неконгруэнтных посаженных деревьев. Формула B.26)
есть упоминавшаяся во введении формула A")- Произведем в
формуле A.П) двойную специализацию. Во-первых, положим
f(x, у, z) =t{x) и соответственно этому
аОоо = О, айМ=Тк, aklm = Q для / + те>0.
Во-вторых, положим н=1; тогда из сравнения 1, 2 и 3-й строк
в A.11) получим также и два других указанных равенства A)
и (Г)-
Комбинаторные вычисления для групп 85-
Уравнение B.27) равносильно уравнению 2-й степени отно-
относительно р(х), а именно уравнению
P\X) P^\X) \,
которому, как легко видеть, удовлетворяет ряд
/2п —:
Следовательно,
Переход от Тп к Рп соответствует переходу от <®и-\ к Eй-ь т. е.
от группы к подгруппе; отсюда получаем (аналогично B.8) и
B.17))
Тп<Рп. B.29)
Переход от Р%п+\ к Рп есть переход от множества к подмноже-
подмножеству, поэтому
(легко непосредственно видеть, что никакого противоречия с
B.16) и B.28) нет).
44. Число топологически различных посаженных С-деревьев
с п узлами, как мы видели в разд. 37, есть Rn (при п^\). Легка
заметить, что, подобно B.25),
Если п^2, то посаженное С-дерево имеет главные ветви, а имен-
именно 1, 2 или 3 главные ветви. Переход, который приводит к
B.26), дает для ряда
функциональное уравнение
g (X) = X + Xg (X) + -j [g* (X) + g (X2)] +
+ r[ B.30)
6
Правая часть B.30) содержит только четыре члена, которые
соответствуют четырем случаям, возможным для посаженного
С-дерева, когда имеются 0, 1, 2 или 3 главные ветви. (В противо-
противоположность этому правая часть в B.26) содержит бесконечно
86 Д. Пойа
много членов.) Если подставить в B.30) g(x) =r(x)— 1, то по-
получаем, как это и должно быть, уравнение D).
Легкое обобщение этого рассуждения показывает, что все
уравнения, которые возникают из B.26) или B.27) благодаря
тому, что в правой части сохраняется лишь часть членов, от-
отличных от х, дают перечисляющие степенные ряды для просто
характеризуемых видов посаженных деревьев '.
45. Теперь представим формы (Г) и A") уравнения A) в
несколько ином аспекте. Рассмотрим свободные деревья с п
точками, а именно с п индивидуально различными точками. Чис-
Число топологически различных деревьев обозначим через а„. Зна-
Значение а„ было найдено сначала Кэли A2°), а потом и другими2.
Здесь а„ будет вычислено новым (насколько мне известно) спо-
способом.
Из каждого свободного дерева рассматриваемого вида можно
получить некоторое посаженное дерево, если к какой-либо из п
точек присоединить новое ребро и новую концевую точку назвать
корнем. Таким способом из каждого свободного дерева ввиду
того, что его точки индивидуально различны, можно получить
п различных посаженных деревьев. Обозначим через Ап число
топологически различных посаженных деревьев с п индивиду-
индивидуально различными узлами. Сказанное означает, что
Ап = пап. B.31)
Очевидно, что
А1=\. B.32)
Рассмотрим те посаженные деревья из числа An+i, которые
удовлетворяют следующим двум условиям:
1) роль точки К (главного узла) играет «красная точка»;
2) из К выходят три главные ветви.
(Термин «красная точка» вместо «определенная точка» исполь-
используется для наглядности, а три главные ветви взяты только для
примера.)
Если три главные ветви, выходящие из К, имеют соответст-
соответственно i, / и k узлов, то
n. B.33)
1 Так, например, оставляя в B.27) лишь один отличный от х член, полу-
получаем уравнение <р(х) =х+хц>г(х), решение которого перечисляет те плаиарио
посаженные различные деревья с п узлами, которые обладают лишь одно- и
трехреберньши точками. Этот результат имеется уже у Кэли [12]. Ср. с [26,
п. 5], далее [19, п. 15—16]. В обоих случаях можно также найти в другом виде
результат B.28) и исследования относительно свободных планарных деревьев.
2 [18, 20, 35].
Комбинаторные вычисления для групп 87
Эти п индивидуально различных узлов можно разделить на три
класса, содержащих соответственно i, /, k элементов,
i\j\k\
способами. Коль скоро такое разделение произведено, первую
главную ветвь можно выбрать Аи вторую А}, третью Аи раз-
различными способами,и получаем
iljlkl '
i
конфигураций главных ветвей (суммирование распространяется
на все положительные системы решений уравнения B.33)). Сре-
Среди них имеется по 3! конфигураций ', эквивалентных относительно
@з. Таким образом, имеется
- У "' ЛИ А B-34)
конфигураций главных ветвей, неэквивалентных относительно
@з, т. е. столько посаженных деревьев из числа An+i, сколько
удовлетворяют условиям 1) и 2). Если отменить условие 1),
т. е. вместо «красной» точки взять любую из п+\ различных
точек, то получим число B.34), умноженное на п+\, а если
отменить также условие 2), т. е. рассматривать произвольное
число главных ветвей, то вообще получим все число Ап+1 поса-
посаженных деревьев. Таким образом, имеем
i+i-n
3! ?l i\j\k\
ijk
Слагаемые правой части соответствуют различным возможным
случаям 1, 2, 3, ... главных ветвей. Введем производящую
функцию
1 Вследствие индивидуальной различимости узлов невозможны никакие
перестановки главных ветвей (за исключением тождественной перестановки!),
переводящие конфигурацию в себя.
«8 Д. Пойа
п примем во внимание также случай, когда не имеется ни одной
главной ветви (ср. с B.32)). Тогда получим
... . * B.36)
Сравнивая коэффициенты при xn+i в последнем соотношении
слева и справа, получаем при л+!^2 равенство B.35), делен-
деленное на (л+1)!. Уравнению B.36), т. е. уравнению
f{x)=xef{x\ B.37)
удовлетворяет, как известно ', ряд
1! ' 2!2 ' ' я1л '
отсюда
А^я"-1 B.38)
н ввиду B.31)
Последнее есть удивительно простой результат Кэли.
Сходство двух уравнений B.36) и A") (или B.37) и (Г))
•соответствует связи между числами Ап и Тп. Возьмем одно из
топологически понимаемых посаженных деревьев из числа Тп
с и узлами одного и того же класса и дадим его л узлам допол-
дополнительные индивидуальные обозначения. Тогда получим поса-
посаженное дерево из числа Л„. Переставляя эти обозначения всеми
возможными л! способами, можно получить посаженные деревья
из Ап, хотя, быть может, не все топологически различные2.
Поэтому
«.!Г„>Лл = ««-1 B.39)
и аналогично
ra!tn>art = ra"-2. B.40)
Свободные^деревья
46. Пусть В есть дерево, имеющее л точек. Разделим точки
В на два класса: на обыкновенные и особые точки. Точка Р из
В называется обыкновенной, если из Р выходит ветвь, содержа-
содержащая более л/2 узлов. Особой называется точка, не являющаяся
1 См., например, Полна и Сегё [39, задача III 209, стр. 155 и 355].
2 Уточнение аналогичного заключения указано в разд. 54 (а).
Комбинаторные вычисления для групп
обыкновенной. Известна следующая, установленная Жорданом
теорема ':
Дерево с п точками имеет либо одну, либо две особые точки.
Если имеется лишь одна особая точка М, то из М не выходит
ни одной ветви, которая имела бы я/2 или более точек.
Если имеются две особые точки М, и М2, то число п четно;
как из Mit так и из М2 выходит в точности одна ветвь с я/2
узлами и некоторое ребро дерева ограничено точками М\ и М2.
Деревья с одной-единственной особой точкой называются
центральными, а особая точка называется центром дерева. Де-
Деревья с двумя особыми точками называются бицентральными, а
обе особые точки — бицентрами; связывающее их ребро назы-
называется осью дерева 2.
е
Рис. 3.
(На рис. 2 (а) изображено центральное, а на рис. 3(а) —
бицентральное дерево.)
Простейшим центральным деревом является одноточечный
граф; он состоит лишь из одного центра. Простейшее бицентраль-
бицентральное дерево имеет две точки; оно состоит из двух бицентров и
связывающей их осн.
47. При конгруэнтном отображении дерева В на дерево В'
точке Р дерева В должна соответствовать точка Р' в В'. Тогда
каждой ветви, выходящей из Р в дереве В, соответствует ветвь,
выходящая из Р' в В', а именно ветвь с таким же числом узлов
(разд. 34, условия (I) — (III); условие IV не играет еще никакой
роли). Отсюда видим, что при конгруэнтном отображении особой
точке соответствует особая точка; центральное дерево может быть
конгруэнтно лишь центральному, а бицентральное — только
бнцентральному дереву.
1 [23]; ср. с Кёниг [25, стр. 70—75].
2 Кёниг [25, стр. 73] употребляет (не нужные здесь) более точные назва-
названия: центр масс, бицентр масс, ось масс.
90 Д. Пойа
Поэтому мы можем и будем при перечислении центральные
и бицентральные деревья обсуждать отдельно. Числа централь-
центральных деревьев будем отмечать одним штрихом, числа бицентраль-
ных — двумя штрихами. Среди свободных деревьев, содержащих-
содержащихся в количестве р„, а„, тп, будет соответственно р„', ап', т„'
центральных и р„", а„", т„" бицентральных, так что
(»n, tn=T«+t"n. B.41)
Определим р„а как число таких топологически различных
свободных С—Я-деревьев с я четырехреберными точками, кото-
которые содержат точно а асимметричных точек. Среди этих деревь-
деревьев должно находиться рла центральных и Рла бицентральных,
так что
Рла = Р«а+Рп«' B.42)
«о, B.43)
48. Пусть В — бицентральное дерево с я точками, М\ и М% —
¦его бицентры, фх и Фг — те выходящие из М\ и М^ ветви, кото-
которые содержат л/2 узлов, и пусть М\', М2', Ф/, Фг' имеют анало-
аналогичное значение для дерева В' (см. рис. 3). Деревья В я В' кон-
конгруэнтны тогда и только тогда, когда имеет место один из
следующих двух (не обязательно исключающих друг друга) слу-
случаев: либо Ф1 конгруэнтно с Ф\', а Ф2 с Фг', либо <Di конгруэнт-
конгруэнтно с Фг', а Фг с Ф/. Отсюда следует, что число свободных би-
бицентральных деревьев с п точками равно числу неупорядочен-
неупорядоченных пар посаженных деревьев с я/2 узлами.
Как частные случаи этого предложения получаем
^(r+1) B>44)
B'46)
Q 1„У*+---1 B-47)
Т1 2 '' 2 ' J
Q(Q+1) B<48)
Комбинаторные вычисления для групп 91
В четырех последних формулах п обозначает число не всех,
а лишь четырехреберных точек дерева (число всех точек равно
Зя + 2). Для нечетных п обеим частям всех пяти формул можно
приписать значение 0; с этой точки зрения формулы верны для
п=1, 2, .... Для вывода формулы B.47) использован частный
случай основной теоремы части I, соответствующий группе ©2-
49. Пусть В—центральное дерево, его центр М является
fe-реберной точкой и Фь Фг, ... , Фь—выходящие из центра вет-
ветви дерева В. При этом каждая такая ветвь имеет тот же номер,
который получает содержащееся в ней ребро, исходящее из М,
при нумерации пучка ребер точки М. Рассмотрим конфигурацию
(Фх, Ф2, Ф3,..., Фк)
и путем рассуждения, которое очень похоже на рассуждение
разд. 39, приходим к следующему результату:
Два центральных дерева конгруэнтны тогда и только тогда,
когда из их центров выходит одинаковое число ветвей и конфи-
конфигурации этих ветвей эквивалентны относительно группы, соот-
соответствующей пучку ребер центра.
Вследствие этого перечисление неконгруэнтных свободных де-
деревьев определенного вида сводится к перечислению неэквива-
неэквивалентных конфигураций посаженных деревьев соответствующего
вида; следовательно, в частности, нахождение р„' сводится к
Rn, оп' к Sn, а Хп к Тп, как это будет сейчас уточнено.
50. В разд. 51—52 будут использованы следующие обозначе-
обозначения. Если
/ (х)=ао-{- а,л: + а2л2+ •..
есть произвольный степенной ряд, то п-й отрезок ряда будем
обозначать
. + апхп=/ (х),
и я-й коэффициент f(x) —
Через то обозначим максимальное число узлов, которым мо-
может обладать ветвь, выходящая из центра центрального дерева
с п точками. Следовательно, m есть такое целое число, которое
удовлетворяет следующему двойному неравенству:
JL-l<OT<-iL. B.49)
51. Рассмотрим свободное центральное С—Я-дерево с п
четырехреберными точками, т. е. имеющее всего Зя+2 точек
(разд. 36(а)). Если какая-либо ветвь этого дерева, которая
¦92 Д. Пойа
имеет и четырехреберных точек, обладает всего Зи + 1 узлами
(разд. 36(а)), то для ветви, выходящей из центра, справедливо
неравенство
1<—|^, т. е. ^<— ,
или, выражаясь иначе, число четырехреберных точек ветви, вы-
выходящей иэ центра, самое большее равно m (ср. с B.49)).
Центр есть четырехреберная точка; следовательно, число четы-
четырехреберных точек всех ветвей, выходящих из центра, вместе
равно п—1.
Рассмотрим для определенности сначала топологическую кон-
конгруэнтность. Мы рассмотрим, следовательно, число р„' тополо-
топологически различных свободных центральных С—Я-деревьев с п
четырехреберными точками. Согласно сказанному, рп' есть число
неэквивалентных относительно @4 конфигураций четырех поса-
посаженных С—Я-деревьев, которые содержат вместе п—1 узлов и
среди которых ни одна не имеет более m узлов. Перечисляющий
степенной ряд этих деревьев есть
(обозначение из разд. 50). Если подставить этот ряд в соответ-
соответствии с основной теоремой части I (разд. 16) в цикловой индекс
©4 и найти коэффициент при хп~1, то
24 v
m mm tn \\
+ 3г2(х2) + 8г(х)г(х3) -f Qr{x4)j). B.50}
При пространственном понимании конгруэнтности, т. е. при ис-
использовании соответствующей группы St4 и ее циклового индекса
{см.разд. 21), получаем
Принимая во внимание альтернативу, что центр может либо
¦быть асимметричной точкой, либо нет, аналогично разд. 42 на
основе формул B@4—9Ц) и E[4—@4) из разд. 23 получаем далее
=Coeffn
Комбинаторные вычисления для групп 93
Здесь использовано обозначение
v=0a=0
Если в B.52) положить г/ = 0, то получим
mm
(
XWW + 'W\ • B.53)
52. Теперь приступим к определению числа т,/ топологиче-
топологически различных свободных центральных деревьев с п точками.
В множестве, перечисляемом с помощью т„', выделим подмно-
подмножеству тех деревьев, из центра которых выходят s ветвей. Со-
Согласно сказанному выше, мы получим число деревьев в этом
подмножестве как число неэквивалентных относительно @s кон-
конфигураций некоторых s посаженных деревьев, если б A.12)
вместо f(x, у, z) подставим функцию
и в полученном выражении выделим коэффициент при хп~х.
Результат этого вычисления кратко запишем так:
Co*tln{xFs}.
; Положим здесь s = 0, 1,2,...; тогда окажется, что
t'n=,Coeffn{x(l + Fl + F2i-F3+...)}. B.54)
Проведем в A.1) двойную специализацию. Во-первых, положим
т
f(x, у, z)=t{x)
и соответственно этому
а«оо = 7\ Для \^k^.m,
= 0, если выполняется какое-либо из трех условий:
k = 0,
Во-вторых, положим м=1. Сравнивая в A.11) две первые строки,
из B.54) получаем
U(l-^)'1(l-Jc2r7'1...(l-^) г"«}- B.55)
Вычислительный аспект
53. Рассмотрим в качестве примера функциональное уравне-
уравнение D), которому удовлетворяет степенной ряд C). Сравнивая
94 Д. Пойа
коэффициенты, получаем равенства
и вообще выражение для 7?„ представляет собой многочлен от
Ro, R\, ¦¦¦, Rn-i- Так можно рекуррентно вычислить Rn и анало-
аналогичным образом из соответствующих функциональных уравнений
найти численные значения Qn, Sn, Tn. Несколько более затруд-
затруднительно вычисление Rna из формулы B.22) путем «двойной
рекурсии».
Обсуждаемый способ вычисления Тп принадлежит Кэли, ко-
который представил функциональное уравнение для функции, обоз-
обозначаемой здесь t(x), в виде A) '. Число Rn Кэли вычислял бо-
более сложно. Рекуррентные формулы B.56), выведенные здесь
из функционального уравнения D), путем прямого комбинатор-
комбинаторного рассмотрения (без знания функционального уравнения)
установили Хенце и Блейр2> и употребили их для вычисления
Rn. Ввиду B.41) число р„ можно получить из B.46) и B.50),
не опираясь на рекуррентные соотношения, используя, однако,
рекуррентно вычисленные числа Ro, Ri, ..., Rm и R п (последнее
рассматривается только при четном п). Аналогично осуществля-
осуществляется сведение т„ к Тп, оп к 5„, рпа к Rna, х„ к Qn.
Выражения B.44) и B.55) для вычисления хп принадлежат
Кэли3. Стоит упомянуть, что Кэли сначала вычислял числа,
обозначенные здесь через р„ и хп, очень длинным путем, взяв
за основу другое понятие центра, и только потом нашел элегант-
элегантную формулу B.55). Упомянутое рп он своим первым тяжело-
тяжеловесным методом вычисления так, по-видимому, и не получил.
Более пригодный метод, которому соответствует формула B.50),
принадлежит Хенце и Блейру4.
Функциональные уравнения A'), D), G), (8), B.22), пред-
представленные в предыдущих работах5 и доказанные здесь, не
только в наиболее концентрированной форме объединяют ре-
рекуррентные формулы для чисел Тп, Rn, Sn, Qn, Rna, но позволяют
также извлечь общие следствия (например, в разд. 60) и, глав-
главное, установить (в части IV) асимптотическое поведение этих
величин.
* Кэли [11].
2 Блейр и Хенце [2].
3 Кэли [17].
4 Блейр и Хенце [3].
5 Пойа [32—34]. Последняя работа содержит прямое доказательство экви-
эквивалентности комбинаторно выведенных рекуррентных формул B.56) и функ-
функционального уравнения D).
Комбинаторные вычисления для групп 95
Замечания о группе автоморфизмов свободного
топологического дерева
54. В этом разделе под «деревом» нужно понимать свободное
дерево с п точками. Два дерева будут рассматриваться как раз-
различные или одинаковые в зависимости от того, различны или
одинаковы они топологически. Число различных деревьев есть,
следовательно, тп. Для удобства положим
Группа автоморфизмов дерева содержит все те однозначные
и однозначно обратимые отображения дерева на себя, которые
удовлетворяют сформулированным в разд. 34 условиям (I), (II),
(III), т. е. отображают с сохранением основного отношения
точки на точки, ребра на ребра. Группа автоморфизмов может
быть представлена как группа подстановок п точек дерева; дей-
действительно, если каждая из п точек при автоморфизме переходит
в себя, то и каждое из п—1 ребер остается на месте. Здесь могли
бы найти место два замечания относительно группы автомор-
автоморфизмов ', которые несколько слабее связаны с различными пре-
предыдущими объяснениями.
а) Все п\ подстановок, принадлежащие симметрической груп-
группе, могут быть, как известно, надлежащим образом порождены
л—1 транспозициями. Комплексу из п—1 транспозиций, которые
порождают <3п, можно поставить в соответствие некоторое дере-
дерево; всем комплексам, которые сопряжены один другому относи-
относительно <3п, соответствует одно и то же дерево, и нормализатор
комплекса есть группа автоморфизмов соответствующего дерева.
Всего имеется пп~2 таких комплексов2. Если порядки групп ав-
автоморфизмов, которые соответствуют т различным деревьям,
обозначить hi, h2, ..., hx, то имеем
Это равенство говорит больше, чем вытекающее отсюда неравен-
неравенство B.40) A3°).
б) Жордан3 указал редукционный способ определения поряд-
порядка группы автоморфизмов произвольного графа. Для графа с
числом связности 0, т. е. для деревьев, способ Жордана дает бо-
более конкретный результат, чем для более высоких чисел связ-
1 Кёииг [25, стр. 5] поднял один интересный общий вопрос о группах
автоморфизмов графов.
2 См. примечание 2 на стр. 86.
3 Жордан [23].
96 Д. Пойа
ности, а именно: каждому дереву сопоставляются некоторые на-
натуральные ЧИСЛа ГП\, 171-2, — , Шг,
г> 1, /K!<ot2< ... <отг, тх-\-тг-\-...+ /кг<«,
так что группа автоморфизмов дерева может быть построена из
симметрических групп ©„,„ <Зт2, ..., <Зт путем повторного приме-
применения обеих введенных в разд. 27 операций: прямого произведе-
произведения @Х|) и сплетения ®[§]. В частности, порядок группы авто-
автоморфизмов должен иметь вид
/И, I «a [u'...mrf^
где йь а2, ..., аг — некоторые натуральные числа. С помощью
построения несложных примеров далее получаем: целое число
тогда и только тогда может быть порядком группы автоморфиз-
автоморфизмов дерева, когда оно имеет вид
где m, du d2, ..., dm — натуральные числа и
Это означает, что для каждого из чисел
1,'2, 4,6, 8, 12, 16
можно, а нн для одного из чисел
3,5, 7,9, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 18, 19,20, ...
нельзя найти дерево, группа автоморфизмов которого имела бы
это число своим порядком. Напротив, каждое натуральное чис-
число может быть иорядко'м группы автоморфизмов некоторого
графа с числом связности 1.
III. ХИМИЧЕСКИЕ СОЕДИНЕНИЯ
Общие вопросы
55. Элементы графа можно понимать химически, точки счи-
считать атомами, ребра — валентными связями. Тогда граф стано-
становится химической формулой. Условия (I) и (II), высказанные в
разд. 29, получают химический смысл. То, что каждое ребро ог-
ограничено двумя различными точками, означает, что все валент-
валентности насыщены. То, что все точки и все ребра связаны между
собой, означает, что все встречающиеся атомы связаны в одну
молекулу. Число ребер, ограниченных одной точкой,означает ва-
Комбинаторные вычисления для групп 97
лентность атома; концевые точки представляют одновалентные
атомы, двуреберные точки — двухвалентные, трехреберные —
трехвалентные атомы и т. д,
В частности, С—Я-граф представляет молекулу химического
соединения, имеющего лишь одновалентные и четырехвалентные
атомы. Если a priori не постулирована разнородность различ-
различных точек, то все четырехреберные точки можно истолковать как
атомы одного и того же четырехвалентного элемента, а все од-
нореберные точки — как атомы одного и того же одновалентно-
одновалентного элемента. Если считать четырехреберные точки атомами угле-
углерода С, а однореберные — водорода Я, то С—Я-граф дает фор-
формулу углеводорода. В частности, свободное С—Я-дерево с п че-
тырехреберными точками, которое, как говорилось, должно иметь
2п + 2 концевых точек, представляет парафин с молекулярной
формулой СпН2п+2- Посаженное С—Я-дерево с п четырехребер-
ными точками, одним корнем и 2п+\ отличными от корня кон-
концевыми точками есть формула однозамещенного парафина, на-
например CnH2n+iCl. С-граф в действительности (см. конструкцию
в разд. 37) можно понимать как углеродный скелет углеводоро-
углеводорода (или однозамещенного пара|фина).
Топологическое понимание конгруэнтности находит примене-
применение для любых графов, представляющих химические формулы. В
условиях (I) — (III) лишь явно выражено то, что при чтении хи-
химических формул всегда принимается как само собой разумею-
' щееся: (I) означает, что это условие зависит не от длины или
формы валентных связей, а лишь от их наличия или отсутствия;
(II) свидетельствует о том, что атомы одного и того же элемента
не различаются, а атомы различных элементов должны хорошо
различаться. Условия (I), (II) и (III) в совокупности означают,
что чтение химических формул зависит от отношения связи, от
«строения» или от «структуры». Так как при топологическом по-
понимании (IV) теряет значение, то при этой точке зрения никаких
других условий, кроме (I), (II) и (III), не имеется; важны лишь
отношение связи, лишь структура. Топологическое понимание
конгруэнтности графов сводится к рассмотрению химических
формул как структурных: в этом случае мы будем говорить о
структурных изомерах. Например, различных структурных изо-
изомеров, отвечающих формуле СпЯ2п+2, имеется столько же,
сколько топологически различных свободных С—Я-деревьев с п
четырехреберными точками; их число в разд. 36 было обозначе-
обозначено через рп.
Пространственная точка зрения на конгруэнтность нашла
применение только для С—Я-графов, т. е. лишь для тех хими-
химических формул, которые представляют соединения углеродных
атомов исключительно с одновалентными атомами (или однова-
4—1751 /
98 Д. Пойа
лентными радикалами). Здесь наряду с условиями (I), (II),
(III) условие (IV) может, вероятно, что-то означать. Имеет зна-
значение не только отношение связи, но также пространственная
ориентация валентностей вокруг атомов углерода. Пространст-
Пространственное понимание конгруэнтности С—Я-графов сводится к рас-
рассмотрению химических формул как стереоформул; в этом случае
мы будем говорить о стереоизомерах. Например, имеется столь-
столько же стереоизомерных формул Сп#2п+2, сколько пространствен-
пространственно различных свободных С—Я-деревьев с п четырехреберными
точками; их число в разд. 36 было обозначено херез On-
Как для рп и оп, для чисел Rn, Sn, v.n и Qn также можно лег-
легко установить, что упомянутое во введении (разд. 4) химическое
и подробно объясненное в предыдущей части (разд. 36) теоре-
теоретико-графовое определения согласуются друг с другом.
Две схемы или две пространственные модели могут представ-
представлять одну и ту же структурную формулу, не представляя одну и
ту же стереоформулу. Они представляют одну и ту же структур-
структурную формулу, если имеют одно и то же отношение связи (топо-
(топологически конгруэнтны, выполняются условия (I), (II), (III)).
Чтобы представлять одну и ту же стереоформулу, они должны
прежде всего показывать одинаковую связь и сверх того долж-
должны быть одинаково пространственно ориентированы (быть прост-
пространственно конгруэнтными: кроме (I), (II), (III), выполняется
еще (IV) с §14). Однако, если две формулы одинаковы как сте-
реоформулы, они, несомненно, одинаковы и как структурные
формулы. Поэтому для заданной молекулярной формулы сте-
реоизомеров имеется больше, чем структурных изомеров (или
по меньшей мере столько же). В частности, это справедливо в
случае парафинов или однозамещенных парафинов, что выраже-
выражено неравенствами B.8).
Асимметричные атомы углерода в настоящей работе рассмат-
рассматриваются только для парафинов и замещенных парафинов; мы
придерживаемся следующего определения (ср. с разд. 36F)):
атом углерода называется асимметричным, если четыре связан-
связанных с ним радикала попарно различны по своей структуре. (Сле-
(Следовательно, простого стереоразличия четырех радикалов при
этом решении еще недостаточно, чтобы назвать атом углерода
асимметричным. Естественно, мыслимы и могут употребляться
также другие определения.)
Не во всех учебниках химии достаточно ясно описывается, в
каком смысле употребляются «структурные формулы» и «стерео-
формулы». Может быть, изложенные в этой работе понятия
«пространственной» и «топологической» конгруэнтности графов
смогут несколько способствовать прояснению химической тер-
терминологии A4°).
Комбинаторные вычисления для групп 99
56. Ланн и Сениор ' заметили, что с каждой молекулой хими-
химического вещества связаны три группы подстановок. Лишь благо-
благодаря этому замечанию можно правильно оценить часть I настоя-
настоящей работы для химических вопросов. Итак, обсудим эти груп-
группы на подходящем примере циклопропана С3Н6, что одновремен-
одновременно дает возможность разъяснить все сказанное ранее относитель-
относительно структурных формул и стереоформул с позиций топологичес-
топологической и пространственной конгруэнтности.
Граф циклопропана (рис. 4) состоит из 3 четырехреберных
точек, которые, будучи связаны 3 валентными связями, образу-
образуют треугольник, и из 6 концевых точек, которые распадаются на
3 пары. Точки каждой пары связаны валентными связями с од-
одной и той же четырехреберной точкой. Обсудим с двух пози-
позиций — пространственной и топологической — следующий вопрос:
сколькими способами граф циклопропана можно конгруэнтно
отобразить на себя?
а) Пространственное рассмотрение
Треугольник, три угла которого суть три четырехреберные
точки, может быть отображен в себя 3! = 6 различными способа-
способами. Если такое отображение фиксировано, то вместе с этим фик-
фиксировано отображение остальных элементов графа. В самом де-
деле, отображением треугольника в пучке ребер каждой четырех-
четырехреберной точки определяется отображение двух ребер; однако
благодаря тому, что группа §14 в точности дважды транзитивна,
отображение остальных двух ребер пучка также определено.
(Наглядно: если в неподвижном тетраэдре фиксированы как
центр, так и две вершины, то тетраэдр уже не может больше
1 Ланн и Сениор [27].
4*
100 Д. Пойа
двигаться, обе другие вершины также фиксируются.) Общее
число конгруэнтных отображений при пространственном рас-
рассмотрении равно 6.
б) Топологическое рассмотрение
Треугольник, углы которого суть четырехреберные точки, мо-
может быть, как и раньше, отображен в себя шестью различными
способами. Если такое отображение уже определено, остальные
элементы графа можно переставить еще 23 = 8 способами. В са-
самом деле, можно еще переставить между собой каждые две кон-
концевые точки, непосредственно связанные с одной и той же четы-
рехреберной точкой. Общее число конгруэнтных, отображений
при топологическом рассмотрении есть, таким образом, 6X8 = 48.
Перечисленные в п. а) шесть самоотображений образуют не-
некоторую группу. Эту группу удобнее всего представлять себе
элементарно-геометрически как группу тех вращений, которые
переводят в себя прямую призму с правильным треугольным
основанием. А именно при правильном упорядочении шесть кон-
концевых точек (рис. 4) находятся в шести вершинах такой приз-
призмы. При этом шесть концевых точек порождают некоторую груп-
группу подстановок, которую мы можем назвать группой стереофор-
мулы. Ее цикловой индекс (разд. 10) есть
Перечисленные в п. б) 48 самоотображений образуют груп-
группу, являющуюся группой подстановок для шести концевых то-
точек. (Точно та же группа, как можно сообразить, действует на
шесть вершин октаэдра при 48 вращениях и отражениях, перево-
переводящих октаэдр в себя. Наиболее наглядно эту группу можно опи-
описать в обозначениях разд. 27 как @з[@2]: @з переставляет три С-
атома (три вершины треугольника рис. 4), соответственно три
диагонали октаэдра, а @2 переставляет два Я-атома, связанные
с одним и тем же С-атомом, соответственно две концевые точки
одной диагонали.) Эту группу подстановок 48-го порядка мы
можем назвать группой структурной формулы. Ее цикловой ин-
индекс есть
Третья группа подстановок графа циклопропана получает- .
ся, если шестиугольная призма, в вершинах которой при прост-
пространственном рассмотрении должны размещаться шесть концевых
точек графа, подвергается не только вращениям, но и отражениям,
переводящим ее в себя. Это имеет следствием группу подстано-
Комбинаторные вычисления для групп 101
вок порядка 12 для шести вершин (концевых точек); мы назо-
назовем ее расширенной группой стереоформулы. Ее цикловой ин-
индекс есть
(/!+з/!+2/?+ А+3/Ы+ 2/6). C. з)
[Как можно убедиться, шесть углов правильного шестиугольника
испытывают при 12 вращениях и отражениях, совмещающих
шестиугольник с самим собой, в точности 12 подстановок расши-
расширенной группы стереоформулы циклопропана. На этом основана
связь между призматической формулой Ладенбурга и обычной
шестиугольной формулой бензола. Формула C.3) получается из
C)s) (см. разд. 21) при s — 6.]
Связь трех групп такова: группа стереоформулы порядка
6 есть подгруппа расширенной группы стереоформулы порядка
12, а последняя есть подгруппа группы структурной формулы по-
порядка 48.
57. Рассмотренные три группы являются основополагающими
для понимания изомерии производных циклопропана, возникаю-
возникающих из С3Нв, когда шесть атомов водорода замещаются однова-
одновалентными радикалами.
Предположим в соответствии с представлениями разд. 56, что
шесть одновалентных радикалов размещены в шести концевых
точках графа циклопропана (рис. 4). Они образуют некоторую
конфигурацию, и каждая такая конфигурация дает химическую
формулу одного из производных циклопропана. Однако может
случиться, что две различные конфигурации, т. е. два различных
распределения одних и тех же радикалов по шести точкам'про-
точкам'пространства, представляют одинаковое производное. Это может
случиться тогда и только тогда, когда обе конфигурации пере-
переходят друг в друга при помощи подстановок соответствующей
группы, т. е. эквивалентны относительно этой группы. Соответ-
Соответствующей группой, естественно, для стереоизомеров является
группа стереоформулы, для структурных изомеров — группа
структурной формулы. Расширенная группа стереоформулы (из
12 подстановок которой вторую половину мы наглядно предста-
представили как отражения и вращения шестиугольной призмы) имеет
следующее значение. Посредством ее подстановок два прост-
пространственно различных изомера, которые относятся друг к другу
как образ и его отображение (представляют оптические анти-
антиподы), переходят друг в друга. Зеркальные изомеры эквивален-
эквивалентны относительно расширенной группы стереоформулы, оба анти-
антипода зеркальной пары не различаются '.
1 Естественно, стереоразличия внутри отдельных заместителей при этом
рассмотрении антиподов во внимание не принимаются.
102 Д. Пойа
Если мы вычислим число неэквивалентных конфигураций от-
относительно трех групп, то получим:
для группы стереоформулы число стереоизомеров;
для расширенной группы стереоформулы число стереоизоме-
стереоизомеров, уменьшенное на число пар зеркальных изомеров;
для группы структурной формулы число структурных изоме-
изомеров.
Если мы хотим вычислить, например, число различных изо-
изомерных производных циклопропана вида
где k + l+m = % и X, Y, Z — одновалентные, различные, незави-
независимые друг от друга радикалы ', то мы должны в согласии с
основной теоремой части I подставить в цикловой индекс
Получим ряды вида
2х3У3
Коэффициент при х4у2 в трех выражениях означает: при учете
стереоизомерии имеются четыре различных производных цик-
циклопропана вида СбН^Х^ (двузамещенный циклопропан с двумя
одинаковыми заместителями). Среди этих четырех производных
имеются два, которые зеркально отображаются друг в дру-
друга, т. е. образуют пару оптических антиподов. Без учета стерео-
изомерии можно различить только два производных циклопро-
циклопропана с формулой CsHiX2 — два структурных изомера.
Заметим следующее: химическая подстановка радикалов в
основную молекулу соответствует (в смысле основной теоремы
части I) алгебраической подстановке перечисляющих степенных
рядов соответствующих радикалов в цикловой индекс группы со-
соответствующей молекулы.
58. Ряд г(х), где коэффициент при хп означает число Rn
структурно изомерных спиртов CnH2n+iOH, есть перечисляющий
степенной ряд этих спиртов, но его можно также понимать как
перечисляющий степенной ряд алкил-радикалов — CnH2n+i- За
1 Независимость означает, что XhYiZm и Хк Yг Zm имеют только тогда
одинаковый молекулярный состав, когда k = k\ 1=1', m—m'. Например, ради-
радикалы —Н, —С#з, —СгН*, независимы друг от друга, так как С3Нъ(СгНь)
и С3(Я4) (СЯ3)г имеют один и тот же молекулярный состав. Одновремеииая
подстановка различных алкилов здесь исключается и обсуждается в ближай-
ближайшем разделе.
Комбинаторные вычисления для групп 103
счет химической подстановки в циклопропан CSH6 вместо —Н
произвольных алкил-радикалов —CnH2n+i возникают гомологи
циклопропана. Посредством алгебраической подстановки пере-
перечисляющего степенного ряда г(х) алкил-радикалов в цикловой
индекс C.2) группы структурной формулы циклопропана возни-
возникает перечисляющий степенной ряд структурно-изомерных гомо-
гомологов циклопропана: —
1 + * + 3*2 + &с3+ 15х4+33;с5+... . C.4)
Следовательно, говоря подробнее, этот ряд получается, соглас-
согласно основной теореме части I, из циклового индекса C.2) с по-
помощью подстановки
/i = г(*), /а = /¦(**), /8 = /¦(**),...
и разложения полученного выражения по степеням х. Значение
коэффициента при хп в ряде C.4) есть число структурно-изомер-
структурно-изомерных гомологов циклопропана с молекулярной формулой
С3+пН6+2П. Чтобы получить число стереоизомерных гомологов
циклопропана с этой же формулой, нужно перечисляющий сте-
стеленной ряд s(x) стереоизомерных алкил-радикалов подста-
подставить в цикловой индекс C.1) группы стереоформулы циклопро-
циклопропана.
59. Точно так же, как в предыдущем разделе для циклопропа-
циклопропана, мы можем для произвольной молекулы вычислить число изо-
изомерных (структурно- или стерео-) производных, которые полу-
получаются при подстановке существенно различных одновалентных
заместителей или алкил-радикалов. При условии, конечно, что
строение основной молекулы так хорошо известно, что она до-
допускает построение трех групп, рассмотренных в разд. 56 (это
верно для важнейших молекул — для бензола, нафталина
и т. д.). Мы опускаем здесь формулировку некоторых правил1,
которые очень ясно вытекают из предыдущего примера.
Далее, из этого примера довольно отчетливо следует, что
построение понятий химии существенно зависит от теоретико-
групповых представлений, а также от некоторых связанных с
этим понятий, особенно от введенной в разд. 11 эквивалентности
конфигураций относительно группы подстановок. Также должны
играть роль цикловой индекс и относящаяся к нему основная
теорема из разд. 16. Еще раз указав на работу Ланна и Сенио-
ра, можно прервать эти общие замечания и обратиться к анали-
аналитическому определению чисел изомеров в некоторых частных
случаях.
1 См. разд. 77 и работу Пойа [33].
104 Д. Пойа
Специальные вопросы
60. Структурные изомеры СпН2п+\ОН с заданным числом асим-
асимметричных углеродных атомов. Вернемся к определенному в
разд. 42 с помощью теории графов числу Rna. Очевидно, что ве-
величина Rn* есть число всех тех отличных друг от друга структурно-
изомерных СпН2п+\ОН, которые содержат точно а асимметрич-
асимметричных С-атомов'. Мы уже установили в разд. 42 перечисляющий
степенной ряд Ф [х, у) для Rna и соответствующее функциональ-
функциональное уравнение B.22). Теперь с помощью функционального урав-
уравнения B.22) выведем некоторые свойства чисел Rna-
а) Определение низших CnH2n+\OH с заданным числом асим-
асимметричных атомов С. Так как в CnH2n+iOH содержится всего п
углеродных атомов, то в этом соединении может, следовательно,
содержаться самое большее п асимметричных углеродных ато-
атомов, так что
Rna=0 при а^>п.
Это тривиальное замечание приводит нас к вопросу: для каких
пар значений п и а значение Rna равно нулю, а для каких от-
отлично от нуля?
Так как Ф@, 0) = 1 и последний член в правой части функцио-
функционального уравнения B.22) имеет неотрицательный коэффициент
(ср. с разд. 23, заключительное замечание), то левая часть ма-
мажорирует хФ (х, у), т. е.
Ф{х, у)^хФ(х, у),
откуда
Rn,a. ^ Rn-l,a-
Значит, вопрос можно поставить и так: каков первый не равный
0 член монотонной последовательности /?ои, Ru, Л?2а,...?
Положим
Ro*+Rie*+... + R««xn+...=<fi*4x). C.5)
Мы должны разыскать первый ненулевой член этого степенно-
степенного ряда.
Примем обозначения
(первое из этих равенств согласуется с F) и B.19)). Тогда
(x)yz+.... C.6)
Ср. с определением в разд. 36F).
Комбинаторные вычисления для групп 105
Введем вместо у новую переменную z соотношением1
x2y = z C.7)
и положим
Ф(х, y)=\ + x + x2W(x, г). C.8)
Подстановка C.8) в B.22) дает для W(x, z) функциональное
уравнение вида
W(x, z)=\+zW(x, z) + xP(x, z, W(x, г), W(-*2> z2), W(x\ z*)},
где Р обозначает некоторый многочлен от пяти переменных. Из
функционального уравнения видно, что ~*?(х, z) является степен-
степенным рядом по х и z, содержащим степени этих переменных толь-
только с неотрицательными показателями. В частности,
, г),
Сравним это со следующим разложением, полученным из C.6),
C.7) и C.8):
Тогда
/\0a ¦*\la • • • ¦*\2a+l,a U, A2a+2,a А» \&. и)
Rna > 1 ПрИ П ^
Мы получаем: Если спирт СпН2п+\ОН содержит а асиммет-
асимметричных С-атомов, то число его углеродных атомов должно быть
больше 2а + 2. Если число атомов углерода равно л = 2а+2, то
имеется всего одна структура СпН2п+\ОН с а асимметричными
С-атомами.
б) Определение низших СпН2п+\ ОН при введении компенса-
компенсации асимметрии. Мы уже установили в разд. 42, что Ф(х, 0) =
= q(x),<b(x,l)=r(x).
Какова связь между Ф(х, 2) us(x)?
Из B.22) следует, что
или
Ф (х, 2)=1+-^-[ФЗ(*,2)+2Ф(*з, 2)] + ^. [Ф (*\ 8)-Ф(*з, 2)],
C. Ю^
106 Д. Пойа
и это уравнение нужно сравнить с G):
Далее ввиду C.6)
Ф(х, 8) —Ф(;с, 2) = (8-
есть степенной ряд с неотрицательными коэффициентами; пер-
первый отличный от 0 коэффициент определяется из C.9). Таким
образом, также и
— [Ф{х\ 8)-Ф(х3, 2)]=4л13+... C. 11)
О
есть степенной ряд с неотрицательными коэффициентами.
Сравнение G), C.10) и C.11) показывает, что s(x) мажори-
мажорируется рядом Ф(х, 2) (детали рассуждения аналогичны рассуж-
рассуждениям в разд. 68), т. е. в силу определения этого ряда (ср. с
E) и соответственно B.20)) выполняется неравенство,
+... . C. 12)
При более внимательном рассмотрении, учитывая начальный
член разложения C.11), дополнительно находим, что равенство в
C.12) выполняется при n^L\2, а неравенство — при п^\3.
Неравенство C.12) следует немедленно из того известного
факта, что из заданной структурной формулы,4 содержащей а
асимметричных атомов углерода, можно образовать в общем
случае 2а различных стереоизомеров, а в исключительном слу-
случае возникает менее чем 2а стереоизомеров. (Все же немало-
немаловажно то обстоятельство, что неравенство C.12) выводится из
G) и B.22) чисто аналитически.) Если имеет место исключи-
исключительный случай, т. е. случай, когда структура с а асимметричны-
асимметричными С-атомами имеет меньше 2а стереоизомеров, говорят о ком-
компенсации асимметрии. Дополнение к C.12) показывает, что ком-
компенсация асимметрии никогда не произойдет для л^12 в соеди-
соединении СпН2п+\ОН, и, напротив, для каждого п при п^13 встре-
встречается по меньшей мере у одной структурной формулы. [Компен-
[Компенсация встречается точно у одной структурной формулы, если
п= 13, как можно заключить из численного значения первого
коэффициента в C.11) и точного рассмотрения соответствующей
формулы. Эта формула есть (С4Я9)зСС)//, где —С4#з есть сок-
сокращенное обозначение для
Н
!
-С-СНз
I
с2н5
Комбинаторные вычисления для групп 107
Для этой структурной формулы число асимметричных атомов
углерода есть а = 3, но число возникающих из нее различных сте-
реоизомеров не равно 8, а равно лишь 4; разность 8—4 входит в
C.11) как первый коэффициент].
61. Структурные изомеры двузамещенных парафинов. Число
структурно изомерных спиртов СпН2п+1ОН, которые перечисля-
перечисляются с помощью Rn, равно, очевидно, числу однозамещенных па-
парафинов СпН2п+\Х, где X обозначает заданный одновалентный
радикал (неалкильный), например —С1, —Вг, —ОН и т. д.
Теперь мы хотим получить число различных структурно изо-
изомерных двузамещенных парафинов с формулой CnH2nXY, где X
и У— два заданных отличных друг от друга и неалкильных од-
одновалентных радикала (например, Х=—ОН, У=—С1). Найдем
сейчас перечисляющий степенной ряд, где указанное число явля-
является коэффициентом при хп.
Структурная формула СП#2?ДУ есть дерево с п четырехре-
берными и 2л+ 2 концевыми точками. Последние делятся на 3
класса: 2л относятся к атомам Н, одна к X и одна к У. Рассмот-
Рассмотрим в этом дереве путь, связывающий X и Y, обозначим через ni
число С-атомов, которые лежат на этом пути.
Если т = 0, то л=0; речь идет о (рассматриваемом чисто
формально) соединении XY. Если т=1, то речь идет о произ-
производном двузамещенного метана CXYH2, которое получается из
последнего, если в нем оба атома —Н заменить произвольными
глкил-радикалами. Так как оба атома —Н можно переставлять
(структурная изомерия!), то их группой является симметричес-
симметрическая группа ®2. цикловой индекс которой представлен в разд. 21.
Подставляя г(х) в цикловой индекс @2 (разд. 21) и учитывая
атом углерода в CXYH2, получаем перечисляющий степенной ряд
специального двузамещенного парафина, соответствующего ус-
условию
±-[гЦх) + г(х*)] = х?>(х) C.13)
(обозначение R(x) еще не раз будет нам полезно).
Если т>1, т. е. если X и У могут быть связаны различными
атомами С, то имеем дело с производным соединением
СН\
(с замещенным на обоих концах нормальным парафином). Про-
Производное возникает при подстановке пар алкил-радикалов
вместо т пар атомов —Н. Группа структурной формулы
(разд. 56), как легко видеть, есть прямое произведение (разд. 27)
т «множителей»
.. . X
108 Д. Пойа
(Вследствие различия X и У ни одна пара —Н не может перес-
переставляться ни с какой другой.)
Ввиду разд. 27 цикловой индекс есть
Если заменить —Н на алкил, т. е. вместо переменных Д- под-
подставить перечисляющий степенной ряд г(х) алкилов, и, принимая
во внимание т атомов С исходного соединения, добавить мно-
множитель хт, получим перечисляющий степенной ряд рассматри-
рассматриваемого специального двузамещенного парафина
= [xR {л)]т C_ 14)
Суммируя C.14) для т = 0, 1,2,..., получим перечисляющий
степенной ряд всех структурно изомерных двузамещенных пара-
парафинов CnH2nXY:
- . C. 15)
\ — xR(x)
То есть коэффициент при хп в разложении C.15) в степенной
ряд есть число структурно различных изомеров CnH2nXY.
62. Тризамещенные парафины. Тризамещенный парафин с
тремя различными одновалентными заместителями X, Y, Z (из
которых, конечно, ни один не должен быть алкилом) имеет моле-
молекулярную формулу CnH2n-iXYZ. Его структурная формула яв-
является деревом. Рассмотрим в этом дереве три пути, связываю-
связывающие пары XY, YZ, ZX. Как легко видеть, имеется одна и только
одна точка, общая всем трем путям, которая является четырех-
реберной точкой (С-атомом). Назовем ее «центром движения»
дерева или, короче, «У-точкой». Теперь можно за пять шагов
построить полное дерево и соответственно из пяти множите-
множителей — перечисляющий степенной ряд структурных изомеров
CnH2n-\XYZ. (Умножение степенных рядов в случае независимо-
независимости см. в разд. 17.)
Сначала берем точку V и соответственно имеем множитель х
(один С-атом). Далее соединяем V с X, размещаем на соединя-
соединяющей линии определенное число m атомов и присоединяем к каж-
каждому пару алкил-радикалов (т = 0, 1, 2, ...). Эта конструкция
дает множитель C.15)—результат предыдущего раздела. По-
Потом связываем У с У и еще раз проводим предыдущую конст-
конструкцию; добавляется еще один множитель C.15).
Соединение V с Z приносит вновь множитель C.15). Нако-
Наконец, к V присоединяется алкил-радикал, которому соответствует
множитель г{х).
Комбинаторные вычисления для групп 109
Перечисляющий степенной ряд структурных изомеров
CnH2n-xXYZ есть
хг(х)
C. 16)
63. Многократно замещенные парафины. Для более чем трех-
трехкратно замещенных парафинов перечисляющий степенной ряд
структурных изомеров сложен. Опишем способ его построения,
не останавливаясь на деталях доказательства.
Структурная формула / раз замещенного парафина с / раз-
различными заместителями CnH2n+2-iX'X" ... ДО) является деревом,
из 2п + 2 концевых точек которого / точек, а именно X', X", .,., ДО,
выделены. Будем (так часто, как возможно) производить с этим
деревом следующие операции:
а) удалять невыделенную концевую точку вместе с присое-
присоединенным к ней ребром;
б) удалять двуреберную точку и сливать оба присоединенных
к ней ребра в одно.
В конце концов останется редуцированное дерево, которое име-
имеет только выделенные концевые точки, и притом число их есть
в точности / (обозначим их X', X", ..., ДО), и, кроме концевых то-
точек, оно имеет лишь трех- и четырехреберные точки.
Обозначим (как в разд. 30) число одно-, трех- и четырехре-
берных точек редуцированного дерева через р\, р3и Pi, а число
его ребер через s. Тогда
и справедливы (ср. с B.1) — B.3); заметим, что ja = O) соотно-
соотношения
откуда следует
s = 2/ — 3 — ,и4 < 2/ — 3, />3-i-A = s+l —*<*-2. C.17)
Таким образом, s, p3, р* могут принимать только конечное число
значений: при заданном I имеется лишь конечное число топологи-
топологически различных редуцированных деревьев. Справедливо утверж-
утверждение: перечисляющий степенной ряд структурных изомеров
С„#2п+2-/Я'Х" ¦ • -X1 есть
"+/"[г(*I" . C. 18)
Сумма распространяется на все топологически различные ре-
редуцированные деревья, которые относятся к заданному значе-
значению I.
ПО , Д. Пойа
Простота формул для 1 = 2 и 1=3, выведенных в предыду-
предыдущих разделах, основана на том, что в этих случаях существу-
существует только одно редуцированное дерево. Следовательно, сумма
C.18) состоит в этих случаях из одного-единственного члена;
этот член определяет формула
C. 15), если 1 = 2, /73=0, Л=0, s=l,
C. 16), если 1 = 3, ръ=\, А=0. s = 3.
Дополнительно заметим, что число таких редуцированных де-
деревьев, для которых в неравенстве C.17) имеет место равенст-
равенство, т. е. число таких топологически различных деревьев с ин-
индивидуально различимыми концевыми точками, для которых
точки, отличные от концевых, все являются трех- или четырех-
реберными, есть
Это легко можно вывести по индукции. Число C.19) при 1 = 2
и /=3 обращается ' в 1.
64. Структурные изомеры циклопарафинов С„#2П. Структур-
Структурная формула этого соединения есть граф с числом связности 1,
подчиняющийся двум условиям:
1) все точки, отличные от концевых, являются четырехребер-
ными (С—Я-граф в смысле разд. 35);
2) две точки связаны между собой самое большее одним реб-
ребром. (Двойные связи С = С и вместе с ними гомологи этилена
С2Я4 исключены.)
Если из этого графа удалить некоторую концевую точку вме-
вместе с оканчивающимся в ней ребром и повторять эту операцию
так долго, как это возможно, мы придем наконец к кольцу, т. е.
к (связному!) графу с m точками и m ребрами, в котором каж-
каждое ребро оканчивается в двух различных точках и каждая
точка ограничивает два различных ребра, т = 3, 4, 5, ...
(тф2 вследствие условия 2). Таким кольцом является углерод-
углеродный каркас (С-граф в смысле разд. 35 и 37) чисто кольцевидного
циклопарафина. Не чисто кольцевидные циклопарафины возни-
возникают при подстановке алкил-радикалов в чисто кольцевидные;
они суть гомологи чисто кольцевидных циклопарафинов.
1 Мы обсуждали ранее только такие многократно замещенные парафины,
в которых все заместители были различны. Обсуждение возможно также при
равенстве заместителей, но описание и тем более обоснование формул на-
настолько затруднительны, что пришлось ограничиться указанием производящих
функций, полученных ранее для двух и трех заместителей (см. [33, стр. 440]).
Комбинаторные вычисления для групп
111
Для заданного га имеется, как легко видеть, только один
кольцевидный С-граф с га точками. Из него возникает посред-
посредством конструкции, приведенной в разд. 37, топологически одно-
однозначно определенный С—Я-граф. Для заданного га существует,
согласно структуре, лишь один кольцевидный циклопарафин.
В простейшем случае это есть подробно рассмотренный выше
(разд. 56—58) циклопропан.
Если правильно обобщить рассуждения, подробно проведен-
проведенные для случая т = 3, можно определить группу структурной
формулы единственного чисто кольцевидного СтНът- Она имеет
степень 2га и порядок 2га-2т, и в обозначениях разд. 21 и 27 это
есть 5)т{@2]- Поэтому цикловой индекс группы структурной фор-
формулы чисто кольцевидного соединения СтН2т (см. разд. 21
C)s), (@2), далее A.39), A.40)) есть
,' f _i- Л >'
C. 20)
причем верхняя строка принимается во внимание для нечетных
m — 2\i—1, а нижняя — для четных т = 2ц. Чтобы получить отсю-
отсюда перечисляющий степенной ряд гомологов чисто кольцевидно-
кольцевидного СтН2т, нужно, согласно разд. 58 (соответственно химической
подстановке алкил-радикалов вместо —Н), подставить вместо
/ перечисляющий степенной ряд г(х) структурных изомеров ал-
алкил-радикалов; далее, га углеродных атомов в СтН2т дают мно-
множитель хт. Поэтому из C.20) при использовании сокращенного
обозначения C.13) получаем
(x2)} [
C.21)-
Если просуммировать C.21) по га = 3, 4, 5, ..., то получится пере-
перечисляющий степенной ряд структурных изомеров циклопарафи-
нов, который обозначим через Р. Более обозримо суммирование
можно выполнить для га=1, 2, 3, .... Таким образом, получим
112 Д. Пойа
{f R (X) + ^
Следовательно,
loc 1 f3 22)
Из этого уравнения получаем степенной ряд
где коэффициент при хп есть число структурных изомеров СпН2п
без двойных соединений.
65. Углеводороды 'СпН2п+2-2ц- Структурная формула такого
соединения есть С—Я-граф с числом связности ц (см. разд.
36(а)). Как для ц=1 в предыдущем разделе, так и для произ-
произвольного ц^2 можно получить перечисляющий степенной ряд
структурных изомеров СпЯ2п+2-2ц. С теоретико-функциональной
точки зрения он получается даже проще, чем в случае ц=1: ряд
является рациональной функцией конечного числа величин из
последовательности х, г(х), г{х2), г(х3). Однако формулы ста-
становятся столь громоздкими, что ограничимся лишь немногими
указаниями относительно случая ц = 2.
Исходим из графа некоторого заданного СпН2п-2 и прово-
проводим обе описанные в разд. 63 операции а) и б) столько раз,
сколько это возможно. (Так как теперь нет ни одной выделенной
концевой точки, то постепенно все концевые точки упразднятся.)
В конце концов останется одна из трех форм, которые пред-
представляет рис. 5. Для определенности рассмотрим одну из этих
трех форм, например ту, в которой каждое ребро оканчивается
в двух различных точках. (Эта форма является единственной
из трех форм, которая может называться графом в смысле опре-
определения разд. 29; не забудьте требование I!) Разместим на
трех ее ребрах соответственно k, I, m точек, для чего эти ребра
поделим на k+l, /+1, т+\ частей соответственно. Тогда полу-
Комбинаторные вычисления для групп
113
чится углеродный каркас (С-граф) некоторой молекулы
Ck+i+m+2 H2k+2i+2m+2- Можно установить группу его структурной
формулы; она имеет степень 2k + 2l + 2m + 2 и порядок 12, 4 или
2 в зависимости от того, имеет ли место равенство k = l=m, или
к^=1фт, или все три числа k, I, m отличны друг от друга. Мож-
Можно найти иикловой индекс этой группы и затем путем подстанов-
подстановки г(х) получить перечисляющий степенной ряд гомологов, т. е.
тех Сп#2п-2, которые возникают из указанной молекулы под-
Рис. 5.
становкой алкил-радикалов. Суммирование по тройкам значений
k, I, m приводит лишь к геометрическому ряду. Из получаемого
таким образом выражения приведем лишь одну составную
часть («главную составную часть»)
J х2гЧх)
12 [l-
C.23)
Выражение C.23) состоит из двух множителей. Первый, кон-
константа, есть величина, обратная наивысшему порядку 12, кото-
который может достигаться группой одной из рассматриваемых мо-
молекул. Второй, зависящий от х множитель имеет вид члена сум-
суммы C.18) при
/?3 = 2, р4-—0, s = 3
и отвечает независимому замещению трех ребер и двух точек
графа. (Точки замещаются одним алкил-радикалом, ребра заме-
замещаются т С-атомами, из которых каждый присоединяет к себе
два алкила, причем суммирование ведется по т = 0, 1, 2, ... (см.
вывод C.15) и C.16)).)
Двум другим формам рис. 5 отвечают такие же перечисляю-
перечисляющие степенные ряды, «главные составные части» которых суть
1 Х2Г2(Х) 1 X
114 Д. Пойа
соответственно. Оба выражения отвечают одному и тому же га
рядку группы, а именно 8, и соответственно значениям
р3 = 0, р4=1, 5=2.
Название «главная составная часть» будет подробнее объяснен
в разд. 79.
IV. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РАССМОТРЕННЫХ
КОМБИНАТОРНЫХ ЧИСЕЛ
Теоретико-функциональные свойства
66. Теперь изучим ряды q(x), r(x), s(x), t(x), комбинаторны!
смысл которых был выяснен ранее с теоретико-функционально!
точки зрения, определим их радиусы сходимости, особенности
на границе круга сходимости, их аналитические продолжения
Естественно, при этом следует основываться на функциональны!
уравнениях, определяющих эти ряды. Прежде всего выпише»
все эти уравнения, соблюдая некую унификацию обозначений i
порядка: s
4
f \\vf v *-" /л. ii
/ ¦*¦ ~T~ Л / г Л> ч I * • i 1
0 3
D. 2]
D.4
D-4
+¦¦¦), D.7J
D.9]
Комбинаторные вычисления для групп 115
Функция, определяемая уравнением, везде обозначена через f,
и употребляется обозначение A.18). Функциональное уравнение
D) для г(х) встречается дважды, в двух различных формах —
D.3) и D.6); уравнение для t также встречается дважды — как
D.7) н D.9) (ср. с A") и (Г))- Уравнение D.1) определяет
геометрический ряд; уравнения D.5) и D.10)—алгебраические
функции; уравнение D.8)—обратную функцию к элементарной
целой трансцендентной функции. Для этих четырех функций
даны соответствующие ряды Маклорена. Они легко получаются,
например, из формулы обращения Лагранжа. О комбинаторном
смысле рядов D.5), D.8), D.10) см. текст к формулам B.15),
B.37), B.27) соответственно. Относительно D.6) см. разд. 44.
67. Каждое из функциональных уравнений D.1) — D.10) од-
однозначно определяет некоторый удовлетворяющий ему степенной
ряд, упорядоченный по возрастающим неотрицательным степе-
степеням х. Свободные члены степенных рядов, соответствующих пер-
первым пяти уравнениям, равны 1, а последним пяти — равны нулю.
Остальные коэффициенты степенных рядов суть положительные
числа и даже, за исключением уравнения D.8), целые числа.
Последовательное! ь коэффициентов не убывает.
Всг высказанные утверждения можно вывести из рекуррент-
рекуррентных формул, которые получаются путем сравнения коэффициен-
коэффициентов. Например, в уравнении D.6) коэффициент при хп слева
есть Rn (для п~^.\), а справа — некоторый многочлен от R\,
R2, ..., Rn-\ (см. B.56)). Отсюда следует однозначная определен-
определенность. Коэффициенты указанного многочлена неотрицательны,
и так как справа есть слагаемое xf, имеющее при хп коэффици-
коэффициент Rn-u то Rn^s-Rn-i- Утверждения относительно положитель-
положительности, целочисленности и возрастания коэффициентов выво-
выводятся также (несколько удобнее) из их комбинаторного смысла.
Некоторые утверждения относительно элементарных функций
могут быть выведены также из заданной явной формы коэф-
коэффициентов.
Рассмотренный здесь ряд по возрастающим степеням х, одно-
еначно определяемый уравнением, будет в дальнейшем кратко
называться степенным рядом, удовлетворяющим соответствую-
соответствующему уравнению.
68. Десять уравнений D.1) — D.10), как говорилось, объеди-
объединяются в три группы. Первая группа содержит первые пять
Уравнений, следующая группа содержит следующие два, третья—
П6 Д. Пойа
последние три уравнения. Из двух степенных рядов, удовлетво-
удовлетворяющих двум уравнениям одной и той же группы, предыдущий
мажорируется последующим.
Это утверждение было высказано уже во введении в виде семи
неравенств, объединенных в A0) и A2). Все эти неравенства
можно доказать с помощью комбинаторных рассмотрений (см.,
в частности, B.7), B.8), B.16) и B.17); B.9), B.38) и B.39);
B.28) и B.29)). Но их можно доказать также с использованием
рекуррентных формул; достаточно будет получить неравенства
Rn^Sn. Имеем R0 = S0=l; далее действуем индуктивно и пред^
положим, что уже доказаны неравенства
Яо < So, Я, <S,,..., /?„_!<?„_, (Л>1)- D-
Пусть
обозначает степенной ряд с неопределенными коэффициентами
С/о, U\, С/о, .... Разложим оба выражения
д, д,
6 6
по степеням х и обозначим коэффициенты при хп через
F(UUU2,..., ?/„_,), 0F/,, ?/2,..., ?/„_,)
соответственно. В этих обозначениях, согласно D.3) и D.4),
имеем
/?„ = /=¦(/?„ /?2,...,/?я_,), ^4. 12)
S^^C^, 52,...,5я_1) + ОE1152,...,5я_1). D.13)
Как G, так и f — многочлены от переменных С/о, С/ь ... , C/n_i.
Очевидно, f имеет неотрицательные коэффициенты. Поэтому
вследствие предположения индукции D.11)
F(RU R2,..., /?„_!)</гE„ 52,..., 5„_1)- D. 14)
Хотя среди коэффициентов многочлена G могут встречаться
также отрицательные, однако G при неотрицательных целочис-
целочисленных значениях С/о, U\, ..., Un-\ принимает неотрицательные
значения (см. заключительное замечание в разд. 23), a So,
Si,..., Sn_j — положительные целые числа (см. разд. 67). Поэтому
ОE„ S2,...,5n_,)>0. D.15)
Из D.12) — D.15) следует, как и требовалось доказать, что
69. Все степенные ряды, удовлетворяющие уравнениям D.1) —
D.10), имеют неравные нулю радиусы сходимости.
Комбинаторные вычисления для групп 117
Для уравнений
D.1), D.5), D.8), D.10)
это утверждение следует немедленно из указанного явного вида
коэффициентов. Как легко вычислить, используя отношения по-
последовательных коэффициентов, радиусы сходимости равны
1 ± _L _L
' 27 ' е ' 4 "
Для радиусов сходимости четырех степенных рядов
д{х), г (л), s(x), t{x),
которые, как уже говорилось во введении, обозначены соответ-
соответственно
х, р, а, Т,
утверждение следует из рассмотренных в разд. 68 и объявленных
уже во введении неравенств A0) и A2). Точнее говоря, получа-
получается еще не полный результат, который указан во введении в
A3) и A4), но лишь более слабый, соответствующий замене в
полном результате знака > знаком ^.
Во всех случаях D.1) — D.10) степенной ряд, удовлетворяю-
удовлетворяющий соответствующему уравнению, определяет элемент функции,
с центром 0; этот элемент будет в дальнейшем называться эле-
элементом, удовлетворяющим уравнению. Элементы, удовлетворяю-
удовлетворяющие уравнениям D.2), D.3), D.4), D.7), представляются соот-
соответственно степенными рядами q{x), r(x), s(x), t(x).
70. Обсудим сначала аналитическое продолжение элемента,
представленного с помощью q(x).
Как следует из первого неравенства A0), радиус сходимости
•к ряда q{x) или равен 1, или меньше 1. Первую возможность,
однако, нужно исключить: если бы х=1, то q(x) и, следователь-
следовательно, также q (x2) сходились бы в единичном круге; следовательно,
степенной ряд
xq[x2)=xJrxz -)-...
с неотрицательными коэффициентами на отрезке действительной
оси от х = 0 до х= 1 должен был бы возрастать от 0 до значения,
большего 2, и, следовательно, принимать значение 1 в некото-
некоторой промежуточной точке |. Но тогда функция
- D.16)
(использовано D.2)) имела бы в точке |, 0<|<1, полюс, хотя
она вследствие предположения к= 1 должна быть регулярной
118 Д. Пойа
во всем единичном круге. Противоречие разрешится только тог-
тогда, когда мы отвергнем предположение х=1. Тем самым доказа-
доказано, что х<1.
Степенной ряд q(x) сходится в круге |х|<х; ряд q(x2) —
в круге |х2|<х, т. е. |х|<кх. Так как х<1 и, следовательно,
х<К х, то область сходимости ряда<7(х2) шире, чем ряда q{x).
Особые точки, в силу необходимости находящиеся на границе
круга сходимости ряда q(x), могут происходить только от зна-
знаменателя выражения в правой части D.16). Следовательно, эти
точки удовлетворяют уравнению
xq(x2) = \. D.17)
Но левая часть этого уравнения есть степенной ряд, где всё
коэффициенты с нечетными индексами положительны, а с чет-
четными индексами равны 0. Максимальное значение модуля сум-
суммы такого ряда на границе круга с центром в точке 0 достигает-
достигается в двух и только в двух точках: на положительной и на отри-
отрицательной действительной оси, причем знак значения суммы
согласуется со знаком х. Поэтому уравнение D.17) обладает
корнем, который лежит на положительной части действительной
оси и притом находится ближе к точке х=0, чем все другие кор-
корни уравнения D.17). Снова ввиду положительности коэффициен-
коэффициентов ряда xq(x2) производная левой части D.17) в этой точке
не обращается в 0, и, следовательно, этот корень простой. Этот
корень определяет в силу D.16) радиус сходимости ряда q(x).
Подведем итог: на круге сходимости степенного ряда q(x)
лежит лишь одна-единственная особая точка х=к, причем q(x)
имеет в точке х=% полюс первого порядка.
71. Дальнейшее использование только что описанного спосо-
способа доказательства показывает, что аналитическое продолжение
функции q{x) мероморфно внутри единичного круга. Способ до-
доказательства основывается на функциональном уравнении
D.16), которое эквивалентно непрерывной дроби (8'). Теперь,
немного варьируя предыдущее доказательство, можно осущест-
осуществить продолжение q(x), используя разложение в непрерывную
дробь. При этом отметим следующий способ упрощения рассуж-
рассуждения.
Положим
V?- DЛ8)
Для вновь введенной функции ^(х) из D.2) следует новое
функциональное уравнение
<1>(.*)=<|>(л*)-*!>(*«), D.19)
Комбинаторные вычисления для групп \\9
которое имеет то преимущество, что оно линейно. Разложение
в степенной ряд
дает для т = 0, 1, 2, ... рекуррентные соотношения
<^2т = ат^ а4т+1=— пт' «4m+3 = 0. D.20)
которые однозначно определяют последовательность коэффици-
коэффициентов, если задано а0. Предположим, что
ао=1. D.21)
Тогда получим
т. е. степенной ряд, коэффициенты которого принимают лишь
три значения: 0, 1 и —1. Следовательно, ряд сходится в единич-
единичном круге.
Теперь, исходя из ряда ty(x), определим функцию q(x) по-
посредством D.18). Эта функция q(x) ввиду D.12) регулярна в
точке х = 0 и в силу D.19) удовлетворяет функциональному
уравнению D.2). Но так как соотношению D.2), как было ска-
сказано в разд. 67, удовлетворяет лишь один-единственный степен-
степенной ряд с неотрицательными целочисленными степенями х, то
функция, определяемая посредством D.18), тождественна с на-
нашей прежней q(x). В D.18) функция q{x) представлена как
частное двух сходящихся в единичном круге степенных рядов,
и это делает очевидным тот факт, что q(x) мероморфна внутри
единичного круга.
Нужно подчеркнуть, что в представлении D.18) числитель
и знаменатель функции q(x) не имеют общих множителей, т. е.
не имеют общих нулей. Тем самым исключено существование
такой точки х0, что
) 0
Если бы это было возможно, то вследствие D.19) имели бы
также
и, повторяя рассуждение для х02, х^, х0&, ... вместо Хо, получили
бы равенства
86^2) = .. . = 0,
т. е. бесконечную последовательность нулей с предельной точ-
точкой 0. Это невозможно, и поэтому г(з(х) и г(з(х2) не имеют общих
нулей в их области сходимости \х\ <1.
120 Д. Пойа
С использопанием представления (8') в виде непрерывной
дроби и способов доказательства, к которым прибегает теория
цепей Штурма, можно доказать, что q(x) имеет бесконечное
число полюсов на отрезке между точками х=к и х=\. Отметим
следующие свойства q(x):
1) разложение q(x)=Q0+Q\X+ ... имеет целые коэффи-
коэффициенты;
2) q(x) мероморфна внутри единичного круга; к
3) q(x) не может быть рациональной функцией (например,-
ввиду наличия бесконечного числа полюсов; это можно легкой
показать также путем сравнения степеней с прямым использо-;
ванием D.2)).
Из этих трех свойств на основе одной общей теоремы' сле-
следует, что граница единичного круга является сингулярной ли-'
нией для q{x). Этот факт можно доказать и без использования
¦общей теоремы — путем более тонкого использования разложе-
разложения (8') в непрерывную дробь, но здесь мы не будем вдаваться
в подробности.
72. Теперь нужно обсудить аналитическое продолжение эле-
элемента функции г(х).
Степенные ряды г(х), г{х2), г(хъ) сходятся в кругах с цент-
центром 0, радиусы которых равны соответственно р, р'/2, р'/з. Заме-
Заметим, что, согласно разд. 68 и 70, р^х< 1, так что
р<Р7.<р7,.
Положим г(х)—у и рассмотрим функциональное уравнение'
{4.3) в виде
ху3 - 3 [2 - хг (х2)] у + 2 [3 + хг (х3)] = 0. D.22)
Функция у = г(х) удовлетворяет уравнению D.22) третьей степе-
степени, коэффициенты которого регулярны в плоскости круга
|л.'|<р1/г. При аналитическом продолжении элемента функции
у = г(х) во внутренность этого круга могут встретиться особен-
особенности только двух родов: либо старший коэффициент уравнения
D.22) должен обратиться в нуль (это может быть только в точ-
точке х = 0), либо уравнение D.22) должно иметь кратный корень
у. Тогда должна обратиться в нуль частная производная левой
части по у, т. е. должно быть
ху2 = 2-хг{х2). D.23)
Исключив у из D.22) и D.23), убеждаемся, что во внимание
должны приниматься только такие точки, для которых выполня-
выполняется равенство
См. работы {10, 29].
Комбинаторные вычисления для групп 121
r(xs)f = 0. D.24)
Такие точки не могут сгущаться внутри круга \х\ <р'/г, где левая
часть D.24) остается регулярной, и в окрестности таких точек
становящаяся сингулярной ветвь функции остается ограничен-
ограниченной и,следовательно, постоянной.
Теперь речь будет идти об особых точках степенного ряда
на границе его круга сходимости |х|=р, которая целиком на-
находится внутри области |х|<р'/2. Точка х = 0 не принадлежит
этой границе, поэтому должна осуществиться вторая из упомя-
упомянутых выше альтернатив. Особые точки, лежащие на границе
круга сходимости, удовлетворяют уравнениям D.23) и D.24),
и элемент функции г(х) остается постоянным внутри этого круга.
В частности, сумма степенного ряда г(х) должна оставаться ко-
конечной, когда х вдоль вещественной оси приближается к точке
р. Так как этот степенной ряд имеет лишь положительные коэф-
коэффициенты, то, согласно известному способу доказательства, он
абсолютно сходится в точке х=р и, следовательно, на всей гра-
границе круга |х|=р. Поэтому уравнение D.23), которому удов-
удовлетворяет особая точка х на границе круга сходимости, можно
записать в виде
где в левой части нужно подставить степенные ряды г(х), г(х2).
Так как степенной ряд г(х) имеет положительные коэффициен-
коэффициенты, то точка х=р на границе круга сходимости наверняка явля-
является особой; поэтому уравнение D.25) справедливо при х = р.
Однако степенной ряд слева в D.25) (за исключением обра-
обращающегося в 0 свободного члена) имеет лишь положительные
коэффициенты и поэтому в точке х = р имеет значение, большее
по абсолютной величине, чем во всех других точках окружности
|х|=р. Поэтому уравнение D.25) выполняется только в точке
х=р окружности 1*| =р; *=р есть единственная лежащая на
границе круга сходимости особая точка функции г(х).
Теперь легко установить, что элемент функции г(х) в окрест-
окрестности точки х — р разлагается по степеням Ух—р и что разло-
разложение начинается так:
-^-+..., D.26)
где а и Ь обозначают положительные числа. Имеем
а = г(Р), D.27)
. / о '•(р)-1 + '-(р)'-'(р2)р3ч-'-у(р3)р4
V рг(р) - \ • )
122 Д. Пойа й
Исследование уравнения D.3) вне окружности |*|=р'/г по-
показывает, что продолжение г(х) в каждой области, лежащей
целиком внутри единичного круга, алгебраично, т. е. имеет лишь
конечное число ветвей и конечное число алгебраических точек
ветвления. Число ветвей может становиться бесконечным, когда
область, расширяясь, приближается к единичному кругу.
Для дальнейших целей отметим следующий побочный резуль-
результат: уравнение D.25) в замкнутой круговой области \x\^Zp
имеет единственное решение х = р.
73. С помощью рассуждений, аналогичных проведенным в
предыдущем разделе, можно трактовать уравнения, служащие
для определения функций s(x) и t(x),
Для определения особенностей на границе круга сходимости
лолучаем соответственно уравнения
xs2(x)=l, D.29)
t{x)=\, D.30)
вполне аналогичные ранее обсуждавшимся уравнениям D.17)
и D.25). На границе круга сходимости в них можно подставить
степенные ряды, и ввиду положительности коэффициентов они
имеют там лишь одно решение, а именно положительную точку
границы круга сходимости. На границе сходимости степенного
ряда s(x) лежит только особая точка х = а, а у ряда t(x) —толь-
—только х=%. Функции допускают в окрестности этих особых точек раз-
разложения по степеням Ух—а и Vх — т, и притом эти разложе-
разложения, как и D.26), начинаются так:
где а', Ь\ а", Ь" — положительные числа.
74. Возвратимся к рассмотрению ряда г(х). Как следует из
разд. 72, можно определить радиус сходимости р ряда г(х) как
из уравнения D.24), так и из D.25). Используем обе эти воз-
возможности.
а) Уравнение D.25), как говорилось в разд. 72, выполняется
для я = р. Следовательно, ввиду положительности коэффициен-
коэффициентов степенных рядов из левой части ему не удовлетворяет ника-
никакое положительное значение х, меньшее р. Мы получили крите-
критерий: положительное число х тогда и только тогда меньше р,
Комбинаторные вычисления для групп 123
когда, во-первых, г(х) сходится и, во-вторых, левая часть D.25)
меньше 1.
Исследуем значение х = о. Для этого значения, как указано
в разд. 73, ряд s(x) сходится и выполняется уравнение D.29).
Поэтому
«2(а)=1. D.31)
Примем во внимание, что в силу A0) ряд г (о) сходится и
r(o)<s(a). D.32)
Далее, поскольку коэффициенты положительны и г@) = 1, имеем
г* (а) > г (а) > г И. D.33)
Из D.31) —D.33) следует
Таким образом, ввиду высказанного критерия сг<р.
Этим способом можно доказать все упомянутые во введении
неравенства A3) и A4).
б) На основании уравнения D.24) приходим к следующему
критерию: если х — положительное число, для которого сходится
ряд г(х2), то х меньше, равно или больше р в зависимости от
того, выполняется ли
или
^ ^
[2-хг{хЩь
Этот критерий позволяет с помощью сходящихся рядов вычис-
вычислить радиус сходимости р. Но для расчетов нужно иметь оценку
остатка ряда г(х). Мы получаем ее из A0) и A2). Согласно
этим неравенствам,
Rn<Tn<-Bn-\ D.34)
п \ л—1/
При росте п величина
/2л\ 1 _1-3-5...Bл —3)Bл—1) ¦
[
/2л\ 1 _1
[ л/ 4" ~
2-4.6. ..Bл — 2) 2л
монотонно убывает. Поэтому
J_ /2л —2W L_p"'i_L->_J /2n+2
л \ л—lj" л4-11л/4л + 2\л+1
Отсюда, учитывая D.34), находим оценку остатка, справедли-
справедливую при 0<^х<^ —:
4
124 Д. Пойа
При помощи этой оценки и приведенного выше критерия можно
вычислить р и а. Автор нашел, что
0,35<р<0,36, 0,30 <о< 0,31. D.35)
Асимптотические значения коэффициентов некоторых
степенных рядов
75. Выше мы установили теоретико-функциональное поведе-
поведение степенных рядов q(x), r(x), s(x), t(x) на границе круга схо-
сходимости. Теперь извлечем отсюда ряд следствий, используя
легко доказываемое и хорошо известное соотношение между
особенностями и коэффициентами степенных рядов, которое
¦сформулировано в следующей лемме!.
Лемма. Пусть степенной ряд
f (х)=ай-\-а1х-\-а2х2-\-...-\-апхп-\-...
имеет на границе своего круга сходимости лишь одну-единствен-
ную особую точку х=а, в окрестности которой представляемая
функция имеет вид
у (-j-y' h(x). D.36)
Здесь g(x) и h(x) —аналитические функции, регулярные в ок-
окрестности точки х=а, в частности g(a)=A^=O; s и t — вещест-
вещественные константы; s отлично от всех неположительных целых
чисел 0, —1, —2, ... и либо t<s, либо t=O. Тогда для неограни-
неограниченно возрастающих п
А
T(s) '
В основе этой вспомогательной георемы лежит тот факт, что
в правой части D.36) второе слагаемое либо регулярно, либо
во всяком случае «слабее» сингулярно, чем первое. В частности,
второе слагаемое регулярно тогда, когда ? = 0. В утверждении
говорится, что коэффициент ап асимптотически равен коэффи-
коэффициенту при хп в разложении в степенной ряд функции
76. Асимптотическое определение чисел Qn, Rn, Sn, Tn. Ска-
Сказанное в конце разд. 70 можно также понимать так, что
См., например, {24, теоремы А (стр. 269) и I (стр. 275)].
Комбинаторные вычисления для групп 125
где функция h(x) регулярна в замкнутой круговой области
х и —х/( обозначает вычет q{x) в полюсе х = х. Поэтому
{x[xq{x2)\ }х
1
Qo% + 3Qix3
Соотношение D.37) имеет вид, требуемый в лемме, где
а = х, s = l, / = 0, А = К.
Следовательно,
Qe~/Cx-». D.38)
Изложение разд. 72, в частности формула D.26), показывает,
что предположения леммы из разд. 75 выполняются для степен-
степенного ряда г(х), причем
а = р, «=-у> t=0, A= — b.
Так как
мы получим для числа Rn структурных изомеров спиртов
CnH2n+i0H асимптотическую формулу
^•-"-"^гтй- D-39)
Напомним оценку D.35) радиуса сходимости р ряда г(х) и вы-
выражение D.28) для Ь. Асимптотическая формула D.39) может
употребляться как приближенная формула даже для достаточно
малых значений' п. Точно так же путем простого сопоставления
леммы из разд. 75 и теоретико-функциональных свойств, с кото-
которыми мы познакомились в разд. 73, легко получаются и две дру-
другие представленные во введении асимптотические формулы A6).
77. Гомологические ряды. Пусть дано химическое соединение,
именуемое в дальнейшем «основным веществом», которое содер-
содержит s атомов —Я, замещаемых алкилами —CnH2v+u Группа
структурной формулы основного вещества есть группа подста-
подстановок степени s, которые переставляют s мест замещаемых Н-
атомов. Ее цикловой индекс будет многочленом г|)(/ь f2, ... , /s)
1 См. Пойа [34].
126 Д. Пойа
(обозначения разд. 25). Согласно примеру разд. 58, коэффици-
коэффициент при хп в разложении функции
<!»(/¦(*), г(х2), ..., г(х^)) _ D.40)
в степенной ряд дает число таких структурных изомеров гомоло-
гомологов (производных алкилов) основного вещества, которое содер-
содержит С-атомов на п больше, чем основное вещество.
Согласно разд. 72, функция D.40) не имеет, кроме точки
х—р, никаких других особых точек в круге \х\ ^р. То, что точки!
х = р действительно особая, можно видеть из разложения D.40J
по степеням]^ х—р в окрестности х—р, которое, согласно D.26I
начинается следующим образом: 1
Ф(г(Р), ..., г И)-*), Ир). •••' r(ps))f
D.41)
Второй из написанных членов, несомненно, не обращается
в нуль, поскольку коэффициенты частной производной
^/. (/i> •••> fs)> а также величины г(р), ..., r(ps) положи-
положительны.
Разложение D.41) функции D.40) показывает, что лемма5
разд. 75 применима. Мы получаем, что коэффициент при хп
в ряде Маклорена функции D.40) асимптотически равен
Этот факт при помощи определенного во введении (разд. 5)
способа выражения можно описать так. Число таких структурных
изомеров гомологов заданного основного вещества, в которых
содержание углерода на п атомов превышает содержание угле-
углерода в основном веществе, асимптотически пропорционально
числу структурных изомеров соединения CnH2n+iOH. Полная
формула показывает, как коэффициент пропорциональности
связан с цикловым индексом группы структурной формулы.
78. Многократно замещенные парафины. Займемся теперь
определенной с помощью C.13) функцией R(x). Ее теоретико-
функциональные свойства явствуют из разд. 72. Особенно нуж-
нужно принять во внимание заключительное замечание этого разде-
раздела и разложение D.26). Должным образом учитывая сказанное
там, легко получаем: функция
fiI/i+... D.42)
1 — xR (jc) р аа
Комбинаторные вычисления для групп 127
регулярна в замкнутой круговой области |х|^р, за исключе-
исключением единственной точки х = р. В окрестности этой точки функ-
функция D.42) обладает разложением по возрастающим степеням
Ух—?, которое начинается, как указано в правой части D.42).
Теперь можно обратиться к сумме C.18). В силу только что
сказанного эта сумма, как и каждый из конечного числа ее чле-
членов, регулярна всюду в открытом круге |х|<р, на границе ко-
которого имеет единственную особую точку х = р. Она допускает
в окрестности точки х = р разложение по возрастающим степе-
степеням Ух—р. Далее, член суммы C.18) тем «сильнее» сингуля-
сингулярен в точке х = р, чем больше степень s знаменателя. Согласно
C.17), наибольшее значение s достигается тогда, когда
Л=0, s = 2/-3, />з=/-2, D.43)
и притом, согласно замечанию в конце разд. 63, наибольшему
значению s соответствуют
1-3-5.. .B/ —5)
членов суммы C.18). Разложение в ряд всей суммы C.18) в
окрестности х = р имеет такой же первый член, что и объединение
ее членов, соответствующих значениям D.43):
1-3. . .B/-5) [*
[1—*/?(*)]"-3
(рабJ' V ? I ~Т'" ' l ' '
Для получения в правой части D.44) соответствующего на-
начального члена используем D.26) и D.42). Применение леммы
из разд. 75 к C.18) или, что в конце концов дает то же самое,
к D.44) показывает, что число структурных изомеров
CnH2n+2-iX'X" ¦¦¦ X1 асимптотически есть
j-<«-5>
так что введение дальнейших заместителей добавляет к асимпто-
асимптотическому числу множитель, пропорциональный числу углерод-
углеродных атомов п. Этот результат был указан уже во введении.
Мы доказали здесь этот результат для /^2, однако он оста-
остается справедливым также для 1—1. В этом случае он равнозна-
128 Д. Пойа
чен с D.39). Справедлив ли он также для / = 0, т. е. даже для
(незамещенных) парафинов, мы еще не знаем, и узнаем это
впервые после разложений в разд. 80—86.
79. Углеводороды С„//2л+ 2-2ц. Рассмотрим сначала случай
\i = \. Углеводороды с формулой С„Я2тг суть либо гомологи эти-
этила, либо циклопарафины в зависимости от того, содержат они
или нет двойное соединение. Согласно разд. 77, число структурно
изомерных гомологов соединения Cn#2n асимптотически пропор-
пропорционально р~пп-3/2. Обратимся теперь к структурным изомерам
ииклопарафина. Их перечисляющий степенной ряд Р задан по-
посредством C.22). Из этой формулы мы видим, что Р имеет в замк-
замкнутой круговой области \х\ ^р одну-единственную особую точку,
а именно х = р. В сумме, записанной в последней строке C.22),
при х = р сингулярен только один член, для которого k=\:
1 . ' 1 1 . Г 1 / X \-1'2 ,
(ср. с D.42)). Теперь легко получаем, что Р имеет вид
g(x)i-h(x), D.45)
где g(x) и h(x) регулярны в окрестности точки х=р. Коэффи-
Коэффициент при хп в разложении в степенной ряд первого члена из
правой части D.45) есть 1/4лрп. Это перевешивает р~пп~3!2, и на
основе леммы разд. 75 как п-й коэффициент обоих последних
членов справа в D.45), так и (как уже говорилось) число го-
гомологов этила асимптотически пропорционально р~пп-3!2. Поэто-
Поэтому число структурных изомеров углеводородов с молекулярной
формулой СпН2п асимптотически равно
-
Относительно структурных изомеров углеводородов
СпН2п+2-2у. с постоянным )i^2 можно сделать только отдельные
замечания. В перечисляющем степенном ряду есть «главная
составная часть» (т. е. то слагаемое, которое в точке х=р быст-
быстрее всех стреми!ся к бесконечности), имеющая, помимо постоян-
постоянного множителя, тот же самый вид, что и общий член суммы
C.18). Числа рз, Pi, s связаны с ц, соотношениями (ср. с. B.1),
B.2), B.3))
2s D.46)
и определяются тем, что s является по возможности наиболь-
наибольшим. Из D.46) следует
s=3(|»-1)- А-
Комбинаторные вычисления для групп 129
Для р4 = 0 мы получаем максимальное значение s, и слагаемое в
C.18) принимает вид
~l) V Р/
[\-xR(x)f^
Отсюда в силу леммы разд. 75 следует: число углеводородов
СпН2п+2-2у. с заданным ц асимптотически пропорционально
1C^.-5)
При [1=1 это согласуется с результатом для СпН2п, подроб-
подробно доказанным в настоящем разделе, и справедливо также (но
это труднее доказать) при jx = O (см. далее).
Число структурных изомеров парафинов
80. Из четырех асимптотических формул A7) подробно до-
докажем только вторую, соответствующую р„. Она занимает сред-
среднее положение. Формулу для х„ можно доказать значительно
проще, для оп в такой же мере трудно, а для хп несколько
сложнее, чем формулу для р„. Числа рп и т„ рассматривались
еще Кэли, но число рп вследствие его значения для химии вызва-
вызвало больший интерес, чем число хп.
Покажем, что
рпрпп'/'
при л-»-оо стремится к положительному пределу. Вследствие
B.41)
РпР1ъ/' = РпРп^''+ ?пГпь1>. D.47)
Из B.50) заключаем, что
;)> D-48)
где
^t (i+j + k+l = n-\), D.49)
(i + J+2k=n-l), D.50)
2^ л-1), D.51)
2liPi D/ = я-1). D.53)
5-1751
130 Д. Пойа Ч
Суммирование должно распространяться на такие целочислен-
целочисленные системы решений (t, /, к, I) (соответственно (t, /, к), {I, /),
([)), отвечающие уравнению, записанному в конце строки, кото-
которые удовлетворяют условиям
Пустая сумма интерпретируется как 0. Например Wn" состоит
из одного члена или имеет значение 0 в зависимости от того, де-
делится ли п—1 на 4 или нет. Для определения значения введен-
введенных величин воспользуемся главным образом соотношением.
D.39). Из него следует, что существует положительное число
такое, что
Rm?mm'l' < С для от= 1, 2, 3,..., D. 55J
и далее, что сходятся три ряда с положительными членами:
. ¦ . = г(р)=а, D. 56)
+ - • •, D. 57)
+ -.. . D.58)
Естественно также, что в дальнейшем часто нужно принимать
во внимание условие
0<Р<1. D.59)
81. Вследствие B.46) и D.39)
Р>/г2 < Rl_p»n2 =0{n 2)- D. 60)
2
Далее, легко установить, что
Wn — 0, Wi,-^0, Wn^O. D.61)
Для Wn" достаточно условия р<1 и сходимости г(р). Для Wn
нужно еще заметить, что квадрат абсолютно сходящегося ряда
г(,р) также сходится. Для Wn' присоединяем еще следующие не-
неравенства, вытекающие из D.54) и из условия суммирования в
D.52):
82. Обсуждение Vn затруднительно. Разделим сумму в D.50)
на две части; члены, для которых
?<^. D.62)
Комбинаторные вычисления для групп 131
отнесем к VV, остальные к Vn", так что
Va=V'a+Vn. . D.63)
Следовательно,
где суммирование проводится по таким системам i, j, k, для ко-
которых степень последнего множителя под знаком суммы положи-
положительна. Так как третья степень г(р) также сходится, то
V"n-^0. D.64)
Учитывая D.55), имеем
" . D.65)
Здесь ц обозначает наименьшее (не наибольшее) из двух чисел
i и /, L(k) — число пар чисел i, j, которые, кроме D.54), удовлет-
удовлетворяют еще равенству
i-\rj=,i — 2k—\. D.66)
Ввиду D.54) и D.62)
Если представить D.66) в одном из двух видов, соответствующих
четному или нечетному п:
то легко установить, что
?(Л)<2Л+1. D.68)
Из D.65), D.67), D.68) следует, что
D.69)
так как ряд D.57) сходится.
5»
132 Д. Пойа
83. Разделим сумму в D.49) на три части, положив
D.70)
Под символом Un"' объединены те слагаемые, в которых все че-
четыре индекса суммирования i, /, k, I больше, чем —(п — 3). Вы-
6
ражение Un" содержит такие члены, в которых два наименьших
среди индексов i, /, k, I равны друг другу и оба < —(п — 3). В Un'
входят, следовательно, те члены, в которых минимум i, j, k, I
достигается лишь одним из этих чисел и он ¦< — (л—3).
6
Вся сумма в выражении D.49) для Un содержит менее п3 чле-
членов. В тех членах, которые принадлежат Un'", в силу D.55)
каждый из четырех множителей имеет порядок
О\п").
Поэтому
-п~ ¦п3) = 0[п~). D.71)
Та часть Un", которая проистекает из членов с k = t, не боль-
больше, чем
i-(n-3) g-(«-3) v
=0U 2l
Обозначения ц и L(k) и оценки D.67) и D.68) мы взяли из
разд. 82, и единственное отличие от вычисления, которое привело
там к оценке для W, состояло в том, что здесь мы пользуемся
сходимостью D.58), а там — сходимостью D.57).
Заметим, что
?/; = О (/Г*). D.72)
5
84. Члены, принадлежащие сумме п 2LJn', поделим на 4 ка- .
тегории в зависимости от того, какое из четырех чисел /, /, k или /
является наименьшим. Наименьшее число, согласно определе-:
нию ип', находится однозначно. Члены в каждой категории име-s
ют одинаковые суммы. Поэтому (мы выделяем /)
Комбинаторные вычисления для групп 133
U'n=± 2 R&lUn,i, D.73)
/-о
где
2
'»./,*
P'r/'Rfl}f'-Rk?k4* (-L. J-.±)-*.±-. D. 74)
\ П П П I «2
Суммирование распространяется на такие тройки целых чисел
(i. /. &)> Для которых имеют место соотношения
==л —/— 1
Учитывая D.39), находим из D.74), что при фиксированном
/ для л->оо
U,
' D
Область интегрирования D в двойном интеграле, обозначенном
через /, задается неравенствами
или, что то же, но короче,
>-L. D.76)
Областью D является треугольник. Интеграл в D.75) есть несоб-
несобственный интеграл в смысле Римана. То, что он все же, как было
указано, аппроксимируется конечной суммой «призм», основыва-
основывается на специальных свойствах монотонности подынтегрально-
подынтегрального выражения, из которых, кроме того, вытекает, что Un, i незави-
независимо от п и / ограничено сверху постоянным пределом. Здесь не
проводится детальное обоснование, так как подробные рассуж-
134 Д. Пойа
дения известны для однократных несобственных интегралов Ри-
мана'.-Из D.73) и D.75) в обозначениях D.56) следует
- D-77>
85. Появившийся в D.75) двойной интеграл / можно вычис-
вычислить поразительно просто. Имеем
lJ'(y-bpKdyt D.78)
где
Vi-2y
dx 2
j 1-х- у у/. A-уJ
j 1-х- у у/.
\—х—;
\ i
(была использована подстановка x y-=t
Если подставить значение К в D.78), получим
. D.79)
Здесь была использована подстановка 1—2у=х. Частный случай
вычисленного Абелем2 интеграла есть
dx=-
и + х -/и + м2
о
Если его сначала продифференцировать по и и затем положить
«=1, то из D.79) получим
/=ff \ху (I-х-у)]-3'2dxdy=\2n. D.80)
86. Объединяя D.47), D.48), D.60), D.61), D.63), D.64),
D.69), D.70), D.71), D.72), D.77) и D.80), получаем
1 Gm., например, [39, т. I, разд. II, гл. 1].
2 [1, стр. 254].
Комбинаторные вычисления для групп 135
или, короче,
п _.п-л„-»/. Ра*3 (л ал\
Следовательно, заключительный результат разд. 78 остается
справедливым и при /=0. Это, вероятно, можно обосновать
убедительно с использованием разложения разд. 78, но за это
ни в коем случае нельзя поручиться. Сравнение D.39) и D.81)
с химически (или комбинаторно) очевидным вторым из нера-
неравенств A1) показывает, что
(численные расчеты подтверждают, что знак неравенства имеет
место).
Замечательные комбинаторные числа рп, т. е. числа различ-
различных структурных изомеров парафинов с молекулярной формулой
¦СпН2п+2, которыми занимался еще Кэли, асимптотически вычис-
вычисляются с помощью формулы D.81).
Список литературы
II] Abel N. Н. Oeuvres, Bd. I, 1881.
12] Blair С. М., Henze H. R. The number of structurally isomeric alcohols of
the methanol series, Journal of the American Chemical Society, 53 A931),
3042—3046.
[3] Blair C. M., Henze H. R. The number of isomeric hydrocarbons of the met-
methane series, Journal of the American Chemical Society, 53 A931),
3077—3085.
14] Blair C. M., Henze H. R. The numberof stereoisomeric and non-stereoisome-
ric mono-substitution products of paraffins, Journal of the American
Chemical Society, 54 A932), 1098—1106.
15] Blair С M., Henze H. R. The number of stereoisomeric and non-stereoisome-
ric paraffin hydrocarbons, Journal of the American Chemical Society, 54
A932), 1538—1545.
{6] Blair C. M., Henze H. R. The number of structurally isomeric hydrocarbons
of the ethylene series, Journal of the American Chemical Society, 55 A933),
680—686.
[7] Blair С M., Henze H. R. The number of structural isomers of the more
important types of aliphatic compounds, Journal of the American Chemical
Society, 56 A934), 157.
[8] B6cher M. Einfiihrung in die hohere Algebra, Leipzig, 1910.
[9] Burnside W. Theory of groups of finite order, 2ed. Cambridge, 1911.
[10] Carlson F. Math. Zeitschrift, 9 A921), 1—13.
[11] Cayley A. On the theory of the analytical forms called trees, Philos. Mag., 13
A857), 172—176 (CMP1, v. 3, 242—246).
[12] Cayley A. On the analytical forms called trees, second papers, Philos. Mag.,
18 A859), 374—378 (CMP, v. 4, 112—115).
{13] Cayley A. On the mathematical theory of isomers, Philos. Mag., 67 A874),
444_446 (CMP, v. 9, 202—204).
1 CMP — сокращение от Collected mathematical papers, Cambridge,
1889—1898.
136 Д. Пойа
[14] Cayley A. On the analytical forms called trees, with application to the theory
of chemical combinations, Report of the British. Assoc. for the Adv. of Sci,
A875), 257—305 (CMP, v. 9, 427—460).
[15] Cayley A. On the number of the univalent radicals CnH2n+u Philos, Mag.t
ser. 5, 3 A877), 34—35 (CMP, v. 9, 544—545).
[16] Cayley A. Problems and solutions, № 5208, Math. Questions with their
Solutions from the Educational Times, 27 A877), 81—83 (CMP, v. 10,
598—600).
[17] Cayley A. On the analytical forms called trees, Atner. 1. Math., 4 A881),
266—268 (CMP, v. 11, 365—367).
[18] Cayley A. A theorem on trees, Quart. J. of Pure and Appl. Math. 23 A889),
376—378 (CMP, v. 13, 26—28).
[19] Errera A. Memoires de l'Academie royale de Belgique, 11 A931), 1—26.
[20] Dziobek O. Eine Formel der Substitutionstheorie, Sitzungsber. d. Berliner
Math. Gesell., 16 A917), 64—67.
[21] Frobenius G. Uber die Charaktere der mehrfach transitiven Gruppen, Sit~
zungsber. d. Akademie Berlin, 1904, 558—571.
[22] Jablonski E. loam. d. mathematiques pures et appliquees, D) 8 A892),
331—349.
[23] Jordan С Sur les assemblages de lignes, J. f. die reine und angewand'te
Math., 70 A869), 185—190.
[24] Jungen R. Sur les series de Taylor n'ayant que des singularities algebrico —
logarithmiques sur leurcercle de convergence, Commentarii Math. Helvetic^
3 A931), 266—306.
[25] Konig D. Theorie der endlichen und unendlichen Graphen, Leipzig, 1936.
[26] Levi F. Christian Huygens, 2 A922), 307—314.
[27] Lunn A. C, Senior J. K. Isomerism and configuration, Journal of physical
chemistry, 33 A929), 1027—1079.
[28] Molina. Sitzungsber. d. Akademie Berlin, 1897, 1152—1156.
[29] Polya G. Proc. London Math. Soc, B) 21 A921), 22—38.
[30] Polya G. Un probleme combinatoire general sur les groupes de permutations
et le calcul du nombre des isomeres des composes organiques, Comptes Ren-
dus Academie des Sciences, Paris, 201 A935), 1167—1169.
[31] Polya G. Tabelle der Isomerenzahlen fur die einfacheren Derivate einiger
cyclischer Stammkorper, Helvetica chimica Ada, 19 A9Э6), 22—24.
[32] Polya G. Sur le nombre des isomeres de certaines composes chimiques,
Comptes Rendus Academie des Sciences, Paris, 202 A936), 1554—1556.
C3] Polya G. Algebraische Berechnung der Anzahl der Isomeren einiger orga-
nischer Verbindungen, Zeitschr. f. Kristallographie, (A) 93 A936),
415—443.
[34] Polya G. Ober das Anwachsen der Isomerenzahlen in den homologen Rei-
hen der organischen Chemie, Vierteiljahrs-schrift d. Naturf. Ges. Zurich, 81
A936), 243—258.
[35] Prufer H. Neuer Beweis eines Satzes uber Permutationen, Archiv. d. Math^
u. Physik, C) 27 A918), 142—144.
[36] Schur I. Darstellungstheorie der Gruppen (Vorlesungen an der Eidg. Technis-
che Hochschule, herausgegeben von E. Stiefel), Zurich, 4936.
[37] Serret. Cours d'algebre superieure, 3 ed, 1866.
[38] Speiser A. Theorie der Gruppen von endlicher Ordnung, 2 Aufl., Berlin, 1927.
139] Полна Г., Сегё Г. Задачи и теоремы из анализа. ГИТТЛ, М., 1956, т. к
Комбинаторные вычисления для групп 137
Примечания переводчика
A°) Имеется в виду правильный октаэдр.
B°) Приведем таблицу терминов теории графов, употребляемых в статье
Пойа (слева), а также общепринятых в настоящее время (справа):
точка вершина или узел
ребро ребро
Л-реберная точка вершина степени k или вершина ва-
валентности k
концевая точка концевая вершина, висячая вершина,
терминальная вершина или просто
терминал
топологически различные де- неизоморфиые деревья
ревья • _д.
C°) Термином «посаженное дерево» переведен употребляемый в подлинни-
подлиннике термин «Setzbaum». Корнем сейчас называют произвольную выделенную
вершину дерева.
D°) Различные обобщения формулы A') см. в [18]*.
E°) В число ahim входят лишь различные между собой фигуры с одина-
одинаковым содержанием шаров.
F°) Вместо выражения «перечисляющий степенной ряд» сейчас обычно
говорят «производящая функция».
G°) Относительно современной терминологии, связанной с основной тео^
ремой Попа, см. [1]*, где дано изящное и ясное доказательство этой теоремы.
(8°) Фактически по такой схеме, но без явного использования понятий
теории представлений групп доказывается основная теорема Пойа в работах
{1-4]*.
(9°) ср(?) —теоретико-числовая функция Эйлера.
A0°) В подлиннике использован термин «der Kranz» — венок, венец.
Соответствующую группу называют также «веночным произведением» или
«композицией» групп © и ф.
A1°) В подлиннике использован термин «der Kantenkranz»—венок ребер.
A2°) Как указал П. П. Пермяков, этот результат (формула an=in~2)
был получен ранее Борхардтом [5] *, который, однако, не использовал теоре-
теоретико-графовой интерпретации чисел ап. Заслуга Кэли состоит в комбинатор-
комбинаторной интерпретации формулы an=n"~2. В настоящее время известно много
различных доказательств этой формулы. Обзор многих из ннх можно найти
в работе [6] *. Относительно обобщений формулы Кэли см. [7—12] *. Некото-
Некоторые из результатов, содержащихся в этих статьях (число работ с подобными
обобщениями можно легко увеличить), доказываются в {2]*. Перечислению
деревьев посвящена целиком книга Муна [13] *. Аналоги формулы для ап
и ее обобщений известны для fe-деревьев [14]*, гипердеревьев (дендроидов)
115, 16] * и звездных деревьев [17] *.
A3°) Относительно современных работ по группам автоморфизмов де-
деревьев см., например, [19] *.
A4°) О дальнейшем развитии идей Пойа в химическом перечислении см.
в работе [20] *, где можно найти также дополнительные ссылки на литера-
литературу.
Литература, добавленная при переводе
{1]? Де Брёйн Н. Дж. Теория перечисления Пойа: Сб. Прикладная комбина-
комбинаторная математика (под ред. Беккенбаха Э.). — Перев. с англ. — М.:
Мир, 1968.
138 Д. Пойа
[2]* Сачков В. Н. Комбинаторные методы дискретной математики. — М.;
Наука, 1977.
[3]* Белов В. В., Воробьев, Е. М., Шаталов В. Е. Теория графов.—М.: Выс-
Высшая школа, 1976.
[4]* Рнордан Дж. Введение в комбинаторный анализ. — Перев. с англ. — М..1
ИЛ, 1963.
[5]* Borchardt С. W. Ober eine der Interpolation entsprechende Darstellung
des Elimination — Resultante. —/. fur die Reine and angew. Math. 1859,
57, 111—121.
[6]* Moon J. W. Various proofs of Cayley's formula for counting trees: Сб.
A Seminar on Graph Theory. — N. Y.: 1967, 70—78.
[7]* Renyi A. Some remarks on the theory of tress. — A Mag. Tud. Acad. Mat
Kut. Int. KozL, 1959, 4, № 1, 73—85.
[8]* Clarke L. E. On Cayley's formula for counting trees. — /. London Math.
Soc, 1958, 33, 471—475.
[9]* Meir A., Moon J. W. The distance between points in random trees.— /. of
Comb. Theory, 1970, 8, № 1, 99—103.
[10]* Moon J. W. Enumerating labelled trees: Сб. Graph Theory and Theoretical
Physics. — N. Y.: Acad. Press, 1967, 261—272.
[11]* Katz L. Probability of indecomposability of a random mapping function.—
¦ Ann. of Math. Stat., 1955, 26, 512—517.
[12]* Renyi A. On connected graphs, I. —Л Mag. Tud. Acad. Mat. Kut. Int.
KozL, 1959, 4, № 3—4, 385—388.
[13]* Moon J. W. Counting labelled Trees. — Montreal: 1970.
[14]* Beineke L. W. Pippert R. E. The number of labelled ^-dimensional trees.—
/. Comb. Theory, 1969, 6, 200—205.
[15]* Kreweras G. Counting problems in dendroids. — Comb. Structures and
their Appl. — N. Y. — London — Paris: 1970, 223—226.
[16]* Лямин В. Н., Селиванов Б. И. Перечислительные задачи для простых
гиперграфов: Сб. Комбинаторный анализ..— М.: Изд-во МГУ, вып. 3, 1974,
с. 57—67, вып. 4, 1976, с. 88—95.
[17]* Ford G. W., Uhlenbeck G. E. Combinatorial problems in the theory
of graphs, l.— Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1956, 42, 122—128.
[18]* Harary F., Prins G. The number of homeomorphically irreducible trees,
and other species. — Ada Math., 1959, 101, 141—162.
[19]* Фейнберг В. З. Группы автоморфизмов деревьев. — Докл. АН БССР,
1969, 13, № 12.
[20]* Robinson R. W., Harary F., Balaban A, T. The numbers of chiral and achi-
ral alkanes and monosubstituted alkanes. — Tetrahedron, 1976, 32, № 3,
355—361.
ЧИСЛО ДЕРЕВЬЕВ <
Р. Оттер
Математическая теория деревьев была впервые рассмотрена
в 1857 г. Кэли [1]. Он нашел рекуррентные формулы для подсче-
подсчета числа деревьев и числа корневых деревьев, причем в обоих
случаях никаких ограничений на степени вершин не накладыва-
накладывалось 2. Кэли также увидел, что понятие дерева можно использо-
использовать при изучении проблемы изомеров в химии, но для этого не-
необходимо учитывать ограничения на степени вершин. В 1931 г.
Хенце и Блейр [2] получили рекуррентные формулы для подсчета
числа конечных деревьев, у которых степени вершин не превы-
превышают четырех, а также конечных корневых деревьев, у которых
степень корня не больше трех, а степени остальных вершин не
превосходят четырех. Это было первым шагом в решении проб-
проблемы изомеров в химии. Число таких деревьев с п вершинами
совпадает с числом структурных изомеров алифатических угле-
углеводородов, т. е. химических соединений с молекулярной форму-
формулой СпН2п+2. Число таких корневых деревьев с п вершинами сов-
совпадает с числом структурных изомеров монозамещаемых алифа-
алифатических углеводородов, т. е. соединений с молекулярной
формулой Cn#2n+i-X\ где X — какой-либо химический радикал
или атом, отличный от водорода.
В своей классической работе [3] Д. Пойа в 1937 г. развил
мощный метод изучения симметрии геометрических конфигура-
конфигураций определенного типа относительно заданной группы подста-
подстановок. Используя в качестве производящих функций степенные
ряды, коэффициенты которых представляют число всевозможных
различных конфигураций, соответствующих этой группе подста-
1 Otter R. The number of trees, Annals of Mathematics, 49, № 3 A948),
583—599.
2 Рассматриваются только конечные деревья (т. е. число вершин в каж-
каждом дереве конечное). В рекуррентных формулах Кэли число всех деревьев
(или всех корневых деревьев) с некоторым фиксированным числом вершин
(каждое), например с р вершинами, выражается через числа всех деревьев
(соответственно корневых деревьев), содержащих р—1, р—2, ..., 1 вершин.—
Прим. ред.
© Перевод на русский язык, «Мир», 1979.
140 Р. Оттер
новок, он смог (на базе развитых им методов) получить функцио-
функциональные уравнения для указанных производящих функций. Эти
функциональные уравнения неявно содержат рекуррентные фор-
формулы для определения коэффициентов, и анализ этих уравнений
позволил Пойа найти асимптотические выражения для коэффи-
коэффициентов. В частности, получив рекуррентные формулы Кэли
и Хенце — Блейра, Пойа изучил много задач, представляющих
интерес для химиков, а также решил целый ряд других проблем,,
связанных с химией изомеров. Хотя в своей работе Пойа огра-
ограничился перечислением только таких деревьев и корневых де-
деревьев, которые наиболее интересны для химии, ясно, что его
методы допускают обобщение и на рассматриваемые нами слу-
случаи подсчета числа деревьев и корневых деревьев. Но не оче-
очевидно, что его методы анализа производящих функций могут
быть обобщены для получения асимптотики соответствующих ве-
величин.
Кажется, однако, что, хотя построенный им аппарат является
достаточно мощным при решении некоторых очень общих проб-
проблем симметрии геометрических конфигураций, он во многом из-
избыточен при рассмотрении только деревьев и корневых деревьев.
В этой статье для получения соотношений между производящи-
производящими функциями предлагаются чисто комбинаторные методы. Этих
методов достаточно и при изучении некоторых общих проблем,
касающихся числа деревьев и корневых деревьев, и при нахож-
нахождении рекуррентных формул для подсчета этих объектов. Более
того, применяемый здесь метод подсчета деревьев нов, интересен
и значительно проще используемых ранее. Нами также разрабо-
разработаны общие аналитические методы для нахождения асимптотиче-
асимптотических значений коэффициентов каждой из изучаемых производя-
производящих функций.
Деревом будем называть произвольный конечный связный од-
одномерный комплекс без циклов, а вершиной — концевую точку
ребра в дереве. (Таким образом, точка рассматривается как вер-
вершина даже в том случае, когда она является концевой лишь для
одного или двух ребер!) Под корневым деревом мы подразуме-
подразумеваем произвольное дерево с единственной отмеченной (выделен-
(выделенной) вершиной, называемой корнем. Степенью (индексом ветвле-
ветвления) вершины называется число ребер, инцидентных этой вер-
вершине, т. е. для которых эта вершина является общей.
Два дерева Т н Т' называются изоморфными ', если существу-
существует взаимно однозначное и в обе стороны непрерывное отображе-
отображение Т на Т', при котором вершины дерева Т отображаются в вер-
вершины дерева Т и, обратно, вершины Т отображаются в верши-
вершины Т.
1 Автор называет такие деревья гомеоморфными. — Прим.. перев.
Число деревьев 141
Два корневых дерева называются изоморфными тогда и
только тогда, когда они изоморфны как деревья и при этом ко-
корень одного дерева соответствует корню другого.
Если дано корневое дерево Т, то, удаляя одно из его ребер,
инцидентных корню, мы разбиваем Т на две части. Часть В, ко-
которая не содержит корня, называется ветвью дерева Т. Удален-
Удаленное ребро инцидентно двум вершинам, одна из них — корень де-
дерева Т, а другая — вершина из В. Принимая последнюю верши-
вершину за корень ветви В, мы тем самым превращаем В в корневое
дерево.
Некоторые ветви из Т могут быть изоморфными. Число ветвей,
которые изоморфны между собой, назовем кратностью ветвей
этого типа. Тогда очевидна следующая
Лемма. Два корневых дерева Т и Т изоморфны тогда
и только тогда, когда их ветви изоморфны и имеют одинаковую
кратность'.
Будем рассматривать только такие деревья и корневые де-
деревья, у которых степень каждой вершины, исключая корневую,
не больше, чем произвольно выбранное, но фиксированное нату-
натуральное число m (m = oo допускается и означает, что на степени
вершин ограничения не накладываются). Для корневых деревь-
ем мы выберем еще одно произвольное (но фиксированное)
натуральное число г и потребуем, чтобы степень корня не превы-
превышала г. (Аналогично г = оо допускается и означает, что на сте-
степень корня ограничения не налагаются.) В дальнейших рассмот-
рассмотрениях m фиксировано.
Через А(лг) обозначим число неизоморфных корневых де-
деревьев с п вершинами, у которых степень корня не превышает г.
Поскольку An" ) будет играть главную роль в наших рассмотре-
рассмотрениях, обозначим АТ~1) через Ап. Также по формальным сообра-
соображениям введем пустое дерево, не имеющее вершин, и положим
Ао=1.
Определим теперь следующие формальные степенные ряды:
... , т>0,
1 Точнее, для каждой ветви В дерева Т, имеющей кратность k, найдется
ветвь В' дерева Г' с той же кратностью k, изоморфная ветви В, н, обратно,
для всякой, ветви В' из Т с кратностью k найдется в Г* ветвь В, изоморф-
изоморфная В' и имеющая кратность k. — Прим. ред.
142 Р. Оттер
Разложим G(t, x) по степеням t: |
Отсюда имеем
r=0
«о (¦*)=!.
n
Мы утверждаем, что gT(x) =^T(x). Для нахождения A(nr+i
выберем произвольную вершину в качестве корня и присоединим
к ней ребрами г ветвей. Ветви необходимо выбирать из множе-
множества корневых деревьев, у которых степень корня ^т—1, что-
чтобы удовлетворить ограничениям, налагаемым числом т. Далее,
число всех вершин в г ветвях должно быть равно п, так что если
мы выберем
Но деревьев без вершин,
Hi деревьев с одной вершиной,
р,2 деревьев с двумя вершинами,
таких, что ,2'=0fJ4 = r и _2i=i'H-i~n> T0 получим корневое дере-
дерево, дающее вклад в число A^+i- Число способов, которыми можно
выбрать \ц предметов из общего числа Л,- предметов, если допус-
допускаются повторения, равно
1А[ + n — * N
I w У
а произведение таких биномиальных коэффициентов по всем i
дает в соответствии с леммой общее число корневых деревьев,
соответствующих набору (цо, ^ь---)- Если теперь просуммиро-
просуммировать эти произведения по всем щ, удовлетворяющим ограничени-
ограничениям _2г=оЦг = г и 2 j=ifYii = «, получим, согласно лемме, общее чис-
число корневых деревьев сп + 1 вершинами, у которых степень каж-
Число деревьев 143
дой вершины любой ветви не превосходит т, а степень корня не
выше г. Так как go(x) = %>(*) = 1, а для г>1 доказано, что
0 (Л х) = 2<1), (*)*'. A)
С другой стороны,
- ^ 4,log(l-*x') j = exp
+m* ' B)
Отсюда
n=0
и потому
Следовательно,в частности,
=7з<р (jc3) + V2 9 (^2) ? (¦«)+V
Так как A{nm~l) = An, то имеем (т конечно или бесконечно)
и в случае конечного т получаем следующее соотношение
для ц>(х):
-,„, C)
V 2 /
144 Р. Оттер
В случае т=оо положим Ф(дг)=фоо (х) = ^—!- , или <р(дс) =
= \-\-xty(x). Подставляя в B), получаем
\ — t
Так как, с одной стороны,
а с другой — из A) следует, что
ТО
Обе части последнего выражения представляют собой бесконеч-
бесконечные суммы формальных степенных рядов от х и t и последующие
члены этих сумм содержат более высокие степени tux1. Следо-
Следовательно, можно подставить t— 1 в обе части и получить тождест-
тождество. При этом выражение справа указывает на формальный пре-
предельный процесс, который в пределе дает г|з (я), поскольку для лю-
любой частичной суммы выполняется равенство
и легко видеть, что tyk(x) и ty(x) должны иметь равные коэффици-
коэффициенты вплоть до члена с хк+1. Отсюда получаем
ДЕРЕВЬЯ
Для подсчета числа Г„ (некорневых) деревьев с п вершинами
докажем вначале следующую лемму. Дано дерево Т. Пусть
Го — его поддерево, в котором нет подобных вершин, т. е. ника-
1 Следовательно, указанные семейства степенных рядов суммируемы
в смысле теории формальных степенных рядов. — Прим. перев.
Число деревьев 145
кие две вершины не переходит друг в друга ни при каком авто-
автоморфизме дерева Г. Пусть Р — вершина дерева Т, не принадле-
принадлежащая 70 и смежная с некоторой вершиной Q из Го. Допустим,
что а—автоморфизм дерева Т и а(Р) = Р' принадлежит Го.
Положим o(Q) = Q' и обозначим через / ребро PQ, а через /'
ребро P'Q'. Тогда справедлива
Лемма. Либо l' = l, либо Q' = Q.
Доказательство. Удалив ребро /, разбиваем Г на две части:
ТР и TQ, а удалив I', разбиваем Г на части 7V и Tq> Так как
о — автоморфизм, то о(ТР) = Т р> и &(Tq) =Tq>. Допустим те-
теперь, что 1'ф1, и докажем, что Q' = Q. Для этого достаточно
показать, что /' есть ребро из Го, так как тогда Q' принадлежит
Го, а поскольку Го не имеет двух различных подобных вершин, то
Q' = Q. Допуская, что 1'€}=Т0, приходим к противоречию.
Итак, пусть Ге^ЁГо и Р'^Т0. Это значит, что ТосТр> и, сле-
следовательно, Q^Tp'. Так как 1'ф1 и Р смежна с Q, то ^e7V и
поэтому 1(?Tq'.
Аналогично из 1ф.Т0 и QeT0 вытекает, что ToczTq; следова-
следовательно, P'^Tq. Так как 1'Ф1 и Р' смежна с Q', то I'^Tq, и в ча-
частности Q'^Tq.
Но поскольку. Q'^Tq и I^Tq', to Tq'CzTq. Кроме того,
соотношения I'^Tq и Р'ФО.' означают, что Tq> —собственное
поддерево дерева TQ. Но это в связи с конечностью дерева Т
противоречит тому, что а —автоморфизм, удовлетворяющий ус-
условию o{TQ) =Tq>.
Если /' = /, то а переставляет Р и Q, и, значит, / — симметрич-
симметричное ребро. Дерево может иметь самое большее одно симметрич-
симметричное ребро.
Допустим теперь, что То — наибольшее поддерево из Т, не
содержащее двух подобных вершин. Тогда любая вершина из Т,
смежная с какой-либо вершиной из То, подобна некоторой вер-
вершине из Го, так как в противном случае Го не будет максималь-
максимальным поддеревом указанного вида. Индукцией по числу промежу-
промежуточных вершин получаем, что каждая вершина дерева Г подоб-
подобна вершине из Го. Мы утверждаем, что каждое ребро дерева Г
(исключая симметричное ребро) подобно только одному ребру
из Го. Так как каждая вершина из Г подобна вершине из Го, то
можно предположить, что один конец, скажем Q, данного ребра
PQ принадлежит Го. Если Р также принадлежит Го, то доказа-
доказательство тривиально, так как тогда PQ принадлежит Го и, ко-
конечно, подобно самому себе при тождественном преобразовании.
В случае, когда вершина Р не принадлежит Го, она подобна вер-
вершине Р' из Го (поскольку Го по предположению является макси-
максимальным поддеревом такого вида), и наша лемма показывает,
146 Р. Оттер "Щ
что отображение, переводящее Р в Р', отображает ребро PQ щ
ребро P'Q дерева То (исключая случай, когда PQ — симметрии-*
ное ребро). {
Таким образом, если То — поддерево дерева Т, максимальное
в принятом нами смысле, то оно содержит точно по одному пред-:;
ставителю из каждого класса подобных вершин и каждого клас~1
са подобных ребер дерева Т. Известно, что эйлерова характерна
стика для любого дерева, а именно число вершин минус число!
ребер, равна 1. А так как То является деревом, то мы получаем"-
следующую теорему, несколько уточняющую эйлерову характер
ристику дерева. :
Теорема. В любом дереве число неподобных вершин ми-
минус число неподобных ребер (исключая симметричное ребро):
равно 1. J
Следовательно, если мы подсчитаем общее число неподобных
вершин, встречающихся среди всех деревьев с п вершинами, и
вычтем из него общее число неподобных ребер (исключая сим-
симметричные ребра), содержащихся в этих деревьях, то, поскольку
каждое отдельное дерево дает вклад, равный 1, в результате по-
получим общее число деревьев. Общее число неподобных вершин
есть в точности Лп<т). Общее число неподобных ребер (исключая
симметричные ребра) есть
1 Ж1 я(т—П я (т—1) i (л/2 I 1
2 j^J ' ' V 2 I 2
«;+./=¦ л _ !+j=n
где Л„/2=0 при нечетном п. Действительно, первое слагаемое,
слева определяет число деревьев с выделенным ребром, таким^
что удаление его дает два связных графа с различным числом
вершин. В сумме каждый член подсчитывается дважды, отсюда
множитель 1/2. Второе слагаемое определяет число деревьев с
выделенным ребром, таким, что удаление этого ребра приводит
к двум корневым деревьям с одинаковым числом вершин. Выде-
Выделенное ребро не может быть симметричным, так как повторения
при выборе не допускаются. В обоих слагаемых мы проследили
за тем, чтобы степень каждой вершины в объединенном дереве
не превышала т. Следовательно, если мы определим Тп как;
число деревьев с п вершинами, то получим
Если теперь положить Q(x)=T\ + T2x+T3x2 + ..., то приходим
к соотношению
Число деревьев 147
х(!гт-1(х)У + х*т-1(х>)+..., E)
которое верно и при т = оо, если положить гр»(х) — \|з(x).
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ
Имеем
2
и логарифмическая производная дает
00 ОО
2 i
v=0
S
Умножая на л;г])(л;), находим
2 лля+1^[ Л [
[ ) (
v,|l=l / \p=0 / П = 1 \v(l+p
P>0
1КЯ 2().<Л
Вводя обозначения
4л+1-1> ДЛЯ I <. П, Ол =U ПрИ
получаем
или, в другой записи,
5<,')==5«'21+л|1+1_/; . (б)
что вместе с соотношением
2 ) G)
дает удобные формулы для вычисления коэффициентов Ап. Ис-
Используя F) и G), можно показать, что $(х) сходится в окрест-
окрестности точки х = 0. Числа Ап образуют монотонно возрастающую
148 Р. Оттер
последовательность положительных чисел, так что, заменяя все
члены в Snl) на An+i-i, получаем
?>п -С. — An+i_i,
поскольку в сумме 5^'' содержится самое большее n/i членов.
Отсюда
Ап+1 < А!Ап 4- Л2Л„_Х +... + AnAt.
Если мы теперь определим последовательность чисел В\, Вг, •••,
полагая Вх = 1 и Bn+i = 2 *+j="+i &iBj, то по индукции немедлен-
немедленно устанавливаем, что Лп^-Вп для всех п. Если положить f(x) =
В,д:\ то /(л;) является решением уравнения у2—у + х=
l
= 0, и потому
Следовательно,
так что ряд гр (л:) абсолютно сходится при |л:|<74- Отсюда сле-
следует, что ряд (f(x) (для конечного и бесконечного гп), а также
ряды tyr(x) как многочлены от ц>{х) сходятся в той же области.
Пусть а —радиус сходимости рядов ср(л;) или $(х) (в зависимо-
зависимости от того, /п<оо или /п=оо).
Так как функции ср(л;) (т<оо) и $(х) (т = оо)—суммы сте-
степенных рядов с положительными коэффициентами, то точка
х = а является особой. Покажем, что всюду, кроме окружности
| х| = а, эти функции аналитичны и, следовательно, допускают
аналитическое продолжение на область, большую, чем |*|<a.
При х = а эти функции имеют ветвление порядка 1, так что они
являются аналитическими функциями от Уд: — а, и асимптоти-
асимптотические оценки коэффициентов основываются на этих фактах.
Чтобы строго обосновать эти утверждения, воспользуемся тем,
что для действительных х, 0<*<a, функции положительны и
монотонно возрастают по х.
Пусть
Ы (т) -
Число деревьев 149-
при г^О и #г=0 при г<0. Тогда формализм, с помощью кото*
рого были получены соотношения A) и B), показывает, что
Беря производную по у\ от обеих частей полученного соотноше-
соотношения, имеем
В случае т<оо функциональное уравнение C) для <р(х) пока»
зывает, что
11
—у(х) = //ш_1 (<p(jc), <p(jc ),.. .)=фт_1 (jc).
X X
Дифференцируя по х, получаем соотношение
которое в терминах функций tyv(x) принимает вид
m-l
' {X) = ~ (<? (X)-
Так как для действительного х, 0<*<a, функции ср(л;) и ф'(х)
принимают положительные значения >1, то ясно, что
X
—i|)m-2(*)>0 в той же области. С другой стороны, так как
г|зто_г(л;) является мажорантой для геометрической прогрессии,
то
для действительных *>1/2. Следовательно, а^1/2 для всех ко-
конечных rn, a также для т = оо. Функциональные уравнения C)
и D) для ф(л;) и г|з(л;) показывают, что для 0<*<<x
следовательно,
150 Р. Оттер
так что ф(*) (в случае /п^З) и ty(x) (m = oo) ограничены на
действительной оси при х<а. Обе функции ср(л:) и гр(л:) моно-
монотонно возрастают по х, так что существуют
)=a и
JT-Ml
При х=а частичные суммы рядов, определяющих ср(л:) и ty(x),
монотонны и ограничены сверху числом а. Отсюда по теореме
Абеля имеем
<р(а)=а, 3</га-<оо; ф(а)=а, т=оо,
и величины а и а удовлетворяют функциональным уравнениям
C) и D). Так как а<1, допустим, что ц>{х{) и г|з(л;г) —известные
аналитические функции от х при всех i^2 и всех |л;|^а. Если
теперь положить y = q>(x) или y = ty(x) (в зависимости от значе-
значения т), то у удовлетворяет уравнению %(х, у)—0, где
(¦*. у) = .
_
3
A0)
—г/, т=оо.
Более того, функции г/=ср(х) и y = ty(x) —единственные аналити-
аналитические решения для |л;|<а, и, как известно, 8f(a, a)=0. В окре-
окрестности точки х = а, у = а функция %{х, у) аналитична по каждой
переменной отдельно. Ясно, что Sy(a, a) =0, так как в противном
случае существовала бы функция от х, являющаяся решением
уравнения 8f(*, г/)=0 и аналитическая в окрестности точки х = а,
у=п. Этой функцией должна быть <p(*) или ty(x), что противо-
противоречит тому, что точка х = а особая для этих функций. Если обра-
обратиться к соотношениям (8) и A0), то ясно, что Sj/(a,.a)=0 дает
фт_2(а)=— в случае 3</га<оо,
1
Ф(а)=— в случае т=оо.
С другой стороны, обращаясь к формулам (8) — A0), получаем
соотношение
Число деревьев
151
(*L\ - ff'(M)-0,
которое показывает, что х— аналитическая функция от у в окре-
окрестности точки х = а, у = а, такая, что
Но
поскольку
и, следовательно, обратные функции у = (р(х) и y = ty(x) имеют
в точке х = а ветвление первого порядка.
Нами показано, что ty(x) и ф(л;), следовательно, и if>r(*), абсо-
абсолютно сходятся при х=а. Поскольку эти степенные ряды имеют
положительные коэффициенты, то, как известно, они будут аб-
абсолютно и равномерно сходиться при |*|^a и потому опреде-
определять непрерывные функции при |*|=a. Для любого |*|=a, но
хфа, степенные ряды определяют значения г/ = ср(х), y=ty(x),
и из вида функции %(х, у) следует, что в окрестности такой точ-
точки (х, у) эта функция является аналитической отдельно по
каждой переменной. Если снова обратиться к A0), положив
у = (р(х) и у = "§(х), то станет ясно, что
При |л:| =а
имеем
l
X
Следовательно, на границе круга |*|=а (хфа)
откуда заключаем, что ср(х) и гр(л;) —аналитические функции в
круге сходимости определяющих их степенных рядов. При х=а
они являются регулярными функциями от Y* —а- Таким обра-
образом, мы смогли расширить область аналитичности для указан-
указанных функций до круговой области с радиусом, большим а, и раз-
разрезом из точки х = а вдоль положительной части действительной
оси. Внутри этой области имеем
152 Р. Оттер
A2)
где t = Yx — а и Л = 8(а), и в каждой из формул A2) функция
R(x) регулярна внутри указанной расширенной области.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ b, D
Для /п<оо в окрестности точки х = а имеем
Если положить
tyr{x)=ar-\-ct-\-..., a,=<!¦,(<*).
то
Подсчитывая только те члены из —(Фг (¦*))• которые не ограни-
dx
чены при х = а, получаем
где c=bOr~i, и потому
Из (9), если положить—<?(х) =tym-i(*)> имеем
X X
т—\
что в окрестности точки * = а дает разложение
т—1
лричем опущенные слагаемые в каждой части этого равенства
содержат члены со степенями t, не меньшими 1. Вспоминая, что
Число деревьев 15U
'. Фт-2(а)=:0 (см- A1)), и приравнивая свободные члены, по-
а
лучаем соотношение
т—1
j Ра± amx + ^ -у (а') а_1-„
которое дает & в случае /п<сх}.
В случае т = <х> в окрестности точки *=а имеем
ct
так что
х?(х)(\-хЪ(х))=Цх)'21(х'Ч(х') + х*'1+*?(х'+1)). A4)
v = l
В окрестности точки х — а последнее выражение дает
где опущенные слагаемые содержат члены со степенями /, не
меньшими 1. Вспоминая, что 1—cap(a)=0 (см. A1)), после при-
приравнивания свободных членов получаем соотношение
которое дает b в случае т=оо.
Для конечного или бесконечного т, согласно E), имеем
где г|)оо(*) =г|)(х). В окрестности точки х = а
Если m<oo, то имеем соотношение ^т-хХ=—(<f(x) — 1), так
что
154 Р. Оттер
¦f (*ft«-i(*)>2)=T-( —M*)-!J
Следовательно,
'" V
где все опущенные члены — аналитические функции от х в окре-
окрестности точки х=а. Отсюда имеем
что обосновывает ограниченность функции Q'(x) при x->a и, сле-
следовательно, доказывает, что В — О. Вычислим теперь Q"(x), опу-
опуская все члены, которые ограничены при х—а:
т—\
*"" V (
—1
Если мы обратимся к A3), то увидим, что 0"(л:) = —-~Ь1ат^.ъ X
X \-.... Но, с другой стороны, п"(х)=— ?)//-(-..., так что
D = —Lb*am_3^0. A6)
В случае т = оо в соответствии с E), опуская члены, которые
являются аналитическими функциями от х в точке х=а, имеем
и из A4) получаем соотношение
Число деревьев 155
которое устанавливает ограниченность 8'(x) при х-^а и, следо-
следовательно, доказывает, что В = 0. Вычислим теперь Q"(x). Опу-
Опуская все члены, которые ограничены при х = а, получаем
так что
Обращаясь к A5), находим
3D, Ь
следовательно,
A7)
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ЗНАЧЕНИЯ ВЕЛИЧИН
Внутри круговой области с радиусом, большим а, и разре-
разрезом, исходящим из х=а вдоль числовой оси х, для т конечного
или бесконечного имеем
для т конечного
для т бесконечного
— ЬЧЧ* + т (х),
3
где t—Ух—а, Л = Э(а), ай=1фй(а); параметр й дается фор-
формулами A3) и A5); параметр а равен ф(а) либо \|)(о) в зависи-
156
Р. Оттер
мости от того, т конечное или бесконечное; функция R(x) (для
каждой из приведенных выше формул своя) регулярна по х.
Если теперь выразить коэффициенты Ап, А(пг) и Тп с помощью
интегральной формулы Коши, выбрав в качестве пути интегриро-
интегрирования окружность радиуса г>а, лежащую внутри расширенной
•области, а также верхний" и нижний края разреза, то получим
следующие оценки:
для З
для
¦
для т =
Так как
то, полагая
для 3sg
для 3^/
А
' л
г
1
3
ОО
I/ 1/2 \|
II л Л
Н=Р>
*<оо
ь([
ь{1
2/
Па<1/2
/3/2\
~31 л }
/2 М C/2
1
ял3/2 '
получаем:
л
Т
Рдг_
ра1/2
2 /it
) _л | Г) / а
V л5/5
E/2)_
+
^_„ | Г) (О.~"
«,-.+o(i
1/3/2 \|
11 п }\ 41
ja3/2 a-n .
а""
л3/2 '
j '
/а~"\ .
1 л7/2 / '
\
1 )
я-
3
Кял5/2 *
„5/.;
ДЛЯ 171 = ОО
3'2
"^2/S " л3/2 '
"^ 4/я " л5/2 '
Число деревьев 157
ЧАСТНЫЙ СЛУЧАИ: от = 3
Для т = 3 функциональное уравнение настолько просто, что
параметры а и Ь легче находятся с помощью частных методов.
В самом деле, так как C) дает
J-?(*)-i = -i-T(**) + -i-(?(x)J>, A8)
X X & ?*
то, подставляя в A8) \а(х) = 1—ху(х) или ср(х) = A—ц(х))/х,
получаем
J 1-
xx x 2 лг2 ' 2 лг2
что после упрощения приводит к уравнению
Это функциональное уравнение детально изучено Веддербур-
ном [4].
Так как мы нашли, что i|)i(;e) =ср(х) для любого т и
¦фт-2(а) = 1/а для конечного т, то в случае т = 3 имеем ср(а) =
= 1/а и, следовательно, ц(а)=0. Поэтому ц(а2)=2а, ц(а4)=6а2
и т. д. Допустим, что нам известны числа Со = 2, сь с2, ..., с„_ь
такие, что
[1 (а2 ) = сй_!а для k^.n,
тогда
Следовательно, со = 2, сп=с\-\-\-2, так что
со=2, с1 = 6, с2=38, с3=1446, с4 = 2090918,....
2"/ 2"
Далее, У ji(a2"+) = a F с„, и, так как limti(a2")=ti(O)= 1,
получаем l/a = lim У сп. Поскольку [j,(a2"+1)=l — a2"+1 —.... то
re-*-»
2",
2" с _Jn
так что ошибка, возникающая от того, что мы полагаем справед-
2/
ливым ! т/ г приближенно равна
В окрестности точки х=а имеем у(х)=(\1а)-\-Ы-\-..., р{х)=
= 1 — jc9(jc)=1 — a (I/a) — abt— ..., и, следовательно, —ab =
= Iim /ifL- ¦ Далее
— a1
158
Р. Оттер
так как ц(а2) = 2а. Таким образом, lim (|х(*)J =— 2-f 2сф/(а2).
х-*а X — а
Так как из A9) имеем хр'(х2)=р(х)\>.'(х)-\- 1, то
1-V (а2") =
(а2)),
и, следовательно,
так что
cocic2
¦«¦—СС
Cg CqC\ C\
Поскольку ф(х) монотонно возрастает, когда х-*~а вдоль дейст-
действительной оси, то Ъ — чисто мнимое число и имеет положитель-
положительную мнимую часть. Следовательно,
mi уд; — а1
Используя указанный метод и полагая —= /2 090 918, легко
а
получаем, что
а = 0,4026975, р=6,1603212.
Следующая таблица призвана показать, как асимптотические
значения согласуются с действительными значениями тех же
величин, полученных с помощью рекуррентных формул для част-
частных случаев т = 4 и т = оо:
1
2
3
4
5
10
15
18
a=O
E=3,
2V"
=.0,.
An
1
1
2
4
8
507
48 965
830 219
m =
3551817;
080388
5178760
А„
1
1
2
4
8
513
49 363
838 099
4
a = 2,
P%5/2
4Уя
117421
2
= 0,6563190
1
1
1
2
3
75
4 347
60 523
Тп
1
1
1
1
2
65
4 170
59 008
m
a = 0,;
= oo
5383219
P = 7,924780
Pa 3,2
2jAi
= 0,4399237
l
l
2
4
9
719
87 811
1 721 159
An
1
1
2
4
9
708
86 965
1 708 440
рза9/2
41/я
= 0,5349485
Tn
1
1
1
2
3
106
7 741
123 867
Тп
2
1
1
2
2
86
7 050
114 875
Число деревьев 159
Асимптотическое" значение для Л„ обозначается через Ап (ана-
(аналогично для Тп). Данные в случае /п = 4 были взяты из таблиц,
составленных Хенце и Блейром. Решаемое функциональное урав-
уравнение для случая т = 4 имеет вид
-L ср (X) - -L = -i- ср (х8) + -1. с? (*2) ср (X) + -J (? WK,
где коэффициент при хп в степенном ряде, определяющем ср(х)
в окрестности начала координат, есть число структурных изоме-
изомеров монозамещаемых алифатических углеводородов с п атома-
атомами углерода. Следовательно, в окрестности точки х=0 функция
<f(x) имеет разложение
Примечательно, что уже при начальных значениях параметров
оценки весьма надежны.
Список литературы
[1] Cayley A., Collected Mathematical Papers, Cambridge, 1889—1897; 3, 242; 9,
202, 427; 11, 365; 13, 26.
[2] Henze H. R., Blair С M., /. Am. Chem. Soc, 53, 3042, 3077 A931).
[3] Polya G., Ada Mathematica, 68, 145 A937) (см. настоящий сборник, стр. 36).
[4] Wedderburn, Ann. of Math., 24, 121 A922).
ОБ ОСНОВАХ КОМБИНАТОРНОЙ ТЕОРИИ (VI):
ИДЕЯ ПРОИЗВОДЯЩЕЙ ФУНКЦИИ1
П. Дубиле, Дж.-К. Рота, Р. Стенли
1. Введение
С тех пор как Лаплас обнаружил замечательное соответ-
соответствие между теоретико-множественными операциями и опера-
операциями над формальными степенными рядами и с большим
успехом использовал его для решения разнообразных комбина-
комбинаторных задач, производящие функции (и их непрерывные ана-
аналоги, а именно характеристические функции) стали неотъемле-
неотъемлемой частью вероятностной и комбинаторной техники. Однако
единое изложение их теории в литературе отсутствует. Это и
не удивительно в свете того факта, что все наиболее часто
встречающиеся производящие функции рассматривались как
простое применение обычных методов гармонического анали-
анализа. Из нескольких примеров, обсуждаемых в этой статье, будет
явствовать, что это не так: чтобы распространить теорию за ее
настоящие границы и изложить новые виды алгебр производя-
производящих функций, которые лучше удовлетворяют требованиям ком-
комбинаторных и вероятностных задач, представляется необходи-
необходимым отказаться от понятия групповой алгебры (или полугруппо-
полугрупповой алгебры), так широко распространенного в настоящее
время и вместо этого положиться на другой, в общем, подход.
Недостаточность понятия полугрупповой алгебры ясно видна
на примере рядов Дирихле. Функции
П->Чп\ A.1)
определенные на полугруппе 5 положительных целых чисел от-
относительно умножения-, являются характерами 5. Однако они не
составляют всех характеров этой полугруппы, и не видно кано-
канонического способа отделения этих характеров от остальных (см.,
например, Хьюитт и Цукерман i[32]). Другими словами, не вид-
видно естественного способа охарактеризовать алгебру формаль-
1 Doubilet P., Rota G.-C, Stanley R., On the foundations of combinatorial
theory (VI): The idea of generating function, Proceedings of the Sixth Berkely
Symposium on Mathematical Statistics and Probability, v. II, University of Cali-
California Press, 1972, 267—318.
© Перевод на русский язык, «Мир», 1979
Об основах комбинаторной теории (VI) 16!
ных рядов Дирихле как подалгебру полугрупповой алгебры (воз-
(возможно, полную при подходящей топологии) полугруппы S. В
настоящей теории, однако, как мы увидим, алгебра формальных
рядов Дирихле естественно возникает из алгебры инцидентности
(определение дано ниже) решетки конечных циклических групп.
Цель этой работы — начать разработку теории производящих
функций, которая не только будет включать все алгебры произ-
производящих функций, используемые до сих пор (обычная, экспонен-
экспоненциальная, Дирихле, эйлерова к т. д.), но доставит также систе-
систематическую технику построения других алгебр производящих
функций, пригодных для конкретных перечислений. Наше исход-
исходное наблюдение заключается в том, что большинство семейств
дискретных структур, которые часто лишены каких-либо алгебра-
алгебраических законов композиции, тем не менее часто снабжены ес-
естественной порядковой структурой. Поэтому оказывается, что
решение задачи их перечисления зависит чаще не от соответст-
соответствующего подходящего вычислительного средства, а от этой по-
порядковой структуры.
Наша исходная точка — понятие алгебры инцидентности,
краткое изучение которой было начато в предыдущей статье 1 и
которое здесь снова обсуждается. Раздел 3 содержит основные
факты о структуре алгебры инцидентности упорядоченного мно-
множества. Возможно, наиболее интересным новым результатом яв-
является явная характеризация решетки двусторонних идеалов. Из
недавних результатов Эйгнера, Принса и Глисона (мотивиро-
(мотивированных настоящей работой) следует, что на упорядоченном мно-
множестве с единственным минимальным элементом алгебра инци-
инцидентности однозначно характеризуется ее решеткой идеалов. Это
утверждение уже неверно, если упорядоченное множество имеет
не единственный минимальный элемент. В частности, решетка
двусторонних идеалов дистрибутивна — необычное явление в не-
некоммутативной алгебре. Наша характеризация радикала наво-
наводит на мысль, что возможно простое аксиоматическое описание
алгебр инцидентности, и мы надеемся, что кто-нибудь возьмет
на себя эту задачу.
В разд. 4 вводится основной рабочий инструмент, а именно
редуцированная алгебра инцидентности. Это понятие естественно
возникает при наделении сегментов упорядоченного множества
отношением эквивалентности. Такая эквивалентность обычно за-
задается рассматриваемой задачей и приводит к определению ко-
коэффициентов инцидентности — естественному обобщению клас-
классических биномиальных коэффициентов. После краткого изуче-
изучения семейства всех отношений эквивалентности, совместимых со
структурой алгебры, мы на примерах показываем, что все клас-
1 Имеется в виду работа [49]. — Прим. перев.
6-1751
162 П. Дубиле, Дж.-К. Рота, Р. Стенли
сические производящие функции (и их коэффициенты инцидент-
инцидентности) могут быть получены как редуцированные алгебры инци-
инцидентности. Мы полагаем, что это является замечательным фак-
фактом и вообще наиболее неоспоримым аргументом в пользу
использования ,настоящей техники.
В разд. 5 понятие редуцированных алгебр инцидентности
распространяется на семейства упорядоченных структур. Наибо-
Наиболее важными результатами здесь, возможно, являются понятие
мультипликативных функций на разбиениях множества и изо-
изоморфизм с полугруппой формальных степенных рядов без сво-
свободного члена относительно функциональной композиции (тео-
(теорема 5.1). Не имея возможности увеличивать объем изложения,
мы привели лишь несколько приложений, которые позволили бы
указать обширный ряд решаемых задач (например, перечисле-
перечисление решений уравнения в симметрической группе Gn как функ-
функции от п). Продолжая обсуждение той же самой идеи, мы полу-
получаем алгебру мультипликативных функций на классе упорядочен-
упорядоченных структур, недавно изученных Доулингом [19], которые были
лодсказаны задачами теории кодирования. Наконец, мы полу-
получаем алгебру Филиппа Холла, возникающую при перечислении
абелевых групп, как универсальную алгебру инцидентности '.
В разд. 6 изучается странное явление, указанное в разд. 4,
а именно что максимально редуцированная алгебра инцидент-
инцидентности не совпадает с алгеброй, получаемой при отождествлении
изоморфных сегментов упорядоченного множества. Определена
структура этой алгебры.
В разд. 7, 8 и 9 детально изучаются те алгебры производя-
производящих функций, которые наиболее близки к классическим случаям.
Алгебры типа Дирихле суть алгебры, в которых могут быть оп-
определены все аналоги классических теоретико-числовых функ-
функций, включая классическую формулу произведения для дзета-
функций. Алгебры биномиального типа близки к классическим
экспоненциальным производящим функциям и естественно воз-
возникают в связи с некоторыми блок-схемами. При слабых пред-
предположениях мы даем полную классификацию таких алгебр.
Ряд применений и множество других примеров здесь не мо-
могут быть рассмотрены. Упомянем среди них общую теорию муль-
мультипликативных функций и их связь со структурой коалгебры (эс-
(эскизно набросанную Гольдманом и Рота [25]) и универсальные
алгебры инцидентности, возникающие при изучении классов ком-
комбинаторных геометрий, замкнутых относительно операции взя-
взятия миноров, в частности кодовые геометрии Р. К. Бозе и
1 В оригинале используется термин «large incidence algebra». — Прим.
перев.
Об основах комбинаторной теории (VI) 163
Б. Сегре, частными случаями которых являются решетки Доу-
линга.
Эта работа была начата летом 1966 г. в Лос-Аламосе. С того
времени понятие редуцированной алгебры инцидентности было
независимо открыто Д. А. Смитом и Г. Шейдом, которые обна-
обнаружили несколько интересных свойств. Большая часть материа-
материала, представленного здесь, за очевидным исключением некото-
некоторых примеров, по-видимому, является новой.
2. Обозначения и терминология
От читателя этой работы требуется весьма умеренная подго-
подготовка. Здесь будет введено большинство понятий, достаточно ос-
основополагающих, чтобы в дальнейшем их можно было не опре-
определять.
Отношение частичного порядка (обозначение ^) на множе-
множестве Р — отношение, которое рефлексивно, транзитивно и анти-
антисимметрично (т. е. из а^.Ь и Ь^а следует, что а — Ь). Множест-
Множество Р вместе с отношением частичного порядка есть частично упо-
упорядоченное множество или просто упорядоченное множество.
Сегмент 1 [х, у] для х и у из Р — множество всех элементов z, та-
таких, что х^г^г/. Частично упорядоченное множество локально
конечно, если каждый его сегмент конечен. Мы будем рассмат-
рассматривать лишь локально конечные частично упорядоченные мно-
множества.
Говорят, что упорядоченное множество Р имеет 0 (или 1), ес-
если оно имеет единственный наименьший (или наибольший2) эле-
элемент.
Порядковый идеал в упорядоченном множестве Р есть под-
подмножество Z множества Р, обладающее свойством: если x^Z и
то yeZ.
Произведение PXQ двух упорядоченных множеств Р и Q —
множество всех упорядоченных пар (р, q),nep^P и q^Q, наде-
наделенное порядком: (р, q)~^(r, s), если р^г и q^s. Произведение
любого числа частично упорядоченных множеств определяется
аналогично. Прямая сумма, или непересекающееся объединение,
P + Q двух упорядоченных множеств Р и Q есть теоретико-мно-
теоретико-множественное непересекающееся объединение Р и Q с упорядоче-
упорядочением х^у тогда и только тогда, когда 1) х, у^Р и х^у в Р или
2) х, yeQ и х^у в Q. Заметим, что если реР и q^Q, то р и q
несравнимы.
1 В отечественной литературе принят термин «интервал». — Прим. перее,
2 Определения наименьшего и наибольшего элементов, наименьшей верх-
верхней грани и наибольшей нижней грани и других стандартных терминов тео-
теории частично упорядоченных множеств см. в [62]. — Прим. перев.
164 П. Дубиле, Дж.-К. Рота, Р. Стенли
В упорядоченном множестве Р элемент р покрывает элемент
q, если сегмент [q, p] содержит два элемента. Атом — элемент, ко-
который покрывает минимальный элемент.
Цепь — упорядоченное множество, в котором каждая пара
элементов сравнима. Максимальная цепь в сегменте [х, у] упоря-
упорядоченного множества Р есть последовательность (х0, Х\, ... , хп),
где Хо~х, хп = у и Хг+i покрывает Х\ для всех г = 0, 1,... ,п—1.
Говорят, что цепь (х0, Х\, .. ., хп) имеет длину п. Антицепь —
упорядоченное множество, в котором нет ни одной пары различ-
различных сравнимых элементов.
Упорядоченное множество Р*. получаемое из упорядоченного
множества Р обращением порядка, называется двойственным
или дуальным к Р.
Решетка — упорядоченное множество, в котором определены
наименьшая верхняя и наибольшая нижняя грани для любых
двух элементов (мы называем их объединением и пересечением и
обозначаем V и Д соответственно). Полная решетка есть ре-
решетка, в которой объединение и пересечение существуют для
любых подмножеств. Подрешетка U решетки L — подмножество,
являющееся решеткой с индуцированным отношением порядка, в
которой объединение и пересечение двух элементов соответ-
соответствуют объединению и пересечению в L. Определения дистрибу-
дистрибутивной, модулярной и полумодулярной решеток см. у Биркго-
фа [62].
Разбиение множества 5 — множество непересекающихся не-
непустых подмножеств 5, объединение которых есть 5. Подмножест-
Подмножества множества 5, образующие разбиение, называются блоками
разбиения. Решетка разбиений ПE) множества 5 есть множест-
множество разбиений 5, упорядоченных по уточнению: разбиение л мень-
меньше разбиения о (или уточняет о), если каждый блок я содер-
содержится в некотором блоке о. Далее, 0 в ПE) —разбиение, блоки
которого суть одноэлементные подмножества S, и 1 в ПE) —
разбиение, состоящее из одного блока. Имеется естественное со-
соответствие между отношениями эквивалентности на множестве
5 и разбиениями S, так как классы эквивалентности отношений
эквивалентности составляют блоки разбиения и, следовательно,
существует индуцированная структура решетки на семействе от-
отношений эквивалентности множества 5.
В начале разд. 3 мы определим алгебру инцидентности
1(Р, К) локально конечного упорядоченного множества Р над по-
полем К- Будем всюду предполагать, что К имеет характеристику
О, за исключением последнего пункта разд. 6, где явно сообщает-
сообщается, что рассматривается другая характеристика. Мы также пред-
предположим, что К является топологическим полем, и, если тополо-
топология К не уточняется, мы рассматриваем К как имеющее дискрет-
дискретную топологию.
Об основах комбинаторной теории (VI)
165
Предполагается некоторое знакомство со стр. 342—347 «Ос-
«Основ» I [49]', где даны определения функции Мёбиуса и дзета-
функции и установлены некоторые элементарные свойства ал-
алгебры инцидентности.
3. Структура алгебры инцидентности
3.1. Основные идентификации. Как упомянуто в разд. 2, опре-
определим алгебру инцидентности I (P, К) локально конечного упо-
упорядоченного множества Р над полем К следующим образом.
Элементами 1(Р, К) являются функции от двух переменных
f(x, у) со значениями в К., где х и у пробегают множество Р, с
единственным ограничением: f(x,y)=O, если не выполняется от-
отношение х^у. Сумма двух таких функций и умножение на ска-
скаляры определяются, как обычно, а произведение h = f *g опреде-
определяется следующим образом:
h(x, y) =
, z)g(z,y).
C.1)
В силу предположения о локальной конечности упорядоченного
множества Р переменная z в правой части суммы пробегает ко-
конечный сегмент [х, у].
Непосредственно проверяется, что это произведение ассоциа-
ассоциативно. Также легко проверяется, что алгебра инцидентности ком-
коммутативна тогда и только тогда, когда отношение порядка на Р
тривиально, т. е. тогда и только тогда, когда в Р нет ни одной
пары сравнимых элементов. Для удобства мы будем опускать
упоминание о поле К и кратко писать 1(Р), подразумевая сог-
соглашение о том, что К повсюду остается фиксированным.
Единичный элемент алгебры 1(Р) будем обозначать через б,
как и дельта-функцию Кронекера. Кроме того, мы будем исполь-
использовать следующие обозначения для некоторых элементов \(Р).
Положим
ех(и, v) =
если
«ели
, и
1, если u=v — x,
О в противном случае,
1, если и=х и v — y,
О б противном случае,
C.2)
C.3)
1 См. также работу Бендера н Гольдмаиа, стр. 311 настоящего сборни-
аса. — Прим. перев.
166 П. Дубиле, Дж.-К. Рота, Р. Стенли
Ясно, что элементы ех суть идемпотенты, а 6Х, у — аналоги
матричных единиц теории колец (см. Джекобсон [35]). Заметим,
что ех = 6х,х.
Впоследствии будем использовать следующие легко прове-
проверяемые тождества:
, , , fO при и фх,
если ? = 8,„*/, тс g (и, v) = { г
ё х'у J sv ' 1/@ в) при и = х; C.4)
при юфт®,
{/( z) при v = w; C-5)
* , „ , , 0 при и фх или чзф w,.
если g = *x,v*f*bwt то g(u, v) = \ ,
If (у, z) при и = х и v = w,
C.6)
т. е. bx,y*f*b2,w=f(y,z)bXtW. В частности, ex*f*ey = f(x, y)bx,w
88 8()8
/(
если g = f*Zz>w, то g{u, чз) = \
{/(и,
0
3.2. Стандартная топология. Топология на \{Р) определяется:
следующим образом. Обобщенная последовательность {/«} схо-
сходится в I (P) к / тогда и только тогда, когда для каждых х и у
последовательность fn(x, у) сходится к f(x, у) в поле К- Эту то-
топологию мы ,назовем стандартной топологией алгебры \(Р).
Предложение 3.1. Пусть Р — локально конечное упоря-
упорядоченное множество. Тогда алгебра инцидентности \(Р), снаб-
снабженная стандартной топологией, есть топологическая алгебра.
Доказательство. В правой части определения произведения:
C.1) при фиксированных х и у содержится лишь конечное числа
членов; отсюда сразу следует, что произведение (/, g)-*-J •¦' g не-
непрерывно по обеим переменным. Проверка всех других свойств,
проводится непосредственно. ^
Впоследствии нам не раз представится возможность исполь-
использовать бесконечные суммы вида
/= 2 f(x<y)Ky, C.7>
и сейчас мы обсудим смысл, который будет приписываться пра-
правой части. Пусть Ф — ориентированное множество конечных под-
подмножеств из РХР, обладающее следующими свойствами:
1) Ф упорядочено по включению;
2) для каждой пары, х, у^Р существует элемент ЛеФ, такой,,
что (х, г/)еЛ.
Будем называть такое ориентированное множество стандарт-
стандартным.
Об основах комбинаторной теории (VI) 167
Предложение 3.2. Пусть Ф — стандартное ориентирован-
ориентированное множество. Тогда множество {/л|^еФ}, где /А определяет-
определяется посредством
/А= 2 /(•*• у)***> <3-8)
в стандартной топологии алгебры инцидентности I (P) сходится
к элементу f.
Доказательство. Возьмем Л^Ф так, чтобы (х, у)еЛ. Тогда
для каждого ВеФ, В^А, имеем fB{x, у)—f{x, у) = 0. Ш
На языке классической комбинаторики данное утверждение
•формулируется так: сумма из правой части C.7) сходится к
элементу / вместе со всеми ее «перестановками». Это оправды-
оправдывает использование символа суммирования в правой части C.7),
и с этого момента мы будем его свободно использовать.
3.3. Структура идеалов. Определим теперь решетку (двусто-
(двустороннюю, замкнутую) идеалов алгебры инцидентности 1{Р),
снабженной стандартной топологией. Для конечных Р все двусто-
двусторонние идеалы замкнуты, так что приведенная ниже теорема 3.1
определяет решетку всех идеалов.
Пусть / — замкнутый идеал в 1(Р) и Д(/)—совокупность
всех элементов 6Х,У, принадлежащих /. Назовем А (/) носителем
идеала /. Тогда любая конечная или бесконечная линейная ком-
комбинация функций 6ж,уеД(/) дает элемент из /. Обратно, если
/е/, то, согласно C.6)
ex*f*ee=f{xty)bx<y; C.9)
откуда следует, что 6ж,иеД (/), если f(x, у) ^=0. Тем самым дока-
доказана
Лемма 3.1. Каждый замкнутый идеал J в алгебре инцидент-
инцидентности 1{Р) состоит из всех функций /el(P), таких, что f{x, y) =
= 0, как только 6х,у?? \(J).
Пусть теперь Z(J) есть семейство всех сегментов [х, у], таких,
что f(x, у) =0 для всех /е/. Тогда справедлива
Лемма 3.2. Если[х, y]^Z(J) и x^u^.v^y, то [и, v]
Доказательство получается немедленно. Пусть fe/. Снова
швиду C.6)
*x.u*f*v,y = f(a>v)iXiy. C.10)
Таким образом, если бж,у 5= ^> т0 /("> v)=0 и [и, o]eZ(/).i
Мы теперь готовы сформулировать основной результат.
168 П. Дубиле, Дж.-К. Рота, Р. Стенли
Теорема 3.1. Пусть S(P) —множество всех сегментов ло-
локально конечного упорядоченного множества Р, упорядоченных
по включению. Тогда существует естественный антиизоморфизм
между решеткой замкнутых идеалов алгебры инцидентности
\(Р) и решеткой порядковых идеалов множества S{P).
Доказательство. Пусть / — идеал в \{Р) и Z(/) —семейство
сегментов, определенное выше. Лемма 3.1 показывает, что Z(J)
однозначно определяет /, а из леммы 3.2 следует, что Z(J) — по-
порядковый идеал в5(Р).
Обратно, пусть Z — порядковый идеал в S(P) и / — множест-
множество всех fel (/>), для которых f(x, у) = 0, если [х, y]^Z. Тогда / —
идеал. В самом деле, если элемент gel(P) выбран произвольно,
/е/, [х, y]<=Z и h=f*g, то
h(x, у) = 2 f(x,z)g(z,y) = 0, C.11),
так как f(x, z) = 0 для всех z, заключенных между х и у. Анало-
Аналогично для умножения слева. Так как мы можем брать произволь-
произвольные бесконечные суммы, подобные C.7), то отсюда следует, что»
/ замкнут. Ш
Следствие 3.1. Решетка замкнутых идеалов алгебры ин-
инцидентности дистрибутивна.
Следствие 3.2. Максимальные замкнутые идеалы алгебры.
инцидентности I (P) суть идеалы вида
Jx = {f^'(P)\f(x,x)=0}, C. 12>
где
3.4. Радикал. Напомним известный и легко доказываемый
факт (см. Смит [55] или «Основы» 1[49]), согласно которому эле-
элемент f алгебры инцидентности имеет обратный тогда и только;
тогда, когда f(x, x) Ф§ для всех хеР. Отсюда следует (Джекоб-
сон [35, стр. 8 и далее]), что элемент /el(P) квазирегулярен тог-
тогда и только тогда, кода ^(х,х)Ф\ для всех JteP. Поэтому эле-
элемент / обладает свойством, что g *f * h квазирегулярно тогда
и только тогда, когда f(x, x) =0 для всех хеР. Из предложения
на стр. 9 работы C5] мы делаем следующий вывод:
Предложение 3.3. Радикал R алгебры инцидентности-
\{Р) локально конечного упорядоченного множества Р есть мно-
множество всех /el(P), таких, что f(x, x) —0 для всех
Об основах комбинаторной теории (VI) 169
3.5. Алгебра инцидентности как функтор. Определим теперь
класс отображений между локально конечными упорядоченны-
упорядоченными множествами так, что зависимость алгебры инцидентности от
таких множеств может быть естественным образом расширена
до функтора в категорию /(-алгебр (где К — фиксированное ос-
основное кольцо ,или поле). Функция о из упорядоченного множест-
множества Р в упорядоченное множество Q будет называться собствен-
собственным отображением, если она удовлетворяет следующим трем ус-
условиям:
а) о взаимно однозначна;
б) из o(pi)s^o{p2) следует р^рг;
в) если <7i и q2 принадлежат образу о, то весь сегмент [qu q2]
принадлежит этому образу.
Заметим, что ввиду (а) и (б) условие (в) можно заменить на
в') если o(pi)<o(p2) и <7e[a(/?i), б(р2)], то существует един-
единственное /?е[рь р2], такое, что а(р) — q.
Ясно, что тождественная функция на любом частично упоря-
упорядоченном множестве есть собственное отображение, и нетрудно
проверить, что композиция собственных отображений является
собственным отображением. Таким образом, упорядоченные
множества вместе с собственными отображениями образуют ка-
категорию. Пусть зФ — подкатегория локально конечных упорядо-
упорядоченных множеств вместе с собственными отображениями. Тогда
имеем
Предложение 3.4. 1) Отображение \ из s& в категорию
К-алгебр, задаваемое равенствами
I (Р) = алгебра инцидентности на Р (со значениями в К)
и C.13)
[|()(/)]()/И) ()
где a: P-+Q и fel(Q), является контравариантным функтором.
2) Если р: P-vQ — функция и 1(р) (как определено вы-
выше) — гомоморфизм из I(Q) в \(Р), то р — собственное отобра-
отображение.
Доказательство. 1) Если fel(Q) и рх, р2^Р, то в силу
I1 (о) (j)]{Pi, Рг) =5^0 имеем/ (a (Pi), а(р2)) =^0, что означает о (Pi) ^
^а(р2) (так как f^I(Q)), и, следовательно (в силу условия
(б)), Pi^P2, и поэтому I(a) (f)el(P). Таким образом, I(a)
есть отображение из I (Q) в I (P).
Ясно, что оно является линейным отображением. Более того,
1(о) отображает единицу алгебры I(Q) в единицу алгебры 1(Р),
так как, ло условию (а),
II (°) (Ml (Pi, Ра) = h («(Pi), cr (Pi)) = Ьр (Pl, p2). C. 14)
170 П. Дубиле, Дж.-К. Рота, Р. Стенли
Наконец, 1(о) сохраняет умножение, так как;
= 2 I
j]
Л). C.
(Третье равенство следует из (в')).
Итак, 1(<т)—гомоморфизм алгебр из I(Q) в 1(Р). Чтобы
проверить, что I — функтор, осталось показать, что l(idP)=idI(P)r
где idp — тождественное отображение Р, ld\(P)— тождественное
отображение \{Р), и что 1(о° т) = 1(т) ° 1(о), если композиция
определена, но это очевидно.
2) Пусть теперь р: P-+Q — функция, для которой 1(р) —го-
—гомоморфизм из I(Q) в \(Р). Тогда
8<? (Р (Pi), Р Ы) = [I (P) (8<?)] (Ръ Pi) = 8Р (ри р2), C. 16)
поскольку I (р) — гомоморфизм, так что р взаимно однозначно,
т. е. р удовлетворяет условию (а).
То, что р удовлетворяет (б), следует из того, что если p(pi) ^
^р(Рг), to4«(p(Pi), р(р2)) = 1, т. е. [I(p)(Se)](Pi, Рг) = 1, и
поэтому Pi^/?2, так как I(p) (?,q)^\(P). Пусть, наконец, <7i =
•=р(Рг), 72=р(Рг)> <7i=s?<72 и <7е[<7ь <7г]. Тогда имеем
= 2
= ( [I (Р) (»*„«)] * [' (Р) (8,,,.)] (А. Л) =
Следовательно, p(p)=q для некоторого pefpi, /?г] и потому удо-
удовлетворяет (в).Н
В заключение рассмотрим несколько примеров собственных
отображений.
Пример 3.1. Любое взаимно однозначное отображение из упо-
упорядоченного множества в антицепь является собственным.
Об основах комбинаторной теории (VI) 171
Пример 3.2. Собственные отображения множества целых чи-
чисел (с обычным порядком) в себя суть отображения вида f (х) =
= x+k, где k — некоторое фиксированное целое число.
Пример 3.3. Если Р — любое конечное или локально конечное
счетное упорядоченное множество, то собственное отображение
цепи целых чисел в Р получается так: снабжаем элементы Р мет-
метками— целыми числами, так что Pi<Pj только тогда, когда
t</, и затем берем отображение a(i)=Pi. Результат Хинрикса
[33] гарантирует существование такой расстановки меток.
3.6. Изоморфные алгебры инцидентности. В этом разделе до-
докажем результат Стенли [58] о том, что упорядоченное множество
Р однозначно определяется своей алгеброй инцидентности I (P).
Теорема 3.2. Пусть Р и Q — локально конечные упорядо-
упорядоченные множества. Если \(Р) и I(Q) изоморфны как К-алгебры
(даже как кольца), то Р и Q изоморфны.
Доказательство. Покажем, как из кольца I (P) можно одно-
однозначно восстановить упорядоченное множество Р. Если R — ра-
радикал кольца 1{Р), то 1{P)/R изоморфно прямому произведению
П Кх экземпляров основного поля К=КХ — по одному для каж-
дого элемента х из Р. Поля Кх внутренне характеризуются как
минимальные компоненты \(P)IR. Заметим, что элемент ех явля-
является идемпотентом, образ которого в l(P)jR есть единичный эле-
элемент Кх- Более того* элементы ех ортогональны, т. е. ехеу — еуех,
¦если хфу.
Определим на элементах ех следующее отношение порядка
Р': ех^еу тогда и только тогда, когда в Р х^у. Таким об-
образом, Р'^-Р.
Доказательство будет завершено, когда мы покажем, что ес-
если задать любое множество {fx\x^P} ортогональных идемпотен-
тов в \{Р), таких, что образ \х в l(P)/R есть единичный элемент
Кх, то отношение порядка, определенное на элементах fx анало-
аналогично отношению порядка на ех, изоморфно Р'.
Достаточно показать, что существует автоморфизм о алгебры
1(Р), такой, что o(ex) — fx для всех хеР. Укажем явно внутрен-
внутренний автоморфизм a(g)=hgh~l с некоторым фиксированным об-
обратимым элементом /ге1(Р), обладающий требуемым свойством.
Определим
Ясно, что h — вполне определенный обратимый элемент из
() поскольку h(x,y)=fv(x,y). Теперь ввиду ортогональности
элементов ех и элементов fx имеем hex = fxex, fxh—fxex.
Следовательно, hexh~1=fx для всех х^Р, и доказательство
закончено. Я
172 П. Дубиле, Дж.-К. Рота, Р. Стенли
4. Редуцированные алгебры инцидентности
4.1. Отношения, совместимые с порядком. В большинстве пере-
перечислительных задач требуется не полная алгебра инцидентности,
но значительно меньшая ее подалгебра. Например, алгебры обыч-
обычных, экспоненциальных, эйлеровых и Дирихле производящих
функций получаются выбором подалгебр соответствующих ал-
алгебр инцидентности (см. примеры 4.1—4.12). Эти подалгебры
возникают при выборе подходящих отношений эквивалентности
на сегментах локально конечного упорядоченного множества Р
и последующем рассмотрении функций, которые принимают оди-
одинаковые значения на эквивалентных сегментах. Поэтому мы при-
приходим к следующему.
Определение 4.1. Отношение эквивалентности ~, опре-
определенное на сегментах локально конечного упорядоченного мно-
множества Р, называется совместимым с порядком (или просто сов-
совместимым), когда оно удовлетворяет следующему условию: ес-
если / и g принадлежат алгебре инцидентности 1(Р) и f(x,y) =
— f(u,v) так же как g(x, у) =g(u, v) для всех пар сегментов, та-
таких, что [х, у]~[и, v], то (/ * g) (х, y) = (f* g) (и, v).
Пример 4.1. Положим [х, у]~[и, v], как только эти два сег-
сегмента изоморфны; тогда ~ есть отношение эквивалентности»,
совместимое с порядком.
В общем случае не существует простого критерия, выражае-
выражаемого в терминах частичного порядка и позволяющего решить,,
когда отношение эквивалентности на сегментах совместимо с по-
порядком. Полезным достаточным критерием является следующий:
Предложение 4.1 (Д. А. Смит). Отношение эквивалент-
эквивалентности ~ на сегментах упорядоченного множества Р совместимо
с порядком, если всякий раз, когда [х, г/]~[м, v], существует би-
екция ф сегмента [х, у] в [и, v], зависящая в общем случае от
[х, у], такая, что [хь i/i]~[<p(*i)> <p(*/i)l для всех Х\,у\, удовлет-
удовлетворяющих условию
Доказательство простое и поэтому предоставляется чита-
читателю. ¦
Сначала мы займемся семейством всех отношений эквива-
эквивалентности, совместимых с порядком Р. Его элементарную струк-
структуру задает
Предложение 4.2. Семейство совместимых с порядком от-
отношений эквивалентности на локально конечном упорядоченном
множестве Р, упорядоченных по уточнению, есть полная решет-
решетка С{Р), в которой объединение совпадает с объединением в ре-
Об основах комбинаторной теории (VI) 173
шетке L (Р) всех отношений эквивалентности (разбиений) на сег-
сегментах Р,
Доказательство. Для доказательства того, что объединения
в С(Р) совпадают с объединениями в L(P), удобно использовать
язык разбиений множества сегментов Р. Пусть, -следовательно,.
F — семейство разбиений, каждое нз которых определяет сов-
совместимое отношение эквивалентности. Пусть п — объединение
в F, определяющем отношение эквивалентности ~. Предполо-
Предположим, что f (х, у) = g(и, v) для всех пар сегментов, таких, что
[х, у\~\и, v]. Тогда, по крайней мере, для всех ~ в F будем
иметь f (х, у) = g (и, v) для всех пар сегментов, таких, что [х, у] ~
~ [и, и]. Отсюда следует, что
' (/*?)(*, #) = (/*?)(«. v)
для всех таких пар сегментов. Но по определению объединения
разбиений [х, у\~\и, v] тогда и только тогда, когда в F сущест-
существует последовательность —ь —2,.. . , —п и сегменты [х^ уЦ,
»'= 1, 2,..., п—1, такие, что
[х, y] — i[xu J/i]~ч-..—n-i[*„_!, «/„-i]~n[a, v].
Значит,
f(x, у) = /{хи г/!) = . ..,
и аналогично для g. Вспоминая, что отношение ~ i совместимо
с порядком, имеем
[f*y){x, y) = (f*g)(xu г/0 и т. д.,
наконец,
{f*g)(x, y) = {f*g){u, v).
Упорядоченное множество С(Р) имеет 0, а именно отношение
эквивалентности, в котором никакие два различных сегмента не
эквивалентны, и, следовательно, произвольные пересечения су-
существуют в силу простого результата теории решеток. Ш
Заметим, что пересечения в С(Р) в общем не совпадают с
пересечениями в L(P), так что С(Р) не является подрешеткой
решетки L(P). Если Р не конечно, то отсюда заключаем, что
С(Р) не локально конечно, так как в С{Р) легко построить бес-
бесконечную цепь между 0 и 1, последовательно «отождествляя»
пары сегментов [х, х] и [и, и].
Было бы заманчиво предположить, что максимальный эле-
элемент / в С(Р) есть отношение эквивалентности, описанное в при-
примере 4.1, в котором эквивалентна каждая пара изоморфных
сегментов. Удивительно, что это- предположение в общем случае
неверно даже для конечных упорядоченных множеств, как по-
показывает следующий пример.
174 П. Дубиле, Дж.-К. Рота, Р. Стенли
Пример 4.2. Пусть Р — упорядоченное множество, которое по-
получается, если взять решетки L\ и L2 подпространств двух неизо-
неизоморфных конечных проективных плоскостей одинакового поряд-
порядка и отождествить вершины L{ с дном L2. Определим: [х,у]~
~[«, v], как только два сегмента либо изоморфны, либо [х, у]~
— Li, [и, v]xL2.
4.2. Коэффициенты инцидентности. Пусть ~ есть совместимое
с порядком отношение эквивалентности на Р, которое будет ос-
оставаться фиксированным впредь до дальнейшего предупрежде-
предупреждения. Греческими буквами а, р,... будем обозначать непустые
классы эквивалентности сегментов Р относительно ~ и будем
называть их для краткости типами (относительно ~).
Рассмотрим множество всех функций f, определенных на мно-
множестве типов, со сложением, определенным, как обычно, и ум-
умножением / *g = h, определяемым следующим образом:
D.1)
Сумма распространяется на все упорядоченные пары р, у типов.
Квадратные скобки справа называются коэффициентами инци-
инцидентности и определяются так:
D.2)
означает число различных элементов z в сегменте [х, у] типа а,
таких, что [х, z] имеет тип р, a [z, у] — тип у.
Чтобы показать, что коэффициенты инцидентности определе-
определены как следует, определим h6^l(P) посредством
' . D.3)
О в противном случае.
Если [и, v] имеет тип а, то ясно, что
[a} D-4)
Так как ~ совместимо с порядком, то левая часть D.4) не за-
зависит от выбора любого интервала [и, v] типа а, так что коэффи-
коэффициенты инцидентности определены корректно. Коэффициенты ин-
инцидентности являются обобщением классических биномиальных
коэффициентов, как покажут приведенные ниже примеры. Соот-
Соответствующее обобщение алгебры производящих функций дает
следующее
Предложение 4.3. Пусть Р — локально конечное упоря-
упорядоченное множество и ~ есть совместимое отношение эквива-
Об основах комбинаторной теории (VI) 175
лентности на сегментах Р. Тогда множество всех функций, опре-
определенных на типах, образует ассоциативную алгебру с единицей
и с произведением, определяемым посредством D.1), и называет-
называется редуцированной алгеброй инцидентности R(P, ~) по моду-
модулю отношения эквивалентности ~. Алгебра R(P, ~) изоморфна
подалгебре алгебры инцидентности множества Р.
Чтобы завершить доказательство (большая часть которого
уже была дана выше), все, что необходимо,— это показать, что
R(P, ~) изоморфна подалгебре алгебры \{Р), содержащей б.
Из этого будет следовать, что алгебра R(P, ~) ассоциативна.
Определим fel(P) для feR(P, ~) следующим образом:
f(x, y)=f(cc), если сегмент [х, у] имеет тип а. Необходимо лишь
проверить, что отображение является изоморфизмом и что для
некоторого feR(P, ~) выполняется 6 = f. Так как по определе-
определению каждый тип непуст, то отображение f~*-f вполне определено;
оно, очевидно, взаимно однозначно. Далее, из определения коэф-
коэффициентов инцидентности непосредственно находим, что произ-
произведение равно
, У) D.5)
и, таким образом, совпадает с определением D.1) произведения
в RfP, ~). Тот факт, что 6 = f для некоторого feR(P, ~), вы-
вытекает из пункта A) следующей леммы.
Лемма 4.1. Пусть ~ есть отношение эквивалентности на
сегментах множества Р, совместимое с порядком, и [х, у\~[и, v].
Тогда
A) м{[х, у]) =v([u, v]), где v{[x, у]) — число элементов z
в [х, у];
B) для каждого п сегменты [х, у] и [и, v] имеют одинаковое
число максимальных цепей длины п.
Доказательство. Пункт A) следует из того, что v([x,y]) =
— t,2(x,y) и ? постоянна на классах эквивалентности отношения
~. Из A) вытекает, что функция h, определенная посредством
h,x у) = \}' если v^x' i'l^2' т- е- У покрывает х,
|0 в противном случае,
постоянна на классах эквивалентности отношения ~; следова-
следовательно, то же верно для hn при каждом п, что доказывает B). ¦
176 П. Дубиле, Дж.-К. Рота, Р. Стенли
Следствие 4.1. Если для всех типов а, C и у
го редуцированная алгебра инцидентности R(P, ~) коммута-
коммутативна.
Это следует немедленно из определения D.1).
Пусть теперь ~ и ^ суть два совместимых с порядком от-
отношения эквивалентности на сегментах множества Р. Предполо-
Предположим, что [х, у] ~{и, v) влечет [х, у]~[и, v]. Тогда почти как в пре-
предыдущем предложении, R(P, —) изоморфна подалгебре R(P, ~).
Изоморфизм получается следующим образом. Пусть а — тип от-
относительно отношения эквивалентности =^. Для feR(P,e^ поло-
положим /eR(/3, ~) равным Да)=/(а), где а — произвольный тип
в R(P,~), так, что сегменты типа а имеют тип а в K(P,s^).
Кроме того, R(P, ~ ) определенно содержит естественный изо-
изоморфный образ R(P, ~), если ~ не равно ^, что непосредствен-
непосредственно видно из рассмотрения функций, равных единице на некото-
некотором заданном типе и нулю на других. Таким образом, решетка
С(Р) антиизоморфна редуцированной алгебре инцидентности,
упорядоченной по включению.
Если отношение ~ такое же, как в примере 4.1, мы назовем
ЩР, ~) (стандартной) редуцированной алгеброй инцидентности
ЩР); если ~ есть максимальный элемент решетки С(Р), мы на-
назовем R(P) = R(P, ~) максимально редуцированной алгеброй
инцидентности.
Предложение 4.4. Если ~ есть отношение эквивалентно-
эквивалентности, совместимое с порядком, более точное, чем ^, и для
/eR(P, ^) образ f (см. выше) в К(Р, ~) обратим в Я(Р, ~),
то функция f обратима в R(P, —).
Доказательство. Как и при доказательстве предложения 4.3,
отождествим обе алгебры с подалгебрами \(Р), так что f=f.
Мы должны теперь показать, что f~l постоянна на (^) -эквива-
-эквивалентных сегментах. Так как f обратима, она принимает ненуле-
ненулевые значения на одноточечных сегментах. Пусть d^l(P) — функ-
функция, равная / на одноточечных сегментах и нулю в других случа-
случаях. Тогда d постоянна на классах (^) -эквивалентности (по лем-
лемме 4.1 A)). Пусть ?=/—d. Тогда ge=R(P,^) и
*gy-(d-i*gr-{-...)*d-i. D.7)
Последнее выражение вполне определено, так как d~x * g равно
нулю на одноточечных.сегментах, и потому f-'eRfP, ^).
Отсюда следует, что дзета-функция и функция Мёбиуса при-
принадлежат всем редуцированным алгебрам инцидентности. Ц
Об основах комбинаторной теории (VI) 177
Дадим простую характеризацию редуцированных алгебр ин-
инцидентности. В конечном случае эта характеризация является
чисто алгебраической, но в бесконечном случае в нее входят то-
топологические рассмотрения. Напомним, что произведение Шура
двух элементов f, g из \(Р) есть элемент h, определяемый соот-
соотношением
h(x, y) = f(x, y)g{x, у) D.8)
для всех х, у из Р.
Теорема 4.1. Пусть Р — локально конечное упорядоченное
множество и А — подалгебра 1(Р), имеющая ту же единицу, что
и \(Р). Если Р конечно, то А является редуцированной алгеброй
инцидентности на Р тогда и только тогда, когда А содержит Z,
и замкнута относительно умножения Шура. Если Р бесконечно,
то А является редуцированной алгеброй инцидентности тогда
и только тогда, когда А содержит ?, замкнута относительно ум-
умножения Шура и замкнута в стандартной топологии.
Доказательство. Необходимость условий очевидна, за возмож-
возможным исключением того, что А должна быть топологически зам-
замкнута. Но если f~l^l(P) принадлежит топологическому замыка-
замыканию А, то ясно, что эта функция постоянна на классах эквива-
эквивалентности, и поэтому f^A.
Теперь предположим, что множество Р конечно и Л — подал-
подалгебра 1(Р), содержащая Z, и замкнутая относительно умножения
Шура. Пусть ~ есть отношение эквивалентности на сегментах Р,
определяемое так: [х, (/]~{и, v] тогда и только тогда, когда
f(x, y)=f(u, v) для всех f^A. Лишь только мы покажем, что
множество всех функций, постоянных на классах (~)-эквива-
(~)-эквивалентности, есть в точности Л, отсюда будет следовать, что отно-
отношение ~ совместимо с порядком (так как подалгебра Л замкну-
замкнута относительно свертки) и что Лесть R(P, ~). Пусть Рь ..., f$n—
классы эквивалентности отношения ~ и h%t, для каждого i?=j
будет элементом Л, таким, что ft;, j(p;) Ф1ц, i(Pj). Положим
-h *Mzfi?, D.9)
bl.j— с i,)
где biJ=hltj{$t), Cu=hi>}{^}). Тогда 8,- = Ц Ъ,,} (умножение
Шура) принадлежит Л и 6; есть индикаторная функция р,- Таким
образом, произвольная функция, постоянная на классах экви-
эквивалентности, есть линейная комбинация функций 6i и потому
принадлежит А, что доказывает наш результат.
Простая модификация приводит к доказательству в бесконеч-
бесконечном случае, так как 6t- есть предел конечных произведений Шура
178 П. Дубиле, Дж.-К. Рота, Р. Стенли
элементов 7г,,; для }Ф1 и каждая функция, постоянная на классах
эквивалентности, есть предел конечных линейных комбинаций
индикаторных функций. В
Предположение о топологической замкнутости А в бесконеч-
бесконечном случае необходимо, как показывают следующие примеры.
Пример 4.3. Пусть Р ¦— бесконечное локально конечное упоря-
упорядоченное множество, в котором существует конечная верхняя
грань объемов сегментов. Тогда подмножество А из 1(Р), состоя-
состоящее из всех функций, которые принимают лишь конечное число-
значений, есть подалгебра, замкнутая относительно умножения
Шура и содержащая ?, но, конечно, не являющаяся редуцирован-
редуцированной алгеброй инцидентности, так как отношение эквивалентно-
эквивалентности, порождаемое ею, является тривиальным, в то время как А не
есть все 1(Р).
Пример 4.4. Пусть Р содержит цепи произвольно большой
(конечной) длины, и пусть А — замыкание в \(Р) относительна
операций скалярного умножения, сложения, свертки и умноже-
умножения Шура функций {6, ?}. Тогда А есть подалгебра, замкнутая
относительно умножения Шура и содержащая ?, но не является
редуцированной алгеброй инцидентности, так как по лемме 4.1 B)
любая редуцированная алгебра инцидентности множества Р
должна содержать векторное пространство несчетной размерно-
размерности над основным полем, в то время как А счетно.
Рассмотрим теперь различные примеры редуцированных ал-
алгебр инцидентности и их связь с классической комбинаторной
теорией.
Пример 4.5. Формальные степенные ряды. Пусть Р — множе-
множество неотрицательных целых чисел с их естественным порядком.
Алгебра инцидентности множества Р есть, очевидно, алгебра
верхних треугольных бесконечных матриц. С другой стороны, мы
сейчас покажем, что стандартная редуцированная алгебра инци-
инцидентности R(P) изоморфна алгебре формальных степенных-
рядов.
В самом деле, элемент алгебры R(P) однозначно определяет-
определяется последовательностью {ап\п — 0, 1, 2, ...} вещественных чисел,,
если положить f(i, /) = а_,_г- для i^j. Произведение такого эле-
элемента на другой элемент g(i, j)=bj-i такого же вида есть эле-
элемент ZielfP), получающийся по правилу свертки:
)= 2
DЛ0>
Об основах комбинаторной теории (VI) 179
Полагая г—fe—i и n=j—i, получаем
Другими словами, h — элемент редуцированной алгебры инци-
инцидентности, который получается при свертке последовательностей
{ап} и {Ьп}. Отсюда следует, что отображение степенных рядов
в ЩР), определяемое соотношением
есть изоморфизм. При этом изоморфизме дзета-функции соответ-
соответствует 1/A—х) и функции Мёбиуса соответствует формальный
степенной ряд 1—х. Коэффициенты инцидентности равны либо О,
либо 1.
Пример 4.6. Экспоненциальные степенные ряды. Пусть
B(S) — семейство всех конечных подмножеств счетного множест-
множества 5, упорядоченных по включению. Покажем, что редуцирован-
редуцированная алгебра инцидентности на B(S) изоморфна алгебре экспонен-
экспоненциальных формальных степенных рядов относительно формаль-
формального умножения, т. е. рядов вида
^^ ==^>ji5xn- DЛ2)
п=0 я=0 - л-0
Непосредственно проверяется, что произведение FG = H двух та-
таких формальных степенных рядов равносильно взятию биноми-
биномиальной свертки их коэффициентов:
W D-13)
Мы получим изоморфизм между алгеброй экспоненциальных
формальных степенных рядов и редуцированной алгеброй инци-
инцидентности множества B(S), положив
) = а,(в_А), А^В, D.14)
где А и В — конечные подмножества S и v(B—А) обозначает,
как обычно, число элементов множества В—А. Дзета-функция
соответствует ряду ех, и функция Мёбиуса — ряду егх. Формула
180 П. Дубиле, Дж.-К. Рота, Р. Стенли
обращения Мёбиуса сводится к принципу включения-исключения,
т. е. к умножению на е~х.
Коэффициенты инцидентности совпадают с биномиальными
коэффициентами, а типы, естественно, совпадают с целыми
числами.
Пример 4.7. Пусть G — аддитивная группа рациональных чи-
чисел по модулю 1 и L(G)—решетка ее подгрупп, исключая са-
саму G. Известно, что каждая собственная подгруппа в G конечна
и циклична. Пусть [X, Y]~[U, V] в L(G), когда фактор-группа
Y/X изоморфна V/0. Типы естественно соответствуют положи-
положительным целым числам, коэффициенты инцидентности равны О
или 1, и произведение в R(L(G), ~) задается сверткой Дирихле
сп=2а^> Таким образом, R(L(G), ~) изоморфна алгебре
формальных рядов Дирихле
' ~7=/(*) D-15*
относительно обычного умножения.
Пример 4.8. Пусть Р — множество положительных целых чи-
чисел, упорядоченных по делимости, и ~ есть отношение эквива-
эквивалентности, определяемое следующим образом: [a, b]~[m, n] тог-
тогда и только тогда, когда bla = n/m. Тогда, как в предыдущем при-
примере, легко видеть, что алгебра ЩР, ~) изоморфна алгебре
формальных рядов Дирихле. Стандартная редуцированная ал-
алгебра инцидентности изоморфна подалгебре алгебры формаль-
формальных рядов Дирихле, а именно подалгебре рядов ^j~7' в кото-
п>1
рых ak=an, если k = pi1p"i... и n — P^pl'..., где ри р2, ...—
простые числа, а; и ft; — неотрицательные целые числа и
последовательность {ft;} получается перестановкой элементов.
в последовательности {а4}. {
Пример 4.9. Пусть V — векторное пространство счетной раз-
размерности над GF(q) и L(V) — решетка его конечномерных под-
подпространств. Пусть ~ есть отношение эквивалентности на L(V)r:
такое, что [S, Т]~[Х, У] тогда и только тогда, когда T/SsaY/Xr
т. е. dim T—dim S = dim У—dim X. Тогда типы взаимно однозначно
соответствуют целым числам и умножение в R(L(V), ~) задает-
задается посредством
{q'-l)(q'-q)...{qr-q'-1)
г
Об основах комбинаторной теории (VI) 186
/(r)g(B_r).
-*J (!/)(! 9)...(l9)
D. 16)
Следовательно, R(L(V), ~) изоморфна алгебре эйлеровых сте-
степенных рядов; изоморфизм задается соотношением
D.
Теперь представим три примера, в которых мы очень просто при-
придем к ранее известным результатам, используя редуцированную-
алгебру инцидентности. Пусть Р — локально конечное упорядо-
упорядоченное множество и се I (Р) — функция, которая сегменту [х, у]
ставит в соответствие общее число цепей jc=Xo<*i<-• •<!*т=
= у. Так как (?—b)k{x, у) есть число цепей x=Xo<*i<..<#fe =
=у длины k, мы имеем
c{x, j/) = y (;; — 8)* (л:, у) =
= [8-(C-8)]-'(Jf, y) = {2b-Q-i(x, у). D. 18>
Пример 4.10. Пусть Р такое же, как и в примере 4.5. Тогда
с(х, у) есть число сп упорядоченных разбиений (или компози-
композиций) числа гг=у—х; цепь x = io<ii<.. .<.ih=y соответствует
композиции
j/_Jf=(fI_/o) + (i2-/1) + .. .+(ift-«»_,). D. 19>
Следовательно,
оо оо
спх"= ! = 1-х = 1 + V 2"-1х», D. 20>
J n 2—(l-x)-i I —2x ^j
так что сп=2п~1, если п>0 (известный результат).
Пример 4.11. Пусть Р такое же, как и в примере 4.6. Тогда'
с(х, у) есть число fn упорядоченных разбиений множества у—х
(или размещений с предпочтением), где п — число элементов,
в у—х (см. Гросс [29]). Поэтому имеем основной результат
Гросса
V^L;c« = _L_. ¦ D.21)
nl 2-е* V
182 П. Дубиле, Дж.-К. Рота, Р. Стенли
Пример 4.12. Пусть Р — множество положительных целых чи-
чисел, упорядоченных по делимости, и [и, v]~[x, у], если v/u = y/x.
Тогда с(х, у) есть число f(n) упорядоченных разложений на мно-
множители (большие единицы) числа у/х = п. Следовательно, имеем
результат Титчмарша [59, стр. 7]
Ш.= ! . D.22)
3 2C(s) '
JU п ()
Вообще теория взвешенных композиций, развитая Мозером и
Уитни [39] и Хоггартом и Линдом [34], может быть выражена в
терминах цепей редуцированной алгебры инцидентности. Таким
образом, эту теорию можно распространить на другие упорядо-
упорядоченные множества тем же способом, каким в примерах 4.11 и 4.12
было расширено обычное понятие композиции, данное в приме-
примере 4.10.
5. Универсальные алгебры инцидентности
5.1. Определения. Различные перечислительные задачи приво-
приводят не к единственному упорядоченному множеству, а к семейст-
семейству упорядоченных множеств, имеющих некоторые общие призна-
признаки, например к семейству решеток разбиений конечных множеств
или семейству всех решеток подгрупп конечных абелевых групп.
Поэтому необходимо распространить понятие алгебры инцидент-
инцидентности и редуцированной алгебры инцидентности на эти ситуации.
Напомним, что по нашему предположению основное поле К
имеет характеристику 0. Это устраняет осложнения, присущие
делению на положительные целые числа, такие, как п\ в экспо-
экспоненциальных производящих функциях. Перейдем сейчас к сле-
следующему построению.
Два упорядоченных множества (Р, ~) и (Q, ~), каждое
с некоторым совместимым с порядком отношением эквивалент-
эквивалентности (обозначенным для удобства одним и тем же символом),
называются изоморфными, если существует изоморфизм <р из Р
в Q, который сохраняет отношение эквивалентности, т. е. [х, у] ~
~[и, v] в Р тогда и только тогда, когда \[<р(х), <f>(y)]'~[q>(u), 4>(v)]
в Q. Если S — сегмент Р, то отношение эквивалентности ~ инду-
дирует на S совместимое отношение эквивалентности. (Заметим,
что этот вывод не справедлив в общем случае, если предполагает-
предполагается лишь, что S — некоторое упорядоченное подмножество Р.)
Пусть теперь С — категория, объекты которой суть пары
(Р, ~), определенные выше, где Р — конечное упорядоченное
множество с 0 и 1 и морфизмы из (Р, ~) в (Q, ~) —изоморфиз-
—изоморфизмы (Р, ~) на сегменты из (Q, ~) с индуцированным отношени-
отношением эквивалентности (не все такие отображения могут быть вклю-
Об основах комбинаторной теории (VI) 183-
ченными в категорию как морфизмы). Кроме того, предположим,
что каждый сегмент объекта (Р, ~) с индуцированным отноше-
отношением эквивалентности принадлежит С. Наконец, предположим,
что если ф и ij? — два морфизма из (Р,~) в (Q, ~), имеющие
в качестве образов сегменты [х, у] и [и, и], то в Q имеет место со-
соотношение [х, у]~[и, у].
При этих условиях можно определить универсальную алгеб-
алгебру инцидентности 1(С) категории С следующим образом: элемен-
элементами 1(С) являются функции f (со значениями, как обычно,
в фиксированном поле), определенные на изоморфных классах
(в категории С) или «типах» объектов категории С, такие, что
/(а)=/(Р), если некоторый объект (Р, ~) содержит (-^-экви-
(-^-эквивалентные сегменты типов аи р. Сумма двух таких функций опре-
определяется обычным образом, а произведение — соотношением
где скобки вычисляются в произвольном объекте (Р, ~), при-
принадлежащем изоморфному классу а. Из наших предположений,
вытекает, что произведение определено корректно, т, е. произве-
произведение остается одним и тем же, если оно вычисляется для произ-
произвольного объекта типа а, а также, что f *g принадлежит 1(С).
Таким образом, мы получили алгебру, которая, согласно пред-
предложению 4.3, ассоциативна. Функции ? и б обычной алгебры инци-
инцидентности имеют, очевидно, дубликаты в универсальной алгебре
инцидентности; в эту алгебру переносится также тот результат,,
что функция обратима тогда и только тогда, когда она отлична
от нуля на всех типах, содержащих одноточечные сегменты (см.
«Основы» I [49]). Следовательно, функция Мёбиуса может быть-
определена как обращение дзета-функции, и, очевидно, для каж-
каждого объекта ([Q, 1], ~) категории значение функции Мёбиуса
на типе, содержащем [0, 1], равно ц@, 1).
Большинство классов алгебр инцидентности (таких, как ал-
алгебра биномиального типа и алгебра типа Дирихле) может быть
тривиально продолжено на универсальные алгебры инцидентно-
инцидентности. Заметим также, что нам не нужно делать различий между
редуцированной и нередуцированной универсальными алгебра-
алгебрами инцидентности, так как степень редукции, зависящая от отно-
отношений эквивалентности в объектах и на морфизмах, создается
сама в категории.
Пример 5.1. Пусть L — локально конечное упорядоченное мно-
множество. Построим категорию С следующим образом. Объекты —
все сегменты множества L, и морфизмы — отображения включе-
включения. Отношение эквивалентности — тривиальное отношение (ни
одна пара различных сегментов в С не изоморфна). Универсаль-
,184 П. Дубиле, Дж.-К. Рота. Р. Стенли
ная алгебра инцидентности 1(С) изоморфна алгебре инцидентно-;
сти множества L.
Пример 5.2. Пусть L будет таким же, как и выше, и объекта- ]
ми категории С будут снова все сегменты L, но морфизмами \
пусть будут все изоморфизмы, и предположим, что ~ есть изо-
изоморфизм. Тогда 1(С) изоморфна стандартной редуцированной ал- :
гебре инцидентности на L. ;
Пример 5.3. Пусть объекты категории С — все конечные буле- \
вы алгебры и морфизмами являются все возможные изоморфиз- "\
мы. Тогда 1(С) изоморфна алгебре экспоненциальных степенных з
рядов примера 4.6. э
В следующих трех подразделах мы рассмотрим ситуации, ко-
которые лучше исследовать с точки зрения универсальной алгебры \
инцидентности, чем с точки зрения регулярной алгебры инци-!
дентности. J
5.2. Решетки разбиений. Алгебру инцидентности семейства \
всех решеток разбиений конечных множеств можно изучать, взяв
решетку ПE) всех разбиений бесконечного множества S, име- j
ющих точно один бесконечный блок и конечное число конечных i
блоков, упорядоченных по уточнению. Однако более предпочти- ;
тельно действовать в контексте универсальной алгебры инцидент- ]
ности следующим образом.
Пусть объекты категории Л суть решетки разбиений конеч-
конечных множеств и все их сегменты и отношение эквивалентности
суть изоморфизм сегментов, у которых наибольшие элементы
имеют одинаковое число блоков. Предположим, что морфизмами
II являются все возможные изоморфизмы на некоторый сегмент,
такие, что наибольший элемент сегмента имеет то же самое чис-
число блоков, что и наибольший элемент его образа. Непосредствен-
Непосредственно видно, что П удовлетворяет требуемым свойствам.
Класс сегмента [а, л] есть последовательность неотрицатель-
неотрицательных чисел (k\, ..., kn, ...), где ki— число блоков я, которые яв-
являются объединениями точно i блоков 0. Ясно, что k\+2k2 +
+ З&3+ ...равно числу блоков в 0 и kl+k2 + k3+ ...есть число бло-
блоков в я и что сегмент класса (k\,k2...) изоморфен Ш' ХПг2 X...,
где Пг — решетка разбиений i-множества, так что отсюда следу-
следует, что два сегмента имеют один и тот же класс тогда и только
тогда, когда они имеют в П один и тот же тип. Обозначим через
п \
\k\, ..., knl число элементов т в сегменте [а, л] типа (б0, п,
^!,п, ...) (т. е. {о, я] изоморфен Пп и а имеет п блоков), для ко-
которых [<т, т] имеет тип (k\, k2, ..., kn, 0, 0, ...) (и, следовательно,
[т, я] имеет тип Fо,т, Ъ\,т, ...), где m = ki+k2+ ... +kn). Чтобы
/ п
вычислить \k\, ..., kn), сначала заметим, что любой объект [сг, л)
Об оснрвах комбинаторной теории (VI) 185
типа k\= ... = &n_i = 0, kn—\ является наибольшим сегментом
некоторой конечной решетки разбиений, т. е. я=1 в некоторой
конечной решетке разбиений. Таким образом, легко видеть, что
? ——, если k1 + 2k2+...+nkll=nr
,0, если kx -\- 2k2 -j-... + nkn ^ п..
E.2)
Для разбиения я некоторого конечного множества S опреде-
определим его класс как класс сегмента [0, л] в ПE) согласно опреде-
определению, данному выше.
Фундаментальным понятием, связанным с универсальной ал-
алгеброй инцидентности ЦП) является понятие мультипликативной
функции. Функция f в ЦП) называется мультипликативной, если
существует набор констант (а\, а2, ...), таких, что
/(я, в) = а№..., E.3)
если [я, <т] —сегмент класса (k\, k% ...). Говорят, что функция /
определяется набором («ь а% ...). Аналогично функция одной-
переменной F(a) для or^II(S), где S — некоторое конечное мно-
множество, называется мультипликативной, если
F(c) = aUl'..., E.4)
где (&ь k2, ...) — класс 0.
Следующий элементарный результат фундаментален.
Предложение 5.1. Свертка двух мультипликативных
функций мультипликативна.
Доказательство следует из того, что если [о, л] имеет тип
(ki, k2, ...), то сегмент [о, я] изоморфенП^ХПг'Х •. ¦ , и если
f^l(P) и g^\(Q) (где Р и Q — произвольные локально конечные
упорядоченные множества) и fXgel(PxQ) (fXg определяется
с помощью соотношения fXg{(x, x'), (у, y'))=f{x, y)g{x', у')), то
' (f.*nx(g*g'). и
Следствие 5.1. Если F(n) и f(n, а) мультипликативны, то
мультипликативны также
^,с) E.5)
и
2(«, я)/7^), E-6)
где сумма берется в решетке разбиений, содержащей а.
186 П. Дубиле, Дж.-К. Рота, Р. Стенли '
Пример 5.4. Дзета-функция алгебры 1(П) мультипликативна
и определяется набором A, 1,...). Согласно предложению Зиз§7
«Основ» I [49], функция Мёбиуса алгебры 1(П) мультипликатив-
мультипликативна и определяется набором (аи a%, ...)> гДе ап— (—!)"(«—1)!.
Дельта-функция б мультипликативна и определяется с помощью
набора A, 0, 0, ...), но т]==?—б не мультипликативна. Следова-
Следовательно, сумма мультипликативных функций не обязана быть
мультипликативной.
Пусть М(П) обозначает подмножество множества 1(П), со-
состоящее из мультипликативных функций. По предложению 5.1
М(П) является подполугруппой мультипликативной полугруппы,
алгебры 1(П). Если f принадлежит М(П), через f(n) обозначим,
/(П„), т. е. f(n, о), где [л, сг] имеет класс &i=.. .=^7l_1 = 0,1
kn=\. Тогда для f, geM(II) из E.2) мы получаем, что (f*g){n)'
равно
ftj+2fta+...+лйп=л
Теорема 5.1. Полугруппа М(П) антиизоморфна относи-
относительно операции композиции алгебре всех формальных степен-
степенных рядов от переменной х над К с нулевым свободным членом.
Антиизоморфизм дается соответствием f-*-Ff, где
^>*«. E.8)
Таким образом, F^g(x)=Fg(Fy(x)).
Доказательство. Ясно, что отображение, определяемое по-
посредством E.8), является биекцией, так что мы должны прове-
проверить лишь тот факт, что умножение сохраняется. Имеем
E.9)
Так как существует способов упорядочить разбиение
&i!...&n!
&1+2&2+.. ,-{-nkn = n, то коэффициент при хп в разложении вы-
выражения ,
Об основах комбинаторной теории (VI) 187
есть
j\ [f A)]*'. ¦ -I/ (n)]kn
E. 10)
где суммирование ведется по всем наборам ku ..., kn, таким, что
Если умножить E.10) на-5^ и просуммировать по всем /, то полу-
получим E.7), откуда следует доказательство. ¦
Пример 5.5. При изоморфизме теоремы 5.1 дзета-функции со-
соответствует ех—1, а дельта-функции — х, так что функции Мёби-
Мёбиуса соответствует степенной ряд F, такой, что F(ex—\)=х, т. е.
log A+х). Поэтому ц@, 1) = {—1)п~1{п—1)\ для [0, 1]=ПП.
Это еще один способ определения функции Мёбиуса решетки
разбиений.
Следствие 5.2. Пусть f — мультипликативная функция од-
одной переменной, определяемая набором (аь а2, ...). Для каждого
положительного целого п положим
2 2EЛ1>
Тогда
^^-^^P^ + lP+f ^+..| (б. 12>
U
оо
^^ ( f f ) E.13)
Доказательство. Пусть/ — функция в М(П), определяемая
набором {аь а2, ...), и Ь=/*С. Тогда bn=b(n) для всех ^1
поэтому
E.14)
188 П. Дубиле, Дж.-К. Рота, Р. Стенли
и E.12) доказано. Для доказательства E.13) положим q=J*\>.
л действуем так же, как и при доказательстве E.12). н
Теперь проработаем различные примеры, используя предыду-4
щие результаты. \
Пример 5.6 (формула Варинга). Пусть D и R — конечные мно-'
жества; пометим элементы R различными буквами алфавита:
х, у z. Каждой функции f: D^-R поставим в соответствие од-
одночлен
где i — число элементов множества D, отображаемых в элемент
из R с меткой хит. д., и каждому множеству Е функций из D в R
поставим в соответствие многочлен у(Е)—сумму одночленов
y(f), где / пробегает Е; у(Е) называется производящей функцией
множества Е.
Для каждого разбиения л множества D пусть Л (я) есть про-
производящая функция множества всех функций /: D-*-R, у которых
ядро (т. е. разбиение D, такое, что его блоки суть прообразы эле-
элементов D при отображении f) совпадает с я. Пусть S(n) —произ-
—производящая функция множества функций, ядро которых есть неко-
некоторое разбиение сг^л. Очевидно, мы имеем
откуда с помощью обращения Мёбиуса получаем
и, полагая я=0, находим
А@)= ^ s(°)M0, <>)• E-15)
6П(О)
Теперь предположим, что D имеет п элементов и что R боль-
больше, чем D. Многочлен Л @) является производящей функцией
множества всевозможных взаимно однозначных функций, и по-
поэтому каждый член Л @) есть произведение п различных перемен-
переменных, которые берутся из алфавита {х, у, ..., z). Более того, каж-
каждое произведение п различных переменных из {х, у, ..., z)
встречается п\ раз в качестве члена Л@). Таким образом,
Л@) есть просто п\ап, где ап — элементарная симметрическая
функция степени п от переменных х, у, ..., z.
Об основах комбинаторной теории (VI) 189
Далее, мы утверждаем, что если разбиение 0 имеет класс
(kuk2, ..., kn), то
E. 16)
т. е., если использовать стандартное обозначение Sk = xh + ук +
+ ... + Z",
5 (о) = si's*'. ..sV E.17)
Чтобы показать это, обозначим через S(a) множество всех функ-
функций с ядром л^0, и пусть В\, ..., Bh — блоки разбиения 0. Тогда
<S(o) есть произведение U\X.. .XUk множеств [/*, где [/*— сово-
совокупность всех функций из Bi в R, принимающих лишь одно значе-
значение. Отсюда следует, что
Производящая функция y{Ui) есть просто хк-\-ук-{-. ..+zfe, если
Bi имеет k элементов, и это завершает проверку.
Мы, таким образом, видим, что E.15) сводится к классиче^
ской формуле Варинга, выражающей элементарные симметриче-
симметрические функции в терминах степенных сумм.
Пример 5.7. Пусть V—конечное множество из п элементов
(«вершин»). Мы вычислим число Сп связных графов, множеством
вершин которых является V. Каждому графу G можно поставить
в соответствие разбиение n{G) множества V, блоками n{G)
будут связные компоненты G. Граф связен тогда и только тогда,
когда n(G) = 1 —разбиение лишь с одним блоком. Для каждого
разбиения я множества У обозначим через С(л) число графов G
с n(G) =я и через D(n) число графов G, для которых л(О)г?Ся.
Пусть ап — общее число графов, множеством вершин которых
является V; простое перечисление дает
ап = 2®. E. 18)
Если В\, В2, ..., Bh — блоки я и D(B{) —общее число графов на
блоке Bit то, очевидно, D(n) =D(BY)D(B2).. .D(Bn). Поэтому,
если класс разбиения л есть (k\, k2, ..., kn), мы имеем
2
где t(x) =2X и B) =0 по соглашению. Кроме того,
190 П. Дубиле, Дж.-К. Рота, Р. Стенли
что следует непосредственно из определений. Выполняя обраще-
обращение Мёбиуса и полагая я=1, получаем тождество
С„=СA)=2
(о,
.+*B-l)I, E.20)
которое является явным выражением для числа связных графов.
Далее, применяя E.13) к E.20), находим
j**4 п\ \, г ' 2! ~ 3!
п--1
Отсюда можно найти значения различных вероятностных вели-
величин, относящихся к связным графам, таких, как среднее числа
связных компонент, средний объем наибольшей компоненты,
асимптотические результаты и т. д.
Пример 5.8. Определим теперь число а(п, k) решений уравне-
уравнения ph=I, где р — элемент группы Gn всех перестановок множе-
множества Sn, состоящего из п элементов, и / — тождественный элемент
Gn- Каждому p^Gn мы можем поставить в соответствие разбие-
разбиение я множества Sn, блоки которого суть транзитивные классы
относительно подгруппы, порожденной р. Пусть F(n) —число пе-
перестановок р, для которых соответствующее разбиение есть jt
и таких, что рк=1. Ясно, что функция F мультипликативна, и по-
поэтому функция G, определяемая соотношением G(a)= 2 F(jt),.
также мультипликативна. Далее,
С(а) = [лA, *)]*фB, Л)]*-..., E.22)
если (k\, k2, ...) — класс а. Поэтому, если (Ьи Ь2,...) — набор, оп-
определяющий F, то в силу E.12) получаем
{ I VI a(n,k)
п\
л=1
E.23)
Легко видеть, что Ьп=(п—1)!, если п делит k, и Ьп—0 в про-
противном случае, так что мы получаем формулу, принадлежащую-
Човла, Херштейну и Скотту [10],
E.24)
где а@, k)=\.
Об основах комбинаторной теории (VI) 191
Пример 5.9 (число разбиений множества). Число Вп разбие-
разбиений множества из п элементов задается посредством Вп =
= 2 ?(я). Поэтому из следствия E.12) получаем равенство
E.25)
которое является классической производящей функцией для Вп.
Пример 5.10. Множество S из п элементов в момент времени
t\ расщепляется в разбиение л, имеющее блоки Bh B2
Позже в момент t2>t\ каждый блок Bi расщепляется в разбиение
я», состоящее из блоков Biu В,-2, ..., и т. д. для N шагов. Положим
Е(х)=ех—1. Рассуждение, подобное рассуждению предыдущего
примера, показывает, что экспоненциальная производящая функ-
функция для числа различных «расщеплений» есть
где итерация повторяется N-\-l раз.
5.3. Решетки Доулинга. Пусть F — поле с q элементами (дос-
(достается фиксированным на протяжении этого подраздела) и V —
векторное пространство над F размерности п с базисом Ь\, ..., Ьп.
Решетка Доулинга Q(V) есть решетка подпространств W про-
пространства V, таких, что базис W имеет вид Ь\ или abj-\-a'bk, где
a, a'ef. Так как решетка Q(V) с точностью до изоморфизма за-
зависит от размерности V, она будет в большинстве случаев обо-
обозначаться через Qn.
Прежде чем предпринимать изучение комбинаторных свойств
Qn, определим новую решетку Dn, изоморфную Qn, в которой раз-
различные вычисления становятся проще. Вначале мы изложим це-
целый ряд определений. Понятие ориентированного графа предпо-
предполагается известным (см. Ли [38]), и мы будем допускать петли
и кратные дуги. Пусть 5 — произвольное множество; S-помечен-
ный ориентированный граф есть ориентированный граф G =
— {V, Е), рассматриваемый вместе с отображением из Е в S,
в котором для любых v, »'eF нет ни одной пары дуг из и в v',
имеющих один и тот же образ. Образ дуги е назовем ее меткой,
а
и v~*-vr обозначает тот факт, что существует дуга из и в и' с мет-
меткой а. Пусть G и G' суть S-помеченные графы; G есть подграф
графа С, если оба графа имеют одно и то же множество вершин
а а
и из v-*-v' в G следует v-*-v' в G'. Тотально полный S-помеченный
а
ориентированный граф G — граф, в котором v-*-vr для любой
пары вершин и и и' и любого aeS. Если S состоит из ненулевых
192 П. Дубиле, Дж.-К. Рота, Р. Стенли
элементов поля, то S-помеченный ориентированный граф G явля-
а
ется инверсно симметричным, если v-*-vf имеет следствием
а—1
a b
v -»-?/, и антитранзитивным, если из v-*-v и и ->-и вытекает, что
—ab
v-*-v". Наконец, D-граф есть S-помеченный ориентированный
граф G, где S — множество ненулевых элементов поля, и в G име-
имеется самое большее одна выделенная компонента, которая явля-
является тотально полной, а все другие компоненты просты (т. е. име-
имеют не более одной дуги в каждом направлении между двумя
вершинами), инверсно симметричны и антитранзитивны.
Пусть теперь S=F* (ненулевые элементы поля F) и В — мно-
множество из п элементов («вершин»). Решетка D(B) (или Dn) есть
решетка D-графов с множеством вершин В и множеством меток 5,
в которой G^G' тогда и только тогда, когда G — подграф графа
G' и выделенная компонента графа G содержится в выделенной
компоненте G'. Соответствие с решеткой Доулинга Qn устанавли-
устанавливается следующим образом. Задав решетку Доулинга Q(V) и ба-
базис B = {bh ..., bn}, каждому подпространству W пространства V
в Q(V) поставим в соответствие граф с множеством вершин В;
а
в нем bc+bj тогда и только тогда, когда bi-\-abj принадлежит W,
и выделенной компонентой является компонента, имеющая вер-
вершинами те Ьи которые принадлежат W. Легко видеть, что связ-
связные компоненты инверсно симметричны и антитранзитивны; вы-
выделенная компонента, очевидно, является тотально полной, а все
а а'
другие компоненты просты. (Так, если bi-*-bj и b}—*-bj, где афа',
то bi + abj^W, bi + a'bj^W; отсюда (а—a')bj^W, и поэтому
bj^W и bi^W. Таким образом, Ь\ и bj принадлежат выделенной
компоненте). Легко видеть, что описанное соответствие является
изоморфизмом решеток, и поэтому Dn и Qn изоморфны.
Пример 5.11. Из предыдущего легко следует, что Qn—Пп+ь
если q=2. Следующее соответствие дает изоморфизм из
Dn в Пп+ь Пусть множество Dn есть {1, 2, ..., п}. Каждому эле-
элементу G из Dn поставим в соответствие разбиение множества
{1, 2, ..., п, «+1}> блоками которого являются невыделенные ком-
компоненты G, а выделенная компонента дополнена элементом п+1.
Пусть теперь G^Dn. Тогда [О, G] изоморфен произведению
решеток подграфов компонент G @ — тривиальный граф без ре-
ребер и не имеющий выделенной компоненты), и решетка подгра-
подграфов невыделенной (и, следовательно, простой) компоненты гра-
графа G с k вершинами тривиально изоморфна Щ. Таким образом,
[О, G] изоморфен Д.ХП?' X . .. ХП"«' где г —объем выделенной
компоненты G (возможно, 0) и kt — число невыделенных компо-
компонент G объема i. (Заметим, что r-\-I,iki=n и 2&г равно числу не-
Об основах комбинаторной теории (VI) - 193
выделенных блоков в G.) Пусть G' выше G в Dnl и Си С2 — раз-
различные невыделенные компоненты G, которые входят в некоторую
невыделенную компоненту G'. Тогда все дуги между вершинами
компонент Ci и С2 могут быть определены, исходя из любой од-
одной такой дуги с использованием свойств инверсной симметрич-
симметричности и антитранзитивности. Интуитивно, невыделенные компо-
компоненты «ведут себя подобно точкам» в [G, 1], в то время как вы-
выделенная компонента G просто «соединяется с этими точками,
когда они становятся различимыми». Используя эти идеи, нетруд-
нетрудно увидеть (или доказать), что [G, 1] изоморфен Qm, где т —
.число невыделенных компонент G, т. е. изоморфен Dkl+.. .+u (&»
были введены раньше в этом абзаце).
Таким образом, мы пришли к следующему определению, соот-
соответствующему определению предыдущего подраздела. Класс
сегмента [G, G'] решетки Dn есть набор (г; ku k% ...), где г—¦
число невыделенных компонент G, содержащихся в выделенной
компоненте G'', и ^ — число невыделенных компонент G', кото-
которые содержат точно i компонент графа G. (Заметим, что r-\-1iki
равно числу невыделенных компонент G.) Из предыдущего аб-
абзаца следует, что [G, G'] изоморфен ОгхП^'х.... Класс элемен-
элемента G^Dn определяется равным классу сегмента [О, G].
Прежде чем идти в какой-то мере дальше, мы изложим все
предыдущее в контексте универсальной алгербы инцидентности,
в которой два сегмента имеют одинаковый тип тогда и только
тогда, когда они имеют одинаковый класс. Пусть D — категория,
объекты которой суть решетки D(B) для всех конечных множеств
Вив них два сегмента эквивалентны, если они изоморфны п их
наибольшие элементы имеют одно и то же число невыделенных
компонент (хотя один наибольший элемент может иметь выделен-
выделенную компоненту, а другой нет). Морфизмами в D являются все
изоморфизмы, в которых наибольший элемент сегмента имеет то
же число невыделенных компонент, что и наибольший элемент
образа сегмента. Легко видеть, что D удовлетворяет требуемым
условиям, а также что два сегмента эквивалентны тогда и только
тогда, когда они имеют один и тот же класс.
Далее, сегмент [G, G'] в некоторой решетке Dn имеет тип
(г; 0, 0, ...) тогда и только тогда, когда G'= 1 и G имеет г невы-
невыделенных компонент. Обозначим через " число эле-
\.r;k\, k2, ...
ментов G' в сегменте [G, 1] типа («; 0, 0, ...), таких, что [G, G']
имеет тип (г; ku k% ...) (и, следовательно, [С, 1] имеет тип
1 Здесь и в дальнейшем изложении слова «выше» и «ниже> относятся
к диаграмме Хассе соответствующего частично упорядоченного множества. —
Прим. перев.
7—1751
194 П. Дубиле, Дж.-К. Рота, Р. Стенли
(&1 + &2+...; 0, 0, ...)). Тогда, как показывает следующее ниже
перечислительное доказательство,
где (ft1,"ft7,r...) определено в предыдущем подразделе. Мы мо-
можем предположить, что [G, 1] содержится в Dn и G = 0, т. е. что
[G, 1] есть Dn. Сначала выберем г вершин, соединим дугами, по-
помеченными всеми возможными метками, все пары вершин и вы-
выделим результирующую компоненту. Это можно сделать (")
способами. Затем выберем k\ вершин в качестве невыделенных
одноточечных компонент. Это можно сделать {пь1г) способами.
Продолжая таким образом, выберем kj различных /-множеств
вершин. Это можно сделать
45.27)
способами, и каждое /-множество может быть превращено в по-
помеченную, простую, инверсно симметричную, антитранзитивную
компоненту (q—I);*-1 способами, так как метки всех дуг пол-
полностью определяются метками стягивающего дерева, которое
имеет /—1 дуг (см. Ли [38, стр. 185—186]. Это доказыва-
доказывает E.26).
Как и для решетки разбиений, понятие мультипликативной
функции важно. Функция fel(D) мультипликативна, если суще-
существует пара наборов (аи а2, ...), (b0, bu &2. ¦••)> таких, что
/(О, Q') = brakM'..., E.28)
когда [ G, G'] имеет тип (г; ku k% ...); при этом говорят, что / оп-
определяется парой последовательностей. Аналогичное определе-
определение справедливо для мультипликативных функций одной пере-
переменной. Подмножество M(D) из I(D) всех мультипликативных
функций замкнуто относительно свертки (доказательство такое
же, как и для М(П)), и, следовательно, M(D) —полугруппа. Да-
Далее, если f^M(D) и F — мультипликативная функция одной пе-
переменной, то К и L также мультипликативны, где
К{0)= 2 F(O')f(Q',G) E.29)
1@)= 2 /(°- O')F(Q'). E.30)
Об основах комбинаторной теории (VI) 195
Теорема 5.2. Полугруппа M(D) изоморфна множеству всех
пар (F(x), G(x)) формальных экспоненциальных степенных ря-
рядов, где F(x) имеет нулевой свободный член, с умножением, ко-
которое задается соотношением
), G'(x)) = [F'(F (x)), G (x) ¦ G'(F((q~
E.31)
Изоморфизм дается соответствием f—>(F'{/)(x), Ff\x)), где
¦ g(D/Y\_ VI /(Пя) „ /с; о9^|
Г f Л J — ^ Л • 10. О^ 1
E.33)
/(Пп) обозначает значение f на сегменте типа r = 0, k\= ... —
= fen_1 = 0, kn= 1 ы /(?>n) обозначает значение f на сегменте типа
(л; О, О,...)-
Доказательство. Ясно, что определенное отображение являет-
является биекцией, поэтому нам необходимо проверить лишь то, что
умножение сохраняется. Из теоремы 5.1 следует, что ^^(х)^=
=Fg (F/ {х)). Далее, обозначив через 2* суммирование, ко-
которое ведется по множеству {r + ki + 2k2+ ...+nkn = n}, и через
2г суммирование по множеству {&i + 2&2+ ... +nkn = n—г}, по-
получим
{f*g){Da) =
. E.34)
Далее, f{Dr) есть коэффициент при —
196 П. Дубиле, Дж.-К. Рота, Р. Стенли
-1))*-...
. ..(/ (Пя) (q- l)»-i)*« g (D*1+...+O E. 35)
есть коэффициент при в F{g (F/ ((q — l)x)/(q— 1)), и от-
(п — гу.
сюда следует утверждение теоремы. ¦
Следствие 5.3. Функция Мёбиуса в Dn задается соотноше-
соотношением
E-36)
1 = 0
Доказательство. Имеем
^1)(^)=ex-l, Flt\x) = e*, Fi1}(x)=x и ^8)(jc) = 1.
Теперь, согласно предыдущему подразделу
л-1
Таким образом,
я—
\)x)"-1. ¦ E.37)
Поэтому
откуда следует результат. ¦
Следствие 5.4. Пусть f — мультипликативная функция от
одной переменной и для каждого неотрицательного целого п
имеем Ьп=^ /(О) и qn= J /(О)р(О, 1).
Об основах комбинаторной теории (VI) . 197
ТогЛа
yit»№zW) (о.39)
E.40)
Доказательство следует из теоремы 5.2 и следствия 5.3 таким
же образом, как доказывалось следствие 5.2. ¦
Вернемся теперь к решетке Qn, чтобы получить представле-
представление о том, что означает класс сегмента в терминах соответству-
соответствующего сегмента векторного пространства. Пусть W^Q(V), т. е.
W — подпространство V, имеющее базис, элементы которого вы-
выражены в виде bi или abj-\-arbh, где a, a'^F*. Тогда нетрудно
заметить, что W имеет базис вида
{bi,, bi,,...,bin, bh-\-albh, bj,-\-a2bja,...,bh-\-asbJs+v bkl-\-a\bk,,
...,bla-{-aubla+l}, E.41)
где в;^0 и среди элементов bt нет одинаковых. Такой базис
можно получить, взяв произвольный базис и заметив, что если и
abi-\-a'bj, и abt-\-a'bj встречаются в нем (и, следовательно,
— ^=^-|, то bt и Ь: принадлежат W и могут в базисе заменить
a' a' J
abt-{-a'bj и abi-\-a'bj. Совокупность {bjl-{-alb]%, Ь}%-\-аф]г,...
..., bps-\-asbJs+1} в предыдущем базисе называется (s-j- 1)-циклом
базиса. Пусть kx равно числу базисных элементов {Ьи Ь2,-..,Ьп},
которые не входят в предыдущий базис (т. е. их нет среди
{bu,...,bir, Ьи,...,Ь^+1,...,Ь1„...,Ь1и+1}), и kt для г>1 есть число
г-циклов в базисе. Тогда (г; ku k2,...,kn) есть класс сегмента
[О, С?] в Dn, где С? —граф, соответствующий W, и [С?, 1] имеет
класс [&i+^2+. ¦ .+kn; 0, 0, ...]. Заметим, что это следует из то-
того, что г и k\, k2, ..., kn не зависят от базиса (собственного типа),
выбранного для W. Класс общего сегмента [W, W] также может
быть определен с помощью базисов собственной формы, выбран-
выбранных для W и W. Следовательно, класс сегмента решетки Qn мо-
может быть определен без обращения к решетке Dn, но при этом
необходимо доказывать, что класс не зависит от выбора базиса.
5.4. Абелевы группы. Пусть С(р) —категория, объектами ко-
которой являются решетки подгрупп конечных абелевых р-групп,
где р — простое фиксированное на протяжении всего подраздела
198 П. Дубиле, Дж.-К. Рота, Р. Стенли ]
число, и все их сегменты с отношением эквивалентности в каж-'
дом объекте, задаваемым посредством: [A, 5]~[G, H] тогда и
только тогда, когда Б/Л~ H/G. Морфизмы в С(р) суть всё изо-
изоморфизмы, такие, что если [А, В]—прообраз и [G, Н] — образ
изоморфизма, то В/А ~ H/G.
Разбиение целого числа п есть последовательность К= {KiJ
Яг, ...) неотрицательных целых чисел, расположенных в невоз-
растающем порядке, сумма которых равна п. Типы введенной'
выше категории С(р) взаимно однозначно соответствуют разби-|
ениям, и типом сегмента [Л, В] будет разбиение Я= (Яь Яг, ...)»1
где B/Ac^Z{pXi)®Z(px*)@... .Тип группы G определяется типом^
сегмента [О, G]. Коэффициент инцидентности/ Л 1 равен числу
членов G^[A, В], где [А, В] имеет тип Я, таких, что [A, G] имеет
тип а и [G, В] — тип р, или, что то же, числу подгрупп G группы
Н, где Н имеет тип Я, таких, что G имеет тип а и H/G — тип р.
Этот коэффициент есть как раз «многочлен Холла»?"а,|з (р), опре-
определенный в работе [31, стр. 156] и в дальнейшем изучавшийся
Грином [27] и Клейном [37]. (Многочлены Холла
v(р) — просто коэффициенты в разложении {f*g*---*ft)(p) =
|1..^(/>)/(Х)?((*)... A(v).) Алгебра Холла А(р) изоморфна
подалгебре алгебры I (С(/?)), состоящей из функций, которые
не равны нулю лишь на конечном числе типов; изоморфизм за-
задается линейным продолжением отображения 8х—»С?х (р), где
бя, — индикатор функции типа Я в 1(С(р) и Gx(p) такое же, как
и в статье Холла. Коэффициенты инцидентности ga,$ (p) удовлет-
удовлетворяют соотношению g«,v{p)—g?,i(P), которое следует из извест-
известного факта, что решетка подгруппы конечной абелевой группы
самодвойственна и потому в силу следствия 4.1 1(С(р)) ком-
коммутативна. Различные свойства коэффициентов инцидентности
g\? (/*)» исследованные Холлом и обобщенные Клейном и Грином,
в большинстве основаны на том, что ga,p(p)—многочлен от р
с целыми коэффициентами. Условие того, чтобы этот многочлен
был тождественным нулем, т. е. того, чтобы g«,p{p) равнялся ну-
нулю для всех р, дано Холлом в терминах умножения функций
Шура (см. [31, стр. 157])-
Пример 5.12. Пусть (п, гг, ..., гт) —упорядоченное разбие-
разбиение п. Тогда из коммутативности 1(С(р)) вытекает, что для лю-
любого заданного разбиения Я числа п число башен 1г?:#1(^#2гс:
^....^.Hm=G (где G имеет тип Я), в которых Нл/Нг-\ имеет поря-
порядок рг', не зависит от порядка (п, гг, -..Гт). Это справедливо
потому, что число таких цепей определяется с помощью(/гГ1*Аг2*...
Об основах комбинаторной теории (VI) 199
...*kr )(>.), где hr — функция, принимающая значение 1 на сег-
сегментах [Л, В], для которых В/А имеет порядок рг, и равная 0 в
других случаях. (Ясно, что hr постоянна на каждом типе.)
6. Резидуальный изоморфизм.
В этом разделе мы в основном будем заниматься задачей оп-
определения того, когда два сегмента в максимально редуциро-
редуцированной алгебре инцидентности R(P) эквивалентны. Как мы виде-
видели в разд. 4, два сегмента не обязаны быть изоморфными, т. е.
стандартная редуцированная алгебра инцидентности не обязана
совпадать с максимальной редуцированной алгеброй инцидент-
инцидентности. Впредь до дальнейшего предупреждения будем предпола-
предполагать, что основное поле К имеет характеристику 0.
Вначале представим критерий эквивалентности в R(P) двух
сегментов из Р. Пусть Р = [0, 1] и Р'=[0', 1']—два конечных упо-
упорядоченных множества с единственными минимальными эле-
элементами 0 и 0' и единственными максимальными элементами 1
и Г соответственно. Мы говорим, что Р и Р' {-эквивалентны,
не налагая на эти множества каких-либо других условий. Индук-
Индуктивно определим, что Р и Р' (л+1)-эквивалентны (записывается
Pn+Ф'), если существует биекция х<*х' между Р и Р', такая, что
(О, я] ДО', х'] и [х, 1]1[х', Г]. Заметим, что из РЧР' следует, что
Pil P' для Km^n. Заметим, также, что Р~Р' тогда и только
тогда, когда Р и Р' имеют одинаковое число элементов.
Предложение 6.1. Два сегмента [х, у] и [и, v] локально
конечного упорядоченного множества Р эквивалентны в ЩР)
тогда и только тогда, когда они п-эквивалентны для всех поло-
положительных целых п.
Прежде чем доказывать предложение 6.1, покажем, что, оче-
очевидно, бесконечная последовательность условий, которые долж-
лы выполняться для того, чтобы PI P для каждого положитель-
положительного целого п, сводится к конечному числу условий для любого
заданного выбора Р, Р'.
Предложение 6.2. Пусть I — длина наиболее длинной
цепи в двух конечных упорядоченных множествах Р = [0, 1] и
Р' — [0', У]. Тогда Р '~Р' для каждого п>1 тогда и только тогда,
когда Pi P'.
Доказательство. Доказывать будем индукцией по /. Если
/=1 и 1 = 2, то ясно, что утверждение справедливо, так как тогда
Р и Р' изоморфны. Теперь предположим, что утверждение спра-
справедливо для /^2, наиболее длинная цепь в Р и Р' имеет длину
/+1 и Р'+^Р'. Предположим, что Р1Р' для некоторого /1
200
П. Дубиле, Дж.-К. Рота, Р. Стенли
Достаточно будет показать, что Р'Ч1 Р'. Так как РИ Р', то суще-
существует биекция х+г+х', такая, что [0, х]п~1 [О', х'] и [х, l]n~L [х'
Я 0' 1 Г З Е
[ ] [, ] [ ] [ )
Ясно, что 0 <-> 0' и 1<-> Г, так как лГ^гЗ. Если х^=0, 1, то [0, х\\
и [0', х'\ не имеют цепи длины ^/+1, так что по предположению
индукции [0, х]п~ [О', х'\ Аналогично [х, l)t[x', Г]. Следовательно,*?
биекция х<*х' определяет (п+ 1)-эквивалентность между Р и Р'.ИИ
Мы предполагаем, что верно следующее обращение предло- >
жения 6.2: для каждого /^ 1 существуют конечные упорядочен-1
ные множества Р = [0, 1] и Р' = [0', 1'] с наибольшей цепью дли-
длины /, такие, что Р1~1Р', но не PL Р'. Рис. 1 иллюстрирует справед-
справедливость этого предположения для / = 4.
Рис. 1. Упорядоченные множества длины 4, которые 3-эквивалептны, но не
4-эквивалентны.
Доказательство предложения 6.1. Пусть [х, у]~[х', у'] в Р
тогда и только тогда, когда [х, у]~ [х', у'] для всех положитель-
положительных целых п. Чтобы доказать достаточность условий, необходи-
необходимо показать, что отношение эквивалентности ~ совместимо с по-
порядком. Для этого достаточно установить, что коэффициент*
[1 полностью определен для любых классов эквивалентности
(типов) а, р, Y- Пусть [х, у] и [х'', у'] — два сегмента из Р типа п.
Определим г(х, у, п) равным числу точек ге[х, у], таких, что
[х, z] «-эквивалентен сегменту типа р и [г, у] «-эквивалентен сег-
сегменту типа у- Число г(х, у, п) не зависит от частного выбора
сегментов типа р и у, так как все такие сегменты «-эквивалент-
«-эквивалентны. Так как [х, у]л± [х\ у'], имеем г{х, у, п) =г(х', у', п). Но тогда
так что
1Э. v J
" l = limr(*, у, n) = llmr(x', у', п),
вполне определен.
F. 1)
Обратно, предположим, что в R(P) [x, у]~[х',у/]. Индукцией
по п докажем, что [х, у]1 \х', у'] для всех п. Тривиально имеем
Об основах комбинаторной теории (VI) 201
[х, у]± [х\ у'] для всех [х, у]~[х', у'] (на самом деле [х, у]1 [х', у'\
для любой пары [х, у], [х1, у']. Предположим, что [х, у]Л \х', у')
для всех [х, у]~[х', у']. Задав любой сегмент [и, v] в множестве Р,
определим fu,v,nel(P) соотношениями
0 в противном случае.
По предположению индукции fu,v, n^R{P)- Следовательно,
fu,v.n*fw,v,n€R(P)- Но (fu.v,n*fu',v,n)(x, у) равно числу эле-
элементов ге[д:, у], таких, что [х, z\" [и, v] и [z, у]И:\и', v']. (В этом
месте необходимо предположение о том, что К имеет характери-
характеристику 0.) Так как /„,„,„*fu>,v,n€R~(P), то
fu;v,n*fu\v',n(X, y) = fUlV,n*fu',v',n(x', у'). F.3)
Следовательно, [х, у]л±ЧУ, у']. Ш
Доказательство предложения 6.1 позволяет нам охарактеризо-
охарактеризовать вид функций в R(^), по крайней мере тогда, когда харак-
характеристика основного поля К равна 0. Если fel(P), определим
1(Р посредством
в противном случае.
Следствие 6.1. Алгебра R(P) состоит из тех функций, ко-
которые можно получить из Z, при помощи последовательности опе-
операций следующих трех типов:
1) линейная комбинация (возможно, бесконечная),
2) свертка,
3) операция /-»-х/-
Доказательство. Очевидно, все функции описанного типа при-
принадлежат R(P). Доказательство предложения 6.1 показывает,
что для любого сегмента [и, v] из Р функция fu,v,n<^R(P)¦ Пред-
Предложение 6.2 показывает, что, начиная с некоторого момента, по-
последовательность fu,v,\, fu,v,2, ... постоянна и ее предел (а именно
fu,vn, где «^2, и, как легко проверить, это равно числу элемен-
элементов в \u,v\) есть характеристическая функция типа [и, v] в R(P).
Все функции из R(^) являются линейными комбинациями (бес-
(бесконечными, если R(P) имеет бесконечно много типов) этих ха-
характеристических функций. Наконец, нетрудно показать индук-
индукцией по п, что fu,», п принадлежит классу функций, описанных
для каждого сегмента [и, v] и каждого п. Ш
202 П. Дубиле, Дж.-К. Рота, Р. Стенли А
¦]
По определению два локально конечных упорядоченных мнон
жества Р и Q резидуально изоморфны (для краткости, г-изо-
морфны) ', если существует биекция между типами Р относитель-
относительно R(P) и типами Q относительно R(Q) (над тем же самым ос-
основным полем К, которое, как мы уже предположили, имеет
характеристику 0), индуцирующая изоморфизм R(P) и R(Q).,
Замечание. R(P) и R(Q) могут быть изоморфны как /С-ал-,
гебры, и тем не менее Р и Q не изоморфны.
Предложение 6.3. Два конечных упорядоченных множе-
множества Р и Р', каждое с 0 и 1, являются r-изоморфными тогда и
только тогда, когда РЛ Р' для всех п~^.\. Эквивалентно: два сег-
сегмента локально конечного упорядоченного множества Р эквива-
эквивалентны в R(P) тогда и только тогда, когда эти сегменты г-изо-
морфны. Более того, а и а' — соответствующие типы при изомор-
изоморфизме R(P)^R(P') тогда и только тогда, когда сегменты Р
типа а r-изоморфны сегментам Р' типа а'.
Доказательство. Предположим, что Р и Р' r-изоморфны и тип
а относительно R(P) соответствует типу а' относительно R(P')-
Пусть Q — непересекающееся объединение (прямая сумма) Р
и Р'. Определим на сегменте Q следующее отношение эквива-
эквивалентности: [х, у]~[х', у'], если либо 1) [х, у]~[х', у'] в R(P), либо
2) [х, у]~[х', у'] в R(P'), либо 3) [х, у] имеет тип а в Р и [х', у']—
тип а' в Р', либо 4) [х, у] имеет тип а' в f и \х', у'] — тип а в Р.
Ясно, что это отношение эквивалентности совместимо с поряд-
порядком. Следовательно, по предложению 6.1 сегменты типа а «-экви-
«-эквивалентны сегментам типа а' для всех п^\ и, в частности, Р" Р'.
Обратно, если PUP' для всех п^\, определим биекцию а<-> а'
между типами а относительно R(P) и типами а' относительно
R(P'), потребовав, чтобы сегменты типа а были «-эквивалентны
сегментам типа а' для всех лГ^1. Из предложения 6.1 легко сле-
следует, что эта биекция индуцирует изоморфизм между R(P)
hR(P').
Следствие 6.2. Два конечных r-изоморфных упорядочен-
упорядоченных множества Р=[0, 1] и Р' = [0', 1'] имеют следующие общие
свойства:
1) число максимальных цепей данной длины;
2) число элементов данной минимальной длины до 0 (или 1);
следовательно, числа всех элементов, атомов и дуальных атомов.
Сокращение от residually isomorphic. — Прим. перев.
Об основах комбинаторной теории (VI) 203
Доказательство. Из_ следствия 6.1 заключаем, что функция
ti=Xc*-c принадлежит R(P) и R(P'). Заметим, что
4(jCfi0 П. «ли у покрывает*, 6>5)
@ в противном случае,
так что цг(х, у) есть число максимальных цепей в [х, у] длины г.
По предложению 6.3 г|г@, 1) =г|г@', Г), так как Р и Р' изоморф-
изоморфны. Это доказывает п. 1.
Аналогично в R(P) и R(P') можно найти функции, явно вы-
выраженные в виде, заданном с помощью следствия 6.1, которые
перечисляют величины, указанные в п. 2. Детали доказательства
опускаем. ¦
Предложение 6.4. Пусть Р — упорядоченное множество
с 0 и 1 и с числом элементов ^7 и Q — произвольное конечное
упорядоченное множество с 0 и 1. Тогда Р и Q r-изоморфны тог-
тогда и только тогда, когда они изоморфны.
Доказательство состоит, по существу, в проверке всех воз:
можностей и нами опущено. ¦
Рис. 2. Резидуально изоморфные неизоморфные упорядоченные множества.
На рис. 2 приведены два r-изоморфных неизоморфных упоря-
упорядоченных множества с восемью элементами. Другой пример
/¦-изоморфных неизоморфных упорядоченных множеств — решет-
решетка подпространств двух неизоморфных конечных проективных
плоскостей одного и того же порядка.
Мы скажем, что конечное упорядоченное множество Р с 0 и 1
резидуально самодвойственно (для краткости, г-самодвойствен-
но), если оно r-изоморфно своему двойственному множеству. Не-
Несколько предложений, использующих это понятие, характеризуют
те Р, для которых алгебра R(P) коммутативна.
Предложение 6.5. Пусть Р — локально конечное упоря-
упорядоченное множество. Алгебра К(Р) коммутативна тогда и только
тогда, когда каждый сегмент из Р г-самодвойствен.
204
П. Дубиле, Дж.-К. Рота, Р. Стенли
Доказательство. Предположим, что R(P) коммутативна. Это
означает, что = для всех типов а, р, у. Если 6 —
LP, yj Iy. PJ
тип сегмента, обозначим тип его дуального сегмента 6*. Пусть
[х, у] — сегмент типа а; рассмотрим биекцию б<->6* между типами
сегментов в [х, у] и типами в дуальном сегменте [х, у]*. Тогда
<*• 1 Г а I Г а 1
*, y*j Ly.pJ Lp. yJ'
F.6)
так. что биекция 6<->6* индуцирует изоморфизм между R([x, у])
и R([x, у]*), т. е. [х, у] г-самодвойствен.
Рис. 3. Резидуально самодвойственное упорядоченное множество, которое не
самодвойственно.
. Обратно, предположим, что каждый сегмент [х, у] из Р г-са-
г-самодвойствен. Так как [х, у] r-самодвойствен, число элементов
ге[х, у], таких, что [х, z] имеет тип р и [г, у] имеет тип у, равно
числу элементов z'^[x, у], таких, что [x,z'] имеет тип у* и [zf, у] —
тип р*. Но р= р* и /y = 'V*> так как каждый сегмент этих типов г-са-
г-самодвойствен. Следовательно, если [х, у] имеет тип а, то =
LP. YJ
= и алгебра R(P) коммутативна. ¦
Рис. 4. Эквивалентные сегменты при характеристике 2, которые не являются
резидуально изоморфными.
Рис. 3 иллюстрирует r-самодвойственное упорядоченное мно-
множество Р, которое не самодвойственно. Для этого упорядоченно-
упорядоченного множества R(P) есть стандартная редуцированная алгебра
инцидентности. Это ответ на вопрос Смита [55, стр. 632] о суще-
существовании таких упорядоченных множеств.
Об основах комбинаторной теории (VI) 205
Замечания. О характеристике р. Предложение 6.1 и его след-
следствия не верны, если характеристика основного поля не равна 0.
Например, всякий раз, когда два упорядоченных множества рис. 4
являются сегментами локально конечного упорядоченного мно-
множества Р, они эквивалентны в R(-P) над основным полем харак-
характеристики 2. Нетрудно, однако, модифицировать результаты этого
раздела, чтобы получить соответствующие результаты для ха-
характеристики 2, по существу заменяя все понятия на соответст-
соответствующие понятия по модулю р. Мы не будем здесь вдаваться в де-
детали.
7. Алгебры типа Дирихле.
7.1. Определения. Пусть Р — локально конечное упорядочен-
упорядоченное множество, имеющее единственный минимальный элемент 0
и R(P, ~)—редуцированная алгебра инцидентности,типы кото-
которой находятся во взаимно однозначном соответствии с подмно-
подмножеством положительных целых чисел; тип сегмента [х, у] будем
обозначать О(х, у). Предположим, что функция О удовлетворяет
следующему условию: если x-^y^z в Р, то О(х, г)~
= 0{х,уH{у,г).
В таком случае назовем алгебру R(P, ~) алгеброй типа Ди-
Дирихле. Скобки I п обозначают число точек у в сегменте [х, z)
типа п, таких, что О (х, у) —k и О {у, г) =1. Ясно, что п = 0, ес-
ли не выполняется равенство n — kl. Следовательно, имеет смысл
определить фигурные скобки |Я| = | п [.Редуцированная
алгебра инцидентности R(P, ~) изоморфна алгебре всех после-
последовательностей ап, п—1, 2, ..., где ап=й=0, если только в Р име-
имеется сегмент типа п. Свертка двух таких последовательностей
есть
Пример 7.1. Пусть Р — множество всех положительных целых
чисел, упорядоченных по делимости. Положим O(k, n) = —¦
для k, пеР.
Это дает редуцированную алгебру инцидентности, упомяну-
упомянутую впервые в примере 4.8. Фигурные скобки тождественно
равны единице, свертка коммутативна и сводится к клас-
классической свертке Дирихле
206 П. Дубиле, Дж.-К. Рота, Р. Стенли
Редуцированная алгебра инцидентности R(P, ~) изоморфна ал-
алгебре формальных рядов Дирихле. Дзета-функция отображается
в дзета-функцию Римана
G.3)
а функция Мёбиуса — в функцию
G.4)
где \i(n) — классическая функция Мёбиуса, как уже было эскиз-
эскизно написано в «Основах» I.
Алгебры типа Дирихле удовлетворяют следующему фунда-
фундаментальному рекуррентному соотношению:
Н) = ()(*). G.5)
m\\kj \kj\m/kj V >
Оно получается путем перечисления двумя способами числа под-
сегментов [хи yi] сегмента [х, у] типа п, таких, что О(х, Xi)=k,
О(х, г/,) — т. Существует I 1 способов выбора у\, и для каждого
(т)
такого выбора имеется \т\ способов выбора хи меньшего у и
С другой стороны, имеется I 1 способов выбора хи и для каждо-
го выбора существует г \ способов выбора г/ь который боль-
\m]k)
ше х\. Это устанавливает G.5).
Наиболее важны три вида алгебр R(P, ~) типа Дирихле.
A) Алгебра R(P, ~) коммутативна тогда и только тогда,
(П) ( П ) ,1
когда { \ — \ >для всех типов п и всех k\n.
(k j (n/k)
Б) Алгебра R(P, ~) называется полной, если|л1^-0 всякий
раз, когда п — тип и k\n.
B) R(P, ~) называется алгеброй биномиального типа, если
существует простое р, такое, что все типы являются степенями р.
Тогда мы пишем
РН\ G-6)
Об основах комбинаторной теории (VI) 207
Рекуррентное соотношение G.5) принимает вид
Алгебра биномиального типа есть просто аддитивный аналог
алгебры типа Дирихле. Об алгебрах биномиального типа мы
будем всегда говорить в аддитивном смысле, так что сегмент
типа п в алгебре R(P, ~) биномиального типа имеет тип рп,
когда R(P, ~) рассматривается как алгебра типа Дирихле.
Имеется, a priori восемь видов алгебр типа Дирихле, которые
получаются, если уточнить, какие из свойств А, Б, В справедли-
справедливы и какие нет. Легко построить примеры семи из этих видов;
в следующем разделе мы увидим, что каждая полная алгебра
биномиального типа коммутативна.
7.2. Полные коммутативные алгебры типа Дирихле. Здесь мы
покажем, что если R(P, ~)—полная коммутативная алгебра
типа Дирихле, то существует изоморфизм R(P, ~) в алгебру
формальных рядов Дирихле.
Лемма 7.1. Пусть R(P, ~) — полная коммутативная алгеб-
алгебра типа Дирихле. Тогда сегменты из Р типа 1 являются в точно-
точности одноточечными сегментами, и сегмент имеет простой тип
тогда и только тогда, когда он состоит из двух точек. Далее, Р
удовлетворяет цепному условию Жордана — Дедекинда, т. е. во
всех сегментах Р все максимальные цепи имеют одну и ту же
длину.
Доказательство. Если [х, х] имеет тип k, то k2 = k, так что k = 1.
Обратно, если [х, у] имеет тип 1, то из леммы 4.1 следует, что
х = у.
Если [х, у] имеет простой тип р, то в силу предыдущего хфу,
и если [х, у] содержит третью точку z, то р = О(х, z)O(z, у), что
невозможно. Обратно, если [х, у] — двухточечный сегмент и имеет
тип п, то п должно быть простым, так как если п имеет нетриви-
нетривиальный множитель k, то, поскольку алгебра R(P, ~) полная,
найдется элемент ге[л;, у], такой, что [х, z] имеет тип k. Наконец,
отсюда следует, что для произвольного сегмента [х, у] длина лю-
любой максимальной цепи равна числу простых множителей в раз-
разложении О(х, у) на простые сомножители. ¦
Пусть [х, у] — сегмент из Р типа п и С — максимальная цепь
в [х, у], скажем x=xo<Xi< ... <xm—y. Если Pi — тип [xi-i,xi\,
то n = piP2 ¦ ¦. Pm — упорядоченная факторизация п на простые
множители; мы назовем ее факторизацией п, индуцированной
цепью С, или, короче, факторизацией цепью С.
208 П. Дубиле, Дж.-К. Рота, Р. Стенли
Лемма 7.2. Пусть R (Р, ~) —¦ полная коммутативная алгебра
типа Дирихле, [х, у] — сегмент типа п и п = р{р2 ¦. . рт — некото-
некоторая упорядоченная факторизация п на простые множители. Чис-
Число максимальных цепей в [х, у] с факторизацией pip2. .. pm равно
{)!){]...{Pl"-1), G.8)
\Рп) { Pi J I Pi ) I Pm I
и это число зависит только от п и не зависит от выбора фактори-
факторизации. Следовательно, еслип—с[1\Ц%%...Цгт—каноническая факто-
факторизация п, то
(п)М аНао!... а. !
г. ¦ G.9)
(
{сц + а2 ¦+ ... + аГ )!
где М(п) — число максимальных цепей в [х, у].
Доказательство. Число максимальных цепей с факторизацией
Р1Р2 ¦ ¦ ¦ Pm есть, очевидно, выражение, стоящее в правой части
G.8). Ввиду коммутативности соотношения | 1 = | и в силу
G.5) имеем
(П/Р1Р2 •» Pk-\\ fn/PiP2...Pk) = (n!Р\Р2-Pk-\\ , (n/PiP2...Pk\ =
I Pn I I Pk+i I \n/PiP2-Pk ) \ Pn+i i
_(n/PlP2---Pk-l\(n/PlP2---Pk-lPw\(n/PlP2---Pk-l\(n/PlP2---Pk-lPk+l)
I Pk+l ) U/PlP2-PkPk+l J I Pk+\ \ \ Pk ) '
G. 10)
Следовательно, В(п) не меняется, когда переставляются ри и
Pk+\. Так как такими перестановками порождаются все переста-
перестановки чисел ри р2,..., рт, то доказательство закончено. ¦
Предложение 7.1. Пусть R(Р, ~) — полная алгебра типа
Дирихле с типами «1 = 1, п2, ... . Если /eR(P, ~), то отобра-
отображение
R(P, ~) в алгебру формальных рядов Дирихле является
изоморфизмом, если при перемножении рядов Дирихле мы игно-
игнорируем все члены p~s, когда р не является некоторым nh.
Доказательство. Пусть [л:, у] имеет тип п и для некоторого ти-
типа 1\п факторизация п = р\Р2 ¦ ¦. рт такова, что pip2.. ¦ ри = 1- Точ-
Точку х связывают с фиксированной точкой z, такой, что [х, z] имеет
тип' I, точно ВA) максимальных цепей с факторизацией р\р2... Ра.
Об основах комбинаторной теории (VI) 20S
Точку z с у связывают ровно В(п/1) максимальных цепей с фак-
факторизацией ри+1 ¦ ¦ ¦ рт- Таким образом, число таких г есть
(")= В(п) , G.12)
U J ВA)В(пЦ) к '
отсюда следует изоморфизм. ¦
Замечание. Как мы увидим в следующем разделе, если изве-
известно, что R(P, ~)—полная алгебра биномиального типа, то
можно писать В(п) = АA)ЛB) ... А(п), где Л(/г) = |/г[—число
точек, покрываемых точкой у в сегменте [х, у] длины п. Для пол-
полной коммутативной алгебры типа Дирихле аналогом является
формула G.8). Здесь
^ GЛЗ)
Рт-Ь+l )
зависит, в частности, от выбора упорядоченной факторизации п
на простые множители. Канонический выбор A(k) может быть
уточнен требованием pi^P2^ ¦ • • ^Рт-
В некоторых случаях можно узнать значительно больше о
структуре Р и R(P, ~).
П р ед л о ж е н и е 7.2. Пусть R(P, ~)—полная коммутатив-
коммутативная алгебра типа Дирихле. Предположим, что функция В «муль-
«мультипликативна, если определена», т. е. если (пг, п) — \ и пг-п—•
тип, то B(m-n) —B(m)B(n). Пусть [х, у] — сегмент типа
п = ра\р%*... р^1 и [х, xi],...,[x, xm] — сегменты [х, у] типов
pV, />2V", jP/n" соответственно. Тогда [х, у] есть произведение:
\х> У] = 1Х, atj] X ... Х[х, Xm] и ограничение ЩР, ~ ) на сегмент [х, у]
задается тензорным произведением (над К):
Каждая алгебра R([x, xt], ~) является алгеброй полного бино-
биномиального типа.
Доказательство. Если 1^л^т, имеем
( п 1= , „f*"? дч=-^= 1- G. 14)
/М B\Pil) Binlp;1) B(n)
Таким образом, сегменты |х, xt] определяются однозначно. Если
ге[х, у] и [х, г] имеет тип l=p\'pl'-.-Pn?1, то, как и выше, I »Л = ^
[Pi j
и г лежит выше единственной точки г,е[л:, л:г], такой, что [х, Zi]
210 П. Дубиле, Дж.-К. Рота, Р. Стенли
Ь.
имеет тип pi . Следовательно, мы имеем отображение
2->-B1,..., zm). Далее, число точек ге[х, у], таких, что [х, z] име-
имеет тип pi%...pmm, равно
D \ fJ t ... и "«-я
\* 1 rTTl /
ЯG
pV) №».
и это есть число /и-наборов (z1,...,zm), причем [х, zt] имеет тип
рь,К Кроме того, как показывает следующее рассуждение, ото-
отображение инъективно. Предположим, что z и 2—различные эле-
элементы [х, у], такие, что [х, z] и [х, z] имеют тип /?*•... /А*, и
z и z расположены выше zu...,zm, где О(х, z-^ — pi1. Возьмем
^1 €[•*-> U\i rw2^.\'®\i y]i"-> wm € [^m—li У]' Г^е О (Z, Wi)=:pi'~1>
О (wu w2) = p22~\---, O(wm^x, wm) = pl?1 m, и аналогично вы-
выберем элементы wu...,wm, лежащие над z. Заметим, что rwm=^
= wm = y, так как
О(х, wm) = O(x, z)O{z, •ay1)O('ay1, w2)... O(wm_u wm) =
= Pi'...pamm. G.16)
Однако по индукции мы покажем, что Wj=?wj, 1^/^m, что
дает требуемое противоречие.
ЕСЛИ Wi = Wi, ТО ДЛЯ /= 1
P2'Pb/---Pbmm
->1 G.17)
(так как z, ze[2i, W\\), что невозможно, ибо В мультипликативна.
Предположим, что Wj-\=fcwj-\ для j^m. Если Wi = i0j, то
..рЫ^.-.р^Ь^рГЬ1\>х G 18)
(так как Wj-U wj-i^[zj, Wj]), что невозможно, поскольку В муль-
мультипликативна.
Об основах комбинаторной теории (VI) 211
Таким образом, отображение 2-*-BЬ ..., zm) является требуе-
требуемым изоморфизмом [х, у]—[х, х\]х ... Х[х, хт], и отсюда легко
следует оставшаяся часть доказательства. ¦
Как обращение предыдущего предложения предположим, что
R(Pi), R(P2),... — полные алгебры биномиального типа. Пусть
Ри рг, ¦ ••— различные простые числа и [х, у] = [(хи *2> ¦••).
(У\, г/2, ••¦)] —сегмент из Р1ХР2Х..., гле[хиуЦ имеет в R(P*)
тип ui. Тогда, положив О(х, y) = pa\lpV--, получим полную ком-
коммутативную алгебру типа Дирихле, такую, что В мультиплика-
мультипликативна, если определена.
Замечание. Условие: «В мультипликативна, если определе-
определена» эквивалентно тому, что ряд Дирихле, соответствующий
дзета-функции ?eR(P, ~), имеет произведение Эйлера в том
смысле, что ряд Дирихле
k p a
для некоторых nh = pa обращается в нуль для всех членов m~s
всякий раз, когда т является типом.
Все обычные теоретико-числовые функции, такие, как ср-функ-
ция Эйлера, число делителей d, сумма делителей а и т. д., имеют
аналоги в полных коммутативных алгебрах типа Дирихле (даже
в любой алгебре типа Дирихле, хотя некоторые из свойств не
переносятся). Например, если О (л:, у) =п, определим
*eijc,v\
у]
- G.20)
и т. д. Эти функции вместе с \i будут «мультипликативны, если
определены» тогда и только тогда, когда это выполняется также
для В.
Задача. Легко построить примеры бесконечных некоммутатив-
некоммутативных алгебр Дирихле. Пусть, например, Р — решетка положитель-
положительных целых чисел относительно ^ (дискретная цепь). Для ^
определим
2"-"\ если \<jn,
0{т, ») =
3-2»--1, если 1 = /я<л, G.21)
1, если т = п= 1.
212 П. Дубиле, Дж.-К. Рота, Р. Стенли
Соответствующая алгебра Дирихле R(P, ~) бесконечна, т. е.
имеется бесконечное число значений О(т, п), и некоммутативна.
Предположим, однако, что мы требуем, чтобы R(P, ~) удо-
удовлетворяла следующим условиям:
а) R(Р, ~)_ полная алгебра типа Дирихле,
б) любые два элемента из Р имеют верхнюю грань.
Нам неизвестны бесконечные некоммутативные алгебры Ди-
Дирихле, удовлетворяющие условиям а) и б).
7.3. Абелевы группы. Пусть G — абелева группа, решетка Р
подгрупп которой задает алгебру Дирихле R(P, ~), если мы по-
положим О(х, у) равным порядку факторгруппы у/х. Тогда G ко-
конечна (так как Р должна быть локально конечна, а каждая бес-
бесконечная группа имеет бесконечно много подгрупп) и каждая
силовская подгруппа группы G является либо циклической, либо
элементарной абелевой. Обратно, каждая такая группа G порож-
порождает такую алгебру Дирихле, которая в действительности явля-
является полной алгеброй типа Дирихле, дзета-функция которой име-
имеет произведение Эйлера.
Доказательство. Предположим, что силовская р-подгруппа
группы G не является циклической или элементарной абелевой.
Тогда она содержит подгруппу, изоморфную Z(p)QZ(p2),
где Z(n) обозначает циклическую группу порядка п. Сегменты
[О, Z(p2)] и [0, Z(p)(x)Z(p)] оба имеют тип р2, но резидуально не-
неизоморфны, так что R(P, ~) не может быть алгеброй типа Ди-
Дирихле.
Справедливость обращения проверяется непосредственно.
8. Алгебры полного биномиального типа
8.1. Структура. Напомним определение из предыдущего раз-
раздела: R(P, ~) является алгеброй полного биномиального типа,
если типы находятся во взаимно однозначном соответствии с под-
подмножеством неотрицательных целых чисел и тип сегмента [х, у],
обозначаемый О(х, у), удовлетворяет условиям:
А) если д;<2<«/, то О(х, у) = О(х, z)-\-O{z, у),
Б) если п — тип и k^n, то | U^O, где \п есть число элемен-
элементов z в сегменте [х, у] типа п, для которых О (л:, z)=k (и, следо-
следовательно, O(z, у) =п—k).
Тогда имеем следующее соотношение:
Предложение 8.1. Каждая алгебра полного биномиаль-
биномиального типа коммутативна.
Об основах комбинаторной теории (VI) 213-
Докаэательство. Предположим, что R(P, ~)— полная алгеб-
алгебра биномиального типа. Индукцией по п докажем, что =
= I, где 0<т<«. Поскольку = =1, отсюда будет сле-
[п-т\ [0 \ [п\
довать, что R(P, ~) коммутативна.
Утверждение очевидно для п = 0, 1, 2. Пусть оно справедливо
для всех по<.п. Положим 0<m<n^2m. Из соотношения (8.1)
имеем
п]\ 'т } = \ п If m 1. (8.2)
Поскольку 0<>г<Х2/га и алгебра R (?),~) полна, то т 1^0,
[п— т\
т 1^0. По индукции Г т \ = \ т I. Следовательно,
\2т~п\ \_п—т\ \_2т — п\
\п \ = \ п 1. Если 0<jn<ji, но 2m<ji, то 0<« — т<Сп и-
LmJ 1л—mj
п<^2[п — т), так что снова — \п .
1п—т} lm\
. Лемма 8.1. Пусть R(P, ~)—алгебра биномиального типа.
Тогда сегменты типа 0 являются в точности точками Р. Более
того, если R(P, ~) — полная алгебра биномиального типа, то сег-
сегменты типа 1 суть те сегменты Р, которые содержат ровно две-
точки.
Доказательство. Если [л:, л:] имеет тип п, то п + п = п, и потому
п = 0. Обратно, если [л:, у] имеет-тип 0гто из леммы 4.1 следует^
что х = у.
Если алгебра R(/>,~) полна и [х, у] — сегмент типа п>0,.
состоящий из двух точек, то, поскольку I U* 0, мы должны иметь
п=\. Обратно, ввиду леммы 4.1 любой сегмент типа 1 содержит
ровно две точки. ¦
В оставшейся части этого подраздела будем предполагать,,
что R(P, ~) — полная алгебра биномиального типа. Пусть VV —
наибольший тип любого из сегментов Р (или Af = oo, если наи-
наибольшего типа нет). Поскольку R(P, ~) — полная алгебра^
имеем
Л@) = 0>Гя1 = Л(л)^-0, \Kn<N (исключая л=оо).
(8.3)
Определим В(п) =ЛA)ЛB) ...А(п) и В@) = 1. Полагая в (8.1)
k= 1 и итерируя, находим
214 П. Дубиле, Дж.-К. Рота, Р. Стенли
и 1 А(п)А(п— \)...А(п— т + 1) _
' А(т)А(т — 1)...АA) ~
0</ге<д<Лг (исключая я=оо), (8.4)
В(т)В{п—т)
где мы использовали тот очевидный факт, что
д^°°- (8-5)
Мы, следовательно, показали, что полная алгебра биномиаль-
биномиального типа изоморфна алгебре формальных степенных рядов, взя-
взятых по модулю 2^+', и изоморфизм задается соответствием
./V
-^z»(modzJV+1), (8.6)
^d B(")
п=0
где f(n) — значение функции feR(P, ~), взятое в произвольном
сегменте типа п. Обращение этого утверждения и характериза-
ция полных алгебр биномиального типа дается следующей тео-
теоремой.
Т ео р е м а 8.1. Предположим, что Р— локально конечное
упорядоченное множество и К(Р, ~) — редуцированная алгебра
инцидентности множества Р с типами, снабженными метками
О, 1, 2, ..., N, l^N^oo, такая, что (8.6) есть изоморфизм
К(Р, ~) в формальные степенные ряды по модулю zN+1. Изомор-
Изоморфизм (8.6) может быть «нормирован», если положить z' = ———z,
так что можно предположить, что 5A) =1. Тогда R(P, ~) явля-
является полной алгеброй биномиального типа и справедливо сле-
следующее:
1) Р удовлетворяет цепному условию Жордана — Дедекинда;
2) все сегменты Р длины п имеют одно и то же число макси-
максимальных цепей;
3) сегмент длины п имеет тип п;
4) при изоморфизме (8.6) (нормированном до В(I) = 1) В(п)
есть число максимальных цепей в сегменте длины п и N есть
длина Р; _
5) R(/>,~)=R(/>).
Обратно, если Р — локально конечное упорядоченное множе-
множество, удовлетворяющее пп. 1 и 2, то R(P) является полной ал-
алгеброй биномиального типа, заданной с помощью пп. 3 и 4.
Доказательство. Пусть R(P, ~) удовлетворяет предположе-
предположениям теоремы. Тогда условие А) следует из изоморфизма (8.6)
с использованием экспоненциального закона zm+n = zm-zn. Сле-
Об основах комбинаторной теории (VI) 215
довательно, R(P, ~)—алгебра биномиального типа. В силу
предположения, что изоморфизм (8.6)—изоморфизм на, следует,
что R(P, ~) — полная алгебра биномиального типа.
Определим следующую функцию
g{x, У) = A' 6СЛИ [*' ^ ™ееТ ™П !> (8.7)
(О з противном случае.
Используя лемму 8.1, мы видим, что gn{pc, у) есть число макси-
максимальных цепей в [х, у] длины п. Согласно (8.6), gn(x, у) #0 тогда
и только тогда, когда [х, у] имеет тип п. Следовательно, каждая
максимальная цепь [х, у] имеет длину п. Поскольку
/ z у В(п)
\В(\)) EA))" В(п)
(8.8)
то ввиду (8.6) В(п) равно числу максимальных цепей в интерва-
интервале типа п, если мы положим 5A) = 1. Очевидно, N есть длина Р.
По лемме 4.1B) R(P, ~)=R (P). Это доказывает утверждения
1)—5) теоремы.
Обратно, предположим, что Р удовлетворяет условиям 1) и 2).
(Фактически 1) и 2) легко следуют из несколько более слабого
условия, что все сегменты Р одной и той же минимальной длины
содержат одинаковое число максимальных цепей.) Пусть В(п) —
число максимальных цепей в сегменте длины п. Тогда каждый
г т В(п) ,
сегмент {х, у\ длины п содержит точек высоты к,
В (k) В(п — k)
поскольку через точку высоты k в [х, у] проходит B(k)B(n—k)
максимальных цепей. Таким образом, если f, g^l(P) зависят
лишь от длины п произвольного сегмента [х, у], имеем
{f*g№=(f*g)(x, у)=^ BJB?nk)f{k)g{n~k)t (8'9)
что является функцией только п. Поэтому, присваивая всем сег-
сегментам одинаковой длины один и тот же тип, получим редуциро-
редуцированную алгебру инцидентности R(/5, ~), которая по лемме 4.1 B)
должна быть алгеброй R(P). Изоморфизм (8.6) теперь следует
непосредственно из (8.9). Мы доказали, что если (8.6) справед-
справедливо, то R(P, ~) есть полная алгебра биномиального типа.И
Следствие 8.1. Если Р — локально конечное упорядоченное
множество и каждый сегмент из Р с одной и той же минимальной
длиной имеет один и тот же тип в К(Р), то R(P) является полной
алгеброй биномиального типа.
216 П. Дубиле, Дж.-К. Рота, Р. Стенли
Доказательство. По лемме 4.1 все сегменты в Р с одной и той
же минимальной длиной содержат одинаковое число максималь-
максимальных цепей, так как они имеют один и тот же тип. Мы уже заме-
замечали, что это легко следует из того, что Р удовлетворяет цепному
условию Жордана — Дедекинда. Доказательство теперь следует
из теоремы 8.1. ¦
Замечание. Предположим, что R(P, ~)—полная алгебра би-
биномиального типа. Согласно предыдущей теореме, любые два
сегмента множества Р одинаковой длины r-изоморфны. Более
того, любой сегмент Р «r-самодвойствен», т. е. r-изоморфен свое-
своему двойственному сегменту, так как R(P, ~)^R(P*, ~), если
R(P, ~)— полная алгебра биноминального типа и Р*— множе-
множество, дуальное к Р.
Дальнейшая характеризация полных алгебр R(P, ~) бино-
биномиального типа, по крайней мере когда Р не имеет цепей произ-
произвольной длины, дается с помощью следующего предложения.
Предложение 8.2. Предположим, что R(P, ~) — редуци-
редуцированная алгебра инцидентности локально конечного упорядо-
упорядоченного множества Р с 0, которая, если она рассматривается как
алгебра с единицей над основным полем (которое, как мы пред-
предполагали, имеет характеристику 0), порождается единственной
функцией f. Тогда R(P, ~) — полная алгебра биномиального ти-
типа и существует целое число N, такое, что наибольшая цепь в Р
имеет длину N. Обратно, если R(P, ~) —полная алгебра бино-
биномиального типа и наибольшая цепь в Р имеет конечную длину N,
го R(P, ~) порождается любой функцией /eR(P, ~), которая
не обращается в нуль на сегментах длины 1 (например, f = t,).
Доказательство. Предположим, что f порождает R(P, ~).
Покажем вначале, что все точки Р принадлежат одному и то-
тому же классу эквивалентности относительно ~. В противном слу-
случае, поскольку Р имеет 0, в Р найдется двухточечный сегмент
[х, у], такой, что [х, х] и [у, у] не эквивалентны. Следовательно,
ограничение R(P, ~) на сегмент [х, у] имеет как векторное про-
пространство размерность 3. Но если f(x, x)=a и f(y, y)=b, то
(/—а) (/—Ь) обращается в нуль на всех трех подсегментах [х, у],
и, следовательно, f вместе с единицей порождает векторное про-
пространство размерности ^2, если ограничиться сегментом [х, у].
Это противоречие показывает, что [х, х]~[у, у], и, следовательно,
все точки Р эквивалентны.
Если Р содержит цепи произвольной длины, то R(P, ~) имеет
как векторное пространство несчетную размерность, в то время
как / порождает векторное пространство счетной размерности.
Следовательно, существует целое число N, такое, что наиболь-
Об основах комбинаторной теории (VI)
217
шая цепь в Р имеет длину N. Предыдущий раздел показывает,
что / постоянна на точках, скажем f(x, x) =а. Тогда (f—a)JV+1=0.
Поэтому f вместе с единицей порождает векторное пространство
размерности ^CJV+1. Поскольку два сегмента с различными мак-
максимальными длинами должны иметь различные типы, отсюда
следует, что любые два сегмента с одной и той же максимальной
длиной имеют один и тот же тип (так как размерность Я(Р, ~)
равна числу типов). Из следствия 8,1 тогда следует, что
R(/>, ~) — полная алгебра биномиального типа.
Обращение является тривиальным следствием изоморфизма
(8.6). ¦
8.2. Решетки полного биномиального типа. Говорят, что упо-
упорядоченное множество Р имеет полный биномиальный тип, если,
оно удовлетворяет условиям 1) и 2) теоремы 8.1.
Рис. 5. Упорядоченные множества полного биномиального типа.
Примерами упорядоченных множеств Р полного биномиаль-
биномиального типа являются дискретные цепи с 0, решетки конечных под-
подмножеств множества, решетки конечных подпространств проек-
проективного пространства. Другие примеры см. на рис. 5.
Упорядоченные множества А и В имеют изоморфные редуци-
редуцированные алгебры инцидентности полного биномиального типа,
хотя они не изоморфны как упорядоченные множества. В самом
деле, А — решетка, а В нет. Упорядоченное множество С имеет
два интересных свойства: не все его сегменты одной и той же
длины изоморфны (оно имеет по три сегмента, изоморфных Л
и В) и его функция Мёбиуса (см. «Основы» I) не является знако-
знакопеременной.
Докажем теперь результаты, устанавливающие связь струк-
структуры Р с числами 5A), ВB),... .
218 П. Дубиле, Дж.-К. Рота, Р. Стенли
Предложение 8.3. Пусть Р имеет полный биномиальный
тип; п-сегмент из Р является цепью тогда и только тогда, когда
В(п) = \.
Доказательство очевидно. Ш
Предложение 8.4. Пусть L — решетка полного биноми-
биномиального типа. Каждый элемент из L является объединением ато-
атомов (т. е. L — атомная решетка) тогда и только тогда, когда
ЛB)>1.
Доказательство. Если Л B) = 1, то 2-сегмент есть цепь; следо-
следовательно, любой элемент из L высоты 2 не является объедине-
объединением атомов.
Обратно, предположим, что L не атомная решетка, и пусть
у — элемент L минимальной высоты «>1, не являющийся объе-
объединением атомов. Пусть х — элемент высоты п—2, лежащий ни-
ниже у. Тогда [х, у] — цепь длины 2, так что А B) = 1. ¦
Предложение 8.5. Пусть L — решетка полного биноми-
биномиального типа и [х, у] есть п-сегмент в L. Объединение любых двух
различных атомов из [х, у] имеет высоту 2 тогда и только тогда,
когда
Л(*)=1 + (ЛB)-1) + (ЛB)-1J+...+(ЛB)-1)*-11 (8.10)
где
Доказательство. Предположим, что объединение любых двух
различных атомов из [х, у] имеет высоту 2. Тогда то же самое
справедливо для [л;, у'], где у' — произвольная точка [х, у] высоты
k^Zn. Любой элемент [х, у'] высоты 2 лежит выше А B) атомов
и J ) паР атомов- Но [х, у'] содержит элементов высоты 2
fA (k) \ „
и пар атомов. Следовательно,
- (8Л1)
что влечет A(k) —A(k—\)(А{2) —1) + 1. Согласно индукции,
!<*<«. (8. 12)
Обратно, если два атома из [х, у'] имеют объединение высоты >2,
то аналогичные рассуждения показывают, что
Следовательно,
1)*-Ч ¦ (8.14)
Об_ основах комбинаторной теории (VI) 219
Лемма 8.2. Пусть L — решетка полного биномиального ти-
типа, такая, что объединение любых двух различных атомов L
имеет высоту 2. Тогда L модулярна.
Доказательство. Пусть х, у — два элемента из L, такие, что х
и у покрывают х/\у. (Если таких х, у не существует, то L — цепь
и поэтому модулярна.) Предположим, что п — длина [х/\у,
x\/y] — L'. Тогда U— решетка полного биномиального типа, ин-
инварианты которой В(I), ВB),..., В(п) те же, что и у L. Следо-
Следовательно, по предложению 8.5 объединение любых двух различ-
различных атомов U имеет высоту 2; в частности, x\Jу имеет высоту 2,
и, таким образом, этот элемент покрывает х и у. Это означает,
что L полумодулярна сверху. С другой стороны, если х и у покры-
покрываются элементом x\Jy, то те же рассуждения, примененные
к сегменту, дуальному к [х/\у, х\/у], показывают, что L полумо-
полумодулярна снизу. Следовательно, L модулярна. ¦
Наконец, мы пришли к основной теореме этого подраздела.
Теорема 8.2. Пусть L — решетка полного биномиального
типа, такая, что объединение любых двух атомов из L имеет вы-
высоту 2. Тогда L изоморфна либо 1) цепи, либо 2) решетке конеч-
конечных подмножеств множества, либо 3) решетке конечных подпро-
подпространств проективного пространства.
Доказательство. Предположим, что L — не цепь. Тогда, имея
биномиальный тип, L содержит два различных атома, объедине-
объединение которых имеет высоту 2, так что ЛB)>1. По предложению
8.4 L является атомной. В силу леммы 8.2 L модулярна. Следо-
Следовательно, каждый сегмент [х, у] из L является модулярной гео-
геометрической решеткой. По Биркгофу [62] сегмент [х, у] есть про-
произведение булевой алгебры с проективной геометрией. Только те
произведения, которые имеют полный биномиальный тип, явля-
являются единственными множителями произведения, т. е. [я, у] имеет
вид 2) или 3). Поскольку каждый сегмент [0, х] из L имеет вид
2) или 3), это справедливо и для L.
9. Алгебры треугольного типа
В этом разделе мы будем исследовать локально конечные
упорядоченные множества Р с 0, которые имеют редуцированную
алгебру инцидентности R(/5, ~), естественным образом изо-
изоморфную алгебре всех верхних треугольных (NxN) -матриц (воз-
(возможно, N=oo) над основным полем алгебры R(P, ~). Вначале
опишем класс таких Р. Пусть Р — локально конечное упорядо-
упорядоченное множество с 0, удовлетворяющее цепному условию Жор-
дана— Дедекинда. Если [х, у] — сегмент Р с элементами х высо-
220 П. Дубиле, Дж.-К. Рота, Р. Стенли
ты т и у высоты п, назовем его (т, п) -сегментом. Предположим,
что для всех тип любые два (т, п) -сегмента содержат одно
и то же число В(т, п) максимальных цепей. (Условимся, что
В(п, п) = 1, если Р содержит элемент высоты п.) Назовем тогда Р
упорядоченным множеством треугольного типа. Под другим на-
названием геометрические решетки треугольного типа рассматри-
рассматривались Эдмондсом, Мурти и Янгом [20].
Предложение 9.1. Отношение эквивалентности на сегмен-
сегментах упорядоченного множества Р треугольного типа, определяе-
определяемое следующим образом: [х, у]~[х', у'] тогда и только тогда, ког-
когда [х, у] и [х', у'] — оба (пг, п) -сегменты для некоторых тип, да-
дает редуцированную алгебру инцидентности R(P, ~). Если
f(m, n) обозначает значение, которое f^R(P, ~) принимает на
(пг, п) -сегменте, то отображение
//@,0) /(ОЛ) /@,2)
В @,0) В @,1) В @,2)
Q /A,1) /A,2)
- (9-1)
\ В B2) •••/
является изоморфизмом алгебры R{P, ~) на алгебру всех верх-
верхних треугольных (NxN)-матриц, где N — высота Р (возможно,
бесконечная).
Доказательство. Пусть [х, у] есть (пг, п) -сегмент. Число то-
точек ге[х, у], таких, что [х, z] есть (пг, пг') -сегмент и [z, у] —
(пг', п) -сегмент, равно . Таким образом, если f
В (от, от )В(от , п)
и g постоянны на классах относительно ~, имеем
(/,gHx, rt_ ^_^L_/(m, m')g(m',n), (9.2)
что является функцией только от пг, п. Следовательно, ~ дает
редуцированную алгебру инцидентности и (9.2) есть условие
того, что отображение (9.1) является изморфизмом. ¦
Обращение предложения 9.1 приводит к следующему пред-
предложению.
Предложение 9.2. Пусть Р — локально конечное упоря-
упорядоченное множество с 0 и R(P, ~)—редуцированная алгебра
инцидентности, типы которой могут быть помечены упорядочен-
упорядоченными парами (пг, п), О^пг^п, такими, что как только (пг, п)
есть тип и О^ш'^п'^п, то (пг', п') тоже тип. Предположим,
Об основах комбинаторной теории (VI) 221
что для каждого типа (пг, п) существуют числа В(пг, п), такие,
что отображение (9.1) для некоторого N^oo является изомор-
изоморфизмом R(/\ ~) на алгебру всех верхних треугольных (NxN)-
матриц. Тогда справедливо следующее:
1) Р удовлетворяет цепному условию Жордана — Дедекинда;
2) В(пг, п) = \, как только (п, пг) есть тип;
3) можно выбрать новые значения В(пг, п), сохраняющие
изоморфизм (9.1), такие, что В(п, л+1) = 1, если (п, п+1) — тип;
4) каждый (пг, п)-сегмент в Р содержит одно и то же число
максимальных цепей, и если изоморфизм (9.1) нормирован с
помощью 3), то В(пг, п) есть число максимальных цепей в (пг,
п) -сегменте.
Доказательство. Определим /im,neR(P, ~) соотношениями
и ,*. ,л_П' если [*• У] есть И- «Кегмепт,
(О в противном случае.
Из (9.1) следует, что
КК= )^, (9.4)
Таким образом, если [х, у] есть {пг, k) -сегмент и [у, z] есть
(k, п) -сегмент, то [х, z]—(m, п) -сегмент. Обратно, если [х, z]
есть (пг, п)-сегмент и tn^k^n, то найдется точка у^[х, г], та-
такая, что [х, у]— (m, k) -сегмент и \у, z]— (k, л)-сегмент. Отсюда
следует, что точки являются (п, п) -сегментами для некоторого
п и двухточечные сегменты суть («, «-(-1)"сегменты Для неко-
некоторого п. Более того, каждая максимальная цепь в (пг, п) -сег-
-сегменте имеет длину п—пг, что доказывает п. 1.
Поскольку единица алгебры R(P, ~), согласно (9.1), пере-
хадит в единичную матрицу, мы имеем В(п, п) = 1, как только
(п, п) —тип, что доказывает п. 2. Если В(пг, п) заменить на
, (9.5)
В(т, т + 1)В(/и + 1, т + 2)...В(п — 1, п) ч '
то изоморфизм (9.1) сохраняется и В(п, п+1) заменяется на
1. Это доказывает п. 3.
Следовательно, предположим, что каждое В(п, п+1) равно
1, лишь только («, «+1) есть тип. Пусть t]eR(P, ~) —функ-
—функций, равная 1 на двухточечных сегментах и 0 в противном слу-
случае, т. е.
г\(х, {/) =
A, если [л;, у] есть (я, я-j- 1)-сегмент для некоторого п,
[О в противном случае.
(9.6)
222 П. Дубиле, Дж.-К. Рота, Р. Стенли
Если [х, у]— (т, п)-сегмент, то г\п~т(х, у) есть число макси-
максимальных цепей в [х, у], поэтому это число зависит лишь от т
и п. Используя (9.1), имеем. цп~т (х, у)=В(т, п), что доказы-
доказывает п. 4. ¦ __g
Предложения 9.1 и 9.2 дают характеризацию упорядоченных
множеств Р, которые имеют редуцированную алгебру инцидент-
инцидентности, изоморфную алгебре всех верхних треугольных (NXN)-
матриц, а именно Р имеет треугольный тип. Если мы предпо-
предположим, что Р — решетка, то с помощью чисел В(т, п) можно
сделать некоторые выводы о структуре Р.
Предложение 9.3. Пусть L — решетка треугольного ти-
типа. Положим Т(п)=В(п, «+2) — 1.
1) Если Т(п)фО для каждого типа (п, п-\-2), то /- является
атомной (т. е. каждый элемент L есть объединение атомов);
обращение справедливо, если L полумодулярна.
2) L полумодулярна сверху тогда и только тогда, когда для
всех типов (пг, п)
B(mn)
В(т + 1, п)
т)Т (т-\-1)Т (т + 2)-\-... +Т (т)Т {т+ \)...Т (п-2). (9.7)
3) L полумодулярна снизу тогда и только тогда, когда для
всех типов (ш, п)
п) =1 , т,п_2)Л-Т(п-2)Т(п-3L-...4-
В(т,п-1)
(9.8)
Доказательство. Чтобы доказать п. 1, предположим, что L
не атомна, и пусть (/eL неразложимо в объединение в L высо-
высоты «+2>1. Если х — любой элемент высоты п, лежащий ниже
у, то [х, у] — цепь, так что Г(«)=0. Обращение утверждения 1)
будет доказано после доказательств пп. 2 и 3.
Для доказательства п. 2 нужно показать, что L полумоду-
полумодулярна сверху тогда и только тогда, когда х\/ у покрывает х и
у, лишь только хну покрывают х/\ у, т. е. тогда и только тогда,
«рогда в каждом (т, п) -сегменте объединение любых двух раз-
различных атомов имеет высоту 2. Каждый (т, п) -сегмент имеет
В (от, п) . , . (А (от, п)\
J '— = А(пг, п) атомов и пар различных атомов.
В(т +1, п) \ 2 )
Более того, каждый элемент высоты 2 в (т, п) -сегменте
d/ i оч (В(т, т +2)\
покрывает В (/га, m-f-2) атомов и, следовательно, 9 )
пар различных атомов. Поскольку {т, л)-сегмент имеет
Об основах комбинаторной теории (VI) 223
_(т,_п элементов высоты 2, мы видим, что L
В(т, т + 2)В(т + 2, п)
полумодулярна сверху тогда и только тогда, когда
А(т, п)\ \В{т, п) !В{т, т+2)\
2 ) В(т, т + 2)В(т + 2, п) { 2 /
для всех типов (т, п). Упрощая (9.9), получаем
В(т, п) _l T
B(m+1 n) ~ V '
, n) V 'B(m+2,n)
3, п)
...-\-Т(т)Т{т-\-\)...Т(п-2). (9.10)
Случай 3 двойствен случаю 2.
Теперь докажем вторую часть утверждения 1), т. е. если L
полумодулярна и Г(т)=0 для некоторого типа (m, m+2), to L
не является атомной. Пусть L полумодулярна сверху (двойст-
(двойственное рассуждение работает, если L полумодулярна снизу).
Покажем, что в L существует лишь один элемент высоты т+1.
Предположим, что в L имеются два элемента высоты т+1, и
пусть n>m+l — высота их объединения. С помощью «индукции
спуска» по k докажем, что
В(к,п) =1 (9Л1)
B(k, m + \)B{m + 1, n)
если O^fe^Cm+1. Случай k—0 утверждает, что @, п) -сегмент
имеет только один элемент высоты т+1; противоречие.
Очевидно, соотношение (9.11) справедливо для k=m-j-\.
Предположим, что оно справедливо для ?+1, где
1. В силу п. 2
В (к, п) _
В(k, от + 1M(от + 1, n) B(k + \, от + 1) В (от + 1, п)
По предположению
B(fe+ I, m + l)B(m + l, n)
224 П. Дубиле, Дж.-К. Рота, Р. Стенли . *
Поскольку Т(т)=0, j
... + T(k)T(k+l)...T(n-2)= ' I
l)...T{m-l). (9. 14JJ
Следовательно, ^jj4 = 1. И :
B(k, от + l)B(m + 1, n)
Если L — полумодулярная сверху решетка треугольного ти-
типа, то предложение 9.3B) выражает В(т, п) в терминах
В{т+\, п) и T(k). С помощью итераций мы можем выразить
В(т, п) только в терминах T(k), а именно
п—т—2
В(т, п)= П [1 + П/я + *") + -
1 = 0
...-\-T{m+i)T(m + i-\-\)...T{n — 2% /г>т+2- (9.15)
Двойственная формула справедлива для полумодулярности
снизу. Щ
Доказательство второй части предложения 9.3A) сводит
теорию полумодулярных решеток треугольного типа к теории
атомных полумодулярных решеток. В самом деле, мы име-
имеем следующие теоремы.
Теорема 9.1. Пусть L — полу модулярная сверху решетка
треугольного типа. Тогда существуют геометрические решетки
(т. е. полумодулярные сверху атомные решетки конечной
длины) Lu L2, ..., Lr треугольного типа и полумодулярная сверху
атомная решетка Lr+i треугольного типа, такие, что L изо-
изоморфна решетке, получаемой отождествлением для l^Li^Lr
вершины L{ с дном Li+l.
Теорема 9.2. Если L — модулярная решетка треугольного
типа, то решетки L\, ... , Lr+i из теоремы 9.1 являются либо буле-
булевыми алгебрами, либо проективными геометриями.
Теорема 9.2 следует из известной структурной теоремы для
модулярных геометрических решеток [62]. Любая такая решетка
есть произведение булевой алгебры и проективных геометрий,
и легко видеть, что она имеет треугольный тип тогда и только
тогда, когда произведение имеет лишь один множитель.
Пример 9.1. Цепи. Дискретные цепи с 0 являются модуляр-
модулярными решетками треугольного типа. Каждая решетка L,- в тео-
теореме 9.1 состоит из двух точек. Здесь В(ш, п) = \, как только
(пг, п) —тип, или эквивалентно, Т(п)=0, как только («, п-\-2)
есть тип.
Об основах комбинаторной теории (VI) 225
Пример 9.2. Проективные геометрии. Решетка конечных под-
подпространств проективной геометрии с «7+1 точками на прямой
является модулярной решеткой треугольного типа с T(n) = q,
как только (п, п-\-2) есть тип.
Пример 9.3. Булевы алгебры. Булевы алгебры являются мо-
модулярными решетками треугольного типа с Т(п) = 1, как только
(п, п-\-2) есть тип.
Примеры 9.1, 9.2 и 9.3 все обладают свойством, что В(т, п)
зависит только от п—т, когда (т, п) — тип. Такие упорядочен-
упорядоченные множества имеют полный биномиальный тип, определен-
определенный в предыдущем разделе. В нем доказано, что полумодуляр-
полумодулярная решетка полного биномиального типа является одной из
решеток примеров 9.1, 9.2, 9.3.
Пример 9.4. Аффинные геометрии. Решетка конечных аффин-
аффинных подпространств некоторого аффинного пространства с q
точками на прямой является полумодулярной сверху (но не
модулярной, если имеется не одна прямая) решеткой треуголь-
треугольного типа с T@)=q—1 и T(n)=q, п>0, если (п, п + 2)—тип.
Пример 9.5. Различные способы сборки и разборки упорядо-
упорядоченных множеств треугольного тиЛе дают другие упорядочен-
упорядоченные множества треугольного типа. Простые примеры: а) сег-
сегменты, б) отождествление всех элементов, лежащих выше или
ниже некоторого уровня, с единственным элементом (который
называется верхним или нижним усечением) и в) отождествле-
отождествление вершины упорядоченного множества треугольного типа,
имеющего 1, с дном упорядоченного множества треугольного
типа. Все эти операции, исключая нижнее усечение, сохраняют
полумодулярность сверху.
Пример 9.6. Блок-схемы. Пусть L — геометрическая решетка
треугольного типа высоты 3. Если мы будем рассматривать ато-
атомы L как объекты, а коатомы как блоки, содержащие атомы,
которые они покрывают, тогда L определяет уравновешенную
неполную блок-схему с параметрами:
В @,2)
k=B@,2),
8—1751
226 П. Дубиле, Дж.-К. Рота, Р. Стенли
Обратно, любая уравновешенная неполная блок-схема с А,= 1
определяет геометрическую решетку треугольного типа высоты
3. Таким образом, геометрические решетки треугольного типа
могут рассматриваться как обобщение блок-схем с Х=1. Пред-
Предложение 9.3 является тогда обобщением известных соотношений
bk=vr и г(k—1)=и—1, справедливых в блок-схеме с Я,= 1
(см. Холл [30, гл. 10]).
Пример 9.7. Другие разнообразные примеры и метод их клас-
классификации можно найти в статье Здмондса, Мурти и Янга
[20].
Список литературы
Эта библиография не повторяет литературу, перечисленную в «Основах»
I, II, III и IV.
[1] S. A. Amitsur. «On arithmetic functions». /. Analyse Math., Vol. 5 A956—
1957), pp. 273—314.
[2] С Arf. K. Imre and E. Ozizmir. «On the algebraic structure of the cluster
expansion in statistical mechanics». J. Math. Physics. Vol. 6 A965),
pp. 1179—1188.
[3] E. A. Bender. «Numerical identities in lattices with an application to Diri-
chlet products», Proc. Amer. Math. Soc, Vol. 15 A964), pp. 8—13.
[4] E. A. Bender and J. R. Goldman. «Enumerative uses of generating functions».
Indiana Univ. Math. J., Vol. 20 A971), p. 753—765.
[5] R. Buschman. «The convolution ring of sequences». Amer. Math. Monthly.
Vol. 74 A967), pp. 284—286.
[6] L. Carlitz. «Rings of arithmetic functions». Pacific J. Math. Vol. 14 A964),
pp. 1165—1171.
[7] . «Arithmetic functions in an unusual setting». Amer. Math.
Monthly. Vol. 74 A966), pp. 582—590.
[8] E. D. Cashwell and С J. Everett. «The rings of number-theoretic functions».
Pacific J. Math. Vol. 9 A959), pp. 975—985.
[9] . «Formal power series». Pacific J. Math. Vol. 13 A963),
pp. 45—64.
[10] S. Chowla, I. N. Herstein and W. R. Scott. «The solutions of xd=l in sym-
symmetric groups». Norske Vid. Selsk. Forh. (Trondheim). Vol. 25 A952),
pp. 29—31.
[11] S. Chowla, I. N. Herstein and W. K- Moore. «On recursions connected with
symmetric groups. I». Canad. J. Math. Vol. 3 A951), pp. 328—334.
[12] E. Cohen. «Arithmetical functions associated with the unitary divisors of an
integer». Math. Z., Vol. 74 A960), pp. 66—80.
[13] , «Unitary products of arithmetical functions». Ada Arith.,
Vol. 7 A961), pp. 29—38.
[14] H. H. Crapo. «The Mobius function of a lattice». /. Combinatorial Theory.
Vol. 1 A966), pp. 126—131.
[15] , «Mobius inversion in lattices». Arch. Math. Vol. 19 A968),
p. 595—607.
[16] H. H. Crapo and G.-C. Rota. «On the foundations of combinatorial theory. II:
combinatorial geometries». Studies in Appl. Math. Vol. 49 A970),
pp. 109—133.
[17] , On the Foundations of Combinatorial Theory: Combinatorial
Geometries, Cambridge, Massachusetts Institute of Technology Press, Preli-
Preliminary edition, 1970.
Об основах комбинаторной теории (VI) • 227
[18] Т. М. R. Davidson, «On arithmetic convolutions». Canad,. Math. Bull. Vol. 9
A966), pp. 287—296.
[19] T. Dowling. «F-partition lattices», to appear.
[20] J. Edmonds, U. S. R. Murty and P. Young, «Equicardinal matroids and mat-
roid-designs», University of Waterloo Notes, Ontario, 1970.
[21] R- W. Frucht and G.-C. Rota. «La function de Mobius para partitiones de un
conjuncto». Scientia (Valparaiso), Vol. 122 A963), pp. 111—115.
[22] , «Polonomios de Bell у partitiones de conjunctos finitos».
Scientia (Valparaiso). Vol. 126 A965), pp. 5—10.
[23] M. Gessley. «A generalized arithmetic convolution». Amer. Math. Monthly,
Vol. 74 A967), pp. 1216-1217.
[24] A. A. Gioia. «The Л-product arithmetic functions». Canad. J. Math.,
Vol. 17 A965), pp. 970—976.
[25] J. Goldman and. G.-C. Rota. «On the foundations of combinatorial theory.
IV: finite-vector spaces and Eulerian generating functions». Studies in Appl.
Math. Vol. 49 A970), pp. 239—258.
[26] D. L. Goldsmith. «On the multiplicative properties of arithmetic functions».
Pacific J. Math. Vol. 27 A968), pp. 238—304.
[27] J. A. Green. «The characters of the finite general linear groups». Trans.
Amer. Math. Soc. Vol. 80 A955), pp.. 402—447.
[28] ', «Symmetric functions and p-modules». Lecture Notes, 1965.
[29] O. A. Gross. «Preferential arrangements». Amer. Math. Monthly. Vol. 69
A962), pp. 4—8.
[30] M. Hall, Jr., Combinatorial Theory, Waltham, Blaisdell, 1967. [Русский пере-
перевод: Холл M. Комбинаторика, «Мир», М., 1970].
[31] P. Hall. «The algebra of partitions». Proceedings of the Fourth Canadian
Mathematics Congress, 1957. Banff, 1959, pp. 147—159.
[32] E. Hewitt and H. S. Zuckerman. «The Li-algebra of a commutative semi-
semigroup». Trans. Amer. Math. Soc. Vol. 83 A956), pp. 77—97.
[33] L. A. Hinrichs. «A note on locally finite refinements of order», to appear.
[34] V. E. Hoggart, Jr. and D. A. Lind.NtFibonacci and binomial properties of
weighted compositions». J. Combinatorial Theory. Vol. 4 A968), pp. 121—124.
[35] N. Jacobson, Structure of Rings. Providence, American Mathematical
Society Colloquium Publication. Vol. 37, 1956. [Русский перевод: Джекоб-
сон H. Теория колец. — М.: ИЛ, 1947.]
[36] D. A. Klarner. «A ring of sequences generated by rational functions».
Amer. Math. Monthly. Vol. 74 A967), pp. 813—816.
[37] T. Klein. «The Hall polynomial». J. Algebra. Vol. 12 A969), pp. 61—78.
[38] C. L. Liu. Introduction to Combinatorial Mathematics. New York, McGraw-
Hill, 1968.
[39] L. Moser and E. L. Whitney. «Weighted compositions». Canad. Math. Bull.
Vol. 4 A961), pp. 39—43.
[40] R. Mullin and G.-C. Rota. «On the foundations of combinatorial theory. Ill:
theory of binomial enumeration». Graph Theory and Its Applications (edited
by B. Harris). New York, Academic Press, 1970, pp. 167—213.
[41] W. Narkievica. «A class of arithmetical convolutions». Colloq. Math., Vol. 10
A963), pp. 81—94.
[42] S. Newman. «Measure algebras and functions of bounded variation on idem-
potent semigroups», to appear.
[43] I. Niven. «Formal power series». Amer. Math. Monthly. Vol. 76 A969),
pp. 871—889.
[44] I. Niven and H. S. Zuckerman. An Infroduction to the Theory of Numbers,
New York. Wiley, 1960.
[45] G. N. Raney. «Functional composition patterns and power series reversion».
Trans. Amer. Math. Soc. Vol. 94 A960), pp. 441—450.
[46] D. Rearick. «Semi-multiplicativ* functions». Duke Math. J. Vol. 33 A966),
pp. 623—628.
8*
228 П. Дубнле, Дж.-К. Рота, Р. Стенли
[47] «Correlation of semi-multiplicative functions». Duke Math. J.,
Vol. 33 A966), pp. 623—628.
[48] «Operators on algebras or arithmetic functions». Duke Math J.
Vol. 35 A968), pp. 761—766.
[49] G.-C. Rota «On the foundations of combinatorial theory, I: theory of Mobius
functions». 1. Wahrscheinlichkeitstheorie und Verw. Gebiete, Vol. 2 A964),
pp. 340—368.
[50] H. Scheid. «Einige Ringe zahlentheoretischer Funktionen». /. Reine Angew.
Math. Vol. 237 A969), pp. 1—13.
[51] , «Dber ordnungstheoretische Funktionen». /. Reine Angew.
Math. Vol. 238 A969), pp. 1 — 13.
[52] , «Funktionen iiber lokal endlichen Halbordnungen, I». Monatsh.
Math., Vol. 74 A970), pp. 336—347.
[53] , , «Dber die Inzidenzalgebra einer lokal endlichen Halbordnung»,
Habilitationsschrift, Mainz, 1970.
[54] H. Scheid and R. Sivaramakrishnan. «Certain classes of arithmetic functions
and the operation of additive convolution». J. Reine Angew. Math. Vol. 245
A970), pp. 201—207.
[55] D A. Smith. «Incindence functions as generalized arithmetic functions, I».
Duke Math. J., Vol. 34 A967), pp. 617—634.
[56] , «Incidence functions as generalized arithmetic functions, II».
Duke Math. J. Vol. 36 A969), pp. 15—30.
[57] , «Incidence functions as generalized arithmetic functions, III».
Duke Math. J., Vol. 36 A969), pp. 343—368.
[58] R. P. Stanley. «Structure of incidence algebras and their automorphism
groups». Amer. Math. Soc. Bull. Vol. 76 A970), pp. 1236—1239.
[59] E. С Titchmarsh. The Theory of the Riemann-Zeta Function, Oxford, Oxford
University Press, 1951. [Русский перевод: Титчмарш Э. Теория дзета-функ-
дзета-функций Римана. —М.: ИЛ, 1953.]
[60] R. Vaidyanathaswamy. «The theory of multiplicative arithmetical functions».
Trans. Amer. Math. Soc. Vol. 33 A931), pp. 579—662.
[61] M. Ward. «Arithmetic functions on rings». Ann. of Math. Vol. 38 A937),
pp. 725—732.
[62] Биркгоф Г. Теория структур, ИЛ, М, 1952.
ОБЗОР ОБОБЩЕНИЙ ПЕРЕЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕОРЕМЫ
ПОПА1
Н. Г. де Брсйн
1, Введение
В настоящей статье дается подробное изложение тех резуль-
результатов, которые были объявлены в докладе «Последние дости-
достижения в теории перечисления», прочитанном (по приглашению)
на международном математическом конгрессе в Ницце (сен-
(сентябрь 1970 г.). В докладе было представлено несколько новых
направлений, связанных с обобщением теоремы Пойа, и указы-
указывалось, как эти направления можно «охватить» небольшим чис-
числом теорем.
В разд. 2 мы формулируем теорему Пойа и указываем ряд
направлений ее обобщения. Там же мы опишем, как можно по-
получить в три этапа доказательства теорем типа теоремы Пойа.
Первый этап рассматривается в разд. 4, второй этап — в разд.
5—7, третий — в разд. 8. Раздел 9 содержит примеры; за дру-
другими примерами обобщений теоремы Пойа мы отсылаем к ра-
работам [3, 7] и книге [11]. В разд. 10 говорится о том, как из
результатов настоящей статьи М4*жно получить (в качестве
частных случаев) ряд ранее опубликованных результатов.
В разд. 3 вводим цикловой индекс специального вида, играю-
играющий определенную роль в наших обобщениях, хотя соответст-
соответствующая система обозначений в других разделах использоваться
не будет.
Раздел 11 является ответвлением от основного текста. В нем
показывается, как метод, предложенный автором для перечис-
перечисления раскрашенных структур, связан с методом, используемым
в леммах бернсайдовского типа из разд. 4.
Эта статья была задумана как самостоятельная работа. Чи-
Читателей, которые захотели бы иметь больше сведений об остав-
оставшихся в тени сторонах теоремы Пойа, мы отсылаем к работам
[3] или [11] и к литературе, упомянутой в них.
Система обозначений. Если А и В — множества, то Ав —
множество всех отображений из В в Л. Число элементов конеч-
1 de Brujn N. G., A surxey of generalisations of Polya's enumeration theo-
theorem, Nieuw Archie] voor Wiskunde, B), 19 A971), 89—112.
© Перевод на русский язык, «Мир», 1979
230 Н. Г. де Брёйн
ного множества S обозначается |5|. Будем использовать обыч-
обычную систему обозначений для композиции отображений. На-
Например, если g — подстановка множества В и /еЛв, то fg —
сложное отображение, определяемое формулой (fg) (b)=f(g(b))
для всех ftefi; следовательно, fg^AB. Очень часто мы будем
опускать скобки, используя, например, запись fgb вместо
f(g(b)).
2. Теорема Пойа
Здесь мы так называем «основную теорему» из известной
статьи Пойа [13]. Не будем подробно освещать всех сторон этой
теоремы, а приведем лишь типичную задачу, которая может
быть решена с помощью теоремы Пойа. Сколькими способами
можно раскрасить грани куба тремя красками (красной, белой
и голубой) так, чтобы три грани были окрашены в красный
цвет, одна грань—в белый и две — в голубой? Две раскраски
считаются одинаковыми, если одна получается из другой вра-
вращением куба. Ответ может быть получен из теоремы 2.1, если
в ней взять в качестве D множество из шести граней, R— мно-
множество из трех цветов, G — группу всех 24 подстановок на мно-
множестве D, индуцируемых вращениями. Пусть зФ — кольцо всех
многочленов (с рациональными коэффициентами) от трех пе-
переменных yr, yw, уь. Положим ш(красный) = г/г, w (белый) =yw,
w (голубой) = г/ь. Наконец,
Р0(хи х2, х3,...)=-^(х? + ЗхХ
Теперь теорема дает искомое число: коэффициент при
Ут3 Ут г/ь2 в
ра(Уг + Уи, + Уь' У2г + у1 + у1, У3г + у1 + у1,---)-
Формулировка теоремы 2.1 взята из работы [3].
Теорема 2.1 (Пойа). Пусть D и R— конечные множества,
G — группа подстановок множества D, s4- — коммутативная ал-
алгебра над полем рациональных чисел, w — отображение из R
в $?. Два отображения fu fz из D в R называются эквивалент-
эквивалентными, если существует элемент g^G, такой, что f\ — fig. Классы
эквивалентности называются образцами отображений '. Каждому-
отображению f^RD приписываем вес W {f) = Y\w(f [d]). Все f
1 В оригинале «mapping patterns». — Прим. ред.
Обзор обобщений перечислительной теоремы Пойа 231
в одном и том же образце имеют одинаковый вес, называемый
весом образца. Тогда сумма весов образцов равна
Здесь Pg(xi, х2, ...) —цикловой индекс группы G:
р ( у у ч _ ' V^ »•*»<*> rbt{s)
Га{Хи Х2,...)—— 2i Х 2 '"'
где bi(g) — число циклов длины i в цикловой записи подста-
подстановки g.
Теорема обобщалась во многих направлениях. По общему
признанию, очень часто такие обобщения являются следствиями
самой теоремы. И не удивительно, поскольку эта часть перечис-
перечислительной теории занимается описанием и построением объек-
объектов, которые по сути своей тривиальны. Обычная позиция мате-
математиков заключается в том, что обобщения теоремы должны
быть глубже и значительнее, чем сама теорема, но в теории пе-
перечисления это не всегда так: много тонких результатов являют-
являются частными случаями тривиальных утверждений. Остроумное
использование тривиальных вещей может иногда приводить к
интересным результатам. »*¦
Некоторые направления обобщения теоремы Пойа состоят в
следующем:
(I) Веса могут быть обобщенными, и, в частности, их можно
выбрать так, чтобы они несли больше информации о том, как
часто какой-либо элемент из R берется в качестве значения
функции (см. [2]).
(II) Более гибкая точка зрения заключается в том, что мы
говорим не о группе подстановок G данного множества, а об аб-
абстрактной группе G с представлением %, определяемым подста-
подстановками этого множества.
(III) Можно интересоваться числом образцов, инвариантных
относительно фиксированной подстановки (см. [5]).
(IV) Можно ввести группу подстановок Н на множестве R
и определить следующее отношение эквивалентности: f\~fz,
если существуют элементы geG и ЛеЯ, такие, что f2=hf\g~l
(см. [2,3]).
(V) Вместо определения эквивалентности с помощью двух
групп G и Н, как в (IV), мы можем рассматривать два различ-
различных представления одной и той же группы, причем одно дейст-
действует на Д а другое — на R ([2, теорема 4], [7]). Примером могут
служить образцы отображений множества вершин куба в мно-
232 Н. Г. де Брёйн
жество ребер того же куба. В работе [7] обсуждался следующий
пример. Пусть D — конечное множество и G — группа подста-
подстановок на множестве D. Два отображения fb f2 множества D в се-
себя называются эквивалентными, если существует такой элемент
geG, что gj]g~'l = f2- Интересуются числом классов эквивалент-
эквивалентности.
Случай двух различных групп подстановок G и Н, как в (IV),
можно считать частным случаем, когда обе группы G и Н — пред-
представления группы GxH (см. разд. 10).
(VI) У нас есть возможность разбить множества D и R на
подмножества и наложить ограничения на отображения /, тре-
требуя, чтобы каждая часть разбиения множества D отображалась
в соответствующую часть множества R ([13], [15], [10, теорема 2]).
(VII) Имеются результаты, в которых цикловой индекс за-
заменяется на
где т — групповой характер или вообще функция, удовлетворя-
удовлетворяющая условию x(hgh~l) = t(g) для всех g, /ieG.
(VIII) Существует возможность опустить требование, что
веса W(f) постоянны на образце: можно просто говорить о сред-
среднем значении веса W(f) на образце.
Стандартное доказательство теоремы Пойа состоит из трех
этапов:
1. Распространение леммы Бернсайда на суммы весов орбит,
индуцированных в множестве «подстановочным» представлени-
представлением группы '.
2. Нахождение сумм весов тех отображений из D в R, кото-
которые инвариантны относительно фиксированной подстановки
множества D.
3. Применение леммы Бернсайда к множеству RD с представ-
представлением g-*-n{g), определяемым соотношением n{g)f = fg~}.
Мы приведем обобщенные варианты каждого из этих этапов.
Первое «расширение» леммы Бернсайда (теоремы 4.2(а), 4.2F))
неявно содержалось в работе [5], второе (теоремы 4.3(а),
4.3F)), по существу принадлежащее Редфилду [14], появилось
в работе [9] как обобщение одной леммы бернсайдовского типа,
использованной Виллиамсоном при доказательстве некоторой
теоремы, аналогичной теореме Пойа. Это (второе) расширение
содержит функцию t; упомянутую в (VII). У Виллиамсона функ-
функция t была мультипликативной функцией на группе. Совершен-
Совершенно иное применение будет дано в разд. 11.
1 То есть представлением группы подстановками. — Прим. ред.
Обзор обобщений перечислительной теоремы Пойа 233
Теоремы 4.4(а) и 4.4F) являются обычными обобщениями
других утверждений разд. 4.
Относительно второго этапа (разд. 5—7) заметим, что теоре-
теорема 5.1 связана с тем, о чем было сказано в (VI). Она будет ис-
использована для доказательства теоремы 8.2. Другие факты, на
которые опирается второй этап, приводятся в разд. 6 (неявно
они обсуждаются в работе [3]) и в разд. 7 (являющемся прост-
пространным изложением того материала, который неявно содержит-
содержится в работе [2]).
Что касается третьего этапа, мы придерживаемся точки зре-
зрения, принятой в |7j.
3. Обобщенный цикловой индекс
Пусть s& — коммутативная алгебра над полем рациональных
чисел, D — конечное множество, (х — подстановка множества D
и S — отображение множества1 P(D) в алгебру s&. Множество
D разбивается на подмножества ?Х'\ ..., DW — орбиты подста-
подстановки (х. (Заметим, что орбиты являются классами эквивалент-
эквивалентности, если отношение эквивалентности определяется следующим
образом: di~d2, если существует такое целое число п, что
\ind\ = d2.) Теперь определим функцию
в(Д|1,Е)=Па(да), C.1)
которая может быть названа цикловым индексом2 подстановки
ц. В обычном случае мы имеем переменные хъ х% ... и 3(S)=.%.i
Если ii имеет с3- циклов длины /, то C.1) можно переписать в
виде
Если G—: конечная группа и % — представление группы G
подстановками множества D, то выражение
C.2)
может быть названо обобщенным цикловым индексом группы G.
В наших рассмотрениях мы встретимся с более запутанными вы-
выражениями, аналогичными C.2). Возьмем два множества D\ и
D2 (хотя можно взять и большее число множеств), зафиксируем
подстановки Ц] и (хг, действующие соответственно на множествах
1 Здесь P(D) означает множество всех подмножеств множества D.—
Прим. ред.
2 В оригинале «cycle inventory». — Прим. ред.
234 Н. Г. де Брёйн
Di и D2, зафиксируем также представления %i и %2 группы G
подстановками множеств Dx и D2 соответственно и, наконец, за-
зафиксируем отображения Нь P(Di)-+s? и S2: P(D2)-+s4-. Затем
положим (читателя не должен смущать тот факт, что буква Р
употребляется еще в одном смысле)
Р(О; А, ць хи аъ A. ft». X2. S2) =
Sa)' C'3)
В частности, если
причем |xi и |д,2 являются тождественными подстановками, то
C.3) превращается в Г(хь &; хи х2, ...; г/ь г/2, •••) из работы [7].
Иногда мы имеем прямое произведение следующего вида.
Пусть G — прямое произведение HiXH2, ?* — представление
группы Hi подстановками множества Di. Каждый элемент
g^G имеет вид hih2 (с /ч<=//*). Определим xi(^) =Si (^i).
%2(g)=&(h2). Тогда имеем
Я (О; А, |»1э Хь Sx; ?>2, [х2, х2, S2) =
= /»(//!; A. l*i, Ci, ^)Р(На; D2, ^, c2, S2), C.4)
где
Я(Я; D, ц, С, S) = ^^0(Alx-I!;(A),E). C.5)
лея
Старые результаты, подобные тем, которые содержатся в
[2, 3], выводятся из этого частного случая результатов работы [7].
4. Теоремы бернсайдовского типа
Всюду в этом разделе мы имеем следующую ситуацию: X —
конечное множество, G — конечная группа, я — представление
группы G посредством подстановок множества X. Таким обра-
образом, я(?) — подстановка на множестве X (для каждого g^G)
и n(gi)n(g2)=n(gig2) для всех gu g2^G.
Элементы Х\, х2 называются эквивалентными, если существу-
существует такой элемент g^G, что n(g)xi = x2. Легко видеть, что эта
эквивалентность будет отношением эквивалентности. Классы
эквивалентности этого отношения называются (G, я)-образ-
я)-образцами.
Обзор обобщений перечислительной теоремы Пойа 235
Теорема 4.1 (лемма Бернсайда). Число (G, п)-образцов
равно
где U(g) —множество таких х^Х, что n(g)x = x.
Мы не будем приводить здесь доказательство результата
Бернсайда, так как он является частным случаем теоремы 4.2.
Лемма Бернсайда может быть обобщена несколькими спосо-
способами. Мы не формулируем отдельно «взвешенный вариант лем-
леммы Бернсайда», так как он получается непосредственно из тео-
теорем 4.2 (а) и 4.2F), если в качестве р взять тождественную под-
подстановку, или из теорем 4.3(а) и 4.3F), если положить t(g)=l
для всех g. Наиболее общая форма этой леммы, приводимая
здесь, — теоремы 4.4(а) и 4.4F), и мы доказываем только их1.
Мы специально представляем эти две теоремы отдельно друг от
друга, так как утверждение, объединяющее теоремы 4.4(а) и
4.4F), вряд ли будет использоваться очень часто. Существует
возможность применений путем обобщения содержания разд. 11.
Теоремы 4.2(а) и 4.2F) обсуждались ранее в работе [8], тео-
теоремы 4.3(а) и 4.3F) —в [9]. Теорема 4.3F) (для случая, когда
все веса равны 1) доказана Редфилдом [14] (ср. с Харари и Пал-
мер [12], где ей придается важное значение). Частным случаем
является и теорема 1 работы [4]; мы обсудим этот случай в
разд. 11. »"•
Теорема 4.2(а). Пусть s& — векторное пространство над
полем рациональных чисел, W — отображение X в s4- up — фик-
фиксированная подстановка множества X. Пусть Сх обозначает об-
образец, которому принадлежит х. Тогда имеем
\CX\ \O\ Jj А^
gea xet/(g, о
Здесь V{q) = {x?X\qxZCx}, U(g, q) =
Теорема 4.2 (б). Пусть дополнительно к условиям теоремы
4.2(а) выполняются требования:
1) для любого g^G существует такой элемент g'^G, что
) ('
?)р (?)
2) для всех g^G и хеХ имеем W(x) = W(n(g)x).
1 Теоремы 4.2 (а), 4.2 (б), 4.3 (а) и 4.3 (б) имеют более приятные фор-
формулировки.
236 Н. Г. де Брёйн
Тогда V(p) является объединением множества образцов
(т. е. образцов, инвариантных относительно подстановки р) и ото-
отображение W(x) постоянно на каждом образце. Если общее зна-
значение весов элементов образца называть весом образца, то сум-
сумма весов образцов, инвариантных относительно р, выражается
правой частью формулы D.1).
Теорема 4.3(а). К предположениям теоремы 4.2(а) доба-
добавим условие, что si- — коммутативная алгебра над полем рацио-
рациональных чисел их — отображение группы G в si. Для каждого
х^Х обозначим через Gx группу {g^G\n(g)x = x} и через
Р(х) —среднее значение величины x(g) на Gx. Тогда имеем
W{x), D.2)
\сх\ \а\
где
Теорема 4.3F). Если, кроме того, предположим, что
W(x)=W{n(g)x) и r(hgh-1)=x(g) для всех g, he=G и хеХ, то
функция W(x)P(x) постоянна на каждом образце и, следова-
следовательно, левая часть соотношения D.2) может быть представлена
в виде I>W(x)P(x), где при суммировании из каждого образца
берется только один элемент х.
Теорема 4.4(а). Пусть X — конечное множество, G — ко-
конечная группа, я — представление группы G подстановками мно-
множества X, si' — коммутативная алгебра над полем рациональных
чисел, р — фиксированная подстановка элементов множества X
их — отображение G в si. С помощью я определим эквивалент-
эквивалентность: хх~х2, если существует такой элемент g, что n(g)x\=X2.
Всякий раз, когда рх~х, будем обозначать через Р(х, р) сред-
среднее значение x(g) с усреднением по всем тем g^G, для которых
n(g)x=px (эти элементы g образуют класс смежности группы
Gx, определенной в теореме 4.3(а)). Тогда имеем
A) , V<2)
означает сумму по всем х, для которых рх~х, и ?
X X
означает сумму по всем х, для которых n(g)x = px.
Доказательство. Сумма 1,*x(g) распространяется на все
, для которых n(g)x = px; она равна нулю, если рх не экви-
Р(х, р) в противном случае. Используя
G\, мы получаем для левой части фор-
валентен х, и равна | Ga
соотношение I Cx 11 Gx I =
Обзор обобщений перечислительной теоремы Пойа 237
мулы D.3) следующее выражение:
Изменяя порядок суммирования, приходим к D.3). ¦
Теорема 4.4(б). Предположим дополнительно, что
C) для всякого geG существует g'^G, для которого
(g)p1 = n(g') и, кроме того, x(g'hg~l) =x(h) при любом h^G;
D) W(x) = W(n(g)x) для всех g<=G и х^Х.
Тогда W(x)P(x, p) постоянна на каждом р-инвариантном образ-
образце и левая часть формулы D.3) может быть представлена в виде
t>W (х)Р(х, р), где при суммировании из каждого р-инвариант-
ного образца выбирается только один элемент х.
Доказательство. Предположим, что х^Х, у^Х и х~у. Возь-
Возьмем элемент g^G, такой, что y—n(g)x, и выберем в соответст-
соответствии с C) элемент g'; тогда n(g')px = pn(g)x = py. Таким образом,
х~у влечет рх~ру. Если в образце существует хотя бы один
элемент х, для которого рх~х, то такое соотношение выполняет-
выполняется и для всех х в этом образце, и мы имеем право говорить о
р-инвариантных образцах.
Остается показать, что функция Р(х, р) постоянна на каждом
р-инвариантном образце. Предположим, что х ~ у ~ рх ~ ру.
Возьмем g и g', как и выше, чтобы выполнялось соотношение
x{g'hg-{)=x{h) для всех /ieW. Если h пробегает все элементы
группы G, удовлетворяющие условию n(h)x = px, то h\ = g'hg~l
пробегает все такие элементы группы G, для которых n(h\)y =
— ру. Поскольку x(h\) =x(h), можно сделать вывод, что средние
значения Р(х, р) и Р(у, р) равны. ¦
В качестве примера, когда выполнено условие C), приведем
следующий. Предположим, что G — нормальный делитель груп-
группы К и что оба представления я и т могут быть продолжены на
К. Пусть k — фиксированный элемент из К. Возьмем р = я(&).
Предположим, что x(kgk~xh)—x(hg) для всех g, h^G. Легко
убедиться, что условие C) выполняется.
5. Суммирование весов инвариантных отображений
Пусть D и R — конечные множества, s4- — коммутативная ал-
алгебра над полем рациональных чисел, |д, — подстановка, дейст-
действующая на D, о — подстановка множества R, W — отображение
RD в sl>. Если f^RD, то W(f) называется весом функции /.
Функция f^RD называется (ц, а)-инвариантной, если ofyr1 =
=/, т. е. если o(f(d)) =f(jx(d)) для всех deZ). Изучим сумму
238 Н. Г. де Брёйн
весов (|л, о)-инвариантных отображений, которую обозначим
следующим образом:
<о(Д R, с, I», W)=^)W{f). E.1)
Будем рассматривать веса нескольких видов, произведения
весов из разд. 6 и более общую весовую функцию M(8f) из
разд. 7. Эти веса являются все еще специальными в том смысле,
что они инвариантны относительно всех подстановок, действую-
действующих на их области определения. Теперь покажем, как можно
снять это ограничение.
Теорема 5.1. Пусть область D разбита на множества
Du ..., Dk. Предположим, что oDi=Di, т. е. od^Di для всех
d^Di, i=l, ..., k. Пусть Wi — вес, определенный на множестве
всех отображений, действующих из D{ в R, и Oi — ограничение
подстановки о на D^. Предположим, что W определяется соотно-
соотношением
) = Wl(/\Dl)...Wk(/\Dk),
где f\Di — ограничение функции f на Di. Тогда имеем
k
<o(D, R, о, i», 1Г) = П(Й(А. Я. °*. V;~W,).
Доказательство. Если функция f (ц, а)-инвариантна, то и
f\D{ ([Xj, а)-инвариантна для всякого i\ обратно, если, /|D,- ([ц,а)-
инвариантна для любого i, то / тоже (ц, а)-инвариантна. Таким
образом, если / пробегает множество (ц, а)-инвариантных функ-
функций f^RD, то вектор
(f)Du...,f\Dk)
пробегает все векторы (/ь ..., /&), где f{^RDt и ft есть (щ, а)-
инвариантная функция. Отсюда немедленно следует доказывае-
доказываемое утверждение. Ш
6. Произведение весов
Предположим, что w — отображение R в зФ и что W(f) мож-
можно представить в следующем виде:
\\ F.1)
Будем изучать сумму, определенную в E.1), с такими специаль-
специальными весами.
Обзор обобщений перечислительной теоремы Пойа 239
k
Пусть Ви...,Вк — орбиты подстановки ц (так что (J Bi=D) и
i-i
k
С1,...,С1 — орбиты подстановки а (так что [jCi = R). Функции /,
такие, что о/[х~' = /, получаются следующим образом: для каж-
каждого i фиксируем произвольный элемент bi^Bt, и в качестве/(bi)
выбираем произвольный элемент из некоторой орбиты Cj, удов-
удовлетворяющей условию: |Cj| делит |В<|, и, наконец, возьмем
/(К*/))=°/(*/). f {**№ = */(bt) и т. д. ¦
Нетрудно показать, что
,|, о), F.2)
где по определению
Х(/п, в)= ^ да(г)«;(зг)...ге;(а'п-1г) F.3)
гея
amr-r
для всякого целого положительного числа т (последнее выраже-
выражение используется также в работе [3]).
Далее, определим для положительных целых чисел а и b
функцию е(а, Ь):
[1, если b делит а,
(О в противном случае.
Используя это обозначение, можно переписать выражение F.3)
1 следующим образом:
*"*" т
Х(от, о)=2|С|е(и, \C\)(T\w(г)\сь ' F.4)
с vec /
где С пробегает орбиты подстановки а. Теперь F.2) принимает
вид
W
У V(/) = nB|C|e(|B|, |С|)(Пвд(г))Гс1], F.5)
/ в \ с Vec / /
где В пробегает орбиты подстановки ц, а С — орбиты подста-
подстановки о.
Соотношение F.5) можно записать в такой форме, где по-
появляется произведение П П > и тем самьш подчеркнуть связь
в с
формулы F.5) с выражением C.3). Записав F.5) короче, как
fl/'V<7 (|?|, С)\, и вводя переменные гь г2, гз. — , получаем
в v с
240 Н. Г. де Брёйн
я{\в\, с))=
Для всех подмножеств В множества D положим
, (*) =
0г\в\
F.6)
а для всех подмножеств С множества Я положим
>). F.7)
1
[rec
Используя обозначение C.1), получаем следующий результат:
Теорема 6.1. Сумма весов вида F.1) (\х, о)-инвариантных
отображений (см. начало разд. 5) равна
^ Sl)etf, в, ^„.„.....о. F.8)
Альтернативное выражение для той же суммы:
ПЧ|Я|, «), F-9)
г<3е В пробегает орбиты подстановки ц и %(т, а) задается фор-
формулой F.3).
7. Веса, зависящие от степени отображения
Если f^RD, то степенью отображения f называется отобра-
отображение б/ из R в множество jV* = {0, 1, 2, ...}, определяемое фор-
формулой
т. е. б/ показывает, сколько раз функция f принимает значение г
(ср. с Риге, приложение 5 в книге [1]).
Введем множество переменных хт,п с двумя индексами г, п,
где гей, n^N*. Если q — отображение из R в УУ*, то сопоста-
сопоставим ему моном
Обзор обобщений перечислительной теоремы Пойа 241
M{q)=\\xr,q(r). G.1)
гея
Соответствие между q и M(q) является взаимно однозначным.
Мы предпочитаем оперировать с мономами M(q), а не с самими
отображениями q, так как исследование мономов M(q) можно
проводить в терминах кольца всех многочленов от переменных
Хг,п-
В качестве веса на RD будем теперь использовать выражение
M(bf). Поэтому в качестве s& возьмем кольцо s4-\ всех многочле-
многочленов, имеющих рациональные коэффициенты и зависящих от пе-
переменных хт,п- Заметим, что
М(8/) = П-*м«/)(г) G.2)
гей
и что (б/) (г) —число тех d^D, для которых f(d) =r.
В качестве примера использования выражения M(8f) чита-
читателю предчагается проверить формулу, которую можно назвать
степенным перечнем:
Заметим, что в случае произведений весов (см. формулу
F.1)) W(/) зависит только от б/:
W{f) = T\{w{r))W\ G.3)
гея
Действительно, этот вес W(f) можно записать как M(bf), если
взять соответствующие значения для переменных хт,п- Подстав-
Подставляя хг<п—(w(r))n, получаем для МЩ) из формулы G.2) тре-
требуемое соотношение
П
ген
Возвращаясь к общему случаю, заметим, что выражение
G.2) вообще-то не является произведением весов. Тем не менее
мы можем вычислить сумму
М G.4)
с помощью нашего результата F.8) для произведения весов.
С этой целью конкретизируем F.1) следующим образом:
возьмем множество переменных {wr} —по одной переменной для
каждого r^R — ив качестве s& возьмем кольцо всех многочле-
242 Н. Г. де Брёйн
нов от переменных wr с рациональными коэффициентами. (Не-
(Нетрудно видеть, что «общий случай» можно получить из этого
«частного случая» подстановкой w (г) вместо wr.) При этих ус-
условиях обе части формулы F.8) являются многочленами от пе-
переменных wr, а именно линейными комбинациями мономов вида
П Ю?(г), ' G- 5)
гея
где q— отображение множества R в N*.
Мы" получим MFf) из W(f), если заменим
Пвд/С) На П*г.(«/Нг).
dSD геЯ
Поскольку Ц Wf(d) можно записать в виде G.5), где q = 6f,
deD
то мы можем сказать также, что M(8f) получается из W(f), a
если мы заменим для каждого q^(N*)R ,
П Ю?(г) на П ХтМт). \
ген ген
Эту операцию можно рассматривать как отображение моно-
мономов кольца s& в мономы кольца s&\ всех многочленов от пере-
переменных хГ:П. Это, конечно, можно распространить и на линейное
отображение Л кольца s4< в s&u начиная с
мы можем для любого конечного множества отображений q
и рациональных коэффициентов cq определить отображение
Л так:
J
гея ' q гея
Если мы применим отображение Л к обеим частям соотношения
F.8), то получим равенство в кольце s&\ с левой частью, рав-
равной выражению G.4). Мы хотим иметь простое выражение для
правой части.
Для того чтобы узнать, во что переводит отображение Л пра-
правую часть F.8), начнем со следующего простого замечания.
Если R разбито на непересекающиеся подмножества Сь ..., d,
Обзор обобщений перечислительной теоремы Пойа 243
то мы можем соответствующим образом расщепить обе части
выражения G.6). Поэтому
t-ireci
Отсюда получаем следующий результат: если временно поло-
положить
2С = П^Г. G-8)
гбС
то для любого множества целых чисел Ш\, ..., ть будем иметь
A{(QCl)^...(Qcl)mi) = A((QCl)^)...A((Qc[)mi). G.9)
Заметим, что для всех C^P(R) и всех m<=N*
гес
Теперь подготовим правую часть выражения F.8) для приме-
применения к ней соотношения G.7). Следовательно, мы хотим запи-
записать F.7) в виде степенного ряда в терминах Qc. Определим мно-
многочлены dm(t,i, ?2, •••) с помощью равенства
ехр(С,*-j-^ + Ca*3+ ...)= 24»fci. С*-..)*"- G. Ю)
(Заметим, что для каждого т многочлен dm содержит только
конечное множество переменных ?,-. Хотя здесь это не играет
роли, мы напомним, что dm(x\, 2x2, Зхз, ...)—цикловой индекс
симметрической группы Sm.)
В частности, из F.7) получаем
|| \c\z2]C )
Теперь к этому выражению мы применим Л; строго говоря, мы
должны отметить, что отображение Л необходимо продолжить с
кольца всех многочленов от переменных wr на кольцо всех фор-
формальных степенных рядов от этих же переменных. Положив
G.11)
получим
¦•)П*г,». G-12)
244 Н. Г. де Брёйн
Согласно G.9), имеем
A(S2(C1)...Sa(C,))=S8(C1)...Sj(Cl).
Откуда следует, что
Л(в(/?, a, S2)) = 6(/?, о, S3). G. 13)
Существует другой способ представления оператора Л. Введем
переменные у\, г/г, ••¦ и заметим, что для любого отображения <;
элемента г в множество N*
п, _г " "п
llXr,Q(r) —
Определим для всех
S4(C)=expj|C|
тогда имеем
3 „ С1 >\ A / П
Jv.-v, о
Применяя оператор Л к обеим частям F.8), получим из G.13)
и G.15) следующее предложение.
Теорема 7.1. Если вес MFf) задается формулой G.2), то
сумма весов (ц, с) -инвариантных функций равна
) = [Q(D, [A, S1N(/?) а, Е3)]г1=г,=..._о, G.16)
о также
уA1'0)Л1(8/) = Гв(Д р, Щ)в(Ц, а, 24)ПУ^1, G.17)
где правая часть вычисляется в точке, в которой все Zi и все ут
равны 0. Определения операторов Н» даются формулами F.6),
G.12) и G.14).
8. Теоремы типа теоремы Пойа
Пусть D и R — конечные множества и s& — коммутативная
алгебра над полем рациональных чисел. Кроме того, G — ко-
конечная группа, х и ? — представления группы G соответственно
подстановками множества D и подстановками множества R.
Далее, ц, и о — фиксированные подстановки, действующие на
Обзор обобщений перечислительной теоремы Пойа 245
множестве D и R соответственно; при этом не предполагается,
что ц. имеет вид %(g), а о — подстановка вида ?,(§)¦
Подстановки ц и а индуцируют подстановку р множества
RD, определяемую соотношением
Аналогично % и Z, индуцируют представление п группы G под-
подстановками множества RD:
Применим теперь теорему 4.2(а), положив X=RD. Эквива-
Эквивалентность двух функций /i и f2 означает существование элемен-
элемента g^G, такого, что %(g)fi(?,(g))~l = f2- Классы эквивалентности
называются образцами отображений. В качестве веса функции
/ возьмем величину MFf) из разд. 7 (вес, введенный в разд. 6,
является частным случаем этого веса). Теперь правая часть фор-
формулы D.1) в обозначениях E.1) равна
geo
(Заметим, что pn(g) переводит / в °~X(g) f (^xig))^-) Следо-
Следовательно, D.1) и G.16) приводят к следующей теореме:
Теорема 8.1 (а). Если V(p)—множество всех /е/?а, для
которых af\i~l~f, и Cf — образец отображений, которому при-
принадлежит f, то имеем
/ev"(Q
/ev"(Q)
Теорема 8.1F). Дополнительно к условиям теоремы
8.1 (а) предположим, что для любых r^R и m^N* найдется эле-
элемент w(r, m)^s4-, такой, что
(8.2)
для всех r^R, m<=N*, g^G. Кроме того, предположим, что для
каждого g^G существует такой элемент g', что одновременно
выполняются равенства
«°-K(g)°=x(g')- (8-3)
Если /i~/2, то of\\i-l~cif2ii~K так что р отображает образцы
в образцы. Образец, который отображается в себя, называется
р-инвариантным. Вес образца отображений берется равным
) (8.4)
246 Н. Г. де Брёйн
G. е. значению, получаемому из MFf) при подстановке хг,п =
=w(r, и)), где f — произвольная функция из этого образца
(имеем fi~f2=^№i(/i) = Wi(/2)). При этих условиях сумма ве-
весов ^-инвариантных образцов отображений равна
-~^[& (A rt (g), Si) в (/?, а-К (g), Ев]г|.„.....о, (8. 5)
где Зб получается из Е3, если заменить все xr,m на соответствую-
соответствующие w {г, гп).
Заметим еще, что мы можем использовать выражения G.17),
F.8), F.9) так же, как использовали G.16). Если в рассужде-
рассуждениях, приведенных выше, заменим теоремы 4.2 (а) и 4.2F) на
теоремы 4.3 (а) и 4.3F), то получим другую теорему типа тео-
теоремы Пойа, формулировать которую не будем. Она обобщает
теорему работы [9].
Дальнейшие утверждения типа теоремы Пойа могут быть полу-
получены из теоремы 5.1. Для этого следует заменить в (8.1) MFf)
на вес, который рассматривался в теореме 5.1, таким образом,
чтобы можно было использовать сумму
Vd
если / пробегает все отображения из Di в R. Приведем пример,
в котором теорема 4.2F) берется в качестве «нашей теоремы»
бернсайдовского типа и для Wi берутся веса из теоремы 5.1, так
что для различных частей Z); используются различные множест-
множества переменных хпп. Получим теорему, которая в качестве част-
частных случаев содержит много других теорем типа теоремы Пойа;
ее мы будем называть теорема-монстр' (подражая названию
известной теоремы майора Мак-Магона — «Master Theorem»).
Теорема 8.2 (теорема-монстр). Пусть D и R — конечные
множества и D разбито на подмножества D\, ..., Dh. Пусть G —
конечная группа, % — представление группы G подстановками
множества R. Пусть далее ц — подстановка на множестве D и
а — подстановка на множестве R. Предположим, что \iDi = Di
и %{g)Di = Di для всех ie{l, ..., k) и для всех g^G.
Пусть s? — коммутативная алгебра над полем рациональных
чисел и для всех is{l, ..., k), r<=R, me{0, 1, 2, ...} элемент w(i,r,
m) выбирается us s4- так, что для всех G
1 В оригинале «Monster theorem». — Прим. ред.
Обзор обобщений перечислительной теоремы Пойа 247
В качестве веса функции f<^.RD возьмем
Предположим, что для всякого g^G существует элемент
такой, что
Как и в теореме 8.1F), мы можем рассматривать образцы р-
инвариантных отображений и каждому из этих образцов в каче-
качестве веса припишем вес W2(f) произвольной функции из этого
образца. При этих предположениях сумма весов ^-инвариантного
образца равна
где (li~1x(g))i — ограничение подстановки ц~1х(ё) на ^г и
всех Ce=P(R)
SW(C) = 2 dm(\C\zlcl, \C\z2IC],...)l[w(i,r,my,
многочлены dm определяются равенством G.10), а оператор
Si — формулой F.6).
9. Примеры
Рассмотрим два примера. Наш первый пример использует
теорему 8.1F). Очевидно, что использование веса типа MFf)
не являете^ обязательным: достаточно использовать веса из
разд. 6. С другой стороны, читатель легко сможет и сам сфор-
сформулировать такие модификации задач, в которых использование
веса М (б/) является существенным.
Рассмотрим правильный шестиугольник на плоскости и отоб-
отображения множества его 6 вершин в множество 3 главных диа-
диагоналей. Рассмотрим также 6 вращений и 6 отражений, перево-
переводящих шестиугольник в себя. Любое вращение индуцирует под-
подстановку вершин, а также подстановку главных диагоналей.
Отображение вершин в диагонали можно рассматривать как мно-
множество из шести стрелок, идущих из вершин к диагоналям. Это
есть геометрическая фигура; говоря о вращении, под отображе-
отображением мы имеем в виду вращение этой фигуры. То же самое
относится и к отражениям.
Два отображения называются эквивалентными, если одно из
них получается из другого вращением. Класс эквивалентности
248 ¦ Н. Г. де Брёйн
называется образцом. Некоторые образцы обладают тем свой-
свойством, что они состоят из отображений, эквивалентных своим
собственным отражениям. (Если одно из отображений образца
обладает таким свойством относительно одного отражения, то
и все отображения этого образца обладают таким свойством
относительно каждого отражения.) Эти классы называются
образцами симметрии. В частности, мы хотим выяснить, сколько
существует образцов, состоящих из таких отображений, в кото-
которых каждая диагональ является образом двух вершин.
Покажем, как надо выбрать G, D, R, х, ?, \i, о, w(r, n), чтобы
применить теорему 8.1F). В качестве группы G возьмем группу
всех 6 вращений плоскости; нам будет необходима также группа
G* всех вращений и отражений (ее порядок равен 12). Множе-
Множество D состоит из 6 вершин; R— множество, состоящее из 3
главных диагоналей. Каждый элемент g^G индуцирует подста-
подстановку множества D (нужно просто взять ограничение g на D),
которую обозначим через %(g), и подстановку множества R,
которую назовем t,(g). Пусть h — какое-либо отражение; оно
индуцирует подстановки множеств D и R, которые обозначим ц
и о соответственно. Наконец, выберем w(r, л) = 1, если я = 2, и
w (г, п) = 0, если пф2. Положим w (r, n) =wn.
Очевидно, что условие (8.2) выполняется. Чтобы проверить
(8.3), заметим, что представления х и ? можно естественным
образом продолжить на группу G* и что \i — %(h), a = t,{h). Отсю-
Отсюда сразу же получаем равенства (8.3) с элементом g'~h~lgh,
который, очевидно, принадлежит группе G.
Формула (8.5) включает в себя ц.~'х(?0 и ^>~%(g)', мы можем
записать их в виде x(hrlg) и ?(/Hg) или даже как %{k) и ?(?),
где k пробегает множество, состоящее из шести отражений. За-
Занумеруем вершины (в круговом порядке): 1, 2, 3, 4, 5, 6 и диаго-
диагонали: а (=A,4)). ft (=B, 5)), с (=C,6)).
Выпишем пары % (k), ? (k):
X (*0 = ( 1) D) B6) C5), С (*!)=(<*) (be);
Х(*2)=B)E)C1)D6), С(*2)=(*)(са);
X (*з)=C) F) D2) E1), С (*з)=(с) И);
Х(*4)=B3)A4)E6), ЦкА)=(а)(Ьс);
Х(*5) = C4)B5)F1),
Х(*б)=D5)C6)A2),
Вычислим выражение (8.5) при xr<n = wn (ш„ = 1, если я = 2,
и о»п = 0, если пф2). Таким образом, X\LWn='W^\ и, следо-
гбС
вательно, это произведение только подсчитывает число элементов
Обзор обобщений перечислительной теоремы Пойа 249
в С, но не перечисляет их. «Вклады» отражений k\, k2, k3 совпа-
совпадают, как и вклады отражений /г4, k$, /г6.
У отражения k\ набором значений |В| является четверка
чисел: 1, 1, 2, 2, а набором значений \С\ —пара 1, 2. В случае
отражения k^ для |Б| имеем 2, 2, 2, а для \С\ —пару 1, 2.
Если |С| = 1,то (прихг,п = ш„)
^3(C) = d2(z1,z2,...)=— z? + z2;
если |С| =2, то
Таким образом, выражение (8.5) в этом случае имеет следую-
следующий вид:
Оно равно 8, так что существует 8 симметричных образцов того
типа, который мы рассматривали.
М М
L R
L L^Jl
Представим эти образцы с помощью следующей системы
обозначений. Вообразим, что все 6 вершин — это люди, сидящие
вокруг обеденного стола. Каждый из них описывает 3 главные
диагонали «со своей точки зрения»: левая, средняя, правая.
«Левая» диагональ «упирается» в соседа, сидящего слева, «сред-
«средняя» — в него самого, «правая» — в соседа, сидящего справа.
Всякое отображение задается 6-буквенным набором (LMR-кар-
тинкой), составленным из букв' L, M, R, причем буквы набора
располагаются в вершинах шестиугольника. Отображения экви-
1 L — левый (left), М — средний (middle), R — правый (right). — Прим.
перев.
250 Н. Г. де Брёйн
валентны, если их LMi^-картинки могут быть получены одна из
другой вращением. Условие, что каждая диагональ как образ
отображения встречается дважды, усмотреть нелегко. Условие
симметрии означает, что если мы отразим LM^-картинку и за-
затем переставим L и R, то получим тот же самый образец. На
рис. 1 приведены 8 образцов, о которых говорилось выше. Те-
Теперь отбросим условие симметрии. Существует 12 несимметрич-
несимметричных образцов. Их /„Ш?-картинкн изображены на рис. 2.
М L М
Итак, если мы опустим условие симметрии (однако сохра-
сохраним условие, что каждая диагональ встречается дважды в каче-
качестве значения функции), то получим 20 образцов. Это согласу-
согласуется с теоремой 8.1F) (случай, когда о и ц — тождественные
подстановки). В самом деле, применяя теорему 8.1 (б), приходим
к выражению
которое надо вычислять при 21 = 22= ... =0; производя необходи-
необходимые преобразования, получаем число 20.
Дадим второй пример, в котором вместо G.16) используется
выражение G.17).
Пусть D и R — конечные множества, G— конечная группа,
'I—представление группы G подстановками множества D.
Отображения /ь fi^RD называются эквивалентными, если суще-
существует такой элемент g^G, что fi = f2%(g), т. е. подстановки ц, а
и t,(g) (для всех g) берутся тождественными. Применяя теоре-
теорему 8.1F) с заменой G.16) на G.17), мы получаем для суммы ве-
весов образцов выражение
Обзор обобщений перечислительной теоремы Пойа 251
вычисляемое в точке, где все уг равны нулю. Здесь Р — обычный
цикловой индекс
* l*-"» У> -*i, До,... 1 = ^ Л1 Л2 ..., 1У. Z I
V А> 1> » ) jGj Г| \ I
где bi — число циклов длины i в %(g).
Отметим один частный случай. Надо найти число классов
отображений, действующих из D на R. Так как образцы отобра-
отображений, действующих из D в любое подмножество R, можно по-
получить с помощью теоремы Пойа, то для нахождения отобра-
отображений «на» мы можем использовать метод включения-исключе-
включения-исключения. Однако выражение (9.1) дает тот же самый ответ непосред-
непосредственно. Возьмем w(r, 0)=0, w(r, l)—w(r, 2) = ... = 1 (r^.R).
Тогда M(8f) = l, если f — отображение «на», и Л1F/)=0 в про-
противном случае. Для числа образцов отображений получаем сле-
следующее выражение:
Если заменим
~Уг
r-l) на
то получим формулу для «четных» отображений, в которых каж-
каждое значение берется четное число раз.
10. Связь с предыдущей работой
Все теоремы из статей [2, 3, 5, 7], за исключением теоремы
5.5 из работы [3] (так называемая кранц-теорема), являются
частными случаями теоремы-монстр и, в равной степени, тео-
теоремы 2 из работы [10]. Диаграмма на рис. 3 показывает логиче-
логические связи, где стрелки означают специализацию.
Первая цифра в каждом кружке диаграммы указывает но-
номер статьи в списке литературы (¦& отсылает к настоящей ра-
работе), последующие числа являются номерами теорем. Так, на-
например, кружок с символами ¦& 8.2 соответствует теореме-
монстр, а с символами ¦&, 2.1 —теореме Пойа.
Чтобы получить теорему 2 работы [10] из теоремы-монстр,
нужно положит!) ? равным единичному представлению, ц — тож-
тождественной подстановке множества D, о — тождественной под-
подстановке множества R. В качестве w(i, r, т) надо взять
252
Н. Г. де Брёйн
(Wi(r))m. Заметим, что @(R, (a-%(g))i, B5,i) становится равным
П ехр '
(ср. с F.7); все С состоят из единственного элемента), и диф-
дифференцирование этого выражения по zm дает множитель
(чу. (г))т. 1
Отметим, что теорема 2 из работы [10] является несложным
обобщением теоремы, которую Робинсон [12] приписывает Пойа'-
[II]. ;
MOW/77/7
Рис. 3.
Для извлечения теоремы 8.1F) из теоремы-монстр, нам нуж-
нужно только положить k=l.
Чтобы вывести теорему работы [5] из теоремы 8.1F), поло-
положим ? равным единичному представлению, а ц, — тождественной
подстановке и возьмем веса w(r, m) = (w(r))m из разд. 6. Таким
образом, условия (8.2) и (8.3) выполняются, и мы получаем
(ср. с F.9)) выражение
где В пробегает орбиты подстановки %(g). Это можно записать
в виде
Р(О,Г,
где Р — обычный цикловой индекс, a X(m, о) задаются форму-
формулой F.4).
Для получения теоремы 1 работы [2] положим и ц, и о рав-
равными тождественным подстановкам и в качестве G возьмем пря-
прямое произведение группы подстановок К, действующей на мно-
множестве D, и группы подстановок Н, действующей на множестве
Обзор обобщений перечислительной теоремы Пойа 253
/?. Представления являются просто проекциями: y_(hXk)=k,
Z,(kXh)=h. Кроме того (и это как раз делает теорему 1 из ра-
работы [2] несколько неудобной для использования), Я является
прямым произведением групп подстановок Н\, ..., Hh, действую-
действующих на множествах Ri Rh соответственно, где Ru ..., Rk об-
образуют разбиение множества R. Веса w (г, п) берутся так, чтобы
они были постоянны на каждом Rt; этим достигается выполнение
условия (8.2). В такой ситуации мы можем записать обобщен-
обобщенный цикловой индекс как произведение обычных цикловых ин-
индексов (см. C.4)), а это приводит к теореме 1 из статьи [2].
Чтобы вывести теоремы 1 и 2 статьи [7] из теоремы 8.1F),
положим |i и б равными тождественным подстановкам. Кроме
того, определим веса w {r, т) следующим образом.
Для получения теоремы 1 работы [7] полагаем w (r, т) = \
при всех г я т. Тогда мы сразу вычислим общее число образцов
отображений (образцы определяются с помощью (х, ^-эквива-
^-эквивалентности); Es(C) здесь равняется
exp (|C| (zici + zsici + zsici + •••))•
Чтобы получить теорему 2 работы [7], нужно положить.
к;(г, т) = \, если т = 0 или 1, и w(r, т)=0, если т = 2, 3, ....
Тогда мы вычислим лишь число образцов взаимно однозначных
отображений множества R в множество D; Hs(C) становится
равным 1 + |С|г|С|.
Мы можем получить также число взаимно однозначных отоб-
отображений множества R на множество D, если положим w (r, т) =
= 0, когда т = 0. В этом случае Ss(C) = | C|Z|q .
Теорема 4 работы [2] может быть получена из теоремы 2
статьи [7], если взять D = R и х=?-
11. Перечисление раскрашенных структур
Мы покажем теперь, как основная идея статьи [4] связана с
теоремой 4.3F).
Начнем с конечных множеств D и S. Назовем D базовым мно-
множеством, a S множеством структур. (Чтобы уяснить идею, чита-
читатель может взять в качестве D некоторое множество точек, а в
качестве S — множество всех графов, у которых D — множест-
множество вершин.) Здесь G — группа подстановок множества D, а о —
представление группы G подстановками множества S. (Читатель
может заметить, что любая подстановка g множества вершин
графа преобразует граф в граф с тем же множеством вершин;
это дает «естественную» подстановку o{g).)
Для каждого s^S существует подгруппа Gs, состоящая из
тех элементов g^G, для которых a(g)s = s. Рассмотрим ее цик-
254 Н. Г. де Брёйн
ловой индекс
У\ У2 •
где &i(g) —число циклов подстановки g (но не a(g)), имеющих]
длину /. \
Две структуры s{ и S2 называются эквивалентными, если су-;
шествует такой элемент g^G, что sl = a(g)s2- Множество S раз-
разбивается на классы эквивалентности.
Применим теорему 4.3F) с X=S, л = а, W(x) = l и
Очевидно, что x(hgh~x)=x(g), так как подстановки hgh~x и
g имеют одну и ту же цикловую структуру. Из теоремы 4.3F)
следует, что P(s) постоянно на каждом классе эквивалентности.
Заметим, что
P{s) = P(Qs;yx,y2,...).
Определим U(yu y2, ...) как сумму многочленов P(GS; yx, у2, ...),
где из каждого класса берется единственное 5. Из соотношения
D.2) получаем
U(y,,y2,..)=-^^V{g)y\i{e)yb2'{g)..., (П. 1)
gee
где V(g) —число таких seS, что a(g)s = s. Это есть теорема 2
из статьи [4].
Сумма U(y\, у2, ».) играет существенную роль во многих во-
вопросах, касающихся структур. В частности, мы имеем (теоре-
(теорема 1 из [4]) выражение
*/B«И, 2(«'(г)J,...)
для суммы весов образцов раскрашенных структур. Раскрашен-
Раскрашенная структура — это пара (s, f), где seS, f^RD, R — множество
цветов (с весами w(r)) и эквивалентность определяется соотно-
соотношением (s, f) — (a(g)s, fg~]).
Преимущество, связанное с использованием функции U[t/i,
1/2, ...), состоит в том, что мы можем с помощью соотношения
A1.1) вычислять 11(уи у2, ¦¦¦) во многих случаях, когда мало что
известно об отдельных группах Gs. Значительное число приме-
примеров на эту тему обсуждалось в статье [4]. Кроме того, сумма
u Уг, •••) играет важную роль в работе [6].
Обзор обобщений перечислительной теоремы Пойа 255
Список литературы
[1] Berge С. Theorie des graphes et ses applications. Collection Universitaire de
Mathematiques 2, Dunod, Paris, 1958. Translation by Alison Doig. The
Theory of Graphs and its Applications, John Wiley and Sons, New York,
1962. [Русский перевод: Берж К. Теория графов и ее применения. М.:
ИЛ, 1962.]
[2] De Bruijn N. G. Generalization of Polya's Fundamental Theorern in Enume-
rative Combinatorial Analysis. Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. №2-Indag.
Math. 21 A959), 59—69.
[3] De Bruijn N. G. Polya's Theory of Counting, ch. 5 in Applied Combinatorial
Mathematics, ed. by E. F. Beckenbach A964), pp. 144—184. [Русский пере-
перевод: де Брёйн Н. Дж. Теория перечисления Пойа: Сб. Прикладная ком-
комбинаторная математика. — М.: Мир, 1968, с. 61—106].
[4] De Bruijn N. G. Enumerative combinatorial problems concerning structures.
Nieuw Archief Wiskunde, C) 11 A963), 142—161.
[5] De Bruijn N. G. Color patterns that are invariant under a given permutation
of the colors. /. of Combinatorial Theory, 2 A967), 418—421.
[6] De Bruijn N. G. Enumeration of tree-shaped molecules. Recent Progress in
Combinatorics, ed. W. T. Tutte, Acad. Press A969), 59—68.
[7] De Bruijn N. G. Enumeration of mapping patterns. (To appear.)
[8] De Bruijn N. G. A generalisation of Burnside's lemma. Notitie nr. 55 A970).
Internal Report, Department of Mathematics, Technological University, Eind-
Eindhoven.
[9] De Bruijn N. G. Generalization of S. G. Williamson's generalization of
Burnside's lemma and Polya's theorem. Notitie nr. 59 A968—1969). Inter-
Internal Report, Department of Mathematics, Technological University, Eindho-
Eindhoven.
[10] De Bruijn N. G., Klarner D. A. Enumeration of generalized graphs. Nederl.
Akad. Wetensch. Proc. Ser. A 72 = Indag. Math., 31 A969), 1—9.
[11] De Bruijn N. G., Klarner D. A. Pattern Enumeration. (To appear.)
[12] Harary F., Palmer E. The enumeration methods of Redfield. American J.
Math., 89 A967), 373—384.
[13] Polya G. Kombinatorische Anzahlbestimmugen fur Gruppen, Graphen und
chemische Verbindungen, Ada Math. 68 A937), 145—254. [См. настоящий
сборник, стр. 36.]
[14] Redfield J. H. The theory of group-reduced distributions. American J. Math.,
49 A927), 433—455. [См. настоящий сборник, стр. 9.]
[15] Robinson R. W. Enumeration of Colored Graphs. /. of Combinatorial Theory,
4 A968), 181—190.
АЦИКЛИЧЕСКИЕ ОРИЕНТАЦИИ ГРАФОВ'
Р. П. Стенли
Резюме. Пусть G — конечный граф с р вершинами, % — его хроматически
многочлен2, \ — целое положительное число. Дается комбинаторная интерпр!
тация целых положительных чисел (—1)р%(—Я) в терминах ациклически!
ориентации графа G. В частности, устанавливается, что (—1)РХ(—1) ^
число ациклических ориентации графа G. В качестве приложения перечисли!
ются помеченные3 ациклические орграфы. Строится алгебра полного бинолин
ального типа в смысле Дубиле — Рота — Стенли, которая порождает произ-;
водящие функции, возникающие в контексте.
1. Хроматический многочлен при отрицательных
значениях аргумента
Пусть G — конечный граф, не имеющий петель и кратных ре-
ребер. Обозначим через V=V(G) множество вершин графа G, а
через X = X(G)—множество его ребер. Ребро е^Х представля-
представляет собой неупорядоченную пару {и, v} различных вершин. Целые
числа р и q в дальнейшем будут обозначать мощности множеств
V и X соответственно. Ориентация графа G состоит в приписы-
приписывании определенного направления каждому ребру {и, v}: либо
в виде u-*-v, либо, напротив, в виде v-*-u. Ориентация графа G
называется ациклической, если в получающемся орграфе нет
ориентированных циклов.
Пусть %(h) =%(G, A)—значение хроматического многочлена
графа G, вычисленное для ЯеС, где С — множество комплексных
чисел. Если А — целое неотрицательное число, то %(Х) имеет сле-
следующую нетрадиционную интерпретацию.
Предложение 1.1. Пусть X — целое неотрицательное чис-
число, а — произвольное отображение вида V-*~{1, 2, ..., А}, о —
ориентация графа G. Значение %(Х) равно числу пар (а, о),
удовлетворяющих двум условиям:
1 Stanley R. P. Acyclic orientations of graphs, Discrete Mathematics, 5, N2
A973), 171—178.
2 Cm. [10, стр. 172—175]. —Прим. перев.
3 To есть с помеченными вершинами. — Прим. перев.
© Перевод иа русский язык, «Мир», 1979
Ациклические ориентации графов 257
а) ориентация о ациклическая;
б) если в ориентации о имеем u-*-v, то a(u)>a(v).
Доказательство. Из условия (б) вытекает, что отображение
а порождает правильную раскраску графа G (т. е. если {и, v}^.X,
то о(и)Фо(и)). Из (б) условие (а) вытекает автоматически.
Обратно, если а — правильная раскраска графа G, то условие
(б) однозначно определяет ациклическую ориентацию графа G.
Следовательно, число допустимых отображений в точности рав-
равно числу правильных раскрасок графа G с использованием цветов
1, 2, ..., л, т. е. равно %(К). Ш
Предложение 1.1 наводит на мысль о следующей модифика-
модификации числа %(К). Если Я — целое неотрицательное число, то опре-
определим %(К) как число таких пар (а, о), что а — произвольное
отображение вида V-*-{l, 2, ..., К}, о — ориентация графа G, при-
причем удовлетворяются два условия:
а') ориентация о — ациклическая;
б') если u~*-v в ориентации о, то o(u)^o(v).
Будем в этом случае говорить, что отображение ст и ориента-
ориентация о совместимы.
Связь между yw и % в некоторой степени аналогична той, ко-
которая имеет место между сочетаниями без повторений из п эле-
ментов no k (число таких сочетаний равно , ) и сочета-
Vе /
нпями из п элементов по k, но с повторениями (число утих ео-
(n+k—\\ , п1/-н\,
четанпи, как известно, равно 1 = (—1)*( ).
\ к 1 \ k )
Теорема 1.2. Для всех целых неотрицательных h
Доказательство. Вспомним тот общеизвестный факт, что хро-
хроматический многочлен %(G, К) однозначно определяется следую-
следующими тремя условиями:
1) x(G0, Х) = Х, где Go —одновершинный граф;
2) х@ + /О)=Х@Д)-х(#.Ь), гДе О и //-графы с непе-
непересекающимися множествами вершин и G + H — объединение
этих графов;
3) для каждого ребра е^Х справедливо %(G, к) =
~x(G\e, :', —,лО/е, X), где G\e обозначает граф, получающий-
получающийся из графа G после удаления ребра е, а через G/e обозначен
граф, который строится из графа G путем стягивания ребра е
в точку '.
1 С последующим отождествлением кратных ребер (см. [10, стр. 172-
173]). — Прим. персе.
9—1751
258 Р. П. Стенли
Следовательно, достаточно показать, что % обладает сле-
следующими тремя свойствами:
Г) х(О0Д) = Х, где О0 — одновершинный граф;
2')
3') х(О, Х)=х(О\е, Х) + х(О/е, X).
Свойства (Г) и B') очевидны; поэтому надо доказать только
свойство C').
Пусть о: V(G\e)->-{l, 2, ..., к}, и пусть о — ациклическая
ориентация графа G е, совместимая с (не обязательно правиль-
правильной) раскраской а, где е={и, t)}el. Пусть oi — ориентация гра-
графа G, полученная из о присоединением ребра u~*-v, и ог — ориен-
ориентация графа G, полученная из о присоединением ребра v-*-u.
Заметим, что а на V(G) уже определено, ибо V(G) = V(G\e).
Мы покажем, что для каждой пары (а, о), кроме %(G/e, К) пар,
ровно одна из ориентации oi и о2 графа G является ацикличе-
ациклической и совместимой с ст. А в случае любой из остальных %(G/e, X)
пар обе ориентации oj и о2 суть ациклические и совместимые с
о. Из этих двух утверждений вытекает соотношение %(G,X) =
= X(G\e,X)-[-x(G/e,X), доказывающее теорему. ¦
Для каждой пары (а, о), где а: G\e->-{l, 2, ..., к}, а о—¦
ациклическая ориентация графа G\ г, совместимая с а, выпол«
няется одна из следующих трех возможностей.
Случай 1: a(u)>a(v). Ясно, что 02 не совместима с а, тогда
как oi совместима. Кроме того, oi — ациклическая ориентация,
так как если бы маршрут u-+-v-*-wl-*-Wz-*~...-*-u был ориенти-
ориентированным циклом в о,, то мы бы имели a(u)>a(v) ~^a(w\) ^
^o(w2) ^z ... ^а(м), что невозможно.
Случай 2: a{u)<a(v). Он симметричен случаю 1: Ог—аци-
Ог—ациклическая ориентация, совместимая с а, а ориентация Oi с а не
совместима.
Случай 3: а(м)=а(о). Обе ориентации oi и ог совместимы с а.
Мы утверждаем, что хотя бы одна из них ациклична. Предполо-
Предположим противное. Тогда oi содержит ориентированный цикл
u->-v-^wl-*-W2->- ... -*-и, а ориентация о2 содержит ориентирован-
ориентированный цикл v-^-u-^-W\'-^-W2-*~ ... -*-v. Следовательно, ориентация о
содержит ориентированный цикл
и —> w[ —> w'i —»...—¦ v —> W\ —¦ w2 —»...—»и,
что противоречит предполагаемой ацикличности ориентации о.
Ациклические ориентации графов 259
Остается доказать, что Oi и о2 одновременно ацикличны ровно
для x(G/e, Я) пар (а, о), удовлетворяющих условию o(u)—o(v).
Чтобы установить это, мы построим биекцию Ф(а, о) = (а', о')
между такими парами (а, о), для которых oi и ог одновременно
ацикличны (и a(u)=a(v)), и парами (а', о'), такими, что а':
l/(G/e)->{l, 2, ... , X}, о' — ациклическая ориентация графа G/e,
совместимая с а'. Пусть z — вершина графа G/e, полученная
путем «слияния» (отождествления) вершин аи». Тогда
V(Q/e) = (V(G\e)-{u, v) [) {z},
Х(О/е)=Х(О\е).
Для данной пары (а, о) определим а' посредством равенств
a'(w)=(j(w) для всех w€\V(G\e) — {z} и a'(z) — a(u)=a(v.)
Определим о', выбирая W\-*-W2 в о' тогда и только тогда, когда
Wi-^-w2 в о. Легко видеть, что отображение Ф(а, о) = (а', о')
есть искомая биекция. В
С помощью теоремы 1.2 устанавливается комбинаторная ин-
интерпретация чисел (—1)p%(G, —Я), где К — целое положитель-
положительное число. В частности, когда Я=1, каждая ориентация графа G
совместима автоматически с отображением a: V(G)-*-{\). Таким
образом, получаем
Следствие 1.3. Если G — граф с р вершинами, то
(—1)РХF> —1) есть число ациклических ориентации графа G.
В работе [5] был поставлен следующий вопрос (для специ-
специального класса^ графов). Пусть G есть р-вершинный граф, и
пусть © — маркировка вершин графа G, т. е. биекция со:
V(G)-*-{l, 2, ..., р). Определим отношение эквивалентности ~
на множестве всех р\ таких функций со:
а>~о>' в том случае, есди для любого ребра
{и, v}?X(G) выполняется соотношение
(О (и) < to (v) <=> ш' (И) < u/ {V).
Сколько существует таких классов эквивалентности для гра-
графа G?
Ясно, что две функции © и о/ эквивалентны тогда и только
тогда, когда совпадают ориентации о и о', совместимые соответ-
соответственно с © и ©' (и единственные). Более того, ориентации о и о'
(о = о') в данном случае ацикличны. Отсюда в силу следствия
1.3 получаем: число классов эквивалентности равно
(-1)*X(G,-1).
Завершим этот раздел обсуждением связи между хроматиче-
хроматическим многочленом графа и порядковым многочленом [4, 5, 6]
частично упорядоченного множества. Пусть Р есть р-элементное
260 Р. П. Стенли
частично упорядоченное множество. Определим порядковый мно-
многочлен Q{P, X) (заданный для неотрицательных целых чисел X)
как число отображений а: Р->{1, 2, ..., л}, сохраняющих поря-
порядок. Строгий порядковый многочлен Q (Р, X) определим как число
отображений а: Р-*-{1, 2, ..., X}, сохраняющих строгий порядок,
т. е. если х<у в Р, то а(х)<а(г/). В работе [5] было показано,
что Q и Q — многочлены от X, связанные соотношением
fi(P, л) = (—1)pQ(P, —X). Это точный аналог теоремы 1.2. При-
Придадим ясность этой аналогии.
Пусть о — некоторая ориентация графа G. Рассмотрим о как
бинарное отношение ^ на множестве V(G), определенное усло-
условием: u^v, если u-+-v. Если о — ациклическая ориентация, то
транзитивное и рефлексивное замыкание о ориентации о есть
частичное упорядочение множества V(G). Кроме того, отобра-
отображение a: V(G)-*-{l, 2, ... , X} совместимо с о тогда и только тогда,
когда а, рассматриваемое как отображение, заданное на о, со-
сохраняет порядок. Следовательно, число совместимых с о отобра-.
жений а в точности равно fi(o, X), и мы заключаем, что
где суммирование ведется по всем ациклическим ориентациям
о графа G. Таким образом, используя предложение 1.1, выво-
выводим, что
о
Следовательно, теорема 1.2 вытекает из известного результата
но мы предпочли прямое доказательство как более наглядное.
Соотношение A) служит обоснованием следующего утверж-
утверждения, приведенного в [4]: аналогом хроматического многочлена
X для частично упорядоченного множества является строгий по-
порядковый многочлен Q.
2. Перечисление помеченных ациклических орграфов
Следствие 1.3 совместно с одним результатом Рида [3] (по-
(полученным также Бендером и Гольдманом [1]) дает непосредст-
непосредственное решение задачи о числе ациклических орграфов с п поме-
помеченными вершинами. (Этот же результат был получен ' Робин-
1 См. также [9]. — Прим. перев.
Ациклические ориентации графов 261
соном [8], который рассмотрел и случай непомеченных вершин
[7].)
Предложение 2.1. Пусть /(«)—число ациклических ор-
орграфов с п помеченными вершинами. Тогда
\
л=0
Доказательство. Согласно следствию 1.3,
где суммирование ведется по всем графам Gen помеченными
вершинами.
Ранее Рид [3] (см. также [1]) показал, что если
2
а
где сумма берется по всем графам с а помеченными вершинами,
то
2 Мп(к)хп/(п\2Щ = \^ x*/{ti\2®)\. C)
(я1,
На самом деле в [1, 3] вместо 2ч2; стоит 2"*/2, но подстановка
х' = 2^2х сводит один случай к другому.
Первое преимущество нашей «нормировки» состоит в том, что
С)
числа п\2\2' целые. Второе — то, что функция
У7(л:)=2 х"
л^О
удовлетворяет функциональному уравнению F'(x) =F(x/2). Тре-
Третье преимущество выяснится в следующем разделе.
Итак, полагая k = —1 и заменяя в C) х на —х, получаем
требуемый результат '. Н
1 Последний шаг нуждается в комментариях. Из определения видно, что
Мп (k) — многочлен от переменной k и его степень не выше п. С другой сто-
стороны, по индукции (или с помощью формулы Фаа ди Бруно) можно доказать,
что в k-й степени формального степенного ряда от х, имеющего ненулевой сво-
свободный член, коэффициент при хп также является многочленом от k степени
не выше п. Применяя сказанное к коэффициентам из соотношения C), полу-
получаем: соответствующие многочлены совпадают на бесконечном множестве зна-
значений переменной k. Значит, эти многочлены совпадают и при k=—1. — Прим,
перев.
262 Р. П. Стенли
Анализ поведения функции/7(x) = 'V хп/ \n\2\2')
дает аеим-
птотические оценки для /(«). К примеру, с помощью теоремы
Руше можно показать, что F(x) имеет единственный нуль а«
~ —1,488 в круге |*|=^2.
Стандартная техника дает асимптотическую формулу
где значение а указано выше, а С = — F (-—(гь; 1,741. Более
а \ 2 /
тщательный анализ функции F(x) позволяет получить более
точные оценки ' для f{n).
3. Алгебра биномиального типа
Существование комбинаторной интерпретации коэффициен-
коэффициентов Mn(k) в разложении
2 х"/B®п\)
L«=0 J
2
наводит на мысль о существовании алгебры полного биномиаль-
ного типа со структурными константамий(«) = п\ 2^2' в смысле
[2]. Это эквивалентно нахождению локально-конечного частична
упорядоченного множества Р (которое будет называться имею-
имеющим полный биномиальный тип), удовлетворяющего следующим
условиям:
а) В произвольном сегменте [х, у]= {z\x^.z^.y} из Р (где
х^у в смысле порядка в Р) каждая максимальная цепь имеет
одну и ту же длину п. Мы назовем [х, у] п-свгментом.
б) Для каждого целого я^О существует «-сегмент, причем
число максимальных цепей в каждом л-сегменте равно В{п) =
= п\2\2'. (В частности, ВA) обязательно равно 1, чем дополни-
дополнительно объясняется «нормировка» х' = 21'2х из разд. 2.)
Если такое частично упорядоченное множество существует,,
то, согласно [2], значение функции t,k(x, у), где ? есть дзета-функ-
дзета-функция множества Р, k — произвольное целое, а [х, у] — «-сегмент,
зависит только от k и п. Будем писать ih(n) вместо t,h(x, у),.
С другой стороны, из [2] следует соотношение
л=0
/*)=B
См. {8, 9]. — Прим. перев.
Ациклические ориентации графов 263
Значит t,k(n) =Mn(k). В частности, мощность произвольного
л-сегмента [х, у] есть МпB), т. е. равна числу помеченных 2-рас-
крашенных графов с п вершинами. В то же время ц(х, у) =
= (—1)п/(«), где (д, — функция Мёбиуса множества Р, а /(«)—
число ациклических орграфов с п помеченными вершинами. Об-
Общая теория, развитая в [2], позволяет дать комбинаторную ин-
интерпретацию коэффициентов различных производящих функ-
функций, таких, как '
(jg x"/B(n)X и U-
\п-1 /
Поскольку Мп B) — мощность произвольного и-сегмента, это
наводит на мысль взять в качестве элементов множества Р пра-
правильно 2-раскрашенные графы. Рассмотрим несколько более
общую ситуацию.
Предложение 3.1. Пусть V — бесконечное множество
вершин, q— целое положительное число, a Pq — множество всех
пар (G, а) следующего вида: G — функция, определенная на
всех 2-под множествах {и, v}<=V, ифу, принимающая значения
из {О, 1, 2, ..., q—1} и такая, что ненулевые значения принимают-
принимаются ею не более чем на конечном числе 2-подмножеств; а: V-*-
->{0, 1}—отображение, удовлетворяющее условию: если
G({u, v})>0, то o(u)=?o(v) и, кроме того, "Vg(m)<oo.
uev
В том случае, когда пары (G, о) и (Н, т) содержатся в Pq,
положим (G, а) ^ (Я, т), если
а) а (и) ^т(«) для всех u<=V и
б) G({u, v})=H({u, v}) при о(и)—х(и) и o(v) —r(v).
Тогда Pq — частично упорядоченное множество полного биноми-
лльного типа со структурными константами В(п) =n\q ^
Доказательство. Если (Я, т) покрывает (G, о) в P=Pq (т. е.
если (Я, t)>(G, а), но не существует такой пары (G', а'), что
<tf(G'')G)
2 *(«)=!+2 <>(«)•
Отсюда следует, что в каждом сегменте множества Р все макси-
максимальные цепи имеют одну и ту же длину.
Чтобы показать, что произвольный «-сегмент 5 =
(п\
—[{G, а), (Я, т)] имеет ti\q^2' максимальных цепей, достаточ-
1 Первая является производящей функцией для числа ft-цепей в п-сегмен-
те, вторая — для общего числа цепей в я-сегменте. — Прим. перев.
264 Р. П. Стенли
но установить, что (Я, т) покрывает ровно nqn~l элементов из S,
так как тогда число максимальных цепей в S будет равно
({)q{q) q
Поскольку S есть n-сегмент, то существует в точности п вер-
вершин vu v2, ... , »»еУ, таких, что а (и») = 0<1=t(dj). Предполо-
Предположим, что (Я, т) покрывает (Я', т') eS. Тогда значения отобра-
отображений т и т/ совпадают на каждом элементе v из V, за исключе-
исключением какого-либо одного элемента vit скажем иь причем
t/(ui)=0, t(ui) = 1. Теперь предположим, что Н'({и, t'})>0, и
можно положить t'(w)=0, t'(u) = 1. Если v не является одним
из элементов у,-, то ст(ы)=0, а(и) = 1, так что H'({u, v}) =
= G({u, v}). Если v = vi B^i^n), a u не совпадает с vu то
t(w)=0, t(i>) = 1 и Н'({и, v})=H({u, v}). Следовательно, функ-
функция H'({u, v}) однозначно определена всюду, кроме тех случаев,
когда u—V\ и v=V\, 2^i^.n, Значение H'({v\, Vi}) может быть
равно любому числу из множества {0, 1, ... , q—1}. Таким обра-
образом, имеется п вариантов выбора элемента vy и q вариантов вы-
выбора значения для каждого H'({vu ut}), 2^i^n, что дает в со-
совокупности nqn~l пар (Я', t')eS, покрываемых парой (Я, т),
что и требовалось доказать. Ш
Заметим, что в случае q= 1 условие (б) теряет смысл, так что
Р\ изоморфно решетке конечных подмножеств множества V.
Когда q — 2, мы можем положить G({u, v}) равным 0 или 1 в за-
зависимости от того, является или нет 2-множество {и, v} ребром
графа с множеством вершин V. Тогда а есть правильная 2-рас-
краска множества V, где цвета суть 0 и 1, а элементами множе-
множества Р2 являются все правильно 2-раскрашенные графы с мно-
множеством вершин V, конечным числом ребер и конечным числом
вершин, имеющих цвет 1. Заметим, что во всех случаях, кроме
q= 1, множество Рд не является решеткой.
Список литературы '
[1] Bender E. A., Goldman J. R. Enumerative Uses of Generating Functions.
Indiana Univ. Math. J., 20 A971), 753—765.
[2] Дубнле П., Рота Дж.-К., Стенлн Р. Об основах комбинаторной теории.
VI. Идея производящей функции. См. наст, сборник, стр. 160.
[3] Read R. The number of ^-colored graphs on labelled nodes. Canad. J. Math.,
12, № 3 A960), 410—414.
[4] Stanley R. A chromatic-like polynomial for ordered sets. Proc. Second Cha-
Chapel Hill Conf. Combin. Math. Appl. N. C, 1970, 421—427.
[5] Stanley R. Ordered Structures and Partitions. Memoires of the Arner.
Math. Soc, 119 A972).
1 Звездочкой отмечена литература, добавленная переводчиком. — Прим.
ред.
Ациклические ориентации графов 265
[6] Stanley R. A Brylawski decomposition for finite ordered sets. Discrete
Math., 4, № 1 A973), 77—82.
[7]* Robinfon R. \V. Enumeration of acyclic digraphs. Proc.' Second Chapel
Hill Conf. Combin. Math. Appl., N. C, 1970, 391—399.
[8]* Robinson R. W. Counting labeled acyclic digraphs. New Directions in the
Theory of Graphs, Acad. Press, New York, 1973, 239—273.
[9]* Лисковец В. А. О числе максимальных вершин случайного ацикличе-
ациклического орграфа. Теория вероятностей и ее применения, 20, № 2 A975),
412—421.
[10]* Харари Ф. Теория графов. М.: Мир, 1973.
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ ПЕРЕЧИСЛЕНИЙ*
Э. А. Бендер
Резюме. Настоящая статья представляет собой обзор тех методов асимгр-
тотического анализа, которые особенно полезны при получении асимптотиче-
асимптотических результатов в перечислительных задачах. Основное внимание уделяете»
методам общего характера, которые легко применяются и дают оценки вид»
an~f(n). Полезность различных методов иллюстрируется на многих приме-
примерах. Предполагается, что явно или неявно заданы сумма или производящая
функция последовательности ап-
1. Введение
В анализе асимптотики имеют солидную историю, и специа-
специалистам по анализу доступны хорошие обзоры на эту тему (на-
(например, де Брёйн [11]). Асимптотики для специалиста в области
комбинаторики являются одновременно и более широким, и бо-
более узким предметом, чем для специалиста по анализу. «Более
широким», поскольку имеется много перечислительных задач,
которые никто не может сформулировать в виде, допускающем
применение аналитических методов. «Более узким», поскольку
в комбинаторике нас интересуют только суммы и функции, воз-
возникающие из перечислительных задач. Из-за этой узости лишь
ограниченная часть аппарата, разработанного в анализе, при-
пригодна для рассмотрения большинства перечислительных задач.
Насколько известно, пока не существует обзора асимптотик с
этой точки зрения. Книга Комте [12, гл. 7] — единственная зна-
знакомая автору работа, в которой трактуется этот предмет, но из-
изложение ведется в краткой форме. Мун [38] обсуждает некоторые
асимптотики для графов, главным образом в последней главе.
Здесь будет приведен обзор асимптотических методов, наиболее
подходящих для теории перечислений.
1 Bender E. A. Asymptotic methods in enumeration, Siam Review, 16, № 4*.
A974) 485—515. Это исследование было проведено в Institute for Defense Ana-
Analyses, Прннстон, Нью-Джерсн.
© 1974, Society for Industrial and Applied Mathematics
©Перевод на русский язык, «Мир», 1979.
Асимптотические методы в теории перечислений 267
Для чтения этого обзора не требуется обширных сведений из
анализа и комбинаторики: необходимы лишь элементарный ана-
анализ для первой части и основы теории функций комплексной пе-
переменной для второй. Доказательства некоторых асимптотиче-
асимптотических формул приведены или потому, что автор не мог найти их
в литературе, или по той причине, что доказательства иллюст-
иллюстрируют обсуждаемые асимптотические методы. Для понимания
доказательств и примеров требуется некоторое знакомство с
перечислительными задачами. Комбинаторные результаты при-
приводятся обычно без доказательств.
Всюду в этой работе используются следующие обозначения.
Все логарифмы имеют основание е. Использование символов
О, о и ~ традиционно:
f(n) = O(g(n)) означает, что ' ограничено при я—»оо,
gin)
f{n) = o{g(n)) означает, что -^-^—>0 при п—»оо,
gin)
f{n)~gin) означает, что ¦ ^п' —> 1 при п—>со.
gin)
В частности, f(n)~g(n) равносильно соотношению f(n) —
=ё(п) A + °A))- Асимптотические формулы устанавливаются в
предположении п-+оо, если это не оговаривается особо.
Если дана последовательность {ап}, то обычная производя-
производящая функция^ anzn и экспоненциальная производящая функ-
л>0
ция \ ап для последовательности {ап} будет обозначать-
ся символом A(z). Всегда будет особо оговариваться, является
ли производящая функция в каждом конкретном случае обычной
или экспоненциальной.
Что значит удовлетворительная общая формула с точки зре-
зрения комбинаторика? Имеются три главные характеристики: точ-
точность оценки, легкость использования и широта комбинаторных
приложений. Ввиду несогласованности этих требований каждая
формула оказывается плохой по меньшей мере в одном смысле.
За исключением разд. 9, в обзоре обсуждаются формулы, кото-
которые ведут к результатам вида an~f(n). В литературе по комби-
комбинаторике такие оценки часто считаются удовлетворительными.
Некоторые формулы могут быть использованы для того, чтобы
получить остаток или асимптотический ряд. Это ведет к меньшей
общности и большей сложности. В интересах простоты и общ-
общности такие вопросы не обсуждаются.
268 Э. А. Бендер
2. Содержание статьи
Материал статьи разделен на три основные части: методы
оценки сумм, методы оценки коэффициентов производящих функ-
функций и задачи, нуждающиеся в дальнейших исследованиях. Ре-
Рекуррентные соотношения в комбинаторных задачах часто явля-
являются естественной отправной точкой для получения асимптотик,
но имеющиеся методы, по-видимому, не настолько развиты в
настоящий момент, чтобы можно было говорить о них в каком-
либо еще плане, кроме как об области для дальнейших исследо-
исследований.
Общие методы для обычных сумм разобраны де Брёйном
[11, гл. 3]. В перечислении часто встречаются три типа сумм,
почти всегда содержащих факториалы. Первые два типа будут
обсуждаться в части I.
Суммы первого типа содержат положительные члены, кото-
которые обычно унимодальны (достигают максимальной величины
на интервале) и «достаточно гладкие», как функции индекса
суммирования. Если максимальный член удален от пределов
суммирования, то при п-»-оо сумма часто аппроксимируется ин-
интегралом. (Интеграл является просто первым членом формулы
суммирования Эйлера — Маклорена.) Представляющие интерес
для комбинаторики суммы часто приводят к интегралу
Гехр(—x2)dx. Когда максимальный член находится вблизи
одного из пределов суммирования, обычно трудно бывает хоро-
хорошо аппроксимировать сумму интегралом, поэтому метод оценки
каким-то образом должен быть изменен.
Суммы второго типа встречаются при применении принципа
включения-исключения. Такая сумма составлена из знакочере-
знакочередующихся слагаемых, и в ней доминируют первые члены. Как
указано в разд. 10, обычно распределение Пуассона может быть
связано с исходной комбинаторной проблемой довольно ясным,
но лишь эвристическим способом.
В сумме третьего типа члены растут быстро, и, таким обра-
образом, последний член может быть использован для аппроксимации
суммы. Многие результаты Райта в перечислении графов [56, 57}
являются усовершенствованием этой идеи. Дальнейшее обсуж-
обсуждение содержится в разд. 5.
Методы получения оценок с помощью производящих функций
будут рассмотрены в части II. Так как эти методы более мощ-
мощные, чем методы оценок сумм, то лучше вместо сумм начинать с
производящей функции. Хотя контурное интегрирование (метод
«наискорейшего спуска», или «седловой точки») является мощ-
мощным средством, оно не будет здесь обсуждаться, так как его
трудно применять даже после некоторой практики (см. любую
Асимптотические методы в теории перечислений
книгу по асимптотическим методам, например де Брёйн [11]).
Методы, рассматриваемые в этой работе, можно разбить на че-
четыре категории в зависимости от радиуса круга сходимости ряда
A(z): 1) радиус сходимости равен нулю, 2) граница круга со-
содержит незначительное количество устранимых особенностей,
3) функция целая {A(z) сходится всюду) и 4) функция ведет
себя плохо на границе круга сходимости. Когда радиус сходи-
сходимости равен нулю, нельзя воспользоваться методами теории
функций комплексной переменной, однако существуют полезные
результаты. Если особенности на границе круга сходимости
являются «хорошими», можно применить разнообразные при-
приемы. В этом случае особенно удобна специальная форма теоремы
Дарбу, которая обычно дает весьма удовлетворительные резуль-
результаты. Этого вместе с некоторыми сведениями о неявных функци-
функциях вполне достаточно для исследования многих функциональных
уравнений. Теорема Хеймана [26] полезна в случае целых функ-
функций. Последний случай было бы чрезвычайно трудно рассмат-
рассматривать в какой бы то ни было степени общности. Здесь обсуж-
обсуждаются две теоремы, которые автор считает особенно полезными.
Для развития новых методов, предназначенных для асимпто-
асимптотических перечислений, нужны новые исследования. Как уже
отмечалось, чтобы получить асимптотики из рекуррентных соот-
соотношений, требуется некоторая техника. Можно было заметить,
что производящие функции, о которых упоминалось выше, зави-
зависят только от одной переменной. Очень немного известно о по-
получении асимптотик для производящих функций многих пере-
переменных. В конце обсуждается, несколько туманно, как лучше
использовать теорию вероятностей.
ЧАСТЬ I. ОЦЕНКИ СУММ
Заметим, что из an(k) ~fn(k) не следует
k к
Например, пусть an{k) =2-h + 2h-n, fn(k)=2-h и рассматривает-
рассматривается сумма по k, O^k^n.
Будем говорить, что an(k) ~fn(k) равномерно для
если an(k) =fn(k) (l + o(l)) всякий раз, как только
где константа под знаком о не зависит от k. Другими словами,
а„(к)
sup
*6S(n) fn(k)
В этом случае можно писать
1
= 0A).
270 Э. А. Бендер
и в частности
Мы будем задавать S(n) некоторыми условиями, например
k = o(n1/2). Это следует понимать так: S(l), SB), ... является
такой последовательностью множеств, что самый большой эле-
элемент в S(n) есть о(п'/2) и S(n) содержит все меньшие целые
числа.
3. Суммы с положительными членами
Те члены сумм, которые являются унимодальными, почти
всегда содержат факториалы. Полезен следующий подход:
1) Сделать замену индекса суммирования таким образом,
чтобы наибольший член соответствовал индексу нуль. Так как
это делается с помощью непрерывной аппроксимации, то полу-
полученный индекс может оказаться дробным. Если этот индекс ле-
лежит внутри пределов суммирования, то тем фактом, что он дроб-
дробный, можно почти всегда пренебречь. Если этот индекс нахо-
находится вблизи одного из пределов суммирования, то обычно его
необходимо округлить до целого числа.
2) Получить приближение суммы, отбрасывая несуществен-
несущественные члены вблизи пределов суммирования. Останется сумма по
индексу, пробегающему интервал порядка O(ns) для некоторого
s между 0 и 1. Малые значения s облегчают последующие шаги.
3) Избавиться от факториалов, пользуясь главным образом
формулой Стирлинга:
л!=BяяI/.(л/е)«A + 0A/я)). C. 1)
4) Оценить сумму. Она часто приближается интегралом при
я-»-оо. Во многих других случаях можно просто просуммировать
приближенные значения членов.
Шаги 2 и 3 часто выполняются одновременно.
3.1. Пример. Биномиальная сумма. Для иллюстрации изло-
изложенного рассмотрим сумму
"' " C-2)
где г и X — постоянные, г>0, 0<Я^1 и п-»-оо.
Начнем с некоторых общеизвестных фактов о биномиальных
коэффициентах.
Так как функция Т(х) определена при всех х^\ и
«I Г(/г + 1)
Асимптотические методы в теории перечислений 271
то с помощью гамма-функции можно доопределить значения
факториалов и биномиальных коэффициентов для любого поло-
положительного аргумента. При этом формула C.1) остается в силе.
ру р фру ()
Биномиальный коэффициент ( п ) как функция k имеет един-
ственный ма
C.1), имеем
ственный максимум при k—— . Согласно формуле Стирлинга
()J \)\n-k
так как A+О(8))A+О(8'))+
Пользуясь при б —>0 равенством
1пA+Б) = Б—? + О(ез), C.4)
легко можно показать, что
Ь(Ж)' <3-5>
равномерно по s и t, если t2 = o(s) и t2 — o(n—s) при
Изучим поведение суммы C.2) для трех случаев:
Пусть сначала Х='/2- Полагая / = л/2—k, заменим индекс
суммирования в C.2) так, что наибольший член будет соответ-
соответствовать / = 0. Если ] = о{п), то из равенства C.3) следует, что
равномерноino /. Пользуясь C.4), отсюда получаем
Полагая в этой формуле / = 0, получаем оценку для больших сла-
слагаемых в сумме C.2). Пользуясь этим, а также равенством C.6),
легко видеть, что если />ns и s>'/2, то
;«я/2
Поэтому
272 Э. А. Бендер
Это означает, что «слагаемые с j>ns малы». Если s больше V2,
индекс / в сумме C.2) будет изменяться в интервале [0, л*]. Для
того чтобы можно было пренебречь остатком в C.6), значение s
должно быть меньше 2/3. Это дает асимптотику
*«"/2 j<ns
Интегральную сумму с шагом п~1/2 можно приблизить инте-
интегралом
s ] '2
j J 2 \ 2/" /
о о - .
Поэтому
«JU/ [пл/
kin /2
Случай Я>7г также нетруден. Так как (*) = (л-*) , то, поль-
пользуясь формулой C.6), покажем, что биномиальные коэффициен-
коэффициенты при к>Хп малы. Поэтому сумму C.2) можно приблизить
аналогичной суммой, позволяя к меняться на всем интервале
[О, п]. Это дает оценку, в два раза большую той, которая была
получена при Я= V2-
Наконец, допустим, что К'/2. Для удобства положим о =
= [/.«], где [х] — наибольшее целое, меньшее или равное х. За-
Заменим индекс k в C.2) на / = а—k. Если / изменяется от 0 до п",
где s<'/2. то для того, чтобы показать, что остатки малы и что
\a-j) U/ A-Х)у
равномерно по /, воспользуемся C.5). Последняя оценка приво-
приводит к геометрической прогрессии, а потому
щ) V (i-^)r
Заметим, что в биномиальном коэффициенте правой части ис-
использована функция [Хп]. Заменив [Хп] на Хп в этом коэффициен-
коэффициенте, получим другой асимптотический результат, что позволяет
усомниться в целесообразности шага 1 предлагаемого метода.
3.2. Пример. Случайные отображения. Следующий результат
принадлежит Краскалу [34] и может быть найден также у Муна
[38, теорема 7.5]. Отображением на множестве S назовем функ-
Асимптотические методы в теории перечислений 273
цию f. определенную на S и принимающую значения из множе-
множества S. С функцией f ассоциируется граф с множеством вершин
S и множеством ребер {(i, f(i)) |ieS}. Известно1, что число
компонент в таком графе, усредненное по всем отображениям на
множестве S, равно
C. 7)
где п — число элементов в S и (/?)&.— убывающий факториал
п{п— 1) ... (п—k+l) =n\l{n—k)\. Оценим.сумму C.7).
Из C.1) и C.4) прий = о(«2/3) имеем
i?k^-.A+_A_p^-S. C.8,
Если мы будем менять k от 1 до ns, где s>'/2. эта асимптотика,
а также тот факт, что дробь (n)k[nk монотонно убывает по k,
показывает, что остаточный член в C.7) относительно мал. К со-
сожалению, автору не известно компактного выражения для сум-
мы X &-1ехр , и эта сумма из-за множителя k~x не
?А V 2» /
к
может быть приближена интегралом.
Если k мало по сравнению с V п, то общий член будет бли-
близок к 1/А, а если k велико, то общий член будет мал. Эти сообра-
соображения будут использоваться при оценке суммы C.7). Пусть b —
произвольное положительное число, не зависящее от п. Если
Л2^.Ьп, то асимптотика C.8) заключена между 1 и ехр (—Ь/2).
Пользуясь тем, что
~*~ 2 ~^'" ' m ~ '
легко видеть, что асимптотическая оценка той части суммы C.7),
которая соответствует условию 1 <; k^^btifi2, заключена между
{1пя)/2 и ——~-^~. Оставшаяся часть суммы, соответствующая
условию k~l < (bn)-1!2, и сумма слагаемых ехр ( асимптоти"
\ 2л /
г— I Х-\
чески равны ]/ п, умноженному на интеграл от функции ехр I — — 1.
Отсюда следует, что вклад этой части суммы ограничен при
и—.со и что асимптотическое значение суммы C.7) является
1 Сачков В. Н. Комбинаторные методы дискретной математики, М.,
«Наука», 1977. — Прим.. перев.
274 Э. А. Бендер
функцией от п, заключенной между -^- и е 2_JL!L. jaK как ^
*
произвольно, то е 5 может быть выбрано сколь угодно близким
к 1. Поэтому C.7) асимптотически равно —-. Этот результат
может быть получен также путем выбора Ь как функции от п,
убывающей достаточно медленно к 0 при п-^оо. В статье Харри-
са [23] приведены результаты, близкие к изложенному.
3.3. Пример. Разбиение множества !. Число разбиений л-эле-
ментного множества дается формулой
7" • C- 9]
Оно связано с экспоненциальной производящей функцией
exp (ez—1), которая также может быть использована для полу-
получения сведений об асимптотике (см. разд. 8.2). Из формулы C.1)^
следует
ft" =
*! ~~
kn~kek
Положив производную от логарифма дроби ^7Г равной ну-
BяА)
лю, мы видим, что максимум приходится на k~t, где
t In t=:n-1/2. C.11)
Определим новый индекс / через k — t+j. Для j = o(t) соотноше-
соотношение C.10) становится таким:
^п fn—kgk I ¦ \(n—1/2)—к t
1i BmI'2 I^tJ ¦ ;
Используя его вместе с C.4) и C.11), устанавливаем, что >
ft! BяО1/2 """г I 2t
где j=O(ns) и s<2/3. Легко показать, что члены вне этого ин-
интервала можно не принимать в расчет. Аппроксимируя сумму
интегралом, получаем
оде t задается соотношением C.11).
1 Де Брёйн Н. Дж. Теория перечисления Пойа, в сб. «Прикладная ком-|
бинаторная математика», «Мир», М., 1968, стр. 96. — Прим. перев.
Асимптотические методы в теории перечислений 275
4. Суммы, возникающие при применении принципа
включения-исключения
Когда знаки членов |ряда чередуются, то их взаимное уничто-
уничтожение может затруднить получение асимптотической оценки.
Обычно лучше иметь дело с соответствующей производящей
функцией, если она существует. Простым источником знакочере-
дования в комбинаторике является принцип включения-исключе-
включения-исключения, который вкратце будет разобран. В этом случае часто
бывает невозможно найти производящую функцию, поэтому важ-
важно иметь метод, непосредственно оперирующий с суммой. Тех-
Технический прием, описываемый здесь, будет работать только тог-
тогда,, когда в сумме доминируют начальные члены.
Допустим, что при каждом п нам даны: С — совокупность
объектов и Т — множество свойств. Пусть N=(X) (читается «N
со знаком равенства от X») для Х^Т будет числом объектов в
С, обладающих всеми свойствами из X и не имеющих свойств
из множества Т—X. Аналогично пусть N^{X)—число объектов
в С, которые имеют все свойства из X и, возможно, еще другие
свойства. Обозначим
Я.(k) = 2
\X\-k \X\-k
где |Х| означает мощность множества X; P={k) имеет интерес-
интересную комбинаторную интерпретацию: это число объектов, обла-
обладающих точно к свойствами; S& не имеет такого простого истол-
истолкования. Так как P=(k) часто бывает более трудным для изу-
изучения, чем Sh, то хотелось бы выразить P=(k) через S&. Принцип
включения-исключения решает эту проблему. Следующая его
формулировка особенно полезна для получения асимптотики:
Теорема 1 (неравенство Бонферрони).
Доказательство см. в книге Феллера [19, стр. 116—117]. Если
k + t>\T\, то Sh+t = O, и D,1) приводится к более привычной
формулировке принципа включения-исключения.
При получении асимптотики в случае принципа включения-
исключения полезен следующий порядок:
1) Оценить общий член в сумме D.1), когда t стремится к
бесконечности медленнее п.
2) Использовать этот результат для оценки P=(k), учитывая
при суммировании, что t стремится к бесконечности медленнее п.
276 Э. А. Бендер
3) Показать, что погрешность оценки в D.1) и погрешности
оценки на шаге 1 малы по сравнению с оценкой P=(k). Можно,
чтобы достичь этого, ограничить область изменения некоторых
параметров.
Если этот метод работает, то приближение, найденное на ша
ге 1, имеет вид
где К — ограниченная или медленно растущая функция от п
Чтобы не усложнять изложение, не предпринимается попытои
получить результат в наиболее общем виде и допускается, чтс
функция % ограничена.
Следствие. Если существуют функция f(n) и ограничен-
ограниченная функция К(п)^0, такие, что
д) D.2
равномерно по г для 0^.г^.1(п), где 1(п) —некоторая функция,!
стремящаяся к бесконечности вместе с п, то D.2) выполняется^
с f(n) = N>@) = S0, и мы имеем \
>_ (k) ~~ Soe~xW х* (Я)/А! D. 3)
равномерно по k для 0^.k^.m(n), если 1(п)—гп(п) стремится
к бесконечности вместе с п.
Замечания. Понятие «g~h равномерно» было определено в
начале части I. Доказывать D.2) обычно легче, если оценить
rlSr/N> @). Согласно D.3) функция плотности (плотность
пределения) '
1
является асимптотически пуассоновской. Мы будем называть
¦плотность P=(k)/S0 — асимптотически пуассоновской, несмотря
на громоздкость терминологии.
Автор подозревает, что во многих случаях, когда к(п) растет1
быстрее п, то P=(?)/So асимптотически нормально с математи-
математическим ожиданием и дисперсией, стремящимися к бесконечности.
Ему неизвестно никакого доказательства этой гипотезы, исклю-
исключая некоторые специальные случаи, где используются методы,
отличные от D.1). (См. абзацы в конце разд. 4.1 и 4.3.)
Доказательство следствия. Положив г=0 в соотношении
D.2), получим f(n)~N>@)=So. Следовательно, без ограниче-
ограничения общности можно допустить, что /(«)=50. Если t — l{n)—kt
то при условии D.2) сумма в D.1) есть
Асимптотические методы в теории перечислений 277"
где дляе~Л(л) использовалась формула Тейлора с остаточным-
членом. В силу D.2) правая часть D.1) равна выражению
f (п)—^—L , умноженному на О —— . При этом предполага-
1
ем, что f^sl(n)—т(п) и эта разность стремится к бесконечно-
бесконечности вместе с п.
4.1. Пример. Шары и ячейки. Пусть дано п помеченных ячеек.
и т помеченных шаров, где т — функция от п. Получим оценку
для ah(m, п)—числа способов такого размещения шаров no-
ячейкам, что точно k ячеек пусты. Для простоты примем, что k не
зависит от п. Совокупность объектов С — это все способы раз-
размещения шаров по ячейкам, Т — множество свойств «/-я ячейка
пуста», 1^;^«.
Чисто комбинаторным путем легко показать, что N>@) = nm"
и
(n-r)l
Используя эту формулу вместе с C.1) и C.4), получаем
r\Sr~nm(ne-mln)r D.4)
равномерно по г, есуш г2/я-»-0 и m(r/nJ->-0. Если m/n2-*-0, а про-
произведение пе~т/п ограничено, то следствие из теоремы 1 приво-
дит к
„т
аЛт> Л) _ JL- (ne-mln)kexp(-ne-m/n). D.5)
k 1
Каковы допустимые границы для пг(пO Так как \п(пе т ")=
= («1п« — т)/п, то отсюда следует, что "т(п) не может быть
слишком мало по сравнению с л In л. С другой стороны, т/п2-+0,
что ограничивает рост т сверху.
Нетрудно показать, что если т/л2^у>0> ТО почти все раз-
размещения не содержат пустых ячеек, т. е. ао(т, п)~пт. Реньи
[45] показал, что после нормировки ак(т, п) асимптотически
нормальна со следующими математическим ожиданием и дис-
дисперсией:
278 Э. А. Бендер
в предположении, что сг->оо при я->оо. При т/п-+0 имеем
a2~tx(/n/nJ. Если х^О, то ех^(\+х)A+х2/6) и 1—
— A+х2/6)~'^х2/6. Поэтому a2^jxm2/6n2. Используя эти заме-
замечания, можно легко показать, что а->оо тогда и только тогда,
когда пе-т1п-+оо и т2/п-+оо.
4.2. Пример. Подстановки с ограниченными позициями. Из
перечислительных задач, содержащихся в приведенном ниже
примере, выделим такие:
а) задача о беспорядках;
б) задача о супружеских парах и ее разновидности;
в) подсчет латинских прямоугольников размера гХп (г фик-
фиксировано);
г) некоторые задачи о парных картах.
Пусть объектами будут все подстановки а множества {1,
2, ..., п) и множество Т состоит из свойств вида o(i)=j, которые
будем обозначать через (г, /). Далее P=(k) —число таких под-
подстановок а, что (г, аA'))ЕГ точно для k значений i. Например,
если T={(i, г"), l^i^n}, то P=(k)—число подстановок точно
с k неподвижными элементами, а Р=@)—число беспорядков.
На языке перманентов Т — множество нулевых клеток @, 1)-
матрицы. Подробное изложение комбинаторных свойств величи-
величины Р=(&) см. в работах Райзера и Риордана [47, 50].
Положим, что для каждых у и л число таких значений i, для
которых (г, /)еГ, ограничено числом m и для каждых i и п чис-
число таких значений /, для которых (г, /)еГ, также ограничено т.
Пусть zn= \T\. Очевидно, zn^fnn.
Поскольку структура Т точно не определена, невозможно
получить точную формулу для 5Г. Пусть /г — число способов, ко-
которыми можно выбрать г элементов из Т так, что все первые
компоненты будут различны и все вторые компоненты будут
различны. Такие подмножества из Т назовем независимыми, а
все остальные — зависимыми. Легко видеть, что 5Г= (л—г)!/Г(
а /г есть ( ") минус число зависимых r-элементных подмно-
жеств из Т. Число зависимых подмножеств мощности г ограни-
ограничено сверху величиной
(^ D.6)
где первый множитель определяется выбором элемента из Т,
второй множитель — выбором другого элемента с той же компо-
компонентой, что и при первом выборе, и третий множитель — выбо-
выбором оставшихся элементов из зависимого множества.
Теперь займемся асимптотикой. Если г не слишком велико,
то почти все подмножества независимые, так как, согласно D.6),
Асимптотические методы в теории перечислений 27S
/, = (*¦) + О (гп (*;- \)) = (*;) A + 0 (r»/z.)).
Заметим, что s!/(s—0! = s'(l + O(*2/s)) при t2/s-+0. Используя
все это и равенство г2/п= О (г2/ги), имеем
-равномерно по г, если — >0. Из D.3) получаем
2п
P. (ft) ~ д ! е~г«/п {zjnfjk !, D. 7)
если 2„->-оо. Погрешность в полученной оценке зависит только or
m и оттого, что zn->oo. Применяя D.7), например, _когда
zn^>Vп, и рассматривая отдельно легкий случай г„<|/«, на-
находим
max | Р_ (k)/n \ — е~ЦТ) I* (T)/k ! | = о A), D.8)
где К(Т) = \Т\/п и. максимум берется по всем таким множест-
множествам Т свойств подстановок на п элементах, что к Т .применимо
упомянутое ранее ограничение числом т. Когда имеешь дело с
такими задачами, как, например, перечисление латинских прямо-
прямоугольников, такое ограничение становится необходимым.
Краткое изложение, данное здесь, является переложением
работ [40, 41] О'Нейла, который рассмотрел этот пример на язы-
языке «перманентов @, 1)-матриц. Он получил лучшую оценку для
P=@), а также ослабил ограничение на т до неравенства
т <^Aп яI+е. Соотношение D.7) —это его гипотеза [40, E.2I
для случая, когда т не зависит от п. Мендельсон [37] получил
асимптотическое разложение в том случае, когда множество
свойств Т имеет специальную структуру, позволяющую осущест-
осуществлять рекурсию некоторых операторов.
4.3. Пример. Число связных помеченных графов. Сколько по-
помеченных графов с v вершинами и l{v) ребрами имеют точно
k+l компонент связности? Если k — 0, то граф связен, как и обе-
обещано в названии примера. Переменная v будет играть ту же
роль, что и п ранее.
Если l{v) растет слишком быстро, то по необходимости все
графы будут связны (довольно неинтересная ситуация). Если
l(v) растет слишком медленно, то большинство графов будет
иметь много компонент. В этом случае функция Х{п) в D.2) не
ограничена, и весьма правдоподобно, что число компонент имеет
скорее нормальное распределение, чем пуассоновское. (Доказа-
(Доказательство автору не известно.) Рассмотрим случай, когда связ-
связные графы составляют разумную часть всех графов. Представим
себе граф с v вершинами, и пусть v увеличивается за счет добав-
добавления ребер. В среднем граф становится связным, когда число-
280 . Э. А. Бендер
ребер близко к l(v). Следующие результаты взяты у Эрдёшз
и Реньи [15].
Эвристические соображения, приводимые в этом абзаце, да
ют повод для последующего доказательства. Кажется неправдо
подобным, что случайно выбранный граф может быть разделен
на две довольно большие непересекающиеся части, поскольку
существует большое число возможностей соединить ребрами
вершины из разных частей и ни одна из этих возможностей н«|
реализовалась. Следовательно, число вершин, не принадлежа
щих большой связной компоненте, должно быть мало (возмож
но, нуль). Так как, проводя ребра в большой компоненте, можно»
построить значительно больше графов, чем при проведений:^
ребер в маленьких компонентах, то вполне правдоподобно, что]
маленькие компоненты в большинстве графов не имеют ребер,?
т. е. являются изолированными вершинами. Исходя из всего это-!
го, кажется разумным предположить, что типичный граф будет;
состоять из некоторого числа изолированных вершин (возможно,!
это число равно нулю) и одной связной компоненты. Предлага-1
•ется следующий план: сначала определим число графов, которые?
имеют точно k изолированных вершин при u-voo и при условии,»
что l(v) меняется подходящим образом; далее покажем, что для]
таких l(v) при u-voo большинство графов состоит из изолиро-^
ванных точек и большой связной компоненты. Рассуждение ве-1
дется в таком порядке лотому, что первый шаг определяет огра-'
ничение на рост величины l(v), что немаловажно в дальнейшем.
Пусть объектами будут все графы с v вершинами и l(v) реб-
ребрами. Пусть свойствами будут «г'-я вершина изолирована» для
l^i^u. Установим выполнимость соотношения D.2). Если
_g (v, I) — число графов с v вершинами и / ребрами, то
2
Нетрудно показать, что
Sr = rllvr)g(v-r,l) =
при r2/v-+0. Проводя небольшие вычисления, получаем
Асимптотические методы в теории перечислений 281
где члены, стоящие в скобках за символом О, стремятся к нулю.
Отсюда заключаем, что если / = о(и3'2) и г ограничено медленно
растущей функцией от v, то
l)^e-2"/» D.9)
равномерно по г. Следовательно,
Это и есть D.2) с \{n) = ve-2llv. Для того чтобы применить
следствие, надо потребовать ограниченности сверху функций
In и—2ljv. Это дает нам нижнюю границу для l:l^Bv + v(\nv)/2
для некоторого В. Условие / = о(и3/2) дает верхнюю границу.
Оценим теперь долю графов, у которых все компоненты малы.
Такой граф может быть разбит на две непересекающиеся части,,
содержащие k и v—k вершин, где m^k^.vf2 и т велико. Доля-
графов такого типа ограничена сверху следующей суммой:
D.10)
к /
где при $=B) и t = k(v—k)
<ехр{ — 2k{v~
Так как биномиальный коэффициент (») не превосходит
(ev/k)k, то общий член в D.10) ограничен величиной
< exp{k [- 2В {1 - kjv)-\-k{\n v)iv + 1 - In k]} <
при некото;рой постоянной С. Для доказательства неравенства
k(\nv)jv^.2(\n k)/3 были использованы ограничение Цв/2 и
тот факт, что (In u)/u — убывающая функция от и. Отсюда сле-
следует, что сумма D.10) равна оA), если т-+оо при и-»-оо. Таким
образом, почти все графы содержат одну-единственную боль-
большую компоненту, где «большая» означает, что эта компонента
имеет более, чем v—т, вершин, т — любая функция от и, стре-
стремящаяся к оо.
На последнем шаге покажем, что если граф может быть раз-
разбит на две части, одна из которых имеет менее т вершин, то
почти наверняка эта меньшая из частей состоит полностью из
изолированных вершин. Заметим, что до сих пор на т было на-
наложено единственное условие: т-*-оо. Доля графов, у которых
282 Э. А. Бендер |
малое множество вершин содержит по крайней мере одно pe6po,j
ограничена сверху суммой ¦:
С)
S (* Js{k' s)gl"~k' '-**('• ')• <4- п>
В этом случае достаточна даже очень грубая оценка. Мы имеем
g(v-k, l-s)/g(v, l)<g(v-k, I-
< [{v-k)/vf
Так как (t) не больше, чем (ev/k)h,n v e~ /v — \ («), то сумма/
D.11) ограничена сверху величиной //и2, умноженной на некото-;
рую функцию от т. Если т растет достаточно медленно, то сумма
стремится К'нулю, так как l/v2 = o(l).
Если v(\n v)/2 + O(v) ^/ = o(u3'2), то получаем распределение
Пуассона. Степанов [52, теорема 2] изучал соответствующую
проблему при 1=0 (v) и получил нормальное распределение с
математическим ожиданием, асимптотически равным К(п) и
стремящимся к бесконечности как я->-оо (для 1—0(v)).
Идеи разд. 4 могут быть приложены к другим обращениям,
для которых существует аналог неравенства D.1). Например,
для обращения Мёбиуса (см. [48]), рассматриваемого на струк-
структуре подпространств векторного пространства над конечным по-
полем GF(q), биномиальные коэффициенты в D.1) заменяются
^-биномиальными коэффициентами, умноженными на q'^~1)/2
в левой части и на qt{t~l)/2—в правой части неравенства D.1).
ЧАСТЬ II. ОЦЕНКИ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДЯЩИХ ФУНКЦИИ
Для упрощения задачи иногда используется следующий ре-
результат:
Теорема 2. Предположим, что A(z)=I.anzn и B(z) =
= H>bnzn — степенные ряды с радиусами сходимости аир соот-
вественно, а>р^0, и пусть bn-ilbn стремится к Ъпри п-+оо. Если
А(Ь)фО, то cn~A(b)bn, где 2с„2" = A (z) В (г).
Доказательство. Автору не известно, где приведено это дока-
доказательство, но оно стандартно и малоинтересно. Вкратце оно
таково: достаточно показать, что —~Л(?>). Дважды применяя
неравенство треугольника, имеем
Асимптотические методы в теории перечислений
283
A(b)-?
k<n
2
>M
bn-k
a> *-Ъ
bn-k
Если п стремится к бесконечности, то первое слагаемое в npaiBoft
части последнего неравенства стремится к нулю, так как \Ь\ =
= р<а. Аналогично второе слагаемое является остатком сходя-
сходящегося ряда. Так как
bn-k
b , то третье слагаемое стремится
к нулю. Выбирая М достаточно большим, завершим доказатель-
доказательство.
Пример. Множество покрытий с дублированием. Сколькими:
способами можно выбрать подмножества в множестве из п эле-
элементов так, чтобы каждый элемент принадлежал точно m под-
подмножествам? Случай т = 1 является хорошо известной задачей
о разбиениях множества. Комте [13] изучил случай т = 2. Ок
ввел две последовательности чисел vn и с„, являющихся соот-
соответственно числом подмножеств, которые могут содержать повто-
повторяющиеся множества, и числом подмножеств, которые не содер-
содержат повторяющихся множеств. Соответствующими экспоненци-
экспоненциальными производящими функциями служат
V(*)=exp -1 +
где
k\
Степенной ряд для А(х) имеет нулевой радиус сходимости. Ко-
Коэффициенты его могут быть оценены методами из разд. 3. Автор
получил
7i
t \n
2
где t задается равенством t\nt = 2n. Нетрудно (видеть, что "¦
а-п
стремится к нулю, когда п стремится к бесконечности. Согласно
теореме 2, имеем
¦•о»
• е~1 п ! ап.
284 Э. А. Бендер
5. Степенные ряды с нулевым радиусом сходимости
Часто бывает так, что если В(х) =f(A(x)) и коэффициент!
ряда А (х) растут быстро, то а„ определяют асимптотическое по
ведение коэффициентов Ьп. Следующая теорема является уточ
•нением указанного факта. Доказательство см. в работе Бенде
ра [4].
Теорема 3. Предположим, что ап и fa удовлетворяют ус
ловиям
2) ^ |а*ая-* = 10 (ал_г) для некоторого г>0;
3) для каждого 6->0 существуют постоянные М(8) и К(8)
такие, что
¦при всех п^М{Ь) и i + k>r+ 1.
Пусть
«>0 i,k
B{x)=F{x, A(x)), D(x)=Fy(x,
Тогда
Может случиться, что проверка условия C) вызовет некоторые
затруднения. Несколько случаев, когда это действительно так
обсуждаются в [4]. Однако если F(x, у) аналитична в точк«
(О, 0), то C) автоматически выполняется.
5.1. Пример. Экспоненциальные соотношения. Допустим, чт<
два формальных степенных ряда G(x) и С(х) не имеют постоян»?
ных членов и связаны соотношением
1-\-и(х)=е . (о. 1).
Это соотношение является довольно общим в перечислительных
задачах (см. [5]), так как оно близко равенству
E.2)
Асимптотические методы в теории перечислений 285
Так как каждая из функций еУ—1 и \п(\ + у) аналитична в ок-
окрестности нуля, то, чтобы получить выражение gri через сп,
можно использовать теорему 3, и, обратно, исходя из E.1), мож-
можно выразить сп через gn. Теорему 3 можно применить также к
E.2). Райт [56] получил соответствующие результаты и показал,
что условие C) в этих случаях также необходимо. Он применил
эти результаты к перечислительным задачам в теории графов.
Сколько существует подгрупп индекса k в свободной группе
с т образующими? Пусть это число равно sh(m). Производящую
функцию для Sh(m) можно получить либо из рекуррентного со-
соотношения (см. Холл [22, теорема 7.2.9]), либо непосредственно.
Имеем
Так как это соотношение имеет вид \ + В{х) = еА<-х\ то пусть
F(x, y) = \n (l+y) и D(x) = A+Л(х))-1. Все условия теоремы
проверяются непосредственно, кроме условия B). Пусть
х = а'Дд~' . При т^\ и i<n/2 имеем x^Xi+i. Так как
xn-i = Xi и хг+1= (г+1)\/(п—г)=ОA/я), то условие B) теоремы
выполнено. Несколько первых коэффициентов функции D(x)
таковы:
rfo = l, di=-l, rf2=-Bm-l), d3=b*-2"+1 + 1. Отсюда
следует, что
m [1-й""т-Bт-1) kTm{k-\)~m-
6. Функции с хорошим поведением
на границе круга сходимости
Предположим, что функция f имеет особенность в точке а.
Особенность называется алгебраической, если f(z) может быть
представлена в виде суммы функции, аналитической в окрестно-
окрестности точки а, и конечного "числа членов вида
где g — функция, аналитическая и не равная нулю в окрестности
а, а со — комплексное число, не равное 0, —1, —2, .... Весом сла-
слагаемого F.1) называется действительная часть числа ш. Приве-
Приведем специальный случай теоремы Дарбу (см. Сегё [53, стр. 214]),
286 Э. А. Бендер
который удобно применять ко многим производящим функциям
с хорошим поведением на границе круга сходимости.
Теорема 4. Пусть A(z)=J^ anzn является аналитической
функцией в окрестности 0 и имеет только алгебраические особен-
особенности на границе круга сходимости. Пусть w — максимум весов
этих особенностей. Обозначим через аи, cos и gh величины а, ш и g
для тех членов вида F.1), которые имеют вес w. Тогда
m* =0(г-у-^ F.2J
k j
где r—\ak\—радиус сходимости ряда A(z), a T(s)—гамма-'
функция.
Замечания. 1. Юнген [29, теорема 1, теорема А] получает
асимптотики для коэффициентов функции с одной только «доми-
«доминирующей» алгебро-логарифмической особенностью на границе
круга сходимости. Его результат может быть приведен к фор-
формуле, подобной F.2). Но она имеет более сложный вид и редка
применяется.
2. Так как каждый из членов в F.2) есть О {r~nnw/, мы
получаем очень мало информации, когда слагаемые главной ча-
части суммы F.2) взаимно уничтожаются. Если этого не происхо-
происходит, то F.2) дает результат вида an~f(n). Если в сумме присут-
присутствует только один член, то никакого уничтожения быть не мо-
может. В этом специальном случае F.2) легко следует из.
теоремы 2.
3. В комбинаторных приложениях as суть действительные
числа, и, следовательно, все они равны весу w. Так как все ап
действительны, то члены в F.2), соответствующие аи и аи, со-
сопряжены.
4. Если а„^0 для достаточно больших п, то z —r является
особенностью для A (z) веса w. Может оказаться, что другие
особенности на границе круга сходимости определить трудно.
Других особенностей не будет, кроме z=r тогда и только тогда,
когда ап/ап+\ имеет предел при п-^-оо. Если в вашем распоря-
распоряжении имеется вычислительная машина и известно, что особен-
особенности являются полюсами, то может оказаться полезной класси-
классическая формула
интеграл вычисляется с помощью ЭВМ. Здесь Г является замк-
замкнутой кривой, которая обходится против часовой стрелки, Z
Асимптотические методы в теории перечислений 287
обозначает число нулей (с кратиостями) функции f внутри Г и Р
является соответствующей функцией полюсов. О приложении
этих идей вместе с теоремой 4 см. в работе Бендера [3].
6.1. Пример. Циклы подстановок. Сколько существует под-
подстановок (на п объектах), длины циклов которых принадлежат
множеству S? Хорошо известно, что
Пе1*'*=A--г)-11Ь-'*" F.3)
является экспоненциальной производящей функцией для an(S).
Теоремой 4 можно пользоваться не всегда; тем не менее она
применима, когда дополнение множества S, т. е. Z+ \S , является
конечным, и в некоторых других специальных случаях. Мы бу-
будем предполагать здесь, что дополнение множества 5 конечное.
В примере 8.1 мы имеем дело со случаем, в котором множество
S конечно, а в примере 9.3 частично трактуется случай, когда 5
имеет асимптотическую плотность.
Если множество Z+\ S конечно, особенность существует толь-
только в точке 1, и это простой полюс. Следовательно, в F.2) будет
только один член: ai= 1, w = wx = 1 и gx (z) = l\ e~z ! . Отсюда
kes
вытекает, что
6.2. Пример. Числа Бернулли. Здесь будет дана оценка чисел
Бернулли Вп. Они имеют экспоненциальную производящую
функцию B(z)=z/(ez—1). Так как z и ег—1 — целые функции,
то особенности B(z) должны быть полюсами. Нули функции
ег—1 имеют вид ±2nni, где л = 0, 1, 2, 3, .... Легко видеть, что у
B(z) нет полюса при 2 = 0. Следовательно, полюсами, наимень-
наименьшими по абсолютной величине, являются z=±2ni; они простые.
Уравнение F.2) вместе с равенствами
а2= — 2лг,
Ini)
ведет к хорошо известному результату
В2т 2Bте)!(
Когда п нечетно, F.2) дает только соотношение Вп =
= o(n\jBn)n). На самом же деле B2m+i = 0 при т>0.
288 Э. А. Бендер
6.3. Пример. Классическая задача о разорении. Пусть
Х\, Х2, ... — независимые случайные величины, каждая из кото-
которых принимает значение + 1 с вероятностью р и — 1 с вероят-
вероятностью q=\—р. Капитал, которым владеет игрок к моменту
времени t, определяется как k + X\ + ... +Xt, где k — некоторое
данное положительное число. Игра заканчивается, если капитал
становится равным 0 или с. Пусть at{k) —вероятность того, чтс
игра закончилась за время t разорением (капитал стал равен 0)^
В классической задаче о разорении изучаются at(k) и продол-
продолжительность игры. Будем оценивать at{k) при фиксированном k
и большом t. Обсуждение задачи и вывод формул, приведенных*
ниже, можно найти в книге Феллера [19, том, 1, стр. 336—348J.jj
Известно, что обыкновенной производящей функцией
an(k) является функция
где x(z)=
р p
Изучать особенности функции A (z, k), используя формулу ^6.4),
неудобно. Если мы определим cq&<d = {2z {рдУ12)~1, где 0
—) , p. —e~;i? ( — ]'" и F.4) упрощается:
\ Р I
то Х =
A{z, k) = (-2-f2 [sin (с
Чтобы найти нуль функции sin Сф, соответствующий наименьше^
му по абсолютной величине числу г, нужно найти наибольшее,
возможное значение функции cosqp. Следовательно, ф должно'
быть близко к целому кратному я, а такими возможными точка-
ми являются <р = —, я—— . Как ив предыдущем примере,;
с с i
функция A(z, k) имеет два простых полюса на границе круга
сходимости. После некоторых выкладок теорема 4 дает
!-1
' = 2с-! sin [—) ¦-¦""*' " W2
где k + n четно. Равенство F.2) бесполезно, если k + n нечетно.
Так как сумма k+X\+ ... +Хп четна одновременно с k + n, то
ясно, что an(k) равно нулю каждый раз, когда k + n нечетко.
6.4. Пример. Цепи в упорядоченных множествах. Этот раз-
раздел требует некоторого знакомства с понятием алгебра инци-
Асимптотические методы в Теории Перечислений 289
дентности. Дальнейшее вплоть до примера из следующего абза-
абзаца можно пропустить. С подоплекой всего этого можно познако-
познакомиться в работе Рота [48], а также Дубиле, Рота и Стенли [14].
Если ? — дзета-функция упорядоченного множества 2 (точнее
частично упорядоченного), то легко видеть, что х—1/B—?) пе-
пересчитывает цепи в 2. Если редуцированная алгебра инцидент-
инцидентности множества 2 изоморфна кольцу формальных степенных
рядов, то
c(z)=S"S"' F-5a)
B-СB))-1 = х(г)=^-^, ' F.56)
П>0
где последовательность коэффициентов с„>0 определяется мно-
множеством 2.
Для получения асимптотической оценки числа цепей можно
применить к x(z) теорему 4. Так как x«^S«>0, то радиус сходи-
сходимости ряда ?(z) по крайней мере не меньше радиуса сходимости
ряда %(z). Допустим, что он бесконечен или конечен, но строго
больше радиуса сходимости ряда х(г)- Так как у ?(z) все коэф-
коэффициенты положительны, то уравнение ?(г)=2 имеет единствен-
единственное положительное решение г. В силу соотношения F.56) радиус
сходимости ряда %(z) есть г и все особенности на границе круга
сходимости суть полюсы. Из положительности коэффициентов
также вытекает, что |?(z) |<[?(r)> если |z|<[r, и равенство име-
имеет место только при z = r. Таким образом, г — единственный по-
полюс на границе круга сходимости. Функция, определяемая с по-
помощью соотношений: g{ (г) =[?'(г) -г]-1 и gi (z) = A—z/r)/B—
—?(z)) при z=^=r, является аналитической и отлична от нуля в
окрестности точки г, так как ряд ?(z) имеет положительные ко-
коэффициенты. Теорема приводит к соотношению
г)гп+:). F.6)
Чтобы завершить доказательство, необходимо показать, что
если ?(z) имеет конечный радиус сходимости р(?), то он больше
р(х). Это следует из комбинаторных соображений: значение
коэффициента %п по крайней мере не меньше xi — значения для
линейно упорядоченного множества. В этом случае (см. следую-
следующий раздел) о = р(х()<1 и р(&) = 1. Из (б.б) вытекает, что
Хы — Кг~п, и, таким образом, для любого упорядоченного мно-
множества
10—1751
290 Э. А. Бендер
что меньше 1 для достаточно большого п. Следовательно,
Р (х) = lim inf (cn/Xn)V« < Hm inf <#« = p (Q,
что завершает доказательство.
Интерпретация соотношения F.6) зависит от множества Б.
Рассмотрим три наиболее общих случая. Если Б — линейно упо-
упорядоченное множество, то F.6) подсчитывает композиции (т. е.
упорядоченные разбиения) числа п, в которых ни одна часть не
равна нулю. Так как ?(z) = l/(l—z), то F.6) сводится к %п~
~2п~1, что согласуется с точным результатом %п = 2"~1. Если Б
состоит из подмножеств некоторого множества, упорядоченных
по включению, то соответствующие производящие функции яв-
являются экспоненциальными и ?(z)=e2. Следовательно, г = 1п2,
а число упорядоченных разбиений «-элементного множества
асимптотически равно n!(log2e)n+l/2. Если 2 состоит из подпро-
подпространств векторного пространства над конечным полем GF(q),
упорядоченных по включению, то соответствующие производя-
производящие функции являются эйлеровыми, т. е. cn=(q—1)(<72—1) —
...(<7™—1). В этом случае %п подсчитывает число цепей подпро-
подпространств: 0aUaWa ... czV, где V — данное «-мерное вектор-
векторное пространство над GF(q). Автору не удалось выразить г че-
через элементарные функции, однако нетрудно получить числовую
оценку для г, когда q дано.
Ограниченные цепи можно изучать, заменив ? функцией |,
такой, что |п принимают только два значения — 0 или 1, и |о=1-
Приведенные выше рассуждения могут быть легко обобщены,
если наибольший общий делитель б тех п, для которых t,n отлич-
отличны от нуля, равен 1. Например, функция, определенная посред-
посредством равенств |i = l и |„ = 0 для «>1 приводит к максимальным
цепям. Те же рассуждения с незначительными изменениями под-
подходят для взвешенных цепей и цепей, для которых Ьф\.
7. Функциональные уравнения
Функциональные уравнения возникают в перечислительных
задачах тогда, когда в результате последовательных операций
«строятся» объекты, число которых нужно найти. Будем рас-
рассматривать функциональные уравнения вида F(z, w)=0, ко-
которые определяют функцию w(z) неявно. Перечислительные за-
задачи теории графов являются основным источником таких урав-
уравнений.
Здесь будет дана только приблизительная картина исследо-
исследования таких уравнений. Допустим, что функция F аналитична
в некоторой области. Согласно теореме о неявной функции, урав-
уравнение .F = 0 можно разрешить относительно w{z) всюду, кроме
Асимптотические методы в теории перечислений 291
тех точек г, в которых F — =0. Таким образом, приравни-
приравнивав
вая нулю эту частную производную, определим особенности
функции до (г). Пользуясь этим, попытаемся найти особенности
функции до (г) на границе круга сходимости и применить какой-
нибудь асимптотический метод, как это было сделано в теореме
4 из предыдущего раздела.
Следующая теорема может быть доказана с помощью этой
идеи. Так как автору не удалось найти ее доказательство в ли-
литературе, то позже (в разд. 7.3) будет дан его набросок. По-
Поскольку условие D) трудно проверить непосредственно, приво-
приводятся условия, из которых оно следует.
ОО
Теорема 5. Пусть степенной ряд w(z) = \ anz" с неот-
рицательными коэффициентами удовлетворяет тождеству
F(z, до)е=0 и существуют действительные числа г>0 и s>ao,
такие, что
1) для некоторого б>0 функция F(z, до) аналитична при
|z]<r+8 и |ay|<s + 6;
2) F(r, s)=Fw(r, s)=0;
3) Fz(r,s)=?Q и Fww{rts)?*Q;
4) если |z]<;r, |ffl|<s и F(z, w)=Fw{z, да)=0, mo z — r
и w=s.
Тогда
3_
n r-«, G. 1)
где частные производные Fz и Fww вычислены в точке z = r, w = s.
Условие D) следует из условий
4') для достаточно больших п коэффициенты ап>0;
:, 5') существует функция <p(z, до), аналитическая при \z\ <r + 8
it |до| <s + 6, такая, что
а) найдется некоторое число с>0, такое, что cp(z, w)=c,
как только F(г, до) =Fw(z,'w) =0;
б) ряд Тейлора функции ф в окрестности начала коорди-
координат имеет неотрицательные коэффициенты;
в) если ф не зависит от до, то наибольший общий делитель
тех степеней переменной z, которые действительно имеют-
имеются в ряде Тейлора функции ф, равен 1.
7.1. Пример. Разбиение многоугольника. Для заданного мно-
множества 5s{3, 4, 5, 6, 7, ...} изучим величину dn(S), дающую
число способов, с помощью которых можно разбить выпуклый
л-угольник непересекающимися диагоналями так, что число сто-
10*
292 Э. А. Бендер
рон у каждого из многоугольников, получающихся при разбие-
разбиении, принадлежит S. Если для удобства положить do(S) =
= di(S)=Q и flf2(S) = l, то легко показать, что производящая
функция D(z, S) удовлетворяет равенству
~г ] '
es
Рассматривая число сторон исходного многоугольника (осу-
(осуществив предварительно склеивание многоугольников разбие-
разбиения), легко показать, что dn(S) равно 0, если п—2 не делится
на наибольший общий делитель б чисел {k—2|&eS}, и что если
п—2 делится на б, то dn(S)>0 при достаточно больших п. Что-
Чтобы исключить эти осложнения, будем предполагать, что 6 = 1.
_, , „ . . D(z, S)
Теперь обратимся к асимптотикам. Пусть w(z) = —* .
Тогда
F{z, w) = z— w-\-^wk~\ G.3)
fees
Ясно, что F аналитична при | w \ < 1. Так как
Fw(z, w)=- 1 + 2(&-1)да*-2, G.4)
то уравнение Fw = 0 имеет единственный положительный корень
w = s<\. Чтобы определить z = r, подставим s в G.3). Тогда
условия A) и B) теоремы 5 выполнены. Из G.3) легко следует,
что условие C) также выполнено. Ранее уже отмечалось, что
условие D') выполнено. Если определить функцию qp(z, w) рав-
равной сумме в выражении G.4), то и условие E') будет выполнено.
Поэтому (б должно быть добавлено для того, чтобы учесть об-
общий случай), если п—2 делится на б, то
VV-, G.5)
где
fees k?s
и s — единственный положительный корень уравнения
(k— 1) wk~2=\. Чтобы показать, что G.5) охватывает общий
ь D(z, S)
случаи, определим z — z , w=———- и воспользуемся теоре-
теоремой 5. Проводя ряд вычислений, получим асимптотическую фор-
формулу для dn(S), которая указана в G.5).
Асимптотические методы в теории перечислений 293
Рассмотрим два крайних случая. Когда многоугольник мож-
можно разбить только на треугольники, то s = — , г=— и Fww=2,
откуда следует, что dn~ (ял3)/2 4П~2. Это соответствует точно-
точному равенству
а =!Bn~2
л 2Bл— 3) \п —
Когда в разбиении допускаются все возможные многоугольники,
то \' wk~l = После несложных вычислений получим
Jmd 1 — w
*-3
s = B—]/2)/2, г=3-У2, Fww=\VTl и
7.2. Пример. Растущие непомеченные бинарные деревья.
Растущим бинарным деревом называется дерево, в котором
каждая вершина, кроме одной, называемой корнем, имеет сте-
степень 1 или 3, а корень является вершиной степени 2. Если вы
предположите, что совершаете путешествие по такому дереву и
отправляетесь из корня, то путь ваш будет разветвляться в каж-
каждой вершине, пока вы не достигнете конца пути (в вершине сте-
степени 1). Пусть Ьп — число растущих непомеченных бинарных
деревьев, имеющих каждое точно п концевых вершин. Так как
число концевых вершин равно п, то общее число вершин в дере-
дереве равно 2я—1. Поскольку нам необходимо осуществить пересчет
таких деревьев в соответствии с общим числом вершин в них,
то производящая функция должна иметь особенности в точках
±г, так как не существует бинарных деревьев с четным числом
вершин.
При условиях Ь0 = 0 и b\ = l обычная производящая функция
для чисел Ьп удовлетворяет функциональному уравнению
G.6)
Из-за того что в уравнении присутствует функция B(z2), условия
теоремы 5 не выполняются. Применим стандартный прием. До-
Допустим, что B(z) имеет радиус сходимости г, который меньше 1.
Если рассматривать B(z2) как функцию от г, то она будет ана-
литична в области, определяемой условием A) теоремы 5, так
как ее радиус сходимости равен ~^г~>г. Если мы хотим использо-
использовать теорему 5, чтобы доказать, что В (z) имеет радиус сходимо-
сходимости г, заключенный между 0 и 1, то можем применить формулу
294 Э. А. Бендер
G.1). На первый взгляд может показаться, что такой подход
содержит порочный логический круг. Но это не так.
Функциональное уравнение имеет вид F(z, w)=h(z) + w2j2—
—w = 0, где h(z)=z + B(z2)/2. Решением уравнения Fw = 0 явля-
является s = l. Подставляя этот корень в равенство Fw = 0, видим, что
г определяется уравнением
)=1. G.7)
Каким-то образом мы должны показать, что уравнение G.7)
имеет решение (может случиться, что B(z) нигде не сходится,
кроме z = 0) и что это решение меньше 1.
Поскольку правая часть G.6) может быть использована для
рекуррентного определения коэффициентов ряда B(z) и ряд
B(z2) имеет коэффициенты, меньшие соответствующих коэффи-
коэффициентов ряда B2(z), то коэффициенты у B(z) не превосходят
соответствующих коэффициентов функции C(z), где C(z)=z +
+ C2(z). Если к этому уравнению применить теорему (или ре-
решить его непосредственно), то выяснится, что C(z) имеет нену-
ненулевой радиус сходимости. Поэтому В (z) также имеет ненулевой
радиус сходимости. (Оказывается, что C(z) является обычной
производящей функцией для так называемых плоских растущих
непомеченных бинарных деревьев.)
Степенной ряд B(z) имеет неотрицательные коэффициенты
и В@)=0. Поэтому достаточно показать, что для некоторого
положительного числа t<\ ряд B(t2) сходится и В(^2)>1—2t.
Допустим, что г<1. Так как B(^2)-vl, когда t2 возрастает до г,
то можно найти такое /2<г, что B(t2) будет сколь угодно близко
к 1, что и требуется. Для достаточно большого t число B(t2)
больше 1—2t. Если г>1, то положим t = — . Поэтому уравнение
G.7) разрешимо.
Можно легко проверить условия A), B), C) и D') теоре-
теоремы 5. Так как решением уравнения Fw = 0 является s= 1, то мож-
можно для выполнения условия E') положить <p(z, w)=w и с=1.
Из G.1) получаем
b irv +'Д'(*))у/.д-тг-,.| G.8)
где г — единственный положительный корень уравнения G.7).
Как вычислить г и В'(г2)? Чтобы получить выражение B(z)
через z и B(z2), нужно решить уравнение G.6). Пусть B(z) =
= G(z, B(z2)). Это равенство может быть итерировано. Тогда
B(z)=G(z,Q(z2, В (г*)).
Асимптотические методы в теории перечислений 295
На каждом шаге итерации получим возрастающую функцию от
аргумента В. Если оценить В сверху в правой части, то получим
новую оценку для В в левой части. Из неравенств Ьп~^\ при
\ и B(t)^.C(t) для положительных t следуют неравенства
которые весьма точны при малых t. Воспользовавшись равенст-
равенством В (г2) =1—2г, а также приведенными выше соотношениями
и положив в них z—r2 и t=rs, автор нашел г=0,4026975036... .
Чтобы вычислить В'(г2), можно воспользоваться аналогичной
процедурой, отправляясь от равенства, полученного дифферен-
дифференцированием уравнения G.6). Для постоянной, умножаемой на
#-'/« г~п в формуле G.8), автор получил 0,31877662... .
Таким путем могут быть исследованы многие перечислитель-
перечислительные задачи для непомеченных деревьев. Оттер D2] получил ре-
результат этого раздела и определил число г методом, использую-
использующим частный случай уравнения G.6).
7.3. Доказательство теоремы 5. В области, в которой F ана-
литичиа, все особенности функции w(z) определяются равенст-
равенством /v = 0. Так как ап^0, то \w(z) \ ^w( \z\). Отсюда и из
условий теоремы ясно, что радиус сходимости степенного ряда
для w{z) равен г и что имеется только одна особенность на гра-
границе круга |г|^г, а именно z=r. Согласно подготовительной
теореме Вейерштрасса (см. Маркушевич [35, стр. 472]), функция
F в окрестности точки (г, s) ведет себя как функция
+
где F и ее производные вычислены в точке (г, s). Так как F =
= FW = Q, то нулями функции G.9) будут
\ 'WW I
Эти особенности являются точками ветвления функции w (z), и
формула G.1) следует из теоремы 4. Кроме того, функция
w(z), определяемая как решение уравнения F{z, w)=0, является
правильной в точке z = r; действительно, w(r) =s.
Почему из условий D') и E') следует условие D)? Пусть
\z\ ^.r и F(z, w) =Fw{z, w) =0. Тогда \w(z) \ ^.w(r) =s, так как
an^0. Поскольку степенной ряд для ф имеет неотрицательные
коэффициенты, то
|ср(г, ®)|<<р(|г[, М)<<р(г, s) = c. G. 10)
Согласно E'(а)), все эти неравенства эквивалентны.
296 Э. А. Бендер
Допустим сначала, что ф зависит от ш. Так как ряд Тейлора
для ф имеет неотрицательные коэффициенты и послед-
последнее неравенство в G.10) является нестрогим, то
|t«|=s. Из положительности ап при достаточно больших п сле-
следует, что \w(z)\=s тогда и только тогда, когда z = r. Условие
D) в этом случае выполняется.
Теперь допустим, что ф не зависит от ш. Так как неравенства
в G.10) являются нестрогими, то |ф(г) | =ф(г). Поскольку ряд
Тейлора для ф имеет неотрицательные коэффициенты и наиболь-
наибольший общий делитель показателей степеней переменной г, соот-
соответствующих ненулевым коэффициентам, равен 1, то z = r. Это
завершает доказательство. Н
7.4. Пример. Свободные деревья. Пусть /„ — число м-вершин-
ных непомеченных деревьев, и пусть гп — число корневых «-вер-
«-вершинных непомеченных деревьев. Эти величины были исследова-
исследованы Пойа [43] и несколько проще Оттером [42]. Обычные произ-
производящие функции этих величин связаны следующими
соотношениями:
2 v-, v-, -.v-2)). G.11a)
'^R(zn)/n\ G.116)
л>1 /
Асимптотику для гп можно найти так же, как в предыдущем
примере. Перепишем G.116) в виде 0=zexp (w + h(z))—w, где
w = R{z). Пусть г — радиус сходимости ряда R(z). Оказывается,
что«г<М, R(r) = 1, и с помощью теоремы 5 получаем rn~Cr-"«-^
с некоторой постоянной С. Действуя так же, как при доказа-
доказательстве теоремы 5, покажем, что R(z) имеет единственную
особенность па границе своего круга сходимости, т. е.
I, G. 12)
где функции A(z) н B(z) апалитичны в круге, радиус которого
больше г.
Согласно определению г„ и tn, ясно, что
1<-^-<л. G.13)
Поэтому t)ln~~r)ln~~ 1/л, а, значит, T(z) имеет такой же ради-
радиус сходимости, как и R(z). Определим функцию U{z) равенст-
равенством
2U{z) = 2R{z)-R*(z)- l=-(R(z)- If. G. 14)
Поскольку U(z)—T(z) = (R{z2) —1)/2 и R(z2) имеет радиус
сходимостиYr>r> то «п—tn = o(r-n). Поэтому un~tn. Так как
Асимптотические методы в теории перечислений 297
G.14) проще выражения G.11а), будем исследовать «„. Соглас-
Согласно G.12), единственной особой точкой функции U{z) на границе
ее круга сходимости является точка ветвления z = r. Применяя
теорему 4, получаем ия-~ Кг~пп'°~1, где со — половина целого
числа, которое нужно определить. Пользуясь G.13), получаем,
1 3
что «=: или ш— . Из равенства нулю R(z)— 1 при
z = r следует, что, согласно G.14), функция U(z) делится на
1—zjr. Поэтому и>ф — , т. е.
tn^Kn~5l2r-" G.15)
для некоторой постоянной К-
Как определить /С? Запишем R(z) в виде ряда по степеням
и=A— zlr)'i>. Согласно G.116), функция R{z)exp{—R{z))
аналитична при z=r, а потому ее разложение по степеням v не
содержит нечетных степеней v. Это дает соотношения между
коэффициентами R(z). Эти соотношения вместе с выражением
G.14) позволяют получить информацию о коэффициентах в раз-
разложении функции U (z) в ряд. После того как постоянная С в
соотношении гп~Сг~пп~^г определена, можно найти значе-
значение К. Оттеру [42], пользуясь этими идеями, удалось вывести
G.15) из G.11) п G.12). Он доказал, что
г = 0,3383219..., С = 0,4399237..., /( = 0,5349485....
Для знакомства с другими примерами асимптотического пере-
перечисления деревьев см. работы Пойа [43], Оттера [42] и Форда и
Уленбека [20].
8. Целые функции
По оценкам коэффициентов аналитических функций получено
много результатов — начиная с приводимого далее результата
Хеймана [26] и кончая результатом Харриса и Шёнфелда [25]
(см. также работу Вимапа [59]). На практике эти результаты
наиболее полезны при исследовании целых функций. Результа-
Результаты Хеймана проще и более удовлетворительны. Он ввел понятие
допустимой функции, получил асимптотическую формулу для
коэффициентов допустимых функций и доказал несколько струк-
структурных свойств класса допустимых функций. Прежде чем при-
приводить его чисто техническое определение, в теореме 6 будет
дано рекуррентное описание подкласса класса допустимых це-
целых функций. Это позволит охватить больше допустимых произ-
производящих функций, чем нужно для перечислительных задач. До-
Доказательство см. в статье Хеймана [26].
298 Э. А. Бендер
Теорема 6. Пусть f(z) и g(z)—допустимые целые функ
ции, h(z)—целая функция, принимающая действительные зна
чения на действительной оси, и пусть p(z) —многочлен с дей
ствительными коэффициентами.
1) Если коэффициенты ап степенного ряда функции evw яв
ляются положительными числами для всех достаточно большш
п, то функция evw допустима.
2) Функции e/w и f(z)g{z) допустимы.
3) Еслидля некоторого 6>0 справедлива оценка max\h(z) | =
\z\=r
= О(/1~6(л)), то функция f(z)+h(z) допустима. В частности,
функция f(z)+p(z) допустима, и если старший коэффициент
многочлена p(z) положителен, то функция p(f(z)) также допу-
допустима.
4) Если старший коэффициент многочлена p(z) положите-
положителен, то функция p(z)f(z) допустима.
Теорема 7. Если f(z)—допустимая целая функция со
степенным рядом Hanz", то
ап^/(гп)г-пBпЬ(гп))-'/% (8.1)
где гп>0, а функция b определяется равенствами
а(гя) = п, я(г) = г-?Aп/(г)), b(r) = ra'(r).
8.1. Пример. Циклы подстановок. Пусть an(S)—число всех
таких подстановок л степени п, что совокупность длин всех цик-
циклов каждой из этих подстановок принадлежит данному множе-
множеству S. В примере 6.1 получена асимптотика для an(S) в случае,
когда конечно дополнение к 5. Здесь определяется число таких
подстановок,-когда множество S конечно. Экспоненциальная
производящая функцияf(z) дляапE) задается равенством F.3).
Если наибольший общий делитель б элементов из 5 равен 1, то
согласно п. A) теоремы 6 функция f(z) допустима. В противном
случае вводим новую переменную z = z6. Далее применяем тео-
теорему 7 при
^ ^ (8.2)
где суммирование ведется по всем k^S. Поэтому, если с(п) —
функция, являющаяся правой частью в соотношении (8.1), вы-
вычисленной с использованием f(z) и выражений из (8.2) при 6=1,
то an(S) ~бс(«).
Сколько существует подстановок, которые имеют только цик-
циклы длины 1 и d, d>\ фиксировано? Пусть ответом будет число
an{d). (Если р — простое число, то ап{р)—число подстановок,
Асимптотические методы в теории перечислений 299
которые после возведения в степень р дают тождественную под-
подстановку. Число инволюций равно а,гB).) В этом случае S =
— {1, d) и легко весьма точно вычислить гп, для чего достаточно
воспользоваться соотношением (8.1). Основные этапы вычисле-
вычислений таковы (индекс у гп опущен и x = nlld, y — xjdn):
Следовательно,
i—\2 е "Т-У* . au(d)~~(—\(d~1)n/de~
Уd
при rf>2. Это получено Мозером и Виманом [39]'.
8.2. Пример. Разбиения множества. Как было отмечено после
равенства C.9), экспоненциальной производящей функцией для
В(п)—числа разбиений множества из п элементов — является
функция exp(ez—1). Согласно пунктам A), C), а значит, и B)
из теоремы б, функции ег, ez—1 и ехр(ег—1) допустимые. В этом
случае имеем а (г) =гег и Ь (г) =r(r+l)er. Поэтому
В (я) ~ а ! {2nnrn)'h exp (er«- l) Гп",
где гп определяется из соотношения гп ехр(г„) =«. Это выраже-»
кие для Асимптотики В(п) можно несколько упростить, поль-
пользуясь формулой Стерлинга и определением чисел г„.
9. Функции с плохим поведением на границе
круга сходимости
В этом разделе приводятся две тауберовы теоремы, доста-
достаточно общие и удобные для применения.
Теорема 8 (Бригхэм [9]). Если обычная производящая
функция для последовательности ап задается равенством
1 См. также В. Н. Сачков, Вероятностные методы в комбинаторном ана-
анализе. — М.: Наука, 1979. — Прим. перев.
300 Э. А. Бепдер
А(г) = П A-2«) Ч (9.1)'
где bi^sl, bn^0 и
хи{\пху при и>0, (9.2)
п<х
ТО
1
1пая~С(лвAпл)«)"+\ (9.3)
F(s) —гамма-функция, a ?(s) —дзета-функция Римана. Условие
Ь{^.\ можно заменить двумя условиями: 1) Ь„#0 влечет Ьп^\,
и 2) осе достаточно большие числа можно представить в виде
суммы (не обязательно различных) чисел Ьп, где ЬпФ0.
Теорема Бригхэма является весьма общей, и ее довольно лег-
легко применять. Заметим, что (9.3) дает асимптотику 1па„, а не
самого ап. Существуют теоремы, которые дают более сильный
результат, чем (9.3), н'о они имеют более узкую область приме-
применения и их труднее использовать. Теорема Ингама [28, теоре-
теорема 2], которая была обобщена Аулуком и Хазелгровом [1], дает
асимптотику ап в случае, когда выполняется (9.2) с у = 0 и оста-
остаточный член чугь лучше, чем в (9.2). Более общие теоремы мож-
можно найти у Мейнардуса [36] и Рота и Секереша [49, особенно
стр. 254].
О применении этих и других тауберовых теорем к различ-
различным перечислительным задачам см. в работах Кнопфмахера
[32, 33].
9.1. Пример. Разбиения числа. Здесь обсуждаются различ-
различные производящие функции для разбиений. В некоторых слу-
случаях известны более точные, чем (9.3), результаты. Случай обыч-
обычных разбиений разобран Радемахером [44], плоских разбиений —
Райтом [55], а строго плоских разбиений — Гордоном и Хоуте-
ном[21].
Пусть рп (S)—число таких разбиений числа п, все части
которых лежат в множестве 5 целых положительных чисел. По-
Последовательность pn(S) имеет обычную производящую функцию
ПA-г»)-1. (9.4)
nes
В этом случае сумма (9.2) есть просто число элементов в S, не
превосходящих х. Если S содержит все положительные целые
числа, то /С=1, ы=1, v = 0. Пользуясь равенством СB)=— ,
Асимптотические методы в теории перечислений 301
получаем Inpn(S)—-я(—) . Если 5 состоит только из всех
простых чисел, то, согласно теореме о распределении простых
чисел, /С=1, и—\ и v = — 1. Поэтому ln/?n(S)~2jt(—-—) .
V 3 In n I
Число я„ плоских разбиений целого числа п имеет обычную
производящую функцию ПA — zn)~n. Так как величина суммы
(9.2) асимптотически эквивалентна л2/2, то /(='/2, и = 2 и v — 0.
Поэтому 1пя„E)~— Bс C)/г2I/..
Пусть on{S) —число таких плоских разбиений числа п, части
которых образуют строго возрастающую последовательность и
принадлежат множеству S целых положительных чисел. Бендер
и Кнут [6] показали, что о„E) имеет обычную производящую
функцию
(9.5)
Сумма (9.2) равна числу элементов в S, не превосходящих х,
плюс число таких неупорядоченных пар элементов из S, в кото-
которых сумма элементов не превосходит х. Если 5 содержит вое
положительные целые числа, то K=lU, и —2 и у = 0. Поэтому
Если 5 в (9.4) или-(9.5) является конечным множеством, то
асимптотика pn(S) совершенно другая. Применим к (9.5) тео-
теорему 4. Так как все числа в разбиении могут быть кратны одно-
одному и тому же числу, то без ограничения общности можно пред-
предположить, что наибольший общий делитель элементов из 5 ра-
равен 1. Поскольку функция (9.5) является дробно-рациональной,
то ее особенностями могут быть только полюсы. Все они нахо-
находятся в корнях &-й степени из 1, где k принадлежит S или явля-
является суммой двух различных элементов из S. Если / и
k — взаимно простые целые числа, то кратность полюса
ехр|2я/—jравна числу пар (/, /) элементов множества 5|J{0},
таких, что i>j и i+j кратно k. В частности, полюс z—\ имеет
кратность w= . Так как наибольший общий дели-
делитель элементов из S равен 1, то кратность полюса z—\ больше
кратности других полюсов. Равенство F.2) приводит к асимп-
302 Э. А. Бендер
тотике
Говорят, что функция L(t) медленно меняется на бесконечности,-
если для каждого фиксированного s>0 имеет место асимптоти-
асимптотика L(st) ~L(t) при /-voo. Знаменитая тауберова теорема Хар-
ди — Литтлвуда — Карамата дает асимптотики для функций с
хорошим поведением на бесконечности, умноженных на функции,
медленно меняющиеся на бесконечности. Эту теорему можно
применить, в частности, к примеру из разд. 6. Следует, однако,
заметить, что такой подход имеет ряд недостатков, заключаю-
заключающихся в том, что из легко получаемой асимптотики для суммы
ай-\-ахг+ ... +апгч трудно получить асимптотику для ап.
Теорема 9 (Харди — Литтлвуд — Карамата). Пусть ряд
A{z) = 2 anzn имеет радиус сходимости г, и пусть а„^0. Если
л>0
для некоторого р^О и некоторой функции L, медленно меняю-
меняющейся на бесконечности, имеет место'асимптотика
—) при х->г-0, (9.6)
' L{n) , (9.7)
Г(р+1)
где Г — гамма-функция. Более того, если р>0 и функция ап
монотонна при достаточно больших п, то
Г(р)
Доказательство см. в книге Феллера ([19, т. 2, стр. 513]).
9.2. Пример. Подстановки, являющиеся корнями степени k.
Сколько подстановок на п предметах являются корнями степе-
степени &? Пусть an(k)—число таких подстановок. Простые теоре-
теоретико-групповые соображения показывают, что подстановка яв-
является корнем степени k тогда и только тогда, когда число цик-
циклов длины I кратно числу (k, l°°) —наибольшему общему дели-
делителю чисел k и Iх. Здесь оо означает достаточно большое число
М, т. е. (k, lm) не меняется при т^М; например, M = k. Исполь-
Используя стандартную технику (см. [5]), отсюда немедленно получаем,
что экспоненциальной производящей функцией для an(k) будет
D.Г») *m(l)zl
A(z;k) = U(kt Г)" '
Асимптотические методы в теории перечислений 303
где <о(/)—e2"!(k>l К Если k = 2, это позволяет "получить (см.
[8]) равенство
„2т
2m
Легко показать, что произведение тех множителей в (9.8), для
которых (k, /)>1, сходится при |z|sg;l. Обозначим через Fh
значение этого произведения при 2=1. Пусть ц, — классическая
функция Мёбиуса и <p{k) —функция Эйлера, равная числу таких
/ между 1 и k, что (/, k) = l. Произведение тех множителей в
(9.8), для которых (k, /) = 1, как можно показать, равно произ-
ведению множителей A — Xй) " по делителям d числа k.
Воспользовавшись теоремой 9 с г=1, р= Л = , по-
.^^ d k
d\k
лучим
v-C)
L{t)~Lk=FkX[d d при /-.оо.
d\k
Тогда
9 (к)
' k
n. (9.9)
Туран [54Т теорема 4] использовал контурное интегрирование для
асимптотики ап(р) в случае простого р. Блюм [8] показал, что
^J монотонно убывает и, применив вторую часть теоремы 9,
п 1
получил, что'
т>\
9.3. Пример. Циклы подстановок. Пусть an(S)—число под-
подстановок степени п, таких, что длины их циклов принадлежат S.
Экспоненциальная производящая функция f(z) для an(S) опре-
определяется равенством F.3).
1 Для произвольного k асимптотика an(k) получена в работе М. П. Ми-
неева и А. И. Павлова «О числе подстановок специального вида», Матем.
сборник, 99, № 3 A976). — Прим. перев.
304 3. А. Бендер
Допустим, что 5 имеет асимптотическую плотность р, т. е
пусть
2**E)~ря> (9Л1
где %h(S) = l, если k^S, и %k(S)=0 в противном случае. Дале<
будет показано, что при t = функция L(t) =f(z) A—z)
1 — z
медленно меняется на бесконечности, если выполнено (9.11)
Согласно (9.7), получаем
1_|_а E) + ... + ?аН1 ' " ' . (9.12
' U ' ' ' л! Г(р + 1)
Если an(S)/n\ монотонно убывает для достаточно больших /
(что автору удалось доказать только для тривиальных 5) i
р>0, то
/п-1
an(S)~(n~\)\ ^ ' . (9.13)
Тот факт, что из (9.11) следует медленное изменение на бес-
бесконечности функции L(t), является типичной теоремой абелева
типа. Докажем это, поскольку соответствующего источника не
обнаружено. Пусть dn = p—ХпE). Так как |d|^l, то, согласно
F.3), имеем»
а в силу (9.11) —
kilt
Покажем, что при 0<s<l функция W—) = 1п—^- стремится
V t 1 L- («О
к нулю при t-+<x!. Заменяя s и t соответственно на (s')~' и s't'%
имеем L(?) ~L(s't') при всех s'>0 и t'-*-oo. :\
Нам нужно доказать, что i
л>1 л>1
при е-^>-0 + , где y=l/s. Согласно теореме о среднем для функции
f {z)= ^,A — z)n —-, существует G = 8(e, у), такое, что
л>1
Асимптотические методы в теории перечислений 305
е<6<*/е и
2 W1-0)".
п>0
Чтобы придать задаче более привычный вид, положим w = \—Э;
чтобы показать, что g(e)-K), мы должны доказать, что
(y—\) — (\—w) V dn+iwn —>0 при w —» 1 — 0.
Теорема сравнения Чезаро [10, стр. 150] при an = dn+l и Ь„=1
показывает, что это следует из (9.14).
ЧАСТЬ III. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
10. Возможные темы исследования
Было бы желательно попытаться существенно улучшить точ-
точность, расширить область применимости или уменьшить слож-
сложность любого из указанных выше методов без ухудшения осталь-
остальных двух показателей. Здесь, однако, обсудим менее очевидные
темы исследования, которые считаю очень важными.
Как из рекуррентных соотношений получить информацию об
асимптотике? В таких специальных случаях, как рекуррентные
соотношения с постоянными коэффициентами, задачу можно ре-
решить полностью. Можно ли получить асимптотики для рекур-
рекуррентных соотношений более общего вида?
Предположим, что последовательность ап задана линейным
рекуррентным соотношением со старшим коэффициентом 1 и с
асимптотически постоянными коэффициентами. Это не слишком
жесткое ограничение: многие комбинаторные рекуррентные со-
соотношения имеют в качестве коэффициентов многочлены от я;
заменой последовательности ап последовательностью (n!)san
для подходящего рационального s можно превратить заданные
рекуррентные соотношения в соотношение с асимптотически по-
постоянными коэффициентами. Эти новые коэффициенты можно
разложить в асимптотические ряды, включающие отрицательные
степени ns. Что можно сказать об асимптотическом поведении
ап непосредственно из рекуррентного соотношения? Здесь име-
имеется несколько интересных результатов, но все они получены в
предположении существования решения специального вида, без
указания на то, как узнать, имеет ли соответствующее решение
этот вид. Для тех, кто интересуется этим, могут быть полезны
работы Биркгофа [7] и Хантера [27]. Однако кажется вероятным,
что комбинаторная суть должна быть как-то использована для
11—1751
306 Э. А. Бендер
доказательства того, что ап является одним из наиболее быст-<
ро растущих решений рекуррентного соотношения. '
Практически ничего неизвестно об асимптотиках для рекур-,;
рентных соотношений от двух переменных, даже когда извест-
известна производящая функция. Было бы очень полезно иметь способ
бы получения асимптотик по производящей функции двух пере-
переменных. Для одного узкого класса производящих функций име-
имеются некоторые результаты (Бендер [2]), но их обычно трудно
применять.
В разд. 7 обсуждались функциональные уравнения лишь про-
простейшего вида. Поскольку функциональные уравнения бывают
самых разных видов, то проблема «получения асимптотик для
функциональных уравнений», по существу, есть совокупность
проблем разной степени важности. Например, Клэрнер [30] и
Клэрнер и Райвест [31] обсуждали некоторые комбинаторные
приложения в связи с интегральным уравнением Фредгольма.
Поскольку проблемы перечислений встречаются в теории
вероятностей в самых неожиданных случаях, то нужно более ши-
широко применять методы теории вероятностей для получения
асимптотических результатов. Эрдёш и Спенсер [16] обсуждают
некоторые применения теории вероятностей. Комбинаторные
проблемы, которые они рассматривают, гораздо менее удобны
для обсуждаемых здесь методов: пытаться найти для них про-
производящую функцию или сумму было бы безнадежно.
В асимптотических перечислениях часто появляются нор-
нормальное и пуассоновское распределения. Возможно, это проис-
происходит оттого, что многие комбинаторные проблемы связаны с
асимптотической независимостью некоторого типа. Вероятност-
Вероятностные аспекты наиболее отчетливо проявляются в задачах разме-
размещения шаров по ячейкам, которым посвящена уже довольно
большая литература. Статья Харриса и Парка [24] иллюстрирует
получаемые в этом направлении результаты и содержит ссылки
на более ранние работы.
Примеры в разд. 4 приводят к пуассоновскому распределе-
распределению, так как в их основе лежат асимптотически независимые
редкие события. Например, в разд. 4.2 элементы из Т ведут себя
асимптотически независимо: если пара (i, /)еГ, то вероятность
того, что o(i) — i, есть 1/л. Если бы эти события были независи-
независимы, то мы имели бы выражение
асимптотика для которого задается D.7). Шепп и Ллойд [51]
изучают длины циклов в случайных подстановках с помощью
асимптотически независимых распределенных по Пуассону слу-
Асимптотические методы в теории перечислений 307
чайных величин с определенным числом циклов различных воз-
возможных длин.
Нормальное распределение связано некоторым образом с
процессом «размазывания». (Формализм независимых случай-
пых величин, видимо, приводит к потере ощущения комбинатор-
комбинаторной сути.) Нечто подобное этому может служить причиной
появления Jexp(—x2)dx в большинстве примеров разд. 3. Нор-
Нормальное распределение фигурирует в работах Хеймана [26, тео-
теоремы 1 и 2] и автора [2]. В этих работах рассматривался доволь-
довольно узкий класс функций, чтобы обеспечить нормальное распре-
распределение. Почему этот класс столь богат функциями, представ-
представляющими комбинаторный интерес? Нормальное распределение
появляется и в работе Эрдёша и Турана [17]. Однако впечатле-
впечатление, что мы имеем дело с нормальным распределением, часто
ошибочно, поскольку используемые методы во многих случаях
тесно связаны с методом Лапласа для интегралов — техника,
приводящая к /ехр(—x2)dx.
Асимптотические методы необходимы для перечисления непо-
непомеченных графов. Когда применяется теорема Пойа или ее обоб-
обобщение, получающаяся производящая функция часто неудобна.
Те редкие случаи (типична, например, проблема деревьев), ко-
которые приводят к функциональному уравнению, обычно можно
исследовать с помощью теоремы 5. В некоторых других случаях
можно показать, что почти все рассматриваемые графы имеют
тривиальную группу автоморфизмов (Райт [57]; см. также Райт
[58]). Тогда энумератор непомеченных графов асимптотически
равен деленному на п\ энумератору помеченных графов. Это
замечание полезно, поскольку обычно проще получать оценки
лля помеченных графов. Можно ли развить эту идею? Возмож-
Возможно, следующие сообщения являются началом исследования в
правильном направлении. Пусть 91 — множество помеченных
графов с п вершинами. Число непомеченных графов, отвечающих
множеству 91, есть \9>\s&ln\, где зФ — среднее по группе авто-
автоморфизмов s4-(G) графов Ge^7. Во многих случаях оказывается,
что почти все автоморфизмы локальны, так что основной вклад
в s?{G) приходит от малых почти независимых групп.
11. Предостережение
Любой обзор такого типа субъективен. Следующий коммен-
комментарий призван в какой-то степени уменьшить возможные неяс-
неясности.
Автор отобрал те методы асимптотического анализа, которые
легко применять и которые в то же время достаточно общи,
чтобы быть полезными. Имеется много интересных вопросов в
П*
308 Э. А. Беидер
комбинаторной асимптотике, требующих более изощренных ме-
методов. Для ознакомления с примерами см. работу Реньи и Се-
кереша [46] или работы, упомянутые в разд. 9 и 10. Здесь даны
также грубые асимптотические оценки, получаемые аналитиче?
скими методами. Например, Евграфов [18, стр. 57—65] обсужда-
обсуждает асимптотические оценки целых функций.
Другая крайность на пути получения тонких аналитических
результатов состоит в том, чтобы точно использовать комбина-
комбинаторные соображения. Этот подход приводит к более грубым
асимптотикам, но часто это все, что можно получить, если не
известны ни производящая функция, ни сумма. Используемые
методы сильно меняются от задачи к задаче, и любая попытка
обсуждать их привела бы немедленно к чисто комбинаторным
рассуждениям, что автор пытался свести к минимуму. По этой
теме нет сколько-нибудь общих исследований, однако вероятно-
вероятностный подход см. в книге Эрдёша и Спенсера [16].
Большинство из изложенных результатов имеются в литера-
литературе или хорошо известны; однако приведенные здесь интерпре-
интерпретации часто новы. Насколько известно автору, теорема 5 и след-
следствие в разд. 4 в явном виде ранее не формулировались. То же
относится и к формулам D.8), F.6), G.5) и (9.12).
Список литературы
[1] Auluck F. С, Haselgrove С. В. On Ingham's Tauberian theorem for parti-
partitions. Proc. Cambridge Philos. Soc, 48 A952), pp. 566—570.
[2] Bender E. A. Central and local limit theorems applied to asymptotic enume-
enumeration. /. Combinatorial Theory Ser. A, 15 A973), pp. 91—111.
[3] Bender E. A. Convex n-ominoes. Discrete Math., 8, A974), pp. 219—226.
[4] Bender E. A. An asymptotic expansion for coefficients of some formal power
series. /. London Math. Soc. [в печати].
[5] Bender E A., Goldman J. R. Enumerative uses of generating functions.
Indiana Univ. Math. J., 20 A971), pp. 753—765.
[6] Bender E. A., Knuth D. E. Enumeration of plane partitions. /. Combinatorial
Theory Ser. A, 13 A972), pp. 40—54.
[7] Birkhoff G. D. Formal theory of irregular linear difference equations. Ada
Math., 54 A930), pp. 205—246.
[8] Blum J. The density of square permutations in the symmetric group Sn,
preprint.
[9] Brigham N A. A general asymptotic formula for partition functions. Proc.
Amer. Math. Soc. 1 A950), pp. 182—191.
[10] Bromwich Т. Га. An Introduction to the Theory of Infinite Series, 2nd rev.
ed., Macmillan, London, 1955.
[11] de Bruijn N. G. Asymptotic Methods in Analysis. North-Holland, Amster-
Amsterdam, 1958. [Русский' перевод: Н. Г. де Брёйн. Асимптотические методы
в анализе, М.: «Мир», 1967.]
[12] Comtet L. Analyse Combinatoire, 2 vols. Presses Univ. de France, Paris,
[13] Comtet L Birecouvrements et birevetements d'un ensemble funi. Studia Sci.
Math. Hungar., 3 A968), pp. 137—152.
[14] Doubilet P., Rota G.-C, Stanley R. On the foundations of combinatorial
theory, VI: The idea of generating function. Proc. 6th Berkeley Symp.
Асимптотические методы в теории перечислений 309
on Math. Stat. and Prob., vol. II, Univ. Calif. Press, Berkeley and Los Ange-
Angeles, 1970, pp. 267—318 (см. настоящий сборник, стр. 160).
[15] Erdos P., Renyi A. On random graphs /. Publ. Math. Debrecen, 6 A969),
pp. 290-297.
[16] Erdos P., Spencer J. Probabilistic Methods in Combinatorics. Academic
Press and Akademiai Kiado, New York, 1974. [Русский перевод: Эрдёш П.,
Спенсер Дж. Вероятностные методы в комбинаторике. М.: «Мир», 1976.]
[17] Erdos P., Turan P. On some problems of a statistical grouptheory, I—IV; I:
Z. Wahrscheinlichkeitstheorie and Verw. Gebiete, 4, A965), pp. 175—186;
II—IV: Ada Math. Acad. Sci. Hangar., 18 A967), pp. 151—163, 309—320;
19 A968), pp. 413—435.
[18] Евграфов M. А. Асимптотические оценки и целые функции. М.: Гостех-
издат, 1961.
[19] Feller W. An Introduction to Probability Theory, vol. I 3rd ed., vol. II 2nd
ed., John Wiley, New York, 1968, 1971. [Русский перевод 1-го издания:
Феллер В. Введение в теорию вероятностей, т. 1, т. 2, М.: «Мир», 1967.]
[20] Ford G. W., Uhlenbeck G. E. Combinatorial problems in the theory of graphs
III. Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A., 42 A956), pp. 529—535.
[21(] Gordon В., Houten L. Notes on plane partitions III. Duke Math. J., 26
A969), pp. 801—824.
[22] Hall M., Jr. The Theory of Groups. Macmillan, New York, 1959. [Русский
перевод: Холл М., Теория групп, М.: ИЛ, 1962].
[23] Harris В. Probability distributions related to random mappings. Ann. Math.
Statist., 31 A960), pp. 1042—1062.
[24] Harris В., Park С J. The distribution of linear combinations of the sample
occupancy numbers. Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A, 74 = Indag. Math.,
33 A971), pp. 121—134.
[25] Harris В., Schoenfeld L. Asymptotic expansions for the coefficients of ana-
analytic functions. Illinois J. Math., 12 A968), pp. 264—277.
[26] Hayman W. K. A generalisation of Stirling's formula. /. Reine Angew. Math.,
196 A956), pp. 67—95.
[27] Hunter С Asymptotic solutions of certain linear difference equations, with
applications to some eigenvalue problems. /. Math. Anal. Appl., 24 A968),
pp. 279—289.
[28] Ingham A. E. A Tauberian theorem for partitions. Ann. of Math., 42 A941),
pp. 1075—1090.
[29] Jungen R. Sur les series de Taylor n'ayant que des singularities algebrico-
logarithmiques sur leur cercle de convergence. Comment. Math. Helv., 3
A931), pp. 266—306.
[30] Klarner D. A. A combinatorial formula involving the Fredholm integral
equation. /. Combinatorial Theory, 5 A968), pp. 59—74.
[31] Klarner D. A., Rivest R. L. Asymptotic bounds for the number of convex
n-ominoes. Discrete Math., 8 A974), pp. 31—40.
[32] Knopfmacher J. Asymptotic enumeration of manifolds and Lie groups. Math.
Ann., 190 A970), pp. 129—134.
[33] Knopfmacher J. Arithmetical properties of finite rings and algebras, and
analytic number theory. /. Reine Angew. Math., I: 252 A972), pp. 16—43;
II: 254 A972), pp. 74—99; III: 259 A973), pp. 157—170; IV—VI:
[в печати].
[34] Kruskal M. D. The expected number of components under a random mapping
function. Amer. Math. Monthly, 61 A954), pp. 392—397.
[35] Маркушевич А. И. Теория функций комплексного переменного, т. 2. М.:
Наука, 1968.
[36] Meinardus G. Asymtotische Aussagen fiber Partitionen. Math. Z., 59 A954),
pp. 388—398.
[37] Mendelsohn N. S. The asymptotic series for a certain class of permutation
problems. Canad. J. Math., 8 A956), pp. 234—244.
310 Э. А. Бёндер
[38] Moon J. W. Counting labeled trees. Canad. Math. Monograph No. 1. Canadj
Math. Congress, 1970. j
[39] Moser L., Wyman M. On the solutions of xd = \ in symmetric groups;.'
Canad. J. Math., 7 A955), pp. 159—168.
[40] O'Neil P. E. Asymptotic enumerations for 0—1 matrices. Doctoral thesis*
Rockefeller Univ., New York, 1969.
[41] O'Neil P. E. Asymptotics and random matrices with row-sum and column
sum-restrictions. Bull. Amer. Math. Soc, 75 A969), pp. 1276—1282.
[42] Otter R. The number of trees. Ann. of Math., 49 A948), pp. 583—599.
[Русский перевод см. в настоящем сборнике.]
[43] Polya G. Kombinatorische Anzahlbestimmungen fur Gruppen, Graphen undi
chemische Verbindungen. Acta Math., 68 A937), pp. 145—254. [Русский пе-
перевод см. в настоящем сборнике.]
[44] Rademacher H. On the partition function. Proc. London Math. Soc, 43!
A937), pp. 241—254.
[45] Renyi A. Three new proofs and a generalization of a theorem of Irving Weiss-
Magyar Tud. Akad. Mat. Kutato Int. Kozi, 7 A962), pp. 203—214.
[46] Renyi A., Szekeres G. On the heigth of trees. /. Austral. Math. Soc, T
A967), pp. 497—507.
[47] Riordan J. Introduction to Combinatorial Analysis. John Wiley, New York,
1958. [Русский перевод: Риордан Дж. Введение в комбинаторный анализ.
М.: ИЛ, 1963.]
[48] Rota G.-C On the foundations of combinatorial theory. I. Theory of Mobius
functions. Z. Wahrscheinlichkeitstheorie und Verw. Gebiete, 2 A964),
pp. 340—368.
[49] Roth K. F., Szekeres G. Some asymptotic formulae in the theory of parti-
partitions. Quart. J. Math. Oxford Ser., 5 A954), pp. 241—259.
[50] Ryser H. J. Combinatorial Mathematics. Carus Math. Monograph, No. 14.
John Wiley, New York, 1963. [Русский перевод: Райзер Г. Д. Комбинатор-
Комбинаторная математика. М.: «Мир», 1966.]
[51] Shepp L. A., Lloyd S. P. Ordered cycle lengths in a random permutation.
Trans. Amer. Math. Soc, 121 A966), pp. 340—357.
[52] Степанов В. Е. Структура случайных графов. Теория вероятностей и ее
применения, 17 A972), стр. 238—252.
[53] Szego G. Orthogonal Polynomials. Amer. Math. Soc. Coll. Publ., vol. XXIII,
rev. ed., Amer. Math. Soc, New York, 1959. [Русский перевод: Cere Г.
Ортогональные многочлены. М.: Физматгиз, 1962.]
[54] Turan P. On some connections between combinatorics and group theory.
Colloquia Math. Soc. Janos Bolyai 4, P. Erdos, A. Renyi and V. T. Sos, eds.
North-Holland, Amsterdam, 1970.
[55] Wright E. M. Asymptotic partition formulae, I: Plane partitions, Quart. /.
Maht. Oxford Ser., 2 A931), pp. 177—189.
[56] Wright E. M. Asymptotic relations between enumerative functions in graph
theory. Proc. London Math. Soc. C), 20 A970), pp. 558—572.
[57] Wright E. M. Graphs on unlabelled nodes with a given number of edges.
Acta Math., 126 A971), pp. 1—9.
[58] Wright E. M. Graphs on unlabelled nodes with a large number of edges.
Proc London Math. Soc. [в печати].
[59] Wyman M. The asymptotic behaviour of the Laurent coefficients. Canad. I.
Math., 11 A959), pp. 534—555.
О ПРИЛОЖЕНИЯХ ОБРАЩЕНИЯ МЕБИУСА
В КОМБИНАТОРНОМ АНАЛИЗЕ1
Э. Бендер, Дж. Гольдман
1. Введение
Обращение конечных рядов является одним из наиболее по-
полезных инструментов комбинаторного анализа и теории вероят-
вероятностей. Частный случай — классический принцип включения-
исключения (Феллер [7], Райзер [8]). Хотя многие задачи обра-
обращения могут быгь выражены в терминах включения-исключения,
подобная процедура часто выглядит искусственной. Обычно воз-
возможно некоторое «естественное» упорядочение изучаемых объ-
объектов. Это представляет собой основу техники обращения
Мёбиуса.
Обращение Мёбиуса является процедурой челночного типа.
В процессе счета искомое значение получается то с недостатком,
то с избытком. Проследим эту процедуру, связав ее с элемента-
элементами частично упорядоченного множества, которое в классическом
случае состоит из подмножеств конечного множества. Формула
обращения Мёбиуса в теории чисел (см. Харди и Райт [16]) свя-
связывает функции с множеством целых положительных чисел, упо-
упорядоченных по делимости. Она дала свое имя и общему методу.
Принци-п включения-исключения, который в общем-то не яв-
является очень глубоким утверждением, встречается в работах не-
нескольких математиков XIX века и, по-видимому, наиболее ясно
был сформулирован Пуанкаре. Его переоткрывали много раз с
различной степенью общности. Довольно полное изложение этого
принципа вместе с историей и классическими применениями в
теории вероятностей дано в двухтомной монографии Фреше [9].
В общем виде формула обращения Мёбиуса была впервые
получена независимо друг от друга Вайснером [26] и Филиппом
Холлом [15]; оба автора исходили из задач теории групп. Ни тот,
ни другой из авторов, кажется, не осознали комбинаторного зна-
значения своей работы, и ни один из них не развил теорию функ-
1 Bender E. A., Goldman J. R. On the applications of Mobius inversion in
combinatorial analysis, The American Math. Monthly, 82, № 8 A975), 789—803.
Эта работа частично финансировалась AFOSR no контракту 73-2436.
© Mathematical Association of America, 1975
.© Перевод на русский язык, «Мир», 1979
312 Э. Бендер, Дж. Гольдман
ций Мёбиуса. В фундаментальной статье о функциях Мёбиуса
Рота [21] показал важность этой теории в комбинаторной мате-
математике и дал ей глубокую трактовку. Он заметил связь между
такими вопросами, как принцип включения-исключения, класси-
классическое теоретико-числовое обращение Мёбиуса, задачи раскрас-
раскраски, потоки в сетях. С этих пор под сильным влиянием Рота
теория обращения Мёбиуса и связанные с ней направления
исследований превратились в активно изучаемую область ком-
комбинаторики.
Здесь мы даем ряд применений обращения Мёбиуса в ком-
комбинаторике с акцентом на последние результаты. Эта статья
дополняет первоначальную работу Рота [21] (называемую также
в ссылках «Основы» I), в которой он развивал теорию функций
Мебиуса как связанную со структурой упорядочения. «Основы»
I содержат обширную библиографию. Мы не стали здесь ее
воспроизводить, но попытались привлечь внимание к новейшим
работам.
Начнем с ряда примеров, чтобы обосновать структуру обра-
обращения Мёбиуса.
Пример 1. Конечные ряды. Пусть f(n) —функция, определен-
определенная на множестве целых положительных чисел (т. е. ряд f(l),
[B), fC)...), ug(n)= ^/{m). Обратим суммирование, т. е.
т<п
выразим f(n) через g; ответ очевиден:
f(n) = g(n)-g(n-\). A)
Пример 2. Принцип включения-исключения. Даны множество
S={si, s2, ..., sh} и совокупность свойств Р={р\, Рг, - , Рп}-
Свойство pi определяется посредством перечисления элементов,
удовлетворяющих и не удовлетворяющих этому свойству (сле-
(следовательно, свойство является подмножеством множества S,
а именно множеством элементов, обладающих этим свойством).
Для произвольной совокупности свойств Т, ТеР, обозначим
через N> (Т) число элементов множества 5, удовлетворяющих
каждому свойству из Т и, возможно, каким-то другим еврйствам.
Пусть N=(T) —число элементов, обладающих всеми свойствами
из Т и только ими. Очевидно,
ХЗ.Т
так как для каждого элемента, обладающего по крайней мере
всеми свойствами из Т, существует вполне определенное множе-
множество свойств X, которыми и только которыми он обладает, и
Хэ7\ Задача заключается в том, чтобы выразить N^(T) в тер-
О приложениях обращения Мёбиуса в комбинаторном анализе 313
минах функции N> (X). Обычно требуется найти число N=@)
элементов, не удовлетворяющих ни одному из данных свойств.
Пример 3. Классическое обращение Мёбиуса. Следующая за-
задача из теории чисел мотивирует кое-что из нашей общей терми-
терминологии и результатов. Пусть f(n) —функция, определенная на
множестве целых положительных чисел, и
k\n
где «k\n» читается как «k делит л», и суммирование, таким об-
образом, ведется по всем натуральным делителям числа п. Мы хо-
хотим инвертировать сумму, т. е. выразить f(n) через h. Эта зада-
задача решается во многих учебниках по элементарной теории чисел
(см., например, Харди и Райт [16]). Мы рассмотрим ее как част-
частный случай более общей теории.
Пример 4. Порождающие множества векторного простран-
пространства. Сколько подмножеств пространства Vn(q) (т. е. «-мерного
векторного пространства над полем из q элементов) порождают
все это пространство? Для произвольного подпространства U
из Vn(q) обозначим через N={U) число таких подмножеств век-
векторов из Vn{q), которые порождают U. Пусть N< (U)—число
множеств, порождающих U или некоторое подпространство из
U. Тогда N<{U)~ 2 N^(V), где сумма берется по всем под-
пространствам U. Задача состоит в том, чтобы выразить N={U)
через N< (U), а затем положить U=Vn(q).
Приведенные четыре примера имеют некоторые общие мо-
моменты, которые мы отразим в таблице на стр. 314.
В каждом случае нам нужно инвертировать систему линейных
уравнений, т. е. выразить данную функцию через суммирующую,
связанную с заданным отношением порядка. Рассматриваемое
упорядочение обобщает обычное понятие порядка в множестве
целых или действительных чисел.
Чтобы изучать проблему обращения во всей общности, на-
напомним кратко основные положения теории отношений-«поряд-
отношений-«порядка», или, как она более широко известна, теории «частично упо-
упорядоченных множеств».
2. Частично упорядоченные множества
Определение. Частично упорядоченным множеством
2=(S, ^) называется пара, состоящая из множества S и би-
бинарного отношения sg: на 5, удовлетворяющего следующим
свойствам:
314
Э. Бендер, Дж. Гольдман
A)
B)
C)
D)
Множество
S
Отношение
„порядка"
Функния,
заданная
на мно-
множестве S
Суммирую-
Суммирующая функ-
функция
Пример 1
Положитель-
Положительные целые
числа
<
fin)
g (л) =
Пример 2
Подмножества
Р
:э
(теоретико-
множественное
включение)
N=(T)
JV>G-) =
= "?>=(*)
л'э г
Пример 3
Положитель-
Положительные целые
числа
1
(делимость)
/(л)
А(л) =
= ?/(*)
к \ п
Пример 4
Подпростран-
Подпространства из Vn (q)
быть под-
подпространством
(<)
N-(U)
ЛГ< (U) =
v<u
A)
а) х^Сх для Есех лг^б1 (рефлексивчость),
б) если x<f/ и f/<2, то л:<2 (транзитивность),
в) если х^.у и у-^Сх, то х = у (антисимметричность).
Выражение «х^у» читается: «х меньше или равно у». Ча-
Частично упорядоченные множества называются также упорядо-
упорядоченными множествами. Обозначения и терминология для упоря-
упорядоченных множеств аналогичны тем, которые используются для
обычных неравенств; например, х<у означает, что х^у и хфу,
а х^у означает, что х^у не справедливо.
В отличие от обычных неравенств в упорядоченных множест-
множествах элементы могут быть «несравнимы»: х п у несравнимы, если
неверно и х^у, н у^х. Если для любых двух элементов хну
справедливо либо х^у, либо у^х, то Z=(S, ^) называется
линейно упорядоченным множеством или цепью.
Пример 1. а) Целые числа с естественным порядком. Пусть
^ — множество положительных целых чисел Z+ или всех целых
чисел Z с обычным порядком (а^Ь тогда и только тогда, когда
b—а неотрицательно). Множество S=(S, ^)—линейно упо-
оядочено.
б) Пусть S — множество целых чисел, заключенных между
1 и п, с естественным порядком; (S, ^) —линейно упорядочен-
упорядоченное множество.
О приложениях обращения Мёбиуса в комбинаторном анализе 315
в) Подмножества множества (булева алгебра, см. пример
1.2). Пусть Т — некоторое множество и 5— совокупность всех
подмножеств множества Т. Если А, Bs7\ то As^B тогда и толь-
только тогда, когда А^В (А — подмножество множества В). Мно-
Множество E, ^) не является линейно упорядоченным; например,
произвольные одноэлементные подмножества не сравнимы. Это
упорядоченное множество часто называют «подмножествами из
Т, упорядоченными по включению».
г) Целые числа, упорядоченные по делимости (см. пример
1.3). Пусть 5 — множество положительных целых чисел и a^i
тогда и только тогда, когда а\Ь (а делит Ь). Пусть А обознача-
обозначает это частично упорядоченное множество.
д) Делители числа п. Пусть 5 — множество всех делителей
целого числа- п и а^Ь означает, что а\Ь, как и в предыдущем
примере. Это частично упорядоченное множество обозначим
через А„ или D(n).
е) Подпространства векторного пространства (см. пример
1.4). Пусть 5 — множество подпространств векторного прост-
пространства и ^ означает «быть подмножеством».
ж) Вообще для произвольной «математической системы»
«подсистемы», упорядоченные по включению, образуют частично
упорядоченное множество, например подгруппы некоторой
группы.
Определение. Интервалом [х, у] называется множество
всех элементов, лежащих «между» х и у, т. е. [х, y]={z^S\
x^zs^y}. Однако, допуская незначительную вольность речи,
мы иногда используем [х, у] для обозначения индуцированного
частично упорядоченного подмножества ({zeSl^^z^y}, ^).
Частично упорядоченное множество называется локально ко-
конечным, если каждый его интервал содержит конечное число
элементов.
Пример 2. а) Действительные числа с обычным порядком не
являются локально конечным частично упорядоченным множе-
множеством.
б) Частично упорядоченное множество конечных подмножеств
произвольного множества Т локально конечно.
Определение. Два частично упорядоченных множества на-
называются изоморфными, если они отличаются друг от друга
только обозначениями своих элементов и отношений порядка;
более строго, (S, ^) изоморфно (S', ^'), что записывается в
виде E, s?;)?e(S', ^'), если существует взаимно однозначное
отображение ф: S^>-S', такое, что х^.у тогда и только тогда,
когда фС*Х'ф({/).
316 Э. Бендер, Дж. Гольдман
Пример 3. Подмножества (продолжение). Пусть В(Тп) —
подмножества множества Тп, упорядоченные по включению, где
|Гп|=/г; Sn — множество всех /г-мерных двоичных векторов с
отношением а^:Ь, означающим: at^bi для всех п компонент
векторов а и Ь. Пусть 2„=EП, ^). Покажем, что В(Тп)^1,п.
Пусть t\, ti, ..., tn — список элементов множества Тп. Если
Х^Тп, то определим ф(Х)=*= (хь х2, ..., xn)^Sn, где
х=[0, если
1 A, если
Легко видеть, что ф — изоморфизм.
3. Обращение Мёбиуса
Теперь можно сформулировать и решить общую проблему об-
обращения, обсуждавшуюся в разд. 1. Доказательства даны в
«Основах» I.
Теорема 1 (первая формула обращения Мёбиуса). Пусть
A'=(jc)—вещественнозначная функция, определенная для всех
х из локально конечного частично упорядоченного множества
(S, ^), и предположим, что существует элемент m^S, такой,
что N=(x) =0, когда х^т. Определим N>(x) следующим обра-
образом:
Тогда
у:у>х
где \i (х, у) — функция Мёбиуса множества (S, ^), представ-
представляющая собой целочисленную функцию от двух переменных, оп-
определенную на множестве SxS условиями: \i(x, z) =0, если
(х,у) = Цх,г), B)
если x^.z (б(х, 2)—дельта Кронекера, т. е. д(х, х) — 1 и
6(х, z) =0, если
Замечание 1. Условие N=(x) =0 при х^пг гарантирует конеч-
конечность всех сумм в нашей теореме. Условия, при которых допус-
допустимы бесконечные суммы, пока еще не найдены (см. Хилле [17]).
Замечание 2. Предположение о вещественнозначности функ-
функции N=(x) можно опустить.
О приложениях обращения Мёбиуса в комбинаторном анализе 317
Теорема 2 (вторая формула обращения Мёбиуса). Пусть
(S, ^) — локально конечное частично упорядоченное множест-
множество. Пусть функция N=(x) определена для всех xeS и сущест-
существует такое l^S, что N={x)=0 при х^1. Определим М<(*) сле-
следующим образом:
Тогда
^ V-{y,*)N<{y), , C6)
у:у<х
где \i — функция Мёбиуса множества (S, ^).
Следствие 1. Функция Мёбиуса |х локально конечного час-
частично упорядоченного множества может быть вычислена рекур-
рекуррентным образом с помощью любой из формул
!*(¦*• У)' ¦*<*. Dа)
у. x<y<z
\>.{x,z)=— 2 !*(#• г)' x<z> Dб)
y:x<y<z
с учетом условия ц(х, х) — 1.
Следствие 2. Если в локально конечном частично упоря-
упорядоченном множестве 2 выполняются соотношения x^y^z^w,
то ц,(у, z) в 2 совпадает с ц(у, z) в [х, w]. («Окрестности» не су-
существенны, важен лишь интервал, в котором нам нужно
знать |х.)
Следствие 3. Если 2 и2' — изоморфные частично упорядо-
упорядоченные множества с функциями Мёбиуса ц и j/ соответственно
и если [х, y]s*\x', у'], то ц(х, у)--=ц'{х', у').
Пример 1. Целые числа (продолжение). Если 5 — множество
целых чисел с обычным порядком, то функция Мёбиуса опреде-
определяется соотношениями ц(л, я) = 1, \i{n, n+i)= — 1 и ц,(п, k)=0
(во всех других случаях). Это получается непосредственно, так
как мы уже решили задачу обращения (см. формулу A.1)), и
нам нужно только сравнить коэффициенты членов в A.1) с коэф-
коэффициентами общей формулы обращения C б), т. е. воспользовать-
воспользоваться методом неопределенных коэффициентов. Функцию Мёбиуса
можно также определить из формул Dа) и D6).
Прямые произведения. Основным способом вычисления функ-
функций Мёбиуса будет построение сложных частично упорядоченных
318 Э. Бендер, Дж. Гольдман
множеств из простых, вычисление |х для простых множеств с
помощью неопределенных коэффициентов и использование этих
результатов при вычислении |х для сложных множеств. Орудие
нашего построения — «прямое произведение». Другие более тон-
тонкие подходы можно найти у Рота [21].
Определение. Пусть 2i= (Si, ^1) и 2г= (S2, ^2) — час-
частично упорядоченные множества. Прямым произведением мно-
множеств 2i и 22 называется частично упорядоченное множество
2 = 2,Х22=E, О, где
1) S = SlXS2={(a, 6)|aeSb b^S2},
2) a^b в 2 тогда и только тогда, когда a^ibi и а2^2^2, где
а= (аи а2) и b= (b\, b2)-
Теорема 3 (теорема умножения). Если функциями Мё-
Мёбиуса для Ei и 22 являются соответственно ^ и |х2, то функция
Мёбиуса \i для множества ZiX22 определяется формулой
[»((х,, Xj), («/!, ^2)) = l*i(-«i. «/1)^2(^2, У2)- E)
Пример 2. Включение-исключение, подмножества. В примере
2.3 было установлено, что булева алгебра В(Тп) изоморфна
2„ — множеству л-мерных векторов из нулей и единиц. Но
?13eIiX2iX ... X2i, а для I, и у^х имеем ц(х, y) = (—l)v-*,
I
п раз
так как существуют только две возможности: х = у или х=0, у= 1.
Пусть.*<-> (xi, ..., хп) и у++{уи ..., уп) при изоморфизме В(Т)
Si; тогда
где | у | обозначает число элементов в у. Подставляя найденное
выражение для ц в равенство A6), получаем
т. е. основу принципа включения-исключения.
Пример 3. Делители, классическое обращение Мёбиуса (см.
примеры 1.3 и 2.1 (д)). По теореме о единственности разложе-
разложения числа на простые множители D(n)~D(pY) х. .. х/J (/А).
Следовательно, достаточно вычислить f* для D(pa). Мы уже
сделали это, так какО(р*) есть цепь /|р|р2| . . \р~, изоморфная
целым числам из примера 1. Поэтому
О приложениях обращения Мёбиуса в комбинаторном анализе 319
1, если /=/",
— 1, если у — / = 1,
О в остальных случаях.
По теореме умножения
il ~ a, =U или 1 для всех i,
если bt — а; > 1 для некоторого /.
\/=0 /=0
Таким образом,
где
1, если л= 1,
(— 1)*, если л —произведение k различных простых чисел,
0, если квадрат числа делит л.
(8)
Это классическая функция Мёбиуса. Поскольку D(n) есть ин-
интервал [1, л] множества А, то мы вычислили ц и для А. Можно
было бы вывести G) непосредственно, заметив, что из теоремы
о единственности разложения числа на простые множители вы-
вытекает соотношение [a, 6]=[1, bja]. Равенство C6) здесь прини-
принимает вид
~ ~~~ /"<(«/), (9а)
У\х у\х
как и ожидалось, а формула A6) дает
У ¦ х\у
т. е. несколько менее известный вид обращения, использующий
классическую функцию Мёбиуса (см. Харди и Райт [16]).
Рассмотрим два приложения полученного результата.
а)Функция Эйлера, ф-функция Эйлера определяется так: ф(я)
есть число положительных целых чисел х, меньших п и взаимно
простых с ним, т. е. Н. О. Д. (п, х) = 1.
Пусть N-_=(n) =ф(л). Для вычисления Л^< (л) разобьем мно-
множество [л]={1, 2,...,«} на подмножества S<j={fe[«]|
Н. О. Д(г, n)=d). Подмножества Sd попарно не пересекаются, и
их объединение совпадает с [л]. Следовательно, п— 2 |5d|. Но
d\n
320 Э. Бендер, Дж. Гольдман
тогда и только тогда, когда i = kd, где k^.i и Н. О. Д.'
(k, n/d) = l. Поэтому Sd\ = <?^ и № = 5]<p(-7) =
= W<(#). Применяя обращение Мёбиуса, получаем
¦J \ I pi рг pip2
так как [i(n/d) отлично от нуля только тогда, когда n/d есть
произведение различных простых чисел. Таким образом,
р\п
где произведение берется по всем простым р, делящим п.
б) Подсчет ожерелий. Предположим, что имеется неограни-
неограниченный запас бусинок k различных цветов. Сколько можно пост-
построить ожерелий, состоящих из п бусинок? Следует точно опреде-
определить, какие ожерелья считаются одинаковыми. Каждое оже-
ожерелье имеет переднюю и заднюю стороны, но циклический сдвиг
бусинок (i-я бусинка переходит на место (г+1)-й) не изменяет
ожерелье.
Перемещая все п бусинок «по кругу», мы обнаружим, что
после некоторого числа сдвигов, скажем через d сдвигов, перво-
первоначальная «цветовая конфигурация» повторится, при этом d бу-
будет делителем числа п. Периодом называется наименьшее число
сдвигов, приводящее к исходной конфигурации.
Так, например,
RWBRWB—BRWBRW—WBRWBR-.RWBRWB
т. е. эта цепочка имеет период 3. Предположим, что у нас есть
цепочка длины п и периода d. При сдвигах получаем d различ-
различных цепочек, включая и первоначальную. Соединяя концы каж-
каждой такой цепочки, имеем одно и то же ожерелье. Более того,
только такие цепочки дают это ожерелье. Наша «циклическая
задача» сводится к «линейной»
# ожерелий1 длины я=\,— (# цепочек периода of).
ЛшЛ d
d\n
1 < # ожерелий длины п» означает «число ожерелий длины л». — Прим.
перев.
О приложениях обращения Мёбиуса в комбинаторном анализе 321
Мы не указали длину цепочки в правой части, так как она од-
однозначно определяется начальными d бусинками. Очевидно, что
# цепочек длины л=\" # цепочек периода d.
d\n
Левая часть равна kn, поскольку используются бусинки k цветов.
Обращение Мёбиуса дает
# цепочек периода d=\^ y.|— \kx.
x\d
Отсюда находим
# ожерелий длины п= \\ — V jjY—\kr—
din x\d
2
d\n
здесь упрощение осуществлялось с помощью тождества A0).
Пример 4. Выпуклые многогранники. Очень подробно и пре-
превосходно выпуклые многогранники рассмотрены Грюнбаумом
[14]. Назовем cf-мерным выпуклым многогранником ограниченное
d-мерное множество точек евклидова пространства, которое мож-
можно представить как пересечение полупространств. (Полупрост-
Рис. 1.
ранством называется множество точек, лежащих по одну сторо-
сторону от гиперплоскости.) Например, треугольник на рис. 1 есть
пересечение трех полуплоскостей, определяемых линиями (гипер-
(гиперплоскостями) а, Ь, с. Здесь 123 назовем 2-гранью (т. е. 2-мерной
гранью) многогранника, 12, 23, 31 назовем 1-гранями и 1, 2, 3 —
соответственно 0-гранями. Грани высших размерностей могут
быть определены в терминах опорных гиперплоскостей (Грюн-
баум [14]). Многогранник можно также рассматривать как вы-
322 Э. Бендер, Дж. Гольдман
пуклое замыкание конечного множества точек в /г-пространст-
ве Rn.
Пусть Р есть d-мерный многогранник и Э~Р — частично упо-
упорядоченное множество граней многогранника Р, упорядоченных
по включению, причем учитываются и пустая грань 0, размер-
размерность которой полагается равной —1, и «вся грань» Р. Для лю-
любой грани х^&~р
[0. А=$х- (И)
Пусть fh (x) есть число й-мерных граней, содержащих х. Тогда
обобщенное соотношение Эйлера дает ^(— Yf~>'fj(x) =
= 6(х, Р), где 6(х, Р) —дельта Кронекера (см. Грюнбаум [14]).
Это равенство можно переписать так:
= Ъ(х, Я), A2)
у-уг *
где d(y) — размерность грани у. Из A2) и B) получаем
-, Р) = {—l)d(p)-d(y), а затем в силу A1) приходим к формуле
<Ч A3)
Это наводит на мысль, что для частично упорядоченных мно-
множеств можно развить теорию гомологии, причем jj, будет связано
с эйлеровой характеристикой. Изучение этого вопроса начато
Рота [21, 22].
Далее, 6-мерный симплекс имеет кЛ-\ вершин, и каждое под-
подмножество из у+1 вершин определяет /-мерную грань. Снмпли-
циальный многогранник есть многогранник Р, в котором каждая
грань, за исключением, возможно, Р, является симплексом; нап-
например, треугольники, октаэдры и тетраэдры суть симплициаль-
ные многогранники. В то время как соотношение Эйлера (или,
что то же самое, формула A3)) является единственным соотно-
соотношением, справедливым для граней любого многогранника, мож-
можно ожидать, что для симплициальиых многогранников сущест-
существуют еще какие-нибудь соотношения. В этом случае из х^.у<Р
следует, что интервал [х, у] изоморфен частично упорядоченному
множеству подмножеств {d(y)—d(x))-элементного множества.
Используя Dа), чтобы просуммировать \i(x, P) по всем
с d{x) —j<d(P), получаем;
(- ij-o-wh ^ (- ir (*!';?})/*(»)•
Если положить w = 0, то d{w)= — 1, п мы приходим к уравне-
уравнениям Дэна-Соммервилля (см. Грюнбаум [14]).
О приложениях обращения Мёбиуса в комбинаторном анализе 323
Пример 5. Раскраска карт. Карта — это плоский граф: (ко-
(конечная) совокупность связных областей на плоскости, ограни-
ограниченных гладкими кривыми. Две страны, разделенные некоторой
кривой (более чем одной точкой), называются смежными. Если
страны раскрашены так, что нет двух смежных стран, раскра-
раскрашенных в один и тот же цвет, то раскраска считается правиль-
правильной. Пусть G— карта и MG(A,) —число ее правильных раскра-
раскрасок. Подкарта карты G получается из G путем стирания некото-
некоторых границ между странами. Любая карта может быть раскра-
раскрашена /|С| способами, где \G\ —число стран на карте G. Каждая
такая раскраска является правильной ровно для одной подкар-
ты G. (Нужно стереть границы между странами, раскрашенны-
ными в один цвет.) Отношение «является подкартой» превра-
превращает множество подкарт карты G в частично упорядоченное
множество, и
Так как интервал [0, у] изоморфен упорядоченному множеству
подкарт карты у, имеем
Следовательно, если мы положим N=(x) =МХ(Х), то получим
iV< (у)*=,Х^1. Применяя обращение Мёбиуса и полагая y=G, при-
приходим к формуле
По очевидным соображениям MG{\) называют хроматическим
многочленом графа G. Если мы не имеем простого способа вы-
вычисления значений |х, то нахождение многочлена Mg{"K) стано-
становится трудной задачей. Хроматические многочлены были вве-
введены Биркгофом и Люисом [2] при исследовании проблемы че-
четырех красок. Литература на эту тему включает работы Уитни
[28] (он получил формулу ц-обращения для булевых алгебр),
Рота [21], Вилфа [29] и Рида [20] (последняя работа содержит
прекрасное изложение ряда свойств хроматических многочле-
многочленов). Хорошим упражнением является повторение некоторых до-
доказательств Рида с использованием свойств ц-функции.
Вводя граф, двойственный карте, и заменяя операцию стира-
стирания границ операцией стягивания ребер, можно исследовать об-
общую задачу правильной раскраски вершин произвольного гра-
графа точно так же, как это мы сделали для карт (см. Рота [21]).
324 Э. Бендер, Дж. Гольдман
Используя в качестве основного средства обращение Мёбиу-;
са, Крапо и Рота [3] показали, что проблема четырех красок и
изучение хроматических многочленов являются частными слу-
случаями более общей задачи, а именно критической проблемы для
комбинаторных геометрий. Эта задача, состоящая в нахожде-
нахождении минимальных множеств разделяющих гиперплоскостей для
множества точек в конечных проективных пространствах, вклю-
включает как частные случаи некоторые задачи теории кодирования
и результаты Сегре, связанные с характеризацией независимых
множеств в проективном пространстве (см. Доулинг [6]).
4. Разбиения множества
(Неупорядоченным) разбиением конечного л-элементного
множества Sn называется произвольная совокупность {пь Я2, ...}
непустых попарно непересекающихся его подмножеств, объеди-
объединение которых равно Sn, т. е. щ [)nj = 0, если 1ф\, и U ni = Sn.
i
Например, {{1, 3}, {2}} есть разбиение множества {1, 2, 3}. Мно-
Множества л; называются блоками разбиения.
Пусть S(n, k) обозначает число разбиений множества Sn на
k блоков. Числа S (n, k) называются числами Стирлинга второго
п
рода. Числа Bn = *SS(ti, k) называют числами Белла.
й = 1
Хотя изучение чисел Стирлинга и Белла представляет неко-
некоторые трудности (см. Рота [23]), число разбиений, имеющих точ-
точно bi блоков размера i, t=l, 2, ..., 'находится легко. Разбиение
такого вида будем называть разбиением типа Ь. Подсчитывая
подстановки данного 'множества двумя различными способами,
легко показать, что
- ()
# разбиений типа Ь= . A)
П 6,-!*г
Пусть Р— множество всех разбиений множества S; л={яь
Я2, ...} и о={о\, 02, •••} принадлежат Р. Назовем п уточнением
а, если каждый блок п, из л содержится в некотором блоке а,
из а (или, иначе говоря, каждый блок а, получается «слиянием»
некоторых блоков щ). Мы превратим Р в упорядоченное мно-
множество Il(Sn)=IIn=(P, ^), если положим п^ст, когда л яв-
является уточнением а. Множество Ип называется частично упоря-
упорядоченным множеством разбиений множества Sn, упорядоченных
по уточнению.
Вычислим ц(п, о), следуя Фрухту и Рота [10]. В силу след-
следствия 3.2 достаточно изучить интервал [л, о]. Поскольку а полу-
О приложениях обращения Мёбиуса в комбинаторном анализе 325
чается путем слияния блоков разбиения я, то для нас не суще-
существенно, какие элементы принадлежат конкретному блоку раз-
разбиения я; например, говоря, что разбиение {{1, 2}, {3}, {4}}
уточняет разбиение {{1, 2}, {3, 4}}, мы не интересуемся отдель-
отдельными элементами 1 и 2 блока {1, 2} и могли бы вместо этого
сказать, что {{2}, {3}, {4}} уточняет разбиение {{2}, {3, 4}},
Следовательно, изучая ц на интервале [п, а], достаточно рас-
рассматривать только такие разбиения п, блоки которых содержат
по одному элементу, т. е. так называемые полные измельчения.
Для обозначения полного измельчения мы используем символ 0.
Итак, ограничимся интервалами вида [0, о].
Пусть (Т={оь (Т2, —, cTfe} (di — это блоки). Так как каждое
измельчение разбиения а состоит из некоторого разбиения каж-
каждого из блоков Oi, то измельчение р разбиения а можно рассмат-
рассматривать как упорядоченный й-набор (рь р2, ..., рь), где pt- есть
измельчение разбиения Oi. Таким образом, [0, a]={0i, ai]X...
... X[0ft, Oh]- По теореме умножения достаточно рассмотреть \л на
интервале [0, ш], где w состоит из одного блока. Разбиение, со-
состоящее из одного блока, обычно обозначают символом 1. Пусть
1 имеет п элементов; положим ц,п = ц@, 1). Мы показали, что
т
|х (я, о)=Ц[хл. для всех я, а?Р, B)
где о={ви .... От}, я={яь ..., п„} и Oi есть объединение точно
щ блоков щ.
Используя метод неопределенных коэффициентов, вычислим
теперь ц@, 1). Для этого свяжем разбиения с функциями.
Пусть Sn — некоторое л-множество и X — произвольное мно-
множество, состоящее из х элементов. Произвольной функции
/: Sn-*~X сопоставим следующим образом разбиение множества
Sn'- блоками разбиения являются прообразы элементов множе-
множества X. Это разбиение называется ядром или кообразом рассмат-
рассматриваемой функции. Различные функции могут иметь одинаковые
ядра. Ядра и их обобщения составляют основу комбинаторной
интерпретации конечных разностей (см. Муллин и Рота [19]).
Пусть N=(n)—число таких функций, отображающих Sn в
X, ядра которых совпадают с я, и пусть N> (л) —число функ-
функций, ядра которых ^п (в смысле порядка в Пп). Имеем
N>(n)= 2 ^-ОО- C)
а: о>тс
Применяя обращение Мёбиуса, находим
'326 Э. Бендер, Дж. Гольдман
Полагая п = 0, получаем
Здесь А^=@) есть число взаимно однозначных функций, так?
как прообраз каждого элемента должен быть только элементом. \
Следовательно, N^@) =х(х—1 ).,.(*—п+\) = (х)п. Предполо- \
жим, что а имеет г (а) блоков. Тогда некоторая функция «под-^
считываетея» сомножителем N> (а) лишь в том случае, если она г
отображает все элементы произвольного блока разбиения а в ]
один элемент, причем различные блоки могут быть отображены ;|
в один и тот же элемент, так как ядро должно быть только ^a. J
•Следовательно, jV> (з) = хг<<'). Подставляя это выражение в E),"^
получаем |
*(*—1).. .(*—д+1) = 2|*@' а)хГ{°к FI
Поскольку это соотношение справедливо для бесконечного i
¦числа значений х, оно является полиномиальным тождеством, j
(Такова распространенная комбинаторная техника вывода поли-|
номиальных тождеств.)
Очевидно, г(о) = \ тогда и только тогда, когда а=1, т. е. ког--
да разбиение а состоит из одного блока. Приравнивая коэффи-;
циенты лри х в обеих частях тождества F), получаем
,»„=(-1)«-1(л-1)!. GI
Подставляя этот результат в B), видим, что
у, (л, o) = f| (— I)"' («;— 1)! = ( — lyc™)-^0) J~[ (л.г- — 1)!, (8)
где i-й блок разбиения а (для некоторого фиксированного по-
порядка блоков) есть объединение точно щ блоков разбиения л.
Тождество F) дает .некоторую дополнительную информацию.,
Пусть s(n, k)= V Iх @> °)- Тогда в силу F)
o:r(er)=ft
\ /ft / V"'» *^/ ^ • \ /
Числа s(n, k) называются числами Стирлинга первого рода. Мы
получили здесь принадлежащую Рота [21] комбинаторную интер-
интерпретацию чисел s(n, k): они являются суммами значений функ-
функции Мёбиуса.
О приложениях обращения Мёбиуса в комбинаторном анализе 327
¦ Пример 1. Формула Варинга для симметрических функций.
При вычислении функции Мёбиуса для разбиений мы установи-
установили равенство E), выражая число взаимно однозначных функций
через число всех функций. Повторяя это рассуждение в терми-
терминах «производящих функций», соответствующих каждой функ-
функции, придем к симметрическим функциям.
Пусть Sn = {l, 2, ..., п) и Х={хи ..., xi), где 1^п и хи х2,.., хх —
независимые переменные. Каждой функции F: Sn-+X с ядром а
поставим в соответствие мономиальную производящую функцию-
Она имеет г (а) нетривиальных множителей и степень п. Если F
есть множество функций, то производящая функция g(F), зада-
задаваемая соотношением g(F) = ^ ?(/)> есть многочлен от не-
неге/*
скольких переменных.
Проведем теперь упомянутое рассуждение. Пусть N=(o) —
производящая функция множества всех функций из Sn в X, име-
имеющих ядро а. Тогда N> (a) — производящая функция множест-
множества всех функций из Sn в Лг, имеющих ядро ;=га. Применяя обра-
обращение Мёбиуса и подставляя о = 0, получаем
N^@)^^@, я)ЛГ>(д). (Щ
Но W=»@) — производящая функция для множества всех взаим-
взаимно однозначных функций — очевидно, равна
где сумма берется <по всем упорядоченным множествам, состоя-
состоящим из п различных индексов, принадлежащих множеству
{1, 2, ..., /}. Следовательно, как вытекает из определения, функ-
функция /V=@) равна произведению п\ на элементарную симметриче-
симметрическую функцию степени п от I переменных (обозначаемую через
ап). Покажем теперь, что
где я имеет bt блоков размера i и множитель Х\1 + ...+х^ соот-
соответствует определенному блоку размера L Каждое слагаемое в
разложении правой части выражения A1) соответствует некото-
некоторому выбору образов для каждого из рассматриваемых блоков.
Следовательно, получили производящую функцию для множест-
множества всех функций, которые постоянны на блоках разбиения я. Но
эта производящая функция есть как раз JV> (п), так как припи-
328 Э. Бендер, Дж. Гольдман
сывание одного и того же образа двум различным блокам экви-
эквивалентно слиянию их в ядре.
В теории симметрических функций x^ + .-. + x^Si 'Называет-
'Называется симметрической степенной суммой. Если подставить A1) в
A0) и собрать члены с одинаковым типом разбиения л, то по-
получим формулу Варинга
здесь мы воспользовались соотношениями A) и (8), причем
b=(b\, b% ...) пробегает все типы, т. е. bi + 2bz+... = n. Следова-
Следовательно,
Обобщения см. у Соломона и Мак-Элиса [24, разд. 7]. Дубиле
[4] изложил с этих позиций основные положения теории симмет-
симметрических функций.
Пример 2. Связные графы. Мы хотим подсчитать число сп
связных помеченных графов с п вершинами. Пусть S — множе-
множество вершин и ПE) —решетка разбиений множества S. Число
помеченных /г-вершинных графов без петель и кратных ребер
равно 2^2', так как мы можем выбрать в качестве ребер любую
совокупность пар вершин. Обозначим через Л/=(л) число таких
помеченных графов, что каждый блок разбиения л «помечает»
связную компоненту, т. е. число графов, компоненты которых
индуцируют на множестве S разбиение л. Тогда cn = N=(l), и
имеем
Мы может вычислить Л/< (л). Эта величина равна числу всех
помеченных графов, у которых различные блоки разбиения я
«помечают» различные множества компонент1. Следовательно,
1 То есть любой блок разбиения представляет собой объединение некото-
некоторых (соответствующих этому блоку) компонент. Здесь каждая компонента
рассматривается, естественно, как множество содержащихся в ней вершин. —
Прим. ред.
О приложениях обращения Мёбиуса в комбинаторном анализе 329
N<(n) = l\2^"i, A3)
где я имеет тип Ь. Используя обращение Мёбиуса, находим
число N=A) свяэных графов
что в силу соотношений (8) и A3) равно
Учитывая еще A), имеем
Эта формула эквивалентна следующему соотношению для про-
производящих функций: C(A:)=lnG(A:), или G (х) = ехр С (х). Об
экспоненциальных формулах вида А(х) =ехрВ(х) для произво-
производящих ^функций говорится, например, в работах Дубиле, Рота и
Стенли [5] («мёбиусовский» подход) и Бендера и Гольдмана [1]
(другой подход).
5. Векторные пространства
Пусть Vn(q) есть /г-мерное векторное пространство над по-
полем из q элементов. Упорядочим подпространства из Vn(q) по
включению: если U и У— подпространства из Vn(q), то U^V
тогда и только тогда, когда U—'подпространство из V. Резуль-
Результирующее частично упорядоченное множество обозначим
L(Vn(q)). Оно является «геометрической решеткой» (ом. Крапо
и Рота [3]), так как L(Vn{q)) есть решетка подпространств про-
проективного пространства.
Изучение подпространств конечного векторного пространст-
пространства имеет глубокие аналогии с изучением подмножеств конечно-
конечного множества (см. Гольдман и Рота [12, 13]). Связь здесь, веро-
вероятно, глубже, чем просто аналогия, но объяснения этому до сих
пор не найдено. Некоторые из этих аналогий обсуждаются в на-
настоящем разделе.
Известно, что | ) перечисляет йнподмножества /г-множества
\k/
Введем (по аналогии с биномиальным коэффициентом (пХ\
330 Э. Беидер, Дж. Гольдман
гауссов коэффициент ( | (в литературе используется также
\k)q
символ \п ), определяемый как число й-мерных подпространств
I* J/ .
пространства Vn(q). Чтобы найти коэффициенты / | , будем 1
\k}q S
действовать подобно тому, как действуют при вычислении бино-j
миальных коэффициентов: \
+Ё наборов, содержащих k различных элементов п-множества
# наборов, содержащих k различных элементов fe-множества
AI
/п\ 1+наборов, состоящих из k независимых векторов пространства Vn(q)
\k/Q 4Ф наборов, состоящих из k независимых векторов пространства Vk{q)
Найдем значение числителя во второй дроби из A). Мы мо-
можем выбрать первый вектор qn—1 способами (число ненулевых
векторов в Vn(q)). Выбранный вектор порождает q векторов, а
именно все кратные ему; следовательно, мы можем выбрать вто-
второй вектор qn—q способами. Два выбранных вектора порождают
(с помощью линейных комбинаций) q2 векторов; поэтому третий
вектор можно выбрать qn—q2 способами. Повторяя это рассуж-
рассуждение нужное число раз, имеем
# наборов, состоящих из k независимых векторов пространства
Vn(q) = (qn—l) (qn—q)...(qn—qk~l).
Если n — k, то получаем знаменатель второй дроби из A); следо-
следовательно,
B)
Если в соотношении B) правую часть рассматривать как
функцию от переменной q и коэффициент (*)« определить с
помощью формулы B), то легко получить
lim =| . C)
Это первое проявление связи между подпространствами и под-
подмножествами, которая столь же загадочна, сколь и пленительна.
В некотором смысле «множество есть векторное пространство
над полем из одного элемента» — понятие, которое нуждается
в определении. К сожалению, хорошее определение неизвестно.
О приложениях обращения Мёбиуса в комбинаторном анализе 331
Соотношение C) является своеобразным эвристическим пу-
путеводителем: с его помощью можно пытаться угадывать соотно-
соотношения над векторными пространствами (по аналогии с соотноше-
соотношениями для множеств). Оно также позволяет осуществлять про-
проверку правильности формул для векторного пространства; надо
положить <7-И- Например^
При q'-*-l получаем известные тождества для биномиальных ко-
коэффициентов. Оба эти тождества можно вывести непосредствен-
непосредственно из B) с помощью алгебраических преобразований. Комбина-
Комбинаторные доказательства немного сложнее (см. Гольдман и Ро-
та [13]).
Для вычисления функции Мёбиуса \i(x, у) множества
L(Vn(q)) покажем вначале, что структура интервала [х, у] за-
зависит лишь от разности d(y)—d(x), где d обозначает размер-
размерность. Чтобы показать это, выберем такой базис V\, ..., оад под-
подпространства у, чтобы первые d(x) векторов образовывали ба-
базис в х. Положим
/A);)=0, если /<af(x), и f{vi) = vi в противном случае.
Иопользуя это отображение, можно показать, что [х, y]s±[0, z]
для некоторого подпространства г, где d(z)=d(y)—d(x). Дейст-
Действительно, в качестве z можно взять фактор-лространство у/х.
Так «век все fe-мерные пространства над полем из q элементов
изоморфны, то остается только вычислить \i@, Vn(q)) для всех
п. Функция Мёбиуса имеет вид
ft,=l*lO. *"„(?)) = (-W5). E)
Рота [21] получил этот результат из более общих теорем о
функциях Мёбиуса. С иомощью средств, имеющихся в нашем
распоряжении, его можно доказать и по индукции. Мы же вос-
воспользуемся здесь методом неопределенных коэффициентов; вы-
вычислим двумя способами число взаимно однозначных линейных
отображений 'пространства Vn(q) в векторное пространство Х>
содержащее х элементов.
Для каждого подпространства UeBL(Vn(q)) обозначим че-
через N=(U) число таких линейных отображений /; Уп-+Х, у ко-
которых ядро совпадает с U, т. е. /~1@) = L'. Тогда N> (U) равно
числу линейных отображений из Vn в X, у которых ядро содер-
содержит U. Иопользуя обращение Мёбиуса, получаем
332 Э. Бендер, Дж. Гольдман
И При ?/ = 0
2 F)
По определению N=@) — число линейных отображений с три-
тривиальным ядром, т. е. число взаимно однозначных линейных
отображений. Такое отображение однозначно определяется за-
заданием списка, содержащего п независимых векторов, т. е. зада-
заданием образа упорядоченного базиса пространства Vn(Q). С по-
помощью рассуждений, использованных при получении формулы
B), получаем, что число взаимно однозначных отображений из
У„вХ|равно (я—1) (х—q)...(x—qn~l).
Теперь вычислим JV> (W). Ядро линейного отображения со-
содержит W, если W отображается в 0, а остальные векторы ото-
отображаются произвольным образом. Следовательно, если Ь\,
Ъч, ..., Ьп — базис пространства Vn, где Ь\, ..., bd(w) — базис W, то
нужно отобразить Ьх, ..., baiyv) в 0, а другие п—d(W) базисных
векторов — в любые векторы пространства X. Таким образом,
7V (W)dl
Подставляя полученные выражения в F), получаем
G)
Так как это тождество справедливо для бесконечно многих зна-
значений х, оно является полиномиальным тождеством. Приравни-
Приравнивая свободные члены в обеих частях, имеем
что доказывает соотношение E). При q-+\ получаем функцию
Мёбиуса для булевых алгебр: цп= (—1)п.
Пример 1. q-тождества. Теперь, когда мы доказали формулу
E), соотношение G) можно переписать в виде
П(^-^) = 2(^)в(-1)*^*^-*. (8)
Типичный прием — положить x = z/y и умножить на уп, чтобы
избавиться от дробей. Появляется новая переменная:
п—1 п ft.
ft=0
О приложениях обращения Мёбиуса в комбинаторном анализе 333
Часто такие д-биномиальные тождества получают с помощью
перечисления соответствующих объектов двумя способами. Это
можно сделать, рассматривая векторные пространства или раз-
разбиения числа. Чтобы увидеть, как «возникают» разбиения, напи-
напишем соотношение
1=0
Тогда anh(i) есть число разбиений числа i не более чем на k
частей, каждая из которых не превосходит п (см. Мак-Магон
[18]). В тождествах, в которых «сумма равна произведению»,
как в соотношении (8), q часто входит с показателем, представ-
представляющим собой квадратный многочлен. Здесь мы имеем д^2'.
Многочлены более высоких степеней в качестве показателей,
по-видимому, не появляются. Это не понятно, но может быть свя-
связано С формулой ДЛЯ [in.
Поскольку (9) справедливо для бесконечно многих значений
q, оно является полиномиальным тождеством. Полагая z=l и
выбирая |<7| <1, получаем при л->-оо следующее соотношение:
Рассматривая сходимость по д-адичеокой норме (см. Ван дер
Варде,н [25]), можно упростить многие пределы для ^-тождеств
(см. Гольдман и Рота [13]).
Приведем теперь пример, в котором естественным инструмен-
инструментом является обращение, примененное к подпространствам.
Пример 2. Порождающие подмножества. Продолжая обсуж-
обсуждение примера 1.4, условимся, что 0 ничего не порождает, а
{0} порождает 0-мерное подпространство. Так как каждое не-
непустое подмножество порождает некоторое подпространство, то
Af< (U) задается формулой
С помощью обращения Мёбиуса получаем N=.(Vn(q)):
# подмножеств, порождающих Vn(q) = \^(n\ jxftB*"~ft— 1).
"~ft
A0)
При q->-l естественно ожидать, что будет одно порождаю-
порождающее подмножество, но A0) сводится к
334 Э. Бендер, Дж. Гольдман
ft0 ft=0
Что'бы при q=\ формула A0) была «правильна», необходимо
заменить 2«"~* на 2n~h при q=\. Это приводит к выражению
,..,
В действительности A1) перечисляет порождающие множе-
множества проективных пространств, тогда как A0) относится к аф-
аффинным пространствам. Это иллюстрирует ограниченность идеи
предельного перехода <7->1. Для использования этой идеи нужно,
чтобы наша формула относилась к объектам, подсчитываемым
в проективном, а не в аффинном пространстве, т. е. она должна
быть выражена в терминах объектов из L(Vn), а именно под-
подпространств, и не содержать «прямых ссылок» на векторы про-
пространства. Векторы — это аффинные точки, а проективными
точками являются 1-мерные подпространства.
Ф. Холл [15] и Вайснер [26, 27] применили обращение Мёбиу-
Мёбиуса к перечислительным задачам для р-групп. Так как значение
|л, для L(Vn(p)) имеется и так какр||хй, если k=^=0, то получают-
получаются сравнения ло модулю р.
Список литературы
[1] Е. A. Bender and J. R. Goldman. Enumerative uses of generating functions*
Indiana University Math. /.,20 A971), pp. 753—765.
[2] G. D. Birkhoff and D. С Lewis. Chromatic polynomials, Trans. Amer. Math.
Sac, 60 A946), pp. 355—451.
[3] H. Crapo and G.-C. Rota. On the Foundations of Combinatorial Theory:
Combinatorial Geometries. K. I. T. Press, 1971.
[4] P. Doubilet. On the foundations of combinatorial theory VII. Summetric
functions through the theory of distribution and occupancy, Studies in
Applied Math., E1) 4 A972), pp. 377—396.
[5] P. Doubilet, G.-C. Rota, and R. P. Stanley. The idea of generating function,
Proc. Sixth Berkeley Symp. Math. Stat. and Prob., vol. 2, University
of California Press, 1973, pp. 267—318. [Русский перевод см. в настоящем
сборнике стр. 160.]
[6] Т. Dowling. Codes, packing, and the critical problem, Atti Convegno Geo-
metria Combinatoria Sue Applicazioni, Perugia, A971).
[7] W. Feller. An Introduction to Probability Theorey and its Applications. 3rd
ed. Wiley, New York, 1968, chap. 4. [Русский перевод 1-го издания:
В. Феллер. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. М.: «Мир»,
1964.]
[8] Н. J. Ryser. Combinatorial Mathematics, MAA, Carus Monograph No. 14,
1963 [Русский перевод: Райзер Г. Комбинаторная математика. М.: «Мир»,
1966.]
О приложениях обращения Мёбиуса в комбинаторном анализе 335
[9] М. Frechet. Les probabilites associees a un systeme d'evenement, compatible
et dependents, Actualites Sci. Indust. A940 and 1943) 859 and 942. Paris,
Hermann.
[10] R. Frucht and G. C. Rota. Polinomios de Bell у Particiones de Conjunto
Finitos, Scientia, 130 A966), pp. 67—74.
[11] R. Gilman. A combinatorial identity with applications to representation
theory. Illinois J. Math., 17 A973), pp. 347—351.
112] J. R. Goldman and G. C. Rota. The Number of Subspaces of a Vector Space.
Recent Progress in Combinatorics. Academic Press, New York, 1969,
pp. 75—83, edited by W. T. Tutte.
{13] . On the foundations of combinatorial theory IV. Finite vector
spaces and Eulerian generating functions, Studies in Appl. Math., 49 A970),
pp. 239—258.
[14] B. Uriinbaum. Convex Polytopes, Interscience, New York, 1967.
[15] P. Hall. A contribution to the theory of groups of prime-power order. Proc.
London Math. Soc, 36 A934), pp. 24—80.
[16] G. H. Hardy and E. M. Wright. An Introduction to the Theory of Numbers,
4th ed., Oxford University Press, New York, 1960, Theorem 270.
[17] E. Hille. The inversion problem of Mobius. Duke Math. J., 3 A937),
pp. 549—568.
[18] P. A. MacMahon. Combinatory Analysis, vols. I, II, Cambridge University
Press, New York, 1916. Reprinted as one volume by Chelsea. New York,
Sect. 241.
J19] R. Mullin and G.-C. Rota. On the Foundations of Combinatorial Theory, III:
Theory of Binomial Enumeration, Graph Theory and its Applications, Acade-
Academic Press, New York 1970, pp. 167—213, B. Harris, ed.
[20] R. С Read. An introduction to chromatic polynomials. /. Combinatorial
Theory, 4 A968), pp. 52—71.
[21] G.-C. Rota. On the foundations of combinatorial theory. I. Theory of Mobius
functions. Z. Wahrscheinlichkeitstheorie und Verw. Gebiete, 2 A964),
pp. 340—368.
?22] On the Combinatorics of the Euler Characteristic, Studies
in'Pure Mathematics, Academic Press, New York, 1971, pp. 221—233.
(L. Mirsky, ed.).
[23] . The number of partitions of a set. The American Math. Mont-
Monthly, 71, A964), pp. 498—504.
[24] G. Solomon and R. McEliece, Weights of cyc/ic codes, /. Combinatorial
Theory, 1 A966), pp. 459—475.
[25] B. L. van der Waerden. Algebra I. Achte Auflage der modernen Algebra,
Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, New York, 1971. [Русский перевод:
Ван дер Варден Б. Л. Алгебра, М.: «Наука», 1976.]
[26] L. Weisner. Abstract theory of inversion of finite series. Trans. Amer. Math.
Soc, 38 A935), pp. 474—484.
[27] . Some properties of prime-power groups. Trans. Amer. Math.
Soc, 38 A935a), pp. 485—492.
[28] H. Whitney. A logical expansion in mathematics. Bull. Amer. Math. Soc, 38
A932), pp. 572—579.
[29] H. S. Wilf. The Mobius Function in Combinatorial Analysis and Chromatic
Graph Theory, Proof Techniques in Graph Theory, (F. Harary, ed.), Acade-
Academic Press, New York, 1969, pp. 179—188.
О НЕКОТОРЫХ ТЕНДЕНЦИЯХ ТЕОРИИ ПЕРЕЧИСЛЕНИЯ
ДОПОЛНЕНИЕ-ОБЗОР »
Г. П. Гаврилов, В. А. Лисковец, П. П. Пермяков,
Б. И. Селиванов
1. В предлагаемом вниманию читателей обзоре мы попыта-
попытались кратко охарактеризовать основные этапы развития комби-
комбинаторной теории перечисления и указать важнейшие направле-
направления современных исследований в этой области.
Комбинаторная теория перечисления (или, иначе, теория пе-
перечисления комбинаторного анализа) занимается в основном
нахождением и исследованием формул для точного и асимпто-
асимптотического подсчета элементов в различных классах комбинатор-
комбинаторных объектов. Решение конкретной задачи перечисления позво-
позволяет установить специфические комбинаторные свойства исход-
исходных объектов, проявляющиеся в самой процедуре перечисления
или вытекающие из получаемых результатов.
Комбинаторная теория перечисления — традиционная и наибо-
наиболее развитая ветвь современного комбинаторного анализа, име-
имеющая важные и разнообразные приложения. Перечислительные
задачи и методы их решения долгое время составляли практи-
практически все содержание комбинаторики.
Элементарные предложения комбинаторики появились очень
давно. Например, биномиальные коэффициенты и рекуррент-
рекуррентный способ их вычисления с 'использованием «треугольника
Паскаля» были известны за несколько веков до Паскаля.
Во второй половине 17 в. на смену разрозненной совокупно-
совокупности комбинаторных задач, решаемых индивидуальными приема-
приемами, пришло общетерретическое их рассмотрение. Первые постыт*
ки построения комбинаторной теории принадлежат Лейбницу
и Я. Бернулли. Тогда же возник метод производящих функций
(м. п. ф.) —основной метод комбинаторной теории перечисле-
перечисления. К числу предпосылок возникновения этого метода относят-
относятся: накопление'и развитие приемов решения перечислительных
комбинаторных задач, использование рекуррентностей, обобще-
обобщение теоремы о биноме, развитие приемов оперирования со сте-
степенными рядами, усовершенствование и широкое распростране-
распространение буквенной символики.
Первое /известное применение м. п. ф. принадлежит Лейбни-
Лейбницу (см. [1]) и относится к 1676 или 1700 г. Лейбниц заметил, что
1 Настоящий обзор составлен редактором сборника по материалам, пред-
представленным независимо указанными авторами. — Прим. ред.
О некоторых тенденциях теории перечисления 337
коэффициенты в разложении полинома (а + Ь + с + ...)Р совпада-
совпадают с числами сочетаний с повторениями, содержащими по р
букв из множества {а, Ь, с, ...}. В 1713 г. Монмор в своей книге
[2] сформулировал это утверждение как «новую и очень важную
теорему».
В 1730 г. Муавр [3] применил м. п. ф. к доказательству фор-
формулы для числа способов получения р очков при бросании d
/-гранных костей. Это число равно коэффициенту лри rP~d в раз-
разложении выражения (l+r + r2+-... + rf-l)d= (I— r/)d(l— r)~d.
В 1740 г. Симпсон, следуя Муавру, применил м. п. ф. в теории
ошибок наблюдений. Также в 1740 г. Эйлер [4] применял м. п. ф.
в теории разбиений чисел. Например, число представлений чис-
числа п суммой т членов ряда а, р, у, б, ... равно коэффициенту при
xnzm в разложении произведения A +xaz) (l+x^z) (l+xyz) X
X(l+x6z)... . В начале 70-х годов 18 в. Лагранж [5] применял
м. п. ф. в теории ошибок наблюдений, следуя как Симпсону, так
и Эйлеру. Этот метод использовали и другие математики того
времени (например, Ламберт [6] в теории чисел).
Первое общее определение обычной производящей функции
одной и многих переменных было дано Лапласом [7] в 1779 г. в
«Мемуаре о рядах», где он развил целую теорию производящих
функций. В объемистой «Аналитической теории вероятностей»
A812 г.) эта теория получила определенное завершение. Лаплас
видел в своей теории некую основу всего математического ана-
анализа (а через него и теории вероятностей). За эти претензии
лаплаеовская теория была подвергнута критике Вронским [8],
который указывал на ее необоснованность (ввиду недостаточной
изученности рядов в то время) и даже утверждал, что это вооб-
вообще не теория. Следует отметить, что Лаплас не ставил целью
развивать м. п. ф. как средство решения комбинаторных задач.
В последующие десятилетия м. п. ф. применяли многие мате-
математики (например, Лежандр [9], Буняковский [10]), не опираясь
при этом на теорию производящих функций Лапласа.
Перечислительный аспект преобладал и в деятельности из-
известной комбинаторской школы Гинденбурга (конец 18 — нача-
начало 19 вв.). Представители этой школы широко применяли ком-
комбинаторные соображения при оперировании с рядами (сложе-
(сложение, умножение, деление, обращение рядов и пр.). В центре их
исследований находилась полиномиальная теорема, провозгла-
провозглашенная ими «главной теоремой всего анализа».
Мощным стимулом к дальнейшему развитию м. п. ф. и ком-
комбинаторной теории перечисления в целом послужило развитие
теории инвариантов алгебраических форм, которая заняла одно
из центральных мест в математике второй половины 19 в. Неко-
Некоторые важные задачи теории инвариантов сводились к подсчету
разбиений чисел на слагаемые и, естественно, требовали приме-
12—1751
338 Г. П. Гаврилов, В. А. Лисковец, П. П. Пермяков, Б. И. Селиванов
нения м. п. ф. Здесь совершенно очевидна преемственность с ра-
работами Эйлера 'по разбиениям чисел.
Значительный вклад в создание теории инвариантов внес
Кэли [11]. Многие его работы посвящены перечислению инва-
инвариантов и разбиений с использованием м. п. ф. Он применял
этот метод и к решению других перечислительных задач (напри-
(например, при подсчете членов в некотором определителе).
На систематическом использовании м. п. ф. основана теория
деревьев Кэли, имеющая явно перечислительный характер. Эта
теория была изложена в ряде статей 1857, 1859, 1874—1881 и
1889 гг. [11]. В первых двух статьях перечислялись корневые де-
деревья различных видов, возникающие в связи с некоторыми за-
задачами математического анализа и алгебры. Последующие
статьи посвящены перечислению корневых и свободных деревьев,
соответствующих структурным изомерам некоторых химических
соединений. При этом Кэли использовал понятия центра и би-
центра (введены Жорданом [12] в 1869 г. и независимо Сильвест-
Сильвестром [14] около 1873 г.) и центроида и бицентроида (введены
Жорданом [12] в 1869 г.). Статья 1889 г. содержит перечисление
помеченных деревьев и лесов. Здесь Кэли проинтерпретировал
на языке теории деревьев результаты Борхардта [13], 1859 г.
Следует отметить, что формула для числа помеченных деревьев
была получена также Сильвестром в 1857 г. (без использования
понятия дерева, как и у Борхардта).
В работах Кэли можно обнаружить неявное сочетание «ана-
«аналитического» и «формального» подходов >к использованию м. п. ф.
(производящие функции как сходящиеся ряды в действительной
или комплексной области и как формальные ряды).
Перечислительный аспект преобладает и в комбинаторных
работах Сильвестра [14], имеющих много общего с работами Кэ-
Кэли (тесные научные связи этих ученых общеизвестны).
Прямым продолжением комбинаторных работ Кэли и Силь-
Сильвестра явилась обширная комбинаторная доктрина Мак-Магона,
изложенная им в многочисленных статьях конца 19 — начала
20 вв. и в двухтомном трактате «Комбинаторный анализ» [15].
Доктрина Мак-Магона имела перечислительный характер и бы-
была основана на систематическом использовании симметрических
производящих функций и символических дифференциальных
операторов Хаммонда [16] (последний также следовал Кэли);
значительное место в ней занимала теория разбиений чисел.
В 1891 г. Мак-Магон [17] изложил теорию двухполюсных се-
сетей, являющуюся прямым продолжением теории деревьев Кэли.
Он установил соответствие между сетями и деревьями, а также
занимался двоичным кодированием и декодированием деревьев.
В 1892 г. отдельные результаты были изложены им в короткой
заметке, на которую в 1942 г. обратили внимание Риордан и
О некоторых тенденциях теории перечисления 339
Шеннон [18]. Последние исправили и продвинули результаты
Мак-Магона.
Перечислительными задачами комбинаторного анализа зани-
занимались (кроме упомянутых) и многие другие математики (на*
пример, Шредер [19], Андре, Мьюир).
Перечислительный аспект преобладает и в известном «Учеб-
«Учебнике комбинаторики» Нетто [20] — своеобразной энциклопедии
комбинаторного анализа до начала 20 в. Задачи перечисления
были связаны с алгеброй (определители, инварианты, расстаяов-
ка скобок), теорией чисел (разбиения на слагаемые и на сомно-
сомножители), а также с химией (изомеры) и физикой (электрические
сети).
Комбинаторная доктрина Мак-Магона была продолжена Ред-
филдом. Уже само название статьи Редфилда «The theory of
group-reduced distributions» [21] подчеркивает ее связь с «The
' theory of distributions» Мак-Магона, цикловой индекс вводится
им как симметрическая функция, а операторы Ц и ?? определя-
определяется через дифференциальные операторы Хаммонда — Мак-Ма-
*Ьона.
{Статья Редфилда (его единственная математическая рабо-
работа) оставалась незамеченной более 30 лет. Для этого были объек-
объективные причины: рассматриваемая в ней проблематика не была
тогда актуальной, а результаты и техника его работы были до-
довольно громоздки. Родственный, но значительно более доступ-
доступный метод Пойа, появившийся позже, на долгие годы удовлетво-
удовлетворил потребности комбинаторного анализа и заслуженно приоб-
приобрел славу классического.]
Реферат статьи Кэли [22], содержащей способ перечисления
изомеров насыщенных углеводородов, был опубликован в До-
Докладах немецкого химического общества в 1875 г. Он привлек
внимание химиков и математиков и положил начало целой се-
серии публикаций конца 19 — начала 20 вв. (см., например, [23—
25]), к которой принадлежат и работы Пойа 1935—1937 гг. Не
останавливаясь на отдельных работах этой серии, сделаем неко-
некоторые общие замечания:
1) все авторы учитывали при перечислении симметрию; зна-
знали, что симметрия уменьшает число различных изомеров, причем
некоторые авторы указывали на это явно, а Ланн и Сениор [23]
предлагали использовать группы перестановок для учета сим-
симметрии;
2) также общеизвестным был факт весьма быстрого роста
числа изомеров с увеличением числа атомов в соответствующих
молекулах; в ряде работ можно найти явные указания на это
обстоятельство, а в 1932 г. Перри [25] заметил, просматривая со-
соответствующие таблицы, что число структурных изомеров спир-
спиртов растет приблизительно в геометрической прогрессии;
12*
340 Г. П. Гаврилов, В. А. Лисковец, П. П. Пермяков, Б. И. Селиванов
3) постепенно увеличивалось число исследуемых соединений,
учитывались различные виды изомерии; тем самым, с одной сто-
стороны, острее чувствовалась потребность в общих методах, а с
другой — яснее просматривались общие закономерности.
Указанные факторы следует, по-видимому, рассматривать
как предпосылки создания теории перечисления Пойа [26], при-
причем п. 1 относится к основной теореме перечисления, а п. 2 — к
исследованию асимптотик. К числу предпосылок принадлежит,
разумеется, и метод производящих функций, .который относится
к теории Пойа в целом и который до Пойа еще никем (кроме
Кэли) к перечислению изомеров не применялся.
Разумеется, возникновение ,м. п. ф. отнюдь не привело к ис-
исчезновению существовавших прежде методов перечисления: не-
непосредственных подсчетов с использованием элементарной ком-
комбинаторики и рекуррентных соотношений. Позднее, с середины
19 в., значительное распространение получили так называемые
графические методы — с использованием точечных графов Фер-
рерса.
Сопоставив две линии преемственности: Кэли — ряд работ
конца 19 — начала 20 вв. по перечислению изомеров — Пойа (од-
(одна линия) и Кэли — Мак-Магон — Редфилд (другая), видим, что
перечислительные теории Пойа и Редфилда имеют в конечном
счете общий исторический корень — работы Кэли (и, следова-
следовательно, его предшественников). Таким образом, сходство этих
двух теорий отнюдь не случайно, а различия в подходах Пойа и
Редфилда (о чем подробнее будет сказано ниже) нисколько не
противоречат общности исторического корня этих теорий.
2. Метод производящих функций. Перечислительные задачи
комбинаторного анализа чрезвычайно многочисленны и разнооб-
разнообразны. Центральное место в методах их решения с момента воз-
возникновения комбинаторного анализа занимает м. п. ф. с его раз-
развитым символическим и аналитическим аппаратом. Подтвержде-
Подтверждением этого может служить книга Дж. Риордана [114], впервые
опубликованная в 1958 г. и подводящая итог целому периоду раз-
развития перечислительных методов. И в книге Сачкова[119] значи-
значительная часть изложения основана на м.п. ф. Имея длительную
и богатую историю, м.п. ф. в настоящее время продолжает ин-
интенсивно развиваться и обогащаться. ^
М. п. ф. широко используется и в других разделах матема-
математики. Но для комбинаторного анализа характерны идущие еще
от классиков и родоначальников комбинаторного анализа пони-
понимание и использование производящих функций (п.ф.) и как фор-
формальных, и как сходящихся рядов, гибкий и свободный переход
от формального к аналитическому пониманию п. ф. Односторон-
Односторонность, уклон в ту или иную сторону ограничивает возможности
метода.
О некоторых тенденциях теории перечисления 341
Техника работы с п. ф., являющимися степенными рядами,
подробно изложена Егорычевым в книге [102]. Однако желание
ее автора представить эту технику как некий новый «метод коэф-
коэффициентов» нам представляется необоснованным. Но в целом эта
книга представляет несомненный интерес, особенно в части на-
нахождения одномерных и кратных сумм комбинаторного характе-
характера и развития техники работы с кратными степенными рядами.
Что касается комбинаторных тождеств и вопросов суммирова-
суммирования и обращения конечных сумм в основном с биномиальными
коэффициентами, то укажем на книги [97—99J, целиком посвя-
посвященные этим вопросам ([97] — сводка более 300 тождеств с бино-
биномиальными коэффициентами).
В ряде работ последнего времени предприняты усилия расши-
расширить область формального применения основных формул м. п. ф.
Одной из важнейших формул анализа, широко используемой
и в теории вероятностей, и в комбинаторном анализе, является
известная формула Бюрмана — Лагранжа, доказываемая в ана-
анализе для аналитических функций. В нескольких работах начала
60-х годов она доказана и для формальных рядов. Наиболее ин-
интересной из них нам представляется [106], где дано комбинатор-
комбинаторное доказательство этой формулы. Гуд в [108] методами ком-
комплексного анализа получил обобщение формулы Лагранжа для
функций многих переменных. В [107] изложено комбинаторное
доказательство формулы Гуда для двух переменных. Татт [100]
комбинаторными методами доказывает формулу Гуда и в общем
случае. Вообще в [105] показано, что большинство тождеств для
аналитических функций справедливо и для формальных степен-
степенных рядов.
В перечислительном комбинаторном анализе часто встреча-
встречается следующая ситуация. Имеются две бесконечные последова-
последовательности {An}n=.i и {ап}п=и экспоненциальные п.ф. которых
связаны соотношением
я-1
(Примеры подобного рода доставляют п. ф. для чисел разбиений
конечных множеств, п. ф. для цикловых индексов симметрической
группы, п. ф. для произвольных и связных графов и т. п.) Доста-
Достаточно общие попытки сформулировать принцип написания соот-
соотношений вида A) предпринимали многие авторы. Одна из наи-
наиболее простых и общих формулировок описана в (91]:
Пусть я — разбиение конечного множества, wh — вес блока,
содержащего k элементов (Wh — элемент коммутативного коль-
кольца с единицей), W(n) —вес разбиения п, равный произведению
342 Г. П. Гаврилов, В. А. Лисковец, П. П. Пермяков, Б. И. Селиванов
весов его блоков, An = \w (я), где суммирование ведется по
к
всем разбиениям п-множества. Тогда последовательности
Мл}л°=1 и {ап)п=и где an — wn, связаны соотношением A).
Специализируя веса, отсюда получаем соотношение вида A)
для перечисленных выше примеров и для многих других случаев.
Обсуждение вопросов, почему п. ф. многих комбинаторных объ-
объектов удовлетворяют A)> содержится в работах [115, 116].
Многочисленные перечислительные комбинаторные задачи,
в том числе ряд классических задач, сводятся к определению
числа последовательностей, обладающих или не обладающих не-
некоторыми специальными подпоследовательностями. В [92] пока-
показана возможность единообразного описания и решения подобных
задач. И для этих задач характерен специальный вид используе-
используемых п. ф.
В комбинаторном анализе применяются п. ф. различного ви-
вида: обычные степенные ряды, п. ф. экспоненциального типа, ряды
Дирихле, менее известные эйлеровы п. ф. и т. п. С точки зрения
аналитика различие между п. ф., имеющей вид обычного степен-
степенного ряда, и п. ф. экспоненциального типа несущественно. Между
тем в перечислении эти п. ф. возникают и работают в задачах,
имеющих различную комбинаторную природу. Одна из первых
попыток строить п. ф., исходя из специфики задачи, предпринята
в статье [115].
Значительно более серьезная и глубокая программа заложена
в работе [116], начавшей разработку теории п. ф., которая не
только включает все алгебры п. ф., используемые до сих пор, но
и предлагает способ построения других алгебр п. ф., пригодных
для конкретных перечислений. Исходная идея авторов этой ра-
работы заключается в констатации того факта, что во многих слу-
случаях успех при решении перечислительной задачи определяется
не тем или иным специально придуманным приемом, а естест-
естественной порядковой структурой перечисляемых объектов. Основ-
Основной рабочий инструмент — редуцированная алгебра инцидентно-
инцидентности. В [116] показано, что все классические алгебры п. ф. могут
быть получены как редуцированные алгебры инцидентности.
Работа A16] опубликована в этом сборнике. Некоторые фраг-
фрагменты из этой работы можно найти в [102] и A19].
Некоторая «третья» точка зрения на вопрос об основах комби-
комбинаторной теории п. ф. изложена в A03], где в определенном смыс-
смысле синтезируются оба указанных выше подхода.
3. Асимптотические методы комбинаторного анализа. Веро-
Вероятностно-комбинаторные задачи. Довольно часто точные пере-
перечислительные формулы, получаемые при решении комбинатор-
О некоторых тенденциях теории перечисления 343
ных задач, или совсем не выписываются, или оказываются весьма
громоздкими и необозримыми, и из них не удается извлечь не-
необходимую количественную и качественную информацию. Кро-
Кроме того, параметры, входящие в итоговые выражения, по усло-
условиям задачи могут принимать большие значения, что приводит
к необходимости иметь асимптотические формулы. Асимптотиче-
Асимптотические методы играют и самостоятельную роль, например в тех
случаях, когда точные формулы найти не удается (как, напри-
например, в случае деревьев с непомеченными вершинами), а асимпто-
асимптотические формулы тем не менее находятся. Один из первых и
весьма значительных асимптотических результатов комбинатор-
комбинаторного анализа — асимптотика числа разбиений числа п (при
п-+оо), полученная Харди и Рамануджаном [45] в 1918 г. Интерес-
Интересный обзор асимптотических методов, применяемых при решении
комбинаторных задач, содержится в статье Бендера (см. настоя-
настоящий сборник). Значительное место асимптотике уделяется и
в статьях Пойа и Оттера, переводы которых также публикуются
здесь.
Если ввести на множестве перечисляемых объектов равно*
мерную меру, то соответствующую перечислительную задачу
можно сформулировать в вероятностном виде. С другой сторо-
стороны, в самих исследованиях по теории вероятностей, особенно при
изучении дискретных вероятностных распределений и процессов,
важное место занимают комбинаторные задачи, при решении ко-
которых используются разнообразные приемы и методы теории
перечисления.
Одной из основополагающих работ по комбинаторно-вероят-
комбинаторно-вероятностной тематике была статья Гончарова [29]. Популяризации
этой тематики значительно способствовала книга Феллера [27],
первое, оригинальное издание которой вышло в 1951 г.
Заметим, что асимптотические результаты приобретают наи-
наиболее простой вид в вероятностной форме — как теоремы о пре-
предельных распределениях тех или иных характеристик перечис-
перечисляемых объектов. И хотя простота результатов достигается при
этом за счет некоторой потери асимптотической информации, тот
факт, что для доказательства предельных теорем можно в ряде
случаев с успехом использовать готовый аппарат теории вероят-
вероятностей, имеет более существенное значение.
И при получении асимптотик, и при решении комбинаторно-
вероятностных задач широко и с успехом применяется м.п. ф.
При этом в большинстве случаев требуется уже аналитическое
рассмотрение соответствующих п. ф., с тем чтобы обосновать
возможность использования аппарата теории функций.
В комбинаторно-вероятностной тематике можно выделить не-
несколько направлений, которым было посвящено наибольшее чис-
число работ: комбинаторные задачи в теории случайных процессов,
344 Г. П. Гаврилов, В. А. Лисковец, П. П. Пермяков, Б. И. Селиванов -
задачи о размещении частиц по ячейкам и о случайных разбие-
разбиениях, задачи, связанные со случайными отображениями и гра-
графами. Большой вклад в решение этих задач внесли советские
математики (Ивченко Г. И., Колчин В. Ф., Медведев Ю. И., Сач-
Сачков В. Н., Севастьянов Б. А., Степанов В. Е., Чистяков В. П.
и др.)- Из зарубежных математиков следует назвать Эрдёша,.
Реньи и Гуда.
Большой класс комбинаторных задач, связанных со случай-
случайными процессами, рассмотрен в монографии Такача [38], первое-
издание которой вышло в 1967 г. Отметим работу Рота [77], по-
посвященную теории флюктуации сумм независимых случайных
величин. В ней предлагается метод проверки тождеств, исполь-
используемых в комбинаторике теории флюктуации, путем перевода их
в легко проверяемые тождества для классических симметриче-
симметрических функций. Осуществив алгебраизацию вероятностной зада-
задачи, Рота свел ее к проблеме слов для бакстеровых алгебр.
Задачам о размещении присущи простота и наглядность фор-
формулировок. Используемая комбинаторная техника здесь доволь-
довольно элементарна. Однако при решении этих задач находят при-
применение разнообразные и весьма тонкие асимптотические методы
теории вероятностей. Обзор литературы по классической задаче
о размещении и ее обобщениям содержится в статье [40]. Итоги
изучения задач о случайных размещениях частиц подведены
в монографии [39]. Случайным разбиениям посвящен обзор [44].
Задачи о случайных отображениях более интересны с комби-
комбинаторной точки зрения. Обзор результатов по случайным отобра-
отображениям имеется в {40, 41]. В [41] в основном рассматриваются
случайные графы. Одной из основополагающих работ по слу-
случайным графам была статья Эрдёша и Реньи [42].
Наличие перечисленных выше обзоров (к которым можно до-
добавить также D3]) по рассматриваемой тематике освобождает
нас от необходимости подробнее останавливаться на полученных
в этой области результатах. Ограничимся лишь перечислением
некоторых работ, опубликованных в последнее время и посвя-
посвященных случайным отображениям —[80, 81, 109—113]; случайным
деревьям, лесам, гипердеревьям, гиперлесам — [78, 83, 84, 93, 95];
случайным размещениям и статистикам полиномиальной схе-
схемы— [82, 94]; асимптотике числа неотрицательных матриц с за-
заданными суммами строк и столбцов —185].
4. Теория перечисления Пойа. Под теорией перечисления
Пойа понимают ту область перечислительного комбинаторного
анализа, которая характеризуется введением отношения экви-
эквивалентности (на множестве объектов перечисления) относи-
относительно заданной группы подстановок, естественно связанной
с изучаемыми объектами. Теория перечисления Пойа основана
О некоторых тенденциях теории перечисления 345
на лемме Бернсайда [53, разд. 145, теорема VII], результатах
Редфилда [21], 1927 г., и результатах Пойа [26], опубликованных
в 1935—1937 гг.
После 1937 г. в теории перечисления не было значительных
продвижений вплоть до 1959—1960 гг. В течение этого периода
метод Пойа еще не получил широкого применения. Комбинатор-
Комбинаторное значение его работы только осмысливалось. А основная тео-
теорема иногда даже переоткрывалась заново при решении конкрет-
конкретных задач.
Однако интенсивное развитие дискретной математики, начав-
начавшееся в послевоенные годы, и в частности тематики, связанной
с перечислением графов (начало последней положила статья
Харари [32], в которой он использовал неопубликованные резуль-
результаты Пойа), привело к необходимости поиска новых (более об-
общих и достаточно тонких) методов перечисления.
Первые значительные обобщения теоремы Пойа были полу-
получены в 1959 г. де Брёйном [36]. В 1960 г. Ф. Харари [54], первый
из перечислителей, обратил внимание на работу Редфилда и оце-
оценил ее значение. При этом выяснилось прежде всего, что Ред-
филд предвосхитил, хотя и в своеобразной и не всегда явной
форме, многие идеи и результаты теории Пойа, открытые позд-
позднее. Но более существенным явилось наличие в статье Редфилда
неосвоенных идей, дальнейшее развитие которых позволило ре-
решить ряд трудных задач.
Обзор обобщений теоремы Пойа, полученных до 1971 г., чи-
тafeль найдет в [35].
Имеются два основных типа перечислительных задач; каж-
каждый из них связан с определенным толкованием различия между
объектами.
Тип I — подсчет помеченных объектов. Объекты из рассмат-
рассматриваемого конечного множества не различаются лишь в том слу-
случае, когда они совпадают.
Тип II — подсчет объектов, неэквивалентных (или неизоморф-
неизоморфных) относительно заданной группы подстановок G. Объекты
считаются одинаковыми, если с помощью некоторой подстановки
g^G один объект переводится в другой.
В целом задачи типа I более разнообразны. Теория перечис-
перечисления Пойа имеет дело с решением задач типа П.
Разумеется, существует много иных, промежуточных поста-
постановок задач, но в идейном плане они обычно сводятся к указан-
указанным двум основным типам, хотя реализация такого сведения
иногда представляет самостоятельную нелегкую задачу.
Методы перечисления в задачах типа I весьма разнообразны
и до сих пор полностью не унифицированы. Напротив, для задач
типа II имеется, в сущности, единственная принципиальная схема
346 Г. П. Гаврилов, В. А. Лисковец, П. П. Пермяков, Б. И. Селиванов
решения, которая состоит в сведении задачи Р типа II к реше-
решению соответствующей или модифицированной задачи Р' типа I.
Такое сведение основывается на лемме Бернсайда (известной
еще Фробениусу), утверждающей, что число орбит (транзитив-
(транзитивных множеств) произвольной группы подстановок равно средне-
среднему арифметическому числа неподвижных точек всех элементов
группы.
Использование леммы Бернсайда упирается в две принципи-
принципиальные проблемы: а) необходимость успешно решать задачи
типа I для рассматриваемого класса объектов с дополнительным
ограничением инвариантности относительно фиксированной под-
подстановки; б) необходимость «сворачивать» суммы возникающих
выражений.
Формулы, дающие решение задачи, обычно оказываются не-
неприемлемо громоздкими, непригодными для практического ис-
использования. Разработка «вторичной» перечислительной техни-
техники, устраняющей этот недостаток, — важная проблема теории пе-
перечисления, связанная с решением задач типа II.
Схема Пойа, базирующаяся на его основной теореме, явля-
является более удобным и эффективным аппаратом для решения за-
задач типа П. При определенных условиях она позволяет сразу
получать окончательные перечислительные формулы. При этом
решение задач типа I, связанных с нахождением числа объектов,
инвариантных относительно фиксированной подстановки, заменя-
заменяется задачей нахождения циклового индекса соответствующей
группы.
Обычная современная формулировка теорем типа Пойа, пред-
предложенная де Брёйном [36, 46], распространяется и на совокупно-
совокупности отображений (конфигураций, если пользоваться терминоло-
терминологией Пойа [26]) одного множества в- другое. Совокупность ото-
отображений не обязана быть множеством всех отображений, но
должна быть инвариантной относительно рассматриваемых на
ней групп.
Применение схемы Пойа при решении конкретной задачи
требует, чтобы были выявлены условия ее применимости, задана
подходящая группа подстановок и явно построен цикловой ин-
индекс. Имеется еще третий, сугубо технический, хотя отнюдь не
всегда тривиальный на практике, шаг — выполнение подходя-
подходящей суперпозиции, т. е. операции подстановки (замены) пере-
переменных циклового индекса. Развитие схемы Пойа в значительной
степени идет по пути расширения классов используемых групп,
а также условий и форм их применения.
При практическом применении леммы Бернсайда и теоремы
Пойа группы подстановок, определяющие эквивалентность пере-
перечисляемых объектов, часто строятся с помощью некоторых опе-
операций, имеющих естественный комбинаторный смысл. Пойа [26]
О некоторых тенденциях теории перечисления 347
рассмотрел две операции такого рода: «прямая сумма» G + H
(«прямое произведение» в терминологии Пойа) и «сплетение»
G[H] («кранц-группа» в терминологии Пойа; «композиция» или
«веночное произведение» в книге [30]) групп подстановок G и Н —¦
и представил цикловые индексы групп G + H и G[H] в терминах
цикловых индексов исходных групп G и Н.
В [31] определена операция «декартова (или прямого) произ-
произведения» GXH групп G и Н. Пусть D и R — конечные множества,
G действует на множестве D = {dlt d2,...,dm}, a H — на множе-
множестве R = {r\, г2, ...,г„}. Группа GxH действует на декартовом
произведении DxR. Каждой паре g^G и /геЯ соответствует
элемент (g, h)^GxH, который действует на (d, r)^DxR no
правилу: (g, h) (d, r) = (gd, hr). Степень группы GxH равна
т-п, порядок— \G\ • \Н\. Цикловой индекс группы GxH найден
в [31]. Пусть
, У! l ' ' m
geo
/.н{хъ ..., xn) = — ^
пен
суть цикловые индексы групп G и Н. Здесь a,(g) (соответствен-
(соответственно a.i(h)) есть число циклов длины i в цикловой записи подста-
подстановки g (соответственно К), i—\, 2, .... (Набор {cti(g), ..., am(g))
на»тается типом подстановки g.) Тогда
t=\
где [г, /] — наименьшее общее кратное г и t, (r, t)—наибольший
общий делитель г и t. Индекс ZG© я можно записать более ком-
компактно, если ввести «декартово произведение» многочленов (обо-
(обозначение ®). Сначала определяем произведение одночленов:
п <я}®...® пУ'? = п п
Затем распространяем это произведение по дистрибутивному за-
закону на многочлены. Декартово произведение многочленов яв-
является ассоциативной операцией. С его помощью D) можно
записать в виде
u ¦ ¦ ., xmn)=Za{xi, . . ., хт)®,гн{хъ . . ., хп). D')
348 Г. П. Гаврилов, В. А. Лисковец, П. П. Пермяков, Б. И. Селиванов
В работе [31] была введена также операция «экспоненциации»
[H]G групп G и Н. Экспоненциация [Н]° действует на множестве
RD всех функций из D в R, так что степень [H]G равна пт. Под-
Подстановки ле(//]° индуцируются наборами (g, hit..., hm), где
g^G, h\,...,hm — элементы (не обязательно различные) груп-
группы Н. Следовательно, порядок [H]G есть \G\ ¦ \Н\т. Подстановку
множества RD, соответствующую набору (g, hu ... , hm), и образ
функции f^RD при этой подстановке обозначим соответственно
л(?, hu . . ., hm) и X(g, hi, . .., hm; /). По определению имеем
\{g, h, ..., hj = f*, где /•(*,-)=A//te-1*/). E)
Подгруппой группы [H]G является «степенная группа» HG
(термин принадлежит Харари и Палмеру [47]); ее элементами
являются те подстановки K^[H]G, которые соответствуют набо-
наборам вида (g, h,..., h). Степенную группу впервые рассматривал
де Брёйн [35] (см. также [46]). Эта группа действует на RD, имеет
степень пт и порядок \G\ ¦ \Н\. В [35] предложен способ опреде-
определения числа классов функций из Rn, эквивалентных относитель-
относительно HG. Явный вид циклового индекса этой группы найден в [47].
Метод нахождения циклового индекса экспоненциации [H]G
в частном случае: G = Sm и H = S2 предложил Слепян [48]; явный
вид получен Харрисоном [51]. Этот случай экспоненциации играет
роль при перечислении булевых функций (см. ниже). Другой
частный случай группы [Sn]Si рассмотрен в работе [31]. Харрисон
и Хай нашли цикловой индекс группы [Sn]sm, но их процедура
довольно сложна. Более простая процедура объявлена Палмером
и Робинсоном в [49]; доказательство опубликовано в [33]. В дру-
других терминах алгоритм нахождения циклового индекса группы
[H]G, дающий те же результаты, что и способ Палмера и Робин-
Робинсона, независимо предложен в [34]. Несложно показать, что этот
алгоритм дает явное выражение для циклового индекса группы
[H]G. Перепишем цикловые индексы B) и C) в виде
k1+2k2+...
...+nkn=,n
где a(lu 12,...,1т) (соответственно b(ku k2 kn)) — числа
подстановок g^G (соответственно h^H), имеющих тип
(h, h, ¦. ., lm) (соответственно (ku k2, . . .,kn)).. В [34] показано,
что если g — подстановка множества D, имеющая единственный
О некоторых тенденциях теории перечисления 349
цикл длины т, g = (ju /2, ..., /m), и hi, /i2> •••, hm — произвольные
элементы из Н, то для jV == 1, 2,. . ., пт число циклов длины N
в подстановке i(g, h\, ..., hm), действующей на RD, равно
duv
(m,d)
(ц, (ft) — арифметическая функция Мёбиуса, as(Aym.. .hjj — число
циклов длины 6, 8=1, ...,«, в произведении Л;- .. .A7l.) Из F)
видно, что числа Рлг(#> ^ь ..., hm) зависят только от типа про-
произведения hj .. .hjt. Положим Рлг(?> hu ..., hm) = fN{m, ku ..., kn),
если g — (j\, j2, ..., ym) —цикл длины /га, и прозведение hjm...hh
имеет тип (klt ..., />„). Тогда
ш
Символ у обозначает декартово произведение m многочленов,
i-i
а ®^г (в показателе степени) обозначает декартову степень.
В частности, из соотношения F) при N=1 с помощью леммы
Бернсайда можно получить выражение для числа орбит группы
[Н]1' на множестве RD. Более сложным путем, с использованием
теории представлений, этот результат получен в 1975 г. в рабо-
работе [101].
Еще одной достаточно сложной конструкцией является «мат-
«матричная группа», введенная в [52]. Доказательство результатов,
объявленных в [52], см. в [33].
В практике перечисления, кроме конечного множества D
и группы подстановок G, действующей на D, часто имеется еще
одно конечное множество S, элементы которого де Брёйн [37J
называет структурами на D (или просто структурами), и дано
представление я элементов группы G подстановками множества
S, т. е. каждому geG соответствует подстановка % множества S
и я㻦%•"%!*. Для всех g\, g2^G. (Для определенности можно
350 Г. П. Гаврилов, В. А. Лисковец, П. П. Пермяков, Б. И. Селиванов
предположить, что S — множество графов, вершинами которых
являются элементы из D.) Два элемента su s2e5 эквивалентны
(или изоморфны), если имеется элемент g^G, такой, что ng{s\) =
= 52. Классы эквивалентности на множестве S, индуцированные
таким образом, называются классами структур. Если geG
и seS таковы, что jtg(s)=s, то подстановка g называется авто-
автоморфизмом структуры s. Множество таких g образует группу Hs,
называемую группой автоморфизмов структуры s. Несложно
показать, что группы автоморфизмов эквивалентных структур
имеют одинаковые цикловые индексы.
Из идей Редфилда наиболее плодотворной оказалась идея
рассматривать сумму цикловых индексов групп автоморфизмов
неизоморфных структур (см. в [21] его теорему разложения). На
первый взгляд такое обобщение кажется весьма затруднитель-
затруднительным, но в действительности оно достигается лишь небольшим
техническим усложнением вычислений. Дело в том, что спра-
справедлива следующая формула де Брёйна [37, теорема 2]:
U0(xu *»..., xm) = ±J^V(g)xVis)x^K..xa^\ G)
gea
где
UQ{xu х2, ..., xm) = ^ZK(xu x2, ..., хт) (8)
к
и суммирование ведется по всем возможным классам структур К
множества S, ZK{xu х2,..., хт) — цикловой индекс группы авто-
автоморфизмов любой структуры из К, V(g) — число структур, для
которых подстановка g является их автоморфизмом.
В работе [37], написанной, очевидно, под прямым воздейст-
воздействием идей Редфилда, на ряде примеров показано, что имеется
достаточно много случаев, когда многочлен UG(x\, X2,...,xm)
можно довольно успешно найти и применить в перечислительных
целях. Существенное использование в задачах перечисления гра-
графов формула G) нашла в работе Робинсона [55].
Суммы (8) служат хорошим инструментом для подсчета
сложных объектов, которые не поддаются перечислению по схе-
схеме Пойа, но «в принципе» считаются по схеме Бернсайда. В оп-
определенном смысле данный подход синтезирует обе предыдущие
перечислительные схемы. Но, разумеется, он сложнее их. Исполь-
Использование (для целей перечисления) выражений, фигурирующих
в G), разумно назвать схемой Редфилда. Соотношение G) под-
подсказывает двоякую возможность ее применения. В одних случа-
случаях (таков подход самого Редфилда и Робинсона) удается ис-
использовать многочлены UG(xu x2 хт). В других случаях, на-
О некоторых тенденциях теории перечисления 351
против, удается воспользоваться выражением из правой части.
В последнее время выяснилось (см. [56]), что в целом более ши-
широко и легко осуществляется второй путь (при котором прихо-
приходится работать с более элементарными объектами — одночле-
одночленами V(g)x\l{g)x%'{g)...xa'n(g),— минуя промежуточное выде-
т
ление цикловых индексов).
Из результатов, опубликованных после 1971 г., отметим еще
одно обобщение леммы Бернсайда [59], указывающее принципи-
принципиальную возможность нахождения не общего числа орбит, порож-
порожденных группой подстановок, а числа орбит заданной мощности.
Серьезных практических приложений этого результата пока не
известно.
В работе Рота и Смита [60] получено доказательство теоремы
Пойа (и ее обобщения), базирующееся на идеях цикла «Основы
комбинаторной теории» (см. ниже)) В этом доказательстве ис-
используются лишь наиболее элементарные факты о группах под-
подстановок и понятие обращения Мёбиуса на решетке. Основной
технический прием — соответствие Галуа между решеткой под-
подгрупп группы подстановок и решеткой разбиений множества, на
котором действует группа.
Наиболее содержательные работы по теории Пойа после
1971 г. — это цикл статей Виллиамсона и Уайта [61—67]. Для них
характерно широкое использование полилинейной алгебры, с по-
помощью которой доказываются результаты Редфилда и обобща-
обобщаются результаты Фулкеса [68]. Получены, например, уточнения
теорем типа Пойа, позволяющие подсчитывать классы эквива-
эквивалентных объектов с заданной группой автоморфизмов; обсужда-
обсуждаются способы (использующие теорию Пойа) фактического полу-
получения системы различных представителей из классов эквивалент-
эквивалентности перечисляемых объектов. Окончательная оценка и уяснение
значимости этого цикла работ для целей перечисления еще
не служились.
Теория Пойа нашла применение при перечислении конечных
автоматов, отношений, заданных на конечном множестве, функ-
функций алгебры логики, в перечислительных задачах теории гра-
графов и др.
Одно из наиболее важных приложений теории Пойа связано
с задачами перечисления классов эквивалентности функций ал-
алгебры логики. Рассмотрим подробнее случай булевых функций.
Пусть Z2— GFB) = {0, 1} —поле Галуа и Z" есть л-мерное век-
векторное пространство над GF{2). Предположим, что на прост-
пространстве Z" действует группа подстановок G и рассматриваются
булевые функции /: Z" -*~Z2- Группа G преобразований простран-
пространства Z21 индуцирует эквивалентность булевых функций. При пе-
перечислении классов эквивалентных функций используются разно-
352 Г. П. Гаврилов, В. Д. Лисковец, П. П. Пермяков, Б. И. Селиванов
образные средства и методы теории перечисления. Наметим крат-
кратко схему работы этого комбинаторного аппарата.
Основные трудности возникают при нахождении циклового
индекса Ра{хи ..., х?п) группы подстановок G, действующей
на Z\- Часто рассматривают следующие пять групп, наиболее
общей из которых является аффинная группа ALn(Z2), порож-
порождаемая парами (Л, а), где А — невырожденная (лXл)-матрица
над полем GFB) и aeZ". Каждой такой паре соответствует
элемент из ALn(Z2)—подстановка па,а пространства Z2, та-
такая, что
Порядок этой группы известен и равен
я(я+1) п
\ALn(Z2)\ = 2 * ПB'-1)-
Подгруппами в ALn(Z2) являются:
1) полная линейная группа GLn(Z2), элементы которой соот-
соответствуют парам (А, 0) и порождают подстановки пространства
2'2!вида лА(х)=Ах, xeZ;} , А — невырожденная матрица;
2) группа переименований переменных О„, элементы которой
соответствуют парам (А, а), где aeZ"> А — подстановочная-
(пхп)-матрица (очевидно, что Оп есть экспоненциация [S2]Sn
и |О„|=л!.2»);
3) группа перестановок переменных Sn, соответствующая па-
парам (А, 0), где А — снова подстановочная (лхя)-матрица,
\\
\\;
4) группа С" сдвигов пространства Z", порождаемая пара-
парами вида (Е, а), где aeZ" , Е — единичная (пХп)-матрица;
\С\ =2"; о других группах см. в [87].
Пусть yn(G) —число классов булевых функций (от п пере-
переменных), эквивалентных относительно группы G. При
где G — одна из групп С2 , Sn, On, GLn(Z2) или
(см. [69, 70]).
Вопросы точного перечисления классов эквивалентности
функций относительно указанных групп рассматривались в ряде
работ, начиная со статьи самого Пойа [71]. Цикловой индекс
группы С" первым вычислил Ашенхерст [72]. Процедуру нахож*
дения числа классов булевых функций, эквивалентных относи-
относительно группы О„, впервые предложил Слепян [48]. Цикловые
индексы групп 8п, Оп, GLn (Z2) и ALn(Z2) нашел Харрисон (см.
О некоторых тенденциях теории перечисления 353
151] и [73], где приведены результаты нахождения чисел соответ-
соответствующих классов для п^.5).
Для иллюстрации выпишем цикловой индекс группы GLn(Z2).
Пусть /„ — число неприводимых многочленов от Я степени п над
полем GFB), отличных от многочлена Я. (Это число известно;
см., например, [74].) Перенумеруем эти многочлены от 1 до tn,
обозначив i-й из них через fi(K), t=l, . .., tn. Пусть е* — степень
многочлена/, (Я), k\ — период, t = l, . . ., tn. (Понятие периода мно-
многочлена определяется в теории конечных полей.) Поставим в со-
соответствие многочлену [Д(Я)]а, а = 1, 2, ... , сопровождающую мат-
матрицу A=A(i, а). Рассмотрим соответствующую подстановку
n4^GLn(Z2) пространства Z". Длины циклов подстановки яа
суть числа 1 и
qlJ=kr2ri, J=l, 2, ..., а,
причем число циклов длины qa равно
Ч'ч
у = 1, 2 а,
Число Ту находится из условия 2ri~l <[ j -^ 2ri, /=1, 2,. . ., а.
Сформулированный результат, описывающий цикловую структу-
структуру подстановки ял, изложен в целом ряде работ по теории авто-
автономных линейных автоматов (см., например, [75]).
Обозначим через М(п) множество невырожденных (пХп)-
матриц над полем GFB);
п(п—1)
Множество М(п) разбивается на классы подобных матриц,
а каждый класс описывается набором элементарных делителей.
Пусть t/ij — число элементарных делителей вида [fi(h)V (i=h —
..., tn; /=1,...,«) у матриц данного класса подобия. (Элемен-
(Элементарные делители вида V отсутствуют в силу невырожденности
матриц.) Числа yij удовлетворяют соотношению
( = 1 }=Л
Величину q(«/ii> •••> Vt п) положим равной числу элементов
в классе подобных матриц, определяемом набором г/ц, ..., ytnn-
Она находится с помощью одного из результатов Диксона [76].
Тогда имеем
354 Г. П. Гаврилов, В. А. Лисковец, П. П. Пермяков, Б. И. Селиванов
Zt){Xi, Х2, ...) =
Суммирование здесь ведется по классам подобных матриц
из М(п). Смысл символов X и (Я) был разъяснен выше.
По этой схеме в [86] найден цикловой индекс самодвойствен-
самодвойственной группы.
Известны обобщения описанной схемы: 1) дополнительно
предполагают, что на области Z2 значений булевых функций дей-
действует симметрическая группа 52; 2) рассматривают наборы бу-
булевых функций и соответственно находят число классов эквива-
эквивалентных наборов.
Случай функций /г-значной логики (/г^З) менее изучен. Не-
Некоторые результаты можно найти в [117, 118].
Многочисленные применения теории Пойа к перечислению
графов описаны в [30]. Много внимания популяризации задач пе-
перечисления графов уделил Харари, он неоднократно публиковал
списки нерешенных задач из этой области [54]. Последний список
такого рода, опубликованный Харари и Палмером в сборнике
«A Survey of Combinatorial Theory» A973, стр. 259—275), почти
дословно совпадает с п. 10.1 — 10.7 книги [30]. Следует отметить,
что в [30], и в статьях Харари по нерешенным задачам перечис-
перечисления графов отсутствуют ссылки на работы советских авторов
и почти совсем не упоминаются некоторые зарубежные специа-
специалисты по перечислению (например, де Брёйн, Кларнер).
Приведем несколько характерных задач перечисления графов.
1. Начнем с класса @п обыкновенных (т. е. не имеющих пе-
петель и кратных ребер) я-вершинных графов; g(n) = \®n\=1
= z г • Пусть на множестве вершин графов действует симмет-
симметрическая группа 5„, которая индуцирует на множестве всех не-
неупорядоченных пар вершин группу S(n\ В качестве переменных
в цикловом индексе^5B) удобнее будет использовать yi вместо х%.
Хорошо известны формулы, выражающие цикловую структуру
подстановки /?B) &Sn J(индуцированной элементом ре5„) через
структуру р. Запишем символически эту связь, конкретная форма
которой нам безразлична, в виде
О некоторых тенденциях теории перечисления 355
(9)
где для краткости используется обозначение z(f)=[|i/*i(f)H
i
Ф — линейный оператор кольца многочленов. Тогда цикловой
индекс Zs{2){x\, х2, ...) вычисляется по формуле ZsB)—<?Zs •
п п п
Теперь по схеме Пойа число G{nj неизоморфных графов с п вер-
вершинами выражается в виде
0{n)=Zsi2)(yu Уз, ••¦)|{»,-8}/.
а соответствующий производящий многочлен G(n, у) от у, «пере-
«перечисляющий графы по числу ребер», получается из того же цик-
циклового индекса суперпозицией yi=l+y\ i=l, 2 Последнее
выражение (в отличие от первого) существенно более удобно,
нежели прямое вычисление по схеме Бернсайда.
2. Чтобы получить сумму Usn{xx, x2, ...) = ?/(©„), доста-
достаточно объединить совместно действие Sn на вершинах и на па-
парах вершин. Результирующая группа подстановок обозначается
5П.2)_ Строится цикловой индекс Z (lt2)=ZS(\t2)(x1, x2, ...; у и
п п
У'2, ¦¦¦), где переменные хи как и прежде относятся к исходному
действию группы Sn, а переменные у\ — к индуцированному на
парах вершин. Имеем
где р — линейный оператор соответствующего кольца многочле-
многочленов, такой, что (см. (9))
Qz(p) = z(p)^z(p)). A0)
Тогда, согласно G), справедливо
u x2, ...; уи у2, •••)
3. Простой пример задачи, довольно легко решаемой по схеме
Бернсайда, хотя и не укладывающейся в схему Пойа, доставляют
графы с четными степенями вершин (эйлеровы графы); пере-
перечисление осуществляется в соответствии с числом вершин в них.
Любопытно, что «корневой» вариант этой задачи имеет легко
устанавливаемое и простое решение: G(n—1). Гораздо более
сложный пример — те же эйлеровы графы, перечисляемые в со-
соответствии с числом вершин и ребер. (Вообще это редкий случай,
когда учет количества ребер вызывает принципиальные затруд-
затруднения.) Характерна форма представления решения (получено
в [57], хотя в [30] задача еще фигурирует в качестве нерешен-
356 Г. П. Гаврилов, В. А. Лисковец, П. П. Пермяков, Б. И. Селиванов
ной), которая существенно обобщает конструкциюz(/7B)) и Z5<2).
ft
В частности, вместо yi вводятся переменные двух типов yt и у~,
выбор которых определенным образом связан с четностью длин
циклов исходной подстановки р, и вместо этих переменных под-
подставляются 1 + у* и 1—уг соответственно.
4. В работе [55] по схеме Редфилда перечисляются неизоморф-
неизоморфные блоки (т. е. 2-связные графы), при этом сумма цикловых ин-
индексов их групп автоморфизмов выражается через такую же сум-
сумму для связных графов (использовалось разложение группы
автоморфизмов произвольного связного графа по дереву его бло-
блоков). Последняя сумма в свою очередь выражается через много-
многочлены U (®п)
5. Проиллюстрируем, наконец, форму результатов, получаю-
получающихся по схеме Редфилда с использованием правой части фор-
формулы G), на примере нахождения числа А (п) неизоморфных
ациклических (т. е. не имеющих ориентированных циклов) оргра-
орграфов с п вершинами [58]. Сначала рекуррентно строятся много-
многочлены
я—1
(более компактно это записывается в виде формальных степен-
степенных рядов по п). Далее вычисляются
и рР„ (см. A0)). Наконец, находят
В [30, п. 8.8] приведено значительно более сложное выражение,
полученное прежним способом. Те же многочлены Fn работают
и во многих других случаях, например при подсчете числа связ-
связных орграфов. Если в последней формуле заменить подстановку
xf = — 1 на Xi-*—Xi, то слева вместо числа ациклических оргра-
орграфов получится сумма цикловых индексов их групп автомор-
автоморфизмов.
5. О цикле работ «Об основах комбинаторной теории». Одним
из наиболее примечательных явлений не только комбинаторного
анализа, но и всей современной математики является цикл работ
Рота, его учеников и сотрудников, объединенных под общим на-
названием «Об основах комбинаторной теории». Одной из первых
комбинаторных работ Рота была статья [88]. Начало цикла по-
положила работа [104].
О некоторых тенденциях теории перечисления 35?
Известно, что одним из наиболее полезных принципов пере-
перечисления в дискретных задачах теории вероятностей и в комби-
комбинаторном анализе является метод включения-исключения. Исчер-
Исчерпывающая вероятностная трактовка этого принципа изложена
в [28]. Умелое применение метода включения-исключения дает
решение многих перечислительных задач. Но на практике не
всегда легко заметить возможность применения метода включе-
включения-исключения. В работе Рота [104] началось систематическое
изучение очень общего принципа перечисления, для которого ме-
метод включения-исключения является простейшим частным слу-
случаем.
Часто множество перечисляемых объектов обладает некото-
некоторым естественным порядком (в общем случае лишь частичным).
Вместо того чтобы вводить на таком множестве линейный поря-
порядок, во многих случаях бывает полезнее применить технику, учи-
учитывающую естественный (комбинаторный) порядок множества.
При этом подходе возникает ряд перечислительных задач, свя-
связанных с обращением сумм, распространяющихся на частично-
упорядоченные множества. Такое обращение можно выполнить,
определив функцию Мёбиуса для частично упорядоченного мно-
множества (в частном случае имеем классическую арифметическую
функцию Мёбиуса). Основной тезис работы [104], как и всега
цикла, заключается в том, что формула обращения Мёбиуса для
частично упорядоченного множества является фундаментальным
принципом перечисления.
-Непосредственными предшественниками цикла Рота и др.
можно по праву считать Вайснера, Ф. Холла и Уорда, в работах,
которых в конце 30-х годов появилось достаточно общее понятие
функции и обращения Мёбиуса.
В первой статье [104] цикла начинается детальное изучение
свойств функций Мёбиуса частично упорядоченных множеств
в зависимости от свойств самого порядка. Рабочим инструментом
здесь служат такие понятия, как алгебра инцидентности частично
упорядоченного множества и соответствия Галуа (не считая раз-
различных понятий, связанных с частичным порядком).
Определение функции Мёбиуса, типичные примеры комбина-
комбинаторных ситуаций, в которых она естественно возникает и рабо-
работает, приведены в статье Бендера и Гольдмана (стр. 311 настоя-
настоящего сборника). Эта статья рекомендуется для первого ознаком-
ознакомления с предметом. Желающим более глубоко овладеть техникой,
обращения Мёбиуса следует обратиться к самой работе [104].
Введение в теорию функций Мёбиуса частично упорядоченных
множеств можно найти в [123]. Насколько нам известно, сейчас
вышло девять выпусков цикла «Об основах комбинаторной тео-
теории». Из них, кроме упомянутых выше 1-й и 6-й частей, интерес
для теории перечисления представляют 3, 4, 5, 7 и 8-я части (см.
358 Г. П. Гаврилов, В. А. Лисковец, П. П. Пермяков, Б. И. Селиванов
[120—122] и [89, 90]). Кроме указанных работ, явно входящих
в цикл, сам Рота, его сотрудники, ученики и последователи опуб-
опубликовали весьма значительное количество работ, примыкающих
к этому циклу. Из-за недостатка места мы не имеем возможности
подробнее обозреть все эти работы, заслуживающие отдельного
разговора.
В целом цикл «Об основах комбинаторной теории» характе-
характеризуется единством замысла и широтой охвата фактического ма-
материала. Он имеет большое методическое значение и заклады-
закладывает прочный теоретический фундамент под комбинаторный ана-
анализ 2-й половины 20-го столетия. В работах самого цикла и
примыкающих к нему содержится много новых результатов и
постановок задач, стимулирующих дальнейшие исследования.
Список литературы
[1] Knobloch E. Die mathematischen Studien von G. W. Leibniz zur Kombina-
torik. — Wiesbaden, 1973.
Montmort P. R. Essay d'analyse sur les jeux de hazard. — Paris, 1713.
Moivre A. Miscellanea ar.alitica etc. — Londini, 1730.
Эйлер Л. Введение в анализ бесконечных, т. 1. — М.: Физматгиз, 1961.
Lagrange J. L. Oeuvres, t. 2.— Paris, 1868.
Lambert J. H. Anlage zur Architectonik etc., Bd. 2.— Riga, 1771.
Laplace P. S. Oeuvres completes, tt. 1 — 14.— Paris, 1879—1912.
Wronski H. Critique de la theorie des fonctions generatrices de M. Lapla-
Laplace. — Paris, 1819.
[9] Legendre A. M. Theorie des Nombres, t. 2. — Paris, 1830.
[10] Буняковский В. Я- Основания математической теории вероятностей.—
Спб., 1846.
[11] Cayley A. The collected mathematical papers, vv. 1—13. — Cambridge,
1889—1897.
[12] Jordan С Sur les assemblages de lignes. — /. reine und angew. Math., 1869,
70, 185—190.
[13] Borchardt С W. Ober eine der Interpolation entsprechnde Darstellung des
Elimination-Resultante. — /. reine und angew. Math., 1859, 57, 111—121.
[14] Sylvester J. J. The collected mathematical papers, vv. 1—4. — Cambridge,
1904—19112.
[15] Mac Mahon P. A. Combinatory analysis, vv. 1, 2. — Combridge, 1915, 1916.
[16] Hammond J. — Proc. Lond. Math. Soc, 1882, A) 13, 79—84; 1883, A) 14,
119—129.
[17] Mac Mahon P. A. —Proc. Lond. Math. Soc, 1891; A) 22, 330—346.
[18] Riordan J., Shannon С. Е. —/. Math. Phys., 1942, 21, 83—93.
[19] Schroder E. Vier combinatorische Probleme. — Z. Math. Phys., 1870, 15,
361—376.
[20] Netto E. Lehrbuch der Kombinatorik.—Leipzig, 1901.
[21] Редфилд Дж. Г. Теория распределений, приведенных по группе. — См.
наст, сб., с. 9.
Cayley A. — Chem. Ber., 1875, 8, 1056—1059.
Lunn А. С, Senior J. K. —/• Phys. Chetn., 1929, 33, 1027—1079.
Henze H. R., Blair С. М. —/. Atner. Client. Soc, 1931, 53, 3042—3046.
Perry D. —/. Amer. Chem. Soc, 1932, 54, 2918—2920.
Пойа Дж. Комбинаторные вычисления для групп, графов и химических
соединений. — См. наст, сб., с. 36.
О некоторых тенденциях теории перечисления 359
[27] Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения: Перев.
с англ. — М.: Мир, 1964.
[28] Frechet M. Les probabilites associees a un systeme d'evenements, compa-
compatibles et dependantes. — Paris, 1940, 1943.
[29] Гончаров В. Л. Из области комбинаторики. — Изв. АН СССР, сер. матем,
1944, 8, № 1, с. 3—48.
[30] Харари Ф., Палмер Э. Перечисление графов- Перев. с англ. — М • Мир
1977.
[31] Harary F. On the number of bicolored graphs. — Pacific J. Math., 1958 8,
743—755.
[32] Harary F. The number of linear, directed, rooted and connected graphs. —
' Trans. Amer. Hath. Soc, 1955, 78, № 2, 445—463.
[33] Palmer E. M., Robinson R. W. Enumeration under two representations of the
wreath product. — Acta Math., 1973, 131, № 1—2, 123—143.
[34] Селиванов Б. И. О цикловом индексе экспоненциации групп: Сб. Комби-
Комбинаторный анализ. — М.: Изд-во МГУ, вып. 1, 1971, с. 79—90.
[35] де Брёйн Н. Дж. Обзор обобщений перечислительной теоремы Пойа. —¦
См. наст, сб., с. 229.
[36] de Bruijn N. G. Generalization of Polya's fundamental theorem in enumera-
tive combinatorial analysis. — Nederl. Akad. Wetensch. Proc, Ser. A, 1959,
62, 59—69.
[37] de Bruijn N. G. Enumerative combinatorial problems concerning structu-
structures. — Nieuw Archief voor Wiskunde, 1963 C) 11, 142—161.
[38] Такач Л. Комбинаторные методы в теории случайных процессов: Перев.
с англ. — М.: Мир, 1971.
[39] Колчин В. Ф., Севастьянов Б. А., Чистяков В. П. Случайные размеще-
размещения.— М.: Наука, 1976.
[40] Колчин В. Ф., Чистяков В. П. Комбинаторные задачи теории вероятно-
вероятностей.— М.: ВИНИТИ, Итоги науки и техники, серия: Теория вероятно-
вероятностей, математическая статистика, Теоретическая кибернетика, 1974, 11,
с. 5—45.
[41] Степанов В. Е. Случайные графы: Сб. Вопросы кибернетики. Труды семи-
семинара по комбинаторной математике. — М.: 1973, 164—185.
[42] Erdos P., Renyi A. On the evolution of random graphs. — Mag. Akad. Math.
Kutato Int. Kozl., 1960, A5, № 1—2, 17—61.
[43] Сачков В. Н. Перечислительные задачи комбинаторного анализа: Сб.
Вопросы кибернетики. Труды семинара по комб. матем. — М.: 1973,
с. 146—164.
[44] Сачков В. Н. Случайные размещения: Сб. Вопросы кибернетики, вып. 16.
Труды II Всесоюзного семинара по комбин. матем., часть I. — М.: 1975,
с. 88—98.
[45] Hardy G. H., Ramanujan S. Asymptotic formulae in combinatory analysis. —
Proc. of the London Math. Soc, 1918, B) 17, 75—115.
[46] де Брёйн Н. Дж. Теория перечисления Пойа: Сб. Прикладная комбинатор-
комбинаторная математика: Перев. с англ. — М.: Мир, 1968, с. 61—106.
[47] Harary F., Palmer E. M. The power group enumeration theorem. — /. Comb.
Theory, 1966, 1, 157—173.
[48] Slepian D. On the number of symmetry types of Boolean functions of n
variables. — Canad. J. Math., 1953, 5, 185—193.
[49] Palmer E. M. The exponentiation groups „as the automorphism group
of a graph: Сб. Proof Techniques in Graph Theory. — N. Y.: 1969, 125—131.
[50] Harrison M. A., High R. G. On the cycle index of a product of a permuta-
permutation groups. — /. Comb. Theory, 1968, 4, 277—299.
[51] Harrison M. A The number of transitivity sets of Boolean functions.—
/. Soc. Industr. Appl. Math., 1963, 11, 808—828.
[52] Palmer E. M., Robinson R. W. The matrix group of two permutation
gr0UpS —Bulletin of the Amer. Math. Soc, 1967, 73, № 2, 204—207.
^360 Г. П. Гаврилов, В. А. Лисковец, П. П. Пермяков, Б. И. Селиванов
[53] Burnside W. Theory of Groups of Finite Order, 2nd ed. — Cambridge, 1911.
[54] Harary F. Unsolved Problems in the enumeration of graphs. — Publ. Math.
Inst. Hangar. Acad. Sci., 1960, 5, 63—95.
155] Robinson R. W. Enumeration of non-separable graphs. — /, of Comb.
Theory, 1970, 9, 327—356.
[56] Лисковец В. А. Некоторые результаты комбинаторной теории перечисле-
перечисления графов, I: Сб. Комбинаторный и асимптотический анализ. — Красно-
Красноярск, 1975, с. 9—36.
[57] Лисковец В. А. Перечисление эйлеровых графов. — Изв. АН БССР, сер.
физ.-мат., 1970, № 6, с. 38—46.
[58] Лисковец В. А. К перечислению сильно связных ориентированных гра-
графов.—Докл. АН БССР, 1973, 17, № 12, с. 1077—1080.
{59] Klass M. J. A generalization of Burnside's Combinatorial Lemma. — / of
Comb. Theory, 1976, (A) 20, 273—278.
[60] Rota G.-C, Smith D. A. Enumaration under group action. — Ann. Scu. norm,
seper. Pisa, Cl. sci., 1977, 4, № 4, 637—646.
"[61] Williamson S. G. The combinatorial analysis of patterns and the principle
of inclusion-exclusion. ^- Discrete Math., 1972, 1, N 4, 357—388.
162] Williamson S. G. Tensor compositions and lists of combinatorial structu-
¦ res. — Lin. and Multilin. Algebra, 1973, 1, 119—138.
"[63] Williamson S. G. Isomorph rejection and a theorem of the de Bruijn. —
SI AM J. Comput, 1973, 2, N 1, 44—59.
[64] White D. E. Linear and multilinear aspects of isomorph rejection. — Lin.
and Multilin. Algebra, 1974, 2, 211—226.
[65] White D. E. Classifying patterns by autmorphism group an operator theore-
theoretic approach. — Discrete Math., 1975, 13, 277—295.
166] White D. E. Redfield's theorem and multilinear algebra. — Canad. J. Math.,
1975, 27, № 3, 704—714.
[67] White D. E. Construction of vector lists and isomorph rejection. — Discrete
Math., 1976, 15, 85—105.
[68] Foulkes H. O. On Redfield's group reduiction functions. — Canad. J. Math.,
1963, 15, 272—284.
[69] Клосс В. М, Нечипорук Э. И. О классификации функций многозначной
логики: Сб. Проблемы кибернетики, вып. 9. — М: Наука, 1963.
170] Harrison M. A. On the asymptotic estimates in switching and automata
theory. — /. Assoc. Comput. Mach., 1966, 13, 151—157.
[71] Polya G. Sur les types des propositions composees. — /. Symbol Logic, 1940,
5, 98—103.
[72] Ashenhurst R. L. The application of counting techniques. — Proc. ACM Nat.
Mtg., Pittsburgh, 1952, 293—305.
[73] Harrison M. A. On the classification of Boolean functions by the general
linear and affine groups. — /. Soc. Ind. Appl. Math., 1964, 12, 285—299.
[74] Берлекэмп Э. Алгебраическая теория кодирования: Перев. с англ. — М.:
Мир, 1971.
[75] Гилл А. Линейные последовательностные машины: Перев. с англ. — М.:
Наука, 1974.
[76] Dickson L. E. Linear groups with an exposition of the Galois fields theo-
theory. — N. Y., 1958.
177] Rota G.-C. Baxter algebras and combinatorial identities. — I, Bull, of the
Amer Math. Soc, 1969, 75, № 2, 325—329; II, Bull, of the Amer. Math. Soc,
1969, 75, № 2, 330—334.
J78] Колчин В. Ф. Ветвящиеся процессы, случайные деревья и обобщенная схе-
схема размещения частиц.—¦ Матем. заметки, 1977, 21, № 5, с. 691—705.
О некоторых тенденциях теории перечисления 361
[79J Селиванов Б. И. Дополнительные замечания об однородных гипердеревьях
и гиперлесах: Сб. Комбинаторный н асимптотический анализ. — Красно-
Красноярск, 1975, с. 137—146.
[80] Грушо А. А. Распределение высоты фиксированной точки в случайном
корневом дереве: Сб. Комбинаторный и асимптотический анализ. — Крас-
Красноярск, 1975, с. 123—135.
[81] Грушо А. А. Распределение высоты отображений ограниченной кратности:
Сб. Асимптотические и перечислительные задачи комбинаторного анали-
анализа.— Красноярск, 1976, с. 7—18.
[82] Медведев Ю. И. Разделимые статистики в полиномиальной схеме. I,
П. — Теория вероятн. и ее примен., 1977, 22, вып. 1, с. 3—17; вып. 3,.
с. 623—631.
[83] Лямин В. Н., Селиванов Б. И. О случайных гипердеревьях и гипер-
гиперлесах.— Матем. заметки, 1974, 15, № 3, с. 513—521.
[84] Лямин В. Н., Селиванов Б. И. Перечислительные задачи для простых
гиперграфов: Сб. Комбинаторный анализ. — М.: вып. 3, 1974, с. 57—67;
вып. 4, 1976, с. 88—95.
[85] Bekessy A., Bekessy P., Komlos J. Asymptotic enumeration of regular mat-
matrices. — Stud. set. math. Hung., 1972, 7, № 3—4, 343—353.
[86] Страздинь И. Э. Линейная самодвойственная группа над GFB) и ее дей-
действие на алгебру булевых функций.—Кибернетика, 1974, № 5,
с. 146—147.
[87] Страздннь И. Э. Группы автоморфизмов алгебры булевых функций и клас-
классы Поста: Сб. Труды Рижского алгебраического семинара.— Рига, 1969,
с. 253—266.
а[88] Rota G.-C. The number of partitions af a set. — Amer. Math. Monthly, 1964,
1 71, 498—504.
|[89]'Rota G.-C, Kahaner D., Odlyzko A. On the Foundations of Combinatorial
Theory VIII: Finite operator calculus. — /. Math. Anal, and Appi, 1973, 42,
№ 3, 684—760.
[90] Doubilet P. On the Foundations of Combinatorial Theory VII: Symmetric
Functions through the theory of distribution and occupancy. — Studies in
Appl. Math., 1974, 51, № 4, 377—396.
[91] Frucht W. R., Rota G.-C. Polinomios de Bell у Particiones de Conjunto
Finitos. — Scientia (Valparaiso, Chile), 1965, 32, № 126, 5—10.
[92] Jackson D. M., Aleliunas R. Decomposition based generating functions for
sequences. — Canad. J. Math., 1977, 29, № 5, 971—1009.
[93] Павлов Ю. Л. Асимптотическое распределение максимального объема
дерева в случайном лесе. — Теория вероятн. и ее прим., 1977, 22, № 3,
с. 523—533.
[94] Михайлов В. Г. Оценка скорости сходимости к распределению Пуассона
при размещении частиц комплектами. — Теория вероятн. и ее прим.,
1977, 22, № 3, с. 566—574.
[95] Павлов Ю. Л. Предельные теоремы для числа деревьев заданного объема
в случайном лесе. Матем. сб., 1977, 103, № 3, с. 392—403.
[96] Колчин В. Ф. Задача о размещении частиц по ячейкам и случайные ото-
отображения.— Теория вероятн. и ее прим., 1976, 21, № 1, с. 48—62.
[97] Gould H. W. Combinatorial Identities. — Morgantown, 1972.
[98] Riordan J. Combinatorial Identities. — N. Y., 1968.
[99] Kaucky J. Kombinatoricke Identity. — Bratislava, 1975.
[100] Tutte W. T. On elementary calculus and the Good formula. — /. Comb.
Theory, 1975, В 18, № 2, 97—137.
[101] Kerber A. Characters of wreath products and some applications to represen-
representation theory and combinatorics. — Discrete Math., 1975, 13, 13—30.
[102] Егорычев Г. П. Интегральное представление и вычисление комбинатор-
комбинаторных сумм. — Новосибирск: Наука, Сиб. отд., 1977.
[103] Henle M. Dissection of generating functions. — Stud. Appl. Math., 1972,
51, №4,397—410.
362 Г. П. Гаврилов, В. А. Лисковец, П. П. Пермяков, Б. И. Селиванов
[104] Rota G.-C. On the Foundations of Combinatorial Theory I: Theory of M6-
bius Functions. — Z. Wahrscheinlichkeitstheorie und verwandte Gebiete,
1964, 2, 340—368.
[105] Bender E. A. A. lifting theorem for formule power series. — Proc. Atner.
Math. Soc, 1974, 42, N 1, 16—22.
[106] Raney G. N. Functional composition patterns and power series reversion.—
Trans, of the Atner. Math. Soc, 1960, 94, № 3, 441—451.
[107] Chottin L. Une demonstration combinatoire de la formule de Lagrange
a deux variablex. — Discrete Math., 1075, 13, 215—224.
[108] Good I. J. Generalization to several variables of Lagrange's expansion.—
Proc. Cambridge Phil. Soc, 1960, 56, 367—380.
[109] Колчин В. Ф., Чистяков В. П. К цикловой структуре случайных подста-
подстановок. — Матем. заметки, 1975, 18, № 6, с. 929—938.
[ПО] Минеев М. П., Павлов А. И. О числе подстановок специального вида.—
Матем. сборник, 1976, 99 A41), № 3, с. 468—476.
[Ill] Dwass M. The number of Increases in a Random Permutation.—
/. of Comb. Theory, 1973, (A) 15, 192—199.
[112] Болотников Ю. В., Сачков В. Н., Тараканов В. Е. Асимптотическая нор-
нормальность некоторых величин, связанных с цикловой структурой случай-
случайных подстановок. — Матем. сб., 1976, 99 A41), № 1, 121—133.
[113] Тараканов В. Е., Чистяков В. П. О цикловой структуре случайных под-
подстановок,—Матем. сб., 1975, 96 A38), 594—600.
[114] Риордаи Дж. Введение в комбинаторный анализ: Перев. с англ. — М.:
ИЛ, 1963.
[115] Bender E. A., Goldman J. R. Enumerative uses of generating functions,
Indiana Univ. Math. J. 1971, 20, № 8, 753—765.
[116] Дубиле П., Рота Дж.-К., Стенли Р. Об основах комбинаторной теории,
VI: Идея производящей функции. — См. наст, сб., с. 160.
[117] Harrison M. A. Sur la classification des functions logiques a plusieurs
valeurs. — Bull. Math. Soc. Scl. Math, de la R. S. de Roumanic, 1969,
В F1), № 1, 41—54.
[118] Попов В. А., Скибенко И. Т., Мокляк Н. Г. О числе типов систем й-знач-
ных логических функций. — Кибернетика, 1973, № 3, с. 18—27.
[119] Сачков В. Н. Комбинаторные методы дискретной математики. — М.:
Наука, 1977.
[120] Rota G.-C, Mullin R. On the Foundations of Combinatorial Theory, III:
Theory of binomial enumerations: Сб. Graph Theory and its Appl. —
N. Y. Acad. Press, 1970, 167—213.
[121] Goldman J., Rota G.-C. On the Foundations of Combinatorial Theory, IV:
Finite Vector Spaces and Eulerian Generating Functions. — Stud, in Appl.
Math., 1970, 49, № 3, 239—258.
[122] Andrews G. E. On the Foundations of Combinatorial Theory, V: Eulerian
differential operators. — Stud, in Appl. Math., 1971, 50, № 4, 345—375.
[123] Рыбников К. А. Введение в комбинаторный анализ. — М.: изд-во МГУ,
1972.
^^w^
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие редактора перевода •. 5
Дж. Г. Редфилд. Теория распределений, приведенных по группе. Пере-
Перевод В. А. Лисковца 9
Д. Пойа. Комбинаторные вычисления для групп, графов и химических
соединений. Перевод А. Н. Копыловой и Б. И. Селиванова .... 36
Р. Оттер. Число деревьев. Перевод Г. П. Егорычева и Б. И. Селиванова 139
П. Дубиле, Дж.-К. Рота, Р. Стенли. Об основах комбинаторной тео-
теории (VI): идея производящей функции. Перевод В. Н. Лямина
и Б. Я. Селиванова 160
Н. Г. де Брёйн. Обзор обобщений перечислительной теоремы Пойа.
Перевод Б. И. Селиванова 229
Р. П. Стеили. Ациклические ориентации графов. Перевод Л. М. Кога-
нова 256
Э. А. Бендер. Асимптотические методы в теории перечислений. Перевод
А. И. Павлова 266
Э. Бендер, Дж. Гольдман. О приложениях обращения Мёбиуса в комби-
комбинаторном анализе. Перевод Л. Н. Виленкиной и В. Н. Лямина . . 311
Г. П. Гаврилов, В. А. Лисковец, П. П. Пермяков, Б. И. Селиванов.
О некоторых тенденциях теории перечисления. Дополнение-обзор 336
УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!
Ваши замечания о содержании книги,
ее оформлении, качестве перевода и дру-
другие просим присылать по адресу: 129820,
Москва. И-110, ГСП, 1-й Рижский пер.,
д. 2, издательство «Мир».
ПЕРЕЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
КОМБИНАТОРНОГО АНАЛИЗА
Сборник статей
Научный редактор И. Маховая
Младший научный редактор Л. Суркова
Художник В. Новоселова
Художественный редактор В. Шаповалов
Технический редактор Н. Толстякова
Корректор М. Смирнов
ИБ № 1528
Сдано в набор 20.10.78. Подписано к печати
19.10.79. Формат 60X90'/i6 Бумага типографская
№ 2. Латинская гарнитура. Печать высокая.
Объем 11,50 бум. л. 23,00 усл. печ. л. Уч.-изд.
л. 22,22. Изд. № 1/9796. Тираж 5 300 экз.
Цена 2 руб. Зак. 1751.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР>
Москва, 1-й Рижский пер., 2
Московская типография № 8 Союзполиграф-
лрома при Государственном комитете СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной
торговли,
Хохловский пер., 7.