КОМБИНАТОРНЫЙ
АНАЛИЗ
ЗАДАЧИ
и УПРАЖНЕНИЯ
Под редакцией
К. А. РЫБНИКОВА
Допущено Министерством
высшего и среднего
специального образования СССР
в качестве учебного пособия
для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по специальностям
«Математика» и «Прикладная математика»
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1982

22.18
К 63
УДК 519.6
КОЛЛЕКТИВ АВТОРОВ:
М. В. МЕНЬШИКОВ, А. М. РЕВЯКИН, А. Н. КОПЫЛОВА,
Ю. Н. МАКАРОВ, Б. С. СТЕЧКИН
Комбинаторный анализ. Задачи и упражнения: Учебное пособие/
Под ред. К- А. Рыбникова. — М.: Наука. Главная редакция физико-
математической литературы, 1982. — 368 с.
Сборник имеет целью помочь овладению техникой решения задач
и навыками исследования теоретических проблем комбинаторного
анализа. В него включены как задачи и упражнения, предназначен-
предназначенные для первоначального ознакомления, так и задачи повышенной
трудности.
Книга будет полезна не только студентам-математикам, но и спе-
специалистам с высокой математической подготовкой.
1502000000—103
053 @2)-82 8'
Издательство «Наука».
Главная редакция
физико-математической
литературы, 1982
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора 4
Глава I. Комбинаторные схемы 7
§ 1. Комбинаторные соотношения 8
§ 2. Выборки и упорядочения 10
§ 3. Разбиения 13
§ 4. Смешанные задачи 17
Глава II. Метод производящих функций 23
§ 1. Производящие функции: свойства, операции 24
§ 2. Специальные числа и специальные функции 30
§ 3. Теория Пойа 41
Глава П1. Логические методы 49
§ 1-, Метод включения и исключения 49
§ 2. Системы представителей множеств 52
§ 3. Теорема и числа Рамсея 55
Глава IV. Комбинаторные таблицы и схемы 57
§ 1. Специальные матрицы 57
§ 2. Латинские прямоугольники и квадраты 62
§ 3. Системы троек Штейнера и сходные наборы 68
§ 4. Блок-схемы 76
§ 5. Проблема Ван-дер-Вардена 81
Глава V. Геометрические методы 85
§ 1. Графические интерпретации и задачи 85
§ 2. Перечислительные задачи на графах 95
§ 3. Конечные плоскости 104
Глава VI. Системы множеств 111
§ 1. Экстремальные задачи на графах и гиперграфах .... 111
§ 2. Упорядоченные множества 122
§ 3. Матроиды и комбинаторные геометрии 133
§ 4. Экстремальные геометрические константы 154
Ответы, решения, указания 157
Глава I 157
Глава II 182
Глава III 216
Глава IV 227
Глава V 262
Глава VI 298
Литература 359
Предметный указатель .,..,....,., 361
1*

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА
Настоящий сборник имеет целью помочь читателям
овладеть как техникой решения задач комбинаторного
характера, так и навыками исследования теоретических
проблем комбинаторного анализа. Поэтому в него вклю-
включены не только задачи и упражнения, предназначенные
для первоначального ознакомления, но и задачи повы-
повышенной трудности.
Комбинаторный анализ —это часть математики, сфор-
сформировавшаяся в последние десятилетия, объединяющая
или сближающая многие ее разделы: классическую пере-
перечислительную комбинаторику, производящие функции,
теорию графов и гиперграфов, блок-схемы и другие спе-
специальные таблицы, конечные геометрии и матроиды, коды,
методы исследования операций и др. Сближение проис-
происходит по мере того, как удается выяснить общность их
теоретических основ и производить регулярные интерпре-
интерпретации. Общие трактовки производятся, как правило, на
языке теории дискретных множеств, в большинстве ко-
конечных.
Настоящий сборник по замыслу составителей отражает
единство общей комбинаторной теории (комбинаторного
анализа), большое разнообразие ее задач, сущность мето-
методов их решения и возможности дальнейшего развития.
Главы I, II сборника (автор-составитель М. В. Мень-
Меньшиков) содержат материал, вполне достаточный для
освоения основных видов комбинаторных схем с помощью
специфических комбинаторных рассуждений и решения
задач перечислительного типа с помощью метода про-
производящих функций. В главе III (автор-составитель
Ю. Н. Макаров) собраны задачи, решение которых в зна-
значительной степени состоит в осуществлении последова-
последовательностей логических операций.
Таблично-матричный аппарат комбинаторного ана-
анализа составил содержание главы IV (автор-составитель
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА о
А. Н. Копылова). В нее включен материал о специаль-
специальных классах матриц, о латинских прямоугольниках и
квадратах, о тройках Штейнера и других видах комби-
комбинаторных наборов и о блок-схемах. Отдельный параграф
этой главы составили задачи, проистекающие из недавно
доказанной гипотезы Ван-дер-Вардена о значениях перма-
перманентов дважды стохастических матриц (параграф написан
В. Н. Лузгиным).
Глава V (автор-составитель А. Н. Копылова) содержит
задачи геометрического характера: интерпретации на
языке теории графов комбинаторных задач, придающие
последним наглядность и облегчающие их решение; пере-
перечислительные задачи, решаемые методами теории графов;
конечные плоскости как пример классов дискретных рас-
расположений, для которых вводится аксиоматика, подобная
геометрической.
Глава VI (авторы-составители А. М. Ревякин и
Б. С. Стечкин) имеет целью введение читателя в теоре-
теоретические проблемы комбинаторного анализа. В ней в се-
сериях задач разъяснены следующие типы проблем: классы
экстремальных задач на графах и гиперграфах; свойства
- множеств, на которых введены отношения упорядочения,
и действия с ними; экстремальные геометрические посто-
постоянные. В параграфе о матроидах и комбинаторных геомет-
геометриях последовательно проводится идея постепенного вве-
введения читателя в эту теорию, вплоть до задач сложных,
вплотную подводящих (как и в других параграфах этой
главы) к самостоятельным попыткам исследования еще
не решенных теоретических проблем.
Коллектив составителей сборника (включая автора
предисловия) сложился в ходе совместной работы на ме-
механико-математическом факультете МГУ, где осущест-
осуществляется важная инициатива подготовки кадров и развер-
развертывания научных исследований в области дискретной
математики. Составителям пришлось преодолеть немалые
трудности, так как настоящий сборник не имеет пред-
предшественников в учебной и в научной литературе (книга:
L о v a s z L. Combinatorial problems and exercises. — North
Holland Publ. C°, 1979, появилась в тот момент, когда
уже существовало предварительное, ротапринтное издание
настоящего сборника). Задачи приходилось не только соби-
собирать из разных источников и классифицировать, но и созда-

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА
вать заново (что, кстати, оправдывает употребление тер-
термина «автор-составитель»). По тем же причинам приходи-
приходилось предварять главы и параграфы теоретическими
справками, а ответы, решения и указания делать более
пространными и в большем количестве, чем это принято
в пособиях такого рода.
Следует, наконец, отметить, что настоящий сборник
создавался в благоприятной обстановке: когда широкий
круг коллег (научных работников, преподавателей вузов,
аспирантов и студентов) проявлял интерес и оказывал
возможную поддержку. Особой благодарности заслужи-
заслуживают профессора В. Д. Белоусов (Кишинев) и М. Л. Пла-
Платонов (Иркутск), доценты В. Н. Шевченко и Ал. А. Мар-
Марков (Горький), принявшие на себя труд прочитать всю
рукопись сборника и дать на нее рецензию. Один из
составителей —Б. С. Стечкин — провел подготовку ряда
задач из гл. VI совместно с доктором Д. Катона (ВНР),
что положительно сказалось на их содержании.
К- А. Рыбников
Глава I
КОМБИНАТОРНЫЕ СХЕМЫ
Введем следующие обозначения:
п-множество —множество из п различных элементов;
- (п)-множество — множество, содержащее элементы п
различных типов (если не оговорено заранее, то пред-
предполагается, что число элементов каждого типа достаточно
велико);
r-выборка из некоторого множества — совокупность из г
(не обязательно различных для (п)-множества) элементов
этого множества.
Число /"-выборок из tt-множества (г-сочетании):
п\ рГ f 0, если г <0 или 0^п<г;
г)~ "~ \ л!/(г1 (л —г)!), если п^г^О.
Число упорядоченных r-выборок из n-множества (г-пере-
(г-перестановок):
п (
Число ,-выборок из (п)-множества {сочетания с повторе-
повторениями):
Число упорядоченных r-выборок из (п)-множества равно
А[ г
Число «-перестановок /г-множества
дая из которых содержит kx
циклов длины 2 и т. д., kn циклов длины п

о
ГЛ. I. КОМБИНАТОРНЫЕ СХЕМЫ
Число подстановок (б)-множества, содержащего я, эле-
элементов первого типа, п2-второго и т. д., щ-k-ro типа
у = п\, равно
Р(пъ ..., nk)^=n\l{nl\...nk\)
(в частности, Р(г, п — г) = Сп).
§ 1. Комбинаторные соотношения
1.1. Доказать комбинаторными рассуждениями (т. е.
используя только определение числа сочетаний) тождества:
а) С* = С*_> +C*ZJ, n>0;
б) Cn~Cn-l+CnZl-\- ... -\-Cn—k-l, tl>k.
1.2. Доказать тождество
CTBO
1.3. Доказать для любого tn — 0, I, 2, ..., я
тожде-
р' V Г1* nr—k
1.4. Доказать тождества:
а) 2>С«=2\ п^О;
ft = 0
б) J] ^ = Л2В-1;
п
В)
1.5. Доказать с помощью комбинаторных рассуждений
тождество
§ 1. КОМБИНАТОРНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
/
1.6. Доказать тождество ^
^ П!!п2! ... п^1 '
где суммирование распространяется по всем упорядо^,
ным разбиениям п на k слагаемых: п = щ-\- ,..\П1
щ^.О — целые числа.
.7. а) Доказать тождество
где п = 2_i nh числа ^ — произвольные, а суммирование
распространяется по всем наборам чисел mlt ..., mq
таким, что m = ^ гщ, 0 ^ /n,- s? щ.
?=1
б) Доказать, что
П =
¦т„
i=\
где суммирование ведется по наборам (mi, ..., mq).
1.8. Доказать, что
1.9. Доказать, что
1.10. Доказать, что
х=1
(д+\) (9 + 2)'

10 ГЛ. I. КОМБИНАТОРНЫЕ СХЕМЫ
1.11. Доказать тождество
2j rx+r п-\-\
х=0 2п
1.12. Доказать, что
[п/2]
а)
5 2. ВЫБОРКИ И УПОРЯДОЧЕНИЯ
11
1.13. Доказать для л?
любого р = и, i
п тождество
1.14. Доказать тождество
-,п+1
1.15. Доказать тождество
где суммирование распространено на все целые неотри-
неотрицательные решения уравнения
1.16. Пусть для целых п, г>0 ^«^/
Доказать, что при любом натуральном г и
ведливо равенство
спра
§ 2. Выборки и упорядочения
1.17. п (п>2) человек садятся за круглйсгм- Два
размещения по местам будем считать совпадающими если
каждый человек имеет одних и тех же со^^?°их
случаях. Сколько существует способов сесть з
никакие два
д
а>
"
1.18. Сколькими способами можнбдосадить
лый стол п мужчин и п женщин так, чтъ^
лица одного пола не сидели рядом?
1.19. Из колоды, содержащей 52 карты,
карт. Во скольких случаях среди этих карт
а) хотя бы один туз; б) ровно один туз;
в) не менее двух тузов; г) ровно два туза?
j, 1.20. Сколькими способами можно составить три пары
,цз п шахматистов?
, 1.21. Сколько можно построить функций со значе-
значениями на множестве из т элементов, если функции за-
зависят от п переменных хг, ..., хп, где x-t может прини-
ыать одно из 4 значений?
1.22. Сколько делителей имеет число q = р^р^2...р^п,
где Pi — различные простые числа, не равные единице,
«; —некоторые натуральные числа? Чему равна сумма
делителей?
1.23. Сколько можно составить перестановок из п эле-
. йентов, в которых данные т элементов не стоят рядом
в любом порядке?
"*'' 1.24. Сколько существует чисел от 0 до 10", в кото-
которые не входят две идущие друг за другом одинаковые
цифры?
1.25. Сколькими способами можно выбрать 6 карт из
колоды, содержащей 52 карты, так, чтобы среди них бы-
Яи карты каждой масти?
>; 1.26. Сколько существует гс-значных натуральных
^исел, у которых цифры расположены в неубывающем
1Юрядке?
, 1.27*), Найти число способов раскладки п различных
шаров по т различным урнам.
1.28. Сколькими способами можно разместить п одина-
одинаковых шаров по т различным урнам?
:' 1.29. Сколькими способами можно разместить п оди-
одинаковых шаров по т различным урнам при следующих
Условиях:
а) пустых урн нет;
б) во второй урне k шаров;
¦¦>• *) В задачах 1,27 — 1,33 вместимость урн считается неограни-
Чрйной,

12
ГЛ. I. КОМБИНАТОРНЫЕ СХЕМЫ
в) в первых * УРнах соответственно аъ а?, ... , as
шаров (п\-\-P'~t~ •'• ~т s~-~ )>
тЛ в ' ¦'' УРне не меньше чем щ шаров (t = l, 2, ...
'"'1.30. Сколькими способами можно разместить щ бе-
белых, п.2 черных и п3 синих шаров по m различным урнам?
1.31. Найти число способов распределения п одина-
одинаковых шаров по а) двум, б) трем, в) i неразличимым
урнам. Вывести рекуррентное соотношение для случая в).
1.32. Сколькими способами можно разложить п =
= ftj + na-f-...-f-rtfc различных шаров по к различным
урнам так, чтобы в первую урну попало пх шаров, во
вторую — гс2 и т- Д-, в k-ю — Пи шаров?
1.33. Найти число способов размещения п различных
шаров по m урнам так, чтобы пг^ урн содержали по рг
шаров, т2 — по р% шаров и т. д., mk урн —по рк шаров
(га = nil + • • • + mft. n — m\P\ + • • • + Шири), если
а) урны различны;
б) урны, содержащие одинаковое число шаров, нераз-
неразличимы.
1.34. а) Сколько существует «-значных чисел, у ко-
которых сумма цифр равна k, где k ^9 (первая цифра
отлична от нуля)?
б) Та же задача, но для всех чисел от 0 до 10".
1.35. Сколько пятизначных чисел можно составить
из цифр числа 75 226 522?
1.36. Сколько последовательностей длины п-\-пг можно
составить из п нулей и m единиц, в записи которых
общее число пар 01 и 10 было бы равно: а) 2г— 1;
б) 2г?
1.37. Найти число S такое, чтобы среди чисел пер-
первой тысячи имелось ровно 10 чисел, у каждого из кото-
которых сумма цифр равна 5.
1.38. Какова вероятность, купив один билет, угадать
в спортлото (из 49):
а) k номеров (/г=1, 2, ..., 6);
б) хотя бы k номеров?
1.39. Генуэзская лотерея. Участники этой ло-
лотереи покупают билеты, на которых стоят числа от 1
до 90, На некоторых билетах стоят сразу 2, 3, 4 или 5
чисел. В день розыгрыша случайным образом выбирают
5 жетонов с номерами от 1 до 90. Выигрывают те участ-
§ 3. РАЗБИЕНИЯ
13
ники, у которых все номера на билетах окажутся среди
выбранных. Какова вероятность выигрыша в случае по-
покупки билета с одним числом? С k числами A ^/г==?;5)?
1.40. Рассматриваются все последовательности длины
п из чисел 0, 1, ..., k. Сколько среди них последова-
последовательностей, содержащих четное число нулей?
1.41. Поступающий в высшее учебное заведение дол-
должен сдать четыре экзамена. Он полагает, что для пос-
поступления будет достаточно набрать 17 очков. Сколькими
способами он сможет сдать экзамены, набрав не менее 17
очков и не получив ни одной двойки?
1.42. В кошельке лежат монеты в 1, 2, 3, 5, 10, 15,
20, 50 коп., по одной монете каждого достоинства. Сколь-
Сколькими способами можно уплатить этими монетами за по-
покупку стоимостью 73 коп.?
1.43. За пересылку бандероли надо уплатить 18 коп.
Сколькими способами можно оплатить ее марками стои-
стоимостью в 4, 6, 10 коп., если два способа, отличающиеся
порядком марок, считаются различными?
§ 3. Разбиения
1.44. Дать объяснение следующих равенств:
а)
п—\
п=\
где Я (п) — количество представлений п в виде неупо-
неупорядоченной суммы неравных положительных целых сла-
слагаемых;
оо со
б) П (l+*"z)= 1+ П М"> m)xnzm,
п = 1 п, m = 1
где X, (п, ш) — количество представлений п в виде неупо-
неупорядоченной суммы m неравных положительных целых
слагаемых;
оо оо
в)
где \i (п) — количество неупорядоченных представлений п
в виде суммы равных или неравных положительных
целых слагаемых;

14
ГЛ. I. КОМБИНАТОРНЫЕ СХЕМЫ
2
n, m=\
где ц (n, т) — количество неупорядоченных представле-
представлений я в виде суммы т равных или неравных положи-
положительных целых слагаемых;
Д)
П0+*"я-1)=1+ 2
л=1 га = 1
где v (я) — количество представлений я в виде неупорядо-
неупорядоченной суммы неравных положительных нечетных сла-
слагаемых;
= 1
где р (я) — количество представлений я в виде неупорядо-
неупорядоченной суммы равных или неравных положительных не-
нечетных слагаемых;
ж)
где от(п)~число упорядоченных разбиений, или коли-
количество представлений я в виде упорядоченной суммы не
более чем т равных или неравных целых неотрицатель-
неотрицательных слагаемых, или число решений уравнения n = xt-\-
-\-х2 + ...-\-хт, где Xi^О — целые числа, i = l, ..., т\
з)
ТТ ~=1 + У.
i. •••» пт, п)хп,
где a(«i, ..., nm, n)~число решений уравнения п —
= fti*i + • • • + «m^rn. Xi ^ 0 — целые числа;
и)
где а(т, я) — число упорядоченных разбиений п на т
целых положительных равных или неравных слагаемых,
§ 3. РАЗБИЕНИЯ
15
или число решений уравнения п — ,
jqSs 1 —целые числа.
1.45. Доказать, что число упорядоченных разбиений
числа я на k натуральных слагаемых, т. е. число реше-
решений уравнения
i==l k>
равно
Z\ = o{k, n),
а общее число упорядоченных разбиений п на слагаемые
равно 2я-1.
1.46. Обозначим через %{п) число неупорядоченных
разбиений п на различные слагаемые и р (п) — число неупо-
неупорядоченных разбиений п на нечетные слагаемые (равные
или неравные). Доказать, что Х(я) = р(п).
1.47. Числа wk = C/е2 - k)/2 (k = 0, ± 1, ± 2,...) назы-
называют пентагональными. Доказать следующее утверждение
(теорема Эйлера —Лежандра): разность между количест-
количеством неупорядоченных представлений данного натурального
числа п в виде суммы четного и нечетного чисел нерав-
неравных слагаемых равна нулю, если я — непентагональное
число, и равна (—1)*, если я — пентагональное число Wk.
1.48. Доказать следующее утверждение: для всякого
я>0 имеем
2Г
fe:t
где S (я) —сумма делителей натурального числа я; сумма
в левой части берется по всем номерам &s=iO, для кото-
рых wk^n, а символ у __ ] обозначает 0 при я, не
равном пентагональному числу, и (—1M-хя при n = ws.
1.49. Обозначим р(я) число неупорядоченных пред-
представлений натурального числа я суммой равных или
неравных натуральных чисел. Доказать, что
(-1)*р(п-и>*)=»0,
= 0, ±1, ±2, ...) — пентагональ-
где u)fc = Cfe2 — )
ные числа, ji@)= 1.

16
ГЛ. I. КОМБИНАТОРНЫЕ СХЕМЫ
§ 4. СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ
17
1.50. Пусть f(n) и F(n) — целочисленные функции и
2 (-irf(n-hws) = F(n),
S : w$ ^ n/h •>
где /i> 0 —данное целое число. Доказать формулу обра-
обращений
/(«)=¦ I] iX(*)F(n-A/fe),
О ^ fc sg n/h
где ц(^) есть количество разбиений числа k на равные
или неравные слагаемые (аналог функции Мёбиуса \i («)).
1.51. Пусть %(п) — число разбиений /г на неравные
слагаемые, Л, @) = 1. Доказать равенства:
б)
1.52. Пусть \(п) — число разбиений я на сумму нерав-
неравных нечетных положительных слагаемых (v@)= 1). Дока-
Доказать равенства:
a,
б)
v (-
5 ;
1.53. Найти число неупорядоченных решений уравне-
уравнения х1 + х2-\-...-\-Хр = т, если все неизвестные удовлет-
удовлетворяют неравенству 0^l^xk^n.
1.54. На сколько частей можно разделить поверхность
шара плоскостями, проходящими через его центр, при
условии, что никакие три плоскости не проходят через
один и тот же диаметр?
1.55. Найти число всех выпуклых ^-угольников, вер-
вершинами которых служат k из п вершин выпуклого я-уголь-
ника, причем две соседние вершины должны быть разде-
разделены по меньшей мере s вершинами я-угольника.
1.56. Сколькими способами можно разбить выпуклый
(п + 2)-угольник на треугольники диагоналями, не пере-
пересекающимися внутри многоугольника?
1.57. На сколько частей делят плоскость п пересекаю-
пересекающихся прямых, если никакие три из них не пересекаются
в одной точке?
1.58. На плоскости проведено п прямых. Назовем
число' прямых, проходящих через точку, кратностью
точки. Заданы числа: k% — число вершин кратности два,
k3 — число вершин кратности три и т. д., kn — число вер-
вершин кратности п. Найти число пар параллельных прямых.
1.59. На плоскости проведено п прямых. Заданы числа:
hi, — число вершин кратности два, ks — число вершин крат-
кратности три и т. д., kn — число вершин кратности п. На
сколько частей делят эти прямые плоскость?
1.60. На сколько частей делят пространство п пло-
плоскостей, из которых никакие четыре не проходят через
одну и ту же точку, никакие три не проходят через одну
и ту же прямую и никакие две не параллельны, и любые
три плоскости имеют общую точку?
1.61. Через точку А в пространстве проходит k пло-
плоскостей, и никакие три из них не проходят через одну
прямую. На сколько частей они делят пространство?
1.62. В пространстве проведено п плоскостей. Известно:
/2 — число прямых пересечения точно двух плоскостей;
/3 — число прямых пересечения точно трех плоскостей и
т. д.; /„ — число прямых пересечения точно п плоскостей.
Найти число пар параллельных плоскостей.
, 1.63. На сколько частей делят пространство п плоско-
плоскостей, если никакие три из них не проходят через одну
и ту же прямую, никакие две не параллельны и k3 — число
точек пересечения трех плоскостей, &4 — число точек пере-
пересечения четырех плоскостей и т. д., kn — число точек пере-
пересечения п плоскостей?
§ 4. Смешанные задачи
1.64. Доказать, что следующие числа —целые:
, (Й^ 6) (Зл)! , Jn^.
1>
2*
BлI
J
(п\)
^
п+1
I
I
1.65. Сколько существует различных пар целых чисел х
и у от 1 до 1000, для которых (%2 + #2)/49 есть целое
число? (Пары (х, у) и (у, х) считаются одинаковыми.)

18
ГЛ. I. КОМБИНАТОРНЫЕ СХЕМЫ
§ 4. СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ
19
1.66. Из чисел от 1 до л составлены всевозможные
произведения, состоящие из k различных сомножителей
(k фиксировано).- Сколько полученных произведений де-
делится на простое число р^п?
1.67. При условии, что никакие три диагонали выпук-
выпуклого я-угольника (п5з5) не пересекаются в одной точке,
найти число отрезков, на которые разбиваются диагонали
точками пересечения.
1.68. На плоскости даны пять точек. Среди прямых,
соединяющих эти точки, нет параллельных, перпендику-
перпендикулярных и совпадающих. Проводим через каждую точ-
точку перпендикуляры ко всем прямым, которые можно
построить, соединяя попарно остальные четыре точки.
Каково максимальное число точек пересечения этих
перпендикуляров между собой, не считая данных пяти
точек?
1.69. На окружности дано п точек и проведены все-
всевозможные хорды, соединяющие эти точки. Известно, что
никакие три из проведенных хорд не пересекаются в одной
точке. На сколько частей разбивается круг?
1.70. В розыгрыше первенства страны по футболу
участвуют 20 команд. Какое наименьшее число игр должно
быть сыграно, чтобы среди любых трех команд нашлись
две, уже игравшие между собой?
1.71. На шахматную доску произвольным образом
поставили две ладьи (черную и белую). Что вероятнее:
эти ладьи могут побить друг друга или нет?
1.72. Шахматная доска размером 6x6 покрыта 18 ко-
костями домино размером 2x1 (таким образом, что каждая
кость покрывает две клетки). Доказать, что при любом
таком покрытии доску можно разрезать на две части по
горизонтальной или вертикальной прямой, не повредив
ни одной кости домино.
1.73. Клетки шахматной доски занумерованы по по-
порядку числами от 1 до 64: первый горизонтальный ряд
слева направо — числами от 1 до 8, второй горизонталь-
горизонтальный ряд слева направо — числами от 9 до 16 и т. д. На
доске расставлены 8 ладей так, чтобы они не били друг
друга. Какое значение может принимать сумма номеров
клеток, на которых стоят ладьи?
1.74. В каждой клетке шахматной доски размером
пхп поставили число, указывающее количество прямо-
,угольников, в которые входит эта клетка. Чему равна
сумма всех поставленных чисел?
1.75. Доказать, что из любых пяти грибов, растущих
в лесу и не расположенных на одной прямой, всегда
можно найти четыре таких, которые служат вершинами
выпуклого четырехугольника.
1.76. В городе N живет человек, совершающий еже-
ежедневно прогулку и проходящий при этом путь длины п.
Расстояние между соседними перекрестками равно 1
(рис. 1.1). Этот человек никогда не движется на северо-
запад или северо-восток. На каждом перекрестке он с ве-
вероятностью 1/2 поворачивает или на юго-восток, или на
юго-запад. Если путь начинается в точке А, то какова
;вероятность этому человеку в конце прогулки попасть
в k-й перекресток п-то ряда?
А
Б
X
XX
<*' \'' V V \п-иряд перекрестков
Я7 п ... 2 I 0 ^
Рис. 1.1.
1.77. Доказать, что вероятность попасть в четные пере-
перекрестки n-го ряда равна вероятности попасть в нечетные
^ререкрестки n-го ряда (см. рисунок к предыдущей задаче).
Какое свойство сочетаний Ckn из этого следует?
1.78. В уравнении ах = Ь параметры а и & выбираются
наудачу соответственно из сегментов 1 ^а^т, l^b^n.
Какова вероятность того, что корень этого уравнения
Сбудет больше 1, при условии, что гп, п, а, Ь — натураль-
?ЛЫе числа?
1.79. (т, п) — точка с целыми неотрицательными коор-
координатами т и п. Найти число различных путей длины
т+п, ведущих из начала координат в точку (гп, п)
В состоящих из отрезков, параллельных осям координат,
<*фи условии, что концами отрезков служат точки с цело-
Численными координатами.
< 1.80. На клетчатой бумаге нарисован прямоуголь-
прямоугольник ABCD, стороны которого лежат на линии сетки,
Причем AD в k раз больше АВ (k — целое). Рассматри-

20
ГЛ. I. КОМБИНАТОРНЫЕ СХЕМЫ
ваются всевозможные пути, проходящие по линиям сетки
и кратчайшим образом ведущие от Л к С. Доказать, что
среди этих путей таких', в которых первое звено лежит
на AD, в k раз больше, чем таких, в которых первое
звено лежит на АВ (рис. 1.2).
В
В
Е
А
С
Л
F
М
В
Рис. 1.2.
Рис. 1.3.
1.81. На перекрестке А автомобилист разбил стекло
левой фары, и теперь ему надо кратчайшим путем попасть
в ремонтную мастерскую В, не попав при этом в пункт М
(рис. 1.3). Сколькими способами он может выбрать
маршрут?
1.82. На плоскости взяты 9 точек, расположенных
в виде квадрата 3 х 3. Сколько существует треугольников,
у которых одна вершина находится в фиксированной
точке А, а две другие —в остальных 8 точках?
1.83. Некая комиссия собиралась 40 раз. Каждый раз
на заседаниях присутствовали по 10 человек, причем ни-
никакие двое из ее членов не были на заседаниях вместе
больше одного раза. Доказать, что число членов комиссии
больше 60.
1.84. В некотором учреждении 25 сотрудников. Дока-
Доказать, что из них нельзя составить больше 30 комиссий, по
5 человек в каждой, так, чтобы никакие две комиссии
не имели более одного общего члена.
1.85. После выступлений 20 фигуристов каждый из 9
судей распределяет по своему усмотрению места с 1 по 20.
Оказалось, что у каждого фигуриста места, присвоенные
ему разными судьями, отличаются не более чем на 3.
Подсчитаем суммы мест, полученных каждым фигуристом,
и расположим их в порядке возрастания: С1^С2^...
,..^С2о. Какое наибольшее значение может иметь Сх?
§ 4. СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ
21
• 1.86. Расстояние от Л до В —999 км. Вдоль дороги
стоят километровые столбы, на которых расстояния от А
до В записаны так:
0
999
1
998
*
2
997
» • • • »
999
0
Сколько среди этих столбов таких, на которых есть только
две различные цифры?
1.87. Двое играют в следующую игру: не видя номера
приближающейся автомашины, первый «берет себе» две
любые цифры номера (например, первую и третью или
вторую и четвертую), а второму достаются две другие
цифры; когда номер становится известным, оба играющих
складывают свои цифры и выигрывает тот, у которого
в сумме цифр единиц больше. Сколько среди номеров
от 0001 до 9999 таких номеров, что игра заканчивается
вничью независимо от выбора, сделанного первым
играющим?
1.88. Для окраски одной грани кубика требуется 5 се-
секунд. За какое наименьшее время 3 человека могут вы-
выкрасить 188 кубиков? (Предполагается, что два человека
не могут одновременно красить один кубик.)
1.89. В соревнованиях по гимнастике две команды
имели одинаковое число участников. В итоге общая сумма
баллов, полученных всеми участниками, равна 156. Сколько
было участников, если каждый из них получил оценки
только 8 или 9 баллов?
1.90. Имеются 9 палочек различной длины от 1 до 9 см.
Квадраты с какими сторонами и сколькими способами
можно составить из этих палочек? (Не обязательно исполь-
использовать все палочки; способы составлений одного квадрата
считаются разными, если использовать разные палочки.)
1.91. Группа из 41 студента успешно сдала сессию из
трех экзаменов. Возможные оценки: 5, 4, 3. Доказать,
что по крайней мере пять студентов сдали сессию с оди-
одинаковыми оценками.
1.92. При условии предыдущей задачи найти вероят-
вероятность того, что в группе не окажутся 8 студентов, сдав-
сдавших сессию с одинаковыми оценками.
1.93. Каких чисел больше среди первого миллиона:
тех, в заииси которых встречается 1, или тех, в записи
которых ее нет?

22
ГЛ. Г. КОМБИНАТОРНЫЕ СХЕМЫ
1.94. Запишем предложение «Четыре усталых молча-
молчаливых путника долго пережидали внезапно разразившуюся
грозу». Будем вычеркивать из него слова так, чтобы вся-
всякий раз получалось правильное предложение (например,
нельзя вычеркнуть слово «четыре», но можно вычеркнуть
слово «усталых»). Вычеркивать слова можно в любом по-
порядке одно за другим. Сколькими способами можно прийти
к предложению, из которого уже нельзя вычеркнуть ни
одного слова?
1.95. Доказать, что если шахматная партия продол-
продолжается бесконечное число ходов, то по крайней мере одна
позиция будет повторена бесконечное число раз. Дока-
Доказать, что найдется последовательность ходов сколь угодно
большой длины, которая повторится бесконечно много раз.
1.96. Некто А знает XY (известно, что X + К < 1'ПО;
X, Y > 1 — натуральные числа), и некто Б знает X + Y.
Между ними происходит следующий диалог:
А: я не знаю X и Y,
Б: я это знал,
А: тогда я знаю X и Y,
Б: тогда и я знаю X и Y.
Найти числа X и Y.
1.97. Доказать, что в каждой бесконечной десятичной
дроби существует последовательность десятичных знаков
произвольной длины, которая в разложении дроби встре-
встречается бесконечно много раз.
1.98. Доказать, что в разложении числа п\ на простые
сомножители простое число р входит с показателем
[
(квадратные скобки означают целую часть числа).
1.99. Сколько нулей имеет на конце число 3!!! в де-
десятичной записи?
1.100. Пусть п чисел 1, 2, ..., л расположены подряд
по кругу. Двигаясь по кругу, вычеркиваем каждое вто-
второе число. Найти последнее невычеркнутое число N. До-
Доказать, что
Г лава II
МЕТОД ПРОИЗВОДЯЩИХ ФУНКЦИЙ
Производящей функцией, или обычной производящей
функцией, последовательности чисел а0, аь ,.., ап, ¦¦¦
называется формальный ряд
где tf —формальная переменная. При этом будем писать
an = Coeftn{A(t)}. По определению, две производящие
функции:
a (t) = 2 *«**. B @ = 2 w
равны, если ап = Ъп для гс = 0, 1, 2, ... Для обычных
производящих функций вводится алгебра формальных сте-
степенных рядов, или алгебра Коши, с операциями сложе-
сложения, умножения, суперпозиции, подстановки, дифферен-
дифференцирования и интегрирования. В частности, производящая
со
функция A {i) = 2 antn по определению является произ-
ведением производящих функций
тогда и только тогда, когда для всех л = 0, 1, 2, ...

24
ГЛ. П. МЕТОД ПРОИЗВОДЯЩИХ ФУНКЦИЯ
Последовательность чисел а0, аъ ..., ап,,.. называется
сверткой последовательностей b0, blt..., bn, ... и Со, Си ...
..., сп, .... если Л@ = 5@С@-
Экспоненциальной производящей функцией последова-
последовательности а0, пи ..., ап, ... называется ряд
где, так же как и выше, t — формальная переменная.
Здесь an = Coeftn{E (t)}. В алгебре экспоненциальных про-
просо
изводящих функций произведение E(t) = У aj^r экспо-
оо
ненциальных производящих функций F (t) — У bj~
оо
и C(t)= > с«йТ' в отличие от алгебры Коши, опреде-
п
ляется равенством а„= У, Cknbncn.k, n = 0, 1, 2, ...
Отметим, что если под t понимать комплексную пере-
переменную, то при t, меньшем радиуса сходимости соответ-
соответствующего ряда, производящая функция является анали-
аналитической. В связи с этим возникает обратная задача: по
аналитической функции найти коэффициенты степенного
разложения.
§ 1. Производящие функции: свойства, операции
Найти производящие функции следующих последова-
последовательностей:
1, п = 0, 1, .... N,
О, n>N.
n+l, n = 0, 1, ..., N,
0, nsstf+l.
+ 2), л = 0, 1 N-l,
О, n^N.
2.4. f(n)=l, n-0, 1, 2, ...
2.1.
2.2. /(tt) =
2.3. /(«) =
§ 1. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ: СВОЙСТВА, ОПЕРАЦИИ 25
2.5. f
2.6. f
2.7. f
2.8. f
2.9. f
2.10.
2.11.
n = 0,
2, ...
2, ..
2, ...
2, ...
, 2, .
0, n =
0, n = 0,
, 1, 2,
, 2, ...
2.15. f{n)=
a"/n!, n —нечетное.
О, л — нечетное,
an/nl, n — четное.
2.16. f(n) = sinan, « = 0, 1, 2, ...
2.17. f(n) = cos an, n = 0, 1, 2, ...
Найти производящую функцию последовательности F(n)
через производящую функцию последовательности f(n),
если
0, п = 0,
f(n-l), «=1, 2, ...
2.19. F(«) = /(«+l), « = 0, 1, 2, ...
2.20. F(n)=f(n-\-k), д = 0, 1, 2, ...; fteN.bO,
2.21. F{n) = anf{n)f л = 0, 1, 2, ...
2.22. F(n) = nf(n), n = 0, 1, 2, ...
2.18.
2.23.
2.24.
2.25.
2.26.
i = 2/@, « = 0, 1, 2, ...
0, п = 0, 1 k-l,
f(n-k), n^ k.
2, ...
^EfWg'in-r), n = 0, 1, 2, ...
r=0

26
ГЛ. II. МЕТОД ПРОИЗВОДЯЩИХ ФУНКЦИЙ
Найти экспоненциальную производящую функцию Fe (z)
последовательности F(ri), выраженную через /e(z):
{n-\), /t=l, 2, ...
2.28. F(n) = f{n+l), л = 0, 1, 2, ...
2.29. F{n) = nf(n), n = 0, 1, 2, ...
2.30. F(n) = a"f{n), я = 0, 1, 2, ...
ов1 вм ( 0, я = 0, 1, 2, .... й-1,
2.31. F(n) = {
\f(n-k), n^k.
2.32. F(n) = /(ft+l)-f(n), л = 0, 1, 2, ...
2.33. F(n)=2 C^(n-r)ff(r).
2.34. F (n) = 2 ^/',. fcJ Д (*i) /2 (ft«) • • • U (U-
2.35. Каким последовательностям соответствуют произ-
производящие функции
2.36. Пусть A (z) = ao-\-aiZ-{-...-\-anzn-\-... —обычная
производящая функция и а—примитивный корень п-й сте-
степени из 1, а = ехр {2ni/n\, где t — мнимая единица.
Разобьем A(z) на п секций, из которых k-я есть
..., * = 0,1 /г-1 B.1)
{метод секционирования де Моргана). Показать, что
\A{ah). B.2)
2.37. Пусть хъ я2, .... xk — переменные. Показать, что
1 xk)zk,
где
= 1( 2 ft) —m-я элементарная симметрическая функ-
§ 1. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ: СВОЙСТВА, ОПЕРАЦИИ 27
1 ция. В частности, если
; — число сочетаний из k по т, то
B.3)
т — 0
где С| = 1.
2.38. Доказать следующие свойства сочетаний:
a) Ckn + 1==Cn + Ckn-\ л=1, 2, ...; й=1, 2, ..., я+1;
а начальные условия: С\ — С'1=\\
\ б) i]Cj = 2»;
fe = 0
i в) S(-l)*dl-O;
s г) для т = 0, 1, .... я—1 справедливо тождество
Вандермонда
>« —¦ / i "-<« —
2.39. Пусть
,'' суть степенные суммы и элементарные симметрические
j функции соответственно. Доказать, что
т=\

28
ГЛ. II. МЕТОД ПРОИЗВОДЯЩИХ ФУНКЦИЙ
(Формулу B.4) иногда называют формулой Варинга.)
Отметим, что левая часть B.4) содержит лишь конечное
число слагаемых.
2.40. Пусть л —л (я)— неупорядоченное разбиение
{lfci2V..«fe«} числа п, где &г — число частей, равных i,
так что n = kx-\-2k^,-\-...-{-nkri\ k(л) — число частей в раз-
биении л, т. е.
A, {x)^
it и для каждого /=1, 2, ...
есть производящая функция последовательности ао(/),
% 0"). ¦ • •. я* (/). • ¦ •
Показать, что
= П «о (/) + 2 *" Е ah A) • • • afen (л) П ао И, B-5)
/ = 1 /1 = 1 я (л) /и = л + 1
где 2 обозначает суммирование по всем разбиениям
л (л)
числа п.
2.41. Пусть рл —число неупорядоченных разбиений п>
n^sl, ро = 1 ¦ Введем производящую функцию р(х) =
со
= 2 Рл*п- Показать, что
Р{х) =
B.6)
2.42. Для п^1 обозначим рл, /, число разбиений п
на fe частей; р0о=1- Показать, что
B.7)
У У о ь
Zj [ Zj rn.k
2.43. Показать, что
B-8)
§ 1. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ: СВОЙСТВА. ОПЕРАЦИИ
2.44. Показать, что
— \
¦ 2.45. Пусть ах, а2, ... — некоторая числовая последо-
вательность и для каждого разбиения л = {lfel2fea.. .nk"}
числа п
Доказать, что
п{п)
где р (х) — производящая функция разбиений, определен-
определенная в задаче 2.41.
2.46. Доказать тождество
где суммирование ведется по всем разбиениям л =
_ 11*12*2... п"\ числа п таким, что k(n) = k.
2.47. Доказать, что в обозначениях задач 2.41 и 2.45
имеет место тождество
а, «=1,2,... B.12)
B.13)
2.48. Показать, что
d\v
п— 1
где ov= 2j " — сумма делителей v.
d v
2.49. Показать, что
где т (и) = ^ 1 — число делителей у.

30
ГЛ. II. МЕТОД ПРОИЗВОДЯЩИХ ФУНКЦИЙ
§ 2. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
31
2.50. Пусть о (х) = aL + о2х+... + а„х"-1 +... — произ-
производящая функция чисел ап, определенных в задаче 2.48.
Показать, что
а) dp (x)fdx = о(х)р {х)
и что, следовательно,
б) р(*)
В)
Ыъ Сп)~,
л=1
где Сп(уъ ..., уп) — цикловой индекс симметрической
группы степени п; в частности,
г) = — С (а о)
2.51. Пусть Е(х) и F (х) — экспоненциальные произво-
производящие функции последовательностей Oq, аъ ..., ak, ... и
bQ, blt ..., bk, ... соответственно, где Оо = 0, Ьо—\. Дока-
Доказать, что Е(х) и F(x) удовлетворяют соотношению
F(x) = exp{E(x)} B.14)
тогда и только тогда, когда для каждого
няются равенства
п
Ьп+Л =
выпол-
выполB.15)
§ 2. Специальные числа и специальные функции
2.52. Назовем (гь г2,..., гk)-разбиением n-множества М
упорядоченный набор Mi, М2, ..., Mk подмножеств М
таких, что Mi()Mj = 0, если 1ф], и Мх\]Мг\}...
...\jMk = M, причем \M1\ = r1 \Mk\ = rk. Числа rt
неотрицательны и удовлетворяют соотношению /"i + ra + ---
... + гй = /г. Показать, что число {rlt r2, ..., г^-разбиений
есть
|» Показать, что число разбиений n-множества, содержащих &,
,'{ ^-подмножеств (i=l, 2, ...), есть
(l!)ft42!)*«...(/4)*Ai!A.!...*«I
2.54. Обозначим Pn{ki, h, ••-, К) число подстановок
"* n символов, содержащих kx циклов длины 1, k% циклов
|i, длины 2 и т. д., kn циклов длины п.
^ Показать, что
a)
> и, следовательно,
¦ б) Pn(klt ..., kn) =
Blp...((n-
: 2.55. Обозначим В^ число различных разбиений мно-
'жества, состоящего из /г^1 элементов. Эти числа назы-
называют числами Белла. Положим также Во=\. Доказать,
; что числа Белла удовлетворяют рекуррентному соот-
, ношению
' ' 1„, nSsO. B.16)
2.56. Показать, что число различных разбиений «-мно-
«-множества (число Белла) можно записать в виде
где суммирование ведется по различным разбиениям
числа п таким, что к1-\-2кч-\-...-\-пкп — п.
2.57. Рассмотрим для каждого п^ 1 многочлен от п пе-
переменных уъ 1/2, .... Уп'
а) У„(#1 Уп)=.
2.53. Пусть klt k2,..., kn — целые неотрицательные чис-
числа такие, что
k1-{-2k2-\-...-\-nkn = n.
(fei-
fen)
где &г + 2/г2 + ... + п/г„ = я и числа б„(*ь ..., К) опре-
определены в задаче 2.53. Показать, что экспоненциальная

32 ГЛ. II. МЕТОД ПРОИЗВОДЯЩИХ ФУНКЦИЙ
производящая функция этих полиномов есть
YniHu У*. .... ^)!п]
(Эти полиномы называют полиномами Белла.)
со
б) Пусть В(х) = ^ Вп~— экспоненциальная произ-
производящая функция чисел Белла, определенных в задаче 2.55.
Показать, что
гх-\). B.19)
2.58. Пусть с0 = 1 и для каждого п^ 1 сп{уъ у2}..., уп)
есть многочлен от переменных уъ ..., уп вида
Сп (Уг Уп)= 2 Рп {К К)у\к..у\\ B.20)
(*!• ft2 *«)
где й1 + 2/г2 + ... + п/г„ = п, а числа Ял(&1. •••> ^п) опре-
определены в задаче 2.54. Показать, что экспоненциальная
производящая функция многочленов сп(у\, ..., уп) есть
га = 1 [л = 1
2.59, Введем полиномы от п переменных:
,к{Уъ ..-, Уп) =
= S Л.& *.)^-
(fel- k2 kn)
B-22)
где fex + Aa + .-. + ^n^fe, &1 + 2&2 + ... + л/г„ = п, а числа
Bn{kx, ..., ^„) определены в задаче 2.53. Показать, что
4=1 k — 1
и, следовательно,
• • •, Уп) =
B.24)
$ 2. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 33
где Уп G/i #л) — полиномы Белла из задачи 2.57, а);
кроме того, показать, что для k ^ 1
B.25)
т. е.
[ОО -i
2.60. Доказать следующие свойства полиномов Белла
Уп{Уъ ¦•-. Уп), определенных равенством B.17):
а) для п — 0, 1, ... имеет место рекуррентное соот-
соотношение
v — V (п\н v
Y п+1 — А с У$+1У n-J.
s = 0
б)
Ь с2г/2, ...,
*-/), /=1,2 л;
в2) для г = 1, 2 [n/j]
в3) для
~
г) многочлены Уп (yt
сложения
.... уя) = 0;
yn) удовлетворяют теореме
ft=0
Д)
n-k \Xl, • • • » xn-k)i n — » i *¦> - • • >
П v
(
5= 1
2 Под ред. К. А. Рыбникова

34
ГЛ. II. МЕТОД ПРОИЗВОДЯЩИХ ФУНКЦИЙ
§ 2. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
2.6L Пусть Я — некоторое подмножество натурального
ряда, Ан(х)=
и Вп(Н) —число разбиений гс-мно-
жества на части, мощности которых суть элементы Н.
Тогда для экспоненциальной производящей функции
чисел Вп (Н) выполняется соотношение
Вн (х) == 1 + 2 В„ (Н) Х1 = ехр {Аи (х)}, B.27)
где
п\
B.28)
и для чисел Вп(Н) справедливо рекуррентное выражение
B.29)
2.62. Обозначим S (п, /г) число разбиений п-множества
на k непустых частей, л=1, 2, ...; &=1, ..., п. По опре-
определению положим 5@, 0)=1, 5@, т) = 0, если тфО,
и S(n, k) = 0, если п>0 и k ф {1, 2, ..., п). Числа
5 (я, А) называют числами Стирлинга 2-го рода.
а) Убедиться, что
S(n, 1)=1,
, л)=1,
= B(n), л = 0, 1,...,
где Б (п) = 5Л — числа Белла.
б) Показать, что для чисел Стирлинга 2-го рода
выполняется рекуррентное соотношение
S{n, k) = kS(n-l, k) + S(n-l, k-\), n^l,
с начальными условиями S @, 0) = 1, 5@, k) = Q,
в) Доказать, что имеет место представление
S(n, к) =
где суммирование ведется по всем наборам целых поло-
положительных чисел ги ..., rk таким, что гх + г% +...-f rk = п.
г) Доказать, что
S (п, 6) —
п\
2 П)
где
д) Проверить, что
S{n, «-1)=E)» «
2.63. Назовем многочленами Стирлинга полиномы
Рп{у)= i;S(n, k)у*, РпМ=*Ва,
fe=0
причем положим Р0(У)=1- Показать, что
Рп (У) = y[dPn-i (y)/dy + Pn-i {У)] B-3°)
и B.30) эквивалентно решению
B.31)
2.64. Пусть S(x, y)= 2! Рп^Ъ. -экспоненциальная
производящая функция полиномов Стирлинга. Показать,
что
S (х, у) = ехр {у {ех — I)}. B.32)
2.65. Введем для каждого k—l, 2, ... экспоненциаль-
экспоненциальные производящие функции
Показать, что
1, й=1, 2, ...
B.33)
B.34)
2.66. Показать, что производящие функции Уй(лг)
из задачи 2.65 удовлетворяют соотношению
b-iix), Л=1, 2, ... B.35)
2*

36 ГЛ. II. МЕТОД ПРОИЗВОДЯЩИХ ФУНКЦИЙ
2.67. Доказать тождество
2.68. Показать, что для полиномов Стирлинга Рп(х)
выполнены соотношения
= х
B.37)
п — \
2.69. Доказать тождество
)> п = 0, 1, 2
B.39)
где Рп (я) — полиномы Стирлинга, определенные в задаче
2.63, и, как следствие, для чисел Белла справедливость
представления
B.40)
2.70. Доказать тождество
B.41)
s=0
и частный случай:
s==0
2.71. Введем производящие функции S0(z)=l и для
:=1, 2, ...
СО
Sk(z) = E S{n + k, k)z». B.43)
§ 2. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 37
Доказать рекуррентное соотношение
(l-teMik(i) = S^1(r),
так что
; A - г) A - 2г)... A - kz) Sk (г) = 1.
B.44)
B.45)
2.72. Доказать для чисел Стирлинга 2-го рода сле-
следующие формулы:
k-jy, B.46)
fV"n- B-47)
/=о
1 = 0
2.73. Получить для чисел Стирлинга 2-го рода пред-
представление
S{n,k)= ^ hh...L-k, B.48)
.где I ^ii^h^...^in-k^k, т. е. что S(n, k) равно
сумме произведений элементов сочетаний порядка п — k
с повторениями, но без перестановки чисел 1, 2, ..., k.
2.74. Показать, что числа Стирлинга 2-го рода S (n, k)
можно определить как коэффициенты разложения
.*•= ? x{x-l)...(x-k+l)S{n,k), n=l,2,... B.49)
2.75. Пусть ^0 = 1 и Для «5=1
Показать, что экспоненциальная производящая функция
чисел qn есть
2гп а
B.50)
2.76. Пусть С (О, 0)=1, С (я, О) = О для любого п ф О
И С@, k) = 0, если ^^=0. Для п^ 1 обозначим С(п, k)

38
ГЛ. II. МЕТОД ПРОИЗВОДЯЩИХ ФУНКЦИЙ
число подстановок п символов с к циклами. Числа
s(n, k) = {-l)"+*C(n, k)
называют числами Стирлинга 1-го рода. Показать, что
С(п, k) = C(n-\, fc-l) + (n-l)C(/x-l, k),
k=\, 2, ....
и, следовательно,
s(n, Jfc) = s(n-1, к— 1) —(я- l)s(n—1, k), k=\, 2, ...
B.52)
2.77. Пусть Co(jc) = 1 и для п^\
B.51)
Показать, что
Cn{x) = |] С (л, k)xK
fc = 0
¦), л=1, 2, ....
14 „ 1 О
B.53)
2.78. Проверить, что числа Стирлинга 1-го рода s (n, k)
суть коэффициенты в разложении
2
/с = 1
. B.54)
2.79. Показать, что величины (—l)'t+fts(n, /г) положи-
положительны при /г5=1, 1<^<п и равны
(—l)"+*s(«, fe) = aB_fe(l, 2, .... я-1) =
hh---in-k, B.55)
Cr'. '«-*)
где
2.80. Показать, что экспоненциальная производящая
функция
У к W =
, *)^. ^=1, 2,...
(t/0(xJ= 1), удовлетворяет дифференциальному рекуррент-
рекуррентному соотношению
= yk-1{x), k=\, 2, ... B.56)
2. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 39
Вывести отсюда, что
yk(x) = [\n(\+x)f/k\.
2.81. Показать, что производящая функция
B.57)
есть s(t, jc) = (
2.82. Доказать тождество
s(n+\, ft)=2(-iy/l(^s(«-/, A-l). B.58)
2.83. Показать, что числа Стирлинга 1-го и 2-го рода
связаны соотношениями
S (и, Л) s (ft, т) =
B.59)
B.60)
где 8,7m=l, если « = m, и бпот = 0, если пфт, и суммы
берутся по всем значениям k, для которых s (k, m) и
S(n, fe) отличны от нуля.
2.84. Пусть аъ а2, ... и Лх, Л2, ... — две числовые
последовательности такие, что
(rt' v)«v, л=1. 2, ...
B.61)
v=l
Показать, что тогда
<*„== ? 5 (я, v)Лv, п-1, 2 B.62)
и, обратно, из B.62) следует B.61).
2.85. Показать, что
B.63)
где s(n, /г) — числа Стирлинга 1-го рида, Bk — числа
Белла.

40
ГЛ. II. МЕТОД ПРОИЗВОДЯЩИХ ФУНКЦИЙ
2.86. Доказать, что числа Стирлинга 1-го рода s (я, k)
и полиномы Стирлинга Рп (х) (см. задачу 2.63) связаны
соотношением
^sin, k)Pk(x) = xn, /г = 0, 1, ... B.64)
2.87. Положим
/о (х) = 1, jn{x) - х {х - 1)... (* - п + 1), л = 1, 2, ...
Показать, что полиномы /„ (х) и числа Стирлинга 2-го рода
связаны соотношением
5 (л,
= ¦*", л = 0, 1,...
B.65)
2.88. Показать, что число способов размещения п раз-
различных предметов (дробинок) по т различным ячейкам
при условии, что ни одна из ячеек не пуста, равно
|.ф, m) = m!5(n, m) B.66)
(где S (я, т) — число Стирлинга 2-го рода),
т
И (л, m)= ^ (-1У(™)(/п-/У B.67)
и выражается рекуррентным соотношением
|i(n, т) = т[ц(я—1, m) + |i(n-l, m-1)]. B.68)
2.89. Показать, что число способов размещения п раз-
различных предметов по т различимым ящикам при условии,
чтобы р ящиков были заняты, а (т — р) свободны, равно
цр(л, т) = т(т-1)...(т-р+1M(л, р). B.69)
2.90. Дать комбинаторную интерпретацию тождества
B.70)
где (m)p z=m(m— 1)... (т — р + 1), т — целое положитель-
положительное число.
2.91. Показать, что число способов размещения п раз-
различимых предметов по т одинаковым ячейкам при усло-
§ 3. ТЕОРИЯ ПОЙА
41
Вии, что ни одна из них не остается пустой, определяется
числом Стирлинга 2-го рода S(n, m), а при отсутствии
указанного ограничения — числом Белла Вп,
2.92. Показать, что число, равное произведению п раз-
различных простых множителей, можно представить в виде
произведения т множителей S(n, m) различными спосо-
способами.
2.93. Введем обобщенные числа Стирлинга S (rc, m, /г),
определяемые как деленное на kl число способов разме-
размещения п различимых предметов в т различных ячейках,
при условии, что ни одна из k фиксированных отмечен-
отмеченных ячеек не окажется пустой. Показать, что
S(n, m, *)
k). B.71)
2.94. Рассмотрим экспоненциальную производящую
функцию обобщенных чисел Стирлинга
Показать, что
§ 3. Теория Пойа
- \flk\.
B.72)
B.73)
Если подстановка n-множества разлагается в произве-
произведение bi циклов длины i (i = l, ..., п), то говорят, что
подстановка имеет тип (Ьъ ..., Ьп). Если G— группа под-
подстановок п-множества, то многочлен
A1
где {bx, ..., Ь„) —тип g, называется цикловым индексом
группы G. Если G — группа подстановок множества S, то
два элемента st и s2 называются эквивалентными (запи-
(записывается Si ~ s2), если 3g e G: gst — s4. Классы эквива-
эквивалентности называются транзитивными множествами, пли
орбитами.

42
ГЛ. II. МЕТОД ПРОИЗВОДЯЩИХ ФУНКЦИЙ
Лемма Бернсайда. Число транзитивных мно-
множеств равно
IGh1 Yi Ч>(?). где ^(^) = |{seS: gs = s}\.
g<=G
Пусть D и R — конечные множества, G —группа под-
подстановок множества D. Обозначим через RD множество
функций с областью определения D и областью значе-
значений R. Для fu /2 <= RD
/i~fa, если 3geG: fi{gcc) = h(a) VaeD.
Каждому элементу r ^ R придан вес <о (л) — элемент
коммутативного кольца. Вес функции f ^ RD есть, по
определению, W(f) = J~J (o(/(d)). Запас (или перечень)
любого множества Q с элементами, имеющими веса, есть
InvQ= 2 «(?)•
Если элементы /х и /а эквивалентны, то они имеют
одинаковый вес. Поэтому можно определить вес класса
эквивалентности W (F) как вес W (f) любого элемента
/ef.
Основная теорема Пой а. Запас классов эквива-
эквивалентности равен
<о (г)]», ...}.
В частности, если веса выбраны равными 1, то
получаем число классов эквивалентности равным
Pa(\R\, \R\, \R\, ...)•
2.95. Пусть N = {1,,.., п), Sn — симметрическая группа
на N.
Если neS, разбивает N на &,¦ циклов длины i (i =
= \, ..., п), то говорят, что подстановка я имеет тип
фг, Ь-2, ..., Ьп). Доказать, что число подстановок с задан-
заданным типом (?>ь 62) ..., Ьп) равно
<5 1 ТЕОРИЯ ПОЙА
43
2.96. Пусть G —подгруппа симметрической группы Sn.
Для каждого gsG образуем произведение xbl1xb^...xbnn,
если (Ьь й2, ••-, bn) — тип g.
Доказать, что
А
п
1 = ]
где знак * означает, что суммирование производится по
всевозможным целым неотрицательным числам Ьх, Ьг, ...
.... Ьп, удовлетворяющим условию Ьг + 2Ь2 + • • • + nbn = п.
2.97. Доказать теорему Кэли: всякая конечная груп-
группа G изоморфна некоторой подгруппе симметрической
группы Sic;. Эта подгруппа называется представлением
Кэли группы G.
2.98. Пусть G —конечная группа. Цикловым индексом
Ро этой группы называется цикловой индекс ее представ-
представления Кэли.
Доказать, что
*(?' = —/ V (d) (Xd)n^
d n
где п — порядок группы G, k (g) — порядок элемента
v (d) — число элементов geG, порядок которых
2.99. Пусть G — группа всех корней л-й степени из
единицы, G=\e2niHn}, где /—1 п, a i — мнимая еди-
единица.
Доказать, что
п
1
где (п, /) — наибольший общий делитель п и /.
2.100. Пусть G —множество всех подстановок вершин
тетраэдра, которые могут быть получены его вращениями.
-Найти цикловой индекс группы G.
2.101. Пусть G —множество всех подстановок ребер
тетраэдра, которые могут быть получены его вращениями.
Найти цикловой индекс группы G.

44
ГЛ. II. МЕТОД ПРОИЗВОДЯЩИХ ФУНКЦИИ
§ 3. ТЕОРИЯ ПОЙА.
45
2.102. Пусть G — множество всех подстановок граней
тетраэдра, которые могут быть получены его вращениями.
Найти цикловой индекс группы G.
2.103. Пусть G —множество тех подстановок вершин
куба, которые могут быть получены его вращениями.
Найти цикловой индекс группы G.
2.104. Пусть G —множество всех подстановок ребер
куба, которые могут быть получены его вращениями.
Найти цикловой индекс группы G.
2.105. Пусть G —множество всех подстановок граней
куба, которые могут быть получены его вращениями.
Найти цикловой индекс группы G.
2.106. Доказать, что цикловой индекс симметрической
группы Sn равен коэффициенту при гп в разложении
ехр {гхг + гЧ2/2 + z3x3/3 + ...}.
2.107. Пусть G —группа подстановок множества 5,
Я —группа подстановок множества Т. Предположим, что
S П Г = ф и S[)T = U. Любому выбору geG и lie//
соответствует подстановка gxh множества U, определен-
определенная так:
u^»gu, если «eS; «>—>-/ш, если «sT,
а) Показать, что эти подстановки образуют группу,
порядок которой равен \G\\H \. Эта группа называется
прямым произведением групп G и Я и обозначается GxH.
б) Показать, что если g e G и ЛеЯ имеют типы
(Ь^ ..., bn) и (сь ..., с„) соответственно, то gxh имеет
тип (Ьг + Сг, 62 + с2) ...).
в) Доказать формулу Pqxh = PqPh-
2.108. G —конечная группа, S — конечное множество.
Пусть существует гомоморфное отображение я группы G
в симметрическую группу множества S:
я: g-+ng
В этом случае говорят, что G действует на 5. Для s1(
ssS
s2
G: jigs1
Доказать, что ~ есть отношение эквивалентности.
(Соответствующие ему классы эквивалентности называются
транзитивными множествами.)
2.109. Доказать лемму Бернсайда: число транзитив-
транзитивных множеств, определяемых группой G, действующей на
Множестве S, равно
щ
2.110. Пусть
= {a, b, с, d) и G
feed
я4}, где
a
abed
abed
a b d с
JT2 =
Я4 =
b а с d
abed
\b a d с
. Отношение эквивалентности на S индуцируется груп-
группой G. Определить число классов эквивалентности.
2.111. Составляются слова длины 3 из букв а, Ь. Они
считаются эквивалентными, если получаются друг из
друга при перемене местами крайних букв, например
abb >~^bba. Определить число классов эквивалентности,
;., пользуясь леммой Бернсайда.
2.112. Составляются ожерелья из бусин трех цветов.
-"Каждое ожерелье состоит из пяти бусин. Одинаковыми
'..,, считаются такие, которые получаются одно из другого
поворотом в плоскости (зеркальные отражения не допу-
. скаются). Определить число различных ожерелий.
2:113. Составляются ожерелья из бусин k цветов.
'Каждое ожерелье состоит из п бусин. Одинаковыми оже-
ожерельями считаются такие, которые получаются одно из
;.. другого поворотом в плоскости (зеркальные отражения не
* допускаются). Применив теорему Пойа, определить число
различных ожерелий.
2.114. п человек рассаживаются вокруг стола. Сколько
при этом существует различных способов рассаживания,
если одинаковыми считаются такие, которые получаются
сдвигом всех людей по часовой стрелке на произвольное,
но одинаковое для всех число мест? (Воспользоваться
Леммой Бернсайда.)
2.115. Числа от 1 до 105 записаны каждое на отдель-
>¦ ном листочке. Числа, меньшие 105, начинаются соответст-
. вующим количеством нулей, например 346 = 000346. Будем
считать, что цифры 0, 1, 8 при прямом написании и
-Д в перевернутом виде выглядят одинаково, а 6 превра-
превращается в 9 и наоборот. Поэтому для чисел, например

46
ГЛ. II. МЕТОД ПРОИЗВОДЯЩИХ ФУНКЦИЙ
89 166 и 99 168, мы можем приготовить только один ли-
листок. Сколько листков понадобится?
2.116. D, R — конечные множества. Множество отобра-
отображений D в R обозначим RD; G — группа подстановок
множества ?>. Пишут
h ~ /2, если 3 g €= G: Л (gd) = /2 (d) Vd е= D.
Доказать: а) | i?D | = | 7? |f DI; б) ~ есть отношение экви-
эквивалентности на множестве RD.
2.117. Грани куба окрашены в два цвета: голубой и
красный. Окраски двух кубов считаются эквивалентными,
если один из них можно повернуть так, что кубы переста-
перестанут казаться различными. Сколько существует классов
эквивалентности и какова мощность каждого из них?
2.118. D, R — конечные множества; G — группа подста-
подстановок множества D. Каждому элементу г е R придан вес
и (г) — элемент коммутативного кольца. Вес W (/) функ-
функции /ei?D определяется как произведение W {[) =
= Y[ w(/(^))- Доказать, что если функции /х и /2 экви-
d<=D
валентны, то они имеют одинаковый вес.
2.119. Запасом InvQ множества Q называется
InvQ= 2 «(9),
где со (#) — элемент коммутативного кольца.
Пусть D и R — конечные множества. Доказать, что
б) если D разбито на несколько непересекающихся
компонент Dlt ..., Dft, a S—множество всех функций,
постоянных на каждой компоненте, то справедливо
соотношение
2.120. Грани тетраэдра окрашивают в два цвета: крас-
красный и гоЛубой. Если два тетраэдра, расположенные парал-
параллельно, окрашены различно, то может случиться, что один
из них можно повернуть так, что тетраэдры перестанут
казаться различными. В этом случае они принадлежат
§ з. теория попл
47
одному классу эквивалентности. Применив теорему Пойа,
посчитать число различных классов эквивалентности.
2.121. Применив теорему Пойа, определить: сколькими
способами можно раскрасить куб в два цвета так, чтобы
четыре грани были окрашены в красный цвет, а две гра-
грани—в голубой? (Два кубика в трехмерном пространстве
окрашены одинаково, если один из них можно повернуть
так, чтобы они стали неразличимы.)
Если X есть множество, то бинарное отношение на X
есть подмножество Р аХ X X; пишем х^у, если (х, у) е Р.
Бинарное отношение называется частичным порядком,
если оно удовлетворяет условиям:
а) х^х Vx e X;
б) х^у, у^х=$х = у Va:, t/<=X;
, в) х^у, y*^z=$x^z Vx, у, z е X.
Множество X вместе с частичным порядком на нем
называется частично упорядоченным множеством. Частично
упорядоченное множество X называется антицепью, если
для любых х, у е X из х ^ у следует х = у. Автоморфизмом
частично упорядоченного множества X называется такая
подстановка g множества X, что х sj; у <=> gx ^ gy для
всех х, (/еХ.
2.122. Доказать, что множество всех автоморфизмов
частично упорядоченного множества X является группой,
называемой группой автоморфизмов частично упорядочен-
упорядоченного множества X относительно операции композиции.
2.123. Пусть L —подгруппа группы автоморфизмов
конечного частично упорядоченного множества X. Дока-
Доказать, что орбиты группы L являются антицепями.
Через X/L — {С} обозначается множество орбит груп-
группы L. На нем вводится бинарное отношение < так: С^С1,
если существуют х <=С, х1 а С1 такие, что х =< х1.
2.124. Пусть X — конечное частично упорядоченное
множество. Доказать, что бинарное отношение < на X/L
является частичным порядком.
Пусть D — конечное частичное упорядоченное множе-
множество, R — конечная цепь и G — подгруппа группы автомор-
автоморфизмов D. Функция fe/?° называется изотопной, если
из dx^d-i следует f (dx) ^ f (d2) для всех du d2eD, Мно-
Множество всех изотонных функций из D в R обозначается
M{D, R).

48
ГЛ. II. МЕТОД ПРОИЗВОДЯЩИХ ФУНКЦИЙ
2.125. Доказать, что из Д е М (D, R) и /j~/a сле-
следует U €= М (D, R).
2.126. Доказать, что число классов эквивалентности
изотонных функций из D в R равно | GI 2 |Af(D/{g}, /?)|,
циклическая группа, поро-
порогде через {g} обозначается
жденная элементом g.
2.127. Пользуясь утверждением задачи 2.127, доказать,
что для конечных множеств D и R с группой подстано-
подстановок G на множестве D число классов эквивалентности
функций из D в R раьно Pa(\R\, \R\, .¦ .)•
Глава III
ЛОГИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
§ 1. Метод включения и исключения
Рассмотрим некоторое «-множество элементов и т-мно-
жество свойств ръ ..., рт, которыми элементы могут
обладать или не обладать.
_ Обозначим Ntv ..., ik (I =s?ii<.. .<.ik^tn) число эле-
элементов, обладающих свойствами piv... ,pift, и N(r)
(О ^ г ^ т) — число элементов, обладающих ровно г свойст-
свойствами.
При фиксированном k, I «^ k ^ т, сумма
2 Ni ..., ik, распространенная на всевозможные наборы
натуральных чисел ilt..., .t* такие, что 1 ^ h<Z-. -<i/j=^m,
«сть число элементов с учетом их кратностей, обладающих
\;Яе менее чем ^ свойствами. Если элемент обладает s свой-
.ствами, то он в этой сумме будет учитываться Cf раз.
¦ Имеет место следующая формула включения и исклю-
исключения:
т
ч / > V"! t t\k~r/~,r V"l Л/, i
Действительно, элемент, обладающий ровно s, s Ф г, свой-
* СТвами, не будет учитываться в сумме, стоящей в правой
части этого равенства, а элемент, обладающий ровно г
• Свойствами, будет учитываться только один раз, так как
Из этой формулы, в частности, следует, что число эле-
элементов, не обладающих ни одним из свойств ръ ..., рт,

ГЛ. III. ЛОГИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
Ni
50
равно
Если поставить в соответствие каждому элементу число,
называемое его весом, и обозначить V @) сумму весов всех
элементов, V (г) A <;/¦<;«?) — сумму весов элементов с
учетом их кратностей, обладающих не менее чем г свой-
свойствами, W (г) — сумму весов элементов, обладающих ровно г
свойствами, то аналогичными приведенным выше рассу-
рассуждениями можно доказать равенство
m
'W(r)=Z (~rf~rCkV (k), 0<г <m,
k = r
из которого следует формула включения и исключения,
-если вес каждого элемента равен единице.
3.1. Доказать равенство
st
где S1( ..., Sm — конечные множества, S,-fS,- и StSj
обозначают соответственно объединение и пересечение
множеств Si и Sj, \S\ — число элементов множества S,
а сумма ^ j S^ ... 5ift j (k=l,,,., m) распространяется
по всевозможным целочисленным наборам ilf ..., ik таким,
что 1 ^ i± <... < ik «? т.
3.2. Найти число перестановок элементов т-множества,
оставляющих на месте ровно г (О^г^пг) элементов.
3.3. Рассмотрим т! перестановок элементов т-множе-
т-множества. Можно составить (т\)а различных упорядоченных
наборов из d перестановок. Найти число таких наборов,
в каждой из d перестановок которых ровно г (О^г ^.щ)
элементов остается на месте.
3.4. Найти число способов разложения п шаров по т
ящикам так, чтобы г @ ^ г < т) ящиков остались пустыми.
3.5. Из урны, содержащей т различных шаров, одно-
одновременно извлекают s (I ^-ss^m) шаров, записывают их
номера, а затем шары возвращают обратно в урну. Можно
§ 1. МЕТОД ВКЛЮЧЕНИЯ И ИСКЛЮЧЕНИЯ
51
составить {СтУ различных наборов, получающихся в ре-
результате d извлечений. Найти число наборов, в которых
а) встречаются все шары;
б) ровно г (O^rs^m) шаров не встречаются.
Доказать тождества:
3.6.
3.7.
3.8.
3.9.
n!
nx\...nm\
= У (-\)kCkm(m-k)n,
где суммирование в левой части тождества распространяется-
на всевозможные упорядоченные наборы целых положи-
положительных чисел nlt ..,, пт такие, что n = n1 + ...-fnm.
ЗЛО.
3.11.
fe=0
3.12. Обозначим через ср(п) (функция Эйлера) количе-
количество натуральных чисел, меньших п и с ним взаимно
простых. Доказать, что если разложение числа п на про-
простые сомножители qlt ..., qm имеет вид n = q^,,.q^
(fci^s I, i= 1, ..., m), то
V(/z) = tt(l-l/^)...(l-l/?m).
3.13. Пусть п — некоторое произвольно выбранное
натуральное число. Обозначим qlt ..., qm все простые
числа, не превосходящие Vn, а я (х) — количество простых
чисел, не превосходящих х>0. Доказать, что
где [х] обозначает целую часть числа х.

52
ГЛ. III. ЛОГИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
§ 2 СИСТЕМЫ ПРЕДСТАВИТЕЛЕЙ МНОЖЕСТВ
53
3.14. Вычислить 5 = H(l/2ft), где суммирование про-
производится по всем натуральным k, не кратным 2, 3 и 5.
З.Г5. Пусть дана квадратная матрица A = (aij)
(i, /=1, .... т) порядка т. Обозначим
per A = ? aulv..am,im
'v ¦¦¦•'*
{где суммирование производится по всевозможным пере-
перестановкам чисел 1, ..., т) перманент матрицы А. Дока-
Доказать, что
где l<!i<...<it<ffl, Л^ tk обозначает матрицу,
полученную из А заменой столбцов с номерами ilf ..., ik
на столбцы из нулей, S (А^ ^) — произведение сумм
строк матрицы А^ ^ и сумма ^ S (^г1 >fr) 0 ^ &<т)
распространяется на всевозможные выборки без повторений
чисел 1Х, ..., /ц из 1, ..., /п.
§ 2. Системы представителей множеств
Пусть даны n-множество S = (slr..., sn) и m-множество
M(S) = {Slt .... Sm}, элементы которого S; с: S
<t= 1, ..., m).
Матрицу А— (а,/) размера tnxn, в которой
0, sy
= 1, .... m; /=1, .... n,
называют матрицей инцидентности дл я М (S) по отношению
к S. Системой различных представителей, или сокращенно
с. р. п., для Л1 (S) называют m-множество элементов
Xi, ..., хт из S таких, что л;г е S,-, л;г ^ л: (/ ^= /; i, / = 1,...
..., m).
3.16. Пусть А— матрица инцидентности для М (S) по
отношению к S. Доказать, что число с. р. п. для М (S)
равно per A.
3.17. Найти число с. р. п. для системы из т множеств
Si = A, ..., t — 1, i + 1, ..., т), i = 2, ..., т - 1,
S, = B m), Sm = (l, .... m-1).
Следующая теорема, которую мы приведем без доказа-
доказательства, дает необходимое и достаточное условие суще-
существования с. р. п. для M(S).
Теорема Холла. Совокупность множеств M(S)
имеет с, р. п. тогда и только тогда, когда для любого
k(\<zks^m) и любой k-выборки без повторений ix, ..., ik
из 1, ..., т
т. е. число элементов объединения множеств S, , ..., S(k
не меньше k.
3.18. Пусть матрица инцидентности для M(S) — такая,
что количество единиц в каждой строке и каждом столбце
равно фиксированному числу г A ^г^т). Доказать, что
существует с. р. п. для Af(S).
3.19. Пусть А и В —два конечных множества uk^l —
натуральное число. Между А и В установлено такое
многозначное соответствие, что каждому элементу множе-
множества А соответствует ровно k элементов множества В
и каждому элементу из В соответствует ровно k элементов
из А. Доказать, что не добавляя новых связей, между А
и В можно установить взаимно однозначное соответствие.
3.20. Имеются некоторое множество должностей и не-
некоторое множество претендентов на эти должности. Дока-
Доказать, что если на каждую должность претендует ровно k
{k ^ 1 фиксировано) человек и каждый претендент может
работать на k должностях, то можно каждому из канди-
кандидатов предоставить подходящую для него работу.
3.21. Рассмотрим латинский прямоугольник размера
-тхп (m<n), т. е. прямоугольную таблицу из т строк
и п столбцов, составленную из чисел 1, ..., п так, что
в каждой строке встречаются все числа от 1 до п, а в
каждом столбце все числа различные. Доказать, что всегда
можно добавить еще одну строку из перестановки чисел

54
ГЛ. Ш. ЛОГИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
§ 3. ТЕОРЕМА И ЧИСЛА РАМСЕЯ
55
1,..., п так, что полученная таблица будет латинским
прямоугольником размера (т+1)хя.
3.22. Доказать, что в произвольной числовой матрице
минимальное число строк и столбцов, содержащих все
ненулевые элементы, равно максимальному числу ненуле-
ненулевых элементов, никакие два из которых не содержатся
в одной строке и одном столбце.
3.23. Доказать, что если в квадратной матрице поряд-
порядка т содержится нулевая подматрица размера sxt и
s -\-t>m, то определитель и перманент матрицы равны
нулю.
3.24. Пусть даны два разбиения множества 5 на т
подмножеств:
1 = 1
1=1
и для любого натурального числа k (I ^k^tri) и любой
^-выборки из 1,..., т выполняется условие: множество
A(iJr...-\-Aik содержит не более k из множеств Blt ..., Вт.
Тогда существуют элементы slt ..., sm, являющиеся
с. р. п. для Асг, ..., Aim и Вх, .... Вт одновременно, где
1Ъ ..., im — некоторая перестановка чисел 1, ..., т (сово-
(совокупность $!,..., sm называют системой общих представи-
представителей, или сокращенно с.о.п., для Лх,..., Ат и Вг,.,., Вт).
3.25. Пусть даны два различных разбиения конечного
множества S на т подмножеств:
/, i, } = 1,...
Аг,..., Ат и
такие, что ] At \ = | В} \, АХА} = BtBf = ф {1
..., т). Тогда существует с. о. п. для
В\, •¦•, Вт.
3.26. Пусть G —конечная группа и Я —ее подгруппа.
Доказать, что существует множество элементов sb ...,sm,
являющихся представителями одновременно правых и левых
смежных классов группы G по подгруппе Я, т. е.
т т
т-
G\I\H
3.27. Пусть каждое подмножество 5,- (i = 1, ..., m)
конечного множества S содержит не менее р, p^s 1, эле-
элементов. Систему Blt ..., Вт р-подмножеств множества S
будем называть системой различных р-представителей,
или сокращенно с. р. р-пм если Bid Si, В{фВ] {1Ф\\
if j — 1, ..., m). Доказать следующее необходимое условие
существования с. р. р-п.: для любого натурального числа k
A ^ k ^ т) и любой fe-выборки из 1, ..., т выполняется
неравенство
где « — наименьшее на-
натуральное число такое, что Срп ^ k.
§ 3. Теорема и числа Рамсея
Рассмотрим п точек на плоскости, никакие три из
которых не лежат на одной прямой, и, соединив каждые
1 две точки отрезком прямой, получим полный гс-граф. Пусть
каждое ребро графа окрашено в один из т цветов. Если
все ребра полного n-графа окрашены в один и тот же
цвет, то будем называть такой граф монохроматическим,
3.28. Доказать, что при любой раскраске ребер полного
6-графа в два цвета найдется монохроматический 3-подграф.
3.29. Найти такую раскраску ребер полного 5-графа,
что ни один 3-подграф не является монохроматическим.
3.30. Доказать, что в компании из шести человек
всегда найдутся либо трое знакомых друг с другом, либо
трое друг с другом не знакомых.
3.31. Пусть k^2, т ^ 2 — произвольные натуральные
числа. Доказать, что существует натуральное число R —
= R (k, m; 2), зависящее только от k и т, такое, что если
число вершин полного гс-графа не меньше R, то при любой
раскраске в два цвета (красный и синий) его ребер най-
найдется либо монохроматический красный ^-подграф, либо
монохроматический синий m-подграф; а если гс< R, то су-
существует такая раскраска ребер, что всякий ^-подграф не
является монохроматическим красным и всякий т-под-
граф не является монохроматическим синим.
3.32. Доказать, что
R(k, m\
(k-l, m;
k>2, m>2,
-1; 2),

56
ГЛ. Ш. ЛОГИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
а если числа R(k — I, m\ 2) и R(k, m—1; 2) —четные,
то это неравенство будет строгим.
3.33. Доказать неравенство
R(k, m;
т..
2.
3.34. Пусть къ ... , km — произвольные натуральные
числа, отличные от нуля и единицы. Доказать, что суще-
существует наименьшее натуральное число R = R{kt, ..., km; 2),
зависящее только от kl7 ..., km, такое, что если число
вершин полного n-графа не меньше R, то при любой
раскраске в т цветов его ребер найдется либо монохрома-
монохроматический &х-подграф первого цвета и т. д., либо моно-
монохроматический &ш-подграф m-го цвета.
3.35. Доказать неравенство
3.36. Найти раскраску в два цвета ребер полного
13-графа такую, что ни один 3-подграф не является моно-
монохроматическим красным и ни один 5-подграф не являет-
является монохроматическим синим.
3.37. Доказать, что
#C, 4; 2)-9, RC, 5; 2)= 14.
3.38. Найти такую раскраску в два цвета ребер полного
17-графа, что ни один 4-подграф не является монохромати-
монохроматическим.
3.39. Доказать, что R D, 4; 2)= 18.
3.40. Доказать, что если для некоторого натурального
числа я существует число р @<р<1), для которого
справедливо неравенство
то R{k, /; 2)>п.
3.41. Доказать неравенство
R{k, k; 2)
где с>0 — некоторая постоянная.
3.42. Доказать, что для любого натурального числа п
найдется число N = N (п) такое, что среди любых N точек
на плоскости, никакие три из которых не лежат на одной
прямой, можно выбрать п точек, являющихся вершинами
выпуклого «-угольника.
Г л а в а IV
КОМБИНАТОРНЫЕ ТАБЛИЦЫ И СХЕМЫ
§ 1. Специальные матрицы
Пусть дано множество S из п элементов {slt s2, ..., sn\
и т его подмножеств Si, S2, ..., Sm. Матрицей инци-
. дентности для данной системы подмножеств по отношению
% к S называется матрица (агу) (i=l т; /=1 п),
V- где
Sit
St.
' Бинарной матрицей назовем матрицу, состоящую из
элементов 0 и 1.
Матрицей попарных сравнений для множества чисел
- {bi, й2, ..., Ьп\ называется матрица (ау) (i, ]—\ п),
где а,/=»1, если bi>bj, и а^ = 0 в противном случае.
Матрицей перестановки {klt .... kn) называется матри-
матрица порядка п, в которой a*./=l для /=1 п; а^ = 0
для i ф kj.
Пусть дана матрица А — (а^) (i==l, 2 m; / =
= 1, 2, ..., п). Ее перманентом называют число per Л =
. — ^ ai'ia2'r--a""'m> Здесь суммирование производится по
всем m-перестановкам (ilt ..., im) целых чисел 1, 2, ..., п
(m<n). Перманент А не меняется при перестановке
строк или столбцов матрицы.
Матрицей Адамара называется квадратная матрица,
состоящая из элементов 1 и —1, в которой каждая строка
ортогональна всем остальным строкам, а каждый столбец—
остальным столбцам.

58
ГЛ. IV. КОМБИНАТОРНЫЕ ТАБЛИЦЫ И СХЕМЫ
§ 1. СПЕЦИАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ
59
4.1. Составить матрицу перестановки C 2 4 1).
4.2. Доказать, что перманент матрицы перестановки п
элементов равен 1.
4.3. Чему равен детерминант матрицы перестановки?
4.4. Составить матрицу инцидентности системы троек
{1, 2, 3}, {1, 4, 5}, {1, 6, 7], {2, 4, 6(, {2, 5, 7}, {3, 4, 7},
{3, 5, 6} по отношению к множеству {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
и вычислить перманент этой матрицы.
4.5. Составить матрицу инцидентности для системы
подмножеств {1,3, 4}, \2, 3, 5}, {2, 4}, {4, 5} множества
{1, 2, 3, 4, 5, 6} и вычислить перманент этой матрицы.
4.6. Сколько существует бинарных симметрических
квадратных матриц порядка я?
4.7. Определить количество миноров fe-го порядка
в пхгс-матрице Л = (а,у), не включающих диагональных
элементов матрицы.
4.8. Определить число различных бинарных квадрат-
квадратных матриц порядка п, в каждой строке и каждом столбце
которых стоит по одной единице.
4.9. Сколько существует бинарных тх «-матриц, в каж-
каждой из которых сумма всех элементов равна г?
4.10. Сколько существует квадратных матриц порядка
п с элементами +1 и —1, в каждой из которых сумма
всех элементов равна г?
4.11. Сколько существует бинарных матриц n-го поряд-
порядка, в каждом столбце которых стоит ровно г единиц?
4.12. Матрица называется эквидиагональной, если все
элементы ее диагонали равны. Сколько существует экви-
диагональных матриц порядка п с элементами 4-1 и —1?
4.13. Определить число бинарных симметрических
эквидиагональных матриц порядка п, в каждой из кото-
которых ровно k единиц.
4.14. Определить число бинарных квадратных матриц
порядка п, в каждой из которых диагональ занята нулями,
под диагональю стоит k единиц, а над диагональю —
I единиц. Вычислить это число при я = 4, k = 5, 1 = 2.
4.15. Определить число бинарных 5х7-матриц, в каж-
каждой из которых первые два столбца содержат вместе ровно
7 единиц, а каждый из последующих — ровно две единицы.
4.16. Пусть М — п-множество, X —его г-подмножество.
Определить число таких m-подмножеств множества М,
которые имеют в пересечении с X ровно / элементов.
4.17. Доказать, что если матрица 3-го порядка состоит
из элементов 4-1 и —1, то ее определитель — четное число.
4.18. Определить число различных бинарных квадрат-
квадратных матриц порядка п, содержащих в каждой из первых
т строк по г единиц, а в каждой из остальных строк —
q единиц.
4.19. Решить предыдущую задачу при дополнительном
условии, что все элементы главной диагонали являются
нулями.
4.20. Определить число различных бинарных матриц
размера тхп, в которых в каждом из первых г столбцов
стоит s единиц, а общее число единиц в остальных столб-
столбцах равно k.
4.21. Составить матрицу попарных сравнений для
множества чисел {3, 2, 1, 4, 5}.
4.22. Имеются 6 игроков, каждый из которых играет
с каждым из остальных игроков по одной партии. Рас-
Рассмотреть случай, когда i-vi игрок выигрывает у /-го при
'.</' 0> /=1. •¦•» 6). Требуется составить матрицу по-
попарных сравнений выигрышей при условии, что ставки
1 во всех партиях одинаковые.
, 4.23. Доказать, что перманент матрицы попарных
ч сравнений равен нулю.
4.24. Вычислить перманент квадратной матрицы поряд-
порядка п — 4, у которой в каждом столбце и каждой строке
только один нуль, а остальные элементы — единицы.
4.25. Вычислить перманенты следующих матриц:
в)
Д) О
1 0 0 0\
0 10 0
0 0 10
0 0 0
0 0 0 0/
1 0 0 0\
110 0
о
б)
1 1 0 0 0 0\
0 1 10 0 0
0 0 1 10 0
0 0 0 1 10
v 0 0 0 0 1 1.
\0 0 0 0 0 1/
/0111
10 11
1 1 1
0 1 1
1
Г) 1 1 0 1
0 0 11/
е)
1 1
1 1
1 0
1 1 0
1 О/

60
ГЛ. IV. КОМБИНАТОРНЫЕ ТАБЛИЦЫ И СХЕМЫ
§ 1. СПЕЦИАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ
61
4.26. Доказать, что для квадратной матрицы А с не-
неотрицательными элементами всегда per A ^ | det Л |.
4.27. Пусть С —дважды стохастическая*) матрица
порядка 2. Доказать, что per С^ 1/2.
4.28. Пусть A^iuij) (i, j—\, ..., п) — квадратная
матрица с неотрицательными элементами
? 2
/ = i с = 1
Доказать, что Л2 является нулевой матрицей тогда и
только тогда, когда аАЬх-\-аф%-\-...^anbn = 0.
4.29. Найти наибольшее значение, которое может при-
принимать определитель матрицы третьего порядка, при
1 1
р р
условии, что все ее элементы +1
4.30. Для матриц вида
1.
1
1
0
0
\о
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
0
0
... 0
... 0
... 0
... 1
... 0
0
0
0
1
1
о\
0
0
1
1/
доказать справедливость рекуррентного соотношения
per Вп = per Вл_! + per В„_2.
4.31. Доказать, что для nxn-матриц, элементы глав-
главной диагонали которых —нули, а остальные элементы —
единицы, перманент равен
ря = л! A-1/1! + 1/2! _... + (-1)п
4.32. Являются ли следующие матрицы матрицами
Адамара:
Л 1 -1 1Х
/1 „1 _1 _1 \
а> 1 1 1 -1 :
\1 _1 1 1/
4.33. Первая строка некоторой матрицы Адамара
состоит из п единиц. Сколько всего единиц в этой матрице?
*) Матрица называется дважды стохастической, если она состоит
из неотрицательных элементов и сумма их в любой строке и в любом
столбце равна единице.
t
t
h
a)
в)
/о
(l
/0
1
°°
0
\o
1
1
1
1
0
0
0
0
i)
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
6)
0
0
0
1
0
4.34. Составить прямое произведение Я4 = Я2
нормализованных матриц Адамара порядка 2 [14].
4.35. Построить матрицу Адамара порядка 8.
Указание. См. задачу 4.34.
4.36. Найти граничные ранги следующих матриц:
/0111
10 11
0 0 11
\Q 0 0 1
/01111
'10 111
1 1 0
1 1 1
\1 1 1
4.37. Найти а-ширину матрицы (см. [8], с. 112)
110 0
1110 0
0 1110
0 0 111
0 0 0 1
|Йдля а= 1 и а —2.
4.38. Найти а-ширину матрицы
¦0 1 1 1 1\
10 111
110 11
1110 1
,11110/
5:;;для а= 1, 2, 3, 4.
^ 4.39. Указать группу таких перестановок столбцов и
•рстрок, которые не меняют матрицу
0 110 0
110 10
0 110 0
\0 1 1 0 о/
4.40. Какие из следующих величин не меняются при
любых перестановках столбцов и строк любых квадратных
матриц Л:
а) сумма всех элементов матрицы; б) след матрицы;
в) per Л; г) det Л;

62
ГЛ. IV. КОМБИНАТОРНЫЕ ТАБЛИЦЫ И СХЕМЫ
§ 2. ЛАТИНСКИЕ ПРЯМОУГОЛЬНИКИ И КВАДРАТЫ
63
д) per (Л2); е) с!еЦЛ2);
ж) собственные значения матрицы; з) рант матрицы Л;
и) ранг матрицы Л2?
4.41. Записать наибольшее возможное число бинарных
матриц порядка 2, не переводимых одна в другую пере-
перестановками столбцов и строк.
§ 2. Латинские прямоугольники и квадраты
Латинским прямоугольником называется прямоуголь-
прямоугольная таблица размера тхп, в которой в каждой строке
и каждом столбце элементы не повторяются. Латинским
квадратом порядка п называется квадратная таблица
размера пхп, заполненная п различными элементами так,
что каждый элемент входит по одному разу в каждую
строку и каждый столбец.
Два латинских квадрата (или прямоугольника) назы-
называются эквивалентными {изоморфными), если один полу-
получается из другого перестановкой столбцов, перестановкой
строк и переобозначением элементов. Изоморфизм запи-
записывается в виде АхВхС, где А — подстановка, опреде-
определяющая перестановку столбцов, В — перестановку строк,
С —переобозначение элементов. Автоморфизмом латин-
латинского квадрата называется изоморфизм, который переводит
квадрат в себя. Множество автоморфизмов данного квад-
квадрата образуют группу. Латинский квадрат называется
циклическим, если все его строки получаются из его
первой строки циклическими сдвигами.
Два латинских квадрата (а;;) и (by) (i, /=1, ..., п)
порядка п называются ортогональными, если все пары
(а,у, Ьц) различны. Пары ортогональных латинских квад-
квадратов существуют для любого п, кроме п = 2 и п — 6.
Число попарно ортогональных латинских квадратов поряд-
порядка п не превосходит п— 1. Если п = ра, где р —простое,
а а —натуральное число, то для п^З существует полное
множество из п — 1 ортогональных латинских квадратов.
4.42. Сколькими способами можно составить таблицу
размера 2x9, первая строка которой есть 1 2345678 9,
а вторая является перестановкой чисел 1, ..., 9 так,
чтобы ни в одном столбце этой таблицы не было повторе-
повторений чисел?
4.43. Имеются следующие геометрические фигуры:
треугольник, квадрат, трапеция, окружность (каждая
в двух экземплярах). Четыре различные фигуры располо-
расположены в первом ряду. Найти все возможные расположения
оставшихся фигур во втором ряду так, чтобы под каждой
фигурой первого ряда не было одноименной фигуры
второго ряда.
4.44. Найти все латинские прямоугольники 3x5 иа
элементов 1, 2, 3, 4, 5, содержащие первые две строки
12 3 4 5
2 3 4 5 1
4.45. Даны таблицы:
12 3 4
(А) 2 1 4 3
а, а2 ая а4
12 3 4
(В) 2 3 4 1
«1 а2 Щ а4
а) Сколькими способами можно выбрать перестановку
»,Oi> a2> аг, °4 чисел 1, 2, 3, 4 так, чтобы ни в одном
^столбце таблицы (А) не было повторения чисел?
б) Тот же вопрос для таблицы (В).
4.46. Цифры 1, 2, .... 9 размещены в виде латинского
прямоугольника с 8 строками и 9 столбцами. Верно ли, что
(A) можно добавить еще одну строку, чтобы получить
латинский квадрат: а) всегда по меньшей мере двумя
способами, б) всегда точно одним способом;
: (Б) нельзя добавить строку;
(B) число способов добавления строки зависит от вида
данного прямоугольника?
4.47. Сколько существует латинских прямоугольников
^размера 3x5 из пяти элементов с первой строкой 12 3 4 5?
':': 4.48. Как разбить квадратное поле на участки так,
-Чтобы высеять на нем т сортов пшеницы для сравнения
урожайности этих Сортов, исключающего влияние измене-
изменения плодородия в пределах участка. Считаем, что плодо-
плодородие убывает при удалении от одной стороны поля
(неизвестно, какой именно) к противоположной.
Указание. Воспользоваться латинским квадратом.
4.49. Имеются монеты достоинством в 1, 2, 3, 5 и 10 коп.
Расположить 16 монет в виде квадрата размера 4x4 так,
чтобы ни в одном ряду, ни в одной строке и ни на одной

64
ГЛ. IV. КОМБИНАТОРНЫЕ ТАБЛИЦЫ И СХЕМЫ
диагонали квадрата не было двух монет одинакового
достоинства и чтобы общая стоимость всех 16 монет была
максимальной. Какова эта стоимость?
4.50. В шахматном турнире участвуют шесть человек.
Каждый играет в день одну партию. Составить турнирную
таблицу так, чтобы в течение пяти дней каждый сыграл
со всеми остальными пятью игроками. Дополнив получен-
полученную таблицу фиксированным элементом, получить латин-
латинский квадрат.
4.51. Построить два циклических латинских квадрата
порядка 5. Доказать, что все такие квадраты попарно
изоморфны.
4.52. Построить нециклический латинский квадрат
порядка 4, использовав латинские квадраты порядка 2.
4.53. Показать, что следующие латинские квадраты
порядка 3 изоморфны:
0 12 0 2 1
12 0 2 10
2 0 1 10 2
4.54. Доказать, что латинские квадраты А и В изо-
изоморфны:
а) 12345 31452
23451 12345
Л: з 4 5 1 2 б: 4 3 5 2 1
45123 54213
б)
А:
5 12 3 4
12 3 4 5
2 3 4 5 1
3 4 5 12
4 5 12 3
5 12 3 4
В:
2 5 13 4
5 3 4 12
3 12 4 5
4 2 3 5 1
14 5 2 3
2 5 13 4
4.55. Найти латинский квадрат В, изоморфный дан-
данному квадрату А, если задан изоморфизм р, переводящий
А в В:
12 3 4
3 4 2 1
2 14 3
4 3 12
р\ B 2)хA 3 4)хA 3), А:
§ 2. ЛАТИНСКИЕ ПРЯМОУГОЛЬНИКИ И КВАДРАТЫ Bl
4.56. Найти подстановки столбцов, строк и элементов,
переводящие латинский квадрат А в квадрат В:
12 3 4 5 6
2 14 3 6 5
3 5 16 2 4
4 6 2 5 13
5 3 6 14 2
6 4 5 2 3 1
В:
12 3 6 5 4
2 16 3 4 5
3 4 5 2 16
4 3 2 5 6 1
5 6 14 3 2
6 5 4.1 2 3
4.57. Показать, что следующие латинские квадраты
порядка 4 не изоморфны:
0 12 3 0 12 3
12 3 0 10 3 2
2 3 0 1 2 3 0 1
3 0 12 3 2 10
4.58. Указать
квадрата
некоторые автоморфизмы латинского
1 2 з
2 з 1
3 1 2
4.59. Определить порядок группы автоморфизмов сим-
симметрического *) латинского квадрата порядка 4:
4 12 3
14 3 2
2 3 4 1
3 2 14
4.60. Дана система групп пар
0 1
2 5
3 4
0 2
1 3
4 5
0 3 0 4
15 12
2 4 3 5
0 5
1 4
2 3
Пользуясь этой системой, построить симметрический
латинский квадрат порядка 6.
4.61. Доказать, что симметрический циклический
латинский квадрат порядка р эквивалентен таблице умно-
умножения циклической группы того же порядка.
*) Латинский квадрат, у которого элементы, симметричные отно-
относительно главной диагонали, равны, называется симметрическим,
3 Под. ред. К. А. Рыбникова

66
ГЛ. IV. КОМБИНАТОРНЫЕ ТАБЛИЦЫ И СХЕМЫ
§ 2. ЛАТИНСКИЕ ПРЯМОУГОЛЬНИКИ И КВАДРАТЫ
67
4.62. Доказать, что латинский квадрат порядка р экви-
эквивалентен таблице умножения квазигруппы *) того же
порядка.
4.63. Доказать, что таблица умножения квазигруппы
является латинским квадратом.
4.64. Вычислить перманенты циклических латинских
квадратов порядка 3, 4, 5, составленных из элементов
О, 1( 2, ...
4.65. Вычислить перманенты следующих латинских
квадратов:
а) 1 2 3 0 б) о 1 2 3
0 3 2 1 10 3 2
3 0 12 2 3 0 1
2 10 3 3 2 10
4.66. а) Разложить 16 старших карт четырех мастей
так, чтобы ни названия карт, ни масти не повторя-
повторялись ни в рядах, ни в столбцах, ни на главных диаго-
диагоналях.
б) Можно ли сделать так, чтобы при этом цвета мастей
располагались в шахматном порядке?
в) Можно ли, не принимая во внимание расположение
карт на главных диагоналях, найти решение, в котором
цвета чередуются в шахматном порядке?
4.67. Возьмем абелеву группу порядка 9, являющуюся
прямым произведением двух циклических групп порядка 3.
По таблице умножения этой абелевой группы построим
другую таблицу умножения, заменив соотношение а-Ь = о
соотношением а-с=Ь. Является ли полученная таблица
умножения латинским квадратом? Будет ли этот квадрат
ортогонален исходному?
4.68. Построить полное множество ортогональных ла-
латинских квадратов порядка 3.
4.69. Задача 4.68 для латинских квадратов порядка 5,
4.70. Найти полное множество ортогональных латин-
латинских квадратов порядка 4.
4.71. Задача 4.70 для латинских квадратов порядка 8.
4.72. Найти пару ортогональных латинских квадратов
порядка 9.
4.73. Найти 6 циклических попарно ортогональных
латинских квадратов порядка 9.
4.74. Построить два нециклических латинских квад-
квадрата порядка 6, используя латинские квадраты порядка 2
и 3. Являются ли полученные квадраты ортогональными?
4.75. Показать, что р—\ латинских квадратов, пред-
представляющих полное множество ортогональных латинских
квадратов порядка р (р — нечетное простое), изоморфны
между собой.
4.76. Доказать, что если р — нечетное простое число,
то матрицы порядка р:
*) Множество М с одной бинарной операцией (») называется
квазигруппой, если уравнения a°x = b, y°a = b имеют единственные
решения для любых а, Ь,
i, /==0, 1, .... /7-1; k=l, 2, ..., р-1,
где a\V = ik-\-j (modp), образуют полную систему орто-
ортогональных латинских квадратов.
I 4.77. Пусть G —абелева группа порядка 8, являю-
являющаяся прямым произведением трех циклических групп
порядка 2. Пусть Н — группа таких автоморфизмов
группы G, которые оставляют неподвижной только еди-
| ницу группы G (конечно, кроме тождественного автомор-
! физма).
Пользуясь группой Н, построить семейство из семи
ортогональных латинских квадратов порядка 8, отличаю-
отличающихся друг от друга только порядком строк.
. 4.78. Пусть G— абелева группа порядка ра, являю-
являющаяся прямым произведением а циклических групп по-
порядка р, где р —простое.
Доказать, что существует полное множество ортого-
ортогональных латинских квадратов порядка ра, отличающихся
друг от друга только порядком строк (столбцов).
4.79. Сколько можно построить попарно ортогональ-
ортогональных латинских квадратов порядка:
а) 21; б) 63;
в) 300; г) 360?
4.80. Построить семейство ортогональных латинских
квадратов порядка 9, используя поле Галуа.

68
ГЛ. IV. КОМБИНАТОРНЫЕ ТАБЛИЦЫ И СХЕМЫ
§ 3. СИСТЕМЫ ТРОЕК ШТЕЙНЕРА И СХОДНЫЕ НАБОРЫ
69
§ 3. Системы троек Штейнера и сходные наборы
Системой троек Штейнера из п элементов называется
такой набор подмножеств этих п элементов, что
а) каждое подмножество состоит из трех различных
элементов;
б) любая пара элементов содержится в одном и только
одном подмножестве.
Тройки Штейнера существуют тогда и только тогда,
когда п = Ы-{-\ ^7 или n = 6t-{-2>^3.
Две системы троек Штейнера называются изоморфными,
если одна из них .может быть получена из другой посред-
посредством переобозначения элементов, перестановки троек и
элементов в тройках.
Автоморфизмом некоторой системы называется такое
преобразование, которое переводит систему в себя. Мно-
Множество автоморфизмов данной системы образует группу.
Системой троек Киркмана называется система троек
Штейнера, разбитая на такие группы троек, что каждый
из п элементов входит в одну и только одну тройку каж-
каждой группы.
Опишем метод различения неизоморфных систем троек
Штейнера. Пусть Д„ — система троек Штейнера, построен-
построенная на множестве ?, и пусть х, уеЕ, хфу. Введем
обозначение
П?={(а, Р): (*, а, Р) е= Дя, афу, $Фу\.
Граф Тху, множеством вершин которого является множе-
множество ?, а множеством ребер — множество Щ U Щ, назо-
назовем графом переплетения элементов х и у в Ая. Этот
граф представляет собой набор непересекающихся циклов
четной длины. Ему можно сопоставить спецификацию
nxy = (sri, ..., s^f), где rt — число циклов длины 2s? в гра-
графе Тху. Спецификация пху называется типом переплете-
переплетения х и у в системе Дя. Очевидно, что типы переплете-
переплетения являются спецификациями разбиений числа (п— 3)/2
на части, каждая из которых не меньше двух. Обозначим
число таких разбиений через q = q(n).
В случае п =13 возможных типов переплетения два:
7\ = B, 3), Г2 = E). В случае п =15-четыре: Т^--=B3),
Т2 = B, 4), Г3 = C2), Г4 = F). Типы переплетений усло-
условимся нумеровать в лексикографическом порядке.
Вектор-индексом элемента х в системе Д„ называется
^-мерный вектор (/1( t2, ..., tg), где tj обозначает число
элементов в Е, имеющих тип переплетения Tj с элемен-
элементом х.
Системе Д„ можно сопоставить таблицу
?» *;» ... *«>
Jk) Jk) Jk)
H h •" lq
где 1п обозначает число элементов в Е, имеющих в Дя
'Iвектор-индекс {t\k), ..., tf]). Вектор-индексы в Т(Д„) рас-
i положены в лексикографическом порядке. Таблица Г(Д„)
*-называется Т-таблицей.
j Две системы троек Штейнера, которым соответствуют
f различные Т-таблицы, не изоморфны.
р Системой групп пар П2ц порядка 2ц называется такое
«¦разбиение множества Р (F) неупорядоченных пар элемен-
&тов множества F, \F\ = 2\i, на группы пар, что каждый
Цэлемент из F присутствует точно в одной паре каждой
л группы.
?" Две системы групп пар П2ц и ГЦц порядка 2ц, осно-
|ванные на множествах F и F', будем называть изоморф-
Х'шыми, если существует взаимно однозначное соответствие <р:
|f*->-F', при котором каждой группе пар из П2ц соответ-
соответствует группа пар из П^.
Пусть П2м, — система групп пар т^ ..., т^-! по-
Срядка 2ц. Граф G^, вершинами которого являются эле-
5#4енты множества F, а ребрами — элементы множества
J&Ut/ (t^/, l=^i, /^2(i— 1), очевидно, представляет
1собой модель непересекающихся циклов- четной длины.
/¦|€имвол (sji, ..., s^1), где 0 < sx <...< sm, rt ^ 0 при всех
il=l, ..., m, называется типом переплетения групп пар
\'§i и т/, если в графе Gy содержится точно rk циклов
Длины 2s/t и 2] rksk = ll- Возможные типы переплетения
k=\
являются, следовательно, спецификациями разбиений
, Числа ц на части, каждая из которых не меньше числа 2.
.' Будем называть вектор-индексом группы пар 2 в си-
, реме h групп пар П2ц вектор (xt, хг х9), в кото-

70
ГЛ. IV. КОМБИНАТОРНЫЕ ТАБЛИЦЫ И СХЕМЫ
§ 3. СИСТЕМЫ ТРОЕК ШТЕЙНЕРА И СХОДНЫЕ НАБОРЫ
71
ром X; обозначает число групп пар из этой системы, имею-
имеющих тип переплетения Г/ с группой 2.
Спецификацию групп пар системы h групп пар П2|Х по
их вектор-индексам в этой системе запишем в виде таблицы
Y(V yd) уП)
Aj Aj . .. Лу
v'2i yB) yB)
Aj A^ ... A^
Л1 Ai ••' Aq
W2
CO,
где соу>0 —число групп пар в П^ц, имеющих вектор-
индекс (х[1\ х%\ ..., х^, а сами эти векторы располо-
расположены в порядке их лексикографического возрастания.
Таблицу Т(П2|Х) будем называть Т-таблицей системы П2^.
Две системы групп пар, которым соответствуют раз-
различные Г-таблицы, не изоморфны. Обратное не всегда
верно.
4.81. Из десяти элементов 0, 1, ..., 9 составить упо-
упорядоченные тройки.
а) Доказать, что число троек равно 103.
б) Определить число троек с двумя повторениями (т. е.
вида х х х).
в) Определить число троек с одним повторением (т. е.
вида х х у, х у х, у х х).
г) Определить число троек, не имеющих ни одного
повторения (т. е. вида х у г).
4.82. Дано множество ? из л элементов 1, 2, ..., п.
Составить тройки так:
а) чтобы каждая пара из Е содержалась не более чем
•в одной тройке и чтобы число троек было возможно
больше; я = 5;
б) чтобы каждая пара из Е содержалась по меньшей
мере в одной тройке и чтобы число троек было возможно
меньше; я = 5;
в) чтобы каждая пара из Е содержалась в точности
в одной тройке; п = 7.
4.83. Существует ли хотя бы одна система троек Штей-
иера с п элементами, если а) п = 95; б) п= 100; в) п— 105?
4.84. Доказать, что число троек в системе троек Штей-
нера из п элементов равно /г (я — 1)/6.
4.85. Доказать, что не существует системы троек Штей-
нера из п = 6&-f2 элементов,
4.86. Проверить, являются ли следующие наборы троек
системами троек Штейнера:
А) о
0
0
0
0
0
Б) 0
0
0
0
0
0
В) о
0
0
0
0
0
1
3
4
5
6
9
1
2
3
5
6
9
1
2
3
6
7
8
2
6
7
8
с
а
a
7
4
b
8
с
4
5
с
9
b
a
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3
4
5
8
9
2
3
4
6
7
2
3
4
6
7
7
с
6
а
b
Ь
8
5
с
9
9
a
8
Ь
a
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
4
5
7
b
3
4
5
8
3
4
5
8
а
8
6
9
а
с
9
6
a
8
7
6
b
с
3
3
3
3
3
3
3
3
3
4
6
9
5
6
9
4
5
7
5
с
с
a
7
Ь
6
b
9
4
4
4
4
4
4
4
4
8
a
6
7
а
5
9
6
9
b
b
8
с
а
6
с
5
5
5
5
5
5
7
а
7
8
7
9
Ь
с
с
9
8
a
6
6
7
6
7
8
6
6
7
8
8
9
а
b
7
8
9
b
с
а
Ь
с
a
о
( А) —система Райсса, В) —система Нетто).
4.87. Какие тройки из указанных в пп. а) — г) нужно
добавить к системе троек 12 3, 14 5, 16 7, 2 5 6,
2 4 7, чтобы получить систему троек Штейнера:
а) 2 3 4, 5 6 7; б) 3 4 6, 3 5 7;
в) 3 4 5, 3 6 7; г) 4 5 6, 1 2 3?
4.88. Доказать, что для каждого элемента исходного
множества число троек системы троек Штейнера, в кото-
которых он присутствует, не зависит от этого элемента. Ука-
Указать это число.
4.89. Пусть Д„ — штейнерова система троек, Да — ее
штейнерова подсистема. Доказать, что ок.{п— 1)/2.
4.90. Доказать, что две штейнеровы подсистемы штей-
неровой системы троек либо не пересекаются, либо их
пересечение является тоже штейнеровой подсистемой.

72
ГЛ. IV. КОМБИНАТОРНЫЕ ТАБЛИЦЫ И СХЕМЫ
4.91. Построить систему троек Штейнера для п — 7.
4.92. Нарисовать граф переплетения элементов 3 и 9
в системе А) задачи 4.86. Указать тип переплетения этих
элементов.
4.93. Вычислить вектор-индекс элемента 3 в системе А)
задачи 4.86.
4.94. Выписать все возможные типы переплетения эле-
элементов системы Д„ в случае п = 19.
4.95. Построить систему троек Штейнера, изоморфную
данной:
1 2 3
145 246 347
167 257 356
4.96. Показать, что следующие системы троек Штей-
Штейнера изоморфны:
а)
1 2 3
1 4 5
1 6 7
1 8 9
1 2 3
1 4 5
1 6 8
1 79
2 4 8
2 5 6
2 7 9
247
256
289
3 47
3 5 9
3 6 8
4 6 9
5 7 8
348
359 469
367 578
4.97. Установить, что системы А) и В) из задачи 4.86
не изоморфны.
4.98. Установить, является ли подстановка а =
= @123456789аЬс) автоморфизмом системы В) задачи 4.86
или нет.
4.99. Построить систему троек Штейнера для п = 9
элементов с циклической группой автоморфизмов.
4.100. Построить систему троек Штейнера порядка 15,
воспользовавшись методом Мура (см. [1], с. 127).
4.101. Построить систему троек Штейнера порядка
п = и{0%, где ^ = 3, u2 = 3.
4.102. Построить систему троек Киркмана на девяти
элементах.
4.103. Сколько групп троек содержится в системе троек
Киркмана из n = 6k + Z элементов?
§ 3. СИСТЕМЫ ТРОЕК ШТЕЙНЕРА И СХОДНЫЕ НАБОРЫ
73
2,
4.104. Можно
.... 15:
2 3
5 6
ли набор групп троек элементов 1,
1
4
7
8 9
10 11 12
13 14 15
1 4 7
2 5 8
3 10 13
6 11 14
9 12 14
11
15
10
14
12
13
9 13
4 12
5 11
7 15
8 10 14
1 6
2 11
3 7
8 13
9 14
10
15
12
4
5
, дополнить до системы троек Киркмана порядка 15? Указать
недостающие группы.
4.105. Является ли системой троек Киркмана следую
\ щий набор групп троек элементов:
1 2 3 1 4 7 1 5 13 1 6 8
4 5 6 2 5 10 2 4 12 2 11 13
10 11 12 6 11 14 6 7 15 4 10 15
13 14 15 9 12 15 8 10 14 5 9 14
; 7 8 9 3 8 13 3 9 11 3 7 12
1 9 10 1 11 15 1 12 14
27 14 269 28 15
3 5 15 3 4 14 3 6 10
4 8 11 5 8 12 4 9 13
6 12 13 7 10 13 5 7 11
4.106. Доказать, что не существует системы троек
Киркмана из n = 6k-\-1 элементов.
4.107. Девять ревизоров должны проверить в течение
четырех дней 12 организаций. Каждая организация про-
проверяется комиссией из трех ревизоров в течение одного
дня. Как осуществить проверку организаций так, чтобы
все организации были проверены комиссиями и ни пары,
ни тройки ревизоров в них не повторялись?
4.108. Проверить, являются ли подстановки
сс=A, 12) B, 7) E, 15) (8, 11) F, 10) (9, 13),
Р = A, 2, 3) D, 12, 7) F, 10, 9) E, 11, 8)
^автоморфизмами системы из задачи 4.105.
\'9' 4.109. Доказать, что группа автоморфизмов системы
|#троек Киркмана является подгруппой группы автоморфиз-
Д!мов соответствующей системы троек Штейнера.
^ 4.110. Из элементов 0, 1, ..., 5 составить 5 наборов,
ЗЦно 3 пары в каждом, так, чтобы в каждом наборе все
I

74
ГЛ. IV. КОМБИНАТОРНЫЕ ТАБЛИЦЫ И СХЕМЫ
§ 3. СИСТЕМЫ ТРОЕК ШТЕЙНЕРА И СХОДНЫЕ НАБОРЫ
элементы были различны и в разных наборах пары не
повторялись.
4.1 И. Требуется распределить 8 экзаменаторов на 4
комиссии, по 2 человека в каждой, так, чтобы в каждый
следующий день в течение недели G дней) составы комис-
комиссий не повторялись.
4.112. Пусть элементы 1, 2, ..., 2ц —номера игроков.
Пары игроков, содержащиеся в 1-й группе, играют в 1-м
туре; пары, содержащиеся во 2-й группе, играют во 2-м
туре и т. д. Требуется составить расписание игр на 11 дней
по турам для 2^=12. Для получения шахматной таб-
таблицы записать систему групп пар из 12 элементов.
4.113. Пусть задана одна группа пар элементов, на-
например,
О 1
2 2ц-1
3 2ц-2
k 2ц —
Какая из подстановок из 2ц элементов: @ 1 2 3...2ji—1)
и @)A 2 3 ... 2\х— 1) дает систему групп пар цикличе-
циклического *) типа?
4.114. Вычисляя Г-таблицы, определить, имеются ли
изоморфные среди выписанных ниже систем групп пар
порядка 8:
1) 0 1
2 3
4 7
5 6
2) 0 1
2 7
3 6
4 5
0 2
1 5
3 4
6 7
0 2
1 3
4 7
5 6
0 3
1 4
2 6
5 7
0 3
1 5
2 4
6 7
0 4
1 7
2 5
3 6
0 4
1 7
2 6
3 5
05
1 3
2 7
4 6
0 5
1 2
3 7
4 6
0 6
1 2
3 7
4 5
0 6
1 4
2 3
5 7
07
1 6
2 4
3 б
0 7
1 6
2 5
3 4
*) Система групп пар, у которых каждая группа пар получается
из предыдущей группы пар с помощью одной и той же подстановки
3)
4)
5)
6)
0
2
4
6
0
2
4
6
0
2
4
5
0
2
4
6
1
3
5
7
1
3
5
7
1
3
7
6
1
3
5
7
0
1
4
5
0
1
4
5
0
1
3
4
0
1
4
5
2
3
6
7
2
3
7
6
2
6
7
5
2
3
7
6
0
1
5
4
0
1
4
5
0
1
2
4
0
1
4
5
3
2
6
7
3
2
6
7
3
5
7
6
3
2
6
7
0
1
2
3
0
1
2
3
0
1
2
3
0
1
2
3
4
6
7
5
4
5
6
7
4
7
6
5
4
5
7
6
0
1
2
3
0
1
2
3
0
1
2
6
0
1
2
3
5
4
6
7
5
4
7
6
5
3
4
7
5
4
6
7
0
1
2
3
0
1
2
3
0
1
3
5
0
1
2
3
6
7
5
4
6
7
4
5
6
2
4
7
6
7
5
4
0
1
2
3
0
1
2
3
0
1
2
3
0
1
2
3
7
5
4
6
7
6
5
4
7
4
5
6
7
6
4
5
4.115. Найти подстановку, переводящую первую из
выписанных ниже систем групп пар во вторую:
а)
б)
0
2
4
6
8
0
2
4
6
8
I
3
5
7
9
1
3
5
7
9
0
1
4
5
7
0
1
4
5
7
2
3
6
8
9
2
3
6
8
9
0
1
2
6
7
0
1
2
5
7
3
4
5
9
8
3
4
5
9
8
0
1
2
3
6
0
1
2
3
6
4
7
9
5
8
4
9
7
5
8
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
5
8
6
9
7
5
6
8
7
9
0
1
2
3
5
0
1
2
3
4
6
9
4
8
7
6
5
9
8
7
0
1
2
3
5
0
1
3
4
5
7
6
8
4
9
7
2
6
8
9
0
1
2
3
4
0
1
2
3
5
8
5
7
6
9
8
7
4
9
6
0
1
3
4
5
0
1
2
3
5
9
2
7
8
6
9
8
6
4
7
элементов 0, 1
ского типа.
2ji— 1, называется системой групп пар цикличе-
4.116. Четыре элемента 0, 1, 2, 3 разбить тремя спо-
способами на пары. Определить группу автоморфизмов полу-
полученной системы.
4.117. Определить порядок группы автоморфизмов
системы, полученной в задаче 4.110.
4.118. Показать, что группа автоморфизмов систем
групп пар циклического типа содержит циклическую под-
подгруппу порядка 2(л—1 с образующим элементом Т, где
Т — некоторая подстановка из задачи 4.113.

76
ГЛ. IV. КОМПИНАТОРНЫЕ ТАБЛИЦЫ И СХЕМЫ
§ 4. БЛОК-СХЕМЫ
77
4.119. Имеем систему групп пар 4-го порядка из эле-
элементов 4, 5, 6, 7:
7 6 7 5 7 4
5 4 6 4 6 5
Достроить ее до системы троек Штейнера для семи эле-
элементов.
4.120. Построить систему групп пар, исходя из сле-
следующего симметрического латинского квадрата:
0123456789
1072398465
2701839654
3210645978
4386012597
5934107826
6895270143
7469581032
8657924301
9548763210
§ 4. Блок-схемы
Блок-схема — система подмножеств конечного множе-
множества, удовлетворяющая некоторым условиям, связанным
с частотой появления пар элементов множества в подмно-
подмножествах системы. Блок-схема задается парой множеств
(V, В), где
V = {alt а2, ..., av}, В = {ВЪ Вг, .... Вь\,
Bi<=V, 1=1, 2, .... Ь.
Элементы множества V называются элементами блок-
схемы, а элементы множества В — ее блоками. Элемент at
и блок Bj инцидентны, если at e Bh Число | Bj \ элемен-
элементов, инцидентных блоку Bh обозначается через kh а число
блоков, инцидентных элементу а,-, — через г^ Через Кц
обозначается число \{Bf\ а,- е Bj, at^Bj)\.
Числа v, b, rh kj, \ц (i, 1=1, .... v; /=1 b)
называются параметрами блок-схемы. Если г,- = г для
всех i = \ v, kj = k для всех / = 1, ..., Ь, а Хп = Х,
то (V, В) есть уравновешенная неполная блок-схема, или
В1В-схема.
I
Пусть среди чисел "кп (i, l=\, ..., t») встречается
ровно т различных: %х, ..., %т, и пусть на элементах
множества V введено т симметрических отношений связ-
связности так, что выполнены следующие условия:
а) множество V2 всех пар элементов множества V раз-
разбивается на т непересекающихся подмножеств V\, VI,...
..., Vm, причем, если (а, а') е V), то говорят, что эле-
элементы а и а' j-связаны;
б) | {Bj: а е В,, а' е= В,, (а, а') е У|} | = X,-;
в) | {а: За' (а, а') е= V\) \ = nt, *= 1,.-.., m;
г) \{а": (а", а) е V}, (а", а') е VI (а, а') е VI} | - pj*.
причем в силу симметричности pljk = plkj (t, /, k = 1,..., m).
Блок-схема со свойствами а) — г) называется частично
уравновешенной блок-схемой с т типами связей, или
PBIB (т)-схемой. Параметры блок-схемы связаны опреде-
определенными соотношениями. Для BIB-схем справедливы ра-
равенства
vr = kb, ?ф-1) = г(?-1). D.1)
Для параметров РВ1В(т)-схем справедливы равенства D.1)
и следующие соотношения:
%¦
л.
?
t =
k = \
j,
/1,-1, » =
: = KjP'ik = 1-kPih
т\
т.
Матрица инцидентности BIB-схемы удовлетворяет
основному матричному соотношению
ддт — if %) Е A-%J D 2)
.где Е — единичная матрица порядка V, а У —матрица по-
порядка v, составленная из единиц. Существование @, ^-мат-
^-матрицы, удовлетворяющей условию D.2), является доста-
достаточным условием существования BIB-схемы с заданными
параметрами. Из D.2) вытекает неравенство b^v.
BIB-схема, для которой b = v (и, значит, r — k), назы-
называется симметрической блок-схемой, или (v, k, ^-конфи-
^-конфигурацией. (См., например, [14].) _

78
ГЛ. IV. КОМБИНАТОРНЫЕ ТАБЛИЦЫ И СХЕМЫ
4.121. а) Доказать, что если Bt, B2, ..., Bv-~блоки
симметрической BIB-схемы на множестве X = {xt,..., xv\,
то для любого i множества
Bt — Bit В2 — В(, ..., Б,_! — Bh Bi+1 — В; Bv — Bt
образуют BIB-схему на множестве X — Bt. Найти пара-
параметры этой схемы, если параметры исходной схемы —
v, k, %.
б) Та же задача, но вместо разности взять пересечение.
4.122. Построить BIB-схему с параметрами;
а) о = Ь = 7, /г = г = 3, Х=1;
б) i> = 6=13, k = r = 4, Л=1;
в) о = 9, 6=12, r = 4, & = 3, X=l.
4.123. Существуют ли BIB-схемы с параметрами:
а) о=15, 6-21, r = 7, k = 5, % = 2;
б) у = 6 = 22, r = k = 7, X = 2;
в) о = 6 = 43, r = & = 7, Ь=1;
Г) о-Зб, 6 = 42, r = 7, Jfe = 6, Х=1?
4.124. Найти базу и группу автоморфизмов BIB-схемы
с параметрами:
а) и = 6 = 7, r = k = 3, X=l;
б) о=13, 6 = 26, г = 6, й=3, Ь=1;
в) о = 25, 6 = 100, г=12, й = 3, Х=1.
4.125. Проверить основное матричное соотношение для
BIB-схемы, где D есть:
а) G, 3, 1)-схема из задачи 4.122, а);
б) A3, 4, 1)-схема из задачи 4.122, б).
Записать для схемы D уравнение инцидентности в квад-
квадратичной форме.
4.126. Построить блок-схему с параметрами v = 6, 6 =
-= 10, г = 5, А = 3, Я = 2.
4.127. Построить симметрическую BIB-схему, исходя
is равенства инцидентности (см. [8], с. 138):
а) L? + .
б) L? + ..
i=l> 2> ¦••> u-
1 = 1
§ 4. БЛОК-СХЕМЫ
79
4.128. Установить выполнение необходимого условия
существования симметрических (о, к, X) В1В-схем:
а) 21, 5, 1; б) 15, 7, 3; в) 19, 9, 4; г) 29, 8, 2.
4.129. Какие из пяти правильных многогранников
(тетраэдр, октаэдр, куб, икосаэдр, додекаэдр) являются
BlB-схемами? Найти параметры этих блок-схем.
4.130. Показать двойственность следующих пар блок-
схем (см. [14]):
а) октаэдр и куб; б) додекаэдр и икосаэдр. Показать,
что тетраэдр самодвойствен.
4.131. Построить блок-схему из PGB, 2).
4.132. Построить матрицу Адамара из PG{2, 2).
4.133. Определить параметры 1-го и 2-го рода PBIB-
схемы, полученной из разностного множества:
а) 1, 2, 3 (mod 5);
б) 1, 3, 9 (mod 13).
4.134. Найти матрицы связности схемы
3478, 1234, 2367, 5678, 1256, 1458,
Ло = 3, %i = 2, Л2 — 1, Лз = О, П\ = П.2 = о, П$=\,
Определить ААТ и все B-fij.
4.135. Построить PBIB-схему инверсий остаточной
схемы, полученной из следующей симметрической BIB-
схемы:
12345 12678 1379Х 148Х?
1569? 236Х? 2479? 2589Х
34689 3578? 4567Х
с параметрами о==6=11, r = k = 5, % = 2. Найти пара-
параметры 1-го и 2-го рода построенной PBIB-схемы.
4.136. Построить циклическую A9, 9, 4)-схему.
Указание. Построить разностное множество типа Q.
4.137. Построить аффинно-разрешимую BIB-схему cv—
= 9, 6=12, г = 4, fc = 3 из EG {2, 3). Какова блок-схема,
двойственная ей?
4.138. Построить частичную плоскость (г, k, t) и соот-
соответствующую ей PBIB B)-схему; найти параметры 1-го и
2-го рода этой блок-схемы и указать: обладает ли она
свойством разрешимости (аффинной разрешимости):
а) r = 3, ft = 4, t = 2;
б) г = 4, * = 5, * = 3?

80
ГЛ. IV. КОМБИНАТОРНЫЕ ТАБЛИЦЫ И СХЕМЫ
§ 5. ПРОБЛЕМА ВАН-ДЕР-ВАРДЕНА
81
4.139. Какие из следующих BIB-схем с параметрами
v, b, r, k, % являются аффинно-разрешимыми:
а) 9, 12, 4, 3, 1;
б) 6, 10, 5, 3, 2;
в) 13, 26, 6, 3, 1;
г) 10, 30, 9, 3, 2?
4.140. Построить 2-разрешимую BlB-схему D, если
даны BIB-схема Dx с параметрами v1 = bl = 3, r1 = kl = 2,
Х,г = 1 и аффинно-разрешимая BIB-схема D2 с парамет-
параметрами t>2 = 9, &2=12, k2 — 3, га = 4, ^2=1. Найти пара-
параметры схемы. Показать, что D аффинно-2-разрешима.
4.141. Построить 3-разрешимую PBIB-схему D, если
даны BIB-схема Dt с параметрами v1 = b1 = 4, г1 = к1 — Ъ,
Xx = 2 и аффинно-разрешимая PBIB B)-схема со схемой
связности в виде частичной плоскости C, 4, 2) и пара-
параметрами у2—16, b%—\2, / = 3, &2 = 4, Х2,i=l, ^2,2 = 0.
Определить параметры 1-го и 2-го рода построенной схемы.
Показать, что D аффинно-3-разрешима.
4.142. Имеются три концентрические окружности,
внутри которых проведены три диаметра. Показать, что
если точки пересечения диаметров с окружностями при-
принять за элементы блок-схемы D, а сами диаметры и окруж-
окружности—за ее блоки, то D есть PBIB (З)-схема. Найти
параметры D. Разрешима ли эта схема?
4.143. Решить задачу 4.142 для случая четырех окруж-
окружностей и четырех диаметров.
4.144. Построить, определить схему связности и найти
параметры 1-го и 2-го рода PBIB D)-схемы, у которой
элементы суть все упорядоченные пары
(х, у), хфу, х, г/=1 п,
а блоки суть множества
{(х, 1)}, .... {{х, я)}, {A- У)), ••-. {(«, У)},
где х, у=1, ..., п: а) п = 3; б) п — 4.
4.145. Сколько типов связности и как можно устано-
установить в PBIB-схеме, элементы которой суть упорядоченные
тройки
(х, у, z), хфуфг, х, у, г=1, ..., п,
а блоки суть множества {{х, у, 1)}, ..., {(х, у, п)},
{(х, 1, г)}, .... {(х, п, z)\, {A, у, г)}, .... {{п, у, г)}?
Найти v, b, r, k, fit, %t для n = 4.
§ 5. Проблема Ван-дер-Вардена *)
Выпуклой оболочкой точек Ро, Pi, ..., PjeR" назы
вается множество точек М s= R", представимых в виде
fe ft
М=2 hPi, где ^ bi=l. h^0, t = 0 k.
1=0 1=0
Точки Ро, Ръ ..., Рб е R" называются независимыми,
если векторы {Рг — Рй) линейно независимы (i = !,...,&).
Независимость точек Ро, Ри ..., Pb^R" возможна только
при k^n. Точки Ро, Pi, ..., P/jSR" независимы тогда
* ft
я только тогда, когда из условия
Х,(Р4 = О,
|. ( — 0 1=0
.1 следует, что все X,- равны нулю.
Ju Пусть Р0) Ръ ..., PAeR" независимы. Симплексом
'"¦ с вершинами в точках Ро, Pi, ..., Рь называется выпук-
выпуклая оболочка точек Ро, Рь ..., Pk- Для любой точки М,
¦ лежащей в таком симплексе, представление вида
ft ft
однозначно (г = 0, 1 ft).
«=о <=о
Это дает возможность называть набор (Хо, Яь ..., Яй
центрическими координатами точки М.
4.146. Пусть точка М принадлежит выпуклой оболочке
точек Ро, ..., Ри из R". Тогда существуют неотрицатель-
' ные целые числа 0 ^ i0 < ix <... < in и неотрицательные
л п
числа Х,(о, %i %i такие, что ]?] Я,г, = 1, M — ^j ^/^«7-
" 1 я /=0 /==0
*) Решение проблемы см.:
Егорычев Г. П. Решение проблемы Ван-дер-Вардена для пер-
перманентов. —Красноярск, 1980. — (Прёпринт/Ин-т физики им. Л. В. Ки-
гренского СО АН СССР: 13-М);
Егорычев Г. П. Доказательство гипотезы Ван-дер-Вардена
Для перманентов. — Сиб, матем. ж., 1981, 22, № 6, с. 65—71;
Фаликман Д. Е. Доказательство гипотезы Ван-дер-Вардена
¦ 0 перманенте дважды стохастической матрицы. —Матем. заметки,
1981, 29, № 6.

82
ГЛ. IV. КОМБИНАТОРНЫЕ ТАБЛИЦЫ И СХЕМЫ
§ 5. ПРОБЛЕМА ВАН-ДЕР-ВАРДЕНА
83
Матрица А = \ atJ \" называется дважды стохастической,
п
если для всех i, j выполнены условия ау ^ О, ^ а</ =
4.147. Доказать, что произведение дважды стохасти-
стохастических матриц —дважды стохастическая матрица.
Перманентом матрицы Л = |%| (/, /=1, ...,п) назы-
называется выражение (число) регЛ = 2 а^... anin,
o(iv...,in)
Суммирование ведется по всем перестановкам о (ii,..., in)
из чисел 1, ..., п.
4.148. Доказать, что перманент дважды стохастической
матрицы не превосходит 1.
4.149. Доказать, что для квадратных матриц А я В
одного порядка с неотрицательными элементами справед-
справедливо неравенство per (А -f В) $= per A + per В.
4.150. Доказать, что перманент дважды стохастической
матрицы больше нуля.
4.151. Доказать, что для любой дважды стохастиче-
стохастической матрицы А порядка п справедливо разложение А =
k
= 2 ^ь гДе pi ~~ перестановочные матрицы, Я,- > 0,
4.152. Показать, что множество квадратных матриц
порядка п, сумма элементов которых в любой строке и
столбце равна 1, образует линейное пространство размер-
размерности (п— IJ.
4.153. Доказать, что для любой дважды стохастиче-
стохастической матрицы А порядка п справедливо разложение А =
k
= 2 XiPi, где Pi — перестановочные матрицы, К > 0,
I = 1
4.154. Доказать, что перманент дважды стохастической
матрицы порядка п больше или равен (п2 — 2n-\-2f-n.
4.155. Пусть S (хи ...
член от переменных хъ .
каждой своей переменной,
хп) — симметрический много-
много, хп, линейный относительно
Доказать, что
i хя)= min S(l/k I/ft, 0, ..., 0).
4.156. Определить наименьшее значение выражения
Xя + У3 + г3 + Ъхуг при ограничениях 0 0 0
: 1
4.157. Доказать, что минимум перманента дважды сто-
стохастической матрицы порядка 3 равен 2/9.
4.158. Можно ли представить перманент дважды сто-
стохастической матрицы порядка п^4 в виде функции,
^симметрической по элементам любой строки?
* 4.159. Пусть дважды стохастическая матрица А такова,
что ее перманент имеет наименьшее значение среди пер-
перманентов всех дважды стохастических матриц того же
порядка.
а) Доказать, что если все элементы матрицы А поло-
положительны, то per Л 5s м!/м", где п — порядок матрицы Л.
б) Показать, что матрица Л непредставима в виде
прямого произведения двух других матриц.
в) Доказать, что перманент матрицы, полученной вы-
вычеркиванием строки и столбца, содержащих общий нену-
ненулевой элемент матрицы Л, равен перманенту матрицы А.
4.160. Доказать для частного случая п = 3 следующее
неравенство Александрова:
per2
аи ¦¦¦ am~i
Qni • • • ®nn—2 ^Tin—1
Oil ••• й1л-2
per
где аг-„^0, atj при 1
тельные числа.
l ••• й!л-г ain аы
I Per I
•• ann-2 ann-\ ann-ii Lanl ... апл_2 а,гч a^n
n — 1 — произвольные действ и-

84
ГЛ. IV. КОМБИНАТОРНЫЕ ТАБЛИЦЫ И СХЕМЫ
В неравенстве достигается знак равенства тогда и
только тогда, когда при всех 1=1, 2, ..., п выполнено
равенство atn-i = Ал,-,,.
4.161. Воспользовавшись неравенством Александрова,
доказать следующую теорему (положительное решение
проблемы Ван-дер-Вардена): минимум перманента дважды
стохастической матрицы порядка п равен п\/пп и дости-
достигается тогда и только тогда, когда все элементы матрицы
равны 1/п.
Глава V
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
§ 1, Графические интерпретации и задачи
Граф в общем виде можно определить как совокуп-
совокупность множества V (вершин) и отображения а множества
V х V в некоторое множество М (х — знак декартова
произведения).
а) В случае, когда M = N+ (неотрицательные целые
числа), граф называется мультиграфом.
б) Если М = {0, 1} —это обыкновенный граф.
в) Если М = Df (неотрицательные действительные
числа), то такая конструкция называется сетью.
Мы будем рассматривать только случаи а) и б).
Пары (a, 6)eVxV, для которых а (а, ?>)>0, назы-
называются ребрами. В случае а (а, &)>1 ребро (а, Ь) назы-
называется кратным (или параллельным), а граф G, содержа-
содержащий кратные ребра, — мультиграфом, число а (а, Ь) —
кратностью ребра. Если V (а, Ъ): а (а, Ь)^\, говорят,
что граф без кратных ребер.
Если | V | = п — конечное число, то граф называется
конечным, а число п — его порядком.
Если V(a, b)eVxV: a (a, b) = a(b, a), то граф G
называется неориентированным. В противном случае —
ориентированным (орграфом). Если VaeV: a (a, a) = 0,
то говорят, что граф G не имеет петель. В противном
случае граф G называется графом с петлями.
Подграфом графа G(V, а) называется граф G1(Vi, ax)
такой, что
Vx s V, V (a, b) e= V, х V\: a, (a, &) e [0, a (a, 6)].
Под обыкновенным графом (или просто графом) G бу-
будем обычно понимать граф G — G(V, а) такой, что \V \

86
ГЛ. V. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
§ 1. ГРАФИЧЕСКИЕ ИНТЕРПРЕТАЦИИ И ЗАДАЧИ
87
конечно,
V(a, b)<=VxV: a(a, b) = a(b, a) e {0, 1},
Voel^: a (a, a) = 0,
т. е. конечный неориентированный граф без петель и
кратных ребер. Эти графы полностью задаются набором
из двух множеств V, X, где XsVxV, причем
X = {(a, b)s=VxV: a (a, b)=\},
V(a, Ь)еХ: (Ь, a)eX,
Va e V: (a, a) <? X.
Такой граф удобно бывает изображать на плоскости в виде
некоторого множества точек (вершин), некоторые из ко-
которых соединены ребрами.
Вершины a, b <=]/ графа G(V, X) называются смеж-
смежными, если (a, l))sX. Вершина а и ребро (Ь, с) е X
называются инцидентными, если а — Ъ или а —с. Число |Х
называется размерностью графа.
Матрица Л = (ау), где a,7 = a(a,-, а,) (аь а,еУ), на-
называется матрицей (смежности) графа.
Для неориентированного графа матрица А обладает
условием aij = aji; для графа без петель ai(- = (
<t=sS| V|).
Степенью вершины a<=V называется число
dega=|{b e V: (а,
Если
Va 6i=V'
од
(Vi: I
то граф называют однородным (или регулярным) степени d.
Если в графе G имеется kt вершин степени i, то выра-
выражение {\kl2ki... nkn) называется распределением вершин
графа G по степеням.
Полным графом Кп на я вершинах называется граф
G = (V, X), у которого
\V\ = n, X = (VxV)\{(a, a), a е= V} (|X|=CJ).
Кликой графа называется любой его максимальный полный
подграф.
Граф G(V, X) называется гамильтоновым, если суще-
существует такая последовательность вершин а^, ai2, ...
.... at, at, что
1) V/=?/: a-^af,
2) V^ (l^fe^n): (a,,, %+1)eX, (atV e^sX;
3) {a,fc}=V, Kft<n.
Граф G(l/, X) называется связным, если
Va, b e= V Зсь ..., cA e V: {a, cx), (clt c2), ..., (ck, b) e X.
Максимальный связный подграф графа G называется
его компонентой связности.
Граф G называется планарным, если его вершины и
ребра можно уложить в плоскости так, что ребра не
пересекутся. Хроматическим числом chrG (или %(G)) гра-
графа G называется такое наименьшее положительное число п,
что существует отображение множества V на множество
{1, 2, ...,«} («цветов»), при котором смежные вершины
получают разные «цвета».
Граф Gj {Vx, Xi) называется изоморфным графу
G2(V2, X2), если существует такое взаимно однозначное
отображение р: V\~-V<i, при котором
Va, ЬеУ1: (а, ^еХ^фа, р?>)еХ2 (G^C).
В матричном виде: ТТАТ = В, где Л, В —матрицы смеж-
смежности графов Gt и G2 соответственно, Г— матрица подста-
подстановки, соответствующей отображению р1 (Тт — ее транспо-
транспонированная). Автоморфизм графа G — это изоморфизм
графа на себя. В матричном виде: ТТАТ — А, где А —
матрица смежности графа, Г —матрица подстановки,
соответствующая отображению р. Автоморфизмы графа
образуют группу. Граф, не содержащий циклов, называ-
называется лесом. Дерево — это связный граф без циклов. Корневое
дерево имеет одну вершину (корень), веделенную из
остальных. (См., например, [12],)
5.1. Графом п-перестановок назовем граф, вершины
которого —все перестановки элементов n-множества, и две
вершины смежны в том и только в том случае, когда
одна из них преобразуется в другую транспозицией двух
элементов. Указать порядок, размерность и степень каж-
каждой вершины графа «-перестановок. Является ли граф
регулярным?
5.2. Изобразить на плоскости граф 3-перестановок.

88
ГЛ. V. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
5.3. Доказать, что граф «-перестановок (п^З):
а) непланарный;
б) бихроматический;
в) содержит гамильтонову цепь.
5.4. Установить, какие из изображенных на рис. 5.1
графов изоморфны, какие — нет.
. 5.5. Есть ли изоморфные среди следующих деревьев
(рис. 5.2)?
Рис. 5.2.
5.6. Пусть М— mn-множество, R (М) — совокупность
всех разбиений М на m-множества. Разбиения Rx, R2 из
R {М) называются ортогональными, если пересечение
любых двух компонент, взятых по одной из Ri и R2,
содержит не более одного элемента. Граф с множеством
вершин R {М), две вершины которого Rx и R% смежны
тогда и только тогда, когда Rx и R% ортогональны, назы-
называется графом ортогональных (т, п)-разбиений.
Изобразить на плоскости граф ортогональных B, 3)-
разбиений. Указать его порядок.^ размерность, а если он
регуля рен — степень регулярности.
5.7. Определить порядок и размерность графа ортого-
ортогональных (т, п)-разбиений при т^п. Является ли этот
граф регулярным? Если да, указать степень регулярности.
5.8. Показать, что порядок клики в графе орто-
ортогональных (т, п)-разбиений не превосходит числа
\{тп-\)/(т-Щ.
§ 1. ГРАФИЧЕСКИЕ ИНТЕРПРЕТАЦИИ И ЗАДАЧИ
89
5.9. Указать порядок клики и построить ее:
а) в графе ортогональных B, 3)-разбиений;
б) в графе ортогональных C, 4)-разбиений.
5.10. Булевым кубом размерности т называется граф,
вершинами которого являются m-мерные векторы из нулей
и единиц, причем два таких вектора смежны тогда и
только тогда, когда они отличаются одной компонентой.
Граф Qm —булев куб размерности т. Доказать, что
этот граф: а) связный; б) бихроматический; в) при т>\
гамильтонов.
5.11. Найти подстановки строк, столбцов и элементов,
переводящие латинский квадрат А в латинский квадрат В:
А\
12 3 4 5 6
2 14 3 6 5
3 5 16 2 4
4 6 2 5 13
5 3 6 14 2
6 4 5 2 3 1
В:
12 3 6 5 4
2 16 3 4 5
3 4 5 2 16
4 3 2 5 6 1
5 6 14 3 2
6 5 4 12 3
5.12. Построить графы, изображающие зависимость
между строками и столбцами в следующем латинском
квадрате порядка 6 (см. решение задачи 5.11):
12 3 4 5 6
2 3 4 5 6 1
3 5 16 2 4
4 6 5 13 2
5 4 6 2 13
6 12 3 4 5
5.13. а) Найти группу автоморфизмов графа, изобра-
изображенного на рис. 5.3, а.
1
Рис. 5.3.
б) Найти все подстановки, сохраняющие граф на
рис. 5.3, б.

90
ГЛ. V. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
§ 1. ГРАФИЧЕСКИЕ ИНТЕРПРЕТАЦИИ И ЗАДАЧИ
91
5.14. Имеется группа из п лиц и п работ. Каждый
член группы может выполнить лишь некоторые из этих
работ. Требуется заполнить все места квалифицированными
работниками. Достаточно ли для этого, чтобы каждый
член группы мог выполнять одно и то же число 0<&<п
работ (различных) и каждая работа могла быть выполнена
k лицами?
5.15. Дана симметрическая гсхп-матрица, в каждой
строке которой находится нечетное число t ненулевых
элементов. Показать, что п четно (ац — 0).
5.16. Показать, что граф с п вершинами и числом
ребер больше (п— 1){п — 2)/2 связен.
5.17. п элементов расположены в вершинах т-уголь-
ника:
а) каждый элемент инцидентен одному и тому же
числу вершин;
б) один и тот же элемент не инцидентен вершинам,
соединенным ребром;
в) каждая неупорядоченная 2-выборка из п инцидентна
точно одному ребру.
Показать, что такое расположение возможно тогда и
только тогда, когда п нечетно.
5.18. Имеется п лиц, каждые двое имеют точно одного
знакомого. Показать, что в графе знакомств найдется
хотя бы один подграф вида
Д
и не найдется ни одного подграфа вида
п
5.19. Показать, что число разбиений целого N на п
частей так, что наибольшая равна т, равно числу разби-
разбиений N на т частей так, что наибольшая равна п.
5.20. Какова группа автоморфизмов полного графа с п
вершинами?
5.21. Найти все графы с числом вершин меньше или
равным 6 такие, что их группа автоморфизмов тожде-
тождественна.
5.22. Построить все топологически неэквивалентные
связные графы, имеющие точно по четыре ребра.
5.23. Найти группу автоморфизмов графа, состоящего
из двух компонент связности, одна из которых есть полный
граф степени п, а другая — степени т (пфт).
5.24. Решить задачу 5.23 при условии п — т.
5.25. Решить задачу 5.24 при условии, что добавлено
ребро, делающее граф связным.
5.26. Решить задачу 5.24 при условии, что каждая
вершина первой компоненты соединена с единственной
вершиной второй компоненты и наоборот.
5.27. Определить хроматическое число полного п-вер-
шинного графа.
5.28. Определить хроматическое число связного одно-
однородного графа степени 2 с п вершинами.
5.29. Определить хроматическое число графа, получен-
, ного из полного «-вершинного графа удалением:
а) одного ребра;
б) двух ребер;
*' в) трех ребер, составляющих треугольник.
," 5.30. Показать, что при каждом натуральном t суще-
существует однородный степени 3 граф сп = 6( вершинами,
' каждая вершина которого принадлежит одному и только
- одному треугольнику.
5.31. Показать, что при каждом n = 6t-{-4 (^>1)
существует n-вершинный однородный степени 3 граф,
каждая вершина которого, за исключением одной, принад-
i лежит одному и только одному треугольнику.
5.32. Эпиморфизмом графа на граф называется сюръ-
ективное, т. е. «на», отображение множества вершин
первого графа на множество вершин второго графа,
сохраняющее отношение инцидентности.
2
Рис. 5.4.
Показать, что существует сохраняющий ребра эпи-
эпиморфизм графа G на граф Н (рис. 5.4).
5.33. Дана некоторая BIB схема. Каждому элементу
множества сопоставим вершину графа. Две вершины сое-

92
ГЛ. V. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
§ 1. ГРАФИЧЕСКИЕ ИНТЕРПРЕТАЦИИ И ЗАДАЧИ
93
диним ребром тогда и только тогда, когда соответствующая
пара принадлежит не каждому блоку В IB-схемы. Дать
интерпретацию В IB-схемы в терминах теории графов.
5.34. Каковы параметры BIB-схемы, соответствующей
первому графу из задачи 5.32?
5.35. Существует ли эпиморфизм BIB-схемы из задачи
5.34 на блок-схему при у = 3, & = г = Х= 1, 6 = 3?
5.36. Показать, что существует сохраняющий ребра
эпиморфизм графа G на графы а, б, в (рис. 5.5).
?
5.37. Отвечает ли множество подграфов типа
графа из задачи 5.36 ВШ-схеме? Дать обобщение BIB-
схемы на этот случай (см. задачу 5.33).
5.38. Образуют ли подграфы типа
графа из задачи 5.36 обобщенную ВШ-схему (см. зада-
задачу 5.37)?
5.39. Построить прямоугольную таблицу из элементов
пяти видов так, чтобы отрезки, соединяющие одинаковые
элементы, образовывали квадратную сетку.
5.40. Плоскость покрыта шестиугольниками п цветов
так, что центры шестиугольников одного цвета образуют
вершины решетки из одинаковых правильных треуголь-
треугольников. При каком числе п цветов возможно такое
построение?
5.41. Указать 1004-вершинный кубический граф, хро-
хроматическое число которого равно 4.
5.42. Найти хроматическое число графа, изображен-
изображенного на рис. 5.6.
Рис. 5.6.
1 5.43. Доказать, что если G —бихроматический граф,
|то G(x) /C2 — тоже бихроматический (см. [12], с. 152).
Разъяснение.
гжения графов.
— знак операции декартова умно-
5.44. Найти хроматическое число л-вершинного дерева
A)
5.45. Указать число компонент связности леса, кото-
|рый имеет 76 вершин и 53 ребра.
5.46. В граф Qm (m> 1) введено дополнительное ребро
f{a, b). Указать хроматическое число полученного графа.
5.47. Пусть G —граф с ребрами, Р*— цепь длины k.
* Доказать, что chr (G (g) Pk) — chr G.
| 5.48. Доказать, что графы Gx (x) G2 и G2 0 Сг изоморфны.
г 5.49. Существует ли конечный граф (без петель и
jjкратных ребер), в котором нет двух вершин с одинаковыми
•; степенями?
I 5.50. Доказать, что реберный граф L(G) связного
[ графа связен.
* 5.51. Граф G (без петель и кратных ребер) имеет рас-
распределение (I2 34 42). Найти распределение графа G.
» 5.52. Графы Gx и G2—регулярные степеней kx и k2
'^соответственно. Каким условиям должны удовлетворять
-Параметры этих графов, чтобы были регулярными графы:
1 а) О. Ф ^а*. б) Gi х G2?
Разъяснение, х— знак умножения графов, т. е.
GiXG2 — граф, множество вершин которого есть объедине-
объединение (непересекающихся) множеств вершин графов Gi и G2,
а множество ребер состоит из ребер каждого из этих
графов и множества ребер вида (х, у), где х — вершина
' графа Gi, а у — вершина графа G2.

94
ГЛ. V. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
§ 2. ПЕРЕЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ НА ГРАФАХ
95
5.53. Доказать, что G1(x)G2 связен, если только связен
хоть один из них.
5.54. Доказать, что Gy (x) G2 содержит подграфы, изо-
изоморфные Gx и G2 соответственно.
5.55. Найти распределение вершин по степеням в графе
Сь®Рз- Изобразить этот граф.
Разъяснение. С„ — цикл с п вершинами, Рг — цепь
с г ребрами.
5.56. Граф, вершинами которого являются все fe-под-
множества некоторого n-множества, а два k- подмножеств а
соединены ребром тогда и только тогда, когда их пере-
пересечение содержит ровно / элементов, называется (п, k, /)-
графом. Определить порядок и число ребер (размерность)
(п, ft, /)-графа. Является ли он регулярным?
5.57. Доказать, что если Gx и G2 — графы без петель
и кратных ребер, то степень вершины (deg):
5.58. Существует ли граф, степени вершин которого
суть:
а) 2, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 7, 7;
б) 2, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 7, 7, 7?
5.59. С помощью а-преобразований построить из графа,
изображенного на рис 5.7, граф без треугольников. Опре-
Определить хроматические числа данного и полученного графов.
Рис. 5.7.
Рис. 5.8.
«-преобразования состоят в замене двух несмежных ребер
(а, Ь), (с, d) двумя другими: (а, с), (b, d) или (а, d), {b, с).
Степени вершин при этом не изменяются.
5.60. Можно ли посредством а-преобразований получить
из дерева связный граф, не являющийся деревом?
5.61. Построить все графы, получающиеся из кубиче-
кубического графа, изображенного на рис. 5.8, посредством
а-преобразований.
5.62. Найти число различных геодезических (кратчай-
(кратчайших цепей) между двумя вершинами графа Qm, отличаю-
отличающимися в / компонентах.
5.63. Построить все геодезические, соединяющие вер-
вершины а и b графа, изображенное* на рис. 5.9.
Ъ'
5.64. Записать матрицу расстояний для графа на
рис. 5.10.
Рис. 5.10.
5.65. Задача 5.64 для графа С4 ® К3-
§ 2. Перечислительные задачи на графах
; 5,66. Рассмотрим 8 классов графов с отмеченными
вершинами. Каждый из этих классов определяется зада-
заданием параметров а, р и Vi принимающих значения 0 или 1,
и его элементы будем называть (а, р\ у)-графами. При
этом, если а = 0, то рассматриваются графы без петель,
если же а=1, то петли допускаются; если Р = 0, то рас-
рассматриваются графы без параллельных ребер, если Р=1,
то параллельные ребра допускаются; если у = 0, то рас-
рассматриваются неориентированные графы, если у=1, то
вводится ориентация ребер.

96
ГЛ. V. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
§ 2. ПЕРЕЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ НА ГРАФАХ
97
Обозначим ga,f>,Y(n, /г) число (а, р\ 7)"ГРаФов с п
вершинами и k ребрами. Доказать следующие формулы:
go, о, о (л, /г) =
я(п-1)/2\
J
/п(п—\)
—!) + * —1
Какое максимальное число ребер может иметь (а, р\ у)-
граф?
5.67. Пусть G?V v (У) = S Яа, р, Y (л, fe) t/ , n = 1, 2, 3,...
Верхний предел суммирования здесь (см. задачу 5.66)
конечен, если р = 0, и равен п(я-1)/2 при а = 0, у = 0;
п(п+ 1)/2 при а=1, Y-0". я(/г-1) при а = 0, у=1;
п2 при а=1, v=l и, наконец, равен оо, если |}=1. По
определению (и по смыслу) положим ^а, о, у (/г, ^) == 0, если
k больше найденной в задаче 5.66 верхней границы для
числа ребер в (а, 0, уНрафе. Поэтому верхний предел
суммирования по k во всех случаях можно считать рав-
равным оо.
Доказать, что
ы-1I\ С1 (у) = (
5.68. Пусть ca,^iY(M, yfe) есть число связных (а, р, у)-
графов с п отмеченными вершинами и k ребрами. Пола-
Полагаем са, о, у = 0, если k больше найденной в задаче 5.66
верхней границы.
Доказать рекуррентное соотношение
, m)g(n~l, k-m) E.1)
(формула Гильберта). Для упрощения записи в E.1)
опущены индексы а, E и у-
Начальные условия: g@, 0)=l и g(Q, k) = 0, если
k>0 (по договоренности); с(\, 0) = 1 и с(п, 0) = 0, если
п > 1 (по смыслу).
5.69. Введем производящие функции
а,р,,(п, k)y\ n=\, 2, ....
где верхний предел суммирования по k тот же, что и
,¦; в определении производящей функции ($?!ъ,<ч{у). Вывести
\ из рекуррентного соотношения E.1), относящегося к чис-
.¦ лам ga.p,v(n> *) и ca,p,v(ft. fe). следующее рекуррентное
соотношение для производящих функций G(?\ у (у) и
где, в соответствии с начальными условиями задачи 5.68,
5.70. Введем производящие функции
б«, в. v (z, у) = Н
Доказать, что для производящих функций Gaip>Y(z, у) и
Ca.B.vC2'' У) выполняется соотношение
G<x.mB' ^ = exp{Ca,pl7(JC, У)}. E.3)
4 Под уед. К. А, Рыбникова

98
ГЛ. V. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
§ 2. ПЕРЕЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ НА ГРАФАХ
99
5.71. Сколько существует графов @, 0, 0) с 2п верши-
вершинами и п ребрами, компоненты связности которых —изо-
—изолированные ребра?
5.72. Найти экспоненциальную производящую функ-
функцию чисел \in, где }д.о=1. m = 0, если п нечетно и [д.2л
равно числу графов из предыдущей задачи.
5.73. Пусть с{п, k) — co,o,o{n, k) — число связных
@, 0, 0)-графов с п отмеченными вершинами и k ребрами;
F (п} k) — число таких графов, не имеющих концевых
вершин, т. е. инцидентных лишь одному ребру. Показать,
что для м>2 числа с(п, к) и F(n, k) связаны соотно-
соотношением
2
(=0
с@, 0)=1, с@, *) = 0 при fe>0.
5.74. Связный @, 0, О)-граф без циклов является
деревом. Число ребер в дереве с п вершинами равно п—\.
Используя задачу 5.73, доказать, что число Т (п) деревьев
с п отмеченными вершинами равно
Т{п)=*п«-\ п-1, 2,
E.4)
(первая формула Кэли).
5.75. Чему равно число
Тп(Р,1, .... Ptr), г=1, 2, ...; п = г, г + 1, ....
деревьев с п отмеченными вершинами Ръ ..., Рп, у ко-
которых вершины Pjt, ..., Pjr концевые?
5.76. Доказать, что число Т(п, г) деревьев с п отме-
отмеченными вершинами, г из которых концевые, определяется
формулой
r) = "[-S(M-2, n-r), п=1, 2,...; г = 0 п E.5)
(вторая формула Реньи), где S(n — 2, n —r) —число Стер-
Стерлинга 2-го рода.
5.77. Доказать формулу E.4), используя вторую фор-
формулу Реньи (см. задачу 5,76).
5.78. Доказать для чисел Т (п, г) из задачи 5.76
рекуррентную формулу
= rT(n-l,
n-r)T(n-l, r-\)
(м=3, 4, ...; г—\, ..., п), используя явную формулу
E.5).
5.79. Найти число
Т{п; Ptl Plr), r=l, ...; n = r, r+l, ...,
деревьев с n отмеченными вершинами Ръ ..., Рп, из
которых ровно г (а именно вершины Р/, ..., РА яв-
являются концевыми.
5.80. Получить комбинаторное доказательство рекур-
рекуррентной формулы из задачи 5.78.
5.81. Для чисел Т (п) из задачи 5.74 доказать рекур-
рекуррентное соотношение
л —1
Начальное условие: ТA)=1.
5.82. Доказать тождество
л—1
я = 2, 3,
5.83. Обозначим через х(п) число корневых деревьев
c/i^l отмеченными вершинами и введем производящую
функцию
Доказать, что 6 (z) удовлетворяет уравнению
(уравнение Пойа) и в явном виде В (г) есть
4*

100
ГЛ. V. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
§ 2. ПЕРЕЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ НА ГРАФАХ
101
5.84. Пусть
Показать, что Т (г) и производящая функция В (г) из
задачи 5.83 связаны соотношением
Т (г) = 6 (г) - б2 (г)/2
(первая формула Реньи).
5.85. Доказать первую формулу Кэли E.4) для числа
деревьев с п отмеченными вершинами, используя резуль-
результат задачи 5.83 (уравнение Пойа).
5.86. Пусть для /г=1, 2, ...; k—\, 2, ..., п
a b_
/* таким,
здесь суммирование ведется по наборам /i, .
чт0 ух_{_.#._|_ул = п. Доказать тождество
Ank = knn-k(п- \)\1{п-k)\.
5.87. Обозначим для л=1, 2, ...; й=1, .... п через
/ft(n) число лесов с n-\-k—\ отмеченными вершинами
Ръ ..., Pn+k~\ и А компонентами таких, что вершины
Pi, Ръ •••¦> Pk принадлежат различным компонентам.
Доказать, что
(вторая формула Кэли).
5.88. Показать, что число корневых лесов lk(n) с п
отмеченными вершинами и k компонентами равно
«=1-2,...; k=\, 2, ..., п.
5.89. Пусть Tk(n) обозначает число деревьев с п от-
отмеченными вершинами Ръ ..., Рп, в которых вершина Рг
имеет степень k. Показать, что
k'\ л = 2, 3, ...; k=\, ..., л-1
5.90. Дать новое доказательство первой формулы Кэли
E.4), используя формулу Кларка из задачи 5.89.
5.91. Доказать справедливость тождества
где n = k+l, fe + 2, ...; k=l, 2, ... (При k—\ это то
ждество сводится к тождеству задачи 5.82.)
5.92. Обозначим через Lk(n) число лесов с п отмечен-
отмеченными вершинами и k компонентами. Доказать, что
mln (ft, n — ft)
(формула Кларка).
n— 1, ...; k= 1, .... n
(третья формула Реньи).
5.93. В дереве с п^2 отмеченными вершинами Ръ ...
..., Р„ существует единственный путь, соединяющий две
произвольные вершины. Пусть для k^2 уи{п) — число
деревьев с п отмеченными вершинами, в которых вершины
Pi и Р2 соединены путем длины k—l (т. е. путем, про-
проходящим через k последовательных вершин, включая Рх
и Р2)- Доказать, что
Y* (ft) - кп"-*-1 (л - 2) (л - 3)... (л - k),
л = 2, 3, ...; k = 2, ..., п
(формула Меира — Муна).
5.94. Доказать, что число t(n\ vt...Vn) деревьев с /г^2
отмеченными вершинами Рх, Р2, ..., Рп, у которых вер-
вершина Pi имеет степень а,-2*1, определяется формулой
t(n; vi...vn) = (п-2)!/(@!- 1)!...(vn- 1)!)
(формула Муна), причем степени vx vn удовлетворяют
соотношению
5.95. Доказать первую формулу Кэли E.4), вторую
формулу Реньи E.5) и формулу Кларка (задача 5.89),
используя результат задачи 5.94.
5.96. Высотой вершины Q дерева относительно неко-
некоторой фиксированной вершины Р назовем длину единст-

102
ГЛ. V. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
венного пути, соединяющего вершину Q с Р. Высоту
самой вершины Р при этом будем считать равной нулю.
Высоту дерева над вершиной Р определим равной макси-
максимальной высоте его вершин относительно Р. Обозначим
через dk(n) число деревьев с п отмеченными вершинами
Рг, Р%, ..., Рп, высота которых над вершиной Рх не
превосходит k.
Д ч
—1—р)!
Доказать, что
P=i
где deO)=l и 4(т) = 0, если т>1; суммирование ве-
ведется по наборам тх, .... тр таким, что mi + ... + mp -
= м-1, тг5=1.
5.97. Пусть
где Do (г) наг. Доказать, что
Dk+l(z) = zexp{Dk(z)}, 6 = 0, I, ...
5.98. Показать, что для чисел dk(n) (см. задачу 5.96)
верно
tnk таким,
1?^
= 2, 3, ...; fe^l, 2, ..., п
суммирование ведется по наборам тъ
что m1-\-...Jrmk = п—1, т,5=0.
5.99. Пусть dk {n) — число деревьев с п отмеченными
вершинами, высота которых над вершиной Pi равна
точно k. Показать, что
]} ... тк\
п = 2, 3, ...; fe=
п—
суммирование ведется по наборам mi, ..., tnk таким, что
тх +. • •
0.
§ 2. ПЕРЕЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ НА ГРАФАХ
103
5.100. Пусть Sk(n) — число @, 0, 0)-графов с п^З
отмеченными вершинами и k ребрами, имеющих единст-
единственный цикл длины kC^k^n) и п — k изолированных
вершин. Показать, что
5.101. Обозначим через Pk(n) число связных графов
с п>3 отмеченными вершинами, имеющих единственный
цикл длины kC^k^n), и пусть Р(п) — общее число
связных графов с п отмеченными вершинами, имеющих
единственный цикл. Показать, что
суммирование ведется по наборам м1} ..., nk таким, что
n1-\-...Jrnk = n — k, tii^sQ. Вывести отсюда, что
-f 2
П/\
суммирование ведется по наборам пи ..., щ таким, что
¦\-...-\-nk = n — kt n,-^0.
5.102. Введем производящую функцию
оо
Pi?, У)=У
Доказать, что
где 6 (г)—производящая функция чисел корневых деревьев
(см. задачу 5.83).
5.103. Доказать двумя способами (с использованием
результатов задач 5.88 и 5.102) формулу для чисел

104
ГЛ. V. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
§ 3. КОНЕЧНЫЕ ПЛОСКОСТИ
105
связных графов с п отмеченными вершинами и единствен-
единственным циклом длины k:
(и
2{n-k)\ '
Отсюда вывести
п
2л я*
1
rV4— 2 Zj n4n-k)\ '
ft=3
§ 3. Конечные плоскости
Плоскость называется конечной, если она содержит
конечное число точек и прямых. В конечной проектив-
проективной плоскости на каждой прямой лежит п-\-\ точек,
через каждую точку проходит гс+1 прямых; п назы-
называется порядком плоскости.
Система, получаемая из конечной проективной пло-
плоскости удалением одной прямой и всех лежащих на ней
точек, называется аффинной плоскостью того же порядка,
что и данная проективная плоскость. Аффинная плоскость
порядка п имеет п2 точек, я2 + я прямых; на каждой
прямой лежит п точек, через каждую точку проходит
гс+ 1 прямых. Аффинная плоскость интерпретируется через
неполную уравновешенную блок-схему с параметрами
и = л2, Ь=*п2 + п, k = n, r = /i+l, Х=1.
Проективная плоскость называется дезарговой, если
в ней выполняется
Теорема Дезарга. Если прямые, соединяющие
соответственные вершины двух трехвершинников, пересе-
пересекаются в одной точке, то точки пересечения соответст-
соответственных сторон лежат на одной прямой.
Любая конечная дезаргова плоскость изоморфна пло-
плоскости некоторого порядка п, построенной над полем
Галуа GF(n), где п = ра (р — простое, а — натуральное
число).
Кривой второго порядка (коникой) называется множе-
множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют
уравнению
апх2 + й22г/2 + а3322 -|-
+ 2aVixz -\- 2a23yz = 0,
где через х, у, г обозначены однородные координаты. Не-
Невырожденность коники определяется условием невырож-
невырожденности матрицы
/аи а12 а13\
A=[otl а22 агз\ aij^Uji.
W азг агъ!
Кривая второго порядка определяется пятью элемен-
элементами: либо пятью точками, либо четырьмя точками и
касательной в одной из них, либо тремя точками и каса-
касательными в двух из них и т. д.
Дугой проективной плоскости называется любое мно-
множество точек, из которых никакие три не лежат на одной
прямой (неколлинеарных по три); дуга, содержащая k точек,
называется k-дугой. Дуга, не поддающаяся расширению,
называется полной, а если она содержит максимально
возможное для данного порядка п плоскости число точек,
то называется овалом.
Прямая, проходящая через две точки дуги, называется
ее секущей; &-дуги с их секущими называются также пол-
полными k-вершинниками.
Если какая-либо точка плоскости не лежит ни на
одной из секущих данной дуги, то она может быть до-
добавлена к дуге; при этом получится новая дуга, содер-
содержащая данную, значит, данная дуга окажется неполной.
Наоборот, если все такие точки плоскости лежат на се-
секущих данной дуги, то такая дуга не поддается расши-
расширению.
Прямая, имеющая с дугой только одну общую точку,
называется касательной. Прямая, не имеющая с дугой
4 общих точек, называется ее внешней прямой.
Овал в дезарговой плоскости нечетного порядка пред-
представляет собой кривую второго порядка, а в плоскости
четного порядка он состоит из кривой второго порядка
и ее ядра, т. е. точки, через которую проходит каждая
касательная к кривой.
5.104. Провести с помощью короткой линейки прямую
линию между двумя удаленными точками.
5.105. Найти число всех кривых второго порядка, про-
проходящих через данную точку, в конечной дезарговой про-
проективной плоскости порядка п.

106
ГЛ. V. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
§ 3. КОНЕЧНЫЕ ПЛОСКОСТИ
107
5.106. Найти число всех кривых второго порядка,
проходящих через данную пару точек, в конечной дезар-
говой проективной плоскости порядка п.
5.107. Найти число всех кривых второго порядка,
касающихся двух данных прямых в двух данных точ-
точках, в конечной дезарговой проективной плоскости по-
порядка п.
5.108. В конечной проективной плоскости порядка п
имеется м2 + п+1 прямых, из них одна прямая — не-
несобственная, остальные прямые — обыкновенные. Несобст-
Несобственная прямая инцидентна несобственным и только не-
несобственным точкам. Так как на каждой прямой в этой
плоскости лежит п +1 точек, то несобственных точек
в плоскости п+ 1 ¦
Кривая называется гиперболической, если она пересе-
пересекает несобственную прямую, т. е. имеет с ней две общие
несобственные точки. Найти число всех гиперболических
кривых второго порядка, проходящих через две данные
обыкновенные точки, в конечной дезарговой проективной
плоскости порядка п.
5.109. Кривая называется параболической, если она
касается несобственной прямой (см. задачу 5.108), т. е.
имеет с ней одну общую точку. Найти число всех пара-
параболических кривых второго порядка, проходящих через
данную пару обыкновенных точек, в конечной дезарговой
проективной плоскости порядка п.
5.110. Кривая называется эллиптической, если она не
имеет общих точек с несобственной прямой. Найти число
всех эллиптических кривых второго порядка, проходящих
через данную пару обыкновенных точек, в конечной де-
дезарговой проективной плоскости порядка п.
5.111. Найти число всех кривых второго порядка в ко-
конечной проективной плоскости порядка п.
5.112. Определить максимальное число k точек дуги
конечной проективной плоскости порядка п.
Указание. Рассмотреть случаи проективных пло-
плоскостей четного и нечетного порядков.
5.ИЗ. Доказать, что в проективной плоскости нечет-
нечетного порядка п через точку, не принадлежащую овалу,
проходит не более двух касательных этого овала; найти
число таких точек (внешних), через которые проходят две
касательные к данному овалу.
5.114. Найти все значения п такие, что в проектив-
проективной плоскости порядка п существуют полные 4-дуги.
5.115. Найти зависимость от п числа точек, как лежа-
лежащих на секущих 5-дуги, так и не лежащих.
5.116. Доказать, что в любой проективной плоскости
не существует полных 5-дуг.
5.117. Доказать, что в плоскости порядка 4 сущест-
существует хотя бы одна полная 6-дуга (овал). Найти их число.
5.118. Доказать, что (п + 1)-дуга в проективной пло-
плоскости четного порядка п не может быть полной.
5.119. Доказать, что все касательные (п-\~ 1)-дуги
в проективной плоскости четного порядка п пересекаются
в одной точке.
5.120. Дать комбинаторное объяснение задачи о пе-
пересечении одной секущей овала проективной плоскости
порядка п в точках вне овала с остальными секущи-
секущими.
5.121. Найти число Ki точек разного типа, допусти-
допустимых для й-дуги проективной плоскости порядка п, где
k=\, 2. 3, 4, 5, i — число секущих &-дуги, проходящих
через точку плоскости.
5.122. Найти максимальное и минимальное числа /ве-
/веточек (t=0, 1) для 6-дуги в проективной плоскости по-
порядка п, где i — число секущих 6-дуги, проходящих через
эти точки.
5.123. Доказать, что n-дуга в проективной плоскости
нечетного порядка п не полна.
5.124. Найти число точек проективной плоскости по-
порядка п, не лежащих на сторонах и трех диагоналях
полного четырехвершинника.
5.125. Доказать, что все точки плоскости порядка 3
или 5 лежат на сторонах и диагоналях полного четырех-
четырехвершинника.
5.126. Доказать, что в проективной плоскости поряд-
порядка 4 диагональные точки любого полного четырехвершин-
четырехвершинника коллинеарны.
5.127. Проективная подплоскость проективной пло-
плоскости, отличная от последней, называется бэровой, если
через каждую точку плоскости проходит хотя бы одна
прямая этой подплоскости.
Найти связь между порядком п плоскости и поряд-
порядком т ее бэровой подплоскости.

108
ГЛ. V. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
§ 3. КОНЕЧНЫЕ ПЛОСКОСТИ
109
5.128. Показать, что порядок п плоскости и поря-
порядок т ее небэровой подплоскости связаны соотношением
п^т2-\-т.
5.129. Может ли плоскость порядка 13 иметь под-
плоскость порядка 3; может ли она иметь бэрову под-
плоскость?
5.130. Доказать, что конечная аффинная плоскость
эквивалентна полному множеству попарно ортогональных
латинских квадратов.
5.131. Доказать, что существование конечной аффин-
аффинной плоскости эквивалентно существованию проективной.
5.132. Доказать, что аффинной плоскости порядка 6
не существует.
5.133. Построить конечную проективную плоскость
порядка 2.
5.134. Плоскостью Галуа РB, q), построенной над
полем Галуа GF (q), называется множество элементов точек
и их определенных подмножеств, которые определяются
так: точкой называется класс упорядоченных троек
(х, у, z)c/a(Ju, ly, Kz)t
где {х, у, г)Ф@, 0, 0) —фиксированная тройка элемен-
элементов GF(q), %^GF(q), X^0, а прямая есть подмно-
подмножество точек (х, у, г), удовлетворяющих условию
ux-\-vy-\-wz = 0,
где также [«, v, w]ca>[[xu, \iv, \iw]. Доказать, что пло-
плоскость РB, q) образует конечную проективную плоскость.
5.135. Доказать, что прямую в плоскости Галуа РB, q)
можно определить также как множество точек вида
точек, заданное системой уравнений
где Лсо(Хх, ух, 2х) и Вс/э(х2, y%, z2) — две точки прямой,
(К ц)=*= @, 0), X, fxe=GF(<7).
5.136. Доказать, что плоскость Галуа Р B, q), опре-
определенная в задаче 5.134, имеет порядок, равный q\
5.137. Найти все точки и уравнения всех видов пря-
прямых плоскости РB, 2), принимая за элементы GFB) вы-
вычеты 0, 1 по модулю 2. Сравнить с задачей 5.133.
5.138. Проективным преобразованием (коллинеацией)
плоскости Галуа Р B, ph) называется преобразование ее
sx1
sy1 =
sz1 =
где
а12
pr+a33zPr,
), ai]t s s GF {ph),
г —любое целое неотрицательное число.
а) Проверить корректность этого определения —сохра-
—сохранение инцидентности точки и прямой при этом преобра-
преобразовании.
б) Доказать, что в системе уравнений можно ограничить-
ограничиться следующими значениями: г = 0, 1, 2 /г—1 (при
любом m^h мы приходим к одному из типов проектив-
проективных преобразований, соответствующих этим значениям).
5.139. Доказать, что число различных треугольников
в плоскости РB, q) равно
5.140. Доказать, что число различных четырехуголь-
четырехугольников (несвязных четверок точек) плоскости Р B, q) равно
5.141. Доказать, что множество всех коллинеаций пло-
плоскости Галуа порядка q = ph образует конечную группу,
имеющую порядок
h (p2h + ph + 1) (рал + ph) p2h (ph - IJ.
Указание. Использовать задачи 5.137 и 5.138.
5.142. Если в плоскости Р B, q) коллинеация а, от-
отличная от тождественной е, повторена m раз и <хт = г,
то наименьшее значение натурального числа k, для кото-
которого имеет место такое равенство, называется периодом.
Имеет место следующая
Теорема Зингера. В плоскости РB, q) сущест-
существует хотя бы одна циклическая коллинеация периода
^ 1
7
Доказать теорему Зингера для плоскости Р B, 3).

по
ГЛ. V. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
Указание. Рассмотреть коллинеацию с матрицей
5.143. Найти уравнение коллинеации в плоскости
Р B, 5), заданной парой четверок несвязных точек
A, 0, 1)-*@, 0, 1), @, 1, 0)-*A, 0, 0),
@, 0, 1)-*((), 1, 0), A, 1, 1)-*A, 0, 1).
5.144. Построить проективную плоскость порядка п
из полного множества взаимно ортогональных латинских
квадратов порядка п:
а) п = 2; б) п = 3; в) я = 4.
5.145. Проективная плоскость над полем вычетов по
модулю 2 содержит семь точек: A, 0, 0), @, 1, 0), @, 0, 1),
A, 1, 0), A, 0, 1), @, 1, 1), A, 1, 1) и семь прямых,
причем на каждой прямой лежат ровно три точки и через
каждую точку проходят ровно три прямых. Сколько все-
всевозможных матриц третьего порядка можно составить из
координат этих точек, если каждая строка состоит из
координат одной точки? Сколько из них невырожденных?
5.146. В плоскости РB, ph), рФ2, кривой второго
порядка (коникой) называется множество точек плоскости,
координаты которых удовлетворяют уравнению
2апуг + 2anxz = 0,
Невырожденность коники определяется условием невы-
невырожденности матрицы
lan an als\
А = I <*21 а22 Й28 | •
Доказать, что любая невырожденная коника в РB, q)
содержит ровно q-\-\ точек.
Указание. Использовать каноническую форму ко-
коники
*\2\-а3г* = 0, аъ а2,
и рассмотреть два случая: прямая z = 0 пересекает дан-
данную конику и не пересекает ее.
Глава VI
СИСТЕМЫ МНОЖЕСТВ
Задачи этой главы подобраны и сгруппированы так,
чтобы в ходе их решения последовательно разъяснялось
содержание некоторых проблем комбинаторного анализа
(§§ 1, 2, 4) и вырабатывались соответствующие навыки.
Задачи же, составляющие содержание § 3, имеют целью
систематическое введение в современную теорию матрои-
дов и комбинаторных геометрий.
§ 1. Экстремальные задачи на графах и гиперграфах
При подготовке данного параграфа большую помощь
оказали О. Бородин, Д. Катона, А. Косточка, Л. Мельни-
Мельников, А. Сидоренко. Их содействие включало в себя и
ценные замечания, и конкретный материал — отдельные
задачи были сформулированы и решены специально для
этого параграфа; таковы, например, результаты Д. Като-
ны, А. Косточки и А. Сидоренко. Изложению таких кар-
кардинальных результатов, как теорема Эрдёша — Ко-Радо,
теорема Краскала — Катоны, способствовала подготовка
текстов их доказательств, проделанная Д. Катоной. Не-
Некоторые задачи еще не получили полного решения (такие
отмечены знаком ?).
Пусть 5„ — {аъ ..., ап} — неупорядоченное гс-элемент-
ное множество вершин; С1 (Sп) — {S cz Sn: \S\ = l}— мно-
множество /-подмножеств множества Sn, так что | С (Sn) | =
= С'п = A),С(S) = О* i E); «9*(Sn) = ? О (Sn), \ф(Sn) | =
= 2". Гиперграфом на множестве вершин S называется вся-
всякое подмножество G множества <^E). Элементы множе-
множества G представляют собой подмножества esS и назы-

112
ГЛ. VI. СИСТЕМЫ МНОЖЕСТВ
ваются гиперребрами, так что всякий гиперграф G —это
некоторое множество {?;}, l=^i=^m, изт = |C| гипер-
гиперребер eiCiS на вершинах S; /-граф — это GlczCl(S),
а обычный граф —это 2-граф; его элементы суть просто
ребра.
Иногда удобно не указывать вершинные множества;
так, гиперграф F может быть задан своими гиперребрами
{Лх, .,., Лот}, нумерация которых, вообще говоря, несу-
несущественна.
6.1. Сколь много ребер может иметь n-вершинный граф
без треугольников?
6.2. Сколь много гиперребер может иметь п-вершин-
ный гиперграф без вложенных друг в друга гиперребер?
6.3. Сколь много гиперребер может иметь гс-вершин-
ный гиперграф, в котором всякие два гиперребра имеют
непустое пересечение?
6.4. Сколь мало вершин может иметь т-реберный
&-граф?
6.5. Если А-граф &€*={АЛ Ат) и /-граф S3 —
= {Въ ..., Вт\ таковы, что Л; {]Bj= ф <=> i = /, то сколь
большим может быть т?
6.6. Сколь много гиперребер может иметь л-вершин-
ный гиперграф, в котором всякие два гиперребра имеют
непустое, а всякие три — пустое пересечение?
Степенью вершины называется число ребер, ее содер-
содержащих. Ребра называются независимыми, если они не-
несмежны, т. е. не имеют общих вершин. Система незави-
независимых ребер называется паросочетанием.
6.7. В сколь мало цветов можно раскрасить ребра
графа (каждое в один цвет), чтобы в каждую вершину
сходились ребра разных цветов?
6.8. Сколь много ребер может иметь л-вершинный
граф, у которого степень всякой вершины не превосхо-
превосходит d?
6.9. Сколь много ребер может иметь п-вершинный
граф, у которого имеется не более чем t независимых
ребер?
6.10. Сколь много ребер может иметь граф, у кото-
которого степень всякой вершины не превосходит d и у кото-
которого имеется не более t независимых ребер?
§ I. ЭКСТРЕМ. ЗАДАЧИ НА ГРАФАХ И ГИПЕРГРАФАХ
113
6.11. Сколь много ребер может иметь п-вершинный
граф, у которого степень всякой вершины не превосхо-
превосходит d и у которого имеется не более t независимых ребер?
6.12. Сколь много &-ребер может иметь д-вершинный
&-граф, у которого имеется не более t независимых
fe-ребер?
Для Xf|S = 0 запись Ck{X)Cl{S) обозначает
(й + /)-граф на множестве вершин X + S вида \eczX-\-S:
\ef\X\ = k, |ер|5 | = /}. Пусть aF^ обозначает ^-вершинный
граф с \k/2] независимыми ребрами, a aF% — А-вершинный
граф с ]k/2\ по возможности независимыми ребрами. Как
обычно,
Кя = С2 (Sn), Kn,m = Cl (Sn) С1 (Sm), Sn П Sm = ф.
6.13. Сколь мало ребер т = т(п; Hk) может иметь
граф Gn с С2 (Sn) такой, что
VS.cz Sn (Gn()C*(Sk))=>Hk,
где Я/; с; С2 (Sk) — наперед заданный фиксированный А-вер-
шинный граф? Рассмотреть эту задачу для следующих
графов Hh:
1) Hk — А-вершинный граф с одним ребром: |ЯА| = 1;
2) Hn = C2(Sg)C°(Sk\S9), S?c=Sfe;
3) Hk = С1 (а) С1 {Sk \ а) = /Ci. * 1, a s Sk - звезда;
4) Hk — «колесо», т. е. звезда Cx{a)C1(Sk\a) и
(k— 1)-цикл Ck-i = Cfe_!(SA \а) на вершинах (81г\а);
5) Hk — произвольный фиксированный А-вершинный
граф, обладающий вершиной степени k—l;
6) Hk = Ck — простой цикл на k вершинах;
7) Hk — Pk'-~простой путь на k вершинах;
8) Hk = <fk~ ^-вершинный граф с ]k/2[ по возможно-
возможности независимыми ребрами;
9) Я/, = Cfe==/Cft — Cfe —полный граф без fe-цикла;
10) Hk = Pk = Kk — Pk — полный граф без fe-пути;
11) Нк = ?
12) Hk =
13) Hk =
~0 (mod2), d\2t
2t/d
14) (?) Hk состоит из t независимых ребер и k — 2t изо-
изолированных вершин Bt^k);

114
ГЛ. VI. СИСТЕМЫ МНОЖЕСТВ
15) (?) Hk состоит из «7-вершинного графа Нд и (p — q)
изолированных вершин (k = p).
6.14. Сколь мало ребер может иметь граф Gnc=C2(Sn),
если
V5ft cz Sn За е Sn \ Sk: С1 (а) С1 (Sft) с: Gn?
6.15. Сколь много ребер может иметь п-вершинный
плоский граф, т. е. граф, который может быть изобра-
изображен на плоскости без самопересечений?
6.16. Сколь много ребер может иметь п-вершинный
граф, у которого всякий ^-вершинный собственный под-
подграф плоский?
6.17. Гипотеза Дирака. Если п-вершинный граф
имеет Зп —5 ребер, то он имеет подграф, гомеоморф-
ный Къ-
6.18. Задача о запрещенных подграфах.
Как велико может быть число f = f(n; Ga\ ..., GB), ...)
ребер n-вершинного графа, не содержащего в себе в ка-
качестве подграфов графов G{1\ ..., G{2), ... = {GU)}?
1) Теорема Эр дёш а —Шимоновича.
2) Равенство f(n\ {G{i)}) = О (п) выполняется тогда и
только тогда, когда среди запрещенных подграфов \G(i)]
имеется дерево либо лес.
3) Равенство f(n; {GU)}) = OA) выполняется тогда и
только тогда, когда среди запрещенных подграфов {G[i)}
имеются паросочетание и звезда.
4) {G»>} = *!.*-!.
5) {&»}=¦<?„.
6) {G«>} = Pk.
7) Гипотеза Эрдёша — Шош. Для всякого ^-вер-
^-вершинного дерева Tk справедливо неравенство
/(я; Tk)^(k-2)n/2.
8) {GW} = Cn.
9) {G^}=Ck.
10) {G(i)} = {Cs, Cit ...} — множество всех циклов.
11) {G(l')} = |C3, C5) ...[ — множество всех нечетных
циклов.
§ 1. ЭКСТРЕМ. ЗАДАЧИ НА ГРАФАХ И ГИПЕРГРАФАХ
П5
12) \G{i)} — {Cit Ce, ...} —множество всех четных цик-
циклов.
13) {G{i)} = {Ch Сг+1, ...} —множество всех «длинных»
циклов.
14) {G(l>)} = {С3, ..., Ci} — множество всех «коротких»
циклов.
Гиперграф GT называется двойственным гиперграфу G,
если матрица инцидентности GT есть транспонированная
матрица инцидентности G. Цепь есть последовательность
вложенных друг в друга множеств; длина цепи есть число
членов в такой последовательности. Антицепь есть си-
система взаимно не вложенных друг в друга множеств.
6.19. Сколь мало гиперребер может иметь гиперграф
G(Sn), в котором
Уах, а2 е= Sn Зеъ е2 е G E„): щ <= еь <ц ф eh
i=\, 2, /=1, 2, 1фр
6.20. Сколь много гиперребер может иметь п-вершин-
п-вершинный гиперграф без цепей длины k-\~\?
6.21. Если е^т, ..., &?k~непересекающиеся анти-
антицепи из ^E„), то сколь большим может быть число
6.22. Сколь много гиперребер может иметь F cz $* (Sn),
если
3Ah Aj(=F: AiCzAj, \A, — Ai\-^h?
6.23. Сколь много гиперребер может иметь F с $* E„),
если
~\3Ah Aj(=F: Ate: AJt
6.24. Сколь много гиперребер может иметь
если
-\3AitAj<=F: At<=A,, \ A/- At |< h (i
(Sn),
6.25. (?) Сколь много гиперребер может иметь F
gPiSn), если
3Ait Aj eF: At cz Ah \ Aj - At \ = h ?

116
ГЛ, VI. СИСТЕМЫ МНОЖЕСТВ
§ 1. ЭКСТРЕМ. ЗАДАЧИ НА ГРАФАХ И ГИПЕРГРАФАХ
117
6.26. Сколь много гиперребер может иметь F
если
-}3Ah Aj(=F: \
(Sn),
6.27. Сколь много гиперребер может иметь F а &> (Sn),
если
:Г ?
fl
Рассмотреть следующие случаи:
а) г — 1, t произвольно;
б) t = 2, r произвольно;
в) * = 3, г = 2.
6.28. Предположение Эр дёш а —Ф р анк л я.
Экстремальная конструкция для задачи 6.27 имеет сле-
следующий вид. Пусть Sn = Sr+th + Sn-r-th, Sr+thf\Sn-r-ih =
= 0, Положим
r+th
n,t, r, h)=* 2 С'E)^E)
и подберем h, максимизирующее | в/6 (п, t, r, К),
6.29. Сколь много &-ребер может иметь Gkn cz Ck (Sn),
если Veb {jeGJ, е1(]е1фф? Как изменится ответ, если
предположить отсутствие вершин, принадлежащих всем
ребрам?
6.30. Сколь много /г-ребер может иметь GknczCk(Sn),
t
если V еь ..., e^eGj f| etФ ф?
6.31. Сколь много ^-ребер может иметь GknczCk (Sn),
если V еи e2eGj \e1[\e2\^l^ Показать, что при ма-
малых п это число может быть больше, чем (?~,|.
Тенью (l-тенью) й-графа FczCK(S) назовем /-граф
6.32. Доказать, что для любых натуральных т, к
существуют и единственны такие натуральные t, aft>
>>аЛ-!>...>at^ t, для которых выполняется так назы-
называемое биномиально-каноническое представление
J
а'
6.33. Доказать, что если &-граф F czCk (Sn) является
антицепью, то
I с*_! (П 1=2^1 F !/(«-?-И)-
6.34. Пусть
где t,aii,..., at — компоненты биномиально-канонического
представления т. Построить &-граф с т ребрами такой,
что \Ck-i{F)\ = h(m)-
6.35. Доказать неравенство
U (mi + m2) ^ max {fk (mO, m2} -f /ft_a (m2).
6.36. Сколь малую по мощности тень Ck-i(F) может
иметь т-реберный fe-граф F? Как изменится ответ при
минимизации /-тени?
6.37 Доказать неравенство /*(mi4-m2)<,fk(ffh)-\-fk(tn2)-
6.38. Сколь большим может быть число т, при котором
для всякого m-реберного &-графа а^={Лг, .... Ат\
существует m-реберный (k— 1)-граф «$? = {В,, ..., Вт),
для которого Bt cz A;, В1ФВ!, ЬФр Как изменится
ответ, если S3 — /-граф?
6.39 Сколь большим может быть число пар гипер-
гиперребер в F — {Alt..., Am}cz§Pi(Sn), для которых | Л,АЛ7| = 1?
6.40. Каковы необходимые и достаточные условия
существования антицепи F <zz SP (Sn) с фиксированными
параметрами pt — | F[) С' (Sn) [, i = 0, I, ..., п?
6.41. Гипотеза (Б. С. Стечкин, П. Франкль). Если
&-граф о/ё = {Аи ..., Ат) и /-граф SB = {Bt, ..., Вт\ тако-
тако| A П В|Х /
вы, что
k+i—2\
П
( = /, то максимальное m равно
)
Рассмотреть случаи: а) Ъ = 0 (см. задачу 6.5); б) X =

118
ГЛ. VI. СИСТЕМЫ МНОЖЕСТВ
§ 1. ЭКСТРЕМ. ЗАДАЧИ НА ГРАФАХ И ГИПЕРГРАФАХ
П9
6.42. Если гиперграфы о/6 = {Аъ ,.., Ат\, <?В = {Въ ...
..., Вт) таковы, что А1{]В,= ф, i = j, то
1.
6.43. Как изменится ответ задачи 6.41, если условие
' = / заменить на условие J Л,- П Д; I = К
?/ или на условие At П Bt = 0, А,¦ fl #/ | >
>Х, (Фр
6.44. Если &-граф e^c:C*(S«) и l-граф <?В czC1 (Sn)
таковы, что At (] В} Ф ф, k + / ^ л, то либо | &^ | sS (? " j
либо— -'n-n ^-J-A
6.45. Если гиперграфы erf и ^Э таковы, что Л е
СсЛ=>Се е^; ВеД D zd 5 => D е о®, то справед-
ливо неравенство
П
П
2'п.
р | \ \
6.46. Проблема Турана. Сколь мало /-ребер
Т {п, k, I) может иметь /-граф Gln a G! (Sn), если VSA с Sn
l
-1I/A-1);
Рассмотреть случаи:
а) / = 2 (см. задачу 6.7, а));
б) Г (л, ft, l) = n — k+\ t=>r
в) fe = л — 1.
Проблеме Турана родственна
Задача об упаковках. Сколь много /-ребер
может иметь л-вершинный /-граф, в котором среди любых
k вершин имеется не более одного /-ребра?
6.47. Пусть /-граф Gln обладает двумя свойствами:
czSn
Сколь мало ребер может иметь Gln? Сколь много вершин
может иметь Gl?
6.48. Сколь мало ?-ребер может иметь GnCzCk (Sn),
если
6.49. Показать, что если p^2(q— 1), то граф G? с:
2 (Sn) обладает свойством
3S
q d Sp: С2 (Sg) cz
тогда и только тогда, когда
6.50. Задача Эрдёша —Катоны. Сколь много
гиперребер может иметь G,- с: #* (Sn), если все числа
{|егП<?/!}» eitej^G, 1Ф\, различны?
6.51. Сколь много /-ребер может иметь GlnczCl (Sn),
если все числа {|e,-f)?/lb er-, ej-eGln, 1ф}, различны?
6.52. Сколь много &-ребер может иметь GnaCk (Sn),
если Vgj, ej eG, | e^ П e/1 = 1?
Система подмножеств F={ei}, l^i^m, множества Sn
называется определяющей на Snt если всякое подмно-
подмножество однозначно восстанавливается по неупорядоченной
системе чисел {|ТП<^Ь l«?f«?m.
6.53. Сколь малой по мощности может быть опреде-
определяющая система множеств на Sn7
6.54. Доказать единственность минимальной определяю-
определяющей на Sn системы множеств.
6.55. Построить пример n-вершинного гиперграфа с п
гиперребрами, у которого все степени суть числа 1, 2, ...
..., л и который отличен от цепи.
Валентность множества вершин S, целого q и гипер-
гиперграфа G есть число v(S, q; G) = | {е s G: |еП5| = ^}|,
так что если а —вершина G, то v(a, I; G) = degG(a) есть
самая обычная степень этой вершины в G.
6.56. Показать, что
VG с: С2 (S)
6.57. Доказать следующие валентностные тождества:
а) Если G и F — два гиперграфа, то
5>(S, q\G)=2v(e, q\ F).

120 ГЛ. VI. СИСТЕМЫ МНОЖЕСТВ
б) Если Gcr<^(Sre), то
§ 1. ЭКСТРЕМ. ЗАДАЧИ НА ГРАФАХ И ГИПЕРГРАФАХ
121
в) Если G1 с= С1 (Sn), то
2 v(Sp, q; G') =
2 visp, q\ G') =
г) Если G — гиперграф, то
deg0 (о) =
оEр, «7; G)= 2
П SI
S
SpczS
f (Sp, p; G)\ =
6.5S Используя валентности, доказать тождества
V //2 - /Л /»•» — 'i - /»+ ii
9.- /i U - П - Я + /
''г — М /« — i
U-Ji)[i-I
Р\ (п — Р\ //"г —
Zj (—О' о- л
6.59. В предположении, что подмножества Sp из 5„
выбираются случайно с равными вероятностями, найти
математическое ожидание М (v (Sp, q; Gn)).
6.60. Сколь мало &-ребер может иметь Gkn cz Ck (Sn),
если Sn = Sp -]- Sn-P и
6.61. Пустьs^ —произвольное свойство гиперграфов и
щ(п, I; &>€)= max \Gln\. Доказать, что если е/ё таково,
что
Gl (Sn) -s^r^v 5«-i c= SB, (Gf E„) П С' (S«_i)) ~ e^ F.1)
и существует целочисленнозначная функция/(п) такая, что
*/, F.2)
> п0, F.3)
Г+тЙН"^' ">П0' F'4)
то с необходимостью для всякого n^tio выполняется
т(п, !; erf) = f{n).
6.62. Если гиперграф F и система гиперграфов J- =
Si, то
—{Gi, ...} таковы, что VG
2^Ul, где
6.63. Пусть /.(^ — фиксированная действительнознач-
действительнозначная функция; вычислить max 2 /(И |)t где'max берется
: GsS}|.
е
по всем антицепям &>? с uP(Sn).
6.64. Сколь много гиперребер может иметь гиперграф
Fa&(Sn), если
6.65. Если гиперграф F = {Alt .... Лот} таков, как
m / „_ j l
в задаче 6.64, то Sl^-1 —I
6.66. Сколь много 3-ребер может иметь «-вершинный
3-граф F = {Alt ..., Am}aC3{Sn), если
V Л,, Л„ Ak <~F, АиФ

122
ГЛ. VI. СИСТЕМЫ МНОЖЕСТВ
§ 2. УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА
123
6.67. Сколь много гиперребер может иметь FczoP(Sn),
если
VA^A^F АхфА%, А^АгФф, А^АгФЭ^
6.68. Сколь много гиперребер может иметь F с & (Sn),
если
1)
2)
3)
Ух
Ух,
Ух,
еР х
у s Р,
^х;
если х
Р, если
6.69. Сколь много /-ребер может иметь максимальный
критический турановский /-граф, т. е. /-граф ClnaCl {Sn),
обладающий двумя свойствами:
yShczSn 3S,e=Gk S, с Sk; (Г)
eGj, (Gln-C(S,))i^T. (К)
6.70. Сколь мало общих ребер могут иметь два п-вер-
шинных турановских графа G;c:C2(Sn), t = l, 2, такие,
что
VS3 cr Sn 3Sa е= G,: Sa с: S8> i = 1, 2?
6.71. Пусть ns=o(&). Доказать, что Ck(Sn) можно
представить в виде суммы С* E„) = ? Git где G,- П G/ = 0
и каждый G; —это &-граф из я/& независимых &-ребер
на вершинах Sn.
6.72. Верно ли, что если граф G\ имеет более чем
к(п — к)-\-[Л ребер, то в нем найдется подграф, степень
каждой вершины в котором превосходит k?
6.73. Гипотеза Бержа. Во всякой графе, все сте-
степени вершин которого равны четырем, найдется подграф,
все степени вершин которого равны трем.
§ 2. Упорядоченные множества
Объектом задач этого параграфа являются системы
множеств, более сложные, чем графы и гиперграфы, а
именно упорядоченные множества. Сами же задачи приз-
призваны ознакомить со структурными свойствами упорядочен-
упорядоченных множеств и показать различные типы комбинаторных
задач на них.
Множество Р вместе с введенным на нем бинарным
отношением ^ называется частично упорядоченным, если
то х =
то
6.74. Проверить, что множество OP (S) всех подмножеств
множества S, упорядоченное по включению, является
частично упорядоченным множеством; привести примеры
других частично упорядоченных множеств.
Частично упорядоченное множество (^(S), s) часто
называют булеаном. Элемент М частично упорядоченного
множества Р называется максимальным, если в Р нет
элемента р, «большего», чем М, т. е. р^М не выполня-
выполняется ни для какого реР, отличного от М; аналогично,
элемент т называется минимальным, если в Р нет эле-
элемента р е Р, отличного от т и такого, что р^т. Элемент
сеР называется наибольшим, если Vp e= P р^а. Эле-
Элемент b e P называется наименьшим, если Vp eP р~^Ь.
Для наибольшего и наименьшего элементов иногда исполь-
используют обозначения 1 и 0 соответственно.
Пара элементов р, q e P называется сравнимой, если
p~5^q или p^q. Если в частично упорядоченном мно-
множестве Р сравнимой является всякая пара его элементов,
то Р называют линейно упорядоченным множеством, или
цепью. В противоположность цепям, антицепью называют
всякое частично упорядоченное множество Q, которое
состоит лишь из несравнимых друг с другом элементов.
6.75. Доказать, что всякое подмножество частично
упорядоченного множества является частично упорядочен-
упорядоченным множеством относительно индуцированного (насле-
(наследованного) порядка.
6.76. Привести примеры цепей и антицепей булеана
&>(S) (т. е. таких подмножеств булеана ^E), которые
образуют цепь или антицепь).
6.77. Показать, что наибольший элемент, если он суще-
существует, является максимальным, а наименьший — мини-
минимальным.
6.78. Верно ли, что если максимальный элемент един-
единствен, то он является наибольшим?
6.79. Показать, что булеан <^ (S) обладает единственным
наибольшим и единственным наименьшим элементами.

124
ГЛ. VI. СИСТЕМЫ МНОЖЕСТВ
§ 2. УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА
125
6.80. Доказать, что во всяком конечном частично упо-
упорядоченном множестве существуют как максимальные, так
и минимальные элементы.
6.81. Привести примеры частично упорядоченных
множеств:
а) без 0; б) без 1; в) без 0 и без 1.
6.82. Доказать, что элемент, являющийся минимальным
и максимальным одновременно, не сравним ни с каким,
отличным от него элементом.
6.83. Проверить, что объединение возрастающей после-
последовательности вложенных друг в друга цепей некоторого
частично упорядоченного множества является цепью.
Частично упорядоченные множества (Р, =^) и (Q, =^)
называются изоморфными и обозначаются (Р, =^)^(Q, ^),
если существует взаимно однозначное отображение ф
множества Р на множество Q такое, что а^Ь имеет место
тогда и только тогда, когда ф(а)Цф(Ь). Заметим, что
взаимная однозначность отображения ф может быть выве-
выведена из последнего условия. Отображение ф: P-+-Q назы-
называется изотопным, если а ^ b влечет ф (а) ^ ф (Ь) для
всех a, b <=Р.
6.84. Доказать, что существуют в точности два неизоморф-
неизоморфных частично упорядоченных двухэлементных множества.
6.85. Если ф — изоморфизм, а а— наибольший (соответ-
(соответственно наименьший, максимальный, минимальный) эле-
элемент, то ф (о) также является наибольшим (соответственно
наименьшим, максимальным, минимальным) элементом.
Построить примеры, показывающие, что это неверно для
произвольного изотонного отображения.
6.86. Как можно упорядочить вершины n-мерного еди-
единичного куба, чтобы они вместе с этим упорядочением были
изоморфны булеану <S^(Sn)? Единственно ли такое упо-
упорядочение?
На булеане &* (Sn) определены простейшие теоретико-
множественные (булевы) операции объединения (J и пере-
пересечения 'П подмножеств — элементов булеана; в полном
соответствии с этим и на произвольном частично упоря-
упорядоченном множестве (Р, ^) можно вводить различные
аналоги этих булевых операций.
Особую пользу для изучения частично упорядоченных
множеств приносят несколько более «алгебраичные» обоб-
обобщения булевых операций. Если Л — непустое подмножество
частично упорядоченного множества Р, то элемент а^Р
называется точной верхней гранью множества Л, если
а^гх для всех х е А и если из справедливости соотно-
соотношения v5= х для всех хе/1 вытекает, что v^а. Двой-
Двойственным образом определяется точная нижняя грань:
элемент а е Р называется точной нижней гранью,
если а^х для всех хеЛ и если из условия и^х для
всех х е А вытекает, что и^а. Точные верхнюю и ниж-
нижнюю грани множества А в частично упорядоченном мно-
множестве Р будем обозначать символами supp/1 и \r\iPA.
6.87. Пусть Лей5 (S). Доказать, что sup А совпадает
с объединением подмножеств, входящих в A, a inf Л —
с их пересечением.
6.88. Пусть ЛеВеР и существуют sup А и sup В
(inf Л и inf Б). Доказать, что тогда sup Л ^ sup В
(inf Л ^ inf В).
6.89. Доказать, что если а^Ь, то sup {с, b}^b и
inf {а, Ь} = с.
6.90. Пусть {Аа} — некоторая совокупность подмножеств
частично упорядоченного множества Р, А = [) Аа, и пусть
существуют sup Л и sup Ла (inf Л и inf Aa) для всех а.
Доказать, что тогда
sup Л = sup {sup Aa} (inf Л = inf {inf Aa}).
6.91. Пусть Q — подмножество частично упорядоченного
множества Р. Доказать, что если A ^Q и существует
а — supp Л eQ (соответственно b = infP AeQ), то а —
— вирфЛ (соответственно b = infQ Л).
6.92. Привести пример, когда из существования supQA
(при условиях задачи 6.91) не вытекает существования
supp Л.
Частично упорядоченное множество называется полной
структурой (полной решеткой), если всякое его непустое
подмножество имеет как точную верхнюю, так и точную
нижнюю грани.
6.93. Привести примеры полных структур.

126
ГЛ. VI. СИСТЕМЫ МНОЖЕСТВ
§ 2. УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА
127
6.94. Образует ли множество всех целых чисел с
обычной упорядоченностью по значению полную струк-
структуру?
6.95. Доказать, что если частично упорядоченное мно-
множество Р имеет 1 и всякое его непустое подмножество
имеет точную нижнюю грань, то Р — полная структура.
Изотопное отображение ф частично упорядоченного
множества Р в себя называется оператором замыкания,
если ф (х)^= х и ф (ф(х)) = ф (х) для всех хеР. Элемент
ф(л:) называется ^-замыканием х. Элемент, совпадающий
со своим ф-замыканием, называется ^-замкнутым.
6.96. Привести примеры операторов замыкания на
частично упорядоченных множествах и указать в этих
частично упорядоченных множествах все замкнутые
элементы.
6.97. Пусть ф —оператор замыкания на частично упо-
упорядоченном множестве Р, подмножество А •= Р состоит из
ф-замкнутых элементов и a = inf А существует. Доказать,
что тогда a — ф-замкнутый элемент.
6.98. Пусть ф —оператор замыкания на полной струк-
структуре Р. Доказать, что частично упорядоченное множество L
всех ф-замкнутых элементов, рассматриваемое как подмно-
подмножество частично упорядоченного множества Р, также
является полной структурой и что при этом для всякого
непустого подмножества А множества L имеет место
infx Л = infp Л и supi Л = ф(зирр А).
6.99. Доказать, что если ф —оператор замыкания на
частично упорядоченном множестве Р, то все максимальные
элементы из Р являются ф-замкнутыми.
Частично упорядоченное множество называется струк-
структурой (решеткой), если всякое его двухэлементное под-
подмножество имеет как точную верхнюю, так и точную ниж-
нижнюю грани.
6.100. Доказать, что полная структура является струк-
структурой.
6.101. Привести пример структуры, не являющейся
полной структурой.
6.102. Доказать, что всякий минимальный (максималь-
(максимальный) элемент структуры является нулем (единицей).
Наряду с «алгебраическими» в упорядоченных множест-
множествах используются и «геометрические» понятия, облегчаю-
облегчающие их наглядное представление. Элемент а частично упо-
упорядоченного множества Р покрывает элемент b eP, если
а>Ь и не существует сеР такого, что а>с>Ь. Цепь
в частично упорядоченном множестве называется насыщен-
насыщенной, если эта цепь не может быть вложена ни в какую
другую цепь, отличную от самой себя. Аналогично опре-
определяется насыщенная антицепь. Под максимальной цепью
(антицепью) понимается цепь (антицепь), максимальная по
числу своих элементов.
Диаграмма Хассе частично упорядоченного множества
Я —это ориентированный граф, вершинами которого явля-
являются элементы Р, а дуга (х, у) наличествует тогда и только
тогда, когда х покрывает у. Дуги в этом графе принято
изображать направленными вниз. При таком изображении
наглядно проявляются уровни диаграммы Хассе, т. е. мно-
множества элементов одного ранга — множества тех элементов,
которые отстоят от минимальных элементов на пути оди-
одинаковой длины.
6.103. Изобразить диаграмму Хассе булеана (^(Sn), с)
и доказать, что булеан изоморфен декартову произведению
цепей длины два.
6.104. Пусть (N, |)—множество всех целых неотрица-
неотрицательных делителей числа N, упорядоченных по делимости.
Проверить, что оно является частично упорядоченным,
найти его 0 и 1. Изобразить его диаграмму Хассе и опи-
описать ее уровни.
6.105. Пусть (B(Sn), с2)—беллиан, т. е. множество
всех внутриблочно и поблочно неупорядоченных разбие-
разбиений (белловских разбиений) множества Sn = {alr ... , ап),
упорядоченных по объединению блоков: для щ, л2 е
е (В (Sn), с) яхс:я2 тогда и только тогда, когда вся-
всякий блок из п^ содержится в некотором блоке из л2.
Проверить, что это множество является частично упорядо-
упорядоченным, найти его 0 и 1, описать уровни его диаграммы
Хассе.
6.106. Пусть (Р (п), ^ — множество разбиений числа п
на натуральные слагаемые, упорядоченные таким образом,

128
ГЛ. VI. СИСТЕМЫ МНОЖЕСТВ
§ 2. УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА
129
что если plf р2 (= {Р{п), <;), то Pi=sSp?I тогда и только
югда, когда сложением отдельных . частей разбиения рг
можно получить р2. Проверить, что оно является частично
упорядоченным, описать уровни его диаграммы Хассе,
проверить, является ли оно решеткой.
6.107. Как связаны между собой множества (В (Sn), с)
и (Р (п), О?
6.108. Пусть (Vn{q), с) — множество всех подпрост-
подпространств дг-мерного векторного пространства Vn над конеч-
конечным полем с q элементами, упорядоченное по включению.
Доказать, что это множество частично упорядочено, и
описать его диаграмму Хассе.
6.109. Пусть (Пл, с)—множество всех граней поли-
политопа (многогранника) П„, упорядоченное по включению.
Доказать, что это множество частично упорядоченное, и
описать его диаграмму Хассе.
6.110. Пусть (Р, <;) — одно из перечисленных в задачах
6.103 — 6.109 частично упорядоченных множеств. Ответить
на следующие вопросы:
а) Является ли (Р, «с) решеткой?
б) Сколько элементов имеет (Р, «^)?
в) Сколько элементов данного уровня имеется в (Р, =^)?
г) Каково число максимальных цепей между нулем
и единицей в (Р, ==s)?
д) Каково число максимальных цепей между нулем и
единицей, проходящих через фиксированный элемент
ре (Л О?
е) Сколь большой может быть антицепь в (Р, <:)?
Наряду с понятиями «алгебраическими» и «геометриче
скими» полезными оказываются и понятия «функциональ-
«функциональные». Мёбиус-функция \л (х, у) частично упорядоченного
множества (Р, ^) определяется по правилу
У) =
о,
1,
,(z, у), х<у,
где х, i/eP. Чтобы эта рекуррентность была корректной,
обычно предполагают, что (Р, «?) локально конечно, т. е.
что
Vx, уе=Р ЦгеР: х < г < у}\ - \[х, у\\<оо;
множество \х, у] называют интервалом или сегментом.
6.111. Вычислить мэбиус-функции частично упорядо-
упорядоченных множеств из задачи 6.103 — 6.109.
6.П2. Пусть дзета-функция ?(#, у) частично упорядо-
упорядоченного множества (Р, ^) определяется по правилу
' ч f 1, х^у
ъ(х, У) = { ^, Доказать, что в смысле сверточного
{ U, X *Ц* У-
умножения
f*g{x, y)=
' У)
мёбиуС-функция является обратной к дзета-функции.
6.113. Пусть Al (P, ==s) — множество всех функций
/: Р2 ->- R1 таких, что / (х, у) = 0 при х^у, снабженное
операциями поточечного сложения, умножения на скаляр
и свертки (см. задачу 6.112). Доказать, что AI(P, ==s) —
алгебра.
6.114. Доказать принцип обращения Мё биуса:
пусть (Р, ^ — локально конечное частично упорядоченное
множество с 0, ц(х, у) —его мёбиус-функция и f: P-+R.1.
Тогда, если
то
6.115. Доказать форм у лу Ф. Холла: пусть {Р, ^)—
локально конечное частично упорядоченное множество,
ц(х, у) — его мёбиус-функция и Сь{х, у) — число цепей
вида zo = x<z1<...<zk = y. Тогда
v(x, y) = E(-1)*cft(^ у)-
k
Как видно из задач 6.114 и 6.115, вычисление мёбиус-
функций тесно связано с локальными структурными харак-
характеристиками частично упорядоченных множеств (интерва-
(интервалами и цепями); особенно ярко эта связь проступает
в решетках.
б Под ред. К. А. Рыбникова

130
ГЛ. VI. СИСТЕМЫ МНОЖЕСТВ
6.116. Показать, что если (L, ^ — конечная решетка
0 и 1, то для a^b e L справедливы соотношения
ц@, х} = 0, а>0,
2
x\Ja=b
\i{x, 1) = 0,
6.117. Показать, что если (L, <;) —конечная решетка
с 0 и 1, а ^ — множество ее атомов, т. е. элементов,
покрывающих 0, и qk — это число тех А-подмножеств из R,
чье объединение равно 1, то справедливо равенство
6.118. Если di, ..., dw — различные делители числа N,
среди которых всякие два имеют общий делитель, больший
единицы, то сколь большим может быть т?
6.119. Охарактеризовать прямое произведение беллиа-
нов.
6.120. Сколько элементов фиксированного типа имеется
в беллиане?
6.121. Чему равен объем интервала [0, л] в беллиане?
6.122. Доказать тождество
X
n\B(\f*...B(nfn
?. +п ап =п
где В (п) — число Белла.
6.123. Каково то наименьшее k = k(l, n), при котором
в множестве (Р(п),^) VpePi(ri) Vq<=Pk(n) p^q?
6.124. Сколько элементов в пространстве 1/„ над полем
с q элементами?
6.125. Доказать тождество для гауссовских <?-бино-
миальных коэффициентов:
§ 2. УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА
6.126. Доказать тождество
л-1
131
6.127. Доказать тождество
2т
г—О
6.128. Доказать, что
1т + 1
-?3)-..A-<
г=0
6.129. Доказать следующие тождества с числами
Галуа:
a) G(/i+l, q) = 2G(n,
б> l==
n — k
2
6.130. Доказать, что для каждого (я— 1)-мерного под-
подпространства aczVn имеется q"-1 одномерных подпрост-
подпространств х таких, что а/\х = 0.
6.131. Сколь большим может быть число попарно пе-
пересекающихся подпространств Vn размерности &? Сколь
большим может быть это число при условии, что размер-
размерность пересечения не меньше чем /?
6.132. Доказать, что для всяких двух граней х, у
политопа П„ справедливо тождество 2 (—\)d(y)~kfk {%> У) =
k
= Ь{х, у), где 6(х, у) — дельта Кронекера и fk(x, у) —
число ^-мерных граней из П„, которые содержат х и со-
содержатся в у.
Пусть [/"] = {1, ••¦, г\\ тогда г-раскрашиванием мно-
множества S называется всякое отображение %: S-+¦ [г], цве-
цветом s s 5 называется х (s) и говорят, что подмножество
Т с: 5 одноцветно или монохроматично при раскраске %,
если % постоянно на Т. Для фиксированного х через (S)(/)
обозначаем множество всех элементов se5 цвета i, т. е.
б*

132
ГЛ VI. СИСТЕМЫ МНОЖЕСТВ
(S){i) = {s ^ S: y.{s) — i\\ /и —полный /-граф на необозна-
ченном множестве из п вершин.
6.133. Принцип Дирихле. Доказать, что
V/-, &eN 3no = no(k, r) Уп^по
Vy/. Sn-+[r] 3ie=[r): ^
и вычислить п0 (k, г).
6.134. Теорема Рамсе.я (частный случай). Дока-
Доказать, что
Vr, AeN 3no = R(k; r) Vn^n0
(Число 7? (A; r) называется числом Рамсен.)
6.135. Теорема В а н-дер-В а р дена. Доказать, что
Vr, IeN 3no = W(t, r): Уп^гц
Vyj [«3-vH Hie H:
множество ([n]){i) содержит в себе /-членную арифметиче-
арифметическую прогрессию.
6.136. Теорема Шура. Доказать, что
VreN 3no = S{r)
Vx= И1->-И 3ts[r]: Зх, у,
6.137. Доказать, что
Vy; Sn^t^l 3/e|/
и вычислить п0 {къ k2, ..., kr).
6.138. Доказать, что
V/,
[г]
6.139. Доказать, что
[r]: (C
ft,,
, kr):
И ВЫЧИСЛИТЬ Л(/?1, ..., kt, Г).
§ 3. МАТРОИДЫ И КОМБИНАТОРНЫЕ ГЕОМЕТРИИ
133
§ 3. Матроиды и комбинаторные геометрии
Данный параграф посвящен системам множеств спе-
специального вида — комбинаторным геометриям. Комбина-
Комбинаторные геометрии, будучи множествами упорядоченными,
имеют и чисто геометрическую природу —они могут быть
получены как инцидентностная моделизация аксиом клас-
классической геометрии. Допустимость алгебраических форма-
формализации обеспечивает удобство оперирования с этими
объектами, а многоплановость самого понятия —их высо-
высокую применимость.
Пусть оР (S) — множество всех подмножеств множе-
множества S. Скажем, что на множестве S задано отношение
замыкания, если каждому элементу А е # (S) сопоставлен
однозначно определенный элемент ^е#E), называемый
замыканием А, причем это сопоставление для всех Л, Be
#(S) удовлетворяет следующим условиям:
если А <=, В, то А<=В {свойство сохранения порядка);
А = А (идемпотентность).
Множество А назовем замкнутым, если оно совпадает
со своим замыканием.
Предгеометрией (или матроидом) G(S) называется
множество 5 с оператором замыкания ~, удовлетворяющее
свойствам:
1) замены: для любых р, qeaS и всякого A^oP(S)
A U lq} и р <ф А следует, что ?,
из р
2)
р } A (J {р};
2) конечного базиса: для всякого А е SP (S) существует
конечное подмножество Л/ ?= А такое, что Af — A.
Комбинаторной геометрией (далее всюду — геометрией)
называется предгеометрия, у которой все одноэлементные
подмножества, а также пустое множество являются
замкнутыми.
Задание геометрии на множестве 5 отличается от за-
задания топологии на S тем, что для замыкания не тре-
требуется выполнения условия Л {] В — A (J В для всех Л, бе
^oP(S), но имеет место свойство замены, которое, вообще
говоря, может не выполняться для замыкания топологии.
Всякое замкнутое множество геометрии будем назы-
называть поверхностью. Поверхности - геометрии G, упорядо-

134
ГЛ. VI. СИСТЕМЫ МНОЖЕСТВ
ченные по включению (в теоретико-множественном смысле),
образуют полную структуру L (G) с бинарными опера-
операциями V и 1\\ А/\В = А[]В; ЛУВ^А1]~В, где Л, В —
поверхности геометрии G.
Цепью в L (G) называется любое линейно упорядочен-
упорядоченное подмножество элементов L. Элемент у покрывает эле-
элемент х в L, если х<.у и не существует zsL такого,
что х<г<Су. Поверхности, покрывающие 0=ф в L,
называются атомами. Для любой поверхности х и атома р
рп^х (в L) тогда и только тогда, когда ре* (в G).
6.140. Доказать, что свойства сохранения порядка и
идемпотентности в определении отношения замыкания
эквивалентны условию, что для всех A, Be^fS), если
А д=В, то ЛеВ.
6.141. Пусть множество S, элементы которого назы-
называются точками, вместе с семействами подмножеств К
и F, элементы которых называются кривыми и поверх-
поверхностями соответственно, удовлетворяют условиям:
а) любые п +1 различных точек лежат на единствен-
единственной кривой, и каждая кривая содержит не менее п-\-\
различных точек;
б) любые п + 2 различных точек, не лежащих на одной
кривой, лежат на единственной поверхности, и каждая
поверхность содержит по крайней мере п-]г2 различных
точек, не лежащих на одной кривой;
в) вместе с любыми я-f-l различными точками поверх-
поверхности принадлежит и вся кривая, задаваемая ими;
г) если две поверхности лежат в (п + 3)-элементном
подмножестве из S, то их пересечение содержит по край-
крайней мере я+1 различную точку.
Построить комбинаторную геометрию, в которой под-
подмножество А <= S будет замкнутым в том и только в том
случае, когда оно содержит все кривые и все поверхно-
поверхности, проходящие через его точки.
6.142. п-разбиением множества 5 называется такое
покрытие 5 множествами, что каждое гс-элементное под-
подмножество содержится в одном и только в одном подмно-
подмножестве, входящем в покрытие. Построить геометрию,
замкнутыми множествами в которой будут:
а) все подмножества, состоящие менее чем из п эле-
элементов;
§ 3. МАТРОИДЫ И КОМБИНАТОРНЫЕ ГЕОМЕТРИИ
135
б) члены покрытия;
в) само множество S.
6.143. Пусть А — абелева группа, S — некоторое конеч-
конечное множество, В с= S, а V — подгруппа абелевой группы
всех функций /: S-*-A, удовлетворяющая следующему
условию.
Если goe V такова, что g0(р) = 0 для всех ре5 и
go(s) Ф0 для некоторого seS, то для всякого х е А,
хфО, найдется g<=V такая, что g(p) = 0 для всех р е В
и g(s) = x._
Пусть B={p^S: /(p) = 0 для всех /<=V таких, что
f(a) — O для всех аеб). Доказать, что S вместе с опе-
оператором В-+В образует геометрию (называемую геомет-
геометрией пространства функций V).
6.144. Пусть G(S) является геометрией на множестве S
с оператором замыкания ~~. Доказать, что J[At В1 (С) =
= (CU Л П В)\.<4 есть оператор замыкания, но на мно-
множестве В\А, где A, BgS,
6.145. Доказать, что подмножество В ? S, снабженное
для всех С ^В отношением С ->- J (С), где J (С) = С (] В
(~ обозначает оператор замыкания в геометрии), образует
геометрию G(B), называемую под геометрией геомет-
геометрии G(S).
6.146. Доказать, что множество S\/l, снабженное
для всех С <=: S\A отношением С -> / (С), где J (С) —
= (C\JA)\A, образует предгеометрию, которую будем
обозначать через G/A и называть сжатием геометрии G (S).
6.147. Доказать, что поверхность у покрывает поверх-
поверхность х в структуре L геометрии G(S) тогда и только
тогда, когда существует атом а<фх такой, что x\ja=-y.
. 6.148. Доказать, что в структуре L(G) геометрии G
из у\х следует, что (y\Jz) \ (x\Jz) для всех поверхностей
х, у, z^L(G). (Символ у\х означает, что у покрывает jc
или совпадает с ним.)
6.149. Доказать, что в структуре поверхностей геомет-
геометрии любая цепь конечна.
6.150. Доказать, что в L(G) для любых х, y<=L(G)
таких, что xs^y, все максимальные цепи из х в у имеют
одинаковую длину.
Полная атомная полудедекиндова структура без беско-
бесконечных цепей называется геометрической, или матроидной.

136
ГЛ. VI. СИСТЕМЫ МНОЖЕСТВ
§ 3. МАТРОИДЫ И КОМБИНАТОРНЫЕ ГЕОМЕТРИИ
137
6.151. Пусть L — геометрическая структура, а 5 —мно-
—множество всех ее атомов. Доказать, что Л -> А = {а ее S: a sg;
^ sup А] определяет геометрию G(S), причем L (G) — струк-
структура ее поверхностей, изоморфная L.
Пусть L (G) — структура геометрии G. Рангом г поверх-
поверхности х называется длина максимальной цепи от нуле-
нулевого элемента до х в L(G), а рангом множества — ранг
его замыкания. Тогда для ранга г выполнено основное
свойство
г (A U В) + г (А П В) ^г (А) + г (В),
которое обобщает соответствующее свойство функции раз-
размерности линейных подпространств проективного простран-
пространства (то же свойство с равенством).
6.152. Пусть г —монотонная функция, определенная
на всех подмножествах множества S, с неотрицательными
целочисленными значениями и такая, что выполнены сле-
следующие условия:
а) г(ф) = 0 (нормализованность);
б) г (А П В) + г (A U В) ^г (А) + г (В) для всех A,B^S
(полумодулярность);
в) г(В) = г (А) или г(А) + \, если 5 = А [){а}, cieeS,
для всех /!sS (возрастание по единицам);
г) для каждого /4gS существует конечное подмно-
подмножество Aj^A такое, что г (А() = г (А) (свойство конеч-
конечного базиса).
Доказать, что отношение
{А-^-А: а<=А тогда и только тогда, когда
r(A) = r(A\J{a\), где a<=S]
является замыканием и определяет предгеометрию G(S),
в которой г является функцией ранга.
6.153. Доказать, что предгеометрия ранга г содержит
по крайней мере 2Г поверхностей.
Пусть G(S)~ геометрия на множестве S, а ] Л | —мощ-
—мощность подмножества Л ^ S. Если г(А) = \А\, то Л назы-
называется независимым. В противном случае г (Л) < | Л | и А
зависимо. Множество Л s S называется порождающим
для геометрии G, если A = S. Независимое порождающее
множество геометрии называется базисом. Минимальные
зависимые множества геометрии называются циклами.
6.154. Пусть 5?" —такое семейство подмножеств конеч-
конечного множества S, что выполнены следующие условия:
а) 0еЖ;
б) если МеЖ и N ^ М, то N <= Ж;
в) если М, N <=?% и | JV j = | М | + 1, то в N найдется
хфМ такой, что М\){х)^?%.
Доказать, что существует единственная предгеомет-
предгеометрия G(S), у которой семейство Ж является в точности
семейством всех независимых множеств (обозначим эту
предгеометрию через (S, Щ).
6.155. Пусть G, = (Si, ^0 и G2 = E2, 5Г2) - геометрии
на множествах Sx и S2 соответственно (см. задачу 6.154)
и Si П S2 = ф. Положим S == St U S2 и ЙГ = {Л U 5: /leS1,,
Se^2j- Доказать, что G = (S, 5f) — геометрия. (Такая
геометрия называется прямой суммой геометрий и обо-
обозначается С = С!фС2.)
6.156. Доказать, что из Въ В2еД где ^ — множе-
множество всех базисов геометрии, и BV^B% следует Bi = B2.
6.157. Доказать, что если Blt B2e=-&B, где ^ — мно-
множество всех базисов геометрии, и е е Ви то существует
элемент / <= В2 такой, что (BjXje)) U {/} е о®.
6.158. Пусть / — монотонно возрастающая, полумоду-
полумодулярная, целочисленная функция со свойством конечного
базиса (см. задачу 6Л 52), определенная на подмножествах
множества 5, и ^ = {^sS: \B\^f(B) VB ^ Л}. Дока-
Доказать, что Ж является семейством независимых множеств
некоторого матроида, ранговая функция которого опре-
определяется следующим соотношением:
/-(Л)=гшп(/(?) +|Л
В? А
5|) для всех A^
6.159. Показать, что если С —цикл предгеометрии на
множестве S, то г (С) = \ С | — 1 и | С | ==s /• (S) + 1.
6.160. Существует ли комбинаторная геометрия, в ко-
которой нет циклов?
6.161. Пусть Си С2 — различные циклы геометрии G E)
и е ев Сх П С2. Доказать, что тогда существует цикл С
геометрии G(S) такой, что С ^ (CiU C2)\e.

138
ГЛ. VI. СИСТЕМЫ МНОЖЕСТВ
§ 3. МАТРОИДЫ И КОМБИНАТОРНЫЕ ГЕОМЕТРИИ
139
6.162. Пусть J3 —базис предгеометрии G(S). Доказать,
что существует единственный цикл С такой, что р е С <=
^В\]р.
6.163. Пусть G(S) — предгеометрия на множестве S,
а <М — семейство его циклов. Доказать, что выполняются
следующие условия:
а) фф&\ если С1( C2Ss5?, СхфС2, то СхфСг,
СгфСх\
б) если С г, С2 е <М, СХФС% и р е Ci П С2, то сущест-
существует Сеа? такой, что Cs(CiUC2)\p;
б') если С1( Саее?, реС^ПСг, ^^^ХСз, то су-
существует С е «^ такой, что q е С ^ (Cx[j С2)\р;
в) существует целое число п такое, что | Л | sg; п вся-
всякий раз, когда А~ф.С для всех С ее^.
6.164. Доказать, что справедливо утверждение, обрат-
обратное к утверждению задачи 6.163, т. е. если семейство s^?
подмножеств множества S удовлетворяет условиям а), б), в)
(или, что эквивалентно, а), б'), в)), то М является се-
семейством циклов единственной предгеометрии на мно-
множестве S.
6.165. Доказать, что подмножество Л^5 геомет-
геометрии G(S) представимо как объединение циклов тогда и
только тогда, когда для всех замкнутых множеств В мно-
множество А\В не состоит из одной точки.
6.166. Показать, что если Л — независимое множество
в предгеометрии G на S, то для всякого а е S множество
Л U {а} содержит, самое большее, один цикл.
6.167. Пусть G — (S, г) — предгеометрия на множестве S
с ранговой функцией г. Доказать, что G* = (S, r*), где г*
определяется равенством г* (Л) = | Л ] + г (S\Л) — г E),
также является предгеометрией (называемой двойственной
предгеометрией для G и обозначаемой G*).
6.168. Показать, что В является базисом предгеомет-
предгеометрии G тогда и только тогда, когда S\B является бази-
базисом двойственной предгеометрии G* (см. задачу 6.167).
6.169. Пусть G — предгеометрия на S, а Л, Л*—такие
подмножества множества S, что Л независимо в G, Л*
независимо в G* и ЛГ|Л* = ф. Доказать, что сущест-
существуют базисы В и В* соответственно предгеометрии G и
G* такие, что Л = В, А* <= В* и В(\В* = ф.
6.170. Доказать, что G** (S)=G(S) и r*(S) = |5|-r(S).
Множество A <=S, которое является циклом в двой-
двойственной предгеометрии G* (S), называется коциклом пред-
геометрии G(S).
6.171. Может ли множество быть одновременно и цик-
циклом, и коциклом в предгеометрии?
6.172. Доказать, что если В — базис предгеометрии G
и^еВ, то существует в точности один коцикл С* пред-
предгеометрии G такой, что С*[)(В\е) = ф.
6.173. Пусть С —цикл предгеометрии G и х, у—раз-
у—различные элементы из С. Доказать, что существует ко-
коцикл С*, содержащий х и у, но не содержащий никакого
другого элемента из С.
6.174. Пусть Gi, G2, ..-, Gm — предгеометрии на S и
Доказать, что тогда 5f есть семейство независимых мно-
множеств предгеометрии на S, называемой объединением пред-
предгеометрии Gj A=1, ..., т), ранговая функция г которой
определяется соотношением
r{A)= rniniS п(Х)-\А\Х\) H = S),
где Г; — ранговая функция предгеометрии G/ (lsg/sgm).
6.175. Пусть G — объединение предгеометрии Gx, G2,...
..., Gn на множестве S (см. задачу 6.174) с функциями
ранга гь г2, -.., гп соответственно. Доказать, что для
всех Л с= 5 следующие утверждения эквивалентны:
а) Л независимо в G;
п
б) Л = U Л/, где Л,- независимо в Gi(S) для всех i;
п
в) Л= (J Ait Аг[\А; = ф для 1Ф\, где Л^ —незави-
i=i
симые подмножества в G; (S) для всех i.
6.176. Пусть Gl = (S, Жх) и Ga = (S, ^-предгео-
^-предгеометрии на множестве 5 с ранговыми функциями гх и г2
соответственно. Доказать, что максимальное число эле-
элементов множества Ах \] Л2 такого, что Ах е &СХ и Л2 е 5^2.
равно min (г1(Л) + /'2(Л) + |5| —| Л ]).

140
ГЛ. VI. СИСТЕМЫ МНОЖЕСТВ
6.177. Пусть Сх и G2 —предгеометрии на множестве S.
Доказать, что максимальное число элементов независи-
независимого в обеих предгеометриях множества равно т\п (гг(А) +
Л5
+ rt(S\A)).
6.178. Пусть Вх и Вг — базисы предгеометрии G,
а X, U У2 —некоторое разбиение Вг на непересекающиеся
непустые подмножества. Доказать, что существует раз-
разбиение Х2 U У г базиса В2 такое, что X, (J У.г и Хг\]Ух —
базисы предгеометрии G.
6.179. Пусть 5 и Т — базисы предгеометрии G и S =
== Si U S2U ... U Sft — разбиение 5. Доказать, что суще-
существует соответствующее разбиение базиса Т = Т1[]Тг{] ...
...|J Tk такое, что (?\5.-)[} Tt — базис для всех t = l,
Z, * • * , /с.
Пусть &С (G) — семейство всех независимых множеств
предгеометрии G на S, 6gS, Обозначим через S%(G\B)
множество {^ХсВДеЭД, а через S%{G.B) —
семейство таких X <= В, для которых существует макси-
максимальное независимое подмножество Y из S\B в G такое,
что X U J7 е= <%" (G).
6.180. Доказать, что &C(G\B) является семейством
независимых множеств некоторой предгеометрии G \ В на
множестве В, называемой сужением G на В. (Сравнить
G\B с предгеометрией G(?>) задачи 6.145.)
6.181. Доказать, что Ж (G. б) является семейством
независимых множеств некоторой предгеометрии G.B на
множестве В, называемой сжатием G с помощью В. Пока-
Показать, что G.B==G/(S\B), где G/(S\B) — сжатие предгео-
предгеометрии G(S), определенное в задаче 6.146.
6.182. Пусть Gj А — подпредгеометрияОE)ил, гА — рай-
гозые функции предгеометрии G(S) и G\A соответственно.
Доказать, что для всех ВеЛ,
а) В независимо в G\Ac=>B независимо в G(S);
б) В — базис предгеометрии G! А <?=> В — базис множе-
множества Л в GE);
в) б—цикл в GAt=>B — цикл в G{S);
г) гл(В) = г(В).
6.133. Пусть G E)/Л — сжатие предгеометрии G{S) и
г, гstа — ранговые функции G (S) и ОE)/Л соответственно.
Доказать, что для всех В s 5\Л
§ 3. МАТРОИДЫ И КОМБИНАТОРНЫЕ ГЕОМЕТРИИ
141
а) В независимо в G E)/Л <=> В [} С независимо в G E)
для всех независимых множеств С s Л;
б) В —базис предгеометрии G (S)/J4 <=> В (J С — базис
предгеометрии G(S) для всех базисов С множества Л;
в) 5 - цикл в G (S)/Л <=> В = С\Л =^ 0, где С - цикл
в G(S) и б является минимальным множеством с таким
свойством;
г) rs/A(B) = r(B{jA)-r(A).
6.184. Пусть G (S) — предгеометрия на множестве 5
и В ? /4gS. Доказать:
а) (G(S)\A)\B = G(S)\B;
б) G(S).B = (G(S).A).B;
в) (G (S) | Л).5 = (G (S).(S\(^\B))) | S;
г) (G(S).A)\ B = (G(S)\(S\(A\B))).B.
6.185. Пусть GE) —предгеометрия на множестве S и
А ? S. Доказать:
а) (G(S)|4)* = G*(S)/(SNv4);
б) (G(S)M)*=G*(S)|(SV4).
Слабым отображением геометрической структуры Р
в геометрическую структуру L называется такая функ-
функция a: P~±L, определенная для всех х е Р, что
а) a(x) = sup {a(a): x^a\Q\\
б) r(a(x))^r(x).
Сильным отображением геометрической структуры Р
в геометрическую структуру L называется отображение
a: P-+L, определенное для всех хеР, такое, что
а) a (sup Л) = sup {a (x): x <= А) для всех А ^ Р;
б) из у\х в Р следует, что а (у) \а(х) в L.
6.186. Доказать, что каждая сохраняющая супремум
функция, которая переводит атомы геометрической струк-
структуры Р в атомы или в нуль геометрической структуры L,
является сильным отображением a: P-*-L.
6.187. Доказать, что сохраняющее супремум слабое
отображение является сильным.
6.188. Привести пример слабого отображения, не
являющегося сильным.
6.1S9. Доказать, что инъективное отображение струк-
структуры подгеометрии /-(Л) в структуру геометрии L (S)
является сильным от^рпжени^м. (Ишетпжчым отобра-

142
ГЛ. VI. СИСТЕМЫ МНОЖЕСТВ
жением i: L(A)^*-L(S), где A<=S, называется отображе-
отображение, которое каждое замкнутое подмножество из G(A)
переводит в его замыкание как подмножество из G(S).)
6.190. Доказать, что если Gx, G2 — предгеометрии на 5,
то Gx-vGj, —сильное отображение тогда и только тогда,
когда отображение G%-+Gt является сильным.
6.191. Пусть 0ъ G2 — предгеометрии на множестве S.
Доказать, что следующие утверждения эквивалентны:
а) тождественное отображение S на S индуцирует сла-
слабое отображение между Gi и G2;
б) каждый цикл предгеометрии Gi содержит цикл из G2;
в) каждое независимое множество предгеометрии G2
независимо в Gy.
6.192. Доказать, что если G1? G2 —предгеометрии на
множестве 5 и r(G1) = r(G2), то отображение G1-^Gi
является слабым тогда и только тогда, когда отображе-
отображение Gt-yGt слабое.
Говорят, что пара поверхностей (Л, В) является мо-
модулярной, если C[]AC\B = C\J(Af}B) для всех поверх-
поверхностей CsB. В терминах функции ранга г пара поверх-
поверхностей (Л, В) модулярна тогда и только тогда, когда
(AB) (AB) A B
6.193. Пусть А, В — поверхности геометрии G такие,
что А(]В—ф. Доказать, что пара (Л, В) является не-
немодулярной тогда и только тогда, когда существует цикл К
такой, что
6.194. Пусть Л, В — поверхности геометрии G. Дока-
Доказать, что пара (Л, В) является модулярной в том и
только в том случае, когда пара (Л\(ЛГ|5), В\(А (] В))
модулярна в сжатии G/A {] В.
Одноточечным расширением геометрии G(S) точкой а
называется такая геометрия G'(S{]{a}), что г (G') = г (G)
и G = G' — а, где через G' — а обозначена подгеометрия
геометрии G'(SUM) на множестве S.
6.195. Доказать, что для каждой геометрии существует
одноточечное расширение.
§ 3. МАТРОИДЫ И КОМБИНАТОРНЫЕ ГЕОМЕТРИИ
143
Модулярным фильтром qS предгеометрии G (S) назы-
называется семейство eS подмножеств множества S такое, что
а) если /lerf и ЛдВ, rafierf;
б) если Л, В е <*М и (Л, В) — модулярная пара, то
6.196. Пусть G (S U р) — предгеометрия на множест-
множестве S U р, р ф S, с оператором замыкания J и ранговой
функцией г. Доказать, что множество aS— {A <=,S:
ре/ (Л)} образует модулярный фильтр подпредгеометрии
G(S).
6.197. Доказать, что если оЛ —модулярный фильтр
предгеометрии G(S), то существует единственное одното-
одноточечное расширение G(S\jp) такое, что <^ = {Л^5:
ре Js\jp{A)}-
6.198. Пусть еЛ — модулярный фильтр предгеометрии
G(S), G (S U р) — расширение G(S), построенное с помо-
помощью <2#.
Доказать, что поверхностями в G (S [} р) являются все
подмножества S [) р следующих видов:
а) Лир, если Л — поверхность предгеометрии G(S)
и Л е а#;
б) Л, если Л — поверхность предгеометрии G(S) и
Л ф*М\
в) Лир, если Л — поверхность предгеометрии G, Л не
лежит в аМ и не покрывается в G (S) никакой поверхно-
поверхностью ИЗ е^.
6.199. Проверить, что одноточечные расширения пред-
предгеометрии G(S), упорядоченные по включению их моду-
модулярных фильтров в G(S), образуют структуру.
6.200. Пусть /: G (S) ->- Н E) — сильное отображение
предгеометрии, индуцированное тождественным отображе-
отображением множества 5 на S, и r0 (S) = rH (S) — 1, где г0 и
гн — ранговые функции предгеометрии G (S) и Я (S) соот-
соответственно. Доказать, что M — {A<=z S: Л — поверхность
предгеометрии G(S) и ro{A) — rQ{A) = \\ является моду-
модулярным фильтром предгеометрии G{S).
6.201. Пусть G —предгеометрия на множестве S, k —
положительное целое число такое, что k <: г (S). Дока-
Доказать, что Жк = {Х: ХеЖ(С) и \X\^k\ является семей-
семейством независимых множеств предгеометрии G* на мно-
множестве S, называемой k-усечением предгеометрии G.

144
ГЛ. VI. СИСТЕМЫ МНОЖЕСТВ
§ 3. МАТРОИДЫ И КОМБИНАТОРНЫЕ ГЕОМЕТРИИ
145
Если предгеометрия G(S) изоморфна (г—1)-усечению
(см. задачу 6.201) предгеометрии Я (S), то говорят, что пред-
предгеометрия Н (S) есть наращение предгеометрии G(S).
Без ограничения общности можно считать, что структура
предгеометрии Н (S) получается из структуры предгеомет-
предгеометрии G(S) включением уровня новых коатомов, лежащего
выше первоначальных коатомов и под единичным элемен-
элементом структуры.
6.202 Для всякой ли предгеометрии существует
наращение?
6.203. Доказать, что различные наращения (точнее,
множества коатомов в структуре наращения) конечной
предгеометрии G (S), упорядоченные как антицепи булеана,
образуют полную структуру E(G), наименьший элемент
которой называется свободным наращением геометрии G(S).
6.204. Доказать, что каждое наращение геометрии G(S)
разбивает антицепь базисов геометрии G(S).
6.205. Доказать, что если свободное наращение гео-
геометрии G(S) известно, то все другие наращения этой гео-
геометрии могут быть получены путем разбиения свободного
наращения.
6.206. Пусть G — предгеометрия, определенная на мно-
множестве 5 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, базисами которой являются
подмножества из 5, содержащие три элемента, за исклю-
исключением подмножества {1, 2, 3}. Существуют ли нараще-
наращения у этой предгеометрии?
6.207. Матроидом Фано F7 называется предгеометрия,
определенная на множестве 5==jl, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, бази-
базисами которой являются подмножества из S, содержащие
три элемента, за исключением подмножеств {1, 2, 3},
{1, 4, 5}, {1, 6, 7}, {2, 4, 7}, {2, 5, 6}, {3, 4, 6}, {3, 5, 7}.
Существует ли наращение матроида Фано?
6.208. Доказать, что для п — 1, 2, 3 существует ровно 2"
неизоморфных предгеометрии на множестве из п элементов.
С любым графом G можно связать некоторую предгео-
метрию на множестве ребер графа G, взяв в качестве ее
циклов циклы (соответственно разрезы) графа G. Эта пред-
предгеометрия называется циклическим (соответственно коцик-
лическим) матроидом графа G и обозначается М (G) (соот-
(соответственно М* (G)). Матроид (предгеометрия) М называется
графическим (соответственно кографическим), если суще-
существует такой граф G, что М изоморфен М (G) (соответ-
(соответственно М* (G)).
Матроид, являющийся одновременно графическим и
кографическим, называется планарным.
6.209. Показать, что петли и параллельные элементы
циклического матроида M(G) графа G соответствуют пет-
петлям и кратным ребрам в графе G.
6.210. Привести пример графического матроида.
6.211. Доказать, что для любого графа G имеет место
соотношение М* (G) — (М (G))*.
Рис. 6.1.
6.212. Доказать, что циклические матроиды М{Къ) и
М (/Сз 3). гДе Кь~ полный граф на пяти вершинах, а /С3,з —
полный двудольный граф (рис. 6.1), являются графиче-
графическими, но не кографическими. Найти два кографических
матроида, не являющихся графическими.
6.213. Привести пример предгеометрии, которая не
является ни графической, ни кографической.
6.214. Показать, что если матроид М является графи-
графическим или кографическим, то таковым является и любой
его минор.
6.215. Доказать, что если М — циклический матроид
графа, то усечение М в общем случае не обязательно
должно быть циклическим матроидом некоторого графа.
6.216. Пусть G(V\ S) — граф с множеством вершин V
и множеством ребер 5, и пусть А = {е = {и, v}; и, veV
лежат в одной и той же компоненте связности подграфа
G(V, А), где y4sS|. Доказать, что множество S ребер
графа с оператором А-+А, определенным на множестве S,
образует матроид M(G{V, S)).

146
ГЛ. VI. СИСТЕМЫ МНОЖЕСТВ
§ 3. МАТРОИДЫ И КОМБИНАТОРНЫЕ ГЕОМЕТРИИ
147
6.217. Пусть M{G{V, S))-матроид графа G(V, S),
удовлетворяющий условиям задачи 6.216. Доказать:
а) А <= S независимо в М тогда и только тогда, когда
G{V, А) является лесом в G;
б) В <=S — базис матроида М в том и только в том
случае, когда G(V, В) — порождающий лес, т. е. лес
G(V, В) имеет такое же число компонент связности, что
и граф G(V, В);
в) С *=: S — цикл в М тогда и только тогда, когда С —
множество ребер цикла в графе G(V, S);
г) Я ? S является коатомом в М всякий раз, когда
G(V, H) имеет в точности на одну компоненту связности
больше, чем у G(V, S), и является максимальным под-
подграфом с таким свойством, и наоборот;
д) г (А) = | V | — k(A), где k (А) — число компонент
связности в подграфе G(V, A)?
k-однородной предгеометрией на множестве S назы-
называется предгеометрия, независимые множества которой
состоят из всех подмножеств множества S, содержа-
содержащих не более k элементов. Предгеометрия G на множе-
множестве S называется представимой над полем F, если
существует векторное пространство V над F и q>: S->V
такое, что А ? S независимо в G тогда и только тогда,
когда ф взаимно однозначно на А и ф (А) линейно неза-
независимо в V. Предгеометрии, которые представимы над
полем целых чисел по модулю два, называются бинарными.
6.218. Доказать, что 2-однородный матроид U2 D) на
множестве из четырех элементов не является графическим.
6.219. Привести пример бинарного матроида.
6.220. Доказать, что графические и кографические
матроиды являются бинарными.
6.221. Показать, что матроид Фано (см. задачу 6.207)
представим лишь над полем характеристики 2.
6.222. Существует ли бинарный неграфический матроид?
6.223. Существует ли матроид, который непредставим
над полем характеристики 2, но представим над любым
другим полем?
6.224. Доказать, что если матроиды Mt и М2 пред-
представимы над полем F, то их прямая сумма представима
над этим полем.
6.225. Доказать, что прямая сумма матроидов Фано
и матроида из задачи 6.223 не представима ни над каким
полем.
6.226. Доказать, что 2-однородный матроид ?/2D) пред-
представим над любым полем, кроме поля характеристики 2.
6.227. Найти наименьший однородный матроид, не-
непредставимый над полем характеристики 3.
6.228. Показать, что сжатие и сужение матроида Фано
представимы над любым полем.
6.229. Верно ли обратное утверждение к задаче 6.228?
6.230. Доказать, что предгеометрия G бинарна тогда
и только тогда, когда для любого цикла С и любого
коцикла С* предгеометрии G \С(]С*\ четно.
6.231. Доказать, что матроид М является бинарным
тогда и только тогда, когда двойственный ему матроид М*
также является бинарным.
6.232. Доказать, что если матроид М представим над
полем F, то двойственный ему матроид М* также пред-
представим над полем F.
6.233. Доказать, что если матроид М представим над
полем F, то любой его минор также представим над F.
6.234. Показать, что если предгеометрия G предста-
представима над некоторым полем F, то ее А-усечение не обя-
обязательно должно быть представимым над этим полем.
6.235. Доказать, что матроид бинарен тогда и только
тогда, когда \К П С\ФЗ для всякого цикла К и коцикла С.
6.236. Доказать, что если матроид М бинарен, то он
не содержит миноров, изоморфных однородному мат-
роиду С/9D).
Пусть А = (ау)— матрица циклов матроида М на ко-
конечном множестве S, где
1, если /-й элемент S содержится в г-м цикле;
0 в противном случае,
а В = {bt]) — матрица коциклов того же матроида, где
1, если /-й элемент 5 содержится в i-м коцикле;
О в противном случае.

148
ГЛ. VI. СИСТЕМЫ МНОЖЕСТВ
§ 3. МАТРОИДЫ И КОМБИНАТОРНЫЕ ГЕОМЕТРИИ
149
Замена некоторых 1 на —1 в матрицах А я В называется
ориентацией матроида, если новые «ориентированные
матрицы» А и В удовлетворяют условию АВ* = 0, где 0 —
нулевая матрица, а В*—транспонированная матрица В.
6.237. Доказать, что любой графический матроид
ориентируем.
6.238. Привести примеры ориентируемых неграфиче-
неграфических матроидов.
6.239. Доказать, что наименьшими бинарными матрои-
дами, которые не могут быть ориентированы, являются
матроид Фано F7 и двойственный ему Z7*.
6.240. Доказать, что матроид М ориентируем тогда
и только тогда, когда ориентируем двойственный ему
матроид М*.
6.241. Доказать, что если матроид М ориентируем, то
ориентируем также любой его минор.
6.242. Доказать, что ориентируемый матроид предста-
представим над любым полем.
6.243. Доказать, что прямая сумма ориентируемых
матроидов ориентируема.
6.244. Доказать, что прямая сумма М\-\-М2 матрои-
матроидов является графической (соответственно кографической)
в том и только в том случае, когда Мх и М2 — графиче-
графические (соответственно кографические) матроиды.
6.245. Привести пример ориентируемого матроида,
который не является ни графическим, ни кографическим.
6.246. Доказать, что бинарный матроид является ориен-
ориентируемым (часто в литературе — регулярным) тогда и только
тогда, когда он не содержит в себе миноров, изоморфных
матроидам F7 и F*.
6.247. Пусть А = (А1, Л2, ..., Ат) — некоторое семей-
семейство непустых подмножеств конечного множества 5. Дока-
Доказать, что множество частичных трансверсалей А является
семейством независимых множеств некоторой предгеомет-
рии на множестве S.
Произвольная предгеометрия G на S называется транс-
версальным матроидом, если существует некоторое семей-
семейство А подмножеств множества 5 такое, что Ж (G) — семей-
семейство частичных трансверсалей Л. Эту предгеометрию будем
обозначать М [А].
6.248. Доказать, что каждый ^-однородный матроид
трансверсален.
6.249. Доказать, что циклический матроид для пол-
полного графа на четырех вершинах ке трансверсален.
6.250. Доказать, что матроид Фано не является транс-
трансверсальным.
6.251. Существует ли нетрансвсрсальный матроид, отлич-
отличный от вышеприведенных нетрансверсальных матроидов?
6.252. Найти трансверсальный матроид М, для кото-
которого существуют различные семейства подмножеств Л и В
такие, что М = М[А] = М [В].
6.253. Показать на примере, что матроид, двойствен-
двойственный трансверсальному матроиду, не обязательно транс-
трансверсален.
6.254. Показать, что сжатие трансверсального матроида
в общем случае не обязательно должно быть трансвер-
сальным.
6.255. Доказать, что матроид М трансверсален тогда
и только тогда, когда его можно представить в виде
объединения предгеометрий ранга 1.
6.256. Привести пример трансверсального матроида G
на множестве S такого, что для каждого ie5 подматроид
G(S\{x}) не является трансверсальным?
6.257. Что вы можете сказать об усечении трансвер-
трансверсального матроида?
6.258. Доказать, что сужение трансверсального мат-
матроида является трансверсальным матроидом.
6.259. Привести пример графической предгеометрий,
не являющейся трансверсальной.
6.260. Доказать, что матроид М является графическим
тогда и только тогда, когда он бинарен и не содержит
миноров, изоморфных М* {Кг), М*(/С3,з), F7 и F*.
6.261. Доказать, что матроид М является кографиче-
кографическим тогда и только тогда, когда он бинарен и не содер-
содержит миноров, изоморфных М(Кь), М(Кз,з), Fn, F*.
6.262. Доказать, что матроид планарен тогда и только
тогда, когда он является циклическим матроидом плакар-
ного графа.
6.263. Доказать, что матроид является пленарным
тогда и только тогда, когда он регулярен и не содержит
миноров, изоморфных М(/<5)) М (К-з,з) или двойственным
им матроидам.

150
ГЛ. VI, СИСТЕМЫ МНОЖЕСТВ
6.264. Матрица называется тотально унимодулярной,
если она состоит из 0 и ±1 и все ее миноры равны О
или ± 1. Доказать, что матроид регулярен тогда и только
тогда, когда он может быть представлен столбцами то-
тотально унимодулярной матрицы.
6.265. Пусть
/10 0 0 0—1 1 о 0
/01000 1—1 1 0 0
М = \ 0 0 10 0 0 1—1 1 0
1о о о 1 о о о 1—1
\0 0 0 0 1 1 0 0 1—1/
Является ли регулярным матроид Rl0, элементами кото-
которого являются столбцы матрицы М, а базисами — их
максимальные линейно независимые множества в линейном
пространстве над полем характеристики 2?
Пусть Mi, М2~ бинарные матроиды соответственно на
Si и S2, причем Sj_ и 52 могут пересекаться. Тогда матроид
М1кМ2 на множестве SiAS2 = (Sl\S2)\j{S2\Si), циклами
которого являются все подмножества множества SiAS2
вида С, АС,, где d — циклы матроида Mt (i = 1, 2), является
бинарным. Пусть | St j,
Тогда
-, -, *. -«,¦ ----- матроид
называется 1-суммой (соответственно 2- и 3-суммой)
матроидов Мг и М2, если Sif\S-i = ф (соответственно
I
р г
f~j S31 = 1 и 5i П
г}, где
не является
п.
ни петлей,
ни копетлей матроидов Мг и М2, ,..,., - „
где Z — цикл, не содержащий никакого коцикла матроидов
Mt и М2).
6.266. Доказать, что каждый регулярный матроид М
может быть построен посредством 1-, 2- и 3-сумм матро-
матроидов, каждый из которых изоморфен минорам матроида
М и является либо графическим, либо кографическим,
либо изоморфным Rl0 из задачи 6.265.
6.267. Справедливо ли обратное к задаче 6.266 утвер-
утверждение?
Пусть М — матроид (предгеометрия) на множестве S
с ранговой функцией г. Характеристический полином мат-
матроида М определяется следующим соотношением:
Р(М- Х)= ^
AczS
§ 3. МАТРОИДЫ И КОМБИНАТОРНЫЕ ГЕОМЕТРИИ
151
Пусть G —граф без петель и кратных ребер. Правиль-
Правильной k-раскраской графа G называется такое раскрашивание
вершин графа в k цветов, что никакие две смежные вер-
вершины не раскрашены одним цветом. Хроматический поли-
полином графа P(G\ X) определяется как функция, определенная
на множестве положительных целых чисел, которая при
каждом целом положительном X равна числу различных
способов правильной раскраски графа в X цветов. Если
М (G) — циклический матроид графа, то хроматический
полином графа —
P{G; X) = Xk^P(M{G); X),
где k (G) — число компонент связности графа G;
Р (М (G); X) — характеристический полином циклического
матроида M(G). Хроматическое число %{М) матроида М
определяется соотношением
7(М)= inf {n: Р(М\ п)>0\,
где Z — множество положительных целых чисел.
6.268. Доказать, что если е е S не является ни петлей,
ни копетлей (перешейком) матроида М на множестве 5, то
Р{М; Х) =
X),
где
'e = M
Me M\(S\e), M; = M. (S\e).
6.269. Доказать, что если матроид М содержит петлю,
то Р(М; %) = 0.
6.270. Доказать, что если е — копетля (перешеек)
матроида M(S), то Р(М; X) = (X - I) P (М'е; X); здесь
M'e = M\(S\e).
6.271. Найти характеристические полиномы следующих
матроидов:
а) матроида Фано F7;
б) проективной геометрии PG(r, q) размерности г над
полем GF (q)\
в) циклического матроида М (Кп) полного графа Кп
на п вершинах;
г) 2-однородного матроида иг(п) на «-множестве.
6.272. Найти хроматическое число матроида Фано F7.
6.273. Пусть М —неграфический матроид на множестве
5 и N = M\A, где Л е S. Доказать, что (N)^%{M)

152
ГЛ. VI. СИСТЕМЫ МНОЖЕСТВ
§ 3. МЛТРОИДЫ И КОМБИНАТОРНЫЕ ГЕОМЕТРИИ
153
6.274. Пусть М — неграфический матроид и а —таксе
целое число, что a>x(Af). Показать, что в общем случае
не обязательно Р (М\ а)>0.
6.275. Пусть М — бинарный матроид. Доказать, что
% (Af) ее 2 тогда и только тогда, когда все циклы М имеют
четную мощность.
6.276. Доказать, что если матроид М является ориен-
ориентируемым, то Р (Af; п) 5э 0 для всех п^\.
6.277. Доказать, что если матроид М является бинар-
бинарным, то Р(М; 2*)^ 0 для всех k^i.
Инвариантом называется такая функция f на множестве
матроидов, принимающая значения в коммутативном
кольце, что если матроид М изоморфен матроиду N, то
f (Af) = f (N), Инвариантом Татта — Гротендика называ-
называется инвариант, который для всех е, не являющихся ни
петлей, ни копетлей, удовлетворяет условиям
Пусть М — матроид на множестве S, а г и г* — ранговые
функции М и двойственного ему матроида Af* соответст-
соответственно. Полином Татта Т (Af; х, у) матроида М опреде-
определяется соотношением
Т{М; х, у)= ^ (x-iy{s^^A)(y-l)A-^AK
ACS
6.278. Проверить, что число b (Af) (соответственно i (Af),
sp (Af)) базисов (соответственно независимых множеств,
порождающих множеств) матроида М является инвариан-
инвариантом Татта — Гротендика.
6.279. Доказать, что Т (М; х, у) = Т(М*\ у, х).
6.280. Доказать, что для любого матроида М на мно-
множестве S характеристический полином имеет вид
Р(М; k) = (—lY<VT(M; 1-Я, 0).
6.281. Доказать, что если матроид М на множестве 5
имеет связные компоненты (S,-: i e /), то
Т(М; х, у)= П T(M\Sr, х, у).
6.282. Пусть М — матроид на множестве 5. Проверить
справедливость следующих соотношений:
а) Т(М; 2, 2) = 2*';
б) Т(М; 1, 1) = b (Af), где Ъ{М)~ число базисов
матроида М\
в) Т (М; 2, 1) — i (Af), где i(Al)~ число независимых
множеств матроида А1;
г) Г (Af; 1, 2) = sp (Af), где sp (Af) — число порождающих
множеств матроида Af;
д) Т(М; 0, 0) = 0;
е) Т(М; 1, 0) = (— 1)'{S)\i(S), где ц -функция Мёбиуса
геометрической структуры матроида Af и [a(S) = |a@, S).
6.283. Доказать, что лишь инварианты Татта —Гротен-
—Гротендика являются значениями полинома Татта.
6.284. Доказать, что коэффициенты полинома Татта
любого матроида неотрицательны.
6.285. Показать, что в общем случае сумма двух поли-
полиномов Татта не является полиномом Татта.
Пусть G (V, S) — граф с множеством вершин V и мно-
множеством ребер S, w — ориентация ребер графа G и Н —
абелева группа. Скажем, что инъекция <р: У->#\{0} есть
Н-попгок, если для каждой вершины иеУ выполняется
соотношение
где d+ (v), d" (у) — множества ребер, направленных вой
из v при ориентации w. Говорят, что граф G имеет k-поток,
если G имеет //-поток для всех (или одной) групп Я
порядка k.
6.286. Пусть w и w' — две ориентации ребер графа G.
Показать, что существует взаимно однозначное соответствие
между потоками ориентации w и w'. (Отсюда следует, что
число N (Я, G) Я-потоков з графе G не зависит от ориен-
ориентации графа и является функцией лишь от Я и С)
6.287. Доказать, что если ребро е не является петлей
или мостом графа G, то
N (Я; G) = ~
, G"e),
где G'e и G'e — графы, полученные из G соответственно
вычеркиванием и стягиванием ребра е.

154
ГЛ. VI. СИСТЕМЫ МНОЖЕСТВ
6.288. Пусть М (G) — циклический матроид графа G:
О (Я) —порядок группы Н. Доказать, что
N(H, G) =
; О,
= P(M*(G); О (И)).
6.289. Доказать, что любой граф без мостов имеет
8-поток.
6.290. Доказать, что граф Петерсона (Р10; рис. 6.2)
не имеет 4-потока.
6.291. Доказать, что граф без мостов имеет 5-поток.
6.292. Доказать, что граф G
без мостов имеет 4-поток тогда
и только тогда, когда он не
имеет подграфов, стягиваемых
к графу Петерсона.
§ 4. Экстремальные
геометрические константы
Тематика экстремальных ге-
геометрических констант включа-
включает в себя как вычисление экст-
экстремальных численных характе-
характеристик систем векторов, так и
пространственное описание сис-
систем векторов, экстремальных относительно каких-либо
свойств. Эта тематика, исторически восходящая к извест-
известному спору между Ньютоном и Грегори о значении кон-
контактного числа в R3, представляя широкий круг вопросов
метрической геометрии, обнаружила в последнее время
свои новые приложения в непрерывных и дискретных
негеометрических задачах и выделяется в самостоятельную
тематику. Представленные в этом параграфе константы
призваны продемонстрировать именно такую многоплано-
многоплановость; в первую очередь это относится к константам типа
б, которые прямо связаны с упаковочными константами,
контактными числами и их приложениями.
Пусть X — линейное нормированное пространство над
полем действительных чисел, через Gn — \xlt ..., хп) обо-
обозначим систему из п не обязательно различных векторов
Рис. 6.2.
§ 4. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ КОНСТАНТЫ
155
и пусть
'= 1л х>
х е а
Операция выбора подсистемы векторов Oi а оп понимается
б \ ^ 1 c i<
= ah где xi
f
а„
как выбор
... < ii <^п, так что всегда имеется в точности I " 1 воз-
возможностей для такого выбора.
6.293. Доказать, что
а) среди любых трех единичных векторов гильбертова
пространства всегда найдутся два, чья норма суммы будет
не меньше единицы;
б) среди любых трех единичных векторов линейного
нормированного пространства всегда найдутся два, чья
норма суммы будет не меньше 2/3;
в) среди любых трех векторов линейного нормирован-
нормированного пространства всегда найдутся два, чья корма суммы
будет не меньше чем 2/3 от нормы суммы всех трех
векторов;
г) среди любых трех векторов линейного нормирован-
нормированного пространства всегда найдутся два, чья норма суммы
будет не меньше чем 2/3 от нормы оставшегося вектора.
6.294. Пусть A(k, l; Х) — то наибольшее А, при котором
!k CZ X ЭО[ <а,е | Oi || з= А || ak — ог|. Вычислить A (k, I; X).
6.295. Каково то наибольшее В = В (k, I, r', X), при
котором Va/; с; X Уог с a* 3oi a ok \\ ot\^B \аг |?
6.296. Вычислить то наибольшее б = б(/, k; X), при
котором VekaX 3atciok Ца/Ц^б (|хг||5г1).
6.297. Пусть б^а 1^5-1 — натуральные, a vlf v2, ..-, vlt
Wi, ..., wk— действительные числа. Пусть C{vt, wk) — то
наибольшее С, при котором VaftcY Заг = {х(- ...хс \ сгаЛ:
ВЫЧИСЛИТЬ C(vt,
[=1
6.298. Пусть &^=/$s 1 —натуральные, a vu ..., vt —
действительные числа, а 2/г —Л-вершинный симплекс,
вписанный в единичную сферу пространства R*-1. Дока-

156
ГЛ. VI СИСТЕМЫ МНОЖЕСТВ
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
зать, что если [хи ..., xt) с 2Й, то
i
У, vixi
1=1
\2 1/3
:
6.2ЭЭ. Пусть ь\ и„ — действительные числа. Вычис-
Вычислить константу
| л
6(п„, х)= inf max ! У\vn{i)Xi
где я — перестановка чисел {1, 2 л}.
6.300. Систему единичных векторов о,г называем L-cu-
стемой (и пишем oa~L), если 4opczon 3oQczop Mokciaq
|offtj =ce R1. Вычислить или оценить константу
Дс(«. Р, <?. ^; Х)= sup |ал|.
6.301. Пусть Т (п, k, /) —комбинаторное число Турана
(см. задачу 6.46). Доказать, что тогда во всяком anczX
(i|x,i5sl) найдется по крайней мере Т (л, А, /) подсистем
а, скт„ таких, что 1а.|^6(/, &; х), где б из задачи 6.296.
6.302. Вычислить 8A, k; R2) (см. задачу 6.296).
6.303. Доказать, что матрица Адамара порядка 4л
существует тогда и только тогда, когда 6B, 4л; lin~l) =
()()
6.304. Задача о червяке. На плоскости распола-
располагается линия единичной длины. Областью сколь малой
площади можно полностью закрыть любую конфигурацию
этой линии?
Глава I
КОМБИНАТОРНЫЕ СХЕМЫ
§ 1. Комбинаторные соотношения
1.1. Число fe-выборок из rt-множества, содержащих первый эле-
элемент, очевидно, равно С*~', и не содержащих первый элемент равно
Ся_Р 0ТКУДа следует а).
Для доказательства тождества б) придадим правой части его
следующий комбинаторный смысл: Скп_\—число fe-выборок из я-мно-
жества, не содержащих первый элемент; С*~2~число -^-выборок,
содержащих первый элемент и не содержащих второй и т. д.;
С*~^_[ — число fe-выборок, содержащих первые г элементов и не
содержащих (r-f-l)-fl элемент и т.. д.
1.2. Число m-выборок (и+ 1)-множества равно С™+т, Разобьем
эти выборки на классы, отнеся в (т — &)-й те, в которые элемент
первого типа входит т — k раз. Остальные k мест могут быть заняты
элементами других типов. Поэтому число элементов в (т — к)-и классе
равно числу 6-выборок из (я)-множества, т. е. равно C*_(_ft_1, Про-
Просуммировав по всем классам разбиений, получим требуемое множество.
1.3. Зафиксируем гл-подмножество «-множества. Число г-выборок
из «-множества при условии, что ровно г — k элементов, принадлежит
m-подмножеству, а остальные k элементов —его дополнению, равно
Сп — тСГпГк (использовано правило произведения). Просуммировав
по k, получим число всех г-выборок из «-множества, или Сп. Отме-
Отметим, что при k~>m\n {г, п — т) члены суммы равны нулю.
1.4. а) Число всех подмножеств «-множества равно, очевидно, 2Л.
С другой - стороны, каждое подмножество «-множества мощности k
есть 6-выборка. Просуммировав по всем k, получим требуемое то-
тождество.
б) Так как A-}-х)л=
C*xfe,
то, дифференцируя по х, имеем
Полагая х=\, имеем б),
2
fe=o

158
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ. УКАЗАНИЯ. ГЛАВА I
= J] k •
J] ft (ft-
6 = 0
2
4=0
в) Так как ? АС = J] k • АС = J] ft (ft 1) С
fe=0 ft=0 •
то аналогично б) имеем в).
1.5. Число упорядоченных л-выборок из (т)-множества равно
тп = Ап(т). Разобьем я-выборки на классы, отнеся в k-я класс те,
в которых элементы первого типа находятся на k местах. Число
«-выборок в k-м классе равно Скп(т—\)п~н. Взяв сумму всех л-вы-
л-выборок по всем классам разбиений, получим требуемую формулу.
1.6. Число всех упорядоченных л-выборок из (А)-множества
равно kn. Разобьем эти выборки на классы, отнеся в один класс те,
в которые входят П\ элементов первого типа, п2 элементов второго
типа и т. д., п-ь элементов &-го типа. Число таких «.-выборок равно
р(пъ ..., пк} = п\/(пх\... nk\). Следовательно, общее число «-выборок
из (й)-множества равно ^р(пи ..., nk), где суммирование происхо-
происходит по всем упорядоченным разбиением п на k слагаемых, что и
требовалось доказать.
1.7. а) Будем рассматривать «-множество как (</)-множество,
в котором «! элементов первого типа, п2 — второго и т. д., па — а-го
( \
(
типа ( п
ni)'t ПРИ этом будем различать элементы одного и того
\ I
же типа между собой.
Разобьем все m-выборки из n-множество на классы, отнеся
в один класс те /n-выборки, в которых ровно nil элементов первого
типа и т. д. Число /п-выборок в этом классе равно С™
1
...Стч.
1 2 nq
Просуммировав по всем классам, получим требуемый результат.
б) Аналогично а) с заменой п-множества на (п)-множество.
1.8. Так как СГЛ}Х = ~Т.- Сгп и Сгп = — Сп1.\> то левую часть
Т
равенства можно записать так:
п (п + 1
т^т+т-
rfi (n+l)n
n\, rr-i
r \ n-1
n{n—r)
r(r + \)
n(n — r)
1)
= r.
1.9.
px— 1
* Bft-*-1I
r
n-\
n-l
§ I. КОМБИНАТОРНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
Г-Х)!
159
^ ^n-x (Я-1)'
/-^rt— X
1Л1#
И2
: Bп)Г
1.12. По формуле бинома Ньютона
тогда
;=0
[«/2]
Аналогично получается б).
1.13. Число m-выборок из (л)-множества равно С™, m , j. Разо-
Разобьем типы элементов (п)-множества на два класса, по р и п — р
типов соответственно. Далее разобьем все /я-выборки из (^-множе-
(^-множества на классы, отнеся в класс % те, которые содержат х элементов
первого множества типов и m — х элементов второго типа элементов.
Ясно, что в классе % содержится С* , A._]C^TJ^___;c_1 элементов.
Просуммировав по всем классам, получим требуемое тождество.
m
^ ^=rn — Clm> Пусть
1.14. Докажем по индукции при n = 0
io = l
Тогда
-.n—1

160
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ. ГЛАВА I
где первое равенство доказано в задаче 1.2, что и требовалось дока-
доказать.
1.15. Разобьем все перестановки из т белых и п черных шаров
на классы. К классу {k\, ... , km) отнесем перестановки, в которых
есть k\ изолированно стоящих белых шаров, k2 пар, k3 троек и т. д.,
km рядом стоящих т шаров.
Ясно, что ki -f- 2k2 -f- •... + mkm = m. Сосчитаем число перестановок
класса (k-\, k2 km). Если п черных шаров поставлены по порядку,
то у нас есть я+1 мест для расстановки белых шаров. Поэтому
число перестановок равно р (kh ... , km, n — k1—... — km-j-\). Общее
число перестановок равно С™,т, что и требовалось доказать.
1.16. При я >0 см. задачу 1,1. При п< 0 имеем
что и требовалось доказать.
§ 2. Выборки и упорядочения
1.17. Общее число перестановок равно п\. Однако отношение
соседства сохраняется при циклических перестановках и при сим-
симметрическом отражении. Поэтому всего способов п\/Bп) = (п —1)!/2.
1.18. Выбрать места для мужчин и для женщин можно двумя
способами. После этого мужчин можно посадить на выбранных мес-
местах я! способами. На остальных местах п\ способами можно поса-
посадить женщин. Всего 2 (я!J способов.
1.19. а) С\% — С\%; действительно, всего способов вынуть 10 карт
С\%\ в С\\ случаях в выборке не окажется ни одного туза; б) С\С\$,
1.20. Выбираем 6 шахматистов Сап способами. Занумеруем их
номерами от 1 до 6 и разобьем на пары: первый —второй; третий —
четвертый; пятый — шестой. Это можно сделать 6! способами. Так
как порядок шахматистов внутри каждой пары и порядок пар несу-
несущественны, то 6 шахматистов можно разбить на пары 61/B33!) спо-
способами. Всего же существует С^6!/B33!) = и!/D8 (п — 6)!) способов
составить три пары из п шахматистов.
R A ft
1.22. Каждый делитель числа q имеет вид р^р^2 ... рпп, где f3r=i
= 0, 1, ..., а/. По правилу произведения число делителей равно
(cxj -f-1) («2+ ') ••• («га + 1)- Сумма делителей равна
l-l л+1 •
1 Ич •
Pi — 1
Pi —
Действительно, если раскрыть скобки, то при приведении подобных
членов получим сумму, в которую каждый делитель q входит ровно
один раз. Отсюда можно получить число делителей q по-другому,
§ 2. ВЫБОРКИ И УПОРЯДОЧЕНИЯ
161
А именно, достаточно в левой части последнего выражения положить
все pi равными единице.
1.23. Объединим данные пг элементов в один. Учитывая, что эти m
элементов можно переставлять между собой, получим т\ (п — т+\)\
перестановок, в которых данные т элементов стоят рядом. Следова-
Следовательно, число искомых перестановок п\—т\ (п — m-f-1)!-
1.24. Количество я-значных чисел, не содержащих двух идущих
подряд одинаковых цифр, равно 9га при п> 1 и 10 при л=1. Этот
результат вытекает из правила произведения, если учесть, что после
выбора первых к цифр Aг-\-\)-я может быть выбрана девятью спосо-
способами. Поэтому ответ задачи следующий:
1.25. В искомом способе набора шести карт может оказаться,
а) три карты одной масти и по одной других мастей; таких вы-
выборок QQ3(C}3K;
б) две пары карт одинаковой масти и по одной двух других
мастей. Таких выборок С\ (С?аJ (CJ8J. Сумма этих чисел даст иско-
искомый ответ.
1.26. Для того чтобы характеризовать число, удовлетворяющее
условию задачи, достаточно сказать, сколько в этом числе встречается
единиц, двоек, ..., девяток. Поэтому всего таких чисел
1.27. Каждый шар может занимать одно из т мест. Тогда по
правилу произведения получим тп способов раскладки.
1.28. Каждому способу размещения соответствует л-выборка из
(т)-множества. Всего способов С"т)= С^^_„_1#
1.29. а) В каждую из урн надо положить по шару. Остальные
шары можно разместить С"~^т= C^~\l= Cmn^—\ способами.
A ftl — k
в) В первую урну положим ах шаров, во вторую — 0% и т. д.,
s
в s-ю — as шаров. Тогда остальные п— 2 ai шаров можно разме-
стить по остальным т — s урнам С,т_^^х
способами.
n-S ar
— s—l
I— >, а.
г) С.
(m)
[=1 =с
m+n—
'г
1.30. Белые шары мы можем разместить по урнам С^ спосо-
способами, черные — С"^ и синие —С"^ способами. Но поскольку рас-
распределения шаров разного цвета не зависят друг от друга, то,
6 Под ред. К. А. Рыбникова

162
ОТВЕТЫ. РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ. ГЛАВА I
§ 2. ВЫБОРКИ И УПОРЯДОЧЕНИЯ
163
в силу правила произведения, общее число способов распределения
равно
рпх рпг п'Н пП\ rnt Сп«
1.31. Обозначим число способов распределения п одинаковых
шаров по i одинаковым урнам через А (п, i). Эта задача эквивалентна
распределению п одинаковых шаров по i различным урнам так, что
«1 =ё ла г?... «S tii гДе пт — число шаров в т-й урне. Зафиксируем
число шаров k в 1-й урне, где 0^k^[n/i]. Учитывая, что в каж-
каждой из остальных г —1 урн находится не меньше чем k шаров,
заключаем, что число способов их заполнить равно А (я— Ik, i—1),
Тем самым получаем следующее рекуррентное соотношение:
А(п, ()=
[л/?]
— ik, j —1).
f«/3]
Отсюда ответы: а) [Щ б) Ш + 1 + J
/0
/г=0
1.32. Расставим все шары в ряд и занумеруем их. Надпишем
над каждым номер урны, в которую его положат. Номера урн обра-
образуют подстановку из ^-множества, содержащую пх чисел 1, п2 чисел 2,
nk чисел k. Каждая такая подстановка определяет свой способ рас-
раскладки, а число таких подстановок равно р (% nk) =
= п1/(лг1 ... nk\),
1.33. а) Частный случай задачи 1.32. Ответ:
п\
б)
п\
(Pi!) гЫ) г -(Р*1) */л,1.../пА1
1.34. а) Эта задача эквивалентна распределению к одинаковых
шаров по п различным урнам при условии, что в первой урне не
менее чем 1 шар. Здесь существенно, что &=~;9, Поэтому ответ таков
(си. задачу 1.28): Cfn7J = С*+ ^_2;
б) ^(«)= Cn + k— 1-
1.35. Простым перебором получаем, что пятизначное число может
состоять из следующих наборов цифр:
7, 2, 6, 5, 5; 7, 6, 5, 2, 2; 7, 2, 2, 5, 5;
6, 2, 2, 5, 5; 7, 5, 2, 2, 2; 7, 6, 2, 2, 2;
5, 6, 2, 2, 2; 7, 2, 2, 2, 2; 5, 2, 2, 2, 2;
6, 2, 2, 2, 2; 5, 5, 2, 2, 2;
Поэтому общее количество таких чисел равно
2р[\, 1, 1, 2) + ЗрA, 1, 3) + 2р[1, 2,
265.
1.36. а) Обозначим непустую совокупность подряд стоящих единиц
буквой Е, а нулей — буквой Н. Тогда из условия задачи следует, что
последовательность нулей и единиц располагается по одной из двух
схем ЕНЕН...ЕН или НЕНЕ...НЕ, причем в каждую схему вхо-
входит г пар. Но распределить т единиц между непустыми совокупно-
совокупностями можно C^~| = C^_j способами. Для нулей аналогично имеем
С^Ц^ = С^~{ способов. Поэтому общее число последовательностей
равно 2С^3.1|С^~1.
1.37. а) Отметим, что число S заведомо не удовлетворяет условию
задачи, если его можно представить двумя существенно разными
способами в виде суммы трех различных слагаемых, каждое из кото-
которых не больше 9, так как в этом случае имеются по крайней мере
12 чисел с суммой S. Такое представление легко получить для всех
чисел S от 5 до 22. Например: 5 = 4+1+0 = 3 + 2 + 0. Для S==? 4
воспользуемся результатом задачи 1.34.
б) Получаем, что лишь для S = 3 существуют ровно 10 чисел,
у каждого из которых сумма цифр равна S. Каждому числу, деся-
десятичная запись которого есть axa^az, взаимно однозначно ставится
в соответствие число 9 — ci-fi — a29 — а3. Если сумма цифр первого
равна S, то второго —27 —S. Поэтому случай, когда 23s?S^27, сим-
симметричен случаю 0s?S=s4 и лишь S = 24 удовлетворяет условию
задачи. Ответ: Sx = 3, S2 = 24.
1.38. а) Купивший билет выбирает 6 номеров из 49. Все воз-
возможные выборки считаются равновероятными. Зафиксируем 6 номе-
номеров. Тогда искомая вероятность равна отношению числа выборок, со-
содержащих ft из 6 фиксированных номеров, к числу всех выборок. Всего
выборок С\а. Используя правило произведения, получаем, что k но-
номеров из 6 содержат C^C^k выборок — сначала из 6 верных номе-
номеров выбирают k, а затем б — k номеров дополняют из числа 43 «не-
«несчастливых». Таким образом, вероятность угадать k номеров равна
б)
6
2
-6—?
1.39. Как и в предыдущей задаче, под вероятностью мы будем
понимать отношение числа благоприятных выборок к общему числу
выборок. Всего существует Cjju способов вынуть 5 жетонов. Пусть
участник лотереи купил билет с одним номером. Для выигрыша не-
необходимо, чтобы один из 5 жетонов совпал с номером на билете.
Остальные выбираются из оставшихся 89 номеров. Поэтому благо-
благоприятных исходов C\rj, а вероятность выигрыша равна C|o/Qo= 1/18.
Аналогично, при игре на два номера получаем, что вероятность
выигрыша равна C^/Qo =2/801. При игре на три номера С|7/С1„ =
= 1/11 748. При игре на четыре номера Qo/Qo = 1/511 038. При игре
на пять номеров 1/Cjo= 1/43 949 268.
1.40. Обозначим число последовательностей длины п, удовлетво-
удовлетворяющих условию задачи, через g(n). Число последовательностей
длины п, начинающихся с одной из цифр 1, 2, ..., k, равно g (n— 1),
6*

164
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ. УКАЗАНИЯ. ГЛАВА I
§ 2. ВЫБОРКИ И УПОРЯДОЧЕНИЯ
165
а число начинающихся с нуля и удовлетворяющих условию задачи,
равно (k-\-l)n — g(n — 1). Поэтому справедливо следующее рекур-
рекуррентное соотношение: g {n) — {k — l)g(n— l) + (k+ l)'1. С учетом
того, что g(l) = k, по индукции доказывается следующая формула:
1.41. Первый способ. За каждый успешно сданный экза-
экзамен поступающий может получить 3, 4, 5 баллов. Обозначим через
F (k, N) число способов, которыми можно набрать N баллов после k
экзаменов. Тогда имеем соотношение
F(k, N) = F(k-\, N —
— l, N-5).
Отсюда получаем, что
FD,17) = FC, 14) + FC, 13)+FC, 12) =
= FB, 11) + 2F<2, 10)+3FB, 9) + 2F B, 8)+FB, 7) =
B, 9) + 2F B, 8) +F B, 7),
так как набрать 11 баллов после двух экзаменов невозможно, а на-
набрать 10 баллов можно единственным образом, получив две пятерки.
Продолжая вычисления, получим
F D, 17) = 2 + 3F (I,
(I,
{1,
A, 3)+F A, 2),
но F A,6) = F A,2) = 0 {6 баллов за 1 экзамен получить нельзя,
а 2 лишает возможности поступить в институт, F A, 5) =F A, 4) =
= FA,3)=1, поэтому FD, 17)= 16.
Аналогично производим подсчет для F D, 18) = 10, F D, 19) =4
и F D, 20)= 1. Всего получаем 16+10 + 4 + 1 =31 способов успешной
сдачи экзамена.
Второй способ. Обозначим через Р (a, bt с, d, e) число
способов, которыми можно получить а пятерок, Ь четверок, с троек
и т. д. 17 очков можно получить двумя существенно различными
способами: можно получить две пятерки, одну четверку, одну тройку;
либо получить пятерку и три четверки. Эти отметки могут любым
способом распределиться по сданным предметам. Так как
РB, \,\)+Р(\, 3)=4!/B!1Ш)+4!/(ЗШ) = 16,
то 17 очков можно получить 16 способами.
Точно так же подсчитывается число способов получить 18, 19, 20
очков.
1.42. Через F (пи п2 пт\ N) обозначим число способов,
которыми можно уплатить N коп. монетами различного достоинства.
Отсюда следует
F(nu n2, .... пт; N) =
= F{nlt n2 nm_i; N — пт)+Р(щ nm_t; N). (*)
Это позволяет свести задачу о выборе из т монет к задаче о выборе
из (т—1) монет. Повторяя аналогично, сведем эту задачу к задаче
о выборе из (т — 2) монет и т. д. Очевидно, при nm>N соотноше-
соотношение (*) заменяется на F (nlt яа пт; N) = F (щ «m-ъ N)>
Применим этот метод к решению данной задачи:
/?A, 2, 3, 5, 10, 15, 20, 50; 73) = FA, 2, 3, 5, 10, 15, 20,50; 23) +
(\, 2, 3, 5, 10, 15, 20; 73)=FA, 2, 3, 5, 10, 15, 20; 23),
так как 1 {-2 + 3 + 5+10+15 + 20 < 73, и поэтому второе слагаемое
равно 0. Продолжаем далее:
F(l, 2, 3, 5, 10, 15, 20; 23) =
= FA, 2, 3, 5, 10, 15; 3) + f A, 2, 3, 5, 10, 15; 23),
но
F(l, 2, 3, 5, 10, 15; 3)=FA, 2, 3; 3) =
= FA, 2; 0)+F(l, 2; 3) = 1+FA; 3)+F(l; 1) = 2.
Вычислим второе слагаемое:
F(l, 2, 3, 5, 10, 15; 23) =
=FA, 2, 3, 5, 10; 8) + F(l, 2, 3, 5, 10; 23)=FA, 2, 3, 5, 10; 8),
так как 1 +2 + 3 + 5+ 10<23. HoF(l, 2, 3, 5; 8)=FA, 2, 3; 3)=2.
Окончательно получим
F(l, 2, 3, 5, 10, 15, 20, 50; 73) = 4.
Итак, требуемую уплату можно произвести четырьмя способами,
а именно: 1) 50, 20, 3 коп.; 2) 50, 20, 2, 1, коп.; 3) 50, 15, 5, 3 коп.;
4) 50, 35, 5, 2, 1 коп.
1.43. Пусть f (N) — число способов, которыми можно наклеить
марки в 4, 6, 10 коп. так, чтобы общая стоимость этих марок
равнялась N. Тогда для f (N) справедливо равенство f(N)=f(N — 4)-\-
+ ((N — &) + f(N —10). Действительно, пусть имеется некоторый
способ наклейки марок с общей стоимостью N коп., и пусть послед-
последней наклеена марка стоимостью 4 коп. Тогда все остальные марки
стоят N — 4 коп. Наоборот, присоединяя к любой комбинации марок
с общей стоимостью /V—4 коп. одну четырехкопеечную марку, полу-
получим комбинацию марок стоимостью в Д/ копеек. При этом из разных
комбинаций стоимостью в N—4 коп. получаются разные комбинации
стоимостью в N коп. Итак, число искомых комбинаций, где послед-
последней наклеена марка стоимостью в 4 коп., равно /(Л/—4).
Аналогично доказывается, что число комбинаций, оканчиваю-
оканчивающихся шестикопеечной маркой, равно f (N — 6), а десятикопеечной
маркой оканчивается f (N —10) комбинаций. Так как любая комби-
комбинация оканчивается маркой одного из указанных типов, то справед-
справедливо доказываемое соотношение. Это соотношение позволяет свести
задачу о наклеивании марок на сумму N коп. к задаче о наклеива-
наклеивании марок на меньшие суммы. Но при малых значениях N задачу
легко решить непосредственно. Простой подсчет показывает, что
/@)= 1 (сумму 0 коп. можно уплатить единственным способом: вообще
не наклеив марок); f(l) = /B)=/C) = 0; fE) = 0; fG)=/(9) = 0
(эти суммы вообще никак нельзя получить с помощью марок в 4, 6,
10 коп.); /D) = 1 /F) 1 /(8I

166
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ. ГЛАВА I
Используя значения f (N) для Л/=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
легко найти/A0) = ;F) + /D)-т-/@)=3. После этого находим/(П)=
= /G)+/E) + /A)=0. /{12)=/{S) + /F) + /B)=2 и т. д., /A8) = 8.
Таким образом, марки можно наклеивать восемью способами:
1) A0, 4, 4); 2) D, 10, 4); 3) D, 4, 10); 4) F, 4, 4, 4); 5) D, 6, 4, 4);
6) D, 4, 6, 4); 7) D, 4, 4, 6); 8) F, 6, 6).
§ 3. Разбиения
1.45. Указание: Установить эквивалентность задач о числе
способов разместить k—1 черточек в п—1 промежутках между п
точками с целочисленными абсциссами.
1.46. Известно, что каждое число можно единственным образом
записать в двоичной системе исчисления, т. е, в виде суммы несколь-
нескольких различных степеней двойки. Пусть теперь п = Vj-f- Vj-{-••• + V2 +
+ v2 + ... есть любое разбиение п на равные или неравные нечетные
слагаемые. Предположим, что слагаемое v^ входит в разбиение т;
раз так, что п= 2 mivi- Представив число т,- в виде mf = 2'1-f-
i = 1
., получим
а-
2 а
т. е. разбиение л на четные или нечетные слагаемые, которые будут,
очевидно, различны. Обратно, если дано разбиение n = kx-\-k2-4-...
на различные слагаемые, то представим каждое из них в виде ki —
= 2 (Vj (a* Э= О, V; — нечетное) и соединим все слагаемые g одним и
тем же Vj, положив сумму этих слагаемых 2a'IVi+2a'2v/-f--.. равной
triiVt (где т(=2а11 + 2а?г + ...). Получим я — тх\х + mav2 -f-..., т.е.
разбиение п на нечетные слагаемые, что и требовалось,
1.47. Доказательство см., например, в [14J,
1.48. Рассмотрим всевозможные представления п в виде V
причем 2а есть неупорядоченная сумма т неравных слагаемых и d,
т
б —положительные целые числа; сумма ^а может отсутствовать.
т
На все эти представления распространим сумму S = ^ (—\)т d;
вычисление этой суммы двояким способом и дает решение задачи.
Собирая сначала в сумме S члены для которых dfi = p имеет
одно и то же значение, находим совокупность этих членов равной
S (p) 2j(—l)m> причем ? {—1)"» берется по всем разбиениям числа
п — р на неравные слагаемые. Применяя предыдущую задачу Эйлера—
Лежандра, находим для S выражение S= 2 (~0й 5 (п — щ).
k:wk<n
Чтобы найти другое выражение для S, разобьем все представле-
представления n = 2a + ^ на три категории: 1) представления, в которых d
§ з. РАЗБИЕНИЯ
167
не встречается среди слагаемых суммы ^а и вместе с тем б> 1;
т
2) представления, в которых d встречается среди слагаемых суммы
V а; 3) представления, в которых d среди слагаемых ^ а не встРе-
т т
чается и 6=1. Возьмем какое-нибудь представление первой категории
n-=Va+^5 и, отняв одно d от члена db, присоединим его как
т
слагаемое к сумме ^а- Полученное представление, которое можно
т
изобразить так: п= J] a-f-dF —1), принадлежит, очевидно, второй
Н
категории. Обратно, из каждого представления второй категории
можно получить представление первой категории. Итак, представле-
представления первой и второй категорий находятся во взаимно однозначном
соответствии; замечая, что члены суммы S для соответствующих пред-
представлений, т. е. (—\)т d и (—l)m+1d, взаимно уничтожаются, можем
сказать, что часть суммы S, распространенная на представления
первых двух категорий, равна нулю.
Рассмотрим какое-нибудь представление третьей категории п =
= ^a + d. Так как d не встречается среди слагаемых а, то это
т
представление можно рассматривать как неупорядоченное разбие-
разбиение п на m-f-1 неравных слагаемых. Обратно, из каждого разбиения
п = а1 + ... + ат+1 получим m-j-1 представлений третьей категории,
приняв d равным аъ а2, ..., ат+1. Эти представления дадут в сумме 5
члены (— l)mai + (— l)ma2 + ... + (— l)^am+1 = (— \)m п. Отсюда ясно,
что вся сумма S равна я ? (— \)т, где ? (— \)т берется по всем
неупорядоченным разбиениям п на различные слагаемые, число кото-
которых т+1. Согласно формуле Эйлера —Лежандра (из задачи 1.47),
S=|(—') " \> что и требовалось доказать.
\п = ws )
1.49. Рассмотрим сумму S = 2(~0m п0 разбиениям п = ^а +
т
-\-У\а*, где ^ а обозначает неупорядоченную сумму т неравных
т
слагаемых, а У, а* —неупорядоченную сумму равных или неравных
слагаемых. Докажем, что S = 0.
Соединим в одну группу те разбиения, в которых совокупность
слагаемых а и а* одна и та же; пусть в ней содержится k ^неравных
слагаемых. Очевидно, что все разбиения рассматриваемой группы
получатся, когда из k упомянутых слагаемых мы выберем какие-.ни-
будь т (т = 0, 1, ...,&) и отнесем их к сумме ^а, остальные же
т
отнесем к сумме ? а*. Составленная для них сумма У, (— \)т будет
1 — С\+С\ — ...± С^ = 0. Следовательно, и 5=0. Соединим теперь
в сумме 5 члены, для которых ^а = и и ^а* =v {u+v = n), По

168
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ. ГЛАВА I
формуле Эйлера—Лежандра эта часть суммы равна нулю, если и —
непентагональное число, и равна (—1)*|д,(у), если и = т^. Следова-
Следовательно, получим равенство 2 (—l)ft [^ (л —mft) = 0, чтоитребо-
к: w. ^ п
валось доказать.
1.50. F (я — hk)= 2 (— I)S/(«
на [i (k) и просуммировав по k, получим
ws))- Домножив
{k)F (я-Aft)
ft, s
Соединив в последней двойной сумме те члены, для которых k-\-ws = l
имеет одно и то же значение, получим
2
0 < J < n/h
к:
Внутренняя сумма по предыдущей задаче равна нулю для I > 0.
Следовательно, вся сумма равна /(я).
1.51. а) доказывается аналогично задаче 1.49. Надо доказать
равенство
2 (-i)m= 2 (-dw
и применить теорему Эйлера—Лежандра.
б) следует из а) и формулы обращения задачи 1.50.
1.52. а) доказывается аналогично задаче 1.49. Из формулы
Эйлера —Лежандра следует
б) следует из а) и формулы обращения задачи 1.50.
1.53. Это число равно коэффициенту при хт в многочлене
( +1 + ... + х")Р = х1Р(\— х"-1^){\—х)-р. По формуле бинома
Ньютона получаем, что этот коэффициент равен
—lp
Mr<m-\-i— n—\—lp
l u° {/ l)( 1)
= 2
0
+ { — n — I) — lp
— (/ — l)(p — 2)-2/i — l
§ 3. РАЗБИЕНИЯ
169
1.54. Круг, по которому m-я плоскость пересекает шар, пересе-
пересекается с каждой из остальных плоскостей в двух точках и, следова-
следовательно, делится на 2 (яг—1) частей. Если убрать /?г-й круг, то число
частей будет F Bт— 1). Следовательно, F (т) = 2 (т— l) + F (m— 1) =
=*2 + т(т— 1), так как F(l) = 2.
1.55. Каждому из Ckn_ks выборов k номеров из n — ks сопоставим
выбор k вершин из п так: справа от очередного выбранного номера i
ставим номера г'-j-l, ..., i-\-s, а идущие следом номера увеличиваем
Has. Подобным же соответствием находим sC^Z.L —1 выборов, не
охваченных прежде, когда выбрана одна из вершин п — s, га —s-1-l, ...
..., я. Всего имеем C*_fts + sC*~J,s— i ^-угольников.
1.56. Пусть V (я) — искомая функция. Докажем рекуррентное
п~\
соотношение V (я)= 2 V (s)V (n — s— 1), У @) = 1. Действительно,
s = 0
при любом разбиении найдется один треугольник, содержащий ребро
(я+1. п + 2) {будем считать, что вершины пронумерованы числами
от 1 до п + 2). Третья вершина треугольника может быть любой
из остальных 1, 2, ..,, п. Пусть это будет вершина 5. Если удалить
треугольник (n+1, « + 2, s), то мы получим два многоугольника
с числом вершин s-j-1 и п — s + 2, которые можно триангулировать
(разбить на треугольники) V (s—1) и V (п — s) способами соответст-
соответственно. Просуммировав по 5=1 п, получим требуемую формулу.
Можно доказать, что решение этой рекуррентной формулы будет
1.57. Пусть У (я) —искомая функция. Докажем рекуррентное
соотношение V (й+ \) — V (k) + k+ I, V A) = 2. Отсюда сразу получим
V (n)^2 + B + 3 + ... + n) = (n* + n + 2)J2.
Пусть проведено k прямых. Проведем еще (&+1)-ю прямую. Она
пересекается с остальными в k точках и делится на k-\-\ частей,
каждая из которых принадлежит одной новой части плоскости. Сле-
Следовательно, V (k-\-1) — V (k) — k-\-1, что и требовалось доказать.
1.58. Пусть I — число пар параллельных прямых. Если / = 0 =
= ks = ki = ... = kn, то k2 — n(n— l)/2. Рассмотрим вершину А крат-
кратности г. Если немного сместить все прямые, проходящие через А,
то мы получим /¦(/¦—1)/2—1 новых точек пересечения. Следовательно,
п(п-\)
It
r(r-\)
ft,.
Отсюда
l = -
'¦kr.
1.59. Пусть У (я) —искомая функция. Если бы все прямые попарно
пересекались и никакие три не пересекались бы в одной точке,

170
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ. ГЛАВА I
то по задаче \.~7
У (п) = 2 +2 + 3 + ...+л = п (л— 1)/2+1=(и2
Одна точка кратности г дает уменьшение числа частей на величину
(г2 + /¦ + 2)/2 — 2т = (/-а — Зл + 2)/2.
Если параллельных прямых нет, то
n
г=2
Если есть / пар параллельных прямых, то
"r\ 2
r==2
Используя результат задачи 1.58, получим
п п
-2г.
'' — Л
Эту формулу можно также вывести по индукции.
1.60. Пусть уже проведены k—\ плоскостей. Проведем еще одну
плоскость, Она пересекается с ранее проведенными плоскостями
по k—1 прямым, которые делят ее на (к2— fe + 2)/2 частей. Каждая
из этих частей соответствует новой части пространства. Поэтому
п плоскостей делят пространство на
i
частей.
1.61. Пусть уже проведено fe—1 плоскостей. Проведем k-ю пло-
плоскость. Она пересекается с ранее проведенными по fe—1 линиям.
Эти линии пересекаются в одной точке А и делят k-ю плоскость
на 2 (к—1) частей. Каждая из этих частей соответствует новой части
п
пространства. Поэтому общее число частей будет 2-f- ^ 2 (s—1) =
s = 2
= fta~fc — 2.
1.62. Задача аналогична соответствующей задаче о прямых
на плоскости, 1.=С\
lsd.
§ 4. СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ
171
1.63. Полное число частей согласно задаче 1.60 равно (л +1) X
Х(п2 — п-\-6)/6. Каждая тройка непересекающихся в одной точке
плоскостей дает уменьшение на 1. Число таких троек равно k —
п
= Сп
kscl. Каждая точка, принадлежащая 5 плоскостям, дает
уменьшение числа частей пространства на
(s+ 1) (s2 — s + 6)/6 — (s2 — s-f-2) = (si — 6s2+lls — 6)/6.
Следовательно, общее число частей, если нет параллельных плоскостей,
равно
¦11s—6
/rt J_ I ПП« M _J_ m If.-, — T ?> A . r. I Ў ?) 1-
—n + 6) —fci—
\
, о
§ 4- Смешанные задачи
1.64. Говорят, что перестановка п-множества имеет спецификацию
(kik2...kn), если она содержит kt элементов 1-го сорта (i =1,...., п).
а) Это число перестановок 2п-множества, имеющего специфи-
спецификацию Bп).
б) Это число перестановок Зл-множества, имеющего специфика-
спецификацию <3«).
в) (л2I/(я!)л есть число перестановок п2-множества, имеющего
спецификацию (л"). Докажем, что это число делится на п\. Разобьем
наше множество перестановок на классы эквивалентности следующим
образом.
Две перестановки л2-множества спецификации (пп) будем называть
эквивалентными, если существует такая подстановка (iu i2, ..., in),
что на тех местах, где в 1-й перестановке стоят элементы 1-го сорта,
там во второй перестановке стоят элементы tj-ro сорта, где в 1-й
перестановке стоят элементы 2-го сорта, там во второй перестановке
стоят элементы <2-го сорта и т. д.
Легко проверяется, что таким образом множество перестановок
мы разбили на классы эквивалентности, мощность каждого из этих
классов п\, что и приводит к решению задачи.
г) (k\)]/(k\fk~l)l — число перестановок fel-множества со специфи-
спецификацией (ktk-ir).
ц) Bл)!/(л! (я+1H = 4С2„_] — С%п+ ,, что и доказывает цело-
численность результата.
1.65. Сначала докажем лемму: для того чтобы число вида х2 + Уа
делилось на 49, необходимо и достаточно, чтобы х и у делилось на 7.
Дока зательство. Достаточность очевидна. Действительно,
если х и у делятся на 7, то х2 и у2, а значит и х^ + у2, делятся
на 49.
Необходимость. Пусть хй-\-у% делится на 49. Докажем,
что и х и у делятся на 7, Каждое из чисел х и у можно записать

172
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ. ГЛАВА I
в виде
где xL и уг — целые неотрицательные числа, а а и |J имеют одно
из значений 0, +1, +2, ±3. Учитывая равенства (*), выражение
х2-\-у2 можно записать так:
+14
=»49(*i
Поскольку, по предположению, х2+|/2 делится на 49, а значит и
на 7, и, кроме того, на 7 делятся первые два слагаемых в правой
части последнего равенства, то получаем, что аа + Р2 делится на 7.
Наибольшее значение, которое может принимать а2 + Р2, равно 18.
Среди целых чисел от 0 до 18 на 7 делятся только 0, 7, 14. Значит,
величина а2+Р2 равна или 0, или 7, или 14. Так как аа и |}3 могут
принимать только значения 0, 1, 4, 9, то легко убедиться, что
а2^_ра = о> так как сумма двух слагаемых, образованных из чисел
О, 1, 4, 9, не может быть равна 7 или 14. Таким образом, лемма
доказана.
Обозначим через п число целых положительных чисел, мень-
меньших 1000 и делящихся на 7. Очевидно, п равно целой части числа
1000/7, т. е. 142. Тогда число различных пар целых чисел хну
{хфу) от 1 до 1000, для которых (ха + ?/2)/49 есть целое число,
равно С?42= 10011. Кроме того, есть еще 142 пары вида (х, х).
Следовательно, число различных пар (х, у) равно 10 153.
1.66. Среди чисел натурального ряда от 1 до п имеется п— [п/р]
чисел, не делящихся на р. Из них можно составить Cn—ln/p] ПР0'
изведений, не делящихся на р. Общее число произведений равно С*.
Следовательно, Л/ = С*— С^
1.67. п
lk(n—k — 2)+lJ, n — нечетное,
(л —2)/2—1
—2 —
. «-четное.
fe=i
1.68. Всего прямых Q=l0. Из каждой точки выходят 6 пер-
перпендикуляров. Рассмотрим две какие-либо точки В и С. Так как
перпендикуляры, опущенные из точек В и С на прямую, соединяю-
соединяющую две другие точки D и Е, не пересекаются, то перпендикуляры,
опущенные из точек В и С, имеют 6x6 — 3 = 33 пересечения. Из
5 точек можно составить 10 пар. Следовательно, точек пересечения
не больше чем 330. Но некоторые точки мы учли несколько раз.
Действительно, любые три точки из данных пяти точек образуют
треугольники. Высоты этих треугольников пересекаются в одной
точке, и эту точку мы учли три раза. Всего таких треугольни-
треугольников С1=Ю. Следовательно, максимальное число точек пересечения
равно 330 — 20 = 310.
1.69. Способ I. Соединим последовательно точки, взятые на
окружности, хордами. Подсчитаем, на сколько частей разбивается
диагоналями полученный я-угольник. Диагонали будем проводить
последовательно. Заметим, что после проведения каждой диагонали
§ 4. СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ
173
число частей увеличивается на число, на 1 большее числа точек
пересечения, которые появляются после проведения диагоналей.
Поэтому число частей, на которые диагонали разбивают многоуголь-
многоугольник, равно 1 (сначала была одна часть—весь многоугольник), плюс
число диагоналей, плюс число точек пересечения диагоналей. Число
диагоналей /г-угольника равно л (и — 3)/2. Число точек пересе-
пересечения диагоналей n-угольника равно С* (каждая точка пересече-
пересечения определяется четырьмя вершинами). Следовательно, число час-
частей, на которые разобьется круг, равно N= 1+л(л — 3)/2 + С^+п.
Способ 2. Пусть среди полученных частей есть N3 треуголь-
треугольников, #4 четырехугольников и т. д., Nm fti-угольников. Нужно
найти сумму N— М3-\-Мь~\-...-{-Nm, Заметим, что число всех полу-
полученных вершин многоугольников равно 3Na-\- ^N^ ...-\-mNm. Это
же самое число можно найти иначе: каждая из точек пересечения
диагоналей /г-угольника (а их всего С^) является вершиной четырех
многоугольников, а каждая вершина n-угольника является вершиной
п— 2 многоугольников, а поэтому 3/V3 + 4Л/4-(-...-)-mNm = 4С* -f-
-\-п(п~2). Сумма углов всех полученных многоугольников равна
[ЛГ3C — 2) + Л^D~2)-\-...+ Nm{m — 2)] л. С другой стороны, эта
же сумма равна 2rcC?-f (л —2) л, а поэтому iV3C — 2) + Л/4D — 2)-f-
2) = 2C*n + (n~2). Отсюда З Л^
-2, или
Итак, круг разбивается на Л' + п частей.
1.70. Разобьем 20 команд на две подгруппы, по 10 команд
в каждой, и в каждой из подгрупп проведем турнир по круговой
системе. Всего будет сыграно N — Csit) + C% = 90 игр. Очевидно, что
так сыгранный турнир удовлетворяет условию задачи. Докажем,
что это минимальное число игр. Предположим, существует турнир,
удовлетворяющий условию задачи и Л/ ?S 90. Тогда существует ко-
команда А, сыгравшая с остальными не более 9 игр. Будем обозна-
обозначать те команды, которые сыграли с А, через К, а те, которые не
сыграли, — через Y. Очевидно, что все Y команд сыграли между
собой (С^ встреч). Пусть среди К команд Р пар не сыграли между
собой, а С^-Р сыграли между собой. Тогда любая команда из Y
должна сыграть хотя бы с одной командой в каждой из этих Р пар.
Учитывая, что любая команда принадлежит не более чем К—1 паре
из Р, заключаем, что должно быть не меньше A9— К) РЦК— 1) игр
между К и Y. Таким образом, сыграно игр не менее чем N = CSK —
\9 К)Р(К1) + С1 + К. Учитывая, что К =s?9, имеем
К (/С—1)/2 + A9 —К) A8—K)/2-f-/<" = Ka —18ЛЧ-9-19
1.71. Вероятность того, что ладьи не побьют друг друга, больше;
она равна F4 • 49)/F4 • 63) = 49/63.

174
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ. ГЛАВА I
1.72. Предположим противное. Всего таких горизонтальных и
вертикальных прямых 10. Нетрудно заметить, что каждая прямая
разрезает обязательно четное число костей домино. Действительно,
рассмотрим, например, горизонтальную прямую. В верхней половине,
на которые эта прямая делит доску, четное число клеток (ширина
доски 6 клеток). Кости домино, целиком помещающиеся в этой части
(верхней половине), занимают тоже четное число клеток (каждая —
две клетки). Кроме них имеется еще несколько клеток, занятых
половинками костей, пересекающих прямую. Таким образом, дока-
доказано что число этих клеток (т. е. число костей, пересеченных пря-
прямой) есть разность двух четных чисел —четное число.
Таким образом, каждая из 10 прямых пересекает некоторое
число костей, т. е. по крайней мере две. Каждую кость пересекает
только одна прямая, следовательно, на доске должно быть не менее
20 костей, С другой стороны, ясно, что, для того чтобы покрыть
доску, нужно 18 костей.
Полученное противоречие показывает, что при любом располо-
расположении костей, покрывающих доску, найдется хотя бы одна из 10
прямых, не пересекающая ни одной кости домино.
1.73. Напишем сверху над каждой вертикалью шахматной доски
числа 1, 2, 3 8, слева около каждой горизонтали —числа 0, 8,
0
8
16
24
32
40
48
56
i
О+1
8+1
16+1
56+1
Z
О+2
16+2
56+2
3
0+3
56+3
0+Ц
...
5
0+5
...
В
0+6
7
0+7
В
0+8
8+8
16*8
24+8
56+8
Рис. 1.1'.
16, 24, ..., 56; тогда молено считать, что в каждой клетке доски
написана сумма двух чисел, соответствующих ее вертикалям и го-
горизонталям (рис. 1.Г). Так как 8 ладей, стоящих на шахматной
доске, не бьют друг друга, то обязательно в каждой вертикали и
в каждой горизонтали стоит по одной ладье. Значит, в сумму номе-
номеров тех клеток, на которых стоят ладьи, войдут по одному разу все
I!
§ 4. СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ
175
числа 1, 2, ..., 8, соответствующие разным вертикалям, и по одному
разу все числа 0, 8, 16, ..., 56, соответствующие разным горизонта-
горизонталям. Поэтому сумма номеров всегда будет иметь одно и то нее зна-
значение: 1+2 + 3 + ... 4-8 + 0 + 8+16 + ... + 56 = 260.
1.74. Число прямоугольников размера i х / равно (п — t +-1) х
X (л — /+!)¦ Каждый прямоугольник учитывается в сумме столько
раз, какова его площадь. Отсюда сумма равна
6
1.75. Выпуклая оболочка пяти точек на плоскости, указанных
в задаче, может иметь вид пятиугольника, четырехугольника, тре-
треугольника; в первых двух случаях утверждение очевидно, а в по-
последнем внутри треугольника оказываются
две точки (рис. 1.2'). Проведем через них
прямую и разобьем треугольник на две час-
части. В силу принципа Дирихле, в одну из
частей попадут две вершины. Последние
совместно с двумя внутренними точками об-
образуют искомый четырехугольник.
1.76. Так как во время прогулки встре-
встречается ровно п перекрестков и на каждом из
них имеются только две возможности, то
всего различных путей будет 2п. Попасть в k-к перекресток «-го ряда
можно пк ~ " -~..~
ных путей буд
Скп способами. Таким образом, искомая вероятность равна
р = С*/2.
1.77. Указание. Число путей в л-й ряд перекрестков срав-
сравнить с числом путей в (я+ 1)-й ряд.
Ьк
л
о
/
(ТО
/о о
(а,
/
0
О
0
ьу
о
0
0
0
А а
т
т>п
Рис. 1.3'.
1.78. Корень уравнения ах=Ь больше 1 при условии Ь>а.
Будем рассматривать параметры а и Ъ как прямоугольные декартовы
координаты точки плоскости (рис. 1.3'). Так как а и Ь— натураль-
натуральные, то а > 0, Ь > 0, Поэтому число всех возможных исходов рав-
равно тп,

176
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ. ГЛАВА I
Если т^п, то число исходов, не благоприятствующих рассмат-
рассматриваемому событию, равно 1+2 + ...+ (т—1)+/я = (/я+1)/гс/2.
Поэтому рассматриваемому событию благоприятствует тп — т {т-\-1)/2
возможных случаев, т. е. тBп— т—1)/2. Поэтому вероятность нахо-
находим из формулы р = Bп — т—\)/Bп).
Если т>п, то число исходов, благоприятствующих рассматри-
рассматриваемому событию, равно 1 + 2+... + (« — 1) = (я— 1) л/2, следова-
следовательно, р = (п—\уBт).
1.79. Каждому определенному отрезку пути соответствует «сло-
«слово» из т букв аил букв Ъ и обратно. Например, «слово» aabbbabb
означает, что путь состоит из двух единиц по горизонтали, трех
единиц по вертикали, одной единицы по горизонтали и двух единиц
по вертикали, в результате чего достигается точка (т, п) (в этом
случае т = 3, п = 5). Но, очевидно, из букв а и Ь, из которых пер-
первая взята т раз, вторая —п раз, можно составить Спт,п^=
— (m+n)!/(m! и!) «слов», которые и являются искомым числом раз-
различных путей.
1.80. Пусть сторона АВ вертикальна и содержит т отрезков,
сторона AD горизонтальна и содержит km отрезков. Будем коротко
называть пути, начинающиеся отрезком ABt (ADX), путями типа АВ
(соответственно типа AD).
Возьмем какой-нибудь путь типа AD. Отметим на нем один из
вертикальных отрезков ММ и перенесем весь кусок D-^...М на одну
клетку вверх и влево; получим кусок ВгМ. Поставим в соответствие
каждому пути АВг... MN ... С с отмеченным вертикальным отрезком
MN путь ABi ...MjA/... С с отмеченным горизонтальным отрезком
M-iN. Такое соответствие является взаимно однозначным. Пусть су-
существует всего b путей типа АВ и d путей типа AD. Поскольку на
каждом пути т вертикальных и km горизонтальных отрезков, то
существуют bkm путей типа АВ с отмеченным горизонтальным от-
отрезком и dm путей типа AD с отмеченным вертикальным отрезком.
По доказанному выше эти числа равны, т. е. bkm — dm-=$bk — d.
1.81. Разделим всевозможные маршруты на две группы: прохо-
проходящие через точку С и проходящие через точку D. Других способов
попасть в точку В нет. Из Л в С можно попасть пятью способами,
а из С в В — единственным. Следовательно, первая группа состоит
из 5x1 маршрутов. Из точки А в точку D можно попасть через Е
или через F. Из А в Е можно попасть тремя способами, из А в F —
двумя способами. Таким образом, из А в D можно попасть 3 + 2 = 5
способами. Но из D в В можно попасть двумя способами, поэтому
из А в В через D ведут 5x2=10 маршрутов. Таким образом, общее
число всевозможных маршрутов, ведущих из точки А в точку В, минуя
точку М, равно 15.
1.82. Если точка А выбрана, то две остальные вершины В и С тре-
треугольника можно выбрать числом способов 8x7/2 = 28. Однако при
этом может случиться, что точки Л, В и С окажутся на одной пря-
прямой. Число случаев, когда это происходит, зависит от расположения
точки А (рис. 1.4'). Если Л —угловая точка, то следует исключить
три пары точек В и С; если Л— центральная точка, то следует
исключить четыре пары точек В и С, а для остальных положений
точки Л—две пары точек В к С,
§ 4. СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ
177
Таким образом, общее число треугольников зависит от положе-
положения точки Л и равно 24, 25 или 26.
1.83. 1) Каждая пара членов комиссии могла встретиться не
более чем на одном заседании. На каждом заседании было 10x9/2 пар-
человек. Всего заседаний 40, т. е. всего пар членов комиссии по
крайней мере 1800. Но из 60 человек можно образовать только
60X59/2 < 1800 пар.
Рис. 1.4'.
2) Предположим, что общее число членов комиссии N не бо-
более 60; тогда, поскольку 10х40/ЛГ>6, найдется человек, который
побывал по крайней мере на семи заседаниях. Все те люди, с кото-
которыми он встречался, —разные, и их общее количество 7х 9 > 60, что
противоречит нашему предположению.
1.84. Требование, что никакие две комиссии не имеют более
одного общего члена, равносильно тому, что никакая пара сотруд-
сотрудников не входит более чем в одну комиссию. Число всех пар равно
25x24/2 = 300, число пар в одной комиссии равно 5x4/2=10. Мак-
Максимально возможное число комиссий равно 300/10 == 30.
1.85. Наибольшее возможное значение Сг равно 24. Если первые
места присуждены одному фигуристу (всеми девятью судьями), то
Cj = 9. Если первые места присуждены всего двум фигуристам, то
один из них получил не менее пяти первых мест и остальные четыре
полученных им места не выше четвертого; поэтому Сх^5х 1 + 4x4=
= 21. Если первые места получили трое, то, поскольку остальные
полученные ими места не выше четвертого, а четвертых мест всего
десять, сумма всех мест этих трех фигуристов не более 1x9+3x9 +
+ 4x9 = 72. Следовательно, хотя бы у одного из них сумма мест не
более 24, т. е. Ci^.24. Если таких спортсменов четверо, то сумма
их мест не больше 1x9 + 2x9 + 3x9 + 4X9 = 90, следовательно,
сумма баллов некоторых из них не больше 22.
Случай, когда первые места получили пять и более человек, не-
невозможен, поскольку на них не хватает мест от 1 до 4 (этих мест
всего 9x4 = 36).
Пример, когда Ci = 24, такой: каждый из трех лучших фигури-
фигуристов получил места 1, 1, 1, 3, 3, 3, 4, 4, 4, два следующих —2, 2,
2, 2, 2, 5, 5, 5, 5 и 2, 2, 2, 2, 5, 5, 5, 5, 5 и т. д.
1.86. Два числа могут быть на одном столбе тогда и только
тогда, когда их сумма равна 999. Поэтому, если рассмотреть один
столб, на котором только две различные цифры, то, если одна из
цифр С, другая обязательно 9 —С. Всего таких столбов, на которых
есть числа, изображаемые цифрами С и 9 — С, существует 23 = 8 (на
каждом из первых трех мест может стоять одна цифра: С или 9 — С);

178
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ. ГЛАВА I
§ 4. СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ
179
всех возможных пар цифр (С, 9 —С) существует 5. Поэтому число
всех столбов, на которых только две различные цифры, равно 40.
1.87. Очевидно, что ничейный результат дадут 9 номеров с оди-
одинаковыми цифрами (номера 0000 нет). Поэтому будем предполагать,
что «ничейный» номер имеет по крайней мере две различные цифры а
•и Ъ\ пусть с и d — остальные цифры номера. Тогда, по определению
«ничейного» номера, разности (b-\-d) — (a-j-c) и F + с) —(a + d) имеют
последнюю цифру 0, следовательно, и их сумма 2 (Ь — а) имеет по-
последнюю цифру 0. Так как Ь Ф а, то а и b отличаются на 5. Таким
образом, любые две различные цифры номера отличаются на 5. По-
Поэтому, если задать одну цифру, например о=1, то остальные цифры
определятся однозначно — это будут в данном примере 1 и 6. Легко
убедиться, что действительно «ничейными» будут только те номера,
которые состоят из двух пар одинаковых цифр. С цифрами 1 и 6 та-
таких номеров будет 6: 1166, 1616, 1661, 6161, 6611, 6116. По 6 номе-
номеров можно составить из цифр 2 и 7; 3 и 8; 4 и 9; 0 и 5. Таким
¦образом, общее количество «ничейных» номеров равно 39 Fх5-(-9 =
= 39).
1.88. Ясно, что время окраски будет минимальным, если удастся
так распределить работу, чтобы в каждые пять секунд окрашива-
окрашивалось максимальное число граней, т. е. три. Очевидно, того можно
достичь многими способами. Например, первые 183 кубика окраши-
окрашиваются каждым человеком полностью, затем, в то время как двое
окрашивают по кубику полностью, третий красит по две грани
у оставшихся трех кубиков, и, наконец, все трое красят по четыре
грани у трех кубиков. В этом случае три человека выполняют всю
работу за 188x5x6/3=1880 секунд.
1.89. Так как две команды имели одинаковое число участников,
то число всех участников — четное. Максимальная сумма баллов
может быть получена 16 участниками и равна 16x9=144 A44<156),
а минимальная сумма баллов может быть получена 20 участниками
и равна 20x8=160 A56< 160). Надо еще проверить, что 18 участ-
участников могут набрать в сумме 156 баллов, т. е. существуют нату-
натуральные числа х и у, удовлетворяющие системе уравнений
=156.
Решение существует, притом единственное: х=12, у = 6.
1.90. Легко видеть, что для составления квадрата требуется не
менее семи палочек. Поэтому нельзя составить квадрат со стороной
менее 7 см. С другой стороны, сумма длин всех палочек равна 45 см,
и поэтому из них нельзя составить квадрат со стороной более 11 см.
Из палочек данного набора можно составить отрезки длиной 7, 8, 9,
10, 11 см следующими способами:
7 = 6+1=
8 = 7+1=6 + 2=5 + 3,
9 = 8+1=7 + 2 = 6+3 = 5 +
9+1=8 + 2 = 7 + 3 = 6 + 4,
9 + 2 = 8 + 3 = 7 + 4 = 6 + 5,
Следовательно, из данного набора палочек можно сложить одним спо-
способом (CJ) квадраты со сторонами 7, 8, 10, 11 и пятью способами —
квадрат со стороной 9 см (Cj = ClJ.
1.91. Число различных способов сдать экзамены есть Q3)=l0.
Поэтому, если бы не нашлось пяти студентов, сдавших сессию оди-
одинаково, то число студентов не превышало бы 4x10=40, что не имеет-
места.
1.92. Нужно найти вероятность того, что при распределении
41 человека на 6 групп осуществляется одна из этих возможностей..
Для этого достаточно найти общее число таких распределений.
Пусть группы занумерованы. Тогда каждый способ распределения
состоит в том, что из- множества 1, 2, 3, 4, 5, 6 номеров групп на-
набираем 41 число — число взятых при этом единиц соответствует числу
учеников в первой группе и т. д. Другими словами, число способов
распределения —это в точности число сочетаний с повторениями из
6 элементов по 41, которое' равно С^+41-1^^4б- Поэтому искомая
вероятность равна 6/Cja = 1 /228 459.
1.93. Подсчитаем количество чисел от 0 до 999 999, в записи
которых нет единиц, т. е. сколько можно составить шестизначных
чисел из цифр 0, 2, 3, 4, ... , 9 (если число имеет менее шести цифр,
условимся дописывать слева недостающее число нулей). На первом
месте в таком числе может стоять любая из девяти цифр, к каждой
• из них можно приписать справа любую из тех же девяти цифр:
0, 2, 3, 4, ..., 9; таким образом получится 81 двузначное число из
цифр 0, 2, 3, 4 9. Продолжая таким образом, получим 9е шести-
шестизначных чисел, из них нужно исключить 000 000. Таким образом,
показано, что среди первого миллиона существуют ровно 96— 1 чисел,.
в записи которых нет единиц, т. е. 96—1=531 371.
Таким образом, среди первого миллиона больше чисел, в записи
которых нет единиц.
1.94. Конечное предложение, из которого уже нельзя вычеркнуть
ни одного слова, — это «четыре путника пережидали грозу», и поэтому
из исходного предложения нужно вычеркнуть 5 слов. Эти слова
можно вычеркивать в любом порядке, за исключением одного огра-
ограничения: слово «разразившуюся» нельзя вычеркивать раньше слова
«внезапно». Таким образом, задача сводится к следующей: сколькими
различными способами можно поставить в ряд 5 предметов, чтобы
первый предмет был всегда раньше второго? Она решается просто:
число способов расстановки пяти предметов в ряд равно 5х4хЗх
Х2х 1 = 120, и из них ровно половина, т. е. 60, удовлетворяют ука-
указанному условию. К конечному предложению, из которого уже-
нельзя вычеркнуть ни одного слова, можно прийти 60 способами.
1.95. Числа всевозможных позиций на шахматной доске конечно.
Пусть оно равно п. Следовательно, одна из позиций повторяется
бесконечно много раз. Более того, найдутся последовательности ходов
сколь угодно большей длины, которые будут повторены не менее двух
раз. Действительно, число последовательностей позиций длины т не
превосходит пт. Следовательно, одна из последовательностей повто-
повторяется бесконечно много раз.
1.9S. Числа х и у не могут быть оба простыми, так как в этом
случае не выполняется условие 1. Согласно гипотезе Гольдбаха, вся-
. кое четное число есть сумма двух простых. Следовательно, х + г/ не

180
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ. УКАЗАНИЯ. ГЛАВА I
4. СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ
181
есть четное число, так как в противном случае не выполняется усло-
условие 2. Далее, если х-\-у~> 53, то возможен вариант х = 53, у =
= (* + #) — 53; в этом случае не выполняется условие 1, так как
«ели в произведении ху есть простой множитель больше 50, то ответ
для А однозначен.
Если х-\-у двумя различными способами представляется в виде
¦2&-\-р, где р — простое число, то в этом случае выполняются условия
1—3, и не выполняется условие 4.
Остаются для числа х-\-у следующие варианты: 5, 17, 29, 41, 53,
47. Непосредственной проверкой убеждаемся, что единственное решение
дают числа #=13, (/ = 4.
1.97. Пусть т — произвольное заданное натуральное число.
Разобьем данную бесконечную дробь на отрезки, по т цифр в каж-
каждом. Таких отрезков будет бесконечно много. С другой стороны,
число систем из т цифр равно числу упорядоченных m-выборок из
{10)-множества, /47J(!)=10m, т. е. конечное число. Следовательно,
хотя бы одна из этих систем должна повторяться бесконечно много раз.
1.98. Числа последовательности 1, 2, ..., п, делящиеся на pk,
должны быть вида lpk ^ п, так что / =g n/pk и, следовательно, коли-
количество таких чисел равно [n/pk]. Отсюда и получаем требуемую
формулу.
Из этой задачи следует, что биноминальные коэффициенты
р (пъ ..., л/,) = п!/(л11 ••• nfel) СУТЬ Целые числа, если подсчитать,
сколько раз простое число р входит в числитель и знаменатель, и
воспользоваться очередным неравенством
В общем случае справедлива следующая теорема: пусть имеются
две системы линейных форм:
п п.
fj(x! *„)= 2 afhxb, gi(xlt ...,*«)= 2 Ьч*ь>
i ki
1.99. Из задачи 1.98 следует, что наибольшая степень числа 5,
деляшая число 3111 = 7201, есть
720
Г720]
а наивысшая степень числа 2, делящая 720!, будет еще больше, так
как уже 720/2 = 360. Отсюда следует, что число 3!1! имеет на конце
178 нулей.
1.100. Докажем рекуррентную формулу N — N(n) =
= \N(n—1) + 2}я, где выражение в фигурных скобках обозначает
наименьший положительный вычет по модулю п. Действите ьно, если
известно N (п— 1), то для нахождения N (п) нужно добавить одно
число и поменять нумерацию так, чтобы вторым вычеркнутым чис-
числом в новой нумерации оказалось число 2 в старой нумерации.
Тогда ясно, что число N (п— 1) в новой нумерации будет числом
{N (п—1) + 2}„ и будет последним невычеркнутым числом.
Пусть «о=1. no<.rii < пг < ,..< ns < ... есть последователь-
последовательность натуральных чисел, для которых выполнено равенство N (ns) =
= 1. Тогда из рекуррентной формулы вытекают следующие соотно-
соотноN () N 2( )
и N
рурр фру
шения: N (n) = Nns_1 + 2(n — ns_t), если л^ «? л S s,
+ 2 (ns — ns-i) = "-s + N (ns). Отсюда ср азу получаем ns =
и N (п) = 2л—2'1ов«п1+1-г-1, чтои требовалось доказать,
+
2S
1=1, .... p; / = 1, ..., m,
с целыми неотрицательными коэффициентами а^, b^. Для того чтобы
выражение
ftV j< \| ( /у V ^ I г {' V VII
р
( = 1
было целым числом для любой системы неотрицательных целых зна-
значений Xi, ..., хп, необходимо и достаточно, чтобы во всей области
¦0*?{/i^l. •••> 0^ул^1 значений переменных уъ ..., уп удов-
удовлетворялось неравенство
т р
2 Mi (уъ ¦¦¦' Уп)] э= 2 tft (уъ ¦ ¦ ¦

§ 1. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ: СВОЙСТВА, ОПЕРАЦИИ
183
2.7. Г (г) =
п—О
=0
2
п=0
Глава II
МЕТОД ПРОИЗВОДЯЩИХ ФУНКЦИЙ
§ 1. Производящие функции: свойства, операции
оо N
2
n—v «=0
оо ,V
2.2. * B)= У f(nJ" =
n = 0 /i=0
d /1-;
/JV + 1
2.3.
r!=0
d Г1 _ (/V + 2)
A-2J
г" + П
0-2K
2.4.
2.5. /*(г)=
n=0 a=0
оо со
2.6. /* (г)=
я-о
d / 1
0-гJ
- г2 _ г A+г)
A—гK ~ A-г)»
2.8.
= 0 n=0
со
где g* (г) —производящая функция последовательности g(n) = nk~1.
00 ОО
2.9. /* (г)= 2 / (п) г"= 2
/i=0
OO 00
- 2«(«)-^ 2 n*-
\я = 0
_ dl I
d; \ 1-/,
OO OO
2.10. /• (z)= 2 f (n) г" = 2 ^+p_ian2" =
/t=0 « = 0
со oo
A-агJ
Это есть разложение в ряд Тейлора в окрестности нуля:
/w=/

184
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ. ГЛАВА II
§ 1. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ: СВОЙСТВА. ОПЕРАЦИИ 185
В нашем примере f[n) @) = р (р + 1) ¦•• (Р + п— 1), f<n+v @) =
= {p-{-n)jln) @). Коэффициент при производной является произведе-
произведением подряд идущих чисел, если дифференцируется степень какого-
либо выражения. Необходимо выяснить, положительна или отрица-
отрицательна эта степень. Если степень положительна, то каждый следую-
следующий сомножитель будет меньше предыдущего:
dkxnldxk = n(n— \)(n — 2) ...(n — k+\)xn-k.
Если степень отрицательна, то будет увеличение сомножителей по
абсолютной величине: dkx~njdxk = (— п) (— п — 1) (— п — 2)... (— п —
— k-\- 1)х~(п+ь> =(—\)Ь п(п+ 1) (rt+2) ...(n + k— l)x-'«+fe'. Этот
второй случай совпадает с нашим с точностью до множителя (—\)k.
Этот множитель может превратиться в 1 за счет дифференцирования
знаменателя. Значит, функция имеет вид /(/)=l/(a — i)a. При этом
/' @) = р=>а = р, /@)= 1 :=}— «= 1 r=>a=l. Таким образом,
2.11.
/@ =
«-1
1
1
(\-az)P
= /* (*).
*=•«*
(в + р-2I
(л—1)! (р—\)\
¦*« =
J
1
tk =
аг
(\-t)P
l_U UU UJ
2.12. f*(z) = У /(/iJ«= У — z"^^- 2 *~ • Это совпада-
совпадала л=1 л=1
ет с разложением функции ln(l-f-x), но отсутствует чередование зна-
знаков. Чтобы был одинаковый знак разложения, достаточно взять х=>
= —t. Тогда
Отсюда видно, что
f* (г) = —
оо
2.,з. ,-«=
(—0=—1пA—0=
=—In
со
2.14. /*(z)= 2
п=1
со
Введем вспомогательные функции а(п) = ап/п1 и р (/г) = (— а)п/п\.
Тогда / («) = [a(n) —p (л)]/2. Подставив это в сумму, получим
2.16.
Введем функцию ф (a)=cosa + i sin а и рассмотрим
со со
, a) =2 2Л1Рл(а)= S [г (cos a +г sin a)]" =
с другой стороны,
со
an>
1=0
Можно заметить, что
в±Г ! » 1
2с [_ A —г cos а) —?2 sin а A —г cos а) -f-tz sin а J
1 1 — г cos а -f- fz sin а — 1 -f- г ros а +гг sin ct
2Г 1—22cosa-l-2acos2a -f г3 sin2 a
г sin a
1 — 2г cos a -f- z2'

186
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ. УКАЗАНИЯ. ГЛАВА II
§ 1. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ: СВОЙСТВА. ОПЕРАЦИИ '87
2.17. Введем функцию гр (а) = cos a +1 sin а, Введем еще одну
вспомогательную функцию
F{z, «)= 2 Г («)*" =
rc = O
со
= Л [cos a -f- t sin а]Л г" .=
С другой стороны,
~t 1 — г (cos a +1 sin а) "
F (г, а)= ^] [г (cosct + i sin «}]"= 2 г" (cos
/1=0 я = 0
Тогда можно заметить, что
со со
/* (г) = 2 / («)гП = 2 cos а'ггП =
= -1 [FB, «)-FB, -«
sin
na-
_Ч ! , 1
2 L 1 — г (cos a -J- i sin а) 1 — г (cos а — i sin а)
= ! Г 1 I ' 1
2 1A —г cos а) —('г sin а ' A — zcosa)-f-»z sin aj
2 (lj-z cos a)_
1 — г cos a
 1—
2.18.
sin2 a 1—22Cosa+22'
= */• (г).
2.19. F* (г) =
2.20. F*B)
k— 1
2.21.
2.22.
2.23.
2.24.
2.25.
?=ft
ft —1
= 2-*/* B)-2
0
2
r~0
(n)
я/ («)
1-1.
2 S
= 0 ? ~ 0
— г
(n —
@ г' =
i=0

188
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ. ГЛАВА II
§ 1. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ: СВОЙСТВА. ОПЕРАЦИИ 189
со и
2.26. f<*)= 2 2 /С) г О-')*•
я =0 г =0
2.30. Fe B)= ^ -^!- *" =
л=о
/@) 2 г(")*"+/(!)
0
lt—\
z оо
/1 = 1
г / оо
= \ fe (О dt.
2.28.
/г=0
1
n = 0
— (П-
п=0
(я+l)! d2 d2
2 ii
cte
2.29.
n\
/i=0
со
/1 = 0
=2
/1=0
n! dz dz
2.81. f (г)-2
/(
(п —А)!(п-
f(n — k)zn
(
n=fc
оо г г г
(п-*I
/1=0
V
L
L \{п~г)\г )\ п
О
И±гп
n\ ~ Ad k\
fe=0
2.34. F» (г) =
f (в)
Я|
2" =
2 L
(kl) Л\ ( V
жгг 1-2
fm(bm)

190 ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ. УКАЗАНИЯ. ГЛАВА II
2.35. В первом случае имеем: при | х j <C 1
fe = 0
_ VI — п (— п -
k\
(-*)* =
ft=0
= У JL
Таким образом,
fe = 0
1
k\
(n + k-l
\ k
есть производящая
функция сочетаний с неограниченным повторением элементов и без
ограничений на число появлений элемента любого вида. Далее,
*"
-x
** =
(n + k-l
со
- e>
X"
vT
x)
r — l
l
n 1
п — \
есть пР0ИЗВ0Дяш.ая функция сочетании
с неограниченным повторением элементов при дополнительном условии
вхождения в сочетание по меньшей мере одного элемента каждого
вида.
2.36. Имеем
/=1 /=1 1=0
Воспользуемся известным результатом, что
п
= 2а*12 ad-k>J'
B.2')
aa-h)j—
0, 1ф1
(modn).
(г),
Тогда правая часть B.2') сведется к производящей функции п^
что доказывает B.2).
2.38. Так как Сл+1 (г) = A +г)л+1 = A +г) Сп (г), то соотношение
а) следует, например, из результата задачи 2.26 о свертке двух
последовательностей. Тождества б) и в) следуют из B.3), если поло-
положить г=1 и г=—1 соответственно. Для доказательства тождества
§ 1. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ; СВОЙСТВА, ОПЕРАЦИИ
19Г
Вандермонда предположим, что т=\, ..., п—1. Можно написать
A j^z)n = (\ -{-г)п~т A -р-г), и г) снова следует из задачи 2.26
о свертке.
Заметим, что рекуррентное соотношение а) —частный случай г)
для т=\\ г), как легко видеть, тривиальным образом верно и для
т = 0, и т = п.
2.39. Положим С (г) = A — xxz) A — x2z) ...(I — xkz). С одной-
стороны,
С(г) =
от(хъ .... *А)(_гГ =
т—1
С другой стороны,
к
т. е.
fe со
1=1/=1
со _ ,
С(г) = ехр -
1 Xk)
Сравнивая между собой оба полученных выражения для С (г), по-
получим B.4).
2.40. Левая часть B.5) есть
Найдем коэффициенты при различных степенях х в этом произведе-
со
нии, Ясно, что свободный член f авен Д а0 (/),
/ = 1
Чтобы получить коэффициент при хп, где п > 0, берем Аг-й член
в 1-м множителе, &2-й во 2-м и т, д., наконец, ?„-й член в га-м мно-
жителе; при этом числа kx, k2, ..., kn должны удовлетворять соот-
ношению п = ?1 + 2&2 + ..--Ья&д, т, е. определять разбиение числа п.
Отсюда находим, что коэффициент при хп, п>0, в правой части B,5)
равен
2 fl*i0)a*aB) ... akn{n),
я (п)
И Соотношение B,5) доказано.

192
ОТВЕТЫ. РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ. ГЛАВА II
2.41. Положив в задаче 2.40 для каждого /=1, 2, ... все а^ (у)
= 0, 1, ...) равными 1, в силу B.5) получим
XI
С другой стороны,
со
21
Jt(n)
оэ
что и доказывает соотношение B.6).
2.42. Положим в задаче 2.40 для каждого /=1, 2, ..., ak(J) =
(k = 0, I, ...). Тогда в силу B.5) будем иметь
П
п(п)
I; *» J] «л
п = \ k = l я
С другой стороны, это произведение равно Д {\—yxl)~l, что и до-
/ = 1
называет соотношение B.7).
2.43. Пусть в задаче 2.40 ak (j)—yf, j — \, 2, ...; k = 0, 1, 2, ...
Тогда, с одной стороны, в силу B.5)
с другой стороны,
оо оо оо
П Е ^-Пс-»/^.
/ == I А = 0 / = 1
Приравнивая правые части записанных соотношений, получаем B.8).
2.44. Имеем
[ со | ( со
exp^-r-^:> = exp<jcy У х/\ = ыр{у
•№-
8 1. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ: СВОЙСТВА, ОПЕРАЦИИ 193
Полагая в задаче 2.40 ak Ц) = Ук1(к\), /=1, 2, ...; /fe = 0, I, 2, ....
получаем, используя формулу B.5),
Ш
Al
ft,!*,! ...*«!'
что и доказывает B.9).
2.45. Имеем
л=0
Рассмотрим i-й член суммы по j из правой части. Используя соотно-
соотношение B.5), в котором ak(j) = af(k), если / = t; aft(/) = l, если i
так что
. ajи- z
получаем
со
= 1 Л (Л)
Ho
Ал A-д;)а>
так что
:= О
вая B.6), находим
Y\
A
' Теперь, учиты-
/1=1 П (П)
Отсюда и следует требуемый результат.
2.46. Воспользуемся результатами задачи 2.44. Рассмотрим левую
часть равенства B.9). Имеем, учитывая результат задачи 2.35,
1 / ху \k
6 = 0
k\ VI -х
ехр
/-0
Сравнивая коэффициенты при хп в последнем выражении и в правой
части B.9), получаем требуемый результат,
7 Под ред. К. А. Рыбникова

194
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ. ГЛАВА II
2.47. Разложим сумму /,= \ aj : в ряд по степеням х и
со оо
получим 7 = /а/ У xk'' Поменяем теперь порядок суммирова-
/=i *=i
ния. Для этого заметим, что произведение Щ пробегает все натураль-
натуральные значения от 1 до оо; оно равно п, если / пробегает всевозмож-
всевозможные делители п. Поэтому
2=1 *-5>/.
/j=I i\n
Таким образом, B.10) можно переписать в виде
1 хп ^ L(K)=p(x) 1 х*2«Л
П = ] Я (Я) Г! = 1 / ! п
откуда по определению р (х) (см. задачу 2.41) получаем
/2=0 л(п)
Сравнивая коэффициенты при хп в левой части и в правой части
последнего соотношения получим B.12).
2.48. Положим в B.12) а^ = г (i=l, 2, ...). Тогда L(n) = ki +
-}- 2k2 + ...-\-nkn и B.12) принимает вид
л (л)
2 2
u-\-v — n d ,v
что и доказывает требуемый результат.
2.49. Следует немедленно из результата задачи 2.47, если поло-
положить а1 = оа==..-=1. Тогда L(n) = k1+k2 + ... + kn.
2.50. Умножим обе части формулы B.13) на хп~х и просуммируем
по л от 1 до оо. В результате получим
п — )
Левая часть этого равенства есть р' (х). Правая же часть равна
р(х)а{х). Отсюда следует а). Далее, из а) находим р' (х)/р(х) = а (х),
откуда
так что
ехр
0
2 °-^ •и
б \п =1
соотношение б) доказано, Пред-
§ 2. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 195
ставление в) для р (х) следует из вида производящей функции для
многочленов Сп (а1г ..., оп). Наконец, тождество г) получим, если
приравняем коэффициенты при одинаковых степенях хп в представ-
представлении в) для р (х).
2.51. Предположим, что выполнено соотношение B.14). Тогда,
продифференцировав по х левую и правую части B.14), получим
Р' (х) = ехр {Е (х)} Е' (х) = Е' (х) F (х).
Приравнивая коэффициенты при хп, «З'О, в левой и правой
частях, убедимся в справедливости равенства B.15). Обратно, если
имеют место равенства B.15), то, умножив их левую и правую части
на —г хп и просуммировав по л от 0 до со, получим
F W-
хп
л=0
со
/ = 0
п
П
п=0/=0
отсюда получаем дифференциальное уравнение для F (x): dF(x)/F (*) =
= Е' (х) dx. Решая его, получаем In F (х) — Е (х) + С, так что F (х) =
E c
Для нахождения константы С положим х = 0 и, учитывая, что
f @) = &0=1, ?(О)=ао = О, найдем ес = \, т. е. С = 0. Отсюда сле-
следует B.14).
§ 2. Специальные числа и специальные функции
2.52. Подмножество MtCiM можно выбрать I 1 способами, за-
\ril
тем А12с: М\М] можно задать ( х i способами и т. д., наконец, для
\ Г2 1
задания Mk с= М \ (Мг [}... U Мы) останется
\
= 1 возможностей. Поэтому
rk
(п — гх)\ г2\ (п — rt — г2)\
n\
n\
что и требовалось доказать.
2.53. Решение автоматически следует из утверждения задачи 2.52.
2.54. Каждое разбиение /t-множества порождает некоторое семей-
семейство подстановок п символов. Действительно, если {х±, ..., х^} —
одна из частей разбиения, то из символов хи ..., xk можно образо-
образовать {k — \)\ циклов, упорядочивая различными способами эти сим-
7*

196
ОТВЕТЫ. РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ. ГЛАВА II
§ 2. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 197
волы. Поэтому из каждого разбиения л-множества, имеющего ki частей
размера i (t=l, 2 п), можно образовать {0!)fel (I!)*2 B1)fes...
...[{п—1I] п различных подстановок, имеющих k, циклов длины i.
Умножая Вп(къ ..., kn) на это произведение, получим а). Фор-
Формула б) теперь следует из а) и задачи 2.53.
2.55. Пусть множество М состоит из элементов аи ..., ап, ап+1.
Рассмотрим какое-либо разбиение S и предположим, что подмноже-
подмножество, содержащее ап+1, включает еще k других элементов, 0 < k =й п.
Если k фиксировано, то число таких разбиений равно ( ] Bn_fe. Дей-
ствительно, упомянутые k элементов можно выбрать из множества
{аъ ..., ап) способами, а множество оставшихся п — k элемен-
тов допускает Вл-й разбиений на непересекающиеся классы. При
k = n не останется ни одного элемента, но соглашение бо=1 вклю-
включает и этот случай. Суммируя числа (, 1 Вл-й по К получаем тре-
буемый результат.
2.56. Всевозможные разбиения и-множества М можно упорядо-
упорядочить, задавая различные разбиения числа п, определяющие состав
подмножеств, входящих в разбиение М. Каждое разбиение числа п
определяется набором (klr k2l .... kn) целых неотрицательных чисел,
удовлетворяющих соотношению ki-\-2k2-\-...-\-nkn — n, где ^ — коли-
количество частей, равных S, в разбиении числа п (s=l, ... п). Для
каждого такого разбиения п — число разбиений множества М, содер-
содержащих ks s-подмножеств, равно Bn(ki, кг kn) (см. задачу 2.53),
2.57. а) Имеем
*т#г/м =
/=-1
где
щ
С помощью B.5) получаем
п k.
п(п)
что и доказывает соотношение B.18).
Частным случаем соотношения B.18) является результат за-
задачи 2.57, б). Действительно, полагая у1 = у2 = ... = уп = ...= \ в фор-
формуле B.18) и учитывая B.17), доказываем формулу B.19).
б) Дадим прямое доказательство формулы B.19), использующее
результаты задачи 2.56. Из нее получим
п\
fc= I
Покажем, что правая часть этого выражения равна
ОО , ОО
П 2?G-f-IF'"-
= \ \sfe=0
с-\
откуда и будет следовать формула B.19). Но тот факт, что правая
часть первого выражения равна левой части второго, доказывается
с использованием результатов задачи 2.40.
2.58. Имеем
Сп(Уъ •¦-, Уп) =
В„ (klt
Следовательно, согласно B.18)
ОО
¦=Ф*@!й, Пй, ¦.., {п-\)\уп).
=ехр
и соотношение B.21) доказано.
2.59. Согласно B.18) имеем

198
ОТВЕТЫ. РЕШЕНИЯ. УКАЗАНИЯ ГЛАВА II
§ 2. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ '99
где, по определению полинома Белла,
Уп(хуъ ..., хуп) =
Отсюда и следует B.23). Полагая в последнем соотношении х:=11
получаем B.24). Далее, из B.23) получаем, что, с одной стороны,
п=\к=\
с другой стороны,
ехр
00
"+2
=\ n—k
1=1
г' xk
\
*Т\
откуда следует B.25).
2.60. а) Это рекуррентное соотношение есть следствие результа-
результатов задач 2.56 и 2.57.
б) Непосредственно из определения многочленов Yn (уъ ..., уп)
(см. B.17)) получаем
Bk{kx кп)
2
П(П)
Шп)
k, k
if ¦•• • kn)y ••¦Упп
и б) доказано,
в) Дифференцируя левую и правую части соотношения B,18)
,по У/, находим
, со
2 WiYn{yi
• где
п п\ ' dyj /1
Учитывая B.18), отсюда заключаем, что
ЩУЛУ1
г»\г/
Приравнивая коэффициенты при гп в левой и правой частях послед-
последнего выражения, видим, что
ЯЩУП (</!, ... ,
—Uj
, ... . Уп-/),
и Bt) доказано. Тем самым доказано и вг) для г = 1. Для г > 1
Bj) доказывается повторным применением операции дифференцирова-
ния. Действительно, дифференцируя г раз левую и правую части
B.18) по у/, аналогично предыдущему получаем
hT
n—i' \ n=l
откуда и следуют соотношения в2) и в3).
г) С помощью B.18) находим
со С со
~-
^п!|
cQ. 1 | оо
2 Упм ехр 2 У
I
п = 1
л = 1
Приравнивая коэффициенты при гп/п\, отсюда получаем
1
; откуда и следует г),
У*) >V»(*i •••**-*)

200 ОТВЕТЫ. РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ. ГЛАВА II
д) В силу вх), очевидно, имеем
что согласно а) равно Yn+S, и д) доказано.
2.61. Соотношения для коэффициентов
производящей функ-
функ257
фф р фу
ции Вн (х) немедленно следуют из результатов задачи 2.57, если
в ней положить #у= 1 для / е Н и положить У/ = 0 для / ф Н. Ком-
Комбинаторный смысл чисел Вп (Н) выявляется аналогично задаче 2.56
для чисел Белла Вп.
2.62. а) Утверждение ясно: соотношения S (n, 1) = 1, S {п, п) — 1
проверяются непосредственно, а соотношение
(n, k) = Bn сле-
ft = 0
дует из определения числа Белла (задача 2.55) и чисел Стирлинга
2-го рода.
б) Рассмотрим множества H/j-i = {-ki xn-i} и |д.л == {дгг, ..., хп\.
Всевозможные разбиения р,„ на k частей можно получить из разбие-
разбиений [in_1 на k н k— 1 частей, добавляя к ц„-1 элемент хп. Если
дано разбиение ^„.j на k частей, то элемент хп можно включить
в состав одного из подмножеств, составляющих это разбиение, что
в итоге даст k различных разбиений ц„ на k частей. Если же дано
разбиение \in^ на к— 1 часть, то, добавляя хп, нужно образовать
подмножество, состоящее из единственного элемента хп, что даст еще
одно разбиение ц„ на k частей, отличное от предыдущих. Это рас-
рассуждение и доказывает б). Начальное условие объяснений не требует.
в) Упорядочим всевозможные разбиения n-множества \i на
k частей. Для этого зададим k положительных целых чисел г/ таких,
что rx-f-г2-f-... + г^ = п, и рассмотрим различные {гъ ..., г^)-раз-
биения множества ц. Число таких разбиений определяется формулой
задачи 2.52. Поскольку в каждом таком разбиении порядок множе-
множества несуществен, получаем
п\
-t
r1\...rk\
что и доказывает с).
г) Доказательство аналогично доказательству представления за-
задачи 2.56 для числа Белла.
д) Полагая в соотношении б) k = n—1, получаем
S{n, n-l) = (n—l)S(n—I, n—1) + S(n-1, n-2) =
= n — 1 -f S (я — 1, n — 2) = (n— \) + (n — 2) + 5(n — 2, n — 3) =
5 2. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 201
Далее имеем
S{n, л —2) = (л-2M(л-1, п — 2) + S(n-l, л-3) =
л-1
2
t-2, л-4) =
г —2
л —м
2 Г
2.63. Умножив левую и правую части соотношения б) задачи 2.62
на ук и просуммировав по k, получаем
S(n,
2 S(n-1, A—1L,* =
2 AS(n-l,
или, что то же, Рп(у)^у [dPn_i(y)fdy + Pn^1(y)]t и B.30) доказано.
Эквивалентность соотношений B.30) и B,31) следует из того, что
duк "~г УУ!> ~ du
2.64. Заметим, что из определения многочленов Белла следует,
что при л 5= 1, в силу задачи 2.62, г),
*п(У>---,У)= У, Bn(klt ..., kn)y l "=>
Поэтому, положив в левой и правой частях B.18) у1 = у2 = ...=уп~у,
получим
00 / СО
J
что и требовалось доказать.

202
ОТВЕТЫ. РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ. ГЛАВА II
§ 2, СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 203
2.65. С одной стороны, по определению производящей функции
S (х, у) имеем
оо I n
2 2
„ = 0 \ft — С
оо Г оо
VI 1
k~0 Lrc =
С другой стороны, согласно B,32) находим
со
Сравнивая коэффициенты при ук в обоих полученных выражениях,
приходим к B.34).
2.66. Из B.34) получаем
что и требовалось доказать.
2.67. Как было показано в задаче 2,66,
dYk (x)/dx= (e*- l)*-i в*/(А-1I
Коэффициент при хп в левой части этого соотношения равен
S(rt-|--1, k)/n\, а в прапой части —
у. й80-'-11-
Приравнивая полученные выражения, получим соотношение B.36),
Заметим, что решение этой задачи легко пр^родится тем же методом,
что и в задаче 2.62,
2.68. По определению полиномов Рп (*) (задача 2,63) имеем
Используя тождество B.36), отсюда получаем
п г П
L/=o
и B,37) доказано.
Далее, согласно соотношению B.30) имеем х dPn (x)/dx —
Pn+i(x)— xPn (x). Используя B.37), отсюда находим
П /1—1
k—0
fc=0
ь,. что и доказывает B.38).
С 2.69. С помощью производящей функции для полиномов Стирлинга
;" (задача 2.64) находим
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в первом и
последнем членах написанной цепочки равенств, получаем B.39).
Полагая в B.39) у=1 с учетом того, что Рп(Ц — Вп, получаем B.40).
.2.70. Согласно B.31)
Используя тождество B.39), отсюда получаем
ею оо со
-4 2 »?-* 2 knw^-x 2
fe =
s = 0
н B.41) доказано; B.42) следует из B.41) с учетом того, что при
дс=1 Р„+1A) = Вя+1.
2.71. Используя задачу 2.62, б), можно записать
, оо
S*B)= S S(tl + k, ft) 2» =
/1 = 0
оо
2
ft =
оо
2)
n=0
2
п =0
так как 5(А—1, k)=0. Отсюда получаем
—1, A-1J",
. откуда и следует B,44), Повторное применение соотношения B.44)
,:¦, приводит к B.45)

204
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ. ГЛАВА II
2.72. Из B.43) и B.45) находим
со
2 s^ ^г"=
¦ = "ft (?)•
n=k
Положив здесь г=1//, получим
и разложение на простые дроби даст
"ft
Al
*
t-i '
f = 0
Снова положив z=\/t, будем иметь
/% (—l)ft V1 W/ (—l)fe V1 / i\,-
U/i (г) = —:— 7 —j—^—==—rj— 7^ (—U
i=0 t = 0 ' ' n = 0
Коэффициент при гл в последнем выражении равен
¦(*
?=0
и представление B.47) для чисел Стирлинга 2-го рода доказано. Фор-
Формула B,46) получается из B.47) заменой переменной суммирования,
2.73. Производящую функцию uk (г) задачи 2.72 можно пере-
переписать в виде
откуда и следует утверждение задачи, так как
00
2.74. 1) Возьмем вначале за исходное определение чисел Стирлинга
2-го рода определение задачи 2.62. Тогда имеем
§ 2. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 205
или, согласно задаче 2.65 (формула B.34)),
et*= f] * (х-1)...(*-
Найдем и приравняем друг другу коэффициенты при tn в левой и
правой частях этого соотношения. Получим
откуда и следует B.49).
2) Теперь за исходное определение чисел Стирлинга 2-го рода
возьмем соотношение B.49). Положим для удобства S @, 0) = 1 и
S@, fe) = 0, если fe#O.
и— 1
Так как x«-i= J] S(n — I, k)x(x— 1)...(л: — fe+ I)- то для п> 1
из B.49) находим
и—1
-1, ft) jc (jc — 1)... (jc — А; + 1) ==
л —1
= (x-
n~\
= 2 5(n-I, ft)*(*-l)...(*-*) +
* = i
n—1
^j -SC"-1. k)x(x-l)...(x—k+\)=*
Следовательно,
п.
и—1
-1, k—l) + kS(n—\, k)]x(x-\)...(x —
Отсюда следует, что для n> 1 S(n, k) = S(n— 1, k— \) + kS (n— 1, k).
При п=\ из B.49) непосредственно находим, что 5A, 1) = 1. Для

?06
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ. ГЛАВА II
%,
§ 2. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 207
любого я > 0 все числа S (n, k) (k=\, .... п) однозначно определя-
определяются своими начальными условиями. Но согласно задаче 2.62 числа
Стирлинга 2-го рода определяются рекуррентным соотношением зада-
задачи 2.62, б), совпадающим с записанными выше и аналогичными
начальными условиями. Следовательно, соотношение B.49) определяет
числа, полностью совпадающие с числами Стирлинга 2-го рода.
2.75. В соответствии с B.19) получаем
Отсюда согласно задаче 2.26 находим
ги 2 ^
n = 0 ft, 1^0
откуда и следует доказываемый результат.
2.76. Рассмотрим подстановки п символов {хъ ..., хп) ckциклами
по положению элемента хп, который либо образует, либо не образует
единичный цикл. Если хп образует в подстановке единичный цикл,
то этой подстановке можно сопоставить подстановку п—1 элементов
{хъ ..., хп_г\ с k— 1 циклами. Число этих подстановок равно
С (п—1, k—1). Если хп не входит в единичный цикл, то число иско-
искомых подстановок равно числу способов, с помощью которых элемент
хп может быть включен в подстановки из л — 1 символов, с k циклами
каждая, без образования нового цикла. Это число равно л—1, так
как в каждом цикле длины г имеется ровно т различных возможно-
возможностей для включения хп, и по предположению сумма длин циклов
равна л—1. Из этого рассуждения следует B.51); B.52) вытекает
из B.51) и связи чисел s(n, k) и С (п, k).
2.77. Умножив левую и правую части B.51) на xk и просумми-
просуммировав по k от 0 до п, получим
С„(х)= 2 c(«— •• fe—l)**+(n—1) '2 С(л— 1, ?)** =
= хС^ (*) + (л - 1) Си_! (х) - (* + л -1) Ся_х (х).
Отсюда B.53) следует по индукции.
Формулу B.53) можно доказать также следующим образом. Оче-
Очевидно, что Сп(х) = Сп(х, х х), где Сп(х х) определены
в задаче 2.58. Следовательно, из B.21) находим
^ п = \
*'" откуда и следует B.53).
2.78. В задаче 2.77 было показано, что
(л,
-\), /г=1, 2,
Учитывая, что С(п, А-) = (— \y+ks-{n, k) (см. задачу 2.76), полу-
получаем B.54).
2.79. Положительность чисел (—\)n+k s [n, k) следует из того, что
/_l)«+fts(n, k) = C(n, k), где С(п, fe)^O по определению (см. зада-
задачу 2 76). Представление B.55) вытекает непосредственно из B.53).
2.80. Умножив обе части B.52) на хя-^1(п—\)\ и просуммировав
по л от 1 до оо, получим
(я—1I'
т. е. dyk(x)fdx = yk-i(x)—xdyk(x)/dx, откуда следует B.56). Соотно-
Соотношение B.57) легко доказывается по индукции. Действительно, так
как уо(х) = \, то для & = 0 B.57) выполнено. Пусть теперь B,57)
выполнено для ft—1, и проверим его для k. Из B.56) получаем
dyk
-1I
или, что то же,
Что и требовалось доказать.
2.81. Имеем
х(х—\) ... (х—п+1)
¦л!
л=0
•fe.

208 ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ. ГЛАВА II
Отсюда в силу B,54) получаем
что и требовалось доказать.
2.82. Согласно задаче 2.80 имеем
х+1
или
оо
оо п
я=0
т^)
«=о ,-=о "
Приравнивая коэффициенты при хп в левой части и в правой части
этого выражения, получаем .
s(n+\, *) =
что эквивалентно B.58).
2.83. Из B.49) и B.54) находим
(n' Ь)Х(Х-\) ... (X~
-—
fe=l
2
откуда и следует B.59) для 1 ^т^п. Но B.59) выполняется и для
всех прочих значений т., так как в этом случае обе части B.59)
равны нулю.
Действуя в обратном порядке, докажем B.60). Действительно,
п
X (X— 1) ... {Х—П-\- 1) = 2 s (П> v) *V =
П V
= 2 s(". v) 2 ^ (V) m)x(x— 1) ••• (* —m+l) =
v=l m=0
и n
= 2 x(x—l) ... (x — m+l) 2 s("> v)S(v, m).
m=0 v=m
§ 2. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 209
Сравнивая коэффициенты при х(х— 1) ... (x — m+l) слева и спраьа
(они должны быть равны), получаем B.60).
2.84. Учитывая B.61), находим
2 S(n, v)Av= 2 5(«> v) II s(v' *)а* =
S (n, v) s (v, ft)
и в силу B.59)
Л П
2 S(n, v) 4V= 2
v-=l ft = l
следовательно, из B.61) вытекает B.62). Обратно, с помощью B.62)
можно записать
п п v
2 s («.v)av= 2 s("> v> 2] s<v' *) A"°-
V=) V=l fe=l
2
fe=l
(v,
и в силу B.60)
n п.
2 s(n, v)av= 2 Ак6як=Ап,
v=] ft=I
т. е. из B.62) следует B.61).
2.85. Для п = 0 формула B.63) справедлива, так как по опреде-
определению s @, 0) = 1, До=1. Пусть теперь я 2=1. Тогда согласно
задаче 2.62, а) и B.60) получаем
2 s (п, k) Bk^ 2 s (n, A) 2 S (ft, /) =
fc = i fe = l i = i
-2 2м«. *)s(ft. о=-2бя<=бяя=1.
2.86. Для я = 0 B.64) имеет место, так как s @, 0) = 1 и
Далее, согласно B.60) получаем
2 s (л, A) Pft (*)= 2 s (п> *) 2 S (*>
ft l
ft=]
2 *^ 2 «(«. *) s(а, /) = 2 */в»/=
/=0 ft=/ /=0
и B.64) доказано.

210
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ. ГЛАВА II
§ 2. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 21]
2.87. Для
Для п=1, 2,
2 S(n, *)/*
0 B.65) выполняется, так как & @, 0)= 1 и /0
согласно B.54) и B.59) имеем
= 1.
(«, ft)
2
/=0
= 21
ft=0
¦2
/=0
2.88. Каждое размещение различных дробинок в различных
ячейках можно интерпретировать в терминах (гъ г2, ¦¦-, г^)-разбие-
ний n-множества М имеющихся предметов. Действительно, размещение
предметов в ячейках такое, что в i-й ячейке содержится г,- э= 0 пред-
предметов, гу-\-г2 +... + гт = п есть (гь га, .... гт)-разбиение множе-
множества М (см. задачу 2.52) и число таких разбиений равно о(г^ гт).
Очевидно, что ввиду задачи 2.52 получаем
т) = 2^ °(ri> •¦•> гт) =
ri + - + rm = n rl +
Отсюда согласно задаче 2.62, в) приходим к формуле B.66). Выра-
Выражение B.67) для чисел ц (п, т) теперь является следствием задачи 2.72.
Чтобы доказать B.68), воспользуемся рекуррентным соотношением
задачи 2.62, б). Имеем
И (л, m)~m\S{n, m) — m\ [mS (n— I, m) + 5(n—1, т— 1)] =
= mm!S(/i—I, m)-\-m{m—\)\ S {n—\t m—1) =
= /л(х (л — 1, tn) -\- tn\i (п — 1, т — 1),
что и доказывает B.68).
2.89. |лр (п, т), очевидно, равно числу способов выбора из т
ящиков р таких, которые необходимо заполнить, умноженному на
число способов размещения различных дробинок в различных ящи-
ках, т. е.
(я,
т
= ( "*]ц (п, Р), " в силУ
(п, т) =
т(т—1) ... (т — р-\-1)
p\S(n, p)
отсюда следует B.69).
2.90. Рассмотрим различные размещения п различных предметов
по т различным ячейкам. Их общее число равно тп, т. е. левой
части B.70). С другой стороны, их можно классифицировать следую-
следующим образом. Разобьем все эти размещения на т классов, включив
в р-я класс (р=1, 2, ..., т) все те размещения, для которых />
ячеек заняты и (т — р) свободны. Мощность р-го класса определяется
с помощью задачи 2.89. Суммируя по всем р числа \к.р (п, т), в силу
B.69) получаем
т т
= 2
i
т)=
что и требовалось доказать. Ясно также, что соотношение B.70) сле-
следует непосредственно из определяющего выражения B.49) для чисел
Стерлинга 2-го рода.
2.91. Первое из требуемых чисел получается делением на т\
соответствующего числа способов размещений для различных ящи-
ящиков (см. задачу 2.88, формула B.66)). Действительно, каждому из
размещений при наличии т одинаковых ячеек соответствует т\ раз-
размещений в случае, когда эти ячейки различимы.
Второе из искомых дисел получается непосредственным суммиро-
суммированием чисел Стирлинга S (п, р) по р=\, ..., т, так как выбор
пустых ящиков, поскольку они неразличимы, осуществляется един-
единственным способом.
2.92. п различных простых множителей рь ..., рп можно раз-
разбить на т непустых произведений 5 (п, т) способами согласно
интерпретации чисел Стирлинга 2-го рода S(n, m) как чисел раз-
-биений n-множества на т непустых непересекающихся подмножеств.
По условию задачи все полученные произведения будут различны,
что и доказывает требуемый результат.
2.93. Разобьем размещения, подсчитываемые числом S (n, m, k),
на п+1 класс, включив в v-й класс (v = 0, 1, ...) те размещения,
в которых заполнение k выделенных ячеек осуществляется v дробин-
дробинками, причем остальные п — v дробинок попадают в непомеченные
ящики. Число элементов в v-м классе равно
)(m-k)n-vklS(v, k),
(*)
где ('" ] — число способов выбрать из п различных предметов v штук;
\v/
k\S (v, k) — число способов размещения v выбранных предметов в k
фиксированных ящиках (см. задачу 2.88); (m — k)n"'v~число способов
размещения оставшихся п — v различимых предметов в т — k разли-
различимых ящиках. Суммируя одночлены (*) по v = 0, 1, ... , п и деля
сумму на k\, получим B.71).
2.94. Используя B.71), запишем
со
- V 1
jLi t
00
у xv
Кп
гГ
п
1
Lv = 0
= у
v = 0
s<
v, k)
vV
v! Ь
оо
fn-yfe)"-vS
оо
(v, *) 2
п = \
(m-kY v
n! X
]
(v, k) =
J
(n-v)!
00
- Л V!" S (V
vl
S{v, k)x\
/; откуда с помощью B.34) следует B.73).

212
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ. ГЛАВА II
§ 3. Теория Пойа
2.95. Выпишем все п] последовательностей, каждая из которых
состоит из чисел 1, 2, ..., п, взятых по одному в произвольном
порядке, В каждой такой последовательности выделяем в круглые
скобки, начиная с начала, Ьх раз по одному числу, Ь2 раз по два
числа и т. д., Ьп раз по п чисел. Полученные последовательности
с расставленными скобками можно рассматривать как подстановки,
разбитые на циклы. При этом каждая подстановка с заданным типом
Ьп) встретится
Раз. Следовательно,-число различ-
ных таких подстановок равно
п\/ JJ (
il
i
i—l
2.96. Утверждение немедленно следует из результата задачи 2.95.
2.97. Если а — фиксированный элемент множества G, то отобра-
отображение gi—*¦ ag, определенное для всех geG, есть подстановка на
множестве G. Обозначив ее через 5 (а), заметим, что если а пробе-
пробегает все множество G, то отображение а \—*- S (а) взаимно однозначно,
гомоморфно (S (a) S (Ь) — S (ab)) и такие подстановки S (а) образуют
группу.
2.98. Если geG, то порядок g—это наименьшее положительное
целое число k такое, что gk = e, где е —единичный элемент группы G.
Подстановка 5 (g) разбивает G на циклы, длины которых все
равны k (g): если р—некоторый элемент множества G, то он принад-
принадлежит циклу:
Р •—*¦ gP |—¦¦ g2P •—•- • ¦ • i—»• gklg)P = P.
Отсюда следует, что п делится на k (g) и что подстановка S (g) раз-
разбивает G на njk (g) циклов длины k (g). Таким образом,
Р -1
ge.G
din
2.99. Если g=enitln, то порядок элемента g равен k (g) = n/(n, /).
Дальше пользуемся результатом задачи 2.98.
2.100. 12 вращений тетраэдра можно разбить на три категории:
1) тождественное;
2) 8 вращений на 120е вокруг оси, проходящей через вершину
и середину противоположной грани;
3) 3 вращения на 180° вокруг оси, проходящей через середину
противоположных ребер.
Поэтому PQ = ^x\-\-8x13
2.101. PG = (x° +8x1 + 3*^)/12.
2.102. PG=(#i-\-8x1x3~{-3xl)/12. Здесь можно воспользоваться
тем, что двойственным к тетраэдру правильным многогранником
является сам тетраэдр.
2.103. 24 вращения куба можно разбить на пять частей:
1) тождественное;
§ 3. ТЕОРИЯ ПОЙА
213
2) 3 поворота на 180* вокруг прямых, соединяющих центры про-
противоположных граней;
3) 6 поворотов на 90° вокруг прямых, соединяющих центры про-
противоположных граней;
4) 6 поворотов на 180° вокруг прямых, соединяющих середины
противоположных ребер;
5) 8 поворотов на 120° вокруг прямых, соединяющих противо-
противоположные вершины.
Подстановка 1) дает 8 циклов длины 1. Подстановка 2) дает 4
цикла длины 2. Подстановка типа 3) дает 2 цикла длины 4. Подста-
Подстановка типа 4) дает 4 цикла длины 2. Подстановка типа 5) дает 2
цикла длины 1 и 2 цикла длины 3. Поэтому
2.104. PQ = |
2.105. PQ =
2.106.
+ 3*" + 6*1 + 6*i*i + 8*аУ24-
Коэффициент при гп получается суммированием выражений
х\1х\* ... (Ь1\Ь^.2ь%13Ьг ...у1
по всевозможным целым неотрицательным числам blt b2, ... , удовлет-
удовлетворяющим условию Ьх + 2Ь2 + 363 +... = п. Теперь утверждение не-
непосредственно следует из результата задачи 2.95.
2.109.
{(g, s):
S, ngs = S} |=
где t](s) = | {g^G: ngs
группы G порядка т] (s).
Если Sx~s (т, e. 3/i
G:
2
Gj={gf=G:
= s), T0
= s} |=T|(s).
= s} — подгруппа
Следовательно, G может быть разбита на подмножества, каждое из
которых состоит из г| (s) элементов и соответствует ровно одному
элементу класса эквивалентности, в который входит s. Поэтому имеем
\в\
ti(s)=
число эквивалентов в классе эквивалентности, содержащем s
Отсюда следует утверждение леммы.
2.110. S разбивается на 2 класса эквивалентности {а, Ь} и {с, d}.
Задачу можно решить, используя лемму Бернсайда:
Отсюда число классов эквивалентности равно D 4- 2 + 2 -f- 0)/4 = 2.

214
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ. ГЛАВА II
2.111. G = {nlt п2}; лх —тождественная подстановка, ла —замена
местами крайних букв. По лемме Бернсайда имеем: число классов
эквивалентности равно (ф(л1)-т-1|з(я2))/2 = (8-т-4)/2 = 6.
2.112. Одно ожерелье можно выкрасить в три цвета 35 = 243 спо-
способами. G — {n,lt ..., я5}, где я,- —поворот ожерелья по часовой
стрелке на угол 360° (i — l)/5, i=l 5. Очевидно, \|)(я1) = 243;
¦ф(л2) = ... = i|)(я6) = 3. Следовательно, число различных ожерелий
по лемме Бернсайда равно B43 + 3 + 3 + 3 + 3)/5 = 51.
2.113. (п— 1)!.
2.114. Я! — тождественное преобразование, щ — преобразование,
поворачивающее «вверх ногами» те числа, для которых это возможно
(остальные числа оно оставляет на месте). 105— 5* чисел содержат
хотя бы одну из цифр 2, 3, 4, 5, 7. Зх52 чисел читаются одинаково
в прямом и перевернутом виде, например, 16891. Поэтому ч|> (я2) =
= (Ю5 —55) + 3-52; ¦ф(л1)=Ю*. Итак, понадобится 1/2 • AО5.+ 105_ —
— 55. + Зх52) = 98475 листов.
2.116. В нашей задаче 10 классов эквивалентности:
1) все грани красные (мощность 1);
2) пять граней красные, одна голубая (мощность 6);
. 3) две противоположные грани голубые, остальные четыре —
красные (мощность 3);
4) две смежные грани голубые, остальные четыре — красные
(мощность 12);
5) три грани, имеющие общую вершину, красные, три осталь-
остальные— голубые (мощность 8);
6) две противоположные грани и одна оставшаяся красные, три
остальные —голубые (мощность 12);
7) —10) получаются из 4) — 1) заменой слов «красный» и «голубой».
2.117.
2.П8.
II
de?>
2
f
(/i (d)) =
f
при
tfi fed))- П
2
reER
полного произве-
произвеб) Получается аналогично при рассмотрении
дения.
2.119. Здесь D — множество граней тетраэдра, G — группа вра-
вращений, R— множество двух цветов: красного и голубого,
По теореме Пойа число различных классов эквивалентности равно
РоB, 2, 2, 2) = 5.
2.120. Здесь D — множество граней куба, G — группа вращений,
R — множество двух цветов,
0(xi
Согласно теореме Пойа число различных способов окрашивания
равно PQ{2, 2 2) =10.
§ 3 ТЕОРИЯ ПОЙА
215
. 2.121. D— множество граней куба, G — группа вращений, R —
множество двух цветов: красного и голубого,
ра=(*i+Ъх\х1+6*1*4+&xl+8*з)/24-
Придадим вес а красному цвету, Ъ — голубому цвету. По теореме
Пойа запас классов эквивалентности равен
[(а + Ь)в + 3 (а + &J (а2 + б2J + 6 (а + ft)s (а* + Ь*) +
+ 6 (а2 + Ь*У + 8 (а3 + 63J]/24.
Коэффициент при а*Ь2 равен A5 + 9 + 6+18 + 0)/24 = 2, Следова-
Следовательно, существуют ровно два класса эквивалентности функций, при
которых 4 грани окрашены в красный цвет.
2.122. Здесь D — множество из.п элементов, R — множество ич k
элементов и G — циклическая группа порядка п. Используя зада-
задачу 2.99 и теорему Пойа, получаем, что число ожерелий равно
п
— У k(n' ;), где {п, /) — наибольший общий делитель п и /.
/ = 1
2.124. Предположим, что Xi-^-x^, и х1 < хг для некоторых *],
«8еХ, Тогда существует get такое, что gxt = x2. Отсюда получаем
xl < gxi < g2xi < • •• < gk'l4 < gftxi =Xi, если хг принадлежит циклу
длины k подстановки g. Из транзитивности имеем х1<х1, что
невозможно.
2.125. Пусть С^С и С s^C, т. е. существуют хи
C ' С С
Т
такие, что хх^х[,
i й
уу и ,,
х'2 для каких-то С, С е x/L,
\-=х% и
[ j , х[, 2 2
Тогда существует gei, такой, что x^ = gx^, и имеем
т. е. x'2^gx\, где gx\ <= С. Из задачи 2.124 имеем 2 ц\
С = С. Остальные условия проверить еще легче.
2.127. Пусть X = M(D, R), G действует на X следующим обра-
som: ngf = jg~1\ легко доказать, что я есть гомоморфизм G в группу
подстановок M(D, R). По лемме Бернсайда (задача 2.109) получаем,
что число классов эквивалентности изотопных функций равно
1
2 *fe).
где
= {|eM(D, R): j постоянна на циклах g} = ] M(Df{g], R)U
2.128. Пусть в предыдущей задаче D — антицепь, R— цепь, Тогда
M(D,R) = RD, M(D/{g}, R) =
Если (Ьъ bit ,..) — тип подстановки g, то

Глава III
ЛОГИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
§ 1. Метод включения и исключения
m
3.1. Обозначим п =
и pi (I ^ i sg т) свойство, состоящее
в том, что выбранный элемент принадлежит множеству S,-. Тогда
в принятых нами обозначениях Niv ..., (-ft=| S|X ... 5;ft I, 1 ^t"i <...
...<ift^"It и по формуле включения и исключения
- 2
JV(O) =
3.2. Перестановки элементов данного m-множества будем считать
элементами ml-множества. Обозначим п = т\ и pt (I sgi^m) свойство
перестановки, состоящее в том, что элемент m-множества с номером i
в результате данной перестановки остается на месте. Тогда в приня-
принятых нами обозначениях
f ,
(m-ft)l.
Применяя формулу включения и исключения, получим ответ:
т т—г
(-1)'
s!
к=/
3.3. Обозначим р~, где а = (((, ..., г^), свойство набора, состоя-
ос
щее в том, что в первой перестановке элемент с номером it остается
на месте и т. д., в d-й перестановке элемент с номером id остается
на месте. Тогда число наборов, обладающих свойствами р~ , ... , р-
ai ak
A ^k^tn), равно
и- - =№-k)\)a, '
• «ft
N-
§ !. МЕТОД ВКЛЮЧЕНИЯ И ИСКЛЮЧЕНИЯ
Применяя формулу включения и исключения, получим ответ:
т
k
3.4. Элементами ягп-множества будем считать различные расклад-
раскладки п шаров по т ящикам. Обозначим р,- (t = I, .... т) свойство,
состоящее в том, что при данной раскладке ящик с номером i
остался пустым, Тогда количество раскладок, обладающих свойствами
р^,..., р,-А A^?1<...<1й^т), равно Niv...tik~(m — k)n и
Применяя формулу включения и исключения, получим ответ:
(r)
s=0
3.5. Обозначим pt (\^i^m) свойство набора, состоящее в том,
что шар с номером i в этом наборе не содержится. Тогда число
наборов, обладающих свойствами piv .... pi/t (I s? tj< ...< ife^m),
равно
•i '*
Применяя формулу включения и исключения, получим ответ:
В частности, число наборов, в которых встречаются все шары, равно
m — s
2
ft=0
3.6. Рассмотрим С^-множество n-выборок из m-множества и обоз-
обозначим pi (\ ^i^km) свойство, состоящее в том, что в данной
выборке содержится элемент с номером i. Тогда число выборок,
обладающих свойствами p-tl> ... , plh (I ^ij < ...< ik ^m), равно
л/,
— fe
m — kt
N,-
etc
-«-ft
Применяя формулу включения и исключения, получим тождество
m

218
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ. УКАЗАНИЯ. ГЛАВА Ш
§ 1. МЕТОД ВКЛЮЧЕНИЯ И ИСКЛЮЧЕНИЯ
219
3.7. Рассмотрим C^,m_j-множество всевозможных л-выборок
с повторениями из (т)-множества и обозначим pt (I =S i sg m) свой-
свойство, состоящее в том, что данная выборка не содержит элемент
с номером i. Тогда число выборок, обладающих свойствами р^, ..., p;ft
A ^ «!<...< «ft </и), равно
¦ fe—1» У. NL i,_—umbm + n —fe —!•
Применяя формулу включения и исключения, получим тождество
0
3.8. Следует из задачи 3.5, так как если sd<.m, то N@) = 0.
3.9. Рассмотрим множество S разбиений числа п на т неотрица-
неотрицательных целых слагаемых п = щ-\-...-\-пт. Имеет место равенство
п\
...пт\
... . п„
т раз
Обозначим р; A sit =Sm) свойство разбиения л = л,-f-...-f-«m, состоя-
состоящее в том, что Л; = 0г и пусть вес каждого разбиения щ, ..., лст
равен n\/(rii\... пт\). Тогда суммарный вес совокупности разбиений,
обладающих k свойствами, равен V (k)~ ?n\/(nL\ ...nm\), где сумми-
суммирование производится по всевозможным разбиениям числа л на т — к
неотрицательных целых слагаемых, т. е. V (k) = (m — k)n.
Применяя обобщенную формулу включения и исключения, полу-
получим тождество
tn
XI п\ V, „k~k .... t,n
П
3.10. Следует из задачи 3.9, так как если п < т, то №@) = 0.
3.11. Следует из задачи 3.9, так как количество упорядоченных
разбиений числа т на т целых положительных слагаемых равно
единице и вес этого разбиения т=\-{-...-]-[ равен т\, т. е.
W @) = m!.
3.12. Обозначим pi (l^i^m) свойство, состоящее в том, что
данное число делится на q,-. Количество чисел, не превосходящих п
и обладающих свойствами р- , ..., pt , равно nj(q, ...g,- ^ A -s?
i ft I \ i k/
=s; ij <...<; 1ц ^ т). Применяя формулу включения и исключения,
получим равенство
yV(O) = cp(fi) =
3.13. Обозначим pi (I -
данное число делится на qt.
"ft
i^m) свойство, состоящее в том, что
Тогда количество чисел, не превосходя-
ших п и обладающих свойствами pt , ..., р( A ^ (j < ... < 1^ ^пг),
равно Nt ^ =Гп/^;. ...^ \1. По формуле включения и исключе-
исключения количество чисел, не превосходящих п и не обладающих ни
одним из свойств pi рт (т. е. число простых, больших у п ,
но не превосходящих п), равно
tf @)=>я(п)-я(Угл) = (л-
3.14.
2 {2-*-
_2
1-2-6 -г
О—Г. 1 I П
1
15 | —2-30 •
3.15. Обозначим через S множество всех /n-выборок с повторе-
повторениями чисел 1, ... т. Пусть вес каждой такой выборки ilt ..., im
равен а, ¦ ... а г . Обозначим р; A ^t^m) свойство состоящее
'I'm
в том, что данная выборка не содержит числа i. Тогда сумма весов
выборок, обладающих свойствами р( , ..., р; , равна
1 k
;С Применяя формулу включения и исключения, получим равенство
3.16.
У]
По
ai ¦
определению перманента. матрицы per Л =
...а ( , где суммирование производится по всевоз-
" т
;| можным m-выборкам без повторений из л-множества 1, ..., л. Если
4 выборка ii im такова, что a, i ...am { =1, то по определению
Д<'матрицы инцидентности s; eSj(i=l в). Следовательно, систе-
¦% ма Sj , ..., s{ есть с. р. п. для M(S). Если для выборки ib ..,, im
tft , ...ат i =0, то система s, ..... s, не может быть с, р. п.
М (S). Поэтому число с, р, п. для М E) равно per A,

220
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ. УКАЗАНИЯ. ГЛАВА III
3.17. Матрица инцидентности для М (S) имеет вид
А = {аи), г, / = 1, ..., т, <*/,/= { Q' \=^
Вычислим per Л с помощью формулы задачи 3.15. В обозначениях
задачи 3.15 имеем
S(Ait __ ,- \ = (m-k — \)m~k(m — k)k,
2 ЯМ,' ,)=C*m(m-ft_ir-ft(m-ft)ft.
<i 'ft
Следовательно, по задаче 3.16 число с, р. п. для М (S) равно
m—1
§ 2. Система представителей множеств
3.18. Предположим, что не существует с. р. п. для M(S). Тогда
по теореме Холла найдутся подмножества S(l S,-A (l^t'x<...
...<ifc=sS/n) такие, что р = | Sri4----+5,fe] < й. По условию задачи
каждое из множеств Sx Sm содержит ровно г элементов и каждый
элемент содержится ровно в г множествах. Поэтому число элементов
с учетом повторений, содержащихся в объединении множеств 5,^+...
. ..-f-Sfft, или число единиц, содержащихся в k строках матрицы
инцидентности для М (S), равно k-т.С другой стороны, это число не
превосходит р ¦ г. Полученное противоречие доказывает существование
с. р. п. для М (S).
3.19. Докажем, что |Л| = |?|. Обозначим элементы множества
А = (а1, ..., ат) и В = (ЬЪ ..., Ьп) точками на плоскости, а соответст-
соответствие между ними —отрезками, соединяющими эти точки. Тогда число
отрезков, исходящих из точек множества А, равно km, а исходящих
из точек множества В равно kn. Следовательно, справедливо равенство
' = <<*./) (I, /=1,
т) следующим
km = kn или | Л | = | В
Определим матрицу
способом:
{1, если существует соответствие между элементами at и Ь/,
О в противном случае,
По условию матрица С такова, что в каждой строке и каждом столбце
содержится ровно k единиц. Из задачи 3.18 следует, что per С ф 0.
Поэтому существует перестановка ix im чисел 1, ..., т такая,
что cltil ¦¦¦cm,im=l. Поставим в соответствие элементу Ь!гх элемент
аа (а=1, .... т). Мы установили взаимно однозначное соответствие
между Л и б.
3.20. Следует из задачи 3.19.
3.21. Обозначим Sj(i = l, ..., п) множество чисел от 1 до я, не
содержащихся в i-u столбце данного латинского прямоугольника, и
§ 2. СИСТЕМЫ ПРЕДСТАВИТЕЛЕЙ МНОЖЕСТВ
221
Матрица инцидентности для М (S) содержит ровно п — /п>0 еди-
единиц в каждом столбце и каждой строке. Поэтому, как следует из за-
задачи 3.18, существует с. р. п. slt ..., sn для M(S). Добавим строку
&!, ..., sn к данному латинскому прямоугольнику, получим (m-f-l)Xrc
латинских прямоугольников.
Из доказанного утверждения следует, что всякий латинский пря-
прямоугольник можно расширить до латинского квадрата.
3.22. Обозначим A = (aitl) (i=l т; /=1, ..., п) произвольно
выбранную матрицу; M = s-\-t — минимальное число строк с номерами
»i, ,.., is и столбцов с номерами jlt ,.., //, содержащих все ненуле-
ненулевые элементы; Л/ — максимальное число элементов, никакие два из
которых не содержатся в одной строке и одном столбце.
Рассмотрим матрицу А' размера sx(n — t), составленную из эле-
элементов матрицы А, стоящих в пересечении строк с номерами ilt ..., is
и столбцов с номерами, отличными от jlt ..., \i. Обозначим строки
этой подматрицы Si,..., Ss. Тогда для любого набора индексов
«1, ¦•¦•ЯА j 5ai +... -f- Safe I Э= к, так как в противном случае мы
могли бы заменить соответствующие к строк матрицы А на меньшее
число столбцов, покрывающих в матрице А те же ненулевые элементы,
что противоречит минимальности числа М. Следовательно, по теореме
Холла в матрице А' найдется s ненулевых элементов, никакие два
из которых не содержатся в одном столбце и одной строке. Аналогич-
Аналогично, рассматривая матрицу А" размера (т—s)xt, составленную из
элементов матрицы А, стоящих в пересечении строк с номерами,
отличными от iu ..., is, и столбцов с номерами /ь ..., //, находим t
ненулевых элементов, никакие два из которых не содержатся в одной
строке и одном столбце.
Итак, мы нашли s-\-t = M ненулевых элементов матрицы А,
никакие два из которых не содержатся в одной строке и одном
столбце. Следовательно, в силу максимальности числа N выполняется
неравенство N 5= М. Так как противоположное неравенство М 3^ N
не вызывает сомнений, то M = N.
3.23. Минимальное число строк и столбцов, содержащих все не-
ненулевые элементы матрицы А, не превосходит т — s-\-m — t <m. Сле-
Следовательно, по теореме Кёнига (задача 3.22) для любой перестановки
1 0 О
'ъ
р
1,
'ж чисел
d<b\ A = per A = 0.
3.24. Обозначим
т имеем a
'1
a
m
р
0. Отсюда получаем
I
S{ = {A/\ А1{\В1Фф\, ( = 1, ..., т. Пусть
i>---> 4i — ириилвильная fc-выборка из 1, .... т. Если
Si +...4-S , <k, то множества В ,• В, содержатся в объеди-
h ' ft1 'г lk
нении менее чем k множеств Ах Ат, что противоречит условию
задачи. Следовательно, по теореме Ф. Холла существует с. р, п.
определения множеств
..., т). Пусть xk e
хт есть с. р. п. для
А, для Sx,
Si (t = \, ..., tn) получаем At
Из
¦¦Ф (* =
Bk
. A(
1 'т
3.25. Для
из 1 т I
(ft = 1, ..
и Ви ...
любой
т). Тогда хх
&-ВЫбОрКЙ
— kr. Поэтому мно-

222
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ. УКАЗАНИЯ. ГЛАВА III
§ 3. ТЕОРЕМА И ЧИСЛА РАМСЕЯ
223
жество А,- 4-...4-А, не может содержать более чем k из множеств
Ви ... , Вт. Следовательно, по задаче 3.24 существует с, р, п. для
Ль ..., Ат и В: Вт.
3.26. Следует из задачи 3.25.
3.27. Пусть iit ..., ijt — некоторая fe-выборка из \, ..., т и
\St -)-...+ S, ]=п. Число р-сочетаний из n-множества равно Срп.
Если множества S, , ..., St имеют с, р, р-п., то число п должно
i k
удовлетворять неравенству Срп Э= k.
§ 3. Теорема и числа Рамсея
3.28. Пусть задана некоторая раскраска ребер полного 6-графа.
Рассмотрим произвольную вершину Ро. Из пяти ребер, выходящих
из этой вершины, по крайней мере три ребра окрашены в один цвет.
Будем считать, что ребра PoPi, РвР% и РоРз синие. Если одно из
ребер Р1Р2. Р1Р3, Р%Рз< например PiP2, синее, то 3-граф с вершинами
^о, Pi, Ра~хроматический; в противном случае 3-граф с вершинами
Pi, Рц Рз~хроматический красный.
3.29. Раскрасим стороны правильного пятиугольника в один цвет,
а диагонали — в другой.
3.30. Следует из задачи 3.28.
3.31. Из задач 3.28 и 3.29 следует, что R C, 3; 2) =6. Докажем
неравенство
, m — \; 2), k > 2, т>2,
R(k, m;
—1, т;
из которого следует утверждение задачи. Заметим, что R B, т; 2)—т
и R (k, 2; 2)=k. Применим математическую индукцию по числу
s = k-{-m. Если s = 6, т. е. m = k = 3, то по доказанному выше
6 = ЯC, 3; 2)ssi?C, 2; 2) + ЯB, 3; 2)=3 + 3.
Предположим, что существование чисел R(k—1, m; 2) и
R (k, m—\\ 2) установлено. Рассмотрим полный n-граф, где п =
= R (k—I, m\ 2)-\-R(k, т—1, 2), ребра которого окрашены в два
цвета (красный и синий). Обозначим р произвольно выбранную вер-
вершину графа, Т± — множество вершин, которые соединены с р-м красным
ребром, Т2 — множество вершин, которые соединены с р-м синим
ребром, n1 = !T1l, rt2 = i7V. Тогда справедливо равенство п = пг +
+ лг+1=Я(/г-1, ш; 2) + R{k, m-\\ 2).
Рассмотрим два случая:
а) tii^R(k— I, m; 2), n2<R(k, m~ 1; 2);
б) n2^R(k, m—1; 2), nt<R{k—\, m; 2).
В случае а), по определению числа R(k~\, m; 2), в подграфе Г,
либо найдется хроматический синий /n-подграф, либо хроматический
красный {к — 1)-подграф. Во втором случае, добавим к хроматическому
красному {k— 1)-подграфу вершину р, получим хроматический крас-
красный ^-подграф.
Случай б) рассматривается аналогично.
3.32. Нестрогое неравенство доказано в задаче 3.31.
Докажем, что если R(k— I, m; 2) = 2p и R (k, m—\\ 2) = 2</,
Где р, q — натуральные числа, то справедливо строгое неравенство
R(k, m; 2)<R(k— I, т; 2)+R(k, m-\; 2), 6>2, m>2.
Обозначим n — 2p4-2q—1, и пусть Р — произвольная вершина
полного л-графа, tit— число красных ребер, исходящих из Р, п2 —
число синих ребер, исходящих из Р. Тогда справедливо равенство
n — l=n1+n2 = R(k — l, m; 2) + R{k, m—\; 2) —2.
Возможны три случая:
а) nt^R(k-\, т; 2), п2 < R (k, m-\; 2);
б) n%SzR(k, m—U 2), n1<R(k—l, m; 2);
в) п.\ = 2р — 1, я3 = 2q — 1.
Первые два случая рассмотрены в задаче 3.31. Если для всех
вершин графа имеет место случай в), то число красных концов ребер
равно Bр + 2д — 1) Bр—1), но это число должно быть четным.
3.33. Применим математическую индукцию по числу s = ? + m.
Если s = 6, т. е. к = т — Ъ, то неравенство 6 = i?C, 3; 2) sg
^C|+.J_, = 6 выполняется.
Пусть R k-\, m;2)^Ckk + 2m_3, R(k,m-\; 2)^C*^_3.
Тогда, используя неравенство задачи 3.32 и свойство биномиальных
коэффициентов, получим оценку
R(k, m; 2)^R{k—l, m; 2) + R(k, m— 1; 2) ==s
3,34. Указание. Проводя рассуждения, аналогичные тому,
как это сделано в доказательстве задачи 3.31, установить справедли-
справедливость неравенства
km; 2) + ...
..., km_b km-U 2),
m.
3.35. Указание. Воспользоваться неравенством задачи 3.34 и
свойством полиномиальных коэффициентов
п\
(«-1I
Пт\
4=1
— 1)! tls
Пт\
3.36. Занумеруем вершины 13-графа числами от 0 до 12 включи-
включительно. Ребро, соединяющее вершины с номерами i и /, будем рас-
раскрашивать в красный цвет, если i — / сравнимо с ±2 или ±3 по мо-
модулю 13, а остальные ребра окрасим в синий цвет (рис, З.Г и 3.2').
, ' 3.37. Из задач 3.32 и 3.36 следует
йC, 4; 2)</?C, 3; 2) + /?B, 4; 2)= 10,
; - R C, 5; 2) > 13, R C, 5; 2) ^ R B, 5; 2) + R C, 4; 2) < 15.
; Поэтому справедливы равенства R C, 4; 2} = 9 и R C, 5] 2} =14.

224
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ. ГЛАВА III
?.
§ 3. ТЕОРЕМА И ЧИСЛА РАМСЕЯ
225
3.38. Занумеруем вершины 17-графа числами от 0 до 16 включи-
включительно. Будем раскрашивать ребро, соединяющее вершины с номе-
номерами i и /, в красный цвет, если разность ? — / есть квадратичный
О
L ^*Ч^ J2-
Рис. 3.2'.
вычет по модулю 17, и в синий цвет, если i — j есть квадратичный
невычет. Предположим, что подграф с вершинами а, Ь, с, d является
хроматическим. Обозначим т—(а — с)/{а — Ь) и п = (а~а)Ца — Ь).
Тогда числа т, п, т— 1, п — 1, т—п должны быть одновременно
квадратичными по модулю 17, что невозможно, так как квадратич-
квадратичными вычетами по модулю 17 являются числа 1, 2, 4, 8,9, 13,15, 1о.
Д 3.39. Из задачи 3,38 следует, что R D, 4; 2)>17. С другой
j стороны, из неравенства задачи 3.32 получаем оценку сверху:
Я D, 4; 2)s?i?C, 4; 2) + ДD, 3; 2) = 18.
' Сравнивая эти два неравенства, находим R D, 4; 2) = 18.
3.40. Пусть ребра полного я-графа случайным образом окраши-
» ваются в два цвета, причем вероятность того, что ребро окраши-
¦¦ вается в красный цвет, равна р, а в синий —1—р. Будем обозна-
Цм чать Р (А) вероятность события А и М (|) математическое ожидание
у случайной величины \. Для произвольных й-выборки ilt ..., ik и
'* /-выборки ju ..., jt из 1, ..., п обозначим Ъ , случайную ве-
личину, принимающую значение единица, если все ребра графа с вер-
.шинами t'i, ..., iff окрашены в красный цвет, и нуль в противном
случае; г^ ^ случайную величину, принимающую значение еди-
единица, если все ребра графа с вершинами /ь ..., jt окрашены в си-
синий цвет, и нуль в противном случае;
А '•,
'ft
h
где суммирование производится по всевозможным k- и ^-выборкам
из 1, ..., п.
Вычислим математическое ожидание ?, пользуясь тем, что мате-
математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме мате-
математических ожиданий этих величин:
iv
¦ ,i
= П
lft
Из условия задачи следует, что Л1(?)<1.
Если | не принимает значение, равное нулю, то
Ч, i=i <=i
что противоречит условию задачи.
Следовательно, случайная величина \ может принимать значе-
", ние, равное нулю, т. е. существует такая раскраска ребер «-графа,
что все /г-подграфы не являются хроматическими красными и все
I-подграфы не являются хроматическими синими. Поэтому имеет
• место неравенство R (к, !; 2) > п.
3.41. Из задачи 3.40 следует, что если число п удовлетворяет
"-'-Неравенству CknpC~k + С* (\ — р)С'к < 1, 0<р<1, то R (к, к; 2) > п.
8 Под ред. К,. А. Рыбникова

226
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ. УКАЗАНИЯ. ГЛАВА III
Пользуясь оценкой для биномиальных коэффициентов С* <
<(c1n/k)"t где q > 0 —некоторая постоянная, и положив р= 1/2,
n = k2k^JBc), будем иметь нужное неравенство:
ь) Л
3.42. Заметим, что если все четырехугольники, составленные из
вершин данного п-угольника, — выпуклые, то и сам я-угольник—вы-
я-угольник—выпуклый.
Пусть N = R(n, 5; 4) и задано N точек на плоскости, никакие
три из которых не лежат па одной прямой, Разобьем (^-множество
четырехугольников на два класса: выпуклые и невыпуклые. Тогда
по теореме Рамсея найдется либо п точек таких, что все четырех-
четырехугольники с вершинами в этих точках—выпуклые, либо найдутся
пять точек таких, что все четырехугольники с вершинами в этих
точках —невыпуклые, Последнее невозможно.
Глава IV
КОМБИНАТОРНЫЕ ТАБЛИЦЫ И СХЕМЫ
§ 1. Специальные матрицы
4.2. В каждой строке и каждом столбце такой матрицы содер-
содержится по одной единице. Переставляя строки и столбцы, получим
матрицу, на главной диагонали которой стоят единицы. Ее перма-
перманент равен 1,
4.3. Для матрицы А перестановки (kv k2, ..., kn) в выражении
det A = 2 (±) at j ...at п лишь один член ак хакч,..ак п отличен от
нуля, Он равен единице и входит в сумму со знаком +, если пере-
перестановка четная, и со знаком —, если она нечетная. Ответ: det A =
с= 1, если перестановка четная; —1, если нечетная,
4.4.
4.5.
/1 1 1 0 0 0 0>
'1 0 0 1 1 0 0\
10 0 0 0 1 1
0 10 10 10
0 10 0 10 1
\0 0 1 1 0 0 1/
\0 0 1 0 1 1 0/
П 0 1 1 0 0\
О 1 i 0 1 0
0 10 10 0
0 0 1 1 0У
per A = 24.
per A = 8.
4,6, 2^л!"^п^2. Решен и е. Выше главной диагонали и на ней
в матрице п + (п— l) + --- + 2+l=n (n-f-1)/2 элементов. Каждый из
них может быть или нулем, или единицей. Всего 2'"*"'"'^' возмож-
возможностей. Элементы ниже диагонали определяются однозначно в силу
симметрии,
8*

228
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ. ГЛАВА IV
§ !, СПЕЦИАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ
229
"• (XT*
Примечание. Задача имеет смысл при п ^ 2k.
4.8. п\.
т п\
г Г
4.10. Пусть А—одна из таких матриц, и пусть в ней t элемен-
элементов равны —1. Тогда в ней есть t-j-r элементов, равных -|-1, и
2t + r = n2, откуда t = {n2 — r)/2. Следовательно, число таких матриц
равно нулю, если rfi — r нечетно. В противном случае ответ таков:
4.21.
4.9.
и2
(«2-г)/2
4.11.
4.13.
4.14.
4.15.
п\"
4.12.
ft/2
\к-п)/2Г
nln— \)j2\fn(n—1)/2\ „
v " )( v , j. Вычисление дает 90,
4.17. Все 6 членов определителя не могут иметь один знак (см.
задачу 4.29). Если 5 членов определителя имеют- один знак, а ше-
шестой— другой, то определитель четен. Аналогичный результат полу-
получается и в случае, когда 4 члена имеют один знак, а два —другой,
или когда количество членов с разными знаками одинаково,
1п\т
4.18. Существует I матриц, содержащих в каждой из первых
т строк по т единиц, и I 1 матриц, содержащих в каждой из
л —m строк по q единиц. Искомое число @, 1)-матриц равно
п\т /п'
г,
4.19.
т
4.20. Существует Г") различных /и-местных столбцов из нулей
\ s /
и единиц, в каждом из которых ровно s единиц. Из таких столбцов
матриц размера тхг. Далее, имеется
можно составить
т
матриц размера тх(п—г), содержащих ровно k единиц
каждая. Взяв любую из указанных тхг матриц и дописав к ней
(rt — г) столбцов из любой тх(п — г) матрицы, получим искомую
матрицу размера тхп. Следовательно, таких матриц имеется
т\г 1т (п—г)\
) k
4.22.
¦•¦а„- элемент
п
0 0 0 0 0
4.23. Расположим числа так, чтобы Ьх ^ Ь2 >=... 5= Ьп. Тогда
при <^=/ имеем Ь,-^Ь/; значит, Oj, = 0 (t3=/), т. е. на главной
диагонали и ниже нее стоят нули. Перманент такой матрицы равен
йулю, так как в каждом члене суммы per Л = 2 а
ant (из последней строки матрицы) равен нулю.
4.24. Так как перманент не зависит от порядка строк, то доста-
достаточно рассмотреть матрицу
1 1
0 , |, per A - 9.
1 0/
4.25. а) 0; б) 1; в) 8; г) 44; д) 11; е) 10.
4.26. Результат следует из определений per А и det Л; per Л и
det Л являются алгебраическими суммами одних и тех же слагае-
слагаемых, но в per А все слагаемые неотрицательные, а в det А могут
быть и отрицательные.
4.27. C = f.a ]~а\. O^a^l.
4.28. Матрица Л2 состоит из элементов c1-/ = a1-]a1/-}-ar2a2/ + ---
..-)-ainanj. Так как ард^0, то для Л2 = 0, т. е. для с,-; = 0 (i, / =
1, ..., п), необходимо и достаточно, чтобы a,'Aaw = 0 (i, j, k =
1, ..., n). Это условие равносильно {так как ар?5=0) условию
\ п
= 0> т- е- Усл°вию 2 Ькак — §.
4.29. Определитель не может быть равен 6, иначе произведение
трех его членов ои?'22азз> fli2a23°3i. Oi3a2ia32 было бы равно произве-
" дению трех остальных членов. Но первое из этих произведений равно
,, произведению всех девяти элементов матрицы, а второе — тому же
произведению, но с противоположным знаком. Определитель не
-равен 5 (см. задачу 4,17), и определитель, у которого на главной
"Диагонали стоят —1, а на остальных местах -\-\, равен 4,

230 ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ- ГЛАВА IV
4.30. Разлагая per Bn по первой строке, получим регВя = 1х
XperBn_i+bperCn_i, где
§ 2. ЛАТИНСКИЕ ПРЯМОУГОЛЬНИКИ И КВАДРАТЫ
231
/1
'о
О
1 0 0
1 1 о
1 1 1
0 0 11
\0 0 0 0
Разлагая per Cn_i по первому столбцу, получим per Cn.x = 1 • per,
Отсюда per Bn = per 6„_1 + рег В„_2.
4.31.
то a
ki
per В„_2.
axi a2i ..ani . Если хотя бы для одного k ik = k,
и произведение, содержащее а^, равно 0, Произве
нов глав
дения, в которых ik^k (k=l, ..., л), не содержат элементов глав-
главной диагонали и, значит, равны 1, Их число равно числу таких
перестановок (it, ..., in), в которых 1^фк (А=1, ..., л). Отсюда
следует, что формула в условии задачи верна.
4.32. а) да; б) нет,
4.33. Каждая из остальных л — 1 строк ортогональна первой,
значит содержит п/2 единиц и п/2 минус-единиц, Всего единиц
I — 1) л/2 = n(n-f 1)А
/1 1 1
4.84. i; _и х vi _i)-^i i -1~'
4.36. a) 2; б) З; в) 4; г) 5.
4.37. 8A) = 2; eB) = 4.
4.38. e(l) = 2; eB) = 3; eC) = 4; eD) = 5.
4.39. Группа 24-го порядка. Элементом группы является произ-
произведение любой перестановки первой и третьей строк на любую пере»
становку второй, четвертой, пятой строк и на любую перестановку
1-го и 4-го столбцов.
4.40. Не меняются величины, указанные в а), в), е), з); а) оче-
очевидно; в) следует из определения per A; e) det (Л2) —(det AJ, a det A
при перестановках строк или столбцов умножается на -f-1 или —1;
з) следует по теореме из алгебры.
Величины, указанные в б), г), д), ж), и), могут меняться при
перестановках строк (или столбцов), как видно из примеров:
О 1
= fj jj; SpX = l; det Л = —1;
1 1
О 1
О 0\
\о i)'
О 1
о о
= 2; detfl=l;
О О
1 ±У5
2
-(J
Д2
2s
\,
¦-(
\
per
)¦
per
1 1
1 2
(Л2)
(б2)
)
}'
О
= 1;
D2--
О 1
о о
о о
, rang (С2) =1;
4.41. Семь матриц, например:
О 0\ /0 0\ /0 0\ /0 1
О ОГ V0 1/' U 1/' \0 1
0 Г
1 О
0 1
1 1
1 1
1 1
§ 2. Латинские прямоугольники и квадраты
1
1
1
1
1
—1
1
-1
—
1
1
-1
1
/1
/! -
i
1 _
1
j
\i
\i -
1
-1
—1
1
\
1*
/
1
1
—1
_1
1
1
—1
—1
\\ -\)
1 1
-1 1
—1 1
1 1
1 —1
—1 —1
—1 —1
1 —1
1
—1
1
-1
j
1
j
1
1
1
—1
—i
^
i
i
—i
—i
i
—i
i
i
—i
\
¦
/
/
4.42. N B, 9)= 133 496.
4.43. Занумеруем фигуры первого ряда цифрами 1, 2, 3, 4, Как
в задаче 4.42, N B, 4) = 9:
1234 1234 1234 1234 1234
2341 2413 2143 3412 3421
1234 1234 1234 1234
3142 4123 4312 4321
4.44. В качестве третьей строки можно взять любую из сле-
следующих:
3152 4, 34512, 3512 4, 35214, 4152 3, 4153 2,
4512 3, 4513 2, 45213, 5123 4, 5412 3, 5413 2,
5 4 2 13.
4.45. а) 4; б) 2.
4.46. Всегда точно одним способом, так как каждый столбец
девятой строки дополняется элементами, не вошедшими в предыду-
предыдущие строки.
4.47. Л/C, 5) =552.

232
ОТВЕТЫ. РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ ГЛАВА IV
§ 2. ЛАТИНСКИЕ ПРЯМОУГОЛЬНИКИ И КВАДРАТЫ
233
4.48. Разбить на т
¦t.TO. га^,.1и .._ ..i2 квадратов и высеять сорта пшеницы так,
чтобы каждый сорт был использован ровно один раз в каждой строке
и ровно один раз в каждом столбце разбиения участка. Таким обра-
образом, схемой для этого эксперимента является латинский квадрат
порядка т.
4.49. Искомая максимальная стоимость равна 80, а искомый
квадрат имеет вид (одно из решений) •
2 3 5 10
10 5 3 2
3 2 10 5
5 10 2 3
4.50. Турнирная таблица имеет вид (одно из решений)
. 2 3 4 5 1
2.4513
3 4. 125
4 5 1.32
5 12 3.4
1 3 5 2 4 .
Если во всех клетках главной диагонали поставить число 6, то по-
получится симметрический латинский квадрат порядка 6.
4.51.
12 3 4 5
2 3 4 5 1
3 4 5 12
4 5 12 3
Б 1 2 3 4
12 3 4 5
3 4 5 12
5 12 3 4
2 3 4 5 1
4 5 12 3
Все строки циклического латинского квадрата получаются из первой
строки всевозможными циклическими сдвигами. То же справедливо
для любого другого циклического латинского квадрата того же по-
порядка. Значит, эти два квадрата отличаются только порядком строк,
следовательно, они изоморфны.
4.52. Возьмем квадраты порядка 2:
А:
0 1
1 0
В:
Из них составим квадрат порядка 4:
А В
В А1
т. е.
2 3
3 2
0 12 3
10 3 2
2 3 0 1
3 2 10
4.63. Подстановка A 2) переводит один квадрат в другой.
4.54. Искомый изоморфизм:- а) A 2)хA 2)хA 2); б) A 2
ХA 2 3)xs, e — тождественная подстановка.
3)Х
В:
4.55. Применяя последовательно подстановки столбцов, строк и
элементов, получим квадрат В, изоморфный заданному А:
4 3 12
12 4 3
3 12 4
2 4 3 1
4.56. C 4)хC 6 4)ХC 6 4). Указание. Найдем число цик-
лов в подстановках, переводящих каждый столбец квадрата А в каж-
дый из остальных. Столбцы разделяются на два класса: 1-й столбец,
4-й, 5-й и 2-й, 3-й, 6-й. Для квадрата В аналогично получим классы
столбцов: 1-й, 3-й, 5-й и 2-й, 4-й, 6-й. Подстановка столбцов C 4)
переводит первое разбиение на классы во второе. Аналогично нахо-
находим подстановку строк C 4). Рассматривая квадрат, полученный из А
после подстановок C 4)хC 4), видим, что еще надо сделать подста-
иовку строк D 6). Затем находим подстановку элементов C 6 4).
4.57. В первом квадрате каждая строка получается из предыду-
щей строки (а первая строка — из последней) подстановкой @ 12 3)
с одним циклом. Во втором квадрате любая строка получается из
любой другой строки подстановкой с двумя циклами, например,
@ 1)B 3), или @ 2)A 3), или @ 3) A 2).
4.58. Автоморфизмами квадрата будут, в частности, подстановки
аг: A 2 3)хA 3 2)Хе, е — тождественная подстановка:
а2: A 2)ХA 2)ХA 3);
а,: A 3)ХA 3)хA 2);
а4: B 3)ХB 3)хB 3);
а6: A 2 3)хA 2 3)хA 2 3);
а: A 3 2)хA 3 2)ХA 3 2).
4.59. Произведем любое переобозначение элементов. Это можно
сделать 4! =24 способами. Поставим любую строку на первое место
D способа). Переставим столбцы так, чтобы в первой строке полу-
чить 4123. Затем переставим 2-ю, 3-ю и 4-ю строки, чтобы получить
в первом столбце 4123. Полученный квадрат совпадает с исходным.
Так как такое преобразование можно сделать 24x4 = 96 способами,
то имеется всего 96 автоморфизмов. Вместо всех 96 случаев доста-
точно рассмотреть следующие 6:
а) элементы 1, 2, 3, 4 не меняются, а на место 1-й строки ста-
вится 2-я, 3-я или 4-я C случая);
б) с элементами 1, 2, 3, 4 производится одна из подстановок
A 2), A 3), A 4), а 1-я строка остается на месте C случая). (В са-
мом деле, каждое из 96 преобразований является результатом после-
довательного выполнения некоторых из указанных 6 преобразований.)
4.60. Указание. Если пара Ц находится в k-\\ группе, то
в латинском квадрате ац = ац = к.
0 12 3 4 5
10 4 2 5 3
% 2 4 0 5 3 1
3 2 5 0 14
4 5 3 10 2
5 3 14 2 0

234
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ. ГЛАВА IV
§ 2. ЛАТИНСКИЕ ПРЯМОУГОЛЬНИКИ И КВАДРАТЫ
235
4.61. Пусть 1-я строка есть 0 1 2,..р, Другие строки получаются
циклическими сдвигами; i-я строка начинается с i (в силу симметрии),
значит, получается из 1-й циклическим сдвигом на t —1 единиц.
Следовательно, для элементов i-й строки имеем ац = а^-\-A — \), т. е,
Ы;/. = ац + O(i (modp). Латинский квадрат является таблицей сложе-
сложения группы вычетов по модулю р (если групповая операция —сложе-
—сложение). Эта группа —циклическая.
4.62. Пусть Ьх, •••, Ьр — различные элементы латинского квадрата
{«»¦/} (f, / = U •¦•¦> Р)- Определим операцию Ь;Ь/ = агу (i, j — \, ..., р).
В каждой строке латинского квадрата а-цфа-^ {\фк). Так как р
уравнений Ьгх = ац (/=1, ..., р) имеют р различных решений х =
— Ьх х^Ьр, то каждое уравнение однозначно разрешимо. Ана-
Аналогично доказывается однозначная разрешимость уравнений уЬ, = ау
(i = l, ..., р). Следовательно, множество {Ьи ... , Ьр\ с таблицей
умножения bjb/ = a;/ —квазигруппа.
4.63. Из единственности решений уравнений ах — Ь и уа = Ь
следует, что каждый элемент в каждой строке и каждом столбце
встречается ровно один раз.
4.64. 9.
4.65. а) 196; б) 196.
4.66. а) Названия карт образуют латинский квадрат, а названия
мастей —другой квадрат, ортогональный первому. Вот одно из
решений:
4.68.
В
D
К
Т
треф
бубен
черв
пик
Т
К
D
В
черв
пик
треф
бубен
D
В
Т
К
пик
черв
бубен
треф
К
Т
В
D
бубен
треф
пик
черв
б) Невозможно, так как из этого условия следует, что на одной
диагонали все 4 карты должны быть одного цвета, а тогда масти на
диагоналях будут повторяться.
в)
4.67.
D черв
В треф
Т бубен
К пик
К треф
Г черв
В пик
D бубен
В бубен
D пик
К черв
Т треф
Т пик
К бубен
D треф
В черв
А
123456789
231564897
312645978
456789123
564897231
645978312
789123456
897231564
978312645
8 9
1234567оу
312645978
231564897
789123456
В: 978312645
897231564
456789123
645978312
564897231
4.69.
0 12 3 4
12 3 4 0
2 3 4 0 1
3 4 0 12
4 0 12 3
0 1 2
1 2 0
2 0 1
0 12 3 4
2 3 4 0 1
4 0 12 3
12 3 4 0
3 4 0 12
0 1 2
2 0 1
1 2 0
0 12 3 4
3 4 0 12
12 3 4 0
4 0 12 3
2 3 4 0 1
0 12 3
4 0 12
3 4 0 1
2 3 4 0
12 3 4
4.70.
4.71.
0 12 3 4 5 6 7
10 3 2 5 4 7 6
2 3 0 16 7 4 5
3 2 10 7 6 5 4
0 12 3
10 3 2
2 3 0 1
3 2 10
0 2 3 1
13 2 0
2 0 13
3 10 2
0 3 12
12 0 3
2 13 0
3 0 2 1
4 5 6 7
5 4 7
1 2 3
6 10 3 2
6 7 4 5 2 3 0 1
7 6 5 4 3 2 10
0 6 7 1
17 6 0
2 4 5 3
3 5 4 2
4 2 3 5
5 3 2 4
6 0 17
7 10 6
2 3 6
3 5 7
0 6 4
1 7 5
6 0
5 7 13
6 4 2 0
7 5 3
5 3 2 4
4 2 3 5
7 10 6
6 0 17
3 17 5
2 0 6 4
13 5 7
0 2 4 6
5 3 1
6 4 2 0
5 7 13
14 6 0 2
2 7
0 4 3 7
15 2 6
2 6 15
3 7 0 4
4 0 7 3
5 16 2
2 6 5 1
7 3 4 0
0 7 5 2 16 4 3
16 4 3 0 7 5 2 1
2 5 7 0 3 4 6 1
3 4 6 12 5 7 0
1760 43165207 4
0 6
3 5 4 2
2 4 5 3
71 52047316
6 13 4 7 0 2 5
70256134 7
6 2 5 1
7 3 4 0
4 0 7 3
5 16 2
2 6 15
3 7 0 4
0 4 3 7
15 2 6
0 5 14
4 0 5
2 7 3 6
3 6 2 7
1 5 0
5 0 4 1
6 3 7 2
2 6 3
0 3 6
1 2 7
2 1 4
3 0 5
4 7 2
5 6 3
6 5 0
7 4 1
2 7 3
3 6 2
0 5 1
1 4 0
6 3 7
7 2 6
4 1 5
5 0 4
4.72. 012345678
120453876
201534867
345678012
453786120
534867201
678012345
786120453
867201534
012345678
201534867
120453786
678012345
867201534
786120453
345678012
534867201
453786120
5 7 4 12
4 6 5 0 3
7 5 6 3 0
6 4 7 2 1
13 0 5 6
0 2 14 7
3 12 7 4
2 0 3 6 5
6
7
4
5
2
3
0
I
В является латинским квадратом, ортогональным квадрату А,
4.73. У каждого квадрата каждая строка получается
Дущей одним и тем же циклическим сдвигом на к единиц, к
из преды-
— взаимно

236
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ. ГЛАВА IV
§ 2 ЛАТИНСКИЕ ПРЯМОУГОЛЬНИКИ И КВАДРАТЫ
237
простое с 9, т. е.
I
0 12 3 4 5
12 3 4 5 6
2 3 4 5 6 7
3 4 5 6 7 8
4 5 6 7 8 0
5 6 7 8 0 1
6 7 8 0 12
7 8 0 12 3
8 0 12 3 4
IV
0 12 3 4 5
5 6 7 8 0 1
12 3 4 5 6
6 7 8 0 12
2 3 4 5 6 7
7 8 0 12 3
3 4 5 6 7 8
/г=1, 2
6 7 8
7 8 0
4, 5, 7,
II
0 12 3 4
2 3 4 5 6
8 0 1 2 4 5 6 8
0 1 2
1 2 3
2 3 4
3 4 5
6 7 8 0 1
8:
5 6 7 8
7 8 0 1
0 12 3
2 3 4 5
0 1
III
2 3 4 5 6 7
456780123
801234567
345678012
801234567 780123456
234567801
1 23456780
345G78012
456 567801234
567 780123456
V
12 3 4
4567801
678
234
780
345
801
456
012
567
23
О
7 8 0 12
8 О
5 6 7 8 0 1
3 4 5 6
12 3 4
678012345
123456780
567801234
VI
2 3 4 5 6 7 8
12 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6
5 6 7
345678012
123456780
801234567
678012345
456780123
234567301 123456780
8 0 12
7 8 0 1
678012345
567801234
456780123
34 5 678012
234567801
4.74. Из квадратов
0 2 4
2 4 0 получаем В:
4 0 2
О 1 2
0 1 2 03 ' 01
1 2 0 и ., получаем А, из квадратов
2 0 1
О
1 2
2 О
3 4 5
4 5 3
5 3 4
3 4 5
4 5 3
5 3 4
0 1 2
1 2 О
2 0 1
0 1
1 О
2 3
3 2
4 5
5 4
2 3
3 2
4 5
5 4
0 1
1 О
4 5
5 4
0 1
1 О
2 3
3 2
Зти квадраты не ортогональны.
4.75. Все квадраты получаются из первого путем перестановок
строк, как в решении задачи 4.73. Следовательно, они изоморфны.
4.76. По условию k-к и 1-й квадраты определяются так:
„СО
= ik+\ (modp),
а@ =
(modp).
Рассмотрим пары элементов
D. Г)
D.2')
Из D.2') следует
(modp),
или
(modp),
/-/!==ft(ii-0 (modp), /-/,=/(f"i-0. (mod p). D.3')
Из D,3') получаем k (<i— i) = l(li — i) (mod p). Это сравнение экви-
эквивалентно равенству
(k — 1) (j'x — i)=mp, tn — целое, D.4')
где 1 s? k — I \ sgp — 2, ! h — i I s?p — 1.
По условию р — простое. Так как произведение, стоящее в левой
части D.4'), делится на простое число р, то один из сомножителей
делится на это число. Но laglA — /'^р — 2, следовательно, k — l
не делится на р. Тогда i^ — i должно делиться на р. Это возможно
только в случае i± = i. Если A = i, то из соотношения D.3') следует,
To есть пары (aj?\ ^) (|^ ^)
ЧТО /!==/
в случае i
4.77.
2 3 4 5 6
есть
пары (aj?
и
совпадают только
78 12345678 12345678 12345678
1436587 56781234 78563412.8 7654 3 21
7 8 5 6 3 4
4 3
12
3 4 12 7
34127856 21436587 56781
43218765 658721
5 6 7
6 5 8
7 8 5
234
856
7 8 5 6 3 4 12
8 7 6 5 4 3 2 1
8 12 3 4
7 2 14 3
63412 87654321 432187
34127856 21436587
6 5
4 3
87654321 43218765 G5872I
21
43
56
658
341
3 6 5 8 7
18 7 6 5
4
2
781
721
278
2 3 4
4 3
5 6
12345678
43218765
87654321
56781234
65872143
123456
658721
432187
785634
78
43
65
12
34127856
12345678
34127856
65872143
87654321
21436587
78563412 87654321 43218765
34127856 21436586 56781234
21436587 56781234 78563412
Решение. Запишем элементы группы G в виде векторов (а, E, у),
где а = 0,1; |J = 0, I; Y = 0,1. Групповая операция — сложение по mod2.
Для краткости обозначим элемент (a, fS, у) числом т = а-|-2р1-}-4у-|- 1,
Тогда элементы группы обозначаются числами т=\, 2 8. Авто-
A О о \
(
i8/
Возьмем такой автоморфизм ф, что его степени ср, ср2, ф3, ..., фв все
различны и каждая из них оставляет на месте только единицу.
ц /1234567 8\ „ ,"
Например, <р=Ц_.В качестве латинского квадрата Ко
\l 0<st>/oo4/
возьмем таблицу сложения группы G, а в качестве К — таблицу,

238
ОТВЕТЫ. РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ. ГЛАВА IV
полученную из Ко перестановкой строк с помощью подстановки ф*
(/=1, 2, ..., 6). Тогда /Со, Ki, Кь ••., Кв — искомое множество
ортогональных латинских квадратов.
Доказательство, Пусть в Кр и Kg (рфЯ) нашлись две
одинаковые пары:
D.5')
Так как каждый квадрат есть таблица сложения, то a[s) — aff + aff
(s = 0, 1 6). Так как во всех квадратах первая строка есть
1 2...8, то a[f = a[f = j, aj^ = оЭД*= ft. Так как первый столбец
получается из столбца 1 2...8 в Ко G помощью подстановки ф4,
) () \f 0, I, ..., 6), Теперь из D,5') следует
D.6')
Ks у
то а\$) =фE) @, a\f =(fs (У (s
Отсюда фР (t)— Фр(г'1) = Ф9@ — ф9 (У. Так как ф* — автоморфизм, то
Ф* (a)— <(s (Ь) =ф* (а— Ь). Значит, фР (i — ?j) = ф« (t —1\). Имеем 0*g
^р^б. Пусть, например, p*>q. Применяя к обеим частям равен-
равенства ф~*, получаем
q*-«(f-/i)-<-*!, 1^р-<7^6. D.7')
Так как автоморфизм <fs (l^s^6) оставляет на месте только еди-
единицу группы (если групповая операция — сложение, то — только нуль
группы), то из D,7') следует t = ix. Тогда из D.6') следует j = ]i.
То есть различные пары не могут совпадать. Значит, квадраты Кр
и Kg ортогональны.
4.78. Метод построения полного множества латинских квадратов
и доказательство их ортогональности описаны в решении задачи 4.77,
4.79. а) 2; б) 6; в) 2; г) 4.
4.80. Поле Галуа GF (п) из п = 32 элементов. В качестве элемен-
элементов поля возьмем
Построим матрицы порядка п=32:
0
1
X
2x+l
2x + 2
2
2x
x + 2
x+l
1
2
x+l
2x + 2
2x
0
2x+l
X
x + 2
X
x+l
2x
1
2
2 + x
0
2x + 2
2x+l
2x+l
2x + 2
1
x + 2
X
2x
x+l
0
2
2x + 2
2x
2
X
x+l
2x+l
x + 2
1
0
2
0
x + 2
2x
2x+l
1
2x + 2
x+l
X
2x
2x+l
0
x+l
x + 2
2x + 2
X
2
1
X + 2
X
2x + 2
0
1
x+l
2
2x+l
2x
x+l
x + 2
2x+.
2
0
X
1
2x
2x+!
§ 3. СИСТЕМЫ ТРОЕК ШТЕЙНЕРА И СХОДНЫЕ НАБОРЫ
239
/ °
/ *
2x+l
2x + 2
2
2x
x + 2
\ x+l
\ 1
1
x+l
2x+2
2x
0
2x+l
X
x + 2
2
X
2x
1
2
x + 2
0
2x+2
2x+l
x+l
2x+l
1
x + 2
X
2x
x+l
0
2
2x + 2
2x + 2
2
X
x+l
2x+l
x+2
1
0
2x
2
x+2
2x
2x+l
1
2x+2
x+l
X
0
2x
0
x+l
x + 2
2x + 2
X
2
1
2x+l
x + 2
2x + 2
0
1
x+l
2
2x+l
2x
X
x+l\
2x+l \
2
0
X
1
2x
2x + 2/
x + 2/
или, переобозначив элементы, окончательно будем иметь
013782654
124860735
346125087
781536402
862347510
205671843
670458321
538014276
457203168
013782654
346125087
781536402
862347510
205671843
670458321
538014276
457203168
124860735
и т. д. Каждый следующий квадрат получается из предыдущего
с помощью одной и той же циклической перестановки строк 2, 3 9,
§ 3. Системы троек Штейнера и сходные наборы
4.81. а) Число /--перестановок с повторениями из п-множества
равно Р = пг; б) 10; в) 10-9-3; г) 10-9-8.
4.82. а) 123; 145; б) 123; 145; 245; 345 (трех троек недостаточно,
так как в трех тройках содержится не более 9 различных пар, а из 5
элементов можно составить 10 пар); в) 123; 145; 167; 246; 257; 347;
356.
4.83. а) Нет; б) нет; в) да.
4.84. Из п элементов можно составить п/(п— 1)/2 пар; в каждой
тройке —3 пары, в разных тройках —различные пары. Значит, число
троек равно п (п— 1)/2 : 3 — п (п— 1)/6.
4.85. Из 6А + 2 элементов можно составить Fk +1) C&+ 1) пар.
Это число не делится на 3. Значит, это множество пар нельзя раз-
разбивать на тройки без повторений (см. решение задачи 4.84).
4.86. А) Да; В) да; С) нет.
4.87. Добавив тройки из б), получим систему троек Штейнера
порядка 7; добавление троек а), в), г) не дает системы троек Штей-
нера, так как некоторые пары повторяются.
4.88. (п— 1)/2. Каждый элемент входит в п—1 пару; в каждую
тройку, где имеется этот элемент, входят две из этих пар, Значит,
элемент входит в (п—1)/2 троек.

240
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ. ГЛАВА IV
§ 3. СИСТЕМЫ ТРОЕК ШТЕЙНЕРА И СХОДНЫЕ НАБОРЫ
241
4.89. Пусть Е — основное множество системы Д„; 5 —основное мно-
множество системы Arf. Элементы множества ?\5 составляют ]
неупорядоченных пар; эти пары лежат в-тройках системы Д„, не
принадлежащих Ad. Каждый элемент из 5 встречается с (п — d)/2
таких пар, причем разные элементы не могут встретиться с одной и
той же парой элементов множества ?\S. Следовательно, число пар,
встречающихся с элементами множества S, равно d (п — d)/2. Оче-
Очевидно, оно не превышает общего числа пар, поэтому
d(n—d)
n-d
2
откуда следует доказываемое неравенство.
4.90. Пусть Ап— штейнерова система троек, Д^ и Д^—ее под-
подсистемы. Если Agj{]At=A = ([), то теорема верна. Пусть АФф.
Обозначим через 5 множество элементов, встречающихся в тройках
из Д. Выберем произвольные а & 5, (ieS, аФЬ. Тогда в А„ суще-
существует единственная тройка {а, Ь, х\, включающая пару {а, Ь]. Так
как элементы а, Ь принадлежат основному множеству системы Af!,
то {a, b, х\ s Д^. Аналогично показывается, что {а, Ь, х} е Д,.
Следовательно, {a, b, x} e А. Итак, для произвольной пары элемен-
элементов из S в Д существует тройка, включающая эту пару. Поэтому
Д — штейнерова система троек, что требовалось доказать.
4.91.
12 3 2 4 5
14 6 2 6 7
1 5 7
3 4 7
3 5 6
4.92. Тип переплетения: 7\ = B, 3) (рис. 4.1' ),
а
Рис. 4.1'.
4.93. Типы переплетения элемента 3 с остальными элементами
представим в виде таблицы:
012456789а&с
3122222121122
где 7\ = B, 3), Г2 = E). Искомый вектор-индекс: D, 8).
4.94. 7\ = B«); Г2 = B», 4); Г, = B, 3»); Т. = B, 6); Г, = C, 5);
Гв = Dа); Г, = (8).
4.95. Решение неоднозначно. Искомую систему получим в ре-
результате действия на данную любой подстановки (не являющейся
автоморфизмом) ее элементов. Например, подстановки а=F 7).
123 247 346
145 256 357
1 6 7
4.96. Подстановка G 8) переводит одну систему в другую.
4.97. Вычислим Г-таблицы этих систем:
3
4
9
8
4
9
гв =
6
6
13
Эти таблицы различны, значит, системы не изоморфны.
4.98. Да, является.
4.99. Элементы разобьем на три множества: 1 2 3; 4 5 6; 7 8 9.
Циклическая группа, порожденная автоморфизмом а = A 2 3) D 5 6)
G 8 9), есть {1, а, а2}. Тройки для удобства расположим по верти-
2581 3692 1473
кали: 3 6 9 4. Применяя а, получим 1475, а при а2 2586.
4 7 17
Искомая система:
2 5 8 1
3 6 9 4
4 7 17
3 6 9 2
14 7 5
5 8 2 8
5 8 2 8
14 7 3
2 5 8 6
6 9 3 9
6 9 3 9
4.100. Указание. Выяснить, каких порядков должны быть
системы Si, S2, 5з-
4.101.
(Си
(си
(си
С=\Сц, С12, С13, f21i С22. ¦•
C3t)> (С12 С22 С32)» (С13 ^23
С1з)> (С21 С23 C23)i (С31 С32
сЗз)> (С12 С23 f3l)i (C13 f21
C3l). (С12 С21 СЗз). (С11 С23
4.102. Решение неоднозначно. Берем какую-нибудь систему троек
Штейнера Д„, например б) из задачи 4.96, и разбиваем на группы
без общих элементов внутри каждой группы:
123 145 168 179
469 289 247 256
578 367 359 348
4.103. 3?-|-1. Из n = 6k-{-3 элементов можно составить
п(л—l)/6 = FA + 3)F/fe + 2)/6 = Bjfe + l) C/j-l-l) троек Штейнера {см.
задачу 4.84). В каждой группе содержится все 6& + 3 элементов; они
составляют F? + 3)/3 = 2?+1 троек. Следовательно, число групп
Bk+\)Ck+l)/Bk+\) = 3kl

242
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ. ГЛАВА IV
§ 3. СИСТЕМЫ ТРОЕК ШТЕЙНЕРА И СХОДНЫЕ НАБОРЫ
243
1 12 14
3 6 13
8 15
9 11
7 10
3
4
5
4.104. Можно: 1 8 11
2 7 14
3 6 9
4 10 15
2 12 13
4.105. Да.
4.106. В каждую группу троек должен входить по одному разу
каждый из 6&-|-1 элементов. Это невозможно, так как 6k-\-\ не
делится на 3.
4.107. Решение неоднозначно. Возьмем любую систему троек
Киркмана из девяти элементов, например, из ответа задачи 4.102.
Каждая группа троек дает состав комиссий на 1 день.
4.108. Являются.
4.109. Всякий автоморфизм системы троек Киркмана сохраняет
эти тройки, значит, является элементом группы автоморфизмов системы
троек Штейнера.
4.110.
4.1П.
0 1
2 3
4 5
0 10 2
2 7 13
3 6 4 7
4 5 5 6 6 7
02 03 04 05
14 15 13 12
35 24 25 34
03 04 05 06 07
1 2
3 7
4 6
1 5
2 4
1 7
2 6
3 5
14 16
2 3 2 5
5 7 3 4
4.112. Из 2ц игроков можно составить различных 2(д. Bц— 1)/2=
i=|xB|x—1) пар. За один день из 2ц игроков могут играть ц пар.
Значит, всего может быть проведено ц Bц—1)/ц = 2ц—1 туров.
В данном случае 11 туров и в каждом туре играет по 6 пар:
1
<>
4
к.
б
1
Р
П
10
q
ц
7
1
3
5
7
2
•)
11
10
q
Я
12
1
9.
4
5
6
7
3
з
п
11
10
q
8
1
?.
5
fi
7
8
4
4
3
П
10
9
12
1
2
з
7
8
5
ft
4
12
11
10
9
1
2
3
7
8
9
№ тура
6
6
5
4
11
10
12
1
2
3
4
8
9
7
7
6
5
12
11
10
8
1
'2
3
4
9
10
8
7
б
5
11
12
9
1
2
И
4
5
10
9
8
/
12
11
К
1
2
Н
4
о
11
)
10
9
8
/
о
1'2
1
2
3
.4
Ь
ь
11
11
10
У
8
/
12
Эта же система дает искомую систему групп пар.
4.113. По определению остальные группы пар получаются так:
Т2|д,_1, 7чт2(Х_1 = т1, D.8)
= т3,
т.е.
Ti (i = l, .
различны,
2ц
1). Следовательно, все степени Г°,
iT=T. D.9')
С точностью до нумерации элементов существуют только две подста-
подстановки из 2ц элементов, обладающие различными Т°, Г1, ..., Т^~х,
а именно @ 1 2 ... 2ц—1) и @) A 2 ... 2ц—1), Для первой из
них Т2^ = Е, Следовательно, в силу D,8') и D.9')
Т
Полученное противоречие показывает, что первая подстановка не дает
систем циклического типа.
4.114. Соответствующие таблицы таковы:
0
1
6
5
1
6
•
0
6
7
»
1
2
4
5
4
2
2
4
1
6 0
Среди указанных систем нет изоморфных.
4.115. Составляя матрицу типов переплетений первой системы,
вычисляем вектор-индексы ее групп пар; см. а). Рисуем графы,
Рие. 4.2'»
например T3UTelK7 и t3Ut9Ut8 (рис, 4.2'), Вектор-индексы групп
пар для второй системы имеют вид б);
1
2
3
4
а) 5
6
7
4
4
2
0
4
4
5
5
2
4
4
6
8
4
4
3
3
6
1
2
3
4
б) 5
6
7
8
9
5
4
2
0
4
5
4
2
4
3
4
6
8
4
3
4
6
4

244
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ. ГЛАВА IV
4. БЛОК-СХЕМЫ
245
Группам т3 и т9 с вектор-индексами B 6) первой системы могут соот-
соответствовать только группы ts и tj с теми же индексами во второй
системе, а группам т7 и т8 с E 3) —группы %х и тв. Поэтому для
второй системы рисуем графы т3lite 11т,] и х$\}Хъ\}Ть (Рис< 4.3').
Рис. 4.3'.
Единственной подстановкой, могущей перевести левый рисунок в пра-
правый, является @8973) A54 6). Непосредственно проверяется,
что эта подстановка—искомая.
4.116. 0 1 0 2 0 3
2 3 13 12
Так как четыре элемента можно разбить на пары только этими тремя
способами, которые использованы в построенной здесь системе, то
после любой перестановки этих элементов мы получим те же самые
три способа разбиения на пары, т. е. ту же самую систему. Значит,
любая перестановка четырех элементов является автоморфизмом
системы. Итак, искомая группа автоморфизмов есть группа S4 всех
подстановок четырех элементов; ее порядок 41 = 24.
4.117. Пусть имеем систему
01 02 03 04 05
25 31 42 53 14
34 45 51 12 23
Подстановка Г = A 2 3 4 5) переводит каждую группу пар т; в сле-
следующую группу т;+1. Значит, Th-L — Ti+г (i=\, 2, 3, 4)'; Г5 = ?.
Если ф —какой-нибудь автоморфизм системы, то фт1 = х;+1 для неко-
некоторого i @*?(sS:4), т. е. фТ] = 7''т1, 71~'фт1=т1. Отсюда, т}' =
= Г~'ф — автоморфизм группы пар т^. Любой такой автоморфизм ф одно-
однозначно представим в виде произведения двух автоморфизмов: пере-
переставляющего только пары 0 1, 2 5, 3 4 (группа таких автоморфизмов
изоморфна группе всех подстановок трех элементов) и переставляю-
переставляющего элементы в любых из этих трех пар независимо (группа таких
автоморфизмов — абелева группа с образующими @ 1), B 5), C 4),
т. е. изоморфная группе Z2xZ2xZ2), Итак, Г (autTj-) = 568 240
4.118. Подстановка Т в силу задачи 4.113 является автоморфиз-
автоморфизмом системы. Автоморфизмами также являются подстановки Г2, Г3, ...
..., Г21'~1 = ?'. Следовательно, группа автоморфизмов содержит цикли-
циклическую подгруппу порядка 2(г —1 с образующим элементом Т.
4.119, К 1-й группе добавим элемент 1, ко 2-й—2, к 3-й—3.
Получим последовательность
1 7 6
I 5 4
2 7 5
2 6 4
3 7 4
3 6 5
Добавляя тройку 1 2 3, получим искомые семь троек системы Штей-
нера.
4.120.
0 1
2 3
4 5
6 7
8 9
0 2
1 3
4 6
5 8
7 9
0 3
1 4
2 5
6 9
7 8
0 4
1 7
2 9
3 5
6 8
0 5
1 9
2 8
3 6
4 7
0 6
1 8
2 7
3 4
5 9
0 7
1 2
3 8
4 9
5 б
0 8
1 6
2 4
3 9
5 7
0 9
1 5
2 6
3 7
4 8
Пара ((', /), где (, / —0, ..., 9, 1ф1, входит в ац-ю группу.
чУ
§ 4. Блок-схемы
4.122.
a) v = b — 'i
1 2 4
1 3 5
1 6 7
2 3 6
2 5 7
3 4 7
4 5 6
б) u==6=13i в)
ft
1
1
1
1
2
2
2
3
3
3
4
4
4
=
2
5
8
11
'5
6
7
5
6
7
5
6
7
'=4,
1:
3
6
9
12
8
9
10
9
10
8
10
8
9
4
7
10
13
11
12
13
13
11
12
12
13
11
• = 4, k=.i
2
4
6
8
2 4
2 5
2 7
3 4
3 5
3 6
4 7
5 6
4.123. a) He существует. В противном случае по теореме вложе-
вложения из [14] ее можно было бы вложить в симметрическую схему
' с параметрами vt~22, &i=7, A, =2, которой не. существует по тео-
теореме Брука — Райзера — Човла о существовании симметрических
В1В-схем [14]. Действительно, ut четно, k\—К = 5 не есть квадрат,
г) Решение аналогично а): по второй из указанных теорем не
- существует схемы с параметрами ^ = 43, #i = 7, h=\, и по первой

246
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ. ГЛАВА IV
теореме не существует схемы с параметрами у = 36, b = 42, r = 7,
4.124. а) Легко установить справедливость следующего утвержде-
утверждения: пусть v = 6t-\-\—pn, р— простое число, и пусть х — примитив-
примитивный корень поля GF(p"). Тогда блоки (х°, x2i, xil) (х*, хаЖ, х*ж),
(х^1, хз?~г, j$'-1) образуют базу схемы с параметрами v = §t-\-\,
b — &2-\-t, r = 3t, fe = 3, к—I и группой автоморфизмов Л —адди-
—аддитивной группой поля GF (рп). Заметим, что примитивным корнем
GF G) является элемент 3, следовательно, базу данной блок-схемы
образует блок t=\, х = 3(я°, х2, г») = A, 2, 4). Группа автоморфиз-
автоморфизмов—циклическая группа вычетов по модулю 7.
б) Решение аналогично предыдущему. Применяя утверждение,
приведенное выше, находим базу данной В IB-схемы: t = 2, x = 2 A, 3, 9)
и х=B, 6, 5). Группа автоморфизмов —циклическая группа вычетов
по модулю 13.
4.125. а) Схема имеет параметры v = b = 7, k — r = 2>, к=\. Про-
Проверим, что ААТ =(г—\)E-\-2J, Здесь матрицы имеют вид
<\ 1 ... \\
о о\
о о\
1 1 ... 1
АА1
110 0 0
0 0 11
0 10 10 10
10 0 0 0 1 1
0 10 0 10 1
\0 0 1 10 0 1/
0 0 10 1 10х
Следовательно, ААТ =(г — К) E-\-XJ,
4.126. Блок-схема имеет вид
3 111
13 11
11.31
1113
1111
1111
1111
3
1 1\
1 1
1 1
1 1
3 1 1
3 1
1 3/
, 1
1
1 2 4
1 2 5
1 3 5
1 3 6
1 4 6
2 3 4
2 3 6
2 5 6
3 4 5
4 5 6
4.127. а) Это блок-схема из задачи 4.122, а). Действительно,
равенство инцидентности имеет вид
Учитывая, что v = b = 7, fe=r = 3, % = \, получаем требуемое равен-
равенство.
4.128. а) Так как и = 21 нечетно, то по теореме Брука —Рай-
зера — Човла о существовании симметрических BIB-схем получаем
уравнение z2=4jc2+i'a> Оно имеет ненулевое целочисленное решение
§ 4. БЛОК-СХЕМЫ
247
A, 0, 2). Следовательно, необходимое условие существования блок-
схемы выполнено.
б) v =15 нечетно. Применяя указанную теорему, получаем, ана-
аналогично предыдущему, уравнение г2 = 4х2 — Зг/2, которое имеет нену-
ненулевое целочисленное решение A, 1, 1). Следовательно, необходимое
условие существования блок-схемы выполнено.
в) Аналогично предыдущему получаем уравнение z2 = 5jc2 — 4i/2
и его ненулевое целочисленное решение A, 1, 1).
г) Получаем уравнение г2 = 7*2+2i/2 и его искомое решение A, 1, 3).
4.129. Если вершины тетраэдра принять за элементы схемы,
а грани—за блоки, то тетрлэдр будет соответствовать симметрической
В1В-схеме.
B)
Октаэдр является PBIB-схемой с параметрами и=6, 6 = 8, г = 4,
Куб является PBIB (З)-схемой с параметрами v = 8, & = 6, г = 3,
4 Я 0 Я1 ^ 3 1 3 3
Икосаэдр (развертку см. на рис. 4.4') является PBIB (З)-схемой
с параметрами о =12, 6 = 20, г = 5, k = 3, Хх = 0, К2 = 0, Ка = 2,
«1=1, п2 = 5, п3 = 5,
Додекаэдр является PBIB E)-схемой с параметрами v = 20, 6=12,
5 3 X 2 ^ 1 Х 0 ^ 0 А 0 3 6 6

248
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ. ГЛАВА IV
/1 1 1 0 0\
112 10
Чк =
1 2
0
1 1
1 1 1
Р)к'-
V0 0 1 0 0/
/0 0 2 0 h
0 2 2 2 0
2 2 2 0 0 1*
0 2 0 0 0
vl 0 0 0 О/
0 0 6 0 0
j!fc = | 0 6 0 0 0
0 0 0
\о о о о о/
4.130. а) Вершинам октаэдра соответствуют грани куба, и обратно.
Для октаэдра матрица инцидентности имеет вид
1 1 1 1 0 0 0 0\
/00110011
0 0 0 0 1 1 1 1
110 0 110 0
10 10 10 10
\0 1 0 1 0 1 0 1 '
Матрица инцидентности куба—транспонированная матрица Ат.
б) Додекаэдру соответствует следующая блок-схема: и = 20. b =¦
= 12, к = Ъ, г = 3;
D: A, 2, 3, 4, 5, 6), E, 6, 11, 16, 17), (9, 10, 12, 13, 19),
A, 7, 8, 4, 3), C, 7, 6, 16, 15), B0, 17, 19, 12, 11) A, 2, 4, 9, 10),
G, 8, 14, 15, 18), B0, 18, 17, 16, 15), B, 5, 11, 12, 10), D, 8, 9,
13, 14), B0, 19, 18, 14, 13). Определим D' правилами bj e At <=>
<z>fl,-efly в D. Получим РВ1В B)-схему, которая соответствует
икосаэдру. Ее параметры: ь» = 12, 6 = 20, г = 5, & = 3. Схема имеет
вид A, 2, 3), A, 4, 5), C, 8, 9), (8, 9, 12), E, 10, 11), A. 3 4),
A, 5, 6), B, 4, 9), G, 8, 12), G, 11, 12), A, 2, 6), B, 6, 7), D, 5,
10), 6, 7, 11), (9, 10, - - k " '¦ " "" " " '"
A0, 11, 12).
12), B, 3, 8), B, 7, 8), D, 9, 10), E, 6, 11),
в) Тетраэдр соответствует следующей В1В-схеме: A, 2, 3), A, 2,
4), B, 4, 3), A, 4, 3). Параметры этой схемы: v = b = i, г = А = 3,
к = 2. Назовем эту схему схемой D. Построим D' по правилу
Щ71А{; BfTlbf, bj<s. AiC^a-i ей/ в D. Блоки О' имеют вид
Av (bi, Ьг, Й4) = A, 2, 4); А2: (blt bs, Ь3) = A, 2, 3);
Аа: ^ Ь„ />4) = A, 3, 4); Л4: (А„ Ь,, *4) = B, 3, 4).
Для D': t;'=b'=4, ;' = /г' = 3, V=2. Тэтраэдр самодвойствен,
4. блок-схемы
249
4.131. По теореме Зингера о блок-схемах, получаемых из гео-
геометрий PG (п, р2), имеем, что искомая блок-схема является цикли-
циклической с параметрами v = b = 7, k — r = 3, \=1. Так как @, 1, 3)
есть G, 3, 1)-разностное множество, то блок-схема имеет вид @ 1,3)
B, 3, 5), D, 5, 0), A, 2, 4), C, 4, 6), E, 6, 1), F, 0, 2).
4.132. Матрица инцидентности блок-схемы из задачи 4.131 имеет
вид
i\
•10 0 0 10 1
1 10 0 0 1
0 1 10 0 0 1
10 1 10 0 0
0 10 110 0
0 0 10 110
vo о о 1 о 1 1/
Строим матрицу Адамара, исходя из приведенной матрицы инцидент-
инцидентности. Обозначим искомую матрицу Адамара через Я = (Ьг/), i,/=-
= 0, 1 М~ 1. Полагаем bo/~bio=\; bi] = \, если а,7=1, &,-/ =
= — 1, если а,у = 0, i, /=1 4^1
Окончательно
/1
/1
И
1 j
~ 1
1 1
\ 1
имеем
1
—
—
1
-1
1
1
-1
1
-1
-1
1
-1
-1
1
1
j
1
-1
1
-1
-1 -
-1 -
j
1
-1
1 -
1
_ j
1 1
I -1
I -1
— 1
1 1
1
1
1
]
1
1
-1
-1
1
4.133. а) Блок-схема имеет вид A, 2, 3), C, 4, 0), @, 1, 2),
B, 3, 4), D, 0, 1). Для определения отношения связности удобно
построить следующую диаграмму (рис.
4.5'): i=l, пара встречается в двух бло- 0
ках (сплошная линия); i = 2, пара встре-
встречается в одном блоке (волнистая линия).
Используя диаграмму, легко найти
параметры РВШ B)-схемы: и = ?> = 5, ^А^-^-^-—(~*—Jt~~—~Ь /
г? '==- Г ""— О) А1 —-^ ^ j Ло ==t: 1 у 1*1 === "» |*э ~— ^ j
1 / 0 1 \ 2 /1 1 \
'* \ 1 1 i' Р ik I 1 п /'
V' ' 1 \1 и/
б) Блок-схема имеет следующий вид:
A, 3, 9), E, 7, 0), (9, 11, 4), B, 4, 10),
F, 8, 1), A0, 12, 5), @, 2, 8), C, 5,
11), G, 9, 2), A1, 0, 6), D, 6, 12), (8,
10, 3), A2, 1, 7).
Аналогично а) можно построить диаграмму: ( = 1, пара встре-
встречается в одном блоке; i — 2, пары нет, РВШ B)-схема имеет пара-

250
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ. ГЛАВА IV
§ 4. БЛОК-СХЕМЫ
251
B
3
2 3
4.136. Применяя теорию квадратичных вычетов, находим, что
множество {1, 4, 5, 6, 7, 11, 16, 17} является A9, 9, 4)-разностным
множеством. Следовательно, блок-схема имеет вид:
A, 4, 5, 6, 7, И, 16, 17),
A5, 18, в, 12, 6, И, 12),
(8, 11, 12, 13, 14, 18, 4, 5),
B, 5, 6, 7, 8, 12, 17, 18),
(9, 12, 13, 14, 15, 0, 5, 6), A6, О, 1, 2, 3, 7, 12, 13),
C, 6, 7, 8, 9, 13, 18, 0), A0, 13, 14, 15, 16, 1, 6, 7),
A7, 1, 2, 3, 4, 8, 13, 14), D, 7, 8, 9, 10, 14, 0, 1),
A1, 14, 15, 16, 17, 2, 7, 8), A8, 2, 3, 4, 5, 9, 14, 15),
E, 8, 9, 10, 11, 15, 1, 2), A2, 15, 16, 17, 18, 3, 8, 9),
@, 3, 4, 5, 6, 10, 15, 16), F, 9, 10, И, 12, 16, 2, 3),
A3, 16, 17, 18, 0, 4, 9, 10), A, 4, 5, 6, 7, 11, 16, 17),
G, 10, 11, 12, 13, 17, 3, 4), A4, 17, 18, 0, 1, 5, 10, 11).
4.137. В PG B, 3) содержатся 13 точек и 13 прямых, а в
EQ B, 3)—9 точек и 12 прямых. Через каждую точку проходят
четыре прямые, и каждая прямая содержит три точки. Следователь-
Следовательно, BIB-схема, получаемая из EG B, 3), теет параметры: и = 9,
6=12, /- = 4, к=1. Поле GF C) содержит элементы 0, 1 и — 1,
рассматриваемые по модулю 3, Точки PG B, 3):
Pi=l,0,
р,= 1, 1, 1; рп= 1, —1,
р8=1, —1, 0; Р12 = 1, 1, —
Р9=1, 0. -1; Pi3= 0, -1, 1.
ра=0, 0, 1
Р4=1, 1, в:
Прямые получаются взятием пары точек, например рг и р2, и состав-
составлением KiPi + liPa, гДе X;sGFC), причем хотя бы одно из К;
отлично от нуля. Прямая, проходящая через pj и р2, содержит точ-
точки Р! и ра; (Pi + p2) = p4'. (Pi — Рг) = Рв- Проделав эту процедуру
со всеми точками, получим прямые:
Pi, Pb, Р7, Pll
Рг, Ре. Pio. Pn
Pa, Pi, Pi, Pn
Pa, Pe> Pio. Ри
Pi, Ръ, Pio, Pi3
Pi, Pe, Рв, Pil
Ръ, Ре. Pe, Pn
P-7, Pa, Pi, Pl3
Pi, Pi, Pi, Pa
Pi, Ps, Pi, Pi
Pi, Pe. P?> Pio
Pi, Pll, Pl2, Pl3
Pi, Pi, Рв, PlS
Если вычеркнем все точки, у которых последняя координата есть О,
то получим EG B, 3), Вычеркнутые точки есть ръ р2, р4, р8. Итак,
имеем
РЗ, Pb, Рв РЗ, PlO, Ptl РЗ. Р7> Pl2 Рв, Р7, PlO
РВ, Рв, Р12 РЗ, Рв, Pl3 Р9> PlO, Pl2 Pi, Рэ. PlS
Pi, Pi, Pu Pit, P12, Pia
Если принять эти точки за элементы блок-схемы, а прямые
EG B,3) — за блоки, то после переобозначения элементов
3 5 б 7 9 10 И 12 13
12345 6 7 8 9
получим В1В-схему с параметрами t> = 9, 6=12, /- = 4, 6 = 3 \—\-
A, 2, 5), A, 3, 9), A, 4, 8), A, 6, 7), C, 4, 6), B, 4, 7), B, 6, 9),
B, 3, 8), G, 8, 9), E, 6, 8), C, 5, 7), D, 5, 9).
Очевидно, эта схема аффинно-разрешима.
4.138. а) Частичной плоскости r — Z, /г —4,7 = 2 соответствует
следующая РВ1В B)-схема с параметрами у=16, 6=12, r — Ъ, k — A,
Эта блок-схема имеет вид A, 2, 3, 4), A1, 15, 2, 7), B, 8, 7, 13),
A, 5, 6, 7), A1, 9, 5, 16), A3, 3, 9, 4), A, 8, 9, 10), A2, 2, 16, 10),
A3, 4, 6, 16), A1, 14, 4, 8), A2, 15, 3, 6), A4, 15, 5, 10).
б) Частичной плоскости r = 4, k = b, t — 3 соответствует PBIB B)-
схема с параметрами е>=25, 6 = 20, r = 4, k = 5, Х%=1, А2=0, п1 =
= 16, /ia = 5, pjfe = f J, Р^ = [ а о)* Эта блок-схема имеет вид
A, 2, 3, 4, 5), A, 6, 7, 8, 9), A, 10, 11, 12, 13), A, 14, 15, 16, 17),
18, 2, 6, 9, 21), A8, 3, 7, 11, 22), A8, 4, 8, 12, 23), A8, 5, 9, 13,
24), A9, 2, 7, 14, 24), A9, 3, 8, 15, 21), A9, 4, 9, 16, 22), A9, 5,
6, 17, 23), B0, 2, 11, 16, 23), B0, 3, 12, 17, 24), B0, 4, 13, 14, 21),
B0, 5, 10, 15, 22), B5, 6, 11, 15, 24), B5, 7, 12, 16, 21), B5, 8,
13, 17, 22), B5, 9, 10, 14, 23).
4.139. Воспользуемся следующей теоремой: в разрешимой BIB-
схеме равенство b = v-\-r — \ справедливо тогда и только тогда, когда
эта схема аффинно-разрешима. Имеем;
а) аффинно-разрешима, так как 12^=12;
б) аффинно-разрешима, так как 10^10;
в) не является аффинно-разрешимой, так как .26 > 18;
» г) не является аффинно-разрешимой, так как 30>18.
4.140. Построим блок-схему Dt: A, 2), A, 3), B, 3), Ее матрица
инцидентности имеет вид
/1 1 0\
Л= 1 0 1 .
\0 1 \)
Блок-схема D2 имеет вид A, 2, 3), A, 4, 7), A, 5, 9), A, 6, 8),
D, 5, 6), B, 5, 8), B, 6, 7), B, 4, 9), G, 8, 9), C, 6, 9), C, 4, 8),
C, 5, 7), Матрица инцидентности искомой схемы имеет вид
/110 110 110 110*
110 10 1 10 1 1 0 1 \
110 011 011 011
101 110 011 101
101 101 110 011
101 011 101 011
011 110 101 011
\0 1 1 10 1 0 11 110/

252
ОТВЕТЫ. РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ. ГЛАВА IV
§ 4. БЛОК-СХЕМЫ
253
Очевидно, эта схема аффинно 2-разрешима с параметрами v* — 9,
fc* = 12, F=6, г* = 8, Я,* = 5, а*=2, n*=3, v*=4, <?* =3, </* =4.
4.141. Построим схему Di\ ее параметры: v1 = bl = 4, г, = &1==3,
Xi = 2. Матрицей инцидентности этой схемы является матрица
Аналогично строим схему
мы есть
/
/
1
1
1
1
0 1
(
С
(
1
0
0
1
) 1
1
0
) 1
) 1
0
D2
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
/1
Л
1С
\о
0
1
) 1
1
1\
о\
1
1/
Матрица у
1
1 (
0
1
1
1
1
1
0
1 (
1
0
) 1
1
1
0
0
0
1
1
) 1
1
1 0 1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
Ш1
1
1
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
0
1
1
1ИД
1 (
1
0
1
1
0
1
1 (
гнтн
М\
0]
1
1
0
1
1
) 1
1 0 1
1 (
1
0
1
0
1
) 1
0
1
1
1
1 0
\1 1 1 0 10 11 0 1 1 l/
Ее параметры: о* = 16, Ь* = 12, г* =9, fc* = 12, Я* = 7, Ц = 6,
п*=_-9, /г* = 6, а = 3, п=4, v = 3, pjft=^ l)> P'fk = (l g) •
Легко видеть, что полученная схема аффинно 3-разрешима: q* = 8,
qf = 9.
4.142. (См. рис. 4.6'.) Параметры получающейся PBIB (З)-схемы;
/О 0 0\
Р/;;= ° 8 0 ,
\0 0 8/
Необходимое условие разрешимости блок-схемы (b^r-\-v—1) в дан-
данном случае не выполнено F^19), следовательно, построенная блок-
схема неразрешима.
4.143. (См. рис. 4.7'.) В данном случае параметры блок-схе»;ы,
которая является PBIB (З)-схемой: и = 32, Ь = Ъ, k — 8, r = 2, Х1 = 2,
/0 0 0
P}k = \0 12 0
\0 0 18
Необходимое условие разрешимости блок-схемы не выполнено (8
•¦ ,.^> 33), значит, данная блок-схема неразрешима.
25
1:
!' 13
6 5
П
Рис. 4.6'.
4.144. а) Имеем PBIB-схему
B, 1I f(l. 2Л f(l. Щ HU Щ /B, 1I /C, 1Д
1C,1)/' 1C,2)/' 1B,3)/' 1A,3)/' 1B,3)/' 1C,2)/'
*, Для нахождения параметров построим диаграмму (см, рис, 4,8'):
B,0
C,1)
0,2)

254
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ. ГЛАВА IV
, «3=1,
б) Имеем PBIB D)-схему
fB, 1)) ((I, 2)] (A, Щ (A, 4))
{C, 1I, JC, 2)|, {B, 3)|, B, 4)[
1D, 1)J 1D, 2)J 1D, 3)J 1(9, 4)J
@. 2)] ( B, 1)] (C, 1)] (D, 1I
A, 3)[, { B, 3)[, C, 2) , D, 2)
[A, 4)j 1A2, 4)J 1C, 4)J 1D, 3)j
Параметры: и=12, 6 = 8, k — Ъ, r = 2, hi
0 4 2 4 п1
/О 0 4 Оч
0 2 О 0\
о о or
\о о о о/
4.145. Имеем PBIB (б)-схему с параметрами и = 24, 6=12, г
= 3, А = 6, ?ii = 2, ?i2=l, X3=l, ^4 = 0, Яб = 0, ^6 = 8, «1 = 3, п2
= 6, «з = 3, «4 = 6, «5 = 3, «6 = 2.
§ 5. Проблема Ван-дер-Вардена
ft
4.146. М=
ft
/=0
О- Если
«, то точки
1 = 0 /=0
Ро, Рг, ..., Pk зависимы и найдутся числа ц0, \ли ..., цй, не рав-
ные нулю одновременно, такие, что ^ ^г —0, 2
?=0 1=0
ограничения общности будем считать, что величина | klVk
мальна среди чисел | ^,;/[хг | со знаменателями уц Ф 0, Тогда
0» Без
мини-
миним =
1
(=0
( = 0, .... k—l.
§ 5. ПРОБЛЕМА ВАН-ДЕР-ВАРДЕНА
255
Таким образом, существуют Ц, Ц, ..., ?!.?_, SsO, lf = Xr
ft—I ft—l
такие, что ^ ^*=U M= ^ ^f^1 Процедуру продолжаем до тех
1=0 i=0
пор, пока й не станет равным «,
4.147. C-;Ci/l?, Л=!;аG^, В^\Ьипх, ЛВ=С, Ci/ =
ГС П П П Л
- о, 23. с«7=.23fl» 23 ьи=*1' 23 с<7=!•
4.148.
регЛ= 2] aH,-a«r
0<=S
2>,7=i.
Суммирование в определении per А ведется по всем подстановкам
симметрической группы Sn, Неравенство обращается в равенство
тогда и только тогда, когда матрица А—перестановочная (получает-
ся из единичной матрицы перестановкой строк и столбцов).
4.149.
23
= per Л + per fi.
4.150. Пусть Л ='!«,¦/1" — дважды стохастическая матрица. Ясно,
что per Л 2= 0. Покажем, что per Л =^ 0. Заключим все ненулевые
элементы матрицы А в р столбцов и q строк так, чтобы сумма
+ принимала наименьшее возможное значение:
0
\
По теореме Кёнига ([8], с. 100) максимальное число ненулевых
алементов матрицы Л, никакие два из которых не находятся в одной
строке или столбце, равно p-\-q. Если доказать, что p~{-q = n, то
по определению перманента per A > 0. Так как все ненулевые эле-
элементы Л можно заключить в п строк, то p-{-q^n. Так как п =
п
~ 23 ai/5=/3 + G. T0 P + q = n. Утверждение доказано.
U /=1
4.151. Будем называть трансеерсалью набор элементов матрицы
А, никакие два из которых не стоят в одной строке или столбце.

256
ОТВЕТЫ. РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ. ГЛАВА IV
§ 5. ПРОБЛЕМА ВАН-ДЕР-ВАРДЕНА
257
Так как per Л > О (см. задачу 4.150), то существует трансвер-
саль, состоящая из ненулевых элементов. Пусть наименьший из них
равен Я,!>0; Pj — перестановочная матрица, соответствующая транс-
версали. Так как матрица (A — V^iVO — ^i) — Дважды стохастичес-
стохастическая, то per (Л — А,1Р1) > 0 и существует трансверсаль, состоящая
из ненулевых элементов. Наименьший из них обозначим через А,2 и
т. д. Так как матрица А — 2] ^i^i содержит не менее / нулевых
элементов, то указанный процесс конечен и закончится не позднее
(«2 — п + \)-то шага (после (л.2 —п-(-1)-го шага матрица А —
Л2 — /1 + 1
— 51 ^iPi, имеющая одинаковые суммы элементов в строках и
столбцах содержала бы не более п—1 ненулевых элементов, а сле-
следовательно, все элементы этой матрицы —нулевые).
4.152. Операции ® и * на число вводятся по следующим
правилам:
при i < п, j <п,
при ' <п>
при / < п,
п— 1 п — 1
п — 1
"Ё
] при t< n,
n— 1
2] fc'V ПРИ '<"•
1
2]
i — l
ПРИ
/ = 1
t, ( = 1
Нетрудно видеть, что на матрице порядка п—1, дополнительной
к элементу с индексами п, п, эти операции совпадают с обычными
операциями сложения и умножения. Следовательно, множество квад-
квадратных матриц порядка п, сумма элементов которых в любой строке
и столбце равна единице, изоморфно пространству квадратных матриц
порядка (л— IJ.
4.153. Пусть А—дважды стохастическая матрица, операции *
и ф введены в решении задачи 4.152. Заметим, что, вообще говоря,
%А ФХ* A, A-{-B=?AQ)B, однако, для чисел Кг Xk^0,
k
2]
1, выполнено 2]
ft
i = © 2j
«=i
k
где ^i — перестано-
k
вочные матрицы. Так как
(см> заДачУ 4.151),
2]
i=1
2]
i=l
&/>0, то Л=ф 2] U*?i' Найдутся целые числа 0^@< i1<-..
i = l
•••<1'(л— 1)» и неотрицательные числа |Х;у (/ = 0, ..., (л—IJ) такие,
</1-1)> 1Л—D1
что 2 Ц( =U Л=© 2 И? *^j.- Следовательно, А =.
/=0 ' /=о ' ;
(л—IJ
= 2 Мч- ^*i • Утверждение доказано.
/= о ' I
4.154. В силу результатов задач 4.153 и 4.149 имеем
k ft
А= 2 UP и 2 Я'«==1> ^>°. ft=S«2 —2я + 2,
< = 1 i = i
где Р; — перестановочные матрицы. Получаем
k k
реглэ= 2 М"Рег^= 2] ^^(^-зп+гI.
f=l i=\
4.155. Заметим, что множество точек х = (хъ ..., хп), в которых
многочлен S {xi, ..., хп) достигает своего наименьшего значения,
компактно: оно ограничено (как подмножество й) и замкнуто (-в силу
п
непрерывности S). Следовательно, функция ф(#)= 2 'Xi—Xj на
этом множестве имеет минимум, который достигается в некоторой
точке х°. Покажем, что если х°( фО, ха,Ф0, то х\=хР,. Предположим,
что это не так. Тогда многочлен у (t) — S (x (t)), где xi(t) = tx°i-\-
+ A—0х/. Xj{t) = lx{j + (\—f)x°l, xt{t) = x\, при 1ф\, / имеет степень
не выше второй и имеет локальные минимумы при ^ = 0 и t=l.
Следовательно, у (t) = const. Но тогда S(x) в точке хA/2) также
достигает своего наименьшего значения и ср(х°) >ср (хA/2)). Получен-
Полученное противоречие доказывает утверждение.
4.156. xz + yz+z* + 3xyz = (x+y+z) Цх+у+г)*-3 (xy+xz+yz)) +
+ 6X1/2=1 —3(ху -\-xz-\- yz)+6xyz. Воспользовавшись результатом
задачи 4.155, получаем, что искомое наименьшее значение равно 2/9.
Оно достигается при * = i/ = z=l/3.
4.157. Пусть А = |! ац Ц — дважды стохастическая матрица, Обо-
значим
д= 2 аааы, б= 2 аи
9 Под ред. К- А. Рыбникова

258
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ. УКАЗАНИЯ. ГЛАВА IV
§ 5. ПРОБЛЕМА ВАН-ДЕР-ВАРДЕНА
259
Очевидны соотношения Д = 2б + ЗрегЛ, 3 = Д + 2 (at/-a2;- + <*2yas/+
/ = l
з
, per Л + 6 + ^ ai/as/a8/=l« Следовательно, регЛ = 1—
7 = 1
3 3
2 ai/a2/a3/- Для Доказательства
/=l /=i
утверждения остается лишь воспользоваться результатом задачи 4.155.
Отметим, что можно было бы получить и другую формулу для
per А и воспользоваться результатом задачи 4,156:
4.158. Пусть per Л=*/(ф!(аи аХп) Ф„ (ап1, ..., апп)),
где ф; — симметрические функции от своих аргументов. Тогда пер-
перманенты матриц Л] и А%:
;2
: 1
О
о
о
0
должны быть равны (так как функции ф,- —симметрические). Однако
это не так: per A\ Ф per A2. Полученное противоречие доказывает
невозможность представления перманента дважды стохастической
матрицы в виде функции, симметрической относительно элементов
любой строки матрицы.
4.159. а) Пусть матрица Л = |а.,||", а„>0, такова, что ее пер-
перманент имеет наименьшее значение среди перманентов всех дважды
стохастических матриц порядка п. Если такая матрица не единственна,
п
то выберем А так, чтобы сумма ^ а?/ была возможно меньшей.
i,i = \
Так как множество дважды стохастических матриц ограничено в R"
/ п \т
по метрике а (Л, Л') = ^ (aii~a'ii)\ и ФУНКЦИЯ перманента
непрерывна в этой метрике, то множество всех дважды стохастичес-
ких матриц порядка п, имеющих минимальное значение перманента,
п
компактно и сумма У] йЬ достигает на нем своего минимума.
1.1 = 1
Положим
сч/(()~а{]- при 1ф1х,Ч,
= 0-0 \
%t W =
Так как функция per Л (t) достигает минимума при / = 0, 1 на интер-
интервале ]—е, 1+е[ при некотором s>0 и так как рег А (*) — многочлен
от t степени не выше второй, то per Л (t) = const, per Л = per Л @) =
= per Л (О-
Воспользовавшись неравенством x2 + i/2 Э=((я + {/)/2J, получим
.S ?/ ^1 ?/ пРичем знак равенства имеет место тогда
1,1 = 1 i,i = \
и только тогда, когда для всех i,j выполняется равенство ary =
п. п
= ац{\/2). Так как ^] а?/^ 2 а?/('/^) согласно выбору мат-
(,/ = 1 f у = 1
рицы Л, то знак равенства действительно имеет место и а{ • =
= (й? • + й1-![/.)/2. Следовательно, а^ = а^. Так как ^ и B выбраны
произвольно, то все а^ равны между собой и равны l/п. Следова-
Следовательно, per Л —п\/пп. Утверждение доказано.
б) Пусть матрица А представима в виде прямого произведения
матриц В и С:
Г)"в-; о 1
А =
\аи-
V
О
•aiq
Из условия дважды стохастичности вытекает, что В и С — квадратные
В(ЬЬ) С (схс). Пусть аиф0, ардф0, aiq = O
b\ Р Л () {)
() у иф, рдф0, iq ap/
b-\-c. Рассмотрим матрицу Л (s): сщ {г) = щ/ —
(e) = ai? + e, ap/ (e) = ap/+e, ^F) = ^^, если
Ясно, что Л (s) — дважды стохастическая матрица.
Л () |< 0 что противо-
противоматрицы: В (bxb),
»', I^b; b<p, q
ард(е) = ам-г,
s=?i, p и гф j,
Непосредственно убеждаемся, что -^рег Л (е) |8_0< О,
речит условию минимальности per Л.
в) Пусть а0, ..., а/_! —цепочка ненулевых элементов матрицы Л,
обладающая следующим свойством: элементы a-t и а,с , iwmocin лежат
в одной строке или столбце, элементы aJf a(,+ ,)(mod|), o(f + 2)(mod/)
не лежат на одной линии (t = 0, ..., I— 1). Отметим, что 1-2. Заменив
в матрице Л элементы щ этой цепочки на элементы a,-(e) = a,- + (—1)' 8,
получим дважды стохастическую матрицу А (е). Из условия минималь-
d '-¦
ности per Л вытекает j- per A (e) |е_0 = (
или
1 = 0
регЛа. ( —
9*

260
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ. ГЛАВА IV
= 0, где через Аа обозначена матрица размера (п—\)х(п—1)>
полученная из матрицы А вычеркиванием строки и столбца, содер-
содержащих элемент а{. Если теперь в цепочке а0, ..., at_y элемент ай
является единственным нулевым элементом, то
per А (е) е=о 2з 0, ^ per Ла. • (-1)'
йв
Для любого элемента а0 матрицы А рассмотрим произвольную
цепочку а0, а{ а;_х из ненулевых элементов щ (? = 1, ..., 1—1)
1-х
и введем в рассмотрение косвенный минор per Аа = У] (—I)*
Определение косвенного минора не зависит от выбора цепочки
а0 а/_х. Ясно, что per Аа = регЛа для а0ф0 и рег/1а 5грегЛа
для ао = О. Следовательно, справедливы разложения per A =
п п
= \\ аг, per Аа = 2 аи Рег Аа • ^3 опРеДеления косвенных мино-
миноров следует, что для любых i, j, р, q (I =s; i < р ^ п,
выполнено равенство
Переставим строки и столбцы матрицы А так, чтобы per AQt
¦¦ per
РЯ
а
1П
при
, /*?(?. Тогда
i — \
Следовательно, в этом неравенстве всюду имеет место равенство и
все косвенные миноры элементов матрицы А равны перманенту мат-
матрицы А.
4.160. Имеем
ГаХ1 а12 a13
per2 Оц а22
_а31
Гаи а12 а,21
— per а21 а2з агг
I a \ \ a a n \
= (flu det Au-|-G21det Л21 — a3i det <43iJ + 4a31a31 det Л21 det Л31^0,
где Ло_ — матрица, полученная из матрицы А вычеркиванием строки
и столбца, содержащих элемент а,-у. Перестановкой строк матрицы А
добьемся выполнения неравенств а12/а13 5= а2зЛ%Э= азг/азз. где значе-
значение дроби полагается равным -f-oo, если ее знаменатель равен нулю.
Так как числа а,-3 неотрицательны, то из этих неравенств вытекают
следующие: det Aa 5=0 (г = 1, 2, 3). Следовательно, знак равенства
возможен тогда и только тогда, когда det Аа_ =0, ain-i~^airt> чт0
и требовалось доказать,
§ 5. ПРОБЛЕМА ВАН-ДЕР-ВАРДЕНА
261
Решение в случае произвольного п см.: Александров А. Д.
К теории смешанных объемов выпуклых тел. —Матем. сб., 1938,
3D5), № 2, с. 227-251.-Ч. IV.
4.161. Решение проблемы получено Г. П. Егорычееым и Д. М, фа-
ликманом. Пусть матрица А обладает наименьшим перманентом среди
всех дважды стохастических матриц порядка п. Покажем, что
perAa =регЛ. Положим противное: найдется хотя бы одна пара
г, se{l, п) такая, что per /1 > per А (см. задачу 4.159), Так как
ГС
А — дважды стохастическая, то существует t^
art > 0. Тогда в силу неравенства Александрова
I 1
n} такое, что
per* А
akt
¦'tis
>( 2
\fe=i
per Л =регМ,
/
причем переход к строгому неравенству следует из неравенств
art>0, per А. >регЛ, per A > 0.
rs
Докажем теперь, что если А—минимизирующая матрица, то
щ/=\1п A^г, j^ri). Пусть столбец матрицы А с номером п
отличен от A/га, ..., 1/я). Переходя от Л к матрице
А
i f
I 1 \)
для 1Ф], i, j ^п—1, мы за конечное число таких шагов получим
матрицу А', у которой все компоненты первых п — 1 столбцов поло-
жительны, а п-й столбец совпадает с я-м столбцом матрицы А, причем
per A' — per А, так как при каждом шаге перманент не изменится
(это следует из формулы разложения перманента матрицы по столб-
столбцам и равенства всех перманентов подматриц (п — 1)-го порядка).
Следовательно, в неравенстве
per2 Л'ЭгрегА' (й\, й'Л per А' (ап, ап\
\i п I \i п j
достигается строгое равенство. Положительность компонент a'v ..,
..., S^_i дает право утверждать, что an — Xia'l (i — 1, п). Поскольку
суммы компонент векторов равны по 1, то пп = й'{ (i = l, п—1).
Так как матрица А'—дважды стохастическая, то ^1 = ... = 6n__1 =
=un = (\jn, ..., 1/«); получили противоречие. Следовательно, все
столбцы матрицы А равны A/п, ..., 1/л), что и доказывает утвер^
ждение.

§ 1. ГРАФИЧЕСКИЕ ИНТЕРПРЕТАЦИИ И ЗАДАЧИ
263
Глава V
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
§ 1. Графические интерпретации и задачи
л! In
5.1. Порядок л!; размерность -
степень каждой вер-
шины ( 2|. Граф регулярен.
5.2. См, рис, 5. Г.
231
5.4. Ответ: а) и г) изоморфны между собой, других изоморфных
пар графов нет,
5.5. Нет.
5.7. Порядок 15; размерность 60; граф регулярен степени 8.
5.9. Порядок клики для а) равен 5, для б) равен 4. При-
меры разбиений:
а) 12 13 14 15 16
34 25 26 24 23
56 46 35 36 45
б) 1 2 3 1 4 7 1 9 11 1 8 10
4 5 6 2 5 10 26 8 24 12
7 8 9 38 И 34 10 35 9
10 11 12 6 9 12 5 7 12 6 7 11
5.11. Примем строки и столбцы данных квадратов за вершины
некоторых шестиугольников. Между строками и столбцами возможны
следующие типы связей:
сс = (хх) (XX) (XX) — произведение трех двучленных циклов
(транспозиций);
Р = (Х X х) (X X X) — произведение трех трехчленных циклов;
Y —(X X) (X X X X) — произведение транспозиции и четырехчлен-
четырехчленного цикла;
6=(ХХХХХ X) — шестичленный цикл.
В дальнейшем получим на рисунках: а , |3 , у ,
б -¦ . Построим далее графы, соответствующие схемам связей строк
и схемам связей столбцов, для каждого из данных квадратов (рис. 5.2'),
5 ----/-
Рис. 5.2'.
Граф Аа приводится к графу Ва при помощи подстановки C 6 4).
При этом квадрат А преобразуется (производим подстановку строк
C 6 4)) в латинский квадрат С:
С D В
12 3 4 5 6
2 14 3 6 5
12 4 3 5 6
2 13 4 6 5
12 3 6 5 4
2 16 3 4 5
стр. 4 6 2 5 13 стб. 4 6 5 2 13 элем. 3 4 5 2 16
<iiil64523 1^6425 3 1^4 3 2 56 1
5 3 6 14 2
3 5 16 2 4
5 3 16 4 2
3 5 6 12 4
5 6 14 3 2
6 5 4 12 3
Граф Аъ приводится к графу Вь при помощи подстановки C 4). При
этом только что полученный квадрат преобразуется в следующий
латинский квадрат D (см. выше; производим подстановку столбцов
C 4)), Латинские квадраты D и С имеют одинаковые графы и для
строк, и для столбцов. Окончательно квадрат D приводится к квад-
квадрату В подстановкой элементов C 6 4).
Таким образом, подстановками, переводящими латинский квад-
квадрат А в латинский квадрат В, являются следующие подстановки
строк, столбцов и элементов: C 6 4); C 4); C 6 4).
5.12. Пояснения к построению см. в задаче 5.11. Зависимость
между строками указана на рис. 5.3', а), зависимость между столб-
столбцами—на рис. 5.3', б).

264
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ. ГЛАВА V
f I
§ 1. ГРАФИЧЕСКИЕ ИНТЕРПРЕТАЦИИ И ЗАДАЧИ
265
Рис. 5.3'.
5.13. а) Группа автоморфизмов имеет порядок 12; она состоит
из 31=6 подстановок элементов I 4 2 и умножения их на подста-
подстановку C 5).
б) Такими подстановками, сохраняющими граф, являются
B 4 6) A 3 5); B 4 6) A 5 3);
A 4) B 3) E 6);
A2 3 4 5 6);
A 2) C 6) D 5);
A 5) B 4);
A 3) D 6);
A6 5 4 3 2);
A 6) B 5) C 4);
A 4) B 5) C 6)}
B 6) C 5).
Группа автоморфизмов имеет порядок 12.
5.14. Достаточно.
Указание. Воспользоваться теоремой о взаимных паросоче-
таниях двудольных графов (см. [12]).
5.15. Указание. Однородный граф нечетной степени содержит
четное число вершин.
5.16. Все (п—1) вершин попарно соединяем ребрами, Получим
{п—1) (п — 2)/2 ребер. Добавление одного ребра делает граф связным.
5.17. В полном графе существует эйлеров цикл тогда и только
тогда, когда число вершин нечетно (см. [12], с, 83).
Рис. 5.5'.
5.23. Прямое произведение SnXSm, где 5/ (i=n, от)—симметри-
от)—симметрическая группа степени i.
5.24. Полупрямое произведение: [SnxSn]' S^.
5.25. Полупрямое произведение: [S^^xS/j-j] • S2.
5.26. Группа автоморфизмов изоморфна Aut (Sn X S2) ^
г= [Sn <8> Sn] • S2, где <g) означает полупрямое произведение.
5.27. 'Хроматическое число полного n-вершинного графа равно п.
5.28. Хроматическое число связного однородного графа степени 2
с п вершинами равно двум, если п четно; 3, если п нечетно.
5.29. а) /г—1; б) п — \, если удалены смежные ребра, иначе,
л —2; в) п — 2.
5.30. См. рис. 5.6'.
Ч
Рис. 5.6'.
Рис. 5.7'.
Рис. 5.4'.
5.18. В частности, два знакомых между собой человека тоже
должны иметь общего знакомого, отличного от них двоих.
5.19. Граф Феррера устанавливает взаимно однозначное соответ-
соответствие между такими разбиениями.
5.20. Симметрическая степени п,
5.21. См. рис. 5.4'.
5.22. См. рис. 5.5'.
5.31. См, рис, 5.7': Ы+ 16 = 6/+12 + 4 = 6 (/ + 2)+4.
5.32. См. рис. 5.8'.
а) '"
1,3,6,8 U
4,6
I
2,8
Рис. 5.8'.
Рис. 5.9'г
'''• 5.33. BIB-схема дает покрытие графа полными ^-подграфами так,
4 что каждая вершина принадлежит г подграфам, каждое ребро —
\ подграфам.

266
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ. УКАЗАНИЯ. ГЛАВА V
5.34. v = &, b = 8, /- = 4, k = b, A, = 2.
5.35. Да (см. задачу 5.32).
5.36. См. рис. 5.9'.
5.37. Пусть Г —подграф некоторого графа G. Пусть Г^, Г2, ...
.#-) Г „—совокупность подграфов графа G, каждый из которых изо-
изоморфен Г. Совокупность этих подграфов образует обобщенную
BIB-схему на G, если
а) каждая вершина G принадлежит одному и тому же числу
г графов системы Гг-: i = iu ta, ... ,ir',
б) каждое ребро G принадлежит одному и тому же числу г гра-
графов системы Г(: i = ilt ?a, ..., ir.
5.38. Да.
5.39.
i
4
.2
5
3
/'
1
1
4
2
5
3
2
5
3
1
4
3
1
к
2
5
4
2
5
3
5
3
1
4
2
1
4
2
5
3
2
5
3
1
4
3
t
4
2
5
В состав таблицы входят два латинских квадрата порядка 5.
5.40. Нетрудно построить паркет с плитками-шестиугольниками
трех цветов (рис. 5.10'). Цвета располагаем так, чтобы в ячейке, на-
находящейся в п-ы ряду, стоял цвет, отличный от цветов ячеек, стоя-
стоящих над ним в (п—1)-м ряду.
Рис. 5.10'.
Рис. 5.1Г.
а) Пусть сетки, состоящие из равносторонних треугольников и
построенные над ячейками разных цветов, различны. В этом случае
задача может быть решена при любом числе цветов, большем двух.
Действительно, раскраска двумя цветами невозможна, так как если
из трех шестиугольников (рис. 5.11') два окрашены в один цвет, то
и все шестиугольники паркета должны быть окрашены в этот цвет.
Раскраски с тремя и четырьмя цветами нетрудно находятся.
Пусть, например, паркет раскрашен тремя цветами, один из которых—
белый. Раскрашивая белые ячейки в три цвета так, как мы раскра-
раскрашивали весь паркет, можно увеличить число цветов на два, затем
еще на два и т. д.
Таким образом, можно получить много разнообразных раскрасок.
Имея любую раскраску A (k цветов), выделив в ней какой-то один
цвет и взяв еще одну раскраску В (I цветов), можно построить «рас-
«расширение» раскраски А так: в раскраске А сохраняются все цвета,
кроме х, а шестиугольники цвета х раскрашиваются новыми I цве-
§ 1. ГРАФИЧЕСКИЕ ИНТЕРПРЕТАЦИИ И ЗАДАЧИ
267
тами. Сетка, которая ими образуется, раскрашивается по способу В.
Получаем новую раскраску в k-\-l — 1 цветов.
б) В случае, когда ячейки получаются друг из друга параллель-
параллельным переносом, число цветов должно быть равно №\-Ы-\-1г, где k
и / — целые, не равные одновременно нулю, (Доказательство см.
«Квант», № 8, 1970.)
5.41. 251 /С4.
5.42. chrG = 3.
5.44. спг7„ = 2.
5.45. й = п — / = 76 — 53=23.
5.46. Если расстояние между концами введенного ребра в графе Qm
было четным, то 2; если нет, то 3.
5.49. Предположим, что такой граф существует. Пусть хъ...,хп—
его вершины, перенумерованные по возрастанию степеней, Обозначим
ki = degxi (i = l, .... ft). Имеем &! + ...-}-?„5=0+1+•• . + (n—1) =
= я (п—1)/2. В дополнении этого графа степени всех вершин тоже
различны, и (п— 1 — ki) + (п — 1 — /г2)+... + (я— 1 — kn) = n (п — 1) —
— (k1-\-... + kn)^:n(n — l)/2, а по предыдущему то же число должно
быть не меньше п(п —1)/2. Следовательно, ki-^-...-\-kn = n (n —1)/2.
Таким образом, &j = 0, Аг=1, ..., kn~n—!• Когда я>1, отбросим
вершину Xi, получим граф с различными степенями вершин, равными
1, 2 п—\, что по доказанному невозможно. Итак, предположе-
предположение неверно. Случай п= 1—единственный, когда в графе нет двух
вершин с одинаковыми степенями,
5.51. (З2 4* б2).
5.52. а) Всегда; б) если ^1-|-пг = ^3 + п1) где гц и «г —порядки
графов Gj и G2 соответственно.
5.55. C"> 46) (рис. 5.12').
chr G=3
chr G'=2
Рис. 5.12'.
Рис. 5.13'.
_ _. л , /я\ _ . (n — k\(k\
5.56. Порядок графа 1,1. Степень каждой вершины f . . ;
\д/ \к IJ \1 J
• n ! tn\(k\(n—k\
граф—регулярный. Размерность -н-1 ¦,) 1, ) . ,)•
5.58. а) существует; б) нет (сумма степеней нечетна).
5.59. См. рис. 5,13',
5.60. Нет.
5.62. /! геодезических.
5.63.
а, Ь\ с', d', е', р, Ь; а, Ь', с', п, <?', р, Ь\ а, Ь', с', п, 0, р, Ь.

268
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ. УКАЗАНИЯ. ГЛАВА V
§ 2. ПЕРЕЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ НА ГРАФАХ
269
§ 2. Перечислительные задачи на графах
5.66. Заметим, что число (а, 0, 7)-гРаФов с п вершинами и k реб-
ребрами равно числу fe-подмножеств соответствующего множества всех
возможных ребер, так что для написания формул нужно знать лишь
мощность множества ребер. Но в случае неориентированных графов
она равна п(п — 1)[2, если петли исключаются, и равна я (л + 0/2,
если петли допускаются. В случае ориентированных графов она равна
п(п~ 1) и в (я4- 0 соответственно. Способ получения формул
для ga,i,y проиллюстрируем на примере @, 1, 0)-графа. Перенуме-
Перенумеруем возможные пары вершин такого графа с я вершинами. Пусть
х:^ 0 — число ребер, соединяющих t-ю пару вершин в @, 1, 0)-графе
с'п вершинами и k ребрами. Имеем уравнение в целых неотрицатель-
неотрицательных числах:
= fe.
Число различных решений этого уравнения, как известно, есть
= So,i,o(n, k),
поскольку каждый @, 1, О)-граф однозначно определяется набором
величин (xv xv ..., хп(„_п/2)-• Доказательства остальных случаев
аналогичны. Из полученного следует, что максимально возможное
число ребер в (а, 0, у)трафе с п вершинами есть
л (я —1)/2 при а = 0, 7 = 0;
п(п + 1)/2 при а=1, 7 = 0;
п(п — 1) при а —0, у = \;
я2 при а = 1, у —У.
Максимально возможное число ребер в (а, 1, у)-графе равно со.
5.67. В случае Р = 0 следует воспользоваться соответствующими
формулами для (а, 0, 7)-графов из задачи 5.66 и биномиальной тео-
теоремой. Теперь докажем, например, представление для производящей
функции G^\tu(y). Из определения производящей функции G^\i0{y)
с помощью формулы для go, i,o (n, k) предыдущей задачи получаем
Аналогично доказываются остальные формулы.
5.68. В случае я = 0 соотношение E.1) в силу начальных усло-
условий сводится к равенству g(], k) = c(l, k) (k = b, 1, ...), которое,
очевидно, выполняется, так как все (a, |J, ^"Г^Фы с одной верши-
вершиной связны. Чтобы получить рекуррентное соотношение E.1) при
л 2:1, заметим, что в'графе Я cn-f 1 вершинами Рь ..., Р„+1 и
k ребрами вершина Рп+\ принадлежит некоторой компоненте связ-
связности К,, имеющей / B = 0, 1 п) других вершин и т (OsgmsSk)
ребер. Часть J графа Я, получающаяся удалением компоненты К,
имеет п — I вершин a k — m ребер. Существует ("] способов выбора
вершин, входящих наряду с PnJ1 в состав компоненты /С; имеет-
имеется сA-\-1, т) способов выбора К при фиксированном составе вер-
вершин и g(n — I, k — m) способов выбора J.
Из приведенного рассуждения и следует справедливость фор-
формулы E.1).
5.69. Умножим обе части E.1) на yk и просуммируем по всем
возможным значениям k. Тогда для любых а, E, у получим слева
% »
ft = 0, 1, 2, ....
и справа
п\
2 S 2 /
Переставляя порядок суммирования, получтем
= 0, 1, 2,
пх
— V
что, очевидно, приводит к решению задачи.
5.70. Умножим обе части E.2) на гп\п\ и просуммируем по п
от 0 до оо. Тогда получим слева
справа
со оо
1
ч=0
'* л=о
(я-01
Si

270
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ. ГЛАВА V
Таким образом, ^Ga, p,Y (г, {/) = Ga> p, Y (z, j/)^
p, v (г, у).
((/), где К (г/) — произволь-
произвольОтсюда lnGa,p,Y(z, j/) = Ca,p, Y (г,
ная функция от у. Далее получаем
Полагая г = 0 и учитывая, что Go, p, v @, j/) = l и Са, p,v@, г/) = 0,
получаем К(у) = 0. Это доказывает требуемый результат.
5.71. Чтобы перечислить требуемые графы, достаточно соединить
ребром вершины каждой части разбиения 2я-множества вершин на
п частей, каждая из которых содержит 2 элемента. Следовательно,
искомое число, обозначим его |Л2ч, равно ^2П = В2п@, п, 0 0), и
ответ на поставленный вопрос есть
Bл)
Заметим, что величина \iin совпадает с Bп)-м моментом нормаль-
нормальной случайной величины, имеющей параметры @, 1) [см. Кен-
даллМ., Стьюарт А. Теория распределений. —М., 1966. —с.90].
оо оо
5.72. Имеем F (г)= У
мулу предыдущей задачи, можем записать
F(z) =
' Исп0ЛЬЗУя
л=0
2" л! Bл)!
Таким образом, экспоненциальная производящая функция чисел \хп
есть ег'2.
5.73. Рассмотрим множество всех связных @, 0, 0)-графов с от-
отмеченными вершинами Ръ Р2, ..., Рп, Пусть N(Р, , Р,- ,..., Р,\
\ '1 'а '(/
(i = l, ..., п) — число таких графов, в которых вершины Р, , Р- ....
..., Р. —концевые, а другие п — i вершин могут быть любыми. По
методу включения и исключения имеем
Р{п, k) = Q(n, k)-Si+Si-... + (-l)/Si±...+(-irSnt E.1')
где
E.2')
Найдем Л/(Р/ РуЛ для / = 1, 2, ..., л —1, Для этого заметим,
что если граф связен и имеет более двух вершин, то каждая из его
концевых вершин смежна лишь одной другой вершине, которая
концевой быть не может, Поэтому удаление вершин Р, , ..., Р- из
§ 2. ПЕРЕЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ НА ГРАФАХ
271
связного графа с л вершинами и k ребрами приведет к связному
графу с п — t вершинами и k — t ребрами. Отсюда вытекает, что
перечислить графы, число которых равно N (Р, , Р, ..., Р, V можно
следующим образом'.
а) выбираем связный граф Г с п—( отмеченными вершинами и k—I
ребрами (множество вершин Г получается удалением из Pf, P2, ...
.... Рп вершин Р^, .... Pj.y,
б) присоединяем к Г еще I новых вершин Р- , ..., Р.;
в) каждую иэ них соединяем с одной из вершин первоначаль-
первоначального графа Г, что можно выполнить (n — iI способами.
Поскольку в а) граф Г можно выбрать с (п — (, k — i) способами,
в результате получаем
N(Pf, P/t ..., P.)
\ h '2 н)
E.3')
Эта формула доказывалась для f = l, ..., п — 1. Но она верна и для
i = n, так как N (Pi, ..., Рп), очевидно, равно нулю, Из E.3') видно,
что число N(P: , Р, , ..., РА не зависит от /l7 /а, ..., /г. Из E.2')
V Ч '2 Ч/
и E.3') находим, что Sj = ( )c(n—I, k—i)(n — iy, и формула E.Г)
приводится к виду
F(n, k) = c{n, k)-(nAc(n-\, k-l)(n-\) + ...
и формула, требуемая условиями задачи, доказана.
5.74. Для л=1 формула E.4) проверяется непосредственно.
Предположим теперь, что формула К>ли верна для п—\, 2, ..., р,
р^2, и докажем, что она справедлива и для п = р-\~\. Восполь-
Воспользуемся задачей 5.73 при k = n-\-\. Так как дерево с л>1 верши-
вершинами всегда имеет концевые вершины, то F (п, п—1) = 0, п>\.
Учитывая, что с (л, л—1) = 7'(л), из задачи 5J3 получаем
E.4')
Мы предположили, что формула E.4) справедлива для л=1, 2, ..., р\
поэтому при л=р + 1 из E,4') имеем

272
Отсюда
или
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ. ГЛАВА V
— 0^-х. . E.5')
Сумма в правой части соотношения E.5') равна нулю, поэтому
Tl(p-j-l) = (p4-l)P~1 и шаг индукции справедлив. Задача решена.
5.75. Явное выражение для чисел Tn(Pf_, ..., РЛ находится
аналогично задаче 5.73. Действительно, если вершины Р, , ... , Р —
'1 'г
концевые, то они несмежны между собой и их удаление вместе
с ребрами приводит к дереву с п — г вершинами. Поэтому для нахо-
нахождения чисел Т (Р¦ , ..., Р- \ поступаем так:
\ 'i 'г/
а) строим на п—г вершинах множества М =
= {Р1, ¦••> ^п}\{^./ ' ¦••' Pj\ ДеРево. которое обозначим Г; со-
согласно задаче 5.74 на множестве Г можно построить Т(п~т) =
х=(п — г)п~г~2 различных деревьев;
б) присоединяем к М еще г элементов Р, , ..., Р. ;
в) каждую из вершин Р, , ..., Р. соединяем ребром с одной из
вершин дерева Г, построенного в а), что делается (п — г)г способами.
В результате получается дерево с п вершинами Plt ..., Рп,
в котором вершины Р, , ... , Р- являются концевыми. Все деревья
'l 'г
этого вида могут быть получены таким образом. Следовательно,
5.76. Для п=1, 2 справедливость формулы E.5) устанавливается
непосредственно. Пусть теперь л > 2. Используя метод включения и
исключения и полагая Г @) = 1, аналогично решению задачи 5,73
получаем
Т(п, г)=(-1
—*>(« —0' =
r\(n-r)\
§ 2. ПЕРЕЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ НА ГРАФАХ
Используя 1-ю формулу Кэли, отсюда находим
273
1 = 0
/=о
Теперь воспользуемся определением чисел Стирлинга 2-го рода и
получим требуемый результат.
5.77. Так как Т (п)
т (л> г) и Для п ^2 г ("> °) =
= Т (п, 1) = 0, то согласно формуле E.5)
п п — 2
Г(п)=2 ^-S(n-2,n-r)=2 S(n-2,
/• = 2
а последнее выражение равно л".
5.78. Воспользуемся рекуррентным соотношением для чисел Стир-
Стирлинга 2-го рода и запишем S (п — 2, л — /¦) = (« — r)S(n — 3, n — r).-f-
+ 5 (п — 3, п — г—1). В результате из 2-й формулы Реньи получим
и!
(п, r)=- [(n-
(л —3, г —2) + S(« —3, л —г—1)] =
= Мп-г)Г(л_1> г_,) + пГ(п_1> г)>
Отсюда следует объявленное выше рекуррентное соотношение.
5.79. Для чисел Т(п; Р;. , ..., Ру \ можно записать соотношение
'I: а=1, 2, ...; п = г, г+1, ....
* где суммирование ведется по всем сочетаниям /^, ..., /г по г из /г
j '. элементов 1, 2, ..., п. Ясно, что числа Г^п; Р. Р,. V как и
I' <; \ h 'г/
.75, не зависят от
в записанном со-
;¦ т. элементов 1, 2, ..., п. Ясно, что числа Т (п; Р, ,
V.;. \ 'i
i , числа Т(Р: , ..., РЛ, рассмотренные в задаче 5.7
I, J;-.. V '1 'г/
I ''Конкретного выбора вершин Р, Р, . Поэтому i
'•: отношении слева фигурирует сумма
Отсюда получаем
одинаковых слагаемых.
n==r>

274
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ. УКАЗАНИЯ. ГЛАВА V
§ 2. ПЕРЕЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ НА ГРАФАХ
275
Используя формулу E.5), окончательно находим
L-^S(n-2, n-r)~{n-rj S(n-2, n-r).
5.80. Деревья с п вершинами Р^, ..., Рп, имеющие г концевых
вершин Р, Р, , разбиваются на два непересекающихся класса.
а) Существует в графе хотя бы одна концевая вершина, скажем
Р,- , соединенная о вершиной, назовем ее X, степени 2. Таких деревьев
'г
(я — г) Т (п— 1; Р, Р, , Х\ так как вершину X можно вы-
выбрать п—г способами (из неконцевых) и построить граф ел-1
вершинами Рл, ..., Р, , Р, , .... Р /из которых г концевых
1 'r-i 'r+i V
Р, , ..., Р, , Х\ числом способов Т(п— 1; Р, , ..., Р, , Х\
б) Таких вершин нет. Число графов этого вида (я— г) Tin — 1;
Р., ..., Р, \, так как их можно получить из Т(п— 1; Р. , ...
'1 'г—if V. 1
..., Р, "\ графов с п—1 вершинами Р,, ..., Р, , Р, , ... , Р
'/•-I/ *• 'г-1 'г+1
/из которых л —1 концевых Р, , ..., Р.- \ а вершину Р.- можно
присоединить к любой из п—г неконцевых. Итак,
Используя результат задачи 5.79, отсюда находим
и тем самым рекуррентная формула задачи 5,79 вновь доказана не-
независимым образом.
5.81. Начальное условие Т'A) = 1 ясно и объяснений не требует.
Предположим теперь, что п >;2, и рассмотрим некоторое дерево Н =
= (X; Еъ .... ?n_i), \X\=n, где А" —множество вершин, а ?ь ...
..., Еп_х~множество ребер дерева. Сотрем в Я какое-либо ребро
? = {Pi, P2}, P%, Pj?l В результате Я распадается на две связ-
связные компоненты Яь Я2, каждая из которых является деревом. Пусть
компонента Н,- имеет с Е общую вершину Р/ и содержит я,- ребер
(/ = 1, 2, л1 + ла = п —2). При этом одна из компонент Н/ может
состоять из единственной изолированной вершины. Из сказанного
выше вытекает, что для получения и подсчета количества деревьев
с п вершинами можно воспользоваться следующим алгоритмом:
а) выбираем из X произвольно две вершины Е1 — {Р1, Р2\ и сое-
диняем их ребром; этот выбор можно произвести способами;
б) задаем упорядоченный набор целых чисел пи п2 таких, что
пг -\- п2 = п — 2;
в) представляем множество Х\Е1A Х\Е1\~п — 2) в виде объ-
объединения двух непересекающихся подмножеств Хь Х% таких, что
\Х{'—щ, 1=\, 2; это можно сделать '—:—{" "" I ) способами;
г) для каждого г=1, 2 выбираем одно из Т{щ~\-\) деревьев Я,-
с множеством вершин Xt\]{Pi\\ из ребра и этих деревьев Hi и Я2
получаем дерево с множеством вершин X.
В результате каждое из интересующих нас деревьев будет полу-
получено ровно п— I раз. Действительно, пусть в результате работы
описанного алгоритма получено дерево с ребрами ?1( ..., Еп^\, где Ег
выбрано в а). То же самое дерево будет получено еще п — 2 раз при
задании в а) каждого из ребер ?2, ..., ?л_*. Из описанной процедуры
следует соотношение
(я-1O» =
— 2
("-2I
Т(П1+\)Т(п2+1),
которое можно переписать в требуемом виде, если положить
Л +1 1
Л 2+
5.82. Воспользуемся рекуррентным соотношением задачи 5.81,
учитывая, что согласно задаче 5.74 Т{1) = 11~2 и Т(п — i) = (n — i)"-'.
В результате получим
п — 1
' 2 (п - 1) п«-« ^
- 0 *'-* (л - О""' =
я—I
2 A)р-чп-о*++,
что и требовалось доказать.

276
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ. ГЛАВА V
§ 2. ПЕРЕЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ НА ГРАФАХ
277
5.83. Корень Р корневого дерева И может принадлежать d
различным ребрам ?\, Е2, ¦¦-, Еа (ls^dsgn—1). Если в Н стереть
эти ребра и корень, то получится лес, состоящий из d компонент.
(Напомним, что лес есть @, 0, 0)-граф (см. задачу 5.6J), все компо-
компоненты связности которого суть деревья.) При этом могут быть компо-
компоненты! имеющие единственную вершину. Полученный лес имеет п—1
вершин и п—1—d ребер.
Из-сказанного вытекает следующий способ перечисления различ-
различных корневых деревьев с одним и тем же множеством вершин X,
а) Выделяем в X некоторую вершину Р — корень; это можно
сделать п способами,
б) Задаем целое число d=l, 2, .,., п—1.
в) Разбиваем множество Х\{Р \ на d непустых подмножеств Хъ
Х3, ..., Xd и строим корневые деревья Нъ Я2, ..., Hd, каждое из
которых имеет соответствующее множество вершин. Результирующий
граф является корневым лесом. (В корневом лесе каждая компонента—
корневое дерево.) Ясно, что здесь будет получено
1
d!
различных лесов, где р,-— число элементов X; (t = l, ..., d), а сум-
суммирование ведется по всем положительным целым решениям рь ...
..., ра уравнения p1 + ... + prf = n—1.
г) Соединяем ребрами вершину Р, фиксированную в а), с корнями,
деревьев #ь ..., Н^ и получаем корневое дерево с множеством
вершин X, корень которого имеет степень d.
Производя на каждом шаге этого алгоритма перебор всевозмож-
всевозможных вариантов, получим все множество корневых деревьев. Отсюда
следует также рекуррентное соотношение
л —1
которое перепишем в виде
ТТ
11
Pi!
n = 2, 3,
Отсюда получим
со
I Ш-
% откуда и следует уравнение Пойа.
4. Явный вид для производящей функции б (г) следует из того факта,
??. что ввиду 1-й формулы Кэли и соотношения х(п) = пТ(п) имеет
*': место т (п) — п"'1.
"l. 5.84. Перепишем рекуррентное соотношение задачи 5.82 в виде
я—1
ft!
@ т (" — О
или
оо п— 1
л щ п\ 2 Zd
я=1 л=1 п=1с=1
Согласно определению б (г) и Г (г) отсюда имеем
ч\ что и доказывает требуемый результат.
5.85. Поскольку б (г) — функция, обратная к z = 6* (w)—we~w, то
¦; 'она регулярна в окрестности точки г = 0. Поэтому по формуле Коши
' для коэффициентов степенного ряда из определения б (г) находим
dz' n==
'"¦ Где интегрирование бедется по замкнутому контуру, лежащему
' -iB круге сходимости б (г). Произведем в интеграле замену 2 = 6* (w).
?Так как dz = {\—w)e~w dw и для достаточно малых w имеет место

278
ОТВЕТЫ. РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ. ГЛАВА V
тождество е(е*(ш)) = ш, то получаем
„, с w(\-w)r*>dw _ n[_?«_m)fnw^. „=1, 2, ...
X (П) =-?ГГГ Ф „,n+l*-<n+l> w 2Я1 ^V V ' Wn
2ш
По теореме о вычетах отсюда следует
= ft
Таким образом, t^b/i", Поскольку х(п)=пТ (п), то
что и требовалось проверить,
5.86. Ясно, что
\ (n— 1)! (n —
^-B1Н- "¦*•¦•¦
Согласно задаче 5.80 отеюда находим Ak(z) = [b{z)]k. С помощью
интегральной формулы Коши получаем
После замены переменной (см. задачу 5,85) будем иметь
Ink'
2ni
dw=n\
A — w) e"w\
= n![ (Я_А)| ~ (n-k-\
(n-ft—1)!
откуда следует доказываемое тождество.
5.87. Для я=1, k—\ Li(l)=l по смыслу этого числа, что
согласуется со 2-й формулой Кэли. Пусть теперь п5э:2 и 1 =?i k^n.
Прежде всего покажем, что
/,>0
E.6')
Действительно, для получения требуемых в условии задачи лесов
нужно:
а) задать упорядоченный набор целых неотрицательных чисел
/i. •••. /ft» B сумме дающих п— 1;
б) для каждого такого набора представить множество п— 1 вер-
вершин Pft+i, Pfr+a» •••» Pn+k-i B виДе объединения k непересекающихся
подмножеств Хь ..., Х^ таких, что |X11 = f1, ..., \Xk\ = ik>
§ 2. ПЕРЕЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ НА ГРАФАХ
279
в) для / = 1, .... к построить лес с множеством вершин \Р/}[) Xj.
Отсюда и следует E.6')» так как в б) возможно (я— l)!/(/i! ... /ft!)
способов представления.
Доказав E.6'), воспользуемся 1-й формулой Кэли E.4) и пере-
перепишем равенство E.6') в виде
Ы")
h-,\
b.>0
X
~l)\
ft-I, fc
n(«+l)... (ft + A-1)
¦, E.7')
где согласно задаче 5.86
ft—1
П
—2). E,8')
Из E.7') и E.8') следует требуемый результат.
5.88. Пусть {Pi, ..., Рп}—множество вершин и l^k^n.
Выбираем из множества вершин k различных корней Piv ..., Pikt
что можно сделать (, ] способами, Далее строим лес с п вершинами
\kj
такой, чтобы корни Piv ..., Pik принадлежали различным компо-
нентам. Согласно задаче 5.87 это можно сделать 1^ (п — k-\-l) =
= knn~k~l способами. Таким образом,
и задача решена.
5.89. Выберем корневой лес с л—1 вершинами Р2, ..., Р„ и k
компонентами связности. Согласно задаче 5.88 этот выбор можно
произвести Ik (п—1) способами. Далее соединим вершину Pt ребрами
со всеми корнями выбранного леса и получим дерево с п вершинами,

280
ОТВЕТЫ. РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ. ГЛАВА V
в котором вершина Р^ имеет степень k. Таким образом, Tfe(n) =
= /fe(n—1) и, используя результат задачи 5.88, получаем формулу
Кларка.
5.90. В каждом дереве сп^2 вершинами Рь ..., Р„ вершина Р%
имеет одну и только одну степень k= 1, 2, ..., л — 1. Следовательно,
общее число деревьев с п вершинами есть
Отсюда, используя формулу Кларка из задачи 5.89, получаем
/I—1
/г — 2
/=0
что и требовалось доказать.
5.91. Все деревья с п-\-\ вершинами Pt Рп+Ь У которых
вершина Рг имеет степень k-\~\, можно получить, и притом каждое
k-\-\ раз, следующим образом:
а) задаем p = k, k-\-\, ..., я—1;
б) выбираем из множества {Р2, ..., Рп+1) р вершин Piv ..., Р,- ¦
в) строим дерево с вершинами Pi, Р^ Р,- такое, что вер-
вершина Р, имеет степень k\
г) строим дерево с п — р оставшимися вершинами {Рь ...
..., P/!+iF\{Pi, P;v •¦¦> Pip}' Выбираем в нем произвольно вершину
и соединяем ее ребром с Р%.
В б) выбор производится I ) способами и, в силу формулы
Кларка {задача 5.89), построение осуществляется { App~k спосо-
бами; построение в г) осуществляется (п — р)п~Р~1 способами. В целом
это дает левую часть доказываемого тождества. Правая часть нахо-
находится с помощью формулы Кларка (задача E.89)), если домножить
ее на k + 1.
5.92. Покажем вначале, что
Для этого воспользуемся следующим способом перечисления лесов:
а) задаем упорядоченный набор k положительных чисел /j, ..., /<,
таких, что h + ... + ik = n;
б) представляем множество вершин леса в виде объединения k
непересекающихся подмножеств Xf, ..., Xk таких, что \Xi\ = ii
(» 1, -, );
в) строим k деревьев с множествами вершин
ственно;
соответ-
соответ§ 2 ПЕРЕЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ НА ГРАФАХ
281
г.
г) замечаем, что в результате перечисления каждый лес будет
получен k\ раз.
Из этих рассуждений и следует формула E.9').
Теперь воспользуемся Т (г), выведенной в задаче 5,84, Из E.9')
следует
00
Согласно интегральной формуле Коши отсюда получаем
.n! Z. Tk(z)dz
Lk(n)-.
k\2ni
zn+l
Используя соотношение для Т (г), полученное в задаче 5.84, перепи-
перепишем последнее выражение в виде
dz
С помощью замены переменной (см, задачу 5.85) находим
й v ' 2mk\
[min(n —fe, k)
Lq \ 2) \j) (n-k-j)l
-k — l, ft)
L_ \ 2) \j) (n-k-i-l)\
min(n —ft( k)
kl. L [ 2"j \l
min (n —fe — 1, ft)
2
/=0
min (n — k, k)
1
^откуда и следует 3-я формула Реньи.
! 5.93. Существует (п. — 2) (п — 3) ... (п — Щ способов построения
; пути из Pi в Р2, проходящего через k — 2 из п — 2 оставшихся вер-
!::шин (скажем, через Р3, ..., Pk). Удалив из дерева путь из Рх в Р2
"Длины k, получим лес с п отмеченными вершинами и k компонентами,
}в котором вершины Ръ ..., Pk принадлежат различным компонентам.
|В обозначениях задачи 5.87 число таких лесов равно Гй (п — ?+1).
•, аким образом, у^ (п) = (п — 2) (п — 3) ... (п — k)J/t(n). Отсюда согласно
;-й формуле Кэли находим yk (n) = (n — 2) (п — 3) ... (n — k)knn~li-1.

282
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ. УКАЗАНИЯ ГЛАВА V
5.94. Для п = 2 имеется единственное дерево с вершинами Ри Р2,
соединенными ребром. Поэтому Ui = w2=l и формула Муна верна.
Предположим, что формула Муна верна для всех деревьев, имею-
имеющих k = 2, ..., п—1 вершин, и докажем ее для деревьев с k = n вер-
вершинами. Рассмотрим всевозможные деревья, в которых вершина Рп
имеет степень vn=l (концевая вершина), а для t = l, ..., п—\ вер-
вершина Pi имеет степень и,-. Число таких деревьев есть t(n;v1,.,.
... , yn_i, 1). Так как вершина Рп может быть соединена ребром
с любой из вершин Ръ ..., Рп-ъ т0
п— 1
t(n;vl
vn_t, 1)=
По предположению индукции
t(n — \; V! 0,-1. Vi — \, vUi
(в -3I
i-1)! ... <»,_!—1I (ti4 — 2)! (oi+1—1)! ... (»H-I)! '
поэтому
t{n; vlt .... vn_t
= (rt —3I
i— 1)! ... (t»|_i— 1I (^ — И
n-\
;= l
(n-3)l
t—1I ...(у,-—1)! ... (fn-i—1I
n —1
n—1
ft (y«-1)' '"
J
'
так как vn = \. Учитывая условие на сумму степеней вершин, отсюда
получаем
1 = 1
Итак, для рассматриваемого частного случая, когда vn=l, формула
Муна доказана. Теперь заметим, что любое дерево с «5=2 верши-
вершинами имеет по крайней мере одну концевую вершину (не обяза-
обязательно Рп, как рассматривалось выше). Поэтому формула Муна спра-
справедлива в общем случае.
§ 2. ПЕРЕЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ НА ГРАФАХ
5.95. а) Ввиду формулы Муна задачи 5.94 имеем
П'~ L fa-1I ...@„-1I
о1 + ...+;ога=2(л —1)
\1 («-2I
283
и, используя полиномиальную теорему, получаем отсюда требуемый
результат.
б) Нужно доказывать формулу для числа Т (п, г) деревьев с п
отмеченными вершинами Pi Рп, г из которых являются конце-
концевыми. Предположим вначале, что концевыми являются вершины
Рп-г+и ¦•¦» Рп, и только они. Следовательно, Vf^2, если 1 «S i =sS
sgn — г, и У;=1, если i Э:« — ''-(-l, где v, — степень вершины Р^
Число деревьев такого вида (см. задачу 5.94) равно
7. ~. m ~. пг» i°-u )
Заметим, что сумма E.1Г) равна (n — r)\ S (п—2, п—г) (см. задачу
5.79), Поскольку концевыми вершинами могут быть вершины любого
r-подмножества множества Pi, ..., Рп, то получаем
T{n,r)~(^(n-r)\S{n~2tn-r)=,~S(n-2, n-r),
что и требовалось доказать.
в) Ввиду формулы Муна, предполагая, что степень вершины Pt
равна Vi = k, а степени о, (i ф 1) других вершин произвольны, получаем
г , . V <Д —2I
(л — 2I
(*-1I (ft-ft-1)!
(л —ft—1I
@,-1I ...(«я-1)!
I В силу полиномиальной теоремы сумма в последнем выражении
f равна (п—l)""*". Поэтому
(»-2I
1 Я^'— (?_ 1)| (n — k—]
%что и требовалось доказать.
n —2

284
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ. ГЛАВА V
§ 2, ПЕРЕЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ НА ГРАФАХ
285
5.96. Пусть р — степень вершины Рх A«?Р^«—¦ 1) и P;v ...
ii( р{ —вершины, смежные с Pi. Вершины Piv ..., Pip можно
выбрать (П~ 1 способами. Оставшиеся п—1—р вершин Рт (тф 1,
\ Р J
и ..., ?с) можно разбить на р классов, определяемых следующим
образом: Рт принадлежит ;-му классу (/ = 1, ..., р), если единственный
путь из Р^ в Рт проходит через Piy Пусть /-и класс содержит от,-
(m,3s=0) вершин, m1 + ... + mp = n-l. Вершины /-го класса вместе
с Pi образуют дерево с т/Э= 1 вершинами высоты k— 1 над верши-
вершиной Ргу.
Поскольку число разбиений на классы равно числу (т1—\, ...
т _1)-выборок и число деревьев с вершинами /'-го класса равно
db_i(m, —1), то задача решена. „
5.97. Решение получается непосредственно из рекуррентной фор-
формулы задачи 5.87. Из определения производящей функции Dk B),
используя эту формулу и тот факт, что dft(l)=l для k =э 1, получим
-j DP, (г) = г exp
, 2, ...,
и требуемая формула доказана, поскольку О0(г) = г.
5.98. Рассмотрим дерево, высота всех л Ss 2 вершин которого
над вершиной Pf не превосходит fc(l^ft^n). Все его вершины,
отличные от Ри можно разбить на k классов, включив в /-и класс
все те вершины, высота которых над Рг равна / A s? / s? ft), uoo-
значим rrij^O число вершин в |-м классе. Тогда 2m,- = n—1.
Если числа т, фиксированы, то распределение п— 1 вершин по
классам можно выполнить (п-1)\/(т,\ ... mk\) способами. Очевидно,
что каждая из тг вершин первого класса смежна Рь каждая из от;?
вершин второго класса смежна некоторой вершине из первого класса
и т. д.; наконец, каждая из mk вершин fc-ro класса смежна однон
из mft_i вершин (А — 1)-го класса.
Поскольку смежность вершин _/-го и (/+1)-го классов (/=1, ...
..., k—1) можно установить т. '+1 способами, то число способов
построения деревьев при^заданном разбиении вершин на классы равно
т„ т..
т
т
fe—1.
В результате проведенного рассуждения получаем искомую фор-
формулу. Заметим, что если ту—0, то т;-+1= ... =т^ = 0, так что
в действительности нужно брать не всевозможные разбиения на
классы, а только такие, для которых выполнено только что ука-
указанное условие. Однако формула для d^ (и) показывает; что это
несущественно —для разбиений, не удовлетворяющих этому условию,
правая часть обращается в нуль.
5.99. Первое равенство ясно. Второе равенство доказывается
аналогично формуле для чисел dk (n) из предыдущей задачи; отличие
заключается в том, что в формуле для dk (n) суммирование ведется
по неотрицательным слагаемым, а в формуле для йь (п) сумма рас-
распространяется лишь на положительные слагаемые.
Условия п^З, З^^^л объясняются тем, что F, 0, О)-граф
(см. задачу 5.66) не имеет петель и параллельных ребер, а следо-
следовательно, циклов длины 1 и 2.
5.100. Для перечисления графов, о которых идет речь в условии
задачи, воспользуемся следующей процедурой:
а) разбиваем «-множество вершин на части так, чтобы п—k
частей состояли из одного элемента и одна часть содержала k эле-
элементов; это разбиение можно выполнить
.... о,
п\
/г!
()()()
способами;
б) соединяем элементы ^-множества, выбранного в а), ребрами
так, чтобы получился цикл; очевидно, что эту операцию можно про-
провести (k—1I/2 различными способами.
В результате получаем
Sk (n) =
(А-1I
л!
2 k\(n-k)\
и задача решена.
5.101. Относительно условий п5=3, З^А^л см. предыдущую
задачу. Если из семейства ребер связного графа, имеющего мно-
множество вершин X, \Х\=п, и единственный цикл длины k, удалить
ребра, образующие цикл, то получится лес, состоящий из к компо-
компонент. (Компоненты могут состоять, в частности, из одной изолиро-
изолированной вершины.) Поэтому для перечисления рассматриваемых гра-
графов можно действовать следующим образом:
а) Предположим, что вначале мы имеем п изолированных вер-
¦шин. Строим граф, имеющий единственный цикл длины k и п — k
'изолированных вершин. Согласно задаче 5.100 можно построить
л!
i "*v"-2k (л-А)!
таких графов. Вершины цикла обозначим Plt ..., Pk,
E.12')

286
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ. УКАЗАНИЯ. ГЛАВА V
§ 2. ПЕРЕЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ НА FPAOAX
287
б) Задаем упорядоченный набор ft целых неотрицательных чисел
tii, ¦•¦ > nk> в сумме равных п — ft.
в) Представляем множество X\{Pi> ..., Рь\, состоящее из n — ft
элементов, в виде объединения ft непересекающихся подмножеств, среди
которых могут быть и пустые, так, чтобы \Xj\-tij (/—1, ..., ft).
Число таких представлений равно числу (пх, я2, ..., «Л)-разбиений
и есть (n — k)\/(n1\...nk\).
г) Для каждого /=1, ..., ft выбираем одно из Т (ny-f-1) =
= (пу+1) ^ деревьев с множеством вершин {Р/} U X/.
д) Строим, наконец, окончательный граф, навешивая на вершины
Pi, ... , Pft цикла, построенного в а), деревья, выбранные в д).
Перебирая в каждом пункте описанного алгоритма все возмож-
возможные варианты, получим все множество связных @, 0, 0)-графов с п
вершинами и единственным циклом длины ft. Отсюда получаем
k
Iя/-1. E.13')
n. + ... + п. =л —
nv\
1=1
Из E.12') и E.13') приходим к первой формуле, указанной в ус-
условии задачи. Выражение для Р (я) следует из полученного выра-
выражения для Pft (п) и того факта, что
Р(п)= S P*W-
/г = 3
5.102. Умножив левую и правую части первой формулы задачи
5.101 на ykzn/n\ и просуммировав по п от 3 до оо и по k от 3 до п,
получим
формула для Р (г) следует отсюда при у = \, если учесть, что Р (г) =
= Р(г> 1).
5.103. Чтобы получить все связные @, 0, О)-графы, имеющие п
вершин и единственный цикл длины k (п^^З), достаточно
в каждом корневом лесе с п вершинами и k компонентами построить
различные циклы на множестве корней. Поскольку число корневых
лесов с п вершинами и k компонентами равно ( ) пп~к (см. за-
дачу 5.88), а число циклов длины k есть (k—1I/2, то имеем
откуда и следует искомый результат.
Второй способ доказательства формулы для Pk (n) заключается
в использовании представления для Р (г, у) из задачи 5.102. Анало-
Аналогично решению задачи 5.91 имеем
[in A - ?6 (г))+ 1/9 (г) + ~ У2& (гI
in (I -
2" 1 Zi ~k (n-k)\ ~ Zi ~k (n-k-
[ fe 3
{n — k)\ {n—k—\)\)Tn
—ft)!

288
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ. ГЛАВА V
§ 3. КОНЕЧНЫЕ ПЛОСКОСТИ
289
Таким образом,
(n-k)\
E.14')
ft=3
Сравнивая коэффициенты при yk, отсюда получаем формулу для
чисел Ph (ft). Формула для Р (п) следует из E.14'), если положить
§ 3. Конечные плоскости
5.104. Воспользуемся теоремой Дезарга (рис. 5.14'). Строим под
достаточно узким углом прямые AD, AF, BD и BF. Проводим пря-
прямую DF и берем на ней точку О. Дальнейшие построения очевидны
из рисунка. Находим точку С. По теореме Дезарга точка С лежит
на прямой АВ. Найдя еще несколько промежуточных точек на АВ,
мы сможем провести всю прямую.
Рис. 5.14'.
6.105. Способ I. Если зафиксировать одну точку, то вторую
можно выбрать (п2-\~п-\-\)—1=п2-\-п способами; после этого
третью точку можно выбрать (л2-{-я + I) — (n+l) = na способами, где
(л-f-l)— число точек прямой, проходящей через полученную пару
точек. Четвертую точку можно выбрать (ла-|-п+1)—*(п—1K —{— 3 =
= (я—1)а способами, где ((я — 1) 3 + 3)— число точек, лежащих на
сторонах полученного трехвершинника. Пятую точку можно выбрать
(„2_|_п.|_1)_Fл — 5) = п2 — 5ft + 6 = (n — 2) (/г — 3) способами, где
Fл— 5) — число точек, лежащих на сторонах полученного четырсх-
вершинника. Но при этом каждая кривая встречается столько раз,
сколько упорядоченных четверок можно получить из л точек кри-
кривой, отличных от данной точки. Поэтому искомое число кривых
равно
(M24-n) rfi(n— \f (n—2) {n — 3)/AAn =na (я2—1).
Способ II. Обозначим число кривых, проходящих через дан-
данную точку, через х. Произведение числа х на число всех точек
в плоскости (я2-{-я+1) равно произведению числа точек криво!';
п-f-l на число всех кривых в плоскости, т. е, на п2 (п—1)(ма-г-
+ я+1). Таким образом, имеем равенство х {п2-\-п-\- l) = (re-f- l)«2x
X {п—1){п*+п+1), откуда # = л2(я2-1).
5.106. Если зафиксировать пару точек, то третью точку можно
выбрать (п2-)-л+ 1) — (я + О —  способами, где (я+1) — число то-
точек прямой, проходящей через данную пару точек. После этого
четвертую точку можно выбрать (я2 + я + 1) — ((я — 1) 3 + 3) = (л— IJ
способами. Пятую точку можно выбрать (я2-|~я-)-1)— Fя— 5) =
= (п — 2) (« — 3) способами; здесь Fл —5) —число точек, запрещен-
запрещенных выбором данной четверки. Но при этом каждая кривая встре-
встретится столько раз, сколько можно получить упорядоченных троек
из я—1 точек кривой, отличных от двух исходных. Поэтому общее
число кривых, проходящих через данную пару точек, будет равно
5.107. Кривая второго порядка в конечной проективной плос-
плоскости порядка п есть (я-(-1)-дуга, т. е. множество, состоящее из
ft-f-1 точек, неколлинеарных по три.
Если зафиксировать пару точек и какие-либо две прямые, про-
проходящие через точку этой пары, то третью точку можно выбрать
(п2 + «+1) — ((я — 1K + 3) = (л— 1)а способами, где (п* + п+\) —
число точек конечной проективной плоскости порядка л. Так как
на каждой прямой лежит я-(-1 точек, то ((п—1K-(-3) есть число
точек, лежащих на двух данных касательных и на прямой, прохо-
проходящей через данную пару точек. При этом каждая кривая подсчиты-
вается (п-\-1) — 2 = я — 1 раз, так как в качестве третьей точки
может быть выбрана любая из л-f-l точек, за исключением двух
данных точек.
Общее число кривых равно (п— 1J/(л— 1) = л— 1.
5.108. Пара точек пересечения гиперболической кривой с не-
несобственной прямой может быть выбрана из (л-(-1)—1=я несоб-
несобственных точек, неколлинеарных с двумя данными точками, С^==
= ft(n—1)/2 способами. Пятая точка может быть добавлена (ла-(-
+ п+\)~(((л— 2J+1K-И) = л2_5л + 6 способами; здесь (((л —
— 2) 2-f I) 3-f-4) —число точек, запрещенных выбором данной чет-
четверки. При этом каждая кривая подсчитывается (л+1) — 4 = п — 3
раз. Поэтому число искомых кривых равно
л (л- 1) (п —2) (п-3)/B (я —3)) = л (я- 1) (л — 2)/2.
5.109. Кривая второго порядка определяется однозначно че-
четырьмя точками и касательной в одной из них. Для исходной пары
обыкновенных точек неколлинеарную с ними несобственную точку
можно выбрать п способами. Точек, не лежащих на сторонах полу-
полученного трехвершинника, имеется (ла + л+ 1)— {{п— 1) 3-f-3) =
= (я— 1)а. Из них для выбора четвертой точки запрещены еще все
несобственные точки, отличные от несобственной точки касания и
несобственной точки прямой, проходящей через исходную пару то-
точек; их имеется л—1. Поэтому для выбора четвертой точки имеем
(л—IJ — (л—\) — (п—1) (ft—2) способов. Каждая кривая при этом
подсчитывается (л4-1) — 3 = л — 2 раз. Следовательно, искомое число
параболических кривых равно
я(л—I) (л —2)/(л —2) = л(п—1)
Ю Под ред. К. А. Рыбникова

290
ОТВЕТЫ. РЕШЕНИЯ. УКАЗАНИЯ. ГЛАВА V
§ 3. КОНЕЧНЫЕ ПЛОСКОСТИ
291
5.110. Число всех кривых, проходящих через данную пару то-
чек, равно л2 (л — 1) (см. задачу 5.106). Вычитая из этого числа
число параболических кривых и число гиперболических кривых,
найдем число эллиптических кривых:
п*(п-\)-п(п — 1)(л—2)/2-л(л-1) = л2(л—1)/2.
5.111. Всего точек в плоскости ла + я+1; из них можно соста-
составить С*! + п + 1 = (л2 + я+1)(л2 + л)/2 пар точек. Так как через пару
точек проходит л2(я—1) кривых и каждая кривая входит в под-
подсчет' С* , , раз, то число всех кривых будет равно
5.112. Через одну точку дуги проходит л+1 прямых, на кото-
которых лежат все точки плоскости, в том числе и все точки дуги. На
каждой такой прямой лежит не более одной точки дуги, отличной
от данной. Поэтому максимальное значение k есть (я+1) +1 = л + 2.
Результат уточняется для проективных плоскостей нечетного порядка.
Предположим, что дуга проективной плоскости нечетного порядка п
содержит л+2 точек. На каждой прямой, проходящей через одну из
точек дуги, лежит точно одна точка дуги, отличная от данной. По-
Поэтому на каждой из я+1 прямых, проходящих через некоторую
точку плоскости, отличную от точек дуги, лежит нуль или две точки
дуги. В результате число k точек дуги оказывается четным, тогда
как л + 2 нечетно при нечетном я. Допущение опровергнуто, и мак-
максимальное значение k для плоскости нечетного порядка я есть п-\-\.
5.113. Овалом в плоскости нечетного порядка я является (я+1)-
дуга. Через каждую ее точку проходит одна касательная. На всех
секущих и касательных, проходящих через точку Р, не принадле-
принадлежащую овалу, лежит четное число я+1 точек овала. Так как на
каждой секущей лежат по две точки овала, то на всех касательных,
проходящих через Р, лежит четное число точек овала, поэтому число
таких касательных четно.
На касательной лежит я точек, отличных от точки касания. Че-
Через каждую из этих точек проходит данная касательная и по дока-
доказанному выше еще хотя бы одна другая. Но кроме данной имеется
еще точно я касательных. Поэтому через каждую точку вне овала,
лежащую вне рассматриваемой касательной, проходит точно одна
другая касательная. Число х всех точек, внешних по отношению
к овалу, лежащих на всех касательных, найдем подсчетом числа
инцидентностей. На каждой из л+1 касательных лежит по п точек
требуемого вида, а через каждую из таких точек проходят по две
касательные, поэтому (я + 1)п = 2х, х — п (л-(-1)/2.
5.114. Каждая 4-дуга имеет шесть секущих; шесть секущих дуги
попарно пересекаются в трех точках (диагональных). На каждой се-
секущей, кроме двух точек дуги и одной диагональной, лежит (л —2)
точек. На шести секущих имеем 4 — 3 + 6 (л — 2) = 6л — 5 точек.
Точек плоскости, не лежащих на секущих дуги, имеем
+1 —Fл —5) = (п —2)(п-3),
(л — 2) (л — 3) = 0<=>я=2 или
3,
Следовательно, в плоскостях порядков л = 2 и я = 3 существуют пол-
полные 4-дуги.
5.115. Каждая секущая 5-дуги пересекается с тремя секущими,
проходящими через точки дуги, не лежащие на данной секущей,
в трех различных точках. На десяти секущих лежат 3-10/2=15
таких точек. Точек секущей, не лежащих на других секущих, имеется
л+1— 2 — 3 = л—4. На десяти секущих лежат 5 + 15+ 10 (л — 4) =
= Юл —20 точек. Следовательно, вне секущих лежат п2 + я + 1 —
— (Юл—20) = л2—9л+21 точек.
5.116. 5-дуга полна, если л2 — 9я + 21=0 (см. задачу 5.115).
Дискриминант: D = 81—84 < 0. Утверждение доказано.
5.117. Возьмем полный четырехвершинник. На каждой его сто-
стороне (т. е. секущей) лежат 2 вершины, 1 диагональная точка и еще
5 — B+1) = 2 точки. На 6 сторонах лежат 4 вершины, 3 диагональ-
диагональные точки и еще 6-2=12 точек, а всего 19. Вне сторон имеем
21 — 19 = 2 точки. Три диагональные точки лежат на одной прямой;
кроме них на этой прямой лежат упомянутые 2 точки вне сторон.
Добавление каждой из них к четырем вершинам дает 5-дугу; так как
проходящая через эти точки прямая не содержит вершин, то добав-
добавление к вершинам обеих точек дает 6-дугу. Из рассуждения видно,
что 6-дуга строго однозначно задается четырехвершинником. Число
упорядоченных четырехвершинников в плоскости порядка 4 равно
21 • 20 ¦ 16-9; в шестерке точек дуги число таких четырехвершинни-
четырехвершинников равно 6 • 5 • 4 • 3; такое число раз входит в подсчет каждая 6-дуга.
Отсюда число всех 6-дуг равно B1 • 20 • 16 • 9)/F • 5 ¦ 4 • 3)= 168.
5.118. Через каждую точку (л+1)-дуги проходят (по числу
остальных точек дуги) я секущих и одна касательная. Всего (по
числу точек дуги) имеется л+ 1 касательных. На всех касательных
и секущих, проходящих через точку Р, не принадлежащую дуге,
лежит нечетное число л+1 точек дуги. Так как на секущих этого
.пучка лежит четное число точек дуги, то хотя бы одна точка должна
лежать на касательной. Этим доказано, что через каждую точку, не
принадлежащую дуге, проходит хотя бы одна касательная этой дуги.
Точек, не принадлежащих (л+1)-дуге, ла + л + 1 — (я+ 1) = л2. На
каждой касательной лежит по л таких точек. Выделим одну из ка-
касательных; каждая из л остальных касательных пересекает выделен-
выделенную и поэтому несет л—1 точек, не принадлежащих дуге и выде-
выделенной касательной. Так как л + л (л— 1) = л2, то все учтенные выше
точки касательных должны быть различными. Это значит, что каса-
касательные, отличные от выделенной, пересекаются в некоторой точке
^выделенной касательной. Таким образом, все л+1 касательных про-
проходят через одну точку 0; других прямых, проходящих через 0, нет.
[ В частности, через 0 не проходит ни одна секущая, а это значит*
1 что рассматриваемая (л+1)-дуга неполна.
¦ 5.119. См. решение задачи 5.118.
\ 5.120. Рассмотрим случай четного я = 2т. Точки плоскости чет-
!< ного порядка п делятся относительно овала, имеющего здесь п + 2.
¦ точек, на два класса: точки овала и внешние точки. Через внешнюю
: точку проходит (л + 2)/2 = т+1 секущих, на каждой секущей лежит
л—1 внешних точек, и через внешние точки секущей проходят все
' т (л—1) = С^ секущих, определяемых л точками овала, не лежащими
ца данной секущей, Поэтому с пучком из т секущих, проходящих
\, 10*

292
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ. ГЛАВА V
§ 3. КОНЕЧНЫЕ ПЛОСКОСТИ
293
через внешнюю точку и отличных от данной секущей, связано раз-
разбиение п — 2т остальных точек овала на т пар. Со всеми п — 1 точ-
точками секущей связан набор п—1 таких разбиений упомянутых п
точек; при этом каждая пара точек овала вне данной секущей вхо-
входит один и только один раз.
Рассмотрим случай нечетного п = 2т-\-\. Здесь через внешнюю
точку будет проходить (п —1)/2 либо (п+1)/2 секущих. Обозначив
соответственно через г и / числа типов точек, содержащих (п—1)/2
и (п + 1)/2 секущих, получаем такие уравнения для данной секущей:
r + l = n—\, ^— r + n~ l = C*n_v откуда г = 1 = (п—1)/2.
Следовательно, со всеми п—1 точками каждой секущей овала,
отличными от точек овала, связано два набора (я—1)/2 разбиений,
по (п—1)/2 пар в каждом, и (п—1)/2 разбиений, по (п — 3)/2 пар
в каждом, без общих пар.
5.121. Для точек /fe-дуги значение i = k—1, для остальных точек
плоскости 0^i^[k/2].
. Из определений проективной плоскости порядка п и fe-дуги по-
получаем уравнения Kk-\ — k, Kk-i + 1?iKi — n2Jrn+ 1. Подсчет числа
инцидентностей точек разного типа с секущими А-дуги дает уравнение
(к-
Подсчет числа пар секущих, проходящих через все точки плоскости,
дает уравнение
(fc— \)(k—2) , Yi(i-1) v _(k — 2)(k—\){k+l)k
2 **-1+2j 2 Ki~ 8
i
Подсчет числа инцидентностей точек по другим прямым и числа пар
других прямых новых зависимостей не дает.
Решением системы в рассматриваемом случае служат формулы
+ 1_?_?(? —
— 1)Bп + 5? —
5.122. Система уравнений для определения числа точек
в этом случае следующей.
Отсюда
будет
п2 —14/1 + 40 =
па — 14л + 55,
5.123. Система уравнений для определения числа точек /С; по
числу i секущих дуги, проходящих через точки плоскости, будет
следующей:
(л —D/2
in—\)/u
(л — l)/2
1 = 0
(п —3) (п — 2) (и— \)п
2 'Vi~ 8
Решая систему относительно Ко, Ки Кг, получаем
л(я-1)(п-2){«-3)
п(п—\) Gл —
1 = 3
{п — 1)/2
Ко —
Допустим, что рассматриваемая дуга полна, т. е,
из последнего условия, полагая л = 2т+1, получаем
= 0. Тогда
Здесь "^ (i—1) (г—2)
(*-2)/С| = —4Dm»-2m-l).
так как числа /С; точек неотрица-
1 3
тельны, а правая часть уравнения при т Э= 1 отрицательна. Полу-
Полученное противоречие опровергает допущение о полноте л-дуги
в проективной плоскости нечетного порядка п.
5.124. Полный четырехвершинник имеет 4 вершины, 6 сторон
(секущих) и 3 диагональные точки, т. е. точки пересечения сторон,
не являющиеся вершинами. Если эти точки не коллинеарны, то они
попарно определяют 3 диагонали. Каждая диагональ пересекает 2 сто-
стороны, проходящие через не лежащую на ней диагональную точку,
в различных точках; всего таких точек 6. Перечисленные точки и
прямые образуют фигуру из 13 точек и 9 прямых, причем на каждой
из этих прямых лежат по 4 точки фигуры, а остальные (п+1) — 4 =
- ==п~3 точек прямой в состав фигуры не входят. Всего на прямых
фигуры лежат 13 + 9 (п — 3) = 9к —14 точек. Число остальных точек
равно
—(9л—14) = п2 —
= (л —3)(п—5).
5.125. См. задачу 5.124.
¦• 5.126. Допустив противное, получим, что число точек, не лежа-
лежавших на секущих четырехвершинника, равно (см, задачу 5,124)
{4 — 3) ¦ D — 5) = — 1, что невозможно.

294
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ. УКАЗАНИЯ. ГЛАВА V
§ 3. КОНЕЧНЫЕ ПЛОСКОСТИ
295
5.127.Способ I. На каждой прямой бэровой подплоскости лежат
m-f-1 точек этой подплоскости и (п+1) — (т-\-1) = п — т других
точек. Всего на этих прямых лежат т2 + т-{-\ точек подплоскости
и (ma-(-/n-f-1) (« — т) других точек; сумма этих чисел равна числу
всех точек плоскости. Отсюда
(ma-|-m-f-1) 4-<ma-bm4-l) (n — m) ==/г2 + л-f-1,
п? — (m2 + т) п -\- т3 = 0.
Решая уравнение относительно п, находим тц^т'2, щ = т. Так как
п> т, то ге = та.
Способ II. Через точку Р плоскости, не прш адлежащую под-
подплоскости, проходит одна прямая подплоскости; на ней лежит m-j-1
точек подплоскости. Каждая из остальных п прямых, проходящих
через Р, содержит по одной точке подплоскости; число этих точек
есть (ma + m-(-l) — (m+ 1) = лг2; отсюда гг = /л2.
5.128. По условию существует точка Р плоскости не лежащая
на прямых подплоскости. Соединение Р с точками подплоскости дает
т2 + т-\-\ различных прямых. Так как число всех прямых, прохо-
проходящих через Р, есть гс+1, то п+ 1 ^m2+m-T-l, п^.тг-\-т.
5.129. Да; нет.
5.130. Указание. Показать, что обобщенная блок-схема (не
всякая пара и-множества участвует в построении схемы) с парамет-
параметрами о = п2, b = 3n, r = 3, k = n, X=l эквивалентна латинскому
квадрату.
5.131. Известно, что конечная проективная плоскость эквива-
эквивалентна полному множеству попарно ортогональных латинских квад-
квадратов. То же верно (см. задачу 5.130) для аффинной плоскости.
5.132. Не существует двух ортогональных квадратов порядка 6
(задача Эйлера о 36 офицерах).
5.133. Ответ: 1 2 4, 2 3 5, 3 4 6, 4 5 7, 5 6 1, 1 3 7, 3 4 6, 2 б 7.
5.134. а) Через две любые точки проходит единственная прямая.
Пусть (хи ylt Zi) и (х2, у$, г2) — две различные точки. Тогда система
имеет единственное (с точностью до множителя) решение относительно
(и, v, w).
б) Аналогично проверяется, что любые две прямые пересекаются
в единственной точке.
в) Если афО, aeGF (q), то точки @, 0, а), @, а, 0), (а, 0, 0),
(а, а, а) все различны и никакие три из них не лежат на одной
прямой.
5.135. Если точки (хь уи гх) и (х2, у2, z2) удовлетворяют урав-
уравнению ux-\-vy-\~wz = 0, то ему удовлетворяют и точки (kXi-\-[lx2,
tyi + Wi, tei + №z2), где %, ц —любые элементы GF (<?).
5.136. Уравнение ^+И'=11 имеет точно </+1 решение (см. пре-
предыдущую задачу).
5.137. Точки: @, 0, 1), @, 1, 0), A, 0, 0), @, 1, 1), A, 0, 1),
A, 1, 0), A, 1, 1). Прямые: г = 0, г/ = 0, * = 0, 0 + 0
+ 0 + 0
5.138. Предварительно убедиться в справедливости следующих
свойств полей Галуа GF (ph):
а) (а -\~ Ь)р = аР-f- ЬР, {а-\-Ь)Рг = а.Рг-\-ЬРг, где г—любое натураль.
ное число;
б) каждый элемент поля Галуа GF (q) удовлетворяет уравнению
Использовать также второе определение прямой (задача 5.135).
Нам нужно доказать сохранение инцидентности точки и прямой
при проективных преобразованиях. Имеем две точки А (хъ ylt Zj) и
В (х2, у% гг). Через них проходит прямая (кхх-\-^хъ Xyi-\-y*tj2,
XZi-J-^a), где (X, ц)ф@, 0), X, ц s GF {ph). Найдем образ этой
прямой при проективном преобразовании. Имеем коллинеацию
'*'\ /ап а12 а13\/хРг\
s[ У = «21 агг а23 J ( УрГ .
\г') \а31 а32 a33J\zPrJ
Подставляя сюда точки прямой и используя свойство а), имеем
множество образов точек данной прямой
l }•
Теперь, для того чтобы доказать, что это множество образов есть
прямая, инцидентная точкам Л и В, достаточно доказать, что мно-
множества {(X, ц)} и \(№r, \i.Pr)} равномощны, где (X, ц) ф @, 0) и
X, ц <= GF (рл); г фиксировано. Это очевидно.
Теперь докажем, что в системе
$у' =
sz' = a3lxPr + a
а23гРг,
можно ограничиться значениями г = 0, 1, ..., h—1, т. е. при любом
(В^Л приходим к одному из h типов коллинеаций. Достаточно
доказать, что
Имеем
хР"
--XP
— ch + r, где г = 0, 1 h—\. Далее,
{xPch)pr'----xPr', так как xPch = x.
Аналогично дли у и г. Все доказано.
5.139. В плоскости Р B, q) имеется всего <?2+<?+1 точек и
l пря:,:ых. Число же точек на любой прямой равно
(V2- !)/(<? -I) =<7+1.

296
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ. ГЛАВА V
§ 3. КОНЕЧНЫЕ ПЛОСКОСТИ
297
Треугольник —это тройка точек, не лежащих на одной прямой
в совокупности. Подсчитаем их число. В качестве первой точки можно
взять любую из q2-\-q-\-\ точек; в качестве второй —любую из
(Q2-\-Q+1) — 1 ==<?24-9- В качестве третьей —любую, кроме точек
прямой, проходящей через первые две. Это число равно (q2-\-q-\-\)—
— (q-\-l) = q2. По правилу произведения искомое число треугольни-
треугольников равно (g2 -f- q -f- 1) (q2 -j- q) q2,
5.140. В плоскости Р B, q) имеется q2-\-q-\-l точек. Пусть вер-
вершины четырехугольника обозначены Мъ Мг, Ms, M4. В качестве Mf
берем любую из q2Jrq-\-\ точек. В качестве М2 — любую из
(q2 + q+l) — l=?72 + g; в качестве Ms — любую из (<?г + <?+ 1) —
— (q-\-\)=q2; в качестве Л14 —любую из точек, не лежащих на M2MS,
МгМг, М3МЪ т. е. из (<72 + <7+ 1)-(<7+1 +<?+1 +q+ 1 -3) = (<7~ 1J-
По правилу произведения искомое число четырехугольников равно
5.141. Имеется h типов проективных преобразований. Найдем
число коллинеаций для любого типа. Любая коллинеация однозначно
определяется классом ассоциированных невырожденных матриц. В лю-
любом классе ассоциированности q—\ матриц. Найдем число невы-
невырожденных матриц в евклидовом (п-\- 1)-мерном пространстве V над
полем GF {<?). Пусть А1г А%, ..., An+i — базис пространства V;
о — матрица невырожденного линейного преобразования; В; = о\4/;
{В{\ — линейно независимая система. Каждой линейно независимой
системе {Bj} отвечает однозначно невырожденная матрица о и наобо-
наоборот. Считаем, по индукции, число выборов {В,-} из пространства V.
Число \{Blt .... В; Вл+1 }|=(<7л+1-1)(?п+1-<?)...(^+1-<7)...
...(qn+1 — qn) дает количество невырожденных матриц. Поделив это
число на q—1, получим число коллинеаций для данного типа п-мер-
ного проективного преобразования. У нас ге = 2. Тогда число колли-
коллинеаций типа i равно
Общая проективная группа преобразований имеет порядок h(q24-q4-
+ 1) (^+1)^(9-1)».
5.142. Легко проверяется, что матрица такова:
В самом деле,
/0 0 1\и П 0 0\
1 0 1 = 0 1 0
\о 1 о/ \о о 1;
5.145. Для подсчета общего числа матриц можно восггользоваться
формулой числа размещений с повторениями из 7 элементов по
3: 73 = 343. Впрочем, знание этой формулы не обязательно: ведь каж-
каждую строку матрицы можно выбрать семью способами и, комбинируя
их, получить 7-7-7 = 343. Очевидно, вырожденными окажутся лишь
те матрицы, которые получаются с помощью точек одной прямой,
ибо в этом случае строки матрицы линейно зависимы. С помощью
трех точек одной прямой получим 33 = 27 матриц, а для всех 7 пря-
прямых—всего 189 таких матриц. Однако среди них есть повторяю-
повторяющиеся—таковыми являются те матрицы, которые получаются только
из одной точки. Так как каждая точка принадлежит трем прямым,
то число таких матриц равно 21. Следовательно, каждая такая мат-
матрица учитывается трижды —всего 14 лишних матриц. Тогда получим
175 вырожденных и 168 невырожденных матриц.
/о о h
Коллинеация с матрицей 1 0 1 ] и будет циклической порядка 13.
\0 1 0]

Глава VI
СИСТЕМЫ МНОЖЕСТВ
Решения задач будут перемежаться указаниями на связи между
различными типами задач, а также указанием авторства постановок
и решений. Иногда авторство дается без отсылки к литературе —
некоторые результаты публикуются впервые.
Отдельные задачи являются следствиями или частными случаями
других, поэтому имеют место отсылки одного решения к другому.
Есть несколько необычно длинных записей решений — они призваны
демонстрировать технику взаимодействия структурных и экстремаль-
экстремальных свойств.
§ 1. Экстремальные задачи на графах и гиперграфах
Многие из приведенных здесь постановок и решений переносятся
на произвольные частично упорядоченные множества. Мы не оговари-
оговариваем такие возможности в каждом отдельном случае, так как в § 2
имеется целый ряд таких постановок.
В конце книги приведен список ознакомительной и обзорной
литературы по экстремальным задачам; вся терминология приведена
в соответствие с используемой в этой литературе.
6.1. [п2/4]; экстремальный граф единствен и имеет вид полного
двудольного графа с по возможности равными долями: К[п/2], ]п/2[-
Пусть ах —вершина максимальной степени d; концы ребер, исходящих
из аъ суть вершины ап а„^+ь которые в силу отсутствия тре-
треугольников образуют независимое множество; значит, \G\^a{a1) + ...
+ d()(d)d[*/4]
Среди экстремальных эта задача занимает особое место, Мвляясь
одним из исторически первых экстремальных результатов, она в то
же время служит моделью многим типам экстремальных задач о гра-
графах и гиперграфах. Впервые этот результат получил Мантель
{Mantel W. — Wiskundige Opgaven, 1907, 10, S. 60]; впоследствии
результат неоднократно передоказывался и переоткрывался. Первое
качественное расширение его вместе с доказательством единственно-
единственности экстремальной конструкции получил Туран [Turan P. —Mat.
Fiz. Lapok., 1941, 48, p. 436 — 463; см. задачу 6.13,1)]. Совершенно
неконструктивное решение следует из 6.61. Приведенное здесь ре-
решение см. в [X а д ж и и в а н о в Н,, Н е н о в Н. — Докл, Болг. А Н,
1976, 25, № 11, с, 1575-1578],
§ 1. ЭКСТРЕМ ЗАДАЧИ НА ГРАФАХ И ГИПЕРГРАФАХ
299
6.2.
(
; экстремальная конструкция—полный /-граф С1 (Sn)
при /, реализующем экстремальное значение. Если гиперграф F с:
с^ (Sn) является антицепью (т. е. состоит из попарно невложимых
гиперребер), то для него выполняется неравенство Любеля—Мешал-
Любеля—Мешалкина — Ямамото
мое: 1
2(,:,Г
1, из которого сразу получаем требуе-
П
[п/2]
Результат
носит название теоремы Шпернера [S р е г п е г Е.—Math. Z,, 1928, 27,
р. 544 — 548], а семейства невложимых друг в друга множеств иногда
именуются шпернеровыми. Это исторически первая экстремальная
задача на еТ5 (Sn) как на множестве, частично упорядоченном по
включению (s); она тесно связана со структурными явлениями типа
теорем Дилуорса [см. Frank А. —J. Comb. Th., 1980, 29, p. 176 —
184]; по поводу неравенства Любеля —Мешалкига — Ямамото см, за-
задачи 6.62, 6.63, 6.65.
6.3. 2"; экстремальные конструкции могут иметь двоякую
природу:
Л Cn(Sn)
Л с (sj
n=El (mod 2);
(а) Сп1г~х (Sn\a),nm0 (mod
Их экстремальность почти очевидна: F может содержать либо KczSn,
либо S/j\X—значит, не более половины всех подмножеств, т. е.
| F I =S 2Я-1. Экстремальное условие можно ослабить, заменив его на
условие У А, В € F А(]В = ф'=$\ А\ + \ B\^t s^n; ответ останется
прежним.
Задача может служить прототипом задач о пересечениях: сколько
гиперребер может иметь гиперграф, в котором оговорена структура
(объем) пересечений некоторых совокупностей его гипер ребер?
[Erdos P., Cbao Ко Rado R,—Quart. J. Math. B), 1961, № 12,
p. 313—320.]
6.4. Минимальное n0 определяется из неравенств ( °
( °) Экстремальный jfe-граф есть C^iSn), если т => ; если же
~~
<m<Gii то это
rc_i) и еще т
— [ , )
любых fc-ребер
\ I
на вершинах Sn_i + {a}, где а <? Sn-\. Экстремальность такой кон-
конструкции ясна: при п<Сп0 число й-ребер на п вершинах было бы
[п\ /по — \\
меньше т, поскольку I , 1 ^ , < т.
\К/ \ R I
Эта задача — прототип задач об объединениях: сколько t-ребер
может иметь f-граф Gl=> (J Hl (S), если на /-граф Н1 и гиперграф F
наложены некоторые ограничения? [К г u s k a I F, В, — In: Math, Opt,

300
ОТВЕТЫ. РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ. ГЛАВА VI
§ !. ЭКСТРЕМ. ЗАДАЧИ НА ГРАФАХ И ГИПЕРГРАФАХ
301
Techn./Ed. R. Bellman, 1963, p. 251—278; К atona Gy. —In: Theory
of graphs, Akademiai Kiado, Budapest, 1968, p. 187 — 207.]
6.5. ( T )," экстремальные гиперграфы &??'< = Ck (S^+i) и <?&l =
= Cl(Sk+i)- Ha Sn = {au ..., an) зафиксируем нумерацию вершин
и определим Ch Dtc:Sn: Q П О; = Ф, \Ct\ = k \Dt\ = l, l=Si===
<:( ,П, ,1. причем VceQ VdeD,- c<d. Положим Уг={С,-, Д-}-
Ясно, что Vi, / либо Ci{\Df=0, либо С/ПА=0. Пусть теперь
^"J, ..., J'7—все такие системы (по числу возможных нумерации л.),
5™ = {С?, Dj51}. Для них также Vt, / либо Cf ("|?" = Ф, либо
С^П^"=B)- Оценим двумя способами число пар (.F", (Лв, б^)),
где Л^ = С^, Bt) = Djt, Л, В —ребра исходных гиперграфов. В силу ука-
указанной выше дизъюнктивной непересекаемости число пар (JFf, (Av, Bv))
не превосходит п\. С другой стороны, фиксируя (Av, Bv), видим,
что число подходящих Ff равно ( " Jftl /I (n—k — !)\; значит, число
пар (У^, (Л^, Л7,)) в точности равно m " J &! l\(n — k — l)\. Сле-
Следовательно, т(" ,)k\ И (n — ft—/)!=й?п! [Кatona Gy. — J.Comb. Th.,
\+/
1974, 17, № 2, p. 256—2661.
Эта задача может служить прототипом задач о парах или систе-
системах гиперграфов.
6.6. Семейство F с ?Р (Sn) назовем р-неразделенным, если пере-
пересечение любых р его членов не пусто, и q-разделенным, если пересе-
пересечение любых q его членов пусто. Если объем наибольшего 2-неразде-
ленного и 3-разделснного семейства F a HP (Sn) обозначить через
т„B, 3), то /п„B, 3) = [A+У"81Гм)/2>
Оценка сверху. Пусть F cz S5 (S«) — произвольное т-ч лен-
ленное 2-неразделенное и 3-разделенное семейство. Рассмотрим на эле-
элементах Sn новое семейство D, состоящее из всех возможных пересе-
пересечений различных членов семейства F = {e,-}, т. е. D= {?;(]?/}¦ ('' Ф /).
В силу 2-неразделенности Т7, семейство D содержит в точности | j
ненулевых членов, но, с другой стороны, это семейство является
2-разделенным, поскольку наличие двух пересекающихся членов семей-
семейства D влекло бы наличие по крайней мере трех пересекающихся
членов семейства F и тем самым противоречило бы 3-разделенности
последнего. Наконец, по той же причине семейство D не может иметь
кратных членов. В силу того, что наибольший возможный объем
2-разделенного семейства равен л, получаем оценку f _
которая после элементарных преобразований и учета целочисленно-
сти т принимает вид m^[(l+1/Г8и+1)/2].
Конструкция. Пусть лд обозначает наибольшее треуголь-
треугольное число, не превосходящее п. Расположим на плоскости пд точек
так, как это показано на рис. 6.1'. Из каждой точки верхней строки
проведем линию до диагонали и влево до последнего вертикального
столбца; такие линии содержат одинаковое количество точек. Кроме
того, из самой правой точки верхней строки проведем еще одну
линию, идущую по диагонали. Полученные линии будем понимать
как члены семейства Fn (Sn \, которое, как нетрудно видеть, является
2-неразделенным, 3-разделенныы
+ |/8«д + 1 )/2] членов. Остальные
честве дополнительной верхней
и
содержит
строки;
в
д
они
точности [A -f
точек располагаем в ка
входят ни в каки>.
не
члены. Полученное семейство Fn(S \ содержит [A + ]/~8яд + 1)/2]--
= 10 + r8n+l)/2] членов и является достаточной конструкцией.
Если т—т(р, р-\-\) есть объем наибольшего ^-неразделенного
и (р-Неразделенного семейства F с ^ E„), то т определяется как
наибольший целый корень неравенства
I
[Стечкин Б. С. — Матем.
№ 1, с. 155—160],
заметки,
I
1976,
19,
]
Всюду далее dQ (а)
обозначает степень
вершины а в графе G, Д (G) — максимальную
степень в G, t (G)— наибольшее число незави-
независимых ребер bG (иначе —число реберной неза-
независимости G), у' (G) — реберно-хроматическое Рий, 6. Г.
число G, Gn — /г-вершинный граф, G (S) — граф
на множестве вершин S. Если S cz Sn, то запись Gn (S) обозначает
собственный подграф графа Gn с С2 (Sn), индуцированный верши-
вершинами S, т. е. G«(S) = GnnCs(S).
6.7. Теорема Визинга [Визинг В. Г.—Дискретный ана-
анализ, 1965, № 3, с. 25—30]: если %' (G) — искомое реберно-хроматическое
число графа G, то для всякого G имеем Д (G) ==?%' (G)^ Д (G)+l.
В ряде случаев удается уточнить эту теорему. Так, легко пока-
показать, что | G | > Д (G) t (G) => ТС' (С) = Д (G) + 1 в частности, | G ! >
> Д (G) t (G) ~$ Д (G) < 2( (G)-f-1. Альтернативный случай «больших»
Д (G) изучен полностью: Д (G) ^ 2t (G) -{- 1 =5 %' (G) = Д (G) [А. В. Ко-
Косточка].
п
6.8. [nd/2], Оценка следует из тождества Эйлера 2 ^а (а,-) =
! = 1
= 2jG|, a ее реализуемость — из теоремы Эрдеша — Галлаи; система
из п неотрицательных чисел dx dn, V dt = 2т, dx'.
i = l
; реализуется степенями некоторого п-вершинного графа тогда и только
' тогда, когда для любого натурального г, l^r^n—1, выполняется
'[ неравенство
г п
•' 2 ^i ^Г (г — lj-t" 2 mini/", d,}
I i=l i=r+l
V [Erdos P., Gailai Т.—Ma,, Lapok, I960, It, p, 264—274].

302
ОТВЕТЫ. РЕШЕНИЯ. УКАЗАНИЯ. ГЛАВА VI
6.9. Обозначим искомый максимум через Е (п, t), тогда
E(n,t) =
21'
{(•П (;
[Erd6s P., Gal la i Т.—Acta Math. Acad. Sci. Hungar., 1959, 10,
p, 337—357].
6.10. Обозначим искомый максимум через f (d, t), тогда
( dt,
Согласно определению ¦/' (G), VG \G \^%' (G)t(G); значит, из теоремы
Визинга (см. решение задачи 6.7) имеем VG | G | =s %' (G) / (G) =S
(G) (A(G)+1), что и влечет общую верхнюю оценку: f(d, t)^
(d+\)
(+)
Если d^2t-\-\, то, согласно результату Косточки (см. решение
задачи 6.7), имеем | G | ^%' (G) t (G) = t (G) Д (G), что и влечет оценку:
d^2t+\ =$f (d, t)^dt; эта оценка реализуется полным двудоль-
двудольным графом Kf.d-
Если d^2t, d = 0 (mod 2), d| 2t, то требуемое значение совпа-
совпадает с общей верхней оценкой, которая реализуется системой из 2t/d
полных графов Kg+i.
Случай d^2t, d=\ (mod 2) реализуется конструкцией, предло-
предложенной Сауэром: граф состоит из a=[2^/(d+l)] компонент связности
Si, ¦.., Sa, где каждая компонента S,-, l^i^a, такова, что все,
кроме одной, точки в S,- имеют степень d, а одна —степень d— 1;
все S{, I ssJsga—1, имеют d-\-r вершин, а 5/ содержит d+2-f-
A-2t — (d+l)[2t/(d+l)] вершин [Sauer N. —In: Comb. Math, and
its Appl. /Ed. D. J. A. Welsh, A. P. London, 1971, p. 253—257).
Конструкция для альтернативного случая d^2t, d = 0 (mod 2),
d Я, 2t, строится рекуррентно — как система из [2t/d] полных графов
Kd+i и еще конструкции, реализующей значение f (d, t—[2t/d]d/2).
6.11. Обозначим искомый максимум через g(n, d, t). Если
d^t—1, то попадаем в условия задачи 6.9: g(n, d, t) — g(n, n—1, t)=
— Е (п t). Если «^2^-1-1, то попадаем в условия задачи 6.8:
g(n, d, l) = [nd/2].
Пусть n^s2t+\. Тогда, если d^2t, ns?2/ + [//[(cf+l)/2]], то
, d == 1 (mod 2),
если ds? 2/,
nd/2, d = 0 №od2);
2/ + |//[(d+l)/2]], то
d> 1^
-t)
]}. .
§ 1. ЭКСТРЕМ. ЗАДАЧИ НА ГРАФАХ И ГИПЕРГРАФАХ 303
если d^2t-\-\, то
( ах И2Н
g(n, d, t) = ! \\ 2
[ dt,
[Chvatal V., Hanson D. —J. Comb. Th. (B), 1976, 20>
p. 128—138].
Ясно, что если f{d, t)— функция из задачи 6.10, то f (d, t) =
= maxg(n, d, t).
n
Изучение систем независимых ребер в графах во многом связано
с теоремой Бержа:
¦ (G <S«))= о™п ~ (п+! 5 ; - *0 (G (Sn\S)).
где ko(G (Sn\S)) —число нечетных (по числу вершин) компонент
связности графа G(Sn\S) [Berge С —R. Acad. Sci. Paris ^5§.
№ 247, p. 258—259].
6.12. Обозначим искомый максимум через Е (п, t, k). По поводу
Е(п, t, k) известно, что существует такая константа Ck (зависЯШа»
лишь от k), что для n>Ck E{n, t, /%)==^J - ^"^;j; имеется также
Общая гипотеза Эрдеша
[Erdos P.—Ann. Univ. Sci Budapest, Eotvos Sect. Math., 1965, 8t
p. 93-96].
6.13. Если \i (л; //ft) —максимум числа ребер в графе Gn а Сг (Sn)
таком, что VSk cz Sn (С2 (Sk) ft Gn) s Hk, то справедливо равенство
m(«; Hk)+\i(n; Hk) = ("\ где как обычно Hk = Kk — Hk. Поэтому
далее будем в подходящих случаях обращаться к_ц-постановке этой
задачи, используя стандартное обозначение pk=fjP.
1) Обозначим искомый максимум т (п; fik) через Т (п, k, ^),
тогда
Т (п, k, 2)=
Экстремальная конструкция единственна и имеет вид графа, состоя-
состоящего из (k—1) полных и по возможности равных графов:
fc —2
ft —2
В частности, если re<2(ft—1), то Т (n, k, 2) = n — k+l; в этом
случае экстремальной конструкцией оказывается система из п — АМ
независимых ребер,

304
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ. ГЛАВА VI
Утверждение о единственности экстремальной конструкции и
числе ее ребер носит название теоремы Турана, см. литературу
к задаче 6.1, а также; Turan P.—Colloq. Math., 1954, № 3,
р, 13—30.
2) Обозначим искомый минимум через m (n, k, q, 2). Для этой
задачи экстремальная конструкция также имеет вид блочной: т изо-
изолированных вершин и t по возможности равных полных графов на
остальных вершинах, причем параметры rat выбираются так, что
общее число ребер минимизируется:
(г -' /Г"-'+П\
m(n, k,q, 2)= min ^ M tr J ,
fc — <7^Г^Г2 i = Q \ 2 У
t Jk-r-ll I (k-l)q-n(q-l), n^(k-l)q/(q-\),
В частности, если п достаточно велико, то
[Сг—1)/(9-i))-i /Г n — k+l+i
m(n,k,q,2) = 2 [[[{k-\)/(q-\)]
< = о \ 2
Полностью решен случай g==3:
т{п, k, 3, 2) =
Л
, k=l (mod 2),
* = 0 (mod 2).
Помимо того, известно, что k^2 (q— \)-=^>m{n, k, q, 2) =
Докажем последнюю формулу. Проведем индукцию по q. При
q^2 это очевидно. Пусть q^3. Рассмотрим произвольный граф Gn,
обладающий требуемым свойством, и выделим в нем максимальное
независимое множество Sr из г вершин. Ясно, что r^p — q-\-\.
Кроме того, в силу достаточности Gn и независимости Sr сразу по-
получаем, что подграф Gn(Sn\Sr) обладает тем же самым свойством
с параметрами n — r, p — r, q—\\ значит, согласно индукционному
п р едпо ложен ию
Так как множество S,-— максимальное, то каждая вершина из
§ 1. ЭКСТРЕМ. ЗАДАЧИ НА ГРАФАХ И ГИПЕРГРАФАХ 305
смежна по крайней мере с одной вершиной из 5Г. Следовательно,
+
2
Конструкцией, реализующей эту оценку, может служить полный
граф на множестве из (я—p-\-q) вершин, дополненный (p—q) изо-
изолированными вершинами [Копылов Г. Н.— Матем. заметки, 1979,
26, № 4, с. 593—602; Стечкин Б. С, Франкль П.—Матем.
заметки, 1981, 29, № 1, с. 83—94].
3) Положим т (п; Нк) = т(п, k), тогда
k-l
2
k = 0 (mod 2),
т (п, k) =
Экстремальная конструкция представляет собой либо Кп — ^п, либо
Kn — Kk-i (в зависимости от численного значения т (п, k)).
Если О„ обладает требуемым свойством, то дополнительный
граф бп, очевидно, обладает тем свойством, что всякий его /%-вер-
шинный собственный подграф имеет изолированную вершину.
Пусть k = Q (mod 2). Выберем в бп максимальную систему F из
независимых ребер; ясно, что j F \ <; k/2, поскольку в противном
случае, взяв ft/2 независимых ребер, получили бы наличие А-вершин-
ного собственного подграфа без изолированных вершин. В силу мак-
максимальности F все остальные ребра <3„ смежны ребрам F, поэтому
всякий собственный ft-вершинный подграф, содержащий в себе вер-
вершины графа F, имеет не более (k — 1) изолированных вершин, а зна-
значит, и Gn имеет не более ф—\) неизолированных вершин, т.е.
Пусть 6se1 (mod 2). Если t(Gn) <(&+ 0/2, то рассуждения
те же, что и при ? = 0 (mod 2). Если в Gn имеется (й + 1)/2 незави-
независимых ребер, то всякое пересекающееся с ними ребро влекло бы про-
противоречие, стало быть в Gn все ребра —независимые, т. е, ||
*? fn/2] [Д. Катона].
4) ( H) (
4) т. («;
т (п, k) =
= т (п, k);
n\lk-\
2 \ 2
n\ (Г n~\
2J—max||-2-J,
+ (k — 1),
k—\
? = 0 (mod 2),
=1 (mod 2).
Экстремальная конструкция имеет вид либо Кп — ^п, либо Кп —
— (Kft_i — Cft_i), где Ck-i—цикл на k— 1 вершинах (в зависимости
от значения т («, k)).
11 Под ред, К. А, Рыбникова

306
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ. УКАЗАНИЯ. ГЛАВА VI
§ 1. ЭКСТРЕМ. ЗАДАЧИ НА ГРАФАХ И ГИПЕРГРАФАХ
307
Если m-i (п, /г)—экстремальная функция из 6.13.3), то
\т(п, К) и значит
, k)-
m («. ft) = о —
ft-1
2
Пусть сперва ft = O (mod 2); доказательство проведем индукцией
по n^k, опираясь на следующую лемму.
Лемма. Если n>?k^2, k = 0 (mod 2), то во всяком п-вершин-
ном графе без изолированных вершин найдется собственный k-вгршин-
ный подграф без изолированных вершин.
Доказательство этой леммы проводится индукцией по k^n.
Если n = ft, то, очевидно, т(п, ft) = 2 (А — 1). Допустим, что требуе-
требуемое имеет место вплоть до я—1, покажем, что это так и для п.
Предположим противное: m (я, ft) = l ,) — ( )-(-(ft—1)—Я (Xs= 1).
\ti/ \ Z j
Рассмотрим в нашем графе вершину а степени п— 1. Во всякой
достаточной конструкции при четном k такая вершина всегда сущест-
существует, действительно, предполагая противное, видим, что дополнитель-
дополнительный граф бп не имеет изолированных вершин, и, согласно лемме,
содержит ft-вершинный подграф без изолированных вершин, значит,
исходный граф не может содержать даже звезды на этих k вершинах,
что противоречит достаточности конструкции. Итак, при выкидыва-
выкидывании вершины степени п—1 получим на оставшихся я—1 вершинах
I п\ i fa j\
достаточную конструкцию, содержащую - H-(ft—1)—А.—
— (n—1)<( 2 j + ( 2 j + (ft— l) = m(n — I, ft) ребер, что про-
противоречит индукционному предположению. Ясно, что это доказатель-
доказательство влечет и решение 6.13.3) при & = 0 (mod 2).
Пусть теперь ftsl (mod2), следуя рассуждениям 6.13.3), рас-
рассмотрим в Gn максимальное множество F из независимых ребер.
Если i F | ;& (ft-f-1)/2, то не может быть ребра, не пересекающегося
с ребрами из F, значит, в этом случае Gn состоит из непересекаю-
непересекающихся ребер, т. е. |бя|^[я/2]. Если |F|=S(ft —1)/2, то всякое
ребро Gn пересекается с ребрами F, значит, число неизолированных
вершин в 6п не больше, чем k—1, но поскольку во всяком собствен-
собственном подграфе Gn должен быть помимо изолированной вершины еще
и пустой цикл на ft —1 вершинах, то |бя|^( „ ] —(А—-1)
[А. В. Косточка, Б. С. Стечкин].
5) Докажем несколько более сильное утверждение.
Теорема. Пусть Hk — произвольный фиксированный k-вершин-
ный граф, обладающий вершиной степени ft—1. Тогда граф Gn обла-
обладает тем свойством, что VSft с Sn Gn (Sk) — (Сг (Sk) П Gn) гэ Hk
тогда и только тогда, когда Gnjp (Кп—Як) при Hk^cFk и 0я гэ
=>(.KnR*)\J Gn{Knn)n pb
Доказательство. Достаточность этого утверждения оче-
очевидна. Покажем его необходимость. Пусть Gn обладает указанным
свойством. Будем рассматривать граф Gn, выделим в нем максималь-
максимальную систему Sr2tCzGn из t = t(Gn) независимых ребер.
Неравенство t>t(Hk) может выполняться только тогда, когда
Нь =з J^ft, но в этом случае с необходимостью Gn = ^2t с ^п> по-
поскольку при добавлении любого ребра е к графу 3-^ (е должно быть
смежно одному из ребер графа j" it, в силу максимальности послед-
последнего) получим граф [^if'rie]), в котором всегда найдутся k вер-
вершин Sb на которых собственный подграф (-^f+M) (Sk) не будет
иметь изолированной вершины, предписанной графу Hk условием
Пусть теперь t^t(Hj;). В этом случае число неизолированных
вершин графа Gn не превосходит k—1. Действительно, выбрав в про-
противном случае в качестве Sk с Sn любое множество из k неизолиро-
неизолированных вершин графа Gn, включающее в себя 2t вершин графа .F2/i
в силу максимальности последнего получаем, что собственный под-
подграф Gn (S^ на этих k вершинах изолированной вершины не имеет,
что противоречит условию теоремы. Ясно, что граф Gn на не более
чем ft— 1 неизолированных вершинах должен быть подграфом графа Н^,
что и требовалось доказать.
В качестве следствия получаем решение нашей задачи:
т(п; Hk) =
Н#*1.
которое, очевидно, влечет и результаты задач 6.13.3)—6.13.5).
6) т(п; Ck) = m(n, ft) = ]n (« —ft + 2)/2[. Для описания экстре-
экстремальных конструкций занумеруем множество вершин циклически от 1
до п, считая при этом, что an+l = alt an+2 = a2, ... Введем расстоя-
расстояние р (ah ay) = min {, ('—/ |, п — \ I — /1}, где разница понимается тоже
циклически, т.е. р(а,, аг)=1, р(аьа8) = 2 р (аи ап_{) = 2,
..., р (аи ап)=\. Рассмотрим три случая.
п — k = 0 (mod 2). Считаем, что вершины a-lt а/ образуют ребро
в экстремальном графе тогда и только тогда, когда р (а;, я/) =^
«?(«* + 2)/2
( + )/
п — k=l (mod 2), л = 0 (mod 2). Здесь экстремальная конструк-
конструкция состоит из двух частей — регулярная часть и паросочетание.
Регулярная часть — это множество тех и только тех ребер (а,-, а/),
для которых 2==?р(а^, aj) =s (и — ft + 3)/2, a паросочетание имеет вид
(аъ аг), (а3, а4), ..., (ап_и ап), т. е. половина тех (a[t aj), для кото-
которых p(ait aj)=\.
п — ft=l (mod 2), nsl (mod 2). Здесь также экстремальная
конструкция состоит из двух частей — регулярной и паросочетания
с вилкой. Регулярная часть — это множество тех и только тех ребер
(ait а/), для которых 2^р(а^, aj) ^ (n — ft-f-3)/2, а паросочетание
с вилкой имеет вид (ап, ах), (аь а2), .... (ап_2, an_t).
Докажем достаточность регулярной конструкции прим — k = 0
(mod 2). Пусть SA={a(-r ..., aikj, где 1 ^^ < ... < ik^n,
11*

308
ОТВЕТЫ. РЕШЕНИЯ. УКАЗАНИЯ. ГЛАВА VI
§ 1. ЭКСТРЕМ. ЗАДАЧИ НА ГРАФАХ И ГИПЕРГРАФАХ
309
Случай 1. Существуюг вершины а,у., а,/+1, щ{> щ1+1 е S6)
2 «S/+1 <««?«, такие, что р (aif, aij+1) > (n — k + 2)/2 < р(а/л а,^),
но тогда число вершин, не входящих в 5^ и расположенных между щ,
и fl(/+1, не меньше, чем (га — ? + 2)/2 (то же для вершин между щ{ и
aii+i)> значит, обшее число вершин, не входящих в 5ft, не меньше,
чем п — fe + 2, что противоречит объему Sk.
Случай 2. Vaif<=Sk p (а,у, а,-/+1) ^(n — й+2)/2, но тогда,
очевидно, множество ребер (аг1, а,-^ (а,2, аг-3) ... (a/ft, а,^) образует
цикл на вершинах Sft.
Случай 3. Пусть p(aiv ah)>(n — k + 2)/2 и р (af/, aiy+a) >
>(л— &-f2)/2, но тогда ЧИсло вершин, не входящих в Sk и распо-
расположенных между aiv a,-2 и а,^, агу+2, не меньше, чем (л — k-\-2)/2-{-
-\-(п — k-{-2)/2 — 1=п— &4-1, что противоречит объему Sfc. Пусть
р(аг , at ) > (л—k-\-2)/2, тогда существует цикл на Sk, а именно,
при'ft четном-это (а^, щк) (a,ftalft-2) ... (e,,e,,) (а^,) (вг,а,-6) ...
••• {aik-xah)' ПРИ k нечетном-это (а^, ^(а) )
()() ()
B)D)
Итак, показана достаточность регулярной конструкции, докажем
теперь ее экстремальность. Всякая вершина собственного /г-вершин-
ного подграфа лежит в цикле, значит ее степень в этом собственном
подграфе не меньше двух, т. е. ее степень в исходном графе не
меньше, чем n—k+2, следовательно,
[Д. Катона, А. В. Косточка, Б. С. Стечкин].
7), 8) Обозначим экстремальную конструкцию задачи 6.13.6)
через С (п, k)\ ясно, что | С (п, k-\- 1) | = ]ге (n — k-\-\)/2[, с другой
стороны, граф С (n, k+\) очевидно обладает тем свойством, что
всякое множество k его вершин есть множество из k вершин неко-
некоторого цикла на k-\-\ вершине. Следовательно, всякий А-вершинный
собственный подграф графа С (л, A-f-1) является связным, содержит
путь Pk и &%. Вместе с тем каждый из указанных графов не со-
содержит изолированных вершин и значит, при п > k т (п; Рь) =
= т(п; ^|).= ]п (п-*+1)/2[.
9), 10) Если Ff,~Ck или Fk = Pk, то при J54 в достаточной
конструкции нет вершин степени 5=3, значит, \i (n; F^)-^ п. С дру-
другой стороны, конструкция С„ является достаточной, следовательно,
tn (л; С;;) = л (л—I
m(n; Pk)=< \ 2
1л(л — 3)/2, n:
11) Ясно, что
k== 0 (mod 2) => m (л; #1) = f") - Г-fl, ft 2s 4.
Если же &=] (mod 2), то легко видеть, что
in — 3[л/3]
2
ml
ml
12) 13) Ясно, что если FkJbKl%h_i, FkJbFk, то
eg ц (л; Fk)^g(n, А (/'й), l(Fk)), где g—из задачи 6.11; из резуль-
тов задач 6.10 и 6.11 легко проверяется, что в случаях F/i = Ki ъ-i
21
(k5zZl+\5z7) и Fk = ~Kd+l Bssrfs?2f, d = 0 (mod 2), d | 2t,
k = 2t-\-2t/d) эти двусторонние оценки совпадают и дают соответственно
т (л; C2(S;) + C2 Eft\S/)) = ( о —/(ft—I) и m/л;
Вообще, если F^ — это ft-вершинный граф, являющийся экстре-
экстремальным относительно свойств задачи 6.10 и такой, что Fь ф Ki, ь-ъ
Fk^&k, \Fk\ = l(d, t), d — A(Fk), t = t(F/i), где функция / из за-
задачи 6.10, то т(п; Kk-Fd-(?)-f(A(Fd, t{Fk)).
14) Если /=1, то см. задачу 6.13.1). Если 2t = k, то см.
задачу 6.13.8). При иных ( задача еще не решена, однако, можно
указать достаточные конструкции, которые, быть может, окажутся и
экстремальными.
Одной из таких конструкций является блочная конструкция,
состоящая из k—2t-\-l по возможности равных полных графов на л
вершинах, так что
k—2t (\ _ n + i
т(п;
Указанное здесь число блоков k — 2^ —f-1 этой конструкции дает
следующая целочисленная
при условии, что k^2t^
экстремальная
р
задача: максимизировать р
р
ii ii
Ясно, что если граф обладает требуемым свойством с парамет-
параметрами (k, t), то он обладает этим свойством и с параметрами (k—1,
t—1), поэтому и в параметрами (k — t-\-l, 1), что, согласно 6.13,1),
влечет и нижнюю оценку:
т(п; Hk)\
При малых п приведенная верхняя оценка не точна, соответст-
соответствующие экстремальные конструкции также имеют вид блочных, с той

310
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ. ГЛАВА VI
лишь разницей, что каждый блок здесь либо независимое ребро, либо
конструкция, экстремальная для задач 6.13.6), 7), 8). Так, например,
ns?2 (k~f) z=> m(n; Hk) = ti — k-\-t. Это значение реализуется си-
системой из п — k-j-t независимых ребер. Примером иной конструкции
этого типа может служить система из k — 2t независимых ребер и
граф С(п — 2k-\-M, t) из задачи 6.13.11) на остальных n — 2k-\-\t
вершинах.
? Гя ff\
6.14. т (я, k) — (k — 1) п — („ ] -М—п~ +
Экстремальная кон-
конструкция имеет вид C2(SJ — C2(S,,_ft+i)+.5r* (Sn_ft+1) [Erdos P.,
Moser L. —J. Austral. Math. Soc, 1970, 11, p. 42—47]; приложе-
приложение этого результата см.: [Sos V, —In: Comb. Struct, and their appl.
Gordon and Breach, 1970, p. 407—410].
6.15. 3n —6. Экстремальным графом является триангуляция.
Экстремальность этой конструкции сразу следует из соотношения
Эйлера: п — т + Г + 2, где Г — число граней плоского графа, т — число
его ребер.
6.18. 4). См. задачу 6.8. 5). См. задачу 6.9. 6). Имеет место
ft — 2
общая оценка f (n; Pft) = —„—п, которая точна, если k делит п.
Полное решение см.: [Копылов Г. Н. — ДАН СССР, 1977, 234,
№ 1, с. 19—21]. 8) Результат Оре утверждает, что f{n\ Cn) =
_ j -j-1. Экстремальная конструкция представляет собой C2(Sn_i)
и еще одно ребро, инцидентное вершине а = Sn\Sn-1. 9) —14) Положим
т (п; /) = max
Ясно, что т(п;
(п-\
2
|С»|, т(п; 1Ъ .... lt) =
= B) ' m(n; 3> 4 "¦
(см. 6.18.8)). Известно, что
max
\Gl\
m(n;
t = i, ... , t
= n—l, m (n; n)
2 Г\ 2 У -=- = ---.
Й). .<»•
2/\ (п-21+\\ .. я, ,
2) + ( 2 j* 2t^n^4l — 1;
п2/4], n^il — l,
«3/2
m(n; /, /+1
n = q{l
m(n; 4, 6, 8, ...) = /i
§ 1. ЭКСТРЕМ. ЗАДАЧИ НА ГРАФАХ И ГИПЕРГРАФАХ
311
конструкцией может служить граф С1 (а) С1 (Sn \ а) + У (Sn \ «);
т(п; 3, 4 2А) > Cfe«1+1/Bfe-l)
[Wood all D. R. —Proc. London Math. C), 1972, 24, p. 739—755;
Erdos P. —In: Teorie Combinatorie, Roma: Academia Nationale,
1976, p. 3—17; Копылов Г. Н,— ДАН СССР, 1977, 234, № 1,
с. 19—21].
6.19. Экстремальное от определяется из неравенства л^( „.].
Достаточно рассмотреть эту задачу в сопряженном гиперграфе и убе-
убедиться, что в такой форме она эквивалентна задаче 6.2.
6.20. Сумма k наибольших биномиальных коэффициентов. Экстре-
Экстремальная конструкция—это У] С' (Sn), где L ] реализуют наиболь-
шие биномиальные коэффициенты. В задаче 6,62 положим G — макси-
максимальная цепь и ^ — множество всех максимальных цепей. Тогда,
если F имеет не более чем А-членную цепь, то | F (] G \ ^ k, следова-
следовательно, учитывая, что |^| = л1, deg«(S) = | S |! (« — | S |I, получаем
п
неравенство
где fi = \
?=0
6.21. Пусть
один из
.2ЧГ-
ft
= U я^и Если
содержит цепь длины
1, то
содержит цепь длины 2, т. е. @di не антицепь. Из за-
за| ? \ не превосходит суммы k наибольших би-
k
qi р
дачи 6.20 следует, что
k
номиальных коэффициентов; из того, что | q/% |= \J \g/0i\ (так
i=\
не пересекаются), экстремальной конструкцией могут служить
С' (Sn), где (. j реализуют k наибольших биномиальных коэффи-
коэффициентов.
6.22. Если бы F содержало цепь Ai~=> A2z> ...=> A^^t, то Ах zd
гэ Af,+1, f At — Aft+i I ^h, т. е. получили бы противоречие с усло-
условием задачи. Значит, согласно 6.20 | F \ не превосходит суммы h
наибольших биномиальных коэффициентов; экстремальная конструк-
конструкция та же, что в 6.20 и 6.21 [Erdos P, —Bull, Amer Math. Soc,,
1945, 51, p. 898—902].
6.23. 2"; экстремальные конструкции
F=
Cl(Sn), F=
2) f
I (mod 2)
В задаче 6.62, в) достаточно положить
SczSn,a&S, ^={G}aeSn=lS^a, тогда
и легко видеть, что \^\ = п2п~\ deg^(S)
= {S}-{-{5-}-a}, где
очевидно l^flGl^l.
S | + (я — | S |) —п,

312
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ. ГЛАВА VI
следовательно,
6.24.
2 ("):
1-
в качестве экстремальной конструкции
[/;f()
можно взять F= 2 ci(Sn) [К at on a G. -Niew Arehiei
i = [л/2] (mod ft)
voor Wisknnde C), 1972, № 20, p. 54—67].
6.27. а) —см. задачу 6.З.
6)
ft
У ("\, n+r = 0 (mod 2),
Экстремальная конструкция
F=
С'E„), л+ле=О (mod 2),
=l (mod2)
[Katona G.-Acta. Math. Soc. Hungar, 1964, 15, p. 329—337].
в) 2"~2; экстремальная конструкция F = С2 (S2) & [Sn — S2)
[Frankl P. —Bull. Austral. Math. Soc, 1976, № 15, p, 73—79].
6.28. См. литературу в задаче 6.27 в).
6.29. (?), k> л/2; (?~~i ), k^n/2. Экстремальные конструк-
конструкции: С*EЯ), k>n/2; СЦа)
Пусть k sg л/2. Зафиксируем циклическую нумерацию элементов
аъ ..., ап. Рассмотрим А-ребра Ви ..., Ви элементы которых после-
последовательны при такой нумерации, т. е. ?у —{ау,. ay,+i> ay,+2> •••
¦ ¦ ¦, а¦+ь-%} причем предполагаем, что В^В/Фф. Ясно, что если
k ^ л/2, то 'число таких fe-ребер не меньше, чем k.
Пусть Ль .... Ат семейство й-ребер таких, что
перечислим пары (?, Л,), где I — циклическая нумерация, а вер-
вершины Л; последовательны в ?. Для каждого At есть ft! (л — fe)! та-
таких ?, значит, всего таких пар mk\ (n — k)\. С другой стороны, для
фиксированного ? имеется не более чем k множеств Ait значит, число
пар не превосходит (л— 1)!/г. Получим неравенство
• т-
л-1
k-l
[Katona G.-J. of Comb. Th. 1972, 13, № 2, p. 183—184]. Этот
результат носит название теоремы Эрдёша — К,о-Радо; см. 6.3.
§ 1. ЭКСТРЕМ. ЗАДАЧИ НА ГРАФАХ И ГИПЕРГРАФАХ
313
Если дополнительно Р)
m=l-f-
Экстремальная конструкция
, то
п-1
й-1
л —А—
ft-1
«Sk-a) С*-' E,),
[Hilton A. J. W., Milner E. С-Quart. J. Math. Oxford B),
1967, № 18, p. 369-384.] ^ '*
6.30. , Г17Г>П^ (b_i)> 4_ 1 ^"- Экстремальные кон-
конструкции С* E„) и С1 (a) Cft-i (Sn —с).
Пусть tkf(t—\)sc.n. Используем метод задачи 6.29. Достаточно
будет показать, что при циклической нумерации вершин система
последовательных А-ребер Въ ..., Ви в которой любые t имеют не-
непустое пересечение, может иметь не более k членов, т. е., что 1^к.
Рассмотрим дополнительные (л — k) ребра Cf — Sn — Bit они тоже
имеют последовательные вершины, и их объединение не совпадает
с Sn = {l, ..., л}. Предположим, что последняя вершина d равна л.
Определим отображение / следующим образом:
_ / последняя вершина С,-, если i 2г 2,
\ {л, /i-j-1, .... t (n — k)}, если i=l.
Неравенство t(n — k)^n следует из условия tk/(t—l)^n. Ясно,
что множества f(Q) —непересекающиеся. Легко видеть, что для фик-
фиксированного / A ^/ s? л — k) все числа r = / (modn — k), l=Sr=S
/ l
*S:t{n — k) находятся в у /(С,), значит, М С;= {1 л}, что
t=l i=\
противоречит условию. Следовательно, существует по крайней мере
п—k чисел в отрезке [1, 2 t(n—k)] и вне [J /(С,), т. е.
и
— k = t(n — k) —
[Frankl P. —J. Comb. Th. (A), 1976, № 20,
что и влечет J s
p. 1-11].
6.31. Существует no = no(k, l) такое, что
max I С*
л~А
k — ll'
.^Экстремальная конструкция G% = Cl (S/) Ck~l (Sn — S[). Однако при
I малых л это не так: п = 8, fe = 4, 1 = 2, тогда 4-граф {Л: \А ] = 4;

314
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ. УКАЗАНИЯ. ГЛАВА VI
|Л|"|{1, 2, 3, 4} |=3} имеет 16>-B) РебеР (Erdos P., Chao Ко,
R.ado R. —J. Math. Oxford B), 1961, № 12, p. 313—318]. Точное
значение n0 (k, l) найдено Франклем.
6.32. Доказательство индукцией по k.
Существование. Если k—l, то т = ( . 1. Предположим
существование вплоть до k—1. Определим а^ из неравенств I"*
^m<( k7~ ). Если здесь реализуется равенство, то требуемое
уже выполнено; если нет, — то число т— я имеет каноническую
форму
т —
?',)+¦•¦+(?)'
flfc-i
k
осталось показать, что afe>at_x; в противном случае мы имели бы
неравенство
противоречащее определению а^.
Единственность. Если k=\, то очевидно. Предположим,
что единственность имеет место вплоть до k—1, покажем, что это
так и для к. Предположим противное:
'А-
Если ak — a'k, то мы имели бы две формы для т — ( * ] и согласно ин-
дукиионному предположению получили бы противоречие. Если же
ak ¦**¦ а'к> то опять-таки получаем противоречие:
т ¦¦
: т.
6.33. Перечислим число пар (Л, В): A zi В, A<=F, B<^Ck_x (F).
Для каждого А е F имеется точно k таких В. Следовательно, число
пар равно \F\-k. Но если мы зафиксируем В е Сй_х (F), то имеем
не более чем п—й+1 множеств А =з В. Значит, число пар не больше
чем ] Cfe_i (F) \(п — k + 1). Получили требуемое неравенство
C(F)|{ft + l)&|F!ft
ICfc_i(F)|{n-ft + l)&|F!.ft.
6.34. Покажем индукцией, что такой fc-граф существует на не
более чем ak-\-\ вершинах. Случай k = \ тривиален. Пусть утвер-
§ 1. ЭКСТРЕМ. ЗАДАЧИ НА ГРАФАХ И ГИПЕРГРАФАХ 315
ждение верно для k—1. Выберем аь вершин (множество А) и все
возможные &-ребра на них: С* (А). Поскольку ak_i-\-\^ak, то со-
согласно индукционному предположению существует (k—1)-граф F' cz
cz С* (Л) такой, что Cfe_3 (F')=fk^ [т — ("А). Пусть а ф. А — но-
вая вершина. Добавим а ко всем ребрам F', т. е. полагаем F" =»
= 2 с(а+е). Легко видеть, что |СА_г (С* (Л) + F")\ == /A_j x
—I "" \ J-f ( "я . \ =fk (m). Искомый ft-граф F в явном виде
можно определить следующим образом: зафиксируем нумерацию вер-
вершин и введем упорядочение ребер: В меньше С, если первый элемент
множества (С — В)[}(В — С) попадает в С. Тогда F определяется как
fe-граф из первых т (в таком смысле) А-ребер.
6.35. Если т2==0, то утверждение тривиально. Пусть т2 > О,
рассмотрим тогда два случая.
Случай 1. /^(^^тз. Пусть каноническое представление тг
имеет вид
k-\
t Г
Пусть s —наименьшее число, при котором as > s. Положим
О, oft = A,
Тогда fk(M)^m2, и для М'> М имеем /А (М') > от2| т. е.
^wiaiomj^M. Так как /&(#) монотонна, то /ь^ + г)
^/fe(Af + m2). Легко видеть, что fh (M + OT2) = ma + /ft_i (ma), откуда
сразу получаем
m2 + /й-i
Случай 2. ft, (mi) > m2- Воспользуемся индукцией по /п3. При
= 0 очевидно верно. Пусть
Рассмотрим три случая
Bа) q^t+l, at = t, тогда fk (щ + 1) =/fc Ю + qf- 1,
fk-i(m2—\)—fk-i{'ni)~t- По индукции имеем:
;, /й (тх + Шг) ^/ft (+ I>-Ьfft—i (m2— 1) =
f . = /ft <"ii) + ffc-i (ma) + ^ — < - 1 -sS fft (mt) + fk_l (щ).
? B6) <7=1, e/X. тогда fft («i+l)=/* («i)> fft-i(«*-U =
' —fk-i(m2)' и требуемое получаем как в Bа).
Bв) q>t-\-\ или (а/>-1 и <7 > 1). Введем понятие полуканони-
;: ческого представления. Если a^ = t или f=l, то все по-прежнему,

316 ОТВЕТЫ. РЕШЕНИЯ. УКАЗАНИЯ. ГЛАВА VI
если at> t> 1, то
kkZ\) + - + \t+i
t-\
+ ¦¦¦ +
a,~t+\
at-t+\
1
Будем кратко записывать ma=(,fe %] + ... + ( г
ЯСНО, ЧТО
И /ft_!
(^2) (r1)
Из fk (mx) > m2 следует еуществование наименьшего и такого,
что Ъи > сй_1, Положим
AI,
Ясно, что Ali + /W2 = mi + ma. Теперь покажем, что \k (Mi)-f-/*_i (Ма) =
= fft (mi)+/ft-i (ma)- Так как bu>cu_1, то выражение для /И] яв-
является либо каноническим, либо полуканоническим представле-
представлением Ми значит, fk {Mi) можно получить уменьшением нижних чисел
в представлении Мг. Если с„ > Ьи_и то это же справедливо относи-
относительно М2 и fk-i(M2). Наконец, вариант Ьп_г3=cu^с„_5 противоре-
противоречит определению и. Неравенство /И2 < т2 получается аналогично.
Таким образом, из последних неравенств и индукционного предпо-
предположения имеем
fk
) = fft (М,
fk
-i («a).
6.36. tk (т). Докажем индукцией по числу вершин п. Если я—I,
то очевидно так. Предположим, что требуемое доказано вплоть до
п—1, покажем, что это так и для п. Зафиксируем одну вершину а
и рассмотрим такое разбиение нашего й-графа:
F'={A: афА, А <= F), F"={(A-a): as Л, А е F}.
Легко видеть, что С^ (F) => Ck^ (F') U({a} UCfe_2 (F")). Здесь
)= 2 С (а-|-е). С другой стороны, Ck^.1(F')f\
е е ck-i С"'
(р")) = ф. Отсюда
Cft_x (F') i + i {a} U Cft_3 (F") 1 = < Ck-i (F') + ¦ Ck_2 (F") |.
I С»., (F) |
Положим
i
| F" |, тогда согласно индукции ; Ck_x (F')
-i(««), т. e.
Аналогично,
C*_! [F)
" U
U СА_а
" П ({
Ф
§ 1. ЭКСТРЕМ. ЗАДАЧИ НА ГРАФАХ И ГИПЕРГРАФАХ
317
и значит
{a}
\F"
Следовательно, согласно 6.35
) | Ss max {/ft (rn^ + f^ (mB),
= max {f
_! (т2).
(«a) Ss fk (л
т.е. I C^_i (F) j ^ffc {r«i + /n2) =/fe (m). Экстремальная конструкция
приведена в задаче 6.34. Для /-тени \Ct(F) \ = fki[(m), где fb,i(m)
определяется из биномиального канонического представления по
правилу
t-k+ф
-17) + - +
т. е. fk(tn)=fkik_x(tn).
6.37. Пусть л велико, и F' — это fe-граф с т ребрами на Sn та-
такой, что j Cft_! (F') | = ftt (mi); пусть F" — это А-граф с т2 ребрами
на Sn такой, что | C^-i (F") \ — h (щ)- Если п велико, то подберем F'
так, что C(F')nC(F") O
(F1 U П
и F" так, что
т. е.
(F") I
Из задачи 6.36 знаем, что
требуемое доказано.
6.38. «VV(
{F'\]F")
(m,) + fk (m2).
так что
tn > f
f
y4mJ таков, что j Ck-i (erf) l—tk (rn)- Если при этом
mJ , j ki (erf) tk () р
f , ]-{-...-{- ( i )» T0 ftt (м) < ffii т. е. число вообще всех воз-
можных (k— 1)-подмножеств меньше, чем нужно в Sd. Воспользуемся
теоремой М. Холла, согласно которой для Q/g существует требуемый
граф ?/8, если для каждого подсемейстна {Aiv ..., Л/Л с: erf имеем
Но согласно 6.36
(а), так, что для при-
применения теоремы Холла достаточно показать, что fk(r)
^m = f ~ j + ... + f. J [К at о n a G. — In: Theory of graphs, Bu-
Budapest: Akademiai Kiado, 1968, p. 187—207.] Для Г-графа <Ид ответ
имеет вид:
т ¦¦
Л
k-1
k—i
6.39. Экстремальная конструкция: возьмем первые (в смысле
решения задачи 6.34) т подмножества в качестве F = {AU ..., Ат}.
Так что если т = 2 ]-(-2 8+ ¦ +2 г (Ь\ > Ь% > ... > br ^ 0), то
искомый max равен М*' + (&а+2) 2*2 + (Ь3 + 4)" 2*3-]-...

318
ОТВЕТЫ. РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ. ГЛАВА VI
[Lindsey J. H. — Amer. Math. Monthly, 1964,71, p. 508—516; Cle-
Clements G. F., Lin dstrom В. —J. Comb. Th., 1969, 7, p. 230—238;
Clements G. F. —Proc. Amer. Math. Soc, 1971, 27, № 1 p. 13—15;
Ahlswede R., Katona G. —Discrete Math., 1977, 17, № I,
p. 1-21.]
6.40. Неравенство n^p1 + f2(pi+f3(ps + ... + fn(pn)...)) яв-
является необходимым и достаточным условием. Необходимость. F-t =
==С'EЛ)ПЛ -6,== М С" E). Из 6.36.
\Bn-l
Кроме того,
i + !f«-i
n-i(Fn)f\Fn-i = 0> следовательно,
-i~\-fn (Рп)> аналогично Вп_2 =
n-i) П Fn-2 — Ф, следовательно
п-1 (i S«-l
Продолжая эти итерации, получаем n^=| Bj | ^Pi+/2 (p2-f-...
••¦ + /я(Рл) ¦¦•))¦
Достаточность. Построим /", удовлетворяющее нашему неравен-
неравенству. Зафиксируем нумерацию на <^E„). Выберем первые рп п-эле-
ментных подмножеств в качестве Fn, потом выберем первые рп_\
таких подмножеств S>n_r с Snt которые лежат после элементов из
С„_1 (Fn) = Cn_t (Вп), и так далее. Здесь мы использовали тот факт,
что если В{ состоит из первых | В,-1 подмножеств S,-_, cz Sn, то и
С,-_! (Bi) тоже состоит из первых подмножеств S/_i с: Sn. Из 6.34 сле-
д,уетА /ПТ. 'Bl !Г/ Fl,'tl ^ (Вг) ! = Л + ^ С в D/ f
+ ,C2(S3) ) = Pi+f»(P« + f8(lB*l)) = --. = ft+/r(P2+ + /n(Pii)))
значит, мы использовали не более чем п вершин, так что конструк-
конструкция корректна.
6.41. Общий вид предполагаемой экстремальной пары таков:
А =
l_2K = 0.
Случай А, = 0 см. задачу 6.5. В случае Х = 1— 1, / =^ & надо заме-
заметить, что начальное условие принимает особенно простой вид: Л,- ф
ф Bj C=$i = i. Кроме того, Косточка показал экстремальность кон-
конструкции при А,= / — 2, I ?c: k. Несложно получить и общую верхнюю
оценку msg '
\ t л /
6.42. Достаточно воспользоваться методом задачи 6.5.
6.43. Для условия \Aif\Bi\ = X, | А{ (] Bf ! ^ Я, 1=^/, экстре-
экстремальная пара предположительно та же, что и в задаче 6.41, однако,
этот вопрос открыт.
6.44. [Kleitman D. J. —J. Comb. Th., 1968, 5, p. 153—156.}
6.45. Воспользуемся индукцией по п. Для л = 1 утверждение
тривиально. Предположим, что требуемое имеет место вплоть до
п—1; покажем, что это так и для п. Зафиксируем одну вершину х
и положим
1={(В-х):
, В=,х),
, А ф х},
В ф х},
§ 1. ЭКСТРЕМ. ЗАДАЧИ НА ГРАФАХ И ГИПЕРГРАФАХ
319
Поскольку orf? и 36 обладают свойствами идеалов (см. условие за-
задачи), то
/ / | ^ I ! ^ I = «а.
Эти семейства располагаются на (м—1)-множестве вершин и сами
являются идеалами, следовательно, согласно индукционному предпо-
предположению
I П <&! I a
Таким образом, пользуясь полученными выше' неравенствами, имеем
1 + 1
2»
2»
Последнее неравенство в этой цепочке получаем так: а
+ пхх + 262 + 22 ? 1 1 + 12 + 21 + 22
6.46. б) Если имеется п— k /-ребер, то после удаления по одной
вершине из каждого ребра (и ребер, содержащих эти вершины) по-
получаем по крайней мере k изолированных вершин, значит,
Т («, k, l)^n — k+l. Экстремальной конструкцией в области п^
.g: {(?_i)/(/_l) могут служить (л — k+l) непересекающихся
/-ребер.
в) Т (п, п—\, 1) = ]п/{п — 1)\, действительно, ведь в этом случав
всякой вершине должно существовать i-ребро Si, ее не содержащее,
или иначе (л — 0-подмножество Sn — Si, ее покрывающее. Ясно, что
наименьшее возможное число (п — /)-подмножеств Sn, покрывающих
все вершины, равно ]п/(п—1}[. Относительно турановских чисел
известно следующее;
]|]^[[ Хедланд],
Т(п, л-2, "-3) = ]|
По поводу асимптотического поведения турановских чисел см. [К у -
зюрин Н. Н.—Матем. заметки, 1979, 26, №4, 603—612]. Основ-
Основной достаточной конструкцией служила так называемая «блочная
конструкция», если t = [(k— \)l(l— 1)], то конструкция представляет
собой систему из t по возможности равных полных /-графов. В част-
частности, имеется гипотеза Турана, что такая конструкция экстре-
экстремальна в ряде случаев, именно Т Bп, 5, 3/ = 2
„],
W

320 ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ. ГЛАВА VI
Иной тип конструкций представляют собой «закрутки», так для
Z = 3, ? = 4 такая конструкция имеет вид
1 (В) + С3 (С) + С1 (А) С2 (В) + С1 (В) Са (С) + С1(С)С2(А),
где A + B + C—Sn {и равномощны по возможности). Также имеется
гипотеза, что эта конструкция является экстремальной при /=3,
*=4.
Имеются, однако, и принципиально иные конструкции, связанные
1) с топологическими характеристиками графов,
2) с арифметическими характеристиками параметров. [X. Рин-
гель, А. Ф. Сидоренко.]
г) Обозначим искомый максимум через Р (п, k, l); известно сле-
сле: Р(п, п, 0 = 1, Р(п, к, 0=1 (*2s2J). P(n, I, ')-(").
дующее:
Р(п, 2/-1, 0 = [f], Р(п, п—1, 0
стен следующий результат:
f(n, ч, о,
изве"
[я/з [(п — 1)/2]] — 1, л = 5 (mod 6)
[Spencer J.—J. Comb. Th., 1968, 5, с 1—8]. Имеет место также
следующая рекуррентная формула: Р (п, k, l) = P (n, n — 2l-\-k, п — I),
fcsg.2/. Рассмотрим эту рекуррентность на примере:
Р{п, л-2, n-3) = 3
= max#S3: VS2
max
3: VS^
3: VS4
1' П S^2
, 4, 3).
6.47. Обозначим минимум числа ребер в таком /-графе через
т (п, к, I, г), а максимум числа вершин через п (k, I, r). Тогда
n(k, I, r) = k + t—r. F.1')
Действительно, если n>zk-\-l—г-f-I, то, очевидно,
если же
~r, то С1 (Sn_k+l) C° (Sn—Sn_A+i) ~TD и, значит,
Пусть Г(п, й, 0= min
, тогда
\Т{п, к.
i(n, k, I, г),
а при ks^n-^21— г имеем равенство m {n, k, I, r) = T(n, k, I),
поскольку в этой области всякий /-граф обладает свойством D.
§ 1. ЭКСТРЕМ. ЗАДАЧИ НА ГРАФАХ И ГИПЕРГРАФАХ 321
Очевидна и монотонность по г.
пг(п, k, I, r)^m(n, k, I, r+I),
Пусть 2/-^/-f 1, тогда
m(k + l-r,k,l, r)-B'~rJ. F.27
Доказательство. Отметим, что условие Gln~T эквива-
эквивалентно тому, что
Доказательство проведем поэтапным построением необходимых
конструкций GlF) s Gl(l) =G[a) s 5', т. е. тех f-графов G|(), которые
с необходимостью содержатся во всякой достаточной конструкции G1*
ия этого выведем, что конструкция Ь1 = С1 (S2;_r) С0 (Sn — S2j_r)
является экстремальной.
а) Пусть n = k-\-t-~r и Gl ~TD, тогда 3ej, e2 e G': | ^Г)^ |==г.
Действительно, если Vej, г,еС', I ^ Пе21 ^/"+1, то G' ~ Г и G4
является попарно (л-j- 1)-неразделенным /-графом, но это противоре-
противоречит F.Г). Для iu e2^Gl, где \е1{\ёг\=.г, положим
1Р1=Л
\х\ = 1-г.
Итак, получили первое включение G1 э С {ёг) + С (^2) — ^\о)
что всегда G'0) ф TD.
(б) Пусть сперва St_r = p (это всегда осуществимо, поскольку
условие 2r5=/-f-l влечет неравенство л^/—л), тогда в силу/
достаточности б'
Зееб': ef\St_r=O, \e(\h\^r. i=I, 2,
а последнее сразу влечет, что e = S—S;_r, значит, имеем включение
; Отметим несколько свойств этого GL>,
F.1) Ясно, что Gl{l) = GlQ)-i-С (а) С2г~1ф) С (у), так что при
/¦ г=/ — I имеем Glw = Cl (S), и тем самым для этого случая теорема
. уже доказана, а при /¦</ — ! ясно, что Gl(u^TD.

322
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ. ГЛАВА VI
§ 1. ЭКСТРЕМ. ЗАДАЧИ НА ГРАФАХ И ГИПЕРГРАФАХ
323
F.2) Пусть Gl,Tr+l= U C'-r+1(S*)> тога3
J
JU>
Действительно, если Si_r+l s= <?i или St_r+1 <= f2, то очевидно
rtIs0^+1, если же S,_r+1 s S: ^{_г+1(]а\Ф0Ф |5^+1П^|,
. ,, П P I ^ 2. - /, то He e G(o - G{0): Sw+1 = e. если, наконец,
^tsl ISnl^O^Unitl |SnPl^2r/ + l
то, очевидно, в GA} нет ребер, содержащих такое S^+p последний
вариант, однако, не исполним при l — r — l^2r—l, значит:
Если 3/-=s2/ — 1, то
). F.3')
(б.З) Если Зг^2г —1, то F.2') имеет место. Пусть Si_r
i_r<?a, p\ ц, тогда
Покажем, что и в этом случае <? = S — S,_r, для чего достаточно
доказать, что
yS^Sj \Stf\S\~l-l 3e<=GlA): |S,fle|<r.
Предположим, что S[^Sn, | SznS |=*-1, si-r+i — S\Sft но тогда
согласно F.3')
Следовательно, для такого е имеем ! 5/Пе1 = 1 {S — S/_r+i)Пej = ^ — I.
значит в области 3r^2i — 1 справедливо включение СэС.
Для доказательства F.2') во всей области 2/-Э=/+1 еще раз
увеличим необходимый подграф.
(в) В области 2/-Зг/+1, Зг<22 —1 из нашей формулы для
<}'—г+' в F.2) следует включение
&3GL-G*
@)"
:S,
для правой части которого справедливо равенство
U G*-'
из которого, в свою очередь, аналогично F,3) следует G1 э G', так
что F.2') доказано.
В частности, это влечет
т(п,
Здесь либо n*=k и тогда это, очевидно, верно, либо n = k-\-\,
но тогда применимо (б.З), поскольку в данном случае неравенство
3r2s2? — 1 влечет 3(/ —1K=2/ — 1 или /=г2.
Известно также, что если n = k-\-\, 2?=^?=^2(&+l/2)/3, то
m{k+\, k, I, r)=3, если же t > 2 (k + 1 /2)/3, /-<max {(fe + 5)/3,
2i-fe+l}, то
m(ft + l, ft, /, /¦) = ](*+I)/(*-/ + l)[;
последнее следует из того, что последнее ограничение на г влечет
неравенство k-\-\^2l—г, обуславливающее выполнимость т = Т,
В частности, если г = 1, 2, ..., 5, /Э=2г, то
1, &, /, /¦) = '
Пусть l = 2r (n — k), l(l + r — \)^.2rk, тогда m (я, k, I, r) =
= 2(л—*) + l.
„ _ ft/r+l\
Доказательство, Еслил = л( ,то экстремальная кон-
конструкция имеет вид
C(rC(aH(S,ln_k,+1-a)),
2 {П—k) +1
т, е, представляет собой л-вершинный /-граф, двойственный (сопря-
(сопряженный) мультиграфу H2(S2[n_ft)+1), если же п>>г ( ^ V то к кон-
конструкции нужно добавить п — г[ 7" ) изолированных вершин. До-
Достаточность конструкции очевидна, а ее существование следует из
условий. Покажем ее экстремальность.
(а) Если G^~rD и Gln ^2 (n—k), то Gln не содержит вершин
степени не меньше 3, поскольку, удалив такую вершину (вместе со
всеми ее содержащими ребрами), мы получили бы /-граф с не более
чем 2 (п — k) — 3 ребрами, каждая пара которых имеет непустое пере-
пересечение, стало быть, вычеркивая вершины из этих пересечений, мы
за оставшиеся л — k—1 шагов удаляем по крайней мере 2 (л — k—1)>
> 2 (л — k)—3 ребер, что противоречит турановости Gln.
(б) Если Gln~TD и \Gln
2
степени Gln
\\2(n — k), причем все
не превосходят 2, то вычеркивая последовательно (n — k) вершин из
пересечений ребер Gn, опять-таки вступаем в противоречие с тура
новостью (Т), поскольку заведомо удаляем все ребра Gln,

324
ОТВЕТЫ. РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ. ГЛАВА VI
§ I. ЭКСТРЕМ. ЗАДАЧИ НА ГРАФАХ И ГИПЕРГРАФАХ
325
6.48. Если ps?(<7— 1) kjik— 1), то min G* = ' ' ' ]; экст-
\ ft /
ремальная конструкция Ck (Sn-p+q), где 5,.р+? с S,. Если n^S,
^(p — \)ql{q—\) и 2fe =?<?+!, то min JG* I =(n-p+ 1) (q\ ? экст-
ремальная конструкция представляет собой п — р+1 полных пересе-
пересекающихся 6-графов Сй (Sg) [СтечкинБ. С, Франкль П. —Пре-
—Препринт МИАН, ВНР, № 20, Будапешт, 1977].
6.49. [Erdos P. —In: Combinatorial theory and its Appl. — Coll.
Math. Soc. J. Bolyai. Budapest: 1970, № 4, p. 311—315]. Семереди
¦показал, что если GL+ 2 с ^а (^ап+а): V^zn-i с $2п+ъ ^я c ^an-i:
«"(SG^ a, то с необходимостью 3Sn+1 с S2n+2: С2 Eл+1) с
6.50. Если искомый max обозначить через m (n), то m (л) ~ К2л.
Числа |в?Пв/1 все различны, а их возможные значения суть числа
ftW [(l + К8л + l)/2].
¦0, 1, ..., л—1; значит, („ bSn, откуда m (n)
Конструкция имеет вид (в терминах матрицы инциденций):
1 I ... 1 1 0 0 0 0 0 ... 0 0 ... 0
О 1 ... 1 10 0 0 0 0
0 0 111
О 0 ... 1 1 1 1 1 1 1
О 0 ... О 1 1 1 1 1 1
1 1
1
п-\
tPach J. —Ars Comb. 1980, 9, p. 47—49].
6.51. Пусть т(п, I) обозначает искомый максимум. Из 6.50 ясно,
что если n^2lt то
т(п, /)^[A+/87+~0/2]
и т(п, l)z=m(tl, n — l), поэтому всюду далее п^21. Отметим, что
т F, 3) = 3, это значение реализуется 3-графом вида {{аи а2, а3}%
{а2, as, a4}, {с4, ай, ав}}.
[Ъ\ lk~\-\\
Пусть I „ 1^ / < f ' 1 для t>3 и пусть
тогда т{п, /) = [(l+yr8l+T)/2] = fe. Покажем, что для
F.4')
причем всегда
в которой
найдется экстремальная конструкция
F.5')
Проведем индукцию по fe$;3. При ft = 3 справедливость F.4'),
F,5') следует из вида приведенного выше 3-графа; предположим, что
требуемое исполнено вплоть до k— 1, докажем тогда, что это так и
для k. Положим nx = (k — 2)(ft2 — fc-f6)/6, na = (fc—1)(#>4-А> + 6)/6,
очевидно, что
F.6')
Согласно индукционному предположению существует такой экстре-
/fe— I \
мальный Г~ ]-граф GnidC\ 2 '(
), что
k=l, и
выберем и зафиксируем одно такое множество S^2- Пусть теперь
ss S + =5«,-sni. что всегда осуще-
и ПУСТЬ
ствимо в силу F.6'),
Построим ( j-граф йПг cd2'
по правилу
_ ]-граф
является экстремальным.
Нам осталось продемонстрировать выполнимость свойства F.5')
(К \
-1-графе Gn . Для этого из множества S{k\ выберем
произвольный элемент а и положим Sb_i = Sfe_2~b {fl}- Для такого S^
свойство F.5') в (-)-графе Gn , очевидно, выполнимо.
fk\ , /А+1\
Пусть теперь I . ) < / < I ' 1, рассмотрим экстремальный
„ -граф Gnj с k ребрами, возьмем множество из I— ( вершин
S ,fey S /fts П5Лг = 0 и образуем новый граф на я3 = п2 + ? —
'"(а) 1~\л)
— вершинах по правилу
Этот ?-граф, очевидно, является достаточной конструкцией и содержит
ребер столько же, сколько ( J-граф Gn , т. е. k, g учетом верхней
оценки это влечет требуемое,

326
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ. ГЛАВА VI
6.52. Вектор Vi = (vi , ..., vt \ определяется по правилу
"</ = { 0, \%% ГД6 е1' - ' em-Pe6Pa Gl
Докажем, что vlt .... vm — независимые векторы (тогда т^п). Пусть
т
2 k[Vi = 0, Умножая на v(, получаем систему уравнений
i = \
т
2 Я, + % = 0.
1Ф1
Если ее детерминант отличен от нуля, то она имеет лишь тривиаль-
тривиальное решение, т. е, vu ... , ит независимы. Действительно,
k 1
1 k
1 1
= (n — \-\-k)(k —
при k 3s 2.
Оценка m==?rc реализуется не всегда, например, если А = 2, я>3,
то максимальное т = п — 1. При k^3 граница часто достигается
конечными геометриями, например, для ft = 3, n = 7 — плоскостью
Фано.
6.53. Если через D (п) обозначим объем наименьшей определяющей
на Sn системы множеств, то D(n) = n.
Необходимость различения пустого и п одноэлементных подмно-
подмножеств, последовательности Ар которых не могут содержать чисел,
превосходящих 1, дает оценку D(n)^n> которая реализуется
n-элементной цепью
Достаточность этой конструкции очевидна при [ Га | ф \ Тг |: если
то из равенства числа нулей в Ар(ТЛ и Ар(Т%} следует ii = j1, из
равенства числа единиц — h = h и т. д., т. е. Т1 = Т%; иными сло-
словами, доказана достаточность C{Sn).
6.54. Пусть G —определяющая система множеств на Sn. Для
Т.= Sn положим DQ (Т) = {\ Т [\е j}eeG и будем именовать такую
совокупность чисел спектром. Введем условную запись DQ (T) =
= 0 °, 1 1,
... п п означающую, что
Dq(T)={0,..., 0, 1, .... 1
§ I. ЭКСТРЕМ. ЗАДАЧИ НА ГРАФАХ И ГИПЕРГРАФАХ
327
Ясно, что еслиа^5„, T0D0(a) = ldegffla>, О^'.д
тельно, если G — определяющий гиперграф, то степени всех его вершин
положительны и различны, стало быть т(п)^п.
Перейдем к доказательству единственности экстремальной конст-
конструкции, для чего покажем, что если G — экстремален, \G\=n,
причем degQ (a.) = i ((= 1, ..., п), то с необходимостью G = C (Sn)
(см. задачу 6.53). Предположим противное:
(ак, ... , ап)фв^ {(а! ап), (аа, ..., ап), ..., (afe_b ..., ап)},
и рассмотрим то единственное ребро ееё, которое содержит верши-
вершину ak и отлично от ребер (аь ... , ап), ..., (ak_lt ..., ап). Покажем,
что с необходимостью e = (aft, .... ап). В противном случае это экви-
эквивалентно тому, что 3a,- {k+\ ^i^ri): щфе. Сразу отметим, что
щфап, поскольку ап входит во все ребра; значит, если k^n—l,
то требуемое доказано, а последнее в частности, влечет и саму
теорему для п ^ 3, Итак, пусть
3at (k = 1 sg i *g n — 1): щфе.
Рассмотрим тогда два подмножества
). T=
k=l.
Оба эти подмножества имеют одинаковый спектр
что противоречит определяемости G [А. В. Косточка, Б. С. Стечкин].
6.55. Матрица инциденций такого гиперграфа имеет вид
/10 1111 ...\
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
0
0
0
1
1
1
0
0
1
1
1
1
0
1 ..
1 ..
1 ..
1 ..
I ..
\
6.56 — 6.58. Если у { }~индикаторная функция события, заклю-
заключенного в скобки, то
v(S, q; G)=
°(е' Я; F).
Ясно, что если Sp с: Sn, то для Gln czC'(Sn) имеем v (Sp, q; GQ =
){
' Kp0Me ТОГ0> U
> Я, F),

328
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ. УКАЗАНИЯ. ГЛАВА VI
откуда сразу следует 6.57. б) и в). Если же S ф Sn, то сразу полу-
получаем 6.57. г). Для доказательства 6.58 достаточно в качестве G
рассмотреть полный /-граф. [Стечкин Б. С. —Матем. заметки,
1975, 7, № 3, 433-442].
6.59. Из 6.57, б) сразу находим
sM(v(Sp, ?!<?))=¦
Я!\Р — Я
п
Р
v(Sn; i; G).
6.60. ( P ,)('.); экстремальная конструкция Fk*=Ck-l{Sp) С1 (Sr),
\k I] \i j
где Sr c= Sn-p.
Ясно, что если G* обладает заданным свойством, то G с:
с Ck~l(Sp)Cl(Sn^p)t поэтому если Sfe_/ s Sp, то согласно 6.57
j G* | = 22 v (SP>
где v(Sp, Sn.fi G*) = |{eeG*:
заданным свойством, то v (Sp, S^-i',
*-;}l- Если Gk обладает
, откуда сразу получаем
6.61. Согласно задаче 6.57
F.7')
Пусть G1~qs&, тогда согласно F.1)
и стало быть, если G' —экстремальная конструкция, то из F,7')
получаем неравенство
Г л/" (/г— 1, I; А)
| v ^ —-
Докажем требуемое индукцией по л 5= л0. Для я = л0 это имеет
место в силу F.2), Пусть это справедливо всюду вплоть до л—1,
покажем, что это так и для л > л0. Согласно индукционному пред-
предположению имеем
\пт (п — 1, /;
~\ ш_Г f(n-l)nl
/(я)<т(п, I;
I It ^^~ ?. I Iff, L I
F.8')
Примером функции, удовлетворяющей условиям этой задачи,
может служить /(л) = [л2/4] (см. задачу 6.1) [Stechkin В. S.—
J. Comb. Th. (A), 1980, 29, № 3, р. 368-369].
§ 1. ЭКСТРЕМ. ЗАДАЧИ НА ГРАФАХ И ГИПЕРГРАФАХ
329
6.62. Согласно 6.68 имеем тождество
deg^(S)= I]
так что если \G f]F \^\, то получаем требуемое.
Это неравенство допускает следующий общий принцип примене-
применения. Пусть решается общая задача максимизации |F| для F cz&'iSn):
~] ЗА{, A] AiRAj, где Я—наперед заданное бинарное отношение
на ffiiSn). Полагаем гиперграфы G такими, что ЧВЪ B2mG
BiRBz, и в качестве  берем все такие G, что UG = (^(Srt), тогда
очевидно jfflGl^l, и применимо неравенство, согласно которому
получаем верхние оценки для i F ;. Например, рассмотрим задачу 6.2.
В качестве G возьмем максимальную цепь от {ф} до Sn, а в каче-
качестве ^—множество всех таких цепей, тогда если F—антицепь, то
\G(]F\^\. Ясно, что deg^(S) = j5|l (л — \S i)l, | & \ = п\, тогда
(согласно нашему неравенству) 2 i 5 I! (л —| S i)! (л!)^ 1. Следо-
вательно,
f " )
Un/21/
что и влечет 1 F
Л1П/2])'
6.63. Если Q?g—антицепь, то согласно предыдущей задаче
Hi 4 0-
mi
п
.1) у L.
г L (л/| А
где
Таким образом, У / (I ^ I) ^ Мг) ( )> оценка достигается полным
/¦-графом.
6.64.
л-1
г /21 — I )' экстРемальная конструкция: С
X(Sn — a). Доказательство следует из утверждения задачи 6.65.
Поскольку \Ai\^[n/2], значит (| ^7—1/^ (гл/^Г—I)' откУда и
из 6.65 имеем, что ml „. ;
(А), 1973, 15, р, 363-366].
1 [В о 11 о b a s В.— J. Comb. Th.

330
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ. ГЛАВА VI
§ I. ЭКСТРЕМ. ЗАДАЧИ НА ГРАФАХ И ГИПЕРГРАФАХ
331
6.65. Воспользуемся методом задачи 6.29. Зафиксируем цикличе-
циклическую нумерацию вершин ср. Пусть q?? (ф) означает совокупность тех Л,-,
которые имеют последовательные элементы в ср.
Покажем, что если Л/ <= q/? (ф), то число тех /, для которых
Л/ е o/g, не превосходит |Лг-|. Действительно, для всякого А/ е
ее/(9) Л/ПЛг-^ф, причем At ф At (] As ф А/, так как Агф
ф Aj ф. Аи Значит, Л,- U А/ — множество первых или последних эле-
элементов, т. е. для Ai имеется не более 2 (| Л( |—1) возможностей для
пересечений Лг П Л/. Если / Ф k, то Л/ A Aj ф А% П Аи и Л; П Л/ +
+ Л,- Л Лй=?^ Л/, так как |Л/|, |Л^|^/г/2, следовательно, в Л*
находится либо Л,- (] Л/, либо Л,- П Л*,, т. е. не более половины всех
возможных пересечений, а именно B (| Л,-1 — 1 = [Л,-| — 1, что вместе
с самим Ai и дает | Л,-1.
Определим теперь функцию f по правилу
1/1
0
если Л;ее/ (ф),
в противном случае.
Вычислим f =
(Ф, Л,-). С одной стороны,
II 2 iiA= 2«^-'>!
Ф
а с другой согласно доказанному выше
VI 1
\At
2
и значит
следовательно,
[Green С, К a ton a G., К 1 ei t m a n D. J. — In: Recent Advan-
Advances in Graph. Theory Academica Prague. Prague: 1975, p. 223 — 231].
6.66. [ra/3] [(«+l)/3] [(fi + 2)/3]. Экстремальная конструкция:
если Sn = A + B + C, |Л| = [л/3], | В | = [(л+1)/3], | С | = [(я + 2)/3],
то Gsn = C1(A)C^(B)C1(C) [Bol lobas В. —Discrete Math., 1974, 8,
p. 21—24]. Можно рассматривать эту задачу для /(-графов и гипер-
гиперграфов, здесь имеются гипотетические конструкции Эрдёша и Катоны.
[—1—1
6-67> 1ги1 | • Экстремальная конструкция С1 (с) CL (Sn —с).
\ffl-v
Если n^0(mod 2), то семейство {Л1т ..., Ат, А± Ат]
является антицепью, значит, 2т-
—\
Если
v^jUl,
/1=1 (mod2), то семейство F={Ai Ат, Аи ..., Ат\ является
антицепью и имеет попарно непустые пересечения. Положим F* =
= {AeF; | As \ ^(п— 1)/2}. Применяя к F* задачу 6.65, получаем
требуемое [К 1 е i t m an D. J., S p en ce r J.— Discrete Math., 1973,
6, p. 255 — 262].
6.68. 2"-2; экстремальная конструкция С0 (а) С1 (b) & (Sn — a — b).
Положим а^= {Л: ЗЛ,- eF: Л с At}, <$={В: ЗЛ; e F: В => Л,-}.
Гиперграфы SI я S удовлетворяют условиям задачи 6.45, так что
|®||59- 2-л. Из условий также следует, что | 31 |, | S3 |
П Э|^2ла F Щ f ®
K|||
значит, | 51 П
|2a
чит
у | |, | |
но очевидно, что F <=. Щ f) ® и зна-
зна6.69.
I, экстремальная конструкция С EП_А+;), где
n. Пусть |ЛХ, ..., Am} = Gln удовлетворяет условиям Т
и К", тогда в силу К
(Sn); В. =з At: \Af
Bt\<l
причем таких B-t ровно m штук. Положим теперь
т.
Теперь очевидно, что для этих А{ и B't Ai П B'{=Qc^i~j, т. е.
выполняются условия задачи 6,5, согласно которой для наших пара-
параметров имеем ms?J . ).
6.70. Покажем вначале, что любые 6 вершин содержат ребро,
принадлежащее обоим графам. Действительно, если бы на некото-
некоторых 6 вершинах турановские графы Gj и G2 не пересекались, то рас-
раскрасив ребра полного графа на этих 6 вершинах в два цвета: в пер-
первый цвет ребра, принадлежащие 0ь а во второй — все остальные, мы
получили бы 2-раскраску /Се без монохроматических треугольников,
что невозможно. Таким образом, по теореме Турана общее число
ребер будет не менее (]п/5[ — 1) (п — 5/2] л/5[). Приведем пример гра-
графов Gi и G2 на множестве вершин {1 п], где как Glt так и G2
не содержат трех независимых вершин и
|Gi П Ga| = (]«/5[-l)(n-5/2]n/5[):
вершины I и / смежны в Gt, если i—-j^Q, 1 или 4 (mod5), и в G2,
если ? —/ = 0, 2 или 3 (mod 5) [Сидоренко А. Ф.—ДАН, 1980,
251, № 4, с. 805—808].
6.71. [Baranyai Zs. — In: Infinite and finite sets/Ed. A. Haj-
nal, R. Rado, V. T. Sos. — Coll. Math. Soc. J. Bolyai, 1975, № 10,
N —HPC, p. 91 — 108.]
6.72. Вопрос этот был поставлен Эрдёшем [Е г d б s P.—Сап.
Math, Bull., 1964, 7, № 3, p. 473, Problem № 88]. Пусть /(л, k) —
наибольшее число ребер в га-вершинном графе, у которого всякий
подграф обладает вершиной степени, не превосходящей k, тогда
(k\
{(п, k) = k{n — A)-f-f , экстремальная конструкция имеет вид

332
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ. ГЛАВА VI
§ 2. УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА
333
C2(Sn) — С2 (Sn_fc). Результат этот сразу получается проведением
индукции по числу вершин.
Пусть теперь fr{n, ft) —наибольшее число ребер в «-вершинном
графе, у которого всякий не более чем (п — /-)-вершинный подграф
обладает вершиной степени, не превосходящей k. Тогда
б)
причем имеется довольно много различных экстремальных конструк-
конструкций. Примечательно, что для больших г ответ не меняет своего вида
Vr, k 3n0 Vn5s«0 fr(n, k) = h(", к).
6.73. Гипотеза Бержа была недавно положительно разрешена
В. Ташкиновым.
§ 2. Упорядоченные множества
6.90. Положим a=sup^4 и aa = sup Аа. Так как a3=#a для всех
e /ta, то а^аа для каждого а. Если v^aa для всех а, то
для всех ха е Ла и, следовательно, i»:>x для всех JteA
Поэтому у^а, и из определения получаем
sup j4 = a = sup aa = sup {sup Ла}.
6.92. Например, пусть P = {a, b, с, d}, Q=
= {а, Ь, с} (рис. 6.2'), тогда supQ {a, Ь} =с,
sup {a, b} не существует.
6.97. Так как а^х для всех д: е Л, то
Ф(а)^ф(*)=* Для всех * е Л и, следова-
следовательно, ф(а)^а. Обратное неравенство вытека-
вытекает из определения оператора замыкания,
6.98. Пусть 1 —единица полной структуры Р.
Поскольку фA) 5= 1 3=срA), то 1 принадлежит
L и очевидно является единицей этого частично упорядоченного мно-
множества. Если А — непустое подмножество множества L, то элемент
a=mlpA, согласно задаче 6.97, ф-замкнут. Конечно, а^х для
всех дгеЛ. Если oeL и v-^x для всех леЛ, то v^a, так
что a=iniLA. Теперь из задачи 6.95 заключаем, что L — полная
структура. Пусть далее b — suppA и b — supLA. Ясно, что 5 е. L
ъЪ^Ь, поскольку Ъ^х для всех х т А. Отсюда b = ф (Ь)S= ф {Ь),
Неравенство Ь ^ ф (Ь) справедливо потому, что Ц>(Ь) >=ф (х)=х для
всех isi, так что b = q>(b), что и требовалось доказать.
6.107. [Стечкин Б. С. — Зборн. рад. Мат. инст., нова сер.,
1977, 2, № 10, с. 127—134; Hanlon Ph. —L. N. М„ № 829,
р. 148-156].
6.110. Через (Р, ^)^ обозначим k-ft уровень диаграммы Хассе
... рГпп, где ^ — раз-
разпри п>5.
Рис. 6.2'.
множества (Р, s?). Всегда считаем, что N —
личные, а Г{ — натуральные числа.
а) Решеткой не является только (Р (л), г
n
(=1
n
=> ICJV- 1I =
ft=l 1-е
и!
I I П h 1чвл '
Мощность множества (В (Sn), с) обозначают через S (л) и называют
числож Белла.
ai + ••• + «„-*
Мощность множества (Vn (?), с) обозначают через G (л, г?) и назы-
называют числом Галуа.
(N, \)k = [d =
в)
Ясно, что если ?«s min rh то | (JV, \)k\ равно числу сочета-
нии с повторениями из п элементов по k, значит,
min
п ai! ••• ««I (И) Х ¦¦¦
Мощность множества (В (Sn), c)ft обозначают через S (я, А) и
называют числом Стирлинга второго рода.
-lj ... (q-l)

334'
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ. ГЛАВА VI
§ 2. УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА
335
Число , называют гауссовским q-биномиальным коэффициен-
коэффициентом [GoldmanJ., R о t a G.-C. — In: Comb. Th. and its Appl.
Collog. Math. Soc. J. Bolyai, 1970, № 2, p. 477 — 509].
г) В булеане имеется л! максимальных цепей от 0 до 1; дей-
действительно, в цепи {Sn =э Sn-t =э ... => 5i z> {0}} первый член выби-
выбираем одним способом, второй — л способами, третий (п—1) способом
и т. д.
Пусть в (В (Sn), cz) число максимальных цепей от 0 к 1 есть
или рекуррентности g{n) — [n)g{n—1) сразу следует, что g(ri) =
= п\(п—\)\12п'1. Если g(x, у) — число максимальных цепей в бел-
лиане от х к (/, то аналогично имеем, что если яе(В (Sn), cz)k, то
g(n, l) = ftl(*-l)l/2*-i; если п <= (В (Sn),
всех разбиений типа (пъ ..., п^), то
g(n). Тогда из рекуррентности g(n) = j
...
S{r)e(n —
)л я
—множество
ft
= (А-йI Д п,-!
f i
Вопрос о вычислении /(л) —числа максимальных цепей от 0 к 1
в (Р («), s?) — поставлен Б. Морганом.
Существуют такие константы сх> 0,31553, с2<11, 31371, что
<ппп12 < ^ ^ < с«лч/2_ Если для pg(P (л), ?S) / (р) — число макси-
максимальных цепей от 0 до р, то
/Bй, 42) =
fBA, 31, 42) =
/BЛ, 5i)=
/BЛ, З1, 5!) =
/Bй, З2, 51) =
/B», 6i)
fBh, 31, 61)
/ BЛ, 71) = (ft + 1) (Л4 + 49ft3 + 606ft2 + 2764ft -f 3960/120
[ErdosP, Guy R. K., Moon J. W, — J.London Math. Soc» B),
1975, 9, p. 365-370].
Если С (х, у) — число максимальных цепей от х к у в (Vn (q), с),
то число С @, 1) цепей {Vn =э Vn_! =>... zd Ух}, очевидно, равно
Аналогично,
д) Таким образом, если С @, п, 1) — число максимальных цепей
от 0 к 1, проходящих через v^(Vn{q), cr), то
С@, о, 1) = С@, 1»)С(». 1) =
Для xe(if (Sn), с) число максимальных цепей от 0 к 1, проходя-
проходящих через х, равно | х |! (л— | х |)!
Если g @, л, 1) —- число максимальных цепей от 0 к 1, проходя-
проходящих через яё(В (SJ, cz)
1 «
то
, я, 1) =
е) Максимальная антицепь в {J?5 Eга), с) имеет [л j элементов
\L2J/
(см. задачу 6.2).
Применяя задачу 6.62 к беллиану, получаем, в силу результа-
результатов п. д), что если F — антицепь в беллиане и Fn =
= Fn(B(Sn), сЦ, .... v то 1 к
k\
(n—V
*=4ft-l/"i
_„ \n-i-4
1.
F.9f)
Вторичной спецификацией разбиения яе(В EЯ), с=) назовем
систему чисел (oti а„), где а,- — число блоков я объема г, так
что \ •а1-\-...-\-пап = п. Через (В EJ, с:) „ обозначим мно-
1 п
жество всех разбиений со вторичной спецификацией (аь ..., а,п).
Тогда, если Fa а =F[\(B(Sn), c)e . а , то F.9') можно
переписать в форме
k\
Zi II —
...«„[ ("Л -("')"*
л!
I. F.10')
Ясно, что если Z7 — насыщенная антицепь, то в F.9') и F.10')

336 ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ. ГЛАВА VI
реализуется равенство. Положим F = (B(Sn), cz)k, тогда
0,
следовательно, из F.10') имеем
k\
x\ ...an
n —P
ft-1,"
F.11')
где Cft (я) есть, очевидно, число композиций п на /е слагаемых (ком-
(композиция—представление натурального числа в виде упорядоченной
суммы натуральных чисел).
Если F — максимальная антицепь в (Vn (g), с), то |F |= .
Отметим, что max " = " ; действительно, исходя из опре-
деления, имеем
Л-1
Согласно задаче 6.62 имеем, что если /rA =
из д), то
V С@, », 1)
n to).
и С @, w, 1)
1
С@,
?"-*-I)... fo^l) (? Tl
to»-
Г n 1 '
L[n/2]J,
Экстремальной антицепью может служить (Vn{q), cz)[ny,2j.
Максимальная антицепь в (Л/, 1) реализуется средним уровнем
(Л/, |)г „ -, [de Bruiju N.. Van С. А., Те ng be rge n E.,
L J
Kruyswijk D. R. —Nieuw Arch. Wisk B) 1952, 23, p. 191—193;
Алексеев В. Б. —Дискретный анализ, 1974, 26, с. 20—35].
6.111. Если х, ye(^(S), =) и х<=у, то ц (х, (/) = (— lI^-*1.
Для (N, |), если лс | ^ 17V, то (х (ж, у) = ^1^ ((//^ — классическая
теоретико-числовая функция Мёбиуса.
Для (В (Sn), c=), если я <= (В (Sn), с:) имеет ровно ? блоков, то
§ 2. УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА
337
Мёбиус-функция (Р (/г), ;?) еще не имеет представления в замкну-
замкнутой форме.
Для (УП(Я), <=). если ^ сг (/cz 1/„, то ц (х, у) = (— l)rf(</)-<<(*> x
/¦d()d()\
, где d (х)—размерность х.
), если х czy с: П„, то \i(x, j/) = (— I
Для (
— размерность х.
6.114. 2] Ж*) И*, *)=
t где
=2 f(y) л
у г^х у
6.118. Пусть rfb ..., dm — различные делители числа N =
= р11...рл", среди которых нет пары взаимно простых. Тогда, если
Cft I k \
(У.
/? =
/•,-, то max
1
max
1Ь-«/П
,-.л
где сумми-
рование ведется по всем подмножествам [i1 ik] множества
{1, -.., л}.
В частности, если N = р\... ргп, то
max m-
rk, n=\ (mod 2),
2 \n/2
что при r = \ дает 2я (см. задачу 6.3) [Erdos P., S с h о ti-
tine im J. —In.: Comb. Theory and its Appl., Colloq. Math. Soc J. Bo-
lyai 4, Balatonfured N —H P. С 1971, p. 369—376].
6.119.
(B(Sn), c)^fO, n], где
6.120. UB(Sn). <=)я
n!
...nk\
n!
где а,- —число тех n,-, для которых n, = i (/ = 1, ..., /fe), т. е. {a,} — вто-
вторичная спецификация разбиений типа (п^ ..., пк).
6.121. Согласно задаче 6.119, если л е (В (Sw), cz) , то
ft ' *
j [0, я]|== XX В(пд- Помимо того, ясно, что если п е (В (Sn), cr)ft>
* 1
12 Под ред. 1^. А. Рыбникову

338
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ. ГЛАВА VI
§ 2. УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА
339
то [0, Jt]9S(B(S/(), cr); стало быть, если ns(B(Sn), cz)k> то
[0. л] | = В (*).
6.122. В алгебре инциденций над (В (Sn), cr) рассмотрим тож-
тождество ;;2*ji = ?, где квадрат понимается, конечно, в сверточном
смысле, т. е. ?2 (х, {/) = ?*?(*, У) — \1Х, У)\- Следовательно, исход-
исходное тождество в развернутой рорме можно представить так:
Р«Ц@, 1) =
Ц0,
0. 0.
Преобразуем входящую в него сумму
= 2 (-i)*-4ft-i)i E
*1 *e(B(S
0'л]
?
х
(—1)*-ч*—
6.123. k(n, l) = n — ]n/l[-\-1. Рассматривая разбиения
P = (]j[ [-J-]) e P, (n). fl-(n
видим, что условие их вложимости влечет неравенство ?^л— ]"/'[+ 1.
Ясно, что при /=1 или л;>;/^я/2 последнее неравенство точно.
Покажем теперь его неулучшаемость и в общем случае, т. е. если
k — n — ]n/l\-\-\, то для этих п и I выполняется требуемое условие
вложимости уровней: Vp<=Pt Vq<=Pk p^q. Воспользуемся индук-
индукцией по n^s при фиксированном k. Согласно предыдущему, пред-
предположение индукции имеет место, если n^2kt предположим, что это
так вплоть до п — 1 и покажем, что это так и для п. Разбиения
ранга / будем представлять в виде (пи пъ.,.., ni) = (nu Pi-\{n—n{})^=
= (t, Pi-i(n — t)), где f = n15snj2s...5i/t/, Рм(и-')еРм(«-')'
Ясно, что n—l~\-\^t^]n/l[. Разбиения ранга k будем представ-
представлять в виде (г, Pk-\(n — r)), где г 2г/п2 Э=... $= mfr, pfr_, (л — г)—
= (тг, ..., tnk) e Pfc_! (л — г). Ясно, что \п/1\^г^2 и Vp e Pi
(]//[, 1*^), поэтому достаточно рассматривать такие г, что
^2
Действительно, если это не так, то
значит,
Пусть (t, Pi-i(n —1))<= Pi(n) и (r, pfr_! (л-/-)) еР4 (л); пока-
покажем, что (t, Pi-\{n — 0) 5^ (r> Pk-i(n — ''))• Очевидно, для этого до-
достаточно показать, что (t — г, P/_i (п — 0) ^ Pk-i(n —''); здесь ясно,
в силу неравенства /•<]«//[, что (t — r, p;_, (л — /)) <=pk(n — r). При-
Применим индукционное предположение для п — г: k(n — r, l) = n — г,—
— ](п — /•)//[ -f-1 и заметим, что имеет место неравенство
1 >r-f-](n — r)/l[ и,
или r<zl/(l—1), что неосуществимо при г ^2. Теперь в силу опре-
определения функции k(n — r,l) и доказанного неравенства получаем,
что всякое разбиение числа п — r ранга не меньше, чем k(n — r, I),
вкладывается во всякое разбиение п — r ранга I, а стало быть и раз-
разбиение pk_x (п — г) в разбиение (t — r, Pi-i(n — t)) [Баранов В, И.—
Матем. заметки, 1981, 29, № 2, с. 222—224J.
6.124. \Vn{Q)\^Qn-
6.129. Воспользуемся тем же алгебраическим приемом, что и
в задаче 6.122; именно, распишем тождество ?2*fx==? в алгебре
инциденций над (Vn (<?), с):
[0, «] i |* <о, 1) =
О < v
G(d(v), q)(-l
и< !
\ 2 /.
6.130. Поскольку Vn (i?) имеет ^" точек, а Vn_! (^) cz Vn (q)
имеет i?" точек, то искомое число прямых равно (qn — ЯпI(я — 1) =
6.131. Если F cz(Vn(q), cz) таково, что WA, BmF, А[)В = ф,
то при л == 2fc+l max[F|= ?~.j •
Если F <=(Vn(q), <=.) таково, что УЛ, В s F, dim (Л
то при п3=2^ + 2 либо при п~^2к-\-\ и 3
max \ Fl =
[Hsieh W. N.-Discret Math., 1975, 12, № 1, p. 1 — 16].
12*

340
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ. УКАЗАНИЯ. ГЛАВА VI
§ 3. Матроиды и комбинаторные геометрии
fl и пусть Х=*А. Тогда из
А
6.140. Пусть из А <= В следует
Л Е В следует Л г В = В.
Обратно, пусть из A s 5_следует, что Л s 5, Тогда из Л
следует, что Л = Л. Но А Е А. Отсюда Д = А. Кроме того, из A s
S В s В следует А г В.
6.141. Указание. Выбрать за отношение замыкания А->-А,
где А —пересечение всех замкнутых подмножеств содержащих А,
Такие геометрии называются геометриями Уилла. В случае я = 0
геометрия Уилла является проективной геометрией.
6.142. Для произвольного /igS определим замыкание А сле-
следующим образом:
[ Л, если А содержит менее п элементов,
л j В, если Л содержит не менее д элементов и Л содержится
1=1 в члене покрытия В;
$ в остальных случаях.
Ясно, что для всех /1=5 имеем Л s Л. Пусть А ^ В. Тогда либо В
имеет меньше чем п элементов, либо В есть член покрытия, либо В
равен S. В первом случае А имеет т < п элементов и является
замкнутым. Во втором случае либо А замкнуто, либо его замыканием
является В. В любом случае A s Б, и, следовательно, А -*¦ А есть
замыкание. Всякое подмножество А 1= S имеет некоторое подмно-
подмножество, содержащее не более чем (л+1) элементов с тем же замы-
замыканием. Таким образом замыкание обладает свойством конечного
базиса. Осталось доказать свойство замены. Пусть а е /I U &, а ф А
для некоторого Л = 5 и a, 6sS. Так как Л и А\}Ь отличаются
лишь единственным элементом, то имеются три возможности для Д
и А\ГЬ-_
1) A\]b = S и А есть член покрытия;
2) Л U Ь есть член покрытия, и Л = Л имеет п — 1 элемент;
3) и А = А, и A[}b = A[}b имеют менее чем п элементов,
В первом случае а ф А и, значит, A[]a = S. Во втором случае
А[)а имеет п элементов и является подмножеством члена покрытия
А\]Ь. В третьем случае а = Ь. В каждом случае Аив=Ли^ и tig
еЛиа- Построенная геометрия удовлетворяет требованиям задачи.
6.143. Заметим, что B = Kh{B), где ft(B) = {/«=V: f(s)=O для
всех sefi} и /С (W) = {$ <= S: / <s)=0 для всех /eW}. Тогда
gT5 (S) s= о/5 (У) порождают связь Галуа. Отсюда Kh (В) является опе-
k
ратором замыкания.
Докажем свойство замены. Пусть s е В[] (, но эф В, где Ве5
и /eS, Тогда существует [еУ такая, что I (р) = 0 для всех р е В,
I (и) ^ о и f (t) ф 0. Если предположить, что t s$ B[}s, то для неко-
некоторого geK такого, что g (р) =0 для всех р е В, g (s) =0 и g (t) ф 0.
По условию задачи без потери общности можно считать, что g (/) =
§ 3. МАТРОИДЫ И КОМБИНАТОРНЫЕ ГЕОМЕТРИИ
341
f (t). Тогда r=} — g<=V и имеем:
r(p)=f(p)— g(p) = 0 — 0 = 0 для всех р
Но это противоречит тому, что smB[}t. Значит, /gB[Js. Свойство
замены установлено. Отсюда множество S вместе с отношением В-+В
является геометрией.
6.144. Очевидно, что С д /[Л| В] (С) и что из Cs D следует
J,A B,(C)^.J,A щ (D) для всех С, D^B\A. Осталось доказать
идемпотентность: ЛА b]J[a, В] (^ — ^[А, В] (О Для всех С
В самом деле,
\а, B]J[A, В] (?) =
- ГГС U А П Д) U Л П 5] \ Л = [(С Ц Л Ц Л) П (В U Л) П Д] \ Л =
= (\C[jA{](BUA)](]B)\A.
Из соотношения С U А П E Ц Л) = (С U Л) следует С [) А П (Д U Л) s
П = СПЛ • Отсюда С11Л f| (В U Л) П Д = СуЛГ) В. Следовательно
т. е. получили 7[Л_ В]71Л_ щ (CJs/^ S](C). Но У[Л> В]7[л> В] (С) а
— ^[Л, ?](с)- Отсюда
¦^[Д, В]^[Д, В](^) = ^[Л, В\ (О>
что и требовалось доказать.
6.145. Если в операторе замыкания Л^ в-, (С) из задачи 6.144
положим А = ф, то получим У{С) = /гф в-.(С)=СП-8. Значит,
С->-/(С)—отношение замыкания. Свойство замены очевидно также
имеет место. В самом деле, пусть р е J (C\j {<?}), р ^ J (С). Тогда
р е CU {?} Л Д. но р ф Cf\B. Значит, peCU {^}, HO_pj?_C. Отсюда
по свойству замены для геометрии G (S) имеем geCU {p}. Следо-
Следовательно, q ^ С{] {р} Г\В, так как р, q ^ В.
6.146. Если в операторе замыкания Лл в-, (С) из задачи 6.144
положить B = S, то получим У(С) = Лд 5-.(С) = СиЛ\Л. Значит,
C-+J (С) является отношением замыкания. Осталось проверить свой-
свойство замены: Для любых р, q e. S\A и для всякого Cc:S\A,
если реУ(Си{д)), р ф J (С), то <7e/(C|J{p}). В самом деле,
пусть р е C{J{q) \JA\A, рфС[]А\А. Очевидно, что р, цфА.
Отсюда реСиЛи{<?К р^СиЛ. В силу свойства замены в гео-
геометрии G (S) имеем, что q <^ С[]А[}{р}- Но q ф А. Следовательно,

342
ОТВЕТЫ. РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ ГЛАВА VI
6.147. Пусть поверхность у покрывает поверхность х. Будем рас-
рассматривать поверхности как подмножества множества S. Выбираем
атом а из у — х. Тогда х<х\/ а = у. Следовательно, х\/а==у. Обратно,
пусть jreZ,—атом из L, афх и существует поверхность г е L
такая, что х<г^х\/а. Выберем в множестве г —я: элемент Ь. Тогда
Ьфх = х и b <= x\ja = x\/а. Из свойства замены следует, что ае
ex\Jb^ z = z. Но xsgzHa^z означает, чтох\/а^г. Значит,
x\/a—z и x\Ja покрывает х.
6.148. Непосредственно из задачи 6.147 следует, что для некото-
некоторого атома а имеет место соотношение у — х\]а. Тогда y\Jz =
= (x\Ja)V'г = (х\'г)У а. Значит, (y\Jz) \ (x\/z) (по задаче 6.147).
6.149. Пусть существует бесконечная цепь поверхностей. Это
означает, что найдется либо бесконечно убывающая, либо бесконечно
возрастающая последовательность поверхностей. По свойству конеч-
конечного базиса для любой возрастающей последовательности {А{} замк-
замкнутых подмножеств множества 5 объединение U Л; содержит конечное
подмножество А такое, что Д=11Л,-. Значит, найдется такое j, что
А = Л;. Следовательно, U At —A ^ А; = Л< и последовательность
должна оборваться на замкнутом множестве A-t. Осталось показать,
что не существует бесконечно убывающей последовательности поверх-
поверхностей. Пусть {Л;}—бесконечно убывающая последовательность замк-
замкнутых подмножеств множества 5. Выберем бесконечную последова-
последовательность {а,} так, чтобы агеЛ;_1\Л,-, где i — \, 2, ... Поскольку
Ti+i^{ai+1, ai+2, ...}?= Л;, то сцф Тт для всех i=l, 2, ... Пусть
В, = {аь ..._, а;_!, а,+1, ...}, т. е. дополнительное множество к щ.
Если at <= Bi для некоторого i, то существует наибольший индекс j
такой, что aj se Tf(]Bi (/ s? t — 1). Пусть В = Г/+1П Bt. Тогда В U О/ =
= Т/(]В{. Кроме того, щфВ, a,-eB|Ja/, и по свойству замены
имеем а;-е В [) щ. Но поскольку
1, получаем противоречие
с тем, что а,- ф Ti+l для всех i. Следовательно, а,- ф В; для всех i.
Но это противоречит условию конечного базиса, так как для всех
С = Ti имеет место С ф Г,-. Значит, не существует бесконечно убы-
убывающей последовательности поверхностей. Доказательство завершено.
6.150. Пусть x = so< ...<sn = y и x=to< ...<tm = y — две мак-
максимальные цепи от х до у. Если л = 0 или п=1, то, очевидно, цепи
совпадают. Предположим, что условия задачи справедливы для всех
пар х', у', между которыми существуют максимальные депи длины
меньше га. Непосредственно из свойств покрытия следует, что SjV^i
покрывает sx и tv Выберем максимальную цепь s1\Jti = u2<u3<i...
...<Zup — y от %V^х до у. Сравнивая две цепи от Sj до у, мы полу-
получаем, что р = п (по индуктивному предположению). Таким образом,
максимальная цепь от tx до у имеет длину п— 1 и т = р = п (по индук-
индуктивному предположению).
6.151. Пусть а&А. Для_ каждого Л = 5 выполнено а^БирЛ.
Значит, Л S А. Если /tsg для Л, В S S и ае| то a ==S sup В.
Отсюда sup A ^ sup В и, значит, А<== В. Таким образом, отношение
А -*~ А является отношением замыкания.
Пусть х = 5ирЛ в L для каждого А е S. Если афА, но
а е Л U{&} для в, teS и Л S 5, то а^х, а^х\/Ь. Но х\/&
§ 3. МАТРОИДЫ И КОМБИНАТОРНЫЕ ГЕОМЕТРИИ
343
покрывает х, так как структура L полудедекиндова. Поэтому х
<x\Jas?;X\Jb влечет x\ja = x\Jb. Следовательно, Ь^х\/а и б
е Л (J {а}, т. е. выполнено свойство замены.
Условие конечности и изоморфности структур легко вытекает
из свойств геометрической структуры, а именно атомности и конеч-
конечности цепей.
6.152. Очевидно, А^ А для каждого A^S. Пусть Л s В, где
Л, В s S, и пусть a e Л для некоторого а<= S. Тогда по свойству
полумодулярности б) имеем
(здесь также воспользовались тем, что из Л = В следует г(А)^г(В)),
Следовательно, Л s В.
Докажем идемпотентность (Л = Л). Для этого покажем, что
г (А) —г (А) для всех Л S 5. Используя условие конечного базиса г)
и полумодулярности б), можно легко вывести соотношение:
если А ^В, где А, В <= S и В\Л = {сх сп\, то
r{A[}ct),
Для заданного TlgS выберем конечное подмножество В1 s Л такое,
что г(В1) = д(Л), и выберем конечное подмножество Ct = А такое
что /¦((:,.) =/-(Л). Пусть С = С1[}ВЪ Тогда Bj = С, С—конечное
подмножество множества Л и г(С) = л(Л). Заменим теперь В1 через
В = А(\С (В—также конечное подмножество множества С) с г{В) =
= г(А), так как В, s В с Д. Кроме того, С\В = Л\Л. Поэтому
для каждого
a s С\В, /• (В) ^ л (В у а) ^ г (Л U a) = /¦ (Л) = г (В),
Применяя полученное выше соотношение к С\В = {ах а„},
мы находим, что
Поскольку /-(Л) = /-(Л) справедливо для каждого А = S, то крите-
критерии для включений оеЛ и а е Л совпадают, и отношение Л -> А
идемпотентно.
Для каждого ^sS существует конечное подмножество В = Л
такое, что г (В) = г (А). Следовательно, В = А и отношение замы-
замыкания имеет свойство конечного базиса.
Если b ф А, но Ь ^ А\}а для некоторого Л s S и а, Ь е S, то
,(Л)+1=/-(ЛиЬ)^'(Лиаиб)=='-(ЛиаН2/-(Л) + 1. Таким обра-
образом, г (А[}а[}Ь) = г (A[jb). Значит, а <= Ли^ и отношение замыкания
удовлетворяет свойству замены и определяет предгеометрию на S.
Пусть дана произвольная максимальная цепь ф=*А0 с ...с:Лп=
= S замкнутых подможеств Л, s S, г (/4j) = t для i = 0, ..., гг. Так
как для каждого а<= Аш\ Л,-, Л;(_)" — Л;+1 и л (Л,-) < /¦ (Ai+l) =з

344
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ. УКАЗАНИЯ. ГЛАВА VI
= г (Лг- U a) sc r (Л,-) + 1, то значение функции г (А) равно геометри-
геометрическому рангу множества А.
6.154. Для всех /4^5 определим
[ \ А\, если А е $?,
)={ \К
если КеЖ1, КеАине существует N
такого, что N s А и , N \ > ] К |.
Проверим все свойства, необходимые для того, чтобы /¦ была функ-
функцией ранга (см. задачу 6.152). Все эти свойства очевидны, кроме,
быть может, свойства полумодулярности. Докажем свойство полу-
полумодулярности.
Пусть КеЖ такое, что К<=ЛЛВ и г(А(\В)=>г(К) = \К\.
Из А[\В <= А и А[\В = В и условия в) следует, что найдутся
NA <= Л и Д/в <= В е$Г- такие, что К <= NА, К ? Л/в> а (Л) = | Л/А |
и /-(В) = |Л/В|. Так как NA и A/fi —максимальные независимые под-
подмножества, содержащиеся в А и В соответственно, то г (А[)В) =
\N^N\ О
= | N
A\jB
что и требовалось доказать.
6.155. Проверим свойства а), б), в) предыдущей задачи,
а) Й)ЕA?, так как ф е a/^ ифе е%Г2.
б) Пусть Ке^иЛ/еК. Запишем K = /dUK2 и Л/ = Лг1иЛ/8,
где Кь ^ей1!, К2, Л/2 е»Г2. Поскольку КхПК2 = 0 и Л^ПЛ/^
= Ф, то из условия Л/ s К следует, что Д/х s Ki и Л/2 ? К8. Значит,
Nt^Ki и A/2<=/C2, т. е. Л/х U Л/2 .= а%Г.
в) Пусть /С, /Ve^ и |tf| = iK +1, K = /<iUK2, N^NiUNt,
где Ки' NteSffi и /С2, TV, е= з/Г2, | JVX U W»! = i JVX1 +' N2 , (так
как Л^1ПЛ/2 = Ф); ! A"i U /С21 =! /Са . Н-' ЛГя I (так как К1(]К2 = Ф).
Тогда | Л/j j-f!JV2j = ! Kil + \K2\ + \. Отсюда либо |A/ii>:Ki|,
либо ; N21 > | Кг |. Далее по свойству в) в каждой геометрии.
6.156. Ясно, что Bj и ВаеЖ. Пусть Вх s В, но Вхф Вг.
Отсюда по свойству в) задачи 6.154 следует, что в В2 найдется
хфВ\ такой, что BiU{*} e о/С, Это противоречит тому, что Вг —
базис геометрии. Значит, В1 = В2.
6.157. Очевидно, (ВД^еЖ". Известно, что IB1:=B2L
Отсюда | В2! = j Bx \e j+ 1. По свойству в) задачи 6.154 получаем,
что в В2 существует /^Bj\e такой, что (Вг \е)ill f e (Ж*. Но так
как (Bi \e)U/ =! ^г =! Ва!, то {B1\e)\]f ^ S8.
6.158. Указание. Проверить выполнение условий задачи 6.154
для семейства Ж и условий задачи 6.152 для ранговой функции г.
6.159. Указание. Воспользоваться определением цикла пред-
геометрии.
в. 160. Таковой является свободная предгеометрия (дискретный
матроид) на множестве S, имеющая (-ий) только один базис, а именно
само множество 5.
6.161. Если С —цикл и ееС, то г {С) = г (С\е) = \ С | — 1.
Если Cj и С2 —различные циклы, то г (С1ПС2) = ; CiflQ :• По свой-
свойству полумодулярности г (Ci иС2)-Ь, С1 [\С2 ] ^ \ С1 ,-J-| Сг j — 2, От-
§ 3. МАТРОИДЫ И КОМБИНАТОРНЫЕ ГЕОМЕТРИИ
345
eeCiUCj, то
что (С1[)С2)\е
сюда /• (Сх (J C2) sc d U С2 — 2. Но так как
'¦((CiUC!!)\e)^l(CIUCa)\e|-l. Это означает
зависимо, что и требовалось доказать.
6.162. Множество В\]р зависимо и, следовательно, содержит по
крайней мере один цикл. Ясно, что р еС для каждого цикла С из
BUp. Если С —цикл из В[)р, отличный от С, то р е С(]С Тогда
в силу задачи 6.161 существует цикл D такой, что D е (С О С')\ Р ^
s В. Но это невозможно, так как В является независимым. Полу-
Получили противоречие с предположением, что существует отличный от С
цикл в В Up- Следовательно, цикл единствен.
6.163. Условия а) и в), очевидно, выполняются. Справедливость
б) доказана в задаче 6.161. Докажем, что из б) следует б'). Предпо-
Предположим, что это не так. Тогда среди всех контрпримеров к нашему
б С ~ '
р
утверждению выберем такие С ФС
наименьшим среди циклов со
Но в этом случае существует D
что J С U С | является
Очевидно,
С П D. Тогда в
J U |
свойствами ре CU С, q e С\С.
такой, что D = С у С и р ф D,
и | D[}C \ < ! С[] С
у , | |
имеет место условие б'). Значит, из С, D
Пусть г е
силу того, что | Ь \]С | < | С \]С \, для D и С
б') З С r^C'(]D, ре
\ следует, что существует D'Egf такой, что р ^ D'^
s (C'U?>) \л. Но С Ф D', и для пары С и D' не выполняется усло-
условие б'). Кроме того, I CU D' \ < I С\]С' I, а это противоречит предпо-
предположению о минимальности выбранного контрпримера. Значит, из б)
следует б')- Мы доказали даже больше, чем требовалось в условии
задачи, а именно доказана эквивалентность условий а), б), в) и а),
б'), в).
6.164. Пусть гМ ¦— семейство подмножеств 5, удовлетворяющее
условиям а), б), в), и пусть e%?={4^S: А не содержит С для
всех CGef(, Достаточно проверить выполнение условий а), б), в)
задачи 6.154 для семейства Ж.
6.165. Множество AeS представимо как объединение циклов
тогда и только тогда, когда для всякого а е Л существует цикл С
С ^ А, т. е. а •
такой, что а
А \ {а}. Для некоторой точки а<= А
аф А\{а} тогда и только тогда, когда существует замкнутое мно-
множество С такое, что СэЛ\(о}, но С J А. Заметим, что в этом
случае 1Л\С| = 1, что и требовалось доказать.
6.166. Предположим, что существуют независимое множество А
и aeS такие, что Сх[]Сг^ А\]{а}. Тогда а ^ С1(]С2, и, следова-
следовательно, в силу задачи 6.161 существует цикл С3 предгеометрии G
такой, что С3Е(С1иС2)\яЕ Д, а это противоречит независимости
множества А.
6.167. Необходимо сначала проверить, что г* действительно
является ранговой функцией предгеометрии на множестве 5. В силу
задачи 6.152 надо убедиться в том, что функция г*, определенная на
всех подмножествах множества S, принимает целочисленные значения
и удовлетворяет условиям полумодулярности, монотонности, норма-
нормализованное™ и конечного базиса.
Чтобы доказать неотрицательность функции г*, заметим, что
r(S\A)^r(S) и, следовательно, /¦* (Л)*? | Л !. Кроме того (со-
(сой й ф )
)() ( | р
гласно свойству полумодулярности ранговой функции г), имеем
/G)^(A) + (S\A), у г (S) (S \ A)
| Л j. Отсюда сразу вытекает, что г* (Л)
р фу )
и поэтому г (S)~ r (S \ A) ^r( A)
* (Л) 0

346
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ. УКАЗАНИЯ. ГЛАВА VI
Докажем свойство полумодулярности для г*. Для любых A, B<=S
имеем
(согласно свойству полумодулярности для г).
Доказательство оставшихся свойств также проводится непосред-
непосредственно.
6.168. Покажем, что если В*—базис в G*, то S\6* является
базисом в G; обратный результат получается простым обращением
рассуждений. Так как В* независимо в G*, то I В* |=г* (В*) и,
следовательно, г (S \ B*) = r (S). Таким образом, осталось только
доказать, что S\6* независимо в G. Это сразу следует из равен-
равенства г* (B*) = r* (S) (надо применить еще указанное выше выражение
для г*).
6.169. Поскольку А* независимо в G, то
г (S\ A*) = | S|-| А* \~r* (S) + r* (Л*) = | S\-r* (S)=r (S).
Так как А является независимым подмножеством множества S\-4*,
можно расширить его до базиса В множества S\/4*, который
в силу приведенного выше равенства должен быть базисом G. Тогда
S\B является искомым базисом из G*, содержащим А*.
6.170. Указание. Воспользоваться соотношением для ранго-
ранговых функций, а также результатом задачи 6.167.
6.174. Указание. Воспользоваться результатом задачи 6.158.
6.175. Это теорема Наш —Уильямса. Доказательство см., напри-
например, [Aigner M. Combinatorial Theory. —1979, с. 291].
6.176. Указание. Воспользоваться решением задачи 6.155.
6.177. Пусть Жх и $Съ — семейства независимых множеств
предгеометрий Gj и G2 соответственно. Подмножество А независимо
в G2 тогда и только тогда, когда S\^ содержит базис В пред-
геометрии Gf. Очевидно,
! А \, /te^ifl^s}^
^ max {I A U В |, А е= 9?ъ В <= &?*} =| Ах U Вг |,
где мы можем считать, что Bj —базис G| и А1[\В1 = ф. Следова-
Следовательно, для /^еа^П^г в СИЛУ задачи 6.176 имеет место ра-
равенство
max \A t = -/-f (S)+ min
A—s
= min
,4=5
rf
S\ A |) =
6.178. Без
Положим r(S)
= r(XUYi)
й
ограничения общности предположим, что S =
|Bj | = | В2 !=«. Для сжатия М1=Л1/У1 имеем
XS\Y С
*i\ Аля всех X^
й фй (X
1/1 ,()
Существует матроид М1
й X В
= r(XUYi)\*i\ А \t ущу р 1
с такой же ранговой функцией гх (X), определенной для всех X = Вг,
Аналогично, существует матроид М$ на 62 с г2 (X) = г (X U Хх) ~\Х1\,
X = Вг. Для двойственного матроида M3 = Mf на ба получаем
§ 3. МАТРОИДЫ И КОМБИНАТОРНЫЕ ГЕОМЕТРИИ
347
r{{B2\X)\JX1)~n. ДляХ = В2, Y=B2\X с учетом
условия полумодулярности ранговых функций имеем
-| Y-x \ — \ Xj'.
Тогда в силу задачи 6.177 существует Х2 s В2, \ Хг\ = \ Хг\ такой,
что гх (Х2) = г3 (Х2) = | Х2 |. Следовательно,
r(Xi\jY1) = r(Y2[jXl) = n, где У2 = В2\Х2
[Woodall D. R. — J. Comb. Theory, 1974, 16, p. 227—228].
6.179. Доказательство по индукции. Случай /г = 2 следует из за-
задачи 6.178. Предположим, что результат справедлив для разбиений,
содержащих меньше чем k блоков. Пусть Sx •=, S и T^sT —мно-
—множества, для которых (S\Sl)\JTx и (rXT^USi—базисы предгео-
предгеометрий G. Рассмотрим предгеометрию Gi = G/S] с функцией ранга
/¦1(X) = /-(XLM,)-r(S1). Заметим, что rx (S \ Si) = /¦, (Т \ Тх) =
= ri (<Ji), т. е. S \ Si и Т \ 7\ — базисы предгеометрий Gx- Тогда
имеем разбиение S \ Si = S2U . ..(jS^ на k—\ блоков. По индуктив-
индуктивному предположению существует соответствующее разбиение Г\ 7\ =
= Тг\]...\]Ть такое, что (S \ S, \ S{) [) Tt — базис G, для (=2 k.
Отсюда следует, что (S \ Si)[}T( — базис предгеометрий G для i =
= 2, ..., ^. Но так как (S\ 51HТ'1--также базис G, то утвержде-
утверждение доказано.
6.180. Проверьте, что семейство a%*(G|S) удовлетворяет усло-
условиям задачи 6.154.
6.181. Пусть /1еВ, в X,, Ха — максимальные множества из А,
являющиеся элементами семейства Ж (G. В). Тогда существуют Уь
У2 —оба максимальные независимые подмножества из S \ В такие,
что Хх U V, и Х2иУ2 независимы в G. Таким образом, если Вг =
= (S\B){)A, то ХхиУ1 и Х2иУ2 должны быть базисами G | Вх.
Следовательно, \ X1\jYl\=\ Хг[)У%\, и поэтому |У,| = |У2| и
Х1ПУ1 = Х2П>/2='7), I Xi | = iX21. Итак, семейство SfC (G. В) удов-
удовлетворяет в) задачи 6.154. Легко проверить, что феЖ(б.В) и
любое подмножество из Хе Ж(С. В) также принадлежит Ж(С В).
Следовательно, G. В является предгеометрией на В.
6.184. Указание. Воспользоваться результатами задач 6.182
и 6.183.
6.185. Для доказательства воспользуемся соотношениями для
ранговых функций, полученных в задачах 6.167, 6.182 и 6.183. Пусть
G(S)\A имеет ранговую функцию гд. Тогда ранговая функция т''А
предгеометрий (G (S) \ А}* удовлетворяет для всех б s А равенству
г*А {А \ В) = 1 А | — г (А) — | В , — г (В). В силу задачи 6.183 ранговая
функция г|/5\л предгеометрий G* (S)/(S\A) находится следующим
образом:
= r*(S\B)-r*(S\A) =
\B))-\S\A\ + r(S)-
= | A |-[ В \ + r (B)-r

348
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ. ГЛАВА VI
Тем самым а) доказано. Для доказательства б) воспользуемся слу-
случаем а). В самом деле, (G* (S) | (S\ A))* = G** (S)/(S\(S \ A)) =
= G(S)/A. Отсюда (G (S)M)* = (G* (S) | (S \ Л))** = б* (S) (S-A),
6.186. Пусть о: P-+L— сохраняющая супремум функция, пере-
переводящая атомы геометрической структуры Р в атомы или 0 геомет-
геометрической структуры L. Для всех х, у е Р таких, что у \ х и у Ф х,
мы можем выбрать атом JeP такой, что х V Ь—у (см. задачу 6.147).
Но а (Ь) есть либо атом, либо 0 в L (по условию задачи). Отсюда
(а (Ь) \/ а (х)) \а (х). Поскольку о сохраняет супремум, то о (у) =
= а (Ь V х) = а (Ь) V °" М- Следовательно, о (у) | сг (х) и а — сильное
отображение геометрической структуры Р в геометрическую струк-
структуру L.
6.187. Каждое слабое отображение а: Р -> L, где Р, L —геомет-
—геометрические структуры, удовлетворяет для всех атомов iieP соотноше-
соотношению г (p(b))s^r (Ь)=\. Применив теперь результат задачи 6 186,
получим то, что требовалось доказать.
6.188. Таким отображением является, например, отображение
геометрии G:
OOP
а
в ее подгеометрию:
6.189. Пусть С —семейство замкнутых подмножеств Са подгео-
метрии G (Л), где А = S. Тогда
т. е. инъекция l сохраняет супремум.
Предположим, что замкнутое подмножество 8 покрывает замк-
замкнутое подмножество С в L (А) — структуре поверхностей подгеометрии
G (А). Тогда существует 6 <= А такой, что B = C\Jb = C{jb[\A. Из
последнего равенства следует В<=С\}Ь, а из С[)Ь^В следует
Q[)b^B. Так как b — атом геометрии G(S), то B = i(B) покрывает
C = i{C). Следовательно, инъекция сохраняет покрытие.
6.193. Во-первых, пусть К является циклом таким, что К =
= (Л UВ)\Ф, КП-4 ФФ и К[\Вфф. Возьмем г е= К ПВ и поло-
положим С = {К ПВ)\г. Очевидно, что С ш В, г г (С (J /4) П s, поскольку
K\zsCU^. Значит, Си(ЛП~В)=С1, так как ЛAВ = 0. Если
геС, то КПВ содержит цикл. Получили противоречие с тем, что
никакой цикл не содержит другого. Таким образом, (С11<4)ПВ=^
ФС[)(АГ\В) и пара (А, В) не модулярна.
Обратно, пусть пара (Л, В)—не модулярна. Тогда существует
поверхность С=В такая, что С [} А П В ф С [} (Л f] В) = С. Пусть
zeCU^RB и г фС. Тогда существует цикл К такой, что г а
еК^С U Л Uz. Очевидно, в этом случае К^(А[)В)\ф и К[\Вфф,
§ 3 МАТРОИДЫ И КОМБИНАТОРНЫЕ ГЕОМЕТРИИ
349
Кроме того, К[\Афф, поскольку в противном случае геК^СЦг,
так что геС, Полученное противоречие завершает доказательство.
6.194. Пусть (А, В) является модулярной в G. Положим Е = А [}В
и Я = С/?. Тогда А\Е и В\Е — поверхности в Я Пусть С —произ-
—произвольная поверхность из Я, содержащаяся в В\Е, Тогда С (J (А\Е)И |"|
С1ГЛП(S\?)П(В\Е) = СЦ7П(В\Е)=(С\уА П
=(С U И П В) П В)\Е=(по предположению)=С U (Л П В) f| (B\E)=CH.
Очевидно, что равенство имеет место, и пара (А\Е, В\Е) является
модулярной в Н.
Обратно пусть пара (А\Е, В\Е) является модулярной в Я.
Для того чтобы показать, что (А, В) является модулярной в G,
достаточно показать, что для каждой поверхности С из G такой,
что ylflBeCsB, имеет место С\]А fl В = С. Пусть А (\ В = С s В.
Тогда С\Е — поверхность в Я, а поскольку (А\Е, В\Е) является
модулярной в Я, получаем (С\?) Ц (А\Е)И П (В\?) = С\Е, т. е.
СиЛП(В\?') = С\?' и, следовательно, С\]А(]В = С.
6.195. Пусть G (S) — геометрия на множестве S. Построим ее
одноточечное расширение G'(Sf\{a)), взяв за отношение замыкания
A-+J (Л), где
НА)-
А, если аф А и А
А\а\]а, если
S U а, если
;Л и roD\a)<r(G)-l,
= 5 или a is А и л0 (Л\а) =
для всех А ^ S\J{a), Очевидно, это отношение замыкания.
Проверим свойство замены: пусть р е J (Л U {<?}). Р, <? Ф J (A).
Тогда могут представиться два случая. Во-первых, когда р = ае
eJ(A\Jq). Тогда либо q = a, либо г (A) = r (G)— 1. Отсюда (е
еУ(Ли и) или J (A U a) = S U а э fl. Во-вторых, кбгда р ^fe a, pe
е 7 (Л U {<?}). тогда
Равенство г (G') = r (G) выполнено по построению.
6.196. Очевидно, что &t? — фильтр. Условие А^&
лентно условию г (A (Jp) = r {А). Следовательно, если Л,
модулярная пара в G (S), то
эквива-
эквиваМ
-г (А) + г (В)-г (Л U В)-/- (ЛПВ),
таким образом, Л П В <= s^.
6.197. Обозначим через А-*- А и г соответственно оператор замы-
замыкания и функцию ранга в G (S). Пусть Г: SUP-^^o. гДе Л^ —мно-
—множество натуральных чисел с 0 такое, что
а) Г (А) = г {А) для A s S;
б) Р(Л ур) = МЛ)+1 для А <= S, Д
в) Г(Л УР) = ''(Л) Для А = S, А<в<

350
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ. ГЛАВА VI
Проверим, что Р —функция ранга, т. е. удовлетворяет условиям
задачи 6.152. Это будет также доказательством единственности рас-
расширения. Ясно, что функция Т нормализованная, монотонная и
удовлетворяет свойству конечного базиса. Для проверки условия
полумодулярности рассмотрим два случая:
1) пары А[]р, В таковы, что A, SsS;
2) пары Лир, В(JP таковы, что A, B^S.
Для любых А, В s S имеем г (A (J В \jp) — ? (А [}В) ^Р (A Up) —
— Г (А). Заметим, что левая часть неравенства всегда г? 1 и равна 1
при A U В е о/И, таким образом Л е в/И, так как в этом случае
правая часть неравенства также равна 1. Отсюда следует:
Р (A U В U р)—Г {A U Р) =ё Г (Л U В) — Р (А) = г (А {] В) — г (А) ^
(В)-А(ЛиВ)=7ЧВ)-Г(Ли8).
Случай 1) доказан. В случае 2) надо показать, что
Если A U В <? в/И, то также Л, Б, А{]В ф в/И, откуда следует нера-
неравенство. С другой стороны,- если A (J В е о/И, то это может быть,
лишь если Л е о/И, Se о/И и А, В — модулярная пара в G(S).
В этом случае Л, В также является модулярной парой и А(]В =
= Л Л 5 е= э#.
6.198. Указание. Воспользоваться решением задачи 6,197.
6.202. Не всегда; например, для дискретного матроида G (S)
такого, что г (S) = I S ], наращения не существует.
6.206. Да; например, предгеометрия на S, базисами которой
являются подмножества из S, содержащие четыре элемента, за исклю-
исключением подмножеств {1,2, 3, 4}, {1, 2, 3, 5}, {1, 2, 3, 6) и {1, 2, 3, 7},
{1, 2, 4, 5}, {Г, 2, 7, 6}, {1, 3, 4, 5} {1, 3, 6, 7}, {2, 3, 4, 5},
{2, 3, 6, 7} (или {1, 2, 3, 4} {1, 2, 3, 5}, {1, 2, 3, 6}, {1, 2, 3, 7},
{3, 4, 5, 6}, {1, 2, 6, 7}, {1, 3, 6, 7}, {2, 3, 6, 7}).
6.207. Матроид Фано Е7 нарастить нельзя, поскольку всякое
подмножество из S, содержащее четыре элемента, обязательно содер-
содержит хотя бы одну «запрещенную» тройку.
6.210. Например, предгеометрия иа множестве {1,2, 3}, незави-
независимыми множествами которой являются ф, {1}, {2}, {3}, {1, 2},
{1, 3}, будет графическим матроидом графа
2
I
6.211. Указание. Проверить, что С* является циклом
з (M(G))* тогда и только тогда, когда С* является разрезом в G.
6.213. Таковым является матроид Фано (см. задачу 6.207).
6.216. Проиллюстрируем оператор А -*¦ А на конкретном примере
(рис. 6.3'). Очевидно, он является замыканием. Проверим свойство
замены. Пусть k = {u,v), 1 = {а, Ь] е S и A s 5 такие, что k ф А,
§ 3. МАТРОИДЫ И КОМБИНАТОРНЫЕ ГЕОМЕТРИИ
351
k <= А\I. По определению оператора А -*¦ А вершины и, v лежат
в разных компонентах связности Vu V2 графа G (V, А), но в то же
время в одной компоненте связности графа G (V, A\jl). Это возможно
лишь в том случае, когда I связывает компоненты Vx и V2, Отсюда
(е A\Jk.
6.217. Множество А ребер леса является независимым. В самом
деле, исключение любого ребра ееЛ разбивает компоненту связ-
связности, содержащую е, на две, и следовательно, е ф А\е. С другой
стороны, если G (V, А) содержит полигон {е0, elt ..., в(}, то, по опре-
определению оператора, из еое{е,, ..., е,} следует, что А является
зависимым, Эти рассуждения доказывают утверждения а), б) и в).
Кроме того, отсюда же следует, что г (А) равен числу ребер в по-
порождающем лесе подграфа G(V, А). Известно, что каждое дерево
имеет ребер на единицу меньше числа вершин. Следовательно, если
Vv ..., VjfiA) — семейство ребер компонент связности графа G(V, S),
к (А)
то r(A)= ^ (i^i!~ l) = \V\ — k{A). Доказательство утверждения г)
t = i
непосредственно следует из этой формулы.
6.218. Базисами 2-однородного матроида на множестве {1, 2, 3, 4}
являются все его двухэлементные подмножества. Предположим, что
матроид графический. Тогда, например, {1, 2, 3} и {1, 2, 4} были бы
циклами матроида, и им бы соответствовали циклы в графе, цикли-
циклический матроид которого по предположению изоморфен данному. Но
в таком случае, очевидно, {3, 4}—пара кратных ребер, и в матроиде
ей соответствует пара параллельных элементов, чего быть не может,
так как {3, 4} —базис матроида. Получили противоречие. Следова-
Следовательно, 2-однородный матроид на множестве из четырех элементов
не является графическим.
6.220. Сопоставим каждому ребру из G соответствующую ему
строку в матрице инциденций графа G, рассматривая ее как вектор,
каждая компонента которого равна нулю или единице. При этом,
если подмножество ребер из G образует цикл, то сумма (по модулю
два) соответствующих этим ребрам векторов равна нулю. Следова-
Следовательно, циклический матроид М (G) графа G является бинарным.
Для коциклического матроида доказательство аналогично.
6.222. Да; например, матроид Фано, который, кроме того, не
является также и кографическим.

352
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ. ГЛАВА VI
§ 4. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ КОНСТАНТЫ
353
для s<~S2.
верно. Указание:
6.223. Да; это матроид на множестве из семи элементов
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, у которого те же базисы, что и у матроида
Фано, за исключением {2, 4, 7} (см. задачу 6.207).
6.224. Пусть ф,- — представление матроида Mi, ф*: S-*-Vi, где
Vj —искомое векторное пространство, ( = 1,2. Для М = Мх@Мг постро-
построим ф: Si U 52-> ViXV2 следующим образом:
фE)==(ф, (S), 0) ДЛЯ SESi, ф (S) = @, ф2 (S))
6.229. Обратное утверждение не всегда
воспользоваться результатом задачи 6.223,
6.231. Указание. Воспользоваться результатом задачи 6,230.
6.238. Ответ: /И* (К3,з) и М* (К*,)-
6.245. Указание. Воспользоваться условием задачи- 6.244.
6.246. Этот замечательный результат впервые получил Татт (см.
Tutte W. Т. —Lectures on matroids, 1964).
6.251. Да; например, предгеометрия на множестве {1, 2, 3,4,
5, 6}, базисами которой являются все подмножества из двух элемен-
элементов, за исключением {1, 2), {3, 4}, {5, 6}.
6.257. Усечение трансверсального матроида не обязано быть транс-
версальным.
6.259. Указание. Рассмотреть /И (/С4) —циклический матроид
полного графа на четырех вершинах /С4-
6.260. Этот результат впервые получен Таттом. Доказательство
см. [Tutte W. Т. —Trans. Amer. Math. Soc, 1959, 90, p. 527 — 552;
Seymour P. D. —In: Combinatorics. Coll. Math. Soc. J. Bolyai
N-HPC, 1980, p. 83-90.
6.261. Указание. Воспользоваться результатами задач 6.230
и 6.260.
6.263. Указание. Воспользоваться результатами задач 6.246,
6.260 и 6.261.
6.264. Эта характеризация регулярных матроидов впервые получена
Таттом [Tutte W. Т.-Trans Amer. Math. Soc, 1958, №88,
p. 144-174].
6.265. R10 является регулярным матроидом в силу задачи 6.264.
6.266. Эта конструктивная характеризация регулярных матроидов
имеет большое практическое применение. Она была недавно получена
Сеймуром. Доказательство можно найти в [Seymour P. D. — J.
Combin. Theory, 1980, 28, № 3, p. 305-359].
6.267. Обратное утверждение также справедливо (см., например:
Brylawski Т.—Trans. Amer. Math. Soc, 1975, 203, p. 1—44).
6.268. Указание. Представить Р (М; X) в виде суммы
2 (-\)A\r{S)-r<A)+ 2 (-\)^'^(S)-r(A) и восполь.
AdS\e ее AczS
зоваться соотношениями г) задач 6.182 и 6.183 для ранговых функций.
6.269. Условие задачи эквивалентно тому, что нельзя правильно
раскрыть вершины графа, содержащего хотя бы одну петлю.
6.271. a) P(F7; Я.) = (Я. — 1) (Я, — 2) (Я. — 4);
б) P(M;k)=Jl(k~f);
в) Р(М; Л.) = (Л7— 1) (А,—2) ... (k-n+l);
г) P(U2(n); Х) = Х2 — пХ + (п—\), /г=з2.
6.272. k(F7) = 5.
6.282. Соотношения а)— д) получаются непосредственным подсче-
подсчетом. Для доказательства соотношения е) воспользоваться результа-
результатом задачи 6.280.
6.283. Этот замечательный факт впервые доказал Т. Брилавски
[В г у 1 awskiT. —Trans. Amer. Math. Soc, 1972, № 171, p. 235 — 282].
6.289. Указание. Метод доказательства заключается в том,
чтобы показать, что любой граф G без мостов можно представить
как объединение трех эйлеровых графов Gb G2, G3, а это, как легко
видеть, эквивалентно тому, что G имеет (Z2xZ2xZ2)-noTOK [Jae-
[Jaeger F.-Fifth British Comb. Conf., 1976, p. 373-379].
6.290. Можно показать, что P (M* (P10); X) = (\— 1) (X — 2)x
X(l — 3) (A,—4) (X2 — 5h-\-10). Отсюда в силу задачи 6.288 Р10 не имеет
4-потока.
6.291. Это открытая гипотеза Татта. Если она будет доказана,
то в силу задачи 6.290 граф Петерсона станет наименьшим графом,
для которого не существуют n-потоки при п<5.
6.292. Это открытая гипотеза Татта, известная в литературе как
сильная версия 4-потоковой гипотезы Татта [Tutte W. Т. — In:
Combinatorial Math, and it's applications. Univ. of North Carolina,
1969, p. 553-561].
§ 4. Экстремальные геометрические константы
Отметим одно полезное тождество. Если k^l
t, 07 =
то
6.294. Пусть aj таково, что max || сг^ || = || of |[; тогда согласно
F.1 Г) при ?>=2/
откуда
F.12')
стало быть, при k$^2l во всякой системе Ст/, всегда отыщется под-
подсистема (jj с (Tj, удовлетворяющая B). Если же k^2l, то согласно
F.11')
откуда1
т
I
F,13')

354
ОТВЕТЫ. РЕШПНИЯ. УКАЗАНИЯ ГЛАВА VI
стало быть, при к ^2/ во всякой системе ст*. отыщется подсиетема
в[ а в,„ удовлетворяющая F.13').
Неулучшаемость неравенств F.12') и F.13') демонстрирует система
'^) из * еДиничных векторов пространства /?, (пространство Rft
с нормой 1д:!|= max \Xi\\ следующего вида:
1 ^^ I ^^ Я
1
1
2/-1 ' '"' 21 — 1 >'
1 . 1
21-\
; -1.
1
1
2/-1
2/-1
-.-I •
Помимо того, F.12') неулучшаемо во всяком X, что демонстрирует
пучок из ft единичных векторов. В то же время F.13') можно уси-
усилить, например, в гильбертовом пространстве — на сколько? Таким
образом,
при
при
Л (ft, I; X) = lf(k-l).
inf Л (ft, I; X)=A(k, I, &) = f/C/-ft).
Л
6.295. Согласно F.11'), если ft 5= г 3= / S= 1, ar cz ак, то
j, следовательно,
max |j 0/1| 3= —'
F.14')
Очевидно, F.14')' неулучшаемо во всяком X, что демонстрирует
пучок из k единичных векторов.
Пусть k^l + r^2r, crczak тогда согласно {6.11')
ft-r-1
откуда
k-r-\
l-r-l
= o,
ft-l\/ft
l-т
21-,
F.15')
Неравенства F.14') и F.15') неулучшаемы в классе единичных век-
векторов, достаточно в качестве ak рассмотреть 2(^> 'оэ)> F.15') не-
неулучшаемо и во всяком X — постройте соответствующую (одномерную)
конструкцию.
§ 4. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ КОНСТАНТЫ 355
Пусть r^l, ks^l + r, ar<=:Ok, тогда согласно F.11')
fk — r-V
г \ V . . fk — r-
откуда
Оценка F.16') неулучшаема во всяком
пример.
Таким образом,
при ft Ssr3= i В (ft, /, а; Х)
при ft^/ + r>2^ В (ft, /; л; Х)
при ft^/ + A, /^/ B(k, I; л; Х)=
6.295. Пусть теперь б (I, ft; X)=
—постройте (одномерный!
/г,
—л),
k-l)/(r (k + l-2r)).
inf max :. ог |, тогда
согласно определениям В и б имеем неравенство ЬA, ft; XM=8(ft, /,
г; X) б (г, ft; Х\ которое при /"=1, ft>/ влечет оценку б (i, ft; X) ^
/ — 1), реализуемую ^(
inf A (/, ft,
Л
"э)> слеД°вательн0, ПРИ
/, ft; li)= 1/B1-1).
Для гильбертова пространства размерности не меньше ft—1
б(/, ft; Я) = //(*
1). F.17')
Доказательство F.17') см. в решении задачи 6.299. Кроме того,
можно показать [Сидоренко А Ф.], что если /^ — пространство Rrf
с нормой
а
1И=.? l*«i, то 8A, 1+1;^) = м/Bи-1), F.18')
F.19')
(ft—2)/(ft—1), ft==O (mod 2),
(ft— l)/ft, ft== 1 (mod 2),
причем наименьшая размерность d (ft) пространства f,, реализующего
F.19'), ведет себя очень нерегулярно: dB)=l, dC)=dD) = 3,
dE) = dF)=10, rfG)=d(8) = 7.
t
6.297. Положим гг > ( = У| ^Лг/, тогда имеет место тожде-
/ ' '"\ и ,
У! V \ /' ft 1 \
г» ,...,( = ^aw } V,- I . (/ --1I. Следовательно,
ство

356
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ. УКАЗАНИЯ ГЛАВА VI
I
max | г..
1. .- . it I
t h\
2
k. Неулучшаемость этого нера-
неравенства демонстрирует пучок из k единичных векторов. Таким обра-
зом, С
2
?-=1
k. В частности, получаем, что для всякой си-
системы о^сХи любой системы чисел Vb ..., V ъ существует такая пере-
становка индексов я, при которой
6.298. Для ak с: X положим Ь,- = i . . )A — О'.
\i — if
I l V
_. V { V ]/txt ] , где квадрат понимается в смысле скалярного
v,-=
произведения,
i
i = \
1
тогда
k
2 х\
/ = 1
имеем
+ 2&2
k \
М *'
1
Jj V
i<i
) +
? = 1
после чего достаточно перейти к нормам.
6.299. В классе всех линейных нормированных пространств имеет
место формула
i I/ m \7 \
F.20')
х
п
где V= У] К,-,
l
л. Формула F.20') реализуется либо
пучком из п единичных векторов, либо в 1^ конструкцией вида
% = A, а, ... , а), х2 = {а, 1 а), ..., хп = (а, а, ..., 1), где о =
= (Vi + Vn)/{2V — Vi— Уя). Вектор Vn называется уравновешенным,
если Vi (l^i<n) V(V—Vi)>0. Из F.20') имеем:
если Vn неуравновешен, то б (Vn; X) = \V |;
если Vn знакопостоянен и | Vt | ^ , V21 Э=... ^ ' Vn | ^ 0, то
если Vn уравновешен и знакопостоянен, то
Л
§ 4. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ КОНСТАНТЫ 357
если весовой вектор уравновешен и Vi=— Vn, то
В гильбертовом пространстве Я имеем:
л
если dim (Я) 5? n — I, ^
то
если dim (ЯM=1,
то
Доказательство почти полностью повторяет решение задачи 6.298.
6.300. Согласно задаче 6.53 граф G2 (Sn) обладает при р^
^2 (?— 1) тем свойством, что VSp c= Sn Sg cz Sp: С2 (Sg) c= G2 (Sn)
тогда и только тогда, когда 35„_р+9 cr Sn: С2 (Sn_pH?) с: Ga (Sn),
следовательно, применительно к нашим векторам в гильбертовом про-
пространстве имеем, что всегда найдется подсистема а„_р+9 с: а„, состоя-
состоящая из попарно ортогональных векторов (при p^2(q— I), k = 2,
c=V2), следовательно,
точность этой оценки демонстрирует репер из n — p-\-q единичных
векторов и пучок из р — q единичных векторов, направленный по
вектору суммы всех векторов репера.
6.301. На множестве точек о„ а X как на вершинах построим
/-граф GlczCl(an) по правилу at <= Gl <==> ,О[ |Э=8 (/, k; X). Если
С |< Г (га, k, l), то
За% а ал; Vcr, <= ak f о, | < б (/, А; X)
или За| с: ол: max jl o^ I <б(/, /г; X), но тогда
min max О/ ] s$ max (, 0("<6(Z, й; X),
следовательно.
min max ] at" < б J, *; X),
aX
что противоречит определению б (I, k; X).

358 ОТВЕТЫ. РЕШЕНИЯ. УКАЗАНИЯ. ГЛАВА VI
6.303. Указания. 1) Показать, что при достаточно большом п
«B. „;/-)-!-1/B Щ-1
и, в частности, бB, 4л, /f1)^ Dл — 2)/Dл — 1).
2) Показать, что если
max
,¦=6B, 4л; /<—•),
где
xin
Г|=1, i=
4п, то для любых ? и /
| у| ( \)
По задачам 6.293 — 6.303 см. [Катона Д., С течки н Б. С.—
ДАН СССР, 1980, 251, № 6, с. 1293—1296; Сидоренко А. Ф.,
Стечкин Б. С— Матем. заметки, 1981, 29, № 5, с. 691—709;
Кашин Б. С, Коняг и н С. В.—Труды МИАН, 1981, 157, с.
64—67].
6.304. Задача была поставлена Л. Мозером. Оценки для выпуклой
фигуры, покрывающей единичного червяка, см. в [Poole G.,
Garriets J., Bull. Amer. Math Soc., 1973, 79, № 2, p. 462—463].
Если опустить- условие выпуклости, то ситуация меняется. Здесь
интересен случай я-звенного червяка (каждое звено—отрезок). Если
длины всех звеньев рациональны, то существует покрывающая область
сколь угодно малой площади и диаметра sg 2 [К- А. Боровков].
ЛИТЕРАТУРА
1. Биркгоф Г. Теория структур.—М.: ИЛ, 1952.
2. Биркгоф Г., БартиТ. Современная прикладная алгебра.—
М.: Мир, 1976.
Виленкин Н. Я. Комбинаторика.—М.: Наука, 1969.
Гаврилов Г. П., Сапоженко А. А. Сборник задач по
дискретной математике. —М.: Наука, 1977.
Кофман А. Введение в прикладную комбинаторику.—М.:
Наука, 1975.
6. Райзер Дж. Комбинаторная математика. — М.: Мир, 1966.
Риордан Дж. Введение в комбинаторный анализ.—М.: ИЛ,
1963.
Рыбников К. А. Введение в комбинаторный анализ. —М.:
МГУ, 1972.
Сачков В. Н. Комбинаторные проблемы дискретной матема-
математики.—М.: Наука, 1977.
Скорняков Л. А. Элементы теории структур.—М.: Наука.
1970.
Р. Дж. Введение в теорию графов.—М.: Мир, 1977.
Ф. Теория графов.—М,: Мир, 1973.
Ф., Палмер Э. Перечисление графов.—М.: Мир,
7.
8.
9.
10.
П.
12.
13.
У и л с о н
X а р а р и
X а р ар и
1977.
Холл М
14. Холл М. Комбинаторика,—М.: Мир, 1970.
15. Эрдёш П., Спенсер Дж. Вероятностные методы в комби-
комбинаторике.—М.: Мир, 1976.
16. Denes J., К ее dwell A. D. Latin squares and their applica-
applications.—Budapest: Akademiai Kiado, 1974.
17. Lovasz L. Combinatorial problems and exercises.— North Hol-
Holland Publishing Ce, 1979; Budapest: Akademiai Kiado, 1979.
Дополнительная литература к главе VI
1. Айгнер М. Комбинаторная теория. — М.: Мир, 1982.
2. М е й с о в Дж. X. Изучение матроидов как геометрических кон-
конфигураций. — В кн.: Проблемы комбинаторного анализа.—М.:
Мир, 1980, с. 7—50.
3. Риордан Дж. Комбинаторные тождества. — М.: Наука, 1982.
4. С а ч к о в В Н. Введение в комбинаторные методы дискретной
математики. — М.: Наука, 1982.
5. Эндрюс Дж. Теория разбиений..—М,: Наука, 1982.

360
ЛИТЕРАТУРА
6. Эрдёш П., Клейтман Д. Дж. Экстремальные задачи
о подмножествах конечного множества. — В кн.: Эрдёш П., Спен-
Спенсер Дж. Вероятностные методы в комбинаторике, 1976.
7. Bollobas В. Extremal Graph Theory.—АР London, 1978.
8. Crapo H. H., Rota G.-C. On the foundations of Combinatorial
Theory II. Combinatorial geometries.—Cambridge Mass.MIT Press,
1970.
9. Erdos P. The Art of Counting.—MIT Press, 1973.
10. Graham R. L. Rudiments of Ramsey Theory. — A.M.S., 1981,
№ 45.
11. Graham R. L., Rothschild B. L., Spencer J. H. Ram-
Ramsey Theory. —N. Y.: Wiley, 1980.
12. Greene C, Kleitman D. Proof Techniques in the theory of
finite sets. — In: Studies in Combinatories /Ed. G.-C. Rota, M. A. A.,
1978, p. 22—79.
13. Katona Gy. Extremal problems for hypergraphs. — In: Combina-
Combinatorics. Math, Centre Trakts, 1974, № 56, p. 13—42.
14. Kleitman D. I. Hypergraphic extremal properties.— In: Sur-
Surveys in Combinatories. London, Math. Soc. Lecture Note Series
1979, № 38, p. 44—65.
15. W a 1 t her von H., Vofi H.-J. Ober Kreise in Graphen.—Berlin:
VEB Deutscher Verlag, 1974.
16. Welsh D. J. A. Colouring, flows and projective geometry. — Nieuw
arch, wisk., 1980, 28, №2, p. 159—176.
17. Welsh D.J.A. Matroid theory — Academic Press, 1976,
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Автоморфизм графа 87
— латинского квадрата 62
— системы троек Штейнера 68
Адамара матрица 57
Антицепь 115, 123
— максимальная 127
Атом 134
Базис 137
— конечный 133, 136
Базиса конечного свойство 136
Белла полиномы 32
— числа 31, 333
Беллиан 127
Бержа теорема 303
Берн сайда лемма 42
Блок 76
Блок-схема 76
— симметрическая 77
— уравновешенная неполная
(BIB) 76
— частично уравновешенная
(PBIB) 77
Блок-схемы параметры 76
Булев куб 89
Валентность 119
Ван-дер-Вардена проблема 81
— теорема 132
Варинга формула 28
Вектор-индекс 69
Вектор уравновешенный 356
Вершин распределение 86
Вершина графа 85
Вершины смежные 86
— степень 86, 112
Вес класса эквивалентности 42
Визинга теорема 301
Включения и исключения метод 49
формула 49
Возрастание по единицам 136
Выборка 7
Галуа плоскость 108
Геометрии расширение одноточеч-
одноточечное 142
Геометрий прямая сумма 137
— сжатие 140
— сужение 140
Геометрия 133
— комбинаторная 133
— пространства функций 135
— Уилла 340
Гильберта формула 97
Гиперграф 111
— двойственный 115
Гиперребро 111
Гипотеза Эрдёша 303
Грань точная верхняя 125
— — нижняя 125
Граф 85
— гамильтонов 86
— конечный 85
— монохроматический 55
— неориентированный 85
— однородный 86
— ориентированный 85
— переплетения 68
— планарный 87
— полный (Кп) 86
— регулярный 86
— с петлями 85
— связный 87
— л-перестановок 87
Графа автоморфизм 87
— вершина 85
— матрица смежности 86
— порядок 85
— размерность 86
— хроматический полином 151
— эпиморфизм 91
— 6-раскраска правильная 151
Графы изоморфные 87
Групп пар система 69
— циклического типа 74
— — системы изоморфные 69
тип переплетения- 69
Групп прямое произведение 44
Группы цикловой индекс 41, 43
Де Моргана метод секционирова-
секционирования 26

362
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Дезарга теорема 104
Дерево 87
— корневое 87
Диаграмма Хассе 127
Дирихле принцип 132
Длина цепи 115
Дуга 105
— полная 105
Замены свойство 133
Замыкание 133
Замыкания оператор 126
— отношение 133
Запас 42
Зингера теорема 109
Идемпотентность 133
Изоморфизм графов 87
— латинских прямоугольников и
квадратов 62
— систем групп пар 69
— троек упорядоченных множеств
124
Инвариант 152
— Татта — Гротендика 152
Интервал 129
Касательная 105
Квадрат латинский 62
симметрический 65
циклический 62
Квадрата латинского автомор-
автоморфизм 62
Квадраты латинские изоморфные
62
ортогональные 62
эквивалентные 62
Квазигруппа 66
Киркмана система троек 68
Кларка формула 100
Класс эквивалентности 42
Клика 86
Коллинеация 108
Компонента связности 87
Коника 104, 110
Конфигурация (v, k, X) 77
Координаты барицентрические 81
Корень графа 87
Коцикл 139
Коэффициент гауссовский д-бино-
миальный 334
Кратность точки 17
Кривая второго порядка 104, ПО
— гиперболическая 106
— параболическая 106
— эллиптическая 106
Кэли представление 43
— формула 98, 100
Лемма Бернсайда 42
Лес 87
Матрица Адамара 57
— бинарная 57
— дважды стохастическая 82
— инцидентности 57
— перестановки 57
— попарных сравнений 57
— смежности графа 86
— тотально унимодулярная 150
— эквидиагональная 58
Матроид 133
— графический 145
— кографический 145
— коциклический 144
— планарный 145
— регулярный 148
— трансверсальный 148
— Фано 144
— циклический 144
Матроида ориентация 148
— характеристический полином
150
— хроматическое число 151
Метод включения и исключения
49
— производящих функций 23
— секционирования де Моргана
26
Мёбиуса принцип обращения 129
Мёбиус-функция 128
Многочлен Стерлинга 35
Множества разбиение 30, 134
— ранг 136
— частично упорядоченные изо-
изоморфные 124
— п-разбиение 134
Множество замкнутое 133
— линейно упорядоченное 123
— монохроматичное 131
— независимое 136
— одноцветное 131
— порождающее 136
— транзитивное 41
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
363
Множество частично упорядочен-
упорядоченное 47, 122
Модулярность пары поверхностей
142
Мультиграф 85
Муна формула 101
Наращение предгеометрии 144
— геометрии свободное 144
Независимость ребер 112
Нетго система 71
Нормализованность 136
Оболочка выпуклая 81
Объединение предгеометрии 139
Овал 105
Оператор замыкания 126
Орбита 41
Орграф 85
Ориентация матроида 148
Ортогональность латинских ква-
квадратов 62
Отношение замыкания 133
— частичного порядка 47
Отображение изотонное 124
— инъективное 141
— сильное 141
— слабое 141
Параметры блок-схемы 76
Паросочетание 112
Переплетения граф 68
— тип 68
групп пар 69
Перестановка 7
Перестановки матрица 57
— эквивалентные 171
Перестановок спецификация 171
Перечень 42
Период 109
Перманент 57, 82
Плоскости конечной проективной
порядок 104
Плоскость аффинная 104
— бэрова 107
— Галуа 108
— конечная проективная 104
Поверхности ранг 136
Поверхность 133
Подграф 85
— запрещенный 114
Подмножеств определяющая си-
система 119
Подстановка 7
Подстановки тип 42
Пойа теорема 42
— уравнение 99
Полином Белла 32
— графа хроматический 151
— матроида характеристический
150
— Татта 152
Политоп 128
Полумодулярность 136
Порядка частичного отношения
47
Порядок графа 85
— плоскости 104
Предгеометрии объединение 139
Предгеометрия 133, 135
— бинарная 146
— двойственная 138
— представимая над полем 146
— ^-однородная 146
Представителей общих система 54
— различных система 52
Представление биномиально-ка-
биномиально-каноническое 117
— Кэли 43
Преобразование проективное 108
Принцип Дирихле 132
— обращения Мёбиуса 129
Проблема Ван-дер-Вардена 81
— Турана 118
Произведение групп прямое 44
Пространства функций геометрия
135
Произведение групп прямое 44
Прямая внешняя 105
— несобственная 106
— обыкновенная 106
Прямоугольник латинский 62
Прямоугольники латинские изо-
изоморфные 62
— — эквивалентные 62
Разбиение -множества 30
Разбиения ортогональные 88
— спецификация вторичная 335
Размерность графа 86
Райсса система 71
Рамсая теорема 132
— число 132

364
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Ранг множества 136
— поверхности 136
Распределение вершин 86
Расширение 142
Ребро 85
— кратное 85
Реньи формула 98, 101
Решетка 126
— полная 125
Свертка последовательностей 24
Свойство конечного базиса 136
— сохранения порядка 133
Связности компонента 87
Сегмент 129
Семейство шпернерово 299
— р-неразделенное 300
— (/-разделенное 300
Секущая 105
Сеть 85
Сжатие геометрии 135
— — с помощью В 140
Симплекс 81
Система групп пар 69
— циклического типа 74
— Нетто 71
— подмножеств определяющая
119
— представителей общих 54
— — различных 52
— Райсса 71
— троек Киркмана 68
Штейнера 68
— р-представителей различных 55
Системы групп пар изоморфные
69
— троек Штейнера автоморфизм
68
изоморфные 68
Сохранения порядка свойство 133
Сочетание 7
Спецификация перестановки 171
— разбиения вторичная 335
Сравнений попарных матрица
о/
Степень вершины 86, 112
Стерлинга многочлен 35
— числа обобщенные 41
1-го рода 38
2-го рода 34, 333
Структура 126
— геометрическая 135
Структура матроидная 135
— полная 125
Сужение 140
Сумма геометрий прямая 137
— матроидов 150
Татта полином 152
Татта — Гротендика инвариант
152
Тень /г-графа 126
Теорема Бержа 303
— Ван-дер-Вардена 132
— Визинга 301
— Дезарга 104
— Зингера 109
— Пойа 42
— Рамсея 132
— Турана 304
— Холла 53
— Шкернера 299
— Шура 132
— Эйлера — Лежандра 15
— Эрдёша — Галлаи 301
Тип переплетения 68, 69
— подстановки 42
Типы связей 77
Точки кратность 17
Троек Киркмана система 68
— Штейнера система 68
Турана проблема 118
— теорема 304
Уилла геометрия 340
Упаковки 118
Уравнение Пойа 99
Фано матроид 144
Фильтр модулярный 143
Формула Варинга 28
— включения и исключения 49
— Гильберта 97
— Кларка 100
— Кэли 98, 100
— Меира и Муна 101
— Муна 101
— Реньи 98, 101
— Ф. Холла 129
Функция Мёбиуса 128
— производящая 23
— — экспоненциальная 24
— Эйлера 51
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
365
Хассе диаграмма 127
Холла георема 53
— формула 129
Цепь 115, 123, 134
— максимальная 127
— насыщенная 127
Цепи длина 115
Цикл 137
Числа Белла 31, 333
— Галуа 333
— обобщенные 41
— Рамсея 132
— Стерлинга 1-го рода 38
2-го рода 34, 333
Число пентагональное 15
— хроматическое графа 87
матроида 151
Шнернера теорема 299
Штейнера система троек 68
Шура теорема 132
Эйлера функция 51
Эйлера — Лежандра теорема 15
Эквивалентность латинских пря-
прямоугольников и квадратов 62
— перестановок 171
Элемент блок-схемы 76
— максимальный 123
— минимальный 123
— наибольший 123
— наименьший 123
Элементы сравнимые 123
Эпиморфизм графа 91
Эрдёша гипотеза 303
Эрдёша — Галлаи теорема 301
1-сумма B-, 3-) матроидов 150
В1В-схема 76
//-поток 153
А-вершинник полный 105
&-графа тень 116
fe-дуга 105
&-ПОТОК 153
^-раскраска графа правильная 151
6-усечение 143
/(„-граф 86
/-граф 112 ¦
L-система 156
п-множество 7
л-перестановок граф 87
«-подстановка 7
«-разбиение множества 134
(«)-множество 7
р-неразделенность шпернерова се-
семейства 300
р-представителей различных си-
систем 55
РВ IB-схема 77
<7-разделенность шпернерова се-
семейства 300
/¦-выборка 7
/¦-перестановка 7
/¦-раскрашивание 131
/¦-сочетание 7
(гъ г2, ..., гл)-разбиение множества
30
Т-таблица 69
(о, k, ^-конфигурация 77
ср-замыкание 126

ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Михаил Васильевич Меньшиков.
Александр Михайлович Ревякин,
Алла Николаевна Копылова,
Юрий Николаевич Макаров,
Борис Сергеевич Стечкин
КОМБИНАТОРНЫЙ АНАЛИЗ.
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
Редактор Е. Ю. Ходан
Технич. редактор И. Ш, Аксельрод
Корректоры Г. В. Подвольская, Т. С. Вайсберг,
Л. С. Сомова
ИБ № 12079
Сдано в набор 09.03.82. Подписано к печати 28.06.82.
Формат 84ХЮ8'/з2. Бумага тип. № 1. Литературная гар-
гарнитура. Высокая печать. Условн, печ. л. 19,32. Уч.-изд.
л. 22,14. Тираж 20000. экз. Заказ №572. Цена 1 руб.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071. Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Октябрьской Революции, ордена Трудового Крас-
Красного Знамени Ленинградское производственно-техниче-
производственно-техническое объединение «Печатный Двор» имени А. М. Горь-
Горького Союзполиграфпрома при Государственном комитете
СССР по делам издательств, полиграфии и книжной тор-
торговли, 197136, Ленинград, П-136, Чкаловский пр., 15.
ГОТОВИТСЯ К ПЕЧАТИ:
Яблонский С. В. Введение в дискретную математику: Учеб-
Учебник. — Изд. 2-е, —М.: Наука. Главная редакция физико-мате-
физико-математической литературы.
Книга является введением в дискретную математику — раз-
раздел прикладной математики, бурно развивающийся в последние
годы и являющийся базой для математической кибернетики. Она
написана на основе курса лекций, читаемого автором в течение
ряда лет на факультете вычислительной математики и киберне-
кибернетики Московского государственного университета.
Первое издание выходило в 1979 г.
Для студентов факультетов прикладной математики, аспи-
аспирантов, а также для специалистов, работающих в области при-
прикладной математики.
Предварительные заказы принимаются без ограничений мага-
магазинами Книготорга и Академкниги.