Author: Космодемьянский А.А.
Tags: механика динамика теоретическая механика статика учебное пособие классическая механика кинетика
Year: 1965
Text
А. А. КОСМОДЕМЬЯНСКИЙ
КУРС
ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ
МЕХАНИКИ
ЧАСТЬ I
ИЗДАНИЕ ТРЕТЬЕ, ПЕРЕРАБОТАННОЕ
И ДОПОЛНЕННОЕ
Утверждено Министерством просвещения РСФСР
в качестве учебного пособия
для студентов педагогических институтов
ИЗДАТЕЛЬСТВО «ПРОСВЕЩЕНИЕ»
Москва 1965
«Высшую цель истинной науки со-
составляет не просто эрудиция, т. е. опи-
описание и знание, даже в соединении
с искусством или умением, а пости-
постижение неизменяющегося — среди
переменного и вечного — между вре-
временным, соединенного с предсказа-
предсказанием долженствующего быть,
но еще вовсе не известного, и с обла-
обладанием, т. е. возможностью прила-
прилагать науку к прямому пользо-
пользованию для новых побед над при-
природою».
Д. И. Менделеев
ПРЕДИСЛОВИЕ
Данный курс теоретической механики предназначается в ка-
качестве учебного пособия для студентов физико-математических
факультетов педагогических вузов и государственных универси-
университетов.
В курсе излагаются некоторые новые задачи, а хорошо из-
известный материал расположен в несколько иной последователь-
последовательности, чем это принято в существующих программах по класси-
классической механике. Указанные нововведения требуют кратких
пояснений для преподающих.
Прежде всего нам представляется целесообразным и логи-
логически оправданным деление классического курса механики на
два основных раздела: «Кинематику» и «Кинетику». Статика из-
излагается достаточно кратко, как глава «Кинетики». Рассмотре-
Рассмотрение динамических проблем совместно с проблемами равновесия
позволяет дать более ясные и строгие доказательства основным
теоремам статики и сделать содержание этих теорем менее аб-
абстрактным. Силы предстают перед учащимися как результат
взаимодействия тел, и физическая природа векторов, изобра-
изображающих силы, усваивается адекватно их сущности, а не фор-
1* 3
мально математически. Доказательств достаточности условий
равновесия вообще невозможно осуществить в рамках понятий
статики, и известные нам курсы механики этих доказательств
обычно не содержат. Предпочтение динамике обусловлено еще
и тем бесспорным фактом, что развитие современной техники
и научной проблематики связано главным образом с исследова-
исследованием новых задач динамики. Теоретическая механика и должна
дать общие методы изучения закономерностей динамических
процессов. Поэтому в данном курсе основная часть материала
посвящена изучению механического движения.
Прогресс новых областей техники настоятельно требует до-
дополнений к традиционному материалу теоретической механики.
Автор уделил значительное место изложению новых задач
современной динамики. Так, достаточно подробно рассмотрено
движение материальной точки в центральном ньютонианском
гравитационном поле и детально исследованы оптимальные эл-
эллиптические траектории. Для параболических и эллиптических
траекторий дается линейная теория рассеивания. Существенно
расширена глава, посвященная изучению движения твердого
тела около неподвижной точки. Классические случаи интегри-
интегрирования рассмотрены и аналитически и геометрически. Сущест-
Существенные изменения и дополнения внесены также в раздел, по-
посвященный механике тел переменной массы.
Считая вариационные принципы механики и методы иссле-
исследования, основанные на достижениях вариационного исчисле-
исчисления, наиболее прогрессивными и многообещающими для даль-
дальнейших открытий, мы посвятили специальный раздел этому
кругу проблем. Автор надеется, что преподаватели и учащиеся
высшей школы найдут в этом разделе благодарный материал
для самостоятельных исследований. По-видимому, вариацион-
вариационные задачи динамики ракет и самолетов, рассмотренные в раз-
разделе IV, будут хорошим дополнением к традиционной тематике
научных студенческих кружков и обществ, а в ряде случаев
намеченные здесь вопросы можно использовать и для диплом-
дипломных сочинений. В разделе «Введение в аэрогидромеханику» до-
добавлено рассмотрение современного состояния знаний о земной
атмосфере и приводятся некоторые данные о подъемной силе и
лобовом сопротивлении при больших (околозвуковых и сверх-
сверхзвуковых) скоростях полета.
В связи с увеличением объема книги она будет издана в двух
частях. Часть первая, содержащая классические вопросы кине-
кинематики и кинетики, почти полностью охватывает материал со-
современных программ курса теоретической механики физико-ма-
физико-математических факультетов педвузов и университетов. Часть
вторая посвящается главным образом новым задачам теоретик
ческой механики. Эта часть — своеобразный научный отчет ав-
автора о его многолетних исследованиях, его мечтах о новых на-
правлениях исканий в области познания явлений механического
движения.
Автор книги глубоко убежден, что в наши дни учителю сред-
средней школы (так же как и исследователю любой специальности)
невозможно уйти от вопросов теории полета ракет и реактив-
реактивных самолетов, искусственных спутников Земли и космических
кораблей. Будущие учителя средней школы, которые начнут
преподавание через 4—5 лет, обязаны достаточно глубоко пони-
понимать те существенные перемены в науке и жизни человеческого
общества, которые вызваны быстрым развитием ракетной тех-
техники и космическими полетами.
Развитие всех разделов современной техники указывает на
все возрастающее значение механики. Изучение общих законов
механического движения обогащает исследователей — инжене-
инженеров и ученых — плодотворными могущественными методами, по-
помогая раскрывать истинное содержание многообразных явлений
природы и технической практики. Исследования, проведенные
в последние годы в теории автоматического регулирования, тео-
теории гравитации, в задачах динамики полета управляемых ракет
и космических кораблей, квантовой механике и теории относи-
относительности, неоспоримо выявляют более глубокое и широкое зна-
значение общих закономерностей механического движения для
современного научно-технического прогресса. Несомненно, оши-
ошибаются те ученые, которые считают, что механика закончилась
в своем развитии. Теоретическая механика является
одной из наук о природе. Предмет исследования
этой науки вечен и безграничен в своем объеме.
Все исполнительные механизмы в орудиях труда и разнообраз-
разнообразных машинах в подавляющем большинстве случаев создаются
и действуют в строгом соответствии с законами механики. В
этой науке есть подлинная романтика и математически строгий
анализ, помогающие человечеству идти вперед к неслыханной
производительности умственного и физического труда, преобра-
преобразующего лицо нашей планеты. Межпланетные полеты пилоти-
пилотируемых космических кораблей будут реальностью в ближайшие
10—15 лет. Совершенствование орудий труда, проводимое на
основе законов механики, позволяет уже в наши дни осу-
осуществлять изменения поверхности Земли, по масштабу не усту-
уступающие геологическим потрясениям.
«Чтобы превзойти классическую механику, — пишет извест-
известный французский физик Жан Пьер Вижье, — надо сначала
понять ее подлинное величие и ее историческое значение.
Вся современная промышленность, включая и атомную, дей-
действует на этой основе. Классическая механика позволила
человеку преодолеть чрезвычайно важный этап в овладе-
овладении природой. Она послужила трамплином для современной
науки».
Несколько слов к студентам, впервые приступающим к си-
систематическому изучению механики.
Дорогие товарищи! Если вам не покажется убедительным
(логически или психологически) изложение методов и резуль-
результатов механики в этой книге, знайте, что это вина автора, но не
науки, которую он излагает. Читайте произведения великих ме-
механиков прошлого: Галилея, Ньютона, Эйлера, Лагранжа, Ля-
Ляпунова, Жуковского, Циолковского. Вы увидите в трудах клас-
классиков науки ясность и отчетливость суждений, оптимизм зачи-
зачинателей нового и увлекательность изложения даже очень труд-
трудных проблем.
Дерзайте сами искать новое. Ни в природе, ни в технике нет
таких сил, которые могли бы противоборствовать способности
человеческого ума искать и открывать новое. Уверенность в мо-
могуществе человеческого познания и глубокое удовлетворение,
сопровождающее даже небольшое самостоятельное движение
вперед, создают важнейшие элементы человеческого счастья.
Настоящий человек —новатор по своему существу. Нет ничего
более величественного и благородного, чем созидание. Уважайте
творения предшествующих поколений и смело идите вперед.
Работа разума неотделима от стремлений человеческого сердца.
Скепсис и безразличие — плохие спутники исследователя. Я хо-
хотел бы напомнить здесь замечательные слова великого труже-
труженика русской науки И. П. Павлова, который писал молодежи:
«Помните, что наука требует от человека всей его жизни. И если
у вас было бы две жизни, то и их бы не хватило вам. Боль-
Большого напряжения и великой страсти требует наука от человека.
Будьте страстны в вашей работе и в ваших исканиях».
А. Космодемьянский
Москва, август 1964 г.
ВВЕДЕНИЕ
ПРЕДМЕТ И ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МЕХАНИКИ;
ЕЕ ЗНАЧЕНИЕ ДЛЯ СОВРЕМЕННОЙ ТЕХНИКИ.
КРАТКИЙ ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
РАЗВИТИЯ МЕХАНИКИ
«...Там, где дело идет о законах природы,
доступных духовным очам каждого, тот
или другой авторитет теряет силу убеди-
убедительности, уступая место силе разума».
Галилео Галилей.
§ 1. Предмет и основные понятия механики;
ее значение для современной техники
1. Первое, что мы наблюдаем во внешнем мире начиная с
рождения, — это различные формы движения и взаимодействия
материи. Механическое движение есть изменение положения (пе-
(перемещение) материального тела по отношению к другим телам
с течением времени. Механические взаимодействия между те-
телами природы вызывают или перемещения этих тел, или изме-
изменения их формы (деформацию). Теоретическая механика
есть наука о законах механического движения и взаи-
взаимодействия материальных тел. Все движения материаль-
материальных тел происходят в пространстве и во времени. Пространство
и время неотделимы от движущейся материи, они являются объ-
объективными формами ее бытия. Лишь в движении материи про-
пространство и время реальны. «В мире нет ничего, кроме движу-
движущейся материи, и движущаяся материя не может двигаться ина-
иначе, как в пространстве и во времени»*, — говорит В. И. Ленин.
Взаимодействие материальных тел конечных размеров и
элементарных частиц вещества проявляется в различных фор-
формах движения. Механическое движение — это простейшая форма
движения материи. При изучении механического движения
рассматриваются только два важнейших качественных признака
* В. И. Ленин, Сочинения, изд. 4, т. 14, стр. 162.
движущейся материи: ее протяженность (геометрическую форму
материального тела) и вещественность (массу и ее распределе-
распределение в данном геометрическом объеме). В большом числе меха-
механических задач можно не учитывать влияния изменений других
качественных признаков тела (например, его оптических, тепло-
тепловых, электрических и магнитных свойств) на характеристики
изучаемого механического движения. Так, изучая движение
артиллерийского снаряда, можно пренебречь нагреванием его
металлического корпуса вследствие трения о воздух, потому что
при начальных скоростях современных артиллерийских снаря-
снарядов это влияние весьма мало сказывается на основных характе-
характеристиках движения снаряда (его скорости, дальности, высоте
полета и др.). Легко понять, что если скорости полета снаряда
будут такими же, как, например, скорости метеоров (т. е. по-
порядка 20—50 км/сек), то изучение движения снаряда без учета
тепловых явлений не даст результатов, согласующихся с на-
наблюдениями.
Необходимо иметь в виду, что даже для тех случаев движе-
движения материальных тел, в которых механическая форма является
доминирующей, мы всегда должны для понимания закономер-
закономерностей этой формы движения выделять (вырывать) изучаемые
явления из всеобщей связи и рассматривать их изолированно,
сосредоточив все внимание на исследовании только механиче-
механических движений. Ученые-механики называют этот познаватель-
познавательный процесс созданием модели изучаемого явления. «Человече-
«Человеческое понятие причины и следствия всегда несколько упрощает
объективную связь явлений природы,-—пишет В. И. Ленин,—¦
лишь приблизительно отражая ее, искусственно изолируя те
или иные стороны одного единого мирового процесса»*. Отвле-
Отвлекаясь от рассмотрения сопутствующих форм движения, мы бу-
будем вести изучение явлений механического движения в отноше-
отношении их причин и следствий. В природе и технике мы наблюдаем
различные формы движения материи. Наблюдаемые изменяю-
изменяющиеся движения различных тел выявляются перед нами в про-
процессах механического движения: одно — как причина, другое —
как следствие. Перенос механического движения с одного тела
на другое сопровождается потерей (или приращением) механи-
механического движения у взаимодействующих тел. Мерой механиче-
механического движения, когда оно передается от одного тела другому,
является количество движения, равное сумме произведений
масс частиц, составляющих тело, на их скорости. При переносе
механического движения тела сохраняют неизменными основ-
основные качественные признаки (например, непроницаемость, массу,
геометрическую форму и др.), изменяя лишь количество движе-
движения относительно других тел.
* В. И. Ленин, Сочинения, изд. 4, т. 14, стр. 143.
8
Итак, механическое движение есть простейшая форма дви-
движения, представляющая изменение положения (места) матери-
материального тела в пространстве с течением времени. Теоретическая
механика есть наука об общих законах этой простейшей формы
движения материи, ставящая своей главной задачей познание
количественных закономерностей наблюдаемых механических
движений.
В тех задачах механики, где приходится иметь дело с каче-
качественными изменениями форм движения и наблюдать переходы
от простейшей механической формы движения к более слож-
сложным (например, тепловым в аэродинамике больших скоростей, в
гидромеханике вязкой жидкости), нельзя достигнуть удовлетво-
удовлетворительных результатов, исследуя только количественную сторо-
сторону механического движения. Более сложные формы движения
материи (теплота, свет, электричество) содержат в себе простое
механическое движение, но полностью им не объясняются и не
исчерпываются. Изучение механических движений является пер-
первой, наиболее простой и логически естественной задачей совре-
современной науки.
2. В определении механического движения, кроме понятий
о пространстве и времени, содержится еще понятие об объекте,
который движется. В данном курсе теоретической механики мы
будем рассматривать главным образом движения твердых не-
деформируемых тел. Различные части этих тел могут обладать
различными движениями. Для того чтобы знать движение тела,
нужно знать движение всех его составных частей. Простейшим
материальным телом является материальная частица. Мы бу-
будем достаточно малую частицу, обладающую конечной или бес-
бесконечно малой массой, называть материальной точкой. В неко-
некоторых задачах механики в зависимости от характеристик
изучаемого движения за материальную точку можно принимать
тела достаточно больших размеров. Так, например, Землю в ее
движении около Солнца молено в ряде задач рассматривать как
материальную точку потому, что размеры орбиты Земли весьма
велики по сравнению с диаметром Земли. При выводах количе-
количественных соотношений материальную точку всегда будем рас-
рассматривать как геометрическую точку, обладающую некоторой
массой.
Всякое материальное тело можно представить состоящим из
материальных точек. Поэтому изучение движения материальной
точки должно предшествовать изучению движения тела.
Материальное тело, в котором расстояния между любыми
двумя точками остаются постоянными во все время движения,
называется абсолютно твердым телом. Абсолютно твердое тело
сохраняет свою геометрическую форму неизменной независимо
от воздействий других тел.
Пренебрежение деформациями тел (иначе говоря, абстракт-
абстрактный образ реальных материальных тел) при изучении механиче-
механического движения является гипотезой, но гипотезой столь плодо-
плодотворной и рациональной, что научное познание законов механи-
механического движения было бы невозможным без этой гипотезы.
Суть дела состоит здесь в том, что в тысячелетнем процессе
практического изучения механических движений человечество
миллиарды раз убеждалось в правильности выводов, вытекаю-
вытекающих из принятия гипотезы абсолютно твердого тела.
Без гипотез невозможна прогрессивная творческая жизнь
науки. Глубоко прав был гениальный М. В. Ломоносов, который
писал: «... не должно торопиться порицать гипотезы. Они позво-
позволительны в предметах философских, и это даже единственный
путь, которым величайшие люди успели открыть истины самые
важные. Это как бы порывы, доставляющие им возможность
достигнуть знаний, до которых умы низкие и пресмыкающиеся
в пыли никогда добраться не могут».
Нужно заметить, что все материальные тела, с которыми
приходится иметь дело в действительности, изменяют свою фор-
форму вследствие взаимодействия с другими телами, т. е. деформи-
деформируются. Так, например, отдельные части летящего самолета
(крыло, оперение, фюзеляж, антенны) под воздействием воздуха
изменяют свою форму, изгибаясь, удлиняясь или скручиваясь.
Однако в целом ряде случаев изменения геометрической формы
тел при механических движениях получаются настолько малы-
малыми, что учет их только излишне усложняет изучение движения,
не сказываясь существенно на получаемых результатах. Отвле-
Отвлекаясь от свойств деформируемости движущихся тел, мы всегда
должны иметь в виду те условия взаимодействия с другими те-
телами, которые определяют основные закономерности изучаемого
движения. Если обстоятельства движения изменяются настоль-
настолько, что нельзя пренебрегать деформируемостью тел, то резуль-
результаты вычислений не будут совпадать с опытом и задача должна
быть исследована с учетом тех деформаций, которые существен-
существенно влияют на характеристики рассматриваемого движения.
В качестве примера такого естественного хода научного позна-
познания можно указать, что исторически возникла сначала динамика
полета абсолютно твердого самолета и гораздо позднее дина-
динамика полета упругого самолета.
3. Механические взаимодействия между телами приводят к
изменению движения этих тел, не изменяя качественно природы
самого движения. В тех случаях, когда механическая форма
движения переходит в другие формы движения (свет, теплоту,
электричество), законы и методы механики оказываются или
непригодными, или недостаточными для познания сущности про-
происходящих явлений. Механическое взаимодействие реально осу-
10
ществляется или непосредственным контактом между телами
(паровоз тянет вагоны, книга давит на стол), или через посред-
посредство материальной среды с другими физическими свойствами,
находящейся между рассматриваемыми телами (Земля притя-
притягивает камень, Солнце притягивает Землю и другие планеты).
Результатом механического взаимодействия является или изме-
изменение относительного положения тел, или изменение относитель-
относительного расположения частиц (деформация) этих тел.
Если какое-либо механическое движение передается от од-
одного тела другому, то тело, передающее движение, является
источником движения — его причиной — для другого тела. Вели-
Величина, являющаяся мерой механического вваимодействия мате-
материальных тел, называется в механике силой. Так, например,
изменение скоростей точек одного тела в результате передачи
ему движения от второго тела будет мерой силы (мерой дей-
действия второго тела на первое). Сила в механике измеряется ко-
количеством переносимого движения. Так как перенос движения
выявляется на двух взаимодействующих телах (одно тело при-
приобретает движение, другое тело теряет), то одно из тел может
быть выбрано эталоном для измерения изменений движения
других тел. Изменение движения эталона (или его деформация)
будет являться количественной характеристикой силы, на него
действующей. Поэтому в дальнейшем мы часто будем говорить,
что основной задачей механики является изучение движения
материальных тел под действием сил. Изучение равновесия тел
под действием сил будет, очевидно, частной задачей механики.
4. Теоретическая механика, изложению которой посвящен
этот курс, основывается главным образом на законах механи-
механического движения Ньютона, сформулированных еще в 1687 г.
в книге «Математические принципы натуральной философии» *.
Современная наука называет механику, построенную на законах
Ньютона, «классической или ньютонианской механикой». В кон-
конце XIX и начале XX столетия законы механического движения,
открытые Ньютоном, неоднократно подвергались критике, при-
причем были созданы новые логические построения классической
механики, а также выявлены более широкие физические осно-
основания новой механики. Особенно большое значение для новей-
новейших исследований по изучению движений тел с очень большими
скоростями (сравнимыми со скоростью света) получила меха-
механика специальной теории относительности, или релятивистская
механика.
* I. Newton, Philosophiae naturalis principia mathematica, 1687. Рус-
Русский перевод выполнен академиком А. Н. Крыловым; первое издание его
вышло в 1916 г., второе —в 1936 г.
11
Новые воззрения на природу механического движения имеют
первостепенное значение при скоростях движения, близких к
скорости света; они расширяют и уточняют законы классической
механики. Однако следует отметить^ что изучение движений при
скоростях, малых по сравнению со скоростью света, пока еще
нецелесообразно проводить с более широкой точки зрения тео-
теории относительности. Открытия, сделанные в теории относитель-
относительности, не означают, что закономерности классической механики
перестали быть верными. Теория относительности лишь строго
доказала, что предметом классической механики является изу-
изучение «медленных» реальных механических движений, медлен-
медленных по сравнению со скоростью света (скорость света в вакууме,
по современным измерениям*, составляет 299 892,6 • 103 м/сек).
Определения пространства, времени и движущейся материи в
классической механике, основанной на законах Ньютона, фор-
формально не связаны друг с другом и являются лишь пер-
первыми приближениями к объективно реальным формам суще-
существования материи. Пространство в классической механике есть
трехмерное пространство евклидовой геометрии. Основные опре-
определения и аксиомы геометрии Евклида описывают достаточно
точно свойства пространства, в котором происходят наблюдае-
наблюдаемые нами движения материальных тел. Опыты, проведенные по
изучению геометрических свойств пространства на Земле, пока-
показали высокую точность аксиом евклидовой геометрии. Метриче-
Метрические свойства евклидова пространства не зависят от наполняю-
наполняющей и движущейся в этом пространстве материи; пространство
считается однородным и изотропным во всех направлениях.
Для выполнения измерений в пространстве нужно выбрать
единицу длины. Выбор единицы длины, вообще говоря, произ-
произволен и устанавливается при помощи эталона по общему согла-
соглашению. За единицу длины в большинстве стран принят метр
с его подразделениями, дециметр, сантиметр, миллиметр, ми-
микрон и т. д. Эталон метра представляет стержень из платины,
хранящийся в Международном бюро мер и весов в Севре
(Франция). На этом стержне, вблизи его концов, нанесены две
тонкие линии, расстояние между которыми при температуре 0°
по Цельсию считается равным 1 метру. По первоначальным из-
измерениям, проделанным" в эпоху французской буржуазной ре-
революции, расстояние в 1 метр должно было составлять одну
десятимиллионную часть четверти Парижского меридиана. Впо-
Впоследствии оказалось **, что длина четверти Парижского мери-
меридиана равна 10 002 286 метров. По Севрскому платиновому эта-
* См. статью Ф р у м a (Froome) в журнале «Proceedings of the Royal
Society», 1952, A213; см. также «Rev. Mod. Phys.», 1953, vol. 25, стр. 691.
** По измерениям Хэйфорда в 1909 г. См. вступительную статью А. М и-
х а й л о в а к книге: Мешен и Делам б р, Основы метрической десятичной
системы, ГИЗ, 1926,
12
лону международной комиссией были изготовлены копии, по
нескольку экземпляров которых имеют большинство стран. Для
СССР за основной эталон метра принята платино-иридиевая
копия международного прототипа, имеющая обозначение «28»
и хранящаяся во Всесоюзном институте метрологии в Ленин-
Ленинграде *.
Время в классической механике Ньютона считается универ-
универсальным для всех точек пространства. Течение времени, как
первое приближение к реальным соотношениям, принимается
независящим от движущейся материи. Считается возможным,
выбрав, например, Землю за основное тело, установить одно-
одновременность двух событий на любых других телах независимо
от скорости движения этих тел по отношению к Земле. Это
предположение эквивалентно допущению, что изменения взаимо-
взаимодействий между телами распространяются с бесконечно боль-
большой скоростью. Легко понять, что и в этом абстрактном опре-
определении универсального времени находит отражение многовеко-
многовековой опыт людей, изучавших и изучающих реально наблюдаемые
механические движения. В самом деле, пространственные и вре-
временные соотношения имеют реальное основание в самом факте
существования движущейся материи. Если бы вне нашего со-
сознания не существовало никаких объективных причин для из-
измерения времени, то мы могли бы по произволу считать рав-
равными те части времени, в течение которых при произвольных
движениях проходятся равные пути. Следовательно, мы могли
бы с равным основанием любое движение считать равномерным.
Однако сама природа вещей убеждает нас через органы чувств
и различные приборы, что равномерное движение существенно
отличается от неравномерного и приводит нас к определенным
единицам времени: сутки, лунные месяцы, год. В процессе по-
познания мы имеем дело с различными, реально существующими
материальными телами и формами движения, отражая в нашем
сознании объективно существующие закономерности **. Следо-
Следовательно, понятие времени, как и понятие пространства, имеет
основание, находящееся вне нашего сознания. «Наши развиваю-
развивающиеся понятая времени и пространства отражают объективно-
реальные время и пространство»,*** — говорит В. И. Ленин.
Для случаев движения тел со скоростями, значительно мень-
меньшими скорости света, трехмерное евклидово пространство и
универсальное время являются полноценными и весьма точ-
точными абстракциями реального времени и реального про-
* В рекомендуемой для применения системе СИ «м е т р есть длина,
равная 1 650 736,73 длин волн в вакууме, излучения, соответствующего пере-
переходу между уровнями 2рю и ойь атома криптона-86».
** «Количественное бытие движения есть время», — писал К. Маркс.
*** В. И. Ленин, Сочинения, изд. 4, т. 14, стр. 164.
13
странства. «Мир есть движущаяся материя, — пишет В. И. Ле-
Ленин,— и законы движения этой материи отражает механика по
отношению к медленным движениям...» *.
Для измерения времени общепринятой является система, ос-
основанная на реальном факте вращения Земли, причем на осно-
основании многовековых наблюдений предполагается, что период
полного оборота Земли относительно неподвижных звезд остает-
остается неизменным (звездные сутки). Промежуток времени между
двумя последовательными прохождениями Солнца через плос-
плоскость какого-либо меридиана называется истинными солнечными
сутками. Среднее арифметическое истинных солнечных суток за
год называется средними солнечными сутками. Все часы на Зем-
Земле регулируются по средним солнечным суткам. Отношение сред-
средних солнечных суток к звездным равно 1,00274. В теоретической
механике за единицу (эталон) времени принимается средняя
1 1
солнечная секунда, равная 24.60-60 ~ 86 400 сРеДних солнечных
суток.
Точность инструментов, применяемых для измерения времени
на Земле (часов), должна контролироваться систематическими
астрономическими наблюдениями, поскольку равномерность дви-
движения часовой стрелки должна все время сравниваться с рав-
равномерным вращением Земли относительно звезд (так называе-
называемая «служба времени» в астрономических обсерваториях» **.
Течение времени предполагается однородным и непрерыв-
непрерывным; каждому моменту времени можно привести в соответствие
точку на бесконечной прямой, называемой осью времени. После-
Последовательности точек на оси времени соответствует последова-
последовательность моментов времени. Каждая точка на оси соответст-
соответствует определенному моменту времени. Если выбрать на оси
времени точку, условно принимаемую за начало отсчета вре-
времени, то расстояние по оси времени от некоторого момента
t=tt до данного момента t — t2 будет определять промежуток
времени (t2—^i). Если мы говорим, что материальная точка на-
находится в движении Т сек, то это значит, что от начала отсчета
времени, принятого при изучении данного движения, прошло
Т сек.
За положительное направление оси времени принимается на-
направление от более ранних к более поздним моментам времени.
Время необратилю. Необратимость времени объективно выте-
вытекает из последовательности и взаимообусловленности развития
реальных форм движения материи.
В релятивистской механике, исходя из более общих законов
природы, показано, что никакой универсальной меры времени
* В. И. Ленин, Сочинения, изд. 4, т. 14, стр. 268.
** В системе СИ секунда определяется как '/31556925,9717 часть тропического
года для 1900 г., января 0, в 12 часов эфемеридного времени.
14
не существует. На каждом движущемся теле есть свое «мест-
«местное» время. В механике теории относительности подробно рас-
рассматривается, как связаны между собой местные ритмы вре-
времени, измеряемые различными наблюдателями, находящимися
на инерциально движущихся телах (системах координат) К\,
Кч, ¦ ¦ •, Кп- Связь наблюдателей осуществляется при помощи
световых сигналов. При этом, исходя из опытных данных, по-
постулируется, что скорость света является универсальной кон-
константой для всех наблюдателей. Течение времени для данного
наблюдателя зависит от движения тела, на котором он нахо-
находится. Таким образом, механика теории относительности на
основе экспериментального факта — постоянства скорости света
во всех инерциальных системах явно устанавливает взаимосвязь
пространства, времени и движущейся материи.
Как было указано ранее, в задачах механики мы будем раз-
различать движущиеся материальные тела только по их геометри-
геометрической форме и массе, полагая в большинстве случаев другие
физические свойства (например, температуру, деформируемость)
одинаковыми. Протяженность, непроницаемость, масса и ее
распределение в данном объеме являются основными механи-
механическими характеристиками движущихся материальных тел. Вну-
Внутренние движения микрочастиц вещества и связанные с этим
качественные изменения физической природы тел в теоретиче-
теоретической механике не рассматриваются.
Чем меньшее число физических свойств принимается во вни-
внимание при изучении движения тел, тем проще процесс изучения.
Начиная изучение законов механического движения с простей-
простейших объектов (материальной точки, абсолютно твердого тела),
мы можем последовательным учетом других физических свойств
приближаться к полному абсолютному познанию законов дви-
движения реальных тел природы.
Относительные истины, которые познаются нами при изуче-
изучении механического движения, содержат в себе объективный
(абсолютный) элемент знания. Законы механики суть объектив-
объективные законы, и задача механики как науки состоит в том, чтобы
познать эти законы, а также показать возможности их исполь-
использования в задачах, доставляемых природой и развивающейся
техникой нашей страны. Проверяя общественно-исторической
практикой правильность закономерностей, устанавливаемых в
механике, мы можем судить о степени нашего приближения к
объективной истине в тех или иных конкретных условиях. Ме-
Механика как часть единой науки о природе вечна в своих источ-
источниках и безгранична в своем объеме. Уверенность научного по-
познания в абсолютном значении открываемых им истин является
одним из источников творческого оптимизма советской науки.
«Человеческое мышление по природе своей способно давать
и дает нам абсолютную истину, которая складывается из суммы
15
относительных истин. Каждая ступень в развитии науки приба-
прибавляет новые зерна в эту сумму абсолютной истины, но пределы
истины каждого научного положения относительны, будучи то
раздвигаемы, то суживаемы дальнейшим ростом знания». «В ка-
каждой научной истине, несмотря на ее относительность, есть эле-
элемент абсолютной истины» *.
5. Знание законов теоретической механики, отражающих
объективно существующие взаимосвязи и взаимообусловлен-
взаимообусловленность механических движений, позволяет научно предвидеть ход
процессов механических движений в новых задачах, возникаю-
возникающих при развитии человеческого общества, при развитии науки
и техники. Одной из важнейших сторон подлинной науки явля-
является именно возможность предвидения. В инженерной практике
стадии эскизного и технического проектирования по существу
и демонстрируют эту действенную силу научного мышления.
Раз открытый закон механического движения неизменно и
вполне определенно проявляет себя в самых разнообразных ча-
частных задачах. Например, можно наблюдать, объяснить и про-
проверить справедливость теоремы площадей и при движении ша-
шарика на нити, и при движении искусственных спутников Земли,
и при движении планет солнечной системы. Механика учит не
только видеть мир, но и понимать его.
История развития теоретической механики и научно-техни-
научно-техническая практика наших дней дают нам многочисленные приме-
примеры того, как на основе познанных объективных законов меха-
механического движения молено уверенно делать прогнозы о причи-
причинах и характеристиках вновь открываемых движений.
На основании законов механики производится вычисление
орбит (траекторий) искусственных спутников Земли настолько
точно, что предсказанные задолго текущие координаты спутника
на небесной сфере хорошо совпадают с наблюдаемыми. При по-
помощи расчетов, основанных на законах классической механики
и аэромеханики, в конструкторских бюро авиационных заводов
с большой точностью устанавливаются геометрические формы
новых самолетов и определяются их летные характеристики
(скорости на различных высотах, дальности при изменении по-
полезной нагрузки и запасов горючего, практический «потолок»,
устойчивость, управляемость и маневренность). Законы механи-
механики позволяют точно рассчитать траектории,скорости и дальности
полета артиллерийских снарядов, баллистических ракет дальне-
дальнего действия, беспилотных самолетов. Успехи нашей страны в за-
завоевании космоса были бы невозможны без знаний механики.
Всюду, где инженеру приходится иметь дело с механическими
движениями, теоретическая механика дает надежную, прове-
проверенную практикой основу для правильного познания различных
* В. И.Ленин, Сочинения, изд. 4, т. 14, стр. 122 и 296.
16
конкретных движений. Законы механики — подлинное ру-
руководство к безошибочному действию в современной-
технической практике.
При проектировании и строительстве новых сооружений (мо-
(мостов, плотин, самолетов, ракет, зданий) практически мы на-
настолько уверены в справедливости законов механики, что все
вытекающие из расчетов выводы считаем абсолютно верными и
получающиеся в ряде случаев расхождения теории и опыта
всегда объясняются или неточностью исходных данных, или
арифметическими ошибками счета. Крупнейшие инженеры — ру-
руководители проектов — с нескрываемой гордостью рассказывали
мне, что по неписаному правилу строитель и проектировщик же-
железнодорожного моста встают под мост, когда первый поезд
проходит по нему во время государственных испытаний, будучи
полностью уверены в своей конструкции, созданной на базе за-
законов механики.
Эвристическая ценность законов механики несомненна. Ме-
Механика направляет творческую интуицию ученых и инженеров,
давая им в краткой и ясной форме итог колоссального опыта
человечества. Выработанные в процессе исторического развития
механики основные понятия и определения, открытые и строго
формулированные законы позволяют познавать механические
движения наиболее адекватно их сущности, с полным учетом
своеобразия и специфичности изучаемых явлений.
6. Механическое движение есть изменение положения тела
в пространстве с течением времени. Положение тела в простран-
пространстве будет известно, если известно положение всех его точек.
Что же необходимо знать для определения положения какой-
либо точки тела?
Для того чтобы задать положение точки в пространстве,
нужно выбрать некоторое тело, по отношению к которому и
определить положение данной точки. Так как выбор такого тела
в известной мере произволен, то понятия о механическом движе-
движении и равновесии являются относительными и точка, движу-
движущаяся по отношению к одному телу, может находиться в покое
по отношению к другому телу. Так, например, здания, в которых
мы живем, не движутся относительно Земли, но они движутся с
весьма большой скоростью относительно Солнца вместе с Зем-
Землей. Поэтому при изучении механических движений всегда
«ужно знать то тело, по отношению к которому будет изучаться
данное движение. Если такое тело не задано, то задача изуче-
изучения движения становится в механике неопределенной.
Относительность понятий механического движения и равно-
равновесия не означает, что они чисто субъективны. Относительные
явления движения столь же объективны, как и явления абсо-
абсолютные Любое охносительаое движение, (и^а&ашаесие) имеет
2 X. А. Кесмодемшшжнй yj
объективный характер как проявление коренного свойства мате-
материального мира — его движения и изменения.
Связанная с выбранным телом система координат, по отно-
отношению к которой мы изучаем движение, называется системой
ориентировки или системой отсчета. На фигуре 1 изображена
прямоугольная система осей коор'динат Oxyz, которой мы будем
пользоваться на протяжении всего курса. Эта система назы-
называется правой системой координат. В правой системе координат
поворот оси Ох к оси Оу на 90° вокруг оси Oz совершается про-
против часовой стрелки; поворот оси Оу к оси Oz на 90° вокруг оси
Фиг. 1
Фиг. 2
Ох совершается также против часовой стрелки и т. д., при этом
происходящий поворот всегда нужно наблюдать с положитель-
положительного направления той оси, вокруг которой он совершается.
Система осей Оху на плоскости (фиг. 2) является также пра-
правой системой осей координат. Положение какой-либо точки от-
относительно выбранной системы координат определяется обычны-
обычными приемами аналитической геометрии.
7. Теоретическая механика, изучающая движение и равно-
равновесие материальных тел под действием сил, является научной
основой целого ряда современных технических дисциплин. Со-
Сопротивление материалов, гидромеханика, теория упругости, ди-
динамика самолета, ракетодинамика и другие технические дисцип-
дисциплины существенно дополняют и расширяют основные положения
и законы классической механики твердого тела, изучая новые
классы задач механики и в ряде случаев вводя в рассмотрение
новые физические свойства тел. Уравнения теоретической меха-
механики, полученные для абсолютно твердых тел, являются необхо-
необходимыми, но недостаточными для изучения движения и равнове~
сия деформируемых тел.
18
Теоретическая механика — быстро развивающаяся наука.
Технический прогресс нашей страны, непрерывный рост и со-
совершенствование социалистического производства на базе но-
новых достижений техники последовательно выдвигают на очередь
неотложных научных проблем все новые и новые задачи изуче-
изучения механического движения. Механика тел переменной массы,
теория автоматического регулирования, теория устойчивости,
теория оптимальных процессов, теория гироскопических прибо-
приборов, теория нелинейных колебаний — вот наиболее важные
разделы современной механики, где идет интенсивная исследо-
исследовательская работа. Главная задача механики состоит в исследо-
исследовании закономерностей механического движения в новых про-
проблемах, выявлении объективных законов явлений наиболее
адекватными методами и создании таких руководящих идей,
которые помогают людям сознательно переделывать мир.
§ 2. Краткий исторический очерк развития
теоретической механики
1. Механика — одна из самых древних наук. Она возникла
и развивалась под влиянием запросов общественной практики,
а также благодаря абстрагирующей и синтезирующей способ-
способности человеческого мышления. Еще в доисторические времена
люди создавали постройки и наблюдали движения различных
тел. Многие законы механического движения и равновесия ма-
материальных тел познавались человечеством путем многократных
повторений, чисто экспериментально. Этот общественно-истори-
общественно-исторический опыт, передаваемый от поколения к поколению, и был
тем исходным материалом, на анализе которого развивалась
механика как наука. Возникновение и развитие механики было
тесно связано с производством, с потребностями человеческого
общества. «На известной ступени развития земледелия, — пи-
пишет Энгельс, — и в известных странах (поднимание воды для
орошения в Египте), а в особенности вместе с возникновением
городов, крупных построек и развитием ремесла, развивалась
и механика. Вскоре она становится необходимой также для су*
доходства и военного дела»*.
Первые, дошедшие до наших дней рукописи и научные со-
сообщения в области механики принадлежат античным ученым
Греции и Египта. Древнейшие папирусы и книги, в которых со-
сохранились исследования некоторых простейших задач механики,
относятся главным образом к различным задачам статики, т. е.
учению о равновесии. В первую очередь здесь нужно назвать
сочинения выдающегося философа древней Греции Аристо-
Аристотеля C84—322 гг. до н. э.), который ввел в научный обиход
Ф. Энгельс, Диалектика природы, Госполитиздат, 1950, стр. 145.
19
название механика* для широкой области человеческого зна-
знания, в которой изучаются простейшие движения материальных
тел, наблюдающиеся в природе и создаваемые человеком при
его деятельности.
Аристотель родился в греческой колонии Стагира, во Фракии,
в 384 г. до нашей эры. Отец его был врачом македонского царя.
В 367 г. Аристотель поселился в Афинах, где получил философ-
философское образование в Академии известного в Гоеции философа-
идеалиста Платона. В 343 г. Аристотель занял место воспита-
воспитателя Александра Македонского, впоследствии знаменитого пол-
полководца древнего мира**. Свою философскую школу, получив-
получившую название школы перипатетиков, Аристотель основал в 335 г.
в Афинах. Некоторые философские положения Аристотеля не
утратили своего значения до настоящего времени. Энгельс пи-
писал: «Древние греческие философы были все прирожденными
стихийными диалектиками, и Аристотель, самая универсальная
голова среди них, исследовал уже все существенные формы
диалектического мышления». Но в области механики эти широ-
широкие универсальные законы человеческого мышления не получи-
получили в работах Аристотеля плодотворного отражения.
Аристотель в своих философских и естественнонаучных трэ-
трэдах пытался исследовать различные механические и астрономи-
астрономические проблемы. Он пользовался при рассмотрении конкрет-
конкретных, наблюдаемых человеком явлений дедуктивным методом,
привлекая механику лишь для иллюстрации весьма широких
общефилософских положений.
Многие рассуждения Аристотеля о явлениях механического
движения наивны, запутаны, непоследовательны. Исходя из
общих аксиоматических положений, он часто делал ложные за-
заключения о закономерностях конкретных явлений. Пренебре-
Пренебрежение экспериментом и ряд выводов, основанных на непо-
непосредственном созерцании видимых процессов движения тел без
последующего количественного анализа, привели Аристотеля к
результатам, не подтверждающимся научно поставленными
опытами.
Так, например, Аристотель считал, что вблизи поверхности
Земли тяжелые тела падают быстрее, а легкие — медленнее,
* От греческого слова |iexccvr), что значит ухищрение, машина Ньютон
пишет в предисловии к первому изданию «Principia» «Древние рассматривали
механику двояко как рациональную (умозрительную), развиваемую точными
доказательствами, и как практическую. К практической механике относятся
все ремесла и производства, именуемые механическими, от которых получила
свое название и самая механика»
** Александр Македонский говорил «Я чту Аристотеля наравне со своим
отцом, так как если я отцу обязан жизнью, то Аристотелю обязан всем, что
дает ей цену».
20
даже если не принимать во внимание силу сопротивления воз-
воздуха. Сравнивая теоретические скорости падения тяжелого тела
данной формы в воздухе и воде, он доказывал, что скорость в
воде будет во столько раз меньше, во сколько раз плотность
воды больше плотности воздуха. Классифицируя механические
движения, Аристотель делил их на прямолинейные и криволи-
лейные. Криволинейные движения, по Аристотелю, являются
более совершенными. Самой совершенной кривой у древних
геометров считалась окружность. Аристотель заключает, что
планеты, будучи созданием совершеннейшего существа — бога,
обязаны двигаться по самым совершенным траекториям, т. е.
по окружностям. Аристотель считал, что для поддержания пря-
прямолинейного и равномерного движения материального тела не-
необходимо приложение постоянной силы. В природе не может су-
существовать пустоты, учил Аристотель, так же как и действия на
расстоянии.
При рассмотрении проблемы рычага Аристотель, по-види-
по-видимому, высказал правильную догадку об условиях равновесия
рычага с неравными плечами, хотя и здесь в его пояснениях
много наивного изумления перед наблюдаемыми фактами и
мало конкретного анализа.
Ученики Аристотеля, пересказывая в книге «Механические
проблемы» мысли своего учителя, писали о рычаге: «К такого
рода удивительным вещам относятся те случаи, когда меньшее
берет верх над большим, когда вещь легковесная сама по себе
приводит в движение большие тяжести и все то, что мы назы-
называем механикой. Самым выдающимся из всех вопросов меха-
механики является вопрос о рычаге. На первый взгляд кажется не-
нелепым, чтобы большая тяжесть приводилась в движение малой
силой... Первоначальная причина всех подобных явлений —
круг. ...В самом деле, все то, что наблюдается на весах, приво-
приводится к кругу, все, что наблюдается в рычаге, приводится к ве-
весам, а все, что вообще относится к механическому движению,
сводится к рычагу».
К правильным догадкам Аристотеля относится содержание
теоремы о сложении скоростей и утверждение, что воздух имеет
вес.
Полагая, что мир идей является более совершенным, чем
мир вещей, и считая эксперимент делом рабов, последователи
Аристотеля не обращали большого внимания на явное несогла-
несогласие многих теоретических выводов Аристотеля с простейшими
корректно поставленными опытами.
Научные основы учения о равновесии были заложены гени-
гениальным Архимедом B87—212 гг. до н. э.), который первым
из ученых начал успешно применять строгие математические
методы к исследованию проблем механики.
2L
Вдумчивый наблюдатель природы, знаток античной техники,
глубокий мыслитель и изобретатель, Архимед был * «человеком
сверхъестественной проницательности, которому мы обязаны в
зародыше большей частью открытий, развитие которых покрыло
славой переживаемую нами эпоху».,
В своем сочинении о равновесии плоских фигур и о центре
тяжести Архимед открыл закон равновесия рычага и установил
основные принципы статики твердого тела.
Архимед в теории рычага исходит из следующих допущений
(постулатов), которые он считает само собой понятными:
1. Равные грузы, приложенные к равным плечам рычага,
уравновешиваются.
2. Равные грузы, приложенные к неравным плечам рычага,
не находятся в равновесии. Груз, приложенный к более длин-
длинному плечу, падает вниз.
3. Если грузы, подвешенные на каких-нибудь плечах рычага,
находятся в равновесии, то если к одному из грузов что-либо
добавить, то равновесие нарушится и груз, к которому прибав-
прибавлено, будет падать вниз.
4. Точно так же, если от одного груза отнять что-либо, то
равновесие нарушится и груз, от которого не было отнято, па-
падает вниз.
Из этих вполне очевидных аксиоматических положений Архи-
Архимед получил условие равновесия рычага. Любые (соизмеримые
или несоизмеримые) грузы находятся в равновесии, когда плечи
рычага обратно пропорциональны грузам **.
Этим условием равновесия рычага мы пользуемся в статике
до сих пор. Доказательства, данные Архимедом, видоизменя-
видоизменялись в дальнейшем различными авторами, но, как справедливо
заметил Лагранж, эти авторы, нарушив простоту доказательств
Архимеда, почти ничего не выиграли с точки зрения точности.
Архимед нашел строгими геометрическими рассуждениями
положение центра тяжести параллелограмма, треугольника,
трапеции и даже, применяя так называемый метод «исчерпыва-
«исчерпывания», определил центр тяжести параболического сегмента и
центр тяжести части площади параболы, заключенной между
двумя параллельными прямыми. Исследования Архимеда были
предметом гордости его сограждан, вызывая изумление и восхи-
восхищение всех ученых. Так, Плутарх говорил: «Во всей геометрии
нет теорем более трудных и глубоких, чем теоремы Архимеда, и,
несмотря на это, они доказаны очень просто и весьма ясно. По
моему мнению, невозможно найти доказательства какого бы то
* По словам английского ученого J. Wall is'a A616—1703), автора из-
известного курса механики «Mechanics» (три части изданы в Лондоне, 1669—¦
1671 гг.).
** Формулировка закона равновесия рычага дана в дошедшем до нас со-
сочинении Архимеда «О равновесии плоских фигур».
22
ни было из предложений Архимеда, но, прочитавши доказатель-
доказательство, данное им, нам кажется, то мы сами дали бы это дока-
доказательство — так оно просто и легко». Он впервые строго опре-
определил боковую поверхность прямого цилиндра и прямого
кругового конуса, нашел поверхность и объем шара. Его метод
построения стороны вписанного в круг семиугольника до наших
дней вызывает восхищение математиков всех стран.
Архимед заложил основы науки о равновесии жидкостей —
гидростатики. «За Архимедом сохранилась репутация одного из
самых удивительных гениев, которые когда-либо посвящали
себя математике. Ни один из геометров древности не сделал
таких многочисленных и важных открытий», — говорил Лаг-
ранж.
По характеристике историка Плутарха, Архимед был просто
одержим математикой: «Эта сирена всегда была с ним, и ее не-
непрестанные чары заставляли его забывать о пище; он совершен-
совершенно не заботился о себе, а когда его нередко заставляли идти в
баню и умащаться маслом, он чертил на золе геометрические
фигуры и рисовал их пальцем на своем умащенном теле, будучи
одержим великим вдохновением и поистине являясь пленником
муз».
Архимеду принадлежит большое число технических изобре-
изобретений, в том числе простейшей водоподъемной машины (архиме-
(архимедова винта), которая нашла применение в Египте для осушения
залитых водой культурных земель; ему же принадлежит форму-
формулировка основного закона гидростатики. Он проявил себя и
как военный инженер при обороне своего родного города Сира-
Сиракузы (Сицилия). Разработанные Архимедом метательные уст-
устройства и полиспасты для подъема больших тяжестей широко
использовались войсками при защите Сиракуз. Архимед пони-
понимал могущество и великое значение для человечества точного и
систематического научного исследования, и ему приписывают
гордые слова: «Дайте мне место, на которое я мог бы встать,
и я сдвину Землю».
Архимед погиб от меча римского солдата во время резни,
.устроенной римлянами при захвате Сиракуз. Предание гласит,
что Архимед, погруженный в рассмотрение геометрических фи-
фигур, сказал подошедшему к нему солдату: «Человек, не трогай
моих чертежей». Солдат, усмотрев в этих словах оскорбление
могущества победителей, отрубил ему голову, и кровь Архимеда
обагрила его последний научный труд.
Известный астроном древности Птолемей (II в. н. э.) * в
своей работе «Великое математическое построение астрономии
* Есть сведения, что Птолемей (Klaudius Ptolemeus) жил и рабо-
работал в Александрии с 127 по 141 или 151 г. По арабским преданиям, умер
в возрасте 78 лет. По исследованиям последних лет, Птолемей жил с 74 по
147 г. нашей эры.
2а
в 13 книгах» разработал геоцентрическую систему мира, в кото-
которой видимые движения небесного свода и планет объяснялись
исходя из предположения, что Земля неподвижна и находится в
центре вселенной. Весь небесный свод делает полный оборот во-
вокруг Земли за 24 часа, и звезды участвуют только в суточном
движении, сохраняя свое относительное расположение неизмен-
неизменным; планеты, кроме того, движутся относительно небесной
сферы, изменяя свое положение относительно звезд. Законы
видимых движений планет были установлены Птолемеем
столь корректно, что в ряде случаев стало возможным предвы-
числение их положений относительно сферы неподвижных
звезд.
Однако теория строения вселенной, созданная Птолемеем,
была ошибочной; она привела к необычайно сложным и искус-
искусственным схемам движения планет и не могла полностью объяс-
объяснить их видимых перемещений относительно звезд. Особенно
большие несоответствия вычислений и наблюдений получались
при предсказаниях солнечных и лунных затмений, сделанных
на много лет вперед.
Птолемей не придерживался строго методологии Аристотеля
и проводил планомерные опыты над преломлением света. Фи-
зиолого-оптические наблюдения Птолемея не потеряли своего
интереса до настоящего времени. Найденные им углы преломле-
преломления света при переходе из воздуха в воду, из воздуха в стекло
и из воды в стекло были весьма точны для своего времени. Пто-
Птолемей замечательно соединял в себе строгого математика и тон-
тонкого экспериментатора.
В эпоху средних веков развитие всех наук, а также и меха-
механики сильно замедлилось. Более того, в эту эпоху были унич-
уничтожены и разрушены ценнейшие памятники науки, техники и
искусства древних. Религиозные фанатики стирали с лица земли
все завоевания науки и культуры. Большинство ученых этого
периода слепо придерживалось схоластического метода Аристо-
Аристотеля в области механики, считая безусловно правильными все
положения, содержащиеся в сочинениях этого ученого. Геоцен-
Геоцентрическая система мира Птолемея была кононизирована. Вы-
Выступления против этой системы мира и основных положений фи-
философии Аристотеля считались нарушением основ священного
писания, и исследователи, решавшиеся сделать это, объявлялись
еретиками. «Поповщина убила в Аристотеле живое и увекове-
увековечила мертвое»,— писал Ленин. Мертвая, бессодержательная схо-
схоластика заполнила страницы многих трактатов. Ставились не-
нелепые проблемы, а точное истинное знание преследовалось и
хирело. Большое число работ по механике в средневековье было
посвящено отысканию «перпетуум мобиле», т. е. вечного двига-
двигателя, работающего без получения энергии извне. Эти работы в
24
своем большинстве мало способствовали развитию механики *.
«Христианское средневековье не оставило науке ничего», — гово-
говорил Ф. Энгельс в «Диалектике природы».
2. Интенсивное развитие механики началось в эпоху Возро-
Возрождения, с первых десятилетий XV в. — в Италии, а затем и в
других странах. В эту эпоху особенно большой прогресс в раз-
развитии механики был достигнут благодаря работам Леонардо
да Винчи A452—1519), Коперника A473—1543) и Га-
Галилея A564—1642).
Знаменитый итальянский художник, математик, механик и
инженер, Леонардо да Винчи занимался исследованиями по
теории механизмов (им построен эллиптический токарный ста-
станок), изучал трение в машинах, исследовал движение воды в
трубах и движение тел по наклонной плоскости. Он первым по-
познал чрезвычайную важность нового понятия механики — мо-
момента силы относительно точки. Исследуя равновесие сил, дей-
действующих на блок, Леонардо да Винчи установил, что роль
плеча силы играет длина перпендикуляра, опущенного из не-
неподвижной точки блока на направление веревки, несущей груз.
Равновесие блока возможно только в том случае, если произве-
произведения сил на длины соответствующих перпендикуляров будут
равны; иначе говоря, равновесие блока возможно только при
условии, что сумма статических моментов сил относительно точ-
точки привеса блока будет равна нулю.
Революционный переворот в воззрениях на строение вселен-
вселенной был произведен польским ученым Николаем Коперни-
Коперником, который, как образно написано на его памятнике в Вар-
Варшаве, «остановил Солнце и сдвинул Землю». Новая гелиоцен-
гелиоцентрическая система мира объясняла движение планет исходя из
того, что Солнце является неподвижным центром, около которого
по окружностям совершают движения все планеты. Вот под-
подлинные слова Коперника, взятые из его бессмертного произведе-
произведения **: «То, что нам представляется как движение Солнца, про-
происходит не от его движения, а от движения Земли и ее сферы,
вместе с которой мы обращаемся вокруг Солнца, как любая
другая планета. Так, Земля имеет больше, чем одно движение.
Видимые простые и попятные движения планет происходят не
в силу их движения, но движения Земли. Таким образом, одно
движение Земли достаточно для объяснения и столь многих ви-
видимых неравенств на небе».
* Идеологию средневековья хорошо выразил один из последователей Ма-
Магомета, говоря: «Если науки учат тому, что написано в коране, они излишни,
если они учат другому, они безбожны и преступны».
** Цитируется по статье Н. И. Идельсона «Жизнь и творчество Ко-
Коперника», опубликованной в сборнике «Николай Коперник», изд. АН, 1947.
25
В работе Коперника была вскрыта главная особенность дви-
движений планет и даны расчеты, относящиеся к предсказаниям
солнечных и лунных затмений. Объяснения возвратных види-
видимых движений Меркурия, Венеры, Марса, Юпитера и Сатурна
относительно сферы неподвижных звезд приобрели ясность, от-
отчетливость и простоту. Коперник ясно понимал кинематику от-
относительного движения тел в пространстве. Он писал: «Всякое
воспринимаемое изменение положения происходит вследствие
движения либо наблюдаемого предмета, либо наблюдателя,
либо вследствие движения того и другого, если, конечно, они
различны между собой; ибэ когда наблюдаемый предмет и на-
наблюдатель движутся одинаковым образом и в одном направле-
направлении, то не замечается никакого движения между наблюдаемым
предметом и наблюдателем».
Подлинно научная теория Коперника позволила получить
ряд важных практических результатов: увеличить точность
астрономических таблиц, провести реформу календаря (введе-
(введение нового стиля) и более строго определить продолжитель-
продолжительность года.
Система Коперника способствовала более глубокому пони-
пониманию относительного движения тел и, несомненно, ускорила
открытие основных динамических законов классической меха-
механики.
Убежденным приверженцем учения Коперника был знамени-
знаменитый ученый эпохи Возрождения, один из любимых героев
К. Маркса, немецкий астроном Иоганн Кеплер A571 —
1630), который завершил своим открытием трех законов движе-
движения планет создание научной кинематики солнечной системы.
До работ Коперника и Кеплера в астрономии господствовали
два догматических утверждения древних ученых:
«Земля находится в покое и является центром вселенной».
«Все планеты по воле творца движутся с постоянной ско-
скоростью по окружностям, как наиболее совершенным из всех
геометрических кривых».
Коперник разрушил первый предрассудок, доказав, что пла-
планеты движутся вокруг Солнца, а не вокруг Земли. Кеплер дал
неопровержимые доказательства того, что все планеты движутся
по эллипсам, в одном из фокусов которых находится Солнце.
Борьба передовых ученых, механиков и астрономов против
обветшалой системы Птолемея, начатая Коперником, продолжа-
продолжалась более 250 лет. Особенно важную роль в этой борьбе сы-
сыграли великие ученые Галилей и Ломоносов.
Работы гениального итальянского ученого Галилео Гали-
Галилея имели фундаментальное значение для развития динамики.
Динамика как наука была основана Галилеем, который от-
открыл многие весьма существенные свойства равноускоренных и
26
равнозамедленных движений. Основания этой новой науки были
изложены Галилеем в книге под названием «Беседы и мате-
математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей
науки, относящихся к механике и местному движению» *. В гла-
главе Ш, посвященной динамике, Галилей пишет: «Мы создаем но-
новую науку, предмет которой является чрезвычайно старым.
В природе нет «ичего древнее движения, но именно относительно
него философами написано весьма мало значительного. По-
Поэтому я многократно изучал на опыте его особенности, вполне
этого заслуживающие, но до сего времени либо неизвестные,
либо недоказанные. Так, например, говорят, что естественное
движение падающего тела есть движение ускоренное. Однако,
в какой мере нарастает ускорение, до сих пор не было указано;
насколько я знаю, никто еще не доказал, что пространства, про-
проходимые падающим телом в одинаковые промежутки времени,
относятся между собой как последовательные нечетные числа.
Было замечено также, что бросаемые тела или снаряды
описывают некоторую кривую линию, но того, что эта линия
является параболой, никто «е указал».
До Галилея силы, действующие на тела, рассматривали толь-
только в состоянии равновесия тел и измеряли действие сил стати-
статическими методами (рычаг, весы). Галилей указал, что сила есть
причина изменения скорости, и тем самым установил динамиче-
динамический метод сравнения действия сил. Исследования Галилея в
области механики важны не только теми конкретными резуль-
результатами, которые ему удалось получить, но и последовательным
введением в механику экспериментального метода.
Так, например, закон изохронности колебаний маятника при
малых углах отклонения, законы движения точки по наклонной
плоскости, законы движения падающих тел были исследованы
Галилеем путем тщательно поставленных опытов.
Благодаря работам Галилея развитие механики прочно свя-
связывается с запросами техники и научный эксперимент плано-
планомерно вводится как плодотворный метод исследования явлений
механического движения. Галилей в своих беседах прямо гово-
говорит, что наблюдения над работой «первых» мастеров в венеци-
венецианском арсенале и беседы с ним помогли ему разобраться в
«причинах явлений не только изумительных, но и казавшихся
сперва совершенно невероятными». Многие положения меха-
механики Аристотеля были Галилеем или уточнены (как, например,
теорема о сложении движений), или весьма остроумно опро-
опровергнуты чисто логическими рассуждениями (опровержение пу-
путем постановки опытов считалось в то время недостаточным).
Мы приводим здесь для характеристики стиля изложения
научных вопросов доказательство Галилея, опровергающее
* Г, Галилей, Сочинения, т, I. Русский перевод, ГТТИ, 1934, стр. 123.
27
положение Аристотеля о том, что тяжелые тела на поверхности
Земли падают быстрее, а легкие — медленнее. Рассуждения
приводятся в форме беседы между последователем Галилея
(Сальвиати) и Аристотеля (Симпличио).
«Сальвиати: ...Без дальнейших опытов путем краткого,
но убедительного рассуждения мы можем ясно показать непра-
неправильность утверждения, будто тела более тяжелые движутся
быстрее, нежели более легкие, подразумевая тела из одного и
того же вещества, т. е. такие, о которых говорит Аристотель. В
самом деле, скажите мне, Синьор Симпличио, признаете ли Вы,
что каждому падающему твердому телу присуща от природы
определенная скорость, увеличить или уменьшить которую воз-
возможно только путем введения новой силы или препятствия?
Симпличио: Я не сомневаюсь в том, что одно и то же
тело в одной и той же среде имеет постоянную скорость, опре-
определенную природой, которая не может увеличиться иначе, как
от приложения новой силы, или уменьшиться иначе, как от пре-
препятствия, замедляющего движение.
Сальвиати: Таким образом, если мы имеем два падаю-
падающих тела, естественные скорости которых различны, и соеди-
соединим движущееся быстрее с движущимся медленнее, то ясно, что
движение тела, падающего быстрее, несколько задержится,
а движение другого несколько ускорится. Вы не возражаете
против такого положения?
Симпличио: Думаю, что это вполне правильно.
Сальвиати: Но если это так и если вместе с тем верно,
что большой камень движется, скажем, со скоростью в восемь
локтей, тогда как другой, меньший, — со скоростью в четыре
локтя, то, соединяя их вместе, мы должны получить скорость,
меньшую восьми локтей; однако два камня, соединенные вме-
вместе, составляют тело, большее первоначального, которое имело
скорость в восемь локтей; следовательно, выходит, что более тя-
тяжелое движется с меньшей скоростью, чем более легкое, а это
противно Вашему предположению. Вы видите теперь, как из по-
положения, что более тяжелые тела движутся с большей ско-
скоростью, чем легкие, я мог вывести заключение, что более тяже-
тяжелые тела движутся менее быстро» *.
Явления равноускоренного падения тела на Земле наблюда-
наблюдались многочисленными учеными до Галилея, но никто из них не
смог открыть истинных причин и правильных законов, объяс-
объясняющих эти повседневные явления. Лагранж замечает поэтому
поводу, что «нужен был необыкновенный гений, чтобы открыть
законы природы в таких явлениях, которые всегда пребывали
перед глазами, но объяснение которых тем не менее всегда
ускользало от изысканий философов».
* Г. Галилей, Сочинения, т. I, ГТТИ, 1934, стр. 143—145.
28
Итак, Галилей был зачинателем современной динамики. За-
Законы инерции и независимого действия сил Галилей отчетливо
понимал в их современной форме *.
Галилей был выдающимся астрономом-наблюдателем и го-
горячим сторонником гелиоцентрического мировоззрения. Ра-
Радикально усовершенствовав телескоп, Галилей открыл фазы
Венеры, спутников Юпитера, пятна на Солнце. Основные астро-
астрономические исследования были изложены Галилеем в его из-
известной работе «Звездный вестник» A610 г.). Он вел настой-
настойчивую, последовательно материалистическую борьбу против
схоластики Аристотеля, ошибочной системы Птолемея, анти-
антинаучных канонов католической церкви. Характерным для Га-
Галилея является применение точных законов математики и ме-
механики к объяснению наблюдаемых явлений природы. В письме
к одному из своих противников, приверженцу схоластических
формулировок «обожествленного» Аристотеля, он писал: «Если
философия — это то, что содержится в книгах Аристотеля, то
ваша милость была бы, вероятно, величайшим философом на
свете, ибо вы владеете всеми цитатами из него, держа их наго-
наготове. Я же думаю, что книга философии — это то, что всегда
раскрыто перед глазами; но так как она написана иными бук-
буквами, чем буквы нашего алфавита, то она не может быть про-
прочитана всеми. Буквами этой книги являются треугольники,
круги, шары, конусы, пирамиды и другие математические фи-
фигуры, очень пригодные для чтения ее». Галилей относится к чис-
числу великих мужей науки, которые умели ломать старое и созда-
создавать новое, несмотря ни на какие препятствия, вопреки всему.
Работы Галилея были продолжены и развиты Христианом
Гюйгенсом A629—1695), который разработал теорию коле-
колебаний физического маятника и установил законы действия цен-
центробежных сил. Распространение теории ускоренных и замед-
замедленных движений одной точки (поступательного движения тела)
на случай вращательного движения тела представляет значи-
значительный шаг вперед.
Гюйгенс ввел в механику понятие о моменте инерции тела
относительно оси и определил так называемый «центр качаний»
физического маятника. При определении центра качаний физи-
физического маятника Гюйгенс исходил из принципа, что «система
весомых тел, движущихся под влиянием силы тяготения, не мо-
может двигаться так, чтобы общий центр тяжести тел поднялся
выше первоначального положения». Гюйгенс проявил себя и
* Исследуя движение по параболе в однородном поле силы тяжести,
Галилей писал- «..движение в поперечном направлении остается всегда
равномерным, движение же, обусловливаемое естественным падением, одно-
одновременно сохраняет свою особенность нарастания пропорционально квадрату
времени, и такие движения и скорости слагаются, но не мешают друг дрцгц»
(Соч., т. I, стр. 427).
29
как изобретатель. Он создал конструкцию маятниковых часов,
изобрел балансир-регулятор хода карманных часов, построил
лучшие астрономические трубы того времени и первый ясно
увидел кольцо планеты Сатурн.
В 1690 г. Гюйгенс опубликовал исследование «Трактат о све-
свете», в котором изложена волновая теория света и рассмотрены
интересные задачи о распространении света. В этой книге, ка-
касаясь философских вопросов, Гюйгенс пропагандировал механи-
механистическое мировоззрение. Он писал: «В истинной философии
причину всех естественных явлений постигают при помощи со-
соображений механического характера. По моему мнению, так и
следует поступать, в противном случае приходится отказаться
от всякой надежды когда-либо и что-нибудь понять в физике».
Труды Гюйгенса явились продолжением исследований Га-
Галилея и были широко использованы Ньютоном, который считал
основную работу Гюйгенса «Маятниковые часы» превосходной.
3. Завершение построения основ современной механики мед-
медленных (по сравнению со скоростью света) движений было вы-
выполнено великим английским математиком и механиком Иса-
Исааком Ньютоном A643—1727), который в своей книге «Мате-
«Математические принципы натуральной философии» дал вполне
строгую и достаточно полную систему законов классической
механики. Ньютон определяет рациональную механику как уче-
учение о движениях, производимых какими бы то ни было силами,
и о силах, требуемых для производства каких бы то ни было
движений.
Ньютону принадлежит открытие двух важнейших законов
механики: закона действия и противодействия и закона всемир-
всемирного тяготения. Закон равенства действия и противодействия
позволяет изучать движения механических систем точек и иссле-
исследовать «аиболее естественным методом законы несвободных
движений. Закон всемирного тяготения расширил границы при-
приложений механики и дал научную основу для обработки астро-
астрономических наблюдений и теоретических расчетов движений не-
небесных тел.
Основной закон механики (второй закон Ньютона) был
сформулирован Ньютоном, в отличие от работ предшествую-
предшествующих ученых, в дифференциальной форме. Это позволило рас-
рассмотреть многочисленные задачи, где движение определяется
переменными силами. Механические задачи, решенные Гали-
Галилеем, превратились после исследований Ньютона в простые
частные случаи.
Ньютоном был строго сформулирован закон параллелограм-
параллелограмма сил и закон сложения движений. Ньютон говорит, что при
силах совокупных тело описывает диагональ параллелограмма в
то же самое время, как его стороны при раздельных.
30
Ньютон первый обратил внимание на различие понятий
массы инертной и массы весомой, предвосхитив своими опытами
в этом направлении основной постулат общей теории относи-
относительности *.
Кроме строгой формулировки основных законов механики,
на применениях и обобщениях которых построен и настоящий
курс, Ньютоном было дано решение весьма большого числа
частных задач механики и астрономии. Вместе с Лейбницем
Ньютон был основателем анализа бесконечно малых, преиму-
преимущества применений которого к задачам механики трудно пере-
переоценить.
Систематическое применение методов анализа бесконечно
малых к задачам механики было проведено впервые со всей по-
последовательностью великим математиком и механиком Лео-
Леонардом Эйлером A707—1783), который большую часть
своей творческой жизни провел в Петербурге, будучи членом
Российской Академии наук.
Применение в механике геометрического метода Евклида
требовало большого искусства, и решение каждой новой задачи
представляло значительные трудности. Аналитический метод во
многих случаях облегчает получение исходных уравнений дви-
движения и позволяет провести решение кратчайшим и простейшим
путем.
На заре развития дифференциального и интегрального ис-
исчисления Эйлер первым оценил величайшее могущество нового
математического метода для задач теоретической механики.
Теория обыкновенных дифференциальных уравнений есть вполне
адекватный аппарат для познания сущности большого класса
механических движений. Именно поэтому Эйлеру в своих рабо-
работах удалось раздвинуть границы механики до пределов, о кото-
которых в те годы ученые даже и не мечтали. Достоинства аналити-
аналитического метода изложения были подтверждены Эйлером рядом
крупнейших оригинальных научных открытий: разработкой
теории несвободного движения точки, созданием теории движе-
движения твердого тела, созданием основных методов изучения гид-
гидромеханики идеальной жидкости, точными расчетами баллисти-
баллистических траекторий в сопротивляющейся среде. Многие научные
результаты Эйлера вошли в современные курсы теоретической
механики. Стихийная творческая сила этого ученого, его одер-
одержимость научными изысканиями, его напряженный, не прекра-
прекращающийся до последнего дня жизни труд являются непревзой-
непревзойденными во всей истории науки. Эйлер написал более 750 науч-
научных работ.
* Описание опытов с маятниками см.: И. Ньютон, Математические на-
начала натуральной философии, перевод А. Н. Крылова. Опубликовано в
VII томе Собрания трудов академика А. Н. Крылова, изд. АН СССР, 1936
стр. 514—518.
31
Большое влияние на развитие теоретической механики в
России оказал гениальный русский ученый, поэт, философ и ин-
инженер М. В. Ломоносов A711 —1765). Его ярко выражен-
выраженный последовательный материализм, настойчивая и страстная
борьба за честь и процветание русской науки, «айденные им
конкретные результаты в области изучения механических дви-
движений открыли новую страницу научных изысканий в нашей
стране.
«Соединяя необыкновенную силу воли с необыкновенною си-
силою понятия, Ломоносов обнял все отрасли просвещения. Жаж-
Жажда науки была сильнейшею страстью сей души, исполненной
страстей. Историк, ритор, механик, химик, минералог, художник
и стихотворец, он все испытал и все проник» *.
Для теоретической механики имеет принципиальное значе-
значение открытый Ломоносовым фундаментальный закон природы—
закон сохранения вещества. Первая формулировка этого закона,
была дана Ломоносовым в письме к Л. Эйлеру от 5 июля
1748 г. Ломоносов пишет: «...все изменения, совершающиеся в
природе, происходят таким образом, что, сколько к чему при-
прибавилось, столько же отнимается от другого. Так, сколько к од-
одному телу прибавится вещества, столько же отнимается от дру-
другого... Этот закон природы является настолько всеобщим, что
простирается и на правила движения: тело, возбуждающее
толчком к движению другое, столько же теряет своего движе-
движения, сколько отдает этого движения другому телу» **. Известные
в современной аэромеханике и гидромеханике уравнения непре-
непрерывности (или сплошности) представляют не что иное, как за-
закон Ломоносова для механических движений жидкости или
газа.
Ломоносов хорошо понимал, что изменение механического
движения происходит за счет активной передачи движения от
одного тела к другому. Его трактовка понятия силы близка к
современной.
Ломоносов разрабатывал в ряде своих трудов проблему со-
соотношения массы весомой и массы инертной. Он писал:
«...но я считаю невозможным приложить теорему о пропор-
пропорциональности массы и веса к мельчайшим единицам тел при-
природы, если мы не хотим вся время ошибаться». По Ломоносову,
объяснение основных качественных признаков тел нужно искать
в нечувствительных физических частичках (атомах), составляю-
составляющих тела природы. Притяжение, сила инерции, форма и движе-
движение этих частичек определяют общие, интегральные свойства
тел. Главную задачу науки Ломоносов видел в том, чтобы объ-
* А. С. Пушкин, Полное собрание сочинений, т. 5, 1936, стр. 363.
** М. В. Ломоносов, Избранные философские произведения, 1950,
стр. 160.
32
яснять многообразие явлений и законов природы из движения
и взаимодействия мельчайших частиц материи.
Ломоносов со всей страстностью отстаивал необходимость
сочетания теории с практикой, «опирать первую на эксперимент».
«Ныне ученые люди, а особливо испытатели натуральных ве-
вещей, мало взирают на родившиеся в одной голове вымыслы и
пустые речи, но более утверждаются на достоверном искусстве.
Главнейшая часть натуральной науки — физика — ныне уже
только на одном оном свое основание имеет. Мысленные рассу-
рассуждения произведены бывают из надежных и много раз повто-
повторенных опытов» *.
Эту тесную связь теории с практикой, науки с производством
можно отчетливо проследить во всех выдающихся произведе-
произведениях ученых нашей страны как генеральную линию передовой
русской механики.
Развитие результатов Эйлера в области динамики твердого
тела было проведено в дальнейшем главным образом русскими
учеными**. Знаменитая русская женщина-математик С. В. Ко-
Ковалевская A850—1891) обнаружила новый случай интегри-
интегрируемости уравнений Эйлера в динамической задаче о движении
твердого тела около неподвижной точки. В своей работе Ко-
Ковалевская задается целью отыскать такие классы движений тя-
тяжелого твердого тела, для которых проекции мгновений угло-
угловой скорости на подвижные оси выражаются в виде некоторых
функций времени, имеющих особые точки только в форме по-
полюсов первого порядка. Этим путем она нашла решение новой,
труднейшей задачи о движении несимметричного гироскопа, и
ее работа вызвала появление обширной литературы как в на-
нашей стране, так и за границей.
Приложениями теории движения твердого тела около непо-
неподвижной точки к задаче баллистики продолговатого вращаю-
вращающегося снаряда много занимался известный русский ученый
и военный инженер Н. В. Майевский A823—1892). Он
создал научные основы механики продолговатого снаряда.
Результаты Майевского в области баллистики являются клас-
классическими, составляя славу и гордость русской артиллерийской
науки.
При решении различных частных задач о движении системы
тел, связанных рычагами или нитями, т. е. несвободных механи-
механических систем, непосредственное использование законов Нью-
Ньютона было достаточно трудным. Требовались всегда особая
*М. В. Ломоносов, Избранные философские произведения, Госпо-
литиздат, 1950, стр. 126.
** См., например, одну из новых обзорных работ по динамике твердого
тела: Е. L e i m a n i s, Some Recent Advances in the Dynamics of Rigid Bodies
and Celestial Mechanics, в книге «Dynamics and Nonlinear Mechanics», New-
York, 1958.
3 А. А. Космодемьянский 33'
проницательность и остроумие для определения всех сил,
которые в каждом частном случае должны быть приняты во
внимание. Это, говорит Лагранж, придавало указанным задачам
большую привлекательность и побуждало ученых к соревно-
соревнованию.
В 1743 г. французский энциклопедист и математик Д а л а м-
бер A717—1783) предложил прямой и общий метод решения
задач динамики систем с наложенными связями, который назы-
называют теперь принципом Даламбера. С помощью этого принципа
можно сравнительно просто записать уравнения для любой
задачи движения несвободной механической системы и, следо-
следовательно, трудности рассмотрения механических задач в значи-
значительной степени свести к трудностям интегрирования дифферен-
дифференциальных уравнений. В тех же случаях, когда нужно иайти
ускорения системы тел, задача сводится к решению системы
алгебраических уравнений и, следовательно, решается легко хо-
хорошо известными приемами.
Аналитический метод решения основных задач механики до-
достиг весьма широких обобщений в научных изысканиях круп-
крупнейшего французского ученого Лагранжа A736—1813).
В книге Лагранжа «Аналитическая механика» все основные ре-
результаты получены на основе одного общего метода, называе-
называемого принципом виртуальных (возможных) перемещений.
В предисловии к этой книге, опубликованной первым изданием
в 1788 г., Лагранж пишет: «В этой работе отсутствуют какие бы
то ни было чертежи. Излагаемые мной методы не требуют ни
построений, ни геометрических или механических рассуждений;
они требуют только алгебраических операций, подчиненных пла-
планомерному и однообразному ходу. Все любящие анализ с удо-
удовольствием убедятся в том, что механика становится новой от-
отраслью анализа, и будут мне благодарны за то, что этим путем
я расширил область его применения».
Принцип возможных перемещений, положенный Лагранжем
в основу механики, оказался одним из наиболее общих и пло-
плодотворных методов исследования механического движения и
равновесия материальных тел, однако механика, являющаяся
наукой о природе, не стала главой математического анализа.
Задачи, относящиеся к теории упругости, теории пластичности,
гидро- и аэромеханике, т. е. к механике деформируемых тел, в
большем числе случаев получают ясное решение, если из необ-
необходимых уравнений классической механики твердого тела взять
те, которые получаются методом возможных перемещений.
«И вообще, мне кажется, можно сказать наперед, что все об-
общие принципы, которые еще могли бы быть открыты в учении
о равновесии, представили бы собой не что иное, как тот же
самый принцип возможных перемещений, рассматриваемый с
34
иной точки зрения и отличающийся от принципа возможных
перемещений лишь по своей формулировке»*.
Аналитические методы, предложенные Лагранжем, обладают
весьма большой общностью и математической строгостью; их
дальнейшее развитие привело к установлению ряда дифферен-
дифференциальных и вариационных принципов механики, из которых ос-
основные теоремы механики Ньютона получаются при частных
предположениях.
Существенное расширение принципа возможных перемеще-
перемещений было сделано знаменитым русским математиком и механи-
механиком М. В. Остроградским A801 —1861), который обобщил
этот принцип на случай нестационарных и освобождающих свя-
связей. Пользуясь принципом возможных перемещений, Остроград-
Остроградский математически вполне строго установил дифференциальные
уравнения движения механических систем как для случая гео-
геометрических освобождающих связей, так и для кинематических
связей линейного вида. Общую теорию движения механических
систем Остроградский дополнил общей теорией удара (теорией
импульсивных сил) и получил ряд классических результатов по
аналитической механике (интегрированию уравнений механики).
Весьма важную проблему механики составляет изучение
устойчивости движения, и в частности устойчивости равновесия.
Наличие устойчивости положений равновесия консервативной
механической системы в случае минимума потенциальной энер-
энергии системы было известно еще Лагранжу. Строгое доказатель-
доказательство этой теоремы, приводимой в большинстве современных
курсов механики, дано Л ежен Дирихле A805—1859).
Наиболее существенные и глубокие результаты по изучению
устойчивости движения были получены выдающимся русским
математиком и механиком А. М. Ляпуновым A857—1918).
В своем замечательном исследовании «Общая задача об устой-
устойчивости движения», изданном в 1892 г. Харьковским математи-
математическим обществом, А. М. Ляпунов пишет: «Обыкновенно вопро-
вопросы такого рода (об устойчивости и неустойчивости) приводят
к исследованию дифференциальных уравнений вида:
(И = л 1 (х1( х2, ..., хп, t)
dt
•, Хп, t)
A)
вторые части которых, зависящие от времени и неизвестных его
функций хи Хг, ..., хп при величинах xs, численно достаточно
малых, разлагаются в ряды по целым положительным степе-
* Ж. Л. Л а г р а н ж, Аналитическая механика, ч. I, стр. 5.
3* 35
ням последних и уничтожаются, когда все эти величины де-
делаются нулями.
Задача состоит в том, чтобы узнать, можно ли начальные
значения функций xs, не делая их нулями, выбрать настолько
малыми, чтобы во все время, следующее за начальным момен-
моментом, функции эти оставались численно меньшими некоторых,
заранее данных, отличных от нуля, но сколь угодно малых пре-
пределов» *.
В тех случаях, когда уравнения A) интегрируются, решение
поставленной задачи сравнительно просто. Суть дела состоит
здесь в том, чтобы ответить на вопрос, устойчива или неустой-
неустойчива механическая система независимо от выполнимости инте-
интеграции системы A). До работ А. М. Ляпунова решение задачи
об устойчивости механических систем, движение которых опре-
определено уравнениями A), заменялось исследованием системы
уравнений первого приближения, т. е. таких уравнений, когда
в разложениях функций Хи ,Y2,..., Хп отбрасываются все чле-
члены выше первого измерения относительно величин х\, х2,..., хп.
Ляпунов совершенно строго решил задачу и указал те слу-
случаи, в которых первое приближение действительно решает во-
вопрос об устойчивости, и дал способы, которые позволяют решать
его в некоторых из тех случаев, когда по первому приближению
нельзя судить об устойчивости.
Предложенные Ляпуновым методы оказались столь мощ-
мощными и плодотворными, что в настоящее время большинство
работ по теории устойчивости посвящены или развитию этих
методов, или их приложениям к практическим задачам.
Ряд методов в теории устойчивости движения, развитых Рау-
Раусом, Жуковским и другими авторами для систем первого при-
приближения, получил в работах Ляпунова математически строгое
обоснование и определение границ применения.
Одновременно с развитием аналитических методов в XIX сто-
столетии начали совершенствоваться и геометрические методы ис-
исследования задач механики. Так, вышедшая в 1804 г. книга
французского механика и геометра Пуансо A777—1859)
«Элементы статики» изложена наглядным геометрическим ме-
методом.
Пользуясь геометрическими построениями, Пуансо находит
все основные свойства рассматриваемых механических задач.
Особенно удачным было применение геометрического метода к
задаче о движении твердого тела около неподвижной точки в
том случае, когда момент внешних сил относительно этой точки
равен нулю. Эта задача была решена аналитическим методом
еще Эйлером, но геометрическая интерпретация, данная Пуансо,
* А. М. Ляпунов, Общая задача об устойчивости движения, ОНТИ,
1936, стр. 4.
36
позволила представить это сложное движение так ясно, что ис-
исследование решения в эллиптических функциях стало почти из-
излишним.
Особенно много работал над развитием геометрических ме-
методов в различных областях теоретической и технической
механики знаменитый профессор Московского университета
Н. Е. Жуковский A847—1921). В своих работах и статьях
он неоднократно говорит о том, что механика должна в одина-
одинаковой мере опираться на анализ и геометрию, заимствуя у них
то, что более подходит к существу задачи. Представители ана-
аналитического метода, стремясь возможно шире ставить рассма-
рассматриваемые вопросы, часто игнорируют геометрическую и меха-
механическую трактовку реальных задач природы, вызывая этим
непреодолимые аналитические трудности, часто не оправдывае-
оправдываемые физической сущностью проблемы.
Наглядная геометрическая интерпретация задач механики
рекомендовалась Н. Е. Жуковским и для преподавания. «Ум
изучающих, — пишет Н. Е. Жуковский, — весьма часто склонен
к формальному пониманию. Я из своего педагогического опыта,
знаю, как часто запоминаются формулы без усвоения стоящих
за ними образов».
Н. Е. Жуковский сделал ряд выдающихся открытий в раз-
различных отделах механики. Он разработал методы изучения дви-
движения тел с полостями, наполненными жидкостью, исследовал
сложное явление гидравлического удара в водопроводных тру-
трубах и расширил возможности решения задач гидроаэродина-
гидроаэродинамики методами струйной теории сопротивления. Важные иссле-
исследования проведены Жуковским по теории регулирования хода
машин, теории механизмов и теории устойчивости движения.
Н. Е. Жуковский сделал принципиальные открытия в новой
науке — аэромеханике, являющейся теоретической основой авиа-
авиационной техники. Ряд важных законов теоретической аэроме-
аэромеханики был установлен в трудах Жуковского. Он доказал ос-
основную теорему о подъемной силе профиля крыла, сформули-
сформулировал гипотезу для подсчета циркуляции скорости вокруг крыла
с острой задней кромкой, предложил серии теоретических про-
профилей крыльев и разработал вихревую теорию воздушного
гребного винта (пропеллера). Основные методы аэродинамиче-
аэродинамического эксперимента и широко использованные конструкции
аэродинамических труб в нашей стране были созданы под не-
непосредственным руководством Н. Е. Жуковского. Он первый
указал на применения теоретической и экспериментальной аэро-
аэродинамики к задачам расчета летных характеристик самолета.
Аэродинамический расчет и динамика самолетов как са-
самостоятельные научные дисциплины были начаты работами
Ж>ковского. В. И. Ленин назвал Жуковского «отцом русской
авиации».
37
Жуковский произвел подлинную революцию в преподавании
теоретической механики в высшей школе нашей страны. Создан-
Созданные им учебники по механике являются золотым фондом рус-
русской научной литературы. По инициативе Н. Е. Жуковского в
1920 г. на базе авиационного техникума был создан первый в
нашей стране Институт инженеров Красного Воздушного Флота.
Первым ректором этого института был Н. Е. Жуковский.
В 1922 г. институт был преобразован в Военно-Воздушную ака-
академию имени профессора Н. Е. Жуковского.
Работы Н. Е. Жуковского по аэродинамике были развиты
трудами выдающегося русского механика академика С. А. Ч а-
плыгина A869—1942). Отлично владея методами математи-
математического анализа и будучи аналитиком по складу творческого
мышления, Чаплыгин предугадал в ряде работ последующее
развитие технической аэродинамики. Ему принадлежат замеча-
замечательные исследования по теории механизированного крыла
(крыла с предкрылком, крыла со щитком), актуальность кото-
которых выяснилась лет через 15—20 после их опубликования. Еще
в 1904 г. Чаплыгин создал метод изучения движения газов при
больших дозвуковых скоростях, заложив основы плодотворного
исследования широкого класса задач аэродинамики больших
скоростей. В научно-технической литературе эта работа полу-
получила всеобщее признание лишь в 1935 г. Чаплыгин развил тео-
теорию профиля крыла самолета, указав на плодотворность при-
применения к этим задачам методов теории функций комплексного
переменного. Он является зачинателем нового раздела аэроди-
аэродинамики— теории крыла при ускоренных и замедленных движе-
движениях. Чаплыгин разработал оригинальную теорию решетчатого
крыла, нашедшую сейчас широкие применения в расчетах тур-
бомашин.
4. В конце XIX и начале XX в. началась интенсивная раз-
разработка нового раздела теоретической механики, посвященного
движению тел, масса которых изменяется с течением времени.
Основные результаты в этом направлении получены русскими
учеными — профессором Ленинградского политехнического ин-
института И. В. Мещерским A859—1935) и выдающимся дея-
деятелем науки и техники К. Э. Циолковским A857—1935).
Работы Мещерского, посвященные теории движения точки
переменной массы, имели в виду главным образом астрономиче-
астрономические приложения. Мещерский первый в 1897 г. получил основ-
основное дифференциальное уравнение движения точки переменной
массы и рассмотрел ряд интересных частных задач. Законы из-
изменения массы, которые Мещерский ввел при исследовании
задач небесной механики, известны в астрономической литера-
литературе как «законы Мещерского». При условии постоянства массы
из уравнения Мещерского вытекает второй закон Ньютона.
38
В 1904 г. Мещерский получил основные уравнения и решил ряд
задач динамики точки переменной массы для случаев одновре-
одновременного присоединения и отделения частиц. Работы Мещерского
являются научной основой для изучения движения ракет, реак-
реактивных самолетов, метеоритов, комет и других тел переменной
массы. Мещерский был выдающимся педагогом русской высшей
технической школы. Особое значение он придавал конкретным
техническим задачам по механике. Составленный им сборник
задач по теоретической механике выдержал более 25 изданий
и до настоящего времени является настольной книгой студентов
втузов.
К. Э. Циолковский разработал теорию прямолинейных дви-
движений ракет. Он первый рассмотрел движение ракет в среде
без сил тяжести и сил сопротивления, выявив количественно,
что может дать реактивный принцип сообщения движения. По-
Полученная им формула для определения скорости ракеты полу-
получила в настоящее время мировое признание. Циолковский раз-
разработал теорию полета многоступенчатых ракет, или ракетных
поездов, угадав, что имеется оптимальное соотношение весов
между отдельными ступенями составной ракеты, позволяющее
достигнуть максимальной скорости. В 1929 г. Циолковский раз-
разработал теорию реактивных аэропланов, где утверждал, что «за
эрой аэропланов винтовых будет следовать эра аэропланов
реактивных, или аэропланов стратосферы». Кроме теоретиче-
теоретических исследований, Циолковский дал основные конструктивные
очертания жидкостных ракет дальнего действия, выступив в
этой области техники пионером новых идей первостепенной важ-
важности. Он является основоположником теории межпланетных
путешествий.
Принципиальное значение для дальнейшего развития меха-
механики тел переменной массы имеют исследования Альберта Эйн-
Эйнштейна A879—1955), создателя теории относительности.
В работе «К электродинамике движущихся тел», опубликован-
опубликованной в «Annalen der Physik» в 1905 г., Эйнштейн устанавливает
законы движения тел со скоростями, сравнимыми со скоростью
света. Исходными для построения механики относительности
являются два закона природы, получившие экспериментальное
подтверждение в самых различных явлениях движения. Эти за-
законы были формулированы Эйнштейном в следующем виде:
1. «Законы, по которым изменяются состояния физических
систем, не зависят от того, к которой из двух координатных си-
систем, находящихся относительно друг друга в равномерном по-
поступательном движении, эти изменения состояния относятся».
2. «Каждый луч света движется в «покоящейся» системе
координат с определенной скоростью С независимо от того,
испускается ли этот луч света покоящимся или движущимся
телом».
39
Первый закон распространяет принцип относительности
классической механики, принцип Галилея, на широкий класс
физических явлений. Второй закон устанавливает постоянство
скорости света независимо от скорости движения источника
света.
Последовательный анализ основных понятий механики, ис-
исходя из принятых постулатов, приводит к установлению взаимо-
взаимосвязи пространства, времени и движущейся материи. Масса
движущегося тела оказывается переменной, зависящей от ско-
скорости движения. Таким образом, в конце XIX и начале XX сто-
столетия были сделаны весьма существенные дополнения к меха-
механике тел постоянной массы и XX в. в развитии механики
характерен бурным ростом открытий в области движений тел
переменной массы.
5. Развитию теоретической механики в России способствовали
работы П. Л. Чебышева A821 —1894), внесшего существен-
существенный вклад в теорию механизмов и машин, Н. П. Петрова
A836—1920), разработавшего теорию гидродинамического тре-
трения в подшипниках скольжения, и И. А. Вышнеградского
A831 —1895), создавшего теорию регулирования хода машин.
Фундаментальное значение для развития механики корабля
имеют работы академика А. Н. Крылова A863—1945). Он
создал теорию килевой качки корабля на волнах, которая стала
в настоящее время общепринятой. Крылов провел важные ис-
исследования для Военно-Морского Флота, указав на новый спо-
способ бронирования линкоров и разработав вопросы живучести
и непотопляемости боевых кораблей. Основные принципы рас-
распределения водонепроницаемых переборок на корабле и методы
выравнивания крена путем затопления отсеков были разрабо-
разработаны Крыловым со всей тщательностью и на 20 лет раньше ана-
аналогичных работ за границей. Выдающиеся исследования были
проведены Крыловым по баллистике вращающегося снаряда,
теории колебаний, приближенным вычислениям и уравнениям
математической физики.
Вся научная и практическая деятельность А. Н. Крылова
утверждает новое, прогрессивное понимание связи теории с
практикой. Очень часто ученые-механики, получая в результате
теоретических исследований некоторые выводы, стремятся про-
проверить их путем постановки эксперимента в лабораториях. Та-
Такие эксперименты обычно организуют и проводят сами ученые,
создатели теорий, совместно со своими учениками. Стремление
сравнивать выводы теории с данными опытов последовательно
осуществлялось в русской механике в трудах Майевского, Пет-
Петрова и Жуковского. Но Крылов идет в своих работах дальше.
Он проверяет полученные теоретические результаты на практи-
практических делах заводов, полигонов, верфей. Он ученый нового
40
типа, рожденный бурным развитием промышленности России в
конце XIX и начале XX в. Этот ученый должен не только созда-
создавать новое на бумаге, доказав всей неотразимостью математи-
математической логики, прямых и косвенных экспериментов его реаль-
реальную осуществимость, но и разумной организацией работы боль-
больших коллективов претворить его в жизнь. Ученый, творец
нового, инженер-экспериментатор, организатор и руководитель
современных опытно-конструкторских изысканий, умеющий по-
поставить живое дело,— вот ученый стиля А. Н. Крылова.
Крылов учился не только поклассическим сочинениям вс ш-
ких механиков и математиков, которые он знал превосходно, но
он учился и у большого числа рабочих, техников, практиков-
инженеров, которые по причине их превосходства в понимании
реальной техники называются лучшими мастерами своего дела.
Нужно видеть и знать противоречивую, многоликую жизнь
техники, чтобы замечать и устанавливать общие законы меха-
механики, лежащие в основе ее многих современных разделов. Толь-
Только пристальное изучение живого дела создает в человеческом
мозге настоящий материал для размышлений *.
6. Великая Октябрьская социалистическая революция произ-
произвела коренные преобразования не только в политическом и эко-
экономическом укладах России, но она совершенно изменила соци-
социальный смысл русской науки и дала невиданный размах науч-
научному творчеству. Из узкой, почти кастовой, профессии наука
стала на путь широкого активного участия в технических пре-
преобразованиях страны.
Для всей отечественной науки, писал академик С. И. В а в и-
лов, Октябрьская революция положила начало совершенно но-
новой эпохе, главная особенность которой состояла в том, что
наука становилась важнейшим государственным и народным
делом.
Победа социализма означает глубочайший революционный
переворот в культурной жизни нашей Родины. Колоссальный
рост научных сил при Советской власти потребовал радикаль-
радикального изменения организации научных изысканий. Маленькие
лаборатории, карликовые институты развертываются в мощные
исследовательские организации с большими коллективами уче-
ученых, инженеров и техников. Были пробуждены и организованы
такие материальные и духовные силы народа, о которых даже
не могли мечтать в предшествующие периоды истории России.
Только новая организация научной деятельности после Октябрь-
* Достаточно подробные данные о научной деятельности А. Н. Крыл о-
ва, Л Эйлера, И. В. Мещерского, К. Э. Циолковского и
Н Е. Жуковского можно найти в книге: А. А. Космодемьянский,
Очерки по истории механики, изд. «Просвещение», 1964.
41
ской революции создала почву для формирования больших на-
научных школ и оригинальных направлений в исследовательской
работе. Целеустремленность крупных коллективов ученых в ра-
работе над важнейшими проблемами народного хозяйства страны
необычайно ускоряет научно-технический прогресс. Характерной
особенностью советской науки является сознательное следова-
следование принципам диалектического материализма. Энгельс пишет
в «Диалектике природы», что «диалектика рассматривается как
наука о наиболее общих законах всякого движения. Это озна-
означает, что ее законы должны иметь силу как для движения в
природе и человеческой истории, так и для движения мышле-
мышления». Благодаря знанию общих законов диалектики исследова-
исследование законов конкретных наук значительно облегчается, что так-
также ускоряет развитие и прогресс науки. Материалистическая
диалектика — такой же необходимый научный аппарат исследо-
исследователя-механика, как и высший анализ или математическая
логика.
В советский период, сначала под руководством Н. Е. Жу-
Жуковского, а затем под руководством С. А. Чаплыгина, сформи-
сформировалась советская научная школа по аэродинамике. Учеными
этой школы были выполнены первоклассные исследования по
аэромеханике больших скоростей, устойчивости движения само-
самолетов, теории крыла, теории неустановившегося движения и
теории лобового сопротивления.
Не менее важные и принципиальные исследования ведут в
настоящее время многочисленные советские ученые в области
гидромеханики, теории упругости и теории пластичности, в об-
области механики тел переменной массы; разрабатываются так-
также принципиальные вопросы общей теории устойчивости, теории
колебаний, общей и прикладной теории гироскопов, теории ме-
механизмов и машин и других разделов механики*.
Научные школы, созданные в нашей стране, продолжают
развивать научное наследство передовых ученых дореволюцион-
дореволюционной России и Запада, внося новые оригинальные идеи в разви-
развитие всех отделов теоретической механики.
7. Настоящий курс теоретической механики состоит из пяти
разделов: Кинематика, Кинетика, Механика тел пере-
переменной массы, Вариационные принципы и задачи дина'
мики, Введение в аэрбгидромеханику.
Кинематика изучает движение материальных точек и ма-
материальных тел с чисто геометрической стороны, независимо от
взаимодействий с другими телами. В кинематике материальные
тела различаются только геометрической формой и положением
* Подробный обзор работ советских механиков можно найти в кнше
«Механика за 30 лет», Гостехиздат, I960.
42
в пространстве. Следовательно, в кинематике изучаются про-
пространственные соотношения между телами и изменения этих
соотношений, происходящие с течением времени, причем силы,
обусловливающие эти изменения взаимного расположения тел,
не анализируются и не исследуются.
В процессе исторического развития механики кинематиче-
кинематические вопросы долгое время не изучались самостоятельно, а яв-
являлись частью динамики. Развитие техники машиностроения
привело в XIX в. к возникновению целого ряда специальных
задач (кинематика механизмов и машин), в которых изучение
движения с чисто геометрической стороны было практически
очень важным. В настоящее время кинематические методы ис-
исследований движения получили всеобщее признание при прове-
проведении летных испытаний летательных аппаратов (самолетов,
ракет, искусственных спутников Земли и других объектов). Зна-
Знание кинематических характеристик позволяет в большинстве
случаев находить действующие силы.
Кинетика изучает движение и равновесие материальных тел
под действием сил. Основной задачей кинетики является опре-
определение законов механического движения тел при известных
действующих силах. Отдел механики, в котором изучается дви-
движение материальных тел под действием сил, обычно называют
динамикой. Отдел механики, в котором изучается равновесие
материальных тел под действием сил, называют статикой. Дина-
Динамика и статика, рассматриваемые совместно, составляют кине-
кинетику. Такое совместное рассмотрение полезно для изложения,
так как многие выводы статики можно получить как частные
случаи из уравнений динамики. Доказательства многих теорем
выигрывают и в строгости, и в ясности при совместном рассмо-
рассмотрении проблем движения и проблем равновесия. Необходимые
и достаточные условия равновесия твердых тел нельзя получить
без знания законов динамики.
Механика тел переменной массы изучает движение и
равновесие материальных тел в различных силовых полях при
условии, что масса тела (соответственно точки) будет суще-
существенно изменяться во время движения. Важную роль в меха-
механике тел переменной массы играет процесс отделения частиц,
обусловливающий возникновение реактивной силы. В данном
курсе будут рассмотрены задачи движения точки переменной
массы как для случая отделения частиц, так и для случая одно-
одновременно происходящих процессов присоединения и отделения
частиц. Для практически интересных случаев движения тел пе-
переменной массы основы теории движения можно формулировать
с той же степенью точности, как и в механике тел постоянной
массы.
Вариационные принципы и задачи динамики посвя-
посвящены рассмотрению оптимальных свойств механических движе-
43
ний. В данном курсе наряду с классическими принципами Га-
Гамильтона и Лагранжа значительное место уделено вариацион-
вариационным задачам динамики точки переменной массы. Рассмотрены
случаи оптимальных движений точки переменной массы при ус-
условии, что результирующая сила, обусловленная воздействием
атмосферы, пропорциональна квадрату скорости. Рассмотренные
вариационные задачи характерны еще и тем, что для них нели-
нелинейные дифференциальные уравнения движения интегрируются
в квадратурах. Преподаватели теоретической механики, учиты-
учитывая конкретные условия, могут существенно дополнить и обно-
обновить материал классического курса, выбирая для своих лекций
отдельные вопросы, изложенные в третьем и четвертом разделах
книги.
Введение в аэрогидромеханику посвящено изучению за-
законов движения и равновесия жидких и газообразных тел.
Достаточно строго изложены вопросы теории подъемной силы,
теории пограничного слоя и современного состояния знаний о
строении атмосферы Земли.
8. Изучая процессы движения материальных тел в отноше-
отношении их причин и следствий, механика открывает научные основы
конструирования самых разнообразных машин, приборов, меха-
механизмов. Развивающиеся потребности человеческого общества
выдвигают на очередь неотложных научных проблем все новые
и новые задачи изучения механического движения. Теоретиче-
Теоретическая механика в значительной степени выросла и растет сейчас
на материалах исследований частных задач, обусловленных
развитием техники. Это отчетливо видно из всей многовековой
истории развития механики.
Так, использование простейших машин (блоков, рычагов)
при строительстве крупных зданий и стремление объяснить по-
повседневно наблюдаемые явления механического движения при-
привели в античное время к открытию закона рычага, определению
центров тяжести тел простейших геометрических очертаний и
созданию кинематики геоцентрической системы Птолемея. Раз-
Развитие судоходства, военной техники и гражданского строитель-
строительства в период со второй половины XV в. до конца XVIII в. спо-
способствовало открытию основных законов механического движе-
движения, и в этот период законы динамики твердых тел «были
сформулированы раз и навсегда» (Ф. Энгельс). Развитие ма-
машиностроения в XIX в. в связи с внедрением паровой машины,
достижениями воздухоплавания и прогрессом железнодорож-
железнодорожного транспорта обусловило бурное развитие теории упругости,
гидромеханики и аэромеханики. В XX в. в связи с развитием ра-
ракетной техники и ядерной энергетики быстро развиваются но-
новые разделы механики тел переменной массы (специальная
теория относительности, ракетодинамика и др.),
44
Математические методы исследования играют весьма боль-
большую роль при изучении явлений механического движения. Од-
Однако механика не есть прикладная математика. Пе-
Переход от реальных конструкций, опытов, наблюдений различных
процессов механического движения к созданию абстрактных об-
общих методов и решению дифференциальных уравнений, подчи-
подчиненных лишь правилам математических умозаключений, есть
только одна из сторон научного исследования в задачах меха-
механики. Исследователи называют этот первый шаг умением по-
поставить задачу. Вторая сторона, обязательная для научного
исследования по механике, включает возвращение от абстрак-
абстракции к опыту, от решения дифференциальных уравнений к про-
проверке этих решений на практике, от теории к эксперименту,
анализу реально протекающих процессов механического движе-
движения. Фактически каждый исследователь проделывает эти пе-
переходы от эксперимента к теории и от теории к непосредствен-
непосредственному, опытному познанию явлений много, много раз.
Основная цель механики — открытие, познание и практиче-
практическое применение общих законов механического движения — ста-
ставит ее в ряд естественных наук. Механика — часть физики.
Научное исследование механических движений требует после
процесса познания в непосредственных явлениях умения выде-
выделить особо самое существенное, самое главное, доминирующее
и для его исследования использовать все имеющиеся в распо-
распоряжении методы, не упуская, однако, из виду всю сложность
целого, всю многогранность реального процесса. Научные аб-
абстракции не искажают реального явления, позволяя более глу-
глубоко и с качественной, и с количественной стороны познать
определяющие стороны процессов. Добытые путем теории вы-
выводы почти во всех задачах механики проверяются практикой,
обогащаются ею, все глубже и полнее отображая процессы яв-
явлений движения, вскрывая их сущность.
Изучение новых явлений в природе, объяснение закономер-
закономерностей новых направлений развития техники способствуют росту
не только объема знаний, но и совершенствованию логического
мастерства, вырабатывая адекватную сущности вещей систему
законов, понятий и определений.
Так развиваются все естественные науки, давая человечеству
могущественные методы в борьбе за овладение природой. Вы-
Вытекающая отсюда действенность этих научных дисциплин есть
самое великое и ценное во всей истории культуры. При новых
изысканиях и открытиях, при новых изобретениях и усовершен-
усовершенствованиях люди находят себе верную опору в законах меха-
механики.
Логическое совершенство механики оценивается прежде всего
тем, насколько теоретические выводы помогают понимать
45
наблюдаемые процессы, предсказывать и указывать закономер-
закономерности новых явлений.
Механика близка к математике по двум основным причинам:
методы математики — рабочий инструмент механики; результа-
результаты, добываемые механикой, очень часто представляют собой
благодарный материал для математических обобщений.
Хорошо известно, что из простейших задач механики разви-
развились многие математические дисциплины. Так, задача о форме
кривой наибыстрейшего ската (брахистохроне) привела к соз-
созданию вариационного исчисления, а обобщения основных поня-
понятий механики (момента силы, работы силы, напряжений, дефор-
деформаций) составляют, в сущности, реальное основание векторного
и тензорного анализа. Новые задачи механики всегда обогаща-
обогащали математику конкретным идейным содержанием и оттачивали
логические построения не меньше, чем абстрактные, формально
логические исследования в чисто внутренних областях матема-
математики.
История науки показывает, что внутренние закономерности
реальных явлений природы и техники, подвергающиеся систе-
систематическому изучению, не всегда могут быть адекватно пере-
переданы закономерностями уже известных математических опера-
операций, рожденных, может быть, другими реальными связями и
отношениями. Поэтому изучение явлений путем постановки опы-
опытов является началом многих наиболее прогрессивных теорий.
Учащимся, приступающим к систематическому изучению не-
необычайно широкой области явлений механического движения,
автор этого курса желает пристального изучения реальных про-
процессов движения и творческой проницательности при создании
новых методов исследования задач механики. Теоретическая
механика есть научная основа многих разделов совре-
современной техники. Знание законов механики важно для по-
понимания широкого класса явлений природы и формирования
материалистического мировоззрения. Развитие техники в наши
дни показывает, что соединение рациональных механических
конструкций с электронной аппаратурой расширяет могущество
человека, помогая автоматизировать трудоемкие процессы и ра-
радикально увеличивать производительность умственного и физи-
физического труда. Глубоко прав был великий Галилей, говоря: «Кто
незнаком с законами движения, тот не может познать природы».
РАЗДЕЛ ПЕРВЫЙ
КИНЕМАТИКА
ГЛАВА I
КИНЕМАТИКА ТОЧКИ
«..Формула доставляет нам простейшее
и отчетливейшее описание происходящего
движения; кроме того, она необходима
как основание реальных вычислений. Но мы
поставим требование, чтобы наше знание
механики основывалось не на формуле, а,
наоборот, чтобы аналитическая формули-
формулировка сама собой являлась как итог из глу-
глубокого понимания механических соотноше-
соотношений».
Ф. Клейн и А. Зоммерфельд
§ 1. Основные понятия и определения кинематики точки
Мы начинаем изучение теоретической механики с анализа
явлений движения материальных точек и материальных тел не-
независимо от причин (сил), вызывающих эти движения. Этот
раздел теоретической механики, как было указано в главе I,
называют кинематикой (от греческого слова juvn[ia — состояние
движения).
Материальные свойства тел будут проявляться при кинема-
кинематическом изучении движения только в двух качественных при-
признаках: геометрической форме и непроницаемости. Непроницае-
Непроницаемость представляет собой такое свойство материальных тел, в
силу которого в одном и том же месте (некотором объеме про-
пространства), заполненном материей какого-либо тела, не могут
находиться одновременно другие материальные тела. Это свой-
свойство присуще и самым малым элементам тела — материальным
точкам, так что и две материальные точки не могут одновре-
одновременно находиться в одном и том же месте.
Таким образом, в кинематике мы будем изучать движение
материальных точек и тел как геометрических объектов.
Многие авторы, начиная с Лагранжа *, называют кинема-
кинематику «геометрией четырех измерений», понимая под четвертой
I. L. Lagrange, Theorie des fonctions analytiques, 1813, p. 311.
47
координатой время t. Последовательным значениям времени t
соответствуют вполне определенные положения тела (или точ-
точки) по отношению к другим телам в трехмерном евклидовом
пространстве. Следовательно, в кинематике изучаются прост-
пространственные соотношения между телами и изменения этих соот-
соотношений, происходящие с течением времени.
На логическую целесообразность выделения кинематики в
особый 'раздел механики указал впервые польский ученый
Вронский A778—1853) *. Позднее Ампер A775—1836)**
в своей классификации наук строго определил предмет кинема-
кинематики. Первый систематический курс кинематики был написан
профессором Парижской политехнической школы Резал ем
A828—1896) ***.
Так как всякое материальное тело можно рассматривать как
совокупность материальных точек, то логически вполне естест-
естественно, что изучению движения тела должно предшествовать
изучение движения точки. Поэтому изложение методов кинема-
кинематики разделяется в данном курсе на две главы: «Кинематика
точки» и «Кинематика твердого тела».
Как было указано, механическое движение материального
тела (или точки) есть изменение его положения по отношению
к другим телам, происходящее с течением времени. Так как в
природе нет неподвижных тел, то всякое наблюдаемое движе-
движение является по существу относительным. Однако при изложе-
изложении кинематики мы часто будем говорить об абсолютном дви-
движении, понимая под этим движение по отношению к таким
телам, которые при решении данного класса задач можно с до-
достаточной для практики точностью считать неподвижными.
Так, например, в большинстве задач кинематики механизмов
абсолютным движением будет движение по отношению к Земле
(или основанию механизма, неизменно связанному с Землей);
в задачах кинематики планет солнечной системы абсолютным
считается (и это подтверждается самыми тонкими астрономиче-
астрономическими наблюдениями) движение по отношению к так называе-
называемым неподвижным звездам. При теоретическом рассмотрении
задач кинематики мы будем неподвижное тело, относительно
которого изучается движение, реализовать в виде системы коор-
координат или системы отсчета.
1. Траектория. Рассмотрим некоторую точку М, движу-
движущуюся относительно данной системы отсчета (системы осей
координат Охуг). Геометрическое место последовательных по-
положений, занимаемых точкой М с течением времени, т. е. кри-
* I. W г о п s k i, Essai pour architectonique absolu de 1'Encyclopedie du
savoir humain, 1818
** А А га р ё r, Essai sur !a Philosophie des Sciences. 1834.
*** H. Res a 1, Traite de Cinematique pure, Paris, 1862.
48
вая АМВ (фиг. 3), описываемая движущейся точкой, назы-
называется траекторией. Если траектория есть прямая линия, то
движение точки называется прямолинейным; если траектория
точки — кривая линия, то движение называется криволинейным.
Положение точки относительно данной системы координат
Охуг (фиг. 3) однозначно определяется заданием радиуса-век-
радиуса-вектора г, проведенного из начала координат О к движущейся
точке М*. В каждый момент времени радиус-вектор г имеет опре-
определенный модуль и определенное направление. Траектория точки
есть геометрическое место концов радиуса-вектора г, следящего
за движущейся точкой М,
т. е. кривая, которую опи-
описывает конец радиуса век-
вектора при его изменении.
В этом смысле траекторию
М часто называют годо-
годографом (от латинского
слова hodographo — пи-
пишу) радиуса-вектора.
Чтобы знать движение
точки М, нужно знать,
как изменяется радиус-
вектор /¦ с течением вре- ф „
мени, т. е. знать г как не-
->¦
которую функцию времени t. Если закон изменения г в зависи-
зависимости от времени известен, то это записывается в виде:
2. Скорость точки. Пусть положение движущейся
точки М в момент времени t определяется радиусом-вектором
г=--ОМ, а в момент ti = t + At — радиусом-вектором Г1 = 0Ми
Соединим точки годографа М и М4 вектором Дг; тогда из век-
векторного треугольника OMMi будем иметь:
или
/-j = г -f- ММХ = г + Аг,
—Г! —Г.
Вектор ММ\=Аг представляет собой изменение — приращение —
данного вектора г за время Д^. Отношение приращения радиуса-
* В тексте книги векторы обозначаются буквами нормального шрифта
со стрелками наверху, на фигурах векторы изображаются соответствующими
жирными буквами.
4 А. А. Космодемьянский
49
вектора к тому промежутку времени, в течение которого это
приращение происходит, называют вектором средней скорости
точки М. Это отношение
характеризует, насколько быстро изменяется радиус-вектор г за
время Д^. Предел отношения (-тт-) при At, стремящемся к
нулю, называют вектором истинной скорости точки М в момент
времени t. Математически это можно записать в виде:
¦* "" ,. Ar dr /пч
vaCT = v=hm-r-=-If, B)
д/-»0 Л1 at
->
т. е. вектор скорости v равен первой производной радиуса-век-
радиуса-вектора точки по времени.
Так как А^ — скаляр (и реально А^>0), то вектор средней
скорости направлен по хорде ММ^ (фиг. 3) в сторону движения;
когда At стремится к нулю, точка Л44 будет в пределе сколько
угодно близко к точке М, хорда ММ\ (секущая) совпадет с эле-
->
ментом касательной к годографу радиуса-вектора г, а, следова-
следовательно, вектор скорости в данной точке траектории направлен
по касательной к траектории в сторону движения точки.
Обозначим длину дуги траектории, отсчитываемой от фикси-
фиксированной точки А до движущейся точки М, через s, тогда
As = MMi. По определению вектора средней скорости мы
имеем:
¦> ->
¦*¦ Ar Ar As
^p ~— IT ~ 7 ' "AT "
Истинная скорость в момент времени t будет равна:
¦>¦ ,. / Ar As \ ,. /Дг\ ,. I t±s\ ds .. I Ar
Из дифференциальной геометрии известно, что
где t° — единичный вектор касательной.
Таким образом,
^¦=-S-t°. C)
Производная -zff — 'v дает алгебраическое значение скорости и
кратко называется алгебраической скоростью точки М. Если
50
дуга s=AM возрастает с течением времени, то скорость v==~jf
будет положительной, если AM убывает с течением времени, то
алгебраическая скорость будет отрицательной. Если точка М
движется прямолинейно, тогда алгебраическая скорость v будет
характеризовать скорость как вектор.
Легко понять, что величина -ж = ^ представляет собой про-
проекцию вектора скорости v на направление касательной к траек-
траектории. В самом деле, по определению проекция какого-либо
вектора на данную прямую (или ось) есть скалярное произве-
произведение этого вектора на единичный вектор прямой (или оси).
Следовательно,
ut dt
и поэтому
ds
Обычно модуль вектора мы обозначаем той же буквой, но
без стрелки над ней. В дальнейшем, как правило, символ v бу-
будет обозначать не модуль вектора скорости, а его алгебраиче-
алгебраическую величину, равную I-гЛ. Для обозначения модуля скорости
будем пользоваться символом |и|, или V, так что
ds
dt
Однако в тех случаях, когда это не может вызвать недоразуме-
недоразумений, мы будем пользоваться для обозначения модуля скорости
также символом и.
3. Годограф вектора скорости. При движении
точки по траектории вектор скорости изменяется в общем слу-
случае и по величине, и по направлению. Пусть точка М движется
по криволинейной траектории (фиг. 4) и в моменты времени t±,
t2, ..., tn находится в точках Ми М2, .. . , Мп, векторы скорости
в этих точках обозначим через vit v2, ..., vn. Выберем в про-
пространстве некоторую неподвижную точку Р, которую назовем
полюсом, и перенесем в эту точку векторы скорости параллель-
параллельно самим себе. Если промежутки времени между последова-
последовательными моментами tu t2, ..., tn будут уменьшаться, а число
промежутков увеличиваться, то геометрическое место концов
векторов скорости, приложенных к полюсу Р, образует некото-
некоторую кривую, называемую годографом вектора скорости v. Сле-
Следовательно, годографом вектора скорости называется геоме-
геометрическое место концов последовательных векторов скорости
4*
51
движущейся точки, перенесенных параллельно их истинным на-
направлениям на реальной траектории в одну неподвижную точку
пространства (кривая М М\Мъ ..., М'„ на фиг. 4).
2- годограф вектора Г
'з
а)
Ь)
Фиг. 4
4. Ускорение точки. Пусть в момент времени ^вектор
скорости точки М равен и, а в момент tt = t + At вектор скорости
->¦->->¦
vt = v + Av. Отношение приращения вектора скорости к тому
промежутку времени, в течение которого это приращение про-
происходит, т. е. отношение
Av
— t
D)
называют вектором среднего ускорения точки М. Вектор сред-
среднего ускорения wcp характеризует, насколько быстро изменяется
вектор скорости за промежуток времени At. Так как А^ — поло-
положительный скаляр, а вектор Аи направлен по хорде М М\ годо-
графа вектора скорости, то вектор среднего ускорения wcp на-
направлен по секущей в сторону положительного направления
приращения вектора v (фиг. 4). Будем неограниченно умень-
уменьшать At, устремляя его к нулю, тогда
lim
Av_
~Kt
dv
It
= wHCT = w.
E)
52
Производная от вектора скорости по времени называется
вектором истинного ускорения точки М в момент времени t.
Вектор ускорения w направлен по касательной к годографу
вектора скорости в соответствующей (по времени) точке. Так
как геометрически производная по времени от любого вектора
представляет скорость его конца, то можно сказать, что вектор
ускорения w есть скорость конца вектора скорости на годографе
вектора v.
~ -*• dr
1ак как вектор скорости ti = -j, то, подставляя это значе-
->•
ние v в формулу E), получим:
т. е. вектор ускорения равен второй производной от радиуса-
вектора движущейся точки по времени.
5. Методы решения задач кинематики. Основной
задачей кинематики точки является определение положения
точки относительно выбранной системы отсчета, исследование
ее траектории, а также вычисление скорости и ускорения дви-
движущейся точки для любого момента времени t. Если положение,
траектория, скорость и ускорение точки определяются путем вы-
вычислений, методами математического анализа, то мы будем на-
называть такой прием решения основной задачи кинематики
аналитическим методом. Если положение точки, ее траектория,
скорость и ускорение находятся путем графических построений,
то метод решения называют графическим, или геометрическим.
При кинематическом изучении движения твердого тела не-
необходимо уметь определять положение, траекторию, скорость и
ускорение любой точки этого тела.
Мы рассмотрим сначала основные аналитические методы
изучения движения точки. При теоретических исследованиях и
решении практических задач обычно применяют два метода:
1) естественный, или натуральный* и 2) координатный. Мы по-
последовательно рассмотрим оба эти метода.
§ 2. Естественный метод изучения движения точки
1. Основные определения. Представим себе точку /И,
совершающую какое-либо движение в пространстве. Траекторию
этой точки будем считать известной (заданной). Естественный
* Название метода происходит от естественного трехгранника, ориента-
ориентация которого в пространстве тесно связана с геометрическими свойствами
траектории.
53-
метод изучения движения точки М исходит из заданной гео-
геометрически траектории, причем дальнейший ход вычислений
устанавливается следующий: на заданной траектории выби-
выбирается некоторая точка А, принимаемая за начало отсчета; по-
положение движущейся точки М относительно неподвижной точки
А определяется длиной дуги AM траектории, которую мы
обозначим через s и будем называть в дальнейшем расстоянием
(фиг. 5). При движении точки по траектории расстояние s из-
изменяется с течением времени, т. е. является некоторой функцией
временив Положительное направление отсчета расстояний выби-
выбирается в соответствии с физической сущностью задачи, обычно
'траектория движущейся
точки
Фиг. 5
'в сторону движения. Если расстояние s известно в функции вре-
времени, то положение точки на заданной траектории для любого
момента времени вполне определено. Уравнение s = s(t) назы-
называют законом движения точки. По самой природе механиче-
механического движения функция s(() должна быть однозначной, конеч-
конечной и непрерывной; кроме того, мы будем предполагать, чтобы
она была дважды дифференцируемой.
Итак, для изучения движения естественным методом необ-
необходимо знать: 1) траекторию движущейся точки; 2) начало от-
отсчета расстояний с указанием положительного направления от-
отсчета; 3) закон движения точки вдоль траектории, т. е. функ-
функцию s = s(t).
Расстояние s = AM не следует смешивать с длиной пути,
пройденного точкой за некоторый промежуток времени. В са-
самом деле, пусть движущаяся точка за время (t1 — ^0), где t0 —
начало отсчета времени, прошла дважды (в одну сторону и об-
обратно) отрезок АВ = а (фиг. 6), причем начало отсчета расстоя-
расстояний находится в точке А. В этом случае по истечении времени
Ui— *о) расстояние s равно нулю, а путь, пройденный точкой,
54
будет равен удвоенной длине отрезка АВ, т. е. 2а. За бесконеч-
бесконечно малый промежуток времени dt расстояние 5 изменяется на
величину ds, которая может быть как положительной, так и
отрицательной, в зависимости от аналитического выражения за-
закона движения.
Приращение пути dfl движущейся точки за любой беско-
бесконечно малый промежуток времени всегда положительно. Путь
П = П({) для движущейся точки есть функция монотонно воз-
возрастающая, причем dn=\ds\ = \v\dt, где |о| есть модуль ско-
скорости V.
А
траектория
дбижущепся точки
Фиг. 6
2. Алгебраическая скорость. Мы знаем, что вектор
скорости движущейся точки направлен по касательной к траек-
траектории. Определим алгебраическую величину скорости и при
естественном методе изучения движения. Пусть в момент вре-
времени t расстояние движущейся точки М от начала отсчета рас-
расстояний равно s, а в момент времени ti = t + At расстояние равно
s1 = s + As. Аналогично определению вектора средней скорости
vcp назовем отношение -гт- средней алгебраической скоростью
точки М за время At. Будем теперь неограниченно уменьшать
промежуток времени At, устремляя его к нулю, тогда
Hm (-A-) — V
называется истинной алгебраической скоростью точки М в мо-
Д с П о
мент времени /. Так как Hm — — ~^-
TO
V-
ds
dt '
G)
Следовательно, алгебраическая величина скорости равна пер-
первой производной от расстояния по времени.
55
Если точка движется в сторону положительного направле-
направления отсчета расстояний s, то ds>0 и u>0; в случае движения в
противоположном направлении (возвратном движении) ds<0
и и<0. Следовательно, при и>0 расстояние s увеличивается,
а при v<0 уменьшается.
Если скорость v известна как функция времени, т. е. v = v(t),
то можно определить интегрированием закон движения: s = s(t).
В самом деле, из G) имеем:
ds = v dt,
¦откуда
f . (8)
Постоянную интегрирования С легко найти из условия, что
при t=t0 известно значение расстояния s(to)=so.
В большинстве практических задач закон движения s = s(t)
находится по геометрическим параметрам конструкции меха-
механизма или качественному описанию происходящего движения.
Нахождение этого закона составляет наиболее существенную
часть полного решения задачи. В настоящее время для опреде-
определения законов движения точки широко применяются методы
кинотеодолитиой и рапидной съемки, а также методы телеме-
телеметрии; обработка полученных записей часто производится спе-
специальными автоматами. Полученные графики или интер-
интерполируются соответствующими аналитическими функциями,
или, как будет показано далее, исследуются методами графо-
кинематики.
3. Размерность скорости. Для выражения алгебраи-
алгебраической величины скорости каким-нибудь определенным числом
необходимо установить единицы для длины и времени. В зави-
зависимости от выбора этих единиц изменяется значение числа, ко-
которым выражается скорость. Из определения скорости ясно, что
ее размерность есть
— Ш — fLT~M
l-J— щ - 1-1— ;время] — [Т]
Из структуры размерности алгебраической скорости легко выяс-
выяснить, как будет изменяться численное значение скорости, если
изменятся основные единицы. Например, если мы желаем ско-
скорость звука в нормальных условиях (при температуре 15° С и
давлении 760 мм рт. ст.), равную:
с = 340,2 м/сек,
выразить, принимая за основные единицы километр и час, то
нужно только написать, что
1 , 1
км; 1 сек
и с этими символами поступать как с математическими величи-
величинами. Таким образом, получим:
340,2 м/сек = ^f^'. f°° = 340,2 • 3,6 = 1224,72=s 1225 км/ч.
4. Вычисление пройденного пути. Если алгебраи-
алгебраическая величина скорости известна как функция времени, то
можно найти интегрированием длину пройденного пути П за
время (tt— ^о). В самом деле, мы уже знаем, что
(9)
Интегрируя (9) в пределах от ^> До tlt будем иметь:
A0)
При вычислении интеграла A0) его целесообразно разбить
на сумму интегралов и в тех интервалах времени, где и<0,
(нужно перед соответствующими интегралами изменять знак на
противоположный для того, чтобы все подинтегральные элемен-
элементы были положительны. Найдем, например, путь, пройденный
точкой, движущейся прямолинейно по закону s= 10sin (nt) за
5 сек, от момента /0=0. По формуле G) имеем:
ds
v = -?- = 1 Оя cos (nt) см/сек,
и, следовательно,
dfT= | v | dt = Юя | cos (nt) | • dt.
Путь, пройденный точкой за 5 сек, будет равен:
5
П= Юя I \ cos(nt)\dt.
о
Так как соэ(яО>0 в интервалах от 0 до '/г, от 3/г До 5/г и от 7/г
до 9/г сек, а в интервалах от '/г До 3/г, от 5/г до 7/2 и от 9/2 до
5 сек алгебраическая скорость и<0, то
с/2
П— Юл J cos (nt) dt + j cos (ni) dt + J cos (л*) dt ~
— J cos (л/) dt — J cos (nt) dt — j cos (nt) dt =
Vl Чг Ч, -I
= 10n[~(l +2 + 2 + 2 + 2+1)] = 100
57
§ 3. Ускорение при естественном методе изучения движения
нормальная
плоскость
А
1. Оси естественного трехгранника. Установим
систему осей координат, связанную с геометрическим видом
траектории движущейся точки М. Пусть кривая АМВ предста-
представляет траекторию точки, которая в момент времени t находится
в точке М траектории АМВ. Направление движения точки ука-
указано стрелкой на фигу-
фигуре 7. Построим в точке М
касательную к траекто-
траектории в направлении дви-
движения точки; единичный
вектор этой касательной
обозначим т°. Проведем
через точку М плоскость,
перпендикулярную к век-
тору т°, и будем назы-
называть ее нормальной пло-
плоскостью кривой. Любая
прямая, проведенная в
нормальной плоскости через точку М, будет перпендикулярна
к т°. Возьмем на траектории вторую точку Ми близкую к М, и
построим в этой точке единичный вектор касательной т°. Пере-
->•
несем вектор т" параллельно самому себе в точку М и прове-
¦>- ->
дем через два пересекающихся вектора т° и т° плоскость. Ори-
Ориентация этой плоскости в пространстве зависит от вида траек-
траектории и определяется заданием двух касательных в точках М
и Mi. Будем теперь неограниченно приближать точку Mt к М,
тогда плоскость, определяемая векторами т° и т°, будет пово-
рачиваться около прямой т°; когда точка Mt будет сколь угодно
близка к точке М, эта плоскость займет некоторое предельное
положение в пространстве. Предельное положение плоскости
-> ¦>
т°Мт° при неограниченном приближении точки Mt к точке М
определяет соприкасающуюся плоскость кривой АМВ в точ-
точке М. Если траектория движущейся точки — плоская кривая, то
соприкасающаяся плоскость есть та плоскость, в которой рас-
расположена траектория. Линия пересечения нормальной и сопри-
соприкасающейся плоскостей называется главной нормалью траекто-
траектории в точке М. За положительное направление главной нормали
принимается направление от точки М в сторону вогнутости кри-
кривой. Единичный вектор главной нормали обозначим через п°.
58
о спрямляют дя_
и плоскость
Нормаль к соприкасающейся плоскости называется бинор-
бинормалью к кривой в точке М; единичный вектор бинормали обо-
обозначим через Ь°, положительное направление Ь° выберем так,
чтобы три взаимно перпендикулярных вектора i*, n°, Ьь обра-
образовали правую систему осей координат (правый трехгранник).
Эта система осей называется естественной, а трехгранник
т°п°Ь° — естественным трехгранником. Естественная система ко-
координатных осей будет
двигаться по траектории
вместе с точкой М, сле-
следовательно, ориентация
осей естественного трех-
трехгранника в пространстве
будет изменяться в зави-
зависимости от вида траекто-
траектории АМВ и закона дви-
движения точки по этой тра-
траектории.
Отложим на главной
нормали от точки М в
сторону вогнутости отре-
отрезок МС, равный радиусу
кривизны траектории в
точке М; точку С называют центром кривизны кривой в
точке М.
-> ->
Векторы т° и п° естественного трехгранника определяют
положение соприкасающейся плоскости кривой, векторы
п° и Ь° — нормальной плоскости, а векторы Ь° и т° определяют
спрямляющую плоскость (фиг. 8).
2. Касательное и нормальное ускорение точ-
к и. Определим проекции вектора ускорения w на оси естествен-
естественного трехгранника. Так как вектор скорости направлен по ка-
касательной, то на основании формул C) и G) мы можем на-
написать:
соприкасающаяся
плоскость
Фиг. 8
где v — алгебраическая величина скорости, т°—единичный век-
вектор касательной. Вектор ускорения равен первой производной
от вектора скорости по времени, а поэтому
В правой части формулы A1) под знаком производной будут
изменяться с течением времени оба множителя. Алгебраическая
скорость v изменяется потому, что величина скорости в общем
59.
случае переменна; вектор т° при криволинейном движении так-
также изменяет свое направление с течением времени. Дифферен-
Дифференцируя правую часть A1) как произведение двух функций, по-
получим:
-> dv >п . dx°
dt ' " dt "
Пользуясь первой формулой Френе *, можно написать:
dxa rft° ds v *Q
~~dt ~"~ds df~~p ' П '
->
где p — радиус кривизны траектории в данной точке М, п° —
единичный вектор главной нормали; следовательно,
Из формулы A2) видно, что вектор w представляет геоме-
геометрическую сумму двух векторов: одного, направленного по ка-
/ dv \\
сательнои, равного 1-тт- • т°I, и второго, направленного по глав-
ной нормали, равного I-— • п. 1. Проекция ускорения w на на-
направление касательной будет:
-*" ¦*¦ fill //2e
«,, = («,.to) = -g. = |^., A3)
проекция w на направление нормали:
wn = (w-n0) = -y, A4)
—>
проекция w на направление бинормали:
wb = (w ¦ t°) = 0.
Вектор та)т = -^г'г0 называется касательным ускорением точки,
а вектор wn = —• пу — нормальным ускорением.
Из формулы A3) следует, что проекция ускорения на каса-
касательную равна первой производной от алгебраической скорости
по времени или второй производной от расстояния по времени.
Из A4) видно, что проекция ускорения на главную нормаль
равна квадрату скорости, разделенному на радиус кривизны
* См.: С. П. Фиников, Курс дифференциальной геометрии, Гостехиз-
дат, 1953. В русской математической литературе формулы Френе (Frenet)
обычно называются формулами Серре-Френе. См. исторические разъясне-
разъяснения по этому вопросу: R. Gamier, Cours de Cinematique, Paris, 1954,
стр. 32—33.
60
траектории в данной точке. Проекция вектора ускорения ма на-
направление бинормали к кривой равна нулю, откуда следует, что
вектор ускорения w всегда лежит в соприкасающейся плоско-
сти траектории точки. Так как — > 0, то вектор ускорения w
направлен в сторону вогнутости траектории.
Модуль вектора ускорения определяется но формуле:
Отметим следующие частные случаи, вытекающие из фор-
формулы A2):
а) Если величина скорости с течением времени возрастает,
то шх>0. Пусть гапФ0. Этот случай соответствует ускорен-
ускоренному движению точки по заданной траектории (фиг. 9).
WT>° wt<°
М Ут У - м
Фиг. 9
Фиг. 10
b) Если wt <0, a ииФО, то мы имее.м случай замедленного
движения по криволинейной траектории (фиг. 10).
c) Если wx = 0 для любого момента времени, a иипф0, то
движение по криволинейной траектории происходит с постоян-
постоянной по величине скоростью; в тех слу-
случаях, когда ffi»x=0 только для данного
момента времени (а шпФ0), в рас-
рассматриваемой точке траектории алгеб-
алгебраическая скорость достигает экстре-
экстремального значения (фиг. 11).
d) Если Wx?=0, a wn = 0 для лю-
любого момента времени, то мы имеем
неравномерное движение по прямоли-
прямолинейной траектории (для прямой р =
= оо).Если wT Ф0, a wn = 0 только для
данного момента времени t, то такое состояние движения будет
иметь место в точках перегиба криволинейной траектории (в точ-
точках перегиба р = оо). Кроме того, wn = 0 в те моменты вре-
времени, когда скорость равна нулю. Так, например, скорость тя-
тяжелого шарика, качающегося на нити в положениях, когда угол
отклонения достигает максимума (а скорость в этих точках
Фиг.
61
меняет знак), обращается в нуль, и, следовательно, в этих край-
крайних точках а>„ = 0. Легко понять, что в этих точках касательное
ускорение не равно нулю.
е) Если wx =0 и wn = 0 во все время движения, то точка
будет двигаться прямолинейно и равномерно.
Рассмотренные частные случаи наглядно показывают, что
касательное ускорение характеризует изменение вектора ско-
скорости по величине, а нормальное ускорение характеризует из-
->
менение v no направлению.
3. Законы прямолинейного равнопеременного
и равномерного движения точки. В различных зада-
задачах техники и физики встречается случай прямолинейного рав-
равнопеременного (равноускоренного или равнозамедленного) дви-
движения. Движение точки называется равнопеременным, если в
любые равные промежутки времени ее скорость изменяется на
одну и ту же величину. С математической точки зрения такое
определение означает, что производная от алгебраической ско-
скорости по времени имеет постоянное значение во все время дви-
движения. Нормальное ускорение точки при прямолинейном дви-
движении равно нулю, так как для прямой р = оо. Касательное
ускорение при равнопеременном движении ffi»T=const = a. Если
а положительно, то движение называется равноускоренным;
если а отрицательно, то движение называется равнозамедлен-
ным. Так как wx = —fr = a, то dv = adt, откуда, интегрируя,
находим:
v = at + C1. A6)
Пусть при / —0 v = v0; тогда C\ = v0, так как равенство A6)
имеет место для любого значения t, и в частности для /=0. Та-
Таким образом, закон изменения скорости при равнопеременном
движении можно записать в виде:
v = vo + at. A7)
Так как скорость есть производная от расстояния по времени,,
то A7) можно записать так:
ds
_.
или
ds = vodt-\- at dt,
откуда, интегрируя, получим:
Начало отсчета расстояний s по заданной прямолинейной
траектории выберем так, чтобы при / = 0 расстояние 5 было
62
равно нулю. Тогда С2 = 0 и закон равнопеременного прямолиней-
прямолинейного движения будет иметь вид:
s = vot + jaf. A8)
Формулу A8) можно, учитывая A7), записать в следующей
форме:
Так как по определению среднего арифметического
есть средняя скорость движущейся точки за время t, то, оче-
очевидно, для равнопеременного движения будем всегда иметь:
s = vcp-1.
Следует отметить, что полученные формулы A7) и A8) спра-
справедливы не только для прямолинейного движения, но и для лю-
любого криволинейного движения с постоянным касательным
ускорением. При криволинейном движении по закону A8) нор-
нормальное ускорение будет отлично от нуля. Если касательное
ускорение точки равно нулю, то движение будет равномерным.
Для равномерного движения
v = const — v0 и s — vot.
4. Указания к решению задач естественным
методом. При изучении движения точки естественным мето-
методом траектория точки должна быть известной (заданной). Ос-
Основными вопросами исследования обычно являются:
определение закона движения точки, т. е. определение вида
функции s = s(t) (функции: расстояние — время);
определение скорости точки в различные моменты времени
или в различных положениях точки на траектории;
определение касательного, нормального и полного ускорения
точки в различные моменты времени или в различных положе-
положениях точки на траектории.
Очень часто приходится находить закон движения точки по
известному касательному ускорению или известной скорости.
В этих случаях закон движения определяется интегрированием,
и весьма существенно здесь обратить внимание на удовлетво-
удовлетворение начальных условий и определение постоянных инте-
интеграции.
Обычно определение закона движения s = s(t) требует наи-
наибольшей проницательности и остроумия. Приучать студентов к
самостоятельности научного мышления лучше всего на таких
задачах, где по качественному описанию происходящих процес-
63
сов движения нужно определить s~s(t). Исследование s = s(t)
дает полное кинематическое представление о всех особенностях
движения точки. Важно подчеркнуть, что для решения задач
механики не существует универсальных рецептбв; только само-
самостоятельные усилия ума приводят к навыкам успешного прило-
приложения теории к практике. Решение задач лучше проводить в об-
общем виде. Всегда полезно исследовать полученные решения,
связывая выводы, где возможно, с индивидуальным повседнев-
повседневным опытом каждого разумного человека.
Задача 1. Точку бросают вертикально вверх с поверхности
Земли с начальной скоростью v0. Ускорение силы тяжести на-
направлено по вертикали вниз, и его можно считать постоянным
и равным ?=9,81 м/сек2. Найти зависимость между высотой
подъема h и начальной скоростью v0.
Из формул A7) и A8) имеем:
V = Vo — got,
s vt
так как движение вверх будет равнозамедленным.
При s = h скорость и = 0, а поэтому время подъема tt = ~-;
подставляя в формулу для s найденное значение t=tu получим:
Таким образом,
или vo = V2gh. A9)
Формула A9) была получена впервые Галилеем и назы-
называется формулой Галилея.
Задана 2. (Мещерский.) При отходе от станции скорость
поезда возрастает равномерно и достигает величины 72 км/ч
через 3 мин после отхода; путь расположен на закруглении ра-
радиуса 800 м. Определить касательное, нормальное и полное ус-
ускорение поезда через 2 мин после момента отхода от станции.
По условию задачи имеем:
dv .
wx = -тг = const = a,
откуда, интегрируя, находим:
Так как при /=0 и = 0, то Ci = 0. Скорость 72 км/ч соответ-
соответствует скорости, равной 20 м/сек, поэтому будем иметь:
«^T^Tso^ ? м/сек2'
64
Скорость в конце второй минуты будет:
v2 = a- 120 = -g--120 = ^- м1сек.
Подсчитывая нормальное ускорение по формуле A4), полу-
получим:
_ у* _ 1600 _ 2
W" ~~ ~р~ ~~ 9 • 800 ~' 9
Полное ускорение находим по формуле A5):
w = Л/ vfi —f- и>2 —
§ 4. Основы графокинематики точки
Изучение движения точки при естественном методе можно
проводить графическими приемами. Пусть нам известна функ-
функция s = s(t), определяющая закон изменения расстояний.
По уравнению s = s{t) мы можем вычислить для каждого мо-
момента времени соответствующее значение расстояния. Возьмем
две взаимно перпендикуляр-
перпендикулярные оси и будем в некоторых
выбранных масштабах откла-
откладывать по оси абсцисс после-
последовательные значения време-
времени t, а по оси ординат —¦ со-
соответствующие им расстояния
s. Геометрическое место по-
построенных таким образом то-
точек образует кривую, которая
изображает графически зави-
зависимость расстояния s от вре-
времени t. Эта кривая называется
графиком расстояний (фиг. 12).
Исследование геометрических
свойств этой кривой дает возможность полностью выяснить все
кинематические особенности данного движения. Заметим, что
основное значение графического метода исследования движения
заключается в том, что им можно пользоваться и в тех случаях,
когда аналитическая зависимость s = s(t) или неизвестна, или
очень сложна для прямого исследования. Случаи геометриче-
геометрического изображения закона движения встречаются в задачах
теории механизмов и машин, где движение отдельных точек
звеньев механизма получается в виде графиков при помощи
автоматов-самописцев, связанных с движущейся частью меха-
механизма. Современные телеметрические записи параметров дви-
движения у самолетов и ракет после обработки также обычно
Фиг. 12
5 А. А. Космодемьянский
65
представляются в виде графиков. Чтобы по графику расстояний
найти среднюю скорость движущейся точки за промежуток вре-
времени {ti—1\), достаточно провести секущую через точки гра-
графика s = s(t), соответствующие моментам t2 и tit тогда иОр при
соответствующем выборе масштабов выразится через тангенс
угла наклона секущей (tg а на фиг. 12) к оси времени. В самом
деле, из фигуры 12 видно, что
и, следовательно, tgai = uCp. Истинная алгебраическая скорость
ds
v — ~df в какой-либо момент времени выразится через тангенс
К
Фиг. 13
угла наклона касательной к графику расстояний в соответст-
соответствующей точке с осью Ot. Для того чтобы построить график ско-
скорости, будем поступать следующим образом. Отложим от на-
начала осей координат sOt (фиг. 13) отрезок О/С, равный единице
принятого масштаба времени, и будем проводить из точки К пря-
прямые, параллельные соответствующим касательным на графике
расстояний. Отрезки, отсекаемые этими прямыми на оси орди-
ординат (отрезки Оаи Оа2, Оа3 на фиг. 13), будут давать в выбран-
выбранном масштабе величины скоростей в моменты t\, t2, t3. В системе
осей (v, t) на фигуре 14 отложим для моментов t\, t2,..., tn
величины скоростей Oa\ = Vi, Oa2 = v2 ... и соединим полученные
точки плавной кривой. Эта кривая называется графиком ско-
скорости или кривой скоростей. График скорости равномерного
движения изображается прямой линией, параллельной оси вре-
времени. Зная график скорости, мы аналогичным приемом можем
dv _.
построить график касательного ускорения wi — ~d?- " самом
деле (фиг. 14),
dv
66
т. е. касательное ускорение в момент времени / при неравно-
неравномерном движении точки выразится через тангенс угла, который
образует касательная к графику скорости в соответствующей
точке с осью времени. На фигуре 15 показан график касатель-
касательного ускорения.
Зная график скорости, можно найти зависимость пройден-
пройденного пути П от времени. Приращение расстояния ds за время dt
будет равно vdt; геометрически это приращение изображается
на графике скорости {фиг. 14) элементарной заштрихованной
площадкой. Если скорость v отрицательна, то ds — vdt также
будет отрицательно, но для вычисления пути П за некоторый
Фиг. 14
Фиг. 15
промежуток времени /2—1\ все элементарные площадки нужно
брать по абсолютной величине, так как йП = \v\ 'dt. Планимет-
рируя площадь, ограниченную графиком скорости, осью времени
и ординатами АВ и DC (фиг. 16), мы получим путь П, пройден-
пройденный движущейся точкой за время (/2—М- Если в интервале
времени (ti—^i) график скорости располагается над осью вре-
времени Qt (все скорости у>0), то путь, пройденный точкой за
время (i?2—^i), будет равен:
h
/712= Г v dt — площади ABCD,
и
т. е. величина пройденного пути изображается площадью, огра-
ограниченной осью абсцисс (ось времени Ot), графиком скорости
(дуга кривой ВС) и двумя ординатами АВ и DC (фиг. 16).
Один из приемов учета принятых масштабов покажем на
примере определения скорости. Закон движения возьмем в виде
s=E0/—5/2) м. Пусть 1 см на оси Ох (фиг. 17) соответствует
\i\ сек, тогда промежутку времени (/2—^i) будет соответство-
вать отрезок оси Ох, равный х2 — хг = —-—см; аналогично,
если 1 см на оси Оу соответствует расстояние \iz м, тогда
5* 67
расстоянию (s2—5i) m будет соответствовать отрезок (у2—f/i) =
Для того чтобы найти среднюю скорость движущейся точки
за промежуток времени {t2—^1), отметим на фигуре 17 две точ-
V
0
в
Ж
ш
а
Фиг.
с
ш
—
D t
16
Sm
['
125-
100
75
50
25
'Я,
/
0°
2 16
Фиг.
\
\
\
i с се
8 10 X
17
ки А\ и Аг, соответствующие моментам t\ и t2. Проведя через Ai
и А2 секущую, найдем tga. Будем иметь:
Заметим, что tga — безразмерная величина, определяемая по
углу а на фигуре 17. Учитывая введенные масштабы, получим;
дA)
р>
откуда
V-2
Истинная алгебраическая скорость в точке Ах будет:
,-. . м , сек ц2 л м
Если ^2=1-^' а ^i"^"' тогда "^-—1-^-: геометрическая
картина на фигуре 12 соответствует именно такому случаю.
Аналогичным приемом можно учесть масштабы при графиче-
графическом определении касательного ускорения и пройденного
пути.
§ 5. Теорема о сложении скоростей
1. Основные определения. Представим себе, что точ-
точка М совершает некоторое движение по линии АСВ (фиг. 18),
причем для наглядности можно мыслить кривую АСВ мате-
материально осуществленной в виде тонкой проволоки, а точку М —
в виде достаточно малого колечка, скользящего по этой прово-
проволоке. Пусть кривая АСВ непрерывным образом изменяет евое
положение в пространстве, двигаясь относительно неподвижной
системы отсчета Oxyz. Вследствие движения кривой АСВ ско-
скорость точки М будет отличаться
от той скорости, которую она
имела бы при движении по непо-
неподвижной кривой АСВ. Результи-
Результирующее движение, которое со-
совершает точка М относительно
неподвижной системы отсчета,
называется ее сложным или аб-
абсолютным движением. Скорость
этого результирующего движе-
движения точки называется ее абсо-
абсолютной скоростью. Движение
точки М по линии АСВ (сколь-
(скольжение колечка по проволоке) на-
называется относительным движе-
движением точки. Скорость точки М по отношению к точкам линии
АСВ называется ее относительной скоростью. Скрепим неиз-
неизменно точку М с какой-либо точкой кривой АСВ (например,
с точкой С); движение, которое будет иметь точка М вслед-
вследствие движения кривой АСВ, перемещаясь в пространстве
вместе с точкой С этой кривой, называется переносным движе-
движением. Скорость точки в переносном движении называется пе-
переносной скоростью. Будем обозначать скорость абсолютного
->
движения через уабс> скорость относительного движения — че-
-> •>
рез Сотн и скорость переносного движения — через уПер-
2. С л о ж е н ие скоростей. Рассмотрим перемещения, ко-
которые получает точка М за малый промежуток времени Д^ в от-
относительном, переносном и сложном движении. Если бы кри-
кривая" АСВ была неподвижна, то благодаря относительному дви-
движению за время At точка получила бы относительное переме-
перемещение СЕ. Вследствие переносного движения (перемещение
кривой АСВ) точка за время At получит перемещение CD. Ре-
Результирующее перемещение, которое получит точка в сложном
движении, будет изображаться вектором CF (фиг. 18).
Фиг. 18
69
Из векторного треугольника CDF мы получим:
CF = CD-{-DF. B0)
Разделив обе части равенства B0) на Hit и переходя к пределу
при Hit, стремящемся к нулю, будем иметь:
CF CD DF
lim -—=lim -rr-+lim -j-r-.
Но в пределе при
,. DF ..СЕ
lim —f-т- = hm —rj-
д«->о ar д«->о ar
Так как CF, СЕ и CD представляют собой соответственно пере-
перемещения сложного (абсолютного), относительного и перенос-
переносного движения, то
At ->0 ^
CF *¦
Hm — = vom,
,. CD ->
ltm "лГ—^пер-
Следовательно,
va6c = v0Ta + ~vnep, B1)
т. е. скорость сложного (абсолютного) движения точки равна
векторной сумме скоростей относительного и переносного дви-
движения. Формула B1) представляет в векторной форме теорему
о сложении скоростей. Если угол между векторами относитель-
относительной и переносной скорости равен а, то модуль скорости абсо-
абсолютного движения будет вычисляться по формуле:
I ^авс | = ^абс = Vv20ja + ^2пер + 2г>отЛер cos а. B2)
Абсолютное движение точки может быть составленным и бо-
более чем из двух движений. Теорема сложения скоростей легко
распространяется и на эти случаи. Пусть, например, переносное
движение является результирующим двух движений со скоро-
•> •>
стями Vi и v2, тогда на основании теоремы о сложении скоро-
•> •> •>
стей получим: vnep = Vi + Vz; если скорость относительного дви-
•>
жения равна v3, то скорость абсолютного движения в этом
случае будет равна:
¦Уабс = '«пер + ¦Уотн = ^1 + ^2 + ^3-
70
Если точка участвует одновременно в п движениях, то ско-
скорость сложного (или абсолютного) движения будет равна век-
векторной сумме скоростей составляющих движений, т. е.
2j
v=l
B3)
Очень часто приходится определять скорость относительного
движения по известным скоростям абсолютного и переносного
движения. Из формулы B1) имеем:
v =11 11 —.цй_|_ ( i) ), B4)
т. е. для того, чтобы найти скорость относительного движения,
нужно сложить вектор скорости абсолютного движения с векто-
вектором, противоположным по направлению скорости переносного
движения. Аналогично, если известны vom и сабС, то
пер '
v\ '
B5)
3. Разложение вектора скорости по осям ко-
координат. Пусть начало отсчета относительных расстояний по
кривой АСВ находится в точке А, и пусть закон относительного
движения точки определяется ура-
уравнением AM = s = s(t). Проекция
вектора относительной скорости на
касательную к кривой АСВ равна:
ds
В частном случае, когда кривая
АСВ представляет собой прямую,
параллельную оси Ох, закон отно-
относительного движения точки примет
вид x=x(t) и величина относитель-
относительной скорости будет равна:
Л
0
а
/
м
—Уабс
/
J B
*
Фиг. 19
Предположим, что точка М движется по прямой АМВ па-
параллельно неподвижной оси Ох, а прямая АМВ перемещается
в плоскости Оху параллельно самой себе в положительном на-
направлении оси Оу (фиг. 19), тогда переносная скорость точки М
будет направлена параллельно оси Оу. Пусть закон движения
* В иностранной литературе и некоторых русских учебниках обозначают
вектор абсолютной скорости иабо через va (от франд. — la Vitesse absolu),
вектор i4ep—через ve (la vitesse d'entrainement) и и,тн — через vT (la vi-
tesse relative).
71
какой-либо точки прямой АМВ будет y = y(t), тогда величина
переносной скорости будет равна:
_ _ dy
Вектор скорости сложного движения найдется по формуле
B1) в виде:
б
пер =
Если единичные векторы координатных осей Ох и Оу обозна-
¦> -> -> dx 1- -> rfi/ ¦>
чить через t, /, то vxz=:~djt^ vy~~dTJ и> следовательно.
dxf . dy ->
B7)
Примем скорость тЛбс за относительную скорость нового
движения точки М по кривой AiMBlt лежащей в плоскости хОу
Фиг. 20
(фиг. 20), и представим себе, что плоскость хОу движется па-
параллельно самой себе в направлении оси Oz. Если закон движе-
движения какой-либо точки кривой AiMB{ будет z=z{t), то величина
новой переносной скорости будет равна:
B) dz
Скорость нового абсолютного движения найдется по фор-
формуле:
->
y+v*.
->
, = Vx-
Если единичный вектор координатной оси Oz обозначить че-
через к, то
72
¦¦?*¦ B8)
Траекторией рассмотренного сложного движения точки бу-
будет некоторая пространственная кривая. Таким образом, всякое
движение точки по пространственной кривой можно рассматри-
рассматривать как составленное из трех прямолинейных движений по на-
направлениям, параллельным координатным осям.
Рассмотрим теперь две задачи.
Задача 3. Отвесно падающий дождь оставляет на боко-
боковых стеклах вагона, движущегося по горизонтальному участку
пути, полосы под углом 30° к вертикали; скорость движения ва-
вагона 36 км/ч. Определить
абсолютную скорость паде-
падения дождевых капель.
пер
"отн,
Фиг. 21
Фиг. 22
В данном случае переносная скорость vnev направлена гори-
горизонтально и равна скорости вагона, т. е. 10 м/сек. Направления
относительной и абсолютной скорости капли дождя нам изве-
известны по условию задачи (фиг. 21). Так как
то параллелограмм скоростей будет иметь вид, представленный
на фигуре 21. Из параллелограмма скоростей имеем:
= '«
пер
или
ctg30° = 10 УЗ м/сек,
с = 17,3 м/сек.
Задача 4. Прямая АВ движется параллельно самой себе
с постоянной скоростью vi, перпендикулярной к АВ, а прямая
CD движется параллельно самой себе с постоянной скоростью
v2, перпендикулярной к CD. Найти величину скорости v точки М
пересечения этих прямых (фиг. 22); угол между прямыми ра-
равен а.
Определим относительную скорость точки М по прямой АВ
вследствие движения прямой CD. Эта скорость равна:
sin a
73
Аналогично скорость движения точки М по прямой CD вслед-
вследствие движения прямой АВ равна:
V,
и, —
sin a
->- •>
Параллелограмм скоростей и\ и н2 построен на фигуре 22.
Скорость движения точки М определяется по формуле B2), со-
согласно которой
«2 ~ 2«i cos « = -^ • /^ + v\ - 2г),гJ cos а.
С уменьшением угла а скорость точки пересечения возрас-
возрастает, стремясь к бесконечности при а->0. При а = 90°
КООРДИНАТНЫЕ МЕТОДЫ ИЗУЧЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ
§ 6. Метод декартовых координат
1. Уравнения движения. Траектория. Положе-
Положение точки в пространстве можно определить тремя декартовыми
координатами: х, у, z (фиг. 23). Если точка движется, то ее ко-
координаты изменяются с течением време-
времени. Следовательно, координаты х, у, z
движущейся точки суть некоторые функ-
М ции времени. Определить движение точ-
точки в декартовых координатах — это зна-
значит найти ее координаты х, у, z как
функции времени, т. е.
-о-* x = x{t), y = y(t), z = z{t). B9)
у, ,
Сравнения B9) вполне определяют
движение точки. В самом деле, зная ура-
уравнения B9), мы можем для каждого мо-
Фиг. 23 мента времени t найти соответствующие
значения х, у, z и, следовательно, ука-
указать положение точки в пространстве. Функции x(t), y(t),
z(t) должны быть однозначны, непрерывны, и, кроме того,
мы потребуем, чтобы они были дифференцируемы по крайней
мере дважды *. Уравнения B9) называются уравнениями дви-
* Только в теории удара рассматриваются явления движения, когда пер-
первые производные функций x(t), y(t), z(t) разрывны в некоторых точках. Та-
Таким образом, в задачах механики функции x(t), y(t), z(t), вообще говоря,
суть кусочно-непрерывные, однозначные, дважды дифференцируемые функции
времени,
74
жения точки в прямоугольных декартовых координатах, а
иногда конечными уравнениями движения точки.
Уравнения B9) можно рассматривать как параметрические
уравнения траектории движущейся точки. Действительно, да-
давая времени t некоторую последовательность значений, мы бу-
будем получать значения координат х, у, г и, таким образом, по
точкам сможем построить траекторию. Если траектория движу-
движущейся точки — плоская кривая, то плоскость, в которой распо-
расположена кривая, можно принять за плоскость Оху. Конечные
уравнения движения точки тогда будут:
* = *(*), У = У№- C0)
Для того чтобы получить уравнение пространственной траек-
траектории в координатной форме, следует исключить время t из
уравнений движения B9).
В случае движения в плоскости Оху, исключая время t из
уравнений C0), мы получим зависимость между х и у в виде:
F(x, y) = 0, или у = у(х).
При движении точки по пространственной кривой уравнение
траектории можно представить в виде двух уравнений цилин-
цилиндрических поверхностей, линии пересечения которых и опреде-
определяют траекторию. Возможны следующие комбинации этих пар
поверхностей:
F(x,y)=0) 4?(y,z) = 0\ F(x, y)—0
Ф(х, z) = 0 J (I)' Ф(х, z) = 0 j (II)> 4(y, z) = 0
Для пояснения сказанного рассмотрим несколько задач.
Задача 5. Движение точки определяется уравнениями:
х = а cos2 (nt), y = b sin2 (nt). Найти уравнение траектории точки.
Представим уравнения движения
в виде-
1\ У • 9 / .A
n0 = sm2{nt)
и сложим. Тогда будем иметь:
4^ 1
т. е. траектория точки есть прямая,
отсекающая на осях Ох и Оу отрезки Фиг. 24
а и b (фиг. 24). В начальный момент
при ^=0 точка находится на оси Ох в точке х = а (у=0), при
t=0,5 сек — в точке у=Ь (х = 0), при ?=1 сек снова в точке
х=а (г/=0) и т. д. При изменении t от —оо до +оо точка будет
двигаться только на отрезке АВ (фиг, 24), так как sin2 (nt) и
75
cos2 (nt) положительны и не могут принимать значений, боль-
больших единицы.
Задача 6. Движение точки определяется уравнениями:
x = R cos (at), y — Rsm(a>t), причем ю > 0.
Найти уравнение траектории точки и выявить основные
свойства этого движения.
Для того чтобы исключить время /, возведем уравнения дви-
движения в квадрат и сложим. Будем тогда иметь:
т. е. траекторией точки является окружность радиуса R, центр
которой совпадает с началом координат. В начальный момент
при ? = 0 мы имеем: x=R, у = 0, т. е.
движущаяся точка находится в точ-
точке А (фиг. 25). Если t начинает воз-
возрастать, то cos ((At) начинает убывать,
причем у будет положительным; при
, я
t = ^- движущаяся точка придет в
точку В (х=0, y = R), при t= — по-
у-» j Зя
падет в точку С, при t= -* в точ-
2я
Фиг. 25
ку L>, и, наконец, при t= —- движу-
движущаяся точка снова попадет в точку А.
При дальнейшем возрастании времени t движение будет перио-
периодически повторяться, причем время (период) полного любого
обхода точки будет равен:
Движение точки по окружности происходит против часовой
стрелки.
Задача 7. Движение точки определяется уравнениями:
x = Rcos(at), y — Rsin(a>t), z = -^&t, где h > 0, ю>0.
Найти траекторию движущейся точки.
Исключая время / из первых двух уравнений, получим:
x2+y2 = R2, т. е. во все время движения точка остается на по-
поверхности круглого цилиндра радиуса R. Исключая t из второго
и третьего уравнений, находим:
76
т. е. уравнение второй цилиндрической поверхности, сечение ко-
которой плоскостью х=0 представляет синусоиду. Пересечение
двух полученных поверхностей определяет так называемую вин-
винтовую линию. Простые вычисления по уравнениям движения
показывают, что h есть шаг винтовой линии (фиг. 26). В самом
деле, из первых двух уравнений следует, что проекция движу-
движущейся точки в плоскости Оху описывает полную окружность за
время Т = —, из последнего (третьего) уравнения видно, что
за это время проекция точки по оси Oz пройдет расстояние:
2. Переход от координатного к естественному
методу изучения движения. Легко установить связь
между естественным и координатным
методами кинематического изучения
движения точки. В самом деле, эле-
элемент дуги траектории равен:
ds=±
откуда
= so± j Ydx2 -4- d у2 + dz2 = so±
Соотношение C1) дает закон движе- х
ния по траектории в предположении, Фиг. 26
что при ( = 0 s=s0.
3. Скорость точки. Перейдем теперь к определению ско-
скорости в декартовых координатах. Пусть закон движения точки
известен, т. е. известны уравнения движения в виде:
x = x(t), y = y(t), z = z(f).
Вектор скорости движущейся точки направлен по касатель-
ds
ной к траектории, и его величина равна: v==~jf> гДе s —
длина дуги, отсчитываемая вдоль траектории от некоторой фик-
фиксированной точки. Найдем проекции скорости на оси декарто-
декартовых координат. Так как косинусы углов касательной с осями
77
координат равны:
"¦Х ^/-vc/V0~,,\ У ,~^e/V0~~\
ds '
,-> - . dx /*¦„- . dy -> ~
cos (то, х) = -gj . cos (т°, у) = -?, cos (-с«, г) =
то
^ " . ds dx dx
ds dy dy
ds d^ rf^
C2)*
Таким образом проекция скорости на любую из осей коорди-
координат равна первой производной по времени от соответствующей
координаты движущейся точки.
Тот же самый результат мы можем получить, исходя из ос-
основного определения вектора скорости, согласно которому
dr
>
Радиус-вектор г, следящий за движущейся точкой М, можно
представить в виде суммы трех составляющих:
C3)
Единичные векторы координатных осей i, j, k постоянны, так
как система осей Oxyz предполагается неподвижной. Проекции
радиуса-вектора г, т. е. декартовы координаты точки М — х, у,
z, изменяются с течением времени. Дифференцируя C3) по вре-
времени, получим:
<? Z, dX TL *У ^L dz X
С другой стороны, вектор скорости v, как всякий вектор,
можно разложить на составляющие по координатным осям и
представить в виде:
v = vj + vyj + vzk. C4')
Сравнивая коэффициенты при одинаковых единичных векто-
векторах в формулах C4) и C4'), получим:
vx = -dT = x' Vy^y* vz = k, C5)
Следовательно, когда точка М движется по некоторой кри-
кривой со скоростью v, ее проекции на оси координат движутся со
* В механике производную по времени принято обозначать точкой над
соответствующей буквой, изображающей какую-либо функцию времени.
78
скоростями х, ij, z, т. е. проекция скорости точки на любую из
осей координат равна скорости соответствующей проекции точ-
точки вдоль этой оси.
Модуль скорости )u|=V определяется по формуле:-
^ ^ z2- C6)
->-
Чтобы определить направление вектора v, нужно найти его
направляющие конусы. По определению проекции вектора на
ось имеем:
vx — V cos (то,"л:), vy = V cos (т°, у), vz = V cos (т°Г.г)>
откуда
cos(x°, x) = -^h — ;
Л - \ vy у
cos (т°, у) = -ггу- = у—L.
C7)
Проекции скорости движущейся точки на оси координат,
умноженные на соответствующие единичные векторы, можно
рассматривать как составляющие скорости сложного движения
точки. Тогда вектор скорости v будет представлять собой гео-
геометрическую сумму скоростей трех составляющих движений по
взаимно перпендикулярным осям координат Ох, Оу и Oz (см.
вывод формулы 28).
4. Ускорениеточки. Вычислим проекции ускорения дви-
движущейся точки на оси декартовых координат. Будем исходить
из определения вектора ускорения, согласно которому
w = -dF =
Ввиду того что r = xi+yj+zk, то, выполняя дифференциро-
дифференцирование г, получим:
так как i, /, k постоянны по величине и направлению. С другой
стороны, вектор ускорения можно разложить по осям координат
и представить в виде:
w — wxi-\-Wyj-\-wzk.
C8')
79
Сравнивая коэффициенты при одинаковых единичных векто-
векторах в формулах C8) и C8'), получим:
wx = ^ijr = x, wy = y, wz = z. C9)
Таким образом, проекция ускорения на любую из осей коор-
координат равна второй производной по времени от соответствую-
соответствующей координаты движущейся точки.
Так как x = vx, y = vv, z = vz, то формулы C9) можно записать
еще в следующем виде:
dvr dvv dvz
т. е. проекция ускорения на любую из осей координат равна
первой производной по времени от соответствующей проекции
скорости на ту же ось. Пользуясь формулами C9), легко нахо-
находим модуль ускорения в виде:
•>
\\
w I = у w2 -f- "w2 -\- "w\ — V x2 -(- y2 -{- z2. D0)
Направляющие косинусы вектора ускорения w с осями ко-
координат будут равны:
'), X) = —?- =
cos(By, у)
\w\
cos(w, z) =^- = -
D1)
I иг | y^ + y'-f^
-> ->
Зная проекции векторов скорости v и ускорения о> на декар-
декартовы оси координат, можно вычислить проекции вектора уско-
ускорения на оси естественного трехгранника. В самом деле, зная,
что vi = x2 + y2+z2, и дифференцируя это соотношение один раз
по времени, получим:
dv
и, следовательно,
dv xx-\-yy-\-zz xx-\-yy-\-zz
Нормальное ускорение wn = — можно найти по формуле:
2 2
W —Wx.
80
Зная w из формулы D0) и wx из D2), будем иметь:
. D3)
Для случаев, когда траектория точки есть плоская кривая, рас-
расположенная в плоскости Оху, можно определить wn, вычисляя
непосредственно значения и2 и радиуса кривизны р. Как извест-
известно из дифференциальной геометрии, если уравнение кривой за-
задано в параметрическом виде: x=x(t) и y = y(t), то
_L лгу — лгу лгу — лгу
и, следовательно,
wn = $=M-jb" =$==Щ=. D4)
Р " у Х1 _|_ у2
Формулу D4) можно получить и из общей формулы D3), по-
положив в нейг = 0 и 2 = 0 и проведя несложные алгебраические
преобразования.
5. Решение задач. Основная трудность при решении
задач кинематики точки методом декартовых координат состоит
в определении уравнений движения, т. е. вида функций:
x=x(t), y=y(t), z = z(t),
по задаваемым или наблюдаемым характеристикам движения
точки. Выбор ориентации осей, вообще говоря, произволен, но
практически всегда следует проанализировать несколько вари-
вариантов, чтобы получить уравнения движения в более простом
виде. Начало координат не нужно совмещать с движущейся
точкой. В ряде случаев текущие координаты х, у, z движущейся
точки можно находить сначала в функции геометрических пара-
параметров задачи, зависимость которых от времени определяется
или по известным условиям, или по качественным характеристи-
характеристикам движения, проще, нежели сами уравнения движения. Дать
рецептуру решения задач невозможно, как невозможно научить-
научиться плавать, стоя на берегу. Только самостоятельное исследова-
исследование большого числа задач может выработать необходимую
здесь остроту ума и независимость мышления и поможет ре-
реально овладеть методами изучения движений т&чки. Свобода
подхода к решению конкретных задач кинематики вырабаты-
вырабатывается постепенно, и учащимся не следует приходить в уныние,
если сначала задачи не выходят. Всегда следует помнить, что
воспитание творческих черточек мышления много труднее за-
запоминания рецептов ремесленника.
Рассмотрим здесь следующую задачу.
6 А. А. Космодемьянский 81
Задача 8. Концы отрезка АВ = 1=(а+Ь) (фиг. 27) сколь-
скользят по двум взаимно перпендикулярным прямым Ох и Оу. Найти
траекторию, скорость и ускорение точки М, (находящейся на
расстоянии Ь от конца А, если угол ВАО = у изменяется про-
порционально времени, т. е. ф=ю?, где
co = const.
Примем прямые Ох и Оу за коор-
координатные оси; тогда из треугольника
ВМС и AMD найдем:
x = acos(p, у = b sin ф,
или, подставляя ф = со^, получим:
•; х = a cos (ю(), у = 6 sin {at). D5)
Фиг 27 Уравнения D5) представляют уравне-
уравнения движения точки М.
Исключив из этих уравнений время t, получим уравнение
траектории в виде:
Таким образом, траектория точки М — эллипс. Если в точке М
поместить карандаш, то при движении концов отрезка по сто-
сторонам прямого угла острие карандаша опишет дугу эллипса.
Определим проекции скорости о на оси координат. На осно-
основании формул C5) имеем:
vx=x = — дао sin («О* vy —y
Модуль скорости точки М равен:
|^| = У v%-\-1J = со У a2 sin2 (at) -f- b2 cos2 (at).
Проекции ускорения точки М на оси координат определим
по формулам C9). Будем иметь:
wx = х = — асо2 cos (at) = — ю2х,
wy=y = — ba2 sin(co^) = — a2y.
Следовательно, модуль ускорения равен:
\w\ = yw2x-\-w2y == (о2 Ух2 + f/2 = со2г,
где г = ОМ (фиг. 27) есть расстояние движущейся точки от на-
начала координат. Направляющие косинусы вектора ускорения
найдем по формулам D1):
cos (w, x) = -^— = —-; cos (w, у) ~ —+- — — — •
}w\ r \w\ г
82
Так как направление отрезка ОМ образует с осями углы,
косинусы которых будут ~\--j и +7~> то Вект0Р> направлен-
направленный от точки М к точке О, будет иметь направляющие коси-
х у „
нусы, соответственно равные ——и . Отсюда заключаем,
что ускорение движущейся точки М направлено к центру опи-
описываемого ею эллипса и пропорционально расстоянию точки М
от центра эллипса.
§ 7. Метод полярных координат
1. Уравнения движения. Траектория. Рассмо-
Рассмотрим движение точки по плоской кривой. Пусть положение точ-
точки определяется полярными координатами г, ф (фиг. 28), где
г — расстояние движущейся точки от полюса О, ф—угол, об-
образуемый радиусом г с горизонтальной прямой — полярной
осью. Если мы будем
знать, как изменяются г
и ф с течением времени,
то сможем указать поло-
положение точки для любого
момента времени. Урав-
Уравнения
r = r(t) и ф = ф(^) D6)
называются уравнениями фиг- 28
движения точки в поляр-
полярных координатах. Функции r(t) и q>(t) должны быть однознач-
однозначными, непрерывными, и мы будем требовать, чтобы они были
дважды дифференцируемыми. Уравнение траектории движу-
движущейся точки получается исключением времени t из уравне-
уравнений D6).
Можно установить зависимость между естественным спосо-
способом задания движения точки и методом полярных координат.
В самом деле, элемент дуги траектории равен (фиг. 28):
ds=± Уйг2-\-г2A^. D7)
Интегрируя D7), получим:
= sQ±j
о
= s0 ± / /(^J + г2(-^-JЛ. D8)
о
Соотношение D8) дает закон движения точки по траектории
в предположении, что при / = 0 имеем: s = s0
83
2. Скорость точки. Для того чтобы найти формулу для
определения скорости в полярных координатах, запишем ра-
>
диус-вектор г, определяющий положение точки в виде:
-> ->
r = r-r°,
где г = ОМ, а г° — единичный вектор радиуса-вектора (фиг. 29).
Так как вектор скорости т) = -зт(г), то,
D9)
При движении точки М радиус г изменяется по величине,
а единичный вектор г
по направлению; следовательно, гиг0
суть некоторые функции
времени. Выполняя диффе-
дифференцирование произведения
в соотношении D9), полу-
получим:
dr
dt
dr°
dt
Пусть единичный вектор,
перпендикулярный к ради-
-> •>
усу-вектору г, будет р°, тог*
^ да можно показать, что
-4т- = —л- р°, где й?ф — угол между двумя бесконечно близкими
Фиг. 29
направлениями единичного вектора г°. В самом деле, так как
годограф вектора г° есть окружность единичного радиуса, то
\dr°\ = l • d(p; кроме того, направление вектора-^- совпадает с
направлением касательной к этой окружности и, следовательно,
перпендикулярно к радиусу.
Таким образом,
¦*¦ dr -* . dtp -»¦„
v~~~dTr ~T~r~d7' P •
Первое слагаемое (-^-г°) называется радиальной скоростью;
E0)
dr
величина радиальной скорости равна: vr=z~^f==r- Второе
слагаемое r-jj- p° называется поперечной или трансверсальной
скоростью; величина поперечной скорости равна: ^Р = г-^г- = щ.
84
Так как радиальная и поперечная составляющие взаимно пер-
перпендикулярны (г°_]_р°), то модуль вектора скорости будет ра-
равен:
\v
E1)
На фигуре 29 показаны радиальная и поперечная составляю-
составляющие вектора скорости движущейся точки М; радиальная соста-
составляющая характеризует изменение радиуса-вектора по величине,
поперечная составляющая — по направлению. Если, например,
точка М движется по окружности и начало полярных коорди-
координат совпадает с центром этой окружности, то r = const, r=0 и
и = гср. Если точка движется вдоль радиуса, то ир = 0 и v — r.
Формулу для модуля скорости в полярных координатах лег-
легко получить, также воспользовавшись формулой для квадрата
линейного элемента траектории ds2, записанного в этих коорди-
координатах. В самом деле, из формулы D7) имеем:
Разделив обе части этого равенства на dt2, получим:
D91-(?
или
что совпадает с результатом, вытекающим из E1).
3. Ускорение точки. Для определения ускорения в по-
полярных координатах продифференцируем E0) еще раз по вре-
времени. Будем иметь:
dt
Так как (фиг. 30)
->
dt dt P '
dp __ d<p ->
то
85.
Проекцию вектора w на направление г° называют радиальным
ускорением, а проекцию w на ,р° —*¦ поперечным или трансвер-
сальным ускорением точки М:
E2)
E3)
Пользуясь формулами связи полярных координат с декартовы-
декартовыми, согласно которым л:=гсозф, y = r sin ф, и учитывая формулы
Модуль ускорения будет определяться по формуле:
Фиг. 30
D2) и D4), можно найти выражения для касательного и нор-
нормального ускорения в полярных координатах. Опуская утоми-
утомительные алгебраические преобразования, мы напишем здесь
только формулу для нормального ускорения. Она имеет вид:
ху— ху гг ф-f-
-
cos
V r
§ 8. Метод сферических координат
1. Уравнения движения. Положение движущейся
точки в пространстве можно определить расстоянием (даль-
(дальностью) ОМ—г (фиг. 31), углом ф между плоскостью xOz и
плоскостью, проходящей через точку М и ось Oz (азимут, дол-
.86
гота), и углом 0 между горизонтальной плоскостью хОу (пло-
(плоскостью экватора) и прямой ОМ (угол места, широта). Коорди-
Координаты г, ф, 0, определяющие положение точки в трехмерном про-
пространстве, называются сферическими координатами. При дви-»
жении точки М в пространстве
ее сферические координаты г, ф
и 0 изменяются в общем случае
с течением времени, т. е.
r = r (*), Ф = Ф (/). 0 — 0 (/)• E5)
Уравнения E5) называются
уравнениями движения точки в
сферических координатах. Ис-
Исключая время t из уравнений
E5), мы получим траекторию
движущейся точки М.
2. Определение скоро-
скорости. Для вычисления скорости
точки в сферических координа-
координатах можно рекомендовать два
приема:
а) Установим связь между сферическими и декартовыми ко-
координатами. Будем иметь (фиг. 31):
Х = Г COS0 СОЭф
Фиг-
у —г cos 0 :
z = r sin 0
E6)
Вычисляя х, у, z и подставляя в форму-
формулу C6), получим:
Фиг. 32
E7).
б) Тот же самый результат мы найдем, если вычислим сна-
сначала квадрат линейного элемента в сферических координатах.
Ребра бесконечно малого параллелепипеда в сферических коор-
координатах будут dr, rdQ, rcos0Ghj> (фиг. 32), а поэтому диагональ-
параллелепипеда ds будет:
ds2 = dr2 + г2 dW + г2 cos2 0 d(f.
ds
Так как v = -jr,
то
8Х
откуда
\v\
= Vr2 + r202 -f- r2 cos2 0ф2.
E8)
Формулами E6), E8) особенно целесообразно пользоваться
в том случае, когда точка во все время движения остается на
сфере данного радиуса. В самом деле, в этом случае r = const
и для изучения движения нужно исследовать только две функ-
функции: ф(/) и 0(/), в то время как в декартовых координатах изу-
изучение движения по сфере требует изучения трех функций: x(t),
y(t) И 2@-
Задача 9. Исследовать движение точки на поверхности
Земли, считая ее сферой. Скорость точки постоянна по величи-
величине и составляет постоянный угол а с проходящим через точку
меридианом.
6)
Фиг. 33
Проекция вектора скорости на касательную к меридиану
(фиг. 33, а) будет ve =T9, a проекция v на касательную к па-
параллели 'Уч,=гсоз0ф (г — радиус сферы). Следовательно,
v г соь 9ф dtp
tg а = -^ = ;— = cos 9 —.
По условию задачи a = const, поэтому tga = const. Положим
tga = X- Будем иметь:
dQ dtp
Интегрируя, получим:
.?8
где С — постоянная интеграции. Как известно*),
г fif9 _
и поэтому
Рассмотрим движение в северном полушарии, полагая
угол а острым. В этом случае С>0 и Х>0. Если ср будет стре-
стремиться к бесконечности, то 6->у. Таким образом, траекторией
точки будет спиралевидная кривая, закручивающаяся вокруг
северного полюса. Движущаяся точка достигает полюса, обходя
вокруг него бесконечное число раз. Эта кривая называется
локсодромией. По такой кривой будет двигаться корабль (или
самолет), если его курс фиксирован относительно меридианов.
Если 9 = 0, тогда tga = oo, a = 4p- и локсодромия вырождается
в окружность (параллель). Если ср = О, тогда fga = 0, a = 0° и
локсодромия совпадает с меридианом. На фигуре 33, Ь показан
вид проекции локсодромии на географической карте (в проек-
проекции Меркатора, при которой меридианы переходят в прямые).
Северный полюс будет асимптотической точкой спирали (про-
(проекции локсодромии).
§ 9. Метод ортогональных криволинейных координат
1. Основные определения. При изучении движение
материальной точки в ряде задач механики и физики целесооб-
целесообразно пользоваться криволинейными ортогональными коорди-
координатами, более отвечающими геометрическому существу иссле-
исследуемого движения. Частным случаем таких координат являются
рассмотренные нами полярные и сферические координаты. Пусть-
мы имеем пространство, отнесенное к системе прямоугольных
декартовых координат Oxyz. Будем определять положение точ-
точки М в этом пространстве тремя числами: q\, q2, q3—-новыми
координатами, выбираемыми по некоторому закону. Пусть де-
декартовы координаты точки М связаны с координатами qit q2, q$
при помощи соотношений:
q2, ?3)
<Ь Яз)
E9>
Соотношения E9) должны быть таковы, что каждой точке
пространства с координатами х, у, z соответствуют вполне опре-
• См.: В. И. Смирнов, Курс высшей математики, т. 11, 1954, стр. 46„
8»
деленные и единственные три числа: qi, q% q3, и наоборот. Иначе
говоря, соотношения E9) устанавливают взаимно однозначное
соответствие непрерывных последовательностей троек чисел
(xyz) и {qiqvqz). При выполнении требования однозначности
соответствия формулы E9) будут однозначно разрешимы отно-
относительно <7i. Яг, Яг, т. е.
4i = 4i(x, у, г)
q2 = q2(x, у, z)
У,
F0)
Будем предполагать далее, что функции в соотношениях E9)
и F0) не только непрерывны и однозначны, но также имеют
непрерывные частные производные первого порядка по соответ-
соответствующим переменным. При этих предположениях можно пока-
показать*, что функциональные определители (якобианы) вида
дх дх дх
дх ду qz
ддг dq2 ддг
дх ду dz
дд3 дд3 дд3
дх ду dz
~d<h~d(h~d<h
ду ду ду
dq{ dq2 dq3
dz dz dz
dq2 dq3
и ?>,
будут отличны от нуля и знакоопределенны.
Числа qi, q2, qz, однозначно определяющие положение точ-
точки М в пространстве Oxyz, называются обобщенными или кри-
криволинейными координатами этой точки.
Пусть криволинейные координаты qlt q2, q3 приняли некото-
некоторые частные значения q°v q°2, q%; совокупность этих трех чисел
определяет в пространстве некоторую точку, декартовы коорди-
координаты которой на основании E9) будут равны:
xo = x(q°l, q°, «7°), yo = y(q°v q°2, <ф, 20 = г(^, q°2, q§.
Давая криволинейным координатам q\, Яг, Яъ некоторую не-
непрерывную последовательность значений (ограниченную или не-
неограниченную, в зависимости от выбора qu Яъ Яг), мы получим
все значения х, у, z в пределах от —оо до + оо.
Дадим координате q\ некоторое постоянное значение, рав-
равное С[| тогда уравнение
qi(x, у, z) = Cl
определит в пространстве поверхность, в каждой точке которой
криволинейная координата q\ сохраняет постоянное значение С].
Поверхности qi = Clt q2 = C2 и Яз = Сз называются координатными
поверхностями данной системы криволинейных координат. Если
* См.: Г. М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интеграль-
интегрального исчисления, tin. 218, 578, 630, Гостехиздат, 1949.
90
значения постоянных С\, Сг, С3 непрерывно изменять в некото-
некотором интервале, то мы получим три семейства поверхностей,
причем поверхности одного семейства в силу однозначности
функций qi(x, у, z), q2(x, у, z), q3(x, у, z) не пересекаются ме-
между собой. Каждые две поверхности, принадлежащие разный
семействам, дают в пересечении линию. Так как на этой линии две
координаты имеют постоянное значение, то вдоль линии пересече-
пересечения двух координатных поверхностей будет изменяться третья
координата. Эта линия называется координатной линией. Напри-
Например, поверхности^ = CU q2=C2 дают в пересечении координатную
линию q3, поверхности ^2=С2, q3=C3—координатную линию qir
поверхности q3=C3, qi = Ct — координатную линию q%.
кппрд пиния.-Oj-
'\jfnnp3 линия Qt
Фиг. 34
Каждая точка пространства определяется пересечением трех
координатных поверхностей или трех координатных линий
(фиг. 34). Если из начала координат провести к точке М, ле-
лежащей на координатной линии, радиус-вектор г, то при измене-
изменении одной из координат конец радиуса-вектора будет описывать
кривую линию, совпадающую с соответствующей координатной
линией. Таким образом, любая координатная линия есть годо-
годограф радиуса-вектора при изменении одной из координат.
Поясним введенные понятия на примерах декартовой и сфе-
сферической систем координат.
В декартовой системе координат поверхности q{ = x = C\,
q2 = y = C2, qz = z = C$ суть плоскости, параллельные координат-
координатным плоскостям, проходящим через начало координат. Пересе-
Пересечения координатных плоскостей определяют координатные ли-
линии — прямые, параллельные осям Ох, Оу, Ог. Каждая точка
пространства определяется пересечением трех координатных
плоскостей или трех координатных линий (осей).
91
В сферической системе координат поверхности будут сле-
следующие:
¦<7, = /" = ?[ — сфера с центром в начале координат;
q2 = q=C2 — плоскость, проходящая через точку М и верти-
вертикальную прямую Oz (фиг. 31);
^3i=0 —С3—круглый конус с вершиной в точке О, угол раст-
раствора при вершине которого равен Bл — 0); верти-
вертикальная ось Oz есть ось симметрии этого конуса.
Координатные линии будут следующие:
г = Сх, ф = С2—координатная линия 0; это окружность (или
меридиан) на сфере;
<р = С2, Э = С3—координатная линия г; это прямая, по которой
направлен радиус-вектор г;
б=;С3, г = Сх — координатная линия ср; это окружность, полу-
получающаяся от пересечения конуса и сферы (па-
(параллель).
Касательные к координатным линиям г, ср, 0 ортогональны,
поэтому сферическая система криволинейных координат являет-
является примером криволинейной ортогональной системы.
Касательные к координатным линиям называются коорди-
координатными осями. Для определения единичных векторов (ортов)
€\, ^2, е3 этих осей можно исходить из формул дифференциаль-
дифференциальной геометрии, на основании которых
дТ
дТ
<ty3
где eit 62, e3 — единичные векторы касательных к координатным
линиям <7ь ^2. Яз, a klt ki, k3 — коэффициенты пропорциональ-
пропорциональности.
Так как 16,1 = 1, |е2 =1, |<?3| = Ь то
*з =
-
дг
А
дг
, следовательно,
' Н,
'I—'
1
Коэффициенты Яь Н2, Я3 называются коэффициентами
Ламе (Lame, 1795—1870). Условия ортогональности криволи-
нейных координат q\, Яъ Яг можно записать в виде:
¦*¦•*¦ дх дх . ду ду . дг дг „
е^ ~ ~dqj !hh "• ~dq[ ~5<h ~*~ ~d<h ~&h ~~
-*¦-*¦ ил: дх . dy dy _, дг дг -,
ii^Lu^^1 dz dz n
2. Определение скорости. Квадрат линейного эле-
элемента ds2=\dr\2 в криволинейной ортогональной системе мо-
можно вычислить по формуле:
^ ) (*L dq,
или, пользуясь выражением коэффициентов Ламе,
F1)
Пусть dr=AB, где В — точка, бесконечно близкая к А. Если
через точки А и В провести координатные поверхности, то они
вырежут из пространства бесконечно малый параллелепипед.
Ребрами этого параллелепипеда будут отрезки: dsi = Hidqi,
ds2 = H2dq2 и dSz-^Hidq^. а следовательно, объем параллелепи-
параллелепипеда:
dx = Hflzliz dqx dq2 dqb.
В тех случаях, когда dsu ds2, ds3 легко находятся геометри-
геометрически, можно вышеприведенными формулами пользоваться для
определения коэффициентов Ламе.
Легко понять, что для декартовой системы осей Oxyz будет:
Я1 = Я2 = Я3=1. Для сферической системы коэффициенты Ламе
можно получить, или пользуясь формулами перехода от декар-
декартовых координат к сферическим (формулы 56) или определяя
из фигуры 32 — dsu ds2, ds3. Простые вычисления дают:
Для определения величины скорости в ортогональных кри-
<? л. ds
волинеиных координатах будем исходить из формулы ^==-^7-
и соотношения F1).
Будем иметь:
? Vr\ ll til F2)
93
Вектор скорости v можно определить по формуле:
V dt dqi ' dt + dq2 dt + dq3 ' dt '
или
F3)
Соотношение F3) можно рассматривать как разложение
вектора скорости v по трем взаимно перпендикулярным напра-
направлениям, совпадающим с направлением касательных к выбран-
выбранной системе криволинейных координатных линий. Определение
проекций ускорения на касательные к соответствующим коорди-
координатным линиям мы рассмотрим в аналитической динамике.
§ 10. Секторная скорость точки
Рассмотрим точку М, движущуюся по некоторой кривой АМВ
(фиг. 35).
Пусть радиус-вектор, определяющий положение точки в мо-
момент времени t, равен г, а в момент t+At равен Г]=г + Дг. Эле-
z
Фиг. 35
ментарное приращение радиуса-вектора за промежуток време-
времени At равно Аг, а элементарное приращение площади, ометае-
мой радиусом-вектором, равно Да (фиг. 35). С точностью до
бесконечно малых высшего порядка элементарное приращение
площади можно представить в виде:
1
— -Tj-r Ar sin а.
94
Векторизуем площадку Да и условимся направлять вектор
Ла перпендикулярно к плоскости, определяемой векторами г и
Дг по правилу правого винта, тогда
>
Предел отношения приращения площади Да, ометаемой ра-
радиусом-вектором движущейся точки, к приращению времени А^
при At, стремящемся к нулю, называют секторной скоростью
точки М. Таким образом,
.. Да do 1 Л*\, ,. Л/Л 1 /^ч^ч /СЛ\
11тГ = -ж = 1- гХЬт-гт-Ь^-к-СгХ^). 64
В случае когда траектория точки есть плоская кривая, рас-
положенная в плоскости хиу, то вектор -лг имеет постоянное
направление, совпадающее с перпендикуляром к плоскости хОу
{фиг. 35). Величина секторной скорости будет тогда равна:
do 1 1
-gj- — -2- rv sin a == у гг;р.
Так как поперечная составляющая скорости ир в полярных
координатах равна пр, то
do 1 о * /^i-\
^- = TrV F5)
Следовательно, секторная скорость в полярных координа-
координатах равна половине произведения квадрата радиуса, следящего
за движущейся точкой, на его угловую скорость. Понятие сек-
секторной скорости оказывается особенно полезным в задачах не-
небесной механики. Впервые его ввел Кеплер при выводе второго
закона движения планет вокруг Солнца. Согласно этому закону
радиусы-векторы планет, проведенные из центра Солнца, опи-
описывают в равные времена равные площади, т. е. секторная ско-
скорость планет есть величина постоянная. Секторная скорость
характеризует быстроту изменения площади, ометаемой радиу-
радиусом-вектором движущейся точки. Секторная скорость движу-
движущейся точки может обращаться в нуль в данный момент вре-
времени только в трех случаях: 1) если точка М проходит через
начало полярных координат, т. е. г = 0, 2) если точка М имеет
в данный момент скорость v = 0 и 3) если скорость v направлена
вдоль радиуса-вектора г. Секторная скорость точки будет равна
нулю во все время движения только в том случае, когда точка
движется вдоль радиуса вектора, т. е. при прямолинейном ра-
радиальном движении.
ГЛАВА 11
КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
«Воображение принимает не менее уча-
участия в творчестве геометра, чем у поэта
в минуты его вдохновения».
Ж. Д а л а м б е р.
Изучение движения точки является первой, наиболее про-
простой задачей механики. Аналитические и геометрические мето-
методы, рассмотренные нами при отыскании основных кинематиче-
кинематических закономерностей движения точки, будут весьма полезны
при изучении кинематики твердого тела.
Совокупность (множество) материальных точек называется
механической системой, если движение любой выбранной точки
множества зависит от положения и движения остальных. Если
независимо от движения и положения механической системы
расстояния между любыми двумя точками системы сохраняютсч
постоянными, то такая механическая система называется абсо-
абсолютно твердым телом. Движения деформируемых реальных тел,
которые мы наблюдаем ежедневно, во многих случаях можно
изучать, пользуясь теорией движения тел абсолютно твердых,
так как изменения относительного расположения точек тел при
движении столь малы, что учет их, излишне усложняя процесс
изучения движения, не прибавляет к познанию чего-либо суще-
существенно нового. Поэтому в дальнейшем мы будем считать поня-
понятия «твердое тело» и «абсолютно твердое тело» совпадающими.
Для того чтобы знать движение твердого тела, необходимо
знать движение каждой его точки. Так как материальное твер-
твердое тело можно рассматривать как совокупность бесконечно
большого числа материальных точек, то непосредственное изу-
изучение движения каждой точки методами главы II приводит к
тяжелой необходимости рассматривать бесконечно большое чи-
число уравнений движения (по три уравнения для каждой точки).
Оказывается, что если принять во внимание условие постоян*
ства расстояний между любыми двумя точками твердого тела,
9R
то количество уравнений, необходимых для изучения движения
твердого тела, можно существенно уменьшить. Целесообразно
ввести геометрические и кинематические характеристики, общие
для всего тела в целом (характеристики, общие для всех точек
тела), и через них определять характеристики движения каждой
из точек тела в отдельности. Положение твердого тела относи-
относительно выбранной системы отсчета (осей координат) можно от-
отчетливо представить через некоторое конечное число координат
(или параметров), однозначно определяющих место и ориента-<
цию в пространстве этого твердого тела.
§ 1. Степени свободы материальной точки и твердого чела.
Уравнения движения
Последовательные положения точки в пространстве относи-
относительно выбранной системы отсчета вполне определяются зада-
заданием трех обобщенных координат: q\(t), 92@. 9з@ (трех ска-
скалярных функций времени t).
Для точки, движущейся по заданной кривой, достаточно
знать одну обобщенную координату, например длину дуги
s = s(t), отсчитываемую от выбранного начала отсчета дуг. Чис-
Число независимых обобщенных координат, однозначно определяю-
определяющих положение точки относительно выбранной системы отсчета,
называют числом степеней свободы этой точки *. Если обобщен-
обобщенные координаты точки известны как функции времени, то реше-
решение всех кинематических вопросов сводится к планомерному
применению методов анализа и геометрии. Некоторые из этих
методов были рассмотрены в главе I.
Число независимых обобщенных координат (число скаляр-
скалярных уравнений движения), однозначно определяющих положе-
положение твердого тела, называется числом его степеней свободы.
Если рассматриваемое твердое тело может иметь перемеще-
перемещение в любом направлении, то мы будем называть его свобод-
свободным. Условия, ограничивающие свободу перемещений механи-
механической системы (в частности, твердого тела), называются
связями. Определим число независимых обобщенных координат
для свободного твердого тела. Пусть мы желаем однозначно
определить положение твердого тела (фиг. 36) относительно
выбранной прямоугольной системы осей декартовых координат
О?х\1,. Легко понять, что положение тела К будет задано, если
известно и фиксировано положение трех его точек: А, В, С, не
лежащих на одной прямой. Положение точки А определяется
тремя координатами: gi, tji, Z,u положение точек В и С — соот-
* Гакое определение числа степеней свободы справедливо только для
голономных механических систем (систем с геометрическими связями), изу-
изучением движения которых мы и будем заниматься на протяжении всего курса.
7 А. А. Космодемьянский 97
С A = COnSt3 = /(I, - У2 + (t|! -
ветственно координатами g2) ц2, 1,2 и g3, "Пз, S3. Таким образом,
задание положения тела эквивалентно заданию 9 координат gi,
g2. 1з. Ци т]2, т)з, Si. S2, S3 точек А, В, С. Между этими 9 коорди-
координатами существуют три соотношения, выражающие постоянство
расстояний между точками Л, В и С. В самом деле, расстояния:
АВ = const, = V(|2 -1,J + Ob - Л,J + (S2 - S,J,
ВС = const2 = V(h - Ы2 + Ob - Л2J + (S3 - S2J.
Таким образом, независимых координат, определяющих по-
положение твердого тела, будет 9 — 3 = 6, следовательно, свобод-
свободное твердое тело имеет шесть степеней свободы.
Аналогичный результат можно получить аналитическим спо-
способом. Пусть Ojgri?—неподвижная система осей координат, а
Oxyz — система осей, не-
неизменно связанная с дви-
движущимся твердым телом.
Очевидно, задание поло-
положения системы Oxyz эк-
эквивалентно заданию по-
положения твердого тела.
Но положение системы
Oxyz вполне определяет-
определяется положением начала
-V координат (точки О) и
направлением единичных
векторов осей. Пусть ко-
косинусы углов оси Ох с
неподвижными осями бу-
будут ось а2, «з, а направ-
Фиг- 36 ляющие косинусы осей
Оу и Oz — Pi, p2, р3 и yi.
Y2* Y3 соответственно. Таким образом, для задания положения
подвижной системы осей необходимо знать:
а) три координаты точки О;
б) девять направляющих косинусов осей Ох, Оу, Oz относи-
относительно системы Oi\x\Q.
В курсе аналитической геометрии доказывается, что между
девятью направляющими косинусами в рассматриваемом нами
случае будут иметь место шесть условий ортогональности:
98
Следовательно, независимых углов, однозначно определяю-
определяющих положение осей Oxyz, будет только три. Для простоты и
наглядности за такие три угла выбирают так называемые углы
Эйлера: ср, г|з, 0 (фиг. 37). Девять направляющих косинусов: ai,
«2, «з, Pi, P2, Рз, Yi. Y2> ^з — можно однозначно выразить через
косинусы углов Эйлера.
Итак, положение свободного твердого тела будет определено,
если задать шесть скалярных величин: координаты подвижного
начала (точки О) go, rjo, Со и углы Эйлера <р, а|з, 0. Координаты
go, "По, ?о и углы ф, г|з, 0 называются обобщенными координатами
свободного твердого тела.
Фиг. 37
Шесть скалярных функций времени, однозначно определяю-
определяющих положение сввбодного твердого тела для любого момента
времени, называются уравнениями движения тела. Эти урав-
уравнения имеют следующий вид:
Если движение тела ограничено наложенными связями, то
число степеней свободы будет меньше шести; соответственно
уменьшится и число уравнений движения. Так, например, если
тело представляет собой отрезок оси Ох, конец которого (точ-
(точка О) скользит по плоскости, параллельной плоскости gOrj, то
его положение однозначно определяется положением точки О
(координатами go, т]о) и двумя углами: ai, a2, которые ось Ох
образует с осями 0%, Or\ (a3 = ]/ 1 — с^ — а'0. Таким образом,
7* 99
бесконечно тонкий стержень, конец которого скользит по непо-
неподвижной плоскости, имеет четыре степени свободы. Уравнения
движения этого стержня можно записать в виде:
a2 = a2 (t).
В многочисленных задачах, доставляемых современной тех-
техникой, составление уравнений движения требует наибольшей
проницательности и остроумия. Правильный выбор обобщенных
координат, простота аналитических выражений для уравнений
движения, определяющих положение тела в любой момент вре-
времени,— залог успешного решения и «аглядных, отчетливых за-
заключений о кинематических свойствах изучаемого движения.
§ 2. Поступательное движение твердого тела
Поступательным движением твердого тела называется такое
движение, при котором любая прямая, соединяющая две точки
тела, движется параллельно самой себе.
Простейшим случаем поступательного движения является,
например, движение кузова автомобиля (или железнодорожного
вагона) на прямолиней-
прямолинейном участке пути.
Для определения по-
положения какой-либо точ-
точки твердого тела будем
поступать следующим об-
образом. Примем систему
координат О^цС, за непо-
неподвижную систему отсчета
(фиг. 38), а некоторую
точку О поступательно
движущегося тела — за
начало координат второй
системы Oxyz, неизменно
связанной с рассматри-
рассматриваемым телом. Положе-
Положение подвижного начала
координат относительно неподвижной системы Oi?r]? опреде-
определяется радиусом-вектором Ro', положение произвольной точки М
тела, движение которой мы желаем исследовать, задается от-
относительно неподвижной системы радиусом-вектором R, а отно-
относительно подвижной системы — радиусом-вектором г. Из век-
векторного треугольника ОгОМ имеем:
;?=/?04-r. A)
100
Фиг. 38
Из определения поступательного движения твердого тела
следует, что радиус-вектор г не изменяется при движении тела
ни по величине, ни по направлению, т. е. r = const. Проекции
вектора г на неподвижные оси будут во все время движения
некоторыми постоянными числами а, Ь, с.
Допустим, что уравнения движения точки О нам известны и
заданы аналитически скалярными функциями времени / в виде:
Проектируя соотношение A) на неподвижные оси коорди-
координат, будем иметь:
B)
где |, ц, ? суть координаты точки М относительно неподвижной
системы отсчета.
Из формул B) ясно, что если траектория точки О известна,
то траектория точки М получается простым параллельным пе-
переносом этой траектории по направлению радиуса-вектора г.
Формулы B) показывают также, что задание трех скалярных
функций lo(t), r\o(t), ?,o(t) вполне достаточно для задания по-
положения любой точки поступательно движущегося тел«; следо-
следовательно, твердое тело, движущееся поступательно, имеет три
степени свободы.
Кривые, получающиеся друг из друга путем параллельного
переноса, называются налагающимися кривыми.
Таким образом, при поступательном движении твердого тела
все его точки описывают налагающиеся траектории.
Для определения траектории любой точки М тела достаточ-
достаточно найти траекторию какой-либо одной его точки. Законы дви-
движения по любой из найденных траекторий совпадают, так как
ds =
Найдем скорость точки М относительно неподвижной систе-
системы отсчета; для этого продифференцируем по времени соотно-
шение A). Так как при поступательном движении г не изме-
dr _
няется ни по величине, ни по направлению, то -тг — 0 и, следо-
следовательно,
~di ~~ dt
dRa т. е. vM = v0. C)
101
Из C) следует, что при поступательном движении скорости
всех точек твердого тела равны между собой.
Отметим на основании C) два существенно различных слу-
случая: а) соотношение C), определяющее равенство скоростей
всех точек твердого тела, имеет место для любого момента
времени t. В дальнейшем такое движение будем называть
перманентным поступательным движением; б) соотношение C)
имеет место только для данного момента времени t=t0. Такое
состояние движения тела мы будем называть состоянием мгно-
мгновенных поступательных скоростей.
Перманентное поступательное движение твердого тела очень
часто определяют как такое движение, при котором скорости
всех точек тела равны между собой. Очевидно, что из определе-
определения, данного нами, результат C) вытекает как следствие.
Для вычисления ускорения точки М при перманентном по-
поступательном движении продифференцируем C) еще раз по
времени, тогда получим:
-*• ->
dv „ dv, -> ¦>
-gT — it' или wm = ™q> D)
т. е. при перманентном поступательном движении ускорения
всех точек тела равны между собой.
Таким образом, формулы B), C) и D) показывают, что при
перманентном поступательном движении:
1) траектории всех точек тела суть налагающиеся кривые;
2) скорость любой точки тела равна скорости подвижного
начала координат, т. е. скорости всех точек равны между собой
для любого момента времени;
3) ускорения всех точек тела равны между собой для любо-
любого момента времени.
Поэтому задача изучения перманентного поступательного
движения твердого тела сводится к задаче изучения движения
точки, рассмотренной нами в главе I. Подробное рассмотрение
различных методов изучения движения точки является, таким
образом, не только теоретической задачей (ибо при кинематиче-
кинематическом рассмотрении реальных движений можно с некоторым ос-
основанием считать точку абстракцией), но и имеет большое прак-
практическое значение для изучения перманентных поступательных
движений твердого тела.
Следует иметь в виду, что при перманентных поступательных
движениях траектории точек тела могут быть самыми разнооб-
разнообразными налагающимися кривыми. Вид этих кривых полностью
определяется уравнениями движения точки О. Если скорость
точки О постоянна по величине и направлению, то все точки си-
системы движутся прямолинейно и равномерно. В этом случае
ускорение любой точки тела равно нулю и движение тела назы-
называют равномерным поступательным движением.
102
§ 3. Вращательное движение твердого тела
1. Вращательным движением твердого тела называется та-
такое движение, при котором остаются неподвижными все точки
некоторой прямой, называемой осью вращения.
Чтобы осуществить вращательное движение твердого тела,
достаточно закрепить неподвижно две его точки Л и В (фиг. 39);
тогда прямая, проходящая через эти точки, будет осью враще-
вращения. Практически закрепление двух точек оси производится при
помощи различного типа подшипников или подпятников.
Фиг. 39
Фиг. 40
При изучении вращательного движения твердого тела полез-
полезно ввести в рассмотрение кинематические характеристики, об-
общие для всего тела как целого. Отдельные материальные точки
обладают этими кинематическими характеристиками, когда они
принадлежат твердому теЛу, но если рассматривать материаль-
материальную точку как объект изучения (что мы и делали в кинематике
точки), то она не обладает характеристиками, специфичными
для механических систем (ансамблей) материальных точек.
Для твердого тела, имеющего неподвижную ось, такими кине-
кинематическими характеристиками, общими для всех точек тела,
являются угол поворота ф = ср(^), или закон вращения, угловая
скорость ю@ и угловое ускорение е(^).
Если прямая АВ (фиг. 40) является осью вращения данного
твердого тела, то положение тела относительно неподвижной
системы отсчета можно однозначно определить, задавая поло-
положение полуплоскости АМВ, которая неизменно связана с вра-
вращающимся телом. Положение полуплоскости АМВ относитель*
но системы Oxyz вполне определяется ее углом поворота ср от-
относительно неподвижной координатной плоскости xOz. Следова-
103
телыю, твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси,
имеет одну степень свободы. При движении тела угол поворот
та ф изменяется с течением времени. Уравнение
Ф = Ф (*)>
определяющее угол поворота тела относительно неподвижной
плоскости, называют уравнением вращения тела. Уравнение вра-
вращения полностью определяет положение тела для любого мо-
момента времени. Функцию ф(^) будем считать однозначной, не-
непрерывной и дифференцируемой по крайней мере дважды.
Пусть в момент времени t положение тела определяется уг-
углом ф, а в момент t-\-\t — углом ф+Дф; отношение приращения
угла к тому промежутку времени, в течение которого это прира-
приращение происходит, называют средней угловой скоростью за вре-
время At. Предел отношения \-^\, когда Д^ стремится к нулю, на-
называется угловой скоростью тела в момент времени t. Таким
образом, обозначая угловую скорость буквой ю, имеем:
— «;„#=¦?• ©
т. е. угловая скорость вращающегося тела равна первой произ-
производной от угла поворота по времени. Из определения очевидно,
что угловая скорость со является кинематической характеристи-
характеристикой твердого тела как целого (как совокупности материальных
точек, как ансамбля точек). Поэтому имеет отчетливый на}гч-
ный смысл понятие «угловая скорость тела», но бессмысленно
говорить об угловой скорости точки. Во всех случаях, когда
говорят об угловой скорости материальной точки, имеют в
виду угловую скорость радиуса, следящего за этой точкой, т. е.
по существу пользуются кинематической характеристикой не-
некоторого ансамбля точек, расположенных на данной прямой
Храдиусе). Значение производной -^ для данного момента вре-
времени может быть положительным или отрицательным в зависи-
зависимости от того, возрастает или убывает угол ф на интервале дан-
данных значений времени. (Мы полагаем, что при движении пло-
плоскости АМВ от оси Ох к оси Оу угол ф возрастает, т. е. считаем
положительным вращение, совершающееся против часовой
стрелки, если смотреть с положительного направления оси Oz.)
Если за время Д^ угловая скорость изменится на величину
Аи, то отношение \-гг) называют средним угловым ускорением
тела. Предел этого отношения, когда S.t стремится к нулю, на-
называют угловым ускорением вращающегося тела в данный мо«
104
мент времени t. Обозначая угловое ускорение буквой е, получим:
Да da>
~W~~dT'
=: lim
Л<->0
т. е. угловое ускорение вращающегося тела равно первой произ'
водной от угловой скорости по времени. Из определения очевид-
но, что угловое ускорение е является кинематической характе-
характеристикой всей совокупности (всего ансамбля) материальных
точек, составляющих данное твердое тело. Таким образом,
угловая скорость со и угловое ускорение е суть кинематические
характеристики вращающегося твердого тела как единой меха-
механической системы точек. Если со>0, е>0 или и<0, е<0, то
вращение тела называется ускоренным; если о>0, е<0 или
«}<0, е>0, — замедленным.
Из определения угловой скорости со следует, что ее размер-
размерность будет:
г . [ф] г , [угол] 1 Гт-Ч Г 1
I ' ~[t] ' '0)J [время] [Т] l J [Тёк
а размерность углового ускорения:
Вычислим теперь линейную скорость и линейное ускорение
точки М вращающегося твердого тела. Пусть h — расстояние
точки М от оси вращения (фиг. 40). Так как д
во все время движения OAf=const=A, а 4* ?W,
'ZBOM = 90°, го траекторией точки М будет
¦окружность радиуса h с центром в точке О.
Длина дуги CM = s = h(f, а следовательно,
скорость точки М будет равна:
E')
При вращательном движении твердого те- ^
ла скорость какой-либо точки тела равна про- А. ^
изведению угловой скорости тела на расстоя- Г*
ние точки от оси вращения. иг"
Из формулы E') следует, что скорости точек, лежащих на
прямой MiOM, пропорциональны соответствующим расстояниям
этих точек от оси вращения. Концы скоростей точек прямой
М^ОМ лежат также на одной прямой AtOA (фиг. 41).
Для вычисления полного ускорения точки М найдем сначала
его тангенциальную и нормальную составляющие:
dv , da , I
«/„ = — = -й- = «
F)
105
и, следовательно,
w = у w2 -\- w2 = h у e2 -j- <
G)
Фиг. 42
Чтобы определить направление вектора ускорения w, доста-
точно вычислить угол а, образуемый вектором w с радиу-
радиусом ОМ.
Из фигуры 42 ясно, что
wx eh е
Так как при о>0 для ускоренного движения е>0, то
а<90°; при замедленном движении е<0, и а<0. Интересно от-
отметить, что величина угла а не зависит
от выбора точки М (не зависит от Л); та-
таким образом, угол а для всех точек вра-
вращающегося твердого тела имеет для дан-
данного момента времени одно и то же зна-
значение. Формула E') позволяет опреде-
определить алгебраическую величину вектора
скорости; формулы F), G) и G') по-
позволяют определить вектор ускорения
точки М.
¦> ->
2. Определение векторов v и w точек
вращающегося твердого тела. Для того
чтобы получить формулы, определяющие величину и направле-
направление векторов скорости и ускорения точек вращающегося
тела, мы условимся изображать угловую скорость тела
также вектором. Величину вектора угловой скорости есте-
естественно считать равной о = -^-. Понятие угловой скорости
связано с существованием неподвижной (хотя бы в данный
момент) прямой АВ. Отложим вектор и по оси вращения АВ
так, чтобы наблюдатель, смотрящий с конца этого вектора,
видел вращение тела совершающимся против часовой стрелки
(правило правого винта). Начало вектора со может быть поме-
помещено в любой точке на оси вращения, т. е. вектор угловой ско-*
рости со определим как вектор скользящий. Так как направле-
направление вектора со вдоль оси АВ в ту или другую сторону зависит
только от нашего выбора, то вектор со является до некоторой
степени условным. Состояние движения вращающегося тела,
скорости и ускорения его точек не изменятся, если мы условии*
ся направлять вектор со по оси вращения, но в противополож-
противоположную сторону. Поэтому целесообразно называть со псевдовекто-
106
ром и строго придерживаться при всех векторных вычислениях
принятого правила правого винта.
Если правило правого винта принято, то задание вектора со
вполне характеризует вращение тела вокруг оси в данный
момент времени. С течением времени вектор угловой скорости м
изменяется только по величине, поэтому вектор углового уско-
рения е =~jj- направлен также по оси вращения. В самом деле,
¦> ->
пусть единичный вектор для вектора со будет со0, тогда
СО = @@°.
Так как ось вращения неподвижна, то со0 есть вектор посто-
постоянный и по величине (|о)°| = 1), и по направлению, т. е.
и0 = const.
По определению угловое ускорение равно:
dt dt *• ' dt
Если вращение тела ускоренное, то при со>Ое>0 и вектор е
направлен в ту же сторону, что и вектор со; если вращение за-*
медленное, то при со>0 е<0 и вектор е на-
направлен в сторону, противоположную век-
тору со.
Пользуясь понятием вектора со, легко най-
найти формулу для вектора v. Поместим в точ-
точке А начало неподвижной системы осей коор-
координат. Пусть положение движущейся точки
М характеризуется радиусом-вектором г, угол
между радиусом-вектором г и вектором со
обозначим р (фиг. 43). Величина скорости
точки М согласно формуле E') будет равна:
¦v = ha = cor sin p.
С другой стороны, модуль векторного произведения равен:
|ео X г | =сог sin р.
Таким образом,
(8)
107
Если смотреть с конца вектора скорости v, то поворот от век-
-> ->
тора ю к вектору г на угол р виден совершающимся против ча-
часовой стрелки. Принимая во внимание формулу (8), мы заклю-
заключаем, что величина и направление вектора, определяемого век-
торным произведением со У, совпадает с величиной и направле-
направлением вектора линейной скорости точки М, поэтому
drM
(8а)
Для любой точки тела, положение которой задается радиу-
радиусом-вектором г, получим:
V =@ X Г.
(8Ь)
Формула (8Ь), называемая формулой Эйлера, позволяет при
заданной угловой скорости тела найти величину и направление
скоростей точек вращающегося тела.
Поместим в точке А начало второй системы осей координат,
неизменно связанной с вращающимся твердым телом. Пусть
-> ->¦
единичные векторы координатных осей этой системы будут i, j,
k. Найдем скорости концов этих единичных векторов при вра*
щении тела. Применяя формулу (8Ь), будем иметь:
dt
dk
(9)
Формулы (9), называемые формулами Пуассона, весьма по-
полезны при изучении сложного движения точки и твердого тела.
Пользуясь формулой (8Ь), можно найти проекции скорости
v на неподвижные оси координат. Пусть проекции вектора со на
эти оси будут р\, <7ь г4, а проекции радиуса-вектора будут
хи уи г,. Если единичные векторы координатных осей обозна*
чить еи е2, е3, то
108
и, следовательно,
A0)
Формулы A0) были получены Леонардом Эйлером в 1765 г.
В рассматриваемом нами частном случае (фиг. 43), когда
неподвижная ось Oz совпадает с осью вращения, очевидно,
Pi —<7i = 0, г = со и, следовательно,
"Vx = — Щ\, <Vy = (axXt vz = 0. (Юа)
Для определения вектора ускорения продифференцируем по
времени соотношение (8Ь). Будем иметь тогда:
-> dv
w = -—-==
Обозначив Wi =
dr
V
-> \-> -V. i'
w2 = a>Xv, мы докажем, что
w2
есть
вектор нормального
вектор касательного ускорения, а
ускорения точки М. Пусть
для определенности со>0
и е>0, т. е. вращение те-
тела ускоренное. В этом
случае направление век-
вектора е совпадает с напра-
направлением вектора со, по-
этому вектор гХг будет
направлен по скорости v,
т. е. по касательной к
окружности, являющейся
траекторией точки М при
вращательном движении
тела (фиг. 44). Модуль
вектора Wi равен:
wx = er sin р = гк = wx-
Таким образом, каса-
касательная составляющая
полного ускорения точ- ФИГ. 44
ки М вращающегося
твердого тела равна векторному произведению углового уско-
ускорения тела на радиус-вектор этой точки. Очевидно, что
касательное ускорение характеризует неравномерность враща-
вращательного движения тела или изменение угловой скорости по
величине.
109
>
Для того чтобы определить направление вектора w2, мыслен-
мысленно перенесем вектор угловой скорости со в точку М. Тогда со-
согласно правилу правого винта вектор, изображающий векторное
произведение соХч, будет направлен по прямой МО к центру
кривизны траектории точки М (т. е. к центру окружности, опи-
описываемой точкой М). Модуль вектора w% равен:
w2 = «г> sin 90° = ow.
Но при движении точки по окружности радиуса OM = h ско-
скорость у = (оЛ, а потому
Следовательно, нормальная составляющая полного ускоре-
ускорения точки М вращающегося твердого тела равна векторному
произведению вектора угловой скорости тела на вектор линей-
линейной скорости этой точки.
Итак, для вращательного движения тела
wx = eXr, wn = <?>Xv. A1)
3. Случай равнопеременного вращения. Если угловое уско-
ускорение тела остается постоянным в течение некоторого конеч-
конечного промежутка времени, то вращение тела называется равно-
равнопеременным. Если угловое ускорение постоянно и положитель-
положительно, то при е>0 вращение называют равноускоренным; если
e = const<0, то вращение называют равнозамедленным. Обозна-
Обозначим: ±e = k, тогда
4г = *' ("а)
Интегрируя (Па) при ? = const, получим:
(o = kt + Cv
где Ci — постоянная интегрирования. Если в момент, соответ-
соответствующий началу равнопеременного вращения, угловая скорость
была равна щ, то Ci = ojo и, следовательно, закон изменения
угловой скорости будет иметь вид:
со = @,, +А*. A2)
Так как и = -^г- т0 на основании A2) dq> = <x>odt + ktdt.
Интегрируя это последнее соотношение, получим:
ф = (о0* + ~- + С2.
Так как начало отсчета углов произвольно, то можно счи-
считать, что при ^ = 0 ф = 0, и мы легко находим, что С2=0. Сле»
ПО
довательно, уравнение равнопеременного вращения будет иметь
вид:
Ф = со0/ + —• A2а)
Формулы A2) и A2а) аналогичны формулам равноперемен-
равнопеременного движения точки, причем линейному ускорению точки вдоль
траектории соответствует угловое ускорение тела е, линейной
скорости — угловая скорость со и расстоянию s, отсчитываемому
от некоторой точки траектории, — угол поворота ф. Зная такое
соответствие основных кинематических величин, характеризую-
характеризующих процессы равнопеременного движения точки по заданной
траектории и равнопеременного вращения твердого тела вокруг
неподвижной оси, можно утверждать, что каждой формуле, по-
полученной для равнопеременного движения точки соответствует
аналогичная формула равнопеременного вращения тела. Так,
например, формуле Галилея v0 = j^2g/i соответствует формула
wo= j/eq>; формуле s = -у (v-\- v0) t соответствует формула
Ф = —• (и-f- (o0) t и т. д. Эту аналогию формул весьма полезно
иметь в виду при решении различных задач, связанных с изуче^
нием равнопеременных вращений.
В большинстве задач технической практики для характери-
характеристики быстроты вращения указывают число оборотов тела во-
вокруг оси в одну минуту. Двигатели внутреннего сгорания, ди-
дизель-моторы, электромоторы имеют в своем паспорте рабочее
(эксплуатационное) число оборотов в минуту. Легко выразить
угловую скорость со через число оборотов п в минуту. В самом
деле, за один оборот плоскость АМВ, связанная с телом, пово-
поворачивается на угол 2л, за п оборотов угол поворота будет равен
2лп, следовательно,
2яп яп 1
ш ~ ~60~ "" 0" ~Ш'
при приближенных расчетах можно считать л~3, тогда по
A3) со = О,1я.
Если co = const = cuo, то вращение тела называется равно-
равномерным. В этом простейшем случае е = 0 и ф = соо/, т. е. угол
поворота растет прямо пропорционально времени.
Задача 9. При пуске в ход двигателя вращение вала можно
считать равноускоренным. По истечении 20 сек после начала
вращения число оборотов достигло 1200 в минуту. Найти угло-
угловое ускорение вала и число оборотов, которые он сделает за
20 сек.
111
Для решения этой задачи применяем формулы A2) и A2а).
В данном случае соо = 0, так как ускоренное вращение начи-
начинается из состояния покоя. Из A2) имеем:
откуда е = ~. Так как по A3)
1200я лп 1 40зг о
и = „. = 40л —— , то е = -спг = 2я •
30 сек 20 с<?к2
Угол поворота за 20 сек находим по A2а):
<р = -тр = 1 Bл) B0J = 400я.
Число оборотов N, сделанное вращающимся валом за это
время, будет равно:
N — -^ = -g^- = 200 оборотам.
Задача 10. Определить касательное и нормальное ускорение
конца стрелки вольтметра, совершающей простые гармониче-
гармонические колебания с амплитудой фО=15° и периодом Т = 2 сек, если
расстояние от оси вращения стрелки до ее конца равно 9 см.
Закон простого гармонического колебания с амплитудой ф0 и
периодом Т можно записать в следующем виде:
. Bп\ ,
ф = фп Sin -=г Г,
\ * I
где ф — угол отклонения стрелки от положения равновесия а
момент времени t.
Зная закон движения, мы легко находим угловую скорость
и угловое ускорение стрелки. В самом деле,
dm 2it / 2я \ , it2 . ..
СО :=-^= у-фоСОв 1-^-1 t =-jj COS (Я^),
da d2m /2л\2 . /2тО
Касательное ускорение конца стрелки будет равно:
о
wx = гг = х л3 sin (nt),
и нормальное ускорение равно:
тс4
да„ = co2r == -jg- cos2 (я/).
В моменты, когда колеблющаяся стрелка проходит положе-
положение равновесия (угол ф = 0), произведение [-у-\ t =0, 2л,...,
112
..., 2пп, а следовательно, в эти моменты 13Ут = 0, wn = ^.
В моменты, соответствующие максимальным отклонениям от
положения ф = 0, т. е. в моменты, когда а = 0 (или (-S-) t — %-,
2 . будем иметь:
§ 4. Плоскопараллельное движение твердого тела
1. Плоскопараллельным движением твердого тела называет-
называется такое движение, при котором все точки тела движутся па-
параллельно какой-либо одной неподвижной плоскости.
Пусть основная неподвижная плоскость, параллельно кото-
которой происходит движение точек тела, будет плоскостью я
(фиг. 45). Проведем вто-
вторую плоскость о, пересе*
кающую движущееся те-
тело и параллельную основ-
ной плоскости л. Дока-
Докажем, что для изучения
движения твердого тела
достаточно изучить дви-
жение сечения ABCD в
плоскости а (фиг. 45). В
самом деле, из определе-
определения плоскопараллельного
движения следует, что
плоская фигура (сечение
ABCD), перемещаясь вме-
вместе с телом, будет во все
время движения оставать-
оставаться в плоскости а. Любая прямая FHE, проведенная в теле пер-
перпендикулярно к основной неподвижной плоскости я, будет дви-
двигаться параллельно самой себе, т. е. поступательно. Если мы
будем знать движение точек сечения ABCD, то будем знать и
движение любой точки твердого тела, так как для определения
движения поступательно движущейся прямой FHE достаточно
знать движение одной точки этой прямой, а за такую точку
можно принять точку Н, лежащую в плоскости а.
Итак, для того чтобы изучить плоскопараллельное движение
твердого тела, достаточно изучить движение плоской фигуры в
ее плоскости. В различных частных случаях геометрические
очертания плоской фигуры (сечения ABCD) могут быть самыми
разнообразными. Поэтому, для того чтобы охватить единым
Фиг. 45
8 А. А. Космодемьянский
113
методом изучения все многообразие частных задач, удобно пло-
плоскую фигуру ABCD представлять неограниченно большой и рас-
рассматривать движение подвижной плоскости хОу в неподвиж-
неподвижной плоскости а (или я).
Положение плоской фигуры ABCD на неподвижной плоско-
плоскости (или, что то же самое, положение подвижной плоскости
хОу относительно неподвижной плоскости а) вполне опреде-
определяется заданием положения двух каких-либо ее точек, напри-
например В и С (фиг. 45), т. е. положением отрезка ВС. Движение
плоской фигуры в ее плоскости будет полностью известно, если
мы определим движение отрезка ВС. Положение отрезка одно-
однозначно определяется тремя параметрами: координатами одного
из концов и углом, образуемым от-
отрезком с неподвижной прямой. Сле-
Следовательно, твердое тело, совершаю •
щее плоскопараллельное движение,
имеет три степени свободы.
Пусть мы имеем некоторую пло-
плоскую фигуру, движущуюся в пло-
плоскости чертежа (плоскость
фиг. 46). Оси координат 0^ и
неподвижны.
Фиг. 46 Пусть оси Ох и Оу неизменно
связаны с движущейся плоской
фигурой. Чтобы задать положение плоской фигуры относи-
относительно неподвижных осей координат, достаточно задать поло-
положение подвижного начала (точки О) и указать угол ф, который
составляет подвижная ось Ох с неподвижной осью О4|. Если мы
будем знать координаты точки О (координаты подвижного на-
начала или полюса) и угол ф для любого момента времени, то
положение плоской фигуры в плоскости |OiT] будет известно.
Обозначим координаты точки О через |0 и ц0. Уравнения
определяющие движение плоской фигуры в неподвижной пло-
плоскости |OiT] называются уравнениями плоскопараллельного дви-
движения тела.
Величины Ео(О> т1о(О. ф@ СУТЬ обобщенные координаты
твердого тела. Если (p = const, то подвижные оси, неизменно свя-
связанные с плоской фигурой, будут перемещаться параллельно
самим себе, и, следовательно, в этом случае плоская фигура
движется поступательно. Если |0=const и i\0=const, то начало
подвижных осей закреплено неподвижно и плоская фигура мо-
может только вращаться вокруг оси, перпендикулярной к плоско-
плоскости хОу и проходящей через точку О. В общем случае, когда
go, Tic ф изменяются с течением времени, можно доказать, что
114
движение плоской фигуры есть движение составное, состоящее
из поступательного и вращательного движения.
Представим себе, что плоская фигура совершила перемеще-
перемещение из положения (I) в положение (II) (фиг. 47). Очевидно, что
это сложное перемещение можно произвести одним поступатель-
поступательным перемещением в положение (II' )и одним поворотом около
точки О\, как неподвижной, на угол ф* = ф1 + ф2- Это совершенно
очевидное утверждение отражает только геометрические соот-
соотношения, так как законы поступательного и вращательного пе-
i
о,
Я/
Xi
Ltk"-"'
To r
(yi
1
^j
<T"
1
1
4
4
/
/
,X
X
t
Фиг. 47
ремещений остаются совершенно неопределенными. Более того,
траектории отдельных точек при фактическом движении не бу-
будут совпадать с траекториями тех же точек при раздельном
осуществлении поступательного и вращательного перемещений.
Однако если мы будем перемещать плоскую фигуру из одного
положения в другое, бесконечно близкое, то предел отношения
—гг- (фиг. 47), когда А^ стремится к нулю, т. е.
litn
Д<->0
будет характеризовать скорость поступательного движения, а
lim -тг = -уг — угловую скорость тела в данный момент вре-
мени.
Покажем, что угловая скорость вращательного движения со
не зависит от выбора точки О (не зависит от выбора начала
подвижных осей Оху). Действительно, если начало подвижных
8*
115
1,'
осей поместим в новой точке Р (фиг. 48), а оси, неизменно свя-
связанные с движущейся плоской фигурой, назовем Pxv и Pyi и на-
направим их параллельно осям Ох и Оу, то очевидно, что во все
время движения системы осей Оху и Pxiyi останутся параллель-
параллельными, а элементарные приращения углов поворота Аф и Ацц бу*
дут равны между собой. Следовательно, угловые скорости так*
же будут равны между собой, т. е. co = cui. Легко доказать, что
при любом выборе подвижного на-
начала будут равны также и угловые
ускорения, т. е. e = ei.
Таким образом,угловая скорость
и угловое ускорение при плоскопа-
раллельном движении являются ки-
кинематическими характеристиками
всего тела как целого (как сово-
купности материальных точек).
2. Для геометрического изуче-
ния плоскопараллельного движения
большое значение имеет теорема
Берну л ли — Шаля, которую мы формулируем так: любое
перемещение плоской фигуры в ее плоскости может быть полу-
получено одним вращением около некоторой точки, называемой цен-
центром конечного вращения, или в частном случае некоторым
прямолинейным поступательным перемещением (вращением
около бесконечно удаленной точки)
Фиг. 48
Фиг. 49
Для доказательства этой теоремы рассмотрим плоскую фи-
фигуру, положение которой вполне определяется положением от-
отрезка АВ (фиг. 49). Пусть фигура переместилась из положения
(I) в положение (II), тогда отрезок АВ переместится в поло-
положение AiBi.
Соединим прямыми точку А с точкой А^ и точку В с точкой
Si и в серединах отрезков AAi и BBi восставим перпендику-
перпендикуляры. Эти перпендикуляры пересекаются в точке Р, которую
называют центром конечного вращения. Одним поворотом на
угол АРАу плоскую фигуру можно переместить из положения
116
'(I) в положение (II). В самом деле, треугольники АРВ и AtPBi
равны, так как AP — AiP и BP = BiP по построению, a AB = AiBi
по условию, что отрезок АВ принадлежит твердому телу. Из ра-
равенства треугольников (заштрихованных на фиг. 49) следует,
что ZAPB = ZAlPBl и ZAPAi=ZBPBv Повернем теперь
треугольник АРВ (а вместе с ним и плоскую фигуру) около
точки Р на угол APAi так, чтобы линия АР совпала с линией
А\Р\ тогда линия ВР совпадет с линией В\Р и, следовательно,
АВ совпадет с A\Bi, т. е. одним поворотом мы переместим пло-
плоскую фигуру из положения (I) в положение (II). В частном
случае, если AB\\A\Bi, мы легко убедимся в том, что перпенди-
перпендикуляры к AAi и BBi будут или параллельны между собой, или
сольются. В обоих случаях плоская фигура может быть пере-
перемещена из положения (I) в положение (II) прямолинейным по-
поступательным перемещением. Центр конечного вращения будет
в этом случае находиться в бесконечности.
Следует указать, что при выполнении поворота около точки Р
на угол APAi (фиг. 49) в общем случае плоская фигура не бу-
будет проходить через все последовательные положения, которые
она занимала бы при реальном движении.
Допустим теперь, что положения (I) и (II) бесконечно близ-
близки друг к другу; тогда, выполняя построение, аналогичное пре-
предыдущему, мы найдем некоторую точку Рь которую назовем
центром мгновенного вращения. Поворачивая плоскую фигуру
на бесконечно малый угол около этого центра, мы переместим
плоскую фигуру из данного положения (I) в соседнее, беско-
бесконечно близкое положение, причем это перемещение будет совпа-
совпадать с бесконечно малым, реально происходящим перемещением
плоской фигуры. Вследствие непрерывности движения мы мо-
можем любое движение плоской фигуры в ее плоскости разбить
на такие последовательные элементарные перемещения.
По теореме Бернулли — Шаля каждое из элементарных пе-
перемещений может быть получено одним вращением около цен-
центра мгновенного вращения.
Геометрическое место центров мгновенного вращения отно-
относительно неподвижных осей координат представляет собой не-
некоторую кривую, называемую неподвижной центроидой.
Представим себе, что с движущейся плоской фигурой неиз-
неизменно соединена плоскость хОу, так что при движении плоской
фигуры связанная с нею подвижная плоскость скользит по не-
неподвижной плоскости ?,Oiv\. Будем отмечать последовательные-
положения центров мгновенного вращения на подвижной пло-
плоскости. Геометрическое место центров мгновенного вращения
относительно подвижных осей координат представляет собой
также некоторую кривую, называемую подвижной центроидой.
В каждый данный момент времени соответствующие следы
центра мгновенного вращения, отмеченные на подвижной и
117
неподвижной плоскостях, будут совпадать и подвижная и непо-
неподвижная центроиды будут касаться друг друга в этой общей
точке, являющейся центром мгновенного вращения.
Покажем, что при движении плоской фигуры в ее плоскости
подвижная центроида катится без скольжения по неподвижной
центроиде. В самом деле, из теоремы Бернулли — Шаля сле-
следует, что перемещение плоской фигуры из одного положения
(I) в другое (II) можно получить поворотом около центра ко-
конечного вращения. Действительное движение тела может при
этом отличаться от чистого вращения, но начальное и конечное
положения тела совпадают в обоих движениях. Заменим пере-
перемещение плоской фигуры из положения (I) в положение (II)
достаточно большим числом п элементарных перемещений, при-
причем в начале и конце каждого элементарного перемещения по-
положение плоской фигуры совпадает с истинным ее положением
в реальном движении. Увеличивая число п таких перемещений
до бесконечности, сделаем каждое элементарное перемещение
бесконечно малым и бесконечно малые дуги действительных
траекторий точек плоской фигуры заменим бесконечно малыми
дугами окружностей, общий центр которых находится в центре
мгновенного вращения. Такая замена может быть выполнена
с любой степенью точности, а следовательно, истинное движе-
движение плоской фигуры можно заменить системой последователь-
последовательных бесконечно малых вращений около центров мгновенного
вращения.
Таким образом, в каждый момент времени при плоскопарал-
лелыюм движении нормали к траекториям точек плоской фи-
фигуры проходят через одну общую точку — центр мгновенного
вращения; в частности, если движение будет поступательным,
то все эти нормали будут параллельны между собой. Приняв во
внимание эти чисто геометрические соображения, отметим по-
положения п центров вращения на неподвижной плоскости
(фиг. 50). Пусть это будут вершины ломаной С_2, C_i, Со, С1(
С2, ..., которая в пределе, при последовательном рассмотрении
бесконечно большого числа бесконечно малых вращений, пере-
переходит в некоторую непрерывную кривую — неподвижную цен-
центроиду исследуемого плоского движения.
На подвижной плоскости хОу, которая будет перемещаться
вместе с плоской фигурой, всегда найдутся точки, последова-
последовательно совпадающие с точками С_2, С_ь Со, Ci C2, ... непо-
неподвижной плоскости.
Назовем эти точки Л_2, А-i, Ао, Ль ... и соединим их отрез-
отрезками прямых. Вершины ломаной . . . Л_ь Ао, Ai . . . приходят при
движении тела в последовательные совпадения с точками
... С_ь Со, С4 ... Например, если система совершает поворот
около центра Со, то «покрывающая» этот центр точка подвиж-
подвижной плоскости будет Ао; в следующий момент времени плоская
118
фигура, совершив вращение около Со, начнет вращаться около
следующего центра С4; точка Ло, совпадавшая с Со, переме-
переместится, а в совпадение с центром Ci придет точка подвижной
плоскости А\ и т. д. Из построения точек Л_4, Ао, Аи А2, .. • оче-
очевидно, что A0Ai = CaCi, А\А2 = С\С2 и т. д. (фиг. 50), т. е. стороны
ломаных С_1, Со, Сь С2... и Л_)г Ао,
Аи А2,... соответственно равны друг
другу и при движении плоской фигу-
фигуры налагаются одна на другую, после-
последовательно совпадая своими верши-
вершинами.
Таким образом, расстояния между
соответствующими точками подвиж-
подвижной и неподвижной центроид равны фиг 5о
между собой. Это равенство сохранит-
сохранится и после перехода к пределу, когда
ломаные линии ...А-и Ао, At... и С_ь Со, Сь.. перейдут в не-
непрерывные кривые.
Из построения ломаной ...A-i, Ao, Ai,... (в пределе — кривой)
следует, что в моменты соприкосновения подвижная и непо-
неподвижная центроиды имеют в соответствующих точках общую
касательную.
Последовательные совпадения соответственно равных эле-
элементов центроид осуществлялись путем вращений около цен-
центров С_2, С_1, Со, С\, С2 . . ., т. е. при движении плоской фигуры
в ее плоскости перемещение подвижной центроиды по непо-
неподвижной есть чистое качение без скольжения.
Итак, при плоскопараллельном движении твердого тела не-
непрерывный процесс движения сопровождается качением без
скольжения подвижной центроиды по неподвижной.
Совершенно ясно, что если известны центроиды некоторого
плоского движения, то мы можем восстановить геометрическую
картину истинного движения плоской фигуры качением без
скольжения подвижной центроиды по неподвижной.
Исключение представляет только случай поступательного
движения, при котором обе центроиды обращаются в беско-
бесконечно удаленную точку плоскости.
3. Определение положений центров мгновенного вращения
имеет большое значение для вычисления скоростей точек пло-
плоской фигуры при ее движении. В самом деле, в каждый момент
времени плоская фигура поворачивается на бесконечно малый
угол около центра мгновенного вращения; ясно, что скорость
этого центра будет равна нулю, поэтому центр мгновенного вра-
вращения называется мгновенным центром скоростей; скорости то-
точек, лежащих на какой-либо прямой, проходящей через центр
мгновенного вращения, увеличиваются пропорционально рас-
расстоянию от центра. Направление вектора скорости какой-либо
119
точки плоской фигуры будет перпендикулярно к радиусу, со-
соединяющему данную точку с центром мгновенного вращения.
Отношение угла поворота Аф плоской фигуры около центра ко-
конечного вращения к промежутку времени hi, в течение которого
происходит этот поворот, определяет среднюю угловую ско-
скорость вращения плоской фигуры. Предел этого отношения,
когда А^ стремится к нулю, т. е.
,. Дш dm
Л* At
дает угловую скорость вращения плоской фигуры около центра
мгновенного вращения, которую мы будем называть мгновен-
мгновенной угловой скоростью.
Фиг. 51
Фиг. 52
Если в данный момент известна линейная скорость какой-
либо точки А плоской фигуры (фиг. 51) и расстояние РА этой
точки от центра мгновенного вращения Р, то мгновенная угло-
угловая скорость будет определяться по формуле:
<*=pj. где PA±vA.
Зная о), легко найти величину и направление скорости любой
точки М. Величину vM определим по формуле:
РМ
или vM =
направление вектора vM±.PM (фиг. 51).
Аналогичным приемом можно найти распределение скоро-
скоростей точек плоской фигуры для любого момента времени.
Покажем далее, что если известна линейная скорость точки
А по величине и направлению, а скорость точки В (фиг. 52)
только по направлению, то мы можем определить и положение
центра мгновенного вращения Р, и мгновенную угловую ско-
скорость со около этого центра. В самом деле, центр мгновенного
вращения должен лежать одновременно на перпендикуляре к
вектору скорости vA и на перпендикуляре к направлению скоро*
120
сти в точке В. Следовательно, точка пересечения этих перпен-
перпендикуляров Р и определит положение центра мгновенного вра-
вращения. Величина мгновенной угловой скорости найдется, как и
раньше, по формуле:
<* — -рА-
Если нас интересует только положение центра мгновенного-
вращения, то для его определения достаточно знать направле-
направления скоростей двух точек А и В
плоской фигуры. Этот случай имеет
большое значение при чисто гео-
геометрическом методе исследования
центроид.
Пусть траекториями концов от-
отрезка АВ будут кривые С\ и С2. Из
кинематики точки нам известно, что
направления скоростей точек А и
В для любого момента времени бу-
будут совпадать с касательными к
кривым Ci и С2 (фиг. 53) в точках,:
соответствующих данному моменту
времени. Чтобы найти положение
центра мгновенного вращения, ну-
нужно провести нормали к траекто-
траекториям Ci и С2 в точках, соответ-
соответствующих концам отрезка АВ.
Ясно, что это рассуждение будет справедливым по отношению
к любым точкам отрезка и вообще к любым точкам плоской
фигуры.
Если скорости концов отрезка (скорости двух точек плоской
фигуры) перпендикулярны к отрезку (прямой, соединяющей
точки), то для определения положения центра мгновенного вра-
вращения необходимо знать эти скорости и по величине. Пусть, на*
пример (фиг. 54), vA\\vB и перпендикуляры к этим скоростям
сливаются в одну прямую. Обычный прием не дает возможно-
возможности найти положение центра мгновенного вращения. Однако
если Уат^Ув, то можно найти этот центр на конечном расстоя-
расстоянии. В самом деле, при вращательном движении тела концы
скоростей точек, лежащих на одном радиусе, расположены на
прямой, проходящей через центр вращения. Следовательно, про-
проводя через точки С и D прямую до пересечения с прямой АВ,
мы найдем точку Р — центр мгновенного вращения (фиг. 54,а).
Аналогичными рассуждениями можно убедиться, что в случае,
изображенном на фигуре 54, б, центр мгновенного вращения бу-
будет находиться в точке Р4. Случай, представленный на фигу-
фигуре 55, соответствует состоянию мгновенных поступательных
Фиг. 53
12L
-> ¦>
скоростей, так какул = ?>в и центр мгновенного вращения уда-
удаляется в бесконечность.
4. При решении практических задач, относящихся к плоско-
плоскопараллельному движению, весьма полезной может оказаться
следующая теорема.
Фиг. 54
Проекции скоростей двух произвольных точек плоской фи-
фигуры на направление прямой, соединяющей эти точки, равны
между собой
О,
Фиг. 55
Фиг. 56
Для доказательства допустим, что положение точки А пло-
плоской фигуры относительно неподвижных осей задается радиу-
радиусом-вектором RA, а положение точки В задается радиусом-век-
радиусом-вектором Rb (фиг. 56). Очевидно, что
dR ¦>
?L i
lit ~
dt
Так как расстояние АВ = 1 между данными точками остается
^постоянным, то во все время движения
(ABf = P = (RB - RAf = const.
122
Дифференцируя это равенство по времени, будем иметь:
или
AB(B — vA)=0.
Из этой формулы следует, что АВ •vB=AB -vA. Пусть угол'
между векторами АВ и vA будет равен а, а угол между векто-
векторами АВ и vB равен р, тогда
—>¦ ->
ABvA = ABvA cos a — lvA cos а,
ABvB = ABvB cos p = lvB cos p.
Следовательно,
lvA cos a = lvB cos p,
или ч
vA cos a — vB cos p,
что и доказывает справедливость теоремы.
5. Рассмотрим для иллюстрации сказанного несколько при-
примеров.
Пример 1. Отрезок АВ = 2а (фиг. 57) скользит концами
Л и В по сторонам прямого угла %Ощ. Определим подвижную-
и неподвижную центроиды при
движении отрезка. Пусть для
определенности вектор скоро-
скорости точки В совпадает с поло-
положительным направлением оси
Oi|, тогда, очевидно, вектор
скорости точки А будет совпа-
совпадать с отрицательным напра-
направлением оси OiT]. Для опреде-
определения положения центра мгно-
мгновенного вращения восста-
восставим перпендикуляры к скоро-
скоростям в точках А и В. Пересече-
Пересечение этих перпендикуляров
Фиг. 57
дает точку Р (фиг. 57). В дан-
данном случае очень легко найти геометрическое место цен-
центров мгновенного вращения Р относительно неподвижных осей
|О4г|. В самом деле, расстояние точки Р от начала координат
равно диагонали прямоугольника О^АРВ, т. е. равно длине от-
отрезка АВ = 2а; при любом положении отрезка диагональ всегда
будет равна 2а. Таким образом, при всех положениях отрезка
АВ центр мгновенного вращения находится на постоянном рас-
расстоянии от неподвижной точки О4, и, следовательно, геометри-
123.
ческое место центров мгновенного вращения относительно не*
подвижной плоскости (неподвижных осей ^О^) есть окруж-
окружность радиуса R = 2a с центром в точке Oi. Следовательно, не-
неподвижная центроида для отрезка АВ, скользящего концами по
сторонам Oig и Oit\, есть окружность.
Для того чтобы определить подвижную центроиду, выберем
прежде всего подвижную систему осей координат Оху, неиз-
неизменно связанных с движущимся отрезком (фиг. 57). Легко ви-
видеть, что расстояние мгновенного центра Р от подвижного на-
начала при любом положении отрезка АВ равно половине диаго-
диагонали прямоугольника О^АРВ. Следовательно, подвижная цен-
центроида есть также окружность радиуса г=а с центром в сере-
середине отрезка АВ. Чтобы восстановить геометрически картину
движения отрезка АВ, достаточно катить без скольжения по-
подвижную центроиду по неподвижной.
Этот результат легко проверить на опыте. Возьмем лист про-
прозрачной бумаги (кальки) и начертим на нем окружность ра-
радиуса г—а; диаметр этой окружности бу-
будет изображать движущийся отрезок
АВ = 2а. Если на втором листе, который
будет представлять собой неподвижную
плоскость, начертить окружность радиу-
радиуса R = 2a и два взаимно перпендикуляр-
перпендикулярных диаметра принять за оси Oil и Ощ,
то, осуществляя качение малой окружно-
сти по большой, мы убедимся, что кон-
цы диаметра малой окружности будут
Фиг. 58 двигаться по сторонам прямого угла —
диаметрам большой окружности. Начи-
Начинать качение целесообразно из положения, когда отрезок АВ
совпадет с осью О4г|. При этом легко убедиться в том,
что любая точка подвижной окружности описывает в рас-
рассматриваемом движении один из диаметров неподвижной окруж-
окружности. Это геометрическое свойство рассматриваемого движе-
движения носит название теоремы Кардана. Подвижная {г~а) и не-
неподвижная (R = 2a) окружности называются окружностями
Кардана.
Если подвижную окружность сделать неподвижной и катить
по ней без скольжения неподвижную окружность, то воспроиз-
воспроизводимое движение будет обращенным движением Кардана. Во-
Вообще, если поменять роли центроид, т. е. подвижную центроиду
сделать неподвижной, а неподвижную катить по ней без сколь-
скольжения, то воспроизводимое новое движение будет обращенным
первоначальному.
Пример 2. Определить скорость средней точки М шатуна
АВ кривошипно-шатунного механизма (фиг. 58) для произволь-
произвольного положения кривошипа ОуА. Вычислить, в частности, ско-
124
/Л*
/
рость точки М для двух положений, когда ZAOiB = 0° и
ZAOiB~90°, полагая, что OiA = r = 20 см, ЛБ = / = 40 см, угло-
угловая скорость кривошипа О±А постоянна и равна (о=4Оя——.
Определим сначала положение центра мгновенного враще-
вращения, для чего восставим перпендикуляры к направлениям ско-
скоростей в точках А я В (фиг. 58). Точка Р пересечения перпен-
перпендикуляров есть центр мгновенного вращения. Мгновенная угло-
угловая скорость шатуна АВ равна:
vА or cos ф cor cos ф
~РА~
~РА~ OiB — rcosq>== tcosfi '
Скорость точки М вычислим по формуле:
•следовательно, решение задачи сводится к определению рас-
расстояния РМ.
Из треугольника МРВ имеем:
РМ
= j/ (L.Y +PB2—l-PB-sina.
Легко найти, что
/ sin a —r sin ф, Я5 —015tgф, ОгВ = I cos a-\~ r cos (р,
следовательно,
РМ— у (у) +(/соза4-гсозфJ1д2ф—г(/со5а-(-гсо5фI?фЗЩф.
Таким образом, зная Q и РМ, мы можем найти скорость точ-
точки М для любого положения кривошипа по формуле:
__ tor cos ф ^ _[_ ^ cos а _j_ r cos фJ tg2 ^ __ г (/ cos а -(- г cos ф) tg ф sin ф,
где
cos а =1/1— (j\ э1п2ф.
Для первого частного случая, когда ф = 0, имеем:
cos сс=1 и
«г 40я20 ,лл см
Для второго частного случая, когда ф==90°, имеем, вынося
второе слагаемое из-под корня:
J
i i чч/ ~л rC cosa
tt)rcosфtgф(гcosa+rcosф)l/ . , 4
/
ч/
т
/ cos a F ' (/ cos a -(- г cos ф tgJ ф tg-'
125
Устремляя ф к 90°, будем иметь:
г it
В этом частном случае мгновенный центр скоростей уда-
удаляется в бесконечность и имеет место состояние мгновенных по-
поступательных скоростей для шатуна АВ. Легко видеть, что в
этом случае векторы ускорений каких-либо двух точек шатуна
не равны между собой. Так, ускорение точки А при « = const
направлено к центру Oit a
ускорение точки В направлено
по прямой OiB.
6. Аналитический ме-
метод изучения плоско-
плоскопараллельного движе-
движения твердого тела. Ос-
Основные свойства плоскопарал-
плоскопараллельного движения, которые
мы установили чисто геометри-
геометрическим путем, можно получить
достаточно просто и аналити-
аналитическим методом. Как всегда,
аналитический метод решения
дает единообразный прием для всевозможных частных задач
рассматриваемого класса движений твердого тела, настолько
ясный, что роль интуитивных соображений ограничивается
лишь правильной постановкой решаемых задач.
Пусть \0{ц — неподвижная система отсчета, а elt е2 — еди-
единичные векторы координатных осей этой системы.
Начало координат подвижных осей Оху, неизменно связан-
связанных с движущейся плоской фигурой, выберем в точке О. Поло-
Положение этого начала относительно неподвижной системы О^ц
определим радиусом-вектором ^0- Единичные векторы подвиж-
подвижных осей обозначим i и / соответственно. Рассмотрим движение
произвольной точки М плоской фигуры. Положение этой точки
относительно неподвижных осей определим радиусом-вектором
R, а положение той же точки относительно подвижных осей —
радиусом-вектором г (фиг. 59).
Из векторного треугольника О^ОМ имеем:
Соотношение A4) можно рассматривать как векторное ура-
уравнение движения точки М по отношению к осям О&ц.
Ранее было показано (§ 4, 1°), что для задания плоскопа-
плоскопараллельного движения твердого тела достаточно знать проек-
126
ции радиуса-вектора Ro на оси О4| и Oit\ (мы назвали эти
проекции ?о» Цо) и угол ф между осями Oig и Ох как функции
времени.
Чтобы найти два скалярных параметрических уравнения
траектории точки М, спроектируем соотношение A4) на оси
Oi| и OiT), причем проекции радиуса-вектора г на подвижные
оси обозначим через х и у (фиг. 59). Будем иметь тогда:
— ВС = 10 + л; cos ф — у sin <р
Если заданы уравнения плоскопараллельного движения, то
?о, %, ф суть известные функции времени. Координаты точки М
относительно подвижных осей от времени не зависят, т. е. х =
= const и «/ = const, поэтому, исключая из уравнений A5) время
t, мы получим уравнение траектории точки М в виде:
F&, ц) = 0.
Для определения скорости точки М продифференцируем по
времени векторное соотношение A4). Заметим, что при движе-
движении плоской фигуры радиусы-векторы R и Ro изменяются и по
величине, и по направлению, а радиус-вектор г изменяется толь-
только по направлению (так как расстояние ОМ остается постоян-
постоянным во все время движения).
Представляя радиус-вектор г через его проекции на подвиж*
яые оси и единичные векторы i, j этих осей, получим:
Так как во все время движения jc = const и y = const, то
dr di , dj
~dT — x~d7~ry~dT-
На основании формул Пуассона *
di •*.,*. dj
>
где (о — мгновенная угловая скорость вращения плоской фи-
фигуры.
Следовательно,
^ ТЙ7у)=©Хг. A6)
* Мы можем пользоваться формулами Пуассона (9), так как геометри-
геометрически доказано существование мгновенного центра (или мгновенной оси вра-
вращения перпендикулярной плоскости движения),
127
Формула A6) позволяет вычислить производную по времени
от радиуса-вектора, изменяющегося только по направлению.
Найдем теперь скорость точки М. Дифференцируя соотноше-
соотношение A4) по времени, будем иметь:
dt
dR0
dr
A7)
dR
„, dRa
Обозначая —тг- через v0, окончательно получим:
% = "о+вХг. A8)
Из формулы A8) следует, что скорость точки М является
-> •>
геометрической (векторной) суммой двух скоростей v0 и Vi =
~> -> ¦>
= о)Хг. Если со = 0, т. е. при движении плоской фигуры угол ф
не изменяется, то vM = v0, т. е. скорости всех точек плоской фи-
фигуры равны между собой; следовательно, v0 характеризует по-
поступательное движение фигуры и называется поэтому скоростью
поступательного движения тела. Скорость yi = «Xr обусловлена
наличием вращения плоской фигуры вокруг некоторой оси, пер-
перпендикулярной к плоскости движения, и называется поэтому
скоростью вращательного движения тела. Легко видеть, что
((оХг) есть такая скорость, которую получила бы точка М, если
бы плоская фигура вращалась вокруг оси, перпендикулярной
-> *¦ ¦*¦
к плоскости хОу и проходящей через точку О; вектор '01 = аХг
направлен перпендикулярно к ОМ в сторону вращения.
Если траектория точки О известна, т. е. известен радиус-
вектор Ro в функции времени, то для любой точки М плоской
фигуры вектор ув будет направлен параллельно касательной к
годографу вектора Ro. Вектор угловой скорости « направлен
перпендикулярно к плоскости движения согласно правилу пра-
правого винта. Величина вектора угловой скорости не зависит от
выбора точки О, так как угол поворота для всех точек плоской
фигуры будет одним и тем же.
Найдем проекции скорости vM на неподвижные оси О4? и
1
Из формулы A8) имеем:
dt
0 0 (o
A9)
B0)
128
где g0, r|o — проекции радиуса-вектора /?0 на неподвижные оси,
а еь е2 — единичные векторы этих осей.
Пользуясь формулами A9) и B0), легко найдем:
B1)
Заметим, что формулы B1) можно получить также дифферент
цированием формул A5).
->
Найдем теперь проекции скорости vM на подвижные оси*.
->
Вычислим сначала проекции вектора v0 на подвижные оси Ох
и Од.
По определению проекции вектора на ось Ох будем иметь:
и аналогично
у = — -$¦ sin Ф + -? cos ф. B3)
Скорость t»i, обусловленную вращением плоской фигуры, в
данном случае целесообразно записать в виде:
Т J %
Ф, = а)Хг= 0 0 со
х у 0
Пользуясь формулами B2) — B4), легко найдем:
d.P~ dnn .
—rr Sin ф — cow
at
+ -^jr COS ф -f- COX
B5)
Имея формулы B1) и B5), легко написать параметрические
уравнения подвижной и неподвижной центроид. В самом деле,
если текущие координаты неподвижной центроиды обозначить
|* и 11*, то, зная, что скорость центра мгновенного вращения
равна нулю, будем иметь из B1):
г|* — ту = 0
B6)
* Нужно иметь в виду, что скорость точки М относительно подвижных
осей равна нулю, а мы проектируем на подвижные оси скорость точки М,
вычисленную относительно неподвижных осей координат.
9 А. А. Космодемьянский
129
Уравнения B6) суть параметрические уравнения неподвиж-
неподвижной центроиды. Исключая из B6) время t (или другой пара-
параметр, зависящий от t), мы получим соотношение вида F (|*,
т]*)=0, т. е. уравнение неподвижной центроиды.
Аналогично, если обозначить текущие координаты подвиж-
подвижной центроиды через х* и у*, то из формул B5), положив vx =
= vy = 0, мы получим параметрические уравнения подвижной
центроиды в виде:
^sinq) — ©«Л=0
B7)
Исключая из уравнений B7) время t (или другой параметр,
зависящий от t), получим соотношение вида Ф(х*, у*) =0, пред-
представляющее уравнение подвижной центроиды.
Если за начало подвижной системы координат принять центр
мгновенного вращения С, положение которого относительно си-
системы Оху характеризуется радиусом-вектором гс (фиг. 60),
то на основании формулы A8)
>v -у- будем иметь:
B8)
Вычитая из A8)
B8), получим:
соотношение
Фиг. 60
vM = © X (гЛ, - гс) = (о X h, B9)
где h — расстояние от точки С до
точки М Формула B9) показы-
показывает, что скорость любой точки
плоской фигуры можно вычис-
вычислить по формуле Эйлера для случая чистого вращения, если
начало подвижной системы совпадает с центром мгновенного
вращения (фиг. 60).
Величина скорости точки М, как следует из формулы B9),
будет равна:
vM = <оЛ. C0)
Формулы B9) и C0) показывают, что величина и направле-
направление вектора скорости точки М таковы, какими они были бы,
если бы плоская фигура в рассматриваемый момент времени
вращалась около точки С, как неподвижной. Однако нужно
иметь в виду, что ускорение мгновенного центра скоростей в об-
общем случае плоскопараллельного движения не равно нулю.
130
Для определения ускорения точки М продифференцируем по
времени соотношение A8):
dv
dt
м '
dvn
d ¦*
Но
~ (
= еХ г -|- со (со г) — со2г = е X г — со2г,
так как при плоскопараллельном движении вектор со перпенди*
кулярен к вектору г и сог=О. Обозначая —r~=w0, получим:
dt
coV.
C1)
В формуле C1) Wo представляет собой вектор ускорения по-
подвижного начала координат, два других слагаемых представ-
представляют собой вектор ускорения точки М в ее движении относи-
относительно центра О, как неподвижной точки. Вектор Wi = eXr дает
часть ускорения, обусловленную неравномерностью вращения
плоской фигуры, вектор w2 = a2r представляет собой центростре*
мительную часть ускорения. Если .
-> )
в C1) вместо г подставить радиус-
->
вектор Гс мгновенного центра ско-
скоростей, то мы получим вектор уско-
ускорения центра скоростей в виде:
»с = вл+8Хгс- ю2*с- C2)
Задача 11. Определить анали-
аналитическим методом центроиды в кар-
дановом движении (фиг. 61).
Пусть неподвижные оси коорди- Фиг. 61
нат О^ц совпадают со сторонами
прямого угла, по которым скользит отрезок ОА — 2а. По-
Подвижные оси Оху выберем, как указано на фигуре 61. Если
обозначить ZOiAO через ф, то уравнения плоского движения
можно записать в следующей форме:
Параметрические уравнения неподвижной центроиды полу^
чим на основании B6) в виде:
2а cos ф ~^- — (от]* = О,
со (I" — 2а 51пф) = 0,
9*
131
или r|* = 2acos(p, g* = 2asincp. Возводя эти равенства в квадрат
и складывая, легко найдем:
|*2 + rf2 = 4a2. C3)
Следовательно, неподвижная центроида есть окружность,
центр которой лежит в точке 0^ и радиус равен 2а.
Для того чтобы найти подвижную центроиду, воспользуемся
уравнениями B7). Будем иметь:
2a cos2 ф -^ — со/ = О
¦ 2a sin ф cos ф -?¦ + cox* = 0
C4)
Но так как 2 cos2 ф= 1+cos 2ф, а 2 sin ф cos ф = зт 2ф, то C4)
dw
после сокращения на @ = -^г можно записать в виде:
и* — а = а cos 2ф \
¦ о • C5)
х =asm2q> )
Возводя C5) в квадрат и складывая, получим уравнение по-
подвижной центроиды в виде:
-к*2 + (У* — аJ = а2. C6)
Уравнение C6) показывает, что подвижная центроида есть
окружность радиуса а, центр которой лежит в середине отрезка
О А —1а. Зная подвижную и неподвижную центроиды, мы мо-
можем восстановить геометрическую картину движения отрезка
ОА качением без скольжения подвижной центроиды по непо-
неподвижной.
§ 5. Движение твердого тела около неподвижной точки
1. Пусть мы имеем некоторое твердое тело с одной непо-
неподвижно закрепленной точкой О (фиг. 62). В этом случае тело не
может двигаться поступательно, но может поворачиваться во-
вокруг любой оси, проходящей через неподвижную точку. Про-
Простейшим примером такого тела является волчок, острие ножки
которого упирается в небольшое углубление на неподвижной
плоскости так, что точка соприкосновения оси волчка с пло-
плоскостью остается неподвижной.
Выясним, какое число параметров определяет положение
твердого тела с одной неподвижной точкой относительно вы-
выбранной системы отсчета. Поместим начало неподвижной си-
системы осей координат Oi|r|? в неподвижной точке О (фиг. 62).
Систему осей Oxyz свяжем неизменно с движущимся твердым
телом. Положение тела в пространстве известно, если для лк>
132
бого момента времени можно определить положение подвижной
системы осей Oxyz относительно неподвижной системы Oi%r\Z,.
Для того чтобы определить положение системы Oxyz, доста-
достаточно знать три угла ф, я|з, 8. Эти углы (фиг. 62) называются
углами Эйлера. Если линия пересечения подвижной плоскости
хОу с неподвижной ?Ог| будет ON, то Zy— ZNOx, Z^ = Z|O;V,
ZQ = Zt,Oz. Положительное направление отсчета этих углов ука-
указано на фигуре 62. Линию ON называют линией узлов, угол ф —
углом собственного вращения, я|з— углом прецессии и 9 — уг-
углом нутации. При движении твер-
твердого тела около неподвижной
точки углы ф, 1|з и 9 непрерывно
изменяются с течением времени.
Если даны уравнения:
9 = 9@, C7)
Фиг. 62
то положение твердого тела из-
известно для любого момента вре-
времени. Уравнения C7) называют-
называются уравнениями движения твер-
твердого тела около неподвижной
точки. Из C7) ясно, что твердое
тело с одной неподвижной точ-
точкой имеет три степени свободы.
Положение твердого тела можно
также задать тремя точками,
не лежащими на одной прямой. В качестве первой точки выбе-
выберем неподвижную точку О. Для того чтобы выбрать две другие
точки, опишем около точки О сферу радиуса, равного единице.
Эта сфера пересечет тело по некоторой поверхности ст. Прове-
Проведем диаметральную плоскость построенной сферы, тогда следом
этой плоскости на поверхности ст будет дуга большого круга.
Выберем на этой дуге две точки А и В (фиг. 63). Задание по-
положения точек Л и В на сфере вполне определяет положение
сечения ст. Точки О, А и В определяют положение твердого тела
относительно неподвижных осей координат. Изучение движения
тела около неподвижной точки таким приемом сводится к изу-
изучению движения дуги АВ по поверхности сферы единичного ра-
радиуса. Каждому положению дуги АВ на неподвижной сфере ра-
радиуса, равного единице, будет соответствовать единственное и
вполне определенное положение тела.
Таким образом, аналогично тому, как изучение плоскопарал-
плоскопараллельного движения тела можно свести к изучению движения
прямолинейного отрезка по неподвижной плоскости, так и дви-
движение тела около неподвижной точки сводится к изучению дви-
движения дуги большого круга по неподвижной сфере радиуса,
равного единице. Пользуясь таким геометрическим представле-
133
нием, можно назвать движение тела около неподвижной точки
сферическим движением.
По аналогии с теоремой Бернулли — Шаля для плоскопарал-
плоскопараллельного движения докажем следующую теорему Д а л а м -
бер а:
Всякое перемещение твердого тела, имеющего одну непо-
неподвижную точку, из одного положения в другое может быть по-
получено одним вращением вокруг некоторой оси, проходящей че-
через неподвижную точку.
Пусть начальное положение тела определяется дугой АВ,
взятой на сфере радиуса, равного единице; пусть тело переме-
переместилось так, что дуга АВ заня-
заняла новое положение AiBi на
той же сфере (фиг. 63). Пока-
Покажем, что перемещение дуги
АВ в положение AiBi можно
осуществить одним поворотом
вокруг некоторой оси, прохо-
проходящей через точку О. Соеди-
Соединим точки А и Ль а также точ-
точки В и Bi дугами большого
круга AAi и BBi. Для этого
достаточно провести плоскости
OAAi и OBBi, которые будут
пересекать неподвижную сфе-
сферу радиуса г=1 по дугам
большого круга. Разделим ду-
дуги AAi и BBi пополам. Пусть
точки а и Ь будут серединами
дуг AAi и ВВ^ Проведем через точки а и Ъ дуги большого кру-
круга аС и ЬС, ортогональные дугам AAi и BBi. Пусть точка С есть
точка пересечения этих дуг. Из построения очевидно, что точ-
точка С равноудалена от точек А и Аи В и Ви т. е. дуги боль-
большого круга СА и CAi, а также СВ и С?4 равны между собой.
Треугольники АС В и AiCBi, лежащие на сфере, будут поэтому
равны между собой. Если повернуть дугу АВ около оси ОС на
угол АСАи то дуга АВ совместится с дугой А^Ви т. е. гело
переместится из положения (I) в положение (II) (фиг. 63).
Ось ОС, вокруг которой мы поворачиваем тело на угол
АСАи чтобы переместить его из одного положения в другое, на-
называют осью конечного вращения.
2. Если дуга АВ перемещается из данного положения в дру-
другое, бесконечно близкое положение А2В2, то ось ОС, вокруг ко-
которой происходит поворот на бесконечно малый угол, называют
осью мгновенного вращения.
Пользуясь теоремой Даламбера, можно дать наглядное гео-
геометрическое представление движения твердого тела около непо-
Фиг.
134
движной точки. В самом деле, перемещение тела из одного по-
положения в другое, бесконечно близкое положение можно после-
последовательно осуществлять поворотом на бесконечно малый угол
около мгновенной оси. Процесс непрерывного движения тела
разбивается тогда на непрерывный ряд вращений вокруг после-
последовательно меняющихся мгновенных осей, проходящих через не-
неподвижную точку. Геометрическим местом осей мгновенного
вращения относительно неподвижного пространства O|ri? будет
конус, называемый неподвижным аксоидом (от слова axis —
Фиг. 64
ось). Геометрическим местом осей мгновенного вращения отно-
сительно подвижных осей Oxyz (подвижного пространства) бу-
будет также конус, называемый подвижным аксоидом. Подвижный
и неподвижный аксоиды в любой момент времени касаются друг
друга вдоль прямой, являющейся в этот момент осью мгновен-
мгновенного вращения. На фигуре 64 даны подвижный и неподвижный
аксоиды для частного случая движения твердого тела около
неподвижной точки — регулярной прецессии волчка.
При движении тела около неподвижной точки подвижный
аксоид катится без скольжения по неподвижному аксоиду. Сле-
Следовательно, мы можем представить геометрически непрерывный
процесс движения твердого тела около неподвижной точки как
качение некоторой конической поверхности, неизменно связан-
связанной с твердым телом, по другой неподвижной конической по-
поверхности.
135
Если тело поворачивается вокруг оси мгновенного вращения
на некоторый бесконечно малый угол da*, то
rfo
называют мгновенной угловой скоростью вращения.
->
Вектор (о будем направлять по оси мгновенного вращения
->
так, чтобы наблюдатель, смотрящий с конца вектора со, видел
вращение тела происходящим против часовой стрелки.
Для того чтобы определить линейные скорости точек тела,
•> •>
необходимо знать вектор мгновенной угловой скорости <о = ю(?).
Если вектор со известен, то скорость точки М, положение кото-
которой задается радиусом-вектором г, можно вычислить по фор-
формуле Эйлера, согласно которой
?Л = мХг. C8)
В самом деле, скорость точки М, положение которой задает-
•> -^> —> —>
ся радиусом-вектором r=xi-\-yj + zk (где х, у, г— координаты
точки М относительно подвижных осей, а /, /, k — единичные
векторы этих осей), равна:
-> ->->->
> dr.. d > -> -* di dj dk
v = = -(xi + j + k)X + +
так как х, у, z суть величины, постоянные во все время движе-
движения. На основании формул Пауссона (9)**
di -> .->. dj * -> dk -*^.i
следовательно,
vM = x (и X T) 4- У (« X 7) + г (© X % = а X (JcT-f-«//+ гА),
или
% = »Х г C8)
->
* Вектор ^н направлен перпендикулярно к плоскости, в которой распо-
расположен )юл da, таким образом, что, смотря с конца вектора do., наблюла 1ель
видит вращение тела совершающимся против часовой стрелки. Направление
da совпадает с направлением мгновенной угловой скорости.
** Мы можек пользоваться формулами Пуассона (9), так как геометри-
геометрически доказано существование мгновенной оси вращения,
136
Модуль скорости точки М равен:
vM = <ar sina —co/z.
C9)
где h—расстояние точки от оси мгновенного вращения.
Формулы C8) и C9) показывают, что картина распределе-
распределения скоростей точек тела в данный момент времени t не отли-
отличается от картины распределения скоростей при вращении тела
вокруг неподвижной оси.
->
Вектор скорости им можно спроектировать как на неподвиж-
неподвижные, так и на подвижные оси координат. Пусть проекции мгно-
мгновенной угловой скорости « на неподвижные оси O\t\Z, будут pit
на те же оси — glt гц, l,u
<7i, ru а проекции радиуса-вектора г
тогда
Л
где ?j, е2, ?3—единичные векторы неподвижных осей
Из D0) следует, что
D0)
=/¦¦
lSi
D1)
Если вектор а известен как функция времени, то pi, qi, ri
также известны для любого момента времени. Тогда по форму-
формулам D1) легко определить проекции скорости любой точки те-
тела, а затем определить модуль и направление скорости этой
точки. Если проекции со на подвижные оси координат обозна-*
чить через р, д, г, а проекции радиуса-вектора через х, у, z, то
гу
pz
D2)
Формулы D1) и D2) также называются формулами Эйлера.
Заметим, что х, у, z в D2) — величины постоянные, так как
положение точки М относительно осей, связанных неизменно
с движущимся твердым телом, не изменяется с течением вре-
времени.
Из форму»1; D1) I! D2) можно получить параметрические
уравнения неподвижного и подвижного аксоидов. В самом деле.
137
точки, лежащие на оси мгновенного вращения, имеют скорости,
-> •>
равные нулю, т. е. для этих точек соХг=О. Формулы D1) и D2)
дают тогда:
ЧА — /"Л = 0, rjli — р& = О, pjtji - <7i?i = °.
qz — ry — 0, rx — pz — 0, py — qx = 0,
или
\
D3)
J =
х у
Исключая из D3) время t, мы получим уравнения подвиж-»
ного и неподвижного аксоидов.
3. Для того чтобы определить ускорение точки М, положе-
ние которой задается радиусом-вектором г, продифференцируем
по времени соотношение C8). Будем иметь:
-*¦ -> -*¦
¦> dv,. da) -> -> dr
~ dt "> ">
Так как ~if== е> гДе е — мгновенное угловое ускорение,
dr -> ->
а ^- = (°Хг, то
Но, как известно из векторной алгебры,
ь> X (и X г) = (о (со г) — агг
и, следовательно,
даж — 8Хг + со(сог) — со2г. D4)
Формуле D4) можно придать более простой вид, если по-
положить о = coco0, где со0 есть единичный вектор, тогда (фиг. 65)
со (со г) — со2г = со2 [со0 (со°г) — г] = со2 [со0 (г cos а) — г] =
= со2 [ОА — Т\ = — со2А/И = со2Л, где t = Ufa..
Следовательно,
WM^Y^ + ^h. D5)
Из формулы D5) следует, что ускорение любой точки тела
состоит из двух составляющих: первой Wi = eXr, обусловлен^
138
ной неравномерностью вращения (вектор « изменяется и по ве*
личине, н по направлению, следовательно, вращение неравно-
неравномерно), второй те>2 = «2/г, направленной к оси мгновенного враще'
ния и называемой осестремительным ускорением точки М. Най-
-> ->
дем направление вектора е. Для этого нужно знать вектор «как
функцию времени. Построив ряд последовательных положений
вектора «, мы найдем его годограф; касательная к годографу
вектора (о и будет давать направление вектора е. Ускорение
будет направлено перпендикулярно к плоскости, опре-
Фиг. 66
деляемой векторами е и г так, что с конца вектора Wi кратчай-
-> ->
ший поворот от е к г виден наблюдателю совершающимся про-
против часовой стрелки (фиг. 66). Если расстояние от точки М до
прямой, по которой направлен вектор мгновенного углового
ускорения, обозначить hE, то
wx^=zr sinp = eAE. D6)
Аналогично, обозначая расстояние от точки М до вектора мгно-
мгновенной угловой скорости через /гю, мы найдем, что
w2 = a2fia. D7)
-> ->
Если угол между wx и w2 будет [i, то
wM = У w\ -f- w\ + 2w1w2 cos \i.
->
В частном случае, когда (о изменяется только по величине
(вращение вокруг неподвижной оси), вектор е коллинеарен век-
вектору со и Wi будет касательным ускорением точки, a w2 — ее
нормальным ускорением.
Задача 12. Круглый диск радиуса АС = г катится без сколь-
скольжения по горизонтальной плоскости (фиг. 67). Ось диска (пря-
139
мая О А) вращается вокруг неподвижной прямой ВО с постоян-
постоянной угловой скоростью (Oi. Отрезок OB = r, a OA=R = 2r. Опре-
Определить скорость и ускорение точки С диска, лежащей в данный
момент на верхнем конце вертикального диаметра DC.
Решим эту задачу, пользуясь формулами, определяющими
движение твердого тела с одной закрепленной точкой. В данном
случае неподвижной точкой будет точка О.
Прежде всего определим положение оси мгновенного вра-
вращения и мгновенную угловую скорость. Так как в данный мо-
момент точка соприкосновения диска с плоскостью имеет скорость,
равную нулю, то очевидно, что прямая OD будет осью мгно-
мгновенного вращения.
птптттптттпж
Фиг. 67
Линейная скорость точки А будет равна: yA = (Oi/? =
Мгновенная угловая скорость « определится по формуле:
AE r cos a cos a
Так как «i== const, то и со = const. Легко понять, что годогра-
годографом вектора мгновенной угловой скорости будет окружность
радиуса 2<ot и скорость конца вектора (о будет равна:
е = 2(о1со1 =
Линейную скорость точки С подсчитаем по формуле:
х»с = ыСК— —- • 2r cos a = 4«,г.
Осестремительное ускорение точки С найдем по формуле
D7):
4@]
cos2 a"
2r cos а = 8со?г
1
1 cos а
140
Ускорение, обусловленное неравномерностью вращения
(формула D6)), будет равно:
4 г со?
Осестремительное ускорение w2 лежит в плоскости OCAD,
ускорение Wi лежит в той же плоскости, и его направление пер-
перпендикулярно к прямой ОС. Угол между Wi и w2 равен A80°—
—2а). Следовательно, полное ускорение точки С равно:
, 4/-со? г
w=yw\-\-wl — 2w{W2cos 2a = у 5 — 4cos 2a.
Неподвижным аксоидом будет в данном случае конус с уг-
углом раствора A80° — 2а), а подвижным аксоидом — конус с
углом раствора 2а. Вершины этих конусов совпадают с точ-
точкой О (фиг. 67).
§ 6. Общий случай движения свободного твердого тела
Свободное твердое тело имеет, как было показано, шесть
степеней свободы. Отнесем движение данного свободного твер-
твердого тела к системе неподвижных осей координат Oi?t]?;. Возь-
Возьмем вторую систему осей Oxyz, неизменно связанную с движу-
движущимся твердым телом. Кроме того, проведем через точку О оси
Охи Oyi, Ozir параллельные неподвижным осям О&, О^т\, О)?.
Положение твердого тела будет однозначно определено, если
в данный момент времени будет известно положение подвиж-
подвижного начала координат, т. е. координаты точки О, равные |о, т]о,
Со, и углы Эйлера <р, -ф, 6, определяющие положение системы
Oxyz относительно Ox\tj\Z\. Шесть скалярных уравнений, одно-
однозначно определяющих положение свободного твердого тела для
любого момента времени, называются уравнениями движения
свободного твердого тела. При выбранной системе осей коор-
координат уравнения движения свободного твердого тела будут
иметь следующий вид:
D8)
Первые три из уравнений движения D8) определяют движе-
движение точки О и вместе с тем поступательное движение свобод-
свободного твердого тела. Последние три уравнения определяют дви-
движение твердого тела относительно системы Oxiy^Zi (т. е. дви-
движение тела относительно точки О, как неподвижной).
141
Любое перемещение свободного твердого тела из одного
положения в другое можно осуществить одним поступательным
перемещением и одним вращением около некоторой оси, прохо-
проходящей через точку О.
В самом деле, положение свободного тела можно задать по-
положением точки О и положением дуги большого круга, лежа-
лежащей на поверхности сферы с центром в точке О, радиус кото-
которой равен единице. Пусть начальное положение тела задано
точкой Oi и дугой большого круга AiBu а конечное положе-
положение— точкой О2 и дугой большого круга A2B2 = AiBi. Переме-
Переместим твердое тело поступательно так, чтобы точка О( совпала
с точкой О2; тогда поверхности сфер единичного радиуса для
начального и конечного положений совпадут, и мы получим на
общей сфере радиуса, равного единице, две дуги большого кру-
круга AiBi и АгВ2 соответственно двум положениям тела относи-
относительно системы Ox,UiZi. На
основании теоремы Далам-
бера можно найти такую
ось вращения, проходящую
через точку О, поворот твер-
твердого тела около которой
приведет дугу
в сов-
совС
Фиг. 68
' падение с дугой А2В2. Осу-
ществив такой поворот, мы
переместим твердое тело в
конечное положение.
Очевидно, что при пере-
перемещении свободного твер-
твердого тела из одного поло-
положения в другое, бесконечно
близкое, мы должны совер-
совершить одно бесконечно малое
поступательное перемещение
и один поворот тела на бесконечно малый угол около оси мгно-
мгновенного вращения, проходящей через точку О (начало подвиж-
подвижной системы координат Oxyz).
Для изучения законов распределения скоростей и ускорений
точек свободного твердого тела воспользуемся аналитическим
Методом.
Пусть положение произвольной точки М тела относительно
системы осей О?ц?, определяется радиусом-вектором R, поло-
положение подвижного начала координат — радиусом-вектором Ro,
а положение точки М относительно системы осей Oxyz — радиу-
142
сом-вектором г (см. фиг. 68). Из векторного треугольника О\ОМ
имеем:
R = R0 + r. D9)
->
Разлагая радиус-вектор г по ортам подвижных осей систе^
мы Охуг, получим:
•>->-> •>
r = xi-\-y] -\-zk,
где х, у, z — величины постоянные, так как при движении тела
точка М не изменяет своего положения по отношению к си*
стеме осей Oxyz.
Дифференцируя D9) по времени, будем иметь:
-> dR dR0 , d . ->
или
di , ., dj . _ dk
На основании формул Пуассона:
dt
dt ¦>.,¦> dj ->,,-? dk
Таким образом,
X'r). E0)
Из равенства E0) следует, что скорость произвольной точки
М свободного твердого тела складывается из скорости посту-
пательного движения v0, общей для всех точек тела, и скорости
->->¦>
1>1=«Хг, обусловленной движением тела около точки О, как
неподвижной. Формула E0) дает закон распределения скоро-
скоростей точек свободного твердого тела в общем случае дви*
жения.
Дифференцируя соотношение E0) по времени, получим:
-> ->
-ЙГ И" IT (» X Г).
Очевидно, что—~- = да0 есть ускорение точки О (ускорение
поступательного движения твердого тела). Таким образом,
143
Но на основании вычислений § 5 (см. стр. 138):
Следовательно,
^ 4 i E1)
Формула E1) показывает, что в общем случае движения
свободного твердого тела ускорение произвольной точки тела
равно геометрической сумме трех ускорений:
->
1) ускорения Wq, представляющего собой ускорение поступа-
поступательного движения твердого тела, или, что то же, ускорение
точки О;
-> -> ¦>
2) ускорения Wi — eXr, представляющего собой ускорение,
обусловленное изменением вектора угловой скорости со по вели-
величине и направлению (неравномерное вращение тела около оси
мгновенного вращения, проходящей через точку О);
¦> ->
3) ускорения W2 — a2h, представляющего собой осестреми-
тельное ускорение точки М.
> ->
Геометрическая сумма ускорений (wi + w2) дает ускорение
точки М, обусловленное движением твердого тела около точ-
точки О, как неподвижной.
Из приведенных рассуждений ясно, что
|r| = const
Если вектор со имеет постоянное направление в пространстве,
то ускорение Wi = eXr совпадает с касательным ускорением
точки М, обусловленным вращением тела около оси постоян-
постоянного направления, проходящей через точку О. Так как
то формулу E1) можно представить в следующем виде:
(
E2)
Мы воспользуемся формулой E2) в дальнейшем, при изу-
изучении сложного движения точки (см. главу IV, раздел «Кине-
«Кинетика»).
§ 7. Сложение движений твердого тела
В этом параграфе рассмотрим сложение движений твердого
тела. Все доказанные ниже теоремы относятся к бесконечно ма-
малым перемещениям, обусловленным мгновенными поступатель-
поступательными скоростями или мгновенными угловыми скоростями.
1. Сложение поступательных движений. Пусть
твердое тело А участвует одновременно в двух поступательных
-> ->
движениях со скоростями Vi и v2. Определим результирующее
движение тела.
->
Пусть поступательное движение тела со скоростью vi проис-
происходит относительно подвижной системы Oxyz и сама система
осей Oxyz движется поступательно со скоростью и2 относитель-
относительно неподвижных осей О\\ц1,{ фиг. 69).
ч
о,
Фиг. 69
Так как при поступательном движении скорости всех точек
тела равны между собой, то векторы Vi и и2 можно переносить
в любую точку тела. Скорость произвольной точки тела равна
векторной сумме скоростей составляющих поступательных дви-
движений, т. е.
V,
рез '
¦V,
Следовательно, если тело участвует одновременно в двух
поступательных движениях, то результирующее движение будет
также поступательным. Скорость любой точки тела в сложном
движении равна геометрической сумме скоростей составляющих
движений. Совершенно ясно, что в случае п поступательных
> > ->
движений со скоростями vu v2,..., vn результирующее движе-
10 А. А. Космодемьянский [45
ние будет также поступательным, а скорость любой точки тела
будет равна:
стями
(x)
2. Сложение двух вращательных движений
вокруг пересекающихся осей. Скорость поступатель-
поступательного движения есть вектор свободный. Вектор угловой скорости
связан с осью вращения и является вектором скользящим. Пусть
тело участвует одновременно в двух вращательных движениях
вокруг пересекающихся осей с мгновенными угловыми скоро-
-> -> -> ->
и оJ. Перенесем векторы со4 и ыг в точку О пересечения
осей (фиг. 70) и докажем, что ре-
результирующее движение будет так-
также вращением с угловой скоростью,
равной геометрической сумме угло-
угловых скоростей составляющих вра-
вращений. При вращательном движе-
движении в теле существуют две точки,
скорости которых в данный момент
времени равны нулю. В нашем слу-
случае точка О имеет скорость и = 0,
так как лежит одновременно на
-> ->
двух осях: оI и ы2. Легко убедить-
убедиться, что точка А параллелограмма
ОВАС, простроенного на векторах
-> ->
а>1 и аJ, также будет иметь в дан-
данный момент времени скорость, равную нулю. В самом
деле, точка А получает от вращения с угловой скоростью
оI линейную скорость vu численно равную w1 = (oi/ii = 2 площади
->
АОАС. Вектор Vi будет перпендикулярен к плоскости паралле-
параллелограмма ОВАС и направлен перпендикулярно к чертежу (на
читателя) (фиг. 70). Вследствие вращения с угловой скоростью
(о2 точка Л получает скорость и2, численно равную W2=(o2/i2 = 2
площади АОАВ. Направление вектора и2 прямо противополож-
-> ->
но вектору Pi (вектор v2 направлен за чертеж). Так как
АОАВ = АОАС, то
Фиг. 70
и, следовательно, прямая, проходящая через точки О и А, будет
осью мгновенного вращения. Вычислим теперь скорость какой-
либо точки М, положение которой характеризуется радиусом-
вектором г,
146
Будем иметь:
Пусть Q — мгновенная угловая скорость, направленная по
линии ОА, тогда
>
Следовательно, при любом г
или QXr= (coi + aJ) Xr, откуда следует, что при любом г
Й = ю1 + ю2. E3)
Итак, если тело участвует одновременно в двух вращатель-
вращательных движениях вокруг пересекающихся осей, то результирую-
результирующее движение будет также вращением. Мгновенная ось резуль-
результирующего вращательного движения направлена по диагонали
параллелограмма, пост-
построенного на составляю-
составляющих угловых скоростях.
Результирующая угловая
скорость равна геометри-
геометрической сумме составляю-
составляющих угловых скоростей.
3. Сложение двух
вращений вокруг
параллельных осей.
Пусть тело участвует од-
одновременно в двух вра-
вращательных движениях,
угловые скорости кото-
рых (Oi и оJ параллельны
и направлены в одну сторону. В этом случае картины рас-
распределения скоростей в плоскостях, перпендикулярных к осям
вращения, будут одинаковы. Рассмотрим одну из этих
плоскостей (фиг. 71). Пусть точка А — след от пересечения век-
вектора (Oi с данной плоскостью, а точка В — след от пересечения
вектора ы2 с той же плоскостью. Покажем, что на прямой АВ
существует точка С, которая имеет скорость, равную нулю.
В самом деле, vic = (i>iAC, и2с = со2ВС Направления этих скоро-
скоростей прямо противоположны (фиг. 71). Потребуем, чтобы
vic = V2c, т. е.
10-*
147
или
а, — АС •
При этом условии скорость точки С равна нулю, а прямая
СС, параллельная соь является осью мгновенного вращения.
Пусть мгновенная угловая скорость вращения вокруг оси
СС будет Q. Найдем скорость точки В двумя способами: пер-
-> ->
вый раз — от двух вращений с угловыми скоростями coi и со2 и
второй раз — от результирующего вращения с угловой скоро-
скоростью Q. Будем иметь:
vB = щАВ = QCB,
откуда
о АВ
I AC \
Заменяя отношение \~rg-) по формуле E4) отношением угло-
угловых скоростей, получим:
(^) ©1+оJ. E5)
Итак, если тело участвует одновременно в двух вращатель-
вращательных движениях вокруг параллельных осей, причем составляю-
составляющие мгновенные угловые скорости ы2 и coi направлены в одну
сторону, то результирующее движение будет вращением с угло-
-> -> ->
вой скоростью Q, направленной в ту же сторону, что и wi, ю2.
Величина результирующей угловой скорости равна сумме за-
заданных угловых скоростей. Мгновенная ось вращения СС" делит
расстояние АВ между угловыми скоростями на части, обратно
пропорциональные величинам данных угловых скоростей, вну-
внутренним образом.
4. Пусть тело участвует одновременно в двух вращательных
движениях с угловыми скоростями ©1 и ff>2, параллельными и
направленными в разные стороны. Определим результирующее
движение тела, предполагая, что a>2>@i.
В этом случае аналогично предыдущему картина распреде-
распределения скоростей будет одинакова во всех плоскостях, перпенди-
перпендикулярных к (Oi и юг. Рассмотрим одну из этих плоскостей, в ко-
которой отмечены точки А и В пересечения векторов угловых ско-
скоростей с данной плоскостью (фиг. 72). На продолжении пря-
прямой АВ можно найти такую точку С, для которой
(о2ЛС = (о,^С, или Т~"~1с"-
148
Прямая СС, параллельная сог, будет поэтому осью мгновен-
мгновенного вращения. Чтобы определить величину результирующей
угловой скорости, найдем скорость точки В Будем иметь:
vB = а2АВ = QCB, E7)
откуда
Q— АВ — ю СВ—СА _ ю Л СА\
С А
Заменяя отношение ул* отношением угловых скоростей по
формуле E6), получим:
= а2 — (о1. E8)
Следовательно, если тело участвует одновременно в двух
вращательных движениях вокруг параллельных осей с нерав-
неравными угловыми скоростя-
скоростями и направленными в
разные стороны, то ре-
результирующее движение
будет вращением вокруг
мгновенной оси СС, ко-
которая делит расстояние
между составляющими
угловыми скоростями на
части, обратно пропор-
пропорциональные заданным уг-
угловым скоростям, внеш-
внешним образом. Величина ф _2
результирующей угловой
скорости равна разности
заданных угловых скоростей; вектор результирующей угловой
скорости направлен в ту же сторону, что и вектор большей
угловой скорости.
Все сказанное относительно сложения двух угловых скоро-
скоростей легко обобщить на любое число вращений с угловыми ско-
ростями (оь «г,
->
вокруг параллельных осей, если только
Ф 0.
v=l
5. Особый случай: пара вращений. Пусть твердое
тело участвует одновременно в двух вращательных движениях
вокруг параллельных осей с угловыми скоростями coi и ы2, рав-
равными по величине и противоположными по направлению.
Из формул E7) и E8) следует, что результирующая угло-
угловая скорость Q = 0, а мгновенная ось СС' удаляется в беско-
-> ->
нечность. Совокупность двух коллинеарных векторов ©i, сог, рав-
149
ных по величине, и направленных в противоположные стороны,
называется парой угловых скоростей или парой вращений.
Результирующее движение, обусловленное парой враще-
вращений, будет состоянием мгновенных поступательных скоростей.
Чтобы доказать это, достаточно убедиться в том, что скорость
любой точки тела не зависит от ее положения относительно
угловых скоростей coi и сог- Пусть расстояние какой-либо точ-
точки М тела от начала вектора (Oi равно
-> •> ¦>
ги а от начала вектора «г равно г%
(фиг. 73). Результирующая скорость
этой точки будет равна:
Но так как
Wj = tt>2,
ТО
— г2 = АВ,
— г2) = ©! X АВ,
Фиг. 73
т. е. скорость точки М зависит только от
величины угловой скорости составляющих
вращений и расстояния между ними, но не зависит от положе-
положения точки М.
Из свойств векторного произведения следует, что скорость
любой точки тела будет перпендикулярна к плоскости, опреде-
определяемой векторами coi и АВ (или векторами coi и сог), и напра-
направлена вверх, так как три вектора ©i, АВ и vM должны образо-
образовать правый трехгранник.
Величина вектора мгновенной поступательной скорости рав-
на: Um = »i • АВ • sin(©i, АВ) =ацп, где h — расстояние между
-> ->
векторами «i и со2.
Итак, результирующее движение, обусловленное парой угло-
угловых скоростей будет состоянием мгновенных поступательных
скоростей.
Величина мгновенной поступательной скорости определяется
по формуле:
г» = соА. E9)
Обратно, всякую мгновенную поступательную скорость мож-
можно заменить парой угловых скоростей, которая лежит в пло-
->
скости, перпендикулярной к вектору v. Векторное произведение
150
i) называют моментом пары вращений и записывают
так:
-> ¦> -> -> -> ->
mom@1, 02) = mom((o1, —щ)^ BAy.(ov
Численно mom (он, сог) равен произведению угловой скорости
одного из вращений на расстояние между осями (расстояние
между осями называют очень часто плечом пары вращений).
—> -> ¦» —>
Так как ВАXcoi = a)iX/lB, то мы можем утверждать, что
пара вращений эквивалентна мгновенной поступательной ско-
скорости, равной по величине и
направлению вектору — момен-
моменту этой пары.
Если состояние поступатель-
поступательных скоростей имеет место на
некотором отрезке времени,то
такое движение называют пер-
перманентным поступательным
движением. Перманентное по- Фиг- 74
ступательное движение можно
рассматривать как последовательное сложение пар вращений.
Простейшим примером такого рода может служить поступатель-
поступательное движение педали велосипеда. Движение педали есть перма-
перманентное поступательное движение, которое получается как
результат двух вращений вокруг параллельных осей (фиг. 74),
6. Винтовое движение твердого тела. Если твер-
твердое тело участвует одновременно в двух движениях: поступа-
поступательном со скоростью v и вращательном вокруг оси, параллель-
ной вектору v, с угловой скоростью со, причем отношение — —
= const, то результирующее движение называют перманентным
-> ¦>
винтовым движением. Если и и со коллинеарны только для дан-
данного момента времени, то результирующее движение называют
мгновенным винтовым движением.
Рассмотрим случай перманентного винтового движения.
Пусть твердое тело вращается вокруг неподвижной вертикаль-
вертикальной оси с угловой скоростью со и перемещается поступательно
со скоростью v, направленной по вектору со.
Отношение —=р называется параметром винта. Расстоя-
Расстояние А, на которое перемещается тело А за время одного оборо-
оборота, называется шагом винта. По определению имеем:
», -г 2л , 2я г,
Но / = —, а поэтому n = v — = 2лр.
151
Если векторы v и ы направлены в одну сторону, то винт на*
зывают правым (фиг. 75); если направление и и со противопо-
противоположны, то винт называют левым.
Траекторией любой точки тела при винтовом движении бу-
будет винтовая линия. В самом деле, если ось вращения есть
ось Ог, то координаты любой
точки М тела при v = const и
со = const можно записать в виде
(фиг. 75):
x = rcos<$, у — г sin ф, z = vt,
или, так как при вращении с
постоянной угловой скоростью
х = г cos(a>t),
у = r sin (at), z = vt. F0)
Уравнения F0) представляют
собой параметрические уравне-
уравнения винтовой линии. При перма-
перманентном винтовом движении г=
= const во все время движения и
траектория лежит всеми своими
точками на цилиндрической поверхности радиуса г. Скорость
точки М при винтовом движении определяется по фор-
формуле:
так как от вращательного движения точка имеет скорость, рав-
равную сог, а от поступательного движения — скорость, равную v,
причем эти составляющие взаимно перпендикулярны. Вектор-
Векторная сумма скоростей v и vt (vi = a>r) направлена по касательной
к винтовой линии и образует с осью Oz угол а, причем
Фиг. 75
(ОГ
V
F1)
Так как — = const, то траектория точки М пересекает обра-
образующие цилиндра под постоянным углом. Если развернуть ци-
цилиндр на плоскость, то винтовая линия изобразится на этой,
.плоскости прямой линией.
РАЗДЕЛ ВТОРОЙ
КИНЕТИКА
ГЛАВА I
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЗАКОНЫ КИНЕТИКИ
«Природа проста в своих законах, на
неизмеримо богата и разнообразна в их
приложениях».
Г. Лейбниц.
1. Основные разделы кинетики При кинемати-
кинематическом изучении движения мы следовали чисто геометриче-
геометрическому методу, не анализируя причинной связи между наблюдае-
наблюдаемыми движениями. Если для данного движения твердого тела
можно было определить положение, скорость и ускорение лю-
любой его точки, то задача кинематики считалась полностью ре-
решенной.
Кинетика (от греческого xivt]gi? — сообщение движения)
есть раздел теоретической механики, в котором изучается дви-
движение и равновесие материальных тел в неразрывной связи с
физическими причинами, определяющими то или иное механи-
механическое состояние тела.
Часть кинетики, заключающая в себе науку о равновесии
тел, называется статикой. Наука, изучающая переменные дви-
движения тел и причины, обусловливающие эти движения, назы-
называется динамикой.
2. Механические взаимодействия. Сила. Масса.
Первое, что мы наблюдаем при рассмотрении движения мате-
материальных тел,—это взаимодействие между ними. Во многих
случаях механическое взаимодействие между телами приво-
приводит к изменению движения этих тел, не изменяя качественно
природы самого движения. Механическое взаимодействие осу-
осуществляется или непосредственным контактом между телами
(паровоз тянет вагоны, стол давит на пол, движущиеся частицы
воздуха заставляют вращаться крылья мельницы и т. д.), или
через посредство материальной среды с другими физическими
свойствами, находящейся между рассматриваемыми телами
(Земля притягивает камень, Солнце притягивает Землю и дру-
другие планеты). В достаточно большом числе случаев результатом
153
взаимодействия между телами является изменение положения
тел относительно друг друга, т. е. механическое движение.
Если какое-либо механическое движение передается от од-
одного тела другому, то тело, передающее движение, является
источником движения — его причиной — для второго тела.
Активное воздействие, передаваемое от одного тела другому, в
результате которого происходит изменение движения, называет-
называется в механике силой. Сила измеряется количеством переноси-
переносимого движения. Так как при взаимодействии мы должны до-
допустить существование по крайней мере двух тел, то перенос
движения выявляется на двух взаимодействующих телах, одно
из которых может быть выбрано эталоном для измерения дви-
движения другого тела. Изменение движения эталона является ко-
количественной мерой силы. Количественная мера механического
движения, переносимого с одного тела на другое, — это и есть
динамическое определение силы в границах понятий классиче-
классической механики. Перенос движения особенно нагляден при кон-
контактных взаимодействиях тел.
Механическое взаимодействие между телами можно наблю-
наблюдать в двух различных формах:
1. Действие одного тела на другое вызывает изменение ки-
кинематического состояния другого тела, причем это второе тело
или начинает двигаться из состояния относительного покоя,
или видоизменяет свое движение. В этих случаях действие од-
одного тела на другое, т. е. силу, можно измерять по изменению
движения (изменению кинематических параметров). Результат
действия силы проявляется в изменении движения. Сила изме-
измеряется динамически.
2. Действие одного тела на другое не вызывает движения
второго тела. Второе тело под действием первого остается в
покое. Так, например, если на стол положить книгу, то равно-
равновесие стола не нарушится. Давление положенного на стол пред-
предмета (книги) измеряется и проявляется статически.
Для того чтобы измерять и сравнивать между собой силы,
нужно выбрать некоторый эталон. На практике для статиче-
статического измерения силы пользуются пружинными весами, или
динамометрами. За эталон меры статического действия силы
принимают вес 1 кубического дециметра (литра) воды при 4° С.
Эту силу называют килограммом. Оригинал платинового этало-
эталона килограмма хранится близ Парижа, точные копии этого эта-
эталона имеются во всех государствах. Кроме килограмма, в спе-
специальных областях техники и практической жизни приходится
пользоваться более мелкими и более крупными единицами сил.
Так, 0,001 килограмма называется граммом, а 1000 килограм-
килограммов составляют одну тонну.
Простейшим примером динамометра являются пружинные
весы. В этих весах мерой действующей силы служит удлинение
154
или сжатие пружины (или вообще упругого тела). Шкала ци~
ферблата пружинных весов предварительно градуируется путем
подвешивания к крючку К (фиг. 76) грузов весом в 1,
2, . . ., п килограммов.
Как показывает опыт, действие силы на данное тело зависит
от точки приложения силы, ее направления и величины. Линия,
вдоль которой направлена сила, называется линией действия
этой силы. Сила представляет собой векторную величину и изо-
—> ->
бражается направленным отрезком FA или FB (фиг. 77).
Точка А называется точкой приложения силы, длина отрез-
отрезка FA характеризует в некотором масштабе величину силы.
Прямая ЛВ есть линия действия силы.
Если на твердое тело действуют две силы,
равные по величине и направленные по одной
Фиг. 76 Фиг. 77
прямой в противоположные стороны, то такие силы уравно-
уравновешиваются.
Это аксиоматическое утверждение справедливо только для
твердых тел, расстояния между точками которых остаются не-
неизменными при любых нагрузках. В сущности это «силовое»
определение твердого тела.
Для динамического измерения силы нужно наблюдать те
изменения кинематического состояния, которые получаются при
действии силы. При сравнении динамического воздействия раз-
различных сил нужно выбрать некоторое тело, изменения движе-
движения которого в одних и тех же условиях под действием различ-
различных тел (сил) и будут исходными для измерений динамического
проявления сил. Одна и та же сила, приложенная к разным те-
телам, будет вызывать разные изменения их кинематического со-
состояния.
В кинетике одно твердое тело отличается от кругого не
только непроницаемостью и геометрической формой, но и коли-
количеством материи, содержащимся в рассматриваемом объеме.
Количество вещества, содержащееся в данном геометрическом
объеме и пропорциональное его весу, называется массой тела.
155-
Таким образом, если взять два шара одинакового радиуса, но
разного веса, то шар более тяжелый будет иметь большую мас-
•су, шар легкий — меньшую массу. По постановлению конгресса
электриков A881 г.) за единицу массы принимают массу 1 грам-
грамма, т. е. массу 1 кубического сантиметра чистой воды при тем-
лературе 4°С.
Законы динамического измерения силы основываются на
аксиомах механического движения Ньютона. В качестве основ-
основной меры механического движения Ньютон выбрал произведе-
произведение массы точки на ее вектор скорости.
Эта величина называется количеством движения материаль-
материальной точки. Если масса точки постоянна, то изменение количества
движения точки вызывается только изменением вектора скоро-
скорости, т. е. ускорением точки. Чтобы уяснить сущность дела, пред-
представим себе, что некоторому телу с неизменяющейся во время
движения массой мы сообщаем ускорение действием силы упру-
упругости пружины. Если исключить влияние сил сопротивления, то
можно убедиться в том, что две одинаковые пружины сообщат
телу ускорение в два раза большее, чем одна. Если взять три,
четыре, пять одинаковых пружин, то ускорение тела будет со-
соответственно в три, четыре, пять раз больше. Если одной и той
же силой упругости пружины действовать на тела различной
массы, то окажется, что ускорение будет тем больше, чем мень-
меньше количество материи, находящейся в теле, т. е. меньше масса.
Из такого рода опытов мы приходим к заключению, что
w = — , A)
где w — ускорение, F — действующая сила, m — величина, ха-
характеризующая количество вещества в теле * и называемая
массой тела.
В условиях измерений на Земле количество вещества в теле
характеризуют обычно его весом.
* Определение массы как количества материи, заключающейся в объеме
рассматриваемого тела, принадлежит И. Ньютону. В своей книге «Математи-
«Математические принципы натуральной философии» он определяет массу следующим
образом' «Количество материи (масса) есть мера таковой,
устанавливаемая пропорционально плотности и объему
е е. Воздухч двойной плотности в двойном объеме вчетверо больше, в трой-
тройном — вшестеро. То же относится к снегу или порошкам, когда они уплот-
уплотняются от сжатия или таяния... Определяется масса по весу тела, ибо она
пропорциональна весу, что мною найдено опытами над маятниками, произве-
произведенными точнейшим образом.».
Это определение вызвало целый ряд возражений, и многие авторы утвер-
утверждают, что в этом определении понятия массы заключается порочный круг
(плотность равна отношению массы к объему). Следует, однако, заметить,
что Ньютон придерживался атомистической гипотезы строения материи, и,
с его точки зрения, плотность единицы объема есть первичное понятие; плот-
плотность единицы объема может быть измерена числом простейших неделимых
частиц (атомов).
156
Чтобы установить связь массы с весом, нужно исходить из
хорошо проверенного экспериментального факта, что сила тя-
тяжести (вес тела) сообщает всем телам в данной точке земной
поверхности одинаковое ускорение g — 9,81 м/сек2, а поэтому
P = mg,
откуда
m = f B)
где Р — вес тела. Из соотношений A) и B) следует, что
- = -. C)
т. е. ускорение, сообщаемое данному телу при действии какой-
либо силы, прямо пропорционально величине этой силы.
Таким образом, на Земле масса тела определяется следую-
следующим отношением:
вес
ускорение силы тяжести
В технической системе единиц размерность массы будет:
г 1 f^l кГ ¦ сек2 г г-, „ ,,
И = ~У- = —^ =\кГ ¦ сек11 ¦ м~1\.
кГ • сек2
Тело весом 9,81 кГ имеет массу т=\ .
Следует иметь в виду, что благодаря суточному вращению
Земли около оси, проходящей через Южный и Северный полю-
полюсы, ускорение g и вес Р изменяются при изменении положения
тела (точки) на земной поверхности. Однако масса тела (точ-
(точки), т. е. отношение — остается постоянной, не зависящей от
положения на поверхности Земли. Измерение массы через вес
обусловлено практическим опытом человечества и тончайшими
прецизионными опытами ученых, начиная с Ньютона. Измере-
Измерения ускорения g на поверхности Земли показали, что
на экваторе (широта <р = 0) g = 9,78030 м/се/с2,
на широте ф = 45э g — 9,80616 м/сек2,
на полюсе ф = 90° g = 9,83215 м/сек2.
Следовательно, максимальное изменение величины ускоре-
ускорения при перемещении от полюса до экватора будет примерно
0,5%. Если взять массу одного литра воды при 4° С, то при
взвешивании этой массы на пружинных весах на полюсе и на
экваторе мы получим разницу около 5 граммов. При меньшем
изменении широт разница будет еще меньше. Так как в прак-
практической жизни мы часто считаем фиксированным вес тела, го
количество вещества, соответствующее данному весу, будет на
157
разных широтах различным. Это в ряде случаев нужно иметь
в виду при употреблении технической системы единиц.
Массу тела можно определить независимо от веса, и мы
сделаем это на основании законов (или аксиом) механического
движения, формулированных Ньютоном.
3. Аксиомы, или законы движения, по Ньюто-
Ньютону*. Будем рассматривать тело столь малых размеров, что
движения составляющих его частиц не будут отличаться друг
от друга. Такое тело будем называть материальной точкой. По
отношению к кинематическим характеристикам (траектория,
скорость, ускорение) материальная точка может рассматривать-
рассматриваться как геометрическая точка, но по отношению к действующим
силам она ведет себя как материальное тело природы. Основ-
Основные законы Ньютона для материальной точки можно формули-
формулировать так:
1-й закон. Всякая материальная точка продолжает удер-
удерживаться в своем состоянии покоя или равномерного и прямо-
прямолинейного движения, пока и поскольку она не понуждается при-
приложенными силами изменить это состояние.
Этот закон называется законом инерции и впервые он был
открыт еще Галилеем**. Сущность этого закона заключается
в том, что механическое движение не может возникнуть из ни-
ничего, а только в результате взаимодействия тел. Изолирован-
Изолированная материальная точка или находится в покое, или движется
прямолинейно н равномерно, сохраняя неизменным свое дви-
движение. Движение этой точки не может исчезнуть и превратить-
превратиться в ничто, а может быть передано другой точке (телу) или
перейти в другую форму движения (например, в теплоту). Если
m — масса точки, a v — вектор ее скорости, то произведение
->
mv есть количество движения материальной точки. Для изоли-
изолированной материальной точки количество движения остается
постоянным. Изменение количества движения точки может про-
* Аксиомы механики были впервые сформулированы И. Ньютоном в его
сочинении «Математические принципы натуральной философии», вышедшем
в Лондоне в 1687 г. См. русский перевод академика А. Н. Крылова.
** Вот некоторые из формулировок Галилея:
«... Степень скорости, обнаруживаемая телом, ненарушимо лежит в самой
его природе, в то время как причины ускорения или замедления являются
внешними; это можно заметить лишь на горизонтальной плоскости, ибо при
движении по наклонной плоскости вниз наблюдается ускорение, а при дви-
движении вверх — замедление. Отсюда следует, что движение по горизонтали
является неизменным, ибо если оно остается всегда себе равным, то оно ни-
ничем не ослабляется, не замедляется и не ускоряется» (Г. Галилей, Сочи-
Сочинения, т. I, стр. 372).
«Когда тело движется по горизонтальной плоскости, не встречая никакого
сопротивления движению, то движение его является равномерным и продол-
продолжалось бы бесконечно, если бы плоскость простиралась в пространстве без
конца» (Сочинения, т. I, стр. 417—418).
158
изойти только в результате взаимодействия с другими телами,
т. е. под действием силы. Стремление материальной точки со*
хранить свою скорость обнаруживается в том, что при встрече
точки с препятствием она производит на него давление тем
большее, чем больше масса точки и чем больше ее скорость.
Если материальная точка находится в относительном равно-
равновесии, то свойство материи сохранять свое состояние прояв-
проявляется в том давлении, которое она будет оказывать на воз-
воздействующее на нее тело, если мы попытаемся вывести ее из
состояния равновесия, передавая движение от гела точке не-
непосредственным контактом.
Следует подчеркнуть, что движение точки по инерции есть
прямолинейное и равномерное движение. В некоторых научно-
популярных статьях совершенно неправильно говорят о движе-
движениях по инерции автомобиля или ракеты после выключения
двигателя, так как обычно эти движения происходят с перемен-
переменной скоростью, т. е. под действием сил (тяготения, трения
и т. п.).
2-й закон. Изменение количества движения точки пропор-
пропорционально приложенной движущей силе и происходит по на-
направлению той прямой, по которой эта сила действует.
Выбирая должным образом единицы массы, скорости и
силы, второй закон Ньютона можно представить математически
в следующем виде:
= F. D)
Если масса точки постоянна, то из D) получим:
т ¦ —^- = mw = F, E)
т. е. произведение массы материальной точки на ее ускорение
равно действующей силе.
Уравнение E) называют основным законом динамики мате-
материальной точки. Сила F, представляющая собой эффект взаи-
взаимодействия данной точки с другими телами или точками, яв-
является фактором, изменяющим количество движения.
Из формулы E) следует, что одна и та же сила сообщает
материальным точкам с разными массами разные ускорения.
Обозначим через Wi и w2 величины ускорений, получаемые
данной материальной точкой от действия сил Fi и F2, тогда на
основании второго закона Ньютона:
Материальность точки проявляется на опыте в том, что уско-
ускорение, сообщаемое точке различными силами, прямо пропори
159
ционально величине этих сил. Отношение действующей силы к
ускорению является постоянным и характеризует способность
материи к восприятию и передаче механического движения. Вся-
Всякая масса, приводимая в движение каким-либо телом, оказы-
оказывает на движение этого тела влияние своей способностью про-
противодействовать изменению имеющегося у нее количества дви-
движения.
Некоторыми авторами первый закон Ньютона (закон инер-
инерции) трактуется как простое следствие из второго закона В са-
самом деле, если в уравнении E) положить:
то
-111—П
dt ~~u
и, следовательно,
1} == const.
Однако такое рассуждение имеет логическую ошибку (petitio
principi), так как мы в формальной процедуре интегрирования
-> ->
E) при F=0 уже предполагаем (допускаем), что функция v
определена в точке, где F = 0.
Если первый закон формулирован независимо, то второй ему
не противоречит, выигрывая в логической (и математической)
точности и строгости. По существу и сила получает определе-
определение через первый закон Ньютона, как причина, обусловливаю-
обусловливающая изменение скорости по величине или направлению.
Масса точки является мерой ее инертности Если действо-
действовать данной силой F на разные точки с массами mt, m2,. .. , mh,
то при сохранении направления силы получим из E):
F = mlwl = т2иJ= ••¦ =mkwk. G)
Соотношения G) показывают, что массу данной точки мы
можем определить только путем сравнения с другими массами.
Масса точки есть в сущности одно из первичных свойств, не
сводимых к каким-либо другим.
Если мы установим по соглашению единицу массы, го массы
всех других тел можно однозначно определить через выбранный
эталон.
Как уже указывалось, единицей массы служит масса одного
кубического сантиметра воды при 4° С. Эта единица вместе с
единицами длины (сантиметр) и времени (секунда) образуют
так называемую абсолютную (или физическую) систему единиц.
Единица силы в этой системе будет уже выражаться через вы-
выбранные основные единицы. Сила, сообщающая единице массы
160
ускорение в 1 -^г> называется диной. В переводе на обычные
весовые единицы дина равна примерно -щ- грамма.
Масса представляет собой понятие, физически совершенно
отличное от веса, и только в земных условиях ее удобно изме-
измерять весом. При точных измерениях абсолютная система единиц
имеет значительные преимущества, а в задачах астрономии она
является единственно возможной (в рамках механики Ньюто-
Ньютона). Можно указать простой опыт, который убеждает нас в
различии массы и веса. Для поднятия двух равных грузов Р,
Р необходимо преодолеть их вес, что можно обнаружить при
помощи мускульного напряжения. Если оба эти груза при-
привязать к концам шнура, перекинутого через блок
(фиг. 78), то эти грузы будут сопротивляться из-
изменению движения (сообщению ускорения) только
своей массой, ибо силы веса будут взаимно урав-
уравновешены. Если мы будем приводить в ускоренное
движение эти грузы, то ясно ощутим силу (и мо«
жем ее измерить), которую нужно для того при-
приложить. Величина прилагаемой силы будет тем
больше, чем больше массы грузов и чем большее
ускорение мы будем им сообщать. Таким образом, Рщ И Я
хотя масса в земных условиях и пропорциональ-
пропорциональна весу, но она является отличным от веса свой- ф 7g
ством, определяющим закон изменения количества
движения. Масса тела не будет изменяться при
переносе его с Земли на другую планету, в то время как вес
может изменяться весьма значительно. В наши дни летчики-
космонавты практически проверили и первый, и второй законы
Ньютона в условиях невесомости, т. е. в условиях, трудно pea*
лизуемых в обычных земных экспериментах. Масса характер
ризует материальность тела и является величиной, присущей
всякому телу и для данного теля неизменной. Массу, найденную
на основании формул G), называют инертной массой. Масса,
измеренная через вес, называется весомой или тяжелой мае*
сой. Весьма тщательные измерения, проведенные на Земле, по-
показывают, что инертная масса равна тяжелой. Мы будем счи-
считать равенство инертной и тяжелой масс экспериментальным
фактом *.
Формулировки первого и второго законов Ньютона отно*
сятся к некоторой неподвижной системе осей координат, выбор
которой связан с принципиальными трудностями. В самом деле,
* Эйнштейн в 1913 г. обратил особое внимание на этот факт и положил
ею в основу своей теории тяготения. В рамках механики Ньютона равенство
инертной и тяжелой масс не объясняется, но принимается как результат точ-
точных экспериментов
11 А. А. Космодемьянский 161
действующая на точку сила определяется взаимодействием с
другими телами и, следовательно, существенно зависит от от-
носительного расположения этих тел. Если относительное рас-
расположение взаимодействующих тел и точек дано, то величина
и направление действующей на материальную точку силы не
будет зависеть от выбора системы осей координат, а полностью
определится расположением масс в пространстве. Но по второ-
второму закону Ньютона сила равняется произведению массы на
ускорение, причем, как известно из кинематики, ускорение точ-
точки зависит от выбора системы осей координат. Следовательно,
уравнение:
-> ->
пли = F E)
может иметь место только по отношению к одной, специально
выбранной системе координат. Эта система координат, в кото-
которой имеет место уравнение E), называется инерциальной или
абсолютной системой отсчета. Только при условии хотя бы при-
приближенного существования этой системы имеет смысл и первый
закон Ньютона, так как для изолированной материальной точки
в однородном и лишенном материи пространстве нельзя отли-
отличить состояние движения от состояния покоя.
Какая же система осей координат должна быть принята за
абсолютную? Так как абсолютно неподвижных тел в природе
не существует, то мы можем выбрать основную систему только
приближенно. В большинстве задач кинетики, имеющих прило-
приложение к техническим проблемам, основную систему координат
можно связывать с Землей, считая ее неподвижной. Весьма
большое число экспериментов, поставленных для проверки ре-
результатов, вытекающих из второго закона Ньютона E), пока-
показывает, что принятие земной абсолютной системы не противо-
противоречит закономерностям наблюдаемых движений. Однако для
астрономических задач и задач космических полетов принятие
такой инерциальной системы будет уже неверным, так как
Земля вращается вокруг своей оси и движется вокруг Солнца.
В пределах ошибок наблюдений над движением планет и кос-
космических кораблей в качестве основной системы можно принять
систему, связанную с неподвижными звездами. С усовершен-
усовершенствованием методов теоретических и экспериментальных иссле-
исследований система координат, связанная с неподвижными звез-
звездами, также оказалась недостаточной для согласования опыт-
опытных фактов с результатами вычислений. Это было выяснено
Эйнштейном, который показал, что законы Ньютона не вполне
точны и при больших скоростях движения, сравнимых со ско-
скоростью света, являются только первым приближением для опи-
описания наблюдаемых движений. При скоростях же, значительно
меньших скорости света, все расчеты, вытекающие из законов
Ньютона, в предположении, что основная система координат
162
связана с неподвижными звездами (иногда даже с Землей),
достаточно просты и удовлетворяют самым строгим требова-
требованиям точности. Применение методов специальной теории отно-
относительности Эйнштейна к изучению движения тел со скоро-
скоростями, существенно меньшими скорости света, малоцелесообраз-
малоцелесообразно, так как усложнение исходных уравнений значительно, а
поправки к выводам классической (Ньютоновой) механики
ничтожно малы.
3-й закон. Действию всегда есть равное и противополож-
противоположное противодействие, иначе, взаимодействия двух тел (точек)
друг на друга между собой равны и направлены в противопо-
противоположные стороны.
«В самом деле, — говорит Ньютон в пояснение к этому за«
кону, — если что-либо давит на что-нибудь другое или тянет его,
то оно само этим последним давится или тянется. Если кто на<
жимает пальцем на камень, то и палец его также нажимается
камнем». Если какое-нибудь тело, ударившись о другое тело,
изменяет его количество движения на сколько-нибудь, то и оно
претерпит от второго тела в своем собственном количестве дви-
движения то же самое изменение, но обратно направленное, ибо
давления этих тел друг на друга во время контакта равны. Пер*
вый и второй законы Ньютона были формулированы по отноше-
отношению к материальной точке. Третий закон Ньютона является
основным для механической системы точек. Нужно только от-
отметить, что действие и противодействие не образуют системы
сил, эквивалентной нулю (т. е. уравновешенной), так как дей-
действие приложено к одному телу, а противодействие — к другому.
По этой причине как действие, так и противодействие могут вы-
вызвать движение тел, к которым они приложены. Рассмотрим,
например, камень, находящийся под действием силы притяже-
притяжения Земли; сила противодействия в данном случае будет при*
ложена к Земле. Действие вызывает движение камня, противо-
противодействие—движение Земли. Так как масса камня ничтожна по
сравнению с массой Земли, то смещения Земли не могут быть
измерены современными приборами; перемещения же камня
обнаруживаются без специальных инструментов, простым глазом.
4. Закон независимого действия сил и закон
параллелограмма сил. При движении материальной точ-
точки относительно выбранной системы координат ее ускорение
может быть результатом взаимодействия с несколькими телами,
т. е. обусловливается действием нескольких сил. В какой мере
влияют на величину суммарного ускорения отдельные, прило-
приложенные к точке силы, устанавливает закон независимого дей-
действия сил. Этот закон основывается на многочисленных опыт-
опытных фактах и формулируется так:
Действие каждой из приложенных к материальной точке сил
не зависит от того, находится ли эта точка в покое или в дви-
11* 163
жснии, и не зависит от числа действующих сил. Иначе говоря,
если на материальную точку действует несколько сил, то дви-
движение этой точки складывается из тех движений, которые точка
могла бы иметь под действием каждой силы в отдельности.
Силы в механике не индуцируют друг друга, действие любой
силы данной системы не зависит от действия других. Таким
образом, при одновременном действии на материальную точку
нескольких сил получается результирующее ускорение, равное
векторной сумме составляющих ускорений, сообщаемых каждой
из приложенных сил. Так как на основании второго закона Нью-
Ньютона ускорение, сообщаемое материальной точкой, пропорцио-
пропорционально действующей силе, то равнодействующая любого числа
.сил, приложенных к данной точке, будет равна векторной сум-
сумме сил составляющих. В частности, если на материальную точ-
-> -> ->
ку действуют две силы Fx и F2, то их равнодействующая Ra
будет равна диагонали параллелограмма, построенного на этих
силах. Математически это можно записать в виде:
Закон независимого действия сил и закон параллелограмма
были известны в достаточно отчетливом виде Галилею, совре-
современная формулировка этих законов дана Ньютоном в его
книге «Математические принципы натуральной философии».
Мы отметим здесь еще одну частную формулировку закона
независимого действия сил, получившую применение в задачах
статики и известную под названием аксиомы «нулевых систем».
Если на данное тело действует уравновешенная система сил,
или, иначе, система сил, эквивалентная нулю, то такую систему
называют «нулевой системой». Аксиому «нулевых систем» мож-
можно сформулировать так:
Механическое состояние твердого тела не изменится, если к
действующей на него системе сил добавить систему сил, экви-
эквивалентную нулю.
В частном случае, если под действием данной системы сил
тело находится в равновесии, то от приложения нулевой систе-
системы его равновесие не нарушится.
5. Несвободное движение материальной точ-
точки. Наложенные связи. До сих пор мы считали, что под
действием приложенных сил материальная точка может иметь
движение в любом направлении в соответствии с законами
Ньютона. Такую точку называют свободной. Но бывают слу-
случаи, когда на движение материальной точки, кроме заданных
сил, влияют дополнительные условия. Эти условия, налагающие
ограничения на движение точки, называются связями. Мате-
Материальная точка называется несвободной, если свобода ее пере-
перемещений ограничена связями. Так, например, если материаль-
164
ная точка под действием данных сил принуждена во все время
движения оставаться на поверхности или на кривой, то движе-
движение будет несвободным, так как перемещения точки по нормали
к поверхности или к кривой невозможны. Выясним, какими
уравнениями определяется движение несвободной точки. Пусть
на материальную точку массы т действует сила Яа), которую
мы будем называть активной, и пусть для определенности точка
принуждена двигаться по заданной кривой (например, малое
колечко или дробинка скользит по проволоке). Будучи свобод-
свободной, точка массы m под действием силы №) имела бы движе*
ние, отличное от того, которое она имеет, скользя по данной
кривой. Так как всякое изменение механического движения все*
гда производится некоторой силой, то действие наложенной свя-?
зи реализуется при движении материальной точки некоторой
силой. Следовательно, если материальная точка находится под
действием силы Ла> и свобода ее движения ограничена связью,
то действие этой связи можно заменить силой, которая назы->
->
вается реакцией связи. Обозначим силу реакции связи через N.
Движение материальной точки под действием суммы сил
-> ->
(FW + N) можно рассматривать как свободное и на основании
второго закона Ньютона записать:
->
mw = Fw + N. (8)
Сила N обладает свойствами, существенно отличными от
свойств активных сил Яа>, так как величина N не задается не-
непосредственно, но зависит от приложенных активных сил и про^
исходящего движения. Силы реакции связей называются пас-
пассивными силами.
6. Общая характеристика задач кинетики
точки. Третий закон Ньютона позволяет не только изучать
несвободное движение одной материальной точки, но и распро->
странить применение первых двух законов на движение механи-
механической системы точек, т. е. получить основные характеристики
движения системы. Как известно, механической системой мате*
риальных точек мы называем такую систему, в которой движе*
ние каждой точки зависит от движения и положения всех дру-
других точек системы. Иначе говоря, в механической системе ма-
материальных точек существуют силы взаимодействия между
отдельными точками. Примерами механических систем являются
точки обода маховика двигателя, центры тяжести планет сол-
солнечной системы, частицы текущей по трубопроводу жидкости
и т д. Силы взаимодействия между точками механической си-
системы равны и противоположно направлены,
165
Третий закон и выясняет физическую причину сил (сила есть
результат взаимодействия движущейся материи), и дает воз-
возможность написать уравнение движения любой материальной
точки системы, заменяя действия других точек соответствую^
щими силами.
Строгая, отчетливая формулировка третьего закона принад-
принадлежит Ньютону.
Как было показано, второй закон Ньютона при постоянстве
массы движущейся материальной точки приводит к уравнению:
Рассмотрение этого уравнения показывает, что в динамике
материальной точки мы можем исследовать два типа задач:
а) Задано движение материальной точки (кинематически)
и известна ее масса; нужно определить силу, которая, действуя
на эту материальную точку, сообщает ей заданное движение.
Эта задача решается весьма просто. В самом деле, если дви-
движение задано, то радиус-вектор, определяющий положение точ-
точки относительно выбранной системы отсчета, известен как функ-
функция времени, т. е.
~ ¦* йч
Гак как ускорение точки W=Z~^W' T0 сила, вызывающая
данное движение, будет равна:
— dt2 '
Таким образом, определение силы по заданному движению'
сводится к простой операции дифференцирования заданной
функции r(t).
б) Задана действующая на материальную точку сила и тре-
требуется определить, какое движение будет совершать эта точка,
если масса ее известна.
Решение этой второй задачи гораздо труднее, так как она
сводится к определению радиуса-вектора г из дифференциаль-
дифференциального уравнения второго порядка:
>
В общем случае действующая сила F зависит от положения
точки, ее скорости и времени, а поэтому интегрирование урав-
уравнения (9) в большинстве практических задач представляет
очень сложную математическую проблему. Но именно эта про-
проблема составляет существо современной механики.
166
Материальная точка находится в равновесии или состоянии
покоя, если ее положение относительно выбранной системы
отсчета остается неизменным. Таким образом, понятие покоя,
так же как и понятие движения, является относительным и свя-
связано с выбором некоторого тела, по отношению к которому
определяется положение данной точки. Так, моряки считают
находящимися в покое те тела, которые сохраняют неизменным
свое положение по отношению к кораблю, несмотря на то что
сам корабль движется по отношению к Земле, а Земля движет-
движется относительно Солнца.
Абсолютно движение вообще, как объективный признак су-
существования материи, механическое движение тел по отноше-
отношению друг к другу и частный случай движения — равновесие —
относительны. Механическое движение абсолютно лишь в том
смысле, что оно содержит в себе объективный (независимый
от субъекта и тела отсчета) признак бытия материи.
Если действующие на точку силы уравновешивают друг
друга, то точка будет находиться или в состоянии покоя, или
равномерного и прямолинейного движения относительно вы-
выбранной системы отсчета. Одна и та же материальная точка
может находиться в покое относительно одного тела и одновре-
одновременно двигаться относительно другого тела.
Мы начинаем изучение кинетики с законов, относящихся к
одной материальной точке. Кинетика материальной точки со-
составляет базу всей теоретической механики. Установив законы
движения и равновесия материальной точки под действием раз-
различных систем сил, мы перейдем к изучению движения и равно-
равновесия систем материальных точек и твердого тела.
ГЛАВА II
КИНЕТИКА СВОБОДНОЙ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
«...Изложение вопроса о движении мате-
материальной точки есть основа и главная
часть всей механики, на которой основы-
основываются все остальные ее части».
Л. Эйлер.
§ I. Равновесие свободной материальной точки
Рассмотрим материальную точку М, на которую действует
система сил Fv F2, ¦ ¦ ., Fn. Выясним, каким образом можно за-
заменить данную систему сил одной силой, эквивалентной по ме-
механическому воздействию рассматриваемой системе сил, а так-
также найдем условия, которым должны удовлетворять заданные
силы, для того чтобы материальная точка оставалась в равно-
равновесии. Сила, эквивалентная по механическому воздействию дан-
данной системе сил, называется равнодействующей. Для того что-
бы определить равнодействующую системы сил F\, F2, F3, ...,
..., Fn, приложенных к данной точке М (фиг. 79), восполь-
воспользуемся аксиомой параллелограмма сил. Сложив на основании
-> -> ->
этой аксиомы силы Fj и г2 (фиг. 79, а), получим силу Ri2, эк-
-> ->
Бивалентную силам Fx и F2. Математически эту операцию мож-
можно записать в виде:
Применяя аксиому параллелограмма сил к силам /?12 и Fbr
получим силу /?ш> эквивалентную силам Flt F2, Fz', так как па
предыдущему сила Йи эквивалентна силам Fx и F2, то опе-
операцию приведения трех сил к одной силе можно записать
в виде:
^123 = Rl2 + Р» = Л + h + К
168
Продолжая процесс сложения далее, мы найдем, что равно-
равнодействующая системы сил, приложенных к данной точке М, бу-
будет равна их геометрической (векторной) сумме и приложена к
точке М. Математически этот результат можно записать в виде:
V»!
О)
Графический прием определения равнодействующей отчет-
отчетливо виден на фигуре 79, где последовательно указаны парал-
->->¦•*¦->¦
лелограммы сил для Рг и F2, Rn и Fz и т. д. Для того чтобы
не загромождать чертеж последовательными построениями па-
параллелограммов, можно поступать следующим образом.
Фиг. 79
-у ^-
Из конца вектора Fi проведем вектор АВ, равный по вели-
величине и параллельный силе F2. Замыкающей векторного тре-
треугольника МАВ будет, очевидно, Rl2. Проводя из конца век-
вектора АВ вектор ВС, равный по величине и параллельный силе
F3, мы получим, что замыкающей векторного многоугольника
МАВС будет Ri2s, и т. д.
Таким образом, равнодействующая системы сил, приложен-
приложенных к данной точке М, изображается замыкающей векторного
многоугольника, стороны которого равны и параллельны дан-
данным силам (фиг. 79,6).
Графический прием определения равнодействующей широко
•> •*¦ ->
применяется в тех задачах, где пучок сил Flt F2, • ••. Fn рас-
расположен в одной плоскости. Если графическое решение задачи
провести трудно, то величину и направление равнодействующей
находят' аналитическим способом. В самом деле, пусть в точ-
точке О (фиг. 80) имеется прямоугольная система осей коорди-
координат Oxyz, тогда можно найти проекции каждой силы на эти
¦оси. Из курса аналитической геометрии известно, что проекция
169
геометрической суммы векторов на какую-либо ось равна алге-
алгебраической сумме проекций составляющих векторов на ту же
ось. Следовательно, проекция равнодействующей R на ось Ох
равна алгебраической сумме проекций сил составляющих на ту
же ось, т. е.
Rx — *\x \ ' 2x \
и аналогично
v=l
••• +/=",»,= 2Л*
B)
v=l
n
v=l
Модуль (величину) равнодействующей можно определить по
формуле:
или, принимая во внимание формулы B),
/? =
C')
Для того чтобы найти направление равнодействующей, до-
/» статочно знать косинусы углов, ко-
которые образует равнодействующая
с осями координат. Из определения
проекций вектора на оси Ох, Оу,
Oz следует, что
D)
170
Формулы B), C) и D) полностью решают задачу анали-
аналитического определения равнодействующей сил, приложенных к
данной точке.
Выясним теперь, каким условиям должны быть подчинены
действующие на материальную точку силы, для того чтобы точ-
точка оставалась в равновесии. Из первого и второго законов Нью-
Ньютона следует, что необходимыми и достаточными условиями
равновесия точки являются следующие условия: а) равнодей-
равнодействующая всех сил, приложенных к точке, должна быть равна
нулю; б) начальная скорость точки также должна быть равна
нулю.
Допуская, что условие (б) выполнено, найдем аналитическое
выражение условия (а). Если вектор R равен нулю, то, оче-
очевидно, должны быть равны нулю и его проекции, т. е.
Rx=IiFvx = O
v=l
?» = 2 Fyy = 0
v=l
П
v=l
= 0
E)
Таким образом, для равновесия системы сил, приложенных
к одной точке, необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций
всех сил на каждую из трех координатных осей была равна
нулю.
Соотношения E) являются необходимыми условиями равно-
равновесия свободной материальной точки под действием заданной
системы сил.
Условия E) при выполнении (б) будут одновременно и до-
достаточными условиями равновесия свободной материальной точ-
точки, потому что при R = Q и ио=О точка может находиться только
в состоянии покоя относительно данной системы координат.
Если приложенные к точке силы расположены в одной пло-
плоскости, например в плоскости хОу, то одно из трех условий рав-
равновесия E) обратится в тождество, и мы будем иметь только
два условия равновесия, а именно:
E')
n
v=l
n
v=l
Fvx
*vy
— 0
= 0
Для пояснения сказанного рассмотрим две задачи.
171
Задача 13.К вершине А прямоугольного параллелепипеда
'AKCFBEDH приложены три силы (фиг. 81). Величина и на-
направление каждой из этих сил изображаются векторами АВ,
—$> —>
AC, AD. Найти равнодействующую-
этих сил аналитическим методом.
Возьмем прямоугольную систе-
систему осей координат Axyz, как ука-
указано на фигуре 81.
По формуле B) имеем:
Rx — AC cos аг + АВ cos a3 = 2AF,
Ry = АВ sin а3 + AD cos <х2 = 2АН,
jRz = AC sin ctj + AD sin а2 = 2AK>
откуда
Фиг. 81 = 2 VAF2 + AH2 + AK2 = 2AE.
Направляющие косинусы равнодействующей будут равны:
-&-
cos
Следовательно, равнодействующая равна по величине
енной диагонали АЕ параллелепипеда AKCFBEDH и совпадает
с ней по направлению.
Этот результат можно получить геометрическим методом,
если силы АВ, АС и AD разложить по осям координат, а затем
сложить составляющие по
правилу параллелограмма.
Задача 14. Материальная
точка М весом Р кГ удержи-
удерживается в равновесии на на-
наклонной плоскости, образую-
образующей угол а с горизонтом, тремя
силами: Ри Р2, Рз, величины
которых равны -$Р\ одна из |р
сил направлена вертикально фиг 82
вверх, вторая — вверх вдоль
плоскости, третья — горизонтально под плоскость (фиг. 82),
Найти угол а и реакцию Я наклонной плоскости.
Решим эту задачу аналитическим методом.
Выберем начало координат в точке М, причем ось х напра-
направим вниз по наклонной плоскости, а ось у — по направлению
172
нормальной реакции N, которая будет перпендикулярна к пло-
плоскости. Условия равновесия E') примут в данном случае вид:
Rx = Р sin а — Я3 cos а — Л sin а — Р2 = О,
Ry = N -\-Plcosa — Pz sin а — Я cos а = 0.
Так как Р1 = Р2 = Рг = -^Р,
то
Rx = — j Р + -| Р si п а — -g- Р с о s а = 0,
Ry = N 5- Я cos а —о Я sin а =0.
О О
Из первого уравнения находим:
2 sin a — I + cosa,
или
4 sin -у cos ^ — 2 cos2 -j-,
откуда, предполагая, что cos-g-^O» будем иметь:
1 0ia—\ О т a +O-— ¦ —
1—zig-^i—и, т. е. lS^ ^•
По таблицам находим, что
a ^53° 8'.
Из второго уравнения находим реакцию плоскости:
Р 2
N — -g- (sin a 4- 2 cos o) = -jA
§ 2. Момент силы относительно точки и момент силы
относительно оси
При исследовании законов движения и равновесия мате-
материальной точки, твердого тела и вообще любых механических
систем нам часто придется пользоваться понятием момента
силы относительно какой-либо точки. Пусть дана сила F и
точка О (фиг. 83). Опустим перпендикуляр из точки О на ли-
линию действия силы F. Длину этого перпендикуляра OD — h на-
назовем плечом силы F относительно точки О. Алгебраической
величиной момента силы относительно данной точки называет-
называется произведение величины силы на длину перпендикуляра, опу-
опущенного из этой точки на линию действия силы. Обозначая
173
алгебраическую величину момента силы относительно точки
символом mom0 F, по определению будем иметь, что
->
mom0 F' = hF.
Плоскость, определяемая силой F и точкой О, называется
плоскостью действия момента. Эффект действия момента будет
зависеть не только от величины момента (произведения hF),
но и от положения в пространстве плоско-
плоскости его действия. Условимся изображать
момент силы относительно данной точки
вектором, модуль которого равен произве-
произведению силы на плечо, а направление совпав
дает с перпендикуляром к плоскости дей-
действия момента, причем наблюдатель, смот-
смотрящий с конца вектора-момента, должен
видеть поворот плоскости действия мо-
момента совершающимся против часовой
стрелки.
Проведем из точки О к точке приложе-
приложения силы радиус-вектор г (фиг. 83), тогда
Фиг. 83 А —Г sin а,
а величина момента силы F относительно точки О будет равна:
hF = rF sin a.
Вектор-момент силы относительно точки О равен векторно-
векторному произведению радиуса-вектора г точки приложения силы на
вектор силы F, т. е.
= rXF.
F)
В самом деле, по определению модуль векторного произве-
произведения F) равен rF sin a, a направление совпадает с условно
принятым направлением вектора-момента.
Величина момента силы относительно точки геометрически
равна удвоенной площади треугольника ОАВ, построенного на
векторах г и F (фит. 83), или площади параллелограмма ОАВС.
Если линия действия силы F проходит через точку О, то момент
силы относительно этой точки равен нулю.
Пользуясь формулой F), можно найти проекции вектора
momo F на координатные оси. Как изустно из векторной
174
алгебры,
i j k
x у z
FxFy
где i, j, k — единичные векторы координатных осей, х, у, г —
проекции на оси координат радиуса-вектора г, a Fx, Fv, Fz —
проекции на те же оси силы F. Разлагая определитель по эле-
элементам первой строки, получим:
mom0 F =l(yFz — zFy) -\-\zFx — xFz) +1 (xFu — yFx).
Следовательно, проекции вектора-момента силы на оси
равны:
= yFz — zFy
(mom0 F)y — zFx — xFz
(mom0 F)z = xFy — yFx
->
Если к данной точке приложено несколько сил Fu
и равнодействующая этих сил:
F')
нам известна, то легко показать на основании распределитель-
распределительного закона векторного произведения, что момент равнодей-
равнодействующей относительно любой точки равен сумме (векторной)
моментов составляющих сил относительно той же точки.
В самом деле, по определению:
Ч- тот0 F2-\- ... + mom0Fn.
->
Зная момент силы F относительно точки О, легко найти мо-
момент этой силы относительно любой оси, проходящей через дан-
данную точку. Момент силы относительно оси определяется сле-
следующим образом:
проекции вектора-момента силы относительно некоторой точ-
точки на ось, проходящую через эту точку называется моментом
силы относительно оси. Пусть мы имеем некоторую ось А; обо-
->
значим единичный вектор этой оси через е. Подсчитаем момент
175
силы F (фиг. 84) относительно оси А. Возьмем произвольную
точку на оси А; тогда момент силы относительно точки («точеч*
ный вектор-момент») будет определяться по формуле:
По определению момент силы относительно оси А равен;
= GИ0)д = Л10 • е,
или
G)
Из определения момента силы относительно оси ясно, что
«осевой момент» есть алгебраическая величина. Если осевой
момент положителен, то на-
наблюдатель, смотрящий с по-
положительного направления
С' оси А, будет видеть вращение,
создаваемое силой F около
оси А, происходящим против
часовой стрелки.
Легко видеть, что момент
силы относительно оси А не
зависит от выбора точки О на
оси А. В самом деле, возьмем
какую-либо другую точку А
на оси А; тогда момент силы
F относительно этой точки бу-
будет равен:
Фиг. 84 лл ? N/ Р
Точечный вектор-момент МАфМ0, но момент силы относи-
относительно оси А, проходящий через точку А, равен:
momд
Р = Ni^e =
XЪе =
так как векторы (eXri) и (еХг) равны по модулю и одинаково
направлены.
Иногда при решении конкретных задач моменты силы отно~
сительно осей удобно вычислять другим, более наглядным спо-
способом.
->
Спроектируем силу F на плоскость л, перпендикулярную к
оси А, и вычислим момент этой проекции относительно точки
176
пересечения ос» А с плоскостью п. Будем иметь (фиг. 85):
— ± dFn.
При этом определении осевой момент считается положитель-
положительным, если наблюдатель, смотрящий с положительного конца
оси А, видит вращение плоскости я, создаваемое силой Ря, со~
вершающимся против часовой стрелки.
Как видно из фигуры 85, численное значение осевого мо-
момента равно удвоенной площади треугольника ОВС, лежащего
в плоскости п. Так как Мл численно равен удвоенной площади
треугольника АВ'С, то про-
проекция ьектора Мл на ось А
равна проекции площади
треугольника АВ'С на пло-
плоскость я, причем из фигу-
фигуры 84 и фигуры 85 видно, что
МА ¦ е = d ¦ Fn,
т. е. оба определения осе-
осевого момента тождественны.
Таким образом, проекция
вектора-момента силы, вы-
вычисленного относительно
данной точки, на какую-ли-
какую-либо ось, проходящую через
эту точку, равна моменту
силы относительно этой оси.
Численное значение осево-
осевого момента равно произведению величины проекции силы на
плоскость, перпендикулярную к оси, на расстояние линии дей-
действия проекции силы от точки пересечения данной оси с этой
плоскостью.
Из определения осевого момента следует, что момент силы
относительно оси равен нулю в двух случаях:
1) если данная сила F параллельна оси А, тогда проекция
силы F на плоскость л будет равна нулю и, следовательно,
->
mom \F=0;
2) если данная сила F пересекает ось А, тогда момент силы
F относительно точки пересечения оси с линией действия силы
будет равен нулю и, следовательно,
->
тотд F — 0.
Фиг. 8S
12 А А Космодемьянский
177
Легко понять, что момент силы относительно оси не будет
изменяться, если силу F переносить вдоль линии ее действия.
Если проекции силы F на оси координат обозначить Fx, Fv Fz,.
а проекции радиуса-вектора г, проведенного из начала коорди-
координат к точке приложения силы F, через х, у, г, то формулы для
вычисления моментов силы F относительно координатных осей
будут совпадать с формулами F'). В самом деле,
-> —> ~> ->
momxF — (mom0 F) i = yFz — zFy,
-> —>• -> ->
mom,, F = (mom0F) j' = zFx — xFz,
-> —> -> ->
тотг F = (mom0 F) k = xFy — yFx.
Момент силы относительно оси характеризует вращательный
эффект силы относительно этой оси. В самом деле, разлагая
-> ->
силу F на две составляющие, одна из которых есть ^я, а вторая
параллельна оси А, легко понять, что вращение около оси А
->
будет создавать только сила Гл. Сила, параллельная оси А, не
может вызвать вращения около этой оси.
§ 3. Прямолинейное движение материальной точки
1. Если начальная скорость материальной точки или равно-
равнодействующая системы сил, действующих на эту точку, не равны
нулю, то материальная точка будет двигаться относительно вы-
выбранной системы координат. Пусть масса движущейся мате-
материальной точки постоянна, тогда уравнение движения точки на
основании второго закона Ньютона можно написать в виде:
mw = R, (8)
-> ->
где w — ускорение точки, a R — равнодействующая системы
приложенных к точке сил. В проекциях на оси координат ура-
уравнение (8) примет вид:
mwx = RX=^ Fvx
v=l
v=l
v=l
178
(9)
Из кинематики известно, что wx — x, wy=ij и wz = z, поэтому
уравнения (9) можно написать так:
тх = Rx,
my = Rv. (9')
mz = Rz.
Силы, действующие на материальную точку, могут зависеть
от координат этой точки, ее скорости и времени. Следователь-
Следовательно, равнодействующая R будет также зависеть от х, у, z, х, у,
z, t
Указав переменные, от которых зависит равнодействующая
приложенных сил, мы можем представить уравнения движения
точки в виде:
mx = Rx(x, у, z, х, у, z, t)
my = Ry(x, у, z, х, у, z, t)
mz = Rz(x, у, z, х, у, z, t)
A0)
Система уравнений A0) является системой совместных диф-
дифференциальных уравнений второго порядка относительно неиз-
неизвестных функций x(t), y(t), z(t). Следовательно, для определе-
определения закона движения точки необходимо проинтегрировать си-
систему уравнений A0), иначе говоря, найти такие функции x(t),
y(t), z(t), которые удовлетворяют уравнениям A0).
Пусть x(t), y(f) и z(t) являются решениями дифференциаль-
дифференциальных уравнений A0). Так как движение точки непрерывно, то х,
у, z будут непрерывными функциями времени t и, следователь-
следовательно, могут быть разложены в ряды по степеням t:
o- + (x)
где Хо, Уо, ^о суть координаты материальной точки в момент
/ = 0, a(iH, (y)o, (z)o — проекции скорости точки на оси коор-
координат при t=0 (иначе, проекции на оси координат начальной
скорости). Производные второго и высших порядков при ^ = 0
определяются из уравнений A0).
Шесть величин х0, у0, z0, (iH, (y)o, (io) не могут быть най-
найдены из уравнений движения, и для определенности функций
x(t), y(t) и z(t) они должны быть заданы. Эти шесть величин
называются начальными условиями движения. Таким образом,
12* 179
решения системы A0) будут зависеть от шести произвольных
постоянных, определяемых начальными условиями движения.
В большинстве задач, которые будут рассмотрены в данном
курсе, ряды A1) выражаются в конечном виде через простей-
простейшие функции, свойства которых известны из курса математи-
математического анализа.
Выясним теперь, какие условия должны быть наложены на
действующие силы и каковы должны быть начальные условия,
для того чтобы движение материальной точки было прямоли-
прямолинейным. Прямую, по которой движется точка, примем за ось
Ох; тогда, очевидно, во все время движения:
y = z = 0 и y = z = O.
Отсюда следует, что во все время движения у = 0, 2 = 0,
т. е. Rv=Rz = 0.
Следовательно, для того чтобы материальная точка двига-
двигалась по данной прямой, необходимо, чтобы равнодействующая
всех сил, действующих на точку, и начальная скорость точки
были направлены по этой прямой. Эти условия и достаточны.
В самом деле, пусть Ry = Rz = 0, тогда у = 0 и ?'=0. Интегрируя,
получим:
у = С1 и z = С2.
Если начальная скорость точки направлена по оси Ох, то
Cj = С% = 0.
Интегрируя уравнения i/ = 0 и ? = 0, получим:
y = Cz и z = C4.
Если при ^=0 материальная точка находилась на оси Ох,
то С3 = С4=0 и, следовательно, во все последующее время дви-
движения (/ = 0 и 2=0. Таким образом, движение точки будет про-
происходить по оси Ох.
Дифференциальное уравнение прямолинейного движения ма-
материальной точки по оси Ох в общем виде можно написать так:
R(x, х, t). A2)
Решение этого уравнения будет зависеть от двух произволь-
произвольных постоянных, которые нужно определить из начальных усло-
условий движения. Мы рассмотрим в дальнейшем ряд частных слу-
чаев, когда уравнение A2) можно проинтегрировать достаточно
просто.
2. Действующая сила R — const. Исследуем движение
материальной точки под действием постоянной силы. Наиболее
часто встречающимся случаем такого движения является сво-
свободное падение материальной точки под действием силы тяже-
тяжести с небольших (по сравнению с радиусом Земли) высот,
180
Дифференциальное уравнение движения точки в этом слу-
случае будет иметь вид (фиг. 86):
Так как /? = const, m = const, то
* = ¦§ = «, A3)
где а — const.
Интегрируя A3), получим:
x = at-\-Cv A4>
Произвольную постоянную Су определим из условия, что при
/ = 0, x=Vq. Подставляя начальные данные в соотношение A4),
находим, что C\ = Vq.
Интегрируя A4), будем иметь:
x = ^-\-Vot-\-Cr A5)
Допустим, что при t=0 точка находилась в начале коорди-
координат, тогда при ^=0 * = 0 и, следовательно, С2 = 0. В данном
случае начало координат можно вы-
выбрать так, чтобы начало отсчета О^
расстояний соответствовало началу
движения; поэтому принятое до-
допущение о том, что при ? = 0 х=0, Фиг. 86
не ограничивает общности реше-
решения поставленной задачи. Таким образом, при заданных на-
начальных условиях решение уравнения A3) будет иметь вид:
x=vot-\-^-. A6)
Скорость движущейся точкц М в любой момент времени
определяется по формуле:
v=vo-\-at. A7)
Если а>0, движение точки называется равноускоренным,
при я<0 — равнозамедленным. Для случая свободного падения
точки вблизи поверхности Земли а = #=9,81 м/сек2. Законы
равноускоренных и равнозамедленных движений были впервые
исследованы Галилеем.
3. Действующая сила R зависит только от
времени t. Напишем дифференциальное уравнение движе*
ния в виде:
, тх = /?! (t),
или
( A8)
18L
тде
Так как при прямолинейном движении х==~ж< то, интегри~
руя A8), получим:
t
v = fR(t)dt. A9)
Интегрируя A9), найдем закон движения точки в виде:
R(t)dt\dt, B0)
-/{/¦
где произвольные постоянные интегрирования включены в знак
интеграла.
Таким образом, если функция Ri(t) задана в достаточно
простом виде, определение скорости движущейся материальной
точки и закона ее движения может быть выполнено без затруд-
затруднений по формулам A9) и B0).
Пусть, например, Ri =—/4co2msin(co^), где А и м-*-постоян-
м-*-постоянные. В этом случае R =—Лео2 sin (at) и, следовательно,
v = Лео cos {(at) + С[,
х = Л sin (со;!) -j- C^ -j- С2.
Если допустить, что при t = 0 у = Лсо, а л:=0, то Ci = C2 = 0,
и мы найдем закон движения материальной точки в виде:
x = Asin(<>>t), B0')
т. е. материальная точка будет совершать гармонические коле-
бания с амплитудой А и периодом Г —-^- около начала коор-
координат.
4. Действующая сила R зависит только от
-скорости у. В большинстве случаев силы, зависящие от ско-
скорости движущейся материальной точки, возникают при движе-
движении в сопротивляющейся среде (например, в воде, воздухе и
т. п.). Как показывают многочисленные эксперименты и ряд тео-
теоретических исследований, сила сопротивления среды зависит от
физических свойств среды, скорости движения и размеров дви-
движущегося тела. Если размеры тела и скорость его движения
малы (порядка нескольких мм и мм/сек), то с достаточной для
практики точностью можно считать силу сопротивления про-
пропорциональной первой степени скорости. Этот закон сопротив-
сопротивления справедлив для очень медленных движений.
В весьма широком диапазоне скоростей и размеров тел мож-
можно полагать силу сопротивления пропорциональной квадрату
J82
скорости. Все расчеты сопротивлений в современной транспорт-
транспортной авиации и гидротехнике основаны на хорошо проверенном
экспериментами законе, по которому сила сопротивления про-
пропорциональна квадрату скорости. Если скорость движущегося
тела приближается к скорости звука (в нормальных условиях
равной 340 м/сек), то сила сопротивления возрастает быстрее,
чем квадрат скорости.
Опыты Н. В. Майевского по изучению сопротивления
артиллерийских снарядов, проведенные в конце XIX столетия в
России, показывают, что для области околозвуковых скоростей
C00—400 м/сек) силы сопротивления возрастают пропорцио-
пропорционально кубу, а иногда даже пятой степени скорости. Сильное
возрастание сил сопротивления в области околозвуковой скоро-
скорости требует значительного увеличения мощности моторов совре-
современных скоростных самолетов. Рас- v
смотрим прямолинейное движение точ- о —»•
ки в сопротивляющейся среде, считая —
силу сопротивления пропорциональ-
пропорциональной квадрату скорости.
Пусть материальная точка дви- •
жется в положительном направлении
оси Ох (фиг. 87) и на нее действует сила R = kiV2, где й4 — по-
постоянная, зависящая от физических свойств среды (плотно-
(плотности, вязкости) и геометрической формы тела. Дифференциаль-
Дифференциальное уравнение движения материальной точки можно написать
в виде:
тх = — ку, B1)
так как сила сопротивления направлена в сторону, противопо-
противоположную движению точки. Разделив обе части B1) на т и обо-
обоB2>
значив — через а, получим:
Но х==-$-> поэтому B2) можно написать так:
Интегрируя, будем иметь:
Полагая, что при t = 0 у = у0, легко найдем, что
d = —i.
183.
Таким образом, первый интеграл уравнения B2) примет вид:
1 = J—\-at,
или
v^-j-1 B3)
Из формулы B3) следует, что при t-^oo у-*-0, что качест-
качественно хорошо согласуется с опытом. Заменяя в B3) скорость и
dx
через —тг и разделяя переменные, получим:
, dt
dx — —x .
Интегрируя, будем иметь:
*=iln(-k+a')+c* B4)
Полагая, что при ^ = 0 * = 0, из B4) найдем;
Следовательно, закон движения материальной точки будет
иметь вид:
* = iln(l+cw0*). B5)
Из B5) легко усмотреть, что при неограниченном возраста*
нии времени расстояние точки от начала координат будет не-
неограниченно увеличиваться, т. е. теоретически материальная
точка, движущаяся в среде, сопротивление которой пропорцио-
пропорционально квадрату скорости, может при конечном значении на-
начальной скорости пройти сколь угодно большое расстояние.
Этот факт находится в противоречии с опытом. Основная ошиб-
ошибка, которая обусловила этот результат, заключается в том, что
мы предположили силу сопротивления пропорциональной ква-
квадрату скорости независимо от величины скорости. При умень-
уменьшении скорости от значения у0 до некоторого значения у4 в
реальных условиях можно считать силу сопротивления пропор-
пропорциональной квадрату скорости, но для скоростей, меньших vu
сила сопротивления будет уже пропорциональной первой степе-
степени скорости. В случае, когда сила сопротивления пропорцио-
пропорциональна первой степени скорости, уравнение движения точки бу-
будет иметь вид:
dv ,
m kv
184
или
dv _
dt ~~
где
1 т
Разделяя переменные и интегрируя, найдем:
Так как при ?=0, v = Vi, то Ci = ln y4 и, следовательно,
dx_^_ _Oi<
Интегрируя еще раз, получим:
а, ' i 2-
Полагая, что при ?=0 х—§, найдем: С2 = —> а следова*
тельно,
х = -^-(\ —е-а>'). B6)
Из B6) ясно, что lim;c = — ,т. е. при неограниченном воз-
возрастании времени расстояние точки от начала координат будет
величиной конечной; этот результат находится в полном соот~
ветствии с данными опытов.
Таким образом, для правильного исследования движения ма-
материальной точки в сопротивляющейся среде необходимо ре-
решать задачу по частям, полагая сначала силу сопротивления
пропорциональной у2, а затем, после достижения скоростью не-
некоторого значения viy пропорциональной v. Еще более сложным
будет решение той же задачи при условии, что начальная
скорость у0 больше или равна скорости звука. В этом случае
область движения необходимо разбивать на значительно боль-
большое число интервалов, причем в каждом интервале силу сопротив-
сопротивления следует задавать различными законами в соответствии
с данными экспериментов.
5. Вертикальное падение материальной точ-
точки под действием силы тяжести и силы сопро-
сопротивления воздуха. Пусть тяжелая точка массы т падает
с высоты h без начальной скорости. Определим скорость и за-
закон движения точки, принимая во внимание силу сопротивления
воздуха. Так как при свободном падении скорость нарастает
очень быстро, то мы допустим, что во всем интервале иссле-
исследуемого движения сила сопротивления будет пропорциональ-
пропорциональна квадрату скорости, Прямую, по которой движется точка.
185
обозначим опять через Ох, считая положительным ее направле-
направление вниз (фиг. 88). Дифференциальное уравнение движения
материальной точки будет иметь вид:
тх = mg — F,
где F — сила сопротивления, равная kv2.
Разделив обе части полученного уравнения на т и обозна-
k
B7)
k ,
чив — = а \ получим:
х = g — a2v2.
Заменяя х через —^ и разделяя
переменные, будем иметь:
dv
g — a2
- = dt.
W///////////W
Фиг. 88
Так как
dv
1 Г dv
2 Vg I Vg —(
dv
B8)
av\ '
B9)
Из начальных условий следует, что при ^ = 0 vo = O и, следо-
следовательно, Ci = 0. Соотношение B9) можно поэтому написать
в виде:
In Vg — av = — 2aVgt-
g — a2V2
то, интегрируя B8), получим:
т=^-1 — In(V g — era) + In{y g + av)\ =
или
Vg —
Разрешая C0) относительно v, будем иметь:
a i + e-iaVet
C0)
C1)
Формула C1) дает закон изменения скорости в зависимости
от времени. _
Функция е~2ауГ& при возрастании t быстро убывает, стре-
стремясь асимптотически к нулю; поэтому дробь
1_е-2« Vgt
быстро принимает значение, весьма близкое к единице,
186
Так, например, если 2aYgt = 3, то е~3 = -^- « 0,05, а
i^« 0,905;
при 2а Ygt = 7,6 эта дробь будет равна 0,999.
Таким образом, с достаточной для практики точностью-
@,1%) можно считать, что при
* Ъ^; — -=-»1. C2>
*! ^; =1.
Согласно формуле C1) скорость падающей точки при
3,8
t, =—ir= достигает величины:
afg _
«! = 0,999-^ = 0,999 |/"-^, C3),
которая при дальнейшем увеличении t изменяется весьма малоь
Vs.
так как в пределе при t=oo коэффициент при —— в формуле
C3) будет равен единице (вместо 0,999 при t=ti).
Формулу C1) удобно для дальнейшего записать через ги-
гиперболические функции. Будем иметь:
„ - П. L=jl?1i?L - П. fllLzi
a ch(}/~gt) '
„ dx
Заменяя v через —тт- и интегрируя, получим:
Так как при ^=0 ch@) = 1, а х = 0, то С2 = 0, поэтому закон;
движения материальной точки будет:
). C4>
Формулы C2), C3) и C4) можно применять не только к.
случаю движения материальной точки, но и к случаю поступа-
поступательного движения тела *. Мы применим формулы C2) и C3)
для вычисления предельной скорости парашютиста, падающего.
с раскрытым сферическим парашютом (купол парашюта — сфе-
сферический сегмент). Для того чтобы найти коэффиииент сопроти-
сопротивления, можно воспользоваться данными опытов **. В аэроди*.
* Доказательство этого утверждения б>дет дано в динамике системы..
** Н. В. Лебедев, Экспериментальное исследование с моделями пара-
парашютов, «Труды ЦАГИ», вып. 100, 1931.
187/
намических исследованиях силу сопротивления F записывают в
виде: F = у CxpSv2, где Сж — безразмерный коэффициент со-
сопротивления, определяемый из опыта, р — плотность воздуха,
1 кГ ¦ сек2 с,
равная в нормальных условиях -g- -t—, о — площадь миде-
левого сечения. (Миделевым сечением тела называется проек-
проекция тела на плоскость, перпендикулярную скорости. Для сфе-
сферического парашюта площадь миделевого сечения есть пло-
площадь круга.) Легко видеть, что ранее введенный коэффициент &
связан с аэродинамическим коэффициентом Сх следующим со-
соотношением:
k CpS
Для полностью раскрывшегося сферического парашюта Сх=»
= 0,96, а 5 = 50 м2. Если вес парашютиста считать равным 75 кГ,
то предельная скорость будет равна:
5
сек '
Если ограничиться точностью, принятой при выводе формул
лы C2), то можно легко найти время tit по истечении которого
скорость опускания будет мало (на 0,1%) отличаться от пре-
предельного ее значения. В самом деле, из формулы C2) следует,
что
t ^ 3-8 38 У™ ?
1 «/I
Vkg ' g '
Для рассматриваемого нами случая ti= 1,94 сек.
Если парашютист падает, не раскрывая парашюта (затяж-
(затяжным прыжком), то площадь миделя S^0,4 м2, а коэффициент
сопротивления Сх=1,2. Предельная скорость будет:
Время, по истечении которого парашютист приобретет эту
предельную скорость, будет равно:
*1== 3,8 -Hi-==19,5 сек.
§ 4. Простейшие случаи малых колебаний
1. Гармонические колебания. Пусть дана мате-
материальная точка М, которая совершает прямолинейное движе-
движение по оси Ох под действием силы F, притягивающей точку М
188
к началу координат (фиг. 89). Величина силы пусть будет пря*
мо пропорциональна отклонению точки М от начала координат.
Таким образом, мы полагаем, что F = kx, где k — коэффициент
пропорциональности, х— расстояние материальной точки от на-
начала координат. Силу F будем называть восстанавливающей,
a k — коэффициентом упругости.
Допустим, что в рассматриваемый момент времени мате-
риальная точка М массы т движется в положительном напра-
направлении оси Ох, находясь справа от начала координат (точки
л: = 0). Дифференциальное уравнение
движения этой точки будет иметь >
вид:
тх = — kx. C5)
F
Легко видеть, что знак минус в
правой части сохранится при любом
положении точки М относительно на-
начала координат и при любом направ-
лении ее движения вдоль оси Ох («к иг'
центру» О или «от центра»).
Разделим обе части уравнения C5) на т и обозначим
~—п2, будем иметь тогда:
или
х-\-п*х = 0. C6)
Уравнение C6) есть обыкновенное дифференциальное ура-
уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его
можно проинтегрировать при помощи подстановки Эйлера. Из
курса математического анализа известно, что если мы найдем
два частных линейно независимых решения уравнения C6), на-
например Ху и х2, то общее решение уравнения C6) будет иметь
вид:
где С4 и С2 — произвольные постоянные. Будем искать частное
решение в виде х = еи, тогда x=X2ext; подставляя в C6) и со-
сокращая на еи, получим характеристическое уравнение:
2 = 0. C7)
Решение характеристического уравнения дает два значения К:
X1 = in и А,2 = — in, где i=*Y—1.
Соответственно двум значениям X будем иметь два частных
решения:
xx = eKit и л:2 —е?2'.
189
Таким образом, общее решение уравнения C6) можно напи-
написать в виде:
x = C1ei'"-+-C2e-i">. C8)
Произвольные постоянные Су и С2 найдем из начальных ус-"
ловий. Будем считать, что при ^ = 0 х — х0 и v — v0. Дифферен-
Дифференцируя C8), легко найдем:
v = in[C1elai — C2e-1"'}. C9)
Подставляя начальные данные в уравнения C8) и C9), по-
получим:
хо = С1-+-С2 и vQ = in (Cj — С2).
Следовательно,
Формулу C8) можно представить в виде, более удобном
для исследования. В самом деле, на основании известных фор*
мул Эйлера имеем:
е-ш = cos (й^ _ / Si
следовательно,
Xr={Cx-\-C2)cos{nt) + i(Cj — C2) sin(nt).
Так как С4 и С2 суть величины комплексные сопряженные,
то (Ci + C2) и i(Ci — С2) будут чисто действительными величи-
величинами, которые мы обозначим А я В соответственно. Решение
уравнения C6) представится тогда в виде:
х = A cos (nt) + B sin (nt), D1)
где
А = х0, а В = ^-.
Для еще большего удобства и наглядности исследования по-
полученного закона движения мы введем вместо постоянных А
и В постоянные а и а, связанные с А и В соотношениями:
A = as'ma, B = acosa, или а =
тогда уравнение D1) можно написать в виде:
x = as\n(nt-+-a). D2)
Легко получить из предыдущих формул, что
хап
190
Как видно из уравнения D2), движение материальной точкп
М под действием силы, пропорциональной расстоянию и при*
тягивающей точку М к началу координат, будет простым гар-
гармоническим колебанием с амплитудой а и угловой частотой п.
Точка О, около которой происходит колебательное движение,
называется центром колебаний. Величина (nt+a) называется
фазой колебаний, а — начальной фазой. Движение точки будет
периодическим. Для того чтобы определить период колебаний,
нужно вспомнить общее определение периодической функции.
Как известно, функция f(t) называется периодической, с перио-
периодом Г, если, прибавляя Т к аргументу функции, мы не изменяем
ее значения, т. е.
В нашем случае из D2) имеем:
a sin \n (t + Т) + а] = sin (nt + а),
откуда
пТ = 2л,
или
Г = ^. = 2я/^. D3)
Формула D3) показывает, что период гармонических коле-
колебаний не зависит от начальных условий движения. Иначе го-
говоря, точка М, отклоненная от начала координат на х0 или сх0,
где с — произвольное действительное число, будет приходить в
центр колебаний через одно и то же время. Это свойство гармо-
гармонического колебательного движения называют таутохронностью.
Если на материальную точку М, кроме силы F = kx, дей-
действует еще постоянная сила Р, то закон движения точки не из-
р
менится, но центр колебаний сместится на величину xs = -r.
Для того чтобы доказать это, напишем дифференциальное урав-
уравнение движения. Пусть сила Р действует в положительном на-
направлении оси Ох, тогда будем иметь:
тх — — kx ~\- P,
или
D4)
Р
Введем новую переменную: Х = х— -^ > тогда х = Х
р
л2х = п2Х\ следовательно, D4) можно написать в виде:
D4'|
191
Уравнение D4') полностью совпадает с уравнением C6).
Р
Точке ^ = 0 соответствует x = -j-, что и указывает на смещение
центра колебаний.
2. Затухающие колебания. Свободные гармониче-
гармонические колебания, рассмотренные в п. 1, не изменяют своей ам-
амплитуды (максимальных отклонений от центра колебаний) сте-
стечением времени. Если такие колебания возбуждены, те они
продолжаются бесконечно долго. Колебательные процессы, ко-
которые приходится наблюдать в различных задачах физики и
техники, показывают нам, что во всех случаях амплитуда коле-
колебаний или уменьшается с течением времени (например, коле-
колебания груза на пружине), или поддерживается неизменной за
счет дополнительной энергии, притекающей в колебательную
систему. Таким образом, теория свободных колебаний не учи-
учитывает уменьшения амплитуды, обусловленного наличием сил
сопротивления. Если силы сопротивления учесть, то синусои-
синусоидальный закон движения из-
изменится. Каждому закону со-
сопротивления будет соответст-
м вовать вполне определенный
л ¦* *- закон изменения амплитуды,
у,
или закон затухания калеба-
ний. Так как практически вос-
восстанавливающие силы пропор-
Фиг. 90 циональны первой степени х
только при малых отклонениях
точки из положения равновесия, то мы можем допустить, что в
некотором интервале частот свободных колебаний силы сопро-
сопротивления среды пропорциональны первой степени скорости.
Рассмотрим движение точки под действием двух сил
(фиг. 90): восстанавливающей силы F, проекция которой на ось
Ох равна: Fx=—kx, и силы сопротивления Q, проекция которой
на ту же ось равна: Qx = —2\ktnx, где ц — так называемый ко-
коэффициент сопротивления (множитель 1т введен для удобства
дальнейших вычислений). В этом случае дифференциальное ура-
уравнение движения материальной точки будет иметь вид:
тх = — kx — 1щпх. D5)
Знак минус перед проекцией силы сопротивления сохраняет-
сохраняется независимо от положения точки М относительно начала ко-
координат и направления скорости ее движения. Разделим обе
части уравнения D5) на т и перенесем все слагаемые в левую
часть, тогда уравнение D5) примет вид-
+ n.2x = Q. D6)
192
Решение дифференциального уравнения D6) можно полу-
получить тем же методом подстановок Эйлера. В самом деле, пола-
полагая х=еи, будем иметь: х = Хеи, х = Х2еи. Характеристическое
уравнение будет иметь следующий вид:
2 = 0. D7)
Решая уравнение D7), мы получим два значения Я:
Х1 = — ц+jV —я2 и l2 = — ii — /м-2 — ft2.
Общее решение уравнения D6) можно теперь записать в
виде:
х = deM _j_ c^t _ е - ц< [c,^7?^« 4- C2e - r l1^' ]. D8)
Для того чтобы преобразовать D8) к более удобному виду,
допустим, что коэффициент восстанавливающей силы значи-
значительно больше коэффициента сопротивления, т. е. будем пола-
полагать, что л2>|лА В этом случае Ум2 — ti2 = l Yn2~ P2 —in-i, где
п\ — действительная положительная величина. Тогда общее ре-
решение D8) примет вид:
х = е~*\Cxein< 4- С2е~1п^] = ае~^ sin (nxt -+-at). D9)
Произвольные постоянные а и а4 можно определить по на*
чальным условиям.
Пусть при ^=0 и х=х0, и x=v0.
Дифференцируя D9) по времени, получим:
х = а[— ре-»* sin {nxt -f- a^ -j- e-»1 • nx cos {nj + a^]. D9')
Соотношения D9) и D9') справедливы для любого момента
времени, в частности и для момента ^=0. Подставляя в D9) и
D9') значения величин, соответствующих моменту ?=0, будем
иметь:
= an1cosal — ац sinaj /' *• '
Разрешая уравнения E0) относительно а и cti, получим:
tga1==-^-. E1)
Движение точки, описываемое уравнением D9), где постояи*
ные flHai определяются формулами E1), строго говоря, не бу-
будет периодическим, так как не существует такой постоянной Гь
прибавляя которую к аргументу t, мы бы имели равенство
x(t + Ti)=x(t), справедливое при любых значениях t. Однако,
анализируя формулу D9), можно заметить, что х периодически
меняет знак и, следовательно, движение точки имеет колеба-
13 А. А. Космодемьянский 193
тельный характер. Промежутки времени между двумя последо-
последовательными прохождениями точки через положение равновесия
(через точку х = 0) будет соответствовать периоду функции
sin (riit + ai), который, как известно, равен:
В этом смысле можно говорить об условном периоде зату-
затухающих колебаний. Если подсчитать промежуток времени ме-
между двумя последовательными максимальными отклонениями
(например, вправо от точки л: = 0), то он также будет равен:
т 2я_
Величину Ту часто называют периодом колебательного дви-
движения, закон которого дается формулой D9), хотя, как мы от-
отметили, функция х = ае~^ sin (riit + ai) не удовлетворяет мате-
математическому определению периодических функций.
Условный период колебаний 7\ легко связать с периодом ко-
колебаний точки в среде без сопротивления, полагая, что коэффи-
коэффициент восстанавливающей силы п остался неизменным. В самом
деле,
2я
т _ 2я 2я п То
где Го — период свободных гармонических колебаний точки.
Если коэффициент сопротивления ц достаточно мал по сравне-
сравнению с п, то, пренебрегая членами, содержащими 1 — 1 в степени
выше второй, получим:
Из формулы E2) следует, что условный период Ti больше
периода свободных колебаний при отсутствии сил сопротивле-
сопротивления и это увеличение периода зависит от квадрата малой вели-
величины (—). Роль амплитуды колебаний в условно периодическом
движении D9) играет величина:
которая убывает с течением времени t.
Будем рассматривать последовательные максимальные от-
отклонения точки от положения *=0, происходящие в одну сто-
сторону. Такие отклонения будут наступать через равные проме-<
194
жутки времени Г4 (т. е. равные условному периоду). Будем
иметь тогда:
при ^ = 0 А0 = а,
при t=Tx А1 = ае-»т>,
при * = 27\ А2 = ае-2»г>,
при t = {n —
Отношение предыдущего размаха к соседнему последую-
последующему определяет так называемый декремент затухания:
Натуральный логарифм этого отношения называется лога-
логарифмическим декрементом затухания:
В большинстве практических задач величиной 6 и характе-
характеризуют величину затухания.
х,
Фиг. 91
1
Величина т = — = -g- называется временем релаксации ко-
колебательной системы.
Последовательные максимальные отклонения точки убывают
в геометрической прогрессии, и, следовательно, амплитуда зату-
затухающих колебаний убывает весьма быстро даже при относи-
относительно малых коэффициентах сопротивления.
На фигуре 91 представлен график затухающего колебатель-
колебательного движения, который лежит в области, ограниченной пока-
показательной функцией х=ае~№ и ее зеркальным отображением
13*
195
относительное оси Ot. Чем больше коэффициент сопротивления
ц, тем быстрее сужается область между кривыми x=ae~'it и
х =—ae'v* и тем меньшее число колебаний сделает точка до
полной (практически) остановки.
Проведенное исследование позволяет сделать два важных
вывода:
а) Наличие сил сопротивления, пропорциональных первой
степени скорости, мало влияет на условный период колебания,
если коэффициент сопротивления достаточно мал.
б) Даже малые силы сопротивления существенно влияют на
величину последовательных максимальных отклонений точки
от положения равновесия. Величина последовательных разма-
хов убывает в геометрической прогрессии. При достаточно боль-
больших значениях времени, прошедшего от начала движения, мож-
можно считать величину отклонения точки от положения равнове-
равновесия пренебрежимо малой.
Фиг. 92
Если коэффициент восстанавливающей силы п меньше или
равен коэффициенту сопротивления ц, то движение точки будет
непериодическим. Начиная с некоторого момента времени ti
точка будет асимптотически приближаться к положению равно-
равновесия. Вид графика движения x=x(t) зависит от величины и
направления начальной скорости.
Не проводя здесь аналитического исследования законов дви*
жения, мы приводим на фигуре 92 графики движения для слу*.
чаев: ио>О и уо<О.
В последнем случае модуль начальной скорости предпола-
предполагается настолько большим, что точка переходит положение рав-
равновесия и приближается асимптотически к оси Ot со стороны
отрицательных значений х.
3. Вынужденные колебания. Допустим, что на ма-
материальную точку М, совершающую прямолинейное движение
196
-*•
под действием восстанавливающей силы F, проекция которой
на ось Ох равна: Fx =—kx, и силы сопротивления Q, проекция
которой на ту же ось равна: Qx =—2\ktnx, действует в направ-
направлении оси Ох еще одна сила R, зависящая от времени. В этом
случае точка будет совершать вынужденные колебания. Огра-
Ограничимся в дальнейшем рассмотрением того частного случая,
когда сила R является простой периодической функцией вре-
времени, а именно:
/? = />! sin (/>* +а).
Это допущение не является большим ограничением класса
задач, так как в большинстве случаев возмущающие силы, с ко-
которыми приходится иметь дело в технических приложениях, яв-
являются силами периодическими, изменяющимися в зависимости
от числа оборотов машины. В общем случае произвольная воз-
возмущающая сила на основании теоремы Фурье может быть пред-
представлена в виде ряда периодических функций (sinp^ и cosp^),
так что метод решения, ко-
торый мы изучим на част-
частном примере, будет указы-
указывать правильный путь к ре-
решению более сложных за-
задач.
Q
м я
Величины Pt, p, or будем О
считать известными и посто-
постоянными: Р\ есть максималь-
максимальное значение возмущающей
силы, р — частота этой си- Фиг. 93
лы, о — ее начальная фаза.
Напишем дифференциальное уравнение движения мате-
материальной точки М (фиг. 93), предполагая, что в рассматривае-
рассматриваемый момент времени точка движется в положительном напра-
направлении оси Ох, а возмущающая сила R действует в направлении
движения. Будем иметь:
тх = — kx — 2\mix-J- Рг sin (pt-J- or).
Разделив обе части уравнения на т и обозначив для сокра-
k 2 р> w
щения — = п\ —— = п, получим:
). E3)
Уравнение E3) называют дифференциальным уравнением
вынужденных колебаний. Это уравнение относится к классу
обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными ко-
коэффициентами и с правой частью.
Для того чтобы найти общее решение этого неоднородного
дифференциального уравнения, необходимо найти общее реше-
197
ние Xi соответствующего однородного уравнения (когда правая
часть E3) равна нулю) и частное решение х2 полного (неодно-
(неоднородного) уравнения.
Сумма этих двух решений x = Xi + x2 будет искомым общим
решением уравнения E3). Из п. 2 известно, что
хх = ae-w sin (nj + с^).
Частное решение х2 будем искать в виде:
х2 = A sin (pt-+-о — р). E4)
Подставляя E4) в уравнение E3), подберем постоянные А,
Р так, чтобы уравнение E3) тождественно удовлетворялось.
Так как
х2 = Ар cos (pt + or — р),
х2 = — Ар2 sin (pt + or — р),
то после подстановки в уравнение E3) вместо х, х, х значений
х2, ±2, х\ будем иметь:
(—Ар2+An2) sin (pt+a— p) + 2[i Ар cos (pt+в— p)s=//sin(pY + or).
Преобразуя sin (p^+or— p) и cos (p^ + or — p) по общеизвест-
общеизвестным формулам, получим:
A(n2—p2) cos psin(p*f+0)— A(n2—p2) sin pcos(p/ + or) +
[+2[i Ap sin p sin(p^ + or) +2\i Ap cos p cos(p^+or)=//sin(p?+a).
Приравнивая коэффициенты при sin (p^+or) и cos (p^ + or),
мы будем иметь:
A (n2 — p2) cos p + 2A\xp sin p = H
~A(n2-t
Решая уравнения E5), определим постоянные А и р в виде:
А= Н E6)
T^ E7)
Величина Л называется амплитудой вынужденных колеба-
колебаний, р определяет разность фаз возмущающей силы и поро-
порожденного ею вынужденного колебания.
Таким образом, частное решение х2 можно записать в форме:
х2 = , sin (pt + or — р).
Общее решение уравнения E3), очевидно, будет иметь вид:
х = ae-v* sin (й^ + о,) -f- H sin (pt + o — р).
198
Первое слагаемое в правой части E8) представляет собой
собственные затухающие колебания точки М. Амплитуда этих
колебаний весьма быстро убывает с течением времени. Поэтому
при исследовании закона движения материальной точки мы мо*
жем пренебречь собственными колебаниями, возбуждаемыми
восстанавливающей силой F. Влияние собственных колебаний
на результирующее движение будет сказываться только в на-
начале движения. Второе слагаемое правой части E8) обуслов-
обусловлено воздействием возмущающей силы R. Движение, обуслов-
обусловленное возмущающей силой, называется вынужденным колеба-
колебанием. Вынужденное колебание является незатухающим гармо-
гармоническим колебанием с частотой р. Как видно из полученных
формул, частоты возмущающей силы и вынужденного колеба-
колебания совпадают.
Рассмотрим более подробно изменение амплитуды выну-
вынужденных колебаний в зависимости от изменения частоты воз-
возмущающей силы и коэффициента сопротивления.
При о = 0
АА Н Hm Pl
т. е. Ао равно статическому отклонению точки М под дей-
действием максимальной возмущающей силы. Отношение:
Л/ = — = — 1 E9)
V У п*)
представляет собой коэффициент, характеризующий изменение
амплитуды вынужденных колебаний. Этот коэффициент зависит
от двух величин: г = —, называемой коэффициентом рас-
расстройки, и Ь = — , называемой коэффициентом затухания.
Считая коэффициент затухания известным, исследуем изме-
изменение N в функции z. Максимальное значение N будет при не-
некотором значении zit обращающем подкоренное выражение
формулы E9) в минимум. Чтобы найти Zi, положим:
Г = A— z2J + 462z2. F0)
Дифференцируя F0) по z и приравнивая производную нулю,
находим:
гх = /1 — W . F1)
Так как при z=zi вторая производная "^у^*^1 то ПРИ
z=Zi мы имеем минимум Y, а следовательно, максимум N.
199
Подставив в E9) вместо г2 величину I — 262, после простых
преобразований получим:
N-=^vhw- F2>
При малых значениях коэффициента затухания можно счи->
тать:
2b
" max = 2b '
Из формулы F1) видно, что при увеличении коэффициента
затухания положение максимума N смещается по направлению
к точке z=0. При 62;>у амплитуда вынужденных колебаний
монотонно убывает с увеличением г. На фигуре 94 даны кривые
N=N(z) при различных значениях Ь. Состояние движения точ*
ки при 2=1, когда частота собственных колебаний совпадает
с частотой вынужденных колебаний, принято называть явле-
явлением резонанса. Если 6 = 0, то при z=l мы получаем бесконечно
большое значение N. При наличии силы сопротивления макси-
максимальная амплитуда вынужденных колебаний будет иметь место
при г<1, т. е. наступление максимума амплитуды и явление
резонанса не совпадают*. При 2=1 амплитуды вынужденных
* При наличии сил сопротивления правильнее называть явлением резо-
резонанса то состояние движения точки, при котором амплитуда вынужденных
колебаний достигает максимума.
200
колебаний тем больше, чем меньше сила сопротивления среды.
При b2^Y явление резонанса исчезает. Весьма важно отме-
отметить, что вынужденные колебания при наличии сил сопротивле-
сопротивления не затухают.
Величина р, определяемая формулой E7), представляет со-
собой разность фаз вынужденного колебания и возмущающей си-
силы. Возбуждаемое периодической возмущающей силой выну-
вынужденное колебательное движе-
движение совпадает с этой силой по 'те
частоте, но отстает по фазе. Из
E7) следует, что
при р = 0 р = 0.
при 0 < р < п
при
при
р>п
0<р<
я
р=т.
-т •
' л,
л
г
¦ оо
-я.
3 Z
Фиг. 95
при р-
Разности фаз возмущающей
силы и вынужденного колеба-
колебания представлены графически на
фигуре 95 в зависимости от из-
изменения коэффициента рас-
расстройки z при различных значе-
значениях коэффициента затухания Ъ. Отметим, что при наступлении
явления резонанса отставание по фазе равно у.
4. Явление резонанса при отсутствии сил со-
сопротивления. Общие результаты, полученные нами для вы-
вынужденных колебаний, не освещают полностью физической кар-
картины явления для случая: jx = O и р — п, так как в этом случае
формула E6) дает бесконечно большое значение амплитуды
вынужденных колебаний, не указывая, как быстро это значение
достигается. Исследуем этот частный случай непосредственно
по основному уравнению E3), которое при условиях jx = O и
р — п можно написать в виде:
х-\-п2х — Hs'm(n(-\-a). F3)
Особенность этого уравнения состоит в том, что для него
правая часть Я sin (nt+о) является решением соответствую-
соответствующего однородного уравнения. В курсе интегрирования диффе-
дифференциальных уравнений доказывается, что частный интеграл Хг
в этом случае нужно искать в виде:
х2 — A xt sin (nt -f- о — Р). F4)
201
Дифференцируя F4) дважды и подставляя в F3), будем
иметь:
2Дп cos (tit + о — р) — Л^/г2 sin [tit -\- а — р) +
+ Ajn2 sin (/г/ + о — Р) = Нsin (л/ + а),
или
2А1п cos (/г/ + ° — Р) = #sin (ft^ + °)>
откуда
л-" «_?
Л1 — 2й ' Р — 2 '
Таким образом, общий интеграл уравнения F3) можно на-
написать в виде:
TJJ.
x — as'm(nt-\-a) — -^-cos (nt-\-a). F5)
Роль амплитуды вынужденных колебаний играет в этом слу-
Ht
чае величина -к—. которая возрастает с течением времени, но
становится бесконечно большой только при t — oo. Следователь-
Следовательно, если в момент ^ = 0 на материальную точку, совершающую
свободные гармонические колебания, начинает действовать воз-
возмущающая сила с частотой, равной частоте собственных коле-
колебаний точки, то возбуждаемое этой силой вынужденное колеба-
колебательное движение будет возрастать по амплитуде пропорцио-
пропорционально времени действия возмущающей силы. В реальных
технических задачах возрастание амплитуды вынужденных ко-
колебаний может происходить только до некоторого конечного
значения, затем наступает разрушение конструкции вследствие
больших внутренних сил, возникающих в материале при воз-
возрастании отклонений от положения равновесия.
§ 5. Криволинейное движение материальной точки
1. Для изучения криволинейного движения материальной
точки воспользуемся дифференциальными уравнениями (9) § 3:
F6)
В общем случае проекции равнодействующей приложенных
к точке сил могут зависеть от положения точки (ее координат
х, у, z), скорости точки (х, у, z) и времени t. Предполагая, что
функциональная зависимость равнодействующей от указанных
переменных задана в виде:
Rx = fi(x< У' z' •*> У> *' t)> Ry = h(x' У» 2» •*> У' z' 0»
Rz = h(*> У' z' х' У> z' О»
202
мы можем написать уравнения F6) так:
= f1(x, у, z, х, у, z, t),
my—f2(x, у, z, х, у, z, t), F7)
mz = f3(x, у, z, х, у, z, t).
Задача изучения криволинейного движения материальной
точки под действием заданных сил состоит в решении (интегри-
(интегрировании) системы F7) совместных дифференциальных уравне-
уравнений второго порядка, т. е. в определении координат точки в
функции времени. Общие методы решения системы F7) при
произвольных /i, /2, /3 пока не разработаны. Однако некоторые
приемы построения решений системы F7) можно указать. За-
Заметим, что, принимая в качестве основных законов механики
законы Ньютона, мы с необходимостью приходим к выводу о
том, что функции /i, f2, /3 не могут зависеть от производных
второго или более высокого порядка от х, у, z по времени, так
как действие силы на материальную точку не зависит от того,
имеет эта точка ускорение или нет (закон независимого дей-
действия сил).
Допустим, что в результате преобразования уравнений F7)
мы пришли к трем уравнениям вида:
-jf®i(x, у, z, х, у, z, 0=0, -^Ф2(х, у, z, х, у, z, 0 = 0,
^Ф3(х, у, z, х, у, к t) = 0. FГ)
Тогда, интегрируя F7'), мы получим:
Ф[ (х, у, z, х, у, z, t) = c
|
Ф2(х, у, z, х, у, z, t) — c2 Ь F8)
Ф3(х, у, z, х, у, z, t) = cz \
где си с2, с3 — произвольные постоянные интегрирования. Соот-
Соотношения F8), содержащие время, координаты, скорости и про-
произвольные постоянные и справедливые в силу дифференциаль-
дифференциальных уравнений движения, называются первыми интегралами
уравнений движения F7).
Предположим далее, что мы сможем преобразовать уравне-
уравнения F8) к виду:
-jfFi(Xi У< z, cv c2, c3, t) = 0, -^F2(x, у, z, cv c2, c3, t) = 0,
-^F3(x, у, z, cv с2, съ, t)~0, F8')
203
тогда, выполняя интегрирование, получим следующие три со-
соотношения: р , , Ч
F2(x, у, z, t, cj, c2, c3) = c5 F8")
F3(x, y, z, t, съ c2, c3) = ce .
где c^ Ci, c6 — произвольные постоянные интегрирования. Соот-
Соотношения F8"), содержащие координаты, время и произволь-
произвольные постоянные и справедливые в силу дифференциальных ура-
уравнений движения, называются вторыми интегралами уравнений
движения F7).
Интегралы F8") представляют собой общее решение задачи
о криволинейном движении материальной точки, потому что и»
F8") можно определить закон движения, т. е. координаты х,
у, г в функции времени. Наличие шести произвольных постоян-
постоянных в интегралах F8") показывает, что задание сил еще не
определяет полностью закона движения, а выделяет только
некоторый класс движений. Это вполне естественно, так как за-
задание силы не ограничивает задания начальной скорости и на-
начального положения точки. Действующие силы изменяют за-
заданную величину и направление начальной скорости, но не оп-
определяют ее в начальный момент времени. Силы, приложенные
к материальной точке, могут вызвать изменение ее положения
относительно выбранной системы отсчета, но не определяют ее
начального положения. Следовательно, проекции начальной
скорости и начальное положение точки должны быть известны
для того, чтобы из класса движений F8") мы могли найти за-
закон интересующего нас конкретного движения. Пусть при t = t0
(t0 — начальный момент времени) мы имеем: х=х0, У—Ув, z=z0,
x = Vox, y — Voy, z = Uo2; тогда из F8) и F8") мы получим:
Cl=®l(tO> Л0. Уо> «о» «О,. ¦%' «О*).
с2 = ф2 (Yo, х0, у0, z0, vOx, vOy, vOz),
?з = фз('о. x0, y0, z0, vOx, vOy, vOz), 6
Ci== Г] (tQ> XQi Уо> ZQi C1i C2' ?3)»
c5~-^2(^0' X0> У01 zQi cl> C2' Сз)'
c^==' 3 ('О' -"-С Уо> г0' ^1» C1i съ1-
Определив произвольные постоянные из начальных условий,
Мы можем из вторых интегралов F8") найти закон движения
материальной точки в виде:
х = ф! (t, х0, у0, z0, vOjc, vOy, vOz),
y=q>2 (t, x0, y0, z0, vOx, vOy, vQz), G0)
z = Ф3 (t, x0, y0, z0, vOx, vOy, vOz).
204
С определением произвольных постоянных по заданному на-
начальному положению и заданной начальной скорости точки
приходится встречаться в подавляющем большинстве механи-
механических задач. Однако можно задавать и другие условия, лишь
бы только этих условий было достаточно для определения ше-
шести произвольных постоянных. Например, можно задать поло-
положение точки для двух моментов времени tu и tt; можно задать
положение точки для одного момента to, а ее скорость для дру-
другого момента t\ и т. п., но во всех таких случаях решения для
d, с2, сз, с4, с5, с6 могут буть и неоднозначными. Более подробные
сведения о построении решений систем дифференциальных ура-
уравнений при различных способах задания граничных условий
можно найти в специальных руководствах по этому вопросу*.
2. Теоремы об изменении количества движе-
движения и кинетического момента для материаль-
материальной точки.
Теорема об изменении количества движения
Пусть материальная точка массы т совершает криволиней-
криволинейное движение по некоторой траектории (фиг. 96). Пусть вектор
скорости этой точки будет
Количеством
v.
движения
точки назы-
назыматериальной
вают вектор q, равный про-
произведению массы точки на
вектор ее скорости, т. е.
q — mv.
При действии сил век-
вектор скорости изменяется с
течением времени, следова-
следовательно, будет изменяться и
вектор количества движе-
движения.
Зависимость между дей-
действующими силами и изме-
изменением вектора количества движения можно установить, ис-
исходя из второго закона Ньютона. В самом деле, векторное диффе-
дифференциальное уравнение движения материальной точки имеет вид:
Фиг. 96
d2r
G1)
* См.: В. В. Степанов, Курс интегрирования дифференциальных урав-
уравнений, ОНТИ, 1939 и 1945.
205
но так как масса точки постоянна, а -$-=*>, то
Следовательно, G1) можно написать следующим образом:
dt (-v^ ~ •"¦'
или
d(mv) = Rdt. G2)
Величина Rdt называется элементарным импульсом силы.
Соотношение G2) показывает, что дифференциал количества
движения материальной точки равен элементарному импульсу
равнодействующей всех сил, приложенных к этой точке.
Проинтегрируем соотношение G2) в пределах от t0 до t, по-
лагая, что при t = t0 v = v0; тогда будем иметь:
mv — ntVQ= I Rdt. G3)
Предел суммы элементарных импульсов, выражаемый ин«
t
тегралом I Rdt, называется импульсом силы R за промежуток
и
времени (t — ^0)-
Соотношение G3) выражает теорему об изменении количе-
количества движения материальной точки в конечном виде и показы-
показывает, что изменение количества движения материальной точки
за некоторый промежуток времени равно импульсу равнодей-
равнодействующей всех приложенных к точке сил за тот же промежу-
промежуток времени.
Проектируя G3) на оси координат, мы получим:
t
G4),
mx
my
mz
— mx0
— tny0
~-mz0
-f
t
= С
R>
.dt,
i Cits
dt,
т. е. изменение проекции количества движения материальной
точки на какую-либо координатную ось за некоторый промежу-.
206
ток времени равно проекции импульса равнодействующей при-
приложенных к точке сил на ту же ось и за тот же промежуток вре-
времени.
В частности, если проекция равнодействующей приложенных
к точке сил на какую-либо ось во все время движения равна
нулю, то теорема об изменении количества движения дает пер*
вый интеграл.
В самом деле, пусть Rx = 0, тогда из G4):
тх = тх0, или х = х0.
Если промежуток времени t — t0, в течение которого проис-
происходит конечное изменение количества движения, очень мал, то
такое движение называют явлением удара. Сила R, которая об-
обусловливает конечное приращение вектора количества движения
за малый промежуток времени x = t — t0, называется импульсив-
импульсивной или ударной силой. Легко показать, что среднее значение
ударной силы обратно пропорционально времени удара т. В са-
самом деле, обозначим через А конечное изменение вектора коли-*
чества движения; тогда будем иметь из G3):
/-> ->
Rdt=A.
По теореме о среднем значении определенного интеграла:
f
'о
где R* — среднее значение ударной силы за время т, отсюда
А
/?• = ¦
т
т. е. чем меньше время удара, тем больше величина импульсив-
импульсивной (ударной) силы. Если на материальную точку, кроме им-
импульсивных сил, действуют еще конечные силы (не ударные),
как например сила тяжести, сила сопротивления среды и т. п.,
то импульс этих сил за время удара будет величиной малой
порядка времени удара т. При решении задач, связанных с дей-
действием импульсивных сил, обычными силами можно прене-
пренебрегать.
Рассмотрим в качестве примера задачу об определении сред*
него импульсивного давления на парашютиста при раскрытии ку-
купола парашюта в затяжном прыжке. Как известно из § 3, п. 5,
предельная скорость парашютиста при затяжном прыжке будет
— 50-—, а при полностью раскрытом парашюте равна 5 ——.
207
Как показывают наблюдения, время раскрытия парашюта при-
приблизительно равно 1,5 сек. Считая движение прямолинейным и
применяя теорему об изменении количества движения, будем
иметь:
m(v — v0) = R*x,
откуда
P(v0-v)_ 75.45'
К — gx
Как видно из вычислений, среднее значение ударной силы
превышает собственный вес парашютиста более чем в 3 раза.
Вследствие этого к затяжным прыжкам у нас в СССР допу-
скаются люди с выдающимися физическими данными.
Теорема об изменении кинетического момента
Моментом количества движения материальной точки относи-
относительно некоторого центра, или кинетическим моментом, назы-
называют векторную величину, равную:
•> -> •>
K=rXmv,
¦> -*•
где mv — количество движения материальной точки, а г — ее
радиус-вектор относительно выбранного центра (начала коор-
координат). При движении материальной точки ее кинетический
момент изменяется с течением времени. Закон этого изменения
зависит от действующих на точку сил и устанавливается тео-
теоремой об изменении кинетического момента. Эту теорему можно
получить из основного уравнения динамики (второго закона
Ньютона). В самом деле, умножив основное уравнение G1)
векторно на г, получим:
г X т -др = г X R,
или
О<4(»^) = гХЯ. G5)
Легко показать непосредственной проверкой, что
г ^ ~dl ^mv'== "dF (г -^ m^' так как пРоизвеДение -^f на mtJ
обращается в нуль вследствие коллинеарности векторов
и
Поэтому G5) можно записать в виде:
гХ& G6)
203
т. е. производная по времени от кинетического момента точки,
вычисленного относительно некоторого центра (начала коорди-
координат), равна моменту равнодействующей приложенных к мате-
материальной точке сил относительно того же центра.
Соотношение G6) представляет собой теорему об изменении
кинетического момента для одной материальной точки в вектор*
ной форме.
Проектируя G6) на оси координат, получим:
-тт m (yz — zy) — yRz — zRy
dt
m
(zx — x'z) = zRx —xRz\> G7)
-^m{x'y — yx) = xRy — yRx )
т. е. производная по времени от проекции кинетического момен-
момента точки на какую-либо ось равна моменту равнодействующей
приложенных к материальной точке сил относительно этой оси.
Теорема об изменении кинетического момента позволяет в
некоторых частных случаях получить первые интегралы основ-
основного уравнения динамики. Наибольший интерес представляет
случай, когда линия действия равнодействующей R приложен-
приложенных к материальной точке сил во все время движения проходит
через одну неподвижную точку пространства (начало коорди-
координат). Такая сила называется центральной. В этом случае вслед-
ствие коллинеарности векторов г и R имеем:
следовательно, по G6):
^Х rrw = const = H, G8)
->
где Я — вектор, постоянный по величине и направлению.
Таким образом, если равнодействующая приложенных к
материальной точке сил центральна, то вектор кинетического
момента точки остается постоянным по величине и направлению
->
во все время движения. Если проекции вектора Я на оси коорди-
координат обозначим С\_, С2, С3 соответственно, то, проектируя G8) на
оси координат, будем иметь:
m {zx — x'z) = С 2, G9)
m(xy~yx)=C3,
т. е. три первых интеграла дифференциальных уравнений дви-
движения F6).
14 А. А. Космодемьянский 209
Соотношение G8) носит название закона сохранения кине-
кинетического момента. Движение материальной точки под дей-
действием центральной силы R обладает еще некоторыми замеча-
замечательными свойствами. Докажем, что в этом случае траекторией
точки будет плоская кривая.
Умножим G9) на х, у, г соответственно и сложим; тогда бу-
будем иметь:
= 0. (80)
Уравнение (80) есть уравнение плоскости, проходящей через
начало координат; в этой плоскости будет располагаться траек-
траектория движущейся точки.
Соотношению G8) можно дать простое геометрическое ис-
-> ->
толкование. В самом деле, rXv есть удвоенная секториальная
скорость точки, поэтому
->
где \da\—элементарная площадь, ометаемая радиусом-векто-
радиусом-вектором за время dt. На основании G8) имеем:
~
(81)
т. е. под действием центральной силы материальная точка дви-
движется с постоянной секториальнои скоростью. Соотношение (81)
часто называют теоремой площадей. Если система осей коорди-
координат выбрана так, что вектор Н совпадает с осью г, то из G9)
будем иметь:
т (ху — ух) = Я,
или, переходя к полярным координатам г, <р (фиг. 97), получим:
тг^ = Н. (82)
Так как г2 -—¦ есть удвоенная секториальная скорость, то
r2 d(f _ о da ¦
r dt ~L dt '
следовательно,
откуда
? , (83)
где В — постоянная интегрирования.
210
Формула (83) показывает, что при движении материальной
точки под действием центральной силы площадь, ометаемая ра-
радиусом-вектором, изменяется пропорционально времени. Второй
закон Кеплера движения планет является частным случаем
формулы (82) или (83).
Фиг. 97
Рассмотрение первых интегралов, полученных нами из тео-
теорем об изменении количества движения и кинетического момен-
момента точки, позволяет сформулировать следующее правило: если
равнодействующая приложенных к материальной точке сил
равна нулю, то точка движется с постоянной линейной ско-
скоростью; если момент равнодействующей приложенных сил ра-
равен нулю, то точка движется с постоянной секториальной ско-
скоростью.
3. Теорема об изменении кинетической энер-
энергии (теорема живых сил) для материальной
точки.
Работа силы. При доказательстве теоремы об изменении
количества движения для материальной точки, особенно для слу-
случая импульсивных сил, мы видели, что эффект механического
воздействия силы измеряется произведением этой силы на время
ее действия. В различных вопросах механики весьма важное
значение имеет эффект действия силы, приложенной к матери-
материальной точке, на протяжении некоторого пути, который точка
проходит в результате действия силы. Эффект действия силы,
измеряемый скалярным произведением вектора силы на вектор
элементарного перемещения точки, мы будем называть элемен-
элементарной работой силы.
Обозначим через dr элементарное перемещение материала
ной точки, через F — действующую силу и через 6Л — элемен-
элементарную работу силы, тогда
ЬА = Fd7 = F ds cos (F, dr),
14*
(84)
211
т. е. работа силы на бесконечно малом перемещении измеряется
произведением модуля силы на величину перемещения точки и
на косинус угла между направлениями силы и перемещения.
Если под действием силы точка перемещается по некоторой-
кривой из положения Mi в положение Мг, то работа силы на
пути MtM2 (фиг. 98) будет равна:
или
A^jPdt
A= f Fds cos (P~d7), (85)
Фиг. 98
dr
причем интеграл берется вдоль криво-
криволинейного пути MiM2.
Если на точку М действует несколь-
-> -> ->
ко сил: Fx, F2, ..., Fn, имеющих
->
равнодействующую R, то из определения элементарной работы
силы следует, что элементарная работа равнодействующей не-
нескольких сил равна сумме элементарных работ сил составляю-
составляющих. В самом деле, из определения равнодействующей сил,
приложенных к данной точке, имеем:
Элементарная работа равнодействующей по формуле (84)
равна:
Элементарная работа сил составляющих:
ЬА' = Fxdr-\-F2dr-Ar ... -\-Pndr =
= (Pi + P2 + • • • + Pn) dr = Rdt= 6A
Следовательно,
6Л = ЬА'.
->
Если проекции R на оси координат обозначить Rx, Ry, Rz, a
проекции элементарного перемещения dr на те же оси dx, dy,
dz, то элементарная работа равнодействующей приложенных
к точке сил будет равна:
= RdT = Rx dx + Rydy + Rz dz.
(86)
212
Работа равнодействующей на криволинейном пути М4М2 за-
запишется тогда в виде:
(87)
Заметим, что на основании свойств скалярного произведения
двух векторов работа силы есть инвариантная величина, не за-
зависящая от выбора осей координат.
Для выражения элементарной работы силы мы употребляем
символ ЬА вместо dA, так как в общем случае дифференциаль-
дифференциальный трехчлен (Rxdx + Rydy + Rzdz) не будет являться полным
дифференциалом. Символ &А нужно понимать как обозначение
элементарной работы и не смешивать его с полным дифферен-
дифференциалом функции.
Работа силы, отнесенная к единице времени, называется
мощностью. Под мощностью в данный момент понимают отно*
шение элементарной работы к приращению времени, т. е.
где Е — мощность. Из формулы (88) следует, что мощность в
данный момент равна скалярному произведению равнодейст-
равнодействующей приложенных к точке сил на скорость этой точки.
В технической системе единиц работа силы измеряется кило-
килограммометрами, т. е. за единицу работы принимается работа
силы в один килограмм на протяжении одного метра.
В физической (абсолютной) системе единиц за единицу ра-
работы принят эрг (от греческого epyov—работа), равный работе
одной дины на пути, равном одному сантиметру.
Эта единица работы является весьма малой по сравнению
с теми величинами работы, которые приходится измерять на
практике. Поэтому в Париже на конгрессе электриков в 1889 г.
была введена более крупная единица работы:
1 джоуль=107 эргов = 0,102 кГм.
Для измерения мощности были введены ватт и киловатт:
ватт = 1 — -0,102 —,
кГм
1 киловатт = 1000 ватт = 102
сек
На практике часто применяется единица мощности, называе-
называемая лошадиной силой (сокращенное обозначение л. с), равная
75 ^
сек
1 л. с. = 75-^— = 0,735 кет.
21*.
Примеры вычисления работы некоторых сил
а) Работа силы тяжести. Пусть на материальную точку мас-
массы m действует только сила тяжести P=tng. Вычислим работу
этой силы при перемещении точки из положения Mi в положе-
положение М2 (фиг. 99). Элементарная работа силы согласно форму-
формуле (86) будет:
ЬА = Pxdx+Pydy+Pzdz.
Выберем систему осей координат так, как указано на фигу-
фигуре 99, тогда Рж = 0, Pv = 0, Рг = —tng- Следовательно,
ЬА = — mgdz.
Пусть координаты точки Mt будут х4, уи z\, а точки М2 будут
*г, Уг, %2, тогда работа силы P — tng при перемещении точки из
Mi в Мч будет:
А = — \ mg dz = — mg j dz = mg (zt — z2).
Численная величина разности (zi—z2)—h представляет со-
собой разность высот материальной точки над горизонтальной
ллоскостью хОу; поэтому если Zi>z2, то A — -Ymgh, а если
Z\<z2, то A=—tngh, т. е. ра-
работа силы тяжести равна про-
произведению веса точки на раз-
разность высот начального и ко-
конечного положений.
Работа силы тяжести поло-
положительна, если в результате
перемещения точка «теряет»
высоту (zi>z2), и отрицатель-
"/ на, если точка при перемеще-
перемещении «набирает» высоту (zi<z2).
Так как работа силы тяже-
тяжести зависит только от значе-
фиг gg ний координат zt и z2 началь-
начальной и конечной точек, то мы
заключаем, что эта работа не зависит от вида кривой, по которой
точка перемещается. Работа силы тяжести на замкнутом пути
будет, очевидно, равна нулю.
б) Работа упругой силы. Пусть на материальную точку М
действует упругая сила, величина которой F=kx, т. е. сила,
пропорциональная отклонению точки от положения равновесия
(х=0). Для наглядности представим себе винтовую пружи-
пружину АО, один конец которой прикреплен к неподвижной точке А
(фиг. 95). Пружину возьмем в нерастянутом состоянии и начало
координат поместим в точке О. При отклонении конца пружи-
214
ны О, например, вправо на расстояние х будет возникать упру-
упругая сила, равная kx, где k — коэффициент упругости пружины.
Элементарная работа силы F будет равна:
8 A = Fxdx + Fydy + Fzdz = —k xdx,
так как в данном случае Fy = 0, Fz = 0, a Fx = —kx. Если точка О
отклоняется на расстояние h = OB, то полная работа на этом
перемещении будет равна:
h
= — fkxdx = — к
ов о
(89)
т. е. работа упругой силы при отклонении конца пружины от
естественного (недеформированного) состояния прямо пропор-
пропорциональна квадрату этого откло-
нения.
Фиг. 100
Фиг. 101
Если отклонение точки под действием упругой силы происхо-
происходит не по оси Ох, а в произвольном направлении, причем вели-
величина приложенной упругой силы пропорциональна расстоянию-
от начальной точки (положения равновесия), то
F = — kP.
Элементарная работа:
ЬА = Fxdx+Fvdy + Fzdz=— k (xdx + ydy + zdz).
Так как r2 = x2+y2 + z2, то rdr=xdx + ydy + zdz и, следова-
следовательно, 6Л = —krdr. При отклонении точки на расстояние OB = h
работа упругой силы будет равна:
л
Важно отметить, что и в этом случае работа силы не зависит
от формы пути, по которому точка М переместилась из точ-
точки О в точку В.
в) Работа силы тяготения. Пусть в начале координат
(фиг. 101) помещается неподвижный притягивающий центр мас-
215
•сы /п2, а в некоторой точке Mi пространства на расстоянии г
от начала координат находится вторая точка массы mi, которая
перемещается под действием силы ньютонианского притяжения
из Mi в М2.
Определим работу силы притяжения. Как известно, сила
притяжения F— т^г-. Элементарную работу этой силы мож*
но записать в виде:
6Л = Fdr = Fx dx -\-Fydy->r F2 dz.
Ho Fx Fcos(F,x) prL
и аналогично
Поэтому
x dx -4- у dy -\- z dz~\ , r dr , dr
п 1 — — ктщ — — кщт
[x dx -4- у dy -\- z dz~\ ,
1 п гз 1 — — кт^
Работа силы тяготения при перемещении точки из положе-
положения Mi в положение М2 будет равна:
J -^ = — kmxm2 j ~ = femjm2 [- —1. (90)
Как видно из формулы (90), работа силы ньютонианского
притяжения также не зависит от формы пути.
Теорема об изменении кинетической энергии точки
Кинетической энергией, или живой силой, материальной точ-
->
ки массы т, движущейся со скоростью v, называется половина
произведения массы точки на квадрат ее скорости.
Кинетическая энергия материальной1 точки есть, следова-
следовательно, скалярная величина, равная -^mv1. Действующие на
материальную точку силы в общем случае изменяют ее ско-
скорость, а следовательно, и ее кинетическую энергию. Выясним
теперь, какую роль играет в законе изменения кинетической
энергии движущейся точки работа силы, когда эта сила дей-
действует на точку. Будем исходить из основного дифференциаль-
дифференциального уравнения движения, которое мы напишем в виде:
dv jt
•> ->
Умножим скалярно обе части этого уравнения на vdt—dr,
тогда получим:.
<91)
216
Ho —jr- • vdt = vdv = d {-к- — d hyz>2 , а поэтому coot-
ношение (91) можно записать так:
d{^Y^ = Rdr, (92)
т. е. дифференциал кинетической энергии материальной точки
равен элементарной работе равнодействующей приложенных к
точке сил.
Соотношение (92) называется теоремой об изменении кине-
кинетической энергии в дифференциальной форме.
Проинтегрируем соотношение (92) в пределах, соответ-
соответствующих двум положениям Л44 и М2 движущейся материаль-
материальной точки, тогда получим:
~—r= SRdr' (93>
где Vi — скорость точки в положении Ми a v2 — скорость точки
в положении М2. Соотношение (93) показывает, что изменение
кинетической энергии материальной точки при перемещении
точки на некотором участке пути М4М2 равно работе равнодей-
равнодействующей приложенных к точке сил на этом же участке пути.
Соотношение (93) носит название теоремы об изменении ки~
нетической энергии в конечном виде.
Если обе части основного уравнения динамики умножить
скалярно на вектор скорости v, то будем иметь:
m-^v = Rv. (94)
Но
a Rv — E,
т. е. мощности равнодействующей всех приложенных сил; по~
этому (94) можно записать в виде:
d
Из (95) следует, что производная по времени от кинетиче-
кинетической энергии материальной точки равна мощности равнодей-
равнодействующей всех приложенных к точке сил.
Выясним теперь, при каких условиях теорема об изменении
кинетической энергии будет давать первый интеграл векторного
уравнения движения.
Из рассмотрения соотношения (93) мы заключаем, что для
-> ->
этого необходимо, чтобы выражение элементарной работы Rdr
217
являлось полным дифференциалом некоторой скалярной функ-
функции U(x,y,z), т. е. чтобы
или
Rxdx + Rydy + Rzdz = dU. (96)
Функция U(x, у, z), полный дифференциал которой равен
элементарной работе действующей на точку силы, называется
силовой или потенциальной функцией (иногда просто потен-
потенциалом).
В этом случае проекции действующей силы будут зависеть
только от координат точки.
Взяв полный дифференциал от функции U, мы будем иметь:
^ ^-dy + ^dz. (97)
Так как х, yf z — независимые переменные, то в (97) коэффи-
коэффициенты при dx, dy, dz должны быть равны между собой, т. е.
*.-¦?• «.-¦?• «.-¦?¦ «»>
Условия (98) не только необходимы, но и достаточны. В са-
самом деле, если проекции силы удовлетворяют соотношениям
(98), то элементарная работа будет полным дифференциалом
функции U(x,y,z).
Следовательно, для того чтобы элементарная работа силы
являлась полным дифференциалом некоторой функции U, зави-
зависящей только от координат, необходимо и достаточно, чтобы
проекции равнодействующей приложенных сил были частными
производными от этой функции по соответствующим коорди-
координатам.
Часть пространства, в каждой точке которого на рассматри-
рассматриваемую материальную точку действует сила, проекции которой
на оси координат являются однозначными и непрерывными
функциями координат точки, называется силовым полем. Если
проекции силы поля удовлетворяют соотношениям (98), то по-
поле называется потенциальным.
При движении точки в потенциальном силовом поле теорема
об изменении кинетической энергии дает первый интеграл век-
векторного уравнения движения. В самом деле, из соотношений
(92) и (96) будем иметь:
d (—2~] = dU (x, у, z),
или, интегрируя, получим:
JHf = U + hlt (99)
218
где hi — произвольная постоянная интегрирования, определяв-
мая из начальных условий.
Соотношение (99) называют интегралом энергии.
Для того чтобы выяснить физическое содержание соотноше-
соотношения (99), необходимо более внимательно изучить свойства по-
потенциальной функции.
Выясним прежде всего, как вычисляется работа в поле силы,
имеющей потенциал, при перемещении точки из одного положе-
положения Mi в другое М2. В потенциальном поле элементарная рабо-
работа силы R равна:
bA = Rd?=dU{x, у, г).
Полная работа при перемещении точки из Mt в М% (фиг. 97)
выразится так:
f A00).
л?й, = fdU(x,y,z) = U (M2)
где
U (М2) = U (х2, у2, г2); U (Л1,) = U (хи у,, г,),
т. е. работа силы, имеющей потенциал, равна разности значений
потенциальной функции (разности потенциалов) в конечной и
начальной точках пути и не
зависит от формы и длины ду-
дуги кривой MiM2, no которой
точка перемещалась из Mt ^ Мг(х y"z)
Если положить, что и (х,
у, z) равняется некоторой по-
постоянной С, то уравнение:
U(x,y,z)-C jn /f /Vf
будет представлять собой
уравнение поверхности, на ко-
которой значение потенциала не
изменяется. Такая поверх- Фиг. 102
ность называется эквипотенци-
эквипотенциальной или поверхностью уровня. Если постоянной С давать,
различные значения от —сю до +оо, то мы получим бесчислен-
бесчисленное множество эквипотенциальных поверхностей, которые рас-
расслоят потенциальное поле (фиг. 102).
Через каждую точку поля проходит, вследствие однозначно-
однозначности функции U(x, у, z), только одна эквипотенциальная поверх-
поверхность.
Сила поля направлена в каждой точке по нормали к соответ-
соответствующей эквипотенциальной поверхности.
219-
В самом деле, дадим точке элементарное перемещение dr по
эквипотенциальной поверхности (фиг. 102), тогда
= 0, A01)
так как на поверхности уровня ?/ = С и dU = 0.
Из формулы A01) следует, что
а так как dr лежит в касательной плоскости к поверхности
U—C, то R совпадает с нормалью к этой поверхности.
Если сила R имеет потенциал V (х, у, г), то иногда говорят
что вектор R является градиентом скалярной функции U(x,y,z),
и записывают это в виде:
На основании данного определения вектор grad U направ-
направлен по нормали к эквипотенциальной поверхности U—C.
Рассмотрим поверхность U — C и определим проекцию силы
R на некоторое произвольное направление, характеризуемое
единичным вектором s°. Проекции единичного вектора S0 на
оси координат будут равны направляющим косинусам этого
dx dy dz
вектора, т. е. -^, -jj- и -^, поэтому
>
Так как силовое поле потенциально, то R=VU и, следова-
следовательно,
ди dx i ди *У 1 ди dz ди
т. е. проекция силы, имеющей потенциал, на некоторое направ-
направление равна производной от потенциальной функции по этому
направлению.
->
Если вектор s° совпадает по направлению с единичным век-
вектором п° нормали к поверхности уровня U = C, то из A03) мы
получим:
так как направление вектора grad U и нормали к поверхности
уровня совпадают. Мы знаем, что проекция grad U на оси ко-
220
dU dU dU , , ,,,
ординат суть -^г- -щг, -^-; поэтому | grad t/1 можно пред-
представить еще так:
->
Докажем, что сила R (или, иначе, вектор Vf/) направлена
в сторону возрастания потенциала U(x, у, z).
В самом деле, возьмем на нормали к поверхности уровня
U0=C точку Мь бесконеч-
бесконечно близкую к точке Ма
(фиг. 103, а). Допустим, что
6С>О, т. е. Ui>U0, тогда бу-
u=c+sc
дем иметь:
М,
= gvadUdro>O,
а)
Фиг. 103
Ь)
т. е. вектор grad U направлен в сторону возрастания силовой
функции, так как скалярное произведение положительно.
Пусть dr° совпадает с dn, а следовательно, и с V U, тогда
Представим себе, что все силовое поле расслоено поверхно-
поверхностями уровня U=C так, что при переходе с одной эквипотен-
эквипотенциальной поверхности на другую постоянная С изменяется на
одну и ту же величину 6С; тогда, очевидно,
|gradi/| =-^' A04)
т. е. чем гуще расположены поверхности уровня, тем большее
значение принимает градиент.
Так как
где Ait/ называется дифференциальным параметром первого
порядка, то соотношение A04) показывает, что при нашем спо-
способе расслоения силового поля величина дифференциального
параметра первого порядка обратно пропорциональна расстоя-
221
нию Ьп между соседними поверхностями уровня. Это предло-
предложение называется в теории поля теоремой Кельвина.
Если в силовом поле провести линию, касательная в ка-
каждой точке которой совпадает с направлением действующей
силы, то мы получим силовую линию. Уравнение силовых ли-
линий легко вывести на основании данного определения. В са-
самом деле, возьмем на векторе силы рассматриваемого силовога
-> df >
поля вектор dr (фиг. 103, Ь); тогда -^- = Х вследствие колли-
F
-> ->
неарности F и dr, или в скалярной форме:
— ~Al— dz
-в—— -р- — -р—.
х 'у ' z
Соотношения A05) суть дифференциальные уравнения си-
силовых линий поля.
Очевидно, что силовые линии ортогональны к поверхностям
уровня.
Установим теперь понятие потенциальной энергии силового
поля. Пусть точка находится на эквипотенциальной поверхно-
поверхности, значение потенциала на которой выбрано равным нулю.
Будем перемещать материальную точку М из положения Мо на
нулевой эквипотенциальной поверхности в положение М\ на
другой эквипотенциальной поверхности. Работа, затрачиваемая
на перемещение материальной точки из Мо в Ми т. е. работа,,
равная и противоположная работе сил поля при переходе из
Mi в Мо, называется потенциальной энергией поля. Если потен-
потенциальную энергию точки М обозначить через V(x, у, г), то из.
определения следует, что
U(x,y,z) = -V(x,y,z). A06>
Пользуясь понятием потенциальной энергии, мы можем (99).
написать в виде:
i^i + V = A,, (Ю7>
т. е. при движении материальной точки в потенциальном сило-
силовом поле сумма ее кинетической и потенциальной энергии
остается постоянной во все время движения.
Если в начальный момент (при ^ = 0) точка имела началь-
начальную скорость Vo и потенциальную энергию Vo, то
Постоянная интегрирования в (99) есть, следовательно
полная начальная энергия точки. Постоянную /ц называют по
этому «постоянной энергии».
222
Соотношение A07) называется в механике законом сохра-
сохранения энергии.
Как видно из предыдущего, закон сохранения механической
энергии при движении точки имеет место только для потен-
потенциальных силовых полей. Силовые поля, в которых механиче-
механическая энергия сохраняется постоянной, очень часто называют
консервативными (conservation—-сохранение). Вследствие это-
этого потенциальные силовые поля называют также консерватив-
консервативными. Для неконсервативного поля сил, т. е. для поля сил, не
имеющего потенциала, механическая энергия движущейся ма-
материальной точки изменяется, и закон сохранения энергии A07)
не имеет места.
Это показывает, что закон сохранения энергии в теоретиче-
теоретической механике понимается в более ограниченном смысле, не-
нежели в физике. В задачах механики мы говорим о законе со-
сохранения энергии по отношению к изолированному объекту
(например, материальной точке), в то время как в физике этот
закон трактуется в отношении некоторой изолированной систе-
системы. Так, например, рассматривая падение точки в поле силы
тяжести с учетом сопротивления воздуха, мы можем утвер-
утверждать, что закон сохранения механической энергии A07) не бу-
будет иметь места по отношению к рассматриваемой точке, ибо
механическая энергия благодаря трению рассеивается и пере-
переходит в теплоту. Физический закон сохранения энергии выпол-
выполняется, если выбрать соответствующую замкнутую систему.
г) Примеры вычисления потенциалов простейших силовых
полей. Формула (98) дает необходимые и достаточные условия
существования потенциала. Практически, однако, эти условия
неудобны, так как обычно в задачах механики мы определяем
сначала проекции сил, а функция U(x, у, z) нам неизвестна.По-
неизвестна.Поэтому, прежде чем находить в данной конкретной задаче функ-
функцию U(x, у, z), нужно выяснить условия ее существования.
Дифференцируя соотношения (98) по соответствующим пере-
переменным, легко получить следующие соотношения:
dF, dF,, dFr дР, дР„ дР,
=0 -^ = 0 —?г=о
так как , , — -\- д , ¦¦¦ и т. д. Соотношения A08) можно
короче записать в виде векторного произведения дифферен-
дифференциального оператора V=/ -^-\-j -g--\-к -^-на вектор сшы F,
т. е. в виде:
VX^=0, A09)
;ИЛИ
/0, A09')
223
где rot F есть вектор, проекции которого на оси координат" вы-
выражаются левыми частями соотношений A08). Итак, для того
чтобы данное силовое поле было потенциальным, необходимо и
достаточно, чтобы проекции силы удовлетворяли условиям
A08) или A09).
После того как для данного силового поля проверено вы-
выполнение условий A08), для определения потенциальной функ-
функции U(x, у, z) надо составить выражение элементарной работы
силы, т. е. найти dU (x, у, г). Процесс интегрирования в слож-
сложных задачах лучше проводить, руководствуясь следующими со-
соображениями. Так как путь интегрирования от одной задан-
заданной точки до произвольной второй можно выбирать в потен-
потенциальном поле произвольно, то удобно его выбрать так, как по-
показано на фигуре 104, т. е. идти сначала параллельно оси Ох
от точки Мо до А, затем параллельно оси Оу и, наконец, па-
параллельно оси Oz.
Mix. у, г)
Фиг. 104
При перемещении по линии, параллельной оси Ох (линия
A на фиг. 104), у я z остаются постоянными, и, следователь-
следовательно, интегрирование нужно провести только по переменной х
и т. д.
Таким образом, если мы нашли, что dU—Fxdx + Fydy+Fzdz,
то на основании сказанного выше будем иметь:
"-1
х, у,
х, у, z
f Fydy+ f Fzdz.
A10)
', У,
224
Пусть, например, нужно определить потенциал силового
поля, в котором Fx — ky, Fy = kx, Fz = 0, k — некоторая постоян-
постоянная.
Условия A08) для этого силового поля выполняются, а
dU = kydx~\- kx dy.
Пусть при х = у = 0 U=0, тогда
х, о х, у
U= f kydx± f kxdy^kxy. (Ill)
0,0 x,0
Считая, что ось Oz направлена вертикально вверх, для од-
однородного поля силы тяжести будем иметь:
так как
FX~Q, Fy = 0 и Fz = ~mg.
Интегрируя, находим выражение потенциала для однород-
однородного поля силы тяжести в виде:
Если считать, что при г = 0 17=0, то Cj = O и, следовательно,
U = — mgz. A12)
Для поля силы ньютонианского притяжения получим:
dU = —km1m2-^-, A13)
так как (см. стр. 195)
Fx — — km1m2 -4j-, Fy = — km-jru -p-, Fz = — km-jn^ -^.
Обозначая kmitn2 = kl и интегрируя (ИЗ), находим выраже-
выражение для потенциала поля силы ныотонианского притяжения в
виде:
Будем считать, что при r = oo U = 0. Тогда Ct = 0 и, следова-
следовательно,
U = ~- A14)
Если в поле силы ньютонианского притяжения перемещать
точку массы тх из бесконечности в данную точку пространства,
то работа силы поля при этом перемещении будет равна:
А = и-и„ = ± = и{г). A15)
Формула A15) показывает, что значение потенциала в дан-
данной точке, лежащей на сфере радиуса г, равно работе силы
15 А. А. Космодемьянский 225
поля ньютонианского притяжения при перемещении точки из
бесконечности в данную точку пространства.
Зная выражение гравитационного потенциала для случая
двух материальных точек тх и т2, вычислим потенциал для
точки ти притягиваемой шаром заданной плотности р, имею-
имеющим массу М и радиус Ro- Выделим элементарный объем шара
dx и вычислим его в сферических
координатах. Угол 0 (как при-
принято в теории фигуры Земли)
будем отсчитывать от вертикали.
Легко понять, (см. фиг. 105),
\Л что
dx=dr rdQr sin 0 dq>,
а следовательно, потенциал для
точки массы ти находящейся на
расстоянии h от элемента dx, бу-
будет согласно формуле A14) ра-
равен:
.\ dM
dx
A16)
где р — плотность элемента dx.
фиг 105 Потенциал от всего шара полу-
получим, если проинтегрируем A16)
по всему объему шара. Будем считать шар однородным, т. е.
положим р = const, тогда
г- <117>
Из треугольника OniyAy на фигуре 105 легко усмотреть, что
и, следовательно,
, Г С С
г1 dr sin В dQd<?
T*-W cos б"
Для того чтобы при интегрировании пройти по всем элемен-
элементам шара только один раз, нужно взять следующие пределы ин-
интегрирования: по г—от 0 до Ro, по углу 0 — от 0 до я и по
углу ф — от 0 до 2я. Таким образом,
/?„ я 2я
г2 rfr sin 9 rf9 йф
. С С С
0 0 0
До Я
! — 2rRcosQ
dr sin 6
226
Проведем более подробно интегрирование по 0. Положим:
и = R2-\- г2 — 2rR cos 9,
тогда
du = 2Rr sin 0 dQ.
Поэтому
Следовательно,
о
Но масса однородного шара равна:
М = (~ я/$) • р,
и поэтому потенциал шара массы М для точки ти находящей-
находящейся на расстоянии R от центра шара, будет иметь вид:
A18)
Из формулы A18) следует, что потенциал однородного шара
массы М для внешней точки с массой т{ получается таким, как
если бы вся масса шара была сосредоточена в его центре.
Силу притяжения шара мы получим, дифференцируя A18)
по R. Будем иметь, что
Р_ dU __ kntjAl
dR~~ «2 •
т. е. сила притяжения однородным шаром материальной точ-
точки ти лежащей вне шара, равна силе притяжения материаль-
материальной точки с массой, равной массе шара и помещенной в центр
шара.
Укажем без доказательства, что полученный вывод остается
справедливым и для неоднородного шара, если его плотность
будет функцией расстояния от центра шара.
д) Форма, размеры и гравитационный потенциал планеты
Земля. В практике многих научных исследований планета Зем-
Земля считается шаром, причем ее плотность считается возрастаю-
возрастающей по направлению к центру шара. Полеты искусственных
спутников Земли показывают, что отклонения формы нашей
планеты от шарообразной оказывают существенное влияние на
геометрический вид орбит спутника. Еще Ньютоном была
15* 227
высказана мысль, что форма Земли должна отличаться от шаро-
шаровой и кривизна земной поверхности у полюсов должна быть
меньше, чем у экватора. Если произвести два измерения дуги
меридиана (например, в один градус): одно — в высоких, а дру-
другое— в низких широтах, то длина дуги, соответствующая од-
одному градусу широты, будет вблизи полюса больше.
В настоящее время различают три вида земной поверхности:
физическую поверхность с холмами и впадинами, горами и
океанами, которую мы видим и ощущаем;
гидростатическую, или уровенную, поверхность, которая во
всех своих точках перпендикулярна к направлению местной
силы тяжести; уровенная поверхность Земли соответствует глад-
гладкой (без волн) поверхности океанов. Фигура, образуемая уро-
венной поверхностью всей Земли, называется геоидом;
идеальная поверхность, которая может быть представлена
некоторым математическим уравнением. Оказывается (на ос-
основе многочисленных геодезических — градусных — измерений),
что идеальная поверхность Земли, наиболее приближающаяся
к поверхности геоида, будет поверхность эллипсоида вращения
или сфероида.
Обозначим экваториальную ось эллипсоида вращения через
2 а, полярную (проходящую через Южный и Северный полюсы
Земли) — через 2 Ь, тогда величина:
a = ^L A19)
называется сжатием Земли.
Иногда вместо сжатия а берут эксцентриситет меридиана
(эллипса) земного сфероида, который определяется по следую-
следующей формуле:
Так как
то
и, следовательно,
е=УаB — а). A21)
Хотя поверхность земного сфероида есть только некоторое
приближение к реальной физической поверхности Земли, но
практическое значение сфероида весьма велико. Именно на сфе-
сфероиде прокладываются меридианы и параллели и вычисляются
координаты пунктов.
С длиной земного меридиана связана и общепринятая теперь
единица длины — метр. В эпоху Великой французской револю-
228
ции, когда был введен метр, были убеждены, что метр состав-
составляет одну десятимиллионную часть четверти земного (Париж-
(Парижского) меридиана.
Крупнейшие, так называемые градусные измерения дуг ме-
меридианов, проведенные геодезистами в XIX и XX столетиях,
дали следующие значения элементов земного сфероида (L —
длина меридиана сфероида).
Элементы
сфе,роида
а
Ь
а
Бессель
A841)
6377 397 м
6356079 м
1/299
10 000 856 м
Кларк
A880)
6 378 249 м
6356515 м
1/293
10 001 868 м
Гельмерт
A901)
6 378 140 м
6356 758 м
1/298
10 001 973 м
Хайфорд
A910)
6 378 388 м
6356 912 м
1/297
10 002 288 м
Красовский
A936)
6378 210 м
6 356 850 м
1/298, 3
10 002097 м
В основу эллипсоида Красовского, кроме многочисленных
иностранных измерений, положены длинные ряды триангуляции,
астрономических и гравиметрических наблюдений, проведенных
на территории СССР; поэтому элементы сфероида Красовского
лучше всего отвечают форме геоида на территории нашей стра-
страны. Сфероид Хаифорда принят в
качестве международного сфе-
сфероида. Если рассечь земной сфе-
сфероид плоскостью, проходящей че-
через ось вращения, то в сечении
получится эллипс с полуосями а
и Ъ. Перпендикуляры к касатель-
касательным в разных точках эллипса
не будут проходить через центр
Земли, за исключением полюсов
и точек пересечения меридиана с
экватором (фиг. 106).
Угол (p' — NOA называют гео-
геоцентрической широтой, а угол
<p = NDA — географической широ-
широтой. Если координаты точки N будут х, у, то легко найти связь
между углами q/ и ф. В самом деле, из фигуры 106 ясно, что
tgq/ = -|. A22)
Кроме того, нормаль к эллипсу в точке N составляет угол <р с
осью абсцисс и, следовательно,
фиг- 106
, dx
tg Ф = ^г •
A23)
229
Уравнение эллипса, как известно, будет:
_ ^_
~~dy~ — ~~b*'y— 62
Следовательно,
= -?-tgq>. A24)
Из формулы A24) следует, что ф' = ф при ф=0, ф = я и ф=±тр
т. е. на экваторе и на полюсах; во всех же других точках ф'<ф„
так как Ь<а.
Рассчитаем длину радиуса r = ON. Из фигуры 106 имеем:
x = r cos ф', y = r sin ф'.
Подставляя х и у в уравнение эллипса, получим:
2 /cosy , siny\ _
Г \, а2 "т~ S' Г1'
ИЛИ
и, следовательно,
« A25)
1 + -?Г 'S2 Ч1'
Формула A25) позволяет определить г, если задана геоцен-
геоцентрическая широта ф'.
Найдем приближенное выражение гравитационного потен-
потенциала земного сфероида для внешней материальной точки с
массой mi—\. Плотность р будем считать переменной.
Так как
dU== kdM
и, следовательно,
U-J
где Г есть интеграл по объему сфероида.
т
Разложим
-
R
230
в ряд по биному Ньютона. Будем иметь:
-il'+W-S-W+K*I <-¦•+...].
Если удержать в разложении члены только первого и второго
порядка относительно f-^-J, то A26) можно записать в виде:
U= -J- f dM + -A. f r cosQdM —
X 1
- W / r2 dM + W / r2 cos2 0 dM.
X X
Очевидно, jdM = M, и, следовательно,
есть потенциал от массы сфероида на внешнюю точку массы
/Wi = l при условии, что вся масса сфероида сконцентрирована
в его центре масс. Второй интеграл:
J г cos e dM = О,
так как начало координат совпадает с центром масс и, следова-
следовательно, каждому положительному подинтегральному элементу
( + r cos QdM) найдется такой же отрицательный (—rcosQdM).
Третий интеграл:
есть по определению полярный момент инерции.
Четвертый интеграл:
J г2 cos2 0 dM = J г2 A — sin2 0) dM.
X X
Так как rsin8=/u есть расстояние массы dM от прямой Оти то
J г sin2 0 dM = J hi dM = I, где / — момент инерции сфероида
t X
относительно оси (прямой) Отх. Поэтому
J г2 A — sin2 0) dM = /0 — /.
t
231
Собирая значения всех вычисленных интегралов, получим:
^=-х-+тяИ2/°~3/]- <127>
Но, как известно из теории моментов инерции:
2/о = Ixx + lyy + hz,
где 1ХХ, 1Уу, 1гг — главные моменты инерции сфероида.
Выберем оси Ох и Оу в плоскости экватора, тогда ось Oz будет
совпадать с осью Земли, и для сфероида будем иметь, что
1хХ = 1уу = 1я- Следовательно,
Формула A28) показывает, что полученное ранее простое
выражение гравитационного потенциала A18) для однородного
шара и внешней точки в случае сфероида оказывается более
сложным, зависящим от распределения масс внутри сфероида-
Если удержать в разложении "оЧ^+'Ш' ^-cosS слага-
/ г \з
емые с 1-й ) . то гравитационный потенциал можно предста-
представить в следующем виде
*:
^ C5 sin4 0-30 sin2 0 + 3) -Л] , A29)
* В курсах теории потенциала показывается, что
1 со
где s = cos 8, а Рп (s)
суть полиномы Лежандра. Легко показать, что
P4 = -i- C5s4 — 30s2 + 3) и т. д.
О
Поэтому
?/=Ж+ * Г гсоз9<Ш + ... -] ~
R ^ R2 J ^ ^ R"f
X X
Формула A29) получена интегрированием полиномов Лежандра до Pi(s),
См.: Т, Stern, An Introduction to Celestial Mechanics, New York, 1960,
p. 28—32.
232
где Ro — экваториальный радиус Земли; /= 1,638- 10~3,
D = l,06-10-5.
Отметим здесь без доказательства, что для круговых орбит
искусственных спутников Земли при радиусе орбиты, превы-
превышающем два радиуса Земли, можно для достаточно широкого
круга практических задач ограничиваться в A29) только пер-
первым слагаемым, т. е. считать U=~.
Если на материальную точку действует несколько сил, каж-
каждая из которых имеет потенциал, то равнодействующая этих
сил будет также иметь потенциал, равный алгебраической сум-
сумме потенциалов составляющих сил. В самом деле, если
^1х ~ ~дх ' ^2х = ~дх~ > ¦••' рпх = -^Г •
то
л
v=l
я аналогично
v=l
*» = ?<?/! + </„+...+</„).
v=l
->
Таким образом, силовому полю равнодействующей R соот-
п
ветствует потенциал f/= 2 ^v
V=l
ГЛАВА Ш
ДВЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ КРИВОЛИНЕЙНОГО
ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ
«В механике примеры учат не меньше,
чем правила»-
И. Ньютон.
Введение. В процессе исторического развития методов
теоретической механики и приложений этих методов к пробле-
проблемам смежных научных дисциплин, а именно к баллистике артил-
артиллерийских снарядов и небесной механике, откристаллизовались
решения двух поучительных частных задач динамики точки, на-
называемых у механиков теорией параболических траекторий и
теорией движения в ньютонианском центральном силовом поле.
Задача о движении материальной точки, брошенной с неко-
некоторой начальной скоростью v0 в однородном поле силы тяжести
Земли (вектор ускорения g = const = g0), была впервые иссле-
исследована Г. Галилеем еще в 1638 г.*. Галилей показал, что в этом
случае траекторией точки будет парабола, параметр которой од-
однозначно определяется заданием v0 и go. Позднее задача о дви-
движении точки в однородном поле силы тяжести была более под-
подробно исследована в курсах внешней баллистики (в теории
стрельбы), причем были открыты весьма интересные свойства
различных семейств параболических траекторий**. Абстракт-
Абстрактность постановки этой задачи кажущаяся. Это хорошо знают
все инженеры — испытатели ракет и снарядов, широко приме-
применяющие формулы теории параболических траекторий, когда по-
полеты объектов происходят в разреженных верхних слоях атмо-
атмосферы, а дальности стрельбы малы по сравнению с радиусом
Земли.
* Г. Галилей, Беседы и математические доказательства, касающие-
касающиеся двух новых отраслей науки, относящихся к механике и местному движе-
движению. Первое издание—1638. Русский перевод—1934.
** С. Cranz, Lehrbuch der Ballistik, Berlin, 1926.
234
Задача о движении материальной точки в центральном сило-
силовом поле была строго математически формулирована И. Ньюто-
Ньютоном в 1687 г. Открытие Ньютоном закона всемирного тяготения
превратило эту задачу в важнейшую проблему мироздания. Рас-
Рассмотрению различных аспектов этой проблемы посвящены мно-
многочисленные трактаты по небесной механике*. До начала
XX в. считалось, что эта проблема будет всегда интересовать
сравнительно узкий круг специалистов — астрономов и моряков-
штурманов. Однако исследования К. Э. Циолковского и много-
многочисленные работы ученых — наших современников ** — показа-
показали, что для понимания закономерностей межпланетных полетов,
предсказаний эфемерид искусственных спутников Земли и рас-
расчетов траекторий межконтинентальных ракет указанная про-
проблема небесной механики имеет важнейшее значение. В послед-
последние годы особенно много работ было посвящено исследованию
движения материальной точки в гравитационном поле Земли.
Если ограничиться исследованием движения точки при про-
простейших предположениях (Земля неподвижная, гравитационное
поле центрально), достаточных для выяснения многих характе-
характеристических свойств, то анализ становится простым, геометри-
геометрически наглядным и красивым. Лучшие достижения математиков,
начиная с Аполлония (жил около 200 лет до нашей эры), и ме-
механиков— от Коперника, Кеплера, Ньютона, плодотворно обога-
обогащали друг друга при изысканиях решений этой проблемы. Могу-
Могущество теоретического мышления выявляется здесь с годами
все глубже и полнее. Трудно указать в XX столетии механиче-
механическую проблему, столь же важную и столь величественную. Мы
изложим указанные частные задачи динамики точки достаточно
подробно.
§ 1. Движение материальной точки
в однородном поле силы тяжести Земли
1. Будем рассматривать движение материальной точки мас-
массы т в предположении, что дальность и высота ее полета малы
по сравнению с радиусом Земли.
Тогда силу земного притяжения (силу тяжести) можно счи-
считать постоянной по величине и направлению и равной mg0.
Пусть точка брошена под некоторым углом а к горизонту. Опре-
Определим характеристические свойства движения точки, считая,
что Земля неподвижна и силой сопротивления воздуха можно
* Ф, Р, Мультон, Введение в небесную механику, ОНТИ, 1935.
В этой книге даны характеристики наиболее выдающихся курсов по небес-
небесной механике.
** Обзорный доклад «Динамические задачи в теории полета космических
ракет», изд. ВВИА им, проф. Н. Е. Жуковского, 1960.
235
пренебречь. Выберем систему декартовых осей координат Oxyz,
как указано на фигуре 107.
Пусть в начальный момент времени (при ^ = 0) движущаяся
точка находилась в начале координат (в точке О) и имела ско-
рость, равную v0. He ограничивая общности решения задачи,,
допустим, что вектор v0 лежит в плоскости xOz.
'О
-*,.=D —
Фиг. 107
Покажем прежде всего, что траекторией движущейся точки
М будет плоская кривая, лежащая в плоскости xOz. В самом
деле, уравнение движения точки М в проекции на ось Оу при
сделанных допущениях будет иметь вид:
Интегрируя это уравнение и определяя произвольные посто-
постоянные из начальных условий, мы получим, что во все время
движения точки
Vy~y = 0 и t/ = 0.
Следовательно, траектория точки М представляет собой пло-
плоскую кривую, расположенную в плоскости xOz.
Для определения закона движения и траектории точки М
напишем дифференциальные уравнения ее движения в проек-
проекциях на оси Ох и Oz.
Будем иметь:
тх — 0,
mz = — mg0,
или л; = 0 и z =— g0. A)
Интегрируя уравнения A) первый раз, получим:
B)
236
Для определения произвольных постоянных интеграции Сх
и С2 допустим, что вектор начальной скорости и0 направлен под
углом а к оси Ох, т. е. uoa—uocos a, vOz=vosin а. Тогда С\ —
= u0cosa, C2 = Uosina, и, следовательно, первые интегралы урав-
уравнений A) примут вид:
х — v0 cos a, z = v0 sin а — got. C)
Интегрируя уравнения C) еще раз, получим:
х = (г>0 cos а) / -J- С3.
si1
г = (г>0 sin а) / — ^- + С4.
Так как в начальный момент при ^ = 0 имеем по условию
задачи х=0 и z = 0, то С3 = 0 и С4 = 0.
Следовательно, решения дифференциальных уравнений A),
удовлетворяющие поставленным начальным условиям, можно
записать в следующей форме:
х — (г>0 cos a) / J
z = (vos\na)t — ±-gof j ( '
Уравнения D) представляют закон движения материальной
точки в однородном поле силы тяжести.
Для того чтобы найти траекторию точки М, нужно исклю-
исключить время t из уравнений D). Будем иметь:
fX\ E)
z xiga f\ .
2i»qCos a
Если v0, go, a — заданные постоянные величины, то уравне-
уравнение E) представляет уравнение параболы, ось которой парал-
параллельна оси Oz (фиг. 107). Если v0 и go постоянны, а угол а из-
изменяется, то уравнение E) дает семейство Парабол, зависящих
от одного параметра; при переменных а я v0 уравнение E) дает
семейство параболических траекторий, зависящих от двух па-
параметров.
Определим горизонтальную (вдоль оси Ох) дальность поле-
полета точки М при u0=const, go=consl Для этого (фиг. 107) нужно
определить точки пересечения параболы E) с осью Ох. Полагая
в E) 2 = 0 (уравнение оси Ох), мы получим два решения:
хх = 0,
_D_ 2i>gcos2atga __ i>gsin2a
Первое решение показывает, что парабола E) пересекает
ось Ох в точке с координатами: х = 0, z = 0. Второе решение
определяет дальность полета точки.
237
Из F) видно, что дальность D является функцией угла а.
В артиллерии угол а называют углом бросания. Из формулы
F) легко выяснить, что дальность полета будет максимальной,
если sin 2а=1,°т. е. при а = 45°. Таким образом,
: = t/при a=45" = '
G)
Рассмотрение формулы F) для дальности полета D = D (а)
при различных углах бросания показывает, что при углах бро-
бросания а и (я/2 — а) соответствующие дальности будут одина-
одинаковы, так как
Следовательно, при заданной начальной скорости v0 в дан-
данную точку А, вообще говоря, можно попасть по двум траекто-
траекториям (фиг. 108): крутой (в артиллерии — навесной) и пологой
(настильной).
ullllilirllllllllllllll ШИ'iil'lilltiiitltliТд iiiliUH'lill
Фиг. 108
При а = 45° обе траектории — настильная и навесная — сли-
сливаются в одну. Параболическую траекторию, обеспечивающую
максимальную дальность полета, будем называть оптимальной.
Для характеристики параболической траектории часто ука-
указывают максимальную высоту подъема точки М над горизонтом
(над осью Ох, фиг. 107). Обозначим эту высоту через Я. Для
определения Н, руководствуясь законом независимого действия
сил, можно рассмотреть движение проекции точки М вдоль оси
Oz. Начальная скорость в направлении оси Oz будет Ui = uosina,
а ускорение шг=—g0; по известной формуле Галилея:
238
и, следовательно, максимальная высота подъема точки над го-
горизонтом при данном угле возвышения а будет:
«„ sin2 «
Если а изменяется, то наибольшая максимальная (maximum,
maximorum) высота подъема над горизонтом будет при sin2cc=l
(при а = 90°), т. е. в том случае, когда тяжелой материальной
точке сообщается начальная скорость по вертикали вверх:
Я^ г_г О /Q\
max — **при а = 90° — г> • \^)
Время полета точки по части параболической траектории
ОБА (фиг. 107) можно найти из формулы F) и первой из фор-
формул D). Будем иметь:
i»o sin 2a
откуда время полета Т определится формулой:
^p 2i»osina
Для оптимальной траектории, когда a = 45°, время полета бу-
будет равно:
т1 т1 V * va /in
1 1 = I при а = 45° = —~ , A1/
so
а высота подъема над горизонтом:
2
//l =//при a = 45° = -^— ¦ A2)
Так как для оптимальной траектории дальность полета
/Л=^. A3)
Сопоставляя DmtkX с //тах (формула 9), получим:
Нтах = 0,5От„. A4)
Формулами A1 —14) можно пользоваться для приближенных
расчетов в пределах дальностей 500—600 км (при Dmax=0,l R,
где R — радиус Земли, ошибка в рекомендуемых формулах не
превосходит 4 %) •
239
Зная максимальную высоту подъема снаряда (или ракеты)
при вертикальном пуске, можно по формуле A4) найти макси-
максимальную дальность горизонтального полета при оптимальном
угле бросания а = 45°. Известно, например, что при исследова-
исследовании верхних слоев атмосферы советская метеорологическая ра-
ракета МР-1 поднималась на высоту 95 км, следовательно, при
полете по оптимальной параболической траектории она обеспе-
обеспечит горизонтальную дальность полета ?>тах=190 км.
2. Рассмотрим некоторые характеристики семейства парабо-
параболических траекторий, зависящего от одного параметра—угла
бросания а. Представим себе, что из начала координат одно-
одновременно брошены материальные точки с одинаковой начальной
скоростью vq под различными углами к горизонту.
Определим границу поражаемой зоны. Решение этой задачи
сводится к определению огибающей семейства парабол. Как из-
известно *, для определения огибающей семейства кривых z =
= f(x, р), зависящего от одного параметра р, необходимо ис-
исключить параметр р из двух уравнений:
z-f(x,p) = 0)
дг • A5)
I?0 )
Получаемое таким способом уравнение вида F{z, х) = 0 и
есть огибающая семейства.
Напишем уравнение семейства параболических траекторий в
виде:
и выберем в качестве параметра р «е угол бросания a, a tg а.
Тогда уравнения огибающей семейства будут:
JT(l + /'2) О6)
* <). A7)
dp vl
Исключая из A6) и A7) параметр р, получим уравнение
огибающей семейства A5') в виде:
24'
* В. И. Смирнов, Курс высшей математики, т. II, стр. 40—42, Гостех-
издат, 1948.
240
Уравнение A8) есть уравнение параболы (фиг. 109), распо-
расположенной симметрично относительно оси Ог; вершина параболы
находится в точке х = 0, .г = Ятах —-g—- . Так как парабола
A8) отделяет безопасную зону от зоны поражаемой, то она на-
называется параболой безопасности.
////sAWim'. /Лу'л/'///&//7/7/"У> Л у//////////*y///rfv/yMw
Семейство параболических траекторий A5') обладает еще
целым рядом интересных геометрических свойств. Покажем, на-
например, что геометрическое место вершин семейства парабол
A5') есть эллипс.
В самом деле, пользуясь формулами F) и (8), координаты
вершины параболы х и г можно написать в виде:
vl sin 2a
= Я,, sin 2а,
2 ¦ 2
A9)
B0)
v
где Hm==-^- постоянная величина.
Так как sin2a = Y 0—cos 2a), то уравнение B0) можно
записать так:
z = S*-(\— cos 2a),
или
Исключая угол а из A9) и B1), получим:
Hi
16 А. А. Космодемьянский
B1)
B2)
241
Уравнение B2) представляет уравнение эллипса, полуоси
которого равны соответственно Нт и -^ Нт, а центр находится
в точке х = 0, z = -^Hm (фиг. 110).
X
' геометрическое место вершин
параболических траекторий
Фиг ПО
Если из точки О (начало координат см. фиг. 111) одновре-
одновременно в момент / = 0 с одной и той же начальной скоростью бро-
брошены под различными углами к горизонту различные мате-
материальные точки, то в любой последующий момент времени они.
будут находиться на окружности. Радиус этой окружности бу-
будет расти прямо пропорционально времени.
Фиг 111
Для доказательства возьмем уравнения семейства параболи-
параболических траекторий в виде D):
х = (v0 cos a) t,
B3)
Исключая из этих уравнений угол а, получим:
242
Уравнение B3) представляет уравнение окружности радиуса
r = vot; центр этой окружности перемещается по оси Oz по за-
закону: z = — у ?о*2 (фиг. 111).
Отметим еще, что все точки, движущиеся по параболическим
траекториям при vo=const и go=const, достигающие какой-
либо высоты z, будут иметь одинаковые по величине скорости.
В самом деле, из теоремы об изменении кинетической энергии
точки будем иметь:
2 2
откуда v = yvl — 2gQz, B4)
что и доказывает наше утверждение. Из B4) следует также, что
скорость точки в момент достижения цели на поверхности Зем-
Земли (на оси Ох) будет равна начальной скорости, скорость в вер-
вершине параболы будет наименьшей и равной о = ож = и0 cos а.
3. Интересным практически вопросом является определение
изменения дальности полета точки при малых изменениях на-
начальной скорости v0 и начального угла бросания а. Пусть на-
начальная скорость изменилась на 6v0, а начальный угол — на 6а.
Пользуясь формулой F), найдем изменение дальности б?>.
Будем иметь:
D + bD = .
или
D-\-bD = —- \(yl4- 2v0bv0 4- bv'*\ (sin 2a cos 2 6a 4- cos 2a sin 2 6a)l.
Будем считать б v0 и ба малыми настолько, что квадратами
и произведениями (вообще степенями выше первой) этих вели-
величин можно пренебречь.
Тогда
cos B ба) si; sinB6a)^26a
и
D + bD = j-[v20 sin 2а + 2v\ cos 2a ба 4- 2v0 sin 2a bv0].
Так как
D = — vl sin 2a,
so
TO
n
2f cos 2ot 2f sin 2d
bD = bD, 4 6D2 = • 6a H 6vn,
1 г go ' go °'
где
_ 2vl cos 2a
bDl = —5 6a
16* 243
изменение дальности, обусловленное изменением начального
угла бросания, а
bD2 Чбг)о
so
изменение дальности, обусловленное изменением начальной
скорости.
Пусть, например, начальная скорость ио=1ООО м/сек. Подсчи-
Подсчитаем изменения дальности 6Di и 6D2 при изменении начальной
скорости 6^0=10 м/сек и изменении начального угла бросания
^а= пю (что соответствУет изменению а на 34'23"). Началь-
Начальные углы бросания пусть будут равны 30°, 45°, 60°. Результаты
расчетов приведены в таблице 1, ускорение go принималось
равным 10 м/сек2.
Таблица 1
a
Л/6
л/4
л/3
6а
:
1-0,01
Ю,01
-0,01
»о, м/сек
1000
1000
1000
6f0, Mjceic
+10
+10
+10
D, м
86 600
100 000
86 600
6О„ м
+1000
0
—1000
6D2, м
1732
2000
1732
~
4. Рассмотрим, как изменятся расчетные формулы для даль-
дальности и максимальной высоты, если начальные координаты дви-
движущейся точки будут: х=0, z=h
(точка бросания расположена на
вершине холма или горы высотой К).
Если угол начальной скорости v0
(¦у-а) с горизонтом опять обозначить а,
то, интегрируя дифференциальные
к уравнения движения A), будем
?_ иметь:
сПГ х = (v0 cos a) • t
z = h +¦ (^0 sin а) • t — -н- g0''
Фиг. 112
B5)
Если из уравнений B5) исключить время t, то мы получим
уравнение траектории в виде:
B6)
2i»qCos a
Легко понять, что B6) дает уравнение параболы с верти-
вертикальной осью; вершина параболы (фиг. 112) находится в точке
с координатами:
г'о sin 2a
t»nSin a
B7)
244
Для определения дальности полета нужно найти точку пере-
пересечения параболы B6) с положительной полуосью Ох. Будем
иметь:
vHsin2a Г / 2л>Л
D = — 1 + 1/1+ 2 2 ¦ B8)
Для получения ряда частных, более простых результатов
рассмотрим такие случаи бросания, когда
и, следовательно,
22g02 <C1- B9)
i/gSin a
Практически такие случаи могут быть при стрельбе на отно-
относительно большие дальности при углах бросания, близких или
больших 45°. Например, если ио=1ООО м/сек, сс = 45°, /г = 2500 м,
то при ?о=1О м/сек2 мы получим:
2S°h _ п 1
2 • 2 — ' "
Разлагая квадратный корень в B8) в ряд по формуле би-
бинома, получим:
^ sin 2а [ goh gl>? Л
L) -— • 1 -\- ~—Ъ 5 .4.4 Г • • • I • (yV)
g0 L г^вш^а 4^sin4a J
Удерживая в C0) только линейные члены относительно h,
получим приближенную формулу для определения дальности в
виде:
«п sin 2a
D = -2- h^ctga. C1)
so
Первое слагаемое определяет длину отрезков ОВи а вто-
второе—длину отрезка BiC. Истинная дальность полета равна:
OCi = OBi + BiCi. Пользуясь C1), легко найти в принятых рам-
рамках линейной теории оптимальный угол возвышения а0Пт, обес-
обеспечивающий максимальную дальность полета Dmax. Дифферен-
Дифференцируя C1) по а, приравнивая производную нулю и разрешая
полученное уравнение относительно sin ссОпт, будем иметь:
C2)
Соотношение C2) показывает, что при выполнении условия
B9) угол «опт мало отличается от 45°. Так, если ио= 1000 м/сек,
Л = 5000 м, ?о=Ю м/сек2, то
«опт = 43° 35'. C3)
245
bu = -37- bv0 -
_/2v
\ i
Если v0, a, h получат малые изменения 6у0, Sa, б/г, то при
учете линейных членов изменение дальности б?> можно рассчи-
рассчитать по формуле:
dD . , dD s, xr. , х n i .n
а --и i -t~ ba -f- -37- bh = 6D, +-6D2 +-6D3 =
dv0 u ' do d/г ' ' ^ ' 3
, sin 2a \ / 2v\ cos 2a h \
-)bv, + \—— wrJ6a+-ctga.6A, C4)
где 6^i — изменение дальности, обусловленное изменением на-
начальной скорости на 6t'o, ^D% — изменение дальности, обуслов-
обусловленное изменением начального угла бросания на 6а, и б?>з — из-
изменение дальности, обусловленное изменением высоты точки
старта на б/г. В таблице 2 даны результаты расчетов по фор-
формуле C4) при следующих условиях: ускорение ?0=10 м/сек2,
/г = 5 км, о0=1000 м/сек.
Таблица 2
too,
м/сек
6a,
гад
6ft,
м
6D,,
м
Я/6
я/4
я/3
10
10
+10
+0,01
+0,01
+0,01
+50
--50
--50
-1732
-2000
-1732
+ 800
— 100
—1067
+28,85
0,00
—28,85
Как видно из таблицы 2, изменение высоты влияет на рас-
рассеивание значительно меньше, чем изменения начальной скоро-
скорости и начального угла бросания (относительные изменения—^,
-у-взяты равными 0,01).
§ 2. Движение материальной точки
в гравитационном ньютоновом поле Земли
1. Теоретические исследования гравитационного поля (поля
сил тяготения) Земли, а также многочисленные наблюдения над
движениями искусственных спутников нашей планеты показали,
что в ряде задач в первом приближении можно считать силу
притяжения, обусловленную массой Земли, центральной и под-
подчиняющейся закону всемирного тяготения Ньютона.
Если движущаяся точка массы т находится на расстоянии
г от центра Земли, то действующая на нее гравитационная сила
будет равна:
г* , тМ
где М — масса Земли, k— постоянная тяготения (в системе CGS
^ = 6,673. Ю-8 -?
246
Так как на поверхности Земли, которую мы будем считать
сферой радиуса г = ?, сила F = mg0, то, очевидно,
C5)
Из соотношения C5) следует, что kM = g0R2. Следовательно,
гравитационную силу, обусловленную массой Земли, для точки
массы т можно записать в виде:
F = mg0-^. C6)
Рассмотрим сначала простейшую задачу о движении мате-
материальной точки массы т, брошенной вертикально вверх с
начальной скоростью v0. Землю будем считать неподвижной, а
силой сопротивления атмосферы — пренебрегать. Определим
максимальную высоту подъема точки над поверхностью Земли.
На основании теоремы об изменении кинетической энергии
точки имеем:
а о R + H _0
mvl mv^ » ¦> ¦> /• R'
_ —^jfdr^—j mgQ-jt-dr, C7)
R
где Я — высота подъема точки над поверхностью Земли.
Так как при Н=Нтах v = 0, то из C7) получим:
"§
откуда
«8
Если начальная скорость мала, то отношение [-§¦) будет
также малым по сравнению с 2g0 и тогда из C8), как частный
случай, получается формула Галилея:
Ятах = ^. C9>
Если знаменатель формулы C8) обращается в нуль, то #тах
неограниченно возрастет и, следовательно, материальная точка
покидает поле тяготения Земли. Скорость vq — v^, при которой
материальная точка может удаляться неограниченно далеко от
центра Земли, называется в современной космонавтике второй
космической скоростью или скоростью освобождения от грави-
гравитационного поля Земли.
247
Величина второй космической скорости v2 для нашей пла-
планеты определится, если приравнять нулю знаменатель в фор-
формуле C8). Будем иметь тогда:
•oi = \2g0R. D0)
Полагая go = 9,8l м/сек2, /? = 6371000 м, получим из D0):
v2 = /2-9,81 -6-371000 = 11 189 м/сек.
Вторая космическая скорость (или скорость освобождения)
является количественной характеристикой гравитационного по-
поля Земли. Эта скорость часто встречается в задачах теории
межпланетных полетов.
При исследовании криволинейных движений в гравитацион-
гравитационном поле Земли следует иметь в виду общие свойства движе-
движений материальной точки в центральном силовом поле, а именно:
а) под действием центральной силы материальная точка
движется с постоянной секторной скоростью;
б) траектория точки будет расположена в одной плоскости
(плоская кривая), положение этой плоскости в пространстве
определяется притягивающим центром и вектором начальной
скорости v0.
2. Формула Бинэ. Установим дифференциальное уравне-
уравнение траектории точки, движущейся под действием центральной
силы. Исходными соотношениями будут интеграл площадей и
теорема об изменении кинетической энергии.
Будем пользоваться в дальнейшем полярными координа-
координатами г, ф.
Если ограничиться случаем притягивающей центральной си-
силы, то теорема об изменении кинетической энергии может быть
записана в следующей форме:
2 v /
где f{r) представляет величину центральной силы, a dr = drX,
Xг°-f-rdq>p°. Так как г°_]_/Лто соотношение D1) можно за-
записать в виде:
— • — (v2) = — f(r) —— . D2)
Квадрат модуля скорости в полярных координатах имеет вид:
1} +г * [ИГ) ¦ <43)
Из интеграла площадей г2ф = С следует, что
dt = —^ . D4)
248
Подставляя dt из D4) в формулу D3), будем иметь:
2 С2 / dr \2 . С*
Введем новую переменную и = —, тогда
du 1 dr dr 1 du
dtp r2 dtp ' dtp m2 dtp '
гJ = С2 -г-) +w2 . D5>
L\ яф / J
Соотношение D2) запишется теперь в следующем виде:
тС2 d f/du\2 , оТ л/ - 1 rfw
или
^2C2[^ + «] = f(i). D6)
Формула D6) называется формулой Бинэ (Binet). При про-
произвольной гравитационной силе соотношение D6) представляет
нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка.
3. Для гравитационной силы Земли (см. формулу 36) имеем:
Следовательно, из D6) получим:
где
Уравнение D7) есть линейное дифференциальное уравнение
траектории материальной точки в полярных координатах для
случая движения в ньютоновом поле тяготения Земли. Общее
решение этого уравнения можно представить в виде:
и = -?-Ь ^cos(q> — Фо), D8>
где А и фо — произвольные постоянные интегрирования, опреде-
определяемые из начальных условий. Полагая:
С2 АС2
мы можем D8) написать в виде:
АС*
+ —COSfo Vo)J
249-
1 1
COSfo —Vo)J = -[l+ecOS(q>-q>0)J,
эткуда
r =
1 + е cos (ф — с
D9)
Уравнение D9) есть уравнение конического сечения в поляр-
полярных координатах, причем начало координат совпадает с одним
из его фокусов; е называют эксцентриситетом конического сече-
сечения, а р — параметром
Определим е и ф0 через начальные данные.
Будем считать, что при ср = л r=R и и = и8. Угол между век-
вектором начальной скорости и касательной к горизонту обозна-
обозначим через а (фиг. 113).
Продифференцировав D8) по ф, получим:
du
— ф0).
E0)
Из D9) и E0), подставляя началь-
начальные данные, будем иметь:
1 + е cos ф0 = -§¦,
Фиг. 113
но^ = —L-
R
ГГф
тде уг = г есть радиальная скорость, а ир = Гф — трансверсаль-
ная скорость движущейся точки, и, следовательно,
sin a
Rva cos a
Таким образом,
е cos ф0 = -^ — 1
С2tea р
E1)
Параметр конического сечения р определяется начальными
данными. В самом деле, постоянная площадей С будет нахо-
находиться из соотношения:
С = (г2ф),=0 = (rvp)t=0 = Rv0 cos a,
следовательно,
F2)
Из соотношений E1) и E2) находим:
Разрешая E4) относительно v\, получим:
2 _
0
__ goR Sin ф0
0 cos2a [tga + tg(p0] cos a sin (a-f-Фо) '
Если материальная точка будет двигаться в центральном
гравитационном поле Земли по окружности радиуса R, то ее
центростремительное ускорение будет равно -д , где v\ — ско-
скорость точки. Но при движении по окружности радиуса R центро-
центростремительное ускорение будет равно ga. Следовательно,
-^- — go.
откуда
Чисто теоретически Vi — VgoR можно рассматривать как
скорость искусственного спутника Земли, обращающегося во-
вокруг Земли на высоте Н = 0.
Скорость Vi=Yg0R характеризует интенсивность гравита-
гравитационного поля на поверхности Земли; в современной космонав-
космонавтике v\ называют первой космической скоростью для нашей
планеты.
Если положить go=9,81 л/сек2, # = 6371000 м, то
г>1 = /9,81 •6 371000==: 7912 м/сек.
Вводя первую космическую скорость Vi= VeoR в формулу
E5), ее можно представить в виде:
„а. _ „.2 sin(Po
Вид конического сечения D9) зависит от величины эксцент-
эксцентриситета е.
Если е<1, то траектория — эллипс;
е = \, то траектория — парабола;
?>1, то траектория — гипербола;
е = 0, то траектория — окружность.
251
Так как согласно E3):
;cos2 a
e =
то, очевидно,
е < 1, если v\ < 2g0R, или х>0 < и,;
е=1, если г>0 = г>2;
е > 1, если г>0 > г>2.
Из формулы E4) следует также, что при а = 0 (или а = п)
фо=О- Следовательно, в этом случае диаметр Земли будет од-
одним из главных диаметров конического сечения (осью симме-
¦Vo '9км/сек \V0-10 км/сек
трии траектории). Если v0 < Уg0R, тогда эллипс будет ка-
касаться поверхности Земли изнутри; если v0 > YeoR > тогда эл-
эллипс будет охватывать Землю; при Vo~Y§oR траекторией бу-
будет окружность радиуса R. Указанные результаты сохранятся"
и для того случая, когда начальная скорость будет сообщена
по направлению параллельно горизонту на высоте Я над по-
поверхностью Земли (фиг. 114). Траектория в виде окружности
лолучится, если
R
-252
Если
то траекторией будет эллипс, охватывающий окружность ра-
радиуса (R + H) извне и касающийся ее в точке А.
ъ
•р 4-я называют местной круговой ско-
скоростью.
Если
то траекторией будет парабола. Скорость
называют местной параболической скоростью.
4. Оптимальные эллиптические траектории.
Если
то траекторией материальной точки будет эллипс.
В этом случае, не нарушая общности рассуждений, можно
выбрать угол ф0 так, чтобы он соответствовал половине угловой
дальности полета точки. Положим уо = р = ^п > гДе D — даль-
дальность полета, отсчитываемая по дуге круга радиуса R. Формулу
E6) можно записать тогда в виде:
slnW
V
v' =
о cos a sin (а 4- В) ui / . D
Ttv cos а sin а 4--^-
Легко видеть, что соотношение E7) связывает три величины,
а именно: дальность полета D, угол начальной скорости с гори-
горизонтом а и величину начальной скорости v0. Если дальность
полета D будет задана, то естественно поставить следующую
экстремальную задачу. Определить оптимальный угол а, при ко-
котором заданная дальность полета D достигается при минималь-
минимальной начальной скорости.
Из формулы E7) ясно, что v0 будет минимальной, если
F = cosa sin (a + P) будет максимальным.
Условие экстремума Y можно написать в виде:
-j- = — sin a sin (a -f- p) -f- cos a cos (a -f- p) = 0,
или
cos Ba + p) = 0. E8)
253
Из условия E8) имеем:
или
"¦опт
4 2 4 47?
т. е. оптимальный угол бросания, обеспечивающий заданную
дальность полета при минимальной начальной скорости, равен
-j- минус четвертая часть угловой дальности полета. Если даль-
дальность полета мала по сравнению с радиусом Земли, тогда о.опт=-
= -j- = 45°, что совпадает с хорошо известным результатом тео-
теории стрельбы на малые дистанции. Относительную величину
ошибки можно оценить следующим образом. Из E9) имеем:
л I* D \ л ,Л .
где
D D км
nR~~ 20 000 км'
20 I
Если дальность стрельбы D^. 20 км, то е ^ об 000 ~ шх>
и, следовательно, ошибка в оптимальном угле (который при
стрельбе на эти дистанции считается равным 45°) будет меньше
(или равна) 0,1%.
Так как (-^гт) < 0> т0 ПРИ найденном значении а0Пт мы дей-
действительно имеем максимум У и минимум v0.
Определим теперь, пользуясь E7) и E9), величину мини-
минимальной начальной скорости, обеспечивающей заданную даль-
дальность полета. Будем иметь:
„ sin P 2f?sinp
Cf\? —— (Tli
1 cos (f-A) sin (| + 4
или
о о sin I
где г»2 = У 2г>1 есть вторая космическая скорость.
Следует отметить, что при сделанных допущениях из уравне-
уравнения D9) легко найти наибольшее удаление движущейся точки
от центра Земли (апогей) и наименьшее расстояние (перигей).
В самом деле, точка апогея получится для эллиптической траек-
траектории при
254
и, следовательно,
Точка перигея будет при ф = фО = |3 и, следовательно,
Максимальное удаление точки от поверхности Земли будет:
H=ra — R = a(\+e) — R. F1)
5. Уравнение Кеплера. Для определения положения
движущейся точки на траектории (орбите) в функции времени
воспользуемся интегралом площадей в форме г2ф = С и уравне-
уравнением траектории D9).
Введем новую переменную 9 = ф—фо", 6 называют в небесной
механике истинной аномалией. Будем иметь:
г*-
1 -f e cos 9 '
откуда
Ul— c — с
или, интегрируя,
—t —?- f
°~ С J
(l+ecosQY '
о
где ^0 — момент прохождения перигея.
Полагая tg-^ = ku^=k tg у,
будем иметь: q
!-tg 2
2cos2-|
1 Л . 1 l , Е
A + «)»[l + i^J «']' A + e)t cos^ 4 (! + tg2 4)
259
Следовательно,
Е
<-*о= с Pl .hJ(l-eco*E)dE.
к ' о
Выполняя интегрирование правой части и полагая:
окончательно получим:
Е — eslnE = 'k{t — to) = Am. F2)
Уравнение F2) называется уравнением Кеплера; Е назы-
называют эксцентрической аномалией, а Ат — средней аномалией.
/по г ей-
Перигей
Фиг. 115
Связь эксцентрической аномалии с истинной аномалией выте-
вытекает из принятой при вычислении интеграла замены перемен-
переменных, а именно:
1-е
1 + в
tgo-
F3)
Все три угла 9, ? и Ат отсчитываются в направлении дви-
движения материальной точки (т. е. от перигея, фиг. 115).
Постоянная К может быть записана в следующем виде:
СA— е2)'1* _ С A — е2)"'2 _ С __ С
р2 а2 A — е2J а ¦ a Vl—e2 ab '
При движении по эллипсу время обращения Т можно запи-
записать как частное от деления площади эллипса на секторную ско-
скорость, т. е.
~ nab 2nab
~~~С]2==~С~
и, следовательно,
. _ С __ 2лаЬ _ 2я
F4)
256
Таким образом, уравнение Кеплера можно представить в
следующем виде:
Лт = ? — esinE = ~(t~ t0). F5)
6. Расчетные формулы для оптимальных тра-
траекторий. Используя полученные результаты, мы можем на-
написать простые расчетные формулы для определения элементов
оптимальных эллиптических траекторий для различных дально-
дальностей полета.
Эти формулы будут следующими:
2R)'
необходимая начальная скорость:
vo = v2 ]/"~^
sinP
оптимальный угол возвышения:
_ я р .
аопт — 4 2~'
максимальная высота траектории над поверхностью Земли:
время полета по траектории:
Полета = Т -\(?, - еsin?,) = L [я -Ех + е sin
где Г—время обращения по данному эллипсу, а
Выполняя элементарные преобразования, можно получить
более компактные и удобные для вычислений формулы элемен-
элементов оптимальных эллиптических траекторий. Преобразуем преж-
прежде всего вторую из формул E1) для экцентриситета эллипса,
зная, что для оптимальной эллиптической траектории:
Р С2 v2, cos2 a
т. /7 = -—= . sin ф0 = :
^ г* so
Будем иметь:
sin р
17 Л. Л. Космодемьянские 257
"#¦ '§ а vf} cos2 а tg а
Но для оптимальной эллиптической траектории формула
E5) дает:
v sinp
gaR cos a sin (а-f p)
и, следовательно,
U 2
Большую полуось оптимального эллипса можно найти, если
учесть, что
Будем иметь:
откуда
F7)
Так как в перигее истинная аномалия (ср — ср0) = (ср — Р)=0,
то из уравнения D9) следует, что радиус перигея гя будет оп-
определяться по формуле:
Р ь2 /1 \
'¦=-т==т:=аAе)==
= V2R sin -| cos (j — |-) = У2 R cos a sin -|. F8)
Радиус апогея ra находится из D9), если <р — Р = я, т. е.
ra = -rzz~ = л A + е) = У2 R cos -g- cos f-^ — 4-) =
!-. F9)
Малая полуось оптимального эллипса будет:
= /?У sin p cos -г— уг ) = R V sin p cos a. G0)
Максимальная высота подъема точки над поверхностью
Земли будет:
Н= га - R = V2R sin 4 sin (^ -1) =
= V^2 /? sin ^- sin «. G1)
258
Фокальное расстояние находится из следующей формулы:
1 " G2)
Формулы F6—72) позволяют сравнительно просто, при по-
помощи таблиц тригонометрических функций, определять все ха-
характерные параметры оптимальных эллиптических траекторий,
если угловая дальность стрельбы |3 задана.
Время полета по части эллипса, находящегося вне Земли,
будет подсчитываться по формуле:
Т
' полета = ~^~ (л ^l~\~e sln ^l)>
где
В самом деле, из третьего закона Кеплера мы получим:
где
спут
следовательно,
Учитывая, что а можно найти по формуле B9), получаем:
Г:
¦=*/?¦/¦
go __
A(f|) G3)
В таблице 3 приводятся результаты вычислений для различ-
различных дальностей стрельбы (до 20 000 км).
7. Геометрические свойства эллиптических
траекторий. Основные результаты теории эллиптических
траекторий можно получить геометрическим путем.
Систематизацию геометрических свойств эллиптических тра-
траекторий дал впервые в 1949 г. Л. М. Лахтин*; он же доказал
интересную новую теорему о настильных и навесных эллипти-
эллиптических траекториях.
Дальнейшие геометрические построения основываются на
следующих трех теоремах:
Теорема 1. Для семейства эллиптических траекторий, вы-
выходящих из данной точки стрельбы, при vo = const длины фокаль-
фокальных осей не зависят от угла бросания а и равны между собой.
* Л. М Лахтин, Свободное движение в поле земного сфероида, Физ-
матгиз, М., 1963.
17* 259
Таблица 3
Дальность
стрельбы
1 113
2 226
3 340
4 453
5 566
6 679
7 793
8 906
10 019
11 132
12 246
14 472
15 585
17 812
18 925
20 038
аопт =
42°
40°
37°
35°
32°
30°
27°
25°
22°
20°
17°
12°
10°
5°
2°
0°
л 3
30'
00'
30'
00'
30'
00'
30'
00'
30'
00'
30'
30'
00'
00'
30'
00'
Необходимая
начальная
скорость v0,
Mlcex
3168
4 304
5 074
5649
6С99
6 460
6 755
6 999
7 201
7 369
7 508
7715
7 788
7 882
7 904
7912
Максимальная
высота
подъема над
поверхностью
Земли, км
266
505
717
898
1049
1167
1253
1304
1321
1304
1253
1049
898
505
266
0
Время полета
Гполета =
8
12
15
19
22
24
27
29
32
34
36
39
40
41
42
42
мин
»
»
»
»
»
»
»
»
по траектории
23 сек
28 »
57 »
08 »
06 »
54 »
39 >
58 »
14 »
17 »
07 »
06 »
13 »
43 »
05 »
13 »
Введем в рассмотрение высоту h, соответствующую подъему
точки над поверхностью Земли, если угол бросания а=~2 и на-
начальная скорость равна и0.
В этом случае, как известно (формула 38),
G4)
W-wg "
Длина фокальной оси любого эллипса из семейства vo=const
(угол а переменный) будет:
В самом деле, из соотношений:
260
и формулы B9) следует, что
2a =
R R2 cos2 a
2a — h = -
Rvi
откуда
2a = R-\-h. G5)
Теорема 2. Угол между радиусами-векторами, проведен-
проведенными из фокусов эллипса к точке старта, равен удвоенному
углу бросания.
Обозначим второй фокус эллипса через F, тогда из аналити-
аналитической геометрии известно, что касательная к эллипсу (в на-
нашем случае вектор va) есть биссектриса внешнего угла между
фокальными радиусами точки ка-
касания, т. е. ZFMuDl = ZOM0D. o^a/\ /«
Из фигуры 116 имеем, что
б = л — 2ZOM0D,
но
Vn
и, следовательно,
— a\=2a.
G6)
Фиг. 116
Теорема 3. Геометрическим
местом подвижных фокусов се-
семейства эллипсов (соответствующих заданной v0 и О
будет окружность радиуса h с центром в точке старта.
Действительно, из основного определения эллипса имеем:
но
и, следовательно,
MuF=h. G7)
Доказанные теоремы позволяют решить при помощи графи-
графических построений все основные задачи эллиптических траекто-
траекторий. Рассмотрим некоторые из них. Пусть нам заданы место
старта Мо, начальная скорость v0 и начальный угол возвыше-
возвышения а, требуется определить дальность полета и максимальную
высоту подъема над поверхностью Земли. На основании теоре-
теоремы 2 проведем прямую М0В под углом б] = 2а к радиусу OM0 = R.
261
По формуле G4) находим h. Отложим на линии М0В отрезок
Точка Ft будет вторым фокусом искомого эллипса (фиг. 117).
Прямая OF\ будет фокальной осью эллипса, и из условия
симметрии точка А будет точкой падения, следовательно, дуга
M0A=D дает искомую даль-
дальность полета.
h \ нпИогип. Так как по теореме (l)i
и фокусное расстояние
то
R cos
Фиг. 117
Радиус апогея:
Следовательно, для данного эллипса
или
Но из фигуры 117 видно, что J?cos |3=/?sin2a, поэтому
G8)
G9)
Легко понять, что при заданной начальной скорости v0 даль-
дальность D можно получить при другом угле возвышения. В самом
деле, определив положение фокальной оси OFit можно построить
другой эллипс, который будет проходить через точки Мо и А.
Опишем из точки Мо радиусом MuF\ — h окружность. В об-
общем случае эта окружность будет пересекать фокальную ось
в двух точках: Ft и F2 (фиг. 117).
Фокусы О и F?. определяют нам второй эллипс, для которого
угол возвышения в точке Мо будет:
а
Таким образом, при заданной начальной скорости можно по-
попасть в точку А (обеспечить дальность полета D) по двум тра-
траекториям: настильной (с фокусами О и /ч) и навесной (с фо-
фокусами О и F2).
262
Л. М. Лахтин показал, что между углами cti и а2 имеет ме-
место следующее соотношение:
= T — p.
(80)
Действительно, из проведенных на фигуре 117 построений
видно, что
, — о, = 2у, а
Следовательно,
! А _ П о
т. е.
(81)
Если дальность полета D мала по сравнению с радиусом
Земли, тогда из (81) следует, что
„ _|_„ Л /ОГ)\
Соотношение (82) хорошо известно из теории параболиче-
параболических траекторий, когда поле силы тяжести считается однород-
однородным, а Земля — плоской.
Знание (на основе теоремы 3)
геометрического места подвижных
фокусов семейства эллиптических
траекторий позволяет легко найти
оптимальный эллипс семейства,
обеспечивающий при данной на-
начальной скорости максимальную
дальность полета. В самом деле,
проведем к окружности радиуса h
касательную из точки О (фиг. 118).
Точка касания F дает второй фокус
оптимальной траектории, так как
полухорда M0F будет максимальной для всех эллипсов семей-
семейства.
Из треугольника OFM0 (фиг. 118) можно видеть, что
Фиг. 118
откуда
Кроме того, для оптимальной траектории:
iL_JL
4 9 '
263
Следовательно,
Damx = 2R arc sin ~-=2R arc sin - "" . (83)
Пользуясь фигурами 116, 117 и 118, можно получить еще ряд
соотношений, характеризующих семейства эллиптических траек-
траекторий.
Отметим, что по аналогии с теоремой о параболе безопас-
безопасности для семейства параболических траекторий можно дока-
доказать, что огибающей семейства эллиптических траекторий, про-
проходящих через точку M0(v0 = const, а переменно), будет эллипс,
который можно назвать эллипсом безопасности Фокусы эллипса
безопасности находятся в точках О и MQl и длина большой по-
полуоси равна (R + 2h).
8. Влияние малых изменений начальных дан-
данных (v0, а) на дальность полета*. Будем исходить из
формулы E7) для семейства эллиптических траекторий, соглас-
согласно которой v\ = v\ cosctsS1n(Ct_|_p) • Выясним, как будет изме-
изменяться дальность полета D при малых изменениях начальной
скорости v0 и начального угла бросания а. Пусть начальная
скорость изменилась на 6v0, а начальный угол бросания —на 6а.
Пользуясь формулой E7), найдем изменения угловой дальности
6р Ограничимся рамками линейной теории, т. е. будем считать
6у0, Sa, б|3 малыми настолько, что квадратами и произведения-
произведениями этих приращений можно пренебречь Это значит, что мы мо-
можем взять полные дифференциалы от правой и левой частей
E7) Будем иметь:
t/jcos P6pcosasin(a+P) — i^sin р [cos a cos (a-f p) X
<-.. с , X Fa + 6Р) — sm a sin (a + P) 6a]
или после упрощений:
o7, А„, _ „2 sin a cos a6p _ 2 sinPcosBa+PNa ._.,
^о°^о — vi cos2 a sin2 (a-f P) ui cos*osin4a + P) * l° >
1'азрешая (84) относительно 6р, получим:
^ + .sin p cos Ba + P)
2R I v\ sin a cos <i sin a cos a
откуда изменение дальности будет:
+ P) bv + 2ff sin p cos Ba + р)
v, sin <x cos a
* А А Космодемьянский, О раесеивамш эллиптических траекто-
траекторий 1955.
264
Так как из E7) следует, что
cos a sin (а-f- р)
sm
то (85) можно представить в следующей форме:
4RsinpcosBa-f-P)
fg sin 2a
sin 2a
6a.
(86)
Для оптимальных эллиптических траекторий:
cosBa + p) = 0, sin 2a —cos p,
и рассеивание по дальности будет определяться следующей
формулой:
'о- (87)
COS
Некоторые вычисления по формуле D1) приведены в таб-
таблице 4.
Таблица 4
30
40
45
75
D,
кж
6 680
8 900
10 000
16 700
ж/сгк
6 400
7000
7200
7 840
м/сек
1
1
1
1
6D,
кж
3,4
5.0
6.0
20,0
Важно отметить, что с увеличением дальности одна и та же
ошибка в начальной скорости приводит к резкому возрастанию
рассеивания по дальности.
ГЛАВА IV
ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ И РАВНОВЕСИЕ
МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
«Относительные величины так же объек-
объективны, как и величины абсолютные».
Н. Инфельд.
§ 1. Ускорение точки в сложном движении
Пусть некоторая точка М участвует одновременно в двух
движениях: относительном и переносном. Пусть Oigii?—непо-
Oigii?—неподвижная система осей координат. Положение точки относитель-
относительно этой системы определим радиусом-вектором R. Ускорение
точки по отношению к неподвижной системе осей называют аб-
абсолютным или иногда ускорением сложного движения, Пусть
Oxyz— подвижная система осей координат; положение точки М
относительно этой системы определим радиусом-вектором г.
Ускорение точки М относительно подвижных осей координат
называют относительным ускорением. Так как система осей
Oxyz движется относительно системы Oigii?, то все точки по-
подвижного пространства, связанного с осями Oxyz, имеют в каж-
каждый данный момент времени некоторые скорости и ускорения
по отношению к неподвижному пространству (т. е. осям Oilr\Z,).
Ускорение точки подвижного пространства, в которой в данный
момент времени находится движущаяся точка М, называют пе-
переносным ускорением. Таким образом, переносным ускорением
точки М называется ускорение той точки подвижного простран-
пространства Oxyz, с которой в данный момент времени совпадает дви-
движущаяся точка М.
В главе II первого раздела, посвященной кинематике точки,
было доказано, что скорость сложного движения точки равна
геометрической (векторной) сумме скоростей относительного и
переносного движения.
266
Из векторного треугольника О{ОМ (фиг. 119) имеем, что во
все время движения
¦>->->•
Я —Яо + г, A)
где Ro — радиус-вектор, определяющий положение подвижного
начала координат относительно неподвижных осей Oi|ti?.
->¦
Радиус-вектор г можно разложить на составляющие по осям
подвижной системы координат Oxyz в виде:
~r = ?x + Jy + %z, B)
-V -V -V
где i, j, k — единичные векторы подвижных осей. Когда точ-
точка М движется относительно си- ^
стемы Oxyz, а сама система дви-
движется относительно неподвижной
системы Oi|t)?, to очевидно,
х, у, z изменяются по величине, а
/, у", k—по направлению. Век-
тор г будет, следовательно, изме-
изменяться и по величине, и по на-
направлению. Подставим выраже-
выражение B) в формулу A), тогда
получим:
Дифференцируя C), будем иметь:
Фиг. 119
dt
i4r + k^r -D)
dt
Здесь -^- = vM—абсолютная
скорость точки М (ско-
(скорость относительно неподвижных осей),
dRB
dt
= t>0 — абсолют-
абсолютная скорость подвижного начала координат. Результат диффе-
дифференцирования радиуса-вектора г дает две группы слагаемых.
,_. / dt , dj , dk\ A
Первая из них, равная Ix -^j -\- у -~ + z —ц-1, может быть пре-
преобразована по формулам Пуассона (см. стр. 108) к следующему
виду:
267
Тогда сумма
dR0 . I dt . df
определяет скорость переносного движения точки. Как видно
из полученной формулы, скорость переносного движения скла-
складывается из скорости поступательного движения, равной скоро-
скорости точки О, и скорости, обусловленной вращением подвижных
осей с мгновенной угловой скоростью со, проходящей через точ-
точку О.
г, (-*¦ dx . -*¦ dy . ?• dz\
Вторая группа слагаемых, равная U ~ж ~т-J ~dt * & ~dt )'
->-*¦-*¦
дает скорость точки М при неизменных i, j, k, т. е. ее относи-
относительную скорость.
Таким образом, формула D) представляет собой аналитиче-
аналитическое выражение теоремы сложения скоростей.
Дифференцируя соотношение C) два раза по времени, по-
получим:
-*• -> ¦>->•->¦
."' i ,.а J i ~"я\ _i_ I ; " x | .. « Ц
It ' j/2
dt1 ~~ dt* ^ \^dt*^y dt1^" dt1) ' \ dt2 ^J dp ^ d
dx_ di_ , dy_ jt? ,dz_ dk_\ ,_.
dt dt ^ dt dt ~т~ dt dt)' (O>
d2R -*¦
Легко видеть, что ~^г~1®м есть абсолютное ускорение
точки М, a rf,а = w0 есть абсолютное ускорение подвижного
начала координат. Результат дифференцирования радиуса-век-
радиуса-вектора г дает три группы слагаемых. Первая из них, равная
/ d*T . dy . d2t\
\х !W~* У ~dti~'z IF)' п0ЛУчается математически при усло-
условии, что x = const, y = consl, z=const, поэтому
d.4 . dy . d41 Г rf2 ->"] Г d +.. -
т. е. первая группа слагаемых определяет часть переносного
ускорения, обусловленную вращательным движением системы
Oxyz относительно неподвижного пространства, связанного с
осями О,Ё,т)^. Таким образом, полное переносное ускорение скла-
складывается из ускорения поступательного движения системы Oxyz
268
(ускорения точки О) и ускорения, обусловленного вращением
подвижной системы, т. е.
F)
Вторая группа слагаемых, равная ^' -^~ + У "^г +
получается при дифференцировании радиуса-вектора, если счи-
считать, что i, у', & не изменяются по направлению. Ускорение
конца радиуса-вектора г при постоянных /, у, ? есть не что
иное, как ускорение точки М относительно подвижных осей, т. е.
относительное ускорение
> ¦>
„ n I dx di , dy dj ,
Третья группа слагаемых, равная 2 1-^- -^ + -^- -^- +
"^ *йГ"йг) ' обусловлена взаимодействием переносного и отно-
относительного движения.
Пользуясь формулами Пуассона, можно написать, что
dt dt ~i~ dt dt ~т~ dt dt
*.. iJtf, ¦>. , rfy i" , ¦* , dz t
г-> / dx ~^ du "^ dz ~^\П ~^" ~^
Это дополнительное ускорение, появляющееся в результате
взаимодействия переносного и относительного движения, назы-
называется добавочным или кориолисовым ускорением wK0V:
-*¦ ¦> ->
Формулу E) теперь можно сокращенно записать так:
W>M = ^пер + «Vh + ^кор- A0)
Таким образом, полное ускорение точки М в сложном дви-
движении является геометрической суммой ускорений переносного,
относительного и кориолисова. Формулу A0) называют иногда
иеоремой Кориолиса*.
* Французский ученый Густав Гаспар Кориолис A792—1843)
окончил знаменитую Парижскую политехническую школу и в 1816 г. стал
преподавателем этой школы. Теорема, выражаемая A0), была опубликована
в 1835 г.
269
В кинематике точки и твердого тела были рассмотрены раз-
различные методы вычисления ускорений. Ясно, что методы опре-
определения относительного и переносного ускорения в сложном
движении будут совершенно аналогичны методам подсчета ус-
ускорения по отношению к какой-либо системе отсчета, приме-
применяемым в кинематике при различных способах задания движе-
движения точки и тела. Вследствие этого остается выяснить только,
каким образом вычисляется добавочное, или кориолисово, уско-
ускорение. Из формулы (9) следует, что модуль кориолисова уско-
ускорения равен:
¦^Vop — 2tt>i»0TH si n a, A1)
где а — угол между векторами со и ?jOth. Для определения на-
направления вектора кориолисова ускорения нужно в общем слу-
случае руководствоваться правилом векторной алгебры. Согласно
этому правилу вектор wK0V нужно направлять перпендикулярно
к плоскости, определяемой векторами со и v0Tli так, чтобы,
смотря с конца этого вектора, наблюдатель
видел кратчайший поворот от вектора
-> »
ш к f0TH происходящим против часовой
стрелки (фиг. 120). В случае если coJ.wOTm
то для определения направления whOp мож-
можно пользоваться весьма простым приемом,
вытекающим из общего правила: чтобы по-
получить направление вектора кориолисова
ф |2„ ускорения, нужно повернуть вектор отно-
относительной скорости на 90° в направлении
переносного вращения.
Кориолисово ускорение будет равно нулю в трех частных
случаях:
1) если со = 0, т. е. подвижная система координат движется
поступательно относительно неподвижной системы;
2) если уОта=0, т. е. точка не имеет движения относительно
подвижной системы осей координат, или относительная скорость
точки в данный момент времени равна нулю;
3) если sina = 0, т. е. векторы угловой скорости со и относи-
относительной скорости Уотн коллинеарны.
Физические причины, обусловливающие появление ускорения
Кориолиса, заключаются во взаимодействии переносного и от-
относительного движения, а именно: благодаря относительному
движению движущаяся точка М перемещается в подвижном
пространстве, т. е. переходит из областей с малой переносной
скоростью в область больших переносных скоростей (или на-
270
оборот); с другой стороны, благодаря переносному движению
вектор относительной скорости дополнительно изменяет свое
направление по отношению к основной системе отсчета.
Задача 15. Точка М движется по поверхности Земли с се-
севера на юг с постоянной относительной скоростью, равной
600-j^r вдоль меридиана NMAS (фиг. 121). В рассматривае-
рассматриваемый момент времени точка находится на широте ф = 60°. Опре-
Определить величину кориолисова ускорения точки М.
Так как Земля вращается с запада на восток, то вектор уг-
угловой скорости Земли направлен по оси Земли с юга на север.
Величина угловой скорости Zi
Земли равна:
24-60-60 сек
Кориолисово ускорение точки
М на основании формулы (И)
равно:
W
коР
подставляя численные значе-
значения со, Уотн и sin ф, получим:
_ 2 • 2я • 600 • / 3 _
¦^кор — 24 • 60 • 60 • 2 ~
jt/З м
72 сек2 ф
Фиг. 121
Вектор кориолисова ускорения будет направлен по касатель-
касательной к параллели с запада на восток. Следовательно, в нашем
северном полушарии наблюдатель, смотрящий по направлению
вектора относительной скорости, должен направлять вектор ко-
кориолисова ускорения влево от плоскости движения точки (пло-
(плоскости меридиана NMAS).
§ 2. Динамические уравнения относительного движения точки.
Принцип относительности Галилея — Ньютона
Основные законы динамики — законы Ньютона — были сфор-
сформулированы в предположении, что имеется некоторая неподвиж-
неподвижная система координат, неизменно связанная с неподвижным
пространством. Основное понятие силы, которым мы всюду поль-
пользовались, динамически определяется при помощи второго за-
закона Ньютона. Так как ускорение движущейся точки различно
в различных системах координат, то мы приходим к выводу, что
динамическое определение силы существенным образом должно
271
зависеть от выбора осей координат. Но сила есть результат
взаимодействия между телами, а следовательно, если конфигу-
конфигурация тел задана, то величина силы не должна зависеть от вы-
выбора системы осей координат. Мы приходим, следовательно, к
выводу, что формулировка второго закона Ньютона не будет
справедлива в подвижных системах координат, движущихся от-
относительно неподвижной системы с ускорением. Наблюдатель,
находящийся на подвижной системе координат и придерживаю-
придерживающийся второго закона Ньютона, для правильного объяснения
относительного движения точки должен вводить в рассмотрение
новые силы, величина которых зависит от закона движения дан-
данной системы координат относительно основной неподвижной
системы. Эти добавочные силы обусловлены влиянием матери-
материальной среды движущегося пространства, или, иначе говоря,
обусловлены тем «состоянием» движущейся среды, которое от-
отличает точки движущегося пространства от точек пространства
неподвижного. Кроме того, так называемая кориолисова сила
будет зависеть не только от состояния движения среды, но и от
закона относительного движения точки.
Составим дифференциальные уравнения движения точки М
относительно подвижных осей координат Oxyz (фиг. 119). Пусть
на точку действует некоторая сила F, а ускорение точки отно-
относительно неподвижной системы нам известно; тогда на основа-
основании второго закона Ньютона мы получим:
mwd6z = F. A2)
Но по формуле A0)
поэтому
m-Wom^F— mwnep — mwKOp. A3)
Проектируя A3) на подвижные оси координат, получим:
mx = Fx — {mwnep)x — (т wKOp)x
mz=Fz — (mwnep)z — (яшК0рJ .
Уравнения A4) называются дифференциальными уравне-
уравнениями относительного движения точки. Из этих уравнений вид-
видно, что, для того чтобы оставить в качестве основного закона
динамики второй закон Ньютона, наблюдатель, связанный с
подвижной системой координат, должен к числу заданных сил
прибавить еще две силы: /пер = — rnwnep и fKop = — mwKop, ко-
которые обусловлены движением системы Oxyz по отношению к
272
системе Oigii? и движением точки относительно системы Oxyz.
Эти дополнительные силы, которые «исправляют» второй закон
Ньютона для подвижного наблюдателя, называются силами
инерции.
Система подвижных осей координат Oxyz, в которой для
изучения движения точки нужно вводить эти силы инерции, на-
называется неинерциальной системой координат. Система осей
О^цХ,, в которой справедлив второй закон Ньютона, называется
инерциальной системой. Эти названия обусловлены тем обстоя-
обстоятельством, что при F = 0 точка в системе осей Oi|ii? будет дви-
двигаться по инерции, т. е. прямолинейно и равномерно, в то время
ка : в системе Oxyz движение будет происходить с переменной
скоростью, т. е. неинерциально.
Уравнения A4) показывают нам, что уравнения относитель-
относительного движения точки не будут отличаться от уравнений абсо-
абсолютного движения в том случае, когда ffi>nep —О и ffi»KOp = 0,
т. е. если подвижная система координат движется относительно
неподвижной системы прямолинейно, поступательно и равно-
равномерно. Таким образом, обнаружить каким-либо динамическим
опытом прямолинейное, поступательное и равномерное движение
подвижной системы, находясь на ней, нельзя. Механические явле-
явления в неподвижной системе или в системах, движущихся относи-
относительно этой неподвижной системы прямолинейно, поступательно
и равномерно, протекают совершенно одинаково. Это положение
классической механики называется принципом относительности
Галилея — Ньютона.
Приведем рассуждения Галилея об эквивалентности непод-
неподвижной системы координат и подвижной системы, движущейся
равномерно, поступательно и прямолинейно, данные им в «Диа-
«Диалоге о двух системах мира» — знаменитой книге, вышедшей в
1632 г. во Флоренции.
«Заключите себя с каким-нибудь приятелем в возможно про-
просторном помещении под палубою большого корабля и пустите
туда мух, бабочек и других подобных маленьких летающих жи-
животных. Пусть будет там также большой сосуд с водой и в нем
рыбки. Повесьте также на потолок ведро, из которого капля за
каплею вытекала бы вода в другой сосуд с узким отверстием,
находящийся внизу под ним. Пока не движется корабль, наблю-
наблюдайте, как эти летающие животные с равной быстротой буд^т
летать во все стороны комнаты.
Увидите, что рыбы будут плавать безразлично во все сторо-
стороны, падающие капли будут попадать в подставленный сосуд.
И вы, бросая приятелю какую-либо вещь, не будете принуждены
употреблять большую силу для того, чтобы бросить ее в одну
сторону, чем в другую, если только расстояния одинаковы. Пры-
Прыгая, вы будете проходить одинаковые пространства во все сто-
18 А А. Космодемьянский 273
роны, куда бы ни прыгали. Наблюдайте хорошенько за всем
этим и заставьте привести в движение корабль с какой угодно
быстротой. Если движение будет равномерно, то вы не заме-
заметите ни малейшей перемены во всех указанных действиях и ни
по одному из них не в состоянии будете судить, движется ли ко-
корабль или стоит на месте. Вы, прыгая, будете проходить по полу
те же самые пространства, как и прежде, т. е. вы не сделаете,
вследствие того что корабль движется весьма быстро, больших
прыжков к корме, чем к носу корабля, хотя в то время, когда
вы находитесь в воздухе, пол, находящийся под вами бежит к
части, противоположной вашему прыжку. Бросая вещь това-
товарищу, вам не нужно с большей силой бросать ее, если он будет
около носа корабля, вы же около кормы, чем наоборот. Капли
будут падать, как прежде, в нижний сосуд, и ни одна не упадет
по направлению к корме, несмотря на то, что, в то время как
капля находится в воздухе, корабль уходит вперед на несколь-
несколько локтей. Рыбы в своей воде не с большим трудом будут пла-
плавать к одной, чем к другой стороне сосуда, и будут приходить с
одинаковой ловкостью к пище, положенной на какое угодно
место края сосуда. Наконец, бабочки и мухи будут летать по-
прежнему во все стороны и не будут держаться более около той
стены, которая ближе к корме. И если зажжете несколько ла-
ладана, то дым пойдет вверх и будет держаться в виде облачка и
безразлично двигаться в ту или другую сторону».
Системы координат, в которых механические явления проте-
протекают так же, как в неподвижной системе, называются инерци-
альными или галилеевыми системами отсчета.
Если система координат неинерциальна, то мы можем дина-
динамически обнаружить ее движение.
Покажем, что для относительного движения точки теорема
об изменении кинетической энергии будет формулироваться в
иной форме. В самом деле, напишем уравнение относительного
движения точки в виде:
^ F + f
m -^f- = F + fnep + m (- 2« X v0TH),
¦> ¦>
умножим скалярно обе части этого уравнения на v0THdt — dr,
тогда получим:
m -^p vora dt = F dP 4- L» d?, A5)
так как от B» X г>отн) ^отн ^ = 0- Соотношение A5) можно за-
записать окончательно в следующем виде:
[^)Ъ?. A6)
274
Из A6) следует, что дифференциал кинетической энергии
материальной точки в относительном движении равен сумме
элементарных работ заданных сил и силы инерции, обусловлен-
обусловленной переносным движением.
§ 3. Отклонение падающих тел от вертикали
Если система координат неинерциальна, то уравнения отно-
относительного движения отличаются от уравнений абсолютного
движения. Силы инерции от переносного и кориолисова ускоре-
ускорений будут изменять движение точки. Если мы сравним решение
уравнений при учете сил инерции с решением уравнений в инер-
циальной системе, то, естественно, получим разные результаты.
Таким образом, мы можем, срав-
сравнивая результаты вычислений
с опытом, определить, является
ли рассматриваемая система ко-
координат инерциальной или же
движется с ускорением по отно-
отношению к некоторой другой систе-
системе, которую можно в пределах
точности опыта считать инер-
инерциальной системой. Для весьма
большого класса механических
задач систему координат, связан-
связанную с Землей, можно прибли-
приближенно считать инерциальной си-
системой координат, так как ошиб-
ошибки, получаемые при этом допу-
допущении, будут невелики. Однако Фиг. 122
при наблюдении падения тяже-
тяжелых тел в глубоких шахтах было замечено отклонение их траек-
траектории от вертикали. Мы можем объяснить это отклонение влия-
влиянием сил инерции, так как система координат, связанная с Зем-
Землей, строго говоря, не является инерциальной системой.
Рассмотрим падение тяжелой точки под влиянием ее веса
вблизи поверхности Земли. Систему координат выберем следую-
следующим образом: ось Ох направим по касательной к меридиану на
юг, ось Оу — по касательной к параллели на восток и ось Oz —
по радиусу Земли от центра (фиг. 122). Будем предполагать,
что точка падает в шахту и в начальный момент имеет относи-
относительную скорость уо = О, находясь в начале координат (хо = уо =
= 20 = 0). Сопротивлением воздуха будем для упрощения вычис-
вычислений пренебрегать. Напишем уравнение относительного движе-
движения точки. На основании уравнения A3) будем иметь:
т -??¦ = mg — mw,
пер
2т (со X v0TH).
A7)
18*
275.
Глубину шахты будем считать малой по сравнению с радиу-
радиусом Земли, поэтому аупер=const = ш2г1, где г\ — радиус параллели.
Если сложить по правилу параллелограмма силы mg и таупер,
то мы получим направление истинной вертикали в данной точке
земной поверхности. Истинная вертикаль не будет совпадать с
радиусом Земли, а будет от него отклоняться на весьма малый
угол, так как угловая скорость вращения Земли — величина
очень малая.
В самом деле, величина угловой скорости Земли равна:
а со2 ^5- 10~9. При столь малом значении ш2 величина wnep бу-
будет мала по сравнению с ускорением силы тяжести g. Вычисле-
Вычисления показывают (см. конец § 4 этой главы), что наибольшее
отклонение истинной вертикали от радиуса Земли будет на ши-
широте ф = 45°. Но даже и в этом случае угол отклонения не пре-
превосходит 6 мин.
В дальнейшем при интегрировании уравнения A7) мы будем
удерживать члены с первой степенью со, пренебрегая «2 и выс-
высшими ее степенями. Иначе говоря, мы будем считать направле-
направление истинной вертикали совпадающим с радиусом Земли (осью
Oz в нашем случае).
Уравнение A7) при сделанных предположениях можно за-
записать в виде:
т
dt*
mg — 2m (со X г/отн).
A8)
Пусть начало координат находится в точке О, географическая
широта которой задана углом ср, тогда
X vmH =
' j
— ш cos ф О
X у
k
Уравнения относительного движения в проекциях на под-
подвижные оси координат можно написать в виде:
tax — 2may sin ф
ту = — Чтш (г cos ср -\- х sin
mz — — mg -f 2/)шу cos <p
A9)
276
Сокращая A9) на т, получим:
х = 2соу sin ф
у — — 2со (z cos ф + х sin cp)
z = — g -f- 2<м/ cos ф
B0>
Уравнения B0) можно легко проинтегрировать один раз-
После интегрирования получим:
л: = 2соу sin <p + C,,
у =— 2co(z со8ф + -^ sin ф) —|- С2,
z = — g^ 4- 2соу cos cp + Q-
Так как при t = 0 (хH= (у)о = (г)о = 0 и х0 = Уо = 2о = 0, то, оче-
очевидно, С1 = С2=С3 = 0.
Для того чтобы проинтегрировать систему B1), мы поста-
постараемся получить уравнения для соответствующих переменных х,
у, z, исключая неизвестные функции путем дифференцирования
и пренебрегая слагаемыми с со2. Дифференцируя первое из
уравнений B1), получим:
х = 2щ sin ф. B2)-
Подставляя у из второго уравнения B1), будем иметь:
х — — 4со2 sin ф (z cos ф + х sin ф),
г. е. в пределах принятой точности можно считать А: = 0, а сле-
следовательно, учитывая начальные условия, х=0 во все время
движения. Если положить х=0 во втором и третьем уравнениях
B1), то получим:
у = — 2сог cos ф,
z — — gt 4- 2соу cos ф.
Дифференцируя первое из уравнений B3) по t и подставляя
? из второго уравнения B3), мы получим, пренебрегая слагае-
слагаемым с со2:
у = 4-2о^со5ф. B4)
Интегрируя B4) два раза, при указанных выше начальных ус-
условиях будем иметь:
у = -у (agt3 cos rp. B5)
Подставляя полученное значение у во второе из уравнений B3)
и пренебрегая членом с ш2, находим
277'
откуда после интегрирования и определения произвольной по-
постоянной найдем: Рп
г = -4"- B6)
Соотношения B5) и B6) суть уравнения относительного
движения точки в конечном виде. Исключая из B5) и B6)
время t, мы найдем уравнение траектории. Легко видеть, что
это будет полукубическая парабола. Соотношение B5) показы-
показывает, что свободно падающая тяжелая точка отклоняется от
вертикали к востоку (в северном полушарии), причем величина
отклонения растет пропорционально кубу времени падения.
Определим величину отклонения к востоку точки, падающей
в шахту глубиной 490 м .на широте ср = 60°. Ускорение силы тя-
тяжести будем считать равным 9,8—г.
Из B6) находим время падения:
— 10 сек.
Отклонение к востоку находим по формуле B5):
_J_ 980• 2я• ЫО3 ^ 9
У~~ 3 " 24-60-60-2 ~lZ CM-
B7)
Как видно из формулы B7), величина отклонения вполне
может быть наблюдаема экспериментально, и, следовательно,
формула B5) может служить доказательством вращения Зем-
Земли. Если положить со = 0, то формулы B2), B5) и B6) опреде-
определят движение по вертикали.
Результаты вычислений по формуле B5) неоднократно про-
проверялись на опыте. Вычисленные значения отклонения оказа-
оказались достаточно близкими к опытным. Мы приводим здесь таб-
таблицу, в которой сравниваются результаты вычислений и наблю-
наблюдений различных исследователей*:
Наблюдатель
1. Guglielmini 1791 г.
2. Benzenberg 1802 г.
3. Benzenberg 1804 г.
4. Reich 1831 г.
5. Hall 1902 г.
6. Flammarion 1903 г.
7. Hagen 1912 г.
Место
опытов
Bologna
Hamburg
Schleebusch
Freiburg
Cambrige
Paris
Rom
Широта
40°30'
53°33'
51°25'
50°53'
42°28',8
48°50',8
41°54'
Число
опытов
16
31
29
106
948
144
66
Высота
в м
78,3
76,34
85,1
158,5
23,0
68,0
22,96
Отклонение к востоку
вычи-
слен-
сленное
11,3
8,7
10,4
27,5
1,77
•8,1
0,899
полученное
из опыта
19±2,5
9 ±3,6
11,5+2,9
28,3 ±4,0
1,5 ±0,05
6,3
0,899 + 0,027
* Таблица заимствована из книги: Лойцяиский и Лурье, Теорети-
Теоретическая механика, ч. II, ГОНТИ, 1938.
278
Из приведенной таблицы следует, что разница между вычис-
вычисленными и полученными из опыта отклонениями в большинстве
случаев лежит в пределах точности опыта.
Решение системы уравнений B1) можно получить методом
разложения искомых функций х, у, г по степеням малого пара-
параметра со. Этот метод дает возможность находить последователь-
последовательные приближения с любой степенью точности.
Положим:
х = х0 + сох, + ®2х2 + • • •»
+®2У2+ •••> С27')
где х0, у0, 20, хи уи zu x2, у% z2 — искомые функции времени t.
Подставляя B7') в уравнения B1) и приравнивая коэффи-
коэффициенты при одинаковых степенях со, мы получим:
а) Нулевое приближение:
б) Первое приближение:
¦*i = 0, У\ = з" gtz cos ф, 2i = 0.
Второе приближение, в котором членами с со2 пренебречь
нельзя, показывает, что, кроме отклонения к востоку, имеет ме-
место также отклонение к югу. Однако отклонение к югу полу-
получается столь малым, что совершенно ме улавливается самыми
точными опытами. Следует отметить, что порядок величины
силы инерции переносного движения (mcoVi) такой же, как и
силы притяжения данной точки Луной. Поэтому при учете сла-
слагаемых с со2 уместно принять во внимание и силу притяжения
Луны.
§ 4. Маятник Фуко. Доказательство вращения Земли
опытным путем
Рассмотрим задачу о колебаниях маятника в системе осей
координат, связанных с Землей, учитывая только суточное вра-
вращение Земли вокруг своей оси. Длину маятника I будем счи-
считать достаточно большой, а угол отклонения маятника от вер-
вертикали достаточно малым. Членами с со2 будем пренебрегать.
Оси координат Ох и Оу направим по касательным к параллели
и меридиану, а ось Oz направим к центру Земли Ot (фиг. 123).
Уравнение движения маятника будет иметь вид:
°отнл \^Г
где S — «атяжение нити маятника.
Проектируя B8) на подвижные оси координат, получим:
тх = — S -. 2тсо (у si п ф — z cos ф)
ту = — S -J-
/исох sin
mz = mg — «S -т 2пиах cos
B9)
так как отклонения маятника от вертикали малы, то прибли-
приближенно можно считать z = /=const и натяжение S = mg.
Фиг. 123
При этих допущениях первые два уравнения системы B9)
«будут иметь вид:
х = — g у — 2соу sin ф,
у = — g у- + 2cox sin ф.
C0)
Умножая первое из уравнений C0) на (—у), а второе на х
и складывая, получим:
ху — ух = 2ш sin ф (уу + хх),
лли
-и (ху — ух) = 2ш sin ф ж {—-
{
C1)
Переходя к полярным координатам
г. е. полагая
л = A? cos 9, у = A? sin 6,
'будем иметь:
= R и 0 (фиг. 123),
ху — ух = R2
^_ >
Следовательно, C1) можно представить в виде:
^ (/?»-§)= ш sinФ ¦?</?). C1'>
Так как длина маятника мала по сравнению с радиусом
Земли, то можно считать <p = const во все время движения. Ин-
Интегрируя C1'). будем иметь:
R2-^- = R2a> sin ф + Сх. C2)
Предположим, что при / = 0 R — 0, т. е. маятник начинает
движение из положения равновесия ^0Ф0), тогда Ci = 0. Инте-
Интегрируя C2), найдем:
G = со/ sin<p + C2-
Пусть при / = 0 6 = 0, тогда С2 = 0. Окончательно получим:
9 = со/ sin ф. C3>
Полярный угол 6 определяет плоскость качаний маятника.
Соотношение C3) показывает нам, что плоскость качаний пово-
поворачивается с востока через юг на запад, т. е. против направле-
направления вращения Земли. Угловая скорость вращения плоскости ка-
качаний постоянна и равна ы sin ф. Следовательно, плоскость ка-
качаний маятника повернется на угол в 2л радиан за время
2 C4>
Т .
со sin ф
Если маятник установить на полюсе, то время одного обо-
оборота плоскости маятника будет равно 24 час, т. е. времени
полного оборота Земли вокруг своей оси. На широте Москвы
Т ^29 час.
Таким образом, маятником можно пользоваться для экспе-
экспериментального доказательства вращения Земли вокруг оси.
Впервые такой опыт был поставлен в Пантеоне (Париж) Лео-
Леоном Фуко в 1851 г. Для большей наглядности опыта и увеличе-
увеличения линейного отклонения за один размах следует применять
маятники значительной длины (в опыте Фуко длина маятника
была 67 м). При помощи опыта Фуко мы устанавливаем, что
Земля вращается относительно системы координат, связанной с
неподвижными звездами и, таким образом, видимое движение.
Солнца и небесного свода есть движение кажущееся. Опыт
Фуко доказывает, что система координат, связанная с Землей,
является неинерциальноп системой и динамически вполне воз-
возможно обнаружить эгу неинерциальность*
281
Эффект силы Кориолиса проявляется в нашем северном по-
полушарии в целом ряде весьма интересных явлений.
а) Мы указывали, что при движении точки по меридиану
ускорение Кориолиса направлено влево от наблюдателя, если
он смотрит по направлению движения. Динамически эффект
ускорения Кориолиса будет выявляться через силу инерции,
равную (—mwKOp), которая для наблюдателя, связанного с Зем-
Землей, будет направлена в сторону, прямо противоположную уско-
ускорению. По этой причине оперенные ракеты дальнего действия
будут значительно отклоняться вправо от плоскости стрельбы.
У всех двухколейных железных дорог сильнее изнашивается
правый рельс каждой колеи, так как горизонтальная составляю-
составляющая силы Кориолиса прижимает колеса поезда к правому рель-
рельсу (по движению поезда), вызывая тем самым дополнительное
давление на правый рельс. Поэтому на двухколейных железно-
железнодорожных линиях при движении поездов только в одну сторону
правый рельс стирается сбоку.
б) Если смотреть по направлению течения реки, то можно
обнаружить, что правый берег реки размывается сильнее ле-
левого. У рек в северном полушарии правый берег бывает обычно
крутым, так как сила Кориолиса прижимает воду к правому бе-
берегу и вода подмывает берег. Особенно сильно этот эффект вы-
выявляется у рек, текущих по меридиану. Так, например, правый
берег Волги почти «а всем протяжении возвышенный, а левый
низменный.
в) Ветры постоянного направления, дующие в некоторых
частях северного полушария, также отклоняются вправо, если
смотреть по направлению ветра (так называемые пассатные
ветры).
Втекание воздушных масс в область барометрического ми-
минимума происходит с постоянным уклонением вправо, что ведет
к образованию колоссальных вихрей на поверхности Земли
(циклоны).
г) Морские течения и движения льдов в Северном Ледови-
Ледовитом океане также испытывают влияние силы Кориолиса. Это
влияние наблюдалось и изучалось экспериментально на дрей-
дрейфующей научной станции «Северный полюс».
Проявление сил Кориолиса усиливается с увеличением угло-
угловой скорости вращения. Особенно резко проявляется сила Ко-
Кориолиса в опыте с массивным вращающимся стулом. Если по-*
пробовать, сидя на таком стуле, перемещать гирю (при условии,
что sin(tt>, Votu) ФО), то обнаруживается поразительный резуль-
результат— рука движется, испытывая значительное сопротивление,
как будто находится в воде или среде с большим сопротивле-
сопротивлением.
282
§ 5. Условия относительного равновесия точки
Условия относительного равновесия точки можно получить.
из уравнения относительного движения A3), если положить:
, == 0 и wnm = 0.
Будем иметь тогда:
C5)
т. е. для относительного равновесия точки необходимо и доста-
достаточно, чтобы сумма действующих на точку активных сил и сил
инерции, обусловленных переносным движением, была равна
нулю.
Действие силы инерции от переносного движения вызывает
на Земле изменение ускорения силы тяжести с изменением ши-
широты места и отклонение направ-
направления истинной вертикали (на-
(направления отвеса в данной точке
земной поверхности) от направ-
направления радиуса Земли. Найдем
величину отклонения истинной
вертикали от радиуса Земли.
Пусть плоскость NMS (фиг. 124)
будет плоскостью меридиана,
Ф — географическая широта точ-
точки. Сила инерции от переносного
движения равна:
где R — радиус Земли, am— ^ „
масса рассматриваемой точки. &\&
Угол отклонения направления +/
-> Фиг. 124
равнодействующей сил mg и
Aiep от радиуса обозначим а. Из фигуры 124 ясно, что при ма-
малых а
/„epSincp maPR cos ф sin <p @2/?sin29
mg mg 2g '
Sina —
На широте ф = 45° ускорение # = 9,8062-^- и, следова-
следовательно,
'пер
в1Пф
mg 2 • 242 • 602 • 602 • 9,8062
Что соответствует a = 0°6'.
28а
Ускорение силы тяжести в функции широты места с доста-
достаточной точностью можно выразить следующей интерполяцион-
интерполяционной формулой:
g = 978,05 A + 0,0053 sin2 <p).
В указанной ниже таблице даны значения ускорения силы
тяжести в зависимости от широты места:
Широта
в граду-
градусах
Ускоре-
Ускорение g в
см
сек2
0°
978,05
10°
978,19
20°
978,63
30°
979,32
40°
980,17
50°
981,07
60°
981,91
70°
982,61
80°
983,06
90°
983,23
ГЛАВА V
КИНЕТИКА НЕСВОБОДНОЙ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
«Природа состоит в действии и проти-
противодействии».
М. В. Ломоносов.
§ 1. Классификация связей
Материальная точка М называется свободной, если под дей-
действием приложенной к ней системы сил она может занимать лю-
любое положение в пространстве. Если силы, действующие на сво-
свободную точку, известны, то траектория точки зависит только от
начальных условий движения. Материальная точка называется
несвободной, если ее движение ограничено в пространстве неко-
некоторыми условиями геометрического и кинематического харак-
характера Условия, ограничивающие свободу движения точки, назы-
называются в механике связями.
Простейшим примером связи, налагающей ограничение гео-
геометрического характера, является, например, стеклянная, про-
произвольным образом изогнутая трубка, внутри которой под дей-
действием активной силы может двигаться материальная точка.
Для того чтобы дать полную механическую характеристику
налагаемым связям, необходимо эти связи классифицировать
по различным признакам, отражающим какое-либо определен-
определенное качество налагаемой связи. Мы примем следующую класси-
классификацию связей:
а) Связи голономные и неголономные. Если на-
налагаемые на материальную точку связи ограничивают только
свободу ее перемещения в пространстве, не налагая ограниче-
ограничений на величину ее скорости, то такие связи называются голо-
номными или геометрическими. Пусть, например, точка движет-
движется по некоторой неподвижной поверхности, уравнение которой
будет f (х, у, г)=0. Это уравнение называется уравнением свя-
связи. Очевидно, что координаты движущейся точки не могут при-
принимать произвольных значений, а должны во все время
285
движения удовлетворять уравнению связи, поскольку мы тре-
требуем, чтобы точка оставалась в процессе движения на заданной
поверхности. Голономная связь вида:
f(x, y,z) = 0 A)
налагает, кроме того, некоторое ограничение на направление
скорости. В самом деле, если х, у, г — координаты движущейся
точки, то они будут некоторыми функциями времени, поэтому
левую часть уравнения f(x, у, z) = 0 можно также рассматри-
рассматривать как функцию времени. Эта функция обладает тем свой-
свойством, что остается равной нулю во все время движения, сле-
следовательно,
df _ df dx df dy df dz __0
dt ~~ dx dt ' dy dt ~t~ dz dt ~ '
ИЛИ
(grad/-?) = O. B)
Так как вектор grad f коллинеарен вектору нормали к по-
поверхности, то из соотношения B) следует, что проекция вектора
скорости на нормаль к поверхности в данной точке равна нулю.
Иначе говоря, вектор скорости должен лежать всегда в каса-
касательной плоскости к поверхности.
Если поверхность, на которой должна оставаться движу-
движущаяся материальная точка, изменяет свою форму с течением
времени, то ее уравнение можно в общем виде записать так:
f(x, у, z, t) = 0. C)
Связь C) налагает ограничение лишь на составляющую ско-
скорости, перпендикулярную к касательной плоскости; составляю-
составляющая скорости, лежащая в касательной плоскости, может быть
вполне произвольной.
Если налагаемая на материальную точку связь ограничивает
не только положение точки в пространстве, но и ее скорость, та
такая связь называется неголономной или кинематической.
Математически уравнение неголономной связи имеет вид:
f(x, у, z, х, у, z, t) = 0, D)
причем х, у, z входят в D) так, что это соотношение не может
быть проинтегрировано и представлено в конечном виде. В боль-
большинстве решенных задач неголономные связи представляются
в виде линейных функций от проекций скорости.
Как уже было указано, на протяжении всего курса мы будем
заниматься только голономными системами (т. е. системами,
подчиненными голономным связям).
б) Связи удерживающие и неудерживаю щи е.
Если налагаемые на материальную точку связи таковы, что
точка во все время движения должна подчиняться этим связям,
286
оставаясь на некоторой поверхности или линии (деформирую-
(деформирующихся или неподвижных), то связь называется удерживающей
или неосвобождающей. Математически уравнения таких связей
пыражаются в форме равенств вида A) или C).
Если во время движения материальная точка может поки-
покидать поверхность или линию, то связь называется неудерживаю-
щей или освобождающей. В этом случае поверхность или линия
ограничивает только область пространства, из которого мате-
материальная точка не может выходить. Пусть, например, точка мо-
может двигаться внутри и на внутренней стороне сферы радиуса R.
Если центр сферы совпадает с началом координат, то уравне-
уравнение связи выразится неравенством вида:
/?2 — х2 — у2 — z2>0.
Если материальная точка может двигаться по внешней сто-
стороне сферы и сходить с нее во внешнюю часть пространства, то
уравнение связи выразится неравенством:
R2 — х2— у2 — z2<0.
Математически неудерживающие связи выражаются всегда
неравенствами. Максимальное число удерживающих связей для
точки равно трем; в этом случае точка находится в равновесии.
Неудерживающих связей может быть и больше трех, так как
•область пространства, в котором принуждена двигаться точка,
может быть ограничена достаточно большим числом поверхно-
поверхностей (например, многогранник); необходимо только, чтобы коор-
координаты движущейся точки одновременно удовлетворяли нера-
неравенствам, вытекающим из уравнений, ограничивающих поверх-
поверхностей.
в) Связи стационарные и нестационарные.
Если налагаемая на материальную точку связь геометрической
или кинематической структуры не зависит явно от времени,
т. е. не изменяет своей формы и своего положения в простран-
пространстве, то она называется стационарной или склерономной. На-
Например, точка, движущаяся по эллипсу:
подчинена стационарной связи.
Если налагаемая на материальную точку связь явно зависит
от времени, то она называется нестационарной или реономной.
Так, например, уравнение связи вида:
показывает, что точка должна оставаться на поверхности эллип-
эллипсоида, центр которого движется по оси Ох с постоянной скоро-
скоростью v0, а полуоси возрастают пропорционально времени.
287
г) Связи идеальные и реальные. Связи, налагае-
налагаемые на движущуюся материальную точку, ограничивают сво-
свободу ее перемещения. Они видоизменяют траекторию точки, от-
отклоняя ее от траектории соответствующего свободного движения,
происходящего под действием тех же активных сил, приложен-
приложенных к точке. Отклонение траектории несвободного движения
точки от соответствующего свободного движения при тех же
активных силах естественно объяснить силовыми воздействиями
связей.
Сила, которая заменяет эффект действия связи на матери-
материальную точку, называется силой реакции связи или пассивной
силой. Мы можем поэтому несвободную материальную точку
рассматривать как свободную, если к числу действующих ак-
Фиг. 125
Фиг. 126
тивных сил прибавим еще силы реакции связей. Если реакция
связи направлена по нормали к поверхности или кривой, огра-
ограничивающей свободу движения материальной точки, то связь
называется идеальной, а поверхность или кривая — идеально
гладкими. Если реакция связи направлена под некоторым уг-
углом к нормали к поверхности в рассматриваемой точке, то связь
называется реальной, а поверхность или кривая — шерохова-
шероховатыми. Проекция реакции шероховатой поверхности на касатель-
касательную к траектории движущейся точки (сила Fx) называется си-
силой трения (фиг. 125).
Таким образом, для того чтобы количественно характери-
характеризовать налагаемую на точку связь, нужно указать четыре каче-
качественных признака связи. Пусть, например, на точку наложена*
голономная, стационарная, удерживающая и идеальная связь,
реализуемая в виде двух соосных цилиндров, радиусы которых
отличаются на бесконечно малую величину. Пусть оси цилин-
цилиндров совпадают с осью г (фиг. 126). В этом случае уравнение
связи будет иметь вид:
2 * R\
288
а направление силы реакции связи будет совпадать с направле-
направлением вектора — градиента поверхности
Х2 + у2 _ Ц2 = 0.
Если поверхность шероховата, то направление силы реакции
связи нельзя найти из уравнения связи. Для того чтобы опреде-
определить законы, которым подчинена реакция шероховатой поверх-
поверхности, нужно опытным путем исследовать движение точки по
такой поверхности.
§ 2. Основные законы трения скольжения
Фундаментальные экспериментальные исследования, на кото-
которых до настоящего времени основываются наши сведения о глав-
главнейших свойствах сил трения при относительном скольжении
тел, были проведены Кулоном в 1781 г. и уточнены Мореном в
1851 г. Результаты этих опытов
были сформулированы в виде не-
нескольких положений, называемых
законами трения скольжения. Эти
Фиг. 128
законы трения относятся к скольжению соприкасающихся тел
конечных размеров, но мы будем в дальнейшем переносить эти
законы и на движение материальной точки, имея в виду, что
при поступательном движении любая точка тела может полно-
полностью характеризовать движение этого тела.
Представим себе твердое тело (например, кубик), располо-
расположенное на горизонтальной неподвижной плоскости. Это тело
находится в равновесии вследствие того, что действующая на
это тело сила тяжести Р (фиг. 127) уравновешивается нормаль-
нормальной реакцией горизонтальной плоскости N. Приложим к телу
(фиг. 128) в точке А горизонтальную силу Q и будем посте-
постепенно ее увеличивать, начиная с Q = 0. Если горизонтальная
плоскость идеально гладкая, то достаточно сколь угодно малой
силы Q, чтобы вызвать скольжение тела по плоскости. Если же
->
плоскость шероховатая, то малые значения силы Q не вызовут
скольжения тела; следовательно, действующая горизонтальная
19 Л. А. Космодемьянский 289
сила Q уравновешивается на шероховатой плоскости некоторой
равной и противоположно направленной силой Fx. Эта сила Е (.
препятствующая относительному скольжению тела по плоскости,
равная и противоположная силе Q, называется силой трения.
Сила Fx возрастает одновременно с силой Q, но не безгранично.
После того как величина силы Q достигнет некоторого значе-
значения Qo, тело начнет скользить и по шероховатой плоскости.
Максимальное значение силы Fmax = Q0, которую может разви-
развивать шероховатая плоскость, называется предельной или стати-
статической силой трения. Положение тела перед началом скольже-
скольжения называют порогом скольжения. Сила трения, препятствую-
препятствующая относительному скольжению тела во время его движения,
называется силой трения при движении. Опыт показывает, что
сила трения при движении меньше статической силы трения
Fmax- Если относительное скольжение тела отсутствует, то сила
трения неопределенна: она может принимать любое значение от
О до Fmax- Например, если тело малых размеров находится на
плоскости в равновесии, то сила трения равна проекции равно-
равнодействующей активных сил на эту плоскость. Если проекция
равнодействующей активных сил изменяется в пределах от О
до Qo, то будет изменяться и сила трения, в то время как фи-
физические свойства плоскости остаются неизменными. Следова-
Следовательно, законы трения скольжения можно установить только
для предельных величин сил трения или сил трения при дви-
движении.
Кулон и Морен установили опытным путем следующие за-
законы трения скольжения:
1-й закон. Статическая сила трения Fmax пропорциональна
нормальному давлению (нормальной реакции) тела на поверх-
поверхность.
Если обозначить нормальную реакцию через N, то
Fmax = fs N,
где /s — коэффициент статического трения.
2-й закон. Статическая сила трения Fmax в достаточно ши-
широкие пределах не зависит от площади контакта соприкасаю-
соприкасающихся тел. При очень маленьких площадях контакта сила тре-
трения больше вследствие значительных деформаций поверхностей,
которые имеют место в этом случае для реальных тел.
3-й закон. Сила трения при движении направлена в сто-
сторону, противоположную относительной скорости скольжения
тела. Строго говоря, этот закон будет справедлив только при
достаточно малых площадях контакта соприкасающихся тел.
Коэффициент трения fs зависит от материала соприкасаю-
соприкасающихся тел, степени обработки поверхности контакта и продол-
290
жительности соприкосновения. Коэффициент статического тре-
трения больше коэффициента трения при движении. Зависимость
коэффициента трения от скорости различна для разных мате-
материалов. Если поверхности соприкасающихся тел смазать каким-
либо жирным веществом (смазочным маслом), то в большинстве
случаев коэффициент трения уменьшается.
Только в последние годы при опытах по определению силы
трения начали обращать особое внимание на точную физико-
химическую характеристику соприкасающихся поверхностей, по-
поэтому большинство опытных результатов, полученных ранее,
мало согласуются между собой.
Заметим, что пренебрегать силой трения при исследовании
уравнений движения и равновесия можно в очень ограниченном
классе задач. В большинстве технических вопросов силы трения
имеют весьма существенное значение.
§ 3. Уравнения движения материальной точки по заданной кривой
1. Если материальная точка под действием приложенных ак-
активных сил движется по заданной кривой, то для изучения ее
движения можно применить следующий простой метод. Введем
в рассмотрение силу реакции связи, тогда уравнение движения
точки в векторном виде можно записать так:
FR E)
>
где R — сила реакции наложенной связи.
Так как при движении точки по кривой сила трения будет
направлена по касательной к кривой, то мы можем R записать
так:
R = N + (— fN$), F)
где т° — единичный вектор касательной, за положительное на-
направление которого мы принимаем направление движения, f —
коэффициент трения при движении и N — нормальная реакция
связи.
Спроектируем обе части уравнения E) на оси естественного
трехгранника: касательную, главную нормаль и бинормаль к
кривой (т°, п°, Ь°), тогда получим:
G)
Уравнения G) называются естественными уравнениями дви-
движения материальной точки по заданной кривой. Если кривая,
19* 291
по которой движется материальная точка, абсолютно гладкая,
то f=0, и из G) мы получим:
dv р т— F -4-N 0 — F -4-Л' (8)
Первое из уравнений (8) позволяет найти закон движения
точки, а из второго и третьего уравнений можно определить
нормальную реакцию.
При движении материальной точки по абсолютно гладкой
плоской кривой будем иметь:
dv
/*-§¦ =
(9)
2. Математический маятник. В качестве примера
применения уравнений (9) рассмотрим задачу о математическом
маятнике, т. е. задачу о движении тяжелой материальной точки
по окружности, плоскость кото-
которой вертикальна. Практически
бывает гораздо удобнее осуще-
осуществить математический маятник
в виде достаточно малого тяже-
тяжелого шарика, подвешенного на
гибкой нерастяжимой нити. Вес
нити должен быть пренебрежимо
малым по сравнению с весом ша-
шарика.
Пусть радиус окружности, по
которой движется точка, равен /.
Положение точки М на окруж-
окружности вполне определяется углом
MOM
Фиг. 129 Направим вектор т° по каса-
касательной к окружности в точке М
в сторону возрастания угла <р, тогда (фиг. 129), применяя урав-
уравнения (9), получим:
т
dv_
dt
v2
¦ — mg sinq>,
т — — N — mg cos <p,
(Ю)
(И)
где N — реакция окружности или натяжение нити.
Исследуем уравнение A0), которое определяет закон движе-
движения маятника. Заметим сначала, что v — a>l =
поэтому
292
после сокращения на т уравнение A0) можно написать так:
или
^ = _Я281пф, A2)
где n* = j-.
Умножая A2) на ф и интегрируя, получим:
^ v A3)
Для определения произвольной постоянной С\ допустим, что
маятник начинает движение без начальной скорости, а началь-
начальный угол отклонения равен ф0. Будем иметь тогда, что при
t—О, ф = фо и (ф)о = О. Поэтому из A3) получим, что Ci =
= —^совфо. Следовательно, первый интеграл уравнения A0)
можно представить в виде:
Ф2 = 2й2(со8ф — со8ф0). A4)
Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения A4)
и разделяя переменные, получим:
A5)
у cos ф — cos ф0
Преобразуем левую часть A5) к новому переменному а, по-
полагая:
cos ф = 1 — 2 sin2 -J = 1 — 2k2 sin2 a,
где
тогда — s'm(pd(f> — — 4?2sinctcosaflfa и
, 4k2 sin a cos a 4k2 sin a cos a 2k cos a da
V\ — cos2 ф У(\ -\- cos <p) A — cosq>) Vl— A2 sin2 a '
Кроме того,
V^cos ф — cos ф0 = k Y~2 cos a,
так как при ф = ф0. а==т-
Подставляя вычисленные значения в A5), получим:
da
=ndt. A6)
293
Интегрируя A6), будем иметь
Г . da =nt. A7)
Определим время, в течение которого маятник из наиниз-
наинизшего положения (ф = 0) придет в положение <р = фо. Это время
будет равно -г периода колебаний маятника. Так как при <р = 0
а=0, а при ф = фо a = Y' то из ('^) получим:
da
или
А Л.
2 2
da
|1 Asjna g /l
Т = — Г da =4 l/^— Г d
Обозначим:
/
da
, . — k2 sin2 a
К называют полным эллиптическим интегралом первого рода.
Для того чтобы вычислить К, разложим подынтегральную функ-
функцию по формуле бинома Ньютона, тогда получим;
¦ = A—
Так как по формуле Валлиса:
J Sm
2•4 • 6 ... Чп 2
о
то
я
т
294
Следовательно, период колебаний математического маятника
будет равен:
Заменяя k через sin-у-, окончательно получим:
B0)
Если в формуле B0) пренебречь sin2— и более высокими
степенями sin~§~ по сравнению с единицей, то мы получим
приближенную формулу для периода колебаний математиче-
математического маятника в виде:
T=='.
B1)
Точное решение B0) показывает, что период колебаний
маятника зависит от начальных условий движения (начального
отклонения фо; при этом, чем больше фо, тем больше и период
колебания маятника).
Из приближенного решения B1) следует, что период малых
колебаний маятника (малые фо) не зависит от начальных усло-
условий, т. е. малые колебания математического маятника являются
простыми гармоническими колебаниями. В прилагаемой таб-
/ т \ «л.
лице даны значения / —, \, вычисленные по точной фор-
муле B0) и приближенной B1). Вычисления показывают, что,
для углов фо<;2О° ошибка приближенного решения не превос-
превосходит 1 % •
5°
10°
15°
20°
30°
60°
90°
0,0436
0,0872
0,1305
0,1736
0,2588
0,5000
0,7071
г
V-
' g
по формуле B1)
6,2830
6,2830
6,2830
6,2830
6,2830
6,2830
6,2830
г
ут
' g
по формуле B0)
6,2860
6,2956
6,3080
6,3312
6,3924
6,5032
7,4164
295
Если в формуле B0) удержать слагаемое с sin24p , то при-
приближенное значение периода колебаний будет мало отличаться
от его точного значения до <р0 = 50°.
§ 4. Уравнения движения материальной точки по поверхности
Пусть нам дана абсолютная гладкая поверхность, уравнение
которой в декартовых координатах:
f(x,y,z) = 0. B2)
Рассмотрим движение точки массы т по этой поверхности,
предполагая, что равнодействующая активных действующих сил
известна и равна F.
Допустим, кроме того, что во все время движения точка дол-
должна оставаться на поверхности B2). Движение материальной
точки будет, следовательно, несвободным. Уравнение B2) пока-
показывает, что наложенная связь является склерономной, удержи-
удерживающей и голономной.
Уравнения несвободного движения материальной точки на-
напишутся так же, как и уравнения движения свободной точки,
если к числу действующих активных сил мы присоединим еще
силы реакции связи. Обозначая реакцию поверхности через N,
напишем уравнение движения в векторной форме:
->
F + U B3)
Так как поверхность f(x, у, z) = 0 абсолютно гладкая, то напра-
направление реакции N в каждой рассматриваемой точке совпадает
с нормалью к поверхности. Из главы II нам известно, что век-
вектор— градиент поверхности /=0 также направлен по нормали
к этой поверхности. И следовательно, сила реакции N и
grad f — коллинеарные векторы. Мы можем написать, что
W = X.gradf, B4)
где X — некоторый неопределенный пока множитель, показы-
показывающий, во сколько раз длина вектора N больше или меньше
длины вектора grad/. Уравнение B3) можно, принимая во вни-
внимание B4), записать в виде:
^ B5)
296
По определению:
где /, j, k — единичные векторы координатных осей.
Проектируя обе части векторного уравнения B5) на оси ко-
координат, получим дифференциальные уравнения движения ма->
териальной точки по поверхности B2) в следующем виде:
ту = Fy-\-X
JL
B6)
Уравнения B6) называются уравнениями Лагранжа 1-го
рода. Из уравнений B6) нужно определить х, у, z в функции
времени и множитель к в функции координат. Поэтому при ин-
интегрировании к трем уравнениям B6) необходимо присоединить
еще уравнение B2).
Легко выяснить механический смысл множителя X. В самом
деле, из B4) имеем:
I N N /Ой")
dfy , (df\*
т. е. множитель Я есть скалярная величина, пропорциональная
силе реакции связи. Знание множителя X позволяет найти нор-
нормальную реакцию поверхности. Очень часто к называют неопре-
неопределенным множителем Лагранжа.
Рассмотрим в качестве примера применения уравнений Лаг-
Лагранжа 1-го рода следующую задачу.
Задана 16. Точка массы т движется по поверхности цилин-
цилиндра радиуса R, уравнение которого в декартовых координатах
задано в виде: x2 + z2 = R2 (фиг. 130). Равнодействующая актив-
активных сил, приложенных к точке, равна нулю.
Определить траекторию точки и реакцию поверхности, если
в начальный момент времени материальная точка находилась
в точке А и имела скорость v0, проекции которой на оси Оу и
Oz равны соответственно V\ и Уг
Так как по условию задачи F=0 и
JL-2x -4--О -2L
297
то уравнения Лагранжа 1-го рода B6) будут иметь вид:
ту=0
mz = 2Xz
B7)
Интегрируя второе из уравнений B7) и удовлетворяя на-
начальным условиям, мы получим:
y = vt, y = vxt,
т. е. точка движется так, что проекция ее скорости на ось Оу
постоянна во все время движения.
г»
\
\
Фиг. 130
Для того чтобы проинтегрировать уравнения:
mz = 2kz,
B8)
исключим множитель X, поделив первое уравнение на второе.
Будем иметь тогда:
— xz + zx = О,
•^(— xz + zx) = Q. B9)
Интегрируя B9), получим:
— xz -\- zx = const = Rv2- C0)
Перейдем к полярным координатам, полагая x—R соэф.
z=R sin ф,
тогда
или
-J = -?-== const = со,
29»
откуда ф = м/. Таким образом, уравнения движения материаль-
материальной точки будут иметь вид:
x = Rcos((x)t), z — Rsm((x)t), y — Vlt,
т. е. точка движется по винтовой линии (фиг. 130).
Множитель X определим из соотношения:
Так как Nx = 2kx, a yVz=2^z, то нормальная реакция равна:
Определив направляющие косинусы вектора N, мы легко
убедимся, что нормальная реакция будет всегда направлена к
оси Оу.
§ 5. Теорема об изменении кинетической энергии для несвободной
материальной точки
Пусть точка массы т движется по идеально гладкой реоном-
ной неосвобождающей поверхности:
f(x, у, z, 0 = 0. C1)
Уравнение движения точки можно записать в виде:
F + N C2)
>
где F — равнодействующая активных сил, приложенных к точке,
а N — реакция поверхности. Умножим обе части уравнения C2)
на vdt — dr, тогда получим:
или
d(^^j=Fdr'-\-Ndr, C3)
т. е. дифференциал кинетической энергии материальной точки
равен сумме элементарных работ всех приложенных к точке
активных сил и сил реакции связей.
Если уравнение связи дано соотношением C1), то
299
так как, взяв полный дифференциал от C1), получим:
Поэтому C3) можно представить в следующей форме:
=? d?-X%dt. C4)
Если в уравнение связи C1) время явно не входит, т. е. по-
поверхность, по которой движется точка, не изменяет своего поло-
положения и формы в пространстве, то ¦^7 = 0> и из C4) мы будем
иметь:
(^f) t C5)
Таким образом, для движения материальной точки по абсолют-
абсолютно гладкой неподвижной поверхности теорема об изменении ки-
кинетической энергии формулируется так же, как и для свободной
точки, т. е. дифференциал кинетической энергии материальной
точки равен сумме элементарных работ всех активных сил, при-
приложенных к этой точке.
Если точка движется по неподвижной гладкой кривой, то
уравнение движения в проекции на касательную к кривой будет
иметь вид:
m^=Fx. C6)
Умножая C6) на vdt=ds, где ds — величина элементарного
перемещения точки по заданной кривой, мы получим:
—Fids = Fcos(F, x°)ds = Fdr, C7)
т. е. при движении материальной точки по неподвижной гладкой
кривой нормальная реакция в уравнение кинетической энергии
не входит, поэтому теорема об изменении кинетической энергии
формулируется так же, как и для свободной материальной
точки.
Если равнодействующая приложенных к точке сил имеет
потенциал U (х, у, z), то
Fdr = dU,
следовательно, после интегрирования C7) получим:
?f = U + h, C7')
где h — постоянная интегрирования.
Если при движении материальной точки по заданной кривой
имеет место закон сохранения энергии C7'), то для определения
300
закона ее движения и реакции кривой нужно найти только один
новый интеграл, т. е. провести одно интегрирование. В самом
деле, кривая задается двумя уравнениями вида: /1 (х, у, z) = 0
и U (х, у, г)=0. Следовательно, мы можем выразить две коор-
координаты в функции третьей или вообще все три координаты вы-
выразить в функции одного параметра. Для этого параметра (ко-
(координаты) мы будем иметь дифференциальное уравнение вто-
второго порядка, для которого C7') является первым интегралом.
Таким образом, если поле активных сил потенциально, то за-
задача о движении точки по заданной кривой разрешается оты-
отысканием одного интеграла.
Весьма удобно за параметр выбрать длину дуги кривой,
тогда уравнение движения в проекции на касательную и будет
дифференциальным уравнением, определяющим закон движе-
движения. Декартовы координаты движущейся точки определяются
затем методами дифференциальной геометрии.
§ 6. Условия и уравнения равновесия для несвободной
материальной точки
При рассмотрении равновесия свободной материальной точки
мы пришли к выводу, что заданные активные силы должны удо-
удовлетворять трем соотношениям:
v=l
C8)
Если материальная точка несвободна, т. е. на нее наложены
некоторые связи, то при выводе условий равновесия мы должны
иметь в виду два класса действующих сил: силы заданные —ак-
—активные и силы реакции связей — пассивные. Присоединяя к ак-
активным силам силы реакции связей, мы можем несвободную
материальную точку рассматривать как свободную и написать
соотношения равновесия, аналогичные C8). Налагаемые связи
ограничивают свободу перемещения точки, уменьшая число ее
степеней свободы. Так, например, точка, движущаяся по поверх-
поверхности, имеет две степени свободы, а точка, движущаяся по кри-
кривой,— только одну степень свободы. Естественно поэтому ожи-
ожидать, что для случая неосвобождающих связей на активные
действующие силы должно быть наложено меньшее число усло-
условий. Будем в дальнейшем называть условиями равновесия те
из соотношений C8), в которые не входят реакции связей. Со-
Соотношения, в которые входят силы реакции связей, будем на-
называть уравнениями равновесия, так как из них могут быть
определены неизвестные силы реакций.
Рассмотрим материальную точку на неподвижной, идеально
гладкой кривой (фиг. 131). Будем считать связь удерживающей.
301
Для равновесия такой несвободной точки необходимо и доста-
достаточно, чтобы сумма проекций всех активных сил на касательную
к кривой была равна нулю, так как в направлении нормали к
кривой точка двигаться не может вследствие наложенной связи.
Проектируя активные силы на касательную к кривой и при-
приравнивая сумму этих проекций нулю, мы получим только одно
условие равновесия:
Обозначим единичный вектор касательной к кривой через т°,
тогда проекции этого вектора на оси координат будут равны
dx dy dz „
~ds ' Its'' ~dJ ' как проектирование вектора на данное на-
направление эквивалентно скалярному умножению проектируемо-
проектируемого вектора на единичный вектор данного направления, то соот-
соотношение C9) можно записать в виде:
Й- = 0. D0)
Выражение вида:
dx
~ds
^** ds
N
называют обобщенной силой. Таким образом, для равновесия
материальной точки на заданной кривой необходимо выполнение
одного условия D0), т. е. число ус-
условий равновесия равно числу сте-
степеней свободы точки.
Если материальная точка нахо-
находится на идеально гладкой, неосво-
бождающей, неподвижной поверх-
поверхности, то для равновесия точки не-
необходимо и достаточно, чтобы сум-
сумма проекций активных сил на каса-
касательную плоскость к поверхности в
данной точке была равна нулю, так
как в направлении нормали к по-
поверхности точка двигаться не мо-
может вследствие наложенной связи.
Для того чтобы проекция вектора на плоскость была равна
нулю, необходимо и достаточно, чтобы проекции этого вектора
на две пересекающиеся оси, лежащие в этой плоскости, были
равны нулю. Таким образом, для равновесия материальной
точки на поверхности необходимо выполнение двух условий.
Следовательно, и в данном случае число условий равновесия
равно числу степеней свободы точки.
Фиг. 131
302
Уравнения равновесия точки на заданной поверхности можно
получить из уравнений движения B6), если положить равными
нулю проекции ускорения; будем иметь:'
й f g- = o. D1)
Присоединяя к D1) уравнение связи:
f(x, у, z) = 0,
мы получим систему четырех уравнений, из которых можно оп-
определить координаты, соответствующие положению равновесия
точки, и множитель X. Зная к, по формуле B60 определим ре-
реакцию связи.
§ 7. Принцип Даламбера
Для получения дифференциальных уравнений несвободного
движения точки, особенно в тех случаях, когда внешние силы
и силы реакций связей обусловлены взаимодействием точки с
несколькими материальными телами, можно исходить из одного
общего принципа динамики, открытого Даламбером.
Напишем векторное уравнение несвободного движения ма-
материальной точки массы m в виде:
mw = F-\-N,
где до— ускорение точки, г — равнодействующая активных сил,
действующих на точку, /V — равнодействующая сил реакций
связей.
Перепишем уравнение движения, перенося все слагаемые в
одну часть. Будем иметь:
-\-(—mw) = 0. D2)
-> ->
Введем в рассмотрение силу / = (—mw), называемую силой
инерции; тогда уравнение D2) примет вид:
O. D3)
На основании третьего закона Ньютона можно утверждать,
что сила / приложена к телам, взаимодействие с которыми дает
точке массы т ускорение до. Для движущейся точки сила / яв-
является фиктивной силой. Таким образом, из уравнения D3) сле-
следует, что если к движущейся точке массы m в любой момент
31K
времени приложить, кроме активных сил и сил реакции связей,
еще фиктивную силу инерции, то мы получим уравновешенную
систему сил, к которой применимы все условия и уравнения
равновесия
Сформулированное правило для составления дифференциаль-
дифференциальных уравнений движения точки называют принципом Далам-
бера. Если в задаче требуется найти только ускорение точки,
то, пользуясь принципом Даламбера, мы можем это сделать ме-
методами статики.
ГЛАВА VI
СТАТИКА СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК
И ТВЕРДОГО ТЕЛА
«Аксиома параллелограмма сил служит
основанием всего учения о равновесии».
Л П у а не о,
§ 1. Основная задача статики твердого тела
Твердым телом, или абсолютно твердым телом, называют
такую механическую систему, расстояния между точками кото-
которой остаются постоянными при действии любой системы сил.
Системой сил называется совокупность сил, приложенных к
данному телу. Если на твердое тело действуют две силы, рав-
равные по величине и напра-
направленные по одной прямой в
противоположные стороны, то
такие две силы взаимно урав-
уравновешиваются (фиг. 132).
Уравновешенная система сил
называется системой, экви-
эквивалентной нулю или нулевой
системой
Если к системе сил, дей- ^
ствующих на твердое тело, Та
прибавить систему сил, экви-
эквивалентную нулю, то действие
первоначальной системы сил
не изменится; если тело находилось в движении, то оно будет
продолжать двигаться так же, как двигалось до приложения ну-
нулевой системы; если же тело находилось в равновесии, то равно-
равновесие его не нарушится. Из этих очевидных аксиоматических по-
положений следует, что в твердом теле силу можно переносить
вдоль линии ее действия. v
В самом деле, пусть на тело в точке А действует сила FA.
Возьмем на линии действия силы произвольную точку В и при-
ложим в ней две силы: FB и —FB, причем \FB\ = \FA\. Так
Фиг. 132
20 А А Космодемьянский
305
как система сил F в и —FB эквивалентна нулю, то, очевидно,
-> -> ->
действие трех сил FA, FB и — FB эквивалентно действию
силы F А. Но в то же время мы можем сгруппировать систему
трех сил в виде (FA, —FB) и FB; тогда получим, что система
трех сил эквивалентна силе FB. Таким образом, сила FA экви-
эквивалентна силе FB; следовательно, не изменяя эффекта действия
->
силы FA на твердое тело, эту силу можно переносить вдоль ли-
линии ее действия.
Если на тело действует система сил, линии действия кото-
которых пересекаются в одной точке, то мы можем перенести силы
вдоль линий их действия в точку пересечения и сложить, поль-
пользуясь правилом многоугольника сил. Если равнодействующая
всех сил будет равна нулю и начальная скорость тела также
равна нулю, то твердое тело будет находиться в равновесии.
Если рассматриваемое тело свободно, то условия его равнове-
равновесия будут в этом случае полностью совпадать с условиями рав-
равновесия свободной материальной точки (гл. II).
Если тело несвободно, то число условий равновесия будет
равно числу его степеней свободы. Поясним это общее утвер-
утверждение на простейших примерах. В самом деле, механический
эффект связей, налагаемых на тело, можно заменить реакциями
связей. Если на тело наложена одна связь и направление силы
реакции вполне определенно, то к одной силе реакции можно
провести перпендикулярную плоскость. Если проекции равно-
равнодействующей активных сил на два направления в этой плоско-
плоскости будут равны нулю, то тело будет в равновесии, так как
двигаться в направлении силы реакции связи тело не может
вследствие наложенной связи. Если связей наложено две и на-
направления сил реакций нам известны, то к двум пересекающим-
пересекающимся силам реакций можно провести только одно перпендикулярное
им направление. Если проекция равнодействующей активных
сил на это направление будет равна нулю, то тело будет нахо-
находиться в равновесии, так как движению тела в плоскости, опре-
определяемой силами реакций, препятствуют наложенные связи. Под
действием системы сходящихся сил свободное тело как геоме-
геометрический объект может двигаться только поступательно н, сле-
следовательно, имеет три степени свободы. Поэтому при наложе-
наложении одной связи будут две степени свободы и два условия рав-
равновесия. При наложении двух связей будет одна степень сво-
свободы и одно условие равновесия *.
* Для того чтобы свободное материальное тело двигалось поступатель-
поступательно, необходимо, чтобы равнодействующая приложенной системы сходящихся
сил проходила через центр масс этого гела.
См. далее главу VI.
306
Если на твердое тело действуют три непараллельные силы,
лежащие в одной плоскости, и под действием этих сил тело на-
находится в равновесии, то линии действия этих сил будут пере-
пересекаться в одной точке.
В самом деле, пусть силы Fi, Fz, F3 удовлетворяют постав-
->
ленным условиям; тогда, продолжая линии действия сил Fx
и F-> мы можем их перенести в точку пересечения В и сложить
по правилу параллелограмма. Пусть f\-\-F2 = Ri2 (фиг. 133).
Система двух сил ^?12 и F3 по условию эквивалентна нулю, по-
поэтому линия действия силы F3
проходит через точку приложе-
->¦
ния силы Riz, т. е. все три
силы пересекаются в одной
точке.
В статике твердого тела
рассматриваются и решаются
две основные задачи:
1) Дана система сил, дей-
действующих на тело; нужно за-
заменить эту систему более про-
простой, эквивалентной системой
сил. Это задача приведения
сил.
2) Найти, при каких усло-
условиях данная система сил, при-
приложенных к твердому телу, на-
находится в равновесии; иначе говоря, определить необходимые и
достаточные условия равновесия тела под действием заданных сил.
Для системы сил, сходящихся в одной точке, обе эти задачи
уже разрешены. По существу это задачи статики одной мате-
материальной точки. Рассмотрим далее задачи приведения и равно-
равновесия сил, требующие применения более сложных методов ис-
исследования и введения новых понятий.
§ 2. Параллельные силы
->¦
Пусть на данное тело действуют две параллельные силы: Fi
->
и F2, направленные в одну сторону и приложенные в точках А
и В (фиг. 134).
Приложим в точках А и В две равные и противоположно на-
направленные силы: Qj и Q2. Так как система сил (Qt, Q2) экви-
валентна нулю, то система четырех сил (Fv F2, Qlt Q2) экви-
эквивалентна системе заданных сил (Fv F2)- Найдем по правилу
20* 307
Фиг. 133
параллелограмма равнодействующую ./?,, сил Q,, Fx и равно-
-> -> -> -*• ->
действующую R-n сил Qn ^г- Силы Ru и ^22 лежат в одной
плоскости, и линии их действия пересекаются в точке О. Пере-
->. ->
несем силы ^п и /?22 в точку О и разложим по направлениям,
-> -> -> ->¦
параллельным Fx и Qx. Мы получим силы Q и —Q, равные
-> ->¦ -> ->•
соответственно силам Q, и Q2 и силы Ob и Of, равные силам
-*• -> -*-->¦
/*", и г2. Силы Q и —Q составляют систему, эквивалентную
-> ->->->
нулю, а силы Ob = Fu Of — F2 направлены по одной прямой,
и, следовательно, их равнодействующая равна по величине
арифметической сумме сил:
R = F1 + F2. A)
->
Равнодействующая R направлена в сторону действия сил
->¦->• ->
Fx и F2 и параллельна им. Перенесем силу R в точку С и опре-
определим положение этой точки. Из фигуры 134 следует, что тре*
угольники АОС и аОЬ, а также треугольники СОВ и fOe по-
подобны. Из подобия этих тре-
Q О Q
угольников имеем:
АС ОС АС
или
св
ОС
Ob
ОС
Ob' или^"
ев
ОС
ос
= -ftf> или ~о~ —
Из соотношений B) и B')
следует, что
AC-F1 = CB- F2,
AC CB ...
или -=- = -?—. C>
Таким образом, из формул A) и C) легко видеть, что рав-
равнодействующая двух параллельных сил, направленных в одну
сторону, равна по величине их сумме, параллельна заданным
силам и направлена в ту же сторону. Линия действия равнодей-
равнодействующей делит расстояние между данными силами внутрен-
внутренним образом (точка С — внутри отрезка А В) на части, обратно
пропорциональные этим силам.
Пусть имеем теперь две неравные по величине, параллель-
параллельные и противоположно направленные силы Flt F2. Найдем рав-
равнодействующую этих сил.
308
Пусть Fi>F2 (фиг. 135). Представим себе, что сила Fi есть
->
равнодействующая двух сил, одна из которых, назовем ее F'y
равна по величине F2 и приложена в точке В, а вторая равна
по величине R = Fi — Fz. Точка приложения этой силы опреде-
определится на основании формулы C) из со-
соотношения: р*
1ЪЪ Ci \В
АС АВ ¦ W ^ ^}
Составляя из D) производную про- \р
порцию, получим: *
Р Р F Фиг. 135
~АС — ~АВ ~~ ~СВ ¦ W
Таким образом, систему сил (Z7,, F2) мы заменили системой
-> -> ->* -> ->
трех сил (R, Fv F?). Но по условию система сил (F2, F'2) экви-
-> ->
валентна нулю, поэтому система двух сил (Flt F2) эквивалент-
эквивалентна по действию на твердое тело одной силе R. Следовательно,
равнодействующая двух неравных параллельных сил, направ-
направленных в противоположные стороны, равна по величине разно-
разности этих сил, лежит за большей силой и направлена в сторону
большей силы. Линия действия равнодействующей делит рас-
расстояние между линиями действия заданных сил внешним обра-
образом (точка С лежит вне отрезка АВ) на части, обратно про-
пропорциональные этим силам.
Допустим, что сила Fi будет изменяться (уменьшаться) по
величине, стремясь к Ft, тогда, очевидно, разность этих сил, рав-
равная R, будет стремиться к нулю. Система двух равных по вели-
величине сил F1nF2 = — Fv параллельных и направленных в проти-
противоположные стороны по несовпадающим линиям действия, на-
называется парой сил. Из соотношения D) имеем, что
и, следовательно, когда R стремится к нулю, линия действия
силы R удаляется в бесконечность и расстояние АС становится
бесконечно большим. Таким образом, в твердом теле нельзя
заменить пару сил одной силой, которая была бы эквивалентна
по действию двум равным, параллельным и противоположно
направленным силам. Отсюда также следует, что пару сил, дей-
действующую на твердое тело, нельзя уравновесить одной силой.
Система двух равных, параллельных и противоположно на-
направленных сил, линии действия которых не совпадают, обра-
образует новый статический элемент, новое качество, новую меру
30»
механического взаимодействия твердых тел. Пара сил не имеет
равнодействующей, и эффект ее действия на твердое тело не
может быть сведен к силе. Непосредственный опыт показывает,
что пара сил способна привести тело во вращательное движе-
движение. Подобно тому как в кинематике все движения разлагались
на два основных, не сводимых друг к другу движения: поступа-
поступательное и вращательное, так и в статике любые системы сил
могут быть выражены через два основных, не сводимых друг
к другу статических элемента: силу и пару сил. Пара сил есть
качественно новая мера механического взаимодействия между
телами.
§ 3. Теория пар сил
Для того чтобы изучить применение нового статического эле-
элемента — пары сил — к решению основных задач статики, нуж-
нужно рассмотреть, какими свойствами обладает и каким основным
преобразованиям подчиняется этот новый элемент.
Плоскость, в которой расположена пара сил^, — F), назы-
называется плоскостью действия пары. Расстояние d (фиг. 136) ме-
между линиями действия сил пары на-
называется плечом пары. Действие
пары сил на тело будет тем больше,
чем больше величина сил, образую-
образующих пару, и чем больше расстояние
d между ними. Поэтому эффект
действия пары сил на тело изме-
измеряется произведением одной из сил
пары на плечо. Эта величина на-
называется моментом пары сил. Гео-
Геометрически момент пары можно
фиг- 136 изобразить удвоенной площадью
треугольника ABC, основанием ко-
которого служит одна из сил пары, а высотой — плечо пары.
Действие пары сил на твердое тело зависит не только от
абсолютной величины момента M = F-d, но и от расположения
в пространстве плоскости действия пары сил. Поэтому весьма
удобно и целесообразно изображать момент пары в виде век-
вектора, величина которого равна произведению F• d, а направле-
направление перпендикулярно к плоскости действия пары. Вектор-мо-
Вектор-момент пары сил М условимся откладывать на перпендикуляре к
плоскости действия пары так, чтобы наблюдатель, смотрящий
с конца вектора М, видел вращение, создаваемое парой, совер-
совершающимся против часовой стрелки (фиг. 137).
Если величина сил пары измеряется в килограммах, а плечо
в метрах, то, очевидно, величина вектора-момента М пары бу-
будет измеряться в килограммометрах (кГм).
310
Пусть сила (—Fx) пары (г„ —Z7,) приложена в точке Л, а
->
сила Fi — в точке В (фиг. 138); покажем, что вектор-момент па-
4-
ры будет равен векторному произведению ABy^F1. В самом
деле, из фигуры 138 видно, что
\АВ X Рг\ = /v АВ • sin a = Fl ¦ d,
а направление вектора-момента пары перпендикулярно к пло-
плоскости действия пары, причем наблюдатель, смотрящий с конца
Л/
Фиг. 137
Фиг. 138
вектора M — ABXF^, видит вращение, создаваемое парой, со-
совершающимся против часовой стрелки. Таким образом,
Докажем, что вектор-момент М, характеризующий эффект
действия пары сил, равен сумме моментов сил пары относи-
относительно любой точки пространства.
Действительно, моменты сил пары относительно точки О
(фиг. 139) можно записать так:
i = ^ X
откуда
mom0 {—FJ = г2 X (—Л) = — (г2 X
= (rx — rt) X Д =
Таким образом,
—FJ. G)
Докажем теперь две основные теоремы, которые устанавли-
устанавливают эквивалентность пар сил.
Теорема 1. Пару сил, не изменяя ее механического дей-
действия на данное твердое тело, можно переносить и произвольно
поворачивать в плоскости действия.
311
В самом деле, пусть дана пара сил (Fu F2), причем силы
Бары приложены в точках А и В (фиг. 140). Плечо пары пусть
равно к. Приложим в точках С и D (CD = d) систему четырех
сил: F3 = F4 = F5 = F6 = FV эквивалентную нулю.
Система шести сил (Fv F2, F3, F4, F5, F6) будет эквивалент-
эквивалентна по действию паре сил (Flf F2). Продолжим линии действия
сил г,, F2, F4, F5 и перенесем силы rv F4 в точку Е пересе-
пересечения их линий действия, а силы F2, F5—в точку Н.
Пусть равнодействую-
щая сил F{, F4 будет
i?i, а равнодействующая
Фиг. 140
<:ил г2. ^5 будет /?2- Ясно, что система сил {Rx, R2, F3, Fs)
эквивалентна по действию системе (Fv r2, ..., /^в), т. е. паре
сил (Fu F2)-Ho система сил (Ru R2) эквивалентна нулю, так как
->¦ ->
по построению силы Ri и ^2 равны по величине, направлены
в противоположные стороны и приложены к концам диагонали
ЕН. Следовательно, система сил (Rx, R2, F3, F6) эквивалентна
-> -> ->->->->
паре сил (F3, F6). С другой стороны, система сил (Rv R2, Fz, Fs)
эквивалентна паре (Flt r2), поэтому пара сил (Fv F2) эквива-
эквивалентна паре сил (F3, F6).
Таким образом, мы видим, что, не изменяя эффекта действия
пары сил на тело, ее можно располагать где угодно и как угод-
угодно в плоскости ее действия в данном твердом теле. Легко ви-
-> ->
деть, что пара сил (F3, Fs) имеет тот же момент, что и пара сил
-> ->
(Fi, F2), и создает вращение в том же направлении. Следова-
Следовательно, на основании доказанной теоремы вектор-момент М,
изображающий пару сил, можно переносить параллельно так,
-312
чтобы начало этого вектора находилось в плоскости действия
пары.
Теорема 2. Пару сил, не изменяя ее механического дей-
действия на твердое тело, можно переносить в твердом теле в лю-
любую плоскость, параллельную плоскости действия пары.
-> ->
Пусть в плоскости Я1 мы имеем пару сил (г„ F2); плечо этой
пары равно d, а направление создаваемого ею вращения ука-
указано на фигуре 141.
Приложим в плоскости яг систему четырех сил (F3, F^, Fbr
F6), эквивалентную нулю, причем Fi = F2=F3 = . . . = F6. Рас-
Расстояние CD = d.
Система шести сил {Fu F2, F3, F4, F5, F6), приложенных к
данному твердому телу, эквивалентна по действию паре сил
Fu F2), расположенной в пло-
плоскости Я(.
Из фигуры 141 ясно, что силы
F2, /ч равны, параллельны и на-
направлены в одну сторону; сле-
следовательно, их равнодействую-
щая Ri равна по величине (F2+
-f/ч) и приложена в точке О, се-
середине отрезка ВС. Точно так же
равнодействующая R2 двух рав-
равных, параллельных и направлен-
ных в одну сторону сил Fi, F5
равна по величине (Z^ + Fs) и
Фиг. 141
( )
приложена в середине отрезка AD. Таким образом, система сил
->¦>¦>-> -> ->
(Ri, R2, F3, Fe) эквивалентна системе шести сил (Fi,...,F6), a
следовательно, эквивалентна паре сил (Fi, F2). Из фигуры 141
мы имеем, что Ri = —R2, а следовательно, система (Ru R2) экви-
валентна нулю. Поэтому система сил (Ri, R2, F3, F6) эквивалент-
эквивалентна паре сил (F3,Fe), расположенной в плоскости яг. Следова-
Следовательно, пара сил (Fb F2) эквивалентна по действию на твердое
тело паре сил (^з, F6). Эти пары создают вращение в одном
направлении и имеют равные моменты.
Из второй теоремы вытекает, что вектор-момент М пары
сил можно переносить вдоль линии его действия. Но из теоре-
теоремы первой мы заключили, что вектор-момент М можно пере-
переносить параллельно самому себе, поэтому из теорем 1 и 2 сле-
313
дует, что вектор-момент пары сил есть вектор свободный. При
определении механического воздействия пары сил на тело мы
можем вектор, изображающий момент пары, переносить в любую
точку данного твердого тела. Механическое воздействие, эквива-
эквивалентное паре сил, однородно распространено по всему телу, и
интенсивность такого воздействия количественно характеризует-
характеризуется свободным вектором-моментом пары сил.
Теорема 3. Всякая пара сил по своему воздействию на
твердое тело может быть заменена другой парой, имеющей ту
же плоскость действия и тот же момент.
В самом деле, пусть силы Fx, F2 (Fi — F2) образуют пару с
плечом AB = d (фиг. 142). Разложим силу F2 на две параллель-
ные силы Рх и г2 — Рх, причем силу /*7—Pi приложим в точ-
точке А. Точка приложения силы Р4
определится из пропорции:
р С1 р С1
Д
Я'
i
Фиг.
1
В
142
" СВ — AC' vu/
Система трех сил (Fx, Px, F2—
-> -»¦
(Pi) эквивалентна паре сил(/71,
F2). Силы Fx и F2 — Рх прило-
приложены в точке Л, и очевидно,
-> -> ->
эквивалентны силе — Pi. Следовательно, система сил Fv Pu,
F2 — Pi) эквивалентна паре сил (Рц —Р,) с плечом СА. Из фигу-
фигуры 1$б видно, что направления вращений, создаваемых парами
(Fx, F2) и (Pi, —Рх), совпадают, а моменты пар равны, так
как из (8) следует, что Pt • AC=F2- AB. Таким образом, пара
-> -> -> ¦>
сил (Fx, F2) эквивалентна паре сил (Ри —Pi).
Из третьей теоремы следует, что, не изменяя механического
действия данной пары сил на твердое тело, можно изменять
величину и сил, и плеча этой пары, но при условии, что момент
пары и направление создаваемого ею вращения будут оставать-
оставаться неизменными.
Доказанные теоремы о парах сил показывают нам, что коли-
количественной характеристикой 'механического действия пары сил
является изображающий ее вектор-момент. Мы можем произ-
произвольно изменять силы и плечо пары, перемещать пару произ-
произвольным образом в плоскости ее действия, параллельно перено-
переносить плоскость действия пары, но так, чтобы при всех этих
преобразованиях вектор-момент пары оставался неизменным.
Вектор-момент пары полностью определяет механическое дей-
действие пары сил на данное тело.
.314
Теорема 4. Если на данное твердое тело действуют две
или несколько пар сил, плоскости действия которых располо-
расположены как угодно в пространстве, то их совокупное механическое
действие на тело эквивалентно действию одной пары сил, век-
вектор-момент которой равен геометрической (векторной) сумме
моментов данных пар.
-> ->
Рассмотрим сначала две пары сил с моментами УИ, и М2,
причем допустим, что плоскости действия этих пар пересекают-
пересекаются по линии HL (фиг. 143).
Н,
Фиг. 143
Изменим силы пар так, чтобы данные пары имели одинако-
одинаковые плечи, равные d. Пусть тогда силы пары, лежащие в пло-
->¦ -> /
скости щ, будут равны Р и Р\, а силы пары, лежащие в пло-
плоскости я2> будут равны Q и Qi. Перенесем и повернем данные
пары сил так, чтобы их плечи совпали с линией HL. Силы
Р и Q, а также (Pi, Qi) сложим "по правилу параллело-
параллелограмма. Геометрически ясно, что мы получим результирующую
пару сил (R, —R). Так как момент пары сил равен сумме мо-
моментов сил пары относительно любой точки, то момент 9№ ре-
результирующий пары относительно точки А будет равен:
Ш=А$Х& (9)
С другой стороны, сумму моментов составляющих пар мож-
можно написать в виде:
Д + Д> = Л5ХЯ+ЛЯХ$ = Л?Х(Р+§) = ЛЯХ#. A0).
Из формул (9) и A0) следует, что
?ДД (и)
315.
т. е. момент равнодействующей пары {R, —f?) равен вектор-
векторной сумме моментов слагаемых пар (Р{, Р'\) и (Qi, Qi).
Таким образом, векторы-моменты пар сил складываются по
правилу параллелограмма. Если мы имеем /г-пар сил, располо-
расположенных как угодно в пространстве, то мы можем перенести все
векторы-моменты этих пар в одну точку и получить простран-
пространственный пучок векторов-моментов, который можно заменить
одним вектором-моментом, применяя последовательно правило
параллелограмма A1).
Механический эффект действия n-пар сил с моментами
-> -> ->
7И], М2, ..., Мп на данное твердое тело эквивалентен дей-
действию одной пары сил, момент которой будет:
v=l
т. е. момент равнодействующей пары сил равен векторной сум-
сумме моментов пар составляющих. В частном случае, когда сла-
слагаемые пары сил лежат в одной плоскости или в параллельных
плоскостях, векторы-моменты, изображающие эти пары' сил,
параллельны между собой. В этом частном случае момент пары,
эквивалентной по действию данной системы пар, будет равен
алгебраической сумме моментов слагаемых пар.
§ 4. Приведение пространственной системы
сил к простейшему виду.
Пусть дано твердое тело, на которое действуют силы
->• -> ->
Fi, F2,..., Fn, расположенные произвольным образом в про-
пространстве. Заменим данную систему сил другой, более простой
системой, эквивалентной по механическому действию заданной
системе сил.
Процесс замены данной системы сил системой, ей эквива-
эквивалентной, мы будем проводить на основании следующей теоре-
теоремы: всякую силу F, приложенную в точке А (фиг. 144), можно
перенести на новую параллельную линию действия — в точку В,
добавляя при этом пару сил, момент которой равен моменту
переносимой силы относительно новой точки ее приложения.
Эту теорему легко доказать. В самом деле, пусть дана сила
FA, приложенная в точке А. Приложим в точке В на новой ли-
линии действия две силы FB и —FB, равные по величине и па-
раллельные FA. Тогда система трех сил (FA, FB, —FB) будет
эквивалентна силе FA, так как система сил (FB, —FB) эквива-
-> ¦> ->
лентна нулю. Но система трех сил (FA, FB, —FB) эквивалент-
316
на силе FB и паре сил (FA, —FB), момент которой равен
—^ ~У ^Г -^-
BAXFA. Следовательно, сила FA эквивалентна силе FB и паре
с моментом M = BAxFA.
Выберем теперь в твердом теле, на которое действуют силы
-> -> -»¦
Fv F2, ..., Fn, произвольную точку О и перенесем все силы
параллельно самим себе в эту точку.
Геометрическая сумма сил, приложенных в точке О, назы-
называется результирующей данной системы сил.
\ mo frig
/ в
/ В /В А
/ F*
/F3
momD
Fa'
J>
1 m
/к
I
'B
— i
F4
/FB /
-ъу
/
7
Фиг. 144
Математически результирующую данной системы сил можно
представить в виде:
п
f? = 2lFv. A2)
v=l
При переносе сил на новые линии действия мы должны на
основании доказанной теоремы добавить пары сил, компенси-
компенсирующие этот перенос. Вектор-момент каждой пары будет равен
моменту переносимой силы относительно точки О. Складывая
все векторы-моменты пар, компенсирующих перенос сил в точ-
точку О, получим результирующую пару сил, момент которой:
22(
v=l v=l
¦> ->
где rv — радиус-вектор точки приложения силы Fv относительно
точки О (фиг. 145). Точку О называют центром приведения дан-
данной системы сил. В общем случае векторы R и Ж пересекаются
под некоторым углом а.
Если перенести центр приведения в точку Оь определяемую
радиусом-вектором а, то результирующая Ri в новом центре бу-
будет равна R, а момент результирующей пары сил изменится и
будет равен (фиг. 145):
v=l
(
v=l
317
Так как
v=l
v=l
то, очевидно,
Следовательно, при изменении центра приведения результи-
результирующая сила R остается неизменной по величине и направле-
направлению, а вектор-момент результирующей пары изменяется на век-
[L
R
0
R
Фиг.
1
1
a
146
R»
ось
У
диномич
unma
Фиг. 145
тор, равный моменту результирующей силы относительно но-
нового центра приведения.
Покажем теперь, что совокупность векторов R и Ж, напра-
направленных под углом а друг к другу, можно привести к системе
двух векторов: R и Ttv которые будут коллинеарны.
В самом деле, разложим вектор Ж на два вектора: Ш^, на-
правленный по R, и Ж2, перпендикулярный R (фиг. 146). Оче-
Очевидно, 9R, = Ж cos а, Ш2 = Ж sin а.
Вектор 3№2, перпендикулярнын к R, заменим парой сил, кото-
которую он изображает, причем плечо этой пары подберем так,
чтобы силы пары были равны RA и —R. Очевидно, что силы
R и —R в точке О (фиг. 146) эквивалентны нулю, следова-
следовательно, система (R, Ш) эквивалентна системе (RA, SK,), причем
RA и Эй, коллинеарны {RA=R).
Совокупность силы и пары, момент которой коллинеарен.
вектору силы, называется динамическим винтом или динамой.
318
Таким образом, пространственная система сил в общем слу-
случае может быть приведена к динамическому винту.
Легко показать, что величина момента 3№х будет инвариант-
инвариантной для данной системы сил, если центр приведения изменяется.
->
Действительно, если R0— единичный вектор направления ре-
результирующей силы, то
ЭК, == (ад°) = — = -^- = Ш cos a = invar,
так как
Вектор 9№j есть минимальный момент результирующей пары
сил, которая вместе с результирующей силой R эквивалентна
пространственной системе сил. Так как вектор-момент пары
есть вектор свободный, то Ш^ можно перенести на линию дей-
ствия силы RA- Прямая AL (фиг. 146), по которой направлены
вектор результирующей силы RA и минимальный момент ре-
результирующей пары SWj,называется центральной осью простран-
пространственной системы сил или осью динамического винта.
Таким образом, если к данному твердому телу приложена
-> -> ->
произвольная пространственная система сил (fj, F2, ¦¦-, Fn)>
то в общем случае механическое действие этой системы сил на
тело сводится к совокупности двух основных и простейших ста-
статических элементов: силы и пары сил. Выбор центра приведе-
приведения данной системы произволен, но, как видно из доказанного
выше, механическое действие данной системы сил на тело впол-
вполне определено заданными силами и совершенно не зависит от
выбора центра приведения. Инвариантность по отношению к
центру приведения результирующей силы R и минимального ре-
результирующего момента 9№х отражает тот факт, что статическое
взаимодействие данного тела с другими телами полностью опре-
определяется реальными связями и взаимодействиями и совершенно
не зависит от метода исследования задачи приведения. Опреде-
Определение R, Шг и оси динамического винта имеет практически
важное значение в том случае, когда мы желаем уравновесить
данную систему сил, действующую на твердое тело, минималь-
минимальным механическим воздействием. Если по оси динамического
винта приложить силу —R, а в плоскости, перпендикулярной к
оси винта, приложить пару сил с моментрм, равным —ЭМ,, то
система приложенных к телу сил будет уравновешена мини-
минимальными воздействиями (тянущим и вращающим).
319
Если минимальный момент равен нулю, т. е. векторы R и "Ш
взаимно перпендикулярны, то пространственная система сил
приводится к одной силе R. Эта сила, эквивалентная по механи-
механическому воздействию на твердое тело заданной системе сил, бу-
будет равнодействующей. В том случае, когда результирующая
сила /? = 0, а Ш =?0, система сил приводится к паре сил. В част-
частном случае плоской системы силу всегда R± Ш, а поэтому плос-
плоская система сил приводится или к паре сил, или к равнодей-
равнодействующей.
§ 5. Условия и уравнения равновесия твердого тела
Пространственная система сил, действующих на свободное
твердое тело, будет находиться в равновесии, если результирую-
результирующая этих сил ^ = 0 и момент результирующей пары сил Ш = 0.
В самом деле, результирующая сила R не изменяется при пере-
перемене центра приведения, а следовательно, если /? = 0 для цент-
центра О, то, очевидно, R = 0 для любого центра. Если результирую-
результирующая сила R — 0, то момент результирующей пары сил не изме-
изменяется при перемене центра приведения (см. формулу A4)).
Поэтому если Ш =0 для центра О, то при условии R = Q момент
результирующей пары сил Ш = 0 для любого центра. Отсюда
следует, что если условия ff = Q и Ш — 0 выполнены для како-
какого-нибудь одного центра приведения, то они удовлетворяются
и для любого другого центра приведения. Два векторных усло-
условия /? = 0 и Ш = 0 суть необходимые и достаточные условия
равновесия произвольной системы сил, приложенных к твер-
твердому телу. Проектируя указанные два векторных соотношения
равновесия на оси координат, мы получим:
п
I) из условия R — ^,FV — Q:
v=l
v=l
2) Ry=ZFvy — 0, A5)
v=l
3) /?, =
v=
320
II) из условия 3№=--
П
5) Tty=^^i(zvFvx — xvFV2) = 0, A6)
l
v=l
6) ^=2 (V7^-<//«)== о,
->
где Fvx, Fvy, Fvz — проекции силы Fv на оси координат, a xv,
yv, zv— координаты точки приложения этой силы.
Таким образом, для равновесия произвольной простран-
пространственной системы сил, приложенных к свободному твердому
телу, необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил
на каждую из координатных осей была равна нулю и чтобы
проекция момента результирующей пары сил на каждую из
координатных осей также была равна нулю.
Так как проекция вектора-момента результирующей пары
сил на какую-либо ось равна сумме моментов всех сил, при-
приложенных к телу, относительно этой оси, т. е.
A7)
то
1)
4)
условия
п
v=l
v=l
2(jv
v=l
n
2(zvj
v=l
n
v=l
\y
равновесия
0;
2)
); 5)
x,Fvz)
УЛ.)
A5) и
и
2j Fvy
v=l
2 moi
v=l
_gjj __ V
x v=l
л
v = l
л
г v=l
mom,
momy
mom.
->
/*v
>
Fy
A6) можно записать та
= 0;
3J
6J
v=l
Fvz=0;
mon
A8)
— 0. A9)
Таким образом, для равновесия произвольной простран-
пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы
проекций всех сил на оси координат и суммы моментов этих
сил относительно юсей координат были равны нулю.
Отметим частные случаи равновесия.
а) Если система сил, приложенных к свободному твердому
телу, расположена в одной плоскости, то поворотом и перено-
переносом системы координат Oxyz всегда можно добиться того,
21 А. А. Космодемьянский 321
чтобы плоскость, в которой расположены силы, совпадала с пло-
плоскостью хОу. В этом случае из шести условий равновесия A8),
A9) три будут удовлетворяться тождественно, и мы получим
только три условия равновесия:
2/ч* = 0, ^Fvy = 0 и 2 monb/\, = 0. B0)
v=l v=l v=l
Так как все силы расположены в одной плоскости, то момент
силы относительно оси Oz вычисляется так же, как и момент
силы относительно начала координат, т. е.
2л тогпгFv = [ 2j momoFv)k = 2j rnom0/\,,
v=l \v=l /
->
где k — единичный вектор оси Oz. Поэтому условия равновесия
плоской системы сил будут иметь вид:
2 2„ S = 0. B1)
v=l v=l v=l
б) Если к свободному твердому телу приложена простран-
пространственная система параллельных сил, то, направляя ось Oz па-
параллельно силам, будем иметь, что т р и из шести условий равно-
равновесия A8), A9) будут удовлетворяться тождественно, и мы
получим только три условия равновесия:
х у/ч = 0. B2)
v=l v=l v=l
в) Если система приложенных к свободному твердому телу
параллельных сил расположена в одной плоскости, например
в плоскости xOz, то для равновесия такой системы сил необхо-
необходимо и достаточно выполнение двух условий:
п и _>
2 Fvg =0, 2 momfl Fv = 0. B3)
v=l v=l
Но так как в этом случае 2 momyFv = ( 2 тот0/\, )j, to
v=l \v=l /
удобнее условия равновесия написать так:
" " ->
2^г=0, 2mom0/\, = 0. B4)
v=l v=l
г) Если на свободное твердое тело действует система сил,
пересекающихся в одной точке, то условия равновесия такого
пространственного пучка сил будут иметь вид:
2/ч,=о, 2^=о, 2л*=о. B5)
v=l v=l v=l
322
Условия равновесия пространственной системы сил, прило-
приложенных к твердому телу, в форме A8) и A9) или различные
частные случаи условий равновесия в формах B0) — B5), вооб-
вообще говоря, не будут условиями равновесия тела под действием
этих систем сил. Как будет показано в динамике твердого тела
(глава IX этой книги), при выполнении условий равновесия
сил материальное тело может двигаться.
Для того чтобы условия равновесия сил были одновременно
н условиями равновесия твердого тела, к которому силы при-
приложены, необходимо потребовать, чтобы до приложения систе-
системы сил тело находилось в равновесии (не двигалось относитель*
но выбранной системы отсчета).
Иначе говоря, если до приложения уравновешенной системы
сил твердое тело было в равновесии (было неподвижным отно-
относительно данной системы координат), то оно и останется в рав-
равновесии после приложения уравновешенной системы сил.
В тех случаях, когда данная система сил приложена к не-
несвободному твердому телу, в результате действия активных сил
возникнут силы реакции связей; присоединяя к заданным си-
силам Fv силы реакций связен JVV, мы можем рассматривать дан-
данное тело как свободное и написать шесть соотношений равно-"
весия:
2^ + 2^, 2\,+ 2Ж„, 2^+2^,
•v=l v=l г = 1 v=l \ = 1 v=l
2momv(^v + ^Vv) = 0, 2mom^(Fv+^v) = 0, B6)
v=l v=l
Если связи идеальны, то те из соотношений B6), в которые
не входят реакции связей Nv, называются условиями равно-
равновесия. Соотношения B6), в которые реакции связей входят, на-
называются уравнениями равновесия. Число условий равновесия
для несвободного твердого тела с идеальными связями равно
числу его степеней свободы.
Мы докажем это положение сначала для простейших ча«
стных случаев.
1. Твердое тело имеет неподвижную ось в р а-»
щения. Пусть мы имеем твердое тело, у которого две точки
А и В закреплены неподвижно. Прямая АВ, проходящая через
эти две точки, также будет неподвижной. Эта прямая назы-
называется осью вращения. Положение тела в пространстве опреде-
определяется в этом случае одним параметром — углом поворота <р;
следовательно, тело имеет одну степень свободы. Пусть на тело
21* 323
действует система активных сил Fv F2, ..., Fn, тогда в резуль-
результате действия этих сил в точках закрепления возникнут силы
-> ->
реакции NA и NB. Найдем для этого случая условия и уравне-
уравнения равновесия твердого тела (фиг. 147). В этом частном слу-
случае соотношения B6) будут иметь вид:
v=l
2)
v=l
3)
v=l
4) ^х
v=l
n
5) % momy
6) 2 mom,/4 = 0,
v=l
Bx
= 0;
где h — расстояние между неподвижными точками. В соотноше-
соотношение F) силы реакции точек А и В не входят, следовательно,
Фиг. 147
Фиг. 148
{6) является условием равновесия. Соотношения (/—5), кото-
которые содержат силы реакций связей, будут уравнениями равно-
равновесия.
2. Твердое тело имеет одну неподвижную
точку (фиг. 148). В этом случае положение тела определяется
тремя параметрами (например, углами Эйлера q>, if, Э, см. гла-
главу II 1-го раздела) и, следовательно, тело имеет три степени
свободы. Пусть на тело действует система активных сил
Fx, F2,+---, Fn. Силу реакции неподвижной точки обозначим
через Nq. Выбирая начало координат в неподвижной точке, мы
324
можем написать соотношения B6) в следующем виде:
2 = 0; 4) 21A
v=l
n n
o\ ^ с1 i \T П* %\ "^
?) /I i vy \~ *^0y ^» *J) JmJ
v=l v=l
3) S ^"v* + M)* = 0; 6) 21 mom, /\. = 0.
v=l v=l
В соотношении D—6) проекции реакции неподвижной точки
не входят; следовательно, D—6) являются условиями равнове<
сия. Соотношения (/—3) являются уравнениями равновесия.
Таким образом, в случае равновесия несвободного твердого
тела заданные активные силы удовлетворяют меньшему числ>
условий. Как видно, число условий равновесия тела во всея
рассмотренных случаях равно числу его степеней свободы. До-
Доказательство этого общего положения мы дадим в следующем
параграфе.
§ 6. Принцип виртуальных перемещений
«Равновесие неотделимо от движения».
Ф. Энгельс.
1. Вывод условий равновесия свободной и несвободной мате-
материальной точки, а также условий равновесия твердого тела, ко-
которые мы получили ранее, основывался на рассмотрении систем
сил и чисто геометрических соотношений между ними. Для не-
несвободного твердого тела при наложенных идеальных связях
нам удавалось специальным выбором осей координат приводить
число условий равновесия к числу степеней свободы, исключая
из соотношений равновесия силы реакции связей. Для механи-
механических систем точек можно установить общий принцип, благо-
благодаря которому реакции идеальных связей будут полностью
исключаться при установлении условий равновесия. Этот прин-
принцип называется принципом виртуальных перемещений.
Частная формулировка этого принципа, исходящего из рас-
рассмотрения работы активных сил, была известна еще Стевину
A548—1620), который применял этот новый метод для изучения
равновесия блоков. Галилей обобщил прием Стевина на случай
равновесия тел на наклонной плоскости и широко пользовался
этим методом для решения практических задач. Однако общая
формулировка принципа виртуальных перемещений была дана
И. Бернулли A717)*. Лагранж пользовался этим принципом
при построении своей аналитической механики и показал весь-
весьма большую его общность.
* См.: И. Бернулли, Избранные сочинения по механике, ГТТИ, 1937,
стр. 261—264.
325
«Мне кажется, — говорит Лагранж, — можно утверждать,
что все общие начала, которые могут быть открыты в области
науки о равновесии, будут не чем иным, как началом виртуаль-
виртуальных перемещений, рассматриваемым лишь с другой точки зре-
зрения и отличающимся от него только своим выражением» *.
М. В. Остроградский распространил принцип виртуаль-
виртуальных перемещений на случай, когда на систему наложены не-
нестационарные и освобождающие связи, и применил его к вы-
выводу уравнений динамики, а также в теории импульсивных сил.
В настоящее время принцип виртуальных перемещений при-
применяется весьма широко не только в различных отделах меха-
механики абсолютно твердого тела, но и в механике деформируемых
тел, как например в теории упругости, сопротивлении материа-
материалов и других науках.
2. Виртуальные перемещения. Пусть нам дана
механическая система материальных точек, на которую нало-
наложены идеальные стационарные удерживающие связи. Рассмот-
Рассмотрим какую-нибудь точку Mv этой системы и допустим, что на
->
нее действует активная сила Fy. Представим себе, что данной
точке мы будем давать некоторую совокупность бесконечно ма-
малых перемещений в области, центром которой является перво-
первоначально выбранное положение точки Afv. Единственное огра-
ограничение, которое мы наложим на эту совокупность перемеще-
перемещений, будет заключаться в том, что любое из этих перемещений
дозволяется (допускается) наложенными связями. Условимся
обозначать какое-либо перемещение из совокупности допускае-
допускаемых связями перемещений символом 6г в отличие от действи-
действительного перемещения dr, которое точка совершает в бесконеч-
бесконечно малый элемент времени в случае, если она движется под
действием приложенных сил. Любое перемещение 6г из опреде-
определенной чисто геометрически совокупности перемещений назы-
называют виртуальным (кажущимся) перемещением.
Итак, виртуальным перемещением точки будем называть
бесконечно малое перемещение, которое точка могла бы иметь
при наложенных на нее связях.
Понятие виртуального перемещения есть, следовательно, по-
понятие чисто геометрическое, характеризующее свойства малой
области пространства около данной точки в зависимости от
структуры наложенных связей. Для исследования геометриче-
геометрических свойств этой малой области пространства мы можем дать
материальной точке такого рода перемещения в данный момент
времени (при t=const). Это как бы пробы для сравнительного
анализа пространства.
* Лагранж, Аналитическая механика, т. I, ГОНТИ, 1938, стр. 24.
326
Основные свойства множества всех виртуальных перемете-*
ний, которые точка могла бы совершить, не нарушая связей, за-
зависят от геометрических свойств наложенных связей.
Исследование работы приложенных сил на любом виртуаль-
виртуальном перемещении в окрестности точки Mv позволяет сделать
вывод о необходимых и достаточных условиях равновесия этой
точки. Изучение работы приложенных сил на виртуальном пе-
ремещении имеет целью выяснить механические свойства систе-
системы приложенных сил и ограничивающих движение связей. Ра^
бота равнодействующей приложенных к точке сил на виртуаль-
виртуальном перемещении 6rv называется виртуальной работой. Из
определения следует, что
->- —>
виртуальная работа 6A = Fv6rv.
¦>
Если виртуальное перемещение 6rv представляет собой век-
векторную сумму нескольких перемещений, то виртуальная работа
->
силы Fv на результирующем перемещении будет равна сумме
виртуальных работ на соответствующих составляющих переме-
перемещениях. Если проекции силы Fv обозначить через Fvx, Fvy, Fv*, a
проекции виртуального перемещениябгу — через 6xv, 6yv, 6zv, то
виртуальную работу можно записать в виде:
6Л = Fvx bxv + Fvu byv + Fvz 6zv. B7)
3. Постулат идеальных связей. Для доказатель-
доказательства принципа виртуальных перемещений определим виртуаль-
виртуальную работу сил реакций идеальных, стационарных и удержи-
удерживающих связей. Рассмотрение всех встречающихся в технике
связей этого типа едва ли возможно. Мы определим класс
идеальных, стационарных и удерживающих связей следующим
образом: сумма виртуальных работ сил реакций идеальных,
стационарных и удерживающих связей равна нулю при всяком
виртуальном перемещении механической системы точек.
Это предложение называется постулатом идеальных связей.
Проверим справедливость этого постулата для некоторых важ-
важнейших частных случаев.
а) Материальная точка, находящаяся на глад-
гладкой поверхности или на гладкой кривой. В этом
случае сила реакции связи направлена по нормали к поверх-
поверхности или по одной из нормалей к кривой. Виртуальные пере-
перемещения лежат в касательной плоскости к поверхности или на
касательной к кривой (фиг. 149). В обоих случаях силы реак-
реакции будут перпендикулярны к виртуальным перемещениям, а
следовательно,
327
б) Твердое тело, имеющее неподвижную точку.
В этом случае виртуальным перемещением будет вращение
твердого тела вокруг мгновенной оси, проходящей через непо-
неподвижную точку. Виртуальная работа сил реакции связи будет
равна нулю, так как точка приложения силы реакции непо-
неподвижна.
в) Твердое тело, имеющее неподвижную ось
вращения-скольжения.
Виртуальные перемещения, дозволяемые наложенной связью,
будут происходить или благодаря вращению вокруг оси, или
вследствие скольжения вдоль оси. Реакции оси будут располо-
расположены в плоскостях, перпендикулярных к оси, а следовательно,
виртуальная работа будет равна нулю как при виртуальных пе-
перемещениях, дозволяемых вращением, так и при виртуальных
перемещениях, дозволяемых скольжением.
Ь)
Фиг. 149
г) Твердое тело скользит или катится по не-
неподвижной поверхности. Если твердое тело скользит
по идеально гладкой поверхности, то сила реакции связи на-
направлена по нормали к поверхности. Виртуальные перемещения
лежат в касательной плоскости к этой поверхности, а следова-
следовательно, виртуальная работа силы реакции связи будет равна
нулю. Если твердое тело катится по данной поверхности, то точ-
точка соприкосновения (точка приложения силы реакции связи)
лежит на мгновенной оси вращения; следовательно, при вирту-
виртуальном перемещении тела точка приложения силы реакции
останется неподвижной, и виртуальная работа реакции связи
будет равна нулю.
д) Виртуальная работа сил взаимодействия
любых двух точек твердого тела. Пусть положение
этих точек определено радиусами-векторами г4 и г2. Силы взаи-
взаимодействия, по третьему закону Ньютона, равны и противопо-
противоположно направлены. Виртуальная работа этих сил равна
(фиг. 150):
328
но r2 = ri + a, где a = MiM2, причем a = const; следовательно,
-> -> -> -> -> ->
F2 6r2 = F2 i>rx = — Fx brx
и
ЬА = Fx 6r1 — Fx 6^ = 0.
Если идеальные связи являются комбинациями или сочета-
сочетаниями рассмотренных частных случаев связей, то аналогичным
путем можно показать, что виртуальная работа сил реакций
связей также будет равна нулю.
Выразим теперь постулат идеальных связей аналитически.
Пусть мы имеем механическую систему точек Ми М2, ... Мп.
Обозначим через Nv равнодействующую сил реакций связей,
приложенных к произвольной точке Mv системы, тогда условие
равенства нулю суммы виртуальных работ сил реакций связей
можно написать в виде:
2JJVv6rv = 0, B8)
v=l
или в проекциях на оси координат:
Д (ЛГ v, К + Mvy byv + Nxz6zv) = 0. B9)
4. Условия, налагаемые связями на виртуаль-
виртуальные перемещения точек системы.
Рассмотрим механическую систему п точек, на которую на-
наложено k идеальных, стационарных и удерживающих связей
вида:
f*(xv yv zv xv Уг *v ••¦• •*„- Уп> zn) = Q> C0)
x = l, 2 k.
Если бы система была свободна, то она могла бы иметь 3/г
независимых виртуальных перемещений: bx\, 6t/i, 6zi, .. ., 6хп,
6уп, bzn. Благодаря наложенным связям между Зл виртуальны-
виртуальными перемещениями будет k соотношений. В самом деле, урав-
уравнения C0) удовлетворяются при виртуальных перемещениях,
так как связи не нарушаются, если точки системы совершают
перемещения, согласные со связями (дозволяемые связями).
Поэтому, взяв полные дифференциалы от соотношений C0), при
/ = const будем иметь*:
и = 1,2 k.
* Символ б употребляется в математике при определении вариации
функции, поэтому часто называют 6лг„, by., Ьг., вариациями координат
точки М,.
329
Таким образом, между Зп виртуальными перемещениями си-
системы будет k соотношений вида C1), и, следовательно, не-
независимых виртуальных перемещений будет Зп— k=s. Число
независимых виртуальных перемещений системы называется
числом ее степеней свободы *.
Если мы введем в рассмотрение независимые координаты
qi, q2, ¦ ¦ ¦, qs, число которых соответствует числу степеней сво*
боды системы, то виртуальные перемещения в декартовых коор-
координатах 6*1, byi, bzb ..., 8хп, Ьуп, bzn можно выразить через
виртуальные перемещения в независимых координатах. В самом
деле, выразим сначала декартовы координаты Xi, yi, zu ...
...,*„, уп, zn через независимые в виде:
= zx (qv q2, ..., qs),
C2)
z« = zn(<7i. <7г> ¦••> 4s)
и возьмем полные дифференциалы при ? = const от обеих ча-
частей соотношений C2), Будем иметь:
0=1
S
0=1
C3)
0 = 1
Соотношения C3) показывают, что все Зи виртуальных пе-
перемещений в декартовых координатах выражаются через неза-
независимые виртуальные перемещения в независимых координатах,
число которых равно числу степеней свободы системы.
Независимые координаты qu q2,.. ., qs называются обобщен-
обобщенными координатами Лагранжа или криволинейными координа-
координатами. Если, например, точка находится на кривой, уравнение
которой дано в виде двух уравнений поверхностей вида:
/, (х, у, z) = 0 и f2{x, у, z) = О,
* При сделанных предположениях о характере налагаемых связей чис-
число независимых виртуальных перемещений равно числу независимых коор-
координат системы.
330
то независимых координат будет только одна q (за q можно,
например, принять длину дуги кривой, отсчитываемой от неко-
некоторой точки). Выражая декартовы координаты в функции неза-
независимой координаты q[x = x(q), y — y{q) и z=z(q)], мы легко
находим, что
^ = |^6<7, C4)
5. Принцип виртуальных перемещений.
Прямая и обратная теоремы Лагранжа. Рас-
Рассмотрим несвободную механическую систему точек, на которую
-> -> ->
действуют активные силы Fu F2,...,Fn. Принцип виртуальных
перемещений устанавливает необходимое и достаточное условие
равновесия механических систем точек. Его можно сформулиро-
сформулировать в следующем виде: для равновесия системы материальных
точек с идеальными стационарными удерживающими связями
необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ
всех действующих на систему активных сил при любом вир-
виртуальном перемещений была равна нулю.
Докажем, что это условие необходимо (прямая теорема Ла-
Лагранжа). В самом деле, пусть система находится в равновесии;
тогда, очевидно, каждая точка Mv этой системы также будет
находиться в равновесии, т. е. равнодействующая Fv всех актив-
активных сил, приложенных к точке, уравновешивается равнодей-
равнодействующей JVV сил реакций связей, ограничивающих свободу пе-
перемещения этой точки, т. е.
= 0. C5)
->
Умножая C5) скалярно на 6rv, получим:
Aurv + Wvfirv = O. C6)
Суммируя соотношения C6), будем иметь:
2 Fy 6rv + 2 Mv 6rv = 0. C7)
v=l v=l
Так как наложенные связи стационарные, идеальные и удержи-
удерживающие, то на основании постулата идеальных связей:
2^Vv6rv = 0,
v=l
331
следовательно, если система находится в равновесии, то необхо-
необходимо, чтобы
2 Fv <VV = 0, C8)
v = l
т. е. при равновесии механической системы материальных точек
сумма элементарных работ всех активных сил, действующих на
систему, на любом виртуальном перемещении равна нулю.
Докажем теперь, что условие C8) и достаточно для равно-
равновесия системы (обратная теорема Лагранжа).
В самом деле, допустим, что условие C8) выполняется, а
система начинает двигаться из рассматриваемого положения.
Пользуясь постулатом идеальных связей, мы можем напи-
написать условие C8) в виде:
( )
v=l v=l
->
где Rv—равнодействующая всех приложенных к точке сил. Так
как точки системы начинают двигаться из состояния покоя (все
->
начальные скорости uvo = O), то действительные перемещения то-
точек за время dt будут направлены по соответствующим равно-
равнодействующим Rv. Выберем виртуальные перемещения точек си-
системы так, чтобы они совпадали с действительными перемеще-
перемещениями за время dt, тогда
2&6rv>0, C9)
v = l
так как cos G?v, 6rv)= 1. Учитывая постулат идеальных связей,
мы получим из C9), что
п
2^6rv>0. D0)
v = l
Но условие D0) противоречит условию C8), следовательно,
предположение о возможности движения при выполнении C8)
приводит к противоречию. Таким образом, условие C8) есть
необходимое и достаточное условие равновесия.
Если проекции активной силы Fv обозначить через Fvx, Fvy,
Fyz> а проекции виртуального перемещения 6rv — через bxv, 6</v,
624, то принцип виртуальных перемещений можно записать в
следующем виде:
2(
332
6. Уравнения и условия равновесия мате-
материальной точки на поверхности. Применим теперь
принцип виртуальных перемещений для вывода уравнений и
условий равновесия точки на поверхности. Сначала выведем
уравнения равновесия точки на поверхности. Будем предпола-
предполагать, что наложенная связь идеальная, стационарная и удержи-
удерживающая. Уравнение поверхности напишем в виде:
f(x, у, z) = 0. D2)
Если равнодействующую активных сил, приложенных к точ-
точке, обозначить через F, то условие D1) можно записать так:
z = Q, D3)
где Fx, Fy, Fz — проекции силы F, a bx, by, bz—проекции вир-
виртуального перемещения br на оси координат. Так как точка не
свободна, то проекции bx, by, bz будут удовлетворять дополни-
дополнительному соотношению, которое мы получим, дифференцируя
D2), в следующей форме (берем полный дифференциал от D2)
при ^ = const):
•?**+¦!¦**+¦?¦**=<>. ^
т. е. из трех величин бл;, by, bz независимых будет только две.
Умножим D4) на некоторый неопределенный пока множитель X
и сложим с D3). Будем иметь:
Примем за независимые перемещения by, bz. Пользуясь про-
произволом множителя X, выберем его так, чтобы коэффициент при
зависимом перемещении Ьх обратился в нуль. Но тогда вслед-
вследствие независимости by, bz коэффициенты при них также долж-
должны быть равны нулю, и мы получим:
dz ~~
Уравнения D5) вместе с уравнением связи D2) позволяют
найти х, у, z и X, т. е. определить положение равновесия и реак-
реакцию связи. В самом деле, сравнивая D5) с обычным условием
равновесия несвободной точки (F~\- M) = 0, мы заключаем, что
\т 1 1 Г( di \2 i / д! \2 i / д1 \2
М = Х у \jjjj + 1-^гI + I foj • т. е. множитель X пропорцио-
пропорционален величине силы реакции связи.
333
Для того чтобы найти условия равновесия материальной
точки на поверхности, мы введем в рассмотрение две независи-
независимые координаты <7i и <7г, так как точка на поверхности имеет две
степени свободы. Выразим декартовы координаты точки в функ-
функции независимых координат <7ь qz в виде:
x = x(qx, q2), y = y(qu q2), z — z(qlt q2),
тогда
ft*=?**+lre'» <*=¦!?>+¦&**• D6)
s dz , . dz .
oz = -3— 6G, -4- -3— og9.
Подставляя D6) в соотношение D3) и собирая слагаемые при
независимых виртуальных перемещениях 6</ь bqt, будем иметь:
или
Ql6ql+Q26q2 = 0, D7)
где
называются обобщенными силами, отнесенными к координатам
<7i и <?2 соответственно. Так как q\ и q^ независимы между собой,
то из D7) следует, что
Qi = O и Q2 = 0. D8)
Соотношения D8) являются условиями равновесия матери-
материальной точки на поверхности, так как в выражение обобщенных
сил реакция связи не входит. Таким образом, для равновесия
точки на идеально гладкой поверхности необходимо и достаточ-
достаточно, чтобы обобщенные силы, отнесенные к координатам qx и q2,
были равны нулю.
7. Уравнения и условия равновесия несво-
несвободной механической системы точек. Рассмотрим
механическую систему точек, на которую наложено k стацио-
стационарных, идеальных и удерживающих связей вида:
L(xv Уг zv xr Ур zv •••' *„' У,,' г«) = °> D9)
к=1, 2 k.
В этом случае независимых виртуальных перемещений будет
(Зга — k) = s.
В самом деле, соотношения D9) остаются справедливыми
при любых виртуальных перемещениях точек системы. Поэтому,
334
взяв от левых частей D9) полный дифференциал (при ?=const),
получим k соотношений вида:
х = 1, 2 k.
Соотношения E0) устанавливают k зависимостей между Зд
проекциями виртуальных перемещений точек системы. Принцип
виртуальных перемещений для системы можно математически
записать в виде:
(Vx К %, v 4g 6*v) =0. E1)
Чтобы получить уравнения равновесия системы точек, мы
воспользуемся методом неопределенных множителей Лагранжа.
Умножим первое из уравнений E0) на Ki, второе на Я,2 и k-e
на Xk и сложим все эти уравнения с соотношением E1). Соби-
Собирая коэффициенты при &xv, 6</v, 6zv, будем иметь:
Выберем fe неопределенных множителей Кк так, чтобы выра-
выражения, стоящие в круглых скобках перед зависимыми виртуаль-
виртуальными перемещениями, обратились в нуль. Тогда коэффициенты
при независимых виртуальных перемещениях также обратятся
в нуль.
Следовательно, из E2) мы получим систему Зп уравнений:
E3)
где
v = l, 2 п.
Присоединяя к этим уравнениям k уравнений связей D9),
мы получим полную систему (Зп + k) уравнений для определе-
определения C/г +k) неизвестных хи уи zu ..., хп, уп, г„ и Кх, К2,... Ль.-
335
Совокупность координат (хи уи zi,..., хп, уп, г„) определит
конфигурацию равновесия системы точек, а множители fa, fa, ¦ ¦ •,
Xk позволят найти реакции наложенных связей. Таким образом,
соотношения E3) представляют собой уравнения равновесия
несвободной механической системы точек. Эти уравнения назы-
называются уравнениями Лагранжа 1-го рода.
Структура этих уравнений и метод их получения показы-
показывают, что определение конфигурации равновесия становится тем
труднее, чем больше наложено на систему связей.
Но налагаемые связи уменьшают число степеней свободы си-
системы и тем самым содержат в себе источник для применения
нового метода — метода независимых координат, который бу-
будет тем проще, чем больше наложено связей. Пусть все Зд де-
декартовых координат выражены в функции (Зл — k)=s незави-
независимых или обобщенных координат qu q2, ¦ . ¦, qs, т. е.
х\ = xi (9v Я* ¦ ¦ •. Ч*)> У\ =У1 (<7ь <7г. • • •. <?*)> z\ =z\ (Яъ Яь ••¦> ^).
xn = xn(qvq2, ...,qs), yn = yn{,qx, q2,---, qs)> zn=zn(q1,q2, ...,qs).
Тогда все проекции виртуальных перемещений 6jci, 6«/i, ...,
6zn можно выразить через независимые виртуальные переме-
перемещения б<7ь..., bqs в следующем виде:
0=1 0=1 0=1
0=1 0=1 0=1
Подставляя E4) в соотношение E1), мы получим:
V=l L 0=1 0=1 0=1
Меняя порядок суммирования, будем иметь:
o=
Обозначая
v=l
336
где Qa — обобщенная сила, отнесенная к координате Qa, мы мо-
можем записать E5) так:
2
0=1
или в развернутом виде:
E6)
Так как виртуальные перемещения 6д„ независимы, то из
E6) следует, что коэффициенты при этих перемещениях долж-
должны обращаться в нуль, т. е.
Qt = 0, Q2 = 0, ..., Qs = 0. E7)
В соотношения E7) реакции связей не входят, поэтому эти
соотношения представляют собой условия равновесия несвобод-
несвободной механической системы точек. Как видно, число условий рав-
равновесия системы равняется числу независимых виртуальных
перемещений, т. е. числу ее степеней свободы.
8. Условия равновесия свободного твердого
тела. Равновесие системы в потенциальном
поле сил. Рассмотрим частный случай механической системы
точек — абсолютно твердое тело. Условие равновесия Лагранжа
E1) удобнее записать здесь в следующем виде:
2 Д firv = 0, E8)
v = l
где Fv—активные действующие силы, a 6rv — виртуальные пе-
перемещения точек тела. Из кинематики известно, что любое пе-
перемещение свободного твердого тела можно получить из посту-
поступательного перемещения, равного перемещению некоторой
(основной) точки, и перемещения, обусловленного вращением
вокруг мгновенной оси, проходящей через основную точку, т. е.
6rv = бго + 6ф X rv. E9)
В соотношении E9) 6г0 есть вектор поступательного пере-
перемещения, а 6ф—вектор бесконечного малого угла поворота тела.
Подставляя E9) в E8), будем иметь:
2 Ао+ S
v=l v=l
ИЛИ
ijA,+pij=o, F0)
v=l v=l
22 А. А. Космодемьянский 337
> >
так как 6r0 и оф не зависят от индекса суммирования и, кроме
того, в смешанном векторно-скаляриом произведении можно де-
делать круговую перестановку множителей, т. е.
Л(вфХ/ч)=вф(*уХ А).
-> —>
Виртуальные перемещения 6г0 и бф независимы между собой,
и, следовательно, из F0) получаем:
SA = 0 и SrvxA = 0, F1)
v=l v=l
т. е. необходимые и достаточные условия равновесия свободного
твердого тела, выведенные элементарным путем в § 5 этой
главы *.
Если силы, действующие на систему, имеют потенциал, т. е.
F -ИЬ. F -^ dU
dyv ' '"—3^-<
то условия равновесия E7) любой механической системы точек
можно записать в следующем виде:
ди* dXv — д V и — ди —п
v=l v=l
или короче:
bU{qx, q2, ... qs) = 0. F2)
Таким образом, в потенциальном силовом поле система ма-
материальных точек будет находиться в равновесии только тогда,
когда силовая функция V имеет стационарное значение. Усло-
Условия равновесия в этом случае будут совпадать с математиче-
математическими условиями определения максимума или минимума функ-
функции U. Условие б?/=0 представляет собой необходимое и
достаточное условие равновесия системы в поле сил, имеющих
потенциал, и только необходимое условие максимума или мини-
минимума силовой функции. Можно показать, что если для некото-
некоторой системы значений координат q\, q<i, ..., qs силовая функция
имеет максимум, то соответствующее положение равновесия бу-
будет устойчиво (теорема Лежен — Дирихле)
* Мы здесь предполагаем, что до приложения системы сил гело нахо-
находилось в равновесии, поэтому условия равновесия сил суть в то же время
условия равновесия тела под действием этих сил.
338
Если система, для которой определяются положения равно-
равновесия, находится под действием только силы тяжести, то сило-
силовая функция представляет собой сумму силовых функций:
Uv — — mvgzv,
т. е.
g2i^v
v=l
Условия равновесия этой системы напишутся в виде:
л
Ш = — g2,m,&zv. F3)
l
Далее мы докажем, что 2 mvZv = Mzc, гдеМ — масса всей
v=l
системы, a zc — координата центра масс системы. Пользуясь
этим равенством, соотношение F3) можно представить в виде:
или
т. е. положениями равновесия системы материальных точек, на-
находящихся в однородном поле силы тяжести, будут те положе-
положения системы, для которых zc имеет экстремальное значение.
Соответствующие значения zc можно определить, отыскивая
максимум и минимум этой функции, зависящей от s обобщен-
обобщенных координат <7ь Цч, ¦¦¦, qs-
Из F4) вытекает так называемый принцип Торричелли: если
на механическую систему действует только сила тяжести, то си-
система будет находиться в равновесии только тогда, когда вы-
высота ее центра тяжести имеет экстремальное значение.
22*
ГЛАВА VII
ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ МЕХАНИЧЕСКИХ
СИСТЕМ. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ СИСТЕМЫ
«Первое, что нам бросается в глаза при.
рассмотрении движущейся материи, — это
взаимная связь отдельных движений, от~
дельных тел между собой, их обусловлен-
обусловленность друг другом».
Ф. Энгельс.
Как было указано в кинематике, совокупность (множество)
материальных точек называется механической системой, если
движение любой точки множества зависит от движения и поло-
положения остальных точек. Классическим примером механической
системы является солнечная система. Движение любой планеты
в солнечной системе зависит от движения и положения Солнца
и всех остальных планет, входящих в систему. Определяющим
признаком механической системы является наличие сил взаимо-
взаимодействия между отдельными материальными точками системы.
Рой комаров, например, не является механической системой
точек, так как любой комар может покинуть «систему», не нару-
нарушив движения остальных. В механических системах движения
отдельных точек взаимообусловлены. Именно взаимодействие
в наблюдаемых движениях отдельных точек или частях системы
есть главное, что характеризует механическую систему матери-
материальных точек.
Рассмотрим механическую систему п материальных точек
с массами Ш\, гп2, ..., гпп. Для изучения движения как всей си-
системы, так и отдельных ее точек целесообразно разделить силы,
действующие на любую точку системы, на два класса: силы
внешние и силы внутренние.
Внешними силами, действующими на какую-либо точку си-
системы, называются силы, обусловленные массами (материаль-
(материальными телами, материальными точками), не принадлежащими к
рассматриваемой системе. Так, например, при изучении движе-
340
ния какой-либо планеты солнечной системы силы, обусловлен-
обусловленные притяжением звезд и звездных скоплений, следует считать
силами внешними. Равнодействующую всех внешних сил, при-
приложенных к точке с массой mv, обозначим через F(ve). Результи-
Результирующую всех внешних сил, действующих на данную систему
точек, обозначим через R(e^. По определению будем иметь:
Внутренними силами, действующими на какую-либо точку си-
системы, называются силы, обусловленные массами, принадлежа-
принадлежащими к рассматриваемой системе. Так, силы взаимного тяготе-
тяготения планет солнечной системы являются для этой системы
силами внутренними. Равнодействующую всех внутренних сил,
приложенных к точке с массой mv, обозначим через Р^\ Так
как на основании третьего закона Ньютона в механических си-
системах силы взаимодействия между отдельными точками си-
системы равны по величине и противоположно направлены по
прямым, соединяющим в данный момент эти точки, то результи~
рующая всех внутренних сил, действующих на систему, равна
нулю. Следовательно,
Если расстояние между двумя любыми точками системы
остается постоянным независимо от положения и движения си-
системы, то механическая система называется абсолютно твердым
телом (или более кратко — твердым телом). Важной задачей
данного курса механики является изучение динамики твердого
тела.
Если свобода перемещения точек системы в пространстве ни-
ничем не ограничена, то механическая система точек называется
свободной. Солнечная система является примером свободной
механической системы. Если на движение системы наложены
некоторые дополнительные условия, ограничивающие свободу
перемещения ее точек, то система называется несвободной, а
условия, ограничивающие перемещения точек, называются свя-
связями. Если связи налагают ограничения только на положение
точек, то они называются геометрическими (голономными). Если
связи налагают ограничения на скорости точек системы, то они
называются кинематическими (неголономными).
При изучении законов движения механических систем и, в
частности твердого тела, весьма существенное значение имеют
понятия центра масс и моментов инерции системы, характери-
341
зующих распределение масс точек системы в пространстве и
весьма важных для количественного определения динамических
свойств системы. С формально математической стороны учение
о законах распределения масс в пространстве можно назвать
«геометрией масс», но сущность этих новых понятий раскры-
раскрывается только при изучении динамики, т. е. при изучении движе-
движения материальных тел под действием сил.
§ 1. Центр параллельных сил. Центр масс и центр тяжести
Пусть на некоторое твердое тело действует система парал-
параллельных сил Fu ¦••, Fu, направленных в одну сторону и при-
приложенных в фиксированных точках тела. Определим ту точку
пространства, через которую
будет проходить равнодейст-
равнодействующая заданных параллель-
параллельных сил независимо от ориен-
ориентации этих параллельных сил
относительно тела.
Иначе говоря, найдем точ-
точку пересечения линии дейст-
действия равнодействующей задан-
заданной системы параллельных сил
и линии действия равнодейст-
равнодействующей второй системы сил,
полученной из данной поворо-
-> -> ->
том всех векторов Fu F2, ... , Fn
аа один и тот же угол, при
сохранении их параллельности. Эту точку будем называть цент-
центром параллельных сил. Найдем сначала центр двух параллель-
параллельных сил: Fi и F2 (фиг. 151).
Пусть радиус-вектор г\ определяет точку приложения си-
лы F\, а радиус-вектор г2 — точку приложения силы F2. Линия
действия равнодействующей Ri2 этих сил пересекает отрезок АВ
в точке С Изменим направление сил Fl и F2, повернув их на
некоторый произвольный угол а, тогда линия действия новой
равнодействующей R'u будет пересекать отрезок АВ также в
точке С. Следовательно, по определению точка С есть центр
-> ->
двух параллельных сил Л и F2. Пусть радиус-вектор точки С
есть г\2\ из фигуры 151 видно, что
= /> и
Фиг. 151
342
Как известно, точка С делит отрезок АВ на части, обратно
пропорциональные действующим силам, т. е.
AC _CB m
'2 '\
Так как векторы АС и СВ (фиг. 151) коллинеарны, то соот-
соотношение A) можно записать в виде:
АС __ С В
F2 ~ Fx '
ИЛИ _>..>->.>
f 12 — Г\ t~2 — rl2 /О\
F — F " ^ '
'2 'I
->
Разрешая B) относительно г12, будем иметь:
Формула C) определяет положение центра двух параллель-
параллельных сил.
Чтобы найти радиус-вектор центра трех параллельных сил:
•Fj, F2 и F3, мы можем воспользоваться формулой C) и опре-
определить по ней положение центра двух параллельных сил:
Ri2'= F1-\-F2 и F3- Если точка приложения силы F3 опреде-
определяется радиусом-вектором г3, то для радиуса-вектора центра
трех параллельных сил будем согласно C) иметь:
t _ ri2Rl2 + r3F3 _ rjFj -f r2F2 -f r3F3
123 ~ W
Аналогичным приемом для центра системы п параллельных сил
получим:
* _ t _
Г12...Я-Г,-
ИЛИ
v=l
Проектируя E) на оси координат, получим координаты цен-
центра параллельных сил в виде:
*. = Ч ¦ Ус = —п • *. = —я • F)
v=l v=l v=l
343
Положение центра параллельных сил не зависит от направ-
направления сил; поэтому если все силы повернуть на один и тот же
угол, сохраняя их параллельность, то положение центра парал-
параллельных сил не изменится.
Применим теперь формулы E) и F) к определению поло-
положения центра тяжести тел.
Сила, с которой тело притягивается к Земле, называется си-
силой тяжести. Направление силы тяжести в данной точке земной
поверхности определяется направлением истинной вертикали,
т. е. направлением отвеса.
Как было показано в главе IV, направление истинной верти-
вертикали мало отличается от направления радиуса Земли и угол от-
отклонения отвесной линии от радиуса Земли мало изменяется
при перемещении по земной поверхности. Если разбить тело на
элементарные объемы, то веса отдельных объемов будут доста-
достаточно точно представлять систему параллельных сил, если раз-
размеры тела малы по сравнению с радиусом Земли *. Величина
силы тяжести каждого элементарного объема будет равна про-
произведению массы объема Amv на ускорение силы тяжести, т. е.
Fv =/S.mvg. Равнодействующая всех элементарных сил Fv назы-
называется весом тела. Точка, через которую проходит линия дей-
действия равнодействующей элементарных сил тяжести при любом
положении тела относительно Земли, называется центром тя-
тяжести тела. Очевидно, что центр тяжести тела есть центр си-
системы параллельных сил Fv — /S.mvg, направленных по вертика-
вертикали и приложенных к элементарным частицам тела.
Полагая в формуле E) Fv = Amvg, мы получим:
g Yi
2 v
v=l
ИЛИ я ^
g 2 rv Amv
Гс- Jm ' G)
где Af=2&ffiv—масса рассматриваемого тела.
v=l
Формула G) определяет положение центра тяжести тела.
Сокращая G) на постоянную g (ускорение силы тяжести), бу-
будем иметь:
(8)
* Если рассмотреть, например, сваренную «нить» труб газопровода, рас-
расположенную вдоль меридиана и простирающуюся на 1855 м, тогда векторы
сил тяжести торцевых точек будут составлять угол, равный одной минуте.
344
Точка пространства, положение которой определяется фор-
формулой (8), называется центром масс или центром инерции тела.
Положение центра масс зависит только от распределения масс
в данном теле. Проектируя (8) на оси координат, получим коор-
координаты центра масс:
лс— м ¦ Ус— м • *-<>— м ¦ ^'
Как будет видно из основных теорем динамики системы,
понятие центра масс можно ввести независимо от понятия цен-
центра тяжести, причем формулы, определяющие положение центра
масс, не будут зависеть от размеров тела. Понятие центра масс
более общее, нежели понятие центра тяжести. Однако при изу-
изучении движения тел на поверхности Земли можно понятия
центра тяжести и центра масс считать тождественными. Имея
в виду главным образом задачи земной механики, мы и вос-
воспользовались формулой E) для определения центра масс.
Для однородных тел определение центра масс (центра тя-
тяжести) можно свести к определению центра тяжести объема. В
самом деле, допустим, что масса однородного тела непрерывно
заполняет некоторую часть пространства, тогда масса элемен-
элементарного объема
л п
= pAiiv и М= 2 Amv = p 2 &vv,
v=l v=l
где р — постоянная плотность, a Avv — элементарный объем.
Подставляя в (9) найденные величины Amv и М, после сокра-
сокращения на р получим:
2
_V=_1
Ус л
v=l v=l v=l
Переходя к пределу, будем иметь:
§xdv fydv J
V V V
лс v < Ус —'
г <lv
ve у ' Ус — у ' *-с — у '
где V= I dv — объем тела. В формулах A0) интегралы рас-
v
пространены по объему тела. Формулы A0) показывают нам,
* При непрерывном распределении масс в данном объеме (например,
сплошное тело) суммы в формулах G) —(9) должны быть заменены соот-
соответствующими интегралами.
345
что для однородных тел задача определения центра тяжести есть
чисто геометрическая задача определения центра тяжести объ-
объема. Если рассматриваемое однородное тело представляет со-
собой кусок поверхности оболочки (например, топкий изогнутый
лист железа), толщина которого мала по сравнению с другими
его размерами, то задача определения центра тяжести тела сво-
сводится к геометрической задаче определения центра тяжести
этого куска поверхности. В самом деле, пусть pt — плотность
распределения масс по данной поверхности, тогда
Подставляя значение Amv в формулы (9) и переходя к пре-
пределу, мы получим:
| х ds j у ds J ,
хс
где S — J ds— величина площади данного куска поверхности.
Совершенно аналогично для масс, непрерывно распределен-
распределенных по линии (тонкая проволока, струна), получим:
fxdl fydl f
лс — / • Ус — / ' zc —
zdl
где L= I dl— длина рассматриваемой линии.
При определении центра тяжести (центра масс) в различных
частных случаях полезно руководствоваться следующими ме-
методами:
а) Метод разбиения. Для того чтобы найти центр тя-
тяжести какого-нибудь тела сложной геометрической формы,
нужно разделить его на такие части, центры тяжести которых
можно сравнительно легко определить. Пусть мы выполнили,
например, разбиение тела на п простейших частей, массы кото-
которых ти т2 .. ., тп, и нашли координаты хи уи ги х2, \)г, г2, . ..,
хп, Уп, zn центров тяжести этих частей. Тогда центр тяжести
всего тела будет определяться по формулам:
.. +тпхп
. +тп
. +тпуп
. +тпгп
с m, -fm2-j- ... +тп
346
б) Метод симметрии. Если рассматриваемое однород-
однородное тело симметрично, то определение положения центра тя-
тяжести значительно упрощается. Покажем, что центр тяжести
однородного тела, имеющего плоскость, ось пли центр симме-
симметрии, находится соответственно в плоскости, на оси пли в цент-
центре симметрии. Так как ход доказательства для всех трех слу-
случаев аналогичен, то мы проведем его только для случая гела,
имеющего ось симметрии. Пусть тело симметрично относитель-
относительно оси Ох (фиг. 152), тогда всякой частице (dm) с координа-
координатами (х, у, —г) соответствует частица той же массы с коорди-
тами (х, —у, +z). Следовательно, в интегралах I у dm и \zdnt
каждому положительному элементу
(ydm), (zdm) соответствует равный отри-
отрицательный (—ydm), (—zdm).
Поэтому
Г у dm = О, Г z dm = 0.
V V
Из этих формул следует, что центр тя-
тяжести тела лежит на оси Ох, т. е. на оси
симметрии.
в) Метод отрицательных
масс. Если в рассматриваемом однород-
однородном теле (фигуре) имеются пустоты или
отверстия, то при определении центра
тяжести в целом ряде случаев удобно
пользоваться следующим приемом. За-
Заполним пустоты или отверстия полностью массами и определим
положение центра тяжести сплошного тела. Пусть Мо— масса
этого тела, а х0, г/о, Zq — координаты его центра тяжести. Второй
раз заполним отрицательными массами только отверстия и пусто-
пустоты и найдем центры тяжести этих масс. Пусть —ти ¦—т2, ...,
—тп будут заполняющие массы, и Х\, у\, Z\, x2, y2, z2, ..-,
хп, Уп, zn — координаты их центров тяжести. Рассмотрим теперь
обе системы: сплошное тело и соответственно расположенные
отрицательные массы ¦— совместно; тогда, пользуясь методом
разбиения, найдем их общий центр тяжести по формулам:
- ... — тпхп
Фиг.
Ма — т|— ... —тп
— ТП\У\ — ... — МпУп
Мо — и 1 — ... — tnn
Maz0 — mlzl — ... —mnzn
Формулы A4) определяют положение центра тяжести тела
с пустотами или вырезами, так как наложение в соответствую-
347"
щих частях пространства положительных и одинаковых отрица-
отрицательных масс дает пустоту.
Определим положение центров тяжести некоторых тел и фи-
фигур простой геометрической формы.
I. Центр тяжести площади треугольника.
Пусть нам дана тонкая однородная треугольная пластинка ABD
(фиг. 153), и мы желаем определить положение ее центра тя-
тяжести С. Разобьем площадь этой пластинки линиями, парал-
параллельными АВ, на большое число достаточно узких полосок.
Каждую полоску можно рассматривать как материальный отре-
отрезок; следовательно, центр тяжести каждой полоски лежит в ее
середине. Отсюда заключаем, что центры тяжести элементарных
Фиг. 153
полосок лежат на медиане DF треугольника ABD, поэтому на
этой же медиане находится и центр тяжести треугольной пла-
пластинки ABD.
Разобьем теперь пластинку ABD на элементарные полоски
прямыми, параллельными стороне BD; тогда рассуждения, ана-
аналогичные предыдущим, покажут нам, что центр тяжести пло-
площади треугольника ABD лежит на медиане АЕ. Следовательно,
центр тяжести однородной треугольной пластинки лежит в точ-
точке пересечения ее медиан, т. е. на расстоянии -о- длины какой-
либо медианы от соответствующей вершины треугольника.
Если координаты вершин треугольника обозначим (хи г/4),
(*2, #г). (хз, #з). то координаты (хс, ус) точки пересечения ме-
медиан, как известно, определятся по формулам:
_
| -г-
II. Центр тяжести дуги круга. Определим центр тя-
тяжести однородной дуги круга ADB радиуса R (фиг. 154). На-
348
чало координат поместим в центре окружности и ось Ох напра-
направим перпендикулярно к хорде АВ. Очевидно, что ось Ох являет-
является осью симметрии для дуги АВ, и, следовательно, центр тя-
тяжести лежит на этой оси. Разобьем дугу АВ на элементы длины
41.
Так как длина бесконечно малого элемента дуги dl=i
а его координата x = R cos q>, то
+а +а
Г х dl R2 Г cos ф d<p
2Ra
Я sin а
а
A5)
ADB
где а — половина центрального угла заданной дуги круга ADB.
III. Центр тяжести площади кругового сек-
сектора. Разобьем площадь кругового сектора АОВ (фиг. 155)
на элементарные секторы с цен-
центральным углом Лр. Каждый эле- О
ментарный сектор можно рас-
рассматривать как треугольник,
х
Фиг. 155
центр тяжести которого лежит на расстоянии -~ R от точки О.
Геометрическое место центров тяжести элементарных секто-
ров представляет собой однородную дугу радиуса -о- R', следо-
следовательно, центр тяжести сектора совпадает с центром тяжести
дуги AiDiBu описанной из точки О радиусом -j R. Поэтому на
основании формулы A5) находим:
2 /?sinct
где а — половина центрального угла сектора АОВ.
349
IV. Центр тяжести объема пирамиды. Пусть нам
дана однородная треугольная пирамида OABD (фиг. 156). Рас-
Расслоим эту пирамиду плоскостями, параллельными основанию
ABD, >на достаточно тонкие треугольные пластинки. Центр тя-
тяжести каждой пластинки лежит на пересечении медиан. Геоме-
Геометрическим местом центров тяжести всех треугольных пластинок
является прямая OL. Искомый центр тяжести пирамиды, оче-
очевидно, лежит на прямой OL. Если расслоить пирамиду на тре-
треугольные пластинки плоскостями, параллельными грани BOD,
то мы придем к заключению, что центр тяжести пирамиды ле-
лежит на прямой АК, причем К есть точка пересечения медиан
треугольника BDO. Следовательно, центр тяжести пирамиды
лежит в точке С пересечения прямых АК и OL. Из построения
видно, что КН — -^-ОН, a LH=-^ АН, следовательно, прямая
KL параллельна прямой АО и
ALC/C подобен ААОС.
Из подобия этих треугольни-
треугольников находим:
LC __LK __\
СО~~ ОА~ 3 '
откуда LC =-gCO, или LC =.
= -tLO, т. е. центр тяжести одно-
однородной треугольной пирамиды ле-
лежит на прямой LO, соединяющей
вершину пирамиды с центром тя-
тяжести основания на расстоянии
-г LO от центра тяжести основа-
основания пирамиды.
V. Центр тяжести объ-
объема однородного кругло-
круглого конуса. Разделим конус плоскостями, параллельными
основанию, на тонкие круглые пластинки. Центр тяжести ка-
каждой пластинки лежит в ее геометрическом центре. Задачу об
определении центра тяжести конуса можно поэтому заменить
задачей определения центра тяжести неоднородной прямой ОА.
Найдем центр тяжести прямой OA=h (фиг. 157). Выбирая оси,
как указано на фигуре 157, будем иметь:
I
z dm
dm
350
h R
Ho dm = pdv = pdzS. Так как — = —, где R — радиус осно-
Z Г
вания конуса, а г—радиус пластинки площади S, то5 = яг2 =
Таким образом,
яр
1O
z2 dz
— I*
Л3 \ ~ 4 Я'
т. е. центр тяжести однородного круглого конуса лежит на пря-
прямой, соединяющей вершину конуса с центром тяжести его осно-
3
вания, на расстоянии -г высоты от вершины.
VI. Для иллюстрации метода отрицательных масс определим
центр тяжести круглой однородной пластинки радиуса R с вы-
вырезом в форме круга радиуса -^R (фиг. 158). Так как пластин-
пластинка с вырезом имеет ось симмет-
симметрии, то ее центр тяжести лежит
на этой оси. Выбирая начало
осей координат в точке О и на-
направляя ось Ох по оси симмет-
симметрии, будем иметь:
я/?2 —
я/?2
Как видно из формул (8), (9)
и рассмотренных примеров, по-
положение центра масс системы
(или твердого тела) в данный фиг 158
момент времени зависит от масс
точек системы и их положения
в пространстве. Пространственное распределение в данный мо-
момент времени совокупности (множества) материальных точек,
составляющих систему, мы будем называть конфигурацией
механической системы. Для однородных твердых тел конфигу->
рация определяется геометрией тела. В связи с этим можно
говорить о центре объемов, поверхностей и линий как чисто
геометрических понятий. Однако ценность этих понятий для
геометрии обусловлена в значительной стегГени приложениями
351
к механике, а исторически именно механика привела к возник-
возникновению этих понятий, отражающих реальные процессы меха-
механических движений.
§ 2. Моменты инерции. Эллипсоид инерции
1. Определения моментов инерции и основ-
основные соотношения. Движение твердого тела около центра
масс зависит от распределения масс точек, составляющих это
тело. Если распределение масс точек, составляющих данное
тело, изменить, то изменятся инерционные характеристики тела.
Инерционные характеристики тела при его вращательных дви-
движениях определяются моментами инерции этого тела.
Моментом инерции твердого тела относительно какой-либо
оси называют сумму произведений масс точек тела на квадраты
их расстояний от этой оси. Пусть дано некоторое твердое тело.
Возьмем систему декартовых осей координат Oxyz. По опреде-
определению момент инерции тела относительно оси Ох есть
/«=J>v04+^). A6)
где (i/v+^v) представляет собой квадрат расстояния точки mv
от оси Ох.
Аналогично моменты инерции относительно осей Оу и Oz
равны:
yyv(l l) zzv(l l). A6')
Моментом инерции тела относительно плоскости называется
сумма произведений масс точек тела на квадраты их расстояний
от этой плоскости. Моменты инерции тела относительно коорди-
координатных плоскостей yOz, zOx и хОу можно записать в виде:
п
IxOy=1>mvz2v. A7)
v=l
Hvv хОг^^1 xOy
v=l v=l v=l
Моментом инерции тела относительно точки, или полярным
моментом инерции, называется сумма произведений масс точек
тела на квадраты их расстояний от данной точки. Так, момент
инерции тела относительно начала координат можно записать
в виде:
v=l v=l
Введем еще в рассмотрение так называемые центробежные
моменты инерции (или произведения инерции), которые пред*
352
ставляют собой суммы произведений масс точек тела на их рас-
расстояния от каких-либо двух координатных плоскостей:
п п п
hy = 51 mvxxyv, I = 2 mvyvzv, Izx = 2 mvzvxv. A9)
v=l v=l v=l
Непосредственно из определения моментов инерции можно
получить ряд простых зависимостей между ними:
I. Удвоенный полярный момент инерции относительно нача-
начала координат равен сумме осевых моментов инерции относи-
относительно взаимно перпендикулярных координатных осей, т. е.
2/о = Iхх Ч~ ' УУ Ч~ 'zz ¦
II. Полярный момент инерции относительно начала коорди-
координат равен сумме моментов инерции относительно координатных
плоскостей, т. е.
/о = IyOz + IxOz Ч~ IxOy •
III. Момент инерции относительно какой-либо оси равен
сумме моментов инерции относительно двух взаимно перпенди-
перпендикулярных плоскостей, пересекающихся по этой оси; так,
Ixx — IxOz~\- IxOy I Jyy = IxOy Ч~ ^yOz, I zz= I yOz~\- I xOz-
IV. Сумма моментов инерции относительно двух координат-
координатных осей всегда больше (или равна) момента инерции относи-
относительно третьей оси. В самом деле,
Sv(^ + <)+SivD + vM1vK + J/v) 5ivv>.
т. е.
Ixx +/</;/—/«> 0, ОТКуда Ixx + Iyy^Izz-
Аналогично доказывается, что
Iуу Ч~ *гг ^-1хх И IZz Ч~ 'хх ^ Iуу-
V. Разность двух моментов инерции относительно координат-
координатных осей всегда меньше (или равна) момента инерции относи-
относительно третьей оси. Действительно,
т. е. /Хх — /уу — /2z<^0, откуда Ixx — /yy<^/zz. Аналогично мож-
можно доказать, что lyy — /«</Xx, hz — hx < lvv.
VI. Полярный момент инерции всегда больше (или равен)
суммы трех центробежных моментов инерции.
23 А. А. Космодемьянский 353
В самом деле, (yv— zvJ>0, следовательно,
п
откуда Д [mv {у\ + *2Y)] > 2 21 от^Л, или Iхх > 2/,,.
Аналогично можно доказать, что
' У У <^~ 2lzxi
' zz ^ 21ху.
Таким образом,
hx + /уу + 1гг>2 AУ, + /„ + 1ху),
НО
/xx-\-Iyy + Izz=2/0,
следовательно,
/о ^s- /^г -\- Izx -f- /^.
Соотношения (IV,V) показывают, что моменты инерции
тела относительно координатных осей удовлетворяют неравен-
неравенствам, аналогичным неравенствам между сторонами треуголь-
треугольника.
Для вычисления моментов инерции тел правильной геоме-
геометрической формы можно воспользоваться методами интеграль-
интегрального исчисления. Предположим, что тело разделено на элемен-
элементарные частицы с массами dm = pdv (p — плотность элементар-
элементарного объема dv). Как уже было указано, при непрерывном
распределении масс соответствующие суммы следует заменить
интегралами, распространенными по всему объему V заданного
тела. Таким образом, осевые и центробежные моменты инерции
будут определяться формулами вида:
Ixy~ J xypdv, Ixz = J xzpdv, Iyz = J yzpdv,
V V V
причем плотность р в общем случае является функцией коор-
координат точки.
Очевидно, что величины моментов инерции зависят от раз-
размеров и формы тела, а также от закона распределения масс в
теле. Если тело однородно, то вычисление моментов инерции
тела эквивалентно математической задаче об определении мо-
момента инерции данного объема.
Для тел, имеющих сложные геометрические очертания, опре-
определение моментов инерции надежнее и проще производить экс-
экспериментально. В технической практике особенно большое при-
354
менение нашли методы маятниковых колебаний и крутильных
колебаний.
Из приведенных выше определений легко усмотреть, что во
всех случаях размерность моментов инерции
[/] = массаХквадрат длины = ,М • ZA
Рассмотрим простейшие примеры определения моментов
инерции однородных тел:
а) Момент инерции весьма тонкого однородного стержня по-
постоянного сечения относительно оси CiCu перпендикулярной к
стержню и проходящей через его центр тяжести (фиг. 159).
По определению
:l2-
Так как масса стержня M = pl, то
12
12
B0)
б) Момент инерции круглого тонкого однородного диска от-
относительно оси CiCu перпендикулярной к плоскости диска и
проходящей через его центр тя-
тяжести (фиг. 160).
Выделим элементарную массу
в виде кольца шириной dr,
i
dx
С,
Фиг. 159
тогда dm = 2nprdr. По определению осевого момента инерции
имеем:
B1)
Так как масса диска M = npR2, то
MR*
'ее, — ¦
2 •
23*
355
в) Полярный момент инерции однородного шара радиуса R
относительно его центра тяжести и осевые моменты инерции
шара относительно координатных осей, проходящих через центр
тяжести.
Фиг. 161
Фиг. 162
Для вычисления полярного момента инерции выделим эле-
элементарную массу dm в виде сферической оболочки толщины dr
и радиуса г (фиг. 161), тогда dm= Dnr2)pdr и, следовательно,
4
4
Так как масса шара M = ^-
то
B2)
Очевидно, для шара lxx = lyv = lZz вследствие его симметрии.
Поэтому, пользуясь соотношением между полярным и осевыми
моментами инерции, получим:
2/о = О1ХХ = 3/уу = 31 гг i
откуда
2 2
/ =/ —/ = — /п = —¦ MR2 B3)
хх УУ zz 2 о 5 V '
г) Момент инерции однородного цилиндра радиуса Я и вы-
высоты h относительно координатных осей, проходящих через
центр тяжести цилиндра (фиг, 162).
356
Определим прежде всего момент инерции цилиндра относи-
относительно оси Cz. Выделим элементарную массу в виде цилиндри-
цилиндрической поверхности радиуса г, тогда dtn = hpBnr)dr и, следова-
следовательно,
о
Так как масса цилиндра
М = я/?2Ар,
то
Вычислим теперь момент инерции цилиндра относительно
плоскости хСу. Выделим элементарную массу в виде диска вы-
высоты dz, тогда dm = nR:2pdz и
h_ h_
2 2
/хСу=
~ 2
Из условий симметрии цилиндра относительно плоскостей
xCz и yCz следует, что Ixcz = Ivcz, поэтому
Izz
откуда
Так как IXx = Ixcz + Ixcv, a Ivv = Ivci + IxCv, то, подставляя най-
найденные значения моментов инерции цилиндра относительно ко-
координатных плоскостей, получим:
12 Г
Т + Т2-)' B5)
/~>2
/ ^^ /VI
1 гг an g ¦
Часто бывает полезно момент инерции тела относительно оси
представлять в виде:
где М — масса тела, а рг- — некоторая линейная величина, на-
называемая радиусом инерции тела относительно данной оси.
Если момент инерции тела относительно оси известен из вычис-
357
лений или из опыта, то радиус инерции тела относительно этой
оси легко найти. Так, например, для диска момент инерции от-
относительно оси С\С\, перпендикулярной к его плоскости и прохо-
проходящей через его центр тяжести, определяется формулой B1),
поэтому
откуда радиус инерции диска
Очевидно, радиус инерции тела относительно оси есть длина
отрезка, равного расстоянию от данной оси до точки, в которой
нужно сосредоточить массу тела, чтобы получить момент инер->
ции, равный моменту инерции тела относительно данной оси.
2. Теорема Гюйгенса. Если момент инерции тела от-
относительно оси, проходящей через центр масс, известен, то мо-
момент инерции относительно любой оси, параллельной данной,
можно подсчитать на основании теоремы Гюйгенса, которую мы
формулируем в следующем виде:
Фиг. 163
Теорема. Момент инерции тела относительно какой-либо
оси равен моменту инерции тела относительно оси, параллель-
параллельной данной и проходящей через центр масс тела, плюс масса
тела, умноженная на квадрат расстояния между осями.
п
Пусть /дд = 2 "Vv — момент инерции тела относительно оси
vl
2
v=l
ДА (фиг. 163), Icz~l!Lim/'v —момент инерции тела относи*
v=l
358
тельно оси Cz, параллельной оси ДД и проходящей через его
центр тяжести, d — расстояние между осями. Пусть для опре-
определенности начало координат О совпадает с центром масс тела
С, ось Cz совпадает с осью Oz, а плоскость yOz совпадает с
плоскостью, определяемой прямыми АД и Cz. Тогда для любой
точки тела имеем:
или
где yv = — rvcoscp—координата точки mv; следовательно,
можно записать в следующем виде:
п п п я
дд— 2j mvrv— 2j m fv -f-ui 2j tnv-\-2u 2j mvyv-
v=l v=l v=l v=l
«
Так как ось Cz проходит через центр масс, то У
п
кроме того, 2 Ш\ = М. Поэтому:
v=l
?* B6)
что и требовалось доказать.
Формула B6) показывает, что из всех моментов инерции
тела относительно различных параллельных осей наименьшим
является момент инерции относительно оси, проходящей через
центр масс тела. Применяя формулу B6) к оси оса, параллель-
параллельной Cz, получим:
? B7)
где di — расстояние между осями аа и Cz.
Вычитая из B6) соотношение B7), получим:
/дд — Iaa = M{<? — d\), или /дд = /аа + М(/ — d\). B8)
Формула B8) устанавливает зависимость между моментами
инерции относительно двух любых параллельных осей.
3. Эллипсоид инерции. Рассмотрим моменты инер-
инерции тела относительно различных осей, проходящих через дан-
данную точку О. Примем эту точку за начало системы осей декар-
декартовых координат Oxyz. Пусть направление произвольной оси
ОД характеризуется направляющими косинусами а, р, y- Pa-
Диус-вектор произвольной точки mv тела обозначим через rv;
359
расстояние этой точки от оси ОД обозначим через 6V- Тогда по
определению осевого момента инерции будем иметь:
Из фигуры 164 ясно, что 6v = rvsin ф. Пусть единичный век-
-> -> ->
тор оси ОД равен Д°, тогда \rv X Д°| = /\ sincp и, следовательно,
Так
вектора
как
на
вектор rv X А
оси координат
Фиг. 164
-> ¦>
i J
Xv Ум
а р
равны:
k
Zv
У
, то проекции этого
= (a2v-Y^v) и
Таким образам, момент инерции тела относительно оси ОД
можно записать в виде:
/AA=ilmv(rvXA°J=S'
v=l v=l
360
J 4-
v-<<J}- B9)
После простых преобразований получим:
S vyvv У 21 Vvv P 2 m/Л' C0)
v=l v=l v=l
Коэффициенты, стоящие множителями перед квадратами и
произведениями направляющих косинусов оси ОД, представ-
представляют собой осевые и центробежные моменты инерции:
/« = 1 »v {у\ + 4), Iyy = ± mv (xl + *»), /я = Jj mv {x
л
Iyz = 2] >nvyvZv, Ixz = Д ™vXv2v, Ixy = Д
поэтому формула C0) принимает вид:
/дд = /™«2 + /^p2 + /z,y2 — 2/^PY — 2/«y« — 2/xeap. C1)
Таким образом, момент инерции тела относительно произ-
произвольной оси ОД можно вычислить, если известны три момента
инерции тела относительно координатных осей и три его цен-
центробежных момента инерции. Для данного тела и заданной си-
системы осей Oxyz, не изменяющей своей ориентации относитель-
относительно тела, величины 1ХХ, 1УУ, . . ., 1Ху постоянны.
Для того чтобы представить в наглядной форме изменение
моментов инерции относительно осей различных направлений,
проходящих через точку О, воспользуемся простым геометриче-
геометрическим приемом. Отложим на оси ОД вектор R, длина которого
- C2)
и найдем геометрическое место концов векторов R при измене-
изменении а, Р, Y-
Из фигуры 164 ясно, что координаты конца вектора нравны:
x = /?a, y = R$ и z = Ry. C3)
Умножая обе части соотношения C1) на R2 и принимая во
внимание C2) и C3), получим:
1ХхХ2 + 1ууУ2 + Izzz* — 2Iyzyz — 2Izxzx — 2Ixyxy = \, C4)
-*¦
т. е. геометрическое место концов векторов R представляет со-
собой центральную поверхность второго порядка. Так как по оп-
определению /дд—величина существенно положительная, не рав-
361
ная нулю *, то найденная поверхность не имеет бесконечно уда-
ленных точек. Все коэффициенты при квадратах старших чле-
членов положительны, поэтому поверхность C4) может быть толь-
только эллипсоидом. Эллипсоид C4) называют эллипсоидом инер-
инерции тела для данной точки О. Каждой точке тела соответствует
свой эллипсоид инерции. Если данная точка является центром
масс тела, то эллипсоид инерции называется центральным.
В аналитической геометрии доказывается, что уравнению эл-
эллипсоида C4) можно придать более простой вид, если за оси
координат выбрать направления его главных диаметров. В этом
случае коэффициенты при произведениях координат будут рав-
равны нулю и уравнение эллипсоида инерции примет следующий
вид:
+ /332? = b C5)
Три взаимно перпендикулярных направления Х\, yit zit про-
проходящие через данную точку, относительно которых центробеж-
центробежные моменты инерции тела равны нулю, называются главными
осями инерции тела для этой точки.
Написав уравнение эллипсоида инерции в канонической
форме
и сравнивая это уравнение с уравнением C5), мы легко найдем,
что полуоси эллипсоида инерции определяются следующими
формулами:
^ ^ ^ C6)
V7U у7и у7„
Главные оси центрального эллипсоида инерции называются
главными центральными осями инерции тела.
Если два главных момента инерции для какой-либо точки
тела равны между собой, то эллипсоид инерции является эллип-
эллипсоидом вращения. Если равны между собой все три главных мо-
момента инерции, то эллипсоид инерции обращается в сферу.
Для однородных тел центральный эллипсоид инерции своей
формой напоминает в общих чертах изучаемое тело. Если, на-
например, тело вытянуто (фиг. 165), то и центральный эллипсоид
инерции будет вытянут в том же направлении.
В самом деле, момент инерции тела относительно оси Cz бу-
будет меньше момента инерции тела относительно оси Сх, так как
* Момент инерции тела относительно оси может обратиться в нуль лишь
в одном частном случае, когда масса тела распределена по отрезку прямой
и ось направлена вдоль этого отрезка. В этом случае эллипсоид C4) вырож-
вырождается в цилиндр.
362
точки тела ближе расположены к оси Cz. Следовательно, со-
согласно формуле C6) с~>а и эллипсоид будет вытянутым вдоль
оси Cz.
Из уравнения эллипсоида инерции, отнесенного к главным
осям [уравнение C5)], следует, что главные оси инерции для
Т-—- f
-У
Фиг. 165
данной точки О характеризуются обращением в нуль центро-
центробежных моментов инерции тела. Таким образом, если оси Ох,
Оу, Oz главные, то
п п. п.
/уг = 2 mvyvzv = 0, 1гя = 2 mvzvxv = 0, / = 2 mvxvyv = 0.
v=l
v=l
v=l
Выясним, какие условия должны выполняться для того, что-
чтобы какая-либо ось, например ось Oz, проходящая через дан-
данную точку О, была главной. Из геометрических соображений
ясно, что у эллипсоида направление главной оси совпадает с на-
направлением нормали к его поверхности в соответствующей точ-
точке. Если уравнение эллипсоида инерции написать в виде:
то вектор grad F будет коллинеарен вектору нормали к поверх-
поверхности эллипсоида только для главных осей. Пусть R есть ра-
радиус-вектор, проведенный из точки О к точке поверхности эл-
эллипсоида, лежащей на главной оси. В этом случае векторы R
и grad/7 совпадают по направлению, и мы можем написать, что
(см. фиг. 166)
C7)
grad F = %R,
где X — коэффициент пропорциональности.
363
Проектируя C7) на оси координат, будем иметь:
dF
-fa
1хуУ — IXzZ = XX
= -Г" Ixx
¦g^" = fyxX -\- IууУ — IyzZ =
dF
= "kZ
C8)
Пусть ось Oz есть главная ось инерции тела, тогда в точках
этой оси х = у = 0, и из уравнений C9) мы получим:
1хг—0, 1уг=0 И &. = /„. C9)
Следовательно, ось Oz будет главной осью инерции для точ-
точки О в том случае, если центробежные моменты инерции, со-
содержащие координату, соответствую-
соответствующую этой оси, обращаются в нуль.
Совершенно аналогично можно по-
-gradF казать, что ось Ох будет главной при
условии, что
/ХУ = О и Ixz = 0; D0)
ось Су будет главной при условии, что
D1)
= 0 и 1уг =
~У Для однородных симметричных тел
выполнение условий C9) — D1) мож-
/ \ но усмотреть без вычислений. Так,.
?¦ ! ' например, если тело имеет плоскость
r(x,y,z)=O симметрии и точка О лежит в этой
плоскости, то легко понять, что ось
Oz, перпендикулярная к плоскости
симметрии, будет главной осью инер-
Фиг 166 ции [т. е. будут выполняться условия
C9)].
В самом деле, располагая оси Ох и Оу в плоскости симме-
симметрии мы заключаем, что каждой материальной точке тела с
массой mv п координатами xv, yv, zv будет вследствие симме-
симметрии соответствовать точка с такой же массой и координатами
п п
xv, yv, (—zv). Таким образом, в суммах % ту z и 2 т vx г
v=l v=l
каждому положительному слагаемому соответствует равное от-
отрицательное, и, следовательно, эти суммы равны нулю. Из ус-
условий
/„г = 0 и /« = 0
следует, что ось Oz является главной осью инерции.
364
Пусть точка О совпадает с центром масс тела. Покажем,
что любая точка Ои лежащая на главной оси Oz, будет иметь
эллипсоид инерции, у которого ось О42 будет главной осью
инерции тела (фиг. 167).
Обозначим расстояние OOi через h. Тогда центробежные мо-
моменты инерции, содержащие координату г, по отношению к
осям, имеющим начало в точке Оь можно представить в сле-
следующем виде:
v=l
_ __ V „, „ (z И _ У ffl jj , h^ ttl X
v=l v = l v=l
n n n
* v= 1 v= 1 v=1
2
v=l
Принимая во внимание условия C9), получим:
--'Tl *~Л
*->
фиг 167
Так как ось Oz проходит че-
через центр масс, то
п
2 tnvxv = Мхе = 0 и
i
v=l
Таким образом, IXz = Iyz =0,
и мы приходим к следующему
выводу: главная ось центрального эллипсоида инерции есть
главная ось инерции для всех своих точек.
§ 3. Дифференциальные уравнения движения системы
Рассмотрим механическую систему точек с массами /пь
tn2, . . ., пгп, положение которых относительно неподвижной си-
системы координат Oxyz (фиг. 168) определяется радиусами-век-
радиусами-векторами
¦> -> ->•
гг, г2, .-., /•„.
На основании указанной выше классификации сил мы мо-
можем считать, что на каждую точку системы действуют внешние
365
и внутренние силы. Если равнодействующая внешних сил, при-
приложенных к точке с массой mv, есть F{v\ а равнодействующая
внутренних сил, приложенных к той же точке, есть Fv , то на
основании второго закона Ньютона дифференциальное уравне-
уравнение движения этой точки мы можем написать в следующем
виде:
D2)
Очевидно, что дифференциальное уравнение движения лю-
любой точки рассматриваемой нами системы можно представить
в форме D2).
Если механическая система
состоит из п материальных то-
точек, то полная система диф-
дифференциальных уравнений дви-
движения в векторной форме бу-
будет иметь вид:
,т,
/л,
/и,
С)
Фиг. 168
'л dt2
D3)
В проекциях на оси координат получим систему Зп уравнений:
?
D4)
'"¦пУп ' nyl' ну
tfln Zn == ' пг ~Т~ Г' пг
Силы, действующие на какую-либо точку системы, могут
быть как постоянными (например, сила тяжести), так и пере-
переменными (например, силы ньютонианского тяготения, силы со-
сопротивления среды). Поэтому проекции сил в уравнениях D4)
366
могут в общем случае зависеть от времени, а также от коорди-
координат и скоростей точек системы. Следовательно, уравнения D4)
представляют собой систему совокупных дифференциальных
уравнений второго порядка относительно переменных хи уи zu
х2, у%, Zi\ . . • ; хп, уп, zn. Для системы из п точек число уравне-
уравнений равно Зп.
Задача динамики системы состоит в том, чтобы, зная массы
точек системы и действующие на точки силы, определить закон
движения каждой точки, т. е. найти координаты хи уи zt; Хг, уг,
Zi, . . • ; хп, Уп, zn в функции времени.
Определение координат точек системы в функции времени
математически сводится к интегрированию уравнений D4). При
интегрировании уравнений D4) появятся 6 п произвольных
постоянных, значения которых, как и в задачах динамики точ-
точки, можно найти из начальных условий движения (начальных
данных). Начальными данными для системы являются значения
координат и проекций скоростей точек в какой-либо определен-
определенный момент времени.
Если механическая система точек является несвободной, то
правые части уравнений D4), кроме известных (заданных) сил,
будут содержать еще силы реакций наложенных связей; вели-
величина и направление сил реакций в общем случае могут быть
определены из уравнений движения D4) и дополнительных
уравнений связей.
Из определения механической системы точек следует, что
дифференциальные уравнения движения какой-либо точки (на-
(например, точки с массой тх) не могут быть проинтегрированы не-
независимо (отдельно) от уравнений движения остальных точек,
так как в таком случае движение точки с массой тг не зави-
зависело бы от положения и движения остальных точек системы.
Если удается проинтегрировать систему D4), то мы полу-
получаем полное, исчерпывающее решение задачи.
Следует, однако, отметить, что указанный выше порядок ис-
исследования движения механических систем точек, логически
ясный и безупречный, практически весьма редко выполним.
Так, например, при произвольных начальных данных инте-
интегрирование системы D4) при действии только сил ньютонпан-
ского притяжения можно выполнить лишь для системы, состоя-
состоящей из двух точек. Для системы трех точек (классической за-
задачи небесной механики для трех тел) решения получены лишь
при частных начальных данных.
Естественно, возникает вопрос: какими методами можно ис-
исследовать движения механических систем, состоящих из п ма-
материальных точек, если п>3 и действующие силы произвольны?
Основная идея наиболее распространенных в механике ме-
методов исследования движения механических систем состоит в
том, что вместо исчерпывающего изучения движения каждой
367
точки системы изучаются некоторые интегральные характери-
характеристики всей системы в целом.
Основные теоремы динамики системы, к изложению которых
мы переходим, представляют собой современный аппарат для
изучения интегральных характеристик движения механических
систем материальных точек. Особенно важное значение имеют
следствия из основных теорем динамики системы, получаемые
при некоторых предположениях о классах действующих сил и
называемые обычно законами сохранения основных кинетиче-
кинетических величин: количества движения, кинетического момента и
кинетической энергии.
Основные кинетические величины являются характеристи-
характеристиками совокупности (множества) движущихся материальных то-
точек.
§ 4. Теорема об изменении количества движения системы
материальных точек
1. Определение и вычисление количества
движения системы. Рассмотрим систему п материальных
точек с массами mit m2, .. . , mn. Пусть векторы скоростей этих
точек относительно выбранной системы отсчета Oxyz (фиг. 168)
-> -> ->
равны vu v2, • • ., vn.
Количеством движения системы материальных точек назы-
называется вектор, равный геометрической сумме количеств движе-
движения всех точек рассматриваемой системы, т. е.
Q = 2 mvvv. D5)
v=l
Если число точек системы очень велико (в случае твердого
тела с непрерывным распределением масс бесконечно великой,
то практическое определение вектора Q по формуле D5) ста-
становится чрезвычайно затруднительным или даже невозможным.
Получим более удобную формулу для определения вектора ко-
количества движения системы.
Докажем, что количество движения системы равно произве-
п
дению массы всей системы Л1 = 2 mv на вектор скорости
v=l
->
центра масс, который будем обозначать через vc.
В самом деле, так как при движении системы массы точек
системы постоянны, то формулу D5) можно представить в
виде:
v=l
Но по формуле (8)
2 tnvrv = Mr,
v=l
и, следовательно,
Q = -jt (Mrc) = Mvc. D6)
Проекции вектора количества движения на оси координат мож-
можно написать в виде:
Qx = 2 WvXv, Qy = 2 tnvyv, Qz = 2 "hZy. D7)
v=l v=l v=l
Если начало координат поместить в центре масс системы, то
вектор количества движения системы Q', вычисленный относи*
тельно центра масс, будет равен нулю. В самом деле, так как
формулы D5) и D6) справедливы по отношению к любой си-
системе отсчета, то Qf = Mv'c=0, так как скорость центра масс
относительно центра масс v'c равна нулю.
Вектор количества движения системы Q не может быть ди-
динамической характеристикой вращательного движения системы
как целого. Чтобы пояснить это утверждение, рассмотрим слу-
случай вращения твердого тела около неподвижной оси, проходя-
проходящей через центр масс тела. По формуле D6) получим, что
так как если центр масс лежит на оси вращения, то его ско-
скорость равна нулю. Таким образом, при любой угловой скорости
вращения тела, при любых изменениях этой угловой скорости
количество движения системы остается равным нулю и не отра-
отражает происходящих изменений движения тела.
2. Теорема об изменении количества движе-
движения системы. Для того чтобы доказать теорему об измене-
изменении количества движения системы, связывающую изменение
вектора Q с действующими на систему силами, воспользуемся
вторым законом Ньютона для материальной точки и принятой
классификацией сил.
Рассмотрим точку Mv механической системы, положение ко-
которой относительно неподвижных осей координат определяется
радиусом-вектором rv.
Пусть равнодействующая всех внутренних сил, действующих
на эту точку, равна F^\ а равнодействующая всех внешних сил
равна /\f*. На основании второго закона Ньютона дифферен-
24 А. А. Космодемьянский 369
циальное уравнение движения точки с массой mv можно напи-
написать в следующем виде:
^ A A D8)
Таких дифференциальных уравнений мы можем написать п,
соответственно числу точек системы. Сложив почленно все п
уравнений вида D8), будем иметь:
п ->¦ п п
) | V
v dt2 — А^ ~ ?шА v
v=l v=l v=l
ИЛИ
v=l v=l v=l
Но по третьему закону Ньютона результирующая внутрен-
л
них сил равна нулю, т. е. 2 F^^ = 0, так как силы взаимодей-
v=l
ствия между точками системы равны по величине и противопо-
противоположны по направлению. Кроме того, очевидно, что
п -*~
V=l
есть количество движения системы. Таким образом, из формулы
D9) следует, что
v=l
т. е. производная по времени от вектора количества движения
системы равна геометрической сумме всех внешних сил, дей-
действующих на систему.
Как известно, вектор R = 2 -^v представляет собой ре-
v=l
зультирующую системы сил F*\ Fi , .. ¦, F,,; поэтому соот-
соотношение E0) можно сформулировать так: производная по вре-
времени от вектора количества движения системы равна результи-
результирующей всех внешних сил, действующих на систему.
Это предложение называется теоремой об изменении коли-
количества движения для системы материальных точек.
Из формулировки теоремы следует, что силы взаимодей-
взаимодействия между точками системы (внутренние силы) не влияют на
изменение вектора количества движения.
370
Проектируя E0) на оси декартовых кородинат, получим:
п
d П — V Fie) — /?(е)
~ТТ 4.x — 7_i ~чх — г\х
dt
v=l
j'vy — К у I >
E1)
~ёп Qz = _^j ' vz
v=l
— D<e>
т. е. производная по времени от проекции количества движения
системы материальных точек на какую-либо неподвижную ось
равна проекции на ту же ось результирующей всех внешних сил,
действующих на систему.
Умножая правые и левые части соотношений E1) на dt и
интегрируя по времени в пределах от to до t, получим:
(QЛ -{Qx\, = f
i
(QA - (Qy\ = f
n t
v=l <0
dt
dt
vzut
V=l
E2)
Соотношения E2) представляют собой выражение теоремы
импульсов для системы точек. Эту теорему можно сформулиро-
сформулировать Следующим образом: изменение проекции вектора количе-
количества движения системы на какую-либо неподвижную ось за не-
некоторый промежуток времени равно сумме проекций на ту же
ось импульсов всех внешних сил, действующих на систему, за
тот же промежуток времени.
3. Закон сохранения количества движения.
Для того чтобы выделить класс задач, допускающих наиболее
простое решение при помощи теоремы об изменении количества
движения, рассмотрим уравнение E0) в предположении, что
результирующая внешних сил равна нулю, т. е. R{e)—0. Будем
иметь:
-^- = 0, откуда Q = const.
Векторная постоянная интегрирования определяется из на-
начальных условий. Если в момент ^=0 скорости точек пги
24*
371
m2, ..., mn равны соответственно (v^q, (i>2)j, ..., (vnH, то
const = /п1(гI)о + т2(г12)о+ ••• + mn (vnH = Qo.
Таким образом, если результирующая внешних сил, дей-
действующих на систему, равна нулю, то вектор количества движе-
движения системы во все время движения остается постоянным по
величине и направлению и равным своему начальному значе-
значению.
Этот результат называется законом сохранения количества
движения механической системы точек. Математическое выра-
выражение закона сохранения количества движения можно предста-
представить в виде:
Q = Qo- E3)
Механическая система точек, для которой результирующая
внешних сил равна нулю, называется замкнутой системой.
Для замкнутой системы вектор количества движения систе-
системы, являющийся мерой механического движения системы как
целого, остается постоянным. Внутренние силы не могут изме-
изменить количество движения системы, хотя они и изменяют коли-
количество движения отдельных точек.
Во многих задачах, выдвигаемых развивающейся техникой,
мы не знаем внутренних сил, действующих на отдельные точки
механической системы. Практическая ценность теоремы об из-
изменении количества движения системы и введенной нами инте-
->
тральной кинетической характеристики системы как целого Q
(меры механического движения) состоит в том, что при таком
методе исследования мы полностью исключаем из рассмотрения
большое число неизвестных внутренних сил.
Если проекция результирующей внешних сил на какую-либо
неподвижную ось, например на ось Ох, равна нулю, то из пер-
первого уравнения E1) мы получим:
¦?fQx = O, откуда Qx = const = <2Од.- E4)
Таким образом, если проекция результирующей внешних сил
на какую-либо неподвижную ось равна нулю, то проекция век-
вектора количества движения системы на эту ось есть величина
постоянная, равная проекции на ту же ось вектора количества
движения в начальный момент времени /=0.
Если в начальный момент времени Qox = O, то, очевидно,
Qx = 0 в любой момент времени при движении системы.
Поясним значение закона сохранения количества движения
системы на следующем примере.
На абсолютно гладком столе лежат два шарика одинакового
диаметра и одинакового веса P = mg, где m — масса шарика
372
'(фиг. 169). Между шариками зажата пружина. Шарики свя-
связаны нитью и имеют начальные скорости, равные нулю. Для
данной механической системы действие пружины на шарики
проявляется в виде уравновешенной системы внутренних сил.
Если нить, связывающую шарики, пережечь, то внутренние силы
вызовут движение шариков. Так как в рассматриваемом слу-
случае Qo = 0, то из E4) следует, что в любой момент времени при
движении:
Qx =-- mvix + mv2jc = О, E5)
где V\x — скорость первого шарика, a v2jc — скорость второго
шарика. Из уравнения E5) получаем, что vt = —v2 , т. е, ско-
скорости шариков равны по величине и противоположно направле-
7777777777777/77777777/
' v
Фиг. 169
ны. Если считать, что масса второго шарика в 10 раз больше
массы первого (шарики из разных материалов), то на основа-
основании закона сохранения количества движения будем иметь:
Qx = ttllVi -)- fll2t>2 = 0,
откуда
тх „ -
т. е. шарик, имеющий большую массу, получит меньшую ско-
скорость.
Рассмотренный пример позволяет легко понять явление от-
отката орудия при выстреле.
В самом деле, допустим, что канал ствола орудия горизон-
горизонтален и направлен вдоль оси Ох. Обозначим массу орудия че-
через М, а массу снаряда через т. Пусть скорость снаряда при
вылете из канала ствола орудия равна vCH.
Так как движение снаряда происходит под действием вну-
внутренних сил системы и до воспламенения пороха в канале ство-
ствола скорости орудия и снаряда были равны нулю, то мы можем
воспользоваться формулой E5). Будем иметь:
•М^оруд ~Т~ Я^сн — О»
откуда
373-
т. е. скорость отката тем меньше, чем больше масса орудия, и
тем больше, чем больше начальная скорость снаряда и его
масса.
Так как движение снаряда и движение орудия (откат) вы-
вызваны внутренними силами, равными по величине и противопо-
противоположно направленными (действие и противодействие), то коли-
количество движения снаряда (или количество движения орудия)
может быть количественной мерой для внутренних сил.
4. Применения теоремы об изменении коли-
количества движения. Исходя из уравнений E1), можно ука-
указать те классы задач, исследование которых целесообразно про-
проводить, применяя теорему об изменении количества движения
системы. Если проекции внешних сил, действующих на систему,
являются известными функциями времени или постоянны, то
2 И* = *.(').
v=l *
2
v=l
где Фи Фъ Фз — известные функции времени. Для рассматри-
рассматриваемого случая уравнения E1) можно представить в виде:
E6)
Интегрируя уравнения E6), получим:
E7)
где Qor. Qo , Qoz—проекции вектора Qo на оси координат. Так
как Фи Фг, Фз — заданные функции, то формулы E7) дают воз-
•374
можность вычислить количество движения системы для любого
момента времени.
Если Ф! = соп51 = а, <?>2 = const = 6, <?>3=const = c, то из E7)
имеем:
E8)'
Формулы E7), E8) и законы сохранения количества движе-
движения системы E3) и выявляют те классы задач механики, для
которых применение теоремы об изменении количества движе-
движения системы позволяет провести решение кратчайшим путем.
§ 5. Теорема о движении центра масс системы
материальных точек
1. Дифференциальные уравнения движения
центра масс. Так как вектор количества движения системы
Q = Mvc, то
где wc — ускорение центра масс системы. Соотношение E0)
можно поэтому написать в следующем виде:
v=l
Уравнение E9) показывает, что центр масс системы, движет-
движется как материальная точка, масса которой равна массе всей
системы и к которой приложена результирующая всех внешних
сил, действующих на систему.
Эта теорема выражает закон движения центра масс систе-
системы. Проектируя уравнение E9) на неподвижные оси декарто-
декартовых координат, будем иметь:
F0)
Уравнения F0) называются дифференциальными уравнения-
уравнениями движения центра масс. Эти уравнения показывают, что за-
задача изучения движения центра масс системы есть по существу
задача динамики точки. В тех случаях, когда механическая
375-
система точек движется поступательно, решение уравнений F0)
дает полное представление о движении любой точки системы.
Если система движется иепоступательно, то мы можем разло-
разложить сложное движение системы на поступательное движение
вместе с центром масс и движение около центра масс как не-
неподвижной точки. Поступательное движение вполне характе-
характеризуется уравнениями F0). Движение системы около центра
масс как неподвижной точки не может быть изучено на осно-
основании теорем об изменении количества движения и о движении
центра масс.
Теоремы об изменении количества движения системы и дви-
движении центра масс отражают механическое взаимодействие че-
через такие интегральные характеристики системы, которые не ха-
характеризуют врящательного движения системы.
2. Закон сохранения движения центра масс.
Из уравнений E9) или F0) ясно, что внутренние силы не ока-
оказывают влияния на движение центра масс системы. Если ре-
результирующая внешних сил равна нулю, то из E9) имеем:
откуда следует, что vc = const, т. е. центр масс системы дви-
движется в этом случае прямолинейно и равномерно. Таким обра^
зом, если результирующая всех внешних действующих на си-
систему сил равна нулю, то центр масс системы сохраняет свое
движение неизменным. Если скорость центра масс в начальный
момент была равна t/c, то она будет сохраняться при движении
в любой последующий момент времени; если скорость центра
масс в начальный момент была равна нулю, то центр масс
останется неподвижным. Внутренними силами изменить движе-
движение центра масс нельзя.
Если в начальный момент центр масс был неподвижен, то
внутренними силами нельзя сообщить ему какую-либо скорость.
Если проекция результирующей внешних сил на какую-либо
неподвижную ось (например, Ох) равна нулю, то центр масс
движется так, что скорость его проекции на ось Ох постоянна;
если в начальный момент vcx = 0, то эта скорость останется рав-
равной нулю во все время движения.
Рассмотрим следующий пример. Человек стоит на абсолют-
абсолютно гладкой плоскости. Вес человека и силы реакции плоскости
направлены по вертикали; следовательно, проекции этих сил на
любую ось, лежащую в плоскости, равны нулю. На основании
теоремы о движении центра масс мы заключаем, что переме-
перемещаться по абсолютно гладкой плоскости (ходить) человек не
может.
376
Человек движется в горизонтальном направлении потому,,
что в точках соприкосновения подошвы с землей развиваются
силы трения, направленные в сторону движения. Если силы тре-
трения малы (например, когда человек идет по гладкому льду),
то большую скорость движения развить невозможно. У бегунов
на короткие дистанции, которым необходимо развивать очень
большие скорости в малые промежутки времени, подошвы боти-
ботинок для увеличения сил трения снабжены острыми шипами.
Точно так же движение автомобиля становится возможным
только при достаточно большой силе трения, развивающейся в
местах соприкосновения ведущих колес автомобиля с землей.
Интересно отметить, что в рассматриваемых примерах сила тре-
трения создает возможность движения, тогда как обычно в зада-
задачах механики сила трения препятствует движению.
Рассмотрим движение ракеты на пассивном участке траек-
траектории (без работающего двигателя) в столь высоких слоях ат-
атмосферы, где сопротивлением воздуха можно пренебречь.
Траекторией центра масс ракеты будет в этом случае эл-
эллипс. Пусть боевая часть ракеты подорвалась. На основании
теоремы о движении центра масс мы можем утверждать, что
центр масс всех-осколков ракеты будет продолжать свое движе-
движение по эллипсу, так как разрушение ракеты было обусловлено
действием внутренних сил.
Уравнения F0) могут быть использованы и в тех случаях,
когда движение центра масс известно, а нужно найти внешние
силы, вызывающие это движение. Рассмотрим, например, мо-
мотор, прикрепленный болтами к горизонтальной платформе, и до-
допустим, что центр масс ротора мотора не совпадает с осью вра-
вращения, а описывает окружность небольшого радиуса в. Пусть-
закон движения центра масс имеет вид:
, ус — е sin со/,
где со — угловая скорость ротора.
Если М — масса ротора, то на основании уравнений F0) мы:
находим:
R{? = — Меа2 cos со*, /#> = — Меь? sin (at.
Легко понять, что полученные проекции результирующей
внешних сил являются реакциями болтов, прикрепляющих мо-
мотор к платформе.
Задана 17. Тонкая пластинка ABD, имеющая форму пря-
прямоугольного равнобедренного треугольника, гипотенуза кото-
которого равна 12 см, поставлена вершиной А на абсолютно глад-
гладкую плоскость так, что в начальный момент гипотенуза ЛВсов-
падает с вертикалью Ау. Предоставленная затем самой себе,
37Г
пластинка падает под действием силы тяжести. Определить, ка-
какую кривую опишет при этом точка М —¦ середина катета BD.
Решение. Так как в начальный момент времени скорость
центра масс пластинки равна нулю, то при движении пластинки
под действием силы тяжести ее центр масс будет двигаться по
вертикали. В самом деле, выбирая оси Ах и Ау так, как пока-
показано на фигуре 170, мы можем напи-
написать уравнение движения центра масс
пластинки в проекции на ось Ах
в виде:
Мхе = 0,
где М — масса пластинки.
Интегрируя это уравнение и при-
принимая во внимание, что (*c)o=O и
{хсH = х0, получим, что во все время
движения хс = х0.
Зная, что центр масс пластинки С
движется по вертикали, найдем теку-
текущие координаты точки М. Будем
иметь:
х = xQ + CM cos <p,
у = AM sin ф.
Так как точка С находится на пересечении медиан треуголь-
треугольника, то
= 72+18 = 90,
Фиг. 170
AM = /90, CM = i/90 = ^
Таким образом, текущие координаты точки М равны:
х = 2 + /10 cos <p,
у= /90 sin ф,
-ИЛИ
/90
: Sin ф.
Возводя в квадрат правые и левые части последних двух
¦уравнений и складывая, получим:
10
90
Таким образом, точка М будет описывать эллипс с полу-
полуосями а ~ /ТО см и * = 3 /Тб см.
.378
§ 6. Теорема об изменении кинетического момента системы
материальных точек
1. Определение и вычисление кинетического
момента системы. Кинетическим моментом системы мате-
материальных точек относительно какого-либо центра называется-
вектор, равный геометрической сумме кинетических моментов
(моментов количеств движения) всех точек системы относи-
относительно того же центра, т. е.
К=%&ХтЛ)- F1)
v=l
Проекции вектора К на оси координат равны:
> XyZy)
v=l
я
v=l v V v v
При вычислении кинетического момента системы удобно раз-
разложить сложное движение системы на поступательное движение
со скоростью центра масс системы и движение около центра
масс как неподвижной точки. Пусть rv — радиус-вектор точки
mv относительно неподвижной системы осей координат
(фиг. 168), гс — радиус-вектор центра масс относительно непод-
неподвижной системы и pv — радиус-вектор точки mv относительно
подвижной системы осей координат, имеющей начало в центре
масс и оси, параллельные осям неподвижной системы. Тогда в
любой момент времениrv = rc + pv и vv = vc-\-<v^, где <vv — ~rf7~>
Подставляя эти значения в формулу F1), будем иметь:
или, раскрывая скобки,
(
О- F2)
379-
Так как суммирование ведется по индексу v, то F2) можно на-
написать в виде:
ч /л
По определению центра масс JL/rep =0, поэтому кинети-
ческий момент системы можно представить окончательно в сле-
следующем виде:
^=reXA*?+vS(PvX/nX). F3)
т. е. кинетический момент системы относительно какого-либо
неподвижного центра равен кинетическому моменту центра
масс системы относительно того же центра в предположении,
что в нем сосредоточена масса всей системы плюс кинетический
момент системы в ее движении относительно подвижных осей
координат, имеющих начало в центре масс системы и параллель-
параллельных осям основной неподвижной системы координат.
Так как Mvc—Q, то F3) можно представить еще в следую-
следующей форме:
K=rcXQ + Kc, F4)
где Кс= 2j (pv X mvv'v) — кинетический момент системы в ее
движении относительно центра масс.
Так как подвижные оси координат движутся параллельно
осям основной неподвижной системы, то v'v представляет собой
скорость движения точки относительно центра масс. Значитель-
Значительное упрощение формулы F2) получилось в результате выбора
за начало подвижной системы координат центра масс системы.
2. Теорема об изменении кинетического мо-
момента системы. Для того чтобы сформулировать теорему
об изменении кинетического момента системы, связывающую
изменение вектора К с моментом действующих сил, напишем
сначала выражение этой теоремы для одной материальной
точки с массой mv. Пусть равнодействующая всех внешних сил,
tie)
приложенных к этой точке, равна г\ , а равнодействующая
всех внутренних сил равна /v, тогда на основании теоремы об
.380
изменения кинетического момента для одной материальной точ-
точки будем иметь:
^ (rv X mvvv) = (rv X P{ve)) + (rv X Pi]). F5)
Уравнения вида F5) мы можем написать для каждой точки
системы. Складывая эти уравнения почленно, получим:
я " п
4т 2 Й X mvvv) = 2 Й X A") + 2 fv X A0)-
F6)
v=l
v=l
Га
Так как внутренние силы попарно равны и противоположно
направлены, то 21 (rvX^v) =0. В самом деле, рассмотрим две
v = l
какие-нибудь точки системы т{ и mh (фиг. 171). Силы взаимо-
взаимодействия между ними удовлетворяют следующему равенству:
-> ->
Fkl =— Fik. Векторы-моменты этих сил относительно центра О
численно равны удвоенным пло-
площадям заштрихованных тре-
треугольников / и //, а по направле-
направлению противоположны, но тре-
треугольники / и // равновелики, так
как они имеют равные основа-
ния и общую высоту. Следова-
Следовательно, сумма моментов сил вза-
взаимодействия между любыми
двумя точками системы относи-
относительно произвольного центра рав-
на нулю, поэтому равна нулю
и сумма моментов всех внутренних сил, так как каждой
внутренней силе соответствует в системе равная и противо-
противоположно направленная внутренняя сила. По определению
" > -> " ->
,mvvv) есть кинетический момент системы, а 2 0\> X
фиг- 171
v=l
X /^
'
) = ЗИог) есть момент результирующей пары сил, которая
получится при приведении системы сил F[e\ ~F%\ . ..,
центру О. Таким образом, из F6) получаем:
F7)
v=l
т. е. производная по времени от кинетического момента системы,
вычисленного относительно неподвижного центра, равна сумме
моментов всех внешних сил, действующих на систему, относи-
относительно того же центра.
381
Проектируя F7) на оси координат, будем иметь:
п
4
dt
v=l v=l
л и
— У т G х —x'z)—Y(z F{e)~x F<e)) F8)
dt J±U V V V V V ' iJX V VZ/ V /
v=l v=l
л л
^F ?l mv \"^v^v ^v^v) == 2u '
v=l v=l
Из формул F8) следует, что производная по времени от про-
проекции кинетического момента системы на какую-либо ось равна
сумме моментов всех внешних сил, действующих на систему,
относительно той же оси.
3. Закон сохранения кинетического момента
системы. Теорема площадей. Если сумма моментов
внешних сил, действующих на систему, относительно начала ко-
координат равна нулю, то из уравнения F7) мы получим:
откуда следует, что
К= const = Ко, F9)
где Ко есть значение вектора кинетического момента в началь-
начальный момент времени. В частном случае, когда в «ачальный мо-
момент времени скорости всех точек системы равны нулю, будем
иметь /(о=О; следовательно, в любой момент времени при дви-
движении системы /<=0.
Таким образом, если сумма моментов всех внешних сил,
действующих на систему, равна нулю, то вектор кинетического
момента системы остается постоянным по величине и направ-
направлению во все время движения.
Для замкнутой механической системы условие равенства
нулю суммы моментов всех внешних сил, действующих на си-
систему, всегда выполнено. Следовательно, если движение системы
происходит под действием только внутренних сил, то вектор ки-
кинетического момента остается постоянным по величине и напра-
направлению во все время движения. В этом случае центр масс си-
системы будет двигаться по инерции, т. е. прямолинейно и равно-
равномерно, или оставаться в покое. Так как вектор К сохраняет свое
направление в пространстве неизменным, то и плоскость, пер-
перпендикулярная к вектору К, сохраняет свою ориентацию в про-
382
странстве неизменной. Эта плоскость называется неизменяемой
плоскостью Лапласа. Из астрономических наблюдений известно,
что силы притяжения неподвижными звездами планет солнеч-
солнечной системы весьма малы, так как расстояния планет солнечной
системы от неподвижных звезд весьма велики, поэтому солнеч-
солнечную систему можно считать замкнутой механической системой.
Неизменяемая плоскость Лапласа принимается для планет
солнечной системы за координатную плоскость, по отношению к
которой определяются положения планет. Так как плоскости
орбит всех больших планет мало отклоняются от плоскости
орбиты Земли, то неизменяемая плоскость Лапласа почти сов-
совпадает с плоскостью орбиты Земли.
Уравнению F9), выражающему закон неизменности (сохра-
(сохраняемости) кинетического момента, можно дать геометрическое
истолкование. В самом деле,
-> ¦*¦ da.,
rXv = 2 v
i v /ч vv — * dt .
где -^-— секториальная скорость точки, поэтому
" " ^
К~ ^] mv (rv X i>v) = 2 ^ mv -jp •
v=l v=l
.На основании F9) имеем:
rfov —>• ¦>
mv -^- = const = Ко, G0)
v = l
т. е. удвоенная сумма произведений масс точек системы на их
секториальные скорости, вычисленные относительно некоторого
центра, является величиной постоянной, если сумма моментов
внешних сил относительно этого центра равна нулю.
В этой формулировке закон сохранения кинетического мо-
момента называется теоремой площадей.
Если проекция вектора-момента результирующей пары внеш-
внешних сил на какую-либо ось (например, ось Oz) равна нулю, то
закон сохранения кинетического момента имеет место по отно-
отношению к соответствующей проекции вектора кинетического мо-
момента.
В самом деле, пусть 3№/'=0, тогда
Kz == const = Я,
или
v-1
383
т. е. сумма произведений масс точек на их секториальные ско-
скорости в плоскости хОу есть величина постоянная.
Вообще, если проекция вектора Шо на некоторую ось равна
«улю, то сумма произведений масс всех точек системы на их
секториальные скорости в плоскости, перпендикулярной к этой
оси, будет оставаться постоянной во все время движения си-
системы.
Из соотношения G1) следует, что если в начальный момент
времени все точки системы находились в состоянии покоя, то
Я = 0; следовательно, на основании G1) сумма произведений
daVJC
масс точек на их секториальные скорости —¦—- будет оста-
оставаться равной нулю во все время движения. Однако из этого не
следует, что внутренними силами, вообще, нельзя вызвать дви-
движения системы около центра тяжести. В самом деле, если одна
часть системы под действием внутренних сил придет, например,
во вращательное движение в одном направлении, то другая
часть системы может вращаться в противоположном направле-
направлении, при этом соотношение G1) удовлетворяется.
Человек, стоящий на абсолютно гладкой поверхности, может
повернуться вокруг оси, проходящей через его центр тяжести,
на любой угол следующим образом. Можно, например, поднять
руку вверх и вращать ее, описывая конус. В этом случае вну-
внутренние силы будут создавать некоторый кинетический момент,
пусть для определенности положительный. Так как соотношение
G1) будет иметь место, то тело человека начнет поворачи-
поворачиваться в противоположном направлении и создавать отрица-
отрицательный кинетический момент. Так как масса человека значи-
значительно больше массы его руки, то быстрому вращению руки бу-
будет соответствовать медленное вращение человека. Этим сооб-
соображением можно, например, воспользоваться для того, чтобы
повернуть лодку, не касаясь веслами воды. Достаточно взять
шест и вращать его над головой в каком-нибудь направлении,
тогда лодка начнет медленно поворачиваться в противополож-
противоположном направлении.
4. Теорема об изменении кинетического мо-
момента относительно центра масс. Докажем, что
формулировка теоремы об изменении кинетического момента
сохраняется для осей координат, движущихся поступательно,
имеющих начало в центре масс и параллельных осям неподвиж-
неподвижной системы. В самом деле, на основании F7) имеем:
384
Так как K = ?cxMvc-\-Kc, где Кс= 2 (pyXmvv'v) — кинетиче-
кинетиче= 2 (p
ский момент по отношению к подвижным осям координат, имею-
имеющим начало в центре масс, то
dK
dt
Подставляя rv =
dKc |
dt '
re +
d
dt
>
Г Y
Pv
c/
N C/
будем
->
иметь:
n
v=l
v=l
-.
I С
ИЛИ
dKc , * v
На основании теоремы о движении центра масс системы
имеем:
Умножая обе части этого равенства векторно слева на гс, мы
получаем, что
следовательно, из G2) имеем:
G3)
где ЗЯ^ — сумма моментов внешних сил, действующих на си-
систему, относительно ее центра масс.
Соотношение G3) показывает, что производная по времени
от кинетического момента, вычисленного относительно центра
масс, равна моменту всех внешних действующих сил относи-
относительно центра масс.
Следовательно, для движения системы относительно осей,
движущихся поступательно, параллельных осям неподвижной
системы и имеющих начало в центре масс, теорема об измене-
изменении кинетического момента формулируется совершенно так же,
как и для неподвижных осей координат.
Если момент внешних действующих сил относительно центра
масс равен нулю, то Кс = const = (/Q0, т. е. кинетический мо-
момент системы остается постоянным по величине и направлению.
В этом случае закон сохранения кинетического момента будет
25 А. А. Космодемьянский 385
иметь место относительно подвижных осей координат, соответ-
соответствующим образом ориентированных и имеющих начало в
центре масс системы. В этой форме теорема об изменении кине-
кинетического момента имеет большое число практических прило-
приложений, особенно для механических систем, находящихся под
действием только силы тяжести. Если в начальный момент вре-
->¦
мени скорости всех точек системы равны нулю, то (/Сс)о=О и,
->¦
следовательно, вектор /Сс остается равным нулю во все время
движения.
Однако под действием внутренних сил движение около цент-
центра масс возможно, и его мы наблюдаем в ряде случаев. Так,
например, всем хорошо известно, что па-
падающая кошка (при любом ее положении
в начале падения) падает всегда на лапы.
Движением хвоста и лапок во время паде-
падения кошка придает своему телу нужное по-
положение в пространстве. Выполнение фи-
фигурных прыжков с вышек на водных стан-
станциях показывает, что спортсмен может, из-
изменяя положение частей тела (рук, ног)
относительно центра масс, изменять дви-
движение около этого центра. Но внутренние
силы не могут вызвать изменения движе-
движения самого центра масс. Центр масс спорт-
спортсмена при прыжке в воду будет описывать
параболу независимо от тех движений,
которые спортсмен может совершать относительно этого центра
(силами сопротивления воздуха, малыми по сравнению с весом
спорстмена, можно пренебречь).
5. Случай вращения системы около неподвиж-
неподвижной оси. Пусть рассматриваемая механическая система то-
точек (или деформируемое тело) вращается с угловой скоростью
ю около оси Ог. Вычислим проекцию вектора кинетического мо-
момента на ось Ог в этом случае. Пусть расстояние точки с мас-
массой mv от оси Ог равно hv; так как количество движения точки
Фиг. 172
равно rn^Vy/, то кинетический момент точки относительно оси Ог
равен (фиг. 172):
Следовательно, кинетический момент системы относительно
оси Ог равен:
386
Так как при вращении системы около оси Oz скорость произ-
произвольной точки системы равна vv — hv<i>, то
л
г = 2 hvmv(ahv = © 2
v=l v=l
По определению:
поэтому
Пусть внешние силы, действующие на рассматриваемую ме-
механическую систему точек, таковы, что
v=l
В этом случае из теоремы об изменении кинетического мо-
момента системы в проекции на ось Oz будем иметь:
v=l
откуда
Kz = const = (KZ)O. G4)
Если в начальный момент времени угловая скорость системы
была равна too, а момент инерции системы относительно оси Oz
был равен /0, то (/C2)o=/oWo-
Подставляя начальное значение (Кг)о в формулу G4), по*
лучим:
или
/г/о — /оюо,
откуда
a> = ao-fe. G5)
Из формулы G5) следует, что если во время движений бла-
благодаря действию внутренних сил момент инерции 1гг умень-
уменьшится (некоторые точки системы приблизятся к оси Oz), то
угловая скорость системы со возрастет; если момент инерции си-
системы 1гг увеличится (некоторые точки системы удалятся от
оси Oz), то угловая скорость системы ю уменьшится.
6. Применение теоремы об изменении кинети-
кинетического момента. Исходя из уравнений F7) и F8),
можно указать те классы задач механики, исследование кото-
которых целесообразно проводить на основании теоремы об изменении
25* ' 387
кинетического момента Пусть результирующий момент всех
внешних сил. действ\ющих на систему, будет известной вектор-
векторной функцией времени. Полагая, что
S mom,, $?=§(*),
V» I
мы можем представить уравнение F7) в виде:
# = eu>. G6)
Интегрируя G6) в пределах от 0 до t и полагая, что при /=0
-» *.
К = Ко, получим:
j G7)
Формула G7) позволяет рассчитать кинетический момент
системы для любого момента времени.
¦»• -> >
В частном случае, когда 6@ =const = /4, из формулы G7)
следует, что
K^Ko-t-At. G8)
Формулы G7) и G8) и закон сохранения кинетического мо-
момента определяют те классы задач механики, для которых при-
применение теоремы об изменении кинетического момента приво-
приводит к решению кратчайшим путем.
Из уравнений F7) и F8) следует, что на изменение кинети-
кинетического момента системы внутренние силы не влияют. Полное
исключение внутренних сил, которые в большинстве задач нам
неизвестны, является значительным упрощением при исследова-
исследовании. Весьма часто встречается на практике случай, разобран-
разобранный в пункте 5, когда момент внешних сил относительно оси
вращения равен нулю.
Как указывает профессор В. Л. Кирпичев *, теорема об из-
изменении кинетического момента весьма удобна для вывода за-
закона движения водяных турбин. В самом деле, если воспользо-
воспользоваться теоремой об изменении кинетического момента в проек-
проекции на вертикальную ось (ось турбины), то из полученного
уравнения будут исключены:
все внутренние силы, т. е. силы взаимного давления внутри
жидкости, а также силы давления между жидкостью и вращаю-
вращающимся колесом;
реакции опор в подпятнике и подшипнике вала турбины;
вес колеса турбины:
вес воды.
* См.: В. Л, Кирпичей. Ьеседы о механике, ГТТИ, 1933, стр. 140.
Существенные упрощения могут быть получены при исполь-
использовании теоремы об изменении кинетического момента и для
турбин с горизонтальной осью вращения.
Задача 18. Круглая однородная горизонтальная платфор-
платформа радиуса R и веса Р может вращаться без трения вокруг вер-
вертикальной оси Oz, проходящей через ее
центр О (фиг. 173); по платформе на не-
неизменном расстоянии от оси Oz, равном
h, идет с постоянной относительной ско-
скоростью и человек, вес которого равен р.
С какой угловой скоростью ю будет при
этом вращаться платформа вокруг оси
Oz, если в начальный момент платформа
и человек имели скорость, равную
нулю.
Так как по условию задачи моменты
сил р и Р, а также сил реакций оси плат-
платформы относительно оси Oz равны нулю,
то
***_п „ тг „t_n фиг_ ш
и
О,
Тр
— 0 И /^ = COnst =
так как в начальный момент времени платформа и человек на-
находились в покое. Но
I ,¦¦. /платф
/чел /и Л г»
— lzz I— ©1=0,
откуда
'zz h
гплатф i
1 zz T
-чел
zz
Принимая платформу за однородный круглый цилиндр, по-
получим:
гплатф Р_ R2 гчел р >2
- lzz ~ — H.
гплатф Р_
lzz — g
Следовательно,
@ =
2phu
§ 7. Теорема об изменении кинетической энергии системы
материальных точек
1. Определение и вычисление кинетической
энергии системы. Кинетической энергией (живой силой)
системы называется сумма кинетических энергий всех мате-
материальных точек системы.
389
Если материальная точка системы с массой т, имеет ско-
скорость vv относительно неподвижной системы координат, то ки-
кинетическая энергия этой точки равна —|-^. По определению
скалярная величина
" "т^ G9)
есть кинетическая энергия системы.
Для вычисления кинетической энергии удобно выделить ту
ее часть, которая обусловлена поступательным движением си-
стемы. Полагая, как и раньше, что rv = rc-|-pv> получим после
дифференцирования по времени:
Так как v\ — v\, то формулу G9) можно теперь представить
в виде:
v=l v=l v=l v=l
Ho
где М — масса всей системы, а
v=l v=l v=l
так как сумма статических моментов относительно центра масс
л п
равна нулю, т. е. ^mvpv = 0; величина -j ^ т^>'1 = ТС есть
v=l v=l
кинетическая энергия системы в ее движении относительно
центра масс, т. е. относительно осей координат, движущихся
поступательно, имеющих начало в центре масс и параллельных
основным неподвижным осям координат.
Таким образом, выражение для кинетической энергии си-
системы материальных точек мы можем представить в следующем
виде:
е, (80)
390
т. е. кинетическая энергия системы материальных точек равна
кинетической энергии центра масс, в котором сосредоточена
масса всей системы, плюс кинетическая энергия системы в ее
движении относительно центра масс.
Это предложение называется теоремой Кёнига.
Если система материальных точек движется поступательно,
то ^V = 'PC. v'v = 0 и Тс = 0. В этом частном случае кинетиче-
кинетическая энергия системы материальных точек равна кинетической
энергии центра масс, в котором сосредоточена масса всей си-
системы.
В частном случае, когда система материальных точек вра-
вращается около оси Oz с угловой скоростью со, формула для вы-
вычисления кинетической энергии принимает особенно простой
вид. В самом деле, пусть расстояния точек с массами т4,
т2, ..., шп от оси вращения равны соответственно hi, Нг hn,
тогда Vi — (i>hi, V2=(i)hz, ..., vn = a)hn и, следовательно,
п
ttivhy
v=l v=l v=l
Но по определению:
где IIZ есть момент инерции системы относительно оси Oz.
Таким образом, в случае вращения системы около оси Oz о
угловой скоростью со кинетическая энергия системы равна:
Г = 1/ггсо*. (81)
Если ось вращения проходит через центр масс системы, то
Izz = hc И
ТС = \/СУ. (82)
2. Теорема об изменении кинетической энер-
энергии системы. Для того чтобы формулировать теорему об из-
изменении кинетической энергии системы материальных точек,
т. е. связать изменение кинетической энергии с действующими
на систему силами, напишем выражение теоремы об измене-
изменении кинетической энергии для точки системы с массой mv. Бу-
Будем иметь:
d (*?.)=%>?, + &<*<. (83)
391
где /v drv — элементарная работа равнодействующей всех
внешних сил, приложенных к точке mv, Fv drv — элементарная
работа равнодействующей всех внутренних сил, приложенных к
той же точке.
Уравнения вида (83) мы можем написать для каждой точки
системы. Складывая эти уравнения почленно, будем иметь:
v=l v=l v=l
dT = 2 F[e) drv + 2 И drv, (84)
v=l v=l
т. е. дифференциал кинетической энергии системы равен сумме
элементапных работ внешних и внутренних сил, действующих
на систему.
Для произвольной системы материальных точек работа внут-
внутренних сил не равна нулю, следовательно, из теоремы об изме-
изменении кинетической энергии внутренние силы исключить нельзя.
Если начальное положение системы (начальную конфигурацию)
обозначить через {А), а какое-либо промежуточное положение
через (В), то, интегрируя соотношение (84) в этих пределах, по-
получим выражение теоремы об изменении кинетической энергии
системы в конечном виде:
л (В) п (В)
v = l (A) v = l (A)
т. е. полное изменение кинетической энергии системы при пере-
перемещении ее из одного положения в другое равно сумме работ
Р внешних и внутренних сил, дей~
mj Сщ Пи р ствующих на систему, при этом
перемещении.
Рассмотрим теперь более под-
подробно метод вычисления работы
внутренних сил. Будем предпо-
предполагать, что величины внутрен-
внутренних сил зависят только от рас-
расстояний между соответствую-
Фиг. 174 щими точками системы. Пусть,
например, точка с массой т4
действует на точку с массой mh с силой Fih (см. фиг. 174); обо-
обозначив расстояние между этими точками через rih, будем во
всем дальнейшем предполагать, что rih зависит только от rlh.
Пусть элементарное перемещение точки с массой т* равно drit
392
а точки с, массой mh равно drh. Элементарная работа внутрен>
них сил Fik и Fhi на этих перемещениях равна:
*А* = Fikd'k + 'Fki drt = Flkd {rk — ?t),
но rk — rt = rik и, следовательно,
6 A-* = Fik drik = Л* ^«ft.
так как векторы гik и r/ft коллинеарны.
Если мы введем в рассмотрение функцию Uik (rik), такую,
что dUtk —Fik drik, то сумму элементарных работ внутренних
сил можно будет представить в виде:
v-l (=1 ft=l t=l ft=l
Введем новую функцию:
л п
— " ^J ^J '*'
которую назовем потенциалом внутренних сил системы. Будем
иметь тогда:
p?? «\ (86)
v = l
Очевидно, что если расстояния между точками системы не
изменяются во время движения, то drik = 0 и ?/(i) = const.
Функция V(() = — U(l) называется внутренней потенциаль-
потенциальной энергией системы. Пользуясь формулой (86), мы можем на-
написать выражение теоремы об изменении кинетической энергии
в следующем виде:
v=l
или
(87)
Интегрируя (87) в пределах от конфигурации (А) до конфи-
конфигурации (В), мы получим:
(В) п
, - (Т + И")(Д) = / S ^ Л • (88)
(A) v = l
393
Соотношение (88) показывает, что работа внешних сил, дей-
действующих на систему, при перемещении системы из конфигура-
конфигурации (Л) в конфигурацию {В) переходит как в кинетическую,
так и во внутреннюю потенциальную энергию системы. Если
скорости материальных точек системы в конфигурациях (А) и
(В) равны нулю, то работа внешних сил полностью переходит
во внутреннюю потенциальную энергию системы. Так, напри-
например, если мы будем растягивать кусок резины от данного со-
состояния (данной конфигурации) до какого-либо другого, то ра-
работа внешних растягивающих сил перейдет во внутреннюю по-
потенциальную энергию. Из (88) ясно также, что кинетическая
энергия системы может изменяться (например, увеличиваться)
за счет работы внутренних сил.
Если внешние силы имеют потенциал, то
v=l
где V^> — потенциальная энергия поля внешних действующих
на систему сил, обусловленная конфигурацией тел, не принад-
принадлежащих к рассматриваемой системе. В этом случае теорема
об изменении кинетической энергии приводит к закону сохране-
сохранения механической энергии. В самом деле, из (87) имеем:
или, интегрируя в пределах от (А) до (В)-.
т. е.
•Э(в) — ^u)> (89)
где Э(В) — полная энергия системы в конфигурации (В), а Э(л)—
полная энергия системы в конфигурации (А).
Равенство (89) выражает закон сохранения механической
энергии для системы материальных точек.
В целом ряде практически важных случаев при формулиров-
формулировке теоремы об изменении кинетической энергии системы полезно
разделить действующие на систему силы на силы активные /^0>
и силы пассивные Rv (реакции наложенных связей). Тогда тео-
теорема об изменении кинетической энергии системы в дифферен-
дифференциальной форме будет гласить: дифференциал кинетической
энергии системы равен сумме элементарных работ действующих
активных сил и сил реакций связей, или
dT = S P']dry + S Rv drv. (90)
394
Если на систему наложены только идеальные связи, то на
основании постулата идеальных связей *:
»
2
v = l
В этом частном случае теорема об изменении кинетической
энергии будет формулироваться так: дифференциал кинетиче-
кинетической энергии системы с идеальными связями равен сумме эле-
элементарных работ действующих на систему активных сил. Осо-
Особенно полезной будет эта форма теоремы об изменении кинети-
кинетической энергии для абсолютно твердого тела.
3. Теорема об изменении кинетической энер-
энергии системы относительно центра масс. Теорема
об изменении кинетической энергии системы формулируется в
дифференциальной и конечной формах для относительного двн«
жения так же, как и для движения абсолютного, если только
подвижная система координат имеет начало в центре масс си-
системы и оси, параллельные осям основной системы координат
(оси постоянного направления).
В своем деле, пользуясь теоремой Кёнига, мы можем напи-
написать выражение теоремы об изменении кинетической энергии
(90) в следующем виде:
d У Mv§ +dTc=YiFie)d?v + j?i?yd?v', (91)
V=l V=l
так как rv = rc-f-Pv> то drv — drc-\-dpv и, следовательно,
v=l v=l
Pv- <92>
v=l v=l
Так как dre можно вынести за знак суммы, то будем иметь:
i d?c=drc 2 Дг)=R{e) d7c,
V=l V=l
где /?(e> — результирующая всех внешних сил, действующих на
систему, и
2
V=l V=l
* Мы предполагаем, что наложенные связи таковы, что действитель-
действительное перемещение rf/1, принадлежит к числу виртуальных (дозволяемых свя«
зями) перемещений,
395
так как по третьему закону Ньютона
Выражение теоремы об изменении кинетической энергии для
точки массы М, положение которой определяется радиусом-век-
тором гс и к которой приложена сила RSe\ имеет следующий вид:
Таким образом, соотношение (92) после сокращений можно
написать в следующем виде:
±?4, + ±fydpv, (93)
v=l v=l
т. е. дифференциал кинетической энергии системы в ее движе-
движении относительно осей постоянного направления, проходящих
через центр масс, равен сумме элементарных работ действую-
действующих на систему внешних и внутренних сил на перемещениях
относительно центра масс.
Интегрируя (93) в пределах, соответствующих некоторой на-
начальной конфигурации (А) и конфигурации (В), получим:
" (В) п (В)
v=l (A) v=l (A)
Соотношение (94) представляет собой теорему об изменении
кинетической энергии системы для движения относительно
центра масс в конечном виде.
4. О законе сохранения механической энер-
энергии. Для практических приложений особенно важное значение
имеет закон сохранения механической энергии для движения
абсолютно твердого тела. Если механическая система представ-
представляет собой абсолютно твердое тело, то, как мы видели, потен-
потенциальная энергия внутренних сил есть величина постоянная и
закон сохранения механической энергии (89) можно написать
в виде:
или
T(B)-TIA)^~(V((eB\-V{(^, (95)
где V<e) — потенциальная энергия поля внешних сил, а Т — кине-
кинетическая энергия системы. Из определений потенциальной (си-
(силовой) функции и потенциальной энергии системы следует, что
функция V& зависит только от координат точек системы и не
396
зависит от скоростей этих точек и времени. Таким образом,
уравнение (95) устанавливает в явном виде зависимость между
скоростями точек системы и их положением в пространстве.
В дальнейшем (глава X) будет показано, что если ввести ко-
координаты соответственно числу степеней свободы твердого тела
(обобщенные координаты), то кинетическая энергия будет вы-
выражаться через обобщенные координаты и их производные
(обобщенные скорости), а потенциальная энергия — через обоб-
обобщенные координаты. Следовательно, уравнение (95) устанав-
устанавливает связь между обобщенными координатами (положением)
твердого тела и его обобщенными скоростями. Для потенциаль-
потенциальных силовых полей каждому положению твердого тела соответ-
соответствует вполне определенное значение кинетической энергии это-
этого тела, и при движении тела имеют место обратимые процессы
перехода потенциальной энергии в кинетическую и кинетиче-
кинетической энергии в потенциальную. Следует иметь в виду, что за-
закон сохранения механической энергии имеет более узкий смысл,
чем закон сохранения энергии в физике. Физический закон со-
сохранения энергии формулируется для изолированных систем и
учитывает превращения одной формы энергии (например, элек-
электрической) в другую (например, тепловую). Закон сохранения
механической энергии имеет место только для потенциальных
силовых полей, а потенциальная энергия поля есть по существу
механическая форма движения.
Для абсолютно твердого тела работа внутренних сил равна
нулю, и в этом случае из теоремы об изменении кинетической
энергии исключается большое число неизвестных сил. Поэтому
при изучении движения твердого тела в поле сил, имеющих по-
потенциал, следует применять закон (95), позволяющий простым
путем выяснить основные особенности механического движения.
Если твердое тело движется в поле силы тяжести, то потен-
потенциальная функция имеет вид:
1 п
dU(ei = — 2 mvg dzv — — gd 2
v=l v=l
Ho
ft
2^ ftixzv = M.zC)
где zc—координата центра масс тела.
Таким образом,
интегрируя, получим:
/e) + const.
397
Зная №, легко находим:
U& ~ U\% = -Mg [(zc)(B) - (zc\A)] = + Mgh,
где h — высота, на которую опустился центр масс тела при пе-
перемещении тела нз положения (А) в положение (В) (фиг. 175).
Формула (95) дает в этом случае:
T{B) = TU) + Mgh. (96)
Задача 19 (Мещерский). Цилиндрический каток диамет-
диаметром 60 см и весом Q = 392 кГ приводится в движение человеком,
который давит на рукоятку АО с постоянной силой Р в напра-
Фиг. 175
влении АО (см. фиг. 176); длина ЛО=1,5 м, высота точки А
над горизонтом 1,2 м. Определить, пренебрегая силами трения в
подшипниках, силу Р, при которой человек, пройдя 2 м, сооб-
сообщит оси катка скорость 80-^- (принять g" = 980-г^-).
Для решения задачи воспользуемся теоремой об изменении
кинетической энергии абсолютно твердого тела в конечном виде.
Будем иметь:
Т— Т0 =
где А& — работа всех внешних сил, действующих на цилиндри-
цилиндрический каток при перемещении центра масс катка на расстоя-
расстояние, равное 2 м. По условию задачи То=О,
Так как мгновенная ось катка совпадает с линией соприкосно-
iv г MR2
вения катка с землей, то & — -—, кроме того, /сс = —к—.
398
Следовательно,
Г —— ./И г I.1 MR2 (VcY - 3 Q. 2
2 с 2 2 \ R ! 4 g c'
Работа силы тяжести катка, нормальной реакции Земли и
силы трения равна нулю, так как сила тяжести и нормальная
реакция перпендикулярны к перемещению точки приложения,
а сила трения проходит через мгновенную ось вращения. Работа
силы Р равна:
Aie) — Ps cos a.
Из фигуры L76 ясно, что
cos
Таким образом,
, , ..J — @,9J 1,2 4
cos a = -^-s—\5 = -пг = —.
12. «« = Ps-
Age 5 '
откуда
3 • 5 • Q • vl 15 • 392 • 802
г— 4 • 4 • g ¦ s ~~ 16 • 980 • 200 "~ х
ГЛАВА VIII
ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
«Душа науки — это практическое приме-
применение ее открытий».
Кельвин.
§ 1. Поступательное и вращательное движение твердого тела
1. Введение. Твердое тело представляет собой частный
случай механической системы точек, когда расстояния между
любыми двумя точками системы остаются постоянными во все
время движения. Одним из наиболее эффективных методов изу-
изучения движения твердого тела под действием приложенных к
нему сил является метод, основанный на применении основных
теорем динамики системы. Для изучения поступательного дви-
движения тела мы будем исходить из теоремы о движении центра
масс; при изучении вращения твердого тела около неподвижной
оси наиболее рационально пользоваться теоремой об изменении
кинетического момента. На примерах изучения простейших дви-
движений твердого тела под действием приложенных сил весьма
отчетливо выявляется значение основных теорем динамики си-
системы, позволяющих исследовать свойства движений систем ма-
материальных точек, подчиненных некоторым дополнительным
условиям (связям). Основные теоремы динамики системы были
исторически первым, наиболее простым и естественным методом
изучения движения несвободных механических систем точек, и
в частности изучения динамики твердого тела В последующем
развитии механики Лагранжем был создан метод обобщенных
координат, позволяющий свести составление дифференциальных
уравнений движения системы с s степенями свободы к ясной,
логически безупречной последовательности алгебраических пре-
преобразований, однако физическая наглядность рассуждений была
в значительной мере утрачена
Изложение методов динамики можно начать с составления
уравнений Лагранжа, справедливых для широкого класса дина-
динамических систем, а затем с этой общей точки зрения рассмот-
400
реть последовательно частные задачи динамики твердого тела.
Мы, однако, будем следовать историческому ходу развития ме-
методов динамики системы и динамики твердого тела, излагая
уравнения Лагранжа как итог развития классической механики.
Ход изучения от более простых методов и задач к более слож-
сложным позволяет глубже понять закономерности механических
движений. После усвоения простейших методов легче понять
широкие общие методы, отражающие абстрагирующую дея-
деятельность человеческого ума.
2. Основные динамические характеристики
твердого тела. При изучении движения твердого тела нуж-
нужно уметь вычислять количество движения Q, кинетический мо-
момент К и кинетическую энергию Т. Так как количество движе-
движения любой механической системы точек равно произведению
массы системы на скорость ее центра масс, то, очевидно, и для
твердого тела
где М — масса тела, vc — скорость его центра масс.
Вычисление кинетического момента для твердого тела проще,
чем для произвольной механической системы точек, особенно
в случае, когда движение относительно центра масс есть вра-
вращение вокруг оси постоянного направления. Пусть К есть кине-
кинетический момент твердого тела относительно начала неподвиж-
неподвижных осей О|т|?, тогда по определению
или по формуле F3) главы VII
где Кс = ^j pv X tnv'v—кинетический момент тела в его дви-
V= 1
жении относительно центра масс.
Для твердого тела движением относительно центра масс
является или вращение вокруг оси постоянного направления,
или вращение вокруг мгновенной оси. Так как в обоих случаях
то
= 21 (Pv X тД) =21 m}, X (« X Pv) =
= 2} mvtop2 - 2, "M>V(«PV). A)
26 А А Космодемьянский 401
При движении тела его положение относительно неподвиж-
неподвижной системы координатных осей изменяется, следовательно,
изменяются и моменты инерции тела относительно этих осей. Вве-
Введем в рассмотрение систему осей координат Oxyz, неизменно
связанную с движущимся твердым телом, и найдем проекции
вектора кинетического момента Кс на эти оси. Будем иметь:
Ксх = Р Jj mv К+У\ + zl) ~ v2 mvxv {Pxv + ЯУ, 4- r*v) -
л л л
= /» 2 »v @$ + zl) — q 2 mvxvy — г 2 »Wv»
или на основании определения осевых и центробежных момен-
моментов инерции
Ксх = Ixxp — 1хуЯ — 1хгГ
и аналогично для других двух осей:
Key = — IyxP + 1ууЯ —
где р, <?, г — проекции угловой скорости на оси, связанные с те-
телом, 1ХХ, 1Уу, 1x7 — моменты инерции тела относительно этих
осей, a lyZ, I2X, 1ху — центробежные моменты инерции. Так как
положение точек тела относительно осей, неизменно связанных
с этим телом, не изменяется во времени движения, то моменты
инерции Jxx, lyy, ¦ ¦ ¦, Ixy являются величинами постоянными.
Если за подвижные оси Oxyz принять главные центральные оси
инерции тела, то центробежные моменты инерции обратятся в
нуль, и мы получим:
Ксх —Ixxp, Kcy — IyyQ, Kcz^Izzf- C)
Для вычисления кинетической энергии тела воспользуемся
теоремой Кёнига, согласно которой
Так
л
1 V
2 -
v=
как
1 ¦»
itnvz
1
',2 1
л
V=l
TO
->( •*
л
pv)=='2j<0(P-
V=l
л
^2pv
v=l
402
и, следовательно,
Г=4м% + 1«?, D)
где Кс — кинетический момент твердого тела при его движении
относительно центра масс.
Если за подвижные оси координат приняты главные цент-
центральные оси инерции тела, то
3. Дифференциальные уравнения поступа-
поступательного движения твердого тела. Как было уста-
установлено в кинематике твердого тела, при поступательном дви-
движении твердого тела все точки тела имеют равные по численной
величине и однаковые по направлению скорости и ускорения.
Траектории всех точек являются налагающимися кривыми,
т. е. такими кривыми, которые при параллельном переносе мо-
могут быть наложены одна на другую.
Поэтому для изучения поступательного движения твердого
тела достаточно изучить движение какой-либо одной его точки.
При кинематическом изучении движения выбор точки совершен-
совершенно произволен. При динамическом изучении движения за такую
точку целесообразнее всего принимать центр масс тела.
В самом деле, на основании теоремы о движении центра
масс мы имеем:
Mwc = R(e\ F)
¦>
где М — масса тела, дае — ускорение центра масс относительно
->
выбранной неподвижной системы координат О|т}?, RW — резуль-
результирующая (или главный вектор) всех внешних сил, действую-
действующих на тело.
Проектируя уравнение F) на неподвижные оси О|, Оц, 0%,
будем иметь:
G)
Из формул F) и G) следует, что изучение поступательного
движения тела под действием внешних сил, результирующая
которых равна We\ можно заменить изучением движения точки
26* 403
с массой, равной массе тела и находящейся под действием си-
силы #<е>.
Таким образом, динамическая задача изучения поступатель-
поступательного движения твердого тела есть задача динамики точки.
Уравнение F) доказывает нам важное значение раздела
динамики материальной точки.
Задача 20. Платформа АВ движется поступательно вдоль
вертикальной прямой Оу Закон движения точки А платформы:
у а — b cos at. На платформу положен кубик весом Р. Определить
угловую частоту w, при которой кубик начнет отделяться (под-
(подпрыгивать) от платформы (фиг. 177).
Найдем ускорение точки А платформы
(так как платформа движется поступатель-
поступательно, то ускорения всех точек платформы
равны между собой). Зная закон движения
точки А, будем иметь:
уА — — Ьы2 cos (at).
Максимальные (по модулю) значения
ускорения платформы будут при (at) =0,
чттггпттттпттт,. Ч 2я, ..., kn. При <of = 0, 2я, ... платфор-
платформа будет находиться в крайнем верхнем по-
Фнг. 177 ложении; при ю?=я, Зя, ... — в крайнем
нижнем положении. Для того чтобы кубик
не отделялся от платформы, необходимо, чтобы ускорение силы
тяжести было больше ускорения платформы. Если ускорение
платформы на некоторых участках движения больше (по вели-
величине) ускорения силы тяжести, то при движении платформы
вниз она будет на этих участках обгонять кубик Условие отде-
отделения кубика от платформы математически можно написать в
виде:
откуда
•-/*¦
Если поступательное движение платформы осуществляется
вращением кривошипа, то число оборотов кривошипа в минуту,
при котором возникает отделение кубика, будет равно:
30о_ 30 Г g
об
мин
Если положить b = 25 см, g = 980 —-j- и я2»9,8, то
404
980 __ б0 og
),8 • 25 мин
4. Дифференциал ьное уравнение вращатель-
вращательного движения твердого тела около неподвиж-
неподвижной оси. Положение твердого тела, которое может вращать-
вращаться около неподвижной оси, определяется углом поворота ср-
некоторой плоскости, неизменно связанной с твердым телом, по
отношению к неподвижной
плоскости (фиг. 178). Пусть
осью вращения тела явля-
является ось Oz; реакции двух
закрепленных точек оси вра-
вращения Л и В обозначим
-> ->
через Na и Nb- Практиче-
Практически закрепление оси осуще-
осуществляется при помощи под-
подшипников и подпятников.
Пусть на твердое тело дей-
действуют активные внешние
СИЛЫ ГГ, Fi! , . . ., F), .
Для того чтобы получить
дифференциальное уравне-
уравнение вращательного движе-
движения твердого тела около оси
Oz, будем исходить из теоремы об изменении кинетического
момента в проекции на ось Oz. Будем иметь:
~dt
Фиг.
v=l
Так как силы реакции NА и Nв пересекают ось Oz, то
= 0 и
Таким образом, теорема об изменении кинетического момен-
момента в проекции на ось вращения дает:
По определению
¦^Kz=2^momzF^.
v=l
(8)
Переходя к полярным координатам (см. фиг. 178), будем иметьг
405-
где hv — расстояние точки с массой mv от оси вращения. Оче-
Очевидно, что при вращении тела около оси Oz расстояние hv—
= const во все время движения; следовательно,
xv = — ЛvФ sin ф = — Avco sin ф,
yv = hv4 cos ф = Avo> cos ф
и
(x^v — </v*v) = [h v cos Ф (Луй cos ф) + К sin Ф (Ay® sin Ф)] = Av**;
Таким образом,
Kz = jS «у (*Ж - У Л) = V2 mvA> = °>Jj «v*v = 7«w' (9)
где /гг=2^Ау — момент инерции твердого тела относитель-
v = l
но неподвижной оси.
Подставляя значение Кг, определяемое формулой (9), в
уравнение (8) и зная, что для твердого тела, вращающегося
около неподвижной оси Oz, момент инерции /„ = const, получим:
Ае). A0)
Так как © = -^-, то —ц- = -j^- = ф, и уравнение A0) можно
написать в виде:
Ijf= 2 тотгР%К (И)
v = l
Уравнение A1) называется дифференциальным уравнением
вращательного движения твердого тела около неподвижной оси.
Имея в виду многочисленные практические задачи динамики
твердого тела, вращающегося около неподвижной оси, мы по*
лучим уравнение A1) еще раз, пользуясь теоремой об измене*
нии кинетической энергии. Новый вывод позволяет в ряде слу-«
чаев при решении задач предугадать рациональную замену
переменных в уравнении A1), приводящую к отысканию пер->
вого интеграла этого уравнения.
На основании теоремы об изменении кинетической энергии
для твердого тела в дифференциальной форме имеем:
v=l
ИЛИ
" ¦*
v=I
406
Элементарная работа сил реакций NA и NB равна нулю, так
как точки приложения этих сил неподвижны.
Если угловая скорость вращения тела около оси равна со.
то
По формуле Эйлера (см. раздел «Кинематика», стр. 108),
-> ->, ->
поэтому
Ё P?vv dt=^ Р? («Xrv) dt = to S (fv X P?) dt = ®mdt,
где 3№ — сумма моментов активных внешних сил, действующих
на вращающееся тело.
Так как проекции вектора w на оси Ох и Оу равны нулю, а
проекция на ось Oz равна со, то ясно, что
где Шг — сумма моментов активных внешних сил относительно
оси Oz.
Таким образом, теорема об изменении кинетической энер-
энергии дает:
{j) t, A2)
или
откуда следует, что
/ d®_ — m
*г dt *'
ИЛИ
Уравнение A2') совпадает с уравнением A1).
Так как (odt=d<(), то на основании A2) мы получаем, что
S A')rfrv = a»*rf9. A3)
т. е. при повороте твердого тела около оси Oz на угол d<p эле-
элементарная работа приложенных к телу внешних сил равна про-
произведению суммы моментов этих сил относительно оси враще-
вращения на угол поворота тела,
407
Если твердое тело с массой М движется поступательно и
прямолинейно вдоль оси Os, то уравнение движения центра
масс (и вообще любой точки) будет иметь вид:
„= iHei. A4)
v=l
Из сравнения уравнений A1) и A4) следует, что момент
инерции тела относительно оси вращения играет в уравнении
вращательного движения тела ту же роль, что и масса в урав-
уравнении поступательного движения. Закон распределения масс от-
относительно оси вращения оказывает существенное влияние на
величину момента инерции относительно оси Oz, следовательно,
и на закон движения тела вокруг этой оси. Подобно тому как
масса характеризует инертность тела при поступательном дви-
движении, момент инерции характеризует инертность тела при вра-
щательном движении. Если 2 топь/7^' = 0, то из A1) следует,
v=I
что w = const = соо, т. е. тело будет вращаться с постоянной угло-
угловой скоростью или находиться в покое, если начальная угловая
скорость равна нулю.
Если действующие на тело внешние силы таковы, что сумма
моментов внешних действующих на тело сил зависит только от
угла поворота тела, т. е.
то из уравнения A2) мы получим:
d (i Izjsfi) - ЗЯ,(о dt = Ф (Ф) d<p = d[U (ф)], A5)
где U (у)—потенциальная функция моментов внешних сил.
Интегрируя A5), получим:
^ A6)
Соотношение A6) дает первый интеграл уравнения A1)
(закон сохранения механической энергии для твердого тела,
вращающегося около оси).
Задача 21. Круглый блок массы М и радиуса а может
свободно вращаться около оси О (фиг. 179). На блок навернута
тонкая нить, к концу А которой прикреплен груз. Если груз от-
отпустить, то блок начнет вращаться. Определить закон враща-
вращательного движения блока и натяжение нити. Весом нити прене-
пренебречь.
Пусть сила натяжения нити во время движения равна S,
тогда уравнение вращения блока будет иметь вид:
/ф -= aS,
ЮЗ
где / — момент инерции блока относительно оси вращения.
Груз Р будет двигаться вниз поступательно. Уравнение движе-
движения центра масс груза можно представить в виде:
Mwc = Mg — 5,
где wc — ускорение центра масс груза. Так как ускорение цент-
центра масс груза в рассматриваемый момент времени равно каса-
касательному ускорению точки В, то
и, следовательно,
Mwc = Мщ = Mg — S.
Определив из этого уравнения 5 и подстав-
подставляя его значение в уравнение вращения, будем
иметь:
/ф — a (Mg — Мщ),
или
•¦ Mga
ф~ /+ Маг "
Можно считать, что для блока 1 = -^Ма2, поэтому
•¦ Mga _ g
~ Ma2 + Ma? 3 a
Таким образом, вращение блока будет равноускоренным.
Натяжение нити будет равно:
S = Mg — Мщ = ~Mg.
§ 2. Определение динамических реакций,
действующих на ось вращающегося
твердого тела
При вращении твердого тела около неподвижной оси силы
давления на опоры (подшипники или подпятники) будут, вообще
говоря, отличаться от сил давления, развивающихся при отсут-
отсутствии вращения. Как будет видно из дальнейшего, при постоян-
постоянной угловой скорости вращения динамические силы реакции,
перпендикулярные к оси вращения, будут увеличиваться про-
пропорционально квадрату этой угловой скорости. Так как в со-
современной технике угловые скорости вращения (например, ко-
коленчатых валов, роторов турбин, винтов геликоптеров и др )
40»-
.достаточно велики, определение динамических реакций предста-
представляет одну из важных задач для инженера-конструктора.
Рассмотрим твердое тело (фиг. 180), вращающееся около
неподвижной оси АВ, и допустим для общности рассмотрения,
что неподвижность оси вращения достигнута закреплением двух
точек А и В (практически это значит, что в точках А и В по-
поставлены подпятники или сферические шарниры). В этом слу-
случае величина и направление сил реакций NA и NB будут за»
висеть от заданных внешних сил М*', F* , ..., /v и состояния
движения тела. Угловую скорость вращения тела со будем счи-
считать переменной.
В
(е)
Фиг. 180
Возьмем неподвижную систему осей координат Л|т]?, начало
которой совпадает с неподвижной точкой А. Очевидно, когда
тело будет вращаться около оси At,, то положение отдельных
точек тела относительно осей Л| и Аг\ будет изменяться и, сле-
следовательно, моменты инерции тела относительно осей Л| и Ач\
будут величинами переменными.
Введем новую систему осей координат Axyz, неизменно свя-
связанную с вращающимся твердым телом. Ось Аг совпадает с не-
неподвижной осью At,, а оси Ах и Ау вращаются относительно не-
неподвижной оси At, с угловой скоростью и. Положение точек
тела относительно системы координат Ахуг не изменяется с те-
течением времени, а поэтому моменты инерции тела относительно
осей Ах, Ау, Аг будут величинами постоянными.
Для определения динамических реакций на ось в точках А
и В мы воспользуемся теоремами об изменении количества дви«
-410
жения и кинетического момента системы. Как известно, эти тео-
теоремы можно записать относительно неподвижных осей Л?т]? в
следующем виде:
A7)
dt
где Ra) — 21 ^1?' есть результирующая всех заданных внеш-
внешних (активных) сил, а ЗКл* = 2motTU /"\><е) есть сумма моментов
активных сил относительно точки А.
Преобразуем векторные уравнения A7) к подвижным осям
Ахуг, вращающимся около оси At, вместе с твердым телом. Для
этого прежде всего выясним, как изменятся левые части этих
уравнений. Геометрически /_±) и (—.4| представляют абсо-
абсолютные скорости концов векторов QA и КА. Движение систе-
системы Ахуг можно рассматривать как переносное движение, а по-
поэтому
dt
где I .. I есть скорость конца вектора QA относительно по-
подвижных осей Ахуг (относительная скорость), а |—4)
-> V dt 1т
относительная скорость конца вектора Ка-
Так как переносное движение есть чистое вращение с угло-
вой скоростью со, то (о) X Qa) есть переносная скорость конца
вектора QA, а (соХад)—переносная скорость конца векто-
вектора Ка- Так как начало подвижной системы Axyz совпадает с
началом неподвижной ^4|т}?, то векторы-моменты активных сил
и сил реакций NA и NB не изменятся и можно уравнения
A7), учитывая A8), записать в виде:
B0}'
411
Спроектируем уравнение A9) на подвижные оси координат
Axyz. Прежде всего найдем проекции на оси Ах, Ау, Аг левой
части уравнения A9).
Т
ур
Так как
QA =
a t)v = («X rv),
то
У
О
k
(О
-=SWv(wXrv) = COXlj'
1 1
Следовательно,
где xc, i/c — координаты центра масс тела.
Учитывая, что в подвижных осях хс = const и ус = const,
легко находим:
dQA
dt
¦¦I-0-
Так как
то
i
j
0 0
Qax
k
(О
(W X §A)x = ~
(« x ^д), - «дд^=vvc
Зная, как найти ..роекции слагаемых, входящих в левую
часть уравненияA9), можно написать теорему об изменении
количества движения в проекциях на подвижные оси в следую-
следующем виде:
= N. + NBX
= NAy + N
Ay
By
A9')
Для того чтобы спроектировать B0) па подвижные оси,
найдем сначала Ках, Кау, Kaz- По определению имеем:
a vv =
412
поэтому
( X X
КА — 2 mv (rv X «> X rv) = 2 "ivCOrv — 2 fKvrv (torv) =
- со" 2 mv К + </v + <) - °> 2
и, следовательно,
/Cax = — w 2 tnvxvzv — — co/^z.
->
КАг =
2v) - <° 2 m^v =
Так как
i у k
О 0 (о
Кл.г Л Ау Клг
ТО
(СО X Ка)х — — (йКлу = C02/yz,
Обозначая расстояние между точками А и В через h
легко находим, что
О О А
NBx NBu NBz
и, следовательно,
->
д NB)X = — hNBy,
h
(тотд NB)Z = 0.
Учитывая предыдущие вычисления и то, что в подвижных
осях Axyz, Ixz — const, /y2 = const, можно написать теорему об
изменении кинетического момента в проекциях на подвижные
оси координат Ах, Ay, Az в следующем виде:
,, = - hNBy
B0')
413
Таким образом, полная система уравнений для определения
проекций динамических реакций на подвижные оси будет:
—мАХ+ы9х+ях 1
= -hNBy + mAx\
B2)
B3>
B4)
Если геометрия тела, распределение масс и активные внеш-
внешние силы известны, тогда порядок решения задачи об определе-
определении динамических реакций можно рекомендовать следующий*
Определив хс, ус, М, 1хг, 1уг, 1гг, #*, Ry, Rz, WlAx, TtAV и ШАг,
находим из уравнения B4) сначала со, а затем интегрированием
определяем со. Если со и со2 подставить в левые части уравнений
B1) и B2), то система пяти уравнений B1) — B3) позволяет
найти NAX, NAy, NBX, NBy и сумму (NAz+NBz).
Если в точке В закрепление оси осуществляется при помощи
подшипника, тогда NBz=0 и система пяти уравнений B1) — B3)
позволяет определить все пять неизвестных проекций динами-
динамических реакций, т. е. NAx, NAy, NAz, NBx, NBy.
Величины реакций в точках Л и В можно найти по хорошо
известным формулам:
NA =
Так как оси Axyz неизменно связаны с вращающимся телом,
то, очевидно, векторы NA и NB, определенные по отношению к
этим осям, будут периодически (с периодом ) менять свою
ориентацию по отношению к неподвижным осям >4|т}?.
Если левые части уравнений B1) и B2) обращаются в нуль,
то формально эти уравнения будут аналогичны известным
уравнениям равновесия тела, имеющего ось вращения (см. гла-
главу VI, Статика, стр. 324). Мы будем называть реакции в точках
Л и В, определенные из уравнений B1) и B2), когда левые
части этих уравнений обращаются в нуль, статическими реак-
реакциями.
Выясним, при каких условиях проекции сил реакций NA и
NB, определенные из динамических уравнений, будут равны ста-
статическим реакциям при действии тех же активных внешних сил.
414
Для того чтобы динамические реакции были равны стати-
статическим, необходимо и достаточно, чтобы левые части уравнений
B1) и B2) обращались в нуль при ю?=0 и w =?0, т. е. чтобы
— со2!/, + iaxc = 0, IXz&2 + /«© = 0.
Так как определитель этих систем уравнений с неизвестными хс,ус,
Ixz и IyZ равен (w4 + co2) и всегда больше нуля, то этим однород-
однородным уравнениям удовлетворяют только тривиальные значения не-
неизвестных:
хс = 0 и ус = 0, B5)
Ixz = 0 и /„ = 0. B6)
Равенства B5) показывают, что ось вращения должна про-
проходить через центр масс тела. Равенства B6) показывают, что
ось вращения должна совпадать с главной осью инерции тела.
Таким образом, если ось вращения является главной централь-
центральной осью инерции тела, то реакции в закрепленных точках оси
при вращении тела не отличаются от статических реакций, воз-
возникающих в этих точках при равновесии тела под действием
тех же активных внешних сил.
Динамические реакции при выполнении равенств B5) и B6)
будут равны реакциям статическим. В этом случае динамиче*
ские реакции не зависят от угловой скорости и углового уско*
рения и полностью определяются заданными активными си«
лами. Если заданные активные силы таковы, что 3№Аг=0, то из
уравнения B4) следует, что тело будет вращаться равномерно.
Вращение тела при соблюдении условий B5) и B6) не изме»
няет величины статических реакций. В этом случае говорят, что
тело динамически уравновешено на оси вращения. Следует при-
принять во внимание, что для динамического уравновешивания не-
недостаточно выбрать ось вращения так, чтобы она проходила
через центр тяжести. Необходимо, чтобы эта ось являлась так-
также главной осью инерции тела. Для однородных тел такими
осями будут оси геометрической симметрии.
Задача динамического уравновешивания вращающихся тел
в настоящее время является одной из наиболее актуальных за-
задач машиностроения, так как угловые скорости современных
машин (турбин, двигателей внутреннего сгорания) достигают
весьма больших значений. Небольшие отклонения в установке
оси вращения вызывают при больших угловых скоростях резкое
увеличение динамических реакций. Так как в левые части урав-
уравнений B1) и B2) угловая скорость вращения входит в квадра-
квадрате, то легко видеть, что при <Ь = 0 динамические реакции будут
Расти пропорционально квадрату угловой скорости,
415
Предположим, что мы находимся в пространстве без дей-
действия внешних сил (сил тяготения и сил сопротивления). Такое
пространство будем, по Циолковскому, называть свободным
пространством. Если рассмотреть в таком свободном простран-
пространстве вращение твердого тела с заданной массой М около непо-
неподвижной оси, то могут иметь место следующие два случая:
а) Ось вращения твердого тела не является главной цен-
центральной осью инерции тела. Пусть, кроме того, NBz — 0. В этом
случае при вращении тела возникнут боковые силы реакций,
которые будут изменять свое положение в пространстве, вра-
вращаясь вместе с телом.
б) Ось вращения твердого тела является главной и цен-
центральной осью инерции. В этом случае реакции в точках А и В
будут обращаться в нуль и ось вращения не будет испытывать
никаких боковых давлений. Если в точках А и В были подшип-
подшипники, то, не нарушая вращения тела, мы можем подшипники
убрать и положение оси вращения останется неизменным. Та-
Таким образом, если твердому телу сообщить вращение около
главной центральной оси инерции, то при отсутствии внешних
сил ось вращения тела сохранит свое положение в пространстве
неизменным. Таких осей у тела с произвольным распределением
масс будет три. Эти оси называют в механике свободными ося-
осями вращения. Если центральный эллипсоид инерции тела есть
шар, то любая ось, проходящая через центр масс, будет сво-
свободной осью вращения.
Если одна из точек тела, например точка А, закреплена, а
в точке В имеем подшипник, то, сообщая телу в свободном про-
пространстве вращение около одной из главных осей эллипсоида
инерции для точки А (например, оси Az), можно уравнения
B1)—B4) записать в виде:
^ = NAX + NBx
— Myja? -J- Mxc& = NAy -Ь NBy
/„© =
B7)
Из уравнений B7) следует, что боковые давления на ось
вращения в подшипнике В отсутствуют. Вращение тела будет
происходить с постоянной угловой скоростью, так как из по-
последнего уравнения B7) видно, что со = О. Мы не нарушим вра-
вращения около оси Az, если уберем подшипник в точке В. Таким
образом, если твердому телу, имеющему одну закрепленную
точку А, сообщить вращение около одной из проходящих через
416
N,
г
эту точку главных осей эллипсоида инерции, то ось вращения
при отсутствии внешних сил будет сохранять свое положение
в пространстве неизменным. Следовательно, в свободном про-
пространстве тело с одной закрепленной точкой будет иметь в об-
общем случае три свободные оси вращения, совпадающие с тремя
главными осями эллипсоида инерции для точки А. Если эллип-
эллипсоид инерции для точки А есть эллипсоид вращения, то все
экваториальные оси эллипсоида инерции будут свободными
осями вращения. Если эллипсоид инерции для точки А есть
шар, то любая ось, прохо-
проходящая через точку А, будет
свободной осью вращения.
Если тело с закреплен-
закрепленной точкой А находится в
поле силы тяжести, то ось
вращения будет свободной
осью тела при условии, что
линия действия силы веса
проходит через точку А.
Задача 22. Центр тя-
тяжести С колеса турбины
смещен от оси вращения на
расстояние d=0,5 мм. Коле-
Колесо имеет вес Р = 200 кГ и,
равномерно вращаясь, де-
делает 6000 об/мин. Опреде-
Определить реакции подпятника А и подшипника В, если расстояние
AB = h=l м, AD = DB = -j и ось Dz является главной осью инер-
инерции для точки D (фиг. 181).
Решение. Напишем уравнения для определения динами-
динамических реакций, выбирая начало координат в точке D.
Из уравнений B1) и B3) имеем:
Фиг.
-N
вх
B8)
Для упрощения вычислений допустим, что центр тяжести ле-
лежит на оси Dy, т. е. хе = 0, тогда из уравнений B2) при нашем
выборе осей получим:
)
B9)
27 А. А. Космодемьянский
417
.*. + |L) ~ _2000 кГ.
Из уравнений B8) и B9) мы легко найдем:
MAz = P = 200 кГ, NAx = NBX = 0,
NAy = P.d(i—^~)^-2000 кГ,
NBy =
Результаты вычислений показывают, что динамические на-
нагрузки на подшипники турбин в 10 раз превышают собственный
вес турбины, хотя неточность в центровке вала составляет всего
0,5 мм.
§ 3. Физический маятник
Физическим маятником называется тяжелое твердое тело,
которое может вращаться вокруг неподвижной горизонтальной
оси, не проходящей через центр масс тела; эта ось называется
осью привеса маятника.
Проведем плоскость перпендикулярную к неподвижной оси
и проходящую через центр масс тела (фиг. 182). Точку пересе-
пересечения оси маятника с данной плоскостью назовем точкой приве-
привеса маятника. Расстояние ОС ме-
между точкой привеса и центром
масс обозначим через а. Поло-
Положение маятника будем задавать
углом ф между линией ОС и
вертикалью Ох. Напишем урав-
уравнение вращения маятника во-
вокруг оси Oz, перпендикулярной
к плоскости хОу и проходящей
через точку О.
Дифференциальное уравнение
вращения будет иметь вид:
1гг ф = тотг (Mg) = — Mga sin ф,
где IZI — момент инерции маят-
маятника относительно оси вращения Oz. Разделим обе части уравне-
уравнения на Izz и перенесем все слагаемые в левую часть; будем иметь:
•¦ . Mga
2, \о.Со качаний
Фиг. 182
Полагая
получим:
Mga
2sir^ = 0, C0)
Из уравнения C0) следует, что дифференциальное уравне-
уравнение движения физического маятника не отличается от соот-
418
ветствующего уравнения движения математического маятника
(см. главу V, стр. 293). При малых углах отклонения период
колебаний физического маятника можно вычислить по формуле:
C1)
Сравнивая C1) с формулой для периода малых колебании
математического маятника, согласно которой Т = 2лу —> мы
приходим к выводу, что физический маятник колеблется так же,
как математический маятник длиной L — -jJfc. Длину L назы-
называют приведенной длиной физического маятника. Таким обра-
образом, приведенная длина физического маятника есть длина та-
такого математического маятника, который колеблется с тем же
периодом, что и данный физический маятник.
Докажем, что приведенная длина L физического маятника
всегда больше расстояния а. В самом деле, на основании тео-
теоремы Гюйгенса:
Так как/сс = тИр?, где р;—радиус инерции тела относительно
оси, проходящей через центр масс тела и параллельной оси Ог,
то
? = 1& = -т? = а + ^>а. C2)
Отложим на линии ОС отрезок OOi = L. Точка Oi называет-
называется центром качаний. Если точку привеса маятника поместить
в центре качаний, то центр качаний будет находиться в перво-
первоначальной точке привеса, иначе говоря, точки О и Oi взаимны.
Для доказательства этого утверждения вычислим приведенную
длину физического маятника L\ в том случае, когда ось привеса
проходит через точку О4. Будем иметь:
tf + MiO.Cf р\
\
L^~~ M(OtC) ~
2
Но нз формулы C2) следует, что ОХС = —, поэтому
что и доказывает взаимность точек О и О\.
Свойством взаимности точек О и О( пользуются при устрой-
стве так называемого оборотного маятника, служащего для
точного измерения ускорения силы тяжести на земной поверх-
27* 41Э
ности. Оборотный маятник представляет собой пластину с про-
прорезью, снабженную двумя трехгранными ножами, острые ребра
которых О и Oi расположены так, что могут по очереди слу-
служить осями вращения. Ножи прикреплены к пластине таким
образом, что лезвия ножей (фиг. 183) лежат в одной плоскости
с центром масс на различных расстояниях от этой точки. Пере-
Перемещением одного из ножей можно добиться то-
того, что период колебаний будет одинаковым при
колебаниях маятника около любого из ножей.
Тогда точки О и Oi будут соответственно цент-
центром качаний и точкой привеса, а расстояние ме-
между ними будет равно приведенной длине маят-
маятника L. Зная приведенную длину и период ко-
колебаний маятника из формулы C1), получим:
C4)
Формула C4) позволяет достаточно точно
определить ускорение силы тяжести g опытным
путем.
Если угол отклонения маятника не является
малым, то период колебаний будет определяться
так же, как и период колебаний математического маятника в
случае точного решения, т. е.
Фиг. 183
т=
2•4 • 6 ... 2п
л=1
Sin
где фо — начальный угол отклонения маятника от вертикали.
Задача 23. Однородная тяжелая пластинка, имеющая
фораду эллипса с полуосями ct\ и Ьи качается в вертикальной
плоскости около оси, проходящей через фокус эллипса. Изве-
Известно, что центр качаний находится в другом фокусе. Определить
отношение полуосей эллипса и его эксцентриситет (фиг. 184).
Как известно [см. формулу C2)], приведенная длина физи-
физического маятника, качающегося около оси, перпендикулярной
к плоскости эллипса и проходящей через точку О, равна:
г— Г°а _1сс+М(ОСу _пг . 1СС
ь~~ М(ОС)~ М(ОС) <^-т- М(ОС)'
где /сс — момент инерции эллиптической пластинки относитель-
относительно оси, перпендикулярной к плоскости пластинки и проходящей
через ее центр масс. Отрезок ОС есть фокусное расстояние. Как
известно из аналитической геометрии, 0C=Vai — b\.
По условию задачи:
/г
420
или
Для эллиптической пластинки момент инерции равен
•j-M (fli -f- 61), где М — масса пластинки.
Таким образом,
или
откуда
Эксцентриситет эллипса равен:
ОС Vfi-ti
--/?¦
Фиг. 184
а, я,
Примечание. Момент инерции эллиптической пластинки
относительно оси, перпендикулярной к плоскости эллипса и про-
проходящей через центр масс, можно подсчитать следующим обра-
образом. Если оси Сх и Су направлены вдоль главных осей эллипса,
то
= j y2dm-{-f x2 dm,
где а — площадь эллипса.
Вводя новые переменные л, =— и yl = -j, уравнение эл-
эллипса можно преобразовать к уравнению окружности радиуса
/?=1. Таким образом,
a1
так как интегралы, распространенные по площади круга /?=1,
равны половине осевого момента инерции круговой пластинки,
1 MR2
т. е. ^ ~2—¦
Следовательно,
421
§ 4. Экспериментальное определение моментов инерции тел
Вычисление моментов инерции неоднородных тел (а также
однородных тел сложной геометрической формы) вызывает
большие затруднения. Поэтому в современной технической
практике методы экспериментального определения моментов
инерции тел имеют весьма важное значение. Рассмотренные
нами методы изучения движения твердого тела около неподвиж-
неподвижной оси и основные теоремы механики дают научную основу
для практического осуществления соответствующих установок.
Мы рассмотрим три метода
экспериментального определе-
определения осевых моментов инерции
тел.
а) Метод маятнико-
маятниковых колебаний. Теория
физического маятника для ма-
малых углов отклонения дает
простой метод определения мо-
Фиг. 185
мента инерции данного тела
около оси, проходящей через его центр масс. В самом деле,
пусть тело, имеющее горизонтальную ось вращения АВ, подве-
подвешено так, что интересующая нас центральная ось AiBi парал-
параллельна оси АВ (фиг. 185). Будем пренебрегать массой стерж-
стержней, при помощи которых осуществляется подвеска. Тогда пе-
период малых колебаний тела около оси АВ будет равен:
Mga
Mga
где а — расстояние между осями АВ и AiB^
Разрешая C5) относительно /сс, получим:
C5)
C6)
где P— вес тела.
Определив из наблюдений период колебаний Т, зная вес
тела и положение его центра масс (т. е. расстояние а), мы мо-
можем по формуле C6) вычислить момент инерции тела.
б) Метод крутильных колебаний. Пусть тело под-
подвешено на проволоке к неподвижной точке О (фиг. 186). Если
тело, находящееся в равновесии, повернуть на некоторый угол <р
и затем отпустить, то возникнут так называемые крутильные
колебания тела вокруг оси ОС. Пренебрегая массой проволоки,
составим дифференциальное уравнение движения тела около
оси ОС. Пусть точка С совпадает с центром масс тела, тогда
момент силы тяжести относительно оси вращения будет равен
нулю. Как показывает опыт, момент сил упругости проволоки
422
прямо пропорционален углу закручивания (углу отклонения
тела от положения равновесия), т. е. равен Рф, где р—коэффи-
р—коэффициент пропорциональности.
Таким образом, уравнение движения тела около оси ОС бу-
будет иметь вид:
/,,Ф = — 6Ф, \О
или
где
C7)
Период колебаний в этом случае будет
равен:
">. C8)
Для того чтобы исключить в дальнейшем
коэффициент р, прикрепим к данной проволо-
ке тело простой геометрической формы (на-
(например, диск радиуса R), момент инерции которого нам изве*
, MR*
стен и равен /0 =—ц—.
Фиг. 186
Период колебаний в этом случае будет равен:
Разделим 7\ на Т%, тогда получим:
Разрешая D0) относительно /сс, легко находим:
Т2
C9)
D0)
D1)
Определяя из опыта 7\ и Г2 и зная /0, мы можем по формуле
D1) найти момент инерции тела относительно оси ОС.
в) Метод падающего груза. Пусть тело закреплено
на оси АВ. В точке А имеется подпятник, а в точке В — под-
подшипник. Для сообщения телу вращения имеется следующее
устройство (фиг. 187). На оси вращения закреплен блок D ра-
радиуса R; на блок навернута нить, перекинутая через второй
блок в точке О. К концу нити подвешен груз весом Р, который
при опускании вызывает вращение тела около оси АВ. Пусть
<р — угол поворота тела, х— расстояние груза от его начального
423
положения (мы считаем, что в начальный момент ф = 0 и х=0);
моментом инерции блока D пренебрегаем. Силы трения в под-
подпятнике и подшипнике, а также силы сопротивления воздуха
не учитываем.
Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии
в конечном виде для системы тело — груз. Будем иметь:
ГТ л
По условию тело и груз в начальный момент находятся в по-
покое, следовательно, Г0 = 0, а
Т — -I / 2_J/ '2
' тела — 2 АВ® — 2 Ав№ >
I I P •
Так как х—yR, то
1
т
г х2 р • ]
\!а в ~& +1 *2 \=
~ 2 L R> ' g
Работа силы тяжести груза равна:
-> Т Таким образом,
R2
или
dx
Фиг. 187
х~ dt ~
= а}/х, D2)
где для сокращения записи положено:
а =
АВ
+¦
R ^ g
Разделив в уравнении D2) переменные, получим:
откуда, интегрируя, имеем:
Так как при /=0 д;=0, то Ci = U.
424
Следовательно,
или
х = \аЧ\ D3)
Пусть за время / = Г груз опустился на высоту x=h, тогда из
D3) следует, что
Подставляя значение а, получим:
и- ' р р
2 /,„ Р '
или
PD2T2
2А
Разрешая D4) относительно /АВ, будем иметь:
Зная из опыта Л и 7, по формуле D5) легко найти /АВ.
§ 5. Плоскопараллельное движение твердого тела
Твердое тело при плоскопараллельном движении имеет три
степени свободы: два независимых поступательных перемеще-
перемещения вдоль координатных осей, выбираемых в основной непо-
неподвижной плоскости, параллельно которой происходит движение
тела, и одно вращение вокруг оси, перпендикулярной неподвиж-
неподвижной плоскости. Таким образом, положение твердого тела при
плоскопараллельном движении определяется тремя параме-
параметрами (тремя обобщенными координатами). Из основных тео-
теорем динамики системы следует, что наиболее рационально вы-
выбрать за обобщенные координаты твердого тела координаты его
центра масс ?е, г)с и угол поворота ф, который образует неизмен-
неизменно связанная с движущимся телом прямая СА с осью Og
(фиг. 188).
Пусть на твердое тело действуют силы Fv F2, ..., Fn, ко-
которые расположены в плоскости симметрии тела, параллельной
основной неподвижной плоскости.
На основании теоремы о движении центра масс твердого
тела имеем:
v=l
425
или в проекциях на неподвижные оси координат:
v=l
v=l
VII-
D6)
Движение относительно центра масс является вращением
тела вокруг оси постоянного направления, перпендикулярной к
плоскости \Оч\ и проходящей через центр масс. Так как теорема
об изменении кинетического момента приложима к движению
относительно центра масс в той
же форме, что и для неподвиж-
неподвижной системы, то на основании
этой теоремы будем иметь:
D7)
О
v=i
(с
Фиг. 188
где /ес — момент инерции тела
относительно оси, проходящей
^ через центр масс, перпендикуляр-
( ной к основной неподвижной пло-
плоскости.
Уравнения D6) и D7) по-
позволяют определить координаты
центра масс тела ?с, Цс и угол поворота ф в функции времени,
т. е. найти закон движения тела.
При решении частных задач плоскопараллельного движения
твердого тела иногда удобно пользоваться теоремой об измене-
изменении кинетического момента в проекции на неподвижную ось О?:
v=l
или
D8)
где /ссф — кинетический момент тела относительно центра масс.
В некоторых случаях полезно применять теорему об измене-
изменении кинетической энергии как по отношению к неподвижным
осям, так и по отношению к подвижным осям постоянного на-
направления, имеющим начало в центре масс тела и параллель-
параллельным осям неподвижной системы.
По теореме Кёнига кинетическая энергия твердого тела в аб-
абсолютном движении равна:
Т— 1 М 2 , ! /
1 ~Ттч)с~Г о 'с
ЛИ
426
следовательно, теорема об изменении кинетической энергии в
дифференциальной форме по отношению к неподвижным осям
координат будет иметь вид:
d [1
D9)
Для определения угловой скорости вращения тела вокруг
оси, проходящей через центр масс, полезно в ряде случаев при-
применять теорему об изменении кинетической энергии в дифферен-
дифференциальной форме для относительного движения. Будем иметь:
E0)
IN
Уравнения D9) и E0) имеют особое преимущество при изу-
изучении плоскопараллельного движения твердого тела, на которое
наложены идеальные, неосвобождающие связи, так как в этих
случаях работа реакций связей обращается в нуль.
Рассмотрим две задачи на применение основных уравнений,
полученных в этом параграфе.
Задача 24. Тяжелый круглый цилиндр радиуса R и весом
Р скатывается по «аклонной шероховатой плоскости без сколь-
скольжения так, что ось цилиндра
остается все время горизон-
горизонтальной. Угол наклона плоско-
плоскости к горизонту равен а
(фиг. 189). Найти закон дви-
движения центра масс цилиндра.
Очевидно, что рассматри-
рассматриваемое движение является пло-
плоскопараллельным, так как все
точки цилиндра движутся па-
параллельно неподвижной вер-
вертикальной плоскости (фиг. 189).
Для изучения движения вве-
введем неподвижную систему осей
координат 0%ц, причем ось О? направим вдоль наклонной пло-
плоскости, а ось Оц— перпендикулярно к ней. Для определенности
допустим, что в момент времени t=0 центр масс цилиндра на-
находится па оси Оц и угол <р = 0. Внешними силами, действую-
действующими на цилиндр, являются вес цилиндра Р, нормальная реак-
ция N, направленная перпендикулярно к наклонной плоскости,
и сила трения F, направленная вверх по наклонной плоскости
в сторону, противоположную движению.
427
Фиг.
Напишем уравнения движения центра масс цилиндра. На
основании уравнений D6) будем иметь:
= Р sina — F, E1)
Мцс = N — Р cos a. E2)
Уравнение движения около центра масс (уравнение враще-
вращения) на основании D7) будет иметь вид:
/J = RF. E3)
Так как во все время движения вдоль наклонной плоскости
•Цс — R, то г)с=0 и нормальная реакция N=P cos ос.
При качении цилиндра по шероховатой плоскости ось мгно-
мгновенного вращения направлена по образующей, касающейся на-
наклонной плоскости, поэтому vc=ic = Rq>. Следовательно, в дан-
данном случае
Определим из E3) силу трения F и подставим найденное
значение в E1). Тогда получим:
отсюда
Полагая ^cc = -Mpj< где рг- есть радиус инерции цилиндра
относительно его оси симметрии, уравнение E4) можно напи-
написать в виде:
^ E5)
1 +
(А)'
\R4
Формула E5) показывает, что при качении цилиндра по ше-
шероховатой наклонной плоскости без скольжения центр масс ци-
цилиндра движется равноускоренно, причем ускорение центра масс
цилиндра меньше, чем при скольжении того же цилиндра по аб-
абсолютно гладкой плоскости, когда F=0. В случае качения шара
или обруча формула E5) также справедлива, но при этом вме-
вместо рг- следует подставлять соответствующие значения радиусов
инерции этих тел.
428
Формулу E5) можно легко получить на основании соотно-
соотношения D9). В самом деле, кинетическая энергия цилиндра
равна:
так как г)с = 0.
-> ->.
Элементарная работа силы реакции N и силы трения F равна
нулю, так как точки приложения этих сил находятся на оси
мгновенного вращения цилиндра. Элементарная работа силы
тяжести равна Pd?c sin а. Следовательно, из D9) мы получим:
d [i Mfc + ~ fcy] =Pdlcs\na.
Заметив, что со = -^, после дифференцирования получим:
М\ dic + -^f lc d\c = P d\c sin a,
T--5f-!c = /3sina-
или
Psina
откуда
В прилагаемой таблице даны значения ускорений центров
масс для цилиндра, шара и обруча, скатывающихся по наклон-
наклонной плоскости:
Цилиндр катится по шероховатой
наклонной плоскости
Шар катится по шероховатой на-
наклонной плоскости
Обруч катится по шероховатой на-
наклонной плоскости
Радиус инерции
«/!
R
Ускорение
2
-g gsma
у g sin a
Эта таблица показывает, что, чем больше радиус инерции
тела, тем меньше ускорение его центра тяжести. Действительно,
429
чем больше радиус инерции тела, тем большая часть работы си-
силы тяжести переходит в кинетическую энергию вращательного
движения. Легко видеть, что при скольжении цилиндра, шара
и обруча по абсолютно гладкой наклонной плоскости ускорения
их центров масс будут одинаковыми, равными gsina*.
Задача 25. В качестве второго примера рассмотрим задачу
о гибком вале турбины Лаваля.
Мы указывали, что если центр масс вращающегося тела не
находится на оси вращения, то динамические реакции подшип-
подшипников увеличиваются пропорционально ква-
квадрату угловой скорости. Даже при весьма
небольших смещениях центра масс с оси
вращения динамические нагрузки могут
достигать очень больших значений, если
угловая скорость достаточно велика. Слу-
Случай весьма быстрого вращения имеет место
в паровых турбинах типа Лаваля. Рабо-
Рабочее колесо этой турбины делает до
30 000 об/мин. Чтобы уменьшить величину
динамических реакций в подшипниках та-
"*¦ кой турбины, Лаваль предложил насажи-
насаживать рабочее колесо турбины на тонкий
гибкий вал. Оказывается, что при больших
угловых скоростях вращения колесо тур-
турбины, насаженное на гибкий вал, авто-
автоматически центрируется, вал изгибается
так, что центр тяжести рабочего колеса
турбины приближается к геометрической
оси вращения.
Колесо турбины схематически предста-
представим в виде круглого диска радиуса R и
массы М, насаженного на вертикальную
ось ADB (фиг. 190). Пусть точка С — центр
масс диска, D — точка пересечения оси изо-
изогнутого вала с плоскостью диска. Расстоя-
Расстояние DC—e называется эксцентриситетом ди-
диска. На практике е— величина очень малая,
порядка долей миллиметра. Отклонение
оси вала от прямой АОВ будет OD = r. Проведем в плоскости
диска оси декартовых координат с началом в точке О и обозна-
обозначим проекции вектора OD на эти оси через х и у. Координаты
центра масс диска относительно этих осей назовем хс и ус. На
диск действуют две силы: вес и упругая сила изогнутого вала,
• Отсюда следует, что ускорение центра масс тела, скользящего по аб-
абсолютно гладкой наклонной плоскости, больше, чем ускорение центра масс
того же тела при чистом качении.
а)
В
Фиг. 190
430
которую будем считать пропорциональной стрелке прогиба OD,
т. е. F—cr. Дифференциальные уравнения движения центра
масс диска примут вид:
Мх=~ сх
— СУ
E6)
Угловую скорость вращения вала будем считать постоянной
> ¦* —»¦ -> ->
и равной со. Из фигуры 190 ясно, что г — гс—• DC — rc — е.
Обозначив угол вектора DC с осью Ох через ф, получим:
х = хг — е cos
E7)
где ф = со^.
Дифференцируя E7) дважды по времени, мы находим:
хс = х — еа>2 cos ф,
ус = у — еа>2 sin ф.
Подставляя эти значения хс и ус в уравнения E6), будем иметь:
x-\-jjX = e()y'2cos()yt, у +-^-f/ = e<»2sin at, E8)
или
х-\-п?х = ей2 cos соЛ у-\-п?у =e(o2sinio^, E9)
где
Уравнения E9) аналогичны дифференциальным уравнениям
вынужденных колебаний точки при отсутствии сил сопротивле-
сопротивления. Общее решение этих уравнений имеет вид:
= ах sin (tit + а,) ¦+-
cos (со;1)
F0)
где аь а2, оч. «2 — произвольные постоянные интегрирования.
Произвольные постоянные определяются из начальных условий;
выберем начальные условия таким образом, чтобы ai = a2 = 0.
Тогда движение точки D будет определяться следующими урав-
уравнениями:
«о2
F1)
431
Значение угловой скорости оз, соответствующее резонансу,
называется критической угловой скоростью. Величина стрелы
прогиба вала будет равна:
Угол а, который образует вектор ОТ) с осью Ох, можно
найти из F1), подставляя x = OD cos a, y = ODsina, тогда, оче-
очевидно, получим: a = d)t. Отсюда следует, что точки О, D и С ле-
лежат на одной прямой. Эта прямая равномерно вращается с уг-
угловой скоростью о) вокруг оси, проходящей через точку О.
Расстояние ОС=гс центра масс диска от прямой АОВ равно:
?@2 . 6 ircs\
= -7?-^- + e = —,. F2)
я2
Если со<«, то гс>О/)>0, т. е. точка D находится между точ-
точками О и С. Если оз>«, то OD>rc. Отрицательному значению
стрелы прогиба OD соответствует прогиб вала в сторону, про-
противоположную направлению вектора DC, т. е. центр тяжести в
этом случае располагается между точками О и D. Если со = оо,
то гс = 0 и OD = —е. Следовательно, при достаточно большой уг-
угловой скорости вращения диск, насаженный на гибкий вал, ав-
автоматически центрируется.
В турбине Лаваля угловая скорость со выбирается равной
7п — 7у -эд- = 7сокр. В этом случае из формулы F2) следует,
что (rc) = -7g-, т. е. неточность в центровке диска турбины
уменьшается в 48 раз. Явление автоматического центрирования
колеса турбины, насаженного на гибкий вал, было замечено
изобретателем паровой турбины Лавалем в 1884 г. Уточненное
теоретическое объяснение этого явления, парадоксального на
первый взгляд, было дано профессором Н. Е. Жуковским в
1897 г. *.
*Н Е Жуковский, Об упругой оси турбины Лаваля и об осях
с качающимися подшипниками. Собрание сочинений, т. I, M, 1937,
стр. 461—474.
ГЛАВА IX
ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ОКОЛО
НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ
«Но здравый человеческий смысл, весь-
весьма почтенный спутник в домашнем обихо-.
де, между четырьмя стенами, переживает
самые удивительные приключения, лишь
только он отвао/сится пуститься в далекий
путь исследования».
Ф Энгельс
§ 1. Динамические и кинематические уравнения Эйлера
Пусть твердое тело имеет одну неподвижную точку О. При-
Примем эту точку за начало неподвижных осей координат О|г)?
(фиг. 191). Возьмем вторую систему осей координат Oxyz, не-
неизменно связанную с движу-
движущимся твердым телом. Поло-
Положение тела относительно не-
неподвижных осей будет опреде-
определено, если будет известно по-
положение осей Oxyz относитель-
относительно O?ti? Было показано (см.
разд. «Кинематика», стр. 98—
99), что положение осей Охуг
относительно ОЬ,ц1 вполне опре-
определяется заданием углов Эй-
Эйлера ф, 1]э, 0. Таким образом,
движение твердого тела будет
известно, если мы будем знать *иг '91
три угла Эйлера в функ-
функции времени. Твердое тело с одной неподвижной точкой имеет
три степени свободы Пусть на твердое тело действует система
активных сил Fv F2, •¦¦, Fn. Присоединяя к этим силам реак-
реакцию неподвижной точки Ro, мы можем рассматривать тело как
28 А А. Космодемьянский
433
свободное и написать уравнения движения центра масс тела if
уравнения движения относительно центра масс.
Однако можно исследовать движение твердого тела около
неподвижной точки более простым методом, воспользовавшись
теоремой об изменении кинетического момента относительно
точки О. Так как скорость любой точки тела по формуле Эй-
Эйлера равна:
vv = со X rv,
то кинетический момент К относительно точки О будет:
¦> " -> -> " -> + •>
K=Z (rv X mvvv) = 2j mvrv X (» X /\) =
V=l V=l
¦>" 2 " -> ¦*->
= co2j/nvrv—ZjWvrv (corv). A)
v=l v=l
Проектируя A) на подвижные оси координат, получим (см.
стр. 413):
Кх = + /,,/> — /„4- — /«/" )
B)
В соотношениях B) р, q, r суть проекции мгновенной угло-
угловой скорости твердого тела на подвижные оси Ох, Оу, Oz, а 1ХХ,
lyy, hi, IXy=Iyx, IVz=Iiy, Izx = fxz—осевые и центробежные мо-
моменты инерции относительно тех же осей.
Если A) спроектировать на неподвижные оси Og, Or\, OZ,t
то получим три соотношения, аналогичные B), а именно:
C)
В соотношениях C) pi, qi, Г\ — проекции мгновенной угло-
угловой скорости на неподвижные оси, а 1ц, Im, 1ц, /gr, = /^i, /ч» =
= h->v hz — hl — осевые и центробежные моменты инерции тела
относительно осей неподвижного трехгранника О^т\?.
Кинетическая энергия твердого тела, движущегося около не-
неподвижной точки, будет:
v=i v=l
434
где К—-кинетический момент тела относительно точки О. Зная
по формулам B) проекции К на подвижные оси, D) можно за-
писать в виде:
= Т (f*.P2 + Л'у<72 + hzr2 - Vyzqr - 21гхгр - 2I,ypq). E)
Соотношения B) и E) можно записать в более компактном
виде, если воспользоваться тензорной символикой. В самом
деле, формулы B) связывают проекции вектора К с проекциями
р
вектора со линейными соотношениями, причем матрица линей-
линейного преобразования имеет вид:
) F)
Матрица F) называется тензором инерции, и геометриче-
геометрическим образом этого тензора является эллипсоид инерции. Ис-
Используя F), соотношения B) и E) можно представить в виде;
(8)
При изучении движения твердого тела около неподвижной
точки мы будем пользоваться подвижной системой осей коорди-
координат. Такой метод изучения был впервые применен Л. Эйлером,
и он имеет следующие преимущества: осевые и центробежные
моменты инерции относительно подвижных осей являются ве-
величинами постоянными, и мы сможем их определять обычными
приемами интегрального исчисления; не ограничивая общности
решения, подвижные оси координат можно выбрать так, чтобы
они совпадали с главными осями инерции для точки О. Соотно-
Соотношения B) и E) существенно упрощаются, так как для главных
осей инерции центробежные моменты инерции будут равны
нулю.
Будем иметь для главных осей инерции:
Kx=-Ixxp, Ky = Iyuq, Kz = Izzr, (9)
T = \(Ixxp2 + fyyq2+Izzr>). A0)
Для того чтобы написать дифференциальные уравнения дви-
движения твердого тела около неподвижной точки, мы восполь-
28 * 435
зуемся теоремой об изменении кинетического момента относи-
относительно подвижных осей. Как было показано (см. главу VIII.
формула 18), эта теорема в подвижных осях Oxyz будет записы-
записываться в следующей форме:
A1)
v=l
d*
d *
где -7г (К) есть относительная (или локальная) производная
вектора К-
Принимая за подвижные оси координат главные оси инер-
инерции тела для точки О и проектируя на эти оси уравнение (И),
получим:
v=l
¦Ц- УиыЯ) + (rlxxp - Plzzr) =
у Р[е),
v=l
Так как Ixx, Iyv, IZz — величины постоянные, то, выполняя-
дифференцирование и опуская индекс (*) у производной по вре-
времени, будем иметь:
- 'уу) ^ =
A2)
V=l »
Уравнения A2) называются динамическими уравнениями
Эйлера для движения твердого тела около неподвижной точки.
В левые части этих уравнений входят три неизвестные функции
р, q, r, которые представляют собой проекции мгновенной угло-
угловой скорости на подвижные оси. 1ХХ, /уу, 11г — осевые моменты
инерции относительно главных осей. В общем случае моменты
внешних действующих сил зависят от положения (ориентации)
тела по отношению к неподвижным осям, т. е. от углов Эйлера,.
436
от угловой скорости вращения ы и времени t, т. е.
^1 = ЫФ' ^> 9' Р> Я> г' О»
v=l
s
v=l
v=l
= B{(f, ip, 6, р, q, r, (),
5, 9, р, q, r, t).
Таким образом, три уравнения A2) связывают шесть неиз-
неизвестных функций ф, гр, 0, р, q, г. Для того чтобы сделать задачу
определенной, мужно получить еще три уравнения для искомых
функций. Эти три дополнительных уравнения можно получить,
установив связь между р, q, г и углами Эйлера ф, гр, 0. Мы
Фиг. 192
установим эту связь, исходя из геометрических соображений
(фиг. 192). В самом деле, пусть прямая OL — линия пересече-
пересечения плоскостей хОу и |От|. Эта прямая называется линией уз-
узлов. Угол между осью О\ и линией узлов является углом пре-
прецессии гр, угол между осью Ох и линией узлов — углом соб-
собственного вращения ф, угол между осями О? и Oz — углом
нутации 0. Положительные направления отсчета углов ф, \р, 8
показаны на фигуре 192. Эти три угла не зависят друг от друга
и единственным образом определяют положение твердого тела
относительно неподвижной системы координат 0%ц1,.
Для того чтобы переместить трехгранный угол Oxyz из од-
одного положения, определяемого углами ф, гр, 0, в другое, бес-
бесконечно близкое положение, определяемое углами ф+^ф, гр + с/ф
и Q + dQ, поступим так: повернем трехгранный угол Oxyz вокруг
оси 01, на достаточно малый угол dip, тогда угол \р получит
Приращение dip, а углы ф и 0 останутся без изменения. Линия
узлов займет новое положение OLi (фиг. 192, а). Повернем
43Г
трехгранный угол Охуг вокруг оси OLi на угол dQ, тогда углы
\|з + Лр и ф не изменятся, а угол 0 увеличится на Л) (фиг. 192, Ь).
Поворачивая затем трехгранник Oxyz вокруг нового положения
оси Oz на угол с?ф, мы получим новое значение угла собствен-
собственного вращения ф + а(ф (фиг. 192, с). Разделив приращения эйле-
эйлеровых углов на приращения времени, мы получим, что вектор
угловой скорости собственного вращения будет направлен по
оси Ог, вектор угловой скорости прецессии — по оси О? и вектор
угловой скорости нутации — по линии узлов OL. Векторная сум-
сумма этих трех угловых скоро-
скоростей дает вектор мгновенной
угловой скорости <й. Таким
образом,
, A3)
°
Фиг. 193
где г°, t°, 1°— единичные
векторы соответствующих
направлений.
Проекция мгновенной
угловой скорости на любое
направление будет, очевид-
очевидно, равна сумме проекций
угловых скоростей собст-
собственного вращения, прецессии и нутации. Найдем на основании
A3) проекции со на подвижные оси координат Ox, Oy, Oz.
Предварительно проведем плоскость, определяемую прямыми
Oz и О? (фиг. 193). Эта плоскость пересекается с плоскостью
хОу по прямой ОМ. Прямая ОМ образует с осью Оу угол, рав-
равный ф. Поэтому проекции вектора i|)?° на оси Ох и Оу равны
соответственно ipsin 0sin ф, tjjsin 0cos ф. Таким образом, проекти-
проектируя A3) на оси Ох, Оу, Oz, мы получим:-
р = гр sin 0 sin Ф + 6 cos
q = ф sin 0 cos ф — 0 sin
г = ф cos 0 -f- ф
A4)
В этих формулах первые члены правых частей представляют
. ->
собой проекции вектора гр?0 на оси Ох, Оу, Oz. Так как этот век-
вектор направлен по оси 01,, то косинусы углов, образуемых осью
OZ, с осями Ох, Оу, Oz, соответственно равны:
уг = sin О cos Ф' Y3 = cos0. A5)
Соотношения A4) называются кинематическими уравнения-
уравнениями Эйлера.
438
В ряде задач соотношения A4) целесообразно разрешить
относительно ф, г|з, 0. Соответствующие формулы будут иметь
вид:
(р = г — ctg Q(p sin ф + <? cos ф)
A6)
ПГё (Р sin ф + q cos
в = р cos ф — q sin ф
Система шести уравнений A2) и A4) или A2) и A6) пред-
представляет совокупную систему шести обыкновенных дифференци-
дифференциальных уравнений первого порядка относительно функций р,
Я, г, Ч>, Ф> 9- Определив интегрированием р, q, г, <р, гр, 0 как
функции времени и шести произвольных постоянных, мы найдем
закон движения твердого тела около неподвижной точки. Про-
Произвольные постоянные интегрирования определяются из началь-
начальных условий, т. е. из задания начального положения твердого
тела и его начальной угловой скорости. Следует отметить, что
интеграция системы уравнений A2) и A4) при произвольных
начальных условиях выполнена для ограниченного числа задач.
Мы рассмотрим далее некоторые классические задачи о движе-
движении твердого тела около неподвижной точки.
§ 2. Регулярная прецессия
Пусть тяжелое твердое тело имеет ось Oz осью динамической
симметрии и центр масс тела совпадает с неподвижной точ-
точкой О. В этом случае эллипсоид инерции, построенный для точ-
точки О, будет эллипсоидом вращения, т. е. Ixx — IyV, a
v=l
->
— тотоЯ =
Примером такого движения будет, например, движение ко-
локолообразного волчка (см. фиг. 194), у которого конец острия
оси симметрии совпадает с центром масс.
Введем обозначения:
I хх == ' уу == ¦Л И I zz == С,
тогда динамические уравнения Эйлера примут следующий вид:
—
A7)
439
Интегрируя последнее из уравнений A7), находим, что
г = const = г0.
В рассматриваемом частном случае вектор кинетического
момента сохраняется неизменным как по величине, так и по на-
направлению относительно неподвижных осей координат. В самом
деле, из теоремы об изменении кинетического момента относи-
dK
тельно О\Ця следует, что ~"jf" = O и. следовательно, вектор
кинетического момента:
->¦ —>¦ ->
К = const = /C0.
Выберем неподвижную ось О? так, чтобы она совпадала по
направлению с вектором кинетического момента, и найдем про-
проекции этого вектора на подвижные оси координат. Принимая
во внимание формулы A5), будем иметь:
Кх = Л/7 =/С sin 9 sincp,
Ку = Aq = Ksin 9cosq>, A8)
д-г = О = К cos 9.
Тач как г — г§ и К = К0, то из третьей формулы A8) легко
находим:
cos 9 = -^А = const = cos 90, A9)
т. е. угол нутации 9 остается неизменным во все время движе-
движения. Знак cos 9o совпадает со знаком г0.
Первые два соотношения A8) показывают, что
A* Q1T1 fl A* Qin fl
p — ——г—--sincp, q = ——i—^coscp. B0)
Кинематические формулы Эйлера A4) при 9 = 9<> можно на-
написать в виде:
р —ij; sin $0 sin ф, q = г|) sin 90 cos ф, ro =
или
psin ф+ q cos
= r0 — \pcos90
B1)
Подставляя в первую из формул B1) значения р и q, вычис-
вычисленные по B0), мы получим:
,j) = -^- = const = co2. B2)
440
Интегрируя B2), будем иметь:
т == ТО —— Wot. у^От
Формулы B2) и B3) показывают, что угловая скорость пре-
прецессии ij) в данном случае постоянна и положительна, а угол
прецессии растет пропорционально времени. Подставляя значе-
значение ij> во вторую из формул B1), найдем:
Ф = (г0 — со2 sin 90) = const = coj. B4)
Интегрируя это соотношение, получим:
B5)
Формулы B4) и B5) показывают, что угловая скорость соб-
собственного вращения постоянна, а угол собственного вращения
растет пропорционально времени.
Фиг. 194
Итак, если тяжелое твердое тело имеет ось динамической
симметрии и центр масс тела совпадает с закрепленной точкой,
то уравнения движения тела имеют следующий вид:
Движение тела, определяемое уравнениями B6), называется
регулярной прецессией. Вектор мгновенной угловой скорости
411
о) является диагональю параллелограмма, построенного на век-
векторах ©1 и ©2- Во все время движения этот параллелограмм
остается неизменным, поворачиваясь вокруг прямой, совпадаю-
совпадающей с направлением вектора ©2, как твердое тело. Геометриче-
Геометрическим местом мгновенных осей вращения относительно непо-
неподвижного пространства является круглый конус с осью О?
(фиг. 194). Геометрическим
местом мгновенных осей
вращения относительно
осей координат Oxyz, свя-
связанных с телом, является
также круглый конус с
' Неподбижный осью Oz. Движение тела
можно наглядно предста-
представить, если катить без сколь-
скольжения подвижный конус
(подвижный аксоид) по не-
неподвижному. Ось динамиче-
динамической симметрии тела также
будет описывать круглый
конус с углом раствора 2а
(фиг. 194).
Установим зависимость
между угловой скоростью
прецессии 1|з = ©2 и угловой
Iнеподвижный скоростью собственного вра-
вращения ф = ©1. При 8 = 6о=
=const из кинематических
уравнений Эйлера следует:
. B7)
B8)
q =(o2sin 60соэф
Г = ©! -j-(D2 COS 80 = Го
Дифференцируя B7) по времени, получим:
jo = ©1©2sin 80cos ф }
Подставляя р, а также q, r в первое из динамических урав-
уравнений Эйлера, будем иметь:
.AwjWj sin 60 cos ф -+- (С — А) о>2 sin 80 cos ф {ах -+- w2 cos 90) = О,
или после очевидных сокращений
02 = (А —С) соа % • ^>
Формула B9) показывает, что угловая скорость регулярной
прецессии прямо пропорциональна угловой скорости собствен-
собственного вращения *. Если О А, то знаки угловых скоростей coi и
©2 противоположны. Такой случай движения твердого тела на-
называется ретроградной прецессией. Ретроградная прецессия
будет, например, иметь место, если твердое тело представляет
тяжелый тонкий диск, закрепленный в его центре масс. Если
С<А, тогда знаки а» и со2 одинаковы. Здесь мы будем иметь
прямую прецессию. Прямая прецессия будет, например, в слу-
случае движения тяжелого длинного стержня, закрепленного в его
центре масс. Относительное расположение подвижного и непо-
неподвижного аксоидов для ретроградной (а) и прямой (Ь) прецес-
прецессий показано на фигуре 195.
Следует заметить, что если С>А, то
и, следовательно,
(А — С) cos е0
С02 > COj.
Если угол нутации %-*--сг> то из B9) следует, что угловая
скорость прецессии будет неограниченно возрастать.
§ 3. Движение несимметричного тела при условии, что момент
внешних сил равен нулю (задача Эйлера — Пуансо)
1. Первые интегралы уравнений движения.
Исследуем более сложный случай движения твердого тела
около неподвижной точки, когда эллипсоид инерции тела
относительно этой точки имеет неравные оси (т. е. АФВФС),
а сумма моментов действующих на тело внешних сил относи-
относительно точки опоры равняется нулю. Практически интересный
пример такого движения будет иметь место, если произвольное
тяжелое тело закрепить в его центре тяжести. Если произволь-
произвольное массивное тело будет двигаться в свободном пространстве
(т. е. в пространстве без действия внешних сил), то легко по-
понять, что центр масс такого тела будет двигаться прямолинейно
и равномерно, а движение около центра масс будет соответство-
соответствовать формулированным выше условиям. Эта задача о движении
твердого тела была впервые исследована Л. Эйлером в 1758 г.;
наглядную геометрическую картину этого движения на осно-
* Движение определяемое формулами B6) и B9) часто называют дви-
движением по инерции. В п. 4 будут рассмотрены явления движения гироскопа
с принудительной прецессией.
44а
вании законов сохранения кинетического момента и кинетиче-
кинетической энергии дал Л. Пуансо в 1834 г.
Динамические уравнения Эйлера будут при формулирован-
формулированных условиях иметь вид:
C0)
Умножая первое из уравнений C0) на р, второе — на q и
третье—на г и складывая, получим:
Интегрируя C1), легко находим:
~ (Лр2 + Bq2 +Cr2) = const. C2)
Но (Ap2+Bq2 + Cr2) =2Т, где Т — кинетическая энергия дви-
движущегося тела, и, следовательно, уравнение C2) выражает за-
закон сохранения кинетической энергии. Мы запишем его в виде:
Г = 1 (Ар2 + Bq* + Сг*) = То, C3)
где То — начальная кинетическая энергия тела.
Если первое из уравнений C0) умножить на Ар, второе — на
Bq, третье — на Сг и сложить, то мы получим:
^^^—О. C4)
Интегрируя C4), находим:
jH2p2+5V + CV2) = const, C5)
или, зная, что проекции кинетического момента на подвижные
оси будут:
Кх = Ар, Ку = Bq, Кг = Сг,
можно C5) записать так:
К2 = АУ + 5У + СУ = const =Kl C6)
Соотношение C6) доказывает, что при движении твердого
тела около неподвижной точки в случае Эйлера — Пуансо кине-
кинетический момент будет постоянным по величине. Докажем, что
вектор К будет постоянным и по величине, и по направлению. В
самом деле, если при формулированных ограничениях написать
444
теорему об изменении кинетического момента относительно не-
неподвижных осей, то мы будем иметь:
dK
dt
= 0,
откуда, интегрируя, находим:
= const = Kn.
C7)
C8)
2. Геометрия движения по Пуансо. На основании
законов сохранения кинетической энергии C3) и вектора кине-
кинетического момента C8) Пуансо дал простое и наглядное геоме-
геометрическое решение этой динамической задачи.
со
Чтобы понимать дальнейшее, представим себе, что данное
тело, движение которого около неподвижной точки мы будем
изучать, включено (впаяно) в невесомый эллипсоид инерции
тела для точки О. Масштаб эллипсоида выберем так, чтобы
тело целиком помещалось внутри эллипсоида инерции
->
(фиг. 196). Мгновенная угловая скорость со пересекает поверх-
поверхность эллипсоида инерции в точке Р{хи уи гх); радиус эллип-
эллипсоида инерции, совпадающий с со и равный по величине ОР,
обозначим через р. Точку Р будем называть полюсом. Касатель-
Касательную плоскость к эллипсоиду инерции в точке P(xt, yit 2t) будем
обозначать через п. Для правильного восприятия геометриче-
геометрической картины движения твердого тела около неподвижной точки
докажем сначала три теоремы Пуансо *.
* L. Р о i п s о t, Theorie nouvelle de la rotation d'un corps, Paris, 1834
См. также Journal de Liouville, t. XVI, 1851.
445
Теорема 1. Мгновенная угловая скорость вращения тела
(о прямо проп,орциональна радиусу-вектору полюса, т. e.a—l.p^
где К = const.
Для доказательства теоремы запишем условие пропорцио-
пропорциональности (о и р в виде:
-^ = JL==JL==ii==^. C9)
•*i Ui г, р V'
Уравнение эллипсоида инерции относительно главных осей
будет:
Ax* + By2 + Cz*=\. D0)
Так как полюс Р лежит на поверхности эллипсоида, то коорди-
координаты полюса хи </i, 2t удовлетворяют D0). Из соотношений C9)
имеем:
Л!= —, «/1 = -. 22= —. D1)
Подставляя значения координат Xt, </ь 2i в уравнение D0),
получим:
Но согласно закону сохранения кинетической энергии C3)
Лр2 + 5^2 _(_ Сг2 = 270 = const
и, следовательно,
что и доказывает теорему 1.
Теорема 2. В любой момент движения касательная плоско-
скость я (касающаяся эллипсоида инерции в точке Р) будет
перпендикулярна к вектору кинетического момента K.*=K0.
Для доказательства теоремы достаточно выяснить, что еди-
->
ничный вектор нормали п° к эллипсоиду инерции в точке
Р(хи у и Zi) коллинеарен вектору К. Напишем уравнение эллип-
эллипсоида инерции D0) в следующем виде:
2F (х, у, z) = Ахп- + By2 + Cz2 — 1 = 0. D3>
->
Как известно, направляющие косинусы вектора нормали /г*
к поверхности эллипсоида cos ai, cos a», cos а3 определяются
446
в точке P(xit уi, Zi) следующими формулами:
дР
cos a, = cos(«°, х) —
cos Ог = cos {п°, у)
cos а3 = cos (n°, z) =
Так как
(—— | —Ах,, (-Д-) =Bui, (-г—) —Czu
то, учитывая D1), формулы для направляющих косинусов
вектора будут:
cos(re°, x) =
->¦
cos(re°, y) =
cos(re°, z) =
Ар
= — = cos (К, х)
К
~K
D4)
Из формул D4) следует, что вектор нормали п° коллинеарен
->¦ —'—>¦ ->¦
вектору К = const = Ко- Так как вектор кинетического мо-
->
мента X фиксирован в неподвижном пространстве, то и пло-
плоскость я, перпендикулярная к вектору К, будет также ориенти-
ориентирована в пространстве вполне определенно (так как плоскость
> ->
я перпендикулярна К = К0, то она параллельна неизменяе-
неизменяемой плоскости Лапласа (см. стр. 383)).
Теорема 3. Расстояние d от неподвижной точки О до пло-
плоскости п, касательной к эллипсоиду инерции в точке P(xit уь zj,
есть величина постоянная.
В самом деле, из фигуры 196 ясно, что
Но
447
Следовательно,
р 2Г„
<45)
Таким образом, при заданных начальных условиях (т. е. извест-
известных Ко, 2Т0) плоскость я фиксирована в неподвижном про-
пространстве, так как она перпендикулярна к Ко и находится на
расстоянии d = const от неподвижной точки О.
Если воспользоваться интегралом энергии в форме
-> ->
и учесть, что относительно неподвижного пространства К = Ко,
то, дифференцируя D6), получим:
K-da = 0. D7)
Так как К^О и о((о=?0, то из D7) следует, что da и К перпен-
перпендикулярны друг другу и вектор da всегда лежит в плоскости,
параллельной плоскости я. Если в частном случае У 27\>= 1,
тогда (о = р и da будет лежать в плоскости я.
Доказанные теоремы Пуансо и дополнительное соотношение
D7) позволяют утверждать, что при движении твердого тела
около неподвижной точки, в случае когда 2 momo.F(e) = 0 эл-
v=l
липсоид инерции тела катится без скольжения по неподвижной
плоскости я, с которой он приведен в соприкосновение.
В самом деле, неподвижная точка О и полюс Р принадле-
принадлежат всегда мгновенной оси вращения и, следовательно, эллип-
эллипсоид инерции будет поворачиваться около оси ОР\ так как при-
приращение da перпендикулярно к постоянному вектору К=Ко,
а проекция векгора а на направление К остается во все время
движения постоянной, то годограф вектора со будет распола-
располагаться в неизменяемой плоскости (параллельной плоскости я)
и движение тела происходит так, что охватывающий тело эл-
эллипсоид инерции катится без скольжения по плоскости п. Мгно-
Мгновенная угловая скорость тела будет пропорциональна длине ра-
радиуса р = ОР, проведенного из центра эллипсоида в точку ка-
касания с неподвижной плоскостью я.
Геометрическое место полюсов Р, отмечаемых на поверх-
поверхности эллипсоида, дает некоторую замкнутую кривую, назы-
называемую полодией.
Геометрическое место полюсов Р, отмечаемых на неподвиж-
неподвижной в пространстве плоскости я, дает в общем случае незамк-
незамкнутую кривую, называемую герполодией. Конус последователь-
448
ных мгновенных осей вращения относительно подвижных осей
(скрепленных с телом) имеет вершину в точке О и называется
подвшкныи аксоидом; линия пересечения подвижного аксоида
с эллипсоидом инерции дает полодию. Геометрическое место
мгновенных осей вращения относительно неподвижного про-
пространства будет также конусом с вершиной в точке О — этот
конус называется неподвижным аксоидом. Линия пересечения
неподвижного аксоида с плоскостью л дает герполодию. Таким
образом, чтобы восстановить геометрическую картину движе-
движения твердого тела около неподвижной точки в случае Эйлера —
Эмипсоид
инерции
Подвижный
аксоид
Полодия
Неподвиж-
Неподвижный аксоид
Фиг. 197
Пуансо, нужно катить без скольжения полодию по герполодии;
одновременно подвижный аксоид будет катиться без скольже-
скольжения по неподвижному аксоиду (фиг. 197).
3. Исследование полодий. Будем исходить из интег-
интеграла энергии и интеграла кинетического момента, которые за-
запишем в виде:
Ар2 + Bq2 -f Cr2 = 2T0 = D[i2
-.2 2 rs2 rt'Z 2
D8)
где D и ji означают новые произвольные постоянные, опреде-
определяющиеся через начальные условия движения. Компоненты
мгновенной угловой скорости р, q, r пропорциональны коорди-
координатам хи уи Zi точки касания эллипсоида инерции, а коорди-
координаты а, уи 2], определяемые D1), удовлетворяют уравнению
эллипсоида инерции. Легко понять, учитывая D1) и первую
теорему Пуансо, что
29 А. А. Космодемьянский
449
а уравнения Dй) можно записать в виде:
Zd ¦ т
1 ¦ " 1 i
Уравнениям D9) и должны удовлетворять координаты то-
точек полоиды. Каждое из уравнений D9) есть уравнение эллип-
эллипсоида. Таким образом, полодия есть линия пересечения двух
эллипсоидов. Из структуры уравнений D9) следует, что поло-
полодия есть алгебраическая кривая четвертого порядка.
Второе из уравнений D9) отражает геометрически тот факт,
что точки полодии суть те точки эллипсоида инерции, для ко-
которых расстояние касательной плоскости я от неподвижного
центра О равно d. В самом деле, если координаты точки поло-
полодии есть хи j/i, 2t, а текущие координаты касательной плоскости
п будут I, г\, ?, то уравнение этой плоскости имеет вид:
= 1, E0)
а расстояние плоскости E0) от начала координат будет:
] =г. E1)
)
Но из формулы D5) следует, что
rsl Г) \\ Г)
Следовательно, из условия E1) будем иметь:
что совпадает со вторым из уравнений D9).
Умножая первое из уравнений D9) на D и вычитая его из
второго, получим:
А(А — D)x\ + B(B — D)y\-\-C{C— D)z\ = Q. E3)
Уравнение E3) есть уравнение конуса с вершиной в неподвиж-
неподвижной точке О. Этот конус есть подвижный аксоид. Для того
чтобы конус E3) был вещественным, необходимо выполнить
условие:
или, зная, что
л — а2 ' ~ rf2 ' ~~ с2 '
\'словие:
а .< d < с. E4)
Условие E4) геометрически очевидно: расстояние d от непо-
неподвижной точки О до плоскости я должно быть для реальных
450
движений не больше а (большой оси эллипсоида инерции) и не
меньше с (малой оси эллипсоида инерции). Если A=D (т. е.
a = d), то уравнение E3) можно записать в виде:
В (А —
E5)
Уравнение E5) представляет две мнимые плоскости (так как
В(А —В)>0 и С(А — С)>0), пересекающиеся по действитель-
*иг. 198
ной прямой (/ = 0, z = 0, т. е. по оси Ох. В этом случае подвиж-
подвижный аксоид (конус) вырождается в прямую Од:, фиксирован-
фиксированную как в теле, так и в неподвижном пространстве. Полодия
вырождается в точку Pt и
твердое тело будет перманент-
перманентно вращаться около главной
оси инерции OPi, или Ох
(фиг. 198).
Если D = C (т. е. d=c), то
уравнение конуса E3) выро-
вырождается в уравнение вида:
А (А — С) х2 + ? (? — С) у1 = 0,
E6)
которое представляет две мни-
мнимые плоскости, пересекающие-
пересекающиеся по действительной оси Ог.
Полодия снова вырождается Фиг. 199
в точку Рг, и в этом случае
мы будем иметь перманентное вращение тела около главной
оси инерции ОР2, или Oz (фиг. 199).
Если B = D (т. е. b = d), то уравнение E3) принимает сле-
следующий вид:
А(А - В) х2 ~ С (В - C)z2 = 0.
29*
E7)
451
Уравнение E7) представляет две действительные плоскости, пе-
пересекающиеся по оси Оу и образующие с плоскостью Оху угол,
тангенс которого равен:
E8)
С (В —С) •
На фигуре 200 представлены полодии на эллипсоиде инер-
инерции для различных расстояний d, лежащих между а и с. Оче-
Очевидно, что плоскости E7) отделяют полодии, окружающие ко-
конец большой и малой полуосей эллипсоида инерции. В том слу-
случае, когда d—b, твердое тело может перманентно вращаться
около оси Оу, но, как будет показано, это движение будет не-
неустойчивым.
—х
Фиг. 200
Фиг. 201
Исходя из уравнений полодии D9), легко найти проекции
этой алгебраической кривой четвертого порядка на координат-
координатные плоскости, исключая какую-либо одну из текущих коор-
координат. Найдем, например, проекцию полодии на плоскость Оху.
Исключая из D9) г2, будем иметь:
А(А — С)х* + В(В — C)y2 = D — С. E9)
Так как А<В<С, то E9) представляет уравнение эллипса с от-
отношением полуосей:
в (в - С)
А (А —С)'
F0)
На фигуре 201 дано семейство эллипсов E9) (при различ-
различных О); при А = В эллипсы вырождаются в окружности ра-
радиуса:
А(А-С)-
F00
452
Если из D9) исключить у2, то мы получим:
А{А — В)х2 — С(В — C)z2 = D— В, E9')
т. е. уравнение гиперболы с отношением полуосей, равным
V л, л ~ я! • Для всех гипербол проекции плоскостей E7)
будут асимптотами (фиг. 202).
Исследование геометрических свойств герполодий более
сложно *. Мы ограничимся только следующим замечанием. Из
теорем Пуансо вытекает (фиг. 203), что z
где pi — полярный радиус какой-либо
точки герполодий. Так как полодии суть
замкнутые кривые, то р = ОР будет при-
принимать значения, лежащие между ртах и
Ртт, и, следовательно, pi будет заклю-
заключено между двумя окружностями радиу-
радиусов:
В общем случае герполодия является
незамкнутой кривой; она имеет вид, по- фиг 2о2
казанный на фигуре 204. В частном слу-
случае, когда, например, А = В, полодия и герполодия обращаются
в окружности. Если, кроме того, d = a, то полодия и герполодия
вырождаются в точки и твердое тело будет перманентно вра-
вращаться около оси Ох.
Фиг. 203
Фиг. 204
4. Устойчивость перманентных вращений око-
около главных осей эллипсоида инерции.
* См.: Н. Е. Жуковский, Полное собрание сочинений. Лекции,
вып. 6, Механика системы. Динамика твердого тела, М., 1939, стр. 224—232.
30 А. А. Космодемьянский
453
Если написать динамические уравнения Эйлера для случая
движения Эйлера — Пуансо в виде:
(B-C)qr
{C — A)rp
C0')
то мы можем легко заключить, что
при <7=г = 0, р —const = (
при r — p — Q, q== const = (
при р = <7 = 0, r =
F1)
Соотношения F1) показывают, что перманентные вращения
возможны около любой из трех (АФВФС) главных осей
эллипсоида инерции. Аналогичный вывод мы получили из гео-
геометрического анализа полодий. Предполагая, как и ранее,
А>В>С, мы покажем, что перманентные вращения будут
устойчивы около осей минимального и максимального моментов
инерции (осей Ох и Ог) и неустойчивы около оси среднего
момента инерции (оси Оу).
Рассмотрим перманентное вращение с угловой скоростью ©4
около оси Ох. Начальные условия пусть будут:
при / = 0 (О1 = (о0, qo = ro = O.
Пусть проекции угловых скоростей получили малые прираще-
приращения еь ег, 8з, малые настолько, что их квадратами и произведе-
произведениями можно пренебрегать. Из динамических уравнений F0)
будем иметь тогда:
В'гг — (С — А) (о0е3
Сё3 = (А — В) (о0е2
F2)
Дифференцируя второе и третье из уравнений F2) и исключая
последовательно ег и е3, получим следующие дифференциаль-
дифференциальные уравнения второго порядка для определения ег и ез:
i ВС
Если А > В и А > С, тогда
(Л-В) (Л-С)
454
и решения уравнений F2) можно записать в виде:
2), e3 = hz sin {nt + a3), F4)
где hi, hz, hz, <xz, «з определяются из начальных условий. Реше-
Решения F4) показывают, что при выбранных начальных данных
(начальные значения скоростей ei, е2, 8з также предполагаются
малыми) ei, 82, ез будут оставаться малыми во все время дви-
движения и движение твердого тела будет устойчивым.
Если рассмотреть перманентное вращение около оси Оу, то,
сохраняя прежние обозначения для малых возмущений, будем
иметь из системы F0):
Ае1 = (В — С) (о0е3
В'г2 = 0 , F5)
Се3 = {А — В) ©об!
где coo = oj2=const. Дифференцируя первое и третье из уравне-
уравнений F5) и исключая последовательно et и е3, получим систему
уравнений для определения ei, e2 и ез:
АС
0 3"
F6)
Так как по условию Л>В>С, то
{В-А)(В-С) {А-В)(В-С)<4
АС
АС
где/I] — существенно, положительная величина, и, следователь-
следовательно, систему F6) можно записать в виде:
ё, — п\гх = 0
F7)
Решения второго и третьего уравнений F7) будут следую-
следующими:
е1 = С1е-я'' + Сае">', % = €&-">*+ С4е"*{, F8)
причем произвольные постоянные Сь С2, С3, С4 в общем слу-
случае не равны нулю. Из F8) вытекает, что при возрастании / ei
и е3 также возрастают и ось мгновенного вращения будет уда-
удаляться от средней главной оси эллипсоида инерции.
30*
455
Устойчивость перманентного вращения около оси Ог дока-
доказывается аналогичным приемом. Полученные теоретически ре-
результаты об устойчивости перманентных вращений около глав-
главных осей Од: и Ог и неустойчивости около оси Оу легко прове-
проверить экспериментально *.
5. Аналитическое решение для случая Эйлер а—
Пуансо. Было доказано, что динамические уравнения Эйлера
можно записать в виде:
F9)
Умножая первое из уравнений F9) на р, второе — на q и
третье — на г, можно получить следующие два уравнения:
Bq-\-(A-C)rp
А (С —А)
В(В-С)РР
А (А —В) ¦
гг= „,„ .. рр
С (В —С)
G0)
Предположим, что при t = 0
р@) =
G1)
Интегрируя G0) при начальных условиях G1), легко находим:
G2)
2 . А (С—А) ,
'и а (а — с) г
2_ 2 Л(Л-В)
~го^ С(В—С) р
Введем для сокращения следующие обозначения:
_ Р
- q0
А(А-С)
В(В-С)
АВ
да /-В(В
~ га V С(А
(А-С)
G3)
* См., например, описание опытов с волчком Максвелла в книге:
А. Г. Вебстер, Механика материальных точек твердых, упругих и жидких
тел, ГТТИ, М., 1933, стр, 296-298.
456
Тогда уравнения G2) можно записать -в виде:
Разрешая первое из уравнений F9) относительно р и возводя
обе части в квадрат, получим:
Учитывая G3) и G4), можно G5) записать в виде:
G6)
Левая часть G6), учитывая G3), будет:
1 — С\ р2 АВ / dy \2
U " В-С / q\ ' (B-C)(A-C)r20 ~~\
ndt
и, следовательно, уравнение G6) запишется в следующей про-
простой форме:
Из уравнения G7) время t находится в виде эллиптического
интеграла 1-го рода:
G8)
Если положить y = sin а, то
а
H = F(n., &)= Г da G9)
V ; J \Ti — & sin2 a V ;
и, следовательно, и = п^ будет функцией модуля эллиптического
интеграла k и амплитуды а. Согласно теореме об обращении
эллиптического интеграла 1-го рода у будет функцией u — nt
и k. Эта функция называется эллиптической функцией Якоби
и записывается в виде:
y = Sn{u,k) (80)
(произносится «эс» «эн» от и, k). Функция Sn(u,k) протабу-
лирована в интервале значений: O^a^-g- и 0^&^1. В со-
современной научно-технической практике пользование таблицами
эллиптических функций столь же обычно, как и таблицами три-
тригонометрических функций.
31 А. А. Космодемьянский 457
Зная у из (80), мы на основании G3) легко находим, что
_ Г В (В — С) с . , ,. /Q1.
P = ^V а(а-С) •SnW' *)• (81>
Введем в рассмотрение еще две эллиптические функции Якоби:
Сп2 (и, к) = 1 — Sn2 (и, k) (82)
(произносится «це» «эн» от и, k),
Dn2 (и, k) = 1 — k2Sn2 (и, k) (83)
(произносится «дэ» «эн» от и, k).
Для наглядности на фигурах 205 и 206 даны графики эл-
эллиптических функций Якоби Sn(u,k), Cn(u, k) и Dn(u,k), при-
причем для сравнения пунктиром нанесены тригонометрические
функции cos p и sin p.
'/
0<
У
/\
j
Л.
/V!
Bn(nt,{y
i
ML
7
\
ч
ICOSP
Фиг. 205
-J
ЗК, UK
Фиг. 206
Учитывая соотношения G4), можно записать компоненты
угловой скорости q и г в виде:
^ = qQCn (и, k) = q0Cn (nt, k), (84)
r = r0Dn (и, k) = r0 D/t (nt, k). (85)
468
Для малых значений модуля k (т. е. для случая, когда А мало
отличается от В) эллиптические функции Sn(u, k), Cn(u, k)
приближаются к тригонометрическим, a Dn(u, k) приближается
к 1. При k = 0 (А=В) будем иметь:
Sti(tit, 0) = s\n (tit)
Cn(nt, O) = cos(tit) . (86)
Dn(nt, 0) = l
Таким образом, если эллипсоид инерции будет эллипсоидом
вращения, то
p = q0 sin (tit)
q = q0 cos (tit) . (87)
r=r0
W
Формулы (87) не
формул B0), если
отличаются от -,
положить фО= '
Для того чтобы почувствовать
влияние условия АФВ, на фигу-
фигуре 207 представлены значения эл-
эллиптической функции Sn(u,k) для
различных значений k. Из приве- Фиг. 207
денных графиков эллиптических
функций видна их периодичность. Укажем без доказательства,
что действительный период * функций Якоби будет равен:
, 4/Ci _4_ г ау
• ft V)
(88)
Когда время t возрастает на Т, компоненты мгновенной уг-
угловой скорости на подвижные оси p(t+T), q(t+T), r(t+T)
принимают прежние значения и, следовательно, мгновенная
угловая скорость a(t+T) занимает свое первоначальное поло-
положение относительно тела (относительно подвижных осей).
Для вычисления углов Эйлера ф, if и 8 в виде функций вре-
времени целесообразно написать проекции вектора кинетического
момента на подвижные оси, считая, что направление неподвиж-
неподвижной оси О? совпадает с вектором кинетического момента К [см.
формулы A8)]. В этом случае будем иметь:
К sin Qs\n<p = Ар
К sin 6 cos ф = Bq . (89)
К cos 9 =Cr
* Эллиптические функции являются мероморфными функциями с двумя
различными периодами. В нашем случае второй период будет мнимым.
31"
459
Так как ./(=const = До, то из третьего уравнения получим:
Сг
или, учитывая (85),
cos 9 = -^2. • Dn (nt, k). (90)
Уравнение (90) позволяет найти 8 = 8(^). Если разделить пер-
первое из уравнений (89) на второе, то будем иметь:
или, учитывая (81) и (84),
— Л/"ЩВ-С) Sn(nt,k)
-У А(А-С) Cn{nt,k) •
Формула (91) позволяет найти ф = ф(^). Определение гр = -ф{/)
более сложно. Мы покажем здесь вывод дифференциального
уравнения, из которого можно найти i|>=t|)(/). Из второго урав-
уравнения системы A6) мы имеем:
Но из уравнений (89)
Ар2 -\-Ва*
К2 cos2 9 = CY = Kl- (A2p2 + B2q%
Но так как К = Ко< то /Со sin2 9 = A2p2-\-B2q2- Таким образом,
дифференциальное уравнение для определения ф = ф(^) можно
представить в виде:
dt
и, следовательно,
rlDn2
Из формулы (92) видно, что -^ > 0 и, следовательно, угол
прецессии if растет с течением времени. Детали вычислений
интеграла (93) можно найти в книге Аппеля «Курс теорети-
теоретической механики», т. II, стр. 157—159.
460
§ 4. Движение тяжелого гироскопа
(Задача Лагранжа —Пуассона)
Рассмотрим движение тяжелого твердого тела, имеющего
ось динамической симметрии и закрепленного в некоторой точке
этой оси. Эллипсоид инерции те-
тела, определенный для неподвиж-
неподвижной точки, будет эллипсоидом
вращения, и центр масс тела
будет находиться на оси
симметрии этого эллипсоида
(фиг. 208). В дальнейшем мы бу-
будем предполагать, что А = ВФС
и, следовательно, центр масс рас-
расположен на оси Oz. Если тяже-
тяжелое тело однородно, то закреп-
закрепленная точка О и центр масс d
будут находиться на оси геоме-
геометрической симметрии тела. В со-
современной технической прак-
практике широкое применение полу-
получили так называемые гироскопы.
В широком смысле слова гиро<
скоп представляет однородное
твердое тело, имеющее ось сим-
симметрии и способное вращаться "**•
с большой угловой скоростью
около мгновенной оси вращения,
проходящей через закрепленную
точку, лежащую на оси симмет-
симметрии гироскопа. В технике гиро-
гироскопом называют массивный ма-
маховик, смонтированный таким
образом, что при быстром вра-
вращении маховика его ось может
перемещаться в пространстве
около одной из неподвижных то-
точек оси симметрии маховика
(фиг. 209). ГТримером гироскопа
является игрушечный волчок,
у которого острие оси вращения
помещено в небольшое углуб-
углубление на плоскости. Неподвиж-
Неподвижной точкой волчка и будет точ-
точка соприкосновения его оси с
плоскостью (фиг. 210). Впер-
Впервые задача о движении симме- Фиг. 210
461
тричного гироскопа, у которого центр масс не совпадает с не«
подвижной точкой, была рассмотрена Лагранжем *, а затем
Пуассоном **.
|1. Первые интегралы уравнений движения тя-
ж е"л"о го гироскопа. Пусть неподвижная точка О оси гиро-
гироскопа совпадает с началом неподвижной системы осей О|г)? и
началом подвижной Oxyz. Оси подвижной системы направлены
по главным осям эллипсоида инерции, построенного для точ-
точки О. Центр масс гироскопа пусть лежит на оси Oz в точке С\;
->
радиус-вектор этой точки обозначим через а, а вес гироскопа —
через Р. Теорема об изменении кинетического момента относи-
относительно подвижных осей Oxyz дает в этом случае:
dt
Так как направление силы Р прямо противоположно напра-
направлению оси О?, то проекции силы Р на подвижные оси будут
(см. формулы 15):
Рх = — Р sin 9 sin ф = — Руи
Ру = — Я sin 8 cos ф = — Ру2,
Учитывая, что ax = ay =
j
О
k
аг = а, будем иметь:
7
О
Yi Y2 Ys
и, следовательно, зная, что Кх=Ар, Kv=Aq, K
ские уравнения Эйлера можно написать в виде:
= Cr,
динамиче-
динамичеdr
(94)
Присоединяя к уравнениям (94) кинематические уравнения Эй-
Эйлера, мы получим систему из шести дифференциальных урав-
уравнений первого порядка, из которых нужно определить шесть
* Ж. Л. Л а гран ж, Аналитическая механика, т. II, М, 1950,
стр. 286-302.
** S. D. Poisson, Traite de Mecanique, Paris, 1833, стр. 312—342. См,
также Journal de YEcole Polytechnaque, XVI Cahier, 1813.
462
функций: p(t), q(t), r(t), <p@. ^>@. 9@- Для упрощения и
большей наглядности вычислений начальные условия движения
гироскопа зададим в виде: при t = 0 пусть p = q = O, г = го=ш,
9 = 9о, i|)=o|)o, ф=0; это означает, что в начальный момент гиро-
гироскоп получает угловую скорость ш около своей оси симметрии,
наклоненной к вертикали на угол 9о *.
Уравнения (94) имеют два первых интеграла, которые легко
найти, применяя общие теоремы механики. В самом деле, из
теоремы об изменении кинетической энергии гироскопа в диф-
дифференциальной форме будем иметь (фиг. 208):
(95)
откуда, интегрируя, находим:
Т = — Рау3 +const, (96)
или в развернутом виде:
А (р2 -+¦ q2) -{-Cr2 = — 2Ра cos 8 + const. (97)
Из начальных условий имеем:
Ссо2 = — 2Ра cos 60-f- const. (98)
Так как из третьего динамического уравнения Эйлера следует,
что r = const и при выбранных начальных условиях г=со, то из
соотношений (97) и (98) следует, что
= — 2Pa (cos 6 — cos 60). (99)
Соотношение (99) есть первый интеграл динамических уравне-
уравнений Эйлера (94). Еще один первый интеграл можно получить
¦из теоремы об изменении кинетического момента относительно
неподвижной оси 01,. Будем иметь (фиг. 209):
=0, A00)
так как сила Р параллельна оси О?. Легко понять, чт&
Kt = (?$) = (Api + AqT+ СЩ (YlM- Y2T-T- Y3^) =
= A (Fix
и, следовательно, из A00) следует:
A (/>Yi 4- ^2) + Си cos 0 = const. , A01)
Из начальных условий имеем:
Со) cos 0О = const. A02)
* Практически это наиболее естественные начальные условия, так как
гироскоп обычно получает начальную угловую скорость при закрепленной
оси а затем ось освобождается без толчков.
463
Таким образом, из A01) и A02) получим:
s%~ cos 8). A03)
Соотношение A03) также является первым интегралом урав-
уравнений Эйлера (94) при заданных начальных условиях.
Учитывая, что
$b б2,
можно интеграл энергии (99) записать в виде:
А (^2 sin2 9 + ё2) = 2Ра (cos 60 — cos 8). AС4)
Простые вычисления показывают, что
и,следовательно, интеграл A03) будет:
' е0 — cos 8). A05)
(
Так как
г = г]з cos
то для аналитического исследования движения тяжелого гиро-
гироскопа мы должны принять во внимание следующие три пер-
первых интеграла уравнений движения:
Интеграл сохранения энергии:
А (г|з2 sin2 8 -f И = 2Ра (cos 80 — cos 9). A06)
Интеграл сохранения проекции кинетического момента на
ось О?:
AJ3Sin29 = C(o(cose0 — cos0). A07)
Интеграл сохранения проекции мгновенной угловой скорости
на ось Oz:
r = const = (d:='ij)cos6-|-((>. A08)
2. Основные характеристики движения гиро-
гироскопа". Исходя из найденных первых интегралов A06), A07)
и A08), выведем дифференциальные уравнения для определе-
определения углов Эйлера ф, г|э, 9 в функции времени. Проекции мгно-
мгновенной угловой скорости на подвижные оси р, q, r можно затем
найти из кинематических уравнений Эйлера.
Получим сначала дифференциальное уравнение для опреде-
определения угла нутации 8. Из соотношения A07) имеем:
• См (cos е0- cos 9)
Подставляя значение ф из A09) в уравнение A06), находим:
Л2 sin2 8ё2 = 2АРа sin2 8 (cos 90-cos 8) — CV (cos 80-cos 6}2. A10)
464
Полагая cos 9 = ы, (cos6o=«0), будем иметь: -^ — — sin 60-
И следовательно, (НО) можно записать в виде:
Л2 (-J-J = 2РАа A-й2) («о — и) — С2«2 (и0 - и)\ A11)
откуда
где
f (и) = 2РЛа A — и2) («о — и) — CV (и0 — иJ.
Таким образом,
— + const = f-7^=r. (U2>
Так как f(u) есть полином третьей степени относительно и, то*
интеграл в правой части A12) будет эллиптическим, обращение
которого дает и как эллиптическую функцию t.
Исходя из A08) и A09), легко находим, что
. Сю (cos 0О — cos 0) cos 0
или
dtp Г, Си (ц0 — и) I
dt L А A — и2) J '
откуда
Аналогично из A09) будем иметь:
Формулы A12), A13) и A14) дают полное решение задачи-
о движении тяжелого гироскопа при формулированных гранич-
граничных условиях. Так как эллиптическая функция u(t) является
периодической, то cos 6, ф, гр будут также периодическими функ-
функциями времени. Учитывая традиции русской высшей школы, мы
проведем дальнейшее исследование движения гироскопа без ис-
использования эллиптических функций и интегралов. Рассмотре-
Рассмотрение свойств полинома f(u) дает возможность составить полное
представление о движении оси симметрии гироскопа. Для гео-
геометрической наглядности допустим, что |а| = 1 и, следовательно,
при движении оси гироскопа около неподвижной точки О центр
масс гироскопа будет описывать некоторую кривую, лежащую
на сфере радиуса, равного 1. Движение центра масс по сфере
полностью характеризует движение оси симметрии гироскопа.
465.
Для того чтобы определить области на единичной сфере, в ко-
которых будет располагаться траектория центра масс гироскопа,
исследуем корни полинома f(u), т. е. найдем те значения и, при
которых \-?г) обращается в нуль, т. е. 9 изменяет свой знак.
Из структуры полинома f(u) следует, что
при и = — оо знак полинома определяется слагаемым
2РАаи3 и, следовательно, f(#)<0,
при и = —1 f(u) = — CV(tt0-flJ<0,
при и = + 1 f(a) = — С2а>Ци0 —1J<0,
при и —-f-oo /(и)>0.
Кроме того, (--7Г-) должно быть положительным в некотором
интервале значений и лежащим между —1 и +1. В самом
Пи)
Фиг. 211
.деле, так как при и = и0 f(Mo)=O, то условие экстремума 0 при-
приводит к уравнению:
(и — «о) [2РАа{\ — и2) — CV (и0 — а)\ = 0. A15)
Из A15) следует, что или 9 = во, или
1 — и] = sin2 9j =
2РАа
A16)
Так как sin28i>0, то Mi<m0 и, следовательно, 9i>8o. Это озна-
означает, что во есть минимум 9 и, следовательно, область действи-
действительного движения находится между щ и щ. Поэтому график
полинома f(u) будет иметь вид, представленный на фигуре 211,
где реальному движению гироскопа соответствует область от
«1 до «о, заштрихованная на фигуре 211. Для определения щ
перепишем A16) в виде:
1— cos2 в! = 2*- (cos 80 — cos 9^,* A17)
* Д. Б. Скарборо, Гироскоп. Теория и применение, ИЛ, М,, 1961,
«тр. 73-74,
466
где ?А, = -gpj-. Разрешая A17) относительно cos91? получим:
cos 9t = I ± Y\ — 2Xcos804-^2-
Так как cos80 < 1, то
1 — 21 cos 80 -f-12 >A — If.
Если перед квадратным корнем взять знак « + », то ока-
окажется, что cos 8i>l, а поэтому
cos Ql = X— /I—
Из соотношения A16) следует, что
COS 80 — COS 8, =
— cos26,)
A18)
и значение 8 = 8i соответствует максимуму 8 (фиг. 212). Если
угловая скорость ш возрастает, то „2 2 A—cos28[) быстро
убывает и 9t стремится к 90. Таким
образом, пояс между параллелями
на единичной сфере, в котором дви-
движется центр масс гироскопа, силь-
сильно сужается, если а достаточно
велика.
Исследуем далее прецессионное
движение гироскопа. Разрешая ура-
уравнение A07) относительно ф будем
иметь:
: C<b(cos0o — cos 9)
(П9)
Фиг. 212
При выбранных начальных
условиях было показано, что
(cos 9о — cos9)>0 и, следовательно, знак гр совпадает со зна-
знаком а. Кроме того, при 9 = 9о -ф = 0; при 9>9о ф будет конечной
положительной величиной. Таким образом, когда ось гиро-
гироскопа под действием момента силы тяжести начинает падать
(9 увеличивается), возникает прецессия оси гироскопа. Диффе-
Дифференцируя A19) по времени, получим:
•¦ _ Сшё A—2 cos 90 cos 6 + cos2 6)
a sin3 e
A20)
Из A20) можно видеть, что, когда 9 = 0, ф = 0, но как только
9 становится отличной от нуля, ty>0, так как A—2cos9oX
X cos 9 + cos2 9)> A — cos9J и угловая скорость прецессии
467
возрастает. Процесс протекает следующим образом: * «Сила веса
начинает опрокидывать гироскоп, вызывая возрастание угла 9
и угловой скорости 9; одновременно возникает и начинает
расти if».
Из предыдущих рассмотрений можно сделать вывод, что
->¦
траектория центра масс гироскопа на сфере радиуса |я| = 1
8
представляет периодически повто-
повторяющуюся кривую, заключенную
между двумя параллелями 9 = 90 и
\) = 9i и поочередно их касающуюся,
вычислим тангенс угла касатель-
касательной к траектории центра масс с
местным меридианом (фиг. 213).
Проекция вектора скорости центра
масс на касательную к меридиану
будет 9, а на касательную к парал-
параллели г|з sin 9, и, следовательно
{фиг. 213),
ij>sine
Фиг. 2K
Подставляя значение
(ПО), будем иметь:
из формулы A19), а 9 из формулы
(cos 0О—-cos 0)
ЧАРа sin2 6 — С2ю2 (cos 0„ — cos 6) '
Из A21) ЯСНО, что
при
= 90 tgp =
= 0.
Следовательно, вектор скорости центра масс гироскопа на-
направлен вдоль меридиана.
Т-, • ол С20J (COS 60 — COS 6) , , <1<чч
При sm29 = чАРа -, т. е. (см. формулу 118), когда
9 = 9i, tgp = oo и р = -2~, т. е. центр масс движется, касаясь
нижней параллели. Из формулы A19) следует, что -ф = 0, когда
9 = 9о, и согласно A16)
- _ Cu)(cose0 — cos6i) _ 2Pa „_
Таким образом, движение центра масс гироскопа по поверх-
поверхности сферы радиуса а=1 можно представить следующим об-
образом.
* Д. Б. С к а р б о р о, Гироскоп. Теория и применение, ИЛ, М., 1961,
стр. 72—73.
468
Когда центр масс гироскопа приближается к параллели 6 =
= 6о, тогда вектор скорости vc приближается к местному ме-
меридиану в точке С с так как г|э = О при 8 = 8о, то в окрестности
точки С1 траектория центра масс будет иметь вид, показанный
на фигуре 214.
Если центр масс достигает параллели 8 = 8i, то его вектор
скорости направлен по касательной к этой параллели
(фиг. 214).
Из формул A19) и (НО) следует, что 8 и -ф меняются пе-
периодически и, следовательно, проекции скорости центра масс
гироскопа на касательную к меридиану и касательную к па-
параллели будут также изменяться периодически.
Г
Фиг. 214
Фиг. 215
Фиг. 216
Вид траектории центра масс гироскопа на единичной сфере
показан на фигуре 214. Наличие точек заострения у траектории
при 8 = 9о обусловлено выбором начальных условий движения.
При более общих начальных условиях возможны еще два
вида сферических траекторий центра масс, приведенных на фи-
фигурах 215 и 216 *.\
3. Псевдорегулярная прецессия тяжелого ги-
гироскопа. В случае, когда угловая скорость собственного вра-
вращения гироскопа достаточно велика, можно приближенно найти
углы Эйлера в функции времени через элементарные функции.
Из формулы A18) видно, что при больших ш угол 6 мало от-
отличается от 60- Положим:
е = ео+-^, A22)
* Обзор современных исследований по теории движения твердого тела
около неподвижной точки можно найти в статье: Е. L e i m a n i s, Some Re-
Recent Advances in the Dynamics of Rigid Bodies and Celestial Mechanics, New
York, 1958.
469
где o = o(t)—функция, подлежащая определению. Очевидно,
cos8 = cos F0-f--^-) = cos60cos —^— sin 0O sin —,
или, учитывая, что I —— малая величина, получим:
= cos60 jj^-2-. A23)
Зная A23), можно основное уравнение A11) преобразовать
к следующему виду:
/ da \2 „ / 2Ра . а С2
откуда
2Pasin90 С2 ,
2 а Жа
Интегрируя A24), будем иметь:
С2 2Ра sin 60
А2 а A Cw
arc sin
sin 6n
= = вЛ. A24)
где Ci — произвольная постоянная интеграции.
Так как при ? = 0 8 = 80 и а = 0, то
я
Т
и, следовательно,
0 С2 2Pasin60
. / Cat л \ СаЛ ,. ПСЛ
-=sin^-1 T)=_cos-j-. A25)
2Ра sin e0
А
Разрешая A25) относительно а, получим:
A26)
Подставляя найденное значение а в A22), найдем, что
Формула A27) показывает, что угол 6 будет периодической
функцией времени, причем период:
т_ 2я _ 2пА
~ (Са/А) ~~ иС
4Т0
убывает при увеличении со. Частота колебаний оси гироскопа
-у-\ и, следовательно, будет расти с увеличением
ш. Это объясняет поведение игрушечного волчка, который, бу-
будучи приведен в быстрое вращение, издает звук (жужжание)
тем более высокого тона, чем больше со. Если удерживать
в A13) слагаемые только первого порядка относительно {~г)
и пренебречь величиной 2cos 80 sin 9о а по сравнению с со2 sin 60,
то мы получим:
Pa I. Ca>t\ /1OO.
AС0* ) A28>
откуда
, Pa I, A
так как, не нарушая общности решения, можно положить, что
при 7 = 0 1K = 0.
Соотношение A28) показывает, что угловая скорость пре-
прецессии будет алгебраической суммой двух угловых скоростей:
„Pa „Pa Cat .
постоянной -Q- и периодической -~— cos—j-; благодаря этому
скорость прецессии периодически изменяется, хотя при наблю-
наблюдении движения быстровращающегося гироскопа (волчка) нам
кажется, что ось прецессирует с постоянной угловой скоростью.
Неустановившаяся прецессия A28), когда 6 мало отличается
от во, называется псевдорегулярной прецессией. Средняя угло-
вая скорость псевдорегулярнои прецессии будет равна |-?шГ
Полученные иами соотношения
Ра {, А
дают параметрические уравнения сферической кривой, показан-
показанной на фигуре 214, если собственная угловая скорость со доста-
достаточно велика.
4. Приближенная теория гироскопа. Если угло-
угловая скорость собственного вращения гироскопа со очень велика,
то, пренебрегая периодическими изменениями угла 8 со време-
временем, т. е. полагая 0SE9o, можио построить элементарную теорию
движения гироскопа, позволяющую объяснять ряд важнейших
явлений, наблюдающихся в реальных задачах технической
практики. При исследовании быстровращающихся гироскопов
при 0 ^ в0 удобно воспользоваться теоремой об изменении ки-
кинетического момента в следующей кинематической форме: ско-
скорость конца вектора кинетического момента гироскопа, вычис-
471
ленная относительно неподвижной точки, совпадает по вели-
величине и направлению с результирующим вектором-моментом
внешних действующих сил относительно той же точки, т. е.
ЯД an
A30)
тде ик — скорость конца вектора К, а Шо — результирующий
вектор-момент всех внешних действующих сил. Теорема об из-
изменении кинетического момента в этой формулировке назы-
называется теоремой Рез а л я. Назовем конец вектора К (точка М
на фиг. 217) полюсом и отметим некоторые особенности дви-
движения этой точки. Формула A30) показывает, что, зная, как
^изменяется главный момент внешних сил, мы можем предвы-
числить и описать движение полюса М. Следует отметить, что
полюс М имеет скорость только до тех пор, пока действует ре-
результирующий момент внешних сил. Если ЗЯ0 = О, то и ик = 0.
Если момент внешних сил дей-
действует в течение очень малого
промежутка времени dt, то пе-
перемещение полюса в простран-
пространстве будет также мало и равно
ds = uKdt. Можно сказать, что
полюс М есть точка без инерции
по отношению к результирую-
результирующему моменту внешних сил: если
результирующий вектор-момент
не равен нулю, то существует и
скорость полюса; при прекраще-
прекращении действия момента полюс
останавливается.
Перейдем теперь к рассмо-
рассмотрению движения гироскопа.
Пусть мы имеем однородное симметричное твердое тело, на
которое действует только сила тяжести. Пусть одна из точек
оси симметрии, например точка О, закреплена неподвижно
(фиг. 217). Ось симметрии тела будем называть осью гиро-
гироскопа, или осью фигуры. Если ось гироскопа неподвижна, то
при вращении тела вокруг этой оси вектор мгновенной угловой
скорости направлен по оси фигуры; вектор кинетического мо-
момента K = f(o также направлен по [этой оси. Следовательно,
для осесимметричного тела при неподвижной оси вращения
совпадают по направлению три прямые: 1) ось симметрии, или
ось фигуры; 2) ось мгновенного вращения и 3) линия дей-
действия вектора кинетического момента К,
472
Фиг. 217
Допустим теперь, что гироскоп имеет весьма большую угло-
угловую скорость вращения on вокруг оси симметрии, а ось симме-
симметрии в свою очередь вращается с угловой скоростью со2 вокруг
неподвижной вертикали О?. Мгновенная угловая скорость
(д = (о1-(-со2 будет направлена по диагонали параллелограмма,
построенного на векторах с^ и со2 и уже не будет совпадать
с осью гироскопа. Точно так же вектор кинетического момента
К=KJ + Kyj+ Kzt = (/) ш
не будет совпадать по направлению с вектором а.
Если допустить, что |со2| значительно меньше \щ\, то в ка-
-> ->
честве первого приближения можно считать, что векторы «i и К
совпадают и направлены по оси гироскопа. На этих допущениях
основана приближенная теория гироскопа. Будем, кроме того,
считать, что /С=/«1, где / — момент инерции гироскопа отно-
относительно его оси симметрии.
Если радиус-вектор центра масс гироскопа относительно
неподвижной точки обозначим через а, действующую активную
силу тяжести — через Р, то на основании теоремы об изменении
кинетического момента получим:
¦^ = аХЛ A31)
где К=/а>1 — кинетический момент гироскопа относительно не-
неподвижной точки О. Момент силы тяжести, равный (оХ Р),
будем называть опрокидывающим моментом гироскопа. Как
показывают наблюдения, быстро вращающийся гироскоп не
падает под действием опрокидывающего момента, а начинает
прецессировать, т. е. ось гироскопа начинает описывать конус
вокруг вертикальной оси. Следовательно, прецессирующии гиро-
гироскоп развивает некоторый мо|мент, уравновешивающий опроки-
опрокидывающий момент силы тяжести. Этот момент, обусловленный
движением гироскопа, назовем восстанавливающим или гиро->
скопическим моментом.
Напишем уравнение A31) в виде:
или
()°- A32)
473
Из аналогии уравнения A32) с уравнением моментов в ста-
статике твердого тела следует, что восстанавливающий момент ги-
гироскопа равен:
Так как \—тт\ есть скорость конца вектора К, обусловлен-
->¦
ная в нашем случае угловой скоростью «2, то
K ¦*¦ f~ ¦*¦
Следовательно, гироскопический момент равен:
sftri4, = -a*. = /(a,X^). 033)
Гироскопический момент равен по величине и противополо-
противоположен по направлению опрокидывающему моменту гироскопа.
Гироскопический момент возникает в тех случаях, когда ось
симметрии быстровращающегося гироскопа изменяет свое на-
направление в пространстве. Так как гироскопический момент
уравновешивает опрокидывающий момент, то можно сказать,
что гироскопический момент стремится повернуть ось симме-
симметрии гироскопа к оси прецессии. Знаменитый русский механик,
профессор Московского университета Н. Е. Жуковский сфор-
сформулировал следующее правило для определения гироскопиче-
гироскопического момента: «Если какое-нибудь тело вращения вращается
около своей оси с угловой скоростью at и мы будем повертывать
ось этого тела около некоторой оси, образующей с осью тела
угол а, с угловой скоростью «2, то явится пара с моментом, рав-
равным произведению (di(d2 sin а на момент инерции тела, стремя-
стремящаяся повернуть ось тела к оси сообщаемого вращения так,
чтобы при совпадении осей вращения «н и ш2 совершались бы в
одну сторону» *. Величина гироскопического момента согласно
формуле A33) равна:
a№riIp = /(u1co2sin((u1, а2). A34)
Из формулы A34) следует, что при заданных значениях 1,
аи и (о2 гироскопический момент достигает максимального зна-
значения, если угол между осью прецессии иг и осью фигуры a>t
равен 90°.
* См.: Н. Е. Жуковский, Собрание сочинений, М., Гостехиздат, 1936,
т. I, стр. 278.
474
Определим теперь угловую скорость прецессии, пользуясь
условием: |2Копр| = |ЭИгир|. Из фигуры 218 ясно,
-> —>
З^опр = ^Л sin (wi> °>2)' a поэтому
1щ({>2 sin (©j, а>2) = Рп sin ((Oj, (d2),
Pa
что
откуда
A35)
опр
Фиг. 218
т. е. угловая скорость прецессии обратно пропорциональна уг-
угловой скорости собственного вращения гироскопа. С уменьше-
уменьшением угловой скорости собственного вра-
вращения угловая скорость прецессии воз-
возрастает. Это обстоятельство легко прове-
проверить на обыкновенном волчке. Если при-
привести волчок в быстрое вращение, то он
будет прецессировать весьма медленно.
Благодаря силам сопротивления угловая
скорость волчка начнет убывать, а ско-
скорость прецессии заметно возрастать.
Если неподвижная точка гироскопа
совпадает с центром масс, то Шоп1, = 0,
и следовательно, ось гироскопа будет
находиться в покое, если в начальный
момент она была неподвижна. Если ось
гироскопа с неподвижным центром масс заставить прецессиро-
прецессировать, то возникнет гироскопический момент, который повернет
ось гироскопа параллельно оси вынужденного прецессионного
движения.
Ось свободного гироскопа, закрепленного в центре масс,
устойчива по отношению к ударам по этой оси. В самом деле,
импульсивная сила вызовет некоторый импульсивный момент,
который сообщит концу вектора кинетического момента ско-
скорость ик, совпадающую по величине и направлению с прило-
приложенным моментом. Так как действие импульсивного момента
продолжается в течение очень малого промежутка времени, то
перемещение конца вектора К также будет мало. Следовательно,
ось гироскопа, по которой направлен вектор кинетического мо-
момента, весьма незначительно изменит свое направление в про-
пространстве. Внешние удары не вызывают заметных перемещений
оси гироскопа.
В различных технических задачах большей частью прихо-
приходится иметь дело с вынужденным прецессионным движением
быстро вращающихся симметричных тел. В этом случае при по-
повороте тела возникает гироскопический момент (пара сил),
475
который стремится повернуть ось вращающегося тела парал-
параллельно оси прецессии. Рассмотрим некоторые простейшие гиро-
гироскопические явления.
1°. Подсчитаем гироскопический момент от паровой тур-
турбины, приводящей в движение гребной винт парохода при на-
наличии килевой качки (фиг. 219). Допустим, что ось турбины
расположена вдоль корпуса парохода и для наблюдателя, смо-
смотрящего с кормы, турбина вращается по часовой стрелке, де-
'ЗИгир
Фиг. 219
лая п оборотов в минуту. Кинетический момент турбины
K = /a>i, где / — момент инерции турбины относительно оси
вращения, coi — угловая скорость турбины. Допустим, что угол
поворота ф корпуса корабля при килевой качке изменяется по
закону:
Ф — (fos'm{~t\, A36)
где фо — максимальный угол отклонения ватерлинии парохода
'(например, вверх) от горизонтальной плоскости, Т — период ко-
колебаний.
Максимальная угловая скорость, которую получает пароход,
равна:
так как согласно закону движения A36) м2 =-—^-cos f-=r п.
Следовательно, максимальное значение гироскопического мо-
момента равно:
зСр^М^. A3)
так как ^X^V Гироскопический момент стремится повернуть
ось турбины параллельно вектору «г, т. е. в горизонтальной пло-
плоскости. Гироскопический момент ЗЙГир показан на фигуре 219.
Этот момент вызывает горизонтальные давления на подшип-
подшипники, в которых лежит ось турбины. Реакции подшипников
476
Ni и N2 образуют пару сил, момент которой уравновешивает
гироскопический момент. Так как при килевой качке корабля
вектор ©г периодически изменяет свое направление, то и вектор
9Мгир также изменяет свое направление. Таким образом, реак-
реакции в подшипниках турбины направлены попеременно то в од-
одну, то в другую сторону. Чтобы показать, насколько важно учи-
учитывать дополнительные реакции от гироскопического момента,
рассмотрим частный случай, относящийся к пассажирскому па-
пароходу.
Пусть / = 980 кГм-сек2, <о1 = 52,4-^- (что соответствует
= 500
об
мин
, <ро = О,О873 (что соответствует максимальному от-
клонению в 5°) и Т=7 сек.
2>СрХ = /Mlcd2 =: 4000 кГ ¦ м.
Если расстояние между под-
подшипниками равно 4,25 м, то ре-
реакции Ni и N2 будут равны:
что указывает на существенное
влияние гироскопического эф-
эффекта даже при небольшой
качке.
2°. Гироскоп Фуко. Для
осуществления конструкции ги-
гироскопа, у которого неподвиж-
неподвижная точка совпадает с центром
масс, применяется особая схема Фиг. 220
крепления — карданов подвес
(фиг. 220). Гироскоп, укрепленный в кардановом подвесе, имеет
три степени свободы. В самом деле, ось гироскопа AAt укреп-
укреплена в кольце АВА1В1 так, что гироскоп может свободно вра-
вращаться вокруг прямой АА\, это дает одну степень свободы.
Кольцо закреплено во втором кольце так, что может свободно
вращаться вокруг оси ВВи это дает вторую степень свободы.
Наконец, кольцо BCBlCi закреплено в третьем, внешнем кольце
так, что может вращаться вокруг оси CCit это дает третью сте-
степень свободы. Все три вращения независимы между собой. До-
Допустим, что крепление гироскопа и колец карданова подвеса
осуществлено так, что оси AAU BBt н СС^ пересекаются в цен-
центре масс ротора гироскопа. Сообщим ротору достаточно боль-
большую угловую скорость и допустим, что трение в подшипниках
Л, Аи В, Ви С, С\ настолько мало, что им можно пренебречь.
32 А А Космодемьянский
477
Пусть массы колец также будут малыми по сравнению с массой
ротора гироскопа. При этих предположениях кинетический мо-
момент гироскопа
где / — момент инерции гироскопа относительно оси вращения,
со! — угловая скорость собственного вращения ротора гироскопа.
Так как в кардановом подвесе при сделанных предположениях
центр масс гироскопа остается неподвижным, то из теоремы об
изменении кинетического момента по отношению к центру масс
следует, что
¦> ¦> —>¦
K = f(i)l = const,
т. е. ось гироскопа сохраняет свое направление в пространстве.
Если, например, направить ось такого гироскопа на неподвиж-
неподвижную звезду, то наблюдатель, находящийся на Земле и изменяю-
изменяющий свое положение в пространстве относительно неподвижных
звезд, будет замечать перемещение оси гироскопа относительно
Земли. Следовательно, гироскоп в кардановом подвесе может
служить наглядным доказательством вращения Земли. Впервые
гакой метод доказательства вращения Земли был применен
Фуко. Практическое осуществление такого опыта связано со
значительными техническими трудностями: весьма трудно
устранить трение в подшипниках (или сделать его очень ма-
малым) и собрать кольца подвеса так, чтобы оси вращения колец
пересекались точно в центре масс гироскопа. Поэтому Фуко в
своих первых опытах удалось только установить направление
вращения Земли, но не удалось найти величину угловой скоро-
скорости вращения. Как известно, угловая скорость вращения Земли
ш2^ 0,00007-^.
77777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777//
Фиг. 221
3°. Возникновением гироскопического момента при выну-
вынужденной прецессии можно воспользоваться для стабилизации
движущихся конструкций. Так, например, можно при помощи
гироскопа сделать устойчивым вагон однорельсовой железной
478
дороги. Пусть внутри вагона находится гироскоп с двумя степе-
степенями свободы (фиг. 221) (одно независимое вращение вокруг
оси ААи второе — вокруг оси ВВ{), и этому гироскопу сообщена
достаточно большая угловая скорость ац. Пусть вагон начинает
отклоняться влево; тогда, чтобы уравновесить возникающий
опрокидывающий момент силы тяжести, достаточно сообщить
раме гироскопа вращение с угловой скоростью «2 вокруг оси
BBi (фиг. 221). Вследствие вынужденного прецессионного дви-
движения возникает гироскопический момент, который возвращает
вагон в положение равновесия. Если вагон будет отклоняться
вправо, то вынужденное прецессионное движение нужно сооб-
сообщить в противоположном направлении. В схемах однорельсо-
однорельсовых железных дорог, предложенных различными изобретате-
изобретателями, вращение рамы гироскопа вокруг оси регулируется авто-
автоматически. В нужный момент рама гироскопа автоматически
получает вращение соответствующего направления и возникаю-
возникающий восстанавливающий момент уравновешивает опрокидываю-
опрокидывающий момент силы тяжести.
Заметим, что свойства оси гироскопа с тремя степенями сво-
свободы используются при устройстве навигационных приборов
(гироскопические компасы) и различных систем бомбардиро-
бомбардировочных прицелов на самолетах.
32*
ГЛАВА X
ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ И УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ
«Математика подобно жернову перема-
перемалывает то, что под него засыпают, и как
засыпав лебеду, вы не получите пшеничной
муки, так, исписав целые страницы форму-
формулами, вы не получите истины, из ложных
предпосылок».
В. Г екс л и.
§ 1. Принцип Даламбера. Общее уравнение динамики системы
Рассмотрим механическую систему п материальных точек
с массами tnu tn2, ... , mn. Пусть на точку mv, положение кото-
которой относительно неподвижных осей координат определяется
радиусом-вектором rv, действуют внешние и внутренние силы.
Обозначим равнодействующую внешних сил, приложенных к
точке mv, через F(^\ а равнодействующую внутренних сил —
через Fy\ Присоединяя к действующим силам (внешним и вну-
внутренним) силу инерции, мы получаем на основании принципа
Даламбера для одной точки систему сил, эквивалентную нулю,
т. е.
A)
Иначе говоря, если к любой точке механической системы в
любой момент времени приложить, кроме внешних и внутрен-
внутренних сил, еще фиктивную силу инерции, то мы получим уравно-
уравновешенную систему сил, к которой применимы все условия и ура-
уравнения равновесия статики.
480
Напишем уравнение вида A) для всех точек системы; будем
иметь:
1
d42
)=0
•) = о
B)
Сложив уравнения B), получим:
?[*¦+(—.¦?)]-*
V=l
так как 2 F^ = 0 на основании третьего закона Ньютона.
Таким образом, если к числу внешних действующих на си*
стему сил присоединить еще силы инерции, обусловленные уско-
ускорениями точек системы, то мы получим систему сил, геометри^
ческая сумма которых равна нулю. Так как
Zl" v — A
l
есть результирующая внешних сил и аналогично
п ->
->
v=l
есть результирующая сил инерции, то, очевидно,
т. е. если к результирующей внешних сил, действующих на ме«
ханическую систему, присоединить результирующую даламбе-
ровых сил инерции, то мы получим новую систему сил, резуль-
результирующая которых равна нулю.
Пусть на рассматриваемую систему наложены голономные,
идеальные, стационарные и удерживающие связи, тогда прин-
принцип Даламбера для точки mv можно представить в виде:
* V
C)
481
где F<*> — равнодействующая всех активных сил, приложен-
приложенных к данной точке (как внешних, так и внутренних), a ^Vv —
равнодействующая сил реакций связей. Если написать уравне-
уравнения вида C) для каждой точки системы и затем сложить их, то
мы получим:
v=l v=l
Так как на основании C) система сил активных, сил реак-
реакций связей и сил инерции, приложенных к точке тч, представ-
представляет собой уравновешенную систему сил, то для этой системы,
очевидно, будет иметь место уравнение моментов вида:
(rv X Р[а)) + (rv X ЛГ) + [rv X (- mv ^)] = 0. C')
Если уравнения вида C') мы напишем для каждой точки
системы, а затем сложим их, то будем иметь:
S (r>v X ^va)) + S (К X tfv) + i [г? X (- mv -Jf)] = 0. D')
v=l v=l v=l
На основании соотношений D) и D') мы заключаем, что
в любой момент времени при движении несвободной механиче-
механической системы сумма сил активных, сил реакций связей и сил
инерции представляет собой систему сил, эквивалентную нулю.
Или, иначе говоря, все уравнения равновесия и все условия рав-
равновесия, полученные в статике, можно применять и к задачам
динамическим, если к числу действующих на систему активных
сил и сил реакций связей присоединить еще фиктивные силы
инерции.
Таким образом, введение в рассмотрение сил инерции позво-
позволяет составлять уравнения движения методами статики. Заме-
Заметим, что принцип Даламбера ме сводит динамическую задачу
к задаче статической, а лишь дает простой и наглядный прием
составления динамических уравнений методами статики. Мы ви-
видели, что основные трудности решения динамических задач со-
состоят в правильной механической постановке этих задач, со-
составлении дифференциальных уравнений движения и интегри-
интегрировании полученных уравнений. Принцип Даламбера указывает
нам один из простых приемов постановки задач динамики и со-
составления дифференциальных уравнений движения, но не раз-
разрешает, конечно, проблемы интегрирования этих уравнений.
Только в тех случаях, когда динамическая задач заключается
в определении ускорений точек системы, принцип Даламбера
позволяет решить динамическую задачу полностью, поль-
пользуясь методами и терминологией статики. Для несвободных
механических систем принцип Даламбера дает единый ме-
метод получения исходных динамических уравнений, причем ме-
тод очень простой и геометрически наглядный. В истории раз-
развития механики принцип Даламбера сыграл большую методи-
методическую роль, так как позволил для самых разнообразных задач
быстро и точно составлять уравнения движения. До открытия
принципа Даламбера сложные задачи динамики несвободных
механических систем требовали для составления уравнений
движения особой проницательности и остроумия, так как для
каждой такой задачи нужно было по существу создавать новый
метод.
Для пояснения сказанного
применим принцип Даламбера к
решению следующих двух за-
задач.
Задача 26. Равнобедренный
прямоугольный треугольник ABC
(фиг. 222) прикреплен при
помощи шарнира, находящегося
в вершине А, к неподвижной вер-
вертикальной оси, проходящей через
колечко, приделанное к другой
его вершине С Треугольник вра-
вращается вокруг этой оси с по-
постоянной угловой скоростью со;
АВ=АС=а\ вес треугольника
равен Р кГ. Какова должна быть
величина угловой скорости со,
чтобы сила реакции в точке С оказалась равной нулю? Опреде-
Определить также при этом условии силу реакции в точке А.
Решение задачи проведем, основываясь на следующих про-
простых соображениях. На ААВС действуют силы Р и NA, При-
Приложим к ААВС центробежные силы инерции. На элементарную
полоску (be) (фиг. 222) действует элементарная центробежная
сила dF4=(d2xdm, где dm = p(a — x)dx, a p — плотность. На
основании принципа Даламбера к сумме сил активных, сил
реакций связей и сил инерции можно применять все условия и
уравнения равновесия статики. Для определения со составим
уравнение моментов относительно точки А.
Фиг. 222
483
Будем иметь:
(a-х){а~х)
о
или, выполняя интегрирование,
—|Р + ро2-^а* = 0. E)
Так как масса ААВС равна М = — — р-^-, то из E) имеем:
-!+<*?¦ = О,
откуда
Чтобы найти силу реакции в точке А, составим уравнения про-
проекций сил активных, сил реакций связей и сил инерции на оси
Ах и Ау. Будем иметь:
— NAt + Р»2 f х (а — х) dx = О
E')
Из первого уравнения E) после интегрирования получим:
»7 •> лг Р п а
но так как co2 = 4-|-, то NAx = -^P. Из второго уравнения E')
имеем: NAy = P, а поэтому
Задача 27. Четыре призмы весом соответственно Pit P2, Рз>
Pi кГ положены иа абсолютно гладкую горизонтальную пло-
плоскость (фиг. 223, а) и связаны невесомой и нерастяжимой
нитью. К призме Pi привязана такая же нить и перекинута через
блок. К концу этой нити привешена гиря в Q кГ. Найти ускоре-
ускорение, с которым будет двигаться система, и определить натяже-
натяжение нити, соединяющей призмы Р2 и Р3.
Так как нить, соединяющая призмы Рь Р2, Р3, Pi и Q, нера-
нерастяжима, то все они будут двигаться с одним и тем же уско-
ускорением w. Для определения ускорения w применим принцип
Даламбера. Присоединив к заданным активным силам и силам
484
реакций связей силы инерции, напишем условие равновесия
нити. Будем иметь:
w = g-
откуда
Для того чтобы найти натяжение нити, разрежем нить в точ-
точке А, заменив действие системы грузов Рь Р2, Q на рассматри-
рассматриваемую часть системы (грузы Р3 и Р4) силой натяжения нити Т
Р> Р, * Р, Р,
Фиг. 223
(фиг. 223,6). Уравнение равновесия сил в проекции на напра-
направление нити дает нам:
и, следовательно,
8 v
Ускорение грузов можно было бы найти непосредственно из
второго закона Ньютона, так как все грузы движутся поступа-
поступательно. Масса движущейся системы, очевидно, равна:
а приложенная сила, вызывающая движение системы, равна Q.
Из уравнения Mw = Q имеем:
_Л__ Q
W~ М ~g
что совпадает с результатом, найденным при помощи принципа
Даламбера.
Как мы видели, соотношения D) и D'), представляющие со-
собой аналитическое выражение принципа Даламбера, показывают
нам, что в любой момент времени при движении механической
системы точ<?'-< rvwMa сил активных, сил реакций наложенных
485
связей и сил инерции представляет собой систему сил, эквива-
лентную нулю.
Если точкам системы дать перемещения, не нарушающие на-
наложенных связей (согласные со связями, дозволяемые связя-
связями), то на основании принципа виртуальных перемещений мы
получим, что сумма элементарных работ уравновешенной си-
системы сил равна нулю. Допустим, что наложенные на систему
голономные связи являются идеальными, стационарными и удер-
удерживающими. Тогда на основании принципа виртуальных пере-
перемещений в применении к уравновешенной системе сил имеем:
п ->, -> ->
2 (п?' — rnvwv) 6rv — 0. F)
v=l
Если проекции -F(va) обозначить через F["J, F($, F^J, проекции
6rv обозначить через 6xv, 6yv, 6zv, а проекции wv — через xv,
yv, zv, то, развертывая скалярное произведение, стоящее под
знаком суммы в формуле F), получим:
п
2 [(Р\х — mvxv) 6xv -\~ {F^y — mvyv) byv -f- (F$ — mvzv) bzv] = 0.
F')
Соотношение F'), объединяющее два основных принципа
механики, принцип виртуальных перемещений Лагранжа и
принцип Даламбера, называется общим или универ-
универсальным уравнением механики.
Приняв это уравнение за исходное, можно простыми преоб-
преобразованиями вывести из него уравнения движения голономных
механических систем, а также все основные теоремы динамики.
§ 2. Уравнения Лагранжа 1-го рода
Пусть на механическую систему п материальных точек на-
наложено k идеальных голономных стационарных связей вида:
( [г и ¦? у и ? \ О G\
'(к=1, 2 k).
Эти связи налагают на виртуальные перемещения k соотно-
соотношений, которые можно получить, взяв полные дифференциалы
от левых частей уравнений G). Будем иметь следующие k со-
соотношений:
G')
486
Следовательно, из Зп виртуальных перемещений точек рас-
рассматриваемой механической системы Ьхи . .., bzn независимых
будет только (Зп— k). Если мы из уравнений G') найдем k за-
зависимых перемещений как функции (Зп—k) независимых, а
затем подставим их значения в универсальное уравнение меха-
механики, то, приравнивая нулю коэффициенты при независимых пе-
перемещениях, получим (Зп — k) уравнений движения. Присоеди-
Присоединяя к этим уравнениям k уравнений связей, получим систему Зп
уравнений, из которых можно определить Зп координат хи yit
Zu . . ., хп, уп, zn в функции времени и произвольных постоян-
постоянных интегрирования.
Однако такой способ получения динамических уравнений
слишком сложен. Гораздо удобнее воспользоваться здесь мето-
методом неопределенных множителей Лагранжа. Умножим уравне-
уравнения G') на Ки Яг, . . •, А* соответственно и сложим с уравнением
F'). Собирая коэффициенты при проекциях виртуальных пере-
перемещений, получим*:
Пользуясь произволом выбора множителей Яи, выберем их так,
чтобы коэффициенты при k зависимых перемещениях обрати-
обратились в нуль. Тогда коэффициенты при (Зп — k) независимых
перемещениях также будут равны нулю. В самом деле, поль-
пользуясь независимостью (Зп — k) перемещений, мы можем
(Зп — k—1) из них выбрать равными нулю; тогда коэффи-
коэффициент при перемещении, отличном от нуля, обратится в нуль на
основании уравнения (8). Повторяя это рассуждение для лю-
любого независимого перемещения, мы убедимся, что коэффициен-
коэффициенты при них равны нулю. Следовательно, из (8) мы получим:
k
Fvx — mvxv + V А* -~ = 0,
? v
' vz mvzv —(— ^. Ли , = и,
и1 V
* Для сокращения записи будем обозначать F? через Fv.
487
или
Уравнения (9) называются уравнениями Лагранжа 1-го ро-
рода для голономных систем. Присоединяя к уравнениям (9) k
уравнений связей F), получим полную систему (Зп + k) уравне-
уравнений, из которых нужно определить Ъп координат системы хи Уи
Z\, ,.., хп, уп, 2„ и k неопределенных множителей Лагранжа %и
Я2, ¦ ¦ ¦, Яй. Множители Xi, ..., Яй имеют такое же мехническое
значение, как и в задачах статики. Проекции силы реакции, воз-
возникающей от связи /i = 0, равны
поэтому, зная величины множителей Лагранжа, легко найти
реакции всех наложенных на систему связей.
Анализируя процесс вывода уравнений (9),легко видеть, что
изучение движения механической системы материальных точек
методом уравнений Лагранжа 1-го рода тем труднее, чем боль-
больше наложено на нее связей и чем большее число материальных
точек входит в рассматриваемую механическую систему. По-
Поэтому этот способ решения задач целесообразно применять
только в том случае, когда число точек системы и число нало-
наложенных связей невелико.
В случае идеальных стационарных удерживающих связей,
наложенных на механическую систему из уравнений Лагран-
Лагранжа 1-го рода можно получить интеграл энергии, если действую-
действующие активные силы имеют потенциал. В самом деле, умножая
уравнения (9) на dxv, dyv, dzv соответственно и суммируя по
индексу v от 1 до я (соответственно числу точек системы), мы
получим:
п п
, & dXv + к ^V + "Zv dz.) = 2 Fv* d
v=l v=l
488
Так как по предположению действующие активные силы имеют
потенциал, то
п
^{P^xv + Fvydyv + Fvzdzv) = dU(xv yv zv ..., хп, </,,, zn).
Левую часть уравнения A0) можно записать в следующем
виде:
v (*v dXv + Ух dyv + К dZv) — 2
v=l v=l
где Г — кинетическая энергия системы.
Из уравнений F), кроме того, имеем:
и, следовательно,
v=l
Таким образом, уравнение A0) после указанных преобразо-
преобразований можно написать в следующем виде:
откуда, интегрируя, получим интеграл энергии:
или
=7V+l/0, (П)
где V=—U есть потенциальная энергия системы, a h =
есть полная начальная энергия системы.
Как мы указывали, уравнения Лагранжа 1-го рода будут
тем сложнее, чем больше точек принадлежит к рассматривае-
рассматриваемой системе. В частном случае, когда система представляет
489
собой абсолютно твердое тело, число уравнений Лагранжа 1-го
рода будет бесконечно велико.
При изучении движения твердых тел и в других аналогич-
аналогичных случаях удобнее вместо декартовых координат, определяю-
определяющих положение точек системы, ввести в рассмотрение обобщен-
обобщенные координаты, число которых равно числу степеней свободы.
Так как число степеней свободы тем меньше, чем больше нало-
наложено на систему связей, то число обобщенных координат умень-
уменьшается с увеличением числа налагаемых связей.
Трудности составления динамических уравнений движения
механических систем точек методом уравнений Лагранжа 1-го
рода, вызываемые большим числом налагаемых связей, нельзя
преодолеть, оставаясь в рамках метода неопределенных множи-
множителей. По существу метод неопределенных множителей имеет
в виду дать сразу ответ на очень большое число вопросов. Ведь,
решая динамическую задачу методом уравнений Лагранжа 1-го
рода, мы получаем и закон движения каждой точки системы, и
реакции всех наложенных на систему связей. Применяя метод
обобщенных координат, мы, пользуясь большим числом ограни-
ограничений, налагаемых связями, принципиально упрощаем рассмо-
рассмотрение, изучая некоторые интегральные характеристики движе-
движения системы. Детали движения отдельных точек познаются в
новом методе после исследования интегральных характеристик.
Реакции связей при изучении движения методом обобщенных
координат полностью исключены. Таким образом, трудности,
вносимые большим числом связей в методе неопределенных
множителей, становятся источником преимуществ в методе об-
обобщенных координат.
§ 3. Уравнения Лагранжа в обобщенных координатах
(уравнения Лагранжа 2-го рода)
Рассмотрим механическую систему п материальных точек ти
т-2, ¦¦-, т-п, на которую наложено k идеальных, голономных, неста-
нестационарных связей вида:
fiC*i. г/i. г„ •••- х„, уп, г„, t) = 0,
fk (*i. У и *1. • • •. ха, уп, za, t) = 0.
Число независимых виртуальных перемещений равно
(Зп— k), следовательно, рассматриваемая система имеет
Ъп — k = s степеней свободы. Допустим, что мы нашли s пара-
меторв <7ь <7г, • • ¦ . <7з, заданием которых вполне определяется
положение точек системы (определяется конфигурация систе-
системы). Будем называть величины qt, 92, ¦••, Qs обобщенными ко-
координатами механической системы. Выразим декартовы коор-
490
динаты точек системы в функции обобщенных координат. Бу-
Будем иметь:
x1==xi(qi, q2, . -., qs, t),
2i —2i(<7i. 9г. •••. 9*. t),
A2)
xn =zxn(ql, q2, ••¦! qs, t),
Уп=Уп(яи 92. •••> qs> 0»
Zn = za(qi, 92. ¦••, Л. *),
или в векторном виде:
-> ->
.'!!.¦;;;!.'.¦.¦! (i3>
rn—rn(ql, q2, ..., qs, t).
Пользуясь соотношениями A3) или A2), можно найти все
виртуальные перемещения Ьх\, Ьуи .. ., bzn в функции незави-
независимых виртуальных перемещений, число которых равно числу
степеней свободы.
В самом деле, возьмем полные дифференциалы при постоян-
постоянном t от обеих частей равенств в соотношениях A3); тогда бу-
будем иметь:
6/"j=-т— 6<7i ~f~ ¦ • • ч~ ~а— ^9«z= z^i ~л— ^q .
0 = 1
Подставляя полученные значения 6rj, 6r2, ..., 6г„ в уни-
универсальное уравнение механики F), получим:
dr*v
V=l 0=1 °
пли, изменяя порядок суммирования,
491
Как известно из аналитического рассмотрения принципа вир-
виртуальных перемещений (см. главу VI),
где Qa есть обобщенная сила, отнесенная к координате qg. Для
того чтобы преобразовать второе слагаемое в уравнении A5),
докажем справедливость следующих двух вспомогательных со-
соотношений:
-— = — , A6)
d I dr \ дг
dt у dqa I dqa
~j- . ->
где rv и qa суть производные по времени от rv и qa.
Для доказательства формулы A6) возьмем полную произ-
производную по времени t от радиуса-вектора rv {qu q%, ..., qs, t):
0=1
1ак как все -g— и -^- не зависят от ^а (^а будем называть
обобщенными скоростями), то, взяв от обеих частей A8) част-
частную производную по qa, получим:
Для доказательства справедливости A7) напишем подробно
правую и левую части этой формулы. Возьмем частную произ-
водную от r\ no q0. На основании формулы A8) имеем:
В общем случае -^- зависит от всех обобщенных коорди-
координат и времени t, следовательно,
dt
492
Так как правые части равенств A9) и B0) равны, то будут
равны и левые части этих равенств, т. е.
d i <5/\,
Принимая во внимание формулы A6) и A7), мы можем пре-
преобразовать второе слагаемое уравнения A5) следующим обра*
зо м:
\=l v=l
и -> n
a
~dt [ ?7J
v=l v=l
~dt [Vv d?7J ~ 2^mvX)v Г (d?7)=
v=l
v=i ч ^a' v=i
Легко видеть, что
n -> n
уч « /-». dr \ d
7, mv — x)v —r-1 = —
-"¦ Л \ бе. / dt
v=l ° v=i
dt\ 2 dq
d dT
dt да„
v=l ° ° v=l °
где Г — кинетическая энергия системы, по определению равная:
Следовательно,
6? dt\dgj dg
?a dt\dgaj dga
Принимая во внимание соотношения A5) и A8), мы можем
представить универсальное уравнение механики в виде:
33 Л. А. Космодемьянский 493
В уравнении B2) виртуальные перемещения 6<7а независимы
между собой и могут принимать любые значения. Полагая все
bqa, кроме 6<7ь равными нулю, мы приходим к выводу, что ко-
коэффициент при перемещении 6<7i должен быть равен нулю, т. е.
dt dql dql
Рассуждая подобным же образом относительно оставшихся
(s— 1) перемещений мы приходим к заключению, что коэффи-
коэффициенты при независимых перемещениях 6<7г, 6<7з> • • •, 6<7s равны
нулю. Таким образом, получим следующую систему s уравне-
уравнений:
d dT дТ
dt dq\ dq\
B3)
_rf_ _дТ_ _ _дТ_ _ 0
dt dqs dqs ~ 4s j
Уравнения B3) называются дифференциальными уравне-
уравнениями Лагранжа 2-го рода. Число этих уравнений равно числу
степеней свободы механической системы точек. Для составле-
составления уравнений B3) следует прежде всего выбрать обобщенные
координаты системы и выразить кинетическую энергию системы
Т через обобщенные координаты и обобщенные скорости.
Докажем, что кинетическая энергия Т является квадратиче-
ской функцией обобщенных скоростей. В самом деле, по опре-
определению
V v — 2
v=l v=l v=l
Как мы знаем,
-> -*¦ -> ->
-> dr., . dr., . dr., . dr..
следовательно,
-> -> dr., drv y\ drv drv . у vi drv drv . .
0=1 0=1 v=l
Подставляя выражение квадрата скорости в формулу B4),
мы получим:
drv drv у yi orv drv ¦
0 = 1 V=l
s s n -> ~>
drv drv . .
J v 6qg dq^ "o"v'
o=l y=i v=i
494
или сокращенно:
Т=Т0+Т1-\-Т2,
причем
V=l
0=1
где
т —IV V V п, v rv
2 ~ 2 Zu —d \ Zj v да„ да..
Функция Г2 является однородной квадратической функцией
обобщенных скоростей, Т\ является линейной функцией обоб-
обобщенных скоростей и Го не зависит от обобщенных скоростей.
В общем случае коэффициенты а,у, Ьа, а также То зависят от об-
обобщенных координат и времени t. Если наложенные на систему
связи не зависят явно от времени, то Т0 = 0 и 7\ = 0, так как в
этом случае rv также не зависит от времени. В случае стацио-
стационарных связей кинетическая энергия системы является однород-
однородной квадратической функцией обобщенных скоростей, т. е.
Ху^"?- B5)
a=l Y=l
В общем случае
S S S
Т = i S 2 «Wv + S Ьа9а + Т0- B6)
a=l v=1 o=l
Пользуясь формулой B6), легко показать, что уравнения
Лагранжа 2-го рода являются обыкновенными дифференциаль-
дифференциальными уравнениями второго порядка относительно обобщенных
координат. В самом деле, из формулы B6) следует, что
ОТ
Ча Y=l
33* 495
т. е. —г- есть линейная функция обобщенных скоростей.
Дифференцируя —— по времени, мы получим некоторую
функцию, в отдельные слагаемые которой qg будут входить мно-
жителями. Производная j— представляет собой некоторую
функцию координат, обобщенных скоростей и времени /. Обоб-
Обобщенная сила Qa в общем случае также зависит от обобщенных
координат, обобщенных скоростей и времени. Таким образом,
уравнения Лагранжа 2-го рода с математической точки зрения
не являются более сложными, чем дифференциальные уравне-
уравнения движения, полученные непосредственно из второго закона
Ньютона.
При решении задач методом уравнений Лагранжа 2-го рода
полезно придерживаться следующего порядка вычислений.
Прежде всего нужно определить число степеней свободы рас-
рассматриваемой механической системы и выбрать обобщенные ко-
координаты. Затем следует установить связь между декартовыми
и обобщенными координатами, т. е. установить зависимости ти-
типа уравнений A2). После этого нужно составить выражение
для кинетической энергии в функции обобщенных координат.
В большинстве практических задач кинетическая энергия опре-
определяется простыми формулами на основании теоремы Кёнига;
формулами B5) или B6) приходится пользоваться сравнитель-
сравнительно редко. При определении обобщенной силы можно пользо-
пользоваться формулой A5') или находить ее, руководствуясь следую-
следующими соображениями. Пусть требуется найти обобщенную силу
Qa, отнесенную к координате qa. Дадим точкам системы такие
виртуальные перемещения, чтобы изменилась только коорди-
координата qa, и подсчитаем величину работы приложенных к системе
сил на этих виртуальных перемещениях:
коэффициент при 6q0 будет определять величину обобщенной
.силы. Подставляя значения Т и Q в уравнения Лагранжа B3),
мы получим систему обыкновенных дифференциальных уравне-
уравнений второго порядка, которые могут быть проинтегрированы
обычными приемами.
Если действующие на систему силы имеют потенциал, т. е.
/7v = gradt7v, или rvx = ——, Fvy = -——, F^z — -—-t
496
то
-2(-
v=l v
dxv
dUv
dxv dqa
dyv
dzv
Уравнения Лангранжа B3) в этом случае можно написать
в следующем виде:
d дТ дТ дЦ
dt dqx dqx dqx
B7)
d дТ
dt dqs
дТ
dqs
dU
dqs
Введем в рассмотрение новую функцию:
которую будем называть кинетическим потенциалом или функ-
функцией Лагранжа. Так как потенциал U является функцией толь-
только координат, то
0L дТ
(О=1, 2, .... S).
Введя функцию L, уравнения B7) можно написать в сле-
следующем виде:
4
dt
ИЛИ
dt dqa dqa
(a = l, 2, .... s).
Покажем теперь, что при голономных, идеальных, стацио-
стационарных, удерживающих связях из уравнений Лагранжа B7)
или B8) можно получить интеграл энергии. В самом деле, ум-
умножим уравнения B7) на qi, ..., qs соответственно и сложим.
В результате получим:
B9)
Ш
Легко видеть, что
V
Zd dqa 9" ~" dt '
а=1
так как в случае стационарных связей функция U зависит толь-
только от обобщенных координат qu q2, . . ., qs и не зависит явно
от времени t.
Преобразуем левую часть соотношения B9):
дТ\ ¦ \\ дТ
0=1
При стационарных связях кинетическая энергия Т является
однородной квадратической функцией обобщенных скоростей и
не содержит времени t в явном виде, поэтому
V-! / ОТ ¦¦ . дТ • \ dT
~ \ да ° да а dt
o=l ' °
На основании теоремы Эйлера об однородных функциях:
Таким образом, левая часть B9) будет равна:
d ?л dT __ dT
dt *¦ ' i dt ~ dt '
и поэтому окончательно формулу B9) можно написать в сле-
следующем виде:
dT _ dU
dt ~~ dt *
Отсюда, интегрируя, находим:
T = U + h, C0)
где h — начальная энергия системы.
Применим метод уравнений Лагранжа в обобщенных коор-
координатах для решения двух задач.
Задача 28. Твердое тело массы М вращается без трения
вокруг неподвижной горизонтальной оси. Расстояние центра масс
тела от оси вращения равно а (фиг. 224). Определить движение
-4ОД
тела при малых углах отклонения линии ОС от вертикали.
(Задача о малых колебаниях физического маятника.)
Твердое тело, которое может вращаться вокруг неподвиж-
неподвижной оси, имеет одну степень свободы. За обобщенную коорди-
координату примем угол ф между осью Oz и линией ОС. Кинетиче-
Кинетическая энергия в данном случае равна:
где /0 — момент инерции тела относительно оси вращения, про-
проходящей через точку О. Действующая сила Р имеет потенциал:
U = Pzc = Mga cos ф.
Следовательно, кинетический потен-
потенциал равен:
C1)
Lz=~2 ^Ф2 + Mga cos ф.
Из C1) легко находим:
-р- = Л>Ф, — = — Mga sm ф.
дер dtp
Следовательно, уравнение Лагранжа относительно обобщен-
обобщенной координаты ф будет иметь вид:
sin Ф = °-
Так как угол ф мал, a /0 = const, то, полагая бшф^ф и вы-
выполняя дифференцирование, получим:
Обозначив
Mag
через k2, уравнение движения можно пред-
ставить в следующем виде:
ф-{-&2Ф = 0. C2)
Из уравнения C2) следует, что угол ф меняется по закону
простого гармонического колебания с частотой, равной к, и пе-
периодом колебаний:
1 ~ k ""'К Mga-
Задача 29. Определить движение двух точек Л и В с
равными массами, связанных пружиной. Точки А и В могут дви-
двигаться только по прямой OD. Пружина такова, что силы, дей-
действующие на материальные точки, пропорциональны ее удлине-
удлинению (фиг. 225).
499*
В рассматриваемом случае система имеет две степени сво-
свободы, так как при движении точек Л и В по заданной прямой
положение каждой из них определяется одним параметром,
например расстоянием qi или qz вдоль прямой OD от неподвиж-
неподвижной точки О. Величины qi = OA и q2=OB примем за обобщен-
обобщенные координаты системы. Кинетиче*
екая энергия системы будет:
Пусть / — расстояние между точ-
точками А и В при недеформированной
пружине; тогда силовая функция
U будет иметь вид:
Фиг. 225
где k — коэффициент упругости пружины, а (<7г — <7i — I) —
удлинение пружины. Для упрощения вычислений положим, что
¦Яг=1+1, тогда
Кинетический потенциал в данном случае равен:
C3)
Уравнения Лагранжа примут следующий вид:
mq\ — k(\ — q^ — О,
/п|+ *(?-?,) = <). C4)
Уравнения C4) являются обыкновенными дифференциаль-
дифференциальными уравнениями второго порядка с постоянными коэффи-
коэффициентами. Складывая эти уравнения, мы приходим к выводу,
что^! = —|. Дифференцируя первое из уравнений C4) два раза
и заменяя | через —qu мы получим:
jj C5)
Дифференцируя второе из уравнений C4) дважды по вре-
времени и исключая —qit получим:
m|(IV) + 2*1 = 0. C6)
Уравнение C6) аналогично уравнению C5); обозначив
— = п? и пользуясь подстановкой Эйлера qi=ext, мы получим
характеристическое уравнение вида Xi+n2X2—0, откуда сле-
500
дует, что или Я2=0, или Х2 = — п2. Следовательно, характеристи-
характеристическое уравнение имеет четыре корня:
Л., =0, Х2 = 0, X3 = in, X4 = — in, где /=/—Г.
Так как нулевой корень имеет кратность, равную двум, то-
общее решение уравнения C5) имеет вид:
qx = С, -f C2t Ч- Сге^ -f С,е- "",
и аналогично
Переходя от показательных функций к тригонометрическим,
будем иметь:
q1 = d 4" <V + -^i cos n^ 4" ^i sin
? = Ci 4- C'tf 4- Л2 cos пг; + B2 sin
Два первых слагаемых определяют поступательное движение
системы, два вторых слагаемых определяют колебания точек А
и В около положений относительного равновесия. Так как | =
= —qu то легко показать, что Л2=—Ai и В2=—Вх.
§ 4. Малые колебания консервативных систем около положения:
равновесия
Одним из наиболее плодотворных применений уравнений
Лагранжа 2-го рода является изучение малых колебаний меха-
механических систем около положения равновесия. Мы ограничимся
рассмотрением случая малых свободных колебаний механиче-
механической системы, имеющей s степеней свободы, около положения
устойчивого равновесия. Как было указано, потенциальная
энергия системы V{qi, q2, ¦. . , qs) определяется с точностью до
произвольной постоянной. Мы можем выбрать начало отсчета
координат qu q2, .. ., qs таким образом, чтобы положению рав-
равновесия соответствовали значения: <7i=0, <?2=0, ..., <?s = 0 и
V0=0. Кроме того, в главе VI раздела «Кинетика» мы доказали,
что при равновесии консервативной системы имеют место сле-
следующие условия:
й?1 ' dq2 ~U' "•' dqs —U-
Разложим функцию V(qu q2, ..., qs) в ряд Тейлора в окрест-
окрестности положения равновесия (в окрестности точки <7i=0,
501.
= 0,..., <7s = 0), считая qi} q2, ¦. ¦, qs малыми. Будем иметь:
,. q, ?,)=V@, ...,
+- <37>
Так как в положении равновесия V@, ..., O) = Vo = O и
_—\ =0 (о = 1, 2, .. ., s), то разложение функции: V(qit q2, ...
- .., qs) будет начинаться с членов второго порядка малости, т. е.
V{Q\> <72> • • •> Я$)
Пренебрегая членами третьего и высших порядков малости
и обозначая:
/ ,1917 \
= const — ktj,
мы можем представить потенциальную энергию V в окрест-
окрестности точки <7i = 0, <?2 = 0, . .., qs = 0 в виде:
цЧЛ)- C8)
Так как кц = const, то выражение C8) представляет собой
однородную квадратичную форму обобщенных координат.
Коэффициенты ktj будем называть коэффициентами упругости.
Из определения этих коэффициентов следует, что kij=kji. Обоб-
Обобщенные силы, отнесенные к соответствующим обобщенным ко-
координатам, будут иметь вид:
^ дУ
~~^ — ^2\Я\ I «2292 "Т" • • • ~Г
C9)
Силы Qi, Q2, . .., Qs обусловлены отклонениями механиче-
механической системы от положения равновесия. По аналогии с задачей
о малых гармонических колебаниях точки целесообразно на
звать силы Qit Q2, . .., Qs восстанавливающими силами.
Будем предполагать, что наложенные на систему связи не
зависят явно от времени.
502
В этом случае кинетическая энергия системы представляет
собой однородную квад ратине скую функцию обобщенных ско-
скоростей, т. е.
i=\ ;=1
где atj — aji являются в общем случае функциями обобщенных
координат. Будем считать обобщенные скорости малыми пер-
первого порядка. Разложим aij = aH {qu q2, . . ., qs) в ряд Тейлора
в окрестности точки <?i = 0, <72 = 0, . . ., qs = 0. Будем иметь:
даи
(Т=1
д2ац
Подставляя разложение а^ в формулу для кинетической
энергии и ограничиваясь членами второго порядка малости, мы
получим следующее приближенное выражение для кинетиче-
кинетической энергии:
S S
т = т S S a-v (°- °' • • •' °) iris- D°)
Таким образом, кинетическая энергия в рассматриваемом
случае является однородной квадратической функцией обоб-
обобщенных скоростей. Коэффициенты ац@, . . ., 0) суть постоянные
величины. Обозначим коэффициенты ац{0, . .., 0) через тц и
будем называть их коэффициентами инерции системы. В новых
обозначениях выражение для кинетической энергии D0) можно
представить в виде:
S S
Т = Т 5 S тчЧЛ}- D1)
«=1 7=1
По определению кинетическая энергия системы положитель-
положительна, и, следовательно, Т является однородной положительной
квадратичной формой обобщенных скоростей qit q%, ¦ ¦ -. qs-
Проведенные рассуждения показывают, что для изучения
свободных малых колебаний механической системы вблизи по-
положения устойчивого равновесия в потенциальном силовом
503
поле мы можем представить потенциальную и кинетическую
энергию в виде однородных квадратичных форм с постоянными
коэффициентами:
i=\ j=\
Jtl
D1)
Так как кинетическая энергия Т не зависит от обобщенных
координат, то -^—=0 @=1, 2, ..., s) и уравнения Лагранжа
2-го рода для случая малых колебаний принимают следующий
простой вид:
d I дТ \_ дУ
dt \ dqx } dqs
d_ (дТ\ _ _ 6V_
dt \ dq2 J dq2
_d_ l dT
dt
/ дТ\ dV
На основании D1) имеем:
дТ
дТ , • ,
—г- = mu<7i + m12q2 + ...
ОТ
°4s
••• +mss4s
Принимая во внимание формулы C9), уравнения малых ко-
колебаний системы можно написать в виде:
dt
(mslql + .
mssqs) = —
sqs);
504
выполняя дифференцирование и перенося все слагаемые в левые
части, получим:
2q2) + • • • + (mSs<is+Кйз) — О
D3)
Уравнения D3) суть обыкновенные дифференциальные урав-
уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. В част-
частном случае, если система имеет одну степень свободы, все
коэффициенты тц и кц, кроме ти и кц, равны нулю, и мы по-
получим из D3):
или
?i + «2<7i = 0, D4)
где п2 = ——. Движение, описываемое уравнением D4), было
подробно изучено в главе II, стр. 188—191.
Будем искать решения уравнений D3) в виде:
qx = A^ sin (nt-\-a), q2 = А2 sin (nt + a), ..., qs = As sin (nt-\-a).
D5)
Вычисляя вторые производные от обобщенных координат по
времени, подставляя qu qz, ..., qs в уравнения D3) и сокращая
на sin(n?+a), будем иметь:
D6)
— ms2n2) Л2+ •••
Система s алгебраических уравнений D6) представляет со-
собой систему однородных линейных уравнений относительно
коэффициентов Аи А2, .. ., As. Как известно из курса высшей
алгебры, такая система имеет решения, отличные от тривиаль-
тривиального (Ах = 0, Л2 = 0, . .., As — 0) в том случае, если детерминант
системы равен нулю. Обозначая детерминант системы D6)
505
через A(ft2), мы можем написать условие нетривиальности реше-
решений D6) в виде:
kn — mnn2) ... (kls —
А(п2) =
- V2)
= 0.
D7)
Раскрыв детерминант Л(л2)=0, мы получим алгебраическое
уравнение s-й степени относительно п2. Это уравнение назы-
называют характеристическим или уравнением частот.
Можно доказать *, что если потенциальная энергия есть од-
однородная положительная квадратичная форма, то все корни
характеристического уравнения D7) положительны. Мы огра-
ограничимся рассмотрением случая, когда все корни этого уравне-
уравнения различны и не равны нулю. Обозначим эти корни через
и2 п%
*8.-
Подставляя полученные значения s корней последовательно
в уравнения D6), мы получим s систем уравнений для опреде-
определения коэффициентов Аа.
Пусть корню п2 соответствует система коэффициентов:
корню п\ — система коэффициентов:
Л B) дB) дB)
1 i Л2 i • • ч Л«
и т. д., а корню п2— система коэффициентов:
AU) a(s) ,(s)
-гЧ , -M2 , . . . , S\s
Так как уравнения D6) суть однородные уравнения, то си-
системы значений коэффициентов Аа определены с точностью до
постоянного множителя, или, иначе говоря, определены только-
отношения этих коэффициентов.
Мы можем написать общее решение системы уравнений D3)
в виде:
q1 = Aps\n(n1t + a1) + Apsm(n2t + a2)+ ...
... + A[s) sin (nst + as)
qs = М) sin (nxt + а,) + Л'/> sin (n2t + а2) +
D8)
* А. Г. К У р о ш, Курс высшей алгебры, Гостехиздат, 1952.
506
Решения D8) содержат s произвольных постоянных
а1; 0С2, ..., а5 и s неопределенных постоянных множителей,
с точностью до которых определены системы коэффициентов Аа.
Таким образом, общее решение D8) содержит 2s произвольных
постоянных, которые определяются из начальных условий.
Общее решение D8) показывает, что наиболее общая форма
колебаний системы с s степенями свободы представлят собой
наложение (суперпозицию) s простых гармонических коле-
колебаний.
Частное решение системы D3), соответствующее частоте щ,
имеет вид:
AB} sin (tiit + ai), ..., А{Р sin (tiit-\-ai). D9)
Уравнения D9) характеризуют так называемое первое глав-
главное колебание с частотой п{. Обычно корни уравнения частот
нумеруются в порядке возрастающих частот; тогда первое глав-
главное колебание соответствует наименьшей частоте собственных
колебаний системы.
Если положение равновесия системы является устойчивым,
то на основании теоремы Лежен — Дирихле потенциальная
энергия V принимает в положении равновесия минимальное
значение. В этом случае при малых qt, q2, ..., qs функция V
будет однородной положительной квадратичной формой обоб-
обобщенных координат. Как уже было указано, кинетическая энер-
энергия по физическому смыслу есть величина положительная. Та-
Таким образом, V и Г —однородные положительные квадратичные
формы переменных qit q2, . . ., qs и qu q%,..., q\ соответственно.
По известной теореме высшей алгебры в этом случае суще-
существуют новые переменные хи х2, ..., xs, являющиеся линейными
функциями qu q2, ..., qs, такие, что в новых переменных квад-
квадратичные формы Т и V приобретают следующий простой вид *:
) |
\. E0)
+cssx2s)
* Обычно записывают выражение для кинетической энергии в виде:
Очевидно, что, полагая yi = VbnXi Hs — Vbssxs, мы приходим
к виду Т, указанному в формуле E0). Для функции V такая замена приве-
приведет только к изменению коэффициентов и дд.
507
Уравнения Лагранжа 2-го рода в новых обобщенных коор-
координатах хи х%, ..., xs будут иметь следующую простую форму:
1 ^22*^2 —
E1)
Решения уравнений E1) можно записать так:
хг = Bt sin (pj + <*i). x2 = В2 sin (p2t + а2), ....
xs = Bssin{pst + as),
где
р\ = сп, р\ = с2У ..., p\ = css, a Bv B2, ..., Bs, a,, a2,
аз, . .., as — произвольные постоянные интегрирования. Новые
обобщенные координаты механической системы хи х2, ..., xs
называются нормальными координатами. Уравнение колебаний
для какой-либо нормальной координаты не содержит других
координат системы, и его можно исследовать независимо. Урав-
Уравнения малых колебаний в нормальных координатах имеют наи-
наиболее простую форму и весьма удобны для исследования влия-
влияния некоторых изменений, вносимых в механическую систему.
Рассмотрим, например, как влияет на частоты колебаний
данной системы увеличение массы какой-либо части системы.
Пусть выражения для кинетической и потенциальной энергии
до увеличения массы какой-либо части системы имеют вид:
где pi, pi, . ¦., ps суть главные частоты.
Увеличение массы в какой-либо части системы можно ма-
математически учесть, добавляя выражение
к кинетической энергии.
Таким образом, кинетическая энергия системы с увеличен-
увеличенной массой будет равна:
508
Уравнения Лагранжа 2-го рода для системы с увеличенной
массой можно написать в виде:
л, + а,(а, *, + а2х2 + ... + as'xs) + р\х^ = О
E2)
Пусть р — главная частота для колеблющейся измененной си-
системы; тогда, пользуясь обычным представлением решения, че-
через тригонометрические функции, будем иметь:
Jc, = — р2хи х2 = — р2х2, .... xs = — fPxs,
а следовательно, из первого уравнения E2) получим:
или
I
• = 0.
E3)
Аналогично получим из последующих уравнений E2):
о о
Й2*2 ,
¦ + ¦
••• +asxs)
Р2-,
Складывая E3) и E3'), будем иметь:
U. пп
2 2-1 Г^+ '•• +"
E3')
= 0.
E4)
Рассмотрим далее следующее алгебраическое уравнение:
el
_J?! 1 el
И — И, ' U— И2
U-U, '«-
= 0)
E5)
где fii, J52, ..., Bs положительны, а иь м2, ..., us, us+i располо-
расположены в порядке убывания их величины. Освобождаясь от дро-
дробей в знаменателе, получим:
#i (и — Щ) (и — Ид) ... (и — us+l) +
... + (и —„!
34 А. А. Космодемьянский
-и8) ... (М
= /?(„) = 0.
E6)
509
Если в E6) подставлять последовательно значения и, рав-
равные Mi, и2, •. •, Us+i, то функция F(u) будет принимать пооче-
поочередно положительные и отрицательные значения. Следователь-
Следовательно, корни уравнения лежат между значениями щ, м2, ..., us+i.
Применяя эти рассуждения к уравнению E4), мы можем
утверждать, что это уравнение имеет корни для р2 меньшие, чем
р\, р\, ¦¦-, р\ соответственно (значение ps+i=0). Таким обра-
образом, увеличение массы в какой-либо части системы, совершаю-
совершающей малые колебания, приводит к уменьшению главных частот
колебаний, а следовательно, к увеличению главных периодов
колебаний.
Рассмотрим, как влияет на главные частоты колебаний уве-
увеличение потенциальной энергии системы. Увеличение потен-
потенциальной энергии системы можно математически учесть, доба-
добавляя выражение
1 (аххх + а.2х2 -+-..
к потенциальной энергии.
Следовательно, увеличенную потенциальную энергию систе-
системы можно представить в виде:
4- j (ал 4- a2x2 4- ... 4- asxsf.
Пользуясь уравнениями Лагранжа 2-го рода, уравнения ма-
малых колебаний в этом случае можно представить в виде:
E7)
=о
Если р — главная частота колеблющейся системы с увели-
увеличенным значением потенциальной энергии, то, пользуясь пред-
представлением решений в виде:
хх = Л, sin (pt + р), х2 = Л2 sin {pt + p), ..., xs = A, sin {pt 4-fl).
мы легко находим, что
Х\ = р Хх, Х2 == Р Ху, • • •, Х$ = P^^s'
510
Пользуясь этими выражениями для вторых производных, мы
получим из E7):
E8)
Уравнения E8) можно написать в виде:
p'i-P2
= 0
= 0
Ps-P (ЙЛ + •¦• +«Л)
Складывая все s уравнений E9), получим:
E9)
2 2
р\-р
Ра-
F0)
Рассмотрим теперь следующее алгебраическое уравнение:
О О » D
= 0, F1)
,— и и2 — и
t — И
В — и
где /?ь /?2, . • •, Bs, В положительны, а величины «ь «2, Ыз> • • •, w«
расположены в порядке возрастания их значений.
Рассуждения, аналогичные исследованию корней в E6),
приводят нас к утверждению, что корни F1) лежат между зна-
значениями Ml, U2, Из, • • ¦, Us, В.
Если в F1) устремить В к бесконечности, то мы получим
уравнение, тождественное F0).
Следовательно, главные частоты, определяемые уравнением
F0), больше прежних значений главных частот.
Таким образом, увеличение потенциальной энергии системы,
совершающей малые колебания, приводит к увеличению глав-
главных частот колебаний, а следовательно, к уменьшению главных
периодов колебаний.
§ 5. Канонические уравнения Гамильтона
Уравнения Лагранжа 2-го рода представляют собой систему
обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка
относительно обобщенных координат. Число уравнений Ла-
Лагранжа равно числу степеней свободы механической системы.
Гамильтон указал меюд преобразования s уравнений Лагранжа
34*
511
вида B8) к системе 2s обыкновенных дифференциальных
уравнений первого порядка. Уравнения Гамильтона просты по
форме и симметричны относительно основных переменных. Эти
уравнения оказались весьма удобными для исследования не
только динамических задач классической механики, но и ряда
вопросов современной статистической механики и электродина-
электродинамики. Гамильтон ввел в рассмотрение, кроме обобщенных коор-
координат <7i, qi, •.., <7s, еще s новых переменных р1г р2, ..., ps, кото-
которые определяются следующими формулами:
6L
dL
Величины pi, p2, ..., ps называются обобщенными импуль-
импульсами.
Уравнения Лагранжа B8) можно записать при помощи
обобщенных импульсов в следующем виде:
dpi dL^ dp2 j)L_
dq, ' dt ~~ dg2'
dt ~~ dq, ' dt ~~ dg2' '"' dt
Введем в рассмотрение новую функцию:
dgs
а=\
F4)
и исключим из нее обобщенные скорости qg при помощи урав-
уравнений F2). Так как уравнения F2) линейны относительно обоб-
обобщенных скоростей и определитель этой системы уравнению
ап
а
12
л
as2 ... as
отличен от нуля*, то, разрешая уравнения F2), мы найдем:
(v=l, 2, .... s).
кине-
* В самом деле, если бы D=0, то оказалось бы, что при
тическая энергия системы равна нулю, что невозможно.
512
Подставим полученные значения обобщенных скоростей
в функцию Н и возьмем полный дифференциал при постоянном
t от обеих частей уравнения F4). Получим:
(Г=1 0=1
НО
(Г=1 (Г=1
Заменяя производные от кинетического потенциала по обоб-
обобщенным координатам и обобщенным скоростям через импульсы
и их производные, мы получим:
±
ii( pa). F6)
Подставляя F6) в правую часть F5), будем иметь:
0=1
Сравнивая коэффициенты при независимых дифференциа-
дифференциалах, мы получим:
-p°-wa> it—dp;* ( }
@=1, 2, ..., s).
Уравнения F7) называются каноническими уравнениями
Гамильтона, а функция Н, зависящая от 2s канонических пере-
переменных <7i, <72, ..., <75, р\, ..., ps и времени t, называется функцией
Гамильтона. Для механической системы с s степенями свободы
будет 2s канонических уравнений F7). Уравнения Гамильтона
представляют собой обыкновенные дифференциальные уравне-
уравнения первого порядка *. Интегрирование этих уравнений дает 2s
величин <7ь .. ., qs, Pi, ¦ ¦ ¦, ps в функции времени и 2s произволь-
произвольных постоянных.
* W. R. H a m i 11 о п, On a General, Method in Dynamics, Phil, Trans. Roy.
Sot, London, 1834—1835,
513
Если наложенные на систему связи стационарны, то функ-
функция Гамильтона Н получает простой физический смысл. В этом
случае Н представляет собой полную механическую энергию
системы. В самом деле, при стационарных связях кинетическая
энергия системы является однородной квадратической функ-
функцией обобщенных скоростей; следовательно, на основании тео-
теоремы Эйлера об однородных функциях имеем:
Так как функция Гамильтона
(Г=1
где V — потенциальная энергия системы, то, принимая во вни-
внимание F8), мы получим, что
, F9)
т. е. функция Гамильтона Н равна полной механической энер-
энергии системы.
Пользуясь каноническими уравнениями Гамильтона, легко
получить интеграл энергии для случая стационарных связей.
Докажем сначала, что полная производная по времени от функ-
функции Гамильтона Н равна частной производной от той же функ-
функции по времени.
Действительно,
dH _ дН ¦ дН ¦ , дН • дН • дН _
~ЧГ— dqx 4i~T"d?l~Pl4r ••• "+" dqs ?*+ dps Ps~r~~dT —
Подставляя в правую часть G0) вместо qg и рд их значе-
значения из канонических уравнений, будем иметь:
dH _ dH
dt ~~ dt '
так как
дн ' _i_ дн ' \ - V / дН дН _ (Ч дН \ _ п
XJq^ 1° "Г дра Poj ~ U [ dqa дра 0ра dqa ) ~ U'
(Т=1 (Т=1
Если наложенные на систему связи не зависят явно от вре-
времени, то функция Гамильтона Н также не будет зависеть ог
514
ATT
времени и, следовательно, ~^f = 0. В этом случае на основании
доказанного соотношения между полной и частной производ-
производными от функции Н получим:
откуда следует, что # = const. Из формулы F9) имеем: Н=
= T+V, поэтому
Н^=Т~г V = const = T0+V0. G1)
Соотношение D6) является первым интегралом канониче-
канонической системы уравнений и выражает закон сохранения механи-
механической энергии.
При исследовании движения механических систем методом
канонических уравнений Гамильтона полезно придерживаться
следующего порядка вычислений. Как и в методе уравнений
Лагранжа 2-го рода, прежде всего устанавливаем число степе-
степеней свободы рассматриваемой механической системы точек. За-
Затем выбираем независимые обобщенные координаты и соста-
составляем выражения для кинетической и потенциальной энергии
в функции обобщенных координат и обобщенных скоростей.
Составив функцию L = T+U = T—V, по формулам F2) нахо-
находим обобщенные импульсы ри р2, ..., ps. Разрешая полученную
систему линейных уравнений относительно обобщенных скоро-
скоростей, мы можем по формуле F4) найти Я в функции канони-
канонических переменных qu д2,. ¦., д$,
Ри Рг, ¦ • •, Ps и времени t.
Зная функцию Н = Н(ди ...,
qs, p\, ..., ps, t), можно напи-
написать канонические уравнения
F7) и затем интегрировать полу-
полученную систему уравнений.
Задача 30. Составить функ-
функцию Гамильтона и уравнения Га-
Гамильтона для системы двух ма-
материальных точек Mi, Mi
(фиг. 226), движущихся в пло-
плоскости хОу под действием силы
взаимного притяжения по закону Ньютона. Массы точек равны
соответственно т4 и т2. В начальный момент центр масс си-
системы находится в покое.
Так как движение системы двух тяготеющих материальных
точек обусловлено внутренними силами (силами взаимного
притяжения), то центр масс системы будет оставаться в покое,
если в начальный момент движения скорость центра масс была
равна нулю. Примем центр масс системы за начало координат
515
Фиг. 226
и обозначим расстояния рассматриваемых точек от этого на-
начала через ri и г2. Изучаемая механическая система имеет две
степени свободы. В самом деле, положение точек М4 и М2 опре-
определяется полярными координатами {ги ф) и (г2, я + ф). Если
расстояние между точками 'обозначить через г, то, очевидно,
r=ri + r2, а по формуле для центра масс гул!—r2m2; поэтому
можно г4 и г2 выразить через г в следующем виде:
И r<i~
Следовательно, положение системы вполне определяется за-
заданием двух параметров г и ф.
Кинетическая энергия системы равна:
Выражая v\ и v22 в полярных координатах, получим:
Таким образом,
Потенциал для силы ньютонианского притяжения имеет вид:
где k — постоянная тяготения.
Очевидно, что функцию Лагранжа в рассматриваемой за-
задаче можно написать в следующем виде:
Функция Лагранжа не зависит явно от времени, следова-
следовательно, функция Гамильтона также не будет зависеть от вре-
времени. При этих условиях функция Н будет равна (T+V), т. е.
полной механической энергии системы. Если в выражении ки-
кинетической энергии обобщенные скорости г и ф заменим обоб-
обобщенными импульсами pi, p2, то мы получим первый интеграл
канонической системы.
Уравнения, определяющие обобщенные импульсы, примут
вид:
516
Откуда
• _ mt + rtij •__ тх-\-т2 p2
mxm2 ^v т mxm2 r2 '
Следовательно, функция Гамильтона будет иметь вид:
[P+[)\ р—• G2)
Канонические уравнения Гамильтона будут следующими:
• дН ктхт2 т[-\~т2 р2
Р1~ IF P ^'
дН ntt -j- /n2
dp
^ dp2 /n,/n2 r2
§ 6. Методы интегрирования канонических уравнений
1. Пусть движение механической системы точек с s степе-
степенями свободы определяется 2s каноническими уравнениями Га-
Гамильтона:
dt — дра ' dt — dqa
@ = 1, 2, .... s)-
Задача интегрирования системы G4) состоит в нахождении
канонических переменных ри р2, ..., ps, qit q2, ¦ ¦ ¦, <?s, в функ-
функции времени t и 2s произвольных постоянных. Первым интегра-
интегралом канонической системы дифференциальных уравнений'назы-
уравнений'называют соотношение вида:
f(qv q2, ..., qs, pu p2, ..., ps, t) = C, G5)
которое удовлетворяется системой функций qit ..., qs, pu ..., ps,
удовлетворяющих уравнениям G4). Совершенно ясно, что если
/ = С является первым интегралом, то любая функция F(f)-=
= const будет также первым интегралом. Левая часть первого
интеграла G5) представляет собой функцию канонических пе-
переменных и времени, которая остается постоянной во все время
движения при любых начальных условиях.
Два первых интеграла fi = C\ и fz—Cz называются незави-
независимыми, если не существует зависимости вида /2=ф(/0- Если
для системы G4) найдены 2s независимых первых интегралов,
то уравнения G4) будут полностью проинтегрированы, так как
система 2s уравнений
517
определяет канонические переменные в функции времени и 2s
произвольных постоянных.
Найдем условия, при которых соотношение f(qi, .... qs,
pi, ..., ps, t)=C будет первым интегралом канонических урав-
уравнений движения G4). По определению первого интеграла функ-
функция f(qi, ..., qs, pu ..., ps. 0 при замене канонических перемен-
переменных какими-либо решениями уравнений G4) будет оставаться
постоянной, а, следовательно, полная производная от / по вре-»
мени t должна быть равна нулю, т. е.
Заменяя в G6) рд и qa их выражениями через функцию Н
на основании уравнений G4), получим:
df 6Н , . df dti df dH df dH . df n
C^i Opt dqs dps dp{ dqx dps dqs ' di '
или
(T=l
Уравнение G7) должно тождественно удовлетворяться вся-
всяким решением уравнений G4), каковы бы ни были qu ..., qs,
Pi, ¦ ¦ ; Ps, t.
Выражения вида
называются скобками Пуассона. Пользуясь сокращенным обо-
обозначением G8), условие того, что f—C является первым ин-
интегралом канонической системы уравнений, можно представить
в следующем виде:
(f, Я) + §--=0. G9)
2. Рассмотрим некоторые частные случаи, когда первые ин-
интегралы системы канонических уравнений G4) могут быть по-
получены непосредственно.
Если функция Н не зависит явно от времени t, т. е. нало-
наложенные на систему связи стационарны, то, как мы видели [фор-
[формула G1)],
Н= Т + V = const = То + Vo,
618
где To+Vo—полная начальная энергия системы. Соотношение
H(Pv Ръ ¦¦> Psi <7i- • • •. qs) = const
будет первым интегралом, так как условие G9) тождественно
удовлетворяется.
Допустим, что в функцию Гамильтона некоторые из обоб-
обобщенных координат в явном виде не входят. Будем называть та-
такие координаты циклическими. Пусть для определенности пер-
первые k координат <7i, q2, ..., qk (?<s) будут циклическими,
тогда
H=H{qk+v 9*+2. •••> qs> Pv Pv •••> Ps> t).
В этом случае -?-=0 при и=1, 2, ..., k, следовательно, из урав-
нений Гамильтона G4) мы получим:
Pi = const] = alt />2 = Const2 = а2, ..., />ft = Constft = ак. (80)
Соотношения (80) называются циклическими интегралами;
они показывают, что во все время движения импульсы, соответ-
соответствующие циклическим координатам, остаются постоянными.
Легко видеть, что k соотношений вида (80) представляют
собой систему k первых интегралов канонической системы, так
как для них условие G9) тождественно удовлетворяется. За-
Заметим, что обобщенные координаты системы весьма желательно
выбирать таким образом, чтобы возможно большее число этих
координат было циклическим. Например, при изучении движе-
движения точки под действием центральной силы полярные коорди-
координаты выгоднее декартовых, так как угол ср будет циклической
координатой. Если система обобщенных координат выбрана
так, что все обобщенные координаты являются циклическими,
то мы получим s первых интегралов канонической системы
в виде:
Р\ = ai. />2 = <Ь • • •. Ps = <V
Если, кроме того, функция Гамильтона не содержит вре-
времени в явном виде, то
H(av а2, ..., as, qv ..., qs) = const = h0.
При постоянной функции Н система s уравнений
«°=Ж @=1'2' ¦••'*>
будет давать еще s первых интегралов вида:
0 (o=l, 2 s), (81)
где $> = -0— = consta. Таким образом, если на механическую си-
систему точек наложены стационарные связи и система обобщенных
519
координат выбрана так, что все координаты являются цик-
циклическими, то путем элементарных вычислений можно найти все
2s первых интегралов канонической системы. Обобщенные ко-
координаты будут в этом случае линейными функциями времени.
3. Метод Остроградского. Задачу об отыскании 2s
первых интегралов дифференциальных уравнений канонической
системы G4) можно свести, как показал Остроградский, к за-
задаче об определении полного интеграла некоторого уравнения
в частных производных первого порядка.
Заменим в выражении функции Гамильтона Н все обобщен-
обобщенные импульсы pi, р2, ¦ • ¦, Ps частными производными первого
порядка от некоторой функции S, зависящей от qit q2, ..., qs, t,
и напишем уравнение в частных производных следующего вида:
= 0.
(82)
Это уравнение следует называть уравнением Остроград-
Остроградского — Гамильтона.
Уравнение (82) есть нелинейное дифференциальное уравне-
уравнение в частных производных первого порядка относительно неиз-
неизвестной функции S, зависящей от (s+1) переменных qu q2, .. .,
<7S, t. Так как представление функции Н через канонические пе-
переменные нам известно, то составить уравнение (82) всегда
можно. Полный интеграл уравнения (82) будет иметь вид:
S — S{t, <7i, ..., qs, а„ а2, ..., а5) + аЛ+1, (83)
где oti, аг, ..., as, as+i — произвольные постоянные. Одна из по-
постоянных as+i будет аддитивной, так как функция S не входит
в уравнение (83). Остроградский доказал следующую замеча-
замечательную теорему*: если S(t, qu ..., qs, ai, ..., as)+as+i есть
полный интеграл уравнения (82), то 2s независимых первых ин-
интегралов канонической системы G4) определяются из соотно-
соотношений:
dS
да i
(84)
dS
dS
dq2
_
dS
(840
где Pi, p2, ..., Ps суть s новых произвольных постоянных. Иначе
говоря, если известен полный интеграл уравнения Остроград-
* Эта теорема была также доказана Якоби, но опубликована после
смерти и Остроградского, и Якоби, в 1886 г. Совершенно незаслуженно имя
Остроградского не упоминается в целом ряде учебников, авторы которых
неправильно приписывают первое доказательство этой теоремы Якоби.
520
ского — Гамильтона, то первые интегралы канонической систе-
системы получаются дифференцированием полного интеграла по
обобщенным координатам и произвольным постоянным.
Для доказательства этой теоремы достаточно показать, что
канонические переменные ри ..., ps, qu .. ., qs, которые мы по-
получим, разрешая уравнения (84) и (84'), в виде:
<1а = Я<,{1> av пр •••> а,' Pi- h> •••' Р,)«
Ра=Ра{^ av а2> •••' <V Pi» Pi- •••' h)> (
действительно удовлетворяют каноническим уравнениям G4)
при любых значениях постоянных ai, ..., as, f3i, ..., |3s.
Возьмем полную производную по переменной t от обеих ча-
частей равенств в соотношениях (84) и (84'), считая qa и р
функциями t, определяемыми формулами (85). Будем иметь:
а
(86)
dasdg, ^lH" dasdg2
S i &S ¦ | ^'S • _ dp,
dg, dt ~г <ty, d?, Vl "•"••• "t" <jgt dgs 4^~~ dt '
d*S d*S ¦ d*S ¦ _ dp2
~dqTdt + dg2 dg, 4\ + • • • + dg2 dgs ^ ~ ~dT • (87)
dps
dgs dt "^ dgs dg, ~ ' ' ' "^ d^, d^, "J rf<
Чтобы убедиться в справедливости теоремы Остроградского,
можно поступить следующим образом. Подставим в уравнения
(86) и (87) вместо ра, да их значения из канонической системы
G4); если при этом уравнения (86) и (87) обратятся в тожде-
тождества, то соотношения (84) и (84') действительно представляют
собой первые интегралы канонической системы G4). Подста-
Подстановка в (86) дает следующие соотношения:
d*S , d*S dH , , d*S dH n
da, dt ' da, dg, dp, ~ " ' ~ da, dqs
jgs +/s i^L+ ... + ™ i^^p
oaj or ' da, dqx dp, ' ' da, d^ d/?, '
521
или
д ГdS
(88)
da.
так как
n dS 6S\\ n
, a,, .... <7O -3—, .... -г—^^^0,
' vi' ' ^s< dqt ' ' dqs}\ '
—\\ =
' ' ' (>4s I >
dS
dS
dH
d2S
Соотношения (88) удовлетворяются тождественно, так как
в квадратных скобках стоит левая часть уравнения Остроград-
Остроградского, в котором функция S заменена полным интегралом.
Заменяя в формулах (87) qa их значениями из канониче-
канонической системы уравнений G4), получим:
cPS . dsS dH . . d2S dH dp,
dq, Ot ~*~ dq, dq, dp, ' ' '' ' dq, dqs dps dt '
dp,
dll
dqs dt ^ dqs dq,
d*S dH _ dps
dqs dqs ' dps ~ dt
или
dS
dS
dS
(89)
так как
d
dH
dH
dH
dqa
dp,
dt
Соотношения (89) точно так же удовлетворяются тождест-
тождественно Таким образом, теорема Остроградского доказана пол-
полностью.
522
Если функция Гамильтона не содержит времени в явном
виде, то уравнение Остроградского — Гамильтона принимает
более простой вид. В самом деле, положим:
S = w—ht, (90)
где h — произвольная постоянная, a w — новая неизвестная
функция, зависящая только от qu q2, . • •, qs, тогда
dS_==__/l dS __ dw
(o = l, 2, ..., s),
и уравнение Остроградского — Гамильтона (82) можно напи-
сать в виде:
dw dw
dw
Уравнение (91) имеет более простую структуру, чем уравне-
уравнение (82), так как в него не входит время i, т. е. число незави-
независимых переменных в уравнении (91) на единицу меньше. Пол-
Полный интеграл уравнения (91) можно представить так:
w = w (<ь ..., qs, h, ct2, a3> ..., а,),
а следовательно, полный интеграл уравнения (82) примет вид:
l, ..., qs, h, a2, ..., as).
Применяя теорему Остроградского, мы можем 2s первых
интегралов канонической системы представить в виде урав-
уравнений:
dw
dw
t-t0
das
dw
dw
(92)
(92)
где U, ^2, ..., ps суть s новых произвольных постоянных.
Все s уравнений (92), кроме первого, не содержат временив
в явном виде. Определяя из них q2, <?з, • • -, Qs в функции <7i, h,
az, ..., as, p2, • • -, Ps, мы получим уравнение траектории движе-
движения системы, причем эту траекторию удобно интерпретировать
геометрически в пространстве s измерений.
Задача 31. Написать уравнения Остроградского — Гамиль-
Гамильтона для свободной материальной точки массы т, притягиваемой
к неподвижному центру силой, обратно пропорциональной квад-
квадрату расстояния точки от центра.
523
Для решения задачи введем сферические координаты г, <р, 9
(фиг. 227), которые связаны с декартовыми координатами сле-
следующими соотношениями:
x — r sin 9 cos ф, у = r sin 0 sin <p, z = r cos 9.
Кинетическая энергия в сферических координатах имеет вид:
Т = -J [г2 + гФ + г2ф2 sin2 9J.
Следовательно, обобщенные импульсы будут:
_дТ__ • _ дТ _
Рг~ д'г ~ тГ ' ^9 ~~ дд
=-r- = mr2 sin2 9
Силовая функция для силы ньютонианского притяжения
г г kffl Ь 1
равна: и = -р- = —, где о — по-
постоянная.
Таким образом, функция Га-
Гамильтона равна:
Фиг. 227
Уравнение Остроградского — Га-
Гамильтона принимает в этом слу-
случае вид:
dS , 1 TfdSy , 1 (dSy
Jr
1
r2 sin2 9
Так как в рассматриваемой задаче функция Гамильтона не
содержит времени t в явном виде, то
и уравнение Остроградского — Гамильтона можно представить
при помощи функции w в виде:
1 [7 dw \2 . 1 / dw \2 . 1 / dw \21 Ь ,
2т \\ дг ) ~7* \Ш) ~* г2 sin2 9 \ ду j J r
Полученное уравнение можно проинтегрировать методом
разделения переменных, если положить, что
4. Метод разделения переменных. Мы показали,
что интегрирование канонической системы уравнений G4) сво-
524
дится к интегрированию дифференциального уравнения в част-
частных производных, точнее, к определению полного интеграла
уравнения Остроградского — Гамильтона. Задача интегрирова-
интегрирования нелинейного дифференциального уравнения в частных про-
производных в настоящее время решена только для ограниченного
класса задач. Наиболее простой метод определения полного
интеграла заключается в расчленении уравнения Остроград-
Остроградского — Гамильтона на несколько независимых друг от друга
уравнений. Этот метод называется методом разделения пере-
переменных. Пусть кинетическая энергия есть однородная квадра-
тическая форма обобщенных скоростей вида:
Т = 1 b \AX (q,) q\ + Л2 (q2) q* + . .. + Л, (qs) ft], (93)
где b = Bl(qi) +B2(g2) H \-Bs(qs), и пусть силовая функция
имеет вид:
... +Bs{qs) — b
Тогда функция Гамильтона будет равна:
о=1
Обобщенные импульсы будут определяться следующими
уравнениями:
p = —~ ~ ^0^0» откУДа Я a ~ ~b~A~ '
Таким образом, функция Гамильтона Я в канонических пе-
переменных имеет вид:
. г s i _2 \"
(95)
Функция Гамильтона не содержит времени в явном виде,
поэтому уравнение Остроградского — Гамильтона примет вид:
или
itefcf}0- (96)
В уравнении (96) переменные разделены, так как (96) пред-
представляет сумму s слагаемых, каждее из которых зависит только
35 А. А. Космодемьянский 525
от qg. Мы удовлетворим этому уравнению, приравняв каждое
слагаемое произвольной постоянной. Будем иметь:
(ст=1, 2, .... s),
s
причем 2 аа = 0> так что независимых постоянных будет толь-
0=1
ко (s — 1).
Разрешая уравнения (97) относительно производных, бу-
будем иметь:
откуда
(о==1, 2, .... s).
(Произвольных постоянных у нас достаточно, поэтому при
интегрировании новых постоянных не вводим.) Полный инте-
интеграл уравнения Остроградского — Гамильтона будет иметь сле-
следующий вид:
UB-{-hBa-\-aa\ dqa\ (98}
0=1 "
2s первых интегралов канонической системы получим из урав-
уравнений:
dw . dw
dw
{о = 2, 3, ..., s}
причем oi определяется из условия:
Этот случай интегрируемости уравнения Остроградского —
Гамильтона был указан Лиувиллем.
5. Метод Пуассона. Отметим наиболее важные свой-
свойства скобок Пуассона. Пусть имеем две функции <р и \|з, завися-
зависящие от <7ь ..., <7а, Ри ¦ ¦ ¦, Ра и t; составим скобки Пуассона для
этих функций:
а=1
526
Если переставить функции, то у скобок Пуассона изменится
знак; если одна из функций постоянна, то скобки Пуассона рав-
равны нулю, т. е.
(Ф, Ч>) = — (Ч>, ф), (ф, с) = 0.
Взяв частную производную по времени от обеих частей равен-
равенства (99), получим:
-№
, .. дЧа дРо дРа дЧа
0=1
аф I ^ ) <?ф U< j
откуда следует, что
ж(ф, *) = [-&-' V+(*> ж)-
Далее легко доказать непосредственными вычислениями, что
Между скобками Пуассона, составленными для трех функ-
функций /, ф, ф, взятых попарно, существует замечательное тожде-
тождество:
(/(Ф. Ф)) + (Ф(Ф, /)) + (*(/. Ф)) = О, A00)
которое называют тождеством Пуассона. В справедливости это-
этого тождества можно убедиться непосредственными вычисления-
вычислениями. Гурса показал, что нет необходимости проводить все вычис-
вычисления до конца. В самом деле, каждый член первого порядка
тождества A00) представляет собой произведение производной
второго порядка на две производные первого порядка. Доста-
Достаточно поэтому доказать, что левая часть A00) вообще не содер-
содержит производных второго порядка. Покажем, например, что ле-
левая часть A00) не содержит вторых производных от функции /.
Все члены с производными второго порядка от функции / полу-
получаются от скобок:
f. ф)).
Выражение A01) можно написать так:
Полагая Di(f) = (ф, /), D2= (/) = (ф, /), где Di и D2 — некото-
некоторые линейные дифференциальные операторы, выражение A01')
можно записать в виде:
А Ра (/)] - Д2 Pi (/)] = РА - D2Dy) f. A02)
35* 527
Однако комбинация линейных операторов вида (DiDz —
D2D1) не содержит вторых производных от f, В этом можно убе-
убедиться непосредственно. Например, в DiD2f коэффициенты при
дЧ d2f .,
—у и ¦— соответственно равны коэффициентам при тех же
производных в D2Dif. Следовательно, A02) не содержит вторых
производных, что и доказывает справедливость тождества Пу-
Пуассона.
Пуассон доказал при помощи скобок следующую весьма
важную теорему об отыскании первых интегралов канонической
системы уравнений G4). Если
фО?1> •••» <7*> Ри •¦•> Л> 0 = const = а,
^(Й1> •••> 4s> Р\> -••> Ps> 0 = const = 6
представляют два первых интеграла канонических уравнений
движения, то соотношение
(ф, 1|>) = С
будет третьим интегралом этой системы.
В самом деле, так как <р = а и гр = 6 — первые интегралы, то
имеем следующие тождества:
(Ф, //) + ||. = 0, (ф, ЯL-§- = 0. A03)
В силу тождества Пуассона имеем:
Принимая во внимание A03), мы можем A04) записать в
виде:
или
откуда следует, что (ф, ^)=с есть первый интеграл канониче-
канонической системы.
Рассмотрим частный случай механической системы, когда
функция Гамильтона не содержит времени в явном виде. В этом
случае одним из первых интегралов будет интеграл энергии
# = const = A0. Предположим, что известен второй интеграл ка-
канонической системы, содержаний время t в явном виде:
Ф(А. •••> Ps> <?i' •••» Я*> 0 = const = а.
На основании теоремы Пуассона имеем:
(Ф, Н) = const = b,
528
т. е. получаем еще один интеграл канонической системы. Так
как ф = а есть интеграл системы, то
Следовательно, если q> = a есть интеграл канонической си-
дср , ,
стемы при стационарных связях, то ~^f = o будет также инте-
интегралом этой системы.
Применяя тождество Пуассона еще раз, получим:
/ Лр н\ <Э2Ф
\~дГ' п)~~ ~W'
д2т . .,
поэтому -^f = const = с будет интегралом системы и т. д.
Если ф не содержит времени в явном виде, то (<р, #)=0 и
нового интеграла получить нельзя. Следовательно, в тех слу-
случаях, когда скобка Пуассона тождествеино равна нулю, теоре-
теорема Пуассона не дает новых интегралов канонической системы.
Задача 32. Изучить движение свободной материальной точ-
точки массы т = \, притягиваемой к началу координат силой, пря-
прямо пропорциональной расстоянию точки от начала координат.
Свободная точка имеет три степени свободы. За обобщен-
обобщенные координаты примем декартовы координаты точки х, у, z.
Тогда кинетическая энергия точки будет равна:
а силовая функция:
Для перехода к общепринятым обозначениям положим
qu У = Ч2, z = q3, тогда
Обобщенные импульсы будут равны:
= q2 и p3 =
В данном случае функция Гамильтона равна Т—U; если
обобщенные скорости заменить обобщенными импульсами, то
529-
Напишем канонические уравнения Гамильтона:
ЁЯх. — „ Eli. — „ *3± _ „
dt ~~Pi' dt ~Pi' dt ~P*'
Из полученных уравнений легко находим два первых инте-
интеграла:
Ф = (Рз9г1—9гзЛ) = const = с2 и г|> = (р2<73 — q2p3) = cv
Эти интегралы выражают собой теорему площадей в соот-
соответствующих координатных плоскостях. Применяя теорему Пу-
Пуассона, находим третий интеграл:
(Ф, т|>) = const,
или
dqj (Зг|з dtp с*г|з . бср с*г|з ду <9г|з . d<f &ty d<f бг|з
dqi dpi dpi dqt ~*~ dq2 др2 др2 dq2 ¦" dq3 дрг Wp^ dq3 3-
Произведя вычисления, находим:
Pi4i — Qip2-=c3. A05)
Соотношение A05) показывает, что теорема площадей имеет
место и в третьей координатной плоскости.
Таким образом, применив теорему Пуассона, мы смогли най-
найти еще один новый интеграл канонической системы уравнений.
ПРЕДМЕТНЫЙ И ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютно твердое тело 9, 96
Аксиома нулевых систем 164
Аксоид
— неподвижный 135
— подвижный 135
Ампер 48
Амплитуда колебании 191, 194, J98-
199
Аристотель 19—21
Архимед 21—23
Бериулли И. 325
Бинормаль 59
В
Вавилов 41
Вариационные принципы 43
Ватт 213
Вижье 5
Винтовое движение твердого тела 151
Виртуальные перемещения 326
Вращательное движение
— кинематика 103—111
— равнопеременное ПО
— динамика 405
Вронский 48
Гексли 480
Геоид 228
Геоцентрическая широта 229
Герполодия 448
Гироскоп
— точная теория 461
— приближенная теория 471
— Фуко 477
Главные оси инерции 362
Годограф
— радиуса вектора 49
— вектора скорости 51
Градиент 220—221
Графокинеыатика 65—68
Гурса 527
Гюйгенс 29
Д
Даламбер 34, 96, 480
Движение точки
— по винтовой линии 77
— по инерции 159
— по окружности 76
— по сфере 88
— равномерное 62
— равнопеременное 62
Декремент затухания 195
Дннама (динамический виит) 318
Динамические реакции 409
Длина приведенная физического ма-
маятника 419
Галилей 7, 26—29
Гамильтон 513
Естественный трехгранник 58—59
53Ь
ж
л
Жуковский 37—38, 41
Жуковского правило 474
Закон независимого действия сил
163
Законы движения Ньютона 158—163
Законы сохранения
— движения центра масс 376
— количества движения 207, 371
— кинетического момента 209—
210, 382
— механической энергии 222—223,
396
Законы трения скольжения 289—291
И
Импульс силы 206, 371
Инерционные системы отсчета 274
Интегралы площадей 530
Интеграл энергии 489, 497—498
Интегрирование канонических урав-
уравнений 517—530
Канонические уравнения 511
Кельвин 400
Кеплер 26
Киловатт 213
Кинематика 42, 47—48, 96—97
Кинетика 43, 153
Кинетический момент 208, 379, 401
Кирпичев 388
Ковалевская 33
Колебания
— гармонические 188
— затухающие 192
— вынужденные 196
Количество движения 8, 156, 369, 401
Координаты ортогональные криволи-
криволинейные 89—94
Коперник 25
Кориолис 269
Кориолиса теорема 268—269
Крылов 11, 31, 40—41
Лагранж 34—35
Ламе 92
Лейбниц 153
Ленин В. И. 7, 8, 13, 14, 16, 24
Ломоносов 10, 32—33, 285
Ляпунов 35—36
М
Майевский 33
Малые колебания консервативных си-
систем 501
Маркс 13
Масса' 155, 161
Математический маятник 292
Маятник Фуко 279
Менделеев 3
Механика
— история 19—42
— тел переменной массы 43
— часть физики 45
Механическое движение
— простейшая форма движения
9, 17
Мещерский 38—39, 41
Момент силы
— относительно точки 173
— относительно оси 177
Моменты инерции 352
Мультон 235
Н
Неизменяемая плоскость Лапласа 383
Нормаль главная 58
Нормальные координаты 508
Нутации угол 437
Ньютои 11, 30—31, 234
О
Определение моментов инерции
— методом маятниковых колеба-
колебаний 422
— методом крутильных колебаний
422
— методом падающего груза 423
,532
Оптимальные эллиптические траекто-
траектории 253
Остроградский 35, 326, 520, 521
Остроградского метод интегрирования
канонических уравнений 520
Отклонение падающих тел от верти-
вертикали 275
Относительное равновесие точки
283
— относительности Галилея—Нью-
Галилея—Ньютона 271, 273
— Торричелли 339
Птолемей 23—24
Пуансо 36—37, 305
Пуансо теоремы 446—447
Путь, пройденный точкой (вычисле-
(вычисление) 57
Пушкин 32
П
Павлов б
Пара вращений 149
Пара сил 309
Парабола безопасности 241
Перигей 256
Период колебаний
— гармонических 191
— затухающих 194
— математического маятника 295
— физического маятника 419—420
Плоскопараллельное движение
— кинематика 113—132
— динамика 425—432
Плутарх 22
Поле
— потенциальное 218
— силовое 218
Полодия 448
Поступательное движение
— кинематика 100—102
— динамика 403
Потенциал
— планеты Земля 227
— однородного шара 226
Прецессия
— прямая 443
— псевдорегулярная 469
— ретроградная 443
Приведенная длина физического ма-
маятника 419
Пуассона формулы 108, 127, 136, 267,
269
Принцип
— виртуальных перемещений 325
— Даламбера 303, 480
Работа силы 211
Работа
— внутренних сил 392
— силы тяготения 215
— силы тяжести 214
— силы упругости 214
Равноиесие
— несвободной точки 301
— свободной точки 168
— твердого тела 320—325
Радиус инерции 357
Размерность
•— скорости линейной 56, 67—68
—¦ скорости угловой 105
— ускорения углового 105
Рассеивание
¦— параболических траекторий 24$
— эллиптических траекторий 264
Расстояние 54
Регулярная прецессия 439
Резаль 48
Резонанс 200—201
Свободные оси вращения 416
Связи в задачах механики 164, 285-
Связи
— голономные 285, 341
— идеальные 288, 327
— стационарные 287
— удерживающие 286
Сила
— определение 11, 154
— реакция связей 165
— ударная (импульсивная} 207
— центральная 209
533.
Скобки Пауссона 518, 526
Скорость
— абсолютная 69, 266
— в декартовых координатах 78
— в ортогональных криволинейных
координатах 93
•— в полярных координатах 84
— вторая космическая 248
— в сферических координатах 87
— первая космическая 251
— переносная 69, 266
— предельная (при падении в воз-
воздухе) 187
— определение 49
— относительная 69, 266
— секторная 94—95
— угловая 104
— угловая мгновенная 120
Сложение движений твердого тела
145
Степени свободы
— при плоском движении 114
— при сферическом движении 133
— твердого тела 97—99, 141
— точки 97
— об изменении кинетического мо-
момента твердого тела 411
— об изменении кинетической энер-
энергии точки 211, 216, 299
— об изменении кинетической энер-
энергии системы 391
— об изменении кинетической энер.
гии твердого тела 394—395
— о проекциях скоростей концов
отрезка 122
— о сложении скоростей 70
— площадей 210, 382
— Пуассона 528
— Резаля 472
— Остроградского 520
Теоретическая механика
— одна из наук о природе 5
— наука о движении 7
Теория пар сил 310—316
Траектория в декартовых координа-
координатах 74—75
— в полярных координатах 83
— навесная 238
— настильная 238
Теорема
— Бернулли — Шаля 116
— Гюйгенса 358
— Даламбера 134
— Кардана 124
— Кельвина 222
— Кенига 391
— Кориолиса 269
— Лагранжа 331
¦— Лахтина 263
— об изменении количества дви-
движения точки 205
— об изменении количества движе-
движения системы точек 368
— об изменении количества дви-
движения твердого тела 411
— об изменении кинетического мо-
момента точки 208
— об изменении кинетического мо-
момента системы 384
Уравнение
— Кеплера 255
— Остроградского — Гамильтона
523
— частот (или характеристическое])
506
Уравнения
— Лагранжа 1-го рода 297,336,486
— Лагранжа 2-го рода 490, 497
— Эйлера (динамические) 436
— Эйлера (кинематические) 438
Ускорение
— в декартовых координатах
80
— в полярных координатах 85
— касательное 59
— нормальное 59
— угловое 105, 138
Устойчивость вращений около глав-
главных осей инерции 453
534
ф
Физический маятник 418
Формула Бинэ 248
Функция Гамильтона 512, 514, 529
Функция Лаграижа 497
Ц
Центр качаний физического маятника
419
Центр масс 342, 345
Центр мгновенного вращения 117
Центр тяжести
— дуги круга 348
— кругового сектора 349
— определение 344
— пирамиды 360
Центральный эллипсоид инерции 362,
36»
Центроиды 119, 129, 130
Циклические координаты 519
Циолковский 39, 41
Чаплыгин 38
Эйлер 31, 41
Эйлера формула для скорости 108
Эйнштейн 39
Эллипсоид инерции 359
Эллипсоид Красовского 229
Эллиптические функции Якобн 457-
458
Энгельс 20, 25, 42, 325, 340, 433
Энергия
— потенциальная 222
— системы кинетическая 390
— тела кинетическая 434—435
— точки кинетическая 216
Якоби 520
ОГЛАВЛЕНИЕ
"Предисловие 3
ВВЕДЕНИЕ
Предмет и основные понятия механики; ее значение для современной
техники. Краткий исторический очерк развития механики
§ 1. Предмет и основные понятия механики; ее значение для современ-
современной техники 7
§ 2. Краткий исторический очерк развития теоретической механики ... 19
Раздел первый
КИНЕМАТИКА
Глава 1. Кинематика точки
§ 1. Основные понятия и определения кинематики точки 47
§ 2. Естественный метод изучения движения точки 53
§ 3. Ускорение при естественном методе изучения движения 58
§ 4. Основы графокинематики точки 65
§ 5. Теорема о сложении скоростей 69
§ б. Метод декартовых координат 74
§ 7. Метод полярных координат 83
§ 8. Метод сферических координат 86
§ 9. Метод ортогональных криволинейных координат 89
§ 10. Секторная скорость точки 94
Глава //. Кинематика твердого тела
§ 1. Степени свободы материальной точки и твердого тела. Уравнения
движения 97
§ 2. Поступательное движение твердого тела 100
§ 3. Вращательное движение твердого тела 103
§ 4. Плоскопараллельиое движение твердого тела 113
§ 5. Движение твердого тела около неподвижной точки 132
§ 6. Общий случай движения свободного твердого тела 141
§ 7. Сложение движений твердого тела 145
Раздел второй
КИНЕТИКА
Глава 1. Основные понятия и законы кинетики 153
Глава П. Кинетика свободной материальной точки
§ 1. Равновесие свободной материальной точки 168
§ 2. Момент силы относительно точки и момент силы относительно оси . 173
§ 3. Прямолинейное движение материальной точки 178
§ 4. Простейшие случаи малых колебаний 188
§ 5. Криволинейное движение материальной точки 202
536
Глава III. Две задачи динамики криволинейного движения точки
§ 1. Движение материальной точки в однородном поле силы тяжести
Землн 235
§ 2. Движение материальной точки в гравитационном ньютоновом поле
Земли 246
Глава IV. Относительное движение и равновесие материальной точки
§ 1. Ускорение точки в сложном движении 266
§ 2. Динамические уравнения относительного движения точки. Принцип
относительности Галилея — Ньютона 271
§ 3. Отклонение падающих тел от вертикали 275
§ 4. Маятник Фуко. Доказательство вращения Земли опытным путем . . 279
§ 5. Условия относительного равновесия точки ...... 283
Глава V. Кинетика несвободной материальной точки
§ 1. Классификация связей 285
§ 2. Основные законы трения скольжения 289
§ 3. Уравнения движения материальной точки по заданной кривой . . . 291
§ 4. Уравнения движения материальной точки по поверхности .... 296
§ 5. Теорема об изменении кинетической энергии для несвободной мате-
материальной точки 299
§ 6. Условия и уравнения равновесия для несвободной материальной
точки 301
§ 7. Принцип Даламбера •..-....•.....• 303
Глава VI. Статика системы материальных точек и твердого тела
§ 1. Основная задача статики твердого тела 305
§ 2. Параллельные силы 307
§ 3. Теория пар сил 310
§ 4. Приведение пространственной системы сил к простейшему виду , . 316
§ 5. Условия и уравнения равновесия твердого тела 320
§ 6. Принцип виртуальных перемещений 325
Глава VII. Динамические характеристики механических систем.
Основные теоремы динамики системы
§ 1. Центр параллельных сил. Центр масс и центр тяжести 342
§ 2. Моменты инерции. Эллипсоид инерции 352
§ 3. Дифференциальные уравнения движения системы 365
§ 4. Теорема об изменении количества движения системы материальных
точек 368
§ 5." Теорема о движении центра масс системы материальных точек . . 375
§ 6. Теорема об изменении кинетического момента системы материаль-
материальных точек 379
§ 7. Теорема об изменении кинетической энергии системы материальных
точек 389
Глава VIII. Динамика твердого тела
§ 1. Поступательное и вращательное движение твердого тела 400
§ 2. Определение динамических реакций, действующих на ось вращаю-
вращающегося твердого тела 409
§ 3. Физический маятник 418
§ 4. Экспериментальное определение моментов инерции тел 422
§ 5. Плоскопараллельное движение твердого тела 425
537
Глава IX. Движение твердого тела около неподвижной точки
§ 1. Динамические и кинематические уравнения Эйлера .... . 433
§ 2. Регулярная прецессия 43&
§ 3. Движение несимметричного тела при условии, что момент внешних
сил равен нулю (задача Эйлера — Пуаисо) 443
§ 4. Движение тяжелого гироскопа (задача Лагранжа — Пуассона) . . 461
Глава X. Общие принципы и уравнения механики
§ 1. Принцип Даламбера. Общее уравнение динамики системы 480
§ 2. Уравнения Лагранжа 1-го рода 486
§ 3. Уравнения Лагранжа в обобщенных координатах (уравнения Ла-
Лагранжа 2-го рода) 490
§ 4. Малые колебания консервативных систем около положения равно-
равновесия 501
§ 5. Канонические уравнения Гамильтона 511
§ 6. Методы интегрирования канонических уравнений 517
Предметный и именной указатель 531
Аркадий Александрович
Космодемьянский
КУРС ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
Часть I
Редактор Т. В. Махалкевач
Переплет Л. П. Ромагенко
Художественный редактор А. В. Сафонов
Технический редактор В. Ф. Егорова
Корректор Р. К. Куркина
Сдано в набор 20/Ш 1965 г. Подписано
к печати 17/VIII 1965 г. 60x90'/,,. Печ. л. 33,75.
Уч.-изд. л. 29,30. Тираж 22 000 экз. А-10469.
(Пл. 1965 г. J* 35) Заказ J* 1328.
Издательство «Просвещение» Государствен-
Государственного комитета Совета Министров РСФСР
по печати.
Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.
Ленинградская типография № 2
имени Евгении Соколовой
Главполнграфпромп Государственного
комитета Совета Министров СССР
по печати. Измайловский проспект, 29.
Цена без переплета 88 коп., переплет 15 коп.