РАБОТЫ
ПО МЕХАНИКЕ TEA
ПЕРЕМЕННОЙ
МАССЫ

/ Ч
КЛАССИКИ ^
ЕСТЕСТВОЗ НАНИЯ

КЛАССИКИ
ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ
МАТЕМАТИКА
МЕХАН ИКА
ФИЗИКА
АСТРОНОМИЯ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва • 19*2

ИВоМЕЩЕРСКИИ
РАБОТЫ
ПО МЕХАНИКЕ ТЕЛ
ПЕРЕМЕННОЙ
МАССЫ
С предисловием
и вступительной статьей
про<$>. А.А.КОСМОДЕМЬЯНСКОГО
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАГЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва • 1952

12-5-4
Редактор В. И. Левантовский.
Техн. редактор С. С. Гаврилов. Корректор Я. Л. Едская.
Подписано к печати 14/XI 1952 г. Бумага 84ХИОД». 4,40 бум. л., 14,35 печ, л.
-1-1 вклейка, 13,37 уч.-изд. л. 37 000 тип. зн. и печ. л. Тираж 50X) экз. Т-0&/22.
Заказ № 37ь2. Цена книги 4 р. Переплёт 2 р. Номинал по прейскуранту 1952 г.
4-я типография им. Евг. Соколовой Гл&вполиграфиздата при Совете Министров
СССР. Ленинград, Измайловский пр., 29.

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ.
В настоящем сборнике представлены все основные
работы И. В. Мещерского по механике тел переменной
массы. Из опубликованных работ не помещена только
краткая заметка, посвященная динамике точки переменной
массы в случае одновременного присоединения и
отделения частиц.
Работы И. В. Мещерского по механике тел
переменной массы были опубликованы главным образом в конце
XIX и начале XX столетий. Многие из этих работ стали
библиографической редкостью. Эти работы до сих пор
были малодоступны широким кругам нашей
научно-технической интеллигенции.
Важность и актуальность этих выдающихся научных
сочинений И. В. Мещерского, положивших начало новому
разделу теоретической механики, сейчас очевидны
каждому. Механика тел переменной массы есть научная
основа современной ракетодинамики.
Подготовляя к изданию собранные здесь работы И. В.
Мещерского, мы старались максимально бережно относиться
к оригинальному тексту. Изменены лишь обозначения
некоторых величин в небольшом числе формул и уравнений.
Работы И. В. Мещерского должны быть настольной
книгой большого круга учёных и инженеров. Исследования,

6
ПРЕДИСЛОВИЕ
собранные здесь, окажутся чрезвычайно полезными для
преподавателей и учащихся высшей школы, так как они
позволят освежить новыми идеями традиционный материал
курса теоретической механики.
Работы по механике тел переменной массы,
представленные в этой книге, дают неопровержимое
доказательство величайшей проницательности, глубины предвидения,
независимости и самобытности русской научной мысли.
А. Космодемьянский
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ.
Во втором издании добавлена выдержка из Дневника
X съезда русских естествоиспытателей и врачей в Киеве,
содержащая сообщение И. В. Мещерского на заседании
секции математики и астрономии 24т августа 1898 г. об
уравнениях движения точки переменной массы в общем
случае. Кроме того, несколько расширена вступительная
статья.
А. Космодемьянский

НАУЧНАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ
(Авста, (Я^севолодовгша,
МЕЩЕРСКОГО
Ъ&Ъ&

«.•.„ученики* хранят
наследство не так, как архивариусы
хранят старую бумагу.
Хранить наследство — вовсе не
значит еще ограничиваться
наследством ...».
(В. И. Л е и и н, Соч., т. II,
стр. 494, изд. 4-е.)
I.
Теоретическая механика является научной основой
многих разделов современной техники. Главная задача этой
науки заключается в изучении процессов движения
материальных тел в отношении их причин и следствий.
Наблюдаемые в природе и технике изменяющиеся
движения различных тел выступают перед нами одно — как
причина, другое — как следствие. Изучение законов
механики имеет также большое общенаучное значение, и
глубоко прав был Галилей, который утверждал, что «кто не
знает законов движения, тот не может познать природу».
Развивающиеся потребности человеческого общества
выдвигают перед теоретической механикой всё новые и новые
задачи изучения механического движения. Механика как
наука вечна в своих источниках, так как движение есть
одно из самых существенных и неотъемлемых свойств
материального мира. Новые неотложные задачи
теоретической механики, выдвигаемые развитием техники,
концентрируют внимание исследователей и способствуют
развитию новых разделов этой науки. Из истории науки
хорошо известно, что актуальные нужды мореплавания
в XVIII столетии привлекли механиков к построению весьма
точной теории движения небесных тел; потребности
общественной жизни XIX столетия вызвали к жизни такие новые
разделы механики, как, например, баллистику
вращающегося продолговатого снаряда, теорию качки корабля на волнах,
теорию движения вязкой жидкости и гидродинамическую

10
Л. А. КОСМОДЕМЬЯНСКИЙ
теорию смазки. В XX столетии крупнейшие научные
достижения механики тесно связаны с необычайно быстрым
ростом авиации. Развитие аэромеханики, теории упругости
и многих глав гидромеханики в последние 50 лет в
значительной степени обусловлено специфическими требованиями
самолётостроения.
В конце XIX и начале XX столетий в России
благодаря глубоким исследованиям И. В. Мещерского и К. Э.
Циолковского были заложены основы и показаны важные
практические приложения нового раздела теоретической
механики — механики тел переменной массы. Интерес
к проблемам движения тел переменной массы был вызван
в последней четверти XIX века главным образом новыми
данными наблюдательной астрономии и разработкой
проектов аппаратов для межпланетных путешествий.
В классической механике большинство результатов
получено на основании законов Ньютона. Второй закон
Ньютона, устанавливающий простое соотношение между
ускорением движущейся точки данной массы и действующими
силами, является фундаментом для количественных выводов.
Однако второй закон Ньютона справедлив, вообще говоря,
только для материальных точек, имеющих постоянную
массу. Если же масса точки изменяется, то второй закон
Ньютона непосредственно не может быть использован для
составления уравнений движения.
Иван Всеволодович Мещерский, один из крупнейших
механиков конца XIX и начала XX столетий, всю свою
творческую жизнь посвятил созданию основ механики тел
переменной массы. Частной задачей механики тел
переменной массы является, например, теория движения
современных жидкостных ракет дальнего действия, в которых
изменение массы при движении обусловлено отбрасыванием
(истечением) частиц сжигаемого запаса топлива.
В различных областях промышленности можно указать
примеры движущихся тел, масса которых заметно
изменяется во время движения. Так, в процессе движения
изменяются масса и момент инерции вращающегося
веретена, на которое навивается нить. Рулон газетной бумаги,
когда он разматывается на валу печатной машины, дает

НАУЧНАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ И. В. МЕЩЕРСКОГО 11
нам пример тела, масса которого уменьшается с течением
времени.
Все ракеты суть тела, масса которых изменяется во
время движения. Реактивные самолёты с
воздушно-реактивными двигателями соответствуют общему случаю
движения тел переменной массы, когда имеют место
одновременные присоединение и отделение частиц. Масса
реактивного самолёта увеличивается за счёт частиц воздуха,
засасываемых в двигатель, и уменьшается благодаря
процессу отбрасывания частиц—продуктов горения топлива.
Случаи движения, когда масса тела изменяется с
течением времени, представляет в большом числе и сама
природа. Так, например, масса Земли возрастает вследствие
падения на неё метеоритов. Масса падающего метеорита,
движущегося в атмосфере, убывает вследствие того, что
частицы метеорита отрываются или сгорают. Масса Солнца
возрастает от присоединения «космической пыли» и
уменьшается от излучения.
Механика тел переменной массы имеет большое
значение для правильного описания движения планет и
особенно Луны. Этот вопрос был поставлен в
астрономической литературе в 1866 г., когда возникла необходимость
более строгого и точного объяснения векового ускорения
долготы Луны. Вековое ускорение долготы Луны,
представляющее характерную особенность её видимого
движения, было открыто в конце XVII века Эдмундом
Галлеем (Англия). Сравнивая прежние наблюдения Луны
с собственными наблюдениями и наблюдениями его
современников, он нашёл, что имеет место уменьшение
периода обращения Луны вокруг Земли. Уменьшение
периода обращения Луны, т. е. увеличение средней
скорости её движения по орбите, численно характеризуется
наличием касательного ускорения. Влияние ускорения
движения Луны на положение её на орбите пропорционально
квадрату времени, и, таким образом, его можно
сравнительно легко обнаружить по истечении больших
промежутков времени.
Величина соответствующего коэффициента векового
ускорения долготы Луны определялась из астрономических

12
А. А. КОСМОДЕМЬЯНСКИЙ
наблюдений в 10 —12 секунд дуги. Частично, как
показал Лаплас, величина ускорения может быть объяснена
уменьшением эксцентриситета земной орбиты. Вторая часть
векового ускорения зависит от изменения масс Земли и
Луны вследствие падения на них метеоритов. Оказывается,
что согласие наблюдений и вычислений получается
хорошим, если допустить, что радиус Земли возрастает от
массы падающих метеоритов на полмиллиметра в столетие.
Для исследования и решения всех такого рода задач
природы и техники, начиная от центрифугального веретена
и кончая движением планет, необходимо было прежде
всего установить основное уравнение движения точки
переменной массы, так как всякое тело переменной массы
можно представить как систему точек.
Дифференциальное уравнение движения точки
переменной массы было установлено в магистерской диссертации
И. В. Мещерского «Динамика точки переменной массы».
Эта работа была опубликована в Петербурге в 1897 г.
В истории развития теоретической механики и особенно
её приложений в ракетодинамике установление исходного
уравнения имеет весьма большое, принципиальное значение.
Второй закон Ньютона вытекает из уравнения Мещерского
как частный случай, если предположить, что масса
движущейся точки постоянна.
II.
Иван Всеволодович Мещерский родился 10 августа
1859 г. в городе Архангельске. В 1871 г. он поступил
в Архангельскую гимназию, которую окончил в 1878 г.
с золотой медалью. В аттестате была отмечена
«любознательность весьма похвальная и особенно к древним языкам
и математике».
После окончания гимназии Мещерский поступил
студентом на физико-математический факультет
Петербургского университета. Его выдающиеся способности
обратили внимание известного русского профессора по
теоретической механике Д. К. Бобылева A842—1918). По
окончании университета в 1882 г, Иван Всеволодович был

НАУЧНАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ И. В. МЕЩЕРСКОГО 13
оставлен при кафедре Д. К. Бобылева для подготовки
к профессорскому званию.
Первой опубликованной работой И. В. Мещерского
была статья по струйной теории сопротивления, тесно
примыкавшая к исследованиям его университетского
учителя Д. К. Бобылева. Как известно, Д. К. Бобылев весьма
изящно решил задачу о струйном сопротивлении
симметричного клина. Мещерский расширил это решение на
случай несимметричного, клина. Метод решения основан
на изыскании конформного отображения двух областей:
комплексного потенциала течения и годографа комплексной
скорости. В 1889 г. Мещерский выдержал при
Петербургском университете экзамены на ученую степень магистра
прикладной математики. В те годы магистерским экзаменам
посвящались три дня: один—математике, второй —
механике и третий — письменной работе на тему, которая
становилась известной экзаменующемуся только в день экзамена.
Иван Всеволодович писал работу на тему: «Метод Гамиль-
тона-Якоби и его приложения к решению некоторых задач».
В 1890 г. И. В. Мещерский начал преподавание в
Петербургском университете в качестве приват-доцента
кафедры прикладной математики.
19 ноября 1890 г. он прочёл свою первую
вступительную лекцию к курсу «Интегрирование уравнений
механики». В последующие годы Мещерский читал в
университете лекции по графостатике, интегрированию уравнений
механики и вёл практические занятия со студентами по
общему курсу теоретической механики.
Кроме университета И. В. Мещерский вёл
практические занятия по курсу теоретической механики в
Институте инженеров путей сообщения в 1890/91 учебном
году и с 1896 по 1902 г. В 1891 г. Иван Всеволодович
был назначен профессором механики на Петербургских
высших женских курсах; он вёл преподавание
теоретической механики на этих курсах в продолжение 28 лет,
до 1919 г., когда произошло слияние Высших женских
курсов с Университетом.
17 мая 1902 г. И. В. Мещерский был назначен
ординарным профессором кафедры теоретической механики во

14
А. А. КОСМОДЕМЬЯНСКИЙ
вновь организованный Петербургский политехнический
институт, в котором и протекала в дальнейшем его
основная научная и педагогическая деятельность.
3 октября 1902 г. Иван Всеволодович читал первую
лекцию по механике в Политехническом институте; на
долю теоретической механики выпала первая лекция,
вообще прочитанная в стенах нового института. Много
выпусков русских инженеров получили впоследствии своё
образование по механике у профессора Мещерского,
Ш.
Если ограничиться рассмотрением движения точки
переменной массы, то два основных фактора будут отличать
её уравнения движения от уравнений движения точки с
постоянной массой: переменность массы и принятая гипотеза
отделения частиц, определяющая добавочную или
реактивную силу. Если относительная скорость отделяющихся
частиц равна нулю, то добавочная сила, обусловленная
процессом отделения частиц, также равна нулю.
Естественно было начать разработку теории с такого частного
случая, когда реактивная сила не будет входить в расчёты.
Результаты исследования движения точки переменной массы
в этом предположении были доложены Мещерским
Петербургскому математическому обществу в 1893 г. Из
частных задач этого типа была рассмотрена весьма актуальная
в те годы задача небесной механики о движении двух
тел переменной массы. Основные выводы этого
исследования были опубликованы в работе «Один частный случай
задачи Гюльдена»1).
Дальнейшие занятия вопросами теории движения тел
переменной массы привели Мещерского к созданию вполне
законченной и обоснованной динамики точки переменной
массы2). Впервые в научной литературе Мещерский вывел
основное уравнение движения точки переменной массы
в 1897 г. и тем самым дал возможность получения коли-
*) Стр. 35—36 настоящего сборника.
2) См. работу «Динамика точки переменной массы», стр.
37—188 настоящего сборника.

НАУЧНАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ И. Н. МЕЩЕРСКОГО 15
чественных закономерностей для различных частных задач
движения. В настоящее время следует подчеркнуть, что
одной из существенных гипотез, лежащих в методе
Мещерского, является гипотеза близкодействия (контактного
взаимодействия) отбрасываемых частиц. Допускается, что
в момент отделения частицы от тела происходит удар,
частица за очень малый промежуток времени получает
относительную скорость Vr и дальнейшее взаимодействие
частицы и основного тела прекращается. Если обозначить
через dM массу отбрасываемой частицы, М-— массу основ-
ной точки, dvx —- приращение скорости основной точки,
то на основании теоремы количества Движения для
ударных сил будем иметь:
Mdvi — dMVr^O,
откуда
где v—скорость основной точки, а #—- абсолютная
скорость отброшенной частицы dM.
Гипотеза близкодействия отбрасываемых частиц
(гипотеза контактного взоимодействия) позволила Мещерскому
получить дифференциальное уравнение движения точки
переменной массы в следующем виде:
Для задач ракетной техники уравнение B) отображает
существо явлений с достаточной для практики точностью.
В ряде работ автора предлагалось называть уравнение
B) уравнением Мещерского. Если принять, что
абсолютная скорость отбрасываемых частиц равна нулю, то
уравнение B) можно написать в следующей простой форме:
±(Mv)^P. C)
Уравнение C) было также получено и достаточно
подробно исследовано И. В. Мещерским в упомянутой
работе 1897 г. Спустя 31 год итальянский математик

16
А. А. КОСМОДЕМЬЯНСКИЙ
Леви-Чивита ешё раз вывел *) уравнение C), которое
в иностранной литературе получило название «уравнения
Леви-Чивита». В работе же Мещерского уравнение C)
рассматривается как частный случай более общего
уравнения B), и естественно, что каких-либо новых гипотез
для «вывода» уравнения C) не требуется.
Динамика точки переменной массы, созданная трудами
и талантом И. В. Мещерского, до наших дней остаётся
наиболее полным и обстоятельным исследованием по теории
движения тел переменной массы. В этой работе, кроме
вывода исходного уравнения, рассмотрено большое число
оригинальных задач и указаны методы, развитие которых
даст, несомненно, ряд практически важных заключений
о закономерностях динамики ракет.
IV.
Дадим здесь краткую характеристику новых методов
изучения движения точки переменной массы,
предложенных Мещерским в его работе «Динамика точки
переменной массы». В этой работе Мещерский подверг особо
тщательному анализу тот случай движения точки
переменной массы, когда относительная скорость
отбрасываемых частиц равна нулю. Исходное уравнение в этом
случае будет совпадать по форме с исходным уравнением
для движения точки с постоянной массой. Если для такого
класса задач допустить, что равнодействующая внешних
сил пропорциональна массе точки, то мы получим, что
результирующее ускорение точки не зависит от закона
изменения массы. Таким образом, «при действии сил,
равнодействующая которых пропорциональна массе точки,
точка переменной массы, по какому бы закону её масса
ни изменялась при отсутствии ударов, движется так же,
как движется точка постоянной массы при действии тех
же сил и при тех же начальных данных» 2).
*) Т. L e v i-C i v i t a, Sul moto di un corpo di massa varia-
biie, Rendiconti del Lincei, 1928, стр. 329-333, 621-622.
2) См. стр. 88 настоящего сборника.

НАУЧНАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ И. В. МЕЩЕРСКОГО 17
Мещерский подверг весьма обстоятельному
исследованию движение точки переменной массы под действием
центральных сил, заложив тем самым основы небесной
механики тел переменной массы. Если за^он изменения
массы точки известен, то для исследования геометрических,
кинематических и динамических характеристик движения
весьма плодотворным оказывается метод отображения
движения, впервые предложенный Мещерским. Идея
метода состоит в следующем: находятся такие
преобразования переменных реальной задачи к новым
переменным в некотором вспомогательном пространстве, при
которых в этом новом пространстве уравнения движения
точки переменной массы переходят в уравнения движения
«отображённой» точки постоянной массы. Между
элементами движения вспомогательной точки в преобразованном
(«искажённом») пространстве и элементами движения
реальной точки формулами преобразования устанавливается
простое соответствие.
Проиллюстрируем этот метод на следующей задаче:
определить движение точки, притягиваемой к началу
координат силой, пропорциональной массе точки и обратно
пропорциональной квадрату расстояния от выбранного
начала, предполагая, что масса точки увеличивается по
закону
^=T^L D)
и абсолютная скорость присоединяющихся частиц равна нулю.
Векторное уравнение движения точки можно написать
в виде
,. dv kMr dm м ,еч
MW*= 7* It*' W
Так как в этом случае траектория точки есть плоская
кривая, то, располагая оси Ох и Оу в этой плоскости
и проектируя на эти оси уравнение E), получим
следующие два скалярных уравнения:
d?x kx a dx rfiv
&у _ ky a dy m
dfl ~ г» 1 — at dt' V)
2 И. В. Мещерский

18
Л. А. КОСМОДЕМЬЯНСКИЙ
где
Введём новые переменные ?, г^ ?, положив
* — A-аО»' Ч —A — atf Лт— A— at)*'
Уравнения отображённого движения во
вспомогательном пространстве (Е, т\) с новым временем т будут:
rfx2— p» » л»— рв > W
где
Уравнения (8) суть уравнения движения точки
постоянной массы, и интегралы этих уравнений изучены
достаточно подробно. Зная решения уравнений (8), формулы
преобразования координат и времени, легко найти все
характеристические свойства движения точки переменной
массы.
В задачах небесной механики Мещерский первый
рассмотрел ряд частных законов изменения массы, полагая
М=-^о_, м= М* - AfM ^ ,(9)
где а и р — некоторые постоянные.
Эти предположения Мещерского, сделанные из чисто
теоретических соображений, были подвергнуты
обстоятельной проверке в большом числе работ крупнейших
астрономов и получили хорошее подтверждение; сейчас эти
гипотезы носят в литературе по небесной механике
название «законов Мещерского».
Приведём ещё один из результатов Мещерского,
относящийся к исследованию движения комет. «Пусть,
например, рассматривается движение кометы при
приближении её к перигелию, допуская, что масса кометы
уменьшается и может быть выражена некоторой функцией
расстояния кометы от Солнца; тогда уравнения движения
интегрируются в квадратурах, если предположить, что ско-

НАУЧНАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ И. В. МЕЩЕРСКОГО 19
рость центра инерции отделяющихся частиц или равна
нулю, или направлена по одной прямой со скоростью
кометы, причём отношение этих скоростей есть или
величина постоянная, или некоторая функция расстояния между
кометою и Солнцем» г).
Мещерский первый поставил и частично исследовал
задачи следующего типа: найти закон изменения массы
точки, при котором она под действием заданных внешних
сил описывает заданную траекторию. Эти задачи
Мещерский называет обратными. Мы приведём здесь общее
решение класса обратных задач для прямолинейных
траекторий 2). Рассмотрим для определённости вертикальный
подъём точки переменной массы в однородном поле силы
тяжести и в среде, сопротивление которой
пропорционально квадрату скорости.
Уравнение движения точки будет иметь вид
M± — Mg-k+-<«Vr
ИЛИ
Ш
dt '
Дифференциальное уравнение A0) есть линейное
неоднородное дифференциальное уравнение относительно М, и его
общий интеграл можно записать в виде
где С—постоянная интеграции.
Соотношение A1) позволяет весьма просто рассчитать
необходимый закон изменения массы (т. е. режим работы
двигателя), если траектория движения есть прямая линия.
Как видно из предыдущего, формула A1) легко
обобщается на переменное поле тяготения и произвольные
законы сопротивления среды. Для иллюстрации приведём два
*) И. В. Мещерский, Динамика точки переменной массы,
стр. 167 настоящего издания.
*) См. А. А. Космодемьянский, Лекции по механике
тел переменной массы. Учёные записки МГУ, вып. 154, 1951.
2*

20
А. А. КОСМОДЕМЬЯНСКИЙ
простых примера на определение закона изменения массы,
если характеристики движения заданы.
Пусть ускорение точки, поднимающейся вертикально
вверх в однородном поле тяготения и при отсутствии сил
сопротивления, равно нулю. Требуется найти, как должна
изменяться масса точки, чтобы обеспечить такой закон
движения. Полагая в A1) -^ = 0, Л = 0, ^== const, находим:
М = Се уг. A2)
Так как при / = 0 М = Af0, то окончательно будем иметь:
M = MQe vr. A3)
Таким образом, движение точки с постоянной
скоростью в однородной поле тяготения будет иметь место
в том случае, когда масса точки изменяется по
показательному закону A3). Если мы хотим обеспечить в
однородном поле тяготения равноускоренное движение с
ускорением, равным а, то из A1) легко находим, что масса
должна изменяться по закону
М = М0е vr . A4)
Для некоторых частных задач ракетной техники обратный
метод Мещерского представляет несомненный интерес.
В магистерской диссертации Мещерского 1897 г.
впервые было рассмотрено уравнение вертикального
подъёма ракеты. Но так как в те годы в среде научной
интеллигенции интерес к задачам теории движения ракет
был весьма мал, то Мещерский ограничился при
рассмотрении движения ракеты буквально следующим:
«Пусть т обозначает массу ракеты, R(x) —
сопротивление воздуха, р — давление газов и w — величину
относительной скорости, которую имеют сгорающие частицы
в момент их отделения.

НАУЧНАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ И. В. МЕЩЕРСКОГО 21
Рассматривая вертикальное движение ракеты до тех
пор, пока в ней происходит сгорание, мы приходим
к следующей задаче:
Определить восходящее вертикальное движение
точки переменной массы т, на которую, кроме силы
тяжести действует сила, вообще говоря, переменной
величины р, направленная по вертикали вверх, и
сопротивление среды R(x), изменяющееся в зависимости
только от скорости точки; при этом предполагается,
что геометрическая разность между скоростями
отбрасываемой масс л и точки направлена по вертикали вниз
и равна данной, вообще говоря, переменной величине w.
Направим ось Ох по вертикали вверх, тогда
уравнение движения точки будет:
** dm *
т#=— mg+p — jfW — #(*)•
Если масса т, давление р и скорость w выражены
как некоторые функции времени, то решение задачи, как
видно из уравнения, приводится к интегрированию
дифференциального уравнения первого порядка относительно лг.
Это уравнение будет уравнением Риккати, если
сопротивление воздуха принять пропорциональным квадрату
скорости» *).
Теория прямолинейных движений ракет была в
значительной степени создана трудами знаменитого деятеля
русской науки К. Э. Циолковского, хотя в уравнениях
Мещерского было всё необходимое для создания вполне
законченной динамики ракет.
Из основного дифференциального уравнения движения
точки переменной массы Мещерский простыми
преобразованиями получает следующий вывод: «Все формулы
динамика, которые относятся к движению как свободной,
так и несвободной точки постоянной массы, будут
иметь место для точки переменной массы, не
зависящей от скорости, после того как в этих формулах
мы положим массу точки равною единице и равнодей-
*) См. стр. 113—114 настоящего сборника.

22
А. А. КОСМОДЕМЬЯНСКИЙ
ствующую задаваемых сил равною рассчитанной на
единицу массы равнодействующей сил задаваемых,
приложенных к точке переменной массы и силы
прибавочной» *).
V.
Второй основополагающей работой И. В, Мещерского
по динамике точки переменной массы является его
монография «Уравнения движения точки переменной массы
в общем случае»2), которая была опубликована в 1904 г.
в «Известиях Петербургского политехнического института»,
(Основная идея этой работы была сообщена И. В.
Мещерским на X съезде русских естествоиспытателей и врачей
ещё в 1898 году8).) Как было указано, дифференциальное
уравнение движения точки переменной массы, обследованное
в магистерской диссертации Мещерского, даёт описание
(dM ^Л
движения точки или для случая отделения частиц (-гг < 0J
или для случая присоединения частиц i-n- > 0J.
В настоящее время можно указать большой класс
задач, когда в процессе движения тела происходит не
только отделение, но и одновременно присоединение их.
Так, например, в простейшем прямоточном воздушно-
реактивном двигателе частицы воздуха присоединяются
к движущемуся телу из атмосферы и затем
отбрасываются вместе с продуктами горения из сопла
реактивного двигателя. Газотурбинные реактивные двигатели,
получившие весьма широкое применение на современных
самолётах, точно так же берут частицы воздуха из
атмосферы (частицы воздуха присоединяются к самолёту,
увеличивая его массу), а затем отбрасывают их с большой
скоростью вместе с газообразными продуктами горения.
Вели на вращающийся вал наматывается цепь, то масса
вала увеличивается, при сматывании цепи с вала его масса
уменьшается; когда оба процесса происходят
одновременно, мы будем иметь общий случай враи*ения тела пере-
*) См. стр. 102 настоящего сборника.
3) Стр. 222—264.
3) Стр. 220-221.

НАУЧНАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ И. В. МЕЩЕРСКОЮ 23
менной массы. В динамике гибкой нерастяжимой нити
имеется большой класс движений, когда кривая, форму
которой имеет нить, перемещается в пространстве
поступательно, не меняя своей конфигурации, а сама нить
движется вдоль этой кривой; иначе говоря, нить как бы
движется в жёсткой гладкой нематериальной трубочке,
которая в общем случае перемещается поступательно в
пространстве. Если поступательного перемещения нет, то
нить, скользя продольно, остаётся как бы в состоянии
покоя (кажущийся покой). Фиксируя определённый
участок нити (трубочки), мы можем процесс продольного
скольжения нити рассматривать как одновременно
происходящие присоединение и отделение частиц.
Задачи механики, связанные с изучением движения
тел, масса которых изменяется в результате одновременно
происходящих процессов присоединения и отделения
частиц, можно для весьма большого числа случаев
охватить единой теорией, основания которой формулируются
с той же степенью точности, как и законы движения тел
постоянной массы. Такую вполне законченную теорию
и создал Мещерский в своей работе 1904 г.
Дифференциальное векторное уравнение движения точки переменной
массы в случае одновременного присоединения и отделения
частиц можно получить весьма просто, если постулировать
справедливость закона независимого действия сил для
импульсивных сил, обусловленных контактным
взаимодействием при отделении (присоединении) частиц от основной
точки, движение которой изучается. Как было показано,
реактивная сила при отделении частицы dMx будет:
l?i=-^(*i-f')=-ar*ri' Aо)
где их — абсолютная скорость отделяющейся частицы, v—
скорость точки переменной массы и Vx — относительная
скорость отделяющейся частицы. Аналогичные
рассуждения дают «тормозящую» силу в случае присоединения
частицы с массой йШ2 в виде
г. dMo / dAU *r 1«?
^2 = -5г(«а — ^ = -5Г^' AЬ|

24
А. А. КОСМОДЕМЬЯНСКИЙ
где и2 — абсолютная скорость присоединяющейся частицы
<Ш2, а К2 — относительная скорость этой частицы.
Пусть равнодействующая внешних сил, действующих
на точку переменной массы, будет F; тогда
дифференциальное уравнение движения точки можно написать
в виде
Ml!f = F+P* + F*
или
МЪ = Р+ЧГ^-*) + а-?<Ъ-<>), A7)
где М — масса точки в данный момент времени.
Если проекции скорости точки обозначить через л:, у, z,
а проекции абсолютных скоростей их и щ обозначить
соответственно через a,, р,, fv а2, Р2, Т* то> проектируя
уравнение A7) на декартовы оси координат лг, у, z, мы
получим обобщённые уравнения Мещерского:
A8)
Если секундный расход массы —з>- равен секундной
массе присоединяющихся частиц -^ , то из A7) мы легко
получаем:
Уравнение A9) широко применяется в современных
работах по теории воздушно-реактивных двигателей, но часто
без ссылок на оригинальную работу И. В. Мещерского.
Заметим, что в частном случае, когда абсолютные
скорости отделяющихся и присоединяющихся частиц равны нулю,
уравнение A7) принимает особенно простую форму:

НАУЧНАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ И. В. МЕЩЕРСКОГО 25
где под массой точки в данный момент времени понимают
величину
t t
M = Mo-M1+Mi = M0-\\*?\dt+\<?dt.
6 b
Диссертация Мещерского «Динамика точки переменной
массы» и его работа «Уравнения движения точки
переменной массы в общем случае» составляют надёжный
теоретический фундамент современной ракетодинамики. Все
расчёты траекторий, скоростей, ускорений, вычисления сил
по наблюдаемым свойствам реальных движений тел
переменной массы производятся на основе уравнений
Мещерского. И. В. Мещерский — создатель нового раздела
теоретической механики.
VI.
Магистерская диссертация И. В. Мещерского
«Динамика точки переменной массы» и работа «Уравнения
движения точки переменной массы в общем случае» являются
наилучшими достижениями его научного творчества.
Следует отметить ещё две работы Ивана Всеволодовича,
посвященные задачам механики тел переменной массы. В работе
«О вращении тяжёлого твёрдого тела с развёртывающеюся
тяжёлою нитью около горизонтальной оси» 1) исследуется
движение вала переменной массы, причём отделение или
присоединение частиц к валу происходит без ударов, т. е.
с относительной скоростью, равной нулю. В этом частном
случае уравнение вращения не будет отличаться по форме
от уравнения вращения тела постоянной массы, только
момент инерции относительно оси вращения будет
величиной переменной.
И. В. Мещерский подробно исследует общий интеграл
этого уравнения, сосредоточив внимание на том частном
случае, когда на вал или наматывается тяжёлая цепь, или
частицы цепи отделяются от вала и своим весом
обусловливают дополнительный вращающийся момент.
1) См. стр. 189—204 настоящего сборника.

26
Л. Л. КОСМОДЕМЬЯНСКИЙ
В 1918 г. была опубликована «Задача из динамики
переменных масс» *)— последняя статья Мещерского по
механике тел переменной массы, в которой исследуется
одна частная задача динамики системы точек переменных
масс. Задача формулируется в следующем виде:
«Имеем систему п точек, массы которых Ми М$, ..., ЛТ„
изменяются с течением времени по закону
где miy а и {J — данные постоянные величины; точки
системы взаимно притягиваются или отталкиваются силами,
пропорциональными произведениям масс и расстояниям вида
fMiMfy G = 1. *> •••> п\
где r4j — расстояние между точками, массы которых Л/<
и Mfi требуется решить вопрос о движении этой системы
в том случае, когда точки должны оставаться на прямой
линии, не выходящей из плоскости ху».
Задача решается в предположении, что за промежуток
времени, в течение которого выражение (\-\-at-\-$fl) не
обращается в нуль, п > 2; кроме того, допускается, что
/ < 0 в случае притяжения и / > 0 в случае отталкивания.
Интегралы этой чисто теоретической задачи выражаются
Мещерским в конечном виде.
VII.
Иван Всеволодович Мещерский был выдающимся
педагогом русской высшей технической школы. Особенно
большое внимание он уделял постановке преподавания основного
курса теоретической механики. Когда в 1902 г. Иван
Всеволодович стал руководителем кафедры теоретической
механики в Петербургском политехническом институте, он
имел уже вполне сложившуюся точку зрения на место и
цели курса теоретической механики в высших технических
учебных заведениях.
*) См. стр. 265—277 настоящего сборника.

НАУЧНАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ И. В. МЕЩЕРСКОГО 27
Основную идею Мещерского можно формулировать так:
в высшей технической школе курс теоретической механики
должен быть теснейшим образом связан с курсами
прикладной механики. При выборе задач особенное внимание
должно быть обращено на то, чтобы задачи имели
конкретную форму; студенты, решая эти задачи, должны
приобрести уменье и навыки применения общих теорем и методов
теоретической механики к конкретным вопросам
прикладного значения. Теоретическая механика — научная основа
важнейших разделов техники. Знание законов механики
направляет и дисциплинирует творческую интуицию
инженеров. Интуитивные инженерные догадки, инженерное «чутьё»
должны воспитываться в студенческие годы. Нужно научить
будущего инженера стоять на твёрдой почве логики
фактов, что даёт наука, и воспитать у него уверенность в
бесконечном могуществе технического творчества,
опирающегося на законы науки, подтверждаемые всей общественно-
производственной деятельностью человечества.
Мещерский считал, что для подготовки
высококвалифицированного и широко образованного инженера нужно
сосредоточить изучение общеобразовательных дисциплин на
первых двух курсах, а затем уже переходить к
специализации. Такой вывод следовал из тщательного анализа
постановки преподавания теоретической механики в высших
технических учебных заведениях России и
западноевропейских стран. «Математика, механика, физика и химия,—
писал И. В. Мещерский *), — в известном объёме, который
может быть установлен, составляют основу всякого
технического образования; приступая к изучению технической
специальности, будущий инженер должен уже владеть этими
предметами в указанном объёме».
Курс теоретической механики, написанный И. В.
Мещерским, выдержал несколько изданий и, несомненно,
способствовал подъёму научного уровня преподавания
механики в наших технических учебных заведениях. В этом
*) И. В. Мещерский, Преподавание механики и
механические коллекции в некоторых учебных заведениях Италии,
Франции, Швейцарии и Германии. 1895. (Отчёт о заграничной
командировке.)

28
А. А. КОСМОДЕМЬЯНСКИЙ
курсе проведено резкое отделение статики плоской системы
сил от статики пространственной системы. В предисловии
к первой части своего курса Мещерский пишет: «В
статике рассматриваются вопросы о сложении, разложении и
равновесии сил, приложенных к твёрдому телу; она делится
на два отдела: статику на плоскости, в которую входит
и графическая статика, и статику в пространстве, — ввиду
того, что представления в плоскости гораздо проще
представлений в пространстве, и для начинающего студента
важно проработать прежде всего вопросы, относящиеся
к силам, расположенным в одной плоскости; только после
этого он будет в состоянии разбираться с ясным
пониманием в вопросах, относящихся к силам в пространстве» ').
По инициативе профессора Мещерского в курсах
теоретической механики для русской высшей технической школы
были введены разделы, посвященные уравнениям Лагранжа
второго рода и малым колебаниям системы.
Особенно большое научно-педагогическое значение имеет
задачник по курсу теоретической механики, выдержавший
восемнадцать изданий и являющийся до наших дней
настольной книгой студентов первых двух курсов
технических вузов. В задачнике нашли наиболее яркое
воплощение педагогические идеи профессора И. В. Мещерского.
Следует отметить, что в последние годы задачник
Мещерского был переведён на английский язык и принят
в качестве основного пособия в американских высших
технических учебных заведениях. Влияние идей И. В.
Мещерского на постановку преподавания механики во втузах
можно наглядно проследить почти по всем современным
советским учебникам теоретической механики.
VIII.
Научные изыскания И. В. Мещерского по теории
движения тел переменной массы имеют большое значение для
будущего развития техники и промышленности. Сейчас
*) И. В. Мещерский, Курс теоретической механики,
ч. 1, изд. 4-е, 1930.

НАУЧНАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ И. В. МЕЩЕРСКОГО 29
это достаточно ясно подавляющему большинству учёных
и инженеров. В конце XIX и начале XX века ценность
научных работ по этому вопросу не казалась значительной.
Изучением движения тел переменной массы занимались
одиночки. Не было технической базы для развёртывания
экспериментов, не было средств для создания опытных образцов,
двигатели прямой реакции (так называемые реактивные
двигатели) не стали ещё насущной потребностью
промышленного развития.
Характерно, что магистерская диссертация Мещерского
«Динамика точки переменной массы», которую он
защищал в Петербургском университете 28 ноября 1697 г.,
встретила достаточно холодный приём. Иван Всеволодович
вспоминал впоследствии, что на диспуте для многих при*
сутствовавших было неясно, какое значение для науки
имеет развитие динамики тел переменной массы. К чести
Петербургского университета следует отметить, что 1
декабря 1897 г. И. В. Мещерский был утверждён Учёным
советом университета в учёной степени магистра
прикладной математики.
Научное предвидение И. В. Мещерского, его
сознательно направляемые, целеустремлённые творческие искания
в области, считавшейся фантастической и малоактуальной,
делают его личность как-то особешю обаятельной и вы*
дающейся. Прозревать будущее развитие науки на
десятилетия вперёд, даже в какой-нибудь узкой области, дано
немногим. Настаивать на необходимости новых путей
развития теоретической механики в течение 40 лет, не
получая до конца жизни решающих подтверждений важности
своих теоретических работ, было очень трудно. До
недавнего времени Мещерский был известен широким кругам
научно-технической интеллигенции как педагог высшей
школы, но не как выдающийся учёный-новатор. Это
непонимание учёными прогрессивности научных исследований
И. В. Мещерского заставляло его быть необычайно сдер*
жанным и пунктуальным. Сдержанность — основное
качество его научного стиля. Всё — в тесных рамках
формальнологических построений, всюду бесстрастный тон человека
высокой математической культуры. В изложении работ всё

30
А. А. КОСМОДЕМЬЯНСКИЙ
идёт от разума: никаких доводов и апелляций к чувству
читателя. Нет гипотез, мечтаний, приближённых
качественных утверждений даже в популярных докладах.
Полемические замечания обоснованы с необычайным мастерством,
и безукоризненная точность соблюдается по отношению
к самым малозначащим формулировкам противников.
Многим он казался сухим, замкнутым и немного
педантичным человеком. Его отступления от установившегося
порядка преподавания имели место только при выдающихся
ответах студентов на экзаменах по теоретической механике.
Он обычно преподносил таким студентам оттиски своих
работ по динамике тел переменной массы—лучшее, что
он имел. В научной деятельности он следовал хорошо
известному девизу М. Фарадея: «работать, оканчивать
работу и публиковать её».
Иван Всеволодович Мещерский трудился как учёный
и педагог до самых последних дней своей жизни. Он
скончался 7 января 1935 г. на 76-м году жизни в Ленинграде.
IX.
Основные уравнения Мещерского для точки переменной
массы и некоторые частные случаи этих уравнений
«открывались» вновь многими учёными Западной Европы и
Америки. Имя И. В. Мещерского, зачинателя нового раздела
теоретической механики, остаётся за рубежом до сих пор
малоизвестным.
Развитие ракетной техники в наши дни всё с большей
убедительностью показывает научным работникам и
инженерам мировое значение по-современному актуальных
научных исследований Мещерского. Этим работам предстоит
большая будущность, они являются значительным вкладом
русской науки в общемировую сокровищницу человеческих
знаний. Технический прогресс в области реактивного
движения с каждым годом всё более убедительно доказывает
проницательность и глубину мысли оригинального научного
творчества И. В. Мещерского.
На наших глазах совершенствуется и расширяется
новая наука — механика тел переменной массы. Развитие этой

НАУЧНАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ И. В. МЕЩЕРСКОГО 31
актуальной научной дисциплины есть результат творческих
усилий большого коллектива учёных, изобретателей,
инженеров, которые своими наблюдениями, размышлениями и
научно-техническим опытом непрерывно очищают
«историческое от случайного» и тем самым выделяют крупицы
истинного знания. В этой новой отрасли человеческого
знания задолго до работ за границей русский учёный
И. В. Мещерский дал идеи и методы первостепенного
руководящего значения. Он — основатель этой весьма
важной научной дисциплины. Работы И. В. Мещерского дали
механике тел переменной массы необычайно широкий
размах и глубину заключений, которые характерны для
классических сочинений по механике.
Использование и продолжение научных изысканий
И. В. Мещерского — благодарная задача для советских
учёных, посвятивших своё творчество новой технике нашей
страны — ракетной технике.
А. А. Космодемьянский

И.В.МЕЩЕРСКИИ
РАБОТЫ
ПО МЕХАНИКЕ ТЕЛ
ПЕРЕМЕННОЙ
МАССЫ
t>%^-»

ОДИН ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ ЗАДАЧИ ГЮЛЬДЕНА *).
Задача о движении двух материальных точек,
взаимно притягивающихся по закону Ньютона и
обладающих массами, которые изменяются со
временем, может быть приведена к интегрированию
уравнений:
где [1 обозначает определённую функцию /.
Уравнения A) интегрируются весьма легко в том случае,
если
где а и а — постоянные.
Введём для этого переменные 5, г\, т, положив
р_ X ^_ У __ 1 /оч
тогда уравнения A) преобразуются в уравнения
^-L-l — л ^3.4--?-— О о—l/P-l-u*
аналогичные случаю постоянных масс.
1) Сообщено на заседании Петербургского Математического
Общества 27/1 1893 г. и впервые опубликовано на немецком
языке в Astronomische Nachrlchten, 1893, т. 132, № 3153, стр. 9.
Перевод на русский язык выполнен В. И. Контовтом.
3*

36
И. В. МЕЩЕРСКИЙ
Простое соотношение между старыми и новыми
переменными позволит нам легко составить себе представление
о характере движения, определяемого уравнениями A) при
частном виде B) функции «л.
Так, например, если точка (S, iq) описывает эллипс, то
при а + а/>0 и а>0 точка (х,у) будет двигаться по
спирали, приближаясь к началу координат или удаляясь
от него, смотря по тому, будет ли а < 0 или а > 0.
Случай а < 0 имеет место, если одна из материальных
точек обозначает Солнце, а другая же — планету и если мы
примем, что их массы возрастают со временем.
Преобразование, аналогичное описанному формулами C),
может быть применено при решении задачи о движении п
материальных точек Мх(хиуи гх), ... , Мп(хп9уп% гп)9
подвергающихся действию сил взаимного притяжения и
отталкивания, также и в том случае, когда эти силы
пропорциональны 5-Й степени расстояний и масс точек,
причём массы точек изменяются со временем по закону
«, = х,(« + «/)-'-* ('=Ь 2. ••• , ")>
где х„ ха, ... , хп, а, а, s — постоянные величины.
Кроме этих сил, на каждую точку Mt системы может
действовать из начала координат ещё и сила притяжения
или отталкивания F4i равная е/й^г», где е = х(а-|-а0~в-8>
ri~Vxi-\~y]-\-tf* x обозначает постоянную величину,
a a, s, i сохраняют свои прежние значения.
Если положил,
то дифференциальные уравнения движения системы
принимают при 8 = х тот же самый вид, что и в случае
движения п точек постоянных масс, находящихся под
действием сил того же самого вида.
*^f45^^>^

^a^g^^^^^^^^SN^
ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ ')•
ПРЕДИСЛОВИЕ.
«Пока мы не узнаем
вполне природы вещества
и сил, приводящих его в
движение, до тех пор мы
будем совершенно не в
состоянии точно
сформулировать и подвергнуть
математическому анализу ни
одной физической проблемы».
(Томсон и Тэт,
Натуральная философия, т. II.)
астоящее рассуждение представляет первый опыт
изложения динамики точки, масса которой
изменяется во время движения; глава, посвященная
движению твёрдого тела переменной массы, служит
только введением и помещена здесь, главным образом,
потому, что переход от более наглядного к менее наглядному
способствует вообще ясности изложения. Имея это в виду,
в первых двух главах, предмет которых составляют общие
уравнения движения, мы рассматриваем сначала изменение
массы через конечные промежутки времени и отсюда уже
переходим к непрерывному изменению массы; такого рода
приём применяется в динамике, как известно, с первых
х) Магистерская диссертация. Опубликована в 1897 г. и
защищена в Петербургском Университете 10/XII 1897 г.
н

38
И. В. МЕЩЕРСКИЙ
времён её существования. В следующих пяти главах
излагается решение вопросов о движении точки переменной
массы в различных частных случаях при действии силы
тяжести и сил центральных.
ПРЕДМЕТ РАССУЖДЕНИЯ.
1. В классической механике масса движущегося тела
рассматривается обыкновенно как величина постоянная;
между тем существуют случаи движения, где масса тела
изменяется.
Такие случаи нам представляет сама природа: масса
Земли возрастает вследствие падения на неё метеоритов;
масса метеорита, движущегося в атмосфере, убывает
вследствие того, что некоторые частицы его или отрываются,
или сгорают; масса падающей градины или снежинки
возрастает в тех частях пути, где на неё оседают пары из
окружающей атмосферы, и убывает вследствие испарения
там, где она проходит через слои воздуха, более тёплые
и более сухие; плавающая льдина представляет пример,
где масса возрастает вследствие намерзания и убывает
вследствие таяния и т. д.
В некоторых случаях изменение массы вызывается
искусственно: убывает масса летящей ракеты вследствие
сгорания; убывает масса аэростата при выбрасывании
балласта; возрастает масса привязного аэростата, когда
он, поднимаясь, вытягивает за собою канат; возрастает
масса корабля при нагрузке и убывает при разгрузке
и т. д.
Вообще, если тело находится в воздухе, масса его
может возрастать вследствие оседания пыли и паров,
вследствие присоединения частиц других тел, с которыми оно
приходит в соприкосновение; масса может убывать
вследствие сгорания, испарения, распыления.
Если тело находится в жидкости, его масса может
возрастать вследствие оседания на поверхности некоторых
частиц из этой жидкости, вследствие намерзания и может
убывать вследствие размывания тела жидкостью,
вследствие растворения или таяния.

ДИНАМИКА ТОЧКИ ПВРЕМВННОЙ МАССЫ 39
Существование вышеуказанных случаев представляет
достаточное основание для того, чтобы заняться изучением
тех вопросов, которые относятся к движению тел
переменной массы.
Заметим, что, рассматривая массу тела как величину
переменную, мы нисколько не противоречим тем
определениям массы тела, которые приняты в механике, будет ли
это определение Ньютона: «Количество материи есть мера
таковой, устанавливаемая пропорционально плотности и
объёму её... Это же количество я подразумеваю в дальнейшем
под названиями тело или масса...»1) или определение,
например, Герца в его «Принципах механики» 2); то и другое
определения допускают изменяемость массы тела.
2. При изменении массы тело, вообще говоря,
испытывает удары; простейший случай представляется при этом
тогда, когда удары не оказывают влияния на движение
тела или совершенно отсутствуют, как, например, в случае
аэростата, если балласт пускается с относительною
скоростью, равною нулю; поэтому естественно было,
приступая к рассмотрению движения тела при изменении массы,
начать именно с того случая, когда действие ударов на
тело в расчёты не входит.
Некоторые общие предложения, относящиеся к этому
случаю, были изложены мною в заседании
Петербургского Математического Общества 27 января 1893 г.;
в своём сообщении, обращая затем особенное внимание
на тот случай, когда массы точек системы изменяются по
одному и тому же закону в зависимости от времени, я
указал, как пример, задачу п тел при изменении масс и,
в частности, задачу двух тел, когда она допускает
решение в конечном виде.
При дальнейшей разработке вопроса, принимая уже
в расчёт и удары, я рассматривал главным образом задачи,,
соответствующие важнейшим задачам динамики постоянных
масс, и пришёл как в случае одной точки, так и в случае
J) Newton, Philosophiae naturalis principiamathematica.
Definite I.
2) H. Hertz, Die Princlpien der Mechanik. Gcsammelte Wer-
kc, 1894, т. Ill, раздел 1, стр. 54,

40
И. В, МЕЩЕРСКИЙ
системы точек и, в частности, твёрдого тела, к ряду
задач, которые, несмотря на их большую, сравнительно,
сложность, допускают тем не менее решение в квадратурах.
В настоящем рассуждении изложены те исследования,
которые относятся к движению точки переменной массы.
3. «Очерк литературы» содержит всё то, что мне
удалось найти в литературе относительно влияния изменения
массы тела на движение.
Так как изменение массы мы наблюдаем только в
случае тел конечных размеров, то, чтоб иметь основание для
изучения движения точки переменной массы, нужно прежде
всего показать, что задача о движении тела переменной
массы может привести нас к соответствующей задаче
о движении точки переменной массы; поэтому в главе 1
и говорится о движении тела переменной массы.
Установивши, как именно мы будем рассматривать
изменение массы движущегося тела, мы занимаемся сначала
движением тела, масса которого изменяется через
известные промежутки времени; примером служит вертикальное
движение аэростата при выбрасывании балласта.
Затем переходим к случаю непрерывного изменения
массы, котогый только далее и рассматриваем.
Полагая, что масса твёрдого тела и величины, от неё
зависящие, суть непрерывные функции времени, поюжения
тела, его поступательной и угловой скорости, а также
длины путей, пройденных некоторыми точками тела, мы
получаем для движения твёрдого тела переменной массы
при отсутствии ударов дифференциальные уравнения,
отнесённые к осям, связанным с телом; эти уравнения имеют
тот же вид, что и для движения тела постоянной массы.
Затем переходим к случаю, когда принимаются в
расчёт удары; действие этих ударов на тело можно заменить
действием некоторой системы непрерывно действующих
сил, которые называем прибавочными.
Определяем проекции прибавочной силы в случае
поступательного движения тела и притом только тогда, когда
масса тела не зависит от его скорости; в общем случае
применяемый метод не имеет места. Для того чтоб
убедиться на примерах в том, что полученные дифференниаль-

ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ 41
ные уравнения выражают рассматриваемое движение,
приведены две задачи относительно вертикального движения
тяжелого однородного цилиндра и две задачи Кейли.
Полученные дифференциальные уравнения могут быть
рассматриваемы как уравнения движения точки переменной
массы.
Далее замечаем, что масса тела может изменяться таким
образом, что центр инерции сохраняет своё положение
относительно тела; в этом случае получаются
дифференциальные уравнения того же вида, что и в случае движения
поступательного; эти уравнения также могут быть
рассматриваемы в некоторых случаях как уравнения движения
точки переменной массы.
Мы переходим затем к движению точки, масса которой
изменяется.
В главе II» заметивши, что решение задачи о движении
точки при изменении массы через известные промежутки
времени приводится к последовательному решению ряда
задач о движении точки постоянной массы, мы далее
рассматриваем в общем виде тот случай, когда масса точки
изменяется непрерывно.
Берём сначала случай, когда скорость изменяющей
массы равна скорости точки.
Предполагая, что масса точки выражается некоторой
функцией времени, положения и скорости точки, а также
длины пути, ею пройденного, мы получаем, не пользуясь
выведенными уже уравнениями движения тела,
дифференциальные уравнения движения как свободной, так и
несвободной точки; эти уравнения имеют тот же вид, что и для
точки постоянной массы; отсюда следует предложение,
которое позволяет от общих формул динамики точки
постоянной массы перейти к соответствующим формулам
динамики точки переменной массы, если при изменении массы
не происходит ударов; указываем некоторые предложения,
относящиеся к количеству движения и живой силе точки,
к уравнениям движения в каких угодно координатах и т. д.
Обращаясь затем к случаю, когда скорость изменяющей
массы не равна скорости точки, выводим дифференциальные
уравнения движения как свободной, так и несвободной

42
И. В. МЕЩЕРСКИЙ
точки, в предположении, что масса точки не зависит от её
скорости; полученные уравнения отличаются от
соответствующих уравнений в случае точки постоянной массы
только тем, что к задаваемым силам присоединяется
прибавочная сила, проекции которой на координатные оси
выражаются известным образом.
Далее рассматриваем следствия, вытекающие из
выведенных уравнений при различных предположениях
относительно скорости изменяющей массы, а также некоторые
преобразования этих уравнений и случаи, в которых точка
переменной массы описывает геодезическую линию на
данной поверхности.
Заметим, что в дифференциальные уравнения движения
течки переменной массы, вообще говоря, входит длина
пути, пройденного точкой, — обстоятельство, которое не
встречается в случае точки постоянной массы.
Остальные пять глав III — VII посвящены решению
различных задач о движении точки переменной массы.
При выборе задач имелось в виду удовлетворить
следующим требованиям:
1) задачи должны служить для выяснения того влияния,
которое изменение массы точки в различных случаях
оказывает на её движение;
2) силы, приложенные к точке, должны принадлежать
к числу тех, которыми обыкновенно пользуются при
объяснении движений, наблюдаемых в природе, каковы сила
тяжести, сила притяжения по закону Ньютона,
сопротивление среды, пропорциональное квадрату скорости, и т. д.;
3) решение задачи должно приводиться к квадратурам
и, в крайнем случае, к интегрированию уравнений уже
изученных, каковы, например, уравнения Риккати и Бесселя;
это требование соответствует известному мнению Якоби:
«Чем большие трудности порождают интегрирование
дифференциальных уравнений динамики, тем с большей
тщательностью мы должны исследовать те механические задачи,
в которых интегрирование удаётся свести к квадратурам»*).
J) J a cob i, De motu puncti singulars. С relic's Journal, т. 24,
стр. 5» 1842. См. также Gcsammelte Werkc, т. IV, стр. 265.

ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ 43
Глава III содержит задачи о прямолинейном движении
точки переменной массы и, прежде всего, те, к которым мы
приходим, рассматривая вертикальное движение горящей
ракеты и привязанного аэростата; затем вкратце указан
случай свободного аэростата, масса которого выражается
некоторой функцией расстояния его от земли, и
далее рашается задача о движении тяжёлой точки массы
т = /ю0A +otfJ при сопротивлении среды,
пропорциональном квадрату скорости,
В главе IV рассматривается задача о криволинейном
движении точки в случае, когда оно выражается так же,
как и прямолинейное, одним дифференциальным уравнением
2-го порядка, именно: задача о малых колебаниях
кругового маятника в среде, сопротивление которой
пропорционально скорости; в случае, когда сопротивление среды,
рассчитанное на единицу массы при единице скорости,
равно дA -{-«О"* где а и а — величины постоянные,
решение задачи выражается через функции Бесселя.
Переходя затем к задачам о криволинейном движении
свободной точки, мы прежде всего останавливаемся на
задачах обратных, которые и составляют предмет главы V.
В этих задачах требуется определить закон изменения
массы точки таким образом, чтобы точка, двигаясь в
сопротивляющейся среде при действии данной силы,
пропорциональной массе, описывала данную плоскую кривую;
предполагается, что сила, рассчитанная на единицу массы,
зависит только от положения точки.
Рассматривается, прежде всего, случай, когда при
изменении массы точки ударов не происходит; к этому случаю
приводится рассматриваемая задача и тогда, когда скорость
изменяющей массы равна нулю или направлена по одной
прямой со скоростью точки.
От общей задачи переходим к задачам более и более
частным: когда данная сила есть сила тяжести, затем,
когда при этом данная кривая парабола и, наконец, когда
сопротивление среды пропорционально некоторой степени
скорости.
Глава VI посвящена решению задач о движении тяжёлой
точки.

44
И. В. МЕЩЕРСКИЙ
Здесь в начале указана задача, к которой мы приходим
при рассмотрении поступательного движения в пустоте
тяжёлого тела, когда задана относительная скорость, по
отношению к телу, центра инерции изменяющих частиц.
Далее излагается решение задачи о движении тяжёлой
точки в среде, сопротивление которой пропорционально
квадрату скорости в том случае, когда масса точки и
коэффициент сопротивления суть некоторые функции длины
пути, пройденного точкой.
Предполагаем сначала, что скорость изменяющей массы
равна скорости точки; к этому случаю приводится задача
и тогда, когда скорость изменяющей массы равна нулю
или направлена по одной прямой со скоростью точки.
Решение задачи рассматривается более подробно в том
частном случае, когда сопротивление среды, рассчитанное
на единицу массы при единице скорости, равно (a-\-bs)~l>
где а и b — величины постоянные.
В конце указаны некоторые общие свойства движения
тяжёлой точки переменной массы в сопротивляющейся среде.
В главе VII рассматриваем движение точки при действии
центральной силы.
В начале указываем некоторые следствия
дифференциальных уравнений движения в случае центральной силы при
различных предположениях относительно скорости
изменяющей массы; при этом отмечаем случай, когда уравнения
движения имеют тот же вид, что и в задаче о движении
точки постоянной массы, на которую, кроме силы
притяжения по закону Ньютона, действует ещё сила тяжести.
Затем подробно разбираем задачу .о движении точки,
притягиваемой к неподвижному центру по закону
Ньютона, предполагая, что масса её выражается формулой:
т = т0 A — а/), где т0 и а — величины постоянные,
причём скорость изменяющей массы равна нулю.
В заключение приведены два частных примера на
движение точки при действии силы притяжения по закону
Ньютона, в которых скорость изменяющей массы
направлена в одном примере по той же прямой, что и скорость
точки, а « другом — по линии, соединяющей точку с
центром силы.

ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ 45
ОЧЕРК ЛИТЕРАТУРЫ ПО ВОПРОСУ О ДВИЖЕНИИ ТЕЛ
ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ.
I. В курсах теоретической механики мы встречаем
изложение вопросов, в которых принимается во внимание
изменение массы, но лишь в тех случаях, когда это
изменение происходит только в один момент, как, например, при
прямом ударе совершенно неупругих шаров; сюда же может
быть отнесена и задача о движении баллистического
маятника после того, как масса его увеличилась вследствие
вступления снаряда в приёмник.
Об изменении массы говорится также при рассмотрении
колебаний системы около положения равновесия; Рэлей
в своём сочинении «Теория звука» говорит о том влиянии»
которое оказывает изменение массы в какой-либо части
консервативной системы на продолжительность периода
колебаний системы: он нашёл, что период колебаний, вообще
говоря, удлиняется при возрастании массы и укорачивается
при её уменьшении 1).
Раус2) в статье о колебаниях системы около положения
равновесия также рассматривает влияние, которое оказывает
при этом «возрастание инерции» какой-либо части системы
в том предположении, что силы не претерпевают изменения.
Мгновенное изменение массы встречается и в теории
корабля; здесь решается, например, задача о том, как
изменяется положение равновесия корабля, если в
некоторой его точке будет помещён или удалён какой-либо груз;
эта задача и её применение изложены у Нойяра и Дюдебу 3j.
Тиссеран4) также рассматривает мгновенное
изменение массы; предполагая, что к массе Земли
присоединяется некоторая малая масса, например, аэролит, Тиссеран
определяет соответствующее изменение величин главных
*) Rayleigh, Theory of Sound, т. I, art 88, 1877.
*) E. Routh, Dynamic of a system of rigid bodies. The
advanced part, § 76, 1884.
*) J. P о 11 a r d et A. D u d e b о u t, Theorie du navire, т. II,
гл. XXIV, XXV. стр. 79 — 103, 1891.
4) Mecanique celeste, т. II, гл. ХХ1Х, стр. 482—489.

46
И. В. МЕЩЕРСКИЙ
центральных моментов инерции и направлений главных цен*
тральных осей инерции Земли.
2. Изменение массы, совершающееся непрерывно,
рассматривает впервые, насколько мне известно, Кейли в
статье «Об одном классе динамических задач»1).
Под именем «одного класса динамических задач» здесь
разумеются «задачи с непрырывными ударами» —
«continuous-impact problems», т. е. те задачи, в которых
«к системе непрерывно присоединяются частицы бесконечно
малых масс таким образом, что скорость системы изменяется
непрерывно, между тем как скорости частиц изменяются на
величины конечные в момент их присоединения к системе».
Автор имеет в виду следующую задачу: определить
движение тяжёлой цепи, одна часть которой лежит
на столе у самого края, а другая часть свешивается
вниз и представляет движущуюся систему.
В каждый элемент времени dt эта система
присоединяет к себе и приводит в движение с конечною скоростью
бесконечно малую длину ds цепи.
Общее уравнение динамики в применении к
рассматриваемым задачам автор представляет в виде
2[(з?-*)«н-е5?-«о*+е?-*н*«+
находя, что первая строка не требует объяснений, он
указывает значение членов второй строки: 5, tj, С — координаты
в момент t частицы tfft, которая вступает в соединение
с системой; Аи, Дт>, А*ш — проекции конечного приращения
скорости частицы dp и 8?, 8tj, К — проекции возможного
перемещения этой частицы, если её рассматривать уже
как часть системы; суммирование распространяется на все
частицы ifji, присоединяющиеся к системе в момент /.
*) A. Cay ley, On a class of dynamical problems. Proceedings
of, the Royal Society of London, 1857, т. Ill, стр. 506—511 или
Philosophical Magazine and Journal of Science, 1858, т. XV,
стр. 306—310. См. также А. С а у 1 е у, The collected Mathematical
Papers, т. IV, № 225, стр. 7—11.

ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ 47
Указавши, как преобразуется написанное уравнение,
если ввести независимые координаты, автор переходит к
решению вышеупомянутой задачи в том предположении,
что масса какой-либо части цепи пропорциональна ее длине.
Полагая, что ось Ог направлена по вертикали вниз, из
общего уравнения получаем:-
Пусть 5 — длина той части цепи, которая находится в
движении; тогда это уравнение нам даст:
отсюда получаем первый интеграл
sds
Ys* — ct>'
Y4*
где а — длина висящей части цепи в начальный момент.
Автор полагает затем д = 0 и находит
В заключение автор указывает, что уравнение A)
получается также, если воспользоваться уравнением
где 5/ = ^-, затем прибавить член gsdt и подставить
-т-г-Л вместо 8$'.
at*
Двенадцать лет спустя Кейли возвращается к тем же
задачам, которые он называет теперь «проблемами
непрерывных импульсов».
Рассмотрим следующую задачу, предложенную и
решённую Кейли *): масса М% прикреплённая к концу А
г) A. Cayley, The collected Mathematical Papers, т. VIII,
№ 531, стр. 445—446.

48
И. В. МЕЩЕРСКИЙ
цепи АС, помещена вместе с цепью на горизонтальной
плоскости таким образом, что часть АВ цепи
расположена по прямой линии, остальная же часть ВС
свёрнута у точки В; массе М сообщена некоторая скорость
в направлении от В к А; двигаясь затем прямолинейно,
масса М тянет за собою цепь; требуется определить
движение и выяснить особенность задачи.
Пусть т — масса единицы длины цепи, а — начальная
длина АВ и а-\-х— длина АВ в момент L
Обозначим через у скорость движения в момент / и
через R величину импульса в этот момент; тогда
[М + т (а + л:)] dv = — R,
mv • dt-v = R;
отсюда
[M+m(a + x)]dv-\-mv*dt = 0] B)
но
vdt = dx,
следовательно,
(М 4- ffta) dv + md (xv) = 0;
находим таким образом:
[M-\-m(a-\-x)]v = {M + md)Vt C)
где V—начальная скорость.
Интегрируя еще раз, получаем:
{M-\.ma)x-\-^mx* = (M-{-ma)Vt,
откуда, полагая л: = /—а, определяем тот момент, в
который вся цепь приходит в движение; далее она движется
с постоянною скоростью.
Автор замечает, что уравнение C) можно было бы
получить сразу, пользуясь постоянством момента количества
движения системы, но он находит, что изложенный метод
делает более ясным особенный характер рассматриваемой
задачи как «задачи с непрерывными импульсами».
3. В небесной механике вопрос о влиянии непрерывного
изменения массы на движение был поднят в 1886 г.; здесь

ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ 49
он тесно связан с вопросом о вековом ускорении
долготы Луны.
Это неравенство, представляющее характерную особен-*
ность движения Луны, открыто в конце семнадцатого века
Галлеем; величина соответствующего коэффициента
векового ускорения долготы Луны определялась из имевшихся
наблюдений затмений различными учёными, начиная с Дюнт-
горна A749 г.), который получил 10", принявши столетие
за единицу времени, и кончая Ганзеном A864 г.), который
нашёл 12" и даже IS".
Теоретическое объяснение этого неравенства дано
впервые Лапласом; рассматривая ускорение среднего движения
Луны как следствие уменьшения эксцентриситета земной
орбиты, Лаплас получил для коэффициента ускорения 10";
но Адаме указал, что это число должно быть уменьшено
до 6", и, действительно, более точные вычисления Делоне
A859 г.) дали только 6", 11, следовательно, приблизительно
на 6" меньше того числа, которое получилось из наблюдений;
Делоне объяснял эту разницу влилнием приливов и отливов.
Находя, что таким образом может быть объяснена
только часть полученной разницы, Дюфур в 1866 г.!)
обращает внимание на непрерывное возрастание массы Земли
вследствие падения метеоритов, которое должно
производить ускорение в среднем движении Луны и, следовательно,
может служить для объяснения части найденной величины
этого ускорения.
Дюфур указывает на то, что массу Земли увеличивают
не только те метеориты, которые падают на неё в виде
аэролитов, но и те, которые сгорают или рассыпаются
в атмосфере; из приближённых вычислений он находит, что
для того, чтобы произвести ускорение в движении Луны,
равное 6", количество метеорной пыли, приходящееся в год
на поверхность Франции, должно занимать объём около
0,1 куб. километра при плотности, равной % плотности
Земли.
!) Ch. Dufour, Sur 1'acceleratlon seculaire du mouvement
de la lune. Comptes rend us des Seances de Г Ac. des Sc, т. LXII,
1866, стр. 840—842.
4 И. В. Мещерский.

50
И. В» МЕЩЕРСКИЙ
В 1884 г. Оппольцер в своей статье1) как причину
векового ускорения Луны рассматривает возрастание масс
Земли и Луны; автор определяет с довольно грубым
приближением то изменение долготы Луны, которое должно
происходить вследствие оседания метеорной пыли на
поверхности как Земли, так и Луны; он находит, что это
изменение есть ускорение и соответствующий коэффициент
равен 5", если количество метеорной пыли, падающей на
Землю в течение столетия, образует слой толщиною
в 2,8 мм, принимая плотность его равною средней
плотности Земли.
Вслед за статьёй Оппольцера в том же 1884 г.
появилась статья Гюльдена2).
Прегмет статьи Гюльдена составляет задача об
относительном движении двух точек, взаимно притягивающихся
по закону Ньютона, в том случае, когда массы точек
выражаются даш.ыми функциями времени.
Автор допускает, что дифференциальные уравнения
относительного движения точки по отношению к другой
могут быть написаны в виде
«?_. ?L±?CQ.*.«
at* ~г г»
= о,
D)
где jij — величина постоянная, и далее занимается
интегрированием этих уравнений; он приводит уравнения D)
к виду
S+Sh-°.
*) Ueber eine Ursache, welche den Unterschied zwlschen der
tlieoretisch berechneten Secularacceleratfon in der Lunge des Mon-
des und der thatsachlicnen bedingen kann. Astronomische Nach-
richten, 1884, т. 108, № 2573, стр. 67—72.
2) О у Ide n, Die oahnbewegungen in einem Systcme von zwei
Korpein in oem Faile, dass-die Massen Veranderungen unterwor-
fen smd. Astronomische Nachrichten, 1884, т. 109, №2593, стр. 1—6.

ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ 51
полагая
Х= 1 + W У= 1+ + W ^П+ЖР1
где
5 dx ^ dz
Так как в формуле E) выражение F(t) в функции от
переменной т остаётся неизвестным, то указываемый метод,
вообще говоря, может служить только для приближённого
интегрирования уравнений D), пользуясь тем, что в
течение рассматриваемого промежутка времени функция F(f)
имеет весьма малые значения.
Гюльден применяет этот метод к случаю, когда F(f)=it$
где y — величина постоянная, и приходит к заключению,
что при равномерном возрастании масс Солнца и планеты
планета должна упасть на Солнце.
Более подробное развитие вопроса, которым занимался
Оппольцер, мы находим в статье проф. Зелигера *).
Проф. Зелигер, прежде всего, составляет
дифференциальные уравнения движения планеты под влиянием
притяжения Солнца, принимая во внимание непрерывное падение
на неё весьма малых масс из встречающихся метеорных
потоков.
Пусть т — переменная массы планеты, так что
t
т е=в т0 + Ат = mQ -f j* p dt\
d\ dr\ dl
обозначим через ^7>-^г» -gi проекции скорости центра
инерции тех малых масс, которые в момент / присоединяются
*) H. Seeliger, Ueber Zusammen9tdsae und Thellungen
planetartecher Маэзеп. Abhandlungcn dcr KOnig. Bayerische Aka-
demie der Wfcaenschaften. CI. II, Bd. XVII, Abth. II, стр. 459—
490, 1890.
4*

52
И. В. ME ЕРСКИЙ
к планете; тогда уравнения рассматриваемого движения
представляются в виде
Эти уравнения автор применяет к движению Земли.
Пользуясь тем, что дают работы Скиапарелли и Гека
относительно движения метеоритов, он находит
приближённые выражения для проекций возмущающей силы, которая
появляется вследствие падения метеоритов:
X *• Am 4-4-^D—%\
г* l m\dt dt у
Предполагая, что Земля движется по окружности,
проф. Зелигер получает для коэффициента векового
изменения средней долготы Земли вследствие возмущающей силы
весьма малую величину 0", 12, если принять, что радиус
Земли возрастает на 1 мм в столетие.
Выводы, сделанные для Земли, проф. Зелигер
распространяет на случай Луны и находит выражение для
проекций возмущающей силы в относительном движении Луны
по отношению к Земле; он допускает затем, что
относительная траектория Луны — окружность, что метеорная
масса, падающая в единицу времени на единицу
поверхности Луны и Земли, одинакова; тогда получается, что
вековое ускорение долготы Луны вследствие падения
метеоритов почти в шесть раз более того, которое определено
Оппольцером, так что для объяснения разницы в 5" между
наблюдённой и теоретической величиной коэффициента
этого ускорения достаточно возрастание радиуса Земли на
0,5 мм в столетие.
Далее проф. Зелигер переходит к движению кометы и
даёт приближённые выражения проекций возмущающей
силы, которая появляется вследствие непрерывных встреч
кометы с метеорными потоками, а также и вследствие
истечения кометной массы к Солнцу.

ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ S3
Некоторое дополнение к вышеупомянутой статье Гюль-
дена представляет моя заметка, напечатанная в 1893 г.,
«Один частный случай задачи Гюльдена» 1).
В этой заметке указан частный случай задачи Гюльдена,
в котором дифференциальные уравнения движения
интегрируются в квадратурах, именно, когда в уравнениях D)
«h + 'w-vkf.
где а и а суть постоянные; уравнения D) приводятся тогда
к виду
</х2 "Г р8 — и>
rfrf + pi—u»
полагая
х у 1
6в= a + at' ^^T+^i' ~ = a(a + aty F)
Из формул F) следует, между прочим, что если точка
(?, rj) описывает эллипс, то точки (х, у) движется по
спирали, приближаясь к началу координат при а < 0 и
удаляясь от него при а > 0.
Рассматривается затем более общий случай, когда имеется
система п точек, к которым приложены силы
взаимодействия и силы, исходящие из начала координат; те и
другие пропорциональны массам точек и 5-й степени
расстояний; дифференциальные уравнения движения этой системы,
когда в них массы точек и коэффициент в выражениях сил,
исходящих из начала координат, суть функции времени вида
х,(а + а/)-*~8 (/ = 0, 1, 2, ..., л),
приводятся к случаю, когда все эти величины суть
постоянные, равные х<, если вместо декартовых координат
точек системы и / ввести новые переменные 5, tj, С, т по
формулам вида F).
*) См. стр. 35—36 настоящей книги. (Прим. ред.)

54
И. В. МЕЩЕРСКИЙ
В заключение этого очерка литературы вопроса можно
привести одно место из «Лекций по математической
физике» Кирхгоффа, которое позволяет думать, что Кирхгофф
считал возможным рассматривать движение точек с
переменными массами.
Во второй лекции, говоря о дифференциальных
уравнениях движения системы
*¦*< — у о. х д* jl * . д^ л.
dt% — л<-г^#-а^^-^7#1^+--->
на стр. 22-й C-е изд., 1883 г.) Кирхгофф замечает:
«Уравнения не терлот своей силы также и в том случае, если
мы будем считать величины mv /я2, ... не постоянными,
а произвольно изменяющимися». Но он не делает этого
обобщения, так как «оно не упрощает описания
движений»; мы уже видели, что есть случаи, в которых такое
обобщение оказывается полезным.
ГЛАВА I.
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТВЁРДОГО ТЕЛА
ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ.
§ 1. Общая задача о движении тела переменной массы.
Процесс изменения массы тела можно рассматривать,
вообще говоря, или как присоединение к телу новых
частиц, или как отделение некоторых частиц тела, или как
оба эти явления, совершающиеся одновременно, причём
присоединение к телу новых частиц понимаем в том смысле,
что они принимают такое же участие в движении тела, как
если бы это были частицы самого тела.
В механике тело рассматривается как система
материальных точек, связанных некоторыми связями; пусть тело,
движение которого нас интересует, будет система Л.
При изменении массы тела частицы, присоединяющиеся
к телу, можем рассматривать как материальные точки,

ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ 55
вступающие на связи системы А; до момента пригоеди-
ненил они принадлежали некоторым системам В, С, •..;
частицы отделяющиеся можем рассматривать как
материальные точки, которые разрывают свьзи, обусловливающие
их принадлежность системе А, и переходят в некоторые
системы Bv Сх, ...
Таким образом, движения этих систем связаны между
собою, и, следовательно, мы можем соединить их в одну
систему Р.
В системе Р изменения массы не происходит,
следовательно, решение задачи о движении этой системы входит
в область динамики постоянных масс.
Определивши движение системы Р, мы будем знать и
движение интересующего нас тела.
Но движение материальных точек до присоединения их
к телу или после отделения от него (для краткости можем
называть эти точки «изменяющими») само по себе нас не
интересует; поэтому мы ограничиваемся рассмотрением тех
случаев, в которых на движение тела при действии
данных сил влияют только массы, положения и скорости
изменяющих материальных точек в тот момент, когда
они присоединяются к телу или отделяются от него,
а также и силы, к ним приложенные, когда они
находятся в соединении с телом.
Поставленная таким образом задача о движении тела
переменной массы упрощается, если массы, положения и
скорости изменяющих точек известны для каждого
положения тела.
Если материальные точки, принадлежащие
рассматриваемой системе, не изменяют взаимных расстояний, то мы
называем такую систему твёрдым телом; некоторые
материальные точки могут отделиться от рассматриваемой
системы, следовательно, расстояние их от остальных точек
тогда изменяется, но с момента отделения эти
«изменяющие» точки уже не принадлежат системе; некоторые
материальные точки могут присоединиться к рассматриваемой
системе, но они принадлежат системе только с момента
своего присоединения, а тогда они удовлетворяют
вышеупомянутому условию; мы приходим, таким образом,

56
И. В. МЕЩЕРСКИЙ
к понятию о твёрдом теле переменной массы, движение
которого мы и будем далее рассматривать, предполагая,
что масса тела остается конечною и не равною нулю во всё
время движения.
§ 2. Определение движения твёрдого тела, масса
которого изменяется через известные промежутки
времени.
Изменение массы тела происходит в моменты,
отделённые друг от друга некоторыми промежутками, и притом
каждый раз, по предположению, мгновенно.
В течение какого-либо из этих промежутков движение
тела, при действии приложенных к нему сил, определяется
как движение твёрдого тела постоянной массы при тех
данных, которые соответствуют началу промежутка; в конце
промежутка масса тела изменяется вследствие того, что,
вообще говоря, одни части тела отделяются, другие к нему
присоединяются; при этом вообще происходит ряд
ударов, в продолжение которых массы соударяющихся тел
остаются постоянными; мгновенные силы взаимодействия,
развивающиеся при каждом ударе, и производят то, что
в конце удара изменяющая часть или находится в
соединении с телом, или удаляется от него с некоторою скоростью.
Определяем изменённую массу рассматриваемого тела,
положение центра инерции, моменты и произведения
инерции, поступательную и угловую скорость тела после
изменения массы.
Найденные величины суть начальные данные для
следующего промежутка, в течение которого движение тела
определяется как движение твёрдого тела постоянной массы;
в конце промежутка происходит ряд ударов; рассчитываем
результаты этих ударов, затем определяем движение тела
в следующий промежуток и т. д.
Таким образом, здесь для определения движения тела
переменной массы мы последовательно применяем то, что
уже входит в область динамики постоянных масс, именно,
дифференциальные уравнения движения и расчёт ударов
вёрдых тел.
т

ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ 57
§ 3. Пример: вертикальное движение аэростата
при выбрасывании балласта.
Рассмотрим подъём и спуск аэростата.
Массою аэростата мы называем сумму масс: газа,
заключённого в оболочке, самой оболочки и всей нагрузки,
которую несёт оболочка.
Существуют различные причины, изменяющие массу
аэростата; мы примем в расчёт одну из них, именно
выбрасывание балласта, и будем предполагать, что аэростат
движется поступательно.
Пусть в начальный момент 1=0 и масса аэростата М;
ось Ох направим по вертикали вверх, через х обозначим
расстояние от земли одной из точек, неизменно связанных
с аэростатом во всё время его движения.
I. Рассматриваем сначала восходящее движение
аэростата после момента tf = 0, предполагая, что начальные
значения: х = х0 и (-zH = 0.
Пусть
xv дг2, лг8, ..., хп будут значения х для тех
положений аэростата, в которых выбрасывается балласт;
mv m2, iifg, ..., тп — соответствующие массы
выбрасываемого балласта;
ai> а2» аз» •••» ан —их относительные скорости,
направленные вниз;
Р— подъёмная сила аэростата, равная весу
вытесненного объёма воздуха;
О — ускорение вследствие притяжения земли;
К—коэффициент сопротивления воздуха.
Предполагаем, что сопротивление воздуха
пропорционально квадрату скорости, а Р, О и К—данные
функции от х.
Уравнение движения будет:
М^? = Р — МО — Ki\ A)
где
Р — МО>0.

58
И. В. МЕЩЕРСКИЙ
Обозначим через х одно какое-либо из значений
интеграла
/С <** = *,
s
и пусть при постоянном значении ji
х
(Р— Wef-dxmeFfa, х), B)
J'
тогда первый интеграл уравнения A) будет:
±Me?i* = F(M, x) — F(M9 xQ). C)
Полагая в уравнении C) лг ~ 0, найдём значение x = h19
соответствующее наибольшей высоте поднятия.
Должно быть x1^.hv тогда из уравнения C), полагая
x = xv определяем скорость аэростата в тот момент, когда
выбрасывается масса т1; обозначим эту скорость через vv
В положении х = хх количество движения массы М до
выбрасывания балласта должно быть равно сумме количеств
движения масс М — mi и тх после выбрасывания, ибо
возникающие при выбрасывании силы суть силы
внутренние; обозначим через ах скорость аэростата после того,
как будет выброшена масса mv тогда
Mvx = {М — тх) ах Н- т1 (vx — *г)9
следовательно,
Дальнейшее движение аэростата выражается уравнением
(M-m^^P-iM-mJO-Ke; A,)
скорость определяется из уравнения
-i- {М — тх) (е*1^ х*- — /х^а*) =
= F{M — mv x) — F(M — mv xx\ C,)
где Xj есть значение х при x = xt.

ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ 59
Если обозначим через Аа значение х, которое получается
из уравнения Cj) при лг = 0, то должно быть x2<^k2\
полагая х = х2 в уравнении C,), найдём скорость v2, при
которой выбрасывается масса т%.
Скорость аэростата после выбрасывания массы т2 будет:
ай = v» 4- -п—— а2-
я а \ м — щ — m2 a
Вообще после того, как балласт будет выброшен п раз,
движение аэростата выразится уравнением
причём может быть
п
р—(м—2т,H<о.
Скорость в этом движении определяется из уравнения
= F(M-%mt,x)-F(M—2mt,xn), CJ
где хл есть значение % при лг = .*я и
? «я-
1
Таким образом, последовательно определяем скорость
аэростата; значение лг, соответствующее наибольшей высоте
подъёма после п выбрасываний, определяется из
уравнения (Зя), полагая х = 0.
Имея выражение х через лг, мы можем для каждой
части пути выразить л: посредством квадратуры в
функции от I.

60
И. В. МЕЩЕРСКИЙ
В частном случае, когда at = ач в <% = ... = 0,
скорость аэростата не изменяется в момент изменения массы.
Полагая G = g, K=k, Р — р— qx, где g, ft, p и q—
величины постоянные, будем иметь:
г*
II. Рассмотрим теперь нисходящее движение аэростата.
Пусть Л1 — масса аэростата в тот момент, когда он,
достигнув высоты, для которой лг = А, начинает опускаться;
при этом функции от х, выражающие подъёмную силу и
коэффициент сопротивления, вообще говоря, изменяют свой
вид; обозначим их через Р* и К*.
Уравнение движения будет:
М * ^ = Я*—Ж* G + KW, D)
где
р*_Л1*О<0.
Обозначим через х* одно какое-либо из значений
интеграла
и пусть при постоянном значении ц
f(/>*—tiG)* Р4* = Ф(р, д^
тогда, интегрируя уравнение D), получаем для определения
скорости уравнение
1 — •
-±-М*е **лг« = Ф(Л!*, х) — Ф(/И*, А). E)
Пусть при х = х[, где лг*<!А, выбрасывается балласт, масса
которого есть m*v с относительною скоростью «J(«J>0),
направленною вниз.
В положении х = х* производная -g- имеет
отрицательное значение, которое мы обозначим через *>*; оно
получается из уравнения E), если положить х = х*.

ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ 61
Для определения скорости а* аэростата после
выбрасывания массы т\ имеем уравнение
M*v\ = (M*- п$а\+т\{ч>\—*\),
откуда
«! = х\ Л '—* аГ;
1 1 ' м* — т\ v
когда а* не равно нулю, по абсолютной величине
Ki<Ki.
Если а[ > 0, то аэростат снова начинает подниматься,
и для определения движения мы должны пользоваться фор*
мулами, которые выведены для восходящего движения.
Если aj = 0, аэростат поднимается, когда
/л --(M* — m*t)Q>0
при * = лг*; в противном случае опускается.
Если а*х < 0, аэростат опускается, но если
/>*_(Af* — mJ)G>0
при х » jc*, то величина скорости уменьшается, и если она
обратится в нуль раньше, чем разность Р*—(М* — mj) О,
то аэростат начнёт затем подниматься.
Предполагая, что аэростат опускается, мы имеем
уравнение движения:
Ш* — т\) ^ = Р* — (М* — т*) G+ЛГ*л*;
скорость определяется из уравнения
~(M* — т\){е м*~Щх* — е **-"ta?) =
^Ф(М* — т[> х) — Ф(М* — т\, x*)t
где х* есть значение х при x = x*v

62
И. В. МЕЩЕРСКИЙ
Если при х=*х*2 выбрасывается масса тг с
относительною скоростью а*, направленною вниз, то мы, подставивши
в предыдущее уравнение х = х*%% найдём соответствующее
значение x = v\> а затем определим скорость аэростата
после выбрасывания:
и т. д.
Имея выражение для х в функции от х> мы можем для
каждой части движения выразить х в функции от t через
квадратуру.
§ 4. Непрерывное изменение массы тела.
Обратимся к тому случаю, когда промежутки,
разделяющие моменты изменения массы и соответствующие им
положительные или отрицательные приращения массы, настолько
малы, что изменение массы тела представляется нам как
процесс, непрерывно совершающийся с течением времени;
мы говорим, что в этом случае масса тела изменяется
непрерывно.
Рассматривая движение твёрдого тела при непрерывном
изменении массы, мы предполагаем:
1) форма и объём тела изменяются непрерывно,,
следовательно, непрерывно изменяются положение центра
инерции, моменты и произведения инерции тела;
2) скорости изменяющих точек или остаются
постоянными или непрерывно изменяются с течением времени;
3) проекции главного вектора и главного момента сил,
на тело действующих, во всё время, пока движение тела
рассматривается, выражаются одними и теми же функциями
времени, положения тела, его поступательной и угловой
скорости; так, например, если к телу, подверженному
действию силы тяжести, присоединяются до некоторого
момента /j тяжёлые частицы, на которые действуют силы
магнитные, а после момента tx частицы, подверженные

ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ 63
действию только силы тяжести, тогда рассмотрение
движения тела мы разделяем на две части: до момента tx и
после момента tx.
Скорости изменяющих точек, вообще говоря, отличаются
по величине и направлению от скоростей тех точек,
неизменно связанных с телом, с которыми они в момент своего
присоединения к телу или отделения от него совпадают;
поэтому в общем случае при изменении массы тело
испытывает удары со стороны изменяющих точек; если масса
изменяется непрерывно, то действие таких ударов на тело
может быть заменено некоторой системой непрерывно
действующих сил, приложенных к телу; эти силы будем
называть «прибавочными силами».
§ 5. Уравнения движения твёрдого тела
переменной массы при отсутствии ударов.
Рассмотрим случай, когда изменяющие точки в момент
присоединения к телу или отделения от него имеют те же
скорости, которые они имели бы в этот момент, если б
принадлежали телу; тогда при изменении массы не происходит
ударов.
Предполагаем, что масса тела, моменты и
произведения инерции, а также относительные координаты
центра инерции по отношению к осям, связанным с телом,
выражаются некоторыми функциями х) времени,
положения тела, его поступательной и угловой скорости и,
вообще говоря, длины путей, пройденных некоторыми
точками тела.
В рассматриваемом случае дифференциальные
уравнения движения твёрдого тела переменной массы,
отнесённые к осям, связанным с телом и проведённым через
некоторую точку\ во всё время движения
принадлежащую телу, имеют тот же вид, что и для тела
1) Эти функции, равно как и функции, выражающие
проекции главного вектора и главного момента сил, предполагаются
конечными и непрерывными во всё время, пока движение тела
рассматривается.

64
И. В. МВЩЕРСКИЙ
постоянной массы:
da$ |^ • dq dr ___
p^ — prC + nrr^.
(I)
*(ч*-'*)+"*-ва-'*-
=-iWlt)(^-M + C(«or — ТоР)Ж* -Ctqr +
остальные четыре уравнения получаются из уравнений,
написанных посредством круговой замены букв; буквы,
входящие в эти уравнения, обозначают:
ао> Ро» То —проекции скорости начала координат,
р, q> r —проекции угловой скорости тела,
?, Ч> t —координаты центра инерции,
Ж, А9 Ву СЛ — массу, моменты и произведения инерции
D, E, F } тела относительно координатных осей,
В^ Bv Вс —проекции главного вектора сил и реакций
связей,
U. U
Лс —проекции главного момента сил и реакций
относительно начала координат.
В самом деле, пусть будут хи т9> т8, .. • те следующие
за начальным моментом весьма малые промежутки времени,
в конце которых происходит изменение массы.
Движение тела в течение промежутка ~х выражается
уравнениями (I), в которых величины: М, А, В, С, D, Е,
Ff 6, *), С имеют постоянные значения, соответствующие
начальному моменту; в конце промежутка т, масса М и,
вообще говоря, Л, В, ..., С получают приращения порядка
малости tj, могут также измениться главный вектор и
главный момент сил и реакций, но положение те™, его
поступательная и угловая скорость остаются при этом те самые,
которые следуют из уравнений (I) и начальных данных, так
как, по предположению, изменение массы в конце каждого
промежутка происходит мгновенно и притом тело не
испытывает ударов.

ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ 65
Положение тела, его поступательная и угловая скорость
в конце х1 будут начальными для движения тела в течение
промежутка та; это движение выражается также
уравнениями (I), в которых величины М, А> В, ..., С имеют
постоянные значения, полученные ими в конце т, после
изменения массы и, следовательно, соответствующие началу х9;
в конце промежутка х2 изменяются величины М,А9ВУ ,.., С,
главный вектор и главный момент сил и реакций, но не
изменяются положение тела, его поступательная и угловая
скорость, которые и послужат начальными данными для
движения тела в следующий промежуток т8; это движение
выражается уравнениями (I), в которых М, Л, В> ..., С
имеют постоянные значения, соответствующие началу х8, и т. д.
Считая промежутки хи т2, т3, ... бесконечно малыми,
мы приходим к заключению, что при непрерывном
изменении массы, не сопровождаемом ударами, движение твёрдого
тела во всё время, пока оно рассматривается, выражается
одной и той же системой уравнений (I), в которых М, А,
В, . •., С обозначают равные им функции.
Заметим, что предложение, высказанное в настоящем
параграфе, вытекает также и из того обстоятельства, что
обыкновенные дифференциальные уравнения вообще могут
быть рассматриваемы как предельный случай уравнений
разностных; такой взгляд мы встречаем в теории
дифференциальных уравнений, например, при доказательстве существования
интегралов этих уравнений по первому способу Коши *),
В самом деле, напишем разностные уравнения,
соответствующие уравнениям (I).
Пусть будут: начальный момент tQt последующие моменты:
*1 = *о-г*и '2 = 'i + T2> •••» *»='»-1+*#• — ';
соответствующие этим моментам значения переменных
величин, входящих в уравнения (I), обозначим теми же
буквами, что и самые величины, только приставим к ним
1) См., например, Е. Picard, Traite d'analyse, т. И, гл. XI,
«les equations differentielles comme limites d'une succession
d'equations aux differences», стр. 291.
5 И. В. Мещерский.

66 И. В. МЕЩЕРСКИЙ
значки О, 1, 2,...; получим:
aoi — «ооЧ- ?о(?1 — Чо) — "%(ri — го) =
= 1/оРоо—?оТоо + (я1 + rl) ?0 —
— РоЯо%—JVoto + -Щ в& J &— W»
Мъ [¦% (Toi — Too) — to (Poi — M + 4> (Pi — Po) —
—E0(r1—r0)—F0(qt—q0)=={M0l-(io(acog0—poop0)-\-
+ to («ооГо T TooPo)! + (Bo — cq) Wo 4"
«oa — «oi + >ч (ft—ft) — 4i (*a — ri) =
—Л9Л—A'A + jjj- Ai] (<a—'i)>
>Wj hi (To9—Toi)—ti (Poa—?oi)l + ^i (Pi—Pi) —
—?,(ra—rj)—/71(<72-g1)={yM,]ti1@r0^,—p01/?,)-}-
+t1(«01r1-To:Pi)] + (S1-C1)?/1 + ^1(??-i) +
+ ?iPi?i — ^iPi'-i + Ai} Л — >i)»
4n — «0. n-l + tn.j(? — ?„_!) — ¦»}„.,(Г—Г„_,) =
- [ГВ-A.»-l - ?»-lT0.«-l + (tf_, + /*_,) $„_! —
—/V-l^n-l1?»-! —Pn-l{"fl-lt»_l +
^n-i h«-i (Tfo—To. n-i)—t»-i Фо — К n-i)l +
Ч-Л-ПЯ—P«-i)—?»-iC-—/•„_,)—
-Vi(?-?»-i)=l^n-i[Vi(«o,«-i?»-i-
— Po. n-lPn-l) + te-j (»o. n-lr«-l—
— To. n-iP»-i)l + (^n-i — Cn_,)?n.jrn_, 4-
+яя_1(<7*_1-^_1)+?я_1/>Л_1?п_1-
— ^n lP»-/'»-l + A.»-i}(*—'n-l)»

ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ 67
Имея в виду уравнения движения твёрдого тела
постоянной массы, мы замечаем следующее:
уравнения Aг) определяют поступательную и угловую
скорость тела в момент tv причём масса тела равна М0;
уравнения A2) определяют поступательную и угловую
скорость того же тела в момент /2, причём масса тела равна
Mv и следовательно, она претерпела изменение в момент
tt и т. д.;
уравнения Aп) определяют поступательную и угловую
скорость тела в момент t, причём масса тела равна Мп_х.
В предельном случае то движение твёрдого тела, в
котором поступательная и угловая скорость тела в моменты
tv t2f ..., /, определяется уравнениями (Ij), (у, ..., Aя)
и есть движение, нами рассматриваемое, именно движение,
сопровождаемое изменением массы при отсутствии ударов;
в предельном же случае уравнения AД (Ia), ..., AЛ) дают
систему уравнений (I); следовательно, уравнения (I) и
будут уравнениями движения твёрдого тела переменной массы
при отсутствии ударов.
Когда рассматриваемое тело имеет поступательное
движение, уравнения (I) дают следующие уравнения движения,
отнесённые к неподвижным координатным осям:
т d& '
F)
где л:, у, г — координаты одной из точек, которые во всё
время движения принадлежат телу, а X, К, Z — проекции
равнодействующей сил и реакций, к телу приложенных.
Масса тела может изменяться таким образом, что центр
инерции будет сохранять своё положение относительно
тела, например, если однородное тело, имеющее форму
эллипсоида, сгорает, удерживая форму эллипсоида с
первоначальным центром.
5*

68
И. В. МЕЩЕРСКИЙ
В этом случае при составлении уравнений (I) можем
взять за начало координатных осей, связанных с телом,
центр инерции; тогда уравнения (I) значительно упрощаются,
и три из них, содержащие проекции главного вектора сил
и реакций, будучи отнесены к неподвижным координатным
осям, представляются в виде F), где х, у, г — координаты
центра инерции, а Х% К, Z — проекции главного вектора
сил и реакций.
Уравнения A) выражают движение твёрдого тела
переменной массы и тогда, когда изменение массы
сопровождается ударами, если только главный вектор и главный момент
прибавочных сил равны нулю.
В случае несвободного тела, если это условие и не
удовлетворено, но прибавочные силы не влияют на движение тела,
а только на реакции опор, тогда дифференциальные
уравнения, которые получаются, по исключении реакций, для
определения движения твёрдого тела, имеют, очевидно, тот
же вид, что и в случае постоянной массы; при этом
предполагается, конечно, что уравнения написаны таким
образом, что величины, которые становятся переменными
вследствие изменения массы, не находятся под знаком
дифференциала.
Если одни из изменяющихся частиц присоединяются к телу,
а другие в то же время от него отделяются, тогда может
случиться, что масса тела остаётся постоянною, величины
же А, В, С, D, E, F, E, **j, С—все или только некоторые —
непрерывно изменяются с течением времени; движение тела
в этом случае при вышеуказанных условиях для
прибавочных сил выражается также уравнениями (I).
§ 6. Пример: движение тела
около неподвижной оси.
Для иллюстрации рассуждения, которое привета нас
в нача.е предыдущего параграфа к уравнениям A), мы
возьмём случай. ко1да тижётае твёрдое те:ю вращается вокруг
неподвижной горизонта ,ыюй оси, проход 1щей через центр
тяжести тела, при действии груза, при^рептённого к конЛу
гибкой и нераст>1Жимой нити, навёрнутой на неизменяемом

ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ 69
однородном круглом цилиндре, ось которого совпадает с осью
неизменно связанного с ним тела.
Предполагаем, что масса тела непрерывно изменяется
в зависимости от времени по какому угодно закону при
том лишь условии, что центр тяжести остаётся на оси
вращения, а ударов или не происходит, или главный момент
соответствующих им прибавочных сит относительно оси
вращения равен нулю; массою нити пренебрегаем.
Момент инерции те^а и соединённого с ним
неизменяемого цилиндра обозначим чере* К\ он выражается в
настоящем с тучае некоторой непрерывной функцией времени; пусть
K=f(t).
Момент си~ы, приложенной к те ту, относительно о^и
вращения имеет посто.нкую величину, которую обо 1начим через q.
Гугть уговая скорость тела в момент /=/0 равна (<pV
Определим уговую скорость тела ш в момент /— /п.
Время от t = t0 до /=/„ раздеим на весьма маые
промежутки тр т0, т8, ..., т.,, о которых говорено выше.
В течение какого-*ибо промежутка -< движение тела
выражаете»* уравнением
где Ki есть значение К для того момента, в который
начинается промежуток Tf.
Будем обозначать момент
через t{, полагая /== 1, 2, ..., п, и угловую скорость тела
в этот момент через ф^.
Пусть при t=t0K0=f(t0), <э = (<рH; уравнение
движения за время т,:
/М-З"* следовательно, ¦§.«= j±-(t—t0) + (y)Q;
в конце промежутка х, масса тела изменяется, изменяется
момент инерции /С, но угловая скорость при этом не меняется.

70
И. В. МЕЩЕРСКИЙ
При t=tt *,=/(*,), (?I =-^ ft _ g+ (?)<>; УРав-
нение движения за время х2:
/ft) -§" =" ?» следовательно, ^ = у^ (i—tt) + (k)i>
При t=t2 *,-/(*), (^-yiLyft —у + ^урю-
нение движения за время х8:
/ D) ¦§" = ?» слеД°вательн0« ^ — ущ 0—4) + (Т)а-
При * = /„
Заменяя здесь угловую скорость (<p)n-i e& выражением
через (<p)n_2> затем (?)п-2 её выражением через (<?)л_3
и т. д., наконец, (9)j еб выражением через (<р0), получим:
Увеличивая число л, мы получаем в пределе тот случай
изменении массы, который рассматривается, и, следовательно,
в пределе (9)п==ш; предел же правой части равенства (*) есть
*п
^+ /?&¦*
поэтому
*п
to
Таким образом, для всякого момента t мы имеем:
t
$-й.+/т8гл

ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ 71
То же самое выражение для угловой скорости мы
получим, интегрируя уравнение
/»•¦&-«;
отсюда и заключаем, что уравнение
A-J3T — <
— уравнение того же вида, что и в случае постоянной
массы, — выражает рассматриваемое движение тела.
§ 7. Уравнения поступательного движения твёрдого
тела переменной массы при существовании ударов.
В общем случае, когда при изменении массы
происходят удары, в уравнения (I) войдут еще члены,
соответствующие прибавочным силам.
Составим выражения этих членов в случае
поступательного движения свободного твёрдого тела, но еда
задаваемые силы, к телу приложенные, приводятся
к одной силе.
Поступательное движение тела вполне определяется
движением одной из точек, принадлежащих телу во всё время
движения, — точки О, координаты которой обозначим по-
прежнему через х, у, г.
Предполагаем, что масса тела М и проекции скорости
центра инерции изменяющих точек не зависят от скорости
тела и выражаются некоторыми функциями от /, лг, уу z% $%
где s — длина пути, пройденного точкою О; при этом
исключается тот случай, когда функция, выражающая массу тела,
обращается в постоянную величину вследствие того, что
одни изменяющие точки присоединяются к телу, а другие
от него в то же время отделяются, и в результате масса
тела остаётся постоянною,
В какой-либо момент t тело получает ускорение,
во-первых, от действия задаваемых сил, проекции
равнодействующей которых обозначим через Х% К, Z, во-вторых,
вследствие ударов, сопровождающих изменение массы.

72
И. В. МЕЩЕРСКИЙ
Нужно найти выражение для проекций ускорения,
сообщаемого ударами.
Разделяем все время движения на весьма малые
промежутки, в которые происходит изменение массы.
Пусть х—промежуток, заключающий в себе момент /,
т — масса тела в начале этого промежутка и ji —
изменяющая масса, т. е. сумма масс изменяющих точек за время х,
величина того же порядка малости, что и х; приписываем
ja знак + или —f смотря по тому, увеличивается или
уменьшается масса тела в промежуток х.
Подобно тому как в теории удара, здесь мы
предполагаем, что изменение массы за время х совершается в столь
малый промежуток времени 6ТЭ что мы можем пренебрегать
членами порядка малости Ьх в суммах, содержащих члены
порядка малости х, а также импульсами сил, приложенных
к телу и изменяющим точкам, за время 0Т.
Проекции скорости тела в начале Ьх обозначим через
a, bf с, в конце 6Т — через х9 у% г; разности х — а, у — Ь>
z — c—величины того же порядка малости, что и х.
Так как масса тела есть функция только переменных
U •#» У, *> $> которые изменяются за время % на величины
порядка малости Qx, то изменяющую массу jx мы можем
считать постоянною в течение промежутка Ьх.
Если бы масса тела зависела от его скорости, то при*
ращение массы за время 0Т было бы величиной того же
порядка малости, что и приращение скорости за это время,
следовательно, порядка малости х, а потому мы не могли
бы приписывать р одно и то же значение в течение всего
промежутка Ьх.
Скорости тела и центра инерции изменяющих точек
при |а > 0 одинаковы в конце Ьх и различны в начале Ъх,
при |i. < 0-— наоборот.
Пренебрегая величинами порядка малости %, мы можем
проекции скорости центра инерции изменяющих точек в
начале Ьх при 1* > 0 ив конце Ьх при уь < 0 считать равным
в, р, «(—проекциям скорости центра инерции изменяющих
точек в момент /, так как эта скорость, по предположению,
не зависит от скорости тела.

ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ 73
В настоящем случае так же, как в теории удара, имеют
место равенства, выражающие, что количество движения
центра инерции системы, состоящей из твёрдого тела и
изменяющих точек, не меняется за время 0Т; эти равенства,
как при ц > 0, так и при [* < 0, представляются в виде
«* + !*? — (т\-)ь)у = Ъ, G)
тс + н-т—О» + р) * = о* )
Отсюда находим выражения для проекций приращения
скорости теш вследствие удара, который происходит при
изменении массы за промежуток х:
л- — а = ^(а— лг),
Разделяем эти равенства на т с уменьшением
промежутка т таким образом, что момент t из него не выходит,
т приближается к М% так как М обозначает массу тела
в момент t; переходя к пределу, мы получаем для
проекций ускорения, сообщаемого телу ударами,
сопровождающими изменение массы, в момент t следующие выражения:
1 AM, \ 1 dW,0 -ч 1 dM, -ч /оч
М dt^ ~J> M dt ^ s» M dt
dt
dM • • *
где -7т обозначает полную производную от М по f, at, yf z —
dx dy dz
производные -^-, -^-, -^-.
Искомые выражения проекций на координатные оси
прибавочной силы будут, следовательно,
dM. %. dM/й \ dM, • /Л,
Если скорость центра инерции изменяющих точек
зависит не только от времени, положения тела и длины пути,
пройденного одною из его точек, но и от скорости тела,

74
И. В. МЕЩЕРСКИЙ
то приращения проекций а, р, f за время 0Т будут величины
того же порядка малости, что и приращения за это время
проекций скорости тела, следовательно, порядка малости т.
Тем не менее и здесь мы можем применить предыдущее
рассуждение и тогда получим для проекции прибавочной
силы те же выражения (9),
В самом деле, полагая, что проекции скорости центра
инерции изменяющей массы jt, в начале &т при ji > О,
в конце вт при р<0. равны а, р, «у мы пренебрегаем
теперь величинами порядка малости т, но а, р, f входят
в формулы G) только в виде произведений ра, jxp, jif»
следовательно, в этих формулах не приняты в расчёт только
величины порядка малости х2; при делении же на тх и
переходе затем к пределу члены, соответствующие таким
величинам, исчезают; следовательно, и в настоящем случае
проекции ускорения, которое тело получает вследствие
ударов при изменении массы, выражаются также формулами (8).
Таким образом, дифференциальные уравнения
поступательного движения твёрдого тела переменной массы, если
она не зависит от скорости тела, представляются в виде
A0)
В этих уравнениях, вообще говоря, М есть некоторая
функция от /, х, у, *, $, а а, р, f — некоторые функции от
t, л:, у, z, s. х, у, z\ X, Y, Z — проекции
равнодействующей задаваемых сил, приложенных к телу.
Если переменная s входит в уравнения A0), то к ним
присоединяется еще уравнение
($;->+>+*.
Уравнения A0) выражают поступательное движение
твёрдого тела переменной массы и в том случае, когда во время
движения существуют такие моменты, в которые произвол-

ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ 75
ная ~7г обращается в нуль или скорости тела и центра
инерции изменяющих точек становятся одинаковыми по
величине и направлению; в эти моменты прибавочная сила
равна нулю.
Если во всё время движения тела скорость центра
инерции изменяющих точек одинакова по величине и
направлению со скоростью тела, то прибавочная сила остаётся
равною нулю, и уравнения A0) принимают вид уравнений F).
Следует заметить, что при существовании ударов,
сопровождающих изменение массы, твёрдое тело может
двигаться поступательно и тогда, когда задаваемые силы,
к нему приложенные, не приводятся к одной силе; но в этом
случае предыдущие рассуждения уже не имеют места.
§ 8. Примеры.
I. Для того чтобы убедиться непосредственно на
примере, что дифференциальные уравнения A0) действительно
выражают поступательное движение твёрдого тела
переменной массы, когда силы задаваемые приводятся к одной
силе, мы рассмотрим следующий случай движения.
Тяжёлое твёрдое тело, имеющее форму прямого
цилиндра с вертикальными производящими, брошено вер-
тикально вверх со скоростью а; плотность тела при
этом предполагается одинаковою во всех точках одного
и того же горизонтального сечения; во время движения
от тела со стороны верхнего основания отделяются
частицы с постоянною абсолютною скоростью ь^а*
направленною по вертикали вверх, таким образом, что
масса тела убывает пропорционально времени, а верхнее
основание остаётся параллельным нижнему.
В этом случае тело движется, очевидно, поступательно.
Пусть масса тела М в начальный момент *= 0 равна т
и затем уменьшается в каждую единицу времени на
величину тв, так что Af = /»A— sf), где в>0.
Рассматриваем движение от /=0 до какого-либо
момента /=*=Г, удовлетворяющего условию Г<—.

76
И. В. МЕШЕРСКИЙ
Ось Ох направим по вертикали вниз.
Найдём скорость тела в какой-либо момент /'^ Г двумя
способами: один раз, не пользуясь уравнениями A0),
другой раз, интегрируя эти уравнения.
1-й способ. Разделим время от * = 0 до t = ? на п
равных промежутков т.
Пусть в конце каждого промежутка х от тела со
стороны верхнего основания отрывается вверх со скоростью а
слой с параллельными основаниями, масса которого равна km,
где к = ет есть положительная правитьная дробь; этот
процесс при уменьшении промежутка т в предеie даст нам
изменение массы в рассматриваемом случае.
Будем последовательно определять скорость тела в
моменты
т, 2т, Зт, ..., п~ = Р.
Обозначим скорость тела, въ.тую со знаком + или —,
смотря по тому, направлена ли она вниз или вверх, в конце
промежутков: первого, второго, третьего, ..., /1-го через
Vu v*> v*> • • •» vn Д° изменении массы и через аи а<>, я8э...,
ап после изменения массы.
В течение промежутка от /==0 до t=x скорость тела
определяется уравнением
где а > О, следовательно,
Затем происходит неупругий удар, после которого масса
тела равна т — km, а скорость
mVj 4- kma gz + ka — a
a*= m — km ~ 1— k '
В течение промежутка от t = х до t = 2т скорость тела
определяется уравнением
— = gt+Cu где Cl=a1— ?т=» ^—%—,

ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАОСЫ 77
следовательно,
** — т=% >
От *=2т до >=3т:
g-rf+Q. где Q-at-^-^±5p?.
^8 Г=Г2* '
_C — 3Jfe) ^x + 3ifea — a
Л8 ПГЗЛ '
Далее
D — 6/g) ,gr -I- З^а — я
Vtl= 1 —(л —1)Л '
Принимая во внимание, что k = ez и п~=а?, находим:
ffn =
1—tf' + et
1-е*'
Уменьшаем промежутки ?, увеличивая число их п; в
пределе получаем:
limt>n = liman=s
1 —y/')^' + «*-a
» — "*"**n l —t*'

78
И. В. МЕЩЕРСКИЙ
Таким образом, скорость тела, движение которого мы
рассматриваем, во всякий момент t выражается формулой
* = ё*+К2 х1и ¦ (И)
2-й способ. Уравнения A0) в рассматриваемом случае
приводятся к одному уравнению, которое по разделении на
массу тела представляется в виде
<Рх
Интегрируем это уравнение, принимая во внимание, что
dx
при / = 0 лг = — а\ мы получим для -г-, выражение A1).
Так как поступательные движения, имеющие в каждый
момент одну и ту же скорость, тождественны, то мы
заключаем, что уравнение A2) действительно выражает
рассматриваемое движение тела.
Изменяя знак е, мы получим случай, когда масса
возрастает пропорционально времени, например, вследствие
того, что к нижнему основанию пристают частицы с
постоянною абсолютною скоростью.
Вообще, каковы бы ни были положителы ые или
отрицательные значения величин е, я, а, скорость
рассматриваемого тела, как нетрудно видеть, определяется по
формуле A1), и, следовательно, движение тела действительно
выражается дифференциальным уравнением A2).
II. Возьмём еще пример, чтоб убедиться в том, что
дифференциальные уравнения A0) выражают
поступательное движение твёрдого тела переменной массы при действии
задаваемых сил, имеющих равнодействующую, и тогда,
когда скорость центра инерции изменяющих частиц зависит
от скорости тела.
Воспользуемся для этого случаем, который составляет
предмет предыдущего параграфа, и изменим в нём только
два условия, именно: пусть теперь начальная скорость
тела равнг нулю, и9 кроме того, пусть изменяющие
ч стицы отрываются от тела со стороны верхнего его
основания по вертикальному направлению вверх не с по-

ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ 79
стоянкою скоростью, а со скоростью (абсолютною),
равною по величине скорости тела,
1-й способ — определяем скорость тела в какой-либо
момент И (О < f < — J подобно предыдущему, не пользуясь
уравнениями A0).
Промежуток от
/«0 до t = z: %=gt,
Jj,
t = x до /=2t: -fi = gt-\-Clt где <?, = <*,—gx,
— <r 2
aa —«* * fi—ft)(i—2A>'
/=2т до /=3x:g = g/ + C2, где С2 = а% — 2gx,
v-cx d-*)(l-2*)+2
"» *X A —Л>A—2Л) '
*=3т до ^=4т:^=^+С3, где Cs = a8—З^т,
A -2») (l -з*)+A-А) (l-2fe)+2
v*~* A—2A)A—ЗА)
». !—2*
«¦- 1Г=Р=5ПЙЬ^=Т)Ч {[1-(я-2)*Ш-(я-1)А1-Ь
+ 11— (я—3)*j[l—(я—2>JfeJ-j-[l—(я—4)*][1-(я—8)*|-Ь
+ ...+A —*)A—2AJ + 2),
1— (л—2) А
«»=*»—гаг-

80
И. В. МЕЩЕРСКИЙ
Произведя суммирование в выражении vny заменяем k
через ет и затем пх через /'; находим:
^=-(-i-^+4A-6</+Sx){A-e^(f/-2^+
+ е? A — ш?М f — 2т) + -1 eV (/' - -) (С — 2т) + 2т}.
В пределе при уменьшении т и увеличении числа п
имеем:
lim v„ = Hm an = -Q-^pp (l - tf + у eV4).
Таким образом, скорость тета в рассматриваемом случае
во всякий момент t (О < t < —J выражается формулой
— irS-F-O—' + ¦!•«¦)• <13>
2-й способ. Уравнения A0) приводятся в настоящем
случае к одному уравнению, которое по разделении на
массу тела представляется в виде
Интегрируя уравнение A4) и принимая во внимание, что
в начальный момент скорость тела равна нулю, находим:
следовательно, то же самое выражение, которое даёт и
формула A3).
III. Уравнения F) поступательного движения твёрдого
тела имеют место для поступательного движения и тела
нетвёрдого; затем закон сохранения движения центра инерции
при действии внутренних сил, которым мы пользовались для
получения выражений (9), также существует и в случае
тел нетвёрдых; поэтому мы можем применить уравнение A0)
к движению какого угодно тела переменной массы, если
только все точки этого тела в рассматриваемом движении
имеют в каждый момент скорости, одинаковые по величине
и направлению.

ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ 81
Применим уравнения A0) к решению двух задач Кейли,
которые приведены в «Очерке литературы.* на стр. 46—48.
Первая задача. Ось Ог направляем по вертикали
вниз, плоскость стола принимаем за плоскость ху.
Так как скорости изменяющих точек равны нулю, то
уравнения A0) дают нам уравнение движения в виде
АЛйЧ ., dM •
По условию задачи, принимая за единицу массы массу
единицы длины цепи, имеем:
М = *,
где s — длина свесившейся части цепи; полагая
получаем уравнение A) Кейли
Вторая задача. Движение происходит по
направлению оси Ох% сил не приложено, скорости изменяющих точек
равны нулю, поэтому из уравнений A0) получаем уравнение
движения в виде
Md*x dM •
т dt* — dt x*
По условию задачи масса движущегося тела
если через Мх обозначим ту массу, прикреплённую к концу
цепи, которая у Кейли обозначена через М% уравнение
движения будет:
t ял т / 1 м d2x (dx *
[Ml + m(a + x)]ffF^ — m{^)
— уравнение B) Кейли.
Заметим, что прибавочная сила, проекции которой
входят в уравнение A0), имеет такое же направление, как
относительная скорость по отношению к телу центра
инерции изменяющих точек, а по величине равна произведению
5 И. В. Мещерский.

82
И. В. МЕЩЕРСКИЙ
этой относительной скорости на полную производную от
массы тела по времени.
Это обстоятельство может иногда упростить задачу, ибо
возможны такие случаи изменения массы, в которых мы
можем считать заданною не абсолютную, а именно
относительную скорость центра инерции изменяющих точек;
например, масса тела может уменьшаться вследствие того,
что изменяющие частицы отделяются от тела с одной и той
же относительной скоростью, которая может иметь
постоянные величину и направление или только направление
постоянное, а величину, изменяющуюся в зависимости от времени,
от длины пройденною пути и т. д.
§ 9. Уравнения движения центра инерции тела
при существовании ударов.
Рассмотрим случай, когда при изменении массы тела
центр инерции его сохраняет своё положение относи-
тельно тела.
Предполагаем, что масса тела М есть некоторая
функция времени, положения тела и длины 5 пути, пройденного
центром инерции; при этом а, р, f, проекции скорости
центра инерции изменяющих точек, могут зависеть не только
от времени, положения тела и длины пути s, но также от
поступательной и угловой скорости тела.
Тело предполагается свободным, но данные силы, к нему
приложенные, могут быть какие угодно.
Исключая и здесь случай, когда функция, выражающая
массу тела, обращается в постоянную величину, мы
применяем затем тот же способ, который уже изложен для
случая поступательного движения, и приходим к заключению,
что проекции ускорения, получаемого центром инерции
свободного твёрдого тела вследствие ударов, сопровождающих
изменение массы, выражаются формулами (8) в том
предположении, что х, уу z обозначают теперь проекции
скорости центра инерции тела.
Умножая эти формулы на Ж, получаем выражения (9)
для проекции главного вектора прибавочных сил;
следовательно, в рассматриваемом случае дифференциальные урав-

ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ 83
нения движения центра инерции тела будут уравнения
A0), в которых .v, у, z, xy yy z обозначают координаты
и проекции скорости центра инерции тела, а X, Y,
Z—проекции главного вектора задаваемых сил, приложенных к телу.
Если во всё время движения а = х, j3 =y, i = z,
главный вектор прибавочных сил равен нулю, и
дифференциальные уравнения движения центра инерции тела принимают
вид уравнений (бI).
§ 10. Задача о движении точки переменной массы.
Мы можем уже теперь видеть, что задача о движении
твёрдого тела переменной массы приводит нас к задаче
о движении материальной точки, масса которой
изменяется во время движения. В самом деле, уравнения F) и A0),
когда они выражают поступательное движение тела, не
зависят от формы, объёма и плотности тела; следовательно,
они сохраняют своё значение и в том случае, когда масса
тела будет сосредоточена в одной геометрической точке;
мы получим тогда материальную точку переменной массы,
а уравнения A0) или F) будут дифференциальными
уравнениями движения этой точки, смотря по тому, испытывает ли
она удары при изменении массы или нет.
То же значение мы можем приписывать уравнениям F)
и A0) и тогда, когда эти уравнения суть дифференциальные
уравнения движения центра инерции тела, при том лишь
предположении, что, кроме вторых производных от
координат, они содержат только переменные t, х, у, z, s,
х, у, z, ибо в этом случае уравнения F) и A0) не
зависят от формы, объёма, плотности и угловой скорости тела.
Таким образом, мы имеем основание для того, чтобы
заняться рассмотрением движения материальной точки,
масса которой изменяется во время движения.
1) Все рассуждения и примеры автора неходят, в сущности,
из гипотезы, что при отделении частиц от тела их воздействие
сказывается лишь в момент контакта. Эта гипотеза и позволяет
получить дифференциальные уравнения движения. (Прим. ред.)
6*

84
и. 15. мвЩЕРСКИЙ
ГЛАВА II.
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ
И ГЛАВНЫЕ ИХ СЛЕДСТВИЯ.
§ 1. Изменение массы точки.
В предыдущей главе мы видели, каким образом,
рассматривая движение тела переменной массы, мы приходим
к задаче о движении материальной точки> масса
которой изменяется с течением времени.
Приращение, которое масса точки получает в какой-либо
момент, может быть или положительным или
отрицательным.
Ту массу, которая присоединяется к массе точки и
первом случае и отделяется от неё во втором, называем
изменяющею массой и рассматриваем как сосредоточенную также
в одной точке.
Изменение массы точки является, таким образом, вообще
говоря, как результат неупругого удара, происходящего
при встрече двух материальных точек: изменяемой и
изменяющей. Скорости обеих точек могут быть и равны
между собою, тогда при изменении массы удара не
происходит.
Пусть в некоторый момент т и <о — масса и скорость
рассматриваемой точки переменной массы; jx — изменяющая
масса, взятая со знаком -f- или —» смотря по тому,
присоединяется ли она к массе точки или отделяется от неё;
и — скорость изменяющей массы; тогда масса точки после
изменения будет m-f-ji, а скорость её по величине и
направлению выражается формулой
ту + ;ш
ГП + р '
где в числителе имеем геометрическую сумму или
геометрическую разность количеств движения.
Движение точки в последующий затем промежуток
времени определяется как движение точки постоянной
массы.

ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ 85
Таким образом, решение задачи о движении точки,
масса которой изменяется через известные промежутки
времени, приводится к последовательному решению двух
задач, рассматриваемых в динамике точки постоянной массы:
1-я — расчёт неупругого удара двух точек, 2-я —
определение движения точки.
Займёмся исследованием того случая, когда промежутки,
разделяющие моменты изменения массы и соответствующие
им приращения массы настолько малы, что изменение массы
точки можем рассматривать как процесс, непрерывно со-
вершающийся с течением времени.
Допускаем при этом, что проекции на координатные оси
скорости изменяющей массы, а также масса
рассматриваемой точки и проекции равнодействующей сил, к ней
приложенных, могут быть выражены как непрерывные функции,
вообще говоря, времени, положения и скорости точки
и длины пройденного ею пути.
А. СЛУЧАЙ, КОГДА ТОЧКА И ИЗМЕНЯЮЩАЯ МАССА
ИМЕЮТ ОДИНАКОВЫЕ СКОРОСТИ.
§ 2. Уравнения движения свободной точки.
Масса точки при употреблении декартовых координат
выражается, вообще говоря, в виде
/«=/(/, лг, у, г, s> х, у, г)% A)
где $ обозначает длину пути, пройденного точкой, х, у, г—
проекции скорости точки на координатные оси; относительно
функции / предполагаем, что во всё время, пока движение
точки рассматривается, функция / остаётся непрерывною
и не обращается в 1гуль.
Проекции равнодействующей сил, в точке приложенных,
могут быть выражены, вообще говоря, некоторыми
функциями времени, положения и скорости точки и, кроме того,
параметров: pv p2, ..., которые имеют постоянные
значения, если масса точки остаётся постоянною, и изменяются,
если изменяется масса точки; одним из таких параметром
может быть, например, сама масса точки.

86
И. В. МЕЩЕРСКИЙ
Пусть X, Y, Z— проекции на координатные оси
равнодействующей сит, приложенных к точке; тогда
Xt Y9 Z = <?i.2.»(*, х, У, z, х, у, г, pv p2, ...). B)
Параметры /?,, /?2, ... суть, вообще говоря, некоторые
функции переменных, заключающихся в формуле A);
подставив эти функции вместо pv р2, ... в формулы B),
получим выражения проекций равнодействующей вида
X, К, Z=Fit2iz(t, х, у, z, s, х, у, *). C)
Функции Fj,?.з гак же, как функции 9t.2.8» Р> Р*> •••>
предполагаются конечными и непрерывными во всё время,
пока движение точки рассматривается.
Рассмотрим случай, когда точка свободна и скорость
изменяющей массы равна скорости точки.
Рассуждение, подобное тому, которое изложено в § 5
предыдущей главы, показывает, что уравнения движения
точки в настоящем случае представляются в том же
виде, как и тогда, когда масса остаётся постоянной:
d?x v
mm=Y>
mw=Z.
D)
В самом деле, разделим весь промежуток времени, в
течение которого движение точки рассматривается, на весьма
малые промежутки т1э т2, т3, ... и предположим, что
изменение массы точки происходит в конце каждого из этих
промежутков.
Движение точки в течение каждого из промежутков
хи т2, та, выражается уравнениями вида D), предполагая,
что в этих уравнениях X, Y, Z выражены по формулам B)
и притом /я, а следовательно, и параметры pv p2, ...
имеют постоянные значения, соответствующие началу
промежутка.

ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ 87
В конце промежутка, в тот момент, когда происходит
изменение массы, положение и скорость точки не
изменяются, поэтому уравнения движения точки в течение
двух соседних промежутков х4 и т<+1 связаны между собою
ещё тем обстоятельством, что значения координат точки
и их первых производных в конце промежутка т<, которые
следуют из соответствующих этому промежутку уравнений
движения и начальных данных, будут начальными данными
для уравнений движения в последующий промежуток т<+1.
Считая промежутки^, т2, тв, ... бесконечно малыми, мы
приходим, таким образом, к заключению, что движение
точки при действии данных сил во всё время, пока оно
рассматривается, выражается одной и той же системой
дифференциальных уравнений D), в которых т, X, Y, Z
выражены по формулам A) и C).
Заметим, что мы приходим также к этому заключению,
если будем рассматривать уравнения D), которые можем
написать в виде
dx * dy • dz •
dt~x' Л — У> dt~z>
как предельный случай ряда уравнений разностных *):
Z Zq = Zq (/j /g),
Щ (xt — *о) = хо ft — '<>)• то (Уг —Уо) = Yo ft ~ '<>)>
Щ (z\ — * о) = zo ft — 'о);
хъ — *i — xi lt« — t\)> -mWi (z-j — zJ = Z, (/2 — *,);
x xn-l == Xn-1 (* *M-l)> •••
..., mn^(z — zn_ls = Ztb_x{t— tn^9
l) Здесь Xnt yx и т. д. — значения х\ у в моменты t = /„.
f=^i и т.д. {прим. ред.)

88
И. В. МЕЩЕРСКИЙ
где значки О, 1, 2,..., я— 1 указывают значения тех
величин, при которых они стоят, для моментов: t0,
^', ..., z обозначают координаты и проекции скорости
точки в момент / = /Л-1+тЛ; предельный случай того
движения, которое выражается этими разностными
уравнениями, и будет, очевидно, рассматриваемое нами движение
точки переменной массы.
Когда масса точки зависит от длины пройденного пути,
к уравнению D) должно быть присоединено уравнение
В этом случае при интегрировании уравнений D) и
E) войдут семь постоянных произвольных; для определения
их, кроме начального положения и начальной скорости
движущейся точки, мы имеем ещё начальное значение дуги
траектории, так как точка, от которой дуга отсчитывается,
может быть выбрана на кривой как угодно.
§ 3. Следствия уравнений D).
Из уравнения D) получаются как следствия различные
свойства движения свободной точки переменной массы в том
случае, когда при изменении массы ударов не происходит.
Если равнодействующая сил, приложенных к точке,
пропорционапьна её массе, тогда уравнение D) по
разделении на массу, не будет содержать количества т, и,
следовательно, изменяемость массы точки не влияет на
движение.
Отсюда заключаем: при действии сил,
равнодействующая которых пропорциональна массе точки, точка
переменной массы, по какому бы закону её масса ни
изменялась при отсутствии ударов, движется так же,
как движется точка постоянной массы при действии
тех же сил и при тех же начальных данных.
Такой случай представляется, например, тогда, когда
на точку действует сила тяжести или сила притяжении по
закону Ньютона.

ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ 89
К числу сил, которые, вообще говоря, не
пропорциональны массе точки, принадлежат силы магнитные и
электрические, а также сопротивление среды; при действии на
точку сил этого рода изменяемость массы точки оказывает
влияние на её движение.
Относительно сопротивления среды заметим, что мы
будем рассматривать его как ситу, направленную
противоположно скорости точки; в динамике точки постоянной
массы предполагается, что величина этой силы зависит
только от свойств среды и скорости точки, так что при
движении в однородной среде величина сопротивления,
рассчитанная на единицу скорости, постоянна; но в случае
точки переменкой массы мы должны считать и эту
величину, вообще говоря, переменной.
В самом деле, к задаче о движении точки переменной
массы нас приводит соответствующая задача о движении
тела переменной массы; величина сопротивления, которое
тело испытывает при своём движении, зависит от его
поверхности; при изменении же массы тела поверхность его
также изменяется, а следовательно, изменяется и величина
сопротивления, хотя бы тело двигалось в однородной среде
с постоянною скоростью.
Разделим уравнение D) на число т, выражающее массу
точки; получим:
*?? — v ^- — Y 2-L — Z (Ь\
где
Л* 1У dt* lt dt*
* m ' 1 m ' l m
Мы можем рассматривать Xt, Y19 Zt как проекции силы,
направление которой то же, что и направление данной
силы, приложенной к точке, а величина равна величине
последней, рассчитанной на единицу массы точки.
Уравнения F) показывают, что свободная точка пере-
мениой массы, не испытывающая ударов при изменении
массы, движется при действии данной силы так же, как
движется свободная точка постоянной массы, равной

90
И. В. МЕЩЕРСКИЙ
единице, при действии той же силы, рассчитанной на
единицу массы, и при тех же начальных данных.
Заметим, что в случае, когда масса точки зависит от
длины пройденного пути s, и сила, к ней приложенная, будучи
рассчитана на единицу массы, также зависит, вообще
говоря, от s; мы имеем, следовательно, такой случай,
который в динамике точки постоянной массы не встречается, но
предыдущее предложение тем не менее остаётся
справедливым.
Из этого предложения следует: все формулы динамики,
которые относятся к движению свободной точки ло-
стоянной массы, после того как мы положим в них
массу точки равною единице и силу приложенную заме*
ним данною силой, рассчитанной на единицу массы,
будут иметь место и для движения свободной точки
переменной массы, если она не испытывает ударов при
изменении массы.
При этом, если масса точки зависит от длины
пройденного пути s, то мы рассматриваем 5 как некоторый
параметр, определяемый уравнением E).
Приведем здесь предложения, относящиеся к количеству
движения (mv) и живой силе Г -к mv2J точки, при изменении
массы которой не происходит ударов; величину как
количества движения, так и живой силы будем рассчитывать
на единицу массы.
1. Приращение количества движения точки,
рассчитанного на единицу массы, за некоторый промежуток времени
геометрически равно импульсу силы, рассчитанной на
единицу массы, за тот же промежуток времени.
Момент силы, рассчитанной на единицу массы,
относительно какой-либо оси равен производной по времени от
удвоенной и умноженной на единицу массы секториальной
скорости точки в плоскости, перпендикулярной к этой оси,
предполагая, что радиус-вектор движущейся точки
проводится из точки пересечения оси с плоскостью.
В том случае, когда момент сипы, рассчитанной на
единицу массы, относительно какой-либо оси равен нулю,
секториальная скорость точки в плоскости, перпендикуляр-

ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ 91
ной к этой оси, постоянна; таким образом, закон
сохранения площадей в движении точки выражается одинаково,
будет ли масса точки постоянною или переменною: если
сила, приложенная к точке постоянной или переменной
массы, остаётся в одной плоскости с какою-либо
неподвижною осью, то секториальная скорость точки в
плоскости, перпендикулярной к этой оси, будет посто*
янною.
Отсюда следует, что при действии центральной
силы, центр которой неподвижен, точка переменной массы
движется с постоянною секториальною скоростью в
плоскости, заключающей в себе центр силы и начальную
скорость точки.
2. Приращение живой силы точки, рассчитанной на
единицу массы, за некоторый промежуток времени равно
работе приложенной силы, рассчитанной на единицу массы,
в движении точки за тот же промежуток времени.
Если существует функция U1 (t> x, у, г)у частные
производные которой по координатам выражают проекции на
соответствующие координатные оси силы, рассчитанной на
единицу массы, то такую функцию мы можем назвать
силовою функцией для этой силы.
Заметим, что в случае переменной массы сила,
приложенная к точке, и та же сила, рассчитанная на единицу
массы, вообще говоря, одновременно силовой функции не
имеют: если для одной из этих сил существует силовая
функция, то для другой силовая функция существует
только тогда, когда масса точки может быть выражена
некоторой функцией от времени и силовой функции,
соответствующей первой силе; например, в случае силы тяжести —
силовая функция для силы, рассчитанной на единицу массы,
будет Ux = gz, если ось Ог направлена по вертикали вниз,
а для силы, приложенной к точке, силовая функция
существует только при /я=/(/, г)\ в случае центральной силы,
величина которой выражается по формуле Якоби: -^<р@),
где г и 0 — полярные координаты точки, сила, приложен-
пая к точке, имеет силовую функцию при т = • ,Q ' ,

92
И. В. МЕЩЕРСКИЙ
а для той же силы, рассчитанной на единицу массы, силовой
функции не существует.
Из уравнений F) следует: если силовая функция I/,
не содержит времени, то разность между живою силою
точки, рассчитанною на единицу массы, и соответствующим
значением силовой функции Ux при движении точки
сохраняет постоянную величину.
В том случае, когда силовая функция U1 есть функция,
не содержащая времени и притом однозначная, мы
получаем закон сохранения живой силы точки, рассчитанной на
единицу массы: при переходе точки с одной поверхности
уровня функции Ut ни другую живая сила точки, рас-
считанная на единицу массы, получает одно и то же
приращение у каковы бы ни были положение и скорость
точки при сходе её с первой поверхности*
Отсюда следует как частный случай: если точка,
совершив какой-либо путь, возвращается на поверхность уровня
функции Uu заключающую начальное положение точки, то
скорость её при вступлении на эту поверхность имеет
начальную величину.
§ 4. Уравнения движения несвободной точки.
Если координаты движущейся точки должны
удовлетворять уравнению
?(*, У, *> 0 = 0, G)
тогда уравнение
dfi дх dP *ду dt* ^ dz dfl ^ ™> '
где <p(j) обозначает совокупность членов, не содержащих
вторых производных от координат, представляет условие,
которому должно удовлетворять ускорение точки; отсюда
следует, что при существовании уравнения G), которое
можно рассматривать как уравнение поверхности, кроме
задаваемых сил, к точке приложена ещё сила,
направленная по нормали к поверхности; эту силу называем
нормальной реакцией поверхности.

ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ 93
Принимая затем во внимание то, что уже изложено
в § 2 относительно движения свободной точки переменной
массы, когда скорость изменяющей массы равна скорости
точки, мы приходим к заключению, что в этом случае
уравнения движения точки переменной массы по данной
поверхности или по данной кривой имеют тот же вид,
что и в случае точки постоянной массы:
?(*, Л *> 0 = °,
*(х, у, г, /)^О, <}(*, у, z, /) = О,
dtl l дх 1 дх' > (9)
X, У, Z обозначают проекции на координатные оси
равнодействующей задаваемых сил, приложенных к точке.
Если масса точки зависит от длины пройденного пути,
то присоединяется еще уравнение E):
§ 5. Следствия уравнений (8) и (9).
Уравнения (8) и (9) показывают, что изменяемость
массы при отсутствии ударов не влияет на движение
несвободной точки, если равнодействующая задаваемых
сил пропорциональна массе точки) в этом случае
нормальная реакция поверхности или кривой, рассчитанная на
единицу массы точки, имеет ту же величину и то же
направление, которое она имела бы, если бы масса движущейся
точки оставалась постоянною, именно равною единице.
Как частный случай из уравнения (8) следует, что
точка переменной массы, движущаяся по неподвижной

94
И. В. МЕЩЕРСКИЙ
поверхности, когда задаваемых сил к ней не приложено или
равнодействующая их равна нулю, описывает с постоянною
скоростью геодезическую линию и при этом оказывает на
поверхность давление, равное —, где р — радиус кривизны
траектории.
Разделим уравнения (8) и (9) на число т% выражающее
массу точки; мы получим тогда уравнения движения в виде
*** — X Л-\ д* )
да—*1 + Л1А* + ?1л?»[ A1)
J
Хи Уи Zx обозначают проекции на координатные оси
равнодействующей задаваемых сил, рассчитанной на
единицу массы.
Если для силы (Xlf Yu Zj) существует силовая
функция Uu не содержащая времени, тогда из уравнений A0)
и A1) следует, что при движении точки по неподвижной
поверхности или по неподвижной кривой разность между
живою силою точки, рассчитанною на единицу массы, и
соответствующим значением силовой функции Ut сохраняет
постоянную величину.
На основании уравнений A0) и A1) мы можем
распространить предложение, высказанное на странице 90, на
случай несвободной точки и, таким образом, получаем
следующее предложение, которое справедливо для точки
как свободной, так и несвободной: все формулы
динамики, которые относятся к движению точки
постоянной массы, будут иметь место для точки переменной
массы, не испытывающей ударов при изменении массы,
после того как в этих формулах мы положим массу
точки равною единице и равнодействующую задаваемых
сил равною рассчитанной на единицу массы
равнодействующей задаваемых сил, приложенных к точке
переменной массы.

ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ 95
При этом, если масса точки зависит от длины
пройденного пути s, то мы рассматриваем s как некоторый
параметр, определяемый уравнением E).
Укажем некоторые следствия, вытекающие из только
что высказанного общего предложения.
1. Если положение точки определяется системой каких-
либо независимых координатных параметров q, уравнения
движения представляются в виде
где
d ( dv\ dv • Л
TtVsirvTq+Q>
*-*'*-*.?+^+^
A2)
скорость точки v, а также Q, предполагаются здесь
выраженными через переменные qy их первые производные по
времени и t.
В случае, когда масса точки зависит от длины пути s,
присоединяем уравнение
ds
ds
где знак корня определяется начальным значением ~?т.
При существовании силовой функции Ux для
равнодействующей задаваемых сил, рассчитанной на единицу
массы, уравнения A2) будут:
d ( dv\ dv , dU\
dt\ dq) dq ' dq
В этом случае, вводя вместо q переменные р
посредством уравнений
dv
dq
получим канонические уравнения движения
?? — ЁИ ЕЕ. ЁК
di ~~ др% dt~ dq'

96
И. В. МЕЩЕРСКИЙ
где
2. Начало наименьшего действия представляется в виде
л
ifVUi + hds^O;
А
их здесь не содержит /, интеграл берётся но дуге кривой
между данными точками Л и В, h сохраняет постоянное
значение, именно то, которое имеет разность у v2 — Uu
когда движущаяся точка находится в точке А.
3. Начало Гамильтона при существовании силовой
функции Ux выражается уравнением
В. СЛУЧАЙ, КОГДА ТОЧКА И ИЗМЕНЯЮЩАЯ МАССА
ИМЕЮТ РАЗЛИЧНЫЕ СКОРОСТИ.
Рассмотрим теперь тог случай, когда скорость измг*
няющей массы равна скорости тонки.
Скорость и изменяющей массы может оставаться
постоянною по величине и направлению, но может и
изменяться в зависимости от времени, от положения и скорости
точки, а также и от длины пройденного точкою пути; во-
обще говоря, проекции скорости измешнощей массы «, j3, ^
выражаются некоторыми функциями от переменных: /, х,у,
z, $9 x,y, z\ эти функции предполагаются конечными и
непрерывными во всё время, пока движение точки
рассматривается.
В момент изменения массы точки в настоящем случае
происходит удар, и скорость точки получает приращение
того же порядка малости, что и соответствующий
промежуток времени т.

ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ
97
При непрерывном изменении массы действие таких
ударов на точку можно заменить действием некоторой
непрерывно действующей силы; назовём эту силу
прибавочной силой.
Мы можем найти выражении проекций прибавочной силы,
если масса точки не зависит от её скорости] только
этот случай мы и будем рассматривать в дальнейшем
изложении.
§ 6. Уравнения движения свободной точки.
11усть точка свободна, и масса её выражается формулой
/л--=/(/, х, у, г, s).
В этом случае вполне применимо то рассуждение,
которое быю изложено в § 7 гл. I для случая
поступательного движения тела.
Обозначая через Х\ К', Z' проекции на координатные
оси прибавочной силы, найдём:
A3)
где
Л"
Y'
7J
-'•
=-=
dm
W
dm
dt
dm
~dt
(«-
<P-
I.T-
-x), 1
-Л
-*>. J
dm dm , dm \ , dm ;. , dm i , dm
dt
lfr+lfrx + Wy + -dFz+lhv'
Выражения A3) показывают, что прибавочная сила
имеет направление геометрической разности скоростей
изменяющей массы и движущейся точки t а по величине
равна произведению этой разности на полную
производную от массы точки по времени.
Присоединяем прибавочную силу к силам задаваемым, и
тогда уравнения движения свободной точки, переменная
7 И R. Memcpnmft

98
И. В. МЕЩЕРСКИЙ
масса которой не зависит от скорости, представляются
в виде
&z - i dm , \
m-dF = z+~dfb-z)>
где X, К, Z обозначают проекции равнодействующей
задаваемых сил, приложенных к точке; если масса точки
зависит от длины пройденного пути, к уравнениям A4)
присоединяется уравнение E).
§ 7. Уравнения движения несвободной точки.
Составим уравнения движения точки как по данной
поверхности, так и по данной кривой, предполагая, что масса
точки не зависит от её скорости:
л1=/(/, xfy, zf s).
При этом мы будем употреблять те же обозначения,
что и в § 7 гл. I; т — какой-либо из весьма малых
промежутков, на которые мы делим всё время движения; \ь —
соответствующая изменяющая масса, взятая со знаком плюс
или минус; а, Ь, с — проекции скорости точки до
соударения с изменяющей массой р; х, уу г — после соула-
рения.
1. Пусть точка движется по данной поверхности:
?{*>У> *9t) = 0. G)
Пренебрегаем перемещением точки и поверхности за
время удара, а также импульсами задаваемых сил за это
время.
Полагая, что импульс реакции поверхности за время
удара равен у'Дср, где

ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ
99
мы имеем как при ji > 0, так и при \х < 0:
т (х — a) = ji (a-
*>+j &
«(у—*) = !»<?—.У)+7
ду<
»(* —«) = 1»(Т—*)+/ %¦
(\Г,
Величина j определяется из того условия, что скорость
точки в конце удара удовлетворяет уравнению
ду
ду
д<?
ду
г*+5>+я*+«
о.
Подставим в это уравнение вместо д:, уу z их
выражения из уравнения A5); тогда, принимая во внимание,
что для начала удара
§1 Л4-^ /34-^- *-!-*? —о
находим:
где
Подставивши найденное выражение j в равенства A5),
разделим их на х; предполагая затем, что промежуток г
бесконечно мал, мы получаем в пределе следующие
выражения для проекций прибавочной силы:
v/ dm , • ч I dm , d<*
VI Лт /Ь
¦У) +
dm
Tt
ф Ъ
dv4
Z'^
dm
•ч t dm r dv
dt ^' ~' • d* ж d*'
Таким образом, прибавочная сила в настоящем
случае есть равнодействующая двух сил: одна из
составляющих выражается так же, как прибавочная сила в случае
7*

100
и. в. мещерский
свободной точки; другая направлена по нормали к поверхности
в сторону, противоположную той, куда направлена проекция
на нормаль скорости изменяющей массы, а по величине
равна этой проекции, умноженной на полную производную
от массы точки по времени.
Составляющую, направленную по нормали к
поверхности, мы можем сложить с той реакцией, которую
поверхность оказывает и тогда, когда скорость изменяющей
массы равна скорости точки; получим силу, проекции
которой на координатные оси могут быть представлены и
нте
дх' ду dz
Обозначая через X, К, Z проекции равнодействующей
задаваемых сил, мы получим уравнения движения точки по
поверхности G) в виде
т
т
т
d*x
dP ~~
d*y
dt-
df* '"
=х+ж
У .dm
""¦" dt
У i dm
~Л dt
(«-
(?-
(т-
-i) + >
-j)+X
-z) + >
ду 1
l5P
5y'
dz' j
A6)
fdS;
2. Пусть точка движется по данной кривой:
Подобно тому как в предыдущем случае, обозначая через
/Д<р и ДЛф величины импульсов реакций поверхностей A7),
находим:
т(х — <z) = |i (a — x)+J gj-fy, Ц,
A8)
Величины у и j\ определяются из того условия, что
скорость v точки в начале и в конце удара удовлетво-

ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ 101
ряет уравнениям:
V • Д<р • COS (V, Пх) + -gj = 0,
г> • Д<!<. cos (г>, Л2) + Цг = °>
где пг и п2—направления положительных нормалей к
поверхностям A7); получим:
где через Ф и W обозначены для краткости некоторые
известные функции от /, дг, у9 гу а, р, f •
Подставивши эти выражения j и ]х в равенства A8),
делим их на х и затем, переходя к пределу, находим
выражения проекций прибавочной силы:
v/ dm , *ч . dm _ Зф , dm *« дф
Последние два члена этих формул представляют
проекции двух составляющих прибавочной силы, направленных
по нормалям к поверхностям A7); предполагая, что эти
составляющие сложены с соответствующими реакциями
поверхностей, которые поверхности оказывают на точку и
тогда, когда скорость изменяющей массы равна скорости
точки, мы получим уравнения движения точки по кривой
A7) в виде
d*x v , dm f *ч , ч д* . <ЗФ \
mW = X + w(a-x) + kTx + *& A9)
§ 8. Следствия уравнений A4), A6) н A9).
Из уравнений A4), A6) и A9) мы видим: уравнения
движения как свободной, так и несвободной точки
переменной массы, когда масса не зависит от скорости,
представляются в декартовых координатах в том же виде, что
и в случае точки постоянной массы, если только к
задаваемым силам присоединить силу, имеющую направление

102
И. В. МЕЩЕРСКИЙ
геометрической разности скоростей изменяющей массы и
точки, а по величине равную этой разности, умноженной на
полную производную от массы точки по времени.
Мы можем теперь на основании полученных уравнений
движения высказать следующее предложение: все формулы
динамики, которые относятся к движению как
свободной, так и несвободной точки постоянной массы будут
иметь место для точки переменной массы, не зависящей
от скорости, после того как в этих формулах мы
положим массу точки равною единице и
равнодействующую задаваемых сил равною рассчитанной на
единицу массы равнодействующей сил задаваемых,
приложенных к точке переменной массы, и силы прибавочной.
Общему уравнению динамики точки постоянной массы,
которое выражает начало Даламбера в связи с началом
возможных перемещений, в настоящем случае соответствует
уравнение
Уравнения A4), A6) и A9) могут быть написаны в виде
<Рх „ , dm . •. )
«•Ж = 36+^т(« — х),
d*z с* \ dm , *ч
где Об, <У, % обозначают:
если точка свободна, то проекции равнодействующей сил
зл даваемых:
%>=Х> Ъ = У, %=Z;
если же точка несвободна, то проекции равнодействующей
сил задаваемых и реакций:

ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ 103
когда точка находится на данной поверхности;
*_*+*?+„?
когда точка находится на данной кривой.
Мы рассмотрим уравнения B0) при различных
предположениях относительно скорости изменяющей массы.
§ 9. Скорость изменяющей массы равна нулю.
Рассмотрим прежде всего тот случай, когда скорость
изменяющей массы равна нулю:
а = р = f = 0.
Уравнения движения точки в этом случае могут быть
написаны в виде
d (тх)
dt
= Х9,
*(тУ* = си
dt J'
d (тг) __ _
dt
B1)
Уравнения B1) так же, как и уравнения движения точки
постоянной массы, выражают, что скорость точки,
вычерчивающей годограф количества движения точки переменной
массы, имеет ту же величину и то же направление, что
и равнодействующая приложенных к точке сил.
Затем из уравнений B1) следует, что приращение
количества движения точки за некоторый промежуток времени
равно по величине и направлению импульсу
равнодействующей сил, приложенных к точке, за тот же промежуток
времени.
Закон площадей в настоящем случае представляется
в том же виде, как и для точки постоянной массы:
jj [т (ху — ух)\ = лгсу — ХК

104
И. IT. МЕЩЕРСКИЙ
Если момент равнодействующей сил, приложенных
к точке, относительно какой-либо оси, например,
относительно оси Ог> равен нулю, то уравнения B1) допускают
интеграл площадей
т(ху -ух)-- const.,
который выражает, что секториальная скорость точки
в плоскости ху обратно пропорциональна массе точки.
Пусть задаваемые силы и масса точки удовлетворяют
условию
т(Xdx-\-Ydy-\-Zdz) — dU%
где U есть некоторая функция от координат точки; тогда
как для точки свободной, так и для точки несвободной,
движущейся ло неподвижной поверхности или по
неподвижной кривой, уравнения B1) допускают интеграл
-J- (mvf ~U-\-const- B2)
В частном случае, когда равнодействующая задаваемых
сил, рассчитанная на единицу массы, имеет потенциал
^i (х> У\ г) и притом /&=/({/,), интеграл B2)
представляется в виде
y(m«09*= \ \f(Ul)\iaUl + const.
Введём в уравнения B1) вместо декартовых координат
какие-либо независимые координаты q; мы получим
уравнения движения в виде
•j/wsj
-Q+**?.
B3)
где
Если масса точки выражается некоторой функцией только
от времени: /я =/(*), тогда, обозначая живую силу точки

ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ 105
через Г, так что T=-^mv2, мы можем написать
уравнения B3) в той же форме, как и в случае точки
постоянной массы:
d 'дТ дТ , ,х
B4)
Вели при этом для равнодействующей задаваемых сил,
рассчитанной на единицу массы, существует силовая
функция Ux (л% у, г, f), то уравнения B4) будут изопери-
метрическими для интеграла
t
f\T+UJ{t)\dt.
to
Уравнения B4) имеют место и тогда, когда m--f\U *»;
в этом случае к ним присоединяется уравнение
\dt) m
Заметим, что при т = /(*), если равнодействующая
задаваемых сил не зависит от скорости точки,
уравнения B1) можно преобразовать так, что они не будут
содержать первых производных от координат.
В самом деле, напишем эти уравнения в виде
B6»
тогда
новую переменную
4 dt
iU @ •
dx dx 1
dt ~~dx ' /' ••"
d*x _&x ! dx
df-' ~ d-z* ' p ' </x
г, полага
/
72' '""

106
И. В. МЕЩЕРСКИЙ
подставляя эти выражения производных от координат
в уравнения B5), получим:
ЗЭГ = Л|^ \ B7)
при этом предполагается, что в выражения w, ®?, °&, %
вместо / введено т с помощью уравнения B6).
Уравнения B1) мо1утбыть преобразованы так, что они
получат вид уравнений B7), и тогда, когда т=/(лг, уу г),
если только равнодействующая задаваемых сил не зависит
ни от времени, ни от скорости точки, и притом в случае
несвободной точки уравнение данной поверхности или
уравнения данной кривой не содержат времени; переменные т
и t связаны в этом случае уравнением
Проинтегрировавши преобразованные уравнения движения,
мы найдем лг, у, г как функцию от т, а затем с помощью
уравнения B8) выразим t через т посредством квадратуры;
для определения траектории точки эта квадратура нам не
нужна.
Рассмотрим случай, когда равнодействующая
задаваемых сил равна нулю:
В этом случае свободная точка, как показывают
уравнения B1), движется прямолинейно, причём количество
движения точки остаётся постоянным.
Если точка не свободна и находится на неподвижной
поверхности или на неподвижной кривой, то количество
движения точки также сохраняет постоянную величину:
в самом деле, умножая уравнения B1) соответственно на
тх, ту, mz и складывая, получим:
|-(«W)-0,
следовательно,
mv = m0vQ. B9)

ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ 107
Двигаясь по данной неподвижной поверхности, точка
описывает в этом случае геодезическую линию.
Для доказательства заметим, что
'-&-*(-%•
а тогда в силу уравнения B9) уравнения B1) дают:
Q d*x . d<p
ds* дх
и, следовательно, главная нормаль траектории точки
нормальна к поверхности.
Давление точки на поверхность равно m0v0—, где
р — радиус кривизны траектории.
§ 10. Скорость изменяющей массы направлена
по одной прямой со скоростью точки.
Пусть
х у z
где &, вообще говоря, величина переменная и притом
k > 0, когда скорость изменяющей массы направлена в ту
же сторону, что и скорость точки; в противном случае k < 0.
Уравнения движения точки будут:
т-Ш = '& + -?(к — l)if J C0)
Заметим, что в тех случаях, когда изменяющая масса
имеет такую же скорость, как и точка, или скорость,
равную нулю, уравнения движения точки представляют
частный случай уравнения C0) при k = 1 и k = 0.

108
И. В. МЕЩЕРСКИЙ
Укажем два случая, в которых эти уравнения
приводятся к уравнениям такого же вида, как и уравнения B7).
1. m=f(f). Если равнодействующая задаваемых сил
не зависит от скорости точки и отношение k или величина
постоянная или функция времени, полагаем:
где
1 Г * —
тогда уравнения C0) преобразуются в уравнения
**»55в*.
При постоянном значении к
2. m=f(x, у, г). Если равнодействующая задаваемых
сил зависит только от положения точки, а отношение k
или величина постоянная или функция от ту полагаем:
* — ¦(*, у, *)dt,
гле
j f * —
¦ (*.**) — ?«J wt
тогда уравнения C0) представятся также в виде
При постоянном значении к
Рассмотрим случай, когда равнодействующая
задаваемых сил равна нулю:

ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ 109
В этом случае движение свободной точки происходит,
очевидно, по той прямой линии, по которой направлена
её начальная скорость, и, следовательно, движение
определяется одним уравнением:
d-x dm /u - •
mdFl=sW<)x' C,)
Уравнение C1) можем написать в виде
dx ,, - dm
л- т
и, следовательно, мы легко найдём первый интеграл, если
к—1 выражается произведением функции от т на
функцию от х; при постоянном значении k имеем:
х = Стк"\
где С—постоянная произвольная.
Если точка находится на неподвижной поверхности или
на неподвижной кривой, то, умножая уравнения C0) на
л% у, z и складывая, при X— Y = Z = 0 мы получим по
разделении на mv*:
*!в(*_1L-,
v ' т '
как и в случае свободной точки.
В силу этого соотношения уравнения C0) для движения
точки по неподвижной поверхности в (х, у, г) «в 0 дают нам:
ds* дх
и, следовательно, в рассматриваемом случае точка
описывает на поверхности геодезическую линию, оказывая на
ту*
поверхность давление, равное , где о — радиус
кривизны траектории.

по
И. В. МЕЩЕРСКИЙ
§ 11. Скорость изменяющей массы направлена
в нормальной плоскости траектории точки.
В этом случае
« + Р> + Т^ = 0.
Пусть равнодействующая задаваемых сил равна нулю:
гогда из уравнения B0) следует, что при движении точки
свободной, а также при движении точки по неподвижной
поверхности или по неподвижной кривой количество
движения точки сохраняет постоянную величину.
Если точка движется по неподвижной поверхности и
скорость изменяющей массы направлена по нормали к
поверхности, то при Х = y = Z = 0 точка описывает
геодезическую линию.
В самом деле, уравнения движения точки по
поверхности при A'=K=Z = 0 могут быть написаны в виде
dv dx , о (fix dm dm • , . d<p
следовательно, при mv= const, имеем:
orf2JC dm , , dv \
ds* dt к дх М C2)
Пусть
д? ду dy '
дх ду dz
где е, вообще говоря, величина переменная, и притом е > О,
когда скорость изменяющей массы направлена по
положительной нормали к поверхности, в противном случае е < 0;
югда уравнения C2) будут:
о&х ( dm , ,\ д<р
следовательно, траектория точки есть геодезическая линия.

ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ 111
При этом для определения давления точки на
поверхность имеем:
. А mv* dm
если главная нормаль кривой совпадает с положительной
нормалью к поверхности, и
s A mv2 dm
X Д© = — — и,
р at '
если главная нормаль кривой совпадает с отрицательной
нормалью к поверхности; у вторых членов берём верхние
или нижние знаки, смотря по тому, направлена ли скорость
и по положительной или по отрицательной нормали к
поверхности.
§ 12. Замечания относительно общего случая.
Уравнения B0j показывают, что общий случай
приводится к тому случаю, когда скорость изменяющей массы
равна нулю, если в число задаваемых сил включить силу,
имеющую направление скорости изменяющей массы и равную
этой скорости, умноженной на полную производную от массы
точки по времени.
Заметим, что при т=/(/), если равнодействующая
задаваемых сил и скорость изменяющей массы не зависят от
скорости точки, мы можем освободить уравнения B0) от
первых производных от координат, вводя вместо t
переменную т посредством уравнения
rfT==7@-
Если существует силовая функция U для
равнодействующей задаваемых сил и притом скорость изменяющей массы
также имеет потенциал Vy т. е.
__ дУ R_dV __dV
а~~ дх ' Р~~ ду'9 Т~ дг '
где V есть некоторая функция от х, у, г, /, тогда

112
И. В. ME ЦЕРСКИЙ
при т =f(t) уравнения движения точки в независимых
координатах будут:
dt\dq) " dq
где
Т = ±т&, \Г=и+%У.
В случае, когда скорость изменяющей массы имеет /to-
стоянные величину и направление, уравнения движения
точки представляются в виде
Если при этом точка свободна и X ~ У = Z = О,
где </,, а.2У */..--постоянные величины.
В заключение ещё одно замечание.
До сих пор мы предполагали, что нам заданы эс, ;3, f —
проекции скорости изменяющей массы; но, если принять
во внимание, что к задаче о движении точки переменной
массы нас приводит соответствующая задача о движении
тела, тогда из замечания в копне § S предыдущей главы
видно, что мы можем рассматривать и такие случаи, в
которых задана по величине и направлению геометрическая
разность между скоростью изменяющей массы и
скоростью точки; например, эта геометрическая разность
может быть задана как постоянная по величине и по
направлению или постоянная по направлению, а по величине
изменяющаяся в зависимости от времени, or длины
пройденного пути и т. д.

ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ ИЗ
ГЛАВА III.
ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ.
Как примеры прямолинейного движения точки переменной
массы мы возьмём, прежде всего, те случаи, к которым
приходим при рассмотрении вертикального движения ракеты
и аэростата.
§ 1. Восходящее движение ракеты.
В то время как ракета летит вверх, масса её
уменьшается вследствие сгорания того горючего вещества,
которым она начинена; силы, действующие на ракету, суть: сила
тяжести, сопротивление воздуха, давление газов, развиваю*
щихся при горении движущегося состава, и прибавочная сила,
если принять во внимание, что сгорающие частицы
отрываются с некоторою относительною скоростью.
При том расстоянии, на которое ракета обыкновенно
удаляется от поверхности Земли, ускорение силы тяжести
и сопротивление воздуха, рассчитанное на единицу площади
при скорости, равной единице, можем считать
постоянными; так как при этом горизонтальное сечение ракеты
не изменяется, то сопротивление, испытываемое
ракетой и рассчитанное на единицу скорости, также будет
постоянным.
Пусть т обозначает массу ракеты, R(x)—
сопротивление воздуха, р —давление газов и w — величину
относительной скорости, которую имеют сгорающие частицы в момент
их отделения.
Рассматривая вертикальное движение ракеты до тех пор,
пока в ней происходит сгорание, мы приходим к
следующей задаче:
Определить восходящее вертикальное движение точки
переменной массы т, на которую, кроме силы тяжести,
действует сила, вообще говоря, переменной величины р,
направленная по вертикали вверх, и сопротивление среды
R(x), изменяющееся в зависимости только от скорости
точки; при этом предполагается, что геометрическая
разность между скоростями изменяющей массы и тачки
8 И. В. Мещерский.

114
И. В. МЕЩЕРСКИЙ
направлена по вертикали вниз и равна данной, вообще
говоря, переменной величине w.
Направим ось Ох по вертикали вверх, тогда уравнение
движения точки будет:
Если масса т9 давление р и скорость w выражены как
некоторые функции времени, то решение задачи, как видно
из уравнения A), приводится к интегрированию
дифференциального уравнения первого порядка относительно лг.
Это уравнение будет уравнением Риккати, если
сопротивление воздуха принять пропорциональным квадрату
скорости.
Если же сопротивление воздуха может быть выражено
двучленом а-\-Ьх при некоторых значениях постоянных а и ?,
тогда уравнение A) будет линейным первого порядка
относительно х:
dx , р I dm 1 / , .-ч /0l
В том случае, когда сгорание в ракете происходит
равномерно с течением времени, мы имеем
/w = m0(l —а/),
где а — постоянная положительная величина; допуская, что
при этом давление р и скорость w постоянны, мы
получаем из уравнения B) следующее выражение для
скорости точки:
*) Более точное выражение реактивной силы для реальной
ракеты будет:
/ ч dm
*(Р8—Ра)—^*>*
где р8 — давление в струе истекающих газов на срезе сопла.
в — площадь среза и ра — давление внешней среды. (Прим. ред.)

ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ 115
где
_ ь
и С—постоянная произвольная.
Отсюда находим:
где D — постоянная произвольная.
§ 2. Вертикальное движение аэростата.
При движении аэростата изменение его массы может
происходить вследствие различных причин; таковы,
например, расход балласта, истечение газа, высыхание или
намокание оболочки и т. д.; если аэростат привязной, то при
подъёме масса его возрастает вследствие того, что
увеличивается длина прикрепленного к нему каната.
Рассмотрим вертикальный подъём привязного
аэростата, принимая сопротивление воздуха
пропорциональным квадрату скорости; высота подъёма предполагается
при этом такою, при которой мы можем считать
постоянным: вес газа, заключённого в оболочке, вес вытесненного
объёма воздуха и сопротивление воздуха, рассчитанное на
единицу скорости.
Обозначим через т массу аэростата, т. е. массу всею
снаряжения, газа и висящей части каната, через р — вес
вытесненного объёма воздуха и через k — сопротивление,
рассчитанное на единицу скорости; пусть ось Ох будет
направлена по вертикали вверх; масса аэростата может быть
выражена формулой
м = т0A+ах),
где а— постоянная положительная величина.
Предположим, что вал, на который навёрнут канат,
вращается с такою угловою скоростью, что развёртывающаяся
8*

316
И. В. МЕЩЕРСКИЙ
часть каната в каждый момент имеет скорость, равную
скорости аэростата.
Мы приходим тогда к следующей задаче о движении
ючкй:
Определить восходящее вертикальное движение
тяжёлой точки в среде, сопротивление которой
пропорционально квадрату скорости, при действии постоянной
силы, направленной по вертикали вверх, предполагая, что
масса точки возрастает пропорционально высоте, причём
изменение массы не сопровождается ударами.
Уравнение движения точки по разделении на массу будет:
Первый интеграл этого уравнения даёт нам выражение
скорости точки в функции от х:
где
== —
а С—постоянная произвольная.
Полагая, что начальная скорость точки равна нулю,
а также и *0 = 0, получим:
г^_A+алг)[1-A+^)-1-в]. D,)
k
а(
Из уравнения D) или уравнения DХ) высота точки л*
выразится в функции от t посредством квадратуры.
В том случае, когда при /я = /я0A -\-olx) будет
принято во внимание, что вес вытесненного объёма воздуха
изменяется пропорционально высоте, так что
где а — постоянная положительная величина, уравнение
движения имеет тот же вид, что и уравнение C).

ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ 117
В самом деле, в этом случае
Р = Ро ( * + Е _о\
т ctm0 \ 1 + ах */'
следовательно, уравнение движения будет:
<*** — г fro | (« + Р)Ро, 1 * у2.
di* Л а/я0 ~ аж0 1+алг /и0A+<*•*) '
оно отличается от уравнения C) только тем, что вместо
i ЬРл (а + Р) Ро
здесь входит /r-LJXJL a вместо р входит -- г/ .
Рассмотрим восходящее движение аэростата в том
случае, когда к нему прикреплён канат, часть которого, еще
не вытянутая аэростатом, лежит неподвижно на земле.
В этом случае скорость изменяющей массы равна нулю,
и, следовательно, в уравнение движения войдёт член,
соответствующий прибавочной силе:
v/ dm *
х=-чгх>
но m = rw0(l+a.v), следовательно,
Х = — пциР.
Таким образом, уравнение движения по разделении на
массу будет:
d*x _ ¦ р k + m^ -Q п
Это уравнение отличается от уравнения C) только тем,
что вместо постоянной величины к теперь входит
постоянная же величина fc + m0«, следовательно, и в
рассматриваемом случае прир = const, или, общее, прир = р0A — Р*)
высота поднятия выражается как функция от t посредством
квадратуры. Уравнение Ct) выражает движение аэростата
во всё время, пока высота поднятия остаётся менее длины
каната.
При рассмотрении вертикального движения свободного
аэростата сопротивление воздуха обыкновенно принимается
пропорциональным квадрату скорости, причём коэффициент

118
И. В. МЕЩЕРСКИЙ
сопротивления и вес вытесненного объёма воздуха
выражаются некоторыми функциями высоты; если предположим,
что масса аэростата при его подъёме или опускании
выражается также некоторой функцией высоты, изменяясь,
например, вследствие непрерывного расходования балласта,
причём аэростат не испытывает ударов, тогда
дифференциальное уравнение движения в соответствующей задаче
о движении точки будет:
где т, р и k суть некоторые функции от х.
Это уравнение будет линейным уравнением первого
порядка относительно х2, если за независимую переменную
взять х, и следовательно, движение точки выражается
посредством квадратур.
§ 3. Тяжёлая точка массы т = щ{\-\~&г)* при
сопротивлении, пропорциональном квадрату скорости.
Приведём ещё пример прямолинейного движения, в
котором масса точки выражается функцией времени, а
сопротивление среды пропорционально квадрату скорости,
и в то же время оба интеграла выражаются в конечном
пиде.
Такой пример представляет задача о падении тяжелой
точки, масса которой изменяется с течением времени,
при отсутствии ударов, по закону
m = m0(l-\-aff,
где а — величина постоянная, предполагая, что
сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости,
а коэффициент сопротивления сохраняет постоянную
величину k?m0.
Пусть ось Ох направлена но вертикали вниз.
Уравнение движения точки по разделении на массу
представляется в виде

ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ 119
Положим:
1-f <*/=*",
тогда уравнение E) преобразуется в следующее:
Ц-*»(о*—Р),
где
Интегрируя, находим:
Е-О- 20
отсюда получаем выражение для скорости точки:
* = A + «*)[0-- 22—3-1 F)
V ~ '! 2*a l+C(l+a/H V '
где
= *!?
а
Дальнейшее интегрирование нам даёт:
где D—постоянная произвольная, a F обозначает функцию»
которая определяется уравнением
du
/'«-J,
\ + Си*
и, следовательно, выражается известным образом в
конечном виде.
Если рассматривается восходящее движение тяжёлой
точки при условиях предыдущей задачи, тогда уравнение
движения будет:
*х=с I k% !к* G)

120 и. в. мещерский
Преобразуем это уравнение, полагая
получим:
где
Дв »(*-»)¦
Интегрирование приводит нас к различным выражениям
для скорости точки, смотря по тому, какое значение —
отрицательное, нулевое или положительное — имеет количество А.
Если А < 0, то
*_A + «о1 — +G2 ^ 5-1, (8)
где ^^т/ р—?"» Ч8=в "" » ^ — произвольная
постоянная интеграции.
Формула (8) получается из формулы F), заменяя ?*
через —k?\ х выразится затем в конечном виде в функции от t
Если Л = 0, то
•*-&A+a41 + o--in(i+«<)]'
отсюда л: выражается посредством квадратуры.
Если А > 0, то
где
а затем л: выразится также посредством квадратуры.

ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ 121
Задача, решение которой составляет предмет
настоящего параграфа, представляется нам, когда мы
рассматриваем вертикальное движение однородного тяжёлого тела
при сопротивлении среды, пропорциональном квадрату
скорости, если это тело имеет, например, форму прямого
эллиптического цилиндра с вертикальною осью, высота
которого изменяется с течением времени по закону
/=0A+«/)*. (9)
Заметим, что дифференциальное уравнение движения E;
или G) получается и тогда, когда мы рассматриваем
вертикальное движение однородного тяжблого шара, радиус
которого изменяется по формуле (9), если сопротивление
среды пропорционально квадрату скорости и площади
большого сечения шара.
ГЛАВА IV.
МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ КРУГОВОГО МАЯТНИКА.
§ 1. Круговой маятник в среде, сопротивление которой
пропорционально скорости.
Вслед за примерами прямолинейного движения точки
переменной массы приведён пример движения криволинейного,
в котором движение выражается также одним
дифференциальным уравнением и, следовательно, точка движется по
данной кривой.
Мы возьмём задачу о весьма малых колебаниях
кругового маятника переменной массы в среде,
сопротивление которой пропорционально скорости.
Пусть будет т — масса маятника, /—его длина, Ь —
угол, отсчитываемый от вертикальной линии, направленной
вниз, и k—сопротивление, которое маятник испытывает при
скорости, равной единице.
Предполагая, что изменение массы не сопровождается
ударами, мы получим уравнение движения в виде

122
И, В. МЕЩЕРСКИЙ
При изменении массы отношение -—, вообще говоря,
изменяется, и мы предположим, что это отношение выражено
как некоторая функция времени.
Тогда уравнение A) будет линейным дифференциальным
уравнением второго порядка; полагая в нём
где С—постоянная произвольная, мы получим уравнение
первого порядка:
% f_A*-<p2. B)
dt ( т ' т w
Уравнение B) есть уравнение Риккати, если называть
этим именем, как делают некоторые авторы, например,
Дарбу1), вообще уравнение вида
где р, q и г — какие-либо функции от /.
Полагая
преобразуем уравнение B) в уравнение
$-/№-*
где
Если геометрическая разность между скоростями
изменяющей массы и маятника не равна нулю, но выражается
данной функцией времени и направлена по вертикали вверх
или вниз, тогда в предыдущие уравнения вместо g войдёт
некоторая функция времени, если тик будут также
заданы как функции времени.
*) Darboux, Theorie generate des surfaces, т. I, гл. II.

ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ
123
§ 2. Случай, где сопротивление среды, рассчитанное
на единицу массы при единице скорости, равно ^ * ^.
Рассмотрим тот случай, когда
А а
где а и а — постоянные величины: а — положительная,
а — положительная или отрицательная.
В этом случае уравнение A) будет:
a db
di* I4 l+aidf
C)
Введём в уравнение C) вместо t и 9 новые
переменные 1 и и, полагая
V:
^A+а0=т,
получим:
d?u
+1?+ЫЧЭД-°-
D)
E)
Уравнение E) есть известное уравнение Бесселя.
Пусть
следовательно, п — число целое, если отношение — равно
целому нечетному числу, в других случаях п — число
дробное, и л = 0 при а = а.
Общий интеграл уравнения E) может быть представлен
в следующем виде:
п — дробное число:
п — целое число или нуль: f

124
И. В. МЕЩЕРСКИЙ
где А и В— постоянные произвольные» Jn и J~n —
функции Бесселя первого рода, Yn—функция Бесселя второго
рода, именно:
/« _ V (-1)" /т\п+2*
8=0
где через Г обозначена Эйлерова функция — гамма; J'n
получится из функции /*, если в последней заменить п
через —и:
со
tf=l
Имея формулы D) и F), легко уже выразить и угол О
в функции от t.
Скорость точки выражается также через функции
Бесселя:
а из уравнения F) находим следующие выражения для
производной j- :
если п — дробное число, то
т >1 • • • тН&*-п \- "Я1+"й-ч.
п
если л — целое число или нуль, то выражения -т-
отличаются от написанных только тем, что вместо BJ-n~l и
— BJ~n+l соответственно входят: —BYn+l и BYn~l.

ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ 125
При весьма больших значениях переменной х значение
бесселевой функции первого и второго рода может быть
представлено в виде
а\ cos х + fy s*ft *
где «. и bA суть постоянные.
Поэтому из полученных выше выражений для -т- сле-
дует, что при больших значениях х производная -г получает
значения, весьма близкие к нулю, когда ~ ]> 2, а если
п < у, то и при -? < 1.
Так как при а > 0 неравенству — < 1 соответствует,
очевидно, п < -я-1 то мы заключаем, что при а > О
скорость маятника по истечении некоторого времени становится
весьма близкою к нулю; вместе с тем отклонения
маятника от вертикали уменьшаются и угол 0, как это видно
из формул F) и D), стремится к нулю.
Заметим, что
0 = 1-
где т выражена по формуле D), есть частный интеграл
уравнения C), следовательно, и
а-а
0 = J cos(xcose) • sin * zdz
о
оудет также частным интегралом уравнения C), так как
написанный здесь определённый интеграл отличается or
предыдущего выражения 0 только постоянным множителем.
Если положительное чётное число, то этот
определённый интеграл выражается в конечном виде, а тогда второй

126
И. В. МЕЩЕРСКИЙ
частный интеграл уравнения C) выразится в квадратурах,
и следовательно, мы получим в квадратурах выражение
для угла 0 в функции от /.
Случай, только что рассмотренный:
k _ a
т — 1 f at'
представляется, например, тогда, когда масса маятника
возрастает (а > 0) или убывает (а < 0) пропорционально
времени, а сопротивление среды, рассчитанное на единицу
скорости, остаётся постоянным; тот же случай имеем мы и тогда,
когда маятник состоит из тяжёлого однородного шара,
подвешенного посредством нити или стержня, массою которых
мы пренебрегаем, если при этом радиус шара изменяется
пропорционально времени, а сопротивление среды
пропорционально скорости и площади большого круга шара.
ГЛАВА V.
ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ.
Полученными в главе II дифференциальными уравнениями
движения точки переменной массы мы можем воспользоваться
для решения обратных задач, в которых требуется, напри-
мер, найти закон изменения массы точки по некоторым
заданным свойствам её движения при данных силах.
А. СКОРОСТЬ ИЗМЕНЯЮЩЕЙ МАССЫ РАВНА
СКОРОСТИ ТОЧКИ.
Рассмотрим прежде всего тот случай, когда при
изменении массы не происходит ударов.
Пусть точка движется в сопротивляющейся среде при
действии данных сил, равнодействующая которых
пропорциональна массе точки; тогда мы, принимая во внимание
заданные свойства движения, ищем сначала выражение для
величины сопротивления среды, рассчитанного на единицу

ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ 1 27
массы; затем уже, если имеется достаточно данных, можем
определить и закон изменения массы; например, когда
движущееся тело, от которого мы переходим к точке, есть
шар переменного радиуса, а сопротивление среды зависит
только от радиуса шара и скорости его центра и притом
данным образом.
Относительно сопротивления среды будем предполагать,
что оно направлено противоположно скорости точки.
§ 1. Траектория точки в сопротивляющейся среде
при данных силах—данная плоская кривая.
Найдём, как должна выражаться величина
сопротивления среды, рассчитанного на единицу массы, для того
чтобы точка описывала дугу данной плоской кривой при
действии данных сил, равнодействующая которых,
рассчитанная на единицу массы, зависит только от
положения точки.
ilycTb будет
У=/(х) A.)
уравнение данной кривой, К и У — проекции рассчитанной
на единицу массы равнодействующей данных сил,
приложенных к точке, R — сопротивление среды, рассчитанное
на единицу массы и делённое на скорость точки; кроме
того, будем обозначать производные по / от х и у через
¦*» У> *9 У> производные по х от функции /—-через /',/", /'",
наконец, частные производные от X и Y — через Xxt Xw.
У». Уг
Уравнения движения по разделении на массу точки
представляются в виде
y = Y — Ry
Подставим в уравнение
у" = /'*+/">,
= Y — Ry. ) К '

128 И. В. МЕЩЕРСКИЙ
которое следует из уравнения A), вместо х и у их
выражения из уравнения B); получим:
Y— Ry = /'*—f'Rx +f"x*.
Принимая во внимание, что
находим:
следовательно,
i = :?|/"?(K—№ D)
Возьмём производную по t от уравнения C) и вместо х
подставим соответствующее выражение из уравнений B);
решая полученное уравнение относительно /?, найдем R
в функции от координат точки:
-j-fr(»W*>}. E)
Скорость точки выражается по формуле
v = }/rj!r{l+ П(Г-/'Х); F)
поэтому для сопротивления среды получаем следующее
выражение:
/г*=1/г+Л-&, G)
где eft обозначает множитель, следующий за радикалом
в формуле E).
Знак перед радикалом в формулах E) и G) должен
быть тот же, что и в формуле D).
После того как с помощью уравнений D) и A),
произведя одно интегрирование, мы выразим координаты точки

ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ 129
в функциях от t, величина сопротивления Rv по формуле G)
может быть также выражена в функции от /.
Итак, мы нашли, что R выражается по формуле E),
если точка описывает кривую A), при действии силы (Jf, Y).
Обратно, легко убедиться в том, что значения х и у
в функциях от t, вытекающие из уравнений A) и C),
удовлетворяют дифференциальным уравнениям B), если
заменим в них R выражением E).
Но при этом для всех положений движущейся точки
на данной кривой должны быть удовлетворены два
условия; первое:
следует из уравнения C); второе:
4&>0,
х
где х должно быть выражено по формуле D), следует из
того, что, предполагая R выраженным по формуле E), мы
только тогда можем считать—Rx и —Ry проекциями
сопротивления среды, когда будет R > 0.
Если нам будет известно, что величина сопротивления Rv
представляет произведение двух множителей:
Rv = SV,
где 5 изменяется только при изменении массы, а V есть
данная функция плотности среды и скорости точки, то, имея
уже выражения скорости и координат точки, с помощью
формулы G) мы получим и выражение S.
§ 2. Случай тяжёлой точки.
Рассмотрим подробнее тот случай, когда данная сила
есть сила тяжести и данная кривая лежит в
вертикальной плоскости.
Пусть уравнение кривой будет
У=/(х) A,)
9 И. В. Мещерский.

130
И. В. МЕЩЕРСКИЙ
в том предположении, что за ось Оу взята вертикальная
линия, направленная вниз.
Случай, когда /(#) — целая функция первой степени,
исключаем из рассмотрения, потому что тогда траекторией
точки может быть, очевидно, только вертикальная прямая,
как бы ни выражалось сопротивление среды.
Затем из условий задачи очевидно, что в
рассматриваемом движении траектория точки всегда имеет выпуклость
вверх, поэтому и кривая (lt)f по крайней мере в некоторой
части, должна быть обращена выпуклостью также вверх;
при движении точки по этой части кривой скорость может
обратиться в нуль или получить вертикальное направление
только там, где точка оставляет кривую, ибо далее она
описывает тогда вертикальную прямую.
Уравнения движения в настоящем случае будут:
Находим:
следовательно,
лг = — Rx,
y=*g—Ry
B,)
х*=4: C,)
f
х— у fir •
D.)
Так как в рассматриваемом движении х не обращается
в нуль, то знак перед радикалом определяется начальным
значением х0.
Далее получаем:
R~~ ГУ/*9 ( х)
где знак перед радикалом jZ/^tot же> чт0 и в формуле Dj),
v-Yfrd+П F.)
и, наконец,

ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ 131
Функция / во всех точках той части кривой, по
которой движение совершается, должна удовлетворять двум
условиям:
/">° и -#F>°-
Первое условие будет удовлетворено, если начальное
положение точки находится в той части кривой, которая
обращена своей выпуклостью вверх.
Так как перед радикалом Y7" подразумевается знак,
который имеет х, то и второму условию мы можем всегда
удовлетворить, взявши из двух направлений касательной
в начальном положении точки за направление ев начальной
скорости именно то, для которого д:0 имеет тот же знак,
что и /'" при х = х0; при этом величина начальной
скорости в силу уравнения Fj) вполне определяется начальным
положением точки.
При таких начальных данных материальная точка,
двигаясь при действии силы тяжести и сопротивления среды,
выражаемого по формуле Gj), будет описывать данную
кривую (lj) до тех пор, пока случится какое-либо из
следующих трёх обстоятельств: или /" получит отрицательное
значение, или /" обратится в бесконечность, или /'" изменит
свой знак; в каждом из этих случаев точка сойдёт с
кривой (lj), если масса её не будет равна нулю.
§ 3. Тяжёлая точка в сопротивляющейся среде
описывает параболу.
Рассмотрим частный случай предыдущей задачи, когда
данная кривая (lj) есть парабола.
Из уравнения Ej) следует, что парабола с вертикальною
осью может быть траекторией тяжёлой точки только тогда,
когда она движется в пустоте.
Если ось параболы составляет некоторый угол с
вертикальною линией, то в одной из своих точек парабола
имеет вертикальную касательную; эта точка делит параболу
на две части, которые можно назвать верхнею и нижнею,
9*

132
И. В. МЕЩЕРСКИЙ
потому что при пересечении параболы вертикальными
секущими все точки одной части лежат выше соответствующих
точек другой; на основании того, что выше изложено, мы
заключаем, что верхняя часть параболы и может служить
траекторией тяжёлой точки в сопротивляющейся среде.
Но, для того чтобы узнать, в какую сторону будет
двигаться точка по параболе, где она с неб сойдёт и как
будет выражаться сопротивление среды, нужно составить
выражение первой, второй и третьей производной от
функции f(x) для настоящего случая.
Пусть
ъ=ъх* (8)
— уравнение параболы, ось которой составляет некоторый
угол с вертикалью; будем отсчитывать этот угол от
вертикальной линии, направленной вниз, в такую сторону,
чтоб он заключался между 0 и те; обозначим его через «р.
v
Фиг. 1.
Вершину параболы примем за начало координат, ось Оу
возьмём по вертикали вниз, а ось Ох направим таким
образом, чтоб она составляла с осью параболы угол, не
больший прямого (фиг. 1); тогда уравнение (8) преобразуется

ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ 133
в следующее уравнение:
=/(*)• (9)
Точкам верхней части параболы соответствует знак ( —)
перед радикалом; для этих точек мы имеем:
/"==p2(/?2cos9<p + 2/>*sin<p) 2,
_А
/'''== —Зр8 sin? (p2 cos* <р+2рлг sin <р) *;
координаты точки Л, в которой касательная вертикальна,
будут:
1^ cos2 у
*i~ 2P sin? '
Знак производной х, как было замечено в § 2, должен
быть тот же, что и знак /'", поэтому из выражения /'"
в настоящем случае мы заключаем, что х < 0, и
следовательно, начальная скорость должна быть направлена по
касательной к параболе в одной из точек её верхней части,
именно в ту сторону, где лежит точка Л; величина
начальной скорости определяется из уравнения F), полагая в нём
х = х0.
Затем, так как fm сохраняет один и тот же знак и /"
нигде, кроме точки Л, в бесконечность не обращается, то
движущаяся точка может сойти с параболы только в точке Л.
Из уравнения F,) следует, что скорость движущейся
точки в точке Л равна нулю.
Двигаясь по направлению к точке Л, тяжёлая точка
проходит через вершину параболы только в том случае,
когда угол © менее ~» скорость её в этот момент равна

134 и. в. мещерский
Величину сопротивления мы выразим в функции от х
по формуле G), подставляя в неб вместо /', /", /'" только
что полученные выражения этих производных.
Для того чтобы движение точки было определено вполне,
нам остаётся выразить её координаты х и у в функциях
времени L
Уравнение Dj) представляется в виде
интегрируя, находим:
^ {f cos2 <p + 2рх sin ?)* = - VJ(t - tt), (l 0)
где tt — величина постоянная; отсюда
р cos»? j g* о ( t)l
Подставляя это выражение в уравнение (9), получим у
в функции от /.
В точке А
р* cos2 <f 4- 2pArj sin <f = 0,
поэтому из уравнения A0) мы видим, что движущаяся точка
приходит в точку А в момент tu следовательно, в момент
о А
t=-=±— (p2cos29 + 2p*0sin<p)* f
Y^sin?
если положим, что в начальный момент ?=0.
§ 4. Задачи § 2 и § 3 в предположении, что ось Оу
не совпадает с направлением силы тяжести.
В частных случаях задачи § 2 исследование некоторых
обстоятельств движения точки может быть упрощено, если
не ограничивать выбора координатных осей условием, чтобы
ось Оу была вертикальна.

ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ 135
Найдём выражение для сопротивления среды и
скорости точки в нашей задаче, предполагая, что уравнение
кривой
.у=/(*) (У
отнесено к координатным осям, которые составляют с
вертикальною линией, направленной вниз, углы: ось Оу—угол <р,
заключающийся между О и ic, а ось Ох — угол, равный ?+?•.
Уравнения движения точки представляются в виде
y = b—Ry, )
где
a = ?sin<p, b = gzos<f.
Из уравнений A2) и B2) получаем, как указано в § 1,
д _ За , if» _ - ЪаП + (Ь + a/7)/'" /g ч
где знак перед радикалом в формуле E3) должен быть
взят тот же, что в формуле Dа), и, наконец,
v = yjw(b + af')(l+f"). F.)
В случае параболы, полагая, что начало координат
находится в вершине кривой и ось Оу совпадает с её осью,
имеем:
следовательно, так как должно быть х < О,
о^ За
2Ybp + ax '
далее

136
И. В. МЕЩЕРСКИЙ
поэтому величина сопротивления
За
Полученные выражения для сопротивления среды и
скоро i и точки допускают простое геометрическое толкование.
С помощью уравнения параболы формула,
выражающая Rvy может быть представлена в виде
Rv =
За
2YJ
Vp+ty;
обозначим через р радиус-вектор движущейся точки,
проведённый из фокуса параболы (фиг. 2); тогда, по свойству
параболы,
и, следовательно,
¦>+*.
¦«—^л
Таким образом, мы нашли, что сопротивление среды
рассматриваемом движении пропорционально корню
квадратному из расстояния
движущейся точки от фокуса
параболы.
Формула, выражающая величину
скорости точки, если ввести в неё р,
представится в виде
У J*Vp(pcos<f-[~xs\ny).
Фиг. 2.
Пусть М — положение
движущейся точки на параболе, Р—
основание перпендикуляра MP,
опущенного на ось, и N—точка
пересечения нормали ММ с осью; тогда поднормаль РМ=р, а
потому проекция отрезка нормали MN на вертикальную
линию по своей величине равна /?cos<p-}-.vsin«p; обозначим

ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ 137
величину этой проекции через 8; тогда можем написать:
следовательно, в рассматриваемом движении скорость
движущейся точки пропорциональна среднему
геометрическому из расстояния точки от фокуса параболы и
вертикальной проекции отрезка нормали между точкою
и осью.
§ б. Тяжёлая точка в среде постоянной плотности
при сопротивлении, пропорциональном
||-й степени скорости.
До сих пор мы не ограничивали каким-либо условием
зависимости между величиною сопротивления среды и
скоростью точки; предположим теперь, что плотность среды
постоянна и сопротивление пропорционально некоторой
степени скорости, так что в выражении
Rv = SV
множитель
где е и п—данные числа,
С помощью формул E9) и (б2) мы выразим тогда в
функции от х другой множитель S, который изменяется в
зависимости от изменения массы:
/** [-3af"* + (b + af<)f<"]
*— п^Г~ ]Г > (ll>
2еA+/'а) в (b + af)*
где
а = g sin ©, b = gxos 9,
и так как S — величина положительная, то берется
абсолютная величина выражения, стоящего в правой части, со
знаком ( + ).
Полагая в этой формуле а = 0 и b=*gt получим
выражение для случая, когда уравнение данной кривой

138
И. В. МЕЩЕРСКИЙ
написано в предположении, что ось Оу направлена по
вертикали вниз.
В том случае, когда данная кривая—парабола, уравнение
которой
v = — х*
У 2рх >
формула A1) представляется в виде
* = g gSr ?¦ ^
(р* + х*) 2 (Ьр + ах)*
Введём в это уравнение величины р и 8,
геометрическое значение которых выше указано; тогда мы получим:
§ в. Две задачи о параболическом движении центра
тяжёлого однородного шара в воздухе.
Выведенные формулы получают некоторую наглядность,
если мы применим их к решению, например, следующего
вопроса.
1. Как должен изменяться радиус тяжёлого
однородного шара для того, чтобы центр шара при
некотором начальном положении и начальной скорости,
соответственным образом определённых, описал дугу
заданной по форме и положению параболы, предполагая, что
движение происходит в воздухе, сопротивление которого
принимается пропорциональным площади большого круга
шара и п-й степени скорости его центра.
Пусть 6 будет величина сопротивления, которое
испытывает шар радиуса, равного единице, когда центр его имеет
скорость, равную единице; обозначая через г и о радиус и
плотность шара, мы получим такое выражение для
сопротивления среды, рассчитанного на единицу массы:
or '

ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ 139
следовательно,
Так как движение центра шара выражается уравнением
BЭ), то мы можем воспользоваться выведенными уже
формулами.
Формулы A2) и A3) дают нам:
.2-» «-1 - 1
ИЛИ
—_1 п—1
г 2 * - /олХ\ а
о sin ^ г \ Р /
} A4)
Формулы A4) и представляют ответ на вопрос; давая
п различные частные значения, получим соответствующие
законы изменения радиуса; укажем некоторые следствия
формул A4).
В той точке, где центр шара должен оставить параболу,
касательная вертикальна, следовательно, 8 = 0, а тогда из
уравнения A4) видно, что при я>0 в этой точке г = 0;
следовательно, когда сопротивление пропорционально
какой-либо положительной степени скорости, то во веб время,
пока происходит движение шара, центр его остается на
параболе.
При л=1
о у g sin «р
и, следовательно, г непрерывно уменьшается до нуля.
При п > 1, если ось параболы горизонтальна или
составляет тупой угол с вертикальною линией, направленной
вниз, то радиус шара непрерывно уменьшается до нуля;
в случае острого угла радиус также непрерывно уменьшается
до нуля, если
tg*o> ("-1J •

140
И. В. МЕЩЕРСКИЙ
если же
* ^^ лCл — 2)'
то радиус уменьшается, пока центр не перейдет через
вершину параболы, но далее есть часть пути, на которой
радиус возрастает, и затем уже он убывает до нуля.
При сопротивлении, пропорциональном квадрату
скорости, ускорение силы тяжести не входит в выражение г:
oypsiny
2. В предыдущем примере предполагалось, что парабола
нам вполне задана; теперь мы решим следующую задачу:
Тяжёлый однородный шар движется в воздухе\
сопротивление которого принимается пропорциональным
площади большого круга шара и п-й степени скорости его
центра\ заданы для начального положения: радиус шара,
положение и скорость его центра, составляющая
некоторый угол с вертикалью; определить, как должен
изменяться радиус шара для того, чтобы центр его
описал дугу пар болы.
Условимся отсчитывать углы от вертикальной линии,
направленной вниз, в такую сторону, чтоб угол,
соответствующий направлению данной начальной скорости, был более
180°; тогда, как видно из предыдущего, угол <р»
определяющий направление оси параболы, будет менее 180\
Обозначим проекции начальной скорости на
вертикальную линию, направленную вниз, и на составляющую с ней
угол 90° горизонтальную через и и А, так что всегда
Л<0 и k* + u* = v*.
Начальное положение центра шара примем за начало
координат и напишем уравнение параболы в виде
где а, Р, р так же, как и угол ?, определятся из условий
задачи.

ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ 141
Пусть дг0 и у0 будут проекции начальной скорости
центра на оси Ох и Оу, тогда
х0 = h cos ф — и sin % \
у0 = h sin о -f- « cos о. J
Для начального момента имеем уравнения:
A5)
1 •
У0 = — J<*XQ>
откуда
дго = g(p cos 9 — « sin <р)#
,—"W Р = ~2ён' P=W A6)
Так как в настоящем случае
то из уравнений E2) и (б2) или из первого уравнения A4),
заменяя в нём х через х — а, получаем следующую
зависимость между г и х:
4-1
2ЙГр|-*^+<*-«п • х
X[pcos<p + (x — a)sin<pl*. A7)
Отнесём это уравнение к начальному моменту и
подставим вместо а и р их значения по формулам A6); имея
в виду формулы A5), получим:
ro = ;j^(^cos<p —«sin<p);
отсюда
2€hv"-1
**-^<+^г- A8)

142
И. В. МЕЩЕРСКИЙ
Так как <р < и, то уравнение A8) даёт для ср только
одно значение.
Зная <р, с помощью формул A5) и A6) мы найдём а,
Р и р\ таким образом, все элементы параболы будут
определены, причём всегда р > О и р < О, а затем выражение
для г в функции от х мы получим из формулы A7).
Б. СКОРОСТЬ ИЗМЕНЯЮЩЕЙ МАССЫ РАВНА НУЛЮ.
Рассмотрим обратные задачи в том случае, когда при
изменении массы точки происходят удары вследствие
того, что скорость изменяющей массы равна нулю.
§ 7. Связь между случаями А и Б.
Пусть движение точки происходит в среде,
сопротивление которой противоположно скорости точки и по величине
равно Kv; предполагаем, что масса точки может быть
выражена некоторой функцией её координат и времени; тогда
уравнения движения будут:
мщ1тлтХ — (*+§)*' 1 A9)
Для движения точки в пустоте имеют место те же
уравнения A9) при /С=0.
Обозначим:
=(*+тЙ-* B0)
тогда уравнения A9) получат тот же вид, который имеют
и уравнения движения точки в сопротивляющейся среде при
отсутствии ударов, с той лишь разницей, что здесь R
может быть не только положительной, но и отрицательной
величиной.
Поэтому к обратным задачам в том случае, когда
скорость изменяющей массы равна нулю, применимо то же
исследование, что и тогда, когда при движении в среде
скорость изменяющей массы равна скорости движущейся

ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ 143
точки; только в настоящем случае отпадают условия,
которые вытекают из того обстоятельства, что сопротивление
среды и скорость точки направлены противоположно друг
ДРУГУ-
После того как найдём выражение /?, уравнение B0)
послужит нам для определения т, если будет известна
зависимость между К и т.
Если заданы X и К, проекции силы, приложенной к
точке и рассчитанной на единицу массы, и, кроме того,
уравнение траектории, тогда координаты точки, как мы
видели в § 1, выражаются некоторыми функциями времени
независимо от величины /?; выразивши затем в
уравнении B0) /?, как функцию от I, и /С, как функцию от t и /и,
мы получим дифференциальное уравнение первого порядка;
интегрируя его, определим массу точки как функцию времени.
§ 8. Тяжёлая точка описывает данную
плоскую кривую, в частности, параболу.
Для примера возьмём задачу, в которой, предполагая,
что скорость изменяющей массы равна нулю, требуется
определить закон изменения массы тяжёлой точки из
того условия, что эта точка описывает дугу данной
кривой, лежащей в вертикальной плоскости.
Необходимо и здесь, чтоб, по крайней мере, часть
кривой была обращена своей выпуклостью вверх, так как
равнодействующая сил, приложенных к точке: силы тяжести,
сопротивления среды и прибавочной силы, направлена в ту
же сторону от касательной к траектории, в которую
направлена вертикаль, проведённая вниз.
Пусть
—уравнение данной кривой и <р — угол, образуемый
координатной) осью Оу с вертикальною линией, направленной вниз.
1. Рассмотрим сначала тот случай, когда точка
движется в пустоте:
D dlnm

144 И. В. МЕЩЕРСКИЙ
Формулы Dд) и E2) позволяют нам написать
выражение R в виде
f?_-3af* + {b + af)r' -
где a = gsin® и b = gcosy.
Предполагая, что мы ищем выражение для т в функции
от одной переменной л:, имеем:
d\nm d\nm •
dt ~ dx x
и, следовательно,
rflnm _ 3 f* t f»
dx ~ 2flHfl/'T2f
Интегрируя, находим:
— С/И^Р' B1)
где постоянная С определяется начальным значением т.
Пусть данная кривая — парабола параметра рт
Если ось параболы направлена по вертикали вниз, то
из уравнения B1) следует, что масса точки должна быть
постоянной.
Если ось параболы составляет угол <р с вертикальною
линией, направленной вниз, то
gYg (pcosf + ^sin*)*
или
где Ь имеет то же геометрическое значение, что и в § 4.
2. Переходим к движению тяжёлой точки в
сопротивляющейся среде.
Для того чтобы иметь определённую зависимость между
сопротивлением среды и массою точки, мы возьмём тот
случай, когда тяжёлый однородный шар переменного ра-

ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ 145
диуса движется в среде, сопротивление которой
пропорционально площади большого круга шара и п-й степени
скорости его центра; наша задача: определить, как
должен изменяться радиус шара для того, чтобы центр
его при некоторых начальных данных описал дугу
кривой, заданной по форме и положению*, у =/ (х),
предполагая, что скорость центра инерции изменяющих
частиц равна нулю.
В настоящем случае при тех же значениях букв е, а
и г, что и в § б,
следовательно,
Мы уже имели
*"~ 2/" (* + «/')
приравниваем эти выражения R друг другу; принимая во
внимание формулу Dа),
мы получим, таким образом, обыкновенное линейное
дифференциальное уравнение первого порядка, которое и
послужит для определения г в функции от х:
dr . Г ар Г»Л^
dx^rr[2(b^-af) 6/"J —
=tf(l+//8)^(-^) 2 =0; B2)
последний член должен быть взят здесь с тем знаком,
который имеет начальное значение х. Постоянная
произвольная, которая войдёт при интегрировании, определяется
начальным значением г.
Ю И. В. Мещерский.

146
И. В. МЕЩЕРСКИЙ
Пусть данная кривая — парабола параметра р с
вертикальною осью, направленною вниз.
Полагая, что ось Оу направлена по оси параболы, имеем:
а = 0, b = g, f(x) = ±x*,
поэтому уравнение B2) даёт:
П-2
»- + Х±.& + *р
и следовательно, г при всех целых значениях я, а также
при п = 0 выражается в конечном виде в функции от х.
Так как знак производной -т- противоположен знаку л:,
то во время движения радиус шара непрерывно убывает.
Заметим, что в настоящем случае /? = 0 и,
следовательно, прибавочная сила равна и противоположна
сопротивлению среды.
3. Укажем ещё решение задачи 2-й § 6 в
предположении, что скорость центра инерции изменяющих частиц
равна нулю.
Формулы A6) имеют место и здесь.
Направление оси параболы, т. е. угол ©, определяется
двумя способами с помощью уравнения B2), полагая
/(*) = ^ (*-«)*.
1-й способ. Если заданы для начального момента
длина радиуса г0 и значение его первой производной,
например, по времени (-зг) , тогда мы выразим (~-Л
через ©> ибо
и угол © определим затем из уравнения B2), отнеся его
к начальному моменту.
Интегрирование уравнения B2) служит только для
определения г.

ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ 147
2-й способ. Если задана длина радиуса в начальный
момент и, кроме того, в некоторый момент t = tlf то мы
найдём сначала с помощью уравнения
dt — — V /»
и начальных данных значение х = хи соответствующее
моменту /jj хх выразится известным образом через t{ и <р;
проинтегрировавши затем уравнение B2), заменим в
интегральном зфавнении г и х один раз через г0 и х0, другой
раз через rt и хг\ тогда получим два уравнения, которые
и могут служить для определения угла <? и постоянной
произвольной, вошедшей при интегрировании.
В. СКОРОСТЬ ИЗМЕНЯЮЩЕЙ МАССЫ НАПРАВЛЕНА
ПО ОДНОЙ ПРЯМОЙ СО СКОРОСТЬЮ ТОЧКИ.
§ 9. Связь между случаями Б и В.
Укажем ещё на обратные задачи в том случае, когда
скорости изменяющей массы и точки направлены по
одной прямой.
Пусть k будет отношение скорости изменяющей массы
к скорости точки, взятое со знаком -\- или —, смотря по
тому, направлены ли эти скорости в одну сторону или в
стороны противоположные.
Обозначим через Kv величину сопротивления среды,
которое точка испытывает при своём движении; тогда
предполагая, что масса точки может быть выражена некоторою
функцией координат точки и времени, мы получим
уравнения движения в виде
тх = тХ— K?Jr4lL(k — l)x,
Полагая
мы приведём уравнение B3) к тому же виду, к которому
приводятся уравнения A9) в случае Б.
10*
B3)

148
И. В. МЕЩЕРСКИЙ
Следовательно, и здесь мы можем применить к
обратным задачам то же исследование, что и в случае А,
принимая при этом, однако, зо внимание, что R может иметь
теперь не только положительные, но и отрицательные
значения.
После того как по данным условиям мы найдём
выражение для /?, уравнение B4) послужит для определения /и,
если, кроме зависимости между Кит, нам будет
известно отношение k9 которое может быть величиною
переменной или постоянной.
ГЛАВА VI.
ДВИЖЕНИЕ ТЯЖЁЛОЙ ТОЧКИ.
§ 1. Уравнения движения. Случай, когда геометрическая
разность скоростей изменяющей массы и точки
постоянна по величине и направлению.
1. Уравнения движения тяжёлой точки переменной массы,
которая выражается функцией времени, положения точки и
длины пройденного ею пути, в общем случае, если мы
направим ось Oz по вертикали вверх, представляются в
следующем виде:
d-x 1 dm , • п х
-лг= «•-*?-(« —-*0 —* тр
а<у _ i am (Ч • Q у
«о
где а, р, у обозначают проекции скорости изменяющей
массы, R — сопротивление среды, рассчитанное на единицу
массы точки, и
m = /(/, х, у, гу s).
Простейший случай, в котором уравнения A)
интегрируются в квадратурах, мы имеем тогда, когда масса точки

ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ 149
и величины а, р, «у выражаются данными функциями
времени, а сопротивление среды или равно нулю, или
пропорционально скорости точки, причём коэффициент пропорцио
нальности — также данная функция времени.
2. В некоторых случаях, когда тяжёлое твёрдое тело
переменной массы движется поступательно, мы можем
считать известною относительную скорость, но отношению к
телу, центра инерции изменяющих частиц; в этих случаях
в соответствующих задачах о движении тяжёлой точки
переменной массы нам будет известна по величине и
направлению геометрическая разность w между скоростями
изменяющей массы и точки.
Рассмотрим случай, когда масса тяжёлой точки
выражается какою-либо функцией времени, положения
точки и длины пройденного пути, а геометрическая
разность w остаётся постоянною по величине и
направлению.
Начальное положение точки примем за начало
координат, вертикальную плоскость, в которой заключается
геометрическая разность w в начальный момент, возьмём за
плоскость xz\ тогда
а — х = а, р — у = 0, т —i = c,
где а и с — постоянные величины; обозначим затем In m
через \ь и положим, что в начальный момент при /=0 масса
точки равна единице.
Пусть движение точки происходит в пустоте; тогда
уравнения движения в рассматриваемом случае будут:
d*x d».
dfl
d2z , d[L_
B)
где ji = ln/(f, х, у, z, s).

150
И. В. МЕЩЕРСКИЙ
Легко написать пять интегралов уравнения B), которые
имеют место при всяком виде функции /:
x = a\i + x0, |
* = Cp — gt-rZ09 J
сх — аг=*^ а?? + (с*о ~ я*о) *>
где л*0, у0, г0 — проекции начальной скорости точки 1).
Таким образом, если масса точки не зависит от длины 5
пройденного пути, то нам остаётся найти только интеграл
уравнения первого порядка, например, уравнения
где I* будет выражено в функции от t и х с помощью
уравнения D), и, следовательно, задача решается в
квадратурах, когда m=f(t,y) или m=f(x) и т. д.; если же
масса точки зависит и от длины пути s, то нужно
интегрировать ещё два уравнения, например, уравнения:
.v = e|i + ia, -jr^yjfi+jP + i*,
где с помощью уравнений C) и D) |х и у х2-\~у*-{-22
будут выражены как функции от t, x, s.
На основании уравнений D) мы приходим к следующему
заключению относительно траектории точки: когда а = 0
или у0 = 0, точка описывает кривую, лежащую в
вертикальной плоскости; в других же случаях траектория точки
есть кривая, расположенная на параболическом цилиндре,
производящие которого параллельны геометрической раз-
2) Первая из формул C) содержит в себе как частный
случай формулу Циолковского. {Прим. ред.)

ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ 151
ности w между скоростями изменяющей массы и точки;
уравнение этого цилиндра будет
j*gp + (cx0 — al*0)w—yl(cx — az) = 0. (а)
При с = 0 уравнение E) может быть написано в виде
и, следовательно, производящие цилиндра параллельны оси
Ох, а оси парабол, получаемых при пересечении
цилиндра вертикальными плоскостями, направлены по
вертикали вниз.
Когда ни а, ни у0 не равны нулю, траектория точки
будет плоскою кривою, именно параболой, только в том
случае, если масса точки выражается показательной
функцией:
т •-=¦ ext,
где х— величина постоянная.
Заметим, что в случае, только что указанном, когда
m = exi и геометрическая разностью сохраняет постоянные
величину и направление, равнодействующая силы тяжести
и силы прибавочной, будучи рассчитана на единицу массы,
остается постоянною по величине и направлению, а потому
в этом случае задача о движении тяжёлой точки
решается в квадратурах и тогда, когда движение рассматривается
в среде, сопротивление которой, рассчитанное на единицу
массы, выражается двучленом:
*i+ *»«"»
где kx и k% — величины постоянные.
Далее мы будем рассматривать движение тяжёлой точки
переменной массы в среде, сопротивление которой
пропорционально квадрату скорости; при этом сопротивление,
рассчитанное на единицу скорости, как уже было выше
указано, мы должны считать, вообще говоря, переменным, хотя
бы среда и имела одинаковую плотность,

162
И. В. МЕЩЕРСКИЙ
§ 2. Сопротивление среды, рассчитанное на единицу
массы при единице скорости, — функция длины пути.
Скорость изменяющей массы равна скорости точки.
Прежде всего мы займёмся решением следующей
задачи:
Определить движение тяжёлой тонки в среде,
оказывающей сопротивление, пропорциональное квадрату
скорости, предполагая, что масса точки (т) и
сопротивление, рассчитанное на единицу скорости, (k) суть
некоторые данные функции длины пройденного пути и притом
скорость изменяющей массы равна скорости точки.
Обозначим чрез <? угол, образуемый касательного к
траектории точки с горизонтальною линией, которую направим
так, чтобы в начальный момент
будем считать положительным угол о, отсчитываемый вниз
от этой горизонтальной линии; тогда, имея в виду
направление действующих на точку сил, заключаем, что при
движении точки угол о непрерывно возрастает, но не может
быть более -к.
Дифференциальные уравнения движения точки в
проекциях на касательную и на главную нормаль к траектории
по разделении на массу представляются в виде
-ff-WP--*, F)
— = ?cos<p, G)
где
n — ds
Мы видим, что в уравнении движения тик входят
только в виде отношения —, поэтому решение нашей
задачи будет в то же время и решением задачи более об-

ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ 153
щей, где тик изменяются как угодно, лишь бы отноше-
k
ние — зависело только от длины пройденного пути.
т
Пусть
функция f(s), очевидно, ни при одном из положений
движущейся точки не может получить отрицательного
значения.
Заменяя в уравнении F) V2 его выражением из
уравнения G), получим:
do - ds ie> ч
Уравнение G) напишем в виде
1 cos <fdt=ld9. Gt)
Перемножая соответствующие части уравнений F,) и
Gj), найдём:
cos <р — = sin о dy —/cos 9 dsf
или
cos у dу — у sin у <fo - -
t/cosy ' '
Интегрируя, получим:
vcos<? = Ce-ffds9 (8)
где С—постоянная произвольная.
Из уравнений G) и (8) следует:
9co&<? = ±(?e-*ifd: (9)
Отсюда
tU-fr^lc*
g cos8 ?'

154
И. В. МЕЩЕРСКИЙ
Интегрируем:
/.¦1/-*-^е.[А1-1.*(|-*)]+а (.о,
где D — постоянная произвольная.
Принимая во внимание, что
ds dy
из уравнения G) находим:
dt—l/~-?—do. A1)
Предполагая, что из уравнений (9) и A0) р выражено
н функции от ср» мы выразим с помощью уравнения A1) t
в функции от <р посредством квадратуры.
Два последних интегрирования произведём над
уравнениями
dx — vcosodt, \
dy — v sin ydt, J v
предполагая, например, что произведение vdt выражено
через 9 с помощью уравнения
vdt=pdv,
в котором р заменено найденной уже функцией от <?.
Таким образом, при интегрировании у нас войдёт пять
постоянных произвольных; для определения их нам
послужит, кроме положения и скорости точки в начальный
момент, начальное значение дуги s траектории.
Заметим, что способ, который мы применили к решению
нашей задачи, в тех случаях, когда сопротивление среды
не пропорционально квадрату скорости, уже не может
служить для того, чтобы привести решение задачи о
движении тяжёлой точки к квадратурам; но при сопротивлении,
пропорциональном квадрату скорости, этот способ, как легко
видеть, приводит решение задачи о движении точки к
квадратурам и тогда, когда к точке, кроме силы тяжести,
приложена ещё сила, направленная по вертикали вверх или
вниз, величина которой остаётся постоянною или выражается
какою-либо функцией длины пути, пройденного точкой.

ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ 155
§ 3* Частный случай: сопротивление среды, рассчитанное
на единицу массы при единице скорости, равно , j .
Для примера возьмём случай, в котором
1
f(S) =
a +bsJ
где а и b суть постоянные.
Функция a-\-bs для положений движущейся точки не
может иметь отрицательных значений; начальное значение ?
положим равным нулю; тогда
я>0, Ь^О;
если Ь < 0, то движение точки рассматривается на пути от
s = 0 до $ = |г-; при s = г- движение точки
прекращается вследствие того, что или масса точки обращается
в нуль, или сопротивление среды, рассчитанное на единицу
скорости, становится бесконечно большим.
Случай/E) = —т-т- представляется, например, тогда,
когда мы рассматриваем движение в воздухе брошенного
наклонно к горизонту тяжёлого однородного шара, который
горит равномерно по всей поверхности таким образом, что
уменьшение радиуса пропорционально пройденному пути,
предполагая при этом, что сопротивление воздуха
пропорционально квадрату скорости и площади большого круга шара.
В настоящем случае
J fds = -j In {a + bs) + const.,
и мы получаем из общих формул
и cos© = C(a + bs) ь, (8,)
pcosP?=-C»(a-f-fts)""r; (9,)

156 И. В. МЕЩЕРСКИЙ
затем, предполагая, что Ь не равно — 2, находим:
2+5
(a + te) » =B4-*)Ф, (ИМ
где Ф обозначает функцию от <р> стоящую и правой части
уравнения A0):
•-^Ns-* *(¦?-*¦)]+*
Уравнение A1) с помощью уравнений (9Х) и (lOj) даёт:
1
Лв±7с^1B+*)Ф1 2+*d?; {Ul)
из двух знаков ± выбираем здесь тот, при котором :тг>0-
Уравнения A2) с помощью уравнений (8Х) и A0J дают:
2
A2,)
где должен быть взят в правых частях тот же знак, что
и в уравнении (llj).
При ? = — 2 получим формулы для dty dx и dy9 заме-
i_
няя в формулах (llj) и A2j) выражение [B-\-Ь)Ф] 2+ь
через е~ф.
Из полученных формул можно вывести некоторые
заключения относительно движения точки.
Случай: ?>0. Точка удаляется в бесконечность; при
этом угол, образуемый ей скоростью с вертикалью,
направленною вниз, приближается к нулю, а величина скорости
беспредельно возрастает; вместе с тем время также возра-

ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ 157
стает беспредельно; траектория точки имеет вертикальную
асимптоту на конечном расстоянии только при ?>2.
В самом деле, из формулы (lOj) мы видим, что с
возрастанием s функция Ф возрастает беспредельно и,
следовательно, угол © приближается к -$.
Далее из формул (8j) и A0^) находим:
i_
л О
при ? = у эт0 выражение даёт ~; напишем его в виде
и возьмём производные от числителя и знаменателя
выражения, стоящего в скобках, принимая во внимание, что
dy g cos3? '
получим:
следовательно, с приближением ? к -~ скорость v
беспредельно возрастает.
Время движения tx определяется из уравнения
1С
±_Т 1
;1==icB-H) а+>/ф~,+ьсо8-»?<*?; A5)
раскрывая неопределённость, которую представляет подин-
тегральная функция при © = ^-» находим:
1
/ Sitl у \2+6 /1Лч
Vcos2+a&<j>y > v1D;

158
И. В. МЕЩЕРСКИЙ
кроме множителя, имеющего известное конечное значение:
отсюда видно, что подинтегральная функция при ? = -н-
получает бесконечно большое значение и притом порядка
выше первого, следовательно, с приближением <р к -^ время /
беспредельно возрастает.
Наконец, для определения значения х = хх при ? = -^,
полагая, что в начальном положении х = 0, имеем формулу
к
2_ г 2_
хг = ±СB + Ь) 2+b/* *+*coe-«?d?;
раскрывая здесь неопределённость под знаком интеграла при
? = -, получаем:
2
/ sin у \g+».
\cos& «р / '
следовательно, подинтегральная функция при ? = -о* обРа"
тается в бесконечность порядка, который выражается числом
2ЦГь> ПРИ ^ < ^ порядок бесконечности будет менее
единицы, и, следовательно, в этом случае с приближением о к
-я- расстояние движущейся точки от оси Оу приближается
к некоторому пределу.
Мы вывели, таким образом, все указанные выше
свойства движения точки при b > 0.
Случай ?<0. С приближением точки к крайнему её
положению: s = — -г- угол, образуемый скоростью с
вертикалью, направленною вниз, уменьшается до нуля при
b > — 2 и только до некоторого предела, большего нуля,
при b < —2; при этом величина скорости в обоих случаях
приближается к нулю и время движения остаётся конечным.
В самом деле, из формулы A0j) следует, что с
приближением значения а + bs к нулю при 0 > b > — 2 функция Ф

ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ 159
беспредельно возрастает и, следовательно, угол <р
приближается к -j, тогда как при Ь<—2 функция Ф
приближается к нулю и, следовательно, угол <р — к значению <pIf
которое представляет корень уравнения Ф = 0, удовлетво-
я
ряющий условию 9о < ?г < "о"
Выражение A3) скорости точки в функции от ©
показывает, что при ?< — 2, когда ? = ?1э имеем г> = 0; если же
0 > Ь > — 2, тогда это выражение при © = -*-
представляется в виде -Q-; но из формулы A4), которая получается
при раскрытии неопределённости, мы видим, что с
приближением ф к -j скорость v также приближается к нулю.
Для определения времени движения в случае 0> Ь > — 2
послужит формула A5); при <р = -н* подинтегральная
функция даёт -g-, но формула A6), которую находим, раскрывая
неопределённость, показывает, что при — 1 > ?> — 2
подинтегральная функция остаётся конечною в пределах
интегрирования: если же 0 > b > — 1, тогда формула A6)
при ? = -?r обращается в бесконечность порядка ниже
первого, и, следовательно, интеграл получает также конечное
значение; в случае *<—2 в формуле A5) верхним
пределом интеграла вместо -к будет ©i> и> следовательно,
подинтегральная функция остаётся конечною в пределах
интегрирования; заключаем, что при b < 0 время
движения /, конечно.
§ 4. Скорость изменяющей массы равна нулю.
Рассмотрим теперь задачу § 2, изменивши в ней только
одно условие, именно: предположим, что скорость
изменяющей массы равна нулю.
Уравнения движения в декартовых координатах, если
ось Оу направим по вертикали вниз, по разделении на массу

160
И. В. МЕЩЕРСКИЙ
точки будут:
x = --vx—--щх,
но
следовательно,
У
= g-Uy-
dm dm
dt ~ ds
обозначая
k , 1 dm
m*m ds
-Ldm
m dt
v,
F(s)f
получим уравнение движения в виде
х F(s)v^ j
y=g—F(s)vy. J
Уравнения A7) имеют тот же вид, что и
дифференциальные уравнения задачи § 2 в декартовых координатах;
разница заключается в том, что функция F(s) может получать
не только положительные, но и отрицательные значения
для положений движущейся точки именно тогда, когда масса
точки уменьшается и притом -з-<—k\ но легко видеть,
что все формулы, которые мы вывели в § 2 при
интегрировании уравнений F) и G), имеют место и в том случае,
когда f{s) < 0; следовательно, эти же формулы дают нам
решение и настоящей задачи, если заменить в них
/(^через F(s).
Возьмём частный случай, когда
'«-ire»
где а и b — постоянные величины.
Пусть, например, движется в воздухе тяжёлый
однородный шар, брошенный наклонно к горизонту; при этом
масса шара изменяется вследствие того, что на всей его

ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ 161
поверхности происходит присоединение или удаление частиц
таким образом, что изменение радиуса пропорционально
длине пройденного пути, а скорость центра инерции
изменяющих частиц равна нулю; сопротивление воздуха пред*
полагается пропорциональным квадрату скорости и площади
большого круга шара.
Обозначим через г0 радиус шара в начальный момент,
положим $0*=а0, тогда радиус шара r = r0-f-es, где
постоянная величина в 3^0.
Пусть сопротивление, рассчитанное на единицу площади
большого круга при скорости, равной единице, будет Л1э
плотность шара а; тогда
jfe ¦ J_fuw и-
т*т ds Го + «5 '
где
Может быть, |л = 0, именно в том случае, если радиус
шара убывает и притом так, что е=— ^; уравнения A7)
показывают, что тогда центр шара движется так же, как
движется в пустоте тяжёлая точка постоянной массы.
При (&^0 мы получаем случай, когда
'«"ST*'
где а=~ и *=-.
Если радиус шара возрастает или если он убывает, но
так, что е>—^, будет а>0, и следовательно, мы
имеем случай, который уже рассмотрен в предыдущем
параграфе*
Нам остаётся рассмотреть тот случай, когда радиус
шара убывает, но так, что е < —^ > и следовательно,
а < 0; при этом будет Ь > 0.
Все формулы от (8^ до A2,) имеют место и при а < 0;
разница заключается только в том, что в некоторые из
них будут теперь входить мнимые величины.
И И. В. Мещерский.

162
И. В. МЕЩЕРСКИЙ
Мы получим формулы, содержащие только
вещественные величины, если в формулах (8,)— A2t) заменим а-|-bs
через—{a-\-bs) и, кроме того, в формулах A0,), (И,)
и A2,) множитель 2-f-6 через —B + 0).
Движение рассматривается на пути от 5 = 0 до
$ = — у «— у, следовательно, до того положения,
в котором радиус шара обращается в нуль,
В этом положении <р = cpi> причём <рА есть корень
уравнения Ф = 0, удовлетворяющий условию: о0< <р, < у;
скорость точки при ? = ?i бесконечно велика.
Заметим, что формулы, представляющие решение задачи
настоящего параграфа, при ft = 0 дают решение задачи
о движении в пустоте тяжёлой точки, масса которой есть
функция длины пройденного пути в предположении, что
скорость изменяющей массы равна нулю; в случае шара,
радиус которого r = r0-|-8S, мы имеем здесь а > 0, когда
радиус возрастает, и а < 0, когда радиус убывает.
§ 5. Скорости изменяющей массы и точки направлены
по одной прямой.
Уравнения A7) получаются и ft том случае, когда в
задаче § 2 будет дано, что скорость изменяющей массы и
скорость точки направлены по одной прямой и притом
отношение скоростей есть некоторая функция длины
пройденного точкою пути.
Пусть А будет отношение скорости изменяющей массы
к скорости точки, взятое со знаком -J- или —, смотря по
тому, направлены ли скорости в одну сторону или в
стороны противоположные; к есть данная функция от .9,
в частности, величина постоянная.
Уравнения движения точки могут быть представ лены в виде
тх = — [ft — (A — l)^]w,
ту = mg— [ft -(А — 1) 5] W

ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ 163
полагая в них
т т ds Г{-и
получим уравнение A7), и следовательно, формулы,
выведенные в § 2, дают решение задачи в указанном здесь
более общем случае.
Те случаи, в которых или нет прибавочной силы, или
скорость изменяющей массы равна нулю, можно
рассматривать как частные по отношению к случаю, когда проекции
прибавочной силы выражаются по формулам
dm /\ 1\ * dm /ч -ч • dm /ч ,ч •
dT(X-l).1T, _(A_l)j,f _(X—1)*,
где к — величина, вообще говоря, переменная, конечная и
непрерывная во всё время движения; они получаются отсюда,
полагая к = 1 и Л = 0.
В этом случае могут быть указаны некоторые свойства
движения тяжёлой точки и тогда, когда мы возьмём задачу
в самом общем виде, не делая никаких предположений
относительно вида функций, выражающих массу точки и
сопротивление среды, кроме того, что масса точки остаётся
положительной величиной, а сопротивление среды направлено
противоположно скорости.
В самом деле, направление сил, приложенных к точке,
указывает на то, что траектория точки заключается в
вертикальной плоскости и обращена своей выпуклостью вверх;
затем, если
$(Х-1)<0,
то для рассматриваемого движения, как видно из
уравнения A), имеют место те известные свойства, которыми
обладает движение тяжёлой точки постоянной массы
независимо от того, как выражается сопротивление среды,
а именно: до тех пор, пока точка не достигнет наивысшего
положения, уменьшается и скорость точки и радиус
кривизны траектории; далее, если точка перейдёт через
наивысшее положение, продолжается уменьшение скорости до
11*

164
И. В. МЕЩЕРСКИЙ
некоторого положения, и радиус кривизны также
уменьшается некоторое время; затем, если мы возьмём два
положения точки, лежащие на одном уровне: одно на восходящей
части траектории, другое на нисходящей, то оказывается,
что для второго положения нижеследующие величины будут
меньше, чем для первого: скорость точки, горизонтальная
проекция скорости, острый угол, образуемый направлением
скорости с вертикальною линией, и длина дуги траектории,
отсчитываемая от наивысшего положения.
ГЛАВА VII.
ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ ПРИ ДЕЙСТВИИ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ.
§ 1. Уравнения движения и следствия их.
Обозначим через F величину центральной силы, взятую
со знаком -[- или — f смотря по тому, будет ли сила от-
талкивательной или притягательной; через R — величину
сопротивления среды; через а, р, *у — проекции на
координатные оси скорости изменяющей массы; тогда, принимая
центр силы за начало координат, мы получим уравнения
движения точки переменной массы в виде
d*x -x.dm, v Dx
где г — радиус-вектор точки.
Укажем некоторые следствия этих уравнений прежде
всего для того случая, когда при изменении глоссы ударов
не происходит:
« = ¦*, P^JS Т = *-
1. Изменение массы не влияет на движение, если сила
пропорциональна массе точки и сопротивление среды не
принимается во внимание.

ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ 165
2. Задача о движении точки в пустоте решается в
квадратурах, если масса точки и величина силы выражаются
какими-либо функциями расстояния точки от центра силы.
3. Задача о движении точки переменной массы в
сопротивляющейся среде приводится к задаче о движении точки
постоянной массы в среде, плотность которой изменяется
по известному закону.
В частном случае, когда сила пропорциональна
расстоянию и сопротивление среды пропорционально скорости
точки, уравнения движения точки будут уравнениями Рик-
кати, если, например, масса и поверхность тела, от
которого мы переходим к точке, изменяются в зависимости
только от времени.
Из тех случаев, в которых при изменении массы
происходят удары, мы рассмотрим нижеследующие четыре
случая, предполагая при этом, что сопротивление среды не
принимается во внимание и, следовательно, в уравнениях
движения /? = 0.
1-й случай. Скорость изменяющей массы равна нулю:
Уравнения движения допускают три интеграла площадей,
следовательно, точка движется в плоскости, заключающей
центр силы, и секториальная скорость точки в этой
плоскости обратно пропорциональна её массе:
Г dt т>
где с—величина постоянная.
Если масса точки и величина силы зависят только от
расстояния между точкою и центром силы, существует еще
интеграл
~ (mvf = I т Fdr + const.,
и следовательно, задача решается в квадратурах.
Заметим, что в этом случае, вводя вместо /
переменную т посредством уравнения

166
И. В. МЕЩЕРСКИЙ
как указано в § 9 гл. II, мы получим уравнения движения
в виде
d?x -. х
и, таким образом, приведём нашу задачу к задаче о
движении точки постоянной массы при действии центральной
силы, величина которой выражается функцией расстояния.
2-й случай. Скорость изменяющей массы направлена
по одной прямой со скоростью точки:
4-=»4- = -7- = х.
А* у Z
Уравнения движения допускают два интеграла:
yz — zy = С, (ху — ух),
zx — хг = С2 (ху —ух),
и, следовательно, движение точки происходит в плоскости,
заключающей центр силы.
Если отношение \ — величина постоянная или функция
от т, то для движения точки в этой плоскости имеем
интеграл
dt m
Если при этом масса точки и величина силы выражаются
некоторыми функциями расстояния, то задача решается
в квадратурах.
В самом деле, полагая
1 Г • *5
т
мы получаем уравнения движения в виде
d*x m*-3 $x~?fx
интегралы которых выражаются в квадратурах,

ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ 167
Пусть, например, рассматривается движение кометы при
приближении её к перигелию, допуская, что масса кометы
уменьшается и может быть выражена некоторой функцией
расстояния кометы от Солнца; тогда уравнения движения
интегрируются в квадратурах, если предположить, что
скорость центра инерции отделяющихся частиц или равна нулю
или направлена по одной прямой со скоростью кометы, причём
отношение этих скоростей есть или величина постоянная или
некоторая функция расстояния между кометою и Солнцем.
3-й случай. Скорость изменяющей массы направлена
по прямой, соединяющей точку с центром силы:
— = А = -1-
х у z '
УггBi егия дгих.е!!*:я дспуа ают три интеграла площадей
следовательно, точка движется в плоскости, заключающей
центр силы, и секториальная скорость точки в этой
плоскости обратно пропорциональна её массе.
4-й случай. Масса точки а проекции
геометрической разности w между скоростями изменяющей массы
и точки выражаются данными функциями времени:
?$(.-»-/,(* ±$ф_й-Ай.
Предполагая, что центральная сила пропорциональна
массе точки и некоторой функции расстояния
F=mv{r),
мы получаем следующие уравнения движения течки:
Пусть F,(/)f Fi(t), Fs(t) будут функции, вторые
производные которых соответственно равны fx(t)t f.2{t), /3(/);
тогда, полагая в полученных уравнениях
*=Н-ЛЮ» у=ч+р*((), *=с+ед,

168
И. В. МЕЩЕРСКИЙ
мы придём к задаче о движении в пустоте точки
постоянной массы при действии центральной силы, центр которой
движется данным образом.
Если геометрическая разность w сохраняет постоянное
направление, то, взявши ось Ох параллельно w, имеем:
AW-iS*. ЛЮ-о, ЛЮ-О;
пусть при этом центральная сила действует по закону
Ньютона; тогда, если масса точки и геометрическая
разность w удовлетворяют условию:
1 dm ^
где а — величина постоянная, задача о движении точки
решается в квадратурах.
В самом деле, уравнения движения в этом случае имеют
тот же вид, как в задаче о движении тяжёлой точки
постоянной массы, притягиваемой центром по закону Ньютона;
последняя же задача уже решена, она была предметом
исследований Селлерье и Сен-Жермен.
В посмертном мемуаре Селлерье1), кроме интеграла
площадей в горизонтальной плоскости и интеграла живой
силы, получается третий интеграл тем же способом, каким
пользовался Эйлер при решении задачи о движении точки,
притягиваемой к двум неподвижным центрам по закону
Ньютона; в статье Сен-Жермен2) применяется метод
Гамильтона — Якоби, и решение задачи приводится к
квадратурам»
Таким образом, задача о движении в пустоте точки,
притягиваемой неподвижным центром по закону Ньютона,
решается в квадратурах, если, например, масса точки
выражается показательною функцией: /и = /ю0?«*, а
геометрическая разность достаётся постоянною по величине и напра-
*) Ch. С с 11 € г i е г, Note eur tine question de raecanlque.
Bulletin des Sciences mathematiques, т. XV, стр. 146—162, 1891,
2) A. de Saint-Germain, Mouveracnt d*un point peaant
attine par un point fixe suivant la lol de Newton. Nouvelles anqa-
les de Mathematlques, сер. Ш, стр. 89—97, 1892,

ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ 169
влению, или если масса точки изменяется пропорционально
времени, а геометрическая разность w пропорциональна
массе и постоянна по направлению.
Далее мы приведём примеры, относящиеся к трём
предыдущим случаям, именно таким, в которых масса точки
выражается функцией времени и уравнения движения при
действии центральной силы, пропорциональной массе и
некоторой степени расстояния, интегрируются в квадратурах.
§ 2. Введение в уравнения движения точки
некоторых новых переменных.
Когда масса точки выражается данною функцией
времени, а также и в других случаях, в уравнение движения
точки полезно иногда ввести новые переменные как вместо
декартовых координат точки, так и вместо переменной,
обозначающей время; с помощью такого преобразования
переменных мы можем в некоторых случаях данную
задачу привести к задаче известной, служившей уже
предметом исследований.
Пусть новые переменные будут 5, yj, С, т, и мы
рассмотрим тот случай, когда эти переменные связаны со
старыми х, у у z, t посредством уравнений
6 = ж/@, ч -у/©, С - J/W, А = 9 О dt. A)
Из уравнений A) находим:
8-S?+j5#-*)+w«'-*»' C)
где
. у - & . а*
J dV J dfl' ™ dt9
и подобные же выражения для производных от tq, С по т.
Из данных дифференциальных уравнений движения
точки с помощью формул A) и B) мы выразим вторые

170
И. В. МЕЩЕРСКИЙ
производные по / от х, у, г через новые переменные и их
первые производные по т, найденные выражения подставим
в уравнение C) и в два других подобных ему уравнения,
и мы получим дифференциальные уравнения движения точки
в новых переменных.
Выбирая соответствующим образом функции f(t) и «(*),
мы можем или только упростить эти уравнения или же
привести их к уравнениям, уже исследованным.
§ 3. Пример, в котором скорость изменяющей массы
равна нулю и т = *~zrxy
Дчя примера возьмём тот случай, когда рассматривается
движение в пустоте тела, элементы которого притягиваются
но закону Ньютона к неподвижному центру, в
предположении, что масса тела увеличивается с течением времени по
закону
т 1 — аГ
где т0 и а — постоянные положительные величины
вследствие присоединения частиц, центр инерции которых имеет
скорость, равную нулю, причём те-то сохраняет форму шара.
Этот случай приводит нас к решению следующей задачи:
Определить движение в пустоте точки,
притягиваемой к началу координат по закону Ньютона,
предполагая, что масса её возрастает по закону
где гп0 и а — постоянные положительные величины, и
притом скорость прибавочной массы равна нулю.
Уравнения движения представляются в виде
dfi K г» \--it*'
й? Л г» I — ai ^'
D)
где

ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ 171
Вводим новые переменные, полагая:
Преобразованные уравнения D) будут:
где
Интегралы уравнений FJ известны, следовательно, и
уравнения D) можем теперь считать также
проинтегрированными.
Легко написать два интеграла уравнений D): один из
них соответствует интегралу площадей и получается
непосредственно из уравнений D):
ху—ух=СA—а(), G)
где С—постоянная произвольная; другой соответствует
интегралу живой силы; on просто выводится из интеграла
уравнений F):
где h — постоянная произвольная; подставляя вместо ^- и
~- их выражения, которые получаются с помощью
формул B) и (б):
%=%«-«)+**.] Bl)
находим:
(# +у*) A - atf -f 4а A — «Q (** + jy) -f
+ 4a»r* - 2*Яг^> = 2А. (8)

172
И. В. МЕЩЕРСКИЙ
Для того чтобы получить некоторое представление
о движении точки М(х, у), мы можем рассматривать Е
и т] как координаты точки Ж» которая движется во
время т.
Интегрируя последнее из уравнений E), выражающее
зависимость между переменными /и т, находим:
Г 1 г
w — 2a(l — а/)^1'
Для определения постоянной Г положим, например, что
моменту /=0 соответствует ? = 0; тогда
1 2а'
и мм имеем:
откуда
1 + 2п-*-ф=ф>
, = 1. '
* аУ*1 + 2ат
Движение точки М мы рассматриваем в течение
промежутка времени, заключающегося в пределах: /= — оо и
1 1
а
соответствующие значения т лежат между т = — я^-
и xe-f*00* причём т возрастает вместе с возрастанием /.
В момент f = 0 точки М и ЗИ совпадают.
Из формул E) следует, что точка М в момент / и
точка М в соответствующий момент т находится на одной
примой, проведённой из притягивающего центра О; так как
при возрастании t возрастает и т, то эта прямая при
движении точек М и ЗЫ вращается вокруг центра О, причём
отношение расстояний ОМ и 0$М
убывает с течением времени.

ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ 173
Точка ЗМ описывает эллипс, параболу или гиперболу,
смотря по тому, какое значение — отрицательное, нулевое
или положительное — имеет постоянная величина Л,
которую мы определяем с помощью уравнения (8):
h — j vl + 2аго^о cos (ro> vo) + 2a3/o — - •
I. Траектория точки %l — эллипс.
Точка М описывает вокруг точки О дугу кривой,
имеющей вид спирали, постепенно приближаясь к этой
точке (фиг. 3).
Возьмем какой-нибудь определённый радиус-вектор,
например ОМ0, причём М0
обозначает положение
точки М в момент t= 0; время,
которое точка М употребляет
для того, чтобы, выйдя из
некоторого положения на
линии ОМ0% снова прийти на
эту линию, будет
продолжительность одного полного
оборота точки М вокруг
точки О.
Обозначим через Т про- Фиг. 3,
должительность одного
оборота точки 3W; тогда продолжительность первого оборота
точки М, следующего за моментом /=0, будет равна
]_ 1
« а\\+2аТ '
продолжительность второго оборота:
1 1
аУ\+2аТ аУГ+А^Т'
вообще продолжительность /1-го оборота:
1 1
a yi+nat a V\ + (n |-2)аГ"

174
И. В. МЕЩЕРСКИЙ
Отсюда нетрудно видеть, что продолжительность одного
полного оборота точки М с течением времени уменьшается.
Пусть гп будет длина радиуса-вектора точки М после
п оборотов, тогда
_ 1
Гп~+2лаГ г°;
легко убедиться, что длина, на которую уменьшается
радиус-вектор точки М за время одного оборота, также
уменьшается с течением времени.
И. Т р а е к г о р и я точки fy -пар а б о л а.
Обозначим через Ш\ (фиг. 4) положение точки %( в
момент
i
тогда траектория точки М будет кривая, которая встречает
прямую OJW, на бесконечности и затем, оставаясь по одну
сторону этой прямой, пересекает параболу в точке М0; далее
кривая приходит в точку О,
и точка М, по мере того как Jtf
удаляется в бесконечность,
приближается к совпадению с
точкою О в момент
Такое заключение следует
из того, что
а в случае параболического движения точки Jtf отношение —
при возрастании т до бесконечности стремится к нулю.
В самом деле, если
г ^_ Р
р ~~ 1 + cos в"
Фиг. 4.

ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ
175
— уравнение параболы, то
tg4 + 4-tg8«=a(t + *),
где а и b суть постоянные.
Обозначим
|«(x-L*) = t1,
тогда
и, следовательно,
III. Траектория точки Д{ — гипербола.
В этом случае так же, как и в предыдущем, траектория
точки М встречает на
бесконечности прямую Ojtf, (фиг. 5).
где 3X1% положение точки 3X1
1
при ? = — д-; затем, оставаясь
по одну сторону 03x1 и
пересекает гиперболу в точке Af0,
но далее она приходит не в
точку О, а в точку Л,
радиус-вектор которой паралле-
лен асимптоте и равен -^— >
по мере удаления точки Зй
в бесконечность точка М Фиг. 5.
приближается к совпадению с
точкою Л в момент / = — ; в этом нетрудно убедиться.

176
И. В. МВЛЦЕКЖИЙ
Из уравнений BХ) находим:
обозначим через а скорость точки Ш в момент т и через v
скорость точки М в соответствующий момент /; тогда
полученное уравнение можем написать в виде
uv sin (иv) я 2<*rv sin (г, г>)
и, следовательно,
й sin (#г>) e=s 2«r sin (г, t>). (9)
При возрастании т до бесконечности направление как
скорости точки SM, так и радиуса-вектора точки М
приближается к параллельности с направлением асимптоты
гиперболы; следовательно, разность между sin (я, v) и sin (г, v)
стремится к нулю, в то же время величина и стремится
к 1^2/*; поэтому из уравнения (9) мы заключаем, что при
приближении х к бесконечности, следовательно, / к —, ве-
личина г стремится к r2g .
§ 4. Задача § 3 при * <0.
Полагая в формулах, которые получаются при решении
предыдущей задачи,
*<0,
мы получим формулы, соответствующие тому случаю
движения в пустоте точки, притягиваемой по закону Ньютона,
когда масса точки убывает по закону
в предположении, что скорость изменяющей массы равна
нулю; при s
движение ра
и f=-{- со.
нулю; при этом промежуток времени, в течение которого
движение рассматривается, заключается в пределах fas —

ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ 177
При возрастании / от ~ до оо х возрастает от —оо
Укажем некоторые свойства движения точки в
настоящем случае.
Точка М, движение которой мы рассматриваем, в
момент t и точка Ж в соответствующий момент т
находятся на одной прямой, вращающейся вокруг
притягивающего центра О; отношение расстояний ОМ и ОМ с
течением времени возрастает.
Если траектория точки Ж— эллипс, то точка М
описывает дугу кривой, которая имеет вид спирали вокруг
точки О, постепенно удаляясь от этой точки;
продолжительность одного полного оборота точки М возрастает
с течением времени, возрастает также и приращение
радиуса-вектора точки М за время полного оборота.
Траектория точки М имеет вид дуги кривой,
изображённой на фигурах 3, 4 или 5, смотря по тому, какое
коническое сечение описывает точка Ж у если только
движение точек Ж и М происходит по направлениям,
противоположным тем, которые на фигурах указаны стрелками.
§ б. Случай, в котором задача о движении точки
переменной массы при F=&j>fг" приводится к задаче
о движении точки постоянной массы
при действии той же силы.
Возьмём случай более общий, когда на точку
переменной массы действует центральная сила,
пропорциональная массе точки и /1-й степени расстояния, причём скорость
изменяющей массы предполагается равною нулю; найдём,
при каком законе изменения массы в зависимости от
времени задача о движении этой точки в пустоте
посредством вышеуказанного преобразования A) приводится
к задаче о движении в пустоте точки постоянной массы
при действии центральной силы, также пропорциональной
массе точки и /г-й степени расстояния.
12 И. В. Мещерский.

178
И. В. МЕЩЕРСКИЙ
Дифференциальные уравнения движения точки
представляются в виде
— _*дг« 1—__дг,
A0)
dtl J m dt '
Введём в эти уравнения переменные 6, ч\> х с
помощью формул A), B) и C); мы получим:
f^==ft/^b>»-i_iL!f±4!L 4-1-ВП-4-
и второе уравнение, которое отличается от уравнения A1)
только тем, что буква I заменена буквой iq.
Определим функции /, о и т так, чтобы удовлетво*
рялись следующие три уравнение:
?р = const., A2)
1 dm , { 2? _п Лоч
тЧГ + Т~ 7 °' A3)
Пусть л имеет какое-либо положительное или
отрицательное значение, исключая я=1 и л = — 1Ф
Дифференцируя уравнение A2), находим:
у _ 1-я /.
<Р ~ 2 /»
тогда уравнение A3) можем написать в виде
1 dm _ я + 3 /
т dt~~ 2 / •
и, следовательно,
пч»з
т = а/ 2 > A5)
где а—постоянная произвольная.

ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ 179
Для определения / послужит уравнение A4), которое
представится в виде
отсюда
2
f—lb + cQ**1'
где b и с — постоянные произвольные, и следовательно,
п-Ь8
m = a{b + ct)n+i •
Обозначая через т0 массу точки при f=aO, находим
искомый закон изменения массы:
п+8
m = /Яo(l4-aOЛtl,
с
где а = -т- — какая угодно постоянная величина.
Полагая в формулах A)
2 1-П
/ = A -f-af) »+i» ? = A +«/I+Л '
получим соответствующие этому случаю формулы
преобразования, с помощью которых уравнения A0) приводятся
к уравнениям
Если центральная сила действует по закону Ньютона,
то л = — 2, следовательно,
п*о
и мы приходим к тому случаю, который выше рассмотрен
в § 4.
12*

180
И. В* МЕЩЕРСКИЙ
При л = 1, когда сила пропорциональна расстоянию,
из уравнений A2), A3), A4) мы найдём:
m = m0(l + ct*J,
При л = — 1 те же уравнения нам дают:
т = m0e**t
/=? = rt
§ в. Случай, когда в соответствующей задаче
о движении точки постоянной массы к заданной силе
присоединяется сила, пропорциональная расстоянию.
Преобразованные уравнения A1) движения точки
интегрируются известным образом и тогда, когда имеют место
уравнения A2) и A3) и притом коэффициенты при 6 и г\
в первой степени суть величины постоянные; в этом
случае вместо уравнения A4) получаем уравнение
Г?Ъ1[Г+К-2Г2 = А?3<?*, A4.)
где А — величина постоянная.
С помощью уравнений A2) и A3) уравнение A4j)
приводится к виду
//+лх1/9=5/в-". A6)
где В — величина постоянная.
При л=1 из уравнения A6) находим:
f = A1e*t+B1e-*t
или
/ = i4'8ha*4-iJ'dnrff
где a — величина постоянная, и формула A5) даёт:
m = a/2.

ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ 181
При л^1 первый интеграл уравнения A6) будет:
и, следовательно, / определяется из уравнения
f-==?=_ = /+const., A7)
а затем найдём и массу точки т по формуле A5).
В этом случае мы приходим к задаче о движении
точки постоянной массы, к которой, кроме заданной
центральной силы, пропорциональной л-й степени расстояния,
приложена ещё сила, исходящая из того же центра и
пропорциональная расстоянию.
Закон изменения массы при п^\ выражается просто, если
положить С= 0 и В = Ь%\ тогда из уравнения A7) находим:
и, следовательно,
т=:/и0A + а9я-1-
Когда заданная сила действует по закону Ньютона,
эта формула даёт:
_i
т = /и0A + а0 8 •
§ 7. Два примера, в которых скорость
изменяющей массы не равна нулю.
В заключение приведём два примера, из которых в одном
скорость изменяющей массы и скорость точки направлены
по одной прямой, в другом скорость изменяющей массы
направлена по линии, соединяющей точку с центром силы.
1. Масса точки выражается формулой

182
И. В. МЕЩЕРСКИЙ
где а — положительная или отрицательная
постоянная величина; требуется определить движение точки
в пустоте при действии силы притяжения к началу
координат по закону Ньютона, предполагая, что
скорость изменяющей массы направлена в ту же
сторону\ что и скорость точки, а по величине вдвое менее
последней.
Уравнения движения точки по разделении на массу будут:
d*x ь х 1 dm • )
тгг~-*-*-ет*. A8)
d& — л* 2т dtу* )
В настоящем случае
1 dm а
2т dt — 1 — at9
поэтому уравнения A8) получают тот же вид, что и
уравнения D), и, следовательно, решение задачи уже
изложено в §§ 3 и 4.
Вообще, когда мы рассматриваем движение двух точек
переменных масс тх и /я2, причём скорость изменяющей
массы для первой точки равна нулю, а для второй
направлена в ту же сторону, что и скорость точки, и по
величине вдвое менее последней, легко заметить
следующее обстоятельство: если к точкам приложены силы,
пропорциональные массам и действующие по одному и тому
же закону, то при одинаковых начальных положениях и
скоростях точки движутся совершенно одинаково, если
только m2 = C/»J, где С—величина постоянная.
2. Определить движение точки, масса которой
выражается формулой
где а — положительная или отрицательная
постоянная величина при действии силы притяжения к началу
координат по закону Ньютона, предполагая, что
скорость изменяющей массы направлена по радиусу-вектору

ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ 183
точки в ту или другую сторону а притом квадрат
этой скорости обратно пропорционален кубу радиуса-
вектора.
Обозначим скорость изменяющей массы через и, и пусть
и — ,* »
причём мы будем брать е со знаком -f~> когда скорость
направлена в сторону от начала координат, и со знаком —
в противном случае.
Уравнения движения точки по разделении на массу
представляются в виде
- [г* (i-a/)r8/.]
d*x
<Н* [г* A — *t)f!A r I —erf"
d2y [_fc ае "I у а
Л» ~ [г* (\-Ы)М г 1-0/-У' j
A9)
Введём новые переменные ?, т), -г посредством
уравнений 15); тогда уравнения A9) преобразуются в
следующие:
?1 ( k а* N g
d# ~" \ Р» р3'* У р '
" V Р2 PvJ р •
Таким образом, рассматриваемая задача приведена
к задаче о движении точки постоянной массы при
действии двух центральных сил с общим центром, из
которых одна следует закону Ньютона, а другая есть сила
притягательная при ае < 0, отталкивательная при ае > О
и по величине обратно пропорциональная степени у
расстояния точки от центра силы; отсюда следует, что наша
задача решается в квадратурах.

184
И. В. МЕЩЕРСКИЙ
ПРИЛОЖЕНИЕ.
ОПРЕДЕЛЕНИЯ МАССЫ, ВСТРЕЧАЮЩИЕСЯ
В НЕКОТОРЫХ СОЧИНЕНИЯХ ПО МЕХАНИКЕ.
Ньютон, Математические принципы натуральной
философии *):
«Определение 1. Количество матерки есть мера таковой,
устанавливаемая пропорционально плотности и объему её...
Это же количество я подразумеваю в дальнейшем под
названиями тело или масса. Определяется масса по весу тела,
ибо она пропорциональна весу, что мною найдено опытами
над маятниками, произведёнными точнейшим образом...».
Даламбер в «Трактате по динамике»2) не даёт
определения массы.
Эйлер, Механика или наука о движении8):
На стр. 82 мы встречаем такое место: «если масса или вес
какой-нибудь частицы...»; ранее определения массы не даётся.
Эйлер, Теория движения твёрдых или неизменяемых
тел 4):
Стр. 57: «Определение 15. Массой тела или
количеством материи называется количество инерции, находящейся
в этом теле, посредством которой оно стремится как
сохранить своё состояние, так и противиться всякому изменению».
Стр. 71: «...действительно, буква А обозначает массу
того же тела, познание которой, само по себе слишком
тёмное, делается достаточно ясным из того самого факта
что она (масса) пропорциональна весу».
Лагранж, Аналитическая механика6):
«Известно, что сила тяжести действует в вертикальном
направлении и пропорциональна массе». Здесь впервые
встречается слово «масса»; отдельного определения массы
автор не даёт.
1) Ne w t о п. Philosophiae n at oralis principle mathematica, 1687.
2) D'Alembert, Traite de dynamique, 1743.
3) Euler, Mechanica sive motus scientia, 1736.
4) Euler, Theoria motus corporum solidorum seu rlgidorum,
1765.
5) Lagrange» Mecanique analitique, 1788, изд. 3, 1853, т. I,
стр. 59.

ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ 185
Лаплас» Трактат по небесной механике1):
«Масса тела представляет собой число его
материальных точек», но понятие «материальная точка», которое
появляется на стр. 4, оставлено без определения,
Пуассон, Трактат по механике2):
Стр. 1: «Материя — это всё то, что может каким-либо
образом воздействовать на наши внешние чувства... Массой
тела называют количество составляющей его материи».
Стр. 107: «Вес тела пропорционален одновременно как его
массе, так и интенсивности силы тяжести3) в том месте,
где это тело находится».
Пуансо, Элементы статики4):
«Вес тела пропорционален числу составляющих его
молекул или количеству заключённой в нём материи, которое
называется его массой».
Бур, Курс механики и машин. Статика6):
«[Материальные] тела обладают одним свойством, в силу
которого они с точки зрения механики отличаются одно
от другого и в существовании которого можно убедиться
по разнице в ускорениях, испытываемых [обнаруживаемых]
ими под действием одной и той же силы... Это
свойство и представляет собой то, что называют массой; этим
утверждается, что два тела имеют, какова бы ни была
их химическая природа, одну и ту же массу, если,
будучи подвергнуты действию одной и той же силы,
они в равные промежутки времени приобретают равные
скорости».
Шелль, Теория движения и сил6):
«... Мы сможем наложить одна на другую 2, 3, 4,..., т
конгруентных (имеющих одинаковое движение) систем
таким образом, что они образуют одну целостную систему,
которая будет совершать то же самое движение, что
J) Laplace, Traite de mecanique celeste, 1799, т. I, стр. 40.
2) Poisson, Traite de mecanique, 1811. Изд. 2, 1833, т. I.
3) То-ссть ускорению силы тяжести. (Прим. ред.)
') Poinsot, Elements de statiqtie, изд. 5, 1830, стр. 176.
Б) Bour, Cotirs de mecanique et machines. Statiquc. 1868* стр. 18.
в) S с h e 11, Theorie der Bewegung und der Krafte, 1870. Изд. 2,
т. II, 1880, стр. 1—3.

186
И. В. МЕЩЕРСКИЙ
и составляющие её первоначальные системы, но в которой,
однако, каждую точку нужно будеть считать 2, 3, 4,...,
/я-кратной точкой... Коэффициент т характеризующий
качественное отличие точек такой системы и являющийся
мерой их восприимчивости к ускорениям всех порядков,
можно назвать коэффициентом ускорения системы... В
рамках проводимого в этой книге исследования мы будем
считать этот коэффициент постоянным, и нам ничто не
препятствует назвать его массой, хотя это наименование и не
выражает всей общности заключённого в нём смысла».
Ионселе, Курс механики1):
«... отношение т (т = —, где р— вес тела и
g—ускорение силы тяжести), KOTOf oe остаётся независящим от
интенсивности силы тяжести в каждом месте и
представляет собой как раз то, что принято называть массой тела;
определение это надлежит понимать без привнесения в него
каких-либо физических или метафизических представлений,
которые иногда с ним связываются».
Кирхгофф, Лекции по математической физике.
Механика9):
Рассматривая систему точек, подчинённых связям, автор
пишет уравнения движения какой-либо t-й точки в таком
виде, что в левых частях сто>*т только вторые
производные от координат по времени, а в правых множители,
соответствующие различным связям, разделены на
положительную величину т{.
«Величины /ttj, m2, ... мы называем массами
материальных точек 1, 2,...»
«М — '?т...М называется тогда массой системы»8).
И. Сомов, Рациональная механика A877, ч. II, стр.
173—174):
«Сумма т = 2 Р динамических коэффициентов весов
материальных точек, составляющих тело, называется весомою
*) Poncelet, Cours de mecanique, 1874, т. I. стр. 11.
2)Kirchhoff, Vorlesungen fiber mathematische Physik,
Mechanik, 1876. Изд. 3, 1833, стр. 22.
8) Там же, стр. 35.

ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ 187
массою тела». (Динамическим коэффициентом автор
называет отношение постоянной силы, действующей на
материальную точку, к тому ускорению, которое эта сила
сообщает точке.) «Весомая масса тела пропорциональна
количеству эквивалентных (т. е. имеющих равные динамические
коэффициенты) материальных точек, в нём находящихся;
на этом основании весомая масса тела рассматривается как
количество материи тела».
Т о м с о н и Тэт, Трактат но натурфилософии *):
«Количество материи в теле, или, как мы назовём это
теперь, масса тела, пропорционально согласно Ньютону
одновременно и объёму и плотности. По существу, это
определение раскрывает нам скорее смысл понятия плотности,
чем массы».
Д. Бобылёв, Курс аналитической механики A884,
ч. II, стр. 23—24):
«Количество материи тела называется массою его.
Определение с. Отношение масс двух тел обратно
пропорционально отношению ускорений, сообщаемых этим
телам однородными и прямо противоположными силами
взаимодействия между ними или вообще какими бы то ни было
равными между собой силами, однородно приложенкыми
к этим телам. Вместе с тем отношение масс двух тел равно
отношению величин однородных сил, сообщающих равные
ускорения этим телам... Масса тела равна сумме масс всех
частей его».
Будде, Общая механика точек и неизменяемых
систем а):
«Свободная сила/, действующая на тело Л, есть
произведение (/=e0tt) из 1) ускорения и тела Л, 2) веса q тела Л,
3) произвольно избираемой постоянной е, одной и той же
для всех тел Л и, следовательно, раз навсегда опредетён-
ной одним этим выбором... Произведение eq мы называем
коэффициентом инерции или массой Л».
^Thomson andTait, Treatise on natural philosophy,
1879, т. I, стр. 220.
2) Budde, Allgemelne Mechanik der Punkte und starrcn
Systeme, 1890, т. I, стр. 125.

188
И. В. МЕЩЕРСКИЙ
Аппель, Трактат по теоретической механике1):
«Масса материальной точки есть постоянное отношение,
которое существует между интенсивностью постоянной силы
и ускорением, которую она сообщает точке».
Герц, Принципы механики2):
«Определение 1. Материальная частица — это
признак (Merkmal), с помощью которого мы связываем
однозначно некоторую определённую точку пространства в
определённый момент времени с некоторой другой определённой
точкой пространства в любой другой момент времени. Каждая
материальная частица неизменна и неразрушима.
Определение 2. Число материальных частиц в каком
либо произвольном объёме, отнесённое к числу
материальных частиц, заключённых в определённый момент времени
в некотором определённом объёме, называется массой,
содержащейся в первом объёме.
Определение 3. Конечная или бесконечно малая
масса, если её представить себе заключённой в бесконечно
малом объёме, называется материальной точкой.
Определение 4. Некоторое количество
материальных точек, рассматриваемых совместно, называется
системой материальных точек, или, короче, просто системой.
Сумма масс отдельных точек её, согласно определению 2,
есть масса системы».
Из вышеуказанных сочинений можно, между прочим,
видеть, что, как бы автор ни определял массу, это
определение не имеет влияния на дальнейшее изложение.
При всех определениях массы масса тела равна сумме
масс всех частей его, и, следовательно, изменяемость массы
тела не противоречит определениям массы.
*) A p pell, Traite de mecanique rationnelle, 1893, т. I, стр. 87.
2) Hertz, Die Prinzipien der Mechanik, 1894. Gesammelte
Werke, т. Ill, стр. 54.
-vp^fe^^

О ВРАЩЕНИИ ТЯЖЁЛОГО ТВЁРДОГО ТЕЛА
С РАЗВЁРТЫВАЮЩЕЮСЯ ТЯЖЁЛОЮ НИТЬЮ
ОКОЛО ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ОСИ1).
N-т-ы имеем в виду главным образом рассмотреть
I вращение вала в том случае, когда на него на-
I вёрнута в один ряд цепь, вес которой должен
J-быть принят во внимание; прикреплённая одним
концом к валу цепь делает несколько оборотов,
прилегающих друг к другу, затем свешивается и поддерживает
некоторый груз; при вращении вала часть цепи или
свёртывается с вала или навёртывается на него. Центр
тяжести вала может и не находиться на оси, кроме того,
вал может быть неизменно соединён с некоторым
телом; поэтому, вообще говоря, мы приходим к
следующей задаче:
Тяжёлое твёрдое тело имеет горизонтальную ось,
закреплённую таким образом, что оно может вращаться
вокруг неё\ часть тела представляет круглый цилиндр,
ось которого совпадает с осью вращения; на этом
цилиндре навёрнута по винтовому жёлобу гибкая нерастя*
жимая тяжёлая нить однородной плотности; один
конец нити прикреплён к цилиндру; затем после
нескольких оборотов она свешивается и поддерживает данный
груз; определить вращение тела.
*) Впервые опубликовано в Сборнике Института инженеров
путей сообщения, вып. L, 1899 г.

190
И. В. МЕЩЕРСКИЙ
§ 1. Дифференциальное уравнение вращения
и его интегралы.
Рассматриваемая нами система состоит из твёрдого тела,
нити и груза; дифференциальное уравнение вращения можно
получить различными способами; мы воспользуемся
теоремой, что производная по времени от главного момента
количеств движения системы относительно оси вращения равна
главному моменту внешних сил, приложенных к системе,
относительно той же оси1).
Введём следующие обозначения: Р — вес твёрдого тела;
h—расстояние центра тяжести тела от оси; /—момент
инерции тела относительно оси; р — вес части нити,
имеющей длину, равную единице; R — радиус того цилиндра,
на котором расположена по винтовой линии ось нити;
/— синус угла, составльемого касательною к винтовой линии
с производящими цилиндра (/—дробь, близкая к единице);
к — целое число такое, что число оборотов нити в
начальный момент или равно к или заключается между к и к—1;
Q — сумма весов груза и свешивающейся в начальный
момент части нити; g—ускорение силы тяжести.
Углы в какой-либо вертикальной плоскости,
перпендикулярной к оси, мы будем отсчитывать от горизонтальной
прямой, проведённой от оси в ту сторону, по которую
находится свешивающаяся часть нити; углы, отсчитываемые
вниз от этой прямой, будем считать положительными,
вверх — отрицателы ыми.
Ьусть а и ?—углы, определяющие направления в
начальный момент перпендикулярных к оси радиусов-векторов
закреплённого конца нити и центра тяжести тела; <р—
угол, на который тело повернулось около оси в течение
промежутка времени fr, <р > О, если во время t тело
вращалось в положительную сторону; о < О, если те-то
вращалось в сторону отрицательную; если же во время t тело
вращалось и в ту и в другую сторону, то о представляет
алгебраическую сумму соответствующих углов поворота.
*) Если присоединение или отделение частиц происходит
с относительной скоростью, равной нулю, то уравнение вращения
тела переменной массы около неподвижной оси имеет тот же
вид, что и для тела постоянной массы. (Прим. ред.)

О ВРАЩЕНИИ ТЕМ С РАЗВЁРТЫВАЮЩЕЮСЯ НИТЬЮ 191
Главный момент количеств движения рассматриваемой
системы относительно оси равен сумме моментов количеств
движения тела, витков намотанной нити и её свешивающейся
части вместе с грузом; он выражается произведением момента
инерции системы относительно оси на угловую скорость:
Главный момент внешних сил относительно оси
представляет сумму моментов: веса тела, веса оборотов нити и
веса свешивающейся части нити вместе с грузом,
предполагая эти веса приложенными к соответствующим центрам
тяжести; получается следующее выражение:
Ph cos (?+?) — jR* sin (« + ?)+j#*<p + <?/?.
Дифференциальное уравнение вращения представится,
таким образом, в виде
4g==Scos? + Csin<p + ?tf*<?4-Q#,
где
B = Phcos$ — ?#2sina,
С=— ЯЛ sinр — jrWcosa.
Введём угол •[> полагая
В=]/ fl*-f Oncost, С»/Я1-f-С*.sinт, 0^т<2«,
и обозначим:
V>-f ?а h_ рР* r-Qfi.
а— з * ° — Ja> C — ~A*
тогда уравнение вращения напишется в более простой форме:
*? = acos(o — т)+ *?+'• A)
Первый интеграл этого уравнения представляет интеграл
живой силы:
(It J в 2а sin (? — Т) + ^?2+2*р + 2a sin 7 + *>*, B)
где со обозначает величину начальной угловой скорости.

192
И. В. МЕЩЕРСКИЙ
Отсюда легко получить и второй интеграл уравнения,
который выразится через квадратуру; в частном случае,
когда я = 0, для угла <р найдём, очевидно, выражение
через показательные функции от времени, но вообще
зависимость между углом <р и временем, которую «даёт второй
интеграл, не выражается через какие-либо изученные
функции; поэтому мы воспользуемся главным образом
уравнениями A) и B) для того, чтобы вывести некоторые свойства
рассматриваемого движения.
Из уравнения A) следует, что тело, повёрнутое на
угол <р, если скорость его в этом положении равна нулю,
останется в покое тогда и только тогда, если
a cos (<? — у) -\- by -f- с =т= 0;
равновесие будет устойчивым только в том случае, когда
— a sin (<р — f) + * < 0.
Принимая положение устойчивого равновесия, если оно
существует, за начальное, мы имеем:
a cos 7 -)- с = 0, a sin «j -f- b < О,
и уравнение весьма малых колебаний тела около
положения равновесия представится в виде
g = (asinT + *)?.
§ 2. Угловое ускорение.
Обозначим угловое ускорение тела через W, так что
W=acos(o — f) + *<p + ?, C)
и с помощью выражения C) выведем некоторые свойства W,
которыми можем воспользоваться при исследовании угловой
скорости; заметим, что каждое свойство W даёт нам
соответствующее свойство главного момента сил, так как
последний отличается от № только постоянным множителем А.
Исключая пока простейший случай, когда а = 0, мы
будем иметь в виду, что в уравнении C) а, Ь, с —
величины положительные и притом двучлен bo -|- с, по условию
задачи, получает в рассматриваемом движении только
положительные значения.

О ВРАЩЕНИИ ТЕЛА С РАЗВЁРТЫВАЮЩЕЮСЯ НИТЬЮ 193
Из уравнения C) следует:
1) W > 0 для всех значений угла <?, лежащих внутри,
а также и на границах промежутков: ..., от f ~ до
3« те • л ^ , 3« , 5я
Т—2» 0ТТ — уД°Т+2"> от Т+у Д0Т+2-. •-.
2) Для двух значений <р, различающихся на четную
кратность тс: <р и cp-J-2/Z7r, где л^О, имеем:
^+2«— W; = 2/iic*.
Возьмём затем первую производную от W по ср*
d^= — asin(? — т) + 4 D)
и укажем следствия, вытекающие из выражения этой
производной.
3) W возрастает с увеличением о в промежутках:
..., от if — Згс до y — 2тг, от y — я до f, от 7 + ^ ДО
Т+2*, ...
Пусть а ^ Ь.
4) Для всех значений, которые получает угол <? при
движении тела, W возрастает с увеличением <р-
5) Если при движении тела длина свешивающейся части
нити остаётся не менее той, которая соответствует повороту
тела на угол ir, то для всех значений угла <р будет W > О,
что следует из пп. 1 и 4.
Пусть я > #.
6) Во всяком промежутке, равном 2тс, заключается не
более трёх значений угла <р> Для которых V7=0.
7) При изменении о в каком-либо промежутке, равном 2л,
W получает одно наибольшее и одно наименьшее значение
по сравнению с соседними значениями. Обозначим через 8
угол такой, что
0<5<-J и sin8 = A;
тогда значениям <р:..., f -j- 8—2я, -у —1— S, Y + 8 + 2ic, ...
соответствует Wmtai [а значением:] ..., f — 8 — ir, -r —
— 8 -j- icf т — 8 -f- Зя, .. • соответствует Wmih. Если
13 И. В. Мещерский.

194
И. В. МЕЩЕРСКИЙ
углу <pi соответствует Wm9X, а углу <ря > ?i ближайший
wm\*>т0 ?2 — ?i = * — 28; если УГЛУ ?з соответствует И?т1п,
а углу <?4>?з ближайший W^, то <р4—98 = «-f-28.
Wmu — величина всегда положительная, Wmi1i=Q.
8) Пусть от будет одно из тех значений <р, которым
соответствует WnK1 или Wm,b, тогда из двух значений W,
соответствующих углам <рш -f-О и ?m — &> гДе * > 0> пеР"
вое всегда больше второго, а именно:
^(?» + «) - *(*. - •) = 2* (О - sin в);
это следует из уравнений C) и D).
9) Для всякого данного промежутка от <р ДО <р + 2я
легко найти значение W=Wl9 соответствующее меньшему
из крайних значений 9э а также Wm9X и Wmtj мы можем
таким образом определить число корней уравнения W=0
в данном промежутке и отделить эти корни.
Уравнение 1^=0 внутри данного промежутка от <р до
<р + 2тг при
ТР,>
«I
^min > 0 ... не имеет корней;
W
juiu '
— 2tm<Wl
; 0 ... имеет два корня или
один двойной корень;
Wmin > 0 ... имеет один корень при
Wt < О и ни одного при
^1 = 0;
Wmitk < 0 ... имеет один корень, если
значение <р, соответствующее
Wmin, меньше значения <р9
соответствующего Wmta\ в
противном случае—три корня
при 1Р,<0и два корня при
^1 = 0;
= 0 ... имеет один простой и один
двойной корень при Wx < 0 и
один двойной при U/j — 0;
W.
rain"
Г,< — 2frr
имеет два корня.

6 ВРАЩЕНИИ ТЕЛА С РАЗВЁРТЫВАЮЩЕЮСЯ НИТЬЮ 195
В некоторых случаях можно получить для корней
уравнения W=6 более тесные пределы, например, в случае
трёх корней, пользуясь замечанием п. 8.
10) Если Wmin9 соответствующий некоторому углу
<p = <Pi> будет WmiXk^zOf то для всех значений <p>r?t
будет W>0; это следует из п. 2,
§ 3. Угловая скорость.
Обозначим абсолютную величину угловой скорости тела
через С/, так что
U* = 2a sin (<р — т) + Ьъ* + 2с<р + 2я sin f + <Л E)
Укажем некоторые свойства угловой скорости тела,
вытекающие из уравнения E), а также и из результатов
предыдущего параграфа, причём, говоря об угловой скорости,
мы будем разуметь только её абсолютную величину.
1) Сравним между собою угловые скорости,
соответствующие двум углам, различающимся на чётную
кратность я: ? и <р-{-2л1г, где п^О; из уравнения E) получаем:
UJ+*. - Щ = 4й* I» (?+«*) + «Ь
но по условию задачи 6<p-j-?>0 и b(<р + 2/т)-|-с > 0,
следовательно, разность Ц?+Эля.— ?^ имеет тот же знак»
что и число п. Таким образом, при одном полном обороте
тела угловая скорость увеличивается при положительном и
уменьшается при отрицательном вращении.
2) Для значений <р, заключающихся в промежутках:
5« Зп я . п
..., от Т —f А0 К — » от Т 2" Д° Т+-§ » от
К + -2" до Tfb'j'» •• •> большему углу <р всегда
соответствует и большая угловая скорость; это следует из § 2, п. 1.
3) При а ^ Ь во всё время движения тела, если только
длина свешивающейся части нити остаётся не менее той,
которая соответствует повороту тела на угол я, большему
из двух каких-либо значений угла 9 соответствует большая
угловая скорость; это следует из § 2, п. 5.
13*

196
И. В. МЕЩЕРСКИЙ
Заметим, что случай а = Ь представляется, между
прочим, тогда, когда центр тяжести твёрдого тела
находится на оси вращения\ при h = О а = Ь = yj-;
следовательно, в этом случае при вышеуказанном условии
относительно свешивающейся части нити угловая скорость всё
время возрастает при вращении в положительную сторону
и убывает при вращении в отрицательную сторону.
4) При а > by принимая во внимание замечания § 2, пп. 6
и 9, мы приходим к следующему заключению: при одном
полном обороте от какого-либо угла <? до о dz 2я угловая
скорость или всё время возрастает при положительном
вращении и убывает при отрицательном, или имеет один
minimum, или minimum и maximum, или два minima и один
maximum; но не может иметь одного maximum, а также
двух maxima и одного minimum и вообще более трёх
«особенных» значений. Величины углов, соответствующих C/m!n
и UmKX, представляют корни уравнения W=0,
заключающиеся между <р и <р — 2тс.
Рассмотрим подробнее изменение угловой скорости при
одном обороте в положительную сторону от <р до <р + 2ic,
полагая, что Wx есть значение углового ускорения,
соответствующее углу 9»
\Р,>0
W.
т\ь -
— 2bn<Wx<0
О ... угловая скорость U всё
время возрастает;
^min < ° • • • U возрастает до ?/тах,
убывает до Umln и далее
возрастает;
WuAu > 0 ... U убывает до Umln и да-
* лее возрастает;
^iniu < 0 • - • если Wmia предшествует
^тм» т0 и убывает до Umla
и далее возрастает; если же
Wmln следует за Wmax, то U
убывает до ?/mln; возрастает
до ?/тах, снова убывает до
t/min и далее возрастает;
w/mia = ° - • • U убывает до Uailn и
далее возрастает;

О ВРАЩЕНИИ ТЕЛА С РАЗВЁРТЫВАЮЩЕЮСЯ НИТЬЮ 197
Wt<— 2fa \
^miD < 0 ... U убывает до Umln,
возрастает до Um9X и далее
убывает;
Wmin = О ... U всё время убывает;
W 5= 0 | ^mie ^ 0 ... f/ вс6 время возрастает;
1 * ^mio < ° • • • если ^mfn предшествует
WmKLt то U убывает до Umin
и далее возрастает; если же
wmm следует за Гша1, то U
возрастает до ?/тах, убывает
до ^min и Далее возрастает.
Также легко проследить изменение угловой скорости
в том случае, когда значения W, соответствующие <р и
<p + 2ir, будут оба Wmin или оба Wmax.
Вышеуказанное изменение угловой скорости за время
одного полного оборота, только в обратном порядке, имеет
место, когда вращение происходит в отрицательную сторону.
Из замечания § 2, п. 1 следует: если угол <pj
соответствует Umiuy а <ра > ?! — ближайшему ?/тах, то <р2—<р, > it;
если же <р3 соответствует UmtLX, а ?4>'?3— ближайшему
5) Пусть ©* будет одно из тех значений <р, для
которых W=0; сравним угловые скорости Ux и U2,
соответствующие углам ф* — 8 и ©* + ^> где &>&•
Подставляем вместо <р в уравнение E) <р* — 6 и <р* -[" ®>
затем по вычитании, принимая во внимание уравнение
а cos (<р* — if) + *?* + с = 0,
находим:
Щ— J7J = 4@ — sinO)(?<?* + 0;
а так как, по условию задачи, ??* + ^ > 0> T0
и*>их.
6) Пользуясь предыдущим замечанием, покажем, что из
двух minima угловой скорости, а также и из двух её
maxima большую величину имеет тот, который соответствует
ббльшему значению угла о. Достаточно показать, что это
свойство имеет место для двух minima угловой скорости,

198
И. В. МЕЩЕРСКИЙ
между которыми только один maximum, а также и для двух
maxima, между которыми только один minimum.
Пусть угол ©1 соответствует Umin, <р2 > ?i—следующему
^га« и ?з>?2 — следующему Umin; тогда, как мы видели,
?а — ?i > ?s— ?2> следовательно, второй Umin больше
некоторого значения [/, заключающегося между первым t/TO,n
и С/гоах, а следовательно, и подавно больше первого Umin.
Возьмём ещё следующий ?/тах, соответствующий углу
?4 > %> тогда % — ?2 > ?4 — ?з» поэтому первый ?/гаах
будет менее некоторого значения ?/, заключающегося между
i/miD, соответствующим углу <р3, и вторым ?/тах, а
следовательно, и подавно меньше второго f/ffiax.
7) В заключение отметим ещё одно свойство угловой
скорости, очевидное из уравнения E): при данной
начальной угловой скорости одному и тому же значению о
соответствует одна и та же величина угловой скорости, каково
бы ни было предшествовавшее движение тела.
§ 4. Некоторые свойства движения.
Если при изменении угла <? от нуля до <»i тело
вращается в одну сторону, то второй интеграл уравнения A)
даёт нам следующую зависимость между углом <?х и
соответствующим временем txi
/?-±4. (в)
о
где U—абсолютная величина угловой скорости,
выраженная из уравнения E); знак нужно взять верхний или
нижний, смотря по тому, вращается ли тело в положительную
или в отрицательную сторону.
Предположим, что угловая скорость тела после
поворота на некоторый угол ?3^0 обращается в нуль; тогда
в уравнении F) подинтегральная функция при <р = <&i
обращается в бесконечность, но соответствующее время tx может
быть и конечным и бесконечно большим.
В самом деле, пусть при ? = ?j угловое ускорение тела
W=WX не равно нулю; тогда при приближении <о к <pt

О ВРАЩЕНИИ ТЕЛА С РАЗВЁРТЫВАЮЩЕЮСЯ НИТЬЮ 199
функция {/""Ч? — ?i)* стремится к конечному пределу
BW1) 2, и следовательно, время tt будет конечным.
Если же угловое ускорение тела при <р = ?i равно нулю:
Wt =0, то могут представиться два случая: 1) производная
dW
•—- при <р = 9i не равна нулю, как это всегда имеет место
при <р!>0; 2) производная (-j—) =0, но тогда, как
видно из выражения wu вторая производная [-г—)
\ ay /v=fk
нулю не равна. При приближении <р к 9i к конечному пределу
стремится — в первом из двух указанных случаев
—функция LM (<р — 9i)> именно к пределу: С-=—) J , во втором —
s 1
функция ?/~*(?—?i)*> именно к пределу: V^(-^tj) "*;
следовательно, как в том, так и в другом случае время tx
будет бесконечно большим.
Этим замечанием, а также вышеуказанными свойствами
угловой скорости мы и воспользуемся при рассмотрении
движения тела в зависимости от начальной угловой
скорости.
I. Начальная угловая скорость
направлена в положительную сторону.
При движении тела представляются три главных случая.
1) Угловая скорость при первом обороте не обращается
в нуль. Тело всё время вращается в положительную
сторону, причём после каждого оборота угловая скорость
получает положительное приращение (§ 3, п. 1).
При а ^ b угловая скорость всё время возрастает, если
начальная длина свешивающейся части нити не менее той,
которая соответствует повороту тела на угол я, т. е. -т-;
в противном случае угловая скорость возрастает всё время,
если только в начальный момент W0^0; если же №0<0,
то она сначала убывает, но не далее первого полуоборота,
и затем возрастает.

200
И. В. МЕЩЕРСКИЙ
При а > Ь% если при первом обороте Wmla ^г* 0, угловая
скорость всё время возрастает; если же при первом обороте
^min < ®> т0 Угловая скорость может то возрастать, то
убывать, как это указано в предыдущем параграфе (§ 3,
пп. 4, 5, 6); но с увеличением числа оборотов значения Wmin
увеличиваются (§ 2, пп. 2, 7), и если навернутая на вал
часть нити имеет достаточную длину, то при некотором
значении угла <? будет Wmib^0 и, следовательно, далее
угловая скорость будет только возрастать.
2) Угловая скорость, начиная с некоторого угла <pi>
причём 0г^<р2 < 2тс. убывает, и тело асимптотически
приближается к положению, для которого « = <р-2> причём
?1<?2<2тг; уг:,овое ускорение, соответствующее <р=<р2>
должно быть равно нулю; значение <р>2 представляет один
из корней уравнения четвёртой степени, которое получается
по исключении cos (о — f) и sin(©— f) из уравнений: №=0
и U* = 0.
3) При первом обороте для некоторого значения ? = 9i
@<9i<2tc) зпгловая скорость обращается в нуль; угловое
ускорение в таком случае, как показано в начале параграфа,
при ср = Oj не может быть равно нулю, следовательно, оно
будет отрицательным, и тело, достигнув <p = 9j, далее
будет совершать обратное движение, вращаясь в
отрицательную сторону,, причём при каждом значении у: 0^9^?i
будет иметь угловую скорость той же величины, что и
в предшествовавшем прямом движении при этом значении <р
(§ 3, п. 7). Вернувшись в начальное положение с угловою
скоростью, равною начальной, по направлению в
отрицательную сторону, тело будет продолжать вращаться в
отрицательную сторону; при этом угол <р не может получить
значения меньшего, чем <?2, причём 0 > <р2 > ot — 2я, так
как при <p=<Pi — 2ъ квадрат угловой скорости должен был
бы равняться отрицательной величине (§ 3, п. 1).
Тело будет асимптотически приближаться к положению,
для которого tf = ?•)> если при <р = з>2 угловое ускорение
1^=1^ = 0; в противном случае должно быть 1Г2>0,
и тело будет далее вращаться опять в положительную сторону.
В этом случае мы имеем колебательное движение тела
около оси от ср = ср^ до у == <р2> причём разность уг—<Ра < ^я;

О ВРАЩЕНИИ ТЕЛА С РАЗВЁРТЫВАЮЩЕЮСЯ НИТЬЮ 201
время, в которое тело совершает один размах как в
положительную, так и в отрицательную сторону, будет одно
и то же в продолжение всего движения. Угловая скорость
за время одного размаха от нуля возрастет до некоторого
UmKt и затем убывает до нуля; угол ? = <pw, при котором
угловая скорость получает наибольшее значение, не соот-
ветствует половине размаха:
?i — ?m>?m — ?а (§ 3, п. 5);
в этом, между прочим, состоит отличие рассматриваемого
движения от колебаний физического маятника.
II. Начальная угловая скорость
направлена в отрицательную сторону.
В этом случае число оборотов тела в отрицательную
сторону не превосходит числа N такого, что произведение
4/иг (—Ьпъ -f- с), в котором второй множитель остаётся
положительным, возрастая с увеличением числа я, при n = N
становится равным или большим <о2 (§ 3, п. 1).
При вращении в отрицательную сторону при каждом
обороте происходит потеря угловой скорости; при а^-b
угловая скорость убывает всё время, пока длина свешивающейся
части нити не менее у; при а > о угловая скорость
может переходить через наибольшие и наименьшие значения,
как это указано в предыдущем параграфе (§ 3, пп. 4, 5, 6).
Главных случаев представляется три.
1) Может случиться, что рассматриваемое движение
прекратится вследствие того, что свешивающаяся часть нити
с грузом станет так коротка, что дальнейшее
навёртывание её на вал невозможно.
2) Тело асимптотически приближается к некоторому
положению; соответствующее этому положению угловое
ускорение должно быть равно нулю.
3) При некотором значении 9===?i Угловая скорость
обращается в нуль; соответствующее угловое ускорение
должно быть положительным; тело совершает далее
обратное движение, вращаясь в положительную сторону и получая

202
И. В. МЕЩЕРСКИЙ
те же по величине угловые скорости, что и в
предшествовавшем движении, при равных углах <р. Вернувшись в
начальное положение, тело продолжает вращаться в
положительную сторону; при этом случай асимптотического
движения, а также и случай движения колебательного могут
представиться только тогда, если тело начало своё
обратное движение прежде, чем совершило один полный оборот
в отрицательную сторону. В самом деле, если при
изменении 9 от НУЛЯ ДО —2те остаётся /7>0, то и подавно при
изменении <р от нуля до 2* будет У>0 (§ 3, п. 1).
Ш. Начальная угловая скорость равна нулю.
Если в начальный момент угловое ускорение IT=W0>0,
то получается вращение в положительную сторону, причём
могут представиться три случая: 1) тело вращается в
положительную сторону всё время, пока позволяет длина
навёрнутой нити; 2) тело асимптотически приближается к
некоторому положению 9 = ?i> гДе 0<<Pi<2ir; 3) тело
совершает колебательное движение около оси от о = 0 до
<p = <Pi> где 0<9i <2ir, причём угловая скорость получает
наибольшую величину при ср < — <р, (§ 3, п. 5).
Если в начальный момент угловое ускорение W= W0<0,
тело получает вращение в отрицательную сторону, но
сделает только часть одного полного оборота; при этом
возможны два случая: или тело асимптотически приближается
к некоторому положению, или же совершает колебательное
движение от <э = 0 до <р = ф1 и обратно, где 0 > «i > — 2it.
§ 5. Вращение вала в случае двух подвешенных грузов.
Рассмотрим вкратце более общую задачу, которая
отличается от предыдущей только тем, что тело имеет ещё
другую часть, представляющую круглый цилиндр, ось
которого совпадает с осью тела, и на этот цилиндр также
навёрнута тяжёлая нить по винтовой линии, но в
противоположную сторону, так что свешивающиеся части иите#
находятся по разные стороны от оси.

О ВРАЩЕНИИ ТЕЛА С РАЗВЁРТЫВАЮЩЕЮСЯ НИТЬЮ 203
Пусть горизонтальная прямая, от которой отсчиты-
ваются углы, направлена, как в предыдущей задаче.
Момент инерции системы будет теперь Аг:
предполагая, чторр /?р /„ ku Ql9 a} имеют такое же
значение для второй нити, как соответствующие буквы без
значка для первой нити.
Если главный момент сил в предыдущей задаче
обозначим через L, а здесь через Lv то
I,=l+% /&in («,+?)+^ Rh - ад.
Дифференциальное уравнение движения может быть
также представлено в виде
§ = «icosfo — Ti) + *i?-Hn
где постоянные аг > О, Ьх > 0, а если QR^RXQV что мы
всегда можем предположить, то и cl^sO; но здесь при
вращении тела двучлен b1y-j-c1 может получать нулевое
и отрицательные значения, поэтому в настоящем случае
имеют место вообще только те заключения, при выводе
которых из уравнения A) мы не пользовались условием: by + с>0.
К рассматриваемому движению, пока остаётся Ь1у-\-с1 >0,
приложимы все выводы предыдущих параграфов; если затем
этот двучлен обращается в нуль и далее становится
отрицательным, то мы можем тогда изменить направление той
горизонтальной прямой, от которой отсчитываются углы,
на противоположное; изменив соответственно начальные
данные, мы опять можем воспользоваться всеми
предыдущими выводами.
Возьмём простейший частный случай: центр тяжести тела
находится на оси; на цилиндрической части навёрнута одна
нить, оба конца которой свешиваются и поддерживают
данные грузы; в этом случае
Л = о, /? = /?,, f=fv p=pv а = ^ = ^ q>qv

204
И. В. МЕЩЕРСКИЙ
Уравнение движения:
где
т —JaT' и~~ tyR '
Интегрируя, находим
?s=5gL[(tf4-a>)^ + (« — (i>)e-^ — 2а],
где со—начальная угловая скорость. Отсюда следует, что при
w^sO вращение всё время происходит в сторону Q; если
0>о>>—к, тело вращается сначала в сторону Q{; при
/==s2m,nS^' К0Гда ^ = — m(tt— V"»9 — «*)t угловая
скорость обращается в нуль и далее вращение происходит
в сторону Q; при ш = — и тело асимптотически прибли-
и
жается к положению <р ——~^$ если ю<—//, то
вращение всё время происходит в сторону Qv

ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ
В ЗАДАЧЕ ДВУХ ТЕЛ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ*).
^-^ адача о движении двух тел, массы которых подвер-
)) гаются изменениям со временем, при условии, если
yv эти изменения происходят без ударов (непрерывно)
\^J/ и тела взаимно притягиваются по закону Ньютона,
приводит к уравнениям:
dti -Т г» — v>
^У + ЬУ —О
A)
где р представляет собой известную функцию времени.
Гюльден2) указал метод приближённого интегрирования
уравнений A).
В № 3153 Astronomische Nachrichten в своей статье
«Один частный случай задачи Гюльдена»8) я исследовал
частный случай, когда
где а и а — постоянные величины, и когда задача двух тел
*) Впервые опубликовано на немецком языке в
Astronomische Nachrichtcn, 1902, г. 159, N° 3807. Перевод на русский язык
выполнен В. И. Контовтом.
2) G у 1 d e n, Die Bahnbewegungen in einem Systeme von zwei
Kurpern in dem Falle, dass die Massen Veranderungen unterworfen
sind. Astron. Nachr., № 2593.
8) Mestschersky I., Ein Specialfall des Gyldenschen
Problems. Astron. Nachr., т. 132, JSfe 3153 [стр. 35 настоящего издания].

206
И. В. МЕЩЕРСКИЙ
переменной массы сводится к задаче двух тел постоянной
массы посредством преобразования уравнений A) с помощью
формул
в уравнения
*L+i—o
D)
dt* ' pi
Ловетт1) при рассмотрении преобразования вида
6 = ?(*,.У, О» Ч = т*С*..У. О» тн««@
приходит к заключению, что указанное мною
преобразование неверно и что уравнения A) допускают приведение
к уравнениям D) при
ji. a a + *t
и
В настоящей работе я намерен показать:
1)что приведённое мною в № 3153 Astronomische Nach-
rlchten преобразование правильно;
2) что уравнения A) интегрируются в квадратурах также
и в более общем случае, именно при
__ 1
где а, р, y — постоянные;
3) что случай этот является единственным, когда
уравнения A) посредством определённого вида преобразования
приводятся к уравнениям движения точки постоянной массы
под действием на неё центральной силы, зависящей лишь
от расстояния; при этом необходимое для данной цели пре-
*) L о v e 11 E. О., Note on Gylden's equations of the problem
of two bodies, with masses varying with the time. Astronomische
Nachrichten, № 3790.
*) В формулах D6) й D7) автора я полагаю т = а, п = а, I = 1.

ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ 207
образование должно иметь вид
* = <?(*> Л 0, Ч = Ф(^»Л *)> d- = m(xf у, t)dt
и удовлетворять тому требованию, чтобы применение его
для всякой силы, не зависящей от скорости, не вводило
в уравнения движения первых производных.
§ 1. Случай Ji = 5T^-
Покажем, что уравнения D) в результате выполнения
преобразования по формулам C) при [i = , . дают
уравнения A).
Действительно, из C) получаем:
Л 1_
их Л**
dt 1 dx
dz ах &v
(№___ dxj. , ±dx, l_d*x 1_^?
Отсюда
и, следовательно,
JL_ J_?.
рЗ — a2x2 ,* '
kax • —=• = 0
Аналогичное уравнение получается непосредственно также
и для ,у.
Заметим, что случай [i= , и соответствующее ему
формулы C) могут быть получены из формул Гюльдена
(Astronomische Nachrichten, № 2593), если вместо
введённой Гюльденом функции ^ ввести линейную функцию
независимой переменной х.

208 и. в. мещерский
1
§ 2. Случай jt =
Ym + tt + r$*9
Введем три новые переменные 5, yj, ?, положив
тогда уравнения A) перейдут в следующие:
~J =: аналогичному выражению, получающемуся из
предыдущего путём замены в нём 5 через yj,
E)
причём через /', <р', /", <р" здесь обозначены первые и
вторые производные функций /и?.
Уравнения E) не будут содержать производных ~
dr\
и —, если
<? = ?*.
где к — постоянная; для того же, чтобы в правую часть
уравнения E) не вошла переменная т, должно
удовлетворяться условие
_L.(//"_2/'a) = const,
и тогда для функции/получится непосредственно уравнение
-?-(//»-2/") «const.,
откуда
/д- * -
где а, р, ^— постоянные.
Отсюда мы заключаем, что переменная х и первые
производные не будут входить в уравнения E) при условии,
если
1

ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ 209
Положив для данного случая
* = риг, ц = |iy, dz = |Af/;
преобразуем уравнения A) в следующие:
?* — -t + rf
где л = 1р2_аТ.
Таким образом, в рассматриваемом случае задача о
движении двух точек переменной массы, взаимно
притягивающихся по закону Ньютона, приводится к задаче о движении
одной точки постоянной массы под действием центральной
силы, представляющей собой равнодействующую двух сил,
из которых одна есть ньютонова сила притяжения, другая
же — пропорциональная расстоянию сила притяжения или
отталкивания, смотря по тому, имеет ли место ?2<4ат или
р2 > 4а*у. Решение задачи легко можно получить s
квадратурах; координаты точки выражаются в виде эллиптических
функций времени. Я не останавливаюсь здесь, однако, на
исследовании движения, так как это значительно увеличило
бы объём статьи.
Если р2 — 4a*j = 0, сила, пропорциональная расстоянию,
отсутствует, и мы возвращаемся к предыдущему случаю:
_ 1
*~~ a + at*
§ 3. Преобразование:
6"«*<*. Л t), Ч —*(*. Л t)9 * — »(*. л t)dt. F)
Пусть нам даны уравнения
ТЯГ — *' 4fi—Y> <7>
где X и Y—функции одних лишь переменных лг, yf t\ рас-
14 И. В. Мещерский.

210 И. В. МЕЩЕРСКИЙ
смотрим преобразования этих уравнений с введением новых
переменных 5, тг), х по формулам F).
Применим для частных производных следующие
обозначения:
дх **' ду ?v dt ™*
дх V о» /ш' ду \ <о /у
и т. д.; тогда получим:
dt» ю* \™ Л* ТУ" dp )^
+[(*1+(-ЭД+(-?)}.
d**""
(Р-п d2?
выражение для -т~ получается из выражения для —^
путём подстановки ф вместо у1).
Исследуем теперь, какой вид должны иметь функции
Ф, $, ш в преобразовании F) для того, чтобы уравнения
(8) не содержали вовсе первых производных, т. е. вели
себя как функции X и Y, если -^ и —^ заменить в
них через X и Y и ввести переменные I и т).
Необходимым и достаточным условием этого является
то, чтобы уравнения (8) не содержали производных
dx dv
"dt и ~5F> отсюда получаются две группы уравнений, ко-
*) Если применить формулы (8) к случаю преобразования,
рассмотренному в статье Ловетга, то обнаружится, что в правой
части формул D) при этом исчезнет делитель, обозначенный
автором через со*.

ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ 211
торым должны удовлетворять функции о, <J>, <o:
и три аналогичных уравнения, получаемых заменой
«р, через ф;
(?),+(")-»• (*Ы^-«
и два аналогичных уравнения относительно ф вместо о.
Из уравнений (9) следует, как известно *), что функции
<р, <ls ш должны иметь вид
(^
A0)
?
__ Ллг + ^ + С j._Ai* + *iy + Ci
Мх + Ыу + Р9
Мх + Му + Р '
1
(И)
~~ k{Mx + Ny + P)*y
где все величины, кроме хну, могут быть функциями t
или постоянными, a k должна быть отличной от нуля.
Если теперь подставить выражения A1) в уравнения A0)
и положить коэффициенты при х и,у, а также постоянные
члены равными нулю, то мы придём к двенадцати
уравнениям, которые можно будет свести в следующие три группы:
dA
М
dt
А dt —">
dt dt
и два аналогичных уравнения для Л1 и Вх;
»(м%-Л%) + ?(ВМ-Л«)-0
Ik
и два аналогичных уравнения для Ai и Bt;
dM\ . Ak(Ap_CM)es0t
dB „ dN\ . ?{вр_СМ)==0
и два аналогичных уравнения для Аи Bi9 Cv
(*3-'#)+'
A2)
A3)
A4)
1) См. Р. А р р е 11. De rhomographie en mecanique. American
Journal of Mathematics, т. XII, стр. 103—114.
14*

212
И. В. МЕЩЕРСКИЙ
Легко заметить, что эти уравнения удовлетворяются
тогда и только тогда, когда входящие в выражения A1)
коэффициенты С, Си Р являются функциями / или
постоянными величинами, &=1, остальные же коэффициенты
также являются постоянными величинами.
Первый случай: М и N не равны нулю.
Уравнения A2) дают
где а, р, аи {^ — постоянные.
Из уравнений A3) следует:
<«-»B*^ + "?)-0. <—Р>(а*Зг + Лг?)-0.
и два аналогичных уравнения, содержащих множитель
(ai — Pi) вместо (а — $); два равенства а = р и аа = 3j
не могут удовлетворяться одновременно, ибо тогда первые
два уравнения A1) не могли бы дать определённых
выражений для х и у в функциях от S и ij; поэтому должно
быть:
Yk Yk
где i и 8 — постоянные.
Уравнения A4) для вышеприведённых значений А, В,
Аи Bl9 M, N будут удовлетворяться.
Если ввести эти значения в формулы (И), то получим:
А'х + В'у + С' Щш_ А\+В^у+С[ ]
?— M'x + Wy + P" * — M'x + N'y + P" I ,15)
ш= (Mx + Ny + P)*' J
где d\ Ci, P суть функции t или постоянные величины,
остальные же коэффициенты — постоянные величины.
Второй случай: М^О, Af=0.
Уравнения A2) дают:
А = *Mt Ах = atM.

ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ 213
Из уравнений A3) следует, поскольку Я и Вх не
могут обращаться в нуль одновременно:
8*Зг + *#-0.
dt
М dt^U dt
,0,2*?> + *4* = 0,
откуда
yV У> "У*
Уравнения A4) будут тогда удовлетворяться, и мы
придем к формулам вида A5) для N' = 0.
Третий случай: М = 0, ЛГ^О.
Поступив, как и в предыдущем случае, приходим к
формулам вида A5) для M' = 0.
Четвертый случай: Л! = 0, Af=0.
В этом случае Р должно отличаться от нуля, и
уравнения A4) дают:
л =
— Я —-2- А — -SL В = -А--
УЖ1 ^"УТ' Al~Yk9 l Yk*
мы приходим к формулам вида A5) для М' = 0 и N'==0.
Из сказанного следует, что формулы
» Ас + Яу + С
«~ Afx + ACy + P
tfc =
И^ + B^ + gi
Ч — Мх + Ыу + Р >
1
(ЛТлг + ЛОг + Я)^^
A6)
)
в которых, как и повсюду в последующем нашем
изложении, С, Cv P являются либо функциями I, либо
постоянными, а Л, Я, А19 Я,, Л1, ЛГ постоянными, представляют
собою единственный возможный вид преобразования F), при
котором преобразованные уравнения G) не содержат
первых производных, какого бы вида ни были функции X и К.
При этом определитель
ABC
А,
М
С,
Р
должен быть отличен от нуля.

214
И. В. МЕЩЕРСКИЙ
Обозначив через a, ft, с, а19 bu cv m, n, p
коэффициенты соответственно при А, В9 С, Alf Bl9 Clt М> ЛГ, Р
в разложении этого определителя, так что
a = tf,P —QW, b^CiM—Af, . . ., р = АВг — ВА19
и решив после этого два первых уравнения A6)
относительно х и у\ найдём:
^__ gj + gtT| + m К + М + л /17,
S 4. Доказательство того, что случай § 2
при преобразовании вида A6)
является единственно возможным.
Применим формулы преобразования A6) к уравнениям A).
Уравнения (8) дают нам
=±[(_V+ai,)-?+(-?),],
A8)
где <р и ф обозначают функции, стоящие в правых частях
первых двух уравнений системы A6), а ш — коэффициент
при dt в третьем уравнении A6),
Мы принимаем во внимание лишь тот случай, когда
уравнения A8) после введения в них переменных \ и ij по
формулам A6) не содержат t
При этом мы допускаем, что для исключения t в
нашем распоряжении нет не содержащего первых производных
интеграла уравнений A), ибо если бы такой интеграл был
нам известен, то координаты точки можно было бы
считать1) известными функциями / и задача преобразования
потеряла бы свой смысл.
!) Пусть /Or. у, t4 Л,) =2й2» где hx и Н2 — постоянные,
представляет собой известный интеграл уравнений A); в таком случае
II
ху—ух** Н,

ЗАДАЧА ДВУХ ТВЛ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ 215
Поскольку величины а, Ь, аи Ьх не могут обращаться
в нуль все одновременно, то после введения переменных 5
и tq в правых частях уравнений A8) появятся иррациональные
функции 5 и т|; такая иррациональность возникает именно
в результате преобразования У^х^-^-у2.
Отыщем теперь такое преобразование вида A6), в
результате которого уравнения A8) будут содержать
иррациональность относительно 5 и t| лишь в виде V^-J-'q2.
Необходимым и достаточным условием для этого
является соотношение
где /—функция, рациональная относительно ? и yj, и
следовательно, обратное ему соотношение
где F—рациональная функция х и у.
Из формулы A6) получаем:
+ AlBJxy + 2(AC+A1C1)x+2(BC+B1C1)y + C*+ClU
откуда
С = 0, Сг = 0, ВХ = ±Л, АХ = Ц1В,
• dx • dv ш «
где дг = —, у = -5т» а Л—постоянная. Если эти два последних
уравнения допускают решения осносительно х и у. то искомый
интеграл получается по теореме Лиувилля; еслиже эти
уравнения не могут быть разрешены относительно х и у, то мы должны
будем положить
и, следовательно, притти к функции /, которая должна будет
содержать переменные х и у в виде отношения —, причём хну
определятся, очевидно, как известные функции времени.

216 И. В. МЕЩЕРСКИЙ
причём здесь, как и в следующих формулах, одновременно
следует брать либо лишь одни верхние, либо лишь одни
нижние знаки.
Таким образом, получаем значения
а = ±гАРу Ь = ±ВР, а1 = — BPf b^AP, w=0, я=0,
c = + (AM-\-BN), cx = BM — AN, p = ±(A* + B*).
Формулы A7) принимают вид
P(±ylS-~fh)) P(z?BZ + Aj)
ct + cft+p ' У~~ ct + ся+р '
откуда
После подстановки этих значений в уравнения A8)
находим:
где под (Л*-|-?2J и [/Ч^ + ^ч + р)8! следует понимать
абсолютные значения соответствующих выражений.
A9)

ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ 217
Так как лишь jihP являются здесь функциями
времени, то необходимыми и достаточными условиями для того,
чтобы переменная t не входила в правые части уравнения
A9), являются
[*Р = const., B0)
W = const. B1)
Интегрируя уравнения B1), находим:
где се, р, к — постоянные, а из уравнения B0) следует:
е
где е — постоянная, которую, однако, без ущерба для
общности формулы можно считать равной 1; мы приходим,
таким образом, к случаю § 2.
Этим самым доказано, что случай
1
** уа + р + ч*
является единственным, когда задача Гкиьдена допускает
приведение к задаче о движении точки постоянной массы
под действием силы, проекции которой на оси координат
являются функциями одних лишь координат, содержащими
в себе лишь одну иррациональность относительно этих
координат, а именно: расстояния точки от начала; приведение
это осуществляется преобразованием F), удовлетворяющим
тому условию, что для любой не зависящей от скорости
силы оно не вводит в уравнение движения первых
производных.
Из сказанного следует как частный вывод, что
** === a a-at ® ^ представляет собой единственный случай,
когда задача Гюльдена посредством преобразования F),
удовлетворяющего вышеуказанным условиям, приводится
к задаче о движении точки постоянной массы,
притягиваемой к неподвижной точке по закону Ньютона.

218
И. В. МЕЩЕРСКИЙ
§ 5. Частный случай задачи п тел переменной массы.
Преобразование
B2)
У<х + ^+7'2 а + р/+т/3
с выгодой применимо также и при решении задачи о
движении материальных точек
Мх (хи уг, *г), ..., Мп(хп> ую гп\
подвергающихся действию сил взаимного притяжения и
отталкивания, а именно в том случае, когда эти силы
пропорциональны ?-й степени расстояний и масс точек,
причём массы точек изменяются со временем по закону
8+8
«#=*«(«Ч-Р'+Т^" а ('=1. 2, ..., /I),
где ku k2t ..., kn, а, р, f, 5 — постоянные.
Кроме этих сил, на каждую точку Ж* системы может
действовать ещё из начала координат сила притяжения или
отталкивания Fi = simirii где
8+3
е< -Л (« + РЧ-Т<»Г а » ' = V^-h^+г»,
а Д, /2, . •., /п — постоянные.
С помощью преобразования B2) эту задачу можно
привести к случаю движения материальных точек, на
которые действуют силы взаимного притяжения и
отталкивания указанного выше вида и, кроме того, вообще ещё силы
из начала координат, пропорциональные расстояниям и
массам точек. Из числа этих последних сил, действующих на
точку с координатами ?<, г\и С<, силой притяжения будет
та, для которой
±Л+«Т-7РЯ>0,

ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ 219
и, наоборот, имеем силу отталкивания в случае
где f4 нужно брать со знаком +, если сила Fi является
силой притяжения, и со знаком —, если F€ — сила
отталкивания.
Если
то на точку (Е|, ^, С*) действуют лишь силы,
обусловленные точками той же системы.
-t>T^%^>^

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ
МАССЫ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ
(из Дневника X съезда русских естествоиспытателей и
врачей)г)
зменение массы тела в общем случае состоит в том,
что новые частицы присоединяются к телу и в то
же время некоторые частицы тела от него
отделяются. Задача о движении тела переменной массы
приводит нас к задаче о движении точки переменной массы:
во-первых, когда тело движется поступательно, во-вторых,
когда центр инерции сохраняет своё положение
относительно тела и мы определяем движение центра инерции.
Уравнения
и.
где м — масса тела в момент t, /и,—масса,
присоединившаяся к телу за время от начального момента до момента /,
т9 — масса, отделившаяся за то же время, а, и
а«>—проекции скорости центров инерции присоединяющейся и
отделяющейся массы в момент /, выражают движения точки
переменной массы, если определитель из коэффициентов
при вторых производных от координат не равен тожде-
*) Сообщено 24 августа 1898 г. на заседании секции
математики и астрономии X съезда русских естествоиспытателей и
врачей в Киеве (см. Дневник X съезда русских
естествоиспытателей и врачей, стр. 139—140). На съезде по поводу
сообщения были сделаны замечания Н. Б. Жуковским, В. А. Стендовым
и А. П. Котельниковым.

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ 221
ственно нулю, и, вообще говоря, только до того момента,
когда этот определитель обратится в нуль; далее, может
быть одно или несколько движений, удовлетворяющих
заданию, или движение невозможно*
Если упомянутый определитель тождественно равен
нулю, движение или невозможно или не определяется
заданием.
Заслуживают внимания частные случаи:
1) тг = О или /иа = О,
2) <xt =ct2,
3) JWj = 0&2»
<>в5ч=9^>>-

тЛЬЯ^^^8^^®*^
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ
МАССЫ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ1).
С\ уществуют такие случаи движения, в которых масса
0 движущегося тела изменяется с течением времени.
У Изменение массы тела происходит вследствие сгора-
J ния, испарения, растворения, намерзания и т. д.;
вообще масса тела изменяется вследствие того, что или
некоторые частицы отделяются от тела, или новые частицы
к телу присоединяются, или то и другое происходит
одновременно.
В сочинении «Динамика точки переменной массы»2)
разобраны различные случаи движения тела переменной
массы, в которых задача о движении тела приводится к
задаче о движении точки.
Изменение массы во многих случаях сопровождается
присоединением к задаваемым силам, действующим на тело,
некоторых новых сил; из таких случаев в упомянутом
сочинении рассматриваются лишь те, в которых происходит
или только присоединение частиц, или только отделение
частиц, причём предполагается, что аналитическое
выражение массы тела не содержит скорости.
В своём сообщении на Десятом съезде русских
естествоиспытателей и врачей в Киеве3) я изложил вывод
*) Впервые опубликовано в Известиях Петербургского
политехнического института, т. I, 1904.
*) «Динамика точки переменной массы». Рассуждение И.
Мещерского. С-Петербург. 1897 [стр. 31 настоящего издания].
8) Дневник X съезда русских естествоиспытателей и
врачей, стр. 139—140 (см. стр. 220—221 настоящей книги).

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ 223
дифференциальных уравнений движения точки переменной
массы в том случае, когда одновременно происходит
присоединение и отделение частиц, и указал те особенности,
которые представляются тогда, когда аналитическое
выражение массы точки содержит проекции её скорости.
Рассмотрение общего случая изменения массы тела
и соответствующего движения, когда вопрос о движении
тела приводится к вопросу о движении точки, составляет
предмет настоящей статьи.
ГЛАВА I.
ИЗМЕНЕНИЕ МАССЫ ТЕЛА В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ.
Если масса тела изменяется с течением времени, то,
обозначая её в момент tQ через тх, а в какой-либо другой
момент t через т, мы будем иметь в общем случае
т=^т0-\-т1— т2, A)
где тг обозначает массу тех частей тела, которые
присоединились1) к телу во время от t0 до ty а т2 — массу тех
частей, которые от него в то же время отделились.
При непрерывном изменении массы тела от t0 до t массы
т1 и т2 или представляют непрерывные функции в течение
всего этого промежутка, или же, если претерпевают
разрыв в некоторые моменты tu t2, ..., лежащие между /0 и
t, то одновременно тх и /иа и притом так, что разность
т, — т.2 остаётся при этом непрерывною; в последнем
случае мы рассматриваем движение тела по частям: сначала
определяем движение от момента t0 до tu затем
рассчитываем результаты ударов, происходящих в момент tu после
этого определяем движение от момента tt до /2 и т. д.
Таким образом, если масса тела изменяется непрерывно,
то мы всегда можем считать тх и т2 непрерывными
функциями времени в течение рассматриваемого промежутка: для
J) Присоединение к телу новых частиц мы понимаем в том
смысле, что они принимают такое же участие в движении тела,
как если б это были частицы самого тела.

224
И. В. МЕЩЕРСКИЙ
начального момента, когда т = щ, функции,
выражающие тх и /я.2э должны равняться нулю, и затем в
последующие моменты они не могут иметь отрицательных
значений.
Пример такого изменения массы движущегося тела, при
котором одни причины вызывают увеличение массы, а
другие в то же время — её уменьшение, представляет подъём
привязного аэростата, если одновременно с вытягиванием
каната высыпается из аэростата песок; примеры того же
рода мы имеем в следующих случаях: когда цепь
переходит с одной горизонтальной площадки, где сложена часть
цепи, на другую горизонтальную площадку, помещённую ниже
первой; когда с вращающегося вала сматывается одна цепь
и в то же время наматывается другая; когда по плоскости
катится цитандр, и при этом одни полосы материи на него
навёртываются, а другие с него свёртываются; когда в
плавающее судно через одни отверстия вода вливается, а через
другие выливается и т. д.
Во всех вышеуказанных примерах может представиться
частный случай, когда масса движущегося тела будет
оставаться постоянною вследствие того, что масса,
присоединяющаяся в течение некоторого промежутка
времени, равна массе, отделяющейся в течение того же
промежутка.
Относительные скорости по отношению к телу
«изменяющих* частиц, т. е. частиц присоединяющихся и
отделяющихся, вообще говоря, не равны нулю; но можно указать
такие случаи, в которых относительные скорости
изменяющих, именно, отделяющихся частиц равны нулю: например,
когда привязной аэростат опускается и канат ложится на
землю, происходит уменьшение массы движущегося тела,
при этом относительную скорость отделяющихся частиц
нужно считать равною нулю, потому что скорость
абсолютную, равную нулю, они получают уже вследствие
взаимодействия их с землёю; подобное же обстоятельство имеет
место при падении цепи с одной площадки на другую;
также равна нулю относительная скорость изменяющих
частиц, если они отделяются от тела вследствие
центробежной силы.

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ 225
Если относительные скорости изменяющих частиц не
равны нулю» то их абсолютные скорости в бесконечно
малый промежуток времени получают конечные приращения,
и потому мы можем сказать, что в этом случае при
изменении массы тела происходят удары; ударов нет, если
относительные скорости изменяющих частиц равны нулю.
ГЛАВА II.
ВЫВОД УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ
МАССЫ.
Существуют случаи, в которых задача о движении тела
переменной массы приводит нас к задаче о движении точки
переменной массы; один из таких случаев представляется
нам тогда, когда тело переменной массы движется
поступательно, другой, когда при изменении массы твёрдого
тела центр инерции его сохраняет своё положение
относительно тела и мы определяем движение центра инерции.
Имея в виду вывести уравнения движения точки
переменной массы, можем взять тот или другой из этих
случаев; возьмём первый случай.
§ 1. Поступательное движение тела.
Поступательное движение тела вполне определяется
движением одной из точек, принадлежащих телу в
продолжение всего промежутка времени, в который движение тела
рассматривается; координаты её пусть будут х, у, z\ в
течение этого промежутка масса тела и проекции X, К, Z
равнодействующей задаваемых сил, к телу приложенных1),
изменяются непрерывным образом, и притом масса не
обращается в нуль.
Возьмём в рассматриваемом промежутке времени какой-
либо момент t и следующий за ним бесконечно малый
промежуток т.
1) В число задаваемых сил следует включить и реакции
связей, если тело не свободно.
15 И. В. Мещерский.

226 И. В. МЕЩЕРСКИЙ
Обозначим через «, как в формуле A), массу тела
в момент /, через ^ бесконечно малую массу, которая
присоединяется к телу в течение промежзгтка т, и через \^
бесконечно малую массу, которая отделяется от тела в
течение того же промежутка; таким образом, мы имеем три
массы:
к которым приложены задаваемые силы и силы
взаимодействий.
Проекции скорости точек тела в момент / обозначим
через
*> у> h
таковы же будут в этот момент проекции скорости
центров инерции масс: т—ра и HI проекции скорости точек
массы т—^ в момент /+т обозначим через
• • *
хи Уи гх>
таковы же будут в этот момент и проекции скорости центра
инерции Р4; проекции скорости центра инерции ft в момент t
обозначим через
av fr iv
проекции скорости центра инерции р9 в момент /-J-t через
*'%> К» 1г
Составим уравнения, выражающие изменение количества
движения центра инерции масс
«—Ht ft и ft
во время от t до t-\-z:
(т— Ы(*1 — *) + ft(*i~ *b + H& — *)=='*. |
(« — Ы(Уг~>) + МЛ — PU + ft(tf — i)-V f. W
(« — ft)(*i — *)+ft(*i~Тд)Ч-1*»СТи — *) — Л. I

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ 227
где /ш, /уэ Jg обозначают проекции на координатные оси
импульса за время т главного вектора сил1), приложенных
к рассматриваемым массам.
Уравнения B) можно написать в виде
т(хг — *) + M*i — "Ь —14 (*i — а'г) = <!т,
«А —*) + 14(^х —т!) —14(^1 —Т«) в/г
C)
Главный вектор сил взаимодействий равен нулю, и
потому они не оказывают влияния на величину Jx, Jyy JB;
эти величины могут быть представлены в виде
7. «(*+*,)*.
/^(Г+ух,
/, = (Z + 88)x,
где 81э 82, 88 обозначают величины, которые с уменьшением т
приближаются к нулю; они являются, во-первых, вследствие
того, что силы, приложенные к массе т, вообще говоря,
изменяются с течением времени и тогда, когда масса остаётся
постоянною; во-вторых, вследствие того, что к этим силам
присоединяются силы, приложенные к массе pj.
Разделим обе части уравнений C) на х и будем
приближать т к нулю; если при уменьшении т отношения
приближаются к некоторым пределам, то эти пределы будут
соответственные значения производных2)
dm* dm*
——=• u ? *
dt и dt '
*) Главным вектором сил мы называем геометрическую сумму
этих сил.
2) Значения производных мы будем иметь, очевидно, и тогда,
когда одно из отношений или оба будут оставаться постоянными.
15*

228
И. В. МЕЩЕРСКИЙ
если притом величины
а[> Pi* Т1 и aJ> fti Тг
или сохраняют постоянные значения или, изменяясь,
приближаются к некоторым предельным значениям, — обозначим
эти значения через
*» Pi* Ъ и a2* fa> Т2»
— то в пределе мы получим следующие уравнения:
¦w+§(*-«i)-*?(*-«i>-*-o.
D)
it к " it
где
Если производные -—, -^~ и проекции скорости центра
инерции как присоединяющейся (аи р1э fi)> так и
отделяющейся (а2, ра, Та) массы в момент t сохраняют постоянные
значения или изменяются непрерывно с течением времени,
тогда уравнения D) представляют, вообще говоря,
совокупные дифференциальные уравнения второго порядка; эти
уравнения выражают поступательное движение тела
переменной массы в течение такого промежутка времени, в
продолжение которого масса т не обращается в нуль и все
величины, в уравнения входящие, имеют определённые
конечные значения.
Уравнения D) можно рассматривать как уравнения
движения точки переменной массы
т = tUq -)~ /Wj — ш^\

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ОБЩЕМ СЛУЧАВ 229
они могут быть представлены в виде
d{tny) v , dm i ft dm2 ft
~dr~=*r ~T"dfri йГРз'
d(mz) 7 . dmx dm2 I
E)
§ 2. Движение центра инерции.
Обратимся к случаю, когда при изменении массы
твёрдого тела центр инерции его сохраняет своё положение
относительно тела, и выведем уравнения движения центра
инерции.
Мы будем выводить уравнение только для проекций на
ось лг-ов, так как для проекций на оси jnob и г-ов
получаются, очевидно, уравнения того же вида.
Обозначим проекцию на ось дг-ов скорости центра инерции
массы т—ji^:
в момент t через \> в момент г+т через V;
массы \i.t:
в момент t через a'v в момент t-\-% через Ех;
массы {i^:
в момент / через 52, в момент t-\-% через «?.
Составим уравнение, выражающее изменение проекции
на ось лг-ов количества движения центра инерции масс
т—Ъ, ft* Н
во время от /до t-\-i:
(/«-ig(i/-?)+lt1(e1-«J/)+i*9(«;-ia)=4, (в)
где Jx обозначает проекцию на ось лг-ов главного вектора
сил, приложенных к трём рассматриваемым массам.
Пусть проекция скорости центра инерции тела на ось
лг-ов в момент t будет х% а в момент /+х будет xv тогда

230
И. В. МЕЩЕРСКИЙ
мы имеем:
тх = {т — ft>)S + ft&»
(ж — Н + ft) *, = (« — а2) V + |*А.
Принимая во внимание эти уравнения, мы можем
представить уравнение F) в виде
Km — i*a + ft)*i — **I — l*iai + № = 4- G)
Разделяем обе части уравнения G) на т и приближаем х
к нулю; имея в виду, что центр инерции тела сохраняет
свое положение в теле, и, следовательно, х и хг
обозначают проекции скорости одной и той же точки тела, мы
получим при вышеуказанных предположениях относительно
величин: \%v ра, afv а'2 первое из уравнений E), где X
обозначает теперь проекцию на ось х главного вектора
задаваемых сил, приложенных к телу.
Таким образом, уравнения движения центра инерции
тела в рассматриваемом случае будут уравнения D) или
уравнения E), если только в этих уравнениях лг, у, z
считать координатами центра инерции, а X, Y,
Z—проекциями главного вектора задаваемых сил, приложенных к телу.
§ 3. Частные случаи уравнений D).
Укажем важнейшие частные случаи выведенных общих
уравнений D) движения точки переменной массы.
1-й случай: 0^ = 0 или /и2 = 0.
Если изменение массы тела происходит или только
вследствие отделения частиц тела, или только вследствие
присоединения новых частиц, то или тг=:0, или /и2 = 0.
Если /^ = 0, то
dm2 dm a
если /и2 = 0, то
dnti dm #
~2Г"~~ dt ;

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ОБЩЕМ СЛУЧАВ
231
поэтому в рассматриваемом случае уравнения D) всегда
могут быть написаны в виде
т
•ЛГ+ТГС-i).
м
dfi1
d*z
dfi
-Z+$(T-i),
(8)
где a, {3, f обозначают проекции скорости центра инерции
массы, присоединяющейся или отделяющейся1).
Исследование уравнений (8) и решение соответствующих
задач составляют главный предмет упомянутого выше
сочинения «Динамика точки переменной массы».
2-й случай: m1 = w2.
Если величина присоединяющейся массы за любой
промежуток времени равна величине массы, отделяющейся за
тот же промежуток, то масса тела остаётся постоянною:
т = т$.
В этом случае мы получаем следующие уравнения
движения точки постоянной массы:
d*x
1 d&'
т
dfi'
dm
-*+=E<Ti-Ti>.
(9)
Уравнения (9) отличаются от обычных уравнений
движения точки:
тх = Х, my—Y, mz = Z
A0)
существованием вторых членов в правых частях уравнений;
эти члены выражают проекции той прибавочной силы,
1) Имеется в виду центр инерции массы, присоединяющейся
или отделяющейся в единицу времени. {Прим. ред.)

232
И. В. МЕЩЕРСКИЙ
которая является как результат ударов, происходящих при
отделении и присоединении изменяющих частиц.
Если масса тела постоянна и притом скорости центров
инерции присоединяющейся и отделяющейся масс в каждый
момент равны между собою по величине и направлению, то
уравнения (9) представляются в виде A0), и следовательно,
присоединение и отделение массы в этом случае никакого
влияния на движение точки не оказывает.
3-й случай: <*г = <*2> Pi^Pa* Ъ — Ъ-
Если масса тела изменяется, но скорости центров
инерции присоединяющейся и отделяющейся масс в каждый
момент равны между собою по величине и направлению, то
уравнения движения получают тот же вид, что и
уравнения (8); поэтому все заключения о движении, сделанные
на основании уравнений (8), имеют место и в настоящем
случае.
Если скорости центров инерции присоединяющейся и
отделяющейся масс равны нулю, то уравнения движения точки
переменной массы могут быть написаны в том же виде,
как и уравнения A0) движения точки постоянной массы:
d(mx) у d(my) у й(тг) ~
~Tt л> ~dt r> ~dt *т
4-й случай: x=y = z = 0.
Из уравнений D) следуют уравнения равновесия сил,
приложенных к точке переменной массы:
у-т? Су-Л)+т?Су-Ы-о, (и)
где х, у у z—величины постоянные.

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ОБЩЕМ СЛУЧАВ 233
Когда точка переменной массы находится в покое,
уравнения равновесия будут:
A2)
ГЛАВА III.
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ ИЗМЕНЯЮЩИХ МАСС
И ПРОЕКЦИЙ ИХ СКОРОСТЕЙ.
В предыдущей главе массы тх и /я2 — «изменяющие
массы», как мы будем их для краткости называть,
рассматривались как непрерывные функции времени, имеющие
первые производные; з начальный момент эти функции должны
быть равны нулю, затем для всякого момента в том
промежутке времени, в течение которого движение
рассматривается, они должны получать конечные положительные или
нулевые значения; их первые производные, когда они
входят в уравнение D), должны быть определёнными,
конечными и непрерывными в том же промежутке. Проекции
скоростей изменяющих 1) масс рассматривались также как
непрерывные функции времени, имеющие определенные
конечные значения.
Когда мы приступаем к определению движения точки
переменной массы при действии заданных сил, мы должны
уже иметь выражения изменяющих масс и проекций их
скоростей; но эти выражения, пока движение не определено,
мы не всегда можем написать как функции только от
времени.
Что касается скорости изменяющей массы, то в
простейших случаях, как было указано, она может быть равна
*) Мы будем называть для краткости скорости центров
инерции изменяющих масс скоростями изменяющих масс.

234
И. В. МЕЩЕРСКИЙ
нулю или скорости движущейся точки; нетрудно
представить себе случаи, в которых скорость отделяющейся
массы будет отличаться от скорости точки, так что
геометрическая разность их или будет оставаться постоянною по
величине и по направлению или будет изменяться
известным образом в зависимости от времени; ясно также, что
скорость присоединяющейся массы, которая образуется
частицами, поступающими из окружающей среды, может
зависеть определённым образом от времени и положения
движущейся точки; так что, вообще говоря, проекции
скоростей изменяющих масс могут быть даны как известные
функции времени, положения и скорости движущейся точки.
Обратимся к выражениям изменяющих масс.
§ 1. Выражения изменяющих масс, не содержащие
скорости точки*
1. Если масса тела уменьшается, например, вследствие
равномерного сгорания, то мы имеем выражение т2
в функции от t:
т% = Ыу
где k — величина постоянная; также, если считать
возрастание массы земли вследствие падения метеоритов
пропорциональным времени, как это делает Гюльден1), мы
получим:
mt = kt.
Но нетрудно указать случаи, в которых изменяющая
масса может быть выражена известным образом только как
функция от х, общее—от длины 5 пройденного пути, или
как функция от х и t, от s и t, как функция от
координат х, у, z и т. д.
2. Положим, мы рассматриваем падение ящика, в
котором сложена гибкая однородная полоса одинаковой
толщины; с одного края по длине полоса ограничена прямою
линией, а с другого кривою, уравнение которой будет:
*) Н. Gy Id en, Astronomfsche Nachrichten, № 2593.

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ОВЩЕМ СЛУЧАЕ 235
У\ =/0*i)> если прямой край принять за ось абсцисс (фиг. 1);
будем считать, что при хх = 0 и уг = 0; пусть острый
конец полосы прикреплён в точке О, находящейся вне ящика,
от которой проводим ось дг-ов по вертикали вниз; тогда
при падении ящика масса движущегося тела будет
уменьшаться, и если начальное значение х
будет нуль, то мы получим:
х
m<b = kff(x)dx = F(x),
о
где к обозначает массу единицы
площади полосы.
Таким образом, легко осуществить
случай, где отделяющаяся масса
выражена какою угодно функциею от х.
Положим теперь, что верхний конец
полосы движется по оси Ох вверх, так что
расстояние его от точки О выражается
функцией <р(/); тогда мы будем иметь:
«в—^[*+?(ОД-
Пусть полоса, о которой мы
говорим, своим острым концом прикреплена
к ящику, а затем сложена у точки О на горизонтальной
площадке; тогда ящик при падении будет постепенно стягивать
полосу, движущаяся масса будет возрастать, и мы получим:
mt = F(x).
Если упомянутая площадка будет перемещаться вверх,
будем иметь:
тх = Р[х + ч(*I
3. Пусть в криволинейной трубке движется материальная
точка, которая содержит сложенную гибкую нить; один
конец нити прикреплён к трубке; при движении точки нить
вытягивается, масса материальной точки уменьшается, и если
нить однородной плотности, то
щ = ks\

236
И. В. МЕЩЕРСКИЙ
если же плотность нити изменяется и выражается
некоторою функцией длины f(s), то
«
о
Если конец нити движется в сторону, противоположную
той, куда движется материальная точка, мы получим:
4* Случай, где изменяющая масса выражается функцией
от трёх координат х, у, z движущейся точки, мы можем
получить следующим образом: однородное тело, имеющее
форму круглого цилиндра с малым диаметром и
производящими, параллельными оси г-ов, движется поступательно,
оставаясь по одну сторону от поверхности, уравнение
которой есть г, =/(*, у); в начальный момент цилиндр
прикасается одним концом к поверхности, и если обозначим
через jc, у, г координаты другого конца, то движение
происходит так, что разность z—z19 где ги^ соответствуют
одним и тем же значениям хну, непрерывно уменьшается;
пусть поверхность имеет такую высокую температуру, при
которой вещество тела быстро плавится; тогда мы будем
иметь:
т2 = т0—k[z— f(x, у)],
где k — величина постоянная.
Если поверхность сама движется так, что уравнение её
будет:
*1 — ?(*)=/(*, Л
причём z—zx попрежнему уменьшается, то мы получим:
т.л = т0—k[z—f(x, у) — у©].
Приведённые примеры показывают, что в зависимости
от характера того процесса, который обусловливает изменение
массы точки, изменяющие массы выражаются, вообще говоря,
некоторыми известными функциями от времени, положения
точки и длины пути, ею пройденного; эти функции и должны
быть подставлены вместо тх и т2 в уравнения D).

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ 237
§ 2. Выражения изменяющих масс,
содержащие скорость точки.
Осуществление таких случаев, в которых выражение
изменяющей массы содержит скорость точки, представляет
гораздо бдльшие трудности.
1. Рассмотрим падение круглого цилиндрического сосуда
с вертикальною осью, снабжённого крышкой и дном,
перпендикулярными к оси; в дне имеется прямоугольный вырез,
прикрытый двумя заслонками АВ и А В' (фиг. 2); внутри
сосуда на дне и заслонках поставлены вплотную иглы,
упирающиеся в крышку; центр тяжести находится на оси;
при раздвигании заслонок иглы будут выпадать, и
отделяющаяся масса будет пропорциональна площади отверстия,
следовательно, пропорциональна перемещению одной из
заслонок.
Цилиндр соединён с горизонтальной пластинкой в форме
концентрического кольца посредством двух спиральных
пружин CD и CD'; к этой же пластинке прикреплены
посредством нитей AEF и AfE'F\ перекинутых через шкивы
Е и ?', заслонки.
Пусть в начальный момент цилиндр и пластинка
поддерживаются так, что натяжение пружин равно нулю.

238
И. В. МЕЩЕРСКИЙ
Во время падения при надлежащем выборе площади и
массы пластинки пружины будут растягиваться; удлинение
их пропорционально натяжению, поэтому и перемещение
заслонок пропорционально натяжению, а следовательно,
и отделяющаяся масса будет также пропорциональна
натяжению.
Определим натяжение пружин.
Если удлинение пружин останется малым сравнительно
с высотою падения, например, 1 сантиметр при падении на
10 метров *), то мы можем считать равными скорости,
а следовательно, и ускорения цилиндра и пластинки.
Пусть т и т' обозначают массы цилиндра и пластинки,
к и W — соответствующие сопротивления воздуха при
скорости, равной единице, -^Т—натяжение каждой пружины;
имеем:
/я = /»0—aTf
где m0—масса цилиндра в начальный момент, а —
некоторая постоянная величина; сопротивление воздуха будем
считать пропорциональным квадрату скорости.
Уравнения движения будут
mx = mg—kx*— Г, \
m'x=m'f>—k'x*+T, J
где лг = -~, ^ = -^ и S—ускорение силы тяжести.
Ив этих уравнений получаем для определения Т
уравнение
T*-2pT+q = Q,
где
1) Соответствующей передачей легко получить перемещение
заслонок, превосходящее в несколько раз удлинение пружин.

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ 239
отсюда находим:
T=p-Vp* — q.
Пусть
k'm0 > km' или —f > —,
т. е. сопротивление, рассчитанное на единицу массы, для
пластинки более, чем для цилиндра; тогда будет Г>01 и,
dT
так как производная -jr при движении в нуль не
обращается, то пружины всё время будут растягиваться.
Таким образом, мы получаем для отделяющейся массы
довольно сложное выражение, содержащее скорость:
ж2=>а(р— УР9 — q).
При весьма малой массе пластинки приближённое
выражение Т будет, как видно уже из второго уравнения A3),
Т=к'х\
и, следовательно,
/л2 = ak'x*.
Если примем во внимание изменение плотности воздуха
с высотою, величины к ик' будут некоторые функции от х,
и соответствующее выражение отделяющейся массы в
нашем случае будет функцией от х и х.
С помощью пружин, прикреплённых к крышке и
надавливающих на иглы, мы можем осуществить случай, в котором
отделяющаяся масса, выражающаяся функцией скорости и
длины пройденного пути, будет иметь в момент отделения
относительную скорость, не равную нулю.
2. В некоторых случаях процесс, обусловливающий
изменение массы движущегося тела, нам известен лишь
отчасти, и мы должны определить закон изменения массы из
наблюдений над движением тела.
Пусть, например, при падении цилиндра происходит
с верхнего его основания отделение частиц с относительною
скоростью, равною нулю, но величина отделяющейся массы
нам не известна.

240
и. в. мещерский
Положим, что из наблюдений над падением цилиндра
с разных высот при разных начальных скоростях мы вывели
уравнение, определяющее движение
*=/('» *о> Мо)>
где х0 и (лгH—значения х и х при /=0.
Подставляя это выражение х в дифференциальное
уравнение
mx=zmg—Ал:*,
где /п — т0 — щ% мы получим:
fdfjf
ё dt*
Полученное выражение массы, вообще говоря, содержит
х0 и (лг^; для того чтобы получить общий закон изменения
массы в рассматриваемом случае, мы должны исключить
хо и too c помощью уравнений:
* = /('> *о> too) и i==|f;
в результате мы получим выражение для массы т1 а
следовательно, и для массы т2, вообще говоря, как функцию
от времени, положения и скорости тела.
Приведём другой пример того же рода.
Допустим, что существует общий закон отделения массы
кометы по известному направлению, например по
направлению радиуса-вектора, проведённого от Солнца.
Уравнения движения кометы будут:
л: . 1 dm , • v
У I I dm /Q ч
где
х о У
т = т0—/и2э «s — ffiyf И2а=5^27"'

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ 241
если через v2 обозначим величину скорости отделяющейся
массы.
Подставляя в эти уравнения выражения координат
кометы, выведенные из наблюдений, как функции от времени,
положения и скорости кометы в некоторый момент, получим
соответствующие выражения для т2 и и2; исключая из них
хо* Уо> (*)о» О0о> мы найдём выражения отделяющейся массы
и её скорости, вообще говоря, как некоторые функции от
времени, положения и скорости кометы.
Везьмём простой пример, в котором решение легко
получается.
Пусть тело движется прямолинейно; сил к нему не
приложено, или они взаимно уравновешиваются; масса т
останется постоянною, но происходит присоединение и отделение
частиц, причём разность скоростей изменяющих масс
сохраняет постоянную величину k:
«2 CCj = k.
Положим, что движение тела выражается уравнением
x = aln(m + kt) + df A4)
где а и b — величины постоянные; определим величину
изменяющих масс т1 = т2, предполагая, что сопротивлением
среды можно пренебречь.
Дифференциальное уравнение движения будет:
• dnt\
не зная тх> мы можем найти здесь первый интеграл
тх = — kmt -]- tn (лгH,
а отсюда
но из уравнения A4) находим:
щ = 1г((х)о—*);
ak
х =
m + kt'
16 И. В. Мещерский.

242
и. в. мещерский
откуда
, \ ak m + kt •
(лг)л = — = —!— х;
v '° m m '
после подстановки находим:
Ш^ = N1% == tX»
Мы видим, таким образом, что выражения изменяющих
масс могут содержать и скорость рассматриваемой точки
переменной массы.
§ 8. Изменение массы в первом и во втором случае.
В двух указанных случаях: когда скорость не входит
в выражения изменяющих масс и когда она входит в
выражение одной или обеих изменяющих масс, есть
существенная разница между соответствующими изменениями массы
тела; в этой разнице и лежит, между прочим, причина тех
затруднений, которые мы встречаем, желая осуществить
такой случай, где изменяющая масса зависит от скорости.
Для того чтобы выяснить указанную разницу, мы должны
рассмотреть изменение массы в течение бесконечно малого
промежутка времени т, следующего за моментом t\ при
этом будем пренебрегать бесконечно малыми величинами
второго и высших порядков относительно т.
Возьмём для упрощения вопроса сначала прямолинейное
движение и положим, что существует только
присоединяющаяся масса ти имеющая скорость аг.
Пусть
«I—/ft *>з
тогда приращение массы за время т будет ^:
*-(*+**ь
Отсюда, зная для данного момента / положение и
скорость точки, мы находим приращение массы за время т
независимо от тех задаваемых сил, которые на точку действуют,
а также и от скорости присоединяющейся массы.
Пусть теперь
*Ч=/('> х, х),

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ 243
тогда
n Kdt^dx ^ дх )
Часть этого выражения: -А-х% пропорциональна
приращению скорости за время т; обозначая через X величину
равнодействующей задаваемых сил и через т массу тела
в момент /, на основании того, что было изложено в главе И,
имеем•
после подстановки мы получаем следующее уравнение для
определения \t.t:
Мы видим, таким образом, что в этом случае
приращение массы за время т зависит уже не только от момента U
от положения и скорости точки, но и от задаваемых сил,
на точку действующих, и от скорости присоединяющейся
массы.
Перейдём к общему случаю.
Пусть скорость не входит в выражения изменяющих масс
*»i=/ift *> У'» ** s)> Щ=и& х, У у г> SY>
тогда массы, присоединяющаяся и отделяющаяся в течение
промежутка времени х, будут:
A5)
Пусть скорость входит в выражение изменяющих масс:
Щ —fi ft х> >'• *> *> *> У» *)э Щ =Д ft х» У у z> s> х, у, z).
16*

244
И. В. МЕЩЕРСКИЙ
Дифференцируя эти функции по времени, получаем для
jjlj и jx2 выражения, в которые входят проекции
геометрического приращения скорости точки за время х: хх, ух, zx;
на основании изложенного в главе II имеем:
i^-i-л—S-Cy-W+^Cy-РЛ
*~= — Zx — -&L (z — Tl) + — (i — T2);
после подстановки получаем следующие уравнения, которым
должны удовлетворять |ij и ^:
ih[-+Sf»-J+§Cr-W+S(i-Tj]-
-*[gtf-*+§<r-M+$tf-u]-
л.дЛх+Шг+аЛг\х.
~ дх ^ ду ^ дг J
as)

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ 245
Из уравнений A5) и A6) мы видим, что и в
общем случае величины изменяющих масс за бесконечно
малый промежуток времени т зависят или не зависят от
задаваемых сил и скоростей этих масс, смотря по тому,
входит ли скорость в выражения изменяющих масс
или нет.
Поэтому-то, когда мы желаем устроить такое движущееся
теле, для которого выражение изменяющей массы
содержит скорость, необходимо принять во внимание и те
силы, которые на это тело будут действовать.
Оставим в стороне исключительный случай, который
может иметь место как для уравнений A5), так и для
уравнений A6), именно, когда множитель при х в одном из этих
уравнений или в том и в другом обращается в
бесконечность или представляет неопределённость.
Составим выражение определителя из коэффициентов
при jtj и ji2 в уравнениях A6); получим;
«{«+[g(i_„1)+*f>_?i)+?(i_iri)]_
- [?*-*>+$*- w+fv-•>>])• (it)
Если выражение A7) не равно нулю, то
отношения -J- и -^ имеют конечные определённые значения;
если же выражение A7) равно нулю, то отношения -^-
и — могут иметь или какие угодно значения, если
правые части уравнений A6) равны нулю, или значения
бесконечно большие, когда эти части уравнения A6) нулю
не равны,
В случае одной изменяющей массы, например, когда
ю2=:0, мы имеем для определения jiA первое из
уравнений A6), в котором нужно положить Р2 = 0;
выражение A7) обращается при Д = 0 в коэффициент при ^
в этом уравнении, умноженный на массу точки, и

246
И. В. МЕЩЕРСКИЙ
предыдущие заключения справедливы для
отношения —.
Таким образом, когда скорость входит в выражение
одной или обеих изменяющих масс, могут представиться
следующие три случая.
1-й случай. Если выражение A7) тождественно равно
нулю, а правые части уравнений A6) тождественно нулю
не равны, то данный закон изменения массы точки не
совместим с данными силами, к ней приложенными.
2-й случай. Если выражение A7) тождественно равно
нулю и правые части уравнений A6) также тождественно
равны нулю, то данный закон не определяет изменения
массы при данных силах.
3-й случай. Если выражение A7) тождественно нулю
не равно, то данный закон определяет изменение массы
до того момента, когда при соответствующих
положении и скорости точки выражение A7) сделается
равным нулю.
Заметим, что в частном случае, когда скорости
изменяющих масс равны нулю, приравнивая нулю выражение A7),
получаем уравнение
или, так как т = т0-\-/г—Д,
отсюда следует, что в рассматриваемом случае
выражение A7) будет тождественно равно нулю, если
данное выражение массы т удовлетворяет тождественно
уравнению
f(mx, ту, mz, x, у, z, s, f) = 0,
где / обозначает какую угодно функцию от тех величин,

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ 247
которые заключены в скобки; в случае прямолинейного
движения имеем:
f(mx, ху /) = 0,
следовательно,
ш = ?(лг, *L-,
X
где ?(лг, /) — какая угодно функция от х и t.
ГЛАВА IV.
ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ D).
К Для того чтобы уравнения D) выражали движение
точки, необходимо, чтобы совокупность членов, не
содержащих вторых производных от координат точки, ни в одном
из уравнений не обращалась в бесконечность и не
представляла неопределенности.
Если скорость не входит в выражения изменяющих
масс, то при выполнении этого условия движение точки
всегда определяется с помощью уравнений D) в течение
всего промежутка времени, пока массы т> ти т2 имеют
определённые конечные положительные значения, причём
тх и т2 могут обращаться в нуль.
Если скорость входит в выражения изменяющих масс,
то уравнения D) представляют систему уравнений
линейных, не решённых относительно вторых производных;
поэтому уравнения D) и при выполнении вышеуказанного
условия относительно конечности и определённости
совокупностей членов, не содержащих вторых производных, служат
для определения движения только тогда, когда
определитель из коэффициентов при вторых производных не равен
тождественно нулю; в этом случае они определяют
движение до того момента, когда или упомянутый
определитель обратится в нуль, или масса т сделается равной
нулю, или одна из величин т1 и т2 или обе станут
отрицательными.

248
И. В. МЕЩЕРСКИЙ
Составим определитель из коэффициентов при вторых
производных: лг, у, z в уравнениях D), написавши их в виде
['» + & (х-ь)-дА(х-сс8)]х +
+ [m+^«i-T,)-^(*-TS)] *+c = o,
где Л, В и С обозначают совокупности членов, не
содержащих вторых производных.
Развёртывая определитель, мы получим следующее
выражение:
сравнивая его с выражением A7), мы видим, что
определитель из коэффициентов при вторых производных
в уравнениях D) равняется умноженному на массу
тонки определителю из коэффициентов при и.{ и р.2
в уравнениях A6).

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ 249
Теперь на основании исследований предыдущей главы
ясно, почему уравнения D) при равенстве нулю определителя
из коэффициентов при вторых производных не определяют
движения точки переменной массы: когда этот определитель
равен нулю, данный закон изменения массы или несовместим
с данными силами или не определяет изменения массы.
Допуская выражения: «бесконечное значение
производной» и «производная, представляющая неопределённость»,
мы можем сказать: когда определитель A8) равен нулю,
то производные -тр и -^ или имеют бесконечно
большие значения или представляют неопределённость; а тогда,
написавши уравнения D) в виде
«-Z + ^(Tl-i)-^(T,-i), .
<*i>
мы приходим к следующему заключению: будет ли скорость
входить в выражения изменяющих масс или нет, уравнения D,)
служат для определения движения точки переменной массы
в течение промежутка времени, в продолжение которого
ни в одном из этих уравнений правая часть не обращается
в бесконечность и не представляет неопределённости, а
массы /и, тх, т2 имеют определённые конечные значения,
притом т только положительные, а тг и т2
положительные или равные нулю.
2. Последнее ограничение, состоящее в том, что
величины т, и /гс2 не получают отрицательных значений, можно
устранить.
В самом деле, из уравнений Dj) видно, что если
в некоторый момент /3 величина присоединяющейся массы мх
сделается равною нулю и затем станет отрицательною:
тг = — nil,
то т'г изображает величину массы, которая после tx так
же, как и /ий, будет отделяться со скоростью, имеющею

250
И. В. МЕЩЕРСКИЙ
проекции а19 {Jlt ^; обратно, если в момент t2 величина
отделяющейся массы т2 обратится в нуль и далее станет
отрицательною:
Щ = — tuv
то т'г будет величина той массы, которая после t2 так же,
как mv будет присоединяться к телу со скоростью,
имеющею проекции а2, р2, ^s.
Таким образом, нам нужно только условиться считать
величину mv когда она положительна, величиною
присоединяющейся массы, а когда она отрицательна, величиною
массы отделяющейся; величину же /яа, наоборот: когда
/я2 > 0 — отделяющейся массою, когда /и2 < 0 — присо -
единяющейся массою; при этом условии уравнения DГ) можем
рассматривать как уравнения движения точки переменной
массы в течение всего промежутка времени, в продолжение
которого правые части уравнений не обращаются в
бесконечность и не представляют неопределённости, массы же
/я, ти т2 получают определённые конечные значения,
притом т только положительные, а тх и т2 какие угодно.
3. Каковы бы ни были знаки тх и т2$ разность тх — т2
представляет приращение массы точки* которое может быть
и положительным, и отрицательным.
Исключим пока случай, когда тх = т2У и введём ещё
одно условное понятие: будем называть скоростью
приращения массы точки скорость, проекции которой а, р, f
выражаются по формулам
dm}
dm*
dt ч 'dt
dmx
dt
dm i
_~dF
dm
It
о _rfw2
"—w
dm
~dt
dnn
h
Ъ
dm
~dt
A9)

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ОБ ДЕМ СЛУЧАЕ 251
где
dm d (mt — m2) .
dt ~ dt
тогда уравнения DХ) движения точки, масса которой
изменяется с течением времени, если исключить частный случай,
когда масса точки остаётся постоянною, всегда могут быть
написаны в виде
d*x v , dm, • \
»лг=*+-37-(«—**
d-y v , dm /Q •,
dlz - . dm ,
B0j
где я, J3, Т выражаются по формулам A9).
Исследование этого вида уравнений изложено в
сочинении «Динамика точки переменной массы».
Когда изменяющие массы равны между собой и масса
точки остаётся постоянною, уравнения движения будут
уравнения (9); на исследовании этих уравнений мы теперь
останавливаться не будем;заметим только, что при равенстве
изменяющих масс они могут состоять из одних и тех же частиц.
ГЛАВА V.
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ УРАВНЕНИЙ D).
§ 1. Примеры §§ 1 и 2 главы III.
В § 1 главы III указаны примеры, в которых масса
падающего тела выражается функцией высоты падения.
В примере, где из падающего ящика вытягивается
полоса, конец которой закреплён неподвижно, отделяющаяся
масса
скорость её равна скорости тела и становится равною нулю
вследствие реакции закреплённой точки.

252
И. В. МЕЩЕРСКИЙ
Предполагая, что сопротивление воздуха
пропорционально квадрату скорости, получаем следующее уравнение
движения:
mx = mg — kx*,
где k — величина постоянная, так как площадь,
испытывающая сопротивление, остается неизменной: по разделении на
массу находим:
k
* m0 — F(x)
В примере, где падающий ящик вытягивает за соОою
полосу, сложенную на неподвижной площадке,
присоединяющаяся масса
m1 = F(x\
и скорость её равна нулю; уравнение движения будет:
тх = mg—F' {x) *2 — kx*t
где
отсюда
x = g-
dx
k + F<{x)
m0 + F(x)' '
Если бы одновременно одна полоса вытягивалась из ящика,
а другая им увлекалась, так что
т\ = ^i (*) и Щ = Р* (*)»
мы имели бы тогда следующее уравнение движения:
k + F[(x)
x = g- -ft
«o + ^iW-W
Полученные уравнения показывают, что движение ящика
в рассматриваемых случаях происходит так же, как
движение тяжёлой точки постоянной массы при сопротивлении,
пропорциональном квадрату скорости, в среде, плотность
которой изменяется с высотою по данному закону;
уравнения интегрируются в квадратурах, так как приводятся к
линейному уравнению вида
- Й1=**-/(*) •*

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ 253
и затем
d4-=dt.
X
В случае движения по криволинейной трубке, когда
происходит уменьшение массы вследствие развёртывания
нити, имеем:
т = т0 — F(s).
Положим, что движение происходит в вертикальной
плоскости и кривая обращена выпуклостью вниз; пусть
р— радиус кривизны и о — угол, образуемый касательною
с горизонтом: рио суть известные функции дуги $.
Принимая во внимание силу тяжести, сопротивление,
пропорциональное квадрату скорости, и трение, коэффициент
которого обозначим через я, получим известные уравнения
движения:
m-?*=*mgsmo — nR — kv2, /я~ = — mgxos<? + #,
откуда находим:
1 d(v-) , . ч «/я I k \
— линейное уравнение первого порядка, и, следовательно,
задача о движении решается в квадратурах.
В § 2 главы III указан случай падения, где масса тела
выражается функцией скорости.
Предполагая, что можно пренебречь массою т!
пластинки, мы имеем:
т = т0 — ak'x*,
и уравнение движения будет:
тх = mg — (k -\- к!) х2.
Отсюда получаются два интеграла, которые вполне
определяют движение:
ak'x* — (щ — ^) In A — р*х*) = 2m0gp*x,
ак'х -- —±— In *Ч- = vt у mQg,
где
,_/
ak'g + k-rk'

254
И. В. МЕЩЕРСКИЙ
§ 2. Тележка и цепь.
В железнодорожных депо употребляется иногда в
качестве тормоза на случай движения тележки, стоящей на
рельсах, цепь; цепь сложена на земле и одним концом
надета hi крюк, прикреплённый к тележке; при движении
последней цепь тащится по земле и при достаточной длине
производи! остановку.
Рассмотрим это движение, предполагая, что оно
происходит по прямой, составляющей некоторый угол а с
горизонтом.
Примем массу единицы длины цепи за единицу масс:
пусть масса тележки равна а, тогда движущаяся масса будет:
т = a -J- *,
где х обозначает длину вытянутой цепи; предполагается,
что эта длина менее всей длины цепи.
Скорость присоединяющейся массы равна пулю:
принимая во внимание трение цепи о землю, получаем
следующее уравнение движения:
тх = mgsin а — nxgzos а — л:*,
где п — коэффициент трения.
Интегрируя, находим:
-J—^^2(a + x)iga—*Н1 —
#cosa v ¦ ' ь a + x
{a + xJ\ » & gcosaj'
где v обозначает начальную скорость при лг = 0.
С помощью этого интеграла мы можем найти условие,
необходимое для того, чтобы остановка произошла, и
исследовать вопрос о том, на каком расстоянии остановка
произойдёт.
Полагая л: = 0, получаем:
2(a + x)*tg*-nx*Ca±2x)-2a4gz + j??7^0.

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ 255
Обозначим для краткости tga через к; тогда для
определения расстояния, пройденного до остановки, имеем
следующее уравнение:
2\k — ri)x*±3aBk — n)x*+6ka*x+^^=Q. B1)
Если к— я]>0, то все коэффициенты этого
уравнения суть величины положительные, а так как и известный
член положительный или равный нулю, то в этом случае
уравнение не имеет ни одного положительного корня;
положительный корень существует, если k — п < О,
т. е. п > к.
Таким образом, для того чтобы при достаточной длине
цепи произошла остановка, необходимо и достаточно, чтоб
коэффициент трения был более тангенса угла наклонения
пути к горизонту.
В частном случае, когда движение происходит по
горизонтальной прямой, & = 0, и мы получаем формулу,
помещённую в «Динамике частицы» Рауса1):
ng 3 ч ' 'а*
Функция, стоящая в левой части уравнения
B1),—обозначим её через Р,— имеет положительное значение при
a- = 0, она имеет наименьшее значение прилг=—а и наи-
ka
большее при х = ——-г ; следовательно, уравнение B1) имеет
только один положительный корень, который и определяет
расстояние, пройденное до остановки, — обозначим его через
h; мы можем указать низший предел:
k> ka
n — k
Уравнение B1) имеет все корни вещественные только
тогда, когда наименьшее значение функции Р будет или
J) E. Routh, Treatise on Dynamics of a particle, 1898, стр. 82.

256
И. В. МЕЩЕРСКИЙ
положительным, или равным нулю; для этого необходимо
и достаточно, чтобы начальная скорость удовлетворяла еле»
дующему условию:
v°- < ~ (п + 2k) ag cos a. 122)
Если начальная скорость удовлетворяет неравенству B2),
то из тригонометрического решения уравнения B1)
находим высший предел для А:
Л^2 n-~k
Если начальная скорость удовлетворяет равенству B2),
то имеем значение А:
Если же начальная скорость удовлетворяет неравенству
v*>±(n-\-2k)agcosa,
то мы получаем низший предел для А, более близкий, чем
указанный ранее:
..а л + 2Л.
Л>2--7Г_гт>
высший предел зависит от величины начальной скорости.
Если начальная скорость равна нулю, то для
определения длины пути, пройденного до остановки, имеем уравнение
2 (А — //) лг2-|-Зя BА — п) х + 6Аа2 = 0.
Положительный корень этого уравнения А будет
заключаться в пределах:
k , a n + 2k
л — ? ^ ^2 п — k

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ 257
§ 3. Реактивное судно.
Существует тип судов, которые приводятся в движение
следующим образом: в корпусе судна имеется канал; вода
вступает в этот канал с той стороны, куда судно движется,
и затем с помощью, например, центробежного насоса,
выбрасывается в сторону, противоположную движению судна 1).
Судно такого типа представляет пример тела, масса
которого остаётся постоянною, хотя происходит
присоединение и отделение частиц.
Рассмотрим простейший случай, когда канал в корпусе
судна расположен по горизонтальной прямой (фиг. 3).
Фиг. 3.
Обозначим через v1 относительную скорость воды, когда
она вступает в судно, и через v2 относительную скорость,
с которою она выбрасывается.
Пусть в некоторый момент ?=0 скорость судна v0
менее скорости vu которая определяется работой насоса;
в частном случае может быть г>0 = 0.
Составим уравнение движения судна в течение
следующего за / = 0 промежутка времени до того момента, когда
скорость судна сделается равною v{*
Обозначим через р массу воды, которая вступает через
входное отверстие в единицу времени при скорости, равной
единице, и через п отношение площади входного отверстия
к площади отверстия выходного; тогда имеем:
ml=pv1t9 m% = —pv.1t,
i) Busley. Die Schiffsmaschine. 1886, т. 11, § ИЗ.
P о 11 a r d ct D u d e b о u t, Theorie du navirc, т. IV, гл. LXV1.
17 И. В. МещерскиЯ

258
И. В. МЕЩЕРСКИЙ
и, следовательно,
v.2 = nvx.
Будем считать сопротивление, которое испытывает судно,
пропорциональным квадрату скорости и через k2 обозначим
величину сопротивления при скорости, равной единице;
уравнение движения представится тогда в следующем виде:
тх = — **** + pv\ (n — 1),
где т обозначает массу судна и воды, помещающейся в
канале.
Для того чтобы скорость судна не уменьшалась,
очевидно, необходимо, чтобы было л>1, т. е. площадь
входного отверстия должна быть более площади отверстия
выходного, тогда будет и v% > vx.
Полагая для краткости: р(п—1) = ^2, получим
следующий интеграл:
(kxf + qvt) (qvx — kv0) = (kv0 + qvx) (qvx — kx) e2hqt3lt;
отсюда и определяем момент tu когда судно получит
скорость vx:
__ 1 . (g + b)(qvx — kvQ)
^~2кдихт (q-k)(qvx + kvQY
Если v0 =г= 0, то
1 2kqvx q — k*
следовательно, время, которое потребуется для того, чтобы
в этом случае сообщить судну скорость vl9 определяемую
работой насоса, обратно пропорционально величине этой
скорости.
Если по достижении судном скорости vx работа насоса
возрастает далее непрерывно до того момента, когда
получится некоторая скорость втекания v9 мы имеем:
dm л dm о *
и уравнение движения судна будет
тх — (рп — р — &2)лг2

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ 259
до момента t2, когда производная х сделается равною v.
Момент t% определяется по формуле
Если затем судно будет двигаться равномерно со
скоростью v> то должно существовать равенство
k*v* = pv*{n — 1),
откуда следует:
*» = р(я —1).
Видим, таким образом, что для равномерности хода
судна оказывается необходимым — если считать
сопротивление пропорциональным квадрату скорости, — чтобы
приданной площади входного отверстия площадь отверстия
выходного имела вполне определённую величину, которая зависит
от сопротивления, испытываемого судном при скорости,
равной единице, но не зависит от скорости движения; при
другом законе сопротивления эта величина зависела бы от
скорости равномерного движения судна.
§ 4. Падение цепи.
Рассмотрим ещё один случай движения, где происходит
присоединение и отделение частиц, но масса движущегося
тела остаётся постоянною; займёмся решением следующей
задачи.
Тяжёлая однородная цепь висит, спускаясь по вертикали
с верхней горизонтальной площадки Р (фиг. 4) на нижнюю
горизонтальную площадку Q, расстояние между которыми
равно А; при этом на верхней площадке у края её лежит
сложенная часть цепи, а нижней площадки цепь только
касается своим нижним концом, или же и здесь также
лежит часть цепи; в некоторый момент приспособление,
удерживавшее цепь в покое, устраняется, тогда цепь будет
переходить с верхней площадки на нижнюю; требуется
определить движение цепи.
17*

260
И. В. МЕЩЕРСКИЙ
Цепь мы будем рассматривать как тяжёлую гибкую
нерастяжимую нить однородной плотности; вследствие этого
предполагаем, что цепь
движется по одной и той
же вертикальной прямой,
причём движущаяся часть
имеет постоянную длину h
до того момента /0, когда
длина части цепи,
сложенной на верхней площадке,
сделается равною нулю;
после этого момента длина
движущейся части цепи
уменьшается и становится
равною нулю, когда
верхний конец цепи достигает
нижней площадки.
Обозначим через а
длину той части цепи,
фиг 4. которая в начальный
момент лежит на верхней
площадке; массу единиц» длины цепи примем за единицу
массы.
I. Движение цепи до момента /0.
При движении цени до того момента t0, когда она вея
сойдёт с верхней площадки, к движущейся части ЛВ
присоединяются части, имеющие скорость, равную нулю, и
отделяются части, имеющие ту же скорость, что и
движущаяся цепь; скорость этих частей становится равною нулю
вследствие реакции площадки Q, масса движущейся части
цепи остаётся постоянною: она равна А.
Рассмотрим движение той точки М цепи, которая в
начальный момент /=0 находится на краю верхней площадки
в точке А.
Расстояние точки М от верхней площадки будем
обозначать через х, так что ^>0и *<й, x=h может
быть тогда, когда а^ А; соответствующий момент времени

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ 261
обозначим через /, тогда х будет выражать также и
величину массы, присоединившейся за время /, и величину
массы, отделившейся за это время. При вышеуказанных
обозначениях мы, таким образом, имеем:
m = h, tnl = m2 = x, X=hg9 04 = 0, аа = лг.
На основании уравнений D) получаем следующее
уравнение движения:
. <&х - •«
h4v=hz—х
или
?-,-±* B3)
Согласно принятым обозначениям уравнение B3)
выражает движение до того момента, когда будет * = а, если
я<А, или лг = й, если а!>Л; но если мы будем
рассматривать х и х как скорость и ускорение не взятой нами
точки Ж, а движущейся цени, тогда, как нетрудно видеть,
уравнение B3) выражает зависимость между этими
величинами для всякого момента t < t0; x будет обозначать
в этом случае длину той части цепи, которая за время /
сошла с верхней площадки: дг^а.
Уравнение B3) можно рассматривать как уравнение
движения тяжелой точки, падающей в среде,
сопротивление которой пропорционально квадрату скорости и, будучи
рассчитано на единицу массы, при скорости, равной еди-
1
нице, равно j-.
Мы приходим, таким образом, к следующим заключениям:
1) Скорость движущейся цепи в какой-либо момент
t(t^t0) равна скорости в этот момент тяжёлой точки,
которая начинает своё движение одновременно с цепью и падает
без начальной скорости в среде, сопротивление которой
пропорционально квадрату скорости; при этом величина
сопротивления, рассчитанная на единицу массы, при скорости,
равной единице, выражается дробью, у которой числитель —
единица, а знаменатель — длина движущейся части цепи.
2) Длина той части цепи, которая сходит за время t с
верхней площадки, равна высоте падения за это время

262
И. В. МЕЩЕРСКИЙ
тяжёлой точки в сопротивляющейся среде при вышеуказан-
ных условиях.
Связь, которую мы только что указали между
движением цепи и падением тяжёлой точки в среде, существует
и в том случае, когда цепи в момент / = 0 будет
сообщена некоторая начальная скорость по вертикали вниз;
только такую же начальную скорость следует приписать и
падающей тяжёлой точке.
Все вопросы о движении цепи в рассматриваемом нами
случае решаются с помощью следующих формул, которые
получаются из известных интегралов уравнения B3):
Г ~
¦ = У hg(l-e »),
П
B4)
x-Vhg' \ B5)
ЛГ = Л1„? +? , B6)
<=1/"![х+К1+^-л)}
B7)
Найдём последовательные промежутки времени, в
течение которых сходит с верхней площадки часть цепи,
равная длине h движущейся части.
Обозначим через /„ t& ...9tn,... те моменты, в
которые соответствующие значения* будут А, 2Л, ..., nh9...;
пусть Т будет время, в течение которого тяжёлая точка,
падающая в пустоте без начальной скорости, проходит расстоя-
ние А, так что Т=|/ —; тогда по формуле B7) находим:
tx = 1,182Г, *2= 1,901 Г*), ...,
*) Ограничиваемся тремя десятичными знаками.

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ 263
следовательно, искомые промежутки будут:
/, = 1,1827\ /а—*, = 0,719Г,
W-*1 » Y2 L i + j^i — ?-2n J
Мы видим, таким образом, что отношение величины
промежутков ко времени Т не зависит от длины А; эта
величина уменьшается и быстро приближается к
предельному значению, равному —jzz T =0,7077\
Из формулы B4) следует, что скорость движущейся
цепи возрастает, приближаясь к предельному значению,
которое равно Yhg.
Пусть V будет скорость, которую получает тяжелая
точка, падающая в пустоте без начальной скорости, пройдя
расстояние А, так что V'=Y%hg\ тогда формула B4) дает:
*-**_.-". B8)
У2
Мы видим отсюда, что в вышеуказанные моменты
/1Э /а,.. .,*п, ... величина отношения, стоящего в левой
части равенства B8), не зависит от длины А;
соответствующие значения этого отношения убывают в геометрической
прогрессии, знаменатель которой равен
*-» = 0,135;
скорость цепи, возрастая, быстро приближается к
предельному значению, равному
1
V*
V=* 0,707 V;
в момент tx скорость равна 0,657V, в момент /2 она уже
равна 0,7005 К.
Таким образом, после того как с верхней площадки
сойдёт часть цепи, длина которой равна удвоенному
расстоянию между площадками, движение цепи будет весьма

264
И. В. МЕЩЕРСКИЙ
близко к движению равномерному со скоростью, равною
Vhg\ отклонение в величине скорости будет менее одного
процента.
II. Движение цепи после момента /0.
Обозначим через х расстояние верхнего конца цепи от
верхней площадки в момент / > t0; масса движущейся
части цепи в этот момент будет равна А — х; так как
отделяющаяся масса имеет скорость цепи, то уравнение
движения будет:
или
и, следовательно, движение цепи после момента /0 будет
движение равноускоренное с ускорением g при начальной
скорости, которую находим по формуле B5), заменяя / через t0.
Если в начальный момент свесившаяся часть цепи не
достигает нижней площадки, то масса движущейся части
цепи сначала возрастает, и движение цепи выражается
уравнением:
dfi g хХ'
где х—расстояние нижнего конца цепи от верхней площадки;
это уравнение дал Кейли*). С момента, когда цепь коснётся
нижней площадки, масса движущейся части остаётся
некоторое время постоянною, и движение её выражается
уравнением B3); наконец, с того момента, когда цепь вся
сойдёт с верхней площадки, масса движущейся части убывает,
и движение выражается уравнением B9).
l) Cayley, On a class of dynamical problems. Proceedings
of the Royal Society of London, т. HI, стр. 506—511.
~^€**^?>*-

m'tb^^^^aasa^^
ПАМЯТИ ПРОФЕССОРА
ДМИТРИЯ КОНСТАНТИНОВИЧА
БОБЫЛЕВА.
ЗАДАЧА ИЗ ДИНАМИКИ ПЕРЕМЕННЫХ МАСС 1).
В «Сообщениях Харьковского Математического
Общества» в 1889 г. была помещена статья Д. К.
Бобылева «Одна задача механики системы материальных
точек»; в связи с задачей, составляющей предмет
этой статьи, может быть поставлена следующая задача
динамики системы точек переменных масс:
Имеем систему п точек, массы которых Мг, Ж2,... tMn
изменяются с течением времени по закону
шм mi
(/=1, 2, 3, ...,л),
где mit а и C — данные постоянные величины; точки
системы взаимно притягиваются или отталкиваются
силами, пропорциональными произведениям масс и
расстояниям вида
/М{М/ц (/=1, 2, 3, .,.,«),
где Гц—расстояние между точками, массы которых
Mi и My, требуется решить вопрос о движении этой
1) Впервые опубликовано в Известиях Петроградского
политехнического института за 1918 год.

266 И. В. МЕЩЕРСКИЙ
системы а том случае, когда точки должны оставаться
на прямой линии, не выходящей из плоскости ху.
Движение рассматривается за промежуток времени,
в течение которого выражение
1-f а/+ $Р
не обращается в нуль; л>2; /<0 в случае притяжения,
/> 0 в случае отталкивания.
Интегралы задачи, как мы увидим, выражаются в
конечном виде.
Условные уравнения:
(**»—*]КЛ— Уг)~ (Ув— УМ** — *i) —0 A)
Дифференциальные уравнения движения:
м **
«.-5?
**
т» ар
4
4
i
4
=/2^^(л-
-*«)+2МЛ—Л)»
в
8
-Х{) + К(У2—У0,
-yt) — K(X<i — Xl),
<
E = 3, 4,...,я). j
По умножении обеих частей каждого из уравнений B) на

ЗАДАЧА ИЗ ДИНАМИКИ ПЕРЕМЕННЫХ МАСС 267
получим:
Щ ~&г = (\+at+w*)*jL mxmi (*i — ¦*<) +
C)
w# "d^r = (\ + *t + №)*4u т»т* (х* ~ Х{) +
где
Введём новые переменные X4l Yb т, полагая *):
х4 = Ai A + «<+ № Л = ^ A + «' + Ю1, D)
Условные уравнения A) в новых переменных будут:
{X.-Xd{Y*-Yi)-{Y.- Y^-XJ^Q. F)
Далее из формул D) и E) находим:
*) I. Mestschersky» Ueber die Integration der Bewc-
gtmgsgleichungen in Probleme zweier Кбгрег von veranderlicher
Masse. Astronomlsche Nachrichten, т. 159, № 3807, 1902 [см. стр.
199 настоящего издания].

268 И. В. МЕЩЕРСКИЙ
dYi
и аналогичное выражение для --? *
&Y*
и аналогичное выражение для -гу-«
На основании формул D) и (8) уравнения C) после
преобразования представляются в следующем виде:
4
+2а;(к.-к2),
ч
i
+Sx;(A-.-Ai),
4-ад-к,),
(s = 3, 4, ...,я),
где Р = |а»_р, XJ-^O+ */+?*»)«.
(9;

ЗАДАЧА ИЗ ДИНАМИКИ ПЕРЕМЕННЫХ МАСС 269
Уравнения (9) можем рассматривать как
дифференциальные уравнения в декартовых координатах движения
системы п точек постоянных масс, остающихся на одной
прямой, не выходящей из плоскости AY, к которым, кроме
сил взаимного притяжения или отталкивания,
пропорциональных расстояниям, приложены, вообще говоря, ещё силы
притяжения или отталкивания, исходящие из начала
координат, пропорциональные массам и расстояниям; будем
называть эту систему в отличие от первоначальной системой
преобразованной.
Формула E) после интегрирования даёт нам одно из
известных выражений для х через t, в зависимости от
значений коэффициентов а и р; мы будем предполагать, что
постоянной произвольной, входящей в это выражение, дано
такое значение, при котором начальные моменты /=0 и
т = 0 совпадают.
В таком случае начальные значения координат и их
первых производных, как видно из формул D) и G), будут:
XiQ = х<09 Yi0 = у ,0,
Предположим, что оси координат Л', К и оси
координат х, у совпадают; тогда совпадают и начальные
положения точек системы первоначальной и системы
преобразованной, но начальные скорости соответствующих точек различны,
если только коэффициент а не равен нулю.
В последующем движении положения точек
первоначальной системы в любой момент времени t легко определяются
по положениям точек системы, преобразованной в
соответствующий момент т, так как из формул D) следует: 1)
каждая пара соответствующих точек двух указанных систем
остаётся на прямой, проходящей через начало координат;
2) две прямые, из коих на одной расположены точки
первоначальной системы, а на другой точки системы
преобразованной, остаются при движении параллельными, и
отношение их расстояний от начала координат равно

270
И. В. МЕЩЕРСКИЙ
Найдём интегралы, определяющие движение
преобразованной системы; имея формулы D) и E), мы можем тогда
считать проинтегрированными и уравнения B).
Центры инерции рассматриваемых систем находятся в
таком же соответствии, как и соответствующие точки этих
систем.
Обозначая координаты центра инерции преобразованной
системы через А' и К, получаем из уравнений (9):
отсюда для X находим выражения:
при [а = —е^ a'coseT-|-a" sinex, |
» |i = 0 а'т + а"у \ A0)
» jA = e3 aVT-{-a"*-eT, '
где а' и а" — постоянные произвольные, для Y—выражения
того же вида, в которое вместо а! и а" входят постоянные
произвольные V и Ь".
Будем рассматривать относительное движение
преобразованной системы по отношению к центру инерции системы.
Относительное движение первоначальной системы по
отношению к её центру инерции связано с рассматриваемым
движением таким образом: 1) для каждой пары
соответствующих точек радиусы-векторы, проведённые из центров
инерции, параллельны; 2) отношение расстояний двух
параллельных прямых, на которых расположены точки систем,
ji
от соответствующих центров инерции равно A -{- cat -|~ Р*2K •
Пусть
тогда условные уравнения F) представятся в виде
ii. = il = ...=^ = ctgO, A1)
если через 6 обозначим угол, составляемый с осью Х-он
той прямой, на которой расположены точки системы, а
дифференциальные уравнения рассматриваемого относительного

ЗАДАЧА ИЗ ДИНАМИКИ ПЕРЕМЕННЫХ МАСС
271
движения системы будут следующие:
«10 = (Р +/^> «Л, - 2 *•" & -W).
т3 Ц =» О» + A») «i& — ^ Х« (Ч. — %>»
«.
A2)
«•1?-(|»+/^)»Л+».(чв-Ч1).
*¦??к <«* +/А|) тл. - х« в - *i)
E = 3, 4, ..., л),
где Л* = да, + «а + • • • + "V
Мы видим, что наша задача представляет три главных
случая:
Р+/М<0, ^+/Af = 0, j*+/Af>0.
Интегрирование уравнений A2) в случае: j*~f-/Af <0
изложено в вышеупомянутой статье Д. К. Бобылева; в
последующем изложении этот случай не выделяется, так как
при интегрировании все три случая оказываются тесно
между собою связанными; кроме того, и самое
интегрирование несколько упрощается.
Пусть
Из уравнений A2), принимая во внимание уравнения
A1), получаем:
A4)
2Ы(?ЖЙЛ='2^ + 1?) + 2А. A5)
где h — величина постоянная.

272 И. В. МЕЩЕРСКИЙ
Обозначим через р расстояния точек преобразованной
системы от её центра инерции, взятые со знаком + или —,
смотря по тому, находится ли точка от центра инерции
по ту сторону, которой соответствует угол 0, или по
другую.
Если через г* обозначим расстояния, взятые с плюсом
или минусом, точек первоначальной системы от её центра
инерции, то будут:
г< = р,A + сс*+р^,
а начальные значения р< и их первых производных по %:
(йгл 1
В начальный момент угловая скорость
Обозначим через У момент инерции преобразованной
системы относительно центра инерции:
тогда уравнение A3) по разделении на р< даёт:
из уравнения A4) после интегрирования получаем:
'?-<?!. <")
где Cj — величина постоянная; уравнение A5) напишется
в виде
<
Пусть

ЗАДАЧА ИЗ ДИНАМИКИ ПЕРЕМЕННЫХ МАСС 273
тогда постоянные
} A9)
С, = ат0,
Имеем:
rfx3
{ i
Принимая во внимание уравнения A6) и A8), получаем
отсюда следующее уравнение для определения J:
%±=**pJ + 4h. B0)
Из уравнения B0) следует:
p = — k*..J = (a+j)cos2kx + jsin2kz — jA
р = 0 .../ = я-4-2ст4-2Лт9, 1 B1)
p = tf ...y==(a + A)chB*x) + |shBAxb|, I
где
с = 2 ЩЫ?<*-
Заметим, что
ab — с* = 2 "*^ (р«о»о — P^oPioJ
и, следовательно,
аЬ — с2^0.
Из уравнения A7) определяем угол 0.
Подставляя в это уравнение вместо J выражения B1),
мы видим, что во всех случаях дифференциал Ф) может
быть представлен в виде
где при
р = — №.. .tt = tgfcx,
Р:
18 И. В. Мещерский.

274 И. В. МЕЩЕРСКИЙ
Во всех случаях имеем:
АС— В* = ab — с2 + <*2«>v
следовательно, всегда АС— В2 > 0.
Интегрируя, находим:
й «go —r>ictg , Au + B , -fconst. (I,
Yab - с2 + а'ш2 /аб - с2 + a3 to*
В случае а>0 = 0 угол 0 сохраняет постоянную величину:
« = V
Выражение расстояния р< мы иолучим, пользуясь
уравнением A6).
В случае ш0 == 0 это уравнение даёт для pi выражение
вида A0):
р = — k* .. . pj == ajCOSfre -f- ос, sin Ax,
(Иг)
где ai и а< — величины постоянные.
Пусть <о0^0.
Уравнение A6) на основании уравнения A7) нам даёт:
&-*(, + ?). m
где J можем заменить одним из выражений B0).
Введём в уравнение B2) вместо р4 переменную гь
полагая
„ dJ dU *
Производные j- и -j-^ обозначим соответственно через
У7 и У'\ тогда преобразованное уравнение B2) будет:
^+JJ/wHiJJ""iJ"~pP-a'i^Zia0'B3)

ЗАДАЧА ИЗ ДИНАМИКИ ПЕРЕМЕННЫХ МАСС 275
Коэффициент при г4 в этом уравнении есть величина
постоянная. В самом деле, из уравнения B0) находим:
где
1л/" = 2/?Я + 2АЛ
на основании этих равенств коэффициент при z{ в
уравнении B3) равен —D — а2о>* и, следовательно, в силу
равенства A9) равен аЬ — с2.
Введём в уравнение B3) вместо х угол О, принимая
во внимание уравнение A7):
тогда исчезнет член, содержащий первую производную от
искомой функции, и мы получим:
IF- АГ** B4)
В случае, когда аЪ — с2 = 0, находим:
Pi = («« + «/>) VJ, (Па)
где а+ и си4 — величины постоянные.
Этот случай представляется тогда, когда величины р^0
или равны нулю или пропорциональны piQf следовательно,
тогда, когда начальные относительные скорости точек
первоначальной системы вдоль прямой, на которой они
расположены, или равны нулю или пропорциональны их
расстояниям от центра инерции.
Полагая ад — с2 = 0, находим:
p = — k*... tg
ka + ctgkx '
с д<Ол -4- b
J = a cos2 ftx + j sin 2frt + —±2— sin8 kx;
18*

276 И. В. МЕЩЕРСКИЙ
p = k2 ... выражения tg 0 и J отличаются от предыдущих
только тем, что вместо тригонометрических
функций от ftx входят соответствующие
гиперболические функции от kx;
р = =hЛ2.. .уравнение относительной траектории:
яр«>0+(яр<о — q>,oH
Y(a<*>0 cos 0 — с sin 6J — рФ sin2" в '
/ = а + 2сх + (аа>* + *)т2,
__ ep<o<°o + (gp<o — сР*о).
" да>0 cos 0 — с sin 6 '
при р = 0 и р^0 = 0 относительные траектории точек
преобразованной системы будут прямые, перпендикулярные к той
прямой, на которой расположены точки в начальный момент.
В случае, когда разность аЬ — с2 не равна нулю, полагая
аЬ — с* __ 9
находим:
pi = aiVJcoso(<) + ai). (II3)
Постоянные а19 д2, ..., ап, ort, a2, ..., ап в формулах
(Н3), а также и в формулах AЦ выражаются через
начальные значения угла 0 и угловой скорости О7, расстояний р
и их первых производных по т.
Мы видим, таким образом, что отношение расстояний
р<: pj, а следовательно, и расстояний г*: rj в первоначальной
системе при данном угле 0 не зависит от величин р и ?;
это отношение будет такое же, как и в том более простом
случае, когда при прочих равных условиях не существует
сил взаимодействия между точками первоначальной системы
и массы точек изменяются по закону:
/W«~~* (l+a/J*

ЗАДАЧА ИЗ ДИНАМИКИ ПЕРЕМЕННЫХ МАСС 277
Для того чтобы получить уравнение относительной
траектории точки преобразованной системы, мы можем
в уравнении (П3) — соответственно в уравнении (П2) —
выразить J через 0 или с помощью формул B1) и (I) или,
пользуясь формулой, которую получим, интегрируя
следующее равенство, вытекающее из уравнений A7) и B0):
Интегралы (I) и (IIj) — соответственно (Hj) или AI2) —
содержат 2п-\-2 постоянных: 0о, а>0, р<0, pio(i=l, 2, ..., я),
которые связаны двумя уравнениями
2 ЩЫ = °> 2 mi?io = 0.
Таким образом, два интеграла вида A0), выражающие
движение центра инерции преобразованной системы,
интеграл (I) и п интегралов AЩ — соответственно (Hj) или
(Н2),— из коих независимых п — 1, так как 2т<Р*о = 0,
в связи с формулой B1) содержат 2я~|-4 постоянных
произвольных и представляют полную систему интегралов
уравнений (9); вместе с формулами преобразования D) и
E) они дают решение нашей задачи в конечном виде.
-^^^^^^

СОДЕРЖАНИЕ.
Из предисловия к первому изданию 5
Предисловие ко второму изданию 6
А. А. КОСМОДЕМЬЯНСКИЙ.
Научная деятельность Ивана Всеволодовича Мещерского.
И. В. МЕЩЕРСКИЙ.
РАБОТЫ ПО МЕХАНИКЕ ТЕЛ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ.
ОДИН ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ ЗАДАЧИ ГЮЛЬДЕНА 36
ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ 37
Предисловие C7). Предмет рассуждения C8). Очерк литературы по
вопросу о движении тел переменной массы D5).
Глава I. Уравнения движения твердого теля переменной массы 54
§ 1. Общая задача о движении тела переменной массы E4). § 2.
Определение движения твёрдого тела, масса которого изменяется через
известные промежутки времени (об). § 3. Пример: вертикальное движение
аэростата при выбрасывании балласта E7). § 4. Непрерывное изменение
массы тела F2). § 5. Уравнения движения твёрдого тела переменной
массы при отсутствии ударов F3). § 6. Пример: движение тела около
неподвижной оси F8). § 7. Уравнения поступательного движения твёрдого
тела переменной массы при существовании ударов G1). § 8. Примеры G5).
$ 9. Уравнения движения центра инерции тела при существовании
ударов (82). § 10. Задача о движении точки переменной массы (83).
Глава И. Уравнения движения точки переменной массы я
главные их следствия 84
§ 1. Изменение массы точки (84).
А. Случай, когда точка и изменяющая масса
имеют одинаковые скорости.
§ 2. Уравнения движения свободной точки (85). § 3. Следствия
уравнений D) (88). § 4. Уравнения движения несвободной точки @2). § 5.
Следствия уравнений (8) и (9) (93).
Б. Случай, когда точка и изменяющая масса
имеют различные скорости.
§ 6. Уравнения движения свободной точки (97). § 7. Уравнения движения
несвободной точки (98). § 8. Следствия уравнений A4), A6) и A9) A01).
$ 9. Скорость изменяющей массы равна нулю A03). § 10. Скорость иаме-

СОДЕРЖАНИЕ
279
няющей массы направлена по одной прямой со скоростью точки (Ы).
§ 11. Скорость изменяющей массы направлена в нормальной плоскости
траектории точки (II ). § 12. Замечания относительно общего случая A11).
Глава Ш. Прямолинейное движение точки 113
§ 1. Восходящее движение ракеты A13). § 2. Вертикальное движение
аэростата A15). § 3. Тяжёлая точка массы m=mt)(l + atf при
сопротивлении, пропорциональном квадрату скорости A18).
Глава IV. Малые колебания кругового маятника 121
§ 1. Круговой маятник л среде, сопротивление которой пропорционально
скорости A21). § 2. Случай, где сопротивление среды, рассчитанное на
единицу массы при единице скорости, равно . * A23).
1-1-«Г
Глава V. Обратные задачи 126
А. Скорость изменяющей массы равна скорости
точки.
§ 1. Траектооия точки в сопротивляющейся среде при данных силах —
данная плоская кривая A27). § 2. Случай тяжёлой точки A29). § 3.
Тяжелая точка в сопротивляющейся среде описывает параболу A31).
§ 4. Задачи § 2 и § 3 в предположении, что ось Оу не совпадает с
направлением силы тяжести A34). § б. Тяжёлая точка в среде постоянной
плотности при сопротивлении, пропорциональном л-й степени
скорости A37). § 6. Две задачи о параболическом движении центра тяжёлого
однородного шара в воздухе A38).
Б. Скорость изменяющей массы равна нулю.
$ 7. Связь между случаями А и Б A42). § 8. Тяжёлая точка описывает
данную плоскую кривую, в частности, параболу A43).
В. Скорость изменяющей массы направлена
по одной прямой со скоростью точки.
§ 9. Связь между случаями Б и В A47).
Глава VI. Движение тяжёлой точки 148
§ 1. Уравнения движения. Случай, когда геометрическая разность
скоростей изменяющей массы н точки постоянна по величине и
направлению A48). § 2. Сопротивление среды, рассчитанное на единицу массы
при единице скорости,—функция длины пути. Скорость изменяющей
массы равна скорости точки A52). § 3. Частный случай: сопротивление
среды, рассчитанное на единицу массы при единице скорости, равно
A55). § 4. Скорость изменяющей массы равна нулю A59). § 5.
Скорости изменяющей массы и точки направлены по одной прямой A62).
Глава VII. Движение точки при действии центральной силы . . 164
$ 1. Уравнения движения и следствия их A64). § 2. Введение в
уравнения движения точки некоторых новых переменных A69). § 3. Пример,
в котором скорость изменяющей массы равна нулю я гяд _° A70).
$ 4. Задача § 3 при а <0 A76). § 5. Случай, в котором задача о
движении точки переменной массы при F=kmrn приводится к задаче о
движении точки постоянной массы при действии той же силы A77). § 6.
Случай, когда в соответствующей задаче о движении точки постоянной

280
СОДЕРЖАНИЕ
массы к заданной силе присоединяется сила» пропорциональная
расстоянию A80). § 7. Два примера, в которых скорость изменяющей массы не
равна нулю A81).
Приложение. Определения массы, встречающиеся в некоторых
сочинениях по механике 184
О ВРАЩЕНИИ ТЯЖЁЛОГО ТВЁРДОГО ТЕЛА С
РАЗВЁРТЫВАЮЩЕЮСЯ ТЯЖЁЛОЮ НИТЬЮ ОКОЛО ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ОСИ 189
§ 1. Дифференциальное уравнение вращения и его интегралы A90).
§ 2. Угловое ускорение A92). § 3. Угловая скорость A95). § 4. Некоторые
свойства движения A98). § 5. Вращение вала в случае двух
подвешенных грузов B02).
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ В ЗАДАЧЕ ДВУХ
ТЕЛ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ 205
§ 1. Случай ц.=—1— B07). Случай цв- ! — B08). § 3. Иреобра-
зование: i=<?(x, у, t), r\ = '\{xy у, /)» <*'=-«> (*, у% /) dt BJ9). § 4. Дока*
зательство того, что случай § 2 при преобразовании вида A6) является
единственно возможным B14). § 5. Частный случай задачи п тел
переменной массы B18).
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ В ОБЩЕМ
СЛУЧАЕ (из Дневника X съезда русских естествоиспытателей и врачей). . 220
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ В ОБЩЕМ
СЛУЧАЕ 222
Глава I. Изменение массы тела в общем случае 223
Глава П. Вывод уравнений движения точки переменной массы. 225
§ 1. Поступательное движение тела B25). § 2. Движение центра
инерции B29). § 3. Частные случаи уравнений D) B30).
Глава III. Аналитические выражения изменяющих масс я
проекций их скоростей 233
§ 1. Выражения изменяющих масс, ке содержащие скорости точки B34).
§ 2. Выражения изменяющих масс, содержащие скорость точки B37).
§ 3. Изменение массы в первом и во втором случае B42).
Глава IV. Исследование уравнений D) 247
Глава V. Некоторые приложения уравнений D) 251
§ 1. Примеры §§ 1 и 2 главы III B51). § 2. Тележка и цепь B54). § 3.
Реактивное судно B57). § 4. Падение цепи B59).
ЗАДАЧА ИЗ ДИНАМИКИ ПЕРЕМЕННЫХ МАСС 265