ал цач
110 ТЕОРЕТЛ Iл МЕХАНИКЕ
ББК 22.25
М56
УДК 531
Мещерский И. В. Сборник задач по теоретической механике: Учеб, пособие. — 36-е изд., исправл./ Под ред. Н. В. Бутенина, А. И. Лурье, Д. Р. Меркина.— М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 448 с.
Содержит задачи по всем разделам курса теоретической механики, читаемым во втузах по разным программам. Наличие задач различной степени трудности позволяет использовать сборник в университетах, втузах и техникумах.
Помещено большое количество задач, отражающих развитие современной техники. Имеются новые разделы, посвященные механике материальных систем с пеголо-номными связями, а также механике систем при наличии сил и моментов, носящих случайный характер.
Для студентов университетов и втузов.
Илл. 1025, табл, 16.
Рецензент член-корреспондент АН СССР, К. С. Колесников
Иван Всеволодович Мещерский
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ
Редакторы В. А. Брострем, А. Г. Мордвинцев Художественный редактор Т. Н. Кольченко
Технический редактор И. Ш. Аксельрод Корректор И. Я. Кришталь
ИБ № 12906
Сдано в набор 07.07.85. Подписано к печати 13.02.85. Формат 69Х901/». Бумага книжно-журнальная. Гарнитура литературная. Печать высокая, Усл. веч. л. 28. Усл. кр.-отт. 28
Уч.-изд. л. 29,89. Тираж 275 000 экз. (l-й завод 1-125 000 зкэ.) Заказ № 676. Цена 1 р. 3(1 к’
Ордена Трудового Красного Зваменн издательство «Наука» Главная ракакция физико-математической литературы 117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
Ленинградская типография № 2 головное предприятие ордена Трудового Красного Знамени Ленинградского объединения «Техническая книга» им. Евгении Соколовой Союзполиграф-крона при Государственном комитете СССР по делам издательств, ноли граф кв и книжно* торговля. 198052 г. Ленинград. Л-52, Измайловский проспект, 29.
1703020000—163 053(02)-86
84-86
© Издательство «Наука».
Главная редакция физико-математической литературы, 1975, 1981; с изменениями 1986
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к тридцать пятому изданию................................6
Из предисловия к тридцать второму изданию............................«
ОТДЕЛ ПЕРВЫЙ СТАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
Глава	I. Плоская система сил......................................9
§	1.	Силы, действующие во одной прямой..........................9
§	2.	Силы, линии действия поторых пересекаются	в одной точке .... 10
§	3.	Параллельные силы.........................................23
§	4.	Произвольная плоская система сил..........................33
§	5.	Силы трения...............................................32
Глава	II. Пространственная система сил...........................63
§	6.	Силы, линии действия которых пересекаются в одной точке ... 63
§	7.	Приведение системы сил к простейшему	виду.................68
§	8.	Равновесие произвольной системы сил.......................72
§	9.	Центр тяжести ............................................86
ОТДЕЛ ВТОРОЙ КИНЕМАТИКА
Глава III. Кинематика точки.........................................91
§ 10.	Траектория и уравнения движения точки......................91
§ 11.	Скорость точки.............................................96
§ 12.	Ускорение точки...........................................100
Глава IV. Простейшие движения твердого тела.........................107
§ 13.	Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.............107
§ 14.	Преобразование простейших движений твердого тела...........НО
Глава V. Плоское движение твердого тела.............................115
§ 15.	Уравнения движения илоской фигуры.........................115
§ 16.	Скорости точек твердого тела в плоском движении. Мгновенный центр скоростей..................................................118
§ 17.	Неподвижная и подвижная центроиды.........................129
§ 18.	Ускорения точен твердого тела в плоском движении. Мгновенный центр ускорений................................................. 131
Глава VI. Движение твердого тела, имеющего неподвижную точку. Пространственная ориентация........................................ 140
§ 19. Движение твердого тела, имеющего одну неподвижную точку . . 140
§ 20. Пространственная ориентация; кинематические формулы Эйлера и их модификация; аксоиды.........................................143
!•
Глава VII. Сложное движение точки.......................................150
§ 2J	. Уравнения движений точки.....................................150
§ 22.	Сложение скоростей точки.....................................155
§ 23.	Сложение ускорений точки.....................................  161
Глава VIII. Сложное движение твердого тела..............................176
§ 24.	Сложение движений тела ......................................176
а)	Сложение плоских движений тела..............................176
б)	Сложение пространственных движений тела.....................181
§ 25.	Смешанные задачи на сложное движение точки и твердого тела 190
ОТДЕЛ ТРЕТИЙ
ДИНАМИКА
Глава IX. Динамика материальной точки.................................. 196
§ 26.	Определение сил но заданному движению........................196
§ 27.	Дифференциальные уравнения движения..........................202
q) Прямолинейное движение ......................................202
б)	Криволинейное движение......................................208
§ 28.	Теорема об изменении количества движения материальной точки. Теорема об изменении момента количества движения материальной точки.......................................................... 214
§ 29.	Работа и мощность..............................................218
§ 30.	Теорема об изменении кинетической	энергии материальной точки 221
§ 31.	Смешанные задачи...............................................226
§ 32.	Колебательное движение.......................................  234
а)	Свободные колебания ........................................234
б)	Влияние сопротивления	на	свободные	колебания..........246
в)	Вынужденные колебания.............. ...................252
г)	Влияние сопротивления	на	вынужденные колебания..............255
§ 33.	Относительное движение.........................................257
Глава X. Динамика материальной системы................................  262
§ 34.	Геометрия масс: центр масс материальной системы, моменты инерции твердых тел ................................................262
§ 35.	Теорема о движении центра масс материальной системы . . . 269
§ 36.	Теорема об изменении главного вектора количеств движения материальной системы. Приложение к сплошным средам..................274
§ 37.	Теорема об изменении главного момента количеств движения материальной системы. Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси..................................277
§ 38.	Теорема об изменении кинетической энергии материальной	системы	292
§ 39.	Плоскопараллельное (плоское) движение твердого тела ....	306
§ 40.	Приближенная теория гироскопов............................310
§ 41.	Метод кинетостатики.......................................313
§ 4£>	.	Давление вращающегося твердого тела на ось вращения	. . .	.319
§ 43.	Смешанные задачи..........................................324
| 44.	Удар.........................................................  327
§ 45.	Динамика точки и системы переменной массы (переменного состава) .........................................................333
Глава XI. Аналитическая механика . , . .................................341
§ 46.	Принцип возможных перемещений..................................341
§ 47.	Общее уравнение динамики.......................................350
|	У.Р	авненйя Лагранжа 2-го рода...............................  354
| 49.	Интегралы движения, преобразование Рауса, канонические уравнения Гамильтона, урзаненнн Якоби — Гамильтона, принцип Гамильтона — Остроградского...........................................372
§ 50.	Системы с качением. Неголономные связи.........................379
4
Глава XII. Динамика космического полета..................................388
§ 51.	Кеплероао движение (движение под действием центральной силы) 388
§ 52.	Разные задачи..............................................395
Глава XIII. Устойчивость равновесия системы, теория колебаний, устойчивость движения ... ....................................................397
§ 53.	Определение условий равновесии системы. Устойчивость	равновесия	397
§ 54.	Малые колебания системы с одной степенью свободы...........403
§ 55.	Малые колебания систем с несколькими степенями свободы	.	.416
§ 56.	Устойчивость движении......................................432
§ 57.	Нелинейные колебания.......................................437
Глава XIV. Вероятностные задачи теоретической механики...................440
§ 58.	Вероятностные задачи статики ...................................448
§ 59.	Вероятностные задачи кинематики и динамики.................445
ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРИДЦАТЬ ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ
В настоящем издании продолжена попытка отразить в задачнике новые проблемы техники и более полно охватить разделы механики, ранее не нашедшие достаточного освещения. Кроме того, все величины в задачах переведены в Международную систему единиц (СИ), введенную в СССР с 1 января 1980 г. в соответствии со стандартом Совета Экономической Взаимопомощи СТ СЭВ 1052—78*). В конце книги приведена таблица основных, дополнительных и производных единиц геометрических, кинематических, статических и динамических величин этой системы.
Новые разделы составлены М. И. Бать (Смешанные задачи на сложное движение точки и твердого тела, § 25), Н. А. Фуфаевым (Системы с качением. Неголономные связи, § 50), И. Б. Челпано-вым (Вероятностные задачи теоретической механики, глава XIV). Одновременно дополнены новыми задачами почти все остальные разделы, в частности введены задачи, связанные с манипуляторами; часть задач исключена.
Авторский коллектив понес тяжелую утрату — в 1980 г. после тяжелой продолжительной болезни скончался один из ведущих соавторов и титульных редакторов, член-корреспондент Академии Наук СССР, профессор Анатолий Исакович Лурье, возглавлявший авторский коллектив с 1935 г.
Подготовили «Сборник» к печати и представили новые задачи М. И. Бать, Н. В. Бутенин, А. С. Кельзон, А. И. Лурье, Д. Р. Меркни. Кроме перечисленных выше лиц, новые задачи для настоящего издания представили Е. Г. Бергер, Ю. Г. Исполов, М. В. Миронов, 3. Б. Сегал, В. Б. Старосельский, И. Б. Челпанов, Н. А. Фу-фаев.
Нумерация задач двойная: первое число означает номер параграфа, второе — номер задачи в этом параграфе. В скобках указывается номер, который имела задача в тридцать втором — тридцать четвертом изданиях.
*) Соответствует ГОСТ 8.417—81, введенному с 1 января 1982 г, [Прилеч, реб.)
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ
К ТРИДЦАТЬ ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
«Сборник задач по теоретической механике» И. В. Мещерского, составленный первоначально по мысли и под редакцией И. В. Мещерского группой преподавателей теоретической механики б. Петербургского политехнического института как пособие для преподавания механики в этом институте, постепенно получил самое широкое распространение как в нашей стране, так и за ее пределами. Начиная с 1914 г., когда вышло первое издание «Сборника», он переиздавался только в нашей стране тридцать один раз; первому печатному изданию предшествовало еще несколько литографированных изданий.
Одна из основных причин успеха и распространения «Сборника» заключается в том, что в нем подобраны задачи, имеющие конкретную форму, дающие возможность студентам приобрести необходимые для них навыки в применении общих теорем и методов к решению конкретных прикладных вопросов.
«Сборник» неоднократно перерабатывался.
Составителями задач, помещенных в первом издании «Сборника» 1914 г., были: Л. В. Ассур, Б. А. Бахметьев, И. И. Бентков-ский, А. А. Горев, К- М. Дубяга, А. М. Ларионов, И. В. Мещерский, В. Ф. Миткевич, Е. Л. Николаи, К. Э. Рерих, Д. Л. Тагеев, В. В. Таклинский, С. П. Тимошенко, А. И. Тудоровский, А. П. Фан-дер-Флит, А. К. Федерман, В. Д. Шатров и другие. В последующих изданиях приняли участие также Е. К. Митропольский и М. Л. Франк.
В подготовке одиннадцатого переработанного издания принимали участие М. И. Акимов, М. И. Бать, Б. А. Берг, Н. К. Горчин, Ю. В. Долголенко, А. С. Кельзон, Ю. Г. Корнилов, А. И. Лурье, К. В. Меликов, IL Н. Наугольная, П. И. Нелюбин, Н. П. Неронов, Е. Л. Николаи, В. Ф. Пекин, П. Н. Семенов, А. А. Смирнов, С. А. Сороков, К. И. Страхович, А. И. Чекмарев и Ф. Г. Шмидт.
Две существенные переработки осуществлены в четырнадцатом и шестнадцатом изданиях. Работа по подготовке обоих изданий была выполнена коллективом кафедры теоретической механики Ленинградского политехнического института. Составили новые задачи и редактировали: отдел статики — С. А. Сороков, кинематики—Н. Н. Наугольная и А. С. Кельзон, динамики материальной
7
точки — А. С. Кельзон, динамики системы — М. И. Бать, уравнений Лагранжа и теории колебаний — Г. Ю. Джанелидзе. Общее редактирование осуществил А. И. Лурье. Кроме упомянутых лиц, для четырнадцатого издания предоставили новые задачи Н. С. Ваби-щевич, Н. И. Идельсон, В. Л. Кан, А. И. Холодняк, А. И. Цымлов и Н. А. Докучаев.
Развитие науки и техники за последние десятилетия вызвало необходимость новой переработки «Сборника» (последняя, наиболее существенная переработка была осуществлена в 1949 г., в шестнадцатом издании).
В тридцать втором издании сделана попытка, не выходя за рамки теоретической механики, отразить в какой-то степени новые проблемы техники и более полно охватить те вопросы классической механики, которые не нашли до сих пор достаточного освещения. 6 связи с этим в «Сборник» введены новые разделы, содержащие задачи по пространственной ориентации, динамике космического полета, нелинейным колебаниям, геометрии масс, аналитической механике. Одновременно существенно дополнены новыми задачами разделы кивематики точки, кинематики относительного движения и плоского движения твердого тела, динамики материальной точки и системы, динамики точки и системы переменной массы, устойчивости движения. Небольшое количество новых задач введено также почти во все другие разделы «Сборника»; некоторые задачи исключены из него. Сделаны также небольшие перестановки в размещении материала. В конце «Сборника» в качестве добавления приведена Международная система единиц (СИ).
Работа по подготовке тридцать второго издания выполнена группой преподавателей высших учебных заведений г. Ленинграда. Составили новые задачи и подготовили к печати: отдел статики — Д. Р. Меркин, отдел кинематики — М. И. Бать (§§ 15—18), А. С. Кельзон (§§ 21—25) и Д. Р. Меркин (§§ 10—14 и 19—20), отдел динамики материальной точки — А. С. Кельзон, отдел динамики материальной системы — М. И. Бать (§§ 34—44) и Н. В. Бу-тенин (§ 45), отдел аналитической механики — М. И. Бать (§§ 46, 47) и Д. Р. Меркин (§§ 48, 49), отдел динамики космического полета— Д. Р. Меркин, отдел теории колебаний и устойчивости движения — Н. В. Бутеннн. Кроме вышеупомянутых лиц предоставили новые задачи М. 3. Коловскнй, И. Е. Лившиц и Б. А. Смольников.
Считаем своим приятным долгом выразить искреннюю благодарность профессорам Г. Ю. Степанову и В. Н. Щелкачеву и возглавляемым ими коллективам кафедр за ценные замечания й советы, позволившие улучшить «Сборник».
ОТДЕЛ ПЕРВЫЙ
СТАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
ГЛАВА I
ПЛОСКАЯ СИСТЕМА СИЛ
§ 1.	Силы, действующие по одной прямой
1.1(1.1). Два груза, в 10 Н и 5 Н, висящие на одной веревка, укреплены на ней в разных местах, причем больший груз висит ниже меньшего. Каково натяжение веревкн, если верхний конец ее прикреплен к неподвижной точке?
Ответ. 10 Н и 15 Н.
1.2(1.2). Буксир тянет три баржи различных размеров, следующие одна за другой. Сила тяги винта буксира в данный момент равна 18 кН. Сопротивление воды движению буксира равно 6 кН; сопротивление воды движению первой баржи —6 кН, второй баржи —4 кН и третьей — 2 кН. Имеющийся в распоряжении канат выдерживает безопасно растягивающую силу в 2 кН. Сколько канатов надо протянуть от буксира к первой барже, от первой ко второй и от второй к третьей, если движение — прямолинейное и равномерное?
Ответ-. 6, 3 и 1 канат.
1.3(1.4), На дне щахты находится человек веса 640 Н; посред» ством каната, перекинутого через неподвижный блок, человек удерживает груз в 480 Н. 1) Какое давление оказывает человек на дно шахты? 2) Какой наибольший груз он может удержать с помощью каната^
Ответ-. 1)' 150 Н; 2) 640 Н.
1.4(1,5). Поезд идет по прямолинейному горизонтальному пути с постоянной скоростью; вес поезда, не считая электровоза, 12-Ю3 кН. Какова сила тяги электровоза, если сопротивление движению поезда равно 0,005 давления поезда на рельсы?
Ответ: 50 кН.
1.5(1.6). Пассажирский поезд состоит из электровоза, багажного вагона веса 400 кН и 10 пассажирских вагонов веса 500 кН каждый. С какой силой будут натянуты вагонные стяжки и какова сила тяги электровоза, если сопротивление движению поезда равно 0,005 его веса? При решении задачи принять, что сопротивление движению распределяется между составом поезда пропорционально весу и что движение поезда равномерное.
9
Ответ: Сила тяги электровоза 27 кН, Ти>=2,5 кН, Ti0~ <=2-2,5 кН и т. д. (нижний индекс означает номер вагона, начиная от электровоза).
§ 2. Силы, линии действия которых пересекаются в одной точке
2,1 (2.1). В центре правильного шестиугольника приложены силы 1, 3, 5, 7, 9 и II Н, направленные к его вершинам. Найти величину и направление равнодействующей и уравновешивающей.
Ответ: 12 Н; направление уравновешивающей противоположно направлению заданной силы в 9 Н.
2,2(2.3). Силу в 8 Н разложить на две по 5 Н каждая. Можно ли ту же силу разложить на две по 10 Н, 15 Н, 20 Н и т. д.? На две по 100 Н?
Ответ: Да, если пе заданы направления разложения.
2.3(2.4). По направлению стропильной ноги, наклоненной к горизонту под углом a <= 45°, действует сила Q = 2,5 кН. Какое уси-лие S возникает при этом по направлению горизон-zzZ гальной затяжкн и какая сила N действует на стену по отвесному направлению?
Ответ: S == N == 1,77 кН.'
2.4(2.5). Два трактора, идущих по берегам пря-•	мого канала с постоянной скоростью, тянут барку
к задаче 2.з	при помощи двух канатов. Силы натяжения ка-
натов равны 0,8 кН и 0,96 кН; угол между ними равен 50°. Найти сопротивление воды Р, испытываемое баркой при ее движении, и углы аир, которые должны составлять
канаты с берегами канала, если барка движется параллельно берегам.
Ответ: Р = 1,53 кН, а =33°, Р <=27°.
2.5(2.6). Кольца А, В и С трех пружинных весов укреплены неподвижно на горизонтальной доске. К крючкам весов привязаны три веревки, которые натянуты и связаны в один узел D. Показания весов: 8, 7 и 13 Н. Определить углы а и р, образуемые направлениями веревок,
К задаче 2.6 К задаче 2.6 КЭК указано На рИСуНКе.
Ответ: a = 27,8°, р = 32,2°.
2.6(2.7). Стержни АС и ВС соединены между собой и с вертикальной стеной посредством шарниров. На шарнирный болт С дей-
ствует вертикальная сила Р = 1000 Н.
Определить реакции этих стержней на шарнирный болт С, если углы, составляемые стержнями со стеной, равны: а = 30° н р =60°.
Ответ: 866 Н, 500 Н.
10
2.7(2.8). На рисунках а, б и в, как и в предыдущей задаче, схематически изображены стержни, соединенные между собой, с потолком и стенами посредством шарниров. К шарнирным болтам
В, F и К подвешены грузы Q= 1000 Н.
Определить усилия в стержнях для случаев:
а)	а = 0 = 45°;
б)	а =30°, 0 = 60°;
в)	а =60°, 0=30°, Ответ-, a) Si = S2 = = 707 Н; б) St =577 Н; S2=—1154 Н*); в) Si = = —577 Н; S2 == 1154 Н.
2-8(2.9). Уличный фо-	к задаче 2.7
нарь подвешен в точке В
к середине троса АВС, прикрепленного концами к крюкам Л и С, находящимся на одной горизонтали. Определить натяжения Т\ и Т2 в частях троса АВ и ВС, если вес фонаря равен 150 Н, длина всего троса АВС равна 20 м и отклонение точки его подвеса от горизонтали BD = 0,1 м. Весом троса пренебречь.
Ответ: Т] = Т2 = 7,5 кН.
2.9(2,10), Уличный фонарь веса 300 Н подвешен к вертикальному столбу с помощью горизонтальной поперечины АС — 1,2 м и
К задаче 2.8
К задаче 2.9
К задаче 2.10
подкоса ВС = 1,5 м. Найти усилия Si и S2 в стержнях АС и ВС, считая крепления в точках А, В и С шарнирными.
Ответ: Si = 400 Н, S2 — —500 Н.
2.10(2.11). Электрическая лампа веса 20 Н подвешена к потолку на шнуре АВ и затем оттянута к стене веревкой ВС. Определить натяжения: ТА шнура АВ и Тс веревки ВС, если известно, что угол а = 60°, а угол 0 = 135°. Весом шнура и веревки пренебречь.
Ответ: Та = 14,6 Н, Тс~ 10,4 Н.
2.11(2.12). Мачтовый кран состоит из стрелы АВ, прикрепленной шарниром А к мачте, и цепи СВ. К концу В стрелы подвешен
♦) Знак минус показывает, что стержень сжат.
И
груз Р = 2 кН; углы ВАС — 15°, АСВ = 135°. Определить натяжение Т цепи СВ и усилие Q в стреле АВ.
Ответ: Т = 1,04 кН; Q = 2,83 кН.
2.12(2.13). На одной железной дороге, проведенной в горах, участок пути в ущелье подвешен так, как показано на рисунке.
К задаче 2.12
Предполагая подвеску АВ нагруженной силой Г = 500 кН, найти усилия в стержнях АС и AD.
Ответ: Стержни АС и AD сжаты одинаковым усилием 539 кН.
2,13(2.14). Через два блока А и В, находящихся на одной горизонтальной прямой АВ = I, перекинута веревка CAEBD. К концам С и D веревнн подвешены гири веса р каждая, а к точке Е — гиря веса Р. Определить, пренебрегая трением на блоках и их размерами, расстояние х точки Е от прямой АВ в положении равновесия. Весом веревки пренебречь.
Ответ: №
2.14(2.15). Груз веса 25 Н у держи-
из этих грузов весит 20
К задаче 2.15
вается в равновесии двумя веревками, перекинутыми через блоки и натягиваемыми грузами. Один Н; синус угла, образуемого соответствующей веревкой с вертикалью, равен 0,6. Пренебрегая трением на блоках, определить величину р второго груза и угол а, образуемый второй веревкой с вертикальной линией. Весом веревки пренебречь.
Ответ: р = 15 Н, sin а = 0,8.
2.15(2.16). К веревке АВ, один конец которой закреплен в точке А, привязаны в точке В груз Р и веревка ‘BCD, перекинутая через блок; к концу ее D привязана гиря Q веса 100 Н. Определить, пренебрегая трением на блоке, натяжение Т веревки ЛВ и величину груза Р, если в положении равновесия
1В
углы образуемые веревками с вертикалью BE, равны: а = 45°, 8 == 60°.
Ответ-. Т= 122 Н, Р= 137 Н.
2.16(2.17). Груз ? = 20 кН поднимается магазинным краном ВАС посредством цели, перекинутой через блок А и через блок D, который укреплен на стене так, что угол CAD «= 30°. Углы между стержнями крана: АВС = 60°, АСВ = 30*. Определить усилия Q1 и Q2 в стержнях АВ и АС.
Ответ: Qi = 0, Qa = -“34,6 кН.
2.17. Два одинаковых цилиндра I веса Р каждый подвешены на нитях к точке О. Между ними лежит цилиндр II веса Q. Вся система находится в равновесии. Цилиндры I не касаются друг
К задача 2.16
друга. Определить зависимость между углом а, образованным нитью с вертикалью, и углом р, образованным прямой, проходящей через оси цилиндров I и II, с вертикалью.
Ответ: tg р =	4~ 1) tg о.
2.18(2.18). На двук взаимно перпендикулярных гладких наклонных плоскостях ДВ и ВС лежит однородный шар О веса 60 И. Определить давление шара на каждую плоскость, зная, что плоскость ВС составляет с горизонтом угол 60°.
Ответ: Nd = 52 Н, Ne = 30 Н.
2.19(2.19). К вертикальной гладкой стене АВ подвешен на тросе АС однородный шар О. Трос составляет со стеной угол а, вес шара Р. Определить натяжение троса Т и давление Q шара на стену.
Ответ: Т — P/cos a, Q = Р tg а.
2.20(2.20). Однородный шар веса 20 Н удерживается на гладкой наклонной плоскости тросом, который привязан к пружинным весам, укрепленным над плоскостью; показание пружинных весов 10 Н. Угол наклона плоскости к горизонту равен 30°. Определить
13
угол а, составляемый направлением троса с вертикалью, и давление Q шара на плоскость. Весом пружинных весов пренебречь.
Ответ: а = 60°, Q =» 17,3 Н.
2.21(2.21). Шарик В веса Р подвешен к неподвижной точке А посредством нити АВ и лежит на поверхности гладкой сферы радиуса г; расстояние точки А от поверхности сферы AC — d, длина
К задаче 2.19
нити АВ — I, прямая АО вертикальна. Определить натяжение Т нити и реакцию Q сферы. Радиусом шарика пренебречь.
Ответ: Т = Р	Q «= Р ~—.
а + г	d + г
2.22(2.22). Однородный шар веса 10 Н удерживается в равновесии двумя тросами АВ и CD, расположенными в одной вертикальной плоскости и составляющими один с другим угол 150°. Трос АВ наклонен к горизонту под углом 45°, Определить натяжение тросов.
Ответ: 7В —19,3 Н, Тс>= 14,1 Н.
2.23(2.23). Котел с равномерно распределенным по длине весом Р =» 40 кН и радиуса R = 1 м лежит на выступах каменной
кладки. Расстояние между стенками кладки I = 1,6 м. Пренебрегая трением, найти давление котла на кладку в точках А и В.
Ответ: Na= 33,3 кН.
2,24(2.24). Вес однородного трамбовочного катка равен 20 кН, радиус его 50 см. Определить горизонтальное усилие Р, необходимое для перетаскивания катка через каменную плиту высоты 8 см, в положении, указанном на рисунке.
14
Ответ: Р — 11,5 кН.
2.25(2.25), Однородный стержень АВ веса 160 Н, длины 1,2 м подвешен в точке С на двух тросах АС и СВ одинаковой длины, равной 1 м. Определить натяжения тросов.
Ответ: Натяжение каждого троса равно 100 Н.
2.26(2.26). Однородный стержень ДВ прикреплен к вертикальной стене посредством шарнира А и удерживается под углом 60° к вертикали при помощи троса ВС, образующего с ним угол 30ф. Определить величину и направление реакции R шарнира, если известно, что вес стержня равен 20 Н.
Ответ: R — 10 Н, угол (R, ДС) = 60°.
2.27(2.27). Верхний конец А однородного бруса АВ, длина которого 2 м, а вес 50 Н, упирается в гладкую вертикальную стену. К нижнему концу В привязан трос ВС. Найти, на каком расстоянии АС нужно прикрепить трос к стене для того, чтобы брус находился в равновесии, образуя угол BAD = 45°. Найти натяжение Т троса и реакцию R стены.
Ответ: АС = AD = 1,41 м, Т = 56 Н, R = 25 Н.
2.28(2.28). Оконная рама ДВ, изображенная на рисунке в разрезе, может вращаться вокруг горизонтальной оси шарнира А и
К задаче 2.28
своим нижним краем В свободно опирается на уступ паза. Найти реакции опор, если дано, что вес рамы, равный 89 Н, приложен к середине С рамы и AD = BD.
Ответ: Ra = 70,4 Н, Re = 31,5 Н.
2.29(2.29). Балка АВ поддерживается в горизонтальном положении стержнем СР; крепления в Д, С и В шарнирные. Опреде
ли
лить реакции опор А и D, если на конце балкн действует вертикальная сила F = 5 кН. Размеры указаны на рисунке. Весом пренебречь.
Ответ'. Ra = 7,9 кН, Rd — 10,6 кН.
2.30(2.30). Балка АВ шарнирно закреплена на опоре А; у конца В она положена на катки. В середине балкн, под углом 45° к ее
К задаче 2.30
оси, действует сила Р — 2 кН. Определить реакции опор для случаев а к б, взяв размеры с рисунков и пренебрегая весом балкн.
Ответ: a) RA «= 1,58 кН, Да = 0,71 кН; б) Дл=2,24 кН RB = 1 кН.
2.31(2.31). На рисунках изображены балки АВ, удерживаемые в горизонтальном положении вертикальными стержнями CD. На
концах балок действуют силы F =30 кН под углом 60° к горизонту. Взяв размеры с рисунков, определить усилия S в стержнях CD и давления Q балок на стену, если крепления в А, С и D шарнирные. Весом стержней и балок пренебречь.
Ответ: a) S = 39 кН, Q = 19,8 кН; б) S = 39 кН, Q = 19,8 кН.
2.32(2.32). Электрический провод АСВ натянут между двумя столбами так, что образует пологую кривую, стрела провисания которой CD = f = 1 м. Расстояние между столбами АВ ~ I — 40 м. Вес провода Q«=0,4 кН. Определить '^натяжения провода: Тс в средней точке, Та и Тв на концах.
При решении задачи считать, что вес каждой половины провода приложен на расстоянии //4 от ближнего столба.
Ответ: Тс =	= 2 кН; ТА = Тв = 2,01 кН.
2.33(2.33). Для рамы, изображенной на рисунке, определить опорные реакции RA и Rd, возникающие при действии горизонтальной силы Р, приложенной в точке В. Весом рамы пренебречь.
Ответ: RA = P^/2, Rd = P/2.
2.34(2.34). В двигателе внутреннего сгорания площадь поршня равна 0,02 м2, длина шатуна АВ =30 см, длина кривошипа ВС = Ъ см. Давление газа в данный момент над поршнем равно
К задаче 2.34
Р; = Ю00 кПа, под поршнем Р2 — 200 кПа. Найти силу Т, действующую со стороны шатуна АВ на кривошип ВС, вызванную перепадом давлений газа, если угол АВС = 90°. Трением между поршнем и цилиндром пренебречь.
Ответ: Т = 16 кН.
2.35(2.35). Воздушный шар, вес которого равен G, удерживается в равновесии тросом ВС. На шар действуют подъемная сила Q и горизонтальная сила давления ветра,	__
равная Р. Определить натяжение троса	„	( о\
в точке В и угол а.	1"	--д	)
Ответ: Т = д/В2 + ((?— G)2, а—
, Р	/ 1
^arctg-Q-^-.	/	[
/ •
2.36(2.36), Для сжатия цементного ку-	/
бика Л1 по четырем граням пользуются	у7
шарнирным механизмом, в котором /’д— стержни АВ, ВС и CD совпадают со сто-
ронами квадрата ABCD, а стержни 1, 2, к задаче 2.35
3, 4 равны между собой и направлены
по диагоналям того же квадрата; две равные по модулю силы Р прикладываются к точкам А и D, как показано на рисунке. Определить силы Д^2, Мз, Л^4, сжимающие кубик, и усилия Si, S2, S3 в стержнях АВ, ВС и CD, если величина сил, приложенных в точках А и D, равна 50 кН.
Ответ: N\ — N2 = Ni~NA = 70,7 кН. Растягивающие усилия; Si = S2 = S3 = 60 кН.
2.37(2.37). Два трамвайных провода подвешены к поперечным проволочным канатам, из которых каждый прикреплен к двум
17
столбам. Столбы расставлены вдоль пути на расстоянии 40 м друг от друга. Для каждого поперечного каната расстояния АК = KL = = LB = 5 м; КС — LD = 0,5 м. Пренебрегая весом проволочного каната, найти натяжения 7(, Т2 и Т3 в частях его AC, CD и DB, если вес 1 м провода равен 7,5 Н.
Ответ: Ti = Т3 = 3,015 кН, Т2 = 3 кН.
2.38(2.38). К шарниру А стержневого шарнирного четырехугольника ABDC, сторона CD которого закреплена, приложена сила Q = 100 Н под углом BAQ ~ 45°. Определить величину силы R, приложенной в шарнире В под углом ABR = 30° таким образом, чтобы четырехугольник ABDC был в равновесии, если углы: CAQ = 90°, DBR = WO.
Ответ: R ~ 163 Н.
2.39(2.39). Стержневой шарнирный многоугольник состоит из четырех равных стержней; концы А и Е шарнирно закреплены; узлы В, С п D нагружены одинаковой вертикальной нагрузкой Q. В положении равновесия угол наклона крайних стержней к горизонту а ~ 60°. Определить угол р наклона средних стержней к горизонту.
Ответ: р =• 30°.
18
2.40(2.40). Для трехшарнирной арки, показанной на рисунке, определить реакции опор А и В, возникающие при действии горизонтальной силы Р. Весом арки пренебречь.
Ответ; Ra — Rb — P •
К задаче 2.40
и не-очер-
К задаче 2.42
2.41(2.41). Прямолинейный однородный брус АВ веса Р весомый стержень ВС с криволинейной осью произвольного тания соединены шарнирно в точке В и так же соединены с опорами А и С, расположенными на одной горизонтали АС. Прямые АВ и ВС образуют с прямой АС углы а = 45°. Определить реакции опор А и С.
Ответ: Ra = Р, Rc =
2-402-42). Наклонная бал-кахАВ\ на конец которой действует свла Р, серединой Bt опирается на ребро консоли балки CD. Определить опорные реакции, пренебрегая весом балок,
Ответ: Ra = Р, Rc~ 4Р/ д/З, Rd =“ 2Р/V3-
2.43(2.43). Дана система, состоящая из четырех арок, размеры которых указаны на рисунке. Определить реакции опор А, В, С и D, возникающие при действии горизонтальной силы Р.
Ответ: Ra = P^/2/2, Rg=tP, RC^P, RD^P
К задаче 2.43
2.44(2.44). Кран состоит из неподвижной башни АС и подвижной фермы ВС, которая имеет шарнир С и удерживается тросом АВ. Груз Q = 40 кН висит на цеци, перекинутой через блок в точке В и идущей к вороту.по прямой ВС. Длина АС = ВС, Определить,
19
пренебрегая весом фермы и трением на блоке, натяжение Т троса АВ и силу Р, сжимающую ферму по прямой ВС, как функции угла АС В = <р.
Ответ; Т = 80sin(<p/2) кН; Р = 80 кН независимо от угла <р.
2.45(2.45). Блок С с грузом Р = 18 Н может скользить вдоль гибкого троса АСВ' концы которого А и В прикреплены к стенам. Расстояние между стенами 4 м; длина троса 5 м. Определить на-
К задаче 2.44	К задаче 2.45
тяжение троса при равновесии блока с грузом, пренебрегая весом троса и трением блока о трос.
Натяжения частей троса АС и СВ одинаковы; их величина может быть определена из подобия треугольника сил и равнобедренного треугольника, одна из боковых сторон которого есть прямая ВСЕ, а основание лежит на вертикали BD.
Ответ; 15 Н независимо от высоты ВР.
2.46(2.46). Для переправы через реку устроена люлька L, которая посредством ролика С подвешена к стальному тросу АВ, закрепленному в вершинах башен А и В. Для передвижения ролика
Мн
К задаче 2.46
С к левому берегу служит канат CAD, перекинутый через блок А и наматываемый на ворот О; такой же канат имеется для подтягивания люльки к правому берегу. Точки А и В находятся на одной горизонтали на расстоянии АВ = 100 м одна от другой; длина троса АСВ равна 102 м; вес люльки 50 кН. Пренебрегая весом канатов и троса, а также трением ролика о трос, определить натя-
20
жение каната CAD и натяжение троса АС В в тот момент, когда длина ветви АС = 20 м.
Ответ: Scad = 7,5 кН; Sea — 5сл = 95,6 кН.
2.47(2.47). Оконная рама АВ, изображенная на рисунке в разрезе, веса 100 Н, открывается, вращаясь вокруг горизонтальной оси А, при помощи шнура BCD, огибающего блоки С и D. Блок С, размерами которого пренебрегаем, и точка А лежат на одной вертикали; вес рамы приложен в ее середине; трением также пренебрегаем. Найти натяжение Т шнура в зависимости от угла ф, образуемого рамой АВ с горизонталью АН, предполагая АВ = = АС, а также наибольшее и наименьшее значения этого натяжения.
Ответ: Т = 100 sin (45° — ф/2) Н;
T'max = 70,7 Н при ф = 0;
7mln = 0 При ф = 90°.	К задаче 2.47
2.48(2.48). На круглом гладком цилиндре с горизонтальной осью и радиуса ОА =0,1 м лежат два шарика А и В; вес первого 1 Н, второго 2 Н. Шарики соединены нитью АВ длины 0,2 м. Определить углы (pi и <р2, составляемые радиусами ОА и ОВ с вертикальной прямой ОС в положении равновесия, и давления N\ и #2
шариков на цилиндр в точках А и В. Размерами шариков пренебречь.
Ответ: ф1 = 2—(ft, tgq^ = 2	Ф1 = 84°45', ф2 = 29°50',
М = cos ф1 Н = 0,092 Н, 1V2 == сов ф2 Н :=-1,73 Н.
2.49(2.49). Гладкое кольцо А может скользить без трения по неподвижной проволоке, согнутой по окружности, расположенной в вертикальной плоскости. К кольцу подвешена гиря Р и привязана веревка АВС, которая перекинута через неподвижный блок В, находящийся в высшей точке окружности; размерами блока пренебрегаем. В точке С. подвешена гиря Q. Определить центральный угол ф дуги АВ в положении равновесия, пренебрегая весом кольца
21
и трением на блоке, и указать условие, при котором возможно равновесие.
Ответ: sin(<p1/2) = Q/(2P), фа = л; первое из указанных положений равновесия возможно при Q < 2Р, второе — при любых Q и Р.
2.50(2.50). На проволочной окружности АВС радиуса R, расположенной в вертикальной плоскости, помещено гладкое кольцо В,
вес которого р; размерами кольца пренебречь. Кольцо посредством
К задаче 2.50
упругой нити АВ соединено с наивысшей точкой А окружности. Определить угол ф в положении равновесия, зная, что сила натяжения нити Т пропорциональна ее относительному удлинению, причем коэффициент пропорциональности равен k.
я Если через L и I обозначим длияу нити соответственно в состоянии растянутом я яерастянутом, то
Т ** k ~~—-.
„	1 kl	.^2pl
Ответ: cos <р = у kR ~ pl ’ если k2R — 1' в ПРОТИВНОМ случае ф --= 0.
2.51(2.51). Точка М притягивается тремя неподвижными центрами Мх{х\,уА, М2{х2,у2) и М3{х3, уз) силами, пропорциональными расстояниям: Fl = kir1, F2=k2r2, Рз = к3гэ, где
г2 = ММ2, r3=MM3, a ki, k2, k3 — коэффициенты пропорциональности. Определить координаты х, у точки М в положении равновесия.
К задаче 2.53
Птаот‘ Y__	+ ks*3 „__	+ ЬзУ*
итвет‘ х ki + +	, у k} + ll2 + k3 •
2.52(2.52). Однородная прямоугольная пластинка веса 50 Н подвешена так, что может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей вдоль одной из ее сторон. Равномерно дующий ветер удерживает ее в наклонном положении под углом 18° к вертикальной плоскости. Определить равнодействующую давлений, производимых ветром на пластинку перпендикулярно ее плоскости.
Ответ: 5 sin 18° = 15,5 Н.
2.53(2.53). Концевая цепь цепного моста заложена в каменное основание, имеющее форму прямоугольного параллелепипеда, среднее сечение которого есть ABDC. Стороны АВ = АС ~ — 5 м, удельный вес кладки 25 кН/м3; цепь рас-
положена на диагонали ВС. Найти необходимую длину а третьей стороны параллелепипеда, если натяжение цепи Т — 1000 кН.
Основание должно быть рассчитано на опрокидывание вокруг ребра D-, при расчете пренебрегаем сопротивлением грунта.
Ответ: а > 2,26 м.
22
2.54(2.54). Земляная насыпь подпирается вертикальной каменной стеной АВ. Найти необходимую толщину стены а, предполагая, что давление земли на стену направлено горизонтально, приложено на 1/3 ее высоты и равно 60 кН/м (на метр длины стены); удельный вес кладки 20 кН/м3. Стена должна быть рассчитана на опрокидывание вокруг ребра А.
Ответ:	1,42 м.
2.55(2.55). Водонапорная башня состоит из цилиндрического резервуара высоты 6 м н диаметра 4 м, укрепленного на четырех симметрично расположенных столбах, наклонных к горизонту; дно резервуара находится на высоте 17 м над уровнем опор; вес башни 60 кН, давление ветра рассчиты
вается на площадь проекции
поверхности резервуара на плоскость, перпендикулярную направлению ветра, причем удельное давление ветра принимается равным 1,25 кПа. Определить необходимое расстояние АВ между основаниями столбов.
Расстояние АВ должно быть рассчитано на опрокидывание давлением ветра при горизонтальном его направлении.
Ответ: АВ 15 м.
§ 3.	Параллельные силы
3.1(3.1). Определить вертикальные реакции опор, на которые свободно оперта у своих концов горизонтальная балка длины /, нагруженная равномерно по р Н на единицу длины. Вес балки считать включенным в равномерно распределенную нагрузку.
Ответ: R, = R2 = '/2pl Н.
3.2(3.2). Определить вертикальные реакции опор горизонтальной балки пролета /, если груз Р помещен на ней на расстоянии х от первой опоры.
Ответ: ^=pLzJLt = р
З.З(З.З). Однородный стержень АВ, длина которого 1 м, а вес 20 Н, подвешен горизонтально на двух параллельных веревках АС и BD. К стержню в точке Е на расстоянии АЕ = 1/4 м подвешен груз Р = 120 Н. Определить натяжения веревок Тс и То.
Ответ: Тс~ 100 Н, То = 40 Н.
3.4(3.4). На горизонтальную балку, лежащую на двух опорах, расстояние между которыми равно 4 м, положены два груза, один С в 2 кН, другой D в 1 кН, так, что реакция опоры А в два раза
23
больше реакции опоры В, если пренебречь весом балки. Расстояние CD между грузами равно 1 м. Каково расстояние х груза С от опоры Л?
Ответ1, х — 1 м.
К задаче 3.3	К задаче 3.4
300СМ
К задаче 3.5
3.5(3.5). Трансмиссионный вал АВ несет три шкива веса Pi = 3 кН, Р2 = 5 кН, Р3 = 2 кН. Размеры указаны на рисунке.
Определить, на каком расстоянии х от подшипника В надо установить шкив веса Р%, чтобы реакция подшипника А равнялась реакции подшипника В; весом вала пренебречь.
Ответ: х = 139 см.
З.б(З.б). Определить силы давления мостового крана АВ на рельсы в зависимости от
положения тележки С, на которой укреплена лебедка. Положение тележки определить расстоянием ее середины от левого рельса в долях общей длины моста. Вес моста Р=60 кН, вес тележки с поднимаемым грузом Р{ = 40 кН.
Ответ: FA=(7 — 4л) 10 кН, FB = (3 + 4п) 10 кН, где п = АС!АВ.
К задаче 3.6
3,7(3.7). Балка АВ длины 10 м и веса 2 кН лежит на двух опорах С и D. Опора С отстоит от конца А на 2 м, опора D от конца В — на 3 м. Конец балки А оттягивается вертикально вверх посредством перекинутого через блок троса, на котором подвешен гр*уз Q
24
веса 3 кН. На расстоянии 3 м от конца А к балке подвешен груз Р веса 8 кН. Определить реакции опор, пренебрегая трением на блоке.
Ответ: Рс == 3 кН, Ра = 4 кН.
К задаче 3.7
К задаче 3.8
3.8(3.8). Горизонтальный стержень АВ веса 100 Н может вращаться вокруг неподвижной оси шарнира А. Конец В оттягивается кверху посредством перекинутой через блок нити, на которой подвешена гиря веса Р~ 150 Н. В точке, находящейся на расстоянии 20 см от конца В, подвешен груз Q веса 500 Н. Как велика длина х стержня АВ, если он находится в равновесии?
Ответ: х — 25 см.
3.9(3.9). Конец А горизонтального стержня АВ веса 20 Н и длины 5 м оттягивается кверху посредством перекинутой через блок веревки, на которой подвешен груз веса 10 Н. Конец В таким же образом оттягивается кверху посредством груза веса 20 Н. В точках С, D, Е и F, отстоящих одна от другой и от точек Л и В на 1 м, подвешены грузы веса соответственно 5, 10, 15 и 20 Н. В каком месте надо подпереть стержень, чтобы он оста-
вался в равновесии?	К задаче 3.9
Ответ. В середине.
3.10(3.10). К однородному стержню, длина которого 3 м, а вес 6 Н, подвешены 4 груза на равных расстояниях друг от друга, причем два крайних — на концах стержня. Первый груз слева весит 2 Н, каждый последующий тяжелее предыдущего на 1 Н. На каком расстоянии х от левого конца нужно подвесить стержень, чтобы он оставался горизонтальным?
Ответ: х = 1,75 м.
3.11(3.11). Однородная горизонтальная балка соединена со стелой шарниром и подперта в точке, лежащей на расстоянии 160 см от стены. Длина балки 400 см, ее вес 320 Н. На расстояниях 120 см и 180 см от стены на балке лежат два груза веса 160 Н и 240 Н. Определить опорные реакции.
Ответ: 790 Н — вверх, 70 Н — вниз.
3.12(3.12). Однородная горизонтальная балка длины 4 м и веса 5 кН заложена в стену, толщина которой равна 0,5 м, так, что опирается на нее в точках А и В. Определить реакции в этих точках, если к свободному концу балки подвешен груз Р веса 40 кН.
Ответ: рл = 340 кН — вверх, RB = 295 кН — вниз.
25
3.13(3.13). Горизонтальная балка заделана одним концом в стену, а на другом конце поддерживает подшипник вала. От веса вала, шкивов и подшипника балка испытывает вертикальную нагрузку Q, равную 1,2 кН. Пренебрегая весом балки и считая, что нагрузка Q действует на расстоянии а = 0,75 м от стены, определить реакции заделки.
Ответ: Реакция /? = 1,2 кН, реактивный момент М ~0,9 кН-м.
К задаче ЭЛ2	К задаче 3.13
3.14(3.14). Горизонтальная балка, поддерживающая балкон, подвергается действию равномерно распределенной нагрузки интенсивности q — 2 кН/м. На балку у свободного конца передается
К задаче 3.14
К задаче ЗЛ5
нагрузка от колонны Р — 2 кН. Расстояние оси колонны от стены I = 1,5 м. Определить реакции заделки.
Ответ: Р = 5 кН, М = 5,25 кН-м.
3.15(3-15). На консольную горизонтальную балку действует пара сил с моментом М = 6 кН-м, а в точке С вертикальная нагрузка Р — 2 кН. Длина пролета балки АВ = 3,5 м, вынос консоли ВС = 0,5 м. Определить реакции опор.
Ответ: Ра = 2 кН — вниз, рв = = 4 кН — вверх.
3.16(3.16). На двухконсольную горизонтальную балку действует пара сил (ЛР).' на левую консоль — равномерно распределенная нагрузка интен
сивности q, а в точке D правой консоли — вертикальная нагрузка Q. Определить реакции опор, если Р — 1 кН, Q = 2 кН, q = = 2 кН/м, а ~ 0,8 м.
Ответ: РА = 1,5 кН, ра = 2,1 кН.
26

3.17(3.17). На балке АВ длины 10 м уложен путь для подъемного крана. Вес крана равен 50 кН, и центр тяжести его находится на оси CD; вес груза Р равен 10 кН; вес балки АВ равен 30 кН; вылет крана KL = 4 м; расстояние ЛС = Зм. Найти опорные реакции в точках А и В для такого положения крана, когда стрелка крана DL находится в одной вертикальной плоскости с балкой АВ.
Ответ: Ra — 53 кН, Rb = — 37 кН.
3.18(3.18). Балка АВ длины I м несет распределенную нагрузку, показанную на рисунке. Интенсивность нагрузки равна q Н/м на концах А и В балки и 2q Н/м в середине балки. Пренебрегая весом балки, найти реакции опор D и В.
Ответ: Rd — ql Н, RB ~ 0,5ql Н.
К задаче 3.18	К задаче 3.19
3.19(3.19). Горизонтальная балка АС, опертая в точках В и С, несет между опорами В и С равномерно распределенную нагрузку интенсивности q Н/м; на участке АВ интенсивность нагрузки уменьшается по линейному закону до нуля. Найти реакции опор В и С,
пренебрегая весом балки.
Ответ:	(За + Зй +4)Н;	(3й~4)Н'
3.20(3.20). Прямоугольный щит АВ ирригационного канала может вращаться относительно оси О. Если уровень воды невысок, щит закрыт, но, когда вода достигает некоторого уровня И, щит поворачивается вокруг оси и открывает канал. Пренебрегая тре-
нием и весом щита, определить высоту Н, при которой открывается щит.
Ответ: И — ЗА sin а.
К задаче 3.21
3,21(3.21), Предохранительный клапан А парового котла соединен стержнем АВ с однородным рычагом CD длины 50 см и веса 10 Н, который может вращаться вокруг неподвижной оси С;
27
диаметр клапана z/ = 6 см, плечо ВС = 7 см. Какой груз Q нужно
подвесить к концу D рычага для вался при давлении в котле, равном 1100 кПа?
Ответ: Q = 430 Н.
3.22(3.22). Несколько одинаковых однородных плит длины 21 сложены так, что часть каждой
того, чтобы клапан сам откры-
К задаче 3.23
К задаче 3.22
плиты выступает над плитой нижележащей. Определить предельные длины выступающих частей, при которых плиты будут находиться в равновесии.
К задаче 3.24
При решении складываются последовательно веса плит, начиная с верхней. Ответ: I, ~1, ±-1,	1 и т. д.
3.23(3.23). Железнодорожный кран опирается на рельсы, расстояние между которыми равно 1,5 м. Вес тележки крана равен 30 кН, центр тяжести ее находится в точке А, лежащей на линии KL пересечения плоскости симметрии тележки с плоскостью рисунка. Вес лебедки В крана равен 10 кН, центр тяжести ее лежит в точке С на расстоянии 0,1 м от прямой KL. Вес противовеса D равен 20 кН, центр тяжести его лежит в точке Е на расстоянии 1 м от прямой KL. Вес укосины FG равен 5 кН, и центр тяжести ее находится в точке Н на расстоянии 1 м от прямой KL. Вылет крана LM = 2 м. Определить наибольший груз О, который не опрокинет крана.
Ответ: Q — 51,8 кН.
4 3.24(3.24). Центр тяжести передвижного рельсового крана, вес которого (без про
тивовеса) равен Pi = 500 кН, находится в точке С, расстояние которой от вертикальной плоскости, проходящей через правый рельс, равно 1,5 м. Крановая тележка рассчитана на подъем груза Р2 = 260 кН; вылет ее равен 10 м. Определить наименьший вес Q и наибольшее расстояние х центра тяжести проти-
28
вовеса от вертикальной плоскости, проходящей через левый рельс В так, чтобы кран не опрокинулся при всех положениях тележки как нагруженной, так и ненагруженной. Собственным весом тележки пренебречь.
Ответ: Q — 333 кН, х = 6,75 м.
3.25(3.25). Кран для загрузки материалов в мартеновскую печь состоит из лебедки А, ходящей на колесах по рельсам, уложенным на балках передвижного моста В. К нижней части лебедки прикреплена опрокинутая колонна D, служащая для укрепления лопаты С. Какой вес Р должна иметь лебедка с колонной, чтобы
К задаче 3.25
К задаче 3.26
груз Q — 15 кН, помещенный на лопате на расстоянии 5 м от вертикальной оси ОА лебедки, не опрокидывал ее? Центр тяжести лебедки расположен на оси ОА; расстояние каждого колеса от оси ОА равно 1 м.
Ответ: Р ^60 кН.
3.26(3.26). Подъемный кран установлен на каменном фундаменте. Вес крана Q — 25 кН и приложен в центре тяжести А на расстоянии АВ =0,8 м от оси крана; вылет крана CD = 4 м. Фундамент имеет квадратное основание, сторона которого EF = 2 м; удельный вес кладки 20 кН/м3. Вычислить наименьшую глубину фундамента, если кран предназначен для подъема тяжестей до 30 кН, причем фундамент должен быть рассчитан на опрокидывание вокруг ребра F.
Ответ: 1,06 м.
3.27(3.27). Магнитная стрелка подвешена на тонкой проволоке и установлена горизонтально в магнитном меридиане. Горизонтальные составляющие силы земного магнитного поля, действующие на полюсы стрелки в противоположных направлениях, равны каждая 0,02 мН, расстояние между полюсами 10 см. На какой угол нужно закрутить проволоку, чтобы стрелка составила угол 30° с магнитным меридианом, если известно, что для закручивания проволоки на угол 1° нужно приложить пару, момент которой равен 0,05 мН-см?
Момент закручивающей пары пропорционален углу закручивания.
Ответ: 32°,
29
3.28(3.28). Два однородных стержня АВ и ВС одинакового поперечного сечения, из которых АВ вдвое короче ВС, соединенные своими концами под углом 60°, образуют ломаный рычаг АВС. У конца А рычаг подвешен ка нити AD. Определить угол а наклона стержня ВС к горизонту при равновесии рычага; поперечными размерами стержней пренебречь.
Ответ: tg а = -у у/з, а — 19°5'.
3.29(3.29). Два стержня АВ и ОС, вес единицы длины которых равен 2р, скреплены под прямым углом в точке С. Стержень ОС
может вращаться вокруг горизонтальной оси О; АС = СВ = а, ОС ~ Ь. В точках А и В подвешены гири, веса которых Pt и Р2‘, Pi > Pi. Определить угол <х наклона стержня АВ к горизонту в по
ложении равновесия.
Ответ-, tg а - ? р, + Р|+р(4а + >) .
3.30(3.30). Подъемный мост АВ поднимается посредством двух брусьев CD длины 8 м, веса 4 кН, по одному с каждой стороны моста; длина моста АВ — СЕ = 5 м; длина цепи АС = ВЕ; вес
К задаче 3-31
моста 30 кН и может считаться приложенным в середине АВ. Рассчитать вес противовесов Р, уравновешивающих мост.
Ответ: Р = 13,83 кН.
3.31(3.3!). Главную часть дифференциального блока составляют два неизменно связанных между собой шкива А, ось которых подвешена к неподвижному крюку. Желоба их снабжены зубцами, захватывающими бесконечную цепь, образующую две петли, в одну из которых помещен подвижной блок В. К подвижному блоку подвешен поднимаемый ГРУ3 Q, а к свисающей с большого блока ветви свободной петли приложено усилие Р. Радиусы шкивов А суть Rar, причем г < р. Требуется найти зависимость усилия Р от величины поднимае-
мого груза Q и определить это усилие в случае: Q = 500 Н, р = = 25 см, г = 24 см. Трением пренебречь.
Ответ: P = ^Q (1 —— ЮН.
2	\ А z
80
3.32(3.32). Дифференциальный рычаг состоит из стержня АВ, имеющего неподвижную опорную призму в точке С, и перекладины £>Е, соединенной с рычагом АВ посредством шарнирных серег AD и EF. Груз Q ~ 1 кН подвешен к перекладине в точке G посредством призмы. Расстояние между вертикалями, проведенными через точки С и G, равно 1 мм. Определить вес гири Р, которую нужно подвесить к рычагу АВ в точке Н на расстоянии CH = 1 м для того, чтобы уравновесить груз Q. Трением пренебречь.
Ответ: Р = 10 И.
3.33(3.33). В шарнирном четырехзвенном механизме звепо ВС параллельно неподвижному звену AD. Звено АВ = h перпендикулярно AD. Посредине АВ приложена горизонтальная сила Р. Какую горизонтальную силу Q следует приложить к звену CD в точке Е, если СЕ = CD/4, чтобы механизм был в равновесии? Найти реакцию в шарнире D. Весом звеньев пренебречь.
Ол^ет: Q = 2/iPt рГ) — }/&р и направлена по AD вправо.
jj.3j(3.34). Для измерения больших усилий Q устроена система двух неравноплечих рычагов АВС и EDF, соединенных между собой тяжем CD. В точках В и Е имеются неподвижные опоры. По рычагу EDF может передвигаться груз Р веса 125 Н. Сила Q, приложенная в точке А, уравновешивается этим грузом, помещенным на расстоянии I от точки D.
К задаче 3.34
К задаче 3.35
На какую длину х надо передвинуть для сохранения равновесия груз Р при увеличении силы Q на 10 кН, если указанные на рисунке размеры соответственно равны: а = 3,3 мм, b = 660 мм, с = 60 мм?
Ох§£т: х = 2 см.
(з.35ф.35). Балка АВ длины 4 м, веса 2 кН может вращаться вокруг*горизонтальной оси А и опирается концом В на другую балку CD длины 3 м, веса 1,6 кН, которая подперта в точке Е и соединена со стеной шарниром D. В точках М и N помещены грузы по 0,8 кН каждый. Расстояния: AM = 3 м, ED. = 2 м, ND = 1 м. Определить опорные реакции.
31
Ответ. Ra = 1,2 кН, RB = 1,6 кН, RE = 4 кН, Rd = 0.
3.36(3.36). Консольный мост состоит из трех частей: AC, CD и DF, из которых крайние опираются каждая на две опоры. Размеры соответственно равны: AC = DF~ 70 м, CD = 20 м,
К задаче 3.36
АВ = EF = 50 м. Погонная нагрузка на мост равна 60 кН/м, Найти давления на опоры А и В, производимые этой нагрузкой. Ответ: Na = 1020 кН, NB = 3780 кН.
К задаче 3.37
3.37(3.37). Консольный мост состоит из главной фермы АВ и двух боковых ферм АС и BD. Собственный вес, приходящийся на погонный метр фермы АВ, равен 15 кН, а для ферм АС и BD ра-
вен 10 кН. Определить реакции всех опор в тот момент, когда весь правый пролет FD занят поездом, вес которого можно заменить равномерно распределенной по пролету FD нагрузкой интенсивности 30 кН на погонный метр. Размеры соответственно равны:ЛС = = В£> = 20 м;Л£ = ВР=15 м; EF = 50 м.
X задаче 3.38
Ответ-. Rc = 100 кН, #о=400 кН, RE = 542,5 кН, Rf = = 1607,5 кН.
3.38. Для осмотра на плаву днища понтона водоизмещением D = 2000 кН его носовая оконечность поднимается краном грузоподъемности Р = 760 кН. Принимая удельный вес воды у =
Эй
10 кН/м3, определить наибольший подъем днища над уровнем воды Л, если понтон имеет форму прямоугольного параллелепипеда длины L — 20 м, ширины В = 10 м. Центр тяжести понтона С лежит посередине его длины. Точка К крепления троса подъемного крана и центр тяжести С находится на одинаковом расстоянии от днища понтона. {Водоизмещение судна численно равно его весу.)
Ответ: h — 1,36 м.
§ 4.	Произвольная плоская система сил
4.1(4.!). К однородному стержню АВ, который может вращаться вокруг шарнира А, подвешена в точке В на веревке гиря С веса в 10 Н. От конца стержня В протянут трос, перекинутый через блок D и поддерживающий гирю веса в 20 Н. Найти величину угла BAD — а, при котором стержень будет находиться в положении равновесия, зная, что АВ — AD и вес стержня 20 Н. Трением на блоке пренебречь.
Ответ: а — 120°.
4.2(4.2). Горизонтальная балка крана, длина которой равна I, у одного конца укреплена шарнирно, а у другого конца В подвешена к стене посредством тяги ВС, угол,наклона которой к горизонту равен а. По балке может перемещаться груз Р, положение
К задаче 4.1
которого определяется переменным расстоянием х до шарнира А. Определить натяжение Т тяги ВС в зависимости от положения груза. Весом балки пренебречь.
Ответ: Т — -.-Рх—.
I sin а
4.3(4.3). Однородный шар веса Q и радиуса а и гиря веса Р подвешены на веревках в точке О, как показано на рисунке. Расстояние ОЛ1 = b. Определить, какой’ угол <р образует прямая ОМ с вертикалью при равновесии.
Ответ: sin<p= у .
4.4(4.4). Ломаный' рычаг АВС, имеющий неподвижную ось В, весит 80 Н; плечо АВ = 0,4 м, плечо ВС — 1 м, центр тяжести рычага находится на расстоянии 0,212 м от вертикальной прямой BD. В точках А и С привязаны веревки, перекинутые через блоки Е и
2
И. В. Мещерский
33
F н натягиваемые гирями веса Р{ — 310 Н и Р2 = 100 Н. Пренебрегая трением на блоках, определить угол BCF = <р в положении равновесия, если угол ВАЕ = 135°.
Ответ: <р! = 45°, <р2 = 135°.
4.5(4.5). Лебедка снабжена храповым колесом диаметра d\ с собачкой А. На барабан диаметра d2, неподвижно скрепленный
с колесом, намотан трос, поддерживающий груз Q. Определить давление/? на ось В собачки,если
К задаче 4.5
скости; угол наклона первой из
К задаче 4.6	К задаче 4.7
дано: Q =60 Н, di =420 мм, d2 = 240 мм, h = 60 мм, а = 120 мм. Весом собачки пренебречь.
Ответ: R = Q~ ^а>+- =31Н. di а
4.6(4.6). Однородная балка АВ веса Р опирается на две гладкие наклонные прямые CD и DE, находящиеся в вертикальной пло-с к горизонту равен а, второй: 90° — а. Найти угол 0 наклона балки к горизонту в положении равновесия и давления ее на опорные прямые.
Ответ: Мл = Р cos a, Nb — — Psina, tg0 = ctg2a, 0 = = 90° — 2а при а «С 45°
4.7(4.7). Однородная балка веса 600 Н и длины 4 м опирается одним концом на гладкий пол, а промежуточной точкой В — на столб высоты 3 м,
образуй с вертикалью угол 30°. Балка удерживается в таком положении веревкой АС, протянутой по полу. Пренебрегая трением, определить натяжение веревки Т и реакции RB столба и Rc пола.
Ответ: Т = 150 Н, RB = 173 Н, Rc = 513 Н.
4.8(4.8). Однородная балка АВ веса 200 Н опирается на гладкий горизонтальный пол в точке В под углом 60° и, кроме того,
34
поддерживается двумя опорами С и D. Определить реакции опор в точках В, С и D, если длина АВ = 3 м, СВ — 0,5 м, BD = 1 м.
Ответ-. RB = 200 Н, Rc = 300 Н, RD = 300 Н.
4.9(4.9). Однородная плита АВ веса Р = 100 Н свободно опирается в точке А и удерживается под углом 45° к горизонту двумя стержнями ВС и BD. BCD— равносторонний треугольник. Точки С
К задаче 4.8	К задаче 4.9	К задаче 4.10
и D лежат на вертикальной прямой CD. Пренебрегая весом стержней и считая крепления в точках В, С и D шарнирными, определить реакцию опоры А и усилия в стержнях.
Ответ: Ra = 35,4 Н, Sc = 89,5 Н, So == —60,6 Н.
4.10(4.10). Однородный стержень АВ веса 100 Н опирается одним концом на гладкий горизонтальный пол, другим — на гладкую плоскость, наклоненную под углом 30° к горизонту. У конца В стержень поддерживается веревкой, перекинутой через блок С и несущей груз Р; часть веревки ВС параллельна наклонной плоскости. Пренебрегая трением на блоке, определить груз Р и силы давления NA и NB на пол и на наклонкую плоскость.
Ответ: Р = 25 Н; NA = 50 Н; Нв = 43,3 Н.
4.11(4,11). При сборке моста пришлось поднимать часть мостовой фермы АВС тремя канатами, расположенными, как указано
К задаче 4.11
К задаче 4.12
на рисунке. Вес этой части фермы 42 кН, центр тяжести находится в точке D. Расстояния соответственно равны: AD =4 м, DB = 2 м, BF=\ м. Найти натяжения канатов, если прямая АС горизонтальна.
Ответ: ТА = 18 кН, Тв = 17,57 кН, Тс = 12,43 кН.
4.12(4.12). Стропила односкатной крыши состоят из бруса АВ, У верхнего конца В свободно лежащего на гладкой опоре, а нижним концом А упирающегося в стену. Наклон крыши tga=0;5;
2*	35
на брус АВ приходится вертикальная нагрузка 9 кН, приложенная в середине бруса. Определить реакции опор в точках А и В.
Ответ: ХА = 1,8 кН, Ya = 5,4 кН, RB =4,02 кН.
Х4.Ц/4.13). К гладкой стене прислонена однородная лестница АВ ТГод углом 45° к горизонту; вес лестницы 200 Н; в точке D на расстоянии, равном 1/3 длины лестницы, от нижнего конца находится человек веса 600 Н. Найти силы давления лестницы на опору А и на стену.
Ответ: ХА = 300 Н, Ya = —800 Н, Хв = —300 Н.
4.14(4.14). На подъемной однородной лестнице длины 6 м и веса 2,4 кН, которая может вращаться вокруг горизонтальной оси
А и наклонена под углом 60° к горизонту, в точке D стоит человек веса 0,8 кН на расстоянии 2 м от конца В. У конца В лестница
поддерживается веревкой ВС, наклоненной под углом 75° к горизонту. Определить натяжение Т веревки и реакцию А оси.
Ответ: Т = 3,35 кН, ХА = 0,867 кН, YA = —0,0344 кН.
4.15(4.15). Однородная балка АВ веса Р=100 Н прикреплена к стене шарниром А и удерживается под углом 45° к вертикали
при помощи троса, перекинутого через блок и несущего груз G. Ветвь ВС троса образует с вертикалью угол 30°. В точке D к балке
К задаче 4.16
подвешен груз Q веса 200 Н. Определить вес груза G и реакцию шарнира А, пренебрегая трением на блоке, если BD = '/4 АВ
Ответ: <7=146 Н, Хл=73 Н, Гл = 173 Н.
К задаче 4.17
4.16(4.16). Шлюпка висит на двух шлюпбалках, причем вес ее, равный 9,6 кН, распределяется между ними поровну. Шлюпбалка АВС нижним полушаровым концом опирается на подпятник А и на высоте 1,8 м над ним свободно проходит через под-
шипник В; вылет шлюпбалки равен 2,4 м. Пренебрегая весом шлюпбалки, определить силы давления ее на опоры А и В.
Ответ: Хл = —6,4 кН, Ул = —4,8 кН, Х& = 6,4 кН.
4.17(4.17). Литейный кран АВС имеет вертикальную ось вращения MN; расстояния: MN = 5 м; АС = 5 м; вес крака 20 кН,
36
центр тяжести его D находится от оси вращения на расстоянии 2 м; вес груза, подвешенного в точке С, равен 30 кН. Найти
реакции подшипника М и подпятника
Ответ-. Хм = —38 кН, Хн = 38 кН, Yu — = 50 кН.
4.18(4.18). Кран в шахте, поднимающий груз Р — 40 кН, имеет подпятник Лив точке В опирается на гладкую цилиндрическую поверхность, ось которой Ау вертикальна. Длина хвоста АВ равна 2 м. Вылет крана ОЕ = 5 м. Вес крана равен 20 кН и приложен в точке С, расстояние которой от вертикали А у равно 2 м. Определить реакции опор А и В.
Ответ-. ХА = 120 кН, УА = 60 кН, Хв = = —120 кН.
4.19(4.19). Кран для подъема тяжестей состоит из балки АВ, нижний конец кото-
К задаче 4.18
рой соединен со стеной шарниром А, а верх-
ний удерживается горизонтальным тросом ВС. Определить натяжение Т троса ВС и давление на опору А, если известно, что вес груза Р = 2 кН, вес балки АВ равен 1 кН и приложен в середине балки, а угол'а — 45°.
Ответ-. Т — 2,5 кН, ХА = —2,5 кН, УА — —3 кН.
К задаче 4.19
К задаче 4.23
4.20(4.20). Кран имеет шарниры в точках А, В и D, причем АВ = AD = BD = 8 м. Центр тяжести фермы крана находится на расстоянии 5 м от вертикали, проходящей через точку А. Вылет крана, считая от точки А, при	»
этом равен 15 м. Поднимаемый ^1	Лк.
груз весит 200 кН; вес фермы Р =	।
~ 120 кН. Определить опорные !
реакции и натяжение стержня BD	~~----
для указанного положения крана. л
Ответ: ХА — 260 кН, Ул =	к задаче 4.21
= 770 кН, Т = 520 кН.
4.21(4.21). Симметричная стропильная ферма АВС у одного конца шарнирно укреплена в неподвижной точке Л, а у другого конца В опирается катквми на гладкую горизонтальную пло
37
скость. Вес фермы 100 кН. Сторона АС находится под равномерно распределенным, перпендикулярным ей давлением ветра; равнодействующая сил давления ветра равна 8 кН. Длина АВ = 6 м, угол САВ = 30°. Определить опорные реакции.
Ответ: Хл = —4 кН, YA = 54,6 кН, YB = 52,3 кН.
4.22(4.22). Арочная ферма имеет неподвижный опорный шарнир в точке А, в точке В — подвижную гладкую опору, плоскость ,	которой наклопена к горизонту
|	под Углом Пролет АВ = 20 м.
| /jXj-Xt/J/TX	° Центр тяжести фермы, вес кото-
рой вместе со снеговой нагрузкой ------------равен 100 кН, находится в точке z‘ С, расположенной над серединой
к задаче 4.22	пролета АВ. Равнодействующая
сил давления ветра F равна 20 кН и направлена параллельно АВ, линяя ее действия отстоит от АВ на 4 м. Определить опорные реакции.
Ответ: ХА — — 11,2 кН, Ya =* 46 кН, RB — 62,4 кН.
4.23(4,23). Ферма ABCD в точке D опирается на катки, а в точках А и В поддерживается наклонными стержнями АЕ и BF, шарнирно укрепленными в точках Е и F. Раскосы фермы и прямая EF,
К задаче 4-23
наклонены к горизонту под углом 45°; длина панели ВС = 3 м; стержни АЕ и BF одинаковой длины; расстояние EF = 3-\/2 м; АН = 2,25 д/2м- Вес фермы и нагрузки равен 75 кН и направлен по прямой CG. Найти реакцию катков Ro.
Ответ: Rd = 15 кН.
4.24(4.24). Давление воды на маленькую площадку плотины возрастает пропорционально расстоянию ее от свободной поверхности воды и равно весу столба воды, высота которого равна этому расстоянию, а площадь основания равна взятой площадке. Определить толщину плотины в ее основании в двух случаях:
1)	когда поперечное сечение плотины прямоугольное;
2)	когда это сечение треугольное.
Плотина должна быть рассчитана на опрокидывание вокруг ребра В давлением воды?- причем коэффициент устойчивости должен быть равен 2. Высота h плотины такая же, как глубина воды, и равна 5 м. Удельный вес воды у = 10 кН/м3, удельный вес материала плотины у1 =22 кН/м3.

Коэффициентом устойчивости называется отношение момента веса массива к моменту опрокидывающей силы. Давление воды на площадку плотины данной ! м и высотой dy, где у — расстояние площадки от дна в метрах, равно в килоньютонах у(Л — y)dy, Момент этого давления относительно точки В равен у(Л — у)у dy. Опрокидывающий момент равен $ Y (Л — у) у dy.
о
Ответ: а = 2,75 м; b = 3,37 м.
4.25(4.25). Определить реакции опор А и В балки, находящейся под действием одной
К задаче 4.25
К задаче 4.26
сосредоточенной силы и пары сил. Нагрузка и размеры указаны на рисунке.
Ответ: ХА = 2 кН, Ул = -4,32 кН, Ув = 7,78 кН.
4.26(4.26). Определить реакции опор А и В балки, находящейся под действием двух сосредоточенных сил и равномерно распределенной нагрузки. Интенсивность распределенной нагрузки, величины сил и размеры указаны на рисунке.
Ответ: ХА = 2,6 кН, Уд = 4,2 кН, Хв — 15,6 кН.
4.27(4.27). Определить реакции заделки консольной балки, изображенной на рисунке и находящейся под действием сосредоточенной силы и пары сил.
Ответ: X = 1 кН, У = 1,73 кН, М = 0,47 кН • м.
К задаче 4.27	К зяддче 4.28	К задаче 4.2У
4.2§(4.28). Определить реакции заделки консольной балки, изображенной на рисунке и находящейся под действием равномерно распределенной нагрузки, сосредоточенной силы и пары сил.
Ответ: Х=^2,8 кН, У = 1,7 кН, М = — 5,35 кН-м.
4.29(4.29). Определить реакции заделки консольной балки, изображенной на рисунке и находящейся под действием равномерно распрсделснной нагрузки, одной сосредоточенной силы и двух пар сил.
Ответ: Х = 11,8 кН, У = —2,8 кН, М =—86,8 кН-м,
39
К задаче 4.30
4.30(4.30). Определить реакции заделки консольной балки, изображенной на рисунке и находящейся под действием пары сил и распределенной нагрузки, изменяющейся по закону треугольника.
Ответ: X = —9 кН, У = 0, М = 40 кН - м.
4.31(4.31). Определить реакцию заделки консольной балки, изображенной на рисунке и находящейся под действием сосредоточенной силы, пары сил и распределенной нагрузки, изменяющейся по закону треугольника и трапеции.
Ответ: Х=137 кН, У = 25 кН, М = = —270 кН-м.
4.32(3.38). Горизонтальная разрезная балка АСВ у конца А заделана в стену, у конца В опи-
рается на подвижную опору; в точке С —шарнир. Балка загружена краном, несущим груз Р веса 10 кН; вылет KL — 4 м, вес крана Q = 50 кН, центр тяжести крана лежит на вертикали CD. Размеры указаны на рисунке. Определить, пренебрегая весом балки, опорные реакции в точках А и В для такого положения крана, когда он находится в одной вертикальной плоскости с балкой АВ.
Ответ: Ra = 53,75 кН, RB = 6,25 кН, Ма = 205 кН.

К задаче 4.31
К задаче 4.32
4.33(4.32). Определить реакции опор А, В, С и шарнира D составной балки, изображенной на рисунке вместе с нагрузкой.
Ответ: ХА =—2,8 кН, Уд = —4,4 кН, Ув = 22,2 кН, Ус = 5 кН, Xd = 0, Ус = ±5 кН.
Я

6"
к задаче 4.38
К задаче 4.34


\4ЛйЙ4.33). Определить реакции опор Л, В, С и шарнира D составили балки, изображенной на рисунке вместе с нагрузкой.
Ответ: Хд = 3 кН; Уд = 13,8 кН; Ув = —6,6 кН; Ус = 10 кН, Хо = 0; Уо = ±5 кН.
4.35(4.34). Мост состоит из двух частей, связанных между собой шарниром А и прикрепленных к береговым устоям шарнирами В и С. Вес каждой части моста 40 кН; их центры тяжести D и £;
40
на мосту находится груз Р = 20 кН; размеры указаны на рисунке. Определить силу давления в шарнире А и реакции в точках В и С.
Ответ-. ХА = ±20 кН, УА = Т8 кН, Xs = —Хс = 20 кН, Уз = — 52 кН, Ус = 48 кН.
К задаче 4,35	К задаче 4.36
4.36(4.35). На гладкой горизонтальной плоскости стоит передвижная лестница, состоящая из двух частей АС и ВС, длины 3 м, веса 120 Н каждая, соединенных шарниром С и веревкой £Т; расстояние BF — АЕ — 1 м; центр тяжести каждой из частей АС и ВС находится в ее середине. В точке D на расстоянии CD = 0,6 м стоит человек, весящий 720 Н. Определить реакции пола и шарнира, а также натяжение Т веревки EF, если угол ВДС = ДВС = 45°.
Ответ-. Ra = 408 Н, Re = 552 Н, Хс = ±522 Н, Ус = ±288 Н, Т = 522 Н.
4.37(4.36). Мост состоит из двух одинаковых частей М и N, соединенных между собой и с неподвижными опорами посредством шести стержней, наклоненных к горизонту под углом 45° и снабженных на концах шарнирами. Размеры указаны на рисунке. В точке G помещен груз веса Р. Определить те усилия в стержнях, которые вызваны действием этого груза.
Ответ: Ra = 0, Rb — P'\/2/3, Rc = B, RO = P л/2/З, RB~ = Py/2/2, RP*=P^/2/Q.
К задаче 4.37	К. задаче 4.38
4.38(4.37). Мост состоит из двух одинаковых горизонтальных балок, соединенных шарниром А и прикрепленных шарнирно к основанию жесткими стержнями 1, 2, 3, 4, причем крайние стержни вертикальны, а средние наклонены к горизонту под углом а = 60°. Соответствующие размеры равны; ВС = & м; АВ =8 м. Определить усилия в стержнях и реакцию шарнира А, если мост несет вертикальную нагрузку Р=15 кН на расстоянии а = 4 м от точки В.
41
Ответ: 5i =—6,25 кН, 52 = S3=—5,77 кН, $4=1,25 кН/ Ха = ±2,89 'кН, Ул = ±3,75 кН.
4.39(4.38). Вдоль мастерской, здание которой поддерживается трехшарнирной аркой, ходит по рельсам мостовой кран. Вес поперечной балки, передвигающейся по рельсам, 12 кН; вес крана 8 кН (кран не нагружен); лилия действия веса крана отстоит от левого рельса на расстоянии 0,25 длины балки. Вес каждой половипы арки равен 60 кН и приложен на расстоянии 2 м от вертикали,
К задаче 4.39
К задаче 4.40
проходящей через соответствующую опору А или В; опорные рельсы мостового крана расположены на расстоянии 1,8 м от этих вертикалей. Высота здания 12 м, ширина пролета 16 м. Равнодействующая сил давления ветра равна 12 кН и направлена параллельно АВ, линия ее действия отстоит от АВ на 5 м. Определить реакции шарниров А и В и силу давления в шарнире С.
Ответ: Лд=2 кН, Уд = 67,8 кН, Хв = —14 кН, Уй = 72,2 кН, Хс= ±14 кН, Ус = ±4,2 кН.
4.40(4.39). Груз Р=25 Н подвешен к концу горизонтального бруса АВ. Вес бруса Q — 10 Н и приложен в точке Е. Брус прикреплен к стенке посредством шарнира А и подперт стержнем CD, с которым скреплен тоже посредством шарнира. Весом стержня щ	CD пренебрегаем. Разме-
L &	.. у[	ры указаны на рисунке.
___ .„«-Xi-		£—ДХ—-- Определить реакции шар-/7В	'& .-С пиров А и С.
Ч//	Ответ: ХА = —30 Н,
Пр	г '	= —17 Н, Rc = 60 И.
Щ	4.41(4.40). Два одпо-
К задаче 4.4!	К задаче 4.42 РОДНЫХ бРУСа ОДИНЭКОВОЙ
длины соединены шанир-но в точке С, а в точках А и В также шарнирно прикреплены к опорам. Вес каждого бруса равен Р. В точке С подвешен груз Q. Расстояние AB = d. Расстояние точки С до горизонтальной прямой АВ равно Ь. Определить реакции шарниров А и В.
Ответ: - ХА = ХВ=-^ (Р + Q), Уа = УВ=Р+4'
4.42(4.41). Два стержня АС и BD одинаковой длины шарнирно соединены в точке D и так же прикреплены к вертикальной стене
К задаче 4.43	К задаче 4.44
в точках А и В. Стержень АС расположен горизонтально, стержень BD образует угол 60° с вертикальной стеной. Стержень АС в точке £ нагружен вертикальной силой Pi = 40 Н и в точке С силой Q == 100 Н, наклоненной к горизонту под углом 45°. Стержень BD в точке £ нагружен вертикальной силой = 40 Н. Дано: АЕ = = ЕС BF—FD. Определить реакции шарниров А и В.
Ответ: Х,;=—287 Н, УА =6 Н, XB^2J6 Н, Ув = 145 Н.
4.43(4.42). Подвеска состоит из двух балок АВ и CD, соединенных шарнирно в точке D и прикрепленных к потолку шарнирами А и С Вес балки АВ равен 60 Н и приложен в точке Е. Вес балки CD равен 60 Н и приложен в точке р. В точке В к балке АВ приложена вертикальная сила Р = 200 И. Определить реакции в шарнирах А и С, если заданы следующие размеры: АВ = 1 м; CD = 0,8 м; АЕ = — 0,4 м; Ср ~ 0,4 м; углы наклона балок АВ и CD к горизонту соответственно равны: а = 60° и Р = 45°.
Ответ: —ХЛ=ХС = 135 Н, У а = 160 Н, Ус = 160 Н.
4.44(4.43). Горизонтальная балка АВ длины 2 м, прикреп-
ленная к вертикальному столбу А С в точке А и подпертая подкосом DE, несет на конце груз Q веса 500 Н; столб АС укреплен подкосом FG, причем АЕ = CG = 1 м; подкосы DE и FG наклонены под углом 45° к горизонту. Найти усилия Se и Sf в подкосах DE и FG и реакцию грунта в точке С, предполагая, что крепления шарнирные, и пренебрегая весом балки, столба и подкосов.
Ответ: SF. = -1410 Н, Sf = — 1410 Н, Хс = 1000 Н, Ус = = —500 Н.
К задаче 4.45
К задаче 4.46
4.45(4.44). В мостовой ферме, изображенной на рисунке, на узлы С и D приходится одинаковая вертикальная нагрузка Р ~ 100 кН; наклонные стержни составляют углы 45° с горизонтом. Найти усилия в стержнях 1, 2, 3, 4, 5 и 6, вызываемые данной Нагрузкой.
Ответ: Sj = —141 кН, S2= 100 кН, S3=141 кН, S4 = —200 кН, == 0, S6 = 200 кН.
4.46(4.45). В мостовой ферме, изображенной на рисунке, узлы С, D и Е загружены одинаковой вертикальной нагрузкой Р =
= 100 кН. Наклонные стержни составляют углы 45° с горизонтом. Найти усилия в стержнях /, 2, 3, 4, 5, б, 7, 8 и 9, вызываемые данной нагрузкой.
Ответ-. $, = -160 кН, S2 = 0, S3 =212 кН, S4= —160 кН, Ss = —50 кН, S6 = 160 кН, S7 = 71 кН, Ss = —200 кН, S9 = 0.
4.47(4.46). Для сборки моста устроен временный деревянный кран, перемещающийся по рельсам Д и В на колесах. К среднему
узлу С нижнего пояса DE крана прикреплен блок, служащий для поднятия тяжести с помощью цепи. Вес поднимаемого с подмостей груза Р = 50 кН, причем в момент отделения его от подмостей направление цепи составляет с вертикалью угол а — 20°; во избежание колебаний груза он оттягивается горизонтальным канатом GH.
Предполагая, что горизонтальная составляющая натяжения це-
К задаче 4.47	ПИ ВОСПрИННМаСТСЯ ОДНИМ ПрЭВЫМ
рельсом S, определить усилие S] в горизонтальном стержне Ср в момент отделения груза от подмостей и сравнить его с тем усилием Sa, которое получилось бы при. угле а = 0. Размеры указаны на рисукке.
Ответ: Sj = 104,6 кН; S2 = 60 кН.
4.48(4.47). Найти величину усилия, сжимающего предмет Af в прессе, при следующих условиях: усилие Р = 0,2 кН и направлено перпендикулярно рычагу ОА, имеющему неподвижную ось О; в рассматриваемом положении пресса тяж ВС перпендикулярен ОВ и
делит E.ECD пополам, причем Z.CED = arctg 0,2 =• = I Г20'; длина О А = 1 м; ОВ = Ю см.
Ответ: 5 кН.
4.49(4.48). Цепь ОО} са-мозахватывающего грузы приспособления соединена шарниром О со стержнями ОС = OD = 60 см. Стержни соединены шарнирами же
К задаче 4.48	К задаче 4.49
с двумя равными ломаными рычагами САЕ и DBF, которые могут вращаться вокруг точек А и В соединительного стержня GH. В шарнирах Е и Р особые колодки удерживают груз Q = 10 кН трением. Расстояние точки Е от стержня GH равно EL = 60 см, а расстояние ее от стержня ОС равно EN = \ м. Высота треугольника COD равна OJ< = 10 см. Найти силу, растягивающую соединительный стержень GH, пренебрегая весом частей механизма.
44
Ответ: 60 кН.
4.50(4.49). Определить реакции шарниров А, С, D, Е и Н в стержневой системе, изображенной на рисунке, если СЕ — ЕН = = Щ)иАС = С5.
Ответ: RA = RD^RH = P, Re^^P, Rc = P^4. Стержень EG растянут, стержень НК сжат.
4.51(4.50). Натяжение приводного ремня, осуществляемое при помощи ломаного рычага ЛО2О1 и натяжного ролика Oi, равно по ту и другую сторону ролика Р Н. Найти величину груза Q при равновесии системы, если дано: /.АО2Ох = 90°, Р = 55 cm, d — 15 см, /, = 35 см, /2 — 15 см, 13 — 45 см, Р = 18 Н.
Ответ: Q— 12 Н.
4.52(4.51). Груз Р веса 4,8 кН удерживается на гладкой наклонной плоскости посредством веревки, параллельной плоскости и намотанной на неподвижный вал лебедки АВС. Угол наклона плоскости к горизонту 60°. Вес лебедки Q = 2,4 кН, ее центр тяжести находится на прямой
СО; лебедка опирается в точке А на гладкий пол, а в точке В прикреплена к полу болтом. Найти опорные реакции, пренебрегая расстоянием веревки от плоскости.
Ответ: Ya = 4,8 кН, Хв = = 2,08 кН, YB = 1,2 кН.
4.53(4.52). Однородный стержень АВ длины 21 и веса
Р может вращаться вокруг горизонтальной оси на конце А стержня. Оп опирается на однородный стержень CD той же длины 21, который может вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через его середину Е. Точки А и Е лежат па одной вертикали на расстоянии АЕ — I. К концу D подвешен груз Q —2Р, Определить угол <р, образуемый стержнем АВ с вертикалью в положении равновесия, пренебрегая трением.
45
Ответ: <р = arccos */8 = 82°50'.
4.54(4.53). Два однородных стержняДВ и ДС опираются вточке А на гладкий горизонтальный пол и друг на друга по гладким вертикальным плоскостям, а в точках В и С на гладкие вертикальные стены. Определить расстояние DE между стенами, при котором
стержни находятся в положении равновесия, образуя друг с другом угол в 90°, если дано: длина ДВ равна а, длина АС равна 6, вес ДВ равен Рь вес ДС равен Р2.
П г? _ Р% 4" 'X/ Р1
Ответ: DE =—— .
+ Р*

Ъ X <
К задаче 4.54
4.55(4.54). Однородный брусок ДВ, который может вращаться вокруг горизонтальной оси Д, опирается иа поверхность гладкого цилиндра радиуса г, лежащего на гладкой горизонтальной плоскости и удерживаемого нерастяжимой нитью АС. Вес бруска 16 Н; длина ДВ == Зг, АС = 2г. Определить натяжение нити Т и силу давления бруска на шарнир А.
Ответ: 7 = 6,9 Н, ХА=— 6 Н, Ya = —12,5 Н.
4.56(4.55). Между двумя гладкими наклонными плоскостями ОА и ОВ положены два гладких соприкасающихся однородных цилиндра: цилиндр с центром Ci веса Р} = 10 Н и цилиндр с центром Сг веса Р2 = 30 Н. Определить угол <р, составляемый прямой
К задаче 4.55
К задаче 4.56
К задаче 4.57
С]С2 с горизонтальной осью xOxi, давления и N2 цилиндров на плоскости, а также силу N взаимного давления цилиндров, если угол АОх, = 60°, а угол ВОх = 30°.
Ответ: <р = 0;	= 20 Н; N2 = 34,6 Н; N = 17,3 Н.
4.57(4.56). Два гладких однородных шара С; и С2, радиусы которых В] и а веса Р} и Р2, подвешены на веревках АВ и AD в точке Л; AB = l\\ AD = l2: h + R} = l2 + Ri; угол BAD = a. Определить угол 0, образуемый веревкой AD с горизонтальной плоскостью АЕ, натяжения веревок 7ц Т2 и силу давления одного шара на другой.
Ответ: tg0 = ——2-^р|—а, 7.=Р. sin<B^)-,
6	Pt sin а ’	1	1	а
cos 2
т _ р sin <е ~ а/2> м _ n I cos в |
12	2 cos (а/2) ’	cos (а/2) ‘
46
каждым из нижних цилинд-
4.58(4.57). На двух одинаковых круглых однородных цилиндрах радиуса г и веса Р каждый, лежащих на горизонтальной плоскости и связанных за центры нерастяжимой нитью длины 2г, покоится третий однородный цилиндр радиуса R и веса Q. Определить натяжение нити, давление цилиндров иа плоскость и взаимное давление цилиндров. Трением пренебречь.
Ответ: Давление каждого нижнего цилиндра на плоскость равно Р -J- Q/2. Давление между верхним и Q(/?+r) и ров равно - =. Натяжение г	2 у Я2 + 2гЯ
Qr нити равно —,	— . .
*	2 д/Я2 + 2гЯ
4.59(4.58). Три одинаковых трубы веса М = 120 Н каждая лежат, как указано на рисунке. Определить давление каждой из нижних труб на землю и на удерживающие их с небречь.
Ответ: Давление на землю равно стенку равно 34,6 Н.
4.60. Ферма A BCD в точке D опирается на катки, а в точках А и В поддерживается наклонными стержнями АЕ и BF, шарнирно укрепленными в точках Е и р. Раскосы фермы и прямая ЕР наклонены к горизонту под углом 45°; длина панели ВС = 3 м;
К задаче 4.58 К задаче 4.59 боков стенки. Трением пре-180 Н. Давление на каждую
Л
К задаче 4.60
стержни АЕ и BF одинаковой длины; расстояние EF = 3 д/2м; АН = 2,25 V^m. Вес фермы равен 25 кН и направлен по вертикали, проходящей через точку С. Вес нагрузки 112,5 кН. Определить, на каком расстоянии х от точки В нужно расположить нагрузку, чтобы реакция в опоре D стала равна нулю.
Ответ: х — 0,25 м.
4.61. Механизм робота-манипулятора представляет собой шарнирный трехзвенник; звенья поворачиваются в вертикальной плоскости. Найти моменты сил приводов в шарнирах А и В механизма робота-манипулятора, необходимые для того чтобы удерживать звенья механизма в горизонтальном положении. Масса объекта манипулирования тс = 15 кг. Длины звеньев: = 0,7 м, /2 = 0,5 м.
47
Звенья однородные и их массы соответственно равны: —35 кг, т2 = 25 кг.
Ответ-. МА =530 Н-м, Мв — 135 Н-м.
Примечание к задачам 4.61—4.64. Механизмы, создающие моменты в шарнирах, на рисунках не указаны.
К задаче 4.61
К задаче 4.62
4.62. Найти моменты сил приводов в шарнирах механизма робота-манипулятора, находящегося в равновесии, когда второе звено поднято под углом 30° к горизонту. Масса объекта манипулирования тс=15 кг. Длины звеньев: ^ = 0,7 м, 12 = 0,5 м. Массы звеньев: т; = 35 кг, т2 = 25 кг.
Ответ: МА = 510 Н-м, Мв — 117 Н-м.
4.63. Механизм робота-манипулятора в положении равновесия расположен в вертикальной плоскости. Длины звеньев: = 0,8 м, /2 = 0,5 м, 13 = 0,3 м. Массы звеньев: т} = 40 кг, т2 = 25 кг, тз = 15 кг. Найти моменты сил приводов в шарнирах, если рука CD манипулятора несет груз, масса которого тв= 15 кг. Звенья считать однородными стержнями.
Ответ: МА — 665 Н-м, Ms = 248 Н-м, Л4С = 46,7 Н-м.
4.64. Рука механизма робота-манипулятора удерживает в равновесии груз, масса которого тв = 15 кг. Пружина разгрузочного устройства, предназначенного для уменьшения нагрузки на привод, действует на первое звено силой F — 3000 Н, приложенной на расстоянии ЛЕ = 0,2 м от шарнира Д. Найти моменты сил в шарнирах. Длины звеньев: 1\ = 0,8 м, 12 = 0,5 м, 1з = 0,3 м. Массы звеньев: mi ~ 40 кг, т2 = 25 кг, тз = 15 кг. Звенья считать однородными стержнями.
Ответ: Мл = 502 Н-м, Мй = 214 Н-м, Мс =33 Н-м.
4.65(5.5). Определить опорные реакции и усилия в стержнях крана, изображенного на рисунке, при нагрузке в 8 кН. Весом стержня пренебречь.
48
Ответ-. Ra — 26 кН, 7?в = 18 кН — вниз.
Номер стержня		2	3	4	
Усилие, кН	— 16,4	+11,5	-14,3	-	+ 19
4.66(5.6). Определить опорные реакции и усилия в стержнях стропильной фермы, изображенной вместе с приложенными к пей силами на рисунке.
Ответ: Ra = 3,4 кН, RB = 2,6 кН.
Номер стержня		2	•		•	6	7	•	
Усилие, кН	-7,3	+5,8	—2,44	-и		+3,9	—0,81	-5,5	+4,4
4.67(5.7). Определить опорные реакции и усилия в стержнях пильчатой фермы, изображенной вместе с действующими на нее силами на рисунке.
49
Ответ: Ra — 3,25 кН, RB = 2,75 кН.
Номер стержня	1	2	•	*	5	•	
Усилие, кН	+1.3	+3,03	-3,5	-2.S	-*»		-1,73
4.98(5.8). Определить опорные реакции и усилия в стержнях фермы крана, изображенного вместе с приложенными к нему силами на рисунке.
Ответ: Ra=3 кН, Rb = 9 кН.
Номер стержня	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Усилие, кН	-0,6	+5,1	-3,13	-5,4	-2,0	+2.0	—2,83	«	-3,0
4.69(5.11). Определить опорные реакции и усилия в стержнях сооружения, изображенного вместе с действующими на него силами на рисукке.
Как в этой, так и в следующих задачах ось Ох направлена по горизонтальной прямой АВ вправо, а ось Оу — по вертикали вверх.
Ответ: ХА = — 2 кН, Ул = 1,4 кН, Ув =2,6 кН.
Номер стержня	i	2	3	4	б	6	7	8	9
Усилие, кН	+4,5	-4,5	+2	-2,44	+2,44	+2	0	-2,6	-’4
4.70(5.12). Определить опорные реакции и усилия в стержнях раскосной фермы, изображенной на рисунке вместе с нагрузкой.
Ответ: Ха ==—1 кН, Ул = 3 кН, Ув = 1 кН.
Номер стержня	1	2	3	4	5	6	7	8 |	9
Усилие, кН	—2	-2	-1	+ 1,41	+2	+4,24	—4	+ 1,41 |	-1
50
4.71(5.13). Определить мостовой фермы, которая изображена на рисунке.
опорные реакции и усилия в стержнях вместе с приложенными к ней силами
Ответ: Уа = 2,1 кН, Хв = —2 кН, Ув — 2,9 кН.
Помер стержня	I	2	3	4	5	6		в	9
Усилие, кН	-2,97	+2,1	+2,1	-2.!	+1,5	+0,9	0	-4,1	+0,9
4.72(5.14). Определить опорные реакции и усилия в стержнях сооружения, изображенного вместе с приложенными к нему
К задаче 4,72
силами на рисунке. Стержни 3 и 4 не соединены шарниром в точке
их пересечения.
Ответ: Уа = 2,2 кН, Хв = —2 кН, У в = 2,8 кН.
Номер стержня	1	2	3	4	3
Усилие, кН	-О	-7	+4,9	+2,53	-5,7
4.73(5.15). Определить опорные реакции и усилия в стержнях навесной фермы, изображенной вместе с действующими на нее силами на рисунке.
51
Ответ: ХА = 5,4 кН, Ул = 6 кН, Хв = —5,4 кН.
Номер стержня	1	2	3	<	5	6	7	•	9		11
Усилие, кН	-5,4	—3,6	-1,8	+2,06 | + 2,06		+4,1		+3.5		+2,7	-2
4,74(5.17). В узлах стропильной фермы с равными панелями вследствие давления ветра возникают силы, перпендикулярные
кровле: Р{ — РА — 312,5 Н и — Рз = 625 11. Определить вызываемые ветром реакции опор и усилия в стержнях фермы, размеры которой указаны на рисунке.
Ответ: Ya = 997 Н, Хв = 1040 Н, Y8 = 563 Н, S, = —1525 Н, S2=—1940 Н, S3 = -1550 H, S4 = S5 = S6 = -970 H, S7 = = 4-1100 H, S8 = 440 H, S9 = -215 H, Sio = Sn = -23O H, S12 = — S]3 = S14 = 0, S16 = -26 H, S16 = 4-1340 H, S17 = — ИЗО H, S!8 = 4-1060 H, Si9 = —750 H.
§ 5.	Силы трения
5.1(2.56). Определить необходимую затяжку болта, скрепляющего две стальные полосы, разрываемые силой Р = 2 кН, Болт поставлен с зазором и не должен работать на срез. Коэффициент трения между листами равен 0,2.
62
Указание. Болт ие должен работать на срез, поэтому его надо затянуть с такой силой, чтобы развивающееся между листами трение могло предотвратить скольжение листов. Сила, действующая вдоль оси болта, и яилиется искомой затяжкой.
Ответ: 10 кН.
5.2(2.57). Листы бумаги, сложенные, как показано на рисунке, склеиваются свободными концами через лист таким образом, что получаются две самостоятельные кипы А и В. Вес каждого листа 0,06 Н, число всех листов 200, коэффициент трения бумаги о бумагу, а также о стол, на котором бумага лежит, равен 0,2. Предполагая, что одна из кип удерживается неподвижно, определить наименьшее горизонтальное усилие Р, необходимое для того, чтобы вытащить вторую кипу.
К задаче 5.1
К задаче Б.2
Ответ: При вытаскивании А из В сила Р = 241,2 Н, а при вытаскивании В из А сила Р = 238,8 Н.
5.3(2.58). Вагон, спускающийся по уклону в 0,008, достигнув некоторой определенной скорости, движется затем равномерно. Определить сопротивление R, которое испытывает вагон при этой скорости, если вес вагона равен 500 кН,
Укаоном пути называется тангенс угла наклона пути к горизонту; вследствие малости уклона синус может быть принят равным тангенсу этого угла.
Ответ: R — 4 кН.
5.4(2.59). Поезд поднимается по прямолинейному пути, имеющему уклон 0,008, с постоянной скоростью; вес поезда, не считая электровоза, 12000 кН. Какова сила тяги Рэлектровоза,если сопротивление движению равно 0,005 силы давления поезда на рельсы?
Ответ: Р = 156 кН.
5.5(2.60). Негладкой наклонной плоскости придан такой угол а наклона к горизонту, что тяжелое тело, помещенное на эту плоскость, спускается с той постоянной скоростью, которая ему сообщена в начале движения. Определить коэффициент трения f.
Ответ: f = tg а.
5.6(2.61). Найти угол естественного откоса земляного грунта, если коэффициент трения для этого грунта f = 0,8.
Углом естественного откоса называется тот наибольший угол наклона откосэ к горизонту, при котором частица грунта, находящаяся на откосе, остается в равновесии.
Ответ: 38°40'.
53
5.7(2.53). Ящик веса Р стоит на шероховатой горизонтальной плоскости с коэффициентом трения f. Определить, под каким углом ₽ надо приложить силу Q, и величину этой силы при условии: сдвинуть ящик при наименьшей величине Q.
Ответ: p = arctgf; =
V1 + f2
5.8(2.64). Три груза А, В, С веса 10 Н, 30 Н и 60 Н соответственно лежат на плоскости, наклоненной под углом а к горизонту. Грузы соединены тросами, как показано на рисунке. Коэффициенты трения между грузами и плоскостью равны /д = 0,1,
К задаче 5.8
fs = 0,25 и /с = 0,5 соответственно. Определить угол а, при котором тела равномерно движутся вниз по плоскости. Найти также натяжения тросов ТАВ и ТВс.
Ответ: a = arctg0,38, ТЛв—2,7 Н, Твс = 6,5 Н.
5.9(2.65). На верхней грани прямоугольного бруса В, вес которого 200 Н, находится прямоугольный брус А веса 100 Н. Брус В опирается своей нижней гранью па горизонтальную поверхность С, причем коэффициент трения между ними /2 = 0.2. Коэффициент трения между бруса ми А и В — 0,5. На брус А действует сила
В
С
К зздзче 5.9
К задаче 5.10
Р — 60 Н, образующая с горизонтом угол а = 30°. Будет ли брус А двигаться относительно В? Будет ли брус В двигаться относительно плоскости С?
Ответ: Брусы А к В остаются в покое.
5.10(2.66). Два тела А и В расположены на наклонной плоскости С так, как показало на рисунке. Тело А весит 100 Н, тело В —200 И. Коэффициент трения между А и В f, = 0,6, между В и С /2 = 0,2. Исследовать состояние системы при различных значениях силы Р, приложенной к телу А параллельно наклонной плоскости.
54
Ответ: При Р < 98 Н оба тела двигаются вниз, не перемещаясь друг относительно друга; при 98 Н < Р < 102 Н оба тела находятся в покое; при Р > 102 Ы тело В неподвижно, а тело А скользит по телу В вверх.
5.11(2.67). На наклонной плоскости лежит прямоугольный брус В веса 400 Н. К нему с помощью троса присоединяют прямоугольный брус А веса 200 Н, который, скользя по наклонной плоскости, натягивает трос.
Коэффициенты трения с наклонной пло-скостыо fA = 0,5 и fB — 2/3. Будет ли си-стема в дальнейшем^ находиться в покое? Найти натяжение Т троса и величины	11
сил трения, действующие на каждое тело. к «ад0’» » ч Весом троса пренебречь.
Ответ: Система останется в покое. Ра =86,6 Н, Рв = 213,4 Н, Т= 13,4 Н.
5.12(2.68). Клин С вставлен между двумя телами А и В, которые лежат на шероховатой горизонтальной плоскости. Одна сторона клина вертикальна, другая — образует с вертикалью угол а — arctg 1 /3.
Вес тела А равен 400 Н, а вес тела В 300 Н; коэффициенты трения между поверхностями указаны на рисунке. Найти величину силы Q, под действием которой одно из тел сдвинется, а также
К задаче 5.12
К задаче 5.13

К задаче 5.14
значение силы трения F, действующей при этом со стороны горизонтальной плоскости на оставшееся неподвижным тело.
Ответ: Q = 70 Н, причем начнет двигаться тело А; РБ = 83 Н.
5.13(2.69). Цилиндр А лежит в направляющих В, поперечное сечение которых —симметричный клин с углом раствора 0. Коэффициент трения между цилиндром А и направляющей В равен f. Вес цилиндра равен Q. При какой величине силы Р цилиндр начнет двигаться горизонтально? Каков должен быть угол 0, чтобы движение началось при значении силы Р, равной весу цилиндра Q?
Ответ: 0=2arcsin^
5.14(2.70). Цилиндр веса Q лежит на двух опорах А и 5, расположенных симметрично относительно вертикали, проходящей через центр цилиндра. Коэффициент трения между цилиндром и опорами равен f. При какой величине тангенциальной силы Т цилиндр
55
начнет вращаться? При каком угле 0 это устройство будет само-тормозящимся?
r = -(irn/cQwg_r O^arccos-^.
5.15(2.71). Пренебрегая трением между ползуном А и направляющей, а----------*------------ -------
также трением во всех шарнирах и подшипниках кривошипного механизма, определить, какова должна быть сила Р, необходимая для поддерживания груза Q при указанном на рисунке положении механизма. Каковы минимальное и максимальное значения Р, обеспечивающие неподвижность груза Q, если коэффициент трения между ползуном А и направляющей равен /?
р Qa cos ф .	__ Qq cos ф - f sin <p .
'• r sin (ф + 0) ' rmin ~ г sin(<p + 9) ’
_ Qa cos <p + f sin <p
,na* r sin (ф + 0)
5.16. Груз В веса Р удерживается с помощью троса BAD в равновесии при подъеме по шероховатой поверхности, имеющей форму четверти кругового цилиндра. Коэффициент трения между поверхностью и грузом f = tg ср, где ср — угол трения, натяжение троса как функцию угла а. Найти усло-
К задаче 5.15
Определить вие, которому должен удовлетворять угол а, чтобы натяжение* троса принимало экстремальное значение. Размерами груза и блока А пренебречь.
Ответ: S = P .	—г. Натяжение S принимает экстре-
sin (45 + а/2 + ф)	r	г
tg (<р + а) п малыше значение при —	~2.
tg (45’ + а/2 + Ч>)
5.17. Груз В веса Р удерживается в равновесии при спуске по шероховатой поверхности, имеющей форму четверти кругового цилиндра. Коэффициент трения между поверхностью и грузом f = = tg Ф, где ф — угол трения. Определить натяжение троса S как функцию угла а. В каких пределах может меняться натяжение троса при равновесии груза В? Размерами груза и блока пренебречь.
56
_	о „ sin (а — ф)	г-
Ответ-. S = P s}n (45. + а£_ т) • Груз будет находиться в равновесии, если натяжение троса будет изменяться в пределах sin (а + ф) > е > р sin (а — ф) sin (45° + а/2 + ф) '''' sin (45° + а/2 — ф) ’
При а < ср груз будет в равновесии и при отсутствии троса.
5.18. Груз Q может скользить по шероховатым горизонтальным направляющим CD. К грузу прикреплен трос, пропущенный через гладкое отверстие А и несущий груз Р. Коэффициент трения груза о направляющие / = 0,1. Вес груза Q = 100 Н, груза Р = 60 Н. Расстояние от отверстия А до оси направляющих О А = 15 см. Определить границы зоны застоя (геометрического места положений равновесия груза). Размерами груза и отверстия пренебречь.
Ответ-. Границы имеют координаты.±4,64 см.
5.19. Автомобиль удерживается с помощью тормозов на наклонной части дороги. При перемещении тормозной педали на 2 см тормозные колодки дисковых тормозов перемещаются на 0,2 мм. Диаметр рабочей части диска 220 мм, нагруженный диаметр колеса 520 мм, вес автомобиля 14 кН. Определить, с какой силой водитель должен нажимать на педаль тормоза, если угол наклона дороги 20°. Трением качения пренебречь. Коэффициент трения скольжения между тормозными колодками и диском f = 0,5. Тормоза всех колес работают одинаково.
Ответ: 0,226 кН.
5.20. Груз Q может скользить по шероховатым горизонтальным направляющим АВ. К грузу прикреплен трос, несущий груз Р. Определить границы участков, где равновесие невозможно, если вес груза Q = 100 Н, груза Р =45 И, коэффициент трения скольжения f — 0,5. Расстояние от центра блока D до оси направляющих h — 15 см. Размерами блока D и груза Q пренебречь.
Ответ: Два участка с границами, координаты которых соответственно равны (—39,6 см, —23,8 см) и (23,8 см, 39,6 см).
К задаче 5.20
5.21(4.59). К валу приложена пара сил с моментом М = 100 Нм. На валу заключено тормозное колесо, радиус г которого равен 25 см. Найти, с какой силой Q надо прижимать к колесу тормозные колодки, чтобы колесо оставалось в покое, если коэффициент трения покоя / между колесом и колодками равен 0,25.
Ответ: Q — 800 Н.
57
5,22(4.60). Трамвайная дверь отодвигается с трением в нижнем пазу. Коэффициент трения f не более 0,5. Определить наибольшую высоту h, на которой можно поместить ручку двери, чтобы дверь при отодвигании не опрокидывалась. Ширина двери I — 0,8 м;
К задаче 5.23
центр тяжести двери находится на ее вертикальной оси симметрии.
Ответ: h~-~=0,8 м.
5.23(4.61). Цилиндрический вал веса Q и радиуса R приводится во вращение грузом, подвешенным к нему на веревке; вес груза равен Р. Радиус шипов вала r = R/2. Коэффициент трения в подшипниках равен 0,05. Определить, при каком отношении веса Q к весу Р груза послед-
ний опускается равномерно. Ответ: Q/P = 39.
5.24(4.62), Кронштейн, нагруженный вертикальной силой Р = = 500 Ы, прикреплен к степе двумя болтами. Определить затяжку болтав, необходимую для укрепления кронштейна на стене. Коэффициент трения между кронштейном и стеной f — 0,3. Для боль-
шей осторожности расчет произвести в предположении, что затянут
только верхний болт и что болты
К задаче 5.24
К задаче 5.25
поставлены,с зазором и не должны работать на срез.
Дано b/a > f.
Указание. Затяжкой на-1 зывается усилие, действующее вдоль оси болта. Полная затяжка верхнего болта состоит из двух частей: первая устраняет возможность отрыва кронштейна и опрокидывания его вокруг нижнего болта, вторая обеспечивает то нормальное давление верхней части кронштейна на стену, которое вызывает необходимую силу тре-
НИЯ.
Ответ: 2 кН.
5.25(4.63). Пест АВ приводится в движение пальцами М, насаженными на вал. Вес песта 180 II. Расстояние между направляющими С и D равно b = 1,5 м. Расстояние точки прикосновения пальца к выступу от оси песта а — 0,15 м. Найти силу Р, необходимую для подъема песта, если принять во внимание силу трения между направляющими С и D и пестом, равную 0,15 давления между трущимися частями.
Ответ: Р = 186 Н.
5.26(4.64). Горизонтальный стержень АВ имеет на конце А отверстие, которым он надет на вертикальную круглую стойку CD; длина втулки 6=2 см; в точке Е на расстоянии а от оси стойки к стержню подвешен груз Р. Определить, пренебрегая весом
58
стержня ДВ, расстояние а так, чтобы под действием груза Р стержень оставался в равновесии, если коэффициент трения между стержнем и стойкой f = 0,1.
Ответ: а 10 см.
’5.27(4.65). К вертикальной стене приставлена лестница ДВ, опирающаяся своим нижним концом на горизонтальный пол. Коэффициент трения лестницы о степу fJt о пол fa. Вес лестницы вместе с находящимся на ней человеком равен р и приложен в точке С,
К задаче 5.26
К задаче 5.28
надо поставить
К задаче S.29 лежит на двух
которая делит длину лестницы в отношении m/п. Определить наибольший угол а, составляемый лестницей со стеной в положении равновесия, а также нормальные составляющие реакций Na стены и N'b пола для этого значения а.
Ответ: tga = ^-^fa' N'A 1 + hh ’ Nb= l+fifa'
5.28(4.66). Лестница ДВ веса Р упирается в гладкую стену и опирается на горизонтальный негладкий пол. Коэффициент трения лестницы о пол равен Д Под каким углом а к полу лестницу, чтобы по ней мог подняться доверху -человек, вес которого р?
р 4- 2р
Ответ: tga>2f(7r+ р) 
5.29(4.67). Лестница ДВ опирается на негладкую стену и негладкий пол, составляя с последним угол 60°. На лестнице помещается груз Р. Пренебрегая весом лестницы, определить графически наибольшее расстояние ВВ, при котором лестница остается в покое. Угол трения для стены и пола равен 15°.
Ответ: Вр = 1/2 ДВ.
5.30(4.68). Тяжелый однородный стержень ДВ
опорах С и D, расстояние между которыми CD = а, АС = Ь. Коэффициент трения стержня об опоры равен /. Угол наклона стержня к горизонту равен а. Какому условию должна удовлетворять длина стержня 21 для того, чтобы стержень находился в равновесии, если толщиной его можно пренебречь?
Ответ:	2Ь 4-« Д-у-tga,	Первое условие вклю-
чает второе при а > ср, где ср = arctg f — угол трения; если же
59
a < ф, то достаточно удовлетворить второму условию. При I < а + b равновесие при принятом на рисунке расположении опоры С невозможно.
5.31(4.69). Однородный брус опирается в точке Л на негладкий горизонтальный пол и удерживается в точке В веревкой. Коэффициент трения бруса о пол равен f. Угол а, образуемый брусом с полом, равен 45°. При каком угле гр наклона веревки к горизонту брус начнет скользить?
Ответ: tg <р = 2 -|- 1/f.
К задача з.а*)
К задаче 5.32
5.32(4.70). Однородный стержень своими концами А и В может
скользить по негладкой окружности радиуса а.. Расстояние ОС стержня до центра О окружности, расположенной в вертикальной
плоскости, равно Ь. Коэффициент трения между стержнем и окружностью равен f. Определить для положений равновесия стержня
К задаче 5.33
угол ф, составляемый прямой ОС с вертикальным диаметром окружности.
Ответ: ctg ф >	~ f •
5.33(4.72). Прокатный стан состоит из двух валов диаметром d=50 см, вращающихся в противоположные стороны, указанные стрелками на рисунке; расстояние между валами а = 0,5 см. Какой толщины Ь листы можно прокатывать на этом стане, если коэффициент трения для раскаленного железа и чугунных валов f — 0,1?
Для работы стана необходимо, чтобы лист захватывался вращающимися валами, т. е. чтобы равнодей-
ствующая приложенных к листу нормальных реакций и сил трепня в точках А и В была направлена по горизонтали вправо.
Ответ: b 0,75 см.
5.34(4.73). Блок радиуса снабжен двумя шипами радиуса г, симметрично расположенными относительно его средней плоскости. Шипы опираются на две цилиндрические поверхности ЛВ с горизонтальными образующими. На блок намотан трос, к которому подвешены грузы Р и P]t причем Р > Рх. Определить наименьшую величину груза Plt прн которой блок будет находиться в равнове
60
сии, предполагая, что коэффициент трения шипов о цилиндрические поверхности АВ равен f, а вес блока с шипами Q.
Указанное на рисунке положение системы не может быть положением равновесия; последнее требуется предварительно найти.
Ответ: В положении равновесия плоскость, проходящая через оси цилиндра АВ л блока, образует с вертикалью угол, равный углу трения;
р : Нл7Г+7*-М-Р<?
' R V1 + Г + fr
5.35(4.75). Для опускания грузов употребляется ворот с тормозом, изображенный на рисунке. С барабаном, на который намо-
К задаче 5 34	К задаче 5.35
тана цепь, скреплено концентрическое деревянное колесо, которое тормозят, надавливая на конец А рычага АВ, соединенного цепью
CD с концом D тормозного рычага ED. Диаметр колеса а = 50 см; диаметр барабана Ъ = 20 см; ED — 120 см; FE = 50 см; АВ — = 1 м; ВС ~ 10 см. Определить силу Р, уравновешивающую груз Q = 8 кН, подвешенный к подвижному блоку, если коэффициент трения дерева о сталь f= == 0,4; размерами колодки F пренебрегаем.
Ответ: Р — 0,2 кН.
5.36(4.76). На гранях А В нВС призмы АВС помещены два одинаковых тела G и Н веса Р, свя-
К задаче 5.36
занные нитью, перекинутой через
блок в точке В. Коэффициент трения между телами и гранями призмы равен f. Углы ВАС и ВСА равны 45°. Определить, пренебрегая трением на блоке, величину угла а наклона грани АС к горизонту, необходимую для того, чтобы груз G начал опускаться.
61
Ответ: tg а == f.
5.37(4.77). Глубина заложения опор железнодорожного моста, перекинутого через реку, рассчитана в том предположении, что вес опоры с приходящимся на нее грузом уравновешивается давлением грунта на дно опоры и боковым трением, причем грунт — мелкозернистый песок, насыщенный водой, принимается за жидкое тело. Вычислить глубину h заложения этих опор, если нагрузка на опору 1500 кН, вес опоры на 1 м ее высоты 80 кН, высота опоры над дном реки 9 м, высота воды над дном 6 м, площадь основания опоры 3,5 м2, боковая поверхность опоры на 1 м высоты 7 м2, вес I м3 песку, насыщенного водой, равен 18 кН, вес I м3 воды равен 10 кН и коэффициент трения о песок стального футляра, в котором заключена каменная опора, 0,18.
При расчете трения принимаем во внимание, что среднее боковое давление на 1 м2 равно 10(6 + 0,9Л)кН.
Ответ: h = 11 м.
5.38(4.78). Определить угол а наклона плоскости к горизонту, при котором ролик радиуса г = 50 мм равномерно катится по плоскости. Материал трущихся тел — сталь, коэффициент трения качения k = 0,05 мм.
Ввиду малости угла а можно принять а — tg а.
Ответ: а = 3'26".
5.39(4.79). Определить силу Р, необходимую для равномерного качения цилиндрического катка диаметра 50 см и веса 300 Н по горизонтальной плоскости, если коэффициент | "Х трения качения k = 0,5 см, а угол, составляе-I j	мы® силой Р с горизонтальной плоскостью,
4-----равен а = 30°.
\	| J	Ответ: Р = 5,72 Н.
5.40(4.80). На горизонтальной плоскости лежит шар радиуса R и веса Q. Коэффициент v	трения скольжения шара о плоскость f, коэф-
фициент трения качения k. При каких условиях горизонтальная сила Р, приложенная в центре шара, сообщает ему равномерное качение?
Ответ: k/R < f; Р = Qk/R.
5.41.’ При взаимодействии с ледяным покровом ледокол рассматривается в равновесии под действием веса судна G, силы поддержания воды D, упора винтов R, а также сил, действующих со стороны льда в точке форштевня К: нормального давления N и максимальной силы трения F. Угол наклона форштевня <р = 30°, коэффициент трения f == 0,2. Известны значения G = 6000 кН, R == 200 кН, а = 20 м, b = 2 м, е — 1 м. Пренебрегая дифферентом судна, определить вертикальное давление судна на ледяной покров Р, силу поддержания D и расстояние ее от центра тяжести судна I.
62
Ответ: P = R 1 ~./tg<p-^230 кН, £> = 5770 кН, / = 0,83 м. / + tg <Р
5.42, Груз Q может скользить по шероховатой вертикальной направляющей АВ. К грузу прикреплен трос, несущий груз Р. Пренебрегая размером блока £>, определить: 1) условие, при котором
возможна зона застоя (геометрическое место возможных положений равновесия); 2) условие, при котором верхняя граница зоны застоя находится в положительной части оси у\ 3) ординаты границ зоны застоя при Q=5 Н,
К задаче 5.41
К задаче 5.42
р = 10 Н, f — 0,2, OD = 10 см; 4) ординаты границ зоны застоя при Q = 1,5 Н, Р= ЮН, f =0,2, О£> = 10 см.
Ответ: 1) Q2/P2 < 1 + /»; 2) Q/P < f; 3)	= —3,26 см, У2 =
= —8,6 см; 4) У1 = 0,5 см, У2 = —3,59 см.
ГЛАВА II
ПРОСТРАНСТВЕННАЯ СИСТЕМА СИЛ
§ 6. Силы, линии действия которых пересекаются в одной точке
6.1 (6.1). Угловой столб составлен из двух одинаково наклоненных брусьев АВ и АС, скрепленных в вершине посредством шарнира. Угол BA С = 30°. Столб поддерживает два горизонтальных провода AD и АЕ, составляющих между собой прямой угол. Натяжение каждого провода равно 1 кН. Определить усилия в брусьях, предполагая, что плоскость 'ВАС делит пополам угол DAE, пренебрегая весом брусьев.
Ответ: Sb = —Sc — 2,73 кН.
6.2(6.2). Горизонтальные провода телеграфной линии подве-
шены к телеграфному столбу АВ с подкосом ДС и составляют угол DAE = 90°. Натяжения проводов AD и АЕ соответственно равны 120 Н и 150 Н. В точке А крепление шарнирное. Найти угол а между плоскостями ВАС и ВАЕ, при котором столб не испытывает
63
бокового изгиба, и определить усилие S в подкосе, если он поставлен под углом 60° к горизонту. Весом столба и подкоса пренебречь.
Ответ: а = arcsin(3/5) —36°50', 5 = —400 Н.
б.З(б.З). Груз Q = 100 Н поддерживается брусом АО, шарнирно закрепленным в точке А и наклоненным под углом 45° к
горизонту, и двумя горизонтальными цепями ВО и СО одинаковой длины; ZCBO = — ZBCO =45°. Найти усилие S в брусе и натяжения Т цепей.
Ответ: S = —141 Н, Т = 71 Н.
6.4 (6.4). Найти усилия Si и S2 в стержнях АВ и АС и усилие Т в тросе AD, если дано, что ZCBA = ZBCA = 60°, ZEAD = №. Вес груза Р равен 300 Н. Плоскость АВС горизонтальна. Крепления стержней в точках А, В и С
К задаче 6.3 Шарнирные.
Ответ: Т = 600 Н. Si = S2 = —300 Н.
6.5(6.5). Найти усилия в стержне АВ и цепях АС и AD, поддерживающих груз Q веса 420 Н, если АВ = 145 см, АС = 80 см, А£)=60 см, плоскость прямоугольника CADE горизонтальна, а плоскости V и VF вертикальны. Крепление в точке В шарнирное.
Ответ: Тс = 320 Н; Ь = 240 Н; Те =—580 II.
К задаче 6,4
6.6(6.6). Определить усилия в тросе АВ ив стержнях АС и AD, поддерживающих груз Q веса 180 Н, если, АВ — 170 см, АС = — AD = 100 см, С£) = 120'см; CK. — KD и плоскость ACDA горизонтальна. Крепления стержней в точках А, С и D шарнирные.
Ответ: 204 Н’ —50 Н. \
6.7(6.7). Переносный кран, поднимающий груз Q веса 20 кН, устроен так, как указано на рисунке; АВ = АЕ = AF 2 м; угол EAF = 90°, плоскость крана АВС делит прямой двугранный угол EABF пополам. Определить силу сжимающую вертикальную стойку АВ, а также силы Р2, Р2 и Р4, растягивающие струну ВС и тросы BE и BF, пренебрегая весом частей крана.
64
Ответ: Р] — 42 кН, Р2 — 58 кН, Р3 = Р4 = 50 кН.
6.8(6.8). Груз Q веса 1 кН подвешен в точке D, как указано на рисунке. Крепления стержней в точках А, В и D шарнирные. Определить реакции опор А, В и С.
Ответ: RA = Ra = 2,64 кН, Rc = 3,35 кН.
6.9(6.9). Воздушный удерживаемый двумя
шар, тросами,
К задаче 6.8
К задаче 6.7
ветра
шар,
К задаче 6.10
находится под действием ветра. Тросы образуют между собой прямой угол: плоскость, в которой они находятся, составляет с плоскостью горизонта угол 50°. Направление ветра перпендикулярно линии пересечения этих плоскостей и параллельно поверхности земли. Вес шара и заключенного в нем газа 2,5 кН, объем шара 215,4 м3, вес 1 м3 воздуха 13 Н. Определить натяжения Т\ и 74 тросов и равнодействующую Р сил что линии действия всех сил, приложенных к шару, пересекаются в центре шара.
Ответ: Т) = 74 = 245 Н, Р = = 173 Н.
6.10(6.10). На рисунке изображена пространственная ферма, составленная из шести стержней 1, 2, 3, 4, 5, 6. Сила Р действует на узел А в плоскости прямоугольника ABCD-, при этом ее линия действия составляет с вертикалью С А угол 45й. ДЕАК = &FBM. Углы равнобедренных треугольников EAR, FBM и NDB при вер-
шинах А, В и D прямые. Определить усилия в стержнях, если Р = I кН.
Ответ: 51 = —0,5 кН, 52 = —0,5 кН, 53 = —0,707 кН, 54 = == 4-0,5 кН, 55 = 4-0,5 кН, 56 = — 1 кН.
6.11(6.11). Определить усилия в вертикальной стойке и в ногах крана, изображенного на рисунке, в зависимости от угла а, если
3 И. В, Мещерский
дано: АВ — ВС — AD = АЕ. Крепления в точках А, В, D и Е шарнирные.
Ответ: SBD — Р (cos а — sin а); SBE — Р (cos а + sin а); 5’^ = — — Р cos а.
6.12(6.12). Угловой столб АВ, поддерживающий воздушный кабель, удерживается двумя оттяжками АС и AD, причем ZJ2BD ~ 90°. Определить усилия в столбе и оттяжках в зависимости от угла <р, образованного одной из двух ветвей кабеля с плоскостью СВА. Ветви кабеля горизонтальны и взаимно перпенди-кулярны, натяжения в них одинаковы и
> равны Т.
Ответ: Szc = 2T(sin <р —cos ф) ; Sad ~  ~ 2Т (sin ф + cos ф), Sab = — 2 V 371 sin ф.
Оттяжки будут натянуты обе одновременно при условии л/4 < ф < Зл/4. При г Ф < л/4 или ф > Зл/4 одна из оттяжек должна быть заменена брусом
6.13(6.13). Мачта АВ удерживается в вертикальном положении посредством четы-, рех симметрично расположенных оттяжек, к задаче 6.|3	Угол между каждыми двумя смежными от-
тяжками равен 60°. Определить давление мачты на землю, если натяжение каждой из оттяжек равно 1 кН, а вес мачты 2 кН.
Ответ: 4,83 кН.
6.14(6.14). Четыре ребра АВ, AC, AD и АЕ правильной пятиугольной пирамиды изображают по величине и направлению четыре силы в масштабе 1 Н в 1 м. Зная высоту пирамиды АО — 10 м и радиус круга, описанного около основания, ОС = 4,5 м, найти
«6
равнодействующую Р и расстояние х от точки О до точки пересечения равнодействующей с основаньем.
Ответ: R =40,25 Н, х — 1,125 м.
6.15(6.15). К вершине В треножника ABCD подвешен груз £, вес которого 100 Н. Ножки имеют равную длину, укреплены на
К задаче 6.14	К задаче 6.15	К задаче 6.16
горизонтальном полу и образуют между собой равные углы. Определить усилие в каждой из ножек, если известно, что они образуют с вертикалью BE углы в 30°.
Ответ: 3,85 Н.
6.16(6.16). Найти усилия S в ногах AD, BD и CD треноги, образующих углы в 60° с горизонтальной плоскостью, если вес Р равномерно поднимаемого груза равен 3 кН. При этом АВ ~ ВС = АС. (Вид сверху рисунка аналогичен рис. 6.17.)
Ответ: S = 2,3 кН.
6.17(6.17). Для подъема из шахты груза Р веса 30 кН установлены тренога ABCD и лебедка Е. Определить усилия в ногах треноги при равномерном поднятии груза, если треугольник АВС равносторонний и углы, образованные ногами и тросом DE с горизонтальной плоскостью, равны 60°. Расположение лебедки по отношению к треноге видно из рисунка.
Ответ: S4=Se = 31,5 кН, Sc = к задаче б.п = 1,55 кН.
6.18(6.18). На гладком полу стоит трехногий штатив; нижние концы его ножек связаны шнурами так, что ножки и шнуры штатива образуют правильный тетраэдр. К верхней точке штатива подвешен груз веса Р. Определить реакцию пола R в точках опоры и натяжение шнуров Т, выразив искомые величины через Р.
3*
67
Ответ: R~ — P, Т =-------
3 з
6.19(6.19). Решить предыдущую задачу в том случае, когда ножки штатива связаны шнурами не в концах, а в серединах, принимая при этом во внимание, что вес каждой ножки равен р и приложен к ее середине.
Ответ: /? = -!/> +р, Г = —~3р <6-
6.20(6.20). Три однородных шара А, В и С одинаковых радиусов положены на горизонтальную плоскость, взаимно прикасаются и обвязаны шнуром, огибающим их в экваториальной плоскости, а четвертый шар О того же радиуса и также однородный, веса
И
К задаче 6.21
10 Н, лежит на трех нижних. Определить натяжение шнура Т, вызываемое давлением верхнего шара. Трением шаров между собой и с горизонтальной плоскостью пренебречь.
Ответ: Т = 1,36 Н.
6.21(6.21). В точках Л, В и С, лежащих на прямоугольных координатных осях па одинаковом расстоянии I от начала координат О, закреплены нити: AD = BD = CD = L, связанные в точке D, координаты которой
х = у = г = 1(/_ д/З!3 - 2Z2)-
В этой точке подвешен груз Q. Определить натяжение нитей Та, Тв и Тс, предполагая, что д/у I < L < I.
_	_	_	/-V3L*-2/’ т / + 2 V3L2 - 2Р
Ответ: ТА = Та — — , .	_ LQ, Тс = — -—	=— I.Q.
31^3Ь2-21г	31 *J3L2 - 2/2
§ 7.	Приведение системы сил к простейшему виду
7.1 (7.1). К вершинам куба приложены по направлениям ребер силы, как указано на рисунке. Каким условиям должны удовлетворять модули сил Fit F2, F2, Fit Fs и F6, чтобы они находились в равновесии?
63
Ответ: Fi = F2 = Ез = Л = F-, — Fs-
7.2(7.2). По трем пепересекающимся и непараллельным ребрам прямоугольного параллелепипеда действуют три равные по модулю силы Р. Какое соотношение должно существовать между ребрами ti, b и с, чтобы эта система приводилась к одной равнодействующей?
Ответ: а — Ъ — с.
К задаче 7.1
К задаче 7.2
К задаче 7.3
7.3(7.3). К четырем вершинам А, Н, В и D куба приложены четыре равные по модулю силы: Pi = Р2 — Р3 ~ Р4 = Р, причем сила Р\ направлена по АС, Р2 — по HF, Р3 — по BE и Р+ —по DG.
Привести эту систему к простейшему виду.
Ответ: Равнодействующая равна 2Р и направлена по диагонали DG.
7.4(7.4). К правильному тетраэдру ABCD, ребра которого равны а, приложены силы: Fi по ребру АВ, F2 по ребру CD и F3 в точке Е— середине ребра BD. Величины сил Fi и F2 какие угодно, а проекции силы F3 на оси х, у и z равны + F25 V3/6; - ^/2; " Р2 -у/№.
Приводится ли эта система сил к одной
К задаче 7.4
Если приводится, то найти координаты х и z линии действия равнодействующей с плоскостью Oxz.
Ответ: Приводится, так как проекции главного вектора и главного момента на координатные оси имеют значения
^=^73/2, Vu=^Fi-W_2, V2 = 0;
Л4х = 0, Ма=0, Mz = -a^-(F1 + F2).
равнодействующей?
точки пересечения
„	,	Мг	a^(Fi+F2) п	к задаче 76
Координаты: х = -р— =----6?/—з72‘ ’ г~®-
7,6(7.5). К вершинам куба, ребра которого имеют длину 5 см, приложены, как указано на рисунке, шесть равных по модулю сил, по 2 Н каждая. Привести эту систему к простейшему
виду.
69
Ответ: Система приводится к паре, момент которой равен 20 у ЯН-см и составляет с координатными осями углы: cosa = — — cos Д = cos у == д/з/З.
7.6(7.6). Систему сил: Pj *= 8 Н, направленную по Ог, н Рз = 12 Н, направленную параллельно Оу, как указано на рисунке, где ОА = 1,3 м, привести к каноническому виду, определив величину главного вектора V всех этих сил и величину их главного
К задаче 7.6
момента М относительно произвольной точки, взятой на центральной винтовой оси. Найти углы а, [} и у, составляемые центральной винтовой осью с координатными освми, а также координаты х и у точки встречи ее с плоскостью Оху.
Ответ: У — 14,4 Н, ЛГ=8,65 Н>м, а =90°; Д = arclg(2/3); у = arctg(3/2); х = 0,9 м; у = 0.
7.7(7.7). Три силы Рь Рг и Р3 лежат в координатных плоскостях и параллельны осям координат, но могут быть направлены как в ту, так и в другую сторону. Точки их приложения А, В и С находятся на заданных расстояниях а, & и с от начала координат. Какому условию должны удовлетворять величины этих сил, чтобы они приводились к одной равнодействующей? Какому условию
должны удовлетворять величины этих сил, чтобы существовала центральная винтовая ось, проходящая через начало координат?.
Ответ' а 4- —_____1- — — О'	=
итвет. ф Рг Ра о, ьр^ ср>
Рз
— аР2 
В первом ответе Р1г Рз и Р3 — проекции сил.
7.8(7.8). К правильному тетраэдру АВС О с ребрами, равными а, приложена сила F\ по ребру АВ и сила Рз по ребру CD. Найти точки пересечения центральной винтовой оси
координаты х и у с плоскостью Оху.
в Уз 2F|—	a f}f2
Ответ: х = ——- —г	у *= — - г •
6 т	2 Fj г2
70
7.9(7.9). По ребрам куба, равным а, действуют двенадцать равных по модулю сил Р, как указано на рисунке. Привести эту систему сил к каноническому виду и определить координаты х и у точки пересечения центральной винтовой оси с плоскостью Оху.
Ответ. V = 2Р д/б» Л4 2/3Ра Уб, cos а — — cos |} = — ]/гcos V = = —’/вл/б. х~=у—2/3а.
7.10(7.10). По ребрам: прямоугольного параллелепипеда, соответственно равным 10 м, 4 м и 5 м, действуют шесть сил, указанных на рисунке: Р\ = 4 Н, Р2 = 6 Н, Р3 = 3 Н, Р4 = 2 Н, Р& =6 Н,
К аадаче 7. Ю
Р6~8 Н. Привести эту систему сил к каноническому виду и определить координаты х и у точки пересечения центральной винтовой оси с плоскостью Оху.
Ответ: У = 5,4 Н, М = —47,3 Н-м, cosa = 0, cos = 0,37, cos у = 0,93, х	—11,9 м, у — —10 м.
7.11(7.11). Равнодействующие Р = 8000 кН и Р=5200 кН сил давления воды на плотину приложены в средней вертикальной плоскости перпендикулярно соответствующим граням на расстоянии Н — 4 м и h — 2,4 м от основания. Сила веса Gx = 12000 кН прямоугольной части плотины приложена в ее центре, а сила веса б2 = 6000 кН треугольной части — на расстоянии одной трети длины нижнего основания треугольного сечения от вертикальной
71
грани этого сечения. Ширина плотины в основании b — 10 м, в верхней части а — 5 м; iga. = 5/12. Определить равнодействующую распределенных сил реакции грунта, на котором установлена плотина.
Ответ: Rx = 3200 кН, /?й = 20000 кН; уравнение линии действия равнодействующей: 125х— 20у + 53 = 0.
7.12(7.12). Вес радиомачты с бетонным основанием G = 140 кН. К мачте приложены сила натяжения антенны F = 20 кН и равнодействующая сил давления ветра Р = 50 кН; обе силы горизонтальны и расположены во взаимно перпендикулярных плоскостях; // = 15 м, h = 6 м. Определить результирующую реакцию грунта, в котором уложено основание мачты.
Ответ: Силы реакции грунта приводятся к левосторонней ди-наме, состоящей из силы V = 150 кН, направленной по центральной оси
— 30 + 1 4у + 2г 30 —5z—14х	— 2х + 5у
5	~	2	—	'-14
вверх, и пары сил с моментом Л/=50 кН-м. Ось динамы пересекает плоскость основания в точке х = 2,2 м, у =2 м, г = 0.
§ 8.	Равновесие произвольной системы сил
'\8Л^8.1). На круглой наклонной площадке, ось которой ACD наклонена к вертикали под углом 20°, укреплено в точке В тело веса 400 Н. Определить момент относительно осн AD, создаваемый силой тяжести тела, если радиус СВ = 3 м горизонтален.
Ответ: 410 Н-м.
8.2(8.2). Ветряной двигатель имеет четыре крыла, наклоненных под углом а = 15° = = arcsin 0,259 к плоскости, перпендикулярной оси вращения; равнодействующая сил давления ветра на каждое крыло равна 1 кН, направлена по перпендикуляру к плоскости крыла и приложена в точке, отстоящей на 3 м от оси вращения. Найти вращающий момент.
Ответ: 31,1 кН-м.
8.3(8.3). Электродвигатель, помещенный на оси О колесного ската трамвайного вагона, стремится повернуть ось против часовой стрелки, причем величина момента вращающей пары сил (Р, Р) равна 6 кН-м, а радиус колес 60 см.
Определить силу тяги Q колесного ската, предполагая, что он стоит на горизонтальных рельсах. Трением качения пренебречь.
Сначала находим сумму сил трения между колесами и рельсами, взяв моменты сил относительно оси О. Затем проектируем все силы, приложенные к колесному скату, на горизонтальное направление.
Ответ: Q = 10 кН.
72
8.4(8.4). К окружностям трех дисков: А радиуса 15 см, В радиуса 10 см и С радиуса 5 см приложены пары сил; величины сил, составляющих пары, соответственно равны = 10 Н, Ра = 20 Н
К задаче 8.3	К задаче 8.4
и Р. Оси ОА, ОВ и ОС лежат в одной плоскости; угол АОВ прямой. Определить величину силы Р и угол ВОС = а так, чтобы система трех дисков, будучи совершенно свободной, оставалась в равновесии.
Ответ-. Р = 50 Н, a = arctg(—0,75)= 143°10'.
8.5(8.5). Подъемный кран установлен на трехколесной тележке АВС. Известны размеры крана: AD = DB = I м, CD = 1,5 м,
СМ = 1 м, КС = 4 м. Кран уравновешивается противовесом F. Вес крана с противовесом равен Р = 100 кН и приложен в точке G. лежащей в плоскости LMNF на расстоянии GH = 0,5 м от оси крана MN; поднимаемый груз Q весит 30 кН. Найти давление колес на рельсы для такого положения крана, когда плоскость его CMN параллельна АВ.
Ответ-. Na = 8,33 кН, NB = 78,33 кН, Nc = 43,33 кН.
8.6(8.6). Временный подъемный кран состоит из пирамиды с горизонтальным основанием в виде равностороннего треугольника АВС и с вертикальной гранью в виде равнобедренного
73
треугольника ADB;n точках О и D шарнирно закреплена вертикальная ось крана, вокруг которой может вращаться стрела ОЕ, несущая груз Р. Основание АВС прикреплено к фундаменту подшипниками А и В и вертикальным болтом С. Определить реакции опор при расположении стрелы в плоскости симметрии крана, если вес груза Р = 12 кН, вес крана Q = 6 кН, причем расстояние его центра тяжести 5 от оси OD равно h = 1 м, а = 4 м, Ь = 4 м.
Ответ-. ZA = ZB^ 15,06 кН; Zc = —12,12 кН; ХА = Хв = 0.
\8^8.7). Крышка светового машинного люка удерживается в горизонтальном положении стойкой FG, упирающейся в крышку в точке F на расстоянии Ер = 1,5 м от оси крышки. Вес крышки Р = 180 Н; длина ее CD — 2,3 м; ширина СЕ = 0,75 м, а расстояния шарниров Д и В от краев крышки АЕ = ВС = 0,15 м. Найти
К задаче 8.9
реакции шарниров А и В и усилие S в стойке FG.
Ответ; ZA =—94 Н, ZB = |36 Н, = YB = 0, S = 138 н:
8.8(8.8). Однородная прямоугольная пластинка ABCD, опираясь на три точечные опоры, две из которых расположены в вершинах прямоугольника Д и В, а третья — в некоторой точке Е,. удерживается в горизонтальном положении. Вес пластинки равен Р. Давление на опоры в точках Д и В соответственно равны Р/4 и Р/5. Найти давление Ne на опору в точке Е и координаты этой точки, если длины сторон пластинки равны а и Ь.
Ответ; Ne — ^-P, х = ~а, у=*
8.9(8.9). Стол стоит на трех ножках, концы которых Д, В и С образуют равносторонний треугольник со стороной а. Вес стола равен Р, причем центр тяжести его расположен на вертикали zOOj, проходящей через центр О; треугольника АВС. На столе помещен
74
груз р в точке М, координаты которой х и у\ ось Оу параллельна АВ. Определить давление каждой ножки на пол
Л	Р + р । ( л/% \р к, р + Р ।
Ответ. Na — —3“——	= —3 +
, ( .	\ p p + p 2 Уз x
+ V_*__3_XJT’ Nc=c~3~	3 a p-
8.10(8.10). Круглый стол стоит на трех ножках Alt А2 и Дз; в центре О помещен груз. Какому условию должны удовлетворять центральные углы <рь ф2 и Фз Для того, чтобы давления на ножки Ль А2 и Аз относились, как I ; 2 : У3?
При решении задачи берутся моменты сил относительно двух нз радиусов ОЛ|, ОА2 и ОАз-
Ответ: ф1 = 150°; ф2 = 90°; фз = 520°.
8.11(8.11). Круглая пластинка, весом которой пренебрегаем, покоится в горизонтальном положении, опираясь центром на острие О Не нарушая равновесия, по окружности пластинки разместили грузы: Pi веса 1,5 Н, Р2 веса 1 Н и Р3 веса 2 Н. Определить углы а и В.
Ответ: а ~ 75°30', [} = 151°.
К задаче в. 10	К задаче 8.11	К задаче 8.12
/8.12/8.12). Ременный шкив CD динамо-машины имеет радиус 10~е*цразмеры вала АВ указаны на рисунке. Натяжение верхней ведущей ветви ремня 7'1 = 100 Н, нижней ведомой Т2 ~ 50 Н. Определить вращающий момент М и реакции подшипников А и В при равновесии системы, пренебрегая. весом частей машины; (Р,Р)- пара, образуемая силами сопротивления.
Озяет: М = 5 Н-м, Хл = —180 Н, Хв = 30 Н, ZA = Zg = 0.
^7^8.13). На горизонтальный вал, лежащий в подшипниках А иД действуют: с одной стороны вес тела Q— 250 Н, привязанного к шкиву С радиуса 20 см посредством троса, а с другой стороны вес тела Р = 1 кН, надетого на стержень DE, неизменно скрепленный с валом АВ под прямым углом. Даны расстояния: А С = 20 см, CD = 70 см, ВО = 10 см. В положении равновесия стержень DE отклонен от вертикали на угол 30°. Определить расстояние / центра тяжести тела Р от оси вала АВ и реакции подшипников А и В.
75
Ответ-. I Ю см, ZA = 300 H, ZB = 950 H, XA = Хв = 0.
(8j$8.14). На горизонтальный вал АВ насажены зубчатое колесо с радиуса 1 м и шестерня D радиуса 10 см. Другие размеры указаны на рисунке. К колесу С по направлению касательной приложена горизонтальная сила Р=100 Н, а к шестерне D, также по касательной, приложена вертикальная сила Q. Определить силу Q и реакции подшипников А и В в положении равновесия.
Ответ: Q=1 кН, ХА= —10 Н, Хв = — 90 Н, ZA = —900 Н, ZB = —100 Н.
8.15(8.15). Рабочий удерживает груз Q = 800 Н с помощью ворота, схематически изображенного на рисунке; радиус барабана R=5 см; длина рукоятки Д/(=40 см, АС = СВ = 50 см. Определить давление Р на рукоятку и давления оси ворота на опоры
К задаче 8.15	К задаче в.16
А и В при том положении ворота, когда рукоятка АХ горизонтальна; сила Р вертикальна.
Ответ: Р = 100 Н, ХА = 400 Н, ZA =* -100 Н, Хв = 400 Н, ZB = 0.
8.16(8.16). С помощью ворота, схематически изображенного на рисунке, удерживается груз Q = 1 кН. Радиус барабана R = 5 см. Длина рукоятки /(£> = 40 см; AD — 30 см; ДС = 40 см; СВ — = 80 см. Веревка сходит с барабана по касательной, наклоненной к горизонту под углом 50°. Определить давление Р на рукоятку и
76
реакции опор А и В при том положении ворота, когда рукоятка KD горизонтальна.
Ответ: Р = 125 Н, ХА = —300 Ы, Z* = —357 Н, Ае = —200 Н, ZB = —384 Н.
8.17(8.17). На вал АВ ворота намотана веревка, поддерживающая груз Q. Радиус колеса С, насаженного на вал, в шесть раз больше радиуса вала; другие размеры указаны на рисунке. Веревка, намотанная на окружность колеса и натягиваемая грузом Р весом 50 Н, сходит с колеса по касательной, наклоненной к горизонту под углом а = 30°. Определить вес груза Q, при котором
К задаче 8J7
ворот остается в равновесии, а также реакции подшипников А и В, пренебрегая весом вала и трением на блоке D.
Ответ: Q = 360 Н, ХА = -69,3 Н, ZA = 150 Н, Хв = 17,3 Н, ZB = 230 Н.
8.18. Прямоугольная однородная полка ABCD веса G удерживается в горизонтальном положении тросом ЕН, составляющим с плоскостью полки угол а. Определить натяжение Т троса (весом его пренебречь) и реакции петель А и В, если А К — КВ = = DE = ЕС и НК перпендикулярно АВ.
Ответ: Т = ХА = X0=-^ctga, ZA = Za = ^.
8.19(8.19). Однородная прямоугольная крышка веса Р = 400 Н удерживается при открытой на 50° над горизонтом про
тивовесом Q. Определить, пренебрегая трением на блоке D, вес Q и реакции шарниров А и В, если блок D укреплен на одной вертикали с А к AD = АС.
Ответ: Q = 104 Н, ХА = 100 Н, ZA = 173 Н, Хв = Q,ZB = 200 Н.
8.20(8.20). Однородная прямоугольная крышка ABCD ящика может вращаться вокруг горизонтальной оси АВ на петлях в точках Л и В. Горизонтальная веревка СЕ, параллельная Ах,
77
удерживает крышку под углом £)Лх = 30°. Определить реакции в петлях, если вес крышки 20 II.
Ответ: ХА =0, ZA = Ю Н, Хя = 17,3 Н, Z8 = 10 Н.
8.21(8.21). Крышка прямоугольного ящика ABCD подперта с одной стороны палочкой DE. Вес крышки 120 Н; AD = АЕ; угол DAE ~ 60°. Определить реакции шарниров А и В, а также усилие S в палочке, пренебрегая ее весом.
Ответ: X, 17,3 Н, Z., = 30 Н, Хв = 0, Za = 50 Н, S = 34,5 И.
К задаче 8 20
К задаче 8.21
К задаче 8.22
8.22(8.22). Фрамуга ABDC веса Q = 100 Н открыта на угол а — 60°. Дано BD = ВН; СЕ = ED; веревка EF параллельна прямой DH. Определить усилие Р, необходимое для удержания фрамуги в равновесии, и реакции петель А и В.
Ответ: Р = 50 Н, = = Хе = 21,7 Н, ZA = Z0 = = 37,5 Н.
8.23(8.23). Разводная часть А В CD моста веса 15 кН поднята цепью СЕ, перекинутой через блок Е на ле-
бедку К- Точка Е находится в вертикальной плоскости СВу. Определить для изображенного на рисунке положения натяжение цепи СЕ и реакции в точках А и В. Центр тяжести разводкой части совпадает с центром прямоугольника ABCD.
Ответ: Т — 3,75 кН, ¥А =0, = 7,5 кН, Ув = —3,25 кН, =Д625. кН.
8.24()S.24). Однородная прямоугольная рама веса 200 Н прикреплена к стене при помощи шарового шарнира Д и
петли В и удерживается в горизонтальном положении веревкой СЕ, привязанной в точке С рамы и к гвоздю Е, вбитому в стену на одной вертикали с А, причем ZECA — Z.BAC = 30°. Определить натяжение веревки и опорные реакции.
78
’ Ответ-. 7 = 200 Н, Хл=86,6 Н. Ул = 150 Н, ZA = JOO Н, ZB = 0.
8.25(8.25). Полка ДВС£) вагона, которая может вращаться вокруг оси АВ, удерживается в горизонтальном положении стержнем ЕВ, прикрепленным при помощи шарнира Е к вертикальной стене ВАЕ. Вес полки и лежащего на ней груза Р равен 800 Н и приложен в точке пересечения диагоналей прямоугольника ABCD. Даны размеры: АВ — 150 см, AD = 80 см, АЕ=?ВН = 25 см. Длина стержня ED =75 см. Определить усилие 5 в стержне ЕВ, пренебрегая его весом, и реакции петель Л' и Н.
Ответ: 5 = 666,7 Н,ХЛ = —666,7 H,ZK = —100 H,XW= 133,3 Н, Zu = 500 Н.
К задаче 8.27
8.26(8.26). Квадратная однородная пластинка ABCD со стороной а = 30 см и веса Р = 5 Н закреплена в точке А при помощи шарового шарнира, а в точке В при помощи цилиндрического шарнира. Сторона АВ горизонтальна. В точке Е пластинка опирается на острие. В точке Н на пластинку действует сила F параллельно стороне АВ. Найти реакции в точках А, В п Е, если СЕ = ED, ВН — 10 см, F — 10 Н и пластинка образует с горизонтальной плоскостью угол а = 30°.
Ответ: ХА = 10 Н, YA = 2,35 Н, 2л = = -0,11 Н, ув = —3,43 Н, ZB = 3,23 Н, RE -
(&2я(8.27). Однородная горизонтальная плиТЯвеса Р, имеющая форму прямоугольного параллелепипеда, прикреплена неподвижно к земле шестью прямолинейными стержнями.
Определить усилия в опорных стержнях, обусловленные весом плиты, если концы стержней прикреплены к плите и неподвижным устоям шаровыми шарнирами.
. Ответ: 5| =5з — <S4 = 55 = 0, 52 = 56=—у.
8.28(8.28). Определить усилия в шести опорных стержнях, поддерживающих квадратную плиту ABCD, при действии горизонтальной силы Р адоль стороны AD. Размеры указаны на рисунке.
79
Ответ-. Si = Р, S, = ~P \/2, S3 = — Р, St = P л/2, S5 = Р д/2. S6 = -P.
8,29(8.29). Прямоугольная дверь, имеющая вертикальную ось вращения АВ, открыта на угол CAD = 60° и удерживается в этом положении двумя веревками, из которых одна, СО, перекинута через блок и натягивается грузом Р = 320 Н, другая, EF, привязана
К задаче 8.28
К задаче 8.30
к точке F пола. Вес двери 640 Н; ее ширина AC — AD — 1,8 м; высота АВ =2,4 м. Пренебрегая трением на блоке, определить натяжение Т веревки EF, а также реакции цилиндрического шарнира в точке А и подпятника в точке В.
Ответ: Г = 320 Н, Хл = 69 Н, У, = -280 Н, Хв = 208 Н, У в = 440 Н, ZB = 640 Н.
8.30(8.30). Стержень АВ удерживается в наклонном положении двумя горизонтальными веревками AD и ВС. При этом в точке А стержень опирается па вертикальную стену, на которой находится точка D, а в точке В—на горизонтальный пол. Точки А и С лежат на одпой вертикали. Вес стержня 8 Н. Трением в точках А и В пренебрегаем. Проверить, может ли стержень оставаться в равновесии, и определить натяжения Тл и Тв веревок и реакции опорных плоскостей, если Z4BC= /ВСЕ = 60°.
Ответ: = 1,15 Н,Те = 2,3 Н,/?л = 2 Н, fa = 8 Н.
8.31(8.31). Пара сил, вращающая водяную турбину Т и имеющая момент 1,2 кН-м,
уравновешивается давлением на зубец В конического зубчатого колеса ОВ и реакциями опор. Давление на зубец перпендикулярно к радиусу ОД = 0,6 м и составляет с горизонтом угол а = 15° = = arctg0,268. Определить реакции подпятника С и подшипника А, если вес турбины с валом и колесом равен 12 кН и направлен вдоль оси ОС, а расстояния ДС = 3 м, ДО = 1 м.
80
Ответ: ХА = 2,667 кН, Хс = —0,667 кН, YA = —Yc = 0,107 кН, Zc = 12,54 кН.
8.32(8.32). Ветряной двигатель с горизонтальной осью АС имеет четыре симметрично расположенных крыла, плоскости которых составляют с вертикальной плоскостью, перпендикулярной оси АС, равные углы 30°. На расстоянии 2 м от оси к каждому крылу приложена нормально к его плоскости равнодействующая сил давления ветра, равная 1,2 кН (крыло D в проекции на плоскость ху
К задаче 8.31
К задаче 8.33
изображено отдельно). Ось двигателя опирается в точке А на подшипник, в точке С — на подпятник и удерживается в покое вертикальным давлением Р на зубец колеса В, производимым не показанной на рисунке шестерней. Радиус колеса В равен 1,2 м; расстояния: ВС = 0,5 м, ДВ = 1 м, AF — = 0,5 м. Определить давление Р и реакции опор.
Ответ: Р = 4 кН, ZA — 1,333 кН, Yc = —0,416 кН, Zc = 2,667 кН, ХА = = Хс = 0.
8.33(8.34). Груз Q равномерно поднимается мотором М посредством бесконечной цепи. Определить реакции опор Д и В и натяжения в цепи, если ветви цепи наклонены к горизонту под углами 30° (ось O(Xi параллельна оси Ах). Известно, что г =10 см, R = = 20 см, Q = 10 кН, натяжение ведущей натяжения ведомой части, т. е. Л ~ 2Т2.
Ответ: Тi — 10 кН, Т2 = 5 кН, ХА — —5,2 кН, ZA — 6 кН, Хв = —7,8 кН, Zb — 1,5 кН.
8.34(8.35). Для подъема копровой бабы веса Р = 3 кН служит вертикальный ворот, вал которого радиуса г = 20 см опирается нижним концом на подпятник А, а верхним концом удерживается
части цепи вдвое больше
81
в подшипнике В. Вал приводится во вращение мотором. Найти необходимый для равномерного подъема копровой бабы вращающий момент мотора, а также реакции в подпятнике А и подшипнике В.
При этом дано: 1ц — 1 м, h = 30 см и вес вращающихся частей ворота Pi = 1 кН.
Ответ: Л1Вр =0,6 кН-м, ХА=0, Ya =-2,1 кН, Za = I кН, Хв = 0. Ув = —0,9 кН.
8.35(8.36). Ворот, служащий для подъема породы из наклонного шурфа, состоит из вала радиуса 0,25 м
и длины 1,5 м. Вал приводится во вращение при помощи мотора (на рисунке не показан). Определить реакции опор и вращающий момент
к задаче 8.34	Мар мотора, если вес вала равен
0,8 кН, вес груза 4 кН, коэффициент трения между грузом и поверхностью шурфа равен 0,5, угол наклона шурфа к горизонту равен 30° и место схода троса с вала находится на расстоянии 50 см от подшипника В. Вращение вала
считать равномерным.
К задаче 8.35
Ответ: Мар = 0,93 кН-м, Хл ~ ~ 1,08 кН, 2.4=1,02 кН, Хв~ ~ —2,15 кН, Zb — 1,65 кН.
К задаче 8.36
8.36(8.37). Горизонтальный вал трансмиссии, несущий два шки-ва С и D ременной передачи, может вращаться в подшипниках А и В. Радиусы шкивов: тс = 20 см, г в =25 см; расстояния шкивов
S2
от подшипников: а — b — 50 см; расстояние между шкивами с = 100 см. Натяжения ветвей ремня, надетого на шкив С, горизонтальны и имеют величины Л и причем Ti = 2/i =5 кН, натяжения ветвей ремня, надетого на шкив D, образуют с вертикалью угол а = 30° и имеют величинм Т2 и t2, причем Т2 — 2t2. Определить натяжения Т2 и t2 в условиях равновесия и реакции подшипников, вызванные натяжениями ремней.
Ответ: Т2 — 4 кН, /2 = 2 кН, X =—6,375 кН, ZA = 13 кН, Ля = —4,125 кН, ZB == 3,9 кН.
8.37(8.38). Давление шатуна двигателя, сосредоточенное в середине D шейки коленчатого вала, равно Р —20 кН и направлено под углом 10° к горизонту, причем плоскость ODOi, проходящая через оси вала ОО< и шейки D, образует с вертикалью угол 30°.
К задаче 5.37
От маховика усилие передается на завод канатом, ветви которого параллельны и наклонены к горизонту под углом 30° Действие силы Р уравновешивается натяжениями Т и t ветвей каната и реакциями подшипников А и В. Вес маховика 13 кН, диаметр его а = 2 м, сумма натяжений ветвей каната Г-}- t = 7,5 кН, а указанные на рисунке расстояния равны: точки D от оси OOj г = 125 мм, I = 250 мм, m = 300 мм, п = 450 мм. Определить реакции подшипников А и В и натяжения t и Т.
Ответ: ХА = —5,7 кН, ZA = —4,47 кН, Хв = —20,48 кН, Ze = 10,25 кН, Т = 4,92 кН, t = 2,58 кН.
8.38(8.39). Для передачи вращения с одного вала на другой, ему параллельный, установлены два одинаковых вспомогательных шкива, заклиненных на горизонтальной оси KL. Ось может вращаться в подшипнике М, укрепленном на колонке MN. Треугольное основание этой колонки притянуто к полу двумя болтами А и В и свободно опирается точкой С. Болт А проходит через круглое отверстие в основании, болт же В — через продолговатое отверстие, имеющее направление линии АВ. Ось колонки проходит через центр треугольника АВС.
Определить реакции в точках Д, В и С, если расстояние оси KL от пола равно 1 м, расстояния середин шкивов от оси колонки равны 0,5 м и натяжения всех четырех ветвей ремней принимаются
83
одинаковыми и равными 600 Н. Ветви правого ремня горизонтальны, а ветви левого наклонены к горизонту под углом 30°, Вес всей установки равен 3 кН и приложен к точке, лежащей на оси колонки; даны размеры: АВ — ВС =.СА=50 см.
Ответ: Х, = 960 Н; Ya = 0; ZA =— 2,39 кН; Хв = 1,28 кН| Zb = —1,19 кН, Zc= 5,97 кН.
X задаче 8.40
8.39(8.40). Подвеска подшипника ременного шкива D прикреплена к гладкому горизонтальному потолку MN в точках А и С и упирается в него точкой В. Эти точки лежат в вершинах равностороннего треугольника АВС со стороной 30 см. Положение центра ременного шкива D определяется вертикалью EF = 40 см, опущенной из центра Е треугольника АВС, и горизонталью 77) = 50 см, параллельной стороне АС. Плоскость шкива перпендикулярна прямой FD. Натяжение Р каждой ветви ремня равно 1200 Н и наклонено к вертикали под углом 30°. Определить реакции в опорах А, В и С, пренебрегая весом частей.
Ответ: Ya = 1.4 кН, ZA = 1,85 кН, ZB = = 1,15 кН, Ус = —2,6 кН, Zc—-~5,08 кН.
8.40(8.41). Картина в раме, имеющей форму прямоугольника ABCD, подвешена на вертикальной степе при помощи шнура EK.F, надетого на крюк К так, что край АВ горизонтален; точки Е, F — середины сторон AD и ВС. Картина наклонена к стене .	3
под углом а = arctg у и опирается на два
гвоздя L и М, вбитых в стену, причем AL = MB. Размеры картины: ДВ = 50 см, Д£) = 75 см; вес картины 200 Н и приложен в центре прямоугольника ABCD\ длина шнура 85 см. Определить натяжение Т шнура и давления на гвозди L и М.
Ответ: Т = 85 Н, У£ = Ум -- —45 Н, ZL = Z« = -60 Н.
84
8.41(8.42). Бифиляр состоит из однородного стержня ЛД1, подвешенного на двух нерастяжимых нитях длины /, которые укреплены в точках В и Длина стержня AAi — BBi — 2г, а вес Р.
Стержень повернут вокруг вертикальной оси на угол а. Определить момент М пары, которую нужно приложить к стержню, чтобы удержать его в равновесии, а также натяжение Т нитей.
_	и	sin а
Ответ: М —	—...	„ ...—	,
V/2 — 4r2 sin2 (а/2) т==________IP_________
2	- 4r2 sin4 (а/2)” ’
8.42	(8.44). Тренога ABDE, имеющая форму правильной пирамиды, укреплена шарнирно на двух консольных балках. Через блок,
К задаче 8,41
укрепленный в вершине Е треноги, перекинут трос, равномерно поднимающий с помощью лебедки груз веса Р. От блока к лебедке
трос тянется параллельно консоли. Определить реакции заделки
первой консоли, пренебрегая ее весом и весом треноги. Высота треноги равна 1/2.
Ответ: Х,= -^-Р,	Y^-P,	Z0=^P, Mx = ~Pl,
Му— gQ- Pl, Мг~ зц- Pl.
8.43	. Четырехзвенный механизм робота-манипулятора расположен в горизонтальной плоскости Оху. Длины всех звеньев одинаковы и равны /, масса каждого звена tn. Масса объекта манипулирования 2m. Найти моменты сил тяжести относительно координатных осей. Звенья считать однородными стержнями.
Ответ: Мх = —4,98 mgl, Му = 6,98 mgl, — 0.
85
§ 9. Центр тяжести
9.1 (9.1). Определить положение центра тяжести С стержневого контура AFBD, состоящего из дуги ADB четверти окружности радиуса FD = # и из дуги полуокружности AFB, построенной на хорде АВ как на диаметре. Линейные плотности стержней одинаковы.
Ответ-. CF = R (V2 - 1) + ~ (3 — 2 д/2) =« 0,524#.
9.2(9.2). Определить положение центра тяжести С площади, ограниченной полуокружностью АОВ радиуса # и двумя прямыми
равной длины AD и DB, причем OD =3#. Ответ-. ОС = •:!«+ »> # = 1,19#.
vJl -р 1Z
К задаче 9.4
9.3(9.3). Найти центр тяжести С площади кругового сегмента ADB радиуса АО — 30 см, если угол АОВ ~ 60°.
Ответ: ОС = 27,7 см.
(94(9.4). Определить положение центра тяжести однородного диска с круглым отверстием, предполагая радиус диска равным ri,
радиус отверстия равным и центр этого отверстия находящимся на расстоянии л/2 от центра диска.
г г?
9.5(9.5). Определить координаты центра тяжести четйерти кольца, показанного на рисунке.
Ответ: хс=»ус=\ ,38 см. а тяжести фигуры, изобра-
женной на рисунке.
Ответ: хс = 0,61а.
9.7 (9.7). Найти центр тяжести поперечного сечения плотины, показанного на рисунке, принимая, что удельный вес бетона равен 24 кН/м3, а земляного грунта 16 кН/м3,
Ответ: хс = 8,19 м, ус = 1,9 м.
9.8(9.8). Найти координаты центра тяжести поперечного сечения неравнобокого уголка, полки которого имеют ширину ОА = а, О В = Ь и толщину АС = BD — d.
п	a‘ + bd-di „	b2 + ad-d2
Ответ: х— 2(e + fe_d) >У	2(b + a-d) ‘
9.9(9.9). Найти расстояние центра тяжести таврового сечения ABCD от стороны его АС, если высота тавра BD — 1г, ширина полки 4С = а, толщина полки равна d и толщина стевки равна Ь.
9.10(9.10). Найти центр тяжести двутаврового профиля, размеры которого указаны на рисунке.
Ответ: хс — 9 см.
9.11(9.11). Найти координаты центра тяжести однородной пластинки, изображенной на рисунке, зная, что АН = 2 см, HG— = 1,5 см, АВ = Зсм, ВС =10 см, £#«=4 см,' ED =2 см.
К задаче 9.10	К задаче 9.Н	К задаче 9.12
9.12(9.12). В однородной квадратной доске ABCD со стороной АВ = 2 м вырезано квадратное отверстие EFGH, стороны которого соответственно параллельны сторонами ABCD и равны 0,7 м каждая. Определить координаты х и у центра тяжести оставшейся части доски, зная, что 0# = ОХК = 0,5 м, где О и Oi — центры квадратов, ОК и OiK соответственно параллельны сторонам квадратов.
Ответ: х — у — —0,07 м.
87
9.13(9.13). Провести через аершину D однородного прямоугольника ABCD прямую DE так, чтобы при подвешивании отрезанной по этой прямой трапеции ABED за вершину £ сторона AD, равная а, была горизонтальна.
Ответ: BE = 0,366а.
9.14(9.14). Дан квадрат ABDC, сторона которого равна а. Найти внутри него такую точку £, чтобы она была центром тя-
жести площади, которая получится, если из квадрата вырезать равнобедренный треугольник АЕВ.
Ответ: хе = а/2, £/я=0,634а.
9.15. Четыре человека несут однородную треугольную пластину. Двое взялись за две вершины, остальные — за сто-
С ЕВ
К задаче 9.13	К задаче 9.14 роНЫ, ПрИМЫКЭЮЩИе К Третьей
вершине. На каком расстоянии от третьей вершины они должны поместиться, для того чтобы каждый из четырех поддерживал четверть полного веса пластины?
Ответ: На расстоянии, равном 1/3 длины соответствующей сто-
роны.
9.16(9.16). Определить координаты центра тяжести системы грузов, расположенных в вершинах прямоугольного параллелепипеда, ребра которого соответственно равны: ЛВ = 20 см, АС — = Ю см, AD = 5 см. Веса грузов в вершинах А, В, С, D, Е, F, G, Н соответственно равны 1 Н, 2 Н, 3 Н, 4 Н, 5 Н, 3 Н, 4 Н, 3 Н.
Ответ: х ~ 3,2 см, у = 9,6 см, z = 6 см.
К задаче 9.19
9.17(9.17). Определить координаты центра тяжести контура прямоугольного параллелепипеда, ребра которого суть однородные бруски длиной: О А = 0,8 м, ОВ = 0,4 м, ОС = 0,6 м. Веса брусков равны соответственно: ОЛ = 250 Н, ОВ, ОС и CD по 75 Н, СО —200 Н; AF — 125 Н, АО и GE по 50 Н, BD, BF, DE н EF по 25 Н.
Ответ: х = 0,263 м, у = 0,4 м, г = 0,105 м.
 88
9.18(9.18). Найти координаты центра тяжести тела, имеющего вид стула, состоящего из стержней одинаковой длины и веса. Длина стержня равна 44 см.
Ответ: х = —22 см, у — 16 см, 2 = 0.
К задаче 9.20
9.19(9.19). Найти координаты центра тяжести плоской фермы, состоящей из семи стержней, длины которых указаны на рисунке, если вес 1 м для всех стержней один и тот же.
Ответ: х = 1,47 м, у = 0,94 м.
9.20(9.20). Найти координаты центра тяжести деревянного молотка, состоящего из прямоугольного параллелепипеда и ручки с квадратным сечением. Дано: а — 10 см, Ь = 8 см, с = = 18 см, d=40 см, I — = 3 см.
Ответ: х = 0, у = 8,8 см,
2=0,
9.21(9.21). Корпус легкого крейсера веснт 19000 кН. Центр тяжести корпуса находится по вертикали над килем на высоте t/i=6 м. После спуска на воду внутри корпуса установлены глав-
ные машины и котлы. Главные машины весят 4500 кН, и ордината центра тяжести их у2 = 3 м. Вес котлов равен 5000 кН, и ордината центра тяжести их у3 = 4,6 м. Определить ординату ус общего центра тяжести корпуса, машин и котлов.
Ответ: ус — 5,28 м.
9.22(9.22). На корабле водоизмещением в 45000 кН груз весом в 300 кН перемещен из носового отсека в кормовой на расстояние 60 м. Насколько переместился общий центр тяжести корабля и груза?
Ответ: На 0,4 м.
9.23(9.23). Для однородного тетраэдра ABCDEF, усеченного параллельно основанию, даны: площадь АВС — а, площадь DEF = Ь,
8»
расстояние между ними И. Найти расстояние г центра тяжести данного усеченного тетраэдра от основания АВС.
Ответ:	+	+ Ы .
4 а + -yaft + 6
9.24(9.24). Корпус якорной подводной мнны имеет форму цилиндра с выпуклыми сферическими днищами. Радиус цилиндриче-
К задаче 9.23	К задаче 9.24
ского пояса г = 0,4 м, высота цилиндрического пояса й = 2г; высоты сферических сегментов соответственно равны: ft = 0,5г и fz~Q,2r. Найти центр тяжести поверхности корпуса мины.
Ответ: хс = Ус=®, Zc => = 1,267г =0,507 м.
9.25(9.26). Найти пре
дельную высоту h цилиндра, при которой тело, состоящее из цилиндра и полушара одинаковой плотности и одинакового радиуса г, теряет устойчивость в положении равновесия, когда оно
опирается поверхностью полушара на гладкую горизонтальную плоскость.
Центр тяжести всего тела должен совпадать с центром полушара. Расстояние центра тяжести однородного полушара от его основания равно а/8г.
Ответ: h=*rl-\/2-
9.26(9.27). Найти предельную высоту h конуса, при которой тело, состоящее из конуса и полушара одинаковой плотности и
радиуса г, теряет устойчивость в положении равновесия при условии предыдущей задачи.
Ответ: h = r-^3-
9.27(9.28). Тонкий однородный лист изогнут в виде двух треугольников и квадрата, как показано на рисунке: равнобедренный треугольник ОАВ лежит в плоскости ху, прямоугольный треугольник ODE — в плоскости yz (вершина прямого угла — точка £), квадрат ОВКЕ — в горизонтальной плоскости. Определить координаты центра тяжести изогнутого листа.
Ответ: хс = 3,33 см, ус = 0,444 см, zc = 3,55 см.
ОТДЕЛ ВТОРОЙ КИНЕМАТИКА
ГЛАВА III
КИНЕМАТИКА ТОЧКИ
§ 10. Траектория и уравнения движения точки
10.1(10.1). По данному уравнению движения точки на произвольно выбранной траектории построить через равные промежутки времени шесть положений точки, определить расстояние s по траектории от начала отсчета до конечного положения точки и пройденный ею путь о за указанный промежуток времени (з и о — в сантиметрах, t — в секундах).
1) s =5 — 4/4- i2, 0<	5.
Ответ: s = 10 см, а = 13 см.
2) з =- 1 4- 2/ — t2, 0 С t 2,5.
Ответ: s = —0,25 см, ст = 3,26 см.
3)з — 4 sin 10/, л/20	/ sC Зл/10.
Ответ: з = 0, ст = 20 см.
10.2(10.2). По данным уравнениям движения точки найти уравнения ее траектории в координатной форме и указать на рисунке направление движения.
1)	х = 3/ — 5, у = 4 — 2/.
Ответ: Полупрямая 2х 4- Зу — 2=0 с началом в точке х = —5, У = 4-
2)	х = 2/, у = 8/2.
Ответ: Правая ветвь параболы у = 2х2 с начальной точкой х = 0, у = 0.
3)	х = 5 sin 10/, у = 3 cos 10/.
Ответ: Эллипс — 4- -у = 1 с начальной точкой х = 0, у = 3.
4)	х = 2 — 3 cos 5/, у = 4 sin 5/ — 1.
Ответ: Эллипс ------- 4-	16	— 1 с начальной точкой х =
= -1, у = -\.
5)	х = ch / = у (е‘ 4- e_f), у = sh / = -| (е* — е~().
Ответ: Верхняя часть правой ветви гиперболы х2 — у2 = I с начальной точкой х = I, у = 0.
91
10.3(10.3). Построить траекторию точки, радиус-вектор которой изменяется согласно уравнению (Го и е — постоянные заданные векторы, i и / — координатные орты).
1)	г = Го 4” t‘6.
Ответ: Полупрямая, проходящая через начальную точку Л10(г0)’ параллельно вектору е.
2)	г ~ г0 + cos t-e.
Ответ: Отрезок MqMi прямой линии, проходящей через точку М(гй) параллельно вектору е. Начальная точка Мц(Го + е); вторая крайняя точка М{(г0 — е). При f->oo конец радиус-вектора пройдет бесчисленное число раз через каждую точку траектории.
3)	r = «cos-rp7§-»4-fesinT~i-/.
Ответ: Отрезок верхней части эллипса —	Точка на-
чинает движение от левой вершины эллипса, монотонно приближаясь к его правой вершине.
10.4(10.4). По заданным уравнениям движения точки найти уравнение ее траектории, а также указать закон движения точки по траектории, отсчитывая расстояние от начального положения точки.
1)	х = 3/2, у = 4/2
Ответ: Полупрямая 4х— Зу = 0; s = 5/2.
2)	х = 3 sin t, у = 3 cos t.
Ответ: Окружность х2 + у2 = 9; s = 3t.
3)	х = a cos21, у — a sin21.
Ответ: Отрезок прямой х 4- у — а = 0, причем 0 sg х 4; s = a д/2 sin21,
4)	х = 5 cos 5/2, у — 5 sin 5£2.
Ответ: Окружность x2 + г/2 = 25; s = 25/2.
10.5(10.5). Мостовой кран движется вдоль мастерской согласно уравнению х = /; по крану катится в поперечном направлении тележка согласно уравнению у = 1,5/ (х и у — в метрах, / — в секундах). Цепь укорачивается со скоростью v =0,5 м/р. Определить траекторию центра тяжести груза; в начальном положении центр тяжести груза находился в горизонтальной плоскости Оху; ось Oz направлена вертикально вверх.
Ответ: Траектория — прямая: у — 1,5х; г — 0,5х.
10.6(10.6). Движение точки, описывающей фигуру Лиссажу, задается уравнениями x = 3sin/, у = 2cos2/ (/ — в секундах). Найти уравнение траектории, вычертить ее и указать направление движения точки в различные моменты времени. Указать также ближайший после начала движения момент времени /ь когда траектория пересечет ось Ох.
Ответ: Часть параболы 4х2+9^=18, вдоль которой |х|^3, |у| sC 2, /| = л/4 с.
10.7(10.7). При соответствующем выборе осей координат уравнения движения электрона в постоянном магнитном поле определяются равенствами х = a sin kt, у = a cos kt, z = v/, где a, k и
92
v — некоторые постоянные, зависящие от напряженности магнитного поля, массы, заряда и скорости электрона. Определить траекторию электрона и закон движения его по траектории.
Ответ: Электрон.движется по винтовой линии. Начальная точка
х=0, и = а, г — 0: шаг винта ft=-r~v. Закон движения элек-к
трона по винтовой линии s — -y/d2k2 4- v2/.
10.8(10.8). Гармонические колебания точки определяются законом х = a sin (kt 4- в), где а > 0 — амплитуда колебаний, k > 0 — круговая частота колебаний и е(—— начальная фаза.
Определить центр колебаний а0, амплитуду, круговую частоту, период Т, частоту колебаний f в герцах и начальную фазу по следующим уравнениям движения (х— в сантиметрах, t — в секундах): >
	Уравнения движения	Ответ					
		ДО, СМ	а, см	k, рад/с	Т. с	f. Гц	е
1.	х = — 7 cos 12/	0	7	12	л/6	6/л	— я/2
2.	х — 4 sin (я//20) — — 3 cos (л//20)	0	5	«/20	40	0,025	— arctg (3/4)
3.	х = 2 — 4 sin 140/	2	4	140	п/70	70/я	Я
4.	X = 6 sin2 18/	3	3	36	л/18	18/л	— я/2
5.	х — 1 — 4cOS2-^-/ 60	-1	2	л/30	60	60	— я/2
10.9(10.9). Груз, поднятый на упругом канате, колеблется согласно уравнению х — a sin (й/ 4- Зл/2), где а — в сантиметрах, k — в рад/с. Определить амплитуду и круговую частоту колебаний груза, если период колебаний равен 0,4 с и в начальный момент xQ = —4 см. Построить также кривую расстояний.
Ответ: а = 4 см, k — 5л рад/с.
10.10(10.10). Определить траекторию точки, совершающей одновременно два гармонических колебания равной частоты, но разных амплитуд и фаз, если колебания происходят по двум взаимно перпендикулярным осям: х — a sin(fe/ а), у = & sin(fe/ 4- ₽).
Ответ: Эллипс 4- р- — cos (а — Р) = sin2 (а — р).
10.11(10,11). Найти уравнение траектории движения точки, получающегося при сложении взаимно перпендикулярных колебаний разной частоты:
1) х = о sin 2б)/, у = a sin со/;
2) х = a cos 2со/, у = a cos со/.
Ответ: 1) х2а2 — 4у2 (а2 — у2);
2) 2у2— ах — а2 — 0, причем |х[ С а, |у|=^а.
10.12(10.12). Кривошип О А вращается с постоянной угловой скоростью со = 10 рад/с. Длина О А = ДВ = 60 см. Найти уравне-
03
ния движения и траекторию средней точки М шатуна, а также уравнение движения ползуна В, если в начальный момент ползун находился в крайнем правом поло-женин; оси координат указаны на рисунке.
Ответ: 1)	= 120 cos 10/, ум —
»=40sin 10/.
2) Траекторией точки М является эллипс -jJjF +	= 1;
3) уравнение движения ползуна В х = 160 cos 10/.
10.13(10.14). Определить уравнения движения и траекторию точки обода колеса радиуса R = 1 м автомобиля, если автомобиль движется по прямолинейному пути с постоянной скоростью 20 м/с. Принять, что колесо катится без скольжения; за начало координат взять начальное положение точки на пути, принятом за ось Ох.
Ответ: Циклоида х — 20/ — sin 20/, у = 1 — cos 20/.
10.14(10.15). Даны уравнения движения снаряда
а/2
x = o0cosa • t, y=*v0 sin а • t —
где vo — начальная скорость снаряда, а — угол между о0 и горизонтальной осью х, g — ускорение силы тяжести. Определить траекторию движения снаряда, высоту Я, дальность L и время Т полета снаряда.
Ответ: Траектория — парабола у = tga • х--------— х2; высота
2v0 cos a
2	2
О»	, „	,	Vn	.	Vn	.
H — ~— sin2 a, A = ~ sin 2a, T — 2 — sin a.
2g	g	g
10.15(10.16). В условиях предыдущей задачи определить, при каком угле бросания а дальность полета L будет максимальной. Найти соответствующие высоту и время полета.
о	9
Чу
Ответ: a =45°, Lin3x=-^,	Т = ^,
10.16(10.17). В условиях задачи 10.14 определить угол бросания а, при котором снаряд попадает в точку А с координатами X и у.
Ответ: tea —------------------------.
gx
10.17(10,18). Определить параболу безопасности (все точки, лежащие вне этой параболы, не могут быть достигнуты снарядом при данной начальной скорости vo и любом угле бросания а).
94
10.18(10.19). Точка движется по винтовой линии
х = a cos kt, у = a sin kt, z — vZ.
Определить уравнения движения точки в цилиндрических координатах.
Ответ-, г a, = kt, z vt.
10.19(10.20). Даны уравнения движения точки!
х = 2а cos2 (kt/2), у — a sin kt,
где а и k—положительные постоянные. Определить траекторию и закон движения точки по траектории, отсчитывая расстояние от начального положения точки.
Ответ: Окружность (х — а)2 4- у2 = a2; s = akt.
10.20(10.21). В условиях предыдущей задачи определить уравнения движения точки в полярных координатах.
Ответ: г = 2а cos (kt/2); ф = kt/2.
10.21(10.22). По заданным уравнениям движения точки в декартовых координатах
x = 7?cos2(&/2), у =* (Я/2) sin kt, z = R sin (kt/2)
найти ее траекторию и уравнения движения в сферических координатах.
Ответ: Линия пересечения сферы х2 4- у2 4- z2 = R2 и цилиндра (х — /?/4)2 4- у2 == R2/$. Уравнения движения в сферических координатах: г ~ R, ф = kt/2, 0 = kt/2.
10.22(10.23). Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных затухающих колебаниях, уравнения которых имеют вид
х = Ае~м cos (kt + s', у = Ae~hi sin (kt 4- e), где A > 0, h> 0, k > 0 и e — некоторые постоянные. Определить уравнения движения в полярных координатах и найти траекторию точки.
Ответ: r = Ae~ht, <p=AZ4-s; траектория — логарифмическая ft , - —- (ф_Е) спираль г = Ае я
10.23. Плоский механизм манипулятора переносит груз из одного положения в другое по траектории, определяемой полярны
ми координатами центра схвата - к задаче 10.2а rc = rc(t), фс = фс(/). Найти:
1) законы изменения углов ф1 и фг, отрабатываемых соответствующими приводами, обеспечивающие выполнение заданной программы; 2) законы изменения этих углов, если груз перемещается по прямой, параллельной оси у, отстоящей от нее на расстоянии а по закону у = s(t), где s— заданная функция времени Z.
95
Ответ:
1)	Ф, — фС(/) т arccos
rc (t) + l2 - Ч 2lyc(t)
Гс (0 - - 12 ^=^±arcC0S-------_J-----,
s(t)	а2 4- s2 (0 + I2 -
2)	ih=arctg---- Т arccos-----т- ...__-
а	2Л Va24-s2 (О
л2 4- s2 (О — I2 —
ф2= ± arccos-------------
21
§ 11.	Скорость точки
11.1(11.1). Точка совершает гармонические колебания по закону х = a sin kt. Определить амплитуду а и круговую частоту k колебаний, если при х = х, скорость v = оь а при х — х2 скорость V = V2-
АВ = 10 см, длина
К задаче 11.2
Ответ- а=л/^^.
итвет.а у v,_v, , ft 'ух2_х2-
11.2(11.2). Длина линейки эллипсографа ДВ = 40 см, длина кривошипа ОС — 20 см, АС = СВ. Кривошип равномерно вращается вокруг оси О с угловой скоростью to. Найти уравнения траектории и годографа скорости точки М линейки, лежащей на расстоянии AM = = 10 см от конца А.
х2 у2
®твет- goo + юо
+ -^-=1 ЮОш2 ь
11.3(11.3). Точка описывает фигуру Лиссажу согласно уравнениям
х = 2 cos t, у = 4 cos 2/
_d_.
9'.Ю«2 т
(х,у — в сантиметрах, t — в секундах). Определить величину и направление скорости точки, когда она находится на оси Оу.
Ответ: 1) и = 2 см/с, cos(o,x) =—1; 2) v — 2 см/с, cos (и, х)= 1.
11.4(11.5). Кривошип ОА вращается с постоянной угловой скоростью со. Найти скорость середины М шатуна кривошипноползунного механизма и скорость ползуна В в зависимости от времени, если ОА — АВ ~ а (см. рисунок к задаче 10.12).
Ответ: 1) г>м= со д/8 sin2®/ 4- 1; 2) vB = 2а® sin со/.
11.5(11.6). Движение точки задано уравнениями
х = vot cos а0, у = vot sin а0 —
95
причем ось Ох горизонтальна, ось Оу направлена по вертикали вверх, аЭ) g и а0 < л/2—величины постоянные. Найти: 1) траекторию точки, 2) координаты наивысшего ее положения, 3) проекции скорости на координатные оси в тот момент, когда точка находится на оси Ох.
а	ц2
Ответ: 1) Парабола у — xtga0-------5—=—х2;	2) х—~- X
2е»5 cos аэ	2g
v2
X sin 2a0, sin2«o; 3) vx — x0cosa0, »я= ± o0 sin a9, причем верхний знак соответствует начальному моменту времени, а ниж-v	, 2ti0 sin a0
нии — моменту t = —~.
11.6(11.7). Движение точки задано теми же уравнениями, что и в предыдущей задаче, причем == 20 м/с,а0 = 60°, g = 9,81 м/с2. Найти, с какой скоростью ui должна выйти из начала координат в момент t — 0 вторая точка для того, чтобы, двигаясь равномерно, по оси Ох, она встретилась с первой точкой, и определить расстояние Xi до места встречи.
Ответ: ci = 10 м/с, х1 = 35,3 м.
11.7(11.8). Определить высоты h\, h2 и Л2 над поверхностью воды трех пунктов отвесного берега, если известно, что три пули, выпущенные одновременно в этих пунктах с горизонтальными скоростями 50, 75 и 100 м/с, одновременно упали в воду, причем расстояние точки падения первой пули от берега равно 100 м; принять во внимание только ускорение силы тяжести g = 9,81 м/с2. Определить также продолжительность Т полета пуль и их скорости vlt v2 и v2 в момент падения в воду.
Ответ: Л1 = h2 = й3 = 19,62 м, Т = 2 с, Oj == 53,71 м/с, v2 = = 77,52 м/с, и3= 101,95 м/с.
11.8(11.9). Из орудия, ось которого образует угол 30° с горизонтом, выпущен снаряд со скоростью 500 м/с. Предполагая, что снаряд имеет только ускорение силы тяжести g — 9,81 м/с2, найти годограф скорости снарнда и скорость точки, вычерчивающей годограф.
Ответ: Годограф — вертикальная прямая, отстоящая от начала координат на 432 м; и, — 9,81 м/с2.
11.9(11.10). Определить уравнения движения и траекторию точки колеса электровоза радиуса R — 1 м, лежащей на расстоянии а = 0,5 м от оси, если колесо катится без скольжения по горизонтальному прямолинейному участку пути; скорость оси колеса v = 10 м/с. Ось Ох совпадает с рельсом, ось Оу — с радиусом точки при ее начальном низшем положении. Определить также скорость этой точки в те моменты времени, когда диаметр колеса, на котором она расположена, займет горизонтальное и вертикальное положения.
Ответ: Укороченная циклоида х = 10/— 0,5 sin 10/, у — 1 — —-0,5 cos 10/. Скорость: 1) 11 м/с; 18 м/с; 2) 5 м/с; 15 м/с.
4 И. В. Мещерский
97
11.10(11.11). Скорость электровоза о0 = 72 км/ч; радиус колеса его 7? ~ 1 м; колесо катится по прямолинейному рельсу' без скольжения.
1) Определить величину и направление скорости v точки М па ободе колеса в тот момент, когда радиус точки М составляет с направлением скорости о0 угол л/2
2) Построить годограф скорости точки М и определить скорость щ точки, вычерчивающей годограф.
Ответ: I) Скорость v = 40 cos(a/2) м/с и направлена по прямой МА;
2) Окружность p = 2vocos9, где 9 = а/2, радиуса г — и0 (см. рисунок); vx = и2/7? = — 400 м/с2.
11.11(11.12). Определить уравнения движения и траекторию точки М колеса вагона радиуса 7?—0,5 м, отстоящей от оси на расстоянии а = 0,6 м и лежащей в начальный момент на 0,1 м ниже рельса, если вагон движется по прямолинейному пути со скоростью о = 10 м/с. Найти также моменты времени, когда эта точка
будет проходить свое нижнее и верхнее положения, и проекции ее скорости на оси Ох, Оу в эти моменты времени. Ось Ох совпадает с рельсом, ось Оу проходит через начальное нижнее положение точки.
Ответ: Удлиненная циклоида
х = 10t — 0,6 sin 20?; у — 0,5 — 0,6 cos 20i;
К задаче 11.10
при f=_f5'c— нижнее положение точки, vx — —2 м/с, vy = 0; при / = -^-(1 4-2/г)с — верхнее положение точки, щ. = 22 м/с, v'j — 0, гДе А = 0, 1, 2, 3 ...
11.12(11.13). Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных затухающих колебаниях согласно уравнениям
х — Ae~ht cos (ki 4-е), у = Ae~ht sin (kt 4-е).
Определить проекции скорости точки на оси декартовых и полярных координат и найти модуль скорости точки.
Ответ: 1) vx = — Ae~ht [hcos(kt 4- el 4- k sin (kt -j-e)], vy = — Ае~м [Л sin (ki -j- e) — k cos (kt 4- e)];
2) vr = - Ahe-ht, = Ake~M;
3) v = A e~ht = Vft2 4- & r.
11.13(11.14). Какую кривую опишет корабль, идущий под постоянным курсовым углом а к географическому меридиану? Корабль принять за точку, движущуюся по поверхности земного шара.
Ответ: tg ( у + -у ) = tg ( -I-	ctg% где ф — широта,
а к — долгота текущего по. вается локсодромией).
Указание. Воспользоваться сферическими координатами г, X и <р.
11.14(11.15). Уравнения движения точки М в цилиндрической системе координат имеют вид (см. задачу 10.8)
г ~ а, = kt, z — vt.
Найти проекции скорости точки М на оси цилиндриче
ской системы координат, уравнения движения точки Л4|, описывающей годограф скорости, и проекции скорости точки Mi.
Ответ: I) цг = 0, v^ — ak, v2 — v;2) ц — ak, q>j = л/2 + kt, Z| = v; 3) an = 0, vrfl=ak2, o21=0.
11.15(11.16). Точка M движется по окружности согласно уравнениям
г — 2а cos (kt/2), q — ktj2
'{г, <p — полярные координаты). Найти проекции скорости точки М на оси полярной системы координат, уравнения движения точки Mi, описывающей годограф скорости, и- проекции скорости точки Л4).
Ответ: I) vr == — ak sin {kt/2), viV = ak cos(kt/2); 2) n =* ak, Ф1 — л/2 + kt\ 3) vri = 0,	— ak2.
11.16(11.17). Точка движется по линии пересечения сферы и цилиндра согласно уравнениям
r^R, y=kt/2, §=kt/2
(г, ф, 0 — сферические координаты; см. задачу 10.21). Найти модуль и проекции скорости точки на оси сферической системы координат.
Ответ: vr = 0, vv — (Rk/2) cos (kl/2), v6 = Rk/2,
v = (/?*/2)Vl + cos2 (fef/2).
11.17(11.18). Найти в полярных координатах (г, ф) уравнение кривой, которую опишет корабль, сохраняющий постоянный угол пеленга а на неподвижную точку (угол между направлением скорости и направлением на точку), если дано: а и гФ=-о == г0. Корабль принять за точку, движущуюся на плоскости, и за полюс взять
4*	У9
произвольную неподвижную точку в этой плоскости. Исследовать частные случаи а == 0, л/2 и я.
Ответ: Логарифмическая спираль г — z,oe~’:<:lg“. При а = л/2 окружность г = г0; при а = 0 или а =•= л прямая.
§ 12. Ускорение точки
12.1(12.1). Поезд движется со скоростью 72 км/ч; при торможении он получает замедление, равное 0,4 м/с2. Найти, за какое время до прихода поезда на станцию и на каком от нее расстоянии должно быть начато торможение.
Ответ: 50 с, 500 м.
12.2(12.2). Копровая баба, ударив сваю, движется затем вместе с ней в течение 0,02 с до остановки, причем свая углубляется в землю на 6 см. Определить начальную скорость движения сваи, считая его равнозамедленным.
Ответ: 6 м/с.
12.3(12.3). Водяные капли вытекают из отверстия вертикальной трубочки через 0,1 с одна после другой и падают с ускорением 9,81 м/с2. Определить расстояние между первой и второй каплями через 1 с после момента истечения первой капли.
Ответ: 0,932 м.
12.4(12.5). Считая посадочную скорость самолета равной 400 км/ч, определить замедление его при посадке на пути / = 1200 м, считая, что замедление постоянно.
Ответ: w = 5,15 м/с2.
12.5(12.6). Копровая баба падает с высоты 2,5 м, а для ее поднятия на ту же высоту требуется втрое больше времени, чем на падение. Сколько ударов она делает в минуту, если считать, что свободное падение копровой бабы совершается с ускорением 9,81 м/с2?
Ответ: 21 удар.
12.6(12.7). Ползун движется по прямолинейной направляющей с ускорением wx — — я2 sin ~ t м/с2. Найти уравнение движения ползуна, если его начальная скорость vox — 2л м/с, а начальное положение совпадает со средним положением ползуна, принятым за начало координат. Построить кривые расстояний, скоростей и ускорений.
Ответ: x = 4siny/ м.
12-7(12.8). Поезд, имея начальную скорость 54 км/ч, прошел 600 м в первые 30 с. Считая движение поезда равнопеременным, определить скорость и ускорение поезда в конце 30-й секунды, если рассматриваемое движение поезда происходит на закруглении радиуса 7? ~ 1 км.
Ответ: v — 25 м/с, w = 0,708 м/с2.
12.8(12.9). При отходе от станции скорость поезда возрастает равномерно и достигает величины 72 км/ч через 3 мин после от
100
хода; путь расположен на закруглении радиуса 800 м. Определить касательное, нормальное и полное ускорения поезда через 2 мин после момента отхода от станции.
Ответ: wt = '/э м/с2, wn = 2/э м/с2; w = 0,25 м/с2.
12.9(12.10). Поезд движется равнозамедленно по дуге окружности радиуса R = 800 м и проходит путь s = 800 м, имея начальную скорость ио — 54 км/ч и конечную и = 18 км/ч. Определить полное ускорение поезда в начале и в конце дуги, а также время движения по этой дуге.
Ответ: wo == 0,308 м/с2,	— 0,129 м/с2, Т — 80 с.
12.10(12.11). Закругление трамвайного пути состоит из двух дуг радиусом pj — 300 м и р2 = 400 м. Центральные углы сц = = сс2 == 60°. Построить график нормаль-	,
лого ускорения вагона, идущего по за- --------р.
круглснию со скоростью v — 36 км/м.
12.11(12.12). Точка движется по дуге окружности радиуса R = 20 см. Закон ее движения по траектории: $ = 20 sin nt
К задаче 12.10
(t — в секундах, s — в сантиметрах).
Найти величину и направление скорости, касательное, нормальное и полное ускорения точки в момент t — 5 с. Построить также графики скорости, касательного и нормального ускорений.
Ответ: Скорость равна по величине 20л см/с и направлена в сторону, противоположную положительному направлению отсчета дуги s; wt = 0; w = wn — 20л2 см/с2.
12.12(12.13). Прямолинейное движение точки происходит по закон}' s —(at + e~ai}, где а и g— постоянные величины. Найти начальную скорость точки, а также определить ее ускорение в функции от скорости.
Ответ: vQ — 0, w = g — av.
12.13(12.14). Движение точки задано уравнениями
х = Ю cos (2я//5), у = 10 sin (2л//5)
(х,у — в сантиметрах, / — в секундах). Найти траекторию точки, величину и направление скорости, а также величину и направление ускорения.
Ответ: Окружность радиуса 10 см; скорость и=4л см/с и направлена по касательной в сторону перехода от оси Ох к оси Оу доворотом па 90°; ускорение w ~ 1,6л2 см/с2 и направлено к центру.
12.14(12.15). Уравнения движения пальца кривошипа дизеля, в период пуска имеют вид х — 75 cos 4/2, у = 75 sin 4/2 (х, у — в сантиметрах, t — в секундах). Найти скорость, касательное и нормальное ускорения пальца.
Ответ: v = 500/ см/с, wt = 500 см/с2, wn == 4800/2 см/с2.
12.15(12.16). Движение точки задано уравнениями
х = a (ekt e~kt), у = a(ekt — e~kt).
где а и k — заданные постоянные величины.
101
Найти уравнение траектории, скорость и ускорение точки как функции радиуса-вектора г — д/х2 4- У2-
Ответ: Гипербола х2 — у2 = 4а2; v = kr; w = k2r.
12.16(12.18). Найти радиус кривизны при х — у = 0 траектории точки, описывающей фигуру Лисса жу согласно уравнениям х = —a sin 2®t, у ——a sin at.
Ответ: р — оо.
12.17(12.19). Найти величину и направление ускорения, а также радиус кривизны траектории точки колеса, катящегося без сколь-
К задаче 12.17
К задаче 12.18
жения по горизонтальной оси Ох, если точка описывает циклоиду согласно уравнениям
х = 20/ — sin 20/, у = 1 — cos 20/
(t — в секундах, х, у — в метрах). Определить также значение ра-> диуса кривизны р при t = 0.
Ответ: Ускорение w — 400 м/с2 и направлено по МС к центру С катящегося круга; р = 2МА, р0 = 0.
12.18(12.20). Найти траекторию точки /И шатуна кривошипно-
ползунного механизма, если г — I — 60 см, — (f~4nt
(t — в секундах), а также определить скорость, ускорение и радиус кривизны траектории точки в момент, когда ф = 0.
Ответ: Эллипс	= 1, » = 80я см/с, w = 1600л2 см/с2,
. чти он поворачиваем
Определить скорость / Ответ: v = 2л СМ/
р = 4 см.
12.19(12.21). На проволочной окружности радиуса 10 см надето колечко М; через него проходит стержень О А, который равномерно вращается вокруг точки О, лежащей на той же окружности; угловая скорость стержня такова, что он поворачивается на прямой угол в 5 с, > v и ускорение w колечка.
см/с, w = 0,4я2 см/с2,
12.20. В условиях предыдущей задачи определить скорость и ускорение колечка М как функцию угла ф,если угловое ускорение стержня
К задачам 12.19 я 12.20
ОМ равно k cos ф*\k = const). В начальный момент при t = 0 угол ф и его скорость равнялись нулю, радиус окружности г,
Ответ; v — 2r x]2k sin ф, w = 2kr -у 1 -f-15 sin2 ф.
102
в начальный момент,
12.21(12.22). Движение снаряда задано уравнениями
х — «о/ cos «о, у = Vot sin а0— */2 gt2,
где и0 и а0 — постоянные величины. Найти радиус кривизны траектории при t = 0 и в момент падения на землю.
Ответ: р = v^g cos а0).
12.22(12.23). Снаряд движется в вертикальной плоскости согласно уравнениям х — 300/, у = 400/ — 5/2 (/ — в секундах, х, у — в метрах). Найти: I) скорость и ускорение i	,
2)	высоту и дальность обстрела, 3) радиус кривизны траектории в начальной и в наивысшей точках.
Ответ. »о = 500 м/с, wQ — 10 м/с2, h = 8 км, s = 24 км, ро = 41,67 км, р — 9 км.
12.23(12.24). Из орудия береговой артиллерии с высоты h ~ 30 м над уровнем моря произведен выстрел под углом а0 = 45° к горизонту с начальной скоростью снаряда = 1000 м/с. Определить, на каком расстоянии от орудия снаряд попадет в цель, находящуюся на уровне моря. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Ответ: 102 км.
12.24(12.25). Найти касательное и нормальное ускорения точки, движение которой выражается уравнениями
х==а/, y = fil — gt2/2.
е (В — gt)	ga
Ответ: = — ~v	— где v— скорость точки.
12.25(12.26). Точка движется по винтовой линии согласно уравнениям x = 2cos4/, г/= 2sin4/, z = 2/, причем за единицу длины взят метр. Определить радиус кривизны р траектории.
Ответ: р — 2'/8 м.
12.28(12.27). Движение точки задано в полярных координатах уравнениями г = аем и ср = kt, где а и k — заданные постоянные величины. Найти уравнение траектории, скорость, ускорение и радиус кривизны траектории точки как функции ее радиус-вектора г.
Ответ: г — ае® — логарифмическая спираль; v = kr^2, w — — 2k2r, p==r -\/2.
12.27(12.28). Движение точки задано уравнениями
х == 2/, у = t2
(/ — в секундах, х и у — в сантиметрах). Определить величины и направления скорости и ускорения точки в момент времени t — 1 с.
Ответ: о =2-у 2 см/с, w = 2 см/с2, (о, х) = 45°, (а», х) = 90°.
12.28(12.29). Построить траекторию движения точки, годограф скорости и определить радиус кривизны траектории в начальный
103
момент, если точка движется согласно уравнениям х = 4/, у = /3
К задаче 12.31
(t — в секундах, х и у — в сантиметрах).
Ответ: Уравнение траектории У=~^--------кубическая парабола;
годограф скорости — прямая, параллельная оси vy\ р0 = ею (начальная точка траектории — в точка перегиба).
12.29(12.30). Кривошип OjC длиной о/2 вращается с постоянной угловой скоростью со вокруг ОСИ ОJ. В точке С с кривошипом шарнирно связана линейка АВ, проходящая все время через качающуюся муфту О, находящуюся на расстоянии с/2 от оси вращения Oj.
Приняв точку О за полюс, найти в полярных координатах уравнения движения точки Л1 линейки, отстоящей от шарнира С на расстоянии а, ее траекторию, скорость и ускорение (в начальный момент угол ф — == ZC001 =0).
Ответ: 1) г =* a (I ф- cos(of/2)), ср —©//2;
2) г = а(1 ф- cos ф) — кардиоида;
3) v = аы cos(©//4);
..	/_ , , __ (£>t
4) w = —А/ 5 ф- 4 cos —.
12.30(12.32). В условиях задачи (12.29) определить радиус кривизны кардиоиды при г = = 2а, ф = 0.
Ответ: ро = 4/3а.
12.31(12.33). Конец А стержня АВ перемещается по прямолинейной направляющей CD
с постоянной скоростью од. Стержень АВ все время проходит через качающуюся муфту О, отстоящую от направляющей CD па расстоянии а. Приняв точку О за полюс, найти в полярных координатах г, ф скорость и ускорение точки М, находящейся на линейке на расстоянии b от ползуна <4.
ti2b
Ответ: v —	-у/a2 sin2 ф ф- г2 cos4 ф, w — —j- cos3 фд/1 ф~ 3sin2 ф,
где т = д/а2 ф- Од/2 — Ь, ф = arctg (yAt]a}.
12.32(12.34). Точка М движется по винтовой линии. Уравнения движения ее в цилиндрической системе координат имеют вид г — а, ф = А/, z ” vt.
104
Найти проекции ускорения точки на оси цилиндрической системы координат, касательную и нормальную составляющие ускорения и радиус кривизны винтовой линии.
Ответ-. I) wr ~ —ak2, а». = 0,	= 0;
2) wT = 0, wn = ak2;
3) р =(a2k2 + v2)/(ak2}.
12.33(12.35). Точка М движется по линии пересечения сферы х2 ф-4/2 ф-z2 = У?2 и цилиндра (х— 7?/2)2 ф- у2 = /?2/4. Уравнения движения точки в сферических координатах имеют вид (см. задачу 10.21)
г — /?, <р = kt/2, 9 — kt/2.
Найти проекции и модуль ускорения точки в сферических координатах.
Ответ: wr = —(I -f- cos29), и»ф = — sin 9,
жэ =sin 9 cos 9, ж =	+ sin29.
12.34(12.36). Корабль движется под постоянным курсовым углом а к географическому меридиану, описывая при этом локсодромию (см. задачу 11.13). Считая, что модуль скорости о корабля не изменяется, определить проекции ускорения корабля на оси сферических координат г, X и ф (X —долгота, <р — широта места плавания), модуль ускорения и радиус кривизны локсодромии.
„	V1	V2 .
Ответ: wr~------=------------— sin a cosa tg ф,
К	л.
жф = — sin2a tg ф, ® V1 ф- sin2a tg2 ф>
Vl + sin’ a tg2 q> ’
_	о	, о sin a ,
где R — радиус Земли, <р = фп ф-—jr* t.
12.35(12.37). Выразить декартовы координаты точки через тороидальные координаты г == СМ, ф и ф и определить коэффициенты Ляме.
Ответ: 1) х = (а ф-г cos ф)со$ ф, у =(а ф- г cos <р) siu ф, = г sin ф;
2) Я, = 1, Я,|.= а ф- г cos ф, Hlf = г.
12.36(12.38). Движение точки задано в тороидальной систем» координат г, ф и ф. Найти проекции скорости и ускорения точки на оси этой системы отсчета.
Ответ: 1) v, = г,	= (а ф- г cos ф)ф, = гф;
2) wr — г — (а + г cos ф)соз фф2 — гф2,
ж ф = (а ф- г cos ф) ф ф- 2 cos ф/ф — 2r sin ффф,
= гф ф- 2гф ф- (а ф- г cos ф) sin фф2.
10»
12.37(12.39). Точка движется по винтовой линии, намотанной на тор, по закону
г = 7? — const, ip = ©/, qp — kt.
К задачам 12.35—12,37
Определить проекции скорости и ускорения точки в тороидальной системе координат (а — const, k — const).
Ответ'. ur—O, v^ = (a 4- R cos ф)ю, o<₽ = Rk,
w, = — [ (a + R cos cp) cos qxo2 4- 7?fe2], Wq = —27?wfe sin ф,
ay<p = a2 (a + R cos ф) sin ф.
12.38.	Механизм робота-мани пуля-тора состоит из поворотного устройства /, колонны для вертикального перемещения 2 и выдвигающейся руки
со схватом 3. Найти скорость и ускорение центра схвата при заданных ф(Р), z(t), r(t).
Ответ: v = *Jf2 + r2^2 4- г2,
w = -^(r — гф2)2 4- (гф + 2г<р)2 4- z2.
12.39.	Вертикальная колонна, несущая руку робота-манипулятора, может поворачиваться на угол ф. Рука со схватом поворачи
К задаче |2.38
вается на угол О и выдвигается на расстояние г. Найти скорость и ускорение центра схвата.
Ответ: v = -\'г2 4~ r'2^2 + s*n2 ’О’Ф2»
w = [(г — гЬ2 — гф2 sin2 ft)2 4- (rd + 2/6 — гф2 sin & cos &)2 +
4- (гф sin & 4- 2гф sin & 4- 2гф© cos fl)2]71.
12.40.	Механизм робота-манипулятора состоит из поворотного устройства с вертикальной осью (угол поворота — ф) и двух звеньев, расположенных в вертикальной плоскости (углы поворота

звеньев — &! и <Ь). Нанта скорость центра схвата при переносе груза.
Ответ:	+^2)г+	+^2) cosO2 +
+ (Z, sin &, -f- /, sin (fy + fr2))2 ф3]7’.
ГЛАВА IV
ПРОСТЕЙШИЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
§ 13, Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
13-1(13.1). Определить угловую скорость: 1) секундной стрелки часов, 2) минутной стрелки часов, 3) часовой стрелки часов, 4) вращения Земли вокруг своей оси, считая, что Земля делает один оборот за 24 часа, 5) паровой турбины Лаваля, делающей 15000об/мип.
Ответ: I) ы = л/30 рад/с = 0,1047 рад/с.
2)	со = л/1800 рад/с = 0,001745 рад/с.
3)	со = л/21 600 рад/с = 0,0001455 рад/с.
4)	о = л/43 200 рад/с = 0,0000727 рад/с.
5)	со = 1 571 рад/с.
13.2(13.2). Написать уравнение вращения диска паровой турбины при пуске в ход, если известно, что угол поворота пропорционален кубу времени и при t = 3 с угловая скорость диска равна ® — 27л рад/с.
Ответ: ср == л/3 рад.
13.3(13.3). Маятник центробежного регулятора, вращающийся вокруг вертикальной оси ЛВ, делает 120 об/мин. В начальный момент угол поворота был равен л/6 рад. Найти угол поворота и угловое перемещение маятника за время t = 1/2 с.
13
Ответ: ср = -g- я рад; А<р — 2л рад.
13.4(13.4). Тело, начиная вращаться равноускоренно из состояния покоя, делает 3600 оборотов в первые 2 минуты. Определить угловое ускорение.
Ответ: е = л рад/с2.
13.5(13.5). Вал начинает вращаться равноускоренно из состояния покоя; в первые 5 с он совершает 12,5 оборота. Какова его угловая скорость по истечении этих 5 с?
Ответ: о — Юл рад/с.
13.6(13.6). Маховое колесо начинает вращаться из состояния покоя равноускоренно; через 10 мин после начала движения оно имеет угловую скорость, равную 4л рад/с. Сколько оборотов сделало колесо за эти 10 мин?
Ответ: 600 оборотов.
13.7(13.7). Колесо, имеющее неподвижную ось, получило начальную угловую скорость 2л рад/с; сделав 10 оборотов, оно вслед
107
ствие трения в подшипниках остановилось. Определить угловое ускорение е колеса, считая его постоянным.
Ответ', и, = 0,1л рад/с2, вращение замедленное.
13.8(13.8). С момента выключения мотора пропеллер самолета, вращавшийся с угловой скоростью, равной 40л рад/с, сделал до остановки 80 оборотов. Сколько времени прошло с момента выключения мотора до остановки, если считать вращение пропеллера равнозамедленным?
Отвег. 8 с.
13.9(13.9). Тело совершает колебания около неподвижной оси, причем угол поворота выражается уравнением
ф = 20° sin гр,
К задаче 13.10
где угол ф выражен в угловых градусах зависимостью if=(2/)°, причем t обозначает секунды. Определить угловую скорость тела в момент t — 0, ближайшие моменты ti и fe, в которые изменяется направление вращения, и период колебания Т.
Ответ: <в==—-л2 рад/с, — 45 с,	с, Т= 180 с-
О iU г
13.10(13.10). Часовой балансир совершает крутильные гармонические колебания с периодом Т — 1 /2 с. Наибольший угол отклонения точки обода балансира от положения равновесия а = л/2 рад. Найти угловую скорость и угловое ускорение баланса через 2 с после момента, когда балансир проходит положение равновесия.
Ответ: (о = 2л2 рад/с, е = 0.
13.11(13.11). Маятник колеблется в вертикальной плоскости около неподвижной горизонтальной оси О. Выйдя в начальный момент из положения равновесия, он достигает наибольшего отклонения а = л/16 рад через 2/3 с.
1) Написать закон колебаний маятника, считая, что он совершает гармонические колебания.
2) В каком положении маятник будет иметь наибольшую угловую скорость и чему она равна?
я 3
Ответ: 1) <р = -jg- sin у nt рад.
2) В отвесном положении; ®тах = л2 рад/с2.
13.12(13.12). Определить скорость v и ускорение w точки, находящейся на поверхности Земли в Ленинграде, принимая во внимание только вращение Земли вокруг своей оси; широта Ленинграда 60°, радиус Земли 6370 км.
Ответ: v ==232 м/с, w =0,0169 м/с2,
108
13.13(13.13). Маховое колесо радиуса 0,5 м вращается равномерно вокруг своей оси; скорость точек, лежащих на его ободе, равна 2 м/с. Сколько оборотов в минуту делает колесо?
Ответ: п = 38,2 об/мин.
VI 3.14(13.14). Точка А шкива, лежащая на его ободе, движется со скоростью 50 см/с, а некоторая точка В, взятая на одном радиусе с точкой Л, движется со скоростью 10 см/с; расстояние АВ = 20 см. Определить угловую скорость со и диаметр шкива.
Ответ: со = 2 рад/с, d — 50 см.
13.15(13.15). Маховое колесо радиуса R =2м вращается равноускоренно из состояния покоя; через t = 10 с точки, дежащие на ободе, обладают линейной скоростью "у ='100 м/с? Найти
скорость, нормальное и касательное ускорения к задаче 13 н точек обода колеса для момента t = 15 с.
Ответ: v == 150 м/с, wn = 11250 м/с2,	= Ю м/с2.
13.16(13.16). Найти горизонтальную скорость v, которую нужно сообщить телу, находящемуся на экваторе, для того чтобы оно, двигаясь равномерно вокруг Земли по экватору в особых направляющих, имело ускорение свободного падения. Определить также время Т, по истечении которого тело вернется в первоначальное положение. Радиус Земли /? = 637• L0G см, а ускорение силы тяжести на экваторе g — 978 см/с2.
Ответ: v = 7,9 км/с, Т — 1,4 ч.
«*13.17(13-17). Угол наклона полного ускорения точки обода махового колеса к радиусу равен 60°. Касательное ускорение ее в данный момент wx— 10л/3 м/с2. Найти нормальное
ускорение точки, отстоящей от оси вращения на	j /X
расстоянии г = 0,5 м. Радиус махового колеса I и/ \ R = 1 м.	Г Ж j
Ответ: wn == 5 м/с2.	у J
13.18(13.18). Вал радиуса У? = 10 см приво-	j—
дится во вращение гирей Р, привешенной к нему на нити. Движение гири выражается уравнением L х = 100/2, где х—расстояние гири от места схода нити с поверхности вала, выраженное в к задаче is ш сантиметрах, t — время в секундах. Определить
угловую скорость <в и угловое ускорение е вала, а также полное ускорение w точки на поверхности вала в момент t.
Ответ: а = 20/ рад/с, е = 20 рад/с2, и? ==200 дЛ + 400/4 см/с2.
13.19(13.19). Решить предыдущую задачу в общем виде, выразив ускорение точек обода колеса через пройденное гирей расстояние х, радиус колеса R и ускорение гири х =	= const.
Ответ: w = w0 V1 + 4х2/У?2.
13.20(13.20). Стрелка гальванометра длины 3 см колеблется вокруг неподвижной оси по закону ф = <р0 sin kt. Определить ускоре
на
ние конца стрелки в ее среднем и крайних положениях, а также моменты времени, при которых угловая скорость <о и угловое ускорение е обращаются в нуль, если период колебаний равен 0,4 с, а угловая амплитуда ц0 = л/30.
Ответ-. 1) В среднем положении стрелки w = 8,1 см/с2.
2) В крайних положениях стрелки w — 77,5 см/с2.
3) со — 0 при t = (0,1 -ф 0,2л) с (п=0, I, 2, ...).
4) е = 0 при t = 0,2л с (л = 0, 1, 2, ...).
§ 14. Преобразование простейших движений твердого тела
К задаче 14.1	К задаче 14,2
14.1(14.1). Угловая скорость зубчатого колеса I диаметра Dj == 350 мм равна Юл/3 рад/с. Чему должен равняться диаметр зубчатого колеса II, находящегося с колесом I во внутреннем зацеплении, угловая скорость которого в три раза больше угловой скорости колеса /?
Ответ-. D2 == 120 мм.
14.2(14.2). Редуктор скорости, служащий для замедления вращения и передающий вращение вала I валу II, состоит из четырех шестерен с соответствующим числом зубцов: = = 10,	= 60, z3 = 12,	= 70.
Определить передаточное отношение механизма.
Ответ: 1*ш = «н/ощ = 35. приводится в движение из со
стояния покоя бесконечным ремнем от шкива В электромотора; радиусы шкивов: = 75 см, п = 30 см; после пуска в ход электромотора его угловое ускорение равно 0,4л рад/с2. Пренебрегая
14.3114.31. Станок со шкивом А
скольжением ремня по шкивам, определить через сколько времени угловая скорость станка будет равна Юл рад/с.
Ответ-. 10 с.
14.4(14.4). В механизме стрелочного индикатора движение от рейки мерительного штифта 1 передается шестерне 2, на оси которой укреплено зубчатое колесо 3, сцепляющееся с шестерней 4,
110
несущей стрелку. Определить угловую скорость стрелки, если движение штифта задано уравнением х = a sin kt и радиусы зубчатых колес соответственно равны г2, гз и г4.
Ответ'.	ak cos kt.
4
14.5(14.5). В механизме домкрата при вращении рукоятки А начинают вращаться шестерни 1, 2, 3, 4 и 5, которые приводят в движение зубчатую рейку S домкрата. Определить скорость последней, если рукоятка А вращается с угловой скоростью, равной
ггТ
К задаче 14.5
л рад/с. Числа зубцов шеоерен: z\ = 6, z2 == 24, z3 — 8, z4 = 32; радиус пятой шестерни r3 = 4 см.
Ответ: ив == 7,8 мм/с.
14.6(14.6). Для получения периодически изменяющихся угловых скоростей сцеплены два одинаковых эллиптических зубчатых колеса, из которых одно вращается равномерно вокруг оси О, с угловой скоростью со = 9л. рад/с, а другое приводится первым во вращательное движение вокруг оси Оц Оси О и О, параллельны и проходят через фокусы эллипсов. Расстояние 00\ равно 50 см, полуоси эллипсов 25 и 15 см. Определить наименьшую и наибольшую угловые скорости колеса О).
Ответ: «ты == я рад/с, ытах = = 81д рад/с.
14.7(14.7). Вывести закон передачи вращения пары эллиптических зубчатых колес с полуосями а и Ь. Угловая скорость колеса / (щ = const. Расстояние между осями OtO2 = 2a, ф— угол, образованный прямой, соединяющей
осью эллиптического колеса /. Оси проходят через фокусы эллипсов.
с2 —- с2
Ответ: <&> = д2 _ jac cos + С2 o>i, где с —линейный эксцентриситет эллипсов: с = -у/а1 — о2.
ill
14.8(14.8). Найти наибольшую и наименьшую угловые скорости овального колеса 02, сцепленного с колесом Оь угловая скорость которого равна 8л рад/с. Оси вращения колес находятся в центрах овалов. Расстояние между осями равно 50 см. Полуоси овалов равны 40 и 10 см.
Ответ: comin — 2л рад/с, ©тах = 32л рад/с.
14-9(14.9). Определить, через какой промежуток времени зубчатое коническое колесо О] радиуса Г[ = 10 см будет иметь угловую
К задаче И.8
К задаче 14.9
скорость, равную 144я рад/с, если оно приводится во вращение из состояния покоя таким же колесом О2 радиуса г2 = 15 см, вращающимся равноускоренно с угловым ускорением 4л рад/с2.
Ответ: t — 24 с.
14.10(14.10). Ведущий вал I фрикционной передачи вращается с угловой скоростью со = 20л рад/с и на ходу передвигается (направление указано стрелкой) так, что расстояние d меняется по закону d =(10 — 0,50 см (/ — в секундах).
А
К задаче 14.10	К задаче 14.11
Определить: I) угловое ускорение вала II как функцию расстояния d\
2) ускорение точки на ободе колеса В в момент, когда d = г, даны радиусы фрикционных колес: г = 5 см, R — 15 см.
Ответ: 1) е = -^г рад/с2, 2) w = 30л -\/40000л2 4- I см/с2.
14.11(14.11). Найти закон движения, скорость и ускорение ползуна В кривошипно-ползунного механизма О АВ, если длины шатуна и кривошипа одинаковы: АВ — ОА = г, а вращение кривошипа ОА вокруг вала О равномерно: ш=®о- Ось х направлена
112
по направляющей ползуна. Начало отсчета расстояний —в центре О кривошипа.
Ответ-. x = 2r cos a>at, vx = — 2гсоа sin a>ol, wx — — ©2x.
14.12(14-12). Определить закон движения, скорость и ускорение ползуна В кривошипно-ползунного механизма, если кривошип О А вращается с постоянной угловой скоростью «о. Длина кривошипа ОА — г, длина шатуна АВ — I.
Ось Ох' направлена по направляющей ползуна. Начало отсчета — в центре О
К задаче 14.12
К задаче 14.13
кривошипа. Отношение г/1 = "х следует считать весьма малым (А < 1); а — ©ot
(% х Л
cos <о0/ + — cos 2<о0/ J + I-~г,
vx = — r®0 (sin + -у sin 2too/)»
wx = — r©a (cos а>0/ + A cos 2ш0/).
14.13(14.13). Найти закон движения стержня, если диаметр эксцентрика d — 2г, а ось вращения О находится от оси диска С на расстоянии ОС — а, ось Ох направлена по стержню, начало отсчета — на оси вращения, а/г = А.
Ответ: х — a cos ф +• г -у/1 — A2 sin2 ф.
14.14(14.14). Написать уравнение движения поршня нецентрального кривошипно-ползунного механизма. Расстояние от оси вра
щения кривошипа до направляющей линейки Л, длина кривошипа г, длина шатуна /; ось Сх направлена по направляющей ползуна. Начало отсчета расстояний — в крайнем правом положении ползуна; i/r = A, h/r — k, ф = ©ot
Ответ: х = г [ V(A + 1 )2 — А2— —	— (sin ф + &)2 — cos ф]-
14.15(14.15). Кулак, равномерно
К аздаче 14.14
вращаясь вокруг оси О, соз-
дает равномерное возвратно-поступательное движение стержня АВ. Время одного полного оборота кулака 8 с, уравнения движения
113
стержня в течение этого времени имеют вид (х— в сантиметрах, i — в секундах)
|30-|-5/, 0</<4.
Х = I 70 — 5/, 4</<8.
Определить уравнения контура кулака и построить график движения стержня.
{30 4~ — Ф, О^ф^л,
-то 20	п
70---ч-ф, л<ф<2л.
Л
х(см)
К задаче 14.15
К ответу задачи 14.15
14.16(14.16). Найти закон движения и построить график возвратно-поступательного движения стержня ЛВ, если задано уравнение профиля кулака
/=(20+-^-ф) см, 0 < ф < 2л.
Кулак равномерно вращается с у л рад/с.
угловой скоростью, равной
К задаче 14.16
К ответу задачи 14.16
Ответ: х = 20 4- 10/ за время одного оборота кулака (3 с), после чего движение периодически повторяется.
14.17(14.17). Написать уравнение контура кулака, у которого полный ход стержня h == 20 см соответствовал бы одной трети оборота, причем перемещения стержня должны быть в это время пропорциональны углу поворота. В течение следующей трети оборота стержень должен оставаться неподвижным, и, наконец, на протяжении последней трети он должен совершать обратный ход при тех же условиях, что и на первой трети. Наименьшее расстояние конца стержня от центра кулака равно 70 см.
114
Ответ: Контур кулака, соответствующий первой трети оборота, представляет архимедову спираль:
г = (-у- <р +70) см.
Второй трети оборота соответствует окружность радиуса г = 90 см.
К задаче 14.17
Для последней трети оборота контур кулака представляет собой также архимедову спираль:
г= (ЭО — -^-<р)см.
14.18(14.18). Найти, на какую длину опускается стержень, опирающийся своим концом о круговой контур радиуса г = 30 см кулака, движущегося возвратно-поступательно со скоростью v = = 5 см/с. Время опускания стержня t = 3 с. В начальный момент стержень находится в наивысшем положении.
Ответ: h = 4,020 см.
14.19(14.19). Найти ускорение кругового поступательного движущегося кулака, если при его равноускоренном движении без начальной скорости стержень опустился за 4 с из наивысшего положения на h == 4 см. Радиус кругового контура кулака г — 10 см. (См. рисунок к задаче 14.18.)
Ojeer: w = 1 см/с2.
ГЛАВА V
ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
§ 15.	Уравнения движения плоской фигуры
15.1(15.1). Линейка эллипсографа приводится в движение кривошипом ОС, вращающимся с постоянной угловой скоростью «о вокруг оси О. Приняв ползун В за полюс, написать уравнения плоского движения линейки эллипсографа, если ОС =- ВС = АС — г. В начальный момент линейка АВ была расположена горизонтально.
Ответ: xR = 2г cos conf, ун — 0,	~
15.2(15.2). Колесо радиуса катится без скольжения по горизонтальной прямой. Скорость центра С колеса постоянная и равна v.
115
Определить уравнения движения колеса, если в начальный момент ось уг, жестко связанная с колесом, была вертикальна, а неподвижная ось у проходила в это время через центр С колеса. За полюс принять точку С.
Ответ: xc=vt, yc = R,
15.3(15.3). Шестеренка радиуса г, катящаяся по неподвижной шестеренке радиуса 7?, приводится в движение кривошипом ОА, вращающимся равноускоренно с угловым ускорением е0 вокруг оси
К задаче 15.1
К задаче 15.3
О неподвижной шестеренки. Составить уравнения движения подвижной шестеренки, приняв за полюс ее центр А, если при t = О угловая скорость кривошипа ®о = 0 и начальный угол поворота <ро = 0.
Ответ: хл = (7?+ r)cos-^, уА = (д -{-/) sin <р( =
~	ГДе ф1 — угол поворота подвижной шестеренки.
15.4(15.4). Шестеренка радиуса г, катящаяся внутри неподвижной шестеренки радиуса R, приводится в движение кривошипом
j,i	ОА, вращающимся равномерно вокруг оси
О неподвижной шестеренки с угловой ско-] /7*4	ростью (1>0. При t == 0 угол ср0 = 0. Соста-
/	. (/© д	вить уравнения движения подвижной ше-
/	\	стеренкп, приняв ее центр Л за полюс.
Т "	-----|-j Ответ: хА ~ (R — г) cos a>st,
\	J yA=-(R~ ФМ, ф, = -(/?/г- I)®,/,
i	где <Р1 — угол поворота подвижной шесте-
ренки; знак минус показывает, что шесте-к задаче i5 4	ренка вращается в сторону, противополож-
ную кривошипу.
15.5(15.5). Найти уравнения движения шатуна, если кривошип вращается равномерно; за полюс, взять точку Л на оси пальца кривошипа; г — длина кривошипа, t — длина шатуна, шо—угловая скорость кривошипа. При t = 0 угол а — 0.
Ответ: х = г cos у = г sin <о0/, <р = — arc sin 0- sin (o0Q .
116
15.6(15.7). Муфты А и В, скользящие вдоль прямолинейных направляющих, соединены стержнем АВ длины I. Муфта А движется с постоянной скоростью од. Написать уравнения движения стержня
К задаче 15.5	К задаче 15-6
АВ, предполагая, что муфта А начала двигаться от точки О. За полюс принять точку А. Угол ВОА равен л — а.
Ответ-. хА — — vAl cos а, уА — vAt sin а, ср = arcsin I	sin аJ.
15.7(15.8). Конец Л стержня АВ скользит по прямолинейной направляющей с постоянной скоростью и, причем стержень при движении опирается на штифт D. Написать уравнения движения стержня и его конца В. Длина стержня равна t, превышение
штифта D над прямолинейной направляющей равно Н. В начале движения конец стержня А совпадал с точкой О — началом неподвижной системы координат; ОМ ~ а. За полюс принять точку Л.
Ответ: xA = vt, уА = 0, <Р = arctg 7^7.
____	. a — vt_____________Hl_____ xB—l>	+	’ У a — ^H2 + (<J _ vty •
15-8(15.9). Кривошип OiA длины a/1 вращается с постоянной угловой скоростью co. С кровошипом в точке А шарнирно соединен стержень АВ, проходящий все время через качающуюся муфту О, причем OOj == о/2. Найти уравнения движения стержня АВ и траекторию (в полярных и декартовых координатах) точки М, находящейся на стержне на расстоянии а от шарнира А. За полюс принять точку А.
Ответ 1) хл = у(1 +coso)/), yA=-|sinffii, ц>~~,
117
2) Кардиоида: p = o(cos<p—1), х2 4- У2 = а(х — -у/х2 4- г/2)*
15.9(15.11). Кривошип ОА антипараллелограмма ОАВОХ, поставленного на большое звено ООц равномерно вращается с угловой скоростью <а. Приняв за полюс точку Л, составить уравнения движения звена АВ, если ОА =	— а и ООХ = АВ = Ь (а < Ь);
в начальный момент кривошип ОА был направлен по ОО[.
Ответ: хА—а cos at, уА=а sin at, ср = 2 arctg . а-sin . л	т	& b — a cos со/
15.10(15.12). Кривошип О А антипараллелограмма ОАВОц поставленного на малое звено ООц равномерно вращается с угловой
К задаче |5 )Э
скоростью со. Приняв за полюс точку А, составить уравнения движения звена АВ, если ОА — ОХВ ~ а и ООХ ~ АВ = Ь (а>Ь): в начальный момент кривошип ОА был направлен по OOf.
Ответ: хА — «coswi, yA—asin at, q> = 2 arcctg -CQS ~ b!a .
§ 16.	Скорости точек твердого тела в плоском движении. Мгновенный центр скоростей
16.1(16.1). Направив ось перпендикулярно скорости любой из точек плоской фигуры, показать, что проекции на эту ось скоростей всех лежащих на ней точек равны нулю.
16.2. Колесо катится по наклонной плоскости, образующей угол 30° с горизонтом. Центр О колеса движется по закону хо — 10/2 см, где х — ось, направленная параллельно наклонной плоскости. К центру О колеса подвешен стержень О А =36 см, качающийся вокруг горизонтальной оси О, перпендикулярной плоскости рисунка, по закону ср — у- sin -у1 рад.
к задаче 16.2 Найти скорость конца А стержня АО в момент времени t = 1 с.
Ответ: скорость равна 2,8 см/с и направлена параллельно наклонной плоскости вниз.
16.3(16.4). При движении диска радиуса г == 20 см в вертикальной плоскости ху его центр С движется согласно уравнениям
118
Хс== Ю/ м, £с = (100 — 4,9/2) м. При этом диск вращается вокруг горизонтальной оси С, перпендикулярной плоскости диска, с постоянной угловой скоростью со = л/2 рад/с. Определить в момент времени t — 0 скорость точки Л, лежащей на ободе диска. Положение точки А на диске определяется углом ср — cot, отсчитываемым от вертикали против хода часовой стрелки.
Ответ: Скорость направлена по горизонтали вправо и равна по модулю 10,31 м/с.
16.4(16.5). Сохранив условие предыдущей задачи, определить скорость точки А в момент времени f = 1 с.
Ответ:	= 10 м/с, == —9,49 м/с,
К задаче 16.3
задачи, найти ско-
иА = 13,8 м/с.
16-5(16.6). Два одинаковых диска радиуса г каждый соединены цилиндрическим шарниром А. Диск I вращается вокруг неподвижной горизонтальной оси О по закону <р — = ф(/). Диск II вращается вокруг горизонтальной оси А согласно уравнению ф — = ф(/). Оси О я А перпендикулярны плоскости рисунка. Углы ф и ф отсчитываются от вертикали против хода часовой стрелки.
Найти скорость центра С диска II.
Ответ: vCx = г (ф cos ф + ф cos ф), vCy = г (ф sin ф + ф sin ф)> vc = г д/ф2 + Ф2 + 2ффсоз (ф—ф)-
К задаче 16.7
16.6(16.7). Сохранив условие предыдущей рость точки В диска //, если Z_A СВ — я/2.
Ответ:
vbx == г [ф cos ф + д/2ф cos (45° + ф)],
vBy ~г [Ф s,n ф + У2ф sin (45° + Ф)}>
= г д/ф2 + 2ф2 4- 2 д 2фф cos [45° — (ф — ф)}.
16.7(16.8). Стержень АВ длины 1 м движется, опираясь все время своими концами
на две взаимно перпендикулярные прямые Ох и Оу. Найти координаты х и у мгновенного центра скоростей в тот момент, когда угол О АВ = 60°.
Ответ: х = 0,866 м, у = 0,5 м.
16-8(16-10). Доска складного стола, имеющая форму прямоугольника со сторонами а и Ь, поворотом вокруг оси шипа О переводится из положения ABCD в положение A^e^Di и, будучи
119
разложена, образует прямоугольник со сторонами b и 2д. Найти положение оси шипа О относительно сторон АВ и AD.
Ответ-. xo = -j,
16.9(16.11). Прямая АВ движется в плоскости рисунка. В некоторый момент времени скорость va точки А составляет с прямой АВ угол 30° и равна 180 см/с, направление скорости точки В в этот
К задаче 16.8	К задаче 16.9	К задаче 16.10
момент совпадает с направлением прямой АВ. Определить скорость ив точки В.
Ответ: vb *= 156 см/с.
16.10(16.12). Прямая АВ движется в плоскости рисунка, причем конец ее А все время находится на полуокружности CAD, а сама прямая все время проходит через неподвижную точку С диаметра CD. Определить скорость ис точки прямой, совпадающей с точкой С, в тот момент, когда радиус ОА перпендикулярен CD, если известно, что скорость точки Л в	s
этот момент 4 м/с.	/'''"’’"-'s.
Ответ: vc = 2,83 м/с.	(
16.11. Стержень АВ длины 0,5 м	I %—ag\
движется в плоскости рисунка. Ско-	I	/
рость va (va—2 м/с) образует угол	/ /
45° с осью х, совмещенной со стержнем.
К задаче 16.1!
К задаче 16.12
Скорость ив точки В образует угол 60° с осью х. Найти модуль скорости точки В и угловую скорость стержня.
Ответ: ив = 2,82 м/с, со = 2,06 рад/с.
16.12. Точильный станок приводится в движение педалью ОА = 24 см, которая колеблется около оси О по закону Ф = -^ sin у t рад (угол ср отсчитывается от горизонтали). Точильный камень К вращается вокруг оси с помощью стержня АВ, Оси О и О, перпендикулярны плоскости рисунка. Найти скорость
130
точки D, лежащей на ободе точильного камня К радиуса R «=2ВОЬ при t — 0, если в этот момент ОА и О\В расположены горизонтально.
Ответ-, vd — 39,44 см/с.
16.13. На рисунке изображен суммирующий механизм. В него входят стержни 1 и 2, движущиеся вдоль вертикальных направ-
ляющих. Эти стержни соединены с коромыслом АВ цилиндрическими шарнирами, скользящими в пазах коромысла. Стержни движутся со скоростями v\ и V2. Показать, что скорость стержня 3, соединенного с центром О коромысла АВ и скользящего в вертикальных направляющих, равна по модулю
Ь ,	а
v »= —г~г У] Ч-----гт v2>
а Ц- b 1 a -f- b 1
где а и b — размены, указанные на рисунке. Найти также угловую скорость коромысла АВ.
Ответ: <в = cos2 а при Oj > v2.
16.14(16.14). Стержень ОВ вращается вокруг оси О с постоянной угловой скоростью 0 = 2 с-1 и приводит в движение стержень AD, точки А и С которого движутся по осям: А — по горизонталь
К задаче 16.14
К задаче 16.15
ной Ох, С — по вертикальной Оу. Определить скорость точки D стержня при ф = 45° и найти уравнение траектории этой точки, если АВ =- ОВ — ВС — CD = 12 см.
Ответ'. vD = 53,66 см/с, + ( зб*) ~ *'
16.15(16.15). В кривошипном механизме длина кривошипа ОА =40 см, длина шатуна АВ = 2 м; кривошип вращается равномерно с угловой скоростью, равной 6л рад/с. Найти угловую скорость w шатуна и скорость средней его точки М при четырех положениях кривошипа, для которых угол АОВ соответственно равен О, п/2, л, Зл/2.
121
Ответ: I. w= — л рад/с, и..и = 377 см/с. И. ® = 0, оЛ1 = = 754 см/с. Ш. ш = ул рад/с, ом = 377 см/с, IV- ® = 0, o,VI = = 754 см/с. Знак минус в выражении ш указывает, что шатун вращается в сторону, противоположную кривошипу.
16.16(16.16). Найти скорость ползуна В нецентрального кривошипного механизма при двух горизонтальных и двух вертикальных
К задаче 16.17
положениях кривошипа, вращающегося вокруг вала О с угловой скоростью и = 1,5 рад/с, если ОА = 40 см, АВ = 200 см, ОС — 20 см.
Ответ: vt — vz — 6,03 см/с, v2 = щ - - 60 см/с.
16.17(16.17). Определить скорость точки К четырехзвенного механизма ОАВО, в положении, указанном на рисунке, если звено ОА длины 20 см имеет в данный момент угловую скорость 2 рад/с. Точка К расположена в середине стержня BOt.
Ответ: 20 см/с.
К задаче [6.18	К задаче 16.19
16-18(16.18). Определить скорость поршня £ приводного ме-канизма насоса в положении, указанном на рисунке, если ОА = = 20 см, О1В — O\D. Кривошип О А вращается равномерно с угловой скоростью 2 рад/с.
Ответ: 46,2 см/с
16.19(16.19). Стержни О\А и О2В, соединенные со стержнем АВ посредством шарниров А и В, могут вращаться вокруг неподвижных точек О) и Ог, оставаясь в одной плоскости и образуя шарнирный четырехзвенник. Дано: длина стержня OjA = а и его
.122
угловая скорость ю. Определить построением ту точку М стержня АВ, скорость которой направлена вдоль этого стержня, а также найти величину скорости v точки М в тот момент, когда угол OtAB имеет данную величину а.
Ответ: vm — а&> sin а.
16.20(16.20). Угловая скорость стержня О(А шарнирного четы-рехзвенника равна ш,.
Выразить угловую скорость ®2 стержня О^В через (о( и кратчайшие расстояния O\D и О2Е от осей вращения стержней ОЛ и О2В до шатуна АВ.
OiD
Ответ: ®2 = g>j .
*16.21^,16.21). В шарнирном четырехзвеннике ABCD ведущий кривошип АВ вращается с постоянной угловой скоростью ©о —
К задаче 16,20
К задаче 16.21
== 6л рад/с. Определить мгновенные угловые скорости кривошипа CD и стержня ВС в тот момент, когда кривошип АВ и стержень
ВС образуют одну прямую, если ВС — ЗАВ. Ответ: аве = 2л рад/с, в>св = 0.
16.22(16.22). К середине D
лограмма OABOi присоединен
паралле-стержепь
стержня АВ шарнирного с помощью шарнира D
DE, приводящий в возвратно-поступательное движение ползун К. Определить скорость ползуна К и угловую скорость стержня DE в положении, указанном на
К задаче 16.23
рисунке, если ОА = 0}В — 2DE = 20 см, а угловая скорость звена ОА равна в данный момент 1 рад/с.
Ответ: vk = 40 см/с, соде — 3,46 рад/с.
16.23(16.23). Ползуны В и Е сдвоенного кривошипно-ползунного механизма соединены стержнем BE. Ведущий кривошип ОА и ведомый кривошип OD качаются вокруг общей неподвижной оси О, перпендикулярной плоскости рисунка.
123
Определить мгновенные угловые скорости ведомого кривошипа OD и шатуна DE в тот момент, когда ведущий кривошип ОА, имеющий мгновенную угловую скорость <оо = 12 рад/с, перпендикулярен направляющей ползунов. Даны размеры: ОА = 10 см, z OD — 12 см, АВ =s 26 см, ЕВ = 12 см, DE = 12 -i/З см.
Ответ: a0D — 10 л/З рад/с,
______aoE = -y-V3 рад/с.
||	16.24(16.24). Поршень D гндравличе-
giJjU ского пресса приводится в движение ио-средством шарнирно-рычажного механизма к задаче 1624	' OABD. В положении, указанном на рисун-
ке, рычаг OL имеет угловую скорость и = = 2 рад/с. Определить скорость поршня D и угловую скорость звена АВ, если О А — 15 см.
Ответ: vd = 34,6 см/с, ц>Ав = 2 рад/с.
16.25(16.25). Подвижное лезвие L ножниц для резки металла приводится в движение шарнирно-рычажным механизмом AOBD. Определить скорость шарнира D и угловую скорость звена BD, если в положении, указанном на рисунке, угловая скорость рычага АВ равна 2 рад/с, ОВ~5 см.
/W	0,0= 10 см.
да/	Ответ: = 8,65 см/с, шес =
' ЖГ /Г' ’	j =0,87 рад/с.
1 >	16.26(16.27). В машине с качаю-
щимся цилиндром длина кривошипа
к задаче 16.26	ОД = 12 см, расстояние между осью
вала и осью цапф цилиндра 00, = 60 см, длина шатуна АВ = 60 см. Определить скорость поршня при четырех положениях кривошипа, указанных на рисунке, если угловая скорость кривошипа со = 5 рад/с = const.
Ответ: щ — 15 см/с, Ош = 10 см/с, = iiIV = 58,88 см/с.
124
16.27(16.28). В машине с качающимся цилиндром длина кривошипа ОА — 15 см, угловая скорость кривошипа о>о — 15 рад/с= = const. Найти скорость поршня и угловую скорость цилиндра б момент, когда кривошип перпендикулярен шатуну. (См. рисунок к задаче 16.26.)
Ответ: v = 225 см/с, е = 0.
♦ 16.28(16.29). Кривошипный механизм связан шарнирно в середине С шатуна со стержнем CD, а последний — со стержнем DE, который может вращаться вокруг ш	,
оси Е.	Л С
Определить угловую скорость лдь. ~г~'	/7
стержня DE в указанном на рисунке	//
положении кривошипного механиз-ма, если точки В и Е расположены	i
па одной вертикали; угловая ско-рость со кривошипа ОА равна 8 рад/с, О А — 25 см, DE = 100 см, /-CDE = = 90° И /BED = 30°.	X задаче 16.28
Ответ: мое = 0,5 рад/с.
16.29(16.30). Катушка радиуса R катится по горизонтальной плоскости НН без скольжения. На средней цилиндрической части
направлению.
К задаче 16.31
катушки радиуса г намотана нить, конец которой В обладает при этом движении скоростью и по горизонтальному Определить скорость v перемещения оси катушки.
£
Ответ: v — и ----.
— г
16.30(16.31). Цепная передача в велосипеде состоит из цепи, охватывающей зубчатое колесо А с 26 зубцами и шестерню В с 9 зубцами. Шестерня В неизменно соединена с задним колесом С, диаметр которого равен 70 см. Определить скорость велосипеда, когда колесо А делает в секунду один
оборот, а колесо С катится при этом без скольжения по прямолинейному пути.
Ответ: 22,87 км/ч.
16.31(16.32). Колесо радиуса R = 0,5 м катится без скольжения по прямолинейному участку пути; скорость центра его постоянна и равна Уо — 10 м/с. Найти скорости концов Мь Мг, М3 и М4
125
вертикального и горизонтального диаметров колеса. Определить его угловую скорость.
Ответ: uj=O, 02=14,14 м/с, и3 = 20 м/с, 04=14,14 м/с, и = 20 рад/с.
• 16.32. На рисунке изображен суммирующий механизм. Две параллельные рейки 1 и 2 движутся в одну сторону с постоянными
К задаче 16.32	К задаче 16.33
скоростями ci и 02. Между рейками зажат диск радиуса г, катящийся по рейкам без скольжения. Показать, что скорость средней рейки 3, присоединенной к оси С диска, равна полусумме скоростей реек 1 и 2. Найти также угловую скорость диска.
Ответ: <в = —' о -
16.33. Подвижный блок / и неподвижный блок 2 соединены не-
растяжимой нитью. Груз К,
А
К задаче 16.34
прикрепленный к концу этой нити, опускается по вертикали вниз ио закону х — 2t2 м. Определить скорости точек С, D, В и Е, лежащих на ободе подвижного блока, в момент t = 1 с в положении, указанном на рисунке, если радиус подвижного блока 1 равен 0,2 м, а CD ± BE. Найти также угловую скорость блока 1.
Ответ: vc = 0, v<?=2 м/с, ив = = ц£ = 2^2 м/с, <в = 10 рад/с.
16.34.	Груз К, связанный посредством нерастяжимой нити с катушкой £, опускается вертикально вниз по закону х=12 м. При этом ка
тушка L катится без скольжения ио неподвижному горизонтальному рельсу. Определить скорости точек С, А, В, О и £ катушки в момент t = 1 с в положении, ука-
занном на рисунке, а также угловую скорость катушки, если ADA.OE, а 0£> = 20С = 0,2 м.
Ответ: vc = 0,	— 6 м/с,ив = 4 м/с, vo = 2 м/с, v£ =
= 4,46 м/с, <о = 20 рад/с.
126
I6.35	pl6.34). Кривошип О А, вращаясь с угловой скоростью Wo ='2^>рад/с вокруг оси О неподвижного колеса радиуса г2 = — 15 см, приводит в движение насаженную на его конец А шестеренку радиуса гх — 5 см. Определить величину и направление скоростей точек А, В, С, D и Е подвижной шестеренки, если СЕ Л-ВО.
Ответ: va = 50 см/с, vs = 6,v& ~ 100 см/с, Vc = ve — 70,7 см/с.
К задаче 16.35
К Задаче 16.36
16.36	(16.35). На ось О насажены зубчатое колесо К диаметра 20 см и кривошип ОА длиной 20 см, не связанные между собой. С шатуном АВ наглухо скреплено зубчатое колесо L диаметра 20 см, длина шатуна АВ = 1 м. Колесо К вращается равномерно с угловой скоростью равной 2л рад/с, и, захватывая зубья колеса L, приводит в движение шатун АВ и кривошип ОА. Определить угловую скорость <oi кривошипа ОА в четырех его положениях? двух горизонтальных и двух вертикальных.
Ответ: I.	рад/с, III.	л рад/с, 11. со, «= л рад/с.
IV- <!)( = л рад/с.
16.37	. Кривошип ОА = 20 см вращается вокруг неподвижной оси О, перпендикулярной плоскости рисунка, с угловой скоростью . 2 рад/с. На его конец А насажена шестеренка 2 радиуса 10 см, находящаяся во внутреннем зацеплении с неподвижным колесом /, соосным с кривошипом ОА. Определить скорости точек В, С, D и Е, лежащих на ободе шестеренки 2, если BD J_ ОС.
Ответ: ос = О, vB = vD = 40 д/2 см/с, vE = 80 см/с.
16.38	(16.36). Механизм Уатта состоит из коромысла О\А, которое, качаясь на осиОь передает при помощи шатуна АВ движение кривошипу ОВ, свободно насаженному на ось О. На той же оси О сидит колесо /; шатун колесом II, наглухо связанным с шатуном.
АВ оканчивается . Определить угловые скорости кривошипа ОВ и колеса I в момент, когда а = 60°, р = = 90°, если Г] = г2 = 30 -^3 см, ОИ = 75 см, АВ = 150 см и угловая скорость коромысла <оо — 6 рад/с.
Ответ: (лов = 3,75 рад/с, = 6 рад/с.
127
fl 6.390 6.37). Планетарный механизм состоит из кривошипа OiX-црл'водящего в движение шатун АВ, коромысла ОВ и колеса / радиуса и = 25 см; шатун АВ оканчивается шестеренкой ff радиуса rj = 10 см, наглухо с ним связанной. Определить угловую
К задаче 16.38
К задаче 16.39
скорость кривошипа Ор4_и колеса I в момент, когда а = 45°, Р = 90°, если Он4 = 30 V2 см, АВ — 150 см, угловая скорость коромысла ОВ © = 8 рад /с.
Ответ: <ло:а — 4 рад/с, ©; = 5,12 рад/с.
16.40(16.38). В машине с качающимся цилиндром длина кривошипа ОА = г и расстояние ОО( = а. Кривошип вращается с постоянной угловой скоростью «о. Определить угловую скорость ©t шатуна АВ в зависимости от угла поворота кривошипа <р. Определить наибольшее и наименьшее значения ©ь а также значение угла Ф, при котором <О{ =0, (См. рисунок к задаче 16.26.)
_	(оог (a cos ч> — г)	шог	г,
Ответ' “ а» + ,*_2агсозф:	— = 7^7 ПРИ Ф == °:
ЫлГ	п	Г
®1 пип == — уфу При ф = л, ©1=0 при ф = arccosy.
16.41(16.39). Найти приближенное выражение для проекции на координатные оси скорости любой точки М шатуна АВ кривошип-
K задаче 16.41
ного механизма при равномерном вращении вала с угловой скоростью (о, предполагая, что длина кривошипа г мала по сравнению с длиной шатуна I. Положение точки М определяется ее расстоянием МВ = г.
Примечание. В формулу, получаемую при решении задачи, входит
I — (у sin tp^ , где <р = ш! обозначает угол ВО А Это выражение разлагаем в ряд и удерживаем только два первых члена.
Ответ: vx — — © р sin ф -j-	~Jp г sin 2<pJ, vy = -у- © cos ф.
128
§ 17.	Неподвижная и подвижная центроиды
17.1(17.1). Найти центроиды при движении стержня АВ, указанном в задаче 16.7.
Ответ: Подвижная центроида — окружность радиуса 0,5 м с центром в середине АВ; неподвижная центроида — окружность радиуса 1 м, с центром в точке О.
17.2(17.2). Определить подвижные и неподвижные центроиды блоков А и В полиспаста, радиусы которых соответственно равны
Га и гв, предполагая, что обойма С движется посту-
пательно.
Ответ: Подвижные центроиды: блока А—окружность радиуса га, блока В — окружность радиуса -у гв, неподвижные центроиды: вертикальные касательные к подвижным центроидам с правой стороны их.
К задаче 17.2
К задаче 17.4
17-3(17.3). Найти геометрически неподвижную и подвижную центроиды шатуна АВ, длина которого равна длине кривошипа;
АВ = ОА = г.
Ответ: Неподвижная центроида — окружность радиуса 2г с центром в точке О, а подвижная — окружность радиуса г с центром в точке А пальца кривошипа.
17.4(17.5). Стержень АВ движется таким образом, что одна из его точек А описывает окружность радиуса г с центром в точке О, а самый стержень проходит постоянно через данную точку N, лежащую на той же окружности. Найти его центроиды.
Ответ: Неподвижная центроида — окружность радиуса г с центром в точке О; подвижная центроида — окружность радиуса 2г с центром в точке А.
17.5(17.6). Найти неподвижную и подвижную центроиды звена CD аитнпараллелограмма, по-
ставленного на большее звено АВ, если AB — CD^=b, AD □= ВС а и а < Ь.
Ответ: Неподвижная центроида — гипербола с фокусами в точках А и В, а подвижная центроида — такая же гицербола с фоку-
с
К задаче 17Л
5 И. В, Мещерский
129
сами в точках С и D. Действительные полуоси гипербол равны й/2.
17.6(17.7). Найти неподвижную и подвижную центроиды звена ВС аптипараллелограмма, поставленного на меньшее звено AD, если АВ = CD = b, AD — СВ = а и а < Ь.
Ответ: Неподвижная центроида — эллипс с фокусами в точках А и D и с полуосями й/2 и — а2. Подвижная центроида — такой же эллипс, но с фокусами в точках В и С.
17.7(17.8). Два стержня АВ и DE, наглухо соединенные под прямым углом в точке Г, движутся таким образом, что стержень АЗ всегда проходит через неподвижную точку К, а другой стержень DE — через неподвижную точку N; расстояние KN = 2а.
К задаче 17.6
К задаче 17.7
К задаче 17.8
Найти уравнения центроид в этом движении; оси координат указаны на рисунке.
Ответ: х%.	угс — а?,	+ г|| = 4а2.
17.8(17.9). Две параллельные рейки АВ и DE движутся в противоположные стороны с постоянными скоростями У; и V2. Между рейками находится диск радиуса а, который вследствие движений реек и трения катится по ним без скольжения.
Найти 1) уравнения центроид диска, а также определить 2) скорость vor центра О' диска и 3) угловую скорость <в диска; оси координат указаны на рисунке.
Ответ: 1) Ус^а^^,	+
2) скорость центра диска направлена в сторону большей из данных скоростей; величина ц0' равна полуразности величин данных скоростей;
17.9(17.10). Найти уравнения неподвижной и подвижной центроид стержня АВ, который, опираясь на окружность радиуса а, концом А скользит вдоль прямой Ох, проходящей через центр этой окружности; оси координат указаны на рисунке.
130
Ответ-. х2с (х2 — а1} — a2y2c = 0, vfe — аЦ.
17.10(17.12). Найти приближенные уравнения неподвижной и подвижной центроид шатуна АВ кривошипного механизма, предполагая, что длина шатуна АВ = I настолько велика по сравнению
К задаче 17.9
К задаче 17.10
с длиной кривошипа ОА = г, что для угла АВО — а можно принять sin а — а и cos а = 1; оси координат указаны на рисунке.
Ответ: (хс - Г)2 (х^ + у2) = г2х2, ВЦ (В + г)2) =•= г2т£.
17.11. Стержень АВ скользит точкой А по горизонтальной прямой и промежуточной точкой С касается круга радиуса г. Определить уравнение неподвижной и подвижной центронд стержня.
Ответ: Неподвижная центроида имеет уравнение у2г2 — х4 — х2г2 в системе координат хОу с началом в центре круга.
Подвижная центроида — парабола x2 = ryt в системе координат XiAj/i.
§ 18- Ускорения точек твердого тела в плоском движении. Мгновенный центр ускорений
18.1. Колесо катится по наклонной плоскости, образующей угол 80° с горизонтом (см. рисунок к задаче 16.2). Центр О колеса движется по закону Xq = 10/2 см, где х—ось, направленная параллельно наклонной плоскости. К центру О колеса подвешен стержень ОА — ,36 см, качающийся вокруг горизонтальной оси О, перпендикулярной плоскости рисунка, по закону ~ sin ~ t рад. Найти ускорение конца А стержня ОА в момент времени /=1 с.
Ответ: wak ~ 25,2 см/с2, wAy — —8,25 см/с2, wA — 26,4 см/с2.
18.2(18.3). При движении диска радиуса г = 20 см в вертикальной плоскости ху его центр С движется согласно уравнениям хс == 10/ м, ус —(100 — 4,9f2) м. При этом диск вращается вокруг горизонтальной оси С, перпендикулярной плоскости диска, с по-
Б*
131
стоянкой угловой скоростью со = л/2 рад/с (см. рисунок к задаче 16.3). Определить в момент времени t =0 ускорение точки А, лежащей на ободе диска. Положение точки А на диске определяется углом ф = «о/, отсчитываемым от вертикали против 'хода часовой стрелки.
Ответ: Ускорение направлено по вертикали вниз и равно по модулю 9,31 м/с2.
18.3(18.4). Сохранив условие предыдущей задачи, определить ускорение точки А в момент времени t = 1 с.
Ответ: а»Лд. = —0,49 м/с2,	— 9,8 м/с2, wA =9,81 м/с2.
18.4(18.5).-Два одинаковых диска радиуса г каждый соединены цилиндрическим шарниром А. Диск I вращается вокруг неподвижной горизонтальной оси О по закону ф = ф(/). Диск II вращается вокруг горизонтальной оси А согласно уравнению ф = ф(/). Оси О и А перпендикулярны плоскости рисунка. Углы ф и ф отсчитываются от вертикали против хода часовой стрелки (см. рисунок к задаче ] 6.5).
Найти ускорение центра С диска //.
Ответ: wc ^Сх -ф- где wCx = г (ф cos ф — ф2 sin ф 4-
-j- ф cos ф — ф2 sin ф), wcy — г (ф sin ф -р ф2 cos ф -ф ф sin ф -ф- ф2 cos ф).
18.5(18.6). Сохранив условие предыдущей задачи, найти ускорение точки В диска- II, если Z.ACB —л/2.
Ответ: Wb — ^/w^A-где Wbx ~ г [ф cos ф — ф2 sin ф -ф--ф фcos(45° + ф) — 72Ф2 sin (45° -ф- ф)],	— г[ф sin ф -ф-
-ф ф2 cos ф -ф ч/2ф sin (45° ф) 4‘ -у^Ф2 cos (45° 4- ф)]-
18.6(18.7). Линейка эллипсографа скользит концом В по оси Ох, концом А — по оси Оу, АВ = 20 см. (См. рисунок к задаче 1-5.1.)
Определить скорость и ускорение точки А в момент, когда угол ф наклона линейки к оси Ох равен 30°, а проекции скорости и ускорения точки В на ось х равны vBx = — 20 см/с, wBx — — 10 см/с2.
Ответ: vAy = 34,64 см/с, = — 142,68 см/с2.
18.7(18.8). Муфты А и В, скользящие вдоль прямолинейных образующих, соединены стержнем АВ длины I. Муфта А движется с постоянной скоростью va (см. рисунок к задаче 15.6). Определить ускорение муфты В и угловое ускорение стержня А В в положении, при котором стержень АВ образует с прямой ОВ заданный угол ф.
2-2	Л • 9
sin a	v I sin а
Ответ:	= —	= ~рг sin Ф.
18.8(18.9). Найти ускорение ползуна В и мгновенный центр ускорений К шатуна АВ кривошипно-ползунного механизма, изображенного на рисунке к задаче 16.41, при дву$ горизонтальных и.одном вертикальном положениях кривошипа ОА, вращающегося
А
•с постоянной угловой скоростью ©0=15 рад/с вокруг вала О. Длина кривошипа ОА =40 см, длина шатуна АВ = 200 см.
Ответ: Мгновенный центр ускорений К при ф=0° и ф=180° лежит на оси направляющей ползуна.
I)	ф = 0, ws ~ 108 м/с2, ВЦ — 12 м.
2)	ф = 90°, wB = 18,37 м/с2, В К = 40 см, А К = 196 см.
3)	ф = 180°, wB *= 72 м/с4, ВК = 8 м.
18.9(18.10). Длина шатуна АВ кривошипно-ползунного механизма в два раза больше длины кривошипа ОА. Определить положение точки шатуна АВ, ускорение которой направлено вдоль шатуна, в момент, когда кривошип перпендикулярен направляющей ползуна, кривошип ОА вращается равномерно.
Ответ: На расстоянии, четверти длины шатуна, измеренной от . ползуна В.
18.10(18.11). Поршень D гидравлического пресса приводится в движение посредством шарнирно-рычажного механизма OABD. В положении, указанном на рисунке 16.24, рычаг OL имеет угловую скорость © = 2 рад/с и угловое ускорение е=4 рад/с2, О А = 15 см. Определить ускорение поршня D и угловое ускорение звена АВ.
Ответ: wd = 29,4 см/с2, ела = 5,2 рад/с2.
18.11(18.12). Кривошип ОА длины 20 см вращается равномерно с угловой скоростью ©а= 10 рад/с и приводит в движение шатун АВ длины 100 см; ползун В движется по вертикали. Найти угловую скорость и угловое ускорение шатуна, а также ускорение ползуна В в момент, когда кривошип и шатун взаимно перпендикулярны и образуют с горизонтальной осью углы а = 45° и ₽ = 45°.
Ответ: © = 2 рад/с, е = 16 рад/с2, — — 565,6 см/с2.
18.12(18.13). Определить угловую скорость и угловое ускорение шатуна нецентрального кривошипного механизма, а так:
ние ползуна В при I) горизонтальном правом и 2) вертикальном верхнем положении кривошипа ОА, если последний вращается вокруг конца О с постоянной угловой скоростью ©0, причем даны: OA = r, АВ = I, расстояние оси О кривошипа от линии движения ползуна ОС = h (см. рисунок к задаче 16.16).
К задаче 18.И
скорость и ускоре-
на
Ответ: 1) © = —.. . ,, V/2 - Л2
s Г1 । В2 4
~г<йо[1 + (Р_Л2/Л J-
(1г - h2y'2 ’
hri^ VB —	/75--
-VJ’ — ft2
133
2)
(£> — О,
«ftp
V/2_(r+ A)2’>
vB = r®o, wB *=
r(r + />)og V/’-(r+A)» '
18.13(18.14). Стержень ОА шарнирного четырехзвенника OABOt вращается с постоянной угловой скоростью «>о- Определить угловую скорость, угловое ускорение стержня АВ, а также ускорение шарнира В в положении, указанном на рисунке, если АВ 2ОА = 2а.
_	„	л/3 2	д/З 2
Ответ: ©=0,	= асоа.
18.14(18.15). Подвижное лезвие L ножниц для резки металла приводится в движение шарнирно-рычажным механизмом AOBD. В положении, указанном на рисунке к задаче 16.25, угловая скорость рычага АВ равна 2 рад/с, его угловое ускорение равно OiD — 10 см. Найти ускорение шарнира D
и угловое ускорение звена BD.
Ответ: wD = 32,4 см/с* 2, ево — 2,56 рад/с2.
18.15(18.17). Ползун В кривошипно-ползунного механизма ОАВ движется по дуговой направляющей. Определить касательное и
К задаче 18.13
4 рад/с2, О В = 5 си,
нормальное ускорения ползуна В в положении, указанном на рисунке, если О А = 10 см, АВ =* — 20 см. Кривошип О А вращается, имея в данный момент угловую скорость ® — 1 рад/с, угловое ускорение е = 0.
Ответ: Wet = 15 см/с2, wBn = 0.
18.16(18.18). Опреде-
в
к задаче 18.15	лить угловое ускорение
шатуна АВ механизма, рассмотренного в предыдущей задаче, если в положении, указанном на рисунке, угловое ускорение кривошипа ОА равно
2 рад/с2.
Ответ: 1 рад/с2.
18.17. Точильный станок приводится в движение педалью
ОА =24 см, которая колеблется около оси О по закону
Ф=-£- sin ~ t рад (угол ср отсчитывается от горизонтали). Точильный камень К вращается вокруг оси О( с помощью стержня АВ. Оси О в 01 перпендикулярны плоскости рисунка (см. рисунок к задаче 16.12). Найти в момент времени I = 0 ускорение точки В точильного камня К, если OtB = l2 см. В этот момент ОА и О\В расположены горизонтально, причем Z0AB = GOT
Ответ: We = 42,9 см/с2.
134
18.18(18.19). Антипараллелограмм состоит из двух кривошипов ИЙ и CD одинаковой длины 40 см и шарнирно соединенного сними стержня ВС длины 20 см. Расстояние между неподвижными осями А и D равно 20 см. Кривошип АВ вращается с постоянной угловой скоростью ©0. Определить угловую скорость и угловое ускорение стержня ВС в момент, £ когда угол ADC равен 90°.	\
8	\в
Ответ: <йдс=—<о.ь вращение замедленное;
е	20 ,.	у
пс 9 °*	/о
18.19(18.20). В машине с качающимся цилинд- ^7*^ ром, лежащим на цапфах Oi, длина кривошипа ^7/////О7/-ОА = 12 см, длина шатуна АВ —60 см; расстояние к задаче is.is между осью вала и осью цапф цилиндра
ОО1 = 60 см. Определить ускорение поршня В и радиус кривизны его траектории при двух положениях цилиндра: 1) когда кривошип
к шатун взаимно перпендикулярны положение III; угловая скорость кривошипа о>о — const = 5 рад/с. (См. рисунок к задаче 16.26.)
Ответ: 1) w = 6,12 см/с2, р — = 589 см;
2) w = 258,3 см/с2, р = = 0,39 см.
18.20. Жесткий прямой угол АМЕ движется так, что точка А остается все время на неподвижной прямой Оу, тогда как другая сторона ME проходит через вращающийся шарнир В. Расстояние AM — ОВ — а. Скорость va точки А постоянна. Определить ускорение точки М как функцию
и 2) когда кривошип занимает
К задаче 18.20
угла ф.
Од V2	«
Ответ: wM ==	— (1 + sin ф)/!. Вектор
ускорения направлен
внутрь угла и составляет со стороной МА угол а — 45° — ф/2.
18.21(18.21). Центр колеса, катящегося без скольжения по прямолинейному рельсу, движется равномерно со скоростью v. Определить ускорение любой точки, лежащей на ободе колеса, если егв
радиус равен г.
Ответ: Ускорение направлено к центру колеса и равно о2/г.
18.22(18.22). Вагон трамвая движется по прямолинейному горизонтальному участку пути с замедлением = 2 м/с2, имея в данный момент скорость Ос = 1 м/с. Колеса катятся ио рельсам без скольжения. Найти ускорения концов двух диаметров ротора, образующих с вертикалью углы по 45°, если радиус колеса R = 0,5 м, а ротора г = 0,25 м.
135
Ответ: w\ — 2,449 м/с2, даг — 3,414 м/с2, и>3 = 2,449 м/с2, = 0,586 м/с2.
18.23(18.23). Колесо катится без скольжения в вертикальной плоскости по наклонному прямолинейному пути. Найти ускорение концов двух взаимно перпендикулярных диаметров колеса, из которых один параллелен рельсу, если в рассматриваемый момент
времени скорость центра колеса у0= 1 м/с, ускорение центра колеса = 3 м/с2, радиус колеса Н = 0,5 м.
Ответ:	= 2 м/с2, ж»2 = 3,16 м/с2, о?3=;6,32 м/с2 ац =
= 5,83 м/с2.
18.24(18.24). Колесо радиуса R = 0,5 м катится без скольже
ния по прямолинейному рельсу, в данный момент центр О колеса
имеет скорость v0 = 0,5 м/с и замедление ш0 — 0,5 м/с2. Найти: 1) мгновенный центр ускорения колеса, 2) ускорение w? точки ко-
леса, совпадающей с
ном на рисунке, если
мгновенным центром С скоростей, а также 3) ускорение точки М и 4) радиус кривизны ее траектории, если ОМ = МС =0,5/?.
Ответ: 1) г — 0,3536 м, 9 = —л/4; 2) wc = 0,5 м/с2; 3) шл> = 0,3536 м/с2; 4) р = 0,25 м.
18.25. Подвижный блок 1 и неподвижный блок 2 соединены нерастяжнмой нитью. Груз К, прикрепленный к концу этой нити, опускается вертикально вниз по закону х — 212 м. Определить ускорение точек С, В и D, лежащих на ободе подвижного блока 1, в момент t — 0,5 с в положении, указан-ОВ _L CD, а радиус подвижного блока 1 ра
вен 0,2 м.
Ответ: wc~5 м/с2, we = 7,29 м/с2, wD~ 6,4 м/с2.
18,26. Груз К, связанный посредством нерастяжимой нити с катушкой L, опускается вертикально вниз по закону х~ Р м. При
этом катушка L катится без скольжения по неподвижному горизонтальному рельсу. Определить ускорения точек А, В и D, лежащих на ободе катушки, ее угловую скорость и угловое ускорение в момент времени t ~ 0,5 с в положении, указанном на рисунке; AD _1_ OB, OD — 2 ОС = 0,2 м.
136
Ответ-, wa = 20,9 м/с2, we = 22,4 м/с2, wD = 20,1 м/с2, w = = 10 рад/с, е — 20 рад/с2.
18.27. Колесо радиуса R катится без скольжения по плоскости. Центр О колеса движется с постоянной скоростью vo- В точке А
с ним шарнирно соединен стержень АВ длины Z = 3R. Другой конец стержня скользит по плоскости. В положении, указанном на рисунке, определить угловую скорость и угловое ускорение стержня АВ, а также линейные скорость и ускорение его точки В.
К задаче 18.26
К задаче 13.27
vo	2 л/З Р20	5 V3 О2о
Ответ: <й4в=-эд-, едв=-27—®в—-9 /г •
18.28(18.25). Шестеренка радиуса R = 12 см приводится в движение кривошипом ОА, вращающимся вокруг оси О неподвижной шестеренки с тем же радиусом; кривошип вращается с угловым
К задаче 18.28
ускорением е0 = 8 рад/с2, имея в данный момент угловую скорость w = 2 рад/с. Определить: 1) ускорение той точки подвижной шестеренки, которая в данный момент совпадает с мгновенным центром скоростей, 2) ускорение диаметрально противоположной точки М и 3) положение мгновенного центра ускорений К-
Ответ: 1) Той = 96 см/с2, 2) и^=480 см/с2, 3) МК = 4,24 см, ЛАМК = 4Ъ°.
18.29(18.26). Найти положение мгновенного центра ускорений и скорость вк точки фигуры, совпадающей с ним в данный мо-
187
мент, а также ускорение а>с точки фигуры, с которой в данный момент совпадает мгновенный центр скоростей, если шестеренка I радиуса г катится внутри неподвижного колеса II радиуса R = 2r и кривошип ОО{, приводящий в движение бегающую шестеренку, имеет постоянную угловую скорость ш0.
Ответ: Мгновенный центр ускорений совпадает с центром О неподвижной шестеренки: vK = 2r<i)0, юс = 2гсо2.
18.30(18.27). Найти ускорения концов В, С, D, Е двух диаметров шестеренки радиуса и = 5 см, катящейся снаружи неподвижной шестеренки радиуса щ — 15 см. Подвижная шестеренка приводится в движение при помощи кривошипа ОА, вращающегося с постоянной угловой скоростью wo = 3 рад/с вокруг оси О неподвижной шестеренки; один из диаметров совпадает с линией ОА, другой — ей перпендикулярен. (См. рисунок к задаче 16.35.)
Ответ: wB ~ 540 см/с2, w = W = 742 см/с2, шо=900 см/с2.
18.31. Показать, что в момент, когда угловая скорость <о = О, проекции ускорений концов отрезка, совершающего плоское движение, на направление отрезка равны между собой.
18.32(18.28). Показать, что в момент, когда угловое ускорение е=0, проекции ускорений концов отрезка, совершающего плоское движение, на направление, перпендикулярное отрезку, равны между собой.
18.33(18.29). Ускорения концов стержня АВ длипы 10 см, совершающего плоское движение, направлены вдоль стержня навстречу друг другу, причем wA = 10 см/с2, wb = 20 см/с2. Определить угловую скорость и угловое ускорение стержня.
Ответ: <о=-у'а рад/с, е=0.
18.34(18.30). Ускорения концов однородного стержня АВ длины 12 см, совершающего плоское движение, перпендикулярны АВ и направлены в одну сторону, причем щх=24 см/с2, wb = 12 см/с2. Определить угловую скорость, угловое ускорение стержня, а также ускорение его центра тяжести С. '
Ответ: = 0, е = 1 рад/с2, ускорение точки С перпендикулярно АВ, направлено в сторону ускорений точек А и В и равно 18 см/с2,
18.35. Стержень АВ длины 0,2 м совершает плоскопараллельное движение. Ускорения его концов А и В перпендикулярны АВ, направлены в противоположные стороны и по модулю равны 2 м/с2. Найти угловую скорость, угловое ускорение стержня и ускорение его середины С.
Ответ: w = 0, е = 20 рад/с2, wc = 0.
18.36(18.32). Ускорения вершин А и В треугольника АВС, совершающего плоское движение, вектор но равны: шд = шА = а. Определить угловую скорость и угловое ускорение треугольника, а также ускорение вершины С.
Ответ: о - 0; е = 0, wc = а.
18.37(18.33). Квадрат ABCD со стороною а совершает плоское движение в плоскости рисунка. Найти положение мгновенного центра ускорений и ускорения вершин его С и D, если известно, что' 188
в данный момент ускорения двух вершин А и В одинаковы по величине и равны 10 см/с2. Направление ускорений точек А и В совпадает со сторонами квадрата, как указано на рисунке.
Ответ: wc = Wd=^0 см/с2 и направлены по сторонам квадрата. Мгновенный центр ускорений находится в точке пересечения диагоналей квадрата.
К задаче 18.37
оси х. Найти угловую скорость,
В
«к
К задаче 18.41
К задаче 18.40
18.38(18.34). Равносторонний треугольник АВС движется в плоскости рисунка. Ускорение вершин А и В в данный момент времени равны 16 см/с2 и направлены по сторонам треугольника (см. рисунок). Определить ускорение третьей вершины С треугольника.
Ответ: wc направлено от С к В. wc = 16 см/с2.
18.39. Стержень АВ длины 0,2 м движется в плоскости рисунка. Ускорение точки A wA(wA = 2 м/с2) образует угол 45° с осью х, совмещенной со стержнем. Ускорение точки В wb(wb = 4,42 м/с2) расположено под углом 60° к угловое ускорение стержня и ускорение его середины С.
Ответ: о) — 2 рад/с, в =
12,05 рад/с2, Wc = 3,18 м/с2.
18.40(18.35). Квадрат ABCD со стороною а = 2 см совершает плоское движение. В данный момент ускорения вершин его А и В соответственно равны по модулю wa = 2 см/с2, ы8 = 4-д/2 см/с2 и направлены, как указано на мгновенную угловую скорость и мгновенное угловое ускорение квадрата, а также ускорение точки С.
Ответ: (|) = д/2 рад/с, е=1 рад/с2, тус(шс=6 см/с2) направлено от С к D.
18.41(18.36). Найти модуль ускорения середины стержня АВ, если известны модули ускорений его концов: wA — 10 см/с2, щв = 20 см/с2 и углы, образованные ускорениями с прямой АВ: а = 10° и р =70°.
Ответ: w — д/шд +	~ 2шлшв cos (р — а) = 8,66 см/е2.
рисунке. Найти
19»
ГЛАВА VI
ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА, ИМЕЮЩЕГО НЕПОДВИЖНУЮ ТОЧКУ, ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ОРИЕНТАЦИЯ
§ 19.	Движение твердого тела, имеющего одну неподвижную точку
19.1(19.1). Ось z волчка равномерно описывает вокруг вертикали круговой конус с углом раствора 20. Угловая скорость вращения оси волчка вокруг оси £ равна ©], а постоянная угловая скорость собственного вращения волчка равна ©. Определить величину и направление абсолютной угловой скорости S1 волчка.
Ответ: Q — д/ш2 -f- <в2 ~j- 2©©] cos 0,
cos(Q, г) = - M + wicose----------_
Д/w2 + <02 + 2w<i) l  cos e
19.2(19.2). Артиллерийский снаряд, двигаясь в атмосфере, вращается вокруг оси z с угловой скоростью «в. Одновременно осы
К задаче 19.2
снаряда г вращается с угловой скоростью ©1 вокруг оси £, направленной по касательной к траектории центра тяжести С снаряда. Определить скорость точки М снаряда в его вращательном дви-
жении, если СМ = г и отрезок СМ перпендикулярен оси z; угол между осями г и £ равен у.
Ответ: vm = (и + ©i cos у) г.
19.3(19.3). Конус, высота которого ft = 4 см и радиус основания г = 3 см, катится по плоскости без скольжения, имея неподвижную вершину в точке О. Определить угловую скорость конуса, координаты точки, вычерчивающей годограф угловой скорости, и угловое
ускорение конуса, если скорость центра основания конуса Vc = = 48 см /с = const.
Ответ: © = 20 рад/с, X]=20cosl5t, ух = 20 sin 15/, Zi = 0, е = 300 рад/с2.
МО
19.4(19.4). Конус, вершина О которого неподвижна, катится по плоскости без скольжения. Высота конуса СО = 18 см, а угол при вершине АО В = 90°. Точка С, центр основания конуса, движется равномерно и возвращается в первоначальное положение через
К задаче 19.4
К задаче 19.5
1 с. Определить скорость конца В диаметра А В, угловое ускорение конуса и ускорение точек А и В.
Ответ-. Уг = 36л^2 см/с =160 см/с, 8 (е = 39,5 рад/с2) направлено перпендикулярно ОА и ОВ; Шд (®д = 1000 см/с2) направлено параллельно ОВ; Wr(Wb = 1000 V2 см/с2) лежит в плоскости АО В и направлено под углом 45° к ОВ.
19.5(19.5). Конус А обегает 120 раз в минуту неподвижный конус В. Высота конуса OOt = 10 см. Определить переносную угловую скорость <ае конуса вокруг оси z, относительную угловую скорость со, конуса вокруг оси ОО1, абсолютную угловую скорость сэа и абсолютное угловое ускорение еа конуса.
Ответ: <ае — 4л рад/с, со, — 6,92л рад/с, ®а(юа = 8л рад/с) направлена по оси ОС, еа(еа = 27,68л2 рад/с2) направлено параллельно оси х.
19.6(19.6). Сохранив условия предыдущей задачи, определить скорости и ускорения точек С и D подвижного конуса.
Ответ: vc — 0; v0(yD = 80л см/с) направлена параллельно оси х\ wc(wc — 320л2 см/с2) направлено перпендикулярно ОС в плоскости Oyz: проекции ускорения точки D:	2‘
Wd„ — —480л2 см/с2,а'Сг = — 160 -\/с п2 см/с2. _____
19.7(19.7). Конус II с углом при вершине /-Т
а2 = 45° катится без скольжения по внутрен-	£ /Sffr
ней стороне неподвижного конуса I с углом при вершине cti = 90°. Высота подвижного ко-
нуса ОО1 — 100 см. Точка Оь центр основания	/0 У
ПОДВИЖНОГО конуса, описывает окружность	кТадаче 19 7
в 0,5 с.Определить переносную (вокруг оси г), относительную (вокруг оси OOi) и абсолютную угловые скорости конуса 11, а также его абсолютное угловое ускорение.
Ответ: ©е(®е = 4л рад/с) направлена по оси z; ©/(©, = ~ 7,39л рад/с) направлена по оси О}О; ©а(<оа = 4л рад/с) направлена по оси ОМг; еа(еа = 11,3л2 рад/с2) направлено по оси х.
141
19.8(19.8). Сохранив условия предыдущей задачи, определить скорости и ускорения точек Оь М\, М? подвижного конуса.
Ответ: Vq{vo — 153,2л см/с) направлена параллельно отрицательной оси Ох,	= 306,4я см/с) направлена параллельно от-
рицательной оси Ox, Vi = 0, Wo(Wo = 612,8л2 см/с2) направлено от О] по перпендикуляру к Ог; проекции ускорения точки Alt:
= —362л2 см/с2, Wi? — —865л2 см/с2; та2(ш2 = = 1225л2 см/с2) лежит в плоскости ОО1М2 и направлено перпендикулярно ОМ2-
19.9(19.9). Диск ОА радиуса Д — 4д/3 см, вращаясь вокруг неподвижной точки О, обкатывает неподвижный конус с углом при вершине, равным 60°. Найти угловую скорость вращения если ускоре-постоянно и
К задаче 19.9
диска вокруг его оси симметрии, ние и>л точки А диска по модулю равно 48 с м/с2.
Ответ: = 2 рад/с.
19.10(19.10). Тело движется вокруг неподвижной
который момент угловая скорость его изображается вектором, про-
екции которого на координатные оси равны д/З- -у'5» у'7~ Найти в этот моменТ-Скорость v точки тела, определяемой координатами V12. д/20’ V28-
ТОЧКИ. В не-
Ответ: v = 0.
19.11(19.11). Коническое зубчатое колесо, ось которого пересекается с геометрической осью плоской опорной шестерни в центре последней, обегает пять раз в минуту опорную шестерню. Опре-
делить угловую скорость Юг вращения колеса вокруг его оси и угловую скорость w вращения вокруг мгновенной оси, если радиус опорной шестерни вдвое больше радиуса колеса: R = 2г.
Ответ: а), — 1,047 рад/с,
<о =0,907 рад/с.
19.12(19.12). Угловая скорость тела = 7 рад/с, мгновенная ось его состаз-с неподвижными координатными и у. Найти величину скорости у и
К задаче 19.11 (В ляет в данный момент осями острые углы ос, р
проекции ее vx, vy, vz на координатные оси для точки тела, координаты которой, выраженные в метрах, в данный момент равны 0, 2, 0, а также расстояние d этой точки от мгновенной оси, если cos а = 2/7, cos у — 6/7.
Ответ: vx — —12 м/с, 0^ = 0, иг = 4 м/с, и — 12,65 м/с, ci = 1,82 м.
19.13(19.13). Найти уравнения мгновенной оси и величину угловой скорости ст тела, если известно, что проекции скорости точки М! (0,0,2) на координатные оси, связанные с телом, равны bx] = 1 м/с, = 2 м/с, t/zi=0, а направление скорости точки
142
Mi (0,1,2) определяется косинусами углов, образованных с осями координат: —2/3, +2/3, —1/3.
Ответ: х + 2у — 0, Зх + г — 0, ю — 3,2 рад/с.
19.14(19.14). Коническое зубчатое колесо, свободно насаженное на кривошип ОА, обкатывается по неподвижному коническому зуб-
чатому основанию. Определить угловую скорость со и угловое ускорение е катящегося колеса, если модули угловой скорости и углового ускорения (их направления указаны на рисунке) кривошипа ОА, вращающегося вокруг неподвижной оси О]О, соответственно равны со3 и 8п.
~	ЙЬ	8)	.
Ответ: и == —:— е,,	в = —:— е, +
sin а "	sin а 1 1
К задаче 19.14
+ <ojctgae2, где е1 — единичный вектор, направленный от точки О к точке С, а еа— единичный вектор, перпендикулярный плоскости О АС и направленный на читателя.
19.15(19.15). В условиях предыдущей задачи определить ускорения точек С и В, если радиус основания равен R.
/?+	Rai
Ответ: wc = —е3. wB = 2Rene2 +	(е4 — 2е3), где е3 и е,—
лежащие в плоскости рисунка единичные векторы, перпендикулярные прямым ОС и О В соответственно (оба орта направлены вверх).
§ 20.	Пространственная ориентация; кинематические формулы Эйлера и их модификация; аксоиды
20.1(20.1). Искусственная горизонтальная площадка на качающемся корабле создается с помощью карданова подвеса. Ось у\ вращения внешнего кольца параллельна продольной оси корабля;
К задаче 20.1
угол поворота внешнего кольца обозначается через р (угол бортовой качки). Угол поворота внутренней рамки обозначается через а. Для ориентации колец вводят три системы координат: система связана с кораблем (ось £ направлена к правому борту, ось т| — к носу корабля, ось £— перпендикулярна палубе); система x{yxz\ связана с внешним кольцом (ось ух совпадает с осью rj); система
143
xyz связана с внутренним кольцом (ось х совпадает с лу). Положительные направления отсчета углов видны из рисунков; при а = Р = О все системы отсчета совпадают. Определить ориентацию (соответствующие направляющие косинусы) внутреннего кольца подвеса относительно корабля.
Ответ:
I
X	COS р	0	— sin р
У	sin a sin р	cos а	sin а cos р
2	cos а sinp	— sin а	cos а cos р
20.2(20.2). Во втором способе установки карданова подвеса, описанного в предыдущей задаче, ось вращения внешнего кольца параллельна поперечной оси корабля. При этом способе подвеса
К задаче 20.2
ось £, связанная с кораблем, совпадает с осью Х\ вращения внешнего кольца, а ось у вращения внутреннего кольца совпадает с осью z/i, жестко связанной с внешним кольцом. Угол поворота внешнего кольца обозначается теперь а (угол килевой качки), а угол поворота внутреннего кольца—через р. Определить ориентацию внутреннего кольца подвеса относительно корабля.
Ответ:
	5	п	С
X	COS р	sin а sin р	— cos а sin р
У	0	cos а	sin а
2	sin р	— sin а cos р	cos а cos р
20-3(20.3). Положение твердого тела, имеющего одну неподвижную точку О, определяется тремя углами Эйлера: углом прецессии тр, углом нутации 0 и углом собственного вращения <р (см. рисунок). Определить направляющие косинусы подвижной системы отсчета Oxyz.
144
Ответ:
	5	n	C I
X	cos ф cos 0 cos q> — sin ф з!пф	sin ф cos 0 cos ф + cos ф sin <p	— sin 0 cos q?
У.	— cos ф cos 0 sin ф — sin ф cos ф	— sin ф cos 0 sin <p + cos ф cos q>	sin 0 sin ф
Z	cos ф sin 0	sin ф sin 0	cos 9 	!
20.4(20.4). Зная скорости изменения углов Эйлера, определить угловую скорость тела и ее проекции на и подвижной Oxyz систем отсчета.
Ответ: ® = л/ty2 4" О2 4* ф2 + 2фф cos 9. оц — ф sin 9 cos ф — 9 sin ф, = ф sin 9 sin ф + 9 cos ф, = ф cos 9 4- Ф> — — ф sin 9 cos <p 4-4- 9 sin ф, ~ ф sin 9 sin<p 4~ 9 cos <p, <1>г = ф cos 9 4- Ф-
20.5(20.5). Для определения вращательного движения самолета с ним связывают ортогональную систему координат Cxyz, причем ось х направляется по оси самолета от хвоста к кабине летчика, ось у располагается в плоскости симметрии самолета, а ось z— по размаху крыла вправо для летчика (С — центр тяжести самолета). Угловые перемещения самолета относительной осей С|т]£ (горизонтальная ось g направляется по курсу самолета, ось ц — вертикально вверх, а горизонтальная ось g — перпендикулярно осям s и д) определяются, как показано на рисунке, тремя самолетными углами: углом рыскания ф, углом танга
Определить ориентацию самолета (системы отсчета Cxyz) относительно трехгранника Cgqg.
Ответ:
	1	n	5
X	cos ф cos 9	sin 0	— sin ф cos 9
У	sin ф sin ф — cos ф sin 0 cos <₽	cos 6 COS ф	cos ф sin Ф 4- sin ф sin 9 cos <p
Z	sin ф cos q> + cos ф sin 6 sin <p	— cos 0 sin <p	cos ф cos ф — sin ф sin 0 sin ф
20.6(20.6). Зная скорости изменения самолетных углов, определить проекции угловой скорости самолета на оси систем координат Cxyz и Cgrjg (см. рисунок к предыдущей задаче).
Г45-
Ответ'. й>х = ф sin 6 4- ф, ©j, = ф cos 6 cos ф 4- 0 sin ф, ©г = = — vcos0 sin ф 4- 0 cos<p. <05 = ф созф cos0 + 0 sin ф. =
= ф sin 9 + ф, = — ф sin ф cos 9 4- 0 cos ф.
20.7(20.7). Для исследования качки корабля и его устойчивости на курсе вводят три корабельных угла: ф — дифферент, 9 — кпен
К зада чаи 20.7 о 20.8
и ф — угол рыскания, система отсчета Схуг жестко связана с кораблем, С — центр тяжести корабля, ось х направлена от кормы к носу, ось у — к левому борту, ось z—перпендикулярно палубе; система координат Cgqg ориентируется относительно курса корабля: ось g вертикальна, горизонтальная ось g направлена по курсу, горизонтальная ось q— влево от курса (па рисунке изображены системы осей, введенных Л. Н. Крыловым) .
Определить ориентацию корабля (координатных осей Схуг) относительно трехгранника Cgqg.
Ответ:
	1	n	&
X	cos ф cos ф + sin ф sin 0 sin <p	COS 0 sin Ф	— sin Ф cos Ф + cos ф sin G sin q>
У	— cos ф sin (₽ + sin ф sin 0 sin Ф	COS 0 COS Ф	sin ф sin ф + cos ф sin 0 cos ф
2	. sin ф cos 0	— sin 0	cos ф cos 0
20.8(20.8). Зная скорости изменения корабельных углов, определить проекции угловой скорости корабля на оси систем отсчета Схуг и	Cgqg	(см. рисунок к предыдущей задаче).
Ответ-.	= ф cos 9 sin ф 4- 0 cos ф,	= 0 cos ф 4- ф sin ф	cos 9,
= ф cos 9 cos ф — 0 sin ф,	= ф — ф sin 9,
(£>z	— — ф sin 9 4- ф,	= — 0 sin ф 4-ф cos ф cos 9.
20.9(20.9). Точка М (центр тяжести самолета, корабля) движется вдоль поверхности Земли, принимаемой за шар радиуса R *); восточная составляющая скорости точки равна ve, а северная — y,v. Определить скорость изменения широты ф и долготы А, текущего положения точки М.
Ответ: ф = -£-,	; при положительных vE и vn со-
т К	К СОЗ ф г
ставляющая ф направлена на запад, а составляющая А.— по оса SN вращения Земли от Южного полюса к Северному.
•) Здесь и в дальнейшем сжатием Земли пренебрегаем.
146
20.10(20.10), Для изучения движения вблизи земной поверхности тел (самолетов, ракет, кораблей) и приборов, установленных на них, вводят подвижной координатный трехгранник—-трехгранник Дарбу. При географической ориентации трехгранника Дарбу горизонтальная ось £ направляется на восток, горизонтальная
ось я — на север, ось £ —вертикально вверх. Определить проекции на оси £, т), £ угловой скорости трехгранника Ogqc, если проекции скорости его начала (точки О) относительно Земли равны = vE, = vn, &с == 0; угловая скорость вращения Земли равна U, радиус Земли R.
Ответ-. = — <р — — vn/R,
«п = (U + X) cos<p = ((/ + cos Ф,
(йс = ([; + Х)81Пф = ((У + т^?.)5тф.
20.11(20.11). Трехгранник Дарбу Oxyz на поверхности Земли ориентирован не географически, как это было сделано в предыдущей задаче, а по траектории основания трехгранника относительно Земли: ось х направляется горизонтально по скорости v вершины О (центр тяжести самолета, корабля) трехгранника относительно Земли,ось у направляется горизонтально влево от оси х, а ось г — вертикально вверх. Определить проекции угловой скорости трехгранника Oxyz, если скорость точки О равна и, а ее курс
определяется углом ф (угол между направлением на север и относительной скоростью точки О).
Ответ; = t/ cos ф cos ф; — U cos ф sin ф -ф о//?;
“г — (U + М sin ф 4- ф — U sin ф 4- о/р.
Z (Зенит)
y(cefep)
Проекция траектории	)
на горизонтальную
моек ость Ору
К задаче 20.11
147
Здесь /?, U, <р и X имеют значения, введенные в задачах 20.9 и 20.10, а р — радиус геодезической кривизны траектории (р > О при ф < 0, и р < 0 при ф > 0).
20.12(20.12). Трехгранник Дарбу ОхРуй& на поверхности Земли ориентирован следующим образом: ось х° направляется по абсолютной скорости V точки О (предполагается, что она движется по у», \п(север)	поверхности Земли), горизоиталь-
д |'	ная ось г/° направляется влево от
\	оси х°, ось z° вертикальна. Опреде-
\ ’	лить проекции угловой скорости
\ i	трехгранника Ox°j/°z0, если состав-
\ |Рд,____ляющие скорости точки О относи-
f	тельно Земли равны ve и vh.
fiucos^+vE	Ответ: ®х» = 0, ыу1 — -%, а>^ =
К задаче 20.12	=	ф и
имеют значения, введенные в задачах 20.9 и 20.10,
iz = V(uE + №cos<p)* + 4 и tge=--- + ^-c--
20.13(20.13). Гироскоп направления установлен в кардановом подвесе. Система координат X\yiZi связана с внешней рамкой (ось вращения ее вертикальна), система xyz скреплена с внутренней
рамкой (ось х вращения ее горизонтальна). Ось z внутренней рамки является одновременно осью собственного вращения гироскопа..
Определить: 1) ориентацию оси z вращения гироскопа относительно географически ориентированных осей (см. задачу 20.10),. если поворот внешней рамки (оси уу) отсчитывается по часовой стрелке от плоскости меридиана (плоскость т)£) и Определяется углом а, а подъем оси z над горизонтом определяется углом Р;
2) проекции на оси х, у, г угловой скорости вращения трехгранника xyz, предполагая, что точка О подвеса гироскопа неподвижна относительно Земли.
148
Ответ: 1)
5	и | С
? 1 sin a cos 0 cos а cos 0 | sin р
2)	= р — U cos <р sin а,
с»у = ct cos Р + U (cos Ф cos « sin р — sin <р cos 0),
ы2 = й sin р + U (cos ф cos а cos р 4* sin ф siri ₽)>
где V — угловая скорость вращения Земли, ф — широта места.
20.14(20.14). В условиях предыдущей задачи определить проекции угловой скорости вращения трехгранника хуг, если северная и восточная составляющие скорости точки подвеса соответственна равны vx и ve.
Ответ: «Х=р-(У + /?"oEs<y)cos<psin a--^-cosa,
— a cos р (j/	(cos ф cos а sin р — sin ср cos Р) —
VIU .
----sin а sin pk
Юг =.- * sin p 4- (у -J-	)(cos <p cos a cos p + sin Ф sin p),
где /? — радиус Земли.
20.15(20.15). Движение тела вокруг неподвижной точки задано, углами Эйлера: ф = 47, ф = -т;—2Л 0 = ^-- Определить координаты точки, вычерчивающей годограф угловой скорости, угловую-скорость и угловое ускорение тела относительно неподвижных осей х, у, г.
Ответ: х =	= 2 д/3 cos 2/, у — в>у = — 2 д/3 sin 2/,
г = а)2 = 0, а> — 2 д/3 рад/с, в = 4д/3 рад/с2.
К задаче 20.16
20.16(20.16). Найти подвижный и неподвижный аксоиды внешнего колеса вагона, катящегося по горизонтальному пути, средний радиус кривизны которого равен 5 м, радиус колеса вагона 0.25 м, ширина колеи 0,80 м.
14Ц-
Примечание. Колесо вращается вместе с вагоном вокруг вертикальной «си Oz, проходящей через центр закруглетщ пути, и относительно вагона вокруг оси АВ, т. е. вращается вокруг неподвижной точки О.
Ответ: Неподвижный аксоид — конус, ось которого совпадает с осью Oz, с углом при вершине а = 2arctg21,6 = 174°42'. Подвижный аксоид—конус с осью АВ и углом при вершине [3 = = 2 arctg 0,0463 = 5°18'.
20.17(20.17). Движение тела вокруг неподвижной точки задано при помощи углов Эйлера следующими уравнениями: гр = nt, i|! =- л/2 + ant, 9 — л/3. Определить проекции угловой скорости и углового ускорения тела на неподвижные оси, если а и п — постоянные величины. Указать также то значение параметра а, при котором неподвижным аксоидом тела будет плоскость Оху.
Ответ: а>х = -п cos ant, ^у = sin ant, юг = п(а + у)’
вп1д/з •_	, ап2д/3 , n 1
ех -=----2— sin ani> zu — —2“ "cosan-» ez — a~~ T'
20.18(20.18). Углы Эйлера, определяющие положение тела, изменяются по закону (регулярная прецессия) ф == \|)0 4- n}t 9 = 90, Ф — Фо + n^t, где гро, 0О, ф0 — начальные значения углов, a ni и П2 — постоянные числа, равные соответствующим угловым скоростям. Определить угловую скорость и тела, неподвижный и подвижный аксоиды.
Ответ: =	+ 2nirj2cos6j; неподвижный аксоид — Кру-
товой конус g2 Ч- л2 — -(Дг с<^" +“ni)!t £2 = 0 с осью С и углом Л	^2 sin 0Q	V	м
раствора 2 arcsin —-—подвижным аксоид — круговой конус
х +У - (^-созеэ 2 =0 с осью 2 и Углом раствора 2 arcsill
(О
ГЛАВА VII
СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ
§ 21. Уравнения движений точки
21.1(21.1). Определить уравнение прямолинейного движения точки, складывающегося из двух гармонических колебаний;
X] — 2 cos (nt + л/2), х2 = 3 cos (л/ + л).
Ответ: х = д/13 cos (л/+ а), где а = arctg— 33°40'.
21.2(21.2). Барабан записывающего устройства вращается равномерно со скоростью <оо- Радиус барабана г. Самописец соединен 160
с деталью, движущейся по вертикали по закону у — a sin (OjL
Найти уравнение кривой, которую запишет перо на бумажной ленте.
Ответ-, у — а^'т——.
BE
К задаче 21.2
21.3(21.3). При вращении поворотного крана вокруг оси О}Ог с постоянной угловой скоростью ©I груз А поднимается вверх посредством каната, навернутого на барабан В. Барабан В радиуса г вращается с постоянной угловой скоростью w2 Определить абсолютную траекторию груза, если вылет крана равен d.
Ответ: Винтовая линия, уравнение которой
.	С£>1 Z	J СО, Z
х — d cos —- —, у — d sin —i- —, (02 Г	<o2 г
ось x проходит через ось и начальное положение груза, ось г направлена вверх по оси вращения крана.
21.4(21.4). При совмещении работы механизмов подъема груза и перемещения
крана груз А перемещается в горизонтальном и вертикальном направлениях. Барабан В радиуса г — 0,5 м, на который навит канат, поддерживающий груз А, вращается при пуске в ход с угловой скоростью <а = 2л рад/с. Кран перемещается в горизонтальном направлении с постоянной скоростью v — 0,5 м/с. Определить абсолютную траекторию груза, если начальные координаты груза Хо = Ю м, у0 — 6 м.
Ответ: у — Х ~ Х° а>г + Уо = 6,28х — 56,8,
21.5(21.5). Стрела АВ поворотного крана вращается вокруг оси OiO2 с постоянной угловой скоростью (о. По горизонтальной стреле
151
от А к В движется тележка с постоянной скоростью о0. Определить абсолютную траекторию тележки, если в начальный момент тележка находилась на оси О\О2.
Ответ: Траектория — архимедова спираль г —-^-ф, где г—расстояние тележки от оси вращения, ф — угол поворота крана вокруг •ОСИ О1С>2-
21.6(21.6). Лента прибора, служащего для записи колебательных движений, движется по направлению Ох со скоростью 2 м/с. Колеблющееся вдоль оси Оу тело вычерчивает на ленте синусоиду, наибольшая ордината которой ЛВ = 2,5 см, а длина OiC = 8 см.
К задаче 21.6	К задаче 21.6
Найти уравнение колебательного движения тела, предполагая, что точка О синусоиды соответствует положению тела при t = 0.
Ответ-, у = 2,5 sin(50л?) см.
21.7(21.7). Трамвай движется равномерно по прямолинейному
горизонтальному участку со скоростью v — 5 м/с, причем кузов
К задаче 21.8
совершает на рессорах гармонические ко-лебания с амплитудой а = 0,008 м и периодом Т = 0,5 с. Найти уравнение траектории центра тяжести кузова, если его среднее расстояние от полотна дороги ft = 1,5 м. При / = 0 центр тяжести находится в среднем положении, и скорость колебания направлена вверх. Ось Ох направить горизонтально по полотну в сторону движения, ось Оу — вертикально вверх через положение центра тяжести при / = 0.
Ответ: у = 1,5 + 0,0008 sin 0,8лх.
21.8(21.8). Определить уравнения траектории сложного движения конца двойного маятника, совершающего одновре-
менно два взаимно перпендикулярных гармонических колебания равной частоты, но разных амплитуд и фаз, если уравнения колебаний имеют вид х — a sin (о/ _|_ а), у = b(sin ©/ р).
Ответ: Эллипс -Ь	cos (а 0) = sin2 (а — р).
152
21.9(21,9). Конец двойного маятника описывает фигуру Лис-сажу, получающуюся при сложении двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний: х — a sin 2a>f, у — a sin «Ц. Найти уравнение траектории.
Ответ: а?х2 — Ьу2(а2 — у2).
2i.10(21.10). Железнодорожный поезд движется равномерно со-скоростью 36 км/ч, сигнальный фонарь, привешенный к последнему вагону, срывается с кронштейна. Определить траекторию абсолютного движения фонаря и длину пути s, который будет пройден поездом за время падения фонаря, если фонарь находится на высоте 4,905 м от земли. Оси координат провести через начальное положение фонаря, ось Ох—горизонтально в сторону движения поезда, ось Оу —вертикально вниз.
Ответ: Парабола с вертикальной осью у = 0,049х2, s= i0 м (х, у — в метрах, t — в секундах).
21.11(21.11). Резец М совершает поперечное возвратно-поступательное движение согласно закону х — a sin at. Найти уравнение траектории конца резца М относительно диска, вращающегося равномерно с угловой скоростью го вокруг оси О, пересекающей абсолютную траекторию резца.
Ответ: g2 4-(ц — а/2)2 = а2/4— окружность радкуса а/2 с центром в точке С (см. рисунок).
21.12(21.12). В некоторых измерительных и делительных приборах для перемещения указателя применяется дифференциальный винт, состоящий из оси АВ, имеющей в части А винтовую нарезку с шагом мм, а в части В — нарезку с шагом h% < hx. Часть А вращается в неподвижной гайке С, а часть В охватывается элементом D, лишенным вращательного движения и соединенным с указателем, скользящим вдоль неподвижной шкалы.
1) Определить перемещение указателя при повороте маховичка оси на 1/п оборота (соответствующая шкала нанесена на диске Е), если п — 200, hx = 0,5 мм и = 0,4 мм. Обе нарезки правые или обе левые.
2) Как изменится показание прибора, если в части А сделать левую нарезку, а в части В — правую?
153
Ответ: 1) $ = --(/?j — й2) = 0,0005 мм;
2) s = +Лг) = 0,0045 мм.
21.13(21.13). Ускорительный механизм строгального ставка состоит из двух параллельных валов О и Оь кривошипа ОА и кулисы OjB. Конец кривошипа ОА соединен шарнирно с ползуном, скользящим вдоль прорези в кулисе О{В. Найти уравнение относи-
тельного движения ползуна в прорези кулисы и уравнение враще-
£/ I
К задаче 21.13
ния самой кулисы, если кривошип ОА длины г вращается с постоянной угловой скоростью ш, расстояние между осями валов ОО[ = а.
Ответ: g = -v/fl2 4- г2 4- 2ar cos со/, tg <в — —S‘n №t—r • ’ v 1	1	» ь v а 4- г cos ан
21,14(21.14). В ротативном двигателе, схематически показанном, на рисунке, цилиндры, прикрепленные к картеру, вращаются вместе с ним вокруг неподвижной оси вала О, а шатуны поршней вращаются вокруг пальца А неподвижного кривошипа ОА. Указать: I) траекторию абсолютного движения точек В поршней и 2) приближенное уравнение их относительного движения по отношению к цилиндрам, если цилиндры вращаются с угловой скоростью со. Дапо: ОА — г и АВ — I. Оси Ох и Оу имеют начало в центре вала. Принять, что X = г / L мало.
Ответ: 1) Окружность х2 4" (У + г)2 —
2) g == / (1 — X cos al — ~ sin2 .
21.15.	Вертолет, зависший неподвижно над поляной, сбрасывает груз и в тот же момент начинает двигаться со скоростью vo, направленной под углом а к горизонтальной поверхности. Найти уравнения движения и траекторию груза относительно вертолета (оси относительной системы i сюрдииат направлены из цегтрз тяжести вертолета горизонтально по курсу и вертикально вниз).
154
Ответ'. xr — — vj cos a, yr —	4. y^ sin a. Траектория — пара-
gx;
бола yr = ~ xrtga + —-——.
2vq cos a
§ 22. Сложение скоростей точки
22.1(22-1). Корабль движется прямолинейно со скоростью v0. На высоте h над морем со скоростью сц летит самолет тем же курсом. Определить расстояние /, отсчитываемое по горизонтали, на котором надо сбросить вымпел, чтобы он попал на корабль. Сопротивлением воздуха движению вымпела пренебречь.
Ответ: I = (с( — о0) V^/g.
22.2(22.2). Решить предыдущую задачу, если самолет летит с той же скоростью навстречу движущемуся кораблю.
Ответ: I = (f, + о0) ^2hjg.
ь
<5
Г*----7----Н
К задаче 22 J
22.3(22.3). Корабль, проходящий точку А, движется с постоянной но модулю и направлению скоростью ио. Под каким углом 0 к- прямой АВ надо начать двигаться катеру из точки В, чтобы встретиться с кораблем, если скорость катера постоянна по модулю и направлению и равна	0
Hi? Линия А В составляет угол ф0 с перпенди- ( куляром к курсу корабля.	j г У
Ответ: sin 0 = cos фй,	I /
И	у 1	/
22.4(22.4). В предыдущей задаче опреде-	6
лить время 7\ по истечении которого катер	А *с_
встретится с кораблем, если и первоначальное к задаче 22.3 расстояние между ними равнялось АВ = I.
Ответ: Т =------------1. =
tvin^ + ^-OoCos '-ф0
1 sin р _____ I cos
22.5(22.5). Проволочная окружность вращается в своей плоскости относительно не-
подвижного шарнира О С ПОСТОЯННОЙ угло-	К задаче 22.5
вой скоростью й>. Как будет двигаться точка
М пересечения этой окружности с неподвижной окружностью того же радиуса /?, проходящей также через шарнир О?
Ответ: Точка пересечения обходит каждую из окружностей с постоянной скоростью, равной <о/?.
22.6(22.6). Корабль идет курсом ЮВ со скоростью а узлов, при этом флюгер на мачте показывает ветер В. Корабль уменьшает
153
ход до а/2 узлов, флюгер показывает ветер СВ. Определить: 1) направление и 2) скорость ветра.
Примечание. Наименование курса указывает, куда идет корабль, наименование ветра — откуда он дует.
Ответ-. 1) С севера, 2) а д/2/2 узлов.
22.7(22.7). Для определения собственной скорости самолета при ветре на Земле отмечают прямую линию известной длины I, концы которой должны быть хорошо видны сверху. Направление отмеченной прямой должно совпадать с направлением ветра. Вдоль этой прямой самолет пролетел сначала по ветру за время с, а затем против ветра за время с. Определить собственную скорость и самолета и скорость V ветра.
Ответ: v = у (-1- + -£-) м/с, V = ~ — -J?) м/с.
22.8(22.8). Для определения собственной скорости v самолета при ветре размечают на земле треугольный полигон АВС со сторонами BC—li, СА~12, АВ = 1ъ м. Для каждой стороны полигона определяют время полета: t2, с. Определить собственную скорость v самолета, предпо-лагая, что она неизменна по л т	/	\ величине, и скорость V вет-
A	1 Ра- Задачу решить графи-
3 хо	I	/ чески-
\ о\\а / Пояснение. Собственной \. ** ХА У скоростью самолета называется
Y	скорость самолета относительно
°	о воздуха.
К задаче 22.8	Ответ: От ПрОИ.ЗВОЛЬНОЙ
точки М отложить три вектора, соответственно равных /,//ь l2/t2, l3/t3 и параллельных сторонам ВС, СА и АВ полигона. Величина скорости v самолета определится радиусом окружности, проходящей через концы этих векторов. Скорость ветра определяется вектором МО.
22.9(22.9). Пассажир движущегося со скоростью 72 км/ч по горизонтальному шоссе автомобиля видит через боковое стекло кабины траектории капель дождя наклоненными к вертикали под углом 40°. Определить абсолютную скорость падения дождевых капель отвесно падающего дождя, пренебрегая трением капель о стекло.
Ответ: п=-^з- = 23,8 м/с.
22.10(22.10). Берега реки параллельны; лодка вышла из точки А и, держа курс перпендикулярно берегам, достигла противоположного берега через 10 мин после отправления. При этом она попала в точку С, лежащую на 120 м, ниже точки А по течению реки. Чтобы, двигаясь с прежней относительной скоростью, попасть из точки А в точку В, лежащую на прямой АВ, перпеиди-
156
кулярной берегам, лодке надо держать курс под некоторым углом к прямой АВ и против течения; в этом случае лодка достигает противоположного берега через |2,5 мин. Определить ширину реки I, относительную скорость и лодки по отношению к воде и скорость v
течения реки.
Ответ: I — 200 м, и — 20 м/мин, у = 12 м/мии.
22.11(22.11). Корабль плывет на юг со скоростью 36 д/'2 км/ч. Второй корабль идет курсом па юго-восток со скоростью 36 км/ч. Найти величину и направление скорости второго корабля, опреде
ляемые наблюдателем, находящимся на палубе первого корабля.
Ответ: vr(vr — '3& км/ч) направлена на северо-восток..
22.12(22.12). Линейка АВ эллипсографа приводится в движение стержнем ОС, вращающимся вокруг оси О с постоянной угловой скоростью «о. Кроме того, весь механизм вместе с направляющими вра-
К задаче 22.12
щается вокруг оси, перпендикулярной
плоскости рисунка и проходящей через точку О, с постоянной угловой скоростью, равной также ы0. Найти абсолютную скорость произвольной точки М линейки как функцию расстояния AM = I в предположении, что вращение стержня ОС и вращение всего механизма происходит в противоположных направлениях.
Ответ: им = (АВ— 21)и>0.
22.13(23.13). Решить предыдущую задачу для случая, когда оба
вращения происходят в одном направлении-
Ответ: vM не зависит от положения точки М и равна ДВ-<о0.
22.14(22.14). Шары центробежного регулятора Уатта, вращающегося вокруг вертикальной оси с угловой скоростью а = 10 рад/с,
благодаря изменению нагрузки машины отходят от этой оси, имея для своих стержней в данном положении угловую скорость ft>i= = 1,2 рад/с. Найти абсолютную скорость шаров регулятора в рассматриваемый момент, если длина стержней I = 0,5 м, расстояние между осями их подвеса 2е = = 0,1 м, углы, образованные стержнями с осью регулятора, <zj = а2 = « = 30°.
Ответ: v = 3,06 м/с.
К задаче 22.1-1
К задаче 22.15
м
22.15(22.15). В гидравлической турбине вода из направляющего аппарата попадает во вращающееся рабочее колесо, лопатки которого поставлены, во избежание входа воды с ударом, так, чтобы относительная скорость vf касалась лопатки. Найти относительную
157
скорость частицы воды на наружном ободе колеса (в момент' входа), если ее абсолютная скорость при входе v == 15 м/с, угол между абсолютной скоростью и радиусом а = 60°, радиус входа R = 2 м, угловая скорость колеса равна л рад/с.
Ответ: vr— 10,06 м/с, (иг, R) = 41°50'.
22.16(22.16). Частицы воды входят в турбину со скоростью и. Угол между скоростью и и касательной к ротору, проведенной в точке входа частицы, равен а. Внешний диаметр ротора D, его число оборотов в минуту п.
К задаче 22.16
Определить угол между лопаткой ротора и касательной в точке входа воды, при котором вода будет входить без удара (относительная скорость частиц в этом случае должна быть направлена вдоль лопаток).
п . а 60а sin а
Ответ: tgP = -66^—«Да-
22.17(22.17). В кулисном механизме при качании кривошипа ОС вокруг оси О, перпендикулярной плоскости рисунка, ползун А, перемещаясь вдоль кривошипа ОС, приводит в движение стержень АВ, движущийся в вертикальных направляющих К. Расстояние ОК — I. Определить скорость движения ползуна А относительно кровошипа ОС в функции от угловой скорости ы и угла поворота ф кривошипа.
Ответ: vr = 1<й	.
' cos ф
22.18(22.18). Найти абсолютную скорость какой-либо точки М спарника АВ, соединяющего кривошипы ОА и
О\В осей О и если радиусы колес одинаковы: R = 1 м; радиусы кривошипов: ОЛ =	= 0,5 м. Скорость экипажа ио = 2О м/с.
Скорость точки М определить для четырех моментов, когда кривошипы ОА и О]В либо вертикальны, либо горизонтальны. Колеса катятся по рельсам без скольжения.
Ответ: У] = 10 м/с, Vi = 30 м/с, ог —	= 22,36 м/с.
22.19(22.19). Колеса А и В вагона, движущегося со скоростью v по прямюлинейному рельсу, катятся по нему без скольжения. Ра
Ц>

Л
К задаче 22.18
168
диусы колес равны г, и расстояние между осями d. Определить скорость центра колеса А относительно системы координат, неизменно связанной с колесом В.
Ответ: Скорость равна vdjr, перпендикулярна к АВ и направлена вниз.
22.20(22.20). Механизм состоит из двух параллельных валов О и О\, кривошипа ОА и кулисы OiB; конец А кривошипа ОА скользит вдоль прорези в кулисе О(В; расстояние между осями валов OOt равно а; длина кривошипа ОА равна /, причем I > а. Вал О вращается с постоянной угловой скоростью со. Найти: 1) угловую
К задаче 22Л9	К задаче 22 2U	К задаче 22.21
скорость (*>i вала Oi и относительную скорость точки А по отношению к кулисе О\В, выразив их через переменную величину О[А = s; 2) наибольшие и наименьшие значения этих величин; 3) те положения кривошипа, при которых <о( = со.
Ответ: i) =
vr —2s 4" $ +а) G 4” $ о) (а + / — з)(а 4- s — /);
2) max ~ ® j___в ।'> ®l min = ® д > 'вг max = min = Oi
3) ©!==«> при О1В ± 010.
22.21(22.21). Камень А качающейся кулисы механизма строгального станка приводится в движение зубчатой передачей, состоящей из зубчатки D и зубчатки Е, несущей на себе ось камня А в виде пальца. Радиусы зубчаток /?=0,1 м, #( = 0,35 м, 0}А = = 0,3 м, расстояние между осью Ot зубчатки Е и центром В качания кулисы OiB=0,7 м. Определить угловую скорость кулисы в моменты, когда отрезок ОхА либо вертикален (верхнее и нижнее положения), либо перпендикулярен кулисе АВ (левое и правое положения), если зубчатка имеет угловую скорость <о = 7 рад/с. Точки Oi и В расположены на одной вертикали.
Ответ: <0j = 0,6 рад/с, <вц — <oiV ~ 0, Ощ = 1,5 рад/с.
22.22(22.22). Определить угловую скорость вращающейся кулисы кривошипно-кулисного механизма при четырех положениях
159
кривошипа — двух вертикальных и двух горизонтальных, если а — 60 см, I — 80 см и угловая скорость кривошипа равна л рад/с. (См. рисунок к задаче 22.20.)
Ответ: e>l = -j-n рад/с, <oll = <o[V = 0,64 л рад/с, «Ощ = 4л рад/с.
22.23(22.23). Определить абсолютную скорость поршня ротативного двигателя при двух вертикальных и двух горизонтальных положениях шатуна АВ, если длина кривошипа ОА = г — 0,24 м, угловая скорость цилиндра с картером равна 40л рад/с. (См. рисунок к задаче 21.14.)
Ответ: щ =20,11 м/с, Пш = 40,21 м/с, t-ц = fiv — 33,51 м/с.
22.24(22.24). Восточная, северная и вертикальная составляющие скорости точки М относительно Земли соответственно равны ve, vn, Ve- Высота точки над поверхностью Земли в данный момент равна h, широта места (р. Радиус Земли R., ее угловая скорость со. Определить составляющие абсолютной скорости точки.
Ответ: Vx = vE -f- (/? + /i)co cos ср, vu = vn, Vz~vh (ось x направлена на восток, ось у — па север, ось z — вертикально вверх).
22.25. В кривошипно-кулисном механизме с поступательно движущейся кулисой ВС кривошип ОА (расположенный позади кулисы) длины I = 0,2 м вращается с постоянной угловой скоростью,
равной Зл рад/с. Концом А,
К задаче 22.25
соединенным шарнирно с камнем, скользящим в прорези кулисы, он сообщает кулисе ВС возвратно-поступательное движение. Определить скорость v кулисы в момент, когда кривошип образует с осью кулисы угол 30°.
Ответ: Vi— 0,942 м/с.
К задаче 22,26
22.26. Стержень скользит в вертикальных направляющих, опираясь нижним концом с помощью ролика на поверхность полуцилиндра радиуса г. Полуцилиндр движется по горизонтали вправо с постоянной скоростью ц0. Радиус ролика р. Определить скорость стержня, если в начальный момент он находился в наивысшем положении.
Ответ: v -=	----	 .
V(r + p)2-^2
160
22.27. На токарном станке обтачивается цилиндр диаметра d ~ 80 мм. Шпиндель делает п = 30 об/мин. Скорость продольной подачи v = 0,2 мм/с. Определить скорость vr резца относительно обрабатываемого цилиндра.
Ответ: vr = 125,7 мм/с, tga = 628, где а —угол между vr и осью шпинделя.
§ 23.	Сложение ускорений точки
23.1(23.1). Наклонная плоскость АВ, составляющая угол 45° с горизонтом, движется прямолинейно параллельно оси Ох с постоянным ускорением 0,1 м/с2. По этой плоскости спускается тело Р с постоянным относительным ускорением 0,1 д/2 м/с2; начальные скорости плоскости и тела равны нулю, начальное положение тела определяется координатами х = 0, y — h. Определить траекторию, скорость и ускорение абсолютного движения тела.
Ответ: y^h — x/2, гг = 0,1	«м/с, ш = 0,1 д/S м/с2.
23.2(23.2). Велосипедист на некотором участке горизонтального прямолинейного пути движется по закону а = 0,1/2 (а — в метрах,
К задаче 23.1	К задаче 28.2
/ — в секундах). Дано: 7? =0,35 м, / = 0,18 м, zj = 18 зубцов, г-2 = 48 зубцов. Определить абсолютное ускорение осей М и N велосипедных педалей (предполагая, что колеса катятся без скольжения) при t = 10 с, если в этот момент кривошип MN расположен вертикально.
Ответ: им = 0,860 м/с2, wn =0,841 м/с2.
23.3(23.3). Определить абсолютное ускорение какой-нибудь точки М спарника АВ, соединяющего кривошипы осей О и Оь если экипаж движется по прямолинейному участку пути равномерно со скоростью = Ю м/с. Радиусы колес R = 1 м, радиусы кривошипов г = 0,75 м. (См. рисунок к задаче 22.18.)
Ответ: w =75 м/с2.
23.4(23.4). Найти скорости и ускорения точек Л4(, М2, Л13 и Л44 гусеницы трактора, движущегося без скольжения по прямолинейному участку пути со скоростью и ускорением wq; радиусы колес трактора равны R; скольжением гусеницы по ободу колес пренебречь.
6 И. В. Мещерский
161
Ответ-.	=05 —и0 V2, и2 = 2о0, f4 = 0,
w\ = Vwo + (дао + &о/ft)2> Wi — 2w,p да3 = д/дао + (дао — »«/ft)2- дао = О-
23.5(23.5). На тележке, движущейся по горизонтали вправо с ускорением да — 0,492 м/с2, установлен электрический мотор, ротор которого при пуске в ход вращается согласно уравнению
К яадаче 23 1
К задаче 23.5
<р = t2, причем угол ф измеряется в радианах. Радиус ротора равен 0,2 м. Определить абсолютное ускорение точки Л, лежащей на ободе ротора, при t = 1 с, если в этот момент точка А находится в положении, указанном на рисунке.
Ответ: wA(wA = 0,746 м/с2) направлено по вертикали вверх.
23.6(23.6). Определить в предыдущей задаче угловую скорость равномерного вращения ротора, при которой точка А, находясь в положении В, имеет абсолютное ускорение, равное нулю.
Ответ: к- = 1,57 рад/с.
23.7(23.7). К валу электромотора, вращающегося согласно уравнению <р = и/ (о = const), прикреплен под прямым углом стержень ОА длины Г, при этом электромотор, установленный без креплений, совершает горизонтальные гармонические колебания на фундаменте по закону х = a sin wt. Определить абсолютное ускорение точки А в момент времени t =
Ответ: дал = в)2
23.8(23.8). Тележка, на которой установлен мотор, движется по горизонтали вправо с постоянным ускорением да = 0,4 м/с2. Моте •> вращается по закону = '/at2. Определить абсолютное уско
162
рение в момент t = 1 с четырех точек Mi, М2, М3, М\ ротора, отстоящих от оси ротора на расстоянии I — 0,2 д/2 м и занимающих в этот момент положение, указанное на рисунке.
Ответ: wi = 0,4 д/2 м/с2, ау2 — 0, ау3 — 0,4 д/2 м/с2, ау4 = 0,8 м/с2.
''23.9(23.9). Автомобиль на прямолинейном участке пути дви^ жется с ускорением — 2 м/с2. На продольный вал насажен вращающийся маховичок радиуса = 0,25 м, имеющий в данный момент угловую скорость (о=4 рад/с и угловое ускорение е — 4 рад/с2. Найти абсолютное ускорение точек обода маховичка в данный момент.
Ответ: го = 4,58 м/с2.
23.10(23.10). Самолет движется прямолинейно с ускорением wo = const = 4 м/с, винт
диаметра d= 1,8 м вращается равномерно с угловой скоростью равной 60л рад/с. Найти уравнения движения, скорость и ускорение конца винта в системе координат, неподвижной относительно Земли, причем ось Ох этой системы координат совпадает с осью винта. Начальная скорость самолета va = 0.
Ответ:	м, у = 0,9cos60л/ м, z = 0,9 sin 60л/ м; о =
= 16/2 + 2916л2 м/с; w = 31 945 м/с2.
К задаче 23.9
23.11(23.11). В регуляторе, вращающемся оси с постоянной угловой скоростью ш = 6л А, прикрепленные к концам пружины, совершают гармонические колебания вдоль паза MN таким образом, что расстояние их центров тяжести от оси вращения изменяются по закону х=(0,1 +	,
4- 0,05 sin 8л/) м. Определить ускорение / центра тяжести гири в момент, когда ко- 1 риолисово ускорение достигает макси- ' мального значения, и указать значение кориолисова ускорения при крайних положениях гири.
Ответ: wa = 6л2 м/с2, wc = 0.
23.12(23.12). Струя воды течет по горизонтальной трубе ОА, равномерно
вокруг вертикальной рад/с, тяжелые гири
К задаче 23.lt
М
N I
вращающейся вокруг вертикальной оси с угловой скоростью, равной 2л рад/с. Определить кориолисово ускорение wc в этой точке струи, где относительная скорость vT {уг — Ч\1\\ м/с) направлена на ОА. Принять для л приближенное значение л = = 22/7.
Ответ: wc — 24 м/с2.
23.13(23.13). Круглая трубка радиуса /? = 1 м вращается вокруг горизонтальной оси О по часовой стрелке с постоянной угловой скоростью и — 1 рад/с. В трубке около ее точки А колеблется шарик М, причем так, что угол <р == sin nt. Определить абсолютные
163
ускорения шарика: касательное wx и нормальное wn в момент t ~ 2’/6 с.
Ответ: wx = —4,93 м/с2, wn *= 13,84 м/с2.
;23.1<Г|23.14). Диск вращается вокруг оси, перпендикулярной пллстпяГти диска, по часовой стрелке равноускоренно с угловым ускорением 1 рад/с2; в момент i = 0 угловая скорость его равна
К задаче 23.13
К задаче 23.14
нулю. По одному из диаметров диска колеблется точка М так, что ее координата | =* sin at м, причем t— в секундах. Определить в момент t = l2/s с проекции абсолютного ускорения точки М на оси g, г], связанные с диском.
Ответ: = 10,95 м/с2,	= —4,37 м/с2.
23.15(23.15). Точка движется равномерно с относительной скоростью vr по хорде диска, который вращается вокруг своей оси О, перпендикулярной плоскости диска, с постоянной угловой скоростью о». Определить абсолютные скорость и ускорение точки #	в тот момент, когда она находится на
„г/	кратчайшем расстоянии h от оси, в пред-
/у	положении, что относительное движение
g, f\o,	точки происходит в сторону вращения
о/ 4^	диска.
''чСы, Ответ: v —vr+ Л<в, а» — ®2/г 4- 2«щг.
Г Т.	23.16(23.16). Для передачи вращения
/	одного вала к другому, параллельному
/ л \ первому, применяется муфта, которая /	является обращенным эллиптическим
/	циркулем с закрепленным кривошипом
к задаче 23.16	ООЬ Кривошип АВ вращается с угловой
скоростью «I вокруг ОСИ и приводит во вращение крестовину вокруг оси О вместе со вторым валом. Определить углоиую скорость вращения крестовины, а также переносную и относительную (по отношению к крестовине) скорости и ускорения (переносное, относительное и кориолисово) точки А ползуна при «и = const, если ОО) = ЛО1 = ОХВ — а.
а,	. о,	<»,
Ответ: <в = —, ve = аа>1 sm — t, vr = a®s cos -у t,	—
«- sin 'g-t, Wc — aa'I cos у1.
161
23.17(23.17). Велосипедист движется по горизонтальной платформе, вращающейся вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью о» = 1/2 рад/с; расстояние велосипедиста до оси вращения платформы остается постоянным и равным г — 4 м. Относительная скорость велосипедиста и,—4 м/с и направлена в сторону, противоположную переносной скорости соответствующей точки платформы. Определить абсолютное ускорение велосипедиста. Найти также, с какой относительной скоростью он должен двигаться, чтобы его абсолютное ускорение равнялось нулю.
Ответ: 1) w(w = 1 м/с2) направлено по радиусу к центру диска; 2) vr = 2 м/с.
23.18(23.18). Компрессор с прямолинейными каналами равномерно вращается с угловой скоростью ю вокруг оси О, перпендикулярной плоскости рисунка. Воздух течет по каналам с постоян-
ной относительной скоростью иг. Найти проекции абсолютной скорости и ускорения ла оси координат для частицы воздуха, находящейся в точке С канала АВ, при следующих данных: канал АВ наклонен к радиусу ОС под углом 45°, ОС — 0,5 м, ® === = 4л рад/с, vr — 2 м/с.
Ответ: vi — 7,7 м/с, Пц “ = 1,414 м/с, 0^ = 35,54 м/с2, — — 114,5 м/с2.
К задаче 23.18
К задаче 23.19
23-19(23.19). Решить предыдущую задачу для случая криволинейного канала, если радиус кривизны канала в точке С равен р, а угол между нормалью к кривой АВ в точке С и радиусом ОС равен ср. Радиус СО равен г.
Ответ: с>5 — vr cos ф -|- ги, — vf sin <p,	= (2t>ro> — v2/p) sin <p,
= — [r®2 + (2o/b — o2/p) cos ф].
23.20(23.20). Выразить как функцию времени угловое ускорение е качающейся кулисы поперечно-строгального станка, если кривошип длины г вращается равномерно с угловой скоростью <в; расстояние между осями вращения кривошипа и кулисы а > г. (См. рисунок к задаче 21.13.)
Л	(г2 — es) aroA sin (at
Ответ:	
(а2 + г2 + 2аг cos wf)2
23.21(23.21), Камень А совершает переносное движение вместе с кулисой, вращающейся с угловой скоростью со и угловым ускорением е вокруг оси Оь перпендикулярной плоскости кулисы, и относительное прямолинейное движение вдоль прорези кулисы со скоростью Vr и ускорением wr- Определить проекции абсолютного ускорения камня на подвижные оси координат, связанные с кулисой, выразив их через переменное расстояние О;Л=д. (См. рисунок к задаче 22.20.)
165
К задаче 23.24
Ответ: KJg = wr — s©2;	= se -|- 2tw, причем оси g и tj на-
правлены соответственно вдоль прорези и перпендикулярно к ней.
23.22(23.22). Определить угловое ускорение вращающейся кулисы кривошипно-кулисного механизма строгального станка при двух вертикальных и двух горизонтальных положениях кривошипа, если длина кривошипа I — 0,4 м, расстояние между осями кривошипа и кулисы а = 0,3 м, угловая скорость равномерного вращения кривошипа © = 3 рад/с. (См. рисунок к задаче 22.20.)
Ответ: ср = 0 и ф =180°, е = 0; ср = 90°, е=1,21 рад/с2; Ф = 270°, е = 1,21 рад/с2 (вращение замедленное).
23.23(23.23). Найти ускорение относительного движения камня кулисы вдоль ее прорези в предыдущей задаче при указанных четырех положениях кривошипа.
Ответ: ср — 0, wr ~ 1,543 м/с2; ф = 90° и ф = 270°, Wr = 1,037 м/с2; ср = 180°, wr = — 1,037 м/с2.
23.24(23.24). Найти уравнение движения, скорость и ускорение суппорта М строгального станка, приводимого в движение кривошипно-кулисным механизмом с качающейся кулисой О,В. Схема указана на рисунке. Кулиса соединена с суппортом М при помощи ползуна В,
скользящего относительно суппорта по направляющей, перпендикулярной оси его движения. Дано: О{В = I, ОА = г, ОхО = а, г <Za\ кривошип О А вращается с постоянной угловой скоростью©; угол поворота кривошипа отсчитывается от вертикальной оси.
Ответ: x = l rslnwf у =	wf) + Н
Vаг 4- Г2 4- 2ar cos	(в2 4- г2 4- 2аг cos c>f) ‘‘
W = rltf а ~ а1)	“° -r2 ia™ + г)а sin ©/.
(а2 4- г2 4- 2аг cos го/)5^
Примечание. Координата отсчитывается от вертикали, проходящей через точку О.
23.25(23.25). Найти ускорение резца строгального станка с качающейся кулисой при двух вертикальных и двух горизонтальных положениях кривошипа, если длина кривошипа г — 0,1 м, расстояние между центрами вращения кривошипа и кулисы а =0,3 м, длина кулисы I — 0,6 м, угловая скорость вращения кривошипа о = 4 рад/с = const. (См. рисунок к задаче 23.24.)
Ответ: При ср = 0 и ср = 180° wx — 0, при ф = 90° и ф = = 270°	= 4=2,21 м/с2.
23.26(23.26). Лопатка АВ турбины, вращающейся против часовой стрелки замедленно с угловым ускорением, равным 3 рад/с2, имеет радиус кривизны 0,2 м и центр кривизны в точке С, причем ОС-0,1 Л/То м. Частица воды Р, отстоящая от оси О турбины на расстоянии ОР — 0,2 м, движется по лопатке наружу и имеет ско
166
рость 0,25 м/с и касательное ускорение 0,5 м/с2 по отношению к лопатке. Определить абсолютное ускорение частицы Р в тот момент, когда угловая скорость турбины равна 2 рад/с.
Отвег. wa =0,52 м/с2.
23.27(23.27). По радиусу диска, вращающегося вокруг оси OiO2 с.угловой скоростью со = 2/ рад/с в направлении от центра диска к его ободу движется точка М по закону ОМ = 4(2 см. Радиус ОМ составляет с осью О^О2 угол 60°. Определить величину абсолютного
К задаче 23.26	К задаче 23.27	К задаче 23.28
23.28(23.28). Прямоугольник ABCD вращается вокруг стороны CD с угловой скоростью © = л/2 рад/с — const. Вдоль стороны А В движется точка М по закону l = a sin ~t м. Даны размеры:
Ж
к задаче 23.29
DA—CB — a м. Определить величину абсолютного ускорения точки в момент времени t = 1 с.
Ответ: —	л/% м/с2.
23.29(23.29). Квадрат ABCD со стороною 2а м врапгаётся вокруг стороны АВ с постоянной угловой скоростью «а = л д/2 рад/с. Вдоль диагонали АС совершает гармоническое колебание точка М по закону g = acos^ t м. Определить величину абсолютного ускорения точки при t = 1 с и t — 2 с.
Ответ: wa> = etn2 м/с2, wa- = 0,44ал2 м/с2.
23.30(23.30). Стержень О А вращается вокруг оси г, проходящей через точку О, с угловым замедлением 10 рад/с2. Вдоль стержня от точки О скользит шайба М. Определить абсолютное ускорение шайбы в момент, когда она находится на расстоянии 0,6 м от точки О и имеет скорость и ускорение в движении вдоль стержня соответственно 1,2 м/с и 0,9 м/с2, если в этот момент угловая скорость стержня равна 5 рад/с.
Ответ: wa= 15,33 м/с2 и составляет с направлением МО угол ® 23°.
167
К задачам 23.30 и 23.31
23.31(23.31). Шайба М движется по горизонтальному стержню ОА, так что ОЛ4=0,5^* 2 см. В то же время стержень вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через точки О, по закону <р = Z2t. Определить радиальную и трансверсальную составляющие абсолютной скорости и абсолютного ускорения шайбы в момент / = 2 с.
Ответ-, v, — 0,02 см/с, = — 0,1 см /с, w, == — 0,49 ей/с2, = 0,24 см/с2.
23.32(23.32). Круг радиуса г вращается с постоянной угловой скоростью вокруг неподвижной точки О, лежащей на его окружности. При вращении круг пересекает неподвижную горизонтальную прямую — ось х, проходящую через точку О. Найти ско-пересечения круга с осью х в движе-
рость и ускорение точки М ниях этой точки по отношению к кругу и по отношению к оси х. Выразить искомые величины через расстояние ОМ = х.
Ответ: По отношению к прямой Ох точка М движется со скоростью — и ^Аг2 — х1 и ускорением —со2х. По отношению к кругу точка движется в сторону, противоположную вращению круга, с постоянной скооостью 2о)г и ускорением 4о»2г.
К задаче 23.32
К задаче 23.33
23.33(23.33). Горизонтальная прямая АВ перемещается параллельно самой себе по вертикали с постоянной скоростью и и пересекает при этом неподвижный круг радиуса г. Найти скорость и ускорение точки М пересечения прямой с окружностью в движениях этой точки относительно круга и относительно прямой АВ в функции от угла qp (см. рисунок).
Ответ: 1) В движении по окружности точка М имеет скорость и	и2 cos q>
— и касательное ускорение — —-ina Z . нормальное ускорение
г sin2 <р
2) По отношению к прямой АВ точка М движется со скоростью и cos <р	и2
- и ускорением
168
23.34(23.34). Полупрямая ОА вращается в плоскости рисунка вокруг неподвижной точки О с постоянной угловой скоростью <в. Вдоль ОА перемещается точка М.. В момент, когда полупрямая совпадала с осью х, точка М находилась в началее координат. Определить движение точки М относительно полупрямой ОА, если известно, что абсолютная скорость v точки М постоянна по величине. Определить также & абсолютную траекторию и абсолютное ускорение точки М
Ответ: Точка М движется по ОА со ско-
ростью vr = v cos &t.	л агИи
Абсолютная траектория точки М —-окружность, ее уравнение в полярных ко- '
v	К задаче 23.34
ординатах г —— sin ср, в декартовых коор
2<г)2 = У' Абсолютное ускорение точки М
и проходящей точки в тот мо-
К задаче 23.36
динатах х2 + [у — Wa — 2d)U.
23.35(23.35). Точка движется с постоянной скоростью v по радиусу диска, вращающегося с постоянной угловой скоростью ю вокруг оси, перпендикулярной плоскости диска через его центр. Определить абсолютное ускорение мент, когда она будет находиться на расстоянии г от центра диска.
Ответ: wa — a> -у/г2®2 4»2.
(х3.36^23.36). Шарик Р движется со скоростью 1,2 м/с от А к В по хорде АВ диска, вращающегося вокруг оси, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости диска. Найти абсолютное ускорение шарика, когда ок находится на кратчайшем расстоянии от центра диска, равном 30 см. В этот момент угловая скорость диска равна 3 рад/с, угловое замедление равно 8 рад/с2.
Ответ: wa — 10,18 м/с2.
23.37(23.37). Решить предыдущую задачу в предположении, что диск вращается вокруг диаметра, параллельного хорде.
Ответ: wa — 3,612 м/с2.
23.38(23.38). Решить задачу 23.36 при условии, что осью вращения диска является диаметр, перпендикулярный хорде.
Ответ: wa = 7,2 м/с2.
23.39(23.39). Корабль, находящийся на экваторе, идет курсом северо-восток. Скорость движения корабля равна 20 узлам. Найти абсолютную скорость и кориолисово ускорение корабля с учетом вращения Земли, считая радиус Земли равным R = 6,378-105 м (наименование курса указывает, куда идет судно; узел = 1 морская миля/ч = 1852 м/ч = 0,5144 м/с).
Ответ: ив = 470,4 м/с, wc = 1,06-10-3 м/с2.
169
23.40(23.40). В условиях предыдущей задачи найти абсолютное ускорение корабля, считая его скорость постоянной.
Ответ: wa = 347,766-10-4 м/с2.
23.41(23.41). По ободу диска радиуса /?, вращающегося вокруг своего диаметра с постоянной угловой скоростью <о, движется с постоянной по модулю скоростью v точка М. Найти абсолютное ускорение точки М как функцию угла ср, составленного радиус-век-
тором точки с осью вращения диска.
Ответ: wa =	+ <о47?2 sin2cp -|^2a»2u2(1 + cos2ср).
23.42(23.42).-Диск радиуса R вращается с постоянной угловой скоростью <в вокруг оси, проходящей через его центр перпендику-
за начало координат,
К задаче 23 <2
лярно плоскости диска. По одному из диаметров диска движется точка М так, что ее расстояние от центра дис-. ка меняется по закону ОМ =/? sin wf. Найти абсолютную траекторию, абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М.
Ответ: Если начальное
положение точки М принять
а ось у направить по начальному положе-
нию диаметра, по которому движется точка М, то уравнение траектории будет
(—4)^-4
(окружность половинного радиуса с центром на середине радиуса).. Абсолютная скорость va — (>)R. Абсолютное ускорение wa = 2w2^.

К задаче 23.43 К задаче 23.44
23.43(23.43). Диск вращается с постоянной угловой скоростью а вокруг оси, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости диска. По хорде А В из ее середины D движется точка М с постоянной относительной скоростью и. Хорда отстоит от центра диска на расстоянии с. Найти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М как функции расстояния DM =х.
От.вет' va = to2x2 + (« + ®<?)2, йуо = w V0)2x2 + (2« + “с/1.
^3.44)23.44). По подвижному радиусу диска от центра к ободу движется точка М с постоянной скоростью vr. Подвижный радиус поворачивается в плоскости диска с постоянной угловой скоростью <0). Плоскость диска вращается вокруг своего диаметра с постоян-
но
ной угловой скоростью <02- Найти абсолютную скорость точки М, считая, что при t — 0 точка М находилась в центре диска, а подвижный радиус был направлен по оси вращения диска.
Ответ: Уа = vr aJI + /2 (®2 + a2 sin2 со^).
23.45(23.45). Точка движется со скоростью 2 м/с по окружности обода диска диаметра 4 м. Диск вращается в противоположном направлении, имея в данный момент угловую скорость 2 рад/с и угловое ускорение 4 рад/с2. Определить абсолютное ускорение
точки.
Ответ: wa(wa — 8,24 м/с2) направлено под углом 76° к радиусу.
23.46(23.46). Диск вращается вокруг оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через его центр, по закону qj = 2/з/3.
Вдоль радиуса диска начинает двигаться точка по закону s = —4f2—10/4-8 (см). Расстояние s измеряется от центра диска. Определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки в момент времени i == 1 с.
Ответ. va ~ 4,47 см/с, wa — 0.
23.47(23.47). Полое кольцо радиуса г жестко соединено с валом АВ, и притом так, что ось вала расположена в плоскости оси
кольца. Кольцо заполнено жидкостью, движущейся в нем в направлении стрелки с постоянной относительной скоростью и. Вал Л В вращается по направлению движения стрелки часов, если смотреть по оси вращения от А к В. Угловая
скорость вала © постоянна.	к задаче 23.47	К задаче 23.48
Определить величины абсо-
лютных ускорений частиц жидкости, расположенных в точках 1, 2,3 и 4.
Ответ: а/i — та2 — —, ®3 — Зг®2 -)-----, w2 “ оц = 2г©2 -f- —.
23.48(23.48). По условиям предыдущей задачи, измененным лишь в том отношении, что плоскость оси кольца теперь перпенди-кулярна оси вала АВ, определить те же величины в двух случаях:
1) переносное и относительное движения одного направления}
2) составляющие движения противоположны по направлению,. Ответ: 1) о>[ = г©2 — и2/г — 2и<в, w3 — Зг®2 и2/г -f- 2<ли,
ш2 ~ К’ч = л/{и2!г + 2©ы + со2/-)2 -|- 4®2г2;
2)	= г®2 — u2/r + 2и<а, w3 = Зг®2 -f- u2/r — 2<au,
w2 = W4 =	4- u2/r— 2©u)2 + 4(>>4r2.
23.49(23.49). Точка M равномерно движется по образующей кругового конуса с осью ОА от вершины к основанию с относительной
171
скоростью vr\ угол МО А — а. В момент t — 0 расстояние OAfo = a. Конус равномерно вращается вокруг своей оси с угло-
• 0 вой скоростью и. Найти абсолютное ускорение 1	точки М.
|\	Ответ: Ускорение лежит в плоскости, перпен-
j\	дикулярной оси вращения, и представляет co-
la» бой гипотенузу треугольника с катетами wen = I	= w2(a -|- vrt) sin a и wc — 2иг<л sin a.
—— i	23.50(23.50). Определить в предыдущей зада-
че величину абсолютного ускорения точки М в
-4—	момент t =* 1 с в том случае, когда она движет-
к задаче 23.46 ся но образующей конуса с постоянным относительным ускорением wr, направленным от вершины конуса к основанию, при следующих данных: а — 30°, а = = 15 м, wr = 10 м/с2, <о = 1 рад/с; в момент t = 0 относительная
скорость точки vr равна нулю.
Ozflgr: w = 14,14 м/с2.
(23^51^23.51). Полагая в задаче 23.49, что конус вращается вокруГ'своей оси равноускоренно с угловым ускорением е, определить величину абсолютного ускорения w точки М в момент t — 2 с при следующих данных а = 30°, а—0,2 м, о, = 0,3 м/с, е = = 0,5 рад/с2; в момент t — 0 угловая скорость w равна нулю.
Ответ: w — 0,64 м/с2.
23.52(23.52). Река ширины 500 м течет с юга на север со скоростью 1,5 м/с. Определить кориолисово ускорение wc частиц воды, находящихся на 60° северной широты. Определить затем, у какого берега вода выше и насколько, если %____	У известно, что поверхность воды должна
быть перпендикулярна направлению векто-ра’ состаэленкого из ускорения силы тяже-сти & и вектора, равного и противополож-
/<ww	ного КОрИОЛИСОВу ускорению.
Ответ: Кориолисово ускорение wc(wc~ к задаче 23.52	== 1,89 • 1Q—4 м/с2) направлено к западу.
Вода выше у правого берега на 0,0096 м.
23.53(23.53). Магистраль южных железных дорог к северу от Мелитополя идет прямо по меридиану. Тепловоз движется со ско-рОСЙЪю v =90 км/ч на север; широта места ф = 47°. Найти корио-Лйсово ускорение тепловоза.
&твет: Wc =2,66-1О"3 м/с2.
23.34(23.54). По железнодорожному пути, проложенному по параллели северной широты, движется тепловоз со скоростью vr = 20 м/с с запада на восток. Найти кориолисово ускорение
wc тепловоза.
Ответ: wc = 2,91  Ю'3 м/с2.
23.55(23.55). Определить кориолисово ускорение точек Мь М2, М3, М4 колеса электровоза, движущегося по меридиану, в момент пересечения экватора. Скорость центра колеса электровоза Уо = = 40 м/с.
179
Ответ: Для точек Mi и Л43 и»с=0; для точек М? и Mt wc *= — 5,81  IO-3 м/с2.
23.56(23.56). Река Нева течет с востока на запад по параллели 60° северной широты со скоростью vr — 1,11 м/с. Определить сумму проекций на касательную ВС к соответствующему меридиану
К задаче 23.59
тех составляющих ускорений частиц воды, которые зависят от скорости течения. Радиус Земли /? — 64-105 м.
Ответ: Шве = 1,395-10-4 м/с2.
23.57(23.57). Река Нева течет с востока на запад по параллели 60° северной широты со скоростью и, = 1,11 м/с. Найти составляющие ' абсолютного ускорения частицы воды. Радиус Земли = 64-105 м.
Ответ: ше — 1,692-10-2 м/с2, шг = 3,86 10“7 м/с2, wc — 1,616Х X 10-4 м/с2.
23.58(23.58). Найти абсолютное ускорение шаров центробежного регулятора Уатта, если он вращается вокруг своей вертикальной оси, имея в данный момент угловую скорость а> — л/2 рад/с при угловом ускорении е = 1 рад/с2; угловая скорость расхождения шаров <О[ = л/2 рад/с при угловом ускорении si =0,4 рад/с2. Длина рукояток шаров I — 0,5 м, расстояние между осями их привеса 2е = 0,1 м, угол раствора регулятора в рассматриваемый момент 2а = 90°. Размерами шаров пренебречь, принимая шары за точки. (См. рисунок к задаче 22.14.)
Ответ: ш = 2,937 м/с2.
23.59(23.59). Найти абсолютное ускорение шаров центробежного регулятора Уатта, если после изменения нагрузки машины регулятор начал вращаться с угловой скоростью ш = л рад/с, причем шары продолжают опускаться в данный момепт со скоростью vr = 1 м/с и касательным ускорением шгх = 0,1 м/с2. Угол раствора регулятора 2а = 60°; длина рукояток шаров I = 0,5 м, расстоянием 2е между их осями привеса можно пренебречь. Шары принять за точки. (См. рисунок к задаче 22.14.)
Ответ: w = 6,71 м/с2.
23.60(23.60). Воздушная трапеция ABCD совершает качания вокруг горизонтальной оси О^2 по закону <р = <ро sin «/. Гимнаст, выполняющий упражнение на перекладине Л В, вращается вокруг нее с относительной угловой скоростью о = const; дано: ВС —
173
— AD — l. Определить абсолютное ускорение точки М на подошве гимнаста, отстоящей от перекладины АВ на расстоянии а в момент /=л/го с. В начальный момент гимнаст был расположен .	вертикально, головой вверх: трапеция
ABCD занимала вертикальное нижнее по-0 ложение.
/ U /illk Ответ: wM (wM = го2 [ср2 (/ _ aj __ fl (2<p0 m h	+ 1)])направлено вертикально вверх, если
sy / m	выражение в квадратных скобках положи-
/ / и /	тельно.
I	23.61(23.61). Точка движется по радиу-
су диска согласно уравнению г — aekl, где * 41	a,k— постоянные величины. Диск враща-
К задаче 23.6U	еТСЯ ВОКруГ ОСИ, перПвНДИКулЯрНОЙ СГО ПЛО-
СКОСТИ и проходящей через центр, согласно уравнению <р = kt. Определить абсолютную скорость, абсолютное ускорение, касательное и нормальное ускорения точки.
Ответ: v =akekt л/2, a>^2ak2ektt wx — ak2ekt д/2, wn~
= ak2ekt -\/2-
23.62(23.62). Точка M движется по поверхности Земли; кура движения k (угол между направлением на север и скоростью v точки относительно Земли), широта места в данный момент равна •р. Определить восточную wcx, северную wcy и вертикальную wcx составляющие кориолисова ускорения точки.
Ответ: wcx = —2що cos k sin <р, wCy — 2uro sin k sin (p, ®ez = = — 2уго sin k cos (p, где co — угловая скорость вращения Земли.
23.63(23.63). В условиях предыдущей задачи определить величину и направление горизонтальной составляющей кориолисова ускорения точки М.
Ответ: Wen *= 2va> sin ср; горизонтальная составляющая перпендикулярна скорости v точки Л1 относительно Земли и направлена влево от нее в северном полушарии и вправо в южном полушарии.
23.64(23.64). Высота точки Л4 над поверхностью Земли равна h, широта места <р. Определить восточную wex, северную wey и вертикальную weg составляющие переносного ускорения точки, обусловленного вращением Земли (/? — ее радиус, го — угловая скорость) .
Ответ: щ,Л = 0, wey — (R + h)<s>2 sin (р cos ср,
Ю„г = — (/?+ й) со2 cos2 <р.
23.65(23.66). Восточная, северная и вертикальная проекции скорости точки М относительно Земли соответственно равны ve, vn и Vh. Определить проекции относительного ускорения точки на координатные оси х, у, г (ось х направлена на восток, ось у — на север, ось z — по вертикали), если высота ее над поверхностью Земли в данный момент равна h, а широта места <р (Д и го — ра«. диус и угловая скорость Земли).
174
Ответ-. wrx^vE~~ir^^q>+-^^, w,y == v.v + tgqp +
, №li	_ . p£ +PW
+ Я + Л	Vh R + h
23.66(23.66). В условиях предыдущей задачи определить составляющие абсолютного ускорения точки М, движущейся вблизи Земли.
Ответ-. wx^vE	+	(vN sin ф — uhcos<p)co;
Wy = vN + tg<p +	+ (/? + h) и2 sin <p cos <p + 2o£a sin q>,
a“ 4-t1?,
w,--=vh---^7------(R+h)'*2 cos2 Ф — 2vEa> cos <p.
23.67. Кривошипно-кулисный механизм приводного молота состоит из прямолинейной кулисы, совершающей возвратно-поступательное движение, Кулиса приводится в движение камнем Л, соединенным с концом кривошипа ОА = г = 0,4 м, который вращается равномерно с угловой скоростью, равной 4л рад/с. При t — О кулиса занимает нижнее положение. Найти ускорение кулисы.
Ответ: w = 63,2 cos 4nt м/с2.
23.68. Кривошип ОА = г = 0,5 м, приводящий в движение пря-
молинейную кулису, которая совершает возвратно-поступательное движение, в момент, когда ZxCM = 60o, имеет угловую скорость й = ] рад/с и угловое ускорение е = ±1 рад/с2. Найти ускорение кулисы в указанный момент для двух случаев: 1) когда £>0и 2) когда е < 0.
Ответ: Wi == 0,683 м/с2, Wz = 0,183 м/с2.
23.69. Поступательно движущийся кулак имеет форму полудиска, скользящего по направлению своего диаметра АВ с постоянной скоростью vq. Определить ускоре-	п
ние движения стержня, опирающегося на кулак, перпендикулярного его диаметру АВ и свободно скользящего в прорези державки. Радиус ролика равен р. В начальный момент стержень находится в верхнем положении.
„	ро <г + Р)2
Отее,:
23.70. На токарном стайке обтачи
вается ЦИЛИНДр Диаметра 80 ММ.	к задаче 23.71
Шпиндель делает 30 об/мин. Скорость
продольной подачи постоянна и равна 0,2 мм/с. Определить ско-
рость и ускорение резца относительно обрабатываемого цилиндра.
Ответ: vr = 125,7 мм/с, we — 789,5 мм/с2, wt = wc =* = 394,8 мм/с2.
23.71. Стержень скользит в вертикальных направляющих, опираясь нижним концом на гладкую наклонную поверхность треугольной призмы. Призма движется по горизонтали вправо с постоянным ускорением ш0- Найти ускорение стержня.
Ответ: w = wa tg а.
ГЛАВА VIII
сложное движение твердого тела
§ 24.	Сложение движений тела
а) Сложение плоских движений тела
24.1(24.1). Кривошип III соединяет оси Oi и О2 двух зубчатых колес I и II, причем зацепление может быть или внешнее, или внутреннее, как указано на рисунке, колесо I остается неподвижным, а кривошип III вращается вокруг оси О\ с угловой скоростью ©а.
К задаче 24.1	К задаче 24.2
Зная радиусы колес и г2, вычислить для колеса II его абсолютную угловую скорость аг и его относительную угловую скорость ©23 по отношению к кривошипу.
Ответ: Внешнее зацепление: ©2 = ©а г‘ +, ©.23= ©а —. Внут-Г 2	Г 2	J
реннее зацепление: ©2 = — ©2 --- -1, ©23 = — ©а Знак минус указывает на то, что соответствующие тела вращаются в противоположные стороны.
24.2(24.2). Найти относительную и абсолютную угловые скорости зубчатого колеса II радиуса г, катящегося по неподвижному зубчатому колесу I с тем же радиусом и приводящегося в движение кривошипом III, вращающимся вокруг оси неподвижного колеса О с угловой скоростью о)О; движение кривошипа ОА принять за переносное.
Ответ: ©2а = ©0,	= 2©0.
24,3(24.3). Зацепление, приводящее в быстрое вращение точильный камень, устроено следующим образом: стержень IV посредством особой ручки приводится во вращение вокруг оси Oi с угло-
178
вой скоростью на конце стержня О2 находится палец, на который свободно надето колесо II радиуса г2. При вращении ручки палец заставляет колесо II катиться без скольжения по наружному неподвижному кругу III радиуса г3. При этом, благодаря трению, колесо II вращает без скольжения колесо I радиуса г(, свободно насаженное на ось О( и неизменно связанное с осью точила.
К задаче 24.4
По данному радиусу г3 наружной неподвижной обоймы найти такое значение г(, чтобы было (щ/ьн = 12, т. е. чтобы точило вращалось в 12 раз быстрее приводящей его в движение ручки.
Ответ: Г[ гя.
24.4(24.4). Найти число оборотов в минуту шестерни е числом зубцов zj = 25, если кривошип ОА вращается вокруг оси О неподвижной шестерни (с числом зубцов го = 60) е угловой скоростью, соответствующей по — 30 об/мин., и несет на себе ось двойной шестерни с числами зубцов	.
21 — 40, г2~ 60.	S'
Ответ:	X
= — 60 об/мин (в отношении /	/ д	\ 4
знака минус см. ответ к задаче т	Мл	J*
24.1)	.	\	*ы9
24.5(24.5). В эпицикличе- \	/
ском механизме, применяемом	;
в конных приводах молотилок, 4---------1—
ВОДИЛО ОА И колесо I радну-	к задаче 24.5
са п насажены на вал О сво-
бодно; ось Ot колеса II укреплена на водиле, а колесо III радиуса п может свободно вращаться вокруг оси О. Определить угловую скорость toi колеса I, если водилу ОА сообщена угловая скорость ®о, а колесу III от другого двигателя (тоже конного) сообщена угловая скорость ®з противоположного направления.
Ответ: о, = ®j (1 +	+ ~| |.
24.6(24.6). Редуктор скоростей состоит из трех зубчатых колес. Первое колесо (число зубцов zi — 20) насажено на ведущий вал I,
177
делающий ti\ =4500 об/мин, второе (зз = 25) свободно насажено на ось, жестко связанную с ведомым валом II, третье колесо (зз = 70) с внутренним зацеплением неподвижно. Найти число оборотов в минуту ведомого вала и бегающего колеса.
Ответ-. п,ц ~ 1000 об/мин, п2— —1800 об/мин.
24.7(24.7). Ведущий вал I редуктора делает = 1200 об/мин. Найти число оборотов в минуту ведомого вала //, если неподвижное зубчатое колесо с внутренним зацеплением имеет Zi~ 180 зубцов; бегающие шестеренки, спаренные между собой, имеют z2=60
К задаче 24.6
и гз — 40 зубцов; шестеренка, закрепленная на ведомом валу, имеет Zi = 80 зубцов.
Ответ-, пц — 3000 об/мин.
24.8(24.8). Редуктор скоростей состоит из неподвижной шестеренки радиуса п — 40 см, двух бегающих шестеренок радиусов _	г2 = 20 см и гз = 30 см, спаренных меж-
Z -3	Ду собой, и шестеренки с внутренним
/Г.—L ..—зацеплением радиуса г4=90 см, сидящей на ведомом валу. Ведущий вал и ::	::	кривошип, несущий оси бегающих ще-
стеренок, делают п.\ = 1800 об/мин. Най-
7 А	ти число оборотов в минуту ведомого
/ J-__________.. ъа к,, вала.
Ответ: пц =3000 об/мин.
24.9(24.9). Редуктор скоростей с пла-
J,	нетарной передачей состоит из неподвиж-
к задаче 24.9	иого солнечного колеса 1, жестко связан-
ного с валом /, рамки, свободно вращающейся вокруг осей I и И с угловой скоростью Й, двух шестеренок 2 и 3, жестко связанных между собой и свободно насаженных на ось EF, вращающуюся вместе с рамкой, и ведомой шестерни 4, жестко связанной с валом II. Определить отношение угловой ско-
178
роста вала II к угловой скорости рамки, если шестеренки имеют следующее число зубцов: Z! = 49, Z2 — 50, г3 = 51, 24 = 50.
/->	° и 1
Ответ: u — 2500 
24.10(24.10). Найти угловую скорость <ви ведомого вала редуктора с дифференциальной передачей, если ведущий вал с кривошипом, несущим па себе передаточные шестеренки, спаренные между собой, вращается с угловой скоростью ©/ = 120 рад/с. Колесо I вращается с угловой скоростью ©(= 180 рад/с и имеет
число зубцов zi — 80; бегающие колеса имеют числа зубцов: = 20, 23 — 40, а колесо, сидящее на ведомом валу, имеет z4 = 60' зубцов. Колесо I и ведущий вал вращаются в одном на-
правлении.
Ответ: ©и = 280 рад/с.
24.11(24.11). Редуктор скоростей с дифференциальной переда-
чей состоит из четырех зубчатых колес, из которых первое —
с внутренним зацеплением — делает 160 об/мин и имеет 21 =70 зубцов; второе и третье спарены между собой и сидят на оси, вращающейся вокруг оси ведущего вала / вместе с последним, делая «1=1200 об/мин; числа зубцов: z3= = 20, 23 = ЗО; четвертое—с внутренним зацеплением — имеет 24 = 80 зубцов и заклинено на ведомом валу. Найти число оборотов в минуту ведомого вала, если вал / и колесо 1 вращаются в противо-
положных направлениях.	к задаче 24.12
Ответ: пи = 585 об/мин.
24.12(24.12). Редуктор скоростей имеет неподвижную шестеренку /, спаренные между собой подвижные шестеренки 2 и 3 с внутренним зацеплением и шестерню 4, заклиненную на ведомом
179
валу. Найти число оборотов в минуту ведомого вала, если числа зубцов равны 2] =3, z2 = 80, z3 = 70, 24 = 20; ведущий вал вращается с угловой скоростью, соответствующей п} — 1200 об/мин.
Ответ: пц =—375 об/мин. -
24.13(24.13). В блоке системы «Триплекс» на валу а — а жестко насажен цепной блок Л; на тот же вал свободно насажена втулка b с подъемной цепью и грузом, наглухо соединенная с рукояткой В. На каждый палец рукоятки свободно насажены две шестерни /7 и III, спаренные между собой, шестерни II сцеплены с шестерней I, заклиненной на валу а — а, шестеренки III сцеплены с неподвижным зубчатым колесом IV. Определить отношение угловых скоростей вращения вала а — а и втулки Ь, если числа зубцов колес I, II, III и IV соответственно равны: Zi = 12, z2 = 28, z3 = 14, z« = 54.
Ответ: аа/(Ль = 10.
К задаче 24J3	К задаче 24.14
24.14(24.14). В цилиндрическом дифференциале зубчатое колесо радиуса R свободно насажено на вал I — I и несет на себе шестерни радиусов г2 и гз, спаренные друг с другом. Колесо R приводится в движение шестеренкой радиуса г0. Шестеренки радиусов г2 и гз зацепляются с шестеренками радиусов rf и заклиненными соответственно на валах I—I и II, из которых последний выполнен в виде втулки. Найти угловую скорость вала II, если известны угловые скорости вращения п} и п0 валов I — 1 и О — О, причем эти валы вращаются по одну сторону.
Ответ: =	+
24.15(24.15). В планетарном приводе картофелекопателя центральная шестеренка а, совершающая поступательное прямолинейное равномерное движение вместе со своей осью, соединена при помощи паразитных шестеренок Ь с подвижными шестеренками с, к втулкам которых прикреплены крылья d\ оси шестеренок Ь и с насажены на водило S, вращающееся вокруг оси центральной шестеренки а с угловой скоростью ©о. Определить абсолютную.угло
180
вую скорость шестеренок, а также характер движения крыльев, если радиусы всех шестеренок одинаковы.
Ответ: и = 0; крылья совершают поступательное циклоидальное движение вместе с центрами шестеренок с.
24.16(24.16). Кривошип ОА с противовесом В вращается с угловой скоростью wo — const вокруг оси О неподвижной шестеренки и несет на конце А ось другой шестеренки того же размера, соединенной с цепью. Определить угловую скорость и угловое ускоре-
ние подвижной шестеренки, а также скорость и ускорение произ
вольной ее точки М, если длина кривошипа ОА = I.
Ответ: «==0, е = 0 — шестеренка совершает круговое поступательное движение вместе с центром A' vm~Va~ 1<а\ wm — ~wA = Iwa.
24.17(24.17). В эпициклической передаче ведущая шестерня
радиуса R вращается против ча-
совой стрелки с угловой скоростью «о и угловым ускорением ео, кривошип длины 3/? вращается вокруг ее оси по часовой стрелке с той же угловой скоростью и тем же угловым ускорением. Найти скорость и ускорение точки М ведомой шестерни радиуса R, лежащей на конце диаметра, перпендикулярного в данный момент
кривошипу.
Ответ: v =	-у/10, w — R у/10 (в* wj) — 12<в*г0 .
б) Сложение пространстве.нных движений тела
24.18(25.1). Даны два конических зубчатых колеса, оси которых неподвижны, а соответственные углы равны а и 0. Первое колесо вращается с угловой скоростью шь Определить углбвую
181
скорость ь>2 второго колеса и вычислить ее в том случае, когда а — 30°, р = 60°, cDi = 10 об/мин.
Ответ; и2 = «1™^|- = 5,16 об/мин.
24.19(25.2). Карусель представляет собой круглую площадку АВ, которая вращается вокруг оси ОС, проходящей через ее центр D, делая 6 об/мин, а ось ОС вращается в том же направлении вокруг вертикали ОЕ и делает 10 об/мин. Угол между осями а 20°, диаметр площадки АВ равен 10 м, расстояние OD равно 2 м. Определить скорость v точки В в тот момент, когда она занимает самое низкое положение.
Ответ: v = 8,77 м/с.
К задаче 24.18
К задаче 24.19	К задаче 24.20
24.20(25.3). Шаровая дробилка состоит из полого шара 11 (в ко-
тором находятся шары и вещество, подвергающееся дроблению), сидящего на оси CD, на которой заклинено коническое зубчатое колесо £ радиуса г. Ось CD сидит в подшипниках в раме 7, составляющей одно целое с осью АВ и приводящейся во вращение при помощи рукоятки G. Колесо Е сцепляется с неподвижным колесом F радиуса R. Определить
абсолютную угловую скорость шаровой дробилки, если рукоятка вращается с угловой скоростью w0; угол между осями АВ и CD равен а. Определить также абсолютнее угловое ускорение шаровой дробилки, если угловая скорость рукоятки <л>0 “= const.
Ответ:
ал= ~ -у г2 + /?2+2г/? cos а,
s==0)* — sin а. и г
К задаче 24.21
24.21(25.4). Для растирания руды применяются бегуны в виде чугунных колес со стальными ободьями, катящимися по дну конической чаши. Бегуны вращаются вокруг горизонтальной оси ДОВ, которая в свою очередь вращается вокруг вертикальной оси OOi, составляющей с осью АОВ одно целое. Найти абсолютные ско-
182
рости точек D и Е обода бегуна, принимая, что мгновенная ось вращения бегуна проходит через середину С линии касания обода бегуна с дном чаши. Скорость вращения вокруг вертикальной оси
w<? = 1 рад/с, ширина бегуна 7г=О,5 м. Средний радиус бегуна R — 1 м, средний радиус вращения г = 0,6 м,
tg а = 0,2.
Ответ: оо = у£ = 0,28 м/с.
24.22(25.5). Дифференциальная передача состоит из двух дисков АВ и DE, центры которых находятся на их обшей оси вращения; эти диски сжимают колесо MN, ось которого Н1 перпендикулярна оси дисков. Определить для колеса MN скорость v цен-
тра Н и угловую скорость и, вращения вокруг оси HI, если скорости то-
чек касания колеса с дисками равны: vt =3
К задача 24.22 м/с, у2=4 м/с, ра-
диус колеса г = 0,05 м.
Ответ-. о = 0,5 м/с, го, = 70 рад/с.
24.23(25.6). Сохранив условия предыдущей задачи и зная длину
Н1 = ~ м, определить абсолютную угловую скорость и абсолют-
ное угловое ускорение колеса MN.
Ответ: со ~ у 4949 рад/с, е = 490 рад/с2.
24.24(25.7). Волчок <4 вращается относительно своей оси симметрии ОВ с постоянной угловой скоростью «и рад/с. Ось ОВ описывает равномерно конус. За одну минуту вершина волчка В делает п оборотов; ЛВО8 = а. Найти угловую скорость © и угловое ускорение в волчка.
К задаче 24.24
К задаче 24.25
Ответ:	© — д/©2 +	+ 2ffli cos а.
£ = ©! -^j- sin а.
24.25(25.8). Круглый диск вращается с угловой скоростью coi вокруг горизонтальной оси CD\ одновременно ось CD вращается вокруг вертикальной оси АВ, проходящей через центр О диска, с угловой скоростью ш2. Вычислить величину и направление мгновенной угловой скорости со и мгновенного углового ускорения е диска, если ©( — 5 рад/с, ©2 = 3 рад/с.
Ответ: ©(© = 5,83 рад/с) составляет углы а = 30°58' и 0 = 59°2' с положительными направлениями осей х и г; е(е = — 15 рад/с2) направлено по оси у.
183
24.26(25.9). Диск радиуса R вращается с постоянной угловой скоростью со, вокруг горизонтальной оси О;О2, которая в свою очередь вращается с постоянной угловой скоростью ше вокруг вертикальной оси. Найти скорости и ускорения точек А и В, лежащих на концах вертикального диаметра диска.
Ответ: ^А — ^в — wA~wB — Ru>r4<й2 + ®,-
24.27(25.10). Квадратная рама вращается вокруг оси АВ, делая 2 об/мин. Вокруг оси ВС, совпадающей с диагональю рамы,
К задаче 24.26	К задаче 24.27	К задаче 24.26
вращается диск, делая 2 об/мин. Определить абсолютную угловую скорость и угловое ускорение диска.
Ответ: а> = 0,39 рад/с, в = 0,031 рад/с2.
24.28(25.11). Ось мельничного бегуна ОД вращается равномерно вокруг вертикальной оси Oz с угловой скоростью Й. Длина оси О А = R, радиус бегуна АС — г. Считая, что в данный момент точка С бегуна имеет скорость, равную нулю, определить угловую скорость бегуна со, направление мгновенной оси, подвижный и неподвижный аксоиды.
г2
Ответ: ® =----------Q; мгновенная ось — прямая ОС\ аксои-
ды— конусы с вершиной в точке О, подвижный — с углом z'OC при вершине, равным arctg(r/£), неподвижный— с углом zOC, равным л — — a rctg (R/r).
24.29(25.12). Дифференциальная передача состоит из конического зубчатого колеса III (сателлита), насаженного свободно на кривошип IV, который может вращаться вокруг неподвижной осн CD. Сателлит соединен с коническими зубчатыми колесами 7 и II, вращающимися вокруг той же оси CD с угловыми скоростями =5 рад/с
и ©2=3 рад/с, причем вращения происходят в одну сторону. Радиус сателлита г == 2 см, а радиусы колес I и II одинаковы и равны R — 7 см. Определить угловую скорость кривошипа IV, угловую скорость <в34 сателлита по отношению к кривошипу и скорость точки А,
С
/У, о г
о К задаче 24.29
Ответ-, va = 0,28 м/с, ®4 — 4 рад/с, и34 = 3,5 рад/с,
24.30(25.13). В дифференциальном механизме, рассмотренном в предыдущей задаче, конические зубчатые колеса I и II вращаются в разные стороны с угловыми скоростями «1=7 рад/с, е)2 = = 3 рад/с. Определить va, со4 и ш34, если 7? — 5 см, г = 2,5 см.
Ответ; vA = 0,1 м/с, ы4 — 2 рад/с, ю34 — 10 рад/с.
24.31(25.14). При движении автомобиля по закругленному пути внешние колеса автомобиля, проходя больший путь, должны вра-
прнводимого в движение
шаться быстрее внутренних колес, проходящих меньший путь. Во избежание поломки задней ведущей оси автомобиля применяется зубчатая передача, называемая дифференциальной и имеющая следующее устройство.
Задняя ось; несущая два колеса, делается из двух отдельных частей / и 77, на концах которых наглухо насажены два одинаковых зубчатых колеса А и В. На этих частях вала в подшипниках вращается коробка С с коническим колесом D, наглухо с ней соединённым. Коробка получает вращение от главного (продольного) вала, мотором, через посредство зубчатки Е.
Вращение коробки С передается зубчатым колесам А и £ при помощи двух конических шестеренок F (сателлитов), свободйо вращающихся вокруг осей, укрепленных в коробке перпендикулярно к задней оси I — II автомобиля.
Найти угловые скорости задних колес автомобиля в зависимости от угловой скорости вращения коробки- С и угловую скорость

К задаче М.32
<ог сателлитов по отношению к коробке, если автомобиль движется со скоростью о = 36 км/ч по закруглению среднего радиуса р=* = 5 м; радиусы колес задней оси R ==0,5 м; расстояние между ними 1 — 2 м. Радиусы зубчатых колес А и В вдвое больше радиусов сателлитов: /?о — 2г.
Ответ; <0, = 24 рад/с, и2 == = 16 рад/с, = 8 рад/с.
24.32(25.15). При применении дифференциального зацепления для получения назначенного отношения чисел оборотов осей АВ и MN к коническим колесам I к II дифференциального зацепления присоединяют наглухо цилиндрические зубчатые колеса I' и II", которые сцепляются с шестерёнками IV и V, насаженными наглухо на ось АВ. Найти соотношение между угловыми скоростями ©о и и валов АВ и MN, если радиусы колес I и II одинаковы, числа зубцов колес I', 11", IV и V соответственно равны ш, п, х, у.
185
Ответ: — = f — 4- —'j.
«о 2 к m 1 п )
24.33(25.16). В дифференциальной передаче, рассмотренной в предыдущей задаче, между зубчатыми колесами 1' и IV введено паразитное колесо с неподвижной осью вращения. Требуется найти соотношение между угловыми скоростями <в0 и ® валов АВ и MN, сохранил все остальные условия задачи.
Ответ: — = -4 ( —---— 1.
«о 2 \ m	п /
24.34(25.17). Дифференциальная передача, соединяющая обе половины задней оси автомобиля, состоит из двух шестеренок с
одинаковыми радиусами R *= 6 см, насаженных на полуоси, вращающиеся при движении автомобиля на повороте с разными, но постоянными по
К задаче 24,35
величине угловыми скоростями <ot = 6 рад/с и (02 = 4 рад/с одинакового направления. Между шестеренками зажат бегущий сателлит радиуса г = 3 см, свободно насаженный на ось. Ось сателлита жестко заделана в кожухе и может вращаться вместе с ним вокруг задней оси автомобиля. Найти относительно корпуса автомобиля ускорения четырех точек Л4|, М2, М3 и М4 сателлита, лежащих на концах двух диаметров, как показано на рисунке.
Ответ: ао — 2,1 м/с2, йУг = 0,91 м/с2,	=
— Wi — 1,73 м/с2.
24.35(25.18). В дифференциале зуборезного станка ускорительное колесо 4 сидит на ведущем валу а свободно, вместе со скрепленным с ним жестко колесом 1. На конце ведущего вала а сидит головка, несущая ось CG Определить угловую скорость ведомого вала b
сателлитов 2—2.
с наглухо заклиненным колесом 3 в пяти случаях:
1) Угловая скорость ведущего вала а>я, угловая скорость ускорительного колеса о>4 = 0.
186
2)	Угловая скорость ведущего вала ®а, ускорительное колесо вращается в ту же сторону, что и ведущий вал, с угловой скоростью «4.
3)	Ускорительное колесо и ведущий вал вращаются в одну и ту же сторону с равными угловыми скоростями со4 = <оа.
4)	Ускорительное колесо и ведущий вал вращаются в одну и ту же сторону, причем <в4 == 2юа.
5)	Угловая скорость ведущего вала <оа, ускорительное колесо вращается в противоположную сторону с угловой скоростью о4.
Ответ: 1) со* = 2ыа; 2) со& ~ 2ыа — сщ; 3) со* = соа; 4) со* — 0; 5)	= 2©а со4.
24.36(25.19). В дифференциале зуборезного станка, описанном в предыдущей задаче, угловая скорость ведущего вала = = 60 об/мин. Определить, какова должна быть угловая скорость ускорительного колеса, чтобы ведомый вал был неподвижен.
Ответ: ®4 — 120 об/мин.
24.37(25.20). В дифференциале зуборезного станка ускорительное колесо 4 несет на себе ось сателлитов. Угловая скорость ведущего вала (£>а. Определить угловую скорость ведомого вала в следующих трех случаях:
1)	Ускорительное колесо 4 вращается в сторону ведущего вала с угловой скоростью «ц — аа.
2)	То же, но вращения ведущего вала и ускорительного колеса противоположны по направлению.
3)	Ускорительное колесо и ось сателлитов неподвижны.
Ответ: 1) coj = соа; 2) «о = —3wa; 3) «ц — —wa.
24	.38(25.21). В станочном дифференциале коническое колесо 1 заклинено на ведущем валу а, на конце ведомого вала b сидит головка, несущая ось СС сателлитов 2—2. На том же валу свободно сидит коническое колесо 3, составляющее одно целое с червячным колесом 4. Определить передаточное число при неподвижном червяке 5, а следовательно, и колесах 4 и 3, если все конические колеса одного радиуса.
187
К задаче 24.39
Ответ:	“=0,5.
24	.39(25.22). Двойной дифференциал состоит из кривошипа III, который может вращаться вокруг неподвижной оси ab. На кривошип свободно насажен сателлит IV, состоящий из двух наглухо скрепленных между собой конических зубчатых колес радиусов П = 5 см и г2 = 2 см. Колеса эти соединены с двумя коническими зубчатыми колесами I н II радиусов R] — 10 см и /?2 = 5 см, вращающимися вокруг оси ab, но с кривошипом не связанными. Угловые скорости колес I и II соответственно равны: «|=4,5 рад/с и ©г = 9 рад/с. Определить угловую скорость кривошипа <о3 и угловую скорость сателлита по отношению к кривошипу «из, если оба колеса вращаются в одну и ту же сторону.
Ответ: «з = 7 рад/с, «ц3 = = 5 рад/с.
идущую задачу, предполагая, что
зубчатые колеса I и II вращаются в противоположные сто-
24.40(25.23). Решить
ронь».
Ответ: «з = 3 рад/с, «43 = 15 рад/с.
24.41(25.24). Крестовина ABCD универсального шарнира Кардана— Гука (АВ X CD), употребляемого при передаче вращения между пересекающимися осями, вращается вокруг неподвижной е точки Е. Найти отношение ©,/©2 F	для валов’ связанных крестови-
ной, в ДВУХ случаях:
когда плоскость вилки ABF I/ rlr	горизонтальна, а плоскость вил-
D	ки CDG вертикальна;
2) когда плоскость вилки АВЕ к задаче 24.41	ВертИКЭЛЬНа, а ПЛОСКОСТЬ ВИЛКИ
CDG ей перпендикулярна.
Угол между осями валов постоянный: а = 60°.
Ответ: 1) &>j/a>2 = 1/cosa =2; 2) a>i/©2 = cos a = 0,5.
24.42(25.25). Шаровая дробилка состоит из полого шара диаметра d — 10 см, сидящего на оси АВ, на которой заклинено колесо с числом зубцов z4 =28. Ось АВ закреплена во вращающейся раме I в подшипниках а и Ь. Рама I составляет одно целое с осыр CD, приводящейся во вращение при помощи рукоятки III. Вращение шаровой дробилки вокруг оси АВ осуществляется при помощи зубчатых колес с числами зубцов zi = 80, z2 — 43, z3 = 28, причем первое из них неподвижно. Определить абсолютную угловую скорость, угловое ускорение дробилки и скорости и ускорения двух точек Е и F, лежащих в рассматриваемый момент времени на оси CD, если рукоятку вращают с постоянной угловой скоростью © — 4,3 рад/с.
188
Ответ: <оа=9,О8 рад/с, е = 34,4 рад/с2, иг“=ор=0,4 м/с, We = Wp = 4,68 м/с2.
24.43(25.26). Поворотная часть моста поставлена на катки в виде конических зубчатых колес К, оси которых закреплены в кольцевой раме L наклонно, так что их продолжения пересекаются
К задаче 24.42
К задаче 24.43
в геометрическом центре плоской опорной шестерни, по которой перекатываются опорные зубчатые колеса К. Найти угловую ско-
рость и угловое ускорение конического катка, скорости и ускорения точек А, В, С (Л —центр конического зубчатого колеса ВАС), если радиус основания катка г = 0,25 м, угол при вершине 2а, причем сова —84/85. Угловая скорость вращения кольцевой рамы
вокруг вертикальной оси соо = const = = 0,1 рад/с.
Ответ: <0 = 0,646 рад/с, е = =0,0646 рад/с2, и^ = 0,16 м/с, vB = = 0,32 м/с, i»c = 0, w^ = 0,016 м/с2, а’з = 0,П м/с2, wc = 0,105 м/с2.
24.44(25.27). Тело движется в пространстве, причем вектор угловой скорости тела равен о и направлен в данный момент по ося г. Скорость точки О тела равна v0 и образует с
осями у, г одинаковые углы, равные
45°. Найти точку твердого тела, скорость которой будет наименьшей, и определить величину этой скорости.
Ответ: vm!n =з п0 cos 45°. Такова скорость точек мгновенной винтовой оси, параллельной осн г, проходящей через точку с координатами х = — (и0 cos 45°)/w, у — 0.
24.45(25.28). Тело А вращается с угловой скоростью «1 вокруг оси у и движется поступательно со скоростью Vi вдоль той же оси. Тело В движется поступательно со скоростью v2, образующей угол а с осью у. При каком соотношении движение тела А по отношению к телу В будет чистым вращением? Где при этом будет лежать ось вращения?
Ответ: При V\/v2 ~ cos а относительное движение тела А по отношению к телу В будет чистым вращением вокруг оси, парал-
189
дельной у и отстоящей от нее на расстоянии I =	*1П а-, отложен-
ном по перпендикуляру к оси у и составляющей поступательной скорости sin а.
К задаче 24.45	к задаче 24.®
24.46(25.29). Твердое тело, имеющее форму куба со стороной а — 2 м участвует одновременно в четырех вращениях с угловыми скоростями g>j=<o4 = 6 рад/с, <т>2 = <о3 = 4 рад/с. Определить результирующее движение тела.
Ответ1. Тело движется поступательно со скоростью г, проекции которой равны vx — —12 м/с, vy = 12 м/с, vz = —8 м/с.
§ 25.	Смешанные задачи на сложное движение точки и твердого тела
25.1.	Колеса паровоза соединены спарником АВ. Колеса радиуса г = 80 см катятся без скольжения по рельсам налево. При движении из состояния покоя угол поворота колес <p=ZP0l4 изменяется по закону <р — ~t2 рад. Вдоль спарника АВ, в соответствии с уравнением $ = AM = (10 + 40f2) см, движется ползун
К задаче 25.1	К задаче 25.2
М. Определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение ползуна М в момент t = I с, если О,О2 = АВ, О(Д == О2В = г/2.
Ответ: vM — 460 см/с, wm =* 1170 см/с2.-
25.2.	Неподвижная шестерня 1 соединена цепью с одинаковой по радиусу подвижной шестерней 2. Шестерня 2 приводится в движение с помощью кривошипа ОА = 60 см, вращающегося против хода часовой стрелки по закону	рад. В момент времени
190
i ~ 0 кривошип ОА находился в правом горизонтальном положении. Вдоль горизонтальной направляющей ВС шестерни 2, совмещенной с осью s, движется ползун М, совершающий колебания около центра А по закону s = AM — 20 sin у t см. Определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение ползуна М в моменты времени: = 0, t2 — I с.
Ответ: ям, = 44,1 см/с, =31,4 см/с, шм<,= 16,5 см/с2, wm,— = 64,2 см/с2.
25.3.	Треугольная призма, образующая угол 45° с горизонтом, скользит направо по горизонтальной плоскости со скоростью v(y — 2t см/с). По наклонной грани призмы скатывается без скольжения круглый цилиндр. Модуль скорости его центра масс С относительно призмы равен vc — М см/с. Определить модуль абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки А, лежащей на ободе цилиндра, если в момент i = I с Z.ACD =90°.
Ответ: va — 6 см/с, wa = 5,60 см/с2.
К задаче 25.3	К задаче 25.4
25.4.	Коническая шестерня М приводится в движение по шестерне У с помощью оси ОС, закрепленной в точке О и вращающейся вокруг вертикальной оси z с постоянной угловой скоростью 2 рад/с. Горизонтальная платформа Р, к которой прикреплена шестерня У, движется ускоренно вертикально вниз, имея в данный момент скорость о=80 см/с и ускорение ш=80 д/3 см/с2. Угол ВОА =60°, диаметр АВ шестерни М равен 20 см, Найти абсолютные скорости и ускорения точек А и В шестерни М.
Ответ: вл = 80 см/с, vB— 100 см/с, IVa =0, Wb = 302 см/с2.
25.5.	Решить предыдущую задачу в предположении, что ось ОС вращается вокруг вертикальной оси г с угловой
скоростью, равной 2t рад/с. Найти абсолютные ускорения точек А и В конической шестерни М для момента времени t = I с.
Ответ: wa = 0,	= 308 см/с2.
25.6. Поворотный кран вращается вокруг вертикальной неподвижной оси 0,0? с угловой скоростью ш((о = 1 рад/с). Вдоль горизонтальной стрелы крана, совмещенной с осью s, катится без
191
скольжения тележка. Центр масс С ее заднего колеса радиуса 10 см движется по закону sc == ОС — 60(1 + I) см. Определить модуль абсолютной скорости точки М, лежащей на ободе колеса» в момент i = 1 с, если ZMCD^ 30°. Найти также модули абсолютных ускорений точек А и D, лежащих на ободе колеса, в момент t — 1 с, если Z.ACD = 90°.
Ответ: vm = 129 см/с, Wa — 278 см/с2, wd = 380 см/с2.
25.7. Шестерня 7 радиуса 10 см приводится в движение внутри шестерни 2 радиуса 40 см с помощью кривошипа ОС, вращающегося с постоянной угловой скоростью дю == 2 рад/с. Шестерня 2 в свою очередь вращается вокруг горизонтальной неподвижной оси О5О2 с постоянной угловой скоростью ® — 2 рад/с. Определить модули абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки А, лежащей на ободе шестерни 7, если Z.OC4 = Z OiOC = 90°.
Ответ: Va — 103,8 см/с, Wa = — 494 см/с2.
25.8.	Найти модуль абсолютного ускорения точки А в предыдущей задаче для момента времени i — 2 с, если вращение шестерни 2 вокруг неподвижной горизонтальной оси О\О2 происходит с переменной угловой скоростью <в (©=(2 — t) рад/с). Считать, что в момент времени t = 2 с точка А занимает положение, —	указанное на рисунке к предыдущей
задаче.
Ответ: wA =455 см/с2.
25.9.	Шестерня 1 радиуса 10 см приводится в движение по шестерне 2 радиуса 20 см посредством кривошипа ОС, вращающегося с угловой скоростью ©о = t рад/с. Шестерня 2 в свою очередь вращается вокруг неподвижной горизонтальной оси О\О2 с постоянной угловой скоростью ш (© = модуль абсолютной скорости и абсолютного ускорения в момент t = 1 с точки А, лежащей на ободе шестерни 7, если Z_O2OC = Z ОСА — 90°.
Ответ: вд = 73,5 см/с, wa — 207 см/с2.
25.10.	Кривошип ОС с помощью стержня АВ приводит в движение ползуны А и В, которые скользят вдоль взаимно перпендикулярных направляющих хну. Эти направляющие в свою очередь вращаются против хода часовой стрелки вокруг оси О с постоянной угловой скоростью <в(© = л/2 рад/с). Угол поворота ср кривошипа ОС, отсчитываемый от оси х против хода часовой стрелки, изменяется по закону ф = -^/ ряд. Найти модули абсолютной ско
К. Задаче 25.9
= 2 рад/с). Определить

рости и абсолютного ускорения точки М линейки АВ в момент времени t — 0, если ОС — АС = СВ = 2ВМ = 16 см.
Ответ: им = 44 см/с, w,« =93,8 см/с2.
25.11.	Конус 7 с углом при вершине О равным 60° катится без скольжения внутри конуса 2 с углом при вершине 120°. Конус 2 в свою очередь вращается вокруг неподвижной вертикальной оси О[О2 с постоянной угловой скоростью <в (ш = 3 рад/с). Точка В обода основания на диаметре ВС,
К задаче 25.11
конуса 7 лежит расположенном
К задаче 25.10
в одвой вертикальной плоскости с осью OtO2. Скорость точки В по модулю постоянна, равна 60 см/с и направлена за рисунок перпендикулярно плоскости ОВС-, ОВ = ОС = 20 см, Z COD =30°. Определить модули абсолютных ускорений точек В и С конуса I.
Ответ: wB =497 см/с2, wc =316 см/с2.
25.12.	Найти в момент времени 7 = 1 с геометрическое место точек конуса I, рассмотренного в предыдущей задаче, абсолютные ускорения которых не изменятся, несмотря на то, что скорость точки В булрт переменной и равной СО/ см/с.
Ответ: Точки конуса I, совмещенные с образующей ОС.
25.13.	Круговой конус катится без скольжения по горизонтальному диску, к которому он прикреплен вершиной Q. Диск в свою очередь вращается вокруг неподвижной вертикальной оси О\О2 с постоянной угловой скоростью ш (© — 2 рад/с). Скорость центра Л основания конуса относительно покоящегося диска равна по модулю 15 читателя перпендикулярно плоскости рисунка. Найти модули абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки С касания основания конуса с диском, если OQ = QC = QB = ВС = = 10 см.
Ответ'. Vc = 40 см/с, wc = 105 см/с2.
25.14.	Определить модуль абсолютного ускорения точки С, рассмотренной в предыдущей задаче, для момента времени / =1 с в предположении, что диск вращается ускоренно с угловым уско-
7 И. В. Мещерский	193
К задаче 25.13
см/с и направлена на
рением е(е = 2/ рад/с2), причем в начальный момент времени модуль угловой скорости был равен 2 рад/с.
Ответ-, wc — 197 см/с2.
25.15.	Гироскоп установлен на горизонтальной платформе L, вращающейся вокруг неподвижной вертикальной оси O,Of с по-
стоянной угловой скоростью = 2л рад/с). Гироскопом является диск К радиуса г = 10 см, вращающийся вокруг горизонтальной ОСИ О.,О', С ПОСТОЯННОЙ угловой скоростью <!)2(ц>2 — 8я рад/с). Ось О2О' в свою очередь вращается вокруг вертикальной оси O3O.j по закону ф3 = 2л/2 рад. В момент времени / — 0 диск К лежал в одной вертикальной плоскости с осью О{О\. Угол фз отсчитывается от этой плоскости в направлении, указанном на рисунке. Оси 020'2 и О3О'	- .^--7 /г
модули абсолютной
г пересекаются в центре диска /С Найти скорости- и абсолютного ускорения точки А, лежащей па верхнем конце вертикального диаметра АВ диска К в момент времени t = 1 с, если расстояние между параллельными осями и ОЯО'Л равно ООз — 30 см.
Ответ: гм=314 = 7170 см/с2.
см/с, Wa ~
К задаче 25.16
25.16.	Вдоль шатуна АВ кривошипно-ползунного механизма ОАВ около точки С совершает колебания муфта М по закону s — СМ = 20 sin —t см (ось s, направленная вдоль шатуна АВ, имеет начало в центре С шатуна). Кривошип ОА вращается вокруг горизонтальной оси О, перпендикулярной плоскости рисунка, против хода часовой стрелки по закону ф=у/ рад. Определить модули абсолютной скорости и абсолютного ускорения муфты М в момент времени t — 0, если ОА = 10 см, АС — СВ = АВ/2 = = 20 см.
Ответ: ум —32,3 см/с, = 37,2 см/с2.
25.17.	Стержень АВ длины 4 м скользит концом А вниз вдоль оси у, а концом В вдоль оси х направо. Точка .4 движется по закону ул=(5 — /2) м. Одновременно вдоль стержия от А к В соскальзывает точка М. Определить модуль абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки М в момент t = 1 с, если уравнение движения точки М вдоль оси s, совмещенной со стержнем, имеет вид s — AM — 2 V2 t2 м.
Ответ: vm 7,05 м/с, Wm =* 8,06 м/с2.
194
25.18.	Круговой конус / с углом при вершине равным 120° прикреплен к неподвижному конусу 2 с углом при вершине 60° шарниром О и катится без скольжения. При этом ось ОА конуса 1 совершает вокруг вертикальной оси О|О2 один оборот в секунду. Вдоль диаметра ВС =20 см основания конуса 1 проложена направляющая, по которой скользит ползун М, совершая колебания
около центра А по закону s = AM — 10 соз2я£ см. В начальный момент времени t = 0 направляющая ВС лежит в одной вертикальной плоскости с шарниром О. Найти модуль абсолютного ускорения ползуна М в момент t = 0.
Ответ, wm *= 572 см/с2.
ОТДЕЛ ТРЕТИЙ
ДИНАМИКА
ГЛАВА IX
ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ’)
§ 26.	Определение сил по заданному движению
26-1(26.1). В шахте опускается равноускоренно лифт массы 280 кг. В первые 10 с он проходит 35 м. Найти натяжеиие каната, на котором висит лифт.
Ответ: 2548 Н.
26.2(26.2). Горизонтальная платформа, на которой лежит груз массы 1,02 кг, опускается вертикально вниз с ускорением 4 м/с2. Найти силу давления, производимого грузом на платформу во время их совместного спуска.
Ответ: 5,92 Н.
26.8(26.3). К телу массы 3 кг, лежащему на столе, привязали нить, другой конец которой прикреплен к точке А. Какое ускорение надо сообщить точке А, поднимая тело вверх по вертикали, чтобы нить оборвалась, если она рвется при натяжении 7 = 42 Н.
Ответ: 4,2 м/с2.
26.4(26.4). При подъеме клетки лифта график скоростей имеет вид, изображенный на рисунке. Масса клетки 480 кг. Определить натяжения Ть 7г, Гз каната, к которому привешена клетка, в течение трех
промежутков времени: 1) от t = 0 до t = 2 с; 2) от i — 2 до t = = 8 с и 3) от f = 8 с до / = 10 с.
Ответ: Л = 5904 Н, Т2 = 4704 Н, Т3 = 3504 Н.
26,5(26.5). Камень массы 0,3 кг, привязанный к нити длины 1 м, описывает окружность в вертикальной плоскости. Определить наименьшую угловую скорость ы камня, при которой произойдет разрыв ннти, если сопротивление ее разрыву равно 9 Н.
Ответ: comm = 4,494 рад/с.
26.6(26.6). На криволинейных участках железнодорожного пути возвышают наружный рельс над внутренним для того, чтобы сила
jy
К задаче 26.4
*) Во всех задачах динамики, если нет специального указания, массой пружин, упругих балок, силами сопротивления и т. п. следует пренебречь.
196
давления проходящего поезда на рельсы была направлена перпендикулярно полотну дороги. Определить величину h возвышения наружного рельса над внутренним при следующих данных: радиус закругления 400 м, скорость поезда 10 м/с, расстояние между рельсами 1,6 м.
Ответ: h — 4,1 см.
26,7(26.7). В вагоне поезда, идущего сначала по прямолинейному пути, а затем по закругленному со скоростью 20 м/с, производится взвешивание некоторого груза на пружинных весах; весы в первом случае показывают 50 Н, а на закруглении 51 Н. Определить радиус закругления пути.
Ответ: 203 м.
26.8(26.8). Гиря массы 0,2 кг подвешена к концу нити длины 1 м; вследствие толчка гиря получила горизонтальную скорость 5 м/с. Найти натяжение нити непосредственно после толчка.
Ответ: 6,96 Н.
26.9(26.9). Груз М массы 0,102 кг, подвешенный на нити длины 30 см в неподвижной точке О, представляет собой конический
маятник, т. е. описывает окружность в горизонтальной плоскости, причем нить составляет с вертикалью угол 60°. Определить скорость v груза и натяжение Т нити.
Ответ: v = 2,1 м/с, Т = 2 Н.
26.10(26.10). Автомобиль массы 1000 кг движется по выпуклому мосту со скоростью о=10 м/с. Ра-
К задаче 26.9
диус кривизны в середине моста
р = 50 м. Определить силу давления автомобиля на мост в момент прохождения его через середину моста.
Ответ: 7800 Н.
26.11(26.11). В поднимающейся кабине подъемной машины производится взвешивание тела на пружинных весах. При равномерном движении кабины показание пружинных весов равно 50 Н, при ускоренном — 51 Н, Найти ускорение кабины.
Ответ: 0,196 м/с2.
26.12(26.12). Масса кузова трамвайного вагона 10 000 кг. Масса тележки с колесами 1000 кг. Определить силу наибольшего и наименьшего давления вагона на рельсы горизонтального прямолинейного участка пути, если на ходу кузов совершает на рессорах вертикальные гармонические колебания по закону х — 0,02 sin 10/ м.
Ответ: Nmax = 12,78 Ю4 Н, Mrain = 8,78-10* Н.
26.13 (26.13). Поршень двигателя внутреннего сгорания совершает горизонтальные колебания согласно закону х = = г (созю/ +-^ cos2(o/) см, где г —длина кривошипа, / — длина шатуна, <в — постоянная по величине угловая скорость вала. Определить наибольшее значение силы, действующей на поршень, если масса последнего М.
197
Ответ: Р — Mr<a2(l +r/l)~.
26.14(26.14). Решето рудообогатительного грохота совершает вертикальные гармонические колебания с амплитудой а = 5 ем. Найти наименьшую частоту k колебаний решета, при которой куски руды, лежащие на нем, будут отделяться от него и подбрасываться вверх.
Ответ: k — 14 рад/с.
26.15(26-15). Тело массы 2,04 иг совершает колебательное дви-
* л/ жение по горизонтальной прямой согласно закону х = lOsin — м. Найти зависимость силы, действующей на тело, от координаты %, а также наибольшую величину этой силы.
Ответ: F = —5,033% Н, Fmax — 50,33 Н.
26.16(26.16). Движение материальной точки массы 0,2 кг выражается уравнениями х — 3cos2nZ см, у = 4 sin nt см (t в с). Определить проекции силы, действующей на точку, в зависимости от ее координат.
Ответ: X = —0,0789% Н, У = —0,0197г/ Н.
26.17(26.17). Шарик, масса которого равна 100 г, падает под действием силы тяжести и при этом испытывает сопротивление воздуха. Движение шарика выражается уравнением
% = 4,9? — 2,45 (1 — е-2<),
где х — в метрах, t — в секундах, оср Ох направлена по вертикали вниз. Определить силу сопротивления воздуха R и выразить ее как функцию скорости шарика.
Ответ: R = 0,98 (1 — <г2() Н == 0,2о Н.
26.18(26.18). Масса стола строгального станка 700 кг, масса обрабатываемой детали 300 кг, скорость хода, стола v = 0,5 м/с, время разгона t = 0,5 с. Определить силу, необходимую для разгона (считая движение равноускоренным) и для дальнейшего равномерного движения стола, если коэффициент трения при разгоне fi = 0,14, а при равномерном движении f2 = 0,07.
Ответ: F{ = 2372 И; Г2 = 686 Н.
26.19(26.19). Груженая вагонетка массы 700 кг опускается по канатной железной дороге с уклоном а = 15°, имея скорость и =1,6 м/с. Определить натяжение каната при равномерном спуске и при торможении вагонетки. Время торможения f = 4 с, общий коэффициент сопротивления движению / = 0,015. При торможении вагонетка движется равнозамедленно.
Ответ: Т{ = 1676 11, Т2 = 1956 Н.
26.20(26.20). Груз массы 1000 кг перемещается вместе с тележкой вдоль горизонтальной фермы мостового крана со скоростью о = 1 м/с. Расстояние центра тяжести груза до точки подвеса •/=5 м. При внезапной остановке тележки груз по инерции будет продолжать движение н начнет качаться около точки подвеса. Определить наибольшее натяжение каната при качании груза.
Ответ; Т = 10 000 Н.
198
26.21(26.21). Определить отклонение а от вертикали и силу давления /V вагона на рельс подвесной дороги при движении ва-гона по закруглению радиуса R = 30 м со скоростью о = 10 м/с. Масса вагона 1500 кг.
Ответ; а = 18° 47'; N = 15 527 Н.
26.22(26.22), Масса поезда без локомотива равна 2-Ю5 кг. Двигаясь по горизонтальному пути равноускоренно, поезд через 60 с после начала движения приобрел скорость 15 м/с. Сила трения равна 0,005 веса поезда. Определить натяжение стяжки между поездом и локомотивом в период разгона.
Ответ; 59800 Н.
26.23(26.23). Спортивный самолет массы 2000 кг летит горизонтально с ускорением 5 м/с2, имея в данный момент скорость 200 м/с. Сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости и при скорости в 1 м/с равно 0,5 Н. Считая силу сопротивления направленной в сторону, обратную скорости, определить силу тяги винта, если она составляет угол в 10° с направлением полета. Определить также величину подъемной силы в данный момент.
Ответ; Сила тяги равпа 30 463 Н, подъемная сила равна 14310 Н.
26.24(26.24). Грузовой автомобиль массы 6000 кг въезжает на паром со скоростью 6 м/с. Заторможенный с момента въезда на паром автомобиль остановился, пройдя 10 м. Считая движение
автомобиля равнозамедленным, найти натяжение каждого из двух канатов, которыми паром привязан к берегу. При решении задачи пренебречь массой и ускорен нисм парома.
Ответ: Натяжение каждого каната 5400 II.
26.25(26.2.5). Грузы А и В веса Рл — 20 Н и Рв ~ 40 Н соединены между собой пружиной, как показано на рисунке. Груз А
совершает свободные колебания к задаче 26.23 К задаче 26.26 по вертикальной прямой с ам-
плитудой 1 см и периодом 0,25 с. Вычислить силу наибольшего и наименьшего давлепия грузов Л и В на опорную поверх-
ность CD.
Ответ; Rmax = 72,8 Н, /?min =47,2 Н.
26.26. Груз массы М — 600 кг посредством ворота поднимают по наклонному шурфу, составляющему угол 60° с горизонтом. Коэффициент трения груза о поверхность шурфа равен 0,2. Ворот радиуса 0,2 м вращается по закону ф = 0,4/3. Найти натяжение троса, как функцию времени и значение этого натяжения через 2 с после начала подъема.
Ответ: Т = (5,68 -|- 0,288/) кН; при / = 2 с Т = 6,256 кН.
199
26.27(26.27). Самолет, пикируя отвесно, достиг скорости 300 м/с, после чего летчик стал выводить самолет из пике, описывая дугу окружности радиуса R = 600 м в вертикальной плоскости. Масса летчика 80 кг. Какая наибольшая сила прижимает летчика к креслу?
Ответ: 12 784 Н.
26.28(26,30). Груз М веса 10 Н подвешен к тросу длины /=2 м и совершает вместе с тросом колебания согласно уравнению <р =
— sin 2л/, где <р — угол отклонения троса от вертикали в радианах, /—время в секундах. Определить натяжения и Т2 троса в верхнем и нижнем положениях груза.
Ответ: Ti =32,1 Н, 72 = 8,65 Н.
26.29(26.31). Велосипедист описывает кривую радиуса 10 м со скоростью 5 м/сек. Найти угол наклона срединной плоскости велосипеда к вертикали, а также тот наименьший коэффициент трения между шинами велосипеда и полотном дороги, при котором будет обеспечена устойчивость вело-
участках внешний
К задаче 26.31
К задаче 26.28 СИПвДЗ»
Ответ: 14° 20'; 0,255.
26.30(26.32). Велосипедный трек на кривых участках пути имеет виражи, профиль которых в поперечном сечении представляет собой прямую, наклонную к горизонту, так что на кривых край трека выше внутреннего. С какой наименьшей и с какой наибольшей скоростью можно ехать по виражу, имеющему радиус R и угол наклона к горизонту а, если коэффициент трения резиновых шин о грунт трека равен f?
Ответ: umi„= ^gR^Z_L ,
= д/gfl fZ/tga •
26.31 (26.33). Во избежание несчастных случаев, происходивших от разрыва маховиков, устраивается следующее приспособление. В ободе маховика помещается тело /4, удерживаемое внутри его пружиной S; ко
гда скорость маховика достигает предельной величины, тело А концом своим задевает выступ В задвижки CD, которая и закрывает доступ пара в машину. Пусть масса тела А равна 1,5 кг, расстояние е выступа В от маховика равно 2,5 см, предельная угловая скорость маховика 120 об/мин. Определить необходимый коэффициент жесткости пружины с (т. е. величину силы, под действием которой пружина сжимается на 1 см), предполагая, что масса тела А сосредоточена в точке, рае-
200
стояние которой от оси вращения маховика в изображенном на рисунке положении равпо 147,5 см.
Ответ: 145,6 Н/см.
26.32(26.34). В регуляторе имеются гири А массы 30 кг, которые могут скользить вдоль горизонтальной прямой AW; эти гири соединены пружинами с точками М и М; центры тяжести гирь совпадают с концами пружин. Расстояние конца каждой пружины от оси О, перпендикулярной плоскости рисунка, в ненапряженном состоянии равно 5 см, изменение длины пружины на 1 см
К задаче 26.32
К задаче 26.33
вызывается силой в 200 Н. Определить расстояние центров тяжести гирь от оси О, когда регулятор, равномерно вращаясь вокруг оси О, делает 120 об/мин.
Ответ: 6,55 см.
26.33(26.35). Предохранительный выключатель паровых турбин состоит из пальца А массы m — 0,225 кг, помещенного в отверстии, просверленном в передней части вала турбины перпендикулярно оси, и отжимаемого внутрь пружиной; центр тяжести пальца отстоит от оси вращения вала на расстоянии / = 8,5 мм при нормальной скорости вращения турбины п = 1500 об/мин. При увеличении числа оборотов на 10% палец преодолевает реакцию пружины, отходит от своего нормального положения на расстояние х = 4,5 мм, задевает конец рычага В и освобождает собачку С, связанную системой рычагов с пружиной, закрывающей клапан парораспределительного механизма турбины. Определить жесткость пружины, удерживающей тело А, т. е. силу, необходимую для сжатия ее на 1 см, считая реакцию пружины пропорциональной ее сжатию.
Ответ: с = 89,2 Н/см.
26.34(26.36). Точка массы m движется по эллипсу +	!•
Ускорение точки параллельно оси у. При / = 0 координаты точки
20.
были х — О, у = Ь, начальная скорость п0- Определить силу, действующую на движущуюся точку
К задаче 26.35
в каждой точке ее траектории.
Ответ-. =
26.35(26.37). Шарик массы m закреплен на конце вертикального упругого стержня, зажатого нижним концом в неподвижной стойке. При небольших отклонениях стержня от его вертикального равновесного положения можно приближенно считать, что центр шарика движется в горизонтальной плоскости Оху, проходящей через верхнее равновесное положение центра шарика. Определить закон изменения силы, с которой упругий, изогнутый стержень действует на шарик, если выведенный из своего положения равновесия, принятого за начало координат, шарик движется согласно уравнениям x = «cos&/, у = b sin kt, где a, b, k— постоянные величины.
Ответ: F = mk2r, где г = -у/х2 + у2.
§ 27.	Дифференциальные уравнения движения
а) Прямолинейное движение
27.1(27.1). Камень падает в шахту без начальной скорости. Звук от удара камня о дно шахты услышан через 6,5 с от момента начала его падения. Скорость звука равна 330 м/с. Найти глубину шахты.
Ответ: 175 м.
27.2(27.2). Тяжелое тело спускается по гладкой плоскости, наклоненной под углом 30° к горизонту. Найти, за какое время тело пройдет путь 9,6 м, если в начальный момент его скорость равнялась 2 м/с.
Ответ: 1,61 с.
27.3(27.3). При выстреле из орудия снаряд вылетает с горизонтальной скоростью 570 м/с. Масса снаряда 6 кг. Как велико среднее давление пороховых газов, если снаряд проходит внутри орудия 2 м? Сколько времени движется снаряд в стволе орудия, если считать давление газов постоянным?
Ответ: Р = 4,88-10s Н, £ = 0,007 с.
27.4(27.4). Тело массы m вследствие полученного толчка прошло по негладкой горизонтальной плоскости за 5 с расстояние s = 24,5 м и остановилось, Определить коэффициент трения /.
Ответ: f — 0,2.
202
27.5(27.5). За какое время и на каком расстоянии может быть ' остановлен тормозом вагон трамвая, идущий по горизонтальному пути со скоростью 10 м/с, если сопротивление движению, развиваемое при торможении, составляет 0,3 веса вагона.
Ответ: t — 3,4 с, s = 17 м.
27.6(27.6), Принимая в первом приближении сопротивление откатника постоянным, определить продолжительность отката ствола полевой пушки, если начальная скорость отката равна 10 м/с, а средняя длина отката равна 1 м.
Ответ: 0,2 с.
27.7(27.7). Тяжелая точка поднимается по негладкой наклонной плоскости, составляющей угол а —30° с горизонтом. В начальный момент скорость точки равнялась по — 15 м/с. Коэффициент трения / = 0,1. Какой путь пройдет точка до остановки? За какое время точка пройдет этот путь?
Ответ: s— 19,57 м, / — 2,61 с.
27.8(27.8). По прямолинейному железнодорожному пути с углом наклона а —10° вагон катится с постоянной скоростью. Считая сопротивление трения пропорциональным нормальному давлению, определить ускорение вагона и его скорость через 20 с после начала движения, если он начал катиться без начальной скорости по пути с углом наклона 0 = 15°. Определить также, какой путь пройдет вагон за это время.
Ответ: а ~	8	°’867 м/с’’ V '~c£a5)g/ “ 17’35 м/с’
sin(0-a) ^== 173 5 м. cos а 2
27.9(27.9). Найти наибольшую скорость падения шара массы 10 кг и радиуса г —8 см, принимая, что сопротивление воздуха равно = где v — скорость движения, о—площадь проекции тела на плоскость, перпендикулярную направлению его движения, и k — численный коэффициент, зависящий от формы тела и имеющий для шара значение 0,24 Н-с2/м4.
Ответ: утах = 142,5 м/с.
27.10(27,10). Два геометрически равных и однородных шара сделаны из различных материалов. Плотности материала шаров соответственно равны yi и у2. Оба шара падают в воздухе. Считая сопротивление среды пропорциональным квадрату скорости, определить отношение максимальных скоростей шаров.
Ответ:
2 глад
Y1
V2
27.11(27.11). При скоростном спуске лыжник массы 90 кг скользил по склону в 45°, не отталкиваясь палками. Коэффициент трения лыж о снег [ = 0,1. Сопротивление зоздуха движению лыжника пропорционально каадрату скорости лыжника и при скорости в 1 м/с равно 0,635 Н. Какую наибольшую скорость мог развить лыжник? Насколько увеличится максимальная ско
203
рость, если подобрав лучшую мазь, лыжник уменьшит коэффициент трения до 0,05?
Ответ-. У] max = 29,73 м/с; скорость увеличится до c2mas== = 30,55 м/с.
27.12(27.12). Корабль движется, преодолевая сопротивление воды, пропорциональное квадрату скорости и равное 1200 Н при скорости в 1 м/с. Сила упора винтов направлена по скорости движения и изменяется по закону Т = 12-105(1 — у/33) Н, где v — скорость корабля, выраженная в м/с. Определить наибольшую скорость, которую может развить корабль.
Ответ: Umax = 20 м/с.
27.13(27.13). Самолет летит горизонтально. Сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости и равно 0,5 Н при скорости в I м/с. Сила тяги постоянна, равна 30 760 II и составляет угол в 10° с направлением полета. Определить наибольшую скорость самолета.
Ответ: Отах = 246 м/с.
27.14(27.14). Самолет массы 104 кг приземляется на горизонтальное поле на лыжах. Летчик подводит самолет к поверхности без вертикальной скорости и вертикального ускорения в момент приземления. Сила лобового сопротивления пропорциональна квадрату скорости и равна 10 Н при скорости в 1 м/с. Подъемная сила пропорциональна каадрату скорости и равна 30 II при скорости в 1 м/с. Определить длину и время пробега самолета до остановки, приняв коэффициент трения f = 0,1.
Ответ: S = 909,3 м, Т — 38,7 с.
27.15(27.15). Самолет начинает пикировать без начальной вертикальной скорости. Сила сопротивления воздуха пропорциональна квадрату скорости. Найти зависимость между вертикальной скоростью в данный момент, пройденным путем и максимальной скоростью пикирования.
Ответ: v = omax 1 — е 2®*°П1ах .
27.16(27.16). На какую высоту Н и за какое время Т поднимется тело веса р, брошенное вертикально вверх со скоростью Но, если сопротивление воздуха может быть выражено формулой k2pv2, где v — величина скорости тела?
и~ 1п (^2+ ’) т arctgfet)o 2#fe2	kg
27.17(27.17). Тело массы 2 кг, брошенное вертикально вверх со скоростью 20 м/с, испытывает сопротивление воздуха, которое при скорости v м/с равно 0,4v Н, Найти, через сколько секунд тело достигнет наивысшего положения.
Ответ: 1,71 с.
27.18(27.18). Подводная лодка, не имевшая хода, получив небольшую отрицательную плавучесть р, погружается на глубину, двигаясь поступательно. Сопротивление воды при небольшой отрицательной плавучести можно принять пропорциональным пер
201
вой степени скорости погружения и равным kSv, где k — коэффициент пропорциональности, S — площадь горизонтальной проекции лодки, и — величина скорости погружения. Масса лодки равна М. Определить скорость погружения v, если при t = 0 скорость Уо == 0.
Ответ-. v=-^-(j — e м О •
27.19(27.19). При условиях предыдущей задачи определить путь 2, пройденный погружающейся лодкой за время Т.
Ответ: 2 = ^-[t--^(1 -Г^Т)].
27.20(27.21). Какова должна быть постоянная тяга винта Т при горизонтальном полете самолета, чтобы, пролетев s метров, самолет увеличил свою скорость с м/с до щ м/с. Тяга винта направлена по скорости полета. Сила лобового сопротивления, направленная в сторону, противоположную скорости, пропорциональна квадрату скорости и равна а Н при скорости в 1 м/с. Масса самолета М кг.
„ Л,2	,2.2aS/M\
п „ т a(vo-L’ie ) н
Ответ: Т = —“ н-
27.21(27.22). Корабль массы 107 кг движется со скоростью 1’6 м/с. Сопротивление воды пропорционально квадрату скорости корабля и равно 3-105 Н при скорости 1 м/с. Какое расстояние пройдет корабль, прежде чем скорость его станет равной 4 м/с? За какое время корабль пройдет это расстояние?
Ответ: s = 46,2 м, Т = 6,25 с.
27.22(27.23). Тело падает в воздухе без начальной скорости. Сопротивление воздуха —£2ро2, где и — величина скорости тела, р — вес тела. Какова будет скорость тела по истечепии времени t после начала движения? Каково предельное значение скорости?
1 еМ_е-М	1
Омет: «=- в.«, + е-г8,. ». =7-
27.23(27.24). Корабль массы 1,5-106 кг преодолевает сопротивление воды, равное 7? = an2 Н, где v— скорость корабля в м/с, a a — постоянный коэффициент, равный 1200. Сила упора винтов направлена по скорости в сторону движения и изменяется по закону 7= 1,2-106(1 — ц/33) Н. Найти зависимость скорости корабля от времени, если начальная скорость равна м/с.
Пт„ет. 70^+20 (У, + 50) (еШМ-1)
Ответ. 70 + (v0 4-50) (eoose* — 1) '
27.24(27.25). В предыдущей задаче найти зависимость пройденного пути от скорости.
Ответ: х = 8931п + 357 In (м).
205
27.25(27.26). В задаче 27.23 найти зависимость пути от времени при начальной скорости у0— 10 м/с.
Ответ: х = 12501п (Ц(| + 50)е	4-zj —р„—При
х= 1250 In	_50/.
27.26(27.27). Вагон массы 9216 кг приходит в движение вследствие действия ветра, дующего вдоль полотна, и движется но горизонтальному пути. Сопротивление движению вагона равно 1/200 его веса. Сила давления ветра Р = kSu2, где S — площадь задней стенки вагона, подверженной давлению ветра, равная 6 м2, и — скорость ветра относительно вагона, a k= 1,2. Абсолютная скорость ветра у — 12 м/с. Считая начальную скорость вагона равной нулю, определить:
1)	наибольшую скорость утах вагона;
2)	время Т, которое потребовалось бы для достижения этой скорости;
3)	на каком расстоянии х вагон наберет скорость 3 м/с. Ответ: 1) Отах = 4,08 м/с, 2) Т — со, 3) х — 175,5 м.
27.27(27.28). Найти уравнение движения точки массы т, падающей без начальной скорости на Землю. Сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости. Коэффициент пропорциональности равен k.
Ответ: х = In ch д/ — I. k \/ m
27.28(27.29). Буер, весящий вместе с пассажирами Q= 1962 Н, движется прямолинейно по гладкой горизонтальной поверхности льда вследствие давления ветра на парус, плоскость которого ab образует угол 45° с па-уС правлением движения. Абсолютная скорость t w ветра перпендикулярна направлению дви-° жения- Величина силы давления ветра Р вы-ражается формулой Ньютона: Р — kSu2 cos2 ср, ft |	где ср — угол, образуемый относительной ско-
и и	ростью ветра « с перпендикуляром N к пло-
к задаче 27.28	скости паруса, S —5 м2 — площадь паруса,
k = 0,113—опытный коэффициент. Сила давления Р направлена перпендикулярно плоскости ab. Пренебрегая трением, найти: 1) какую наибольшую скорость угаах может получить буер; 2) какой угол а составляет при этой скорости помещенный на мачте флюгер с плоскостью паруса; 3) какой путь xj должен пройти буер для того, чтобы приобрести скорость ы=г/3да, если его начальная скорость равна нулю.
Ответ: 1) t»max = w, 2) а = 0°, 3) xj = 88,5 м.
27.29(27.30). Вожатый трамвая, выключая постепенно реостат, увеличивает мощность вагонного двигателя так, что сила тяги возрастает от пуля пропорционально времени, увеличиваясь на 1200 Н в течение каждой секунды. Найти зависимость пройден-
206
кого пути от времени движения вагона при следующих данных: масса вагона 10000 кг, сопротивление трения постоянно и составляет 0,02 веса вагона, а начальная скорость равна нулю.
Ответ: Движение начнется через 1,635кс после включения тока по закону, s = 0,02 (/ — 1,635)3 м.
27.30(27.31). Тело массы 1 кг движется под действием переменной силы F= 10(1—t) Н, где время t — в секундах. Через сколько секунд тело остановится, если начальная скорость тела по — 20 м/с и сила совпадает по направлению со скоростью тела? Какой путь пройдет тело до остановки?
Ответ: t — 3,236 с, s = 50,6 м.
27.31(27.32). Материальная точка массы m совершает прямолинейное движение под действием силы, изменяющейся по закону f = £0cos®f, где Fo и <в — постоянные величины. В начальный момент точка имела скорость %о — ^о- Найти уравнение движения точки.
Ответ: х —	(1 — cos ©/) + и0/.
27.32(27.33). Частица массы т, несущая заряд электричества е, находится в однородном электрическом поле с переменным напряжением £ = XsinW (Л и k — заданные постоянные). Определить движение частицы, если известно, что в электрическом поле на частицу действует сила F — eE, направленная в сторону напряжения Е. Влиянием силы тяжести пренебречь. Начальное положение частицы принять за начало координат; начальная скорость частицы равна нулю.
„	еА (. sin kt х
Ответ: х =—(t----------
27.33(27.34). Определить движение ^тяжелого шарика вдоль воображаемого прямолинейного канала, проходящего через центр Земли, если принять, что сила притяжения внутри земного шара пропорциональна расстоянию движущейся точки от центра Земли и направлена к этому центру; шарик опущен в канал с поверхности Земли без начальной скорости. Указать также скорость шарика при прохождении через центр Земли и время движения до этого центра. Радиус Земли равен /? = 6,37-106 м, ускорение силы притяжения на поверхности Земли принять равным g ~ = 9,8 м/с2.
Ответ: Расстояние шарика от центра Земли меняется по аакону х =/? cos /, и =7,9 • Ю3 м/с, Т = 1266,4 с = 21,1 мин.
27.34(27.35). Тело падает на Землю с высоты h без начальной скорости. Сопротивлением воздуха пренебречь, а силу притяжения Земли считать обратно пропорциональной квадрату расстояния тела от центра Земли. Найти время Т, по истечении которого тело достигнет поверхности Земли. Какую скорость v оно приобретет за это время? Радиус Земли равен /?; ускорение силы тяжести у поверхности Земли равно g.
20/
Ответ-, w = aJ♦
V К + Л
т	1 I R + h f /-^г , 7? 4-й	R — h\
Т	R У 2g \У^ +	2 arccos /?4-л)'
27.35(27.36). Материальная точка массы tn отталкивается от центра силой, пропорциональной расстоянию (коэффициент пропорциональности mk2). Сопротивление среды пропорционально скорости движения (коэффициент пропорциональности 2/«£i). В начальный момент точка находилась на расстоянии а от центра, и ее скорость в этот момент равнялась нулю. Найти закон движения точки.
Ответ: х— (ае?е + где а — д/ft2 + ft2 -ф k}, р =
= V<+X-fer
27.36(27.37). Точка массы m начинает двигаться без начальной скорости из положения х — р прямолинейно (вдоль оси х) под действием силы притяжения к началу координат, изменяющейся по закону R = а/х2. Найти момент времени, когда точка окажется в положении х( — р/2. Определить скорость точки в этом положении.
'‘=r^Vf('+?)
27.37(27,38). Точка массы tn начинает двигаться из состояния покоя из положения х0 = а прямолинейно под действием силы притяжения, пропорциональной расстоянию от начала координат: Fx = —Cj/nx, и силы отталкивания, пропорциональной кубу расстояния: Qx = c2mx2. При каком соотношении сь с2, а точка достигает начала координат и остановится?
Ответ: с{ = l/iC2a2.
27.38(27.40). При движении тела в неоднородной среде сила сопротивления изменяется по закону F — —	- И, где v —
скорость тела в м/с, а s — пройденный путь в метрах. Определить пройденный путь как функцию времени, если начальная скорость v0= 5 м/с.
Ответ: s = 3 [д/б? -ф 1 — 1 ] м.
б) Криволинейное движение
27.39(27.41). Морское орудие выбрасывает снаряд массы 18 кг со скоростью = 700 м/с, действительная траектория снаряда в воздухе изображена на рисувке в двух случаях: 1) когда угол, составляемый осью орудия с горизонтом, равен 45° и 2) когда этот угол равен 75°. Для каждого из указанных двух случаев определить, на сколько километров увеличилась бы высота и дальность полета, если бы снаряд не испытывал сопротивления воздуха.
208
Ответ'. Увеличение высоты: 1) 7,5 км, 2) 12 км. Увеличение дальности: 1) 36,5 км, 2) 16,7 км.
27.40(27.42). Самолет А летит на высоте 4000 м над землей с горизонтальной скоростью 140 м/с. На каком расстоянии v, измеряемом по горизонтальной прямой от данной точки В, должен быть сброшен с самолета без начальной относительной скорости какой-либо груз для того, чтобы
он упал в эту точку? Сопротивлением зоздуха пренебречь.
Ответ: х = 4000 м.
27.41(27.43). Самолет А летит над землей на высоте h с тори-
орудия В произведен выстрел по самолет находится на одной вер-
зонтальной скоростью t>(. Из самолету в тот момент, когда тикали с орудием. Найти: 1) какому условию должна удовлетворять начальная скорость у0 снаряда для того, чтобы он мог попасть в самолет, и 2) под каким углом а к горизонту должен быть сделан выстрел. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Ответ: 1)	2gh; 2) cosa = »,/и0.
27.42(27.44). Наибольшая горизонтальная дальность снаряда равна L. Определить его горизонтальную дальность I при угле бросания а = 30° и высоту h траектории в этом случае. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Ответ: I ~	- L, h = ~.
27.43(27.45). При угле бросания а снарнд имеет горизонтальную дальность 1а. Определить горизонтальную дальность при угле бросания, равном а/2. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Ответ: 1а/2 = -к—~—• '	2 cos а
27.44(27.47). Определить угол наклона ствола орудия к горизонту, если цель обнаружена на расстоянии 32 км, а начальная скорость снаряда по = 6О0 м/с. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Ответ: а( — 30° 18', а2 = 59° 42'.
27.45(27.48). Решить предыдущую задачу в том случае, когда цель будет находиться на высоте 200 м над уровнем артиллерийских позиций.
Ответ: ai = 30° 50', а2 — 59° 31'.
209
27.46(27.49). Из орудия, находящегося в точке О, произвели выстрел под углом а к горизонту с начальной скоростью о0. Одновременно из точки А, находящейся на расстоянии I по горизонтали от точки О, произвели выстрел вертикально вверх. Определить, с какой начальной скоростью и, надо выпустить второй снаряд, чтобы он столкнулся с первым снарядом, если скорость в0 и точка А лежат в одной вертикальной плоскости. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Ответ: О] = у0 sin а (независимо от расстояния I, для I < a® sin 2а \
< Я ) 
27.47(27.50). Найти геометрическое место положений в момент I материальных точек, одновременно брошенных в вертикальной плоскости из одной точки с одной и той же начальной скоростью v0 под всевозможными углами к горизонту.
Ответ: Окружность радиуса vot с центром, лежадцим на вертикали точки бросания, ниже этой точки на l/2gt2.
27.48(27.51). Найти геометрическое место фокусов всех параболических траекторий, соответствующих одной и той же начальной скорости vo и всевозможным углам бросания.
„	2)2 "О
Ответ: х2 + У
27.49(27.52). Тело веса Р, брошенное с начальной скоростью Vq под углом а к горизонту, движется под влиянием силы тяжести и сопротивления р воздуха. Определить наибольшую высоту h тела над уровнем начального положения, считая сопротивление пропорциональным первой степени скорости: Р — kPv.
Ответ: h =	in (1 + kv0 sin а).
27.50(27.53). В условиях задачи 27.49 найти уравнения движения точки.
Ответ: х=^^~(1~е^), у =	(v0 sin а £(1-е-^)_
_ £ k
27.51(27.54). При условиях задачи 27.49 определить, на каком расстоянии s по горизонтали точка достигнет наивысшего положения.
£ sin 2а
2g(ftvc sin а + 1)
Ответ: s
27.52(27.55). В вертикальной трубе, помещенной в центре круглого бассейна и наглухо закрытой сверху, на высоте 1 м сделаны отверстия в боковой поверхности трубы, из которых выбрасываются наклонные струи воды под различными углами ф к горизонту (ср < л/2); начальная скорость струи равна v0 —
==Л/зЙ? М'/с’
где g— ускорение силы тяжести; высота трубы
210
1 м. Определить наименьший радиус R бассейна, при котором вся выбрасываемая трубой вода падает в бассейн, как бы мала ни была высота его стенки.
Ответ: R — 2,83 м.
27.53(27.56). Определить движение тяжелой материальной точки, масса которой равна tn, притягиваемой к неподвижному центру О силой, прямо пропорциональной расстоянию. Движение происходит в пустоте; сила притяжения на единице расстояния равна k2ni; в момент ^==0: х = а, х — 0, у = 0, у = 0, причем ось Оу направлена по вертикали вниз.
Ответ: Гармоническое колебательное движение:.. х = a cos ki,
г/(1 — cos &/) по отрезку прямой	—	| х | «Са.
К задаче 27.55
27.54(27.57). Точка массы m движется под действием силы отталкивания от неподвижного центра О, изменяющейся по закону F — k2tnr, где г — радиус-вектор точки. В начальный момент точка находилась в Л1о(а,О) и имела скорость v0, направленную параллельно оси у. Определить траекторию точки.
Ответ:	= 1 (гипербола).
27.55(27.58). Упругая нить, закрепленная в точке А, проходит через неподвижное гладкое кольцо О; к свободному концу ее прикреплен шарик М, масса которого равна т. Длина невытянутой инти I — АО: для удлинения нити на 1 м нужно приложить силу, равную k2m. Вытянув нить по прямой АВ так, что длина ее увеличилась вдвое, сообщили шарику скорость t»o, перпендикулярную
прямой АВ. Определить траекторию шарика, пренебрегая действием силы тяжести и считая натяжение сс удлинению.
нити пропорциональным
Ответ: Эллипс —5—г "V — 1  «о 1
27.56(27.59). Точка Л1, масса которой равна tn, притягивается к п неподвижным центрам С[, С2, ...» Сп силами, пропорциональными расстояниям; сила притяжения точки М к центру С, (I— = 1,2,...п) равна ktm-MCi И; точка М и притягивающие
центры лежат в плоскости Оху. Определить траекторию точки М, если при t — 0: х = х0, у — уо, х = 0, у — ий. Действием силы тяжести пренебречь.
Ответ: Эллипс (	-2-Л 4- Г(у —&)-{- ~—— (& — i/o)]2-4- = 1,
\xo~aJ L	хв~а J «о
л	пн
211
27.57(27.60). Точка М притягивается к двум центрам Ct и С2 силами, пропорциональными расстояниям: km-MCl и km-MC2: ; центр С] неподвижен и находится в начале координат, центр С2 :
равномерно движется по оси Ох, траекторию точки М, полагая, что дится в плоскости ху, координаты проекции
Х = 2~Ь,
так что х2 = 2(а + bl). Найти в момент t — 0 точка Л1 нахо- i ее х = у = а к скорость имеет
•
У = 0.	i
Ответ: Винтовая линия, расположенная на эллиптическом ^ци- • линдре, ось которого есть Ох, а уравнение имеет вид	1
2&2^	/2	'
Ч—^5—=1; шаг винта равен л.Ьл/у.
27.58(27.61). Частица массы tn, несущая заряд отрицательного электричества е, вступает в однородное электрическое поле напряжения Е со скоростью vo, перпендикулярной направлению напря- , жения поля. Определить траекторию дальпейшего движения < частицы, зная, что в электрическом поле на нее действует сила F = еЕ, направленная в сторону, противоположную напряжению • Е; действием силы тяжести пренебречь.	1
Ответ: Парабола, параметр которой равен туЦ(еЕ).	1
27.59(27.62), Частица массы т, несущая заряд отрицательного 1 электричества е, вступает в однородное магнитное поле иапряже- I
ния Н со скоростью vc, перпендикулярной направ- .1
i/'	лению напряжения поля. Определить траекторию 1
।	дальнейшего движения частицы, зная, что на час- 1
mQ—тицу действует сила F — — е (v X Я).
При решении удобно пользоваться уравнениями деижс- j ния точки а проекциях на касательную и на главную нор’ 5
К задаче 27.59 маль к траектории.
Ответ: Окружность радиуса mVc/(eH).	;
27.60(27-63). Определить траекторию движения частицы мае-  сы т, несущей заряд е электричества, если частица вступила в 1 однородное электрическое поле с переменным напряжением Е = — A cos kt (А и k — заданные постоянные) со скоростью t»0, перпендикулярной направлению напряжения поля; влиянием силы тяжести пренебречь. В электрическом поле на частицу действует сила F = — еЕ. рд /	& х
Ответ: у = —•	(J — c°s — х), где ось у направлена по на
пряжению поля, начало координат совпадает с начальным положением точки в поле.
27.61(27.64). По негладкой наклонной плоскости движется тяжелое тело М, постоянно оттягиваемое посредством нити в горизонтальном направлении, параллельно прямой АВ. С некоторого момента движение тела становится прямолинейным и равномерным, причем из двух взаимно перпендикулярных составляющих скорости та, которая направлена параллельно АВ, равна 12 м/с.
212
Определить вторую составляющую Ui скорости, а также натяжение Т нити при следующих данных: уклон плоскости tga=l/30, коэффициент трения f = 0,1, масса тела 30 кг.
Ответ: У) — 4,24 см/с, Т = 27,7 Н.
27.62(27.65). Точка М массы m находится под действием двух сил притяжения, направленных к неподвижным центрам Ot и О2 (см. рисунок). Величина этих сил пропорциональна расстоянию от точек О[ и О2. Коэффициент пропорциональности одинаков и
К задаче 27.61
К задаче 27.62
равен с. Движение начинается в точке Ао со скоростью перпендикулярной линии О\О2. Определить, какую траекторию опишет точка М. Найти моменты времени, когда она пересекает направление линии 01 О-i, и вычислить ее координаты в эти моменты времени. Расстояние от точки Ло до оси у равно 2я.
х.^	/ 2^ь
Ответ: Эллине (^ +	= 1 > где	, / = 0,
= — 2а, уо = О; tx = Tilk, xi = 2a, У1 = 0; /2 —2л/&, х2 = —2а, у2 = 0 и т. д. Время, в течение которого точка описывает эллипс, Т ~2n/k.	&
27.63(27.66). На точку А массы т,
которая начинает движение из положения г = г0 (где г—радиус-вектор точки) со скоростью v0, перпендикулярной г0, действует сила притяжения, направленная к центру О и пропорциональная расстоянию от него. Коэффициент про
K задаче 27.63
порцпоналыюсти равен тс\. Кроме того, па точку действует по-
стоянная сила тега. Найти уравнение движения и траекторию точки. Каково должно быть отношение с(/с, чтобы траектория движения проходила через центр О? С какой скоростью точка пройдет центр О?
Ответ: 1) г = — Гп -j- —sin д/cj I -ф r0 (1 — —A cos -у/ct /; ci	-vci	\ ciJ
213
3) точка А пройдет через центр О, если сх/с — 2;
4) точка А пройдет через центр О со скоростью t»o = —fn в момент времени t = л/д/cj .
27.64(27.67). Тяжелая точка массы щ падает из положения, определяемого координатами х0 — 0, yo — h при t~0, под действием силы тяжести (параллельной оси у) и силы отталкивания от оси у, пропорциональной расстоянию от этой оси (коэффициент пропорциональности с). Проекции начальной скорости точки на оси координат равны vx = vq, ps —0. Определить траекторию точки, а также момент врсме-------т--------------- ни tt пересечения оси х.
\ \j&	I Ответ: Траектория
У х = sh й (й - у) ,
rAefte=A/i,
к задаче 27.65	27.65(27.68). Точка М массы m
движется под действием силы тяжести по гладкой внутренней поверхности полого цилиндра радиуса г. В начальный момент угол фо = л/2, а скорость точки равнялась нулю. Определить скорость точки М и реакцию поверхности цилиндра при угле ф —30°.
Ответ: v — д/3 • -y/gr; Т = 3 mg.
§ 28.	Теорема об изменении количества движения материальной точки. Теорема об изменении момента количества движения материальной точки
28.1 (28.1). Железнодорожный поезд движется по горизонтальному и прямолинейному участку пути. При торможении развивается сила сопротивления, равная 0,1 веса поезда. В момент начала торможения скорость поезда равняется 20 м/с. Найти время торможения и тормозной путь.
Ответ: 20,4 с, 204 м.
28.2(28.2). По шероховатой наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол а = 30°, спускается тяжелое тело без начальной скорости. Определить, в течение какого времени Т тело пройдет путь длины / = 39,2 м, если коэффициент трения f — 0,2, Ответ: Т =5 с.
28.3(28.3). Поезд массы 4-Ю5 кг входит на подъем / = tga = = 0,006 (где а —угол подъема) со скоростью 15 м/с. Коэффициент трения (коэффициент суммарного сопротивления) при движении поезда равен 0,005. Через 50 с после входа поезда на подъем его скорость падает до 12,5 м/с. Найти силу тяги тепловоза.
Ответ: 23 120 Н,
214
28.4(28.4). Гирька М привязана к концу нерастяжимой нити МОА, часть которой О А пропущена через вертикальную трубку;
гирька движется вокруг оси трубки по окружности радиуса МС = R, делая 120 об/мин. Медленно втягивая нить О А в трубку, укорачивают наружную часть нити до длины ОЛЬ, ври которой
гирька описывает окружность радиусом R/2. Сколько оборотов в минуту делает гирька по этой окружности?
Ответ: 480 об/мин.
28.5(28.5). Для определения массы груженого железподорожного состава между тепловозами и вагонами установили динамометр. Среднее показание динамометра за 2 мин оказалось 106 Н. За то же время состав набрал скорость 16 м/с (вначале состав стоял на месте). Найти массу состава, если коэффициент трения f = 0,02.
Ответ: 3036 т.
28.6(28.6). КаКОВ ДОЛЖеН быть КОЭффи-	К задаче 284
циент трения f колес заторможенного авто-
мобиля о дорогу, если при скорости езды v = 20 м/с он останавливается через 6 с после начала торможения.
Ответ: f — 0,34.
28,7(28.7). Пуля массы 20 г вылетает из ствола винтовки со скоростью v — 650 м/с, пробегая канал ствола за время 1~ = 0,00095 с. Определить среднюю величину давления газов, выбрасывающих пулю, если площадь сечения канала а =150 ,мм2.
Ответ: Среднее давление 9,12-104 Н/мм2.
28.8(28.8). Точка М движется вокруг неподвижного центра под действием силы притяжения к этому центру. Найти скорость
К задаче 28.8
К задаче 28.9
в наиболее удаленной от центра точке траектории, если скорость точки в наиболее близком к нему положении Vi ~ 30 см/с, а г2 в пять раз больше rf.
Ответ: о2 = 6см/с.
28.9(28.9). Найти импульс равнодействующей всех сил, действующих на снаряд за время, когда снаряд из начального положения О переходит в наивысшее положение Л!. Дано: и0 = 500 м/с; «0 = 60°; V, =200 м/с; масса снаряда 100 кг.
Ответ: Проекции импульса равнодействующей: S.v=—5000 11-е, Sy = -43300 Н-сГ
215
28.10(28.10). Два астероида М, и М2 описывают один и тот же эллипс, в фокусе которого S находится Солнце. Расстояние между ними настолько мало, что дугу М(Л12 эллипса можно считать отрезком прямой. Известно, что длина дуги MiM2 равнялась а, когда середина ее находилась в перигелии Р. Предполагая, что астероиды движутся с равными
—-----1------°^cJV векториальными скоростями, опре-
/'	[ Щ	делить длину дуги Л4]Л12, когда се-
дЛ	|	Лр Родина ее будет проходить через
X.	Xs) афелий А, если известно, что SP =
-------- I _______.—	= Ri и SA = R2-
Ответ: AfjM2 = -^a.
К 2
к задаче 28.Ю	28.11(28.11). Мальчик массы
40 кг стоит па полозьях спортивных саней, масса которых равна 20 кг, и делает каждую секунду толчок с импульсом 20 Нс. Найти скорость, приобретаемую санями за 15 с, если коэффициент трения / = 0,01.
Ответ: v = 3,53 м/с.
28.12(28.12). Точка совершает равномерное движение по окружности со скоростью о = 0,2 м/с, делая полный оборот за время Т = 4 с. Найти импульс S сил, действующих на точку, за время одного полу пер иода, если масса точки m ~ 5 кг. Определить среднее значение силы F.
Ответ: S = 2 Н - с, F = 1 Н.
28.13(28.13). Два математических маятника, подвешенных па нитях длин Zj и /2 (1\ > /2), совершают колебания одинаковой амплитуды. Оба маятника одновременно начали двигаться в одном направлении из своих крайних отклоненных положений. Найти условие, которому должны удовлетворять длины и 12 для того, чтобы маятники по истечении некоторого промежутка времени одновременно вернулись в положение равновесия. Определить наименьший промежуток времени Т.
Ответ:	= k/n, где k, п — целые числа и дробь k/n несо-
кратима; Т = kTi — nTt.
28.14(28.14). Шарик массы т, привязанный к нерастяжимой нити, скользит по гладкой горизонтальной плоскости; другой конец нити втягивают с постоянной скоростью а в отверстие, сделанное на плоскости. Определить движение шарика и натяжение нити Т, если известно, что в начальный момент нить расположена по прямой, расстояние между шариком и отверстием равно R, а проекция начальной скорости шарика на перпендикуляр к направлению нити равна ц0.
Ответ: В полярных координатах (если принять отверстие за начало координат и угол Фо равным нулю):
и,/	mv/R1
r^R — at; ф — R_at ;	? —	_ ai)3 
216
28.15(28.15). Определить массу М Солнца, имея следующие данные: радиус Земли Я = 6,37• 106 м, средняя плотность 5,5 т/м3, большая полуось земпой орбиты с —1,49* 10“ м, время обращения Земли вокруг Солнца Т = 365,25 сут. Силу всемирного тяготения между двумя массами, равпыми 1 кг, на расстоянии 1 м считаем равной Н, где m—масса Земли; из законов
Кеплера следует, что сила притяжения’ Земли Солнцем равна 4лга*т	~	„
:..2 2 , где г — расстояние Земли от Солнца.
Ответ: М = 1,966-1030 кг.
28.16(28.16). Точка массы т, подверженная действию центральной силы Р, описывает лемнискату r2 = acos2(p, где а —
величина постоянная, г — расстояние точки от силового центра; в начальный момент г = го, скорость точки равна v0 и составляет угол а с прямой, соединяющей точку с силовым центром. Определить величину силы F, зная, что она зависит только от расстоя-
ния г.
п ж	с г- тс‘
t io формуле Бине F =----
пая скорость точки.
где с — удвоенная сектор-
Ответ: Сила притяжения F = -y£-r2v2 sin3a.
28,17(28.17). Точ^а М, масса которой т, движется около неподвижного центра О под влиянием силы F, исходящей из этого центра и зависящей только от расстояния МО = г. Зная, что скорость точки v=a/r, где а — величина постоянная, найти величину силы F и траекторию точки.
Ответ: Сила притяжения F — ma2/^', траектория — логарифмическая спирал^.
28.16(29.18). Определить движение точки, масса которой 1 кг, под действием центральной силы притяжения, обратно пропорциональной кубу расстояния точки от центра притяжения, при следующих данных: на расстоянии 1 м сила равна 1 Н. В начальный момент расстояние точки от центра притяжения равно 2 м, скорость Vo—0,5 м/с и составляет угол 45° с направлением прямой, проведенной из центра к точке.
Ответ: г2~ 4 + / д/5~, г “
28.19(28.19). Частица М массы 1 кг притягивается к неподвижному центру О силой, обратно пропорциональной пятой степени расстояния. Эта сила равна 8 Н на расстоянии 1 м. В начальный момент частица находится на расстоянии ОМ0 = == 2 м и имеет скорость, перпендикулярную к ОМ0 и равную 0,5 м/с. Определить траекторию частицы.
Ответ: Окружность радиуса 1 м, центр которой лежит на линии ОМ0 на расстоянии 1 м от центра притяжения.
28.20(28.20). Точка массы 0,2 кг, движущаяся под влиянием силы притяжения к неподвижному центру по закону тяготения
217.
Ньютона, описывает полный эллипс с полуосями 0,1 м и 0,08 м в течение 50 с. Определить наибольшую и наименьшую величины силы притяжения F при этом движении.
Ответ-. Fmax =1,97-10~3 Н, Froin = 1,23-10-“ Н.
28.21. Математический маятник, каждый размах которого длится одну секунду, называется секундным маятником и применяется для отсчета времени. Найти длипу I этого маятника, считая ускорение силы тяжести равным 981 см/са. Какое время покажет этот маитник на Луне, где ускорение силы тяжести в 6 раз меньше земного? Какую длину 1\ должен иметь секундный лунный маитник?
Ответ: I = 99,4 см, Т\ = 2,45 с, 1\ — 16,56 см.
28.22. В некоторой точке Земли секундный маятник отсчитывает время правильно. Будучи перенесен в другое место, он отстает на Т секунд в сутки. Определить ускорение силы тяжести з новом положении секундного маятника.
/ т \2
Ответ: gi=g0 (1 — 86400 J • где go — ускорение силы тяжести в первоначальном положении маятника.
§ 29. Работа и мощность
29.1(29.1). Бетонный блок ABCD, размеры которого указаны на рисунке, имеет массу 4000 кг. Определить работу, которую
К задаче 29.1
надо затратить на опрокидывание его вращением вокруг ребра D.
Ответ: 39,24 кДж.
29.2(29.2). Определить наименьшую работу, которую надо затратить для того, чтобы поднять на 5 м тело массы 2 т, двигая его по наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол в 30°. Коэффициент трения 0,5.
Ответ: 183 кДж.
29.3(29.3). Для того чтобы поднять5000 и3 воды на высоту 3 м, поставлен насос с двигателем в 2 л. с. Сколько времени потребуется для выполнения этой работы, если коэффициент полезного действия насоса 0,8?
Коэффициентом полезного действия называется отношение полезной работы, в данном случае работы, затраченной на поднятие воды, к работе движущей силы, которая должна быть больше полезной работы вследствие вредных сопротивлений.
Ответ: 34 ч 43 мин 20 с.
29.4(29.4). Как велика мощность машины, поднимающей 84 раза в минуту молот массы 200 кг на высоту 0,75 м, если коэффициент полезного действия машины 0,7?
Ответ: 2,94 кВт,
218
29.5(29.5). Вычислить общую мощность трех водопадов, расположенных последовательно па одной реке. Высота падения воды: у первого водопада—12 м, у второго—12,8 м, у третьего—15 м. Средний расход воды в реке — 75,4 м3/с.
Ответ: 29,4 МВт.
29.6(29.6). Вычислить мощность турбогенераторов на станции трамвайной сети, если число вагонов на линии 45, масса каждого вагона 10 т, сопротивление трения равно 0,02 веса вагона, средняя скорость вагона 3,3 м/с и потери в сети 5%.
Ответ: 309 кВт.
29.7(29.8). Вычислить работу, которая производится при подъеме груза массы 20 кг по наклонной плоскости на расстоянии 6 м, если угол образуемый плоскостью с горизонтом, равен 30°, а коэффициент трения равен 0,01.
Ответ: 598 Дж.
29.8(29.9). Когда турбоход идет со скоростью 15 узлов, турбина его развивает мощность 3800 кВт. Определить силу сопротивления воды движению турбохода зная, что коэффициент полезного действия турбины и винта равен 0,41 и 1 узел = = 0,5144 м/с.
Ответ: 201,9 кН.
29.9(29.10). Найти мощность двигателя внутреннего сгорания, если среднее давление на поршень в течение всего хода равно 49 Н на 1 см2, длина хода поршня 40 см, площадь поршня 300 см2, число рабочих ходов 120 в минуту и коэффициент полезного действия 0,9.
Ответ: 10,6 кВт.
29.10(29.11). Шлифовальный круг диаметра 0,6 м делает 120 об/мин. Потребляемая мощность 1,2 кВт. Коэффициент трения шлифовального круга о деталь равен 0,2. С какой силой круг прижимает шлифуемую деталь?
Ответ: 1591,5 Н.
29.11(29.12). Определить мощность двигателя продольно-строгального станка, если длина рабочего хода 2 м, его продолжительность 10 с, сила резания 11,76 кН, коэффициент полезного действия станка 0,8, Движение считать равномерным.
Ответ: 2,94 кВт.
29.12(29.14). К концу упругой пружины подвешен груз массы М. Для растяжения пружины на 1 м надо приложить силу в с Н. Составить’выражение полной механической энергии груза на пружине. Движение отнести к оси х, проведенной вертикально вниз из положения равновесия груза на пружине.
Ответ: Е = l/2Mxi ’/2ех2— Mgx.
29.13(29.15). При ходьбе на лыжах на дистанцию в 20 км по горизонтальному пути центр тяжести лыжника совершал гармонические колебания с амплитудой 8 см и с периодом Т — 4 с, масса лыжника 80 кг, а коэффициент трения лыж о снег / = 0,05. Определить работу лыжника на марше, если всю дистанцию он прошел за 1 час 30 мин, а также среднюю мощность лыжника.
219
Примечание. Считать, что работа тяжести лыжника составляет 0,4 работы же высоту.
торможения при опускании центра при подъеме центра тяжести на ту
Ответ: А = 1021 кДж, N = 188,9 Вт.
29.14(29.16). Математический маятник А веса Р и длины I под действием горизонтальной силы Рх/l поднялся на высоту у. Вычислить потенциальную энергию маятника двумя способами: 1) как работу силы тяжести, 2) как работу, произведенную силой Рх/l, и указать, при каких условиях оба способа приводят к одинаковому результату.
I Р х%
Ответ: 1) Ру, 2) у —~. Оба ответа одинаковы, если можно пренебречь у2.
29,15(29.17). Для измерения мощности дви-
°t х гателя на его шкив А надета лента с деревяи-к задаче 29.14 ными колодками. Правая ветвь ВС ленты удерживается пружинными весами Q, а левая ее ветвь DE натягивается грузом. Определить мощность двигателя, если, вращаясь равномерно, он делает 120 об/мин; при этом пружинные весы показывают натяжение правой ветви ленты в 39,24 Н; масса груза равна 1 кг, диаметр шкива d = 63,6 см.
К задаче 2У.16
Разность натяжений ветвей ВС и DE ленты равна силе, тормозящей шкив. Определить работу этой силы в 1 с.
Ответ: 117,5 Вт.
29,16(29.18). Посредством ремня передается мощность 14,71 кВт. Радиус ременного шкива 0,5 м, угловая скорость шкива соответствует 150 об/мин. Предполагая, что натяжение Т ведущей ветви ремня вдвое больше натяжения t ведомой ветви, определить натяжение Т и t.
Ответ: t = 1873 Н; Т = 3746 Н.
220
§ 30. Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки
30.1(30.1). Тело Е, масса которого равна т, находится на гладкой горизонтальной плоскости. К телу прикреплена пружина жесткости с, второй конец которой прикреплен к шарниру Оь Длина недеформированпой пружины равна /0; ОО\ ~ I. В начальный момент тело Е отклонено от положения равновесия О на конечную величину ОЕ — а и отпущено без начальной скорости. Определить скорость тела в момент прохождения положения равновесия.
Огвег: о = д/W
30.2(30.2). В условиях предыдущей задачи определить скорость тела Е в момент прохождения положения равновесия О, предполагая, что плоскость шероховата и коэффициент трения скольжения равен f.

К задаче 30.1
Ответ: v2 =	{ с + /0 (/ — дД2 + а2 )] — f [(wg + cl) a -J-

30.3(30.3). Тело К. находится на шероховатой наклонной плоскости в покое. Угол наклона плоскости к горизонту а и f0> tga, где fo — коэффициент трения покоя. В некоторый момент телу со* общена начальная скорость 1>о, направленная вдоль плоскости вниз. Определить путь <$, пройденный телом до остановки, если коэф-фипиент трения при движении равен [.
Ответ: s=-=—7-f-----—:—г.	— --------1—
2g (f cos a — sin a)
30.4(30.4). По наклонной ПЛОСКОСТИ, CO- К. задаче 30.3 ставляющей с горизонтом угол 30°, спускается без начальной скорости тяжелое тело; коэффициент трения равен 0,1. Какую скорость будет иметь тело, пройдя 2 м от начала движения?
Ответ: 4,02 м/с.
30.5(30.5). Снаряд массы 24 кг вылетает из ствола орудия со скоростью 500 м/с. Длина ствола орудия 2 м. Каково среднее значение давления газов на снаряд?
Ответ: 1500 кН.
30.6(30.6). Материальная точка массы 3 кг двигалась по горизонтальной прямой влево со скоростью 5 м/с. К точке приложили постоянную силу, направленную вправо. Действие силы прекратилось через 30 с, и тогда скорость точки оказалась равной 55 м/с и направленной вправо. Найти величину этой силы и совершенную ею работу.
221
Ответ-. F = 6 Н, А = 4,5 кДж.
30.7(30.7). При подходе к станции поезд идет со скоростью 10 м/с под уклон, угол которого а =0,008 рад. В некоторый момент машинист начинает тормозить поезд. Сопротивление от трения в осях составляет 0,1 от веса поезда. Определить, на каком расстоянии и через какое время от начала торможения поезд остановится. Принять, что sin а = а.
Ответ: 55,3 м, 11,8 с.
30.8(30.8). Поезд массы 200 т идет по горизонтальному участку пути с ускорением 0,2 м/с2. Сопротивление от трения в осях составляет 0,01 веса поезда и считается не зависящим от скорости. Определить мощность, развиваемую тепловозом в момент / = Ю с, если в начальный момент скорость поезда равнялась 18 м/с.
Ответ: 1192 кВт.
30.9(30.9). Брус начинает двигаться с начальной скоростью по горизонтальной шероховатой плоскости и проходит до полной остановки расстояние $. Определить коэффициент трения скольжения, считая, что сила трения пропорциональна нормальному давлению.
Ответ: f — u2/(2gs).
30.10(30.10). Железнодорожная платформа имеет массу 6 т и при движении испытывает сопротивление от трения в осях, равное 0,0025 ее веса. Рабочий уперся в покоящуюся платформу и покатил ее по горизонтальному и прямолинейному участку пути, действуя на нее с силой 250 Н. Пройдя 20 м, он предоставил платформе катиться самой. Вычислить, пренебрегая сопротивлением воздуха и трением колес о рельсы, наибольшую скорость платформы во время движения, а также весь путь, пройденный ею до остановки.
Ответ: Umax = 0,82 м/с, s = 34 м.
30.11(30.11). Гвоздь вбивается в стену, оказывающую сопротивление 700 Н. При каждом ударе молотка гвоздь углубляется в стену на длину Z = 0,15 см. Определить массу молотка, если при ударе о шляпку гвоздя он имеет скорость о= 1,25 м/с.
Ответ: 1,344 кг.
30.12(30.12). Упавший на Землю метеорит массы 39 кг углубился в почву на 1,875 м. Вычислено, что почва в месте падения метеорита оказывает проникающему в нее телу сопротивление 5-10s Н. С какой скоростью метеорит достиг поверхности Земли? С какой высоты он должен был упасть без начальной скорости, чтобы у поверхности Земли приобрести указанную скорость? Считаем силу тяжести постоянной и пренебрегаем сопротивлением воздуха.
Ответ: о = 219 м/с, /7 = 2453 м.
30.13(30.13). Незаторможенный поезд массы 500 т, двигаясь с выключенным двигателем, испытывает сопротивление R = = (7650 + 500о) Н, где и —скорость в м/с. Зная начальную ско-
222
трения
К задаче 30.14
СОСТОЯНИИ
рость поезда оо=15 м/с, определить, какое расстояние пройдет поезд до остановки.
Ответ: 4,5 км.
30.14(30.14). Главную часть установки для испытания материалов ударом составляет тяжелая стальная отливка М, прикрепленная к стержню, который может вращаться почти вокруг неподвижной горизонтальной оси О. Пренебрегая массой стержня, рассматриваем отливку М как материальную точку, для которой расстояние ОМ — 0,981 м. Определить скорость v этой точки в нижнем положении В, если она падает из верхнего положения А с ничтожно малой начальной скоростью.
Ответ: и = 6,2 м/с.
30.15(30.15). Написать выражение потенциальной энергии упругой рессоры, прогибающейся на 1 см от нагрузки в 4 кН, предполагая, что прогиб х возрастает прямо пропорционально нагрузке.
Ответ: П = (20х2 4- С) Дж, если х в см.
30.16(30.16). Пружина имеет в ненапряженном
длину 20 см. Сила, необходимая для изменения ее длины на t см, равна 1,96 Н. С какой скоростью v вылетит из трубки шарик массы 30 г, если пружина была сжата до длины 10 см? Трубка расположена горизонтально.
Ответ: и — 8,08 м/с.
30.17(30.17). Статический прогиб	к задаче золе
балки, загруженной посередине гру-
зом Q, равен 2 мм. Найти наибольший прогиб балки, пренебрегая ее массой, в двух случаях: 1) когда груз Q положен на неизогнутую балку и опущен без начальной скорости; 2) когда груз Q падает на середину неизогнутой балки с высоты 16 см без начальной скорости.
jww.wQ
К задаче 30.18
При решении задачи следует иметь в виду, что сила, действующая на груз со стороны балки, пропорциональна се прогибу.
Ответ: 1) 4 мм; 2) 22,1 мм.
30.18(30.18). Две ненапряженные пружины АС и ВС, расположенные по горизонтальной прямой Ах, прикреплены шарнирами к неподвижным точкам А и В, а в точке С — к гире массы 2 кг. Пружина АС сжимается на 1 см силой 20 Н, а пружина СВ вы
тягивается на 1 см силой 40 Н. Расстояние АС = ВС — 10 см. Гире С сообщена скорость о0 = 2 м/с в таком направлении, что при последующем движении она проходит через точку D, координаты которой Хо — 8 см, уо — 2 см, если за начало координат принять точку А и координатные оси направить, как указано на рисунке. Определить скорость гири в момент прохождения ее через точку D, лежащую в вертикальной плоскости ху.
Ответ-. у = 1,77 м/с.
30.19(30.20). Груз М веса Р, подвешенный в точке О на нерастяжимой нити длины I, начинает двигаться в вертикальной плоскости без начальной скорости из точ-
С_______О А ки А; при отсутствии сопротивления груз Л4
\	I Достигнет положения С, где его скорость
'	/ обратится в нуль. Приняв потенциальную
\	у/ энергию, обусловленную силой тяжести
груза М в точке В, равной нулю, постро-ить графики изменений кинетической и по-к задаче зо 19	тенциальной энергии, а также их суммы
!	в зависимости от угла <р. Массой нити пре-
небречь.
Ответ: Две синусоиды и прямая, имеющие уравнения
r = P/sin<p, V = Pl(l - sin <р), т + V — Pl.
30.20(30.21). Материальная точка массы m совершает гармонические колебания по прямой Ох под действием упругой восстанавливающей силы по следующему закону: х = a sin(AZ + |3). Пренебрегая , сопротивлениями, построить графики изменения кинетической энергии Т и потенциальной энергии V движущейся точки в зависимости от координаты х; в начале координат У = 0.
Ответ: Оба графика — параболы, имеющие уравнения
Г==Д^(а2_х2)т	V=^~.
30.21(30.22). Какую вертикальную силу, постоянную по величине и направлению, надо приложить к материальной точке, чтобы при падении точки на Землю с высоты, равной радиусу Земли, эта сила сообщила точке такую же скорость, как сила притяжения к Земле, обратно пропорциональная квадрату расстояния точки до центра Земли?
Ответ: Р/2, где Р — вес точки на поверхности Земли.
30.22(30.23). Горизонтальная пружина, на конце которой прикреплена материальная точка, сжата силой Р и находится в покое. Внезапно сила Р меняет направление на прямо противоположное. Определить, пренебрегая массой пружины, во сколько раз получающееся при этом наибольшее растяжение /2 больше первоначального сжатия /р
Ответ: 12/1\=Ъ.
224
30.23(30.24). Тело брошено с поверхности Земли вверх по вертикальной линии с начальной скоростью v0. Определить высоту Н поднятия тела, принимая во внимание, что сила тяжести изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния от центра Земли; сопротивлением воздуха пренебречь. Радиус Земли R ~ = 6370 км, Уо= 1 км/с.
Ответ'. Н ---------л- = 51,38 км.
2g*-vo
30.24(30.25). Две частицы заряжены положительным электричеством, заряд первой частицы = 100 Кл, заряд второй частицы <72 = 0,1 qi, первая частица остается неподвижной, а вторая движется вследствие силы отталкивания от первой частицы. Масса второй частицы равна 1 кг, начальное расстояние от первой частицы равно 5 м, а начальная скорость равна нулю. Определить верхний предел для скорости движущейся частицы, принимая во внимание действие только одной силы отталкивания F = q\qT.lr\ где г— расстояние между частицами.
Ответ-. 20 м/с.
30.25(30.26). Определить скорость о0, которую нужно сообщить по вертикали вверх телу, находящемуся на поверхности Земли, для того, чтобы оно поднялось на высоту, равную земному радиусу; при этом нужно принять во внимание только силу притяжения Земли, которая изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния тела от центра Земли. Радиус Земли равен 6,37-106 м, ускорение силы притяжения на поверхности Земли равно 9,8 м/с2.
Ответ-. 7,9 км/с.
30.26(30.27). Найти, с какой скоростью vq нужно выбросить снаряд с поверхности Земли по направлению к Луне, чтобы он достиг точки, где силы притяжения Земли и Луны равны, и остался в этой точке в равновесии. Движением Земли и Луны и сопротивлением воздуха пренебречь. Ускорение силы тяжести у поверхности Земли g =9,8 м/с. Отношение массы Луны и Земли tn:M = 1 :80; расстояние между ними d = 60/?, где считаем R = 6000 км (радиус Земли).
Коэффициент f, входящий в формулу для величины силы всемирного тяготения, находим из уравнения
. Г М ml
'ng — >nf[R2
Ответ:
, 2g R (d - R)	(d-R)-R
----------F=--------
V w
59 1 - a
” 30 1 Ц- a S^’
где
a =—^=-, или Vq— 10,75 км/с.
59 Veo
30.27. Грунт утрамбовывается ручной бабой массы 60 кг и с поперечным сечением 12 дм2, которая падает с высоты 1 м. При последнем ударе баба входйт в грунт на глубину 1 см, причем
в И. В. Мещерский
225
сопротивление грунта движению бабы можно считать постоянным. Какую наибольшую нагрузку выдержит грунт, не давая осадки? Допускается, что утрамбованный грунт может выдержать без осадки нагрузку, не превосходящую того сопротивления, которое встречает баба, углубляясь в грунт.
Ответ: 494,9 кПа.
30.28(30.28). Шахтный лифт движется вниз со скоростью v0 = = 12 м/с. Масса лифта 6 т. Какую силу трения между лифтом и стенками шахты должен развить предохранительный парашют, чтобы остановить лифт на протяжении пути .<? = 10 м, если канат, удерживающий лифт, оборвался? Силу трения считать постоянной.
Ответ: F — m -f- -^0 = 102 кН-
30.29. Кольцо массы 200 г скользит вниз по проволочной дуге, имеющей форму параболы у = х2. Кольцо начало двигаться из точки х = 3 м, у — 9 м с нулевой начальной скоростью. Определить скорость кольца и силу, действующую на кольцо со стороны проволоки, в момент прохождения им нижней точки параболы.
Ответ: vt = 13,3 м/с, R — 72,5 Н.
30.30. ЛА атемэтический маятник длины I вывели из положения равновесия, сообщив ему начальную скорость »0, направленную по горизонтали. Определить длину дуги, которую он опишет в течение одного периода.
( г2 Л
Ответ: s — 4l arccos ( 1 — -=-7-1.
§ 31. Смешанные задачи
А
К задаче 31.3
31.1(31.1). Груз массы 1 кг подвешен на нити длины 0,5 м в неподвижной точке О. В начальный момент груз отклонен от вертикали на угол 60°, и ему сообщена скорость в вертикальной плоскости по перпендикуляру к нити вниз, равная 2,1 м/с. Определить натяжение нити в наипиз-щем положении и отсчитываемую по вертикали высоту, на которую груз поднимается над этим положением.
Ответ: 28,4 Н, 47,5 см.
31.2(31.2). Сохраняя условия предыдущей задачи,
кроме величины скорости у», найти, при какой величине скорости и0 груз будет проходить всю окружность. Ответ: Vq > 4,43 м/с.
31.3(31.3). По рельсам, положенным по пути Л В и образующим затем петлю в виде кругового кольца ВС радиуса а, екаты-
226
вается вагонетка массы т. С какой высоты h нужно пустить вагонетку без начальной скорости, чтобы она могла пройти всю окружность кольца, не отделяясь от него? Определить давление N вагопетки на кольцо в точке М, для которой 2_М0В — <р.
Ответ: h 2,5а, N = mg — 2 + 3 cos .
31.4(31.4). Путь, по которому движется вагонетка, скатываясь из точки А, образует разомкнутую петлю радиуса г, как показано на рисунке; ЛВОС — А = Z-BOD = а. Найти, с какой высоты h должна скатываться вагонетка без начальной скорости, чтобы она могла пройти всю петлю, а также то значение угла а, при котором эта высота h наименьшая.
Указание. На участке DC центр тяжести вагонетки соверша-
ет параболическое движение.	К задаче 31.4
Ответ: h — r (1 + cosa-f-—Jsa );	при a =45°.
31.5(31.5). Тяжелая стальная отливка массы М = 20 кг прикреплена к стержню, который может вращаться без трения вокруг неподвижной оси О. Отливка падает из верхнего положения А с ничтожно малой начальной скоростью. Пренебрегая массой стержня, определить наибольшее давление на ось. (См. рисунок к задаче 30.14.)
Ответ: 980 Н.
31.6(31.6). Какой угол с вертикалью составляет вращающийся стержень (в предыдущей задаче) в тот момент, когда давление на ось равно нулю?
Ответ: <р = arccos (2/3).
31.7(31.7). Парашютист массы 70 кг выбросился из самолета и, пролетев 100 м, раскрыл парашют. Найти силу натяжения стропов, на которых человек был подвешен к парашюту, если в течение первых пяти секунд с момента раскрытия парашюта, при постоянной силе сопротивления движению, скорость парашютиста уменьшилась до 4,3 м/с. Сопротивлением воздуха движению человека пренебречь.
Ответ: 1246 Н.
31.8(31.8). За 500 м до станции, стоящей на пригорке высоты 2 м, машинист поезда, идущего со скоростью 12 м/с, закрыл пар и начал тормозить. Как велико должно быть сопротивление от торможения, считаемое постоянным, чтобы поезд остановился у станции, если масса поезда равна 1000 т, а сопротивление трения 20 кН?
Ответ: 84,8 кН.
8*
227
31.9(31.9). Тяжелая отливка массы т прикреплена к стержню, который может вращаться без трения вокруг неподвижной оси О и отклонен от вертикали на угол <ро- Из этого начального положения отливке сообщают начальную скорость Vq (см. рисунок). Определить усилие в стержпе как функцию угла отклонения стержня от вертикали, пренебрегая массой стержня. Длина стержня /.
Ответ: N — 3mg cos <р — 2tng cos <рй 4- tnv'^l.
Если N > 0, стержень растянут; если N < < 0, стержень сжат.
31.10(31.10). Сферический маятник состоит
к задаче 31.9 из нити ОМ длины I, прикрепленной одним концом к неподвижной точке О, и тяжелой точки М веса Р, прикрепленной к другому концу нити. Точку М отклонили из положения равновесия так, что ее координаты
стали: при t = 0 х = х0, у = 0, и сообщили ей начальную скорость: х0 = 0, уй— vq, z0 = 0. Определить, при каком соотношении начальных условий точка М будет списывать окружность в горизонтальной плоскости и каково будет время обращения точки М по этой окружности.
Ответ: — ха ^glz9, Т = 2п -y/zjg.
31.11(31.11). Лыжник при прыжке с трамплина спускается с эстакады АВ, наклоненной под углом а — 30° к горизонту. Перед отрывом он проходит небольшую горизонтальную площадку ВС, длиной которой при расчете пренебрегаем. В момент отрыва лыжник толчком сообщает себе вертикальную составляющую скорости vy — 1 м/с. Высота эстакады й = 9м, коэффициент трения лыж о снег f = 0,08, линия приземления CD образует угол р = 45° с горизонтом. Определить дальность I полета лыжника, пренебрегая сопротивлением воздуха.
Примечание. Дальностью полета считать длину, измеряемую от точки отрыва С до точки приземления лыжника на линии CD.
Ответ: I — 47,4 м.
228
31.12(31.12). Груз М веса Р падает без начальной скорости с высоты Н на плиту А, лежащую на спиральной пружине В. От действия упавшего груза М пружина сжимается на величину h. Не учитывая веса плиты А и сопротивлений, вычислить время Т сжатия пружины на величину h и импульс S упругой силы пружины за время ”
Ответ: Т —
т.
I и
— а
h
V2g(tf + ft)
Л
31.13(31.13). При разрыве маховика одна из его частей, наиболее удаленная от места катастрофы, оказалась на расстоянии $ = 280 м от первоначального положения. Пренебрегая сопротивлением воздуха при движении указанной части из
где tga =---, .....—.
&	2^^(Я + Л)
Л
.8

первоначального положения в конечное, лежащее к задаче 31.12 в той же горизонтальной плоскости, найти наименьшее возможное значение угловой скорости маховика в момент катастрофы, если радиус маховика R = 1,75 м.
Ответ: я = 286 об/мин, или <в = 30 рад/с.
31.14(31.14). Груз М, подвешенный на пружине к верхней точке А круглого кольца, расположенного в вертикальной плоскости, падает, скользя по кольцу без трения. Найти, какова должна быть жесткость пружины для того, чтобы давление груза на кольцо в нижней точке В равнялось нулю при следующих данных: радиус кольца 20 см, масса груза 5 кг, в начальном положении груза расстояние AM равно 20 см и пружина имеет натуральную длину; начальная скорость груза равна нулю; массой пружины пренебречь.
Ответ: Пружина должна удлиняться на 1 см при действии силы, равной 4,9 Н.
31.15(31.15). Определить давление груза М на кольцо в нижней точке В (рисунок предыдущей задачи) при следующих данных: радиус кольца 20 см, масса груза 7 кг; в начальном положении груза расстояние AM равно 20 см, причем пружина растянута и длина ее вдвое больше натуральной длины, которая равна 10 см; жесткость пружины такова, что она удлиняется на 1 см при действии силы в 4,9 Н; начальная скорость груза равна нулю; массой пружины пренебрегаем.
Ответ: Давление направлено вверх и равно 68,6 Н.
31.16(31.16). Гладкое тяжелое кольцо М веса Q может скользить без трения по дуге окружности радиуса R см, расположенной в вертикальной плоскости. К кольцу привязана упругая нить МО А, проходящая через гладкое неподвижное кольцо О и закрепленная в точке А. Принять, что натяжение ннти равно нулю, когда кольцо М находится в точке О, и что для вытягивания нити на 1 см нужно приложить силу с. В начальный момент кольцо находится в точке
229
В в неустойчивом равновесии и при ничтожно малом толчке начинает скользить по окружности, Определить давление N, производи-
мое кольцом на окружность.
Ответ: N = 2Q + cR + 3(Q + c/?)cos2ср; давление направлено
наружу при N > 0, внутрь при N < 0.
31.17(31.17). Г ной точке О.
К задаче 31.18
В
Груз подвешен на нити длины 0,5 м в неподвиж-начальном положении М
Мо груз отклонен от вертикали на угол 80°, и ему сообщена скорость v0 в вертикальной плоскости по перпендикуляру к нити вниз, равная 3,5 м/с.
1) Найти то положение Л4 груза, в котором натяжение нити будет равно нулю, и скорость гд в этом положении.
2) Определить траекторию последующего движения груза до того мо-
мента, когда нить будет опять натянута, и время, в течение кото-
рого точка пройдет эту траекторию.
Ответ: 1) Положение М находится над горизонталью точки О на расстоянии MD = 25 см, О| = 156,5 см/с.
2) Парабола МАВС, уравнение которой, отнесенное к осям Мх и Му, имеет вид у — хд/З — 0,08х2; груз описывает эту параболу в течение 0,55 с.
31.18(31.18). Математический маятник установлен на самолете, который поднимается на высоту 10 км. На какую часть надо уменьшить длину нити маятника, чтобы период малых колебаний маят-ника на этой высоте остался без измсне-ОММа	ний? Силу тяжести считать обратно пропор-
1у\	циональной квадрату расстояния до центра
|\\	Земли.
Ответ: На 0,00313/,	где	I —длина	нити
и/лЛ' \	на поверхности Земли.
\	31.19(31.19). В неподвижной точке О
/А	посредством нити ОМ	длины	I	подвешен
мг/. \ s'	груз М массы tn. В начальный момент нить
K-z-'1"'	ОМ составляет с вертикалью угол а и ско-
к задаче 31.19 рость груза М равна нулю. При последую
щем движении нить встречает тонкую проволоку 01, направление которой перпендикулярно плоскости дви-
жения груза, а положение определяется полярными координатами: h = ОО{ и р. Определить наименьшее значение угла а, при котором нить ОМ после встречи с проволокой б^дет на нее навиваться, а также изменение натяжения нити в момент ее встречи с проволокой. Толщиной проволоки пренебречь.
230
Ответ: а = arccos [у + cos р) — натяжение нити увели-
чивается на величину 2ntgу (-|- -ф cos р) .
31.20(31.20). Тяжелая точка М массы m движется по внутренней поверхности круглого цилиндра радиуса г. Считая поверхность
цилиндра абсолютно гладкой и ось цилиндра делить давление точки на цилиндр. Начальная скорость точки равна по величине ц0 и составляет угол а с горизонтом.
вертикальной, опре-
31.21(31.21). В предыдущей задаче составить уравнения движения точки, если в начальный момент точка находилась на оси х.
Ответ: х = г cos °0 с°8 а ,
у = г sin °0 с°5 а /j, z ~ vut sin а + gt^jl.
31.22(31.22). Камень М, находящийся на
вершине Л гладкого полусферического купола
радиуса R, получает начальную горизонтальную скорость ц0. В каком месте камень покинет купол? При каких значениях о0 камень
сойдет с купола в начальный момент? Сопротивлением движению камня по куполу пренебречь.
Ответ: <р = arccos(у + у—), v^y/gR.
К задаче 31.22
31.23(31.23). Точка М массы m движется по гладкой поверхности полусферического купола радиуса R. Считая, что на точку действует сила тяжести, параллельная оси z, и зная, что в начальный момент точка имела скорость и0 и находилась на высоте h0 от основания купола, определить давление точки на купол, когда она будет на высоте h от основания купола.
Ответ:
it \	s
231
31.24(31.24). Точка М массы т движется но цепной линии у — ~ (ех;а + е~х,а) — a ch
под действием силы отталкивания, параллельной оси Оу направленной от оси Ох и равной ktny. Б момент t = 0 х = 1 м, х — 1 м/с. Определить давление N точки на кривую и движение точки при k= 1 рад/с2 и а — 1 м (силой тяжести пренебрегаем). Радиус кривизны цепной линии равен у2/а.
Ответ-. N — 0; х = (1 + Q м.
31.25(31.25). По какой плоской кривой следует изогнуть трубку, чтобы помещенный в нее в любом месте шарик оставался по отношению к трубке в равновесии, если трубка вращается с постоянной угловой скоростью © вокруг оси Оу?
Ответ: По параболе у —-i-—-*2+ с-
31.26(31.26). Точка М массы т — 1 кг движется по гладкой поверхности круглого конуса, угол раствора которого 2а =90°, под влиянием силы отталкивания от вершины О, пропорциональной расстоянию: F = с-ОМ Н, где с — 1 Н/м. В начальный момент точка М находится в точке А, расстояние О А равно а = 2 м, начальная скорость Уо = 2 м/с л направлена параллельно основанию конуса.
Определить движение точки М (силой тяжести пренебречь).
Положение точки М определяем координатой z и полярными координатами г и <р в плоскости, перпендикулярной оси Он; уравнение поверхности конуса . г* -- z2 = 0.
Ответ: г2 — e2i + е 2i, tg f-Л=- + y! = e2f• \ V2 4 /
31.27(31.27). При условиях предыдущей задачи, считая ось конуса направленной по вертикали вверх и учитывая силу тяжести, определить давление точки на поверхность конуса.
ra2v* sin 2а 1
g Н--------- 1 
232
31.28(31.28). Материальная точка А под действием силы тяжести движется по шероховатой винтовой поверхности, ось которой Oz вертикальна; поверхность задана уравнением z = atp Д- f (г); коэффициент трения точки о поверхность равен k. Найти условие,
при котором движение точки происходит на постоянном расстоянии от оси АВ = = г0, т, е. происходит по винтовой линии, а также найти скорость этого движения, предполагая, что а — const.
Указание. Для решения задачи целесообразно воспользоваться системой естественных осей, проектируя уравнение движения на касательную, главную нормаль и бинормаль винтовой липни в точке А. Па рисунке угол между нормальной компонентой N реакции винтовой поверхности и ортом главной нормали пр обозначен через Р-
Ответ-. Движение по винтовой линии возможно при условии tg а — — k Vl + f'2 (го) cos2 а = О, где tg а = ~ а/г<А скорость движения v — = 'Xt'grJ' (r0) •
31.29(31.29). Тело К, размерами ко
торого можно пренебречь, установлено в
верхней точке А шероховатой поверхности неподвижного полуци-
линдра радиуса R. Какую начальную горизонтальную скорость v0>
К задаче 31.29
К задаче 31.30
направленную по касательной к цилиндру, нужно сообщить телу К, чтобы оно, начав движение, остановилось на поверхности цилиндра, если коэффициенты трения скольжения при движении и покое одинаковы и равны f?
Ответ:	V И f2 е ~2- (1 —2f2)], где <po = arctgf.
31.30(31.30). Тело К, размерами которого можно пренебречь, установлено в нижней точке А внутренней части шероховатой поверхности неподвижного цилиндра радиуса R. Какую начальную горизонтальную скорость v0, направленную по касательной к цилиндру, нужно сообщить телу К, чтобы оно достигло верхней точки В цилиндра? Коэффициент трения скольжения равен f.
^3
Ответ-. Ро>д/1Дг[2(1-2П + Зе*П.
31.31. Шарик, подвешенный на нити, описывает окружность в горизонтальной плоскости, образуя конический маятник. Найти высоту конуса, если шарик совершает 20 оборотов в минуту.
Ответ: h = 2,25 м.
31.32. Материальная точка единичной массы движется в горизонтальной плоскости под действием силового поля с потенциалом П = х2 + ХУ + У2- В начальный момент точка имеет координаты х = 3 см, у = 4 см и скорость 10 см/с, параллельную положительному направлению оси х. Определить движение точки.
Ответ: х = 3,5 cos д/3 + 5 з~ s*n д/З t ~ 0>5 cos t + 5 sin t, у — 3,5 cos д/3 / + 5 g3" sin д/З1	0,5 cos t — 5 sin t.
31.33. Маленькому кольцу, надетому на проволочную горизонтальную окружность радиуса а, сообщили начальную скорость Коэффициент трения кольца о проволоку равен f. Определить, через какое время кольцо остановится.
««
Ответ: I — —	—7=-dr.-..—-.
f J Vy4 + «sg2
31.34. ЛАатериальная точка массы 2 кг притягивается к некоторому центру силой F — (—8xi — 8yj— 2zk) Н. Начальное положение материальной точки определяется координатами х = 4 см, у — — 2 см, 2 = 4 см. Начальная скорость равна нулю. Определить уравнения движения точки и ее траекторию.
Ответ: x = 4cos2f, у = 2cos 2t, z=4cosf. Траектория — линия jf2
пересечения двух параболических цилиндров х — 4 и у — г2
— —2. Это — парабола, лежащая в плоскости х = 2у. Движение по траектории осуществляется на участке от точки х=4 см, у — — 2 см, z — 4 см до точки х = 4 см, у — 2 см, 2 = —4 см.
31.35. Конический маятник имеет длину I и описывает в горизонтальной плоскости окружность радиуса а. Определить период обращения конического маятника.
~ т 2л V/2 — а2
Ответ: Т —----7=---- .
vg
§ 32.	Колебательное движение
а) Свободные колебания
32.1(32.1). Пружина АВ, закрепленная одним концом в точке А, такова, что для удлинения ее на 1 м необходимо приложить в точке В при статической нагрузке силу 19,6 Н, В некоторый
234
момент к нижнему концу В недеформированной пружины подвешивают гирю С массы 0,1 кг и отпускают ее без начальной скорости. Пренебрегая массой пружины, написать уравнение дальнейшего движения гири и указать амплитуду и период ее колебаний, отнеся движение к оси, проведен-	wmwjmm
ной вертикально вниз из положения ста-тического равновесия гири.
Ответ: х = —0,05 cos 14f м, а = 5 см, <
Т = 0,45 с.	<
32.2(32.2). При равномерном спуске > груза массы М — 2 т со скоростью v —	>
= 5 м/с произошла неожиданная задерж- > ка верхнего конца троса, иа котором	Fir	I I
опускался груз, из-за защемления троса	—'с	*—’
в обойме блока. Пренебрегая массой к задаче згл к задаче 32 троса, определить его наибольшее натя-
жение при последующих колебаниях груза, если коэффициент жесткости троса 4-106 Н/м.
Ответ: 466,8 кН.
32.3(32.3). Определить наибольшее натяжение троса в предыдущей задаче, если между грузом и тросом введена упругая пружина с коэффициентом жесткости с1 = 4-105 Н/м.
Ответ: 154,4 кН.
32.4(32.4). Груз Q, падая с высоты h — 1 м без начальной скорости, ударяется об упругую горизонтальную балку в ее середине; концы балки закреплены. Написать уравнение дальнейшего движения груза на балке, отнеся движение к оси, проведенной вертикально вниз из положения статического равновесия груза на балке, если статический прогиб балки в ее середине при указанной нагрузке равен 0,5 см; массой балки пренебречь.
Ответ: х = (—0,5 cos 44,3t -ф 10 sin 44,3/) см.
32.5(32.5). На каждую рессору вагона приходится нагрузка' Р Н; под этой нагрузкой рессора при равновесии прогибается на 5 см. Определить период Т собственных колебаний вагона на рессорах. Упругое сопротивление рессоры пропорционально стреле ее прогиба.
Ответ: Т = 0,45 с.
32.6(32.6). Определить период свободных колебаний фундамента машины, поставленного на упругий грунт, если масса фундамента с машиной М — 90 т, площадь подошвы фундамента S — — 15 м2, коэффициент жесткости грунта с— KS, где Х=30 Н/см3 — так называемая удельная жесткость грунта.
Ответ: Т = 0,089 с.
32.7(32.7). Найти период свободных вертикальных колебаний корабля на спокойной воде, если масса корабля М т, площадь его горизонтальной проекции S м2. Плотность воды р — 1 т/м3. Силами, обусловленными вязкостью воды, пренебречь.
Ответ: Т = 2п л/ .
V PgS
235
32.8(32.8). В условиях предыдущей задачи найти уравнения движения корабля, если он был спущен на воду с нулевой вертикальной скоростью.	_
Ответ: у = — ~ cos t м.
32.9(32.9). Груз, вес которого равен Р Н, подвешен на упругой нити к неподвижной точке. Выведенный из положения равновесия, груз начинает совершать колебания. Выразить длину нити х в функции времени и найти, какому условию должна удовлетворять начальная длина ее х0, чтобы во время движения гири нить оставалась натянутой. Натяжение нити пропорционально удлинению; длина ее в нерастянутом состоянии равна /; от действия статической нагрузки, равной д Н, нить удлиняется на 1 см. Начальная скорость груза равна нулю.
Ответ: х = I + ~ -ф (х0 — I — у) cos (д//),
32.10(32.10). На два вращающихся в противоположные стороны, указанные на рисунке, цилиндрических шкива одинакового радиуса саободно положен однородный стержень; центры шкивов О) и О2 находятся на горизонтальной прямой OiO2; расстояние
.	О1Ог = 2/; стержень приво-
тл;	дится в движение силами
I ! , I	трения, развивающимися в
|	точках касания его со шкн-
____[JT,' ц	@ Д	вами; эти силы пропорцио-
// I f L I	нальны давлению стержня на 
шкив, причем коэффициент
К задаче 32,10	ПрОПОрЦИОНЭЛЬНОСТИ (кОЭф-
фициент трения) равен f,
1) Определить движение стержня после того, как мы сдвинем его из положения симметрии на х0 при Уо = 0.
2) Найти коэффициент трения f, зная, что период колебаний Т стержня при I — 25 см равен 2 с.
Ответ: 1) x = x0cos(/y^ *)> 2) f = 0,25.
32.11(32.11). К одной и той же пружине подвесили сначала груз веса р, а во второй раз груз веса Зр. Определить, во сколько раз изменится период колебаний. Зная коэффициент жесткости пружины с, а также начальные условия (грузы подвешивались к концу нерастянутой пружины и отпускались без начальной скорости), найти уравнения движения грузов.
Ответ: Zr- = д/З. Xj = — — cos л/— t, х2 — —— cos
11	*	* 1 с V р	с V Зр
32.12(32.12). К пружине жесткости с — 2 кН/м сначала подвесили груз массы 6 кг, а затем заменили его грузом вдвое большей массы. Определить частоты и периоды колебаний грузов.
Ответ: k[= 18,26 рад/с, &2 = 12,9 рад/с, 7\ ===6,344 с, Ть = = 0,49 с.
236
32.13(32.13). К пружине, коэффициент жесткости которой равен с = 19,6 Н/м, были подвешены два груза с массами mi—0,5 кг и т2=0,8 кг. Система находилась в покое в положении статического равновесия, когда груз т2 убрали. Найти урав-пение движения, частоту, круговую частоту и период колебаний оставшегося груза.	>
Ответ: х — 0,4 cos 6,26? м; / = 1 Гц, Л=2я рад/с, <
Т = 1 с.	<
32.14(32.14). Груз массы mi =2 кг, подвешенный
к пружине, коэффициент жесткости которой с — у = 98 Н/м, находится в равновесии. В некоторый мо-	LJZfy
мент к грузу mi добавили груз т2 — 0,8 кг. Опреде-	Т_
лить уравнение движения и период колебаний двух
ГруЗОВ.	К задаче 32.13
Ответ: хо = —0,08 cos 5,916/ м, Т = 1,062 с.
32.15(32.15). Груз подвесили сначала к пружине с жесткостью с( = 2 кН/м, а затем к пружине с жесткостью с2 = 4 кН/м. Найти отношение частот и отношение периодов колебаний груза в этих двух случаях.
Ответ: -^- = -4=-= 0,7071, -^= д/2 = 1,4142. k2 -V2	Гг
32.16(32.16). Тело массы иг находится на наклонной плоскости, составляющей угол а с вертикалью. К телу прикреплена пружина, жесткость которой с. Пружина параллельна наклонной плоскости.
К задаче 32.17
Найти уравнение движения тела, если в начальный момент оно было прикреплено к концу нерастянутой пружины и ему была сообщена начальная скорость Vq, направленная вниз по наклонной плоскости. Начало координат взять в положении статического равновесия.
Ответ: х~~- &in kt ~ cc°s tt- cos kt, где k =	•
32.17(32.17). На гладкой плоскости, наклоненной к горизонту под углом а находится прикрепленный к пружине груз веса Р. Статическое удлинение пружины равно f. Определить колебания груза, если в начальный момент пружина была растянута из ненапряженного состояния на дливу, равную 3/, и груз отпущен без начальной скорости.
237
Ответ: x = 2f cos ( д/-^ sin а  t).
32.18(32.18). Тело массы М = 12 кг, прикрепленное к концу пружины, совершает гармонические колебания. При помощи секундомера установлено, что тело совершило 100 полных колебаний за 45 с. После этого к концу пружины добавочно прикрепили груз Л	...	'	" „ . с грузов на
массы М, = 6 кг. Определить период колебаний двух пружине.
Ответ-. 1\ = Т	=0,55 с.
32.19(32.19). В условиях предыдущей задачи найти движения одного груза М и двух грузов М 4-Л11, если в
Aii
уравнение обоих случаях грузы ’были подвешены к концу нерастянутой пружины,
Ответ: 1) х ——5,02 cos 14Z см, 2) х, — =—7,53 cos 11,4f см, где х и xi отсчитываются соответственно от каждого из двух положений статического равновесия.
32.20(32.20). Груз М, подвешенный к неподвижной точке А на пружине, совершает малые гармонические колебания в вертикальной плоскости, скользя без трения по дуге окружности, диаметр которой АВ равен /; натуральная-длина пружины а; жесткость пружины такова, что при дей-весу груза М, она получает удлинение, рав-
ствии силы, равной
ное Ь. Определить период f колебаний в том случае, когда I ~ = а -ф Ь\ массой пружины пренебречь и считать, что при колебаниях она остается растянутой.
Ответ-. Т = 2п
32.21(32.21). В условиях предыдущей задачи найти уравнение движения груза М, если в начальный момент /ВАМ = <р0 и точке М сообщили начальную скорость т>о, направ-
ленную по касательной к окружности вниз.
Ответ: <р = фо cos д/-~ sin д/^~
К задаче 32.22
32.22(32.22). Тело Е, масса которого равна т, находится на гладкой горизонтальной плоскости. К телу прикреплена пружина жесткости с, второй конец которой прикреплен к шарниру 01- Длина недеформированной
пружины равна /0; в положении равновесия тела пружина имеет конечный предварительный натяг, равный Fo = c(l — /о), где / = ОО[. Учитывая в горизонтальной состав-
ляющей упругой силы пружины лишь линейные члены относи-
тельно отклонения тела от положения равновесия, определить период малых колебаний тела.
238
Ответ: Т = 2л ^tnl/F0.
32.23(32.23). Материальная точка массы tn подвешена к концу нерастянутой пружины с коэффициентом жесткости с и отпущена с начальной скоростью Vo, направленной вниз. Найти уравнение движения и период колебаний точки, если в момент времени, когда точка находилась в крайнем нижнем положении, к ней прикладывают силу Q = const, направленную вниз.
Начало координат выбрать в положении статического равновесия, т. е. на расстоянии Р/с от конца нерастянутой пружины.
Ответ: х =4 + [ V(v)' + У “ т] cos 6 гДе f 0Т'
считывается от момента времени, когда начала действовать сила Q, Т = 2л -у mi с .
32.24(32.24). Определить период свободных колебаний груза массы tn, прикрепленного к двум параллельно включенным пружинам, и коэффициент жесткости пружины, эквивалентной данной двойной пружине, если груз расположен так, что удлинения обеих пружин, обладающих заданными коэффициентами жесткости С] и с2, одинаковы. ________
Ответ: Т — 2л л/~—г: с = ci -ф с2; расположение груза та-V "Г С2Г
ково, что «(/аг = Сг/О-
32.25(32.25). В условиях предыдущей задачи найти уравнение
К задаче 32.24
движения груза, если его подвесили к нерастянутым пружинам и сообщили ему начальную скорость Vo, направленную /////'// вверх.
Ответ:	>
х__ mg /frT+ZTt _	>Сг
Ci + Ci C0 Л/ '« _________ ______________ 4
_ „ . !~ m .	/ (ci + ca) .	m
°Л/ (Cl+Cj) V in 
32.26(32.26). Определить период свободных коле-
б а ний груза массы tn, зажатого между двумя пр ужи-нами с разными коэффициентами жесткости ci и с2.
Ответ: Т = 2я л/77 ? тт • V (с> Ч-с2)
К задаче 32.26
32.27(32.27). В условиях предыдущей задачи найти уравнение движения груза, если в положении равновесия ему сообщили скорость »о, направленную вниз.
/ сп •	/ (ci -4- с2) ,
Ответ: x = v0 д/~С1 + С}) sin д/ —t.
32.28(32.28). Определить коэффициент жесткости с пружины, эквивалентной двойной пружине, состоящей из двух последовательно включенных пружин с разными коэффициентами жесткости
239
Ci и C2, и указать также период колебаний груза массы т, подвешенного на указанной двойной пружине.
Ответ', с =	, Т = 2л л/	.
С| + С2	V С1С2
32.29(32.29). В условиях предыдущей задачи найти уравнение движения груза, если в начальный момент он находился ниже по-ложения равновесия на расстоянии х0 и ему со-общили скорость v0, направленную вверх.
J	Ответ:
|	X = XoCOS^/-^^-i-
f-Vo л/(С1 + Сз)т sin д/, f‘c\ t.
>	<	u V C1C2	V (Cl + m
<	< Cf 32.30(32.30). Определить коэффициент жест-
Д_	кости составной пружины, состоящей из двух
—ВЕг	последовательно соединенных пружин с разны-
К задаче 32.28 МИ Коэффициентами ЖССТКОСТИ С\ — 9,8 Н/СМ И с2 = 29,4 Н/см. Найти период колебаний, амплитуду и уравнения движения груза' массы 5 кг, подвешенного к указанной составной пружине, если в начальный момент груз был смещен из положения статического равновесия на 5 см вниз и ему была сообщена начальная скорость 49 см/с, направленная также вниз.
Ответ: e = -~g—= 7,35 Н/см, 7 = 0,517 с, а =6,43 см, х = — 5cos 12,13/ 4- 4,04 sin 12,13/ дм.
32.31(32.31). Тело' А, масса которого равна т, может перемещаться по горизонтальной прямой. К телу прикреплена пружина, коэффициент жесткости которой с. Второй конец пружины укреплен в неподвижной точке В. При угле а—а^ пружина
К задаче 32.31
не деформирована. Определить частоту и период малых колебаний тела.
Ответ: k = za/-—, Т — 2л л/—™— .
V m	у С COS2 Во
32.32(32.32). Точка Л, масса которой равна пг, прикреплена пружинами, как указано на рисунке. В исходном положении точка находится в равновесии и все пружины не напряжены. Определить
240
коэффициент жесткости эквивалентной пружины при малых колебаниях точки вдоль оси х в абсолютно гладких направляющих и частоту свободных колебаний точки.
Ответ, с ~ Ci cos2 СЦ -ф (с, -{- с3) cos2 а2 ф- cos2 а3, fe — /J.
32.33(32.33). Определить коэффициент жесткости пружины, эквивалентной трем пружинам, показанным па рисунке, при колебаниях точки М в абсолютно гладких направляющих вдоль оси х. Решить ту же задачу, если направляющие расположены вдоль оси у. Определить частоты этих колебаний.
Ответ: сх — q cos2 ф, ф- с2 cos2 <р2;	~ sin2 <Pi + с2 sin2 Фг + сз!
kx — yjcjm, ky— -у! с J tn.
В исходном положении пружины не напряжены и точка М находится в равновесии.
32.34(32.34). Определить коэффициент жесткости эквивалентной пружины, если груз М массы tn прикреплен к стержню, массой которого можно пренебречь. Стержень шарнирно закреплен в точке О и прикреплен тремя вертикальными пружинами к фундаменту. Коэффициенты жесткости пружин Ci, с2, с3. Пружины прикреплены к стержню на расстояниях оь й2, я3 от шарнира. Груз М прикреплен к стержню на расстоянии b от шарнира. В положении равновесия стержень горизонтален. Эквивалентная пружина 'крепится к стержню на расстоянии b от шарнира. Найти частоту малых колебаний груза.
С1а2 + с2а| + с3а2	/с
Ответ, с=---------k =	-
32.35(32.36). Винтовая пружина состоит из п участков, коэффициенты жесткости которых соответственно равны сь с2, ..., сп. Определить коэффициент жесткости с однородной пружины, эквивалентной данной, и период свободных колебаний точки, масса которой равна т.
I _ 2л	. Ге
Ответ: с = —------- ,	W k=
1т,
1-1
241
32.36(32.35). Груз массы ГО кг, лежащий на абсолютно гладкой горизонтальной плоскости зажат между двумя пружинами одинаковой жесткости с — 19,6 Н/см. В некоторый момент груз был сдвинут на 4 см от положения равновесия вправо и отпущен без начальной скорости. Найти уравнение движения, период колебаний, а также максимальную скорость груза.
Ответ, х = 4 cos 19,8^ см, Т = 0,317 с, хтах = 79,2 см/с.
32.37(32.37). Груз Р массы m подвешен к стержню АВ, который соединен двумя пружинами, с коэффициентами жесткости Сч и <?3, со стержнем DE. Последний прикреплен к потолку в точке Н пружиной, коэффициент жесткости которой Сь При колебаниях стержни АВ и
К задаче 32.37	К задаче 32.38
К задаче 32.36
DE остаются горизонтальными. Определить коэффициент жесткости одной эквивалентной пружины, при которой груз Р будет колебаться с той же частотой. Найти период свободных колебаний груза. Массой стержней пренебречь.
Огбег: 0 =	.	т==2п	/^+9+^)
с, + с_. + Сз '	V Ci (с3+ Сз)
32.38(32.38). Определить собственную частоту колебаний груза Q массы т, подвешенного на конце упругой консоли длины I. Пружина, удерживающая груз, имеет жесткость с. Жесткость на конце консоли определяется формулой с^ — ЗЕЗ/Р (Е — модуль упругости, 7 — момент инерции). Массой консоли пренебречь.
_	,	/	3£Тс
Ответ, k	aJ +	
32.39(32.39). Колебания груза массы М = 10 кг, лежащего на середине упругой балки жесткости с = 20 Н/см, происходят с ам-
К задаче 32.40
плитудой 2 см. Определить величину начальной скорости груза, если в момент времени f = 0 груз находился в положении равновесия.
Ответ: Vo = 28,3 см/с.
32.40(32.40). Груз Q массы m за-
креплен горизонтально натянутым тросом АВ = I. При малых вертикальных колебаниях груза натяжение троса S можно считать постоянным. Определить частоту свободных колебаний груза, если расстояние груза от конца троса А равно а.
Ответ:	рад/с-
242
К задаче 32.41
32.41(32.41). Груз веса 490,5 Н лежит посередине балки АВ. Момент инерции поперечного сечения балки 1 — 80 см4. Определить длину балки I из условия, чтобы период свободных колебаний груза на балке был равен 7 = 1 с.
Примечание. Статический прогиб балки определяется формулой f— где модуль упругости Е — 2,05-10“ Н/м2.
Ответ: I = 15,9 м.
32.42(32.42). Груз Q массы m зажат между двумя вертикальными пружинами с коэффициентами жесткости сх и с^. Верхний конец первой пружины закреплен неподвижно, а нижний конец второй пружины прикреплен к середине балки. Определить длину балки I так, чтобы период колебаний груза был равен Т. Момент инерции поперечного сечения балки J, модуль упругости Е.
Ответ'. I —
32.43(32.43). Найти уравнение движения и период колебаний груза Q массы т, подвешенного к пружине с коэффициентом
жесткости сь если пружина прикреплена к середине балки длины I. Жесткость балки на изгиб EJ. В начальный момент груз находился в положении статического равновесия и ему была сообщена
скорость Vn, направленная вниз.
Vm(cJ:i + 48£/) .	/	48£/С|
48£/с, Sln Л/ (ciP+48£J)m
I (с,!3 + 48£V) m Д/ Ci  48£/
Т=2п
32.44(32.44). Груз веса Q зажат между двумя вертикальными пружинами, коэффициенты жесткости которых равны С! и с2. Верхний конец первой пружины закреплен неподвижно. Нижний конец второй пружины прикреплен к свободному концу балки, заделанной Другим концом в стене. Зная, что свободный конец заделанной
243
балки под действием, силы Р, приложенной к свободному концу балки, дает прогиб
с РР
' 3EJ ’
где EJ — заданная жесткость балки при изгибе, определить длину балки I, при которой груз будет колебаться с данным периодом Т. Найти уравнение движения груза, если в начальный момент он был подвешен к концам нерастянутых пружин и отпущен без начальной скорости.
.	Q\
+ 2 Тг ‘ g )
4jc2 Q \
т1 ’ ё	C,J
с2Р + ЗЕ}	/ [c}c2i'J +	+ сг) ЗД7] g
cxc2l3 -I- (с, + c2) ЗЕ} Л/ <с2Р + 3£/) Q Г‘
32.45(32.45). Стержень О А длины I, на конце которого помещен груз массы т, может поворачиваться вокруг оси О. На расстоянии а от оси О к стержню прикреплена пружина с коэффициентом
К задаче 32.45
жесткости с. Определить собственную частоту колебаний груза, если стержень ОА в положении равновесия занимает горизонтальное положение. Массой стержня пренебречь.
Ответ: k = Y рад/с.
32.46(32.46). Груз Р массы m подвешен на пружине к концу стержня длины I, который может поворачиваться вокруг оси О. Коэффициент жесткости пружины q. Пружина, поддерживающая стержень, установлена на расстоянии b от точки О и имеет коэффициент жесткости С2. Определить собственную частоту колебаний груза Р. Массой стержня пренебречь.
Ответ:	Рад/с‘
32.47(32.47). Для определения ускорения силы тяжести в данном месте земного шара производят два опыта. К концу пружины подвешивают груз Р] и измеряют статическое удлинение пружины /1, Затем к концу этой же пружины подвешивают другой груз Pz
244
и опять измеряют статическое удлинение /2- После этого повторяют оба опыта, заставляя оба груза по очереди совершать свободные колебания, и измеряют при этом периоды колебаний и Т2. Второй опыт делают для того, чтобы учесть влияние массы самой пружины, считая, что при движении груза это влияние эквивалентно прибавлению к колеблющейся массе некоторой добавочной массы. Найти формулу для определения ускорения силы тяжести по этим
опытным данным.
..	4л2 (?, - lt)
Ответ: g =	2
‘ 1 J 2
32.48(32.48). По горизонтальной хорде (пазу) вертикально расположенного круга движется без трения точка М массы 2 кг под действием силы притяжения F, пропорциональной по величине расстоянию до центра О, причем коэффициент пропорциональности
К задаче 32.48
К задаче 32.49
К задаче 32.30
98 Н/м. Расстояние от центра круга до хорды равно 20 см, радиус окружности 40 см. Определить закон движения точки, если в начальный момент она находилась в правом крайнем положении Mq и отпущена без начальной скорости. С какой скоростью точка проходит через середину хорды?
Ответ: х — 34,6 cos 7t см, х = ±242 см/с.
32.49(32.49). К стержню АВ, массой которого пренебречь, прикреплены три пружины. Две, с жесткостью С\ и с2, удерживают стержень и расположены на его концах. Третья пружина, жесткость которой сз, прикреплена к середине стержня и несет груз Р массы т. Определить собственную частоту колебаний груза.
Ответ: k = а /—т-.-----—---  -3  ----г рад/с.
V в! (4С1 * С? ± С,  Со ± с2 • Сд)
32.50(32.50). Груз массы 10 кг, прикрепленный к пружине с коэффициентом жесткости с = 1,96 кН/м, совершает колебания. Определить полную механическую энергию груза и пружины, пренебрегая массой пружины, построить график зависимости упругой силы от перемещения и показать на нем потенциальную энергию пружины. Принять положение статического равновесия за начало отсчета потенциальной энергии.
^45
Ответ: Т — 1/2tnx2 4- xl2cx2 = (5х2 4- 980л2) Дж, если х — в м, х—в м/с. Заштрихованная на рисунке площадь равна потенциальной энергии пружины.
32.51. Материальная точка массы m находится в поле действия силы с потенциалом
n = '/2fe(x24-4z/2+ 16z2).
Доказать, что при движении точки из любого (ненулевого) начального положения через некоторое время точка снова придет в это положение. Определить это время. Будет ли скорость при возвращении равна начальной скорости?
Ответ: Т — 2я у/т/к. Скорость точки через промежуток времени Т станет равной своему начальному значению.
32.52. Материальная точка массы m находится в поле действия силы, потенциал которой
n=72fe(x2 + 2^ + 522).
Вернется ли точка в этом случае в исходное положение по прошествии некоторого времени?
Ответ: Нельзя указать момента времени, когда все три координаты примут исходные значения. Точка в процессе сложения трех колебательных движений не вернется в исходное положение.
б) Влияние сопротивления на свободные колебания
32.53(32.51). Пластина D массы 100 г, подвешенная на пружине точке А, движется между полюсами магнита. Вследствие вихревых токов движение тормозится силой, пропорциональной скорости. Сила сопротивления движению равна fet/Ф2 Н, где k — 0,001, v — скорость в м/с, Ф — магнитный поток между полюсами N и S. В начальный момент скорость пластинки равна нулю и пружина не растянута. Удлинение ее на 1 м получается при статическом действии силы в 19,6 Н, приложенной в точке В. Определить движение пластинки в том случае, когда Ф = 10 д/5 Вб (вебер — единица магнитного потока в СИ).
Ответ:	х — —e~2<5t (0,05 cos 13,772 4-
4-0,00907 sin 13,77/) м, где ось х направлена вниз из положения статического равновесия центра тяжести пластинки.
32,54(32.52). Определить движение пластинки D при условиях предыдущей задачи в том случае, когда магнитный поток Ф == == 100 Вб.
Ответ: х — —0,051e-2f 4" 0,001 е~98/.
АВ в неподвижной

К »здачам 32.53 и 32 54
24S
32.55(32.53). Цилиндр веса Р, радиуса г и высоты h подвешен цилиндр по-погружастся
К задаче 32.55
на пружине АВ, верхний конец которой В закреплен; гружен в воду. В положении равновесия цилиндр в воду на половину своей высоты. В начальный момент времени цилиндр был погружен в воду на 2/3 своей высоты и затем без начальной скорости пришел в движение по вертикальной прямой. Считая жесткость пружины равной с и предполагая, что действие воды сводится к добавочной архимедовой силе, определить движение цилиндра относительно положения равновесия. Припять удельный вес воды равным у.
Ответ: х — — ft cos kt, где A2 ==-^-(c + луг2).
32.56(32.54). В предыдущей задаче определить колебательное движение цилиндра, если сопротивление воды пропорционально первой степени скорости и равно av.
Ответ: Движение цилиндра будет колебательным, если
Тогда
х = у д/k2k_~te~ni sin (V*2 - n2/ + ₽),
in 1 m ’’	2m °1	n
P tn= —.
%
К задаче 32,57
32.57(32.55). Тело А массы 0,6 кг лежит на негладкой горизонтальной плоскости и соединено с неподвижной точкой В пружиной, ось которой ВС горизоптальна. Коэффициент трения тела о плоскость 0,2; пружина такова, что для удлинения ее на 1 см требуется сила 2,45 Н. Тело А отодвинуто от точки В так, что пружина вытянулась на 3 см, и затем отпущено без начальной скорости.
Найти: 1) число размахов, кото-
рые совершит тело А, 2) величины размахов и 3) продолжительность Т каждого из них.
Тело остановится, когда в положении, где скорость его равна нулю, сила упругости пружины будет равна силе трения или меньше ее.
Ответ: 1) 4 размаха; 2) 5,2 см, 3,6 см, 2 см, 0,4 см; 3) Т = *=0,14 с.
32.58(32.56). Груз массы М — 20 кг, лежащий на наклонной негладкой плоскости, прикрепили к перастянутой пружине и сообщили ему начальную скорость п0—0,5 м/с, направленную вниз. Коэффициент трения скольжения f — 0,08, коэффициент жесткости
247
о
К задаче 32 59
пружины с = 20 Н/см. Угол, образованный наклонной плоскостью с горизонтом, а = 45°. Определить: 1) период колебаний, 2) число максимальных отклонений от положения равновесия, которые совершит груз, 3) величины этих отклонений.
Ответ: I) Т = 0,628 с; 2) 7 отклонений; 3) 7,55 см; 6,45 см; 5,35 см; 4,25 см; 3,15 см; 2,05 см; 0,95 см.
32.59(32.57). Тело массы М = 0,5 кг совершает колебания на горизонтальной плоскости под действием двух одинаковых пружин, прикрепленных к телу одним концом и к неподвижной стойке— другим; оси пружин лежат на одной горизонтальной прямой.
Коэффициенты жесткости пружин
Sb Г“1	= С2 = !’225 Н/см- коэффициент тре-
§ ния при движении тела [ = 0,2, при покое [0 = 0,25. В начальный момент тело было отодвинуто от своего среднего положения О вправо в положение — 3 см и отпущено без начальной
скорости. Найти: 1) область возможных равновесных положений тела — «область застоя», 2) величину размахов тела, 3) число его размахов, 4) продолжительность каждого из них, 5) положение тела после колебаний.
Ответ: 1) —0,5 см < х < 0,5 см; 2) 5,2 см, 3,6 см, 2 см, 0,4 см; 3) 4 размаха; 4) Т — 0,141 с, 5) х = —0,2 см.
32.60(32.58). Под действием силы сопротивления R, пропорциональной первой степени скорости (R — av), тело массы т, подвешенное к пружине жесткости с, совершает затухающие колебания. Определить, во сколько раз период затухающих колебаний Т превосходит период незатухающих колебаний То, если отношение n/k = 0,1 (А2 = с/m, п = а/(2т)).
Ответ: Т яг 1,005То.
32.61(32.59). В условиях предыдущей задачи определить, через сколько полных колебаний амплитуда уменьшится в сто раз.
Ответ: через 7,5 полных колебаний.
32.62(32.60). Для определения сопротивления воды движению модели судна при очень малых скоростях модель М пустили плавать в сосуде, привязав нос .	Д—и~|	я Iй КОРМУ посредством двух
м 1—одинаковых пружин Л и В, I---~----У—.	- /—------силы натяжения которых
пропорциональны удлинениям. Результаты наблюдений показали, что отклонения модели от положения
равновесия после каждого размаха уменьшаются, составляя гео-. метрическую прогрессию, знаменатель которой равен 0,9, а продолжительность каждого размаха Т = 0,5 с. Определить силу R сопротивления воды, приходящуюся на каждый килограмм массы модели, при скорости ее равной 1 м/с, предполагая, что сопротивление воды пропорционально первой степени скорости.
К задачам 32.62 и 32.63
248
Ответ: R — 0,42 Н.
32.63(32.61). В условиях предыдущей задачи найти уравнение движения модели, если в начальный момент пружина А была растянута, а пружина В сжата на величину Д1 — 4 см и модель была отпущена без начальной скорости.
'Ответ; х. — e-0>21/(4cos 6,28£ Ц- 0,134 sin 6,281) см.
32.64(32.62). Для определения вязкости жидкости Кулон употреблял следующий метод: подвесив па пружине тонкую пластинку А, он заставлял ее колебаться сначала в воздухе, а затем в той жидкости, вязкость которой надлежало определить, и находил продолжительность одного размаха: Т\—в первом случае и Тч— во втором. Сила трения между пластинкой и жидкостью может быть выражена формулой 25 feu, где 25 — поверхность пластинки, v— ее скорость, fe — коэффициент вязкости. Пренебрегая трением между пластинкой и воздухом, определить коэффициент fe по найденным из опыта величинам Т} и Тч, если масса пластинки равна т.
Ответ: к^-~-гЛ/Ц-Ц.
К задаче 32.64
32.65(32.63). Тело массы 5 кг подвешено на пружине, коэффициент жесткости которой равен 2 кН/м. Сопротивление среды пропорционально скорости. Амплитуда после четырех колебаний уменьшилась в 12 раз. Определить период и логарифмический декремент колебаний.
Ответ: 7 = 0,316 с, X = пТ/2 = 0,3106.
32.66(32.64). В условиях предыдущей задачи найти уравнение движения тела, если его подвесили к концу перастянутой пружины и отпустили без начальной скорости.
Ответ: х = e~l'97t(—2,45cos 19,9/— 0,242 sin 19,91) см.
32.67(32.65). Тело массы 6 кг, подвешенное па пружине, при отсутствии сопротивления колеблется с периодом Т ~ 0,4л с, а если действует сопротивление, пропорциональное первой степени скорости, с периодом Т\ = 0,5 л с. Найти коэффициент пропорциональности а в выражении силы сопротивления R = —аи и определить движение тела, если в начальный момент пружина была растянута из положения равновесия на 4 см и тело представлено самому себе.
Ответ: а = 3б-^-^-, х = 5е-3< sin (it -f- arctg-^) см.
32.68(32.66). Тело массы 1,96 кг, подвешенное на пружине, которая силой 4,9 Н растягивается на 10 см, при движении встречает сопротивление, пропорциональное первой степени скорости и при скорости 1 м/с равное 19,6 Н. В начальный момент пружина растянута из положения равновесия па 5 см и тело пришло в движение без начальной скорости. Найти закон этого движения.
Ответ: х = 5е_’( (5/ + 1) см.
249
32.69(32.67). Грузы массы mi — 2 кг и zn2 = 3 кг подвешены в положении статического равновесия к пружине, коэффициент жесткости которой с = 392 Н/м. Масляный демпфер вызывает силу сопротивления, пропорциональную первой степени скорости и равную R = — av, где а = 98 Н-с/м. Груз т2 сняли. Найти после этого уравнение движения груза пъ.
Ответ: х = 8,32e-4>4f — 0,82е-44’6< см.
32.70(32.68). Статическое удлинение пружины под действием груза веса Р равно f. На колеблющийся груз действует сила сопротивления среды, пропорциональная скорости. Определить наименьшее значение коэффициента сопротивления а, при котором процесс движения будет апериодическим. Найти период затухающих колебаний, если коэф-
к задаче 32.69 фициент сопротивления меньше найденного зна-
чения.
Ответ: а = 2Pj^gf. При а < 2P/^/gf движение будет колебательным с периодом 7' = 2л/дУ'-у---
32,71. Груз массы 100 г, подвешенный к концу пружины, движется в жидкости. Коэффициент жесткости пружины с — 19,6 Н/м. Сила сопротивления движению пропорциональна первой степени скорости груза: R ~ аи, где а = 3,5 Н-с/м.
Найти уравнение движения груза, если в начальный момент груз был смещен из положения равновесия на х0= 1 см и отпущен без начальной скорости.
Ответ: х — 1,32е-™ — 0,ЗЗе-28; см.
32.72. В условиях предыдущей задачи найти уравнение движения груза и построить график зависимости перемещения от времени, если в начальный момент груз смещен из положения статиче
К задаче 32.72
ского равновесия на расстояние х0 = 1 см и ему сообщена начальная скорость 50 см/с в направлении, противоположном смещению.
Ответ: х — —e~7t + 2e-28t см.
32.73. В условиях задачи 32.71 в начальный момент груз смещен из положения равновесия на расстояние хо = 5 см и ему
250
сообщена начальная скорость vo = 100 см/с в том же направлении. Найти уравнение движения груза и построить график зависимости перемещения от времени.
Ответ: х.— ll,4ew'— 6,4e-28' см.
32.74(32.72). Составить дифференциальное уравнение малых колебаний тяжелой точки А, находящейся на конце стержня, закрепленного шарнирно в точке О, считая силу сопротивления среды пропорциональной первой степени скорости с коэффициентом пропорциональности ос, и определить частоту затухающих колебаний. Вес точки А равен Р, коэффициент жесткости пружины с, длипа стержня I. расстояние ОВ — Ь. Массой стержня пренебречь. В положении равновесия стержень горизонтален. При каком значении коэффициента а движе- у ние будет апериодическим?
р ь2 ь2
Ответ: — у + а-рУ + с-ру^Ь,
32.75(32.73). При колебаниях груза массы 20 кг, подвешенного на пружине, было замечено, что наибольшее отклонение после 10 полных колебаний уменьшилось вдвое. Груз совершил 10 полных колебаний за 9 с. Как велик коэффициент сопротивления а (при сопротивлении среды, пропорциональном первой степени скорости) и каково значение коэффициента жесткости с?
Ответ: а = 3,08 Н  с/м, с = 974,8 Н/м.
32.76(32.74). Составить дифференциальное уравнение малых колебаний точки А и определить частоту затухающих колебаний. Вес точки А равен Р, коэффициент жесткости пружины с, расстояние OA — b, ОВ ~ I. Сила сопротивления среды пропорциональна первой степени скорости, коэффициент пропорциональности равен
251
а. Массой стержня OB, шарнирно закрепленного в точке О, пренебречь. В положении равновесия стержень горизонтален. При каком значении коэффициента а дви-&	}	жение будет апериодическим’?
К задаче 32.70
р	с.12
Ответ. —-у +<iy +	у = Ъ,
I
32.77. Тело массы 5 кг подвешено концу пружины жесткости 20 Н/м
и помещено в вязкую среду. Период
его колебаний в этом случае равен 10 с. Найти постоянную демпфирования, логарифмический декремент колебаний и период свободных колебаний.
Ответ, а = 19 Н* с/м, Л ~ пТ/2 = 9,5, Т = 3,14с.
в) Вынужденные колебания
32.78(32.75). Найти уравнение прямолинейного движения точки массы т, находящейся под действием восстанавливающей силы Q — —сх и постоянной силы Fo. В начальный момент I = 0, х0 =* 0 и хо = О. Найти также период колебаний-
Ответ: х = -—(!—cos kt), где k = Т = 2n/fe.
32.79(32.76). Определить уравнение прямолинейного движения точки массы т, находящейся под действием восстанавливающей силы Q — — сх и силы F = at. В начальный момент TjR точка находится в положении статического равнове-. § сия и скорость ее равна нулю.
||	Ответ: х = (kt — sin kt), где
32.80(32.77). Найти уравнение прямолинейного V, движения точки массы т, на которую действует вос-станавливающая сила Q = — сх и сила F~Foe~at, если в начальный момент точка находилась в поло-жении равновесия в состоянии покоя.
Ответ х= m Ja+ д2)	- cos kt + sin kt];
К задаче 32.81 где k — А /“ •
V m
32.81(32.78). На пружине, коэффициент жесткости которой с = 19,6 Н/м, подвешен магнитный стержень массы 100 г. Нижний конец магнита проходит через катушку, по которой идет переменный ток t = 20 sin 8nf А. Ток идет с момента времени t — О, втягивая стержень в соленоид; до этого момента магнитный стержень
. 262
висел на пружине неподвижно. Сила взаимодействия между магнитом и катушкой определяется равенством F — 0,016ш Н. Определить вынужденные колебания магнита.
Ответ-, х = — 2,3 sin 8л/ см.
32.82(32.79). В условиях предыдущей задачи найти уравнение движения магнитного стержня, если его подвесили к концу нерастянутой пружины и отпустили без начальной скорости.
Ответ:	х = — 5cos 14/-|- 4,13sin 14/ —
— 2,3 sin 8л/ см.
32.83(32.80). В условиях задачи 32.81 найти уравнение движения магнитного стержня, если ему в положении статического равновесия сообщили начальную скорость v0 — 5 см/с.
Ответ: х — 4,486sin 14/ — 2,3sin8nl см.
32.84(32.81). Гиря М подвешена на пружине АВ, верхний конец которой совершает гармонические колебания по вертикальной прямой амплитуды а и частоты п, так что OiC—asinn/ см. Определить вынужденные колебания гири М при следующих данных: масса гири равна 400 г, от действия силы 39,2 И пружина удлиняется на 1 м, а = 2 см, п = 7 рад/с.
Ответ: x = 4sin7/ см.
32.85(32.82). Определить движение гири
подвешенной на пружине АВ, верхний конец которой А совершает гармонические колебания по вертикали амплитуды а и круговой частоты k, статическое растяжение пружины под действием веса гири равно 6. В начальный момент точка А занимает свое среднее положение, а гиря А1 находится в покое; начальное положение гири принять за начало координат, а ось Ох направить по вертикали вниз.
Ответ: х =	д/v sin Д/т ~ s*n при &

К задаче 32.84
М /см. задачу 32.
х = 4 s*n Л/ 4t ~ Л/ 4 t cos kt
2 1 V О VO J
32.86(32.83). Статический прогиб рессор груженого товарного вагопа Д/ст — 5 см. Определить критическую скорость движения вагона, при которой начнется «галопирование» вагона, если на стыках рельсов вагон испытывает толчки, вызывающие вынужденные колебания вагона на рессорах; длина рельсов £=12 м.
Ответ: v =96 км/ч.
32.87(32.84). Индикатор машины состоит из цилиндра А, в котором ходит поршень В, упирающийся в пружину £>; с поршнем соединен стержень ВС, к которому прикреплен пишущий штифт С.
253
Предполагая, что давление пара, выраженное в паскалях, изменяется согласно формуле р = Ю5 ^4 + 3 sin , где Т—время одного оборота вала, определить амплитуду вынужденных колебаний штифта С, если вал совершает 180 об/мин, при следующих дан-
ных; площадь поршня индикатора о — 4 см2, масса подвижной части индикатора 1 кг, пружина сжимается на 1 см силой 29,4 Н. -
Ответ: а — 4,64 см.
32.88(32.85). В условиях предыдущей задачи найти уравнение движения штифта С, если в начальный момент система находилась в покое в положении статического равновесия.
Ответ: х — —1,61 sin 54,22/+ 4,64 sin 6л/ см.
32.89(32.86). Груз массы m — 200 г, подвешенный к пружине, коэффициент жесткости которой 9,8 Н/см находится под действием силы S=H sin pt, где Н— 20 Н, р = 50 рад/с. В начальный момент х0 — 2 см, Оо=Ю см/с. Начало координат вы-
К задаче 32.87
брано в положении статического равновесия. Найти уравнение движения груза.
Ответ, х = 2 cos 70/— 2,83 sin 70/ +4,17 sin 50/ см.
32.90(32.87). В условиях предыдущей задачи изменилась частота возмущающей силы, получив значение р = 70 рад/с. Определить уравнение движения груза.
Ответ, х ~ 2 cos 70/ + 1,16 sin 70/ — 71,4/cos 70/ см.
32.91. Груз массы 24,5 кг висит на пружине жесткости 392 Н/м. На груз начинает действовать сила F(t) ~ 156,8 sin 4/ Н. Определить закон движения груза.
Ответ, х = 0,2 sin 4/ — 0,8t cos 4/ м.
32.92. Груз массы 24,5 кг висит на пружине жесткости 392 Н/м. Определить движение груза, если на него начинает действовать сила F = 39,2 cos 6/ Н.
Ответ: х — 16 sin / sin 5/ см. Колебания носят характер биений.
32.93. Груз на пружине колеблется так, что его движение описывается дифференциальным уравнением
tnx + сх — 5 cos в>/ + 2 cos Зю/.
Найти закон движения груза, если в начальный момент его смещение и скорость были равны нулю, а также определить, при ка- } ких значениях <в наступит резонанс.	j
°ТвеТ: Х = С05 ' + ' C0S +
+	COS Зю/. Резонанс наступит в двух случаях: а»! Кр =	:
VC	ГТ
m И <o21tp— m .	
254
г) Влияние сопротивления на вынужденные колебания
К задачам 32.94 и 32.95
32.94(32.88). На пружине, коэффициент жесткости которой с~ = 19,6 Н/м, подвешены магнитный стержень массы 30 г, проходящий через соленоид, и медная пластинка массы 50 г, проходящая между полюсами магнита. По соленоиду течет ток i = = 20 sin 8л/ А, который развивает силу взаимодействия с магнитным стержнем 0,016л/ Н. Сила торможения медной иластники вследствие вихревых токов равна йпФ2, где k = 0,001, Ф — 10 д/5 Вб и v— скорость пластинки в м/с. Определить вынужденные колебания пластинки.
Ответ: х — 0,022 sin (8л/— 0,91л) м.
32.95(32.89). В условиях предыдущей задачи найти уравнение движения пластипки, если ее подвесили вместе с магнитным стержнем к концу нерастянутой пружины и сообщили им начальную скорость 5 см/с, направленную вниз.
Ответ: х = e~2-5t(—4,39 cos 13,77/
+ 3,42 sin 13,77/)-J-2,2 sin (8л/— 0,91л) см.
32.90(32.90). Материальная точка массы m — = 2 кг подвешена к пружине, коэффициент жесткости которой 4 кН/м. На точку действуют возмущающая сила S= 120sin(p/-|-6) Н и сила сопротивления движению, пропорциональная первой степени скорости и равная R = 0,5 ^тс v Н.Чему равно наибольшее значение Хтах амплитуды вынужденных колебаний? При какой частоте р ам
плитуда вынужденных колебаний достигает наибольшего значения?
Ответ: Лтах = 6,2 см, р = 41,83 рад/с.
52.97(32.91). В условиях предыдущей задачи найти уравнение движения точки, если в начальный момент времени ее положение и скорость были равны: х0 = 2 см, = 3 см/с. Частота возмущающей силы р = 30 рад/с, начальная фаза возмущающей силы 6 = 0. Начало координат выбрано в положении статического равновесия.
Ответ: х = е-’1.18'(4,422 cos 43,3/— 1,547 sin 43,3/) +
+ 4,66 sin (30/— 0,174л) см.
32.90(32.92). Материальная точка массы 3 кг подвешена на пружине с коэффициентом жесткости с =117,6 Н/м. На точку действуют возмущающая сила F = Н sin(6,26/ -|-₽) Ни сила вязкого сопротивления среды R~—av (R в Н). Как изменится амплитуда вынужденных колебаний точки, если вследствие изменения температуры вязкость среды (коэффициент а) увеличится в три раза?
255
Ответ: Амплитуда вынужденных колебаний уменьшится в три раза.
32.99(32.93). Тело массы 2 кг, прикрепленное пружиной к неподвижной точке А, движется по гладкой наклонной плоскости, образующей угол а с горизонтом, под действием возмущающей силы S = 180sinl0£ Н и силы сопротивления, пропорциональной
д скорости R ——29,4г» (/? в Н). Коэффициент жесткости пружины с = 5 кН/м. В начальный момент тело находилось в покое в положении статического равновесия. Найти уравнение дви-жения тела, периоды Т свободных и 7’1 вынуж-Jfp	денных колебаний, сдвиг фазы вынужденных
Лдсй	колебаний и возмущающей силы.
Хш !---------- Ответ: х — <?-7>35' (0,228 cos 49,46^ —
кзадачезгээ — 0,72 sin 49,4 6£) + 3,74 sin (10^ — 3° 30') см, Т = = 0,127 с, Л = 0,628 с, е = 3° 30'.
32.100(32.94). На тело массы 0,4 кг, прикрепленное к пружине с коэффициентом жесткости с = 4 кН/м, действуют сила S — = 40 sin 50£ Н и сила сопротивления среды R =—аг», где а = = 25 Н-с/м, v — скорость тела (о в м/с). В начальный момент тело покоится в положении статического равновесия. Найти закон движения тела и определить значение частоты возмущающей силы, при котором амплитуда вынужденных колебаний будет максимальной.
Ответ: 1) х = 0,647е-21-25' sin(95?~ 46’55')+ l,23sin(50Z — — 22°36') см;
2) максимальная амплитуда вынужденных колебаний получается при р = 89,7 рад/с и равна 1,684 см.
32.101(32.95). На тело массы М кг, прикрепленное к пружине с коэффициентом жесткости с Н/м, действуют возмущающая сила S — п sin pt Н н сила сопротивления R =—ах» (1? в Н), где v— скорость тела, В начальный момент тело находилось в положении статического равновесия и не имело начальной скорости. Найти уравнение движения тела, если с > а2/(4Л4)._
Ответ: х =	hp~—Г2п cos Vfe2 - п21 + 2n	X
(й2 — p2)2 + 4n2p2 \	V*2 — n2
x Sin Va2 — n2t) + (^ _р»)» + 4д2р2 [(A2 — P2) sin pt - 2np cos pt], где h — HjM, k2^-clM, n — a/(2M).
32.102(32.96). На тело массы 6 кг, подвешенное к пружине с жесткостью с =17,64 кН/м, действует возмущающая сила Posinpt Сопротивление жидкости пропорционально скорости. Каким должен быть коэффициент сопротивления а вязкой жидкости, чтобы максимальная амплитуда вынужденных колебаний равнялась утроенному значению статического удлинения пружины? Чему равняется коэффициент расстройки z (отношение круговой частоты вынужденных колебаний к круговой частоте свободных колебаний)? Найти сдвиг фазы вынужденных колебаний и возмущающей силы.
256
0'1 ~ т: а = 110 н- с/м, 2 = 0,97, е = 80° 7'.
32-103(32.97). На тело массы 0,1 кг, прикрепленное к пружине с коэффициентом жесткости с —5 кН/м, действует сила S = = Н sin pt, где //=100 Н, р — 100 рад/с, и сила сопротивления = Н, где (1 = 50 Н-с/м. Написать уравнение вынужденных колебаний и определить значение частоты р, при котором амплитуда вынужденных колебаний будет максимальной.
Ответ: х2 = 0,98 sin 100/— 1,22 cos 100/ см; максимума амплитуды не существует, так как п > kj^2.
32.104(32,98). В условиях предыдущей задачи определить сдвиг фазы вынужденных колебаний и возмущающей силы.
Ответ: е = arctg 1,25 = 51° 20'.
32.105(32.90). Груз массы 0,2 кг подвешен на пружине, коэффициент жесткости которой равен с = 19,6 Н/м. На груз действуют возмущающая сила S = 0,2 sin 14/ II и сила сопротивления . Я = 49У н. Определить сдвиг фаз вынужденных колебаний и возмущающей силы.
Ответ: в = 91° 38'.	у
32.106(32.100). В условиях предыдущей задачи i----------!-----f
найти коэффициент жесткости новой пружины, Ч——г1 которой нужно заменить данную пружину, чтобы Ц сдвиг фаз вынужденных колебаний и возмущаю- JL > ей щей силы стал равным л/2.	й Ш И
Ответ: ci — 39,2 Н/м.	ИТМ
32.107(32,101). Для уменьшения действия на
тело массы m возмущающей силы F = Fosin(p/4- к задаче 32.107 -|- 6) устанавливают пружинный амортизатор с жидкостным демпфером. Коэффициент жесткости пружины с. Считая, что сила сопротивления пропорциональна первой степени скорости (Fconp = au), найти максимальное динамическое давление всей системы на фундамент при установившихся колебаниях.
_ »г	г- / fe4 + 4ч2рг	Л ,»	с	а
Ответ: N	_ рй)Я + inipt, где А — , « — 2да 
§ 33.	Относительное движение
33.1(33.1). К концу А вертикального упругого стержня АВ прикреплен груз С массы 2,5 кг. Груз С, будучи выведен из положения равновесия, совершает гармонические колебания под влиянием силы, пропорциональной расстоянию от положения равновесия. Стержень АВ таков, что для отклонения конца его Л на 1 см нужно' приложить силу 1 Н. Найти амплитуду вынужденных колебаний груза С в том случае, когда точка закрепления стержня В совершает по горизонтальной прямой гармонические колебания амплитуды 1 мм и периода 1,1 с.
Ответ: 5,42 мм.
33.2(33.2). Точка привеса математического маятника длины I движется по вертикали равноускоренно. Определить период Т ма-
9 И. В. Мещерский
257
лых колебании маятника в двух случаях; 1) когда ускорение точки привеса направлено вверх и имеет какую угодно величину р;
2) когда это ускорение направлено вниз и величина его р < g.
Ответ: 1) Г = 2л д/тГ7; 2) Т =
33.3(33.3). Математический маятник ОМ длины I в начальный
момент отклонен от положения равновесия ОА на некоторый
К задаче 33.1
К задаче 33.S
1 I
угол а и имеет скорость, равную нулю; точка привеса его в этот момент имеет также скорость, равную нулю, но затем опускается с постоянным ускорением р g. Определить длину s дуги окружности, описываемой точкой М в относительном движении вокруг точки О.
Ответ: 1) При р — g s ~ 0; 2) при р > g s = 21 (л — а).
33.4(33.4). Железнодорожный поезд идет со скоростью 15 м/с по рельсам, проложенным по меридиану с юга на север. Масса поезда 2000 т.
1)	Определить боковое давление поезда на рельсы, если он пересекает в данный момент северную широту 60°. 2) Определить боковое давление поезда на рельсы, если он идет в этом же месте с севера на юг.
Ответ: 1) 3778,7 Н на правый восточный рельс; 2) 3778,7 Н на правый западный рельс.
33.5(33.3). Материальная точка свободно падает в северном полушарии с высоты 500 м на Землю. Принимая во внимание вращение Земли вокруг своей оси и пренебрегая сопротивлением воздуха, определить, насколько отклонится на восток точка при падении. Географическая широта места равна 60°.
Ответ: На 12 см.
33.6(33.6). В вагоне, движущемся по прямому горизонтальному пути, маятник совершает малые гармонические колебания, причем среднее его положение остается отклоненным от вертикали на угол 6°.
I)	Определить ускорение w вагона. 2) Найти разность периодов колебаний маятника: Т— в случае неподвижного вагона и Т\— в данном случае.
Ответ: 1) w = 1,03 м/с2, 2) Т—7/ = 0,00287’.
33.7(33.7). Точка Oi привеса маятника длины I совершает прямолинейные горизонтальные гармонические колебания около неподвижной точ-
ки О: 0О( = a sin pt. Определить малые колебания маятника, считая, что в момент, равный нулю, <р = 0, ф = 0.
К задаче ЗЗ.Т
Ответ-

33.8. Точка, находящаяся на широте X, брошена в западном направлении под углом а к горизонту с начальной скоростью Уо. Определить время и дальность полета точки.
, 	2а0 sin а ~ 2v<j sin а /.	2awe cos Л cos а X
ответ-, t — g + 2(1)Uocosxcosа ~ g I* ' g J’
t»gsin2a cosX sin а (16 sin2 а — 12)
1 = g +	3?	’
где о — угловая скорость вращения Земли.
33.9(33.9). Шарик массы т, прикрепленный к концу горизонтальной пружины, коэффициент жесткости которой с, находится в положении равновесия в трубке на расстоянии а от вертикальной оси. Определить относительное движение шарика, если трубка,
К задаче 33.9
образующая с осью прямой угол, начинает вращаться вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью <Л>.
Ответ: В системе координат, начало которой совпадает с точкой равновесия шарика,
г, <о2а  , V^2 — со2.	l. / с
х ~ jl.2 sin 2	ПРИ V m" >
•* = -^zrp-(ch V012 — k2t— 1) при
33.10(33.10). Горизонтальная трубка CD равномерно вращается вокруг вертикальной оси АВ с угловой скоростью о>. Внутри трубки находится тело М. Определить скорость v тела относительно трубки в момент его вылета, если в начальный момент v = 0, х~хо, длина трубки равна L. Трением пренебречь.
Ответ: у = д/Z.2 — х2 <в.
33.11(33.11). В условиях предыдущей задачи определить время движения тела в трубке.
1 L + aJl? — xI
Ответ: Т — — In--------------
<0	Xq
33.12(33.12). В условиях задачи 33.10 составить дифференциальное уравнение движения тела в трубке, если коэффициент трения скольжения между телом и трубкой равен /,
9*
Ответ: х == «>2х ± f д/g2 -|- 4и2х2; верхнему знаку соответствует х <. 0, нижнему х > 0.
33.13(33.13). Кольцо движется но гладкому стержню АВ, который равномерно вращается в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через конец А, делая один оборот в секунду; длина стержня 1 м; в момент / = 0 кольцо находилось на расстоянии 60 см от конца А и имело скорость, равную нулю. Определить момент ti, когда кольцо сойдет со стержня.
Ответ: ti = -7- In 3 = 0,175 с.
33.14(33.14). Трубка АВ вращается с постоянной угловой скоростью <й вокруг вертикальной оси CD, составляя с ней неизмен-гный угол 45°. В трубке находится тяжелый шарик М. Определить движение этого шарика относительно трубки, если начальная ско-9 рость его равна нулю и начальное расстояние от точки О равно а. Трением пренебречь.
Ответ:	ОМ = у (а —•	) (е».5о>* VF _j_
+ e-o.5^V2-) + £V2_.
33.15(33.15). Определить, как меняется ускорение силы тяжести в зависимости от ши-к задаче зз.н роты места Ф вследствие вращения Земли вокруг своей оси. Радиус Земли R = 6370 км. Ответ: Если пренебречь членом с со4 ввиду его малости, то _ „Ct	cos2 ф \	„ _. (, cos2 <₽ \
£i = £V--------------J. или £! = 9,8Ц1 -------289 J- где § — уско-
рение силы тяжести на полюсе, <р — географическая широта места. •
33.16(33.16). Во сколько раз надо увеличить угловую скорость вращения Земли вокруг своей оси, чтобы тяжелая точка, находящаяся на поверхности Земли на экваторе, не имела бы веса? Радиус Земли R = 6370 км.
Ответ: В 17 раз.
33.17(33.17). Артиллерийский снаряд движется по настильной траектории (т. е. по траектории, которую приближенно можно считать горизонтальной прямой). Горизонтальная скорость снаряда во время движения о0 = 900 м/с. Снаряд должен поразить цель, отстоящую от места выстрела на расстоянии 18 км. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить, насколько отклонится снаряд от цели вследствие вращения Земли. Стрельба происходит на северной широте X = 60°.
Ответ: Снаряд отклонится вправо (если смотреть на него сверху перпендикулярно к скорости) на величину s = <aoo/2sinX = = 22,7 м независимо от направления стрельбы.
33.18(33,18). Маятник на длинной нити получает небольшую начальную скорость в плоскости север-юг. Считая отклонения

маятника малыми по сравнению с длиной нити и принимая во внимание вращение Земли вокруг оси, найти время, по истечении которого плоскость качаний маятника совпадает с плоскостью запад-восток. Маятник расположен на 60° северной широты.
Ответ: Т = 13,86(0,54-k) часов, где fe = 0, 1,2, 3, ...
33,19. Тяжелая точка может двигаться без трения по вертикальному проволочному кольцу, которое вращается вокруг своего вертикального диаметра с постоянной угловой скоростью со. Радиус кольца равен R. Найти положение равновесия точки и определить, как будет двигаться точка, если в положении_равновесия она получит малую скорость v0 по касательной вверх.
Ответ: Положение равновесия соответствует углу <Ро = = arccos-^-, отсчитываемому от нижнего положения точки на круге. Точка, получившая малую скорость v0, будет совершать малые колебания около положения равновесия согласно уравнению: ф — sin kt, где fe =	8 
33.20. Пружинный вибродатчик используется для измерения вертикального ускорения поезда, круговая частота вертикальных колебаний которого равна 10 рад/с. База прибора составляет одно целое с корпусом одного из вагонов поезда. К базе прибора крепится пружина с коэффициентом жесткости с= 17,64 кН/м. К пружине прикреплен груз массы т=1,75 кГ. Амплитуда относительного движения груза вибродатчика равна 0,125 см по записи прибора. Найти максимальное вертикальное ускорение поезда. Какова амплитуда вибрации поезда?
Ответ: Максимальное вертикальное ускорение поезда равно wmax = 1237 см/с2. Амплитуда вертикальных колебаний поезда равна: а = 12,37 см.
33.21. Виброметр используется для определения вертикальных колебаний одной из частей машины. В подвижной системе прибора демпфер отсутствует. Относительное смещение датчика виброметра (массивного груза) равно 0,005 см. Собственная частота колебаний виброметра—6 Гц, частота колебаний вибрирующей части машины — 2 Гц. Чему равны амплитуда колебаний, максимальная скорость и максимальное ускорение вибрирующей части машины?
Ответ: Амплитуда колебаний равна а = 0,04 см, максимальная скорость равна vm = 0,5 см/с, максимальное ускорение равно Wm — 6,316 СМ/С2.
33.22. Груз массы /п==1,75 кг подвешен внутри коробки на вертикальной пружине, коэффициент жесткости которой с~ = 0,88 кН/м. Коробка установлена на столе, вибрирующем в вертикальном направлении. Уравнение колебаний стола х = = 0,225 sin 3/ см. Найти абсолютную амплитуду колебаний груза.
Ответ: х = 0,2254 см.
261
ГЛАВА X
ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ
§ 34.	Геометрия масс: центр масс материальной системы, моменты инерции твердых тел
34.1(34.1). Коленчатый вал трехцилиндрового двигателя, изображенный на рисунке, состоит из трех колен, расположенных под углом 120° друг к другу. Определить положение центра масс коленчатого вала, считая, что массы колен сосредоточены в точках А, В и D, причем пи = тв = то = т, и пренебрегая массами остальных частей вала. Размеры указаны на рисунке.
Ответ-. Центр масс совпадает с началом координат О.
34.2(34.2). Найти уравнения движения центра масс шарнирного параллелограмма OABOi, а также уравнение траектории его центра масс при вращении кривошипа ОА с постоянной угловой скоростью <в. Звенья параллелограмма — однородные стержни, причем ОА = 0{В = АВ/2 = а.
Ответ: хс = а + ^-а cos at, t/c =-|-a sin ю/; уравнение траектории (хс — ау + у'с~ (4°)2 — ОКРУЖКОСТЬ радиуса с центром в точке К с координатами (а, 0).
К задаче 34.2
34.3(34.3). К ползуну / массы посредством тонкой невесомой нити прикреплен груз II массы М%. При колебаниях груза по закону (p = (posino)2 ползун скользит по неподвижной горизонтальной гладкой поверхности. Найти уравнение движения ползуна 262
Xi=f(t)\ считая, что в начальный момент (t — Q) ползун находился в начале отсчета О оси х. Длина нити равна I.
Ответ:	I sin (Фо sin со/).
34,4(34.4), Определить положение центра масс центробежного регулятора, изображенного на рисунке, если масса каждого из шаров А и В равна Л1ь масса муфты D равна М2. Шары Л и fl считать точечными массами. Массой стержней пренебречь.
Ответ: хс = 0, ус = 2	I cos Ф.
34,5(34.5). Определить траекторию центра масс механизма эллипсографа, состоящего из муфт А и В массы каждая, кривошипа ОС массы М2 и линейки АВ массы 2Л12; дано: ОС — АС— — СВ = I. Считать, что линейка и кривошип представляют однородные стержни, а муфты — точечные массы.
Ответ: Окружность с центром в точке О и радиусом, равным 4Afi + 5М2 I
+ ЗЛ<2 ’ 2 '
34.6. К вертикальному валу АВ прикреплены два одинаковых груза Ё и D с помощью двух перпендикулярных оси АВ и притом взаимно перпендикулярных стержней ОЕ == OD == г. Массами стержней и вала пренебречь. Грузы считать точечными массами. Найти положение центра масс С системы, а также центробежные моменты инерции Jxz> Jyz, Jxy.
Ответ: С(l/2r, l/2r, 0), Jxz = Jyz = J xy = 0.
34.7(34.8). Вычислить момент инерции стального вдла радиуса 5 см и массы 100 кг относительно его образующей. Вал считать однородным сплошным цилиндром.
Ответ: 3750 кг-см2.
34.8(34.9). Вычислить момент инерции тонкого однородногр полудиска массы М и радиуса г относительно оси, проходящей вдоль диаметра, ограничивающего полудиск.
Ответ: Мг2/ь.
263
34.9(34.10). Вычислить осевые J* и Jy моменты инерции изображенной на рисунке однородной прямоугольной пластинки массы М относительно осей х и у.
Ответ: Jx ~ */зМа2, /у — */$МЬ2.
34.10(34.11). Вычислить моменты инерции изображенного на рисунке однородного прямоугольного параллелепипеда массы М относительно осей х, у и z.
Ответ: /х = -^-(й2 4-4с2), Jy = -у (Ь2 + 4с2), /г = у-(й2+62).
34.11(34.12). В тонком однородном круглом диске радиуса R высверлено концентрическое отверстие радиуса г. Вычислить момент инерции этого диска массы М относительно оси z, проходящей через его центр масс перпендикулярно плоскости диска.
Ответ: Ц = ~^~ (Я2 + f2)-
34.12(34.13). Вычислить момент инерции тонкой однородной пластинки массы М, имеющей форму равнобедренного треугольника с высотой h, относительно оси, проходящей через ее центр масс С параллельно основанию.
Ответ: 4т-Mh1.
34.13. Однородная металлическая пластинка выполнена в виде равностороннего треугольника. Масса пластинки равна М, I —
длина ее стороны. Вычислить момент инерции пластинки относительно оси z, проходящей через ее вершину параллельно основанию.
Ответ: /г = -|- Л4/2.
34.14. Однородная равносторонняя треугольная пластина имеет массу М и длину стороны I. Вычислить момент инерции пластины относительно оси z, проходящей через вершину пластины перпендикулярно ее плоскости.
К задаче 34.12	К задаче 34.13
264
Ответ: — Ml2-
осей х, у и г тонкой однородной
К задаче 34.14
проходящей через
34.15(34.16). Вычислить моменты инерции относительно трех взаимно перпендикулярных —Л ............ ~
эллиптической пластинки массы М, ограниченной кон-1/^
туром -5- + ^-= I.
Ответ: Jx~^b\ 1у~
34.16(34.17). Определить момент инерции однородного полого шара массы М его центр тяжести. Внешний равны R и г.
относительно оси,
и внутренний радиусы соответственно
9	/?5 _г5
Ответ: ~М^^.
34.17(34.18). Вычислить момент инерции однородной тонкой оболочки, выполненной в виде полусферы радиуса R, относительно оси, проходящей через центр полусферы перпендикулярно к огра-

К задаче 34.17	К задаче 34.18	К задаче 34.19
ничпвающей ее плоскости. Масса М оболочки равномерно распределена по поверхности полусферы.
Ответ: ~ MR2.
34.18(34,19). Вычислить радиус инерции сплошного однородного цилиндра относительно оси z, перпендикулярной оси цилиндра и отстоящей от его центра масс С на расстоянии 10 см, если радиус цилиндра равен 4 см, а высота 40 см.
Ответ: 15,4 см.
34.19(34.21). Маятник состоит из тонкого однородного стерж-ля АВ массы М}, к концу которого прикреплен однородный диск С массы Мг- Длина стержня равна 4г, где г—радиус диска. Вы
265
числить момент инерции маятника относительно его оси привеса О, перпендикулярной плоскости маятника и отстоящей на расстоянии г от конца стержня.
~	4Л1} 4" 99Л1г „
Ответ:	&	г2.
34.20(34.23). Тонкий однородный стержень АВ длины 21 и массы М прикреплен в центре О к вертикальной оси, образуя с ней угол а. Вычислить моменты инерции стержня 1Х, ]у и центробежный момент инерции Jxy. Оси координат показаны на рисунке.
Ответ: = cos2«, = sin2a, /Лг? ==-g—sin 2a.
34.21. Однородный • круглый диск массы М и радиуса г прикреплен к оси АВ, отстоящей от центра масс С на расстоянии
креплен к оси АВ,
Вычислить осевые и центробежные моменты инерции
стинки АВС массы
в
К задаче 34.22
ОС = г/2. диска.
/г 1	3	, Mr2 . Mr2 Г t i п
Ответ: Jx*=-Mr2, Jy = ~^~. h =	1ху = 1хг = !уг^П.
34.22. Вычислить момент инерции однородной треугольной пла-АВС ___________I М относительно оси х, проходящей через его
вершину А в плоскости пластинки, если даны расстояния от точек В и С до оси х; ВМ — hB, CN — he.
Ответ: Jx=~ (№в + hRhc + h2c).
34.23(34.24), По данным задачи 34.1 определить центробежные моменты инерции Jxz, Jyz, Jxy коленчатого вала.
Ответ: 1хг = — -j- md(a + b), ]ух = — ~ md (a + b), Jxy = ti.
34.24(34.25). Однородный круглый диск массы М эксцентрично насажен на ось г, перпендикулярную его плоскости. Радиус диска равен г, эксцентриситет ОС=а, где С — центр масс диска. Вычислить осевые Jx. 1У, ]г и центробежные Jxy, Jxz, 1уг моменты инерции диска. Оси координат показаны на рисунке.
266
Ответ; Jx=~. /у=м(^ + а*), }г = м (£+a2). Jxy~
J xz ' yz Q-
34.25(34,27). По данным задачи 34.24 вычислить момент инерции диска относительно оси Zj, лежащей в вертикальной плоскости xz и образующей с осью г угол <р.
Ответ'. Jz. —	— sin2 <р + М + й2^ cos2 $.
К задаче 34.24
К задаче 34.25
34.26(34.28). Однородный круглый диск массы М насажен на ось г, проходящую через его центр масс С. Ось симметрии диска Zj
лежит в вертикальной плоскости симметрии xz и образует с осьюз угол а. Радиус диска равен г- Вычислить центробежные моменты инерции диска 1хг, 1уг, Jxy (оси координат показаны на рисунке).
ОтвеТ". Jxy^=Jzy==0. xz z=
34.27(34.29). Решить предыдущую задачу в предположении, что диск эксцентрично насажен на ось z, причем эксцентриситет ОС — а.
Ответ: ]ху = 1уг = О,
Лг=4(т + а2) Sin 9м-
34.28(34.30). Однородный круглый диск ось вращения z, проходящую через точку осью симметрии диска Czi угол а. Масса диска равна М. Определить момент инерции Л диска относительно оси вращения z и цен
радиуса R насажен на О и составляющую с
267
тробежные моменты инерции ]хг и ]yz, если OL — проекция оси ? на плоскость диска, ОЕ — а, ОК = Ъ.
Ответ-. /г = М [(а2 + у cos2а + j К2 sin2 а -}- Z>2j,
Jxx ~ М (j R2 + а2) sin а cos а, 1уг — Mab sin а,
34.29. Однородная прямоугольная пластинка OABD массы М со сторонами а и Ъ прикреплена стороной ОА к оси ОЕ. Вычислить центробежные моменты инерции пластинки Лг, ]уг и ]ху.
Ответ-. /жг —/хв—О,
К задаче 34.29
К задаче 34.30
34.30(34.31). Однородная прямоугольная пластинка массы М
со сторонами длины а и b прикреплена к оси г, проходящей через одну из ее диагоналей. Вычислить центробежный момент инерции ]уг пластинки относительно осей у и г, лежащих вместе с пла-
К задаче 34.31

стинкой в плоскости рисунка. Начало координат совмещено с центром масс пластинки.
Ответ- 1 —МаЬ У ~ &а)
итвет- jyz— ]2 ai + b2 
34.31(34.34). Вращающаяся часть-под ъемного крана состоит из стрелы CD длины L и массы Mlt противовеса Е массы Мг и груза К массы М3. Рассматривая стрелу как однородную тонкую балку, а противовес Е и круг К как точечные массы, определить момент инерции /2 крана относительно вертикальной осн вращения г и центробежные моменты
инерции относительно осей координат х, у, г, связанных с краном. Центр масс всей системы находится на оси z; стрела CD располо-
жена в плоскости yz.
Ответ: Jz~M2a2 +	+ у Mi) L2 sin2 а,
Jvt ==	£2 sin 2а - M3Ll Sin a, JXy — JXi = 0.
268
§ 35.	Теорема о движении центра масс материальной системы
35.1(35.1). Определить главный вектор внешних сил, действующих на маховик М, вращающийся вокруг оси ЛВ. Ось ЛД укрепленная в круговой раме, в свою очередь вращается вокруг оси DE. Центр масс С маховика находится в точке пересечения осей АВ и DE.
Ответ: Главный вектор внешних сил равен нулю.
К задаче 35.1
35.2(35.2). Определить главный вектор внешних сил, приложенных к линейке АВ эллипсографа, изображенного на рисунке. Кривошип ОС вращается с постоянной угловой скоростью о; масса линейки АВ равна М; ОС — АС = ВС — I.
Ответ: Главный вектор внешних сил параллелен СО и равен по модулю Л4/<в2.
35.3(35.3). Определить главный вектор внешних сил, действующих на колесо массы М, скатывающееся с наклонной плоскости вниз, если его центр масс С движется по закону хс — a.Ej'l.
К задаче 35.3
К задаче 35.4	К задаче 35,5
Ответ: Главный вектор внешних сил параллелен оси х, направлен в сторону движения и равен по модулю Ма.
, 35.4(35.4). Колесо катится со скольжением по горизонтальной прямой под действием силы F, изображенной на рисунке. Найти закон движения центра масс С колеса, если коэффициент трения скольжения равен f, a F = 5fP, где Р— вес колеса. В начальный момент колесо находилось в покое.
Ответ: хс — 2fgt2.
35.5(35.5). Колесо катится со скольжением ио горизонтальной Ж ямой под действием приложенного к нему вращающего момента.
1Йти закон движения центра масс С колеса, если коэффициент
269
трения скольжения равен f. В начальный момент колесо находилось в покое.
Ответ: хс = fgt2/2.
35.6(35.6). Вагон трамвая совершает вертикальные гармонические колебания на рессорах амплитуды 2,5 см и периода Т = 0,5 с. Масса кузова с нагрузкой 10 т, масса тележки и колес 1 т. Определить силу давления вагона на рельсы.
Qiagr: от 68,0 до 147,6 кН.
^5.7^85.7). Определить силу давления на грунт насоса для отводы при его работе вхолостую, если масса неподвижных и фундамента Е равна Mh масса кривошипа масса кулисы В и поршня С равна Л43. Криво-
кач частей корпуса D
ОЛ = а равна Ms,
К задаче 35.7
К задаче 35.9
с равна /И,, масса кривошипа В и поршня С равна Л43. Кривошип ОА, вращающийся равномерно с угловой скоростью (О, считать однородным стержнем.
Ответ: A^=(Mi4-M2+Mj)^4-
+	(М2 -J- 2Л13) cos (ot.
35.8(35.8). Использовав данные предыдущей задачи, считать, что насос установлен на упругом основании, коэффициент упругости которого равен с. Найти закон движения оси О кривошипа ОА по вертикали, если в начальный момент ось О находилась в положении статического равновесия и ей была сообщена по вертикали вниз скорость Взять начало отсчета оси х, направленной вертикально вниз, в положении статического равновесия оси О. Силами сопротивления пренебречь.
с	h
Ответ: 1) При	=0= <в2 х0=— -г~---=-cos£/4-
+ S’n & + кг—<й2 C0S’
где k = А /______с— h____________Мг + 2Л*3 *	.
ГАе К У М^-Мг + Мг ’ П~ Mi+M2+M3 2 ’ .
2) при -г-.—,	. .. - == о2 хо = — sin 4- -А / sin
' г Л1, 4- Л42 + Мз	и а>	1 2сй
35.9(35.9). Ножницы для резки металла состоят из кривошип-
но-ползунного механизма ОАВ, к ползуну В которого прикреплен подвижный нож. Неподвижный нож укреплен на фундаменте С. Определить давление фундамента на грунт, если длина кривошипа г, масса кривошипа Mi, длина шатуна /, масса ползуна В с подвижным ножом Л4г, масса фундамента С и корпуса О равна Л43. Массой шатуна пренебречь. Кр.ивошип ОА, равномерно вращающийся с угловой скоростью ю, считать однородным стержнем.
270
Указание. Выражение V i — (r/02 sin2 mi следует разложить в ряд и отбросить все члены ряда, содержащие отношение г/l в степени выше второй.
К задаче 35.10
Ответ-. N = (Мi + М2 + М3) g + [(Mj + 2М2) cos +
+ 2М2 у cos 2o>/j .
35.10(35.10). Электрический мотор массы Л'Г установлен без креплений на гладком горизонтальном фундаменте; на валу мотора под прямым углом закреплен одним концом однородный стержень длины 2/ и массы М2, на другой конец стержня насажен точечный груз массы Af3; угловая скорость вала равна со.
Определить: 1) горизонтальное движение мотора; 2) наибольшее горизонтальное усилие /?, действующее на болты, если ими будет закреплен кожух электромотора на фундаменте.
Ответ-. 1) Гармонические колеба-
. I (М2 + 2/Из)
НИЯ с амплитудой	Мз и пе-
риодом 2л/<о;
2) /? = (М2 + 2М3)/©2.
35.11(35.11). По условиям предыдущей задачи вычислить ту угловую
скорость (о вала электромотора, при которой электромотор будет подпрыгивать над фундаментом, не будучи к нему прикреплен болтами.
. / (М, + мг + м,)е У (М2 + 2М3) I
Ответ-, со >
на расстоянии С\С2 = а,
К задаче 35.12
отсчета оси х взять в по-
35.12(35.12). При сборке электромотора его ротор В был эксцентрично насажен на ось вращения Cj i где Ci — центр масс статора А, а С2— центр масс ротора В. Ротор равномерно вращается с угловой скоростью со. Электромотор установлен посередине упругой балки, статический прогиб которой равен А; — масса статора, М2—масса ротора.
Найти уравнение движения точки С\ по вертикали, если в начальный момент она находилась в покое в положении статического равновесия. Силами сопротивления пренебречь. Начало ложении статического равновесия точки
Ответ". 1) При =7^= W	k 1гг___©2 kt	<0/,
где = д/f,
271
2) при дД|=(о —	— Л-/cos cot.
35.13(35.13). Электрический мотор массы Л1Г установлен на балке, жесткость которой равна с. На вал мотора насажен груз массы Л12 на расстоянии I от оси вала. Угловая скорость мотора о = const. Определить амплитуду вынужденных колебаний мотора и критическое число его оборотов в минуту, пренебрегая массой балки и сопротивлением движению.
~	М21а2	30	/ с
Ответ: а = -——тт?—гпггт—? > ^ко = — л /	.
с — (MiЛ<2) <d2	кр л V Л1|+Л12
35.14(35.15). На рисунке изображена крановая тележка 4 массы Mi, которая заторможена посередине балки BD. В центре
К задаче 35.13
масс С, тележки подвешен трос длины I с привязанным к нему грузом С2 массы М2. Трос с грузом совершает гар
К задаче 35.14
монические колебания в вертикальной плоскости. Определить: 1) суммарную вертикальную реакцию балки BD, считая се жест-кой; 2) закон движения точки С\ в вертикальном направлении, считая балку упругой с коэффициентом упругости, равным с.
В начальный момент балка, будучи нсдеформнрованной, находилась в покое в горизонтальном положении. Считая колебания троса малыми, принять: sin ф « ф, cos ср tv 1. Начало отсчета оси у взять в положении статического равновесия точки С,. Массой троса и размерами тележки по сравнению с длиной балки пренебречь.
Ответ: 1)	— (Mi 4- M2)g; 2) точка С, совершает свободные
,	(М, 4- М2) %	/ с .
колебания по закону	i— с cos J м~+~м2
35.15(35.16). Сохранив данные предыдущей задачи и считая балку BD жесткой, определить: 1) суммарную горизонтальную реакцию рельсов; 2) в предположении, что тележка не заторможена, закон движения центра масс Ci тележки А вдоль оси х.
В начальный момент точка С\ находилась в покое в начале отсчета оси х. Трос совершает колебания по закону ф = ср0со8а)А Ответ: 1) Rx — — Л12/фо«2со5 wf; 2) точка С\ совершает коле-' м.
бания с амплитудой м /<р0 и круговой частотой со по закону
* = лт?7/фо(1_С05®0'
272
35.16(35.17). На средней скамейке лодки, находившейся в покое, сидели два человека. Один из них, массы Л1] = 50 кг, переместился вправо на нос лодки. В каком направлении и на какое расстояние должен переместиться второй человек массы Л12=70 кг для того, чтобы лодка осталась в покое? Длина лодки 4 м. Сопротивлением воды движению лодки пренебречь.
Ответ: Влево на корму лодки на расстояние 1,43 м.
35.17(35.18). На однородную призму А, лежащую на горизонтальной плоскости, положена однородная призма В; поперечные сечения призм — прямоугольные треугольники, масса призмы А втрое больше массы призмы В. Предполагая, что призмы и горизонтальная плоскость идеально гладкие, определить длину I, на которую передвинется призма А, когда призма В, спускаясь по А, дойдет до горизонтальной плоскости.
Ответ: 1 = (а— Ь)/4.
35.18(35.19). По горизонтальной товарной платформе длины 6 м и массы 2700 кг, находившейся в начальный момент в покое,
b
А а
К задаче 35.17
двое рабочих перекатывают тяжелую отливку из левого конца платформы в правый. В какую сторону и насколько переместится при этом платформа, если общая масса груза и рабочих равна 1800 кг? Силами сопротивления движению платформы пренебречь.
Ответ: Налево на 2,4 м.
C35J9( 35.20). Два груза и ЛГ2, соответственно массы и М2, соединенные нерастяжимой нитью, переброшенной через блок А, скользят по гладким боковым сторонам прямоугольного клина, опирающегося основанием ВС на гладкую горизонтальную
К задаче 35.19
К задаче 35.20
плоскость. Найти перемещение клина по горизонтальной плоскости при опускании груза Мх па высоту h — 10 см. Масса клина М = 4Mi = 16М2; массой нити и блока пренебречь.
Ответ: Клин переместится вправо на 3,77 см.
35.20(35.21). Три груза массы Mi = 20 кг, М2= 15 кг и М3 = = 10 кг соединены нерастяжимой нитью, переброшенной через неподвижные блоки L. и N. При опускании груза Mi вниз груз М2 перемещается по верхнему основанию четырехугольной усеченной пирамиды ABCD массы М = 100 кг вправо, а груз М3 поднимается по боковой грани АВ вверх. Пренебрегая трением между усеченной пирамидой ABCD и полом, определить перемещение усе
273
ченной пирамиды ABCD относительно пола, если груз М\ опустится вниз на 1 м. Массой нити пренебречь.
Охвек Влево на 14 см.
(35.2Е)Подвижной поворотный кран для ремонта уличной элск-троСетйустановлен на автомашине массы 1 т. Люлька К крана, укрепленная на стержне L, может поворачиваться вокруг горизонтальной оси О, перпендикулярной плоскости рисунка. В начальный момент кран, занимавший горизонтальное положение, и автомашина находились в покое. Определить перемещение незаторможенной автомашины, если край повернулся на 60°. Масса однородного стержня L длины 3 м равна 100 кг, а люльки К — 200 кг. Центр масс С люльки К отстоит от оси О на расстоянии ОС = 3,5 м. Сопротивлением движению пренебречь.
Ответа Направо на 32,7 см.
§ 36.	Теорема об изменении главного вектора количеств движения материальной системы. Приложение к сплошным средам
36.1(36.1). Определить главный вектор количеств движения работающего редуктора скоростей, изображенного на рисунке, если центры тяжести каждого из четырех вращающихся зубчатых колес лежат на осях вращения.
Ответ-. Главный вектор количеств движения равен нулю.
36.2(36.2). Определить сумму импульсов внешних сил, приложенных к редуктору, рассмотренному в предыдущей задаче, за произвольный конечный промежуток времени.
Ответ-. Сумма импульсов внешних сил равна нулю.
36.3 (Зб.З). Определить главный вектор количеств движения маятника, состоящего из однородного стержня О А массы длины 4г и однородного диска В массы радиуса г, если угловая скорость маятника в данный момент равна со.
274
Ответ. Главный вектор количеств движения направлен перпендикулярно стержню ОА и по модулю равен (2Л1,
36.4(36.4). Определить модуль и направление главного вектора количеств движения механизма эллипсографа, если масса кривошипа равна М\, масса линейки АВ эллипсографа равна 2Mif масса каждой из муфт А и В равна ЛЦ; даны размеры: ОС — = АС — СВ — I. Центры масс кривошипа и линейки расположены в их серединах. Кривошип вращается с угловой скоростью со.
Ответ: Модуль главного вектора равен	+ 4М2)>
направление главного вектора перпендикулярно кривошипу,
К задаче 36.4
К задаче 36.5
36.5(36.5). Определить главный вектор количеств движения центробежного регулятора, ускоренно вращающегося вокруг вертикальной оси. При этом углы ср изменяются по закону ср = ср (О и верхние стержни, поворачиваясь, поднимают шары А и В. Длины стержней: ОА — ОВ = AD — BD — I. Центр масс муфты D массы лежит на оси z. Шары А и В считать точечными массами массы каждый. Массой стержней пренебречь.
Ответ: QX = QM = O, Qg — — 2(М] + М2) /cpsin <р, где Q—главный вектор количеств движения; плоскость yz совпадает с плоскостью расположения стержней регулятора.
36.6(36.7). В механизме, изображенном на рисунке, движущееся колесо радиуса г имеет массу М, причем центр масс колеса находится в точке Оу, центр масс прямолинейного стержня АВ массы kM находится в его середине. Кривошип ОО[ вращается вокруг оси О с постоянной угловой скоростью со. Определить главный вектор количеств движения системы, пренебрегая массой кривошипа.
Ответ: Проекции главного вектора количеств движения системы на осн координат: 1) на ось О.хл —Л/гы cos col; 2) на ось Оу: Л1гш (1 + 2A)sin at.
36.7(36.8). Масса ствола орудия равна 11 т. Масса снаряда равна 54 кг. Скорость снаряда у дульного среза и0~ 900 м/с.
275
Определить скорость свободного отката ствола орудия в момент вылета снаряда.
Ответ: Скорость отката ствола орудия равна 4,42 м/с и направлена в сторону, противоположную движению снаряда.
36.8(36.9). Граната массы 12 кг, летевшая со скоростью 15 м/с, разорвалась в воздухе па две части. Скорость осколка массы 8 кг возросла в направлении движения до 25 м/с. Определить скорость второго осколка.
Ответ: 5 м/с в направлении, противоположном движению первого осколка.
36.9(36.11). По горизонтальной платформе А, движущейся по инерции со скоростью перемещается тележка В с постоянной относительной скоростью и0. В
Д, и0
некоторый момент времени тележка была заторможена. Определить общую скорость v платформы с тележкой после ее остановки, если М—масса платформы, а т— масса тележки.
Ответ: v —	+ -тг-?- "
J М + m
36.10(36.12). Сохранив условие предыдущей задачи, определить путь s, который пройдет тележка В по платформе А с момента начала торможения до полной остановки, и время торможения т, если считать, что при торможении возникает постоянная по величине сила сопротивления F.
4 уо
К задаче 36.9
«0-
Указание. В дифференциальном уравнении движения тележки использовать соотношение Mv 4-	4- с) = const, где и и v — переменные скорости.
I тМ «5	тМ uQ
Ответ: s =-j	т= т + м F ‘
36.11(36.13), Из наконечника пожарного рукава с поперечным сечением 16 см2 бьет струя воды под углом а. = 30° к горизонту со скоростью 8 м/с. Определить силу давления струи на вертикальную стену, пренебрегая действием силы тяжести на форму струи и считая, что частицы жидкости после встречи со стеною приобретут скорости, направленные
К задаче 36.11	ВДОЛЬ СТСНЫ
Ответ: 88,8 Н.
36.12(36.14). Определить горизонтальную составляющую W возникающей при движении воды силы давления на опору колена трубы диаметра d = 300 мм, по которой течет вода со скоростью v — 2 м/с,
Ответ: N = 284 Н.
36.13(36.15). Вода входит в неподвижный канал переменного сечения, симметричный относительно вертикальной плоскости, со скоростью оо = 2 м/с под углом ссо=90° к горизонту;.сечение канала при входе 0,02 м2; скорость воды у выхода из канала vt —
276
= 4 м/с и направлена под углом at —30° к горизонту. Определить модуль горизонтальной составляющей силы, с которой вода действует на стенки канала.
Ответ: 138 Н.
К задаче 30.12	К задаче 36,13	К задаче 36 14
36.14(36.17). Определить модуль горизонтальной составляющей силы давления струи воды на неподвижную лопатку турбинного колеса, если объемный расход воды Q, плотность у, скорость подачи воды на лопатку щ горизонтальна, скорость схода воды и2 образует угол а с горизонтом.
Ответ; N = yQ (vj -|- v2 cos а).
§ 37.	Теорема об изменении главного момента количеств движения материальной системы. Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси
37.1(37.1). Однородный круглый диск массы М = 50 кг и радиуса R— 30 см катится без скольжения по горизонтальной плоскости, делая вокруг своей оси 60 об/мин. Вычислить главный момент количеств движения диска относительно осей: 1) проходящей через центр диска перпендикулярно плоскости движения; 2) относительно мгновенной оси.
Ответ: 1) 14,1 кг-м2/с; 2) 42,3 кг-м2/с.
37.2(37.2). Вычислить главный момент количеств движения линейки АВ эллипсографа в абсолютном движении относительно оси г, совпадающей с осью вращения кривошипа ОС, а также в относительном движении по отношению к оси, проходящей через центр масс С линейки параллельно оси г. Кривошип вращается с угловой скоростью, проекция которой на ось г равна шг; масса линейки равна т; ОС = АС — ВС = I (см. рисунок к задаче 34.5),
Ответ. Ь0г-==~т12в>2, ССг = —
37.3(37.3). Вычислить главный момент количеств движения планетарной передачи относительно неподвижной оси г, совпадающей с осью вращения кривошипа ОС$. Неподвижное колесо 1 и
277
подвижное колесо 3— одинакового радиуса г. Масса колеса 3 равна т. Колесо 2 массы т2 имеет радиус г2. Кривошип вращается с угловой скоростью, проекция которой на ось z равна т2. Массой 1	$ кривошипа пренебречь. Колеса счи-
2	—"х	тать однородными дисками.
/ о	С, \ °Твег L°‘'=
(	+	+	+ (r + ri)<v
37.4(37.4). Натяжения ведущей
"tow"	я ведомой ветвей ремня, приводя-
к задаче 37.3	щего во вращение шкив радиуса
г = 20 см, массы М = 3,27 кг, соответственно равны: Т1 = Ю0 Н, Т2 — 50 Н. Чему должен быть равен момент сил сопротивления для того, чтобы шкив вращался с угловым ускорением в =1,5 рад/с2? Шкив считать однородным
диском.
Ответ: 9,8 Н-м.
37.5(37.5). Для определения момента трения в цапфах на вал насажен маховик массы 500 кг; радиус инерции маховика р = = 1,5 м. Маховику сообщена угловая скорость, соответствующая п — 240 об/мин; предоставленный самому себе, он остановился через 10 мин. Определить момент трения, считая его постоянным.
Ответ. 47,1 Н-м.
37.6(37.7). Для быстрого торможения больших маховиков применяется электрический тормоз, состоящий из двух диаметрально расположенных полюсов, несущий на себе обмотку, питаемую постоянным током. Токи, индуцируемые в массе маховика при его движении мимо полюсов, создают тормозящий момент Л4ь пропорциональный скорости v на ободе маховика: М\ = kv, где k — коэффициент, зависящий от магнитного потока и размеров маховика. Момент М2 от трения в подшипниках можно считать постоянным; диаметр маховика D, момент инерции его относительно оси вращения /. Найти, через какой промежуток времени остановится маховик, вращающийся с угловой скоростью ojq.
Ответ: Т = тгг!п
(I +
k Da>q X 2М-2 )’
37.7(37.8). Твёрдое тело, находившееся в покое, приводится во вращение вокруг неподвижной вертикальной оси постоянным моментом, равным М: при этом возникает момент сил сопротивления М\, пропорциональный квадрату угловой скорости вращения твердого тела: A4i = aw2. Найти закон изменения угловой скорости; момент инерции твердого тела относительно оси вращения равен /,
/ М рР1_1	О ,---
Ответ: а = л/— —(Г.—где р = — л/иМ-
V а 4-1	J
37.8(37.9). Решить предыдущую задачу в предположении, что момент сил сопротивления М\ пропорционален угловой скорости вращения твердого тела: ЛЬ = асо.
278
Ответ’. <в = —(1 —e~aitr),
37.9(37.10). Шарик А, находящийся в сосуде с жидкостью и прикрепленный к концу стержня АВ длины /, приводится во вращение вокруг вертикальной оси с начальной угловой скоростью too. Сила сопротивления жидкости пропорциональна угловой скорости вращения: /? = сс/жо, где m — масса шарика, а — коэффициент пропорциональности. Определить, через какой промежуток времени угловая скорость вращения станет в два раза меньше начальной, а также число оборотов п, которое сделает
стержень с шариком за этот промежуток времени. Массу шарика считать сосредоточенной в его центре, массой стержня пренебречь.
Ответ: 7^!п2, n =
37.10(37.11). Определить, с какой угловой скоростью о упадет на землю спиленное дерево массы М, если его центр масс С расположен на расстоянии h от основания, а силы сопротивления воздуха создают момент сопротивления шс, причем шсх — — <хф2, где а = const. Момент инерции дерева относительно оси г, совпадающей с осью, вокруг которой поворачивается дерево при падении, равен 1.
Ответ: ®	(е ] + 2 р).
37.11(37.12). Вал радиуса г приводится во вращательное движение вокруг горизонтальной оси гирей, подвешенной посредством троса. Для того чтобы угловая скорость вала через некоторое время после начала движения имела величину, близкую к постоянной, с валом соединены п одинаковых пластин; сопротивление воздуха, испытываемое пластиной, приводится к силе, нормальной к пластине, приложенной на расстоянии от оси вала и пропорциональной квадрату ее угловой скорости, причем коэффициент пропорциональности равен k. Масса гири т, момент инерция всех вращающихся частей относительно оси вращения равен 7; массой троса и трением в опорах пренебречь.
279
Определить угловую скорость ® вала, предполагая, что в начальный момент она равна нулю.
Ответ: ® —	е . " 1 , где а =------—=- -\JmgtikrR-, при до-
V Ы е“‘ + 1	J + mr2 v	r
статочно большом значении t угловая скорость © близка к по-! eigr стояннои величине А/-г7п~-
37.12(37.15). Упругую проволоку, на которой подвешен однородный шар с радиусом г и массой т, закручивают на угол ф0, а затем предоставляют ей свободно раскручиваться. Момент, необходимый для закручивания проволоки на один радиан, равен с.
Определить движение, пренебрегая сопротивлением воздуха и считая момент силы упругости закрученной проволоки пропорциональным углу кручения ср.
Ответ: ср == фц cos
37.13(37.16). Часовой балансир А может вра-
к задаче 37.13 щаться вокруг оси, перпендикулярной его плоскости и проходяшей через центр тяжести О, имея относительно этой оси момент инерции J. Балансир приводится в движение спиральной пружиной, один конец которой с ним скреплен, а другой присоединен к неподвижному корпусу часов. При повороте балансира возникает момент сил упругости пружины, пропорциональный углу поворота. Момент, необходимый для за-
К задаче 37.14
кручивания пружины на один радиан, равен с. Определить закон движения балансира, если в начальный момент в условиях отсутствия сил упругости балансиру сообщили начальную угловую скорость <о0.
/ j . Г~с
Ответ: (р = а/ — sin aJ -у t.
37.14(37.17). Для определения момента инерции Jz тела А относительно вертикальной оси Oz его прикрепили к упругому вертикальному стержню ОО[, закрутили этот стержень, повернув тело А вокруг оси Oz на малый угол фо, и отпустили; период возникших колебаний оказался равным Ту, момент еял упругости относительно оси Oz равен тг~ — Сф.
Для определения коэффициента с проделали второй опыт; на стержень в точке О был падет однородный круглый диск радиуса г массы М, и тогда период колебаний оказался равным Тг. Определить момент инерции тела
Ответ: Jz~

280
37.15(37.18). Решить предыдущую задачу в предположении, что для определения коэффициента с второй опыт проделывают иначе: однородный круглый диск массы М и радиуса г прикрепляется к телу, момент инерции которого требуется определить. Найти момент инерции тела Л, если период колебаний тела п, а период колебаний тела с прикрепленным к нему диском 12-
Mr2 х2 2 х2-х2 '
Ответ: 1г —
37.16(37.19). Бифилярный подвес состоит из однородного стержня АВ длины 2а, подвешенного горизонтально посредством двух вертикальных нитей длины I, отстоящих друг от друга на расстоянии 2Ь. Определить период крутильных колебаний стержня,
полагая, что стержень в течение всего времени движения остается в горизонтальном положении и натяжение каждой из нитей равно половине веса стержня.
Указание. При определении горизонтальной составляющей натяжения каждой из нитей, считая колебания бифиляра малыми, заменить сииус угла между направлением нити и вертикалью самим углом.

„ 2па / I	К задаче 37.16
Ответ: Т = ^-а^.
37.17(37.20). Диск, подвешенный к упругой проволоке, совершает крутильные колебания в жидкости. Момент инерции диска относительно оси проволоки равен J. Момент, необходимый для закручивания проволоки на один радиан, равен с. Момент сопротивления движению равен aSco, где а — коэффициент вязкости жидкости, S — сумма площадей верхнего и нижнего оснований диска, со— угловая скорость диска. Определить период колебаний диска в жидкости.
Ответ: 
37.18(37.22). Твердое тело, подвешенное на упругой проволоке, совершает крутильные колебания под действием внешнего момента тв, причем твг — т\ sin со/ -J- m3 sin Зсо/, где mh т3 и со — постоянные, а г—ось, направленная вдоль проволоки. Момент сил упругости проволоки равен myiip, причем туп₽ г == — с<р> где с — коэффициент упругости, а ф— угол закручивания. Определить закон вынужденных крутильных колебаний твердого тела, если его момент инерции относительно оси z равен Jz. Силами сопротивления движению пренебречь. Считать, что VФz со и Vc/4 Зсо.
Ответ: ср = sin со/ Ц-	sin Вы/, где A2 — c/Jz;
1г3=т31^.
37.19(37.23). Решить предыдущую задачу с учетом момента сил сопротивления тс, пропорционального угловой скорости твердого тела, причем тся = — ₽ф, где £ —постоянный коэффициент.
281
Ответ: (f = Af sin (со/ — 8i) -h As sin (3®/ — e3), где
д —
V(fc2—• »2)2 + 4n2w2 '
, 2ns ei-arctg
43— ns
V(*2 - 9<»2)2 + ЗбЛ?
83 ~ arct® k* -9®« • П ~
2/z
37.20.	Диск D, радиус которого равен /?, а масса— M, подвешен на упругом стержне АВ, имеющем жесткость на кручение с. Конец стержня В вращается по закону фв —	4- Ф sin pt, где <о0,
Ф, р — постоянные величины. Пренебрегая силами сопротивления, определить движение диска D: 1) при отсутствии резонанса, 2) при резонансе. В начальный момент диск был неподвижен, а стержень — неде-формирован.
Ответ: 1) фА (/) —	—
_ ®!L sin kt -f- (sin Pt “ i sin &) .
||M
К задаче 37.20
. I 2c , 2сФ
где k — aJ MR2, h — MRi ;
2)	<рд (t) — (i)q/ — —- sin kt-j--^ ( j- sin kt — t cos kt}.
37.21.	Твердое тело, подвешенное к упругой проволоке, совершает крутильные колебания в жидкости.
Момент инерции тела относительно оси проволоки г равен /г. Момент сил упругости проволоки тупР ;	- сер, где с —коэффи-
циент упругости, а ф — угол закручивания; момент сопротивления движению тСг~— РФ, где ф—угловая скорость твердого тела,
а р > 0. В начальный момент твердое тело было закручено на угол <ро и отпущено без начальной скорости. Найти уравнение дви-в 1с
жения твердого тела, если	-j^.
Ответ: Затухающие крутильные колебания по закону
Ф = фОе-л‘ (cos -у fe2 — n2t + ^rzrfii
sin д/fe2 — к21
где k2 = C/Jz, П = P/(2Jz).
37.22.	Однородный круглый диск массы Л1 и радиуса R, подвешенный к упругой проволоке, может совершать крутильные колебания в жидкости. Момент сил упругости проволоки тупрг = —«р, где ось z проведена вдоль проволоки, с — коэффициент упругости, а ф — угол закручивания; момент сопротивления движению mcz = == —Рф, где ф — угловая скорость диска, а р > 0. В начальный момент диск был закручен на угол фо и отпущен без начальной скорости. Найти уравнение движения диска, если-;
282
Ответ: Апериодическое движение по закону
!)	<₽ = <№"* О +nt), где я=дДг,
2) —L- > л /, Ф = —e~nl [( д/п2 — fe2 — п) X
' MR2 V MR2 * *	2 Vn2 — k2 L '
х е-+ n)	i ] 7
где ft2 = 2с/(MR2), n = ₽/(M/?2).
37.23.	Твердое тело, подвешенное на упругой проволоке, совершает крутильные колебания под действием внешнего момента ш3 г = m0 cos pt, где то и р — положительные постоянные, а г — ось, направленная вдоль проволоки. Момент сил упругости проволоки /Пупрг =—Сф, где с — коэффициент упругости, а ф —угол закручивания. Момент инерции твердого тела относительно оси г равен /г. Силами сопротивления движению пренебречь. Определить уравнение движения твердого тела в случаях: 1) -\/с{ Jz =£= р, 2) -у/сЩ^-р, если в начальный момент при ненапряженной проволоке твердому телу была сообщена угловая скорость и0.
Ответ: 1)	ф==-у- sin А/ -f- р 1 (cos pt — cos kt),
где k—^fcilv h = mJJz\
2)	4)===_y’sin + sin где
h = mJJz.
37.24.	Однородный круглый диск массы М и радиуса R, подвешенный на упругой проволоке, совершает резонансные крутильные колебания в жидкости под действием внешнего момента тлг = = mosinpf, где т0 и р — положительные постоянные, а г — ось, направленная вдоль проволоки; момент сил упругости проволоки тупрг—— сер, где с — коэффициент упругости, а ф — угол закручивания; момент сопротивления движению ткг = — рф, где ф — угловая скорость диска, а ₽ >0. Найти уравнение вынужденных резонансных колебаний диска.
Ответ: При Р=д/да ф = --~-С08р^, где й = -^, „=Х.
” MR2'
37.25(	37.24). Для определения коэффициента вязкости жидкости наблюдают колебания диска, подвешенного к упругой проволоке в жидкости. К диску приложен внешний момент, равный Мо sin pl (Mo — const), при котором наблюдается явление резонанса. Момент сопротивления движению диска в жидкости равен aSw, где а — коэффициент вязкости жидкости, S—сумма площадей верхнего и нижнего оснований диска, w —угловая скорость диска. Определить коэффициент а вязкости жидкости, если амплитуда вынужденных колебаний диска при резонансе равна ф0.
283

Ответ: а— .
<f0Sp
37.26(37.26). При полете снаряда вращение его вокруг оси симметрии замедляется действием момента силы сопротивления воздуха, равного Асо, где <в — угловая скорость вращения снаряда, k— постоянный коэффициент пропорциональности. Определить закон убывания угловой скорости, если начальная угловая скорость равна юо, а момент инерции снаряда относительно оси симметрии равен J.
t
Ответ: <в = иое У .
37.27(37.27). Для определения ускорения силы тяжести пользуются оборотным маятником, который представляет собой стер-
rt]
1
К задаче 37.27
жень, снабженный двумя трехгранными ножами А и В. Один из ножей неподвижен, а второй может перемещаться вдоль стержня. Подвешивая стержень то на один, то на другой нож и меняя расстояние АВ между ними, можно добиться равенства периодов качаний маятника вокруг каждого из ножей. Чему равно ускорение силы тяжести, если расстояние между ножами, при котором периоды качаний маятника равны, АВ = I, а период качаний равен Т?
Ответ: g — 4л2//Т2.
37.28(37.28). Два твердых тела могут качаться вокруг одной и той же горизонтальной оси как отдельно друг от друга, так и скрепленные вместе. Определить приведенную длину сложного маятника, если массы твердых тел Mi и Л?2, расстояния от их центров тяжести до общей оси вращения а\ и аз, а приведенные длины при отдельном качании каждого Д и 12.
i	Miaili + MzChli
Ответ: 1п0 = —,-.-7--—•
пр Мxai 4- /И2а2
37.29. Часть прибора представляет собой однородный стержень длины L, свободно подвешенный одним концом на горизонтальной оси О. Для регистрации качаний стержня к его нижнему концу приклеивается небольшое зеркало массы т. При этом, чтобы частота колебаний стержня не изменилась, на нем в другом месте укрепляется груз А. Рассматривая зеркало и груз как материальные точки, найти минимальную массу, которую должен иметь груз А. На каком расстоянии от оси О его следует прикрепить?
Ответ: тл = Зт, О А — !/3Ь.
37.30(37.29). Для регулирования хода часов к маятнику массы Л41, приведенной длины I с расстоянием а от его центра тяжести до оси подвеса прикрепляют добавочный груз массы М2 на расстоянии х от оси подвеса. Принимая добавочный груз за материальную точку, определить изменение Ы приведенной длины маятника при данных значениях М2 и х и значение х — xit при котором заданное изменение А/ приведенной длины маятника достигается при помощи добавочного груза наименьшей массы.
284
Ответ-. Приведенную длину маятника надо уменьшить на
Sl “ £ +	“ 7^ + ДО
37.31(37.30). Для определения момента инерции J данного тела относительно некоторой оси АВ, проходящей через центр масс G
тела, его подвесили жестко скрепленными и BE, свободно насаженными на неподвижную горизонтальную ось DE, так, что ось АВ параллельна DE-, приведя затем тело в колебательное движение, определили продолжительность Т одного размаха. Как велик момент инерции J, если масса тела М и расстояние между осями АВ и DE равно /г? Массами стержней пренебречь.
„ г г. (Т2
Ответ-. J = hMg — —) -
с ним стержнями AD
37.32(37.31). Решить предыдущую задачу с учетом массы тонких однородных прямолинейных стержней AD и BE, если масса каждого из них равна Мь
ОтввГ. J = h [	_ 34Ц24Л
37.33(37.32). Для определения момента инерции шатуна его заставляют качаться вокруг горизонтальной оси, продев через втулку цапфы крейцкопфа тонкий цилиндрический стержень. Продолжительность ста размахов 100Т = 100 с, где Г —половина периода.
К задаче 37.33
Затем для определения расстояния АС = h центра масс С от центра А отверстия шатун положили горизонтально, подвесив его в точке А к талям и оперев точкой В на платформу десятичных весов; давление на нее оказалось при этом равным Р. Определить центральный момент инерции J шатуна относительно оси, перпендикулярной плоскости рисунка, имея следующие данные: масса шатуна М, расстояние между вертикалями, проведенными через точки А и В (см. правый рисунок) равно I, радиус цапфы крейцкопфа г.
285
Ответ-. ;=и + ^(4р_ Р ; Л
S \ Я2 Mg J
37.34(37.33). Маятник состоит из стержня АВ с прикрепленным к нему шаром массы m и радкуса г, центр которого С находится на продолжении стержня. Определить, пренебрегая массой стерж-. ня, в какой точке стержня нужно поместить ось подвеса
1. для того, чтобы продолжительность одного размаха при 0 °? малых качаниях имела данную величину Т.
Ответ: ОС = (gT2 -ф д/§274 — 1,6л*г2).
Так как должно быть ОС г, то решение возможно, если Тг~^ С решение, соответствующее знаку минус перед радикалом, невозможно.
37.35(37.34). На каком расстоянии от центра масс должен быть подвешен физический маятник, чтобы период его качаний был наименьшим?
Ответ: На расстоянии, равном радиусу инерции ма-относительно оси, проходящей через его центр масс пер-
К задаче
37.34
К задаче 37.39
К задаче 37.38
ятника пендикулярно плоскости качаний.
37.36(37,35). Маятник состоит из стержня с двумя закрепленными на нем грузами, расстояние между которыми равно Z; верхний груз имеет массу mi, нижний — массу т?. Определить, на каком расстоянии х от нижнего груза нужно поместить ось подвеса для того, чтобы период малых качаний маятника был наименьшим; массой стержня пренебречь и грузы считать материальными точками.
Ответ: х=^1 л/mi ^m'	.
v * mi +m2
37.37(37.36). На каком расстоянии от оси подвеса должен быть присоединен к физическому маятнику добавочный груз, чтобы период качаний маятника ле изменился?
Ответ: На расстоянии приведенной длины физического маятника.
37.38(37.37). Круглый цилиндр массы м, длины 21 и радиуса г^=1/Ъ качается около оси О, перпендикулярной плоскости рисунка. Как изменится период качаний цилиндра, если прикрепить к нему на расстоянии OK.~s^/tiI точечную массу щ?
качаний не изменится, так как точечная масса
Ответ: Период
добавлена в центре качаний цилиндра.
37.39(37.38). Найти уравнение малых колебаний однородного диска массы М и радиуса г, совершающего колебания вокруг го-
286
ризонтальной оси Oz, перпендикулярной его плоскости и отстоящей от центра масс С диска на расстоянии ОС —г/2. К диску приложен вращающий момент щвр, причем mBP z =» то sin pt, где то и р — постоянные. В начальный момент диску, находившемуся в нижнем положении, была сообщена угловая скорость cd0. Силами сопротивления пренебречь. Считая колебания малыми, принять sin <р ~ <р.
Ответ: 1) При Р^'х/^г Ф = J (аз-sin ^+ + где V'S’’
2)прир=д/-^- Ф=у (®о + -^г) sincosр/, где , — 4ffl°
п ~ ЗМг2 '
37.40(37.39). В сейсмографах — приборах для регистрации землетрясений— применяется физический маятник, ось подвеса которого образует угол а с вертикалью. Расстояние от оси подвеса до центра масс маятника равно а, момент инерции маятника относительно оси, проходящей через его центр масс параллельно оси подвеса, равен Jc, масса маятника равна М. Определить период колебаний маятника.
„	/	+ Маг
Ответ: Т = 2 л А/ т	—-.
V Mag sm а
37.41(37.40). В' вибрографе для записи горизонтальных колебаний фундаментов машин маитник ОА, состоящий из рычага с грузом на конце, может качаться вокруг своей горизонтальной оси О,
удерживаясь в вертикальном положении устойчивого равновесия собственной массой и спиральной пружиной. Определить период собственных колебаний маятника при малых углах отклонения, если максимальный статический момент силы тяжести маятника относительно его оси вращения равен.. Mgh, момент инерции относительно той же оси равен Jz, коэффициент жесткости пружины, сопротивление которой пропорционально углу закручивания, равен с; при равновесном положении маятника пружина находится в ненапряженном состоянии. Сопротивлениями пренебречь.
--7--- К задаче 37.41
7ТЖ--
37.42(37.41). Виброграф (см. предыдущую задачу) закреплен на фундаменте, совершакЯцем горизонтальные гармонические колебаний по закону х = a sin cat. Определить амплитуду а колебаний фундамента, если амплитуда вынужденных колебаний маятника вибрографа оказалась равной фо-
287
Ответ', а
__ Фо (с + Mgh — 1га>2) Mha2
37.43(37.42). При пуске в ход электрической лебедки к барабану А приложен вращающий момент /тгвр, пропорциональный времени, причем m6p = at, где а — постоянная. Груз В массы Л4] поднимается посредством каната, навитого на барабан А радиуса г и массы Л42. Определить угловую скорость барабана, считая его сплошным цилиндром. В начальный момент лебедка находилась в покое.
Ответ', и —
(at — 2М,дг) t тг (2М, + М2)
37.44(37.43). Для определения момента инерции 1 махового колеса А радиуса R относительно оси, проходящей через центр масс, колесо обмотали топкой проволокой, к которой привязали гирю В
СИ
К задаче 37.43
К задаче 37.44
К задаче 37,45
массы Л4( и наблюдали продолжительность Т[ опускания гири с высоты h. Для исключения трения в подшипниках проделали второй опыт с гирей массы М2, причем продолжительность опускания оказалась равной Г2 при прежней высоте. Считая момент силы трения постоянным и не зависящим от массы гири, вычислить момент инерции J.
М3
т2 1 2
Ответ: 1 — R2-----------;——;—
37.45(37.44). К валу I присоединен электрический мотор, вращающий момент которого равен пг^. Посредством редуктора скоростей, состоящего из четырех зубчатых колес 1, 2, 3 м.4, этот вращающий момент передается па шпиндель 111 токарного станка, к которому, приложен момент сопротивления т2 (этот момент возникает при снятии резцом стружки с обтачиваемого изделия). Определить угловое ускорение шпинделя 111, если моменты ипер-
288
пин всех вращающихся деталей, насаженных на валы 7, 7/ и 7/7, соответственно равны 7], 7ц, 71[(. Радиусы колес равны rh г21 га и г«.
Ответ: еш — —— 1 2—~, где&1,2= —, fe3.4 — — (ЛЙ?.2+7„)<4 + Ли	Ч Ч
37.46(37.45). Барабан А массы Л41 и радиуса г приводится во вращение посредством груза С массы Л/г, привязанного к концу
нерастяжимого троса. Трос переброшен через блок В и намотан на барабан А. К. барабану А приложен момент сопротивления mv, пропорциональный угловой скорости барабана; коэффициент пропорциональности равен а. Определить угловую скорость барабана, если в начальный момент система находилась в покое. Массами каната и блока В
пренебречь. Барабан считать сплошным однородным цилиндром.
Ответ: o==J!^.(i__e-sn где Р= Гг(х,7+2Л,2);
„ Migr — const, a
37.47(37.46). Определить угловое ускорение ведущего колеса автомашины массы М и радиуса г, если к колесу приложен вращающий момент твр. Момент инерции колеса относительно оси, проходящей через центр масс С перпендикулярно плоскости материальной симметрии, равен 7с! /к — коэффициент трения качения, FTP — сила трения. Найти также значение вращающего момента, при котором колесо катится с постоянной угловой скоростью.
Ответ: е = ——-----, твр — Mg/к + 77трг-
'с
37.48(37.47). Определить угловую скорость ведомого автомобильного колеса массы М и радиуса г. Колесо, катящееся со скольжением по горизонтальному шоссе, приводится в движение посредством горизонтально направленной силы, приложенной в его центре масс С. Момент инерции колеса относительно оси С, перпендикулярной плоскости материальной симметрии, равен 7С; /к — коэффициент трения качения, коэффициент трения при качении со скольжением. В начальный момент колесо находилось в покое.
Ответ: а —	— /к)/.
'с
37.49(37.48). Изменится ли угловая скорость колеса, рассмотренного в предыдущей задаче, если модуль силы, приложенной в его центре масс С, увеличится в два раза?
Ответ: Не изменится.
Ю М, В. Мещерский
289
вязан груз
37.50(37.49). Через блок, массой которого пренебрегаем, перекинут канат; за точку А каната ухватился человек, к точке В пододинаковой массы с человеком. Что произойдет с грузом, если человек станет подниматься по канату со скоростью v относительно каната?
Ответ: Груз будет подниматься с канатом: со скоростью v/2.
37.51(37.50). Решить предыдущую задачу, принимая во внимание массу блока, которая в четыре раза меньше массы человека. Считать, что масса блока равномерно распределена по его ободу.
Ответ: Груз будет подниматься со скоростью о.
37.52(37.51), Круглая горизонтальная платформа может вращаться без трения вокруг неподвижной оси Oz, проходящей через ее центр О; по платформе
на неизменном расстоянии от оси Oz, равном г, идет с постоянной относительной скоростью и человек, масса которого равна Л4,. С какой угловой скоростью <в будет при этом вращаться платформа вокруг оси, если массу ее Л42 можно считать равномерно распределенной по площади круга радиуса R, а в начальный момент платформа и человек имели скорость, равную нулю?
~	2Л11г
Ответ: со= .. D2 . ... . и.
МгКх + 2ЛГ,га
37.53(37.52). Круглая горизонтальная платформа вращается без трения вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр масс с постоянной угловой скоростью <оо; при этом на платформе стоят четыре человека одинаковой массы: два — на краю платформы, а два — на расстояниях от оси вращения, равных половине радиуса платформы. Как изменится угловая скорость платформы, если люди, стоящие на краю, будут двигаться по окружности в сторону вращения с относительной линейной скоростью и, а люди, стоящпе на расстоянии половины
радиуса от оси вращения, будут двигаться по окружности в противоположную сторону с относительной линейной скоростью 2ц? Людей считать точечными массами, а платформу —круглым однородным диском.
Ответ: Платформа будет вращаться е той же угловой скоростью.
37.54(37.53). Решить предыдущую задачу в предположении, что все люди двигаются в сторону вращения платформы. Радиус платформы R, ее масса в четыре раза больше массы каждого из людей и равномерно распределена по всей ее площади. Выяснить также,
К задаче 37.53
290
чему должна быть равна относительная линейная скорость и для того, чтобы платформа перестала вращаться.
_	8 и	9 _
Ответ', ©j — а>о — -g-у, и =
37.55(37.54). Человеку, стоящему на скамейке Жуковского, в то время, когда он протянул руки в стороны, сообщают начальную угловую скорость, соответствующую i5 об/мин; при этом момент инерции человека и скамейки относительно оси вращения равен 0,8 кг-м2. С какой угловой скоростью начнет вращаться скамейка с человеком, если, приблизив руки к туловищу, он уменьшит момент инерции системы до 0,12 кг-м2?
Ответ'. 100 об/мин.
37.56(37.56). Горизонтальная трубка CD может свободно вращаться вокруг вертикальной оси АВ. Внутри трубки на расстоянии МС = а от оси находится шарик Л4. В некоторый момент времени трубке сообщается начальная угловая скорость ш0. Определить угловую скорость to трубки в когда шарик вылетит из
момент, трубки.
К задаче 37.57
Момент инерции трубки относительно оси вращения равен J, L — ее длина; трением пренебречь, шарик считать материальной точкой массы т.
Огвет: (A=J + mi
37-57(37.57). Однородный стержень АВ длины 2L = 180 см и массы Mi = 2 кг подвешен в устойчивом положении равновесия на острие так, что ось его горизонтальна. Вдоль стержня могут перемещаться два шара массы М2 = 5 кг каждый, прикрепленные к концам диух одинаковых пружин. Стержню сообщается вращательное движение вокруг вертикальной оси с угловой скоростью, соответствующей и, == 64 об/мин, причем шары расположены симметрично относительно оси вращения и центры их с помощью нити удерживаются на расстоянии 2Zt = 72 см друг от друга. Затем нить пережигается, и шары, совершив некоторое число колебаний, устанавливаются под действием пружин и сил трения в положение равновесия на расстоянии 212 — 108 см друг от друга. Рассматривая шары как материальные точки и пренебрегая массами пружин, определить новое число п2 оборотов стержня в минуту.
10*
291
6M2tf + M,L*
Ответ: th =------=------r n( = 34 об/мин.
бл^ + м,/?
37.58(37.56), Тележка поворотного подъемного крапа движется с постоянной скоростью v относительно стрелы. Мотор, вращаю-
щий кран, создает в период разгона постоянный момент, равный т0. Определить угловую скорость оэ вращения крана в зависимости от расстояния х тележки до оси вращения Л В, если масса тележки с грузом равна /И, J—момент инерции крана (без тележки) относительно оси вращения; вращение начинается в момент, когда тележка находится на расстоянии xq от оси.ЛВ.
_	/п0 х — х0
Ответ: «>=/ + Мх2 0 •
к задаче 37.68	37.59(37.59). Сохранив условие предыдущей за-
дачи, определить угловую скорость <о вращения крана, если мотор создает вращающий момент, равный /п0 —а©, где то и а — положительные постоянные.
°TeeTl 8 = -,(й?) e~ttarcgft je dx, где Л=д/1Г-__________	' ХС
а / ]	.	.
ц= — Д/(ось х направлена вправо вдоль стрелы).
§ 38. Теорема об изменении кинетической энергии материальной системы
38.1(38.1). Вычислить кинетическую энергию плоского механизма, состоящего из трех стержней АВ, ВС и CD, прикрепленных цилиндрическими шарнирами А и D к потолку и соединенных между собой шарнирами В и С. Масса каждого из стержней АВ
К задаче 38 Г
К задаче 38.2
и CD длины I равна Mi, масса стержня ВС равна М2. причем ВС= AD. Стержни АВ и DC вращаются с угловой скоростью (о.
г, л ~ 2М1-ЬЗМ2 ,
Ответ: Т —----=-?---
О
38.2(38.2). Однородный тонкий стержень АВ массы М опирается на угол D и концом А скользит по горизонтальной направляющей. Упор Е перемещается вправо с постоянной скоростью v. Определить кинетическую энергию стержня в зависимости от
292
угла <р, если длина стержня равна 21, а превышение угла D над горизонтальной направляющей равно Н.
Ответ- Т = -^~	— 2~ sin3ср 4- ~ sin4<p) .
38.3(38.3). Вычислить кинетическую энергию кулисного механизма, если момент инерции кривошипа ОА относительно оси вращения, перпендикулярной плоскости рисунка, равен /о; длина кривошипа равна а, масса кулисы равна т, массой камня А пренебречь. Кривошип ОА вращается с угловой скоростью ю. При каких положениях механизма кинетическая энергия достигает наибольшего и наименьшего значений?
Ответ: Г — у (/о 4- sin2 ф)0)2  Наименьшая кинетическая энергия— при крайних положениях кулисы, наибольшая — при прохождении кулисой среднего положения.
38.4(38.4). Вычислить кинетическую энергию гусеницы трак-гора, движущегося со скоростью v0. Расстояние между осями
К задаче 38.4
К задаче 38.5
колес равно /, радиусы колес равны г, масса одного погонного метра гусеничной цепи равна у.
Ответ: 7* = 2у (Z 4* яг) v%.
38.5(38.5). Вычислить кинетическую энергию кривошипно-ползунного механизма, если масса кривошипа ть длина кривошипа г, масса ползуна пц, длина шатуна I. Массой шатуна пренебречь. Кривошип считать однородным стержнем. Угловая скорость вращения кривошипа со.
1 ( 1	, г .	, г	sin 2® Л21 9 9
Ответ: Г = у ( у т! 4- m2 sm <р 4- у----  ,  — I г2®2.
I L	sin2(₽ J )
38.6(38.6). Решить предыдущую задачу для положения, когда кривошип ОА перпендикулярен направляющей ползуна; учесть массу шатуна т3.
Ответ: Г = у (у 4- ^2 + "гз) г2®2-
38.7(38.7). Планетарный механизм, расположенный в горизонтальной плоскости, приводится в движение кривошипом ОА, со-
293
К задаче 38.7
единяющим оси трех одинаковых колес /, П и Ill. Колесо I неподвижно; кривошип вращается с угловой скоростью со. Масса каждого из колес равна радиус каждого из колес равен г, масса кривошипа равна Л42. Вычислить кинетическую энергию механизма, считая колеса однородными дисками, а кривошип — однородным стержнем. Чему равна работа пары сил, приложенной к колесу ///?
Ответ: Т = —- (ЗЗЛ-lj -ф 8ЛГ2);	работа
равна нулю.
38.8(38.8). Мельничные бегуны А и В насажены на горизонтальную ось CD, которая вращается вокруг вертикальной оси EF; масса каждого бегуна 200 кг; диаметры бегунов одинаковы, каждый равен 1 м; расстояние между ними CD равно 1 м. Найти
кинетическую энергию бегунов, когда ось CD совершает 20 об/мин, допуская, что при вычислении моментов инерции бегуны можно рассматривать как однородные тонкие диски. Качение бегунов по опорной плоскости происходит без скольжения.
Ответ: 383 Н-м.
38.9(38.9). В кулисном механизме при качании рычага ОС вокруг оси О, перпендикулярной плоскости рисунка, ползун А, перемещаясь вдоль рычага ОС, приводит в движение стержень АВ, движущийся в вертикальных направляющих К- Рычаг ОС длины R ______________________ считать однородным стержнем с мас-сою Щ], масса ползуна равна т2, ^3-?) масса стержня АВ равна m3) ОК = I. °2 J Выразить кинетическую энергию ме-
( О/
ханизма в функции от угловой скорости и угла поворота рычага ОС. Ползун считать точечной массой.
cos4 (j> + ЗР (т2 4- т3)].
К задаче 38.10
Ответ: Т — а  — 6 cos4 <р
38.10(38.10). Вычислить кинетическую энергию системы, со
стоящей из двух колес, соединенных паровозным спарником АВ и стержнем OiO2, если оси колес движутся со скоростью Масса каждого колеса равна Л1(. Спарник АВ и соединительный стер
294
жень O1O2 имеют одинаковую массу Af2. Масса колес равномерно распределена по их ободам; OjA — О2В = г/2, где г — радиус колеса. К°леса катятся без скольжения но прямолинейному рельсу, р?
Ответ: Г = ~[16Л1[ 4-М2(9 4-4 sing))].
38.11(38.11). Автомобиль массы М движется прямолинейно по горизонтальной дороге со скоростью v. Коэффициент трения качения между колесами автомобиля и дорогой равен /к, радиус колес г, сила аэродинамического сопротивления Rc воздуха пропорциональна квадрату скорости: Rc = pMgy2, где у.—коэффициент, зависящий от формы автомобиля. Определить мощность N двигателя, передаваемую на оси ведущих колес, в установившемся режиме.
Ответ: N = Mg 4- Иу2) v-
77///Z7,
К задаче 38.12
38.12. Машина массы М для шлифовки льда движется равномерно и прямолинейно со скоростью v по горизонтальной плоскости катка. Положение центра масс С указано на рисунке. Вычислить мощность А двигателя, передаваемую на оси колес радиуса г, если /к— коэффициент трения качения между колесами автомашины и льдом, а / — коэффициент трения скольжения между шлифующей кромкой А и льдом. Колеса катятся без скольжепия.
Ответ:	^(2/4-А)о.
38.13(38.12). На вал диаметра 60 мм насажен маховик диаметра 50 см, делающий 180 об/мин. Определить коэффициент трения скольжения f между валом и подшипниками, если после выключения привода маховик сделал 90 оборотов до остановки. Массу маховика считать равномерно распределенной по его ободу. Массой вала пренебречь.
Ответ: / = 0,07.
38.14(38.13). Цилиндрический вал диаметра 10 см и массы 0,5 т, на который насажено маховое колесо диаметра 2 м и массы 3 т, вращается в данный момент с угловой скоростью 60 об/мин, а затем он предоставлен самому себе. Сколько оборотов еще сделает вал до остановки, если коэффициент трения в подшипниках равен 0,05? Массу маховика считать равномерно распределенной по его ободу.
Ответ: 109,8 об.
38.15(38.14). Однородный стержень ОА длины I и массы М может вращаться вокруг горизонтальной неподвижной оси О, проходящей через его конец перпендикулярно плоскости рисунка. Спиральная пружина, коэффициент упругости которой равен с, одним концом скреплена с неподвижной осью О, а другим—со стержнем. Стержень находится в покое в вертикальном положении, при
295
чем пружина при этом не деформирована. Какую скорость надо сообщить концу А стержня для того, чтобы он отклонился от вертикали на угол, равный 60°?
Ответ: v=^J.
 38.16(38.16). К концам гибкой нерастяжимой нити, переброшен-
ной через ничтожно малый блок А,
К задаче 38.15	К задаче 38.16
подвешены два груза. Груз массы может скользить вдоль гладкого вертикального стержня CD, отстоящего от осн блока па расстоянии а; центр тяжести этого груза в начальный момент находился на одном уровне с осью блока; под действием силы тяжести этот груз начинает опускаться без начальной скорости. Найти зависимость между скоростью первого груза и высотой его опускания h. Масса второго груза равна М.
ЛЦА -- М (Va2 + й* — а) М1 (а2 4- й2) 4 Mh2
Ответ: v2 = 2g (а2 -f- Л2)
38.17(38.17). Груз Р массы М с наложенным на него дополнительным грузом массы М, посредством шнура, перекинутого через блок, приводит в движение из состояния покоя тело А массы М2, находящееся на негладкой горизонтальной плоскости ВС. Опу-
стившись на расстояние sr, груз Л4 проходит через кольцо D, которое снимает дополнительный груз Mlt после чего груз М, опустившись на расстояние 52, приходит в СОСТОЯ-
к задаче зв.17	ние покоя. Определить коэф-
фициент трения f между телом А и плоскостью, пренебрегая массой шнура и блока и трением в блоке; дано М2 == 0,8 кг, М = Л4[ = 0,1 кг, Sj — 50 см, s2 = 30 см.
г_-si(Ml + Af)(A-J + M2) + s2Af(M + 4!14A42)
жт- 1 Мг (s, (Л1 4	4 s2 (М 4	+ М2)]	~ u’z'
38.18(38.18). Однородная нить длины L, часть которой лежит па гладком горизонтальном столе, движется под влиянием силы тяжести другой части, которая свешивается со стола. Определить промежуток времени Г, по истечении которого нить покинет стол, если известно, что в начальный момент длина свешивающейся части равна I, а начальная скорость равна нулю.
296
_	_ j L . f L + VZ? - « Й
Ответ'. T = /\J — In—T—----------J.
38.19(38.19). Однородная нить длины 2a, висевшая на гладком штифте и находившаяся в покое, начинает двигаться с начальной скоростью Vq. Определить скорость нити в тот момент, когда она сойдет со штифта.
Ответ, v = ^/ag ф- v*.
38.20(38.20), Транспортер приводится в движение из состояния покоя приводом, присоединенным к нижнему шкиву В. Привод сообщает этому шкику постоянный вращающий момент М. Определить скорость ленты транспортера у в зависимости от ее перемещения s, если масса поднимаемого груза А равна 2Иь а шкивы В и С радиуса г и массы М2 каждый представляют собой однородные круг-лые цилиндры. Лента транспортера, массой которой - следует пренебречь, образует с горизонтом угол а. Сколь-жение ленты по шкивам отсутствует. Ч
„	/ 2 (Af — M\gr sin a)	_
Ответ: V = л/------тт:—ПСП ~s-	К задаче Зв.20
V rW + Mi)
38.21(38.21). Горизонтальная трубка CD может свободно вращаться вокруг вертикальной оси АВ (см. рисунок к задаче 37.56). Внутри трубки на расстоянии МС = Хо от оси лежит тело М. В некоторый момент времени трубке сообщена начальная угловая скорость СОо-
Определить скорость о тела М относительно Трубки в момент, когда тело вылетит из трубки. Момент инерции трубки относительно оси вращения равен J, L — длина трубки; трением пренебречь. Тело считать материальной точкой массы ш.
Указание. Воспользоваться ответом к задаче 37.56.
VI + тх%
j + mi» (L‘ ~ *о) •
38.22(38.22). По горизонтальной платформе А, движущейся при отсутствии трения, перемещается тело В с постоянной относительной скоростью «о (см. рисунок к задаче 36.9). При затормаживании тела В между ним и платформой А возникают силы трения. Определить работу внутренних сил трения между телом В и платформой А от момента начала торможения до полной остановки тела В относительно платформы А, если их массы соответственно равны т и М.
Указание. Воспользоваться ответом задачи 36.9.
Ответ: А = — у и%.
2 М + m о
38.23(38.23). С помощью электромотора лебедки к валу барабана А радиуса г и массы М, приложен вращающий момент тар»
297
пропорциональный углу поворота $ барабана, причем коэффициент пропорциональности равен а (см. рисунок к задаче 37.43). Определить скорость поднимаемого груза В массы М2 в зависимости от высоты его подъема h. Барабан А считать сплошным цилиндром. Массой троса пренебречь. В начальный момент система находилась в покое.
0	/2k(afi-2M2gr*)
N r2(/Mi + 2/M2) *	...
/38.24(38.24). На рисунке изображен подъемный механизм ле-бедаигТруз А массы М\ поднимается посредством троса, перебро-
шейного через блок С и навитого на барабан В радиуса г и массы М2. К барабаку приложен вращающий момент, который с момента включения пропорционален квадрату угла поворота <р барабана: т3р — а<р2, где а — постоянный коэффициент. Определить скорость груза А в момент, когда он поднимается на высоту h. Массу барабана В считать равномерно распределенной по его ободу. Блок С — сплошной диск массы М3. Массой троса пренебречь. В начальный момент система находилась в покое.
Отвег v = л /-
итвет. v 3/,3 (2Mi +	+	.
38.25(38.25). Какую начальную скорость, параллельную линии наибольшего ската наклонной плоскости, надо сообщить оси колеса радиуса г для того, чтобы оно, катясь без скольжения, поднялось на высоту h по наклонной плоскости, образующей угол а с горизонтом? Коэффициент трения качения равен Колесо считать однородным диском.
Ответ: v=~	+-y-ctga).
38.28(38.26). Два цилиндра одинаковой массы и радиуса скатываются без скольжения по наклонной плоскости. Первый цилиндр сплошной, массу второго цилиндра можно считать равномерно распределенной по его ободу. Найти зависимость между скоростями центров масс цилиндров при опускании их на одну и ту же высоту. В начальный момент цилиндры находились в покое.
Ответ: o2/oi=V3/2.
38.27(38.27). Эпициклический механизм, расположенный в горизонтальной плоскости, приводится в движение из состояния покоя посредством постоянного вращающего момента L, приложенного к кривошипу О А. Определить угловую скорость кривошипа в зависимости от его угла поворота, если неподвижное колесо / имеет радиус гь подвижное колесо // — радиус г2 и массу Л4Ь а
293
кривошип ОА— массу М2. Колесо I! считать однородным диском, а кривошип — однородным стержнем.
Ответ; в> =	а/х „	•
Г{ + Ti V + 2ЛЬ
38.28(38.28). В кулачковом механизме, расположенном в горизонтальной плоскости, эксцентрик А приводит в возвратно-поступательное движение ролик В со штангой D. Пружина Е, соединенная
К задаче 38.27
К задаче 38*28
со штангой, обеспечивает постоянный контакт ролика с эксцентриком. Масса эксцентрика равна М, эксцентриситет е равен половине его радиуса; коэффициент упругости пружины равен с. При крайнем левом положении штанги пружина не напряжена. Какую угловую скорость надо сообщить эксцентрику для того, чтобы он переместил штангу D из крайнего левого в крайнее правое положение? Массой ролика, штанги и пружины пренебречь. Эксцентрик считать однородным круглым диском.
Ответ: со = 2 Vc/(3M).
К задаче 38.30
38.29(38.29). Какой путь проедет велосипедист не вращая педалями до остановки, если в начальный момент он двигался со скоростью 9 км/ч? Общая масса велосипеда и велосипедиста равна 30 кг. Масса каждого из колес равна 5 кг; массу каждого из колес считать равномерно распределенной по окружности радиуса 50 см. Коэффициент трения качения колес о землю равен 0,5 см.
Ответ: 35,6 м.
38.30(38.31). Груз А массы Л4!( опускаясь вниз, при помощи троса, перекинутого через неподвижный блок D, поднимает вверх груз В массы М2, прикрепленный к оси подвижного блока С. Блоки С и D считать однородными сплошными дисками массы Мз каждый. Определить скорость груза А в момент, когда он опустится на высоту h. Массой троса, проскальзыванием по ободам блоков и си
лами сопротивления пренебречь. В начальный момент система находилась в покое.
/х	л /л и 2Mj— М2 — Ms
Ответ: о = 2 а/2дЙ а.. .
V 6 8Л!1 + 2Л1г-|-7Л1з
299
38.31(38.32). К ведущему колесу — барабану А — снегоочистителя приложен постоянный вращающий момент т. Массу барабана А можно считать равномерно распределенной по его ободу. Суммарная масса снега D, щита В и всех прочих поступательно
движущихся частей постоянна я равна М2. Коэффициент трения скольжения снега и щита о землю равен f, коэффициент трения качения барабана о землю равен /к. Масса барабана равна М,, его радиус г.
Определить зависимость между путем s, пройденным щитом В снегоочистителя.
К задаче 38.31
г», если в начальный момент система на-
и модулем его скорости ходилась в покое.
Ответ- r	+ М, 2
2 т — (М tfK 4 /ЛГ2г) g '
38.32(38.33). Скорость автомашины, движущейся по прямой горизонтальной дороге, возросла от тч до v2 за счет увеличения мощности мотора. При этом был пройден путь s. Вычислить работу, совершенную мотором на этом перемещении автомашины, если Mi—масса каждого из четырех колес, М2— масса кузова, г — радиус-колес, fK — коэффициент трения качения колес о шоссе. Колеса, катящиеся без скольжения, считать однородными сплошными дисками. Кинетической энергией всех деталей, кроме колес и кузова, пренебречь.
Or вег: А —  6А?| +	~ (4Mt + Л1г) §3.
38.33(38.34). Стремянка АВС с шарниром В стоит на гладком горизонтальном полу, длина АВ = ВС = 21, центры масс находятся в серединах D и Е стержней, радиус инерции каждой лестницы относительно оси, проходящей через центр масс, равен р, расстояние шарнира В от пола равно h. В некоторый момент времени стремяпка начинает падать вследствие разрыва стержня FG. Пренебрегая трением в шарнире, определить: 1) скорость точки В
в момент удара ее о пол; 2) скорость точки В в тот момент, когда расстояние ее от пола будет равно h/2.
„	> 	1	/ . 16/»—А2
Ответ: 1) v = 2l	; 2)	2(P + p2) •
88.34(38.35). Стержень АВ длины 2а падает, скользя концом А по гладкому горизонтальному полу. В1 начальный момент стержень занимал вертикальное положение и находился в покое. Определить скорость центра масс стержня в зависимости от его высоты й над полом.
К задаче 38.33 К задаче 38.34
300
Ответ: v = (a — h)
6? (a + A) 4л2-3ft* 
38.35(38.36). В дифференциальном вороте два жестко соединен-
ных вала Ki и д2 с радиусами rj и сительпо оси О\О2 соответственно 1\ рукояткой АВ. Подвижный блок С подвешен на невесомой перастяжи-мой нити, левая ветвь которой навита на вал /Ci,' а правая ветвь — на вал К2. При вращении рукоятки АВ левая ветвь нити сматывается с вала Xi, а правая ветвь наматывается на вал К.2- К рукоятке АВ приложен постоянный вращающий момент пг. К блоку С подвешен груз D массы М. Найти угловую ско-
•2 и моментами инерции отно-и J2 приводятся во вращение
К чадаче 38.35
рость вращения рукоятки в момент, соответствующий концу подъема груза D на высоту $, В начальный момент система находилась в покое. Массами рукоятки и
блока пренебречь.
Ответ: со = 2 л /2s
_____2m — Mg (r2 — п)__
(гг-П)[ЛГ(т2+4 (J|+Л)| ’
38.36(38.37). Ворот приводится в движение посредством ременной передачи, соединяющей шкив If, сидящий на валу ворота, со шкивом I, сидящим на валу мотора. К шкиву / массы и радиуса г приложен постоянный вращающий момент т. Масса шкива II равна М2, радиус его R. Масса барабана ворота М2, радиус его г, масса поднимаемого груза M4. Ворот приводится в движение из состояния покоя. Найти скорость груза в момент, когда он поднимается па высоту h. Массами ремня, каната и трением в подшипниках пренебречь. Шкивы и барабан считать однородными круглыми цилиндрами.
Ответ:
„ — о / h - Mkgf
Wr)2-|-M2 (/?//•)’ +Л43 + 2Л44 ’
38.37(38.38). Решить предыдущую задачу, принимая во внимание массу каната, к которому привязан груз. Длина каната I, масса единицы длины каната М. В начальный момент с вала барабана ворота свисала часть каната длиной 2й.
_ „	/ h (mR/r* — Mtg — 3t2Mgh)
итвет: v — л /у м_ (R/f)2 + Af? (/?/г)2 + Мз +	+ 2М1 
38.38(38.39). Постоянный вращающий момент L приложен к барабану ворота радиуса г и массы М(. Клонцу А намотанного на
К задаче 38.36
304
барабан троса^Йрий'язан груз массы /И2, который поднимается по наклонной плоскости, расположенной под углом а к горизонту. Какую угловую скорость приобретет барабан ворота, повернувшись на угол <р? Коэффициент трения скольжения груза о наклонную плоскость равен f. Массой троса препе-х-т-х бречь, барабан считать однородным круг-Л 1£у\ лым цилиндром. В начальный момент си-/ V j j стема была в покое.
Ответ:
г\ИГ	/	п— 2 , / ~ M2gr(sin а-|-/cosg)
>4	/	г V Mt + 2Мг ф •
38.39(38.40). Решить предыдущую за-дачу с учетом .массы троса, к которому к задаче 38.3s	привязан груз. Длина троса равна I,
масса единицы длины троса равна М. В начальный момент с барабана ворота свисала часть троса длиной а. Изменением потенциальной энергии троса, намотанного на барабан, пренебречь.
Птя„, гл — 1 л /<) 2L ~ (sin a + f cos a) - Mgr (2a - rq>) sin a~ итвет‘ w — r /yz	Mt+2M, + 2Ml	ф'
38.40(38.41). К барабану ворота радиуса г{ и массы Mi приложен постоянный вращающий момент L. К концу троса, намотанного на барабан, прикреплена ось С колеса массы Мг. Колесо катится без скольжения вверх по наклонной плоскости, располо-, женной под углом а к горизонту. Ка-... -	кую угловую скорость приобретет ба-
рабан, сделав п оборотов? Барабан и ( Jif ) колесо считать однородными круглыми к У цилиндрами. В начальный момент си-стема находилась в покое. Массой троса и трением пренебречь.
yrty.W—_	Ответ'.
К задаче 38.40	= J_ Д - Л45^ sin a
rt V	Mf -h 3.M,
38.41(38.42). Решить предыдущую задачу с учетом массы троса и трения качения колеса о наклонную плоскость, если I — длина троса, М — масса его единицы длины, а — длина части троса, не намотанной па барабан в начальный момент fK — коэффициент трения качения, г2 — радиус колеса. Изменением потенциальной энергии троса, намотанного на барабан, пренебречь.
Ответ:
£ — ng Гм2 Г sin a + — cos a) -р М (а — sin а
Mt + ЗМ2 + 2М1
38.42(38.43). Колесо А скатывается без скольжения по наклонной плоскости ОК, поднимая посредством нерастяжимого троса колесо В, которое катится без скольжения по наклонной плоско
302
сти ON. Трос переброшен через блок С, вращ^юц^ся вокруг неподвижной горизонтальной оси О. Найти скорость оси колеса А при ее перемещении параллельно линии Од на расстояние s. В начальный момент система была в покое. Оба колеса и блок
считать однородными дисками одинаковой массы и радиуса. Массой троса пренебречь.
Ответ: ____________________
v = 2 aJ-^-£s (sin а — sin 0) .
38.43.(38.44). Решить предыдущую
задачу, принимая во внимание тре-	« задаче змг
ние качения колес о наклонные пло-
скости. Коэффициент трения качения равен /к, радиусы колес равны г.
Ответ: о = 2 -j-gs [sin a — sin 0 — b- (cos a + cos 0)j .
38.44(38.45). К грузу А массы Mi прикреплена нерастяжимая нить, переброшенная через блок D массы М2 и намотанная на боковую поверхность цилиндрического катка В массы М3. При движении груза А вниз по наклонной плоскости, расположенной
под углом а к горизонту, вращается блок D, а каток В катится без скольжения вверх по наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол р.
Определить скорость груза А в зависимости от пройденного им пути s, если в начальный момент систе-
К задаче 38.44
ма находилась в покое.
Блок D и каток В считать однородными круглыми цилиндрами. Силами трения и массой нити пренебречь.
Л	п /„	2Л1, sin a — Л13 sin 0
Ответ: и = 2	 8;И[+	 •
38.45(38.46). Решить предыдущую задачу в предположении, что коэффициенты трения скольжения и качения соответственно равны f и [к. Радиус катка В равен г.
V2Aft (sin a — / cos a) — Мз [sin p -j- cos
2£S	8.M1 + 4M2 4- ЗМз	'
38.46(38.47). Груз массы M подвешен на нерастяжимом однородном тросе длины I, навитом на цилиндрический барабан с горизонтальной осью вращения. Момент инерции барабана относительно оси вращения /, радиус барабана R, масса единицы длины каната т. Определить скорость груза в момент, когда длина сви-
ЙО.З
сающей части каната равна х, если в начальный момент скорость груза Оо = 0, а длина свисающей части каната была равна х0; трением иа оси барабана, толщиной троса и изменением потен-
циальной энергии троса, навитого на барабан, пренебречь.
пгвег. и — р л / g |2^+ m (х -ь — Жо)
Ответ, v- К у/ J+w + ml)? '
38.47(38.48). Груз А массы подвешен к однородному нерастяжимому канату длины L и массы Л12. Канат переброшен через блок В, вращающийся вокруг оси О, перпендикулярной плоскости рисунка. Второй конец каната прикреплен к оси катка С, катящегося без скольжения по неподвижной плоскости.
к задаче зя.46 Блок В и каток С — однородные круглые диски радиуса г и массы Л'!з каждый. Коэффициент трения качения катка С о горизонтальную плоскость равен /к. В начальный момент, когда система находилась в покое, с блока В
свисала часть каната длины /. Определить скорость груза А в зависимости от его вертикального перемещения h.
Ответ'.
_ л/^ {«. + > й' +	[« + « (1	- (г) ]}
v V	Л1) -у ЛБ 4- 2М3
38.48(38.49). Механизм эллипсографа, расположенный в горизонтальной плоскости, приводится в движение посредством
К задаче 38 47
К аадаче 38.48
постоянного вращающего момента т0, приложенного к кривошипу ОС. В начальный момент при ф —0 механизм находился в покое. Найти угловую скорость кривошипа ОС в момент, когда он сделал четверть оборота. Дано: М — масса стержня АВ, тА~ = тв = т — массы ползунов А и В, ОС~АС=ВС*=1; массой кривошипа ОС и силами сопротивления пренебречь.
_	1 I Злгчо
Ответ- д/^г+з^-
38.49(38.50). Решить предыдущую задачу с учетом постоянного момента сопротивления тс в шарнире С.
„	1	/ Зл(ш,, — 2mr)
Ответ: v =	MJr3m -
304
38.50(38.51). К кривошипу ООХ эпициклического механизма, расположенного в горизонтальной плоскости, приложен вращающий момент Мар = Мъ — а©, где Мо и а — положительные постоянные, aw — угловая скорость кривошипа. Масса кривошипа равна т, М— масса сателлита (подвижного колеса). Считая кривошип
тонким однородным стержнем, а сателлит— однородным круглым диском радиуса г, определить угловую скорость w кривошипа как функцию времени. В начальный момент система находилась в покое. Радиус неподвижной шестерни равен R; силами сопротивления пренебречь.
Указание. Применить теорему об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме.
К задаче 38.50
Ответ: = —	—е 7пр ), где /пр= (-у + yAf) (Я + г^2•
38.51(38.52). Решить предыдущую задачу с учетом постоянного момента трения Л4тР на оси О] сателлита.
Мо----— Л4тр /	--‘у* А
Ответ:	w =---------------—в . пр /, где =
38.52(38.53). Кривошип ООХ гипоциклического механизма, расположенного в горизонтальной плоскости, вращается с постоянной угловой скоростью ®0. В некоторый момент	----
времени двигатель был отключен и под .z действием постоянного момента Л4тР сил /	у—\
трения на оси сателлита (подвижного ко-	/	а
леса) механизм остановился.	j	У]
Определить время т торможения и угол	I	t
Ф поворота кривошипа за это время, если	\	/
его масса равна Мь М2— масса сателлита, \	у
R п г — радиусы большого н малого колее.
Кривошип принять за однородный тонкий стержень, а сателлит—за однородный к задаче зз.52 диск.
Указание. Применить теорему об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме.
г/Пр	I <Лтр	(ЛГ| 3	\
Ответ: т =	®о> ф = у ^д^тр ®о» где	= \Т~	Т ^2/
X (R - г)2.
38.53(38.54). Крестовина С приводится во вращение вокруг неподвижной оси Ох посредством однородного стержня АВ, вра-
305
мающегося вокруг неподвижной оси О (оси О и Oi перпендикулярны плоскости рисунка). При этом ползуны А и В, соединенные при помощи шарниров со стержнем АВ, скользят вдоль взаимно
Л	перпендикулярных прорезей крестовины С.
Вращение стержня происходит под действием \\	4^/ постоянного вращающего момента /Пвр. Опре-
\\	делить угловую скорость стержня АВ в мо-
меит, когда он сделает четверть оборота, если /в начальный момент при <р = 0 он имел
У/	угловую скорость ©0. Величина момента со-
'Х противления, возникающего в каждом из V шарниров ползунов А и В, в два раза мень-к задаче 38.53 ше wBp. Прочими силами сопротивления пренебречь. Масса стержня равна т; момент инерции крестовины С относительно оси Oi равен /; OOi = 0,4 — = 0В = 1.	____________
V6xwBp
К задаче	К задаче 39.2
39. [
§ 39.	Плоскопараллельное (плоское) движение твердого тела
39.1(39.1). Тяжелое тело состоит из стержня АВ длины 80 см и массы 1 кг и прикрепленного к. нему диска радиуса 20 см и массы 2 кг. В начальный момент при вертикальном положении стержня телу сообщено такое движение, что скорость центра масс стержня равна нулю, а скорость центра масс Мг диска равна 360 см/с и направлена но горизонтали вправо. Найти последующее движение тела, принимая во внимание только действие силы тяжести.
Ответ: Тело равномерно вращается с угловой скоростью 6 рад/с вокруг своего центра масс, который описывает параболу г/2 = ! 17,5х (начало координат —в точке В, ось у направлена по горизонтали вправо, ось х — вниз).
39.2(39.2). Диск падает в вертикальной плоскости под действием момент диску была сообщена угловая
скорость ®0, а его центр масс С, находившийся в начале координат, имел горизонтально направленную скорость Найти уравнения движения диска. Оси х, у изображены на рисунке. Силами сопротивления пренебречь.
Ответ: xc = vQt, ус=-^~, ф = <А/, где ф —угол поворота диска, образованный осью х и диаметром, занимавшим в начальный момент горизонтальное положение.
39.3(39.3). Решить предыдущую задачу, считая, что момент тс сопротивления движению относительно подвижной горизонтальной
силы тяжести. В начальный
306
оси, проходящей через центр масс С диска перпендикулярно плоскости движения его, пропорционален первой степени угловой скорости диска ф, причем коэффициент пропорциональности равен 0. Момент инерции диска относительно этой оси равен Jc-
gi2	/ССЙО (	—
Ответ: хс —	—	q?= ~~р V ~ g с Л где Ч> —
угол поворота диска, образованный осью х и диаметром, занимавшим в начальный момент горизонтальное положение.
39.4(39.4). Ведущее колесо автомашины радиуса г и массы М движется горизонтально и прямолинейно. К колесу приложен вращающий момент т. Радиус инерции колеса относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно его плоскости, равен р. Коэффициент трения скольжения колеса о землю равен f. Какому условию должен удовлетворять вращающий момент для того, чтобы колесо катилось без скольжения? Сопротивлением качения пренебречь.
Ответ: m^fMg—•
39.5(39.5). Решить предыдущую задачу с учетом трения качения, если коэффициент трения качения равен /к.
Ответ: m < fMg г р • + MgfK.
39.6(39.6). Ось ведомого колеса автомашины движется горизонтально и прямолинейно. К оси колеса приложена горизонтально направленная движущая сила F. Радиус инерции колеса относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно его плоскости, равен р. Коэффициент трения скольжения колеса о землю равен f. Радиус колеса равен г, масса колеса равна М. Какому условию должна удовлетворять величина силы F для того, чтобы колесо катилось без скольжения? Сопротивлением качения пренебречь.
Ответ: F fMg У - 
39.7(39.7). Решить предыдущую задачу с учетом трения качения, если коэффициент трения качения равен f«,.
Ответ* г	“	^2	

К задаче 39.8
39.8. Автомобильный прицел движется замедленно с ускорением и>0 до остановки. При этом тормоз в одном из его колес не включается. Давление колеса на дорогу равно N. Коэффициент трения колеса с дорогой равен f. Дано: г — радиус колеса, tn — его масса, р—радиус инерции. Определить силу горизонтального давления S колеса на его ось.
Ответ: 1)	s =	1 + 72“)>	2) w0 >
•S = тою 4- fN.
307
39.9(39-9). Колесо радиуса г катится по прямолинейному горизонтальному рельсу под действием приложенного вращающего момента твр = 5/sf^gr, где f—коэффициент трения скольжения, М — масса колеса. Определить скорость точки колеса, соприкасающейся с рельсом (скорость проскальзывания). Масса колеса равномерно распределена по его ободу. Трением качения пренебречь. В начальный момент колесо находилось в покое.
Ответ:
39.10(39.10). Решить предыдущую задачу с учетом трения качения, если коэффициент трения качения fK —
Ответ:
39.11(39.11). Однородный цилиндр с горизонтальной осью скатывается под действием силы тяжести по наклонной шероховатой плоскости с коэффициентом трения f. Определить угол наклона плоскости к горизонту и ускорение оси цилиндра, предполагая, что при движении цилиндра скольжение отсутствует. Сопротивлением качения пренебречь.
Ответ: a^arctg3/, w = 2/3gsina,
39.12(39.13). Однородный сплошной круглый диск катится без скольжения по наклонной плоскости, расположенной под углом а к горизонту. Ось диска образует угол 0 с линией наибольшего ската. Определить ускорение центра масс диска, считая, что его качение происходит в одной вертикальной плоскости.
Ответ: wc = 2 fag sin a sin р.
39.13(39.14). Однородный цилиндр с горизонтальной осью скатывается под действием силы тяжести со скольжением по наклонной плоскости при коэффициенте трения скольжения f. Определить угол наклона плоскости к горизонту и ускорение оси цилиндра.
Ответ: а > arctg 3f, w = g (sin а — f cos а).
39.14(39.15). Однородное колесо радиуса г скатывается без лонной плоскости, образующей угол а с горизонтом. При каком значении коэффициента трения качения fK центр масс колеса будет двигаться равномерно, а колесо при этом будет равномерно вращаться вокруг оси, проходящей через центр масс перпендикулярно его плоскости?
Ответ: fK = rtga.
39.15(39.16). На барабан однородного катка массы Л! и радиуса г, лежащего на горизонтальном шероховатом полу, намотана нить, к которой приложена сила Т под углом а к горизонту. Радиус барабана с, радиус инерции катка р. Определить закон движения оси катка О. В начальный момент каток находился в покое, затем катился без скольжения.
Т г (г cos а — а)
Ответ: х — —2	i, причем ось х направлена слева
скольжения по

направо.
306
39.16(39.17). Однородный стержень АВ массы М горизонтально подвешен к потолку посредством двух вертикальных нитей, прикрепленных к концам стержня. Найти натяжение одной из нитей в момент обрыва другой.
Указание. Составить дифференциальные уравнения движения стержня для весьма малого промежутка времени, следующего за моментом обрыва нити, пренебрегая изменением направления стержня и изменением расстояния центра масс стержня от другой нити.
Ответ: T — Mg/4.
39.17(39.18). Однородный стержень АВ массы М подвешен в точке О на двух нитях равной с
ним длины.
Определить натяжение одной из нитей в момент обрыва другой. (См. указание к задаче 39.16.)
Ответ: Т = 0,266 Mg.
39.18(39.19). Однородный тонкий стержень длины 2/ и массы М лежит на двух опорах А и В; центр масс С стержня находится на одинаковых расстояниях .от опор, причем .
СА — СВ=^а-, давление на каждую опору »'		5 1
равно 1/2 Р. Как изменится давление на опору	А. А.
А в тот момент, когда опора В будет мгиовен-	к задаче зв.1з
но удалена? (См. указание к задаче 39.16.)
Ответ: Давление на опору А получит приращение, равное В — За2 ,,
2 (В + За2)
39.19(39.20). Тяжелый круглый цилиндр А массы пг обмотан посредине тонкой нитью, конец которой В закреплен неподвижно.
К задаче 33.19 К задаче 39.20
Цилиндр падает без начальной скорости, разматывая пить. Определить скорость оси цилиндра, после того как эта ось опустится на высоту й, и найти натяжение Т нити.
Ответ: v = 2/3 V З^й, Т = '/3 mg.
39.20(39.21). Две гибкие нити обмотаны вокруг однородного круглого цилиндра массы М и радиуса г так, что завитки их расположены симметрично относительно средней плоскости, параллельной основаниям. Цилиндр помещен на наклон
ной плоскости АВ гак, что его образующие перпендикулярны линии наибольшего ската, а концы С нитей закреплены симметрично относительно вышеуказанной средней плоскости на расстоянии 2г от плоскости АВ. Цилиндр начинает двигаться без начальной скорости под действием силы тяжести, преодолевая трение о наклонную плоскость, причем коэффициент трения равен />. Определить
309
путь s, пройденный центром масс цилиндра за время t, и натяжение Т нитей, предполагая, что в течение рассматриваемого промежутка времени ни одна из нитей не сматывается до конца.
Ответ: s — -у g (sin а — 2f cos a) I'2, Т = ~ Mg (sin a f cos a).
Цилиндр остается в покое, если tga < 2f.
39.21(39.22). Два цилиндрических вала массы М, и М2 скатываются по двум наклонным плоскостям, образующим соответ-
на валы и к ним прикреплены. Определить натяжение нити и ее ускорение при движении по наклонным плоскостям. Валы считать однородными круглыми цилиндрами. Массой нити пренебречь.
отярт. т — а ЛЦЛЦ (sin а-Ь sin ft) _ М, sin a -/Иг sin fl ^твет. — g 3(М1 + М2)		® —S Л^ + ЛЪ
39.22(39.23). Определить период малых колебаний однородного полукруглого диска радиуса /?, находящегося на негладкой горизонтальной плоскости, по которой он может катиться без скольжения.
Ответ: T — -^-'^2g (9л — 16)/?.
§ 40.	Приближенная теория гироскопов
40.1(40.1). Волчок вращается по часовой стрелке вокруг своей оси О А с постоянной угловой скоростью со = 600 рад/с; ось О А
К задаче 40.1
наклонена к вертикали; нижний конец оси О остаемся неподвижным; центр масс С волчка находится на оси ОА на расстоянии ОС — 30 см от точки О; радиус инерции волчка относительно оси равен 10 см. Определить движение оси волчка О А, считая, что главный момент количеств движения волчка относительно оси ОА равен J&.
Ответ: Ось ОА вращается вокруг вертикали Oz по часовой стрелке, описывая
круговой конус, с постоянной угловой скоростью = — 0,49 рад/с.
40.2(40.2). Волчок, имея форму диска диаметра 30 см, враща-
ется с угловой скоростью 80 рад/с вокруг своей оси симметрии.
310
Диск насажен на ось длины 20 см, расположенную вдоль оси симметрии волчка. Определить угловую скорость регулярной прецессии волчка, полагая, что его главный момент количеств движения равен 7ы.
Ответ: 2,18 рад/с.
40.3(40.3). Турбина, вал которой параллелен продольной оси судна, делает 1500 об/мин. Масса вращающихся частей 6 т, радиус инерции р = 0,7 м. Определить гироскопические давления на подшипники, если судно описывает циркуляцию вокруг вертикальной оси, поворачиваясь на 10° в секунду. Расстояние между подшипниками / = 2,7 м.
Ответ: 30,4 кН.
40.4(40.4). Определить максимальные гироскопические давления на подшипники быстроходной турбины, установленной на корабле. Корабль подвержен килевой качке с амплитудой 9° и пе
К задаче 40 1
К задаче 40.5
риодом 15 с вокруг оси, перпендикулярной оси ротора. Ротор турбины массы 3500 кг с радиусом инерции 0,6 м делает 3000 об/мин. Расстояние между подшипниками 2 м.
Ответ: 13,0 кН.
40.5(40.5). Определить время Т полного оборота оси симметрии артиллерийского снаряда вокруг касательной к траектории 71ентра масс снаряда. Это движение происходит в связи с действием силы сопротивления воздуха F — Q,72 кН, приближенно направленной параллельно касательной и приложенной к оси снаряда на расстоянии h — 0,2 м от центра масс снаряда. Момент количества движения снаряда относительно его оси симметрии равен 1850 кг-м2/с.
Ответ: 8,66 с.
40.6(40.6). Газотурбовоз приводится в движение турбиной, ось которой параллельна оси колес и вращается в ту же сторону, что и колеса, делая 1500 об/мин. Момент инерции вращающихся частей турбины относительно оси вращения 7 = 200 кг-м2. Как велика добавочная сила давления на рельсы, если газотурбовоз идет по закруглению радиуса 250 м со скоростью 15 м/с? Ширина колеи 1,5 м.
Ответ: На один рельс 1256 Н вниз, на другой рельс 1266 Н вверх.
311
40.7(40.7). В дробилке с бегунами каждый бегун имеет массу М = 1200 кг, радиус инерции относительно его оси р = 0,4 м, радиус R = 0,5 м, мгновенная ось вращения бегуна проходит через середину линии касания бегуна с дном чаши. Определить силу давления бегуна на горизонтальное дно чаши, если переносная угловая скорость вращения бегуна вокруг вертикальной оси соответствует га = 60 об/мин.
Ответ; N — 26,9 кН.
К задаче 40.7
К задаче 40.8
40.8(40.8). Колесный скат массы М = 1400 кг, радиуса а = = 75 см и с радиусом инерции относительно своей оси р = ^0,55а движется равномерно со скоростью v = 20 м/с по закруглению радиуса /? = 200 м, лежащему в горизонтальной плоскости. Опре-
делить силу давления ската на рельсы, если расстояние между рельсами I = 1,5 м.
Ответ; N = (6,87 ±0,77) кН.
40.9(40.9). На рисунке изображен узел поворотной части разводного моста. Вал АВ с шарнирно прикрепленными к нему под углом а стержнями CD и СЕ вращается с угловой скоростью «о. При этом конические шестерни К и L, свободно насаженные на стержни CD и СЕ, катятся без скольжения по неподвижной пло-
К задаче 40.9
К задаче 40.10
ской горизонтальной шестерне. Определить силу дополнительного динамического давления шестерен К и L массы М каждая на неподвижную горизонтальную шестерню, если радиусы всех шестерен равны г. Подвижные шестерни считать сплошными однородными дисками.
Mrw2 sin а Ответ:
2
40.10(40.10). Квадратная рама со стороной а =20 см вращается вокруг вертикальной оси АВ с угловой скоростью u)j=2 рад/с. Вокруг оси ED, совмещенной с диагональю рамы, вращается диск Л1 радиуса г =10 см с угловой скоростью ю = 300 рад/с. Определить отношение дополнительных сил бокового давления на опоры Л и В к соответствующим статическим давлениям. Массой
312
рамы пренебречь. Массу диска считать равномерно распределенной по ободу.
Ответ: 4,32.
40.11(40.12). Колесо радиуса а и массы 2М вращается вокруг горизонтальной оси АВ с постоянной угловой скоростью ©ь ось АВ вращается вокруг вертикальной оси OD, проходящей через центр колеса, с постоянной угловой скоростью ©si направления вращений показаны стрелками. Найти силы давления Na и на подшипники А и В, если AO = OB = h; масса колеса равномерно распределена по его ободу.
Ответ:	=
40.12(40.13). Простейший гиротахометр состоит из гироскопа, рамка которого соединена двумя пружинами, прикрепленными к корпусу прибора. Момент инерции гироскопа относительно оси собственного вращения равен J, угловая скорость гироскопа равна
К задаче 40.Н
©. Определить угол а, на который повернется ось гироскопа вместе с его рамкой, если прибор установлен на платформе, вращающейся с угловой скоростью ©! вокруг оси х, перпендикулярной оси у вращения рамки. Коэффициенты жесткости пружин равны с; угол а считать малым; расстояние от оси вращения рамки до пружин равно а. -
Ответ- а==-2^й>-
§ 41.	Метод кинетостатики
41.1(41.1). Определить силу тяжести, действующую на круглый однородный диск радиуса 20 см, вращающийся вокруг оси по закону ф = З^2. Ось проходит через центр диска перпендикулярно его плоскости; главный момент сил инерции диска относительно оси вращения равен 4 Н-см.
Ответ. 3,27 Н.
41.2(41-2). Тонкий прямолинейный однородный стержень длины I и массы М вращается вокруг оси, проходящей перпендику
313
лярно стержню через его конец, по закону ф — at2. Найти величины и направления равнодействующих Jn и Ц центробежных и вращательных сил инерции частиц стержня.
Ответ: Равнодействующая вращательных сил инерции Jx=Mal направлена перпендикулярно стержню на расстоянии 2/$1 от оси вращения; равнодействующая центробежных сил инерции 1п = = 2Ma2lt2 направлена вдоль стержня от оси вращения.
41.3(41.3). Колесо массы М и радиуса г катится без скольжения по прямолинейному горизонтальному рельсу. Определить главный вектор и главный момент сил инерции относительно оси, проходящей через центр масс колеса перпендикулярно' плоскости движения. Колесо считать сплошным однородным диском. Центр масс С движется по закону xc = at2/2, где а — постоянная положительная величина. Ось х направлена вдоль рельса.
Ответ: Главный вектор сил инерции равен по модулю Ма и направлен параллельно оси в отрицательном направлении; главный момент сил инерции равен по абсолютной величине '/2Маг.
41.4(41.4). Определить главный вектор и главный момент сил инерция подвижного колеса II планетарного механизма относительно оси, проходящей через его центр масс С перпендикулярно плоскости движения. Кривошип ОС вращается с постоянной угловой скоростью о>. Масса колеса // равна М. Радиусы колес равны г.
Ответ: Главный вектор сил инерции параллелен кривошипу ОС и равен 2Mrmz; главный момент сил инерции равен нулю.
41.5(41.5). Конец Д однородного тонкого стержня АВ длины 2/ и массы Л! перемещается по горизонтальной направляющей с помощью упора Е с постоянной скоростью V, причем стержень все время опирается на угол D. Определить главный вектор и главный момент сил инерции стержня относительно оси, проходящей через центр масс С стержня перпендикулярно плоскости движения, в зависимости от угла ф.
Ответ: Vx1 — З.М sin4 ф cos <р,	0/’= Al/ (1 — 3 cos2 ф) X
Xsin3<p, m(/> — — -|-AIP ~ sin3ф cos ф.
41.6(41.6). По данным предыдущей задачи определить динамическое давление No стержня па угол D.
314
.,8 Л2 . 4
Ответ:	=-g--y3-M sin4<pcos<p.
41.7(41.9). Для экспериментального определения замедления троллейбуса применяется жидкостный акселерометр, состоящий из изогнутой трубки, наполненной маслом и расположенной в вертикальной плоскости. Определить величину замедления троллейбуса при торможении, если при этом уровень жидкости в конце трубки,
расположенном в направлении движения, повышается до величины h2, а в противоположном конце понижается до Ль Положение акселерометра указано на рисунке: ей = а2 — 45°, Л[ = 25 мм, Л2 = 75 мм.
Ответ: w=g {!!2 ~	= 0,5g. к 4>-7
s hi iga2-J- A2lg«i	s
41.8(41.10). С каким ускорением должна двигаться по гори-вонтальной плоскости призма, боковая грань которой образует угол а с горизонтом, чтобы груз, лежащий на боковой грани, не перемещался относительно призмы?
Ответ: w = g tg а.
41.9(41.11). Для исследования влияния быстро чередующихся растягивающих и сжимающих сил на металлический брусок (испытание на усталость) испытуемый брусок А прикрепляют за верхний конец к ползуну В кривошипного механизма ВСО, а к ниж-
нему концу подвешивают груз массы М. Найти силу, растягивающую брусок, в том случае, когда кривошип ОС вращается вокруг оси О с постоянной угловой скоростью со.
К задаче 41.9
Указание. Выражение V1 — (г//)2 sin3 q> следует разложить в ряд я отбросить все члены ряда, содержащие отношение г/l в степени выше второй.
Ответ: Mg + Mr®2 (cos cot + у- cos 2®/) .
41.10(41.12). Определить опорные реакции подпятника А п подшипника В поворотного крана при поднимании груза Е массы 3 т с ускорением '/3g. Масса крана равна 2 т, а его центр масс нахо-
315
дится в точке С. Масса тележки D равна 0,5 т. Кран и тележка неподвижны. Размеры указаны на рисунке.
Ответ: Ха = — Хв= 52,1 кН; Ул = 63,9 кН.
41.11(41.13). Определить опорные реакции подпятника А и подшипника В поворотного крана, рассмотренного в предыдущей задаче, при перемещении тележки влево с ускорением 0,5g при отсутствии груза Е. Центр масс тележки находится на уровне опоры В.
Ответ: ХА = 12,8 кН, Хв = —15,2 кН, Ул =24,5 кН.
41.12(41.14). На паром, привязанный к берегу двумя параллельными канатами, въезжает грузовик массы 7 т со скоростью 12 км/ч; тормоза останавливают грузовик на протяжении 3 м. Предполагая, что сила трения колес о пастил парома постоянна, определить натяжение канатов. Массой и ускорением парома пренебречь.
Ответ: 7 = 6,48 кН.
41.13(41.15). Автомобиль массы М движется прямолинейно с ускорением w. Определить вертикальное давление передних и задних колес автомобиля, если его центр масс С находится на вы-
соте h от поверхности грунта. Расстояния передней и задней осей
К задаче [4
автомобиля от вертикали, проходящей через центр масс, соответственно равны а и Ь. Массами колес пренебречь. Как должен двигаться автомобиль, чтобы давления колес оказались равными?
0^: М.=	.
при торможении автомобиля а — Ь
передних и задних
(a + fr) ;
с замедлением w —
К за,1аче 4[.[5
41.14(41.16). С каким ускорением w опускается груз массы ЛК, поднимая груз массы ЛЦ с помощью полиспаста, изображенного на рисунке? Каково условие равномерного движения груза ЛЬ? Массами блоков и троса пренебречь.
Указание. Ускорение груза Мг в четыре раза меньше ускорения груза Mt.
Ответ:
w~4g
4Л1| — Мц 16ЛЛ + Л43
Л4г _ 1
М, ~' 4 ‘
41.15(41.17). Гладкий клин массы М и с углом 2а при вершине раздвигает две пластины массы каждая, лежащие в покое иа гладком горизонтальном столе. Написать уравнения движения
»у1ина и пластин и определить силу давления клина на каждую
из пластин.
316
Ответ-. Уравнение движения клина.' wt2	_ М ctg а
s —	' где w ~ % М ctg а 4- 2М, tg а ;
уравнение движения пластин:
W1t2	1
Si = ~5—► где ie<i = aytga; сила давления
cos a
41.16(41.18). Груз А массы Ah, опускаясь вниз, приводит в движение посредством нерастяжимой нити, переброшенной через неподвижный блок С, груз В массы Мз. Определить силу давления стола D на пол, если масса стола равна А!з. Массой нити пренебречь.
Ответ: А =	4~Af2 + Мз —
К задаче 41.17
41.17(41.19). Груз А массы Mt, опускаясь вниз по наклонной плоскости D, образующей угол а с горизонтом, приводит в движение посредством нерастяжимой нити, .переброшенной через неподвижный блок С, груз В массы М2. Определить
горизонтальную составляющую давления наклонной плоскости D на выступ пола В. Массой нити пренебречь.
~	>,	Л1. sin a — Mi
Ответ: N = Mtg	м, + м2~cosa’
41.18(41.21). Однородный стержень массы А! и длины I вращается с постоянной угловой скоростью
.31
w вокруг неподвижной вертикальной оси, перпёп- к зада,|С 4, |Э дикулярной стержню и проходящей через его конец.
Определить растягивающую силу в поперечном сечении стержня,
отстоящем от оси вращения на расстоянии а.
Ответ: В = М(Р— a2)a?/(2/).
41.19(41.22). Однородная прямоугольная пластинка массы М равномерно вращается вокруг вертикальной оси с угловой скоростью ©. Определить силу, разрывающую пластину в направлении, перпендикулярном оси вращения, в сечении, проходящем через ось вращения.
31Z
Ответ: Мас<А2/А.
41.20(41.23). Однородный круглый диск радиуса R и массы М вращается с постоянной угловой скоростью со вокруг своего вертикального диаметра. Определить силу, разрывающую диск по диаметру.
Ответ: 2MRa2/(3n).
41.21(41.24). Тонкий прямолинейный однородный стержень длины I и массы М вращается с постоянной угловой скоростью со около неподвижной точки О (шаровой шарнир), описывая коническую поверхность с осью ОА и вершиной в точке О. Вычислить
К задаче 41.20
К задаче 41.21
К задаче 41,22
угол отклонения стержня от вертикального направления, а также величину N давления стержня на шарнир О.
Ответ: <р= arccos-^r, N =	+
41.22(41.25). В центробежном тахометре два тонких однородных прямолинейных стержня длины а и b жестко соединены под * прямым углом, вершина которого О шарнирно сое-
К задаче 41,23
дннена с вертикальным валом; вал вращается с постоянной угловой скоростью со. Найти зависимость между со и углом отклонения ср, образованным направлением стержня длины а и вертикалью.
Ответ:
co8=3g
b2 cos ф — д2 sip ср (Ь3 — да) sin 2<р
41.23(41.26). Тонкий однородный прямолинейный стержень АВ шарнирно соединен с вертикальным валом в точке О. Вал вращается с постоянной
скоростью со. Определить угол отклонения ср стержня от вертикали, если ОА — а и ОВ = Ь.
хч	3 g а — b
Ответ: cos ср = -z- -Л- —«-------.
г 2 сй2 а2 — ab 4- Ь3
318
§ 42.	Давление вращающегося твердого тела на ось вращения
42.1(42.1). Центр масс махового колеса массы 3000 кг находится на расстоянии 1 мм от горизонтальной оси вала; расстояния подшипников от колеса равны между собой. Найти силы давления на подшипники, когда вал делает 1200 об/мин. Маховик имеет плоскость симметрии, перпендикулярную оси вращения.
Ответ: Сила давления на каждый из подшипников есть равнодействующая двух сил, из которых одна равна 14,7 кН и направлена по вертикали, а другая равна 23,6 кН и направлена параллельно прямой, соединяющей геометрический центр колеса, находящийся на оси вала, с центром масс колеса.
42.2(42.2). Однородный круглый диск массы М равномерно вращается с угловой скоростью со вокруг неподвижной оси, расположенной в плоскости диска и отстоящей от его центра масс С на расстоянии ОС = а. Определить силы динамического давления оси на подпятник А и подшипник S, если ОВ = ОА. Оси х и у неизменно связаны с диском.
Ответ:	= 0, Ya = У в — Л1асо2/2.
42.3. Решить предыдущую задачу в предположении, что при наличии сил сопротивления угловая скорость диска убывает по закону <й=(йо —£с/, где ®0 и е0 — положительные постоянные.
Ответ: ХА—Хв = —Мае.й/2, УА — Ув~ Мав>2/2.
42.4(42.3). К вертикальной оси АВ, вращающейся равноускоренно с угловым ускорением е, прикреплены два груза С и D посредством двух перпендикулярных оси АВ и притом взаимно перпендикулярных стержней ОС = OD = г. Определить силы динамического давления оси АВ на подпятник А и подшипник В. Грузы С и D считать материальными точками массы М каждый. Массами стержней пренебречь. В начальный момент система находилась в покое. Оси х и у неизменно связаны со стержнями.
Ответ: ХА = Хв = relet2 + 1), УА = Yg =-j- re (st2 — 1).
42.5(42.4). Стержень АВ длины 21, на концах которого находятся грузы равной массы М, вращается равномерно с угловой скоростью ® вокруг вертикальной оси Oz, проходящей через сере
319
дину О длины стержня. Расстояние точки О от подшипника С равно а, от подпятника D равно Ь. Угол между стержнем АВ и осью Oz сохраняет постоянную величину а. Пренебрегая массой стержня и размерами грузов, определить проекции сил давления на подшипник С и подпятник D в тот момент, когда стержень находится в плоскости Oyz.
Ответ: XC = XD = O, Yc = — Yd=	. ZD~—2Mg.
42.6(42.5). На концы оси ДВ надеты два одинаковых кривошипа ДС и BD длины I и массы М\ каждый, заклиненные под углом 180° относительно друг друга. Ось АВ длины 2о и массы М2 вращается с постоянной угловой скоростью о в подшипниках Е и F, расположенных симметрично на расстоянии 2Ь друг от друга. Определить силы давления NE и NF на подшипники в тот момент, когда кривошип АС направлен вертикально вверх. Массу каждого кривошипа считать равномерно распределенной вдоль его оси.
К задаче 42.5
К задаче 42.6
К задаче 42.7
Ответ'. Сила давления	при Л^>0
направлена по вертикали вниз, при Ne <0 — вверх.
Сила давления NP	M\g Д- -—— направлена по
вертикали вниз,
42.7(42.6). К горизонтальному валу ДВ, вращающемуся с постоянной угловой скоростью ы, прикреплены два равных, перпендикулярных ему стержня длины I, лежащих во взаимно перпендикулярных плоскостях (см. рисунок). На концах стержней расположены шары D и Е массы m каждый. Определить силы динамического давления вала на опоры Д и В. Шары считать материальными точками; массами стержней пренебречь.
Ответ: N А —N R = ——ml<sF.
42.8(42.7); К вертикальному валу ДВ, вращающемуся с постоянной угловой скоростью w, жестко прикреплены два стержня.
320
Стержень ОЕ образует с валом угол <р, стержень OD перпендикулярен плоскости, содержащей вал АВ н стержень ОЕ. Даны размеры: OE = OD — l, АВ = 2а. К концам стержней прикреплены два шара Е и D массы т каждый. Определить силы динамического давления вала на опоры А и В. Шары D и Е считать точечными массами; массами стержней пренебречь.
Ответ-. ХА=~Хд = -~-, v	(а —-1 cos tp) sin ф
Y А===	2а
v mlwA (а + I cos ф) sin ф Гй-'----- Та	'
42.9(42.8). Использовав условие задачи 34.1, определить силы динамического давления коленчатого вала на подшипники К и L. Вал вращается равномерно с угловой ско
ростью о). При решении можно воспользоваться ответами к задачам 34.1 и 34.23.
Отеег. XK-.-XL=^«id^±^r»‘,
42.10(42.9). Однородный стержень KL, прикрепленный в центре под углом а к вертикальной оси АВ, вращается равноускоренно
вокруг этой оси с угловым ускорением е. Определить силы динамического давления оси АВ на подпятник А л подшипник В, если: М~ масса стержня, 21 — его длина, ОА = ОВ — h/2\ OK=*-.OL—l, В начальный момент система находилась в покое.
Ответ: Хв — — ХА = в sm 2а, YB = — УА —	в2!2 sin 2а.
42.11. Однородная прямоугольная пластинка OABD массы М со сторонами а и Ь, прикрепленная стороной ОЛ к валу ОЕ, вращается с постоянной угловой скоростью и. Расстояние между опо
J1 И. В. Мещерский
321
рами ОЕ — 2а. Вычислить боковые силы динамического давления вала на опоры О и Е.
Ответ-. NOx = NEx=>0, NOe = ~Mb^, NE„= ±-Mb<z2.
42.12(42.10). Прямой однородный круглый цилиндр массы М, длины 2/ и радиуса г вращается с постоянной угловой скоростью <л вокруг вертикальной оси Oz, проходящей через центр масс О
К задаче 42.12
цилиндра; угол между осью цилиндра и осью Oz сохраняет при этом постоянную величину а. Расстояние Н\Н2 между подпятником и подшипником равно Л. Определить боковые силы давления: N\ на подпятник и N2 на под
шипник.
Ответ: Давления Л?! и Nz имеют одинаковую величину
to2 sin 2а
М~2ft—

и противоположны по направлению.
42.13(42.11). Вычислить силы давления в подшипниках А и В при вращении вокруг оси АВ однородного тонкого круглого диска CD паровой турбины, предполагая, что ось АВ проходит через центр О диска, но вследствие неправильного
рассверливания втулки составляет с перпендикуляром к плоскости диска угол АОЕ = а = 0,02 рад. Дано: масса диска 3,27 кг, радиус его 20 см, угловая скорость соответствует 30000 об/мин, расстояние АО = 50 см, ОВ = 30 см; ось АВ считать абсолютно твердой н принять sin 2а — 2а.
К задаче 42.13
К задаче 42.14
Ответ: Силы давления от веса диска: 12,1 Н на подшипник А и 20,0 Н на подшипник В; силы давления на подшипники, вызываемые вращением диска, имеют одинаковую величину 8,06 кН и противоположные направления.
42.14. В результате неточной сборки круглого диска паровой турбины плоскость диска образует с осью АВ угол а, а центр масс С диска не лежит на этой оси. Эксцентриситет ОС = а. Найти боковые силы динамического давления на подшипники А и В, если масса диска равна М, радиус его R, а АО = ОВ = h; угловая скорость вращения диска постоянна и равна <о.
322
Указание. Воспользоваться ответом к задаче 34.27.
Ответ- УЛ = Ув = О, Хд = - ^- [(-£- + а2) -Т- + а C0S а]
„ М R2 , sin 2а	1 2
Хв=~ — |Д— + й ) ^2h----------а C0S aJ “ •
42.15. Однородный круглый диск массы М и радиуса R насажен на ось АВ, проходящую через точку О диска и составляющую с его осью симметрии Czi угол a. OL — проекция оси г, совмещенной с осью АВ, на плоскость диска, причем ОЕ = а, ОК — Ь. Вычислить боковые силы динамического давления на подшипники А и В, если диск вращается с постоянной угловой скоростью ы, а АО = =ОВ=/г.
К задаче 42.15
К задаче 42.16
Указание. Воспользоваться ответом к задаче 34.28.
Ответ: ХА — —~ Маа2 cos а —7Г ( Т	°2 sSn 2а>
Л	z	чп \ ч	/
Хв — —у Маа2 cos а + — (у- R2 + а2) “2 sin 2а,
^=-^(l+fsina>2’
- Vsina)“2
42.16(42.12). Однородная прямоугольная пластинка массы М равномерно вращается вокруг своей диагонали АВ с угловой ско-
ростью ш. Определить силы динамического давления пластинки на опоры А и В, если
длины сторон равны а и
Ответ: ХА — 0, Y А —
Ь.
— Mabe)2 (а2 - Ь2) 12 (а2 + й2)7’
А'а = 0,
МаЬыг (а2 — Ь2) 12 (а2 + £2)'Л
42.17(42.13). С какой угловой скоростью к задаче 42 [7 должна вращаться вокруг катета АВ ~ а
однородная пластинка, имеющая форму равнобедренного прямоугольного треугольника ABD, чтобы сила бокового давления па нижнюю опору В равнялась нулю? Расстояние между опорами считать равным длине катета АВ.
Ответ: <о = 2 -yfgfa.
11*
323
42.18(42.14). Вращающаяся часть подъемного крана состоит из стрелы CD длины L и массы Л1Ь противовеса Е и груза К массы М2 каждый. (См. рисунок к задаче 34.31.) При включении постоянного тормозящего момента кран, вращаясь до этого с угловой скоростью, соответствующей п = 1,5 об/мин, останавливается через 2 с.
Рассматривая стрелу как однородную тонкую балку, а противовес е грузом как точечные массы, определить динамические реакции опор А и В крана в конце его торможения. Расстояние между опорами крана ЛВ=3 м, М2 =5 т, Afj ~8 т, а = 45°, L = = 30 м, I = 10 м, центр масс всей системы находится на оси вращения; отклонением груза от плоскости крана пренебречь. Оси х, у связаны с краном. Стрела CD находится в плоскости yz.
Указание. Воспользоваться ответом к задаче 34.31 (положив Mi = Mi).
Ответ-. Уд == — ув =0, Xs = —Хд s* 60,8 кН.
§ 43.	Смешанные задачи
43.1(43.1). Однородная тяжелая балка АВ длины 2/ при закрепленных концах находится в горизонтальном положении. В некоторый момент конец А освобождается, и балка начинает падать, вращаясь вокруг горизонтальной С-........... ........	оси, проходящей через конец В; в
——у момеит, когда балка становится вер-------------------*J тикальной, освобождается и конец |ж В. Определить в последующем дви-к задаче 431-----женин балки траекторию ее центра
масс и угловую скорость О.
Отввг: 1) Парабола у2 = 31х — З/2; 2) ф = -\?3g/(2l).
43.2(43.2). Тяжелый однородный стержень длины / подвешен своим верхним концом на горизонтальной оси О. Стержню, находившемуся в вертикальном положении, была сообщена угловая скорость = 3 л/gll- Совершив полоборота, он отделяется от оси О. Определить в последующем движении стержня траекторию его центра масс и угловую скорость вращения ф.
Ответ-. 1) Парабола у^ — I 2	2	/ Зд
-----rrXr-l 2) Ф = Л/-~.
К задаче 43.3
К задаче 43.3
43.3(43.4). Два однородных круглых цилиндра А и В, массы которых соответственно равны Мi и М2, а радиусы оснований Г[ и га, обмотаны двумя гибкими нитями, завитки которых расположены симметрично относительно средних плоскостей, параллель
B24
ных основаниям цилиндров; оси цилиндров горизонтальны, причем образующие их перпендикулярны линиям наибольших скатов. Ось цилиндра А неподвижна; цилиндр В падает из состояния покоя под действием силы тяжести.
Определить в момент t после начала движения, предполагая, что в этот момент нити еще остаются намотанными на оба цилиндра: 1) угловые скорости coj и цилиндров, 2) пройденный центром масс цилиндра В путь s и 3) натяжение Т нитей.
Ответ-. 1) ©1= Г1(ЗЛ^+’2Л12)	°2 = гг (ЗМ1 + 2Л42)
q,	g (Mi + М2) ft. q. ~
S ЗМ, + 2Mj ’	> (ЗМ, +	4
43.4(43.5), Однородный стержень АВ длины а поставлен в вертикальной плоскости под углом фо к горизонту он опирается на гладкую вертикальную стену, а концом В — на гладкий горизонтальный иол; затем стержню предоставлено падать без начальной скорости. 1) Определить угловую скорость и угловое ускорение стержня. 2) Найти, какой угол ф| будет составлять стержень с горизонтом в тот момент, когда он отойдет от стены.
Ответ:	1) ф = (sin Фо — sin ф) ,
3g	•	2 •
Ф= —у-созф; 2) Sin= у sinф0.
43.5(43.6). Использовав условие предыдущей задачи, определить угловую скорость ф стержня и скорость в момент падения стержня на пол.
Ответ: ф =	(1 — у sin2 ф0) sin ф0,
vB = у sin фо
43.6(43.7). Тонкая однородная доска ABCD прямоугольной формы прислонена к вертикальной стене и опирается на два гвоздя Е и F без головок; расстояние AD равно FE. В некоторый момент доска начинает падать с ничтожно малой начальной угловой скоростью,
вращаясь вокруг прямой AD. Исключая возможность скольжения доски вдоль гвоздей, определить угол a,i = Z.BAB\, при котором горизонтальная составляющая реакции изменяет направление, и угол а2 в момент отрыва доски от. гвоздей.
2	,	1
Ответ: — arccos у = 48°П , а2 = arccos у = 70° 32 .
43,7(43.8). Два диска вращаются вокруг одной и той же оси с угловыми скоростями оц и о)2; моменты инерции дисков относи
так,
К задаче 43.4
325
тельно этой оси равны Ji и А. Определить потерю кинетической энергии в случае, когда оба диска будут внезапно соединены фрикционной муфтой. Массой ее пренебречь.
Ответ: АТ = 7- 777г-	—
43.8. Тело А вращается без трения относительно оси 00' с угловой скоростью юл. В теле А на оси OjOi помещен ротор В, вращающийся в ту же сторону с относительной скоростью юв. Оси 00' и О\О\ расположены на одной прямой. Моменты инерции тела А и ротора В относительно этой прямой равны Ja и Jb. Пренебрегая потерями, определить работу, которую должен совершить мотор, установленный в теле А, для сообщения ротору В такой угловой скорости, при которой тело А остановится.
Ответ: А = у /л [®д (1 + 7^-) + 2®л®в] •
43.9. На шкив, вращающийся без сопротивления вокруг горизонтальной оси О с угловой скоростью ю0, накинули ремень с двумя грузами на концах. Шкив — однородный диск массы m и ра-двуса г, масса каждого из грузов М = 2m. Считая начальные скорости грузов равными нулю, определить, с какой скоростью они
К. задаче 43.9
К задаче 43.10



г0
К задаче 43.8
будут двигаться после того, как скольжение ремня о шкив прекратится. Найти также работу сил трения ремня о шкив.
Ответ: v = -i- oiy, Лтр = 7-/ЛЮ5Г2.
43.10(43.10). Твердое тело массы М качается вокруг горизонтальной оси О, перпендикулярной плоскости рисунка. Расстояние от оси подвеса до центра масс С равно а; радиус инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно плоскости рисунка, равен р. В начальный момент тело было отклонено из положения равновесия на угол ф0 и отпущено без начальной скорости. Определить две составляющие реакции оси R и V, расположенные вдоль направления, проходящего через точку подвеса и центр масс тела, и перпендикулярно ему. Выразить их в зависимости от угла ф отклонения тела от вертикали.
326
Ответ-. R = Mg cos ф +	(cos ф — cos ф0),
V = sin<₽'
43.11(43.11). Тяжелый однородный цилиндр, получив ничтожно малую начальную скорость, скатывается без скольжения с горизонтальной площадки АВ, край которой В заострен и параллелен образующей цилиндра. Радиус основания цилиндра г. В момент отделения цилиндра от площадки плоскость, проходящая через ось цилиндра и край В, отклонена от вертикального положения на некоторый угол СВС( = а. Определить угловую скорость цилиндра в момент отделения его от площадки, а также угол а. Трением качения и сопротивлением воздуха пренебречь.
Ответ: =	а = arccos у- = 55, Г.
43.12. Автомашина для шлифовки льда движется прямолинейно по горизонтальной плоскости катка. Положение центра масс С указано на рисунке к задаче 38.12. В момент выключения мотора машина имела скорость v. Найти путь, пройденный машиной до остановки, если fK— коэффициент трения качения между колесами автомашины и льдом, а / — коэффициент трения скольжения между шлифующей кромкой А и льдом. Массой колес радиуса г, катящихся без скольжения, пренебречь.
„	v3 Зг
Ответ: s ~ -т---яг—,-г .
2g 2fr + fK
43.13(43.12). На боковой поверхности круглого цилиндра с вертикальной осью, вокруг которой он может вращаться без трения, вырезан гладкий винтовой желоб с углом подъема а. В начальный момент цилиндр находится в покое; в желоб опускают тяжелый шарик; он падает по желобу без начальной скорости и заставляет цилиндр вращаться. Дано: масса цилиндра М, радиус его R, масса шарика т; расстояние от шарика до оси считаем равным
и момепт иперции цилиндра равным	Определить угловую
скорость а, которую цилиндр будет иметь в тот момент, когда шарик опустится на высоту h.
Ответ: а
2m cos а /__________________2g h________________
R у (M 4- 2m) (M 4- 2m sin2 a) ’
§ 44. Удар
44.1(44.1). Баба А ударного копра падает с высоты 4,905 м и ударяет наковальню В, укрепленную на пружине. Масса бабы 10 кг, и масса наковальни 5 кг, Определить, с какой скоростью
327
начнется движение наковальни после удара, если баба будет двигаться вместе с ней.
Ответ: 6,54 м/с.
44.2(44.2). Груз А массы Afi падает без начальной скорости с высоты h на плиту В массы М2, укрепленную на пружине, кото-
рая имеет коэффициент жесткости с. Найти величину s сжатия пружины после удара в предположении, что коэффициент восстановления равен нулю.
Ответ:	_______________________
M.g л / М'№	Af?
+	+ 2gk .с (Л1) +	.
44.3(44.3). В приборе для опытного определения коэффициента восстановления шарик из испытуемого материала падает без начальной скорости внутри вертикальной прозрачной трубки с заданной высоты — 50 см на неподвижно закрепленную горизонтальную пластинку из соответствующего материала. Найти коэффициент восстановления, если высота, на которую подскочил шарик после удара, оказалась равной А2 45 см.
Ответ: k = '\/h2/hj = 0,$5.
44.4(44.4). Упругий шарик падает по вертикали с высоты h на горизонтальную плиту, отскакивает от нее вверх, вновь падает на плиту и т. д., продолжая эти движения. Найти путь, пройденный шариком до остановки, если коэффициент восстановления при ударе равен k.
Ответ: s = — __ ft.
44.5. Два тела с массами mi и ш2 и коэффициентом восстановления k движутся поступательно по одному и тому же направлению. Каковы должны быть их скорости и v2, чтобы после удара догоняющее тело mi остановилось, а тело т2 получило бы заданную скорость и2?
1 4- k m-i	т, — ktn2 „
Ответ: Ц[ = —!—-----~—д,;	и2 = -т~г—;--г и2-
1 k	2 k (tri! + m2) -
44.6(44.5). Паровой молот массы 12 т падает со скоростью 5 м/с на наковальню, масса которой вместе с отковываемой деталью равна 250 т. Найти работу Ль поглощаемую отковываемой деталью, и работу А2, потерянную на сотрясение фундамента, а также вычислить коэффициент т] полезного действия молота; удар неупругий.
Ответ: Д] = 143 кН-м, Д2 =6,87 кН-м, р =0,95.
44,7. Молот массы mi = 10 кг расплющивает заготовку до нужных размеров за 70 ударов. За сколько ударов эту операцию произведет молот массы т2 — 100 кг, если приводной механизм сооб
328
щает ему такую же скорость, что и первому молоту. Масса наковальни М — 200 кг. Удар считать абсолютно неупругим.
Ответ: 10 ударов.
44.8(44,6). Найти скорости после абсолютного упругого удара двух одинаковых шаров, двигавшихся навстречу друг другу со СКОРОСТЯМИ 01 и и2.
Ответ: Шары после удара обмениваются скоростями.
44.9(44.7). Два одинаковых упругих шара Л и В движутся навстречу Друг другу. При каком соотношении между скоростями до удара шар Л после удара остановится? Коэффициент восстановления при ударе равен k.
44.10. Тело А настигает тело В, имея в 3 раза большую скорость, Каким должно быть соотношение масс этих тел, чтобы после удара тело Л остановилось? Удар считать прямым центральным. Коэффициент восстановления k =0,8.
Ответ: тв/гпл — 5.
44.11(44.8). Определить отношение масс mi и т2 двух шаров в следующих двух случаях: 1) первый шар находится в покое; происходит центральный удар, после которого второй шар остается в покое; 2) шары встречаются с равными и противоположными скоростями; после центрального удара второй шар остается в покое, Коэффициент восстановления равен k.
Ответ: 1)-^ = *, 2) -^- = 14-2*. ' т\
44.12(44.9). Три абсолютно упругих шара с массами mi, т2. и лежат в гладком желобе на некотором расстоянии друг от друга. Первый шар, пущенный с некоторой начальной скоростью, ударяет во второй, покоящийся шар, который, начав двигаться, в свою очередь ударяет в третий, покоящийся шар. При какой величине массы т2 второго шара третий шар получит наибольшую скорость?
Ответ: ш.2 =
44.13(44.10). Шар массы движущийся поступательно со скоростью О|, встречает покоящийся шар массы т2, так что скорость его образует при ударе угол а с линией, соединяющей центры шаров. Определить: 1) скорость первого шара после удара, считая удар абсолютно неупругим; 2) скорость каждого из шаров после удара в предположении, что удар упругий с коэффициентом восстановления k.	______________________
Ответ: 1) «!	aJsin2а + (	cos2a;<
2) «, = ц, д/з^а + Г^^Усоз2^ щ	+
V	1 \ пц ч- гп2 )	1 ffit + т2
44.14(44.11). Абсолютно упругий шар, центр которого движется прямолинейно со скоростью v, встречает под углом а гладкую вертикальную плоскость. Определить скорость шара после удара.
329
Ответ-. Угол отражения равен углу падения, скорости до и после удара по модулю равны.
44.15(44.12). Стальной шарик падает па горизонтальную стальную плиту под углом 45° и отскакивает под углом 60° к вертикали.
I	Определить коэффициент восстановления прй
VJ	ударе."
'л,-	/ Ответ: k — 0,58.
\	44.16(44.13). Ш арик падает наклонно со * 1
^<4 скоростью v па неподвижную горизонтальную плоскость и отскакивает от плоскости со ско-
i\y ростью Vj = u д/2/2. Определить угол паде-
1 ’ ния а и угол отражения 0, если коэффициент к задаче 44.16 восстановления при ударе k= л/з/з.
Ответ: а = л/6, 0 = л/4.
44.17(44.14). Два одинаковых абсолютно упругих шара, двигаясь поступательно, соударяются с равными по модулю скоростями и. Скорость левого шара до удара направлена по линии центров направо, а скорость правого шара до удара образует с линией центров угол а (см. рисунок). Найти скорости шаров' после удара.
Ответ: U\n — —у cos а, щх = 0, и2п = у, «п = osina. Ось п направлена по линии центров вправо, ось т — вверх.
К задаче 44. ]7
К задаче 44.(8
44.18(44.15). Имеются три одинаковых шара Afj, /И2> М3 радиусов ft, расстояние между центрами CjC2 = а. Определить, на какой прямой АВ, перпендикулкрной линии CiC2, должен находиться центр С3 третьего шара для того, чтобы, получив некоторую скорость по направлению ЛВ, этот шар после удара о шар /И2 нанес центральный удар шару Afi; шары абсолютно упруги и движутся поступательно.
Ответ: Расстояние прямой АВ от центра С2 равно ВС2 = 4ft2/а.
44.19(44.16). Для укрепления грунта под фундаментом здания сваи массы А1=60 кг вбивались копром, боек которого массы Afj =460 кг падал без начальной скорости с высоты h ~2 м; при последних десяти ударах свая углубилась на 6 = 5 см. Определить среднее сопротивление грунта при вбивании свай. Удар считать неупругим.
Ответ: S = 159 кН.
330
44.20(44.17). Два шара с массами и m2 висят на параллельных нитях длин /j и /2 так, что центры их находятся на одной высоте. Первый шар был отклонен от вертикали на угол и затем отпущен без начальной скорости. Определить угол предельного отклонения а2 второго шара, если коэффициент восстановления равен fe.
ОТЖТ- SlnA^ ” <‘+*>-A/22sin^-.
2 m14- V h 2
44.21(44.18). Маятник ударной машины состоит из стального диска А радиуса 10 см и толщины 5 см и из стального круглого стержня В диаметром 2 см и длины 90 см. На каком расстоянии /
К задаче 44.23
от горизонтальной плоскости, в которой лежит ось вращения О, должен быть помещен разбиваемый машиной брусок С, чтобы ось не испытывала удара? Ударный импульс лежит в плоскости рисун-
ка и направлен горизонтально.
Ответ: I = 97,5 см.
44.22(44.19). Определить положение центра удара прямоугольной мишени для стрельбы. Высота мишени равна h.
Ответ: s =*= 2h/3.
44.23(44.20). Определить положение центра удара К треугольной мишени для стрельбы. Высота мишени равна h.
Ответ: s = Л/2.
44.24(44.21). Два шкива вращаются в одной плоскости вокруг своих осей с угловыми скоростями «но и (Ого. Определить угловые скорости шкивов «я и иг после того, как па них будет накинут ремень, считая шкивы круглыми дисками одинаковой плотности с радиусами Ri и и пренебрегая скольжением и массой ремня.

__ ~г
“ (*>+*!) 
Ответ: <0]
44.25(44.22). Баллистический маятник, употребляющийся для определения скорости снаряда, состоит из цилиндра ДВ, подвешенного к горизонтальной оси О; цилиндр открыт с одного конца Д и наполнен песком; снаряд, влетающий в цилиндр, производит вра
331
щение маятника вокруг оси О на некоторый угол. Дано: М — масса маятника; OC = h— расстояние от его центра масс С до оси О; р —радиус инерции относительно оси О; т— масса снаряда; OD~a — расстояние от линии действия ударного импульса до оси; а — угол отклонения маятника. Определить скорость снаряда, предполагая, что ось маятника О не испытывает удара, причем ah = р2.
Ответ-.	+ A/Zsl-n4.
m \ а 2
44.26(44.23). Однородный стержень массы М и длины I, прикрепленный своим верхним концом к цилиндрическому шарниру О, падает без начальной скорости из горизонтального положения.
В вертикальном положении он ударяет груз массы т, сообщая ему движение по горизонтальной шероховатой плоскости. Коэффициент трения скольжения f. Определить путь, пройденный грузом, считая удар неупругим.
Ответ. S 2f (М + 3m)2 '
44.27(44.24). Однородная прямая призма с квадратным основанием стоит на горизонтальной плоскости и может вращаться вокруг ребра АВ, лежащего в этой плоскости. Ребро основания призмы равно а, высота ее За, масса 3m. В середину С боковой грани, противолежащей ребру АВ, ударяет шар массы m с горизонтальной скоростью V.
Предполагая, что удар неупругий и что масса шара сосредоточена в его центре, который после удара остается в точке С, определить наименьшую величину скорости v, при которой призма опрокинется.
Ответ: v = */3 ^/53ga.
44.28(44.25). Платформа с помещенным на ней призматическим грузом АВ катится по горизонтальным рельсам со скоростью V, На платформе' имеется выступ, в который упирается ребро В гру-
332
К задаче 44.29
за, препятствуя последнему скользить по платформе вперед, но не препятствуя вращению его около ребра В. Дано: h — высота центра масс груза над платформой, р— радиус инерции груза относительно ребра В. Определить угловую скорость со вращения груза около ребра В в момент мгновенной остановки платформы.
Ответ: к» = hv/p2.
44.29(44.26). Полагая при условиях предыдущей задачи, что груз представляет собой однородный прямоугольный параллелепипед,
длина ребра которого вдоль платформы равна 4 м, а высота 3 м, найти, при какой скорости произойдет опрокидывание груза.
Ответ: v = 30,7 км/ч.
§ 45, Динамика точки и системы переменной массы (переменного состава)
45.1(45,1). Составить уравнение движения маятника переменной массы в среде, сопротивление которой пропорционвльно скорости. Масса маятника изменяется по заданному закону m ==• m(t) путем отделения частиц с относительной скоростью, равной нулю. Длина нити маятника I. На маятник действует также сила сопротивления, пропорциональная его угловой скорости: R == — 0ф.
Ответ: ф + - ф + ~ sin ф = 0.
45.2(45.2). Составить дифференциальное уравнение восходящего движения ракеты. Эффективную скорость ие истечения газов* *) считать постоянной. Масса ракеты изменяется по закону m = mof(t)' (закон сгорания). Сила сопротивления воздуха является заданной функцией скорости и положения ракеты: R(x, х).
„	f U) R {*> х)
Ответ: X— g f р) Ve	'
45.3(45.3). Проинтегрировать уравнение движения предыдущей задачи при m — /щ(1 — <хЛ) и R =0. Начальная скорость ракеты у поверхности Земли равна нулю. На какой высоте будет находиться ракета в моменты t = 10; 30; 60 с при ие =2000 м/с и а = 1/100 с-1?
Ответ: х(0 = ~[(1 — а/)1п(1-аО + а/]—х(10)=0,54 км, х(30) = 5,65 км, х(50) = 18,4 км.
45.4(45.4). Ракета начальной массы то поднимается вертикально вверх в однородном поле силы тяжести с постоянным ускорением ng (g — ускорение земного тяготения). Пренебрегая сопро
dm
*) Тяга реактивного двигателя определяется формулой Т’д =-где
vt — эффективная скорость истечения.
2000 м/с и
333
тивлением атмосферы и считая эффективную скорость vE истечения газов постоянной, определить: 1) закон измепения массы ракеты, 2) закон изменения массы ракеты при отсутствии поля тяготения.
Ответ'. 1) w = moexp(—-“-J-g/);	2) m = m0 exp Q.
43.5(45.5). Масса ракеты, описанной в задаче 45.2, изменяется до i = t0 по закону m = moe~at. Пренебрегая силой сопротивления, найти движение ракеты и, считая, что к моменту времени to весь заряд практически сгорел, определить максимальную высоту подъема ракеты. В1 начальный момент ракета имела скорость, равную нулю, и находилась на земле.
Ответ: Н — ~~ (ave — g} t~, где ve — эффективная скорость истечения газов из ракеты.
45.6(45.6). При условиях предыдущей задачи определить значение а, отвечающее максимальной возможной высоте подъема ракеты Нтах, и вычислить Нтах (величину р. = ate = 1п(тй/т\) необходимо считать постоянной; mi—масса ракеты в момент (о).
Ответ: а = оо (мгновенное сгорание), Нтак = p2u2/(2g).
45.7(45.7). При условиях задач 45.5 и 45.6, задавшись коэффициентом перегрузки k = ave/g, определить высоту подъема Н ракеты в зависимости от Нта^.
Ответ: И = Нта* (k — 1) /k.
45.8(45.8). Ракета стартует с Луны вертикально к ее поверхности. Эффективная скорость истечения у? = 2000 м/с. Число Циолковского 2 = 5*). Определить, какое должно быть время сгорания топлива, чтобы ракета достигла скорости v = 3000 м/с (принять, что ускорение силы тяжести вблизи Луны постоянно и равно 1,62 м/с2).
Ответ: « 2 мин 4 с.
45.9(45.9). Ракета движется в однородном поле силы тяжести вверх с постоянным ускорением ш. Пренебрегая сопротивлением атмосферы и считая эффективную скорость ие истечения газов постоянной, определить время Т, за которое масса ракеты уменьшится в два раза.
Ответ: Т = ve In 2/(ay -ф g).
45.10(45.10). Эффективная скорость истечения газов из ракеты ve — 2,4 км/с. Какой процент должен составлять вес топлива от стартового веса ракеты, чтобы ракета, движущаяся вне поля тяготения и вне атмосферы, приобрела скорость 9 км/с?
Ответ: Примерно 98%.
45.11(45.11). Ракета движется поступательно при отсутствии тяготения и сопротивления среды. Эффективная скорость истечения газов ve — 2400 м/с. Определить число Циолковского, если в
*) Числом Циолковского называется отношение стартовой массы ракеты к массе ракеты без топлива.
334
момент полного сгорания топлива скорость ракеты будет равна 4300 м/с.
Ответ-, г ~ 6.
45.12(45.12). Тело переменной массы, имея начальную скорость, равную кулю, движется с постоянным ускорением w по горизонтальным направляющим. Эффективная скорость истечения газов ие постоянна. Определить, пренебрегая сопротивлением, путь, пройденный телом до того момента, когда его масса уменьшится в k раз.
Ответ; s = уег(1п k)2/(2w).
45,13(45.13). Решить предыдущую задачу, предположив, что на тело действует сила трения скольжения.
Ответ-. s=~, —Onfe)2. гДе /—коэффициент трения скольжения.
45.14(45.14). Тело переменной массы движется по специальным направляющим, проложенным вдоль экватора. Касательное ускорение w-f = а постоянно. Не учитывая сопротивление движению, определить, во сколько раз уменьшится масса тела, когда оно сделает один оборот вокруг Земли, если эффективная скорость истечения газов ve = const. Каково должно быть ускорение а, чтобы после одного оборота тело приобрело первую космическую скорость? Радиус Земли /?.
Ответ- В ехр(2	раз; а = #/(4я).
45.15(45.15). Определить в предыдущей задаче массу топлива, сгоревшую к моменту, когда давление тела на направляющие будет равно нулю.
f
Ответ; znT —т0\1 — е с‘ /.
45,16(45.16). Тело скользят по горизонтальным рельсам. Истечение газа происходит вертикально вниз с постоянной эффективной скоростью ve. Начальная скорость тела равна v0. Найти закон изменения скорости тела и закон его движения, если изменение массы происходит по закону т — то— at. Коэффициент трения скольжения равен f.
Ответ-. = ——veln CTo^fl<]. 5 =	—
— ve [r In tn0 + -—° ~ a- (in (m0 — at) — 1 — -^-(lnm0 — 1))]}.
45.17(45.17). Решить предыдущую задачу, если изменение топлива будет происходить по закону m — moe-at. Определить, при каком а тело будет двигаться с постоянной скоростью ио-
Ответ; v = v0 — f(g — ave)t, s = vt)t ~ f(g-ave)-^-, a =
45.18(45.18). Какой путь пройдет ракета на прямолинейном активном участке в пустоте и при отсутствии сил тяготения за время разгона от нулевой начальной скорости до скорости, равной
33а
эффективной скорости истечения продуктов сгорания ve, если известна начальная масса ракеты то и секундный расход р?
„	vem& е — 2
Ответ: s =—--------—, где е — неиерово число.
45.(9(45.19). Ракета движется прямолинейно вне поля тяготения и при отсутствии сопротивления. Найти работу силы тяги к моменту, когда сгорит все топливо. Начальная масса ракеты то, конечная — тх. Эффективная скорость истечения ve постоянна.
Ответ: А ~ m{v2e(z — 1 — In г), z — tnjm^
45.20(45.20). При каком отношении г начальной щ0 и конечной ш\ масс ракеты, движущейся прямолинейно в пустоте и при отсутствии сил тяготения, ее механический к. п.д., определяемый как отношение кинетической энергии ракеты после выгорания топлива к затраченной энергии, имеет наибольшее значение?
,	2 (г — 1)
Ответ: г — корень уравнения In z = ~ । _|_z •
45.21(45.21), Самолет, имеющий маесу /п0. приземляется со скоростью ио на полярный аэродром. Вследствие обледенения масса самолета при движении после посадки увеличивается согласно формуле	где а = const. Сопротивление движению
самолета по аэродрому пропорционально его весу (коэффицвеит Пропорциональности /). Определить промежуток времени до остановки самолета с учетом (7) и без учета (Т}) изменения его массы. Найти закон изменения скорости с течением времени.
Ответ: Т = ^-(л/\	(Y 7, = -^-,
а \ V fsmo )'	1	’
2m0u0 — fg {2ш0 + at) t
2 (ma 4- at)
45.22(45.22). Эффективные скорости истечения первой и второй ступени у двухступенчатой ракеты соответственно равны = ='=2400 м/с и о^ = 2600 м/с. Определить, считая, что движение происходит вне поля тяготения и атмосферы, числа Циолковского для обеспечения конечной скорости oi =2400 м/с первой ступени и конечной скорости у2 = 5400 м/с второй ступени.
Ответ: zi =2,72; z2=3,17.
45.23(45.23). Считая, что у трехступенчатой ракеты числа Циолковского и эффективные скорости ve истечения у всех трех ступеней одинаковы, найти число Циолковского при ve = 2,4 км/с, если после сгорания всего топлива скорость ракеты равна 9 км/с (влиянием поля тяготения и сопротивлением атмосферы пренебречь).
Ответ: z — 3,49.
45.24(45.24). Трехступенчатая ракета движется поступательно при отсутствии тяготения и сопротивления атмосферы. Эффективные скорости истечения и числа Циолковского для всех ступеней одинаковы и соответственно равны ие = 2500 м/с, 2 = 4. Определить скорости ракеты после сгорания горючего в первой ступени, во второй и в третьей.
Ответ: oi = 3465 м/с, = 6930 м/с, v3 = 10 395 м/с,
338
45,25(45.25). В момент, когда приближающийся к Луне космический корабль находится на расстоянии Н от ее поверхности и имеет скорость v0, направленную к центру Луны, включается тормозной двигатель. Учитывая, что сила тяготения обратно пропорциональна квадрату расстояния от корабля до центра Луны и принимая, что масса корабля изменяется по закону т = (т0 — масса ракеты в момент включения тормозного двигателя, а — постоянное число), найти а, при котором корабль совершит мягкую посадку (т. е. будет иметь скорость прилунения, равную нулю). Эффективная скорость истечения газов. ve постоянна. Радиус Луны /?, ускорение силы тяжести на Луне gn.
~	"о .
°Гвет‘ a==2^f+ ve(H + H) 
45.26(45.26). Найти закон изменения массы ракеты, начавшей движение вертикально вверх с нулевой начальной скоростью, если ее ускорение w постоянно, а сопротивление среды пропорционально квадрату скорости (Ь — коэффициент пропорциональности). Поле силы тяжести считать однородным. Эффективная скорость истечения газа ve постоянна.
Ответ:
m = (tna +
\ —W~l{ ‘ bw~ iv.bw2 2vlbw2 ----®----Ips —----------------fl -4_____-	t	-_ (w Д-g)a Z	w+g ^(w + g}2_(a< + g)3*
45.27(45,27). Ракета перемещается в однородном поле силы тя-
жести по прямой с постоянным ускорением щ. Эта прямая образует угол а с горизонтальной плоскостью, проведенной к поверх-
ности Земли в точке запуска ракеты. Предполагая, что эффективная скорость истечения газов ve постоянна по величине и направлению, определить, каково должно быть отношение начальной массы ракеты к массе ракеты без топлива (число Циолковского), если к моменту сгорания топлива ракета оказалась на расстоянии Н от указанной выше касательной пло-
скости.	___
cos а /
Ответ'. z = eCeC0Sfl * sin“, где 0 — угол, образуемый скоростью V	е о	х KI sin а + g
ve с касательной плоскостью, равный 0 — arctg —со—— •
45,28(45.28). Тело переменной массы движется вверх с постоянным ускорением ш по шероховатым прямолинейным направляющим, составляющим угол а с горизонтом. Считая, что поле силы тяжести является однородным, а сопротивление атмосферы движению тела пропорционально первой степени скорости (Ь — коэффициент сопротивления), найти закон изменения массы тела. Эффективная скорость истечения газа ve постоянна; коэффициент трения скольжения между телом и направляющими равен f.
337
Wi
—A, где a>t = J
Ответ: m
bwve
-]-g(sin afcos a), m0 — начальная масса тела.
45.29(45,29). Аэростат весом Q поднимается вертикально и увлекает за собой сложенный на вемле канат. На аэростат действует подъемная сила Р, сила тяжести и сила сопротивления, пропорциональная квадрату скорости: R = —рх2. Вес единицы длины каната у. Составить уравнение движения аэростата.
Ответ: х = — g + пР?---------*2-
s Q + ух Q + ух
45.30(45.30). При условиях предыдущей задачи определить скорость подъема аэростата. В1 начальный момент аэростат неподвижен и находится на высоте Но.
Ответ: x2 = ~7fr~~~-(РД + Y)
Q + Y^c Q + YX
a+zfi-s-
(Q + Tx)-
Q + yffo Q + yx
20g+ 3y L
45,31(45.31). Шарообразная водяная капля падает вертикально в атмосфере, насыщенной водяными парами. Вследствие конденсации масса капли возрастает пропорционально площади ее поверхности (коэффициент пропорциональности а). Начальный радиус капли го, ее начальная скорость и0, начальная высота ft0. Определить скорость капли и закон изменения ее высоты со временем (сопротивлением движению пренебречь).
Указание. Показать, чго dr = ad/, и перейти к новой независимой переменной г.
2-
Ответ: х = Ло4--2^-[1 ro ё Г
где r = rQ + at.
.3
45.32(45.32). Решить предыдущую задачу в предположении, что на каплю кроме силы тяжести действует еще и сила сопротивления, пропорциональная площади максимального поперечного сечения и скорости капли R = —4finr2v (Р — постоянный коэффициент).
Г -1-(40+30}	п
_______+ vr-^a]
4a+ 30 о о
-1+30+2a)	_J_(3p+2a)'
Г “	- г0
Ответ: х = Л0-^т^-
gr
v~~ 4a + 30 где г = r0 + at.
338
~ (4a+30)
gr0 '	.	4<“+«
4a + 30	°°Г°
(4a+30) ’
--i-fa+p}
'45.33(45,33). Свернутая в клубок тяжелая однородная цепь лежит на краю горизонтального стола, причем вначале одно звено цепи неподвижно свешивается со стола. Направляя ось х вертикально вниз и принимая, что в начальный момент х=0, х = 0, определить движение цепи.
Ответ; х — gt2/fx
45.34(45.34). Цепь сложена на земле и одним концом прикреплена к вагонетке, стоящей на наклонном участке пути, образующем угол а с горизонтом. Коэффициент трения цепи о землю f. Вес единицы длины цепи у, вес вагонетки Р. Скорость вагонетки в начальный момент и0- Определить скорость вагонетки в любой момент времени и выяснить необходимое условие, при котором вагонетка может остановиться.
х2 PM Pg . Г Р2 1
Ответ' — = 2Р-МХ)* + -3? sin “ I1 -	+	+
+ ± gx sin а + ^[1 - (р^^]со5 а - у fgxcos а. Остановка может иметь место при выполнении неравенства f > > tga.
45.35(45.35). Материальная точка массы m притягивается по закону всемирного тяготения Ньютона к неподвижному центру. Масса центра со временем меняется по закову M = Определить движение точки.
Указание. Перейти к новым координатам с номощью соотношений х	у	1
* = T+V’ 11 = Т+щ" и к пРивеА™У 0Ремеяи т =	•
Ответ; Уравнения движения в координатах ц имеют вид (f — постоянная тяготения)
#- + Г^-=о. 45- + ^JTL==0’ p = VF+?,
т. е. отвечают обычным уравнениям в случае постоянных масс. Поэтому в зависимости от начальных условий в переменных £ и т) имеют место эллиптические, параболические или гиперболические орбиты,
45.36(45.36). Для быстрого сообщения ротору гироскопа необходимого числа оборотов применяется реактивный запуск. В тело ротора вделываются пороховые шашки общей массой т0, продукты сгорания которых выбрасываются через специальные сопла. Припять пороховые шашки за точки, расположенные на расстоянии г от оси вращения ротора. Касательная составляющая эффективной скорости истечения продуктов сгорания ие постоянна.
Считая, что общий расход массы пороха в одну секунду ра-веп q, определить угловую скорость ш ротора к моменту сгорания пороха, если на ротор действует постоянный момент сопротивления, равный М. Радиус ротора /?. В' начальный момент ротор находится в покое.
339
Ответ: о — М 1п ~~, • где 70 = ]р + /п0г2, ]р — момент инерции ротора относительно оси вращения.
45.37(45.37). По данным предыдущей задачи найти угловую скорость ротора после сгорания пороха, если на ротор действует момент сопротивления, пропорциональный его угловой скорости (Ь — коэффициент пропорциональности).
О„ет:	«мф -(£)*].
45-38(45.38). Многоступенчатая ракета состоит из полезного груза и ступеней. Каждая ступень после израсходования топлива
Вводя в рассмотрение
ракеты
отделяется от остальной конструкции. Под субракетой понимается сочетание работающей ступени, всех неработающих ступеней и полезного груза, причем для данной субракеты все неработающие ступени и полезный груз являются «полезным грузом», т. е. каждая ракета рассматривается как одноступенчатая ракета. На рисунке указана нумерация ступеней и субракеты.
Пусть q — вес полезного груза, Pi — вес топлива в i-й ступени, Q,- —• сухой (без топлива) вес (-ступени, Gi — полный вес i-й субракеты.
число Циолковского для каждой суб-
Ot Gi-
и конструктивную характеристику (отношение полного веса ступени к ее сухому весу) для каждой ступени
_ Qi + Pj
Si~ Qi ‘
определить полный стартовый вес всей ракеты, вес й-й субракеты, вес топлива fe-й ступени, сухой вес &-й ступени.
Указание. При решении задачи я ракеты, т. е. отношение начального веса а, = GtlGi, а.г = G2/G3, ... ,ап — G„iq.
«	"	— 1
Ответ: =
!] Iй!
Z, — 1
—G* Qk*= zk
45.39(45.39). Двухступенчатая полезному грузу q — 1 кН скорс
;ести а/ — «относительный вес» i-й субсубракеты к весу ее полезного груза:
_ (формулы Фертрегта), sk 1
ракета предназначена сообщить сть v = 6000 м/с. Эффективные
340
скорости истечения газов у ступеней одинаковы и равны ve = 2400 м/с. Конструктивные характеристики первой и второй ступеней соответственно равны Si = 4, s2 = 5 (см. задачу 45.38). Пренебрегая силой тяготения Земли и сопротивлением атмосферы, определить числа Циолковского для первой и второй субракет, при которых стартовый вес Gi ракеты будет минимальный.
Ответ-. Z) =3,12, 22=3,91, G, = 152 кН.
45.40(45.40). Используя данные предыдущей задачи, определить для каждой ступени вес топлива и сухой вес.
Указание. Использовать формулы ответа к задаче 45.38.
Ответ: = 100,4 кН, Р2 = 10,5 кН, Q, =33,5 кН, Q2 =2,6 кН.
45.41 (45.41). Четырехступепчатая ракета состоит из четырех ракет. Конструктивная характеристика $ и эффективная скорость ve у всех ракет одинаковы и равны s=4,7, о«=2,4 км/с. Каков должен быть стартовый вес ракеты, чтобы она грузу в 10 кН сообщила скорость о =9000 м/с? (Воспользоваться формулами ответа к задаче 45.38.)
Ответ: 3720 кН.
ГЛАВА XI
АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
§ 46.	Принцип возможных перемещений
46.1(46.1). Груз Q поднимается с помощью домкрата, который приводится в движение рукояткой О А = 0,6 м. К концу перпендикулярно ей, приложена сила Р = 160 Н.
рукоятки,
К задаче 46.1
Определить величину силы тяжести груза Q, если шаг винта домкрата h = 12 мм.
Ответ: Q=52,2 кН.
46,2(46.2), На маховичок коленчатого пресса действует вращающий момент Л4; ось маховичка имеет на концах винтовые на
341
резки шага h противоположного направления и проходит через две гайки, шарнирно прикрепленные к двум вершинам стержневого ромба со стороною а; верхняя вершина ромба закреплена неподвижно, нижняя прикреплена к горизонтальной плите пресса. Определить силу давления пресса на сжимаемый предмет в момент, когда угол при вершине ромба равен 2а.
Ответ: Р = п ^-ctga.
46.3(46.3). Определить зависимость между модулями сил Р и Q в клиновом прессе, если сила Р приложена к концу рукоятки длины а перпендикулярно оси винта и рукоятки. Шаг винта равен h. Угол при вершине клина	Н ..
К задаче 46.3
К задаче 46.4
46.4(46.4). Рисунок представляет схему машины для испытания образцов на растяжение. Определить зависимость между усилием X в образце К и расстоянием х от груза Р массы М до его
К задаче 46.5
нулевого положения О, если при помощи груза Q машина уравновешена так, что при нулевом положении груза Р и при отсутствии усилия в К все рычаги горизонтальны. Даны расстояния Ц, /2 и е.
Ответ: X = Mg .
46.5(46.5). Грузы К и L, соединенные системой рычагов, изображенных на рисунке, находятся в равновесии. Опре-ВС 1
делить зависимость между массами грузов, если дано: д£~ = -цГ’
ON _ 1 DE = 1
ОМ ” 3 * DF ~ 10 '
Л .. ВС ON DE _ 1 ,.
Ответ: Мц ~	‘ ОМ ' DF 300
46.6(46.6). Определить модуль силы Q, сжимающей образец А, в рычажном прессе, изображенном на рисунке. Дано: F = 100 Н, а — 60 см, Ь = 10 см, с =60 см, d = 20 см.
342
Ответ-. Q = 1800 Н.
46.7(46.7). На платформе в точке F находится груз массы М. Длина АВ = а; ВС = b, CD = с- IK — d\ длина платформы EG = — L. Определить соотношение между длинами b, с, d, I, при кото-
К задаче 46.6	К задача 46.7
ром масса m гири, уравновешивающей груз, не зависит от положения его на платформе, и найти массу гири m в этом случае.
'	*+ с	l	b
Ответ'. —г— = -т-, tn — — Л[.
.   о	а	а
46.8(46.8). К ползуну А механизма эллипсографа приложена сиЛт№,' направленная вдоль направляющей ползуна к оси вращения О кривошипа ОС. Какой вращающий момент надо приложить
к кривошипу ОС для того, чтобы механизм был в равновесии в положении, когда кривошип ОС образует с направляющей ползуна угол <р? Механизм расположен в горизонтальной плоскости, причем ОС —АС = СВ —I.
Ответ: М — 2Р1 cos <р.
46.9(46.9). Полиспаст состоит из неподвижного блока А и из п подвижных блоков. Определить в
случае равновесия отношение
массы М поднимаемого груза к силе Р, приложенной к концу каната, сходящего с неподвижного блока А.
Ответ: Mg/P — 2".
46.10(40.10). В кулисном механизме при качании рычага ОС вокруг горизонтальной оси О ползун А, перемещаясь вдоль рычага ОС, приводит в движение стержень АВ, движущийся в вертикальных направляющих К. Даны размеры: OC'=R, ОК*=1-Какую силу Q надо приложить перпендикулярно кривошипу ОС в точке С для того, чтобы уравновесить силу Р, направленную вдоль стержня АВ вверх?
Ответ: Q = D Pl, . К cos2 ф
343
45-11. Кулак К массы All находится в покое на гладкой горизонтальной плоскости, поддерживая стержень АВ массы М2, который расположен в вертикальных направляющих. Система нахо
дится в покое под действием
К задаче 46.10
силы г; приложенной к кулаку д по горизонтали направо. Определить модуль силы Г, если боковая поверхность кулака образует с горизонтом угол а. Найти также
К задаче 46.11
область значений модуля силы F в случае негладкой горизонтальной плоскости, если коэффициент трения скольжения между основанием кулака /< и горизонтальной плоскостью равен /.
Ответ-. 1) F = Al2gtga,
2) M2gtga — f(Mt	F sg Mzg tg a + f (M, + M2)g.
46.12. Круговой кулак К массы и радиуса R стоит на негладкой горизонтальной плоскости. Он соприкасается с концом А
К задаче 46.13
стержня АВ массы М2, расположенного в вертикальных направляющих. Система находится в покое под действием силы F, приложенной к кулаку по горизонтали направо. При этом AM = k. Найти область значений модуля силы F, если коэффициент трения скольжения кулака о горизонтальную плоскость равен f.
Ответ:
M2g ~ f (Mt + М2) g^F^ ^R2~ hl M2g +f(Mt + M2) g.
46.13. Круглый эксцентрик А массы Mi насажен иа неподвижную горизонтальную ось О, перпендикулярную плоскости рисунка.
344
Эксцентрик поддерживает раму В массы Л12, имеющую вертикальные направляющие. Трением пренебречь. Эксцентриситет ОС —а. Найти величину момента то, приложенного к эксцентрику, если при покое материальной системы ОС образует с горизонталью угол а.
Ответ: m0 = (A4i -f-M2)ga cos а.
46.14(46.11). В механизме домкрата при вращении рукоятки А длины /? начинают вращаться зубчатые колеса 1, 2, 3,4 и 5, которые приводят в движение .зубчатую рейку В домкрата. Какую силу надо приложить перпендикулярно рукоятке в конце ее для
К задаче 46.14	К задаче 46.15
того, чтобы чашка С при равновесии домкрата развила давление равное 43 кН? Радиусы зубчатых колес соответственно равны: Г) = 3 см, г2 — 12 см, г3 — 4 см, т4 = 16 см, г5 — 3 см, длина рукоятки R = 18 см.
Ответ:	= 60 Н-
Г2Г4К
40.15(46.12). Дифференциальный ворот состоит из двух жестко связанных валов А и В, приводимых во вращение рукояткой С длины R. Поднимаемый груз D массы М прикреплен к подвижному блоку £, охваченному канатом. При вращении рукоятки С левая ветвь каната сматы-вается с вала А радиуса rh а правая ветвь W \ наматывается на вал В радиуса г2 {гг>г\}.
Какую силу Р надо приложить перпендику-
лярно рукоятке в конце ее для того, чтобы	X
уравновесить груз D, если М = 720 кг, и = — 10 см, г2 — 12 см, R — 60 см?
Ответ: Р = Mg	= 118 Н.
46.16(46.13). В механизме антипараллело- к задаче 46.16 грамма ABCD звенья АВ, CD и ВС соединены цилиндрическими шарнирами В и С, а цилиндрическими шарнирами А и D прикреплены к стойке AD. К звену CD в шарнире С приложена горизонтальная сила Fc. Определить модуль силы Рв, приложенной в шарнире В перпендикулярно звену АВ, если механизм находится в равновесии в положении, указанном на
345
рисунке. Дано: AD = ВС, АВ —CD, /LAB С = /LA DC = 90°, Z.DCB = 30°
Ответ: FB = 2 Fc.
^6.17(46-14). Кривош и пно-ползунный механизм ОАВ связан в середине шатуна АВ цилиндрическим шарниром С со стержнем CD. Стержни CD и DE соединены цилиндрическим шарниром D.
Определить зависимость между модулями сил Рд и Fd, соответственно перпендикулярных стержням ОА и DE, при равновесии механизма в положении, указанном на рисунке. Дано: Z.DCB — \50а, ZCDE = 9(f.
Ответ: Fd = 4Fa.
46.18(46.15). Колодочно-бандажный тормоз вагона трамвая состоит из трех тяг АВ, ВС и CD, соединенных шарнирами В и С. При действии горизонтальной силы F тормозные колодки К и В, соответственно прикрепленные к тягам АВ и CD, прижимаются к колесу. Определить силы давления Nr и Nl колодок на колесо. Размеры указаны на рисунке. Вагон находится в покое.
Ответ: NK=F °4^-. NL=F ~	.
А	о	о d
46.19(46.16). На рисунке изображена схема колодочно-бандажного тормоза вагона трамвая. Определить зависимость между а.
Ь и с, при наличии которой колодки А и В под действием силы F прижимаются с одинаковыми по модулю силами к бандажам колес С и D. Найти также величину этой силы. Колеса считать неподвижными.
Отвег:	Q = F^-.
46.20(46.17). Найти массы и двух грузов, удерживаемых в равновесии грузом массы М на плоскостях, наклоненных к горизонту под углами аир, если грузы с массами М1 и М2 прикреплены к концам троса, идущего от груза с массой Mi через блок Оь
насаженный на горизонтальную ось, к подвижному блоку О, и затем через блок О2, насаженный на ось блока Olt к грузу массы М2. Блоки 01 и 02— соосные. Трением, а также массами блоков и троса пренебречь.
,, м ,, м
Ответ: Mi =	, М2 - у^-.
46.21(46.18). К концам нерастяжимой нити привязаны грузы А ч В одинаковой массы. От груза А нить проходит параллельно
К задаче 4G. 20
горизонтальной плоскости, огибает неподвижный блок С, охватывает подвижный блок D, затем огибает неподвижный блок £, где к другому концу нити привязан груз В. К оси подвижного блока D подвешен груз К массы М.
Определить массу Afi каждого из грузов Л и В и коэффициент трения скольжения f груза А о горизонтальную плоскость, если
система грузов находится в покое. Массой нити пренебречь.
Ответ: Mi — M/2; / = 1.
40.22(46.19). Составная балка АО, лежащая на трех опорах, состоит из двух балок, шарнирно соединенных в точке С. На балку действуют
К задаче 46.22
вертикально силы, равные
20 кН, 60 кН, 30 кН. Размеры указаны на рисунке. Определить реакции опор А, В и D.
Ответ: Ra == 10 кН, RB = 105 кН, Ro = —5 кН.
К задаче 46.24
46.23(46.20). Определить вращающий момент, который надо приложить на участке BD к балке АО, рассмотренной в предыдущей задаче, для того, чтобы опорная реакция в О равнялась пулю.
Ответ: М =20а кН-м.
46.24(40.21). Составная балка АЕ, лежащая па двух опорах А и С, состоит из трех балок АВ, BD и DE, шарнирно соединенных
347
в В и D, Балка DE в сечении Е защемлена в стене. Определить вертикальную составляющую реакции в сечении Е. К балкам приложены четыре равные вертикальные силы Р. Размеры указаны на рисунке.
Ответ: R = 0,5Р.
46.25(46.22). Определить момент тЕ пары, возникающей в заделке балки DE, рассмотренной в предыдущей задаче.
Ответ: тЕ = 0.
46.26. Балки АВ и BD соединены цилиндрическим шарниром В. Горизонтальная балка АВ защемлена в вертикальной стене сечением А. Балка ВО, опирающаяся о гладкий выступ- Е, образует с вертикалью угол а. Вдоль балки BD действует сила F. Определить горизонтальную составляющую реакции в защемленном сечении А. Массой балок пренебречь.
Ответ: RAx = F sin ct.
40.27. Две горизонтальные балки АВ и BD соединены цилиндрическим шарниром В. Опора D стоит на катках, а сечение А защемлено в стенке. К балке BD в точке К приложена сосредоточенная сила F, образующая угол а с горизонтом. Размеры указаны на рисунке. Определить составляющие реакции в защемленном
К задаче 46.28
сечении А и реактивный момент пгр пары, возникающей в этом сечении. Массой балок пренебречь.
Ответ: Rax — Feos a, RAy = 1 /zF sin a, mp = Fa sin a.
46.29(40.23). Железнодорожный кран опирается па рельсы, укрепленные на двух горизонтальных двухпролетных балках с
348
промежуточными шарнирами. Кран несет груз Р = 30 кН, сила тяжести крана Q — 160 кН. Определить момент реактивной пары
в заделке в положении крана, указанном на рисунке.
Ответ: ^ = -72(l,95Q+ 3,60Р)= -210 кН-м.
46.29(40.25). Каркас платформы состоит нз Г-образных рам с промежуточными шарнирами С. Верхние концы рам жестко за-
щемлены в бетонную стену,
К задаче 46.29
нижние — опираются на цилиндрические подвижные опоры. Определить вертикальную реакцию защемления при действии сил Pi и Ро.
Ответ: УА — Pi — Pzh/l.
К задаче 46.30
46.30(46.26). Две балки ВС и CD шарнирно соединены в С, цилиндрическим шарниром В прикреплены к вертикальной стойке АВ, защемленной в сечении А, а цилиндрическим шарниром D соединены с полом. К балкам приложены горизонтальные силы Р, и Р2. Определить горизонтальную составляющую реакции в сечении А. Размеры указаны на рисунке.
Ответ: Р = Pi 4* ‘/гЛь
46.31(46.27). Определить момент тА реактивной пары, возникающей в заделке А стойки АВ, рассмотренной в предыдущей задаче.
Ответ: ша — (Pi + ^/чРг)^-
46.32(46.28). Две фермы / и II, соединенные шарниром D, прикреплены стержнями III и IV с помощью шарнира С к земле; в точках <4 и В они имеют опоры	.
на катках. Ферма I нагружена «-----------®
вертикальной силой Р на рас- А I f
стоянии а от опоры А. Найти
реакцию катка В.	\
Указание. Предварительно	jfc
определить положение мгновенных центров скоростей С( И С2 ферм I	к аадаче 48 32
и II.
Ответ: /?» = Р -т-	, где b — плечо реакции Цд относительно
°	О LHs j
мгновенного центра С2. Реакция Ре направлена перпендикулярно плоскости скольжения катка В слева направо вниз.
349
§ 47.	Общее уравнение динамики
шен вертикально.
К задаче 47.1
47.1(47.1). Три груза массы М каждый соединены нерастяжимой нитью, переброшенной через неподвижный блок А. Два груза лежат на гладкой горизонтальной плоскости, а третий груз подве-Определить ускорение системы и натяжение нити в сечении ab. Массой нити и блока пренебречь.
Ответ-, w =‘/з£, Т = ^/zMg.
47.2(47.2). Решить предыдущую задачу с учетом массы блока, считая, что при движении грузов блок А вращается вокруг неподвижной оси. Масса блока — сплошного однородного диска — равна 2М.
Ответ: w = l/tg, Т = '/tMg.
47.3(47.3). Два груза массы и М2 подвешены на двух гибких нерастяжимых нитях, которые навернуты, как указано на рисунке, на барабаны, имеющие радиусы rt и г2 и насаженные на общую ось; грузы движутся под влиянием силы тяжести. Определить угловое ускорение s барабанов, пренебрегая их массами и массой нитей.
Ответ: 8 = g
Мггг — Мхг}
Af/2 4- М2г*
47.4(47.4). При условии предыдущей задачи определить угловое ускорение е и натяжения Ti и Т2 нитей, принимая во внимание
К задаче 47.3
массы барабанов, при следующих данных: М, = = 20 кг, М2 = 34 кг, Г) = = 5 см, г2 = 10 см; массы барабанов: малого 4 кг и большого 8 кг. Массы барабанов считать равномерно распределенными по их внешним поверхностям.
Ответ: е — 49 рад/с2, 7'1=246 Н, Т2 = 167 Н.
47.5(47.5). К системе
К задаче 47.5 К задаче 47.6 бЛОКОВ, ИЗОбрЭЖеННОЙ ИЭ
рисунке, подвешены грузы: Mi массы 10 кг и М2 массы 8 кг. Определить ускорение w2 груза М2 и натяжение нити, пренебрегая массами блоков.
Ответ: w2 — 2,8 м/с2, Т = 56,1 Н.
47.6(47.6). К нижнему шкиву С подъемника приложен вращающий момент М. Определить ускорение груза А массы Mi, поднимаемого вверх, если масса противовеса В равна М2, а шкивы С и D радиуса г и массы Л43 каждый представляют собой однородные цилиндры. Массой ремня пренебречь.
350
л	М + (Af2-M,)gr
Ответ: w =	'2 ‘ . Л, .
(Mi 4- М2 + M3) г
47.7(47.7). Вал кабестана — механизма для передвижения грузов— радиуса г приводится в движение постоянным вращающим моментом М, приложенным к рукоятке АВ. Определить ускорение груза С массы т, если коэффициент трения скольжения груза о горизонтальную плоскость равен f. Массой каната и кабестана пренебречь.
„	М — fmgr
Ответ: w =-------~ .
mr
47.8(47.8). Решить предыдущую задачу с учетом массы кабестана, момент инерции которого относительно оси вращения равен I.
Ответ: w=r{M-fmgr^
47.9(47.9). Груз А массы Mi, опускаясь
К задаче 47,7
по наклонной гладкой
плоскости, расположенной под углом а к горизонту, приводит во вращение посредством нерастяжимой нити барабан В массы М2 и радиуса г. Определить угловое ускорение барабана, если считать
барабан однородным круглым цилиндром. Массой неподвижного блока С и нити
пренебречь.
Ответ: s
2М]Д sin а г (2А1( + М2) ’
47.10(47,10). Человек
толкает тележку, приложив
К ней горизонтальную силу к задаче 47.9	К задаче 47.11
F. Определить ускорение
кузова тележки, если масса кузова равна Мь М2— масса каждого
из четырех колес, г—радиус колес, /к — коэффициент трения качения. Колеса считать сплошными круглыми дисками, катящи-
мися по рельсам без скольжения.
F---f-±(Ml+4M2)g
Ответ: w—	+ 6Л12)
47-11 (47.11). Каток А массы Ah, скатываясь без скольжения по наклонной плоскости вниз, поднимает посредством нерастяжимой нити, переброшенной через блок В, груз С массы М2. При этом блок В вращается вокруг неподвижной оси О, перпендикулярной его плоскости. Каток А и блок В — однородные круглые диски одинаковой массы и радиуса. Наклонная плоскость образует угол а, с горизонтом. Определить ускорение оси катка. М.ассой нити пренебречь.
/И] sin а — М. Ответ: w = g
°	2М2 -р М2
351
47.12(47.12), Груз В массы /И( приводит в движение цилиндрический каток А массы и радиуса г при помощи нити, намотанной на каток. Определить ускорение груза В, если каток катится без скольжения, а коэффициент трения качения равен fK. Массой блока D пренебречь.
Ответ: w =
47.13(47.13). Стержень DE массы Mj лежит на трех катках А, В и С массы М2 каждый. К стержню приложена по горизонтали
К задаче 47.12
К задаче 47.13
вправо сила F, приводящая в движение стержень и катки. Скольжение между стержнем и катками и также между катками и горизонтальной плоскостью отсутствует. Найти ускорение стержня DE. Катки считать однородными круглыми цилиндрами. .
л	8f
Ответ: w =	, о.. .
8Л11 + 9Л42
47.14(47.14). Определить ускорение груза М2, рассмотренного в задаче 47.5, с учетом массы блоков — сплошных однородных дисков массы 4 кг каждый.
Ответ: w2~Q,7 м/с2.
47.15(47.15). Груз А массы Mlt опускаясь вниз, посредством нерастяжимой нити, переброшенной через неподвижный блок D и намотанной на шкив В, заставляет вал С катиться без скольже-
К задаче 47.15
ния по горизонтальному рельсу. Шкив В радиуса R жестко насажен на вал С радиуса г; их общая масса равна М2, а радиус инерции относительно оси О, перпендикулярной плоскости рисунка, равен р. Найти ускорение груза А. Массой нити и блока пренебречь.
Л	Mi(R- г)1
Ответ. w — gM(R_ г)2 +	(р2 + rt).
47.16(47.16). Центробежный регулятор вращается вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью <о. Определить угол отклонения ручек ОА и ОВ от вертикали, принимая во внимание только массу М каждого из шаров и массу Mt муфты С, все стержни имеют одинаковую длину I.
352
Ответ: cos<p = {М 8 •
47.17(47.17). Центробежный регулятор вращается с постоянной угловой скоростью и. Найти зависимость между угловой скоростью регулятора и углом а отклонения его стержней от вертикали, если муфта массы Mi отжимается вниз пружиной, находящейся при а = 0 в недеформированном состоянии и закрепленной верхним концом на оси регулятора^ массы шаров равны М2, длина стержней равна I, оси подвеса стержней отстоят от оси регулятора
К задаче 47.!?
К задаче 47.18
па расстоянии а; массами стержней и пружины пренебречь. Коэффициент жесткости пружины равен с.
Ответ:
_ (Ml + М2) g + 2fc (1 — cos <х) , Mi (а + I sin а)	а '
47.18(47.18). Центробежный пружинный регулятор состоит из двух грузов .4 и В массы М каждый, насаженных на скрепленный
со шпинделем регулятора гладкий горизонтальный стержень муфты С массы тяг длины / и пружин, отжимающих грузы к оси вращения; расстояние шарниров тяг от оси шпинделя равно е; с — коэффициент жесткости пружин. Определить угловую скорость регулятора при угле раствора а, если при угле ао, где а0 < а, пружины находятся в ненапряженном состоянии; массой тяг и трением пренебречь.
Ответ: ф =	+
V	2Л4 (е 1 sin а)
47.19(47.19). В регуляторе четыре груза одинаковой массы	находятся на концах
К задаче 47.19
двух равноплечих рычагов длины 2/, которые
могут вращаться в плоскости регулятора вокруг конца шпинделя О и образуют с осью шпинделя переменный угол <р. В точке А, нахо-щейся от конца шпинделя О на расстоянии О А =а, со шпинделем Шарнирно соединены рычаги АВ и АС длины а, которые в точках
12 И. В. Мещерский
353
В и С в свою очередь сочленены со стержнями BD и CD длины а, несущими муфту D. В точках В и С имеются ползунки, скользящие адоль рычагов, несущих грузы. Масса муфты равна М2. Регулятор вращается с постоянной угловой скоростью о>. Найти связь между углом и угловой скоростью <в в равновесном положении регулятора.
Ответ: Равновесное положение регулятора возможно только при о = aJ независимо от угла ф.
§ 48.	Уравнения Лагранжа 2-го рода
двигателем
48.1(	48.1). Передача вращения между двумя валами осуществляется двумя зубчатыми колесами, имеющими соответственно 2] и 22 зубцов, моменты инерции валов с насаженными на них колесами соответственно равны J\ и 72. Составить уравнение движения первого вала, если на него действует вращающий момент Л4Ь а на другой вал — момент сопротивления М2- Трением в подшипниках пренебречь.
Ответ: (7j + i272) ф— — Ш2, где i — zx/z2.
40.2.	Барабан Б центрифуги приводится во вращение электро-ЭД через двухступенчатый редуктор. Заданы момент инерции 7о электродвигателя, момент инерции 72 барабана, момент инерции 71 промежуточного вала редуктора, передаточные числа t'oi и 1ц ступеней
редуктора, момент Л40
задаче 48.2	К задаче 48.3
К ротору электродвигателя приложен вращающий и момент сил сопротивления М'о, к валу редуктора и к барабану — моменты сил сопротивления М' и М'2 соответ
ственно. Составить дифференциальное уравнение вращения барабана центрифуги.
Ответ: (70JQ|i22 4“	4~ ^2) Ф (^о ^о) S(/i2 '^1*12	'^2-
48.3.	Привод электромобиля состоит из электродвигателя ЭД и одноступенчатого редуктора с передаточным числом t. Составить дифференциальное уравнение движения электромобиля, если Jo — момент иперции ротора электродвигателя, 71—момент ниерции каждого из четырех колес, имеющих радиус г, ш— суммарная масса электромобиля, Л4— вращающий момент электродвигателя,
354
М’ — момент сил сопротивления на валу электродвигателя, F -— суммарная сила сопротивления движению электромобиля.
Ответ; (ffi + -yr + тр-) х = ~	----F-
48.4.	Электродвигатель ЭД стабилизирующего привода установлен на вращающейся раме, положение которой задается углом <р. Шестерня 1 на валу электродвигателя обкатывается вокруг шестерни 2, связанной с неподвижным основанием. Составить
дифференциальное уравнение движения рамы, если J\— момент инерции рамы вместе с электродвигателем, Jo — момент инерции ротора электродвигателя, 1\2— передаточное число пары шестерен,
Мо —вращающий момент электродвигателя, М'о— момент сил сопротивления на валу электродвигателя, — момент сил, приложенных к раме вокруг ее оси.
о™«: [/„ (I + Ц-)!+л] Ф=(М« - м;) (1 + ^-) - ,м;.
40.5(48.3). Определить движение груза массы т, висящего на однородном тросе массы т} и длины I; трос навернут на барабан радиуса а и массы т2, ось вращения горизонтальна; трением пренебречь, массу барабана считать равномерно распределенной по его ободу. В начальный момент t — 0 система находилась в покое, длина свисавшей части троса /0-
Указание. Пренебречь размерами барабана по сравнению с длиной свешивающейся части троса.
Ожг. х__лГ + (|.+^)сьЛ/.й + Г+д_,.
48.6(48.4). В эпициклическом механизме бегающая шестеренка радиуса насажена на кривошип с противовесом, вращающийся вокруг осн неподвижной шестеренки под действием приложенного момента Л4. Определить угловое ускорение вращения кривошипа и окружное усилие S в точке касания шестеренок, если расстояние
12*
855
между осями шестеренок равно /, момент инерции кривошипа с противовесом относительно оси вращения кривошипа равен Jo, масса бегающей шестеренки т{, момепт инерции шестеренки относительно ее осн Л; трением пренебречь, центр масс шестеренки и кривошипа с противовесом находится на оси вращения кривошипа.
Ответ'. 8  -------—	, S = --7- е.
48.7(40.5). В планетарном механизме колесо с осью О\ неподвижно; к рукоятке О1О3 приложен вращающий момент Л1; механизм расположен в горизонтальной плоскости. Определить угловое
ускорение рукоятки, считая колеса однородными дисками с одинаковыми массами m и радиусами г и пренебрегая массой рукоятки.
„ м
Ответ- е> = -₽-
К задаче 48.6
К задаче 46.7
К задаче 48.8
48.8(48.18). Бегуны X, К. приводятся в движение от вала двигателя при помощи передачи, схема которой показана на рисунке. Масса одного бегуна равна 3 т, средний радиус R = 1 м, радиус вращения г = 0,5 м. Считаем, что мгновенная ось вращения бегуна проходит через среднюю точку С обода. Отношение радиусов колес конической передачи от двигателя к вертикальному валу равно 2/3. Бегун считаем однородным диском радиуса X и пренебрегаем массой всех движущихся частей по сравнению с массой бегунов. Вычислить, какой постоянный вращающий момент должен быть приложен на валу двигателя, чтобы сообщить вертикальному валу угловую скорость 120 об/мин по истечении 10 с от момента пуска двигателя; силами сопротивления пренебречь.
Ответ: 3140 Н-м.
48.9(48.7). Груз М массы 101 кг поднимает с помощью полиспаста груз который вместе с подвижной обоймой имеет массу 320 кг. Всех блоков четыре, большие блоки имеют массу по 16 кг, малые — по 8 кг, радиусы больших блоков равны г, радиусы малых равны гь Определить ускорение груза Л4. При определении
356
энергии блоков предполагаем, что массы их равномерно распределены по окружности.
Ответ: 0,1g.
48.10(48,9). В машине для статического уравновешивания роторов подшипники наклонены под углом а к вертикали. Ротор, помещенный в подшипник, имеет момент инерции J (относительно
своей оси) и несет неуравновешенную массу ш на расстоянии г от'оси. Написать дифференциальное уравнение движения ротора и определить частоту малых колебаний около положения равновесия.
Ответ: (mr2 + /) ф +
~Ь mgr sin a sin ф = 0, ,	/ mgr sin а
k ='У/ тгг + J ’ ГДб Ф “ УГОЛ поворота ротора.
48.11(48.19). Однородный конус катится ио шероховатой плоскости, наклоненной под углом а к горизонту. Длина образующей конуса I, угол раствора 20. Составить уравнение Движения конуса.
К задаче 46.9	К задаче 48.10
Указание. За обобщенную координату принять угол О. образованный соприкасающейся образующей с прямой наибольшего наклона плоскости.
°ТвеТ' ^ + ~/ (соУрП+1/5) sina-°~
48.12(48.10), Материальная точка массы m движется под влия
нием силы тяжести по циклоидальной направляющей, заданной
уравнением s = 4asin<p, где s — дуга, отсчитываемая от точки О, а ф — угол касательной к циклоиде с горизонтальной осью. Определить движение точки.
Ответ:
s~A sin	+ Фо).
К задаче 48.12
К задаче 48.13
где А и фо— постоянные ин-
тегрирования.
48.13(48.11). Составить уравнение движения маятника, состоящего из материальной точки М массы т, подвешенной на нити, навернутой на неподвижный цилиндр радиуса а. Длина свисающей в положении равновесия части нити равна I. Массой нити пренебречь.
Ответ: (/4-а9)<1аО2g sin & — 0, где Ф — угол отклонения маятника от вертикали.
357
48.14(48.12). Составить уравнение движения маитника, состоящего из материальной точки массы т, подвешенной на нити, длина которой изменяется по произвольно заданному закову / = /(/).
i в •
Ответ: ф + 2 у ф + -у- sin ф = 0, где ф — угол отклонения нити
-н
К задаче 46.16
Ответ: Обозначая через ф
J (	COSO_____\2] ..
' 2 \ 1 — sin2 a cos2 V/
от вертикали.
40.15(48.14). Точка подвеса маятника, состоящего из материальной точки массы m на нерастяжимой нити длины I, движется по заданному закову £=£о(О по наклонной прямой, образующей угол а с горизонтом. Составить уравнение движения маитника.
Ответ: ф + у- sin ф + -р cos (ф — а) = 0.
48.16(48.15). Два вала, находящихся в одной плоскости и образующих между собой угол а, соединены шарниром Кардана. Моменты инерции валов равны Jj и /г. Составить уравнение движения первого вала, если на него действует вращающий момент Л4Ь а к другому валу приложен момент сопротивления Л12. Трением в подшипниках пренебречь.
угол поворота первого вала, имеем J2 sin2 a cos2 « sin 2ф . 2_
(1 — sin2 a cos2 <р)3 ____________	,, cos а
1 1 J 2 1 — sin2 a cos2 <j>
48.17(48.8). Кривошипный механизм состоит из поршня массы mi, шатуна АВ массы m2, кривошипа ОВ, вала и махового колеса; /2 —момент инерции шатуна относительно его центра масс С; J3 — момент инерции кривошипа ОВ, ва-
К задаче 46.17
ла и махового колеса относительно оси; Q — площадь поршня, р — давление, действующее на поршень, I — длина шатуна; s — расстояние между точкой А и центром масс шатуна; г — длина кривошипа ОВ; М—момент сопротивления, действующий на вал. Составить уравнение движения механизма, считая
угол поворота шатуна ф малым, т. е. полагая sin ф и созф = 1; в качестве обобщенной координаты взять угол поворота кривошипа ф. Механизм расположен в горизонтальной плоскости.
Ответ: [(mi + г2 sin2 ф + (J2 + m,s2) (-02 cos2 Ф + /3] ф +
+ [("»! 4"»П2)г2 —	(-Q jcos ф sin фф2 = — Л1 рйг sin ф.
358
48.18(48.20). По однородному стержню массы ЛГ и длины 2а, концы которого скользят по гладкой, расположенной в горизонтальной плоскости окружности радиуса /?, движется с постоянной относительной скоростью и материальная точка массы т. Определить движение стержня. В начальный момент материальная точка находится в центре масс стержня.
Ответ-. & — &(! = С arctg-, -	°—	, где и
С — произвольные постоянные.
48.19(48.21). Концы однородного тяжелого стержня АВ длины 2а и массы Л1 скользят без трения по горизонтальному и вертикальному стержням рамки, вращающейся с постоянной угловой скоростью © вокруг вертикальной стороны. Составить уравнение движения стержня и определить положение относительного равновесия.
Ответ: Ма?& — ~ М<в2а2 sin & • cos & — Mga sin ft = 0, где ft — угол, образуемый стержнем с вертикалью. В положении равновесия ft — 0 (неустойчивое равновесие).
48.20(48.22). К окружности диска радиуса R шарнирно присоединен рычаг, несущий на своих концах сосредоточенные массы гщ и игг- Расстояния масс от шарнира соответственно равны 1\ и 12. Диск вращается около вертикальной оси, перпендикулярной его плоскости, с угловой скоростью <в. Составить уравнение движения рычага и определить его относительное положение равновесия. Массой рычага пренебречь. Ось вращения рычага параллельна оси вращения диска. Решить также задачу в предположении, что диск вращается в вертикальной плоскости (учесть действие силы тяжести).
Ответ: Для вращения вокруг вертикальной оси
(mJ; + if) — /?<в2 (mJi — cos (ip — <o/) — 0.
При mil} = m2l2 рычаг в безразличном относительном равновесии. При nij/j т212 существуют два положения относительного
359
равновесия, при которых = wt ± л/2, т. е. рычаг направлен по радиусу. Для вращения вокруг горизонтальной оси
(mill +	— R&2 (mill—;h2/2)cos(i)>— <o/) + (mi/i — tn^gsin ф =0.
При mih m-ili относительное равновесие невозможно,
48.21(48.24). Тонкий диск массы Л4 может своей плоскостью скользить без трения по горизонтальной плоскости. По диску, верхняя поверхность которого шероховата, движется материальная точка массы т. Уравнения относительного движения точки в декартовых координатах х и у, связанных с диском и имеющих начало в его центре масс, заданы в виде x — x(t), y = y(t). Момент инерции диска относительно его центра масс равен J. Определить закон изменения угловой скорости диска. В начальном положении диск неподвижен.
Ответ- |? + ~ “=
тМ . .	. ,
где хо, уо, хс, уо — значения координат и проекций скорости точки в начальный момент времени.
48.22(48.25). По диску, описанному в предыдущей задаче, вдоль окружности радиуса движется материальная точка с относительной скоростью v = at. Найти закон движения диска.
Ответ. ш  ________тМ go_____________,2 = _L /г
итвет- Ф 2(т + М) . . тМ ‘ 2R *
/ Н----гтг R2
т -|- М
£ — - mR COS а + Р /2	~	sin «+fr Л
6 т + М C0S 2R 11 m-f-.W	’
В
<
0
К задаче 4Ь.2Э
где ф — угол поворота диска, а £ и ц — координаты центра масс диска в неподвижной декартовой системе, имеющей начало в центре инерции системы.
48.23(48.26). Материальная точка М движется под действием силы тяжести по прямолинейному стержню АВ, вращающемуся с постоянной угловой скоростью а вокруг неподвижной вертикальной оси. Стержень АВ образует угол а с горизонталью. Найти закон движения точки.
Ответ: Расстояние движущейся точки от точки пересечения прямой с йертикальной осью
г = С}е^cos “ + С2е ’ cos ° 4-	.
1	12	‘w2 cos2 а ’
где Ci и С2— постоянные интегрирования.
48.24(48.27). Материальная точка массы m движется по круговой рамке радиуса а, которая вращается с постоянной угловой скоростью w вокруг вертикального диаметра АВ. Составить уравнение движения точки и определить момент М, необходимый для поддержания постоянства угловой скорости.
360
Ответ:	—со2 cos ft) sin ft = О, М = 2ma2 sin ft cos ft  (.oft.
48.25(48.41). Тело массы m может вращаться вокруг горизонтальной оси О\Ог, которая в свою очередь вращается с постоянной угловой скоростью со вокруг вертикальной оси ОС. Центр масс тела G лежит на расстоянии I от точки О3 на прямой, перпендикулярной O1O2. Предполагая, что оси OiO2 и OsG являются главными осями инерции тела в точке О3, составить уравнение движения. Моменты инерции тела относительно главных осей равны Д, В, С. '
Ответ: /1fteq2 (С—В) sin ft cos ft = — mgl sin ft, где ft — угол поворота вокруг OiO2-
48.26(47.20). Однородная нить, к концу которой привязав груз А массы гп, огибает неподвижный блок В, охватывает подвижный блок С, поднимается вверх на неподвижный блок D и проходит параллельно горизонтальной плоскости, где к ее концу привязан груз Е массы т. К оси блока С прикреплен груз К массы т\.
Коэффициент трения скольжения груза Е о горизонтальную плоскость равен f. При каком условии груз К будет опускаться вниз, если начальные скорости всех грузов равнялись нулю? Найти ускорение груза К. Массами блоков и нити пренебречь.
Ответ: ml > т (1 + f),
® mi + 2fn
К
К задаче 48.27
48.27(47.21). Два груза D и Е массы т каждый привязаны к концам нерастяжимой нити. Эта нить от груза Е идет через неподвижный блок А, затем охватывает подвижный блок В, возвращается вверх на неподвижный блок С, соосный с блоком А, проходит параллельно гладкой наклонной плоскости, где к концу нити привязан груз D. Наклонная плоскость образует угол а с горизонтом. К подвижному блоку В прикреплен груз К массы тх.
301
Коэффициент трения скольжения груза Е о горизонтальную плоскость равен f. Массами блоков и нити пренебречь. Выяснить условие, при котором груз К будет опускаться. Найти ускорение этого груза. В начальный момент скорости всех грузов равнялись
нулю.
Ответ: 1Щ> m(f + sin а),
w = g
ffli — m (f 4- sin a) ffli + 2m
48.28(47.22). Призма А массы m скользит по гладкой боковой грани призмы В массы пц, образующей угол а с горизонтом. Опре-
К задаче 48.29
делить ускорение призмы В. Трением между призмой В и горизонтальной плоскостью пренебречь.
Ответ: w = g
m sin 2а
2 (mi + m sin2 а)
48.29(47.23). Ha гладкой горизонтальной плоскости помещена треугольная призма АВС массы т, которая может скользить без трения по этой плоскости; по грани призмы АВ катится без сколь-
К задаче 48.30
„ 1
Ответ: w = -ц- g
жения однородный круглый цилиндр массы mi. Определить ускорение призмы.
Ответ: Ускорение направлено влево и равно
_______mi sin 2а_____
® 3 (m + mi) — 2m; cos2 а '
48.30(47.24). Через блоки А и В с неподвижными осями переброшен шнур, поддерживающий подвижный блок С; части шнура, не лежащие на концах, вертикальны. Блок С нагружен гирей массы т — 4 кг, к концам шнура прикреплены грузы массы ~2 кг и т2 = 3 кг. Определить ускорения всех трех грузов, пренебрегая массами блоков и шнура и трением на осях.
1	з
(вверх), ayi=-ffg (вверх), w2 = -у,-g (вниз).
48.31(47.25). Грузы Mi и М2 одинаковой массы т движутся по двум наклонным направляющим О А и ОВ, расположенным в вертикальной плоскости под углами а и ₽ к горизонту; нить, соединяющая эти грузы, идет от груза Mi через блок О, вращающийся около горизонтальной оси, охватывает подвижный шкив Q,
362
несущий груз М массы mi, и затем через блок Оь надетый на ту же ось, что и блок О, идет к грузу М$. Блоки Oi и О соосные. Определить ускорение w груза м, пренебрегая трением, а также массами блока, шкива и нити.
— т (sin а 4- sin 0)
Ответ'. w~g—1--------—, д-------
6	mi + 2m
48.32(47.26). Решить предыдущую задачу, заменив грузы Mi и Mz катками массы m и радиуса г каждый. Катки считать сплошными однородными круглыми дисками. Коэффициент трения качения катков о наклонные плоскости равен fx. Нити закреплены на осях катков.
mi — m [sin а + sin 0 + у- (cos а -|- cos 0) j
Ответ: w = g------------------------------------------
48.33(47.27). Дана система из двух блоков, неподвижного А и подвижного В, и трех грузов Mt, Mi и Ms, подвешенных с помощью нерастяжимых нитей, как указано на рисунке. Массы грузов соответственно равны т;, m2 и ms, при этом mt < m2 + tris
и m2 ms- Массами блоков пренебречь. Найти, при каком соотношении масс mi, m2 и ms груз М\ будет опускаться в том случае, когда начальные скорости грузов равны нулю.
Ответ: Должно быть	.	ч ,
48.34(48.45). Найти ускорение тележки, по платформе котррой катится без скольжения круглый цилиндр, если сама тележка скатывается тоже без скольжения по плоскости, наклоненной к горизонту под углом а и параллельной платформе тележки; образующие цилиндра перпендикулярны линиям наибольшего ската платформы. Масса тележки без колес М, масса всех колес т, масса цилиндра Mi, колеса считать однородными сплошными дисками.
Л	6Л1 + 6m -|- 2М1	.
°ТвеТ- w = 6М + 9т+2М; S SH1 “•
363
48.35(48.37). Составить уравнения движения эллиптического маятника, состоящего из ползуна массы mb скользящего без
трения по горизонтальной плоскости, и шарика массы т2, соединенного с ползуном стержнем АВ длины I. Стержень может
вращаться вокруг оси А, связанной с ползуном и перпендикулярном плоскости рисунка. Массой стержня пренебречь. Определить период малых колебаний эллиптического маятника.
Ответ:	4-у+т2/ф cos <р] =0,
/ф + cos фу + g sin ср — 0,
л/—Г21—±. v ли н- /п> д
48.36(47.28). При наезде тележки А на упругий упор В начинаются колебания подвешенного на стержне груза D. Составить дифференциальные уравнения движения материальной системы, если mi — масса тележки, /«г— масса груза, I — длина стержня, с — коэффициент жесткости пружины упора В. Массой колес и всеми силами сопротивления пренебречь. Начало отсчета оси х
взять в левом конце недеформировашюй пружины. Определить период .малых колебаний груза при отсутствии упора В. Массой стержня пренебречь.
Указание. Пренебречь членом, содержащим множитель ф2, считать с.-=0, sm <р « <р, cos (f « 1
Ответ: (mt 4- m2) х 4- <щ1<р cos ср — лг2/ф2 sin ср = — сх,
х cost 4- l<f = ~g sin ср; Г = 2л	д/г ’
48.37(47.32). По неподвижной призме А, расположенной под углом а к горизонту, скользит призма В массы щ2. К призме В, посредством цилиндрического шарнира О п спиральной пружины с коэффициентом жесткости с, присоединен тонкий однородный стержень OD массы Ш\ и длины I. Стержень совершает колебания вокруг оси <4, перпендикулярной плоскости рисунка. Положения призмы В и стержня OD определены посредством координат s и <р. Написать дифференциальные уравнения движения материальной
364
системы, состоящей из призмы В и стержня OD, пренебрегая силами трения. Определить период малых колебаний стержня OD, если m}gl cos2 а < 2с.
Указание. Считать sin <р « tp, cos (<р + а) « cos а— <psina, затем пренебречь членами, содержащими множители <р2 и <р ф.
Ответ-. (т{ + m2) s + у sin (<р -ф а) — у m}lq> cos (<р Ц- а) =
= (/«, + m2)g sin а, ут^ф — ym:ls cos (<р -ф а) = у m^gl sin ср — сер,
mi [сгс; (1+3 sii? а) + 4m-J
6 (т\ + ,'Пз) (2с — m\gl cos2 а)
48.38(47.34). Решить задачу 48.37, считая, что призма А массы т3 движется по гладкой горизонтальной плоскости, а ее положение определяется координатой х.
Ответ'. (ni\ +	4 Щз)^ 4 ("Ч + tn2) s cos a -ф пц уф2 sin ср —
— mi у ф cos ф = О,
(m( + т2) х cos a ф- 4 т2) s + >Щ у ф2 sin (ср + а) —
— Wi ~ ф cos (ср + а) = (щ, + 1щ) g sin а,
-- т^ф — у m\lx cos ср — у m,/s cos (<р -ф а) = у m^gl sin <p— tg.
48.39(47.30). Материальная точка А массы пг\ движется в вертикальной плоскости я о внутренней гладкой поверхности неподвижного цилиндра радиуса I. Матсриаль-	0’
пая точка В массы т2, присоединенная к точке Л посредством стержня АВ длины I, может колебаться вокруг оси Л, перпендикулярной плоскости рисунка. Положения точек А и В определены с помощью углов
а и <р, отсчитываемых от вертикали. Соста-
вить дифференциальные уравнения движе-	I [fx't
ния системы. Написать дифференциальные	|	р
уравнения малых колебаний системы. Мас- .. чяп„ио,я,а и * u	Л п	✓	1	ЧО.ОЭ
сои стержня АВ пренебречь.
Указание. Пренебречь членами, содержащими множители ф2 и а2, а также считать sin(q —a) ~ ср— a, cos(cp—a) 1, sin a a, sin cp « cp.
Ответ: (mi +- m2)la 4- m2lq> cos(cp— a) — m2lq>2 sin (ф — a, =
= — (mi ~r m2)g sin a, /ф + /acos(q>—a) -f- /а2з[п(ф—a) — — g sin <p, (mi + m2)la + т2/ф= — (mi + m^ga, /ф+ la = — g(f.
48.40(48.40). Шероховатый цилиндр массы m и радиуса г катится без скольжения по внутренней поверхности полого цилиндра
365
массы М и радиуса /?, могущего вращаться около своей горизонтально расположенной оси О. Моменты инерции цилиндров относительно своих осей равны тг2/2 и MR2. Составить уравнения движения системы и найти их первые интегралы.
Ответ: MR2 "ft — -у mR [(7? — г) ф —	= Сь
J- - иг[(Я—г)ф — /?й]2 + у (Л— r)2^~mg(R—r)cos«p=C2,
где <р — угол поворота отрезка, соединяющего оси цилиндров, а О — угол поворота внешнего цилиндра.
К задаче 48.40
48.41(48.48). Однородный диск радиуса R, имеющий массу М, может вращаться вокруг своей горизонтальной оси О. К диску на нити АВ длины I подвешена материальная точка массы щ. Составить уравнения движения системы.
Ответ: (т + -у-) /?2ф + mRl cos (<р — ф)ф + tnRl sin (<р—--ф)'ф2_|_
-F W-A? sin ф = 0,
R cos (ф — ф) ф + /ф — R sin (<p — ф)ф2 + g sin ф = 0,
где <p — угол поворота диска, а ф— угол отклонения нити от вертикали.
48.42(48.49). Диск системы, описанной в предыдущей задаче, вращается с постоянной угловой скоростью и. Составить уравнение движения материальной точки.
Ответ: ф — со2 j- sin (®/ — ф) 4- у- sin ф = 0.
48.43(48.31). Составить уравнения движения математического маятника массы т, подвешенного на упругой нити; длина нити в положении равновесия I, ее жесткость равна с. Найти движение маятника для случая малых колебаний. В качестве обобщенных координат взять угол <р отклонений маятника от вертикали и относительное удлинение инти г.
366
Ответ: (1 + z) ф + 2гф -ф sin ф = О,
2 — (1 4-z)<p2 + -^z +у (1 — созф) —О,
Z = Xsin^/~; Ц-a), ф = В sin / + ₽j, где A, a, B, p— произвольные постоянные.
48.44(48.33). Один конец нерастяжимой тонкой нити обмотан вокруг однородного круглого цилиндра радиуса /?, второй конец прикреплен к неподвижной точке О. Цилиндр, разматывая нить, опускается вниз, одновременно раскачиваясь вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку подвеса нити. Пре-нсбрегая массой нити, оставить дифференциальные уравнения движения цилиндра.	Л Л
2 о 2	|Ц
Ответ: р — 7?ф — урф2 « geos<р,	\|\
-^-(Р2ф) —/?рф2= —gpsinqp.	ЦЙ
48.45(48.34). Пользуясь результатами, получении- | ми при решении предыдущей задачи, составить диф-ференциальное уравнение малых колебаний цилиндра, Л| если движение началось из состояния покоя и при Кэадачей44 t = 0, р = ро, <р = <р0 ¥= 0.
Ответ: -^-[Р2(0ф] +gF(t)q> = 0, где F (I) = Ц- р0 — /?ф0.
48.46(48.35), Определить движение системы, состоящей из двух масс т\ и m2, насаженных на гладкий горизонтальный стержень
(ось Ох), массы связаны пружиной жесткости с и могут двигаться поступательно вдоль стержня; расстояние между центрами масс при ненапряженной пружине равно /;
начальное состояние си-
стемы при / = 0 определяется следующими значениями скоростей и координат центров масс: xj = 0, Xi = u0, Х2 = 1, Хз = 0.
Ответ: Xj = —-j-—-J- sin kt\, 1	4- m2 ( 1 u ' k J
x2 — I
= ——- (шна/ —sin kt\,
k = л/C (—--1--—'j .
V \	' «2 )
48.47(48.43). Система, состоящая из двух одинаковых колес радиуса а каждое, могущих независимо вращаться вокруг общей нормальной к ним оси О^Оъ длины I, катится по горизонтальной плоскости. Колеса связаны пружиной жесткости с, работающей на кручение (упругий торсион). Масса каждого колеса Л1; С — мо-
367
мент, инерции колеса относительно оси вращения, А — момент инерции колеса относительно диаметра. Составить уравнения движения системы и определить движение, отвечающее начальным условиям <pi = 0, cpi = 0, <р2 = 0,	= w (<pi,<p2—углы поворота
колес). Массой оси пренебречь.
Ответ, ф] = -у ~ sin kt) , ср.» — -g	+ -у sin kt'j ,
д/ Ма* + С + 4.4 (у У
48.48. Механизм робота-минипулятора состоит из колонны для вертикального перемещения, устройства для горизонтального пе-
К задаче 48.48
ремещения, состоящего из звеньев I и 2, и выдвигающейся горизонтальной руки со охватом 3. Массы звеньев механизма mlt m2 и m3. Движущие силы, создаваемые приводами в поступательных парах, равны соответственно Fot, F12 и Р23. Составить дифференциальные уравнения движения механизма. Трением пренебречь.
Ответ: in3x = Р23, (m2 J- т3) у — Р]2,
(mj + m2 + тз) z = Рт — (mi + т2 + тз) g-
48.49. Механизм робота-манипулятора состоит из поворотной колонны 1, устройства для вертикального перемещения 2 и выдви-р	гающейся руки со схватом 3. Момент ннер-
I* .....।	ции звсна } относительно оси поворота Jt;
-т—•—-у"----СКШ масса звена 2 т2, момент инерпии относи-
тельно оси поворота А; масса двигающейся руки со схватом т3, расстояние от осп поворота до центра масс р, момент инерции относительно центральной оси J3. К оси поворота - приложен момент М, движущие силы, создаваемые приводами в поступательных парах, равны соответственно Р12 и
Лз. Составить дифференциальные уравнения движения механизма. Трением пренебречь.
Ответ:	[(J, 4- /2 + J3 + т3р«)ф} = М,
(m2 + m3) z = Pl2 — (m1 + rth)g, m3 (р — рф2) = F23.
48.50. Вертикальная колонна 1, несущая руку робота-манипулятора,-может поворачиваться на угол <р. Рука со схватом поворачивается на угол & и выдвигается на расстояние г. Момент инерции вертикальной колонны относительно оси вращения звенья 2 и 3 считать тон-
кими однородными стержнями длины I2	s''s'
и /3 и массы т2 и тз; масса переносимо-	s' гs'
го груза т. К вертикальной оси враще-	s'
пня приложен момент М.ь к оси поворо-та второго звена — момент М* движу-шая сила, создаваемая приводом в по-сгунателыюй паре, F23. Составить диф- / Ш / ференинальные уравнения движения ме- ' хапизма. Трением пренебречь.	к задаче чв.го .
От;?ег:	+ “j7	4- J (г) sin2 &) ф] — Мф,
—-(/(г)4) — 7(г)ф281пйсоз£==Л1д + [?пз(г — 4) +mf]^ sin
(щ34- т) г—[mg (г — -у) + mr] (ft24-ф2 sin2 ft)=F^—(та 4- m)g cosft, где J (г) = та (г2 — rl3 4- -у) 4- тЛ
48.51(48.50). Колесо катится без скольжения по горизонтальней плоскости. Радиус колеса а, его масса М; С —момент инерции колеса относительно оси, проходящей перпендикулярно плоскости колеса через его центр; А — момент инерции колеса относительно его диаметра. Составить уравнения движения колеса.
Указание. Использовать уравнения Лагранжа с множителями для не-голономчых систем.
Ответ:	s’n2 ft) — С (Ф + Ф cos ft) ft sin ft — О,
(С Ц-	(Ф + Ф cos ft) —• ma2b^> sin ft = О,
(А 4" ,?;q2) ft — Лф2 s'n ft cos ft 4-
4- (C 4- тй1 (Ф + Ф cos ft) ф sin ft = — mga cos ft, где ф — угол поворота колеса вокруг оси, перпендикулярной его плоскости; ft— угол наклона плоскости колеса к горизонту, ф— азимут вертикальной плоскости, содержащей диаметр колеса и проходящей через точку касания.
48.52(48.51). Конденсаторный микрофон состоит из последовательно соединенных катушки са.моиндукции L, резистора сопротивления /? и конденсатора, пластины которого связаны двумя пружинами общей жесткости с. Цепь присоединена к источнику питания с постоянной э. д. с. Е, а на пластину конденсатора действует переменная сила P(t). Емкость конденсатора в положении
369
равновесия системы Со, расстояние между пластинами в этом положении а, масса подвижной пластины конденсатора т. Ввести электрические и механические обобщенные координаты и соста-с вить уравнения движения системы в #	форме Лагранжа.
Указания. 1. Потенциальная энергия ь! конденсатора равна V = q2/(2C)(C— ем-д	кость конденсатора, q— аарнд на его обклад-
ках); электрокинетическая энергия вычисляется по формуле Т = (L — коэффициент dq
l| самоиндукции,	---сила тока в Иепи)-
£	2. За обобщенные координаты принять из-
менение заряда конденсатора q и смещение
К задаче 48.52	пружин из положения равновесия. Тогда пол-
ный заряд будет qo + q, а полное смещение хо-|-х; здесь q0— заряд конденсатора, a — смещение пружин ог нейтрального положения в положение равновесия системы
Ответ: mx-\-cx — ~-q —	= Р {(),
L? + ^-4x+X_^ = o.
48.53(48.52). Определить частоты малых свободных колебаний конденсаторного микрофона, описанного в предыдущей задаче. Сопротивлением резистора пренебречь.
К задаче 48.54
48.54(48.54). Изображенная на рисунке система отвечает принципиальной схеме электромагнитного датчика акселерометра.
Масса якоря М, общая жесткость пружин с. Самоиндукция катушки изменяется-вследствие изменения воздушного зазора в магнитопроводе L = L(x) (х— вертикальное смешение якоря из положения, когда пружины не напряжены). К катушке присоединена электрическая цепь, состоящая из элемента с заданной э. д.с. Е, сопротив-Составить уравнения движения системы и
определить ее положение равновесия.
Указание. За обобщенные координаты принять смещение х якоря и заряд q, соответствующий току i в цепи (i = dq/dt).
Ответ: Уравнения движения:
Lq + Rq+qx-^ = E- Мх -±^q2 -f- ex = Mg.
В «положении равновесия» х — хо и i = q — io. где i0 = E/R-t
370
ление цепи равно R.
48.55(48.55). Составить уравнения малых движений вблизи положения равновесия электромагнитного датчика, описанного в предыдущей задаче.
Указание. За обобщенные координаты взять изменение заряда е и вертикальное перемещение якоря из положения равновесия Функцию L(x) разложить в ряд L = L(Xo -j- £) = io Ч- iig-f- ... и ограничиться в этом ряду первыми двумя членами.
Ответ: Цё + Re + £iiot — 0; Л4|	— Ц10ё — 0.
48.56(48.56). Основание датчика, описанного в задаче 48.54, совершает малые вертикальные колебания по закону £ = gosin®i Определить закон движения якоря и ток в электрической цепи датчика.
Ответ: I = Lti0 {R (с - М®2) cos со/ +
4- Ц- £qOj (с Alm )] sin
X _ МЕоЮ8 {_ [£2-2£оИ2ц_ (^2 L2ffl2	sjn
где A = R2 (c — Ma?)2 4- <o2 [ifi2 + io (c — Л1®2)]2.
48.57(48.57). Электромеханическая движущая система состоит из цилиндрического постоянного магнита с концентрическими полюсами А, создающего радиальное поле, и якоря массы М, опирающегося на пружину жесткости с. Якорь соединен с катушкой,
К задаче 48.57
К задаче 48.58
состоящей из п витков, и с механическим демпфером, сопротивление которого пропорционально скорости якоря (коэффициент сопротивления 0); средний радиус катушки г; ее самоиндукция L, сопротивление R, магнитная индукция в зазоре магнита В. К зажимам катушки приложено переменное напряжение V(0. Составить уравнения движения системы.
Указание. Обобщенные силы, отвечающие взаимодействию катушки и магнита, равны Q?=—2лг«ВД <?х = 2лгп Bq (Q, — электродвижущая сила, индуцированная в электрической цепи, a — сила взаимодействия катушки с магнитом).
Отвес. Lq + Rq + 2nrnBx — V (/), Мх. 4- fjx + сх — 2nrBq — 0.
48.58(48.58). К основанию сейсмометра с индукционным преобразователем прикреплена катушка из п витков радиуса г, соединенная с электрической регистрирующей системой, схематизируемой цепью с самоиндукцией L и сопротивлением R. Магнитный
371
сердечник, создающий радиальное магнитное поле, характеризуемое в зазоре магнитной индукцией В, опирается на основание с помощью пружин общей жесткости с. На сердечник действует также сила сопротивления, пропорциональная его скорости, вызываемая демпфером, создающим силу сопротивления 0х. Составить уравнения, определяющие перемещение сердечника и ток в цепи в случае малых вертикальных колебаний основания сейсмометра по закону | ~ £о sin a>i.
Указание Обобщенные силы, отвечающие взаимодействию катушки и магнита, даются формулами Q, = ~'2wnBx и = 2nrnBq.
Ответ: Мх + £х 4- сх — ЪмпВц = Жо®2 sin ®/,
Lq + Rq 4- 2лгпВх = 0.
§ 49. Интегралы движения,преобразование Рауса, канонические уравнения Гамильтона, уравнения Якоби—Гамильтона, принцип Гамильтона — Остроградского
49.1(49.1). Трубка АВ вращается с постоянной угловой скоростью со вокруг вертикальной оси CD, составляя с ней угол а. В трубке находится пружина жесткости с, один конец которой укреплен в точке А; ко второму концу пружины прикреплено тело М массы т, скользящее без трепия внутри трубки. В недеформированном состоянии длина пружины равна АО = I. Приняв за обобщенную координату
К задаче 49.1
К задаче 49.2
расстояние х от тела Л1 до точки О, определить кинетическую энергию Т тела М и обобщенный интеграл энергии.
Ответ: Т = -^т[х2 -г (I 4-	®2 sin2 °1>
mx2 — m(l+ х)г co2 sin2 a -j- ex2 4- 2mg cos ax — h,
где Я —постоянная интегрирования.
49.2(49.2), Найти первые интегралы движения сферического маятника длины I, положение которого определяется углами 6 и ф.
Ответ: 1) Интеграл, соответствующий циклической координате ф (интеграл моментов количества движения относительно осн г)г ф sin2 0 = п\
'Я72
2) интеграл энергии: G2 + Д2 sin2 0 — 2-y-ccs0 = /i, где п и
h — постоянные интегрирования.
49.3(49.3), Гироскопический тахометр установлен на платформе, вращающейся с постоянной угловой скоростью и вокруг оси £. Определить первые интегралы движения, если коэффициент жесткости спиральной пружины равен с, моменты инерции гироскопа относительно главных центральных осей х, у, г соответственно равны А, В и С, причем В = Д; силы трения на оси г собственного вращения гироскопа уравновешиваются моментом, создаваемым статором электромотора, приводящим во вращение гироскоп; силами трения на оси прецессии у пренебречь.
К задаче 49.3	К задаче 49.4	К задаче 49.5
Ответ. 1) Интеграл, соответствующий циклической координате <р (интеграл моментов количества движения относительно оси г): ф и sin 0 = «;
2)	обобщенный интеграл энергии:
L [(Сф2 + ДО2) - (Си2 sin2 О Д- Au2 cos2 0)] + 1 ей2 = Л.
49.4(49.4). Материальная точка М соединена с помощью стержня ОМ длины / с плоским шарниром О, горизонтальная ось которого вращается вокруг вертикали с постоянной угловой скоростью ©. Определить условие устойчивости нижнего вертикального положения маятника, период его малых колебаний при выведении его из этого положения и обобщенный интеграл энергии. Массой стержня пренебречь.
Ответ: 1) ®2 < Я.; 2) Т =	г;
3)	ф2 — со2 sin2 ф — 2 у cos ф — h.
49	.5(49.5). Уравновешенный гироскоп в кардановом подвесе движется по инерции. Определить кинетическую энергию системы и первые интегралы уравнений движения, если момент инерции внешней рамки относительно неподвижной оси вращения £ равен
373
Jl, моменты инерции внутренней рамки относительно главных центральных осей х, у, z равны 7', Jy, J'z, а соответствующие моменты инерции гироскопа — Jx, Jy и Jz (Jx = Jy).
Ответ-. 1) Г = | {	+ J' 4. (j; + Jx - /;) cos2 8] 42 +
+ (4 + 4) ё2 + 4 (Ф + sin 1>)2};
2)	интеграл, соответствующий циклической координате ф (интеграл моментов количества движения гироскопа относительно оси г): ф + ф sin 0 = п;
3)	интеграл, соответствующий циклической координате ф (интеграл моментов количества движения всей системы относительно оси £):
[ 7| + Jz + (jx + Jx — Jz) cos б] ф Jztl Sin 0 =: П\\
4)	интеграл энергии:
U + 4 + (4 + h - Jz) cos28] ф2 +	+ Jу) В2 = h.
49.6(49.8). Гироскоп установлен в кардановом подвесе. Вокруг осей £ и у вращения рамок подвеса действуют моменты внешних сил М* и Му. Игнорируя циклическую координату <р, найти 1) дифференциальные уравнения движения для координат ф и 8, 2) гироскопические члены. (См. рисунок к задаче 49.5.)
Ответ: 1) [/{-|-/г + (Л + /х — Л)сО528]ф —
— 2 (j'x + Jx — Jz) cos 8 sin 00ф 4- Jzn cos 00 = M±, (jy + 4)0 + (4 + Jx — Jz) cos 0 sin 0ф2 — Jzn cos 0ф = My,
2) Jzn cos 00, — Jji cos 0ф.
49.7(49.9). Составить функцию Гамильтона и канонические уравнения движения для математического маятника массы m н длины I, положение которого определяется углом ф отклонения его от вертикали. Проверить, что полученные уравнения эквивалентны обычному дифференциальному уравнению движения математического маятника.
Ответ: 1) И =	— mgl cos ср; 2) ф ==	, р = — mgl sin Ф.
49.8(49.10). Материальная точка массы m подвешена с помощью стержня длины I к плоскому шарниру, горизонтальная ось которого вращается вокруг вертикали с постоянной угловой скоростью а> (см. рисунок к задаче 49.4). Составить функцию Гамильтона и канонические уравнения движения. Массу стержня не учитывать.
Ответ: 1)	0)2 sin2 ф — mgl cos ф;
2) ф —	. р = mPa- sin <p cos ф — mgl sin ф.
49.9(49.11). Вертикальное положение осн симметрии волчка, вращающегося относительно неподвижной точки О под действием 374
силы тяжести, определяется углами а и р. Исключив циклическую координату ф (угол собственного вращения), составить для углов о и ₽ функции Рауса и Гамильтона. Масса волчка равна т, расстояние от его центра масс до точки О равно /, момент инерции относительно осн симметрии z равен С, а относительно осей х и у равен А.
Ответ: Р = -£• A (cos2 р&2 + р2) —
— Сп sin pd + mgl cos а cos р,
И =	] + m8l cos « cos р,
где п — ф— sin pd = const. (Здесь и в дальнейшем символы Ра, Ре я т. п. означают обобщенные импульсы.)
49.10(49.12). Пользуясь результатами, полученными при решении предыдущей задачи, составить для канонических переменных Гамильтона дифференциальные уравнения малых колебаний волчка около верхнего вертикального положения.
Ответ: d = (Ра + С»р), Ра = mgla, р = Ру P^-^(Pa+Cn^ + mgl^
49.11(49.13), Положение оси симметрии г волчка, движущегося относительно неподвижной точки О под действием силы тяжести, определяется углами Эйлера, углом прецессии ф и углом нутации 8. Составить функцию Гамильтона для углов ф, 8 и ф (угол собственного вращения) 2	(
и соответствующих импульсов, если m— масса волчка. I — расстояние от его центра /\ масс до точки О, С — момент инерции отно- f | ; сительно оси г, А — момент инерции от- \ / г носительно любой осн, лежащей в эква-	'/>
ториальной плоскости, проходящей через <$ точку О.
Н =2.+й] +
+	1	„2 ,	, л	К задаче 49.11
Р9 mgl cos 8.
49.12(49.14). В условиях предыдущей задачи составить канонические уравнения движения волчка.
. j% — cos 0	.
°™ » = —•	₽* = °-
в =
Л р - (РфСО50-Рф)(Р,СО50~Рф)
А ’	A sin3 в--------J-mgJSinB,
A sin3 0
__ ^-~рфсо8 0	Рф	р —о
ф 4tg0sin0	С ’ гф —и’
375
49.13(49.15). Свободная точка единичной массы движется в вертикальной плоскости ху под действием силы тяжести. Составить дифференциальное уравнение в частных производных Якоби — Гамильтона и найти его полный интеграл (ось у направлена вертикально вверх).
_ dv . 1 / dV \2 I z av V
Ответ-. т	+^ = 0,
V = bj + b2x ± -±- V(- 2gz/ - 26, -	+ С,
где bi, b2 и С — произвольные постоянные. Знак «+» следует брать при подъеме, знак «—» при спуске.
49.14(49.16). Пользуясь результатами, полученными при решении предыдущей задачи, и свойствами полного интеграла уравнения Якоби — Гамильтона, найти первые интегралы уравнений движения точки.
Ответ:	= t + j V— — 26, — bl = аь
7Г = Х +"Т V— 2g6 — 26, -6f = o2,
-^- = 62 = х, -|~- = V-2gt/- 2bl-l)i = y,
где ah а2, bi и b2 — произвольные постоянные.
49.15(49.17). Физический маятник массы М вращается вокруг неподвижной горизонтальной оси. Момент инерции маятника относительно этой оси равен У, расстояние от центра масс маятника до осн равно I. Составить дифференциальное уравнение Якоби—Гамильтона, найти его полный интеграл и первые интегралы движения маятника (нулевой уровень потенциальной энергии взять на уровне оси маятника).
Ответ: 1) ~+^-~Mg/cos<p=0;
ф ____________
2) V = Ы ± д/ 2/ j VMgl cos <р — b dtp;
Фо
3) /+ а/—	----=	± л/2? VMg/eos<p — 6 = Уф,
’ V 2 J cos ф - b	v v ъ т
Ф.
где а и b — произвольные постоянные интегрирования.
49.19(49.18). Движение волчка, имеющего одну неподвижную точку О, определяется углами Эйлера ф, 9 и <р. Пользуясь результатами решения задачи 49.11, составить уравнение в частных производных Якоби — Гамильтона и найти полный интеграл его.
„	дУ .	1 (дУ дУ „У , 1 / йГ у .
Ответ: 1) -^+ глэтЬф “	+
+	+ m^1 cos6 = 0j
376
2) V — b\t +	+ M +
С /	Л ft?	( Л, — Л., cos 0)z
+ J V - 2ДЬ( - -с2 - - s^e  - 2-Amgl cos 0 dQ.
49.17(49.19). Концы струны закреплены в неподвижных точках А и В, расстояние между которыми равно I. Считая, что натяжение Т струны одинаково во всех точках, определить действие по Гамильтону для малых колебаний струны.
Предполагается, что колебания происходят ____________________
в одной вертикальной плоскости ху и что {------------------------
на струну действуют только силы на-тяжения, линейная плотность струны рав-
1 ”	К задаче 49.17
на р.
Ответ: S = |	ГДе
ti О
49.18(49.20). Пользуясь принципом Гамильтона — Остроградского и результатами решения предыдущей задачи, составить дифференциальное уравнение колебаний струны.
Ответ-	где а2 = -^-; граничные условия: у(0, t) —
= у(/, 0 = 0.
49.19(49.21). Абсолютно гибкая однородная и не- —у растяжимая нить длины I подвешена за один конец в точке О. Определить действие по Гамильтону для I малых колебаний нити около вертикали, происходя- , 1 щих под действием силы тяжести. Масса единицы длины нити равна р.	I \
Ответ: S- f $ $ [(^-)’ -g(l -х) (»2p.r dt, J
О	К задаче 49.13
где у — у(х, t).
49.20(49.22). Пользуясь принципом Гамильтона — Остроградского и результатами решения предыдущей задачи, составить дифференциальное уравнение малых колебаний подвешенной за один конец нити.
_ д2и д Г.,	. ду 1
Ответ:	— IU —х) граничные условия:
1) ИО, 0 = 0, 2)y(l, t), ^\xni и	конечны.
49.21.	Пользуясь принципом Гамильтона — Остроградского, составить дифференциальное уравнение продольных колебаний тонкого стержня, заделанного на одном конце и с массой m на другом конце, и получить граничные условия. Плотность материала стержня р, модуль продольной упругости Е, площадь поперечного сечения F, длина /.
377
д*и -> дги	,
Ответ: -^5- = а где и(х> ()~ перемещение в направлении продольной осн, а = Е/р~, граничные условия:
I п <52“
и L-о — 0, т -^г
— сс &а I
“ й дх I.
49.22.	Составить дифференциальное уравнение крутильных колебаний стержня, заделанного на одном конце, с диском на другом конце. Плотность материала стержня р, модуль сдвига G, поперечное сечение — круг радиуса г, длина стержня I. Момент инерции диска 7. „
Ответ:	где v(x, г)—угол поворота поперечного
сечения, а = VG/p; граничные условия: О L_o = 0, 7-^т z = =	ГАе /₽==3trV2.
49.23.	Пользуясь принципом Гамильтона — Остроградского, составить дифференциальное уравнение поперечных колебаний шарнирно опертой балки, а также получить граничные условия. Плотность материала балки р, модуль продольной упругости £, площадь поперечного сечения F, момент инерции поперечного сечения 7, длина балки I.
Ответ:	+ с2 -|р- = 0, где о (х, /) — прогиб балки, с = д/,
граничные условия: v |Xw0 = 0,	= О, «U-j = O. |pjx=2 = 0-
49.24. Пользуясь принципом Гамильтона — Остроградского, по-
лучить граничные условия в задаче о поперечных колебаниях консольной балки длины I.
Ответ: v I.
-«• SL-“-
Пользуясь принципом Гамильтона— Остроградского, составить урав-
к задаче 49.25 нения малых колебаний системы, состоящей из консольной балки длины I и груза массы т, прикрепленного к балке и к основанию пружинами жесткости с. Плотность материала балки р, модуль продольной упругости Е, площадь поперечного сечения F, момент инерции поперечного сечения 7.
Ответ:^ + с*^~0, Гдес=д/^. v L_o = 0,	= 0,
&L=J=0’	=	—=	— 2«).
378
§ 50.	Системы с качением. Неголономные связи
50.1.	Показать, что условие качения диска без проскальзывания по заданной кривой на поверхности выражается в виде конечного соотношения между обобщенными координатами.
Ответ: s = гф, где s— путь, пройденный точкой контакта вдоль кривой, г—радиус диска, ф — угол поворота вокруг оси, ортогональной плоскости диска (ф = 0 при s = 0).
50.2.	Получить условие качения без скольжения тела, поверхность которого является цилиндрической поверхностью, по плоскости.
Указание. Считать заданный уравнение направляющей — кривой, которая получается в плоскости поперечного сечения цилиндрической поверхности в системе координат, жестко скрепленной с телом. В качестве параметров, определяющих положение сечения тела на плоскости, принять х, у — координаты поноса А, угол 0 поворота системы координат скрепленной с телом.
Ответ: х — (|д sin 9 -}- т]л; cos 9) 0 = 0, I/ -f- (ёд cos 9 — т)д sin 6) 9 — — 0, где |к, т)к — координаты точки соприкосновения.
50.3.	Решить предыдущую задачу в случае, когда направляющая цилиндрической поверхности является эллипсом.
Ответ: х + (a2 sin2 0 4- b2 cos2 О)’4 0 =
„	.	{а2 — Ь2) 0 sin 0 cos 0 А
(a2 sin2 6 -f- b2 cosz 0)
где х, у — координаты центра эллипса, а — большая, b — малая полуоси эллипса. В частном случае b = а получаем известное условие х ав ~ 0, У — 0 качения кругового цилиндра по
плоскости.
50.4.	Решить задачу 50.2 в случае, когда направляющая цилиндрической поверхности является параболой.
Ответ: 2х 4-рё sin 6tg 9 — 0, 2у — рё(2 4- tg2 6)sin 0 — 0, где х, У -— координаты вершины параболы ё2 — 2prj.
370
50.5.	Решить задачу 50.2 в случае, когда направляющая цилиндрической поверхности является ветвью гиперболы.
Ответ: х — (a2 cos2 9 — 52 sin2 0)'/® 0 = 0,
. _ (а2 + Ь2) 0 sin 6 cos ft _q
(a’cos2 в — Ьг sin2 fl)1/1
где х, у — координаты точки пересечения асимптот гиперболы т)2/а2 — l2/b2 — 1,
К задаче 50.5	К задаче 50.6
50.6.	Получить условие качения без скольжения тела, ограниченного цилиндрической поверхностью, по цилиндрической поверхности. В качестве параметров, определяющих положение сечения тела на плоскости, принять $, 0, где s — длина дуги вдоль направляющей опорной поверхности, отсчитываемая от некоторой точки до точки К. соприкосновения двух направляющих, 0 — угол между „L	осью системы координат скреп-
Ж	ленной с сечением тела, и касательной
m Л В точке К.
О„„: Л_[(^ + (^>
।---- где %к,	— координаты точки К в си-
.X	стеме координат Д£т>.
Щ	50.7. Решить предыдущую задачу в
к задаче 50.8 случае, когда по круговому цилиндру радиуса г катится без скольжения цилиндрическое тело, направляющей которого является 1) эллипс, 2) парабола, 3) ветвь гиперболы.
Ответ: 1) г dip = a2b2(a2 sin20 + 52cos20) /sd0,
2) г dty = р cos-3 0 d9,	3) г dtp = a2b2 (a2 cos2 0 — b2 s in2 0) ~0/1 d0.
Смысл параметров такой же, как в задачах 50.3, 50.4, 50.5.
50.8. В вариаторе угловой скорости (см. рисунок) расстояние диска радиуса г от оси горизонтального абсолютно шероховатого диска может изменяться по произвольному закону. Найти связь между углами поворота ср и тр дисков.
380 .
Ответ: г dty ~ х сЛр. Это соотношение в общем случае не интегрируется.
50.9.	Два шероховатых круговых конуса, оси которых параллельны, соприкасаются при помощи колесика. Ось колесика параллельна образующим конусов. Колесико может перемещаться вдоль своей оси по произвольному закону. Найти связь между угло- '	/Т"-
выми скоростями вращения конусов, о	I 
если а — угол между осью и об-	?	\
разующей конуса, h — высота ко-	1 л,
нуса.	I ж J ’
Ответ: *Ф=(-~--*)ф. где	*
х — расстояние колесика от верши-	к задаче гол
ны верхнего конуса.
50.10.	Конек с полукруглым лезвием катится по льду. Написать условие отсутствия проскальзывания конька в поперечном направлении.
Ответ: x sin 0 — у cos 0 = 0, где х, у—координаты точки соприкосновения конька со льдом, 0 — угол между прямой пересечения плоскости конька с плоскостью льда и осью Ох.
50.11. Найти уравнение кинематической связи при качении диска радиуса а по абсолютно шероховатой плоскости, приняв в качестве параметров,, опреде- v
1)	координаты Хс,ус,2с центра диска и углы Эйлера О, ф, ф, 2) координаты х, у точки контакта диска с плоскостью и углы Эйлера 0, ф, <р.
Ответ: I) хс — а0 cos0 sin ф — аф sin 0 cos ф — афсоэ ф = 0>
Ус. + «О cos 0 cos ф — дф sin 0 sin ф — аф sin ф = 0, zc 4- а0 sin 0 = 0. Последнее уравнение сводится к конечному соотношению гс = == a cos 0.
2)	х — афсоэф, у = афБ'Пф.
50.12.	Решить предыдущую задачу для диска с острым краем, когда проскальзывание отсутствует лишь в поперечном направлении.
Ответ: 1) хс sin ф— г/ссозф—аб cos 0 = 0, zc = a cos 0, 2) х sin ф — у cos ф = 0.
381
50.13.	Колесо радиуса а с поперечной насечкой (шестерня)' катится по плоскости так, что его ось всегда параллельна плоскости. Найти уравнение кинематической связи.
Указание. Поперечная насечка не препятствует скольжению колеса в направлении осн собственного вращения.
Ответ: х sin 8 — у cos 8 — аф = 0.
50.14.	Шар радиуса а катается по абсолютно шероховатой поверхности. Найти уравнения кинематической связи в случаях,
К задаче 50. |4
когда поверхность представляет собой I) плоскость, 2) цилиндр радиуса R, 3) сферическую чашку радиуса R (R>a), 4) конус с углом а между осью и образующей.
Указание. В качестве обобщенных координат выбрать координаты точки соприкосновения- шара с поверхностью и углы Эйлера.
Ответ: I) х — а0 sin ф 4-аф sin 0соэф = 0,
у + ад cos ф + аф sin 8 sin ф = 0;
2)	(R — а) у + а (ф cos 0 + ф) = 0,
z — ад cos (ф — у) — аф sin 8 sin (ф — у) = 0;
3)	(R — а) ф] sin 8t + ад cps 0j sin (ф — ф]) + аф sin 0t +
+ аф [ccs8 sin 0] — sin 8 cos8] соз(ф — ф,)] = 0, (/? — а) 0! + ад cos (ф — ф1) + аф sin 8 sin (ф — ф]) = 0;
382
4)	Ла sin а Ц- аё cos а sin (ф — а) 4- а-ф sin а 4-
4-	аф [cos 0 cos а — sin 0cos а cos (ф — о)] = О, Л — а0 cos (ф а) 4- аФ sin 0 sin (ф — а) = 0.
50.15.	Эллипсоид вращения (а — большая полуось, Ь — малая полуось) катается по абсолютно шероховатой плоскости. Написать уравнение кинематической связи, приняв за обобщенные координаты х, у, 0, ф, ф, где х, у — координаты точки соприкосновения эллипсоида с плоскостью, 0, ф, ф — углы Эйлера.
Ответ, (х sin ф — у cos ф) (a2 cos20 4- b2 sin20)V! — a2b?Q === О, (х cos ф 4- У sin ф) (а2 cos2 0 4- b2 sin2 0)’/г 4- sin 0 = 0.
50.16. Тороидальное тело катается по абсолютно шероховатой плоскости, b — радиус кривизны меридиана тора на экваторе, а 4- b — радиус экваториальной окружности тора. Найти уравнения кинематической связи, приняв за обобщенные координаты
х, у, 0, Ф> ф> W х> У — координаты точки соприкосновения тора с плоскостью, 0 —угол наклона тора, ф — угол между следом средней плоскости тора и осью Ох, ср— угол собственного вращения тора.
Ответ: х 4- Ф (а 4- Ь cos 0)cos ф 4-4- bQ sin ф = 0, у 4- ф {a-\-b cos 0) sin ф — &0 cos ф = 0.
50.17.	Определить число обобщенных координат и число степеней свободы двухколесной тележки.
К задаче 50.17
Корпус тележки движется параллельно плоскости, по которой ка-
таются без скольжения колеса, свободно вращающиеся на общей оси, г — радиус колес, Z — длина полуоси.
Ответ: Четыре обобщенных координаты х, у, ф;, 0, которые свя-
заны двумя неинтегрируемыми соотношениями
х cos 0 4- У sin 0 — гф( — 70 = 0, х sin 0 — у cos 0 = 0.
Система обладает двумя степенями свободы.
383
50.18.	Определить число обобщенных координат и число степеней свободы гусеничного трактора, учитывая, что гусеницы обеспечивают качение без скольжения лишь в продольном направлении; г—радиус опорных колес, 21—ширина колеи.
Ответ: Четыре обобщенных координаты х, у, <р|, 0, которые связаны одним неинтегрируемым соотношением х cos 0 + у sin 0 — — гф, — 10 = 0. Система имеет три степени свободы.
50.19.	Определить число обобщенных координат и число степеней свободы буера.
Ответ-. Четыре обобщенных координаты х, у, 0, ф, которые связаны двумя нсинтегрируемыми соотношениями
(xcos0 + ysin0)tg<p — а0 = 0, х sin 0 —у cos 0 = 0.
Система имеет две степени свободы.
50.20.	Абсолютно шероховатый диск радиуса г катится по пря
мой. На диск опирается стержень, конец которого скользит по той
же прямой. Определить число обобщенных координат и число степеней свободы системы, состоящей из диска и стержня.
К задаче 50.21
К задаче 50.20
Ответ: Одна обобщенная координата, за которую можно принять угол 0 между стержнем и прямой. Остальные параметры, определяющие положение стержня и диска, выражаются через угол 0 при помощи конечных соотношений £ ~ rctg(0/2), х =ч = —2г(ctg(0/2)+ 0/2)4- Cj, <p + ctg(0/2) + 0 = с2.
50.21,	Определить число обобщенных координат и число степеней свободы системы, состоящей из трех шероховатых цилиндров.
Два одинаковых цилиндра радиуса г катаются по горизонтальной плоскости, а третий цилиндр радиуса R катается по этим двум цилиндрам.
Ответ: Шесть обобщенных координат х, у, 0, ср, qpb <р2, которые удовлетворяют четырем дифференциальным уравнениям:
•	х — /?ф sin 0 — 0 (гф! ~ у) = О,
у + 7?ф cos 0 + 0 (гф, — y)ctg 0 — 2гф! = О, х sin (0 — а) — /?ф sin 0 sin (9 — а) 2гф2 sin а sin (0 — а) —
— 0 (Г(₽2 + X sin а — у cos а) sin 0 — 0, у sin (0 — а) + 7?ф cos 0 sin (0 — а) — 2гф2 cos а sin (0 — а) +
+ 9 (ЛФ2 “Ь х sin а — у cos а) tos 0 = 0.
Система имеет две степени свободы,
50.22.	Составить уравнения движения гусеничного трактора, описанного в задаче 50.18, при условии, что момент сил, передаваемый от двигателя на левую гусеницу, равен Afj (/), а на правую гусеницу — Af2(/), m — масса трактора. Массой гусениц и колес
К задаче 50.23
пренебречь; J — момент инерции трактора относительно вертикальной оси, проходящей через центр масс.
Ответ: mrx — (Л!( + М2) cos 0, mry = (М, -ф М>) sin 0, /г0 = / (М2 — MJ, гф] = х cos 0 + у sin 0 — /0.
50.23.	Показать, что железнодорожная колесная пара (скат) при качении по рельсам без скольжения имеет одну степень свободы.
Указание. За модель колесной пары принять тело, состоящее из двух одинаковых конусов, склеенных основаниями, рельсы считать геометрическими прямыми. Рассмотреть случай малых отклонений от прямолинейного движения.
13 И. В. Мещерский
385
Ввести неподвижную систему координат Oxyz и две подвижных системы Ax'y'z' и £?!»)£, определяемые таблицами косинусов углов между осями
	х'	у' z'	5 n			a		n	1
X	cos 0	—sin 0 0	x'	cos ф 0	—sin ф	X	cos 0 cos ф	—sin 0	—cos 9 sin ф
У	sin 0	cos 0 0	y'	0 1	0	У	sin 0 cos ф	cos 6	—sin 0 sin ф
г	0	0 1	zr	sin ф 0	cos ф	z	sin ф	0 .	cos ф.
где 0, ф — углы Крылова; за обобщенные координаты принять у, 6, ф, <р, где у—ордината центра'масс С, ф — угол поворота тела вокруг оси колесной пары.
Ответ-. Условия качения без скольжения имеют вид
ё —фф —О, ф4~ фб(-у- -~tga) tga = 0, г/ = ф(/?— /tga),
они интегрируются; колесная пара имеет одну степень свободы, 50.24. Однородный диск радиуса а и массы m катится без скольжения по горизонтальной плоскости. Составить уравнения движения диска 1) в координатах хс, ус, 8, ф, ср, где хс, ус — координаты центра масс диска, 84 ф, ф — углы Эйлера, 2) в координатах х, у, 8, ф, ф, где х, у — координаты точки контакта диска с плоскостью, 8, Ф, Ф — углы Эйлера (см. задачу 50.11); 3) в квазикоординатах р, q, г, являющихся проекциями вектора мгновенной угловой скорости вращения диска на главные оси центрального эллипсоида инерции; At С—главные центральные моменты инерции диска.
Ответ:	=	~ -#- = Л2,
' dt дхс n dt дус
—	---— = — a (Л] sin ф — Л2 cos ф)со5 0,
dt <90	50
~ — а (М cos Ф + ^ sin Ф) sin 8,
"Й" “ ” а C0S S’n
хс — л8 cos 8 sin ф — аф sin 8 cos ф — аф cos ф = 0,
Ус + а8 cos 0 cos ф — аф sin 0 sin ф — аф sin ф = 0,
где Аг”—неопределенные множители, L — функция Лагранжа, L =-!• m (г2 + yl + a202 sin* 8) + А (ё2 + ф2соз28) +
4- ~ С (ф sin 8 + ф)2 — mga cos 0;
__1	_d_ dL ___. d dL ________ dL __d dL _________ .
’ dt die ~ *’ dt dy 2’ dt 50	50	’ dt di ’
	== — «(^-i cos ф 4- Л2 sin ф)
i — аф cos ф — 0, у — аф sin ф — 0,
386
где Л|,	— неопределенные множители, L — функция Лагранжа,
. L = — т [х2 4- у2 + а2(92 + ф2 sin2 0) 4-
4-	2ах (0 cos 9 sin ф ф sin 0 cos ф) —
— 2ау (0 cos 9 cos ф — ф sin 9 sin ф)] 4- -- Д (02 4- ф2 cos26) +
4-	С (ф sin 9 + ф)2 — mga cos'0;
3) (Д.4- та2)Р 4- Ар2 tg 9 — (С 4- та2) qr = mga sih 0,
Aq +Cpr — 4p^ig0 = 0 (C 4- ma2)r 4-pq — 0, 0 = p.
После того, как эти уравнения проинтегрированы, обобщенные координаты х, у, ф, <р находятся из соотношений
фсоз 0 = q, ф = г — q tg 0, х = аф cos ф, у — аф sin ф.
50.25. Используя решение предыдущей задачи, найти все возможные стационарные движения диска.
Указание. Стационарные движения диска отображаются состояниями равновесия в пространстве (6, Q, <о), где Q = ф, <а = <р + ф sin 0.
Ответ: Состояния равновесия. в пространстве (9, Q, <в) образуют поверхность П, уравнение которой (С4- та2)Й<о— Дй2 sin 9 4-.+ mga sin 9 = 0, представляющую двумерное многообразие стационарных движений диска. На этой поверхности точки прямой 0 = Q = 0 соответствуют такому качению диска по прямой, при котором плоскость диска сохраняет вертикальное положение. Точки прямой 9 == ш = 0 соответствуют верчению диска вокруг неподвижного вертикального диаметра. Все остальные точки поверхности П соответствуют круговым движениям.
50.20. Найти условия устойчивости движения диска 1) при качении диска по прямой, когда плоскость диска вертикальна; 2) при верчении диска вокруг неподвижного вертикального диаметра; 3) при качении диска по окружности, когда плоскости диска вертикальны.
Указание. Использовать решение задачи 50.24 (3) и задачи 50.25,
Ответ: 1) а2>т2р= С(С + та>) '
2) Я2>Й‘₽ = ТП&:
3) й2 [Д (1 4- 2 sin20) 4- ma2 Cos20] 4- Йю (ЗС 4- ma1) sin 9 4-
4-	(С 4- ma2) <в2 > mga cos 0,
Входящие в это неравенство величины связаны соотношением
(С 4- та2)йш — Дй2 sin 0 4- mga sin 0 = 0.
13*
387
ГЛАВА XII ДИНАМИКА КОСМИЧЕСКОГО ПОЛЕТА
§ 51.	Кеплерово движение (движение под действием центральной силы)
51.1 (50.1). Модуль силы всемирного .тяготения, действующий на материальную точку массы т, определяется равенством F — = тц/г21 где n =	— гравитационный параметр притягиваю-
щего центра (Л4—его масса, f — гравитационная постоянная) и г — расстояние от центра притяжения до притягиваемой точки. Зная радиус R небесного тела и ускорение g силы тяжести *) на его поверхности, определить гравитационный параметр ц небесного тела и вычислить его для Земли, если ее радиус R — 6370 км, a g = 9,81 м/с2.
Ответ-. ц — gR2; для Земли ц = 3,98-105 км3/с2.
51.2(50.2). Определить гравитационный параметр и ускорение силы тяжести gn на поверхности небесного тела, если известны отношения его массы и радиуса Rn к массе М и радиусу R Земли. Вычислить эти величины для Луны, Венеры, Марса и Юпитера, для которых соответствующие отношения даны в следующей таблице:
				Мп:М	
Луна	0,0123	0,273	Марс	0,107	0,535
Венера	0,814	0,953	Юпитер	317	10,95
Ответ:
	JA, КМ3/С2	g. м/с*		(1ч КНЗ/с2	g, М/с2
Луна Венера	4,90 • 103 326• I03	1,62 8,75	Марс Юпитер	42,8 • 103 126 • 103	3,69 26,0
51.3(50.3). Материальная точка равномерно движется по круговой орбите на высоте Н над поверхностью небесного тела радиуса R под действием силы всемирного тяготения. Определить скорость движения в] и период обращения Т материальной точки**).	_	____
|д, I S
Ответ: 1) О] =	= Д/ gи (круговая скорость на высоте
Я.для данного небесного тела);
*) Здесь и в дальнейшем предполагается, что сила притяжения небесного тела направлена к его центру; ускорения сил тяжести g даются без учета вращения небесных тел.
**) Во всех задачах этой главы сопротивлением атмосферы пренебрегаем.
388
Vr	/р _t_
— = 2л —-----\ Здесь г — расстояние от мате-
н	Ryg
риальной точки до центра небесного тела, ц—его гравитационный параметр, g — ускорение силы тяжести на его поверхности.
51.4(50.4). Пренебрегая высотой полета искусственного спутника над поверхностью небесного тела, определить первую космическую скорость Vj и соответствующий период Т обращения для Земли, Луны, Венеры, Марса и Юпитера.
Ответ-.
	О[. км/с	Т, мин		«1. км/с	Г, мии
Земля Луна Венера	7.91 1,68 7,30	84,3 108 87,5	Марс Юпитер	3,54 42,6	101 172
51,5(50.5). На какой высоте нужно запустить круговой спутник Земли, обращающийся в плоскости экватора, для того, чтобы он все время находился над одним и тем же пунктом Земли?
Ответ-. Н — 35 800 км.
51.6(50.6). Под каким углом р пересекается с земным экватором трасса спутника (проекция его траектории на земную поверхность), если он движется по круговой орбите высоты Н, наклоненной под углом а к плоскости экватора?
Ответ: tg 6 —	 s ,п . „ ,	, где й — угловая скорость су-
cos а + Q у(Я + л г : ц
точного вращения Земли и р. — ее гравитационный параметр.
51.7(50.7). Точка массы m притягивается к неподвижному центру по закону всемирного тяготения Fmyi/r2, где р — гравитационный параметр центра притяжения. Найти интеграл энергии.
Ответ: и2—2ц/г — h.
51.8(50.8). Определить, при какой высоте Н круговой орбиты спутника его потенциальная энергия относительно поверхности планеты радиуса равна его кинетической энергии.
Ответ: Н — R/2.
51.9(50.9). Определить, с какой скоростью войдет метеорит в земную атмосферу, если его скорость на бесконечности — = 10 км/с.
Ответ: v х 15 км/с.
51.10(50.10). Какую минимальную скорость v2 нужно сообщить космическому аппарату на поверхности планеты, чтобы он удалился в бесконечность?
Ответ: v2 — л/2 — вторая космическая скорость (щ — первая космическая скорость).
51.11(50.11). Определить вторую космическую скорость для Земли, Луны, Венеры, Марса и Юпитера.
389
Ответ-.
	V2* КМ/С	г	V2- КМ/С
Земля Луна Венера	11,2 2,37 10,3	Марс Юпитер	5,0 60,2
51.12(50.12). Точка движется под действием центральной силы. Считая, что модуль радиус-вектора г точки зависит от времени t сложным образом через полярный угол <р, определить скорость и ускорение точки*).
Ответ: v2 = с2[u2 +	= 0, wr = ± с2н2 (^- + «),
где и—\/г, с —у2ф =|rX— const — удвоенная секторная скорость, знак плюс для силы отталкивания, знак минус — для силы /притяжения.
51.13(50.13). Точка массы m движется под действием центральной силы по коническому сечению, уравнение которого в полярных координатах имеет вид г = “Т+^созф"’ гДе р и параметр и эксцентриситет траектории. Определить силу, под действием которой движется точка.
Ответ: Fq> = 0, Fr ——пщ/r2, где р = с2/р и с — удвоенная секторная скорость.
51.14(50.14). Точка массы m притягивается к неподвижному полюсу по закону всемирного тяготения F = тц/r2. Найти траекторию движения точки.
Ответ: -Кривая второго порядка (коническое сечение), уравнение которой в полярных координатах имеет вид г = , -|-ecos(<p —е) ’ где р — с2/ц, а е и е—произвольные постоянные интегрирования.
Указание. Воспользоваться ответом к задаче 51.12.
51.15(50.15). Материальная точка движется под действием силы всемирного тяготения по эллиптической траектории, эксцентриситет которой е< I, а параметр р. Зная интеграл площадей с = ~ г2 ф=]г X ц[, определить полуоси а и b эллиптической траектории и период обращения Т.
Ответ: а =—fe=^—Г =—2лр	= 2л а/^~ .
1-е2	Vt -е2	с(1 —е2)/г V ц
51.10(50.16). В условиях предыдущей задачи определить ускорение точки в моменты, когда она проходит апогей и перигей.
Ответ: wa =-^г(1 — «К	(1 +ef-
*) Здесь и в дальнейшем предполагается, что полюс полярной системы кем ординат совпадает с центром притяжения (отталкивания).
aw
51.17(50.17). Зная период обращения Т спутника вокруг Земли по эллиптической орбите и разность его апогея и перигея Н, определить эксцентриситет орбиты.
Ответ: е = Н aJ	.
51.18(50,18). Спутник движется около планеты радиуса R по эллиптической орбите с эксцентриситетом е. Найти большую полуось его орбиты, если отношение высот перигея и апогея равно -у <1.
Ответ: а = } у
51.19(50.19). Точка движется под действием силы всемирного тяготения F — пщ/г2. Выразить постоянную энергии h (см. задачу 51.7) через элементы траектории точки и гравитационный па-
раметр р.
Ответ: h — —p/а для эллиптической траектории (а — большая полуось эллипса), h = 0 для параболической траектории и h — ц/а для гиперболической траектории (а—вещественная полуось гиперболы).
51.20(50.20). В начальный момент материальная точка, движущаяся пр закону всемирного тяготения, находилась в положении, Мэ на расстоянии г0 от притягиваю-	Вершинаконического
щего центра и имела скорость по; Tfo	сечения
угол между вектором скорости v0	м I /
и линией горизонта (касательной,	/ s'
проведенной ® точке Мп к ок-ружности, центр которой совпа-дает с центром притяжения) рав- s' °	|
нялся 9о, а полярный угол был ра- .х	\—-Траектория
вен фо. Определить эксцентриситет /	/
е и угол е между полярной осью и фокусной линией конического сече-	К задаче 51.20
ния*).	________
Ответ:	+-^-Л, tg (<р0 - е) —	. где с =
— r0o0cos60— интеграл площадей, h == о2— 2ц/г — интеграл энергии.
51.21(50.21). Определить, какую скорость надо сообщить космическому аппарату, чтобы, достигнув высоты Н над поверхностью планеты и отделившись от последней ступени ракеты, он двигался по эллиптической, параболической или гиперболической траектории. Радиус планеты R.
Указание. Воспользоваться ответом к предыдущей задаче.
Ответ: При Vo < в2 траектория — эллипс,' при Ро = »2 — пара-
2 ff ~ *2 vi ~~
*) За положительное направление фокальной оси конического сечения принимается направление от полюса, совпадающего с одним из фокусов сечения, к ближайшей вершине.
391
параболическая скорость на высоте Н (щ — круговая скорость) .
51.22. Какую нужно’сообщить начальную скорость Do = из материальной точке у поверхности Земли, чтобы она могла покинуть пределы Солнечной системы.
Ответ: о0 = »з = д/»! + V2 (-\/2 — 0* «=*16,7 км/с, где V « » 30 км/с — круговая скорость Земли, v2 — вторая космическая скорость.
51.23(50.22 и 50.23). В момент отделения космического аппарата от последней высоте Н = 230 км
ступени ракеты он находился в точке Л4П на от поверхности Земли и имел начальную скорость г?0 = 8,0 км/с, причем вектор скорости Vo составлял с линией горизонта (касательной, проведенной в точке Л1о к окружности радиуса го) угол 0о — 0,02 рад.
Определить постоянную площадей с, параметр р траектории, постоянную энергии /г, направление большой оси эллиптической траектории спутника, эксцентриситет е траектории, апогей (Нтах) и перигей (//min) и период Т обращения спутника.
р = 7002 км, h = —56,6 км2/с2, е = начальный полярный угол радиус-век-= 1120 км, //min —210 км, Т = 98,5 мин.
Ответ: с — 52790 км2/с, = <р0 — 0,335 рад, где <ро — тора г0; е — 0,0649, Ятах =
§1.24(50.24). При каком направлении начальной скорости космический аппарат упадет на поверхность планеты радиуса R вне зависимости от величины начальной скорости?
Ответ: Если начальная скорость будет направлена внутрь конуса, описанного вокруг планеты из начальной точки.
51.25(50.25). При каких начальных условиях траектория космического аппарата, запущенного на высоте Н от поверхности планеты радиуса R, не пересечет ее поверхности?
Ответ: 1) о2 > о2 + я)2 cos2 60 - R2 C0S 00 > Я + Я ’ где 01— круговая скорость для данной планеты на высоте Н.
2) Начальная скорость должна быть направлена вне конуса, описанного вокруг планеты из начальной точки.
51.26(50.26). Найти зависимость между периодами Л обращения планет вокруг Солнца и большими полуосями а, их эллиптических траекторий.
а1 а2
Ответ: —5-=—5-для любых планет (третий закон Кеплера).
2 1
51.27(50.27). Период обращения одного из спутников Юпитера, называемого Ио, равен 1,77 суток, причем радиус его орбиты составляет 5,91 радиуса Юпитера. Среднее расстояние Юпитер —
392
Солнце равно 5,20 среднего расстояния Земля — Солнце (5,20-23 000 земных радиусов), а период обращения Юпитера вокруг Солнца равен 11,8 лет. Определить отношение массы Юпитера к массе Солнца (радиус Юпитера равен 11,14 радикса Земли).
Ответ: Масса Юпитера в 1000 раз меньше массы Солнца.
51.28(50.28). Под средним значением [г] радиус-вектора точки, движущейся по эллиптической траектории, понимается величина, определяемая равенством [г] = г dt, где Г —период обра-\	о
щения.
Определить среднее значение радиус-вектора планеты, если а—большая полуось, а е— эксцентриситет ее эллиптической траектории.
Ответ: [г] = о(1 +’/г®2)-
51.29(50.29). Два спутника, имеющие равные массы, движутся в одном направлении вокруг притягивающего центра по компланарным орбитам, одна из которых — круго-	---
вая радиуса г0, а другая — эллиптическая X X с расстояниями перигея и апогея г0 и 8г0	/х”
соответственно. Полагая, что спутники пу- К	1
тем непосредственной стыковки соединились иг ~ ~ ~\ае \ J & друг с другом в точке соприкосновения их	гПита >7
орбит и дальнейшее движение продолжали вместе, найти апогей их новой орбиты.
49
Ответ: Га —П)-	к задаче 51.30
51.30(50.30). Определить связь между истинной <f и эксцентрической Е аномалиями точки на эллиптической орбите эксцентриситета е.	_____
Ответ: tg—-
51.31(50.31). Выразить скорость в любой точке эллиптической орбиты через эксцентрическую аномалию.
V' ц	/ 1 + е cos Е
— А /-Н------F •
а V I — е cos Е
51.32(50.32). Найти на эллиптической орбите такие точки, скорость движения в которых равна среднему геометрическому скоростей в перигее и апогее.
Ответ: Е = ±л/2 (точки расположены на. концах малой оси эллипса).
51.33(50.33). Зная выражения для радиус-вектора точки, совершающей эллиптическое движение вокруг притягивающего центра:
г =-г-т------е., т — а(1 — ecosE)er,
1 + е cos ф п	'	г’
где ег — орт радиус-вектора г, проведенного из центра притяжения,-<р —истинная, а Е — эксцентрическая аномалии, найти выражения
393
для вектора орбитальной скорости этой точки, записанные в орбитальной и инерциальной системах координат.
Ответ: v = д/у [ere sin ф + (1 + е cos ф)],
Г Vi — е2 sin Е (1 — е2) cos Е ~| р L 1 — е cos Е ‘ е~ 1 — е cos Е j ’
где — орт, направленный из полюса в перигей, а е2 — орт перпендикулярного орту «1 направления.
51.34(50.34). В какой точке эллиптической орбиты угол наклона траектории к местному горизонту (плоскость, перпендикулярная радиус-вектору) достигает наибольшего 'значения? ’
Ответ: Е — ±л/2.
51.35(50.35). Спутник движется по круговой орбите радиуса г, ,делая один оборот за время Т. В результате получения радиального импульса скорости величины и он переходит на эллиптическую орбиту. Определить период обращения по эллиптической орбите.
Огеет:Г,= [>-(>)Т'
51.36(50.36). Спутник движется по круговой орбите радиуса г, делая одни оборот за время Т. В результате получения тангенциального’ (касательного) импульса скорости величины и он переходит на эллиптическую орбиту. Определить период обращения по эллиптической орбите Tt.
Отеет: г,= [-(-£)’-4Г
51.37(50.37). Спутник движется по круговой околоземной орбите радиуса г. Определить величину радиального импульса скорости, в результате которого спутник перейдет на эллиптическую орбиту с перигеем rt.
Ответ: д = д/Кл/т? “ Vr)'
51.38(50.38). Космический корабль движется, со скоростью л=30 км/с по орбите Земли, имеющей радиус r\ = 150-Ю6 км. Какой касательный импульс скорости и он должен получить, чтобы в афелии своей новой орбиты он достиг орбиты Марса (ъ = = 228-10® км)?
Решить такую же задачу для случая полета к орбите Венеры (г3== Ю8-106 км).
Ответ: На орбиту Марса: и = 2,95 км/с.
На орбиту Венеры: и = 2,55 км/с.
51.39(50.39). Спутник движется- по эллиптической околоземной орбите с радиусом перигея и апогея соответственно rj и г2. Определить величину касательного прироста скорости и в перигее, при котором высота апогея увеличится на Я, 394
Ответ: и =	(д/-? + *„ - л/т? )•	-
V П \ V г> + Г2 + Я V h + r2 )
51.40(50.40). Космический корабль, движущийся по круговой спутниковой орбите, должен стартовать с нес путем получения касательного импульса скорости и выйти на гиперболическую орбиту с заданным значением скорости на бесконечности v«. При каком радиусе Го начальной круговой орбиты величина необходимого импульса и будет наименьшей?
Ответ-. г0 = 2ц!в1о.
Г
§ 52. Разные задачи
52.1(51.1). Две свободные точки, массы/которых равны Ш\ и m2t движутся под действием сил взаимного притяжения. Определить закон движения первой точки относительно второй.
Ответ: Относительное движение происходит по тем же законам, что и абсолютное с гравитационным параметром
52.2(51.2). Какой вид примет зависимость между периодами Г/ обращения планет вокруг Солнца и большими полуосями at их эллиптических орбит, если учесть движение Солнца, вызванное притяжением соответствующей планеты?
а{	Af + m,
Ответ: —у : —=- — —-----, где гщ, m2, М — массы планет и
Ту	<И +
Солнца соответственно (сравнить с ответом к задаче 51.26).
52.3(51.3). Два однородных шара радиусов R} и R2 начали двигаться из состояния покоя под действием йил взаимного притяжения. Определить, с какой относительной скоростью vr столкнутся шары, если первоначальное расстояние между их центрами равнялось L, а массы шаров равны mi и т2.
Ответ:	л/ —4")’ где Н = f (w, + m2).
52.4(51.4). Две точки, массы которых равны пг} и пг2, начали двигаться из состояния покоя под действием сил взаимного притяжения. Определить время Т, через которое столкнутся точки, если первоначальное расстояние между ними равнялось L.
я /ТУ
Ответ: Т =% У 2^ ' гДе М = f ("h + m2>-
52.5(51.5). Две свободные точки, массы которых равны гп\ и пг2, движутся под действием сил взаимного притяжения. Определить закон движения точек относительно их центра масс С.
Ответ: Движение по отношению к центру масс происходит по тем же законам, что и абсолютное движение с гравитационными , т2	г «I
параметрами	+ и
395
52.6(51.6). Проекция центральной силы на радиус-вектор равна —	, где |1>0и V —некоторые постоянные. Определить
траекторию движущейся точки.
Ответ: 1) v<c2, г— , ,  р. .—где с = г2ф — const, >	’	14- е cos я (<р — в)	т
р — -с ~v, , А2=1 —е и в—произвольные постоянные.
2) v = с2,	+ Cs<p + С2, Ci и С2 — постоянные интег-
рирования;
3) * > с2, г = -j-v-—------г, где р— —~——, А2 = -X — 1,
7	’	1 + е ch k (<р — в) r	Н	с2
е и е — произвольные постоянные.
52.7(51.7). Космический аппарат массы m приближается к планете по прямой, проходящей через ее центр. На какой высоте Н от поверхности планеты нужно включить двигатель, чтобы создаваемая им постоянная тормозящая сила, равная тТ, обеспечила мягкую посадку (посадку с нулевой скоростью)? Скорость космического аппарата в момент включения двигателя равна гравитационный параметр планеты ц, ее радиус притяжением других небесных тел, сопротивлением атмосферы и изменением массы двигателя пренебречь.
Ответ:
вершить двигатель
н=~5т{т+т^+4~±л/^+т^+4'У-4iiT}-R; знак плюс, если Т > р//?2, и знак 'минус, если Т < р,//?2.
52.8(51.8). Определить полезную работу, которую должен со-ракеты, чтобы поднять космический аппарат на высоту Н над поверхностью планеты и сообщить ему на этой высоте круговую и параболическую космические скорости. Масса космического аппарата на поверхности планеты равна М, радиус планеты /?; сопротивлением атмосферы пренебречь. Вычислить эту работу для второй космической скорости для Земли, если М — 5000 кг.
Ответ: Ai—MgR	А = MgR,
Л2 = 31,85- 107 кН-м.
52.9(51.9). Космический аппарат вращается с угловой скоростью Йо. Определить, какую полную работу должен совершить двигатель маховика Л4, чтобы остановить вращение космического аппарата, считая, что вращение последнего происходит вокруг поступательно перемещающейся оси, проходящей через его центр масс. Ось вращения маховика совпадает с осью вращения аппарата; ] и Л — моменты инерции маховика и аппарата (вместе с маховиком) относительно общей оси вращения. В начальный момент - угловая скорость маховика равна угловой скорости аппарата.
396
Ответ: Л =4 М/ву~Л Оо-
52.10(51.10). Считая, что статор электромотора системы, описанной в задаче 52.9, создает вращающий момент Л4вр — Л40 — ум, где Мо и х—некоторые положительные постоянные, <о — относительная угловая скорость маховика, найти условие, необходимое для того, чтобы торможение вращения космического аппарата произошло за конечное время. Предполагая, что это условие выполнено, определить время Т торможения. .
Ответ: Мй>х4-Йо. Г= 1п о •
52.11(51.11). Определить угол if, на который повернется космический аппарат за время торможения вращения, если оно,осуществляется способами, описанными в задачах 52.9 и 52.10.
Омет: ч, =	D _	(М> _ йх/о) |„	.
52.12(51.12). Для поворота корпуса космического аппарата используется электродвигатель-маховик, уравнение движения которого на вращающемся аппарате имеет вид й 4-<о/Г — и, где (о — относительная угловая скорость маховика, Т — его постоянная времени, и —управляющее напряжение, принимающее значения ±«о. Определить длительность ti разгона (и = «о) и торможения ti(u =—по) маховика, если первоначально невращающийся корпус при неподвижном маховике требуется повернуть на заданный угол <р и остановить. Ось вращения маховика проходит через центр масс космического аппарата; движение считать плоским. Моменты инерции маховика и аппарата относительно общей оси вращения соответственно равны J в /о.
Ответ: Л = т + Т In (1 Д- л/1 — е~*,г),	= Т 1п (1 Д- V1 — е
Лф
гдет~7о^Т‘
ГЛАВА ХЩ
устойчивость равновесия системы, теория колебаний, устойчивость ДВИЖЕНИЯ
§ 53, Определение условий равновесия системы.
Устойчивость равновесия
53.1(52.1). Ось вращения АВ прямоугольной пластины наклонена под углом а к вертикали. Определить момент сил М относи-3	тельно оси АВ, который нужно приложить к пластине для ее по-
•	ворота на угол Ф. Вес пластины Р, расстояние от центра масс G
J пластины до оси АВ равно а.
j	Ответ: М = Ра sin a sin Ф.
I 53.2(52.2). Шарнирный шестиугольник, состоящий из шести рав-jr ных однородных стержней веса р каждый, расположен в верти-
397
' калькой, плоскости. Верхняя сторона шестиугольника АВ неподвижно закреплена в горизонтальном положении; остальные сто-j роны расположены симметрично по отношению к вертикали, лро-; - ходящей через середину АВ. Определить, какую вертикальную j силу Q надо приложить в середине горизонтальной стороны, про-; х тивоположной АВ, для того чтобы система находилась в безраз-1 ’ личном равновесии, ; ; Ответ: Q = Зр. ’
К задаче 53. i	•	К задаче 53.2
53.3(52.3). К однородному стержню АВ длины 2а и веса Q, подвешенному на двух нитях длины I каждая, приложена пара сил с моментом М. Точки подвеса нитей, расположенные на одной горизонтали, находятся на расстоянии 2ft друг от друга. Найти угол О, определяющий положение равновесия стержня.
Ответ: В положении равновесия угол О находится из уравнения М	— (a — b? — 4ab sin» (0/2) — Qab sin а.
53.4(52.4). Прямолинейный однородный стержень АВ длины 2/
IX задаче tw.o	задаче	задаче ол.р
h’: ней угол ф. Стержень опирается также на гвоздь С, параллельный |	стене. Гвоздь отстоит от стены на расстоянии а. Определить угол
, тг ф в положении равновесия стержня.
j '	Ответ: sin ф =	-
,	53.5(52.5). На гладкий цилиндр радиуса г опираются два одпо-
; родных тяжелых стержня, соединенных шарниром А. Длина каж-i , дого стержня равна 2а. Определить угол 2Ф раствора 'Стержней, р" соответствующий положению равновесия.
К задаче 63.6
Ответ-. Угол О определяется из уравнения atg’O — rtg8#_
—r=o.	' . -Л
53.6. Система состоит из двух однородных стержнёй ОА и АВ длины а и массы ш, расположенных в вертикальной плоскости. В точке А стержни соединены шарниром. В точке О — неподвижный шарнир. В точке В стержень АВ соединен шарниром с телом С массы mi, которое может перемещаться по вертикали, проходящей через точку О. Середины стержней ОА и АВ соединены пружиной жесткости с. Длина пружины в ненапряженном состоянии
а. Найти положения равновесия и условия их устойчивости. Трением и массой пружины пренебречь.
• Ответ: При 2(m + m:)g > с[а — /о) одно устойчивое состояние равновесия ф;=0, при 2(т + -Ь mi)g < с (а'—/о) два состояния равновесия — неустойчивое ф| = 0 и устойчивое
2 (т 4- tri]) g -|- cl0 Ф, = arccos —-———. ca
53.7(52.7). Концы однородного тяжелого стержня длины I могут скользить без трения по кривой, заданной уравнением f(x, у) = 0. Определить положения равновесия стержня. (Ось у направлена по вертикали вверх, ось х— по горизонтали вправо.)
Ответ: Координаты концов стержня, отвечающие положениям равновесия, будут решениями системы
(х2 —Xj)2 + (y2 —УО2 —Z2 = 0, f(xt, f/i) = 0, f(x2, у2) = 0,
V2 У1) QXl	2  l) [dX1 ду2 +	QXi J-
53.8(52.8). Однородный тяжелый стержень длины I может скользить свойми концами без трения по параболе у — ах2. Определить возможные положения равновесия. (Ось у направлена по вертикали вверх, ось х— по горизонтали вправо.)
Ответ: Первое положение равновесия:
xz = —Xj = 1/2, yi = у2 = al2/А.
Второе положение равновесия определяется из уравнения ch|=Vfl^ формулам
Л	yi=^-Le-^ х =4~е*, у2 =
1 2а у 1 4а ’ г 2а ’	4d
53.9(52.9). Решить задачу 53.7 в предположении, что кривая является эллипсом (f(x, f/)=-jr + — 1 “Oj, а длина стержня удовлетворяет условию I <. 2а. Определить возможные положения равновесия стержня.
Указание. Вместо декартовых координат следует ввести координату ф (эксцентрическую аномалию) с помощью соотношений х = a cos ср, у = b sin <р
899
Ответ: Положения равновесия отвечают значениям эксцентрических аномалий, определяемым из уравнений
а)	= п — <р2, cos ф2 = д/^7 (существует при / 2а);
с.'п Фа ~ Ф' _	/ 1	„„„ Фг +	/! — lb/(2a2) ,
б)	sin 2 Д/ 2b . cos 2	— д/ 1 _ Ь2^а2) (сущест-
вует при а > b и I < 26).
53.10(52.10). По гладкому проволочному кольцу, радиуса J?. расположенному в вертикальной плоскости, может скользить без трения колечко А. К этому колечку на нити подвешен груз массы ni<; другая нить, перекинутая через ничтожно малый блок В, расположенный на конце горизонтального диаметра большого кольца, имеет на конце С др'угой груз Q массы ггц. Определить положения равновесия колечка А и исследовать, какие из нцх устойчивы, какие нет.
Указание. Положение колечка А следует характеризовать центральным углом q> = ^.DOA. Надо отдельно рассматривать равновесие колечка на верхней и нижней полуокружностях.
К задаче 53.11
Ответ: На верхней полуокружности (0 < ф < л) при любых значениях гпч!гп\ существует положение неустойчивого равновесия
Ф<1	1 I / nil	m<, j
sin—=— I а / —=- + 8 — —• I, причем 0 < фо < л/2. На ниж-
2	4 \ V га1	ОТ1 7
ней полуокружности (л <; ф < 2л) при ni2/m.\	1 существует по-
Фо 1 (	/	\
ложение устойчивого равновесия sin — = ~ I д / -^г 4- 8 4- I, причем л < фо < —2~.
53.11(52.11). Однородная квадратная пластинка может вращаться в вертикальной плоскости около оси, проходящей через угол О; вес пластинки Р, длина ее стороны а. К углу А пластинки привязана нить длины /, перекинутая через малый блок В, отстоящий на расстоянии а по вертикали от точки О. На нити висит груз
400
К задаче 53.13
К задаче 53.12
а < 2/?). Это положение разпове-
всса Q = -^- Р- Определить положения равновесия системы и исследовать их устойчивость.
Ответ: Положения равновесия отвечают следующим значениям угла ф: = 0, хр2 = л/6, ф3 = я/2, ф4 = Зл/2. Первое и третье положения равновесия устойчивы.
53.12(52.12), Однородный тяжелый стержень АВ длины 2а опи- . рается на криволинейную направляющую, имеющую форму полуокружности радиуса R. Определить, пренебрегая трением, положение равновесия и исследовать его устойчивость.
Ответ: В положении равновесия стержень наклонен к горизонтальной линии под углом <ро, определяемым из уравнения
cos ф0= -^-[а + д/а2 + 32Я2] (предполагается, что -\/21ъР сия устойчиво.
53.13(52.13), Подъемный мост О А схематически изображен на рисунке в виде однородной пластины веса Р и длины 2а. К середине края пластины прикреплен канат длины I, перекинутый через малый блок, лежащий на вертикали на расстоянии 2а над точкой О. Другой конец. С каната соединен с противовесом, скользящим без трения по криволинейной направляющей. Определить форму этой направляющей и вес противовеса Q так, чтобы система находилась в безразличном равновесии. При горизонтальном положении моста противовес С находится на прямой ОВ.
Ответ: Q-P/^2-, уравнение направляющей в полярных координатах г, О: г2 = 2 (/ — 2 д/2 a cos -0-) г -f-+ 4 д/2 al — Р — 8а2.
53.14(52.14). Исследовать устойчивость вертикального положения равновесия «обращенного» двойного маятника, изображенного на рисунке. Маятник может быть схематизирован в
'
vw\j ;
1г
К задаче
53.14
лт
Л с
(ЮТ h С
лт • h
2h
Y. .	й
К задаче 53.13
3h
виде двух материальных точек масс т\ и т2, связанных стержнями длин 1\ и /2. В вертикальном положении равновесия пружины (жесткости их Cf и с2) не напряжены.
Ответ: Условия устойчивости имеют вид с{1\ > nug,
[(с< + *2) 4 " К + "4) 5] [СЛ - m(^] > ci44-
53.15(52.15). Исследовать устойчивость вертикального положения равновесня системы маятников, изображенной на рисунке; длина стержня первого маятника 4Л, второго ЗЛ и третьего 2й,
401
Массы всех маятников и жесткости пружин одинаковы и соответственно равны тис. Расстояния точек прикрепления пружин от центров масс равны h. Массой стержней пренебречь, а массы т рассматривать как материальные точки; когда маятники находятся в вертикальном положении, пружины не напряжены.
Ответ: Условия устойчивости имеют вид
13сА2 — 4mgh > 0, 49с2Л'1 — 59/п#еЛ3 + 12m2g2h2 > 0, Збс3/!6— I53mgc2h5 -j- 130m2g2cA4 — 24m3g2A3 > 0.
53.16(52.16). В маятнике паллографа груз М подвешен на стержне ОМ, свободно проходящем через вращающийся цилиндрик .	О и шарнирно соединенном в точке А с коромыс-
Zz	лом АО], вращающимся около оси Длина коро-
7]	мысла г, расстояние от центра масс груза до шар-
/ !	нира А равно I, расстояние 00] = h. Исследовать
\,f	’	устойчивость вертикального ‘положения равновесия
/ / \ |	маятника. Размерами груза и массой стержней
пренебречь.
X4 Ответ: При \rl'>h_ — r— положение равно-1 весия устойчиво; при y'rl < h — г — неустойчиво.
К задаче 53.16	53.17(52.17). ПрЯМОЛИНвЙНЫЙ ПрОВОДНИК, ПО KO-
торому течет ток силы q, притягивает параллельный ему провод АВ, ио которому течет ток силы fa. Провод АВ
нмзет массу т\ к нему присоединена пружина жесткости с; длина каждого из проводов /. При отсутствии в проводе АВ тока рас-ояние. между проводами равно а. Определить положения равно-
весия системы и исследовать их устойчивость.
Указание. Сила взаимодействия двух параллельных проводников с токами и и it длины I, отстоящих на расстоянии d друг от друга, ,	г. 2Z,1*2 г
определяется по формуле F ——I.
л	т -г	21) 12^ . (А
Ответ: При а ==--------- < —т~ имеются
г	с 4
два положения равновесия: Xj =
К задаче 53.17 К задаче 53.18	/ сг
+ Д/~4----а‘> х< отвечает устойчивому
положению равновесия, х%— неустойчивому. При ы>а214 положений равновесия нет. При а = а2/4 имеем единственное положение равновесия, которое неустойчиво.
53.18. Стержень ОА длины а мо^кет свободно вращаться вокруг точки О. К концу А стержня шарнирно прикреплен стержень АВ длины а, на другом конце которого закреплен груз В массы т. Точка О и точка В соединены между собой пружиной жесткости с. Масса пружины пренебрежимо мала, длина пружины в ненапря
402
жен ном состоянии равна а. Найти положения равновесия, считая, что система расположена в вертикальной плоскости. Массой стержней АВ и ОА пренебречь.
Ответ: Четыре состояния равновесия
Ф,=0, Ч>1 = °; qfe == тг, ф2 — Л; <р=Тфз, -ф=±ф2,
где cos ф3 = cos Ф2 —	—• При mg > са устойчиво состояние
равновесия ф1 = 0, ф t — 0. При mg < са устойчивы состояния равновесия ф — Ч=фз, ф = ±фз- Состояние равновесия ф2 = л, ф2 = л всегда неустойчиво.
§ 54.	Малые колебания системы с одной степенью свободы
54.1(53.1). Жесткий стержень ОВ длины I может свободно качаться на шаровом шарнире около конца О и несет шарик веса Q на другом конце. Стержень удерживается в горизонтальном положении посредством нерастяжимого вертикального шнура длины h. Расстояние О А —а. Если шарик оттянуть перпендикулярно плоскости рисунка и затем отпустить, то система начнет колебаться. Пренебрегая массой стержня, определить период малых колебаний системы.
К задаче S4.1
54.2(53.2). Определить период малых колебаний астатического маятника, употребляемого в некоторых сейсмографах для записи колебаний почвы. Маятник состоит из жесткого стержня длины I,
несущего на конце массу т, зажатую между двумя горизонтальными пружинами жесткости с с закрепленными концами. Массой стержня пренебречь, и считать пружины в положении равновесии
ненапряженными.
Ответ: Т —
2л
54.3(53.3). Маятник состоит из жесткого стержня, длины /, несущего массу m на своем конце. К стержню прикреплены две пружины жесткости с на расстоянии а от его верхнего конца; проти
403 .
воположные концы пружин закреплены. Пренебрегая массой стержня, найти период малых колебаний маятника.
Ответ'. Т = — —  —.
. / 2са2 । Я
54.4(53.4). Предполагая, что маятник, описанный в предыдущей задаче, установлен так, что масса m расположена выше точки подвеса, определить условие, при котором вертикальное положение
К задаче 54.3
равновесия маятника устойчиво, и вычислить период малых колебаний маятника.
Ответ: а2>^~. Т =— ** 2С	{ 2са2 g
У ml2 Т
54.5(53.5). Цилиндр диаметра d и массы m может катиться без скольжения по горизонтальной плоскости. Две одинаковые пружины жесткости с прикреплены посредине его длины на1 расстоянии а от оси цилиндра; противоположные концы пружин закреплены. Определить период малых колебаний цилиадра.
Ответ' Т = 	л.!•
итвет. 1 j + /у с
К задаче 54.6
К задаче 54.5
54.6(53.6). Определить период малых колебаний метронома, состоящего из маятника и добавочного подвижного груза G массы т. Момент инерции всей, системы относительно горизонтальной осн вращения изменяется путем смещения подвижного груза G.
404
Масса маятника М; расстояние центра масс маятника от оси вращения О равно So; расстояние OG — s; момент инерции маятника относительно оси вращения 70.
Ответ-. Т = 2л у/	’
W/4
54.7(53.7). Тело, подвешенное на двух вертикальных нитях длины / каждая, расстояние между которыми 2ау закручивается вокруг вертикальной оси, лежащей в плоскости нитей и равноудаленной от них (бифилярный подвес). Радиус инерции тела относительно оси вращения р. Найти период малых колебаний.
Ответ-. Т
54.8(53.8). Круглый обруч подвешен к трем неподвижным точкам тремя одинаковыми нерастяжимыми нитями длины I, так, что плоскость обруча горизонтальна. Нити в положении равновесия обруча вертикальны и делят окружность обруча на три равные части. Найти период малых колебаний обруча вокруг оси, проходящей через центр обруча.
К задаче 54.7
54.9(53.9). Тяжелая квадратная платформа ABCD массы М подвешена на четырех упругих канатах, жесткости с каждый, к \0	неподвижной точке О, отстоя-
К задаче 54.9
щей в положении равновесия системы на расстоянии I по
К задаче 54.!0
вертикали от центра Е платформы. Длниа диагонали платформы а. Определить период вертикальных колебаний системы.
Ответ- Т-2л 1М (а* + 42)	1
итвет. 1 —2л с )6/2	Mga2 .
V	' |6сР
54.10(53.10), Уголок, составленный из тонких однородных стержней длин I и 21 с углом между стержнями 90°. может вращаться вокруг точки О. Определить период малых колебаний уголка около положения равновесия,
405
Огает: 7—a/—.-=7,53 а/4-.
.	^г? V г У t
54.11(53.11). Определить период малых свободных колебаний маятника массы М, ось вращения которого образует угол р с горизонтальной плоскостью. Момент инерции маятника относительно оси вращения Л расстояние центра масс от оси вращения s.
Ответ: Т — 2л а/ .г-7—
V mgs COS Р
54.12(53.12). В приборе для регистрации вертикальных колебаний фундаментов машин груз Q массы т, закрепленный на вертикальной пружине, коэффициент жесткости которой сь шарнирно соединен со статически уравновешенной стрелкой, выполненной в виде ломаного рычага с моментом инерции / относительно оси вращения О и отжимаемой к равновесному положению горизонтальной пружиной с коэффициентом жесткости Определить период свободных колебаний стрелки около ее вертикального равновесного
К задаче 54.12
К задаче 54.13
положения', если О А = а и ОВ = Ь. Размерами груза и влиянием первоначального натяжения пружины пренебречь.
Ответ: Т = 2л а /	•
V cia2 + c2b3
54.13(53.13). Амортизационное устройство может быть схематизировано в виде материальной точки массы т, соединенной п пружинами жесткости с с вершинами правильного многоугольника. Длина каждой пружины в ненапряженном состоянии а, радиус ч окружности, описанной около многоугольника Ь. Определить частоту горизонтальных свободных колебаний системы, расположенной в горизонтальной плоскости. .
Указание. Для вычисления потенциальной энергии с точностью до величин второго порядка малости включительно следует определить удлинение пружин с той же степенью точности.
,	/ пс 2Ь — а
Ответ:
406
54,14(53.14). В предыдущей задаче определить частоту колебаний, перпендикулярных плоскости многоугольника. Массами пружин пренебречь.
_	,	/ пс (Ь — а)
Ответ:	---•
54.15(53.15). Определить частоту малых вертикальных колебаний материальной точки Е, входящей в состав системы, изображенной на рисунке.. Масса материальной точки ш. Расстоянии
К задаче 54.15
К задаче 54.16
АВ = ВС и DE-EF-, жесткости пружин с2, Сз, с4 заданы. Бруски АС и DF считать жесткими, не имеющими массы.
Ответ: k =
54.16(53.16). На нерастяжимой нити длины 4а находятся три груза, массы которых соответственно равны /и, М, т. Нить симметрично подвешена за1 концы так, что ее начальный и конечный участки образуют углы а  с вертикалью, а средние участки — углы (J. Груз М совершает малые вертикальные колебания. Определить частоту свободных вертикальных колебаний груза М.
Ответ:
К задаче 54.17
k =
sin {} + cos2 a sig а) а sin (Р — а) cos ((} — и) ’ _	п М sin (fi — а)
При этом 2m —-------:-----7“
r	siaacosf}
54.17(53.17). Вертикальный сейсмограф Б. Б. Голицина состоит из .рамки ЛОВ, па которой укреплен груз веса Q. Рамка может вращаться вокруг гори-
зонтальной оси О. В точке В рамки, отстоящей от О на расстоянии о, прикреплена пружина жесткости с, работающая на растяжение. В положении равновесия стержень ОА горизонтален. Момент инерции рамки и груза относительно О равен J, высота рамки Ь. Пренебрегая массой пружины и считая, что центр масс груза и рамки находится в точке А, отстоящей от О на расстоянии /, определить частоту малых колебаний маятника.
407
К задаче 54.IS
t, са2 - Р^Ь - b!L)	г „ I
Ответ: к = а/-----------j-------. где Fo — Q—— натяжение
пружины в положении равновесия, L — длина пружины в положении равновесия.
54.18(53.18). В вибрографе, предназначенном для записи колебаний фундаментов, частей машин и т. п., мантник веса Q удерживается под углом а к вертикали с помощью спиральной пружины жесткости с; момент инерции маятника относительно оси вращения О ра-. вен 7, расстояние центра масс маятника от оси вращения s. Определить период свободных колебаний вибрографа.
Ответ: Т = 2л а/	/	-.
V Qs sin а 4- с
54.19(53.19).- В вибрографе для зоитальных колебаний маятник щий из рычага и груза, может
записи гори-О А, состоя-
, _ ,	качаться во-
круг горизонтальной оси О около вертикального положения устойчивого равновесия, удерживаясь в этом положении собственным весом и спиральной пружиной. Зная максимальный статический момент силы тяжести маятника Qa ~ 45 Н-см, момент инерции относительно оси О 7 — 0,3 кг-см2 и жесткость при кручении пружины с = 45 Н-см, определить период собственных колебаний маитника при малых углах отклонения.
Ответ: Т = 0,364 с.
К задаче 54.19
К задаче 54.20,
54.20(53.20). Найти, при каком условии верхнее вертикальное положение равновесия маятника является устойчивым, если свободному вращению маятника препятствует спиральная пружина жесткости с, установленная так, что при верхнем вертикальном положении маятника она не напряжена. Вес маятника Р. Расстояние от центра масс маятника до точки подвеса равно а. Найти также период малых колебаний маятника, если его момент инерции относительно оси вращения равен 7о.
Ответ: с > Ра, Т = 2я л/—•
’	\/ г — Р/т
408
54.21(53.21). Показать, что при с < Ра маятник, рассмотренный в предыдущей задаче, будет иметь не менее трех положений равновесия. Найти также период малых колебаний.
Ответ: При ф —О—неустойчивое положение равновесия. Устойчивые положения равновесия будут при ф = <р0 > 0, ф = = ф0 < 0, где фо — корень уравнения sin <р = ^-ф.
Т 2л /\J ра cos	.
54.22(53.22). Стержень ОА маятника при помощи шатуна АВ соединен с маленькой стальной рессорой ЕВ жесткости с. В ненапряженном состоянии рессора занимает положение ЕВ^, известно, что к рессоре нужно приложить силу Fo, направленную по ОВ, чтобы привести ее в положение ЕВ0, соответствующее равновесию маятника; ОА = АВ— а-, массой стержней пренебрегаем; расстояние центра	
масс маятника от оси вращения ОС = I;	j \ а
вес маятника Q. С целью достижения наи-	L
лучшего изохронизма (независимость не-	I /тЧ.
риода колебаний от угла первоначального	| #
отклонения) система отрегулирована так,	I //а
чтобы в уравнении движения маятника _______
Ф = f (ф) = —₽Ф + • • •	'^Г~'~АВ0
первый ИЗ отброшенных членов был ПО-	к задаче 54.22
рядка ф5. Установить, какая зависимость
должна для этого иметь место между постоянными Q, Л>, с, а, Е и вычислить период малых колебаний маятника.
O^r:Q/-2«f0=12A,	= V.-aUw)-
54.23(53.23). Показать, что при условии предыдущей задачи увеличение периода колебаний при отклонениях маитника от. положения равновесия на угол ф0 = 45° не превышает 0,4 %. Каково будет при этих условиях изменение периода простого маятника?
Ответ. Сохраняя в уравнении движения маятника член ф5. получим ? = 2я/\/^-^^~=(1 +-§-); для простого маятника при отклонении на угол 45° изменение периода составляет
54.24(53.24). При условиях задачи 54.22 маятник отрегулирован так, что Q/ = 2aF0. Найти период малых колебаний маятника при отклонении его от положения равновесия на угол фо.
Ответ: Т = ~ д Д С dx . = 5 24 — д/—•
«Фо V eg ) д/i — х*	“Фо V eg
о
54.25(53.25). В маятнике паллографа груз М маятника повешен на стержне, свободно проходящем через вращающийся цилиндрик
409
О и шарнирно Соединенном в точке А с коромыслом АО\, качающимся вокруг неподвижной оси О\. При 'каком условии вертикальное положение стержня ОМ маятника будет положением устойчи-вогц равновесия? Найти период малых колебаний маятника около этого положения. Размерами груза и массой стержней пренебречь. (Размеры стержней указаны на рисунке к задаче 53.16.)
Ответ: h-~r<^rl, T=2x(h — r +1} aJ [Н _ g .
54.26(53.26). Пренебрегая массой стержней найти период малых колебаний маятника, изображенного на рисунке. Центр масс груза находится на продолжении шатуна шар-мирного четырехзвенника ОАВОг в точке С.
i	В положении равновесия стержни ОА и ВС
!	вертикальны, стержень О\В горизонтален:
j X	OA=AB = a-,AC = s.
I „ е	Ответ: Т = 2л —.
Vg (s — а)
J 54.27(53.27). Определить период колебания \_/ груза Р массы т, подвешенного на пружине 1	с закрепленным верхним концом, если коэф-
к задаче 54.2S фициенг жесткости пружины равен с, масса пружины то. Принять, что отношение отклонений двух точек пружины от своих положений равновесия равно отношению соответствующих расстояний этих точек до закреплен-
ного конца пружины.
Vm + 4- «о
---с--
. 54.28(53.28). На нижнем конце вертикального цилиндрического упругого стержня с закрепленным верхним концом прикреплен в своем центре горизонтальный диск с моментом инерции J относительно вертикальной оси, проходящей через центр; момент инерции стержня относительно его оси равен Jo’, коэффициент жесткости стержия при закручивании, т. е. момент, необходимый для закручивания ни-жнего конца стержня на один радиан, равен с. Определить период колебаний системы.
т . А + о/з
Ответ: Т — 2я aJ —-—.
54.29(53.29). Груз веса Q укреплен посредине балки, свободно опертой на концах; длина балки /, момент инерции поперечного сечения’ J, модуль упругости материала Е. Определить, пренебрегая массой балки, число колебаний, совершаемых грузом в минуту.
/ JJJ
Ответ: п —2080д/^з-, причем за единицу длины принят сантиметр.
54.30(54.^3). Двутавровая балка с моментом инерции сечения /= 180 см4, длины 1 = 4 м лежит на двух одинаковых упругих
410
опорных пружинах, жесткость которых с =1,5 кН/см, и несёт посредине.груз веса Q = 2 кН. Пренебрегая весом балки, определить период свободных колебаний системы. Модуль упругости материала балки Е — 2-Ю4 кН/см2.
Ответ: Т = 0,238 с.
К задаче 54.30	К задаче 54.31
54.31(53.54). В конце В горизонтального стержня АВ длины /, заделанного другим концом, находится груз веса Q, совершающий колебания с периодом Т. Момент инерции сечения стержня относительно центральной оси сечения, перпендикулярной плоскости колебаний, равен J. Найти, модуль упругости материала стержня.
Ответ:
54.32(53.35). Диск массы М и радиуса г может катиться без скольжения по горизонтальной прямой. К диску жестко прикреплен стержень длины I, на конце которого находится точечная масса tn.
К задаче 54.32
К задаче 54.33
Найти период малых колебаний системы. Массой стержня пренебречь.
Ответ- Г = 2ла/^±^
. итвет.	2mg (г +1) •
54.33(53.36). На шероховатый круглый полуцилиндр радиуса
положен призматический брусок массы М с прямоугольным поперечным сечением. Продольная ось бруска перпендикулярна оси цилиндра. Длина бруска 2/, высота 2а. Концы бруска соединены с полом пружинами одинаковой жесткости с. Предполагая, что брусок не скользит по цилиндру, найти период его малых колебаний. Момент инерции бруска относительно поперечной горизонтальной оси, проходящей через центр масс, равен /о-
Ответ: Т = 2л а /	Ма* + ^°
Л/ 44g(/f-a) + 2d»
411
54.34(53.37). Острота амплитудно-частотной характеристики системы с одной степенью свободы при действии силы трения, пропорциональной скорости, характеризуется «половинной шириной» амплитудно-частотной характеристики. «Половинная ширина» амплитудно-частотной характеристики измеряется разностью меж-; ду двумя частотами, для которых амплитуда колебаний равна половине амплитуды, сответствующей резонансу. Выразить «половинную ширину» амплитудно-частотной характеристики Л через «коэффициент расстройки частот» г = сл/k и через приведенный коэффициент затухания 5 = п/#.. Дать приближенную формулу для случая 6 < 1 (<в — частота вынуждающей силы, k — частота собственных колебаний; ври резонансе г — 1).
Ответ: «Половинная ширина» амплитудно-частотной характеристики равна
Д = z2 _ Zj = д/1 - 2d2 -Ь 26 УГфб5 —	- 262 - 26 д/З’+б2.
или, если 6	1, Д «= 26д/3.
54.35(53.38). В вибрографе, употребляемом для записи вертикальных колебаний, стержень ОА, соединенный с пишущим пером прибора, может вращаться вокруг горизонтальной оси О. Стержень ОА на конце А несет груз Q и удерживается в горизонтальном положении равновесия спиральной пружиной. Определить относительное движение стержня ОА, если виброграф укреплен на фундаменте, совершающем вертикальные колебания по закону z — 0,2 sin 25/ см. Жесткость при кручении пружины с = 1 Н-см, момент инерции стержня ОА с грузом Q относительно О равен 7=4 кг-см2, Qa — 100 Н-см. Собственными колебаниями стержня пренебречь.
Ответ: (р — 0,0051 sin 25/.
54.36(53.39), В вибрографе, описанном в задаче 54.35, стержень снабжен электромагнитным тор'мозом в виде алюминиевой пластины, колеблющейся между полюсами неподвижно закрепленных магнитов. Возникающие в пластине вихревые токи создают торможение, пропорциональное первой степени скорости движения пластины и доведенное до границы апериодичности. Определить вынужденные колебания стрелки прибора, если последний закреплен на фундаменте, совершающем вертикальные колебания по закону z = hsin pt.
Ответ: х. = сир = — ®ah----— sin (pt — в), tg е = —— •
К задаче 54.35
412
54.37(53.40). Вертикальный двигатель массы А4| закреплен на фундаменте, имеющем площадь основания S; удельная жесткость грунта равна %. Длина кривошипа двигателя г, длина шатуна I, угловая скорость вала и, масса поршня и неуравновешенных частей, совершающих возвратно-поступательное движение, равна ЛГ2, масса фундамента Л4з; кривошип считать уравновешенным при помощи противовеса. Массой шатуна пренебречь. Определить вынужденные колебания фундамента.
Указание. При расчетах пренебречь всеми членами, содержащими малое отношение гЦ в степенях выше первой.
Ответ-; Смещение центра масс фундамента от положения равновесия
М;Г<В2
К задаче 5437
l = ,,, .	------ST cos G>f +
b (Л4, + ЛЫ (fe2 — «r)
. r ___________Л4дга*
,	/ iz I ’ I/ > / г2	л 2s-	2 ft)/.
I (ЛГ| 4-Ms) (fc —4tt>2)	*
VA.S-
ЛТ, + М~3 ‘
54.38(53.41). Рассчитать вес фундамента под вертикальный двигатель массы М. = 104 кг таким образом, чтобы амплитуда’ вынужденных вертикальных колебаний фундамента не превосходила 0,25 мм. Площадь основания фундамента 5=100 м2, удельная жесткость грунта, находящегося под фундаментом, Х = 490 кН/м3. Длина кривошипа двигателя г = 30 см, длина шатуна /= 180 см, угловая скорость вала о = 8л рад/с, мабса поршня и других неуравновешенных частей, совершающих возвратно-поступательное движение, m ?= 250 кг, кривошип считать уравновешенным при помощи противовеса. Массой шатуна пренебречь.
У к а.з а и и е. Воспользоваться результатом решения предыдущей задачи
и ограничиться приближенным решением, '	:
отбросив член, содержащий г/l. Проверить законность указанного приближения.
I
и.
К задаче 54.39
Ответ: G = 3592,7 кН,
54.39(53.42). Электромотор массы Л4 = 1200 кг установлен на свободных концах двух горизонтальных параллельных балок, заделанных вторыми концами в стену. Расстояние от оси электромотора до стены 1= 1,5 м. Якорь электромотора вращается со скоростью п = 50л рад/с, масса якоря гп = 200 кг, центр масс его отстоит от оси вала на расстоянии т = 0,05 мм. Модуль упругости
413
К задаче 54.40
мягкой ствли, из которой сделаны балки, Е=19,6-107 Н/см2. Определить момент инерции площади поперечного сечения так, чтобы амплитуда вынужденных колебаний не превосходила 0,5 мм. Весом балки пренебречь.
Ответ: I = 8740 см4 или I = 8480 см4.
54.40(53.43). Кулачковый механизм для привода клапана может быть схематизирован в виде массы т, прикрепленной с одной стороны с помощью пружины жесткости с к неподвижной точке и получающей с другой стороны через пружину жесткости Cj движение от поступательно движущегося кулачка, профиль которого таков, что вертикальное смещение определяется формулами
я, = а [1 — cos о/] при 0^/^2л/<а,
х2 = 0	при t > 2л/®.
Определить днижение массы т.
Ответ-. При 0 С / sg 2я/ю
* =	lcos kt - C0S “И +	[1 - COS fc],
где k—	c + — . При t > 2л/® груз совершает
свободные колебания
х = [ m (fe2'-<о2) ~ [cos kt ~ cosk 0 — “)]'
54.41(53.44). Для записи крутильных колебаний употребляется торсиограф, состоящий из легкого алюминиевого шкива А, закли-
К задаче 54.41
ненного на валу В и. тяжелого маховичка D, который может свободно вращаться относительно вала В. Вал связан с маховичком D спиральной пружиной жесткости с. Вал В движется по закону
Ф —-ф ф0 sin at
(равномерное вращение с наложением гармонических колебаний). Момент инерции маховичка относительно оси вращения J. Исследовать вынужденные колебания маховичка торсиографа.
Ответ: Угол относительного поворота ф0<й2	-	,
маховичка ф =	__ sin w,
54.42(53.45). Для гашения колебаний
коленчатого вала авиационного мотора
в противовесе коленчатого вала делается желоб в форме дуги окружности радиуса г с центром, смещенным на АВ = / от оси вращения; по желобу может свободно двигаться дополнительный противовес, схематизируемый в виде материальной точки. Угловая.
414
скорость вращения вала равна ю. Пренебрегая влиянием силы тяжести, определить частоту малых колебаний дополнительного противовеса.
Ответ: k=*=u> V 1/г.
54.43(53.46). К грузу веса Р, висящему на пружине жесткости с, в начальный момент времени приложен действие которой прекращается по прошествии времени т. Определить движение груза.
Ответ: При 0 f т
прит<^ .	f
х = -~~ [cos	—г) — cos д/-^ /].
54.44(53.47). Определить максимальное отклонение от положения равновесия системы, описанной в предыдущей задаче, в случае действия сил различной продолжительности: 1) т — 0, limfT=S (удар); 2) г-> О
где Т —период свободных колебаний системы.
Ответ: А) хтах = Д^ср 2) хтазс -у 2	д/2 -^ст» 3) хтах ==
= 2~ = 2хсг. с сг
54.45(53.48). Найти закон движения маятника, состоящего из материальной точки, висящей на перастяжимой нити длины I. Точка подвеса маятника движется по заданному закону £ = £(f) по горизонтальной прямой.
Ответ: Угол отклонения маятника от вертикали <р изменяется по закону	t
<р — с1 sin kt + с2 cos kt —	+ у (т) sin k (t — т) dx,
о
где k = \/ g/l-
54.46(53.49). На материальную точку массы т, подвешенную на пружине жесткости с, действует возмущающая сила, заданная условиями:
F — 0	при	t	< 0;
F =	при
F = Fo	при	t	> т.
415
Определить движение точки и найти амплитуду колебаний при
Ответ: х =	cosk (t -sink =
Л== 2^sin «
hex 2
54.47(53.50). На груз массы m, висящий на пружине жесткости с, действует возмущающая сила, изменяющаяся по закону Q(t)*= = jF|sin<»/|. Определить колебания системы, имеющие частоту возмущающей силы.
Ответ: При 0^/<л/<в
Р i”	jfejL 1	F
Х -	kt + ctS C0S	Sin at ’
k = -y/ejm-
54.48(53.51). Определить критическую угловую скорость (относительно поперечных колебаний) легкого вала, несущего посредине диск веса Р. Рассмотреть следующие случаи: I) вал на обоих концах опирается на длинные подшипники (концы можно считать заделанными); 2) на одном конце вал опирается на длинный подшипник (конец заделан), а на другом — на короткий подшипник (конец оперт). Жесткость вала на изгиб EJ, длина вала I.
_	jWZEJg	/768£/£
Отв-?: 1)	рр ; 2) <окр Д/ т/ч1 •
54.49(53.52). Определить критическую скорость вращения легкого вала длины /. если вал лежит на двух коротких подшипниках и на выступающем конце длиной а несет диск веса Р. Жесткость вала на изгиб EJ.
V3EJg
54.50(53.53). Определить критическую скорость вращения тяжелого вала, лежащего одним концом в коротком подшипнике, а другим— в длинном; длина вала /, жесткость вала на изгиб EJ, вес единицы длины вала q.
Ответ: <вкр = 15,4 д/-^-
§ 55. Малые колебания систем с несколькими степенями свободы
55.1(54.1). Для экспериментального исследования процесса регулирования гидравлических турбин сконструирована установка, состоящая из турбины, ротор которой имеет момент инерции относительно оси вращения 7j = 50 кг-см2, маховика с моментом инерции /г= 1500 кг-см2 и упругого вала С, соединяющего ротор турбины с маховиком; вал имеет длину / = 1552 мм, диаметр d=^‘, = 25,4 мм, модуль сдвига материала вала G =8800 кН/см^
416	'	j
К задаче 55.1
Пренебрегая массой вала и скручиванием его толстых участков, найти то сечение тп вйла, которое при свободных колебаниях данной системы остается неподвижным (узловое сечение), а также вычислить период Т свободных колебаний системы.
Ответ: а = 50 мм, Т = = 0,09 с.
53.2(54.2). Определить частоты свободных крутильных колебаний системы, состоящей из вала, закрепленного на одном конце, с насаженными
посредине и на другом конце однородными дисками. Момент инерции каждого диска относительно оси вала 7; жесткость на кручение участков вала сх = с2 = с. Массой вала пренебречь.
Ответ: kx = 0,62 -yfcjj, k2 = 1,62 д/с/J.
55.3(54.3). Определить частоты главных крутильных колебаний
системы, состоящей из вала с насаженными на ковыми дисками. Два диска закреплены на концах вала, а третий — посредине. Момент инерции каждого диска относительно оси вала J; жесткость на кручение участков вала Ci =* = с2 = с. Массой вала пренебречь.
Ответ:	= у/ЪсЦ.
55.4(54.4). Два одинаковых маятника длины I и массы m каждый соединены на уровне h упругой пружиной жесткости с, прикрепленной концами к стержням маятников. Определить малые колебания системы в плоско-
него тремя одина-
К задече 55.4
сти равновесного положения маятников, после того как одному из маятников сообщено отклонение на
угол а от положения равновесия; начальные скорости маятников равны нулю. Массами стержней маятников массой пружины пренебречь.
Ответ:	cos fe-' + k-~ t cos t,
== a sin — + k2- t sin 2 k'-1,
К задаче 55.5
где <р1 и фа — углы отклонения маятников от вер-, [r ,	/ g । 2c/i2
тикали и ki = \ i 	k2—	.
55.5(54.5). Диск массы M может катиться без прямолинейному рельсу. К центру диска шарнирно прикреплен
стержень длины /, на конце которого находится точечный груз массы т, Найти период малых колебаний. маятника. Массой стержня пренебречь.
скольжения по
и

14 И. В. Мещерский
41T
ЗЛ; I
ЗЛ4 4- 2m g
Ответ: Т = 2я
55.6(54.6). Заменяя в предыдущей задаче прямолинейный рельс дугой окружности радиуса R, найти частоты малых колебаний рассматриваемой системы.
Ответ: Главные частоты являются корнями уравнения
ЗМ ,4 _ [-	2(M + m)g I _g_] *,2 I	+ g*
ЗЛ* + 2m l (ЗЛ4 + 2m) (J? - г) I J (3M + 2m) (R - r) I
К задаче 55.6
К задаче 55.7
55.7(54.7). Маятник состоит из ползуна массы М, скользящего 5ез трения по горизонтальной плоскости, и шарика массы т, соединенного с ползуном стержнем длины I, могущим вращаться вокруг оси, связанной с ползуном. К ползуну присоединена пружина жесткости с, другой конец которой закреплен неподвижно. Определить частоты малых колебаний системы.
Ответ: Искомые частоты являются корнями уравнения
53.8(54.8). Два одинаковых физических маятника подвешены на параллельных горизонтальных осях, расположенных в одной горизонтальной плоскости, и связаны упругой пружиной, длина которой в ненапряженном состоянии равна расстоянию между осями маятников. Пренебрегая сопротивлением движению и массой пружины, определить частоты и отношения амплитуд главных колебаний системы при малых углах отклонения от равновесного положения. Вес каждого маятника Р; радиус инерции его относительно, оси, проходящей через центр масс параллельно оси подвеса, р; жесткость пружины с, расстояния от центра масс маятника и от точки прикрепления пружины к маятникам до оси подвеса равпы соответственно / и h. (См. рисунок к задаче 55.4,)
„ ’	, el h2	(Pl + ^h2)g	д'0-	Д’2’ _
Ответ: k-{- р2 + /2 ,
55.9(54.9). Однородный стержень ДВ длины L подвешен при помощи нити длины I = 0,5L к неподвижной точке. Пренебрегая массой ннти, определить частоты главных колебаний системы и

найти отношение отклонений стержня и нити от вертикали при первом и втором главных колебаниях. _
Ответ. £( = 0,677 g/l, k2 = 2,558 в первом главном колебании ф1=0,847ф2, во втором (pi == — 1,180<р2, где <р( н <рг—-амплитуды углов, составляемых нитью и стержнем с вертикалью.
55.10(54.10). Предполагая в предыдущей задаче, что длина нити весьма велика по сравнению с длиной стержня, и пренебрегая квадратом отношения L/1, определить отношение низшей частоты свободных колебаний системы к частоте колебаний математического маятника длины I.
1	1 L
Ответ: 1 —т т-4 L
55.11(54.11). Считая в задаче 55.9, что длина нити весьма мала по сравнению с длиной стержня, и пренебрегая квадратом отношения 1/L, определить отношение низшей частоты свободных колебаний системы к частоте колебаний физического маятника, если ось вращения поместить в конце стержня.
1	9 z
Ответ: 1 —рб 7" *
55.12(54.12). Определить частоты главных колебаний двойного
математического маятника при условии, что массы грузов Л11 и Л12 соответственно равны тх и т2, ОЛЬ = /ь М(Л!2 — /2, а к грузу М,
присоединена пружина, массой которой можно пренебречь. Длина пружины в ненапряженном состоянии равна /о, жесткость пружины с,
Ответ:	2 =
_ nf + »2 Т
”	. * 1 2(i-yM
где	/	,	. , ,
пг =	+	+
1	(«1 + m2)/(
К задаче 55.12 К задаче 55.13
v'2 —____________
2 t2 ’	'12 m, 4- tiii "
55.13(54.18). Двойной физический маятник состоит из однородного прямолинейного стержня О,О2 длины 2а и веса Ph вращающегося вокруг неподвижной горизонтальной осн О* и из однородного прямолинейного стержня АВ веса Рг, шарнирно соединенного в своем центре масс с концом О2 первого стержня. Определить Движение системы, если в начальный момент стержень О,О2 отклонен на угол <ро от вертикали, а стержень АВ занимает вертикальное положение и имеет начальную угловую скорость <о0.
Ответ: <p = <p0cos aJ + з7^ "o' **	= ГД€ Я’—угол, об-
разуемый стержнем АВ с вертикальным направлением.
55.14(54.14). Стержень АВ веса Р подвешен за концы А и В к потолку на двух одинаковых нерастяжимых нитях длины а. К стержню АВ подвешена на двух одинаковых нерастяжимых нитях длины b балка CD веса Q. Предполагая, что колебания происходят в вертикальной плоскости, найти частоты главных колебаний. Массами нитей пренебречь.
„	,	п, 4- п: Я? д/(п* — п,}2 4- 4я?п?у?<>	д д
Ответ: fe* =--------—. где «?==—, п>-,
'•	2(1-Yi2)	1	°	’ Ь'
м? —	2—
12 P4-Q
55.15(54.15). Исследовать колебания железнодорожного вагона в его средней вертикальной плоскости, если вес подрессоренной
К задаче 55.14
К задаче 55.15
К задаче 65.16
части вагона Q, расстояния центра масс от вертикальных плоскостей, проведенных через оси, 1\ = /2 = /; радиус инерции относительно центральной оси, параллельной осям вагона, р; жесткость рессор для обеих осей одинакова: с1 = с2 = с.
Ответ: х = Л sinfW+ а), ф = В sin(62f + Р), где х— вертикальное смещение центра масс вагона, ф— угол, образуемый полом вагона с горизонтом; А, В, а, р — постоянные интегрирования; k\ — = ^/ZcglQ, k2=? -y/icgP/iQ^).
55.16(54.16). Исследовать малые свободные колебания груженой платформы веса Р, опирающейся в точках А и В на две рессоры одинаковой жесткости с. Центр масс С платформы с грузом находится на прямой АВ, причем ДС = а и СВ~Ь. Плат
форма выведена из положения равновесия путем сообщения центру масс начальной скорости г>0, направленной вертикально вниз без начального отклонения. Массы рессор и силы трения не учитывать. Момент инерции платформы относительно горизонтальной поперечной оси, проходящей через центр масс платформы, равен /с =
420
= 0,1 (a2-|- b^P/g. Колебания происходят в вертикальной плоскости. За обобщенные координаты принять: у — отклонение центра масс от положения равновесия вниз, ф—угол поворота платформы вокруг центра масс.
Ответ: у— —(~ sin kxt--------------sink2t\,
_ at \	1	«2*2	/
a2
ф =

ч.—т-(1тл/’-ода-&гк)-
2с —— /г?	2с —
г» — g „ _	«
1 с {b — а) ’	°2 с{Ь — а) '
55.17(54.17). Платформа тележки опирается в точках Л и В на две рессоры одинаковой жесткости с, расстояние между осями рессор АВ = /; центр масс С платформы расположен на прямой АВ, являющейся осью симметрии платформы, на расстоянии АС — = а = 1/3 от точки А (см. рисунок к задаче 55.16). Радиус инерции платформы относительно оси, проходящей через ее центр масс
перпендикулярно прямой АВ и лежащей в плоскости платформы, принять равным 0,2/; вес платформы равен Q.
Найти малые колебания платформы, возникающие под дей-
ствием удара, приложенного в центре масс платформы перпенди-
кулярно ее плоскости. Импульс удара равен S.
Ответ: Пусть г — вертикальное смещение центра масс платформы, ф — угол поворота ее вокруг оси, указанной в условии за-
К задаче 55.18
дачи (та и другая координаты отсчитываются от положения равновесия центра масс платформы); найдем
z =	(oj38 sin 1,330 д/^ + 0,00496 sin 3,758 д /-^ /),
/<р =	S f 0,509 sin 1,330 л/Ц-1 -0,180 sin 3,758 а/-^- /).
V \	V Ч	V ч /
55.18(54.18). Две одинаковые материальные точки и М2 массы tn каждая прикреплены симметрично на равных расстояниях от концов к натянутой нити, имеющей длину 2(а + Ь); натяжение нити равно р. Определить частоты главных колебаний и найти главные координаты.
Ответ:	й2 = д/~[4 + т]' Главные коорди-
наты: 01 = У (Xi + х2), о2 = -^(х2 — хА.
421
55.19(54.19). Определить частоты малых колебаний тяжелой материальной точки, колеблющейся около положения равновесия на гладкой поверхности, обращенной вогнутой стороной кверху; глав-ные радиусы кривизны поверхности в точке, отвечающей положе-нию равновесия, равны pi и ра.
Ответ-. = V^/pj, k2 = Vg/p2.
55.20(54.20). Определить частоты малых колебаний тяжелой материальной точки около ее положения равновесия, совпадающего е наиболее низкой точкой поверхности, вращающейся с постоянной угловой скоростью о вокруг вертикальной оси, проходящей через эту точку, Главные радиусы кривизны поверхности в ее нижней точке pi и р2-
Ответ: Частоты малых колебаний являются корнями уравнения
* - И+f+f-f) - f)-»•
55.21(54.21). Круглый однородный диск радиуса г и массы М связан шарниром со стержнем ОА длины /, могущим поворачи-
К задаче 55,21
ваться около неподвижной горизонтальной оси. На окружности диска закреплена материальная точка В массы пг. Определить частоты свободных колебаний системы. Массой стержня пренебречь. Диск может вращаться в плоскости колебаний стержня О А.
Ответ: Частоты свободных колебаний являются корнями уравнения
й Af+ 3m L М г Ji -
 (M + m) g* _ п "Г М(М + Зт) 1г ~и*
55.22(54.22). На проволочную окружность радиуса R, плоскость которой горизонтальна, надеты два одинаковых колечка, соединенные пружиной жесткости с, имеющей в ненапряженном состоянии длину 10. Определить движение колечек, приняв их за материальные точки массы т. Принять, что в начальный момент Ф1 — 0, а колечко В отклонено от своего равновесного положения на величину дуги, равную 2/?р. Начальные скорости колечек равны нулю.
Ответ:	<Р] = р (1 — сов kt\ <р2 = 2а 4-
К задаче 56.22 р ([ COS эд, а — arcsin А ;	=	cos
55.23(54.23). Определить малые колебания математического маятника длины I и веса Pi, подвешенного к вертикально движущемуся ползуну А веса Pit прикрепленному к пружине жесткости с. Ползун при своем движении испытывает сопротивление, пропор-422
циональное его скорости (Ь — коэффициент пропорциональности). Найти условия, при которых в случае b — 0 главные частоты данной системы будут равны между собой.
Ответ: I) х = А{е~м sin (д/А2 — №t + ej, q> = Д2 sin (fegf + е2), где Д> ^2> сь Ег — постоянные интегрирования, /г = 2	,
= Л/ ?! + Р2 ’ k<1 “ л/f'
2) Главные частоты будут одинаковы (при b = 0), если
С -
55.24(54.24). Два одинаковых жестких стержня длины /? имеют общую точку подвеса О. Стержни могут вращаться в вертикальной плоскости вокруг точки подвеса независимо друг от друга. К концам стержней прикреплены два одинаковых груза А и В массы пг
каждый, соединенные между собой пружиной жесткости с. Длина пружины в состоянии устойчивого равновесия системы равна I. Пренебрегая массой стержней, найти частоты главных колебаний около устойчивого положения равновесия грузов.
Ответ: kL = л /-ъ cosa, й2 = Аcos2a-f- cosa, где V А	\ Ш	К
55.25(54.25). К движущейся по заданному закону g = g(() платформе подвешена на пружине жесткости С| механическая система, состоящая из массы к которой жестко присоединен в точке В поршень демпфера. Камера демпфера, масса которого равна m2i опирается на пружину жесткости с2, противоположный конец которой прикреплен к поршню. Вязкое трение в демпфере пропорционально относительной скорости поршня и камеры; р — коэффициент сопротивления. Составить уравнения движения системы.
423
Ответ: m^i + pij — fU2 + <c} + c? M ~ ОЛг = cit (0. ^2 — P*i4-4- px2 — <?2X! + c2x2 = 0.
55.26. Тяжелый однородный стержень длины / и массы т\ нижним концом опирается на шарнир и удерживается в вертикальном положении с помощью пружины жесткости с. К точке стержня, отстоящей от шарнира на расстоянии а, подвешен на нити длины г груз М массы ms. При вертикальном положении стержня пружина находится в ненапряженном состоянии и расположена горизонтально. При какой жесткости пружины стержень и груз могут совершать малые колебания около вертикального положения? Найти уравнение частот этих колебаний. Массой нити пренебречь.
Ответ:	(аиа22 - а22) fe4 - (апсю + а22сп) fe2 +
„	rtitl2 4- ЗпыА	_ п
СцС'22—	Йц— g-----------, й(2 — ГП2вГ, U2<2 tn^T2, Сц—
-<*-.......
К зедаче 55 26	К дадаче 55.27	К задаче 55.28
55.27. Однородная балка АВ длины I, массы т} опирается в точке В на пружину жесткости с, а в точке А на цилиндрический шарнир. В точке Е балки на расстоянии а от шарнира А на стержне длины г с помощью шарнира подвешен груз Л'1 массы т2. В положении равновесия балка АВ горизонтальна. Найти уравнение малых колебаний балки и груза. Массой стержня пренебречь.
Ответ: <р = sin (kit + ej), лр = sin (/г.2? 4-е-^), где k{ —
”	а й>-	8‘- ^“постоянные ин-
тегрирования.
55.28(54.27). Определить частоты свободных крутильных колебаний системы, состоящей из двух валов, соединенных зубчатой передачей. Моменты инерции масс, насаженных на валы, и моменты инерции зубчатых колес относительно оси валов имеют величины Ji=875-103 кг-см2, У? = 560-103 кг-см2, ц = 3020 кг-см2, /2 = 105 кг-см2, передаточное число k — Z[/z2=5\ жесткости валов при кручении £1=316ХЮ7 Н-см, с2 = 115-107 Н-см; массами валов пренебречь.
Ответ: & ~ 54,8с"1, k2 = 2,38- 108г**,
424
55.29(54.28). Определить, пренебрегая массой зубчатых колес, частоту свободных крутильных колебаний системы, описанной в предыдущей задаче.
Ответ: k = 58,7 с-1.
55.30(54.29). Найти частоты и формы главных поперечных колебаний балки длины I, свободно лежащей на двух опорах и на-1 ,	2 .
груженной в точках х=у / их — ^-l двумя равными грузами веса Q. Момент инерции поперечного сечения балки J, модуль упругости Е. Массой балки пренебречь.
/ EJg	! EJg я)11
Ответ:	^ = 5,69д/—£-,	й2 = 22,04 д/—^,	—1,
1 V QI3	V Q13	4°
55.31(54.30). Найти частоты и формы главных поперечных колебаний балки длины I, опертой но концам и несущей два груза Qi — Q и Q2 — 0,5Q, равноудаленных от опор на расстояние //3. Массой балки пренебречь.____
V' EJg	/ EJg д’О
-Ц-, fe> = 27,2 л —2-,	-^-=0,95.
Q/3	2	V Q/3	Я'1»
д(2)
——2,09; формы главных колебаний указаны на рисунке.
55.32(54.32). Найти частоты главных колебаний двух одинаковых грузов Q, закрепленных на концах горизонтальной консольной балки на равных расстояниях / от ее опор. Валка длины 3/ свободно лежит на двух опо-
К задаче 55 32
рах, отстоящих друг от друга на рас-
стоянии I, момент инерции поперечного сечения балки J; модуль упругости Е. Массой балки пренебречь.
Ответ:	А2=д/2-^|-.
425
55.33(54.33). Однородная прямоугольная пластинка массы т ; закреплена в конце А балки длины I, другой конец которой заделан неподвижно. Система находится в горизонтальной плоскости и совершает в этой плоскости свободные колебания около положения равновесия. Определить частоты и формы этих колебаний, если -----------------------------------0,2/, b = 0,1/, Массой балки
г о.
—JI а = 0,2/, b = :	пренебречь.
.К задаче 55.33
Указание. Сила Q и момент которые должны быть приложены к копну А балки, чтобы создать в этой точке прогиб f и поворот касательной к изогнутой оси балки <р, определяются формулами f = pQ + sM, <p — sQ 4- <?Л4, причем в рассматриваемом случае однородной балки, заделанной одним концом, р = Р/(3£/), q = s = l2l(2EJ).
Ответ: Частоты главных колебаний равны соответственно
0,804 V3£//(mP),	20,7 УЗЕ//(щ/3);
первое главное колебание можно рассматривать как колебание поворота вокруг точки О>, расположенной на оси балки слева от точки А на расстоянии 014=0,612/, второе — вокруг точки О2, расположенной на продолжении оси балки на расстоянии ОгА = = 0,106/ справа от точки А.
55.54(54.34). К первому из двух первоначально неподвижных-
валом жесткости с, внезапно прило-
дисков, соединенных упругим
жен постоянный вращающий момент Л4; моменты инерции дисков J. Пренебрегая массой вала, определить, последующее движение системы.
Ответ:
55.33(54.35). Двухъярусная шарнирно-стержневая система удержи-^ вается в вертикальном положении; тремя пружинами, как это показанО-1 на рисунке. Стержни абсолютнее
жесткие, однородные: вес на длину / равен G. Полагая коэффициенты жесткости пружин равными. Ci == с2 = 10G//, определить устойчивость равновесия системы, а. также частоты и формы fi и /г главных колебаний системы. Мас-' сой пружин пренебречь: li — 12 = /.
Ответ: Равновесие устойчивое;	= 0,412 л/gll, k2 = 1,673 у g/l*
1,455, /2 = 3,495.	'
426
55.36(54.36). Груз массы М укреплен на вершине стойки, жестко связанной с балкой АВ, свободно лежащей на двух опорах. Полагая, что момент инерции поперечного сечения J, а модули упругости Е балки и стойки одинаковы, определить частоты главных изгибных колебаний системы. Массами балки и стойки пренебречь.
Ответ' k{ — 0,497 \/EJ/(Ma3),	-r-(j )--ст-
fe4 == 1,602 л/ЕЩМсё).
55.37(54.37). Фундамент машины массы	/
Щ1-102-103 кг, установленный на упругом	/
грунте, совершает вертикальные вынужден- л у I/	g
ные колебания под действием вертикальной возмущающей силы, меняющейся по закону Т Г
А = 98 sin оЦ кН. С целью устранения ре- ° 4*-----------.-*ч
зонансных колебаний, обнаруживающихся при угловой скорости вала машины СО — К задаче 55.36 — 100 рад/с, на фундаменте установлен на упругих пружинах гаситель в виде тяжелой рамы. Подобрать массу рамы m и суммарную жесткость пружин с2 гасителя так, чтобы амплитуда вынужденных колебаний фундамента при вышеуказанной скорости вала обратилась в нуль, а амплитуда колебаний гасителя не превосходила А —2 мм.
Ответ: щ=4,9-103 кг, с2=49-103 кН/.м.
55.38(54.38). Определить уравнения вынужденных колебаний системы дисков, описанной в задаче 55.2, при действии на средний диск возмущающего момента М = Л10 sin pt,
Откг- ф|° sinpi’
Smpt'
где k{ и А2— частоты главных колебаний системы.
55.39(54.39). Электромотор веса Qi закреплен на упругом бетонном фундаменте (в виде сплошного параллелепипеда) веса Qz с коэффициентом жесткости с2. установленном на жестком грунте. Ротор веса Р насажен на упругий горизонтальный вал с коэффш циентом жесткости при изгибе с(; эксцентриситет ротора относительно вала г; угловая скорость вала ы. Определить вынужденные вертикальные колебания статора электромотора. Учесть влияние массы фундамента путем присоединения одной трети его массы к массе статора.
Ответ- и =____________________ClP^sin at_________________________________
У c^g9 — |(С| 4- d) Р -J- Ct (Q1 + ’/sQi)] g4>2 + P (Q1 + ‘/з<?г)	’
где у — отклонение статора от положения равновесия.
55.40(54.40). В точке Л балки АВ (см. задачу 55.14) приложена сила F = Fo sin pt (Fo и р — постоянные), составляющая все время с нитью ОА прямой угол и расположенная в плоскости движения
427
балки. Какова должна быть длина Ъ нитей, на которых подвешена балка CD, чтобы амплитуда вынужденных колебаний балки АВ равнялась нулю?
Ответ-, b ~ g/p1.
55.41(54.41). Для поглощения крутильных колебаний к одной из колеблющихся масс системы прикрепляется маятник. На рисунке схематически изображена система, состоящая из двух масс I и II, вращающихся с постоянной угловой скоростью о». Ко второй массе прикреплен маятник. Моменты инерции масс относительно оси вращения Ji и момент инерции маятника относительно оси„
параллельной оси вращения системы и проходящей через центр, масс маятника, /з- Расстояние между осью вращения системы и осью подвеса маятника О А — I; расстояние между осью подвеса и параллельной осью, проходящей через центр масс маятника,. АС — а; масса маятника т. Коэффициент упругости (жесткость при кручении) участка вала между массами с}. Ко второй массе приложен внешний момент М = Mo sin at. Нависать дифференциальные уравнения движения обеих масс системы и маятника. При составлении выражения для потенциальной энергии системы пренебречь потенциальной энергией маятника в поле силы тяжести.
Ответ: /,ф1 + Ci (<Pi — <р2) = 0, (/2 + rnP) ф2 + malif* cos (<₽2 — qp3) 4* + rnalc^ sin (<p2 — <p3) 4- (<p2 — tpj = Mo sin
(73 4- ma2) ф3 + tnalq>2 cos (<p2 — <p3) — m«Z<p2 sin (ф2 — Ф3) = 0.
55.42(54.42). Бак, имеющий форму куба, опирается четырьмя нижними углами на четыре одинаковые пружины; длина стороны куба 2а. Жесткости пружин в направлении осей, параллельных сторонам куба, равны с*, сг; момент инерции куба относительно главных центральных осей /. Составить уравнения малых колебаний и определить их частоты в случае Сх — су. Масса бака равна М„
Ответ: Мх 4- схх —	— 0, Му 4- cvy 4-	= 0,
MS + c2z == 0, /ф( 4- суаУ 4- <4«2Ф1 4- сга2Ф1 = 0,
/ср2 4- сЛ«2ф2 — схах 4- сга2ф2 =-0, /фз 4-	4- с^Фз = 0,
42Й
где х, у, г — координаты центра куба, <pi, <р2, фз —углы поворота куба относительно координатных осей. Если сх — су, то
kz — -у/ cJM,

fc* _	+	+	+ с = 0<
MJ	1 л z MJ
55.43(54.43). Однородная горизонтальная прямоугольная пластина со сторонами а и b опирается своими углами на четыре
одинаковые пружины жесткости с; масса пластины М. Определить частоты свободных колебаний.
Ответ:	fe2 = k3= \/12с/М-
55.44(54.44). Три железнодорожных груженых вагона веса Qi, Q2 и Qa сцеплены между собой. Жесткости сцепок равны С| и с2.
Найти частоты главных колебаний системы.
Ответ: fe] = 0, а /г2 и k3 суть корни уравнения
К задаче 55.44
V
К задаче 55.45
55.45(54.45). При условиях предыдущей задачи найти уравнения движения вагонов и построить формы главных колебаний для случая вагонов равного веса — Q2 = Q3 = Q, соединенных сцепками одинаковой жесткости ct = с2 — с. В начальный момент два вагона находятся в положении равновесия, а крайний правый вагон отклонен на х0 от положения равновесия.
429
Ответ-. Х!=~—~ cosfe,? + -у- cos fe3C х2 — ~—-y-cosfe3f, *з ~ “j—I 2~ cos k2t -|—cos k2t-, k2 = /у/-& ,	кз = s\J3 .
Формы главных колебаний изображены на рисунке.
55.46(54.46). Найти частоты и формы главных колебаний системы, состоящей из трех одинаковых масс tn, закрепленных на балке на одинаковых расстояниях друг от друга и от опор. Балку .	считать свободно положенной
*^^'"''5^ ~\	на опоры; длина балки /, мо-
\	мент инерции поперечного се-
\Xz	чення J, модуль упругости Е.
Ответ: = 4,93 л/Ду,
/ pt ^=»9.6д/^
р	^3 = 41,8 д/.
6	6	' О----
К задаче 36.46	Формы ГЛЭВНЫХ КОЛебйНИЙ НО-
казаны на рисунке.
55.47(54.47). Система п одинаковых масс tn, соединенных пружинами жесткости с, образует механический фильтр для продольных колебаний. Считая заданным закон поступательного движения левой массы х — х0 sin at, показать, что система является фильтром
m
m
К задаче 55.47
К задаче 55.48
низких частот, т. е. что после перехода частоты через определен-ную границу амплитуды вынужденных колебаний отдельных масс изменяются в зависимости от номера массы по экспоненциальному закону, а до перехода—по гармоническому.
Ответ: Фильтр пропускает колебания s частотой 0 < <о < < 2 V с/т.
55.48(54.48). Фгльтр крутильных колебаний схематизируется в гиде длинного вала с насаженными на него дисками. Считая заданным закон движения левого диска в форме ФФо sin <в/, определить вынужденные колебапия системы и вычислить амплитуды колебаний отдельных дисков. Моменты инерции дисков I, жесткости участков вала между дисками одинаковы и равны с. Исследовать полученное решение и показать, что система является фильтром низких частот.
Ответ: &Ц = (Фо cos pfe + Ci sin life) sin at, sin (p/2) = (co/2) ^tfc, где Ф* — угол поворота fe-ro диска, С; — постоянная, определяемая
430
из граничного условия на втором конце вала; первый диск имеет нулевой номер, частота © должна заключаться в пределах 0< < © < 2 д/с/7-
55.49(54.49). Механическая система, образующая полосовой фильтр для продольных колебаний, состоит из звеньев, каждое из которых образовано массой т, соединенной с массой следующего звена пружиной жесткости с. Параллельно с этой пружиной к массе присоединена пружина жесткости сь связывающая массу т с неподвижной точкой. Закон продольных колебаний левой массы x = xosin©/ задан. Показать, что при значениях ©, лежащих в
К задаче 55.49	К задаче 55.50
определенных границах, амплитуды колебаний отдельных масс изменяются с расстоянием по гармоническому закону. Найти соответствующие граничные частоты.
VCi ..	! Ci + 4с
— < © < А/---—--.
55.50(54.50). Система большого числа масс т, насаженных на расстоянии а друг от друга на струну АВ, натянутую с усилием 7', и поддерживаемых пружинами жесткости с, является полосовым механическим фильтром поперечных колебаний. Вычислить частоты, отвечающие границам полосы пропускания.
Ответ: Полоса пропускания определяется нерьсекс.вом
<й)< +
55.51(54.51). Нить длины nl подвешена вертикально за один конец и нагружена на равных расстояниях а друг от друга п материальными точками с массами т. Составить уравнения движения. Найти для п = 3 частоты поперечных колебаний нити.
Ответ: Уравнения движения имеют вид
f [(« — *)xfe_! — (2n — 2fe -j- l)xk + (n — k+ l)xfc+1],
где Xk — поперечное смещение частицы (отсчет номеров ведется сверху); fei = 0,646	k2=	^g/l, k3 = 2,505 gjl-
55.52(54.52). Определить частоты свободных поперечных колебаний натянутой нити с закрепленными концами, несущей на себе п масс т, отстоящих друг от друга на расстояниях /. Натяжение нити Р.
Ответ: * = 2 д/^-sin^,
1	5 ^.П — I.
431
§ 56. Устойчивость движения
56.1(55.1). Двойной маятник, образованный двумя стержнями длины I и материальными точками с массами т, подвешен на горизонтальной оси, вращающейся с постоянной угловой скоростью сл вокруг оси г. Исследовать устойчивость вертикального положения равновесия маятника. Массой стержней пренебречь.
Ответ: При g/(l®2) > I + 1/д/2 вертикальное положение равновесия маятника устойчиво.
56.2(55.2). Тяжелый ша|эик находится в полости гладкой трубки, изогнутой по эллипсу +	вращающейся вокруг вер-
тикальной оси Oz с постоянной угловой скоростью (ось Ог направлена вниз). Определить положения относительного равновесия шарика и исследовать их устойчивость.
Ответ: При w2 gc/a2 два положения равновесия: а) х = О, г = с (устойчивое); б) х = 0, г == —с (неустойчивое).
При (в2>£с/а2 существуют три положения равновесия; а) х=0, z = c (неустойчивое); б) х = 0, г — —с (неустойчивое), в) г = = gc2/(w2a2) (устойчивое).
56.3(55.3). Тяжелый шарик находится в полости гладкой трубки, изогнутой по параболе х2 = 2рг и вращающейся с постоянной угловой скоростью ш вокруг оси Ог. (Положительное направление оси Ог — вверх.) Определить положение относительного равновесия шарика и исследовать его устойчивость.
Ответ: Существует единственное положение равновесия г = 0; оно устойчиво при со2 < g/p и неустойчиво при ы2 > g/p, при со2 = — S/p — безразличное равновесие.
56.4(55.4). Материальная точка может двигаться по гладкой плоской кривой, вращающейся вокруг вертикальной оси с угловой скоростью w. Потенциальная энергия И (s) точки задана и зависит только от ее положения, определяемого дугой s, отсчитываемой вдоль кривой, г(s)— расстояние точки от оси вращения. Найти условие устойчивости относительного положения равновесия точки.
Ответ: (4^" —	> О, где $0 определяется из
уравнения	(mr^)s=s/
56.5(55.5). Показать, что материальная точка массы m под действием центральной силы притяжения F = arn (a=»=const, г — расстояние точки до притягивающего центра, п—целое число) может совершать движение по окружности с постоянной скоростью. Найти условие, при котором это движение устойчиво по отношению к координате г.
Ответ: При п<—3 движение неустойчивое, а при п > — 3 устойчивое.
56.6(55.6). Твердое тело свободно качается вокруг горизонтальной оси NT, вращающейся вокруг вертикальной оси Ог с угловой скоростью со. Точка G— центр инерции тела; плоскость NTG яв
432
ляется плоскостью симметрии, ось OG — главной осью инерции. Ось KL параллельна NT, ось ED проходит через точку О и перпендикулярна NT и OG. Моменты инерции тела относительно осей OG, KL и ED равны соответственно С, А и В, h — длина отрезка OG-, М — масса тела. Определить возможные положения относительного равновесия и исследовать их устойчивость.
Ответ: Возможным положением относительного равновесия отвечают следующие значения угла отклонения линии OG от оси Oz:
а)	ф = 0 (устойчиво, если В < С; при В > С оно устойчиво, если со2 < Mgh/(B — С), и неустойчиво при ы2 > Mgh/IBу- С);
б)	Ф = л (неустойчиво, если В> С\ при В < С оно устойчиво, если to2 > Mgh/(C — В), и неустойчиво при и2 < Mgh/(C — В);
В) <р = arccos \N[gh/((B — С)со2)] (существует, если со2 > > Mhg/\ В — С|; устойчиво при В > С и неустойчиво при В < С).
56.7(55.8). Определить положения относительного равновесия маятника, подвешенного с помощью универсального шарнира О
к вертикальной оси, вращающейся с постоянной угловой скоростью со; маятник симметричен относительно своей продольной оси; А и С — его моменты инерции относительно главных центральных осей инерции £, т] и А—расстояние центра тяжести маятника от шарнира. Исследовать устойчивость положений равновесия маятника и определить период колебаний около среднего положения равновесия.
Ответ: Положения равновесия и их устойчивость опреде-
К задаче 56-6	К задаче 56.7
ляются формулами, данными
в ответе к задаче 56.6 (в них нужно положить В = А ф-ЛТй2). Пе-
риод колебаний Т = 2nco
/ (Л + М№) (А + Mh* - С) Д/ (Л + Mh2 - С)2ьА -
56.8(55.9). Вертикальная ось симметрии тонкого однородного круглого диска радиуса г и веса Q может свободно вращаться вокруг точки А. В точке В она удерживается двумя пружинами. Оси пружин горизонтальны и взаимно перпендикулярны, их жесткости соответственно равны cj и Сг, причем с2 > сь Пружины крепятся к оси диска на расстоянии L от нижней опоры; расстояние диска от нижней опоры I. Определить угловую скорость со, которую нужно сообщить диску для обеспечения устойчивости вращения.
Ответ: При QI <_ с{1? система устойчива при любой угловой скорости; при QI < с2Д2 система устойчива, если ® > со*, где
433
ж	(г2 + 4/2) f /. Cits /, c2L2 ) rl	г2
® =	ГЛ—- I 1 — -Q[- -+- Д/ 1 — -qT J • ПРИ C1L2<Q/<C2L2
система неустойчива при любой угловой скорости.
56.9(55.10). Материальная точка М движется под действием силы тяжести по внутренней поверхности кругового цилиндра ра-
К задаче 56.8
диуса а, ось которого наклонена под углом а к вертикали. Исследовать устойчивость движения по нижней (ф — 0) и верхней (ф = л) образующим. Определить период колебаний при движении по нижней образующей.
Ответ-. Движение по верхней образующей неустойчиво; период колебаний при возмущении движения вдоль нижней образующей Т = 2л д/а/(# s*n «)•
56.10(55.11). Материальная точка вынуждена двигаться по внутренней гладкой поверхности тора, заданного параметрическими уравнениями x = pcosty, у — р sin ф, 2 = b sin &, о = аcos О (ось г направлена вертикально вверх). Найти возможные движения точки, характеризующиеся постоянством угла О, и исследовать их устойчивость.
Ответ-. Значения О = О, = const нахо
дятся из уравнения
(1 + a cos 0,) = - р etg О,,
где а — b/а, р = g/(a©2), ф = © = const. Это уравнение допускает два существенно различных решения:
—л/2 < О'! < 0, л/2 < О2 < л.
Движение, соответствующее первому решению, устойчиво, второму — неустойчиво.
К задаче 56.9
55.11(55.12). Исследовать устойчивость движения обруча, равномерно катящегося с угловой скоростью ю по горизонтальной плоскости. Плоскость обруча вертикальна; радиус обруча а.
Ответ-. Движение устойчиво, если ©2 > g/(4a).
434
сила Тг, по величине п;
К задаче 56.11
56.12(55.13). Колесо с четырьмя симметрично расположенными спицами катится по шероховатой плоскости. Плоскость колеса вертикальна. Ободья колеса и спицы сделаны из тонкой тяжелой проволоки. Радиус колеса а, скорость центра его в исходном движении V. Исследовать устойчивость движения.
? л + 2
Ответ-. Движение устойчиво при v > ' 4 + 4у3у аё-
56.13(55.14). Исследовать устойчивость движения однородного обруча радиуса а, вращающегося вокруг вертикального диаметра с угловбй скоростью w. Нижняя точка обруча соприкасается с горизонтальной плоскостью.
Ответ: Движение устойчиво при ы2 > (2/3) (g/a).
56.14(55.15). На материальную точку массы т, отклоненную от положения равновесия, действуют циональная отклонению ОМ ~ = г — -\1 х2 + у2 из этого положения и направленная к нему; сила F(f) перпендикулярная первой (боковая сила), по величине тоже пропорциональная отклонению г: |/?г|=С]|Г, ]FlJ=c12r. Исследовать методом малых колебаний устойчивость равновесного положения точки.
Указание. В таких условиях будет находиться точечная масса, закрепленная на свободном конце сжатого и скрученного стержня (с одинаковыми главными жесткостями на изгиб), нижний конец которого заде-
лан. Прямолинейной форме стержня соответствует состояние равновесия. Коэффициенты Си, си зависят от сжимающей силы, скручивающего момента, длины стержня и от жесткостей на изгиб и кручение
Ответ: Равновесие неустойчивое.
56.15(55.16). При исследовании устойчивости движения точки в предыдущей задаче принять во внимание силы сопротивления, пропорциональные первой степени скорости R* = — ря, Ry =—pj (Р — коэффициент сопротивления).
Ответ: Равновесие устойчиво при р?с1( > mc‘f2.
56.16(55.17). Если у стержня, описанного в задаче 56.14, жесткости на изгиб не равны, то реакции конца стержня, действующие на массу ш, определяются выражениями
Fx = —спх + С12У, F» = с2\Х— с22у.
Выяснить методом малых колебаний условия устойчивости равновесия.
Ответ: При (сц — с22)2 + 4C|2c2i > 0 равновесие устойчиво.
435
56.17(55.18). Уравнение движения муфты центробежного регулятора двигателя имеет вид
тх + ф- сх = А (<о — о>0),
где х—перемещение муфты регулятора, т — инерционный коэффициент системы, р — коэффициент сопротивления, с—жесткость пружин регулятора, © — мгновенная и ©о— средняя угловые скорости машины, А — постоянная. Уравнение движения машины имеет вид
(В — постоянная, / — приведенный момент инерции вращающихся частей двигателя).
Установить условия устойчивости системы, состоящей из двигателя и регулятора.
Ответ: Система устойчива при АВ	(с, р, I, А, В счи-
таются положительными).
55.18(55.19). Симметричный волчок, острие которого помещено в неподвижном гнезде, вращается вокруг своей вертикально расположенной оси. На него поставлен второй симметричный волчок, который также вращается вокруг вертикальной оси. Острие оси второго волчка опирается на гнездо в оси первого волчка. М и М'—массы верхнего и нижнего волчков, С и С'—их моменты инерции относительно осей симметрии; А и А' — моменты инерции относительно горизонтальных осей, проходящих через острия; с и с' — расстояния центров масс волчков от соответствующих остриев; h — расстояние между остриями. Угловые скорости волчков Q и Q'. Вывести условия устойчивости системы.
Ответ: Система устойчива, если все корни уравнения четвертой степени
МА' + Mh2 (4 - Л1с2)] V + lA'C'Q' + CQ (А' + Л4й2)] V +
+	И Ш'с' + Mh) g + (4' + Mh2) Mcg + CC'QQ'J +
+	[CQ (M'c' +Mh)g + C'Q'Mcg] Л + Ж (M'c' + Mh) g2 = 0 различны и вещественны.
56.19(55.20). Деталь / перемещается поступательно с постоянной скоростью v0 и через пружину передает движение ползуну 2. Сила трения между ползуном и направляющими 3 зависит от скорости ползуна v следующим образом:
Н — Но sign и — аи 4- роа,
где Но, а, £ — положительные коэффициенты. Определить, при каких значениях Vo равномерное движение ползуна является устойчивым.
Ответ: Vq > а/(3р).
436
56.20(55.21). Агрегат, состоящий из двигателя I и машины 2, соединенных упругой муфтой 3 с жесткостью с, рассматривается как двухмассовая система. К ротору двигателя, имеющему момент
К задаче 56J9
К задаче 56.20
инерции Л, приложен момент М\, зависящий от угловой скорости ротора ф:
М\ = Mo — pi (ф — со») -
К валу машины, имеющему момент инерции /2) приложен момент сил сопротивления, зависящий от угловой скорости вала ф:
М2 = A1g — р2(ф — «о).
Коэффициенты н и 1*2 положительны. Определить условия, при которых вращение системы с угловой скоростью а>0 является устой-
чивым.
Ответ: pi > |*2>
It > 1*2	> |*Щг (j*iЛ ~ |*г/|)
А 1*1	1*]^2	1*2^1
§ 57. Нелинейные колебания
57.1(56.1). При испытаниях рессор была получена «треугольная» характеристика изменения упругой силы. При отклонении рессоры от положения статического равновесия имеет место верхняя ветвь (Ci) характеристики, при возвращении — нижняя ветвь
(с2) характеристики. В началь	i
ный момент рессора отклонена от положения статического рав-новесия на хо и не имеет началь-	I
ной скорости. Масса надрессорного тела т, массой рессоры пре-
небречь; коэффициенты жестко-	к задаче 57.1
сти рессоры С[ и с2. Написать
уравнения свободных колебаний рессоры для первой половины полного периода колебаний и найти полный период колебаний Г.
Ответ: При возвращении рессоры в положение статического равновесия x = xocosfc2f, при отклонении от положения статиче-
ского равновесия
x:=-x^sin
Ai = Vci/m>
437
57.2(56.2). Определить закон убывания амплитуд свободных колебаний рессоры, рассмотренной в предыдущей задаче. При записи саободных колебаний был получен следующий ряд последовательно убывающих амплитуд: 13,0 мм, 7,05 мм, 3,80 мм, 2,05 мм и т. д. Определить согласно данным виброграммы отношение коэффициентов жесткости Ci/сг, соответствующих верхней и нижней ветвям «треугольной» характеристики.
Ответ: Последовательные значения амплитуд через каждые полпериода колебаний убывают по закону геометрической прогрессии со знаменателем ki/k\, с1/с2 = 3,4.
57.3(56.3). Масса m колеблется на пружине, коэффициент жесткости которой с. На одинаковых расстояниях А от положения равновесия установлены жесткие упоры. Считая, что удары об упоры происходят с коэффициентом восстановления, равным единице, определить закон движения системы
при периодических колебаниях с частотой го. Найти возможные значения о.
Ответ: х — —sin k [i — при 0 t	— (k2 — —) , k.
nk \	2w7 1	со У гп)
sin — 2<о
57.4(56.4). Решить предыдущую задачу в предположении, что имеется только нижний упор.
Ответ: х~--------cos (—— Л при 0	«4 —, k 2k.
cos---
о
57.5(56.5). Определить зависимость амплитуды первой гармоники свободных колебаний от их частоты в системе, уравнение движения которой имеет вид
tnx -|- Fo sign х + сх == 0.
Ответ: «1 = ——г--------г.
* п (тсог — с)
57.6(56.6). Движение системы описывается уравнением
х + (х2 + k2x2 — а2) х Д- k2x = 0.
Определить амплитуду автоколебательного процесса, возникающего в системе; исследовать его устойчивость.
Ответ: а = a/k: автоколебания устойчивы в большом.
57.7(56.7). Выявить условия, при которых в системе, рассмотренной в задаче 56.19, могут возникнуть автоколебания, близкие к гармоническим колебаниям частоты	где с — коэффи-
циент жесткости пружины, ли—масса ползуна. Определить приближенно амплитуду этих автоколебаний.
Ответ: 0,8 ~ <	~

436
57.8(56.8). Предполагая, что в системе, рассмотренной в задаче 56.19, сила трения Н постоянна и равна Hz при сёОи равна Н\ при и —О («трение покоя»), определить период автоколебаний. Принять, что масса ползуна т, а коэффициент жесткости пружины с.
Ответ: T = ti+ (I — cos kti), где а = № ~ к k =
= ti — наименьший корень уравнения a sin = cos W] — I.
57.9(56.9). Масса m связана с неподвижным основанием пружиной с жесткостью с и демпфером сухого трения, величина силы сопротивления в котором не зависит от скорости и равна Н. На одинаковых расстояниях А от положения равновесия установлены жесткие упоры. Считая, что удары об упоры происходят с коэффициентом восстановления, равным единице, определить значение //, при котором вынуждающая сила Feos tat не может вызвать субгармонических резонансных колебаний, имеющих частоту w/s (s— целое число).
Указание. Определить условия существования периодического режима, близкого к свободным колебаниям системы с частотой го/з.
Ответ: Для четного $ Н > 0; для нечетного s
„ „ n	, nsk (а	. \
Н > F -TTS---ГГ Ctg I — > ^ I •
*2 — <о2	° 2ю \. s )
57.10(56.10). Центр однородного кругового цилиндра, катящегося без скольжения по горизонтальной плоскости, соединен пружиной с неподвижной точкой О, находящейся на одной вертикали с центром диска, когда диск находится в положении равновесия. Масса цилиндра равна /л, коэффициент жесткости пружины с, В положении равновесия пружина не деформирована, длина ее равна I.
Определить зависимость периода малых колебаний цилиндра около положения равновесия от амплитуды а, сохранив в уравнении движения члены, содержащие третью степень перемещения.
Огкп T = «A/e^j-7^==4V3A/ilK(-lI). где /С—полный эллиптический интеграл первого рода.
57.11(56.11). Методом малого параметра определить амплитуду а и период автоколебаний, возникающих в системе, движение которой определяется уравнением
= р {{а2 — х2) х — ух3}.
Or«:«=2«. Г = 4(1-^).
57.12(56.12). Уравнения движения маятника в среде с сопротивлением и постоянным моментом, действующим только в одном
439
направлении, имеют вид
ф + 2Лф + fe2tp — Мо при ф > О,
ф + 2Лф 4- fe2qp=0 при ф < О, где Л, k и Мо — постоянные величины.
Считая, что 2h/k С 1, Mo/k2 <£ 1, применить метод медленно меняющихся коэффициентов для нахождения установившегося движения маятника.
Ответ: Устойчивые автоколебания. Радиус р предельного цикла на плоскости (<р, <р) равен	где 1 —	.
57.13(5643). Применяя в предыдущей задаче метод точечных преобразований, найти неподвижную точку преобразования.
Ответ: ф0=-^--—L_, фо = 0,
А 1 — е
ГЛАВА XIV
ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
Решение приведенных в этой главе вероятностных задач статики и кинематики основывается на использовании соотношений, связывающих вероятности выполнения неравенств с параметрами, которые входят в эти неравенства. Если и — случайная величина, для которой известны математическое ожидание (среднее значение) ти и среднее квадратическое отклонение ои, то вероятность а нахождения величины и в интервале (—оо, а), т. е. вероятность выполнения неравенства и < а, определяется следующим образом:
а==р{«<а) = А(|), 1 = ^--
где Aft) — нормированная функция распределения. Для гауссовского распределения значения /(?) приведены в табл. 1.
Таблица 1
&	-4,0	-3,5	—3,0	-2,5	-2,0	-1,5	-1,0	-0,5		0,0
A(t)	3•io-®	2- 10—4	0,001	0,006	0.023	0,067	0,159	0,309		0,500
£	0,5	1,0	1.5	2,0	2,5	3,0	3,5		4,0	
'(t)	0.091	0,841	0,933	0,977	0,994	0,999	0,9998		0,99997	
что выполняется неравенство и > а, определяется сле-
Вероятность того, дующим образом:
Р = р (и > и) = 1 — F (£,).
При гауссовском распределении для определения значений аргумента §, соответствующих заданным значениям вероятности а, удобно использовать табл. 2,
440
Таблица 2
F&)	0,0005		0,001		0,005		0,010		0,050		о,юо
£	—3,4		-3,1		-2,6		-2,3		-1,6		-1.3
F(£)	0,500	0,900		0,950		0,993	0,995	0,999		0.' 995	
£	0,0	1,3		1,6		2,3	2,6	3,1		3,4	
Вероятность нахождения величины и в интервале (fl, b) определяется выражением
p(a<«<fr) = JF(b)-/7(U
Ои	Он
Вероятность того, что величина и не попадает в интервал (а, Ь), равна Р (и < о) + Р (и > b) = 1 + F (£,) - F (&).
Интервал (а, 6) называется симметричным, если
р (и < а} = р (и > Ь) = 1 2 - = Р.
Если случайная величина и предстааляет собой линейную комбинацию взаимно статистически независимых случайных величин ut с известными математическими ожиданиями mui и средними квадратическими отклонениями
Л
U — У С,U,.
1-1
то математическое ожидание ти и среднее квадратическое отклонение аи случайной величины и определяются следующим образом:


Если зависимость и от и, нелинейная, ......................................«л),
но отклонения величин «> от их математических ожиданий ти1 малы, то зависимость следует линеаризовав. Тогда
ти^ч>(ти1,..., тап), а2и ы
При решении задач о колебаниях систем при случайных воздействиях ир-пользуются основные соотношения теории случайных процессов. Если на линейную динамическую систему, положение которой определяется обобщенной координатой <?(/), действует стационарная случайная вынуждающая сила <?(/), то установившийся режим вынужденных колебаний характеризуется спектральной
441
плотностью S,(<o) обобщенной координаты <7(0, которая определяется следующим образом:
\(«) = M(to)]2SQ(«).
Здесь (о>) спектральная плотность вынуждающей силы Q{t), Д(<а)—амплитудно-частотная (резонансная) характеристика системы. Квадрат установившегося среднего квадратического отклонения обобщенной координаты определяется как интеграл
4-оо
’’«“‘S' J 5,(0) dto.
—оо
Если снектральнэя плотность S9(<o) представляет собой дробно-рациональную функцию
(<в) =
то
+ д2 c2to4 -J- cfo2 + с2 ’
2сОс2 VС1 + 2сОс2
О)
(2)
При гауссовском распределении вынуждающей силы среднее число выбросов процесса q(t) за уровень Ь на интервале времени (О, Т] определяется следующим выражением:
Г (й - j
Т ----- — ехр 2я <Уа
т.
где тч — математическое ожидание (среднее значение) процесса q(t), а о» — среднее квадратическое отклонение производной процесса <?(/), определяемое интегралом
а’=2л J
При подынтегральном выражении вида (1) величина а2 находится по формуле (2).
§ 58.	Вероятностные задачи статики
58.1.	Каток радиуса R = 0,5 м и массы т —800 кг упирается в жесткое препятствие. Высота препятствия h может быть различной; предполагается, что h можно считать слу-/	чайной величиной с гауссовским распределением,
|	>г| $ причем ее математическое ожидание равпо тв =
\ j —0,1 м, а среднее квадратическое отклонение
X-	равно = 0,02 м. Определить вероятность
к задаче 58.1 того, что горизонтальная сила Q1 =4900 Н достаточна для преодоления препятствия. Определить, при каком значении силы Q = Q2 вероятность преодоления препятствия равна а2 =0,999.
Ответ: aj =0,16, Q2=8300 Н.
442
58,2.	Вертикальная подпорная стенка высоты Л — 5 м постоянного сечения толщины а = 1,1 м нагружена гидростатическим давлением воды, уровень которой может быть различным. Плотность материала стены составляет 2,2 т/м3. Считая высоту И уровня воды от основания стенки случайной величиной с гауссовским законом распределения, с математическим ожиданием тн = 3,0 м и средним квадратическим отклонением оя=0,5 м, определить вероятность опрокидывания стенки. Определить также минимально допустимую толщину стенки, исходя из требования, что вероятность ее опрокидывания не должна превышать 3-10~5.
Ответ-. 0,001; 1,5 м.
К задаче 58.2
К задаче 58.3
58.3.	Определить необходимую силу Q затяжки болта, соединяющего две детали, находящиеся под действием растягивающей силы Р, исходя из того, что вероятность проскальзывания должна быть 5-10~4. Сила Р и коэффициент трения f между деталями могут принимать различные значения.; предполагается, что их можно считать независимыми случайными величинами с гауссовским законом распределения, причем их математические ожидания соответственно равны тр — 2000 Н, т; = 0,1, а средние каадратиче-ские отклонения =* 200 Н, о> — 0,02.
Ответ: Q — 63 000 Н.
58.4.	Груз массы m — 200 кг находится на шероховатой наклонной плоскости. Наклон плоскости и коэффициент трения скольжения могут быть различными. Угол у наклона плоскости относительно горизонта и коэффициент трения f считаются независимыми случайными величинами с гауссовским распределением, их мате-  магические ожидания соответственно равны mv—0 и щ?=0,2, а средние квадратические отклонения равны aY — 3° и Of = 0,04. Определить значение горизонтальной силы Q, достаточной для • того, чтобы с вероятностью 0,999 сдвинуть груз по плоскости.
Указание. Считать cos у « 1.
Ответ: Q=780 Н.
58.5.	В однородном круглом диске радиуса R — 1 м на расстоянии / от центра вырезано круглое отверстие радиуса г. Величины I и г могут принимать различные значения, они считаются случайными, независимыми, подчиняющимися гауссовскому распределению. Их математические ожидания соответственно равны mi = = 0,1 ми mr — 0,05 м, а средние квадратические отклонения равны
443
в; = 0,01 м и dr =0,005 м. Определить такое значение смещения центра масс относительно центра диска, вероятность превышения которого составляет 0,001. В выражении для смещения центра масс пренебречь слагаемыми с произведениями отклонений величин I и г от их математических ожиданий.
Ответ: 4,2-10“4 м.
58.5. На уравновешенном роторе, масса которого равна 1000 кг,
симметрично относительно оси вращения закреплены две однотипные детали + и А2. Случайные отклонения ДЛЬ и АМ2 их масс
Mi и М2 от номинального значения (математического ожидания) и случайные смещения Дхь Д#ь Дх2 и Д.г/2 их центров масс относительно точек, лежащих на одном диаметре на расстоянии I = 1 м от оси ротора, приводят к тому, что центр масс С ротора вместе с деталями оказывается смещенным относительно оси. Поэтому координаты хс и ус центра масс являются случайными. Предполагается, что случайные величины Mi, М2, Дх|( Ayi, Дх2, Дг/2 независимы и распределены по
гауссовскому закону, их математические ожидания соответственно равны шм ==	100 кг, miXi —
= mSy — тЛХг —	= 0, а средние квадратические отклонения
равны 'оДМ| = оДД1 = 0,5 кг, аДх, = аДй = оДх< = = 3 мм. Опре-
делить границы симметричных интервалов для координат Хс и ус центра масс ротора вместе с деталями, вероятность нахождения в которых равна а = 0,99.
Ответ: (—0,91; +0,91) мм.
58.7.	Однородная прямоугольная платформа массы 1000 кг подвешена к опоре на четырех тросах одинаковой длины, сходящихся в одной точке. Расстояние платформы до точки подвеса равно h — 2 м. На платформу установлены четыре груза малых размеров. Массы и расположение грузов случайны. Предполагается, что массы грузов и их прямоугольные координаты х( и у,, отсчитываемые от центра платформы, взаимно независимы и имеют гауссовское распределение. Математические ожидания масс всех четырех грузов одинаковы и равны ты = 100 кг, среднеквадратические отклонения также одинаковы и равны ом=20 кг. Координаты грузов имеют нулевые математические ожидания, средние квадратические отклонения координат равны о* = 0,5 м и =0,7 м. Определить границы таких симметричных интервалов для углов наклона Ох и 0у платформы, находящейся в равновесии при установленных грузах, вероятности нахождения в которых равны 0,99, Углы считать малыми.
Ответ: (—11°, +11°), (—15°, +15°).
444
§ 59.	Вероятностные задачи кинематики и динамики
59.1.	Самолет летит из начального в конечный пункт, расстоя- -ние между которыми равно 1500 км. Скорость полета v постоянна во времени для каждого полета, но для разных полетов принимает различные значения. Предполагается, что скорость представляет собой случайную величину с гауссовским распределением, с математическим ожиданием mv = 250 м/с и средним квадратическим отклонением о« = 10 м/с. Определить симметричный интервал для времени полета, соответствующий вероятности 0,999.
Ответ-. (5180,6820) с.
59.2,	Самолет летит по прямой линии от начального пункта-Угол Ф отклонения этой прямой от заданной прямолинейной траек-тории'в разных полетах может принимать различные значения. Предполагается, что угол ф является случайной величиной с гауссовским распределением, его математическое ожидание равно нулю, а среднее квадратическое отклонение равно — 2°. Определить значения вероятности того, что на расстояниях £ = 50; 100; 200 км боковое отклонение от заданной траектории не превысит 5 км.
Ответ: 0,997; 0,86; 0,52.
59.3,	Поезд двигался с начальной скоростью 15 м/с. При торможении ускорение замедленного движения постоянно во времени, но может принимать различные значения. Предполагается, что ускорение w является случайной величиной с гауссовским распределением, с математическим ожиданием т® =—0,2 м/с2 и средним квадратическим отклонением о» = 0,03 м/с2. Определить математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение тормозного расстояния до остановки, а также верхнюю границу тормозного расстояния, вероятность превышения которой составляет 0,05.
Ответ: 540 м, 81 м, 670 м.
59.4,	При расчетной оценке точности стрельбы в мишень принимается, что скорость полета пули постоянна, учитывается случайное отклонение оси ствола и случайное отличие скорости пули от номинального значения. Считается, что пуля попадает точно в центр мишени, если при точном задании направления оси ствола скорость вылета равна номинальному значению 600 м/с. Углы отклонения «риф оси ствола от заданного направления и отличие Ду скорости вылета от номинального значения считаются независимыми случайными величинами с гауссовским распределением, с нулевыми математическими ожиданиями и со средними квадратическими отклонениями соответственно Оф =	=0,5-10~5 рад
и о„ — 75 м/с. Расстояние до мишени равно I = 50 м. Определить симметричные интервалы для горизонтального и вертикального смещений точек попадания в мишень относительно ее центра, соответствующие вероятности 0,99.
Ответ: (—65, +65) мм, (—69, +69) мм.
59.5.	Снаряд выпущен из орудия с поверхности Земли. Угол бросания ф и начальная скорость о0 могут отличаться от расчетных
445
значений; они считаются независимыми случайными величинами с гауссовским распределением, с математическими ожиданиями, равными расчетным значениям пц — 10° и та.— 1000 м/с, со средними квадратическими отклонениями — 0,1° hctOj= 10 м/с. Пренебрегая силой сопротивления воздуха, определить интервал дальностей возможных точек падения снаряда на Землю, соответствующий вероятности 0,90. В выражении приращения дальности сохранить слагаемые только первого порядка относительно отклонений угла и скорости от расчетных значений.
Ответ: (31,0; 37,4) км.
59.6.	Вагон, центр масс которого находится на высоте 2,5 м от уровня полотна железной дороги с шириной колеи 1,5 м, движется по криволинейному участку с радиусом кривизны р = 800 м. Подъем наружного рельса над уровнем внутреннего выбран так, чтобы при скорости вагона, равной о *= 20 м/с, давление колее на оба рельса было одинаковым. В действительности скорость вагона может быть различной. Принимается, что скорость является случайной величиной с гауссовским распределением, с математическим ожиданием == 15 м/с и средним квадратическим отклонением <Тх>—4 м/с. Определить отношение сил.давления колес на внешний и внутренний рельсы при скорости, соответствующей верхней границе интервала, определенного для вероятности а = 0,99.
Ответ: 1,17.
59.7.	Автомашина движется ио дороге без уклона со скоростью 15 м/с. При торможении сила трения постоянна во времени, но может принимать различные значения. Принимается, что удельная сила трения при торможении является случайной величиной с гауссовским распределением, ее математическое ожидание равно 3000 Н на 1 т массы, а среднее квадратическое отклонение составляет 700 Н на 1 т массы. Определить значения вероятности того, что тормозной путь до остановки превысит 40 м; 80 м.
Ответ: 0,45; 0,02.
59.8.	Ротор массы М, представляющий собой однородный цилиндр радиуса R и длины /, насажен на вал с перекосом и смещением, так что его ось симметрии отклонена от оси вала на малый случайный угол у, а его центр, расположенный посередине между подшипниками, смещен относительно оси вала на случайную величину h. Расстояние между подшипниками равно 2L. Предполагается, что у и h представляют собой независимые случайные величины, угол у имеет нулевое математическое ожидание, расстояние h — математическое ожидание гпь и средние квадратические отклонения соответственно равны aY и ол. Угловая скорость ю врашения ротора вокруг вертикальной оси считается случайной величиной с математическим ожиданием пгл и средним квадратическим отклонением оа. Определить средние квадратические отклонения и оЛа реакций подшипников R\ и /?2-
Ответ:	= c$, ~ у М2п% {	[а® + 1	<у*] +	.
446
59.9.	На груз массы 1 кг, подвешенный на нити длины 1 м, в начальный момент времени находившийся в состоянии покоя на одной вертикали с точкой подвеса, кратковременно действует горизонтальная сила, постоянная во времени в течение интервала действия. Сила F и интервал времени ее действия т являются независимыми случайными величинами с гауссовским распределением, с математическими ожиданиями, равными соответственно mF = = 300 Н и т-< = 0,01 с и средними квадратическими отклонениями, равными Of — 5 Н и от = 0,002 с. Определить значения вероятности того, что амплитуда свободных колебаний груза на нити после окончания удара превысит 50° и 90°.
Ответ: 0,46; 0,04.
59.10.	Груз падает с высоты Н на упругую пружину, массой которой по сравнению с массой груза можно пренебречь. Статический прогиб пружины под грузом равен 2 мм. Высота Н считается случайной величиной с гауссовским распределением, с математическим ожиданием, равным 1 м, и средним квадратическим отклонением, равным 0,3 м. Определить верхнюю границу интервала возможных изменений максимального значения ускорения при ударе для вероятности нахождения в этом интервале, равной 0,95.
Ответ: 380 м/с2.
59.11,	Длина I математического маятника известна неточно. Предполагается, что I представляет собой случайную величину с гауссовским распределением, с известным математическим ожиданием mi — 0,25 мне неизвестным средним квадратическим отклонением щ. Определить допустимое значение щ, при котором значения периода свободных малых колебаний различаются не более, чем на 0,1 % с вероятностью 0,99.
Ответ: 0,19 мм.
59.12.	Физический маятник представляет собой тело массы т, вращающееся вокруг горизонтальной оси; его момент инерции / и смещение / центра масс относительно оси считаются заданными. Силы сопротивления, пропорциональные скорости, таковы, что при свободных колебаниях маятника отношение предыдущего размаха к последующему равно q. Точка подвеса маятника совершает горизонтальные случайные колебания. Ускорение w точки подвеса можно считать белым шумом постоянной интенсивности В2. Определить установившееся среднее квадратическое значение угла отклонения маятника при вынужденных колебаниях, а также среднее число выбросов п угла за уровень, в 2 раза превышающий среднее квадратическое значение в течение времени Т.
Ответ:	« = ~~	• е~2.
ч> • 4? V /<73	2л V J
59.13.	Точка подвеса физического маятника, частота свободных колебаний которого равна 6=15 рад/'с, а отношение последующего размаха к предыдущему при свободных колебаниях равно Щ = 1,2, совершает горизонтальные случайные колебания. Ско-рость точки подвеса при колебаниях можно считать белым шумом
447
интенсивности D2 = 1000 м2/с. Определить среднее квадратическое значение угла отклонения маятника.
Ответ: 23°.
59.14.	Прибор установлен на упругих линейных амортизаторах на подвижном основании, совершающем вертикальные случайные колебания. Силы сопротивления при колебаниях прибора относительно основания таковы, что в режиме свободных колебаний отношение предыдущего размаха к последующему равно m 1,5. Вертикальное ускорение при колебаниях основания можно считать белым шумом интенсивности В2 = 100. Определить, каковы должны быть частота свободных колебаний прибора на амортизаторах и статическое смещение под действием силы тяжести, чтобы среднее квадратическое значение абсолютного ускорения w при вынужденных колебаниях прибора было равно — 50 м/с2.
Ответ: ©о = 30 рад/с, А = 1 см.
59.15,	Линейный акселерометр, основным элементом которого является инерционная масса, связанная линейной пружиной с корпусом и находящаяся в вязкой жидкости, имеет амплитудно-частотную характеристику с резонансным пиком, причем частота, соответствующая пику, равна ©о =100 рад/с, а относительная высота резонансного пика (по отношению к значению амплитудно-частотной характеристики при © = 0) равна 1,4. При тарировке акселерометра получено, что если установить его измерительную ось вертикально, а затем повернуть акселерометр на 180°, его выходной сигнал, пропорциональный смещению инерциоппой массы, изменится на 5 В. Акселерометр установлен на подвижном основании, совершающем случайные колебания по одной оси, по этой же оси направлена измерительная ось акселерометра. Поед-полагается, что случайное ускорение колебаний основания можно считать белым шумом. Определить интенсивность этого белого шума, если осредненное значение квадрата переменной составляющей выходного сигнала акселерометра составляет 100 В2.
Ответ: В2 — 53 м2/с3.
59.16.	На одном и том же основании, совершающем горизонтальные случайные колебания по одной оси, горизонтально установлены три линейных акселерометра, имеющих одинаковые статические характеристики, но различные динамические свойства. Первый из них имеет собственную частоту ©о и относительную высоту резонансного лика, равную 1,2, второй — ту же собственную частоту, но относительную высоту резонансного пика, равную 1,6, третий — собственную частоту 2м0, а относительную высоту резонансного пика, как у первого акселерометра. Предполагая, что случайное ускорение при колебаниях основания можно «считать белым шумом, определить, насколько различаются средние квадратические значения oi, о? и см выходных сигналов этих акселерометров.
Ответ:	: 0^= 1:1,33:3.